IME – Física
1998
FÍSICA 1997 01- Na figura a seguir os objetos A e B pesam, respectivamente, 40 N e 30 N, e estão apoiados sobre planos lisos, ligados entre si por uma corda inextensível, sem peso, que passa por uma polia sem atrito. Determinar o ângulo
θ e a tensão
A 30º
B
θ
na corda quando houver equilíbrio.
Resolução: As componentes dos pesos paralelos às superfícies inclinadas devem ser iguais em módulo. PA.sen 30º = P B.sen θ
θ = arc sen (2/3).
40.0,5 = 30.sen
θ
sen θ = 20/30 = 2/3
T = PA.sen 30º = 40.0,5 = 20 N.
Resposta:- θ = arc sen (2/3) e T = 20 N. -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------02- Entre duas placas metálicas e paralelas e que constituem um capacitor de capacitância C = 0,08 µF, coloca-se esticado um fio de náilon que vibra na
P1
P2
freqüência fundamental f 1 = 100 Hz. Retira-se o fio, altera-se a distância entre as placas e coloca-se entre elas um outro fio de náilon, com as mesmas propriedades físicas do primeiro, porém de comprimento tal que, agora, a freqüência fundamental de vibração seja f 2 = 250 Hz. Sabendo-se que as placas permanecem sempre carregadas com Q = 2
µC, determine a tensão elétrica entre
elas na segunda distância da experiência.
Resolução:
A capacitância capacitância é dada dada por C =
∈0A/d1. Para a freqüência fundamental o comprimento da
corda é (1/2) comprimento de onda. Portanto, d 1 = (1/2)λ1 = (1/2).v/f 1 = v/2f 1 . Na segunda experiência d 2 = v/2f 2. Tem-se ainda que C 1 /C2 = (∈0A/d1)/(∈0A/d2)
C1 /C2 = d2 /d1 = (v/2f 2)/(v/2f 1) = f 1 /f 2
0,08/C2 = 100/250
C2 = 0,08.250/100 = 0,02 µF.
Nesta segunda distância, V = Q/C 2 = 2/0,02 = 100 V. ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------03- Considere um calorímetro no qual existe uma certa massa de líquido. Para aquecer o conjunto líquidocalorímetro de 30ºC para 60º são necessários Q 1 J. Por outro lado, Q 2 J elevam de 40ºC para 80ºC o calorímetro juntamente com o triplo da massa do líquido. a) Determine a capacidade térmica do calorímetro nas seguintes situações: Q1 = 2000 J Q2 = 4000 J Q1 = 2000 J Q2 = 7992 J b) Com base nestes dados, em qual das situações a influência do material do calorímetro pode ser desconsiderada? desconsiderada? Justifique Justifi que sua conclusão.
Solução:
Seja C a capacidade térmica do calorímetro, m a massa do líquido e c o calor específico do
líquido. 1
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1998
(a) Tem-se Q1 = (C + mc).(60 – 30)
Q1 = 30C + 30 mc
mc = (Q 1 – 30C)/30 e
Q2 = (C + 3mc)(80 – 40)
Q2 = 40C + 120 mc
mc = (Q 2 – 40C)/120.
Igualando os valores de mc, (Q1 – 30C)/30 = (Q2 – 40C)/120 4Q1 – 120C = Q2 – 40 C
C = (4Q1 – Q2)/80.
Para o primeiro par: C = (4.2000 – 4000)/80 = 4000/80 = 50 J/ºC. Para o segundo par: C = (4.2000 – 7992)/80 = 8/80 = 0,1 J/ºC.
Resposta:- 50 J/º e 0,1J/ºC. (b) Resposta:- Na situação indicada, pode ser desconsiderada a segunda situação pois a capacidade térmica é muito pequena. -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------04- Um corpo constituído de um material de densidade relativa à água igual a 9,0 pesa 90 N. Quando totalmente imerso em água, seu peso aparente é de 70 N. Considere a aceleração local da gravidade g = 10m/s² e a massa específica da água igual a 1 g/cm³. a) Faça o diagrama das forças que atuam no corpo imerso na água e identifique essas forças. E
b) Conclua, por cálculo, se o corpo é oco ou maciço.
Solução: P
(a) Resposta: As forças são o peso e o empuxo E e diagrama ao lado. (b) O empuxo recebido é E = P – Pap = 90 – 70 = 20 N. Como E = V.ρA.g e
ρA =
3
3
3
1 g/cm3 = 1.10 kg/m resulta 20 = V.1.10 .10 -3
3
V = 2 .10 m , onde V é o volume submerso. O volume do material que constitui o corpo é obtido por P = V’. ρc.g -3
3
V’ = 90/9.10-3.10 = 1.10 m . Como V’ < V, o corpo é oco.
Resposta: o corpo é oco. -------------------------------------------------------------------------------------05- Em uma experiência de laboratório, certo dispositivo colocado em A
um ponto A, situado H metros acima do solo, lança uma pequena esfera que deverá passar por cima de um prisma de vidro de altura 2H e atingir
2H
H L
um sensor ótico colocado em um ponto B afastado de 2L metros do A
ponto A, conforme a figura abaixo. Simultaneamente com o lançamento da esfera, o mesmo dispositivo emite um raio de luz monocromática, perpendicular à face vertical do prisma, que irá atingir o sensor B.
2H
E
H
C
r
45 45º
L
B
45º L
F
D
s
B
L
Determine, literalmente: a) O tempo que a esfera levará para ir do ponto A ao ponto B; b) O tempo que o raio luminoso levará para ir do ponto A ao ponto B. c) O tempo que dispomos para remover o sensor do ponto B, logo após ter sido excitado pelo raio de luz, de modo que não seja atingido pela esfera. 2
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Dados: ângulo de lançamento da esfera com a horizontal que passa pelo ponto A: α Aceleração da gravidade: g Velocidade inicial da esfera: V 0. Considere o índice de refração do ar igual a 1.
Resolução: (a) o tempo gasto para ir de A até B é igual ao de um corpo que sobe até uma altura H somado ao tempo 2
para descer uma altura 2H. Como H = (1/2)g.t 1 e 2H = (1/2)gt 2 t1
+ t2 =
2
t1
= H/2g e t2 = 2H/2g
H/g = (1/ √2 + 1). H/g
H/2g +
Resposta: t = (1/ √2 + 1). H/g (b) A luz percorre AE = L com velocidade c, EC = H com velocidade c/n (velocidade
da luz no prisma
cujo índice de refração é n) e CB com velocidade c. 2
2
2
2
2
2
= 2H + L – 4LH CB =
2
Do triângulo CDB, CB = CD + DB
2
2
2
2
2
CB = H + (L - H) = H + L – 2LH + H =
2
2H + L – 4LH . 2
2
2
2
Assim, o tempo é: t = L/c + H/(c/n) + 2H + L – 4LH /c = (1/c).(L + nH + 2H + L – 4LH). No triângulo CBD, r = s + 45º
s = r – 45º
refração: sen r = n.sen45º = n. √2/2
sen s = sen r.cos 45º - sen 45º.cos r. Pela segunda lei da 2
cos r =
(2 – n )/2 = (1/ √2). 2 – n .
2
1 – sen r =
2
1 – n /2 = 2
2
2
Assim, sen s = CD/CB = n.( √2/2).(√2/2) – (√2/2).(1/ √2). 2 – n . = (n/2) – (1/2). 2 – n
2
2
2
H/ 2H + L – 4LH = (1/2).(n - 2 – n ). 2
2
2
2
2
Elevando ao quadrado: 4H /(2H + L – 4LH) = n – 2n. 2 – n + 2 – n 2
2
2
2
2
2
2
2
2H /(2H + L – 4LH) = 1 – n. 2 – n
n. 2 – n = (2H + L – 4LH – 2H )/(2H + L – 4LH) = (L – 4LH)/(2H + L – 4LH).
2
2
2
2
2
2
2
n. 2 – n = 1 – [2H /(2H + L – 4LH)]
2
2
2
2
2
2
Fazendo (L – 4LH)/(2H + L – 4LH) = p resulta 2
4
2
2n – n = p
4
2
2
n – 2n + p = 0 n =
2
(2 +
2
4 – 4p )/ 2 = 1 + 1 – p . O valor mais após o 2 foi
usado pois o índice de refração deve ser maior que 1. 2
2
Assim, o tempo gasto é: t = (1/c).(L + 1 + 1 – p + 2
2
2
2
2
2H + L – 4LH ).
2
2
Calculando 1 – p , tem-se: 1 – [(L – 4LH) /(2H + L – 4LH)] = 2
2
2
2
2
2
2
2
= [(2H + L – 4LH) - (L – 4LH) ]/(2H + L – 4LH) = 4
4
2
2
2 2
3
3
4
3
2
2
2
2
2
4
4
2
2
2 2
3
3
4
3
2
2
2
2
2
= (4H + L + 16L H +4H L – 16LH – 8L H – L + 8L H – 16L H )/(2H + L – 4LH) = = (4H + L + 16L H +4H L – 16LH – 8L H – L + 8L H – 16L H )/(2H + L – 4LH) = 4
2 2
3
2
2
2
2
2
2
2
2
2
= (4H + 4H L - 16LH )/(2H + L – 4LH) = 4H (H + L – 4LH)/ (2H + L – 4LH) = 2
2
2
2
2
1 – p = 2H. (H + L – 4LH)/(2H + L – 4LH) 2
Calculando 1 + 1 – p , tem-se
2
2
2
2
1 - 2H. (H + L – 4LH)/(2H + L – 4LH) =
3
IME – Física 2
1998
2
2
2
2
= (2H + L – 4LH – 2H)/ (2H + L – 4L ) Substituindo este valor na expressão encontrada para o tempo resulta: 2
2
t = (1/c).(L + 1 + 1 – p + Resposta: t = (1/c).[L + 2H.
2
2
2H + L – 4LH) 2
2
2
2
2
2
[(2H + L – 4LH – 2H)/(2H + L – 4L ) + (2H + L – 4LH)]
c) o tempo é igual à diferença entres os dois tempos encontrados. Resposta:
∆t = (1/ √2+1).
2
2
2
2
2
H/g - (1/c).[L + 2H. (2H + L – 4LH – 2H)/(2H + L – 4L ) +
2
2
2H + L – 4LH].
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------2Ω 06- Um circuito é construído com o objetivo de aquecer um recipiente adiabático que contém um litro de água a 25ºC.
60V
20Ω
5Ω
Considerando-se total a transferência de calor entre o resistor e a
água
Resistor imerso
água, determine o tempo estimado de operação do circuito da figura abaixo para que a água comece a ferver.
Dados: calor específico da água: 1cal/gºC; massa específica da água: 1 kg/L; temperatura necessária para ferver a água: 100ºC.
Resolução:-
Relacionando a quantidade de calor necessária e a energia for necida pelo resistor, tem-se: 2
Q = m.c. ∆θ = Ri t (1). Calculando a corrente no resistor de 5 60 = 2i + [(20.5)/(20 + 5)]I
Ω:
60 = 2i + 4i
I = 60/6 = 10 A
20i – 20i’ = 5i’
i’ = 20i/25 = 8 A.
20.(i – i’) = 5i’
Para combinar as unidades: 1 cal/g.ºC = 4,18 J/gºC = 4,18.103 J/kg.ºC; m = 1 L.1kg/L = 1 kg. 3
2
Aplicando na equação (1) 1.4,18.10 = 5.8 .t
t = 4,18.103/320 = 13 segundos.
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------07- Um bloco de material isolante elétrico, de peso 5 N, é abandonado do repouso na situação da figura abaixo. Na queda, o bloco puxa a placa metálica inferior, P2, de um capacitor enquanto a placa superior, P1, permanece fixa. Determine a tensão elétrica no capacitor quando a mola atinge a compressão máxima.
Dados: constante da mola: 30 N/m; carga do
P1
d0
P2 5N
h
capacitor: q = 18 µC; capacitância inicial: C0 = 9 µF; distância inicial entre as placas: d 0 = 32cm; distância inicial entre o bloco e a mola: h = 8 cm
4
IME – Física
Resolução:
1998
A energia potencial gravitacional [mg(x +h) = P(x + h)] do 2
bloco é transformada em energia potencial elástica (kx /2). 2
2
Assim, 5.(x + 0,08) = 30.x /2
15x – 5x – 0,4 = 0
x = (5 + 7)/30
x = 12/30 = 0,4
m ou x = - 2/30 (não serve). Como o corpo desce h + x, 0,08 + 0,4 = 0,48 m, a distância entre as placa passa a ser d 0 + 0,48 m = 0,32 + 0,48 = 0,80 m. Como C = ∈0A/d
C0d0 = C2d2
9.0,12 = C2/0,80
C2 = 9.0,8/0,12 = 60
µF.
Fazendo Q = CV, V = Q/C = 18/60 = 0,3 V.
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------08- Um objeto é lançado da superfície de um espelho, segundo um ângulo de 30º com a horizontal, com velocidade inicial V 0 . Sabendo que o
30º
espelho está inclinado de 30º, conforme a figura, determine:
30º
a) o tempo gasto para que o objeto atinja o espelho. b) As componentes vertical e horizontal, em função do tempo, do vetor
V0
velocidade da imagem do objeto lançado. Dados: aceleração da gravidade: h
g A
Resolução:- A figura mostra a trajetória do objeto.
x
L
(a) Componentes da velocidade: v x = vo.cos30º.
C
B
O tempo gasto para o objeto percorrer de A até B é t = CB/v o.cos30º. Do triângulo ACB, CB = Lcos30º. Portanto: t = Lcos30º/v0.cos30º = L/v 0. 2
A altura h é dada por (v 0sen30º) = 2gh
L = vo.t (1) 2
h = (v0sen30º) .
Vi A componente vertical da velocidade de queda a partir do nível A, é a mesma em módulo que a componente vertical em A. 2
A posição vertical do móvel em cada instante t é y = V o.sen30.t – (1/2)g.t . 2
Em conseqüência: -x = V o.sen30º.t – (1/2)g.t . (2) Do triângulo ABC, x/L = sen30º. Combinando com (1) ==> x = L.sen30º = Vo.t.sen30º. 2
Levando este resultado para (2), -V o.sen30ºt = V o.sen30º.t – (1/2)g.t . 2
(1/2)gt = 2.V0.(1/2).t
2
gt = 2V0t
2
(1/2)gt = 2.Vo.sen30º.t t = 0 ou t = 2V0 /g.
Resposta: t = 2V0 /g. (b) Seja V a velocidade em um dado instante. As componentes vertical e horizontal de V serão: Vy
Vx = Vo.cos30º e Vy = Vo.sen 30º - gt. As imagens de Vx e Vy têm as mesmas dimensões que Vx e Vy. Determinando as componentes horizontais (Rx) e verticais (Ry) das imagens, tem-se:
30º
60º 30º
Vy
30º 60º 30º 30º Vx
5
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Rx = Vx.sen30º - Vy.sen60º = V 0.cos30º.sen30º - (V0.sen30º - gt).sen60º = = V0.cos30º.sen30º - V0.sen30º.sen60º + gt.sen60º = V0.cos30º.sen30º - V0.sen30.cos30º + gt.sen60º
Rx = g.sen60º.t
2
Ry = Vx.cos30º + Vy.cos60º = Vx.cos30º + Vy.sen30º = V 0.cos 30º + (V0.sen30º – gt).sen30º = 2
2
2
2
= V0.cos 30º + V0.sen 30º - gt.sen 30º = V 0.(cos 30º + sen 30º) – gt.sen 30º
Ry = V0 – g.sen30º.t
Resposta: Componente horizontal = g.sen60º.t e componente vertical = V0 – g.sen30º.t ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------09- Na figura abaixo, uma corda é fixada a uma parede e depois de passar por uma roldana é tencionada por uma esfera metálica com 330g de massa. Uma segunda esfera metálica, firmemente presa ao solo, é colocada verticalmente abaixo da primeira. Sabendo que a distância entre a parede e a roldana é de 0,50 m e que a distância entre os centros das esferas é de 10cm, determine a freqüência de ressonância do trecho da corda entre a parede e a roldana: a) com as duas esferas descarregadas; -7
b) com as duas esferas carregadas, a primeira com uma carga elétrica de +1,0.10 C e a segunda com uma -6
carga elétrica de –2,0.10 C.
Dados: aceleração da gravidade: 9,8 m/s² Permissividade do vácuo: 8,9.10 Densidade linear da corda:
-12
F/m
µ = 2,0 g/m
Reolução: (a)
A velocidade da onda na corda é v =
T/ µ
=
λf.
Para uma onda estacionária na corda, o
comprimento L é igual a (1/2) comprimento de onda. A tração na corda é igual ao peso da esfera T = mg = 0,330.9,8 = 3,234 N.
µ = 2,0 g/m = 2.10 -3 kg/m e λ = 2L = 2.0,5 = 1 m.
Portanto: 1.f = 3,234/2.10 = 40,2 Hz. -3
(b) Neste caso, a tração na corda é T = P + F (F é a força de atração entre as duas esferas pois as cargas têm sinais opostos) 2
F = (1/4π∈0).Q.q/d sendo ∈0 = 8,9.10 12
-7
-6
-12
-1
-7
-6
F/m, d = 10 cm = 10 m, Q = 1.10 C e q = 2.10 C. -1 2
F = (1/4.3,14.8,9.10- ).(10 ).(2.10 )/(10 ) = 0,018.10 = 0,18 N
T = P + F = 0,18 + 0,33.9,8 =
= 3,414 N Assim,
3,414/2.10 = 1.f f = 1707 = 41,3 Hz. -3
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------6
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10- Um pequeno cesto é preso em uma haste que o faz girar no sentido horário com velocidade constante. Um carrinho, com velocidade de 1,5 m/s, traz consigo um brinquedo que arremessa bolinhas na vertical para cesto
cima com velocidade de 5,5 m/s. Quando o carrinho está a uma
carrinho
B
distância de 2 m do eixo onde a haste é presa, uma bolinha é lançada. A
2m
Nesse instante, o cesto está na posição mais baixa da trajetória (posição A), que é a altura do chão e a do lançamento da bolinha.
A bolinha é arremessada e entra, por cima, no cesto quando este está na posição B indicada na figura. Determine: a) O vetor velocidade da bolinha ao entrar no cesto. b) A menor velocidade angular do cesto para que a bolinha entre no cesto.
Resolução: (a) Seja r o raio da trajetória do cesto. O tempo gasto para atingir a distância horizontal d = 2 – r é t = d/v = (2 – r)/1,5. (1) Neste mesmo tempo a bolinha deve atingir a altura “r” :
r = v ot – (1/2)gt
2
2
r = 5,5t – 5.t . (2)
Substituindo o valor de t de (1) em (2) resulta: r = 5,5.(2 – r)/1,5 – 5.[(2 – r)/1,5]2 1,52r = 16,5 – 8,25r – 20 + 20r – 5r
2
2
5r – 9,5r + 3,5 = 0
2
r – 1,9r + 0,7 = 0.
Equação cujas raízes são 0,5 m e 1,4 m. Assim, t = (2 – 0,5)/1,5 = 1 seg e t = (2 – 1,4)/1,5 = 0,4 s. O primeiro valor ocorre quando o corpo estiver caindo e o segundo quando o corpo estiver subindo. Portanto, t = 1 seg. As componentes da velocidade da bolinha neste instante são: vx = 1,5 m/s e vy = 5,5 – gt = 5,5 – 10.1 = -4,5 m/s. 2
O módulo da velocidade é v = 1,52 + 4,52 = 22,5
v = 4,7 m/s.
O vetor velocidade forma à direita da vertical para baixo um ângulo θ, tal que tan θ = 1,4/4,5 = 1/3.
Resposta: v = 4,7 m/s, formando um ângulo θ = arc tan (1/3) à direita da vertical para baixo. (b) No intervalo de tempo igual a 1 seg a cesta deve percorrer no mínimo um ângulo de 90º ou π /2 rad. Portanto a velocidade angular w é w = ( π /2)/1 = π /2 rad/s.
7
