2013 UNIVERSIDAD POLITECNICA SALESIANA
INTEGRANTES: DARIO ALEMÁN CARLOS JÁCOME
[TERMODINÁMICA II] II] CICLO DE CARNOT
Tabla de contenido INTRODUCCION ............................................................................................................. ............................................................................................................................. ................ 4 OBJETIVO GENERAL...................................................................... ....................................................................................................................... ................................................. 5 OBJETIVOS ESPESIFICOS ................................................................................................... ................................................................................................................ ............. 5 MARCO TEORICO.............................................................. ........................................................................................................................... ............................................................. 6 Ciclo de Carnot .......................................................................................................................... .......................................................................................................................... 6 1.
Expansión isotérmica .................................................................................................... 6
2.
Expansión adiabática............................................................... .................................................................................................... ...................................... 7
3.
Compresión isotérmica. ................................................................................................ 7
4.
Compresión adiabática. .......................................................... ................................................................................................ ...................................... 7
Segundo Principio de la Termodinámica................................................................................... 8 Enunciados de Clausius y Kelvin-Planck ......................................................... .................................................................................... ........................... 8 Enunciado de Clausius......................................................... ........................................................................................................... .................................................. 8 No es posible un proceso cuyo único resultado sea la transferencia de calor de un cuerpo de menor temperatura a otro de mayor temperatura. ............................................................ ................................................................. ..... 8 Enunciado de Kelvin-Planck .................................................................................................. .................................................................................................. 9 Equivalencia entre el enunciado de Clausius y de Kelvin-Planck .............................................. 9 PROCEDIMIENTO ............................................................................................ ..................................................................................................................... ......................... 13 ETAPAS DEL CICLO .................................................................... ................................................................................................................... ............................................... 13 Transformación A->B (isotérmica) ...................................................................................... ...................................................................................... 13 Transformación B->C (adiabática) .............................................................. ....................................................................................... ......................... 13 Transformación C->D (isotérmica) ...................................................................................... ...................................................................................... 13 Transformación D-> A (adiabática) ( adiabática) ..................................................................................... ..................................................................................... 14 CICLO COMPLETO..................................................................... .................................................................................................................... ............................................... 14 Variación de energía interna ........................................................... ............................................................................................... .................................... 14 Trabajo .................................................................................................................. ................................................................................................................................ .............. 14 14 Calor ........................................................................................................... .................................................................................................................................... ......................... 14 Rendimiento del ciclo .......................................................... .......................................................................................................... ................................................ 14 Presión y volumen de los cuatro vértices ........................................................................... ........................................................................... 15 Trabajo, calor y variación de energía interna en los cuatro c uatro procesos ................................ ................................ 16 CICLO COMPLETO................................................................. ................................................................................................................ ............................................... 17 RENDIMIENTO ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... 1 7 SIMULADOR.......................................................................................................................... SIMULADOR....................................................... ...................................................................... ... 18 CONCLUSIONES ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... 2 1
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RECOMENDACIONES ................................................................................................................... 2 1 BIBLIOGRAFIA .............................................................................................................................. 22
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INTRODUCCION El Segundo Principio de la Termodinámica nos dice que todos los pro cesos de la Naturaleza son irreversibles. Si analizamos superficialmente los procesos naturales, todos presentan al menos una de estas dos características: a) No quedan en absoluto satisfechas las condiciones de equilibrio mecánico, químico o térmico, es decir, de equilibrio termodinámico, b) Se producen siempre efectos de disipación energética, viscosidad, resistencia eléctrica, etc. Solamente si un proceso se realiza cuasi-estáticamente pasaría por una serie de estados de equilibrio termodinámico de modo que el trabajo que realiza puede recibirlo en el proceso inverso. Para que un proceso pueda, considerarse reversible ha de cumplir en definitiva: primero, que sea cuasi-estático, y segundo, que no se desarrollan en el mismo efecto de disipación energética. Cuando pretendemos crear un motor que funcione entre dos focos caloríficos, sabemos, por el Enunciado de Kelvin-Planck del Segundo Principio de la termodinámica, que ha de tomar calor del foco caliente para realizar trabajo, pero siempre, ha de ceder algo de calor al foco frío. Y el rendimiento del motor viene relacionado con la cantidad de calor que absorbe del foco caliente y la que cede al foco frío. Las preguntas que nos hacemos, y que también se hizo en su día el francés Nicolas Leonard Sadi Carnot (1796-1832), son ¿Cuál es el máximo rendimiento que puede obtenerse de un motor funcionando entre dos focos?, ¿Cuáles son las características?, ¿depende de la sustancia con la que el motor funciona? Carnot describió en 1824, en su artículo "Sur la puissance motrice du feu", cuando tenía 28 años, un motor ideal reversible que funcionaba con el rendimiento máximo en un ciclo muy sencillo, formado por dos tramos isotérmicos y dos adiabáticos, ciclo que hoy día se conoce como El Ciclo de Carnot
Desde el concepto de Ciclo de Carnot el matemático y físico alemán Rudoff E. Clausius (18221888) pudo probar en 1850 un teorema fundamental para el desarrollo posterior de la Termodinámica, que permitió establecer matemáticamente el concepto de Entropía.
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OBJETIVO GENERAL Conocer el funcionamiento y el concepto del ciclo de Carnot, la segunda ley de la termodinámica junto con los enunciados de Clausius y Kelvin-Planck.
OBJETIVOS ESPESIFICOS Obtener a partir de los datos iniciales: La presión, volumen de cada uno de los vértices. El trabajo, el calor y la variación de energía interna en cada una de los procesos. El trabajo total, el calor absorbido, el calor cedido, y el rendimiento del ciclo.
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MARCO TEORICO Ciclo de Carnot El ciclo de Carnot es un ciclo termodinámico ideal reversible entre dos fuentes de temperatura, en el cual el rendimiento es el máximo posible. Fue estudiado por Sadi Carnot en su trabajo Reflections sur la puissance motrice de feu et sur les machines propres à developper cette puissance, de 1824.
La representación gráfica del ciclo de Carnot en un diagrama p-V es el siguiente Tramo A-B isoterma a la temperatura T 1 Tramo B-C adiabática Tramo C-D isoterma a la temperatura T 2 Tramo D-A adiabática
Como todos los procesos que tienen lugar en el ciclo ideal son reversibles, el ciclo puede invertirse. Entonces la máquina absorbe calor de la fuente fría y c ede calor a la fuente caliente, teniendo que suministrar trabajo a la máquina. Si el objetivo de esta máquina es extraer calor de la fuente fría se denomina máquina frigorífica, y si es aportar calor a la fuente caliente bomba de calor. 1.
Expansión isotérmica . Se parte de una situación en que el gas ocupa el volumen
mínimo Vmin a la temperatura T2 y a presión alta. En este estado se transfiere calor al cilindro desde la fuente de temperatura T 2, haciendo que el gas se expanda. Al expandirse, el gas tiende a enfriarse, pero absorbe calor de T 2 y mantiene su
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temperatura constante. El volumen del gas aumenta produciendo un trabajo sobre el pistón. Dado que la temperatura permanece constante durante esta parte del ciclo, el gas no cambia su energía interna y todo el calor absorbido de T 2 se convierte en trabajo: dQ 1=dW1> 0 2.
dU1=0
Expansión adiabática. La expansión isotérmica termina en un punto tal que el resto
de la expansión pueda realizarse sin intercambio de calor. Esta expansión adiabática hace que el gas se enfríe hasta alcanzar exactamente la temperatura T 1 en el momento en que el pistón alcanza el punto máximo de su carrera y el gas alcanza su volumen máximo Vmax. Durante esta etapa todo el trabajo realizado por el gas proviene de su energía interna: dQ 2=0
3.
dU2=dW2>0
Compresión isotérmica. Se pone en contacto con el cilindro la fuente de calor de
temperatura T1 y el gas comienza a comprimirse, pero no aumenta su temperatura porque va cediendo calor a la fuente fría. Durante esta parte del ciclo se hace trabajo sobre el gas pero, como la temperatura permanece constante, la energía interna no cambia y el trabajo es absorbido en forma de calor por la fuente T1: dQ 3 = dW3 < 0 4.
dU3=0
Compresión adiabática. La fuente T1 se retira en el momento adecuado para que
durante el resto de la compresión el gas eleve su temperatura hasta alcanzar exactamente el valor T2 al mismo tiempo que el volumen del gas alcanza su valor mínimo Vmin. Durante esta etapa no hay intercambio de calor y el trabajo realizado sobre el gas se convierte en energía interna: dQ 4=0
dU4=dW4<=0
Por la Primera Ley de la Termodinámica, en cada ciclo la máquina realiza un trabajo mecánico dW igual al calor dQ transferido de T2 a T1, lo cual se puede comprobar usando las igualdades obtenidas en cada ciclo: dQ=dQ 1+dQ 3=dW1+dW3 Por otro lado, el estado del gas al terminar un ciclo es el mismo que al comenzarlo, por lo que el cambio de su energía interna debe ser cero: dU1+dU2+dU3+dU4=0
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De esta igualdad se deduce que: dW2+dW4=0 Por lo tanto dQ=dW1+dW3=dW1+dW2+dW3+dW4=dW El rendimiento de una máquina de Carnot (el cociente entre el calor absorbido y el trabajo desempeñado) es máximo y, siendo T 2 la temperatura del foco frío y T 1 la del foco caliente, puede calcularse como:
Diagrama del ciclo de Carnot en función de la temperatura y la entropía.
Segundo Principio de la Termodinámica El Primer Principio no es suficiente para definir la Termodinámica, por lo que el Segundo Principio impone una condición adicional a los procesos termodinámicos. Así, según el primer principio, el motor de un barco podría tomar el calor del mar para moverlo, situación que es completamente imposible. Esta imposibilidad viene definida por dos enunciados equivalentes.
Enunciados de Clausius y Kelvin-Planck Enunciado de Clausius
No es posible un proceso cuyo único resultado sea la transferencia de calor de un cuerpo de menor temperatura a otro de mayor temperatura.
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Enunciado de Kelvin-Planck No es posible un proceso cuyo único resultado sea la absorción de calor procedente de un foco y la conversión de este calor en trabajo.
Equivalencia entre el enunciado de Clausius y de Kelvin-Planck Las dos figuras que vienen a continuación nos muestran de forma gráfica la equivalencia de los enunciados de Clausius y de Kelvin-Planck. El conjunto de una máquina que transfiera calor del foco frío al caliente (Clausius) combinado con un motor nos da como resultado una máquina que absorbe calor de una sola fuente y lo transforma íntegramente en trabajo (Kelvin-Planck).
El conjunto de una máquina frigorífica con un móvil perpetuo (Kelvin-Planck) da lugar a una máquina que absorbe calor de una fuente fría y lo cede a una fuente caliente sin que se aporte trabajo (Clausius)
La segunda ley de la termodinámica nos lleva a expresiones que envuelven desigualdades. Por ejemplo una máquina térmica irreversible es menos eficiente que una reversible operando entre los mimos dos reservorios de energía térmica. Otra desigualdad importante con mayores consecuencias termodinámicas en la de Clausius:
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∮
La integral cíclica es siempre menor que cero. Esta desigualdad es válida para todos los ciclos, reversibles o irreversibles, incluyendo los ciclos de refrigeración. Cualquier transferencia de calor hacia o desde el sistema puede ser considerada de consistir de cantidades diferenciales de transferencia de calor. Entonces la integral cíclica de dQ/T puede ser vista como la suma de todas
las cantidades diferenciales de transferencia de calor divididas por la temperatura
absoluta de la frontera. Se concluye que la igualdad en la desigualdad de Clausius es para ciclos totalmente o simplemente internamente reversibles y la desigualdad para los ciclos irreversibles. Clausius descubrió una nueva propiedad termodinámica, la cual llamó entropía (S).
() La entropía es una propiedad extensiva de un sistema y algunas veces es referida como entropía total. Entropía por unidad de masa, designada como s, es una propiedad intensiva y tiene la unidad kJ/(kg*K). El término entropía es generalmente utilizado para referir a ambas, entropía total y entropía por unidad de masa ya que los textos usualmente aclaran a cual se refieren. La integración de la definición de entropía sirve para determinar el cambio de entropía durante un proceso:
( )
Ésta ecuación trata de un proceso internamente reversible es una igualdad, y se trata de la desigualdad cuando el proceso es irreversible. De estas ecuaciones se puede concluir que el cambio de entropía de un sistema cerrado durante un proceso irreversible es más grande que la integral dQ / T evaluada para tal proceso. En el caso límite de un proceso reversible, estas dos cantidades llegan a ser iguales.
Siendo T la temperatura absoluta donde el calor
diferencial dQ es transferido entre el sistema y los alrededores.
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La cantidad
S = S2 - S1 representa el cambio de entropía de un sistema. Para un proceso
reversible, es igual a
∫ el cual representa la transferencia de entropía con calor.
El signo de desigualdad en las relaciones de arriba es constante recuerdo que el cambio de entropía de un sistema cerrado durante un proceso irreversible es siempre más grande que la transferencia de entropía. Lo que quiere decir que, cierta entropía es generada o creada durante un proceso irreversible, y esta generación es debida enteramente a la presencia de irreversibilidades. La entropía generada durante un proceso es llamada generación de entropía y es denotada por Sgen. Notando que la diferencia entre el cambio de entropía de un sistema cerrado y la transferencia de entropía es igual a la generación de entropía.
( ) Hay que notar que la S gen es siempre una cantidad positiva o cero. Cuyo valor depende del proceso, y por eso no es una propiedad del sistema. También, en la ausencia de cualquier transferencia de entropía, el cambio de entropía del sistema es igual a la generación de entropía. Para un sistema aislado la transferencia de calor es cero, por lo cual la ecuación se reduce a
Esta ecuación expresa como la entropía de un sistema aislado durante un proceso siempre se incrementa o, en el caso limite de un proceso reversible, permanece constante. Por lo cual, nunca decrece. Esto es conocido como el principio de incremento de entropía. Como ya se mencionó, la entropía es una propiedad extensiva, y por eso la entropía total de un sistema es igual a la suma de las entropías de las partes del sistema. Un sistema aislado puede consistir de muchos subsistemas. Un sistema y sus alrededores, por ejemplo, constituyen un sistema aislado ya que ambos pueden ser considerados encerrados por una suficientemente larga frontera arbitraria a través de la cual no hay transferencia de calor, trabajo o masa. Por lo tanto, un sistema y sus alrededores pueden ser vistos como los dos subsistemas de un sistema aislado y el cambio de entropía de este sistema aislado durante un
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proceso es la suma de los cambios de entropía del sistema y sus alrededores, lo cual es igual a la generación de entropía ya que un sistema aislado no envuelve transferencia de entropía.
Donde la igualdad es para un proceso reversible y la desigualdad para un proceso irreversible.
se refiere al cambio de entropía de los alrededores como un resultado de la ocurrencia del proceso bajo consideración. Como ningún proceso es reversible, se puede concluir que algo de entropía es generada durante un proceso, y por lo tanto la entropía del universo, el cual puede ser considerado como un sistema aislado, está continuamente incrementándose. Entre más irreversible es el proceso, mayor es la entropía generada durante el proceso. No se genera entropía durante procesos reversibles. El principio de incremento de entropía no dice que la entropía de un sistema no puede decrecer, ya que el cambio de entropía de un sistema puede ser negativo durante el proceso, pero la generación de entropía debe ser siempre positiva. Las cosas en la naturaleza tienden a cambiar hasta que encuentran un estado de equilibrio. El principio de incremento de entropía dicta que la entropía de un sistema aislado se incrementará hasta que la entropía de un sistema alcance un valor máximo. En ese punto, se dice que el sistema ha alcanzado un estado de equilibrio ya que el principio de incremento de entropía prohíbe al sistema tener cualquier cambio que resulte en un decremento en entropía.
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PROCEDIMIENTO En cualquier ciclo, tenemos que obtener a partir de los datos iniciales: La presión, volumen de cada uno de los vértices. El trabajo, el calor y la variación de energía interna en cada una de los procesos. El trabajo total, el calor absorbido, el calor cedido, y el rendimiento del ciclo. Los datos iniciales son los que figuran en la tabla adjunta. A partir de estos datos, hemos de rellenar los huecos de la tabla. Variables
A
B
C
D
Presión p (atm)
PA
?
?
?
Volumen V (litros)
VA
VB
?
?
Temperatura T (K)
TA
TB
TC
?
ETAPAS DEL CICLO Transformación A->B (isotérmica )
La presión PB se calcula a partir de la ecuación del gas ideal PB.VB =nRT1 Variación de energía interna ΔU A→B =0 Trabajo W A→B =nRT1 ln(VB /VA) Calor Q A→B =W A→B Transformación B->C (adiabática)
o bien, . Se despeja V de la ecuación de la adiabática T1 B =T2 C. Conocido V y T se obtiene P , a partir de la La ecuación de estado adiabática es
c
c
2
c
ecuación del gas ideal. PC.VC =nRT2. Calor Q B→C =0 Variación de energía interna ΔUB→C =nCv (T2−T1)
Trabajo W B→C =−ΔU B→C Transformación C->D (isotérmica)
Variación de energía interna ΔU C→D =0 Trabajo W C→D =nRT2 ln(VD/VC )
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Calor Q C→D =W C→D Transformación D-> A (adiabática)
Se despeja V D de la ecuación de la adiabática T1
A =T2 D . Conocido V y T D
2
se obtiene PD, a partir de la ecuación del gas ideal. PD VD =nRT2 . Calor Q D→A =0 Variación de energía interna ΔU D→A =n Cv (T1−T2) Trabajo W D→A =−ΔU D→A A partir de las ecuaciones de las dos adiabáticas, podemos probar que la relación entre los volúmenes de los vértices es
CICLO COMPLETO Variación de energía interna ΔU=ΔU B→C +ΔU D→A =0
En un proceso cíclico reversible la variación de energía interna es cero Trabajo W=W A→B +W B→C +W C→D +W D→A =nR(T 1 −T 2 )ln(V B / VA)
Los trabajos en las transformaciones adiabáticas son iguales y opuestos. Calor
En la isoterma T 1 se absorbe calor Q>0 ya que V B>V A de modo que Q abs =nRT1 ln(V B / VA)
En la isoterma T 2 se cede calor Q < 0 ya que V D
Se define rendimiento como el cociente entre el trabajo realizado y el calor absorbido
=
η=
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Un gas diatómico, Cv=5R/2, describe el ciclo de Carnot de la figura. Las transformaciones A-B y C-D son isotermas y las transformaciones B-C y D-A son adiabáticas. Hallar los valores de la presión, el volumen, y la temperatura de cada uno de los vértices A, B, C y D a partir de los datos suministrados en la figura. Calcular de forma explícita el trabajo en cada una de las transformaciones, la variación de energía interna, y el calor. Hallar el rendimiento del ciclo, y comprobar que coincide con el valor dado por la fórmula del rendimiento de un ciclo de Carnot. Dato: R=8.314 J/(K mol)=0.082 atm. l/(K mol) Presión y volumen de los cuatro vértices c p =c v +R=5 2 R+R=7 2 R γ =c p c v =7 5
pV=nRT 10⋅ 2=nR⋅ 850 nR=2 85 A→B (isoterma) 10⋅ 2=8⋅ V B V B =2.5 litros T A =T B =850 K
B→C (adiabática) T B V γ−1 B =T C V γ−1 C 850⋅ 2.5 2/5 =310⋅ V 2/5 C V C =31.12 litros P C V C =nRT C P C ⋅ 31.12=2 85 310 P C =0.23 atm
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C →D (isoterma) T C =T D =310 K A→D (adiabática) T A V γ−1 A =T D V γ−1 D 850⋅ 2 2/5 =310⋅ V 2/5 D V D =24.90 litros P D V D =nRT D P D ⋅ 24.90=2 85 310 P D =0.29 atm
Variables
A
B
C
D
Presión p (atm)
10
8
0.23
0.29
Volumen V (litros)
2
2.5
31.12
24.9
Temperatura T (K)
850
850
310
310
Trabajo, calor y variación de energía interna en los cuatro procesos A→B (isoterma) ΔU AB =0
Q AB =W AB W AB =nRTln(V B/V A) W AB=2 85 850 ln 2.5 2
⋅
W AB=4.46 atm l
C→D (isoterma) ΔU CD =0
Q CD =W CD W CD=nRTln(V D/V C) W CD=(2)(85)(310) ln(24.90/ 31.12)
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⋅
W CD=−1.62 atm l
B→C (adiabática) ΔU BC =n Cv (T C −T B ) ΔU BC =n5 2 R(310−850) ΔU BC =2 85 5 2 (310−850)
⋅
ΔU BC =−31.76 atm l
⋅
W BC =31.76 atm l Q BC =0
D→A (adiabática) ΔU DA =nCv (T C −T B ) ΔU DA =n5 2 R(850−310) ΔU DA =2 85 5 2 (850−310)
⋅
ΔU DA =31.76 atm l
Q DA =0 Variables
A→B
B→C
C→D
D→A
Ciclo
W (atm·l)
4.46
31.76
-1.62
-31.76
2.84
Q(atm·l)
4.46
0
-1.62
0
0
-31.76
0
-31.76
ΔU (atm·l)
0
CICLO COMPLETO
Trabajo total: W =2.84 atm·1 Calor absorbido: Qabs=4.46 atm·1 Calor cedido: Qced =1.62 atm·1 RENDIMIENTO
η=
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SIMULADOR Introducir los valores de las siguientes variables Temperatura del foco caliente T 1 Temperatura del foco frío T 2 Se tiene que cumplir que T 1> T 2 El volumen de A, V A, El volumen de B, V B. Se tiene que cumplir que V A< V B La presión de A, P A Si no se cumplen las condiciones anteriores un mensaje nos lo señala en el borde inferior del applet. Una vez introducidos los datos se pulsa el botón titulado Empieza, el programa interactivo calcula: La presión y el volumen de cada uno de los vértices El trabajo, calor y variación de energía interna en cada una de las transformaciones El trabajo total, el calor absorbido y el calor cedido.
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CONCLUSIONES La segunda ley de termodinámica pone límites en la operación los ciclos. Una máquina térmica no puede operar intercambiando calor con un reservorio simple, y un refrigerador no puede operar sin la aplicación de un trabajo de una fuente externa. La eficiencia de una máquina térmica irreversible es siempre menor que la eficiencia de una reversible operando entre los mismos dos reservorios. La eficiencia de todas las máquinas térmicas reversibles operando entre los mismos dos reservorios es la misma. El Ciclo de Carnot es el ciclo más sencillo y de mayor rendimiento con que funciona una máquina térmica. Las máquinas reales son menos eficientes pues están sujetas a dificultades prácticas como fricción y pérdida de calor por conducción.
RECOMENDACIONES El Ciclo de Carnot es el ciclo más sencillo y de mayor rendimiento con que funciona una máquina térmica. Las máquinas reales son menos eficientes pues están sujetas a dificultades prácticas como fricción y pérdida de calor por conducción.
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BIBLIOGRAFIA
http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica_//estadistica/termodinamica/carnot/carnot.html http://www.itescam.edu.mx/principal/sylabus/fpdb/recursos/r81890.PDF http://casanchi.com/fis/ciclo001.pdf http://rua.ua.es/dspace/bitstream/10045/19620/1/CICLO%20DE%20CARNOT.pdf http://catarina.udlap.mx/u_dl_a/tales/documentos/leip/mateos_e_e/capitulo4.pdf http://termodinamica.us.es/termica/transparencias/Leccion8.pdf
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