APLICACIONES DE MATRICES Y SISTEMAS LINEALES A LA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE REDES ELÉCTRICAS Y LEYES DE KIRCHOFF
1. RESUMEN
Se muestra como obtener, sistemas de ecuaciones lineales que permitan calcular intensidades de corrientes en los ramales del mismo y diferencias de voltajes entre todos, todos, a partir partir de datos datos como como fuerza fuerzas s electr electromo omotri trices ces de baterí baterías as (volta (voltajes jes)) y resist resistenc encias ias,, en circui circuitos tos eléctr eléctrico icos s en forma forma de red. red. Se explic explica a el método método de solu soluci ción ón de sist sistem emas as de ecua ecuaci cion ones es line lineal ales es simu simult ltn nea eas s por por medi medio o de las las reducciones, denominado el !étodo de "auss#$ordn. Se aplican los métodos de anlisis de corrientes por bucles y anlisis de voltajes por nodos, concluyéndose que el método método de anlis anlisis is de corrie corriente ntes s por bucles bucles produc produce e matric matrices es dia%on dia%onal al dominante y positiva definida y que en cualquiera de estos métodos, la matriz del sistema de ecuaciones es una matriz simétrica, no sin%ular, con solución &nica. Se muestra adems que estos procedimientos llevan a expresiones matriciales de la ley de 'm, como * + , en el caso del anlisis de corrientes por bucles y S+ *, en el caso caso del del anlis anlisis is de volta voltajes jes por nodos. nodos. -or supues supuesto to que esta es otra forma forma equivalente de la ley de 'm, ya que como S es una matriz no sin%ular, + S#*. e * son vectores de voltajes y corrientes respectivamente. / finalmente para poder acerlo experimentalmente demostrativo se utilizó un pro%rama llamado ROCODILE
CLIPS 3, el cual permite la simulación de circuitos eléctricos y electrónicos, junto con sistemas mecnicos y electromecnicos.
2. OBJETIVOS DEL PROYECTO
2.1. Obj!"#$ %&'()
-resentar de una manera ejemplar y sencilla la utilización de sistemas lineales y matriciales, como alternativa conveniente en la solución de problemas de redes eléctricas y mallas de 0ircoff.
2.2. Obj!"#$* *+-"$*
1.1.. *lustrar con ejemplos el uso de la simetría de los sistemas lineales y matriciales que se presentan al aplicar las leyes de 0ircoff.
1.1.1. 2prender a utilizar los sistemas lineales y matriciales como método eficaz en la solución de problemas comunes de redes eléctricas donde se usan las leyes de 0ircoff.
1.1.3. 4sar los conocimientos adquiridos del al%ebra lineal como los sistemas lineales y matriciales para resolver problemas de circuitos eléctricos y mallas de 0ircoff que son vistos en la realidad.
1.1.5. 4tilización de soft6are en la simulación de ejemplo reales donde se pueda comprobar la eficacia de la utilización del al%ebra lineal en la resolución de problemas de mallas y leyes de 0ircoff.
3. FUNDAMENTO TEORICO 3.1. ANTECEDENTES DE LA INVESTI/ACION0 7l
método
que
se
utiliza
com&nmente
para
resolver
sistemas
de
ecuaciones, si%uiendo el pro%rama de l%ebra 8ineal es el método de "auss. -or ello, ser difícil encontrar en proyectos y tesis desarrollados en la universidad. 7sta es una de las razones que motivan este proyecto. !ostrar cómo se aplica el método de %auss en un problema específico. -ara plantear el sistema de ecuaciones simultneas que permitir resolver el circuito, para calcular intensidades de corriente y voltajes, se aplican dos métodos9 :7l anlisis nodal del oltaje :2nlisis de corrientes por bucles
CIRCUITOS ELECTRICOS0 ANALISIS NODAL DE VOLTAJE 7n este método, se producen y resuelven sistemas de ecuaciones en los cuales las incó%nitas son los voltajes en los ;nodos principales< del circuito. 2 partir de estos
voltajes nodales, se determinan posteriormente las
intensidades de las corrientes en los diferentes ramales del circuito. 8os pasos en el método de anlisis nodal son los si%uientes9 :Se cuenta el n&mero de nodos principales o ;uniones< del circuito. Sea n dico n&mero. :Se numeran los nodos como =,=1, . . . , = n y los dibujamos en el dia%rama del circuito. 8os voltajes en estos nodos se denominan , 1, . . . , n, respectivamente. :Se esco%e uno de estos nodos como la referencia o ;tierra< y se le asi%na un voltaje de >. :7n cada nodo excepto en el nodo de referencia escribimos las leyes de la corriente de ?ircoff@s de forma que Ala suma al%ebraica de las corrientes que
salen de un nodo son i%uales a >A. (2l decir ;suma al%ebraica< queremos decir que la corriente que entra al nodo se considera una corriente ne%ativa que sale del nodo.) -or ejemplo, para el nodo a la izquierda, 0B8 nos lleva a la ecuación que aparece a la dereca del mismo9
:Se expresan las corrientes en cada ramal en términos de los voltajes nodales en cada uno de los extremos, utilizando la ley de 'm (* + C). De aquí al%unos ejemplos9 8a corriente acia abajo del nodo depende de la diferencia de voltaje # 3 y la resistencia en el ramal.
7n el si%uiente caso la diferencia de voltaje a través de la resistencia es # 1 menos que el voltaje a través de la fuente de voltaje. Ee tal modo que la corriente acia abajo es tal como se muestra.
7n el si%uiente
caso,
voltaje a lar%o
de la resistencia debe ser
>>
mayor que la diferencia
voltios
la
diferencia
# 1. Ee tal
modo
que
la
acia abajo es
como se muestra.
de
corriente
7l resultado, después de la simplificación, es un sistema de m ecuaciones con m voltajes nodales desconocidos (donde m es menor en que el n&mero de nodosF m + n # ). 8as ecuaciones son de la si%uiente forma9 " "1
G "11 G "111
. . .
"m
. . .
G "m11
G H.. G "mm G H.. G "1mm . . .
. . .
G H.. G "nmm
+ * + *1 . . .
+ *m
Eonde ", "1, . . . , "mm y *, *1, . . . , *m son constantes. 7l sistema de ecuaciones para los m voltajes nodales , 1, . . . , m se resuelve utilizando el método de eliminación de "auss o descomposición 84.
ANLISIS DE CORRIENTES POR BUCLES0 7n este método se producen y resuelven sistemas de ecuaciones en los cuales las inco%nitas son corrientes en bucles. 8as corrientes en los diferentes ramales del circuito se determinan posteriormente a partir de las anteriores. 8os pasos en el método de las corrientes por bucles son9 :Bontar el n&mero de corrientes de bucles requeridas. 7ste n&mero se llamar m.
:Se esco%en m corrientes de bucles independientes. 8lamemoslas *, *1, . . . , *m y se dibujan el dia%rama del circuito para cada bucle. 7l resultado, después de simplificación, es un sistema de n ecuaciones lineales en n corrientes de bucle desconocidas, en la si%uiente forma9 * 1*
G 1*1
G H.
G m*m
+
G 11*1
. G H.
G 1m*m
+ 1
. . . .
m*
. . .
G m1*1
. . .
G H.
. . .
G mm*m
. . .
+ m Eonde , 1, . . . ,
.
mm y , 1, . . . , m son constantes. :Se resuelve el sistema de ecuaciones en las m corrientes de bucle
*,
*1, . . . , *m utilizando el método de eliminación de "auss, la descomposición 84 o cualquier otro método.
3.3. M!$$ /(4**5J$'(& 7l método de "auss#$ordan utiliza operaciones con matrices para resolver sistemas de ecuaciones de n numero de variables. -ara aplicar este método solo ay que recordar que cada operación que se realice se aplicara a toda la fila o a toda la columna en su caso. 7l objetivo de este método es tratar de convertir la parte de la matriz donde estn los coeficientes de las variables en una matriz identidad. 7sto se lo%ra mediante simples operaciones de suma, resta y multiplicación. 7l procedimiento es el si%uiente9 -rimero se debe tener ya el sistema de ecuaciones que se quiere resolver y que puede ser de n numero de variables por ejemplo9 #3x G 3y G 1z + 5x G y # z + 1 I # 1y G z + 3 Se acomodan los coeficientes y los resultados en una matriz9
#3 3 1
5 #
1
#1
3
7n el ejemplo, el #3 de la primera matriz se tiene que convertir en un , se%&n la matriz identidad, así que ay que dividir entre #3, pero como una operación se aplica a toda la fila, entonces toda la primera fila se tiene que dividir entre J39
#C3 #3
3
1
5
# # # 1
#
#1 1C3 3 5 #
C3 1
#1
Eespués, como se
3
ve en la matriz identidad, ay que acer
> toda la columna debajo del , y se ace multiplicando por al%o la fila de arriba y sumndola a la fila de abajo. 7n este caso, se multiplica por #5 la fila de arriba y se suma con la correspondiente posición de la fila de abajo9
#5 G 1
#
#1C3
#C3
5
#
1
#1
3
#
# 1C3
> K
KC3
#1
# C3 >C3 3
-ara acer cero el si%uiente ren%lón simplemente ay que multiplicar por J al primer ren%lón sumarlo al tercero9
#
#
# #
# G 3 1C3 > K
KC3
#1
C3 > K >C3 > # 3
#1C3
#C3
KC3
>C3
KC3
>C3
7l si%uiente paso para lo%rar una matriz identidad es obtener el si%uiente , que en este caso iría en donde esta el K en la se%unda fila. -ara lo%rarlo ay que dividir toda la se%unda fila entre K9 #C3 #
#
> KCK KC3
>C3
1C3
> #
>C3
#
#1C3
KC3
# C3
>
C3
1C3
> #
KC3
>C3
Eespués se tienen que acer > los que estn arriba y abajo del , que en este caso sería, para el que est arriba 1G9
#
#1C3
#C3
1> G3 C3
#
# 1C3
1C3
> #
KC3
>C3
#
#1C3
>
C3
> >
1
#C3 > 1C3 > > 5
# C3
C3
1C3
LC3
1C3
2ora ay que acer cero la posición a1. 7n este caso con acer 1G es suficiente9 #
#1C3
>
#C3
C3
> #C3
C3
1C3
>1C3>
1
1 > G C3 > >
1
5
5
Eividir entre 1 3 nos permite encontrar el otro , el de la posición a339 >
#C3
> C1 C3 > >
C3
>
# C3
1C3
1
C3
5
2ora
>
C3
a3 y a13.
> >
1C3
necesitamos ceros en las posiciones
1
Eividir entre 1 3 y sumarlo a nos
permitir encontrar uno de ellos9
3 G
>
#C3
C3
>
C3
1C3
>
C3
> >
1
> >
>
>
>
C3
> >
1C3 1
>
>
3C3 1C3 1
7l <imo cero lo lo%ramos multiplicando por #13 y sumndolo a 19
#C33 G 1
>
>
>
C3
> >
>
>
1C3
>
>
>
1
> >
1
2l encontrar la matriz identidad se encuentra la solución del sistema de ecuaciones, pues esto se traduce a9 x+ y+> z+1 las cuales resuelven el sistema de ecuaciones de forma simultnea. 8a comprobación es la si%uiente9 #3() G 3(>) G 1(1) + #3G5 + 5() G (>) # (1) + 5 # 1 + 1 () # 1(>) G (1) + G 1 + 3 Bomo puede verse el método "auss#$ordan es una erramienta &til en la resolución de este tipo de problemas y actualmente existen pro%ramas matemticos que lo utilizan para una %ran variedad de clculos en una %ran variedad de reas, tanto científicas como socioeconómicas.
3.3. DEFINICION DE TERMINOS BASICOS0 LEYES DE KIRCHOFF0 L6 )(* $''"&!*0 8a corriente neta en un nodo (entradas menos salidas) es cero.
L6 )$* V$)!(j*9 8as diferencias de potencial (caídas de voltaje) suman cero en cada ;bucle< o ;malla< cerrada.
N$$9 -unto donde confluyen dos o ms conductores
R*"*!&"(0 a) Eificultad variable que opone un conductor al paso de la corriente. 8a resistencia se mide en 'mios. b) Eispositivo físico que opone resistencia al paso de la corriente.
V$)!(j0 Eiferencia de potencial entre los extremos de un conductor. Se mide en voltios.
C$''"&!0 !ovimiento de la electricidad. Se mide en amperios. F4&!0 Eispositivo que %enera diferencia de potencial, posibilitando movimiento de electricidad, tal como pilas, baterías, y %eneradores de corriente.
N$$ +'"&"+() $ 74&"8&90 es un punto donde se unen 3 o ms ramales. 8o marcaremos casi Siempre en el dia%rama del circuito con un punto rojo. =ótese que si un ramal no contiene fuentes de voltaje o car%as, tal ramal puede considerarse como un nodo.
KCL0 8ey de las corrientes de 0ircoff.
M(!'": "(%$&();&! $;"&(&!9 7s aquella matriz simétrica en la cual los elementos de la dia%onal son mayores en valor absoluto que cualquier otro elemento en su fila yCo columna.
M(!'": +$*"!"#$ "&"(9 7s aquella matriz para la cual la forma cuadrtica xM 2x es positiva para todo valor de x, es decir que9 xM2x N >, para todo vector x. Se caracteriza porque todos sus valores propios son positivos.
M!$$ /(4** $& +"#$!$ +('"() 9 4na variación del método de "auss, donde en el i#ésimo paso, se utiliza como pivote, el elemento de módulo mximo en la columna i, intercambiando filas de ser necesario.
MARCO METODOLO/ICO0 8os pasos se%uidos en este estudio fueron9 :7studio de biblio%rafía existente en la biblioteca de la 4niversidad =acional Ee Mruijillo. :evisión de artículos disponibles en la Oeb :Bomparación de los resultados con resultados teóricos conocidos. 7n este tipo de proyecto, el marco metodoló%ico es relativamente sencillo ya que no se utilizan encuestas, entrevistas, ni datos obtenidos en el campo, por basarse en modelos teóricos, no estadísticos. -or lo tanto no existen formatos para encuestas, ni tiempos. Sus fases estuvieron determinadas sólo por la disponibilidad de información en Piblioteca e internet. -ara el clculo de las soluciones de los sistemas de ecuaciones y el clculo de valores propios, se utilizaron 2pplets de $ava disponibles en la Oeb.
<. INSTRUMENTOS Y MATERIALES CROCODILE CLIPS 3 -ermite la simulación de circuitos eléctricos y electrónicos, de un nivel medio# avanzado, junto con sistemas mecnicos y electromecnicos.
8a presentación de los elementos es ms técnica y se realiza por sus símbolos normalizados.
7ntre las características principales de esta versión se encuentran9
Simulación conjunta de circuitos eléctricos, electrónicos (tanto di%itales como analó%icos) y sistemas mecnicos.
8as medidas eléctricas se pueden realizar por burbujas de información, es decir situando el ratón sobre el cable o el componente, o bien utilizando la instrumentación adecuada voltímetros, amperímetros o sondas para osciloscopio.
8a sismolo%ía puede ser confi%urada para visualizarse se%&n norma americana o norma *7B.
7n los componentes especiales como interruptores de nivel de líquidos, potenciómetros, fototransistores, resistencias 8E, =MB, etc. pueden ser modificadas sus características, con el circuito activado, desplazando el ratón sobre el elemento.
8os circuitos pueden ser confi%urados para que se visualicen las flecas de corriente, seQales ló%icas o voltímetros de barra en los conductores. SeQales ló%ica y flecas de corriente
8os voltímetros de barra son indicadores de color rojo que muestran el nivel de tensión en un conductor eléctrico.
8os componentes estn
repartidos en nueve librerías,
a las que se puede acceder desde la barra de erramientas9
2l picar en cada uno de los botones de librería, la barra de erramientas cambia de aspecto y muestra los elementos con los que se puede trabajar en ese momento9
=. METODO E>PERIMENTAL
7I-7*!7=M' !odelo de circuito a experimentar y comprobar resultados ya obtenidos al%ebraicamente usando el método de %auss# $ordn9
E2M'S 'PM7=*E'S 28"7P2*B2!7=M7 -' 78 !7M'E' E7 "24SS# $'E2=9
I1 ? 2 ;A I2 ? 5@ ;A I3 ? 53 ;A -2S' 9
2l i%ual que en el ejemplo anterior abrimos nuestro pro%rama B'B'E*87 B8*-S y en una nuevo espacio iniciamos nuestra simulación.
-2S' 19
7le%imos la erramienta que nos provee de baterías virtuales que nos servirn de fuente de ener%ía para poder realizar nuestra se%unda simulación y a su vez confi%urando su voltaje.
-2S' 39
Bomo en el experimento 1 seleccionamos varias resistencias colocndolas en la posición que el ejercicio a resolver requiere y dndole a su vez los valores necesarios.
-2S' 59
4nimos las resistencias con las baterías que pusimos anteriormente.
-2S' K9
Bolocamos los medidores de intensidad eléctrica llamados 2!-7*!7M'S en las posiciones donde queremos medir la corriente eléctrica.
-2S' L9
4nimos los amperímetros que colocamos anteriormente con el circuito mediante ilos de alambre y automticamente podemos ver los r esultados de las mediciones de estos que a su vez son idénticos a los que nosotros pudimos lle%ar mediante clculos al%ebraicos.
-2S' R9
7n este paso damos nombre a cada amperímetro para ordenarlos de acuerdo a nuestro ejercicio desarrollado (ejemplo 1). * , * 1 y la intensidad *3.
-2S' 9
Bomo siempre en el <imo paso queremos enfatizar que debemos ser precavidos a la ora de colocar nuestras resistencias de acuerdo a l as fuentes de ener%ías que se utilizara, en cualquier caso real porque podrían explotar como visualizamos en la ima%en si%uiente y con un procedimiento correcto lo%raremos obtener resultados favorables y datos correctos usando los clculos al%ebraicos de sistemas lineales y matriciales.
. DATOS E>PERIMENTALES
7ncontrar las corrientes I j del circuito
2plicando la primera ley de 0ircoff9 * G *1 + *3 7ntonces9
I1 I2 5 I3 ?
(primera ecuación)
2plicamos la se%unda ley de 0ircoff para la malla 89
5> J > + #> *1 G K * 7ntonces9
@ I1 5 1 I2 ? =
(se%unda ecuación)
2plicamos la se%unda ley de 0ircoff para la malla 819
#1>> + K> *3 G> *1 7ntonces9
1 I2 @ I3 ? 52
(tercera ecuación)
Bon las tres ecuaciones encontradas mediante las 1 leyes de 0ircoff, creamos un sistema de ecuaciones9
I1
I2 5
I3 ?
@ I1 5 1 I2
? =
1 I2 @ I3 ? 52 Bon el sistema de ecuaciones formado, lo trasladamos a una matriz9
(
| )
1
1
−1
0
5
−10
0
60
0
10
50
−200
esolvemos la matriz9
( (
1 5 0
1
−
10
0
−
10
| ) (
1
50
0
60
∼
200
−
| ) (
1
0
−6
20
0
0
16
0
1
5
−48 −20
∼
1 1 0
1
| ) (
1
−
2
−
1
0 5
0
12
∼
20
−
1 0 0
1 3
−
1
−
| )
1
1 5
0
12
∼
20
−
| ) ( |) ( |)
1
0
−6
20
0
0
1
0
1
5
−3 −20
∼
1
0
0 2
0
0
1 −3
0
1
0 −5
lo tanto las variables *, *1 e *3 tienen los valores9
I1 ? 2 ;A I2 ? 5@ ;A I3 ? 53 ;A
∼
1
0
0 2
0
1
0 −5
0
0
1 −3
-or
. ANLISIS, RESULTADOS Y DISCUSIÓN
-ara poder realizar la investi%ación de aplicaciones del al%ebra lineal en específico la utilización de sistemas de ecuaciones lineales y matriciales en el campo de la T*S*B2 como lo es el tema circuitos eléctricos y leyes de 0ircoff, nos dimos la tarea de investi%ar primero los aspectos en lo que se ve mostrado en la realidad esta física eléctrica, usando los problemas comunes que nos presentan en los libros con referente a este tema y comparando sus problemticas realistas y la forma en que
los
métodos al%ebraicos pueden resolverlo de preferencia los
ms
representativos y cotidianos a los que se enfrente la física en el día a día, dando como resultado la efectiva utilización de aplicar estos problemas en forma de un sistema de ecuaciones usando la definición que nos da las leyes 0ircoff y convirtiéndolos en matrices para lue%o usar los métodos como %auss $ordn y dndonos como resultado los valores de cada variable utilizada y en consecuencia utilizar estos datos en el soft6are que esco%imos en %rupo para acer la representación en lo que llamaríamos realidad perceptual. / con ello comprobando nuestro objetivo que es utilizar eficazmente y de manera fcil el l%ebra lineal en la resolución de estos problemas físicos.
. CONCLUSIONES
U.. 7xiste una estreca relación entre el l%ebra lineal como los sistemas lineales de ecuaciones y con el planteamiento de cualquier problema de circuitos eléctricos donde se utilizan las leyes de 0ircoff y su respectiva resolución puede ser dada por estos métodos al%ebraicos.
U.1. 2prendimos la manera ms eficaz y fcil de resolver un problema utilizando el los conocimientos prcticos del l%ebra como alternativa de solución donde se puede ejemplificar mediante problemas reales y cotidianos a donde se puede dar una solución exacta.
U.3. Bomprender y aplicar los conocimientos del al%ebra para solucionar problemas que la realidad necesita resolver dndole un uso real a lo que se nos enseQa en las aulas de una universidad o escuela.
U.5. Bomprobar la veracidad de la eficacia de utilizar una ciencia como el l%ebra para la solución de problemas reales que se presentan el campo de la física mediante al%&n soft6are, entre al%uno de distintos pro%ramas informticos esco%imos uno llamado crocodile clips mostrndonos resultados favorables y exactos a nuestras necesidades.
