VILÁG-EGYETEM Ian Steward A TERMÉSZET SZÁMAI A matematikai képzelet irreális realitása (Tartalom)
ELŐSZÓ A virtuális valótlanság gép Van egy álmom. Körülvesz – a semmi. Nem az üres tér, mert nincs tér, ami üres legyen. Nem feketeség, mert nincs, ami fekete legyen. Egyszerűen csak a hiány várja, hogy jelenlétté váljon. Parancsok jutnak eszembe: Legyen tér. De hát milyen tér? Választhatok: háromdimenziós, sokdimenziós vagy akár görbült. Választok. Újabb parancs, és a tér megtelik hullámzó, örvénylő folyadékkal – itt nyugodt hömpölygés, ott tajtékzó örvény. Befestem a teret kékre, és fehér áramvonalakat rajzolok a folyadékba, hogy kiemeljem a minták áradását. Kicsi, piros gömböt teszek a folyadékba. Lebeg, támasz nélkül, nem tudva a körülötte lévő káoszról, amíg jelt nem adok. Akkor elsiklik egy áramvonal mentén. Századrésznyire zsugorítva a gömb felszínére bűvölöm magam, hogy madártávlatból figyelhessem az eseményeket. Néhány másodpercenként zöld jelet rakok a folyadékba, hogy megjegyezzem a gömb útját. Mikor egy jelet megérintek, kivirágzik, mint sivatagi kaktusz lassított felvételen, amikor jön az eső, és minden levélen képek, számok, szimbólumok. A gömböt is ki tudom virágoztatni, és mozgásával együtt változnak a képek, számok, szimbólumok. Nem vagyok elégedett a sorjázó szimbólumokkal, átpöccintem tehát a gömböt egy másik áramvonalba, helyzetét próbálgatom, míg megpillantom a keresett szingularitás félreérthetetlen nyomait. Pattintok egyet az ujjammal, mire a gömb saját jövőjébe extrapolálja magát és jelenti, mit talált. Ígéretes... Hirtelen egész felhőnyi vörös gömböt sodor elém a folyadék, halrajként spriccen szét, örvénylően, indákat növeszt, aztán ellapul. Egyre több gömbraj száll be a játékba – aranyszínű, bíbor, barna, ezüstös, rózsaszín... Még kifogyok a színekből! Sokszínű lapok metszik egymást bonyolult geometriai alakzatban. Kimerevítem, kisimítom, sávosan kifestem. Egyetlen mozdulattal száműzöm a gömböket. Jelzőket hívok létre, megvizsgálom ki nem nyílt leveleiket, kihúzok egyet-egyet és átlátszó rácsozathoz érintem, ami úgy bontakozik ki, mint oszló ködből a táj. Igen! Új parancsot adok: „Kimentés. Cím: Újabb kaotikus jelenség a három-test-problémában. Dátum: ma.” A tér nemlétező ürességgé roskad. Ekkor, a reggeli kutatómunkát befejezve, elszakadok virtuális valótlanság gépemtől, és ebéd után nézek. Ez a különös álom csaknem igaz. Már vannak virtuális valóságrendszereink, amelyek szimulálják a „normális” térben zajló eseményeket. Azért hívom az álmom virtuális valótlanságnak, mert mindent képes szimulálni, amit a matematikus termékeny képzelete kiötöl. A virtuális valótlanság gépnek már szinte minden alkatrésze rendelkezésünkre áll. Van olyan grafikai software, amelyik „végigrepíti” önöket bármely geometriai alakzaton, olyan dinamikus rendszerekhez tartozó software, amely bármely egyenletet le tud vezetni, szimbolikus
algebrai software, amely a legborzalmasabb számítások kínjaitól szabadít meg – s azokat helyesen elvégzi. Csak idő kérdése, és a matematikusok behatolnak saját alkotásaikba. De legyen bármilyen csodálatos az effajta technológia, nincs rá szükségünk az álmom megvalósításához. Ez az álom most is realitás, ott van minden matematikus fejében. Ilyen érzés fogja el alkotás közben. Hogy költőien fogalmazzak: az objektumokat, amelyeket a matematikus világában találunk, általában szimbolikus címkékkel vagy nevekkel különböztetik meg, nem pedig színekkel. Ám az e világban otthonosan mozgó emberek számára az effajta címkék éppolyan elevenek, mint a színek. Sőt, tarka képei ellenére, álmom csak halovány árnyéka annak a fantáziavilágnak, amelyben minden matematikus él – olyan világban, ahol a görbült, több mint háromdimenziós tér a törvényszerű. Valószínűleg idegennek és furcsának találják ezeket a képeket, nagyon különbözőnek attól az algebrai szimbolikától, ami a „matematikus” szóról eszünkbe jut. A matematikusok rákényszerülnek, hogy írásos szimbólumokat és képeket használjanak világuk leírásakor – egymás számára is. De a szimbólumok úgy viszonyulnak ehhez a világhoz, mint a hangjegyek a muzsikához. Az évszázadok során a matematikusok kollektív tudata megalkotta saját univerzumát. Hogy ez hol van, nem tudom – s gondolom, a „hol” szó itt értelmét is veszti –, de biztosítom az olvasót: ez a matematikai univerzum nagyon is reális annak a számára, aki benne él. Az emberiség éppen a matematika révén hatolt be legmélyebben környező világa rejtelmeibe. A matematika birodalmába kalauzolom el az olvasót. Megpróbálom elérni, hogy a matematikus szemével lássanak. Akkor talán saját világukra is másképp néznek majd.
1. FEJEZET A természet rendje Minták világában élünk. A csillagok minden éjjel körök mentén mozognak az égen. Az évszakok ciklikusan váltakoznak, évenkénti szakaszokban. Nincs két pontosan megegyező hópehely, de mindegyik hatszögszimmetriát mutat. A tigrisek és zebrák csíkosak, a leopárdokat és a hiénákat foltok díszítik. Bonyolult hullámsorok haladnak az óceánokon, hozzájuk nagyon hasonló homokdűnesorok vonulnak a sivatagokon át. Színes szivárványok ékesítik az eget, és téli éjszakákon néha fényes udvar övezi a Holdat. A felhőkből majdnem gömb alakú vízcseppek hullanak. Az emberi értelem és kultúra egy formális gondolati rendszert dolgozott ki a minták felismerésére, osztályozására és hasznosítására. Ez a matematika. Segítségével szervezve és rendszerezve gondolatainkat, rájöttünk egy nagy titokra: a természet mintái nemcsak arra valók, hogy csodáljuk őket, hanem egyben kulcsot is adnak a természeti folyamatokat megszabó törvények megfejtéséhez. Négyszáz éve Johannes Kepler német csillagász kis könyvet írt „A hatszögletű hópehely” címmel, újévi ajándékul egyik „szponzorának”. Ebben azt fejtegette, hogy a hópelyhek bizonyára parányi, azonos egységek egymás mellé kerülésével keletkeznek. Tette ezt jóval azelőtt, hogy az anyag atomos szerkezetének elmélete általánosan elfogadottá vált volna. Kepler nem végzett kísérleteket; egyszerűen csak mélyen belegondolt az addig ismert tények egy-egy morzsájába. Legfőbb érve a hópelyhek hatszögű szimmetriája volt, ami a szabályos elrendeződés természetes következménye. Ha sok egyforma érmét rakunk az asztalra, és olyan szorosan próbáljuk elhelyezni őket, amennyire csak lehet, méhsejt-elrendezést kapunk, amelyben minden sejtet – kivéve a szélsőket – hat másik vesz körül, hatszög alakban. A csillagok szabályos éjszakai mozgása is kulcs, ezúttal ahhoz, hogy a Föld forog. A hullámok és a dűnék kulcsot adnak a víz, homok és levegő áramlásának törvényeihez. A tigris csíkjai és a hiéna
foltjai a biológiai növekedés és forma matematikai szabályosságáról tanúskodnak. A szivárványok a fény szóródásáról regélnek, s közvetve megerősítik, hogy a vízcseppek gömbök. A holdudvar a jégkristályok alakjának titkához vezet el. Sok szépség van a természet kódjaiban, amelyeket akár matematikai tudás nélkül felismerhetünk. Azokban a matematikai történetekben is van szépség, amelyek a mintákból indulnak ki, és a bennük rejlő törvényekhez, szabályszerűségekhez jutnak el, de ez másfajta szépség, inkább ideák szépsége, mint dolgoké. A matematika úgy viszonyul a természethez, mint Sherlock Holmes a bizonyítékhoz. Ha egy szivarcsikket adnak neki, a nagy detektív meg tudja állapítani a tulajdonos korát, foglalkozását és anyagi helyzetét. Barátja, Dr. Watson, akinek érzékenysége az efféle dolgok iránt kisebb, csak ámuldozik, míg a Mester előadja kifogástalan logikai levezetését. Ha hatszögű hópelyheket adnak neki, a matematikus le tudja vezetni belőlük a jégkristályok atomjainak geometriai felépítését. Ha ön Watson, ez csak bámulatra méltó trükk, de szeretném önnek megmutatni, milyen érzés Sherlock Holmesnak lenni. A minták nemcsak szépek, hasznosak is. Mikor megismertünk egy háttérmintát, hirtelen kiütköznek a kivételek. A sivatag csendes, de az oroszlán lopakodik. A körpályán haladó csillagok alkotta háttérhez képest felhívja magára a figyelmet néhány csillag, amely egészen másképp mozog. A görögök planétáknak nevezték őket, ez „vándor”-t jelent, s mi is ezt a szót használjuk. A bolygómozgás sokkal később vált érthetővé, mint a csillagok éjszakai körmozgása. Az egyik nehézség az, hogy a Naprendszeren belül vagyunk, vele együtt mozgunk, és a kívülről egyszerűnek látszó dolgok gyakran sokkal bonyolultabbaknak bizonyulnak belülről. A bolygók a tömegvonzás és a mozgás kapcsolatának megfejtését adták. Bizonyos újfajta mintákat csak most ismerünk meg. Csak az utóbbi harminc évben vettek tudomást két mintáról, amelyeket ma fraktáloknak, ill. káosznak nevezünk. A fraktálok geometriai alakzatok, jellegzetességük, hogy bármilyen mérettartományban megtaláljuk ismétlődésüket (e fejezet végén még szólok róluk). A káosz látszólagos véletlenszerűség, amelynek eredete tökéletesen meghatározott (ezzel részletesebben foglalkozom a 8. fejezetben). A természet több milliárd évvel ezelőtt is „tudott” ezekről a mintákról, mert például a felhő fraktál és az időjárás kaotikus. Az emberiségnek azonban beletelt egy kis időbe, míg mindezt felfogta. A legegyszerűbb matematikai objektumok a számok, és a legegyszerűbb természeti minták számszerűek. A Hold fázisai teljes ciklust alkotnak újholdtól teliholdig és vissza, huszonnyolc naponként. Az év majdnem pontosan háromszázhatvanöt napból áll. Az embernek két lába van, a macskának négy, a rovaroknak hat, és a pókoknak nyolc. A tengeri csillagnak öt karja van (vagy tíz, tizenegy, esetleg tizenhét, fajtától függően). A lóhere általában három levelű: a babona, mely szerint a négylevelű lóhere szerencsét hoz, azt a mély meggyőződést tükrözi, hogy a minta alóli kivételek speciális jelentőséggel bírnak. Valóban különös minta mutatkozik a virágszirmoknál. Majdnem minden virág szirmainak száma megtalálható a következő furcsa sorozatban: 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89. Például, a liliom szirmainak száma 3, a boglárkáé 5, sok szarkalábé 8, a gólyahíré 13, az őszirózsáé 21 és a legtöbb százszorszépé 34, 55 vagy 89. Nem találunk semmilyen más számot ilyen gyakorisággal. Ezekhez a számokhoz meghatározott minta rendelhető, és némi keresgélés után rájövünk: minden szám az előző kettő összege. Például 3+5=8, 5+8=13 stb. Ugyanezeket a számokat találjuk, ha megszámoljuk a napraforgó spirális minta szerint sorjázó magvait. Ezt a speciális mintát sok évszázaddal ezelőtt észrevették, és azóta alaposan tanulmányozzák, de valóban kielégítő magyarázatot senki sem adott 1993-ig. Erről majd a 9. fejezetben olvashatnak. A numerológia a legkönnyebb – és egyben a legveszélyesebb – módszer a minták keresésére. Könnyű, mert bárki megpróbálkozhat vele, és veszélyes, ugyanezért. A nehézség abban rejlik, hogy a jelentős numerikus mintákat megkülönböztessük az esetlegesektől. Íme egy példa. Kepler lelkesedett a
természetben fellelhető matematikai mintákért, és életének nagy részét arra áldozta, hogy a bolygók viselleedésében ilyeneket találjon. Egyszerű és takaros kis elméletet dolgozott ki arra, hogy pontosan hat bolygó van (az ő idejében csak a Merkúr, a Vénusz, a Föld, a Mars, a Jupiter és a Szaturnusz volt ismert). Ugyancsak felfedezett egy igen furcsa mintát a bolygók ún. orbitális periódusa – az az időtartam, amíg megkerülik a Napot – és a Naptól való távolságuk közti viszonyra. Itt emlékeztetek arra, hogy egy szám négyzete az a szám, amit úgy kapok, hogy önmagával megszorzom: például, a 4 négyzete: 4×4=16. Hasonlóan, a köb úgy kapható, hogy a számot kétszer is megszorozzuk önmagával: például, 4 köbe: 4×4×4=64. Kepler úgy találta, hogy ha akármelyik bolygó Naptól való távolságának köbét elosztjuk orbitális periódusának négyzetével, mindig ugyanazt a számot kapjuk. Ez nem volt egy túlságosan „elegáns” szám, de mind a hat bolygóra ugyanaz adódott. Melyik a jelentősebb e numerológiai észrevételek közül? Az utókor ítélete szerint a második, a bonyolult és látszólag légből kapott számítás a négyzetekkel és köbökkel. Ez a numerikus minta volt az egyik mérdföldkő Isaac Newton gravitációelmélete felé, amely aztán mindenfajta rejtélyt megoldott a csillagok és bolygók mozgásával kapcsolatban. Ezzel szemben Kepler csinos, takaros elméletét a bolygók számáról nyomtalanul eltemette az idő. Először is, nem állja meg a helyét, ugyanis ma már kilenc planétát ismerünk, nem hatot. Talán több is van, még távolabb a Naptól, elég kicsi és gyenge fényű, hogy ne lehessen felfedezni. Fontosabb azonban, hogy ma már nem is várunk semmilyen csinos, takaros elméletet a bolygókról. Úgy képzeljük, hogy a Naprendszer egy, a Napot körülvevő gázfelhőből sűrűsödött össze, a bolygók számát pedig feltehetően az határozza meg, hogy ebben a gázfelhőben mekkora volt az anyag mennyisége, milyen volt az eloszlása, s hogy milyen sebességgel és mely irányokba mozgott. A lehetséges gázfelhők egyike nyolc, másika tizenegy bolygót adna ki; a szám esetleges, függ a gázfelhő kezdeti feltételeitől, nem pedig univerzális, ami egy általános természeti törvény tükre. Az igazi probléma a numerikus mintakereséssel az, hogy minden univerzális szám keresésekor esetleges számok millióit vizsgálja meg. És nem is mindig nyilvánvaló, melyik melyik. Például, van három csillag, körülbelül egyenlő távolságban egy egyenes mentén az Orion csillagkép övében. Kulcs ez valamilyen természeti törvényhez? Vagy vegyünk egy hasonló példát. Io, Európa és Ganümédesz – a Jupiter nagyobb holdjai közül három. A bolygót 1,77, 3,55, ill. 7,16 nap alatt kerülik meg. Mindegyik szám majdnem pontosan kétszerese az előzőnek. Jelentős minta ez? Három csillag egy sorban, a pozíció értelmében; három mellékbolygó „egy sorban”, az orbitális periódus értelmében. Melyik minta fontos a kettő közül, ha egyáltalán elmondhatjuk valamelyikről? Most csak gondolkozzanak el ezen, és a következő fejezetben majd visszatérünk rá. A numerikus mintákon kívül vannak geometrikus minták is. Ennek a könyvnek valójában A természet számai és formái címet kellet volna adnom. Két mentségem van, hogy mégsem ezt választottam. Először is, a cím jobban hangzik „és formái” nélkül. Másodszor, a matematikai formák mindig redukálhatók számokra – a számítógép is így kezeli a grafikai képet. Minden apró pontját úgy tárolja és kezeli, akár egy számpárt: milyen messze van a pont a képernyő jobb szélétől és milyen messze az aljától. Ez a két szám a pont koordinátái. Egy általános forma: pontok összessége, és így előállítható számpárok listájaként. Ugyanakkor persze gyakran jobb, ha a formákra mint formákra gondolunk, mert így hatékony és intuitív vizuális képességeinket használhatjuk, míg a komplikált számlisták inkább gyengébb és fáradságosabban működtethető szimbolikus képességeinket veszik igénybe. A matematikusokat érdeklő főbb formák a legutóbbi időkig nagyon egyszerűek voltak: háromszögek, négyzetek, ötszögek, hatszögek, körök, ellipszisek, spirálok, kockák, gömbök, kúpok, és így tovább. Ezek a formák mind megtalálhatók a természetben, bár nem mind egyformán megszokott vagy kézenfekvő. A szivárvány például körökből áll, minden szín külön kört alkot. Általában nem látjuk az
egész kört, csak egy ívét; de nagy magasságból megfigyelt szivárvány teljes körökből is állhat. Körök láthatók a tavacskák fodrozódásakor, az emberi szemben és a pillangók szárnyain. Ha már fodrokról beszéltünk, a folyadékok áramlása kimeríthetetlen tárháza a természeti mintáknak. Sokfajta hullám van – a part felé párhuzamos sorokban áradó, a mozgó hajó mögött V alakban szétterjedő, a tengermélyi földrengés körül szétsugárzó. A legtöbb hullám társas lény, de egyesek – így például a dagálykor a folyón végigvonuló, mivel a bejövő dagály energiája szűk csatornába szorul – egyedül járnak. Vannak tajtékzó spirális örvények és apró örvényecskék. S létezik a turbulens áramlás látszólag rendezetlen, véletlen kimerevülése, a matematika és fizika egyik nagy rejtélye. A légkörben is akadnak hasonló minták, a legdrámaibb a hurrikán roppant spirálja, ahogy a Föld körül keringő űrhajós látja. Előfordulnak hullámminták a szárazföldön is. A Földön a legmeghökkentőbben matematikai jellegű tájak az Arábiai-sivatag és a Szahara legnagyobb ergjeiben, azaz homokóceánjaiban találhatók. Még akkor is alakulnak itt homokdűnék, amikor a szél mindig ugyanabba az irányba fúj. A legegyszerűbb mintát az ún. transzverzális dűnék alkotják, amelyek – akár az óceán hullámai – párhuzamos egyenes sorokba rendeződnek, merőlegesen az uralkodó szélirányra. Néha maguk a sorok is hullámosak, ilyenkor barkánnak nevezzük őket; máskor megszámlálhatatlan pajzs alakú barkán dűnére törnek szét. Ha a homok kissé nedves, és van valami növényzet, ami összetartja, parabola aiakú dűnéket találunk, U alakúakat, kerek végükkel a szél irányában. Ezek olykor nyalábokban jelennek meg, és egy gereblye fogaihoz hasonlítanak. Ha a szélirány változó, más formák is lehetségesek. Például csillag alakú dűnék csoportjai alakulhatnak ki, mindegyik több szabálytalan karral, egy központi csúcsból sugarasan szétágazva. Ezek a csillagok véletlenszerű foltmintákba rendeződnek. A természet vonzódása a csíkokhoz és foltokhoz tapasztalható a tigrisek és leopárdok, a zebrák és zsiráfok esetében is. Az állatok és növények formái és mintái a matematikus hajlandóságúak kedvenc vadászterülete. Például miért olyan sok kagyló alakja spirál? Miért szimmetrikus a tengeri csillag karjainak elrendezése? Miért vesz fel sok vírus szabályos geometriai formát, melyek közül a legmeglepőbb az ikozaéder – ami szabályos merev test, húsz egyenlő oldalú háromszöglappal? Miért mutat oly sok állat tükrös szimmetriát? Miért tökéletlen ez a szimmetria oly gyaleran, miért tűnik el, amikor belemegyünk a részletekbe, lásd az emberi szív elhelyezkedését vagy a különbséget az emberi agy két féltekéje között? Miért vagyunk túlnyomórészt jobbkezesek, de nem mindannyian? A formai mintákon kívül mozdulatminták is léteznek. Az ember lába járás közben szabályos ritmusban érinti a földet: bal-jobb-bal-jobb-bal-jobb. Egy négylábú lény, például a ló bonyolultabb, de ugyancsak ritmikus minta szerint halad. A helyváltoztatásban uralkodó minta fellelhető a rovarok futásában, a madarak röptében, a medúza lüktetésében és a hal, a féreg, a kígyó hullámzó mozgásában. Az egyik sivatagi csörgőkígyófajta úgy mozog, mint egyetlen tekercs rugó, testét S alakú görbék sorozataként tolja előre, hogy a lehető legkisebb felületen érintkezzék a forró homokkal. És a parányi baktériumok is mikroszkopikus csavarszerű farkuk segítségével haladnak előre, amelyek folyamatosan forognak, mint a propeller. Végül van a természeti mintáknak egy csoportja, amelyet csak nemrég ismert fel az ember, ugyancsak megdöbbenve. Ezek a minták ott találhatók, ahol mindent véletlenszerűnek és alaktalannak hittünk. Nézzük például egy felhő alakját. Igaz, a meteorológusok a felhőket morfológiai csoportokba osztják – cirrusz, sztrátusz, kumulusz stb. –, de ezek nagyon általános alaktípusok, nem felismerhető geometriai formák a hagyományos matematikai értelemben. Nem látunk gömb alalcú felhőket, sem kocka vagy ikozaéder alakúakat. A felhők gomolygó, formátlan, zavaros halmok. Mégis van egy megkülönböztető minta a felhők számára, amely szorosan összefügg a felhőképződés fizikájával. Ez pedig lényegében a következő: ha megnézel egy felhőt, még nem tudhatod, mekkora. Ha megnézel egy
elefántot, meg tudod mondani, körülbelül mekkora: egy ház nagyságú elefánt összerogyna a saját súlya alatt, egy egér nagyságúnak pedig használhatatlanul vastag lenne a lába. A felhők egyáltalán nem ilyenek. Egy nagy felhőt távolról nézve és egy kis felhőt közelről akár össze is cserélhetnénk. Persze különböző alakúak, de alakjuk nem függ szisztematikusan a nagyságtól. Ezt a „skálafüggetlenséget” kísérletileg igazolták olyan felhőalakzatokra, amelyeknek a mérete egy ezres faktoron belül tetszőlegesen variálódott. Az egy kilométer hosszú felhők éppen úgy festenek, mint az ezer kilométer hosszúságban elnyúlók. Ez a minta megint kulcs! A felhők akkor keletkeznek, amikor a víz „halmazállapot-változáson” megy át párából folyadékba. A fizikusok felfedezték, hogy ugyanaz a skálainvariancia jár minden halmazállapot-változással. Valóban, ez a statisztikus önhasonlóság, ahogyan nevezik, sok más természeti formára érvényes. Egy svéd kollégám, aki az olajmezők geológiájával foglalkozik, előszeretettel mutogat egy vetített képet, amin egyik barátja áll egy hajón, hanyagul egy sziklapárkányra támaszkodva, amely körülbelül a hónaljáig ér. A fotó teljesen meggyőző, a hajó nyilván egy kb. két méter mély sziklás vízmosás szélén horgonyzott le. Valójában a sziklapárkány egy távoli fjord oldala, néhány ezer méter magasan. A fotós számára a fő gond az volt, hogy mind az előtérbeli figurát, mind a távoli tájat meggyőző képpé komponálja. Senki sem próbálta volna meg eljátszani ezt a trükköt egy elefánttal. Ugyanakkor játszhatjuk ezt a természet sok formájával, hegyekkel, folyamrendszerekkel, fákkal és valószínűleg az egész univerzumban is, mivel az anyag úgy oszlik el, hogy erre a játékra alkalmas struktúrát alkot. A matematikus Benoit Mandelbrot által híressé tett kifejezéssel, ezek mind fraktálok. A szabálytalanság új tudománya – a fraktálgeometria – az utóbbi tizenöt évben alakult ki. A fraktálokat létrehozó dinamikus folyamatot, amely káosz néven ismert, részletesen tárgyalom majd. Az új matematikai elméletek kifejlődésének köszönhetően a természet eddig megfoghatatlan mintái is kezdik elárulni titkukat. Látszik már mind a gyakorlati, mind az intellektuális hatás. Friss értésünket a természet rejtett szabályosságairól fel tudjuk használni arra, hogy mesterséges bolygókat indítsunk új célok felé korábban elképzelhetetlenül kevés üzemanyaggal, csökkentsük a mozdonykerék vagy más forgó alkatrészek kopását, javítsuk a pacemakerek hatékonyságát, jobban működtessünk egy erdővagy halgazdaságot, sőt jobb mosogatógépeket gyártsunk. De a legfontosabb, hogy alaposabban ismerjük meg a világot, amelyben élünk, és többet tudjunk a benne elfoglalt helyünkről.
2. FEJEZET Mire jó a matematika? Megalapoztuk hát a vitathatatlan tételt: a természet tele van mintákkal. De mihez kezdünk ezzel a felismeréssel? Megtehetjük, hogy leülünk és csodáljuk őket. Beszélgetni a természettel, ez mindannyiunknak jót tesz: emlékeztet arra, miből vagyunk. A festő, a szobrász és a költő a világ és önmagunk iránti érzéseket fejezik ki. A vállalkozót ösztöne a természet kiaknázására hajtja. A mérnököt a megváltoztatására. A tudóst a megértésére, működésének megismerésére. A matematikust a megértés folyamatának átstrukturálására, olyan általánosítások keresésére, amelyek átszabják a világ kézenfekvő felosztását. Mindegyik ösztönből van bennünk valami, s mindegyik ösztönnek van jó és rossz oldala. Meg szeretném mutatni önöknek, mit használt a matematikus ösztön az emberi értésnek, de előbb rá szeretnék mutatni az emberi kultúrában játszott szerepére. Mielőtt megveszünk valamit, általában meglehetősen világos elképzelésünk van arról, hogy mire használjuk. Ha hűtőgép, akkor persze élelem tartósítására, de valójában sokkal több dolgot végiggondolunk. Mennyi élelem tárolható benne? Hova illik a lakásban? Ez nem mindig hasznosság kérdése: gondolhatunk mondjuk festmény
vásárlására is. Megkérdezzük magunktól, hová fogjuk akasztani, és vajon az esztétikai értéke arányose az árával. Ugyanez a helyzet a matematikával – és minden más intellektuális világszemlélettel, legyen az természettudományos, politikai vagy vallásos. Mielőtt megveszünk valamit, bölcs dolog eldönteni, mire akarjuk használni. Tehát, mire jó a matematika? A természet minden mintája rejtvény, és majdnem mindig nehéz. A matematika ragyogóan tud segíteni a rejtvényfejtésben. Többé-kevésbé szisztematikus módszer ez arra, hogy megtaláljuk a törvényeket és struktúrákat, amelyek egy megfigyelt minta vagy szabályosság mögött rejlenek, és ezek segítségével megmagyarázza a történéseket. Valóban, a matematika és a természet megértése egymás mellett, egymást erősítve fejlődtek. Említettem Kepler elemzését a hópelyhekről, de az ő leghíresebb felfedezése a bolygópályák alakja volt. Miután matematikailag elemezte Tycho Brahe, a kortárs dán csillagász megfigyeléseit, Kepler egyértelműen arra a következtetésre jutott, hogy a bolygók ellipszispályán mozognak. Az ellipszis tojás alakú görbe, amelyet az ókori görögök sokat tanulmányoztak, de a bolygópályák leírásához ők inkább köröket és körrendszereket használtak, így Kepler modellje a maga korában gyökeresen újnak számított. Az emberek mindig annak fényében értelmezik az új felfedezéseket, hogy mit tartanak fontosnak. Amikor Kepler új ideájáról tudomást szereztek, a csillagászok számára ez azt jelentette: a görög geometria sokáig elhanyagolt fogalmai segítségükre lehetnek a bolygómozgások előrejelzésében. Nem volt szükségük nagy fantáziára ahhoz, hogy felmérjék, milyen óriási előrelépés Kepler felismerése. Mindenfajta csillagászati jelenség, napfogyatkozás, holdfogyatkozás, meteorhullás, üstökösök, ugyanolyan fajta matematikára vezetnek. Az üzenet a matematikusok számára ezzel szemben egészen más volt. Mégpedig: az ellipszisek valóban érdekes görbék. Nekik sem volt nagy képzelőerőre szükségük, hogy felmérjék: a görbék általános elmélete még érdekesebb volna. Sikerült módosítaniuk az ellipszishez vezető geometriai szabályokat, hogy más görbéket is kapjanak. Hasonlóképpen, mikor Isaac Newton megtette diadalmas felfedezését, amely szerint valamely tárgy mozgása leírható a testre ható erők és a gyorsulása közötti matematikai összefüggéssel, a matematikusok és a fizikusok megint csak más-más tanulságot vontak le. Mielőtt azonban ezekre a tanulságokra rátérek, el kell magyaráznom, mi a gyorsulás. A gyorsulás ravasz fogalom: nem alapmennyiség, mint a hossz vagy a tömeg, hanem egy változás mértéke. Valójában egy változásmérték változásának mértéke. Valamely test sebessége – a gyorsaság, amivel adott irányban halad – változásmérték: annak mértéke, ahogyan a test adott ponttól vett távolsága változik. Ha egy autó óránként 90 km-es állandó sebességgel halad, akkor a kiindulópontjától mért távolsága minden órában 90 km-rel változik. A gyorsulás a sebesség változásának mértéke. Ha a kocsi sebessége óránként 90 km-ről óránként 100 km-re nő, a kocsi meghatározott mértékben gyorsul. Ez a mérték nemcsak a kezdeti és végsebességtől függ, hanem attól is, milyen gyorsan következett be a változás. Ha a kocsinak egy órára volt szüksége, hogy sebességét óránként 10 km-rel növelje, a gyorsulás nagyon kicsi; ha ugyanez csak tíz másodpercet igényel, a gyorsulás sokkal nagyobb. Nem kívánom taglalni a gyorsulás mérését. Amit én itt meg szeretnék értetni, az általánosabb: a gyorsulás egy változásmérték változásának mértéke. Távolságokat akár zsinórmértékkel is kiszámíthatunk, de sokkal nehezebb kiszámítani valamely távolság változási mértékének változási mértékét. Ezért volt szüksége az emberiségnek oly hosszú időre, no meg Newton zsenialitására, hogy a mozgás alaptörvényét felfedezze. Ha a minta a távolságok egyszerű jellemzője lett volna, történelmünkben a mozgást sokkal korábban leírták volna. Hogy a változás mértékével kapcsolatos kérdéseket megoldják, Newton és tőle függetlenül Gottfried Leibniz német matematikus felfedezték a matematika új ágát, a kalkulust (vagyis a
differenciálszámítást). Ez megváltoztatta a Föld arculatát – szó szerint és átvitt értelemben egyaránt. De az ötletek, amiket ez a felfedezés csiholt, megint csak nagyon eltérőek voltak a különböző foglalkozásúak esetében. A fizikusok új természeti törvények keresésére indultak, amelyek a természeti jelenségeket a változás mértékének nyelvén magyarázzák meg. Találtak is jócskán – a hő, hang, fény, folyadékdinamika, rugalmasság, elektromosság, mágnesesség területén. Még az elemi részecskék legmisztikusabb modern elméletei is a matematikának ezt a fajtáját aknázzák ki, habár az értelmezés – és bizonyos értelemben a mögöttes világszemlélet – más. Akárhogy is, a matematikusok tökéletesen más kérdéskomplexummal foglalkoztak. Mindenekelőtt hosszasan viaskodtak azzal, mit is jelent valójában a „változás mértéke”. Hogy egy mozgó tárgy sebességét kiszámítsuk, meg kell mérnünk, hol van, meg kell állapítanunk, hogy nagyon rövid idő elteltével hova kerül, és el kell osztanunk a távolságot az eltelt idővel. Ha viszont a test gyorsul, az eredmény függ a választott időintervallumtól. A matematikusoknak és a fizikusoknak ugyanaz a sejtésük volt arról, hogyan kell megoldani ezt a problémát: a választott intervallumnak a lehető legkisebbnek kell lennie. Minden tökéletesen rendben volna, ha használhatnánk zérus hosszúságú intervallumot, de sajnos ez nem megy, mivel mind a befutott távolság, mind az eltelt idő zérus, és a változás mértékét megadó hányados 0/0, ami értelmetlen. A nem zéró intervallumokkal az a baj, hogy bármelyiket választjuk, mindig választhatnánk nála kisebbet, hogy pontosabb eredményt kapjunk. Amire valójában kíváncsiak vagyunk, az a legkisebb nemzéró időintervallum – de ilyen nincs, mert bármely nemzéró számra a fele is nemzéró. Minden könnyen kiszámítható volna, ha létezne végtelenül kicsiny intervallum – „infinitezimális”. Sajnos nehéz logikai paradoxonok következnének az infinitezimális fogalmából; speciálisan, a szó szokásos értelmében vett számok körében pedig ilyen nincs is. Így idestova két évszázada az emberiség különös helyzetben van a kalkulus tekintetében. A fizikusok nagy sikerrel használták, hogy megértsék a természetet és megjósolják, hogyan fog viselkedni; a matematikusok még azt sem tisztázták, mit jelent ez a kalkulus, és hogyan építsék fel helyes matematikai elméletként; a filozófusok pedig kifejtették, hogy az egész zagyvaság. Gyakorlatilag minden megoldódott, ha a hozzáállásban erős különbségek is érezhetők. A kalkulus története két dolgot mindjárt megmutat, amire a matematika használható: eszközöket nyújt, amelyekkel a természettudósok kiszámítják, mi történik a természetben, és új kérdéseket szolgáltat a matematikusoknak, hogy kedvükre válogassanak belőle. Az imént vázoltak a matematika külső és belső szempontjai; gyakran úgy hivatkoznak rájuk, mint alkalmazott és elméleti matematikára (nem szeretem ezeket a jelzőket, a belőlük következő szétválasztást még kevésbé). Ebben az esetben megtörténhet, hogy a fizikusok kimondják: ha a kalkulus módszerei beválnak, kit érdekel, hogy miért? Hasonló felfogást vallanak, akik ma büszkén pragmatistának mondják magukat. Elismerem, sok tekintetben igazuk van. A hídtervező mérnökök joggal alkalmaznak bizonyos szabványos matematikai módszereket, ha nem is ismerik ezeknek a módszereknek a részletes és sokszor misztikusan hangzó igazolását. A magam részéről mégis kényelmetlenül érezném magam, ha végig kellene hajtanom egy ilyen hídon, amennyiben tudomásomra jutna, hogy senki nem tudja, mi igazolja a fenti módszereket. Tehát egy bizonyos kulturális szint fölött megéri, hogy tartsanak néhány embert, aki tépelődik a gyakorlati módszerek fölött és megpróbál rájönni, mitől válnak be. És ez többek között a matematikusok dolga. Élvezik, az emberiség többi része pedig élvezi munkájuk sokféle gyümölcsét, amint azt látni fogjuk. Röviden, nem sok múlik azon, vajon a matematikusok elégedettek-e a kalkulus logikai helyességével vagy sem. Hosszú távon azonban azok az új ötletek, amelyekhez a matematikusok jutottak, miközben ezeken a belső nehézségeken törték a fejüket, a külvilág számára roppant hasznosnak bizonyultak. Newton idejében lehetetlen volt megjósolni, miben áll majd ez a haszon, de úgy gondolom, azt már
akkor tudni lehetett, hogy lesz ilyen. A matematika és a „való világ” közti kapcsolatban a legfurcsább, de egyben a legszilárdabb tény: a jó matematika, bármi legyen is a forrása, végül hasznosnak is bizonyul. Sokfajta elmélet született, hogy ezt megmagyarázza, az emberi elme felépítésének boncolgatásától ama feltevésig, miszerint az univerzum kis matematikai morzsákból épül fel. Nekem az az érzésem, hogy a válasz valószínűleg egészen egyszerű: a matematika a minták[1] tudománya, a természet pedig kihasználja minden egyes mintájának létezését. Bevallom, sokkal nehezebben tudom megokolni miért viselkedik így a természet. Talán ezt a kérdést meg kellene fordítanunk: az ilyen kérdéseket feltevő lények csak ilyen univerzumban tudnak élni.[2] Bármi legyen is az oka, a matematika feltétlenül hasznos módszer a természetről való gondolkodásra. Mit várunk tőle: mit mondjon el nekünk a megfigyelt mintákról? Sokféle felelet van. Meg akarjuk érteni mikéntjüket és miértjüket, ami nem ugyanaz; a legkielégítőbb módon rendszerbe foglalni az alapvető mintákat és szabályosságokat; megjósolni a természet viselkedését; saját céljainknak megfelelően irányítani a természetet; valamint gyakorlati hasznot húzni abból, amit világunkról megtudtunk. A matematika mindehhez hozzásegít, sőt gyakran nélkülözhetetlen is ebben. Vegyük példának okáért a csigaház spirális alakját. Hogy a csiga hogyan készíti a házát, kémiai és genetikai kérdés. Anélkül, hogy a finom részletekbe belemennénk, a csiga génjei tartalmazzák a recepteket speciális vegyszerek előállítására, továbbá utasításokat, hogy azok hova kerüljenek. Itt a matematika molekuláris könyvelést készít, amely megadja a végbemenő kémiai reakciók értelmét; leírja a csigaház anyagának szilárdságát, illetve merevségét a csiga testének puhaságához, illetve hajlékonyságához viszonyítva, és így tovább. Valójában, matematika nélkül soha nem győződtünk volna meg arról, hogy az anyag atomokból áll, és nem számíthattuk volna ki az atomok elrendeződését. A gének és később a DNS, az örökítőanyag molekuláris szerkezetének felfedezése nagymértékben matematikai kulcsok felismerésén múlott. Gregor Mendel szerzetes csinos számszerű összefüggéseket vett észre abban, ahogyan a különböző jellemzőkkel, így például a más színű maggal bíró növények aránya változik keresztezéskor. Ez vezetett a genetika alapeszméjéhez – hogy minden organizmusban tényezők rejtélyes kombinációja fejti ki hatását, amely meghatározza fizikai felépítésének számos jellemzőjét, és hogy ezek a tényezők valahogyan öszekeverednek és kicserélődnek, amikor a szülőkből az utódba jutnak. A matematikának több különböző ága is szerepet játszott annak felfedezésében, hogy a DNS szerkezete a híres kettős spirál. Meglátásaik olyan egyszerűek voltak, mint Chargaff szabályai – az ausztriai születésű Erwin Chargaff biokémikus észrevette, hogy a DNS-molekula négy bázisának előfordulási aránya összefügg – és olyan magas szintűek, mint a diffrakciós törvények, amiket arra használtak, hogy a DNS-kristályok röntgenképéből megállapítsák molekuláris felépítésüket. A kérdés, hogy miért spirális a csigaház, egészen más jellegű. Többféle szempontból is felvethetjük – rövid távon, mondjuk a biológiai fejlődés szempontjából, vagy hosszú távon, az evolúció szemszögéből. A fejlődéstörténet számára a fő matematikai jellemző a spirál általános alakja. Alapjában véve a fejlődéstörténet egy olyan élőlény geometriájáról szól, amelyik lényegében folyamatosan egyformán viselkedik, miközben egyre nagyobb lesz. Képzeljünk el egy apró állatkát, apró hozzáilleszkedő ős-házzal. Majd az állat növekedni kezd. A legkönnyebben annak az iránynak a mentén tud növekedni, amerre házának nyitott pereme mutat, minden más irányban akadályozza őt a ház. Ha azonban kicsit már növekedett, a házát is meg kell növelnie, védelem céljából. Így persze a ház újabb anyaggyűrűt növeszt a pereme körül. Ahogy ez a folyamat továbbhalad, az állat egyre nagyobb lesz, és a perem mérete is nő. A legegyszerűbb megoldás a problémára kúp alakú ház volna, amit a tengeri csigánál találunk. Ha viszont az egész rendszer kis csavarodással kezdődik, ami fölöttébb valószínű, akkor a ház növekvő széle lassan el is fordul növekedés közben, és a
középponttól távolodva mindinkább elfordul. Az eredmény olyan kúp, amely folyton növekvő spirál alakban csavarodik. Használhatunk matematikát a fenti geometriai jelenség valamennyi változójának – mint a növekedési ráta, valamint a középponttól való távolság növekedése – leírására. Ha ehelyett evolúciós magyarázatot keresünk, inkább a ház szilárdságára kell figyelnünk, amely az evolúcióban előnyt jelent, s azt kell kiszámítanunk, vajon egy hosszú vékony kúp erősebb vagy gyengébb-e, mint egy szorosan feltekert spirál. Ha nagyratörőbbek vagyunk, matematikai modelleket alkothatunk magáról az evolúciós folyamatról, a véletlen genetikai változással – azaz a mutációkkal – és a természetes kiválasztódással kombinálva. Figyelemre méltó példa ebből a fajtából a szem evolúciójának számítógépes szimulációja, amelyet Daniel Nilsson és Susanne Pelger végeztek el, és 1994-ben publikáltak. Emlékeztetünk arra, hogy a hagyományos evolúciós elmélet az állatok alakjában bekövetkezett változásokat véletlen mutációk eredményének tekinti. Ezt követi azoknak az egyedeknek a kiválasztódása, amelyek a leginkább alkalmasak a túlélésre és fajtájuk szaporítására. Amikor Charles Darwin ezt az elméletet közzétette, az első fölmerülő ellenvetések azzal érveltek, hogy az összetett struktúrák (amilyen a szem) teljesen ki kell, fejlődjenek, különben képtelenek valóban működni (a szem egyik fele semmire se jó), ám annak esélye, hogy a véletlen mutáció komplex változások megfelelő sorozatát hozza létre, elhanyagolható. Az evolúcionisták azzal vágtak vissza, hogy míg a szem egyik fele nem sokra jó, egy félig kifejlődött szem annál inkább. Egy szem retinával, de mondjuk lencse nélkül, össze fogja gyűjteni a fényt, és így követni fogja a külső mozgást; s minden javulás a ragadozók észrevételében evolúciós előnyt jelent az egyednek. Mindez szóbeli ellenvetés az elmélettel szemben, és szóbeli felelet rá. De a friss számítógépes elemzés sokkal tovább megy. Sejtekből alkotott sík felület matematikai modelljéből indul ki, és különféle „mutációkat” enged meg. Egyes sejtek érzékenyebbé válhatnak a fényre, vagy a sejtfelület hajlított alakot vehet fel. A matematikai modellt számítógépes programként állították fel, amely elvégzi a fenti véletlen változtatásokat, és kiszámítja, mennyire alkalmas a kapott struktúra a fény követésére, illetve a „látott” minták felismerésére. Mindig azt a változást választja ki, amely növeli ezeket a képességeket. Egy szimuláció során, amely körülbelül négyszázezeréves periódusnak felel meg – evolúciós mértékkel mérve egyetlen szemvillanás –, a sejtfelület gömbbé hajlik, rajta apró, szivárványhártyaszerű nyílással, és ami a legdrámaibb, lencsével. Ráadásul, akár a mi szemünk lencséinél, ennek a lencsének a törésmutatója – annak mértéke, amennyire megtöri a fényt – pontról pontra változik. Mi több, a törésmutató változásának mintája, amit a számítógépes szimulációval nyertek, hasonlít a miénkhez. A matematika tehát megmutatja, hogy a szem feltétlenül képes fokozatosan és természetes módon fejlődni, növekvő túlélési esélyt biztosítva minden fázisban. S ami ennél több: Nilsson és Pelger munkája demonstrálja, hogy ha adottak bizonyos kulcsfontosságú biológiai képességek, ez (úgymint a sejtek fényérzékenysége és mozgékonysága) a szemhez határozottan hasonló struktúrák kialakulását vonja maga után – Darwin természetes kiválasztódási elméletével teljes összhangban. A matematikai modell sok további részletet is kiad, amit a darwini érvelés csak sejtés formájában tartalmazott, és a modell révén sokkal nagyobb biztonsággal állíthatjuk, hogy az elmélet korrekt.
1. ábra A szem evolúciójának számítógépes modellje. A számítás minden lépése kb. kétszáz év biológiai evolúciónak felel meg. Azt mondtam, a matematika további feladata, hogy az alapvető mintákat és szabályosságokat a legkielégítőbb módon rendszerbe szervezze. Ennek megvilágítására térjünk vissza az első fejezetben fölvetett kérdésre. Melyik minta jelentős (ha egyáltalán valamelyik az): az Orion-öv csillagainak három-egy-sorban mintája vagy a három-egy-sorban minta a Jupiter holdjainak keringési periódusában? Először foglalkozzunk az Orionnal. Az antik civilizációk az égen látható csillagokat állatok és mitikus hősök képeibe szervezték. Ezekben a képekben az Orion három csillagának egy vonalba esése fontos, különben a hősnek nem volna öve, amiből kardját előhúzza. Ha azonban háromdimenziós geometriát használunk szervező elvként, és a három csillagot valódi pozíciójukba helyezzük, azt találjuk, hogy a Földtől igencsak eltérő távolságban vannak. Hogy a Földről úgy látszanak, mint egymástól azonos távolságra levő pontok, csak véletlen, a nézőpont következménye. Maga a „konstelláció” (együttállás) szó is félrevezető tetszőleges nézőpont esetén. Az Io, Európa és Ganümédesz keringési periódusainak numerikus összefüggése ugyanígy lehetne a nézőpont esetleges megválasztásának következménye. Honnan gondoljuk, hogy a „keringési periódus” a természetben bármiféle jelentőséggel bír? Ám ez a numerikus összefüggés egy bizonyos dinamikus keretbe nagyon is beleillik. Példa ez az ún. rezonanciára, amely periodikusan mozgó testek közt fennálló viszonyrendszer, ebben ciklusaik szorosan összefüggnek, úgyhogy szabályos intervallumokban a testeknek ugyanazt az egymáshoz viszonyított pozíciót kell felvenniük. Ezt a közös ciklusidőt a rendszer periódusidejének nevezzük. Az egyes testeknek lehet különböző, de egymással összefüggő periódusa. Ki tudjuk számítani a köztük fennálló összefüggést. Ahol a rezonancia jelensége fellép, a szóban forgó összes testnek megszabott viszonyítási pozícióba kell kerülnie, miután a ciklusok egész számú többszöröse letelt – de ezek az egész számok különbözők is lehetnek. Így van a rendszernek valamilyen közös periódusa, s minden egyes test periódusa ennek egész számú osztója. Ebben az esetben a Ganümédesz periódusa 7,16 nap. Az Európa periódusa nagyon közel van a Ganümédeszének a feléhez, az Io-é pedig az egynegyedéhez. Az Io négyszer kerüli meg a Jupitert, amíg az Európa kétszer, és a Ganümédesz egyszer, miután mindannyian az eredeti pozícióba kerülnek vissza. Ezt 4:2:1 rezonanciának nevezzük. A Naprendszer dinamikája tele van rezonanciákkal. A Hold forgási periódusa (bizonyos csekély
eltérésektől eltekintve, amit más testek perturbációja okoz) ugyanannyi, mint a Föld körüli keringés periódusa – ez tehát 1:1 rezonancia a forgási és a keringési periódus között. Ezért mindig ugyanazt az oldalát látjuk a Holdnak, a „túlsó oldalát” soha. A Merkúr 58,65 nap alatt fordul meg a tengelye körül, és a Napot 87,97 nap alatt kerüli meg. Mármost, 2×87,97=175,94 és 3×58,65=175,95, tehát a Merkúr forgási és keringési periódusai 2:3 arányú rezonanciában vannak. (Valójában hosszú ideig úgy hitték, hogy ez a rezonancia 1:1, és mindkét szám körülbelül 88, mivel nehéz egy bolygót megfigyelni, ha ennyire közel kering a Naphoz. Ez okozta a hiedelmet, mely szerint a Merkúr egyik oldala hihetetlenül forró, és a másik hihetetlenül hideg, ami nem igaz. Rezonancia viszont mégiscsak van – ráadásul érdekesebb, mint a puszta egyenlőség.) A Mars és a Jupiter között helyezkedik el a kisbolygók öve. Ez egy apró testek ezreit tartalmazó széles zóna, amelyben e testek nem egyenletesen oszlanak el. A Naptól bizonyos távolságokra „kisbolygó-övecskéket” találunk; más távolságokban alig. A magyarázat mindkét esetben a Jupiterrel való rezonancia. A Hilda kisbolygócsoport, az egyik övecske, 2:3 rezonanciában van a Jupiterrel. Azaz éppen olyan távolságban, hogy minden Hilda-beli kisbolygó háromszor kerüli meg a Napot, amíg a Jupiter kétszer. A legészrevehetőbb hézagok a 2:1, 3:1, 4:1 és 7:2 rezonanciáknál találhatók. Az olvasó fennakadhat rajta, hogy a rezonanciákkal magyarázzuk mind a besűrűsödés, mind a ritkulás jelenségét. Az ok: minden egyes rezonanciának sajátos dinamikája van; egyesek sűrűsödést okoznak, mások az ellenkezőjét. Minden a rezonancia pontos értékén múlik. A matematika további szerepe az előrejelzés. Az égitestek mozgásának megértése tette lehetővé a hold- és napfogyatkozások, valamint az üstösök visszatérésének előrejelzését. A csillagászok tudták, merre irányítsák távcsövüket, hogy megtaláljanak olyan kisbolygókat, amelyek a Nap mögé kerültek; s amelyek megfigyelése különben lehetetlen volt. Mivel az árapály jelenségét lényegében a Napnak és a Holdnak a Földhöz viszonyított pozíciója vezérli, az apályt és dagályt sok évre előre tudták jelezni. (A fő bonyolító tényező ilyen jóslatoknál nem csillagászati jellegű; az egyik a kontinensek alakja, a másik az óceánok medrének terepviszonyai, ami késleltetni vagy siettetni tudja a dagályt. Ugyanakkor ezek egy évszázad alatt nemigen változnak, így módosító hatásuk rutinszerűen beszámítható.) Ezzel szemben az időjárást sokkal nehezebb előre jelezni. Ugyanannyit tudunk az időjárás matematikájáról, mint az árapályéról, de az időjárás alapvetően jósolhatatlan. Ennek ellenére a meteorológusok hatékony rövid távú előrejelzéseket tudnak adni az időjárási mintákra – körülbelül három-négy napra előre. Az időjárás jósolhatatlanságának ugyanakkor semmi köze a véletlenhez – ezt a témát a 8. fejezetben taglaljuk, amikor a káosz fogalmát tárgyaljuk. A matematika szerepe messze túlmegy a puszta előrejelzésen. Ha megértettük, hogy egy adott rendszer hogyan működik, nem kényszerülünk passzív megfigyelésre. Megkísérelhetjük vezérelni a rendszert, hogy az történjen benne, amit mi akarunk. Túl nagy ambíciókat nem érdemes táplálnunk: az időjárásvezérlés például gyerekcipőben jár – nemigen tudunk esőt csinálni, még akkor sem, ha körös-körül esőfelhők vannak. A rendszerek vezérlésére példák széles skáláját hozhatjuk fel, a bojler vízhőmérsékletét szabályozó termosztáttól egészen az erdőirtásig. Bonyolult matematikai vezérlő rendszer nélkül az űrhajó úgy repülne, mint a tégla – hiszen annak is tekinthető mivel egy pilóta sem képes elég gyorsan korrigálni szükségszerű instabilitási tényezőket. A szívbetegek elektronikus pacemakere a vezérlés egy másik példája. E példák mutatják meg a matematika legföldhözragadtabb aspektusát: a gyakorlatban alkalmazhatósággal bizonyítja a matematika, hogy érdemes művelni. Világunk matematikai alapon nyugszik, és a matematika elválaszthatatlanul beleágyazódott egész kultúránkba. Azért nem vesszük mindig észre, mennyire erősen érinti életünket, mert – érthetően – lehetőleg minél jobban a színfalak mögött tartják. Amikor elmegyünk az utazási irodába és befizetünk egy útra, nem kell értenünk a
bonyolult matematikai és fizikai elméleteket, amelyek lehetővé teszik számítógépek és telefonvonalak tervezését, vagy az optimalizáló eljárásokat, amelyek segítségével a lehető legtöbb repülőjáratot ütemezik be egy repülőtérre, vagy a jelfeldolgozási módszereket, amelyek pontos radarképeket adnak a pilótáknak. Amikor egy tv-műsort nézünk, nem kell értenünk a képernyőn speciális effektusok létrehozására használt háromdimenziós geometriát, a mesterséges holdakkal televíziós jelek továbbításához alkalmazott kódolási módszereket, a mesterséges hold Föld körüli mozgását leíró egyenletek matematikáját és a matematika ezernyi különböző alkalmazását, melyeket a mesterséges hold pályára állításához használt űrhajó gyártásának minden egyes lépésekor találnánk. Amikor a farmer új burgonyafajtát ültet, nem kell ismernie a genetika statisztikus elméleteteit, amelyek segítségével azonosították az adott fajtát a betegségekkel szemben ellenállóvá tevő géneket. Mindazonáltal egyszer a múltban valakinek meg kellett értenie mindezt, különben az utasszállító repülőgépeket, a televíziót, az űrhajót, az ellenálló burgonyafajtát mind nem találták volna fel. És valakinek most is kell értenie hozzájuk, különben nem üzemelnének tovább. Azután valakinek új matematikát kell felfedeznie a jövőben, meg kell tudnia oldani eddig fel sem merült, vagy megoldhatatlannak tartott problémákat, különben társadalmunk lemarad, amikor a változás megoldást követel új problémákra, vagy új megoldást a régiekre. Ha a matematika és minden, ami rajta nyugszik, valahogyan hirtelen kivonódna világunkból, az emberi társadalom egy pillanat alatt összeomlana. És ha a matematika befagyna, s egyetlen lépést sem haladna előre, civilizációnk elkezdene visszafejlődni. Nem kívánhatjuk az új matematikától, hogy azonnal pénzben mérhető hasznot hozzon. Beváltani egy matematikai ötletet valamire, ami egy gyárban vagy egy lakásban hasznot hoz, ehhez időre van szükség. Sok időre: nemritkán egy évszázadra is. Az 5. fejezetben látni fogjuk, hogy a hegedűhúr rezgésének vizsgálata a 17. században hogyan vezetett el háromszáz évvel később a rádióhullámok felfedezéséhez, majd pedig a rádió, a radar és a televízió feltalálásához. Gyorsabban is elvezethetett volna, de nem sokkal gyorsabban. Ha azt gondoljuk – ahogyan egyre inkább menedzser stílusú kultúránkban sokan gondolják –, hogy a tudományos kutatás folyamata felgyorsítható, ha az alkalmazásra koncentrálunk és mit sem törődünk a „kuriózumok felé forduló” kutatással, súlyosan tévedünk. Valójában magát a „kuriózumok felé forduló kutatás” kifejezést nemrég találták ki fantáziaszegény bürokraták, az elméleti szakemberek szándékos elhallgattatása céljából. Vágyuk csinos kis projektek után, amelyek garantált és gyors profitot kínálnak, túlságosan is naiv, mert a célorientált kutatás csak megjósolható eredményeket hoz. Látnunk kell a célt ahhoz, hogy megcélozhassuk. De amit látunk, azt a versenytársaink is látják. A biztos kutatás szorgalmazása mindannyiunkat egyszerre szegényít el. A valóban fontos áttörések mindig megjósolhatatlanok. Éppen a megjósolhatatlanságuk teszi őket fontossá: olyan módon változtatják meg világunkat, ahogyan nem számítottunk rá. A célorientált kutatás ráadásul gyakran egyszer csak „falnak ütközik”, és nemcsak a matematikában. Például, hozzávetőleg nyolcvan évbe és intenzív mérnöki erőfeszítésbe került a fénymásoló gép kifejlesztése, miután a xeroxozás alapelvét a tudósok már felfedezték. Az első fax nagyjából egy évszázaddal ezelőtt elkészült, de nem működött elég gyorsan és megbízhatóan. A holográfia elvét (nézzük csak meg a háromdimenziós képet a hitelkártyákon) több mint egy évszázada felfedezték, de senki sem tudta, hogyan kell a hozzá szükséges koherens fénynyalábot előállítani – olyan fényt, amelyben a hullámok együtt haladnak. Az effajta késlekedés nem ritka az iparban, az intellektuálisabb kutatási területeket nem is említve, és a zsákutcából általában csak akkor jutnak ki, mikor váratlanul új ötletek jelennek meg. Nincs semmi rossz a célorientált kutatásban, ha konkrét, elérhető célokért folyik. De az álmodozóknak
és különcöknek is kell adni valamennyi szabadságot. Világunk nem statikus: folyton új problémák merülnek fel, és a régi válaszok sokszor elavulnak. Ahogy Lewis Carroll Vörös Királynőjének, nekünk is nagyon gyorsan kell futnunk, hogy nyugodtan állhassunk.
3. FEJEZET Miről szól a matematika? Amikor meghalljuk a „matematika” szót, elsőnek a számok jutnak eszünkbe. A számok alkotják a matematika szívét, hatásuk mindig érezhető, a számok az a nyersanyag, amelyből a matematika nagy része kikovácsolódik. Mégis, a számok önmagukban csak elenyésző részét alkotják a matematikának. Korábban már említettem, hogy matematikával teli világban élünk, de ahol csak lehet, a matematikát a szőnyeg alá söprik, hogy világunk „user-friendly” (vagyis „felhasználóbarát”, ahogyan a számítógépforgalmazó cégek mondják) legyen. Ugyanakkor, bizonyos matematikai fogalmak annyira alapvetőek, hogy nem rejthetők el; a számok adják erre a legjobb példát. Például, ha nem lennénk képesek a tojások megszámlálására és a visszajáró pénz kiszámítására, még élelmiszert sem tudnánk vásárolni. Ezért aztán oktatják is a számtant. Mégpedig mindenkinek. Ha valaki nem tud számolni, éppoly hátrányos helyzetű, mint az analfabéta. Ezért közkeletű a felfogás, mely szerint a matematika főleg a számokkal kapcsolatos, pedig valójában nem erről van szó. A számolási trükkök, amelyeket az aritmetikában tanulunk, csak a jéghegy csúcsát alkotják. Élhetjük mindennapi életünket anélkül, hogy sokkal többet tudnánk matematikából, kultúránk azonban nem tudja működtetni társadalmunkat, ha az eszközök közül ennyire keveset vesz igénybe. A számok csak egy fajtája az objektumoknak, amelyekről a matematikus gondolkozik. Ebben a fejezetben megpróbálok néhány mást is megmutatni és megmagyarázni, miért fontosak. Szükségszerűen magukból a számokból indulok ki. A matematika korai történetének zöme összefoglalható, mint a rátalálás különböző civilizációkban azon dolgok egyre szélesebb skálájára, amelyeket számoknak nevezhetünk. A legegyszerűbbek a számlálásra használt számok. Valójában a számlálás jóval megelőzte az 1, 2, 3 szimbólumok kialakulását – hiszen lehet számlálni számok nélkül is, például az ujjainkkal. Kiszámolhatjuk, hogy „két kéznyi és egy hüvelykujjnyi tevém van”, mindig kihajlítva egy-egy ujjunkat, s rápillantva egy-egy tevére. Nem szükséges, hogy fogalmunk legyen a „tizenegyes” számról annak nyomon követésére, vajon lopják-e a tevéinket. Csak azt kell észrevennünk, hogy legközelebb két kéznyi tevénk van – tehát egy hüvelykujjnyi teve hiányzik. A számlálást karcolásokkal is feljegyezhetjük fadarabon vagy csonton. Jeleket is használhatunk számlálóként – agyagkorongokat juhok képeivel juhok számlálására, vagy tevék képével díszített agyagkorongot tevék számlálására. Ahogy egy állat elhalad előttünk, bedobunk egy zsákba egy korongot. A szimbólumok használata számok jelzésére valószínűleg körülbelül ötezer évvel ezelőtt alakult ki, amikor ilyenfajta számlálókat raktak egy lezárt agyagtartóba. Túl bonyolultnak bizonyult, hogy amikor a számvevők ellenőrizni akarták ennek tartalmát, az agyagedényt fel kellett törni, és az ellenőrzés végeztével újat készíteni. Így aztán speciális jeleket helyeztek el a tartó külsejére, megjegyzendő, hogy mi van benne. Később rájöttek, hogy egyáltalán nem kell belerakni semmit: ugyanezeket a jeleket róhatják agyagtáblácskára is. Csodálatos, hogy mennyire hosszú időbe telik, mire meglátjuk a nyilvánvalót. Persze ez csak most nyilvánvaló. A következő felfedezés a számok terén a tört volt – az a számfajta, amit ma úgy jelölünk: 2/3
(kétharmad) vagy 22/7 (huszonkét heted – vagy akár három egész egy heted). A törtekkel nem lehet számolni – bár kétharmad teve megehető, de nem megszámlálható –, ehelyett sokkal érdekesebb dolgokat tehetünk velük. Például ha három testvér az örökségen, két tevén osztozik, úgy képzeljük, hogy mindegyiknek a tulajdona lesz kétharmad teve – ez a fikció teljesen törvényes, és annyira kényelmes, hogy elfelejtjük, milyen furcsa, ha szó szerint vesszük. Sokkal később, Kr. u. 400 és 1200 között a nulla fogalmát is felfedezték, és elfogadták, hogy számot jelöl. Ha úgy véljük, nagyon furcsa a nullának ez az igen kései törvényesítése, vegyük tekintetbe, hogy hosszú ideig az „egy”-et sem tekintették számnak, mert úgy gondolták, hogy csak több dolgot lehet megszámolni. Sok történelemkönyvben olvasható: a nulla megjelenésében a kulcsidea az volt, hogy szimbólumot találtak a „semmire”. Ez az aritmetika gyakorlati szempontjából persze hasznos volt; a matematika számára viszont fontossága egy újfajta szám fogalmában rejlett, egy száméban, amely reprezentálta a „semmi” konkrét ideáját. A matematika alkalmaz szimbólumokat, de ugyanúgy nem azonos velük, mint a zene a kottával vagy a nyelv az ábécé betűivel. Carl Friedrich Gauss, akit sokan minden matematikus legnagyobbikának tartanak, egyszer (latinul) ezt mondta: Mi lényeges a matematikában? Nem a jelölések, hanem a fogalmak. A latinban ez szójáték: „non notationes, sed notiones”. A számfogalom következő bővítése a negatív számok felfedezése volt. Ismét nem sok értelme van mínusz két tevének, legalábbis szó szerint; de ha két tevével tartozunk valakinek, mégiscsak kettővel csökken a tulajdonunkban lévő tevék száma. Tehát egy negatív szám úgy képzelhető el, mint ami valamilyen adósságot reprezentál. Sok más módja van, hogyan értelmezzük ezeket a valamivel misztikusabb számokat; például a negatív hőmérséklet (Celsius fokban) a fagypont alatti hőmérséklet, és egy negatív sebességű tárgy visszafelé mozog. Tehát ugyanaz az elvont matematikai fogalom a természet többféle nézőpontjához is kapcsolódhat. A törtek tökéletesen elegendőek a legtöbb kereskedelmi tevékenységhez, de nem a matematikához. Például, ahogy azt az ókori görögök, bánatukra, felfedezték, a kettő négyzetgyöke nem fejezhető ki pontosan törtként. Vagyis, ha bármely törtet megszorzunk önmagával, nem kaphatunk pontosan kettőt. Egészen közel juthatunk hozzá – mondjuk, a 17/12 négyzete 289/144, és ha 288/144 volna, kettőt kapnánk. De nem annyi és akármilyen törttel próbálkozunk, nem kapunk kettőt. A kettő négyzetgyökét, amit általában jellel jelölünk, így „irracionálisnak” mondjuk. A legegyszerűbb mód a számok halmazának kibővítésére, úgy, hogy az irracionálisak is beletartozzanak, az ún. valós számok bevezetése. Lélegzetelállítóan alkalmatlan név ez, mivel a valós számokat olyan tizedes törtekkel ábrázoljuk, amelyek akármeddig folytatódnak, mint a 3,141599..., ahol a pontok végtelen sok tizedesjegyet jelentenek. Hogyan lehet egy dolog valóságos, ha le sem tudjuk írni teljesen? Ez a név mégis megmaradt, bizonyára mert a valós számok sok vizuális érzetünket öntik formába a hosszúságokról és a távolságokról. A valós számok az emberi elme által alkotott elvonatkoztatások közül a legmerészebbek közé tartozik, ennek ellenére évszázadokig vidáman használták őket, anélkül, hogy bárki kétkedett volna a mögöttük meghúzódó logikában. Paradox módon, az emberek nagyon sokat kételkedtek a számfogalom ezt követő kibővítésében, pedig az teljesen ártalmatlan volt. Ez, a negatív számok négyzetgyökének bevezetése, az „imaginárius” és a „komplex” számokhoz vezetett. Egy vérbeli matematikus soha nem megy el nélkülük otthonról, de szerencsére ebben a könyvben sehol nem lesz szükség a komplex számok ismeretére, így hát a matematikai szőnyeg alá söpröm őket; remélem, nem fogják észrevenni. Ugyanakkor szeretném hangsúlyozni, hogy amíg egy végtelen tizedes törtet könnyen értelmezhetünk, valamilyen hosszúság vagy súly mérése egyre finomuló sorozatának végállomásaként, addig a mínusz egy négyzetgyökének egyszerű, szemléletes interpretációja nem kézenfekvő.
A jelenleg érvényes szóhasználat szerint a 0, 1, 2, 3... számokat természetes számoknak mondják. Ha negatív egész számok is megengedettek, egész számokról beszélünk. A pozitív és negatív törteket racionális számoknak hívjuk. A valós számok fogalma ennél általánosabb, a komplexeké még általánosabb. Így öt számhalmazunk van, mindegyik nagyobb, mint az előző: természetes számok, egészek, racionálisak, valós számok és komplex számok. Ebben a könyvben az egészek és a valósak halmaza lesz fontos. Ugyanilyen gyakran kell majd beszélnünk a racionális számokról; és, mint említettem, a komplex számokat teljesen ki tudjuk kerülni. Remélem azonban, mostantól megértik, hogy ennek a szónak: „szám”, nincs semmilyen istenadta, változtathatatlan jelentése. Többször is kitágult ennek a szónak a jelentése, ami elvileg akármikor újra bekövetkezhet. Ugyanakkor a matematika nem szűkíthető le a számokra. Futólag már találkoztunk egy másfajta matematikai fogalommal, a művelettel; példa rá az összeadás, kivonás, szorzás, osztás. Általában a művelet két (néha több) matematikai objektumra alkalmazható, hogy segítségével egy harmadik objektumot kapjunk. Céloztam már egy harmadik fajta matematikai objektumra is, amikor a négyzetgyököket említettem. Ha kiindulunk egy számból és a négyzetgyökét képezzük, új számot kapunk. Az ilyen „objektum” neve függvény. Egy függvényt úgy kell elképzelnünk, mint egy matematikai szabályt, amely kiindul valamely matematikai objektumból – általában egy számból –, és egy másik objektumot rendel hozzá speciális módon. A függvényeket gyakran definiálják algebrai képletekkel, amelyek rövid formái a szabály magyarázatának, de bármilyen más alkalmas módon is definiálhatók. Egy másik kifejezés, ami ugyanazt jelenti, mint a függvény, a transzformáció: a szabály az első objektumot a másodikba transzformálja. Ezt a kifejezést általában akkor használják, amikor a szabályok geometriai jellegűek. A 6. fejezetben alkalmazunk majd transzformációkat, hogy megragadjuk a szimmetria matematikai lényegét. A műveletek és a függvények nagyon hasonló fogalmak. Valójában az általánosság megfelelő szintjén nem szükséges már őket megkülönböztetnünk. Mindkettő inkább folyamat, mint dolog. S most itt a pillanat, hogy kinyissuk Pandóra szelencéjét és bemutassuk az egyik leghatásosabb fegyvert a matematikus fegyvertárából, amit így hívhatnánk: a folyamatok „dolgokká tétele”. A matematika „dolgai” nem léteznek a való világban; absztrakciók. Csakhogy a matematikai folyamatok is absztrakciók, tehát a folyamatok nem kevésbé „dolgok”, mint azok a „dolgok”, amelyekre alkalmazzuk őket. Kézenfekvő ezért a folyamatok „dolgokká tétele”. Valójában tudok olyan esetet, amikor a „kettes” szám éppen hogy nem dolog, hanem folyamat – az a folyamat, amikor éppen számláljuk a tevéket és a juhokat, s ellátjuk őket az „1, 2” címkékkel. A szám olyan folyamat, amelyet nagyon régen dologgá tettünk, és mindenki dologként gondol rájuk. Ugyanennyire megengedhető – bár legtöbbünk számára kevésbé természetes –, hogy egy műveletre vagy egy függvényre úgy gondoljunk, mint egy dologra. Például beszélhetünk a „négyzetgyökről”, mintha dolog volna és itt most nem egy bizonyos szám négyzetgyökére gondolok. Ebben a képben a négyzetgyök függvény valamilyen hurkatöltő gép: az egyik végén betöltünk egy számot, a négyzetgyöke pedig kijön a másikon. A 6. fejezetben a sík és a tér mozgatásait úgy tekintem majd, mintha dolgok lennének. Már most figyelmeztetem az olvasót, mert lehet, hogy zavarni fogja majd. De nem a matematikusok az egyedüliek, akik a „dologgá tevés” vagy „dologiasítás” játékot játsszák. A törvénykezés a „lopásról” úgy beszél, mint dologról; mi több, pontosan be is határolja – bűncselekmény. Olyan mondatokban, mint „a nyugati társadalom két fő rákfenéje a kábítószer és a lopás”, találunk egy igazi dolgot és egy dologgá tevésből származó dolgot, miközben úgy kezelik őket, mintha ugyanazon a szinten lennének. Mert a lopás folyamat, amelynek során tulajdonom máshoz kerül át az én beleegyezésem nélkül, de a kábítószer valóságosan létező tárgy. A számítógéptudósoknak van egy jó kifejezésük azokra a képződményekre, amelyek számokból
dologiasítási eljárásokkal építhetők fel: adatstruktúráknak hívják őket. Jól ismert példák a számítógéptudományban a listák (számok sorozatai) és a tömbök (számtáblázatok több sorral és oszloppal). Említettem már, hogy a számítógép képernyője számpárok listájaként is felfogható; ez egy bonyolultabb, de egészen szemléletes adatstruktúra. Elképzelhetők sokkal bonyolultabb lehetőségek is – tömbök, amelyek számok helyett listákból álló táblázatok; tömbök listái; tömbök tömbjei; listák tömbjeinek listáinak listái... A matematika hasonló módon építi gondolati objektumait. Amikor a matematika logikai alapjai még éppen csak kialakulóban voltak, Bertrand Russell és Alfred North Whitehead írtak egy hatalmas háromkötetetes művet, a Principia Mathematicát, s ez a lehető legegyszerűbb logikai egységgel kezdődött, a halmaz fogalmával. A halmaz dolgok gyűjteménye. A szerzők fő célja a matematika logikai struktúrájának elemzése volt, de erőfeszítéseik zöme arra irányult, hogy megfelelő adatstruktúrákat tervezzenek a matematikai gondolkodás fontos objektumai számára. A matematika képe alapvető objektumainak ebben a leírásában egy fához hasonlít, amelynek gyökerei – a számok –, egyre ravaszabb adatstruktúrákba ágaznak el, ahogy a törzstől az ágak felé, ágaktól az ágacskákhoz, ágacskáktól a gallyakhoz... haladunk. Ebből a képből mégis hiányzik egy lényeges összetevő. Figyelmen kívül hagyja, hogyan hatnak egymásra a matematikai fogalmak. A matematika nem egymástól elszigetelt tények gyűjteménye: nem puszta táj; sajátos földrajza van, amit felhasználói és alkotói jól ismernek, miközben keresztülnavigálnak rajta. E sajátos geográfia nélkül áthatolhatatlan dzsungel lenne ez a táj. Például van valamiféle képletes távolságérzék. Bármelyik matematikai tény közelében ott találunk más hozzá kapcsolódó tényeket. Például a tény, hogy a kör kerülete az átmérőjének π szerese, szorosan összefügg azzal, hogy a kerület a sugár két π szerese. A két tény között közvetlen a kapcsolat: az átmérő a sugár duplája. Ezzel szemben nem egymáshoz kapcsolódó fogalmaknak nagyobb a távolságuk; például az a tény, miszerint pontosan hatféle módon rendezhetünk sorba három tárgyat, igen távol áll a fenti, körökkel kapcsolatos tényektől. Van valamiféle képletes érzékünk a magaslatokról is. „A magasba törő csúcsok kilyukasztják az eget” – a fontos, széles körben használható ideák messziről láthatók, mint a Pitagorasz-tétel a derékszögű háromszögekről, vagy a differenciálszámítás alapvető technikái. Minden kanyarban új látkép rajzolódik ki – váratlan folyó, amit csak köveken lépkedve tudunk átszelni, hatalmas, nyugodt tó, átjárhatatlan gleccserszakadék. A matematika alkalmazója csak a vidék jól kitaposott ösvényein jár. Az alkotó matematikus felkutatja ismeretlen titkait, feltérképezi azokat, és utakat épít rajtuk keresztül, hogy mindenki számára hozzáférhetők legyenek. E táj egybekapcsolására a bizonyítás szolgál. A bizonyítás jelöli ki az utat az egyik ténytől a másikig. Hivatásos matematikus nem tekint érvényesnek semmilyen állítást mindaddig, amíg az be nincs bizonyítva logikai hiba nélkül. Ám vannak határok: mit bizonyíthatunk be és hogyan. A filozófia és a matematika megalapozásának tudománya igen nagy munkát fordított arra, hogy megmutassa: nem bizonyíthatunk bármit, mert valahonnét ki kell indulnunk; s ha már eldöntöttük, honnan induljunk, bizonyos állítások bizonyíthatatlanok vagy cáfolhatatlanok lehetnek. Nem kívánok ebben az irányban továbbhaladni; ehelyett gyakorlatiasan szemügyre veszem, mik a bizonyítások és miért szükségesek. A matematikai logika tankönyvei szerint a bizonyítás állítások sorozata, ezek mindegyike vagy előző állításokból következik, vagy axiómákból – bizonyíthatatlan, de explicite feltételezett állításokból, amelyek végső soron meg is határozzák a matematika éppen vizsgált területét. Ez így körülbelül annyit mond számunkra, mintha egy regényt mondatok sorozataként jellemeznénk, mely mondatok mindegyike vagy utal egy ismert szövegre, vagy hihetően következik az előző mondatokból. Mindkét meghatározásból csak a lényeg hiányzik: hogy akár a bizonyításnak, akár a regénynek érdekesnek kell lennie. Másodlagos szempontot ragadnak meg, ti. a sztori meggyőző voltát, és a használandó
formátumot is megjelölik, de a legfontosabb jellemző, valljuk be, mégiscsak egy lendületes jó sztori volna. Nagyon kevés tankönyv beszél erről. Legtöbbünket felbosszant egy logikai bakugrással teli film, legyen mégoly fényes a technikai kivitele. Nemrég láttam egy ilyet, ebben egy repülőteret gerillák foglalnak el, és az irányítótorony elektronikus berendezését a sajátjukkal helyettesítik. A személyzet és a főhős aztán a filmből másfél órát vagy még többet (sztori-időben mérve több órát) töltenek el azzal, hogy képtelenek kommunikálni a közeledő repülőgépekkel, amelyek egyre jobban összetorlódnak a magasban, és az üzemanyaguk is kifogy. Senkinek nem tűnik fel, hogy van egy tökéletesen működő repülőtér alig 50 kilométernyire, és eszükbe se jut, hogy telefonáljanak a legközelebbi légibázisra. A sztorit ragyogóan és fényűzően vitték filmre – és bután. Ettől még sokan élvezhetik a filmet, a kritikai szintjük, úgy látszik, alacsonyabb, mint az enyém. De mindannyiunknak vannak korlátai, meddig fogadunk el valamit hihetőnek. Ha egy amúgy realisztikus filmben egy gyerek azzal szórakozna, hogy felkap egy házat, és odébbviszi, legtöbbünk elvesztené az érdeklődését. Hasonlóan, a matematikai bizonyítás maga is történet a működő matematikáról. Nem fontos, hogy minden i-re kitegye a pontot és áthúzza minden t szárát; az olvasók maguk is elvégezhetik a rutinlépéseket – ahogy a film szereplői is felbukkanhatnak váratlanul új körülmények között anélkül, hogy tudnánk, hogyan kerültek oda. De a sztoriban nem lehetnek hézagok, és a cselekménynek bizonyosan hihetőnek kell lennie. A szabályok szigorúak: a matematikában egyetlen rés is végzetes. Sőt, egy nemnyilvánvaló logikai rés ugyanúgy, mint egy nyilvánvaló. Vegyünk egy példát. Egyszerűt választottam, hogy elkerüljük a technikai nehézségeket; ezért aztán a bizonyítás egyszerű és nem túlságosan jelentős sztorit mesél el. Egy kollégámtól loptam, aki SHIP/DOCK Tételnek nevezi. Bizonyára ismeri az olvasó azt a rejtvényt, amiben adott egy szó (SHIP), amit át kell alakítani egy másikká (DOCK), mindig csak egy betűt változtatva, és végig értelmes szavakon haladva. Megpróbálhatná az olvasó is megfejteni a rejtvényt még most, mielőtt tovább olvasna: akkor talán könnyebben megértené a tételt és a bizonyítását. Íme egy megoldás:
[3]
Számtalan lehetőség van, és némelyik még kevesebb szóval is megoldható. De ha eljátszadozunk ezzel a problémával, észre fogjuk venni, hogy minden megoldásban van valami közös: legalább az egyik közbülső szó tartalmazni fog két magánhangzót. Rendben van, bizonyítsuk be! Nem fogadok el semmiféle kísérleti bizonyítékot. Hiába hoz valaki száz megoldást, és mindben akad egy-egy szó két magánhangzóval. Egy ilyen bizonyíték nem felel meg nekünk, egyrészt, mert valami azt súgja, hátha elnéztünk egy jó megoldást, ami ilyen szót nem tartalmaz. Másrészt bizonyára azt is érezzük: „ez nyilvánvaló”. Egyetértek: de miért nyilvánvaló? Most önök olyan lelkiállapotba kerültek, amiben a matematikusok idejük nagy részét töltik: ez a frusztráció. Már tudják, mit akarnak bizonyítani, hisznek benne, de nem látják, milyen meggyőző sztori-ív alkalmas a bizonyításra. Ez azt jelenti, hogy hiányzik valami kulcsötletük, ami az egész
problémát feltárná önök előtt. Hadd adjak önöknek ilyen ötletet. Gondolkozzanak el rajta néhány percig, és megtapasztalhatják a matematikus sokkalta kellemesebb lelkiállapotát: a megvilágosodást. Az ötlet a következő: Minden, az angol nyelvben valóban létező szó tartalmaz legalább egy magánhangzót. Egész egyszerű kis állítás. Először is, győződjenek meg róla, hogy igaz. (Itt elfogadható egy szótárban történő keresés, feltéve, hogy nagy szótárról van szó.) Akkor hát tekintsük az állítás következményeit! Rendben, akár megcsinálták, akár föladták. Mindkét esetben ugyanezt tette számos matematikai problémájával minden hivatásos matematikus. És most jön a trükk. Arra kell koncentrálniuk, mi történik a magánhangzókkal. Ezek a hegycsúcsok a SHIP/DOCK tájon, azok az útjelzők, amelyek körül a bizonyítás ösvénye kanyarog. A SHIP kezdőszó csak egy magánhangzót tartalmaz, a harmadik helyen. A DOCK végszó is egyet, a második helyen. Hogyan válthat helyet a magánhangzó? Három lehetőség van. Átugorhat az egyik helyről a másikra; teljesen eltűnhet és újra megjelenhet később; vagy pedig többlet magánhangzó vagy magánhangzók keletkezhetnek, majd később eltűnhetnek. A harmadik lehetőség egyenesen a tételhez vezet. Mivel egyszerre csak egy betű változhat, egy bizonyos fázisban a szónak egymagánhangzósból kétmagánhangzósba kell átmennie. Nem ugorhat például egyből háromba. De mi a helyzet a másik két lehetőséggel? Ötletem az, hogy a SHIP szó egyetlen magánhangzója nem tűnhet el. Így már csak az első lehetőség marad, ahol mindig pontosan egy magánhangzó van, de az a harmadik helyről valamikor átugrik a másodikba. Ám ez egyetlen betű megváltoztatásával lehetetlen. Egy lépésben egy harmadik helyen lévő magánhangzóból és egy második helyen lévő mássalhangzóból kellene egy harmadik helyen lévő mássalhangzót és egy második helyen lévő magánhangzót faragni. Két betűnek kellene változnia egyszerre, ami nem megengedett. Q.E.D.[4] Egy matematikus sokkal formálisabban írná le ezt a bizonyítást, kicsit a tankönyvbeli modellhez hasonlóan, de a fontos az, hogy a sztori meggyőző legyen. Mint minden jó sztori, van eleje és van vége, és egy íve, amely eljuttatja az olvasót az elejétől a végéig, logikai hézag nélkül. Bár az előbbi nagyon egyszerű példa volt, és egyáltalán nem standard matematika, a lényeget láttatni engedi; többek között az óriási különbséget a természetes módon meggyőző érv és az „integetős” érv között, amely elfogadható, mégsem átütő. Remélem, sikerült elérni, hogy az olvasó átélje az alkotó matematikus néhány lelkiállapotát: a frusztrációt amiatt, hogy nem sikerült még kezelni azt, aminek egész könnyű kérdésnek kellene lennie, a lelkesültséget, amikor földereng a fény, a gyanakvást, amikor ellenőrizzük az érvelést, nincs-e benne logikai hézag, az esztétikai örömöt, amikor eldöntöttük, hogy az idea valóban helyes, és látjuk, milyen elegánsan vágta keresztül a gordiuszi csomót. Az alkotó matematika éppen ilyen – csak komolyabb a tárgya. A bizonyításoknak meggyőzőeknek kell lenniük, ahhoz, hogy a matematikusok elfogadják őket. Sok olyan eset fordult elő, amikor igen nagy numerikus adathalmaz rossz megoldást sugallt. Egy közismert példa a prímszámokkal kapcsolatos ezek azok a számok, amelyeknek két osztója van: önmaguk és az 1. A prímszámok sorozata a 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 sorozattal kezdődik, és akármeddig folytatódik. A 2-től eltekintve mindegyik páratlan; a páratlan prímek kétfélék: azok, amelyek eggyel kisebbek, mint a négy többszöröse (3, 7, 11, 19) és amelyek eggyel nagyobbak, mint a négy többszöröse (5, 13, 17). Ha a prímek sorozatán haladva mindig megszámoljuk, hány prím esik az egyik, illetve a másik osztályba, megfigyelhetjük, hogy mindig több van az „eggyel kisebb”, mint az „eggyel nagyobb” osztályban. Például a fenti hét prím közül négy esik az első, és három a második osztályba. Ez a minta kitart legalább egybillióig, és teljesen indokolt volna azt sejteni, hogy mindig érvényes. De mégsem ez a helyzet.
A számelmélet szakemberei indirekt módszerekkel kimutatták, hogy amikor elég nagy prímeket vizsgálunk, a szituáció megváltozik, és az „eggyel nagyobb” osztály kezd vezetni. Ennek a ténynek az első bizonyítása csak 10'10'10'10'46-nál nagyobb számokra működött. Hogy a nyomtató macskakörmeit elkerüljem, a ' jelet használtam a hatványozás jelölésére. Ez csillagászatian nagy szám. Ha teljesen kiirnánk, tömérdek nullát kellene a végére írni. Ha a kozmoszban minden papírrá változna, és minden elektronra ráírnánk egy nullát, még úgy is csak apró töredékét tudnánk leírni a szükséges nulláknak. Nincs a kísérleti tapasztalatoknak olyan mennyisége, ami szavatolná, hogy kivételek ne merüljenek fel a megsejtett szabály alól, még ha ezek a kivételek csak a fenti nagyságrendű számoknál jelentkeznek is. Sajnos a matematikában a ritka kivételek is számítanak. A hétköznapi életben nem szoktunk aggódni olyan események miatt, amelyek billió esetből egyszer következnek be. Szokott ön aggódni, hogy eltalálja egy meteorit? Ennek az esélye kb. egy a trillióhoz. A matematika azonban a logikai következtetéseket sorra egymásra rakja, és ha csak egy lépés hibás, az egész épület összedőlhet. Ha azt állítottuk, hogy minden szám egy bizonyos módon viselkedik, és akár csak egy szám mégsem így, akkor tévedtünk, és mindennek az érvényessége, amit erre a hamis állításra építettünk, bizonytalanná válik. Még a legjobb matematikusokkal is előfordult: kijelentették valamiről, hogy bebizonyították, később azonban kiderült, hogy állításuk nem állja meg a helyét, volt a bizonyításukban egy megbúvó rés, vagy a számításaikban valami egyszerű hiba, esetleg figyelmetlenségből feltételeztek valamit, ami mégsem volt olyan sziklaszilárdan igaz, mint képzelték. Ezért aztán az évszázadok során a matematikusok megtanulták, hogy nagyon kritikusak legyenek a bizonyításokkal szemben. A bizonyítások tartják össze a matematika szövetét, ha csak egy cérnaszál is gyenge, az egész szövet szétbomolhat.
4. FEJEZET A változás állandói Az emberi gondolkodás a természetről évszázadok óta két szélsőséges nézet között ingadozik. Az egyik szerint az univerzum rögzített, változatlan törvényeknek engedelmeskedik, és minden egy jól definiált, objektív valóságban létezik. Az ezzel ellentétes vélekedés szerint ilyen objektív realitás nincs; minden áramlás, minden változás. Ahogy Hérakleitosz, a görög filozófus kifejezte: „Nem léphetsz kétszer ugyanabba a folyóba”. A természettudományban kialakulásakor nagyrészt az első nézőpont uralkodott. Egyre több jel utal azonban arra, hogy az élenjáró kulturális irányzatok a második nézőpont felé fordulnak – egészen különböző áramlatok, amilyen a posztmodernizmus, a kibernetika vagy a káosz elmélete tették bizonytalanabbá a hitet a valóság objektivitásában, és indították újra az örök vitát a merev törvényekről, valamint a rugalmas változásról. Nem tehetünk mást, mint hogy mindenestől kilépjünk ebből a hiábavaló játékból. Meg kellene találnunk az utat visszafelé a két ellentétes világnézetből – nem annyira szintézist keresve, mint inkább úgy látva mindkét nézetet, mint a valóság valamely magasabb rendjének árnyékát, olyan árnyékokat, amelyek csak azért különböznek, mert ezt a magasabb rendet két különböző irányból szemlélik. De létezik-e ilyen magasabb rend, és ha igen, elérhető-e? Sokak számára mind a mai napig – többek között természettudósok számána is – Isaac Newton képviseli a racionalizmus diadalát a miszticizmus felett. Maynard Keynes, a híres közgazdász Newton, the Man (Newton, az ember) című esszéjében másként vélekedik: „A 18. században és azóta is Newtonról úgy gondolkodnak, mint a modern kor természettudósai közül
az elsőről és a legnagyobbról, a racionalistáról, aki megtanított minket arra, hogy hideg és rendíthetetlen ésszel gondolkodjunk. Én nem így látom őt. Nem hiszem, hogy aki figyelmet szentelt annak a ládának a töredékesen ránk maradt tartalmára, amelybe Newton becsomagolt, mikor végül 1696-ban elhagyta Cambridgeet, ilyennek láthatná őt. Newton nem az első embere volt az ész korának. Az utolsó varázsló volt, az utolsó a babiloniak, a sumérok közül, az utolsó nagy elme, aki ugyanazzal a szemmel nézett a látható és az intellektuális világra, mint akik nem egészen 10.000 évvel ezelőtt elkezdték építeni a mi szellemi örökségünket. Isaac Newton, az 1642 karácsonyán árván született gyermek volt az utolsó csodagyerek, akit megillethetne a Háromkirályok őszinte és illő alázata.” Keynes itt Newton személyiségére gondolt, valamint érdeklődésére, ami az alkímia és a vallás iránt éppúgy megmutatkozott, mint a matematika és a fizika iránt. De mi is megtaláljuk Newton matematikájában az első jelentős lépést afelé a világnézet felé, amely meghaladja és egyesíti a merev törvényt és a változékony áramlást. Az univerzum tűnhet a változás vihar korbácsolta óceánjának, ám Newton, s előtte pedig Galilei és Kepler, az óriások, akiknek ő a vállára állt, megértették, hogy e változás törvényeknek engedelmeskedik. Nemcsak együtt léteznek törvény és áramlás, hanem a törvény hozza létre az áramlást. A káosz, illetve a komplexitás napjainkban kifejlődő tudománya térképezi fel a fentiek hiányzó ellentétét: az áramlás törvényt hoz létre. De ez már egy másik történet, amit az utolsó fejezetre tartogatunk. Newton előtt a matematika a természetnek egy lényegében statikus modelljét fogalmazta meg. Kevés kivétellel a legnyilvánvalóbb Ptolemaiosz elmélete a bolygók mozgásáról, amely nagyon pontosan rögzítette a megfigyelt változásokat körök egy rendszerének használatával, ezek a körök középpontok körül forogtak, s a középpontok maguk is forgó körökhöz tartoztak – kerékben-kerékben-kerék. Csakhogy akkor a matematika feladata a természet által használt „ideális formák” katalógusának elkészítése volt. A kört tartották a lehető legtökéletesebb formának, annak a demokratikus felismerésnek a nyomán, hogy a kör kerületének minden pontja ugyanolyan távol van a középponttól. A természet, mely magasabb rendű lények alkotása, már meghatározása szerint is tökéletes, és az ideális formák matematikai tökéletességek, a kettő tehát természetszerűleg összeillik. A tökéletességről pedig úgy gondolták, hogy nem csúfítja el semmilyen változás. Kepler szembeszállt ezzel a felfogással, amikor a bonyolult körrendszerek helyébe ellipsziseket képzelt. Végül Newton teljesen elvetette ezt a felfogást, és a formákat az őket létrehozó törvényekkel helyettesítette. Bár következményei beláthatatlanok, a mozgás Newton-féle megközelítése valójában egyszerű. Szemléltethető egy lövedék, például egy bizonyos szögben kilőtt ágyúgolyó mozgásával. Galilei kísérletei során felfedezte, hogy egy ilyen lövedék pályája ún. parabola, az ókori görögök által már ismert görbe, s kapcsolatos az ellipszissel. Ebben az esetben fordított U betűt formáz. A parabolapálya úgy érthető meg a legjobban, ha a lövedék mozgását két független komponensre bontjuk: vízszintes irányú és függőleges irányú mozgásra. Ha külön-külön foglalkozunk e kétfajta mozgással, és csak akkor rakjuk össze őket újra, ha külön-külön már megértettük, látni fogjuk, miért lesz a pálya parabola. Az ágyúgolyó vízszintes irányú mozgása nagyon egyszerű: állandó sebességgel történik. Függőleges irányú mozgása az érdekesebb. Egészen gyorsan kezd felfelé mozogni, aztán lelassul, míg egyszer csak egy pillanatra mintha megállna a levegőben, aztán elkezd lefelé esni, először lassan, majd gyorsan növekvő sebességgel. Newton felismerése az volt, hogy bár az ágyúgolyó helyzete egészen bonyolult módon változik,
sebessége sokkal egyszerűbben, gyorsulása pedig már egészen egyszerűen alakul. A következő oldalon lévő 2. ábra együtt mutatja a három függvényt és a köztük fennálló kapcsolatot az alábbi példában.
2. ábra A kalkulus dióhéjban. Három matematikai minta, amelyeket az ágyúgolyó határoz meg: magasság, sebesség, gyorsulás. A magasság mintája, amit közvetlenül megfigyelünk, bonyolult. Newton rájött, hogy a sebesség mintája egyszerűbb, a gyorsulásé pedig még ennél is egyszerűbb. A kalkulus két fő operációja, a differenciálás és az integrálás, lehetővé teszi, hogy akármelyik mintáról akármelyik másikra térjünk át. Tehát dolgozhatunk e legegyszerűbbel, a gyorsulással, s belőle levezethetjük – amelyikre valóban kiváncsiak voltunk – a magasságot. A szemléletesség kedvéért tegyük fel, hogy a kezdeti sebesség felfelé ötven méter másodpercenként (50 m/sec). Akkor az ágyúgolyó magassága a föld felett, egymásodperces időközökben: 0, 45, 80, 105, 120, 125, 120, 105, 80, 45, 0. Láthatjuk ezekből a számokból, hogy a golyó felszáll, a csúcsnál megáll, majd leszáll. Az adatsor általános mintája azonban nem teljesen nyilvánvaló. A nehézséget Galilei és még inkább Newton idejében fogalmazták meg, tudniillik, nehéz volt ezeknek a számoknak a közvetlen mérése. Galilei golyót görgetett fel egy enyhe lejtőn, hogy az egész folyamatot lelassítsa. A legnagyobb nehézséget az idő pontos mérése jelentette: Stillmann Drake történész hipotézise szerint Galilei talán dúdolt magában, és a zenei ütemet fejben felosztotta, ahogyan a zenészek. A távolságok adatsorának mintája rejtvényszerű, de a sebességeké sokkal világosabb. A golyó 50 m/sec-os felfelé irányuló sebességgel indul. Egy másodperccel később a sebesség (nagyjából) 40
m/sec; újabb másodperc elteltével 30 m/sec; aztán 20 m/sec, 10 m/sec, végül 0 m/sec (a golyó egy pillanatra mozdulatlanná válik). Újabb másodperc elteltével a sebesség 10 m/sec lefelé. Negatív számokat használva ezt úgy tekinthetjük, mint egy felfelé irányuló -10 m/sec-os sebességet. A további másodpercekben a minta így folytatódik: -20 m/sec, -30 m/sec, -40 m/sec, -50 m/sec. Ezen a ponton az ágyúgolyó eléri a talajt. A sebességek sorozata tehát, egymásodpercenként mérve: 50, 40, 30, 20, 10, 0, -10, -20, -30, -40, -50. Mármost itt a mintát nehéz nem észrevenni, de menjünk egy lépéssel tovább, és nézzük meg a gyorsulásokat. Az ágyúgolyó gyorsulásának megfelelő sorozat, ismét negatív számokat használva a lefelé tartó mozgáshoz: -10, -10, -10, -10, -10, -10, -10, -10, -10, -10, -10. Azt hiszem, egyetértenek abban, hogy ez egy fokozhatatlanul egyszerű sorozat. A golyó lefelé irányuló állandó 10 m/s2 gyorsulással halad. (A valóságos érték 9,81 m/s 2 körül ingadozik, attól függően, hogy a kísérletet a Földnek mely pontján hajtjuk végre. De a 10-es számmal könnyebb dolgozni.) Hogyan tudjuk megmagyarázni ezt az állandót, amely megbúvik a mozgás változói között? Miért marad állandó a gyorsulás, mikor minden más változik? Az egyik meggyőző magyarázatnak két eleme van. Az első, hogy a Föld húzza lefelé a golyót; vagyis a gravitációs erő hat a golyóra. Indokolt feltételeznünk, hogy ez az erő különböző magasságokban ugyanakkora. Valóban, azért érezzük, hogy súlyunk van, mert a gravitáció lefelé húzza testünket, és akkor is ugyanannyit nyomunk, ha egy magas épület tetején állunk. Persze, ebből a mindennapi megfigyeléshez folyamodó hivatkozásból nem derül ki, mi történik, ha a távolság meglehetősen nagy – mondjuk a Hold és a Föld távolsága. Ez megint egy másik történet, amire később röviden visszatérünk. A magyarázat második eleme az igazi áttörés. Adott egy test, amire állandó lefelé irányuló erő hat, és azt tapasztaljuk, hogy lefelé irányuló gyorsulása állandó. Tegyük fel az érvelés kedvéért, hogy a gravitációs erő sokkal nagyobb: ekkor elvárhatjuk, hogy a lefelé való gyorsulás is sokkal nagyobb legyen. Anélkül, hogy átmennénk egy nehéz bolygóra, például a Jupiterre, nem tudjuk kipróbálni ezt az ötletet, mégis indokoltnak látszik; s ugyanilyen indokolt feltennünk, hogy a Jupiteren a lefelé tartó gyorsulás ismét állandó lenne – persze az ittenitől különböző állandó. A legegyszerűbb elmélet, ami a valódi és a gondolatkísérleteknek e vegyülékével összhangban áll, úgy szól, hogy ha erő hat egy testre, akkor a test gyorsulása egyenesen arányos az erővel. És ez Newton mozgástörvényének lényege. Most már csupán az a feltevés hiányzik, hogy ez mindig igaz, minden testre és minden erőre, függetlenül attól, hogy az erő állandó marad-e vagy sem; valamint az arányossági tényező azonosítása a test tömegével. Hogy pontosak legyünk, Newton mozgástörvénye kimondja: tömeg × gyorsulás = erő. Hát ez az. Nagy erénye, hogy érvényes minden erő- és tömegrendszerre, beleértve az időben változókat is. Nem sejthettük ezt az univerzális alkalmazhatóságot abból az érvelésből, ami a törvényhez vezetett, mégis így alakult. Newton három mozgástörvényt mondott ki, de a modern megközelítés ugyanazon matematikai egyenlet három aspektusának tekinti ezeket. A „Newton mozgástörvénye” mondattal ezért a továbbiakban az egész hármas csomagra utalok. A hegy lábánál álló hegymászót természetes ösztöne arra bírja, hogy megmássza a hegyet; a matematikust, ki leül egy egyenlethez, természetes ösztöne arra bírja, hogy megoldja azt. De hogyan? Ha adott egy test tömege és a rá ható erők, könnyen meg tudjuk oldani az egyenletet, hogy megkapjuk a gyorsulást. Csakhogy ezt a választ rossz kérdésre adtuk. Ha tudjuk, hogy egy ágyúgolyó gyorsulása 10 m/s2, ez még nem ad kézenfekvő információt pályájának alakjáról. Itt jön be a kalkulusnak
(differenciál- és integrálszámításnak) nevezett matematikai ágazat; Newton (és Leibniz) voltaképpen ezért találták fel. A kalkulus egy manapság integrálásnak nevezett technikát szolgáltat, ami lehetővé teszi, hogy a gyorsulást minden pillanatban ismerve kiszámítsuk a sebességet minden pillanatra. Ha ugyanezt a trükköt megismételjük, megkapjuk a helyet is minden pillanatban. Ez hát a válasz a jó kérdésre. Ahogy korábban már mondtam, a sebesség a helyváltoztatás mértéke, míg a gyorsulás a sebességváltozásé. A kalkulus egy abból a célból kifejlesztett matematikai módszer, hogy a változásmértékekkel kapcsolatos kérdéseket megoldja. Pontosabban technikát szolgáltat arra is, hogy változásmértékeket megállapítsunk – ez a differenciálásnak nevezett technika. Az integrálás „visszacsinálja”, amit a differenciálás elvégzett; kétszeri integrálás pedig visszacsinálja, amit a kétszeri differenciálás elvégzett. Mint Janus, a római isten ikerarcai, a kalkulusnak ezek az ikertechnikái két ellentétes irányba mutatnak. Közben megmondják, hogy akármelyik függvényt ismerve – a hely, a sebesség vagy a gyorsulás közül – minden pillanatban, hogyan számítsuk ki a másik kettőt. Newton mozgástörvénye fontos leckére tanít: az út a természet törvényeitől a természet viselkedéséig nem okvetlenül közvetlen és nyilvánvaló. A megfigyelt viselkedés és a belőle következő törvény között szakadék tátong, amit az emberi elme csak matematikai számításokkal tud áthidalni. Ezzel nem azt sugalljuk, hogy a természet nem más, mint matematika – hogy (mint azt Paul Dirac fizikus mondta) „Isten matematikus”. Lehet, hogy a természet mintáinak és szabályosságainak más az eredete; de, végtére is, a matematika nagyon hatékony módszer az ember számára, hogy megértse ezeket a mintákat. A fizikának minden törvénye, amit Newton alapvető felismerése nyomán fedeztek fel – tudniillik, hogy a változás a természetben leírható matematikai eljárásokkal, csakúgy, ahogyan a természeti forma is leírható matematikával –, hasonló jelleget ölt. Ezek a törvények olyan egyenletekkel fogalmazhatók meg, amelyek nem elsősorban a fizikai mennyiségekhez kapcsolódnak, hanem azok időbeli változásának mértékéhez. Például a „hővezetési egyenlet”, amely megadja, hogyan terjed a hő egy hővezető testben, nem másról szól, mint a test hőmérsékletének változásmértékéről; a „hullámegyenlet” pedig, amely leírja a hullámok mozgását a vízben, levegőben és más anyagokban, a hullámamplitúdó változásmértékének változásmértékét követi nyomon. A fény, hang, elektromosság, mágnesesség, anyagok rugalmas hajlítása, folyadékok áramlása vagy kémiai reakciók lefolyása, mind különböző változásmértékekre vonatkozó egyenletek. Mivel a változásmérték egy mennyiség jelenlegi és későbbi értéke közti különbség, az ilyen egyenleteket differenciálegyenleteknek hívjuk. A „differenciálás” kifejezés eredete ugyanez. Newton óta a matematikai fizika arra törekszik, hogy az univerzumot differenciálegyenletekkel írja le, és aztán megoldja azokat. Ugyanakkor, ahogy nyomon követtük ezt a törekvést bonyolultabb régiókban, a „megoldani” szó jelentése sok változáson ment keresztül. Először azt jelentette: pontos matematikai képletet találni, ami minden időpillanatban leírja, mi történik egy adott rendszerben. Newton felfedezése egy másik természeti mintáról, a gravitációs törvény, ilyenfajta megoldás volt. Kepler felfedezéséből indult ki, amely szerint a bolygók ellipszispályán mozognak, valamint Keplernek két másik észrevételéből. Newton azt kérdezte, milyen, a bolygóra ható erő szükséges ahhoz, hogy megkapjuk a Kepler által feltételezett ellipszismintát. Valójában Newton megpróbált fordított irányban dolgozni, indukcióval dedukció helyett. És nagyon szép eredményre jutott. A szükséges erő mindig a Nap irányába mutat; ezenkívül csökken, ha a Naptól mért távolság nő. Továbbá, e csökkenés egyszerű matematikai törvénynek tesz eleget, a távolság négyzetével fordított arányosság törvényének. Ez azt jelenti, hogy
egy kétszer akkora távolságban elhelyezkedő bolygóra negyedakkora erő hat, egy háromszor akkora távolságban levőre kilencedakkora, és így tovább. Ezt a felfedezést, ami olyan szép volt, hogy tudni lehetett: mély igazságot rejt a világról – már csak egy lépés választotta el annak megértéséig, hogy a fenti erő okozója elsősorban a Nap. A Nap vonzza a bolygót, de a vonzás gyengébb, ha a bolygó távolabb helyezkedik el. Csábító volt az ötlet, és Newton óriási szellemi ugrásra vállalkozott: feltételezte, hogy ugyanez a vonzóerő lép fel bármely két test között, bárhol a világegyetemben. Most, hogy „indukálta” az erőtörvényt, Newtonnak sikerült körbeérnie érvelésével, dedukálva a bolygómozgás geometriáját. Megoldotta a mozgás- és gravitációs törvényekből nyert egyenleteket két egymást kölcsönösen vonzó testre, amelyek eleget tesznek a távolság négyzetével fordított arányosság törvényének. Akkoriban a „megoldotta” annyit jelentett: talált egy matematikai képletet a mozgásuk leírására. A képlet kiadta, hogy ellipszispályákon kell mozogniuk közös tömegközéppontjuk körül. Ahogy a Mars a Nap körül óriási ellipszispályán kering, a Nap annyira kicsiny ellipszispályán mozog, hogy mozgása érzékelhetetlen. Valóban, a Nap tömege a Marshoz képest oly nagy, hogy a közös tömegközéppont mélyen a Nap felszíne alatt helyezkedik el, ami megmagyarázza, miért hitte Kepler, hogy a Mars a mozdulatlan Nap körüli ellipszispályán halad. Ám amikor Newton és követői megpróbáltak erre az eredményre támaszkodni három vagy még több test – például a Hold/Föld/Nap vagy akár az egész Naprendszer – által alkotott rendszer egyenleteinek megoldásakor, komoly technikai nehézségekbe ütköztek, és csak úgy tudták ezeket kikerülni, hogy megváltoztatták a „megoldani” szó jelentését. Nem találtak semmilyen képletet, amely az egyenleteket megoldaná, így feladták az ez irányú próbálkozásokat. Ehelyett megpróbáltak módszereket találni közelítő értékek kiszámítására. Például 1860 körül Charles-Eugčne Delaunay francia csillagász egy teljes könyvet töltött meg egyetlen közelítő számítással, amely a Föld és Nap gravitációs vonzása által befolyásolt Hold mozgását írja le. Igen pontos számítások voltak ezek – ezért is töltöttek meg egy könyvet –, és húszévi munkájába kerültek. Amikor 1970-ben végigellenőrizték egy szimbolikus algebrai számítógépes programmal, a számítás csupán húsz órát igényelt: mindössze három hibát találtak Delaunay művében, és azok sem voltak komolyak. A Hold/Föld/Nap mozgásának problémáját három-testproblémának hívjuk. Annyira más, mint a takaros két-testprobléma, amit Newton megoldott, mintha valami más bolygón egy másik galaxisban találták volna ki, vagy egy másik univerzumban. A három-test-probléma megoldást keres három tömeg mozgását leíró egyenletekre, ha ezek eleget tesznek a távolság négyzetével fordított arányosság törvényének. A matematikusok évszázadok óta próbáltak erre megoldást találni, de megdöbbentően kevés sikerrel, ha eltekintünk az olyan közelítésektől, mint Delaunay munkája, ami ráadásul csak a Hold/Föld/Nap speciális esetével foglalkozott. Kezelhetetlennek bizonyult továbbá az ún. leszűkített három-test-probléma is, ahol az egyik test tömege annyira kicsi, hogy úgy tekinthetjük, mintha nem gyakorolna erőt a másik kettőre. Ez volt az első intő jel arra nézve, hogy a törvények ismerete nem mindig elegendő egy rendszer viselkedésének megértéséhez; hogy a szakadék törvények és viselkedés között nem mindig hidalható át. A komoly erőfeszítések ellenére több mint háromszáz évvel Newton után máig sem ismerjük a teljes megoldást a három-test-problémára. Tudjuk viszont, hogy miért olyan nehéz ez a kérdés. A két-testprobléma „integrálható” – az energia és az impulzus megmaradásának törvénye annyira leszűkíti a lehetséges megoldások halmazát, hogy ez egyszerű matematikai formát kényszerít ki. 1994-ben Zhiong Xia, a Georgia Institute of Technology (USA) munkatársa bebizonyította, amit a matematikusok hosszú ideje gyanítottak: hogy egy három testből álló rendszer nem integrálható. Sőt, sokkal többet bizonyított be; kimutatta, hogy egy ilyen rendszer produkálni tudja az Arnold-diffúziónak nevezett különös jelenséget. Ezt először 1964-ben fedezte fel a Moszkvai Állami Egyetemen dolgozó
Vlagyimir Arnold. Az Arnold-diffúzió a testek egymáshoz viszonyított helyzetének igen lassú, „véletlen” ingadozása. Az ingadozás valójában nem véletlenszerű: ez is egy példa a manapság káoszként ismert viselkedésre – amely látszólag véletlen, de valójában tökéletesen meghatározott folyamat. Vegyük észre, hogy ez a megközelítés megint csak megváltoztatja az „oldd meg” jelentését. Először ez azt jelentette: „találj képletet”. Később pedig azt: „találj közelítő megoldást”. Végül nem várt mást, mint: „mondd meg, milyen a megoldás”. Mennyiségi válaszok helyett minőségi válaszokat keresünk. Bizonyos értelemben ez visszavonulásnak látszik: ha túl nehéz képletet találni, keress közelítést; ha még ezt se lehet, kísérelj meg minőségi leírást. Azonban tévedés ezt a fejleményt visszavonulásnak tekintenünk, mert a fenti jelentésváltozás arra tanított meg minket, hogy a három-test-problémához hasonló kérdések esetében egyáltalán nincs képlet. Be tudjuk bizonyítani, hogy vannak olyan minőségi szempontok, amelyeket egy képlet nem tudna figyelembe venni. Az ilyen kérdésekben képlet keresése légvárépítés volt. Miért akartak a tudósok elsősorban képletet találni? Azért, mert a dinamika korai szakaszában ez volt az egyetlen módja annak, hogy kiszámítsák, milyenfajta mozgás léphet fel. Később ugyanez az információ közelítő számításokból is megkapható volt. Napjainkban olyan elméletekből jutunk hozzá, amelyek közvetlenül és pontosan kezelik a mozgás minőségi aspektusait. Ahogy a következő néhány fejezetben látni fogjuk, ez a lépés a kimondottan kvalitatív elmélet felé nem visszalépés, hanem komoly fejlődés. Először azzal kezdjük, hogy a természet mintáit a saját formájukban próbáljuk megérteni.
5. FEJEZET A hegedűktől a videókig Immár hagyomány lett, ahogy megfigyeltem, szétválasztani a matematikát két különböző részágazatra, amelyeket a tiszta matematika és alkalmazott matematika címkével látnak el. Ez a szétválasztás zavarba ejtette volna a klasszikus idők nagy matematikusait. Carl Friedrich Gauss például legboldogabb a számelmélet elefántcsottornyában volt, ahol egyszerűen azért lelte élvezetét az absztrakt numerikus mintákban, mert szépek voltak és kihívást jelentettek. A számelméletet a „matematika királynőjének” nevezte, és nem állt tőle távol a poétikus eszménykép, amelyben a királynők finom szépségek, akik nem szennyezik be a kezüket semmi hasznossal. Ugyanakkor kiszámította a Ceresnek, az első felfedezett kisbolygónak a pályáját. Felfedezése után hamarosan a Ceres a Nap mögé került, és nem lehetett megfigyelni. Hacsak a pályáját nem számítják ki pontosan, a csillagászok nem találták volna meg, amikor megint látható lett hónapokkal később. Azonban a megfigyelések száma a kisbolygóra vonatkozóan olyan csekély volt, hogy a pálya kiszámítására használt szabvány módszerek nem szolgáltatták a kívánt pontosságot. Így aztán Gauss néhány komoly újítást vezetett be, közülük egyesek ma is használatosak. Virtuózhoz méltó teljesítmény volt, és megalapozta jó hírét a nyilvánosság előtt. És nem is ez volt az egyetlen gyakorlati alkalmazása az ő matematikai munkásságának: többek közt hozzájárult a fejlődéshez a geodéziai felmérő munkában, a távíró kifejlesztésében és a mágnesesség megértésében. Gauss idejében lehetséges volt egyetlen személy számára, hogy az egész matematikát elég jól értse. Mivel azonban a tudomány összes klasszikus ága olyan hatalmasat fejlődött, hogy egyetlen elme képtelen akár csak az egyiket is átfogni, ma a specialisták korát éljük. A matematika megszervezése hatékonyabb, ha mindenki specializálja magát vagy témájának elméleti részére, vagy éppen a gyakorlatira. Mivel a matematikusok legtöbbje az egyikben dolgozik sokkal szívesebben, vagy a
másikban, ezek az egyéni hajlamok tovább erősítik a fenti szétválasztást. Sajnos így a külvilág számára nagyon indokoltnak látszik a feltevés: a kettő közül csak az alkalmazott matematika használható; még a név is ezt sugallja. A feltevés helyes, ha létrehozott matematikai technikákra vonatkozik: végső soron hasznosat elkerülhetetlenül „alkalmazott”-nak tekintenek, függetlenül attól, hogy mi az eredete. Nagyon torz képet ad viszont a gyakorlati jelentőségű új matematika eredetéről. A jó ötletek ritkák, de ugyanolyan gyakran fakadnak a matematika belső struktúrájáról szőtt képzeletdús ábrándokból, mint egy konkrét gyakorlati probléma megoldására irányuló próbálkozásokból. Ez a fejezet éppen egy ilyen fejlesztés esettanulmányával foglalkozik, amelynek leghatékonyabb alkalmazása a televízió – ez a felfedezés jobban megváltoztatta életünket, mint bármi más. Ebben a történetben a matematika tiszta és alkalmazott aspektusai úgy ötvöződnek össze, hogy amit létrehoznak, sokkal hathatósabb és nagyobb kényszerítő erővel bír, mint akármelyikük egyedül. Történetünk a 16. században kezdődik a rezgő hegedűhúr problémájával. Bár ez gyakorlati kérdésnek tűnhet, főleg úgy tanulmányozták, mint egy differenciálegyenletet; a munkának nem volt célja a hangszerek minőségének javítása. Képzeljünk el egy ideális hegedűhúrt, egyenesre kifeszítve két rögzített tartó között. Mi történik, ha a húrt megrántjuk, elhúzzuk eredeti helyzetéből, és aztán elengedjük? Ahogy elhúzzuk, rugalmas feszültsége növekszik, s a keletkező erő a húrt visszahúzza eredeti helyzetébe. Amikor elengedjük, gyorsulni kezd ennek az erőnek a hatására, Newton mozgástörvényének megfelelően. Ám ekkor gyorsan mozog, hiszen végig gyorsult – így túlhaladja az egyenes vonalat és tovább mozog. E ponton a feszültség az ellenkező irányba húzza, lelassítja, míg végül megáll. S kezdődik az egész elölről. Ha nem lenne súrlódás, a húr a végtelenségig ide-oda rezegne. Mindez elfogadható szóbeli leírás; a matematikai elmélet számára az egyik feladat megállapítani, vajon a fenti forgatókönyv helyes-e, s ha igen, kiszámítani a részleteket, például a húr alakját, amit az egyes időpillanatokban felvesz. Ami bonyolult probléma, mert ugyanaz a húr sokféle módon rezeghet, attól függően, hogyan pendítették meg. Az ókori görögök tudták ezt, mert kísérleteik megmutatták, hogy a rezgő húr sok különböző zenei hangot képes kiadni. Későbbi nemzedékek rájöttek, hogy a hang magasságát a rezgés frekvenciája – a húr ide-oda-mozgásának gyorsasága – határozza meg, tehát a görögök felfedezése azt árulja el számunkra, hogy ugyanaz a húr sok különböző frekvenciával tud rezegni. Minden egyes frekvencia a mozgó húr egy bizonyos alakjának felel meg, és ugyanaz a húr többféle alakot vehet fel. A húrok túl gyorsan mozognak ahhoz, hogy szabad szemmel akármilyen pillanatnyi alakjukat észlelhessük, de a görögök fontos bizonyítékot találtak arra nézve, hogy a húr sok különböző frekvenciával rezeghet. Kimutatták, hogy a hangmagasság a csomópontok elhelyezkedésétől függ – ezek azok a pontok a húr mentén, amelyek mozdulatlanok maradnak. Kipróbálhatjuk ezt egy hegedűn, bendzsón vagy gitáron. Mikor a húr az „alapfrekvenciáján” rezeg – vagyis a lehető legmélyebb hangot adja –, csak a végpontok vannak nyugalomban. Ha ujjunkat a húr közepére tesszük, s így csomópontot képezünk, majd megpendítjük a húrt, egy oktávval magasabb hangot fog adni. Ha ujjunkat az egyik harmadolópontra helyezzük, ezzel két csomópontot hozunk létre (a másik a másik harmadolópont lesz), ekkor még magasabb hangot kapunk. Minél több csomópont van, annál nagyobb lesz a frekvencia. Általában azt mondhatjuk, a csomópontok száma egész szám, és egyenlő távolságban helyezkednek el. A megfelelő rezgések állóhullámok, olyan hullámok, amelyek föl-le mozognak, de nem vándorolnak a húr mentén. Eme föl-le mozgás méretét a hullám amplitúdójának hívják, ez határozza meg a hang erősségét. A hullámok szinuszhullámok olyan alakúak, mint egy szinuszgörbe, ami ismétlődő, elegáns alakú hullámvonal; bizonyára emlékeznek még rá a trigonometriából.
1714-ben Brook Taylor angol matematikus írta le a rezgés alapfrekvenciáit a húr hosszának, feszültségének és sűrűségének függvényében. 1746-ban Jean Le Rond d'Alembert kimutatta, hogy a hegedűhúr sok rezgése nem álló szinuszhullám. Egyúttal azt is megmutatta, hogy a hullám pillanatnyi alakja bármilyen lehet. 1748-ban, válaszképpen d'Alembert munkájára, a termékeny svájci matematikus, Leonhard Euler felállította a húr „hullámegyenletét”. Ez a húr alakjának változásmértékét leíró, Isaac Newton szellemében fogant, differenciálegyenlet. Valójában „parciális differenciálegyenlet”, ami azt jelenti, hogy nemcsak az időre vonatkozó változásmértéket, hanem a térre vonatkozót is tartalmazza – ez a húr irányát jelenti. Azt fejezi ki a matematika nyelvén, hogy a húr minden egyes kis szakaszának gyorsulása arányos a szakaszra ható feszítőerővel, ami Newton mozgástörvényéből adódik. Euler nemcsak felállította a hullámegyenletet, meg is oldotta. Megoldása elmagyarázható szavakban is. Először, deformáljuk a húrt olyan alakra, amilyenre csak akarjuk – lehet ez parabola, háromszög vagy valamilyen ide-oda tekergőző, magunk kieszelte alakzat. Ezután képzeljük el, hogy ez az alak tovaterjed a húr mentén jobb felé. Nevezzük ezt jobb felé utazó hullámnak. Majd „állítsuk feje tetejére” az eredeti alakot, és képzeljük el, hogy a másik irányba terjed tova, és bal felé utazó hullámot alkot. Végül rakjuk egymásra („szuperponáljuk”) a két hullámalakot. Ez a folyamat elvezet a hullámegyenlet összes olyan megoldásához, amiben a húr két végpontja rögzített. Röviddel ezután Euler vitába keveredett Daniel Bernoullival, akinek családja Antwerpenből származott, de Németországba, aztán Svájcba települt át, a vallási üldöztetés elől. Bernoulli ugyancsak megoldotta a hullámegyenletet, de teljesen más módszerrel. Szerinte a legáltalánosabb megoldás úgy állítható elő, mint végtelen sok álló szinuszhullám szuperpozíciója. Ez a látszólagos egyet nem értés egy évszázadig tartó polémia leezdete volt, ami úgy oldódott fel, hogy kiderült: mind Eulernek, mind Bernoullinak igaza volt. Ennek magyarázata, hogy minden periodikusan változó alak előállítható végtelen sok szinuszgörbe szuperpozíciójaként. Euler azt hitte, hogy az ő megközelítése az alakzatok nagyobb bőségéhez vezet, mert nem ismerte fel periodicitásukat. A matematikai analízis azonban végtelen hosszú görbékkel dolgozik. Mivel csak a görbe két végpont közötti része fontos, periodikusan ismételhető akármeddig egy végtelen húr mentén, lényeges változás nélkül. Euler aggodalmai tehát alaptalannak bizonyultak. Ennek az egész munkának az a tanulsága, hogy a szinuszhullámok az alapvető rezgési komponensek. A rezgési lehetőségek teljessége megkapható úgy is, hogy az összes lehetséges véges és végtelen összegét képezzük az öszes lehetséges frekvenciájú szinuszhullámnak. Ahogyan Daniel Bernoulli mindig is hangoztatta: „minden d'Alembert és Euler által adott új görbe csak a Taylor-féle rezgések kombinációja”. Ennek a polémiának a feloldásával a hegedűhúr rezgései elvesztették rejtélyességüket, ezért a matematikusok nagyobb vadat kerestek. A hegedűhúr egy görbe – egydimenziós objektum –, de többdimenziós objektumok is rezeghetnek. A legközönségesebb hangszer, amely kétdimenziós rezgést produkál, a dob, mert a dob bőre felület, nem pedig egyenes vonal. A matematikusok tehát figyelmüket a dobok felé fordították, élükön Eulerrel. Euler 1759-ben megint levezetett egy hullámegyenletet, amely ezúttal leírta, hogyan változik a dob-bőr egyes pontjainak magassága az időben. Fizikai interpretációja szerint a dob valamely kis részletének gyorsulása egyenesen arányos a környező részek által rá gyakorolt átlagos húzóerővel: szimbolikusan ez nagyon hasonlít az egydimenziós hullámegyenletre; csak most térbeli (másodrendű) változásmértékek is szerepelnek két független irányban az időre vonatkozó változásmérték mellett. A hegedűhúrok végei rögzítettek. Ez a „peremfeltétel” igen fontos: meghatározza, hogy a hullámegyenletnek milyen fizikai megoldásai lehetségesek a hegedűhúrra nézve. Ebben az egész
tárgykörben perdöntőek a határok. A dobok nemcsak dimenziójukban különböznek a hegedűhúroktól, hanem a határuk is sokkal érdekesebb, a dob határa zárt görbe: kör. Ugyanakkor, éppúgy, mint a húrnál, a dob határa is rögzített: a dob bőrének többi része mozoghat, de a peremre rá van feszítve. A perem feltétel leszűkíti a dob-bőr mozgási lehetőségeit. A hegedűhúr két elszigetelt végpontja nem ad olyan érdekes és változatos peremfeltételt, mint egy zárt görbe; a határ igazi szerepe csak két és több dimenzióban válik nyilvánvalóvá. Ahogy a 18. század matematikusai egyre jobban értették a hullámegyenletet, meg tudták oldani a különböző alakú dobok mozgására. Ekkor azonban a hullámegyenlet kilépett a zene területéről és a matematikai fizika központi kérdése lett. A valaha kidolgozott matematikai képletek közül valószínűleg ez lett a legfontosabb – Einstein híres tömeg-energia relációjával is dacolva. Ami történt, igen jellemző példa arra, hogyan bontja ki a matematika a természet rejtett egységét. Ugyanaz az egyenlet bukkant fel mindenütt. Feltűnt a folyadékok dinamikájában, ahol leírta a víz hullámainak kiformálódását és mozgását. Megjelent a hangtanban, ahol leírta, hogyan terjednek a hanghullámok – a légrezgések, melyek során a levegő molekulái hol közelednek egymáshoz, hol szétválnak. És jelentkezett az elektromosság, valamint a mágnesesség elméletében, miközben örökre megváltoztatta az emberi kultúrát. Az elektromosságnak és a mágnesességnek hosszú és bonyolult a története, sokkal bonyolultabb, mint a hullámegyenletnek; véletlen felfedezések, kuksszerepet játszó kísérletek és matematikai, illetve fizikai elméletek tarkítják. E történet William Gilberttel, I. Erzsébet fizikusával kezdődik, aki gigászi mágnesként írta le a Földet, és megfigyelte, hogy az elektromosan feltöltött testek vonzzák vagy taszítják egymást. Folytatását olyan nevek fémjelzik, mint Benjamin Franklin, aki 1752-ben, zivatarban papírsárkányt föleresztve bebizonyította, hogy a villámlás az elektromosság egyik formája; meg Luigi Galvani, aki észrevette, hogy az élettelen béka combizmai összehúzódnak villamos szikra hatására; valamint Alessandro Volta, aki feltalálta az első elektromos telepet. E korai fejlődés idején az elektromosságot és a mágnesességet végig két teljesen különböző természeti jelenségnek tekintették. Aki egységben kezdte látni a kettőt, az Michael Faraday angol fizikus és kémikus volt. Faraday a londoni Royal Institutionnál állt alkalmazásban, feladata többek között az volt, hogy az intézet természettudományos érdeklődésű tagjait minden héten kísérletekkel szórakoztassa. Az új ötleteknek ez a folytonos kényszere Faradayt minden idők egyik legnagyobb kísérleti fizikusává tette. Különösen lelkesedett az elektromosságért és a mágnesességért, mert tudta, hogy az elektromos áram mágneses erőt kelt. Tíz évet töltött azzal, hogy bebizonyítsa: fordítva is igaz, a mágnes képes elektromos áramot kelteni, és 1831-ben sikerült is neki. Megmutatta, hogy a mágnesesség és az elektromosság csak két aspektusa ugyanannak a dolognak – az elektromágnesességnek. Állítólag IV. Vilmos király egyszer megkérdezte Faradayt, milyen hasznuk van az ő tudományos műhelyében előadott trükköknek, és ezt a választ kapta: „Nem tudom, Felség, de azt tudom, hogy Ön egyszer adót fog kivetni rájuk.” Valóban, a gyakorlati alkalmazás nem váratott magára sokáig, nevezetesen az elektromotor (az elektromosság mágnesességet kelt, ez pedig mozgást) és a generátor (a mozgás mágnesességet kelt, ez pedig elektromosságot). De Faraday az elektromágnesesség elméletét is kifejlesztette. Nem volt matematikus, így fogalmait fizikai szóképek, hasonlatok formájába öltöztette, ezek közül a fogalmak közül az erővonal volt a legfontosabb. Ha egy darab papír alá mágnest helyezünk, rá pedig vasreszeléket szórunk, a reszelék jól meghatározott görbe vonalakba rendeződik. Faraday ezeket úgy magyarázta, hogy a mágneses erő nem hat minden továbbító közeg nélkül, nincs „távolhatás”, hanem a téren keresztül görbe vonalak mentén halad. Ugyanez érvényes az elektromos erőre is. Faraday szellemi utódja James Clerk
Maxwell volt. Faraday ideáját az erővonalakról Maxwell matematikai egyenletekben fejezte ki. Ezek a mágneses és elektromos erőterekről szóltak – olyan jelenségekről, amelyeket a mágneses és elektromos töltés térbeli eloszlása határoz meg. Maxwell addig finomította elméletét, míg 1864 körül négy differenciálegyenletből álló rendszert kapott, amelyek összefüggésbe hozták a mágneses és az elektromos mező változásait. Az egyenletek elegánsak, és különös szimmetriát tesznek láthatóvá az elektromosság, valamint a mágnesesség között, amelyek hasonló módon hatnak egymásra. Itt, Maxwell egyenleteinek elegáns szimbolizmusában érhetjük tetten azt az óriási ugrást a hegedűktől a videókig, amit az emberiség megtett: egyszerű algebrai jellegű manipulációkkal sikerült a Maxwellegyenleteket hullámegyenletté alakítani, s ebből már egyértelműen következett az elektromágneses hullámok létezése. Ráadásul a hullámegyenlet azt is kiadta, hogy az elektromágneses hullámok a fény sebességével terjednek. Közvetlen követleezményként adódott, hogy a fény is elektromágneses hullám – elvégre a legkézenfekvőbb dolog, ami fénysebességgel terjed, maga a fény. Viszont éppúgy, ahogy a hegedűhúr sokféle frekvenciával rezeghet – a hullámegyenletnek megfelelően –, az elektromágneses mezővel is ez a helyzet. Az emberi szemmel látható hullámoknál a frekvenciának a szín felel meg. Más frekvenciájú húrok más hangot adnak; más fekvenciájú látható elektromágneses hullámoknak a színe lesz más. Ha a frekvencia a látható tartományon kívül van, a hullám nem fény, hanem valami más. De micsoda? Amikor Maxwell felállította egyenleteit, senki nem tudta. Az egész puszta feltételezés volt, ami arra alapozódott, hogy Maxwell egyenletei tényleg alkalmazhatók a fizikai világra. Ahhoz, hogy ezeket a hullámokat valóságosnak fogadják el, a Maxwell-egyenleteket valahogyan tesztelni kellett. Maxwell eszméi élveztek valamennyi rokonszenvet Angliában, de külföldön majdnem teljesen ismeretlenek voltak 1886-ig, amikor Heinrich Hertz, a német fizikus elektromágneses hullámokat keltett – olyan frekvenciával, amit ma rádiófrekvenciának nevezünk –, és kísérletileg is kimutatta őket. A saga végső epizódja Guglielmo Marconi nevéhez fűződik, aki 1895-ben sikerrel kivitelezte az első drótnélküli távírót, majd 1901-ben pedig az Atlanti-óceánon keresztül adott le és vett rádiójeleket. A többi, ahogy mondani szokás, történelem. Ezután már jött a radar, a televízió és a videó. Persze mindez csupán vázlata a matematika, a fizika, a mérnöki munka és a pénzvilág közötti hosszadalmas és bonyolult együttműködésnek. Ki tudna hitelt igényelni a rádió feltalálásához? Elképzelhető, hogy amennyiben a matematikusok nem tudtak volna már eleve sokat a hullámegyenletről, Maxwell vagy követői mégis kidolgozzák valahogyan a következményeket. De az ötleteknek el kell érniük bizonyos kritikus tömeget ahhoz, hogy robbanjanak, és egy feltalálónak sincs ideje vagy képzelőereje, hogy megalkossa az eszközöket ahhoz, hogy megalkossa az eszközöket ahhoz, hogy megalkossa..., akkor sem, ha ezek intellektuális eszközök. Tagadhatatlan, hogy történelmileg folytonos vonal húzódik a hegedűktől a videókig. Talán egy másik bolygón a dolgok másként alakultak volna; ám a miénken ez történt. Meglehet, azon a másik bolygón sem lett volna másként – jó, nem nagyon másként. Maxwell hullámegyenlete nagyon komplikált: egyszerre ír le elektromos és mágneses mezőben végbemenő változásokat a háromdimenziós térben. A hegedűhúr egyenlete sokkal egyszerűbb, egyetlen mennyiséget – a húr egy pontjának helyét, illetve annak változását írja le egy egydimenziós vonal mentén. A matematikai kutatás általában az egyszerűtől az összetett felé halad. Az egyszerű rendszerekről, így a rezgő húrokról szerzett tapasztalatok nélkül egy „célorientált” nekirugaszkodás a drótnélküli távíró feltalálásához (üzenetek küldése vezeték nélkül, innen a kissé divatjamúlt elnevezés) nem járt volna
több sikerrel, mint amivel ma az antigravitáció vagy a fénynél sebesebb hajtóművek feltalálása kecsegtet. Senki sem tudná, hogy induljon el. Persze a hegedűk az emberi és főleg az európai kultúra véletlen velejárói. De egy vonalszerű tárgy rezgései bárhol előfordulnak ilyen vagy olyan álruhában. Betelgeuse II pókjainak világában talán egy pókhálófonal rezgése lenne – melyet egy küszködő rovar kelt – az elektromágneses hullámok felfedezésének kiváltó oka. Ám kell néhány világos gondolatmenet ama speciális kísérletsorozat kidolgozásához, amely Heinrich Hertzet korszakalkotó találmányához elvezette, és ez a gondolatmenet szükségszerűen valami egyszerűvel kezdődik. A matematika képes láthatóvá tenni a természet egyszerűségét, ez teszi lehetővé az általánosítást az egyszerű példákból a valóságos világ összetett jelenségei felé. Többek közreműködése kellett sokféle területről, hogy egy-egy hasznos termék matematikai háttere megteremtődjön. De legközelebb, ha az olvasó walkmannel a fülén kocog, vagy bekapcsolja a tévét, nézi a videót, jusson eszébe, hogy matematikusok nélkül egyik csodát sem fedezték volna fel.
6. FEJEZET A sérült szimmetria Az ember valami oknál fogva vonzódik a szimmetriához. A szimmetria csábítja vizuális érzékünket is, és így szépérzékünkben is szerepet játszik. Ugyanakkor a tökéletes szimmetria ismétlődő és megjósolható, és tudatunk a meglepetéseket is szereti, ezért aztán gyakran jobban kedveljük a tökéletlen szimmetriát a pontos matematikai szimmetriánál. Úgy látszik, hogy a természet is vonzódik a szimmetriához, mivel a természeti világ legfeltűnőbb mintái szimmetrikusak. S ugyancsak úgy látszik, hogy a természet nem elégedett a túl erős szimmetriával, mert a természetben majdnem minden szimmetrikus minta kevésbé szimmetrikus, mint az őt létrehozó okok. Talán furcsán hangzik, amit mondtunk. Emlékezhetünk rá, hogy Pierre Curie, a nagy fizikus, aki feleségével együtt felfedezte a radioaktivitást, vallotta: „az okozatok ugyanolyan szimmetrikusak, mint az okok”. Ám a világ tele van olyan okozatokkal, amelyek nem olyan szimmetrikusak, mint okaik, és ennek a magyarázata a „spontán szimmetriasértés” néven ismert jelenség. A szimmetria egyszerre matematikai és esztétikai fogalom, amely lehetővé teszi, hogy osztályozzunk és megkülönböztessünk különböző típusú szabályos mintákat. A szimmetria sérülése már dinamikusabb fogalom, egy minta megváltozását írja le. Ahhoz, hogy megértsük, honnan származnak a természet mintái, és hogyan változnak, nyelvet kell találnunk a leírásukra. Mi a szimmetria? Haladjunk a speciálistól az általános felé! Az egyik legismertebb szimmetrikus forma, amelyben egész életünket töltjük: az emberi test „kétoldali szimmetriát” mutat, azaz a bal fele (majdnem) ugyanolyan, mint a jobb. Az emberi alak kétoldali szimmetriája csak hozzávetőleges: a szív nem középen van, és az arc két fele sem azonos. De ez a forma mégiscsak nagyon közel áll a tökéletes szimmetriához, és a matematikai szimmetria leírása céljából elképzelhetünk egy idealizált emberi alakot, amelynek bal és jobb oldala pontosan megegyezik. Valóban pontosan? Nem egészen. Az ábra két fele különböző területű, és bal oldala a jobb fordítottja – tükörképe. Amint olyan szavakat használunk, mint „kép”, azonnal arra gondolunk, hogyan felel meg az egyik forma a másiknak hogy tudnánk elmozgatni az egyik formát, hogy fedésbe kerüljön a másikkal. A kétoldali szimmetria azt jelenti, hogy a bal oldalt egy tükörrel tükrözve a jobb oldalt kapjuk. A tükrözés matematikai fogalom, de nem forma vagy szám, nem is képlet. Transzformáció – vagyis
szabály arra, hogyan mozgassuk el a dolgokat.[5] Sokféle lehetséges transzformáció létezik, de a legtöbb nem szimmetria. Hogy helyesen rendeljük egymáshoz a két felet, a tükröt a szimmetriatengelyre kell helyeznünk, ami az ábrát két félre osztja. Ekkor a tükrözésre az emberi alak invariáns, azaz változatlan marad. Tehát pontos matematikai jellemzést találtunk a kétoldali szimmetriára – egy forma akkor rendelkezik kétoldali szimmetriával, ha tükrözésre invariáns. Általánosabban, egy objektum vagy rendszer szimmetriája olyan transzformáció, amelyre az invariáns. Ez a leírás gyönyörű példa arra, amit korábban „dologiasításnak” hívtam: a „mozgasd így” eljárás dologgá válik – szimmetriává. Ez az egyszerű, de elegáns jellemzés óriási matematikai területre nyit kaput. Sok különböző típusú szimmetria van. A legfontosabbak a tükrözések, forgatások és az eltolások. Nézzünk egy síkbeli tárgyat, kapjuk fel, és dobjuk vissza fordítva, ugyanazt a hatást érjük el így, mintha megfelelő tükörrel tükröztük volna. Hogy tudjuk, hova kell tenni a tükröt, figyeljük meg a tárgy egy pontját, és keressük meg, melyik pontba került a visszadobás után. A tükörnek félúton kell lennie a pont és képe közt, a két pontot összekötő szakaszra merőlegesen (lásd 3. ábra). A háromdimenziós térben is végezhetünk tükrözést, ám ekkor a tükör ismerősebb – sík felület.
3. ábra Hol a tükör? Adott egy tátgy és a tükörképe, válasszuk ki a tárgy tetszőleges pontját és a képét. Kössük össze őket egy egyenessel. A tükör merőleges lesz az egyenesre, és átmegy a két pont távolságának felezőpontján. Hogy egy síkbeli tárgyat elforgassunk, válasszunk egy pontot, nevezzük középpontnak, és forgassuk el a középpont körül, mint a kereket a kerékagy körül. A forgatás „mértékét” az határozza meg, hogy hány fokkal forgattuk el a tárgyat. Például képzeljünk el egy virágot négy ugyanolyan szirommal. Ha a virágot elforgatjuk 90°-kal, változatlan marad, tehát a „forgasd el derékszöggel” transzformáció a virágnak szimmetriája lesz. A forgatások három dimenzióban is megjelenhetnek, csakhogy ott egy egyenest kell választanunk, a tengelyt, hogy a tárgyakat körülötte forgassuk el, mint a Földet a tengelye körül. Persze elforgathatjuk a tárgyakat leülönböző szöggel is ugyanazon tengely körül. Az eltolások olyan transzformációk, amelyek elcsúsztatják a tárgyakat, anélkül, hogy elforgatnák őket. Gondoljunk egy kicsempézett fürdőszobafalra. Ha veszünk egy csempét, és képzeletben vízszintesen elcsúsztatjuk megfelelő távolságra, éppen illeszkedni fog a szomszédos csempére. Ez a távolság egy csempe szélessége lesz. Ha két szélességnyire csúsztatjuk el, vagy háromra, vagy akármilyen egész számúra, mindig bele fog illeni a mintába. Ugyanez a helyzet, ha függőlegesen mozgatjuk el, vagy vízszintes és függőleges elcsúsztatások egy kombinációját alkalmazzuk. Sőt, egyetlen csempe elcsúsztatása helyett az egész mintát is elcsúsztathatjuk. Megint csak a minta csupán akkor illik rá az eredetire, ha a szélességnek egész számú többszöröse volt mind a vízszintes, mind a függőleges elmozdulás. A tükrözések azokat a szimmetriákat ragadják meg, ahol a bal oldal ugyanolyan, mint a jobb, akár az
emberi testben. A forgatások pedig azokat a szimmetriákat, ahol ugyanazok az egységek ismétlődnek egy kör mentén, mint a virág szirmai. Az eltolások azokkal a szimmetriákkal foglalkoznak, ahol az egységek úgy ismétlődnek, mint egy szabályos csempesor; a méhsejt hatszögletű „csempéivel” egészen kitűnő természeti példa erre. Honnan származnak a természet mintáinak szimmetriái? Gondoljunk egy csendes tavacskára, legyen ez olyan sima, hogy akár matematikai síknak is gondolhatjuk, és legyen elég nagy, hogy a szélei se zavarjanak. Dobjunk egy kavicsot a tavacskába! Mintákat látunk, fodrozódást, körkörös hullámokat a körül a pont körül, ahova a kavicsot bedobtuk. Mindenki látott ilyet, senki sincs túlságosan meglepve. Végtére is, láttuk az okot: a kavics volt az. Ha nem dobjuk be a kavicsot, vagy másképp nem zavarjuk meg a víz felszínét, nem keletkeznek hullámok. Csak csendes, sima, síkszerű tó. A tavacska fodrai példát szolgáltatnak a megsértett szimmetriára. Egy ideális matematikai síknak hatalmas mennyiségű szimmetriája van: minden része azonos minden részével. Eltolhatjuk akármilyen távolságra, akármilyen irányban, elforgathatjuk akármilyen szöggel akármilyen középpont körül, tükrözhetjük akármilyen tükörtengelyre, ugyanolyan lesz. Ezzel szemben a körkörös hullámok mintája kevesebb szimmetriát mutat. Csak a kavics beesési pontja körüli forgatásokra nézve szimmetrikus, valamint az ezen a ponton átmenő tükörtengelyekre. Semmilyen eltolásra, semmilyen más forgatásra vagy tükrözésre. A kavics megtöri a sík szimmetriáját, abban az értelemben, hogy ha megzavarja a vizet, annak sok szimmetriája elvész. De nem mind, ezért látunk mintát. Ám ezek egyike sem meglepő, a kavics miatt. Valóban, a kavics beesésével kijelöl egy pontot, és a keletkező hullámok szimmetriái éppen azok, amiket vártunk. Éppen azok a szimmetriák, amelyek ezt a pontot helyben hagyják. Tehát a tavacska szimmetriája nem spontán módon sérült meg, amikor a kavics belekerült, mivel megtalálhatjuk a követ, ami az eltolási szimmetriákat megszüntette. Jobban meglepődnénk – sokkal jobban –, ha a tökéletesen sima tóban hirtelen hullámok jelennének meg koncentrikus körökben, minden ok nélkül. Azt képzelnénk, hogy talán egy hal zavarta meg a vizet, vagy valami beleesett, és azért nem láttuk, mert túl gyorsan mozgott. Annyira erős bennünk a megrögzött feltételezés, miszerint a mintáknak oka kell legyen, hogy amikor B. P. Belouszov orosz kémikus 1958-ban felfedezett egy kémiai reakciót, amely spontán módon hozott létre mintákat, látszólag a semmiből, kollégái nem hittek neki. Feltételezték, hogy valamilyen hibát követett el. Nem is bajlódtak vele, hogy munkáját ellenőrizzék: annyira nyilvánvaló volt, tévedett, hogy az ellenőrzést időpocsékolásnak tartották. Kár volt, ugyanis neki volt igaza. A Belouszov felfedezte minta nem térbeli volt, hanem időbeli, reakciója kémiai változások periodikus sorozatán oszcillált végig. 1963 körül egy másik orosz vegyész, A. M. Zabotinszkij, úgy módosította Belouszov reakcióját, hogy az térbeli mintákat is mutatott. Tiszteletükre minden hasonló kémiai reakciónak a „Belouszov-Zabotinszkij [vagy B-Z] reakció” fajtanevet adják. Napjainkban az ilyen reakciókhoz használt kemikáliák már mások és egyszerűbbek, néhány finomításnak köszönhetően, amit az angol szaporodásbiológus, Jack Cohen és az amerikai matematikai biológus, Arthur Winfree eszközölt, és a kísérlet annyira egyszerű, hogy elvégezheti bárki, ha hozzájut a szükséges vegyszerekhez. Ezek elég speciálisak, de összesen négyféle kell belőlük.[6] Mivel nincsenek kéznél a szükséges kísérleti eszközök, elmesélem, mi történne, ha elvégeznénk a kísérletet. Mindegyik vegyszer folyadék: összekeverjük őket a helyes sorrendben, és egy lapos edénybe öntjük. A keverék kék színű lesz, majd vörös: hagyjuk állni egy ideig. Tíz, vagy néha akár húsz percig nem történik semmi: mintha egy jellegtelen sima tavacskát bámulnánk – leszámítva, hogy még a színe is jellegtelen, egyformán vörös. Ez az egyformaság nem meglepő, hisz végtére is összekevertük a folyadékokat. Ekkor apró kék foltokat vehetünk észre – és ez már meglepetés.
Terjednek, kör alakú kék lemezeket alkotva. Minden egyes lemez belsejében megjelenik egy vörös folt, s így a lemezből vörös közepű kék gyűrű lesz. Mindkettő növekszik, és mikor a vörös lemez elég nagy lesz, megjelenik benne egy kék folt. A folyamat folytatódik, „célminták” folyton bővülő sorozata jön létre – koncentrikus vörös és kék gyűrűk. Ezek a cél-minták ugyanazokat a szimmetriákat mutatják, mint a tavacska gyűrűi; de ezúttal nem látjuk a kavicsot. Furcsa és rejtélyes folyamat, amiben a minta – a rend –, úgy tűnik, magától jelenik meg a rendezetlen, véletlen módon összekevert folyadékban. Nem csoda, hogy a vegyészek nem hittek Belouszovnak. S ez még nem az utolsó bűvészmutatvány a B-Z-reakciókkal. Ha az edényt enyhén megbillentjük és visszatesszük a helyére, vagy egy forró drótdarabot mártunk bele, meg tudjuk szakítani a gyűrűket és forgó vörös-kék spirálokká alakítani őket. Ha Belouszov ezt mutatta volna be, kollégái haja az égnek mered. Ez a viselkedésfajta nem pusztán bűvésztrükk. Szívünk szabályos dobogása ugyanezeken a mintákon alapul, csak ott az elektromos aktivitás hullámainak mintájáról van szó. Szívünk nem egy halom differenciálatlan izomszövet, és nem automatikusan húzódik össze az egész. Millió parányi izomrostból áll, ezek mindegyike egyetlen sejt. A rostok elektromos és kémiai jelek hatására húzódnak össze, és a jelet továbbítják szomszédjuknak. A probléma: biztosítani, hogy a rostok nagyjából összehangoltan húzódjanak össze, s ezáltal a szív úgy dobogjon, mint valami egész. Az összhang szükséges mértékét biztosítandó, agyunk elektromos jeleket küld a szívnek. Ezek a jelek elektromos változásokra ingerelnek bizonyos izomrostokat, azok pedig a szomszéd rostokra hatnak – így aztán aktivitási hullámok terjednek, éppúgy, ahogy a tavacska hullámai vagy a kék lemezek a B-Zreakcióban. Amíg a hullámok teljes gyűrűket alkotnak, a szívizomrostok egyszerre húzódnak össze, és a szív normálisan dobog. Ha azonban a hullámokból spirálok lesznek – ahogy ez elő is fordulhat a beteg szívben –, az eredmény sok helyi, koordinálatlan összehúzódás, és a szív rostosodik. Ez a fibrilláció. Ha a rostosodás néhány percen keresztül ellenőrizetlenül folytatódik, beáll a halál. Így aztán mindannyian öröklötten érdekeltek vagyunk a körkörös és a spirális mintákban. Ugyanakkor a szívben, csakúgy, mint a tóban, konkrét okot látunk a hullámmintákra: az agyból származó jeleket. A B-Z-reakciónál nem látunk ilyet: a szimmetria spontán módon borul fel; „önszántából”, külső hatás nélkül. A „spontán” kifejezés azonban nem jelenti, hogy nincs ok: csak azt, hogy akármilyen csekély lehet. Matematikailag a döntő pont, hogy a vegyszerek egyenletes eloszlása – a jellegtelen vörös folyadék instabil. Ha az alkotórészek eloszlása már nem egyenletes, a kényes egyensúly, amely az oldatot vörösen tartotta, felborul, és a meginduló kémiai változások kiváltják egy kék folt megjelenését. Ettől kezdve az egész folyamat sokkal érthetőbb, mert most már a kék folt úgy hat, mint egy kémiai „kavics”, s egymás utáni kémiai gyűrűződéseket okoz. Ám – legalábbis matematikai szempontból – a folyadék szimmetriájának tökéletlensége, ami kiváltja a kék foltot, lehet határtalanul kicsi is, csak ne legyen zérus. Egy folyadékban mindig vannak apró porszemek, buborékok – vagy akár csak molekulák erősebb hőrezgéssel –, s máris megzavarják a tökéletes szimmetriát. Ennyi elég. Egy határtalanul kicsiny ok nagymértékű változást eredményez, és az eredmény egy szimmetrikus minta. A természet szimmetriái minden méretben megtalálhatók, az atomnál kisebb részecskéktől az egész univerzumig. Sok molekula szimmetrikus. A metán molekulája tetraéder – olyan piramis, aminek minden oldala háromszög –, a középpontban egy szénatommal és négy hidrogénatommal a csúcsokban. A benzol szimmetriája egy szabályos hatszög hatszoros szimmetriája. A divatos molekula, a buckminsterfullerén csonkított ikozaéder alakú kalitka, hatvan szénatomból. (Az ikozaéder szabályos test, húsz háromszög alakú lappal; azért „csonkított”, mert a sarkai le vannak vágva.) Szimmetriája figyelemre méltó stabilitást kölcsönöz neki, amely új lehetőségeket nyitott a
szerves kémiában. A molekuláris tartománynál valamivel nagyobb méretekben a sejtstruktúra mutat szimmetriát; a sejtszaporodás lelke bizonyos értelemben gépészmérnöki jellegű. Minden élő sejt belsejében van egy meglehetősen alaktalan struktúra, amelyet centroszóma néven ismerünk, s amelyből hosszú csövecskék csíráznak széjjel, mint egy parányi tengeri sünből. Ezek a csövecskék a sejt „csontvázának” legfontosabb komponensei. A centroszómákat először 1887-ben fedezték fel. Fontos szerepet játszanak a sejtosztódás szervezésében. Bizonyos szempontból a centroszóma szerkezete bámulatra méltóan szimmetrikus. Belsejében két, centriólum nevű struktúra van, egymásra merőlegesen. Mindkettő henger alakú, huszonhét csövecskéből áll, ezek hosszában hármasával kapcsolódnak össze, a hármasok pedig tökéletes kilencszög-szimmetriában helyezkednek el. A külső csövecskék maguk is bámulatos szimmetriával rendelkeznek. Homorú csövek, amelyek teljesen szabályos sakktáblamintába rendeződött egységekből állnak, s az egységek két különböző proteint tartalmaznak, alfa- és bétatubulint. Egy nap meg fogjuk érteni, hogy a természet miért választja a szimmetrikus formákat. Mindenesetre elbűvölő látni az élő sejt szimmetrikus struktúráit. A vírusok gyakran szimmetrikusak, a legáltalánosabb két forma a csigavonal és az ikozaéder. A csigavonal például az influenzavírus alakja. A természet az ikozaédert kedveli a legjobban: példa rá a herpesz, a bárányhimlő, a szemölcs, a mandulagyulladás vírusa, és sok más. A mandulagyulladás vírusa újabb megdöbbentő példa a molekuláris mérnöki munka művészi voltára. 252 darab látszólag egyforma részegységből áll, ebből 21 darab van az ikozaéder minden háromszöglapján, amelyek úgy illeszkednek egymáshoz, mint a biliárdgolyók a játék kezdetén. (Az élek mentén elhelyezkedő részegységek két laphoz is tartoznak, a csúcsnál levők pedig háromhoz is. Ezért nem kell a 20×21 részegység, csak 252.) A természet nagyobb léptékben is mutat szimmetriát. Egy fejlődő békaembrió gömb alakú sejtként kezdi életét, ekkor szimmetriáját lépésenként veszti el, míg hólyagcsíra lesz belőle, amely apró sejtek ezreiből áll, de az egész alakzat formája megint csak gömb. Ekkor a hólyagcsíra bekebelezi önmagának egy részét a bélcsíraképződés folyamatában. Az összecsuklás korai fázisában az embriónak forgási szimmetriája van egy olyan tengely körül, arnelynek az elhelyezkedését gyakran a pete kezdeti helyzete határozza meg, néha meg a sperma behatolási pontja. Később ez a szimmetria megtörik, és csak egy tükörszimmetria marad, ami a kifejlett állat kétoldali szimmetriájához vezet. A vulkánok kúp-, a csillagok gömb-, a galaxisok spirális vagy ellipszis alakúak. Egyes kozmológusok szerint az univerzum maga gigantikus táguló gömbhöz hasonlít. Ha a természetet meg akarjuk érteni, meg kell értenünk ezeket az uralkodó mintákat is. Meg kellene magyarázni, miért olyan általánosak ezek, és miért mutatja a természetnek annyi különböző aspektusa ugyanazt a mintát. Az esőcseppek és a csillagok gömb alakúak, az örvények és a galaxisok spirálisak, a méhsejtek és az ördögszekér hatszögsorok. Kell lennie valamilyen általános elvnek ezek mögött a minták mögött; nem elég minden egyes példát csak önmagában tanulmányozni és saját belső mechanizmusa segítségével magyarázni. A szimmetriasértés épp egy ilyen elv. Ám ahhoz, hogy a szimmetria megtörjön, először jelen kell lennie. Első látásra úgy tűnik, hogy az egyik mintaproblémát másikkal helyettesítettük: mielőtt meg tudnánk magyarázni a körkörös gyűrűket a tavon, meg kellene magyaráznunk a tavat. Döntő különbség van azonban a gyűrűk és a tó között. A tó szimmetriája az egész felszínre kiterjed – ugyanis a felszínén minden pont egyenértékű minden ponttal –, így aztán nem ismerjük fel, hogy mintáról van szó. Ehelyett úgy tekintünk rá, mint valami szelíd egyformaságra. Nagyon könnyű megmagyarázni a szelíd egyformaságot: egy rendszerben akkor áll elő, mikor nincs ok rá, hogy komponensei különbözzenek egymástól. Ez, hogy úgy mondjuk, a természetben az alapértelmezés.[7]
Ha valami szimmetrikus, komponensei pótolhatók egymással, vagyis kicserélhetők. A négyzet egyik csúcsa megszólalásig ugyanúgy fest, mint a másik, tehát a csúcsokat felcserélhetjük anélkül, hogy a négyzet külalakja megváltozna. A metán egyik hidrogénatomja megszólalásig hasonlít a másikhoz, ezeket az atomokat tehát felcserélhetjük. Egy galaxisban az egyik csillagtartomány tökéletesen ugyanolyan, mint a másik, a két különböző spiráliskar részeit tehát jelentős változás nélkül felcserélhetjük. Röviden, a természet azért szimmetrikus, mert egy tömeggyártásra berendezett univerzumban élünk – ami bizonyos szemszögből nézve hasonlít egy tó felületéhez. Minden elektron pontosan ugyanolyan, mint bármelyik másik elektron, minden proton mása minden protonnak, az üres térnek minden tartománya egyenértékű minden egyéb tartománnyal, minden időpillanat pontosan ugyanolyan, mint bármely más időpillanat. És nemcsak a tér, az idő és az anyag szerkezete ugyanolyan mindenütt: az őket vezérlő törvények is. Albert Einstein ezeket az „invarianciaelveket” fizikájának sarokkövévé tette; arra alapozta érveléseit, hogy a téridőben nincs kitüntetett pont. Többek között ez vezette őt a relativitás elvéhez, az egyik legnagyobb fizikai felfedezéshez, amit valaha is tettek. Ez mind nagyon szép, ám egy mély paradoxonhoz vezet. Ha a fizika törvényei ugyanazok mindenütt és mindenhol, miért van egyáltalán az univerzumban „érdekes” struktúra? Nem homogénnek és változatlannak kellene lennie? Ha az univerzumban minden pont felcserélhető minden más ponttal, akkor ezek a pontok nem különböztethetők meg egymástól; és ugyanez állna minden időpontra is. De nem így van. S a problémát csak növeli a kozmológiai elmélet, miszerint az univerzum kezdetben egyetlen pont volt, amely milliárd évekkel ezelőtt kirobbant a semmiségből (ez volt a Big Bang, az ősrobbanás vagy Nagy Bumm). Az univerzum alakulásának pillanatában a térbeli pontok és az időpontok nemcsak hogy nem voltak megkülönböztethetőek, hanem azonosak is voltak. Akkor most miért különbözőek? A felelet az, hogy Curie-nek a fejezet elején említett elve hibás. Bár ez az elv körülbástyázza magát óvatos fenntartásokkal a tetszőlegesen csekély okokról, félrevezető abban a tekintetben, hogyan kellene viselkednie egy szimmetrikus rendszernek. Jóslata arról, hogy a kifejlett békák szükségszerűen kétoldalian szimmetrikusak (mert a békaembriók azok, és a Curie-elv szerint a szimmetria nem változhat), első ránézésre beválik; ám ugyanez az érvelés a hólyagcsíra-állapotra alkalmazva arra a következtetésre sarkallna, hogy a kifejlett békának gömb alakúnak kell lennie. Sokkal jobb elv az előbbi egyenes ellentéte, a spontán szimmetriasértés. Szimmetrikus okok gyakran keltenek kevésbé szimmetrikus hatást. A fejlődő univerzum megtörheti az ősrobbanás kezdeti szimmetriáit. A gömb alakú hólyagcsírából kifejlődhet egy kétoldalian szimmetrikus béka. A mandulagyulladás-vírus 252 darab egymással felcserélhető egysége ikozaéderbe rendeződhet – ahol bizonyos egységek speciális pontokat foglalhatnak el, például a csúcsokat; huszonhét közönséges csövecske összerendeződhet úgy, hogy egy centriólát alkosson. Szép, de miért éppen mintákat? Miért nem egy struktúrálatlan masszát, amiben minden szimmetria felborult? Az egyik vezérfonal, ami végighúzódik a szimmetriasértésről szóló minden tanulmányon: a matematika nem így dolgozik. A szimmetriák kelletlenül sérülnek meg. Tömeggyártásra berendezett univerzumunkban oly sok szimmetria hever szerteszét, hogy ritkán sérülhet meg mind. Egész sok tovább él. Még az éppen sérült szimmetriák is jelen vannak valamilyen értelemben, most azonban inkább potenciális, mint aktuális formában. Például amikor a mandulagyulladás-vírus elkezdett összekapcsolódni, akármelyikük kerülhetett volna egy csúcsba. Ebben az értelemben felcserélhetők egymással. Ám közülük valóban csak egy kerül oda, és ebben az értelemben a szimmetria megsérült: már nem teljesen felcserélhetők. De a szimmetria egy része megmarad, és egy ikozaédert látunk. Ebben a felfogásban a természetben megfigyelhető szimmetriák csak tömegtermeléses
világegyetemünk nagy, univerzális szimmeriáinak letört darabjai. Potenciálisan az univerzum létezhetne a lehetséges állapotok gigászi szimmetrikus rendszerének bármelyikében, de aktuálisan egyet ki kell választania. Ekkor valamelyik meglévő szimmetriáját megfigyelhetetlen, potenciális szimmetriává kell tennie. De a meglévő szimmetriák némelyike megmaradhat, s ha megmarad, észlelünk is egy mintát. A természet szimmetrikus mintáinak legtöbbje ezen általános mechanizmus révén áll elő. Negatív módon ez rehabilitálja a Curie-elvet: ha megengedünk parányi aszimmetrikus zavarokat, amik instabilitást válthatnak ki egy teljesen szimmetrikus állapotban, akkor matematikai rendszerünk már nem tökéletesen szimmetrikus. A legfontosabb viszont az, hogy a legparányibb eltérés az okban teljes szimmetriavesztéshez vezethet az eredő hatásban – és mindig vannak parányi eltérések. Emiatt Curie elve használhatatlan a szimmmetriák előrejelzésére. Sokkal informatívabb egy valódi rendszert egy tökéletes szimmetriájú rendszerrel modellezni és emlékezetben tartani, hogy az ilyen rendszernek sok lehetséges állapota van, csak éppen közülük egyetlenegy valósul meg a gyakorlatban. Apró zavarok hatására a valódi rendszer az állapotoknak arról a skálájáról választ, amiről az idealizált tökéletes rendszer. Ma a szimmetrikus rendszerek viselkedésének megközelítései közül ez segít hozzá legjobban a mintaképződés általános elveinek megértéséhez. Speciálisan, a szimmetriasértés matematikája magában foglal első látásra ettől egészen független jelenségeket is. Például, gondoljunk az első fejezetben említett, homokdűnékben előforduló mintákra. A sivatag modellezhető, mint homokrészecskékből álló lapos síkfelület, a szél pedig, mint a síkon keresztülfolyó folyadék. Vizsgálva az ilyen rendszer szimmetriáit és azt, hogyan sérülhetnek meg ezek a szimmetriák, a megfigyelt dűneminták közül sok levezethető. Például, tegyük fel, hogy a szél stabilan ugyanabba az irányba fúj, tehát az egész rendszer invariáns a széllel párhuzamos eltolásokra. Az egyik módja ezen eltolási szimmetriák megsértésének a szélirányra merőleges párhuzamos csíkok periodikus mintájának a létrehozása. E mintát a geológusok transzverzális dűnéknek hívják. Ha a minta a csíkok irányában is periodikussá válik, még több szimmetria sérül, és a hullárnos barkán tűnik fel. És így tovább. De a szimmetriasértés matematikai elvei nemcsak a homokdűnékre alkalmazhatók. Működnek minden ilyen szimmetriájú rendszerben – ahol folyadék folyik egy sík felületen, mintákat alkotva. Alkalmazhatjuk ugyanazt az alapmodellt lejtős síkságon áthaladó iszapos folyóra, amely üledéket rak le, vagy egy sekély tengernek az árapállyal a tengerfenéken keresztül folyó vizére – ezek a geológiában fontos jelenségek, mert millió évekkel később a kialakuló minták a sziklába vésődtek, ami a tengerfenék homokjából, és az iszapos deltából lett. A lehetséges minták ugyanazok, mint a dűnék esetében. Vagy a folyadék lehet akár folyadékkristály is, ami a digitális órák kijelzőjén található, sok hosszú vékony molekulából áll, amelyek mágneses vagy elektromos mező hatására rendeződnek mintákba. Megint csak ugyanazokat a mintákat találjuk itt is. De az sem szükséges, hogy folyadékról legyen szó: lehet a mozgó közeg az állati szöveten áthatoló vegyület, amely genetikai utasításokat rak le a fejlődő állat bőrének mintáiról. Mármost a transzverzális dűnék analógiája a tigris vagy a zebra csíkozata, a barkánoké pedig a leopárd vagy a hiéna foltjai. Ugyanaz az absztrakt matematika; különböző fizikai és biológiai realizációk. A technológiaátvitelben a matematika az alapvető, de szellemi technológia, vagyis gondolkodásmód segítségével, nem pedig gépekkel. A szimmetriasértésnek ez az univerzális volta magyarázza, hogy élő és élettelen rendszerekben sok a közös minta. Maga az élet is szimmetriateremtő folyamat – az ismétlődés miatt; a biológiai univerzum éppúgy tömegtermelésre van berendezve, mint a fizikai, és a szerves világ sok olyan mintát mutat, amely a szervetlen világban is megtalálható. Az élő szervezetek legnyilvánvalóbb
mintái a formaiak – ikozaéder alakú vírusok, a Nautilus spirális kagylója, a gazellák csigavonalú szarvai, a tengeri csillag, a medúza és a virágok figyelemre méltó forgási szimmetriái. De az élővilágban a szimmetria nemcsak a formákban, hanem a viselkedésben is megnyilvánul, a helyváltoztatás szimmetrikus ritmusain túl is, amiket korábban említettem. A Huron-tó halainak saját territóriumai ugyanolyan elrendezésűek, mint a lép sejtjei – és ugyanazon okból. A területek, akár a méhsejtek, nem lehetnek egy helyen – amit a tökéletes szimmetria eredményezne. Ehelyett olyan szorosan helyezkednek el egymás mellett, ahogy csak tudnak, egyik sem különbözik a másiktól, és a viselkedési feltételek már önmagukban megszabják a hatszögű szimmetriát. Ez hasonlít a matematikai technológiaátvitel egy másik megdöbbentő példájára, tudniillik a szimmetriasértési mechanizmus egy kristály atomjait szabályos rácsba rendezi – ez a fizikai folyamat végső soron alátámasztja Kepler elméletét a hópelyhekről. A természet rejtélyesebb szimmetriafajtáinak egyike a tükörszimmetria. A háromdimenziós tárgyak tükrözése nem valósítható meg térbeli átforgatással – nem tudjuk a ballábas cipőt átforgatni a jobblábasba. Ugyanakkor a fizikai törvények túlnyomórészt tükörszimmetrikusak, a kivételek bizonyos kölcsönhatások az atomnál kisebb részecskék közt. Így aztán, minden olyan molekula, amelyik nem tükörszimmetrikus, potenciálisan két különböző formában létezik – balkezes és jobbkezes formában, hogy szemléletesen fogalmazzunk. A Földön az élet a molekulák kétféle körüljárása közül („balkezes” és „jobbkezes”) mindig kiválasztott egy speciálisat: például az aminosavaknál. Honnan származik a földi életnek ez a speciális körüljárási rendszere? Akár véletlen is lehetne – valamilyen ősi véletlen alakulat, amit aztán a tömegtermelés felszaporított. Ha így van, elképzelhető, hogy egy távoli bolygón olyan lények élnek, akiknek a molekulái tükörképei a miénknek. Másfelől, lehet valamely mély oka az életnek arra, hogy mindig ugyanazt a körüljárást válassza. Jelenleg a fizikusok négy alapvető erőt különböztetnek meg a természetben: a gravitációt, az elektromágnesességet és az erős, valamint a gyenge nukleáris köllcsönhatásokat. Ismeretes, hogy az utóbbi gyenge erő megsérti a tükörszimmetriát – azaz másképp viselkedik egy fizikai probléma balkezes és jobbkezes változatában. Ahogy Wolfgang Pauli, az osztrák születésű fizikus kifejezte: „Az Isten enyhén balkezes.” A tükörszimmetria eme sérülésének egyik figyelemre méltó következménye, hogy a molekuláknak és tükörképüknek az energiaszintjei nem azonosak. Igen kicsiny a különbség: egy bizonyos aminosav és tükörképe között kb. az egyik energiájának 1017-ed része. Ez csak látszólag kevés, de láttuk, hogy a szimmetriafelboruláshoz elég egy egészen csekély eltérés. Általában a molekulák alacsonyabb energiaszintjét kedveli jobban a természet. Erre az aminosavra nézve kiszámítható, hogy százezeréves periódus alatt 98% valószínűséggel az alacsonyabb energiájú forma válik dominánssá. És valóban, az élő szervezetekben ez az aminosav található. Az 5. fejezetben említettem a Maxwell-egyenletek különös szimmetriáját az elektromosságra és a mágnesességre nézve. Durván szólva, ha felcseréljük az elektromos mezőre vonatkozó szimbólumokat és a mágneses mező szimbólumait, újra ugyanazt a két egyenletet kapjuk. Ez a szimmetria indokolja, hogy Maxwell közös néven, elektromágneses erőtér elnevezéssel egyesítette az elektromos és a mágneses erőteret. Hasonló szimmetria van – bár nem tökéletes – a négy alapvető kölcsönhatásra vonatkozó egyenletekben, egy grandiózusabb egyesítést sugallva. Tudniillik, hogy mind a négy erő ugyanannak a dolognak más-más vonatkozása. A fizikusoknak már sikerült egyesíteniük a gyenge és az elektromágneses kölcsönhatást. A jelenleg uralkodó elméletek szerint mind a négy kölcsönhatás egyesíthető – vagyis szimmetrikus viszonyban áll – a korai univerzum igen nagy energiáin. A mi univerzumunkban ez a szimmetria megsérült. Röviden van egy matematikai univerzum, amelyben mind a négy alapvető kölcsönhatás tökéletesen szimmetrikus viszonyban áll – de mi nem abban az univerzumban lakunk.
Ez azt jelenti, hogy Világegyetemünk más is lehetett volna; bármelyik másik világegyetem is lehetett volna, ami potenciálisan más szimmetriasérülés által jött volna létre. Ez csak egy feltevés. De ennél ármányosabb feltevés is létezik: ugyanaz a mintaalkotó alapstílus és ugyanaz a szimmetriatörési mechanizmus vezérli a kozmoszt, az atomot és minket.
7. FEJEZET Az élet ritmusa A természet nagyon ritmikus, sok és sokféle ritmus található benne. Szívünk és tüdőnk ritmikus ciklusokat jár be, amelyek időbeosztása alkalmazkodik testünk szükségleteihez. A természetnek sok ritmusa olyan, mint a szívverés: fenntartják önmagukat, mintegy „a háttérben” működnek. Mások a lélegzéshez hasonlóak: az egyszerű „alapértelmezés”-szerű minta, mindaddig működik, amíg nem történik semmi szokatlan, de van egy bonyolultabb vezérlő mechanizmus is, amelyik bekapcsol, ha szüleséges, és a ritmust a pillanatnyi szükséglethez igazítja. Az ilyenfajta vezérelhető ritmusok különösen elterjedtek – és különösen érdekesek – a helyváltoztatásban. A lábon helyváltoztató állatok tudatos kontrolltól mentes mozgási alapmintáit járásmódoknak nevezzük. A gyors fényképezés kifejlesztése előtt lényegében lehetetlen volt megállapítani, hogy egy állat lába futás vagy vágta közben hogyan mozog: ez a mozgás az emberi szemnek túl gyors. A legenda szerint a fotótechnika egy lóversenyen történő fogadás nyomán fejlődött ki. Az 1870-es években Leland Stanford vasútmágnás huszonötezer dollárban fogadott, hogy van olyan pillanat, amikor az ügető lónak mind a négy lába elválik a talajtól. A vitát eldöntendő egy fényképész, akinek eredeti neve Edward Muggeridge volt, de Eadweard Muybridge-re változtatta, lefényképezte a ló mozgásának különböző fázisait, több fényképezőgépet helyezve el drótakadály mellett, amelyen a ló átugrott. Stanford állítólag megnyerte a fogadást. Igaz a történet vagy sem, Muybridge a járásmódok tudományos vizsgálatának úttörőjeként folytatta. Egy zoetrop nevű mechanikus szerkezetet is feltalált, és „mozgóképek” néven mutogatta őket, s ez az út hamarosan Hollywoodba vezetett. Muybridge tehát egyszerre alapított meg egy tudományt és egy művészetet. Ennek a fejezetnek a legnagyobb része járáselemzés, a matematikai biológiának egy ága, amely e kérdések nyomán fejlődött ki: „Hogyan mozognak az állatok?” és „Miért úgy mozognak?”. A változatosság kedvéért a fejezet folytatása azokról a ritmikus mintákról szól, amelyek teljes állatpopulációknál találhatók, erre egy megdöbbentő példa egyes szentjánosbogárfajták összehangolt fénykibocsátása, ami a Távol-Kelet egyes területein figyelhető meg, többek közt Thaiföldön. Bár a biológiai kölcsönhatások, amelyek az egyes állatok szervezetében mennek végbe, nagyon különböznek attól, amelyek állatpopulációkra jellemzőek, mégis létezik egy háttérben meghúzódó matematikai egység. Ennek a fejezetnek egyik tanulsága, hogy ugyanazok a matematikai fogalmak alkalmazhatók sok különböző szinten és sok különböző dologra. A természet tiszteli az egységet, és ebből nagy haszna származik. Sok biológiai ciklus mögött a szervező elv az oszcillátor matematikai fogalma – ez olyan egység, amely természetes dinamikája révén újra és újra elismétli ugyanazt a viselkedési ciklust. A biológia hatalmas „oszcillátorhálózatokat” épít fel, amelyek egymással is együttműködnek, s összetett viselkedési mintákat alkotnak. Az ilyen „összepárosított oszcillátorhálózatok” foglalják egybe ezt a fejezetet. Miért oszcillálnak a rendszerek egyáltalán? Azért, mert ez a legegyszerűbb, amit tehetünk, ha nem akarunk, vagy nem engednek minket nyugton maradni. Miért jár föl és alá a ketrecbe zárt tigris? Mozgását két kényszerfeltétel kombinációja határozza meg. Először is nyugtalan, és nem akar
nyugodtan ülni. Másrészt mozgása korlátozott a ketrecben, és nem tud egyszerűen eltűnni a legközelebbi domb mögött. A legegyszerűbb dolog, amit tehetünk, ha mozognunk kell, de elmenekülni nem tudunk, hogy oszcillálunk. Persze semmi sem kényszeríti az oszcillációt szabályos ritmus ismétlésére; a tigris szabálytalanul is járkálhatna a ketrecében. Mégis a legegyszerűbb lehetőség – és így a legvalószínűbben alakul ki mind a matematikában, mind a természetben –, hogy találjunk valamilyen elvégezhető mozgássorozatot, és azt ismételjük újra meg újra. Ezt nevezzük periodikus oszcillációnak. Az 5. fejezetben leírtam a hegedűhúr rezgését. Az is periodikus oszcillációval mozog, éspedig ugyanazon okokból, mint a tigris. Nem tud veszteg maradni, mert megpendítették, és nem tud elszabadulni, mert a végeit leszorították, és teljes energiája nem tud növekedni. Sok oszcilláció stacionárius állapotból alakul ki. A feltételek változásával a stacionárius állapotban lévő rendszer kikerülhet ebből az állapotból, és periodikus ingadozásba kezdhet. 1942-ben Eberhard Hopf német matematikus általános matematikai feltételt talált, amely ilyen viselkedést garantál: tiszteletére ezt a forgatókönyvet Hopf-bifurkációnak nevezték el. Az ötlet: approximáljuk, vagyis közelítsük az eredeti rendszer dinamikáját egy különösen egyszerű módon, és nézzük meg, vajon a leegyszerűsített rendszerben létrejön-e periodikus ingadozás. Hopf bebizonyította, hogy ha az egyszerű rendszer ingadozik, akkor a bonyolult is. Ennek a módszernek nagy előnye, hogy a matematikai számításokat csak a leegyszerűsített rendszeren kell végezni, s az eredményből megtudható, hogyan viselkedik az eredeti rendszer. Közvetlenül az eredeti rendszerrel nehéz volna megbirkózni, és Hopf megközelítése igen hatékony módon kerüli ki a nehézségeket. A „bifurkáció” (kettéválás) szó a folyamatról alkotott képből származik – a periodikus oszcilláció „kinő” a kezdeti stacionárius állapotból, mint a gyűrűződés a középpontjából. Ennek a képnek a fizikai interpretációjában az oszcillációk először elég kicsik, majd egyre nagyobbá válnak. Hogy milyen gyorsan nőnek, az itt most lényegtelen. Például a klarinét hangja a Hopf féle bifurkációtól függ. Amint a klarinétos levegőt fúj a hangszerbe, az addig mozdulatlan nád rezegni kezd. Ha a levegő gyengén áramlik, a rezgés kicsi, és halk hangot eredményez. Ha a muzsikus erősebben fújja, a rezgés megnő, és a hang erősebb lesz. Csak az a fontos, hogy a muzsikus ne oszcillálóan fújjon (vagyis ne pöfögjön a hangszerbe gyors egymásutánban), hogy a nádat oszcilláltassa. Ez tipikus a Hopf-bifurkációnál: ha az egyszerű rendszer megfelel a Hopf-féle matematikai teszten, a valóságos rendszer magától oszcillálni kezd. Ebben az esetben az egyszerű rendszer úgy értelmezhető, mint fiktív matematikai klarinét egy nagyon 85 egyszerű náddal, bár a matematikai számítások elvégzéséhez erre az értelmezésre az adott esetben nincs szükség. A Hopf-bifurkáció speciális szimmetriasértésként fogható fel. Az előző fejezetben tárgyalt szimmetriasértésekkel ellentétben az itteni szimmetriák nem a térrel, hanem az idővel kapcsolatosak. Az idő egyetlen változó, tehát matematikailag egy egyenesnek felel meg – az időtengelynek. Az egyenesnek csak kétféle szimmetriája van: az eltolások és a tükrözések. Mit jelent, ha egy rendszer időeltolásra szimmetrikus? Ha megfigyeljük a rendszer mozgását, aztán meghatározott ideig várunk, és megint megfigyeljük a rendszert, ugyanazt a viselkedést tapasztaljuk. Ez a periodikus oszcilláció egy leírása: ha periódusnyi ideig várunk, ugyanazt látjuk. A periodikus oszcillációnak tehát időeltolási szimmetriája van. Mi a helyzet az idő tükrözési szimmetriáival? Ezek annak a változtatásnak felelnek meg, amikor elérjük, hogy az idő visszafelé teljen, ami ravaszabb és filozófiailag nehezebb fogalom. Az idő megfordítása a fejezet szempontjából mellékes jelentőségű, mégis igen érdekes kérdés, ami megérdemli, hogy valahol tárgyaljuk. Miért ne éppen itt? A mozgástörvény invariáns az idő megfordítására. Ha lefilmezünk akármilyen „megengedett” (a törvényeknek megfelelő) fizikai mozgást, és visszafelé forgatjuk le a filmet, megint egy megengedett mozgást fogunk látni. Ugyanakkor
a világunkban a szokásos megengedett mozgások bizarr hatást keltenek, ha visszafelé játsszuk le őket. Az égből zuhogó, tócsákat alkotó esőcseppek mindennapi látványt nyújtanak; tócsák, amint magukból esőcseppeket köpködnek, majd megszűnnek, kevésbé mindennapiak. A különbség a kezdeti feltételekben van. A legtöbb kezdeti feltétel megsérti az időtükrözési szimmetriát. Tegyük fel, hogy lefelé eső esőcseppekkel kezdjük. Ez nem időszimmetrikus állapot: az időben való megfordítottja felfelé eső esőcseppeket jelentene. Bár a törvények időben megfordíthatók, a belőlük következő mozgás nem feltétlenül, mert ha egyszer megsérült az időtükrözési szimmetria a kezdeti feltételek miatt, sérült is marad. Térjünk vissza az oszcillátorokhoz! Az imént magyaráztam el, hogy a periodikus oszcillációk időeltolási szimmetriával rendelkeznek, de nem mondtam meg, hogy ezt a mintát milyen szimmetria megsértésével kapjuk. A válasz: „az összes időeltolás”. Egy állapot, amelyik az összes ilyen szimmetriára invariáns, minden időpillanatban változatlan legyen – nem csak egy eltolásra nézve. Vagyis stacionárius állapotnak kell lennie. Ha tehát egy rendszer, amelynek állapota stacionárius, periodikusan oszcillálni kezd, időeltolási szimmetriái lecsökkennek az összes eltolásból egyetlen periódussal való eltolásba. Mindez nagyon elméletien hangzik. Ugyanakkor a felismerés, miszerint a Hopf-féle bifurkáció valójában az időbeli szimmetria megsértésének egy esete, elvezetett a Hopf-bifurkáció széles körű elméletéhez olyan rendszerekben, amelyekben más szimmetriák is fellépnek – konkrétan térbeliek. A matematikai apparátus nem függ a speciális értelmezésektől, és több különböző fajta szimmetriát is könnyedén tud kezelni egyszerre. Ennek a megközelítésnek egyik sikertörténete az olyan minták általános osztályozása, amelyek tipikusan akkor lépnek fel, ha oszcillátorok egy szimmetrikus hálózatára egy Hopf-bifurkáció hat, és az egyik alkalmazás az állatok mozgása. A mozgásban két, biológiai szempontból különböző, de matematikailag hasonló oszcillátortípus játszik szerepet. A legnyilvánvalóbb oszcillátorok az állatok végtagjai, amelyek mechanikai rendszereknek tekinthetők – az ízületek körül forgó, összekapcsolódó csontszerkezetek, amelyeket az összehúzódó izmok mozgatnak. De a fő oszcillátorok, amelyek minket igazán érdekelnek, a lény idegrendszerében találhatók, az ideghálózatban, amely a végtagok aktivitását kiváltó és vezérlő ritmikus elektromos jeleket kibocsátja. A biológusok az ilyen hálózatot CPG-nek nevezik, ami a „central pattern generator” (központi mintageneráló) rövidítése. Ennek megfelelően egyik hallgatóm a végtagra a LEG mozaikszóval kezdett hivatkozni, állítólag „locomotive excitation generator” (mozgásgerjesztő generátor) rövidítéséül.[8] Az állatoknak kettő, négy, hat, nyolc vagy több LEG-jük van, de az őket vezérlő CPG-kről közvetlenül nagyon keveset tudunk, aminek okait röviden kifejtem. Sok minden, amit tu dunk, annak a gyümölcse, hogy visszafelé – vagy ha akarom, előre – dolgoztunk a matematikai modellekből. Bizonyos állatoknak csak egy járásmódjuk van: egyfajta ritmikus alapminta a végtagjaik mozgatására. Az elefánt például csak sétálni tud. Ha gyorsabban akar haladni, baktat – de a baktatás egyszerűen gyors séta, a lábmozgások mintája ugyanaz. Más állatoknak sok járásmódja van; vegyük például a lovat. Kis sebességnél a lovak sétálnak, nagyobb sebességnél ügetnek, és a legnagyobb sebbességnél vágtatnak. Van, aki még további mozgástípust is beiktat, a könnyű vágtát az ügetés és a galopp között. A különbségek alapvetőek: az ügetés nem egyszerűen csak gyorsabb séta, hanem egy egészen másfajta mozgás. 1965-ben Milton Hildebrand amerikai zoológus észrevette, hogy a legtöbb járásmódban van bizonyos fokú szimmetria. Más szóval, amikor egy állat ugrik, a két mellső lába egyszerre mozog, és a két hátsó is; az ugró járásmód megőrzi az állat kétoldali szimmetriáját. Más szimmetriák ravaszabbak: például a teve bal fele követi ugyan a jobb által leírt mozgássorozatot, de fél periódusnyi késéssel. Tehát
ennek a járásformának sajátos szimmetriája van: „tükrözd a balt és a jobbat, majd told el a fázist fél periódussal”. Mi is ezt a fajta szimmetriasértést használjuk, amikor előrehaladunk: kétoldali szimmetriánk ellenére nem mozgatjuk egyszerre a lábunkat! Ennek vannak előnyei a kétlábúak számára: ha lassan mindkét lábunkat ugyanabba az irányba mozgatnánk, elesnénk. A négylábúak hét legelterjedtebb járásmódja az ügetés, a poroszkálás, az ugrás, a séta, a forgóvágta, a keresztvágta és a könnyű vágta. Az ügetésnél a lábak valójában átlósan vannak párban. Először a bal első és a jobb hátsó láb éri a talajt egyszerre, majd a jobb első és a bal hátsó. Az ugrásnál a mellső lábak egyszerre érik a talajt, aztán a hátsók. A poroszkálás az azonos oldali lábakat kapcsolja össze: a két balláb éri a talajt, majd a két jobb. A séta bonyolultabb, de ugyancsak ritmikus mintát jelent: bal első, jobb hátsó, jobb első, bal hátsó, majd kezdődik az egész elölről. A forgóvágtában a mellső lábak érik a talajt majdnem egyszerre, de (mondjuk) a jobb egész kicsit később; aztán a hátsó lábak majdnem egyszerre, de ezúttal a bal egész kicsit később. A keresztvágta hasonló, de a hátsó lábak sorrendje fordított. A könnyű vágta még különösebb: először a bal első, aztán a jobb hátsó, végül a másik két láb lép egyszerre. Van még egy ritkább járásmód, a pronk, ahol mind a négy láb egyszerre mozog. A pronk nem túl elterjedt, karikatúráktól eltekintve, de néha látható a fiatal szarvasnál. A poroszkálás a tevékre, az ugrás a kutyákra jellemző; a vadászleopárdok a forgóvágtát veszik igénybe a legnagyobb sebességű haladáshoz. A lovak a sokoldalúbb négylábúak közé tartoznak, használják a sétát, az ügetést, a keresztvágtát és a könnyű vágtát, a körülményektől függően. A képesség a járásmódváltásra a CPG-k dinamikájából származik. A CPG-modellek mögött meghúzódó fő idea az, hogy az állatok járásmódjainak ritmusát és fázisviszonyait viszonylag egyszerű ideghálózatok természetes oszcillációs mintái határozzák meg. Vajon milyen lehet egy ilyen hálózat? Az ideghálózat egy konkrét darabját lokalizálni egy állat testében annyi, mint egy bizonyos porszemet keresni a sivatagban: a legegyszerűbb állatok idegrendszerének a feltérképezése is messze meghaladja a mai tudomány lehetőségeit. Így hát kevésbé direkt módszerrel kell körülszimatolnunk a CPG szerkezetének problémáját. Az egyik megközelítés, hogy kidolgozzuk a legegyszerűbb olyan hálózatot, amely a járásmódok összes szóba jövő szimmetriamintáit szolgáltatja. Első ránézésre ez nagy feladatnak tűnik, és megbocsátható volna részünkről, ha megpróbálnánk kiagyalni valamilyen komplikált struktúrát kapcsolókkal, amelyek lehetővé teszik az átkapcsolást egyik járásmódról a másikra, mint amilyen az autó sebességváltója. De a Hopf-bifurkáció elmélete azt sugallja, hogy van egyszerűbb és természetesebb út is. Kiderül, hogy a járásmódoknál megfigyelt szimmetriaminták erősen emlékeztetnek azokra, amelyeket oszcillátorok szimmetrikus hálózataiban találunk. Az ilyen hálózatok természetes módon egész repertoárt tartalmaznak szimmetriasértő oszcillációkból, és természetes módon képesek átkapcsolni köztük. Nincs szükség komplikált sebességváltóra. Például egy kétlábú CPG-jét reprezentáló hálózat összesen két oszcillátort igényel, egyet-egyet a két lábhoz. A matematika szerint ha két azonos oszcillátort párosítunk össze – vagyis kötünk össze úgy, hogy az egyik állapota hat a másikra –, akkor két tipikus oszcillációs mintát kapunk. Az egyik a fázisban minta, ahol a két oszcillátor azonos módon viselkedik. A másik a nem-fázisban minta, ahol a két oszcillátor majdnem azonosan viselkedik, eltekintve attól, hogy félperiódusnyi fáziskülönbség van köztük. Tegyük fel, hogy ez a CPG-ből érkező jel vezérli egy kétlábú lábizmait, amennyiben mindkét oszcillátorhoz egy-egy lábat rendelünk. A kapott járásmódok öröklik ugyanazt a két mintát. A hálózat fázisban való oszcillációja esetén a két láb együtt mozog: az állat két lábon szökdécsel, mint a kenguru. Ezzel ellentétben a CPG nem-fázisban történő mozgása az ember járásához hasonló járásmódot eredményez. Ez a két járásmód figyelhető meg leggyakrabban a kétlábúaknál. (A kétlábú
persze mást is tehet; például szökdécselhet egy lábon – ebben az esetben azonban valójában egylábú állatnak tekinthető.) Mi a helyzet a négylábúakkal? Itt a modell négy összekapcsolt oszcillátor – mind a négy lábhoz egy. A matematika ez esetben a minták nagyobb választékát jósolja, és majdnem mindegyikhez tartozik valamilyen megfigyelt járásmód. A legszimmetrikusabb járásmód, a pronk, négy teljesen szinkronizált oszcillátor mintájához tartozik – vagyis a sértetlen szimmetriához. A következő legszimmetrikusabb járásmódok – az ugrálás, a poroszkálás és az ügetés – azt jelentik, hogy két nem-fázisban levő párt kapcsoltunk össze: mellsőt/hátsót, balt/jobbat vagy átlósan. A séta cirkuláló nyolcfigurás minta, a matematikában természetes módon jelenik meg. A kétféle vágta ravaszabb. A forgóvágta a poroszkálásnak és az ugrálásnak a keveréke, a keresztvágta az ugrálásé és az ügetésé. A könnyű vágta még ennél is ravaszabb, és még nem is értjük elég jól. Az elmélet könnyen kiterjeszthető a hatlábú teremtményekre is, mint a rovarok. Például a svábbogár tipikus járásmódja tripod, ahol az egyik oldalon levő középső láb egy fázisban van a másik oldalon levő elülső és hátsó lábbal, és a másik három láb is együtt mozog, félperiódusnyi fáziseltéréssel az előző hármashoz képest. Ez az egyik természetes minta hat, egy gyűrűbe összekapcsolt oszcillátorra. A szimmetriasértési elmélet megmagyarázza azt is, hogyan tudnak az állatok járásmódot váltani sebességváltó nélkül: egyetlen oszcillátorhálózat más körülmények között más mintát tud felvenni. A járásmódok közti átmenetet ugyancsak a szimmetria szervezi. Minél gyorsabban mozog az állat, annál kevesebb a szimmetria a járásmódjában: több sebesség több szimmetriát sért meg. Ám annak magyarázata, hogy miért váltanak járásmódot, részletesebb információt, fiziológiai ismereteket igényel. 1981-ben D. F. Hoyt és R. C. Taylor felfedezte, hogy amikor a lovak maguk választhatják meg sebességüket a talajtól függően, mindig azt a járásmódot választják, amelyik a lehető legkisebb oxigénfogyasztással jár. Azért tárgyaltam ennyire részletesen a járásmódok matematikáját, mert ez a modern matematikai technikáknak egy szokatlan alkalmazása olyan területen, amelynek első látásra semmi köze sincs hozzájuk. A fejezet befejezéseképp ugyanezeknek az általános fogalmaknak egy további alkalmazását szeretném bemutatni, itt azonban biológiai szempontból éppen az lesz a fontos, hogy a szimmetria ne sérüljön meg. Az egész természetben a leglátványosabb bemutató Délkelet-Ázsiában látható, ahol szentjánosbogarak hatalmas rajai szinkronban villognak. A Science folyóiratban 1935-ben publikált, a Synchronous Flashing of Fireflies (Szentjánosbogarak szinkronvillogása) című cikkében Hugh Smith amerikai biológus lebilincselően írja le a jelenséget: „Képzeljünk el egy 10-12 méter magas fát, minden levelén egy-egy szentjánosbogárral, ahogy az összes bogár tökéletesen egyszerre villog, körülbelül háromszor kétmásodpercenként, s a villogások közti szünetekben a fa teljes sötétségbe borul. Képzeljük el a folyópart 160 méternyi szakaszát, végig mangrove-fákkal, minden levelükön egy szentjánosbogárral, amint szinkronban villognak, a két szélen és köztük tökéletes összhangban. Akinek elég élénk a fantáziája, fogalmat alkothat erről az elbűvölő látványosságról.” Miért villognak szinkronban a szentjánosbogarak? 1990-ben Renato Mirollo és Steven Strogatz rámutatott arra, hogy a szinkronizmus a szabály azokban a matematikai modellekben, amelyekben minden szentjánosbogár minden másikkal kölcsönhatásban áll. Az ötlet: a rovarokat modellezzük ezúttal vizuális jelek segítségével csatolt oszcillátorok egy populációjával. A kémiai ciklust, amely végbemegy a szentjánosbogárban, amikor lead egy fényjelet, oszcillátorként képzeljük el. A bogarak populációját ilyen oszcillátorok hálózatának tekintjük, teljesen szimmetrikus kapcsolatban, azaz minden oszcillátor az összes többire ugyanúgy hat. A legszokatlanabb jellemzője ennek a Charles Peskin amerikai biológus által 1975-ben bevezetett modellnek, hogy az oszcillátorokat maga a
lüktetés kapcsolja össze. Ezt úgy kell értenünk, hogy egy oszcillátor csak abban a pillanatban hat a szomszédaira, amikor leadja a fényjelet. A matematikai nehézség az, hogy mindezeket a kölcsönhatásokat szétválasszuk, úgy, hogy aztán együttes hatásuk világosan kirajzolódjék. Mirollo és Strogatz bebizonyította, hogy, a kezdeti feltételektől függetlenül, végül az összes oszcillátor szinkronba kerül. A bizonyítás az abszorpció fogalmán alapul, ami annyit jelent, hogy két különböző fázisban levő oszcillátor „felzárkózik egymáshoz”, és ettől kezdve azonos fázisban lesznek. Mivel az összekapcsolódás teljesen szimmetrikus, ha egy csoport oszcillátor felzárkózott egymáshoz, ezek már nem válnak szét újra. Geometriai és analitikus bizonyítás tanúsítja, hogy ezeknek az abszorpcióknak szükségszerűen kialakul a sorozata, ami végül az összes oszcillátor felzárkózásával jár. Mind a mozgás, mind a szinkronizáció esetében az a nagy tanulság, hogy a természet ritmusai gyakran függnek össze a szimmetriával, és hogy a fellépő minták osztályozhatók a szimmetriasértés általános elvei segítségével. Ezek az elvek nem válaszolnak meg minden kérdést a természet világából, de egységes keretet nyújtanak, és gyakran sugallnak érdekes új kérdéseket. Például mindkét esetben felvetődött és választ kapott a kérdés: miért ezek a minták, és nem mások? A másik tanulság az, hogy a matematika néha képes megvilágítani a természetnek olyan aspektusait is, amelyeket általában nem tekintünk matematikainak. Ezt a tanulságot először D'Arcy Thompson skót zoológus vonta le, akinek klasszikus, de külön utakon járó, 1917-ben megjelent könyve, az On Growth and Form (Növekedésről és formákról), többé-kevésbé kézenfekvő bizonyítékok óriási választéka arról, milyen szerepet játszik a matematika a biológiai forma és viselkedés alakulásában. Egy olyan korban, mikor a legtöbb biológus szerint egy állatban az egyetlen érdekes a DNS lánca, ezt a tanulságot gyakran és hangosan kell ismételnünk.
8. FEJEZET A kockák Istent játszanak? Isaac Newton intellektuális öröksége látomás volt az óraműszerű univerzumról, amelyet a teremtés pillanatában hoztak mozgásba, de attól fogva az előírt kerékvágásban haladt tovább, mint egy jól olajozott szerkezet. Egy tökéletesen determinisztikus világ képe volt ez, amelyben nincs lehetőség a véletlen számára, s amelynek jövőjét jelene egyértelműen meghatározza. Ahogy a nagy matematikuscsillagász, Pierre-Simon de Laplace ékesszólóan fejezte ki 1812-ben „A valószínűség analitikus elmélete” című műben: „Egy értelmes lény, aki minden adott pillanatban ismerné az összes, a Természetet elevenen tartó erőt és a benne lévő lények köksönös helyzetét, ha elég hatalmas értelemmel bírna, hogy adatait elemzésnek vesse alá, képes lenne egyetlen formulába sűríteni az univerzum legnagyobb testjeitől egészen a legkönnyebb atomokig mindennek a mozgását: egy ilyen értelmes lény számára semmi sem volna bizonytalan, és a jövő éppúgy, mint a múlt, jelen volna szemei előtt.” Ugyanez a totálisan megjósolható jövőjű világról való látomás húzódik meg az egyik legemlékezetesebb jelenet mögött Douglas Adams 1979-es The Hitchhiker's Guide to the Galaxy (Galaxis útikalauz stopposoknak) című tudományos-fantasztikus regényében, mikor is a két filozófus, Majikthise és Vroomfondel a „Deep Thought” (Mély gondolat) nevű szuperszámítógépnek azt az utasítást adják, számítsa ki a választ az Élet, az Univerzum és a Minden nagy kérdésére. Ötmillió évvel később a számítógép azt felelte: „Negyvenkettő”, s ezen a ponton a filozófusok megértették, hogy a válasz ugyan világos és precíz, ám a kérdés nem. Hasonlóan, Laplace látomásának hibája nem a feleletében van – hogy tudniillik a világegyetem elvileg jósolható, ami nem tesz mást, csak pontosan
fogalmazza meg Newton mozgástörvényének egy speciális matematikai aspektusát –, ennek a ténynek nála szereplő interpretációja azonban alapvető félreértés, ami abból származik, hogy a kérdést tette fel rosszul. Miután sikerült feltenniük az ideillő kérdést, a matematikusok és fizikusok mára eljutottak odáig, hogy értik: determinizmus és jósolhatóság nem szinonimák. Hétköznapi életünkben számtalan esettel találkozunk, amikor Laplace determinizmusa teljesen alkalmatlan modellnek bizonyul. Ezerszer megyünk le biztoságosan a lépcsőn, míg egyik nap kifordul a bokánk, és eltörik. Elmegyünk egy teniszmeccsre, de váratlanul elmossa az eső. A favoritra fogadunk a lóversenyen, és az elesik az utolsó sövénynél, hat hosszal a cél előtt. Ez nem az az univerzum, amelyben – ahogy Albert Einstein emlékezetesen megtagadta, hogy higgyen – Isten kockákkal játszik: inkább hasonlít egy olyan univerzumra, amelyben a kockák Istent játszanak. Determinisztikus lenne világunk, ahogy Laplace állította, vagy a véletlen kormányozza, ahogy oly gyakran látni véljük? És ha Laplace-nak tényleg igaza van, miért jelzi annyi tapasztalatunk, hogy nincs igaza? Az új matematikai ágak közül az egyik legizgalmasabb, a nemlineáris dinamika – népszerű nevén a káosz elmélete – állítja magáról, hogy sok efféle kérdésre megvan a válasza. Akár így van, akár nem, mindenképpen forradalmat hozott ez az elmélet gondolkodásmódunkban rendről és rendetlenségről, törvényről és szerencséről, jósolhatóságról és véletlenről. A modern fizika szerint a természeten a véletlen uralkodik a tér és idő legapróbb méreteiben is. Például, hogy egy radioaktív atom – mondjuk uránium – elbomlik-e adott időpillanatban, ez tisztán a véletlen műve. Nincs fizikai különbség a végül elbomló és a végül nem elbomló urániumatom közt. Nincs. Egyáltalán nincs. Legalább két szövegösszefüggésben tárgyalhatjuk ezeket a kérdéseket: kvantummechanikával és klasszikus mechanikával. Ennek a fejezetnek a legnagyobb része klasszikus mechanikáról szól, de egy pillanatra vegyük szemügyre a kvantummechanikai kontextust is. A kvantum-indeterminizmusnak ez a nézete provokálta ki Einsteinnek fent idézett híres mondatát (egy kollégájának, Max Bornnak írott levelében): „Ön egy olyan Istenben hisz, aki kockázik, én pedig a tökéletes törvényben és rendben hiszek.” Azt gondolom, van valami gyanús a kvantum-indeterminizmus ortodox fizikai nézetében, és véleményemmel nem állok egyedül, mert egyre több fizikus kezd eltűnődni, vajon nem volt-e mindvégig igaza Einsteinnek, és nem hiányzik-e valami a hagyományos kvantummechanikából – talán „rejtett változók”, amelyek értéke megmondja az atomnak, mikor bomoljon el. (Sietek hozzátenni, hogy ez nem a hagyományos nézet.) Közülük a legismertebb, David Bohm, a University of Princeton fizikusa, felépítette a kvantummechanikának egy olyan módosítását, amelyik teljesen determinisztikus, egyúttal tökéletesen összeegyeztethető minden rejtélyes jelenséggel, melyeket a hagyományos kvantum-indeterminizmus alátámasztására használtak. Bohm rendszerének megvannak a maga belső problémái, például egy bizonyos „távolhatás”, ami nem kevésbé zavaró, mint a kvantumindeterminizmus maga. Jóllehet a kvantummechanika érvényes a legkisebb méretekben, a tér és idő makroszkopikus méreteiben a világegyetem determinisztikus törvényeknek engedelmeskedik. Ez egy olyan jelenségből következik, amit inkoherenciának neveznek, és hatására elég nagy kvantumrendszerek elvesztik csaknem teljes indetermináltságukat, és sokkal inkább newtoni rendszerekként működnek. Valójában így újra érvényes lesz a klasszikus mechanika a legtöbb emberi nagyságrendű problémára nézve. A lovak, az időjárás és Einstein híres kockái nem a kvantummechanika miatt jósolhatatlanok. Ellenkezőleg, a newtoni modellen belül is azok! Ez talán nem olyan meglepő, ha lovakról van szó – az élőlényeknek megvannak a maguk rejtett változói, például hogy aznap milyen szénát reggeliztek. Viszont igen nagy meglepetés érte azokat a meteorológusokat, akik komoly számítógépes időjárásszimulációs programokat fejlesztettek ki, hogy hónapokra előre jelezzék az időt. És bizony riasztó,
mikor a kockák felbukkannak, pedig az emberiség makacsul a kockát használja a szerencse legkedveltebb szimbólumaként. A kocka végtére is kocka alakú, és egy feldobott kockának semmivel sem kevésbé volna szabad jósolhatónak lennie, mint egy pályáján keringő bolygónak: hiszen mindkét objektum ugyanazoknak a mechanikai mozgástörvényeknek tesz eleget. Alakjuk különböző, de ugyanolyan szabályos és matematikai jellegű. Hogy lássuk, miként békíthető ki jósolhatatlanság és determinizmus, gondoljunk egy, a világegyetemnél sokkal kevésbé ambíciózus rendszerre – nevezetesen a csapból csöpögő vízcseppekre. Ez egy determinisztikus rendszer: elvileg a vízfolyás állandó és egyenletes, s már kialakulása is tökéletesen leírható a folyadékáramlás törvényeivel. Mégis egy egyszerű, de látványos kísérlet megmutatja, ez a végeredményben determinisztikus rendszer rávehető, hogy jósolhatatlanul viselkedjék. Ez matematikai töprengésre késztet minket, amelynek során magyarázatot találunk, vajon miért lehetséges egy ilyen paradoxon. Ha egy csapot nagyon finoman megnyitunk, és várunk néhány másodpercet, hogy a vízfolyás nyugodttá váljon, általában vízcseppek szabályos sorozatát kapjuk, amelyek szabályos ritmusban csöpögnek le. Nehéz ennél megjósolhatóbbat találnunk. Ha azonban lassan elforgatjuk a csapot, hogy a vízfolyás erősségét növeljük, be tudjuk úgy állítani, hogy a vízcseppek sorozata valami egészen szabálytalan ritmusban essen le, úgy, hogy már véletlenszerűnek lehessen hallani. Belekerül egy kis kísérletezésbe, hogy ez valóban sikerüljön, és jó, ha a csap simán forog. Ne fordítsuk el annyira, hogy a víz folytonos áramban jöjjön; közepes sebességű csepegésre van szükségünk. Ha jól állítottuk be, percekig hallgathatjuk, anélkül, hogy bármilyen minta kivehető volna. 1978-ban egy csapat tekintélyromboló fiatal, a kaliforniai egyetemen végzett hallgató Santa Cruzban megalapította a Dínamikus Rendszerek Kollektíváját. Amikor elkezdtek ezen a vízcsepprendszeren gondolkozni, rájöttek, hogy nem is olyan véletlenszerű, mint amilyennek látszik. Mikrofonnal rögzítették a csepegés zajait, és elemezték az egymást követő cseppek közti intervallumok sorozatát. Rövid távú jósolhatóságot tapasztaltak. Ha elmondom az időket négy egymás utáni cseppre, önök is meg tudják mondani, mikor esik le a következő csepp. Például, ha az utolsó három intervallum 0,63, 1,17 és 0,44 másodperc volt, biztosak lehetünk benne, hogy a következő csepp 0,82 másodperccel később esik le. (Ezek a számok csak illusztrációul szolgálnak.) Valójában ha pontosan ismerjük az első négy csepp időadatait, a rendszer egész jövőjét előre jelezni tudjuk. Akkor hát miért is nincs igaza Laplace-nak? A lényeg az, hogy egy rendszer kezdeti állapotát sosem tudjuk pontosan megmérni! A legprecízebb mérések, amelyeket bármilyen fizikai rendszerben valaha is végeztek, körülbelül tíz-tizenkét tizedesjegy pontosságot értek el. De Laplace állítása csak úgy korrekt, ha végtelen nagy pontossággal tudunk mérni – és ez persze lehetetlen. Tudtak a mérési hibának erről a problémájáról Laplace korában is, de általában feltételezték, hogy ha a kezdeti mérések mondjuk tíz jegyre pontosak, akkor az ebből levezetett előrejelzések is ugyanilyenek lesznek. Vagyis azt hitték, hogy bár a hiba nem tűnik el, sohasem növekszik. Sajnos növekszik. Ez pedig megakadályoz minket abban, hogy rövid távú előrejelzések egy sorozatát hosszú távú előrejelzéssé fűzzük össze. Tegyük fel például, hogy az első négy vízcsepp időadatait tíz jegy pontossággal ismerem. Ekkor a következő csepp leesésének időpontját kilenc jegy pontossággal tudom meghatározni, a következőét nyolc jegy pontossággal, és így tovább. Minden lépésben a hiba hozzávetőleg egy tizes faktorral nő, a megbízhatóságból tehát egy további tizedeshelyet veszítek. Így aztán tíz lépés után már sejtelmem sincs, mikor érkezik a következő vízcsepp. (Ismét meg kell jegyezzük, hogy a valódi adatok bizonyára mások: lehet, hogy féltucat csepp is kell, hogy egy tizedesnyi pontosságot veszítsünk, de még ekkor is elég hatvan csepp, hogy a fenti probléma előálljon.)
A hibának ez a felerősödése kelti azt a logikai rést, amin át Laplace tökéletes determinizmusa eltűnik. A mérésnek semmilyen tökéletesítése sem lesz elgendő. Ha az időbeli viszonyokat száz tizedesjegyig tudnánk mérni, már mindössze száz csepp után a jóslatunk hibás lesz (vagy hatszáz csepp után, egy optimistább becslés mellett). Ennek a jelenségnek a neve „érzékenység a kezdeti feltételekre” vagy a „pillangó effektus”. (Amikor egy pillangó Tokióban meglebegteti a szárnyát, az eredmény esetleg egy hurrikán Floridában egy hónappal később.) Mindez szorosan összefügg a viselkedés nagyfokú szabálytalanságával. Minden, ami valóban szabályos, definíciója szerint jósolható, míg az érzékenység a kezdeti feltételekre jósolhatatlan viselkedéssel jár – következésképp szabálytalan. Ez az oka, hogy egy rendszert, amelyik érzékeny a kezdeti feltételekre, kaotikusnak hívunk. A kaotikus viselkedés determinisztikus törvényeknek tesz eleget, de annyira szabálytalan, hogy a gyakorlatlan szem egészen véletlenszerűnek látja. A káosz nem egyszerűen komplikált, minta nélküli viselkedés: ravaszabb annál. A káosz látszólag komplikált, látszólag minta nélküli viselkedés, aminek valójában van egy egyszerű, determinisztikus magyarázata. A káosz felfedezése túl sok ember nevéhez fűződik, ahhoz, hogy itt felsoroljuk őket. Nagyjából azt mondhatjuk, hogy három külön fejlemény összekapcsolódásának köszönhetjük. Az egyik a tudományos figyelem elfordulása volt az egyszerű mintáktól (amilyenek az ismétlődő ciklusok) az összetettebb viselkedésfajták felé. A második a számítógép, amely lehetővé tette, hogy könnyen és gyorsan közelítő megoldást találjanak dinamikai egyenletekre. A harmadik pedig a dinamika egy matematikai felfogása volt – a numerikus helyett inkább geometriai felfogás. Az első motivációt szolgáltatott, a második technikát, a harmadik a dolgok jobb megértését. A dinamika geometrizálása körülbelül egy évszázada kezdődött el, amikor Henri Poincaré francia matematikus – a legkülöncebb különc, de olyan ragyogó elme, hogy nézetei általában majdnem egyik napról a másikra kötelezővé váltak – bevezette a fázistér fogalmát. Ez képzeletbeli matematikai tér, amely reprezentálja egy adott dinamikai rendszer összes lehetséges mozgását. Hogy egy nemmechanikai példát vegyünk, nézzük meg egy ragadozó-zsákmány típusú ökológiai rendszer dinamikáját. A ragadozók vaddisznók, a zsákmány pedig egy bizonyos csípős gombafajta, a szarvasgomba. A számunkra fontos változók a két populáció mérete – a vaddisznók száma (valamilyen referenciaértékhez képest, mondjuk egymillióhoz) és a szarvasgombák száma (ugyanígy). Ez a választás lényegében folytonossá teszi a változókat – azaz felvehetnek valós számértékeket is tizedesjegyekkel, nemcsak egészeket. Például ha a vaddisznók referenciaértéke egymillió, akkor egy 17.439 állatból álló populáció a 0,017439 értéknek fog megfelelni. Mármost, a szarvasgombák számának növekedése attól függ, hány gomba van, és hogy a vaddisznók milyen gyorsan eszik a gombát; a vaddisznó-populáció növekedése attól függ, mennyi vaddisznó van, és hogy mennyi gombát esznek. Eszerint mindegyik változó változásmértéke függ mindkét változótól, s ezt az észrevételt egy differenciálegyenlet-rendszer felírására használhatjuk fel, amely a populáció dinamikáját írja le. Nem fogom itt tárgyalni az egyenleteket, mert a mi szempontunkból nem érdekesek: csak az, hogy mihez kezdünk velük. Ezek az egyenletek határozzák meg – elvileg –, hogy miképp változik bármilyen kezdeti populáció az időben. Például ha 17.439 vaddisznóval és 788.444 gombával indulunk, akkor a 0,017439 és a 0,788444 értékeket írjuk fel a két változó kezdeti értékeként, és az egyenletek implicit módon megmondják, hogyan változnak ezek a számok. A nehézség abban áll, hogy az implicitet explicitté kell tenni : meg kell oldani az egyenleteket. De milyen értelemben? Egy klasszikus matematikus természetes reflexe az volna, hogy képletet keres, amely pontosan leírja, adott időpillanatban hány disznó és hány gomba van. Sajnos, ilyen „explicit megoldások” annyira ritkán adódnak, hogy alig éri meg a fáradságot keresni őket, hacsak az egyenletek nem nagyon speciális alakúak. Egy másik
lehetőség számítógép segítségével közelítő megoldásokat keresni; azonban ebből csak azt tudjuk meg, hogy mi a helyzet a konkrét kezdeti értékekre, mi viszont ezt sok kezdeti értékre szeretnénk tudni. Poincaré ötlete a következő: rajzoljunk egy ábrát, amely megmutatja, mi történik bármilyen kezdeti értékek mellett. A rendszer állapota – a két populáció mérete valamilyen időpillanatban – ábrázolható egy síkbeli ponttal, a régi koordinátás trükköt használva. Például a vaddisznópopulációt reprezentálhatjuk a vízszintes, a gombapopulációt függőleges koordinátával. A fent leírt kezdeti állapot a 0,017439 vízszintes koordinátájú és a 0,788444 függőleges koordinátájú pontnak felel meg. Az idő múlásával két koordináta pillanatról pillanatra változik, a differenciálegyenlet által kifejezett szabály szerint, így a megfelelő pont mozog. Egy mozgó pont görbét ír le; és ez görbe az egész rendszer jövőbeli viselkedésének vizuális ábrázolása. Valóban, megnézve a görbét, a dinamika fontos jellemzőit „láthatjuk”, anélkül, hogy a koordináták aktuális értékével kellene törődnünk. Például ha a görbe hurokká záródik, akkor a két populáció periodikus ciklust ír le, s újra és újra ugyanazokat az értékeket ismétli – ahogy egy kocsi a lóversenypályán minden futamban ugyanazok előtt a nézők előtt megy el. Ha a görbe meglátogat néhány pontot, és aztán megáll, akkor a populációk megállapodnak egy stabil állapotban, amiben semmi sem változik mint az autó, ha kifogyott belőle a benzin. Szerencsés egybeesés miatt a ciklusoknak és a stabil állapotoknak van ökológiai jelentőségük – többek között mindkettő felső és alsó korlátokat állít be a populációk méretére: Így azok a jellegek, amelyeket a szem könnyedén leolvas az ábráról, pontosan megegyeznek a folyamat valóságos jellegével. Továbbá, sok lényegtelen részletet figyelmen kívül hagyhatunk: például, látjuk, hogy zárt hurok alakult ki, anélkül, hogy alakját pontosan kiszámítanánk (ami a két populációs ciklus összekombinált „hullámformája”). Mi történik, ha kipróbálunk egy másik kezdeti-érték párt? Kapunk egy második görbét. Minden kezdeti-érték pár definiál egy új görbét; és átfoghatjuk a rendszer összes lehetséges viselkedését az összes kezdeti értékre, ha az ilyen görbék teljes halmazát felrajzoljuk. Ez a görbehalmaz hasonlít egy képzeletbeli matematikai folyadék áramvonalaira, amely a síkon örvénylik mindenfele. A síkot a rendszer fázisterének hívjuk, az összes örvénylő görbe halmazát fázisportrénak. Ahelyett, hogy lenne egy szimbólum alapú fogalmunk a differenciálegyenletről különböző kezdeti feltételek mellett, van egy geometriai, vizuális sémánk pontokról, amelyek a vaddisznó/gomba téren végigáramlanak. Az eredeti síktól csak abban különbözik, hogy sok pontja inkább potenciális, mint aktuális: koordinátáik olyan számoknak felelnek meg, amelyek megjelenhetnek, megfelelő kezdeti feltételek mellett, de adott esetben hiányozhatnak is. Tehát, a szimbólumoktól a geometria felé való tudati eltolódáshoz hasonlóan, létezik egy filozófiai eltolódás is, az aktuálistól a potenciális felé. Ugyanilyen geometriai ábra képzelhető el bármely dinamikus rendszerre. Van egy fázistér, amelynek koordinátái az összes változók értékei; és van egy fázisportré, örvénylő görbék rendszere, amely az összes lehetséges viselkedést képviseli lehetséges kezdeti feltétel mellett, és amelyet a differenciálegyenletek írnak le. Ez az idea nagy előnnyel jár, mert ahelyett, hogy az egyenletek megoldásainak pontos számszerű részleteivel bajlódnánk, figyelmünket a fázisportré széles spektrumára irányíthatjuk, s így értékesíteni tudjuk az emberiség legnagyobb kincsét, varázslatos képalkotó képességét. A fázistér képe, mint a lehetséges viselkedések teljes skálájának szervezési módja, amely skálából a természet választja ki az aktuálisat, a tudományban igen elterjedtté vált. Poincaré nagy újításának eredménye, hogy a dinamika láthatóvá tehető az attraktoroknak nevezett geometriai alakzatok segítségével. Ha elindítunk egy dinamikus rendszert valamilyen kezdőpontból, és megfigyeljük, mi történik vele hosszú távon, gyakran tapasztaljuk: végül valamilyen jól meghatározott alakzat mentén vándorol körbe a fázistérben. Például a görbe egyszer csak rákerülhet egy zárt hurokra, és attól kezdve e hurok mentén megy körbe-körbe. Továbbá, különböző kezdeti
feltételek vezethetnek ugyanahhoz a végső alakzathoz. Ebben az esetben az alakzatot attraktornak hívjuk. Egy rendszer hosszú távú dinamikáját az attraktorai irányítják, és az attraktor alakja határozza meg, milyen fajta dinamika érvényesül. Például, ha egy rendszer végül megmarad stacionárius (állandósult) állapotban, attraktora egy pont. Ha a rendszer végül periodikusan ugyanazt a viselkedést ismétli, attraktora valamilyen zárt hurok. Vagyis a zárt hurok alakú attraktorok az oszcillátoroknak felelnek meg. Emlékezzünk a rezgő hegedűhúr leírására az 5. fejezetből; a húr mozgások egy olyan sorozatán megy keresztül, ami végül visszaviszi oda, ahonnét elindult, s innen kezdve akárhányszor kész megismételni a sorozatot. Nem azt állítottam, hogy a hegedűhúr fizikailag hurok mentén mozog. Hanem a róla szóló leírásom olyan, mint egy zárt hurok képletes értelemben: a mozgás körutazást tesz egy fázistér dinamikai tájképén. A káosznak megvan a maga meglehetősen különös geometriája: különös attraktorok nevű furcsa fraktál-alakzatokhoz kapcsolódik. A pillangó-effektusból következik, hogy egy furcsa attraktor on a mozgást részletesen nem tudjuk előre meghatározni. Ez azonban nem változtat a tényen, hogy ez egy attraktor. Képzeljük el, hogy beleengedünk egy pingponglabdát a viharos tengerbe. Akár a levegőből dobjuk be, akár a víz alól engedjük fel, a labda a felszín irányába mozog. Ha már elérte a felszínt, nagyon bonyolult utat jár be a dagadó hullámokon, de bármilyen bonyolult is ez az út, a labda ott marad a felszínen – vagy legalábbis nagyon közel hozzá. Ebben a képben a tenger felszíne az attraktor. Így aztán, a káosz ellenére, a kezdőponttól függetlenül, a rendszer az attraktorához igen közel végzi majd. A káosz, mint matematikai fogalom, jól megalapozott, de hogy vegyük észre a valóságos világban? Kísérleteket kell végeznünk – van azonban itt egy probléma. A kísérletek hagyományos szerepe a természettudományban az elméleti előrejelzések tesztelése, de ha éppen működik a pillangó-effektus – ahogy működik minden kaotikus rendszerben –, hogyan remélhetjük, hogy teszteljünk egy előrejelzést? Nem eredendően tesztelhetetlen a káosz, s így tudománytalan? A válasz határozott nem, mivel az előrejelzés szónak két jelentése van. Az egyik „előre megmondani a jövőt”, és a pillangó-effektus ezt megakadályozza, ha káoszról van szó. De a másik jelentés „előre leírni, mi lesz egy kísérlet kimenetele”. Gondoljunk arra, amikor százszor dobunk fel egy érmét. Hogy előre jelezzük – az első értelemben –, mi történik, előre fel kéne sorolnunk minden dobás eredményét. De olyan tudományos előrejelzéseket is tehetünk, mint „a dobásoknak kb. a fele fej lesz”, anélkül, hogy előre részletesen megmondanánk a jövőt – még akkor is, ha, mint itt, a rendszer véletlenszerű. Senki sem állítja, hogy a statisztika tudománytalan, csak mert részletesen előre meg nem mondható eseményekkel foglalkozik, tehát a káoszt is ugyanígy kell kezelnünk. Mindenféle előrejelzést adhatunk egy kaotikus rendszerről: valójában annyit is, hogy így megkülönböztessük a determinisztikus káoszt a valódi véletlentől. Az egyik dolog, amit gyakran előre jelezhetünk, az attraktor alakja, amin a pillangó-effektus nem változtat. A pillangó-effektus mindössze azt befolyásolja, hogy a rendszer az attraktoron belül hogyan mozogjon. Emiatt az attraktor általános alakja gyakran kikövetkeztethető kísérleti megfigyelésekből. A káosz felfedezése rávilágított egy alapvető félreértésünkre arról az összefüggésről, ami fennáll a szabályok és az általuk kiváltott viselkedés – ok és okozat – között. Addig úgy hittük, hogy determinisztikus okok mindig szabályos okozatokat hoznak létre, most azonban azt látjuk, hogy létrehozhatnak egészen szabálytalan okozatokat is, amelyek könnyen összetéveszthetők a véletlennel. Úgy hittük, hogy egyszerű okok egyszerű okozatokat vonnak maguk után (ami azt is jelenti, hogy összetett okozatoknak komplex oka van), most azonban már tudjuk, hogy az egyszerű okok maguk után vonhatnak összetett okozatokat is. Most értjük meg, hogy a szabályok ismerete még nem elegendő az eljövendő viselkedés megjóslásához.
Hogyan áll elő ez a meg nem egyezés ok és okozat között? Miért hoznak létre ugyanazok az okok néha kézenfekvő mintákat, néha pedig káoszt? A felelet megtalálható minden konyhában, egy egyszerű mechanikus eszköz, a habverő használatában. A két verőrész mozgása egyszerű és előrejelezhető, épp ahogy Laplace elvárta: mindkét verőrész folyamatosan forog. Viszont a cukor és a tojásfehérje mozgása a tálban jóval bonyolultabb. A két anyag összekeveredik – ezért van a habverő. De a két verőrész nem keveredik össze – nem kell őket szétválasztani, mikor végeztünk. Miért olyan különböző a hab mozgása a habverőkétől? A keverés sokkal bonyolultabb, dinamikusabb folyamat, mint hinnénk. Képzeljük el, hogy megpróbálnánk egy adott cukorszemecskéről előre megmondani, hol lesz a keverés végén! Ahogy a keverék a két verőrész között elmegy, széthúzódik, balra és jobbra, és két cukorszemecske, amelyek egymáshoz nagyon közel indultak el, hamarosan távol kerülnek egymástól, és független utakat járnak be. Valójában ezt is a pillangó-effektus működése okozza – apró változások a kezdeti feltételekben nagy hatásokkal járnak. A keverés tehát kaotikus folyamat. Megfordítva, minden kaotikus folyamat együtt jár egyfajta matematikai keveréssel Poincaré képzeletbeli fázisterében. Emiatt van, hogy az ár előrejelezhető, míg az időjárás nem. Ugyanolyan fajta matematika kell hozzájuk, de az ár dinamikája nem keveri össze a fázisteret, az időjárásé igen. Nem az a fontos, mit csinálunk, hanem hogy hogyan csináljuk. A káosz felborítja kényelmes feltevéseinket arról, hogyan működik a világ. Arról tudósít, hogy az univerzum sokkal különösebb, mint hisszük. Kételyeket ébreszt sok hagyományos tudományos módszer iránt: nem elég többé pusztán ismerni a természet törvényeit. Másrészt arról is tudósít, hogy bizonyos véletlenszerűnek hitt dolgok esetleg egyszerű törvényeknek engedelmeskednek. A természet káoszát törvények szabják meg. A múltban a tudomány hajlott arra, hogy ne vegyen tudomást a véletlenszerűnek tűnő eseményekről vagy jelenségekről, olyan kiindulásból, hogy nincs kézenfekvő minta, s így bizonyára nem egyszerű törvények irányítják őket. Ez nem így van. Akadnak egyszerű törvények, épp az orrunk előtt – azok a törvények, amelyek befolyásolják a járványos betegségeket vagy a szívrohamot, esetleg a sáskajárást. Ha megismerjük e törvényeket, talán meg tudjuk akadályozni az őket követő katasztrófákat. Már maga a káosz is megmutatott nekünk új törvényeket, egész új törvénytípusokat. A káosz új univerzális minták egy sajátos fajtáját tartalmazza. Az első ilyen mindjárt a csepegő csappal kapcsolatos. Emlékezzünk rá, hogy a csap csöpöghet ritmikusan és kaotikusan, a folyás sebességétől függően. Valójában a szabályos csöpögés és a „véletlen” ugyanazon matematikai előírás két csekély mértékben különböző variánsa. De ahogy a folyás sebessége nő, a dinamika típusa megváltozik. Az attraktor a dinamikát képviselő fázistérben folyamatosan változik – mégpedig előrejelezhető, de nagyon bonyolult módon. Kezdjük egy szabályosan csepegő csappal: ismétlődő csöpp-csöpp-csöpp-csöpp ritmus, minden csepp szakasztott, mint az előző. Nyissuk ezek után kicsit erősebbre a csapot, hogy a cseppek valamivel gyorsabban jöjjenek. Most a ritmus csöpp-CSÖPP-csöpp-CSÖPP, és minden második cseppnél megismétlődik. Nemcsak a cseppméret változik, ami a csepp hangját befolyásolja, hanem valamennyire a két csepp között eltelt idő is. Ha még egy kicsit gyorsabb vízfolyást engedünk meg, négycseppes ritmust kapunk: csöppCSÖPP-csöpp-CSÖPP. Legyen kicsit még gyorsabb, és nyolc cseppes ritmus alakul ki: csöppCSÖPP-csöpp-CSÖPP-csöpp-CSÖPP-csöpp-CSÖPP. Az ismétlődő cseppsorozatok hossza továbbra is megkettőződik. Matematikailag ez a folyamat a végtelenségig folytatódik, 16, 32, 64 cseppből álló csoportok, és így tovább. Viszont a folyási sebességnek egyre parányibb változtatása fogja eredényezni ezt a kettőződést, míg végül olyan folyási sebességhez jutunk, aminél a csoport
mérete végtelenszer duplázódott. Ekkor nincs cseppsorozat, ami ugyanazt a mintát ismételné. Ez a káosz. A történteket ki tudjuk fejezni Poincaré geometriai nyelvén. A csap attraktora zárt hurokkal kezdődik, ami egy periodikus ciklust képvisel. Képzeljük a hurkot ujjunk köré tekert rugalmas szalagnak. Ahogy a folyási sebesség megnő, ez a hurok két szomszédos hurokká osztódik, mintha rugalmas szalagot tekertünk volna az ujjunk köré. A szalag kétszer olyan hosszú, mint az eredeti, ezért lesz a periódus kétszer olyan hosszú. Ekkor, pontosan úgy, mint az előbb, ez a már megkettőződött hurok újra megkettőződik, végig a hossza mentén, hogy négyperiódusú kört alkosson, és így tovább. Végtelen sok kettőződés után ujjunk ki van dekorálva rugalmas spagettivel, egy kaotikus attraktorral. A forgatókönyvet a káosz előállítására periódus-kettőző kaszkádnak hívják. 1975-ben Mitchell Feigenbaum fizikus fedezte fel, hogy van egy speciális, kísérletileg megmérhető szám, amely kapcsolatos e kaszkádokkal. Ez a szám körülbelül 4,669, és egy sorba helyezhető a (Pi)-vel, mint azok a különös számok, amelyek rendkívüli jelentőségűnek látszanak mind a matematikában, mind a természeti világhoz való viszonyukban. A Feigenbaum-féle számra egy szimbólumot is használ nak: a görög (delta) betűt. A (Pi) azt mondja meg, hogyan aránylik a kör kerülete az átmérőjéhez. Analóg módon, Feigenbaum (delta) száma azt mondja meg, hogyan aránylik a cseppek periódusa a vízfolyás sebességéhez. Hogy pontosak legyünk, a tényező, ami azt mutatja meg, hogy hányszor kell gyorsabbra állítanunk a vízfolyást, minden perióduskettőzéskor egy 4,669 faktorral csökken. A (Pi) szám mennyiségi jellemzője mindennek, ami körökkel kapcsolatos. Ugyanígy, a Feigenbaum féle (delta) szám mennyiségi jellemzője minden periódus-kettőző kaszkádnak, függetlenül attól, hogy miképp állítható elő, vagy kísérletileg hogyan realizálható. Ugyanez a szám mutatkozik meg azokban a kísérletekben is, amelyeket cseppfolyós héliummal, vízzel, elektromos áramkörökkel, ingákkal, mágnesekkel és rezgő vonatkerekekkel végeztek. Ez egy új univerzális minta a természetben, amelyet csak a káosz szemüvegén keresztül vehetünk észre, mennyiségi jellemző, egy szám, amely egy minőségi jellegű folyamatból származik. Valóban a természet számainak egyike. A Feigenbaum-féle szám új matematikai világra nyitott kaput, amit csak most kezdtünk el kutatni. A Feigenbaum által megtalált pontos minta és más hasonló minták a finom részleteken múlnak. A lényeg, hogy még ha a természeti törvények következményei minta nélkülinek látszanak is, ezek a törvények léteznek, és a minták is. A káosz nem véletlenszerű: látszólag véletlen viselkedésforma, ami pontos szabályok eredménye. A káosz a rend egy rejtélyes formája. A tudomány mindig is értékelte a rendet, de kezdjük észrevenni, hogy a káosz a tudománynak más előnyöket képes kölcsönözni. A káosz könnyebbé teszi a gyors választ a külső ingerekre. Gondoljunk csak a teniszjátékosra, aki épp egy szervára vár. Nyugodtan áll? Szabályosan egyik oldalról a másikra mozog? Természetesen nem. Hanem szabálytalanul táncol egyik lábáról a másikra. Részben megpróbálja megzavarni ellenfelét, de egyben arra is fel van készülve, hogy akármilyen neki küldött szervát visszaadjon. Hogy bármilyen irányba gyorsan el tudjon mozdulni, gyors mozdulatokat tesz sok különböző irányba. Egy kaotikus rendszer sokkal gyorsabban és kevesebb erőfeszítéssel tud válaszolni a külső eseményekre, mint egy nemkaotikus. Ez fontos a műszaki vezérlés problémáinál. Például ma már tudjuk, hogy bizonyos fajta turbulenciák a káoszból származnak – emiatt látszik a turbulencia véletlenszerűnek. Lehetségesnek mutatkozik, hogy a repülőgép felületét elhagyó légáramot sokkal kevésbé turbulenssé, s így a mozgást kevésbé akadályozóvá tegyük, ha olyan vezérlő mechanizmusokat szerelünk föl, amelyek igen gyorsan válaszolnak bármilyen kezdődő kicsi turbulenciára, kiiktatva azt. Az élőlényeknek is kaotikusan kell viselkedniük ahhoz, hogy gyorsan válaszoljanak egy változó környezet ingereire.
Ezt a gondolatot nagyon hasznos gyakorlati technikára váltotta be mateinatikusok és fizikusok egy csoportja, többek közt William Ditto, Alan Garfinkel és Jim Yorke. A módszert kaotikus vezérlésnek nevezték el. Az ötlet lényegében az, hogy a pillangó-effektust a magunk hasznára fordítjuk. A tény, miszerint kicsi változások a kezdeti feltételekben nagy változásokat eredményeznek a további viselkedésben, előny lehet; csak annyit kell tennünk, hogy biztosítjuk: elérjük azt a nagy változást, amit akartunk. A kaotikus dinamika működésének megértése lehetővé teszi, hogy vezérlési stratégiákat dolgozzunk ki, amelyek épp ezt teszik. A módszer sok sikert ért el. Az űrjárművek egy hidrazin nevű üzemanyagot használnak a pályakorrekcióhoz. A kaotikus vezérlés egyik legkorábbi sikere volt, hogy egy lerobbant mesterséges holdat pályájáról letérítettek, és elérték, hogy találkozzék egy kisbolygóval, s mindezt annak a csekély mennyiségű hidrazinnak a segítségével, ami a fedélzeten megmaradt. A NASA ötször „lengette meg” a Hold körül, úgy, hogy mindig egy egész kicsi hidrazinadagot használt, s finoman odébblökte. Több ilyen találkozást valósítottak meg, egy olyan művelet révén, amely ügyesen aknázta ki a káosz fellépését a három-test problémában (itt Föld/Hold/mesterséges hold), valamint az ezzel kapcsolatos pillangó-effektust. Ugyanezt a matematikai ötletet használták, hogy mágnesszalagot vezéreljenek egy turbulens folyadékban – ami mintául szolgált tengeralattjárót és repülőgépet elhagyó turbulens folyadék vezérléséhez. Kaotikus vezérlést használtak, hogy egy szabálytalanul verő szívet visszatérítsenek a szabályos ritmusra, előrevetítve az intelligens pacemaker felfedezését. Nemrég arra alkalmazták, hogy az elektromos aktivitás ritmikus hullámait fölkeltse, illetve megakadályozza az agyszövetben, s ezzel lehetőség nyílt az epileptikus rohamok megelőzésére. A káosz fejlődő ipar. Ma már minden héten adódnak új felfedezések a káosz matematikai alapjairól vagy a káosz új hozzájárulásai a természeti világ jobb megértéséhez, avagy a káosz új technológiai alkalmazásai, beleértve a kaotikus edénymosogatót is, egy japán találmányt, amelynek két forgó karja van, ezek pörögnek is, méghozzá kaotikusan, hogy az edényt tisztábbra mossák, kevesebb energiával; és egy angol gép, amely káosz-elméleti alapú adatelemzést végez, hogy egy rugógyárban jobbá tegye a minőség-ellenőrzést. De még sok a teendő. A káosznak talán a legutolsó megoldatlan problémája a kvantumok furcsa világa, ahol Szerencse Asszony uralkodik. A radioaktív atomok „véletlenszerűen” bomlanak el; minden szabályosságuk csak statisztikai jellegű. Nagy mennyiségű radioaktív atom egy jól meghatározott felezési idővel jellemezhető – ez egy olyan időperiódus, ami alatt az atomok fele el fog bomlani. Csakhogy nem tudjuk előre megmondani, melyik fele. Albert Einstein fent említett tiltakozása éppen erre a kérdésre vonatkozott. Tényleg egyáltalán nem lenne különbség a végül el nem bomló és a végül elbomló radioaktív atom között? Akkor honnan tudja az atom, hogy mit tegyen? Lehet a kvantummechanika látszólagos véletlenszerűsége csalóka? Tényleg nem más, mint determinisztikus káosz? Képzeljük el az atomot kozmikus folyadék egy rezgő cseppjének. A radioaktív atomok nagyon erősen rezegnek, és könnyen leválhat egy kisebb csepp – elbomolhat. Az atomok olyan gyorsan rezegnek, hogy nem tudjuk külön-külön megmérni a sebességüket: csak kiátlagolt mennyiségeket tudunk mérni, például energiaszinteket. Mármost, a klasszikus mechanika arra tanít, hogy valódi folyadék egy cseppje rezeghet kaotikusan. Ilyenkor mozgása determinisztikus, de nem előre jelezhető. Alkalmanként, „véletlenül”, a rezgések összefognak és leválasztanak egy apró cseppecskét. A pillangó-effektus lehetetlenné teszi, hogy előre megmondjuk, mikor válik le a csepp; de ennek az eseménynek pontos statisztikai jellemzői vannak, beleértve egy jól meghatározott felezési időt is. Lehetne a radioaktív atomok látszólag véletlenszerű elbomlása valami hasonló, csak mikrokozmikus méretekben? És különben is, miért vannak statisztikai szabálytalanságok egyáltalán? Talán nyomai
egy mélyenfekvő determinizmusnak? Milyen egyéb helyről származhatnának a statisztikai szabályosságok? Sajnos ezt a csábító ötletet még senki sem próbálta kidolgozni – pedig szellemében rokon a „szuperhúrok” divatos elméletével, amelyben az atomnál kisebb részecske egyfajta felhangolt rezgő sokdimenziós húr. Itt a legfőbb közös jellemvonás, hogy mind a rezgő húr, mind a rezgő csepp behoz egy új „belső változót” a fizikai modellbe. A jelentős különbség a két megközelítés közt abban áll, ahogy a kvantumindeterminációt kezelik. A szuperhúr-elmélet, mint a hagyományos kvantummechanika is, az indeterminációt eredendően a véletlenből származónak tekinti. Ugyanakkor egy olyan rendszerben, mint a csepp, a látszólagos indetermináció valójában egy determinisztikus, bár kaotikus dinamika eredménye. A trükk – ha sejtenénk, hogyan kellene nyélbe ütni – az lenne, hogy keresnénk egy struktúrát, amely a szuperhúr-elmélet kedvező tulajdonságait megőrzi, míg egyes belső változók viselkedését kaotikussá teszi. Csábító módja lenne ez annak, hogy az Istenség kockáját determinisztikussá varázsoljuk és Einstein szellemét boldoggá tegyük.
9. FEJEZET Cseppek, dinamika és százszorszépek A káosz megtanít minket arra, hogy egyszerű szabályoknak engedelmeskedő rendszerek is viselkedhetnek meglepően bonyolultan. Van itt megszívlelendő lecke mindenkinek – igazgatóknak, akik úgy képzelik, egy szorosan ellenőrzött társaság magától simán működik, politikusoknak, akik úgy gondolják, hogy ha egy problémáról törvényt hoznak, ezzel meg is szüntették és tudósoknak, akik azt képzelik, ha már modellt adtak egy rendszerre, művük teljes. Azonban a világ tökéletesen kaotikus sem lehet, különben nem tudnánk benne élni. Az egyik oka, hogy a káoszt nem fedezték föl előbb, éppen az, hogy világunk sok szempontból egyszerű. Az egyszerűség általában eltűnik, mikor a felszín mögé pillantunk, de a felszínen még egyszerű. Nyelvhasználatunk világunk leírására az alapvető egyszerűség létén nyugszik. Például, „a rókák nyúlra vadásznak” állításnak csak azért van értelme, mert megragadja az állatok közti interakciók egy általános mintáját. A rókák tényleg vadásznak nyúlra, abban az értelemben, hogy ha egy éhes róka meglát egy nyulat, valószínűleg utánafut. Ugyanakkor, ha jobban megnézzük a részleteket, rögtön olyan bonyolultakká válnak, hogy minden egyszerűség elvész. Például, hogy ezt a szimpla cselekedetet végrehajtsa, a rókának fel kell ismernie a nyúlban a nyulat. Aztán lábait mozgásba kell hoznia, hogy utánafusson. Hogy megértsük ezeket az eseményeket, meg kell értenünk magát a látást, a mintafelismerést az agyban és a mozgást. A 7. fejezetben már vizsgáltuk a harmadik tételt, a mozgást, és ott érintettük a fiziológia és neurológia bonyodalmait – a csontokat, az izmokat, az idegeket és az agyat. Az izmok tevékenysége a sejtbiológiától és a kémiától függ; a kémia a kvantummechanikától; a kvantummechanika pedig a sokat keresett „Mindenség Elméleté”-től (Theory of Everything)[9], ahol egyetlen egészben egyesül a fizika öszes törvénye. Ha a mozgás helyett azt az ösvényt követjük, amit a látás vagy a mintafelismerés jelöl ki, megint ugyanazt a mindenfelé szerteágazó komplexitást látjuk. A feladat reménytelennek tűnik – kivéve, ha az egyszerűségek, amelyekből kiindultunk, valóban léteznek, így vagy használja a természet ok és okozat eme gigászian komplex hálózatát, vagy úgy rendezi a dolgokat, hogy a bonyodalmak nagy része nem fontos. A legutóbbi időkig a tudományban a kutatás természetes útja mind mélyebbre és mélyebbre vezetett a komplexitás fájában – amit Jack Cohen és én a „redukcionista rémálmának” neveztünk. Sokat tanultunk a természetről ezen az úton – mindig azt nézve, hogy tudjuk a magunk céljaira fordítani. De szem elől tévesztettük a nagy egyszerűségeket, mert már nem is láttuk őket egyszerűnek. Nemrég egy ettől radikálisan különböző megközelítés kapott hangot, komplexitáselmélet néven. Központi tétele, hogy a nagyfokú
egyszerűsítések nagyszámú komponens összetett kölcsönhatásából jönnek létre. Ebben az utolsó fejezetben három példát szeretnék mutatni a bonyolultságból kialakuló egyszerűségre. Nem a komplexitáselmélet teoretikusainak írásaiból vettem őket; ehelyett a modern alkalmazott matematika egyik legfontosabb irányzatából választottam, a dinamikus rendszerek elméletéből. Két okom volt erre. Az egyik: meg szeretném mutatni, hogy a komplexitáselmélet központi filozófiája az egész tudományban mindenütt függetlenül fel-felbukkan, anélkül, hogy bármilyen direkt mozgalom elősegítené. Csendes forradalom indult el, mint egy kis zümmögő forrás, és a buborékok már kezdik áttörni a felszínt. A másik ok, hogy mindegyik példa egy-egy régi-régi rejtvény megoldását mutatja be a matematikai mintákról a természet világában – és ezáltal a természetnek olyan jellegzetességeire nyitja rá a szemünket, amelyeket másképp nem vettünk volna észre. A három téma: a vízcseppek alakja, az állatpopulációk dinamikus viselkedése és végül a különös minták a virágszirom numerológiájában, amelynek megoldását a nyitó fejezetben ígértem. Először térjünk vissza a csapból lassan csepegő víz kérdéséhez. Ez egyszerű mindennapi jelenség – mégis a káoszról tanulhattunk a példáján. Most a komplexitásról fogunk tanulni – ugyanezen példa kapcsán. Most nem az egymás utáni cseppek közt eltelt időre figyelünk. Ehelyett megnézzük a csaptól elváló csepp alakját. Ez aztán igazán egyszerű, nem? Nyilván a klasszikus „könnycsepp” alak, inkább, mint egy ebihal; gömbölyű a fejénél, és bekanyarodik, hogy hegyes farokban végződjön. Végül is ezért hívjuk könnycsepp alaknak. Mégsem egyszerű. Sőt, nem is igaz. Mikor először hallottam erről a problémáról, főleg az lepett meg, hogy a választ nem találták meg már régóta. Szó szerint könyvtárpolcok kilométereit tölti meg a folyadékok mozgásának tanulmányozása. Valaki csak vette ezek után a fáradságot, hogy megnézze, milyen alakú a vízcsepp?! Mégis, a korai irodalom egyetlen korrekt ábrát tartalmaz, több mint száz éve Lord Rayleigh fizikustól, s az is olyan parányi, hogy alig lehet észrevenni. 1990-ben Howell Peregrine matematikus és munkatársai a bristoli egyetemről lefényképezték a folyamatot, és rájöttek, hogy sokkal bonyolultabb – de sokkal érdekesebb is –, mint akárki hitte volna. Az elváló csepp kialakulása egy kiduzzadó csepp-pel kezdődik, amely a csap vége alkotta felületről lóg. Dereka lesz, amely elkeskenyedik, és a cseppecske alsó része, úgy tűnik, a klasszikus könnycsepp alakot veszi fel. Ám ahelyett, hogy lecsípődne és rövid, hegyes farkot alkotna, a derék hosszú, vékony, hengerszerű fonállá nyúlik, aminek végéről egy majdnem gömb alahú csepp lóg. Ekkor a fonál elkezd vékonyodni, éppen ott, ahol a gömbbel találkozik, míg egyetlen pontot alakít ki. Ebben a fázisban egy kötőtűt látunk, ami egy narancsot éppen hogy érint. Majd a narancs leesik a tűről, s enyhén pulzál esés közben. De ez csak a sztori első fele. Ekkor a tű hegyes vége gömbölyödni kezd, és enyhe hullámok haladnak benne fölfelé, a gyökeréhez, s így olyan lesz, mint egy gyöngyfüzér, a gyöngyök pedig egyre kisebbek és kisebbek. Végül, a függő vízfonál a felső végénél egyetlen ponttá keskenyedik, és ez is leválik. Ahogy esik, felső vége kigömbölyödik, és hullámok bonyolult sorozata halad a hossza mentén.
4. ábra A leeső vízcsepp alakjai, miközben leválik. Remélem, az olvasó is olyan csodálatosnak tartja ezt, mint én. Sose hittem volna, hogy a hulló vízcseppek ilyen serények. Ezek a megfigyelések megmagyarázzák, miért nem vizsgálta senki korábban a problémát matematikai részletességgel. Túl nehéz. Amikor a csepp leválik, van egy szingularitás a problémában – ezen a helyen a matematika nagyon csúnya szokott lenni. A szingularitás a „tű” hegye. De miért van ott szingularitás egyáltalán? 1994-ben J. Eggers és T. F. Dupont megmutatta, hogy a forgatókönyv a folyadékmozgás egyenleteinek következménye. Számítógépen szimulálták az egyenleteket, és megkapták ugyanazt a forgatókönyvet, mint Peregrine. Brilliáns munka volt. Valamilyen szempontból mégsem adja meg a teljes választ a kérdésemre. Megnyugtató, hogy a folyadékáramlás egyenletei előre jelezték az egész forgatókönyvet, de ez önmagában nem segít, hogy megértsem: miért ez a forgatókönyv, és nem más. Nagy különbség, ha csak kiszámítjuk a természet számait, vagy hogy törjük rajta a fejünket – ahogy Majikthise és Vroomfondel, mikor kijött: „negyvenkettő”. A további bepillantás a leváló csepp mechanizmusába X. D. Shi, Michael Brenner és Sidney Nagel (University of Chicago) munkája révén vált lehetővé. A megközelítés jellege már Peregririe munkájában is hasonló volt: speciális fajta, „hasonlósági megoldás” nevű megoldás a folyadékáramlási egyenletekre. Az ilyen megoldásnak van egy bizonyos szimmetriája, amely matematikailag kezelhetővé teszi: struktúráját rövid idő elteltével megismétli kisebb méretekben. Shi csoportja továbbment, s megvizsgálta, hogyan függ a leváló csepp alakja a folyadék viszkozitásától. Víz és glicerin keverékeivel kísérleteztek, hogy különböző viszkozitásokat kapjanak. Számítógépes szimulációt is végeztek, és továbbfejlesztették az elméleti megközelítést is a hasonlósági megoldásokkal. Azt kapták, hogy viszkózabb folyadékokra a fonál második szakasza előbb megjelenik, mint ahogy a szingularitás kialakul, és a csepp leválik. Ekkor inkább valami olyat kapunk, mint egy narancs, felfüggesztve egy húrral egy kötőtű hegyére. Még nagyobb viszkozitásokra van egy harmadik szakasz – egy narancs, felfüggesztve egy gyapjúszállal egy húrra, az pedig egy kötőtű hegyére. S ahogy a viszkozitás nő, az elvékonyodások száma határtalanul növekszik – legalábbis ha eltekintünk az anyag atomi struktúrájából következő korlátoktól. Csodálatos! A második példa a populációk dinamikájáról szól. Ennek a kifejezésnek a használata a matematikai modellezésnek egy régi hagyományát tükrözi, ahol az egymással kölcsönhatásban levő lények populációjának változását differenciálegyenletekkel reprezentálják. Példa volt erre az én vaddisznó/szarvasgomba rendszerem. Ugyanakkor nem teljes az ilyen modell biológiai realitása – és nem is a szereplő élőlények megválasztása miatt. A valóságban a populációk méretét megszabó mechanizmus nem egy Newton mozgástörvényével rokon „populációs törvény”. Nagyon sok más hatás is érvényesül, például véletlenszerűek (ki tudja ásni a vaddisznó a gombát, vagy egy szikla útját
állja?) vagy az egyenletekbe be nem vett változások (egyes nőstény vaddisznók több malacot ellenek, mint a többi). 1994-ben Jackie McGlade, David Rand és Howard Wilson (University of Warvick) élvezetes tanulmányt írtak, amely foglalkozik a biológiai szempontból reálisabb modellek és a hagyományos egyenletek viszonyával. Egy, a komplexitás-elméletben szokásos stratégiát követ: olyan számítógépes szimulációt folytat, ahol „ágensek” nagy tömege lép egymással kölcsönhatásba biológiai szempontból kézenfekvő (bár erősen leegyszerűsített) szabályok szerint, és valamilyen nagyvonalú mintára próbál következtetni a szimulációból. Ebben az esetben a szimulációt a „sejtautomata” módszerével hajtották végre, amit úgy képzelhetünk, mint valamilyen számítógépes játékot. McGlade, Rand és Wilson, mivel hiányzott belőlük az én nagy szimpátiám a disznók iránt, a hagyományosabb róka-nyúl esetet vizsgálták. A számítógép képernyője négyzetekre oszlik, és minden négyzetnek van színe – mondjuk, a vörös a rókát, a szürke a nyulat, a zöld a füvet, a fekete a csupasz sziklát jelenti. Felállítanak egy szabályrendszert is, hogy a főbb működő biológiai hatásokat modellezzék. Példák ilyen szabályokra: • Ha egy nyúl egy fű mellett van, rálép és megeszi. • Ha egy róka egy nyúl mellett van, a pozíciójára lép, és megeszi. • A játék minden fázisában egy nyúl új nyulakat szül valamilyen valószínűséggel. • Ha egy róka bizonyos számú lépés eltelte után még nem evett, elpusztul. McGlade csoportja persze ennél bonyolultabb játékot játszott, de ebből a példából talán képet lehet alkotni róla. A játék minden lépésében a gép veszi az aktuális konfigurációt (nyulak, rókák, fű, szikla), és a szabályokat alkalmazva generálja az új konfigurációt – feldobja a számítógép „kockáját”, ha véletlen választásokra van szükség. A folyamat több ezer lépésig folytatódik, egy „mesterséges ökológia” ez, amely az életjátékot játssza egy képernyőn. Ez a mesterséges ökológia hasonlít egy dinamikus rendszerhez, amennyiben ismételten ugyanazt a szabályegyüttest alkalmazza, de véletlen effektusokat is tartalmaz, ezért a modell egészen más matematikai kategóriába kerül: sztochasztikus sejtautomaták – véletlen számítógépes játékok. Éppen mert az ökológia mesterséges, előfordulhat, hogy olyan kísérleteket végzünk, amelyek lehetetlenek vagy túl költségesek az ökológiai megvalósításhoz. Vizsgálhatjuk, hogyan változik az időben a nyúlpopuláció egy adott területen, hogy megkapjuk a pontos számokat. Ez az, amiben McGlade csoportja drámai és meglepő felfedezést tett. Azt vették észre, hogy ha egy területet túlságosan kicsinek választunk, véletlenszerű képet kapunk. Például, mi történik egyetlen négyzeten? Ez túlságosan bonyolult. Másrészt, ha túl nagy területet nézünk, csak egy kiátlagolt populációstatisztikát látunk, semmi mást. A kettő között valami kevésbé unalmasat kapunk. Kifejlesztettek hát egy technikát, hogy megtalálják azt a területméretet, ami a legtöbb érdekes információt szolgáltatja. Aztán egy ilyen méretű területet megfigyeltek, és feljegyezték a változó nyúlpopulációt. A káoszelméletben kidolgozott módszerekkel azt nézték meg, vajon az adott sorozat determinisztikus vagy véletlenszerű, és ha determinisztikusnak találták, megvizsgálták az attraktorát. Ez elég furcsa ötletnek látszik, hiszen, amennyire tudjuk, a szimuláció szabályaiba nagyfokú véletlenszerűség épül, mindenesetre ők ezt csinálták. Amit találtak, igen meglepő volt. A nyúlpopuláció dinamikájának 94%-a ebben a köztes nagyságrendben úgy tekinthető, mint determinisztikus mozgás egy kaotikus attraktoron a négydimenziós térben. Röviden, egy differenciálegyenlet mindössze négy változóban már megragadja a nyúlpopuláció dinamikájának legfontosabb jellemzőit, összesen 6%-os hibával – a számítógépes játékmodell jóval nagyobb bonyolultsága ellenére. Ez a felfedezés azt mutatja, hogy bizonyos kevésváltozós modellek reálisabbak lehetnek, mint ahogy azt eddig sok biológus feltételezte. Ennél mélyebb következmény, hogy a komplex ökológiai játékok finom struktúrájából adódhatnak egyszerű
jellemzések nagyméretű rendszerekre. Harmadik és egyben utolsó példám a természet matematikai szabályosságára, amely inkább komplexitásból, mint „a beépített szabályokból” következik, a virágok szirmainak száma. Az első fejezetben említettem, hogy a virágok többségénél a szirmok száma a 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89 sorozat egy tagja. A konzervatív biológusok úgy vélik, hogy a virágok génjei tartalmaznak minden ilyen információt, és másról nincs is szó. Azonban, éppen mivel az élő szervezetekben bonyolult a DNS-láncnak az a része, amely meghatározza, hogy mely proteinekből épüljenek fel, és így tovább, a gének mégsem határoznak meg mindent. S még ha meghatároznak is, nem közvetlenül. Például a gének megmondják a növényeknek, hogyan készítsenek klorofillt, de nem mondják meg, milyen színűt. Ha klorofill, akkor zöld – nincs választás. Így az élőlények néhány morfológiai jellemzője genetikai eredetű, mások a fizika, kémia és a növekedésdinamika következményei. A megkülönböztetésre az egyik fogódzó, hogy a genetikai hatások rugalmassága óriási, míg a fizika, kémia és növekedésdinamika matematikai szabályosságokat produkál. A növényeknél előforduló számok – nemcsak szirmok számai, hanem mindenféle más jellemzőké is – matematikai szabályosságot mutatnak. Az ún. Fibonacci-sorozat elejét alkotják, ebben a sorozatban minden szám az előző kettőnek az összege. De nem csak a szirmok esetében találunk Fibonacciszámokat. Ha megnézünk egy óriási napraforgót, virágocskák egy figyelemre méltó mintáját látjuk rajta – apró virágok, ezek amelyekből a végén mag lesz – a fejben. A virágocskák két, egymást átmetsző spirálcsaládba rendeződnek, az egyik az óramutató járásával egyező, a másik ellenkező irányba. Egyes fajtáknál az első fajta spirálok száma 34, a másik fajtáé 55. Ez két egymás utáni Fibonacci-szám. A pontos számok a napraforgó fajtájától függnek, de gyakran találunk 34-et és 55-öt vagy 55-öt és 89-et, akár 89-et és 144-et, a következő Fibonacci-számot. Az ananásznak 8 sor pikkelye – gyémánt alakú dísze van –, ezek a sorok bal fele lejtenek, 13 pedig jobb fele. Leonardo Fibonacci 1200 körül fedezte fel sorozatát egy nyúlpopuláció növekedésével kapcsolatos probléma vizsgálatakor. Nem annyira realisztikus modell volt ez, mint az „életjáték”-modell, amit fent tárgyaltam, de nagyon érdekes részeit jelentette a matematikának, mert ez volt az első ilyenfajta modell és mert a matematikusok a Fibonacci-számokat elragadónak és önmagukért szépnek találják. Az erre a fejezetre szánt fő kérdés: ha a genetika akármilyen számú szirommal is elláthatja a virágokat, vagy az ananászt akármilyen számú pikkellyel, akkor miért tapasztaljuk a Fibonacciszámoknak ezt a túlsúlyát? A válasz feltehetően az, hogy a számokat egy olyan mechanizmus hozza létre, amely inkább matematikai, mint tetszőleges genetikai utasítás. A legesélyesebb egyfajta dinamikus feltétel a növényfejlődésre, ami természetes módon vezet a Fibonacci-számokhoz. Persze a jelenségek félrevezetőek is lehetnek, lehet az egész is gének által vezérelt folyamat. Ha így van, szeretném tudni, hogyan kerültek a Fibonacci-számok a DNS-kódba, és miért éppen ezek. Lehetséges, hogy az evolúció eleve a természetes módon előadódó matematikai mintákkal kezdte, és a természetes kiválasztódás segítségével hangolta be őket. Úgy sejtem, sok ilyen történt – a tigris csíkjai, a lepke szárnyai. Ez megmagyarázná, miért vannak a genetikusok meggyőződve arról, hogy a minták genetikai eredetűek, míg a matematikusok az ellenkezőjéről. A levelek, szirmok és a növények hasonló részeinek elrendeződéséről hatalmas irodalommal rendelkezünk. Azonban a korai megközelítések pusztán leíróak – nem magyarázzák meg, hogyan függnek össze a számok a növény fejlődésével, csak osztályozzák az elrendeződések geometriáját. A legdrámaibb betekintést egy meglehetősen friss munka adja, Stéphane Douady és Yves Couder francia matematikai fizikusoktól. Felállítottak egy elméletet a növényfejlődés dinamikájáról, és számítógépes modelleket, valamint laboratóriumi kísérleteket használtak, hogy megmutassák: az elmélet
megmagyarázza a Fibonacci-mintát.
5. ábra Pontok sorakoznak egymás után, 137,5°-os szögben egymáshoz képest egy szorosan megcsavart spirál mentén (amelyet nem ábrázoltunk), és természetes módon lazán megcsavart spirálok két családjára oszlanak szét, amelyek szabad szemmel jól láthatók. Itt 8 spirál látszik az egyik, 13 a másik irányban – ezek egymást követő Fibonacci-számok. Az alapgondolat régi. Ha megnézzük egy fejlődő növény friss hajtásának a csúcsát, már láthatjuk azokat az apró darabkákat, amelyekből a növény összes fő tartozéka – levelek, szirmok, csészelevelek, virágocskák és minden más – kifejlődik majd. A csúcs közepén van egy kör alakú szövetterület, minden különösebb jelleg nélkül, neve csúcs (apex). A csúcs körül egyenként apró kidudorodások alakulnak ki, nevük primordium. Minden primordium elvándorol a csúcstól – pontosabban a csúcs növekedés közben eltávolodik a kidudorodástól és végül a kidudorodás levéllé, szirommá vagy hasonlóvá fejlődik. Továbbá, ezeknek a tartozékoknak az elrendeződése eldől már a kezdetben, amikor a primordium kialakul. Nincs más hátra tehát, mint megmagyarázni, hogy magukban a primordiumokban miért látunk spirálokat és Fibonacci-számokat. Az első, amit meg kell értenünk, hogy a legszembeszökőbb spirálok nem alapvetőek. A legfontosabb spirál úgy keletkezik, hogy vesszük a primordiumokat megjelenési sorrendjükben. Az előbb megjelent primordiumok távolabbra vándorolnak, így megjelenési sorrendjüket megállapíthatjuk a csúcstól való távolságuk alapján. Azt találjuk, hogy az egymás utáni primordiumok elég ritkásan helyezkednek el egy szorosra tekert spirál mentén, aminek neve generatív spirál. Az emberi szem azért szúrja ki a Fibonacci-spirálokat, mert olyan primordiumokból alakultak ki, amelyek egymás mellett jelennek meg a térben. De csak az időbeli sorozat érdekes. A lényeges mennyiségi jellemző a szög az egymás utáni primordiumok közt. Képzeljük el, hogy felrajzoljuk a vonalakat az egymás utáni primordiumok középpontjaiból az apex középpontjához. Az egymás utáni szögek majdnem egyenlőek; közös értéküket divergenciaszögnek nevezzük. Más szóval a primordiumok egyenletesen helyezkednek el – ha a szögeket tekintjük – a generatív spirál mentén. Továbbá a szögek divergenciája általában nagyon közel van a 137,5°-hoz, amit először Auguste Bravais kristallográfus és testvére, Louis hangsúlyoztak. Hogy lássuk, miért jelentős ez a szám, vegyünk két egymás utáni számot a Fibonacci-sorozatban: például a 34-et és az 55-öt. Mármost vegyük a megfelelő törtet, 34/55. Szorozzuk meg 360°-kal, és 222,5-öt kapunk. Mivel ez több 180°nál, ellenkező irányban kell felmérnünk, vagy ki kell vonnunk 360-ból. Az eredmény 137,5°, a Bravais-testvérek által megfigyelt érték. Az egymás utáni Fibonacci-számok aránya egyre közelebb kerül 0,618034-hez. Például 34/55=0,6182, ami már igen közeli. A határérték (négyzetgyök alatt 5-1)/2, az ún. aranymetszési szám, gyakran jelölik a görög (fi) betűvel. A természet hagyott egy rejtvényt a matematikus detektíveknek: a szög az egymás utáni primordiumok között az aranyszög 360(1-fi)°=137,5°. 1907-
ben G. Van Iterson felkapta ezt a rejtvényt, és kiszámította, mi történik, ha egy szorosan összecsavart spirálra rátervezünk egymás utáni pontokat, 137,5°-os szögben. Ahogy a szomszédos pontok egymás után sorakoznak, az emberi szem kiválasztja egymáson áthatoló spirálok két családját – az egyiket az óramutató járása szerint, a másikat fordítva. A Fibonacci-számok és az aranymetszési szám közti összefüggés miatt a spirálok száma két családban két egymás utáni Fibonacci-szám. Hogy melyik, azt a spirál szorossága dönti el. Hogy magyarázza ez a szirmok számát? Alapjában, vegyünk ugyanis egy szirmot a spirál széléről, éppen az egyik családból. Mindenesetre, csak azt kell megmagyaráznunk, miért zárnak be az egymás utáni primordiumok aranyszöget, ebből minden más következik. Douady és Couder dinamikus magyarázatot talált az aranyszögre. Ötleteiket H. Vogel 1979-es fontos meglátására építették. Az ő elmélete is leíró – inkább az elrendezés geometriájára koncentrál, mint a dinamikára, ami azt okozta. Számszerű kísérleteket végzett, amelyek erősen azt sugallták, hogy akkor rendezzük el a primordiumokat a leghatékonyabban, ha az egymás utáni primordiumok a generatív spirál mentén helyezkednek el aranyszögben. Például tegyük fel, hogy aranyszög helyett 90°-os szöggel próbálkozunk, ami osztója 360°-nak. Akkor az egymás utáni primordiumok négy sugár irányában helyezkednek el, amelyek keresztet alkotnak. Valójában, ha a divergenciaszög egész számú többszöröse a 360°-nak, akkor mindig sugár irányú vonalakat kapunk. Tehát nagy szakadások vannak a vonalak között, és nem rendeztünk elég hatékonyan. A konklúzió: hogy hatékonyan töltsük be a teret, olyan divergenciaszögre van szükség, ami 360°-nak irracionális többszöröse – hányadosuk nem két egész szám hányadosa. De melyik irracionális szám? A számok vagy racionálisak, vagy nem – amilyen az egyenlőség George Orwell Állatfarmjában –, egyes számok irracionálisabbak, mint a többi. A számelmélet mesterei hoszú ideje tudják, hogy a legirracionálisabb szám az aranymetszési szám. „Rosszul approximálható” racionális számokkal, és ha mérjük, mennyire rosszul, hát ez a legrosszabbul. Ebből, ha az okoskodást a feje tetejére állítjuk, következik, hogy az aranyszögben való elrendezés a leghatékonyabb. Vogel számítógépes kísérletei ezt erősítik meg, de nem bizonyítják. A legfigyelemreméltóbb, amit Douady és Couder tett, hogy az aranyszöget az egyszerű dinamika következményeként kapták meg, nem pedig közvetlenül a hatékony elrendezésből. Feltételezték, hogy bizonyos egymás utáni elemek – amelyek a primordiumokat képviselik – egyenlő időintervallumokban keletkéznek valahol egy kis kör peremén, ami a csúcsot képviseli, és hogy ezek az elemek aztán elvándorolnak sugár irányban egy bizonyos kezdősebességgel. Ráadásul taszítják egymást – mint elektromos töltések vagy azonos polaritású mágnesek. Ez biztosítja, hogy a sugár irányú mozgás fennmarad, és hogy minden új elem olyan távol jelenik meg a közvetlen követőjétől, amennyire csak lehet. Fogadhatnánk, hogy egy ilyen rendszer teljesíteni fogja Vogel kritériumát a hatékony elrendezésről, és azt várhatjuk, hogy az aranyszög magától előbukkan. És valóban előbukkan. Douady és Couder egy kísérletet végzett el – nem növényekkel, hanem egy kör alakú edény segítségével, ami tele volt szilikonolajjal, s ezt függőleges mágneses mezőbe helyezték. Kicsi csöppeket csöpögtettek mágneses folyadékból szabályos időintervallumokban az edény közepére. A cseppek polarizálódtak a mágneses mezőtől és taszították egymást. Erősítést kaptak sugárirányból úgy, hogy erősebbé tették a mágneses mezőt az edény szélén, mint a közepén. A megjelenő minták attól függtek, hogy a cseppek közti intervallumok milyenek voltak. De az igazán kiugró mintában az egymás utáni cseppek spirál alakban helyezkednek el, olyan divergenciaszögben, ami az aranyszöghöz van közel, s összefűzött spirálok napraforgómagszerű mintáját adják. Douady és Couder ugyancsak végzett komputeres számításokat, hasonló eredménnyel. Mind a két módszerrel azt találták, hogy a divergenciaszög a cseppek közti intervallumoktól valamilyen tekergőző görbék komplikált elágazási mintája szerint függ. A görbe minden két tekergőzés közti szakasza megfelel spirálszámok egy
speciális párjának. A főág nagyon közel van a 137,5°-os divergenciaszöghöz, és a mentén minden lehetséges párt megtalálunk, ami egymás utáni Fibonacci-számokból képezhető az eredeti sorrendben. Az ágak közti szakadások „bifurkációkat” képviselnek, ahol a dinamika jelentős változásokon megy át. Persze, senki sem állítja, hogy a botanika annyira matematikai jellegű, mint ez a modell. Speciálisan, sok növényben a primordiumok előfordulásának aránya meg tud nőni vagy le tud csökkenni. Valójában a változások a morfológiában – például, hogy egy adott primordiumból levél lesz vagy szirom – gyakran járnak együtt az ilyen variációkkal. Így, amit a gének csinálnak, hat arra, hogy milyen lesz a primordiumok megjelenésének időbelisége. De a növényeknek nincs szükségük arra, hogy a génjeik megmondják nekik, hogyan helyezzék el a primordiumaikat: ezt megteszi a dinamika. Partnerkapcsolat ez a fizika és a genetika között, és nekünk mindkettőre szükségünk van ahhoz, hogy megértsük, miről van szó. Három példa, a tudománynak igen különböző területeiről. Mindhárom, a maga módján, csak felnyitja a szemet. Mindegyik egy-egy esettanulmány a természet számainak eredete körül – mély matematikai szabályosságok ezek, amelyeket a természet formáiban megtalálhatunk. És van egy közös fonál, egy mélyebb tanulság bennük. Nem az, hogy a természet bonyolult. Nem, a természet, a maga ravasz módján, egyszerű. Csakhogy éppen ezek az egyszerűségek nem mutatkoznak meg nekünk közvetlenül. Ehelyett a természet rejtvényeket hagy a matematikus-detektíveknek, hogy megfejtsék azokat. Élvezetes játék ez, a nézőnek is. És teljesen ellenállhatatlan egy matematikus Sherlock Holmes számára.
EPILÓGUS Morfomatika Van egy másik álmom. Első alkalommal a virtuális valótlanság gépről álmodtam, amely nem más, mint csupán technikai eszköz. Hozzásegíthet ahhoz, hogy láthatóvá tegyük a matematikai absztrakciókat, bátoríthat, hogy új intuícióhoz jussunk velük kapcsolatban, és félretegyük a matematikai kutatás fárasztó könyvelés-részét. Legfőképpen könnyebbé teszi a matematikusoknak szellemi tájuk feltérképezését. De mivel néha egy morzsányi újat is hozzátesznek ehhez a tájhoz, ahogy vándorolnak benne, a virtuális valótlanság gép alkotó szerepet is játszhatna. Biztos, hogy – legalábbis hasonlót – előbb-utóbb létrehoznak. A második álmomat „morfomatikának” hívom. Ez nem technika; ez gondolkodásmód. A kreatív jelentősége hatalmas volna. De nem tudom, hogy valaha is megvalósul-e, egyáltalán lehetséges-e. Remélem, hogy igen, mert szükségünk volna rá. A három példa az előző fejezetben – folyadékcseppek, rókák és nyulak, valamint szirmok – részleteikben nagyon különbözőek, de ugyanazt a filozófiai alapállást illusztrálják a világ működéséről. A gondolkodásnak ez a módja nem közvetlenül indul ki az olyan egyszerű törvényekből, mint a mozgástörvények, az olyan egyszerű minták felé, mint a bolygók ellipszis alakú pályája. Ehelyett az elágazó komplexitás hatalmas fáján halad végig, s ez a fa egy bizonyos szinten viszonylag egyszerű mintákká húzódik össze. Ez az egyszerű állítás: „a csepp leesik a csapról”, átmenetek elbűvölően összetett és meglepő sorozatán keresztül valósul meg. Még nem tudjuk, miért következnek a folyadékáramlás törvényeiből ezek az átmenetek, bár van rá számítógépes bizonyítékunk, hogy léteznek. A hatás egyszerű, az ok nem. A rókák, a nyulak, a fű matematikai számítógépes játékot játszanak bonyolult és valószínűségi jellegű szabályokkal. Mesterséges ökológiájuk fontos jellemzői 94%-os pontossággal reprezentálhatók egy négyváltozós dinamikus rendszerben. És a szirmok száma
egy növényen komplex dinamikus kölcsönhatások következménye az összes primordium között, ami történetesen, az aranyszögön keresztül, a Fibonacci-számokhoz vezet. A Fibonacci-számok megfejteni való rejtvények a matematikus Sherlock Holmesok számára – nem ezek a legfőbb gonosztevők. Ebben az esetben Moriarty a dinamika, nem pedig a Fibonacci-számok – a természet mechanizmusai, nem a számai. Van egy közös tanulság ebben a három matematikai mesében: a természet mintái „keletkezőben lévő” jelenségek. A komplexitás óceánjából keletkeznek, mint Botticelli Vénusza a maga félkagylójából – előhírnök nélkül, meghaladva eredetüket. Nem közvetlen következményei a természeti törvények mély egyszerűségeinek; ezek a törvények nem a megfelelő szinten hatnak ehhez. Kétségtelenül közvetett következményei a természet mély egyszerűségeinek, de az út októl okozatig olyan bonyolult, hogy senki sem tudná minden lépését bejárni. Ha tényleg meg akarjuk ragadni a minta keletkezését, új tudományos megközelítésre van szükségünk, amely össze tud fogni a hagyományos módszerekkel, ezek a törvényekre és egyenletekre helyezik a hangsúlyt. Ilyenek a számítógépes szimulációk, de többre is szükségünk van. Nem elégedhetünk meg azzal, hogy egy minta előfordul, mert a számítógép ezt állítja. Akarjuk tudni, miért. Ez pedig azt jelenti, hogy ki kell fejlesztenünk egy új matematikát, ami a mintákkal mint mintákkal foglalkozik, és nem csupán mint mikroszkopikus kölcsönhatások eredőjével. Nem azt akarom, hogy helyettesítsük az aktuális tudományos gondolkodást, amely hosszú-hosszú úton kísért minket. Valami olyat szeretnék kifejleszteni, ami kiegészíti. A jelenlegi matematika legfontosabb jellemzője az általános elvek és absztrakt struktúrák előtérbe helyezése – a minőségi, a mennyiségi helyett. Ernest Rutherford, a nagy fizikus egyszer megjegyezte, hogy „a minőségi csak elszegényített mennyiségi”, ez az attitűd elavult. Rutherford mondását feje tetejére állítva, a mennyiségi csak elszegényített minőségi. A szám csak egy a matematikai minőségek hatalmas sokaságából, amelyek segítenek megérteni és leírni a természetet. Soha nem fogjuk megérteni egy fa növekedését vagy a dűnéket a sivatagban, ha megpróbáljuk a természet szabadságát numerikus sémákra egyszerűsíteni. Megérett az idő egy újfajta matematika kifejlesztésére, amely rendelkezik a megfelelő intellektuális szigorral, hisz ez húzódott meg Rutherford kritikája mögött is a felületes minőségi érvelések ellen, de aminek sokkal több a rugalmassága a koncepciók tekintetében. Szükségünk van egy effektív matematikai formaelméletre, ezért hívom az álmom „morfomatikának”. Sajnos a tudománynak sok ága éppen az ellenkező irányban indult el. Például gyakran a DNS-programot tekintik az élőlényekben a forma és minta egyetlen kulcsának. Ugyanakkor a biológiai fejlődésről szóló jelenlegi elméletek nem magyarázzák meg, miért van jelen annyi minta a szerves és a szervetlen világban. A DNS talán dinamikus szabályokat kódol a fejlődés számára, de nem kódolja a végső formákat. Ha így van, az aktuális elméletek nem vesznek tudomást a fejlődési folyamat lényeges elemeiről. A gondolat, miszerint a matematika mélyen szerepet játszik a természeti formákban, D'Arcy Thompsonig nyúlik vissza; sőt az ókori görögökhöz, vagy még inkább a babiloniakhoz. Viszont csak nemrégen kezdtük el a megfelelő matematikafajta kifejlesztését. Eredeti matematikai sémáink túlságosan rugalmatlanok voltak, a ceruza és a papír feltételeihez szabottak. Például D'Arcy Thompson hasonlóságokat vett észre különböző élőlények alakja és a folyadékok áramlási mintái közt, de a folyadékdinamika a jelenlegi szinten olyan egyenleteket használ, amelyek túl egyszerűek az élőlények modellezésére. Ha egy egysejtűt figyelünk mikroszkópon, a legcsodálatosabb benne a cél látható érzéke a mozgásában. Valóban úgy fest, mintha tudná, merre megy. Nagyon konkrét módon válaszol környezetének hatásaira és belső állapotára. A biológusok most kezdik megfejteni a sejtmozgás
mechanizmusait, és ezek a mechanizmusok sokkal összetettebbek, mint a klasszikus folyadékdinamika. Egy sejt legfontosabb tartozéka egy úgynevezett citoszkeleton (sejtcsontváz), csövek gubancos hálózata, amely szalmabálára emlékeztet, és merev belső állványzatot biztosít a sejt számára. A citoszkeleton elbűvölően rugalmas és dinamikus. Teljesen el tud tűnni valamilyen vegyianyag hatására, és meg tud növekedni ott, ahol támasztékra van szükség. A sejt úgy mozog, hogy letépi magáról a citoszkeletont, és valahol másutt újra fölveszi. A citoszkeleton fő komponense a tubulin, amit korábban a szimmetriával kapcsolatban említettem. Ahogy ott mondtam, ez a figyelemre méltó molekula két egységből álló hosszú cső, alfa- és bétatubulinból, a sakktábla fekete-fehér kockáihoz hasonló elrendezésben. A tubulinmolekula újabb egységek felvételével növekszik, illetve a csúcsról lehasított egységekkel kisebbedik. Sokkal gyorsabban kisebbedik, mint ahogy nő, de mindkét tendencia stimulálható megfelelő vegyianyagokkal. A sejt úgy változtatja struktúráját, hogy horgászni megy a tubulinból készült pecabotokkal a biokémiai tengerbe. Maguk a pecabotok a vegyianyagoknak felelnek meg, amelyek kitágítják, összehúzzák vagy körkörös hullámzó mozgásra késztetik őket. Amikor a sejt osztódik, széthúzza magát egy saját készítésű tubulinhálón. Ez persze nem hagyományos folyadékdinamika. De tagadhatatlanul bizonyos fajta dinamika. A sejtben levő DNS tartalmazhat utasítást arra, hogyan készítsen tubulint, arra viszont nem, miképp viselkedjen a tubulin, ha találkozik egy speciális vegyianyaggal. E viselkedésforma a kémia törvényeinek engedelmeskedik – nem tudjuk jobban megváltoztatni új DNS-utasításokkal, mint arra késztetni egy elefántot DNS-utasításokkal, hogy a füleit lebegtetve repüljön. Mi a folyadékdinamikai analógia a kémiai tengerben úszó tubulinhálózatra? Senki sem tudja még, s ez nyilván kérdés mind a matematika, mind a biológia számára. Ez a probléma nem példa nélkül álló: a folyadékkristályok dinamikája, a hosszú molekulák formamintáinak elmélete ad fel hasonló rejtvényeket. A citoszkeleton dinamikája azonban sokkal bonyolultabb, mert a molekulák tudják változtatni méretüket, és teljesen szét is tudnak esni. Egy jó dinamikai elmélet a citoszkeletonra nagy segítség lenne a morfomatikának, ha a leghalványabb sejtelmünk volna, hogyan értsük meg matematikailag a citoszkeletont. Valószínűtlen, hogy a differenciálegyenletek lennének a megfelelő eszköz, tehát a matematikának teljesen új területeire van szükség. Nagy feladat. De mindig így fejlődött a matematika. Amikor Newton meg akarta érteni a bolygók mozgását, nem volt kalkulus, ő megalkotta. A káosz elmélete nem létezett, amíg a matematikusok és természettudósok nem kezdtek el érdeklődni ilyenfajta kérdések iránt. A morfomatika ma nem létezik; de hiszem, hogy kis morzsái és darabkái már igen – dinamikus rendszerek, káosz, szimmetriatörés, fraktálok, sejtautomaták, hogy csak néhányat említsek. Itt az ideje, hogy összerakjuk a morzsákat. Mert csak ekkor értjük meg igazán a természet számait – s egyben a természet formáit, struktúráit, viselkedésformáit, interakcióit, folyamatait, fejlődését, metamorfózisait, evolúcióját, forradalmait... Talán sohasem jutunk el idáig. Ám jó mulatság lesz megpróbálni.
Bibliográfia és további olvasmányok 1. FEJEZET Stewart, Ian – Golubitsky, Martin: Fearful Symmetry, Blackwell, Oxford, 1992. Thompson, D'Arcy: On Growth and Form, Cambridge University Press, Cambridge, 1972. 2. FEJEZET
Dawkins, Richard: The Eye in a Twinkling, Nature, 368, 1994, 690-691. Kline, Morris: Mathematics In Western Culture, Oxford University Press, Oxford, 1953. Nilsson, Daniel E. – Pelger, Suzanne: A Pessimistic Estimate of the Time Required for an Eye to Evolve, Proceedings of the Royal Society of London, B 256, 1994, 53-58. 3. FEJEZET McLeish, John: Number, Bloomsbury, London, 1991. Schmandt-Besserat, Denise: From Couting to Cuneiform, 1. kötet, Before Writing, University of Texas Press, Austin, 1992. Stewart, Ian: The Problems of Mathematics, 2. kiadás, Oxford University Press, Oxford, 1992. 4. FEJEZET Drake, Stillman: The Role of Music in Galileo's Experiments, Scientific American, 1975/június, 98-104. Keynes, John Maynard: Newton, the Man, in: The World of Mathematics, 1. kötet, James R. Newman (szerk.): Simon & Schuster, New York, 1956, 277-285. Stewart, Ian: The Electronic Mathematician, Analog, 1987/január, 73-89. Westfall, Richard S.: Never at Rest: A Biography of Isaac Newton, Cambridge University Press, Cambridge, 1980. 5. FEJEZET Kline, Morris: Mathematical Thought from Ancient to Modern Times, Oxford University Press, Oxford, 1972. 6. FEJEZET Cohen, Jack – Stewart, Ian: Let T Equal Tiger..., New Scientist, 1993/november 6., 40-44. Field, Michael J. – Golubitsky, Martin: Symmetry in Chaos, Oxford University Press, Oxford, 1992. Stewart, Ian – Golubitsky, Martin: Fearful Symmetry, Blackwell, Oxford, 1992. 7. FEJEZET Buck, John – Buck, Elisabeth: Synchronous Fireflies, Scientific American, 1976/május, 74-85. Gambaryan, P. P.: How Mammals Run: Anatomical Adaptations, Wiley, New York, 1974. Mirollo, Renato – Strogatz, Steven: Synchronization of Pulse-Coupled Biological Oscillators, Siam Journal of Applied Mathematics, 50, 1990, 1645-1662. Smith, Hugh: Synchronous Flashing of Fireflies, Science, 82, 1935, 51. Stewart, Ian – Golubitsky, Martin: Fearful Symmetry, Blackwell, Oxford, 1992. Strogatz, Steven – Stewart, Ian: Coupled Oscillators and Biological Synchronization, Scientific American, 1993/december, 102-109. 8. FEJEZET Albert, David Z.: Bohm's Alternative to Quantum Mechanics, Scientific American, 270, 1994/május, 32-39. Garfinkel, Alan – Spano, Mark L. – Ditto, William L. – Weiss, James N.: Controlling Cardiac Chaos, Science, 257, 1992, 1230-1235.
Gleick, James: Chaos: Making a New Science, Viking Penguin, New York, 1987. Shinbrot, Troy – Grebogi, Celso – Ott, Edward – Yorke, James, A.: Using Small Perturbations to Control Chaos, Nature, 363, 1993, 411-417. Stewart, Ian: Does God Play Dice?, Blackwell, Oxford, 1989. 9. FEJEZET Cohen, Jack – Stewart, Ian: The Collapse of Chaos, Viking, New York, 1994. Douady, Stéphane – Couder, Yves: Phyllotaxis as a Physical Self Organized Growth Process, Physical Review Letters, 68, 1992, 2098-2101. Peregrine, D. H. – Shoker, G. – Symon A.: The Bifurcation of Liquid Bridges, Journal of Fluid Mechanics, 212, 1990, 25-39. Shi, X. D. – Brenner Michael P. – Nagel Sidney R.: A Cascade Structure in a Drop Falling from a Faucet, Science, 265, 1994, 219-222. Waldrop, M. Mitchell: Complexity: The Emerging Science at the Edge of Order and Chaos, Simon & Schuster, New York, 1992. Wilson, Howard B.: Applications of Dynamical Systems in Ecology, doktori értekezés, Unniversity of Warwick, 1993. EPILÓGUS Cohen, Jack – Stewart, Ian: Our Gerces Aren't Us, Discover, 1994/április, 78-83. Goodwin, Brian: How the Leopard Changed Its Spots, Weidenfeld & Nicolson, London, 1994.
Magyar nyelvű ajánlott irodalom 1. FEJEZET Lánczos Kornél: Számok mindenütt, Gondolat Kiadó, Budapest, 1977. Rényi Alfréd: Dialógusok a matematikáról, Akadémiai Kiadó, Budapest, 1969. Rényi Alfréd: Levelek a valószínűségről, Akadémiai Kiadó, Budapest, 1967. Stewart, Ian: Matematikai problémák, Akadémiai Kiadó, Budapest, 1991. 2. FEJEZET Sain Márton: Nincs királyi út! Gondolat Kiadó, Budapest, 1986. Simonyi Károly: A fizika kultúrtörténete, Gondolat Kiadó, Budapest, 1986. 3. FEJEZET Waerden, B. L. van der: Egy tudomány ébredése, Gondolat Kiadó, Budapest, 1977. Neugebauer Ottó: Egzakt tudományok az ókorban, Gondolat Kiadó, Budapest, 1984. Szabó Árpád: A görög matematika kibontakozása, Magvető, Budapest, 1978. 4. FEJEZET Stauffer, D. – Stanley, H. E.: Newtontól Mandelbrotig (Bevezetés az elméleti fizikába), Springer Hungarica, Budapest, 1994. Vekerdi László: Így élt Newton, Móra Könyvkiadó, Budapest, 1972. Jauch, Joseph M.: Galileo Galilei pere, in: Fizika '77, Gondolat Kiadó, Budapest, 1977. Tímár László: Galileo Galilei, Galilei Társaság, Budapest, 1991.
5. FEJEZET Struik D. J.: A matematika rövid története, Gondolat Kiadó, Budapest, 1958. 6. FEJEZET Weyl, Hermann: Szimmetria, Gondolat Kiadó, Budapest, 1982. Hargittai Magdolna – Hargittai István: Fedezzük föl a szimmetriát! Tankönyvkiadó, Budapest, 1989. Wigner Jenő: Csoportelméleti módszer a kvantummechanikában, Akadémiai Kiadó, Budapest, 1980. Wigner Jenő: Szimmetriák és reflexiók, Gondolat Kiadó, Budapest, 1972. Vicsek Tamás: Fraktálnövekedés, in: A szilárdtestkutatás újabb eredményei, No. 22. Akadémiai Kiadó, Budapest, 1990. 7. FEJEZET Weisskopf, Victor R: Az egyszerűség nyomában, Természet Vikíga, Budapest, 1989. Eigen, Manfred – Winkler, Ruthild: A játék – Természeti erők irányítják a véletlent , Gondolat Kiadó, Budapest, 1981. 8. FEJEZET Neumann János: A kvantummechanika matematikai alapjai, Akadémiai Kiadó, Budapest, 1980. Blohincev, D. I.: A kvantummechanika elvi kérdései – Kvantummechanikai méréselmélet, Gondolat Kiadó, Budapest, 1987. Marx György: Életrevaló atomok, Akadémiai Kiadó, Budapest, 1978. Broglie, Louis de: Válogatott tanulmányok, Gondolat Kiadó, Budapest, 1968. Bröckner, Bernhard: Atomfizika, SH-Atlasz, Springer Hungarica, Budapest, 1995. 9. FEJEZET Arnold, V I.: A mechanika matematikai módszerei, Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1985. Haken, Hermann: Szinergetika (bevezető tankönyv), Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1984. Szépfalusy Péter – Tél Tamás (szerk.): Káosz, Akadémiai Kiadó, Budapest, 1982.
Jegyzetek alakulóban lévő magyar terminológia miatt a „minta” és „mintázat” egyaránt használható. (A szaklektor megj.) 2 Ezt a magyarázatot és egyebeket a Jack Cohennel közösen írt, The Collapse of Chaos (A káosz összeomlása) című könyvben tárgyaljuk (Viking, New York, 1994). 3 A játék szellemének érzékeltetésére magyarul is készítettünk egy változatot – miként lesz a NAPOS-ból BORÚS. (A szaklektor megj.) 4 Quod erat demonstrandum (latin) = amit bizonyítani kellett, ahogy az Eukleidész latin forrásaiból közkinccsé vált. (A szaklektor megj.) 5 Vegyük ezt leszűkítő szóhasználatnak, ugyanis sok transzformáció nem helyettesíthető 1 Az
mozgatással. (A szaklektor megj.) 6 A pontos recept megtalálható Jack Cohen – Ian Stewart The Collapse of Chaos című könyvének jegyzetei között. 7 A számítástechnikában használt fogalom. Addig van érvényben, amíg további utasítás nem érkezik. (A szaklektor megj.) 8 Egyben szellemes szójáték, ugyanis leg (angol) = láb. (A szaklektor megj.) 9 A modern természettudomány és a modern ismeretelmélet közös törekvése, hogy megtalálja azt a legátfogóbb elméletet, amely minden létező lényegét meg tudja ragadni. Ez természetesen nem azonos a világmindenség elméletével, márcsak azért sem, mert ez utóbbi a minden létezőnek végső soron otthont nyújtó „valami” absztrakciójának és nem a „lakók” absztrakciójának az elmélete. E törekvések részben a matematika (differenciálgeometria, topológia stb.), részben a kozmológia spekulációiból nőttek ki. Más kérdés, hogy milyen sikerekben reménykedhetünk. (A szaklektor megj.)
Tartalom ELŐSZÓ A természet rendje Mire jó a matematika? Miről szól a matematika? A változás állandói A hegedűktől a videókig A sérült szimmetria Az élet ritmusa A kockák Istent játszanak? Cseppek, dinamika és százszorszépek EPILÓGUS Bibliográfia és további olvasmányok Magyar nyelvű ajánlott irodalom Jegyzetek
