Péndulo
El péndulo es un sistema físico que puede oscilar bajo oscilar bajo la acción gravitatoria u otra característica física (elasticidad, por ejemplo) y que está configurado por una masa suspendida de un punto de un eje horizontal fijos mediante un hilo, una varilla, u otro dispositivo que sirve para medir el tiempo. Existen muy variados tipos de péndulos que, atendiendo a su configuración y usos, reciben los nombres apropiados: péndulo simple, péndulo compuesto, péndulo cicloidal, doble péndulo, péndulo de Foucault,péndulo Foucault ,péndulo de Newton, péndulo balístico, péndulo de torsión, péndulo esférico, etcétera. Sus usos son muy variados: medida del tiempo (reloj de péndulo, metrónomo,...), metrónomo, ...), medida de la intensidad de la gravedad, etc. Péndulo simple
El péndulo simple (también llamado péndulo matemático o péndulo ideal ) es un sistema idealizado constituido por una partícula de masa m que está suspendida de un punto fijo O mediante un hilo inextensible y sin peso. Naturalmente es imposible la realización práctica de un péndulo simple, pero si es accesible a la teoría. El péndulo simple o matemático se denomina así en contraposición a los péndulos reales, compuestos o físicos, únicos que pueden construirse.
Ecuación del movimiento Método de Newton
onsideremos un péndulo simple, como el representado en la Figura. Si desplazamos la partícula desde la posición de equilibrio hasta que el hilo forme un
ángulo Θ con la vertical, y luego la abandonamos partiendo del reposo, el péndulo
oscilará en un plano vertical bajo la acción de la gravedad. Las oscilaciones tendrán lugar entre las posiciones extremas Θ y -Θ, simétricas respecto a la vertical, a lo largo de un arco de circunferencia cuyo radio es la longitud, , del hilo. El movimiento es periódico, pero no podemos asegurar que sea armónico. Para determinar la naturaleza de las oscilaciones deberemos escribir la ecuación del movimiento de la partícula.
La partícula se mueve sobre un arco de circunferencia bajo la acción de dos fuerzas: su propio peso ( mg ) y la tensión del hilo ( N ), ), siendo la fuerza motriz la componente tangencial del peso. Aplicando la segunda ley de Newton obtenemos: siendo at, la aceleración tangencial y donde hemos incluido el signo negativo para manifestar que la fuerza tangencial tiene siempre sentido opuesto al desplazamiento (fuerza recuperadora). recuperadora) . Al tratarse tratarse de un movimiento circular, podemos poner
siendo
la aceleración angular, de modo que la ec. dif. del movimiento es:
Esta ec. dif. no corresponde a un movimiento armónico simple (m.a.s.) debido a la presencia de la función seno, de modo que podemos asegurar que el movimiento del péndulo simple no es armónico simple, en general. Método de Lagrange
El lagrangiano del sistema es
Donde es la elongación angular (ángulo que forma el hilo con la vertical) vertical) y es la longitud del hilo. Aplicando las ecuaciones de Lagrange se sigue
Y obtenemos la ecuación del movimiento es
De modo que la masa no interviene en el movimiento de un péndulo. Pequeñas oscilaciones
Si consideramos tan sólo oscilaciones de pequeña amplitud, de modo que el ángulo θ sea siempre suficientemente pequeño, entonces el valor del sen θ será muy próximo al valor de θ expresado en radianes (sen θ ≈ θ , para θ suficientemente pequeño), como podemos apreciar en la Tabla I, y la ec. dif. del movimiento se reduce a
Que es idéntica a la ec. dif. Correspondiente al m.a.s., refiriéndose ahora al movimiento angular en lugar de al movimiento rectilíneo, cuya solución es:
La partícula se mueve sobre un arco de circunferencia bajo la acción de dos fuerzas: su propio peso ( mg ) y la tensión del hilo ( N ), ), siendo la fuerza motriz la componente tangencial del peso. Aplicando la segunda ley de Newton obtenemos: siendo at, la aceleración tangencial y donde hemos incluido el signo negativo para manifestar que la fuerza tangencial tiene siempre sentido opuesto al desplazamiento (fuerza recuperadora). recuperadora) . Al tratarse tratarse de un movimiento circular, podemos poner
siendo
la aceleración angular, de modo que la ec. dif. del movimiento es:
Esta ec. dif. no corresponde a un movimiento armónico simple (m.a.s.) debido a la presencia de la función seno, de modo que podemos asegurar que el movimiento del péndulo simple no es armónico simple, en general. Método de Lagrange
El lagrangiano del sistema es
Donde es la elongación angular (ángulo que forma el hilo con la vertical) vertical) y es la longitud del hilo. Aplicando las ecuaciones de Lagrange se sigue
Y obtenemos la ecuación del movimiento es
De modo que la masa no interviene en el movimiento de un péndulo. Pequeñas oscilaciones
Si consideramos tan sólo oscilaciones de pequeña amplitud, de modo que el ángulo θ sea siempre suficientemente pequeño, entonces el valor del sen θ será muy próximo al valor de θ expresado en radianes (sen θ ≈ θ , para θ suficientemente pequeño), como podemos apreciar en la Tabla I, y la ec. dif. del movimiento se reduce a
Que es idéntica a la ec. dif. Correspondiente al m.a.s., refiriéndose ahora al movimiento angular en lugar de al movimiento rectilíneo, cuya solución es:
angular de las oscilaciones, a partir de la cual Siendo ω la frecuencia angular de determinamos el período de las mismas:
Las magnitudes y son dos constantes "arbitrarias" "arbitrarias " (determinadas por las condiciones iniciales) correspondientes a la amplitud angular y angular y a la fase inicial del movimiento. Ambas tienen dimensiones de ángulo plano. Comparación entre el valor de un ángulo (rad) y su seno. Θ(º) Θ(rad)
senΘ
dif. % Θ(º) Θ(rad)
senΘ
dif. %
0
0,00000 0,00000 0,00
15
0,26180 0,25882 1,15
2
0,03491 0,03490 0,02
20
0,34907 0,34202 2,06
5
0,08727 0,08716 0,13
25
0,43633 0,42262 3,25
10
0,17453 0,17365 0,51
30
0,52360 0,50000 4,72
Isocronismo
Obsérvese que el periodo del péndulo simple es independiente de la masa de la partícula suspendida y, también, de la amplitud de las oscilaciones, siempre que éstas sean suficientemente pequeñas como para que la aproximación senθ ≈ θ sea aceptable. Esta última propiedad, conocida como isocronismo de las pequeñas oscilaciones, fue descubierta por Galileo (1564-1642), hacia el año 1581, en la catedral de Pisa: "Un día en que asistía, algo distraído sin duda, a una ceremonia religiosa, fijó su mirada en una lámpara de bronce, obra maestra de Benvenuto Cellini, que, suspendida de una larga cuerda, oscilaba con lentitud ante el altar. Quizás, con los ojos fijos en aquel metrónomo improvisado, unió su voz a la de los celebrantes; la lámpara se detuvo poco a poco y, atento Galileo a sus últimos movimientos, observó que marcaba siempre el mismo compás" J. Bertrand: Galileo y sus trabajos Esta última circunstancia fue la que más atrajo la atención de Galileo; a pesar de que la amplitud de las oscilaciones se iba reduciendo, permanecía sensiblemente constante la duración de las mismas. Galileo repitió muchas veces el experimento y acabó por descubrir la relación existente entre dicha duración y la longitud de la cuerda que soportaba al peso oscilante. Más adelante, hacia el año 1673, Christian Huygens encontró la expresión del periodo correspondiente a las oscilaciones de pequeña amplitud, basando su demostración en las leyes de caída de los graves, según las había enunciado Galileo. Puesto que las pequeñas oscilaciones del péndulo son isócronas, resulta útil para la medida del tiempo (vide relojes de péndulo). péndulo) .
Oscilaciones de mayor amplitud
La integración de la ecuación del movimiento, sin la aproximación de pequeñas oscilaciones, es considerablemente más complicada e involucra integrales elípticas de primera especie, por lo que omitimos el desarrollo que llevaría a la siguiente solución:
Donde es la amplitud angular. Así pues, el periodo es función de la amplitud de las oscilaciones.
En la Figura hemos representado gráficamente la variación de T (en unidades de T0) en función de Θ, tomando un número creciente de términos en la expresión anterior. Se observará que el periodo T difiere significativamente del correspondiente a las oscilaciones de pequeña amplitud ( T 0) cuando Θ > 20º. Para
valores de Θ suficientemente pequeños, la serie converge muy rápidamente; en esas condiciones será suficiente tomar tan sólo el primer término correctivo e,
incluso, sustituir senΘ/2 por Θ/2, de modo que tendremos
Donde Θ se expresará en radianes. Esta aproximación resulta apropiada en gran parte de las situaciones que encontramos en la práctica; de hecho, la corrección que introduce el término Θ 2/16 representa menos de 0.2% para amplitudes inferiores a 10°. Para oscilaciones de pequeña amplitud, las expresiones anteriores se reducen a
Instrumento gravimétrico
El péndulo simple se utilizó en las primeras determinaciones precisas de la aceleración producida por la gravedad, debido a que tanto el periodo de las
oscilaciones como la longitud de la cuerda pueden determinarse con facilidad. Podemos expresar g en función de T y de :
Ejemplo: Un péndulo simple se usa para medir la aceleración de la gravedad,
usando T=2π√(1/g , el periodo T medido fue de (1.24±0.02) s. Y la longitud de (0.381±0.002) m. ¿Cuál es el valor resultante de g con 50% de incertidumbre
absoluta y relativa? T^2=4π l/g g=〖4π〗^2 l/T^2 A=4π^2 0.38/(1.24)^2 =15.641/1.5376=9.7821m/m^2 A=πr^2 ∆g=(∆l/l+2 ∆T/T)g ∆g=[(0.002/0.381)+2(0.02/1.24) ](9.7821) ∆g=0.36 g=9.78±0.36 m/s^2
Péndulo esférico
El péndulo esférico es un péndulo simple que no se mueve en un plano sino en el espacio. Introducción
Entendidos como un objeto ideal compuesto por una masa puntual m suspendida de un punto fijo O mediante un hílo inextensible y sin masa, el péndulo simple y el esférico son el mismo objeto. Cuando la velocidad inicial de la masa es un vector contenido en el plano determinado por la vertical y la posición inicial del hilo, entonces todo el movimiento se desarrolla en dicho plano y se habla de péndulo simple. Cuando la velocidad inicial no cumple la condición antedicha el movimiento tiene lugar en el espacio y se habla de péndulo esférico. Puesto que la longitud del hilo es constante el movimiento de la masa del péndulo simple tiene lugar en un arco de circunferencia simétrico con respecto a la vertical.1 Por la misma razón, en el péndulo esférico la posición de la masa está
determinada por los dos ángulos y de la figura, por lo que el movimiento tiene lugar en una superficie esférica y es un sistema con dos grados de libertad. Más aún, el movimiento de la masa está confinado a la porción de superficie esférica entre dos planos perpendiculares a la vertical. Fundamento teórico
Existen dos integrales o constantes de movimiento: la energía E y la componente del momento angular paralela al eje vertical M z. Lafunción lagrangiana viene dada por:
donde es el ángulo polar y es el ángulo que forma el hilo o barra del péndulo con la vertical. Las ecuaciones de movimiento, obtenidas introduciendo el lagrangiano anterior en las ecuaciones de Euler-Lagrange son:
Diagrama ilustrativo del péndulo esférico.
La segunda ecuación expresa la constancia de la componente Z del momento angular y lleva a la relación entre la velocidad de giro polar y el momento angular
Así, podemos reescribir la lagrangiana como:
de modo que el problema queda reducido a un problema unidimensional. Período
El movimiento de un péndulo esférico en general no es periódico, ya que resulta de la combinación de dos movimientos periódicos de períodos generalmente incomensurables. Sin embargo el movimiento resulta cuasiperiódico; esto es, observadas una posición y una velocidad en el movimiento, existe un tiempo T tal que el péndulo estará a una distancia tan pequeña como se desee de esa posición y tendrá una velocidad tan parecida como se quiera, pero sin repetirse exactamente. Dado que la región de movimiento es compacta, el conjunto de puntos de la trayectoria de un péndulo esférico constituye un conjunto denso sobre una área esférica comprendida entre dos casquetes esféricos. Solución de la ecuación de movimiento
Las ecuaciones de movimiento pueden expresarse en términos de integrales elípticas de primera especie y tercera especie:
Péndulo físico
Un péndulo físico o péndulo compuesto es cualquier cuerpo rígido que pueda oscilar libremente en el campo gravitatorio alrededor de un eje horizontal fijo, que no pasa por su centro de masa.
Deducción del periodo
El péndulo físico es un sistema con un sólo grado de libertad; el correspondiente a la rotación alrededor del eje fijo ZZ′ (Figura 1). La posición del péndulo físico queda determinada, en cualquier instante, por el ángulo θ que forma el plano
determinado por el eje de rotación (ZZ′) y el centro de gravedad (G) del péndulo con el plano vertical que pasa por el eje de rotación. Llamaremos
a la distancia del centro de gravedad (G) del péndulo al eje de
rotación ZZ′. Cuando el péndulo está desviado de su posición de equilibrio (estable) un ángulo , actúan sobre él dos fuerzas (
y
) cuyo momento resultante con respecto al eje ZZ′ es un vector dirigido a lo largo del eje de rotación
ZZ′, en el sentido negativo del mismo; i.e., (1) Si es
el momento de inercia del péndulo respecto al eje de suspensión ZZ′ y
llamamos a la aceleración angular del mismo, el teorema del momento angular nos permite escribir la ecuación diferencial del movimiento de rotación del péndulo: (2) que podemos escribir en la forma
(3) que es una ecuación diferencial de segundo orden, del mismo tipo que la que encontramos para el péndulo simple. En el caso de que la amplitud angular de las oscilaciones sea pequeña, podemos poner sen θ ≈ θ y la ecuación [3] adopta la forma
(4) que corresponde a un movimiento armónico simple.
El periodo de las oscilaciones es
(5)
Longitud reducida
Siempre es posible encontrar un péndulo simple cuyo periodo sea igual al de un péndulo físico dado; tal péndulo simple recibe el nombre de péndulo simple
equivalente y su longitud λ recibe el nombre de longitud reducida del péndulo físico. Utilizando la expresión del periodo del péndulo simple de longitud λ, podemos escribir
(6) y, por lo tanto, tenemos que (7) Así, en lo que concierne al periodo de las oscilaciones de un péndulo físico, la
masa del péndulo puede imaginarse concentrada en un punto (O′) cuya distancia al eje de suspensión es λ. Tal punto recibe el nombre de centro de oscilación. Todos los péndulos físicos que tengan la misma longitud reducida λ (respecto al eje de suspensión) oscilarán con la misma frecuencia; i.e., la frecuencia del péndulo simple equivalente, de longitud λ. Puntos conjugados
Es conveniente sustituir en la expresión [5] el valor del momento de inercia I O del péndulo respecto al eje de suspensión ZZ′ por el momento de inercia I G del cuerpo respecto a un eje paralelo al anterior que pase por el centro de gravedad del péndulo. Así, sirviéndonos del teorema de Steiner, y llamando K al radio de giro del cuerpo respecto a este último eje, podemos escribir
de modo que la expresión [5] se transforma en
(9)
En la Figura 2 hemos representado gráficamente la función T (h). Obtenemos una curva con dos ramas, que corresponden a colocar el eje de suspensión a un lado u otro del centro de gravedad del cuerpo. Como ambas ramas son simétricas respecto al eje vertical, en la práctica bastará con hacer observaciones a un sólo lado del c.d.g.. Como queda bien manifiesto en la representación gráfica de Figura 2, la función T (h) dada por [9], el periodo de las oscilaciones presenta un valor mínimo para un cierto valor de la distancia h existente entre el centro de gravedad y el eje de suspensión. A partir de la expresión [9] es fácil demostrar que el valor mínimo del periodo se presenta cuando h = K , esto es, cuando la distancia entre el c.d.g. y el eje de suspensión coincide con el radio de giro respecto a un eje que pasa por el c.d.g.. La gráfica de la Figura 2 también pone de manifiesto que para un valor del periodo T > T mín existen cuatro puntos (O,O′,Q,Q′) tales que al hacer pasar por ellos el eje de suspensión (en direcciones paralelas entre sí) las oscilaciones del péndulo físico tendrán el mismo periodo. De la simetría de la gráfica de la Figura 2 se deduce que los puntos O y Q, son equidistantes del centro de gravedad del cuerpo, y que lo mismo ocurre para los puntos O′ y Q′ . Además, dado que la
distancia que separa los puntos O y O′, esto es, OO′ = λ, es la misma que separa los puntos Q y Q′ (QQ′ = λ), decimos que los puntos O y O′ son conjugados entre sí; y lo mismo decimos de los puntos Q yy Q′. Veamos a que obedece tal denominación. Cuando el péndulo oscila alrededor de un eje horizontal que pasa por el punto O, dicho punto recibe el nombre de centro de suspensión , y el punto O′, que se encuentra a una distancia λ del punto O, recibe el nombre de centro de oscilación. El centro de oscilación recibe también el nombre de centro de percusión porque cuando se aplica a él una percusión (impulso producido por una fuerza de corta duración) su conjugado, esto es, el centro de suspensión, no acusa percusión alguna. El cuerpo tiende a girar alrededor del centro de suspensión aun cuando no pase por él ningún eje fijo.
Si ahora hacemos pasar el eje de suspensión por el punto O′, de modo q ue sea paralelo al anterior eje de suspensión, el punto O′ pasa a ser el punto de suspensión, en tanto que el punto O pasa a ser el centro de oscilación. Ambos puntos han permutado entre sí sus papeles; por eso se dice que son conjugados.
Lo mismo podemos decir para los puntos Q y Q′. Los resultados anteriores constituyen el llamado Teorema de Huygens (1629-1695), que podemos enunciar en la forma siguiente: La longitud reducida de un péndulo físico no varía cuando el centro de
oscilación O′ pasa a ser centro de suspensión (O), pues ambos puntos permutan entre sí sus papeles. El periodo del péndulo será el mismo en ambos casos.
Esta propiedad se aprovecha para la construcción del llamado péndulo reversible de Kater, instrumento que permite medir el valor de la aceleración gravitatoria con gran precisión. Demostración del Teorema de Huygens
Hemos demostrado el teorema de Huygens a partir de unas consideraciones semicualitativas acerca de la simetría de las dos ramas de la curva que representa a la función T (h). Veamos ahora una demostración analítica más rigurosa. Consideremos que el eje de suspensión del péndulo pase por el punto O, situado a una distancia h del centro de gravedad del cuerpo. Combinando las expresiones [7] y [8], la longitud reducida del péndulo, respecto a ese eje de suspensión, puede expresarse en la forma
(10) Ahora, hagamos pasar el eje de suspensión por otro punto, situado sobre la recta OG y que se encuentre a una distancia h′ del centro de gravedad de modo que el periodo de las oscilaciones sea el mismo que antes; esto equivale a decir que la longitud reducida del péndulo, respecto a este nuevo eje de suspensión, es la misma que anteriormente ( λ= λ′). Podemos escribir
(11) donde hemos hecho uso de la siguiente propiedad de las proporciones
}} y, por lo tanto,
(12) ecuación que tiene dos soluciones: 1. Puede ser h = h′; i.e., se trata del punto Q, situado al otro lado del centro de gravedad y a la misma distancia de éste que el punto O. 2. En el caso de que sea h ≠ h′, dividiendo por ( h-h′) ambos miembros de la igualdad [12] y teniendo en cuenta [10], nos quedará: (13)<
Correspondiendo la distancia h′ a la posición del punto O′, conjugado del O, que se encuentra situado al otro lado del centro de gravedad y de modo que la suma de distancias al mismo ( h+h′) es la longitud reducida ( λ) del péndulo. Péndulo cicloidal
Las oscilaciones del péndulo simple sólo son isócronas para pequeñas amplitudes. Sin embargo, existe un diseño especial en el que el período es independiente de la amplitud; se trata del péndulo cicloidal , llamado así porque está basado en una propiedad de la curva geométrica llamada cicloide. Historia
Fue a Huygens a quien correspondió las primicias de este descubrimiento: «El péndulo simple no puede ser considerado como una medida del tiempo segura y uniforme, porque las oscilaciones amplias tardan más tiempo que las de menor amplitud; con ayuda de la geometría he encontrado un método, hasta ahora desconocido, de suspender el péndulo; pues he investigado la curvatura de una determinada curva que se presta admirablemente para lograr la deseada uniformidad. Una vez que hube aplicado esta forma de suspensión a los relojes, su marcha se hizo tan pareja y segura, que después de numerosas experiencias sobre la tierra y sobre el agua, es indudable que estos relojes ofrecen la mayor seguridad a la astronomía y a la navegación. La línea mencionada es la misma que describe en el aire un clavo sujeto a una rueda cuando ésta avanza girando; los matemáticos la denominan cicloide, y ha sido cuidadosamente estudiada porque posee muchas otras propiedades; pero yo la he estudiado por su aplicación a la medida del tiempo ya mencionada, que descubrí mientras la estudiaba con interés puramente científico, sin sospechar el resultado.» Christian HUYGENS: Horologium oscillatorium (1673). Desarrollo teórico
Generación de la cicloide. La cicloide es la curva generada por un punto de una circunferencia que rueda sobre una línea recta. Si en un plano vertical construimos una trayectoria cicloidal , de base horizontal y con la concavidad dirigida hacia arriba, como se muestra en
la Figura, tal trayectoria es tautócrona para el punto C; i.e., el tiempo que empleará una partícula P en resbalar (bajo la acción de la gravedad) hasta llegar a la posición de equilibrio estable C es independiente de la posición inicial de la partícula sobre la trayectoria cicloidal. Las oscilaciones alrededor de la posición de equilibrio son rigurosamente isócronas en una trayectoria cicloidal como la anteriormente descrita, y el periodo de las oscilaciones, que es independiente de la amplitud de las mismas, viene dado por
(1) donde a es el radio de la circunferencia que genera la cicloide. Por consiguiente, el péndulo rigurosamente isócrono deberá ser tal que la masa pendular describa una trayectoria cicloidal. Realización del Péndulo de Huygens
Péndulo cicloidad según la construcción de Huygens. El péndulo cicloidal puede construirse (a la manera de Huygens) suspendiendo el hilo entre dos contornos sólidos que tienen la forma de arcos de cicloide tangentes en su punto de unión). Al oscilar el péndulo, el hilo se ciñe a uno u otro de esos dos contornos cicloidales, y la longitud efectiva del péndulo queda así disminuida en una proporción que depende de la amplitud de las oscilaciones. Huygens demostró que si la circunferencia que genera los dos contornos cicloidales tiene precisamente un radio que es la cuarta parte de la longitud del hilo de suspensión del péndulo ( l =4a) entonces la masa pendular describe un arco de cicloide cuya circunferencia generatriz tiene el mismo radio a. Un péndulo construido de acuerdo con estos principios es rigurosamente isócrono, y el periodo de sus oscilaciones es
(2)
Doble péndulo
En general, un doble péndulo es un sistema compuesto por dos péndulos, con el segundo colgando del extremo del primero. En el caso más simple, se trata de dos péndulos simples, con el inferior colgando de la masa pendular del superior. Normalmente se sobreentiende que nos referimos a un doble péndulo plano , con dos péndulos planos coplanarios. Este sistema físico posee dos grados de libertad y exhibe un rico comportamiento dinámico. Su movimiento está gobernado por dos ecuaciones diferenciales ordinarias acopladas. Por encima de cierta energía, su movimiento es caótico. Análisis del movimiento del péndulo doble plano
Un ejemplo de doble péndulo. Cinemática
En la cinemática sólo estamos interesados en encontrar las expresiones de la posición, la velocidad, la aceleración y en términos de las variables que especifican el estado del doble péndulo, sin interesarnos por las fuerzas actuantes. Nos serviremos de las siguientes coordenadas:
x,y = posición horizontal y vertical de la masa de un péndulo θ = ángulo de un péndulo respecto a la vertical (0 = vertical hacia abajo, antihorario es positivo) l = longitud de la varilla (constante)
Asociaremos al péndulo superior el subíndice 1, y al de abajo el subíndice 2. Pondremos el origen de coordenadas en el punto de pivote del péndulo superior. El sentido de las ordenadas crecientes se toma hacia arriba. A partir de consideraciones trigonométricas escribimos las expresiones de las posiciones x 1, y1, x2, y2 en términos de los ángulos θ 1, θ2:
Derivando con respecto al tiempo obtenemos:
Y derivando una segunda vez:
Fuerzas
Definimos las variables:
T = tensión en la varilla M = masa del péndulo g = aceleración de la gravedad
Usaremos la ley de Newton , escribiendo por separado las ecuaciones de las componentes verticales y horizontales de las fuerzas. Sobre la masa actúan la tensión en la parte superior de la varilla en la parte inferior de la varilla , y la gravedad -m1g :
Sobre la masa
, actúan la tensión
, la tensión
y la gravedad –m2 g :
Ecuaciones de movimiento
A partir de las ecuaciones anteriores, tras realizar numerosas operaciones algebraicas con la finalidad de encontrar las expresiones de de , doble:
,
,
,
en términos
, llegaríamos a las ecuaciones de movimiento para el péndulo
Energía
La energía cinética viene expresada por:
La energía potencial : . Por tanto, el movimiento se regirá por la lagrangiana
Ecuaciones de movimiento de Lagrange
Usando las ecuaciones de Lagrange en este caso particular son:
Calculando explícitamente las derivadas de la expresión anterior se llega a:
Estas son las ecuaciones de Lagrange para un péndulo doble en el que hemos escogido como coordenadas generalizadas las polares y en el que hay dos ligaduras( y constantes) Péndulo de Foucault
Un péndulo de Foucault es un péndulo esférico que puede oscilar libremente en cualquier plano vertical y capaz de oscilar durante mucho tiempo (horas). Se utiliza para demostrar la rotación de la Tierra. Se llama así en honor de su inventor, Léon Foucault.
Descripción y fundamento
Esquema de un dispositivo para ilustrar el fundamento del péndulo de Foucault Consideremos en primer lugar el dispositivo que mostramos en la figura. Si hacemos girar la plataforma mientras el péndulo está oscilando, observaremos que el plano de las oscilaciones permanece inalterado con respecto a un observador inercial. Este efecto se debe a la inercia de la masa pendular. Puesto que las dos fuerzas que actúan sobre ella (su peso y la tensión del hilo) están contenidas en el plano de las oscilaciones, éstas, una vez iniciadas, tendrán lugar siempre en un mismo plano. Para cambiar el plano de las oscilaciones se requeriría un componente de fuerza normal a dicho plano. Por el contrario, resulta obvio que el plano de las oscilaciones no permanecerá inalterado para un observador situado sobre la plataforma giratoria, que será, evidentemente, un observador no inercial; para este observador, el plano de las oscilaciones efectuará una precesiónalrededor del eje vertical (eje de rotación) en sentido contrario al de giro de la plataforma y con la misma celeridad angular (de precesión). Esta propiedad de la inalterabilidad del plano de las oscilaciones del péndulo fue utilizada por el físico francés Bernard León Foucault (1819-68) para comprobar el movimiento de rotación de la Tierra en torno a su eje y demostrar que la Tierra no constituye una referencial inercial. Foucault realizó públicamente su experiencia en 1851, bajo la cúpula del Panteón de París, utilizando una masa de 28 kg suspendida de un hilo de 70 m de longitud. El periodo de un péndulo de esa longitud es de unos 17 s. La suspensión del extremo superior del hilo permitía al péndulo oscilar con igual libertad en todas las direcciones. Alrededor del punto del suelo que estaba directamente debajo del punto de suspensión se dispuso una balsa circular, llena de arena, de unos 3 m de radio, de modo que una aguja metálica colocada en la parte inferior de la masa pendular barría la arena en cada oscilación. Se vio con toda claridad que, en oscilaciones sucesivas, el plano de oscilación del péndulo rotaba en el sentido de las agujas del reloj. En una hora el
plano de oscilación del péndulo giraba unos 11°, y la circunferencia se completaba en algo más de 32 horas. ¿Por qué gira el plano de oscilación del péndulo? Es fácil comprender que, si la experiencia se hubiera realizado en el Polo Norte, resultaría evidente que el plano de oscilación del péndulo permanecería fijo en un referencial inercial, mientras que la Tierra giraría bajo el péndulo a razón de una vuelta cada 24 horas. Por el contrario, un observador situado "sobre" la Tierra vería girar el plano de oscilación del péndulo en sentido contrario al de la rotación terrestre, dando una vuelta cada 24 horas. La situación es muy diferente y mucho más difícil de analizar cuando abandonamos el Polo Norte y nos situamos en un lugar de la Tierra de latitud geográfica λ. Entonces, como ya hemos visto al describir la experiencia de Foucault, el tiempo empleado por el plano de oscilación del péndulo para girar 360° es mayor del necesario en el Polo. Cálculos cuidadosos permiten relacionar la velocidad angular Ω de rotación del plano de las oscilaciones del péndulo con la velocidad angular ω de rotación de la Tierra: (1) donde (90°- λ′) es el ángulo formado por la vertical del lugar y el eje de rotación de la Tierra. La aceleración gravitatoria aparente g* tiene la dirección de la vertical del lugar y como g* sólo está ligeramente desviada con respecto a g (0°6’, como
máximo), el ángulo λ′ es muy aproximadamente igual a la latitud geográfica del lugar, esto es, λ≈λ′. Obviamente, el plano de oscilación del péndulo precesa en el
referencial del laboratorio con una velocidad angular Ω dada por la expresión (1). En el hemisferio Norte la precesión tiene lugar en el sentido horario (mirando hacia abajo). Podemos interpretar del modo siguiente el resultado expresado por (1):
en un lugar de la Tierra, de latitud λ, el suelo se comporta como una plataforma giratoria con una velocidad angular Ω = ω z = ω sen λ (componente vertical de la velocidad angular de la Tierra) de modo que el movimiento de precesión del péndulo de Foucault es el que corresponde a esa velocidad angular. De este modo, el tiempo empleado por el plano de oscilación del péndulo en dar una vuelta completa es (2) y el ángulo girado en una hora
es función de la latitud del lugar:
(3) La experiencia del péndulo de Foucault es una prueba efectiva de la rotación de la Tierra. Aun si la Tierra estuviese y hubiese estado siempre cubierta de nubes, la experiencia de Foucault nos permitiría demostrar que la Tierra está girando. Igualmente, este péndulo permite determinar la latitud del lugar sin recurrir a observaciones astronómicas.
Péndulos de Foucault relevantes
Existe un péndulo de Foucault en la gran sala de entrada del edificio de las Naciones Unidas en Nueva York, y es frecuente encontrarlo en los grandes Museos de Ciencias. Panteón de París Su importancia histórica radica en que con él se hizo la primera demostración pública de la rotación de la Tierra, en 1851. El péndulo se fijó a la cúpula del Panteón de París; medía 67 m y llevaba una masa de 28 kg. Una vez lanzado, el péndulo oscilaba durante 6 h. El periodo es de 16,5 s; el péndulo se desviaba 11° por hora. Su ciclo de giro completo dura algo más de 32 horas. El 6 de abril de 2010 ,3 el cable del péndulo se rompió, causando un daño irreparable al péndulo y al suelo de mármol del Museo de Artes y Oficios, donde se exhibía.4
El Péndulo de Foucault en el Panteón de París. Museo de la Ciencia Parque de Santa Margarita. La Coruña
El Museo de la Ciencia en la Coruña tiene un péndulo de Foucault de 5 pisos de altura. Y es de los más antiguos de España. Péndulo de Newton
El péndulo de Newton o cuna de Newton es un dispositivo que demuestra la conservación de la energía y de la cantidad de movimiento. Está constituido por un conjunto de péndulos idénticos (normalmente 5) colocados de tal modo que las bolas se encuentran perfectamente alineadas horizontalmente y justamente en contacto con sus adyacentes cuando están en reposo. Cada bola está suspendida de un marco por medio de dos hilos de igual longitud, inclinados al mismo ángulo en sentido contrario el uno con el otro. Esta disposición de los hilos de suspensión permite restringir el movimiento de las bolas en un mismo plano vertical. El péndulo de Newton ha sido un popular juguete de escritorio desde su invención, nombrado y producido en 1967 por el actor inglés Simon Prebble. En un principio se vendía una versión en madera por Harrods de Londres y luego se diseñó una versión cromada creada por el escultor y luego director de cine Richard Loncraine. El péndulo de Newton más grande del mundo fue diseñado por Chris Boden y es propiedad de The Geek Group y se encuentra en Kalamazoo, Michigan. Se encuentra en exhibición pública y es utilizado para demostraciones tecnológicas y científicas. Consiste en un conjunto de 20 esferas idénticas con un peso de 6,8
kilogramos (15 libras). Las esferas están suspendidas de cables de metal apuntalados al techo. Los cables poseen una longitud de 6,1 metros (20 pies) y las esferas cuelgan a 1 metro (3 pies) del suelo. Péndulo balístico
Péndulo balístico. Un péndulo balístico es un dispositivo que permite determinar la velocidad de un proyectil. Este péndulo está constituido por un bloque grande de madera, de masa M , suspendido mediante dos hilos verticales, como se ilustra en la figura. El proyectil, de masa m, cuya velocidad v se quiere determinar, se dispara horizontalmente de modo que choque y quede incrustado en el bloque de madera. Si el tiempo que emplea el proyectil en quedar detenido en el interior del bloque de madera es pequeño en comparación con el período de oscilación del péndulo (bastará con que los hilos de suspensión sean suficientemente largos), los hilos de suspensión permanecerán casi verticales durante la colisión. Supongamos que el centro de masa del bloque asciende a una altura h después de la colisión. Entonces, conocidos las masas del proyectil y del bloque y el ascenso de este después del choque, la velocidad del proyectil viene dada por
(1) Fundamento físico
Durante la colisión o choque se conserva la cantidad de movimiento o momento lineal del sistema, de modo que podemos escribir: (2) Después de la colisión, en el supuesto de que ángulo máximo de desviación del péndulo no supere los 90º, el principio de conservación de la energía nos permite escribir:
(3) Resolviendo el sistema de ecuaciones (2) y (3) con respecto a v , obtenemos fácilmente el resultado expresado en (1).
Péndulo de torsión
El péndulo de torsión consiste en un hilo o alambre de sección recta circular suspendido verticalmente, con su extremo superior fijo y de cuyo extremo inferior se cuelga un cuerpo de momento de inercia I conocido o fácil de calcular (disco o cilindro). Cualquier movimiento puede descomponerse como combinación de movimientos lineales y de rotación. Determinación del periodo de las oscilaciones
Péndulo de torsión sencillo para demostraciones en el laboratorio Al aplicar un momento torsional M en el extremo inferior del hilo, éste experimenta una deformación de torsión. Dentro de los límites de validez de la ley de Hooke, el ángulo de torsión φ es directamente proporcional al momento torsional M aplicado, de modo que (1) donde τ es el coeficiente de torsión del hilo o alambre de suspensión, cuyo valor depende de su forma y dimensiones y de la naturaleza del material. Para el caso de un hilo o alambre es
(2) siendo D el diámetro del alambre, l su longitud y G el módulo de rigidez del material que lo constituye.
Debido a la elasticidad del hilo (rigidez), aparecerá un momento recuperador igual y opuesto al momento torsional aplicado; cuando se haga desaparecer el momento torsional aplicado, el sistema se encontrará en las condiciones precisas para iniciar un movimiento oscilatorio de torsión, concomitante con las oscilaciones de rotación de la masa suspendida del hilo o alambre. Igualando el momento recuperador - τφ al producto del momento de inercia I del sistema por la aceleración angular α =d2φ/dt 2, tenemos la ecuación diferencial del movimiento de rotación: (3) que es formalmente idéntica a la ec. dif. correspondiente a un movimiento armónico simple. Así pues, las oscilaciones del péndulo de torsión son armónicas, y la frecuencia angular y el período de las mismas son
(4) NOTA: El mecanismo de los relojes de pulsera mecánicos, accionado mediante un resorte espiral, tienen un periodo de oscilación que puede calcularse mediante la fórmula anterior. El reloj está regulado mediante el ajuste del momento de inercia de la rueda de inercia (mediante unos tornillos de la rueda de inercia) y de forma más precisa mediante el cambio del coeficiente de torsión . Usos y aplicaciones
El péndulo de torsión constituye el fundamento de la balanza de torsión y de un buen número de dispositivos y mecanismos. Medida de módulo de rigidez
Mediante la determinación precisa del período de oscilación del péndulo de torsión podemos calcular el valor del coeficiente de torsión τ de la probeta, y a continuación el valor del módulo de rigidez G del material ensayado. Medida de momentos de inercia
Añadiendo al cuerpo suspendido otro cuerpo de momento de inercia desconocido , el nuevo periodo de oscilación por torsión será:
(5) de modo que eliminando
entre las ecuaciones (4) y (5) obtenemos
(6) que nos permite calcular el momento de inercia del cuerpo añadido.
Péndulo de Pohl
Péndulo de Pohl para demostraciones de oscilaciones forzadas y amortiguadas y resonancias. Un volante de inercia (2) está acoplado a un resorte espiral (5) y, a través de éste, a una estimulación variable (motor)(1). El amortiguamiento está controlado por un freno electromágnético (4).
El péndulo de Pohl es un péndulo de torsión constituido por un volante o disco metálico (v.g., cobre) que puede rotar alrededor de un eje y que, mediante un resorte espiral, recupera su posición de equilibrio, oscilando alrededor de ésta. La idea original se debe al físico alemán Robert Wichard Pohl Frecuencia y periodo de las oscilaciones
Puesto que el péndulo de Pohl es una variante del péndulo de torsión, lafrecuencia angular y período de sus oscilaciones libres vienen dados por las mismas expresiones; esto es,
donde es el coeficiente de torsión del resorte espiral, cuyo valor depende de su forma y dimensiones y de la naturaleza del material e es el momento de inercia del volante. Utilidades y usos
El mecanismo de los relojes de pulsera mecánicos, accionado mediante un resorte espiral, tienen un periodo de oscilación que puede calcularse mediante la fórmula anterior. El reloj está regulado mediante el ajuste del momento de inercia de la rueda de o volante de inercia (mendiante unos tornillos) y de forma más precisa mediante el cambio del coeficiente de torsión del resorte. Péndulo cónico
El péndulo cónico está constituido por un cuerpo pesado de pequeñas dimensiones (puntual, idealmente) suspendido de un punto fijo mediante un hilo inextensible y de masa despreciable. Su construcción es la misma que la de un péndulo simple, pero, a diferencia de éste, el péndulo cónico no oscila, sino que la masa pendular describe una trayectoria circular en un plano horizontal con aceleración constante. Su nombre proviene del hecho de que el hilo traza una superficie cónica. El péndulo cónico es un caso particular del péndulo esférico. En concreto es un péndulo esférico en el que el vector velocidad (inicial) es perpendicular al plano determinado por la vertical y el hilo. El científico inglés Robert Hooke fue el primero en estudiar las características de este péndulo, en 1660.
Péndulo coníco. Análisis del movimiento
Consideremos un péndulo cónico consistente en una pequeña esfera de masa m que se mueve sin fricción en una circunferencia horizontal con una celeridad constante v , suspendida de un hilo de longitud L que forma un ángulo constante θ con la vertical. Sobre la masa m actúan dos fuerzas: su propio peso, mg , y la tensión del hilo, T . La componente horizontal de la tensión del hilo proporciona la aceleración centrípeta, , asociada con el movimiento circular. La componente vertical de la tensión se compensa exactamente con el peso de la masa m. La aplicación de la segunda ley de Newton en las direcciones horizontal y vertical nos permite escribir:
(1) (2) Dividiendo miembro a miembros estas dos ecuaciones, eliminamos T y m, resultando:
(3) Puesto que la celeridad v es constante, puede expresarse en función del tiempo
requerido para realizar una revolución completa o periodo de revolución,
(4) y sustituyendo en la ecuación (3), después de fáciles operaciones, obtenemos:
(5) En la ejecución práctica de la experiencia, r varía y no es tan fácil de medir como la longitud constante L del hilo. Recurriendo a la relación trigonométria entre r , h, y L, esto es, , la relación (5) se escribe en la forma:
(6) Para pequeños ángulos será cos( θ ) ≈ 1 y el periodo de revolución del péndulo cónico resulta ser casi igual al periodo de oscilación de lpéndulo simple de la misma longitud. Además, para pequeños ángulos, el periodo de revolución es aproximadamente independiente del valor del ángulo θ , lo que significa que, a pesar de que el ángulo vaya disminuyendo (por fricción con el aire, por ejemplo), el periodo permanece prácticamente constante. Esta propiedad, llamada isocronismo, la poseen también los péndulos ordinarios.
Péndulo simple equivalente
Es siempre posible encontrar un péndulo simple cuyo periodo sea igual al de un péndulo físico o compuesto dado; tal péndulo simple recibe el nombre de péndulo simple equivalente y su longitud λ recibe el nombre de longitud reducida del péndulo físico.
Deducción de la longitud reducida
Figura 1. Péndulo físico.. Si llamamos h a la distancia del centro de gravedad (G) del péndulo al eje de suspensión ZZ′ y es I O el momento de inercia del péndulo respecto a dicho eje, el periodo de las oscilaciones del Péndulo físico o compuesto, es
La expresión del periodo del péndulo simple de longitud λ es
Igualando ambas expresiones obtenemos
Así, en lo que concierne al periodo de las oscilaciones de un péndulo físico, la
masa del péndulo puede imaginarse concentrada en un punto (O′) cuya distancia al eje de suspensión es λ. Tal punto recibe el nombre de centro de oscilación. Todos los péndulos físicos que tengan la misma longitud reducida λ (respecto al eje de suspensión) oscilarán con la misma frecuencia; i.e., la frecuencia del péndulo simple equivalente, de longitud λ. Reloj de péndulo
Un reloj de péndulo es un reloj que emplea un péndulo (un peso que oscila) como su manera de medir el paso del tiempo. La ventaja del uso de un péndulo es que es un oscilador armónico. Su frecuencia de oscilación depende tan solo de su longitud, no de la amplitud de oscilación ni de su masa, con lo cual, para cada
longitud de cuerda el periodo con el que oscila es constante. Desde su invención en 1656 por Christiaan Huygens hasta la década de 1930, el reloj de péndulo era el aparato más preciso para medir el tiempo. Un reloj de este tipo debe de estar estacionario para funcionar. Cualquier movimiento o aceleración afectarán el movimiento del péndulo provocando imprecisiones, así que para relojes móviles o portables se han requerido otros mecanismos. Actualmente los relojes de péndulo tienen un valor fundamentalmente decorativo o como antigüedad. El escape más corriente en estos relojes es el llamado de áncora de Graham. Va montada sobre un eje de giro central que comunica mediante una varilla con el péndulo. En los relojes astronómicos modernos se emplea mucho el trinquete de péndulo de Riefler, que tiene la ventaja de oscilar el péndulo con absoluta libertad e independencia del escape. El escape de Deninson se compone de un péndulo en cuya parte inferior tiene una caja de forma especial. El escape de Macdowall se compone de un péndulo que tiene en su parte inferior un ensanchamiento o lenteja plana con un orificio. Es bastante frecuente que muchos relojes de péndulo lleven incorporada una sonería, la cual puede hacer que el reloj dé campanadas cada hora (tantas como la hora que corresponda, algunos repitiendo las campanadas al cabo de uno o dos minutos) y, en algunos relojes, que además toquen melodías cada cuarto de hora (en este caso se trata de un reloj de carillón), las más frecuentes son las melodías de Westminster, Saint Michael y Whittington. En este caso, se desaconseja colocar estos relojes cerca de dormitorios o en los propios dormitorios, a no ser que se pueda silenciar la sonería.
Maquinaria del Reloj Ansonia modelo: C.1904.
Reloj Ansonia modelo: C.1904, santiago, color caoba.
Reloj de péndulo. Ley del péndulo
Consideremos un péndulo cuyo brazo mide l, en el campo gravitacional de intensidad g (usualmente: 9,81 m.s -2), y sujeto a pequeñasoscilaciones. El período T de oscilación del péndulo es dado por la fórmula:
Prueba
Sea θ el ángulo en radianes que hace el brazo con la vertical y m la masa del péndulo, al extremo de su brazo, que se mueve con la velocidad : v = l·θ'.
La energía cinética del péndulo es : E c = m·v2/2 = ml2θ'2/2. Se puede tomar su energía potencial igual a: E p = - m·g·l·cos θ Este sistema no pierde energía, por lo tanto E c + Ep es constante (1). Al derivar (1) se obtiene: m·l 2·θ'·θ" + m·g·l·θ'·sen θ = 0 (2).
Se puede simplificar (2) por m·l (no nulos) y por θ' (no idénticamente nulo), lo que da:
l·θ" + g·sen θ = 0 (3). Como se supone que θ es siempre pequeño, se puede remplazar sen θ por θ cometiendo un error del orden de θ 3 (porque sin θ = θ + O(θ 3)). Entonces (3) equivale a:
l·θ" + g·θ = 0 o sea θ" = -(g/l)·θ (4) Un movimiento oscilatorio sigue la ley θ = θ M·sen (ω·t + φ) lo que implica que θ" = - ω2·θ. (5) (ω es la velociad angular de la ley y θ M el ángulo máximo) Identificando (4) y (5) se obtiene ω 2 = g/l, es decir ω= √(g/l). Concluimos recordando que T = 2π/ω.
Leyes de los péndulos 1) Ley de las masas
Suspendamos de un soporte (por ejemplo: del dintel de una puerta) tres hilos de coser de igual longitud y en sus extremos atemos sendos objetos de masas y sustancias diferentes. Por ejemplo: una piedra, un trozo de hierro y un corcho. Saquémoslo del reposo simultáneamente. Verificaremos que todos tardan el
mismo tiempo en cumplir las oscilaciones, es decir, que todos “van y vienen” simultáneamente. Esto nos permite enunciar la ley de las masas:
LEY DE MASAS: Las tres más de la figura son distintas entre sí, pero el periodo (T) de oscilación es el mismo. (T1=T2=T3) Los tiempos de oscilación de varios péndulos de igual longitud son independientes de sus masas y de su naturaleza, o también El tiempo de oscilación de un péndulo es independiente de su masa y de su naturaleza. Ley del Isócrono: Dispongamos dos de los péndulos empleados en el experimento anterior. Separémolos de sus posiciones de equilibrio, de tal modo que los ángulos de amplitud sean distintos (pero no mayores de 6 o 7 grados).
Dejémolos libres: comienzan a oscilar, y notaremos que, también en este caso, los
péndulos “van y vienen” al mismo tiempo. De esto surge la llamada Ley del isocronismo (iguales tiempos):
Para peq ue ñ os áng ulo s de am pl itu d, los tiempos de oscilación de dos péndulos de igual longitud son independientes de las amplitudes, o también: El tiempo de oscilación de un péndulo es independiente de la amplitud (o sea, las oscilaciones de pequeña amplitud son isócronas).
La comprobación de esta ley exige que los pendulos tengan la misma longitud para determinar que en efecto los péndulos son isocronos*, bastarà verificar que pasan simultáneamente por la posiciòn de equilibrio. Se
llegara notar que las amplitudes de algunos de ellos disminuyen mas que las de otros, pero observaremos que aquella situaciòn —el isocronismo— subsiste. Si disponemos de un buen cronometro, podemos aun mejorar los resultados de esta experimentaciòn. Procedemos a tomar los tiempos empleados por cada uno, para 10 o 100 oscilaciones. Dividiendo esos tiempos por el número de oscilaciones obtendremos el de una sola (en casos de mucha precisiòn se llegan a establecer tiempos para 1.000, lo que reduce el error por cada oscilaciòn De este modo puede verificarse que en rea1id~ se cumple la ley. (*) lsòcronos tiempos iguales. 2) Ley de las longitudes:
Suspendamos ahora tres péndulos cuyas longitudes sean: Péndulo A Péndulo B = Péndulo C = (90 cm) = 9 dm.
= (40
(10cm) cm)
1 4
dm. dm.
Procedamos a sacarlos 1) El de 2) El de 1 dm. y el de 9dm.
del 1
reposo
en
el
Observaremos entonces a) El de menor longitud va más ligero que el otro, o sea: tiempo de oscilación y a mayor longitud mayor b) Mientras el de 4 dm. cumple una oscilación, el oscilaciones. c) Mientras el de 9 dm. cumple una oscilación, tres oscilaciones.
siguiente orden: dm. y el de 4dm.
que:
“a menor longitud menor tiempo de oscilación”.
de 1 dm. cumple dos el
de
1
dm. cumple
Esta circunstancia ha permitido establecer la siguiente ley de las longitudes: Los tiempos de oscilación (T) de dos péndulos de distinta longitud (en el mismo lugar de la Tierra), son directamente proporcionales a las raíces cuadradas de sus longitudes.
En símbolos
T1 y l1 y l2 : longitudes.
T2:
Para nuestro T1= 1 oscilación T2 = 2 oscilaciones y l2 =4 dm.
tiempos
de
caso
oscilación;
es: y l1= 1dm
luego:
Osea: 1/2=1/2
Ahora T1=1 oscilación T3=3 oscilaciones y l3=9 luego:
para: y l1=1
Osea: 1/3=1/3 3) Ley de las aceleraciones de las gravedades:
Al estudiar el fenómeno de la oscilación dejamos aclarado que la acción gravitatoria tiende a hacer parar el péndulo, pues esa es la posición más cercana a la Tierra. Significa esto, en principio, que la aceleración de la gravedad ejerce una acción primordial que evidentemente debe modificar el tiempo de oscilación del péndulo. Si tenemos presente que la aceleración de la gravedad varía con la latitud del lugar, resultará que los tiempos de oscilación han de sufrir variaciones según el lugar de la Tierra. En efecto, al experimentar con un mismo péndulo en distintos lugares de la Tierra (gravedad distinta) se pudo comprobar que la acción de la aceleración de la gravedad modifica el tiempo de oscilación del péndulo. Por ejemplo: si en Buenos Aires el tiempo de oscilación es T1, y la gravedad g1, en Río de Janeiro el tiempo de oscilación es T2 y la gravedad g2, se verifica la siguiente proporcionalidad:
Repitiendo los experimentos para lugares de distinta latitud (por tanto, distinta gravedad) se puede verificar proporcionalidad semejante. De lo cual surge el siguiente enunciado de la Ley de las aceleraciones de la gravedad: Los tiempos de oscilación de un mismo péndulo en distintos lugares de la Tierra son inversamente proporcionales a las raíces cuadradas de las aceleraciones de la gravedad. Fórmula del tiempo de oscilación del péndulo:
Para poder obtener el tiempo de oscilación de un péndulo se aplica la siguiente expresión:
t: tiempo l: longitud g: aceleración de la gravedad.
de de
oscilación; péndulo;
que equivale al período o tiempo de oscilación completa. Si fuera el correspondiente para una oscilación simple, aplicamos:
Esta fórmula condensa en sí las cuatro leyes del péndulo. En efecto, observamos: 1) En esa expresión no figura la masa m del péndulo, por lo que “el tiempo de
oscilación es independiente de la masa”.
2) Como tampoco figura el ángulo de amplitud, “el tiempo de oscilación es
independiente de la amplitud”.
3) La 3ra. y 4ta. leyes están incluidas en el factor:
,es decir: "los tiempos de oscilación son directamente proporcionales a las raíces cuadradas de las longitudes e inversamente proporcionales a la de las
aceleraciones de las gravedades”.
Fuente de datos
http://es.wikipedia.org/wiki/P%C3%A9ndulo http://es.wikipedia.org/wiki/P%C3%A9ndulo_simple
