Guia Para Analisis de Experimentos Correg_feb_2014

Gu´ıa para An´ alisis de Experimentos Laboratorios de F´ısica

Preparado por: Prof. EULER EUGENIO CORAL, DSc Programa de F´ısica Facultad de Ciencias B´ asicas Universidad del Atl´ antico Versi´ on corregida, febrero de 2014

Gu´ıa para An´ alisis de Experimentos Laboratorios de F´ısica

Preparado por: Prof. EULER EUGENIO CORAL, DSc Programa de F´ısica Facultad de Ciencias B´ asicas Universidad del Atl´ antico Versi´ on corregida, febrero de 2014

Contenido 1 Introducci´ on

1

1.1

Enfoque del Trabajo de Laboratorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.2

Magnitudes F´ısicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.3

Las Unidades Básicas del SI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.4

Sistema de unidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.5

Prefijos para los M´ ultiplos y Subm´ ultiplos . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.6

Factores de Conversión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.7

Análisis Dimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.8

Orden de Magnitud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.9

Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

2 Mediciones y Errores

9

2.1

El proceso de medición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

2.2

Tipos de medición

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

2.3

Cifras significativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

2.4

Operaciones con cifras significativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.5

2.4.1

Criterio de aproximaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.4.2

Suma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.4.3

Multiplicación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

Errores Experimentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.5.1

Errores Sistemáticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.5.2

Errores Aleatorios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

E. E. Coral

Gu´ıa para An´ alisis de Experimentos

ii

CONTENIDO

2.6

2.7

2.8

Cálculo de Errores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.6.1

Error Absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.6.2

Incertidumbre relativa y porcentaje de error . . . . . . . . . . 15

2.6.3

Cálculo práctico de la incertidumbre . . . . . . . . . . . . . . 16

Propagación de errores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.7.1

Incertidumbre en funciones de una sola variable . . . . . . . . 18

2.7.2

Funciones de dos o más variables . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.7.3

Método general para calcular errores . . . . . . . . . . . . . . 20

Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3 Tratamiento estad´ıstico de medidas 3.1

25

Cómo se minimiza este error? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3.1.1

Valor Promedio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.1.2

Desviación de la Media . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.1.3

Desviación Promedio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.1.4

Desviación Estándar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.1.5

La Varianza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.1.6

Incertidumbre Estándar de la Media . . . . . . . . . . . . . . 27

3.1.7

Error Relativo Porcentual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.2

Análisis de error para N peque˜ no . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.3

Histograma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 3.3.1

3.4

Construcción del Histograma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

4 Evaluaci´ on de Experimentos

35

4.1

Análisis de gráficas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

4.2

Linealización de gráficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4.3

4.2.1

Ecuación lineal y m´ınimos cuadrados . . . . . . . . . . . . . . 37

4.2.2

Ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

Gráficos no lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40


E. E. Coral

iii

CONTENIDO

4.4

4.5

4.3.1

Función Potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4.3.2

Función exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

4.3.3

Ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

4.3.4

Linealización de modelos conocidos . . . . . . . . . . . . . . . 44

Análisis de gráficos con ayuda de calculadoras . . . . . . . . . . . . . 45 4.4.1

Calculadoras Cassio FX95MS Y FX100MS . . . . . . . . . . . 46

4.4.2

Calculadora Cassio FX350ES . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

Uso de programas de computador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 4.5.1

4.6

Gráficas en Excel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

Ap´ endices

51

A Instrumentos de Medici´ on 1

53

A.1 Calibrador o Pie de rey . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 A.1.1 Principales partes del calibrador . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 A.1.2 Principio de funcionamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 B Instrumentos de Medici´ on 2

57

B.1 Micrómetros y Esferómetros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 B.1.1 El micrómetro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 B.1.2 El Esferómetro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 C Modelo de informe Referencias bibliogr´ aficas

E. E. Coral

61 63


Lista de figuras 2.1

Medición de una magnitud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.2

Errores aleatorios y sistemáticos en un ejercicio de práctica de tiro. a)Alta precisi´ on y exactitud: Debido a que las marcas de los disparos están muy cerca unas de otras, podemos decir que los errores aleatorios son peque˜ nos (buena precisión). Debido a que la distribución de disparos está centrada en el blanco, los errores sistemáticos también son (buena exactitud). b) Alta precisi´ on y baja exactitud: Los errores aleatorios son todav´ıa peque˜ nos, pero los sistemáticos son mucho más grandes, los disparos están sistemáticamente corridos hacia la derecha. c) Baja precisi´ on y Buena exactitud: En este caso, los errores aleatorios son grandes, pero los sistemáticos son peque˜ nos, los disparos están muy dispersos, pero no están sistemáticamente corridos del centro del blanco. d) Baja precisi´ on y baja exactitud: Aqu´ı ambos errores son grandes. . . . . . . . . . . . 14

3.1

Ejemplo de un Histograma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.2

Histograma para los datos del ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4.1

Ejemplo de una figura bien realizada . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

4.2

Grafica de la función y = kxn en papel logar´ıtmico . . . . . . . . . . . 41

4.3

Gráfica de la función y = Aekx en papel semilogar´ıtmico . . . . . . . 42

4.4

Decrecimiento exponencial del Voltaje de un condensador . . . . . . . 43

4.5

Linealización de los datos de la tabla 4.2 dibujados en papel semilog.

4.6

La pantalla en el modo Regresión Lineal presenta dos columnas x y y. 46

4.7

Pantalla inicial de Excel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

4.8

Selección de la opción graficar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

E. E. Coral

43


vi

LISTA DE FIGURAS

4.9

Selección de ajuste de la gráfica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

4.10 Esta figura muestra los tipos de ecuaciones que se pueden seleccionar para el ajuste. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 A.1 Partes del Calibrador o Pie de rey. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 A.2 Divisiones del Nonio para un rango de 9 mm . . . . . . . . . . . . . . 54 A.3 La división 3 del Nonio coincide con la 3 de la escala principal, las puntas se separan 0,3 mm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 A.4 Las puntas están separadas 1,4 mm, puesto que la cuarta división del nonio coincide con una división de la escala principal . . . . . . . . . 56 B.1 Esquema de un micrómetro y sus partes. . . . . . . . . . . . . . . . . 57 B.2 Imagen de una medición con el micrómetro. . . . . . . . . . . . . . . 58 B.3 Lectura de una medición con un microómetro. . . . . . . . . . . . . . 58 B.4 Esquema de un esferómetro y sus partes. . . . . . . . . . . . . . . . . 60 B.5 Modo de usar un esferómetro para calcular el radio de curvatura. . . 60


E. E. Coral

Lista de tablas 1.1

Unidades básicas del SI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.2

Definición de las Unidades básicas del SI . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.3

Sistemas de Unidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.4

M´ ultiplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.5

Subm´ ultiplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.6

Algunos Factores de conversión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.7

Algunos Ordenes de Magnitud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

2.1

Ejemplo de cifras significativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.2

Ejemplo de aproximaciones con cifras significativas . . . . . . . . . . 12

3.1

Mediciones del tiempo de reacción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.2

Intervalos para el histograma

4.1

Datos para análisis de un comportamiento lineal . . . . . . . . . . . . 39

4.2

Datos para la descarga de un condensador . . . . . . . . . . . . . . . 42

4.3

Ejercicio 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

4.4

Ejercicio 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

4.5

Ejercicio 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

A.1 Longitud de cada división del nonio al cero de la escala. . . . . . . . . 55

E. E. Coral


Cap´ıtulo 1 Introducci´ on

1.1

Enfoque del Trabajo de Laboratorio

El objetivo del trabajo en el laboratorio es familiarizarse con el aspecto fenomenológico de la F´ısica. En cierta forma, el estudiante comprobará las leyes y principios que se imparten en el curso teórico o que han sido estudiadas previamente por el. Por otro lado y de acuerdo a la orientación del profesor, el estudiante podrá llegar a las leyes a partir del experimento. Los experimentos propuestos no se realizarán siguiendo una serie de instrucciones como se ha hecho tradicionalmente. El estudiante debe recordar permanentemente que la F´ısica es una disciplina cient´ıfica y que en su formación, debe hacer destacar su esp´ıritu cient´ıfico y es aqu´ı en el Laboratorio de F´ısica, en donde debe apropiarse de esto, ya que los experimentos propuestos son ante todo un problema que los estudiantes deben resolver, y para lograr soluciones satisfactorias, deben investigar la bibliograf´ıa citada, leer otras gu´ıas de laboratorio, navegar en la Internet, etc. Más concretamente, el estudiante debe ser conocedor del Método Cient´ıfico y aplicarlo en su investigación. El trabajo en el laboratorio corresponde a una parte de la investigación que los estudiantes van a realizar para resolver su problema experimental. Básicamente los estudiantes van al laboratorio a medir las magnitudes de las propiedades del sistema f´ısico que van a investigar. Pero, como se insinuaba en el párrafo anterior, antes y después de las mediciones, se requiere una buena dedicación de tiempo estudiando y entendiendo el problema de laboratorio, para esto, los estudiantes deber´ıan conocer previamente los siguientes aspectos:

E. E. Coral


2

Cap´ıtulo 1. Introducci´ on

a) Conceptos teóricos involucrados en el tema que se va a experimentar b) El sistema que se va a estudiar. c) Las variables o propiedades que se van a medir. d) Distinguir la variable dependiente de la variable independiente. e) Las unidades en que se van a medir las variables. f ) Los factores que pueden afectar las mediciones. El estudiante debe tener en cuenta todo lo que acontece en el laboratorio, lo más aconsejable es que tome nota de todo lo que suceda, especialmente de su propio procedimiento. Cada estudiante debe tener una libreta de apuntes. Al finalizar la práctica de laboratorio, cada grupo debe entregar un preinforme de los datos medidos en el formato que aparece al final de esta gu´ıa. Para evaluar los datos experimentales se debe tener el conocimiento básico de las Teor´ıa de Errores y Análisis de Gráficos, temas que se van a exponer en una forma breve en esta gu´ıa. El reporte de sus resultados se debe entregar en un informe que presente el formato de Art´ıculo Cient´ıfico que también se incluye en esta gu´ıa.

1.2

Magnitudes F´ısicas

Magnitud es toda cantidad que se puede medir. Medir significa comparar. Cuando medimos cualquier magnitud, ya sea,una longitud o la intensidad de una corriente eléctrica, en realidad estamos comparando esa magnitud con otra de la misma especie que consideramos arbitrariamente como patrón. Por ejemplo, al determinar una masa desconocida en la balanza, lo que hacemos es comparar esa masa con masas patrones (las “pesas” de la balanza). Estas pesas, a su vez, han sido comparadas (o calibradas) con alg´ un patrón secundario y al seguir la cadena de comparaciones se llega hasta el patrón universal de masa (kilogramo) que se conserva en la Oficina Internacional de Pesas y Medidas (BIPM) en Sèvres, cerca de Par´ıs, donde fue adoptado mediante convenios internacionales. De igual forma, se definen patrones para otras magnitudes que se consideran magnitudes fundamentales, puesto que las unidades de una de ellas no se puede expresar en función de las otras. Existen diferentes sistemas que definen las unidades de estas magnitudes. Uno de estos, el Sistema Internacional de Unidades (SI) vigente en la mayor´ıa de los pa´ıses desde 1960, considera siete unidades b´ asicas a partir de las cuales se pueden derivar todas las restantes unidades de medida de otras magnitudes f´ısicas, ver tabla 1.1. Gu´ıa para An´ alisis de Experimentos

E. E. Coral

3

1.3 Las Unidades B´ asicas del SI

Tabla 1.1: Unidades b´ asicas del SI

Magnitud longitud masa tiempo temperatura cantidad de sustancia intensidad de la corriente intensidad de la luz

1.3

Unidad S´ımbolo metro m kilogramo kg segundo s Kelvin K mol mol Ampere A buj´ıa o candela cd

Las Unidades B´ asicas del SI

La definición de las unidades básicas ha venido cambiando por la necesidad de tener patrones o referencias más estables y precisas a través del tiempo. La definición actual de las unidades básicas del SI aprobada por la Conferencia General de Pesas y Medidas (CGPM) en 1983 se muestran en la tabla 1.2.

Tabla 1.2: Definici´ on de las Unidades b´ asicas del SI

Magnitud longitud

Definici´ on Distancia recorrida por la luz en el vac´ıo durante un intervalo de 1/299.792.458 s - 17a. CGPM, 1983. masa kilogramo Masa de un cilindro de PLATINO-IRIDIO que se conserva en la BIPM en Par´ıs - 3a. CGPM, 1901. tiempo segundo Duración de 9.192.631.770 vibraciones en la transición de dos niveles hiperfinos del átomo de 123 Cs -13a. CGPM, 1968. temperatura Kelvin Es 1/273,16 de la temperatura termodinámica del punto triple del agua - 13a. CGPM 1968.

1.4

Unidad metro

Sistema de unidades

Es importante se˜ nalar que existen varios grupos de unidades asociadas a las magnitudes básicas longitud, masa, tiempo, conocidas como sistemas de unidades. Como ya se indicó anteriormente, el SI es el más utilizado en la actualidad, pero existen pa´ıses como los de habla inglesa que usan diferentes unidades de medición, E. E. Coral


4


(ver tabla 1.3). El estudiante debe estar en capacidad de pasar las unidades de un sistema a otro aplicando los factores de conversión de unidades. Tabla 1.3: Sistemas de Unidades

Sistema Longitud SI m CGS cm INGLES pie

1.5

Masa Tiempo kg s g s slug s

Prefijos para los M´ ultiplos y Subm´ ultiplos

Los prefijos son nombres que se les da a ciertas potencias de 10 cuando usamos notación cient´ıfica y sirven para determinar los m´ ultiplos y subm´ ultiplos de la unidad principal. Para utilizarlos, basta con expresar una cantidad en notación cient´ıfica y reemplazar la potencia por el s´ımbolo correspondiente seguido de la unidad básica. Tabla 1.4: M´ ultiplos

Factor 1024 1021 1018 1015 1012 109 106 103 102 101

Prefijo yotta zetta exa peta tera giga mega kilo hecto deca

S´ımbolo Y Z E P T G M k h d

Tabla 1.5: Subm´ ultiplos

Factor 10−1 10−2 10−3 10−6 10−9 10−12 10−15 10−18 10−21 10−24

Prefijo deci centi mili micro nano pico femto atto zepto yocto

S´ımbolo d c m µ n p f a z y

Veamos como ejemplo el metro: 1 m esta dividido en 100 partes y cada una de estas equivale a 0, 01 m o 10−2 m y de acuerdo a la tabla, corresponde a un cent´ımetro, abreviado 1 cm. La milésima parte del metro es igual a 0, 001 m o 10−3 m corresponde a 1 mm. Existen otras magnitudes como la capacitancia eléctrica que solo se expresa en subm´ ultiplos del Faradio (F ), su unidad de medida, como 10−6 F = 1 µF , 10−9 F = 1 nF , 10−12 F = 1 pF . Gu´ıa para An´ alisis de Experimentos

E. E. Coral

5

1.6 Factores de Conversi´ on

1.6

Factores de Conversi´ on

Para pasar de un sistema de unidades a otro es necesario conocer la relación que hay entre los distintos sistemas. Muchas veces también necesitamos pasar m´ ultiplos y subm´ ultiplos a la unidad fundamental o viceversa. Algunas factores de conversión entre el Sistema Inglés y el SI se encuentran en la tabla 1.6. Tabla 1.6: Algunos Factores de conversi´ on

Longitud 1 m = 39,37 in = 3,281 ft =102 cm 1 in = 0,0254 m = 2,54 cm 1 ft = 0,3048 = 30,48 cm = 12 in 1 mi = 5280 ft = 1609 m = 1,609 km

masa 1 lb = 0,454 kg = 16 oz 1 oz = 28,35 g = 0,0625 lb 1Kg = 103 g = 2.2 lb

Veamos como ejemplo las unidades del tiempo que, aunque no corresponden al sistema decimal, si son aceptadas por el SI. ¿Cuántos segundos tiene un d´ıa? usando los factores de conversión tenemos los siguiente: × dia 1 dia = 1

60 min 60 s 24 h × × = 86400 s 1 dia 1 h 1 min

Ahora, si queremos convertir de km/h a m/s, por ejemplo 72 km/h, procedemos de manera similar al caso anterior pero convirtiendo dos unidades: 72 km/h = 72

km

h

×

1 h 103 m m × = 20 3600 s 1 km s

Otro caso es el de las unidades de capacidad o volumen. Como estas unidades corresponden a unidades lineales elevadas al cubo, lo mejor es escribir el m´ ultimplo 3 de la unidad y elevarlo al cubo, por ejemplo 1 m convertirlo a mililitros (ml): 1 m3 = 1 m3 ×

E. E. Coral

(102 cm)3 1 ml 6 3 = 10 cm × = 106 ml 3 3 1 cm 1 m


6


1.7

An´ alisis Dimensional

Para verificar si una ecuación está bien formulada, se debe tener en cuenta las variables que operan en dicha ecuación. Al hacer un análisis dimensional, las dimensiones se pueden tratar como cantidades algebraicas. Los s´ımbolos empleados para denotar las dimensiones de longitud, masa y tiempo son respectivamente L, M y T. Dos cantidades que se suman, al igual que los términos a ambos lados de una ecuación, deben tener las mismas dimensiones. Como ejemplo, mostremos que la ecuación x = vt, es dimensionalmente correcta. Por ser x una longitud tiene dimensión [x] = L y t tiene dimensión [t] = T . La velocidad por medirse en metros sobre segundo, tiene dimensión [v] = L/T , por tanto [x] = [v][t] L ×T T L=L

L=

Al cancelar T en la derecha, las unidades tienen la misma dimensión que en la izquierda.

1.8

Orden de Magnitud

Cuando queremos hacer cálculos aproximados de ciertas cantidades, es importante aproximar los factores que intervienen en las operaciones, a la potencia de 10 más cercana. De esta forma, se dice, que la potencia de 10 representa el orden de magnitud de una cantidad. El orden de magnitud también sirve para referirse en forma oral o escrita de ciertas cantidades cuyas cifras son enormes o muy peque˜ nas, como la masa de un electrón o la masa del sol y su distancia a la tierra. Algunos ejemplos se dan en la tabla 1.7. Tabla 1.7: Algunos Ordenes de Magnitud

Cantidad Radio de la o´rbita tierra-sol Masa del electrón Edad promedio de un estudiante


magnitud 1.5 × 1011 m 9.11 × 10−31 kg 5.7 × 108 s

Orden de Magnitud 1011 m 10−31 kg 108 s

E. E. Coral

7

1.9 Ejercicios

1.9

Ejercicios

Conversi´ on de Unidades 1. ¿Cuáles de las siguientes unidades no son fundamentales: a) m b) m/s c) ◦ C d) l e) m/s2 f) N

g) s

h) kg.

2. ¿Cuál es su estatura en pies? 3. Un cohete alcanzó una altura de 300 km. ¿A cuánto equivale esta distancia en millas? 4. ¿Cuántos segundos tiene 1 a˜ no? 5. La rapidez de la luz en el vac´ıo es aproximadamente 3, 00 × 108 m/s. ¿Cuántos km viajar´ıa un pulso de un láser en 1 h? 6. Un a˜ no luz es la distancia que recorre la luz en un a˜ no a 300.000 km/s. ¿Cuál es esta distancia en m? Exprese la distancia de la tierra al sol en a˜ nos luz. 7. Una certificación de buceo se realiza a 40 pies. ¿Cuántos metros debe bajar el buzo a pulmón libre para certificarse? 8. ¿Cuál es su peso en libras? 9. 1 cm3 equivale a 1 ml. ¿Cuántos litros hay en 1 m3 ? Orden de magnitud 11. ¿Cuál es el orden de magnitud de su edad en meses, d´ıas y segundos? 12. Estime el n´ umero de veces que el corazón de un humano late en una vida promedio de 70 a˜ nos. 13. El radio promedio de la tierra es de 6, 37 × 106 m, y el de la luna es de 1, 74 × 108 cm. Con estos datos calcule la razón entre el a´rea superficial de la tierra y de la luna. 14. Determine el n´ umero aproximado de ladrillos necesarios para cubrir los cuatro lados de una casa de tama˜ no regular. 15. Una persona utiliza 200 l de agua por d´ıa aproximadamente. ¿Cuál debe ser el orden de magnitud en m3 del volumen de un recipiente capaz de abastecer de agua a la ciudad de Barranquilla en un d´ıa? E. E. Coral


8


Determine el orden de magnitud de los resultados de las siguientes operaciones. 16. (3 × 108 m/s) (3 × 105 s) 17. 7000/0,0035 18. (0,501 × 0,042)/420.000.000 19. Suponga que un protón tiene la forma de un cubo cuya arista es del orden de 10−13 cm. ¿Cuál es el orden de magnitud del volumen del cubo? 20. Deseando construir un modelo del sistema solar, un estudiante representa el sol por medio de una pelota de balompié. Se sabe que el orden de magnitud del radio del sol es de 109 m y el de la tierra es de 107 m, siendo la distancia de la tierra al sol del orden de 1011 m. ¿Cuál deber´ıa ser entonces, en este modelo, el orden de magnitud de la esfera que representa la tierra?, ¿La distancia de esta esfera a la pelota de balompié? An´ alisis Dimensional Diga si las ecuaciones siguientes son dimensionalmente correctas. (v es velocidad, a es aceleración, t es tiempo, A es área, T periodo y r radio) 21. v 2 = v02 + 2at

25. A = πr2

22. x = xo + vt

26. t =

23. x = at

27. v =

24. v = vo + ax

28. T = 2π

q

2x a

√

2ax − v0 t q

l g

29. ¿Cuáles son las unidades de las constantes en la ecuación x = At2 + Bt + C, para que sea dimensionalmente correcta? 30. Muestre que si x = At3 + Bt es dimensionalmente correcta cuando x tiene unidades de longitud y t tiene unidades de tiempo, entonces la derivada dx/dt tiene unidades de longitud sobre unidades de tiempo. 31. ¿Cuál es el valor de los exponentes para que la ecuacián v 2 = kam sn sea dimensionalmente correcta? 32. ¿Para qué valores de m y n la ecuación x = kam tn es dimensionalmente correcta?


E. E. Coral

Cap´ıtulo 2 Mediciones y Errores 2.1

El proceso de medici´ on

Medir es comparar una magnitud desconocida con otra llamada patrón. Al realizar una medición de cierta magnitud, se obtiene un n´ umero acompa˜ nado de una unidad asociada a la magnitud respectiva. En el caso más general, este resultado debe ir acompa˜ nado por otro n´ umero que representa la incertidumbre en la medición.

2.2

Tipos de medici´ on

Las mediciones pueden obtenerse de dos formas: Mediciones Directas: Son el resultado de comparar directamente una magnitud desconocida con un instrumento de medida calibrado seg´ un un patrón establecido previamente. El resultado se mide directamente en una escala numérica que posee el instrumento. Mediciones Indirectas: Se obtienen a través de una operación entre dos o más mediciones directas o a través de una función de las cantidades medidas. Por ejemplo la densidad se obtiene como función de la masa y el volumen de una sustancia.

2.3

Cifras significativas

El N´ umero de cifras que debe tener el escalar que representa una magnitud medida, está muy relacionado con el n´ umero de divisiones que tenga la escala del instrumento de medida. Por ejemplo, si ustedes miden cierta longitud con una cinta métrica E. E. Coral


10

Cap´ıtulo 2. Mediciones y Errores

que solo está graduada en metros (m), el resultado será un entero que representa cuantas veces cabe la unidad patrón en esa longitud y es una cifra que tiene certeza en su medida. Pero si existe cierta fracción de la longitud que no se puede medir directamente con el instrumento, ustedes tendrán que hacer uso de la apreciación simple vista, dando en este caso, un u ńico decimal que es incierto. Por ejemplo: 2,4 m de longitud. En este caso decimos que hay dos cifras significativas. Si ahora usamos una cinta métrica divida en dec´ımetros dm, al reportar el resultado de la medición en metros m, el n´ umero de cifras ciertas corresponde a los metros y a los dec´ımetros. Pero si el extremo de la magnitud a medir se ubica entre una división de un decámetro y el siguiente, podremos ahora apreciar una fracción más peque˜ na imaginando diez divisiones en este espacio cuyo valor ser´ıa una cifra dudosa dada en cent´ımetros cm. Por ejemplo, la medición de la fig. 2.1 se puede reportar como L = 2,46 m. Aunque este resultado está por encima de la mitad del intervalo de 1 dm, las mediciones 2,45 m o 2,47 m, también son válidas, ya que la u ´ltima cifra siempre va a ser incierta. De esta manera podemos decir que hay tres cifras significativas en esta medición.

Figura 2.1: Medici´ on de una magnitud

Veamos como mejora la medición de la misma magnitud, pero usando ahora una cinta métrica dividida en cent´ımetros cm. Al reportar el resultado en m, estamos seguros de la posición de los metros, los dec´ımetros y los cent´ımetros, pero podemos hacer una apreciación del orden de los mil´ımetros, obteniendo as´ı una u ´ltima cifra dudosa o incierta. Ejemplo: 2,463 m. En este caso la cifra apreciada está por debajo de la mitad de la división más peque˜ na, los cm. Un resultado aceptable también podrá ser 2,462 m o 2,464 m. En este caso, tenemos una medición con cuatro cifras significativas. Escribir una quinta cifra carece de sentido ya que no hay más divisiones en nuestro instrumento de medición. Para tener una cifra segura en la posición de los mil´ımetros, debemos usar una cinta métrica graduada en mil´ımetros y tendr´ıamos as´ı una cuarta posición decimal como cifra apreciada, o cifra incierta, para un total de 5 cifras significativas, por ejemplo: 2,3638 m. Como se puede ver en los ejemplos anteriores, el resultado de una medición va acompa˜ nado de un n´ umero de cifras que tienen certeza y una u ´ltima cifra que siempre es dudosa. Estas son las llamadas cifras significativas. Gu´ıa para An´ alisis de Experimentos

E. E. Coral

11

2.4 Operaciones con cifras significativas

En una medición se debe tener en cuenta que los ceros a la izquierda no son cifras significativas, mientras que los ceros intermedios y ceros a la derecha si son cifras significativas. Cuando se tenga un n´ umero muy grande de ceros a la izquierda la mejor manera de expresar el resultado de la medición es usando potencias de diez, pero conservando el mismo n´ umero de cifras significativas. Algunos ejemplos se dan en la tabla 2.1. Tabla 2.1: Ejemplo de cifras significativas

Magnitud N´ umero de cifras significativas 0,012 mm 2 0,1204 g 4 1,0200 s 5 4,34 ×104 m 3

2.4 2.4.1

Operaciones con cifras significativas Criterio de aproximaciones

Al realizar operaciones resultan n´ umeros con muchas cifras decimales. Algunas de estas cifras deben ser eliminadas (redondeo) para dejar las más significativas, de acuerdo al siguiente criterio: 1. La cifra que queda se aumenta en una unidad si la cifra contigua que se quita es > 5. 2. Si la primera cifra que se elimina es < 5, la que queda se deja igual. 3. Si la primera cifra que se elimina es = 5 y no existen otros d´ıgitos a su derecha o son solamente ceros, el n´ umero que queda se aumenta en 1 siempre y cuando la cifra resultante sea par.

2.4.2

Suma

Cuando se suman dos o más n´ umeros con distintas cifras significativas, los decimales del resultado debe igualar al operando que posea el menor n´ umero de estos, usando el criterio anterior. Ver ejemplo en la tabla 2.2 E. E. Coral


12


Tabla 2.2: Ejemplo de aproximaciones con cifras significativas

n´ umero original 20,45 40,1368 20,5500 60.6952 30,365 Suma = 172,1970

2.4.3

aproximaci´ on 20,45 40,14 20,55 60,69 30,37 Suma = 172,20

descripci´ on Menor No. de decimales Elimina 6 y 8. 3 aumenta en 1 Elimina ceros, 5 no cambia Elimina 5 y 2, 9 no cambia Elimina 5, 6 aumenta en impar Aproxima a dos cifras decimales

Multiplicaci´ on

Al multiplicar o dividir dos cantidades, el resultado debe tener el mismo n´ umero de cifras significativas del operando que tenga el menor n´ umero de ellas.

Ejemplo Calcular el volumen de un cilindro circular recto donde r = 4, 5 cm y h = 55, 7 cm. Sabemos que V = πr2 × h. El n´ umero π = 3,14159..., ¿Cuántas cifras le asignamos al este n´ umero irracional? Como vemos r tiene dos cifras significativas, h tiene tres, por lo tanto, asignamos a π el mismo n´ umero de cifras significativas de h, es decir, 3,14. Valor obtenido con la calculadora:

V = 3541.6845 cm3

Valor obtenido seg´ un el criterio dado:

V = 3, 5 × 103 cm3

Para expresar las dos cifras significativas hemos usado potencias de diez.

2.5

Errores Experimentales

En general, todo procedimiento de medición tiene imperfecciones que dan lugar a un error en el resultado de la medición, lo que hace que el resultado sea sólo una aproximación del valor real de la magnitud medida. De acuerdo a la naturaleza de los errores experimentales, se acostumbra a dividirlos en dos clases: Errores Sistemáticos y Errores Aleatorios. Gu´ıa para An´ alisis de Experimentos

E. E. Coral

13

2.5 Errores Experimentales

2.5.1

Errores Sistem´ aticos

Se deben a diversas causas y se repiten constantemente cuando las mediciones se realizan en las mismas condiciones. Los resultados se ven afectados en el mismo sentido. Estos errores se pueden detectar fácilmente y se pueden eliminar si se conoce la causa. Algunas fuentes de error sistemático son: a) Errores de calibración de los instrumentos de medida. Ajuste del cero, escala inapropiada, construcción defectuosa. b) Condiciones de trabajo no apropiadas (presión, temperatura, humedad, luminosidad, frecuencia de la red). c) Técnicas imperfectas. Generalmente por falta de experiencia del experimentador o por falta de planeación de los procedimientos. d) Fórmulas incorrectas. Cuando se hacen aproximaciones, los resultados experimentales no son exactamente los esperados en la teor´ıa.

2.5.2

Errores Aleatorios

Se deben a perturbaciones peque˜ nas o fluctuaciones y no es posible detectar la causa que los produce. Si un experimento se repite en condiciones idénticas, los resultados de la medición no son siempre los mismos cuando se presenta este error. Para disminuir el error aleatorio, se debe realizar un n´ umero determinado de mediciones y realizar un tratamiento estad´ısticos de los resultados. Se puede dar una idea de cómo se presentan estos errores: a) Errores de apreciación. Se presentan al leer en la escala de un instrumento haciendo estimación de una fracción de la división más peque˜ na de la escala. Al realizar varias mediciones esta apreciación var´ıa aleatoriamente. b) Condiciones de trabajo. La variación de las condiciones ambientales, vibraciones de la mesa de trabajo, se˜ nales electromagnéticas. c) Falta de definición de la cantidad a medir. Como el diámetro de una esfera ya que esta no es una esfera perfecta. Seg´ un el tipo de error, las mediciones se pueden clasificar en: Precisas.- Son aquellas mediciones que tienen errores aleatorios peque˜ nos. Exactas.- Son aquellas mediciones que tienen errores sistemáticos peque˜ nos. Esto se puede observar claramente en la figura 2.2, E. E. Coral


14


(a)

(b)

(c)

(d)

Figura 2.2: Errores aleatorios y sistem´ aticos en un ejercicio de pr´ actica de tiro. a)Alta precisi´ on y exactitud: Debido a que las marcas de los disparos est´ an muy cerca unas de otras, podemos decir que los errores aleatorios son peque˜ nos (buena precisi´ on). Debido a que la distribuci´ on de disparos est´ a centrada en el blanco, los errores sistem´ aticos también son (buena exactitud). b) Alta precisi´ on y baja exactitud: Los errores aleatorios son todav´ıa peque˜ nos, pero los sistem´ aticos son mucho m´ as grandes, los disparos est´ an sistem´ aticamente corridos hacia la derecha. c) Baja precisi´ on y Buena exactitud: En este caso, los errores aleatorios son grandes, pero los sistem´ aticos son peque˜ nos, los disparos est´ an muy dispersos, pero no est´ an sistem´ aticamente corridos del centro del blanco. d) Baja precisi´ on y baja exactitud: Aqu´ı ambos errores son grandes.


E. E. Coral

15

2.6 C´ alculo de Incertidumbres

2.6

C´ alculo de Incertidumbres

2.6.1

Error Absoluto e Incertidubre

En una medición la u ´ltima cifra resulta siempre incierta. Esto quiere decir que nunca vamos a obtener el valor real de una medida, pero nos aproximamos a él mejorando el procedimiento y los instrumentos de medición. Toda medición va acompa˜ nada de una incertidumbre y su determinación nos dice que tan cerca estamos del valor real de la magnitud. Definimos el error absoluto , como la diferencia entre el valor real VR y el valor observado VO o valor medido, en la forma = kVR − VO k

(2.1)

Se expresa como el valor absoluto ya que podemos acercarnos al VR por exceso o por defecto, es decir, que esta diferencia puede ser positiva o negativa. Pero ¿cómo calcular el error absoluto si jamás conoceremos el valor verdadero? En la práctica el error absoluto se define con relación a una medida arbitraria. Por eso definimos la incertidumbre ∆V tal que para cualquier VO se cumple que = kVR − VO k ≤ ∆V

(2.2)

Si podemos determinar ∆V , entonces para cualquier medición experimental VO se cumple que el valor real de la cantidad satisface la desigualdad: VO − ∆V ≤ VR ≤ VO + ∆V

(2.3)

Esto quiere decir, que al hacer una medición, lo que estamos buscando es un intervalo donde se encuentra el valor más probable del valor real. En otras palabras, buscamos los l´ımites superior e inferior de una magnitud. Una forma más u ´til de expresar este intervalo de medición es VR = VO ± ∆V

(2.4)

Esta es la manera como deben reportarse el valor de una medición de cualquier magnitud, sea directa o indirecta.

2.6.2

Incertidumbre relativa e incertidumbre porcentual

Muchas veces necesitamos saber que tan significativa es ∆V respecto a VO . Por ejemplo, una incertidumbre de ±1cm en la longitud de un cuaderno es significativo. E. E. Coral


16


Pero si medimos la distancia entre la tierra y la luna o el tama˜ no de una bacteria con el mismo error, este carece completamente de sentido. Es por esto que es necesario comparar la incertidumbre estimada con el valor medido en la forma R =

∆V VO

(2.5)

Esta es la incertidumbre relativa que también se puede reportar como un porcentaje al multiplicar por 100 en la forma R =

2.6.3

∆V × 100 VO

(2.6)

C´ alculo pr´ actico de la incertidumbre

Al cuantificar la incertidumbre de una cierta magnitud x debemos, en principio, tener en cuenta todos los tipos de incertidumbres que estén presentes. Una forma de obtener el valor de la incertidumbre total es mediante la suma de los cuadrados de todas las incertidumbres presentes de acuerdo a la siguiente ecuación, (∆x)2 =

N X

∆x2n

(2.7)

n=1

Por lo general en el laboratorios es frecuente encontrar las siguientes incertidumbres: a) Incertidumbre de escala (∆xe ) b) Incertidumbre de calibración (∆xc ) c) Incertidumbre estad´ıstica o aleatoria (∆xa ) En este caso, el cálculo de la incertidumbre total viene dado por ∆x =

q

(∆xe )2 + (∆xc )2 + (∆xa )2

(2.8)

Normalmente se atribuye como incertidumbre de escala de una medida a la mitad de la división más peque˜ na. Por ejemplo, si ustedes miden con una regla graduada en mil´ımetros entonces, la incertidumbre atribuida puede ser ± 0.5 mm (± 0.05 cm) (pero esto no es adecuado del todo ya que depende del estado del objeto a medir y del propio instrumento de medida). Gu´ıa para An´ alisis de Experimentos

E. E. Coral

17

2.6 C´ alculo de Incertidumbres

Si se determina que una longitud tiene 15,00 cm y sólo tenemos en cuenta esta incertidumbre, entonces el resultado de la medición es L = (15, 00 ± 0.05) cm o en otras palabras, su valor verdadero se encuentra en el intervalo 14, 95 cm < L < 15, 05 cm Vamos a adoptar el siguiente método para obtener un intervalo de una medida, considerando que su instrumento de medición está bien calibrado. 1. Obtenemos los valores l´ımites , L1 y L2 observando la escala. 2. Calculamos el valor observado Lo como el promedio de estos dos valores Lo =

L1 + L2 2

(2.9)

3. Asignamos la incertidumbre de escala seg´ un la ecuación ∆L =

L1 − L2 2

(2.10)

4. Expresamos el valor de la medición como L = (Lo ± ∆L) unidad Por ejemplo, observando en la figura 2.1, se puede apreciar que la longitud L está entre L1 = 2, 40 cm y L2 = 2, 50 cm. Con estos l´ımites podemos asignar el valor central u observado Lo =

2, 50 + 2, 40 = 2, 45 cm 2

en donde 5 es la cifra incierta en la medición. Ahora obtenemos el valor de la incertidumbre

∆L =

2, 50 − 2, 40 0, 10 = = 0, 05 cm 2 2

la cual coincide con la mitad de la división más peque˜ na. El resultado final de la medición es L = (2, 45 ± 0, 05) cm La calidad de la medición se expresa mediante la incertidumbre porcentual. E. E. Coral


18


εr =

0, 05 × 100 = 0, 02 × 100 = 2% 2, 45

Se aclara al estudiante que este método empleado es meramente didáctico, ya que al usar procedimientos de metrolog´ıa para calcular la incertidumbre en una medición, se encuentra que el método es mucho más refinado que el que se expone en estas notas.

2.7

Propagaci´ on de la Incertidumbre

Al hacer una medida indirectamente, como por ejemplo, calcular el a´rea de un campo de f´ utbol, en donde se mide por separado el largo y el ancho, es obvio que la incertidumbre asignada a ambas mediciones conlleva a una incertidumbre en el a´rea calculada. Es por esta razón que necesitamos conocer procedimientos matemáticos para obtener la incertidumbre en una medición indirecta, a partir de medidas directas, en donde se involucran funciones de una o más variables.

2.7.1

Incertidumbre en funciones de una sola variable

Supongamos que la medida de una magnitud es x = x0 ± ∆x y queremos calcular el valor de z mediante la función z = f (x). Es de esperarse que z = z0 ± ∆z, donde z0 = f (x0 ) y el intervalo ±∆x alrededor de x0 genera un intervalo ±∆z alrededor de z0 . Como ejemplo tomemos el caso de z = x2 . Reemplazando x por x0 ± ∆x obtenemos z = z0 ± ∆z = (x0 ± ∆x)2 = x20 ± 2x0 ∆x + (∆x)2

(2.11)

Como ∆x es peque˜ no, entonces (∆x)2 << 1, y podemos despreciarlo en la ecuación anterior para obtener ∆z = 2x0 ∆x

(2.12)

En forma general, para obtener la incertidumbre en un función de un variable basta con calcular el diferencial de la función z = f (x) dz = Gu´ıa para An´ alisis de Experimentos

df (x) dx dx

(2.13) E. E. Coral

19

2.7 Propagaci´ on de la Incertidumbre

y escribirlo en forma de incertidumbre ∆z =

2.7.2

df (x) ∆x dx

(2.14)

Incertidumbre en funciones de dos o m´ as variables

Sean x y y dos magnitudes que se han medido independientemente una de otra con sus respectivos incertidumbres x = x0 ± ∆x ; y = y0 ± ∆y

(2.15)

a) Para la suma y la resta de x y y se tiene s = x + y = x0 ± ∆x + y0 ± ∆y = (x0 + y0 ) ± (∆x + ∆y)

(2.16)

s = s0 ± ∆s

(2.17)

Por tanto, la incertidumbre en la suma es ∆s = ∆x + ∆y

(2.18)

b) El producto de x y y es

p = x.y = (x0 ± ∆x)(y0 ± ∆y) = x0 y0 ± (y0 ∆x + x0 ∆y) + ∆x∆y

(2.19)

p = p0 + ∆p

(2.20)

∆p = y0 ∆x + x0 ∆y

(2.21)

∆x ∆y ∆p = + p0 x0 y0

(2.22)

La incertidumbre es

El error relativo sobre p es

E. E. Coral


20


c) La división de x y y x x0 ± ∆x = y y0 ± ∆y

(2.23)

x0 ± ∆x x0 y0 ∆x − x0 ∆y − = y0 ± ∆y y0 y02 + y0 ∆y

(2.24)

d = d0 ± ∆d =

∆d = d − d0 =

Si en el denominador despreciamos el término y0 ∆y y asumimos el signo negativo en ∆y para que el resultado sea consistente con el incremento del error, la incertidumbre relativa es ∆d ∆x ∆y = + d0 x0 y0

(2.25)

d) En forma general, para el producto de dos o más variables elevadas a distintas potencias, como se muestra en la ecuación siguiente, z = xm y n

(2.26)

obtenemos primero el logaritmo de la función logz = m logx + n logy

(2.27)

y luego obtenemos el diferencial dz dx dy =m +n z x y

(2.28)

Convertimos los diferenciales en valores absolutos de las incertidumbres obteniendo asi la incertidumbre relativa de z, ecuación 2.29. ∆x ∆y ∆z =m +n z x y

(2.29)

Nota: El valor absoluto siempre hará que los errores se incrementen en mediciones indirectas, aunque los exponentes sean negativos,

2.7.3

M´ etodo general para el c´ alculo de Incertidumbres

Siempre que tengamos una función de la forma Gu´ıa para An´ alisis de Experimentos

E. E. Coral

21

2.7 Propagaci´ on de la Incertidumbre

s = f (x, y, z)

(2.30)

obtenemos primero el diferencial total ds = k

∂f ∂f ∂f kdx + k kdy + k kdz ∂x ∂y ∂z

(2.31)

Luego convertimos los diferenciales en incertidumbres ∆s = k

∂f ∂f ∂f k∆x + k k∆y + k k∆z ∂x ∂y ∂z

(2.32)

En donde se deben conocer las incertidumbres en x, y y z, además de obtener las derivadas parciales de la función f evaluada en las cantidades x0 , y0 , z0 . Un método más aceptado actualmente, indica que la incertidumbre se obtiene como la ra´ız cuadrática dado por la ecuación

∆s =

v u u t

∂f ∆x ∂x

!2

∂f + ∆y ∂y

!2

∂f + ∆z ∂z

!2

(2.33)

Ejemplo Determinación de la densidad de una esfera aparentemente de acero. El diámetro se midió con un micrómetro de precisión ±0, 01 mm: d = (15, 538 ± 0, 005) mm La masa se midió con una balanza de precisión ±0, 05 g: m = (15, 2 ± 0, 1) g Empezamos expresando la densida ρ como una función de m y d. Utilizando la ecuación resultante y los valores dados para m y d, obtenemos el valor de la densidad mediante una calculadora, esto es: ρ=

m m 6m g = 4 d 3 = 3 = 7, 73855038 V πd cm3 π( 2 ) 3

(2.34)

Para el cálculo de la incertidumbre, obtenemos el logaritmo natural de la ecuación anterior y luego el diferencial y lo expresamos en términos del valor absoluto de las incertidumbres, (ecuacion 2.36). logρ = log E. E. Coral

6 + logm − logd3 π

(2.35)


22


∆m ∆d ∆ρ = +3 ρ m d

(2.36)

Despejamos ∆ρ y reemplazamos los valores correspondientes.

∆ρ = ρ(

∆m ∆d 0, 1 0, 005 g +3 ) = 7, 73855( +3× ) = 0, 05838 m d 15, 2 15, 538 cm3

El valor obtenido es ρ = (7, 74 ± 0.06)

(2.37)

g cm3

Ahora calculemos la incertidumbre usando la derivada de ρ respecto a m y a d 6 ∂ 6 ∂ρ = 3 (m) = 3 = 0, 509 cm−3 ∂m πd ∂m πd

(2.38)

∂ρ 6m ∂ −3 −18m g = (d ) = = −14, 941 ∂d π ∂d πd4 cm4

(2.39)

Calculamos la incertidumbre en ρ usando la ecuación 2.33. ∆ρ =

q

(0, 059 cm−3 × 0, 1 g)2 + (−14, 941 g/cm4 × 0, 0005 cm)2

∆ρ = 0, 0514 g/cm3 Por tanto el valor de la densidad es ρ = (7, 74 ± 0, 05)

2.8

g cm3

Problemas

1. Determine el n´ umero de cifras significativas en los siguientes n´ umeros: 23 cm; 3,589 s; 4,67103 m/s; 0,0032 m; 1,007 m; 0,015 µs 2. ¿Cuál de las siguientes cantidades tiene el mayor n´ umero de cifras significativas: 0,254 cm; 0,00254 ×102 cm; 254 ×103 cm? 3. ¿Cuál de estos n´ umeros tiene 3 cifras significativas: 305,0 cm; 0,0500 mm; 1,00081 kg? Gu´ıa para An´ alisis de Experimentos

E. E. Coral

23

2.8 Problemas

4. Efect´ ue la suma de los siguientes n´ umeros: 756; 37,2; 0,83 y 2,5. 5. Si se mide la longitud y el ancho de una placa rectangular 15,30 cm y 12,80 cm respectivamente, calcule el área de la placa. 6. Calcule el área y la longitud de la circunferencia de un c´ırculo de radio igual a 4,65 cm. 7. Obtenga el producto de 3,2 × 3,563 8. Obtenga la suma de 4, 67 × 103 y 2, 2 × 102 9. Usando un metro de madera para medir un lado de mi escritorio, estoy seguro de que su longitud no es menor a 142,3 cm ni mayor que 142,6 cm. Enuncie esta medición como un valor central ± incertidumbre. ¿Cuál es la incertidumbre relativa de la medición? 10. Para realizar mediciones de tensión y corriente en un circuito utilizo un volt´ımetro y un amper´ımetro de aguja. Estoy seguro de que la lectura del amper´ımetro está entre 1,24 A y 1,25 A, y la del volt´ımetro entre 3,2 V y 3,4 V . Exprese cada medida como un valor central ± incertidumbre, y eval´ ue la incertidumbre relativa de cada medición. 11. Si se puede leer un metro de madera con una incertidumbre absoluta de ±1mm, ¿cuál es la distancia más corta que puedo medir para que la incertidumbre relativa no exceda el a) 1%, b) 5%? 12. Se utiliza un termómetro graduado en 1/5 grado Celsius para medir la temperatura del aire exterior. Medida con una aproximación de 1/5 de grado, la temperatura de ayer fue de 22,4C, y la de hoy es de 24,8C. ¿Cuál es la incertidumbre relativa en la diferencia de temperaturas entre ayer y hoy? 13. El reloj del laboratorio tiene un segundero que se mueve por pasos de un segundo. Lo uso para medir un cierto intervalo de tiempo. Al principio del intervalo marcaba las 09:15:22, y al final las 09:18:16. ¿Cuál es la incertidumbre relativa del intervalo medido? 14. En el escritorio mencionado en el problema 1, se mide ahora su ancho, y se observa que la medida cae entre 78,2 cm y 78,4 cm. ¿Cuál es la incertidumbre absoluta en el a´rea calculada de la cubierta del escritorio? 15. Para medir la resistencia de un resistor, se miden la ca´ıda de tensión entre sus terminales y la corriente que circula por él. La lectura del vol´ımetro es de (15, 2 ± 0, 2) V , y la lectura del amper´ımetro es de (2, 6 ± 0, 1) A. ¿Cuál es la incertidumbre absoluta de la resistencia calculada como R = V/I? E. E. Coral


24


16. Un péndulo simple se usa para medir la aceleración de la gravedad, usando T = 2π(l/g)1/2 . El per´ıodo T medido fue de (1, 24 ± 0, 02) s. y la longitud de (0, 381 ± 0, 002) m. ¿Cuál es el valor resultante de g con su incertidumbre absoluta y relativa? 17. Un experimento para medir la densidad de un objeto cil´ındrico utiliza la ecuación ρ = m/πr2 l. Los valores medidos son: masa, m = (0, 029±0, 005)kg, radio, r = (8, 2 ± 0, 1) mm y longitud, l = (15, 4 ± 0, 1) mm, ¿cuál es la incertidumbre absoluta del valor calculado de la densidad? 18. Use el método general para cálculo de incertidumbres en funciones y obtenga la incertidumbre de la medida indirecta de z=

x2

x +1

19. La distancia focal f de una lente delgada se mide usando la ecuación 1/o + 1/i = 1/f en donde distancia al objeto: o = (0, 154 ± 0, 002) m distancia a la imagen: i = (0, 382 ± 0, 002) m ¿Cuál es el valor calculado de la distancia focal, su incertidumbre absoluta y su incertidumbre relativa? 20. Use la identidad trigonométrica para sen(a ± b) y demuestre que el error obtenido en el cálculo indirecto z = senθ es ∆z = (cosθ)∆θ, teniendo en cuenta que para ańgulos peque˜ nos sendθ ≈ dθ y cosdθ ≈ 1. ( Asuma que θ = θ0 ± ∆θ) 21. Se mide experimentalmente la longitud de onda de la luz, usando la ecuación λ = d senθ. La medida de θ es de 13 34’ ± 2’. Suponiendo que el valor de d = 1420 × 10−9 m no tiene error, ¿cuál es el error absoluto y relativo en el valor de λ 22. Se da un valor como (14, 253 ± 0, 1) U . Reescr´ıbalo con el n´ umero adecuado de cifras significativas. Si el valor se diera como (14, 253 ± 0, 15) U , ¿cómo deber´ıa escribirse adecuadamente? 23. Se da un valor como 6,74914 ± 0,5 %. En´ uncielo como un valor observado ± incertidumbre, ambos con el n´ umero adecuado de cifras significativas.


E. E. Coral

Cap´ıtulo 3 Tratamiento estad´ıstico de medidas Los errores aleatorios se presentan como resultado de fluctuaciones o variaciones en la medida. Estos errores no se pueden eliminar ya que no podemos determinar la causa que los producen. Estas variaciones se pueden observar cuando ustedes hacen una serie de mediciones y se encuentra que todos los valores var´ıan al menos en su u ´ltima cifra.

3.1

C´ omo se minimiza este error?

Una manera de minimizar los errores aleatorios se obtiene realizando una serie de N mediciones. x1 , x2 , x3 , ... , xN

3.1.1

(3.1)

Valor Promedio

Una vez se tiene un n´ umero de datos (N ≥ 10) obtenemos el valor promedio o valor más probable, que también es conocido como media aritmética. N X 1 x1 + x2 + x3 + ... + xN = = x¯ = xn N N n=1

E. E. Coral

(3.2)


26

3.1.2

Cap´ıtulo 3. Tratamiento estad´ıstico de medidas

Desviaci´ on de la Media

La desviación nos indica que tan alejada está una medida del valor promedio de un grupo de mediciones. Si d1 es la desviación de la primera medida (x1 ) y d2 para la segunda medida (x2 ), entonces, la desviación de la media se puede expresar como: d1 = x1 − x¯ d1 = x2 − x¯ .. .. . . d1 = xn − x¯

(3.3)

Observe que el valor de las desviaciones de la media puede tener valores tanto positivos como negativos y que la suma algebraica de todas las desviaciones debe ser cero.

3.1.3

Desviaci´ on Promedio

La desviación promedio es una indicación de la precisión de los instrumentos empleados al hacer las mediciones. Instrumentos altamente precisos darán una desviación promedio muy baja. Por definición la desviación promedio es la suma de los valores absolutos de las desviaciones dividida por el n´ umero de lecturas. Teóricamente, esta debe tender a cero ya que las mediciones se ubican a la izquierda y derecha del valor promedio. N 1 X kd1 k + kd2 | + kd3 k + ... + kdN k ¯ kdn k = d= N N n=1

3.1.4

(3.4)

Desviaci´ on Est´ andar

Cuando el conjunto de medidas se aleja mucho del promedio, la medida es poco precisa y se dice que hay alta dispersión de los datos. Por el contrario, cuando el conjunto de medidas está más concentrado en torno al valor promedio, se dice que la precisión de la medida es alta y los valores medidos tienen una distribución de baja dispersión. Cuantitativamente la dispersión de un conjunto de medidas se puede caracterizar por la desviación estándar del conjunto definido como s

S=

v u

N u 1 X d21 + d22 + d22 + ... + d2N =t d2 N −1 N − 1 n=1 n


(3.5) E. E. Coral

27

3.1 C´ omo se minimiza este error?

La desviación estándar S caracteriza un intervalo en donde hay el 68,27% de probabilidad de que un valor medido se encuentre dentro de este intervalo. Por ejemplo, si se realizan 100 mediciones, se encuentra que lo valores se distribuyen de tal forma que:

El 68,27% están entre x − S y x + S El 95,45% están entre x − 2S y x + 2S El 99,73% están entre x − 3S y x + 3S

3.1.5

La Varianza

La varianza es una cantidad conveniente en muchos cómputos por cuanto tiene la propiedad aditiva. V = S2

(3.6)

La desviación estándar, sin embargo, tiene la ventaja de tener las mismas unidades de la variable haciendo fácil la comparación de magnitudes.

3.1.6

Incertidumbre Est´ andar de la Media

A medida que se realizan más mediciones, la compensación de los errores aleatorios entre si van mejorando y la media del conjunto de medidas va a tener una mejor precisión. La incertidumbre estándar de la media se define como S ∆¯ x = Sm = √ N

3.1.7

(3.7)

Incertidumbre Relativa Porcentual

El error relativo indica la calidad de la medición y viene dado por

εr = E. E. Coral

∆¯ x × 100% x¯

(3.8)


28


3.2

C´ alculo de la incertidumbre para N peque˜ no

El análisis estad´ıstico anterior se puede aplicar con confianza a un n´ umero de datos del orden de N = 100. Para medidas en el Laboratorio es aplicable a partir de N = 10. En el caso en que N es menor que 10 se procede de la manera siguiente: supongamos que tenemos N = 5 medidas, calculamos el promedio de los cinco valores de acuerdo a la ecuación dada (ecuación 3.2) a ¯=

a1 + a2 + a3 + a4 + a5 5

(3.9)

La incertidumbre se calcula restando al máximo de estos valores el valor m´ınimo de los mismos y dividendo entre 2 ∆a =

amax − amin 2

(3.10)

Finalmente el intervalo de medición se puede escribir a=a ¯ ± ∆a

(3.11)

Ejemplo Se mide el tiempo de ca´ıda de un cuerpo desde cierta altura. Los resultados de las 4 mediciones realizadas con un cronómetro son: t1 = 12, 0s; t2 = 12, 5s; t3 = 13, 0s; t4 = 12, 8s El valor promedio del tiempo seg´ un la calculadora es:

12, 0 + 12, 5 + 13, 0 + 12, 8 t¯ = = 12, 575s 4 Redondeando obtenemos t¯ = 12, 6s Gu´ıa para An´ alisis de Experimentos

E. E. Coral

29

3.3 Histograma

La incertidumbre obtenida de acuerdo a ecuación 3.10 es ∆t =

13, 0 − 12, 0 = 0, 5s 2

y por la ecuación 3.11 intervalo de la medición obtenido es t = (12, 6 ± 0, 5)s En resumen podemos decir que cuando: N = 1 Se realiza la medida y el error de apreciación. N < 10 Se calcula el promedio y el error máximo. N ≥ 10 Se realiza tratamiento estad´ıstico (Cálculo de promedio y error estándar).

3.3

Histograma

En la sección anterior se explicó que al relizar N mediciones de una magnitud x el mejor valor de la medición es el valor promedio y que la desviación estandar nos informa cómo se distribuyen los N datos alrededor de este valor. Si se analizan detenidamente los datos, se encuentra que hay unos que se repiten más que otros. Si se agrupan de acuerdo al n´ umero de repeticiones, se puede observar que los de mayor frecuencia son los que están cerca del valor promedio. Esto nos da la idea de que hay valores que tienen más probabilidad de obtenerse que otros al hacer la siguiente medición. Entonces podemos preguntarnos, ¿Cuál es la probalilidad de obtener un dato en el intervalo x y x + ∆x? Si agrupamos los datos por intervalos de ancho ∆x y contamos el n´ umero de datos en ese intervalo y ahora hacemos un gráfico xy en donde los intervalos se colocan en la abcisa y las frecuencias en la ordenada, obtenemos un Histograma de las mediciones. En el histograma se puede observar claramente cómo se dispersa el conjunto de mediciones al rededor del valor medio y se puede entender mejor el signifidado de la desviación estandar y de probabilidad de la medición. En teor´ıa de probabilidades, cuando se hace un n´ umero muy grande de mediciones, se habla de función de distribución de probabilidades f (x) y un gráfico de x en función de f (x) describe una curva que comunmente se le conoce como campana de Gauss. En la figura 3.1, se muestra esquemáticamente un histograma. En el se han dibujado 6 rectángulos cuyas bases corresponden al ancho de los intervalos de medición y cuyas alturas representan la frecuencia o n´ umero de datos en el intérvalo. El área de estos rectángulos representa la probabilidad de obtener cualquier valor, dentro de ese intérvalo, al hacer una medición. E. E. Coral


30


Figura 3.1: Ejemplo de un Histograma

3.3.1

Construcci´ on del Histograma

Para construir un histograma, se van a seguir los siguientes pasos: 1. Se ordenan los datos recopilados de menor a mayor y se establece la frecuencia de los datos que se repiten. 2. Calcular el Rango de la variable restando al dato mayor el dato menor. Rango = dato mayor − dato menor

(3.12)

3. Elegir un n´ umero impar de intervalos para el histograma que esté comprendido entre 7 y 15. 4. Calcular el ancho ∆x de los intervalos. ∆x =

Rango N u´mero de intervalos

(3.13)

5. Si el cociente anterior no es un n´ umero entero, puede ampliarse el rango de la variable escogiendo un valor mayor que dato mayor y un valor menor que el menor valor y obtener un nuevo rango y el ancho del intervalo ∆x =

x>xmáx − x

(3.14) E. E. Coral

31

3.3 Histograma

6. Determinar los extremos de los intervalos de tal forma que el primero sea cerrado y el segundo abierto. 7. Obtener la frecuencia contando el n´ umero de datos en cada intervalo. 8. Calcular las marcas, en donde las marcas son los puntos medios de cada intervalo. 9. Elegir unidades arbitrarias sobre los ejes, para representar las frecuencias en ordenadas y los anchos de los intervalos en abscisas. 10. Dibujar los rectángulos correspondientes. Ejemplo En la tabla 3.1 se muestran los datos experimentalmente del tiempo de reacción de una persona, medidos cuando se soltó una regla entre sus dedos la cual deb´ıa agarrar cuando la ve´ıa cayendo. Se desea saber: a) el tiempo de reacción promedio t¯, b) la desviación estándar S, c) el intervalo de la medición, d) la distribución de los datos mediante un histograma, e) el significado f´ısico de t¯, S y t¯ ± S, . Tabla 3.1: Mediciones del tiempo de reacci´ on

t(s) frecuencia 0,185 1 0,186 1 0,191 2 0,193 1 0,203 2 0,204 2 0,205 2 0,211 3 0,219 4 0,220 3 0,223 2 0,224 2 0,230 1 0,233 2 0,234 2 0,235 1

E. E. Coral


32

Cap´ıtulo 3. Tratamiento estad´ıtico de medidas

Solución: a) Haciendo uso de la ecuación 3.2 se tiene t¯ = 0, 214 s b) Con la ecuación 3.5 se tiene S = 0, 015 s c) Después de haber obtenido t¯ y S calculamos la incertidumbre estándar de acuerdo a la ecuación 3.7 para obtener el intervalo medición del tiempo: ∆t¯ =

0, 015 s √ = 0, 00375 s 16

La medición es: t = (0, 214 ± 0, 015) s d) Para el histograma, obtenemos primero el rango de los datos RAN GO = 0, 250 − 0, 180 = 0, 070 y ∆t =

0, 070 7

Por tanto, construimos el histograma comenzando en 0,180 s con intervalos de ancho 0,010 s en los que las frecuencias estan dados en la tabal 3.2 Tabla 3.2: Intervalos para el histograma

Intervalos 1 2 3 4 5 6 7

Rangos Frecuencia 0,180 - 0,190 2 0,190 - 0,200 3 0,200 - 0,210 6 0,210 - 0,220 7 0,220 - 0,230 7 0,230 - 0,240 5 0,240 - 0,250 2


E. E. Coral

33

3.2 C´ alculo de la incertidumbre para N peque˜ no

e) El valor t¯ = 0, 214 s es el valor más probable, es decir se puede considerar como el valor que se encuentra más cercano al valor verdadero de t. El valor S = 0,015 s es una medida de la dispersión de los valores medidos. Con este valor podemos calcular el porcentaje datos caracter´ısticos del intervalo de dispersión dado por: t¯ = (0, 2140, 015) s

Esto significa que el 68,27% de los 31 datos están entre 0, 199 s y 0, 229 s . Es decir 0,6827 × 31 = 21 datos. Si observamos la tabla de datos, estos valores están en el comienzo del intervalo 3 y el final del 5 (entre 0,200 y 0,230) en donde se encuentran 20 datos. (6 datos en el intervalo 3, 7 en el 4 y 7 en el 5).

Figura 3.2: Histograma para los datos del ejemplo

E. E. Coral


34


3.4

Ejercicios

1. Se mide 10 veces la temperatura del interior de una caja, con un mult´ımetro. Los valores expresados en ◦ C son los siguientes: 44,6 - 44,1 - 44,3 - 44,7 - 44,9 - 45,0 - 45,1 - 44,2 - 44,4 - 44,8 Hallar el valor más probable. 2. Se mide 35 veces la corriente que circula por un circuito con un galvanómetro. Los valores obtenidos, expresados en mA (miliamperes), son los siguientes: 21,90 - 22,00 - 21,86 - 21,93 - 22,01 - 21,71 - 21,76 - 21,83 - 21,82 - 21,75 21,48 - 21,85 - 21,76 - 21,87 - 21,74 - 21,80 - 21,74 - 21,65 - 21,84 - 21,59 21,83 - 21,68 - 21,84 - 21,63 -21,67 - 21,94 - 21,64 - 21,82 - 21,66 - 21,73 21,82 - 21,72 -21,73 - 21,79 - 21,76 Determine : a) el valor más probable, b) el grado de tolerancia que admiten , c) la aproximación de los resultados en determinaciones futuras, d) trace el histograma correspondiente. 3. En el ejercicio anterior, ¿dentro de que l´ımites hay una probabilidad del 68% de que esté incluida una medida particular? 4. ¿Qué l´ımites dan una probabilidad del 95% ? 5. En una serie de 1500 medidas el promedio fue 637 Unid. y el error fue S = 11. ¿Cuántas medidas dan un resultado mayor de 659 Unid?


E. E. Coral

Cap´ıtulo 4 Evaluaci´ on de Experimentos 4.1

An´ alisis de gr´ aficas

Esta sección tiene como objetivo, dar a conocer el procedimiento de análisis de datos experimentales mediante las gráficas en un plano cartesiano. Normalmente se desea analizar un sistema observando el comportamiento de alguna de sus propiedades mientras se modifica otra propiedad asignándole variaciones iguales a voluntad; por ejemplo, al comprimir el aire mientras se infla la rueda de una bicicleta, se aumenta la presión y como consecuencia de esto, disminuye el volumen. Si se logran medir la presión y el volumen y se recolectan los datos en una tabla, se tendr´ıa una buena información. Pero una tabla de datos no es suficiente para entender el comportamiento del sistema. Se requiere llevarlos a un plano cartesiano xy, en donde x corresponde a la variable independiente que es la que se modifica a voluntad (abscisa) y y será la variable dependiente (ordenada), que es la que vamos a analizar respecto a la otra. Esto sugiere que debe haber una relación funcional entre las variables. Lo que importa de aqu´ı en adelante es encontrar una ecuación matemática que se ajuste a la forma de la curva trazada por los puntos en el papel milimetrado. ¿C´ omo realizar un buen gr´ afico? Al realizar un experimento y obtener una tabla de datos, siga los siguientes pasos para obtener un buen gráfico un papel milimetrado: 1. Observe el rango de sus datos en cada columna de la tabla. 2. Trace un plano cartesiano en papel milimetrado y escoja una escala para cada uno de ellos de acuerdo al rango de los datos en su tabla. Los ejes no deben ser E. E. Coral


36

Cap´ıtulo 4. Evaluaci´ on de Experimentos

ni demasiado grandes ni demasiado peque˜ nos. Las escalas no necesariamente comienzan en cero. El primer valor en un eje puede estar cerca al valor más bajo de cada columna. Las escalas no siempre son iguales. 3. Elegir el eje horizontal para la variable independiente y el vertical para la variable dependiente. 4. Escoja escalas de fácil lectura, por ejemplo de 2 en 2, de 5 en 5, de 10 en 10 y escriba en el eje solamente los n´ umeros más representativos de la escala. Nunca coloque los datos de la tabla. 5. Al final de los ejes deben escribirse los nombres de las variables (ya sea con su nombre completo o con su representación simbólica), con sus respectivas unidades, por ejemplo t(s) y x(m). 6. Comience a ubicar la pareja de coordenadas (x, y) en el gráfico, dibujando un punto peque˜ no sobre el papel, sólo la huella de la punta del lápiz. Para resaltarlo se encierra en un c´ırculo o un cuadradito, etc. No trace l´ıneas gu´ıas para ubicar los puntos, las l´ıneas del papel milimetrado lo guiarán. 7. Normalmente no se unen los puntos, pero si lo desean, puede trazar suavemente la forma de la curva.

Figura 4.1: Ejemplo de una figura bien realizada


E. E. Coral

37

4.2 Linealizaci´ on de gr´ aficos

4.2

Linealizaci´ on de gr´ aficos

El objetivo de realizar gráficas de dos variables experimentales es conocer la relación matemática que existe entre ellas dos. Las formas de las curvas que se perciben en la gráfica, pueden estar asociadas con alguna de las siguientes ecuaciones que normalmente son las más comunes en este nivel.

y = Axn , n < 0 o´ n > 0 (4.4) y = Ax−1 (4.5) kx y = Ae (4.6)

y = Ax + B (4.1) 2 y = Ax + Bx + C (4.2) 3 2 y = Ax + Bx + Cx + D (4.3)

Si ustedes dibujan previamente las formas de las curvas que representan estas ecuaciones les será fácil asociar las curvas experimentales con alguna de estas ecuaciones. Ejercicio. Usen papel milimetrado para dibujar las curvas correspondientes a las ecuaciones anteriores, asignándole valores arbitrarios a la variable x.

4.2.1

Ecuaci´ on lineal y m´ınimos cuadrados

Si al dibujar en un plano cartesiano una serie de datos experimentales (parejas xy) y los puntos obtenidos se pueden hacer corresponder con una linea recta, entonces la ecuación matemática asociada es la lineal, ecuación 4.1. Escribamos ahora esta ecuación en en la forma habitual y = mx + b, donde m es la pendiente de la recta que se obtiene gráficamente tomando dos puntos (x1 , y1 ) y (x2 , y2 ) que se encuentren en la mejor l´ınea que une todos los puntos (interpolar) m=

y2 − y1 x2 − x1

(4.7)

b es el punto de intersección o intercepto de la recta con el eje y y se obtiene directamente del gráfico. Use este método cuando quiera hacer cálculos rápidos y aproximados o cuando no disponga de otra herramienta. Existe un método estad´ıstico para encontrar la relación lineal de una serie de mediciones, conocido como m´ınimos cuadrados. Se puede aplicar este método para encontrar m y b siempre y cuando se aprecie que los puntos del gráfico tienen esta tendencia. Las calculadoras Cassio traen incluido el modo LR (regresión lineal ) para E. E. Coral


38


calcular estos parámetros. Existen programas de computador para análisis de datos experimentales como Excel y Origin que además de graficar, ofrecen la posibilidad de encontrar la ecuación que más se ajuste a los datos. Cuando no se tiene una calculadora o un computador disponibles, es fácil hallar la ecuación de la l´ınea recta aplicando las siguientes ecuaciones que se obtienen por m´ınimos cuadrados (Ver ref.[1] cap. 6 pag. 128, y Apéndice 2 pag. 172 ): Para obtener la pendiente, n

m=

Pn i

(xi yi ) −

P n n x2

−

i

i

Pn i

xi

Pn i

yi

2

Pn i

xi

xi

Pn

(4.8)

y para obtener el intersecto, b=

Pn 2 Pn x y i

i

−

i

i

P n n x2 i

i

−

Pn i

Pn i

i

(xi yi )

2

(4.9)

xi

También es posible obtener las incertidumbres en m y b con las ecuaciones: Incertidumbre en m ∆m =

√ σ n s P n n x2 i

i

Pn

−

i

2

(4.10)

xi

Incertidumbre en b sP

∆b = ∆m

n i

x2i n

(4.11)

En donde σ es la desviación estándar obtenida con el análisis por m´ınimos cuadrados, dada por sP

σ=

n i (yi

− mxi − b)2 n−2

(4.12)

Si ustedes saben usar un lenguaje de programación como Qbasic, T urboP ascal, C ++ , se puede realizar un programa usando ecuaciones 4.8 a 4.12 para calcular estos valores. ¡Inténtelo! Gu´ıa para An´ alisis de Experimentos

E. E. Coral

39

4.2 Linealizaci´ on de gr´ aficos

4.2.2

Ejemplo

Como ejemplo, vamos a ilustrar el método analizando los siguientes datos que se suponen tienen un comportamiento lineal. Tabla 4.1: Datos para an´ alisis de un comportamiento lineal

n 1 2 3 4 5

x 2 3 4 5 6 Pn i = 20

y 4.5 5.0 7.5 8.0 10.0 35

x2 4 9 16 25 36 90

xy (y − mx − b)2 9 0.09 15 0.36 30 0.25 40 0.16 60 0.04 154 0.90

Para m tenemos m=

5 × 154 − 20 × 35 70 = = 1, 4 2 5 × 90 − 20 50

y para b b=

90 × 35 − 20 × 154 70 = = 1, 4 2 5 × 90 − 20 50

La ecuación de la l´ınea recta que se ajusta a estos datos es y = 1.40 + 1.40x ; 2 ≤ x ≤ 6 Los errores respectivos para A y B con σ = 0.55 son: ∆m = 0.17 ≈ 0.2 ∆b = 0.35 ≈ 0.4 Por tanto m = 1.4 ± 0.2 b = 1.4 ± 0.4 E. E. Coral


40


4.3

Gr´ aficos no lineales

Cuando obtengan un gráfico que no presenta forma lineal (el resto de las ecuaciones citadas arriba), el método que se sigue es el de linealización, que consiste en transformar de alguna manera la supuesta ecuación que ajusta a sus datos hasta obtener una forma lineal y as´ı, aplicarle el método de m´ınimos cuadrados. Por ejemplo, para la ecuación cuadrática 4.2 y = Ax2 + Bx + C la forma lineal es y−C = Ax + B x

(4.13)

Si al término de la derecha le llamamos z, la ecuación toma la forma z = Ax + B

(4.14)

Al realizar un gráfico de z en función de x, dándole valores arbitrarios a x, debemos obtener la l´ınea recta que se ajusta a los datos experimentales. El valor del coeficiente B es la intersección de la recta en el gráfico de z vs. x y el coeficiente A es la pendiente. C es el valor inicial de y en x = 0.

4.3.1

Funci´ on Potencial

En muchos casos el gráfico de una serie de datos x, y no se ajustan con una forma lineal, ni a una función cuadrática, entonces, probando con la función y = Axn en la siguiente forma lineal Para linealizar la función, aplicamos el logaritmo decimal en la siguiente forma:

y = Axn =⇒ log y = log(Axn ) log y = logA + log xn log y = logA + n log x

(4.15)

Si hacemos Y = log y , X = log x, b = log A y m = n la ecuación 4.15 toma la forma lineal: Y = mX + b

(4.16)

Para observar la linealidad en forma logar´ıtmica, se hace el gráfico log y vs. log x o los datos de las variables se llevan directamente a un papel logar´ıtmico Gu´ıa para An´ alisis de Experimentos

E. E. Coral

41

4.3 Gr´ aficos no lineales

( papel log-log) como se muestra en la figura 4.3. Los valores de m y b se obtienen por el método de m´ınimos cuadrados. Cuando se ha dibujado el gráfico en papel loglog, recuerde que al calcular la pendiente, los valores usados deben ser los logaritmos de los datos.

Figura 4.2: Grafica de la funci´ on y = kxn en papel logar´ıtmico

4.3.2

Funci´ on exponencial

Si la función es de forma exponencial de base e, se linealiza aplicando el logaritmo natural o neperiano (ln) a ambos lados de la ecuación: y = Aekx =⇒ ln y ln y ln y ln y

= = = =

ln(Aekx ) lnA + ln ekx lnA + k ln ex lnA + kx

(4.17)

la ecuación resultante es de forma lineal, en donde ahora: Y = ln y, X = x, m = k y b = lnA. Al realizar la gráfica de lny vs. x obtenemos una l´ınea recta, siempre y cuando esa sea la curva que se ajuste a los datos experimentales. En caso contrario, se deja a un lado y se prueba con otra ecuación. Un ejemplo de este tipo de linealización se muestra en la figura 4.4 en donde se ha usado papel semilogar´ıtmico (semi-log) para observar el comportamiento lineal . E. E. Coral


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Figura 4.3: Gr´ afica de la funci´ on y = Aekx en papel semilogar´ıtmico

4.3.3

Ejemplo

Los siguientes datos muestran el resultado de la medición de la descarga en función del tiempo de un elemento electrónico llamado condensador o capacitor. Los datos se obtuvieron midiendo el voltaje cada 2 segundos. Tabla 4.2: Datos para la descarga de un condensador

Voltaje(V ) 50,0 33,5 22,5 15,1 10,1 6,8 4,5 3,0 2,0 1,4

Tiempo(s) 0,00 2,00 4,00 6,00 8,00 10,00 12,00 14,00 16,00 18,00

Al realizar la gráfica del voltaje contra el tiempo, (ver figura 4.4), se observa una curva decreciente. Asumimos hipotéticamente que la ecuación es de la forma y = Aekx . Para confirmar esto, realizamos un gráfico de ln x contra t,(figura 4.5). Gu´ıa para An´ alisis de Experimentos

E. E. Coral

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4.3 Gr´ aficos no lineales

Figura 4.4: Decrecimiento exponencial del Voltaje de un condensador

Figura 4.5: Linealizaci´ on de los datos de la tabla 4.2 dibujados en papel semilog.

E. E. Coral


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Como se puede observar, la serie de puntos dibujados muestra una tendencia lineal en la forma de la ecuación 3.3, lo que sugiere que nuestra hipótesis es verdadera. Aplicando el método de m´ınimos cuadrados y comprobando con una calculadora, se encuentra que la ecuación de la recta es ln y = −0, 2x + 3, 91 donde ln A = 3, 91 , por tanto A = ln−1 (3, 91) = e3,91 luego A = 50 Para la pendiente tenemos k = −0, 2 Por tanto la ecuación del gráfico es: y = 50e−0,2x Ahora, usando las variables de los datos iniciales se tiene: V = 50e−0,2t , 0 ≤ t ≤ 18s

4.3.4

Linealizaci´ on de modelos conocidos

En la mayor´ıa de experimentos que ustedes van a realizar, ya conocen de antemano el modelo matemático del sistema que se estudiará. Para la comprobación de los modelos se pueden basar en los siguientes procedimientos. T´ erminos lineales sencillos Existen algunos modelos en donde los términos se pueden representar directamente como términos lineales, por ejemplo la función Gu´ıa para An´ alisis de Experimentos

E. E. Coral

4.4 An´ alisis de gr´ aficos con ayuda de calculadoras

v 2 = 19, 62x

45

(4.18)

Si hacemos Y = v 2 y 4X = x, al graficar Y contra X obtendremos una l´ınea recta de pendiente 19,62 (Unidades). También se puede usar la forma equivalente x=

1 v2 19, 62

(4.19)

tomando como variable vertical a x y como variable horizontal a v 2 . Variables Combinadas Existen algunos casos de gráficos no lineales en donde no es inmediato obtener el término lineal. Para lograrlo, se recurre a realizar operaciones en ambos lados de la ecuación hasta obtener términos donde aparecen las variables combinadas que vienen a representar las variables X y Y en la forma lineal. Un ejemplo es el caso del periodo para el péndulo f´ısico que viene dado por: s

T = 2π

h2 + k 2 gh

(4.20)

Elevando al cuadrado ambos lados de la ecuación y luego multiplicando por h se tiene h2 =

g 2 T h − k2 2 4π

(4.21)

Esta forma de la ecuación ya es lineal, pero si despejamos h2 obtenemos una forma lineal más sencilla T 2h =

4π 2 2 4π 2 2 h + k g g

(4.22)

2

Haciendo Y = h2 , X = T 2 h, m = 4πg y b = −k 2 , tenemos una relación lineal y un gráfico de h2 contra T 2 h será el de una l´ınea recta.

4.4

An´ alisis de gr´ aficos con ayuda de calculadoras

Se puede usar una calculadora Cassio para obtener los parámetros m y b de una serie de datos experimentales cuya gráfica tiene comportamiento lineal, ya sea dibujada E. E. Coral


46


en papel milimetrado, logar´ıtmico o semilogar´ıtmico.

4.4.1

Calculadoras Cassio FX95MS Y FX100MS

Digite las teclas

para entar en el modo REG.

Aparecerá el siguiente men´ u 1(Lin), 2(Log), 3(Exp). Presione

para entrar en el modo de Regresión Lineal.

Inicie siempre el ingreso de datos con

.

Para introducir la pareja de datos (x,y), por ejemplo (2; 4,5), digite: 2 4.5 Repitan el paso anterior para introducir las siguientes parejas de datos. Para obtener los valores de la pendiente y el intercepto, la calculadora usa la fórmula y = B + Ax, donde A y B corresponden al intercepto y la pendiente respectivamente. Pendiente: Intercepto:

4.4.2

Calculadora Cassio FX350ES

Todos los cálculos estad´ısticos se realizan en el modo STAT. Para entrar a este modo, presiones las teclas: MODE 2 Para seleccionar el modo de Regresión lineal, presione de nuevo la tecla Aparecera la pantalla que se observa en la figura 4.6

2

.

Figura 4.6: La pantalla en el modo Regresi´ on Lineal presenta dos columnas x y y.

Como observa el cursor aparece en la columna x. Si quiere mover el cursor a la columna y utilice las teclas del cursor. La ecuación lineal en la calculadora es y = A+Bx. Gu´ıa para An´ alisis de Experimentos

E. E. Coral

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4.5 Uso de programas de computador

Para ingresar los datos en x, escriba el numero, por ejemplo 12.3 y luego la tecla = , el cursor baja para esperar el siguiente dato. Ubique el cursor en eje y para ingresar los datos de esta columna en la misma forma que en x. Borre la pantalla presionando

AC

.

Para obtener la pendiente A presione las teclas en el orden:

SHIFT

1

7

1

Para obtener el intercepto B presione las teclas en el orden:

SHIFT

1

7

2

Si desean obtener más información pueden descargar el manual completo de la calculadora vistando la pagina de internet: http://www.instructionsmanuals.com/u2 /pdf/calculadoras/Casio-FX350ES-es.pdf

4.5

Uso de programas de computador

Si saben usar programas graficadores para computador tales como Excel, Origin para Windows o los equivalentes en Linux (Ubutu), intenten usarlos y repetir lo realizado anteriormente para comparar resultados. Estos programas tienen subrutinas para realizar la regresi´ on lineal y son capaces de dibujar las gráficas que usted necesite evaluar y se puede obtener la ecuaci´ on que se ajusta a sus datos. Cualquier información se puede obtener a través de Internet.

4.5.1

Gr´ aficas en Excel

Aqu´ı se va a hacer una breve explicación del uso del programa Excell para Windows la cual debeá ser explorada para entender como funciona. Una vez abierto el programa Excell, aparece la pantalla de la figura 4.7 Inicie escribiendo los datos experimentales en las columnas. Excel siempre interpreta la columna izquierda como la variable x y la columna derecha como la variable y. Al finalizar, seleccione las columnas y ubique en el men´ u de la barra superior la opci´ on insertar. De las opciones que despliega, seleccione dispersi´ on y seguidamente haga clic en el icono que muestra solo puntitos, como se muestra en la figura 4.8. El resultado de toda esta operaci´ on es una gr´ afica en un como plano cartesiano como se ve en la figura 4.9. Cuando se quiere hacer el ajuste a los puntos experimentales, ubique el cursor (flecha) sobre cualquier punto de la gr´ afica y haga click con el botón derecho del mousse. Escoja la opci´ on agregar linea de tendencia. Aqu´ı se aparecen otras opciones que se refieren al tipo de curva que va a ajustar (exponencial, lineal, logaritmica) seleccione la opción mas adecuada de acuedo a la geometria que adquieren sus puntos. Finalmente seleccione en la misma ventana las opci´ on presentar ecuaci´ on en el gr´ afico.

E. E. Coral


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Figura 4.7: Pantalla inicial de Excel

Figura 4.8: Selecci´ on de la opci´ on graficar


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4.5 Uso de programas de computador

Figura 4.9: Selecci´ on de ajuste de la gr´ afica

Figura 4.10: Esta figura muestra los tipos de ecuaciones que se pueden seleccionar para el ajuste. E. E. Coral


50


4.6

Ejercicios

Use los conceptos de linealizaci´ on y m´ınimos cuadrados anteriormente mencionados para encontrar las ecuaciones que relacionan los datos de x y y en las siguientes tablas: Tabla 4.3: Ejercicio 1

x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Tabla 4.4: Ejercicio 2

y 10 12 15 19 24 30 37 45 54 64 75


x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

y 5 8 14 22 37 61 100 166 273 450 742

Tabla 4.5: Ejercicio 3

x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

y 12,5 6,3 4.2 3.1 2,5 2,1 1,8 1,6 1,4 1,3

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Ap´ endices

E. E. Coral


Ap´ endice A Instrumentos de Medici´ on 1 Los instrumentos de medici´ on son aparatos que poseen una escala numérica que se ha calibrado de acuerdo a la magnitud que se desea medir. Generalmente las escalas de los instrumentos tradicionales son decimales (SI). Los instrumentos de medición modernos poseen visualizadores digitales que son mas precisos. Veamos a continuaci´ on la descripción de algunos instrumentos de medición u ´tiles en las clases de laboratorios de f´ısica.

A.1

Calibrador o Pie de rey

El calibrador o pie de rey es un instrumento de precisión que permite medir décimas de mil´ımetro sin hacer estimaciones. Este instrumento fue inventado en 1631 por el matem´ atico francés Pierre Vernier, razón por la cual también se le conoce como Vernier. Este instrumento sirve para medir espesores, diámetros exteriores e interiores y profundidades (ver figura A.1).

A.1.1

Principales partes del calibrador

1. Escala principal. 2. Nonio o escala m´ ovil. 3. Puntas para medici´ on de espesores y diámetros exteriores (mand´ıbulas fija y móvil). 4. Puntas para medici´ on de diámetros interiores. 5. Barra para profundidades. 6. Tornillo de fijaci´ on. E. E. Coral


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Ap´ endice A

Figura A.1: Partes del Calibrador o Pie de rey. La escala fija tiene un rango de 15 cm y está graduada en mm. Sobre la regla principal, se desliza una peque˜ na regla llamada nonio con una escala de 10 divisiones o más que corresponde a lecturas de 1/10, 1/20, 1/40 o 1/50 de mil´ımetro.

A.1.2

Principio de funcionamiento

Escala de 10 divisiones En el caso de un nonio con una escala de 10 divisiones, cuando los dos ceros coinciden, la escala completa del nonio mide 9 mm. De esta forma, una división del nonio equivale a 9/10 de mm (Ver figuras A.2).

Figura A.2: Divisiones del Nonio para un rango de 9 mm Observen que la primera divisi´ on del nonio le falta 0,1 mm para completar 1 mm. Si ahora desplazamos el nonio hasta hacer coincidir la primera división con el primer mil´ımetro de la escala fija, las mand´ıbulas se separen justamente 0,1 mm. Ahora, analizando la segunda divisi´ on, observamos que su distancia hasta el cero es de 1.8 mm, es decir faltan 0,2 mm para alcanzar la segunda división de la escala fija. Si desplazamos ahora el nonio hasta que la divisi´ on 2 del nonio coincida con la segunda división superior, se observa que las mand´ıbulas se separan exactamente 0,2 mm. Si continuamos el procedimiento anterior con todas las divisiones, entonces se encuentra que cada división Gu´ıa para An´ alisis de Experimentos

E. E. Coral

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A.1 Calibrador o Pie de rey

Tabla A.1: Longitud de cada divisi´ on del nonio al cero de la escala.

divisiones del nonio 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

longitud en mm 0,9 1,8 2,7 3,6 4,5 5,4 6,3 7,2 8,1 9,0

diferencias en mm 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0.9 1.0

del nonio que coincida con la división superior que esté a su derecha, corresponde a una separaci´ on de las mand´ıbulas equivalente a las décimas correspondientes del nonio. En la tabla A.1 se observa lo anterior con más claridad. En las figuras A.3 y A.4 se dan dos ejemplos del procedimiento de lectura con el calibrador. Para el caso de la figura A.3, se ha hecho coincidir la tercera división del nonio con la tercera divisi´ on del la regla principal. De acuerdo con lo relacionado en la tabla A.1 el nonio se ha desplazado 0,3 mm, quedando las puntas separadas en la misma magnitud. En el ejemplo de la figura A.4, el cero del nonio ha superado el primer mil´ımetro de la escala principal pero se encuentra entre la primera y la segunda división, se observa que la cuarta divisi´ on del nonio coincide con una división superior, quedando separadas las puntas la cantidad correspondiente a 1,4 mm.

Figura A.3: La divisi´ on 3 del Nonio coincide con la 3 de la escala principal, las puntas se separan 0,3 mm Una escala del nonio con un rango de 9 mm no es muy práctica por lo que es m´ as E. E. Coral


56

Ap´ endice A

Figura A.4: Las puntas est´ an separadas 1,4 mm, puesto que la cuarta divisi´ on del nonio coincide con una divisi´ on de la escala principal diferencias entre las escalas fija y móvil se obtiene entre la primera división y la segunda división, entre la segunda divisi´ on y la cuarta, etc. para lograr las mismas separaciones entre las mand´ıbulas indicadas en la tabla A.1.

Escalas de 20 y 50 divisiones Una escala de 20 divisiones permite medir hasta 0,05 mm. Esta escala se logra ampliando el rango de la escala m´ ovil hasta 19 mm de tal forma que al dividirlo en 20 partes, cada división es igual a 19 = 0, 95mm. De esta forma se obtiene una diferencia de 0,05 mm 20 entre la primera divisi´ on del nonio y la primera división de la escala fija, 0,1 mm entre la segunda divisi´ on del nonio y la segunda en la escala fija, etc. Una escala de 50 divisiones se obtiene cuando la escala del nonio con un rango de 49 49 mm se divide en 50 partes iguales en la que cada división es equivalente a 50 = 0, 98mm y la diferencia entre las dos primeras divisiones de ambas escalas con las mand´ıbulas cerradas es de 0,02 mm, siendo esta cantidad la sensibilidad del calibrador.


E. E. Coral

Ap´ endice B Instrumentos de Medici´ on 2 B.1

Micr´ ometros y Esfer´ ometros

Los micr´ ometros y esfer´ ometros son instrumentos de medición de longitudes del orden de 0,01 mm. Los micr´ ometros se usan espec´ıficamente para medir espesores o diámetros muy finos, mientras los esfer´ ometros, además de medir espesores o alturas muy peque˜ nas, también sirven para medir indirectamente el radio de curvatura de superficies esféricas.

B.1.1

El micr´ ometro

Un micr´ ometro consta de las siguientes partes: 1) yunque de medición, 2) husillo de medici´ on, 3) arco, 4) tambor, 5) trinquete, 6) seguro de husillo, 7)tambor graduado, 8) escala principal que se muestran en la figura B.1

Figura B.1: Esquema de un micr´ ometro y sus partes. E. E. Coral


58

Ap´ endice B

La escala principal tiene un rango de 0 a 25 mm y posee dos graduaciones: las divisiones superiores indican mil´ımetros mientras que las inferiores indican medio mil´ımetros. El tambor graduado tiene una escala móvil dividida en 50 partes que equivalen a 0.5 mm, es decir, casa divisi´ on es igual a 0,01 mm. El objeto a medir se coloca entre el yunque y el husillo. El mecanismo del micr´ ometro es un tornillo que avanza de derecha a izquierda mientras se gira con los dedos por medio del tambor. El tornillo avanza 0,5 mm por cada vuelta. El husillo esta unido al extremo del tornillo y cuando este está cerca del objeto a medir, lo m´ as recomendable es hacer avanzar el tornillo por medio del trinquete para evitar da˜ nos tanto en el objeto a medir como en el instrumento de medición. En la figura B.2 se puede ver la manera adecuada de usar el micrómetro.

Figura B.2: Imagen de una medici´ on con el micr´ ometro. La figura B.3 muestra un ejemplo de una medición. La graduación superior de la escala fija indica mm y la inferior indica 0,5 mm y la lectura de la escala móvil se multiplica por 0,01 mm. As´ı, la lectura indicada es: 1 mm + 0,5 mm + 0,9×0,01 = 1,59 mm, siendo 9 la cifra incierta.

Figura B.3: Lectura de una medici´ on con un micro´ ometro.


E. E. Coral

59

B.1 Micr´ ometros y Esfer´ ometros

B.1.2

El Esfer´ ometro

El Esfer´ ometro se usa principalmente para medir el radio de curvatura de objetos esféricos. Está compuesto por las siguientes partes (ver figura B.4): 1. Tr´ıpode. Son por tres patas terminada en punta que forman un triángulo equilátero. La estructura en la que se ubican las patas tiene una rosca en su centro por donde pasa un tornillo de 1,0 mm o 0,5 mm de paso 2. Tornillo. Este pasa por la rosca de la estructura y termina en punta y corresponde a la punta de medici´ on. 3. Disco met´ alico. Este disco esta unido en la parte superior del tornillo y esta dividido en 100 ´ o 500 partes iguales, dependiendo del paso de la rosca. 4. Regla. Es una escala graduada en mil´ımetros que se encuentra sobre la estructura del tr´ıpode Algunos esfer´ ometros poseen un micrómetro con tambor graduado, pueden ser también de reloj o digitales.

Figura B.4: Esquema de un esfer´ ometro y sus partes.

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Ap´ endice B

Uso del Esfer´ ometro Antes de hacer cualquier medici´ on con el esferómetro, es necesario ajustar el cero de las escalas. Para esto, se debe colocar el dispositivo sobre una superficie lisa y plana en la que puedan descansar el tr´ıpode y la punta de medición y seguidamente se mueve el cero de la escala del disco hasta hacerlo coincidir con el cero de la regla fija. Normalmente no se logra ajustar bien, de ser as´ı, el cero se ajusta con las divisiones que coincidan con el cero de la escala fija. Al hacer una medici´ on, se eleva la punta de medición girando el tornillo en sentido contrario hasta una altura adecuada seg´ un la magnitud a ser medida. Luego se ubican las partas sobre la superficie esférica y se gira el tornillo hasta que la punta de medición toque la superficie, esto se hace por medio del trinquete. Si no existiera el trinquete, entonces use la yema de su dedo ´ındice y tocando suavemente el borde del disco hágalo girar hasta que la punta de medici´ on tope con la superficie.

Figura B.5: Modo de usar un esfer´ ometro para calcular el radio de curvatura. En la figura B.5 se aprecia un esquema geométrico de la relación de las dimensiones medibles con el esfer´ ometro. El tri´ angulo rectángulo que se forma, nos da la ecuación B.1. R=

x2 + a2 2a

(B.1)

Donde x es la distancia entre una de las patas y la punta de medición, medida mientras reposa en la superficie plana y a es la lectura realizada en las escalas del esferómetro.


E. E. Coral

Ap´ endice C Modelo de informe ESCRIBA EL TITULO ADECUADO DEL EXPERIMENTO REALIZADO J. M. Sarmiento, K. Fonseca, A. Berm´ udez, L. M. Montes Universidad del Atlántico Departamento de F´ısica Fecha de entrega: junio 2 de 2010 RESUMEN Describa brevemente el contenido de la práctica, con un espacio no mayor de 10 renglones, en el cual se viertan los principales aspectos de lo que se realizó, como se realiz´ o, para que se realiz´ o y que se obtuvo, de tal manera que al lector se le brinde la oportunidad de decidir si le interesa o no conocer el contenido del reporte con solo leer el resumen. ´ 1. INTRODUCCION Se plantean los objetivos del trabajo y la motivación. También se hace una presentaci´ on general del trabajo que est´ an presentando. ´ TEORICA ´ 2. DISCUSION Escriba en forma resumida los aspectos más fundamentales de la teor´ıa y que le sirvan de base para la consecuci´ on de los objetivos, presentando la relación de las variables dependientes e independientes, enunciando y enumerando las leyes o ecuaciones que rigen el fenómeno. ´ 3. METODOS EXPERIMENTALES Escriba el procedimiento seguido paso a paso en forma de párrafo, haciendo una descripción del equipo de laboratorio usado, como se instalaron los dispositivos. Observe todos los detalles de los equipos como rangos de medición, precisión de la escala de medida, marca de los aparatos, etc. Se recomienda que culmine esta parte con un diagrama o dibujo indicando la localizaci´ on de los aparatos. Al escribir use un lenguaje impersonal y E. E. Coral


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Ap´ endice C

en pasado (Se realiz´ o..., se construyó..., etc.) ´ ´ 4. ANALISIS DE RESULTADOS Y DISCUSION Escriba aqu´ı los resultados obtenidos indicando cuales de las ecuaciones de la sección 2 los llevaron a ellos. Interprete los resultados comparándolos con los esperados teóricamente. Escriban los errores obtenidos. Justifique sus discrepancias obtenidas. Coloque aqu´ı las gráficas realizadas numer´ andolas y escriba sus respectivos comentarios y análisis. ´ 5. CONCLUSION Escriba aqu´ı lo que aprendi´ o de su análisis, indicando si se cumplió el objetivo plenamente y de las respectivas recomendaciones para futuras experiencias. REFERENCIAS Escriban las referencias bibliogr´ aficas consultadas para elaborar el informe en el siguiente esquema: 1. A. U. TOR (iniciales del nombre y apellido), nombre del texto, editorial, páginas, fecha. 2. ... Nota: Cuando la gu´ıa de laboratorio tenga preguntas, redacte sus respuestas en las respectivas secciones de su informe sin que aparezcan como respuestas directas a las preguntas.


E. E. Coral

Referencias bibliogr´ aficas [1] D. C. BAIRD. “Experimentación, una introducción a la teor´ıa de mediciones y al dise˜ no de experimentos”. 2a. Ed. Prentice-Hall Interamericana, S. A. 1991. [2] Vicenzo Giamberardino, Teor´ıa de los errores. Editorial Reverté. [3] B. J. Brinkworth. An Introduction to Experimentation. The English University Press Ltd. London, 1971. [4] S´ aez R. S., Font A. L. Incertidumbre de la medición : Teor´ıa y Práctica. Consultores C. A. Maracay, Venezuela 2001. [5] J. Mahecha G´ omez, Manual de Laboratorio de F´ısica I. Editorial Universidad de Antioquia, 1992. [6] C. Brito de Cruz, H. L. Fragnito. Gu´ıa para F´ısica Experimental. IFGW, Universidad de Campinas, Brasil. 1997. (Bajado página de Internet). [7] Ignacio Cruz Encinas; Trabajo en el Laboratorio. Departamento de F´ısica universidad de Sonora. 1997 (Bajado de la Internet). [8] Michel Valero. Gu´ıas de Experimentos de F´ısica General, Departamento de F´ısica. Universidad del Valle, Cali – Colombia, 1996. [9] Bureau International des Poids et Mesures. 8th edition 1998. Pág. Internet http : //www.bipm.org/f r/si/si brochure/ [10] Alexander Caneva Rinc´ on, Teor´ıa de Errores. Pág. //newton.javeriana.edu.co/articulos/cif ra/cif rahtm.

Internet

http

:

[11] M. S. Aguirre, S. J. Meza. F´ısica I, Mecánica y Termodinámica. Universidad Nacional del Nordeste, Argentina. Pág. Internet: http : //exa.unne.edu.ar/departamentos/dpto f isica.php [12] Para ampliar el conocimiento. http : //www.librosintinta.com/busca/calculo + de + la + incertidumbre/pdf /

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Guia Para Analisis de Experimentos Correg_feb_2014

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