FACULTAD DE ARQUITECTURA E INGENIERÍA ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL TEMA: HIPÓTESIS BÁSICAS DE ANÁLISIS ESTRUCTURAL CURSO: ANÁLISIS ESTRUCTURAL I
ALUMNOS: José Luis REVOLLAR CÁCERES Javier Alex HOLGADO CONDORI Roller Christian RENGIFO HUAMANÍ Jhojan OCHOA CONZA Federico KUAQUIRA HUALLPA Jiner CULE BERROCAL PROFESOR: Ing. DAVID APASA QUISPE
MADRE DE DIOS – PERÚ 2017
1.
Pri mera Hipótes is B ás ic a - Des plazamientos Pequeños: También conocida
que l a geometría d e la estructura no cambia apreciablemente luego de la aplicación de las como H i p ó t e s i s
de las Dimensiones
Iniciales
.
Plantea
cargas
.
Supondremos que las barras (elementos) que componen la estructura son lo suficientemente rígidas como para no sufrir deformaciones importantes bajo la acción de las cargas (solicitaciones) y la geometría inicial varía muy poco. Por lo tanto, las ecuaciones de equilibrio se pueden plantear a partir de la geometría de la estructura indeformada. Dicho de otro modo, supondremos (con cargo a verificar) que los desplazamientos de la estructura son pequeños y geometría inicial no varía significativamente. Existen diversos métodos de análisis estructural que trabajan sobre la base de las teorías de segundo orden (grandes desplazamientos) tomando en cuenta el cambio de la geometría de la estructura. Estos métodos de análisis, que abordan el comportamiento de las estructuras con grandes desplazamientos, normalmente trabajan sobre un esquema iterativo de aproximaciones sucesivas, ya que las ecuaciones de equilibrio no pueden formularse hasta conocer la configuración deformada de la estructura. Cuando en una estructura se produce un cambio importante en la geometría, de tal forma que se afectan las ecuaciones de equilibrio planteadas a partir de la geometría no deformada, se dice que es una Estructura con No Linealidad Geométrica. A continuación se muestran dos casos simples en los cuales se ilustra el principio de los desplazamientos pequeños:
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Ejemplo: Asumimos que el
material de las dos barras que conforman la estructura es linealmente elástico en todo el intervalo de repuesta de la estructura.
Cas o 1: La flecha " f" no es pequeña.
En este caso se puede plantear el equilibrio del nudo 3 en la posición no deformada de la estructura. La relación entre la carga y el desplazamiento vertical del nudo 3 es del tipo lineal y viene dada por la ecuación (A). 2 EAf 2 ......... ( A) P P K 3/2 2 2 L f
Caso 2: La flecha " f" es peq ueña
En este caso la relación entre la carga y el desplazamiento vertical del nudo 3, es no lineal (véase el libro de White), y viene dada por la ecuación (B). EA 3 2 2 P 3 3 f 2 F ......... ( B) L 3
La relación no lineal es producto del cambio en la geometría de la estructura por la acción de la carga P, no es producto del comportamiento del material ya que hemos supuesto que el material es linealmente elástico para todo el rango de comportamiento. En este caso el principio o hipótesis de los Desplazamientos Pequeños no es aplicable ya que para alcanzar el equilibrio es necesario un cambio importante en la geometría de la estructura, en consecuencia el equilibrio del nudo 3 debe plantearse sobre la geometría deformada. EJEMPLO: Sean E 2 106 kg / cm2 , A 5cm2 , L 2m, P 2, 000kg
Caso 1: Flecha f
1m .
0.112cm
K
Con la ecuación (A) se obtiene:
( / f 0.112%)
17,890kg
/ cm
Equilibrio configuración indeformada: F1
F2
2, 236kg,
1
2
2
447kg / cm
Por lo tanto, es aplicable el principio de los desplazamientos pequeños
Caso 2: Flecha f
7.41cm
K
0.05m .
Con la ecuación (B) se obtiene:
( / f 1.48%)
var iables
Si aplicamos la ecuación (A) obtendríamos
32.03cm
deflexión mucho mayor
que la flecha inicial.
Equilibr io en la configuración indeformada: F1
F2
400, 000kg, 1
2
2
8, 000kg / cm
Equilibr io en la configuración deformada: F1 F2 416,150kg, 1 2 3, 230kg / cm2 Por lo tanto no es aplicable el principio de los desplazamientos pequeños. A continuación se muestra la relación P para ambos casos. Nótese que, para f (flecha) pequeña, a medida que se incrementa la carga la rigidez tangente del sistema también se incrementa.
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2. SEGUNDA HIPOTESIS: EQUILIBRIO ESTATICO. Tenemos dos tipos de equilibrio, el estático y el dinámico. Las cargas se aplican lentamente sobre la estructura, gradualmente desde cero hasta su valor final, de tal modo la estructura queda en reposo en su configuración deformada. A partir de ese momento la estructura no sufre cambios en su posición ni en su forma determinada, a esta se le llama posición de equilibrio estático de la estructura .en el equilibrio estático no se producen vibraciones ni fuerzas de inercia significativa. EQUILIBRIO ESTATICO El equilibrio estático se define como aquella condición en la cual el cuerpo es sometido a una serie de fuerzas y momentos exteriores se mantienen en reposo o con un movimiento uniforme. Consideremos como objeto de análisis un sólido cualquiera, que en principio podemos suponer regido, o bien considerar que es deformable y que se encuentra en su estado deformado tras la aplicación de cargas, Adoptando como hipótesis básica el que los desplazamientos y los cambios de forma del solido son pequeños. Ello permite plantear el equilibrio en la configuración deformada con excelente aproximación. Las mencionadas cargas serán un conjunto de fuerzas concentradas (cargas puntuales) o distribuidas (como la acción de la gravedad), y en todo caso se representan matemáticamente mediante un sistema de vectores deslizantes. Como se indicó en el tema anterior, en ausencia de efectos dinámicos dicho sistema de vectores debe cumplir las ecuaciones. En la naturaleza, y en ausencia de efectos dinámicos, un sólido, o cualquier porción de un sólido, siempre estará en equilibrio por tanto el sistema de fuerzas que actúa sobre el siempre cumplirá las ecuaciones de equilibrio. En resumen, en los problemas de equilibrio estático no se desarrollan fuerzas de inercia significativas. Las fuerzas internas en las barras deben equilibrar únicamente a las cargas externas. En los problemas de equilibrio dinámico se desarrollan fuerzas de inercia significativas y las fuerzas internas en las barras deben equilibrar no solo a las cargas externas, sino también a las fuerzas de inercia. En general, en este curso, el equilibrio estático se aplicará a: -La estructura completa debe estar en equilibrio. -Cada una de las barras debe estar en equilibrio. -Cada uno de los nudos debe estar en equilibrio.
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3. TERCERA HIPÓTES IS B ÁS ICA COMPATIBILIDAD La deformación y el desplazamiento de cualquier punto de la estr uctura bajo un sistema de cargas, son únicos y var ían de manera continua. ,
Este principio se emplea para compatibilizar los desplazamientos de los extremos de los elementos (barras) que concurren a un nudo con los desplazamientos del mismo. Esta condició n puede expresarse mediante la siguiente r elación: {d} = [A] {D} donde {d} y {D} son los movimientos de los extremos de las barras y de los nudos respectivamente y
4. CUARTA H I P ÓT E S IS BÁS ICA - C ONDICIONE S DE C ONTOR NO Si no se introducen las condiciones de contorno, los problemas estructurales no estarían completamente definidos. Estas condiciones se especifican en función de fuerzas (por ejemplo, en los nudos o en los elementos) y en función de los desplazamientos prescritos en algunos de los nudos.
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5.
QUINTA HIPÓTES IS B ÁS ICA - UNICIDA D DE LAS SOLUCIONES No son posibles soluciones alternativas a los problemas de análisis estructural. Para una estructura sometida a un sistema de cargas tanto la configuración defor mada las fuerzas internas y las reacciones (en general la respuesta) tienen un valor único. ,
,
Este principio se puede demostrar por la hipótesis del contrario. Supongamos que un mismo sistema de cargas actuando sobre una estructura, produce dos configur aciones deformadas en la estructura : Si se restan las dos configuraciones deformadas de la figura anterior se obtiene la estructura sin cargas externas pero deformada, lo cual no es posible; en co nsecuencia la configu r ación deformada es única . ,
·
\
Ejemplo 2-7
Muchas veces solemos verificar los resultados del análisis estructural, comprobando el equilibr io global de la estr uctur a. Esta comprobación simple no siempre garantiza que los r esu ltados son los co rr ectos Por ejemplo en la figura a continuación se muestra una misma estructura con dos juegos de reacciones y sus diagr amas de momentos, ambos en equilibr io. ,
.
,
Asumamos que el pórtico de la figura anter ior es de sección constante con la viga y columna de 0 25x0.40 m y módulo de elasticidad E= 200,000 kg/ cm2 Despreciemos las deformaciones axia les y las deformaciones por corte de ambos elementos. ,
•
.
Ambas so luciones están en eq uilibr io, sin emb argo, so lo la solución B es válida o correcta ya que la solución A no satisface las condiciones de contorno . Para ,
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demostrar esta aseveración removamos de ambas soluciones la restricción horizo ntal que hay en el nudo (apoyo) 2 la estructura se convierte en isostática además de seguir siendo estable. Si la soluci ón A fuera la correcta al retirar la restricción hor izontal en el nudo 2 y r eem plazar la por el valor de la reacción como si fuera una fuerza externa, deberíamos obtener un desplazam iento hor izontal nulo en el nudo 2 ,
,
,
.
El despl azamiento horizontal en el apoyo 2 deber ía ser cero. Si ca lculam os el desplazamiento hor izontal utilizando por ejemplo el Método de las Fuerzas Unitarias (Trabajo Virtual), obtendremos un desplazamien to de 0 0563 cm va lor que no es consistente con la condición real en el apoyo 2, por lo tanto la solución A no es válida ,
.
,
,
.
Conclusión: La solución
correcta a cualquier problema estructural,
que satisface:
- Equilibr io - Relaciones constitutivas - Compatibilidad y condic iones de contorno
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es aquella
6. S E XT A MIE N TO A HIPÓTES IS BÁ S ICA - COMPORT
L C O LIN E A
E L Á S TI
Supondremos que las estructuras se comportan en el rango lineal elástico es decir que la relación carga - desplazamiento es lineal. Dicho de otro mod o, si todas las cargas externas que obran sobre la estructura, por ejemplo se duplicaran el desplazamiento de cualquier punto también se duplicará. ,
,
Esta hipótesis está controlada por la hipótesis de desplazamientos pequeños así como por las prop iedade s mecánica s de los mater iales de los cuales la estructura está construida .
A continuación se muestran algunas de las posibilidades de comportamiento de una estructura o mater ial constituy ente
Desde el punto de vista de la energía, y no lineal se ilustra a continua ció n:
la dif er encia entre comportamiento lineal
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Los mater iales que componen una estructura pueden ser elásticos o inelásticos y pueden ser li neales o no li neales en cuanto se refiere a la relación esfuerzo - deformación. Aún para un material linealmente elástico como el acero estructural, la relación lineal esfuerzo - deformación es válida hasta cierto punto, normalmente el límite de propor ciona lidad. Por lo tanto, para que la hipótesis de comportamiento lineal elástico sea válida los esfuerzos en cua lquier punto de una estructura bajo un sistema de cargas dado no deben exceder el límite de propor ciona lidad de l material. ,
,
La suposición de comportamiento elástico - lineal del material, suele ser una restricción severa de los métodos de aná lisis estructural que se presentarán. Las desviaciones del comportamiento real del mater ial con respecto a la hipótes is o suposición de comportamiento lineal suele ser una f uente de discr epancias importante entre los resultados teóricos y los experimenta les. ,
Ejemplos de comportamiento de algun os materiales.
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7.
SÉTIMA HIPÓTESIS BÁSICA- PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN La secuencia en la aplicación de las cargas no altera los r esultados finales , es decir , el comportamiento de la estructura es independiente de la historia de c ar gas. El pr incipio de superposición es válido solo si es posible expresar las fuerzas o momentos en una estructur a, mediante funciones lineales de
las cargas. La superposición es aplicable a todas las magn itudes est r uct ura les: int erna s, desplazamientos, esf uerzos, fuerzas fuerza s, defo rmaciones, reacciones, f uerzas de extremo de barra, etc. Para que el pr incipio de sup erposición sea válido debe cum plirse : ,
a) Comportamiento Lineal - Elástico No basta que el mater ial o la estructura sea lineal, debe ser también elástica Es decir , al descargar la estructu ra, esta debe seguir la misma tr ayecto r ia que tuvo durante el proceso de car ga. .
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b) No deben existir No Linea lidades Geomé tri cas , es decir debe cumplirse la hipótes is de desplazamientos pequeños . Si la estructura no es lineal - elástica, el pr incipio de superposición no es aplicab le ya que el comportamiento dependerá de la historia de cargas. .
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Referencias bibliográficas
1. Apuntes de Análisis Estructural Autor: Ing Gianfranco Ottazzi 2. Libro de Análisis Estructural
Autor: Dr. Genner Villareal Castro
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