HIPÓTESIS CON UNA SOLA MUESTRA OBJETIVOS: 1. Utilizar datos provenientes de una muestra aleatoria para conocer el parámetro poblacional. 2. Comprender los dos tipos de errores posibles que se producen al probar una hipótesis. 3. Proponer pruebas de una cola y pruebas de dos colas. 4. Realizar el procedimiento para probar hipótesis. 5. Usar con propiedad las distribuciones t ,Z y 2 para probar hipótesis sobre medias, proporciones y varianzas de población.
CONTENIDO: 1. Conceptos básicos 2. Prueba de hipótesis acerca de la media poblacional 3. Prueba de hipótesis acerca de la proporción poblacional 4. Prueba de hipótesis acerca de la varianza poblacional
CONCEPTOS BÁSICOS (A) Hipótesis: Suposición acerca del parámetro. Hipótesis planteada o nula. Hp ó H0 Es la suposición que el parámetro tome un determinado valor. Ejemplo: La hipótesis nula es que la media de la población es igual a 200. Ho : = 200
Hipótesis alternativa (Ha o H1) Es el complemento de la hipótesis nula. Se acepta cuando se rechaza la hipótesis nula. Formas Si Ho : = 200 Ha : 200 Si Ho : 200 Ha : > 200 Si Ho : 200 Ha : < 200 La condición “igual” siempre se considera en la hipótesis nula
Las siguientes estadísticas.
afirmaciones
son
hipótesis
La media de vida de los peruanos es de 65 años. La eficacia de dos medicamentos para curar el cáncer es similar. Las notas del aula sigue un modelo normal de media de 12 y desviación estándar de 2.5
Una prueba de hipótesis permite aceptar o rechazar si determinadas afirmaciones son ciertas o falsas en función de los datos observados en una muestra.
Objetivo de la prueba de hipótesis El propósito de la prueba de hipótesis no es cuestionar el valor calculado del estadístico (muestral), sino hacer un juicio con respecto a la diferencia entre estadístico de muestra y un valor planteado del parámetro.
Nivel de significación ()
/2
/2
(1 - ) Zona de aceptación
- zO
z
O
Si suponemos que la hipótesis planteada es verdadera, entonces, el nivel de significación indicará la probabilidad de no aceptarla, es decir, estén fuera de la zona de aceptación.
El nivel de confianza (1-), indica la probabilidad de aceptar la hipótesis planteada, cuando es verdadera en la población.
Tipos de errores Cualquiera sea la decisión tomada a partir de una prueba de hipótesis, ya sea de aceptación de la Hp o de la Ha, puede incurrirse en error:
EN LA POBLACIÓN
ACEPTAR Hp
RECHAZAR Hp
Hp es cierta
Decisión correcta
Error tipo I ó
Hp es falsa
Error tipo II ó
Decisión correcta
Zona de rechazo
si Hp es cierta
o Hp o Ha o
Tipos de prueba a) Prueba bilateral o de dos extremos: la hipótesis planteada se formula con la igualdad Ejemplo Hp : = 200 Ha : 200 /2
/2
(1 - )
Zona de aceptación
- zO
z
O
b) Pruebas unilateral o de un extremo: la hipótesis planteada se formula con o . Hp : 200 Ha : < 200
Hp : 200 Ha : > 200
(1 - )
(1 - )
Prueba de hipótesis acerca de la media poblacional Con varianzas conocidas Ejemplo: Se afirma que el salario diario medio de los técnicos de una cierta zona minera es de S/.65,42, con una desviación estándar S/. 2,32. Una muestra de 144 técnicos que laboran en esa zona reciben un salario diario medio de 64,82 soles. ¿Puede considerarse este resultado como sustento para afirmar que técnicos de esa zona tienen un salario diario diferente de S/. 65,42 a un nivel de significación = 0,05 ?.
Procedimiento 1) Plantear las hipótesis: Hp : = 65,42 Ha : 65,42 2) Seleccionar el nivel de significación: = 0.05 3) Elegir la prueba estadística: Los supuestos son: • la población está normalmente distribuida. • la muestra ha sido seleccionada al azar.
4) Determinación de los criterios de decisión /2
/2
(1 - ) Zona de aceptación
- 1,96
1,96
Si {1.96 < Zc < -1.96 } se rechaza la Hp, en caso contrario se acepta. 5) Cálculos
64,82 65,42 c 3,10 2,32 144
6) Conclusiones (1) Se rechaza la hipótesis planteada y se acepta la hipótesis alternante a un nivel de significación de 0,05. La prueba resultó ser significativa. (2) La evidencia estadística permite rechazar la hipótesis planteada. (3) Por lo tanto los datos muestrales confirman que el promedio de salarios diarios de los técnicos de la zona de estudio es menor de S/.65,42.
EJEMPLO El administrador de un centro de salud desea saber si el tiempo medio invertido por los pacientes en la sala de espera es mayor que 20 minutos. Una muestra de 100 pacientes permanecieron, en promedio, 23 minutos en la sala de espera entre el registro y la atención por algún médico del centro de salud. La desviación estándar de la muestra fue de 10. Sea =0.05 1. Plantear las hipótesis Hp : 20 Ha :
20
2.Definir la prueba estadística: Como n = 100, entonces se aplica PRUEBA Z
3. Seleccionar el nivel de significación = 0,05
4. Determinar el valor crítico: Como = 0,05 y es de una sola cola, entonces Z = 1.645 Criterios de decisión Si el estadístico Z es mayor que 1,645, se rechaza Hp.
Si prueba Z es menor o igual que 1,645, se 1,645 acepta Hp.
5. Realizar el cálculo del estadístico Z Z
x 23 20 3 3 10 sx 1 100
6. Conclusiones (A) Se rechaza la hipótesis planteada, se acepta la hipótesis alternante a un nivel de significación de 0,05. La prueba resultó significativa (B) Los datos disponibles como evidencia empírica, han permitido rechazar la hipótesis planteada. (C) El tiempo que espera un paciente muy probablemente sea mayor a los 20 minutos.
EJEMPLO Una encuesta en 64 laboratorios médicos reveló que el precio medio cobrado por realizar cierta prueba es de S/. 12.00 con una desviación estándar de S/. 6.00. ¿ Proveen estos datos la suficiente información para indicar que la media de la población es mayor que 10?. Sea = 0.01
EJEMPLO Los siguientes datos son los consumos de oxígeno (en ml) durante la incubación de una muestra aleatoria de 15 suspensiones celulares: 14.0, 14.1, 14.5, 13.2, 11.2, 14.0, 14.1, 12.2, 11.1, 13.7, 13.2, 16.0, 12.8, 14.4, 12.9. ¿Proporcionan estos datos suficiente evidencia, aun nivel de 0.05 de significación , de que la media de la población no es igual a 12 ml.?.
EJEMPLO El administrador de una clínica quiere saber si la población que concurre a una clínica A tiene un ingreso medio familiar mayor al de la población que concurre a una clínica B. Los datos consisten en los ingresos familiares de 75 pacientes internados en la clínica A y 80 pacientes internados en la clínica B. Las medias de las muestra son S/ 6800 y S/ 5450 respectivamente, y varianzas de S/ 600 y S/ 500 respectivamente.
EJEMPLO
Un epidemiólogo desea comparar dos vacunas antirrábicas para averiguar si es posible concluir que existe diferencia en su efectividad. Las personas que previamente habían sido vacunada contra la rabia se dividieron en dos grupos. El grupo 1 recibió una dosis de refuerzo de la vacuna del tipo 1, y el grupo 2 recibió una dosis de refuerzo de la vacuna del tipo 2. Las respuestas de los anticuerpos se registraron dos semanas después: Grupo n s x 1
10
4.5
2.5
2
9
2.5
2.0
EJEMPLO Doce individuos participaron en un experimento para estudiar la efectividad de cierta dieta, combinada con un programa de ejercicios, para la reducción de los niveles de colesterol en suero. ¿ proporcionan estos datos la evidencia suficiente para concluir que el programa de ejercicios y dieta es efectivo para la reducción de los niveles de colesterol en el suero?. Antes:
201, 231, 221, 260, 228, 237, 326, 235, 240, 267, 284, 201
Después: 200, 236, 216, 233, 224, 216, 296, 195, 207, 247, 210, 209
EJEMPLO Antes del inicio de un programa de inmunización contra la rubéola en un área metropolitana, una encuesta reveló que 150 integrantes de una muestra de 500 niños de primaria habían sido inmunizados contra esta enfermedad. ¿son compatibles estos datos con el punto de vista de que el 50% de los niños de primaria de dicha área habían sido vacunados contra la rubéola?.
(B) Con varianzas desconocidas Ejemplo: En un programa de mejoramiento del desempeño en un centro de salud los participantes miden su progreso mediante el tiempo que les toma realizar cierto proceso. Se tomó una muestra de 25 sujetos de esta empresa para medirles el tiempo que requieren para culminar el proceso (en minutos) de otorgar una cita a un paciente, encontrándose una media muestral de 11,7 minutos y una desviación de estándar de 2,3 minutos. ¿Se puede afirmar que el tiempo medio para culminar este proceso es inferior de 12 minutos?. Utilice un nivel de significación = 0,05.
Solución 1) Hipótesis: Hp : 12 Ha : < 12 2) Nivel de significación: = 0,05 3) Prueba estadística:
Los supuestos son: •la población se distribuye normalmente. •la muestra elegida al azar.
• 4) Criterios de decisión
-t0 -1.711
• to con GL = 24 y = 0,05 • Si { tc<-1,711} se rechaza la Hp en caso contrario se acepta
5) Cálculos
tc
11,70 12 0,6522 2,3 25
6) Conclusiones
Se acepta la hipótesis planteada a un nivel de significación de = 0,05. La prueba resultó no significativa. Los datos muestrales no permiten afirmar que el tiempo requerido para culminar la tarea es inferior a 12 minutos
