Universidad Nacional de Ingeniería Facultad de ingeniería Civil
Curso:
Matemática II
Profesor: ASTETE CHUQUICHAICO ROLANDO GANDHI
Integrantes:
Iparraguirre Murrieta Cristian Miguel
Reyes de la Cruz Adolfo A dolfo Rafael
2018-1 Lima- Perú
SERIES DE POTENCIAS Una serie de potencias es aquella que tiene la forma:
n
c x
n
n
2
3
c0 c1 x c2 x c3 x
0
en donde x es una variable y los c n son constantes llamadas coeficientes de la serie. De una manera más general, la serie de la forma:
n
c
( x a) c0 c1 ( x a) c2 ( x a ) 2 c3 ( x a)3 n
n
0
se llama serie de potencias en (x-a), o serie de potencias centrada en a. Ejemplo: La serie:
n
x
n
2
3
1 x x x
0
es una serie de potencias con c n=1 para toda n. Esta serie es una serie geométrica q ue converge si -1
n
x
n
2
3
1 x x x
0
1 1 x
SERIES DE TAYLOR Y DE MACLAURIN Supongamos que f es cualquier función representable mediante una serie de potencias:
f ( x) c0 c1 ( x a) c2 ( x a) 2 c3 ( x a)3 c4 ( x a) 4 Es posible verificar a partir de ello, que:
f ´( x) c1 2c2 ( x a) 3c3 ( x a ) 2 4c4 ( x a)3 f ´´( x) 2c2 2 * 3c3 ( x a) 3 * 4c4 ( x a) 2
f ´´´( x) 2 * 3c3 2 * 3 * 4c4 ( x a) 3 * 4 * 5c5 ( x a) 2 Si continuamos derivando y evaluando para x=a, podemos llegar a lo siguiente:
f ( n ) ( a)
n!cn
Al despejar el valor de c n, el resultado es:
cn
f ( n ) ( a)
n!
Esta fórmula es válida aún para n=0 si adoptamos las convenciones de que 0!=1 y que f (0)=f. De esta manera demostramos el siguiente teorema: Si f tiene una representación (desarrollo) en forma de serie de potencias en a, esto es:
f ( x) cn ( x a) n n 0
los coeficientes están expresados por la fórmula:
cn
f ( n ) ( a)
n!
SERIE DE TAYLOR
f ( n) (a) f ( x) ( x a)n n! n 0
f (a)
f ´(a) 1!
( x a )
f ´´(a) 2!
( x a) 2
f ´´´(a) 3!
( x a)3
SERIE DE MACLAURIN En el caso especial de que a=0, la serie de Taylor se transforma en:
f ( x) n 0
f ( n) (0) n!
( x) n f (0)
f ´(0) 1!
( x)
f ´´(0) 2!
Esta serie recibe el nombre de serie de Maclaurin.
( x) 2
f ´´´(0) 3!
( x) 3
Ejemplo: En la teoría especial de Einstein, la masa de un objeto se mueve a la velocidad v es:
