HI STOR ORI ADELOSLÍ MI TESMATEMÁ MÁTI COS Losant i guosgr i egosut i l i zabanpr ocedi mi ent osbasadosenl í mi t espar acal cul arár eas,comoel ár eadelcí r cul o,ut i l i zandoel<<>>. consi st í aencubr i ro(agot ar )unar egi óndef or mat an compl et acomof uer aposi bl eut i l i zandot r i ángul os.sumandol asár easdel ost r i ángul osset ení a unaapr oxi maci ónalár eadel ar egi óndei nt er és.Newt onyLei bni z,l osi nvent or esdelcál cul o. si nembar go.nodi er onunadefini ci ónr i gur osadelpr ocedi mi ent o. Elmat emát i cof r ancés August i nel oui scauchy( 17891857)f ueelpr i mer oendesar r ol l arunadefini ci ónr i gur osade l í mi t e.l adefini ci ónqueusar emo mosaquíser emont aalmat emá mát i coal emá mánKar lWei er st r ass (1815-1897)
I MPOR ORTANCI ADELOSLÍ MI TESMATEMÁ MÁTI COS Losl í mi t essoni mpor t ant esporquenosayudanar esol vereficazme ment el ospr obl ema masquese nospr esent anenunej er ci ci odeunt ema madet er mi nado. cadal í mi t enopuededarunasol uci óndi f er ent e,porej empl oenunej er ci ci oquer esol vamos podr i amosconsegui rconquepodr i aserunaf unci óni ndet er mi nada,l acualescuandoel r esul t adoobt eni doesi gualacer osobr ecer o0/ 0. como mot amb mbi énpodemosencont r arf unci onesquesit engansol uci onesof unci ones det er mi nadas,esdeci rnosayudaaencont r ar l eal gunasol uci onposi bl eaunaf unci ón. CONCEPTO DELÍ MI TEMA MATEMÁ MÁTI CO e n d e n c i a Ell esunconcept oquedescr i bel at deunas asucesi òn ounafunciòn,ame medi da í mi t e quel ospar áme met r osdeesasucesi ónof unci ónseacer canadet er mi nadoval or .En càl cul o anal i s í sr ealymat emá mát i co)est econcept oseut i l i zapar adefini rl osconcept osf undament al es deconver genci a,cont i nui dad,d e r i v a c i ó n,i n t e g r a c i ó n,ent r eot r os .
La idea y definición definición de límite, en especial la del límite de funciones funciones reales, es una cuestión matem matemát ática icame mente nte deli delica cada. da. Piénse Piénsese se que se logro logro la Idea Idea intuit intuitiva iva de límit límite e con la definición actual recién en la segunda mitad del siglo XIX. El aorda!e de este tema ofrece dificultades dificultades de índole técnico"didáctica técnico"didáctica que #ace que la comprensión comprensión fina de éste ocurra en etapas etapas suces sucesi$a i$ass y poste posterio riores res,, cuan cuando do el estud estudia iante nte logre logre una una madur madure% e% matemá matemáti tica ca suficiente. En la primera etapa del siglo XX el tratamiento del concepto de límite en los liros espa& espa&ole oless esta estaaa ligad ligado o a los conce concepto ptoss de sucesi sucesión ón y $aria $ariale le.. 'demás demás la idea idea de infinitésimos estaa implícitamente suyacente en ella y, efecti$amente, el lengua!e de infinitésimos se utili%aa aundantemente a lo largo del tema. La definición del límite funcional funcional real de una $ariale real real a partir de sucesiones sucesiones de n(meros reales, fue usada en los los liros liros #ispá #ispánic nicos os #asta #asta apro) apro)ima imadam damen ente te *+*+-.. En esta esta época época esta esta defini definici ción ón fue fue completada con una interpretación geométrica del límite de una función en un punto, la
cual utili%ó entornos simétricos. omo es ien conocido, a comien%os de los a&os setenta, triunfo en casi todo el mundo occidental la ense&an%a de las llamadas /matemáticas modernas0. 1iguiendo los liros espa&oles las ideas de esta matemática, los con!untos y las aplicaciones eran los cimientos sore los que se pretendía construir el edificio de la matemática, y las estructuras, las #erramientas para construir dic#o edificio. Estas ideas se $ieron refle!adas en el tratamiento. 2e la Idea intuitiva de el límite3 la orientación topológica, no fue casual sino que fue !ustamente la preconi%ada por los pioneros de la reforma de la matemática, Papy y 2ieudonne entre otros, de acuerdo con las ideas oura4istas. Por ello los conceptos de con!unto, n(mero real y entorno se utili%aan constantemente.
En la segunda mitad del siglo XX, apro)imadamente entre *+5 y *+5-, la definición de límite fue e$olucionando #asta un mayor formalismo. En algunos liros espa&oles se enfati%o la definición por sucesiones, aunque tamién apareció de modo residual la definición topológica que utili%ó entornos generales6 en camio en otros te)tos del mismo país la Idea intuitiva de límite se enfati%ó la definición topológica y se quiso conducir progresi$amente al alumno a partir de ciertos e!emplos #asta dic#a definición. El concepto de límite es una de las bases de cálculo, ya que para definir derivado, continuidad, integral, convergencia, divergencia, utilizamos este concepto. El cálculo sistematización lógica asume entonces el concepto de límite. Sin embargo, el registro histórico es todo lo contrario. urante muchos siglos, el concepto de límite se ha confundido con ideas vagas, los tiempos filosóficas relativas al infinito ! infinitamente grandes n"meros o infinitamente peque#os ! y sub$etivos intuiciones geom%tricas, no siempre es e&acta. El límite de t%rmino en el sentido moderno es un producto de los siglos '(III y 'I', originario de Europa. )a definición moderna tiene menos de *+ a#os. )a primera vez que el límite de la idea apareció, que era alrededor de -+ a, en la discusión de las cuatro parado$as de /enón. 0or e$emplo, la primera parado$a ! dicotomía ! /eno analiza el movimiento de un ob$eto que se mueve entre dos puntos fi$os 1 y 2 situadas a una distancia finita, teniendo en cuenta una secuencia infinita de intervalos de tiempo ! 3 , 3 * , 3 4 , ..., 3 n , ... ! cada uno de ellos el tiempo necesario para via$ar mitad de la distancia en la $ugada anterior.
1nalizar el problema, /eno llegó a la conclusión de que de esta manera el móvil nunca vienen en 2. 1ristóteles, 56-!544 a, que se refle$a en las parado$as de /enón con argumentos filosóficos. 0ara las pruebas rigurosas de las fórmulas de ciertas áreas y vol"menes de 1rquímedes encontró varias sumas que contienen un n"mero infinito de t%rminos. En ausencia del concepto de límite, 1rquímedes utilizó argumentos llamados de doble reducción al absurdo . álculo, a veces, tambi%n se ha descrito como el estudio de las curvas, superficies y sólidos. El desarrollo de la geometría de estos ob$etos floreció despu%s de la invención de l a geometría analítica con 0ierre de 7ermat y 8en% escartes . 7ermat ideó un m%todo algebraico para encontrar los puntos má&imos o mínimos en ciertas curvas. 9l estaba tratando de mostrar e&actamente lo que los puntos má&imos o mínimos de la tangente a la curva es horizontal, es decir, tiene pendiente cero. Encuentra la recta tangente a una curva es un problema fundamental del cálculo. urante el siglo '(II, muchos geómetras algebraicos dise#ado esquemas complicados de encontrar líneas tangentes a curvas determinadas . escartes desarrolló un proceso que utiliza dobles raíces de una ecuación au&iliar: esta t%cnica ha sido me$orada por el matemático ;ohan
-, que era en ese momento, el matemático más grande de 1msterdam. 8en% Sluse, *=44 ! *=6+, inventó otro m%todo más sofisticado para las tangentes a las curvas rectas. En cada uno de estos m%todos, el umbral debe haber sido utilizada en un paso crítico. 0ero ninguno de ellos se dio cuenta de la necesidad de limitar la idea, y así cada uno encontró una forma inteligente de obtener los resultados mismos, que eran correctos, pero sin la precisión permitido por el límite. eterminar los valores e&actos para las áreas en las regiones delimitadas por curvas es otro problema fundamental del cálculo. Este problema a menudo se llama la cuadratura ! la determinación de un área ! y, asociado con %l, el problema de cubature, es decir, la determinación del volumen de un sólido limitado por superficies. 3odos estos problemas conducen a las integrales. ;ohannes ?epler, astrónomo famoso, fue uno de los más involucrados con problemas cubature. 2onaventura avalieri desarrolló una teoría desarrollada en cuadratura. @tros, como Evangelista 3orricelli , 0ierre de 7ermat, ;ohn Aallis y San (icente Bregorio , ideó t%cnicas de cuadratura y C o cubicación que se aplica para regiones específicas o sólidos.0ero ninguno de ellos utiliza límites. )os resultados fueron casi los correctos, pero
cada uno dependía de un razonamiento no algebraica, utilizando la intuición geom%trica o cuestionable filosófica en alg"n momento crítico. )a necesidad de límites era $usto, pero no reconocido. Isaac Deton , en Principia Mathematica , su obra más importante en Fatemáticas y iencias, fue el primero en reconocer, en cierto sentido, la necesidad de limitar. 1l comienzo del libro I de los 0rincipia, trató de dar una formulación precisa al concepto de límite. 6-, la 1cademia de iencias de 2erlín ofreció un premio para el %&ito se e&plica una teoría del infinito peque#os y grandes en matemáticas y que podrían ser utilizados en el cálculo como una base lógica y coherente. 1 pesar de que este premio ha sido ganado por Simon )G+!*6-L por su obra Jlargo y tediosoJ, esto no se considera una solución a los problemas planteados. )azare arnot DF K*>+5 ! *645L propuso un intento popular para e&plicar el papel del límite en el cálculo como Jcompensación de los erroresJ, pero no e&plicó cómo estos errores son siempre perfectamente serían roca. 1l final del matemático del siglo '(III ;oseph!)ouis )agrange ! la más grande de su tiempo ! se había preparado un nuevo dise#o de la mecánica en t %rminos de cálculo. )agrange centra su atención en la base de cálculo de los problemas. Su solución fue poner de relieve Jtoda consideración de cantidades infinitamente peque#as, límites o arroyos.J)agrange hizo un esfuerzo para hacer el cálculo puramente algebraica eliminar por completo los límites. 1 lo largo del siglo '(III, había aparecido poco inter%s en los temas de la convergencia o divergencia de secuencias y series infinitas. En *6*4, arl 7riedrich Bauss compuso el
primer tratamiento riguroso de la convergencia de sucesiones y series, pero no hizo uso de la terminología de los límites. En su famosa teoría analítica del calor, ;oseph 7ourier trató de definir la convergencia de una serie infinita sin necesidad de utilizar límites, pero que muestra que, con su$eción a ciertas suposiciones, cada función se puede escribir como una suma de su serie. 1 principios del siglo '(III, las ideas sobre los límites eran ciertamente confuso. En el siglo 'I', 1ugustin!)ouis auchy estaba buscando un cálculo de la e&posición estrictamente correcto para presentar sus estudiantes de ingeniería en la Escuela 0olit%cnica de 0arís. auchy comenzó su curso con un límite entorno moderno. En sus notas de la conferencia, los papeles que se han convertido en clásicos, auchy utilizan el l ímite de base para la introducción del concepto preciso de continuidad y convergencia, derivada, integral. Sin embargo, auchy había pasado desapercibido para algunos de los detalles t%cnicos. Diels