´ PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DE CHILE ´ FACULTAD DE MATEMATICAS ´ DEPARTAMENTO DE MATEMATICA Primer Semestre 2015 ´ MAT1203 - Algebra Lineal Interrogaci´ on on 1 - mi´ercoles ercoles 1 de abril - soluci´ on on
� � 1
1.
a )
Sea u1 =
0
� � 0
, u2 =
1
� �
1
, u3 =
r
1
� � 1
0
y u4 =
. Determine todas las
1
s
s
condiciones posibles sobre los par´ ametros ametros r y s tales que u que u 4 ∈ Gen {u1 , u2 , u3 }.
Soluci´on: on: El problema es equivalente a que el siguiente sistema tenga soluci´on: on:
�
1
0
1
0
1
1
1
r
s
� � � 0
x =
1
.
s
Escalonando:
�
1
0
1
0
0
1
1
1
1
r
s
s
� � ∼
1
0
1
0
0
1
1
1
0
r
−1
s
s
�
.
Si r = 0, entonces: Para s Para s = = 1 de la tercera fila no hay soluci´on. on. Para s Para s̸ = 1 hay tres pivotes y por lo tanto hay soluci´on. on. Si r̸ = 0 se sigue escalonando:
�
1
0
1
0
0
1
1
1
1
r
s
s
� � ∼
1
0
1
0
0
1
1
1
0
0
s
−1−r
s
−r
�
Para s Para s − r = 1 de la tercera fila no hay soluci´on. on. Para s Para s − r̸ = 1 hay tres pivotes y por lo tanto hay soluci´on. on.
1
.
b)
Sea {v1 , v2 } un conjunto de vectores en Rn linealmente independiente. Demuestre que el conjunto {2v1 + 4v2, 3v1 + av2 } es linealmente dependiente si y s´olo si a = 6.
Soluci´on: (→). Si {2v1 + 4v2 , 3v1 + av2 } es L.D., entonces existe α no nulo tal que (2v1 + 4v2) = α(3v1 + av2 ). Esto u ´ ltimo implica que (2 − 3α)v1 + (4 − aα)v2 = ⃗0. Pero {v1 , v2} es L.I., entonces (2 − 3α) = (4 − aα) = 0, es decir α = 2/3 y a = 6.
(←). Si a = 6, entonces 3(2v1 + 4v2 ) − 2(3v1 + 6v2 ) = ⃗0. Luego el conjunto es L.D.
2
� � 1
2. Sea A de 3 × 4 tal que la suma de todas sus columnas es
3
y su forma escalonada
4
reducida es
�
1
0
0
−1
0
1
0
2
0
0
1
3
�
.
� � 1
a )
Escriba la soluci´on general del sistema Ax =
3
.
4
Soluci´on:
Del enunciado se tiene que la soluci´ on general del sistema Ax = ⃗0 es Gen
� � 1
Tambi´en del enunciado se tiene que A
1 1
1
=
1
.
3 4
1
Entonces la soluci´ on general es de la forma: x =
1 1 1
3
1
+ α
−2 −3 1
, α ∈
R.
1
−2 −3 1
.
b)
Determine, justificadamente, tres veces la segunda columna de A m´as cuatro veces la tercera columna de A. Soluci´on:
� � � � 0
Se pide A
3 4
.
0
A
0
1
1
1
1
3
1
−2 −3
1
−2 −3
4 0
= A
1 1
−
= A
1
1 1
4
−A
1
1
=
3 4
1
− ⃗0 =
3 4
3.
a )
Sea F : R2 → R3 una funci´ o n tal que para todo u, v ∈ R2 , α ∈ R se tiene F (u + αv) = F (u) + αF (v). Determine una matriz A tal que para todo vector
� � a
b
∈ R2 se cumpla F
(� �) � � a
a
= A
b
b
.
Soluci´on: Sea u =
� � a b
∈ R2 .
Se tiene que u = a
� � � � 1
+ b
0
0
1
.
Aplicando F se tiene:
( � � � �) � � � � � � � � � � � � � � ��
F (u) = F a
1
0
+ b
0
1
= aF
1
0
+ bF
0
.
1
Esto u ´ ltimo es por definici´ on el producto de una matriz de 3× 2 cuyas columnas son F
1
0
y F
0
1
a
multiplicada por el vector
Por lo tanto basta tomar A = F
5
1
0
F
0
1
b
.
.
b)
�
Sea M =
2
0
2
2
2
1
1
0
−2
1
−3 −4
�
.
Calcule la imagen por M del hiperplano definido por x1 + x2 = 1. ¿ Corresponde este conjunto a un hiperplano? Justifique
Soluci´on: Sea x un vector en el hiperplano, entonces
x =
x1
0
1 − x1
1
=
x3 x4
+ x1
0 0
0
Mx = M
1
+ x1 M
0 0
Multiplicando:
1
0
−1
0
+ x3
0 0
1
−1 0 0
0
+ x4
1 0
0 0
+ x3 M
1
Mx =
1
+ x1
1
+ x4 M
−3
1
2
2
0
1
0
1
−3 −4
1
∼
+ x4
−3
0
1
0
1
−1
0
0
0
0
.
.
1
−3
2
,
0
.
−4
Como es un conjunto generado por dos vectores L.I. en hiperplano.
6
.
−4
2
Por lo tanto la imagen es Gen
0
2
1
1
0 1
2
+ x3
.
0
0
0
2
0 1
� � � � � � � � � � � � �� � � �� 0
Pero
3
R
, entonces es un
4. Decida justificadamente si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas: a )
Sea A matriz de 4 × 3 y b ∈ entonces A tiene rango 3.
4
R
. Si el sistema Ax = b tiene soluci´on u ´nica,
Soluci´on: Verdadero: Si el sistema tiene soluci´on u ´ nica, entonces la forma escalonada reducida de la matriz ampliada [A | b] no puede tener variables libres, por lo tanto debe el n´umero de pivotes debe ser igual al n´ umero de variables que es 3.
� � � � � � � � 1
b)
Si A es una matriz tal que A
1
=
2
sistema Ax =
� � 1
2
1
3
1
y A
1 3
es consistente.
Soluci´on: Verdadero: Se tiene que
� � � � � � 1
2
=2
1
−
3
1
4
.
Reemplazando queda:
� � � � � � � � � � �� 1
2
1
= 2A
1
−A
1 2
1
1
= A 2
3
2
Por lo tanto:
� � � � 1
2
1
= A
1
1
.
1
7
1
−
1 3
.
=
1
4
, entonces el
c )
Sean A, B y C matrices tales que AB = C . Si las columnas de C forman un conjunto linealmente independiente, entonces las columnas de B forman un conjunto linealmente independiente.
Soluci´on: Verdadero: Si las columnas de B son L.D., entonces existe u̸ = ⃗0 tal que Bu = ⃗0. Entonces existe u̸ = ⃗0 tal que AB u = A ⃗0 = ⃗0. Luego las columnas de C son L.D. y eso es una contradicci´on. d )
Sea A una matriz de 2 × 3. Si la forma escalonada reducida de A tiene 2 pivotes, entonces el sistema A t x = ⃗0 tiene soluci´on u´nica. Soluci´on: Verdadero: Si la forma escalonada reducida de A tiene 2 pivotes, entonces como A tiene 2 filas, estas son L.I. Pero las filas de A son las columnas de At , luego las columnas de A t son L.I. Por lo tanto el sistema At x = ⃗0 tiene soluci´on u ´nica.
8
