HİDROLİK Ders Notları-1 pdf

Ercan Kahya 1

Hidrolik. B.M. Sümer, İ.Ünsal, M. Bayazıt, Birsen Yayınevi, 2007, İstanbul

BÖLÜM 9 BOYUT ANALİZİ

Hidrolik - ITU, Ercan Kahya

9.1. GİRİŞ ■ Mekanikteki herhangi bir büyüklük Newton hareket kanunundaki temel büyüklükler: uzunluk (L), zaman (T) ve kuvvet (K) bağlı olarak ifade edilebilir. (Not: Kuvvetin yerine kütleyi (M) temel büyüklük olarak seçilebilir) ► Temel büyüklüklerin boyutlarına → "temel boyutlar:" L, T, K (ya da L, T, M) ■ Newton hareket kanununa göre kütlenin boyutu:


■ [A]: Herhangi bir A büyüklüğünün boyutu ise, temel boyutlar cinsinden: →

→

"boyutsuz büyüklük"

■ Bir büyüklüğün boyutu bu büyüklüğün tanımından elde edilir. Özgül ağırlığın boyutu:

Dinamik viskozitenin boyutu:



► Boyut analizinin esasını boyut homojenliği ilkesi oluşturur. BU NEDİR? ♦ Fiziksel olayları ifade eden bütün matematik denklemlerin sağlaması gereken koşuldur. ♦ Bunun için denklemlerdeki bütün terimlerin boyutlarının aynı olması gerekir. Buna "boyut homojenliği" denir. ♦Örnek: Bernoulli denkleminde bütün terimler uzunluk boyutundadır. ♦ Bu özellik ile bu denklemler herhangi bir birim sisteminde yazılabilir.


NEYİ KANITLAR? ► Fizik kanunlarını ifade eden herhangi bir bağıntının boyutsuz büyüklükler cinsinden yazılabileceğini... BU TEOREM (Buckingham) ŞUNU İFADE EDER:

♦ n adet boyutlu Ai büyüklüğü arasındaki şeklinde bir bağıntı daima m=n-r adet boyutsuz πi büyüklüğü arasındaki şeklinde bir bağıntı haline dönüştürülebilir. r: Ai büyüklüklerinde görünen temel boyutların sayısıdır Hidrolik - ITU, Ercan Kahya

■ πi büyüklüklerini elde etmek için önce A1, A2, ... , An boyutlu büyüklükleri arasından r adedi şu koşulları sağlayacak şekilde seçilir:

1) Seçilen bu büyüklüklerden herhangi birinin boyutları diğer seçilenlerin boyutlarının bir kombinezonu olmamalıdır. 2) r adet temel boyutun herbiri seçilen büyüklüklerden en az birinde bulunmalıdır.


■ r =3 olduğunu kabul ederek yukarıdaki koşulları sağlayacak şekilde seçilen büyüklükleri A1, A2, A3 ise πi boyutsuz büyüklükleri için

Bu ifadelerdeki bilinmeyen üsler: o şekilde belirlenir ki πi büyüklükleri gerçekten boyutsuz olsunlar. Hidrolik - ITU, Ercan Kahya

ÖRNEK: Çapı D olan bir boruda laminer akım (Hagen-Poiseuille akımı) V ortalama hızı

D boru çapına, akışkanın ρ özgül kütlesine, µ viskozitesine, ve basınç gradyanına

bağlıdır:

♦ n = 5 boyutlu büyüklük arasındaki bu bağıntıyı boyutsuz büyüklükler cinsinden yazalım. ♦ Bu büyüklüklerde L, T, K temel boyutlarının her üçü de bulunduğuna göre (r =3), πi boyutsuz büyüklüklerinin sayısı m = n - r = 2 olacaktır.


♦ A1, A2, A3 büyüklükleri olarak

è

V, D, ρ seçilebilir

(Not: a- Bu üç büyüklükten herhangi birinin boyutları diğer ikisinin boyutlarının bir kombinezonu olarak ifade edilemez b- Üç temel boyutun hepsi bu büyüklüklerde bulunmaktadır ♦ Buna göre πi için:


■ Üsleri belirlemek için bütün büyüklüklerin boyutları yazılırsa:

♦ Denklemler boyut bakımından homojen olacağından, birinci denklemden:


♦ İkinci denklemden:

► Buna göre:


► Böylece boyutsuz büyüklükler arasında:

Ya da:

SONUÇ: Sadece boyut analizini kullanarak laminer boru akımında V hızı için bir ilişki elde edilmiştir. ► Daha önce elde ettiğimiz Hagen-Poiseuille denklemini düzenlersek, yukarıdaki bağıntının:


■ Boyutsuz büyüklük sayısı m = n - r = 1 söz konusu boyutsuz büyüklüğün hiçbir büyüklüğe bağlı olmaz yani sabittir ve sadece Pi teoremini kullanarak sonuca varılır. ♦ ÖRNEK: Boru akımında laminer rejimden türbülanslı rejime geçiş olayı . Bu olaydaki büyüklükler: V, D, ρ, µ Buna göre geçiş olayı: ► Bu boyutsuz büyüklüğün Reynolds sayısı olduğu hemen görülebilir.

SONUÇ: Bu ifadedeki sabitin değerinin deneysel olarak belirlenir (Boru akımında 2000 alınır). Hidrolik - ITU, Ercan Kahya

►Pi teoremi ile denklemleri boyutsuz şekilde ifade etmenin yararları:

1- Doğadaki olaylar birim sistemlerinden bağımsız olduklarına göre bu olayları boyutsuz büyüklüklerle ifade etmek ilke olarak uygundur. 2- Boyutsuz ifade halinde değişken sayısı kadar (genellikle r =3) azaldığından söz konusu fonksiyonun incelenmesi ve deneysel olarak belirlenmesi büyük ölçüde kolaylaşır. (çok daha az sayıda sistemli deneyler yaparak problem çözülebilir) 3- Boyutsuz büyüklükler cinsinden yazılan bir denklemin herhangi bir birim sisteminde kullanılmasında herhangi bir güçlükle karşılaşılmadığı gibi sonuçların grafik ya da tablolar şeklinde ifadesi daha kolaydır. 4- πi boyutsuz büyüklükleri fiziksel bakımdan anlam taşıyan değişkenlerdir ve olayın benzerlik kriterlerini oluştururlar. Hidrolik - ITU, Ercan Kahya

BÖLÜM 15 MODEL TEORİSİ


15.1. TANIMLAR Fiziksel Model: Fiziksel bir olayın (örneğin bir baraj dolu savağı üzerindeki akımın) laboratuvarda bir benzeridir. Prototip: Modelin temsil ettiği doğadaki sistemdir. v

Model ve prototip è geometrik, kinematik ve dinamik benzerlik

v Uzunluk için

Lm: Model &

v Her (Lm, Lp) çifti è

Lp: Prototip

Lr = Lm/ Lp oranı sabit ise,

v  Bu iki sistem birbirine geometrik benzerdir denir. v  Lr: uzunluk ölçeği

(Lr = 1/10; 1/20 gibi)


benzerlikler bulunabilir. Lmmmodelde modelde birolsun, uzunluk olsun, Prototipte, bu L bir uzunluk olsun, Prototipte, Lmmodelde bir uzunluk Prototipte, bu prototipbu n Geometrik benzer iki sistem ele alınsın: model ve

gelen uz

böyle her ,LLp pçifti Lpp ise, sabit sabit ise, bu iki iki sis her LLmm,için bu sis böyle herböyle L m, L Lçifti Liçin / LLLr pr==LLmm/ /L sabit bu ikiise, sistem birbi p çifti r =için m w Vm: Model üzerinde bir noktada akışkanın hızı zerdir denir. uzunluk olarak hız = w Vp: denir. Prototipte bu noktaya karşıolarak gelen noktadaki zerdir LLr ruzunluk olarak zerdir L r denir. uzunluk Lr = 1/10;LLr1/2 r= n Her noktadaki (Vm, Vp) çifti için hesaplanan Vr = Vm / Vp sabit ise,

model veprototip. prototip. M Geometrik benzer iki sistemele ele ve M Geometrik model vemodel prototip. Model üze Geometrik benzer ikibenzer sistemiki elesistem

ènoktada İki sistem arasında: kinematik benzerlik Bunoktada noktada Vm' olsun.Prototipte Prototipte bunoktay nokta Bu Vm' olsun. bu Bu Vm' olsun. Prototipte bu noktaya ge

olsun.

olsun. böyle hernoktadaki noktadaki Vm'için çiftiiçin içinhesaplanan hesaplanan = olsun. her Vm' VVppçifti r r= böyle herböyle noktadaki Vm' Vp çifti hesaplanan Vr = Vm/VV Vp

sistem

Vm= Lmkinematik / Tm & Vp = Lp / Tp sistemkinematik benzerlik denir. Vm==Lmrrmv Lmrrm sistem kinematik Vm benzerlikbenzerlik denir. Vmdenir. = Lmrrmve Vp = L

V r

=

VVr

V

p

r

== VV

pp

bulunur.VBurada BuradaVVrpr=ye =VmN VmNppye ye Tr = Tm/Tp Trye Tm/Tpye yezaman zaman bulunur. Tr ==Tm/Tp bulunur. Burada zaman de Hız ölçeği: Zaman ölçeği: r = VmN Hidrolik - ITU, Ercan Kahya

bulunur. Burada Vr = VmN p ye

Tr = Tm/Tp ye zaman

İvme için:

w İvme ölçeği: ar = am / ap tanımlanırsa w  ar = Lr / Tr2 sabit kalır è yörüngeler benzer ✪  Kinematik benzer iki sistem: Model ve prototipte birbirine karşı gelen noktalara etkiyen kuvvetler arasındaki oran sabit è

iki sistem dinamik benzerdir

Fr = Fm / Fp Fr: Kuvvet ölçeği & her noktada sabit kalmalı. Hidrolik - ITU, Ercan Kahya

15.2. BENZERLİK KOŞULLARI

v  Model ve prototipten birinden diğerine geçiş è benzerlik koşulları v  Örnek: Bir liman modelinde ölçülen dalga yüksekliği, prototipte ne kadar bir yüksekliğe karşı gelir? v  Benzerlik koşullarının metotları: a) dinamik metot b) boyut analiz c) diferansiyel denklem metodu


Model ve prototipe etkiyen kuvvetlerin

oranda

Dinamik Metod

problemlerinde mevcut kuvvetler, esas olarak, atalet, yerçekimi ve viskozite kuvvet

göre v Model vebenzerlik prototipe etkiyen kuvvetlerin aynı oranda değişmesi esası (Atalet K.)m (Atalet K.)p

=

(Yerçekimi K')m (Yerçekimi K.)p

=

olacak temin edilir. Bu metod § 15.3 de Diferansiyel Denklem Metodu

(Viskozite K.)m (Viskozite K.)p

=

olarak ele

w Dinamik metotla ve boyut analizi metodu geometrik benzeşim zorunludur. w  Olayı temsil eden diferansiyel denklemin bilinirse ilk iki metottan iyidir. w  İzlenen yol: w  Olayın diferansiyeli denklemini boyutsuz yazılır w Diferansiyel denklemde ortaya çıkan boyutsuz katsayıların model ve prototipte aynı değer alınır.


15.3.

METODA GÖRE

Benzerlik elde edilebilmesi için 15.3. DİNAMİK METODA GÖRE BENZERLİK metod

en b

ve metodun model ve prototipe etkiyen muhtelif kuvve

 Benzerlik koşullarının elde edilebilmesi için kullanılabilecek en göre basit(15.4,5) metod Buna

(Yerçekimi K.)m _ (Yerçekimi K.)p (Atalet K.)m (Atalet K.)p

(Viskozite k')m _ (Viskozite k.)p (Atalet k')m

. (Atalet k.)p

yazabiliriz.. Atalet kuvvetleri: Kütle x İvme = ρ L3 (LT-2) kuvvetleri, Yerçekimi Atalet kuvveti: ρ g L3 Kütle x pgL

3

göre pU (L T

2

)

ve

(15.6) denklemi: Hidrolik - ITU, Ercan Kahya

pgL

3

(15.6) denklemi:

= = V = L{f

Bu

V = L{f

Bu

de ¤

de 2

V / (g L)

2

V/(g L//

2

§ 12 de

V/(g L//

§ 12 de Fr büyüklüğü ègöre Fr:(15.6), Froudebizi, sayısı model ve prototipte göre (15.6), bizi, model ve prototipte Fr


1

viskoz kuvvetlerin p(LT /L)e Benzer Viskoz kuvvetler: µ (LT-1 / L) L2 denkleminden:

298 Ilm (L m

298 Bu

/ L m) Pm em Bu(L m V

=

V = L{f konarak

de ¤

2

II p (L p T;l / L p) L p 3 _ Pp L = L{f konarakp (L p T;2)

gibi pVL/p

O halde (15.7) bizi, model ve prototipte Re

gibiReynolds pVL/p sayıs (ρ V de L) / µ büyüklüğü è Re:

Re Reynolds

O halde (15.7) bizi, model ve prototipte Re Hidrolik - ITU, Ercan Kahya

ÖNEMLİ SONUÇ: Dinamik benzerliğin sağlanması:

Model

Seçimi

veya Froude & Reynolds sayılarının model veburadan prototipteki eşit olması gerekir.

(15.9)

olarak yazarsak Model Ölçeğinin Seçimi veya buradan

=

bu denklemden de

bu denklemden de gr = 1 Froude koşulundan hız ve uzunluk ölçekleri arasında

Vr2 = Lr

bulunur. Genellikle gr = 1 - ITU, Ercan Kahya n Hidrolik

v Benzer şekilde Reynold yazılırsa, Benzer (15.11) bağıntısı açık olarak veyaolarak buradan

1

300

veya buradan

bu denklemden de

Genellikle modelde ve prototipteki 1 akışkan: su è Vr =1 bulunur. -  Reynolds koşulundan, hız ve uzunluk ölçekleri arasında

bu denklemden de

Genellikle modelde ve pro

ve uzunluk ölçekl Vr Lr = 1 Hidrolik - ITU, Ercan Kahya

ÖNEMLİ SONUÇ: Yukarıdaki bağıntılardan Vr yok edilirse: Lr = 1

ya da

Lm = Lp

Yani ¤ model, prototiple aynı büyüklükte inşa edilmeli ¤ yerçekimi, sürtünme ve atalet kuvvetlerinin aynı oranda küçültülmesinin mümkün olmaması ¤ prototipteki olayı tam olarak yansıtacak bir model yapılamaması


NE YAPILMALI ???! Kuvvetler: Atalet, yerçekimi ve sürtünme Prototipteki olayda, sürtünme ve yerçekimi kuvvetinden hangisi daha önemli ise o parametre esas alınır. ★ Eğer hareketi kontrol eden kuvvetler: viskozite ve atalet kuvvetleri è Froude sayısı benzerlik sırasında göz önünde tutulmaz ve bu tip modeller Reynolds modelleridir. ★ Eğer hareketi kontrol eden kuvvetler: yerçekimi ve atalet kuvvetleri è Reynolds sayısı hesaba katılmaz; bu tip modeller Froude modelleridir. Hidrolik - ITU, Ercan Kahya

15.4. FROUDE MODELLERİ

15.4.yüzeyli FROUDE v Pratikte serbest akımların modelleri genellikle Froude modeli olarak yapılır. serbest modelleri Örnek: Baraj Pratikte dolu savağı, liman, yüzeyli bağlama, su alma ağzı vb. nek: Baraj dolu

liman,

su alma

genellikl vb.

Bu modellerde;

veya

vr

=

e

12

r

w Diğer büyüklüklerin ölçekleri è geometrik ölçek ile belirlenebilir.

yukanda

çek

(15.12 denklemi).

büyü

belirlenebilir. Zira herhangi bir A

rim sisteminde Hidrolik - ITU, Ercan Kahya

Örnek 10.6 Örnek0,5 10.6m Örnek 10.6

kanalda 1/20 ölçekli bir dolu savak modeli Prototip su 1/20 ölçekli1,4 göre (a) ModeldekiPrototip dolu savak su 0,5 m savakta maksimum kanalda bir mdolu savak modeli 0,5 m ölçekli bir60dolu savak su modeli Prototip ne sukanalda ve1/20 (b) mm debi 0,016 m3/s savakta maksimum 1,4Modelde m göresavak (a) Modeldeki dolu savak su savakta maksimum su ve (b) Modelde 1,4birim m göre (a) Modeldeki dolu msavak su 3 olur.0,016 ne göre prototip 60 mm savak su geçen debi nedebi /s 3 ne prototip ve (b) Modelde 60 mm savak debi 0,016 m /s göre birim geçen su debi ne olur.

göre prototip

birim

geçen debi ne olur.

(a) Modeldeki su (a) Modeldeki su 1

H m =L su = -1,40 = 0,07 m r Hp (a) Modeldeki 1 H m =L r Hp = -1,4020= 0,07 m 1 20 H m =L(b) Hp = -1,40 = 0,07 m r 20 (b)

Froude benzerlik kanununa göre: (b) Froude benzerlik kanununa göre: = _ Froude Vm benzerlik kanununa göre: V Vm = Vp VLr _ pL2p -VLr L2p V VLr V L2 -VLr L2 p p _ p p Vm = Q = Qm = V 0,016 = 28,62 m3 Is 2 V VLr L2 -VLr L p= p28,62 m3 Is p Qp = Qmp = 0,016(1/20)5/2 p (1/20)5/2 Q = Qm = 0,016 = 28,62 m3 IsB = Bm Prototip p (1/20)5/2 Prototip B = Bm p = L r

PrototipPrototip Prototip

birim

birim

= 1/20 =10 m =10 m p Lr 1/20 debisi: q10=mQp = 28,62 =3 2 86 m 3 I s m B = Bm = = B p =210 debisi: = Qp p= 28,62 86 m I 's m p L r q1/20 p B 10 ' p


15.5. REYNOLDS MODELLERİ

v  Pratikteki basınçlı akımlarınmodelleri genellikle Reynolds modeli olarak yapılır. Örnek:  Suda çalışan türbinlerin (Francis ve Kaplan tipleri)  santrifüj tulumbaların modelleri,  uçakların maruz kaldıkları dirençler,  denizaltıların derin sularda hareketi,  kavitasyon araştırmaları,  basınçlı borulardaki vanaların incelenmesi w Diğer büyüklüklerin ölçekleri è geometrik ölçek ile belirlenebilir.


küçük dikkate kanununa göre

Örnek 10.5

<1>160 mm bir boru 2 mis boruda hangi

Vp Lmodellemenin p fiziksel sadece Froude

yeterli

gibi (10.7) denklemi (10.6) den hareketlerde zaman önemlidir ve

tm _ L m/ Vm _ I _ r;--Lr---vLr

tp su iletmektedir. Lp/Yp ile 15°C'da ki dinamik

IL

su <1>60 mm

sahip olsunlar.

Reynolds Kanunu:

Suyun viskozitesi n prototipIerde sürtünme ikinci dereced Boru sürtünme ve atalet kuvvetleri etkili (10.8)kuvvetleri denklemi ile verilen Reynolds benzerlik kanunu sürtünmesinden enerji veya cisimlere ge vm Lp 160 Vm =--.-V p =-2=5,33m/s problemlerde sürtünme kuvvetleri önem vp L m 60 göre gibi elde edilir:

VmLm _ VpLp Örnek 10.6

vm

vp

buradan,

0,5 m kanalda 1/20 ölçekli bir dolu savak modeli Prototip Vm V m göre L p (a)VmModeldeki dolu savak su savakta maksimum su 1,4 m Hatırlatma: Hız ölçeği ne ve (b) Modelde 60Vpmm savak su Vp Lr debi 0,016 m3/s Vp L m göre prototip birim geçen debi ne olur.

=

=

(10.8) denklemine göre, l/Lr

model ve protot Hidrolik - ITU, Ercan Kahya prototip

HİDROLİK Ders Notları-1 pdf

Recommend Documents