Guia Matemáticas 5 Primaria

Guía del Docente • Recursos didácticos para el docent docente. e. • Solucionario de todas todas las actividades actividades del del libro libro del alumno.

Matemática

5 PRIMARIA

Las TIC en Santillana Interactiva El uso creciente de las tecnologías de la información y la comunicación (TIC) está modificando las formas de acceder, difundir y generar conocimiento y, por lo tanto, las maneras de enseñar y de aprender. Sin duda, las TIC tienen un gran potencial para apoyar los procesos de aprendizaje, promover la construcción social del conocimiento y desarrollar habilidades que permitan a los estudiantes aprender de forma autónoma y cooperativa a lo largo de toda su vida. La serie Santillana Interactiva es una propuesta innovadora que responde al desafío de incorporar las TIC en el aula de manera sencilla y dinámica, en el marco curricular de la nueva Ley de Educación.

Para el estudiante, Santillana Interactiva presenta un CD de recursos digitales en el que se incorporan actividades interactivas para apoyar, reforzar y ampliar los conocimientos construidos en cada una de las unidades del texto. Las actividades interactivas pueden ser trabajadas al final de la unidad como repaso y cierre de la misma. Para ello, el maestro deberá reservar un periodo mensual en la sala de computación. Asimismo, el estudiante que tenga acceso a una computadora podrá trabajar las actividades en su casa para reforzar las temáticas que se presentan en las situaciones didácticas de cada unidad.

Para el maestro, la serie presenta por primera vez el Libromedia. Este contiene la versión digital del libro del alumno con los vínculos a los recursos TIC que pueden ser usados en computadoras computador as o pizarras digitales. Además, cuenta con diferentes herramientas para trabajar sobre el libro (se puede ir de una página a otra, otra , escribir escribi r, subrayar, marcar, marcar, buscar palabras, etc.) e incluye recursos digitales con más información del área y de otras áreas, evaluaciones, tutoriales para el uso de diversos programas (Word, Excel, Power Point, etc.) y herramientas para el trabajo del maestro (horario, calendario, registro de control de asistencia, registro de evaluaciones, entre otras).

©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

III

Valores para vivir bien Libertad La serie Santillana Interactiva se orienta a la formación

Aunque la libertad es una facultad de todas las personas,

integral de los estudiantes y se enmarca en una visión plu-

consistente en la capacidad de optar y decidir, como valor

ralista de la sociedad, desde la que se rescatan diversos

humano se refiere a la capacidad de pensar y actuar resis-

valores universales. Asimismo, responde a las perspecti-

tiendo, o sin tomar en consideración, las diversas presio-

vas de la nueva Ley de Educación Avelino Siñani-Elizardo

nes e influencias que tratan de dirigirnos en una dirección

Pérez, donde se afirma que la educación se sustenta en

u otra.

o

diferentes valores para vivir bien (Ley N 070, artículo 3, inciso 13). De acuerdo con ello, las propuestas didácticas presentes en los textos se estructuran en torno a las dimensiones del ser, saber, hacer y decidir, con el propósito de potenciar

Una sociedad libre protege la posibilidad de elección de sus ciudadanos y les proporciona un conjunto de derechos y libertades que estén resguardados de la intervención social o estatal.

tanto la sensibilidad moral como el desarrollo intelectual y afectivo de los niños y niñas. Específicamente, la forma-

Justicia

ción en valores se trabaja a partir de actividades de re-

Una persona justa da a cada quien lo que le corresponde y

flexión, contextualizadas con los contenidos de cada área

no atenta contra los derechos de otros para obtener algún

y relacionadas con las situaciones de l a vida cotidiana. Así,

beneficio.

se favorece el desarrollo personal de los estudiantes y su capacidad para relacionarse de manera armónica con su

Una sociedad justa protege a las personas para que no

entorno social y natural.

se violen sus derechos y garantiza las normas del “debido

A continuación definimos brevemente algunos de los valo-

proceso” en el tratamiento de cuestiones de justicia.

res que se trabajan en los textos de los diferentes cursos.

Respeto Una persona respetuosa reconoce ciertos límites en su relación con la naturaleza, los seres vivos y otras perso-

Dignidad

nas. Esos límites le prohíben actuar de ciertas formas en

Una persona digna es respetuosa de las otras personas

personas.

consideración del bienestar y la dignidad de otros seres y

y demanda de ellas el mismo respeto. Por lo tanto, no denigra a otras personas, no se denigra a sí misma en su

Una sociedad es respetuosa si el conjunto de sus normas

relación con ellas y tampoco acepta ser denigrada.

e instituciones y su funcionamiento efectivo expresan el reconocimiento de la dignidad de todas las personas y pro-

Una sociedad que reconoce la dignidad humana entiende

tegen el entorno de las mismas.

que, por encima de cualquier diferencia, todas las personas son merecedoras de igual respeto y de ciertas condiciones de vida y de trato compatibles con la consideración

Solidaridad

hacia su naturaleza. Por ello, garantiza la vigencia de los

Una persona solidaria tiene la disposición a ocuparse del

Derechos Humanos y genera mecanismos para su protec-

bienestar de otras y a construir relaciones de cooperación

ción sin ningún tipo de discriminación.

y beneficio mutuo.

Igualdad

Una sociedad solidaria busca que el funcionamiento de sus distintas instituciones haga posible el bienestar de

Una sociedad igualitaria proporciona los mismos derechos,

todas las personas. Por ello, ofrece servicios de salud y

responsabilidades, oportunidades y bienes básicos a to-

educación a todos, si es necesario redistribuye recursos

dos sus ciudadanos. La igualdad exige el acceso universal

y utiliza recursos públicos para ayudar a las personas o

a la educación, la salud y los ser vicios básicos.

grupos que requieren un apoyo especial.

VI


Honestidad

Paz

Una persona es honesta o transparente cuando no busca

Una sociedad busca la paz cuando respeta la dignidad y

algún beneficio engañando a otra persona o abusando de

los derechos de todas las personas. La paz es la condición

ella.

y el contexto para que los conflictos puedan ser solucionados de forma justa y no violenta, de manera que no se

Una sociedad es honesta si sus instituciones funcionan

genere resentimiento en ninguna de las par tes.

de tal modo que satisfacen aceptablemente las finalidades para las que han sido creadas.

Tolerancia

Responsabilidad Una persona es responsable cuando cuida de los diversos aspectos que implica la realización de una tarea y tiene

Una persona tolerante es capaz de admitir y respetar las

disposición a hacerse cargo de las consecuencias de sus

ideas, las opiniones y las acciones de los demás, aunque

acciones.

no esté de acuerdo con ellas. Una sociedad tolerante protege ampliamente las expresio-

Autoestima

nes de diversidad, libertad e individualidad que son com-

Una persona tiene autoestima (aprecio por sí misma) si

patibles con el respeto a los derechos de las personas.

cuida de sí y asume constructivamente su vida.

Participación

Autonomía

Una sociedad que promueve la participación crea normas

Una persona es autónoma si tiene la capacidad de condu-

e instituciones que permiten que las personas puedan ha-

cir su vida y de definir sus metas de acuerdo con su propio

cer escuchar su opinión y puedan ser parte de las decisio-

juicio.

nes que afectan a sus vidas.

Autocontrol Cooperación

Una persona tiene autocontrol o templanza si es capaz de

Una sociedad que promueve la cooperación reconoce el

ordenar y controlar sus acciones para encaminarlas hacia

valor del aporte que puede realizar cada persona en la

una meta valiosa.

búsqueda de un fin común. Para que un acto sea cooperativo debe existir reciprocidad; sin esta no se puede hablar de cooperación, sino de ayuda.

Amistad Una relación de amistad se basa en el afecto personal

Reciprocidad

desinteresado y recíproco. Un amigo nunca busca dominar al otro, sino que se preocupa por su bienestar.

Una sociedad manifiesta el valor social de la reciprocidad cuando tiene instituciones de servicio mutuo por las cuales cada persona se compromete a colaborar a las otras

Valentía

cuando así lo requieran y, por tanto, puede también contar

Una persona es valiente si persigue fines nobles a pesar

con la cooperación de ellas.

de las amenazas, el temor o la posibilidad de alguna forma de sufrimiento.

Complementariedad Una sociedad manifiesta el valor de la complementariedad cuando considera que su vida y desarrollo requieren del aporte de visiones y formas de ser distintas que, por consiguiente, no deben ser consideradas antagónicas ni excluyentes.


VII

Bibliografía

Santillana. Matemática 5 Educación básica. Bicentenario. Santiago de Chile, 2009. Santillana. Matemáticas 5 Primaria. La Casa del Saber. Madrid, 2009. Santillana. Matemática 5. Santillana en red. Lima, 2009. Santillana. Matemáticas 5 Primaria. Vamos adelante. La Paz, 2008. Santillana. Matemática 5to. Educación básica. Proyecto Punto Cl . Santiago de Chile, 2007. Santillana. Matemática 5 Primaria. Entre todos . La Paz, 2006. Santillana. Matemática 5. Comprender para resolver problemas. Buenos Aires, 2006. Santillana. Matemáticas 5 Primaria. Un paso más. Madrid, 2006. Santillana. Lógico Matemática 5 Primaria. Un paso adelante. Lima, 2005. Santillana. Matemática 5. Ideas en la cabeza. Buenos Aires, 2004. Santillana. Matemática 5 Educación básica. Futuro. Santiago de Chile, 2003. Santillana. Lógico Matemática 5 Primaria. Desafíos. Lima, 2003. Santillana. Matemática 5. Santillana Hoy . Buenos Aires, 2002. Santillana. Matemática 5 Enseñanza básica. Proyecto Calicanto. Santiago de Chile, 2000. Santillana. Matemática 5 EGB. Buenos Aires, 1999. Limpias Ortíz, Víctor Hugo, Santa Cruz de la Sierra, Arquitectura y Urbanismo. UPSA. Santa Cruz, 2001. http://www.ine.gob.bo (Instituto Nacional de Estadística) 15 de enero de 2012 http://www.masalto.com (Ahorro de energía, todo un reto) 10 de febrero de 2012 http://www.renovableshoy.com (Energías renovables) 10 de febrero de 2012 http://www.meteored.com.bo (Reportes del tiempo en Bolivia) 13 de abril de 2012 http://cambioclimaticoglobal.com (Cambio climático) 13 de abril de 2012 http://aguabolivia.org/ (Agua en Bolivia) 8 de mayo de 2012

VIII


Tomo I

Matemática

5 PRIMARIA

Evalúa tus logros

Completa la tabla.

6.

Rodea concírculos decolores.

1.

Anterior

Número

2.

63402999 727128029

978500200

98500700

72930800

8720420

675800090

920780000

947699999

Piensayescribequénúmeroes.

7.

Elmayor número de nueve cifras

Completa la tabla colocandoencada posiciónlos dígitos quecorresponden. Leeen vozalta las cantidades. CMI

DMI

UMI

CM

DM

UM

Posterior

4658599

Losnúmeroscuya cifra 8 tiene un valorde 8 UMi. Losnúmeroscuya cifra 7 tiene un valoriguala 70000000U. Losnúmeroscuya cifra 9 tienen un valoriguala 9 CMi.

Elmenor número de ochocifras

C

D

Elmayornúmero que se puede formarcon lascifrasdel1 al9sin repetir ninguna

U

Elmenornúmero que se puede formarcon lascifrasdel0 al8sin repetirninguna

1438259 7319218

Ordena los números.

8.

14507002 25347111 329551320

De menor amayor

Páginas de cierre y evaluación

De mayor amenor

503215700

73 012 3.

74 005

Escribecómo seleen los anteriores números.

8 976

1 92 00

73 120

84 320

1 87 30

19 110

18 640

16 480

1438259 _ 7319218 _ 14507002_ 25347111_

Completa el términoque falta enlas adiciones ysustracciones.

9.

• Evalúa tus logros

329551320_ 7 345 +

503215700_

4.

Escrib econcifras.

8459 –

= 4238 – 3 1 1 29 = 1 9 1 1 5

92429– 71947=

En tres páginas encontrarás diversas actividades para comprobar tus desafíos y nuevos aprendizajes con el contenido avanzado en la unidad.

Escribela propiedad queseap lica encada igualdad.

10.

Dieciocho millonesveinticinco miltrescientos cincuenta

5.

= 10259 + 4 7 2 81 = 5 7 1 1 9

1 2 4 59 + 1 3 1 2 9 =

Cinco millonesdoscientos noventa y dosmil ochocientossetenta

Setenta y nueve millonesquinientos cinco milciento noventa

59+0=59

Novecientosmillones setecientosveinte mildoscientos cincuenta

47+28=28+47 115+(25+35)=(115+25)+35

Descompónlos siguientes números detres formas.

Resuelvelas operaciones. Comprueba tus resultados concalculadora.

11.

54072913_

532729+(527132– 112004)= 1257329+1 113451– 97328– 15329=

157328004_

(357132– 255109)+(428329– 349527)= (1183290+2734310)– (428119- 119544)=

22

©SantillanaS.A.Prohibidasu fotocopia.Ley 1322.

23


• Matemática y valores para vivir bien Esta página sintetiza algunos aspectos del tema que se desarrolla en la unidad, desde una perspectiva que nos invita a tomar posición, a emitir una opinión personal y a aplicar de forma práctica conocimientos y procedimientos matemáticos para modificar la realidad mediante la resolución de algunos problemas.

Matemática y valores El crecimiento poblacional Esevidente el crecimiento de la población mundiale n losúltimos siglos. Y a pesarde que existan regiones que crecen máslentamente –como la europea– llegaremosa los10000000000de sereshumanosa finesde este siglo. En laspróximasdécadas, China,India y EstadosUnidosseguirán siendo los paísesque concentran mayorcantidad de población,seguidos por Nigeria. En Sudamérica,Brasil sigue siendo elgigante porsu extensión y cantidad de población. Enel año2010,Brasiltenía193017646habitante sy Bolivia,10027643 habitantes.¿Cuántos máshabitantes que Boliviatenía Brasilese año?

• Repaso acumulativo

La migración Muchaspersonas deciden dejarsuslugares de origen,su cultura e incluso su familia para alcanzarmejores oportunidades de vida.Desde Bolivia han migrado milesde personashacia paísescon una economía másdesarrollada, buscando empleosdignos.

Podrás revisar los nuevos conceptos y procedimientos matemáticos que aprendiste en tres unidades.

También ha existidomucha migración interna,desde lasáreas ruraleshacia lasc iudades,contribuyendo a crear grandesaglomeraciones de población en las ciudades.Algunasciudadespequeñashan crecido tanto que han llegado a unirse entre síen grandesmanchas urbanas.

mu la t ivo Repa so acu 1.

ro s y E scribe con núme

en lo s repre sen tada le tra s la can tidad

1 CM

+

7 UMi

8C

+

cartele s. +

7 DM

+

4U

+

Argentina acoge una gran cantidad de migrantesbolivianos,que trabajan en la construcción,la confección deropa,el comercio,entre otrasocupaciones. Se estima quehay 1000000de migrantesbolivianos,de loscu ales233.464 fueron registradosen elcenso delaño 2001.¿Cuántos bolivianosno fueron registrados? 3 UM

+

_

+

1C

1U

+

+

2 CM

+

1D

+

5 DM

3 UM

+

• Proyectos socioproductivos

5D

2 UMi

_

2. Señala

de 5006 800. sición correc ta la de scompo 2

3 8 # 10 5 6 # 10 + 5 # 10 + 3 10 6 6 # 10 + 8 # 5 # 10 + 2 3 10 6 10 + 8 # 5 # 10 + 6 # 3 4 8 # 10 6 6 # 10 + + 10 5 #

númer Ordena lo s

3.

o s de ma yor a

menor.

1 349 287

1934 827

1 234 879

1 729 348

1 743 982

36 6

8

s. rado s mágico Re suel ve lo s cuad

4.

17

12

15

8

20 28 32

. xima y re suelve de mil má s pró

8.

Relac iona c a da mult iplic a c ión c on su pr oduc to apr ox imado 199 # 2 . 301 # 3

=

900 _ 53 700 + 26 19 850 _ 42100 –

=

18000

arábigo s. s romano s y E scribe en número

6.

11

13

16

14

4

unidad operadore s a la Apro xima lo s

5.

25


V XDCI

9 .

_

CM XLII

178 _ 1 999 _

MMCML XIV

5 170 _

VICC XLII

_

7 489 216

#

900

=

_

r má s rápido. ade s para calcula Aplica propied = # 3 = 12 # 7 – 12 10 # 5 = 10 # 15 + # 6 = 9 # 60 – 60

#

4 728 642

=

10 . Div ide y aplic a la pr u eba de ex cl usión del 9 .

35 729 52

= =

3 009 # 6

400 ex cl usión del 9 .

9 004 _

7.

1 999 # 5

10 000

Mult iplic a y aplic a la pr ueba de

_

39 840 415

=

22. toco pia. Le y 13 .A. P roh i bidas u fo ©Sa nt i lla n aS

=

11. C alc ula las sig uient e s div isiones

68

57 800 ' 50 = 135 000 ' 450

supr imiendo c er os.

=

12 . C alc ula y esc ribe la let ra que c or respond rec u adr

2 # 3 2 # 5 2

C

2

108

2

50

13. E stima el c oc iente '

90

A

2

R

22 # 52

100

'

200 =

'

8000 =

# 3 # 5

D(44) _

5

2

# 7

N 33 # 7

U 2 3 # 5 2

189

450

200

= s múlt iplos de

_

15. E sc ri be los divisor es

I

t as en los

300

E 2 3 # 3 3

B 2

# 5

2

T 2 2 # 3 # 52

120

mediant e númer os c ompat ibles.

_

14. E sc ri be los diez pr imero

M(7)

3

216

# 33

175

62 890

493 000 640 000

e a las r espues

os.

A

El texto propone dos proyectos socioproductivos, que pueden desarrollarse en coordinación con otras áreas de aprendizaje y permiten que en cada semestre utilices los conceptos matemáticos al servicio del vivir bien. Estos proyectos dirigen a toda la clase hacia la concreción de algún objetivo común, relacionado con la producción o generación de servicios, en un marco de responsabilidad social, trabajo cooperativo y participación con todos tus compañeros, compañeras y docentes.

24 800

'

500 _

c ada númer o.

de c ada númer o e indic a si

=

M(8) _ es pr imo o c ompuest o. D(71) _

Proyecto socioproductivo ©Santillana S.A.Pr ohibida

su fotocop ia.

La comunicación escolar

• Recursos TIC La incorporación de las TICs da una nueva identidad a la serie Santillana Interactiva. No solo te permitirán hacer matemática de una forma novedosa y divertida, sino contribuirán a aumentar tus competencias tecnológicas y el trabajo cooperativo en tu clase. Algunos recursos digitales amplían los conocimientos y procedimientos desarrollados en el libro y otros te permiten ejercitar y aplicar tus nuevos conocimientos matemáticos.

Para hacerlo, impulsaremosvarios mediossen cillosqu e se convertirán en iniciativasdivertidas y muy educativas. Quién sabe sien eltiempo, incluso pueden generaralgo de ingresos. En cualquier caso,es necesario organizar equipos de trabajo:unos serán quienesrecolecten información,investiguen y proponganlostemas centrales a ser difundidos;otrospueden promocionaren losdemáscursoseluso de losmedios para enterarse de noticiasy buscaru ofrecer lo que necesiten; finalmente,algunosse encargarán de lograrun producto de buena presentación. PERIÓDICOMURAL Se puede instalaruna pizarra o un panelen un sitio visible delingreso al colegio o alpatio.También se puede usaralguna parte de una pared,que se puede decorarde forma especial.Un periódico muralcontiene titulares,fotografíasy pequeños relatossobre algún tema o actividadde interés.También se puede habilitarun sectorpara “avisos clasificados”,ofreciendo o demandando serviciosy productos. BOLETÍNESCOLAR En una hoja of tocopiada en ambascaras se pueden promocionaractividades, facilitarinformación muy concreta y avisosde interés para la comunidad educativa. RADIOESCOLAR Siexisten lascondiciones, se puede instalarun aparato de música conparlantesy micrófonospara ofrecertransmisiones“en vivo”durante losrecreos. La radio esun medio que permite transmitirentrevistas, realizarlecturas, jugar con voces,efectos especialesy música. Seguramente se lesocurrirán otras ideasque podrán compartiren elcurso, como utilizarlosmedios de comunicación para realizarcampañasy promocionaracciones solidariaso eventoscomunitarios.Esposible también utilizarlas nuevastecnologías para crear“blogs”que vinculen a losusuarios de Internet. Preparando pequeñosproyectos, seguramente conseguirán elapoyo de la Dirección parahacerrealidad todassus ideas.


Ley 1322.

69

Muchosestudiantes tienen frecuentemente algo que comunic ar a sus compañerosy compañeras.Los recreosbrindan condicionesfavorables para compartirinformación, ofertasy buenasideas.

67

Índice Unidad

1

Páginas de desarrollo

Páginas especiales

Sistema de numeración decimal. Adición y sustracción. Las poblaciones Millones Descomposición y orden Propiedades de la adición y la sustracción Adiciones y sustracciones combinadas Redondeo y estimación de sumas y diferencias Números romanos

8 10 12 14 16

Solución de problemas Tratamiento de la información Evalúa tus logros Matemática y valores para vivir bien

20 21 22

25

18

Multiplicación, división y potenciación. La producción de alimentos

2

3

Prueba de exclusión del 9 en la multiplicación Pruebas de la división Propiedades de la multiplicación Propiedad fundamental de la división Operaciones combinadas y problemas Estimaciones de productos y cocientes Potenciación

28 30 32 34 36


42 43 44

47

38 40

Múltiplos y divisores. El transporte y las comunicaciones Múltiplos y mínimo común múltiplo Divisores y máximo común divisor Divisibilidad y criterios para 2, 3, 5 y 10

50

Números primos y números compuestos

56

Descomposición en factores primos

58

m.c.d. y m.c.m. de dos o más números

60

52 54

Solución de problemas Taller de matemática Evalúa tus logros

62 63 64

Proyecto socioproductivo

67

Repaso acumulativo

68

4

5

Representación de las fracciones. Las energías Fracciones propias

72

Fracciones impropias y números mixtos

74

De fracción impropia a número mixto y viceversa

76

Fracción de un número

77

Fracciones equivalentes a un número natural

78

Fracciones equivalentes

80

Amplificación y simplificación de fracciones. Fracciones irreducibles

82


84 85 86

89

Fracciones: orden y operaciones. El agua Relación de orden entre fracciones

92

Reducción de fracciones a común denominador

94

Adición y sustracción de fracciones con igual denominador

96

Adición y sustracción de fracciones con distinto denominador

98

Multiplicación de fracciones

100

División de fracciones

102

Solución de problemas Taller de matemática Evalúa tus logros Matemática y valores para vivir bien

104 105 106

109


Unidad

6

7

Páginas especiales

Ángulos y figuras planas. Las áreas metropolitanas Medición y trazado de ángulos Ángulos consecutivos, adyacentes y opuestos por el vértice Triángulos Cuadriláteros y paralelogramos Circunferencia y círculo

112

114 116

Taller de geometría Evalúa tus logros

122 124

Matemática y valores para vivir bien

127

118 120

Perímetro y área de figuras planas. Las áreas protegidas Perímetro: cuadrado, rectángulo y triángulo Unidades de superficie Cálculo de áreas y perímetros Área: cuadrado, rectángulo y triángulo Perímetro y área de figuras compuestas

130 132 134

Solución de problemas Taller de geometría Evalúa tus logros

140 141 142

136 138


145

Repaso acumulativo

146

8

9

Decimales. Las temperaturas Unidades decimales y fracciones decimales Valor de posición en los números decimales

150

Comparación de números decimales

154

Decimales en la recta numérica

155

De fracciones decimales a números decimales y viceversa

156

Porcentajes

158


160 161 162

165

Operaciones con decimales. El intercambio y las monedas Adición y sustracción de números decimales

168

Multiplicación con números decimales

170

Multiplicación de un decimal por múltiplos de 10

172

División de un decimal por múltiplos de 10

173

División entre números naturales con cociente decimal División de un decimal entre un natural División de un natural entre un decimal Problemas con porcentajes

10

152

Solución de problemas Tratamiento de la información Evalúa tus logros


182 183 184


187

174 176 178 180

Longitud, masa y capacidad. El bienestar Unidades de longitud

190

Relaciones entre unidades de longitud

192

Unidades de masa

194

Relaciones entre unidades de masa

196

Unidades de capacidad

198


200 201 202


205

Repaso acumulativo

206

Bibliografía consultada

208

Sugerencia de temporalización

1

Febrero

Sistema de numeración decimal.

Adición y sustracción

Marzo Abril Mayo Junio Julio Agosto Septiembre Octubre Noviembre

Posibles dificultades en la unidad

Las poblaciones Los habitantes del planeta Tierra estamos distribuidos de forma desigual. Existen regiones muy despobladas, como algunas áreas rurales, desiertos y zonas heladas. Hay otras donde habitan millones de personas, como en las megaciudades. También existe una muy desigual distribución de la riqueza. En unas zonas se vive con gran desarrollo y en otras no llegan a cubrirse las necesidades vitales. El año 2011 nació el habitante número 7 000 000 000. Con tanta población, nuestro planeta afronta muchos desafíos en el presente y el futuro.

Leer, escribir y descomponer grandes cantidades, especialmente con ceros intermedios. Resolver operaciones con ceros intermedios. Descubrir el patrón de una sucesión numérica. Identificar el orden operativo en operaciones con paréntesis. Confundir los datos al plantear la operación combinada que resuelve un problema. Aplicar las reglas para leer y escribir números romanos. Calcular sumas y restas con paréntesis.

6

• ¿Sabes cuál es la población total de nuestro país?

• ¿Y la de tu ciudad? • ¿Cuáles crees que son los principales desafíos que plantea el crecimiento poblacional?


Contextualización de la unidad Sistema de numeración. Adición y sustracción El tema de Las poblaciones nos ayuda a cobrar conciencia sobre la gran cantidad de personas que habitamos nuestro planeta y la diversidad de formas en que vivimos. El crecimiento poblacional va generando cada vez más desafíos para garantizar el cumplimiento de los derechos humanos de todas las personas.

Representar información en un gráfico de barras o columnas.

6


Vocabulario matemático

RECUERDA 1.

Millones

Escribe la posición y el valor de cada cifra.

Número de 9 cifras

5 735 703 Unidad

3

Tabla de posiciones

Tres

Decena

0

cero

Centena

7

setecientos

unidad de mil

5

cinco mil

decena de mil

3

treinta mil

centena de mil

7

setecientos mil

unidad de millón

5

cinco millones

Descomposición aditiva Descomposición multiplicativa Comparación de cifras Igualdad y desigualdad Elemento neutro

Leemos el número cinco millones setecientos treinta y cinco mil setecientos tres.

2.

Propiedad conmutativa Propiedad asociativa

Escribe literalmente.

Operaciones combinadas

72 128

setenta y dos mil ciento veintiocho.

342 303

trescientos cuarenta y dos mil trescientos tres.

Operaciones sucesivas Redondeo y estimación

1 525 000 un millón quinientos veinticinco mil. 3.

Número romano y número arábigo

Escribe un número en cada caso. Compara con tus compañeros/as.

Gráfico de barra de dos características

Que tenga el valor de la cifra 8 igual a 80 U Respuesta libre. Que tenga el valor de la cifra 7 igual a 700 U Respuesta libre. Que tenga el v alor de la cifra 9 igual a 9 000 U Respuesta libre. 4.

Ordena los siguientes números de menor a mayor.

873 455

783 544

837 445

574 583

735 484

574 583 < 735 484 < 783 544 < 837 445 < 873 455 5.

2 5 3 +

4 8

1 6 7 2 4

6.

Otro vocabulario

Completa las operaciones. Presta atención a los signos.

9

-

2 0 7 7

4 7 3 2

9

1 9 5 1

7

2 7 8 1

2

1 +

de la unidad

1 6 9 2 7

1 2 9 3 2 4 6

1

5

Megaciudad o megalópolis Crecimiento poblacional

2 4 2

Crecimiento sostenido

Lee y relaciona cada proposición con la etiqueta que le corresponde.

Extensión territorial 1 001 es el número anterior a 100 decenas 478 293 > 478 209 Un número de cuatro cifras es menor que otro de cuatro cifras

nunca

Censo

a veces

Proyección de crecimiento

siempre

Tasas de mortalidad


7

Epidemias

Para vivir bien •

Diversidad – la población mundial es diversa; habita áreas urbanas y rurales; se identi-

fica con diferentes culturas y religiones; está compuesta por niños, jóvenes, adultos y personas mayores; hay personas con mayor acceso a bienes y servicios que otras. •

Solidaridad – las personas que vivimos más cómodamente la vida podemos mirar des-

de una perspectiva empática y solidaria a quienes sufren por la inequidad en la distribución de los recursos.


7

Más información

Millones

Instituto Nacional de

El crecimiento de la población en algunos continentes como Asia y América sigue siendo muy grande. Se calcula que en el año 2000, nuestro continente tenía 835 000 000 habitantes.

Estadística

El Instituto Nacional de Estadística –conocido

Este número de 9 cifras pertenece al orden de los millones. Para facilitar su lectura lo separamos desde la derecha con un punto o espacio cada tres clases.

como INE– es la entidad encargada de producir, analizar y difundir información estadística

Millones

oficial en Bolivia. Brinda datos demográficos,

Unidades

Decena de millón

Unidad de millón

CM

DM

UM

C

D

U

8

3

5

0

0

0

0

0

0

sociales, económicos. Los niños/as pueden tener un acercamiento a

Miles o millares

Centena de millón

Leemos: Ochocientos treinta y cinco millones.

estos datos consultando la pá gina web ht tp://

Nuestro sistema de numeración es decimal y posicional.

www.ine.gob.bo, con el/

Decimal porque las unidades se agrupan de a 10.

la docente, quien puede

Posicional porque el valor de cada cifra depende de la posición que ocupa. Por ejemplo, cada 5 que aparece en el número 505 350 000 tiene un valor diferente.

dirigir la búsqueda haciendo preguntas como:

50 000

¿cuántas personas

5 000 000

vivían en Cochabamba

500 000 000

5 DM

_

5 UMi

_

_

5 CMi

el año 1992?, ¿cuántas vivían en la ciudad y cuántas en el c ampo?,

1.

¿cuántas eran mujeres

Para el año 2025 se proyecta que América estará habitada por 1 081 000 000 personas.

•

y cuántos hom bres?, ¿cuántas tenían menos

¿Cómo leemos este número? Mil ochenta y un millones.

de 25 años? La infor-

•

mación que obtengan

¿Qué valor tiene la cifra de las unidades? Cero unidades.

puede servir para

•

realizar problemas y ejercicios con grandes

¿Y cuántas unidades de millón? Una unidad de millón.

cantidades.

•

¿Es una cifra mayor o menor a la del año 2 000? Mayor.

Tic Millones en la recta numérica

8


Seis grandes números requieren ser ordenados según su valor en la recta numérica.

Sugerencias metodológicas Recuerde con los niños/as la escritura y lectura de números de cinco y seis cifras. Pregúnteles en qué ocasiones o sitios han visto escritos o han utilizado grandes números. Pídales que anoten distintos números, por turnos, en la pizarra. Léanlos juntos, cuidando separar los miles de las unidades con un espacio cada tres clases. Introduzca con el ábaco y el tablero posicional el concepto de millón –aunque, con seguridad, muchos niños/as ya lo conocen-. Analice con ellos en qué situaciones se utilizan los millones (grandes cantidades de dinero, grandes extensiones de territorio, grandes cantida-

8


2.

Más información

Anota en la tabla las poblaciones de algunos países de América en orden de menor a mayor. Países

Habitantes

Países

Bolivia

10 031 000

Uruguay

Chile

16 295 000

Bolivia

Uruguay

3 372 000

Brasil

195 498 000

Perú

29 495 000

Argentina

A rg en ti na

4 0 7 38 00 0

Brasil

UMi

CM

DM

UM

C

D

U

3

3

7

2

0

0

0

1

0

0

3

1

0

0

0

Chile

1

6

2

9

5

0

0

0

Perú

2

9

4

9

5

0

0

0

4

0

7

3

8

0

0

0

9

5

4

9

8

0

0

0

1

DMi

Hace aproximadamente 400 años, el físico italiano Galileo Galilei utilizó los números de más de 7 cifras para describir el Sistema Solar. Sin embargo, casi tres siglos antes de él, los mayas y los aztecas ya conocían el Sistema Solar y usaron números muy grandes para sus cálculos científicos.

Brasil

• ¿Cuál tiene la mayor población? Escribe la cantidad en letras

CMi

Algo de historia

Ciento noventa y cinco millones cuatrocientos noventa y ocho mil.

• ¿Cuáles son los países que tienen menos de dos decenas de millón de habitantes? Chile, Bolivia y Ur uguay. 3.

Escribe con cifras los siguientes números.

Más actividades

• Siete millones quinientos cuatro mil cincuenta

7 504 050

• Quinientos setenta y ocho millones veinticinco

578 000 025

• Ochenta millones novecientos cincuenta y cuatro mil treinta y nueve 4.

Material de apoyo

80 954 039

Construya con los niños materiales para la pared del curso y úselos como una ayuda visual para resolver ejercicios. Sugerimos tener como mínimo:

Escribe como se lee.

93 477 200 Noventa y tres millones cuatrocientos setenta y siete mil doscientos. 574 348 121 7 459 328 5.

Quinientos setenta y cuatro millones trescientos cuarenta y ocho mil ciento veintiuno.

Siete millones cuatrocientos cincuenta y nueve mil trescientos veintiocho.

Analiza y completa los números que faltan en las siguientes series.

1 150 000, 1 300 000, 7 000 000, 6.

6 500 000

1 450 000

,

1 600 000

, 6 000 000, 5 500 000,

1 900 000

, 1750 000, 5 000 000

4 500 000

,

, 2 050 000 , 4 000 000

•

Es un número de 9 cifras.

•

La suma de las cifras de las centenas de millón y de las unidades es igual a 1.

•

El número de las unidades de millón es el doble que las centenas de millón.

•

El número de las centenas de mil es el triple que las unidades de millón.

•

El resto de las cifras es 5.

5

2

6

5

5

5

5

0


des de personas o poblaciones). Practique con los niños/as la anotación de cantidades con unidades, decenas y centenas de millón, explicándoles que podrán realizar la escritura, lectura y operaciones que involucren números de 9 cifras. Deténgase a practicar cantidades con ceros intermedios (por ejemplo, 101 876 048). Señale que el cero intermedio significa la ausencia de algún orden, pero que es necesario cuidar que ocupe un lugar.


Tabla o tablero posicional.

•

Ábaco de siete barras.

•

Tablero de 100.

•

Escribe el número a partir de las pistas. Compara con tus compañeros/as.

1

•

9

Recta numérica hasta 100. También pueden fabricarse rectas con grandes cantidades (de 1 000 en 1 000, etc.).

Es importante que los/as niños/as noten que el sistema de numeración decimal posee regularidades que nos permiten anotar y leer cantidades de forma sencilla. Lo mismo sucede con las cuatro operaciones aritméticas. Preparen con los niños un fichero que contenga facturas y recibos, etiquetas de productos, códigos de barras, recortes de revistas y periódicos donde se encuentren grandes cantidades.

9

Más actividades

Descomposición y orden

Países grandes y pequeños

En Latinoamérica tenemos ciudades con inmensas poblaciones. Las conocemos como megaciudades o megalópolis. Entre ellas se encuentran Sao Paulo con 20 262 000 habitantes, Buenos Aires con 13 064 000 y México DF con 19 460 000 habitantes.

Anote las extensiones de los países sudamericanos en pizarra, explicando que se miden en kilómetros cuadrados y que aprenderán a calcular áreas cuando lleguen al tema, en la unidad 7. Explíqueles que realizarán el ejercicio de ordenar los países desde el más extenso hasta el más pequeño.

Completamos la tabla posicional con los tres números.

Millones CMi

Miles

Unidades

DMi

UMi

CM

DM

UM

C

D

U

Sao Paulo

2

0

2

6

2

0

0

0

Buenos Aires

1

3

0

6

4

0

0

0

México DF

1

9

4

6

0

0

0

0

Descomponemos la primera cantidad de tres formas:

País

Superficie (km2)

Argentina

2 780 092

Bolivia

1 098 581

20 262 000 =

Brasil

8 511 996

2 DMi + 2 CM + 6 DM + 2 UM

Chile

756 626

Colombia

1 141 478

Ecuador

283 561

Paraguay

406 752

Perú

1 285 216

Uruguay

176 215

Venezuela

912 050

Primera forma

Segunda forma Descomposición aditiva

Tercera forma Descomposición multiplicativa

20 262 000 =

20 262 000 =

20 000 000 + 200 000

2 x 10 000 000 + 2 x 100 000

+ 60 000 + 2 000

+ 6 x 10 000 + 2 x 1 000

Al descomponer una cantidad separamos cada uno de sus digitos según su valor posicional.

1.

Descompón de las tres formas la cantidad de población que tienen Buenos Aires y México DF.

13 064 000

Cambiando de categoría

Podemos jugar con los números de 7 a 9 cifras cambiando de categoría a una inmediatamente superior o inferior, logrando que los niños/as comprendan y ejerciten la lectura de grandes cantidades.

19 460 000

_

1 DMi + 3 UMi + 6 DM + 4 UM

_

10 000 000 + 3 000 000 + 60 000 + 4 000

_

1

_

1 DMi + 9 UMi + 4 CM + 6 DM

_

10 000 000 + 9 000 000 + 400 000 + 60 000

_

1

# 10

# 10

000 000 + 3 # 1 000 000 + 6

# 10

000 + 4

# 1

000 000 + 9 # 1 000 000 + 4 # 100 000 + 6

000

# 10

000

Por ejemplo: 5 499 000 + 1 000 = 5 500 000

10


5 999 999 + 1 = 6 000 000

Tic Valor posicional y descomposiciones

Afirmaciones para recordar y ejercitar el valor posicional de las cifras en un número y su descomposición.

10

Sugerencias metodológicas Recuerde con los niños/as cómo aprendieron a ordenar cantidades en anteriores cursos. Aplique la forma de hacerlo en números de 7 y más cifras, recordando que si un número natural tiene más cifras que otro, es automáticamente mayor. Vayan comparando una a una las cifras, comenzando por la de mayor valor posicional y avanzando hacia la derecha, tal como se explica en el libro. Facilite suficientes oportunidades de ejercitación.


2.

700 000 000 + 60 000 000 + 5 000 000 + 80 000 + 7 000 30 000 000 + 2 000 000 + 50 000 + 4 000 + 300 + 5

#

10 000

342 050 000

_

53 503 000

_

643 050 508

_

8 UMi + 7 CM + 6 DM + 5 UM + 4 C + 3 D + 2 U

Formando grandes cantidades

32 054 305

5 # 10 000 000 + 3 # 1 000 000 + 5 # 100 000 + 3 # 1 000 6 CMi + 4 DMi + 3 UMi + 5 DM + 5 C + 8 U

765 087 000

_

_

3 # 100 000 000 + 4 # 10 000 000 + 2 # 1 000 000 + 5

3.

Más actividades

Escribe el número que corresponde a cada una de las siguientes descomposiciones.

8 765 432

_

Ordena los números de menor a mayor. Observa en el ejemplo cómo se comparan dos números. CMi DMi UMi

CM

DM

UM

C

D

U

CMi DMi UMi

CM

DM

UM

C

D

U

3

9

7

3

4

0

0

3

9

3

4

7

0

0

4

4

3 DMi = 3 DMi 4 UMi = 4 UMi 9 CM = 9 CM 7 DM > 3 DM Entonces, 34 973 400 > 34 934 700 Si comparamos dos números, es mayor el que tiene más cifras. Si tienen igual cantidad de cifras, comparamos las cifras según su posición hasta encontrar la desigualdad.

_

577 978 340

579 834 790

587 977 430

534 798 770

587 943 707

534 798 770 < 577 978 340 < 579 834 790 < 587 943 707 < 587 977 430 _

32 443 220

34 432 220

32 344 020

33 442 230

34 234 320

32 344 020 < 32 443 220 < 33 442 230 < 34 234 320 < 34 432 220 4.

En la siguiente tabla ordena los continentes según la extensión de su territorio, de más grande a más pequeño. Continente

Superficie (km)

Asia

43 810 000

América

42 330 000

África

30 370 000

Antártida

13 720 000

Europa

10 180 000

Oceanía

7 600 000

2

n í a 2 O c e a m 0 0 0 k 7 6 0 0

América 42 330 000 km 2

E ur opa 10 180 0 00 k m 2

Cálculo mental

Incluya en la rutina diaria cinco a diez minutos de cálculo mental como “calentamiento”, usando ejercicios y juegos matemáticos individuales y grupales.

Asia 43 810 000 km 2 Á fr i ca 3 0 3 70 0 00 k m 2

Antártida 13 720 000 km 2


Otro día, descomponga un número sencillo, como 485 = 4 centenas + 8 decenas + 5 unidades _ 485 = 400 + 80 + 5 485 = 4 x 100 + 8 x 100 + 5 x 1 Pregunte a los niños/as cómo se llaman las operaciones que utilizó para las descomposiciones y cómo las hizo. Desafíelos a descomponer cantidades cada vez más grandes, cuidando organizar las cifras en grupos de tres unidades (unidades, miles y millones).


Para algunos niños/as puede resultar sencilla la formación, escritura y lectura de grandes cantidades, pero para otros, no. Formen dos grupos en el curso y los/as participantes escriban en cada tarjeta (10 cm X 10 cm) un número de 3 cifras. Mezclen las tarjetas y un/a representante de cada grupo saque 3 tarjetas. El/la participante deberá escribir las 9 cifras en la pizarra y el número en forma literal. Por ejemplo, 431 679 081 Luego, leerá y escribirá: “cuatrocientos treinta y un millones seiscientos setenta y nueve mil ochenta y uno.” Gana el grupo que más puntos acumule con cada actividad correcta.

11

Haga cada vez más comple jos los ejercicios a medida que avance los contenidos de la unidad, usando grandes cantidades, descomposiciones, operaciones de suma y resta con varios factores y operaciones combinadas. Aumente progresivamente el desafío e incluya puntajes y tiempos (medidos con cronómetro) para generar más interés en los niños/as.

11

Más información

Propiedades de la adición y la sustracción

Etimología En el último censo se recogió la siguiente información de Pueblo Chico. Se la puede comparar con los datos del año 2001.

La palabra adición viene del latín addo, que significa añadir o agregar. La palabra resta viene del latín restare, que significa estar demás, sobrar o quedar.

Edades (años)

Hombres

Mujeres

0–3

0

10

4–9

5

7

10 – 12

3

5

13 – 18

2

5 56

19 – 60

45

61 – adelante

30

35

Total

85

118

Población

Hombres

Mujeres

2001

75

102

2010

85

118

Años

¿Cuántos niños y niñas menores a los 3 años hay en Pueblo Chico?

Más actividades

0 + 10 = 10 Niños

Siempre las mismas cantidades

Hay 10 niñas menores a los 3 años.

Niñas Cuando a un número se le suma o se le resta 0 (cero) se obtiene el mismo número. El cero es el elemento neutro.

Anote en la pizarra lo siguiente:

¿Cuántos niños y niñas menores a los 12 años hay en Pueblo Chico?

(___ + ___) – ___ = 13

Niños 

___ – (__ _ – ___) = 11

Niñas 

0 + 5 + 3 + 10 + 7 + 5 = 0 + 10 + 5 + 5 + 3 + 7 = 30

___ – (__ _ + ___) = 13

Hay 30 niños y niñas menores a los 12 años.

(___ – ___) + ___ = 11 ___ + (__ _ – ___) = 13

Cuando se cambia el orden de los sumandos en una adición, se obtiene la misma suma. Esta es la propiedad conmutativa. No se aplica en la sustracción, porque no se puede cambiar el orden de los términos.

Proponga a los niños/as que encuentren todas las combinaciones de 5, 6 y 12 para obtener los resultados dados y aplicando las propiedades conmutativa y asociativa.

¿Cuánto ha cambiado la población entre el año 2001 y el 2010? Primera forma Hombres Mujeres Año 2001

75 + 102 = 177

Año 2010

85 + 118 = 203

Segunda forma Mujeres

Hombres

(118 – 102) + (85 – 75) = 16

+

10

= 26

203 – 177 = 26 En el año 2010 hay 26 habitantes más que en el 2001. Cuando en una adición de tres o más sumandos se cambia la agrupación de los sumandos, se obtiene la misma suma. Esta es la propiedad asociativa. No se agrupa en la resta. Al conocer y aplicar las propiedades de la adición y la sustracción podemos calcular de forma más sencilla. Se nos facilita especialmente el cálculo mental.

Tic Propiedades de la adición

Ejercicios donde se aplican las propiedades de la adición.

12


Sugerencias metodológicas Anote en la pizarra un ejercicio con tres sumandos y asocie dos de ellos. Pregunte a los niños/as para qué creen que sirve el paréntesis en una operación. Concluyan que sirve para asociar cantidades, para operar con ellas por separado y en primer lugar, antes de resolver las demás operaciones. Explore con los niños/as usando ejemplos la utilidad de la propiedad asociativa, sumando cantidades según nos convenga. Puede utilizar para ello operaciones como 30 + 85 + 15 + 20 = (30 + 20) + (85 + 15) = 50 + 100 = 150

12


1.

479

479 + 0 =

0 + 2 570 = 2 570 2.

Más actividades

Completa y calcula.

159 – 0 = 0–

0

159

=0

354 +

0

= 354

5 758 –

0

= 5 758

Juego con tarjetas

Prepare 40 tarjetas de cartulina con números del 20 al 59; mézclelas y forme un montón. Organice grupos de 4 niños/as. El primer jugador tomará una tarjeta del montón y la pondrá a su lado. Los demás jugadores harán lo mismo en cada grupo. Al final de la jugada, cada grupo tendrá 4 tarjetas, cuyos números deberán ser sumados.

Aplica las propiedades conmutativa y asociativa y resuelve. Sigue el ejemplo.

6 + 12 + 4 + 8 =

870 + 40 + 30 + 60 = 870 + 30 + 40 + 60 = (870 + 30) + (40 + 60)

6 + 4 + 12 + 8 =

= 900 + 100 = 1 000

(6 + 4) + (12 + 8) = 10 + 20 = 30

325 + 210 + 75 + 90 = 325 + 75 + 210 + 90 = (325 + 75) + (210 + 90) = 400 + 300 = 700

629 + 120 + 80 + 71 = 629 + 71 + 120 + 80 = (629 + 71) + (120 + 80) = 700 + 200 = 900 3.

1 200 + 16 = 800 + 16 +

600 + 79 = 400 + 79 +

Ganará la ronda el equipo que tenga la menor suma. Este equipo se quedará con las tarjetas. Ganará el equipo que tenga más tarjetas.

1 200 + 16 = 800 + 16 + 200

600 + 79 = 400 + 79 + 200

Ejercicios

Completa de modo que cada igualdad sea verdadera. Sigue el ejemplo.

679 = 370 + 79 + 30 +

1 216 = 740 + 16 + 60 +

600 + 79

1 200 + 16 = 740 + 60 + 16 +

=

370 + 79 + 30 +

Proponga a los niños/as que creen ejercicios similares para ejercitar el uso de las propiedades.

1 934 = 710 + 190 + 34 + 1 900 + 34

=

710 + 190 + 34 +

1 900 + 34 = 900 + 34 + 1 900 + 34 = 900 + 34 + 1 000 4.

Escribe los signos + o – para obtener los resultados.

(8

+ 7) + 3 = 18

(15 – 8) + 2 = 9 6

+ (7

–

3) = 10

(8 + 1) = 13

+

Resuelve primero las operaciones entre paréntesis.

24

35

65

77

25

83

46

76

246

23 – (7 + 6) = 10

4 +

(37 + 8) – 5 = 40

13 + (8 – 7) = 14

158

(12 – 7) – 2 = 3

(20 – 9) + 1 = 12

123 904

5.

Lee y resuelve.

–

Santa Cruz de la Sierra, igual que muchas ciudades, ha crecido de forma sostenida en las últimas décadas. En 1976 tenía 254 682 habitantes; en 1992 tenía 442 596 habitantes más; en 2001, 418 781 más, y en 2010, aumentó en 569 825 habitantes. 1888 1958

•

¿Cuánta población tenía Santa Cruz de la Sierra en el año 2010? 1 685 884 habitantes.

•

¿Cuántos habitantes más llegó a tener después de 34 años?

1 000 230 . s a i p m i L o g u H r o t c í V : e t n e u F

1973 1969 1985

1 431 202 habitantes más.


2000

13

1 839 679 Combinando cantidades

Escriba en la pizarra el siguiente conjunto de números: 450 321 300 105 298 871

108 342 443 778 98 466

Pida a los niños/as que busquen: Ahora, intente hacer un procedimiento similar con la resta, con un ejercicio como: (300 – 57) – 13 = 300 – (57 – 13). Algunos niños/as obtendrán distintos resultados, que podrán comparar, concluyendo que no podemos aplicar la propiedad asociativa a la resta, pero sí podemos tener una resta entre paréntesis que debemos priorizar.

•

•

•


dos números cuya diferencia sea 6 543 dos números cuya diferencia sea 1 234 dos números cuya diferencia sea 9 876

13

Más actividades

Adiciones y sustracciones combinadas

Con y sin paréntesis

El año 2009, Bolivia tenía 10 227 299 habitantes. Los tres departamentos más poblados eran La Paz, Cochabamba y Santa Cruz.

Pueden pasar a la pizarra dos niños/as. Anote un ejercicio y pídales que lo resuelvan; un niño/a lo resolverá sin usar paréntesis ni aplicar las propiedades y el otro niño/a lo hará aplicando las propiedades de la adición y la sustracción y usando paréntesis, mientras los compañeros/as observan su trabajo. Evalúen luego conjuntamente su desempeño y cuál es la forma de operación más conveniente. Puede repetir la experiencia con voluntarios/as.

Población (habitantes)

Departamento

Área urbana

Área rural

La Paz

1 913 829

884 824

Cochabamba

1 162 446

661 640

Santa Cruz

2 105 484

600 981

Calculamos de dos formas: ¿Cuánta población habitaba los tres departamentos? Primera forma:

+

Área urbana

Área rural

1 913 829

884 824

1 162 446

+

2 105 484

+

5 181 759

Segunda forma:

La Paz

600 981

=

2 147 445

7 329 204

Cochabamba

Santa Cruz

(1 913 829 + 884 824) + (1 162446 + 661 640) + (2 105 484 + 600 981) =

Los ejercicios pueden ser similares a:

+

2 798 653

1 487 + 1 234 + 2 556 + 213 =

+

1 824 086

Los tres departamentos estaban habitados por un total de

6 728 – 1 222 – 234 + 784 =

2 706 465

7 329 204

=

7 329 204

personas.

Podemos calcular una serie de operaciones combinadas de dos formas: Con paréntesis Sin paréntesis Cuando no hay paréntesis, se resuelven las adiciones y/o sustracciones de izquierda a derecha. 10 – 3 – 1 + 5 15 – 6 + 2

Tic

Cuando hay paréntesis, se calculan primero las operaciones que hay dentro de los paréntesis. Luego, se resuelven las adiciones y sustracciones de izquierda a derecha. 10 – (3 – 1) + 5 15 – (6 + 2)

9+2

7–1+5

11

6+5

15 – 8

10 – 2 + 5

11

7

8+5


Ejercicios donde se combinan adiciones y sustracciones.

661 640

13 1.

Calcula aplicando ambas formas. •

¿Cuántos habitantes tenía el departamento más poblado? La Paz 2 798 653 habitantes.

•

¿Cuántos habitantes había en Cochabamba y Santa Cruz? 4 530 551 habitantes.

14


Sugerencias metodológicas Las operaciones combinadas se presentan con y sin paréntesis; puede explicar a los niños/as que en esta unidad trabajarán con adiciones y sustracciones combinadas, pero que verán más adelante cómo se puede operar también con multiplicaciones y divisiones. Deje claro el proceso a seguir para resolver operaciones combinadas, repitiéndolo con ellos: 1) Si existen paréntesis, calculen primero las operaciones que están dentro de ellos. 2) Una vez resueltos los paréntesis o si la expresión no los tiene, realicen las operaciones según aparecen, en el mismo sentido que leemos y escribimos, de izquierda a derecha.

14


2.

3.

4.

92 –(5 + 9 )– 2 = 76

(92 – 9 + 2)– 5 = 80

(92 + 2) – (9 – 5)= 90

(92 – 5)+ (9 – 2 )= 94

(92 + 9)+ (5 – 2) = 104

92 –(5 – 2 )+ 9 = 98

Fichero de ejercicios

Escribe >, < o =, según corresponda. _

(182 000 + 9 000) – 43 009 < 148 000

_

78 037 – (47 345 + 10 732) = 19 960

_

25 000 – (12 320 – 8 999) = 21 679

_

(312 674 – 68 672) + 56 873 > 30 875

_

85 107 + (51 230 – 28 189) < 108 418

_

(123 456 – 18 929) – 87 504 < 78 629

Completa los cuadrados mágicos. 11

4

9

16

2

3

13

17

24

1

8

15

6

8

10

5

11

10

8

23

5

7

14

16

7

12

5

9

7

6

12

4

6

13

20

22

4

14

15

1

10

12

19

21

3

11

18

25

2

9

24

La suma de cada fila, columna y diagonal es la misma. Ningún número puede repetirse. 5.

Más actividades

Escribe el paréntesis donde corresponde para que cada igualdad sea verdadera.

34

65

Lee la información y resuelve. El año 2001 había en Bolivia 4 184 910 mujeres y 4 143 790 hombres. El 2010 éramos 5 224 180 mujeres y 5 201 974 hombres.

•

¿Cuál era la población total de Bolivia el año 2001? 8 328 700 habitantes.

•

¿Y el 2010?

•

¿Cuántas mujeres más que varones había en 2001? 41 120 mujeres.

•

¿Cuántas el 2010? 22 206 mujeres.

•

¿Entre 2001 y 2010 aumentó más la población de mujeres o de varones? hombres 1 058 184 >

10 426 154 habitantes.

Organice parejas de niños/as. Indique que cada niño/a escribirá cinco ejercicios donde combinen adiciones y sustracciones, que lo resolverá y anotará el resultado en una hoja aparte. Luego, intercambiará sus ejercicios con su compañero/a para que los resuelva. Finalmente, comprobarán juntos los resultados. Si son correctos, anotarán en tarjetas de cartulina cada ejercicio de un lado de la tarjeta y el resultado del otro lado. El material de todo el curso quedará reunido en una caja como fichero para la ejercitación de sumas y restas combinadas.

Pensamiento crítico e investigación

mujeres 1 039 270

Cálculo mental. Observa

43 + 19

los ejemplos y calcula mentalmente por operaciones sucesivas. +19

_

43

43 + 17

63 + 20

62

43

–1

32 + 19 51

42 + 39 81

54 + 59 113

28 + 17 45

73 + 27 100

82 + 37 119

+17

_

63 + 20

60 –3

•

¿Cómo sumarías 28 a un número de 2 cifras?, ¿y cómo restarías 37? Sumaría 30 y restaría 2.

•

Inventa operaciones y compártelas con tus compañeros/as.

restaría 40 y sumaría 3.


15

Impulse que los niños/as fortalezcan su autonomía al buscar diferentes caminos para resolver operaciones y problemas antes de darles una única solución o un procedimiento estándar con pasos muy estructurados. Sin embargo, insista en que comprobar los resultados mediante la operación inversa dará rigurosidad a su trabajo.

También proporcione a los niños/as ejercicios y problemas donde haya que completar alguno de los operadores o el resultado. 100 + __ _ – 40 = 85 __ __ _ – 10 + 30 = 70 250 – 50 – 40 = __ __


15

Más actividades

Redondeo y estimaciones de sumas y diferencias

Cálculos aproximados y exactos

El Instituto Nacional de Estadística proyecta un aumento progresivo de la población de nuestro país en los próximos años. En la siguiente tabla se muestran estimaciones hasta el año 2050.

Anote en la pizarra algunos ejercicios y proponga a los niños/as que calcularán el tiempo que demanda hacer cálculos aproximados y exactos. Utilizará un cronómetro para hacer la medición mientras dos niños calculan simultáneamente. Puede repetir la actividad con diferentes niños/as y operaciones. Los ejercicios pueden ser:

Completamos la tabla redondeando cada cantidad a la unidad de millón más cercana.

•

10 000 000

12 362 780

12 000 000

2030

14 114 508

14 000 000

2040

15 588 156

16 000 000

16 734 335

17 000 000

c

•

12 000 000

¿Y el 2050? c

17 000 000

UMi

CM

DM

UM

C

D

4 000 000

4 000 000

4 030 000

4 027 000

4 027 300

4 027 320

Para redondear un número debemos tener un criterio previamente establecido de aproximación hacia su valor más cercano o próximo.

Si el total de una adición es 570 648 y uno de los sumandos es 42 216, ¿cuál es el otro sumando?

Entonces nos fijamos en la cifra del orden inmediatamente inferior, ubicada a la derecha:

1.

•

Si la cifra es menor que 5, la cifra redondeada se mantiene.

•

Si la cifra es 5 o mayor que 5, la cifra redondeada aumenta en 1.

•

Todas las cifras situadas después de la cifra redondeada, se convierten en ceros.

Redondea. A la unidad de millón

Si la diferencia en una sustracción es 312 575 y el minuendo es 658 000, ¿cuál es el sustraendo? Si la suma de tres números es 59 542, el primer sumando es 12 346 y el segundo es 650 unidades mayor que el primero, ¿cuál será el tercer sumando?

10 426 154

2020

Alrededor de cuántos habitantes tendrá Bolivia el año 2020?

≈ se lee “alrededor de”

Piensa, piensa

•

2010

•

Observa el siguiente ejemplo en el que s e redondea 4 027 323 a distintos órdenes.

5 234 + 2 947 + 1 199

Si el sustraendo es 423 548 y la diferencia es 8 579, ¿cuál es el minuendo?

Población redondeada (hab.)

Cuando usamos palabras como “alrededor de”, “se estima que” o “aproximadamente” nombramos cantidades que no son exactas. Una aproximación por redondeo nos permite comprender y calcular con facilidad, sobre todo si usamos grandes cantidades.

495 – 392 398 – 293

•

Población estimada (hab.)

2050

198 + 397 296 + 599

•

Año

A la unidad de mil

5 783 400

46 125 600

7 977 421

6 000 000

46 000 000

8 000 000

5 783 400

46 125 600

7 977 421

5 783 000

46 126 000

7 977 000

16


Sugerencias metodológicas Recuerde con los niños/as cómo redondeamos cantidades, mediante varios ejercicios en la pizarra, y concluyendo que un número redondeado a las decenas será mucho más cercano al número original que otro redondeado a las unidades de mil. Especule sobre si redondear y estimar facilitarán las operaciones con números grandes y pida a los niños/as que nombren las situaciones en que resulta útil. Explíqueles, con un ejemplo en la pizarra, que cuando tenemos números de muchas cifras redondeadas, las cifras finales se convierten en cero y terminamos sumando solo unas

16


2.

473 428

CM

DM

UM

500 000

470 000

473 000

473 400

473 430

398 100

398 120

400 000

400 000

642 793

600 000

640 000

643 000

642 800

642 790

117 435

100 000

120 000

117 000

117 400

117 440

DMi

Problemas sencillos •

UMi

792 459 200

800 000 000

790 000 000

792 000 000

517 850 342

500 000 000

520 000 000

518 000 000

334 932 150

300 000 000

330 000 000

335 000 000

868 327 216

900 000 000

870 000 000

868 000 000

•

Estima aproximando mentalmente. Sigue el ejemplo.

34 + 78

_

79 + 38

_

A las centenas

38 + 27

_

96 – 38

_

A los millares

670 – 432

_

700 – 400 = 300

8 325 + 4 181

_

8000 + 4 000 = 12 000

80 + 40 = 120

835 + 293

_

800 + 300 = 1 100

6 952 + 4 097

_

7 000 + 4 000 = 11 000

40 + 30 = 70

1 327 + 146 _ 1 300 + 100 = 1 400

9 010 – 3 893 _ 9 000 – 4 000 = 5 000

100 – 40 = 60

6 235 – 491

6 200 – 500 = 5 700

7 832 – 4 181 _ 8 000 – 4 000 = 4 000

30 + 80 = 110

_

_

7 000 000 – 3 000 000

Valor exacto 24 789 000 – 14 345 000

_

25 000 000 – 14 000 000

Valor exacto 36 125 000 + 34 900 000

36 000 000 + 35 000 000

_

Valor exacto 154 120 000 + 190 000 000

_ 154 000 000 +

=

4 000 000

=

3 799 901

=

11 000 000

=

10 444 000

=

71 000 000

=

71 115 000

190 000 000 =

•

Valor exacto

=

•

344 000 000 344 120 000

Lee y responde. Justifica tu respuesta. La población de India en el año 2005 era de 1 068 000 000 habitantes y la de China era de 1 288700 000.

•

¿A qué cifras crees que es más adecuado redondear estas cantidades? India 1 100 000 000 / China 1 300 000 000

•

¿Cuál población es mayor? La de China.


17

El lunes, Adrián leyó 82 páginas de su libro y el martes leyó 57 páginas. ¿Cuántas páginas leyó aproximadamente en los dos días? En un colegio, 780 estudiantes se han apuntado a un curso de inglés y 615 a uno de francés. ¿Cuántos estudiantes aproximadamente se apuntaron al curso de inglés más que al de francés?

Problemas complejos

Redondea cada número a la unidad de millón más cercana y calcula. Luego, con ayuda de una calculadora, obtén el valor exacto y compara ambos resultados. 6 789 901 – 2 990 000

5.

D

398 120

A las decenas

4.

C

398 000

CMi

3.

Más actividades

Completa los cuadros redondeando cada número a las posiciones indicadas.

Una fábrica tenía en su almacén 345 584 lapiceras. Vendió 298 654 y se malograron 5 678. Si a última hora le hicieron un pedido de 156 350 lapiceras, ¿cuántas le sobraron o le faltaron aproximadamente en unidades de mil para cumplir el pedido? Un banco promete a sus clientes atenderlos bien. El lunes colocó en sus cajeros automáticos Bs 467 000. Entre lunes y viernes, los clientes retiraron Bs 375 000. ¿Cuánto dinero en decenas de mil debe colocar el banco para el fin de semana en sus cajeros, si entre sábado y domingo se retiran normalmente Bs 169 800?

pocas cifras. Utilice como ejemplo la suma 579 632 + 337 841 Redondeamos a la unidad de mil 580 000 + 338 000 Aplicamos una estrategia de suma 5 CM + 8 DM 3 CM + 3 DM + 8 UM 8 CM + 11 DM + 8 UM Como 1 CM = 10 DM _ 9 CM + 1 DM + 8 UM _ entonces, el resultado es 918 000 Realice un ejercicio similar con la sustracción.


17

Más información

Números romanos

Historia de los números romanos

Julia intenta comprender e interpretar la siguiente noticia:

Los romanos formaron un imperio que se extendía por casi toda Europa y el norte de África. Los pueblos sometidos aprendieron de ellos su modo de vida, sus costumbres, su lengua llamada latín, su escritura y también su sistema de numeración, que se desarrolló en base al sistema griego. Combinaron siete letras para obtener todos los números, aplicando reglas de suma y resta. Sus letras asemejaban un dedo (I), una mano (V) y dos manos (X). El sistema romano estuvo vigente 2000 años y hoy lo aprendemos para nombrar acontecimientos de la historia o para un uso decorativo, ya que es poco práctico para el cálculo. Todavía se observa en la designación de siglos, actos y escenas de una obra de teatro, en las olimpíadas, congresos y certámenes, en la numeración de reyes, emperadores y papas, en inscripciones antiguas, en las páginas y capítulos de muchos libros y en relojes antiguos.

A fines del siglo XIX y durante el siglo XX disminuyeron las tasas de mortalidad gracias al control de epidemias por la medicina moderna y el freno de plagas que causaban estragos en el mundo agrícola. Se estima que a fines del siglo XXI habitaremos el planeta Tierra unos 10 mil millones de personas. Los romanos usaron 7 letras mayúsculas para escribir los números. Cada letra tenía un valor numérico. I

V

X

L

C

D

M

1

5

10

50

100

500

1 000

Combinando estos símbolos podemos escribir todos los números. Completa aquellos que faltan en la tabla. I

Los números que usamos habitualmente fueron introducidos en Europa por los árabes y por eso les llamamos arábigos.

II III

IV

_

1

_

2

_

3

XI

4

_

XII

_

XIII

_

11

12 L

13 14

XIV

_

_

5

XV

_

15

VI

_

6

XVI

_

16

_

7

XVII

VII VIII

_

IX X

_ _

_

17

XVIII

_

18

9

XIX

_

10

XX

_

8

_

XL

V

_

XXX

LX

_

40

_

50 60

_

LXX

_

70

LXXX

_

80

XC

_

90 100

C

_

19

D

_

500

20

M

_

1 000

Para escribir cantidades con números romanos hay que seguir reglas: 1) Regla de la adición

2) Regla de la sustracción

3) Regla de la repetición

4) Regla de la multiplicación

Un símbolo menor a la derecha de uno mayor, se suma.

Las letras I, X y C escritas a la izquierda de otro símbolo mayor se restan.

Solo las letras I, X, C y M se pueden repetir, y además, tres veces como máximo. Las letras V, L y D no se escriben seguidas en un número.

Una línea horizontal escrita sobre una o varias letras, multiplica por 1 000 su valor. Se usa para representar números mayores o iguales que 4 000.

III _ 3 XX _ 20 MMM _ 3 000

V _ 5 x 1 000 = 5 000 XI _ 11 x 1 000 = 11 000 XXIV _ 24 x 1 000 x 1 000 = 24 000 000

LX _ 50 + 10 = 60 CLI _ 100 + 50 + 1 = 151 MD _ 1 000 + 500 = 1 500

IV _ 5 – 1 = 4 XL _ 50 – 10 = 40 CD _ 500 – 100 = 400

LL

_

C

XXXX

_

XL

El sistema de numeración romano es no posicional. Las letras tienen valores fijos en cualquier posición que ocupen.

18


Sugerencias metodológicas Recuerde con los niños/as los números romanos y sus posibles combinaciones, presentándoles las reglas de la adición y repetición, que ya vieron en el anterior curso. Para ello, puede dictarles números sencillos, como 33, 52, 15, 101. También propóngales que lean algunos números romanos como XXVI, MCII, LVI, CXVI. Explique la regla de la sustracción, y pida a los niños/as que identifiquen números menores a la izquierda de uno mayor para aplicarla; utilice números como IV, IX, XIX, XC. Pida a los niños/as que anoten números aplicando las tres reglas.

18

30


1.

Más actividades

Completa las series con números romanos. 10, 15, 20, ... 50

_

100, 200, ... 900

_

X, XV, XX, XXV, XXX, XXXV, XL, XLV, L

Sopa de letras.

C, CC, CCC, CD, D, DC, DCC, DCCC, CM

Entregue a los niños/as una fotocopia de la sopa de letras. Después, escriba en la pizarra los siguientes números romanos y pídales que busquen en la sopa de detrás el nombre de dichos números:

1 000, 1 500, ... 5 000 _ M, MD, MM, MMD, MMM, MMMD, IV, IVD, V 2.

Aplica las reglas para averiguar el valor de los números romanos. XI

10 + 1

_

CX

100 + 10

_

MDX

=

= 110

1 000 + 500 + 10

_

15 = VVV

11

150 = LLL

1 510

=

10 – 1

_

CD

500 – 100

_

MCM

_

CDXLIV 3.

_

4 601 450

XL

– 100) + (50 – 10) + (5 – 1) =

1 900

4

_

# 1

000

(50 – 10)

1 000

= 4 000 000

000

= 40 000

#

# 1

(1 000 + (500 – 100))

_

XIXL _ (10 + 1)

444

IV

MMMM_

_

_

MCD

CDIX

_

_

MMMMDCI

LD

IVDCI

CDL

# 1

# 1

000 = 1 400 000

000 + (50 – 10) = 11 040

CDXLV

445

_

XDXLV

759

_

DCCLIX

2 308

_

MMCCLLVIII

MMCCCVIII

MMCCXVI

1 558

1 035

MDLVIII

MXXXV

2 442 MMCDXLII

1 664 MCDXLIV

El año de tu nacimiento

Tu número favorito

Respuesta libre.


U

I

N

C

E

N

M

O

T

U

U

Q

E

I

T

R

I

A

R

I

S

D

E

N

E

D

L

T

E

N

A

O

Q

C

M

O

I

N

I

I

R

C

N

U

I

C

I

E

N

E

I

E

D

E

E

H

O

U

T

N

A

S

T

N

O

E

H

C

A

T

S

I

E

T

E

N

E

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R

O

I

L

H

A

C

T

D

O

S

S

E

T

E

N

T

A

H

C

O

Juego de memoria

Escribe en números romanos:

Tu edad

Q

II, VII, XII, XV, XXX, L, LXX, LXXX, C, D, M

Descubre el número que se escribe en números romanos empleando todas las letras posibles. 2 216

5.

= 400 =

MD

Descubre qué números romanos están mal escritos. Anótalos de forma correcta. 409

4.

IV

1 000 + (1 000 – 100)

_ (500

4 000

9

=

CL

_

1 500 = DDD_

MDCLVI _1 000 + 500 + 100 + 50 + 5 + 1 = 1 656

IX

XV

_

19

Organice la clase en cuatro grupos. Reparta a cada grupo 20 tarjetas iguales y pida al grupo que escriba en una hoja diez números arábigos y sus equivalentes números romanos. Verifique con ellos que su trabajo sea correcto. Pídales que anoten los veinte números, uno en cada tarjeta. Intercambien las tarjetas con los otros grupos y jueguen a la memoria, colocándolas boca abajo sobre la mesa de forma ordenada y buscando pares.

Finalmente, explique la regla de la multiplicación y escriba con los niños/as números mayores a 4000. Realice con los niños/as una “lluvia de ideas” sobre fechas importantes para anotarlas en la pizarra, primero en números arábigos y luego en romanos.


19

Más información

Solución de problemas

Pasos para resolver un problema

Pasos para resolver un problema.

Recuerde a los niños/as los cuatro pasos establecidos para resolver cualquier problema:

Para resolver un problema de manera ordenada, seguimos cuatro pasos.

1

Indicaciones para el niño/a

Comprender el problema.

Analiza el contenido del texto.

1 Comprende el problema

Lee con atención el planteamiento del problema. Concéntrate en toda la información y datos que se te brindan. Comprende la situación. Cerciórate de comprender la pregunta que se quiere contestar o formula tú una pregunta.

2

Plantear una forma de resolverlo.

Planifica una estrategia.

el problema.

A pli ca la es tr at eg ia .

4

Comprobar el resultado.

R ev is a la so lu ció n encontrada.

En la maternidad atendieron 823 nacimientos en el primer trimestre del año. En enero nacieron 322 bebés y en febrero, 216. ¿Cuántos bebés nacieron en marzo? 1.

Comprendemos (¿qué sabemos del problema? ¿qué queremos saber?)

Sabemos que en la maternidad nacieron 823 bebés: en enero 322 y en febrero 216.

resolver el problema

Queremos saber cuántos bebés nacieron en marzo.

Razona una forma de solución, aplicando una o varias operaciones aritméticas. Ayúdate con dibujos o esquemas para visualizar una solución posible. Ten cuidado con el uso de los signos y los símbolos.

2.

Planteamos (¿cómo resolvemos el problema?)

Restamos a la cantidad total de bebés aquellos nacidos en enero y febrero. 3.

Resolvemos (¿qué operaciones realizamos?)

823 – (322 + 216) =

ó

823 – 322 – 216 = 285

823 – 538 = 285 La respuesta al problema es: Nacieron 285 bebés en el mes de marzo en la maternidad.

3 Resuelve el problema

4.

Comprobamos (¿es razonable la respuesta?)

285 + 322 + 216 = 823 Con la operación inversa comprobamos el resultado de la operación.

1.

Resuelve aplicando los cuatro pasos.

En un pueblo de 493 habitantes, murieron el año pasado 15 personas y nacieron 12 bebés.

4 Comprueba el resultado

Revisa la solución encontrada aplicando la operación inversa. Lee críticamente tu respuesta, asegurándote de que tenga lógica y sea razonable. Este último punto tiene que ver con la paciencia y el rigor en tu trabajo.

Resolver

Aplicamos los cuatro pasos al siguiente problema.

2 Plantea una forma de

Calcula hasta encontrar el resultado a la o las operaciones que elegiste para el problema. Formula una respuesta literal a la pregunta del punto 1.

3

•

¿Cuántas personas quedan en el pueblo? 493 – 15 + 12 = 490 / Quedan 490 personas.

20


Más actividades Invente otros problemas con los niños/as y resuélvanlos siguiendo los cuatro pasos.

20


Gráfico de

Tratamiento de la información

barras de dos características

Gráfico de barras de dos características El gráfico muestra la cantidad de población que habitaba el área rural y el área urbana de Bolivia y nos ayuda a observar sus cambios en el tiempo. 1.

Observa el gráfico y contesta.

¿Cuántas personas aproximadamente vivían en las ciudades (área urbana) en 1950?

•

700 000 personas.

7

¿Y en el año 2010?

•

7 000 000.

¿Cuántas personas aproximadamente vivían en el campo (área rural) el año 1950?

•

2 000 000.

s e t n a t i b a h e d s e n o l l i M

¿Y el año 2010?

•

3 500 000.

6 5 4 3 2 1 1950

1976

1992

2001

2010 Años

¿Qué área creció más en el t iempo?

• •

El área urbana.

Área rural

¿Qué año empezó a crecer más la población urbana que la rural?

Área urbana

1992.

En un gráfico de barras o de columnas se utilizan rectángulos para representar los datos. Cuando hay dos o más características se pueden comparar datos.

2.

Completa la tabla con información de tu colegio y luego, representa los datos en el gráfico de barras. Curso

Niños

Niñas

o

Primero (1 ) Segundo (2 o) Tercero (3o) Cuarto (4o) Quinto (5 o)

s 25 a ñ i n y 20 s o ñ i 15 n e d d 10 a d i t n 5 a C

Primero 3.

Responde.

• • •

Respuesta libre.

¿Qué curso tiene mayor cantidad de niñas? ¿Qué curso tiene mayor cantidad de niños? ¿Qué curso tiene mayor equilibrio entre niños y niñas?


Segundo

Tercero Cuarto Cursos de tu colegio Niños

Quinto

Niñas

21

Dibuje dos coordenadas cartesianas en la pizarra y anote en el eje x los meses de enero a junio. Reparta a seis niños varios cuadrados de un mismo color y explíqueles que cada niño será una barra, correspondiente a un mes y que graficarán con los cuadrados cuántos niños visitaron la biblioteca del colegio. Cada cuadrado equivaldrá a 10 niños. Indique al primero que coloque en enero cinco cuadrados, representando 500 niños; al segundo, que coloque 7, y así hasta completar los seis meses. Puede hacer preguntas como ¿en qué mes hubo más visitas de niños a la biblioteca?, ¿qué mes subieron las visitas?, ¿qué mes bajaron?, etc. Invite a seis niñas a pasar a la pizarra y entrégueles cuadrados de otro color. Repita el ejercicio, pidiéndoles que representen al lado de las columnas de los niños, cuántas niñas visitaron la biblioteca durante el semestre. Cuando acaben la representación, realice preguntas que ayuden a comparar ambas columnas mes a mes: ¿cuándo hubo más niños que niñas en la biblioteca?, ¿en qué mes fueron menos niñas? Recuerde en todo momento que cada cuadrado representa 100.

Tic Gráfico de barras

Representación gráfica de las frutas favoritas de varios grupos de niños.


21

Notas sobre las

Evalúa tus logros

actividades de

1.

evaluación Al final de cada unidad de este libro se proponen tres páginas con actividades de evaluación escritas. Cada tres unidades se proponen dos páginas de repaso acumulativo adicionales a la evaluación propia de la unidad. En cada unidad se facilitan tres preguntas de autoevaluación para los/las docentes, considerando aspectos referidos a lo conceptual, lo actitudinal y procedimental. Las actividades de evaluación buscan detectar de forma concreta qué aspectos han sido incorporados a los aprendizajes de los niños/as y cuáles necesitan aún ser fortalecidos y que obligan a detenerse antes de iniciar una nueva unidad. La evaluación da luces a los/las docentes, pero también pretende hacer notar al niño/a sus avances y desafíos, por lo que es importante corregir con ellos la sección Evalúa tus logros de forma individual o en parejas.

Rodea con círculos de colores.

Los números cuya cifra 8 tiene un valor de 8 UMi. Los números cuya cifra 7 tiene un valor igual a 70 000 000 U. Los números cuya cifra 9 tienen un valor igual a 9 CMi.

2.

978 500 200

98 500 700

72 930 800

8 720 420

675 800 090

920 780 000

Completa la tabla colocando en cada posición los dígitos que corresponden. Lee en voz alta las cantidades. CMI

3.

4.

5.

DMI

UMI

CM

DM

UM

C

D

U

1 438 259

1

4

3

8

2

5

9

7 319 218

7

3

1

9

2

1

8

14 507 002

1

4

5

0

7

0

0

2

25 347 111

2

5

3

4

7

1

1

1

329 551 320

3

2

9

5

5

1

3

2

0

503 215 700

5

0

3

2

1

5

7

0

0

Escribe cómo se leen los anteriores números.

1 438 259

_

Un millón cuatrocientos treinta y ocho mil doscientos cincuenta y nueve.

7 319 218

_

Siete millones trescientos diecinueve mil doscientos dieciocho.

14 507 002

_ Catorce

25 347 111

_ Veinticinco

329 551 320

_

503 215 700

_

millones quinientos siete mil dos. millones trescientos cuarenta y siete mil ciento once.

Trescientos veintinueve millones quinientos cincuenta y un mil trescientos veinte. Quinientos tres millones doscientos quince mil setecientos.

Escribe con cifras.

•

Cinco millones doscientos noventa y dos mil ochocientos setenta

•

Dieciocho millones veinticinco mil trescientos cincuenta

•

Setenta y nueve millones quinientos cinco mil ciento noventa

•

Novecientos millones setecientos veinte mil doscientos cincuenta

5 292 870

18 025 350 79 505 190 900 720 250

Descompón los siguientes números de tres formas.

54 072 913

_

5 DMi + 4 UMi + 7 DM + 2 UM + 9 C + 1 D + 3 U 50 000000 + 4 000000 + 70 000 + 2 000 + 900 + 10 + 3 5

157 328 004

_

# 10

000 000 + 4 # 1 000 000 + 7 # 10 000 + 2

# 1

000 + 9

# 100

+1

# 10

+3

# 1

1 CMi + 5 DMi + 7 UMi + 3 CM + 2 DM + 8 UM + 4 U 100 000000 + 50 000 000 + 7 000 000 + 300 000 + 20 000 + 8 000 + 4 1

22

# 100

000 000 + 5 # 10 000 000 + 7 # 1 000 000 + 3 # 100 000 + 2

# 10

OO0 + 8

# 1


Tic Cuadrado mágico

La adición de los valores de cada fila, columna o diagonal tiene un mismo valor.

22

000 + 4


6.

Mi desempeño

Completa la tabla.

como docente

Anterior 4 658 598

Posterior

4 658 599

4 658 600

63 402 999

63 402 998

7.

Número

•

63 403 000

727 128 028

727 128 029

727 128 030

947 699 998

947 699 999

947 700 000

Recupero los conocimientos previos de los niños/as, valorando sus avances y aprendizajes de años anteriores.

Piensa y escribe qué número es.

Muchas veces

•

El mayor número de nueve cifras

999 999 999

•

El menor número de ocho cifras

10 000 000

•

El mayor número que se puede formar con las cifras del 1 al 9 sin repetir ninguna 987 654 321

•

El menor número que se puede formar con las cifras del 0 al 8 sin repetir ninguna 102 345 678

Pocas veces

•

8.

Ordena los números.

De menor a mayor 73 012 74 005

De mayor a menor

8 976 73 120

19 200 84 320

19 110

8 976, 73 012, 73 120, 74 005, 84 320

18 730 18 640

Muchas veces 16 480

19 200, 19 110, 18 730, 18 640, 16 480

Pocas veces

•

9.

Completa el término que falta en las adiciones y sustracciones.

7 345 + 2 914 9 838

= 10 259

8 459 – 50 244

+ 47 281 = 57 119

12 459 + 13 129 = 25 588 10.

4 221

= 4 238

Promuevo la equidad de género y el trabajo cooperativo (en equipo) entre niños y niñas.

– 31 129 = 19 115

92 429 – 71 947 =

20 482

Muchas veces

Escribe la propiedad que se aplica en cada igualdad.

59 + 0 = 59

Pocas veces

Elemento neutro.

47 + 28 = 28 + 47

Propiedad conmutativa.

115 + (25 + 35) = (115 + 25) + 35 11.

Incentivo en los niños/as la experimentación y aplicación de estrategias propias

Propiedad asociativa.

Resuelve las operaciones. Comprueba tus resultados con calculadora.

532 729 + (527 132 – 112 004) =

947 857

1 257 329 + 1 113 451 – 97 328 – 15 329 =

2 258 123

(357 132 – 255 109) + (428 329 – 349 527) = (1 183 290 + 2 734 310) – (428 119 – 119 544) = ©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.


180 825 3 609 025

23

23

Notas sobre las actividades de

12.

Redondea cada número a la posición indicada.

evaluación En cada unidad del libro, además de los contenidos propiamente matemáticos, se abordan temas de la vida actual. Para esta primera unidad elegimos "Las poblaciones", con la intención de que los niños/as puedan aplicar sus nuevos conocimientos a la comprensión de la realidad. Parte de una evaluación puede referirse al ámbito de las actitudes, acogiendo inquietudes, sugerencias e iniciativas de los niños/as. Éstas pueden vincularse nuevamente al uso de grandes cantidades. Vale la pena constatar si el desarrollo de la unidad sirvió para enriquecer los conocimientos de los niños/as y para moverlos a ciertas acciones y/o reflexión desde un punto de vista educativo.

13.

UMi

CM

DM

UM

C

D

5 430 215

5 000 000

5 400 000

5 430 000

5 430 000

5 430 200

5 430 220

7 592 049

8 000 000

7 600 000

7 590 000

7 592 000

7 592 000

7 592 050

9 328 432

9 000 000

9 300 000

9 330 000

9 328 000

9 328 400

9 328 430 12 527 730

12 527 734

13 000 000

12 500 000

12 530 000

12 528 000

12 527 700

25 111 215

25 000 000

25 100 000

25 110 000

25 111 000

25 111 200

25 111 220

47 739 122

48 000 000

47 700 000

47 740 000

47 739 000

47 739 100

47 739 120

Estima el resultado de cada operación, redondeando al orden indicado. Luego, calcula de forma exacta y compara los resultados.

A la centena 4 795 + 3 140

4 800

_

+

_

7 935

5 316

_

– 1 250

_

–

4 066

14.

15.

A la unidad de mil 3 100

56 729 + 12 347 69 076

5 300

79 329

_

– 45 102

_

4 000

+

_

7 900

1 300

57 000

_

12 000 69 000

79 000

–

34 227

45 000 34 000

Escribe en números arábigos y romanos. 85

345

_

_

631

569

_

MCCLIII

_

1 253

718

_

XXVIII

_

28

854

_

CDXCII

_

492

2 542

_

MMDXLII

VCMXX

_

5 920

4 820

_

IVDCCCXX

XDCXXX

_

10 630

6 984

_

VICMLXXXIV

LXXXV

_

DCXXXI

CCCXLV DLXIX DCCXVIII DCCCLIV

Lee y resuelve.

•

La familia Gómez paga mensualmente sus cuentas por servicios. El anterior mes pagó Bs 1 500 de alquiler, Bs 200 de electricidad, Bs 120 por agua, Bs 40 de recojo de basura y Bs 180 de televisión por cable. ¿Cuánto gastó en total en servicios la familia Gómez? Bs 2 040

•

El señor Gómez gana mensualmente Bs 3 200 y la señora Gómez Bs 3 500. Si ese es todo el ingreso f amiliar, ¿cuánto dinero les quedó el mes pasado tras pagar sus servicios? Bs 4 660

24

24




VALORES El crecimiento poblacional es un fenómeno evidente en las principales ciudades de Bolivia. Se puede invitar a los niños/as a conversar con sus familiares mayores (padres, tíos, abuelos) para que les cuenten cómo era la vida hace algunas décadas. También sería importante mirar planos, especialmente de la propia ciudad, para constatar su gran crecimiento.

El crecimiento poblacional Es evidente el crecimiento de la población mundial en los últimos siglos. Y a pesar de que existan regiones que crecen más lentamente –como la europea– llegaremos a los 10 000 000 000 de seres humanos a fines de este siglo. En las próximas décadas, China, India y Estados Unidos seguirán siendo los países que concentran mayor cantidad de población, seguidos por Nigeria. En Sudamérica, Brasil sigue siendo el gigante por su extensión y cantidad de población.

•

En el año 2010, Brasil tenía 193 017 646 habitantes y Bolivia, 10 027 643 habitantes. ¿Cuántos más habitantes que Bolivia tenía Brasil ese año? 193 017 646 – 10 027 643 = 182 990 003. El año 2010 Brasil tenía 182 990 003 habitantes más que Bolivia.

La migración

El crecimiento poblacional y de las ciudades trae consigo ventajas y desventajas, que pueden ser conversadas con los niños/as, haciendo un balance sobre cómo era la vida, cómo es ahora y cómo imaginamos que será en el futuro (había más seguridad, había menos variedad de alimentos, había menos centros educativos, habrá menos empleo, etc.)

Muchas personas deciden dejar sus lugares de origen, su cultura e incluso su familia para alcanzar mejores oportunidades de vida. Desde Bolivia han migrado miles de personas hacia países con una economía más desarrollada, buscando empleos dignos. También ha existido mucha migración interna, desde las ár eas rurales hacia las ciudades, contribuyendo a crear grandes aglomeraciones de población en las ciudades. Algunas ciudades pequeñas han crecido tanto que han llegado a unirse entre sí en grandes manchas urbanas.

•

Argentina acoge una gran cantidad de migrantes bolivianos, que trabajan en la construcción, la confección de ropa, el comercio, entre otras ocupaciones. Se estima que hay 1 000 000 de migrantes bolivianos, de los cuales 233.464 fueron registrados en el censo del año 2001. ¿Cuántos bolivianos no fueron registrados? 1 000 000 – 233 464 = 766 536 Se estima que no fueron registrados 766 536 migrantes bolivianos en Argentina.



25

La migración también tiene aspectos positivos y negativos que pueden conversarse con los niños/as. Conocemos más de culturas que antes no eran “visibles”, pero también hay racismo y discriminación. Muchas personas migran buscando mejores condiciones de vida pero dejan sus familias; envían dinero pero hacen falta en la vida cotidiana (hay niños que extrañan mucho a sus padres que no están con ellos). Muchos barrios nuevos en las grandes ciudades no cuentan con servicios básicos y sus vecinos viven en situación de pobreza.

25


2

Multiplicación, división y potenciación.

Febrero Marzo Abril Mayo Junio Julio Agosto Septiembre Octubre Noviembre

Posibles dificultades en la unidad

La producción de alimentos

Confundir la propiedad

Se estima que existen hoy 850 millones de seres humanos que cada noche se van a dormir sin saber si al día siguiente tendrán alimentos para sobrevivir. Erradicar el hambre fue y sigue siendo el más grande desafío de la humanidad. El hambre es la más grave manifestación de la pobreza extrema. ¿Cómo podríamos acceder a alimentos si no tenemos cómo pagarlos o producirlos? Contradictoriamente, mucha pobreza se concentra en las áreas rurales, donde se produce la mayoría de los alimentos que llegan a las ciudades. A pesar de las mejoras tecnológicas, la producción de alimentos y su distribución son desafíos de este siglo.

asociativa con la propiedad distributiva. Identificar el orden operativo en una operación combinada. Multiplicar y dividir con ceros intermedios. Dividir con un divisor de dos y tres cifras. Confundir los datos al plantear la operación combinada que resuel-

26

• ¿Conoces personas que no tienen alimentos suficientes?

• ¿Y conoces familias que consumen más alimentos de los que necesitan?

• ¿Dónde consiguen los alimentos para tu familia?

• ¿Cuáles son los alimentos principales que consumes?


ve un problema. Multiplicar la base por el exponente en la potenciación.

Contextualización de la unidad Multiplicación, división y potenciación

Pasar por alto la cantidad que representa

El tema de La producción de alimentos tiene que ver con satisfacer una de las primordiales

cada dibujo y contar

necesidades humanas. La alimentación se relaciona directamente con los ingresos familia-

solo la cantidad de

res, las costumbres en cada región, el clima, los adelantos tecnológicos, entre otros.

dibujos que aparecen en los pictogramas. Representar información en un pictograma.

26


Vocabulario RECUERDA

matemático

1.

Prueba de exclusión del 9

Resuelve las siguientes multiplicaciones.

#

1 925 38

#

73 150

3 249 47

#

152 703

Procedimiento de

57 181 104

comprobación Elementos neutro y

5 946 824

absorbente 2.

Propiedades conmutativa y

Calcula añadiendo ceros.

5

# 10

=

29

# 10

=

77

# 100

=

50

36

# 10

=

360

93

290

28

# 20

=

560

760

# 1

7 700

45

# 40

=

1 800

407

# 10

# 100

asociativa

9 300

=

000 = 000 =

760 000

Propiedad distributiva

4 070 000

Propiedad fundamental de la división

3.

Calcula.


La mitad de

22

_

11

34

_

17

286

_

143

Paréntesis

Un tercio de

36

_

12

120

_

40

2 400

_

800

Estimación de productos y

Un cuarto de

60

_

15

280

_

70

4 000

_

1 000

cocientes Potenciación

4.

5.

Calcula el dividendo en cada caso.

Dividendo =

154

Dividendo =

3 206

36

#

35

44

# 25

= 300

60

= 2 160

# 200

#

490

7.

Pictogramas

divisor = 22

cociente = 7

divisor = 100

cociente = 32

resto = 6

Determina el factor que falta. 12

6.

Base y exponente

22

# 30

Otro vocabulario 450

680

'

' 30

= 15

20

= 34

' 55

= 45

2 475

= 7 000

33

= 968

1 056

'

= 14 700

9 240

' 44

=

de la unidad Erradicar

= 32

Pobreza extrema

210

Nutrición y alimentación

Piensa y escribe. Hay muchas respuestas posibles.

Necesidades energéticas

•

Una división exacta cuyo cociente sea 19. 228 ' 12 = 19

mínimas

• •

Una división exacta cuyo divisor sea 30. 1 200 ' 30 = 40

Kilocalorías

Una división entera cuyo dividendo sea 422. 422 ' 2 = 211

Hectáreas

Lee y resuelve

Comercialización

Una persona necesita 1 800 kilocalorías diarias para cubrir sus necesidades energéticas mínimas y considerarse bien nutrida.

Achachairú

•

Altiplano sur

Porongo

¿Cuántas kilocalorías necesitará consumir en una semana? 1 800

#

7= 12 600

Necesitará consumir 12 600 kcal en una semana.


Toneladas

27

Silos Apícola Cooperativa agrícola Exportación

Para vivir bien

Trópico cochabambino Tallos de palmito

•

Igualdad y dignidad – todas las personas tenemos derecho a acceder a una buena alimentación, especialmente en los primeros años de vida.

•

Responsabilidad – El Estado es el encargado de garantizar la seguridad alimentaria en el país, además de apoyar a los productores y procesadores de alimentos y de supervisar que lleguen al consumidor alimentos nutritivos y en buen estado. Cada familia elegirá los más nutritivos y convenientes para sus miembros.


Soya Castaña de Beni

27

Más información

Prueba de exclusión del 9 en la multiplicación

La prueba de exclusión del 9

La mamá de Magda calcula que en su familia gastan Bs 1 350 en queso por año. Quiere saber si hizo un buen cálculo. Magda le enseña una forma de comprobación sencilla.

La prueba de exclusión del 9 puede fallar cuando en el producto se tienen ceros.

Esta es la multiplicación que hizo la mamá.

Así

#

#

456 23 1 488 Esta es la prueba de exclusión del 9 que le enseñó Magda.

#

50 27 350 1 000 1 350

kilos de queso que compran por año. precio de 1 kilogramo de queso producto parcial: 50 x 7 producto parcial: 50 x 2

50 27 1 350

5+0=5 2+7=9 0 1+3+5+0=9

producto total

5

#

0

0

0=0

5 =

0

0

6 3

=

Como la igualdad destacada con rojo es cier ta, el resultado es correcto.

3 La mamá quiere ejercitar el pr ocedimiento con otra multiplicación.

5

La prueba indica que la

Calcula la cantidad de dinero que gastan en fruta por año.

multiplicación tiene una solución correcta, sin

#

embargo el resultado

52 45 250 2 080 2 330

semanas que tiene un año dinero que gastan en fruta por semana

52 45 2 330

5+2=7 4+5=9 0 2+3+3+0=8

gasto total en fruta por año

es 10 488. Comprueba si la multiplicación está bien resuelta.

#

7

#

0=0

0

7 =

8

0

Como la igualdad destacada con rojo es falsa, el resultado es incorrecto.

La prueba de exclusión del 9 es un procedimiento sencillo de comprobación donde:

Tic Prueba de exclusión del 9 Ejercicios para la aplicación de la prueba en multiplicaciones.

•

Se suman las cifras de cada factor y las del producto hasta quedar con un número de una sola cifra. Si esa cifra es 9, se la sustituye por 0.

•

Se multiplican las cifras obtenidas con los factores y se suman las cifras de este producto, hasta quedar con una sola cifra. Si esa cifra es 9, se la sustituye por 0.

•

Si los números que quedan en la cruz (a ambos lados del signo igual) no son iguales, la multiplicación ha sido mal realizada.

28


Sugerencias metodológicas La prueba de exclusión del 9 es sencilla pero requiere ejercitación. Puede colocarse a un lado de la pizarra, junto a otros materiales de apoyo, un cuadro donde se indique qué parte de la operación se coloca en cada lugar, que quede visible para que los niños/as verifiquen si están trabajando de forma correcta:

28


1.

Más actividades

Multiplica y comprueba.

#

2 + 7 + 4 + 9 = 22

2 749 38

3 + 8 = 11

_

4

2 + 2 = 4

1 + 1 = 2

_

Aunque los niños/as ya deb erían

4 1 + 0 + 4 + 4 + 6 + 2 = 17

104 462

#

Tabla pitagórica

8

2

21 992 82 470

+

=

8

3 + 5 + 6 + 9 = 23

3 569 179

1 + 7 + 9 = 17

_

_

# 2

=8

dominar las tablas de

1 + 7 = 8

_

la multiplicación, es 5

2 + 3 = 5 4

1 + 7 = 8

=

conveniente tener en 4

exposición una gran tabla pitagórica, que puede

8

32 121

+ 249 830

5

356 900 638 851

6 + 3 + 8 + 8 + 5 + 1 = 31

_

# 8

= 40

_

servirles de referencia.

4 + 0 = 4

Puede pedir a los niños/as que se

3 + 1 = 4

encarguen de su 2.

Multiplica y comprueba.

#

4 328 239

elaboración. #

8

38 952

4

+ 129 840

=

4

5

865 600

60 272

+

376 700

#

1 7

=

7

7

2 260 200

1 034 392

3.

7 534 358

9 766 725

1

48 830

+

5

195 320

=

Dominó matemático 5

Pida a un niño/a que

5

6 836 200

pase a la pizarra y anote un ejercicio de multiplicación con dos

7 080 350

2 697 172

factores de tres cifras.

Comprueba si los resultados son correctos usando la prueba de exclusión del 9.

#

1 293 158

204 284

6 3

x

=

#

2

6

5 574 275

1 532 850

3 6

=

#

6

5

Cuando lo haya resuelto,

6 324 384

2 428 916

6

x

8

=

pídale que aplique la 5

prueba de exclusión

6

del 9 de forma oral, para verificar que la

4.

Lee y resuelve. Comprueba los resultados con la prueba de exclusión del 9.

Los bolivianos somos grandes consumidores de papa. Se calcula que cada uno consume 100 kilogramos por año.

•

Existen más de 1 000 variedades de papa cultivada en nuestro país, que incluimos en nuestra dieta diaria.

¿Cuántos kilogramos de papa consume una familia promedio de 5 integrantes en un año? 5

# 100

realice adecuadamente. Acompañe el ejercicio con los compañeros/as hasta concluirlo y que el niño/a se siente. Pida un voluntario/a para

= 500 kg

que pase a la pizarra e invente un nuevo ejercicio

•

usando el segundo factor

Si el año 2007 se cosecharon 6 000 kilogramos de papa por hectárea cultivada y se cultivaron 126 942 hectáreas en todo el país, ¿cuántos kilogramos se cosecharon en total? 6 000

# 126

del anterior. Continúen trabajando de esta forma hasta completar varias

942 = 761 652000 kg.

multiplicaciones con sus pruebas.

29


Prueba de exclusión del 9 en la multiplicación Suma de cifras del primer factor A

Recuerde con los niños/as el lenguaje

Multiplicación

Suma de cifras

matemático aplicado a la multiplicación

de A X B

del producto

(factores, producto).

B Suma de cifras del segundo factor


29

Más información

Pruebas de la división

Otras formas de dividir Una granja tuvo una producción de 5 209 huevos de gallina. Para comercializarlos necesitan empaquetarlos en maples de 12 huevos cada uno. ¿Cuántos maples llenarán? ¿Sobrarán huevos?

A lo largo de la historia se han utilizado distintos métodos para

Dividimos 5 209 entre 12.

dividir. La división es una operación difícil y estuvo reservada

5 209 12 – 48 4 4

durante muchos años a calculistas profesionales, personas que se ganaban la vida haciendo cálculos con méto-

5 209 12 48 43 40 36 – 4 –

dos complicados que guardaban en secreto. En la actualidad pode-

1. Como 5 < 12, tomamos la segunda cifra del dividendo. Dividimos 52 entre 12. Probamos con el 4 _ 12 # 4 = 48; 48 < 52 Escribimos 4 en el cociente. Restamos _ 52 – 48 = 4

2. Bajamos el 0 y dividimos 40 entre 12. Probamos con el 3 _ 12 # 3 = 36 ; 36 < 40 Escribimos 3 en el cociente. Restamos _ 40 – 36 = 4

mos hacer divisiones de forma sencilla. Existen,

5 209 12 – 48 434 40 36 – 49 48 – 1

no obstante, diferencias a la hora de hacer los cálculos. Por ejemplo, en Estados Unidos no hacen la división como nosotros. Ellos, al divi-

3. Bajamos el 9 y dividimos 49 entre 12. Probamos con el 4 _ 12 # 4 = 48 ; 48 < 49 Escribimos 4 en el cociente. Restamos _ 49 – 48 = 1 1 es el resto o residuo de la división.

Llenarán 434 maples y sobrará 1 huevo.

dir, colocan el divisor a la izquierda del dividen-

Una división está bien hecha si se cumplen dos relaciones:

do y el cociente encima.

1. El resto es menor que el divisor _ r < d

Dividen de distinta

2. El dividendo es igual al divisor por el cociente más el resto _ d

forma pero obtienen los mismos resultados.

# c

+r=D

Comprobamos si la división 5 209 entre 12 está bien resuelta:

12

#

434 + 1 = 5 209; 1 < 12

La división es correcta.

La prueba de exclusión del 9 también se aplica en la división. El resto se suma a la multiplicación de las cifras obtenidas con los factores. Divisor Cociente

5 209 12

22,6

3

68

Dividendo

08 20 2

Estados Unidos

68

3

1 434

08 22,6 20 2

Resto

_

12 = 1 + 2 = 3 5 209 = 5 + 2 + 0 + 9 = 16 1+6=7 434 4 + 3 + 4 = 11 1+1=2 (3 # 2) + 1 = 6 + 1 = 7

7

3 =

7

2

Como la igualdad destacada con rojo es cierta, el resultado es correcto.

30


Sugerencias metodológicas También pueden colocar a un lado de la pizarra dos cuadros: uno donde se indique qué parte de la operación de división se coloca en cada lugar en la prueba de exclusión del 9 y otro con la operación indicada para comprobar una división, dejándolos visibles para que los niños/as verifiquen si están trabajando de forma correcta:

30


1.

Realiza las divisiones y aplica la relación D = d sus resultados.

8 752

' 13

Más actividades

c + r para comprobar

#

= 673 r 3

71 632

' 74

=

Divisiones

968

Anote en la pizarra algunas 13

#

673

27 408

3

+

' 29

74

= 8 752 945 r 3

=

83 607

# 968

' 81

=

1 032

divisiones para que los

71 632

=

niños/as las resuelvan y comprueben en sus cua-

r 15

dernos: 29 2.

# 945

+3

81

27 408

=

# 1

032 + 15

Realiza las divisiones y comprueba usando la prueba de exclusión del 9.

r9

59 321 73

6

47 289 15 3

3 152

=

3

r 45

1 2

812

849 724 432 7

=

7

r 159

9

1 320

' 222

23 467

' 328

33 345

' 323

2

=

9

Halla el resto que se obtiene al dividir cada uno de los siguientes números por 6.

240 r 0

241 r 1

242 r 2

243 r 3

244 r 4

245 r 5

Busca siete números mayores que 290, tales que, al dividir cada número por 7, se obtengan restos distintos. Puede haber muchas respuestas. 350 ' 7 = 50 r 0

5.

18 790

6

4

4.

' 545

8

723 519 548

9

r 412 1 966

=

15 765

2

2

3.

83 607

=

351 ' 7 = 50 r 1

352 ' 7 = 50 r 2

353 ' 7 = 50 r 3

354 ' 7 = 50 r 4

355 ' 7 = 50 r 5

356 ' 7 = 50 r 6

Lee y resuelve. Comprueba tus soluciones.

En la última Feria del Achachairú en Porongo (Santa Cruz), doscientos productores vendieron 100 000 frutos.

•

Si cada productor llevó la misma cantidad de frutos, ¿cuántos achachairús llevó cada uno?

El achachairú es un fruto de delicioso sabor ácido y dulce. Sirve para hacer helados, jugos y postres.

100 000 ' 200 = 500 achachairús.

Los productores llevaron los frutos en canastas con 500 unidades cada uno.

•

¿Cuántas canastas llevaron con los frutos vendidos en la Feria? 100 000 ' 500 = 200 canastas.

31


Prueba de exclusión del 9 en la división Suma de cifras del divisor A Multiplicación

Suma de cifras

de A X B

del dividendo B

Suma de cifras del cociente


Prueba de la división Dividendo = divisor X cociente + resto

Recuerde con los niños/as el lenguaje matemático aplicado a la división (dividendo, divisor, cociente, resto).

31

Más información

Propiedades de la multiplicación

El signo de la multiplicación

José y Carlos repasan las propiedades de la multiplicación que aprendieron en el curso anterior:

Las multiplicaciones se han representado a lo

1. Elemento neutro: si multiplicamos cualquier número distinto de 0 por 1, obtenemos el mismo número. El 1 es el elemento neutro de la multiplicación.

largo de la historia de muchas formas distintas. Los hindúes, por

59

#

1 = 59

1

# 325

= 325

ejemplo, simplemente 2. Elemento absorbente: si multiplicamos cualquier número por 0, el producto es 0. El 0 es el elemento absorbente de la multiplicación.

colocaban los números uno junto al otro. Esto provocaba muchas confusiones.

38

#

0=0

0

# 219

=0

3. Propiedad conmutativa: si cambiamos el orden de los factores en una multiplicación, el producto no varía.

Para evitarlas, en 1631, el matemático inglés William Oughtred intro-

5

#

35 = 175

35

# 5

= 175

_

5

# 35

= 35

# 5

dujo un signo especial para la multiplicación.

4. Propiedad asociativa: en una multiplicación de tres o más números, éstos pueden asociarse de cualquier forma y el producto no varía.

Utilizó por primera vez el signo X, con forma de aspa, para indicar la multiplicación. Algunos años después, en 1689, el matemático

# 28 # 12

= (14

# 28) # 12

14

# 28 # 12

= 14

# (28 # 12)

14

# 28 # 12

= (14

#

12)

# 28

= 392 = 14

# 12

= 4 704

# 336

= 4 704

= 168

# 28

= 4 704

5. Propiedad distributiva respecto de la suma y de la resta: si queremos multiplicar un número por una suma o una resta, multiplicamos dicho número por cada término de la operación y, después, sumamos o restamos los productos obtenidos.

alemán Wilhelm Leibniz pensó que el signo X podía confundirse con

23

la letra x y comenzó

# 5

= (20

a utilizar para la mul-

= (20 + 3)

# 5)

+ (3

# 5

# 5)

= 100 + 15 = 115

tiplicación otro signo distinto, el signo

14

, un

punto colocado entre

Conocer y aplicar las propiedades de la multiplicación facilita el cálculo.

los números.

distribuir = repartir.

En la actualidad usamos ambos signos, sin

Puedes recordar algunos sinónimos: conmutar = cambiar; asociar = juntar;

1.

dar la razón a ninguno de sus creadores.

Completa tomando en cuenta el elemento neutro y el elemento absorbente. 0

345

# 0

=

345

# 1

=

# 1

= 428

428

345

115

#

1

= 115

115

#

0

=0

0

# 56

=0

32


Sugerencias metodológicas Muestre a los niños/as de forma concreta con una matriz de puntos o de rayas (por ejemplo, de 15 filas X 3 columnas), que si invertimos la figura, obtendremos la misma cantidad de elementos (3 X 15 = 15 X 3)

_ propiedad

conmutativa.

A continuación, aumente la complejidad del ejercicio, aumentando un factor a la multiplicación, como si existieran “pisos”, además de la matriz (15 filas X 3 columnas X 6 pisos). Compruebe con los niños/as que pueden conmutar los factores, pero también asociarlos de varias formas hasta encontrar aquella que hace más sencilla la operación:

32


2.

Más actividades

Completa aplicando la propiedad conmutativa. Observa el ejemplo. 19

# 23

25

#

79

= 23 # 19 = 437

16 = 16

= 33

# 33

400

25 =

#

79 =

#

De lo simple a lo complejo 12

# 48

27

2 607

#

= 12

84 = 84

#

576

48 =

Para mostrar la utilidad de cualquier propiedad en la

# 27 = 2 268

simplificación de los cálcu3.

Completa para comprobar la aplicación de la propiedad asociativa. (13

# 15) # 25

195

# 25

# 12) # 66

588

#

#

= 13

#

=

4 875

(49

= 13

5.

6.

(38

375

# 14) # 28

532

= 49

#

66 = 49

#

#

= 38 # (14

28 = 38

#

ejemplos de una cifra:

# 28)

2 X 3 X 6, etc. y muestre

392

cómo se pueden complicar

14 896 = 14 896

(12

# 66)

(77

# 61) # 57

4 697

792

#

las operaciones al hacer

= 77 # (61

57 = 77 #

las cifras más grandes:

# 57)

20 X 30 X 60 o

3 477

200 X 300 X 600.

267 729 = 267 729

38 808

Resuelve aplicando la propiedad distributiva. Observa el ejemplo. 35

# 7

= (30 + 5)

# 7

= (30

19

# 8

= (10 + 9)

# 8

= (10

# 7)

# 8)

+ (5

+(9

# 7)

# 8)

Cálculo mental y propiedad distributiva

= 210 + 35 = 245

Explique a los niños/as que podemos descomponer

= 80 + 72 = 152

uno de los factores en uni-

= 9 # (50 + 6) = (9 # 50) + (9 # 6) = 450 + 54 = 504

9

# 56

8

# 127

=

8

(100 + 20 + 7) = (8

#

# 100)

+ (8 # 20) + ( 8

# 7)

dades, decenas, centenas,

= 800 + 160 + 56 = 1 016

etc., para simplificar el

Aplica la propiedad distributiva “al revés”. Observa el ejemplo. 6

# 3

+6

# 8

2

# 3

+2

# 17

7

# 6

–7

# 4

=

7

3

# 6

+3

# 4

=

3

8

# 9

–8

# 5

=

8

=6

# (3

+ 8) = 6

# 11

cálculo mental. Motívelos a aplicar esta técnica con

= 66

operaciones que incremen-

= 2 # (3 + 17) = 2 # 20 = 40 # (6

– 4) = 7

# 2

# (6

+ 4) = 3

# 10

# (9

– 5) = 8

# 4

ten la dificultad gradualmente. Déles un ejemplo

= 14

en la pizarra, como:

= 30

281 X 3 = = 32

200 X 3 + 80 X 3 + 1 X 3, (porque 281 = 200 + 80

Relaciona cada ejercicio con la propiedad aplicada. (3

# 4) # 5

2

# 14

=3

1 7

#

# (4 # 5)

= 14

197

7.

# 25)

4 875

38 808 = 4.

(15

los, comience siempre con

# 2

# 0

# 345

+ 1)

= 60

Propiedad conmutativa

= 28

=0

= 843

Propiedad distributiva

= 345

(2 + 10) = (7 # 2) + (7

= 600 + 240 + 3

Propiedad asociativa

Elemento neutro # 10)

= 84

Pensamiento

Elemento absorbente

crítico e

Calcula mentalmente de ambas formas. Sigue el ejemplo. 59 59

# 7

= (50 + 9) # 7 = (50 # 7) + (9 # 7) = 350 + 63 = 413 # 7 = (60 – 1) # 7 = (60 # 7) – (1 # 7) = 420 – 7 = 413

investigación 79

#

9

301 # 6

711

1 806

58

# 8

464

Acorde al tema de la uni-

33


dad, los niños/as pueden indagar cuáles son los alimentos que se producen en su región y cuáles son los que llegan de otros sitios, cuáles son los que compran sus familias y

(15 X 3) X 6 = (15 X 6) X 3 = (3 X 6) X 15

_ propiedad

asociativa.

cuáles están recomenda-

Finalmente, proponga multiplicar diferentes elementos y luego sumarlos. Utilice nuevamente

dos para tener una buena

la matriz, por ejemplo:

nutrición. Con toda esta información, pueden formu-

_ propiedad

distributiva.

, donde 2 X 4 + 2 X 3 = 14 o de otra forma, (4 + 3) X 2 = 14

lar ejercicios y problemas relacionados con la multiplicación.


33

Más actividades

Propiedad fundamental de la división

La lista de compras

realiza su familia para

Los productores de quinua del altiplano sur trasladaron este mes a la ciudad 800 toneladas de producto. Para hacerlo, utilizaron 40 camiones con capacidad para 20 toneladas cada uno. Si quieren trasladar la mitad de toneladas el próximo mes, ¿cuántos camiones con la misma capacidad de carga necesitarán?

una semana, ya sea en

Nuestra operación básica es 800

Proponga a los niños/as realizar una lista con la compra de productos básicos que

' 40

= 20

el mercado o el supermercado. Supongan

1. Dividimos el dividendo y el divisor por 2. El cociente no varía y el resto sigue siendo el mismo. Esto sucede en las divisiones exactas.

que compran x cantidad de unidades, de kilogramos o de litros

D

de algunos productos.

d

También supongan que

Los productores de quinua necesitarán el próximo mes 20 camiones de 20 toneladas cada uno.

gastan x cantidad de dinero en

_

800

' 2 =

400 _

40 ' 2 = 20

_

400

' 20

= 20

_

c = 20

r=0

' 2 =

0

¿Y si buscaran transpor tar 2 400 toneladas de quinua?

la compra. Adelante a los niños/as que en las

2. Multiplicamos el dividendo y el divisor por 3. El cociente y el resto no varían.

últimas unidades del libro trabajarán las ope-

D

raciones con decimales

d

(para trabajar con cen-

_

800 40

_

# 3 =

# 3 =

2 400 _

120

2 400

' 120

= 20

c = 20

_

r=0

# 3 =

0

Los productores necesitarán 120 camiones de 20 toneladas cada uno para trasladar 2 400 toneladas de quinua.

tavos) y con unidades de medida. Invite a los niños/as a formular problemas con

Cuando el dividendo y el divisor de una división exacta se multiplican o se dividen por un mismo número, el cociente y el resto no varían.

la lista de compras. Por ejemplo, ¿cuántos litros

Resuelve la división inexacta y comprueba si se aplica la misma propiedad que en la división exacta.

de leche de la compra semanal corresponden a cada día? ¿y cuán-

147

6

'

tos corresponderán a

D

_

294

cinco días?, ¿y a un

d

_

12 ' 2 =

mes? (suponiendo que se consume la misma cantidad de leche cada

c

_

r

_

' 2 =

=

24

r

3

294

147 6

' 2

24 3

D

_

d

_

' 12

588

= 24 r 6

294 12

# 2

_

294

d

_

12

c

_

24

c

_

r

_

6

r

_

24

'

D

# 2 =

24

=

r

12

588

# 2 =

24

24 12

día). O ¿cuántas unidades de pan correspon-

Cuando el dividendo y el divisor de una división inexacta se multiplican o se dividen por un mismo número, el cociente no varía pero el resto queda multiplicado o dividido por dicho número.

den a cada miembro de la familia? (suponiendo que se reparten en partes iguales).

34


Sugerencias metodológicas Muestre ejemplos en la pizarra utilizando la multiplicación y la división del dividendo y el divisor por una misma cantidad. En la división, el dividendo y el divisor se duplican. 23 ÷ 3 = 7, resto 2

_ (

X2)

_

46 ÷ 6 = 7, resto 4

¿Cuánto vale el nuevo residuo? ¿Cuánto vale el nuevo co ciente? 88 ÷ 16 = 5 resto 8

_ (

÷4)

_

22 ÷ 4 = 5, resto 2

¿Cuánto vale el nuevo cociente? ¿Qué sucedió con el resto o residuo?

34


1.

Dividendo

960 30 060 32 0

Divisor

960

30 ' 3

4

30

30 #

5

Cálculo mental

5

Incentive que los niños/as

' '

32

realicen divisiones men-

490 # 5

490 ' 2

490 # 7

talmente, e incluso que

80 ' 5

80 # 5

80

80

anticipen por aproximación

Cociente

6

6

6

6

Resto

2

50

5

70

32

5

Divisor

490

'

2

'

Dividendo

Divisor

Cociente

7

#

cuál será el cociente y si existirá resto. En la siguiente unidad se abordarán los criterios de divisibilidad, que les darán más elemen-

La papa, el arroz, el trigo y el maíz son considerados los cuatro alimentos más importantes del mundo.

Resto

I

7 749 ' 63

7 749

63

123

N

9 135 ' 25

9 135

25

365

10

P

38 294 ' 46

38 294

46

832

22

A

8 704 ' 34

8 704

34

256

S

81 610 ' 202

81 610

202

404

2

E

18 217 ' 183

18 217

183

99

100

M

91 344 ' 132

91 344

132

692

J

24 768 ' 97

24 768

97

255

Z

68 404 ' 98

68 404

98

698

tos para esta actividad. Es importante que los niños/as encuentren coherencia en las operaciones y sus resultados.

Pensamiento crítico e

33

investigación

Observa esta división y escribe.

140 42 14 3 4.

960 # 4

Resuelve y completa la tabla. Con las letras de las divisiones exactas forma el nombre de uno de los cuatro alimentos más importantes del mundo.

MAÍZ

3.

2

#

960 ' 3

32

Cociente

490 80 10 6

960 # 2 30

32

Dividendo

2.

Más actividades

Observa la división resuelta y completa las tablas sin hacer las divisiones.

Las compras en familia

_

Otra división con el mismo cociente y el resto igual a 7.

_


_


ofrecen un buen tema de

70 ' 21 = 3 r 7

reflexión sobre las pautas

280 ' 84 = 3 r 28 1 400 ' 420 = 3 r 140

de consumo. Los niños/as pueden utilizar la matemá-

Lee y resuelve.

tica para comparar gastos

Los productores de arroz tienen almacenada su producción en dos pequeños silos de 345 kilos de capacidad cada uno.

y notar las diferencias en el

¿Cuántos saquillos de 25 kilogramos necesitan para envasar todo el arroz del primer silo? ¿Les sobra algo de arroz?

entre familias y también en

345 ' 25 = 13 r 20

elección y otra a la hora de

•

•

acceso a bienes que existe las diferencias entre una comprar.

¿Cuántos saquillos de 50 kilogramos usarán para envasar el arroz de ambos silos? ¿Les sobrará arroz? (345 # 2) ' 50 = 13 r 40

5.

Calcula mentalmente. Coloca el cociente y el resto en cada división sin realizar la operación.

552 ' 18 = 30 r 12

1 104 ' 36 = 30 r 24

276 ' 9 = 30 r

6

184 ' 6 = 30 r 4


35

De esta manera, explique que cuando multiplicamos ambos miembros de una división por el mismo número, “ampliamos” la división; y cuando dividimos ambos componentes por el mismo número “simplificamos” la división. En cualquier caso, el cociente no puede variar, como se ve en el ejemplo. Propóngales resolver algunas divisiones inexactas usando esta propiedad fundamental y que analicen qué pasa con el resto en la ampliación o simplificación.


35

Más actividades

Operaciones combinadas y problemas

Combinación de números Doña Marta compró 16 kilogramos de frutillas para preparar mermelada. Al pagar, dio 3 billetes de Bs 100 cada uno y 1 billete de Bs 50. Recibió Bs 30 de cambio. ¿Cuánto le costó cada kilo de frutillas?

Anote en la pizarra los números del 1 al 10.

Pida a los niños/as que, combinando los números, escriban operaciones que den determinado resultado, por ejemplo, 120. Ganará puntos quien proponga más ejercicios en el menor tiempo.

Para resolver el problema podemos calcular de dos formas: Sin paréntesis

100

#

3 + 50

# 1

Con paréntesis

= 350

Dinero entregado

350 – 30 = 320

Dinero pagado

320

Costo por kilo de frutillas

' 16

= 20

((3 # 100) + (50

# 1)

(300 + 50 – 30) 320

' 16

– 30) '

'

16

16

= 20

Cada kilo de frutillas costó Bs 20

Problemas Pida a los niños/as que

Las operaciones combinadas son aquellas que tienen más de una operación aritmética. Para resolverlas, seguimos el siguiente orden:

resuelvan los problemas anotando en una sola

1. Calculamos las operaciones que hay dentro de los paréntesis.

expresión todas las ope-

2. Calculamos las multiplicaciones y divisiones en el orden que aparecen, de izquierda a derecha.

raciones que requieran. •

•

Por la compra de 15 litros de leche chocolatada y 12 litros de leche de vainilla se cancelaron Bs 177. Si un litro de leche de vainilla cuesta Bs 6, ¿cuánto cuesta un litro de leche chocolatada?

3. Calculamos las adiciones y sustracciones de izquierda a derecha.

1.

Resuelve las operaciones combinadas siguiendo el orden indicado.

3+5

#

7 – 12

'

3

4

3 + 35 – 4 = 38 – 4 = 34

Paulina tiene ahorrados cinco billetes de Bs 200, diez billetes de Bs 100 y 7 billetes de Bs 50. ¿Cuánto dinero tiene ahorrado Paulina?

14 – 4

#

3 + 15

'

3

14 – 12 + 5 = 2+5=7

2

#

5+4

#

5+8

2–3

'

#

6=

16 ' 4 + 36

'

6+7

# 2

=

–5

# 5

4 + 6 + 14 = 10 + 14 = 24

(7 – 2) =

10 + 4 # 5 = 10 + 20 = 30

Tic

#

20 + 4 – 18 = 24 – 18 = 6

(121

'

11 + 12)

# 2

=

(11 + 12) # 2 – 25 = 23 # 2 – 25 = 46 – 25 = 21


Opciones para elegir formas correctas de operaciones combinadas.

Tic Problemas con operaciones combinadas Cuatro problemas que necesitan ser relacionados con diferentes operaciones combinadas y resultados.

36

36


Sugerencias metodológicas Pida unos días antes a los niños/as que traigan de sus casas etiquetas de envases o latas (chocolate, café, leche, galletas, etc.). Verifique su contenido y proponga que respondan: ¿Cuántos gramos de galletas hay en 18 p aquetes iguales de 170 gramos? ¿Cuánto costó un paquete de galletas? ¿Cuánto costarán 10 paquetes de galletas? ¿Cuántas galletas hay en 5 paquetes, si vienen 24 en un paquete? Utilice los materiales concretos para que los niños/as formulen problemas. Anote con ellos/as en la pizarra las operaciones requeridas para solucionar cada problema. Invite a


2.

Más actividades

Fijate en estos cálculos y escribe de forma correcta los que estén mal resueltos. 8–3+2=5+2 =7 2

# (7

7–3

– 4) = 14 – 4 = 10

# 2

(4 + 1)

3.

Más problemas

=4

# 3

# 2

=8

–2=5

2

x

– 4) = 2

# 3

=6 •

7–3

x

# 3

# (7

–2=5

# 1

=5

x

# 2

(4 + 1)

= 7 –6 = 1

# 3

–2=5

# 3

– 2 = 15 – 2 = 13

Lee, anota las operaciones combinadas y resuelve.

•

•

El número de limones en un saquillo es igual a la mitad de 360 menos 30. ¿Cuántos limones hay? (360 ' 2) – 30 = 180 – 30 = 150 Hay 150 limones en el saquillo.

•

Luciana compro una zumidora en Bs 388. Primero, pagó la mitad y el resto, en dos cuotas iguales. ¿Cuánto pagó por cada cuota? (388 – (388

' 2)) ' 2

= (388 – 194)

' 2

= 194

' 2

•

= 97

Pagó Bs 97 por cada cuota.

•

Un comerciante de frutas recibió 24 kilos de uvas, 11 cajas con 5 kilos de manzanas cada una y 6 cajas de naranjas de 12 kilos cada una. ¿Cuántos kilos de frutas recibió en total? 24 + (11

# 5)

+ (6

# 12)

= 24 + 55 + 72 = 151

Recibió en total 151 kilogramos de fruta.

•

Tres hermanos cultivan café. En la última cosecha, Adrián obtuvo 42 saquillos, Bernardo el doble que Adrián y Car los la mitad que Adrián. Si siempre reparten por igual lo obtenido entre los tres, ¿cuántos saquillos le corresponden a cada uno? (42 + (42

# 2)

+ (42

' 2)) ' 3

= (42 + 84 + 21)

' 3

•

= 147' 3 = 49

A cada uno le corresponden 49 saquillos.

•

Un camión pesa v acío 3 120 kg y va cargado con 40 cajas de 35 kg cada una. Debe atravesar un puente en el que se prohíbe el paso a vehículos que pesan más de 4 500 kg. ¿Puede pasar el camión o rebasa el límite de prohibición? 3 120 + (40

# 35)

Ramiro tenía en el banco Bs 1 000. El lunes ingresó Bs 250 y el martes sacó la mitad de lo que ingresó el lunes. ¿Cuánto dinero le quedó en su cuenta? Carla compró 4 libros de una colección. Cada libro cuesta Bs 75 y ella pagó con dos billetes de Bs 200. ¿Cuánto dinero le devolvieron como cambio? En una ciudad, el número de conexiones a Internet en horario diurno fue 275 456, en horario de noche 478 323 y en horario de madrugada 10 987. ¿Cuántas conexiones se hicieron en horario de noche más que de día? Marcos fue a buscar dinero al banco y le dieron 45 billetes de Bs 20. Antes de llegar a su casa, hizo compras con 9 de esos billetes. ¿Cuánto dinero le quedó?

= 3 120 + 1 400 = 4 520 ; 4 520 > 4 500

El camión rebasa el límite de prohibición por 20 kg. 4.

Inventa un problema para cada una de las siguientes operaciones combinadas. Compártelo con tus compañeros. 5

# 3

–8

' 2

= 11

4

# (5

+ 6) = 44

Respuesta libre.


37

los niños/as a expresar sus sugerencias y acepte todas ellas, refo rzando que existen varios caminos válidos para llegar a un mismo resultado. Pida a los niños/as que propongan problemas combinando varios productos, cantidades de productos y precios. Resuelvan juntos los problemas en la pizarra y pida a los niños/as que los copien en sus cu adernos. Permita que los niños/as resuelvan solos algunos de ellos y luego comparen sus procedimientos y resultados con todo el curso.


37

Más actividades

Estimaciones de productos y cocientes

Multiplicando y dividiendo por múltiplos de 10

La familia Jiménez necesita un nuevo refr igerador. Hay uno en ofer ta especial de 12 cuotas mensuales, cada una de Bs 248. ¿Cuánto cuesta aproximadamente el refrigerador?

Los niños/as ya saben

Estimamos el producto de 248 # 12

multiplicar y dividir aumentando o eliminando ceros. Practique el

_

mecanismo con algunos

Podemos redondear 248 a las decenas. 248

ejercicios como los

_

siguientes: # 10

1 230

# 100

1 230

# 1

1 230

# 20

1 230

# 200

1 230

# 2

250

Multiplicamos 250 por 12 250

1 230

_

#

12 = 3 000

= =

El refrigerador pagado en 12 cuotas cuesta aproximadamente 3 000 bolivianos.

000 = = Para realizar estimaciones de productos, primero redondeamos las cantidades a la unidad más adecuada. Después, multiplicamos.

=

000 = 1.

224 000

' 10

=

224 000

' 100

224 000

' 1

224 000

' 20

224 000

' 200

224 000

' 2

Estima los productos redondeando el primer factor a la unidad de mil. Antes de resolver, anticipa el número de cifras que tendrá el resultado.

=

Operación

000 =

3 277

=

1 119

=

000 =

2.

#

#

Estimación

Cifras en el resultado

7

3 000 # 7 = 21 000

5

11

1 000 # 11 = 11 000

5

9 350

#

8

9 000 # 8 = 72 000

5

4 238

#

2

4 000 # 2 = 8 000

4

10 432

#

10

10 000

# 10

= 100 000

6

Observa las imágenes y estima la cantidad que contiene cada conjunto de envases con distintos productos.

#

8 saquillos de yuca

5 latas de leche

# 7 frascos de pimienta

# 6 cajas de tomate

#

22 g

378 ml

127 u

47 kg 400

c

kilos

c

140

gramos

c

2 000

38

mililitros

c

600


Sugerencias metodológicas La estimación es una estrategia de cálculo que permite encontrar resultados aproximados y simplificar las operaciones. Pida a los niños/as que le recuerden las ventajas de estimar y recuerde con ellos cómo lo hicieron en las adiciones y sustracciones, usando algunos ejemplos:

38

unidades

1 490 + 3 467 =

3 456 + 4 632 =

6 450 – 3 190 =

5 327 – 1 690 =

1 876 + (147 – 19) – 258 =


Más actividades Problemas Una apícola repartió en 31 días su producción de 1490 frascos de miel. ¿Cuántos frascos repar tió cada día, suponiendo que siempre repartió la misma cantidad?

Pida a los niños/as que encuentren el resultado aproximado a los problemas.

Estimamos el cociente de 1 490 entre 31. •

1. El divisor tiene dos cifras, entonces lo redondeamos a la decena.

31 _ 30 2. Buscamos el número que multiplicado por 3 se acerque más a las dos primeras cifras de 1 490. 4 # 3 = 12 5 # 3 = 15

_ 15 está mas cerca de 14 que 12 o 18 6 # 3 = 18 3. Reemplazamos el 14 por 15 en 1 490, redondeándolo a 1 500. 4. Dividimos 1 500 ' 30

1 500

' 30

= 50

1 490

_

' 31

•

50

≈

Para estimar cocientes, podemos aproximar el dividendo y el divisor a números que sean fáciles de dividir entre sí. Estos números se llaman compatibles, como en el caso de 1 500 y 30.

1.

Un supermercado vendió en un año 22 634 botellas de yogur. ¿Cuántas botellas vendió aproximadamente cada mes?, ¿cuántas aproximadamente cada semana?

Estima los productos y cocientes. Luego, halla los resultados exactos y verifica si se acercan. Resultado aproximado 448

# 26

Resultado exacto

400

# 30

= 12 000

11 648

1 700

# 70

= 119 000

122 760

1 705

# 72

6 134

# 98

6 000

# 100

= 600 000

601 132

# 102

9 000

# 100

= 900 000

906 678

8 889

6 024

' 8

6 000 ' 10 = 600

9 576 ' 18

2.

Carmen utiliza Bs 1 932 en comprar ropa para sus cuatro hijos. Si quiere gastar en cada niño aproximadamente lo mismo, ¿alrededor de cuánto puede gastar en cada uno de ellos?

10 000


753

Utilizando la lista de com-

' 20 = 500

532

pras que elaboraron en una

11 680

' 32

12 000 ' 30 = 400

365

actividad anterior, realicen

12 626

' 59

12 000 ' 60 = 200

214

una estimación de costo final. Si hace falta, pida

La cooperativa agrícola Tropical necesita estimar sus ingresos por la venta de su producción mensual. Redondea cada cantidad a la centena más próxima. ¿Cuál es el ingreso total aproximado?

•

Cuatro cargas de yuca a Bs 482 cada una _ Bs

•

Siete cargas de maní a Bs 1 087 cada una

•

Diez cargas de plátano a Bs 93 cada una _ Bs

_

500

# 4

a los niños/as que inves-

Ingreso total aproximado

tiguen con sus familiares mayores el costo exacto

= 2 000

de los productos. Pueden

Bs 1 100 # 7 = 7 700

elaborar una tabla donde

Bs 10 700

comparen el costo exacto

100 # 10 = 1 000

y el costo estimado de la

39


compra.

Ahora, realicen estimaciones de multiplicaciones y divisiones, comprobando que cuando el redondeo se hace respecto a las decenas, el resultado es más exacto que cuando se hace respecto a las centenas o unidades de mil. Use algunos ejemplos: 789

#

22 =

546

#

105 =

1232

'

32 =

4377

' 91

=

Concluyan con los niños/as que la estimación resulta útil en determinadas situaciones, como la compra de alimentos. Recuerde a los niños/as que es importante comprobar los resultados de las operaciones para asegurarse de haberlas resuelto correctamente.


39

Más actividades

Potenciación

La base o el exponente

En una plantación hay 15 filas de manzanos. En cada fila hay 15 árboles y en cada árbol hay 15 manzanas. ¿Cuántas manzanas hay en total en la plantación?

Indique a los niños/as que anoten el exponente o la base para que se

Para calcular la cantidad total de manzanas podemos calcular de dos formas:

cumpla cada igualdad. 7 ___ = 49 2 ___ = 8

Primera forma

5 ___ = 125

Segunda forma

Realizamos una multiplicación.

6 ___ = 6

Podemos escribir la multiplicación de factores iguales como potencia.

Manzanas Árboles en Filas en la en un árbol una fila plantación

2

___ = 36 ___ 3 = 64

15

___ 1 = 125

15

#

15 # 15 # 15 = 15 3 = 3 375

15 = 3 375

#

Hay 3 375 manzanas en total en la plantación.

___ 4 = 16 5

___ = 32 exponente

___ 3 = 8

153 = 3 375

base

¿El doble o el cuadrado?

potencia Leemos: quince al cubo es igual a 3 375.

El número natural que resulta de multiplicar factores iguales se llama potencia. En la potenciación, se llama base al factor que se repite las veces que indica el exponente.

Existe la posibilidad de que los niños/as confundan el cuadrado de un

Todo número elevado a 1 es igual a la base 1 _ 32 = 32

número con la multiplicación del número por 2. Luego de aclararles

1 elevado a cualquier número siempre es 1 _ 18 = 1

que el exponente indica la cantidad de veces que

1.

multiplicamos la base por sí misma, muéstre-

Calcula el total de cuadrados que forman el cuadrado mayor. Resuelve con una operación de potenciación, siguiendo el ejemplo. 5 4

les un ejemplo. 4²= 4

# 4

mo que 4 _ 4²

no es lo mis-

# 2

3

2

1 2

1

6

5

4

3

6

=8

no es igual que 4

# 2

1 # 1

Pídales que calculen

12 =

solos y propongan otros

3

2 # 2 1

22 =

4

2

3

#

3

4

=

9

42 =

#

4

5

16

52 =

#

5

6

#

6

25

62

=

36

ejercicios: 6

# 2

y 6²

2.

10 # 2 y 10²

Anota cómo leemos 52

_

Cinco al cuadrado o cinco elevado al cuadrado.

40


Tic Potencias Un repaso de conceptos, formas de representación y ejercicios con potencias.

Sugerencias metodológicas Valore con los niños/as lo útil que resulta utilizar la multiplic ación en vez de las sumas sucesivas, pues esto podría resultar muy tedioso. Explíqueles, que al igual que es necesario simplificar las sumas sucesivas, a veces es necesario simplificar las multiplicaciones sucesivas y a esta técnica le llamamos potenciación. Pida a los estudiantes que realicen multiplicaciones sucesivas con el factor 10. Ponga en la pizarra algunos de estos ejercicios: 10 # 10 # 10 # 10 =

40

10

# 10 # 10 # 10 # 10 # 10

=


3.

Más actividades

Observa y calcula la cantidad de cubos pequeños que forman cada cubo mayor. Resuelve con una operación de potenciación.

Los cubitos faltantes Entregue a los niños/as una fotocopia con algunas imágenes como la que le ofrecemos a continuación y pídales que calculen 1

# 1 # 1

2

13 = 1

3

# 2 # 2

33

8

23 =

3

#

=

#

3

4

27

#

4

43

=

#

Anota cómo leemos 33

5.

Calcula los diez primeros cuadrados y cubos perfectos. Completa la tabla. Número

6.

1

Cubo

1

# 2 #

11

11 =

#

# 9 # 9

1

# 1 #

cuántos cubitos faltan para completar el gran cubo.

= 125

Tres al cubo o tres elevado al cubo.

3

4

5

6

4

9

16

25

36

49

64

81

100

8

27

64

125

216

343

512

729

1 000

2

1

# 2

= 24 = 16

112

7

# 1 #

= 1

# 1

729

=

# 12

8

9

10

16

1

=

= 144

10

# 10 # 10 # 10

=

10 000

75 =

7

# 7 # 7 # 7 # 7

=

16 807

Para razonar

36 =

3

# 3 # 3 # 3 # 3 # 3

=

729

•

104 =

121

=

3 = 9

122 = 12

> 23 8 8

> 4

102 <

1

65 536

55 3 125

13 = 19

121 112 81

4 096 46 >

1

3 < 10 1 000

92 < 29

512

83 512

5

51 < 52 25

16

24 < 82 64

1 000

104 =

10 000

6 = 2 __ _ 2 + 2 6 = 2 __ _ + 2

105 =

100 000

¿Cómo calcularías 108 sin tener que multiplicar? Aumentaría 8 ceros al 1.

•

100 000 000.

Lee y resuelve anotando la operación en forma de potencia.

•

Rosario recibió en su tienda seis cajas de galletas. Cada caja contiene seis paquetes con seis galletas cada uno. ¿Cuántas galletas en total recibió Rosario? 6

# 6 # 6

= 63 = 216

Utilizando tres veces 2 podemos escribir el número 6 de diferentes formas. Pida a los niños/as que las descubran. 6 = 2 + 2 + __ _

Calcula las potencias de 10 y responde. 103 =

9.

5

Calcula y escribe >, < o =, según corresponda.

78 125 57

8.

2

9

9 32

100

53

#

Escribe cada multiplicación como potenciación o viceversa y calcula. Sigue los ejemplos. 2

7.

1

Cuadrado

5

#

64

4.

_

5

4

Luego, invítelos a que usando solamente tres veces 3 y dos operaciones, escriban el número 30.

Recibió un total de 216 galletas.


41

Pregunte a los niños/as qué característica reconocen en cada resultado. Si es necesario, pregúnteles ¿cuántos factores tenemos en la operación y cuántos ceros tenemos en el resultado? Presente los términos de la potenciación y muestre a los niños/as que ponemos el exponente, que muestra cuántas veces multiplicamos el número o base. Finalmente, guíelos a la conclusión de que el resultado de cada potencia de 10 tiene tantos ceros como indica el exponente.


41

Más actividades


Leer varias veces el problema

Inventar la pregunta.

Probablemente a

Lee con atención e inventa preguntas para cada problema. Después, sigue los pasos hasta responder y comprobar tus respuestas.

algunos niños/as les parecerá innecesario hacer los problemas

Un frutero tiene 47 cajas con 24 naranjas en cada caja. Antes de vender las, retira 2 cajas por estar en malas condiciones.

paso a paso, sobre todo si tienen la capacidad de razonar con

Pregunta de un problema

rapidez. En general,

de multiplicación

hágales observar que el tiempo que toman

Pregunta de un problema de resta y multiplicación (operación combinada)

¿Cuántas naranjas le quedan en buen estado?

¿Cuántas naranjas desecha?

ciertos procedimientos

2 # 24 48 Desecha

es tiempo ganado, ya

48 = naranjas.

(47 – 2 ) # Le quedan

que se evitan errores

24 1 080

= 45 # 24 = 1 080 naranjas.

y que en matemática se valoran la precisión y la exactitud, además

El año 2000, nuestro país exportaba 3 000 toneladas de quinua, y el 2011, 20 000 toneladas, con un valor de 40 millones de dólares.

de la velocidad. Pida a

•

Pregunta de un problema de resta ¿Cuántas toneladas más que el año 2000 se exportaron el 2011?

•

Pregunta de un problema de división ¿Cuánto valía cada tonelada de quinua el año 2011?

los niños/as que lean varias veces un problema antes de comenzar a resolverlo. En el trópico cochabambino se producen 20 millones de tallos de palmito por año para la exportación. En una lata entran 10 tallos y se empacan 12 latas en una caja.

Problemas para inventar preguntas •

•

•

•

Un parqueo tiene 200 espacios para vehículos. Una cuarta parte de los parqueos está ocupada. Analía trabaja en una tienda de dulces. Vendió 25 chocolates iguales, un paquete de gomitas y una caja de bombones, todo por un valor de Bs 290. El paquete de gomitas costó Bs 10 y la caja de bombones, Bs 30. En una salida de 15 niños al museo, a 3 se les olvidó el dinero en casa. Los demás decidieron pagarles sus entradas, poniendo Bs 2 cada uno.

¿Cuántos tallos de palmito entran en una caja?

•

Pregunta de un problema de multiplicación

•

Pregunta de un problema de división ¿Cuántas cajas/latas de palmito se pueden preparar con toda la producción anual?

La soya se ha convertido en uno de los principales cultivos del país en los últimos 20 años. El año 2011 se produjeron unas 2 200 000 toneladas de soya en 750 000 hectáreas de cultivos. Apenas 500 000 toneladas fueron para consumo interno.

•

Pregunta de un problema de división ¿Cuántas toneladas de soya se produjeron en cada hectárea de terreno?

•

Pregunta de un problema de resta

¿Cuántas toneladas de soya fueron

para la exportación?

42


En un campeonato de ciclismo participaron 9 equipos con 22 corredores cada uno. Se retiró la tercera parte del total de corredores.

42


Más actividades


Pictogramas

Pictogramas 1.

Muestre a los niños/as un pictograma, que puede

En el departamento de Santa Cruz se producen deliciosos quesos.

dibujar en la pizarra o en un

El administrador de un supermercado mostró en un pictograma la venta de estos quesos en la última semana.

cuadro. Muéstreles el valor que representa cada dibujo

Observa los datos representados en el pictograma, completa la tabla y responde. Tipo de queso

10 kilogramos

en el gráfico. Pídales que indiquen qué tipo de dibujos

1 kilogramo

Venta de la semana

Menonita

(9

# 10)

(7

San Javier

(10

Chaqueño

+ (3

# 10)

= 93 kg

vuelos en un aeropuerto, lla-

+

(8

# 1)

madas telefónicas, cumplea-

+

(5

# 1) = 105 kg

# 10)

# 1)

Venta total

= 78 kg

ños en un colegio, perros en una ciudad.

kg

276

Ejercite la multiplicación

78 kg.

•

¿Cuántos kilos de queso San Javier se vendieron?

•

¿Cuál fue el queso más vendido?

•

¿Cuántos kilos de los tres tipos de queso se vendieron en total?

Chaqueño.

usarían para representar

de cada dibujo por el valor

San Javier.

¿Y el menos vendido?

que representa. Pida a

276 kg.

los niños/as que indiquen cuántas unidades repre-

Un pictograma es un gráfico estadístico con el que representamos datos numéricos mediante dibujos o figuras a las que asignamos un valor. = 1 000 piñas

= 10 árboles

senta cada símbolo, en los siguientes ejemplos:

= 50 viviendas

(((((( = **** =

2.

1200

800

La tabla muestra la cantidad de castaña del Beni que transportaron desde una cooperativa hasta la ciudad en un semestre.

Luego pregunte:

Representa las cantidades en un pictograma, utilizando como símbolos tres camiones de diferente tamaño y color. Az Am V

representar 600 llamadas

= 1 000 kg

= 500 kg

¿Cuántos ( dibujarían para telefónicas?

Meses

Cantidad de castaña

Enero

4 200 kg

Enero

Az

Az

Febrero

2 100 kg

Febrero

Az

Az

V

recibidas?

Marzo

2 400 kg

Marzo

Az

Az

V V V V

Propóngales representar en

Abril

1 500 kg

Abril

Az

Am

Mayo

3 000 kg

Mayo

Az

Az

Az

Junio

4 600 kg

Junio

Az

Az

Az

Az

Az

V

= 100 kg

¿Cuántos * dibujarían para representar 1000 cartas

V

un pictograma un conjunto de datos. Asegúrese de que elijan un dibujo y le asignen Az

Am

V

un valor adecuado.

3. Responde.

• • 4.

¿En qué mes se transportó más castaña

Junio

¿En qué mes menos?

¿ Cuántos kilogramos de castaña se transportaron en total durante el semestre?

Crea un camión de mayor capacidad que te ayude a representar esa cantidad total


Pensamiento

Abril

crítico e

17 800 kg = 10 000 kg

investigación 43 Ayude a los niños/as a valorar el uso de los gráficos para comunicar información de manera más clara y sencilla, sobre todo cuando se trata de grandes cantidades, como poblaciones, edades, ocupaciones, ingresos, productos de una región, etc. Comente con ellos el dicho “una imagen vale más que mil p alabras”.


43

Notas sobre las

Evalúa tus logros

actividades de

Multiplica y comprueba con la prueba de exclusión del 9.

1.

evaluación #

1.

4 572 387

9

32 004

=

9

+ 365 760

Algunos niños/as pueden preferir la

7 358 617

9

+

7

73 580

=

7

+

9

168 630

=

9

9

1 204 500 1 387 584

4 539 886

1 769 364

6

14 454

5

4 414 800

2 409 576

#

5

51 506

9

1 371 600

comprobación de los re-

#

sultados de las multiplicaciones con la prueba

2.

Dividendo = divisor X cociente + resto. Mate-

Completa aplicando las propiedades del elemento neutro y el elemento absorbente de la multiplicación. 1

máticamente obtendrán

841

#

432

un resultado correcto. 3.

4 y 5.

=0

519

0

#

(18

# 13) # 15

234

#

nos niños/as tengan

4.

518

0

=

0

= 518

1

#

# 212

=0

(13

#

# 15)

(25

195

# 22) # 34

550

#

= 25

#

(22

34 = 25 #

18 700 =

# 34)

748

18 700

= (20 # 5) # 39 = 100 # 39 = 3 900

# 39 # 5

cios de forma mecánica

50

# 47 # 20

exactitud en sus resul-

# 0

= 712

Conmuta y asocia mentalmente de manera conveniente para facilitar el cálculo. 20

importante valorar la

# 712

3 510

=

que realizarán los ejerciy no tanto lógica. Es

= 18

15 = 18 #

3 510

dificultades para la multiplicación, por lo

1

Comprueba la propiedad asociativa en la multiplicación.

Es probable que algu-

asociar o distribuir en

= 841

=

(50 # 20)

# 47

= 1 000 # 47 = 47 000

250

# 500 # 4 # 2

= (250 # 4) # (500 # 2) = 1 000 # 1 000 = 1 000 000

200

# 4 # 5 # 250

=

(200 # 5) # (4 # 250) = 1 000 # 1 000 = 1 000 000

tados, pero impulsarlos a aplicar otras estrate-

5.

gias de cálculo.

Aplica la propiedad distributiva y resuelve las multiplicaciones. 15

# 999

30

# 71

201 87

Tic

6.

Crucigrama de repaso Síntesis de los nuevos términos y aprendizajes de la unidad.

44

=

15 000 – 15

14 985

15 # (1 000 – 1) = (15 # 1 000) – (15 # 1)

=

30 # (70 + 1) = (30

=

2 100 + 30

=

2 130

=

20 100 – 201

=

19 899

=

8 700 + 87

=

8 787

# 70)

# 99

=

201 # (100 – 1) = (201

# 101

=

87

# (100

+ 1) = (87

+ (30

# 100)

# 100)

# 1)

– (201 # 1 )

+ (87

# 1)

=

Realiza cada división e indica si es exacta o entera. 2 025 división exacta

4 019

23 384 ' 37 =

632 división exacta

13 235

' 29

56 741 ' 153 =

370 r 131 división entera

66 504

' 204

6 075

44

=

' 3

=

' 7

574 r 1 división entera

= =

=

456 r 11 división entera 326 división exacta



7.

13

25

# 107

25

# 46

247

= 2 675

= 1 150

' 65

1 875

45 = 5 535

#

15 300 # para

13

'

2 210

Averigua y escribe el signo +, – o (7

9.

18 = 234

#

123 8.

Mi desempeño

Calcula el factor desconocido.

como docente

= 19 = 34

•

25 = 75

'

' 15

= 1 020

que se cumplan las igualdades.

4

+ 9) = 20

(2

+

3)

#

5 = 25

(8 –

1)

#

3 = 21

(9

–

6)

#

8 = 24

(6 +

9)

#

2 = 30

(4

#

6)

#

2 = 48

+

Muchas veces

Pocas veces

Calcula prestando atención a los ceros en el cociente y verifica con la prueba de exclusión del 9. 96 864 96

51 100 425

6

1 009

6

=

6

Fomento la participación de todos los niños/as en el desarrollo de los temas y las actividades.

r 100

7

1

=

1

68 779 631

2

120

•

109

7

1

=

Integro el pensamiento crítico en las clases de matemática.

1

1

3

Muchas veces 10.

11.

Observa cada división. Después, escribe el cociente y el resto de la división obtenida en cada caso. 78

24

06

3

_

Multiplicando dividendo y divisor por 4 312 ' 96 = 3 r 24 Dividiendo dividendo y divisor por 3 26 ' 8 = 3 r 2

90

18

00

5

_

Pocas veces

Multiplicando dividendo y divisor 450 ' 90 = 5 por 5 Dividiendo dividendo y divisor 15 ' 3 = 5 por 6

•

Suprime el mismo número de ceros en el dividendo y el divisor para calcular. 7 560

12.

_

_

' 420

18

=

67 200

' 2

100 =

50 400

' 560

=

11 700

' 900

=

32

54 000

' 720

=

90

432 000

' 4

800 =

13 75

Muchas veces

90

Observa la división y escribe. 375

21

18

17

Pocas veces

_

Una división con el mismo cociente y cuyo resto sea el doble.

_

Una división con el mismo cociente y cuyo resto sea un tercio.

750

125 _

Incentivo la creatividad de los niños/as en la búsqueda y aplicación de estrategias propias para la resolución de ejercicios y problemas.

'

'

42

7

= 17 r 36

•

= 17 r 6

Una división con el mismo cociente y cuyo divisor sea el triple. 1 125

'

63

Facilito la conexión de los contenidos matemáticos con la vida diaria e intereses de los niños/as.

= 17 r 54

Muchas veces



45

Pocas veces

45


13.

evaluación 13 y 14 Cuando calculamos por aproximación y

14.

existir variaciones en los productos y cocientes. Siempre y cuando de un rango coherente

11

# 29 _

10

# 30

= 300

201

78

# 31 _

80

# 30

= 2 400

48

102

redondeo, pueden

se encuentren dentro

Calcula el resultado aproximado de las multiplicaciones.

15.

= 4 000

50

# 52 _

999

200

# 28 _

# 20

# 50

1 000

= 4 000

= 2 500

# 30

= 30 000

61

# 199 _

20

# 201 _

71

# 99 _

60

# 200

= 12 000

20

# 200

= 4 000

70

# 100

= 7 000

Estima los cocientes por redondeo o usando números compatibles. 2 100 ' 7 = 300

2 158

' 7 _

4 470

' 9 _

6 753

' 92 _

12 000 ' 40 = 300

12 148

' 41 _

4 500 ' 9 = 500

15 648

' 15 _

15 000 ' 15 = 1 000

6 300 ' 90 = 70

19 361

' 20 _

20 000 ' 20 = 1 000

Lee y resuelve, anotando las operaciones y comprobándolas.

•

pueden aceptarse como

# 39 _ 100 # 40

# 19 _

válidos.

Una empresa ha lanzado al mercado un nuevo yogur. La primera semana vendió 7 450 litros, la segunda semana el doble que la primera; y la tercera 487 menos que la segunda. ¿Cuántos litros de y ogur llevan vendidos esta semana? 7 450 + (7 450 # 2) + (7 450 # 2 – 487) = 7 450 + 14 900 + 14 413 = 36 763 Lleva vendidos 36 763 litros de yogur.

•

Un comerciante ha comprado 19 cajas de manzanas de 25 kg cada una y ha pagado un total de Bs 5 700. Después, ha vendido cada kilo de manzana a Bs 15. ¿Cuánto ha ganado en la venta de cada kilogramo? ¿Y en la venta total? 5 700 ' (19

# 25)

= 5 700 ' 475 = 12; 15 – 12 = 3; 475

# 3

= 1 425

Por kilogramo ha ganado Bs 3, y en total, Bs 1 425. 16.

17.

Resuelve las operaciones. Luego, une las que tienen el mismo resultado.

32

# 3

3

9

#

27

=

243

53 =

125

51

# 5

2

5

#

25

=

125

26 =

64

24

# 2

2

16

#

4

=

64

35 =

243

= = =

Completa el pictograma de la cantidad de árboles plantados por la empresa Vida Sana. Calcula las cantidades parciales y total y responde. = 150 árboles

= 75 árboles

Recuento

Lunes

525

Martes

675

Miércoles

300

Jueves

750 Total de árboles plantados

2 250

•

¿Cuántos árboles fueron plantados en los cuatro días?

•

¿Qué día se plantaron menos de 500 árboles?

2 250 árboles.

El miércoles.

•

¿Qué días se plantaron más de 600 árboles? El martes y el jueves.

46

46




VALORES Los/as niños/as nece sitan

Consumir lo nuestro

diferenciar nutrición de alimentación. A pesar de

Bolivia es un país muy rico en producción de alimentos, tanto en cantidad como en calidad de productos. Tiene el privilegio de contar con variedad de pisos ecológicos que le permiten producir todo tipo de legumbres, cereales, hortalizas, verduras, lácteos y alimentos cárnicos, entre otros.

acceder a muchos alimentos, a veces no elegimos los más nutritivos. Esto es

Somos privilegiados al contar con cereales de alto contenido nutritivo, como el tarhui, la cañahua, la quinua y el amaranto, la avena y el sésamo. Varios de ellos han sido denominados los “alimentos del siglo XXI” y son consumidos incluso por los astronautas de la NASA.

especialmente importante

•

bles gracias a su variedad

en la edad del crecimiento. Bolivia tiene alimentos muy nutritivos y accesi-

Chuquisaca es el departamento donde más quinua se consume: 9 kilogramos por persona al año. Si Sucre tiene una población aproximada de 230 000 habitantes, ¿cuántos kilogramos de quinua se consumen en esa ciudad en un año? 230 000

# 9

de ecosistemas y climas. Este privilegio nos permite consumir lo nuestro,

= 2 070 000

apoyando de esta forma a

En Sucre se consumen 2 070 000 kg de quinua en un año.

los pequeños, medianos y grandes productores nacionales y también a

La seguridad alimentaria

quienes tienen emprendimientos en el procesa-

Existe seguridad alimentaria en un país cuando todos sus pobladores pueden vivir con buena salud porque acceden en cualquier momento a alimentos suficientes, sanos y nutritivos. Esto significa que generalmente hay alimentos disponibles y que las personas tienen forma de adquirirlos, ya sea al comprarlos o al hacer trueque o intercambios.

miento de alimentos.

Para que exista seguridad alimentaria, es importante que diferentes instancias gubernamentales den apoyo a los productores –especialmente a los pequeños productores– y al desarrollo rural, y también que los consumidores prefiramos comprar productos locales y nacionales, y sobre todo, saludables. Las principales amenazas climáticas a la producción de alimentos son las inundaciones, sequías, heladas e incendios.

mir alimentos frescos y

•

que se usan fertilizantes,

También es importante conversar con ellos sobre el valor de consuorgánicos antes que los muy procesados, con aditivos químicos, como conservantes, saborizantes y colorantes, o en los

Los cultivos de soya en el oriente boliviano ocupaban 194 000 hectáreas el año 1990 y llegaron a las 920 000 hectáreas en 2010. ¿Cuántas veces se multiplicaron las hectáreas cultivadas en esos veinte años?

hormonas o transgénicos.

Últimamente se habla bastante de la seguridad alimentaria. Este tema es polémico en nuestro país, ya que cuesta reconocer la cantidad de personas –sobre todo niños/as- que

920 000 ' 194 000 = 4 r 144 En esos 20 años se multiplicaron las hectáreas cultivadas entre 4 y 5 veces.


47

sufren hambre y desnutrición, con graves consecuencias en su desarrollo intelectual y físico. Las regiones del Altiplano sur, Norte de Potosí y el Chaco son las que sufren mayores adversidades en la producción de alimentos por sus condiciones climáticas. Hay épocas del año en que otras regiones sufren por inundaciones e incendios (chaqueos).


47


3

Múltiplos y divisores

Febrero Marzo Abril Mayo Junio Julio Agosto Septiembre Octubre Noviembre Posibles dificultades en la unidad Dominar las series numéricas.

El transporte y las comunicaciones

Multiplicar y dividir por múltiplos de 10 aumentando o quitando ceros.

Hace menos de un siglo, viajar de uno a otro continente era una aventura que demandaba semanas... enviar una carga a través del mar podía significar una espera de meses. Los mismo sucedía con las cartas, que tardaban mucho tiempo en llegar desde el correo del remitente a los buzones o casillas postales de los destinatarios. Hoy, con un vistazo a Internet o a la televisión por cable sabemos qué sucede en el otro extremo del planeta. Con una llamada de telefonía móvil localizamos en un instante a quien disponga del servicio. Los viajes en avión y envíos por courier son igualmente veloces.

Multiplicar y dividir con velocidad y precisión. Comprender y aplicar los criterios de divisibilidad. Identificar qué problemas se resuelven aplicando el m.c.d. o el m.c.m.

48

• ¿Qué ventaja trae al ser humano el desarrollo de los medios de transporte y de comunicación?

• ¿Puedes pensar en algunas desventajas?

• ¿Qué nuevos adelantos imaginas que existirán en el futuro?


Identificar los números primos hasta 100. Descomponer un número en sus factores primos por divisiones sucesivas. Identificar el dato que falta para resolver un problema.

48

Contextualización de la unidad Múltiplos y divisores Los/as niños/as que están en quinto curso de primaria nacieron en la era de la información. Para ellos, El transporte y las comunicaciones tal como los conocemos son una naturalidad. Sin embargo, conviven con generaciones que experimentamos su desarrollo y comprendemos que se trata de medios y no de fines en sí mismos. No todas las personas acceden a los mismos servicios y no todo el contacto humano ni el bienestar suponen su uso.



RECUERDA 1.

Operador

Escribe algunas series numéricas.

Múltiplos y divisores

2.

3.

Del 2

2, 4, 6,

8, 10, 12, 14, 16,18

, 20

Mínimo común múltiplo

Del 3

3, 6,

9,12, 15, 18, 21, 24, 27, 28

, 30

Máximo común divisor

Del 4

4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36

, 40

Números amigos

Del 5

5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45

, 50

Número perfecto

Del 10

10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90

, 100

Criterios de divisibilidad

3+3+3+3=

4

# 3

5+5+5=

3

# 5

8+8+8+8+8 =

5

# 8

10 + 10 =

2

# 10

# 10

50

50

=

# 10

500

Árbol de factores

=

# 100

=

7 000

500

700

50 000

7 000

' 70

' 7

=

100 100

=

' 700

10

=

Determina el operador que falta. 48

#

100

33

#

= 4 800

# 200

50

30 # 50

80 5.

Factores primos

Multiplica y divide aumentando o quitando ceros. 5

4.

Números primos y compuestos

Expresa las adiciones en forma de multiplicación.

= 10 000

4 000

555

= 990 = 4 000

'

5

9 630

1 000

' 200

'

' 30

5

Otro vocabulario

= 20

= 111

de la unidad

= 321 = 200

Medios de transporte y comunicación

Divide mentalmente y completa.

Remitente y destinatario

3 600

' 2

=

1 800

2 400

' 2

=

1 200

3 600

' 3

=

1 200

2 400

' 3

=

800

Casillas postales

3 600

' 5

=

720

2 400

' 5

=

480

Telefonía móvil Tarjeta de recarga

6.

Lee y resuelve.

Courier

Julián visita a su abuelita cada 5 días. Su hermana Sofía la visita cada 4 días. Si hoy le tocó ir juntos, ¿se volverán a encontrar en casa de su abuela en los próximos 30 días? ¿Cuántas veces?

Frecuencia

Julián { 0, 5, 10, 15, 20, 25, 30 }

Fax Stand

Sí, se encontrarán una vez el día 20.

Exhibición

Sofía { 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32 }

Terminal bimodal ©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

49


Para vivir bien •

•

Seguridad y respeto – al usar los medios de transporte y comunicación buscamos opciones que cuiden nuestra integridad. Muchos niños/as son maltratados en el servicio de transporte público y también se encuentran expuestos a información inadecuada en la televisión e Internet, principalmente. Libertad – los medios de comunicación nos ayudan a compartir ideas con las demás personas, especialmente con nuestros seres queridos.


49

Más información

Múltiplos y mínimo común múltiplo

Conocer los múltiplos nos ayuda en determinados cálculos de la vida diaria; por ejemplo, sabiendo que compro 10 panes por Bs 4, puedo calcular rápidamente cuántos panes compraré con Bs 8 o cuánto costarán 30 panes. También puedo saber qué año serán los Mundiales de Fútbol o las Olimpíadas, teniendo el dato de que suceden cada 4 años. O puedo calcular los años de un perro, considerando que 1 año de perro equivale a 7 años humanos.

Dos empresas de buses ofrecen salidas diarias de Oruro hacia La Paz. La empresa Socavón lo hace con una frecuencia de 15 minutos y la empresa Quirquincho con una frecuencia de 20 minutos. Si los buses de ambas empresas parten a las 8:00, ¿en cuánto tiempo volverán a partir en un mismo horario? Calculamos de dos formas para obtener el menor múltiplo que tienen en común 15 y 20. Primera forma: _

M M

Dibujamos dos rectas numéricas y ubicamos los múltiplos de cada número.

(15)

_

(20)

_

0

15

0

30 20

45 40

60

75

60

90 80

105 100

_

Marcamos los múltiplos comunes de ambos números.

_

Observamos que 60 es el menor de los múltiplos comunes que no sea 0.

120... 120...

Por lo tanto, m.c.m. (15, 20) = 60 El cero es múltiplo de todos los números, porque cualquier número multiplicado por 0 es 0.

Segunda forma: _

M _

M

Contamos de 15 en 15 partiendo de 0. (15)

= { 0, 15, 30, 45, 60, 75, 90, 105, 120...}

Contamos de 20 en 20 partiendo de 0. (20)

= { 0, 20, 40, 60, 80, 100, 120...}

_

Marcamos los múltiplos comunes de ambos números, que son 0, 60, 120.

_

Seleccionamos el menor de los múltiplos que no es 0. En este caso, es 60. Entonces, m.c.m. (15, 20) = 60

Los múltiplos de un número:

•

Contienen a dicho número una cantidad exacta de veces.

•

Se obtienen multiplicando dicho número sucesivamente por 1, 2, 3, 4...

•

Son infinitos.

El mínimo común múltiplo de dos o más números es el menor de los múltiplos que estos números tienen en común, distinto de 0. Escribimos m.c.m.

50


Sugerencias metodológicas Comente brevemente con el curso la situación de la distribución y venta de artículos en sus comunidades. Pregunte a los niños/as si ven, por ejemplo, que los comerciantes agr upan las frutas en montones y por qué creen que lo harán así. Pregúnteles cómo sabrán ellos cuántas unidades venden si las cuentan en grupos y cómo harán para saber cuál es el siguiente número en la cuenta. Explíqueles que los números que obtenemos cuando contamos en grupos de 2, 3, etc., los llamamos “múltiplos”, porque también podemos encontr arlos realizando la multiplicación de la cantidad de objetos en cada grupo por el número de grupos.

50


1.

Más actividades

Completa con diez múltiplos según cada indicación. Múltiplos de 4 que sean menores que 45 y mayores que 7. 12 16 20 24 28 32 M (4) = 8

36

2.

Problemas

44

•

Múltiplos de 5 que sean menores que 71 y mayores que 24. M (5) = 25 30 35 40 45 50 55 Múltiplos de 9 que sean menores que 91. M (9) = 0 9 18 27 36

40

60

65

para pegar en su agenda

70

y quiere pegar la misma cantidad en cada página.

45

54

63

72

90

Si pega un sticker en cada página, le alcan-

El símbolo indica “es múltiplo de”. Colorea las casillas de aquellos números que cumplen la condición dada. 2

3

4

Amanda tiene 20 stickers

5

6

7

8

9

zarán para 20 páginas. ¿Qué otras opciones 10

tendrá?

15

24

•

Un comerciante compró

49

bolsas de azúcar de

63

20 kg y otro compró

120

bolsas de 48 kg. Si com-

144

praron la misma cantidad

315

de azúcar y esta fue la menor posible, ¿qué can-

524

tidad compraron? 3.

Rodea con rojo los múltiplos de 2, con azul los de 5 y con verde los de 6. Luego, encuentra el mínimo común múltiplo de cada par de números.

•

Camila asiste a un curso de danza moderna cada 4 días y Andrea cada

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

ron sus prácticas el 3 de

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

43

44

45

abril, ¿qué día volverán a

6 días. Si ambas inicia-

encontrarse? m.c.m. (2, 5) = 4.

10

m.c.m. (2, 6) =

6

m.c.m. (5, 6) =

30

•

la misma cantidad de

Lee y resuelve.

•

bebidas que de pasteles.

Dos lanchas salen del mismo puerto. Una sale cada 12 días y la otra cada 18 días. Si hoy salen juntas, ¿dentro de cuántos días volverán a hacerlo? Lancha 1 { 0, 12, 24, 36, 48... }

Si los pasteles vienen en paquetes de 6 y las bebi-

Volverán a encontrarse dentro de 36 días.

das en cajas de 4, ¿cuál

Lancha 2 { 0, 18, 36, 72... }

•

Mariana desea comprar

es la menor cantidad de paquetes de pasteles

En una oficina, un teléfono recibe fax cada 4 minutos y otro cada 6 minutos. Si a las 10 de la mañana los dos teléfonos reciben fax, ¿a qué hora volverán a coincidir? Teléfono 1 { 0, 4, 8, 12, 16, 24... }

y cajas de bebidas que debe comprar?

Volverán a coincidir a las 10:12 am.

Teléfono 2 { 0, 6, 12, 18, 24... }

51


Por ejemplo, si las manzanas se encuentran agrupadas de 4 en 4, tendríamos que: •

al contar al primer grupo tenemos _ 4 X 1 = 4 manzanas.

•

al contar el segundo grupo _ 4 X 2 = 8 manzanas.

•

al contar al tercer grupo

4 X 3 = 12 manzanas.

_

y así sucesivamente, el décimo grupo será _ 4 X 10 = 40 manzan as. Utilizando el conteo en vez de la multiplicación tenemos 0, 4, 8, 12, 16, etc., que serán los múltiplos de 4. •


51

Más actividades

Divisores y máximo común divisor

Múltiplos y divisores Una empresa de telefonía móvil realiza un sorteo entre sus clientes. Quiere repartir 60 celulares rojos, 180 celulares verdes y 90 celulares azules en cajas con la mayor cantidad de celulares posibles. ¿Cuántas cajas puede armar para que todas contengan la misma cantidad de celulares y no sobre ninguno?

Escriban la letra M en 10 tarjetas rojas y una letra D en otras 10. En 20 tarjetas blancas, escriban los números del 3 al 22. Formen dos grupos con los niños/as del curso, pero que se mantengan en sus asientos.

Necesitamos encontrar los divisores de 60:

_

El primer niño/a tomará una tarjeta de cada color y obtendrá, por ejemplo, una M y un 9. Esto significa que cada niño/a deberá decir un múltiplo de 9, o un divisor si le saliera una D. Pierde un punto el equipo que se equivoque antes.

Para encontrar todos los divisores de un número, lo dividimos por 1, luego por 2, por 3, y así sucesivamente hasta encontrar un divisor que se haya obtenido ya como cociente. 60

'

1 = 60

1 y 60 dividen exactamente a 60.

60

'

2 = 30


60

'

3 = 20


60

'

4 = 15


60

'

5 = 12


60

'

6 = 10


60

'

7

no es una división exacta.

60

'

8


60

'

9


El 1 es divisor de todos los números.

60 ' 10 = 6 no es necesario, porque ya habíamos calculado 60 ' 6 Entonces, todos los divisores de 60 son: D

Gana un punto el equipo que nombre correctamente 5 múltiplos o la máxima cantidad de divisores posibles.

_

_

Calculamos los divisores de 180 y 90. D

(180)

D

(90)

= { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 30, 36, 45, 60, 90 y 180 }

= { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 18, 30, 45 y 90 }

Encontramos los divisores comunes para 60, 180 y 90: D

El equipo que acumule más puntos es el experto en múltiplos y divisores.

= { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 y 60 }

(60)

= 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 15 y 30.

(60, 180, 90)

_

El mayor divisor común de 60, 180 y 90 es el 30.

m.c.d. (60, 180, 90) = 30 La mayor cantidad de cajas que puede armar la empresa es 30, conteniendo cada una: 2 celulares rojos, 6 celulares verdes, 3 celulares azules.

Piensa, piensa Los divisores de un número son aquellos números que lo dividen en forma exacta.

¿Cuál es el divisor menor y cuál el mayor de cada número?

El máximo común divisor de dos o más números es el mayor de los divisores que estos números tienen en común. Escribimos m.c.d.

¿Un número tiene infinitos divisores? ¿Un número puede escribirse siempre como producto de sus divisores? ¿Es verdad que si un número es menor que otro, entonces tiene menos divisores? ¿Cuál es el menor número que tiene cuatro divisores?

52

En caso de que no existan divisores comunes, el m.c.d de dos o más números es 1. Todo número es divisor de sí mismo.

52


Sugerencias metodológicas Plantee a los niños/as un problema como: Tenemos 24 cajas y queremos ordenarlas en columnas con la misma cantidad de cajas, ¿cuántas opciones tenemos o existe una solución única para el problema? Escuche todas las sugerencias de los niños/as, haciéndoles notar que las respuestas válidas son aquellas divisiones que no tienen residuo. Explíqueles que el conjunto de números con que podemos obtener una división exacta se


1.

2.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

43

44

45

=

cortar en pedazos iguales del mayor largo posible, ¿cuántos pedazos obtendrá en total y cuánto medirá cada cinta?

1, 2, 4, 8

D6 =

D12 = 1, 2, 3, 4, 6, 12 m.c.d. D16 =

=

4

(8, 12)

1, 2, 4, 8, 16

m.c.d.

= (16, 24)

D8 =

1, 2, 4, 8

1, 2, 3, 6

•

8

m.c.d. (6, 20) =

de largo por 100 cm de

2

ancho y quiere cortar ser-

D30 = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 15, 30

villetas cuadradas iguales

D40 = 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40

y del mayor tamaño

m.c.d. (30, 40) =

posible. ¿Cuántos centí-

10

metros medirá el lado de

D25 = 1, 5, 25

cada servilleta?

D10 = 1, 2, 5, 10

D35 = 1, 5, 7, 35

D12 = 1, 2, 3, 4, 6, 12

D45 = 1, 3, 5, 9, 15, 45

m.c.d.

=

2

(8, 10, 12)

Rosa también tiene un corte de tela de 140 cm

D20 = 1, 2, 4, 5, 10, 20

D24 = 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24

108 cm. Si las quiere

8

(24, 40)

Rosa tiene 2 cintas; una de 84 cm y otra de

En cada caso, escribe los divisores y el m.c.d. D8 =

•

1, 2, 4 ,8

=

(24, 40)

m.c.d.

Problemas

Escribe dos divisores comunes de 24 y 40 y encuentra su máximo común divisor. D

3.

Más actividades

Rodea con rojo los divisores de 24 y con azul los de 40.

m.c.d. (25, 35, 45) =

•

Dos sacos de azúcar contienen 30 kg y 42 kg

5

respectivamente. Ambos sacos se reparten en bolsas iguales de manera

Dos números naturales se llaman números amigos cuando la suma de los divisores de cada uno (excepto el propio número) es igual al otro. Comprueba si 220 y 284 son números amigos.

que contengan la mayor cantidad posible de azúcar. Si cada bolsa de

Número

220

284

azúcar se vende a Bs 12,

Divisores del número (excepto el propio número)

1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 y 110

1, 2, 4, 71 y 142

¿cuánto se obtiene por la

Suma de los divisores

284

venta?

220 •

284 y 220 son números amigos.

Don José tiene 2 listones de madera: uno de 72 cm y el otro de 48 cm.

4.

Si desea obtener de los

Los antiguos griegos llamaban número perfecto al que es igual a la suma de todos los divisores del número menores que él. ¿Es cierto que 6 y 28 son números perfectos? ¿Por qué? D6 = 1, 2, 3, 6

_

1+2+3=6

D28 = 1, 2, 4, 7, 14, 28

_

dos listones trozos más pequeños pero todos de la misma medida, ¿de

Sí, porque la suma de sus divisores es igual a los números.

cuánto deberían ser los

1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28

cortes para que no sobre nada?


53

denomina “divisores”. Ponga un par de números en la pizarra y pida a los niños/as que busquen todas las divisiones de cada número, dictándoselas para anotarlas en la pizarra. Hágales notar que siempre son divisores de un número el 1 y el mismo número, por ejemplo: D (38) = 1, 2, 19, 38 D (50) = 1, 2, 5, 10, 25, 50


53

Más actividades

Divisibilidad y criterios para 2, 3, 5 y 10

Números de tres cifras Los quintos cursos de un colegio saldrán de excursión. La directora calcula el transporte para la salida.

Organice a los niños/as en dos grandes grupos (tal vez asignándoles letras). Anote en la pizarra cuatro números, como 1, 3, 5 y 0.

¿Entrarán 66 niños y niñas en 2, 3 o 5 buses? ¿Sobrará alguno?

Necesitamos saber si 2, 3 y 5 son divisores de 66 o, dicho de otra forma, si 66 es divisible por 2, 3 y 5.

Pida a los niños que formen la mayor cantidad de números de tres cifras que sean:

Realizamos las divisiones: 66

'

2 = 33

La división es exacta; 2 es divisor de 66.

66

'

3 = 22

La división es exacta; 3 es divisor de 66.

Grupo A:

66

'

5 = 13 r 1

Múltiplos de 3

sobraría 1. Entonces, la directora puede contratar 2 buses para 33 niños cada uno o 3 buses para 22 niños cada uno.

Múltiplos de 5

La división no es exacta , porque se armarían 5 grupos de 13 niños y

Grupo B: Múltiplos de 2 Un número es divisible por otro si la división del primero por el segundo es exacta. En algunos casos, es posible saberlo sin hacer la división, aplicando las reglas o los criterios de divisibilidad.

Múltiplos de 10 Tablero del 100

Cubran el tablero del 100 con plástico transparente y podrán escribir encima con marcador de agua y luego borrarlo. Pida a un niño/a que encuentre todos los números que son divisibles por 2. Luego de que los señalen, cópienlos en el cuaderno, borren el tablero y busquen con otro niño/a los divisibles por 3, etc.

Criterio de divisibilidad por 3

Un número es divisible por 2 si su última cifra es 0, 2, 4, 6 u 8, es decir, si es un número par. Por ejemplo:

Un número es divisible por 3 si la suma de sus cifras es múltiplo de 3. Por ejemplo: 282

_

2 + 8 + 2 = 12

44, 158, 16, 100

1.

Tic Criterios de divisibilidad Aplicación de los criterios de divisibilidad por 2, 3, 5 y 10 en varios números.




Un número es divisible por 5 si su última cifra es 0 o 5. Por ejemplo:

Un número es divisible por 10 si su última cifra es 0. Por ejemplo:

10, 25, 200

20, 100, 4 000

Cambia el orden de las tarjetas para formar un número de cuatro cifras que cumpla lo que se indica en cada caso. 5 8 0 7 Puede haber otras respuestas. Divisible por 2

7

0

5

8

Divisible por 10

5

8

7

0

54

Divisible por 5 Múltiplo de 2 y de 5

7

0

8

5

8

7

5

0


Sugerencias metodológicas Invite a los niños/as a pasar a la pizarra. Anote dos divisiones y pídales que las resuelvan. Por ejemplo: 240

' 60

y 241

' 60.

Converse con los niños/as sobre las diferencias entre

una y otra operación (una es exacta y la otra no, porque tiene un residuo). Explique a los niños/as que existen unas reglas o criterios que nos ayudan a saber si una división resultará

exacta sin tener que resolverla.

54


2.

615 983 3.

917 400

¿Cuál de los tres números es divisible por 100?

898 998

Problemas

917 400

Descubre sin calcular cuáles de estas divisiones son exactas. Rodéalas.

64 603

5

'

9 102 304 4.

Más actividades

Subraya los números que son divisibles por 3.

3

'

Señala con un

10

•

en el curso de Jorge está

2

entre 30 y 45, es divisible

'

700 080

'

123 456

3

123 456

'

'

El número de estudiantes

5

9 876 500

por 2 y por 5, pero no por 3. ¿Cuántos estudiantes

que número cumple las condiciones requeridas.

hay en el curso de Jorge? Di vis ibl e por 3 y 1 0

Di vi si bl e po r 2, 3 y 5

Di vi sibl e po r 2 , 3 y 10

Di vi si bl e p or 3 y 5 •

Matilde ha ahorrado

15 260

4 660

83 160

3 225

Bs 1 550. ¿Cuál es la

24 360

600

20 080

3 005

máxima cantidad de billetes de Bs 200 que puede

5.

Divisible entre 2

6.

Divisible entre 3

4

4

5

2

5

6

1

8

Indica con un

4

Divisible entre 5

4

4

5

2

7

2

4

9

2

•

4

4

5

5

9

9

0

5

2

3

'

5

'

colocarlas en canastas que contengan las mis-

0

mas cantidades. ¿Puede armar 3 canastas? ¿Y 4 canastas?

10

'

4 359

Acertijos y rimas

6 735

Invite a los niños/as a crear acertijos y rimas sobre los criterios de divisibilidad; anótenlos en tarjetas y consérvenlas en el fichero de materiales del curso.

8 110 12 396 27 855

Lee y resuelve.

•

•

Fernanda tiene 30 manzanas y 15 peras. Desea

si el número es divisible por 2, 3, 5 y 10. '

7.

tener?

Escribe la última cifra de cada número para que se cumpla la condición dada. Puede haber otras respuestas.

Los familiares y amigos de Susana le regalaron monedas de todo el mundo en los últimos años. Su colección es de 738 monedas. ¿Puede colocarlas en tres latas repartiéndolas en partes iguales sin que sobren monedas?

•

Soy un número natural mayor que 20 y menor

7 + 3 + 8 = 18

que 50, divisible por 3 y

Sí, porque 738 es divisible entre 3.

10. ¿Qué número soy?

El número de niños y niñas del curso de Estrella está entre 30 y 45. Es divisible por 2 y por 5, pero no por 3. ¿Cuántos niños y niñas hay en el curso de Estrella? 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45 Hay 40 niños y niñas.


55

Explique los criterios para el 2, 3, 5 y 10. Si algunos niños/as proponen criterios para el 6, por ejemplo, permítales que los expliquen a la clase. Pida a los niños/as una lluvia de números de tres y cuatro cifras. Escriba todos los números en columnas en la pizarra. Aplique con los niños/as los criterios de divisibilidad con los primeros 5 números. Pídales que los copien en sus cuadernos y luego, que resuelvan todos los demás ejercicios solos. Revisen el trabajo en conjunto.


55

Más actividades


La criba de Eratóstenes

Para encontrar los números primos menores que un cierto número natural, el matemático griego Eratóstenes elaboró un método. Por ejemplo, para escribir los números primos menores que 50:

En una feria de aut omóviles, los encargados de dos stands buscan organizar su exhibición colocando los vehículos en filas y columnas sin que sobre ninguno.

1. Escriba

Buscamos los divisores de 12 y 13.

Y yo tengo 13 vehículos azules.

Tengo 12 autos rojos.

los números natu-

rales del 1 al 50. Expresamos cada número mediante multiplicaciones de números naturales. 12

'

1 = 12

1 y 12 son divisores de 12. 13

12

'

2=6

2 y 6 son divisores de 12.

30

12

'

3=4


39

40

12

'

4=3

49

50

no es necesario, porque ya calculamos que 3 y 4 son divisores de 12.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

31

32

33

34

35

36

37

38

41

42

43

44

45

46

47

48

D(12) = {1, 2, 3, 4, 6 y 12} 2. Elimine

con los niños/as

to el mismo 2.


D(13) = {1 y 13}

1 fila de 12; 12 filas de 1.

los múltiplos de

1 fila de 13; 13 filas de 1.

2 filas de 6; 6 filas de 12.

3, excepto el mismo 3. 4. Eliminen

1 = 13

Los 12 autos rojos pueden organizarse en varias Los 13 autos azules pueden organizarse combinaciones: únicamente de dos formas:

los múltiplos de 2, excep3. Saquen

'

3 filas de 4; 4 filas de 3.

los múltiplos de

12 es un número compuesto porque tiene más de dos divisores.

5 y 7, excepto los mismos 5, 7, 11 y 13. Los números que quedan son todos los números primos que

13 es un número primo porque solo tiene dos divisores.

Los números primos tienen solo dos divisores: el 1 y el mismo número. Todos los números que no son primos se llaman números compuestos, porque tienen más de dos divisores.

hay del 1 al 50.

Utilice el tablero de 100 forrado con plástico para señalar con un marcador de agua todos los números primos menores que 100.

El 0 y el 1 no son primos ni compuestos. El 2 es el primer número primo.

3.

Halla dos números primos cuyo producto sea el número dado. # 5

49 =

7

# 7

65 =

5

# 13

34 =

2

# 17

51 =

3

# 17

77 =

7

# 11

38 =

2

# 19

85 =

5

# 17

143 =

11

25 = 5

56

# 13


Tic Números primos y compuestos Descomposición de números en divisores para determinar si son primos o compuestos.

56

Sugerencias metodológicas Proponga a los niños/as una situación: por ejemplo, que van a presentar una obra de teatro y tienen que acomodar las sillas en filas y columnas para el público. Plantee que tienen 28 sillas y pida a los niños/as que propongan todas las formas posibles de acomodarlas. Luego, pídales que hagan el mismo ejercicio con 27 sillas. Repita el procedimiento con 30 sillas y luego con 31. Compare con los niños/as los resultados, observando las soluciones (divisores) de cada número y lo que les llama la atención en números como 27 o 31. Explíqueles que en cuestión


2.

12 =

2

20 =

2 2

18 = 3.

#

2

#

2

#

3

#

3

#

5

16 =

3

#

6.

7.

2

#

30 =

2

42 =

2

# #

#

3 3

2

2

#

# #

Divisores

11

1, 11

18

1, 2, 3, 6, 9, 18

21

1, 3, 7, 21

23

1, 23

48

1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24, 48

100

5.

2

La cadena de números

5

Mencione un número menor que 50 en voz alta y pida a un niño/a que diga si se trata de un número primo o compuesto.

7

Calcula los divisores de cada número. Luego, marca en cada caso si es un número primo o un número compuesto. Número

4.

Más actividades

Completa solo con números primos los factores que faltan.

Primo

Ese niño/a propondrá, a su vez, a otro compañero/a un nuevo número, siguiendo así hasta que lo crea conveniente.

Compuesto

Piensa, piensa

1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100

¿Cuál es el dígito que debe suprimirse a 1341 para que sea un número primo?

Pinta las casillas que tienen números primos. 54

26

67

2

15

45

52

9

1

51

38

55

57

3

11

12

54

36

10

27

5

75

42

30

29

4

17

47

20

14

7

35

40

13

24

12

17

33

63

5

19

16

23

27

37

Completa y compara con tus compañeros. Luego, discutan sus respuestas. Puede haber otras respuestas. 16 =

2

#

8

30 =

3

#

10

10 =

2

#

5

27 =

3

#

9

24 =

4

#

6

36 =

4

#

9

Comprueba si estas afirmaciones son verdaderas (V) o falsas (F).

•

La suma de dos números primos es otro número primo.

F

•

Hay tres números primos que multiplicados dan 30.

V (2

•

Hay cinco números primos menores que 70 y mayores que 60.

•

Todos los números primos son impares.

•

Hay exactamente siete números primos entre 10 y 20.

# 3 # 5)

F (61, 67)

F (2 es par) F (11, 13, 17, 19)

Calcula mentalmente. Encuentra dos números primos cuya suma sea el número dado. Observa el ejemplo. 7=2+5 24 =

11

+

13

14 =

3

32 =

13

11

50 =

7

+ 19

40 =

3

+

43

61 =

2

+ 37

54 =

11

+

+

59

+ 43


57

de divisores existen dos tipos de números: primos y compuestos. Muéstreles que los números primos son aquellos que tienen como divisores al 1 y a sí mismos solamente, mientras que un número compuesto es el que tiene como divisores a más de esos números. Con algunos otros ejemplos, explíqueles que todo número compuesto puede ser “descompuesto” en sus factores primos, es decir, todos los números primos que se multiplican para obtener como resultado el número que deseamos descomponer.


57

Más actividades


Juego de las claves La profesora Juanita enseña a los niños y niñas nuevas formas de descomponer un número en sus factores primos.

Prepare en un cartel las claves para que los niños/as las lean:

Utiliza dos formas para descomponer el número 210.

® Es un múltiplo de 3 £ Es mayor que 20

Árbol de factores

¶ Es un múltiplo de 5

210

No es un múltiplo de 10

®

2

210 es divisible por 2.

35 5

Ω Es divisor de 10

7

¤ Es menor que 30 ◊ No es par

210 = 2

¤ Es menor que 20

#

3

#

5

#

'

210

105 no es divisible por 2, pero sí es divisible por 3. 35 no es divisible por 2, ni por 3, pero sí es divisible por 5. 5 y 7 son números primos.

105

3

§ No es un múltiplo de 4

Divisiones sucesivas 2

105

'

3

35

'

5

7

'

7

1

7

210 = 2

#

3

#

5

#

7

^ Es un múltiplo de 2 ¯ Es menor que 10

Todo número compuesto se puede expresar como un producto de factores primos. Los factores primos de un número son los mismos sin importar la forma en que se descomponga un número. Este proceso se llama factorización prima.

$ Es mayor que 10

Indique a los niños/as que deben decir a un compañero/a las claves para que adivine un número. Por ejemplo, para:

1.

Observa los árboles de factores y comenta con tus compañeros qué sucede en los tres casos. 24 12

15 – las claves son: ®¶¤$◊ § ◊

6

2

8

2

25 – las claves son: …

3

18 – las claves son: …

24 = 2 2.

24

4

2

2 # 2 # 2 # 3

24 3

4

2

2

6 2 2

3

2

24 = 2

# 2 # 2 # 3

24 = 2

# 2 # 2 # 3

Completa los árboles de factores y anota cada número como el resultado de la multiplicación de sus factores primos. 18 2

9

2

18 =

28

3 2

2 3

#

2 3

#

3

58

28 =

125 14

2 2

5 7

#

5 2

#

7

125 =

25 5 5

5 #

5

5


Sugerencias metodológicas Proponga a los niños/as inventar algunos números en la pizarra a partir de la multiplicación de varios factores. Pida a los niños/as que le dicten números primos y anótelos en una filas en la parte superior de la pizar ra (2 – 3 – 5 – 7…). Invítelos a que, por turnos, le dicten operaciones: por ejemplo 2 # 2 = 4 o 2 # 2 # 3 = 12. Anoten juntos una gran cantidad de operaciones hasta llegar a productos de tres cifras. Entonces, invite a los niños/as a hacer el procedimiento contrario: tomarán un número y lo descompondrán por divisiones sucesivas en sus factores primos. Tome, por ejemplo, el

58

#


3.

Más actividades

Descompón en factores primos mediante el árbol de factores y mediante divisiones sucesivas. 84

2

42 2

2

42

2

21

3

7

7

3

63 3

7

32

2

16

2

8

2

4

2

2

2

16 8

3

63

3

21

3

7

7

1 7

90 2

189

21 3

32

2

189

1

21 3

2

84

45 3

90

2

45

3

15

3

5

5

1

15

1 2

4

3

2

4.

2

Descompón en factores primos mediante el procedimiento que prefieras. Anota tus resultados como potencias. Observa el ejemplo. 4

144 = 2 # 2 # 2 # 2 # 3 # 3 = 2 # 3

5.

2

2

Elabore con los niños/as un diagrama de árbol en una cartulina grande y fórrenla con plástico para ejercitar en sus casillas con marcador de agua. También puede fabricar fichas sueltas con cantidades que se combinen en el trabajo en mesa. En pequeños grupos de niños/as se pueden componer números para que, luego, copien las operaciones de multiplicación en sus cuadernos.

2

180 =

2 # 2 # 3 # 3 # 5

=

2 # 3 # 5

240 =

2 # 2 # 2 # 2 # 3 # 5

=

2 # 3 # 5

345 =

3 # 5 # 23

=

3 # 5 # 23

350 =

2 # 5 # 5 # 7

=

2 # 5 # 7

600 =

2 # 2 # 2 # 3 # 5 # 5

=

2 # 3 # 5

705 =

3 # 5 # 47

=

3 # 5 # 47

4

Relaciones

Anote en la pizarra la descomposición y los números y pida a los niños/as que encuentren relaciones.

2

3

2

2 # 3 # 3 # 3

Pinta de un mismo color cada número y su correspondiente factorización prima. 2 # 5 # 2 # 5

2 # 3 # 3 # 3 8

16 2 # 2 # 2 # 2

2 # 3 # 3

6

16

2 # 3 # 7

8

2 # 2 # 2

42

2 # 5 # 2 # 5

18

2 # 2 # 2 # 2

54

2 # 3 # 3

2 # 2 # 2

64

42 2

2 # 3 # 7

100

18

54

6.

5

Árbol de factores

100

3

2 # 3

24

Completa con el factor primo que corresponda. 10 =

2

# 5

8 = 2 # 2 #

26 =

13

# 2

30 =

5

2 # 3 # 2

66 = 3 # 24 =

3

11

# 2

# 2 # 2 # 2


59

número 12 y pregunte a los niños/as qué sucede cuando lo dividimos por 2 _ 12 ' 2 = 6; y luego, cuando al 6 lo dividimos por 2 _ 6 ' 2 = 3; entonces, indíqueles que pueden escribir esta cifra como el resultado de varias multiplicaciones _ 12 = 2 # 2 # 3. Muestre a los niños/as cómo usar el árbol de factores o las divisiones sucesivas para alcanzar el mismo resultado.


59

Más actividades


¡A descubrir números! Jorge busca el máximo común divisor ( m.c.d.) de 150 y 60.

Pida a los niños/as que calculen:

1. Descompone los dos números en sus factores primos. •

Un divisor de 24 al que si le restas 2 es múltiplo de 5.

•

El menor y mayor divisor

150

2

60

2

75

3

30

2

25

5

15

3

5

5

5

5

de 1 y 368.

1 •

150 = 2

que 50 y mayor que 30,

150 = 2

además, que sea múltiplo de 16. •

# 3 # 5 # 5

60 = 2

2

# 2 # 3 # 5

2

# 3 # 5

60 = 2

# 3 # 5

2. Toma los factores comunes con su menor exponente y los multiplica. Así encuentra el m.c.d. de los dos números.

El menor número de tres cifras que es múltiplo de 3

150 = 2

y de 5. •

1

Un múltiplo de 8 menor

60 = 22

# 3 # 5

2

# 3 # 5

}

2

# 3 # 5

= 30

m.c.d.(150, 60) = 30 El m.c.d. de 150 y 60 es 30.

El mayor número de tres cifras que es múltiplo de 7

Pamela busca el mínimo común múltiplo (m.c.m.) de 90 y 80.

y de 5.

Los niños/as puede proponer muchos más “acertijos” como los anteriores.

1. Descompone los dos números en sus factores primos.

90

2

80

2

45

3

40

2

15

3

20

2

5

10

2

5

5

5 1

Tic

1 90 = 2

m.c.m. de tres números Ejercicios para encontrar los múltiplos y mínimos comunes múltiplos de varios números.

# 3 # 3 # 5

90 = 2

# 3

2

80 = 2

# 5

80 = 2

# 2 # 2 # 2 # 5 4

# 5

2. Toma los factores comunes y no comunes en su mayor exponente y los multiplica. Así encuentra el m.c.m. de los dos números.

90 = 2

# 3

80 = 2 4

Tic m.c.m. y m.c.d. Cuestionario y ejercicios para encontrar los mcm y mcd de varios números.

Recuerda que las potencias son una forma abreviada de escribir factores repetidos, como 16 = 2 # 2 # 2 # 2= 24

2

# 5

# 5

}

24

2

# 3

# 5

= 16

# 9 # 5

= 720

m.c.m.(90, 80) = 720 El m.c.m. de 90 y 80 es 720.

Para hallar el m.c.d. o el m.c.m. de dos o más números, primero descomponemos los números en sus factores primos, expresándolos cuando es posible, en forma de potencia. Para el m.c.d., multiplicamos los factores comunes con su menor exponente. Para el m.c.m., multiplicamos los factores comunes y no comunes con su mayor exponente.

60


Sugerencias metodológicas Practique con los niños/as en la pizarra la descomposición de un número en factores primos, permitiendo que ellos muestren el procedimiento que les resulte más sencillo y efectivo. Pídales que expresen el resultado de la descomposición como potencias: por ejemplo, 24 = 2 # 2 # 2 # 3 _ 24 = 23 # 3. Ejerciten bastante el procedimiento hasta que los niños/as lo dominen. Pida a dos niños/as que pasen juntos a la pizarra y que cada uno/a descomponga un número en sus factores primos y exprese el resultado en forma de potencias.

60


1.

2 3 5

30 15 5 1

45

m.c.d. m.c.m.

120 2

3 3 5

15 5 1

90

=

(30, 45)

180

2 3 5 5

75 25 5 1

90 45 15 5 1

Problemas

2 2 3 3 5

•

roja de 45 metros y otra azul de 60 metros. Quiere

150 =

m.c.d. (120, 150, 180) =

30

m.c.m. (120, 150, 180) =

1 800

2

#

3

2

# 5

longitud y del mayor largo

2 2 180 = 2 # 3 # 5

posible. ¿Cuánto medirá cada trozo? •

horas y una pastilla cada

Una empresa de transpor tes necesita organizar sus vehículos en garajes, estacionando la mayor cantidad posible de vehículos en cada uno y en grupos iguales. Si tiene 48 motos, 8 buses y 24 camionetas, ¿cuántos garajes necesitará? ¿Cuántos vehículos de cada tipo tendrá cada garaje? Motos = 2

# 2 # 2 # 2 #

Camionetas = 2

Karen está enferma y toma un jarabe cada 8

Lee y resuelve.

•

Sonia tiene una cuerda

cortar las dos cuerdas en pedazos de la misma

120 = 23 # 3 # 5

15

= (30, 45)

150

2 2 3 5

60 30 15 5 1

45 = 32 # 5

30 = 2 # 3 # 5

2.

Más actividades

Realiza la descomposición de cada número por divisio nes sucesivas. Luego, halla el m.c.d. y el m.c.m. de los números.

3

# 2 # 2 #

/

3

/

Buses = 2 # 2 m.c.d.

(48, 8, 24)

12 horas. Acaba de tomar las dos medicinas juntas. ¿Dentro de cuántas horas tomará nuevamente, por

# 2

primera vez, las dos medi-

= 8

cinas juntas?

Necesitará 8 garajes. Podrá colocar en cada uno 6 motos, 1 bus y 3 camionetas. •

•

120 manzanas y

Un técnico de computadoras tiene dos r ollos de cable: uno rojo de 84 cm y otro azul de 108 cm. Si los quiere cortar en pedazos iguales del mayor largo posible, ¿cuántos pedazos obtendrá en total y cuánto medirá cada cable cortado? Rojo = 2

# 2 # 3 #

7

/

Azul = 2

# 2 # 3 # 3 #

3

/

Daniel tiene 180 naranjas, 90 limones. Quiere colocar estas frutas en la mayor cantidad de cestos, de tal

m.c.d. (84, 108) = 12

manera que en cada cesto

Cada cable cortado medirá 12 cm y habrá 7 pedazos rojos y 9 azules.

haya la misma cantidad de cada una de las frutas. ¿Cuántos cestos necesita?

•

Una fábrica repartió entre todos sus obreros 42 tarjetas de recarga para sus celulares y 63 bonos para transpor te. Si cada obrero recibió lo mismo, ¿cuál es la mayor cantidad de obreros que hay en la empresa? Tarjetas = 2 # 3

#

7

/

Bonos = 3 # 3

#

7

/

m.c.d.

(42, 63)

¿Cuántas frutas de cada tipo habrá en cada cesto?

= 21

Hay 21 obreros. Cada uno recibirá 2 tarjetas y 3 bonos.

•

Un programa de televisión lo pasan cada 15 días y otro cada 25 días. Si hoy los pasaron juntos, ¿dentro de cuántos días volverá a ocurrir lo mismo? Programa 1 = 3

#

5

/

Programa 2 = 5 # 5

/

m.c.d. (15, 25) = 5

Volverán a pasar los dos programas juntos dentro de 5 días.


61

Luego, busquen entre todos el m.c.d. o el m.c.m., mostrando a los niños/as que en el primer caso, se busca el menor exponente de ambas cantidades y en el segundo, el mayor exponente. Ejerciten nuevamente el procedimiento, pero con tres niños/as y tres cantidades. Luego, con cuatro, incrementando el desafío para que los niños/as mantengan una alta motivación durante la actividad.


61

Más actividades


Determinar el dato que falta

Determinar el dato que falta.

Problemas

Lee cada problema con atención. Piensa qué oper aciones necesitas hacer y con qué datos. Busca en cada recuadro el dato que te falta y resuelve siguiendo los cuatro pasos aprendidos.

Pida a los niños/as que “descubran” el dato que falta para tener toda la información que permita resolver los problemas y que sigan los pasos para resolverlos. •

Un taxista quiere cargar a su vehículo 20 litros de gasolina especial al comenzar su jornada de trabajo. Tiene un billete de Bs 100. ¿Le sobrará algo de cambio? El tanque tiene 40 litros de capacidad.

1.

Antonia está preparando

Comprendemos:

El litro de gasolina cuesta Bs 4.

el cumpleaños de Matías y

El taxista tiene Bs 100 y quiere cargar 20 litros de gasolina.

compró 20 autitos de jugue-

Queremos saber si recibirá cambio.

te, chocolates y cornetas

En una jornada, el taxi gasta 20 litros de gasolina.

Dato que nos falta: el costo del litro de gasolina.

para preparar sorpresas

2.

para los invit ados. ¿Cuántas

Planteamos:

Bs 100 menos el costo de 20 litros de gasolina.

sorpresas puede preparar sin que sobren regalos?,

3.

¿cuántos autitos, chocola-

Resolvemos:

100 – (20

tes y cornetas tendrá cada sorpresa?

# 4)

= 100 – 80 = 20

El taxista gasta Bs 80 y le sobran Bs 20. 4.

Hay 10 canastitas

Comprobamos

80 + 20 = 100

Hay 30 chocolates y 40 cornetas Hay 10 niños invitados •

Fernanda tiene manzanas

1.

y peras. Si desea hacer

Resuelve aplicando los cuatro pasos y eligiendo el dato que falta.

Un avión realiza la ruta Sucre – Santa Cruz todos los días. Generalmente lleva la mitad de sus asientos ocupados y hoy viajaron 88 pasajeros.

paquetes con las frutas, ¿cuántos paquetes puede

•

hacer de manera que todos

¿Llevó más o menos de la mitad de sus asientos ocupados? 150

tengan lo mismo?, ¿cuántas

'

2 = 75

Todos los días viajan 140 pasajeros.

88 > 75

El pasaje Sucre – Santa Cruz cuesta Bs 350.

El avión llevó más de la mitad de sus asientos ocupados.

peras y manzanas habrá en

El avión tiene 150 asientos.

cada paquete? Fernanda tiene 15 años

Una oficina realiza 200 llamadas diarias para promocionar sus productos y atender a sus clientes.

Fernanda tiene 30 paquetes

•

¿Cuánto gasta en llamadas telefónicas de lunes a sábado?

La oficina cuenta con 5 teléfonos.

Fernanda tiene 30 manza-

200

Cada llamada dura 2 minutos.

nas y 15 peras

Gasta Bs 240 por las llamadas realizadas de lunes a sábado.

62

62

'

5 = 40

40

# 6

= 240

Cinco llamadas cuestan 1 boliviano.



Más actividades

Taller de matemática



Factores primos

Utilizaremos objetos concretos para averiguar si un número es primo o compuesto y para descubrir los divisores de un número compuesto. 1.

Consigue 100 pequeños objetos iguales. Pueden ser cubitos, fichas, botones, porotos, fideos, entre otros.

2.

Elige un número cualquiera y separa tantos objetos como te indique el número. Por ejemplo, elige el número 16 y separa 16 objetos.

3.

Pida a los niños/as que identifiquen el factor primo que corresponda en cada caso.

Con los 16 objetos intenta formar todos los arreglos rectangulares (filas y columnas) que puedas.

Arreglo de 16

10 = ___

#

26 = ___

#

2

8 = 2 # 2 # __ _ 30 = ___# 2 # 3

# 1

66 = 3 # ___ 24 = ___

Arreglo de 8

5

#

2

2 # 2 # 2

#

# 2

Encontraste los divisores de 16: D Arreglo de 4

4.

D

6.

# 4

Comprueba que una cantidad de objetos que corresponde a un número primo puede ordenarse rectangularmente solo en una fila o una columna. Por ejemplo, en el caso del 7. Arreglo de 7

5.

= 1, 2, 4, 8, y 16.

(16)

# 1

= 1 y 7.

(7)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

Con tus objetos, encuentra los números primos menores que 100. Coloréalos en el tablero. Recuerda que 1 no es primo ni compuesto.

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

43

44

45

46

47

48

49

50

51

52

53

54

55

56

57

58

59

60

Anota los números primos menores que 100 de menor a mayor.

61

62

63

64

65

66

67

68

69

70

71

72

73

74

75

76

77

78

79

80

81

82

83

84

85

86

87

88

89

90

91

92

93

94

95

96

97

98

99 100

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97

Números primos menores que 100.



63

63

Notas sobre las

Evalúa tus logros

actividades de

Escribe los cinco primeros múltiplos de cada número.

1.

evaluación 1.

Verifique con los niños/as que la escritu ra de los múltiplos de cada número comience por el 0.

2.

7

_

11

_

12

_

0, 7, 14, 21, 28

18

_

0, 11, 22, 33, 44

20

_

0, 12, 24, 36, 48

45

_

17

_

Verifique con los niños/as que la escri tura de los divisores de cada número comience por el 1.

36

_

50

_

Tic

_

1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36

42

_

1, 2, 5, 10, 25, 50

70

_

14, 20, 24

1, 5, 25 1, 2, 3, 6, 7, 21, 42 1, 2, 5, 7, 10, 35, 70

Marca el número que no es divisor de 28. 7

8

14

Marca el número que tiene la mayor cantidad de múltiplos menores que 30. 5

6

7

Completa con el número o números que corresponden. Múltiplos de 2 menores que 30

_

0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20

Múltiplos de 4 mayores que 10 y menores que 40 _ 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36

Juegos de repaso Crucigrama y sopa de letras para consolidar los aprendizajes desarrollados en la unidad.

Múltiplos de 7 mayores que 14 y menores que 35 _ 21, 28 24, 32, 40, 48, 56

Cinco primeros múltiplos de 8 mayores que 16 _ Múltiplos comunes de 4 y de 5 menores que 50 Divisores comunes de 27 y de 36 7.

64

64

12, 16, 20

25

4 6.

8, 10, 12

1, 17

4 5.

0, 45, 90, 135, 180

Escribe todos los divisores de cada número.

2.

4.

0, 20, 40, 60, 80

Marca la lista que corresponde a los múltiplos de 4. 2, 4, 8

3.

0, 18, 36, 54, 72

_

_

20, 40

1, 3, 9

Determina si las siguientes afirmaciones son verdaderas (V) o falsas (F). F

_

La cantidad de divisores de un número es siempre par

_

Si un número es múltiplo de 2 y de 5, entonces es múltiplo de 10

_

Todos los múltiplos de un número par son impares

_

Los divisores de un número primo son 3

V

F F



8.

Mi desempeño

Encuentra los números. Escríbelos en el crucigrama y descubre la palabra escondida.

como docente

1. Múltiplo de 4 menor que 7 y diferente de 0. 2. Múltiplo de 6 mayor que 26 y menor que 35.

•

3. Múltiplo de 100 entre 910 y 1 050.

1.

4. Múltiplo de 5 mayor que 11 y menor que 20. 5. Número que contiene a otro número multiplicado de forma exacta. 6. Múltiplo de 10 entre 52 y 62. 6.

T

R

C E

U I

A N

T T

M

4.

I Q

L U

I

N

C

E

U T

L A

T

I

P

L

E

M N

7.

C

E

R

O

2. 3. 5.

S

E

T

7. Múltiplo de todos los números.

R A

O

O

Recupero con los niños/as el valor del ensayo – error como forma de aprendizaje, fomentando la búsqueda creativa y activa de soluciones a ejercicios y problemas. Muchas veces

9.

Rodea con rojo los números divisibles por 2, con azul los divisibles por 3, con verde los divisibles por 5 y con amarillo los divisibles por 10.

Pocas veces 12

15 8

10.

33

26

98 1 3

45 60

3 105

70 14

18 24

50

•

572 1

1 2 69

8 0 04

380

2

2

60 2 2

420 190

2

30

3

2 2 19

Pocas veces 315

3 35

5

380 = 2 # 2 # 5 # 19

2

105 3

5

120 = 2 # 2 # 2 # 3 # 5

630 210

95 5

15

105 3

7

420 = 2 # 2 # 3 # 5 # 7

•

35 5

7

630 = 2 # 3 # 3 # 5 # 7

Escribe la factorización prima de cada número. Anota los resultados como potencias. 50 =

2

# 5 # 5

36 =

2

# 2 # 3 # 3

24 =

2

# 2 # 2 # 3

75 =

3

# 5 # 5



Incentivo el cálculo mental en cada una de las clases de matemática, mediante diversos ejercicios y juegos. Muchas veces

Completa los árboles de factores. 120

12.

54

Escribe la menor cifra para que los números resulten divisibles por 3. 461 1

11.

21

= = = =

2

Muchas veces

2

# 5

2

2

# 3

23

# 3

3

Combino actividades individuales con otras grupales, fomentando entre los niños/as la cooperación en el aprendizaje matemático.

2

Pocas veces

2

# 5

65

65


13.

Obtén el mínimo común múltiplo y el máximo común divisor de cada grupo de números.

evaluación

20

13.

10 5 1

Recuerde a los niños/as que expresen la descomposición en factores primos anotando potencias cuando sea posible. 14.

30

2 2 5

2 30 = 2 # 5

2 2

m.c.m (20, 30, 60) = 2

=

# 5

# 3 # 5

=

28

2 2 3 5

10 60

14 7 1

28 =

22

42

2 2 7

# 7

21 7 1

2 3 7

49 7 7 1

72

42 = 2 # 3 # 7 49 = 7

m.c.d. (28, 42, 49) = 2

m.c.m. (28, 42, 49) = 2

2

# 3 # 7

7

=

7

=

588

Lee y resuelve.

•

Pida a los niños/as que apliquen los cuatro pasos para la resolución de problemas.

30 15 5 1

2 30 = 2 # 3 # 5 60 = 2 # 3 # 5

m.c.d. (20, 30, 60) =

14.

60

2 3 5

15 5 1

Un semáforo se pone en rojo cada 12 segundos, otro semáforo cada 10 y un tercer semáforo, cada 6 segundos. Si a las 2 de la tarde los 3 semáforos estaban en rojo, ¿a qué hora volverán a ponerse en rojo a la vez? m.c.m. (12, 10, 6) = 60

;

60 segundos = 1 minuto

Volverán a ponerse en rojo a la vez a las 2:01.

•

En un programa de r adio, cada tres días pasan música boliviana, cada cinco días leen mitos y leyendas y cada seis días hacen entrevistas a ancianos de la comunidad. Si el 2 de febrero sucedieron las tres cosas, ¿puede ser que hayan vuelto a coincidir en ese mismo mes? ¿Por qué? m.c.m. (3, 5, 6) = 30 No, porque sucede cada 30 días y no existe el 32 de febrero.

•

De la terminal bimodal de Santa Cruz de la Sierra sale un micro hacia San José de Chiquitos cada 30 minutos y uno para Concepción cada 70 minutos. Si a las 8 de la mañana salió un micro para cada uno de estos lugares, ¿a qué hora volverá a ocurrir que coincidan las dos partidas? m.c.m (30, 40, 70) = 280

;

280 min = 4h 40 min

Las dos partidas coincidirán a las 12:40.

•

A Santiago le regalaron un tren eléctrico con una pista ovalada de dos rieles. En un riel puso la locomotora sola; que tarda 15 segundos en dar una vuelta completa, y en el otro riel puso un tren de carga que es más lento, porque tarda 20 segundos. Los hizo partir juntos a las 12:30. ¿En qué momento volverán a pasar juntos por el punto de partida? m.c.m. (15, 20) = 60

;

60 segundos = 1 minuto

Volverán a pasar juntos por el punto de partida a las 12:31.

66

66



Más información


Los proyectos socioproductivos surgen de las necesidades educativas y de mejoramiento de la escuela y la comunidad. Muchas veces tienen un elemento empresarial, que lleva a transformar los insumos en productos, sean bienes o servicios, que beneficiarán a los/as participantes y su comunidad. También tienen elementos pedagógicos que recuperan y buscan la aplicación de los aprendizajes que ocupan a los niños/as en distintas áreas, a la vez que promueven su organización y capacitación en un sentido práctico.

La comunicación escolar Muchos estudiantes tienen frecuentemente algo que comunicar a sus compañeros y compañeras. Los recreos brindan condiciones favorables para compartir información, ofertas y buenas ideas. Para hacerlo, impulsaremos varios medios sencillos que se convertirán en iniciativas divertidas y muy educativas. Quién sabe si en el tiempo, incluso pueden generar algo de ingresos. En cualquier caso, es necesario organizar equipos de trabajo: unos serán quienes recolecten información, investiguen y propongan los temas centrales a ser difundidos; otros pueden promocionar en los demás cursos el uso de los medios para enterarse de noticias y buscar u ofrecer lo que necesiten; finalmente, algunos se encargarán de lograr un producto de buena presentación.

PERIÓDICO MURAL

RADIO ESCOLAR

Se puede instalar una pizarra o un panel en un sitio visible del ingreso al colegio o al patio. También se puede usar alguna parte de una pared, que se puede decorar de forma especial. Un periódico mural contiene titulares, fotografías y pequeños relatos sobre algún tema o actividad de interés. También se puede habilitar un sector para “avisos clasificados”, ofreciendo o demandando servicios y productos.

Si existen las condiciones, se puede instalar un aparato de música con parlantes y micrófonos para ofrecer transmisiones “en vivo” durante los recreos. La radio es un medio que permite transmitir entrevistas, realizar lecturas, jugar con voces, efectos especiales y música.

BOLETÍN ESCOLAR

En una hoja fotocopiada en ambas caras se pueden promocionar actividades, facilitar información muy concreta y avisos de interés para la comunidad educativa.


Les ayudan a: •

Adquirir hábitos de trabajo.

•

Relacionar conocimientos teóricos y prácticos con

Seguramente se les ocurrirán otras ideas que podrán compartir en el curso, como utilizar los medios de comunicación para realizar campañas y promocionar acciones solidarias o eventos comunitarios. Es posible también utilizar las nuevas tecnologías para crear “blogs” que vinculen a los usuarios de Internet.

conocimientos propios de la cultura local. •

Valorar los insumos que proporciona el medio.

•

Asumir valores de solidaridad y cooperación.

•

Desarrollar conciencia de su rol en la producción y el servicio a la comunidad.

Preparando pequeños proyectos, seguramente conseguirán el apoyo de la Dirección para hacer realidad todas sus ideas.

67

Para llevarlos adelante es recomendable elaborar un pequeño proyecto con los niños/as, donde se precisen aspectos referidos a propósitos y a la logística para alcanzar resultados. En este primer trimestre, les sugerimos trabajar sobre la comunicación escolar, utilizando medios sencillos como el periódico mural, el boletín impreso y la radio, que pueden servir para informar, mejorar la participación y expresión de los actores educativos e incluso, generar ingresos mediante la publicidad y la oferta de bienes y servicios.


67

Notas sobre las

Repaso acumulativo

actividades de evaluación

1.

Escribe con números y letras la cantidad representada en los carteles. 7 UMi

4

Recuerde a los niños/as que la suma de las filas, columnas y diagonales da el mismo resultado. 8

Algunos niños/as aplicarán probablemente la propiedad asociativa en lugar de la distributiva, ya que se sentirán más cómodos de operar por ese camino.

1 CM

+ 7 173 854

1C

_

+

1U

3.

_

4U

+

+

7 DM

+

3 UM

5D

+

Siete millones ciento setenta y tres mil ochocientos cincuenta y cuatro.

5 DM

+

2 253 111

2.

8C

+

+

1D

+

2 CM

3 UM

+

2 UMi

+

Dos millones doscientos cincuenta y tres mil ciento once.

Señala la descomposición correcta de 5 006 800. 5

# 10

6

# 10

5

# 10

5

# 10

+ 6 + 6

3

# 10

3

# 10

3

# 10

4

# 10

6

# 10

6

# 10

5

# 10

5

# 10

+ 6 + 6

+ 8 + 8 + 8 + 8

2

2 3

Ordena los números de mayor a menor. 1 729 348

1 234 879

1 349 287

1 934 827

1 743 982

1 234 879 < 1 349 287 < 1 729 348 < 1 743 982 < 1 934 827

4.

Resuelve los cuadrados mágicos.

8

6

18 10

4

5.

6.

68

2

14 12

53 700 + 2 6 900

_

54 000 + 27 000

=

81 000

42 100 – 19 850

_

42 000 – 20 000

=

22 000

42

16 36

8

12 14 16

12 20 28

17 10 15

32

4

60

24

Escribe en números romanos y arábigos. _

CLXXVIII

XDCIV

MCMXCIX

CMXLII

10 404

_

1 999

_

5 170

_

VCLXX

MMCMLXIV

9 004

_

IXIV

VICCXLII

942

_

_

_

2 964 6 242

Aplica propiedades para calcular más rápido. 12

# 7

10

# 15

9

68

13 18 11

Aproxima los operadores a la unidad de mil más próxima y resuelve.

178

7.

30

16

# 60

– 12

# 3

+ 10

– 60

=

# 5

# 6

=

=

12

#4

10

#20

3

#60

=

48

= 200 =

180



Notas sobre las actividades de 8.

199

# 2

301

18 000 9.

# 3

10 000

1 999 # 5

3 009 # 6

400

900

7 489 216

1

=

9

1 617 624

#

9

4 728 642

3

=

8

687

6

39 840 415

7 8

6

96

3

' 50

2 465

493 000 ' 200 =

300

80

640 000 ' 8 000 =

Calcula y escribe la letra que corresponde a las respuestas en los recuadros. A

2

C

2

# 3 2

2

# 3

2

# 5 3

450

108

A

2

3

# 3 # 5

R

2

2

# 5

2

120

100

I

5

2

# 7

U

2

3

# 5

2

3

# 7

3

# 3

175

N 3

200

E 2

C

I

B

E

R

N

A

U

T

A

108

175

50

216

100

189

450

200

300

120

3

# 5

2

189

B

2

216

T

2

# 3 # 5

=

50

2

50 2

300

Estima el cociente mediante números compatibles. 62 890

' 90 _

63 000

' 90

=

700

24 800 ' 500

_

25 000 ' 500

Escribe los diez primeros múltiplos de cada número. M(7)

15.

6

1

1 156

=

135 000 ' 450 =

14.

=

Calcula las siguientes divisiones suprimiendo ceros. 57 800

13.

9

Divide y aplica la prueba de exclusión del 9.

r5

12.

Considere que algunos niños/as pueden tener dificultades para encontrar números compatibles y que, probablemente, harán aproximaciones diferentes a las propuestas en los cocientes de esta guía.

3

=

9

3 035 376

9

35 729 52

11.

13

Multiplica y aplica la prueba de exclusión del 9.

#

10.

evaluación

Relaciona cada multiplicación con su producto aproximado.

_

0, 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63

M(8)

_

0, 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72

Escribe los divisores de cada número e indica si es primo o compuesto. D(44)

_

1, 2, 4, 11, 22, 44



Compuesto

D(71)

_

1, 71

Primo

69

69


4

Representación de las fracciones


Posibles dificultades en la unidad Las energías Escribir las fracciones

En este tiempo de crisis energética tenemos dos responsabilidades: contribuir al ahorro en nuestra vida diaria y usar energías “verdes”, limpias y renovables o provenientes de fuentes naturales, virtualmente inagotables, como el sol (energía solar), el agua (energía hídrica o maremotriz donde existe mar), el viento (energía eólica) o el calor de nuestro propio planeta (energía geotérmica). La biotecnología también está experimentando con biocombustibles procedentes de diferentes plantas, como el maíz, la yuca, la soya y el girasol. Estas son formas prácticas de afrontar el agotamiento de combustibles contaminantes.

mecánicamente, sin comprender su significado. Representar gráficamente fracciones mayores que la unidad. Transformar fracciones impropias en números mixtos y viceversa. Comparar fracciones

• ¿Qué energías utilizan hoy en tu vida familiar?

• ¿De qué forma ahorran energía?

• ¿Qué energías renovables o alternativas conoces?

• ¿Qué energía te parece que podríamos utilizar en el futuro?

heterogéneas considerando que es mayor la

70


que tiene mayor numerador como ocurre con las fracciones homogéneas. Calcular el denominador común de dos o más fracciones. Calcular la fracción de

Contextualización de la unidad Representación de las fracciones Mayor población, ciudades que siguen creciendo, un gran consumo, sobreexplotación de los recursos naturales, cambio climático y contaminación ambiental obligan a considerar el

un número y aplicarla

tema de Las energías. En este comienzo de siglo, uno de los temas sobre el tapete y que cambiará la historia de la humanidad, es el agotamiento del petróleo y la necesidad de

en la resolución de

generar nuevas energías limpias y sostenibles. Cada uno de nosotros es responsable por

problemas.

cuidar lo que tenemos y generar menos daño al ambiente.

70



RECUERDA 1.

Fracciones propias e

Escribe la fracción que representa la parte coloreada

impropias 3 4

2 5

1 2

Número mixto

1 3

Numerador y denominador Enteros

2.

Escribe cómo se leen las siguientes fracciones. 3

1

tres quintos

cuatro séptimos

Fracción irreducible ocho novenos

8

Esquema, croquis o dibujo

9

7

3.

Amplificar y simplificar

un sexto

6

5 4


Gráfico circular, de sectores o de torta

Escribe las fracciones. Tres cuar tos

_

3 4

Cinco sextos

5 6

_

Otro vocabulario Un noveno 4.

1 9

_

Siete octavos

de la unidad

7 8

_

Demanda

Escribe la fracción que representa la parte pintada y no pintada de cada figura.

Sociedad de consumo _

_

12 16

_

4 16

_

6 18

Combustibles fósiles o

12 18

Calentamiento global

derivados del petróleo

Efecto invernadero 5.

= {1, 2, 4, 8, 16}

D

(16)

D

(20)

=

m.c.d. 6.

Crisis energética

Halla el máximo común divisor (m.c.d.) de cada grupo.

{1, 2, 4, 5, 10, 20} (16, 20)

=

4

D

(50)

=

D

(120)

=

{1, 2, 5, 10, 25, 50}

Energías verdes, limpias y

{1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 40, 60, 120}

renovables

m.c.d. (50, 120) =

Energía solar, hídrica,

10

eólica y geotérmica

Resuelve. Una casa tiene 12 focos distribuidos en todos sus ambientes. es de bajo consumo o “ahorradores”. ¿Cuántos focos son de bajo consumo en la casa?

Biotecnología y 1 4

biocombustibles

de los focos

Focos de bajo consumo o ahorradores

1/4 de 12 = 3

Duchas ecológicas

Tres focos son de bajo consumo.


Paneles solares

71

Para vivir bien •

Austeridad – existen conductas o elecciones que nos ayudan a vivir mejor consumiendo o derrochando menos. Esto implica cuidar lo que tenemos y evitar desperdiciarlo.

•

Responsabilidad – nuestros hábitos afectan el ambiente y a las demás personas. Todos podemos poner nuestro granito de arena en el trabajo de ahorrar y conservar.

•

Creatividad – podemos poner nuestro ingenio e inventiva al servicio de generar nuevas energías o ahorrarlas.


71

Más información

Fracciones propias

Las fracciones de los faraones

En la escuela Verde organizaron un curso de cocina en microondas como forma de incentivar el ahorro de energía eléctrica. Prepararon una fuente de pastel de quinua que dividieron en tres partes iguales y pusieron queso a una de las partes.

En el Egipto de los faraones y de las pirámides, la matemática tenían gran importan-

Podemos representar representar la fracción del pastel que tenía queso de varias formas:

cia. Ya entonces, los egipcios conocían y

Parte de una región, entero o unidad

utilizaban las fracciones, aunque lo hacían

Parte de una colección de objetos iguales

Punto en una recta numérica 1

de una forma especial, diferente a la nuestra.

0

En sus cálculos solo





Fracción con queso

usaban las fracciones unitarias, fracciones

2



Fracción con queso

Fracción con queso

También podemos representar numéricamente la f racción anterior:

estas fracciones unita-

Una unidad o

rias aparecen escritas

3 3

_

todo el pastel

1 3

1

1 3

cuyo numerador es el número 1. Algunas de

3

porción o fracción con queso

_

Las fracciones que tienen el numerador y el denominador iguales son equivalentes a 1.

en los papiros. La fracción es una forma de indicar una división, en la que el numerador es el dividendo y el denominador es el divisor. 1 3

1/3

1/4

1/5

_ _

numerador: indica el número de partes que tomamos de la unidad. denominador: indica el número de partes en que dividimos la unidad.

Una fracción propia es menor que la unidad, porque el numerador es menor que el denominador.

El símbolo del ojo signiPara leer una fracción, primero nombramos el numerador y le agregamos el denominador, según lo indicado en el cuadro.

ficaba “uno partido por” y las rayitas indicaban en cuántas partes se dividía la unidad, es decir, el denominador. Si necesitaban escribir

Denominador

Leemos

Denominador

Leemos

2

medios

11 en adela adelante nte

3

tercios

Agregam Agre gamos os “avos” “avos” al al número número:: onceav onceavos, os, quin quin-ceavos, ochenta y seisavos, etc.

4

cuar tos

4 32

una fracción de nume-

5

quintos

rador mayor, escribían

6

sextos

juntas varias fraccion es

7

séptimos

unitarias cuya suma

8

octavos

diera esa fracción.

9

novenos

10

décimos

1 19

100, 1 000, etc.

_

cuatro treinta y dosavos

_

un diecinueveavo

Leemos centési centésimos, mos, milési milésimos, mos, etc. 3 100

_

1 1000

tres centésimos

_

un milésimo

Tic Representación de fracciones Representación de fracciones propias en gráficos.

72


Sugerencias metodológicas Pregunte a los niños/as: ¿qué es una fracción?, ¿cuándo usamos esta pala bra? bra?,, ¿qué significa si decimos “una fracción de segundo”, por ejemplo? Guíelos de manera tal que lleguen a la conclusión de que una fracción es una parte de algo, un pedazo. Explíqueles que la fracción nos debe mostrar cómo se ha dividido el entero y cuántas partes tomamos de él. Comience con el concepto de medio kilo para ilustrar la situación y pregúnteles que parte del kilo representa 1/2 kg. Llegue con ellos a la conclusión de que si medio kilo indica que hemos dividido al kilo en dos partes, la fracción nos permite mostrarlo

72


1.

Más información

Escribe la fracción que corresponde a la parte pintada y escribe cómo se lee la fracción.

En el desarrollo de esta unidad es importante llegar siempre a la representa-

5 9

8

Cinco novenos

_

_

12

20

Ocho doceavos

32

ción gráfica y a la representación matemática después _

Veinte treinta y dosavos

de realizar una experiencia concreta para facilitar la

2.

9

11

7

8

12

20

8

15

Nueve doceavos 3.

comprensión de los temas.

colorear.. Representa la fracción que se indica. Después, escríbela en cifras. Hay varias formas de colorear

Once veinteavos

Siete octavos

Ocho quinceavos

Diferentes representaciones Organice cinco grupos de niños/as. niños/ as. Pida que en cada

Colorea y completa. Hay varias formas de colorear. R

A R

R

R R

_

V A

V

A

grupo representen una

Cinco doceavos

fracción (1/2, 1/3, 1/4,

_ Cuatro doceavos

A V

_

Más actividades

1/5, 1/10) 1/10) de cinco formas

Tres doceavos

diferentes. Cada niño/ niño/a a 4.

Divide cada superficie en las partes necesarias para representar la fracción indicada. Hay varias formas de dividir y colorear. 2

5

_

5

3

Cada grupo mostrará sus

_

10

7 7

_

una hoja de tamaño carta. 3

_

9

8

hará una representación en

5

_

cinco trabajos a sus compañeros/as y los dejará en

_

12

exposición. Pueden realizar la misma

5.

5 11 11 17

6.

actividad con otras frac-

Escribe cómo se lee cada fracción. _

_

ciones propias (3/4, 5/8, 15

cinco onceavos

22 20

once diecisieteavos

37

etc.).

quince veintidosavos

_

veinte treinta y sieteavos

_

En cada recta numérica, divide la unidad en el número de partes necesarias para representar las fracciones. 3 4 1 5 ; ; ; 5 5 5 5 1 8 5 2 ; ; ; 10 10 10 10

0

0

1

3

4

5

5

5

1

2

5

8

10

10

10

10

1

1


73

escribiendo esto en el denominador 2 ; dos partes en que se divide el entero. Ahora bien, pregunte a los niños/as en cuántas partes se divide al entero p ara tener 1/4, 1/3, 1/3, 1/5, etc. Explíqueles que 1 kilo equivale a 1000 gramos y si queremos 1/2 kg debemos buscar la mitad de los mil gramos; si queremos 1/4 kg debemos buscar el número de gramos que multiplicado por 4 nos de como resultado 1000, etc. Recuerde a los niños/as que cada fracción tiene su nombre y su apellido. El apellido nos muestra en cuántas partes dividimos el entero (denominador), y el nombre nos muestra cuántas partes tomaremos de él (numerador). ©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

73

Más actividades


Número mixto niños/as niños/ as tengan bien clara la noción de número mixto puede plantear las siguientes

La fracción de duchas armadas es seis cuartos y se puede representar numéricamente de dos formas equivalentes.

preguntas: •

¿Cualquier fracción se

Fracción impropia

puede convertir a número mixto?

Número mixto

6

Parte entera

4 •

El sol calienta el agua.

En la escuela Verde están construyendo duchas ecológicas que funcionan con energía solar. Cada ducha necesita cuatro botellas plásticas pintadas de negro, perforadas y atravesadas por una manguera. Los niños y niñas armaron una ducha y colocaron dos botellas en la otra.

Para que los

¿Cualquier número mixto se puede convertir a frac-

_

1

2 4

^

Parte fraccionaria

6

En la fracción , el numerador es mayor que el denominador, lo que la 4 hace mayor que un entero.

ción? Para comprobar lo

6

aprendido puede ano-

4

tar en la pizarra una

>

1

Con seis botellas puede armarse más de una ducha ecológica.

También podemos representar numérica:

cantidad de fracciones

6 4

o1

2 4

gráficamente o en la recta

y pedir a los niños/as que indiquen cuáles

Partes de varias regiones, enteros o unidades.

pueden escribirse como

Punto en una recta numérica. 6

número mixto. 12/8

3/4

8/3

4/12

15/16

11/4

9/9

11/12

12/11

1

Ducha 1

2

3

4

5

6

1

2 1

4

Ducha 2 0

1 1

2

2

4

 Botellas usadas

8/3

Las fracciones cuyo numerador es mayor que el denominador se llaman fracciones impropias y impropias y son mayores que la unidad. Las fracciones impropias también pueden representarse mediante números mixtos, mixtos, formados por un número entero y una fracción.

Tic 1.

Fracciones en la recta numérica Ubicación de fracciones propias e impropias en la recta numérica.

Completa. _

Para convertir una fracción impropia a número mixto debo dividir el numerador

_

por el

denominador

y anotarlo junto al resto.

Para convertir un número mixto a fracción impropia debo multiplicar la parte entera por el denominador y sumar al producto el numerador.

74


Sugerencias metodológicas Escriba en la pizarra las fraccion es 1/4, 1/4, 3/5, 3/2 y 7/ 7/4. Pregunte a los niños/as cuál es el numerador y el denominador en cada una. Pida a cuatro niños/as que dibujen los gráficos que representan esas fracciones en la pizarra. Pida a sus compañeros/as que observen y comenten su trabajo. Pregunte: ¿Cómo es el numerador con respecto al denominador de las fracciones 3/2 y

74


2.

Más actividades

En cada caso, escribe la fracción impropia y el número mixto que representa la parte pintada.

La recta numérica Recuerde a los niños/as que la recta numérica es una línea sin 19

_

6

3.

3

22 5

1 6

_

4

7 3

2 5

2

_

1

principio ni fin donde repre-

3

sentamos números y podemos representar fracciones

En cada caso, dibuja las superficies que sean necesarias y píntalas para representar gráficamente la fracción impropia o el número mixto indicado. Respuesta libre.

también como pedazos de cada número en la recta. Déles un ejemplo, aclaran-

5

11

3

6

4

1

do que el espacio entre

3

cada número consecutivo debe ser el mismo. Dibuje

4.

En la recta numérica representa con un punto azul la fracción verde la fracción

2 3

y con un punto naranja la fracción A

12 6

.

1 2

una recta numérica en la , con un punto

e ilustre la representación

V

1

2

Para representar medios, divide la unidad en dos partes iguales.

Para representar tercios, divide la unidad en tres partes iguales.

0

Mira las fracciones que representaste en la recta, marca las nuevas fracciones y completa con > o <. 1 3

6.

de fracciones en la recta.

N

0

5.

pizarra, divídala en quintos

>

1

1

6

2

<

2

2

3

3

<

1/5 2/5 3/5 4/5

1

Ejercite con los niños/as la

5

13

6

6

escritura de fracciones im2

>

propias y números mixtos en diferentes rectas numéricas; pueden escribirlas

Escribe los números mixtos y las fracciones impropias que corresponden a los Hay varias respuestas posibles. puntos de colores.

en papel largo y dejarlas en exposición en la clase.

0

1 _

7.

12 10

=

1

2

2 _

10

5 2

=

3

2

1 2

_

39 10

=

Muéstreles, cómo en el

4 3

9 10

_

43 10

=

4

caso de los números mix-

3 10

tos, primero ubicamos el entero y luego la fracción.

Completa la tabla. 5

Escribimos Leemos

1 6

Cinco enteros un sexto

7

4

9

5

Siete enteros cuatro quintos

3 4

Nueve enteros tres cuar tos

11

3

0

7

Once enteros tres séptimos


1

2 2 1/2 3

75

7/4? ¿Fue suficiente una u nidad para represen tarlas? Busque que los niños/as deduzcan la regla que se aplica cuando una fracción es menor que la unidad y cuando es mayor que la unidad. Recuérdeles que las fracciones mayores que la unidad se llaman fracciones impropias y las fracciones menores que la unidad, fracciones propias.


75

Más actividades


Maples de huevos Use contenedores con

Al representar gráficamente el número mixto 5

varias divisiones, como

claramente que es igual a

cubetas de hielo o

11 2

1 2

, Natalia ve

:

maples de huevos para colocar tapas, fichas u

1

5

11 =

2

otros objetos, represen-

2

tando distintas fracciones. Si se unen varios

Pablo llega a la misma conclusión operando con números:

maples se pueden anotar números mixtos.

De número mixto a fracción impropia.

Tarjetas

5

De fracción impropia a número mixto.

Cada niño/a anotará

1 2

11 2

5 # 2 +1

=

2

11 1

_

=

10 + 1

2 5

2

_ 5

=

11 2

1 2

en dos tarjetas una fracción impropia o un

Para transformar un número mixto a fracción impropia , multiplicamos el entero por el denominador y sumamos el numerador para obtener el nuevo numerador. Conservamos el mismo denominador.

número mixto. Mezclen todas las tarjetas. Re-

Para transformar una fracción impropia a número mixto, dividimos el numerador por el denominador, obteniendo un cociente y un resto.

pártanse 8 tarjetas en grupos de 4 niños/as.

El cociente corresponde al entero y el resto es el numerador de la parte fraccionaria. Conservamos el mismo denominador.

Pídales que las ordenen ascendentemente. 1.

Transforma cada número mixto a fracción impropia. 3

2.

4

3

=

# 4

+1

13 4

=

4

2

7

11

=

7

# 11

+2

79 11

=

11

10

2 5

10

=

# 5

+2

4

11 3

_

4 2

_

2

3

8

4

3

_

8 2

3 2

20

2

2

_

7

3

_

20 6

7 2

6

2

_

7

Completa con el número o la fracción que falta. 8

5 11

93 =

10 3

=

3

=

6

34 5

11

3

4

4

1

54

3

8

4

18

5

7

=

=

19 =

6

4

6 8

2

8

5

4 6

52 =

7

8

4

19

7

7

3

6

8 12

47 =

=

2

6

8

=

6 15

5

86

7

6

76

=

=

44 12 96 15

14

2 6


Sugerencias metodológicas Pida a los niños/as que le dicten fracciones impropias o fracciones mayores que la unidad y anótelas en la pizarra en columnas. Hágales notar, que en todos los casos, el numerador es mayor que el denominador. Pregunte si alguien se anima a convertir una fracción impropia en número mixto y pídale que explique a la clase cómo lo haría. Deje que los niños/as propongan formas propias. Explique que la suma de un número entero y una fracción se expresa como un número mixto. Anote algunos ejemplos: 4 + 3/5 = 4 3/5 cuatro enteros tres quintos;

76

52 5

=

5

Transforma cada fracción impropia a número mixto. 11

3.

1


Más actividades


Cálculo mental En un pueblo de 20 casas,

1

tiene paneles solares en el t echo

4

para calentar su agua y generar energía. ¿Cuántas casas del pueblo tienen paneles solares? Observa cómo calculamos

1 4

Dicte a los niños/as una

La energía solar es una buena opción para las comunidades alejadas.

fracción impropia y pídales que la transformen mentalmente a un número mixto

de 20.

y viceversa. Pídales que verbalicen para verificar si

1. Multiplicamos el número por el numerador.

20

# 1

utilizan una forma correcta al operar.

= 20

2. Dividimos el producto obtenido entre el denominador.

20

' 4

=5

Entonces,

1 4

Tic

de 20 es igual a 5.

Busca su pareja Juego de memoria y cálculo de la fracción de un número.

Hay 5 casas que tienen paneles solares. Para calcular la fracción de un número, multiplicamos el número por el numerador y dividimos el producto por el denominador.

1.

Pinta la parte que se indica en cada caso. 2 3 3 4 1 5

2.

_

_

de los cuadrados

_

_

de los triángulos

_

2

de 9

=

6

de 8

=

6

de 10 =

2

3 3 4 1

_

5

Calcula en cada caso multiplicando y dividiendo 2 5 5 6

3.

de los círculos

de 25 =

10

de 816 =

680

4 12 3 9

3

48

de 144 =

de 81 =

5

de 60 =

3

27

11

36

de 121 = 33

2 7

de 147 =

7 15

de 210 =

42

98

Lee y contesta.

Una tienda ecológica pidió a una asociación de artesanos 1 200 bolsas de tocuyo. El lunes recibió un quinto de las bolsas; el martes tres octavos y el miércoles el resto.

•

¿Cuántas bolsas recibió el miércoles? Lunes

1 de 1200 5

_

Miércoles

_

=

Martes

240

1200 – (240 + 450) = 510

_

3 de 1 2 00 8

=

4 50

El miércoles recibió 510 bolsas.

77


7 + 5/12 = 7 5/12 siete enteros cinco do ceavos. Muéstreles cóm o usamos la división par a encontrar los enteros y la fracción que componen el número mixto. Por ejemplo: 7/3_7

' 3

=2

_2

1/3

Pida a algunos voluntarios/as que transformen el resto de fracciones impropias de la pizarra en números mixtos. Proponga a los niños/as realizar el cálculo inverso, usando la multiplicación de la parte entera del número mixto por el denominador y sumar la fracción obtenida al numerador del número mixto para obtener la fracción impropia. Muéstreles un ejemplo: 2 5/7_ 2 X 7 + 5

_19/7


Realicen otras operaciones con los niños/as.

77

Más actividades


Fracciones como números naturales

En la época húmeda, los comunarios de Valle Florido recogen agua de lluvia y la usan en sus casas. Cada balde de agua se divide en 4 partes iguales. Doña Julia recogió la noche del sábado 12 partes de agua y el domingo 20 partes.

Organice a los niños/as en parejas y entregue a

¿Cuántos baldes completos recogió el sábado y el domingo?

cada pareja una tarjeta

Representamos gráfica y numéricamente la cantidad de agua recogida por Doña Julia.

roja con un número natural: 1, 2, etc. Entrégueles también cinco tarjetas azules y pídales

_

El sábado recogió 12 cuartos de balde de agua.

que en cada una escriban una fracción equivalente al número

12 4

_

natural que les tocó. Verifique con cada pa-

_

reja que sus fracciones sean correctas. Mez-

12

12 4 _ 3 baldes 3 4 3 El sábado recogió 3 baldes de agua.

_

=

El domingo recogió 20 cuartos de balde de agua. 20

clen en una caja todas

4

20

20 4 _ 5 baldes 5 4 5 El domingo recogió 5 baldes de agua.

_

_

las fracciones y en otra

=

todos los números naturales del curso. Usen el material para trabajar en mesa, colocando en

Una fracción es equivalente a un número natural cuando al dividir el numerador entre el denominador, la división es exacta.

una columna las tarje-

La fracción es equivalente al cociente obtenido.

tas rojas y buscando

Las fracciones cuyo numerador es igual al denominador son iguales a la unidad.

sus equivalentes en las tarjetas azules. Pueden cronometrar el tiempo

1.

Escribe el número natural equivalente a cada fracción.

que tardan en encontrar las equivalencias. 16 4

2.

=

16

'

4

=

15 5

4

=

15

'

5

=

3

12 6

=

12

'

6

2

Calcula el número natural equivalente a cada fracción. 14 2

16 8

=

=

7

20 5

2

=

45 9

=

4

5

Doce tercios =

4

Treinta sextos =

5

Veinticuatro cuartos =

6

Veintiocho séptimos =

4

78


Sugerencias metodológicas Reparta a los niños/as hojas de papel (pueden ser reciclables). Pídales que plieguen las hojas tantas veces sea necesario para que representen diferentes fracciones. Pídales que marquen las líneas de los pliegues para que se note su representación y anoten la fracción que corresponda a la hoja. Jueguen a buscar equivalencias entre fracciones y números naturales y ejerciten su escritura. Por ejemplo: 8/8 o 12/12 será igual a 1.

78

=


3.

Más actividades

Colorea las fracciones equivalentes a un número natural. 60

48

90

119

32

93

120

12

5

15

17

6

3

70

La torta helada Explique a los niños/as,

4.

que en una heladería, par-

Busca y escribe. 15

ten cada torta helada en 27

3

5.

18

9

27

Las fracciones equivalentes a 3

6

20

15

35

4

5

7

9

,

15

Las fracciones equivalentes a 5

3

,

15

5

,

20

4

,

18

5 trozos iguales. El cama-

6

rero reparte varios trozos

35

en distintas mesas y ellos

7

deben averiguar cuánt a/s torta/s sirvió en cada mesa

Observa el ejemplo y escribe dos fracciones equivalentes a cada número.

y en total.

15

5#3

=

15

_

5

=

5#4

=

20

_

5

=

5

Mesa 1 – sir ve 10 trozos

Puede haber varias respuestas.

3

_

2 tortas enteras.

20

Mesa 2 – sirve 20 trozos

4


7#

2

=

14 _ 7

=

35 _ 7

=

14 2

=

35 5

9#

7# 5

8.

54 _ 9

=

Mesa 4 – sirve 30 trozos Mesa 5 – sirve 15 trozos

9# 7

=

63 _

9

=

63 9


Escribe dos fracciones equivalentes al número natural. Puede haber varias respuestas.

6

7.

=

9

7

6.

6

54 9

=

12 2

=

18 3

8

32 4

=

=

40 5

11

=

22 2

=

33 3

Lee y responde. 10

Comió 2 pizzas.

•

La familia de José comió

•

Un carpintero ve 24 patas de silla. ¿Cuántas sillas enteras está viendo? Está viendo 6 sillas.

•

En una tienda hay 72 huevos. ¿Cuántas docenas de huevos hay? Hay 6 docenas de huevos.

•

Desde que José llegó a clases han pasado doce cuartos de hora. ¿Cuántas horas han pasado? Han pasado 3 horas.

5

de pizza. ¿Cuántas pizzas comió?

Colorea las bolsas según el peso indicado.

V

12 kg 2 N

12 kg 3

12 kg 4

L

12 kg 5 R



•

Pesa 3 kg.

•

Pesa 4 kg.

•

Pesa menos de 3 kg.

•

Pesa más de 4 kg.

79

79

Más actividades


Tarjetas Una familia decide techar una parte del patio de su casa para mantenerla fresca en verano. Papá, mamá y Natalia comparten sus propuestas.

Forme grupos de 3 niños/as y pida que elaboren tarjetas como

Yo pensé en cubrir dos octavos.

las siguientes: 3/2

6/4

5/7

5/20

1/8

8/64

18/81

4/11

12/33

3/12

9/36

7/3

21/9

9/2

¿Quién propone cubrir una superficie mayor? Observamos la representación gráfica de las tres propuestas.

2/9

27/6

3/4

15/20

6/8

12/16

10/40

15/21 10/5

Yo les propongo techar tres doceavos de la superficie del patio.

Yo creo que deberíamos techar una cuarta parte del patio.

1

Papá _

20/10

4

Mezclen las tarjetas en Mamá _

cada grupo y repartan

2 8

8 a cada niño/a. Cada niño/a formará co n sus

Natalia _

tarjetas parejas de fracciones equivalentes. Ga-

3 12

Las tres propuestas muestran la misma superficie dividida en distintas fracciones.

nará el jugador que más

Las fracciones que proponen techar son iguales o equivalentes, porque representan la misma parte de la unidad.

parejas haya formado. Si desea, puede desa-

1

rrollar con los niños/as

4

=

2 8

=

3 12

un juego de memoria o de bingo con fracciones

Las fracciones equivalentes representan la misma cantidad pero se escriben de distinta manera.

equivalentes. 1.

Piensa tres otras formas de dividir el patio y anota una fracción distinta pero equivalente a las anteriores para representar la parte techada. Puede haber distintas respuestas. 5 20

Tic Fracciones equivalentes Anotación de fracciones equivalentes con ayuda de gráficos.

2.

4 16

6 24

Representa en cada figura en blanco una fracción equivalente a la indicada en la figura coloreada. Anota ambas fracciones. Puede haber distintas respuestas.

1 3

=

2 6

1 5

=

2 6

3 15

80

=

1 3


Sugerencias metodológicas Pregunte a sus niños/as qué podemos hacer cuando necesitamos comparar dos fracciones con diferentes denominadores. Inicialmente, proponga dos fracciones simples para comparar, como 1/4 y 2/8. Póngalas en la pizar ra y pregunte cuál es mayor. Escriba la lluvia de respuestas que den los niños/as y luego presente las fracciones gráficamente, mostrando que representan el mismo espacio en el entero. Luego, acláreles que cuando dos fracciones representan el mismo pedazo del entero, pero los enteros están divididos de manera diferente, decimos que se trata de fracciones equivalentes.

80


3.

Más actividades

Observa las tiras y completa las equivalencias. 1

1

1

4

4

2

1 2

1

1

1

3

6

6

6 =

4

1 3

12

=

1

12

2

Fracciones equivalentes y recta numérica

2 =

4

Para afianzar el contenido

1

1

12

12

1

1

2

=

12

6

4

=

3

1

12

3

puede proponer a los

2 =

niños/as grupos de fraccio-

6

nes equivalentes (puede 4.

usar las tarjetas azules que

Representa en la recta numérica las fracciones que se indican. 1 2 3 4 , , , 2 2 2 2 V

VyA

1 2 3 4 5 6 , , , , , 3 3 3 3 3 3 VyR

VyA

AyR

prepararon en la página 78)

1 2 3 4 10 12 , , , , , 6 6 6 6 6 6 A

R

para que los ubiquen en la recta numérica. Los

V, A y R

AyV

niños/as llegarán por si 0 5.

1

2

solos a la conclusión de que fracciones equivalentes

Anota fracciones equivalentes o que quedan señaladas por dos o más colores en el anterior ejercicio.

representan un mismo punto en la recta numérica.

1

2 =

3

1 2

6

3 6

=

2 3

=

2 2

=

4 6

5 3

=

3 3

4 2

=

10 6

6 3

Un medio Dibuje en la pizarra cuatro

= 12

veces la misma imagen e

6

invite a cua tro niños/as a mostrar formas diferen-

Para comprobar si dos fracciones son equivalentes, multiplicamos sus términos en cruz. Si los productos obtenidos son iguales, las fracciones son equivalentes. 2

3

4

6

_

2#6

=

12

4 #3

=

12

_

2 4

tes de pintar 1/2 en cada

3 =

dibujo. Pida a todo el curso

6

que copie el trabajo en sus cuadernos y que intenten

6.

Aplicando la multiplicación en cruz, averigua qué fracciones son equivalentes a cada fracción dada.

formas propias de representar 1/2 sobre la misma imagen.

10 36

5 9

7.

15

16

8

27

21

11

10

9

18

27

24 33 16

32

22

44

Determina cuáles de los siguientes pares de fracciones son equivalentes. Si lo son, escribe el signo = y si no lo son, escribe ≠ . 3 4 10 15

26 8

= 15

≠

=

16

20

6

4

35

10

14

39

3

12

4

≠ 15 5

= 10 4

≠ 4 5

4 12 9 99 3 3

= =

=

1

1

3

2

1

3

11

5

7

7

7

8

≠

23 44

≠ 12 15

=

35 40


= 1/4

_ el

entero está dividido en 4 partes

= 2/8

_ el

entero está dividido en 8 partes

81

Las dos fracciones representan el mismo espacio en el entero, entonces son equivalentes.


81

Más actividades Juego de la simplificación Seleccione fracciones

Amplificación y simplificación de fracciones. Fracciones irreducibles.

en las que el numerador Joaquín y Mabel tienen dos parcelas del mismo tamaño. Ellos calculan cómo colocarán sus cultivos.

y denominador tengan suficiente cantidad de divisores comunes.

Yo colocaré maíz en 1 de mi parcela y 2 8 lechuga en .

Forme una ronda con 4 niños/as. Dirá una

16

fracción y cada uno, por

Yo colocaré maíz en 2 partes y lechuga 4 4 en .

Comparamos las fracciones que destinarán Joaquín y Mabel a sus cultivos.

turno, dirá otra equivalente obtenida tras

Maíz

simplificar la primera.

_ Joaquín _

El participante que diga

Mabel

una fracción irreducible es eliminado.

Lechuga _ Joaquín

_

_

El juego continúa hasta que quede un único participante.

Mabel

_

1

8

# 2

2

1

2

=

2

4

2

1

4

2

y

2 4

son fracciones equivalentes.

# 2

8

' 2

16

8 16

4 8

=

4

8

8

16

y

4 8

son fracciones equivalentes.

' 2

Para obtener fracciones equivalentes a una fracción dada, podemos amplificar o simplificar dicha fracción. Si multiplicamos el numerador y el denominador por un mismo número natural (que no sea cero), amplificamos la fracción.

Tic

1

Amplificación y simplificación Anotación de fracciones equivalentes mediante la amplificación y simplificación gráfica.

2

# 2

# 2

Si el numerador y el denominador son múltiplos del mismo número, los dividimos por ese número y simplificamos la fracción.

2

8

4

16

' 2

4 8

' 2

Dada una fracción, podemos obtener otra equivalente:

1.

_

Ampliflcándola al multiplicar sus términos por un mismo número.

_

Simplificándola al dividir sus términos por un mismo número.

Completa y verifica las equivalencias coloreando los gráficos.

Amplifica por 2

2 5

=

2 5

# 2 # 2

=

Simplifica por 4

4 10

4 16

4 ' 4 16 ' 4

=

=

Amplifica por 3

1 4

3 5

82

=

3 5

# 3 # 3

=

9 15


Sugerencias metodológicas Anote en la pizarra varias fracciones, como 3/5 y 12/20

6/7 y 30/14

4/9 y 8/18

Pida a los niños/as que las representen gráficamente y deduzcan la forma de amplificarlas. Explíqueles la forma de hacerlo aritméticamente, multiplicando numerador y denominador por una misma cantidad o simplificarlas, dividiendo de la misma forma. Anote en la pizarra una fracción. Invite a los niños/as a que le dicten como “lluvia” todas las fracciones equivalentes que encuentren, ya sea por amplificación o simplificación.

82


2.

Amplifica cada fracción tres veces. Multiplica por los números que quieras. Puede haber varias respuestas. 2

1 3

3.

=

4 =

6

=

12

7

4

21

5

8 =

24

10

=

30

=

40

7

50

9

14 =

18

21 =

27

35 =

Cálculo mental

45

Pida a los niños/as que se paren en el centro del

Simplifica cada fracción dos veces. Divide por los números que quieras. Puede haber varias respuestas. 12 16

6

=

=

8

3

54

4

81

=

18

=

27

6

24

9

30

=

12

=

15

Más actividades

aula o en el patio y forme

4

dos columnas de niños/as

5

con la misma cantidad de integrantes. Indique a los

4.

niños/as que, mentalmente,

Completa las cadenas de fracciones equivalentes. amplifica por 4

4

simplifica por 2

16

5

20 simplifica por 2

60

simplifica por 6

fracciones multiplicando o dividiendo el numerador y el

amplifica por 3

5

24

amplificarán o simplificarán

56 70

10

30

48

amplifica por 7

8

4

15

denominador por una misma

12

cantidad. Por ejemplo: 2/3 amplificado por 5 o 4/8 sim-

amplifica por 5

4

simplifica por 10

20

6

amplifica por 9

2

30

3

18

plificado por 2. Deben hacer

27

la operación los dos primeros niños/as. El que contes-

5.

Observa cada serie de fracciones equivalentes y determina el séptimo término. 1 2 3 4 , , , , ... 2 4 6 8

_

7 14

2 6 18 54 , , , , ... 3 9 27 81

_

3 6 9 12 , , , , ... 4 8 12 16

1458 LLL 2187 LLL

ta más rápido o de forma _

correcta, va hacia atrás de

21

la fila. Gana el equipo que

28

vuelve al primer niño/a en primer lugar.

Una fracción es irreducible cuando no se puede simplificar más. Para convertir una fracción en irreducible podemos dividir poco a poco o dividir directamente el numerador y el denominador por el máximo común divisor (m.c.d.) de ambos términos. Simplificamos

20

20

30

30

20 30

6.

' 2

' 2

10 15

' 10 ' 10

' 5

' 5

2 3

2 3

_ dividimos

poco a poco.

_ dividimos

por el máximo común divisor m.c.d.(20,30) = 10

Simplifica hasta convertir las fracciones en irreducibles. 24 36

=

20 130

=

21 49

=

2

40

3

56

2

35

13

70

3

27

7

36

=

=

=

5

72

7

81

1

11

2

121

3

80

4

120

=

=

=

8

45

9

120

1

28

11

77

2

60

3

70

=

=

3 8 4 11

=

6 7


83

Luego, pídales que, en ese grupo de fracciones, encuentren aquella que no puede simplificarse más. Explique a los niños/as que esa es la llamada fracción irreducible. Repita el ejercicio con otros ejemplos.


83

Más actividades


Hacer un esquema o un dibujo Problemas

Hacer un esquema o un dibujo.

Pida a los niños/as que

El primer paso para resolver un problema es comprender qué nos dice y qué nos pide que averigüemos. Un esquema o un dibujo puede aclararnos qué cálculos necesitamos realizar.

resuelvan los problemas con ayuda de un esquema o

La octava parte de los 40 estudiantes de un quinto curso vive a más de 5 kilómetros de distancia de su colegio.

dibujo y recordando los cuatro pasos sugeridos para trabajar

¿Cuántos niños y niñas viven a más de 5 kilómetros de distancia de su colegio?

con orden y meticulosidad. •

Joaquín llegó a su casa y leyó

1.


un libro durante 3/4 de hora. Hacemos un dibujo como ayuda.

Después, ocupó 2/3 de hora en hacer una tarea de matemática

= 1 estudiante

y 1/2 hora en cenar junto a

•

Sabemos que hay 40 estudiantes y que

ocupó en cada actividad?

Queremos saber cuántos estudiantes viven a más de 5 km de su colegio. 2.

Una cadena televisiva ofrece

8

vive lejos del colegio.


30 programas distintos. De

Para obtener la cantidad de estudiantes recordamos cómo calcular la

ellos, dos quintos son informa-

fracción de un número

tivos, un sexto documentales,

3.

tres décimos películas y el resto

8

son de cada tipo?

_

1 8

de 40.

Resolvemos (¿qué operaciones realizamos?) 1

series. ¿Cuántos programas

•

1

su familia. ¿Cuántos minutos

de 40

1 # 40 =

40 =

8

8

=

5

La respuesta al problema es: Cinco niños del quinto curso viven a más de 5 kilómetros de su colegio.

Se reparte una barra de cho4.

colate entre varios niños y a cada niño le tocan dos décimas

Comprobamos (¿es razonable la respuesta?) Podemos utilizar el mismo esquema para comprobar.

partes de la barra. ¿Entre cuán-

También operamos 5 # 8 = 40

tos niños/as se ha repartido la

_

1 8

de 40 = 5.

barra? 1.

Lee el problema y resuélvelo siguiendo los cuatro pasos indicados. Realiza un esquema o croquis para ayudarte.

•

6

1 3

1 3

de 9 00

=

3 00

1 1 de 900 150 Transporte público _ de 900 75 6 12 Las góndolas del colegio son usadas por 375 estudiantes. 75) = 375

A pie

- ( 300 + 150 + Góndolas _ 900

84

1

En un colegio hay 900 estudiantes. La tercera parte va al colegio en el auto de su familia; un sexto va a pie; un doceavo usa transporte público y el resto utiliza las góndolas del mismo colegio. ¿Cuántos estudiantes Transporte público 1 Góndolas 12 se transportan de cada forma? Auto _

84

Pie

Auto

_

=

=



Más actividades


Gráficos circulares, de sectores o de torta

Gráficos circulares, de sectores o de torta

Los niños/as de quinto curLos gráficos circulares son muy frecuentes en los informes por su impacto visual. Se usan para hacer comparaciones entre las fracciones de un total.

so deben ser capaces de: •

1. Una indagación sobre algunos hábitos de 240 familias en época fría arrojó datos muy interesantes.

Responder y formular preguntas que puedan responderse con datos representados en gráficos

¿Qué medios utilizan en tu famila para entrar en calor en época fría?

estadísticos. •

Usamos estufa a gas o eléctrica.

Seleccionar y utilizar métodos estadísticos para

Encendemos la chimenea a leña.

analizar datos.

Nos abrigamos con más chompas en el día y con frazadas para dormir en la noche.

•

Desarrollar y evaluar inferencias y predicciones basadas en datos.

2. Observa el gráfico circular y responde.

•

¿Qué fracción del total de familias utiliza estufas? ¿Cuántas familias son? 1 2

•

_

Más actividades

son 120 familias.

¿Cuántas familias ahorran energía y evitan contaminar abrigándose más? 3 8

•

de 240 familias

de 240 familias

_

Pregunte a los niños/as qué

90 familias ahorran energía abrigándose más.

tipo de gráficos estadísticos

¿Cuál es la opción menos frecuente?

conocen. Indique que existe

Encender la chimenea a leña.

un gráfico donde la información se representa en un

3. También se preguntó a las 240 familias cómo usan el agua y se hizo una tabla que refleja algunos malos hábitos. Completa la tabla y representa las fracciones en el gráfico circular. Hábitos

Fracción 3

Lavan su acera con agua de manguera en lugar de escoba. Dejan chorreando el agua mientras se lavan los dientes. Se bañan en tina en vez de ducharse.

12 1 2 1 12

1

Dejan gotear los grifos descompuestos y no los reparan.

4.

6

círculo dividido en sectores de colores diferentes. Pida a los niños/as recortes

Número de familias

de periódicos o revistas donde se muestren gráfi-

60

cos de sectores. Resalte

120

la importancia de aprender a interpretar y representar

20

información en los gráficos

40

estadísticos. Utilice información como la

Comenta con tus compañeros.

•

propuesta en los problemas

¿Cuál es el hábito relacionado con el mal uso o abuso del agua que se observa como más frecuente en el gráfico circular? Dejar chorreando el agua mientras se lavan los dientes.


85

de la página 84 para que los niños/as puedan representarla mediante gráficos circulares. Propóngales que recorten grandes círculos en papel y los dividan en los sectores necesarios para representar las fracciones sugeridas. Supervise su trabajo. Pídales que formulen preguntas relacionadas con la información representada en los gráficos circulares.


85

Notas sobre las

Evalúa tus logros

actividades de

1.

evaluación

Escribe con cifras. Diez diecinueveavos

_

Treinta cuarentavos

_

5. Algunos niños/as tal vez prefieren convertir

10 19 30

15

Quince séptimos

_

Cuarenta noventavos

_

7 40

40

90

las fracciones a un mismo denominador antes

2.

de ordenarlas.

3.

Escribe la fracción representada en cada gráfico y subraya la de mayor denominador. 17

24

30

Compara y anota >, < o =, según corresponda. 6

<

8

4.

12

12

1

9

>

15

1

15

=

26

1

20

28

1

>

Fracciones impropias cuyo numerador sea 20. Fracciones equivalentes a un número natural.

6.

30

1

33

3

4

5

10

10

10

20

20

20

3

4

5

10

4

25

5

2

5

De menor a mayor _

9 5 7 3 4 , , , , 14 14 14 14 14

De mayor a menor _

8 8 8 8 8 , , , , 10 9 7 15 12

3 4 5 7 9 , , , , 14 14 14 14 14

8 8 8 8 8 , , , , 7 9 10 12 15

Escribe en cada recuadro la fracción representada en la recta numérica. 3 8

1

10

0

1

5

0

1

4

2

0

1

2

3

5

16 5

0

1

3

2

12

86

1

Ordena.

0

86

<

Escribe en cada caso tres fracciones. Puede haber varias respuestas. Fracciones propias cuyo denominador sea 10.

5.

=

28

22

0

1

2

3

9



Mi desempeño

Representa en una misma recta numérica los siguientes números mixtos.

7.

como docente

Divide la recta de la forma que creas conveniente.

0

1

3

8.

2

5

5

6

3

2

1

5

4

3

5

4

4

3

6

2

8

7

1

6

8

8

2

•

7

3

1 2

Ayudo a que los niños/as conecten los nuevos conocimientos matemáticos con la vida cotidiana.

Escribe una fracción impropia y un número mixto para cada gráfico.

Muchas veces

Pocas veces 8

2

=

3

9.

4

42 38

4

50

5

15

4

90

38

29

3

=

5

=

5

3

31

4

5

=

6

1 •

5

1

=

3

=

3

=

5

3

6

29

35

3

4

15

=

8 2 17

=

8 104

17

5

9

23

=

23

Pocas veces

287

8 31

de 480

5

=

31

7 10

de 590

•

7

384

=

9

=

3

413

8

de612

de1256

5

476

=

6 3

471

=

9

Fomento el pensamiento crítico e independiente en los niños/as.

Muchas veces

130

15

Calcula la fracción de un número. 4

11.

23

Convierte las fracciones impropias a números mixtos y los números mixtos a fracciones impropias. 19

10.

2 3

de 198

=

de 189

=

165

63

Apoyo las iniciativas de los niños/as que tengan que ver con su desarrollo personal y el compromiso con los demás y su ambiente.

Completa las fracciones combinando los números del recuadro.

Muchas veces 21

8

18

9

6

32

7

30

Pocas veces 2

=

18

3

=

9

12.

21

4

=

32

7

5

30 =

6

8

Escribe fracciones equivalentes a las dadas, amplificando o simplificando. ' 6

# 3

' 5

# 7

2

6

36

6

45

9

7

5

15

48

8

80

16

11

# 3

' 6



' 5

49 77 # 7

87

87


13.

Calcula el término que falta en cada par de fracciones equivalentes. 3

evaluación 15.

4

14.

15

7

20

10

=

8 12

12 36

2

=

3

unidades de medida de 15.

28

2

40

5

14 =

1

5

3

6

4

35

12

=

10 =

12

Simplifica cada fracción hasta hallar la fracción irreducible equivalente.

Los niños/as trabajaron en cuarto curso las tiempo. Sin embargo, si

=

=

1

33 88

3

3

=

20 25

8

=

45 50

4 5

=

Analiza y responde.

necesitan ayuda, puede

1

facilitarles algunos datos (como, por ejemplo, que un año tiene 365 días).

18.

9 10

12

•

¿Qué fracción de la semana son tres días?

1

•

¿Qué fracción del día son siete horas?

•

¿Qué fracción del año es un mes?

•

¿Qué fracción del año es un día?

•

¿Qué fracción de una docena son cinco unidades?

•

¿Qué fracción de un grupo de 6 niños son 5 niños?

365

3 7

7 24

5 12 5 6

La cantidad de habitantes de Amsterdam puede parecer muy grande

16.

Interpreta la información del gráfico circular y contesta.

para operar a algunos ¿Cómo desechan la basura en tu casa?

niños/as. Recu érdeles que se trata de la mis-

Total = familias de 32 niñas y niños

ma operación que con

toda junta en una misma bolsa

encontrar el número

• • •

equivalente a la frac-

•

separando papel, cartón, botellas plásticas y vidrios

multiplicar y dividir para

¿En las familias de cuántos niños y niñas se mezcla toda la basura?

•

¿Qué fracción representa a aquellas que separan las botellas plásticas?

En 16 familias.

pequeñas cantidades y que se enfoquen en

•

1

separando botellas plásticas

•

separando papel, cartón y botellas plásticas

ción requerida. 17.

4 familias.

Calcula y contesta. Un cuarto de la mitad de 24, ¿es igual a 4? No, porque

18.

4

¿Cuántas familias separan papel, cartón, botellas plásticas y vidrios para desechar su basura?

1 4

de 12 = 3

Un tercio de la mitad de 18, ¿es igual a un sexto de 18? Sí, porque

1 3

de 9 = 3;

1 6

de 18 = 3

3=3

Lee y resuelve.

•

La ciudad de Amsterdam (Holanda) es considerada el centro mundial de uso de la bicicleta. Se calcula que

6 7

de su población tiene una bicicleta y la

utiliza para transportarse en la vida diaria. Si la población de Amsterdam es de 749 000 habitantes, ¿cuántas bicicletas hay? 6 7

88

88

de 749 000 = 642 000

Hay 642 000 bicicletas en Amsterdam.



Más información


Las grandes obras se han hecho con pequeños pasos.

El ahorro de energía

Todos podemos ser responsables por cuidar los

Algunas recomendaciones que contribuyen al ahorro energético y que puedes ayudar a aplicar en la vida de tu familia para cuidar responsablemente el planeta son:

recursos y evitar que se gaste energía en la producción y descarte de bienes.

– Compra solo lo necesario y con la menor cantidad posible de empaques:

Es importante conversar con

si de verdad no lo necesitas, no lo compres. No cedas ante las ofertas y los créditos y usa bolsas de tela para salir a comprar.

los niños/as sobre nues-

– Al comprar electrodomésticos, especialmente refrigerador, televisor o

tro rol en el consumo y en

lavadora, elijan los de bajo consumo; algunos consumen 1/10 de la energía de sus similares.

poner en práctica las tres R: reducir, reusar y reciclar. Gastar menos, consumir me-

– Desconecta los aparatos apagados, porque siguen consumiendo 1/3 de

nos e invitar a los familiares

la energía que consumen cuando están encendidos.

a cambiar de hábitos en el

– Prefiere la cocina a gas, la olla a presión y el microondas para cocinar,

momento de hacer compras.

porque consumen menos energía. Tapa las ollas durante la cocción y baja al mínimo el fuego durante la ebullición. El microondas ahorra 7/10 de lo que consume el horno convencional.

Reutilizar los objetos, como los frascos de vidrio para

– Evita abrir constantemente el refrigerador o el horno al cocinar, porque

conservar cosas, las hojas

se escapa 1/5 del frío o del calor concentrado.

de papel para escribir en el

– Descongela la escarcha del refrigerador, porque el aparato consumirá

otro lado o los viejos útiles

3/10 más de energía.

y mochilas para el siguiente

– Usa el lavarropas con agua fría y jabón biodegradable y seca tu ropa al

año escolar. Siempre existe

aire y al sol, no en secadora.

la opción de regalar objetos

– Aprovecha la luz natural del sol. Apaga las luces que no utilices. Usa focos

en buen estado para que

ahorradores en sitios donde se requiera más tiempo de luz artificial.

otras personas las utilicen.

– Evita el uso de calefacción y aire acondicionado. Aísla tu vivienda, evitando

Por último, separar la mal

fugas de calor en épocas frías y el sol directo en épocas cálidas.

llamada “basura” en grupos:

– Evita dejar abiertos grifos durante el lavado y cepillado de dientes. Arregla

residuos orgánicos, papel

los grifos que gotean.

y cartón, metales, vidrios,

– Separa los desechos de tu hogar en orgánicos e inorgánicos. Entrega los

plásticos y pilas y encargar-

inorgánicos a los recicladores de tu comunidad.

se de que cada grupo llegue

– Usa pilas recargables.

al mejor destino posible.

– Camina o anda en bicicleta y usa transporte público o comparte tu auto

Reflexionen con los

para ahorrar combustible y disminuir la contaminación ambiental.

niños/as sobre que cada vez son más los recolecto-

• Una familia aplica varias de estas recomendaciones y ahorra un tercio de la energía eléctrica que habitualmente gasta. Si sus anteriores facturas ascendían a un monto de Bs 600, ¿cuánto pagarán con el ahorro actual? 1 3

res y/o segregadores que mantienen a sus familias con lo que para muchos es

de 600 = 200; 600 – 200 = 400 Pagarán Bs 400.

un descarte. Sobre este tema es posible ©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

89

plantear muchos problemas con fracciones: ¿qué fracción del tiempo mantienen focos encendidos en tu casa?, ¿qué fracción de focos son de bajo consumo?, ¿qué fracción del total de basura es orgánica?


89


5

Fracciones: orden y operaciones


Posibles dificultades en la unidad El agua

Encontrar fracciones equivalentes para com-

3/4 partes de la superficie terrestre están cubiertas por agua, la mayoría en estado líquido. La exploración de planetas del sistema solar ha demostrado que en algunos de ellos puede existir agua en forma de hielo o vapor. Hasta hoy podemos comprobar que el único planeta listo para acoger la vida como la conocemos es el nuestro. Llamamos hidrosfera al total de agua del planeta. En los océanos se concentran 97/100 del agua, que es salada. El resto se distribuye en glaciares, casquetes polares, depósitos subterráneos, lagos y ríos, entre otros abastecimientos y reservas de agua dulce.

pararlas, amplificándolas o simplificándolas. Calcular el mínimo común múltiplo de los denominadores de dos o más fracciones. Sumar y restar no solo los numeradores, sino también los denomina-

• ¿Por qué llamamos Planeta Azul a la Tierra?

• ¿Qué fracción del agua de nuestro planeta es dulce?

• En tu ciudad o comunidad, ¿cuáles son las principales fuentes de agua potable?

• ¿Tienen algunas dificultades referidas al agua?

dores de las fracciones. Invertir la segunda frac-

90


ción en una división. Calcular la fracción de un número y aplicarla en la resolución de problemas.

Contextualización de la unidad Fracciones: orden y operaciones Los/as niños/as escuchan hablar constantemente de los problemas que tienen que ver co n El agua y su disponibilidad hoy en muchas regiones del mundo, además de su futura esca-

sez. En muchos de ellos/as, este tema genera ansiedad. Es importante ayudarles a adoptar acciones de cuidado y valoración del agua potable en la vida diaria. Ellos y sus actitudes serán los impulsores de cambios en los hábitos de las familias.

90



RECUERDA 1.

Reducción de una fracción

Escribe la fracción que representa la parte coloreada de cada figura y anota si es >, < o = que la unidad.

Inversa de una fracción Representación gráfica

5

<

9

2.

>

9

9

1

9

=

1

Fichas fraccionarias

Encierra en un grupo de objetos la cantidad equivalente a la fracción dada.

3 4

3.

14

1

1

de los círculos

3

1

de los rombos

5

de los triángulos

Representa de la forma anterior, con tus propios dibujos de objetos, cantidades equivalentes a las fracciones dadas. 1

2

de 20

4

5

1

de 15

8

Otro vocabulario

de 16

de la unidad Superficie terrestre Hidrosfera

4.

Descompón cada número en sus factores primos. 20 10 5 1

30

2 2

15 5 1

5

Glaciares, casquetes 60

2 3 5

30 15 5 1

2 2 3 5

polares Depósitos subterráneos Abastecimientos y reservas de agua

5.

6.

Calcula el mínimo común múltiplo (m.c.m.) de dos o más números. Observa las descomposiciones anteriores. m.c.m. (20, 30) =

60

m.c.m. (20, 60) =

m.c.m. (30, 60) =

60

m.c.m. (20, 30, 60) =

Derrochar Filtro de agua

60

Manantial

60

Cisterna

Resuelve.

Tanque aéreo

En países desarrollados, se calcula que una persona derrocha por día 30 litros de agua al lavarse los dientes. Si para lavarse los dientes cerrando el grifo se gasta como máximo

1 15

de esa cantidad de agua, ¿cuántos litros podría

ahorrar una persona por día? 1 15

de 30 = 2 litros; 30 – 2 = 28.

Ahorraría 28 litros de agua por día.


91

Para vivir bien •

Iniciativa – cada quien puede contribuir con sus acciones a cuidar el planeta.

•

Bienestar común – el bienestar de las demás personas es el mío propio; todas las personas –y las futuras generaciones también– tenemos derecho a acceder al agua potable. La vida depende de ello.


91

Más información

Relación de orden entre fracciones

Fracciones e impuestos Un quinto curso decidió trabajar un huerto en el patio de su colegio. Cada niño y niña tiene una parcela con igual superficie. Mariela, Pablo, Sebastián y Cristina están regando sus parcelas.

Las fracciones han aparecido desde siempre en el lenguaje cotidiano.

¿Quién habrá regado mayor superficie?

Aparte de las más co-

Comparamos las superficies regadas por los cuatro niños:

munes, como la mitad o un cuarto, existen otras que formaban parte de la vida diaria de otras épocas. Hace muchos años, se utilizaba una fracción para indicar los

Primer caso

Segundo caso

Mariela y Pablo dividieron sus parcelas en diferentes sectores. Ambos regaron 6 de los sectores.

Las parcelas de Sebastián y Cristina están divididas de la misma forma. Cada uno ha regado diferente cantidad de sectores.

Mariela

Pablo

impuestos que había

6

que pagar al rey: el diez-

9

mo. El diezmo era un

>

Sebastián

Cristina

6

3

12

4

6=6 9 < 12

impuesto que consistía en pagar la décima de las ganancias y mer-

2 4

4=4 3>2

Mariela ha regado una superficie mayor que Pablo.

parte de la cosecha o

>

Sebastián ha regado una superficie mayor que Cristina.

De dos o más fracciones de igual numerador, es mayor la que tiene menor denominador. De dos o más fracciónes de igual denominador, es mayor la que tiene mayor numerador.

cancías. Así, un campesino tenía que entregar una parte de cada diez

Tercer caso

de su cosecha, y un

Mariela y Sebastián quieren saber quién de los dos regó más hasta ahor a.

mercader que entrase

Mariela

a una ciudad abonaba

Sebastián

la décima parte de sus mercancías. Aún en la

6

3

actualidad, en algunos

9

4

grupos religiosos, los Al comparar fracciones de distinto denominador y numerador, necesitamos encontrar fracciones equivalentes con un mismo denominador. Amplificamos o simplificamos y luego comparamos los numeradores, como en el primer caso.

creyentes aportan un diezmo para sostener su iglesia.

9

4

#

#

6 9

=

4

#

24

3

36

4

=

27 36

24 36

<

27 36

_

Entonces,

6 9

<

3 4

9

#

Sebastián regó una superficie mayor que Mariela.

Para comparar dos o más fracciones, comparamos primero sus denominadores y luego sus numeradores. Si es necesario, buscamos denominadores iguales mediante fracciones equivalentes.

92


Sugerencias metodológicas Proponga a los niños/as que imaginen que organizan una feria sobre el agua y realizan un afiche para difundir este evento en la comunidad educativa. Para trabajar mejor, decidieron dividir la hoja de papel en 24 partes iguales y asignarán a cada color una función: Verde

_

Nombre de la actividad

Rosado

_

Amarillo

_

Lugar, fecha y hora de la feria

Gris

_

Naranja

_

Organizadores del evento

Celeste

_

Fotografía

Mensaje sobre el cuidado del agua Instituciones que promueven el cuidado del agua

92


1.

Mayores que

2 8

cuyo

denominador sea 8. 2.

Más actividades

En cada caso, escribe dos fracciones. Puede haber otras respuestas. 4

10

6

6

8

8

12

20

Menores que

6 10

cuyo

Problemas •

numerador sea 6.

Observa los gráficos y escribe las fracciones que representa cada una de las partes coloreadas. Luego, compara cada pareja de fracciones y escribe los signos >, < o =.

•

2

<

4

3.

3

4

5

6

>

3

3

5

6

>

1 3

Escribe la fracción que representa la par te coloreada en cada figura. Después, ordena las frecuencias de mayor a menor. •

10

_

10 16

4.

>

4

2

16

>

8

9 21

>

8 21

>

21 9

_

4

21

Pedro jugó 3/6 de los partidos de básquet y Julio 2/8 de los partidos del campeonato. ¿Quién participó menos en los partidos de básquet? Lucía ocupó 2/6 de un frasco de dulce de leche para hacer un brazo gitano. En cambio Andrea ocupó 3/4 de un frasco similar. ¿Quién ocupó más dulce de leche?

21

Representa en la recta numérica las fracciones indicadas y completa con los 1 4 5 1 signos > o <. 1 1 1 0

5

8

1 6

2

4

1 4

<

5

5

1

4

6

<

2 1

1

3

1

1

>

2

1 8

Escribe >, < o =, según corresponda. 4

7 6.

4 16

16

3

5.

21

_

16

_

2

_

16

_

4

Rafael ha asistido a 3/4 de los entrenamientos de natación y Claudia a 3/5. ¿Quién ha faltado menos a los entrenamientos?

<

4

5

5

10

>

5

6

20

8

>

3

9

8

15

<

12 15

Amplifica o simplifica las fracciones para compararlas. Escribe >, < o =. 2

3 _ 8 12

>

>

1

4

4 _

5 _

3

24

12

30

<

<

5

1

6 _

3 _

25

5

30

15

<

<

6

4

15 _

11 _

6

36

15

99


<

<

7 9 _

77 99

93

¿Qué parte de la fracción de la hoja ocupará el título? ¿Cuál es la sección que ocupa el doble del espacio del título? ¿Alguna sección ocupa media hoja? ¿Y un tercio de la hoja? ¿Es verdad que la sección del nombre de la actividad y de las instituciones ocupan la misma fracción de la página? ¿Qué fracción es? Invente otras preguntas c on los niños/as.


93

Más actividades


En primaria, el trabajo muy vinculado a las

Los comunarios de dos poblaciones utilizan la misma cantidad de agua para regar sus cultivos y lo hacen mayormente con agua procedente del

unidades de medida

río cercano. La comunidad de Río Alto obtiene del río

(tiempo, dinero, longi-

riego y la comunidad de Río Bajo,

tud, masa, capacidad).

¿Qué comunidad utiliza mayor cantidad de agua del río para regar?

con fracciones está

Puede trabajar a partir Transformamos denominador.

de la manipulación de objetos (un “banco”

9

11

y

12

15

11 15

9 12

de su agua de

.

en fracciones equivalentes con el mismo

con instrumentos de medición, etiquetas y

1. Descomponemos los denominadores en sus factores primos.

envases de todo tipo)

12 6 3 1

o de la resolución de problemas que puede entregar a los niños/as o pedir que

15 5 1

2 2 3

3 5

2. Calculamos el mínimo común múltiplo (m.c.m.) de los d enominadores.

ellos formulen a partir

m.c.m. (12, 15) = 2

de operaciones dadas.

# 2 # 3 # 5

= 60

3. Usamos el m.c.m. como denominador común de las fracciones buscadas y realizamos los siguientes cálculos: 9 12

=

60

_

60 ' 12

11

=5

15

=

60

_

60 ' 15 = 4

# 5

5 # 9 = 45

9

_

12

=

# 4

4 # 11 = 44

45

_

11 15

60

' 5

45 60

=

44 60

' 4

>

44 60

; entonces,

9 12

>

11 15

La comunidad de Río Alto utiliza más agua del río para riego que la comunidad de Río Bajo. Podemos reducir dos o más fracciones a su común denominador encontrando el mínimo común múltiplo de todos sus denominadores y utilizándolo para calcular sus fracciones equivalentes. 1.

En cada caso, escribe las fracciones equivalentes encontrando el mínimo común múltiplo de sus denominadores. 5 9 y 8 12

_

8 4 2 1

2 2 2

12 6 3 1

m.c.m. (8, 12) =

24

5 9 y 8 12

y

=

15 24

2 2 3

1 2 5 , y 2 3 6

_

2

m.c.m. (2, 3, 6) = 18 24

1 2 5 , y 2 3 6

=

2

1

3

3

1

6 3 1

2 3

6 3 6

;

4 6

y

5 6

94


Sugerencias metodológicas Anote dos fra cciones en la piz arra, por ejemp lo, 3/10 y 4/15. Pida a los niños/as que le indiquen cuál es la mayor de ellas y que argumenten por qué. Seguramente alguno opinará que la segunda es mayor porque su numerador y su denominador son mayores (3 < 4 y 10 > 15). Pida a los niños/as que observen la representación gráfica o en una recta numérica de ambas fracciones para poder compararlas. Concluya con ellos que ¡la fracción

94


2.

3 2 y 5 7 5

5

21

_

7 9 y 12 20

10

y

35

35

7

7

1

6 3

35

m.c.m. (5, 7) =

2

10 5

3

9

_

m.c.m.

10

;

24

24

12 2

24 2

9 3

2 3

12 2 6 2

3 1

1

1

3

m.c.m. (8, 12, 24) =

20

2 5

2 10 2 5 5

;

60

9 60

;

8

y

60

2 30 2 15 3 5 5 1

30 2 15 3 5 5

60

1 10, 20, 30, 60

(

15 3

3

5 1

10

_

45

12

;

45

8

y

45

45 3 15 3 5 5

5

•

m.c.m. ( 9, 15, 45 ) =

6

_

1

m.c.m.

60

=

(12, 20)

1

24

1 3 4 5 , , y 10 20 30 60

5 1

5

3

1

10

•

2

2 4 8 , y 9 15 45

11

y

24

2 2

6 3

60

1

8 2 4 2

y

60

Problemas

27

12 2 20 2

1

3 5 11 , y 8 12 24

35

_

1

3.

Más actividades

En cada caso, encuentra las fracciones equivalentes con el mínimo común denominador. Sigue el ejemplo desarrollado en el ejercicio anterior.

=

)

5 60

3 5 7 9 , , y 16 18 20 24 16 8 4 2 1

60

45

2 2 2 2

18 9 3 1

2 3 3

_

20 10 5 1

135

2 24 2 12 6 5 3 1

m.c.m. ( 16, 18, 20, 24

200

;

720

=

)

720

;

252 720

y

270 720

2 2 2 3 720

Lee y resuelve reduciendo las fracciones a su común denominador.

•

En una heladería tenían al principio del día un recipiente con 50 litros de helado de vainilla y otro con 50 litros de helado de chocolate. Al final del día, el recipiente de helado de vainilla estaba lleno hasta sus 3/8 partes y el de helado de chocolate hasta sus 2/5. ¿De qué sabor tienen que pedir más helado si quieren empezar el día de mañana con los recipientes llenos?

En la oficina del papá de Ricardo compran un botellón de agua de 20 litros cada tres días. Si el lunes tomaron 3 8

10 16

del contenido del botellón y el martes

, ¿qué día consumieron más agua? 10 16

•

A José le toma 11/6 de hora hacer la tarea de matemática y 9/15 de hora hacer la tarea de ciencias naturales. Si primero quiere dedicarse a la tarea que le toma menos tiempo, ¿cuál debe hacer p rimero?

>

3 8

_ El

lunes tomaron más agua.

En dos tiendas, los filtros de agua tienen el mismo costo y están en oferta. En la primera tienda, ofrecen un filtro en tienda, el mismo filtro cuesta conviene comprar el filtro? 7 10

<

11 15

_

21 30

<

22

11 15

7 10

de su precio original. En la segunda

del precio original. ¿En cuál de las tiendas

Conviene comprar el filtro en la primera tienda.

30


95

de menor denominador es la mayor! Compruebe con varios otros ejemplos esta regla, que por lógica, es algo di fícil de asimilar. Pruebe otra forma de comparar ambas fracciones, encontrando iguales denominadores mediante fracciones equivalentes. Pida a los niños/as que ejerciten todos los procedimientos hasta consolidar este nuevo conocimiento.


95

Más actividades Los apellidos del curso Anote en la pizarra una


lista completa con los niños/as de la clase,

Sonia ha bebido hoy tres cuartos litros de agua. Su hermana Analía ha bebido un cuarto litro más que ella.

incluyendo el suyo

¿Qué cantidad de agua ha bebido Analía?

(del/la docente); pro-

Representamos gráfica y numéricamente las cantidades bebidas por las hermanas.

apellidos de todos los

mueva que los niños/as respeten su turno para dictar su apellido. Formule a los niños/as algunas

Agua bebida por Sonia

Agua bebida por Analía 8

3

preguntas como:

4

¿Qué fracción de todos los apellidos comienza

+

1 4

=

3+1 4

=

4

4

4

de litro es equivalente a 2 litros.

4 Analía bebió de litro de agua. 4

con consonante? Si una persona debería tomar

¿Qué fracción de los apellidos que comien-

8 4

litros de agua por día, ¿cuánta agua le falta beber a Sonia? Lo que se aconseja tomar por día

zan con vocal corresponde a mujeres? Pídales que inventen

Lo que toma Sonia

otras preguntas relacio-

8

nadas con los apellidos

4

(cantidad de letras que tienen, si son de origen

3 -

4

8 =

-

4

3

Lo que le falta tomar 5

=

4

A Sonia le falta tomar

5 4

de agua.

latino o no, etc.). Para sumar fracciones con igual denominador, conservamos el denominador y sumamos los numeradores.

Puede hacer actividades similares con los

Para restar fracciones con igual denominador, conservamos el denominador y restamos los numeradores.

nombres del curso, las edades, los años de nacimiento, los sitios

1.

donde viven los niños, etc.

Suma o resta las fracciones y explica cómo lo has hecho. Después, colorea, tacha cuando sea necesario, y comprueba. 3 10

+

4 10

=

7

15

10

20

13 -

20

=

2

6

20

8

+

3 8

=

9 8

=1

1

12

8

16

7 -

16

=

5 16

Piensa y escribe Pida a los niños/as que sigan instrucciones para encontrar ciertas fracciones. Puede pedirles que ellos inventen otras instrucciones y

96


las compartan con sus compañeros/as. •

•

•

Dos fracciones de denominador 10, cuya diferencia sea 3/10. Dos fracciones de denominador 14. cuya diferencia sea 5/14. La suma de dos fracciones de denominador 9 que sea 5/9.

96

Sugerencias metodológicas Puede dibujar en la pizarra dos círculos e indicar a los niños/as que cada uno representa una pizza dividida en 8 partes y que dos amigos comieron entre los dos, dos pedazos de cada pizza. Pida a un niño/a que represente esta situación como una suma de fracciones 2/8 + 2/8 = 4/8

_

Pida luego, a otro niño/a, que anote como una resta de fracciones cuántas porciones quedan en una pizza

8/8 – 2/8 = 6/8

_


2.

Más actividades

Completa y calcula la fracción que representa la parte coloreada en cada figura. 3

_

_

9

6

Problemas

12 •

3

_

3

3

+

9

3

=

9

_

9

+ 3

=

9

6

6

9

12

3.

5

2 8

+

+

3 8

1 5

3 8

=

=

8

24

=

24

4

5

10

5

3

8

4

25

25

12 +

=

8

+

4

24

=

25

25

8

6

=

+

5 10

=

9

6

10

9

5

2

6

11

+

2 9

8

=

=

1

+

18 30

4

13

10

24

12

2 6

=

15 -

30

=

6 -

12

=

3 30

=

4 12

=

1

+

7

15

9

=

11

11 8

7 -

10

20

1

17

3

13

=

20

20

9 -

13

=

2 5

8

=

13

Recuerda resolver primero los paréntesis y luego completa.

a

24

a

10

30

21

-

+

13 30 3 21

k

+

5 30

k a -

=

7 21

+

16

=

30 5 21

k

=

8

a

15 1

a

21

9 15

17 28

•

+

-

3 15

3 28

k

-

4 15

k a +

8

=

16 28

15

-

6 28

k

24 = 28

=

6 7

Completa las series. Suma tres novenos cada vez.

Resta cuatro séptimos cada vez.

Salí de casa a las 12 del mediodía. Caminé durante 1/4 de hora hasta la estación, esperé el tren durante otro cuarto de hora y llegué a la terminal 7/4 de hora más tarde? ¿Cuánto faltaba para las 3 de la tarde cuando llegué a la terminal? (Pida a los niños/as que expresen la respuesta como fracción) ¿Qué cantidad de horas ocupé desde que salí de casa hasta que llegué a la terminal? (Pida a los niños/as que expresen la respuesta como número mixto).

9 •

8

10 -

3

2

1 -

23

5.

4

+

12

Calcula y expresa el resultado como una fracción irreducible. 2

4.

8 25

9

=

25

_

+

3

12

25

_

25

+

6

=

12

12

12

_

12

3

+

3

5

8

11

14

17

20

23

26

9

9

9

9

9

9

9

9

31

27

23

19

15

11

7

7

7

7

7

7 7

3

7


•

7

97

De un rompecabezas, Gustavo armó la novena parte; Lucio el doble que Gustavo y María logró colocar el triple de piezas que Lucía. ¿Lograron armarlo o falta colocar piezas? ¿Por ejemplo? Nicolás prometió no gastar más de la mitad de sus ahorros al salir de compras. Gastó 5/12 en un libro y 2/12 en un juego. ¿Cumplió su promesa? Alejandra hizo el lunes dos octavas partes de su tarea y el martes, tres octavas partes. ¿Qué parte de su trabajo ha concluido? ¿Qué fracción le falta?

Aclare a los niños/as que, en la adición y sustracción de fracciones con igual denominador, se opera con los numeradores y se mantiene el mismo denominador en el resultado. Es probable que algún niño/a exprese el resultado como fracción irreducible, lo que habrá que reconocer como una operación muy correcta.


97

Más actividades Rectas Si pueden dibujar con tiza


en el suelo del patio o de la cancha, experimenten

Josefina recoge en un balde agua del manantial. Usa 1

1 3

del agua

representar fracciones y

del balde en lavar las verduras y

sumar o restar. Utilicen un

¿Qué fracción del agua contenida en el balde gastó Josefina?

flexómetro o wincha para

2

del agua del balde para cocinar.

Para sumar estas fracciones necesitamos encontrar fracciones equivalentes pero con un mismo denominador. Observa la representación.

medir. Por ejemplo, dibuje en el suelo una recta que mida 1/4 metro de largo.

Observa la representación.

A continuación, dibuje 1/2 metro más y pregunte a los

2

3

1

#

s 3 o m a c fi 2 i l p m 6 A

niños/as: ¿Cuánto mide la recta ahora? Pida a ellos que formulen problemas parecidos.

#

+ _

+

Josefina gastó

5 6

1

s 2 o m a c fi 3 i l p m 6 A

_ _

2 6

+

3 6

=

2+3

=

6

5 6

del agua contenida en el balde. 6

Si el balde de agua tenía de litro, ¿cuánta agua le quedó a Josefina 4 después de lavar las verduras y cocinar? 3

Tic

#

s 4 o m a c fi i 18 l p m 12 A

La partición de la torta Problema de adición de fracciones con distinto denominador.

8 12

Tic Adiciones y sustracciones de fracciones Desafío para encontrar el signo perdido en adiciones y sustracciones de fracciones.

2

6

5 s 6 o m a c fi i 10 l p m 12 A #

– _ ## ###

–

## ###

puede simplificarse a

2 3

_ Entonces,

_ _

a Josefina le sobran

2 3

18 12

10 -

=

12

18 - 10

8 =

12

de litro de agua en el balde.

Para sumar o restar fracciones de distinto denominador, primero buscamos fracciones equivalentes, amplificando o simplificando hasta obtener fracciones con igual denominador. Luego, sumamos o restamos los numeradores. Al final, simplificamos los resultados para presentar la respuesta como fracción irreducible.

1.

Antes de sumar o restar, busca el mínimo común denominador (m.c.d.) para reducir las fracciones a un mismo denominador. Observa el ejemplo. 3 10

3 10

+

+

4 15

4 15

_ m.c.d.

= 30

(10, 15)

=

9 30

+

8 30

=

17 30

3 14

3 14

+

+

2 21

2 21

_ m.c.d.

=

(14, 21)

=

9 42

+

4 42

=

98

42

11 9

13

11

42

9

-

-

2 3

_ m.c.d.

=

(9, 3)

2 3

=

11 9

-

6 9

9

=

5 9


Sugerencias metodológicas Consulte con los niños/as la situación didáctica presentada en el texto. Pregúnteles cómo podemos sumar o restar fracciones con distinto denominador. Muéstreles gráficamente que sería como sumar o restar pedazos de diferentes tamaños. Pida a los niños/as que propongan diferentes estrategias para realizar esta operación. Luego, represente gráficamente dos fracciones con distinto denominador en la pizarra y recuérdeles que podemos usar la amplificación o simplificación (mediante la multiplicación o división) para que ambas tengan el mismo denominador, o sea, que queden divididas en la

98

12


2.

1 2

+

1

16

=

3 8

13

1

16

2

=

5

1

8

3

+

+

1 6

1 6

=

=

Problemas

2 3

•

1 2

Completa con fracciones equivalentes y luego, calcula la resta. 1 2

4

1 -

8

4

=

4

=

5

1

-

8

1 -

15

4.

5

+

4

3.

Más actividades

Suma siguiendo el ejemplo. Anota primero la operación.

15

=

8 3

-

=

15

3

7

8

9

2 -

1

8

15

24

3

=

2 -

8

=

7 9 8 24

-

-

6 9 6 24

1

=

9

•

2

=

=

24

1 12

Calcula y expresa el resultado como una fracción irreducible. 2 4

1 3

1

+

6

2

+

9

=

+

2

3

3

4

1 18

=

11

3

18

4

+

+

4 12

1 2

=

+

2 8

13

3

12

5

=

3

3

2

4

+

+

4

=

10 1 4

1

+

2

1

=

Rocío, Lucía y Cecilia compraron una caja de chocolates. Rocío pagó 1/4 del precio, Lucía pagó 4/7 y Cecilia 1/12. El resto lo recibieron gratis por una oferta. ¿Qué fracción del precio pagaron entre todos? Un maratonista ha recorrido ya 3/7 del trayecto. ¿Qué fracción del trayecto debe recorrer para alcanzar 5/6 del mismo? ¿Y cuántos kilómetros son esa fracción si el trayecto tiene 42 kilómetros?

3 2

Cálculo mental 5.

Introducir progresivamen-

Observa el ejemplo y realiza las operaciones.

te en la rutina de cálculo 3 7

4 7

+

+

15 3

6.

1 2 1 3

-

-

-

5 8

1

=

4 1 2

+

12 + 14 - 7 28

6

120 – 15 + 4 24

=

mental la suma y resta de

28

24 + 14 – 21 42

=

1

=

19

fracciones cada vez más =

=

17

4

42

5

109 24

=4

13

3

24

4

-

+

3 8 4 5

+

1 10

32 – 15 + 4 40

=

-1 =

15 + 16 – 20 20

=

=

21

complejas y de operaciones

40

combinadas con fracciones

11

de igual o distinto denomi-

20

nador.

Lee y resuelve.

•

María y Camilo compraron una botella de agua de 2 litros. María bebió 3 5

de un litro y Camilo

Tienen aún

•

11 15

2 3

. ¿Cuántos litros tienen aún en su botella?

de litro en su botella de agua.

Lucía se esforzó por ahorrar agua siguiendo varias recomendaciones. Primero ahorró 1 2

3 4

litros en el lavado de dientes de la mañana; luego,

litro al preparar el desayuno; después,

finalmente, 5 Ahorró 7

11 24

1 3

7 8

de litro al lavar la vajilla y

litro al lavar su ropa. ¿Cuánta agua ahorró en total?

de agua.


99

misma cantidad de partes, de manera que podamos sumarlas o restarlas. A continuación, sumen o resten las fracciones.


99

Más actividades


El doble y la mitad de una fracción

Tres amigos se preguntan cuánto es razonando de formas distintas.

Muestre a los

3 4

de

2 3

y encuentran la respuesta

niños/as con un dibujo en la pizarra que desea

Primera forma. Marcela comienza dividiendo una superficie en tres partes iguales y pinta dos de esas partes.

que calculen cuánto es la mitad de medio pan.

Puedo ver que

Pida a un niño/a que

2

señale en el dibujo qué

3

Luego, divide la parte pintada en cuatro partes y marca tres de ellas.

fracción queda repre-

#

sentada. Invite a voluntarios/as a escribir la

#

3 4

#

2

de

3

es igual a

6 12

es igual a

3

de

4 3 6

.

.

operación en fracciones. Segunda forma. Ricardo dibuja un rectángulo; divide un lado en cuatro partes y colorea tres de ellas. Divide el otro lado en tres partes y colorea dos de ellas.

Haga lo mismo con una pizza dividida en ocho partes iguales y pídales que intenten calcular

{

'3

cuánto será el doble de 1/8.

{

2 3

{

'4 Luego, observa qué parte de la fracción quedó con los dos colores superpuestos.

Tras varios ejercicios, pregunte si alguien puede encontrar una “regla” que se aplique

Creo que los tres llegamos al mismo resultado con fracciones equivalentes.

Tercera forma. Jorge realiza el cálculo solo con números.

para encontrar el doble y 3

la mitad de una fracción

4

de

2 3

3 =

4

#

2 3

3#2 =

4#3

6 =

Entonces,

12

3 4

de

2 3

=

(para obtener el doble,

3

1

6

2

=

6 12

=

1 2

.

dividimos el denominador entre 2; para obtener

Una fracción de otra fracción coincide con el producto de multiplicar los numeradores entre sí y los denominadores entre sí.

la mitad, multiplicamos el denominador por 2). Desafíelos a calcular

1.

Resuelve y colorea la fracción que resulta.

la tercera parte o la cuarta parte; el triple o el cuádruple de alguna fracción. 3 4

#

1 2

=

3

1

8

5

#

3 4

=

3

1

20

3

#

3 5

=

3

2

15

3

#

6 10

=

2 5

=

12 30

Tic Multiplicación de fracciones Ejercicios de multiplicación de fracciones.

100


Sugerencias metodológicas Puede mostrar a los niños/as en la pizarra algunos gráficos y operaciones:

1/2 de 1/5 = 1/2 X 1/5 = 1/10

2/3 de 1/3 = 2/3 X 1/3 = 2/9

100


2.

1

de

2 2

de

9

3.

3

3

3

8

8

=

2

1

2

#

4

4

#

8

2

1

27

4

3

2

56

3

1

de

=

7 8

de

10

8

=

=

40

1

3

5

9

de

de

2

1 =

3

1 18

Problemas

9 3

=

=

162

15

3 1

1#1 #1

=

3

#

#3

7

1 2

3#2#3

5 12

•

1 54

1 18

5#1 #1

=

7

1 # 19 # 15

=

8

3

5 72

=

8#3# 3

3

#1

6

=

10

3

285 21

=

7# 3 #1

#

8

2 10

#

3 4

1

#

#

3

5

#

6

4

1

#

1

#

3

1

_

3

_

2

_

8

9 _ 32

1

#

3 4

=

1 60

•

3 16

=

8 #1#2

2

1

1 # 10 # 1 # 6

1#3#1

=

6

=

En la sucesión numérica, cada fracción se obtiene multiplicando la anterior por Escribe las cuatro fracciones que siguen y simplifícalas todo lo que puedas. 2

.

Simplificamos un numerador con un denominador.

27 128

Calcula teniendo en cuenta que las figuras iguales contienen fracciones equivalentes y que la flecha indica que hay que simplificar todo lo que se pueda. 2 3

5 6

#

#

12

6 =

5

15

20

4 =

5

30

_

_

4

5 2 3

8

15 8

#

=

30 =

3

60 _ 40

15

#

2

5

_

24

4

#

#

2 3

=

4 5

=

•

1

3 2 3 2 3 2 3

de60

=

de60

=

de600

4 3

40

4

=

de6 000

1

20

3

400

4

4 000

=

3 4

de80

=

•

de80

=

de 800

5 2

60

5 2

600

=

de 8000

1

20

5

6 000

=

Un corredor toma su tiempo y observa que tarda 1/4 minuto en dar una vuelta a la pista del estadio. Si quiere dar 12 vueltas en menos de 15 minutos, ¿debe correr más rápido? De los autitos de Esteban, 2/5 son camiones. Y de los camiones, 1/2 son azules. ¿Qué fracción de los autitos de Esteban son camiones azules? Si Esteban tiene 20 autitos, ¿cuántos camiones azules tiene? Rafael tarda 19/6 minutos en hacer una multiplicación. ¿Cuánto tardará en hacer 9 multiplicaciones de igual dificultad?

1

Calcula reflexivamente. 1

7.

=

1

2

5

6.

4

#

3

5.

3

Simplifica antes de multiplicar las fracciones. Observa el ejemplo. 1

4.

Más actividades

Multiplica y escribe el producto simplificado hasta obtener una fracción irreducible.

de10

2

=

de 100

40

=

de 1000

=

2 de 10000 5

=

Para preparar una mermelada se mezclan 1 kg de fruta con 3/4 kg de azúcar. ¿Cuántos kilogramos de azúcar se necesitan para 4 kg de fruta?

400

4 000

Lee y resuelve.

•

Sandra lavó

3 4

partes de su ropa sucia. Si

1 2

de la ropa eran pantalones,

¿qué fracción de la ropa sucia representaban los pantalones? 3 4

#

1 2

3 =

8

Los pantalones representaban

3 8

de la ropa sucia.


101

Ejercite con ellos la multiplicación de numerador por numerador y denominador por denominador, en ejercicios con dos, tres y más factores. Invítelos a probar la simplificación antes y después de la operación y saque conclusiones sobre si resulta más sencillo el ejercicio de una forma u otra; si se llega a un mismo producto, etc. Verifique con ellos si es posible simplificar numeradores y denominadores de diferentes fracciones obteniendo un mismo producto.


101

Más actividades


Comidas El papá de Alicia preparó 3 litros y medio de limonada para invitar al equipo de fútbol de su hija después de su entrenamiento. Quiere servirla en vasos de un cuarto de litro de capacidad.

Siguiendo con el uso de objetos concretos –en este caso, alimentos–

¿Cuántos vasos puede llenar?

para comprender el concepto de la división

Podemos representar gráficamente la situación.

de fracciones, pida a los niños/as que respo ndan

Limonada

las siguientes preguntas,

3 l +

1 2

l = 3

1 2

l =

7 2

_

l _

mediante una represen-

1

tación gráfica de una operación:

Vasos de

1

l

4

+ 1

l

1

+

l

2

obtienen de 4 pizzas? El papá de Alicia puede llenar 14 vasos con los 3

+ 1 2

4

+

4

+

1 2

l

l

_

4

Se obtienen 12 tercios.

+ 1

1 l = 4 vasos _

¿Cuántos tercios se 4 : 1/3 = 4 X 3 = 12

l

3

14 vasos

2

de limonada.

También puede hacer la división.

¿Cuántos cuartos hay en 5 tortas?

3

1 2

entre

1

_

4

3

1 2

'

1 4

=

7 2

'

1 4

=

7 2

#

4 1

=

28 2

=

14

¿Cuántos sextos hay en 7 quesos? El cociente de dos fracciones se obtiene multiplicando la primera fracción por la inversa de la segunda fracción. La inversa de una fracción se obtiene intercambiando de lugar el numerador y el denominador.

Piensa, piensa Pregunte a los niños, cuánto es: •

1.

Resuelve las siguientes divisiones con el apoyo de los dibujos.

un cuarto de dos tercios

•

un medio de tres quintos

•

un tercio de un tercio

•

un medio de tres cuartos

¿Cuántos

2 3

'

Acertijo ¿Cuántos

La herencia de tres

1 2

hay en

1 3 1 9

=

2 3

?

¿Cuántos

1

2

'

9

hay en

6 9

?

¿Cuántos

1 9

3 9 1 6

hay en

=

3 9

?

3

hay en

4 6

?

hermanos es de 12 caballos. Al mayor le debe tocar la mitad. Al segundo le debe tocar

1

la tercera parte de la

9

'

6 9

=

6

1

'

6

4 6

=

4

mitad. Al tercero le toca el doble del segundo.

102


¿Cuántos caballos recibe cada uno?

Sugerencias metodológicas Tic División de fracciones Ejercicios de división de fracciones.

102

Para llevar a cabo la división, pregunte a los niños/as cuál es la operación contraria a la multiplicación. Una vez que ha quedado establecida la relación entre ambas, enséñeles que para dividir dos fracciones damos la vuelta o “invertimos” la segunda fracción, y continuamos la operación realizando una multiplicación entre fracciones.


2.

Más actividades

Resuelve y grafica. ¿Cuántos cuartos hay en 3 2

'

3

1 =

4

4

#

2

1

3 2

12

=

=

2

¿Cuántos sextos hay en 1

?

1 1 3

6

'

1 6

4

=

6

#

1

3

=

1 3

?

24

Problemas •

8

=

3

_

_

•

3

En 3.

6

hay

2

En 1

cuartos.

1 3

2'

=

6, porque 6 #

2

¿Cuántos

hay

8 sextos.

3

3'

1 3

=

2

hay en 4? 6

=

3

•

¿Cuántos cuartos hay en 3 unidades? 1 4

, porque

6#

2 3

9

4

=

2

'

12

=

¿Cuántos

2

4'

3 4

, porque

hay en

9 2

=

6

1

=

4

3

•

?

3 4

12 #

, porque

6#

3

9

=

4

2

Divide y simplifica el resultado, si es posible hasta obtener una fracción irreducible. Si encuentras un número mixto, primero transfórmalo en fracción impropia. 5 6 6 12

3

5.

3

Completa. Sigue el ejemplo. ¿Cuántos tercios hay en 2 unidades?

4.

1

1 3

2

'

3

'

'

15 =

12

5 9

54

=

=

60

1 6

=

60

=

3

=

5

3

4

4

4

'

9

12

10

3

20

4'

=

7

'

3 4

1 8

=

21

7

16

9

48 9

16

7

3

8

=

32

1

=

1 5

'

'

'

5 6

4

42

=

3

•

45 28

=

24

3 15

=

7 =

90 15

=

6 6

•

Lee y resuelve. Realiza una representación gráfica para comprobar los resultados.

•

Una familia de 8 personas consume cada día

4 5

de un botellón de agua.

¿Cuánta agua le toca a cada miembro de la familia? 4 5

•

' 8

1 =

A cada persona le toca

10

En un vaso cabe

1 4

1 10

del botellón.

En sus entrenamientos, una corredora quiere dar 12 vueltas a la pista en 1/3 de hora. ¿En qué fracción de una hora debe dar una vuelta? Matilde debe empaquetar 5 kg de galletas en cajas de 1/5 kg. ¿Cuántas cajas debe pedir? ¿Cuántos estudiantes pueden trabajar juntos en una pizarra de 5 1/3 metros de largo, si cada uno ocupa 8/6 metros? Una cuerda de 3/5 metros de largo se divide en 3 trozos iguales. ¿Cuál es la longitud de cada trozo? Matías recibe 3/4 de una barra de chocolate. Él le da 2/5 de su parte a su amigo Pablo. ¿Cuánto chocolate come cada uno? María y su mamá hornearon galletas dos días seguidos. El lunes ocuparon un cuarto de medio kilo y el martes, la mitad de un cuarto de kilo. ¿Cuándo ocuparon más harina?

litro de agua.

¿Cuántos vasos se llenan con 5 litros? 5'

1 4

=

20

Se llenan 20 vasos.



103

103

Más actividades


Problemas •

•

•

•

•

•

En un laboratorio realizan observaciones sobre los efectos del consumo de diferentes cantidades de agua en la salud humana.

En una jarra había 4 quintos de litro de zumo. Daniel llena de zumo un vaso de 1 quinto de litro de capacidad. ¿Qué fracción de litro de zumo queda en la jarra?

En abril, registran que una mujer pesaba

3

kg. Le indican que tome 8 vasos de agua por

4

día. Un mes más tarde, la mujer había per dido 2 agua, el siguiente mes aumentó 1

1

1 2

kg. Tras pedirle que deje de tomar tanta

kg. ¿Cuánto pesó la mujer en esta tercera medición?

8

Seguimos los pasos para resolver un problema de manera ordenada.

Los 10 quinceavos de la carga de un camión son sacos de arroz y de azúcar. Los sacos de azúcar son 4 quinceavos de la carga total. ¿Qué fracción de la carga son los sacos de arroz?

1.


Conocemos el peso inicial de la mujer y los kilogramos que perdió al tomar mucha agua y que subió cuando dejó de tomarla. Queremos saber el peso final de la mujer. 2.


Debemos restar al peso inicial el peso perdido y sumar el peso aumentado. Podemos hacerlo con números mixtos o convirtiéndolos a fracciones impropias.

Marta pasó el lunes a limpio tres séptimos de un trabajo y el martes pasó dos séptimos. ¿Qué día de los dos trabajó más? ¿Qué parte del trabajo pasó a limpio el lunes más que el martes? ¿Qué parte le falta aún pasar a limpio?

3.


a a

60

3 4

243 4

-2

=

8

1

k

2

59

k

2

5

-

475

+1

+

9 8

1

=

8

=

a

a

243

486 8

4

-

-

20 8

5 2

k

k

+

+

9 8

9 8

=

475 8

_

Convertimos a fr acciones impropias.

_

Transformamos a f racciones con un mismo denominador.

_

Convertimos a número mixto.

3 8

3 En la última medición, la mujer pesaba 59 kg. 8

Tres hermanos reciben como herencia los 3/5 de un terreno. Si todos reciben igual cantidad, ¿qué parte del terreno le corresponde a cada uno? Si quiero repartir 2 manzanas entre cinco personas, ¿qué parte le tocará a cada una?

60

4.

Comprobamos (¿es razonable la respuesta?) 59

1.

3 8

=

475

_

475 8

-

9 8

+

20 8

=

486 8

=

243 4

=

60

3 4

Resuelve de forma similar al ejemplo desarrollado.

•

La familia Jimenez tiene una casita de fin de semana. Recibe agua de cisterna en su tanque aéreo de 1 200 litros. Luego de una semana, ha gastado

Juan debe almacenar 5 litros de aceite en botellas de 1/4 litro. ¿Cuántas botellas usará?

8

1 6

tanque para lavar con manguera su camioneta,

riego de jardín y

1 5

8

tanque en

tanque entre el baño y la cocina de la casa.

¿Cuánta agua ha gastado en total? ¿Qué fracción le queda aún en el tanque? Gasto total de agua

1 6

+

2 8

+

1 5

=

74 120

=

37

37

60

60

La familia Jimenez gastó 740 litros de agua. Le queda aún

104

104

2

de 1 2 00 23 60

=

7 40 litros

de tanque con agua.



Más información


Además de las fichas

Fichas fraccionarias

fraccionarias, es muy útil realizar representaciones

Analizaremos operaciones entre fracciones usando fichas fraccionarias. 1.

1 1

1

2

2

1 3 1 4

1 5

2.

1 6

1 8

3.

1 9 1

hizo en la unidad anterior.

En cartulinas de distintos colores, recorta 11 tiritas de 32 cm de ancho y 3 cm de alto cada una.

Pueden usarse rectángu-

Divide cada tira en tantas partes iguales como se ven en el dibujo.

colorear varias de ellas.

Escribe en cada parte de la fracción qué representa.

resulta muy útil tener ayu-

Recorta cada fracción y obtén así tus fichas fraccionarias. Guárdalas en una cajita o sobre para trabajar.

experimentar los concep-

Observa equivalencias con tus fichas fraccionarias.

cos. Permita a los niños/

Observa que

10

A muchos niños/as les

tos antes de mecanizar procedimientos matemátias que coloquen sus

6 . 12

polígonos en pliegos de paredes de la clase, junto

2

1

con las operaciones que

1

15

4#

1

2#

>

5

1

5#

=

8

1

2

3#

15 1

7#

10

>

5 1

>

9

2#

5#

representan.

12

Analiza cada caso con las fichas fraccionarias y escribe >, < o =, según corresponda. 1#

Las fichas o “tiritas” fraccionarias son útiles para 1

desarrollar el tema de

6

fracciones equivalentes o con un mismo denomi-

1 12

nador y para encontrar fracciones irreducibles.

Verifica con las fichas las siguientes multiplicaciones. 1 2 2 9

6.

=

dirlos en partes iguales y

das visuales y más aún

1

12

5.

1 2

los y círculos para divi-

papel y los exhiban en las

1

4.

en polígonos, como se

Elabora tus fichas fraccionarias.

de

de

1 6

=

1 2

=

1

2

12

5

1

1

9

5

de

de

1 6

1 =

1 2

15 1

=

10

Verifica con las fichas las siguientes divisiones. 1'

2'

1 5

=

5

=

8

1 4



2'

1 3

'

1 2

=

4

1 5

=

5

X

5 3

105

105

Notas sobre las

Evalúa tus logros

actividades de

Compara las fracciones de cada grupo y ordénalas.

1.

evaluación

5 2 8 , , 3 3 3

2y4 Si revisan el resultado de los ejercicios de

2.

2 3

5

<

11 8 7 , , 12 15 9

8

<

3

3

8

7

<

15

11

<

9

12

Escribe tres fracciones equivalentes a cada una de las siguientes fracciones. Hay varias respuestas posibles.

la sección Evalúa tus

1

logros con los niños/as,

4

2

_

3

=

8

12

=

4

3

16

7

6

_

9

=

14

=

21

15

5

35

2

_

10

20

=

4

=

8

30 12

compartan diferentes 7

soluciones posibles

11

para un mismo ejercicio. Esto abrirá los ojos a nuevas oportunidades

3.

matemáticas que tal

14

_

=

22

33

=

28

9

44

10

18

_

27

=

20

=

30

36

2

40

5

_

6

=

=

15

8 20

Yo también sumé dos fracciones menores que 1, pero el resultado fue una fracción mayor que 1.

Sumé dos fracciones menores que 1 y obtuve otra fracción menor que 1.

niños/as en su trabajo.

1

Verdadero:

5

+

2 5

3

=

5

;

3 5

<1

Verdadero:

5 4 9 + = 8 8 8

;

9 >1 8

2

Para armar mi pulsera usé m 5 3 de lana roja y m de lana 10 5 verde. Usé en total m de lana.

Tic

No es así, Susana. Usaste de lana.

7 10

m

15

2

Falso:

4.

+

3 10

=

7

Verdadero.

10

Las dos fracciones cuya suma es

8 9

3

.

7

•

Las dos fracciones cuya suma es

•

Las dos fracciones cuya diferencia es

• 5.

5

En cada caso, busca las fracciones que se indican y rodea:

•

12

9

4

.

Las dos fracciones cuya diferencia es

+

12

4 9

3 12

9

9

3

4

4

12

9

12

+

4

1-

4

9

T

9

o

106

3 5

-

2 3

1

2 3

#1

1 2

8

9

12

-

f

3 5

4

12

12

5

9

12

i

3 4

1 1 4

1'

8 9

12

8

.

5

3

9

+ 8

.

5

Calcula y colorea los huesos que tienen los resultados correctos. Forma con las letras de los huesos coloreados el nombre del perro. Mi nombre es T 7 1 1 3 2 2

106

4 10

Escribe algunas posibles fracciones que encontraron los amigos y verifica si sus afirmaciones son verdaderas o falsas. Hay varias respuestas posibles.

vez no vieron los

Crucigrama de repaso Síntesis de algunos términos y aprendizajes desarrollados en la unidad.

21

1

i

B

O

1

9

7

A

1 F

2 9



6.

14

6

=

5

13

6

+

28

14

23

7

5

12

18

+3=

10

=

5

3

3

26

5

9

25

=

17

8

12

17

=

=

9 35

=

=

8

=

12

43

=

9

3

2

+

12

+

4+

28

8

+

4

4

1

como docente

5

•

12

7 9

1

7

8 -

-

1

7

2

8

5 8

4

=

8

1 =

33

=

4

=

8

4

2 1

6

8

2 3

-

3

Muchas veces

8

-

2

2 7

17

1 =

4

83

=

3

=

12

1

Apoyo el desarrollo de la capacidad de observación en los niños/as.

3

Resta las fracciones. Si un término es un número mixto, transfórmalo a fracción impropia. Si el resultado es una fracción impropia, exprésala como un número mixto. 2

8.

9

+

5

7.

Mi desempeño

Suma las fracciones. Si un sumando es un número mixto, transfórmalo a fracción impropia. Si el resultado es una fracción impropia, exprésala como un número mixto.

=

21

1

3

Pocas veces

5

•

12 20 21

Promuevo que los niñ os/as utilicen diferentes caminos o procedimientos para resolver operaciones y problemas.

Calcula el término desconocido en cada caso. 1 7

3 +

7

=

5

4

9

7

3

+

Muchas veces

8

=

9

9

Pocas veces 6

2 -

11

=

11

4

20

11

31

12

8 -

31

=

31 •

9.

Reemplaza la letra por el valor que se indica en cada caso y resuelve una operación para cada columna de la tabla. 2

b c d 2

3 3

c + (b – d) (b + c) + (b + d)

a

4 2

3 +

4

7

1

4

3

4

k

3 1

-

3

3

5

7 1

-

13 =

3

2

+

8

7

6

12 13

a k k a k

+ 3

+

4 2

5

3

3

a

(b + c) – d

10.

6

3

=

12

1

+

3

3

6 29

=

12

a

a

6

5

6 +

7

a

5

+ 6

7 5

6

7

+

6 7

7

k

-

7

k a

4 -

4 7

+ 6

k

7

=7

=

5 7

a

+

49 7 4 7

=7

k

3

104 =

7

a

8

4 9

8

4 9

2 3

+ 3

a

+ 8

+ 3

2 3

2 3 4 9

k

4

Muchas veces

9 2 3

Pocas veces

1 3

-5

-5

k a

Incentivo el uso correcto del lenguaje matemático, tanto de forma oral como escrita.

+ 8

4 9

1 3 1 3

61 =

k

9 61

=

+5

1 3

9

k

233 =

9

Calcula resolviendo primero los paréntesis. 9 10

b

-

b

3 1 1 + + 20 4 5

11 2 + 3 7

l

-

71 21

=

l a

=

9 10

77 + 6 21

-

k

a

-



3+5+4

71 21

20

=

83 21

k -

=

9 10

71 21

=

-

12 20

12 21

=

=

18 - 12 20

=

6 20

=

3 10

4 7

107

107


11.

evaluación

Multiplica. Si un factor es un número mixto, transfórmalo en fracción impropia. Simplifica cada producto, si es posible. 4 7

8

12.

9

Es posible que algunos niños/as tengan difi-

3 5

de35 de27

3

24

8

75

=

15

=

1

#

11

1 7

=

2 13

#

9

1

#

7

=

de 125

2

20

=

10

=

3

13 45

2

4 55

6 7

1

1 3

21

3

#

2

=

4

8

3

1

#4

=

11

18

=

5

2

35

# 5=

5

5

=

=

3

8 2 3

3 5

cultades para escribir la multiplicación que

12.

Escribe la multiplicación representada en cada dibujo.

representa cada dibujo. 3

Si es así, se presentará

4

1

#

=

2

3

2

8

5

1

#

3

=

2

5

15

6

#

2 3

10 =

18

20 =

36

una excelente oportunidad para retomar el tema y ejercitarlo antes

13.

de avanzar a la siguien-

Divide. Si un término es un número mixto, transfórmalo en fracción impropia. Simplifica el resultado, si es posible.

te unidad. 1 4

14.

1 10

Pocos niños/as expresarán este problema

5'

como una operación combinada. Es posible que lo solucionen mediante operaciones su-

14.

1

' 3=

4

7'

' 8=

1

1

80

2

3 10

=

5

3

11

35

4

4

3

3

'

50

=

5

12

5

=

5 5

'

2

6

7

7

=

'

1 3 2

4

5

11

6 11

'1

'2

22

=

9

1 8

=

27

1 7

56

=

154 75

Lee y resuelve.

•

cesivas. En el momento de corregir el trabajo, puede tomar el ejem-

4

David echa en un balde el agua de dos botellas. En una botella había 5 de litro de agua y en la otra había 2 litros. La capacidad del balde es de 5 litros. ¿Qué cantidad más de agua hay que echar en el balde para llenarlo? 5-

plo del problema para

a

4 5

+

2

k

=

11

Hay que echar aún

5

11 5

o2

1 5

litros de agua.

ejercitar las operaciones combinadas. Utilice

•

algunos problemas

Ana hizo estas cuatro actividades: preparó la comida, la metió en el horno, almorzó y lavó la vajilla. Todo le llevó una hora exacta. En preparar

parecidos para reforzar

la comida tardó 5

el procedimiento.

12

3 12

hora. Si le sumamos el tiempo de horneado nos da

hora. En almorzar tardó el doble que en preparar la comida.

¿Cuántos minutos estuvo la comida en el horno? ¿ Durante qué fracción de hora estuvo Ana almorzando? ¿Cuánto tiempo tardó en lavar la vajilla? Comida en horno Almuerzo

_

3 12

108

5

3

12

# 2=

Lavado de vajilla

108

_

_1-

-

6

=

1 =

12 3

a

2

12

12

2 +

12

hora _ 1 hora

_ Tardó

2 12

+

1 2

=

60 min _

2 12

de 60

=

10 min.

media hora.

k

=

1 12

_

1 12

de 60 = 5 min .




VALORES El agua es fundamental para la vida. No solo

Inundación y sequías

los seres humanos

En muchas regiones del planeta y del país es frecuente escuchar que existen inundaciones y sequías alarmantes. Muchos cultivos y ganado se ven afectados por estos fenómenos; muchas personas pierden sus viviendas y sus fuentes de ingreso y de alimentación.

dependemos de ella; todos los seres vivos lo hacen. Y nosotros dependemos de los

Las inundaciones se producen cuando grandes masas de agua rebasan sus márgenes habituales, pudiendo darse sobre todo por granizadas y lluvias intensas o desbordes de ríos. Las sequías se dan cuando existe falta de lluvia. Si son sequías muy prolongadas, la vegetación del lugar puede desaparecer y el suelo se puede erosionar hasta llegar a la desertización. En Bolivia tenemos una distribución del agua muy desigual. En algunas regiones es muy escasa y en otras, es abundante. Al final, acceder al agua es un privilegio que a veces no reconocemos.

•

demás seres vivos. Formamos parte de un ecosistema y cualquier desequilibrio en uno de sus factores afectará a los demás. El cambio climático está

Los papás de Magda colocaron un tanque que recoge las aguas de lluvias por las canaletas del techo de su casa. Así logran juntar 4/5 partes del agua de riego para su huerto. Si usan 1 000 litros de agua para riego, ¿cuánto juntan en el tanque? 4 5

afectando la provisión y conservación del agua en el planeta. También las acciones que conta-

de 1 000 = 800

minan y desperdician el agua potable.

En el tanque juntan 800 litros de agua.

Las nuevas generaciones están creciendo con una conciencia

Buen uso del agua

mayor del bien preciado

La creciente población del mundo y de las actividades agrícolas e industriales que buscan satisfacer sus necesidades, demanda cada vez más agua potable. Pero la cantidad de agua disponible no aumenta en proporción. Es más, muchas industrias contaminan las reservas de agua dulce con sus desechos sin que los gobiernos las detengan. Actualmente se está experimentando con la desalinización de agua del mar, pero es responsabilidad de cada quien cuidar el agua disponible en la vida diaria.

que representa el agua

•

protagonismo activo en

para la vida. Podemos facilitarles formas de cuidarla en el día a día, pero también es importante que asuman un

En la casa de Juanita hay un grifo que gotea. Ella colocó un recipiente de 4 litros y vio que se llenó en 3/4 partes durante 3 horas. ¿Cuántos litros de agua potable se desperdician en ese mismo grifo en 10 horas? 3 4

la vida ciudadana, en la que cada persona exige a su gobierno que cuide

de 4 = 3. En 3 horas se desperidician 3 litros de agua; en 10 horas, 10 litros.

el agua de su territorio, vigilando el proceder de las comunidades e industrias y velando por que el acceso al agua no se privatice.


109

Este podría ser el caso de algunas personas que quieren comprar los glaciares como una inversión para el futuro. Los/as niños/as pueden aplicar su conocimiento de fracciones para calcular la cantidad de agua que existe en sus diversas formas y estados, proponiendo acciones para racionalizar su uso.


109

Tomo II

Matemática

5 PRIMARIA

Índice Unidad

1


Páginas especiales

Sistema de numeración decimal. Adición y sustracción. Las poblaciones Millones Descomposición y orden Propiedades de la adición y la sustracción Adiciones y sustracciones combinadas Redondeo y estimación de sumas y diferencias Números romanos

8 10 12 14 16


20 21 22

25

18

Multiplicación, división y potenciación. La producción de alimentos

2

3

Prueba de exclusión del 9 en la multiplicación Pruebas de la división Propiedades de la multiplicación Propiedad fundamental de la división Operaciones combinadas y problemas Estimaciones de productos y cocientes Potenciación

28 30 32 34 36


42 43 44

47

38 40

Múltiplos y divisores. El transporte y las comunicaciones Múltiplos y mínimo común múltiplo Divisores y máximo común divisor Divisibilidad y criterios para 2, 3, 5 y 10

50


56


58


60

52 54


62 63 64

Proyecto socioprod socioproductivo uctivo

67

Repaso acumulativo

68

4

5

Representación de las fracciones. Las energías Fracciones propias

72


74


76


77


78


80

Amplificación y simplificación de fracciones. Fracciones irreducibles

82


84 85 86

89

Fracciones: orden y operaciones. El agua Relación de orden entre fracciones

92


94


96


98


100


102

Solución de problemas Taller de matemática Evalúa tus logros Matemática y valores para vivir bien

104 105 106

109


Unidad

6

7

Páginas especiales

Ángulos y figuras planas. Las áreas metropolitanas Medición y trazado de ángulos Ángulos consecutivos, adyacentes y opuestos por el vértice Triángulos Cuadriláteros y paralelogramos Circunferencia y círculo

112

114 116

Taller de geometría Evalúa tus logros

122 124


127

118 120

Perímetro y área de figuras planas. Las áreas protegidas Perímetro: cuadrado, rectángulo y triángulo Unidades de superficie Cálculo de áreas y perímetros Área: cuadrado, rectángulo y triángulo Perímetro y área de figuras compuestas

130 132 134

Solución de problemas Taller de geometría Evalúa tus logros

140 141 142

136 138

Proyecto socioprod socioproductivo uctivo

145

Repaso acumulativo

146

8

9

Decimales. Las temperaturas Unidades decimales y fracciones decimales Valor de posición en los números decimales

150


154


155


156

Porcentajes

158


160 161 162

165

Operaciones con decimales. El intercambio y las monedas Adición y sustracción de números decimales

168


170


172


173

División entre números naturales con cociente decimal División de un decimal entre un natural División de un natural entre un decimal Problemas con porcentajes

10

152

Solución de problemas Tratamiento de la información Evalúa tus logros


182 183 184


187

174 176 178 180

Longitud, masa y capacidad. El bienestar Unidades de longitud

190


192

Unidades de masa

194


196


198


200 201 202


205

Repaso acumulativo

206

Bibliografíaa consultada Bibliografí

208


6

Ángulos y figuras planas

Febrero Marzo Abril Mayo Junio Julio Agosto Septiembre Octubre Noviembre Posibles dificultades en la unidad Las áreas metropolitanas

Disponer y utilizar correctamente los instrumentos de medición y trazado.

En los últimos 50 años, muchas familias latinoamericanas eligieron vivir en las ciudades, buscando mejores oportunidades de trabajo y educación. Eso provocó un crecimiento acelerado de muchas ciudades, que incluso se unieron física y administrativamente para formar áreas metropolitanas. En ellas, varios municipios integran una misma mancha urbana. El eje central urbano de Bolivia está formado por La Paz, Cochabamba y Santa Cruz de la Sierra, y en torno a cada una de las ciudades se formó un área metropolitana. En una vista aérea vemos, por ejemplo, que no existen límites reales entre La Paz, El Alto, Viacha, Achocalla y Mecapaca.

Leer mal la numeración del transportador. Desconocer la estimación de la medida de un ángulo para comprobar su correcta medición; también en el caso de los ángulos interiores de un triángulo o un cuadrilátero. Diferenciar un ángulo consecutivo de otro adyacente. Clasificar triángulos y cuadriláteros por sus lados y ángulos. Confundir círculo y circunferencia. Trazar rectas paralelas y perpendiculares.

110

• ¿Sabes qué municipios conforman el área metropolitana de Cochabamba y de Santa Cruz?

• ¿Conoces otros ejemplos de grandes áreas metropolitanas fuera de Bolivia?

• ¿Qué ventajas y desventajas

110

traerá este crecimiento?


Contextualización de la unidad Ángulos y figuras planas Las áreas metropolitanas son

un fenómeno de las últimas décadas. La mayoría de los/as niños/as de la clase, seguramente ha nacido en este ambiente. En conversaciones con las personas mayores de la familia y la comunidad pueden observar fotografías y conversar sobre cómo era la vida antes, cuando las ciudades eran más pequeñas –con vecindarios más seguros y acogedores– y cuando la relación entre el área rural y el área urbana era natural. También pueden sopesar las ventajas y desventajas de tan grande crecimiento.



RECUERDA

Líneas paralelas, secantes perpendiculares y no perpendiculares

Anota si las líneas son paralelas, secantes perpendiculares o secantes no perpendiculares.

1.

Lados y vértice de un ángulo Secantes per pendiculares 2.

Secantes no per pendiculares

Ángulo agudo, recto, obtuso y llano

Ángulos:

Triángulos: equilátero, isósceles, escaleno, acutángulo, rectángulo y obtusángulo.

Pentágono

4

Lados: 3

Ángulos:

Ángulo consecutivo, adyacente y opuesto por el vértice

Cuadrado

3

Lados:

Lados:

5

Ángulos: 5

4

R V

V

Diagonal

R R

R

Circunferencia y círculo.

V

R

Centro, radio, diámetro, cuerda, arco

Relaciona.

Un ángulo menor a 90 o

obtuso

Un ángulo de 180o Un ángulo mayor a 90

Compás, transportador, cartabón.

recto

Un ángulo de 90o

5.

Cuadriláteros: trapezoide, trapecio, paralelogramo, cuadrado, rectángulo, rombo, romboide.

En cada ángulo, colorea con rojo los lados y con verde el vértice.

R

4.

Abertura de un ángulo

Paralelas

Escribe el nombre de la figura plana; colorea con rojo sus lados, con azul sus ángulos interiores y anota cuántos son.

Triángulo

3.

Secantes per pendiculares

agudo o

llano

Colorea en el dibujo:

5 ángulos rectos

o

a

4 ángulos obtusos 3 ángulos agudos

a

o

a r

2 ángulos llanos o Puede haber varias respuestas.

o

r

r

Otro vocabulario

r ll

ll

de la unidad

r


111

Área metropolitana Crecimiento acelerado Unión física y administrativa

Para vivir bien •

•

Identidad y diversidad – cada área metropolitana se encuentra enmarcada en una región mayor y cobra sus propias características que la hacen única, igual que a sus habitantes, con particulares edificaciones, servicios y personas.

Eje central urbano Viacha, Achocalla y Mecapaca Rampa Planta de una edificación

Tolerancia – todas las personas tenemos derecho a convivir en respeto y armonía en el sitio que elijamos para ello; todos/as podemos aportar a que así sea.


111

Más información

Medición y trazado de ángulos

Ángulos en Egipto

La geometría ha estado presente en la vida del ser humano desde sus comienzos. La palabra geometría (del griego geo – tierra y metrein – medir) se refiere a “medir la tierra”.

En una ciudad se están constr uyendo rampas, considerando una mejor movilización para las personas que no ven, no caminan o se desplazan con dificultad. ¿Cuál sería el ángulo adecuado para una rampa? Respuesta libre. Pero aproximadamente una rampa tiene un ángulo entre 8 y 12 grados.

Para medir un ángulo utilizamos el transportador.

Observa cómo utilizamos el transportador para medir el ángulo A0B . \

1. Colocamos el transportador sobre el ángulo, de manera que el centro del transportador coincida con el vértice del ángulo y uno de los lados pase por cero grados (0o). A

Los egipcios, hace más de tres mil años, la utilizaban para resolver todo tipo de problemas prácticos. Un problema muy común era que, cada año, el río Nilo se desbordaba inundando los campos. Esto hacía que los límites de las parcelas de cultivo desaparecieran. Gracias a sus conocimientos geométricos, los egipcios calculaban esos límites, y cada propietario podía volver a sembrar su parcela.

2. Leemos en el transportador el número por el que pasa el otro lado del ángulo. Este número es la medida del ángulo en grados. Si hace falta, prolongamos el lado antes de tomar la medida. 60o A

B

B

El ángulo A0B mide 60o. Leemos 60 grados.

Los transportadores tienen una numeración doble. Cuida leer la medida correcta partiendo de 0 desde un lado del ángulo.

\

La medida de un ángulo se expresa en grados y se mide con el transportador.

Para trazar ángulos usamos transportador y regla. Observa cómo trazamos un ángulo de 25o.

Otro problema era construir paredes verticales que formasen un ángulo recto. Para conseguirlo, utilizaban una cuerda con 12 nudos que colocaban en forma de triángulo rectángulo.

1. Trazamos con una regla una semirrecta con origen en el punto 0.

0

Aún hoy día, en algunas partes del mundo, se siguen usando métodos parecidos a los de los egipcios.

2. Hacemos coincidir el centro del transportador con el punto 0, cuidando que la semirrecta pase por 0o, y hacemos una rayita en la medida del ángulo que queremos dibujar; en este caso, 25o.

1. Trazamos otra semirrecta con la regla, uniendo la rayita marcada con el punto 0 o vértice del ángulo. Señalamos con un arco el ángulo de 25o y nombramos sus lados. C

25o 0

0

D

El ángulo C0D mide 25o. \

112


Tic Medición y trazado de ángulos Conceptos referidos a la medición y trazado de ángulos.

Sugerencias metodológicas Recuerde a los niños/as el uso de los instrumentos de trazado y medición de ángulos. Idealmente, tendrían que disponer de material para hacer demostraciones en la pizarra y para que cada niño/a trabaje de forma independiente. Puede fabricar un compás y un transportador “caseros”, si fuera necesario. En el caso del transportador, ayude a los niños/as a colocarlo correctamente usando el vértice y un lado del ángulo como referencias y leyendo la doble numeración que se observa. Si el niño/a tiene suficiente s oportunidades para experimentar lo que es un ángulo recto (o una “esquina perfecta”), notará claramente que existen

112


1.

Más actividades

Estima la medida de cada ángulo y escríbela con azul. Luego, toma la medida exacta con el transportador y anótala con rojo.

A

Las agujas del reloj y los ángulos

C

W

W

B

W

D

W

A

W

25o

.

A

C .

180o A

C

180o R

W

A

W

25o

=

R B

W

B

W

2.

. =

90o

A

90o

R

W

=

D

W

D

W

. =

120o A 120o R

Construyan un reloj con cartón y contesten, colocando las agujas en la hora que se indique:

Mide con el transportador los ángulos que se indican y completa. C

C B

C B B

A0B

\

=

A0C

=

\

3.

0

45o

=

B0C

\

•

¿Cuánto mide el ángulo que forman las agujas de

A

0

Para afianzar el tema de ángulos y recordar la lectura de horas en un reloj, puede proponer a los niños/as la siguiente actividad:

A A0B

\

45o 90o

=

B0C

=

A0C

=

\

\

0

30o

A A0B

\

30o 60o

=

B0C

=

A0C

=

\

\

un reloj a las 18 horas?

20o •

120o

¿Qué tipo de ángulos forman las agujas de

140o

un reloj cuando son las 2:20?

Utiliza el transportador para dibujar los ángulos que se indican. Un ángulo de 100o

•

•

Un ángulo de 75o

Un ángulo de 135o

•

•

¿Qué hora debes poner en el reloj para que las agujas formen un ángulo recto?

•

¿Qué hora debes poner en el reloj para que las

4.

Dibuja con el transportador los siguientes ángulos. o

•

agujas formen un ángulo

Un ángulo de 30 , cuyo vértice sea el punto P .

o

• Un ángulo de 60 , cuyo vértice sea el punto Q.

P

5.

obtuso?

Pida a los niños/as que formulen, por grupos, más preguntas y las anoten en cartulinas, para armar un fichero del curso.

Q

Desafío. ¿Cuántos ángulos hay? Nómbralos. D

Son 10 ángulos.

C

E

AOB/AOC AOD/AOE

B

BOC/BOD

¡Atención! No son cuatro.

BOE/COD

0

A

COE/DOE


113

ángulos más cerrados o abiertos que el ángulo recto, y le resultará sencillo estimar la medida de un ángulo, comprobando así si su medición con el transportador es correcta o no.

Para que los niños/as relacionen los ángulos con su vida, puede pedirles que formen ángulos con las partes de sus cuerpos. Que usen los brazos, las piernas y el torso para formar ángulos agudos, rectos, obtusos y llanos. También que identifiquen diferentes ángulos en los objetos del ambiente. Mantenga los trabajos de los niños/as en exposición en las paredes del curso.


113

Más información Una gran matemátic a

Entre las mujeres que han contribuido decisivamente al desarrollo de la matemática, destaca la italiana Caetana Agnesi. Vivió en el siglo XVIII y era hija de una familia acomodada. Desde pequeña mostró su gran talento y gran interés por la matemática, y alcanzó un enorme prestigio en su época. Escribió varios libros, algunos sobre geometría, que fueron muy elogiados y traducidos a muchos idiomas.

Ángulos consecutivos, adyacentes y opuestos por el vértice En el plano de Santa Cruz podemos observar la zona de las Siete Calles. Varias calles se encuentran, formando diferentes ángulos unidos por un mismo vértice.

Identificamos diferentes ángulos según su posición: Los ángulos consecutivos tienen un lado y el vértice en común.

Los ángulos adyacentes son consecutivos y su lado no común se encuentra sobre una misma recta, formando un ángulo llano o de 180o.

A

Los ángulos opuestos por el vértice tienen en común el vértice y sus lados están formados por la prolongación de los lados del ángulo opuesto; tienen la misma medida.

D

U

V

B

C

V

U

F

U

C y D son

W

A y B son W

W

W

adyacentes.

Caetana Agnesi, como muchas mujeres, realizó una contribución indispensable para el avance de la matemática.

H

V

E y G son W

F y H son W

W

opuestos. opuestos.

1. Señala con tres colores en cada dibujo un par de ángulos consecutivos, un par de ángulos adyacentes y un par de ángulos opuestos por el vértice. Puede haber varias respuestas. a a

o

o

a

o

c

a

c o

c

c

2. Lee el recuadro y señala en qué caso los ángulos son consecutivos. En los otros casos, explica por qué no lo son.

Los ángulos

A

U

y

B

V

no tienen un

vértice cumún.

A

W

C y D

D

B

C

W

V

U

W

W

F

W

E

W

D

V

G

W

y

son consecutivos.

E son

U

F y G

U

V

consecutivos.

son consecutivos.

E

Tic Ángulos según su posición Relaciona varios ángulos con sus nombres según su posición con relación a otros ángulos.

V

consecutivos. W

Los matemáticos, en su honor, dieron su nombre a una línea curva; la curva de Agnesi, nombre que se sigue utilizando hasta la actualidad. De esta forma, reconocieron la importancia de su trabajo.

G

E

U

U

114


Sugerencias metodológicas Pida a tres niños/as que pasen a la pizarra. Pídale a cada uno que dibuje un ángulo y señalen en ellos sus elementos y su medida. Luego, invite a cada uno a que prolongue los lados del ángulo más allá del vértice, obteniendo una figura en forma de cruz. Indique a los niños/as que medirán el nuevo ángulo y compararán su medida con la del primer ángulo. Toda la clase atenderá el procedimiento y contribuirá con sus observaciones hasta llegar a una “regla”. Explíqueles que se dibujaron ángulos opuestos por el vértice y que sus medidas son iguales. Pida a los niños/as que dibujen este t ipo de ángulos en su cuaderno y anoten

114


3.

Más actividades

Dibuja los ángulos indicados en cada caso.

Bombillas

Z

Y

W

W

X

W

•

4.

•

Un ángulo consecutivo que sea recto

•

Un ángulo adyacente

Un ángulo opuesto por el vértice

Escribe en cada caso cuánto mide el ángulo rojo y el ángulo azul. a)

_ _

b)

55o

_

o

35

_

c)

30o

40o

_

o

60

50o

_

¿Cuánto vale la suma del ángulo r ojo y azul en cada caso? a) 5.

90o

_

b)

_

90o

c)

90o

_

Escribe cuánto mide el ángulo rojo y el azul. a)

_ _

b)

154o

_

26o

_

c)

26o

_

154o

_

Finalmente, pueden pegar sus ángulos formados con bombillas en cartulinas, realizar anotaciones y colgar sus trabajos en las paredes del curso.

26o 154o

¿Cuánto vale la suma del ángulo rojo y azul en cada caso? a) 6.

_

180o

b)

_

180o

c)

_

Organice a los niños/as en grupos de 4 integrantes y entrégueles 12 bombillas o pajillas y un trozo de lana de dos metros de largo. Pídales que introduzcan la lana dentro de las bombillas, uniéndolas de tal forma que puedan formar ángulos. Indíqueles que experimenten cómo formar ángulos que sean iguales pero que queden opuestos por el vértice, o ángulos que queden unidos unos a otros por un lado. Luego de un tiempo, deberán hacer una demostración a sus compañeros/as, explicando sus conclusiones.

180o

Algunas de estas afirmaciones son verdaderas (V) y otras son falsas (F). Identifícalas.

P

Q Q0R y P0T son opuestos por el vértice.

V

Q0R y R0S son adyacentes.

F

P0Q y P0T son consecutivos.

V

P0Q y S0T son opuestos por el vértice.

F

Q0R y R0T son adyacentes.

V

P0T y S0T son

V

\

0

\

\

T

R S

\

\

\

\

\

\

\

\

\

consecutivos.


115

la definición. Pida a otros tres niños/as que pasen a la pizarra, dibujen otros ángulos y los midan. Indíqueles que usarán un lado de su ángulo como el lado de un nuevo ángulo, “pegadito al anterior” y que compartirán un mismo vértice. Pídales que midan el nuevo ángulo. Si entre ambos ángulos miden 180º, formaron ángulos adyacentes; si miden menos de 180º, formaron ángulos consecutivos. Ejerciten el trazado de nuevos ángulos, insistiendo en que, en todos los casos, comparten un mismo vértice.


115

Más información

Triángulos

La etnogeometría

Diferentes pueblos han observado la realidad y la han representado en unas formas muy características. Algunos manifestaron un desarrollo lógico matemático que es sistematizado y se convierte en lo que hoy aprendemos en el sistema escolar. Sigue habiendo mucho por conocer, muchos enigmas por resolver al observar la herencia que recibimos y que sigue viva en muchas culturas. Piezas de cerámica, piedras talladas, tejidos nos muestran diferentes formas geométricas que son transmitidas de una generación a otra. En ellas se solucionan problemas cotidianos, se preserva la memoria colectiva y se conserva la identidad. Se busca conocer lo que las culturas manifiestan desde una mirada que no sea etnocentrista.

Los arquitectos y constructores utilizan triángulos para embellecer las viviendas y áreas públicas de las ciudades. Los techos de forma triangular son útiles como protección contra el viento y la lluvia.

Clasificamos los triángulos según sus lados y sus ángulos:

Según sus lados pueden ser: Equilátero

Isósceles

Escaleno

Acutángulo

Rect ángulo

Obt usángulo

3 lados iguales

2 lados iguales

3 lados diferentes

3 ángulos agudos

1 ángulo recto

1 ángulo obtuso

La suma de los tres ángulos de cualquier triángulo es igual a 180o.

Tic ¡Cuántos triángulos! Suma de ángulos interiores de triángulos.

116

E

B 60o

100o 30o

o A 90

A + B + C W

W

W

D

C o

_ 90

+ 60o + 30o = 180 o

35o

45o o

D + E + F _ 35

W

W

W

F

+ 100o + 45o = 180 o

Los triángulos se pueden clasificar por sus lados y sus ángulos. Los ángulos interiores de cualquier triángulo suman 180 o.

1.

Observa cada triángulo y clasifícalo, escribiendo una cruz en las casillas correspondientes. E qui lát ero

Producciones bolivianas

Consiga con los niños/as y sus familias diferentes tejidos -aguayos, fajas, cintas, preferentemente de distintas culturas bolivianas-, o piezas de cerámica y madera donde existan triángulos y polígonos. Reproduzca con ellos en papel cuadriculado las figuras, encontrando secuencias, simetrías, etc.

Según sus ángulos pueden ser:

1

2

3

1 2

I só sce le s

4

X X

6

X

5

X

6

X

7

116

X X

4

7

Re ct áng ul o A cut án gul o Ob tu sá ng ul o

X

3

5

E sc al en o

X X X X

X

X


Sugerencias metodológicas Pregunte a los niños/as cuáles son las razones por las que los techos triangulares protegen las casas mejor que otros techos como los planos. Motive la discusión al respecto, y en caso de no haber llegado a esta conclusión, explíqueles que por su forma, los techos triangulares dejan caer el agua o el hielo del granizo a los costados, en vez de que estos se acumulen, como sucede en los techos planos que tienden a quebrarse. Comente con los niños/as las clasificaciones de los triángulos según sus lados y pídales que dibujen en su cuaderno dos triángulos equiláteros, dos escalenos y dos isósceles del


Más actividades

Lee, piensa y rodea la letra según sea la afirmación verdadera o falsa.

2.

Verdadero Falso

Podemos dibujar un triángulo obtusángulo isósceles. Podemos dibujar un triángulo rectángulo equilátero. Un ángulo recto mide 180 o. Un triángulo escaleno tiene sus tres lados iguales. Podemos dibujar un triángulo obtusángulo escaleno. Un triángulo acutángulo tiene sus tres ángulos agudos.

C E G L A S

El tangram

Descubrirás el nombre de un instrumento de dibujo que usaremos más adelante.

R O M P I N

C

O

M

P

Á

S

¿Cuántos triángulos de cada tipo encuentras en la figura? Nómbralos. B Hay 8 triángulos

3.

Si no tienen tangrams de madera, pueden construirlos en cartón o goma eva para que los niños/as los manipulen en la mesa o el piso e incluso los lleven a casa.

Isósceles ABE/ADE/ABD/BCD

E

A

C

Escalenos BEC/DEC/ABC/ACD

D 4.

x

6.

85o 30O

X= 5.

Elaboren un fichero con modelos para armar; hay muchos disponibles en Internet: pueden imprimirlos y pegarlos en tarjetas de cartulina.

Calcula la medida del ángulo x en cada triángulo.

65o

x

20o 30o

x

x 130O

X=

Tangram significa “tabla de la sabiduría”. Es un antiguo juego chino que contiene siete piezas: cinco triángulos, un cuadrado y un paralelogramo romboide.

X=

45O

Lee la descripción de cada triángulo y clasifícalo. Si hace falta, dibújalo antes de responder.

•

Un triángulo que tiene dos lados de 4 cm longitud y otro lado de 2 cm de longitud.

•

Un triángulo que tiene un ángulo de 70 o, otro de 80o y el tercero de 30o.

•

Un triángulo que tiene un ángulo de 100 o, y otros dos ángulos iguales que miden 40o cada uno.

Isósceles acutángulo

_

_

Escaleno acutángulo

_

Isósceles obtusángulo

Calcula sin mayores datos y sin usar el transportador cuánto miden los ángulos interiores en el triángulo equilátero. ABC

=

BCA

=

BAC

=

\

\

\

B

60O 60O

180o ' 3 = 60O

60O

A

C


tamaño que deseen; luego, propóngales clasificarlos según sus ángulos. Intercambien cuadernos para controlar el trabajo. Elaboren un cartel donde anoten todas las posibles combinaciones en los triángulos en una doble clasificación. Puede pedir a los niños/as que construyan diferentes triángulos, que midan y sumen sus tres ángulos internos para que lleguen a la conclusión de que la suma de los ángulos de un triángulo es siempre 180°.


117

Tic Tangram Juego para armar diferentes figuras con un tangram.

117

Más actividades

Cuadriláteros y paralelogramos

Diagonales y triángulos

Pida a los niños/as que dibujen y recorten todo tipo de cuadriláteros y paralelogramos. Pídales que tracen en su interior todas las diagonales posibles y observen cómo quedan divididos en cierta cantidad de triángulos.

Al observar distintas construcciones encontramos cuadriláteros y paralelogramos.

Clasificamos los cuadriláteros según el paralelismo de sus lados:

Trapezoides

Trapecios

No tienen lados paralelos

Invite a los niños/as a experimentar con la suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero, igual que lo hicieron con los triángulos; promueva que dibujen, recorten, pe guen en hojas grandes su trabajo y saquen sus propias conclusiones.

Paralelogramos

Tienen solo 2 lados paralelos

Tienen los lados opuestos paralelos

Clasificamos los paralelogramos según la medida de sus ángulos y sus lados:

Cuadrado

Rectángulo

4 ángulos rectos, 4 lados iguales

Rombo

4 ángulos rectos, lados iguales 2 a 2

Romboide

Ángulos iguales 2 a 2, 4 lados iguales

Ángulos iguales 2 a 2, lados iguales 2 a 2

La suma de los cuatro ángulos de cualquier cuadrilátero es igual a 360o.

Coloreando

B

Dibuje en una hoja una cantidad de cuadriláteros. Entregue a los niños/as una fotocopia e indíqueles que pinten de azul los trapezoides, de rojo los trapecios y de amarillo los paralelogramos.

A

Tpc

D

Tpc

360 70o + 110o + 70o + 110o = 360o F W

W

o

W

o

W

o

e d i o z e p a r T

o d a r d a u C

e d i o b m o R


Tpc Tpc

P

Tpc Tpz Tpc

Tpz

Tpc

Tpc P

118

o

Tpz

Tpz

Tpc

A + B + C + D = W

118

Tpz

Tpz P

= 360o 90 + 90 + 90 + 90o = 360o 90o #4 = 360 o E E + F +G +H W

W

Tpc

Tpc Tpc

Tpc

C

Haz un dibujo uniendo los puntos según se pide en cada caso. Puede haber otras respuestas.

o b m o R

Tpz

H

Los cuadriláteros pueden ser trapezoides, trapecios o paralelogramos. Los paralelogramos pueden ser cuadrados, rectángulos, rombos o romboides. Los cuatro ángulos interiores de cualquier cuadrilátero suman 360o.

Tpz

Tpc

110 70o W

1. Tpc

G o

P P

Tpc

Sugerencias metodológicas Comience repasando con la clase el concepto de cuadrilátero como una figura plana de cuatro lados. Pida a los niños/as que pasen a la pizarra de uno en uno y dibujen un cuadrilátero distinto al que dibujaron sus compañeros/as. Pregúnteles cómo clasificarían ellos a los cuadriláteros según la posición de sus lados (paralelos, perpendiculares o ninguno de éstos), el tamaño de sus lados, el tipo de ángulos internos que se puede observar, etc. A continuación, trabaje con el texto y explíqueles que la clasificación más común es la de los cuadriláteros según la cantidad de lados paralelos


2.

Nombre

Todos sus lados Solo sus lados son iguales opuestos son iguales

Cuadrado

X

Romboide

X

4.

X X

Averigua qué cuadrilátero dibujó cada niño.


Yo dibujé un cuadrilátero que tiene los 4 ángulos rectos.

En mi cuadrilátero los ángulos que están enfrentados miden lo mismo.

Camila

Julieta

Rectángulo

Cuadrado

Organice a los niños/as en grupos de 4 integrantes. Entrégueles 20 palitos de brocheta (puede cortarles la punta para evitar accidentes) y 20 medios palitos (cortados por la mitad). Pídales que experimenten cómo armar cuadriláteros y paralelogramos de todas las formas posibles; que peguen en cartulina su trabajo para exponerlo al curso y coloquen los nombres de sus creaciones.

X

X

Ignacio

Palitos de brocheta

No tiene ángulos rectos

X

Rectángulo

Dibujé un cuadrilátero con 4 lados iguales.

Todos sus ángulos son rectos

X

Rombo

3.

Más actividades

Completa la tabla marcando el casillero que corresponda y anota el nombre de cada cuadrilátero.

Romboide

Une los vértices opuestos en cada cuadrilátero para obtener una diagonal. Observa qué figuras se forman y escribe qué relación encuentras entre la suma de sus ángulos y la suma de los ángulos de los cuadriláteros.

Puede armar guardas largas de cuadriláteros combinando el trabajo de varios grupos como series o secuencias antes de pegar los palitos sobre la cartulina.

En todos los cuadriláteros la diagonal forma dos triángulos. La suma de los ángulos interiores del triángulo es 180o; del cuadrilátero, 360o.

5.

Calcula la medida del ángulo x en cada cuadrilátero. 99o

x

70o

126o

x= 6.

67o

65o

x=

x

67o

113o

VALORES

x 113o

o x = 90

¿Cuántos trapecios y rombos puedes contar en la figura? E

F

A

D

B

Trapecios

Hay 3 trapecios AFDC / BCEF / ABDE

Rombos

Hay 3 rombos EFBD / FBCD / AFDB

C


119

Recupere las artesanías que proporcionaron las familias para valorar la riqueza en los diseños y coloridos de nuestras culturas. Pregunte a los niños/as si conocen otros ejemplos de artesanías donde se encuentren polígonos y especialmente cuadriláteros (cestería, bordados).

Tic que tienen. De esta manera, vaya pintando en la pizarra todos los trapezoides; pinte luego los trapecios, y finalmente, pinte los paralelogramos (dibújelos si no están todavía en la pizarra) y muestre sus dos pares de lados paralelos. Proponga a los niños/as averiguar las características de los cuadrados, rectángulos, rombos y romboides y clasificarlos con ayuda de los ejercicios de práctica que se proponen en el texto. Al momento de corregir esta actividad, asegúrese de que toda la clase entienda las diferencias entre figuras y aclare las dudas.


¿Qué esconden los dibujos? Descomposición de figuras complejas en polígonos.

119

Más actividades

Circunferencia y círculo

Midiendo Las plantas de algunas edificaciones son redondas. Sus formas recrean nuestra vista, igual que muchos círculos en parques y jardines.

Con una wincha y una regla, pida a los niños/as que midan la circunferencia y el diámetro de varios objetos, por ejemplo una lata, un balde, un vaso. Deje que llenen una tabla y comparen los resultados con sus compañeros. O bj et o

Existen diferencias y elementos comunes entre una circunferencia y un círculo. Región exterior

0

0

Región interior

C ir cu nf er en ci a Di ám et ro

Lata

Circunferencia

Balde

Círculo

Sus elementos son:

Vaso

• Centro: es el punto que está a igual distancia de cualquier punto a r c o

diámetro centro o

i d r a

Tic

cuerda

Circunferencias y círculos Relación de circunferencias y círculos con sus elementos.

de la circunferencia.

• Radio: es el segmento que une el centr o con cualquier punto de la circunferencia.

• Diámetro: es el segmento que une dos puntos de la circunferencia y pasa por el centro. El diámetro es igual a dos radios.

• Cuerda: es el segmento que une dos puntos de la circunferencia. • Arco: es la parte de la circunferencia comprendida entre dos puntos.

La circunferencia es una línea curva, cerrada y plana en la que todos sus puntos están a igual distancia de un punto llamado centro. El círculo es la figura plana formada por la circunferencia y su región interior.

1.

Identifica en el ambiente de tu casa o tu colegio cinco objetos que tengan la forma del círculo y cinco circunferencias. Anota sus nombres en la tabla y compártela con tus compañeros. Respuesta libre. Círculo

Circunferencia

Reloj de pared

Anillo

120


Sugerencias metodológicas Proponga a los niños/as que encuentren diferentes circunferencias y círculos en el ambiente y los representen en cartulinas grandes. En dos columnas, en la pizarra, anote todas las sugerencias de los niños/as. Luego, invítelos a recortar hojas o revistas para que construyan sus propios modelos de círculos y pídales que los peguen en las cartulinas. Usen diferentes objetos circulares para trazar circunferencias de distintos tamaños. Ubique con los niños/ as las diferencias y similitudes entre las dos figuras: una rellena y otra sin relleno. En todos

120


2.

la moneda está arriba del papel.

3.

Collage

la moneda está abajo del papel.

Busquen con los niños/as diferentes colores de papel o de hojas de revista y por lo menos tres medidas de círculo (pueden ser platos de diferentes tamaños). Dibujen circunferencias en las hojas y recorten los círculos. Luego, combínenlos sobre cartulina, jugando con diferentes alineaciones y posibilidades: por ejemplo, todos los círculos ordenados de grande a pequeño sobre un mismo centro o todos los círculos ordenados de grande a pequeño sobre un punto común en la circunferencia.

Observa la circunferencia y completa.

• • • • • •

A

0

C

B D 4.

Más actividades

Dibuja una circunferencia y un círculo usando una moneda, como muestran los dibujos.

centro El punto 0 es el . diámetro El segmento AB es el . cuerda El segmento CD es una . radios OB y OC son . 1 5 El radio mide cm mm. El diámetro mide cm. 3

Dibuja un diámetro que pase por los puntos A y C y otro que pase por los puntos B y D. Mide los ángulos que se formaron y luego, súmalos. A A0B

\

B0C

=

C0D

=

A0D

=

\

D

0

B

\

\

C 5.

6.

90o

=

90o 90o 90o

\

\

\

\

Promueva que los niños/as experimenten todas las posibilidades de forma libre, siempre y cuando se vincule al contenido que se está desarrollando.

360o

A0B + B0C + C 0D + A 0D =

Responde.

•

¿Cuántos radios puede tener una circunferencia?

•

¿Cuántos diámetros puede tener una circunferencia?

•

¿Y cuántos centros?

•

Un radio, ¿es una cuerda?, ¿por qué?

•

Y una cuerda, ¿es un diámetro?, ¿por qué?

infinitos infinitos

uno

{

no, porque una cuerda no pasa por el centro. podría ser si pasa por el centro.

Conociendo el perímetro de cada cuadrilátero, calcula la medida del radio de la circunferencia. 12 cm 5

A 5

0

C

B

A

5

6

D

C

0

r=

= 20 cm 2,5

6

D 12 cm

5

P

cm

8

B

P

= 36 cm

r=

3

cm

{

A

B

4

4 cm

0

C

D

8

P

= 24 cm

r=

4

cm


121

los casos, pídales que intenten ubicar el centro de sus figuras y desde allí tracen radios y diagonales, encontrando la relación entre ambos. También pueden trazar arcos y cuerdas. Mantengan en exposición en el curso los diferentes trabajos.


121

Más actividades

Taller de geometría

Compás “casero”

Fabriquen un compás “casero”, atando un clavo al extremo de una cuerda. En el otro extremo, pueden colocar una tiza o un crayón. Traba jen entre dos niños/as, trazando todo tipo de círculos, y notando cómo la cuerda equivale al radio. Cuando la cuerda se acorta, el círculo resulta más pequeño.

El uso del compás Para trazar una circunferencia con un compás seguimos tres pasos:

1. Abrimos los brazos del compás hasta que la distancia entre sus puntas mida el radio que elijamos. Tomamos la medida en una regla.

2. Marcamos en nuestra hoja de papel un punto 0, que será el centro de la circunferencia.

0

Pida a los niños/as que imaginen otras formas de crear compases y de trazar círculos, cada vez con mayor precisión en las medidas que utilizan.

3. Apoyamos la punta metálica del compás en el punto 0. Hacemos girar el compás una vuelta completa para dibujar la circunferencia.

x

Para obtener un círculo, pintamos la parte interior de la circunferencia.

1.

Construye en tu cuaderno con ayuda del compás dos figuras como estas.

•

¿Qué diferencia notas en sus centros? En el primero, todas las circunferencias tienen el mismo centro. En la segunda no.

•

¿Qué similitudes notas en los diámetros de las circunferencias? Las circunferencias en ambas figuras tienen iguales diámetros.

2.

Usa el compás para hacer dibujos como estos en tu cuaderno. Realiza tus propias creaciones y compártelas con tus compañeros.

122

122

Trabajo en el cuaderno.



Más actividades


Trazado de un triángulo

Trazado de un triángulo

Proponga a los niños/as dibujar triángulos utilizando como plantillas: dos cartabones, dos escuadras, un cartabón y una escuadra. Clasifique los triángulos dibujados, según sus lados y según sus ángulos.

Para dibujar un triángulo equilátero, tomamos en cuenta que sus tres ángulos y sus tres lados tienen la misma medida. Entonces, seguimos estos pasos: 1. Dibujamos un ángulo de 60o con transportador y regla. Llamamos al vértice A.

2. Marcamos en un lado del ángulo un segmento AC de 3 cm y en el otro lado un segmento AB, también de 3 cm.

{

C

3. Unimos los puntos B y C y coloreamos el interior. El triángulo ABC es equilátero y tiene 3 cm de lado. C m c 3

m c 3

60o

0 0

1

60o

B

A

A

Pida a los niños/as que encuentren figuras de objetos o paisajes en revistas donde se observen triángulos. Eli jan los que se adecuen par a ser copiados. Indique a los niños/as que los peguen sobre un papel cuadriculado, dejando espacio abajo o a la derecha para reproducirlos, comenzando por hacerlos en la misma escala. Más adelante se pueden hacer ampliaciones o reducciones como un desafío para que los niños/as tomen medidas y las aumenten o disminuyan.

2

A

B

3

Para dibujar un triángulo del cual conocemos la medida de un ángulo y dos lados, seguimos los siguientes pasos: 1. Dibujamos, por ejemplo, un ángulo de 35o y llamamos al vértice A.

2. Marcamos en un lado del ángulo un segmento AC de 3 cm y en el otro lado un segmento AB, de 2 cm. C 3

35o

c m

{

A

35o

1

1.

2

3. Unimos los puntos B y C y coloreamos el triángulo. El triángulo ABC es escaleno, porque tiene 3 lados desiguales. C c m 3 o

B 3

A

35

2 cm

1,9 cm B

Dibuja en tu cuaderno tres triángulos y luego clasifícalos según sus lados y sus ángulos.

• • •

Tiene un ángulo igual a 110o y los lados que forman ese Escaleno obtusángulo ángulo miden 2 cm y 5 cm. Tiene un ángulo igual a 80o y los lados que forman ese Isósceles acutángulo ángulo miden 3 cm y 3 cm. Tiene un ángulo igual a 90o y los lados que forman ese Escaleno rectángulo ángulo miden 4 cm y 2 cm.



123

123

Notas sobre las

Evalúa tus logros

actividades de

1.

evaluación

Mide los tres ángulos con transportador y anota sus medidas.

3

Algunos niños/as tal vez necesitarán que se les aclare que la figura contiene 6 ángulos, para que ellos los encuentren y nombren.

40o

2.

130o

Dibuja los ángulos indicados. 115o

3.

87o

BOC, COD

¿Qué ángulos son agudos?

•

¿Qué ángulos son rectos?

•

¿Qué ángulo es obtuso?

•

¿Qué ángulo es llano?

B C

AOB, BOD AOC AOD

D

0

A

Mide con el transportador los dos ángulos señalados con rojo. Luego, calcula cuánto mide cada ángulo azul. Por último, verifica tu cálculo con el transportador.

a

b d

5.

34o

Observa la figura y ubica con tu vista todos los ángulos que contiene.

•

4.

90o

c

a=

120o

b=

120o

c=

60o

d=

60o

Considera la actividad anterior.

•

¿Cuántos pares de ángulos consecutivos no adyacentes hay? Dos pares: a y b; d y c.

•

¿Cuántos pares de ángulos opuestos por el vértice hay? No hay.

•

¿Cuántos pares de ángulos adyacentes hay? Dos pares: a y d; b y c.

124

124



6.

El mío va a tener tres ángulos iguales de 70o cada uno.

como docente

Carlos

Voy a dibujar un triángulo con un ángulo de 60o y dos de 45 o.

El mío va a tener uno de 90 o, otro de 60 o y el tercero va a medir 30 o más que el primero.

•

Francisca, porque los ángulos de los triángulos de los otros niños no suman 180o.

Francisca

José

7.

Mi desempeño

Tres amigos calculan cómo construir tres triángulos, ¿quién podrá lograrlo?

Promuevo en los niños/as el desarrollo de sus capacidades de observación y experimentación para conocer y representar la realidad. Muchas veces

Marca con rojo los vértices y con azul traza todas las diagonales posibles en cada figura. Anota el nombre de cada figura.

Pocas veces

•

•

¿Cuántas diagonales tiene cada polígono?

Triángulo _ Cuadrilátero

•

_

0

Pentágono

_

5

2

Hexágono

_

9

¿Encuentras alguna relación entre el número de lados y el número de diagonales?

Muchas veces

No 8.

Ubica y anota el número que corresponda a la figura.

8

Trapecios

2, 3, 4, 5, 6

1, 8

_

Trapezoides

3

_

•

7

7

6

2

Pocas veces Paralelogramos _

5

4

1

9.

Incentivo el uso de materiales concretos y la experimentación para que los niños/as accedan a los nuevos conocimientos geométricos.

Juan afirma que con dos triángulos equiláteros forma un trapecio. Pedro afirma que con dos cuadrados forma un rectángulo. Cristian dice que con cuatro triángulos forma un romboide. ¿Quién no tiene la razón?

Verifico que cada niño/a elija y utilice el instrumento más adecuado para la medición y trazado de ángulos y figuras geométricas. Muchas veces

Juan no tiene la razón.

Pocas veces

Juan



Pedro

Cristian

125

125


10.

evaluación

Esta es una vista aérea de la propiedad de la familia Suárez. Ya midieron tres ángulos, pero no pueden cruzar el río para medir el cuarto ángulo. ¿Puedes ayudarles a saber cuánto mide y explicar cómo lo hiciste?

13 y 14.

Supervise el trabajo que realizan los niños/as con el compás para que obtengan resultados correctos. Si observa que están en dificultades, pídales que vuelvan a leer las instrucciones e invítelos a comenzar nuevamente la actividad en una hoja auxiliar.

131o

? o

70

El ángulo mide 64O, porque la sumatoria de los cuatro 95o

ángulos de un cuadrilátero es igual a 360 o. 11.

Calcula cuánto mide el ángulo marcado con rojo en cada una de las figuras. c

a = 180o – 105o = 75o

b

a = 90o

d

c = 180o – (75o + 70o)

105

12.

b = 90o o

o

a

70o

111

c = 180o – 145o

a

c = 35o

c = 180o – 111o = 69o

c

d = 360o – (90o + 90o + 69o) =111o

En el pentágono regular cuyos vértices son los puntos a, b, c, d y e, se trazaron Puede haber otras todas las diagonales. Las cuatro figuras de la siguiente lista tienen el lado rojo respuestas. d en común. Indica sus vértices. _

un triángulo isósceles acutángulo.

_

un triángulo isósceles obtusángulo.

_

un trapecio isóceles.

_

un paralelogramo.

abd

p

e

abc

abop

q

abcp

c n

m a

13.

o

b

Sigue las instrucciones para dibujar las figuras. _

traza un círculo

_

traza dos radios

_

une los extremos de los radios

_

traza una circunferencia de 3 cm de radio

_

traza dos diámetros perpendiculares

_

une los extremos de los diámetros

¿Qué figuras obtuviste? Un triángulo y un cuadrado. 14.

Dibuja un blanco con la misma forma que éste, pero de mayor tamaño. El radio de cada circunferencia de tu dibujo debe ser el doble del radio de la figura en el modelo. Trabaja en tu cuaderno.

126

126




VALORES Desde la perspectiva de las nuevas generaciones –más aún si nacieron en las grandes urbes– es difícil observar la vida fuera de las ciudades y de la sociedad de confort. Es importante mirar la diversidad y la interdependencia que existe entre el vivir bien de todos. Si en las áreas rurales existe bienestar, podrán proveer de alimentos a las áreas urbanas. Si en las zonas periféricas las personas tienen sus necesidades cubiertas, vivirán mejor las personas más acomodadas económicamente hablando.

Vivir bien La vida en las ciudades transcurre en medio de oportunidades y dificultades. Alimentos, medicamentos, servicios básicos, educación, salud, vivienda, esparcimiento y fuentes de empleo están “a nuestro alcance”. Es verdad, pero no todas las personas accedemos de igual forma a ellos. En las ciudades podemos ver de cerca las desigualdades. Hay personas que consumen todo tipo de bienes y servicios y otras que deambulan por las calles sin satisfacer sus necesidades básicas.

•

Respuesta libre.

El municipio quiere construir un refugio para personas que recién llegan a la ciudad y todavía no tienen empleo. Ayúdales a diseñar una fachada para el refugio con las siguientes figuras: cinco paralelogramos, tres triángulos y dos círculos.

Vivir la diversidad Las ciudades son tan diversas como sus habitantes. Hay ciudades pequeñas, grandes e inmensas. Hay ciudades limitadas por las montañas que las rodean y otras que se extienden en amplias llanuras. Hay ciudades que crecen “hacia arriba” con altos rascacielos y otras que crecen “hacia los lados” en urbanizaciones de una sola planta. También hay ciudades que cuidan los espacios públicos y de esparcimiento y otras que se ven afeadas por cantidades de basura, vandalismo e inseguridad en sus calles. Las grandes ciudades de Bolivia son una muestra de diversidad cultural. En ellas vivimos personas nacidas en la misma ciudad, procedentes de las provincias cercanas, de otros departamentos y de muchos países. El principal desafío es aprender a convivir en armonía, contribuyendo a vivir con respeto y responsabilidad ciudadana.

• x

73o x = 360o – (90o + 90o + 73o) = 107o


Los vecinos del barrio Primavera quieren construir un nuevo parque. Tienen un terreno con forma de cuadrilátero que tiene: dos ángulos rectos, uno de 73 grados y un cuarto ángulo de medida desconocida. Dibuja el terreno y calcula el ángulo faltante.

127

Los/as niños/as pueden reflexionar sobre lo que significa la equidad y el derecho de las personas a acceder a buenas condiciones de vida. También pueden conversar sobre las dificultades de las personas para adaptarse a formas de vida diferentes a las propias –por ejemplo, cuando personas de zonas frías migran al trópico, o cuando personas que hablan otras lenguas llegan a una región castellanohablante–. Una importante mirada es aquella que nos involucra a todos en el cuidado de lo que tenemos, lo que nos invita a adoptar conductas ciudadanas de buena convivencia.


127


7

Perímetro y área de figuras planas

Febrero Marzo Abril Mayo Junio Julio Agosto Septiembre Octubre Noviembre Posibles dificultades en la unidad Utilizar diferentes unidades de medida sin uniformarlas antes de calcular el perímetro o el área de una figura.

Las áreas protegidas En 1939 se creó en Bolivia el Parque Nacional Sajama, iniciando así la delimitación de lo que son actualmente 22 áreas protegidas que buscan preservar la biodiversidad natural y cultural de distintas regiones de nuestro país, considerada una de las más ricas del mundo. Las áreas protegidas ocupan 17 millones de hectáreas del territorio nacional. En ellas, siguen viviendo poblaciones indígenas y campesinas, cuyas actividades de producción agrícola, caza, pesca y aprovechamiento de recursos naturales se encuentran reglamentadas para proteger la biodiversidad.

Calcular con medios cuadrados para completar un área. Calcular áreas de triángulos. Calcular áreas de figuras compuestas. Encontrar equivalencias entre medidas de superfície.

128

• ¿Conoces o has visitado algunas de las áreas protegidas en nuestro país?

• ¿Cuáles corresponden a tu región y qué especies albergan?

• ¿Qué importancia crees que tienen estas áreas en el presente y el futuro?


Contextualización de la unidad Perímetro y área de figuras planas Uno de los mayores patrimonios de nuestro país es su biodiversidad natural y cultural. Para preservarla se han creado Las áreas protegidas. Para intereses comerciales, tal vez las áreas protegidas representan un obstáculo, ya que miles de kilómetros cuadrados de territorio son puestos a salvo de los agricultores, ganaderos, comerciantes, industriales que miran la tierra como sinónimo de dinero. Los espacios verdes son nuestros pulmones y los reservorios de medicinas y de esperanzas para la humanidad.

128



RECUERDA 1.

• •

2.

Perímetro y área

Dibuja:

Largo, ancho y longitud

Un cuadrado que tenga en su interior 16 cuadraditos.

Base y altura Cuadrado unidad

Un rectángulo que tenga en su interior 24 cuadraditos.

Centímetro cuadrado, metro cuadrado, kilómetro cuadrado

Mide con una regla los lados de cada figura. Luego, calcula su contorno.

Hectárea

4 cm

Figura compuesta

6 cm

Geoplano m c 4

4 cm

4 c m

4 cm

Otro vocabular vocabulario io

3.

de la unidad

4 cm 12 cm

16 cm

20 cm

Área protegida y parque nacional

Dibuja un rectángulo, un cuadrado y un triángulo que tengan 12 cm de contorno. Compara tu trabajo con el de tus compañeros. Puede haber otras respuestas en el

Hectárea

rectángulo y en el triángulo. 4 cm

Biodiversidad natural

3 cm

Especies 2 cm

2 cm

Parcelas

4 cm

Paisajista 4 cm

Orquideario Tela de semisombra Tepe de césped

4.

Escribe las equivalencia equivalencias. s. 100

1m= 3 000 m = 5.

Tiquipaya cm

3

1 km = km

400 cm =

1 000 4

m

Embaldosar m

Resuelve.

•

Al jardín botánico de una ciudad le fue asignado un nuevo espacio, que es rectangular y mide 2 kilómetros de largo por 1 000 metros de ancho. ¿Cuánto mide el contorno completo del nuevo terreno? Mide 6 kilómetros o 6 000 metros.


129

Para vivir bien •

•

Valentía – podemos cuidar nuestro patrimonio tangible e intangible de forma responsable para nuestro presente y futuro, argumentando contra posiciones que pretenden destruirlo. Amor y respeto – las áreas protegidas albergan muchas personas que son parte de ecosistemas armónicos, como muchos pueblos indígenas, además de muchos seres vivos que merecen nuestro respeto; el amor por la naturaleza se educa desde los primeros años de vida.


129

Más actividades

Perímetro: cuadrado, rectángulo y triángulo

Tiras de cartulina En el quinto curso del colegio Ecovida decidieron cercar con alambre tres áreas para criar algunos animales. Estos son los espacios que disponen. ¿Cuál es el perímetro de cada uno? ¿Cuánto alambre necesitarán en total?

Forme grupos de 3 o 4 niños/as y que cada grupo elabore tiras de cartulina, cuyas longitudes sean de 9 cm, 12 cm, 15 cm, 18 cm, etc. Luego, pida a cada grupo que con las tiras forme polígonos que cumplan características determinadas, por ejemplo: •

•

12 m

m 8

6m

8 m

6m

un triángulo cuyo

Para calcular el perímetro de cada espacio necesitamos sumar la longitud de sus lados.

perímetro mida 39 cm.

1. En el caso del espacio para los cerdos, como es rectangular, podemos multiplicar por dos el ancho y por dos el largo, y luego, sumar los resultados, ya que los lados opuestos son iguales entre sí.

un cuadrilátero cuyo perímetro mida 48 cm.

•

6m

P = (12 m # 2) + (6 m # 2) = 24 m + 12 m = 36 m El perímetro del rectángulo es igual a 36 metros.

un pentágono cuyo perímetro mida 72 cm.

2. El espacio de las gallinas es cuadrado. Podemos multiplicar por cuatro cada uno de sus lados.

Mayores o menores que un metro

Pida a los niños/ niños/as as que consigan unos cinco metros de lana. Señalen con ayuda de una wincha o flexómetro cada metro, usando una marquita o un nudo. Utilicen primero solo un metro para establecer qué objetos del ambiente tienen un perímetro mayor o menor que esta medida. Pueden anotar en dos columnas en la pizarra sus descubrimientos. Más adelante, pueden usar la misma lana para calcular perímetros mayores (2 metros, 3 metros, etc.).

P = (6 m # 4) = 24 m El perímetro del cuadrado es igual a 24 metros. 3. El espacio de los conejos es triangular. Sumamos la medida de sus tres lados.

P = 8 m + 8 m + 6 m = 22 m El perímetro del triángulo es igual a 22 metros. Para saber cuántos metros de alambre son necesarios en total, sumamos los tres perímetros: P +P +P = 36 m + 24 m + 22 m = 82 m Se necesitarán 80 metros de alambre para cercar los tres espacios.

El perímetro de un polígono es la suma de las longitudes de sus lados. perímetro de

1.

¡Fijate bien en la unidad de medida en que se expresa cada lado del polígono!

Calcula y explica cómo lo hiciste.

•

¿Cuántos metros de alambre necesitarán los niños y niñas si dan tres vueltas al cerco de cada uno de los espacios? 82 m

# 3

= 246 m

Necesitarán 246 metros de alambre.

130


Sugerencias metodológicas Tic Perímetros Relación entre tres polígonos y las fórmulas para calcular sus perímetros.

130

Si bien los niños/as deben aprender a calcular perímetros de distintos polígonos, es importante que conozcan cómo medir en forma práctica el perímetro o contorno de cualquier objeto. Por ejemplo, utilicen fósforos o bombillas para formar polígonos. Midan la longitud del fósforo o bombilla y luego, calculen el perímetro de cada polígono que construyan, expresando la medida en fósforos o bombillas. Explique a los niños/as que para calcular un perímetro es importante tener todas las medidas de sus lados en una misma unidad de medida, porque así se expresa de forma correcta


2.

3.

Más actividades

Relaciona.

La cuadrícula

Perímetro

3 veces un lado.

Perímetro

4 veces un lado.

Perímetro

2 veces el ancho + 2 veces el largo.

Perímetro

lado 1 + lado 2 + lado 3

Entregue a los niños/as hojas con distintas cuadrículas y pídales que, con regla, dibujen polígonos de tres lados, de cuatro lados; con ángulos rectos, que ocupen siete casillas, etc. Luego, pídales que midan con la regla cada uno de sus lados y los sumen para obtener la medida de su perímetro.

Calcula el perímetro de cada figura.

5m 6 cm

8m 2m

P

24 cm

= c m 5

P

4.

=

P

P

=

=

m c 3 2

3 3 m m

25 cm

99 mm

P

14 m

7 5 c m

=

Instrucciones

Solicite a los niños/ niños/as as que reproduzcan en sus cuadernos figuras de polígonos, trazándolos según instrucciones: por ejemplo, que tenga seis lados y un perímetro de 36 cm, o que tenga cuatro lados y un perímetro de 24 cm. Desafíelos a nombrarlos. Permita que comparen sus trabajos.

196 cm

Completa las tablas. Lado de un cuadrado

Perímetro

5m

20 m

Lado de un rectángulo

Ancho de un rectángulo

15 cm

7 cm

Perímetro 4 4 cm

Lado de un triángulo equilátero

Perímetro

4 cm

16 cm

20 m

8m

56 m

15 cm

45 cm

7m

28 m 32 mm

3 2 cm

1 2 cm 20 mm

88 cm

22 mm

66 mm

8 mm 5.

24 m

8 c m 12 cm

P

=

50 mm

140 mm

40 m

120 m

42 mm

126 mm

Completa.

Para calcular el perímetro de un cuadrado, solo necesitamos conocer la medida de un lado . Para calcular el perímetro de un rectángulo, necesitamos conocer la medida de el largo y el ancho . Para calcular el perímetro de un triángulo, si es equilátero, necesitamos un lado los tres lados conocer la medida de ; en otro caso, de 6.

.

Lee y resuelve.

En un triángulo, dos lados miden 17 17 cm cm cada uno y su perímetro es 50 cm. ¿Qué longitud tiene el tercer lado? Tiene 16 cm.


131

la longitud del borde de la figura. Para tener más claro el concepto, tome un trozo de lana y con él vaya dibujando el perímetro de la pizarra. Luego, estire la lana y mídala con ellos, para obtener el perímetro en metros y centímetros (sin usar aún decimales). Pregúnteles cómo calcularían ellos los perímetros de distintas figuras teniendo como única información la medida de sus lados. Concluyan que se pueden sumar.


131

Más información

Unidades de superficie

Las áreas en la India Los niños y niñas quieren calcular la superficie de cada espacio que cercaron para decidir cuántos animales vivir án cómodamente en ellos. ¿Cómo harán el cálculo?

Entre las civilizaciones que han contribuido al desarrollo de la matemática, la hindú ocupa un lugar destacado. Los hindúes fueron los creadores de nuestro sistema de numeración actual. El cero y las cifras que utilizamos tienen su origen en la India. En geometría, los hindúes realizaron también importantes descubrimientos hace muchos siglos. Muchos de ellos aparecen recogidos en una serie de escritos llamados Los Sulvasutras. En estos escritos puede verse que los hindúes usaban fórmulas muy parecidas a las actuales para calcular áreas de figuras. Con ellas, por ejemplo, calculaban áreas de parcelas y construían templos. Probablemente, estas son las fórmulas que viajaron en el tiempo y llegaron hasta nosotros.

Para estimar la superficie o el área de una figura, podemos usar un cuadrado de medida. 1.

como unidad

Dibujamos las superficies sobre una cuadrícula. En el caso de los espacios para los animales, el lado de un cuadradito representará 1 metr o. 12 m

6m 8 m

6m

6m 8 m

2.

Usando el como unidad de medida, contamos las unidades cuadradas enteras. Podemos hacerlo en el caso del rectángulo y del cuadrado. Área = 72 Área = 36

3.

En el caso del triángulo, necesitamos además aproximar a medios cuadrados y considerar que dos medios cuadrados son equivalentes a una unidad. Luego, sumamos ambas cantidades. Área = 16 + 16 _ 16 + 8 = 24 El área es la medida del interior de una figura o la medida de la superficie de un espacio.

1.

Colorea cada letra y calcula su área usando como unidad de medida el

.

Tic Área de polígonos diversos Estimación de áreas de cuatro figuras a partir del cuadrado como unidad.

Tic Crea tu mosaico Creación y cálculo de una superficie de en base a cuadrados y mitades de cuadrados.

132

ÁreaA = 17

ÁreaB = 18

132

ÁreaC = 13

ÁreaD = 17

ÁreaE = 15

ÁreaF = 12 ©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

Sugerencias metodológicas Compare con los niños/as niños/as los conceptos de perímetro y área de una figura. Para facilitar su comprensión, dibuje figuras en la pizarra y pida a los niños/as que señalen el borde o perímetro de la figura, donde solo podemos dibujar una línea, y el área, donde podríamos pintar el espacio interior de la figura. A continuación, explique a la clase que para calcular el área de una figura debemos encontrar la cantidad de cuadrados que se necesitan para cubrirla. Dibuje algunas figuras y los cuadrados que contienen para ejemplificar su explicación.


2.

Dibuja cuatro figuras de distinta forma que tengan 12

Más actividades

de área cada una.

Cuadro de medidas

Construya con los niños/as un cuadro para la conversión de medidas de superficie y colóquenlo en exposición en la pared del curso. Al construirlo, razone con los niños/as cómo hay que multiplicar o dividir para pasar de una unidad a otra. Pueden ejemplificarlo con cuadrículas de diferentes tamaños que se superponen para pasar, por ejemplo, de metros cuadrados a centímetros cuadrados.

Puede haber otras respuestas.

Podemos asignar una medida específica a nuestro cuadradito

: 1 cm

_

Un cuadrado de 1 centímetro de lado tiene un área de 1 centímetro cuadrado.

1 cm

1 cm2

1 cm2 = 1 cm

#

1 m2 = 1 m

1 m

1 cm

1m

_

Un cuadrado de 1 metro de lado tiene una superficie de 1 metro cuadrado.

1m

1 m2

#

1 km

_

Un cuadrado de 1 kilómetro de lado tiene una superficie de 1 kilómetro cuadrado.

1 km

1 km2

1 km2 = 1 km

# 1000000

La unidad principal de superficie es el metro cuadrado.

km2

# 10000

m2

' 1000000

3.

4.

1 km

#

Construyendo medidas

cm2

Pida a los niños/as que dibujen en papel muchos cuadraditos de 1 cm de lado, representando 1 cm2. Indíqueles que deben buscar 10 objetos en el ambiente y medir sus superficies con ayuda de los cuadraditos (por ejemplo, la superficie de un cuaderno, una libreta, una regla, una calculadora, etc.)

' 10000

Indica la unidad de medida adecuada para medir cada área:

•

una hoja de cuaderno

cm2

•

una cancha de básquet

m2

•

la superficie de Bolivia

km2

•

el terreno de tu colegio

m2

•

la tabla de una mesa

m2

•

el lago Titicaca

km2

Observa las unidades de superficie y completa las equivalencias siguiendo el ejemplo. 3 km2 = 3

1 000 000 = 3 000 000 m 2

#

8 000 000 m2 = 73 m2 =

730 000

km2

8

cm2

7 m2 =

cm2

70 000

50 000 cm 2 =

5

93 000 000 m2 =

93

m2 km2 En la vida diaria también se utiliza la hectárea como unidad de medida para grandes superficies. 1 ha = 100 m x 100 m


133

Para establecer una clara diferencia entre área y perímetro puede pedir a los niños/as que elaboren una cuadrícula, donde cada cuadradito mida 1 cm2 y que dibujen lo siguiente: •

dos figuras que tengan 10 cm2 de área cada una, pero con distinto perímetro.

dos figuras que tengan 20 cm de perímetro cada una, pero que tengan diferente área. Después que han trabajado, los niños/as pueden pegar sus figuras en la pizarra y explicar a sus compañeros/as cómo han obtenido el área y el perímetro de cada una de las figuras. •


133

Más información

Cálculo de áreas y perímetros

La hectárea El papá de Julia dibujó dos par celas para sus cultivos. Asignó un cuadradito a cada metro cuadrado. Dice que la parcela naranja es más larga y t iene más superficie pero igual perímetro que la parcela verde. ¿Es esto cierto?

La hectárea es una medida agrícola que se utiliza para medir la extensión de campos o bosques. Tiene una superficie de 10 000 m 2, es decir, de un cuadrado de 100 metros de lado. Podemos darnos cuenta del tamaño de una hectárea dando vueltas completas a un manzano –una cuadra tiene una longitud aproximada a los 100 metros y la superficie de un manzano es de aproximadamente 10 000 m2–.

1m

Calculamos el área de ambas superficies. 1m

A = 18 m2 A = 18 m2 El área de ambas parcelas es la misma. Calculamos el perímetro de ambas superficies. P

= (3 # 2) + (6 = 6 + 12 = 18 m

Dé algunas instrucciones para hacer más desafiante el trabajo: reduce a una tercera parte el perímetro, prolonga los lados horizontales hasta X medida, etc.

P

1m

= (2 # 2) + (2 = 4 + 18 = 22 m

9)

#

El perímetro de la parcela verde es menor que el de la parcela naranja. El papá de Julia está equivocado.

Dos figuras pueden tener igual área pero distintos perímetros. También pueden tener igual perímetro pero distintas áreas.

P A

Más actividades

Pida a los niños/as que sobre una cuadrícula amplíen al doble o reduzcan a la mitad varias figuras, con ayuda de regla, escuadra y transportador.

2)

#

_

Ampliación y reducción de figuras

1m

1.

igual área, distinto perímetro

_

_

= 10 =4

P A

cm2

A= 6

_

=8 =4

Calcula el área de las siguientes figuras. Cada

A= 6

igual perímetro, distinta área

P A

=8 =3

equivale a 1 cm 2.

cm2

A= 8

cm2

A = 12

cm2

•

¿Qué figuras tienen la misma área? La primera y la segunda.

•

¿Cuál es el perímetro de esas figuras? En la primera es 14 cm y en la segunda es un poco más de 10 cm.

134


Sugerencias metodológicas Dibuje en una hoja cuadriculada la siguiente figura. Deje suficiente superficie cuadriculada para que los niños/as puedan hacer sus propios dibujos. Haga fotocopias y entregue una a cada niño/a, indicándoles que cada cuadrito mide 1 cm2 y que ellos deberán calcular el área y el perímetro de la figura coloreada. Compartan sus resultados.

134


2.

• •

3.

Más actividades

Dibuja tomando como unidad el cuadradito de la cuadrícula. Una figura con 9 cuadraditos de área y el perímetro más grande que puedas conseguir. Una figura con 9 cuadraditos de área y el perímetro más pequeño que puedas conseguir.

Las áreas protegidas en Bolivia

P = 20

Utilice la siguiente información para realizar representaciones con los niños/as. Puede utilizar papel milimetrado o cuadriculado para establecer diferentes unidades de medida.

P = 12

Calcula cada área obser vando el ejemplo y considerando que cada cuadradito equivale a 1 m2.

•

A=

25 m2

A=

La superficie total de Bolivia es de 1 098 581 km2.

32 m2 •

_

Los 22 parques nacionales ocup an 182 716 km2.

•

El parque Isiboro Sécure (TIPNIS), ubicado en Beni

2 A = 29 m

2 A = 24 m

Ubica en el plano de este terreno una vivienda y una piscina. Cada cuadradito representa 1 m2. Luego, anota la medida de cada área. Pueden variar las figuras y su ubicación.

• • • •

5.

La vivienda y la piscina deben ser rectangulares. La vivienda debe ocupar la cuarta parte de la superficie del terreno. La piscina debe tener la mitad de la superficie de la vivienda. El terreno libre será patio.

Piscina

Vivienda

12 362 k m2.

Lleguen a conclusiones como qué fracción del territorio total boliviano ocupan los parques nacionales; qué fracción ocupa el TIPNIS, etc.

A = 22 m2

4.

y Cochabamba, ocupa

=

96 m2

=

24 m2

A

terreno

A

vivienda

A

piscina

A

patio

12 m2

=

=

60 m2

Observa el plano de un departamento. Toma el cuadrado de la cuadrícula como 1 m2 y contesta.

o ñ a B

Dormitorio

Sala – comedor

Cocina

Pasillo

¿Cuál es el área de cada habitación? 6 m2 12 m2 Baño _ Dormitorio _ 2 12 m2 Sala – comedor _ 15 m Cocina _ 2 11 m Pasillo _ ¿Cuál es la habitación más grande? La sala - comedor ¿Cuál es la superficie total del departamento? 2 A total = 56 m


135

Después, pídales que dibujen dos figuras con los 6 cuadrados, de modo que cada una de ellas tenga menor perímetro que la figura dada. Haga notar a los niños/as que las figuras que dibujen también tendrán 6 cm 2 de área. Pídales que planteen otros ejercicios y los compartan con sus compañeros/as a modo de desafío: por ejemplo, dibujen una figura que tenga X de superficie y X de perímetro.


135

Más actividades

Área: cuadrado, rectángulo y triángulo

Plegando papel

Entregue a cada niño/a tres hojas de papel –pueden ser ya usadas– y pídales que dibujen en una de ellas un cuadrado, en otra un rectángulo y en la tercera un triángulo rectángulo. Pídales que sean polígonos que tengan por lo menos un lado de 20 cm o más. Pídales que marquen bien su perímetro y luego, con ayuda de una regla, lo cuadriculen en centímetros cuadrados para calcular su área. Cuando ya la hubieran calculado, aplique con ellos las fórmulas de cálculo de áreas para comprobar si se obtienen iguales resultados. Pueden colorear sus figuras, recortarlas y pegarlas en grandes cartulinas, junto con los cálculos y resultados, dejando en exposición sus trabajos en las paredes del curso.

Un grupo de paisajistas está proponiendo nuevos modelos de distribución de los espacios en los parques públicos. ¿Cómo calculamos la superficie de cada espacio? Juegos para _ niños

_ _ Espacio para Jardines adultos mayores

Podemos usar algunas fórmulas para el cálculo de áreas: 1.

Tic Área de cuadrado, rectángulo y triángulo Cálculo del área de un cuadrado y un rectángulo y su relación con el área de triángulos.

136

Para calcular el área de un cuadrado multiplicamos un lado por el otro, considerando que tienen la misma medida: Área

2.

3.

En el caso del espacio de juego par a niños, calculamos: 40 m Área = 40 m # 40 m 40 m = 1 600 m2

= lado # lado

Para calcular el área de un rectángulo multiplicamos la base por la altura. Área

En el caso del espacio de arboledas, calculamos: 60 m Área = 60 m # 20 m 20 m = 1 200 m 2

= base # altura

Para calcular el área de un triángulo rectángulo, consideramos que es la mitad de un rectángulo que tiene la misma base y altura. Área = base # altura 2

En el caso del espacio para adultos mayores, calculamos:

20 m

60 m Área

= 60 m # 20 m 2 1 200 m2 = = 600 m2 2

1. Relaciona.

Tic Distinto lado… ¿distinta área? Cálculo del área de cuadrados con distinta longitud en sus lados.

Arboledas _

Área

base # altura

Área

base # altura 2

Área

lado # lado

136


Sugerencias metodológicas Converse con los niños/as sobre la mejor forma que ellos propondrían para calcular el área de diferentes polígonos. Comience dibujando en la pizarra un rectángulo y anote las medidas de sus lados. Invite a voluntarios a calcular la superficie, permitiendo que propongan distintos caminos. Es probable que alguno/a proponga la multiplicación de un lado por otro; si no surgiera la propuesta, muéstreles que esta es una forma matemática de realizar el cálculo. Ponga varios ejemplos en la pizarra para que los niños/as ejerciten la aplicación de esta fórmula (área del rectángulo = base X altura).


Más actividades

Calcula el área de cada figura a partir de las medidas dadas.

2.

Problemas

8m

5 cm

6m

•

3 km

rectángulo que mide 5 cm

12 cm A

de ancho y tiene un área

60 cm2

=

A

=

1 km

2

36 m

A A

=

de 35 cm2?

64 m2 •

3 km2

=

• •

El área de un rectángulo es de 54 cm2. Si el ancho

Dibuja en tamaño real las figuras que se indican.

3.

¿Cuál será el largo de un

es de 6 cm, ¿cuál es la medida de su largo?

2

un cuadrado de área 9 cm . 2

un rectángulo de 8 cm .

3 cm

4 cm

•

El área de un cuadrado es de 81 cm2. ¿Cuál es la medida de cada uno de

2 cm

3 cm

sus lados? •

El comedor de una casa mide 8 m de largo y 6 m de ancho. Se coloca una

Observa el área de cada cuadrado o rectángulo y calcula el área de los triángulos.

4.

8 cm

20 m

alfombra que cubre todo el piso. ¿Cuál es el área

7 mm

1 4 k m

18 mm

de la alfombra? •

12 m

Si un bosque de forma rectangular mide 7 km de largo y 3 km de ancho, ¿cuál es el área del bos-

A 5.

6.

32 cm2

=

A

=

120 m2

A

=

63 mm2

A

=

que?

98 km2

Calcula y completa las tablas. Cuadrado

Lado

Área

Rectángulo

Base

Altura

Área

A

6 cm

36 cm2

F

7 cm

3 cm

B

9 cm

81 cm2

G

9 cm

2 cm

21 cm2 18 cm2

C

10 cm

100 cm2

H

5 cm

4 cm

20 cm2

D

8 cm

64 cm2

I

11 cm

9 cm

99 cm2

E

12 cm

J

15 cm

7 cm

105 cm2

2

144 cm

Resuelve •

El jardín botánico armará su orquideario en un rectángulo de 8 m de largo y 6 m de ancho. Se necesita cubrir todo este espacio con una tela de semisombra. ¿Cuántos metros cuadrados de tela necesitarán? Se necesitarán 48 m2 de semisombra.


137

A continuación, dibuje un cuadrado y propóngales descubrir juntos la fórmula para el cálculo de su área. Seguramente, algunos niños/as propondrán la misma del rectángulo. Hágales notar que los cuatro lados son iguales y que bastaría con conocer la medida de uno de ellos para calcular (área del cuadrado = lado X lado). Finalmente, propóngales calcular el área de un triángulo rectángulo. Repita el dibujo del primer rectángulo y de un cuadrado que ya hubieran trabajado y divídalos en dos partes iguales con una diagonal. Deduzcan la fórmula de (área del triángulo = base X altura dividido por 2).


137

Más actividades

Perímetro y área de figuras compuestas

Componiendo figuras En un parque hay tres canteros que necesitan ser cercados y cubiertos con césped. El césped se coloca en trozos cuadrados llamados tepes y la cerca en tramos rectos, como se ve en la figura. ¿Cuantos tepes necesitará cada cantero? ¿Y cuántos tramos de cerca? ¿Tendrán los tres canteros el mismo perímetro y área?

Organice a los niños/as en grupos de tres integrantes. Indíqueles que cada uno elaborará un cuadrado, rectángulo o triángulo con un lado de longitud 10 cm. Indíqueles que los dibujen en papel, los coloreen y recorten. Entre los tres armarán una figura compuesta por los tres polígonos y la pegarán en un papel de mayor tamaño.

A

B

C

Tramo de cerca Tepe de césped

Calculamos los tres perímetros y las tres superficies:

AA = 9 PA = 12

AB = 8 PB = 16

AC = 6 PC = 14

Los tres canteros tienen distintos perímetros y áreas.

Junten todos los trabajos en un fichero para luego hacer cálculos.

Para calcular el área de una figura compuesta descomponemos la figura y calculamos el área de cada nueva figura. Luego, al sumarlas o restarlas, obtenemos el área de la figura original. 12 m 10 m

A

12 m 5m B 5m

_

10 m

A _

5m B 5m _

120 m2 + 25 m2 = 145 m2

10 m

12 m 5m C D 5m

12 m _

10 m

C _

5m D 5m _

120 m2 – 25 m2 = 95 m2 Para calcular el perímetro de una f igura compuesta sumamos las longitudes de los lados de la figura. Por ejemplo, en la primera figura, sumamos: P

1.

= 10 m + 12 m + 5 m + 5 m + 5 m + 5 m + 12 m = 54 m

¿Es cierto que estas tres figuras tienen igual perímetro y distinta superficie?

1 cm2

P = 8 cm 2 A = 3 cm

138

P = 8 cm A = 2 cm2

No es verdad.

P= A=

2 cm2


Sugerencias metodológicas Para llegar a la conclusión de que el perímetro y el área de una figura compuesta pueden calcularse a partir de su descomposición, proponga a los niños/as componer figuras en la pizarra. Invite a voluntarios a realizar dibujos que incluyan cuadrados, rectángulos y triángulos. Muestre a los niños/as cómo va resultando una figura cada vez más compleja. Pida a los niños/as que cierren los ojos y borre todos los lados que no correspondan al perímetro. Pida a un/a voluntario/a que pase a dibujar nuevamente la figura, descomponiéndola. Ponga otros ejemplos en la pizarra y pida que los descompongan antes de comenzar a calcular.

138

7 cm


2.

Más actividades

Calcula el perímetro y el área de las siguientes figuras compuestas. Completa la tabla. 6 cm

Figura

Perímetro

Área

A

16 cm

7 cm2

B

26 cm

37 cm2

C

18 cm

15 cm2

D

18 cm

12 cm2

E

24 cm

20 cm2

F

36 cm

44 cm2

G

18 cm

14 cm2

6 cm

2 cm

Figuras compuestas complejas

1 cm

A

1 cm

6 cm

B

3 cm 1 cm 2 cm 4 cm

C

1 cm 1 cm

1 cm 4 cm

2 cm 2 cm

E 2 cm 6 cm

2 cm

6 cm

2 cm 5 cm

2 cm

2 cm 2 cm

m c 2

1 cm

2 cm

1 cm

2 cm D

4 cm

5 cm F

G

2 cm

3 cm

1 cm 8 cm 3.

Mide y calcula el área de la zona coloreada de cada figura.

A= 4.

9 cm2

A=

8 cm2

A=

11 cm2

Dibuja las casas aumentando o disminuyendo su perímetro a escala, representándolas de mayor o menor tamaño. Luego, calcula el área y el perímetro de cada frontis y saca algunas conclusiones. El perímetro aumenta o disminuye en proporción; en las áreas no existe una regularidad.

C

B A

PA

≈

16

PC

A A = 20 PB

≈

D

36

Ampliación al doble

Intercambien trabajos entre los grupos, indicándoles que deberán marcar todas las figuras que encuentren y medir con una regla las longitudes de sus lados para calcular su perímetro y área. Cada grupo expondrá su forma de trabajo a la clase.

34

A C = 76 PD

A B = 80

≈

Organice a los niños/as en grupos de cinco integrantes y pídales que elaboren figuras compuestas por varios polígonos. Deben ser figuras mucho más comple jas que las trabajadas en la actividad Componiendo figuras. Pueden incluir varios cuadrados, rectángulos y triángulos. Pueden dibujarla primero y luego recortarla en otro papel, para que no se note dónde acaba una figura y dónde comienza otra. Si desean, pueden recortar una figura, dejando un espacio vacío en alguna parte de la figura central, para obligar a restar su área.

≈

18

A D = 19

Reducción a la mitad


139

Anote medidas a los lados de las figuras para que los niños/as puedan calcular. Verifique que sumen correctamente, y que, en caso necesario, resten aquellas pequeñas áreas que no sean parte del área mayor que se está calculando. Verifique que los niños/as identifiquen el perímetro de la figura compuesta antes de realizar cálculos.


139

Más actividades


Medir y calcular

Consiga con los niños/as algunos planos de viviendas. También existen en Internet para ser impresos. Observen los planos y sus medidas. Si es necesario, simplifique estas medidas (sobre todo, no utilicen decimales) para facilitarles los cálculos.

Medir y calcular.

La familia Mendoza tiene una casa en Tiquipaya. Mide el plano y calcula, sabiendo que un cuadradito equivale a 50 cm # 50 cm. ¿Cuántos metros cuadrados tiene el terreno en que está construida la vivienda?

Baño

Desafíe a que los niños/as dibujen sus propios planos y formulen preguntas a sus compañeros/as relacionadas con perímetros y superficies.

Dormitorio

Sala Comedor

Invite a los niños/as a formular preguntas con relación a cada plano. Por ejemplo, ¿qué superficie ocupa el baño de la casa? También pueden hacer cálculos en paredes construidas, imaginando que colocarán azulejos.

a í r e d n a v a L

Dormitorio principal

Jardín

Jardín

Cocina

Garage

o r e l l i r r a P

Seguimos los pasos para resolver el problema de forma ordenada. 1.


Tenemos el plano de una vivienda. Queremos conocer la superficie del terreno. 2.


Medimos el plano y le colocamos medidas, considerando que 1

= 50 cm # 50 cm

Calculamos la superficie del terreno, que es rectangular. 3.


A T = 17 m # 10 m = 170 m 2.

A T = base # altura 2

El terreno mide 170 m . 4.

Comprobamos (¿es razonable la respuesta?)

Tomamos nuevamente las medidas. Podemos cuadricular el terreno 4 1.

Calcula y responde.

•

¿Cuál es la superficie del área construida de la vivienda?

El área construida tiene 76 m 2

•

¿Cuál es la superficie del área de jardín?

El área del jardín tiene 94 m 2

•

¿Cuántos metros cuadrados de alfombra necesitarán para cubrir ambos Necesitarán 27 m2 de alfombra. dormitorios?

140

140

= 1 m2 y comprobar el resultado.



Más actividades


El geoplano

El geoplano

El geoplano es un material que permite la libre experimentación de los niños/as. Deje que ellos lo manipulen buscando alternativas propias de polígonos, perímetros y áreas. Puede irlos guiando para que delimiten con ligas o lanas de colores; primero, varios cuadrados; luego, rectángulos y triángulos. Al final, pídales que armen figuras compuestas. Pueden intercambiar su geoplano con un/a compañero/a para desafiarlo a hacer cálculos. Pídales que consideren que el cuadrado unidad que utilizan –según el geoplano que hayan obtenido o construido– puede tener más de 1 cm2, por lo tanto, deben considerar esa medida para sus cálculos de perímetro y superficie.

A mediados del pasado siglo se introdujo el uso del geoplano como una forma fácil y divertida de aprender geometría. El geoplano es un cuadrado de madera de unos 30 cm de lado al que se introducen clavos o pivotes cada 2 cm, formando una cuadrícula. Les proponemos hacer un geoplano de 11 o lanas de colores para trabajar en él.

11 clavos. Necesitarán ligas

#

Para calcular el área de este trapecio, podemos descomponerlo en dos figuras: un cuadrado y un triángulo rectángulo. Calculamos ambas áreas y luego, las sumamos. Área cuadrado = 9 Área triángulo = 3 Área trapecio = área cuadrado + área triángulo Área trapecio = 12 1.

Calcula el área de las cuatro figuras representadas en el geoplano.

B A

2.

A A =

31

A B =

21

A C =

29

A D =

20

C

D

Cuando utilizan una soga para delimitar polígonos, pueden extenderla y medirla para comprobar si los perímetros calculados son correctos.

Inventa tus propias figuras y desafía a tus compañeros a calcular sus áreas y perímetros.

Respuesta libre.



141

141

Notas sobre las

Evalúa tus logros

actividades de

1.

evaluación

Calcula el área de cada figura, tomando al

como unidad.

2

Como el conteo de cuadraditos y medios cuadraditos se hace complejo en la guarda, indique a los niños/as que pueden marcarlos con un punto de color para controlar que su cálculo sea correcto.

A

B

A A = 12

A B = 14

D A C =

E

13

A D =

10

A E =

12

Cuatro cuadrados de la cuadrícula ocupan 1 cm2. Calcula las superficies coloreadas y sin colorear de la guarda.

2.

Área 3.

C

=

21 cm2

Área

=

43 cm2

Dibuja en la cuadrícula:

• •

Dos superficies que tengan el mismo perímetro y distinta área. Dos superficies que tengan la misma área y distinto perímetro.

A = 12

A=8

P = 16

P = 18

A = 16

P = 16

A=8

P = 12

Observa la figura formada por triángulos equiláteros y contesta:

4.

• •

¿Cuánto mide el perímetro de uno de los 6 cm triángulos pequeños? ¿Cuánto mide el perímetro del triángulo 18 cm más grande?

Lee y responde.

5.

•

2 cm

Dos lados de un triángulo miden 17 cm cada uno y su perímetro es 50 cm. ¿Qué longitud tiene el tercer lado? Mide 16 cm.

•

¿Cuál es el perímetro de un rectángulo de 50 m de largo y 20 m de ancho? 140 m.

142

142



6.

Mi desempeño

Dibuja tres cuadrados de 9, 16 y 25 cm2 de superficie, respectivamente. Después, indica el perímetro de cada uno en centímetros.

como docente

5 cm 4 cm

•

3 cm

9 cm2

25 cm2

16 cm2

Facilito la conexión de la geometría con la resolución de problemas de la vida cotidiana. Muchas veces

P = 12 cm 7.

P = 16 cm

Piensa cuántos cuadraditos de 1 cm 2 podrías apoyar sobre un lado del cuadrado.

P = 20 cm

Pocas veces

Con ocho mil cuadraditos de 1 cm2 de superficie, ¿se puede cubrir por completo un cuadrado cuyos lados miden 1 m?

•

No. Necesitamos 10 000 cuadraditos de 1 cm2 para cubrir 1 m2.

8.

Respeto el ritmo de aprendizaje de cada niño/a de mi clase. Muchas veces

Una empresa quiere pintar varias paredes. Calcula cuánta pintura necesitará si con 1 litro pinta 2 m 2.

Pocas veces 8m

6m

8m •

15 m Pintura 9.

_

12 m

60 litros

Pintura

_

20 m

36 litros

Pintura

80 litros

_

Calcula el perímetro y el área de las siguientes figuras. 7 cm 2 cm

Garantizo que la repartición de materiales de trabajo, tiempos y oportunidades de participación sea equitativa entre todos los niños/as.

2 cm 5 cm

3 cm

5m 3m

2 cm 4m

Pocas veces

3 cm

6 cm 5m

6 cm

10 cm 3 cm

4m

Muchas veces

5 cm

10 cm

6 cm P=

52 cm

A=

83 cm2

P = 28 cm 3m

2 A = 24 cm

3m



5m

P=

28 m

A=

34 m2

143

143


10.

Calcula el área de las figuras coloreadas.

16 cm 7 cm 7

evaluación 1 0 c m

11

Decida si deja a la vista de los niños/as el cuadro de conversión de medidas de superficie mientras realizan esta actividad.

Sugiera a los niños/as que utilicen representaciones, esquemas o croquis como una forma de aclarar el planteamiento de los problemas, antes de proceder a su solución aritmética.

m c 5

c m

m c 5

4 cm

1 2 c m

m c 0 1

12 cm

12 cm 2

A = 111 cm 11.

5 m2 =

12.

A=

18 cm 2

2 A = 96 cm

94 cm

Encuentra las equivalencias. 50 000

7 000 000 m2 =

12

5 c m

3 km2 = 3 000 000

cm2 7

km2

75 000 000 m2 =

m2 km2

75

Lee y responde.

•

Teresa desea embaldosar la cocina de su casa, que tiene f orma rectangular y mide 4 m de ancho y 5 m de largo. Para ello, utilizará baldosas cuadradas de 20 cm de lado. ¿Cuántas baldosas necesitará? Necesitará 500 baldosas.

•

Y si decide comprar las baldosas en la oferta, ¿cuánto dinero gastará Teresa?

Baldosas Bs 100 el metro cuadrado.

Gastará Bs 2 000.

•

Un terreno de 200 m de largo y 200 m de ancho será dividido en terrenos de 10 m de largo por 10 m de ancho. ¿Cuál es el área de los terrenos en que será dividido? ¿En cuántos terrenos quedará dividido? Cada terreno medirá 100 m 2 y habrá 400 terrenos.

•

Dos hermanos se reparten una herencia. Al mayor le toca un terreno de 120 000 m 2; al menor uno de 500 m de largo por 240 m de ancho. El hermano menor se molesta porque dice que le tocó el terreno más pequeño. ¿Tiene razón? Explica por qué. Ambos hermanos reciben la misma cantidad de terreno de herencia, porque 500

144

144

# 240

m = 120 000 m2.



Más información


Proyecto socioproductivo Para realizar un proyecto

Por cada niño, un árbol

socioproductivo exitoso es esencial lograr el compro-

Un dicho popular afirma que una persona que realmente ha vivido es aquella que deja sembrado un árbol. Lo cierto es que, ya sea en espacios privados o públicos, estaremos contribuyendo con un granito de arena al mejoramiento de nuestro planeta si cuidamos el ambiente que nos rodea. 1.

2.

miso y la participación de todos los niños/as, familias y representantes de la

Con la autorización de la dirección, inicien una campaña de recolección de bolsas usadas de leche de 1 litro, explicando a las familias de su colegio,

comunidad. Se requiere la

que servirán para un proyecto escolar de reforestación.

las metas planteadas y su

Organicen grupos en la clase para realizar varias tareas:

impacto en la vida de todos.

• recibir las bolsas y acopiarlas en cajas o bolsas grandes;

Por ello, serán bienvenidas

• cortar las bolsas por uno de sus extremos:

todas las iniciativas y formas

comprensión completa de

de organización que propon-

• dar vuelta las bolsas para que quede afuera el lado interior;

gan los/as niños/as, porque

• lavarlas bien hasta quitar todos los residuos de leche y dejarlas secar,

será una forma de asegurar

• estirarlas y juntarlas en paquetes de 100 bolsas; seguramente junta-

su alta motivación en un pro-

rán miles de bolsas en algunos meses. 3.

yecto que requiere un tiempo largo de ejecución. Los

Conversen con el jardín botánico o el vivero municipal, acordando entregarles las bolsas limpias que podrán usar para sembrar plantitas. A cambio, les pedirán que les entreguen una cantidad de plantines de árboles. Es importante que les provean especies propias de su región, que no resulten agresivas al ecosistema y que puedan sobrevivir sin mucho cuidado. Lo ideal es que los arbolitos tengan ya por lo menos un año par a que resulten suficientemente fuertes. Háganse asesorar sobre la distancia que deben dejar entre uno y otro árbol y cómo deben preparar la tierra para que el árbol pueda crecer bien.

4.

Elijan un sitio donde puedan sembrar los árboles, como los jardines de su colegio, las aceras del vecindario, el parque, otros espacios públicos alrededor, etc.

5.

Convoquen a una jornada de siembra de arbolitos, en la que pueden participar papás, mamás, hermanos, otros familiares, docentes, directivos, vecinos, autoridades de la comunidad y pídanles que lleven herramientas (palas y picotas, regaderas o baldes), ropa de trabajo y algún refrigerio para compartir. ¡Disfruten una jornada de trabajo comunitario y vean con satisfacción cómo las pequeñas acciones de hoy influyen en nuestro vivir bien de mañana!

6.

Si les quedan plantines, pueden entregarlos a las familias para que los coloquen en sus casas.



adultos pueden ayudar en gestiones con autoridades, por ejemplo las sugeridas con el jardín botánico y el vivero y con quienes autorizarán el plantado de árboles en espacios públicos.

Además de completar la siembra, se puede incentivar el cuidado de los árboles, realizando un “apadrinamiento”: cada niño/a o familia se puede encargar de vigilar el crecimiento y regar un árbol hasta que ya no lo requiera. También se pueden preparar carteles en chapa o madera con mensa jes que inviten a cuidar los árboles y que puedan ser leídos por los vecinos. 145

Este proyecto resulta interesante, ya que puede llevar a realizar acciones no solo en el ámbito matemático, sino también del lenguaje, las ciencias naturales y sociales, entre otros.

145

Notas sobre las

Repaso acumulativo


1.

Pinta con rojo las fracciones menores que la unidad, con azul las iguales a la unidad y con verde las mayores que la unidad.

5

Permita que los niños/as realicen la operación en una hoja auxiliar y que anoten solo el resultado.

17

5

15

5

7

7

15

7

7

17

15

15

5

5

7 7

5

15

5 5

15

7

7

17

V

R

V

R

A

A

R

V

V

A

R

R

Transforma cada número mixto a fracción impropia y viceversa.

2.

25 7

=

3

=

9

37 4

4

16

7

3

1

19

4

2

=

5

=

9

1

1

3 1

3

2

4 7

11

=

1 7

2

7 22

=

4

7

4 5

14 =

5

8 25

108 =

25

Calcula la fracción de cada número.

3.

1 2 3 4

18

de 36

=

de 36

=

2 5

27

5 6

10

de 25

=

de 84

=

5 10

70

4 9

de 40

de 72

=

20

32

=

Encuentra las fracciones equivalentes con el mínimo común denominador.

4.

1 1 1 ; y 2 4 3 1 3 5 ; y 4 8 12

6 3 4 ; y 12 12 12

_

6 9 10 ; y 24 24 24

_

4 2 3 ; y 7 5 10

_

40 28 21 ; y 70 70 70

2 1 ; y 4 3 5 15

_

10 3 4 ; y 15 15 15

Calcula y expresa el resultado como una fracción irreducible o un número natural.

5.

7 9

8 7

+

-

1 3

1 7

+

=

3 18

7 7

=

23 18

5 4

+

1 6

49

=1

5

+

2 3

19 -

5

=

=

25 12

3 14

30 =6 5

18 4

+

-

2 21

2 4

+

=

1 7

=

19 42

16 =4 4

Dibuja los ángulos indicados.

6.

Ángulo consecutivo

Ángulo adyacente

Ángulo opuesto por el vértice

C A

146

146

B




evaluación

Calcula la medida del ángulo x en cada triángulo y cuadrilátero. o

85o

20

61o

110o 70o

30o

Asegúrese de que cada niño/a tenga su material de trabajo para que no interrumpa a sus compañeros/as pidiéndolo prestado.

x

65o

x

x

8 x

o

60o

79 110o

130o

x= 8.

70o

x=

x=

160o

Traza y mide el radio y el diámetro de cada figura.

Radio =

D

cm

1

Diámetro =

R

9.

30o

x=

2

D

cm

15

Radio = Diámetro =

R

10

mm 30

mm

Calcula el perímetro y el área de cada figura. 8 cm

23 mm

16 m 4m

m c 0 1

8m

c m 2 1 P=

30 cm

4m

2

A = 40 cm 10.

12 m

P = 92 mm

2

A = 529 mm

Permita que los niños/as representen las fracciones para comparar si los resultados de sus operaciones son correctos.

P=

48 m

A=

80 m2

Lee y responde.

•

Natalia está leyendo un libro de 253 páginas. Ha leído ya las siete onceavas partes de su libro. ¿Cuántas partes le falta leer a Natalia? ¿Cuántas páginas leyó ya? 7 11

•

de 253 = 161

A José le toma

Leyó 161 páginas; le falta leer las

11 6

4 11

partes del libro.

de hora hacer la tarea de matemática y

9 11

de

hora hacer la tarea de ciencias naturales. Si quiere dedicarse a la tarea que le toma menos tiempo, ¿cuál debe hacer primero? 11 6

•

y

9 11

=

121

Rafael tarda

66 1 15

y

54 66

La tarea de ciencias naturales demanda menos tiempo.

de hora en hacer una multiplicación. ¿Cuánto tarda en

hacer 9 multiplicaciones de igual dificultad? 1 15

#9=

9 15

3 =

5

Tarda tres quintos de hora o 36 minutos.



147

147


8

Decimales


Posibles dificultades en la unidad Descomponer números decimales con ceros intermedios. Considerar un número decimal mayor que otro porque tiene cifras mayores. Identificar entre qué números enteros o decimales se encuentra un número decimal.

Las temperaturas Las temperaturas están referidas a la forma en que percibimos el calor o el frío, y pueden medirse gracias a los termómetros. En las estaciones meteorológicas se hacen mediciones de diversos elementos de la atmósfera –entre ellos la temperatura– para determinar el tipo de clima de una región. Hace tiempo venimos escuchando que existe un cambio climático en todo el mundo y ha nacido la definición de “calentamiento global” para el fenómeno que describe el aumento de las temperaturas en el aire y los océanos, provocando el derretimiento de los glaciares y el aumento de los niveles del mar. 148

• ¿Has oído hablar del cambio climático y del calentamiento global?

• ¿Qué comentan las personas mayores que conoces sobre las temperaturas muy bajas o muy altas en estos tiempos?

• ¿Conoces algunas acciones de los científicos y conservacionistas para contrarrestar los efectos del cambio climático?


Confundir décimas con centésimas y milésimas. Fraccionar una recta

Contextualización de la unidad Decimales

numérica para ubicar algunos decimales.

Las temperaturas están cambiando alrededor nuestro. Las personas mayores comentamos

frecuentemente que el frío y el calor son más fuertes que los de años anteriores. Esto está confirmado por las mediciones que realizan las estaciones meteorológicas en cada región del planeta. Los/as niños/as no tienen paráme tros para compar ar, pero sí escuchan en las noticias que existen fenómenos climáticos extremos. En la unidad abordamos también el tema de la temperatura corporal y cómo sus variaciones son síntoma de enfermedad.

148



RECUERDA 1.

Unidad decimal y fracción

Cuenta y expresa la fracción que representa la parte coloreada.

decimal. 4 10

=

Décimos, centésimos y

cuatro décimos

6 10

seis =

8 10

décimos

ocho =

décimos

milésimos. Parte entera y parte decimal Porcentaje o tanto por

20 100

=

veinte centésimos

90 100

noventa =

30 100

centésimos

treinta =

centésimos

ciento Gráfico lineal de dos características

2.

Representa las siguientes fracciones en la recta numérica. 7 10

2 10

0 3.

17 10

Otro vocabulario 17 10

1

7 10

de la unidad

2

Ordena de menor a mayor las anteriores fracciones. 2 10

4.

4 10

2 10

4 10

10 10 10 10

<

4 10

7 10

<

Estación meteorológica 10 10

<

17 10

<

Atmósfera Temperatura

Escribe dos fracciones equivalentes a cada una de las fracciones dadas. Puede haber otras respuestas.

Cambio climático 1 4

=

2 8

=

3 12

2 5

9 21

2 9

=

10 25

=

10 45

=

20 50

5 8

=

20 90

4 11

=

20 32

=

40 64

Calentamiento global Derretimiento de glaciares

3 7

5.

=

=

=

8 22

16 44

=

Grados Celsius o centígrados Grados Kelvin y Fahrenheit

Calcula suprimiendo la misma cantidad de ceros en el dividendo y el divisor.

50

6.

6 14

' 10

=

5

600

' 100

=

6

3 000

' 1

000 =

3

Temperatura mínima y máxima

70

' 10

=

7

800

' 100

=

8

9 000

' 1

000 =

9

120

' 10

=

12

1 400

' 100

=

14

18 000

' 1

000 =

18

550

' 10

=

55

2 500

' 100

=

25

43 000

' 1

000 =

43

2 340

' 10

=

234

8 000

' 100

=

80

70 000

' 1

000 =

70

4 000

' 10

=

400

9 200

' 100

=

92

85 000

' 1

000 =

85

Pronóstico del tiempo Humedad del ambiente Fiebre

Interpreta.

•

Cuando en un sitio la temperatura es de 32,7 grados, ¿significa que es más cercana a los 32 o a los 33 grados? Es más cercana a los 33 grados.


149

Para vivir bien •

Empatía – nos ponemos en la situación de las personas que sufren consecuencias del cambio climático, como sequías e inundaciones, fríos y calores extremos.

•

Gratitud – agradecemos las condiciones ambientales que nos permiten vivir bien. También valoramos los períodos en que tenemos buena salud.

•

Humildad – nos reconocemos como vulnerables ante los cambios ambientales y cuando nos toca afrontar enfermedades.


149

Más información Los decimales en Babilonia Los números decimales

Unidades decimales y fracciones decimales Carolina conversa con su hermano Jorge sobre las temperaturas del día que dan en el noticiero. ¿Cuál de ellos tiene razón en lo que afirma?

han sido utilizados por

Temperatura actual: 18 grados, 7 décimos. Temperatura máxima pronosticada para hoy: 20 grados.

numerosas civilizaciones desde hace mucho

¡3 grados más y llegamos a la temperatura máxima! Creo que no está bien tu cálculo. Con 3 grados más llegaríamos a 21 grados, 7 décimos.

tiempo. Ya hace miles de años, los babilonios utilizaban estos números. Lo sabemos por las tablillas de barro donde los

Si tomamos un cubo como unidad, podemos realizar las siguientes divisiones:

escribían, encontradas en yacimientos arqueológicos.

cada parte es una décima de la unidad.

_

_

dividimos la unidad en 10 partes iguales 1 unidad = 10 décimos 1 1 décimo = 0, 1 10

Para escribir los números hacían marcas en las tablillas, dejándolas

C

=

secar después. Así era como representaban

Una unidad

c

m

cada parte es una centésima de la _ unidad.

algunos números: dividimos la unidad en 100 partes iguales

D U , d

_

1 unidad = 100 centésimos 1 1 centésimo = 0, 01 100 1 décimo = 10 centésimos =

dividimos la unidad en 1 000 partes iguales

C

_

=

ros decimales, ponían

c

m

cada parte es una milésima de la unidad. _

1 unidad = 1 000 milésimos 1 1 milésimo = 0, 001 1000 1 centésimo = 10 milésimos

Para escribir los núme-

D U , d

C

D U , d

c

m

primero la parte entera y después, un poco separada, la parte

La décima, la centésima y la milésima son unidades decimales y se obtienen al dividir una unidad en 10, 100, 1 000 partes iguales.

decimal. La forma de

1 unidad = 10 décimas = 100 centésimas = 1 000 milésimas.

representar los núme-

Las fracciones cuyo denominador es 10, 100 y 1 000 son fracciones decimales y también pueden escribirse como números decimales.

ros ha variado a lo largo de la historia.

150


Tic La fracción decimal del sapito Relación entre fracciones decimales y números decimales.

Sugerencias metodológicas Puede pedir a los niños/as que nombren situaciones de la vida cotidiana en las que utilicen los números decimales, como por ejemplo, los precios al comprar y vender, las estaturas y pesos de las personas, los récords deportivos, etc. Pida a los niños/as que le dicten el precio de algunas golosinas y anótelas en la pizarra, primero como unidades decimales (por ejemplo, un chupetín de 70 centavos). Muéstreles cómo los decimales nos sirven para representar partes de un entero, al igual que las fracciones. Recuérdeles que en nuestro país las monedas que representan a los decimales son 10, 20 y 50 centavos. Pregunte a

150


1.

Más actividades

Representa gráficamente según corresponda.

Decimales y fracciones Pida a los niños/as que encierren en un círculo la fracción correspondiente a cada decimal. 3 décimos 2.

8 centésimos

0,81

5 milésimos

81/10 81/100 81/1000

Completa y representa el número decimal en el ábaco y pinta la fracción correspondiente. 1,57 = 1 + Leemos:

_

1,3

_

13/1000 13/10 13/100

5 7 7 7 + 10 100

5,311

_

5311/100 5311/1000

Un entero cinco décimos siete centésimos.

5311/10 6,2

_

62/10 62/100 62/1000 C 3.

D

U , d

c

m

0,1

7,942

2 décimos y 4 centésimos

14 centésimos 5 centésimos

_

7942/1000 7942/100 7942/10 8,25

5 décimos y 16 centésimos

21 centésimos

_

825/100 825/10 825/1000

¿Qué fracción del cuadrado 30 centésimos quedó sin colorear? 4.

1/100 1/1000 1/10

Observa la clave y colorea. Anota las respuestas como números decimales. 3 décimos

_

¿Qué fracción del cuadrado 1 décimo quedó sin colorear?

Decimales en el comercio Pida a los niños/as que lleven a la clase todo tipo

Une con una flecha cada número decimal con la fracción decimal correspondiente.

de facturas. Compare con 0,05 0,25

0,15 1,05

25 1000

1,5 0,025

0,5

25 100

15 100

5 10

105 100

ellos el uso del punto y la

5 100

coma para representar nú-

15 10

meros decimales. El punto es generalmente utilizado

5.

en facturas electrónicas,

Completa la tabla.

máquinas registradoras y Unidades decimales

15 centésimas

8 décimas

45 milésimas

Forma de fracción

15 100

8 10

45 1000

Forma decimal

0,15

0,8

0,045

7 centésimas

9 milésimas

7 100

9 1000

0,07

0,009


calculadoras.

151

los niños/as cuántos centavos constituyen una moneda de 1 boliviano. Guíelos a la respuesta proponiéndoles sumar dos de 50 centavos, 5 de 20 centavos, 10 de 10 centavos, etc., hasta que encuentren que una moneda de 1 boliviano es equivalente a 100 centavos. En este momento, lleve a cabo la representación gráfica de los precios y luego fracc ionaria. 70 centavos d e un boliviano = 70/100 = Bs 0,70.


151

Más actividades

Valor de posición en los números decimales

Juego de la posición La temperatura más alta en nuestro planeta fue medida en el desierto de Libia en 1922 y alcanzó los 57,8 grados a la sombra.

Pueden jugar en la clase o en el patio. Elija seis niños/as y pídales que se coloquen

Observamos las dos partes, separadas por una coma, que tiene un número decimal; en este caso 57,8.

en fila, mirando hacia sus compañeros/as. Si cree que es necesario,

Parte entera: a la izquierda de la coma

marque en el piso las

C _

D

U

5

7

d

c

m

_

8

,

Parte decimal: a la derecha de la coma

letras que representan coma

el valor de posición de los números en una

En algunos boletos, tickets, facturas y en la calculadora, la coma aparece como un punto.

El número decimal 57,8 se descompone de varias formas: _ 5 decenas, 7 unidades y 8 décimas. _ 5 D + 7 U + 8 d _ 50 + 7 + 0,8 Leemos: cincuenta y siete coma ocho o cincuenta y siete unidades y ocho décimas.

cifra (C, D, U, d, c, m). Indique a un niño/a que será el número 5. Dicte, entonces, cantidades a los niños, donde el 5 tenga que ir cambiando de posición (523,101; 228,523).

Un número decimal tiene dos partes: la parte entera, a la izquierda de la coma, y la parte decimal, a la derecha de la coma.

Si desea, pida a los

Para leerlo, primero leemos la parte entera y luego la decimal.

niños/as que ellos mis mos elijan un número

1.

Escribe tres números decimales diferentes con la misma parte entera. Respuesta libre.

2.

Descompón cada número, siguiendo el ejemplo.

y luego formen una cantidad entre los seis, que lean y escriban. O puede invitar más

9,328 = 9 unidades, 3 décimas, 2 centésimas y 8 milésimas. = 9 U + 3 d + 2 c + 8 m = 9 + 0,3 + 0,02 + 0,008

niños/as y aument ar las categorías con las que

26,05 = 2 decenas, 6 unidades y 5 centésimas.

jugarán.

= 2 D + 6 U + 5 c = 20 + 6 + 0,05 89,719 = 8 decenas, 9 unidades, 7 décimas, 1 centésima y 9 milésimas. = 8 D + 9 U + 7 d + 1 c + 9 m = 80 + 9 + 0,7 + 0,01 + 0,009 134,506 = 1 centena, 3 decenas, 4 unidades, 5 décimas y 6 milésimas. = 1 C + 3 D + 4 U + 5 d + 6 m = 100 + 30 + 4 + 0,5 + 0,006 3.

En cada número, escribe qué valor tiene la cifra 7. 7,134

_

7 unidades

1,275

_

7 centésimas

12,71

_

152

7 décimas

0,017

_

7 milésimas


Sugerencias metodológicas Dibuje un tablero posicional con unidades, decenas y centenas en la pizarra o puede utilizar el cuadro que tenga en exposición en el curso. Comience recordando con los niños/as el valor de posición de los números naturales con un par de ejemplos en la pizarra, como 248 = 2 centenas + 4 decenas + 8 unidades. Muéstreles que también podemos representarlo como: 248 = 24 decenas + 8 unidades o 248 unidades. A continuación, amplíe el tablero con tres columnas hacia la derecha, que puede colorear para que se diferencie la parte entera de la parte decimal. Explique a los niños/as que ano-

152


4.

Más actividades

Rodea la parte entera en cada número decimal y escribe entre qué dos números naturales está ubicado. 5

^

6

5,239 _

18

^

19

18,32 _

114

^

114,591 _

Material de apoyo

115

Para visualizar los núme5.

Completa la tabla.

ros decimales se pueden

Número decimal

Parte entera

Leemos 203 enteros, 4 décimas, 1 milésima

203,401

C

D

U

2

0

3

9

0

4

1

5

1

3

2

90 enteros, 8 milésimas

90,008 415,025

415 enteros, 25 milésimas 132 enteros, 7 décimas y 1 milésima

132,701

ampliar los materiales que

Parte decimal

, , , ,

d

c

m

se usaron con el sistema

4

0

1

de numeración decimal: el

0

0

8

ábaco, el tablero posicional

0

2

5

y la recta numérica. Con

7

0

1

ellos también se pueden realizar las operaciones de

6.

Escribe el decimal que corresponde en el recuadro.

suma y resta con decima-

•

7 unidades, 5 décimos, 2 milésimos

les. Aumenten las catego-

•

3 decenas, 2 unidades, 8 décimos, 1 centésimo

• 7.

5 decenas, 1 centésimo, 5 milésimos

7,502

rías referidas a décimas,

32,81

centésimas y milésimas,

50,015

cuidando colocar una

•

9 unidades, 95 centésimos

9,95

•

7 unidades, 315 milésimos

7,315

•

45 unidades, 5 décimos

•

2 unidades, 4 centésimos

•

254 coma 02

254,02

83 coma 007

83,007

•

coma entre la parte entera

Ten cuidado con los ceros.

Escribe las siguientes números decimales.

y decimal de la cantidad representada. Pueden reunir y ordenar con los niños/as facturas y

45,5

recibos, monedas y billetes (de diferentes países o de

2,04

otras épocas, de Alasitas), empaques de productos, folletos con ofertas de comercios y de periódicos y

8.

Observa la figura y completa.

revistas, etc. 14

centésimas

20

centésimas =

2

décimas

24

centésimas =

2

décimas y

30

centésimas =

3

décimas

12

centésimas =

1

décimas y

Cálculo mental 4

Utilizar la rutina diaria de

centésimas

cálculo mental para que los niños encuentren equiva2

lencias entre unidades,

centésimas

décimos y centésimos. 9.

Busca las equivalencias. 1 unidad = 10 décimas 1 décima = 10 centésimas 1 centésima = 10 milésimas

Por ejemplo, preguntarles 2 unidades =

20

5 décimas =

50

6 centésimas =

cuántos centésimos hay en

décimas

16 unidades.

centésimas

60

milésimas

153


tarán en el ta blero un número co mo 256,785. Muéstreles que, igual que con los enteros, podemos expresar la posición de los decimales de diferentes formas. 256,785 = 256 enteros, 7 décimos, 8 centésimos, 5 milésimos 256,785 = 256 enteros, 78 centésimos, 5 milésimos 256,785 = 256 enteros, 7 décimos, 85 milésimos 256,785 = 256 enteros, 785 milésimos


C

D

U

2

5

6

,

d

c

m

7

8

5

153

Más actividades


Recta numérica El domingo, Lucía buscó en Internet el pronóstico del tiempo para los próximos tres días. ¿Cuándo hará más calor? ¿Cuándo estará más fresco?

Es importante que los niños/as puedan ordenar números decimales de forma creciente y decreciente. Dibuje la recta numérica dejando espacio suficiente entre décimos y represente un par de

Comparamos las tres temperaturas máximas para saber cuándo hará más calor: 25,7; 23,5 y 25,4.

números decimales consecutivos.

1,20

1,30

1. Comparamos las partes enteras de los tres números. Será mayor el número que tenga la mayor parte entera.

25,7 23,5 25,4

1,40

Pregunte a los niños:

_

25 = 25 25 > 23

_

25,7 > 23,7 25,4 > 23,7

2. Como hay dos números decimales con la misma parte entera, comparamos las décimas.

¿qué tenemos entre 1,3 y 1,4? Explíqueles que podemos subdividir

25,7 25,4

cada segmento en 10 partes más, y como

_

7>4

_

25,7 > 25,4

25,7 grados es la mayor temperatura en los tres días; el día más cálido será el lunes.

1 décimo = 10 centésimos, cada pedazo será

3. Si las décimas hubieran sido iguales, seguiríamos comparando las centésimas, las milésimas hasta encontrar dígitos diferentes.

un centésimo que escribiremos en la segunda posición decimal.

Si dos números decimales no tienen la misma cantidad de cifras decimales después de la coma, podemos completarlas con ceros. 7,4 es mayor que 7,23 porque 7,4 es igual a 7,40. 40 centésimos es mayor que 23 centésimos.

Proponga a la clase nombrar algunas otras posiciones de la recta y vaya despejando dudas. Finalmente, muéstreles

Al comparar números decimales, primero comparamos la parte entera y luego la parte decimal, de izquierda a derecha hasta hallar diferencias.

que para encontrar los números que se ubican entre cada centésimo, debemos dividir igualmente el espacio entre

1.

Compara las temperaturas mínimas pronosticadas que encontró Lucía para saber cuál será el día más fresco. 17,8 > 17,4 < 19,8. El día más fresco será el martes, con 17,4 oC.

ambos en 10 pedazos. Cada pedazo será un milésimo.

154


Tic Comparación de números decimales Colocación de los signos >, < o = para comparar números decimales.

Sugerencias metodológicas Consiga las etiquetas de un mismo producto comprado en diferentes tiendas (puede pedir colaboración a los padres o madres del curso para que le faciliten etiquetas). Anote los precios en la pizarra. Explique a los niños/as que ordenarán con ellos los precios, desde el más alto hasta el más bajo. Déjelos calcular y luego pídales que expliquen el modo en que lo hicieron. Puede explicarles que para comparar dos números decimales debemos fijarnos en las cifras de cada número, empezando por la parte entera y siguiendo por la decimal. El primer

154


Más actividades


Juego del decimal mayor Sofía está engripada. La mamá le tomó la temperatura tres veces antes de llamar al pediatra. En la mañana, el termómetro marcaba lo que está anotado en la imagen. Al medio día, la temperatura había bajado 5 décimos; al final de la tarde había subido 9 décimos más que lo medido por la mañana. ¿Cuál era la temperatura en cada medición?

Prepare tarjetas con los números del 1 al 9. Forme grupos de 3 niños/as y dé a cada grupo un lote de tarjetas. Ponga las tarjetas boca abajo en un montón. Cada niño/a del grupo co-

Para representar números decimales en una recta numérica:

gerá 3 tarjetas del montón

1. Dibujamos una recta numérica y ubicamos números naturales anteriores y posteriores a los números decimales que queremos anotar. En este caso, del 37 al 40.

y escribirá con los números

2. Dividimos la unidad en 10 partes iguales para obtener décimas.

número decimal con dos

de dichas tarjetas el mayor cifras decimales.

36

37

38

39

40

Después, los niños/as de cada grupo compararán los

3. Marcamos los decimales correspondientes. Mañana _ 38,4 _ 38,4 – 0,5 Medio día Final de la tarde _ 38,4 + 0,9

36

37

tres números y el niño/a que haya escrito el mayor – 0,5

número decimal obtendrá

+ 0,9

un punto.

38 37,9

39 38,4

Gana la partida el grupo

40

que tenga más puntos.

39,3

La temperatura por la mañana era 38,4 oC; al mediodía era 37,9 oC y al final de la tarde 39,3 oC.

Tic 1.

Escribe en números decimales la temperatura que marca cada termómetro. A

Decimales en la recta

C

o

38,8 C B

numérica

o

39,2 C

Ubicación de números

D

37,3 oC

36,7 oC

decimales en una recta numérica.

Si la temperatura corporal normal en el ser humano se encuentra entre los 36,5 oC y los 37,5 oC, ¿qué termómetros marcan fiebre? A, C y D. 2.

Indica en números decimales cuántos centímetros mide la flecha azul. Dibuja sobre la regla una flecha verde que mida 3,6 cm y una naranja de 9,4 cm. 7,7 cm

V N 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

155


número que tenga una cifra más alta que el otro es automáticamente el mayor. Por ejemplo: 53,627 y 53,527

decenas: 5 y 5; unidades: 3 y 3 (la parte entera es igual); décimos:

_

6 y 5. Como el 6 es mayor que el 5, entonces, 53,627 > 53,527 Recuerde a los niños/as que para comparar correctamente los números, debemos tener cuidado de comparar entre sí las cifras de la misma posición: decenas con decenas, milésimas con milésimas, etc.


155

Más actividades La cinta métrica La cinta métrica es muy


útil para el trabajo con milésimos, porque está

Un grupo de científicos medía la temperatura del agua del océano. En la superficie midieron 25,8 oC y sumergiendo el termómetro a

dividida en decímetros,

1 500 metros de prof undidad, la temperatura era de

centímetros y milíme-

¿Qué temperatura existía en la profundidad del mar?

décimos, centésimos y

38 grados. 10

tros. Pueden utilizar una cinta de sastrería

Para expresar una fracción decimal como número decimal, escribimos el numerador de la fracción y separamos con una coma a partir de la derecha, tantas cifras decimales como ceros tiene el denominador. Si hace falta, añadimos ceros.

donde ubicarán con los niños/as que el metro en sí es la unidad o

38 10

10 décimas,

=

3, 8

100 centésimas o 1 cero

1000 milésimas.

1 cifra decimal

En la profundidad del mar la temperatura era 3,8 oC.

Entonces, pueden ver A 150 metros de profundidad, la temperatura ascendía a 15,4 oC. ¿Cómo se expresa esa temperatura en forma de fracción?

claramente que: 1 dm = 0,1 m 1 dm = 10 cm

Para expresar un número decimal en forma de fracción decimal, escribimos como numerador de la fracción el númer o decimal sin coma, y como denominador, la unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales tiene el número decimal.

1 cm = 0,01 m Luego, 0,1 = 0,10 m

_

1 decímetro =

15, 4

10 centímetros

=

1 cifra decimal

1.

154 10

La temperatura a 150 metros de profundidad

1 cero

en el océano llegaba a

154 grados. 10

Relaciona las fracciones decimales y los números decimales.

12,56

125,6

1,256

0,1256

0,01256

1256 100000

1256 1000

1256 100

1256 10000

1256 10

156


Sugerencias metodológicas Invite a dos niños/as a la pizarra y pídale a uno que escriba tres fracciones decimales y al otro que escriba tres fracciones no decimales. Aclare que las fracciones decimales son aquellas con numerador 10, 100 o 1000 y que es muy fácil representarlas como números decimales sin necesidad de realizar operaciones matemáticas. Ponga un ejemplo en la pizarra que se pueda representar gráficamente y luego su representación decimal correspondiente: 4/10 = como tenemos el entero dividido en 10 y tomamos 4 partes, el mismo decimal será 0,4 o cuatro décimos.

156


2.

Más actividades

Escribe los números decimales como fracciones decimales o viceversa. 5 10

0, 5 _

0,345 _

185 100

1, 85 _

11, 53 _

345 1 000

105 10

_

7438 1000

10,5

_

Equivalencias

7,438

Pida a los niños/as, que a partir de un dibujo senci-

1 153 100

35 1000

_

15 10

0,035

_

llo en la pizarra lleguen a

1,5

ciertas equivalencias entre fracciones decimales y

Para expresar cualquier fracción como una fracción decimal, amplificamos o simplificamos la fracción por un número que convierta su denominador en 10, 100, 1 000... 1 5

{

{

2 10

=

0, 2

50 100

{

{

1 2

=

números decimales.

0, 5

Pida a los niños/as que anoten como fracción y número decimal lo que ven en el dibujo: 1/10 = 1 décimo

1 5 1 5

1#2 5#2

_

=

0, 2

=

2 10

=

50 100

0, 2

un quinto = dos décimos

50 100

50 ' 50 100 ' 50

_

=

=

= 0,1

1 2

=

0, 5

Entonces, pídales que calculen cómo representarían cinco décimos, siete

cincuenta centésimas = un medio 0, 5 cincuenta centésimas = cinco décimas

décimos, dieciocho décimos, etc. 3.

En cada caso, encuentra una fracción equivalente con denominador 10, 100, 1 000 y escribe el número decimal correspondiente. 3 _ 5

3

#

20

5

#

20

Memoria

60 =

100

0,6

=

7 _ 25

7 #

4

25 #

4

28 =

=

100

0,28

Pida a cada niño que escriba en tres tarjetas tres formas de escribir una misma

28 400

_

28 400

' '

4 4

7 =

=

100

0,07

300 200

_

300

'

2

200

'

2

150 =

=

100

cantidad, pudiendo hacerlo

1,5

de forma numeral o literal, en números mixtos, frac-

4.

Une con flechas las cantidades que resultan iguales o equivalentes.

ciones o decimales. Forme grupos de seis niños/as,

Tres cuartos kilos

Bs 0,20

Veinte centavos de boliviano Medio litro

1,5 kg 0,75 kg

Un kilo y medio

0,25 km

Ten en mente las siguientes equivalencias: 1 2

=

0,5

=

0,25

=

0, 75

3

Dos y medio bolivianos Un cuarto kilómetro

Bs 2,50 0,50

4

entre grupos, mézclenlas y jueguen a encontrar cantidades iguales. Puede

1 4

intercambien las tarjetas

hacerse el juego de memoria, con tarjetas cara abajo, como punto de interés.

l

157


Muéstreles que cada cero del denominador corresponde a un espacio luego de la coma. Ejercite con otros ejemplos en la pizarra, haciéndoles ver que cada vez que pasamos de fracción a decimal separamos con una coma tantas cifras a la izquierda como ceros tenemos en el denominador de la fracción, y al revés, si queremos ir de decimal a fracción decimal escribimos como numerador de la fracción el número decimal sin coma y anotamos en el denominador el uno y tantos ceros como cifras decimales tenga el número decimal. 3/10 = 0,3

75/100 = 0,75


8/1000 = 0,008

157

Más actividades

Porcentajes

El porcentaje de una cantidad

En una región muy húmeda, se calcula que de cada 100 días llueve 80 días. ¿Cuántos días lloverá en esa región?

Para ejercitar el cálculo del porcentaje de una

Las fracciones decimales cuyo denominador es 100 se llaman porcentajes o tantos por ciento.

cantidad, utilice como referencia el propio curso.

Fracción

Explique a los niños/as que el total

80 100

de ellos mismos representará el 100% y que

80%

Para calcular la cantidad de días que llueve en un año, calculamos 80 % de 365 días:

porcentajes: cantidad de niñas en la

80 % de 365

clase •

=

Leemos: ochenta por ciento.

harán varios cálculos y los expresarán como

•

Porcentaje

_

80 # 365 100

=

29200 100

=

292

80 % de 365 = 292

cantidad de niños en la

Llueve 292 días al año.

clase •

cantidad de niños/as que

Un porcentaje es una fracción que tiene 100 como denominador. Para calcular el porcentaje de una cantidad multiplicamos la cantidad por la fracción decimal que expresa el porcentaje.

vive a menos de cinco cuadras del colegio •

cantidad de niños/as que va al colegio en góndola

•

1.

cantidad de niños/as que

En el primer cuadrado, escribe el porcentaje que hay de cada color. En el segundo cuadrado, representa los porcentajes dados. Luego, suma los porcentajes.

tiene hermanos/as en el colegio Inventen sus propios

_

25

%

_

15

%

_

10

%

_

50

%

100

%

A

ejercicios, utilizando otros referentes como 100 % (total de estudiantes en el colegio, total de docentes en el

Total _

_

28 %

_

36 %

_

32 %

_

4%

N

V L

Total _

100

%

colegio, etc.). 2.

Completa para que resulte una expresión verdadera. 8 100

Tic ¡A su casa, perrito! Relación entre porcentajes con fracciones y números decimales.

=

8

%

15 8 100

=

15 %

158

50 100

=

50

25 100 100

%

25 %


Sugerencias metodológicas Pida a los niños/as que le comenten si han escuchado hablar de porcentajes y qué significa ese término para ellos. Es probable que varios conozcan el concepto de que un total es igual a 100 %. Lo que aprenderán, probablemente, es la forma de escribir el símbolo de porcentaje y a calcular el “tanto por ciento” de una cantidad. Para que los niños/as se familiaricen rápidamente con el concepto de lo que es un porcentaje, se les puede explicar que cuando escribimos 40 %, estamos diciendo 40 de 100 o

158

=


Más actividades

Lee cada frase y exprésala con un porcentaje.

3.

A 60 de cada 100 personas les gusta el calor.

Periódicos y revistas

A 60 % de las personas les gusta el calor.

•


25 de cada 100 niños del colegio usan bloqueador solar.

busquen en periódicos y re-

25 % de niños del colegio usan bloqueador solar.

•

vistas artículos o noticias en

Este año volcó sur 10 de cada 100 días.

los que se utilicen porcenta-

Este año volcó sur 10 % de los días.

•

jes. Comenten el uso de los

Apenas 15 de cada 100 animales del zoológico son de sangre fría.

porcentajes en la clase.

Apenas 15 % de animales del zoológico son de sangre fría.


Observa los dibujos y relaciona, pintando de un mismo color las equivalencias.

4.

A

Elabore con los niños/as

V

una tabla que le permita L

N

50 %

V

25 %

A

75 %

N

100 % 5.

6.

7.

25 100

50 100

100 100

A

L 1 2

N

L

3 4

A

climáticas de su región

Es la mitad.

V

durante un largo período de tiempo (mínimo tres meses).

Es la cuarta parte. A

V 75 100

1 4

registrar las condiciones

Luego, pida a los niños/as

V

1

N

L

Son las tres cuartas partes.

N

Es la unidad.

L

que analicen los datos obtenidos y elaboren un informe utilizando porcentajes. También es posible pedir-

Observa la anterior actividad y calcula. 25 % de 40 =

10

75 % de 12 =

9

50 % de 60 =

30

100 % de 85 =

85

les que busquen registros meteorológicos de su región y trabajen con esta información histórica.

Calcula mentalmente. 10 % de 80 =

8

1 % de 500 =

50 % de 190 =

95

75 % de 100 =

5 75

10 % de 200 =

20

20 % de 40 =

8

Marca las afirmaciones correctas y explica por qué lo son, y por qué las restantes son falsas. V

Para calcular el 10 % de un número lo divido por 10. 10 % es

V

1 10

, es decir, la décima parte.

20 100

o

1 5

, es decir, la quinta parte.


F

o


F

10 100

30 100

o

3 10

, y no

1 3

.


50 100

o

1 2

; hay que dividir por 2.


159

40/100, porque un porcentaje es una fracción con 100 como denominador. Puede realizar una representación en la pizarra, dibujando un cuadrado de 100 y tomar varias fracciones de este cuadrado. Pida a varios niños/as que representen como una fracción decimal y como un porcentaje la cantidad coloreada. También pídales que inventen sus propios porcentajes.


159

Más actividades


Representar datos gráficamente

Representar datos gráficamente

Comente con los

Representar gráficamente algunos datos nos puede ayudar a resolver problemas con fracciones y porcentajes.

niños/as qué tipo de gráfico o esquema

Recuerda seguir los pasos para resolver un problema.

facilita la representación

En el mes de septiembre, 7 de cada 10 días hubo fuerte viento; 1 de cada 6 días llovió y 3 de cada 15 días hubo sol.

de fracciones o porcentajes. Es importante que los niños/as sean con-

¿Qué tiempo hizo la mayor parte de septiembre?

sistentes en el momento

¿Cuántos días hubo con cada tiempo?

de dividir el gráfico en partes iguales, y para

1.

ello, a algunos les resul-

Comprendemos. En septiembre hubo días de fuerte viento, de lluvia y de sol.

Queremos saber qué tiempo hizo la mayor parte de septiembre.

tará más sencillo utilizar 2.

rectángulos que círculos. También pueden usar

Planteamos.

Necesitamos comparar las fracciones

rectas numéricas.

3.

7 1 3 ; y 10 6 15

Resolvemos. Hacemos barras de 30 cuadraditos, ya que septiembre tiene 30 días. Calculamos la cantidad de cuadraditos que requiere cada denominador y marcamos las divisiones: 7 10

_

30 ' 10 3#7

=

=

3

21

1 6

_

30 ' 6 5 #1

=

=

5

5

3 15

_

30 ' 15 2#3

=

=

2

6

Fuerte viento

Lluvia

Sol

Coloreamos la fracción para cada estado del tiempo. Observamos que la mayor cantidad de días de septiembre hubo fuerte viento. Contamos que ese mes hubo 21 días de fuerte viento, 5 días de lluvia y 6 días de sol. 1.

Resuelve el problema representando gráficamente los datos.

•

Según una encuesta, 1 de cada 10 personas prefiere el tiempo frío; 3 de cada 4 el tiempo t emplado, y 2 de cada 8 el calor. ¿Cuál es el tiempo preferido por más personas? El tiempo preferido es el templado.

160

160



Más información


Gráfico lineal de dos características

Gráfico lineal de dos características.

Los gráficos lineales permi-

En un gráfico lineal se usan puntos conectados por líneas para mostrar cómo cambian los valores de dos o más conjuntos, facilitando su comparación.

ten representar y observar (para interpretar) la tendencia de una variable en el

1.

Mariano y Pablo han estado seis días con fiebre. En la tabla aparece la temperatura que tuvieron cada día y su representación se halla en el gráfico. Día

Mariano

Pablo

Viernes

37,9

38,2

Sábado

38,3

38

Domingo

38,1

38,3

Lunes

38,1

38

Martes

37,9

38,2

Miércoles

37,5

37,6

den apreciar si algo crece o decrece en el tiempo. En el

38,5

) s 38,4 o i c 38,3 l e c

caso de usar dos caracte-

38,2

Mariano

s o 38,1 d a r 38 g (

rísticas, se puede comparar lo que sucede con ambas variables.

37,9

a r u 37,8 t a r 37,7 e p 37,6 m e T 37,5

Al elaborar el gráfico, insista en la rigurosidad para Pablo V

2.

tiempo. Los niños/as pue-

S

D

L

M

establecer los rangos de medidas en cada uno de los

M Día

•

¿Quién tuvo el viernes la temperatura más alta? Pablo

ejes cartesianos. Trabaje

•

¿Qué días tuvo Mariano más temperatura que Pablo? El sábado y el lunes.

con los niños/as sobre

•

¿Qué día tuvo Mariano la fiebre más alta? El sábado.

•

¿Qué días bajó la temperatura de Pablo? El lunes y el miércoles.

•

¿Tuvieron algún día Mariano y Pablo la misma temperatura?

papel cuadriculado y permita que ellos experimenten la construcción de sus gráfi-

No.

cos, con ejercicios similares

En una estación meteorológica están comparando las temperaturas alcanzadas en una región dos años seguidos durante el primer semestre.

al segundo propuesto en

Representa los datos en el gráfico, cuidando usar los colores verde para 2010 y rojo para 2011.

Para verificar la utilidad de

2010 Enero Febrero

o

4,8 C o

4,2 C o

2011 o

5 C o

4,6 C o

Marzo

3,6 C

3,9 C

Abril

3,3 oC

3,2 oC

Mayo

2,5 oC

2,7 oC

Junio

1,8 oC

2 oC

esta página.

5 ) C o ( a r u t a r e p m e T

2010

los gráficos lineales, puede sugerir otras representacio-

2011

nes de una misma infor-

4

mación, desarrollando con

3

niños/as gráficos de barras, R V

2 1

gráficos circulares o pictogramas. Así, podrá notar con los niños/as la utilidad de cada uno de ellos.

E

F

M

A

M

•

¿En los primeros meses del año, la temperatura fue más baja o más alta? Más alta.

•

¿Qué año se alcanzó la mayor temperatura? 2011 ¿Y la menor? 2010

•

¿En qué mes de ambos años hizo la misma temperatura?



J

Mes

Tic

En ninguno.

161

La temperatura sube y baja Preguntas a responder según un gráfico de líneas.

161

Notas sobre las

Evalúa tus logros

actividades de

Escribe cada número decimal en forma de fracción decimal.

1.

evaluación

7, 3

=

3 Si observa que los niños/as siguen teniendo

12, 2

=

73 10

8, 07

=

807 100

3,108

=

3 108 1 000

122 10

3, 28

=

328 100

9,003

=

9 003 1 000

dificultades para ordenar números decimales

2.

Expresa cada fracción decimal en forma de número decimal.

con ceros intermedios,

78 10

puede retomar el tema con algunos ejercicios

138 10

de ampliación. 3.

4.

=

=

7,8

15 100

=

0,15

49 1000

=

0,049

13,8

957 100

=

9,57

3429 1000

=

3,429

Compara los números decimales y escribe > o <. 7,3

<

7,9

3,4

>

3,24

5,9

>

5,8

4,23

>

6,37 > 7,105

>

4,22

15,447

<

15,774

3,8

>

3,78

8,32

<

83,2

6,307 7,102

Ordena las temperaturas que tomó la enfermera del colegio a cada grupo de niños. Primer curso

Luis 36,4

Pablo 36,7

1

María 4

36,5

Teresa 36,6

2

Carola 3

36,8

Elena 36,9

5

6

De menor a mayor: 36,4 < 36,5 < 36,6 < 36,7 < 36,8 < 36,9

Segundo curso

Jesús 37,6

Olga 37,5

1

Gustavo 2

37,2

Alfredo 37,4

4

Ester 3

36,9

Carlos 37,1

6

5

De mayor a menor: 37,6 > 37,5 > 37,4 > 37,2 > 37,1 > 36,9

5.

Ubica los números decimales en la recta numérica. 1,3

0

1 0,43

0

162

162

0,9

0,25

2,4

2 0,12

1,7

3 0,38

0,5



6.

Mi desempeño

Encuentra quién tiene la razón y explica por qué.

como docente

Estos números se leen "cero coma ocho" y "cero coma nueve", "cero coma diez" y "cero coma once", así que están ordenados de forma ascendente.

Julia

Me parece que no están ordenados de menor a mayor.

•

Raúl

0,8 0,9 0,10 0,11 Raúl tiene la razón. El orden correcto es 0,1; 0,11; 0,8 y 0,9. 7.

Fomento la experimentación con materiales concretos antes de llegar a la abstracción y memorización de conceptos matemáticos.

Anota las cantidades de las tarjetas en los recipientes. 6 ,2 1

Muchas veces 5 6, 2

6,21

6,2

6,25

6,28

6,28

6,3

Pocas veces

2,362 •

6 8 2, 3 2,36

2,361

8.

9.

2,362

2,361

2,37

2,368

Escribe en cada caso tres números decimales. Puede haber varias respuestas. 3,54

3,6

3,7

•

Mayores que 3,5 y menores que 3,8

• • •

Mayores que 5,67 y cuya parte entera sea 5

5,68

5,74

5,8

Menores que 4,09 y cuya parte entera sea 4

4,07

4,05

4,01

Menores que 6,78 y cuya parte entera sea 6

6,77

6,701

6,45

Muchas veces

Pocas veces

Escribe la descomposición de cada número decimal. •

7,348 = 7 unidades, 3 décimas, 4 centésimas y 8 milésimas 7 U + 3 d + 4 c + 8 m = 7 + 0,3 + 0,04 + 0,008

57,329 = 5 decenas, 7 unidades, 3 décimas, 2 centésimas y 9 milésimas 5 D + 7 U + 3 d + 2 c + 9 m = 50 + 7 + 0,3 + 0,02 + 0,009

0,074 = 7 centésimas y 4 milésimas

Expresa las fracciones como fracción decimal y como número decimal. 1 2

=

5 10

=

0,5

1 4

=

25 100

=

0,25

14 20

=

75 100

=

0,75

3 25

3 4



Promuevo la equidad de género y el trabajo cooperativo (en equipo) entre niños y niñas.

Muchas veces

7 c + 4 m = 0,07 + 0,004

10.

Incentivo la participación activa de los niños y niñas en la construcción de sus nuevos aprendizajes.

1 5

=

2 10

=

Pocas veces

0,2

30 50

=

70 100

=

0,7

80 250

=

12 100

=

0,12

130 500

=

60 100

=

0,6

=

320 1 000

=

0,32

=

260 1 000

=

0,26

163

163


11.

evaluación 11 y 12. Pida a los niños/as que utilicen correctamente

Responde con números decimales. Una moneda de Bs

1 2

, ¿qué moneda es?

50 centavos o Bs 0,50.

Una moneda de Bs

1 5

, ¿qué moneda es?

20 centavos o Bs 0,20.

Una moneda de Bs

1 , ¿qué moneda es? 10 centavos o Bs 0,10. 10

Tres monedas iguales para reunir

3 , ¿qué monedas son? 5

Tres monedas de Bs 0,20 = Bs 0,60

las abreviaturas para las unidades de medida

12.

(en este caso, bolivia-

Escribe los números decimales correspondientes a los precios. Quince bolivianos con veinte centavos

nos), porque un número decimal solo no puede

Ochenta centavos

ser aceptado como

Seis centavos

respuesta correcta a lo ejercicios.

13.

13. Permita que los

Bs 0,06 Bs 100,10

Calcula el porcentaje de cada número. 15 % de 80 =

12

32 % de 550 =

176

45 % de 800 =

360

16 % de 150 =

24

67 % de 900 =

603

336

56 % de 600 =

niños/as que lo nec esiten utilicen represen-

Bs 0,80

Cien bolivianos con diez centavos

que se pregunta en los

14.

taciones gráficas para

Bs 15,20

Señala si es >, < o =.

comprobar sus cálculos

30 % de 50 = 50 % de 30

10 % de 40 < 4 % de 12

de porcentajes.

45 % de 80 < 30 % de 150

80 % de 80

15.

14

Un ventilador cuesta Bs 700, pero hay un descuento del 40 %. P inta los carteles que corresponden a su precio en oferta. 40 de Bs 700 100

antes de compararlos entre sí.

(60

16.

20 % de 120

Lee y resuelve.

•

Pida a los niños/as que calculen los porcentajes

>

# Bs

700)

' 100

60 % de Bs 700

Bs 280

Bs 420

60 de Bs 700 100

Dibuja un gráfico lineal de dos características con la siguiente información. 40

•

Con la oleada de calor del verano, en dos sucursales de una tienda vendieron muchos aires acondicionados.

s o d a n o i c i d n o c a s e r i A

30 20

164

164

Semana 1

Semana 2

Semana 3

Semana 4

Sucursal A

25

32

26

28

Sucursal B

18

31

14

34

10

Semanas

1

2

3

4




VALORES La utilización de unida-

Las unidades de temperatura

des de medida convencionales nos permite

Desde el invento del primer termómetro en 1607 por Galileo, el ser humano ha buscado medir de forma cada vez más precisa la temperatura. Los termómetros han sido calibrados según diferentes escalas. El sistema internacional de medidas reconoce como unidad de medida al Kelvin (K) y la escala que le corresponde es el grado Kelvin. En todo el mundo se utiliza la medición de la temperatura en grados Celsius –antes llamados centígrados–, que se representan con el símbolo ºC. En Estados Unidos se siguen empleando los grados Fahrenheit (ºF). El calor y el frío son los mismos, lo que varía es la forma de medir los. Sobre todo en los laboratorios, con fines científicos, se utilizan escalas cada vez más refinadas.

•

establecer comparaciones entre diferentes magnitudes; una de ellas es la temperatura. Es evidente el cambio climático que sufre nuestro planeta y que se manifiesta en fríos y calores extremos, gran-

En una estación meteorológica se registró la temperatura durante cinco días. El lunes, se registraron 4,5 ºC; el martes 4,6 ºC, el miércoles 4,4 ºC; el jueves 4,4 ºC y el viernes 4,3 ºC. Ordena las temperaturas de la más baja a la más alta y señala qué día fue el más frío y cuál el menos frío, según la medición.

des sequías, inundaciones y heladas. Usamos la medición de temperaturas para comparar

4,3 < 4,4 < 4,4 < 4,5 < 4,6

la sensación térmica

Según la medición, el día más frío fue el viernes y el menos frío el martes.

de diferentes regiones del planeta e inmediatamente establecemos

La variación de la temperatura y la sensación

asociaciones con la for-

térmica

ma en que las personas y los demás seres vivos

Las temperaturas medidas de forma constante durante unos t reinta años en una región nos permiten determinar si el clima en esa zona es frío o cálido. Otros elementos nos indican si existe determinada humedad, cantidad de lluvia, nubes, vientos y presión atmosférica. Todos estos factores influyen en el tipo de plantas, animales, asentamientos humanos, viviendas y actividades económicas que existen en una zona.

estarán viviendo por allí, mostrando empatía. La misma empatía surge cuando sabemos que alguna persona se

Algunas veces, escuchamos en el noticiero que en determinada zona, la temperatura fue de 35,5 ºC en la sombra, pero que alcanzó los 39,7 ºC bajo el sol. También escuchamos que en el lugar, la sensación térmica fue de 40 ºC. Esto se explica porque percibimos la temperatura en la piel de distinta forma a como es medida en el aire.

•

encuentra enferma y le sube la temperatura. Dependemos del ambiente en que vivimos y de todos los factores

En un pueblo de los valles, la temperatura en la madrugada era de 8 ºC y al mediodía llegó a los 18,5 ºC. ¿Cuántos grados de diferencia existieron en ambos momentos del día? ¿Cuándo fue más baja la temperatura y cuándo más alta?

que lo componen. Reconocerlo nos permite vivir con mayor gratitud

18,5 – 8 = 10,5

y humildad.

Existieron 10,5 oC de diferencia entre la temperatura de la madrugada y la del mediodía.

Algo que puede gustar

La temperatura más baja fue en la madrugada y la más alta al mediodía. ©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

a los/as niños/as es

165

comparar las temperaturas corporales de distintos animales. Por ejemplo, la temperatura del camello tiene una variación notable a diferentes horas del día. También es interesante conversar sobre los animales de sangre fría y de sangre caliente.


165


9

Operaciones con decimales


Posibles dificultades en la unidad El intercambio y las monedas Alinear la coma para sumar o restar números decimales. Resolver sustracciones donde el minuendo es entero y el sustraendo es decimal. Identificar el sustraendo si tiene más cifras decimales que el

Antes de que circularan las monedas, las personas veían lo que necesitaban y ofrecían a cambio algún p roducto o servicio que podían dar. Este intercambio o trueque existía con la condición de que ambas partes creyeran que estaban recibiendo una ganancia. En nuestra economía se practica mucho el trueque: podemos verlo en las ferias comunitarias del campo, en las ferias alternativas donde se evita la intermediación de comerciantes, e incluso en la vida de las ciudades. Últimamente se promueve también el trueque a través de Internet.

•

¿Sabes dónde y cuándo se acuñaron las primeras monedas?

•

¿Conoces a alguien que coleccione monedas y billetes de diferentes épocas y países del mundo?

•

¿Cuál es una buena forma de cuidar la moneda?

•

¿Alguna vez intercambiaste objetos con alguien? ¿Cómo fue el acuerdo?

minuendo. Recorrer la coma hacia

166


la derecha o la izquierda en multiplicaciones y divisiones. Definir dónde colocar la coma en multiplicaciones de dos números decimales.

Contextualización de la unidad Operaciones con decimales En la vida diaria es muy frecuente el tema que aborda la unidad bajo el nombre del Inter- cambio y las monedas. Los niños/as están expuestos de forma práctica al uso de decimales

Suprimir la coma del

cuando participan en el proceso de compra y venta de productos, cuando ahorran, cuando

divisor y aumentar

planifican algún gasto especial, etc. También ven o escuchan con frecuencia cómo se inter-

ceros al dividendo para

cambian productos y servicios en diferentes ámbitos. Y es también habitual que conozcan

dividir un natural entre

monedas de diferentes partes del mundo, ya que los viajes de las familias son cada vez

un decimal.

más comunes.

166



RECUERDA 1.

Números naturales y

Completa con la equivalencia correspondiente.

números decimales 1 unidad = 7 unidades = 2.

10

100

décimos =

70

700

décimos =

1 000

centésimos =

milésimos.

7 000

centésimos =

Multiplicación o división por

milésimos.

múltiplos de 10 Cociente decimal

Expresa como se indica.

División de un decimal Como número decimal 716 100

=

Como fracción decimal

7,16

4, 32

=

432 100

=

198 10

entre un natural División de un natural entre un decimal Esquema

7432 1000

329 10 3.

=

=

7,432

19, 8

32,9

7,042

=

7 042 1 000

Otro vocabulario de la unidad

Escribe los siguientes números decimales. 15,4

15 enteros, 4 décimos _ 429 milésimos

0,429

_

38 centésimos

0,38

_

20 enteros, 7 milésimos _

Producto o servicio

20,007

Intercambio o trueque 4.

Escribe tres números decimales en cada caso. Puede haber muchas respuestas. Mayores que 0,432

0,433

0,442

Ganancia Economía

0,532

Ferias comunitarias Menores que 1,005 5.

6.

1,004

1,003

1,001

Ferias alternativas Intermediación de

Calcula los porcentajes. 10 % de 700 =

70

20 % de 50 =

10

15 % de 240 =

36

30 % de 600 =

180

comerciantes Trueque por Internet o e–trueque Ahorros

Lee y resuelve.

•

Descuento u oferta

El papá de Lucía ha comprado cuatro helados, cada uno a Bs 2,50. La mamá de Anita también compró helados, pero fueron dos a Bs 4,50 cada uno. ¿Quién gastó más dinero? El papá de Lucía, porque pagó Bs 10; la mamá de Anita pagó Bs 9.


167

Para vivir bien •

Honestidad y justicia – al hablar del uso de la moneda, es importante pensar en la honestidad de quien ofrece un producto o servicio y de quién lo compra o lo paga, considerando que ambos pueden salir ganando en la transacción sin afectar al otro.

•

Constancia – los coleccionistas de monedas –igual que los buenos ahorradores–, necesitan mucha constancia para lograr sus metas.


167

Más actividades

Adición y sustracción de números decimales

Juego de la suma mayor Organice a los niños/as en grupos de cuatro integrantes.

Olga y Susana juntaron sus ahorros para comprar un regalo a su mamá. Olga tenía Bs 113,90 y Susana, Bs 138,50. Si el regalo que quieren comprar cuesta Bs 230,30, ¿ les alcanza el dinero reunido o les falta?

Entregue a cada grupo 20 tarjetas de cartulina

Para saber cuánto dinero reunieron las hermanas, sumamos sus ahorros .

y pídales que anoten

1. Colocamos un número debajo del otro,

números como los siguientes: 1,2

4,8

2,7

23,2 5,72

9,33 5,63

3,81 11,22

15,01

16,07

22,01

2,27

8,009

6,001

C

D

U

d

c

1 1

1 3

3 8

9 5

0 0

naturales y escribimos la coma del resultado bajo la columna de las comas.

+

Ahorro de Susana Ahorro de Olga

4,0095 6,048 6,001 4,009

2. Sumamos como si fueran números

de manera que coincidan en la misma columna las cifras del mismo orden.

C

D

U

d

c

1 1

1 3

3 8

9 5

0 0

2

5

2

4

0

Olga y Susana reunieron Bs 252,40.

6,048

Cada grupo debe mez-

Para saber si el dinero les alcanza o les falta, restamos.

clar sus tarjetas. Cada

1. Colocamos un número debajo del otro,

jugador sacará una

2. Restamos como si fueran números natura-

de manera que coincidan en la misma columna las cifras del mismo orden.

tarjeta y entre todos, sumarán sus números más un número que anotará el/la docente en la pizarra. El equipo que tenga la suma ma-

C

D

U

d

c

C

D

U

d

c

2 2

5 3

2 0

4 3

0 0

2 2

5 3

2 0

4 3

0 0

0

2

2

1

0

Precio del regalo Ahorros de Olga y Susana

yor se lleva un punto. Al final, gana el juego el

les y escribimos una coma en el resultado, debajo de la columna de las comas.

–

El dinero reunido les alcanza; les sobrarán Bs 22,10.

equipo que junte más puntos.

Cálculo mental calculen sumas y restas

Para sumar o restar números decimales , los colocamos de forma que coincidan en la misma columna las cifras del mismo orden. Después, sumamos o restamos los números como si fueran naturales.

sencillas como las

Mantenemos la coma debajo de la misma columna de las comas en el resultado.


siguientes: 0,1 + ___ = 1,9

Para restar, si es necesario, aumentamos ceros al minuendo.

0,6 + 0,4 = ___ __ _ + 3,6 = 5 0,5 + ___ = 1,3 0,06 + 0,6 = ___ 5,5 – ___ = 4 __ _ – 1,2 = 1,2 4,6 – ___ = 4,2

168


3,3 – ___ = 2,2 __ _ – 1,75 = 1,1

Tic Adición y sustracción de decimales Cuatro adiciones y sustracciones para ejercitar la operación en columnas.

168

Sugerencias metodológicas Pregunte a los niños/as en qué usan el dinero y pídales que den ejemplos de cómo gastan el dinero que reciben para sus recreos. Escriba algunas de las respuestas en la pizarra, como “Yo tengo Bs 3 para mi merienda y gasto 50 centavos en un chupete, Bs 0,80 en un bolo y Bs 1,30 en un yogur”. Pida al resto del curso que piense c uánto dinero se gastó, si es que sobra algo o no. De esta manera, los niños/as realizarán sumas y restas de decimales sin esfuerzo. Tomen una factura de supermercado y elijan dos o tres productos cuyos precios estén expresados en números decimales. Anótenlos alineados en columnas, cuidando colocar las comas


1.

C

D

U

d

c

m

1

4 4 1

8 7 5

3 2 0

2 5 1

1 5

1

0

5

8

6

+ 2

2.

3.

Más actividades

Calcula las sumas y la diferencia.

+

C

D

U

d

c

2

7 2 1

5 3 8

7 7 3

2 2

9

1

7

7

4

9

3

m

–

C

D

U

d

c

m

2

2 4

5 8

1 0

3 5

7

1

7

7

0

8

7

Problemas •

Alicia gastó Bs 10,30 en la tienda y Bs 14,20 en la panadería. Todavía le que dan una moneda de Bs 5, dos de 20 centavos y una de 10 centavos. Antes de hacer las compras tenía dos billetes. ¿De qué valores eran?

•

Manuel ha comprado 2,750 kg de manzanas y 3,5 kg de naranjas. ¿Cuánto pesa su compra? ¿Cuánto pesan las naranjas más que las manzanas?

•

Mariela salió a hacer algunas compras con un billete de Bs 200. En el supermercado gastó Bs 73,45; en la farmacia, Bs 33,10 y en la panadería Bs 17,65. ¿Cuánto dinero le sobró?

•

Irene compró unas sandalias a Bs 29,90 y una cartera, todo en la misma zapatería. Pagó con un billete de Bs 100 y uno de Bs 50. ¿Cuánto le costó la cartera si recibió Bs 4,20 de cambio?

Ordena verticalmente y calcula.

3,9 + 12,97

75,92 + 129,165

16,87

205,085

275,09 + 1 645,5 1920,59

53,8 – 9,35

213,34 – 45,129

67,4 – 9,157

44,45

168,211

58,243

Escribe cada operación con cifras y calcula.

•

Siete unidades, cuarenta y cinco milésimas más veintidós unidades y ocho centésimas 7,045 + 22,08 = 29,125

•

Ocho unidades y diecinueve centésimas menos dos unidades y trescientas setenta y dos milésimas 8,19 – 2,372 = 5, 818

4.

Practica el cálculo mental. Suma siempre 10

5.

Suma siempre 15

Suma siempre 20

4,5

5,5

8,46

6,54

12,66

6,42

3,58

11,05

3,95

15,05

4,95

7,2

2,8

13,4

1,6

16,111

3,889

9,25

0,75

14,72

0,28

19,99

0,01

7,34

Mira los precios y resuelve.

Si comparas el cuaderno más caro y la lapicera más barata, ¿cuánto gastarías? 12,95 + 6,05 = 19

Si pagaras con un billete de Bs 50, ¿cuánto cambio recibirías? Bs 31

¿Y si compraras la lapicera más cara y el cuaderno más barato, ¿cuánto pagarías? 6,60 + 12,89 = 19,49

¿Cuánto cambio te darían si pagaras con dos billetes de Bs 10? Bs 0,51


169

una sobre otra –pueden resaltarlas con algún color especial–. Sumen con los niños los precios. Luego, pídales que averigüen cuánto hubieran ahorrado si no hubieran comprado esos productos. Espere que algún niño/a sugiera restar su costo al total de la factura. I gual que en la suma, organicen los costos en colum nas, con las comas alineadas, y resuelvan el ejer cicio. Pueden operar usando el tablero posicional. Especule con los niños/as sobre qué pasaría si pagara una compra de Bs 324,80 con dos billetes de Bs 200 cada uno. Resuelvan restando, y muestre a los niños/as cómo aumentamos ceros al minuendo para poder op erar.


169

Más actividades


Juego de pistas En el mercado, un kilo de zanahoria cuesta Bs 3,50 y un kilo de tomate, Bs 6,80. María quiere comprar 3 kilos de zanahoria y 4 kilos y medio de tomate. ¿Cuánto pagará por cada compra?

Forme dos equipos en la clase. Pida a cada equipo que escriba en diez hojas, diez ejercicios de multiplicación

Para calcular los montos que pagará María, necesitamos multiplicar.

con números decimales

1. Multiplicamos en ambos casos como si se tratara de números naturales.

y que conserve en otra hoja las respuestas

2. En ambos productos, separamos con una coma, a partir de la derecha, tantas cifras decimales como haya en los factores.

Zanahorias _ 3, 50

correctas. Un equipo

#

saldrá del curso y el otro esconderá las diez

#

1050

hojas. El juego consis-

6, 80 #

segundo grupo entre al

2

#

+ 2720

trar las diez pistas o

3 cifras decimales

4, 5

30600 3 2

30600

ejercicios y resolverlos

2 cifras decimales

1

Tomates _ 6, 80

4, 5 3400

curso, deberá encon-

3

1050

Tomates _

te en que cuando el

2 cifras decimales

Zanahorias _ 3, 50

3

3 cifras decimales

1

María pagará Bs 10,50 por las zanahorias y Bs 30,60 por los tomates.

en voz alta, mientras el otro equipo controla los resultados y el/la do-

Para multiplicar un número decimal por un número natural o por otro decimal, los multiplicamos como si fueran números naturales, sin importar las comas.

cente controla el tiempo desde que comienza el juego hasta que acaba.

En el producto, separamos con una coma, a partir de la derecha, tantas cifras decimales como tengan los factores que multiplicamos.

Gana el equipo que resuelva las multiplicaciones de forma correcta en el menor tiempo.

1.

Escribe el número de cifras decimales que tendrá cada producto, sin hacer las multiplicaciones.

15,3

Sucesiones Anote en la pizarra algunos números decimales y pida a los niños/as que encuen-

10,7

#

2,4

175

#

15,3 tiene una cifra decimal

3,45

10,7 tiene una cifra decimal

19,28

#

El producto de 15,3 # 10,7 tiene dos cifras decimales

15,34

#

0,089

#

_

123

#

0,1

_ _

0,01 1,3

1 cifra

0,7

#

2 cifras

3,5

#

3 cifras

2,25 # 0,15

_

4 cifras

1

1 cifra

4 cifras

0,03 # 0,5

_

_

129

#

2,25

0,7

_ _

_

_

1 cifra 3 cifras 4 cifras

3 cifras

tren el que sigue en la serie, aplicando la multiplicación con números decimales: 0,25

0,05

0,002

0,01

____

170


Tic Atrapa multiplicaciones Desafío para multiplicar contra reloj.

Sugerencias metodológicas Pregunte a los niños/as algo con lo que puedan identificarse; por ejemplo, si quieres comprar en el recreo cinco chupetines para invitar a tus amigas y cada uno cuesta Bs 0,70, ¿cuánto dinero gastarás? Seguramente solucionarán de forma mental el problema. Indíqueles que les mostrará la forma aritmética de solucionarlo, multiplicando en columnas. Muestre a los niños/as que cuando multiplicamos dos decimales, igual que cuando multiplicamos un natural por un decimal, podemos hacerlo como si fueran enteros y luego contar el total de cifras decimales en los factores para colocar la coma en el producto, de manera

170


2.

129, 78

34, 59

15

#

#

1 946,7

3.

1, 5

•

El día que Mariano fue a cambiar euros por dólares, un euro equivalía a 1,425 dólares. Mariano cambió dos billetes de 200 euros y 3 billetes de 50 euros, ¿cuántos dólares le dieron?

•

Paloma cambió ayer 600 dólares en euros y hoy ha cambiado otros 600 dólares. Ayer, un dólar equivalía a 0,725 euros, mien tras que hoy, un dólar equivale a 0,035 euros más que ayer. ¿Cuántos euros le dieron a Paloma ayer? ¿Cuántos euros le han dado a Paloma hoy? ¿Cuántos euros le han dado en total?

•

Durante todos los días de la semana pasada guardé en una cajita una moneda de 20 centavos y otra de 10 centavos. ¿Cuántos bolivianos junté en la cajita?

711, 55

#

0, 7

#

17,7135

2, 38

1693,489

Multiplica y comprueba los resultados con la calculadora. 5,8

# 6

0,9

# 21,3

34,8

=

0,125

19,17

=

81,4

# 16

# 1,05

= =

2

14,32

# 17

=

243,44

85,47

19,03

# 0,09

= 1,7127

Resuelve y completa la tabla. #

0,3

0,5

1,4

0,01

3,8

1,14

1,9

5,32

0,038

5,4

1,62

2,7

7,56

0,054

7,2

2,16

3,6

10,08

0,072

0,315

0,525

1,47

0,0105

1,05

Partiendo de la multiplicación 125 # 137 = 17 125, escribe cuatro multiplicaciones distintas, de manera que el resultado sea siempre igual a 1,7125. Observa el ejemplo. 1,25

# 1,37

= 1,7125

Puede haber otras respuestas. 7.

25

#

104,125

25, 305

10,17

6.

72

Problemas

Multiplica un número decimal por otro número decimal.

#

5.

4, 165

2 490,48

6, 78

4.

Más actividades

Multiplica un número decimal por un número natural.

0,125

# 13,7

0,0125

# 137

0,137

# 12,5

0,0137

# 125

Observa el precio de la cinta y calcula si Carola recibirá cambio por su compra. Bs 0,90 ¿Cuánto cambio será? el me tro 9,75 8,5

# 0,80

# 0,90

Bs 0,80

= 7,8

el metro

= 7,65

Recibirá Bs 4,55 de cambio.

Necesito 9,75 m de cinta verde y 8,5 m de cinta naranja. Le pagaré con un billete de Bs 20.

171


que tenga la cantidad total de decimales. 0,70 dos decimales en el factor X

5

_

3,50 dos decimales en el resultado Pida a los niños/as que propongan otras técnicas que pueden facilitar la multiplicación entre números decimales (por ejemplo, aplicando la propiedad distributiva).


171

Más información


La historia del cero Amalia ahorró sus monedas dur ante largo tiempo. Para eso, las colocó en tres alcancías. ¿Cuánto logró juntar en cada una?

Hasta el año 1202, el cero era totalmente desconocido en Europa. En aquella época se utilizaban en todas partes los números romanos. En ellos, el cero no existía. Esto ocasionaba

0,10 # 1 000 = 010 0100 0 3 ceros 3 cifras a la derecha; aumentamos Amalia ahorró Bs 5, Bs 20 y Bs 100 en monedas. 1 cero. 0,20 # 100 = 020 2 ceros 2 cifras a la derecha

0,50 # 10 = 05 0 1 cero 1 cifra a la derecha

grandes inconvenientes a la hora de hacer operaciones, como las multiplicaciones y las divisiones.

Para multiplicar un número decimal por 10, desplazamos la coma un lugar hacia la derecha.

En ese año, Fibonacci, un matemático italiano, escribió el Libro del ábaco. En él aparecía

Para multiplicar un número decimal por 100, desplazamos la coma dos lugares hacia la derecha. Si no hay cifras suficientes, escribimos ceros.

por primera vez el

Para multiplicar un número decimal por 1 000, 000, desplazamos la coma tres lugares hacia la derecha. Si no hay cifras suficientes, escribimos ceros.

sistema de numeración decimal y los números que conocemos hoy, incluido el cero. La apa-

1.

Observa los dibujos y responde.

rición del cero facilitó

•

¿Cuánto cuestan 10 caramelos? 0,10 # 10 = Bs 1

mucho los cálculos.

• • •

¿Y 10 paquetes de pastillas?

Piensa, piensa

0,50

¿Y 100 chupetines? ¿Y 1 000 chocolatines?

1,50 # 100

# 10

= Bs 15

= Bs 50

0,35 # 1 000 = Bs 350

Carola multiplica un número decimal por 10 y obtiene un número

2.

natural. ¿Cuántas cifras decimales tiene el número natural? Explícalo

Completa cada serie. #

10

100

232,5

#

100

23 250

1 000

3

1 000

3 000

#

10

2,325

#

0,003

con tres ejemplos.

42,7

4,27

3.

#

Lee y resuelve.

•

Tic

#

427

René sacó 100 fotocopias y cada una le costó Bs 0,15. ¿Cuánto pagó? René pagó Bs 15.

Multiplicación por múltiplos de 10 Relaciona multiplicaciones con los operadores faltantes.

172


Sugerencias metodológicas Pregunte a los niños/as si conocen la forma de multiplicar o dividir números decimales por 10, 100, 100, 1000 y otros múltiplos de 10. Incentive que muestren las formas que ya conocen. Explíqueles que existe una manera muy sencilla de hacerlo, pero que hay que estar muy atentos para que funcione; no hace falta calcular, sino aplicar la forma, recorriendo la coma hacia la izquierda y la derecha tantas cifras como ceros tenga el múltiplo por el que se está operando. Ejercite con los niños/as el mecanismo con ejemplos en la pizarra. Promueva que verbalicen mientras están trabajando.

172


Más actividades


Problemas En una librería compraron mater ial al por mayor. ¿Cuánto costará cada unidad del material contenido en las cajas?

34,50 ' 10 = 3 450 1 cero 1 cifra a la izquierda

86,30 ' 100 = 0 8630 2 ceros 2 cifras a la izquierda; aumentamos un cero.

998,50 ' 1 000 = 0 99850 3 ceros 3 cifras a la izquierda; aumentamos 1 cero.

Cada cuaderno cuesta Bs 3,45; cada archivador Bs 0,86 y cada Cd Bs 0,99. Para dividir un número decimal por 10, desplazamos la coma un lugar hacia la izquierda.

Para dividir un número decimal por 100, desplazamos la coma dos lugares hacia la izquierda. Si no hay suficientes cifras, agregamos ceros.

•

Una colección de 100 fascículos tiene un precio total de Bs 268. ¿Cuánto cuesta cada fascículo?

•

Un paquete de 10 botellas de gaseosas cuesta Bs 23,80. ¿Cuánto cuesta cada botella?

Más actividades

Para dividir un número decimal por 1 000, desplazamos la coma tres lugares hacia la izquierda. Si no hay suficientes cifras, agregamos ceros.

Pida a los niños/as que consigan empaques que hubieran contenido productos en cantidades de 10, 100 y 1 000. Cree co n los niños/as problemas en los

1.

2.

cuales los productos se

Observa los dibujos y calcula.

•

¿Cuánto cuesta 1 kg de papa?

• •

¿Y una manzana?

distribuyan o repartan de

Bs 3,88

varias formas.

Bs 2,57

Realice con los niños ejerci-

Bs 0,32

¿Cuánto cuesta un achachairú?

cios con billetes de diferentes cortes para repartir

Calcula y completa las tablas.

cantidades entre 10 y 100. ' 10

125,8 834,35 0,45 14,305

3.

' 100

12,58 83,435 0,045 1,4305

2 008 150 243,25 3572,05

' 1

000

20,08

7 580

7,58

1,5

923,1

0,9231

2,4325 35,7205

10 724,05 12 345,6

Dicte a los niños/as grandes cantidades, pidiéndoles que las repartan

10,72405

mentalmente entre 10, 100 y 1 000, moviendo la

12,3456

Lee y resuelve.

•

coma hacia la izquierda.

Rosa quiere comprar un auto que cuesta 7450,50 dólares. Ella paga una cuota inicial de 1 200 dólares. El resto lo paga en 10 mensualidades iguales. ¿Cuánto paga en cada mensualidad? (7 450,50 – 1 200) ' 10 = 625,05. Cada cuota es de 625 dólares.


Tic 173

La locomotora de los números Ejercitación de la multiplicación y división por múltiplos de 10.

Pueden inventar una canción o una rima para multiplicar y dividir decimales por múltiplos de 10.


173

Más actividades Cálculo mental a toda velocidad

División entre números naturales con cociente decimal

Espere a los niños/as sus resultados escritos

La abuela Natalia entrega Bs 110 a su nieto mayor por el día del estudiante. Le pide que se los repartan en partes iguales con sus tres hermanos.

en la pizarra en dos

¿Cuánto dinero le corresponde a cada nieto?

con varias divisiones y

columnas. Propóngales que unirán las divisio-

Para saber cuánto dinero le tocará a cada uno, dividiremos 110 entre 4.

nes con sus resultados de la forma más rápida

1. Dividiremos hasta encontrar el resto.

posible. Si desea, puede anotar tantas opera-

110

-

8

ciones como niños/ niños/as as

2. Ponemos una coma en el cociente. Agregamos un cero al lado del resto y seguimos dividiendo hasta llegar al 0 en el resto.

4 27

110

30

haya en la clase para

-

-

2

-

130

2

'

4

90

7,5

5

'

46

2

'

234

0

El nieto mayor quiere comprar con su regalo una bolsa de 50 canicas que cuesta Bs 20. ¿Cuánto le costará cada bolita?

15,6 8

'

15

67 ' 10

20

22,5 2,5

4

-

Cada nieto recibirá Bs 27,50.

5,4

27 ' 5 '

28 20

“record” del curso. '

27, 5

30

pizarra y establezcan un 15

8

28

que uno a uno pase a la

4

Para saber cuánto cuesta cada canica dividimos 20 entre 50.

6,7

1. Como 20 es menor que 50, el cociente cociente entero es 0. Anotamos cero y una coma. Agregamos un cero al divisor y dividimos.

32,5 5,75

-

200

50

200

0, 4

Cuando haga falta, agregamos ceros al divisor para continuar dividiendo.

0

Cada canica cuesta Bs 0,40 o 40 centavos.

Tic 1.

Decimales en el cociente Ejercitación de la división de naturales y decimales entre decimales con cociente decimal.

2.

Divide los números naturales y encuentra el cociente decimal.

20

' 8

=

2,5

241

27

' 6

=

4,5

5 511

' 32

7,53125

=

' 24

=

229,625

3 051

' 25

=

3 402

' 16

=

122,04 212,625

Pinta del mismo color la división y su cociente.

17

' 2

5,75

23

' 4

14,375

81

' 5

115

19,7

' 8

197

' 10

8 ,5

16,2

174


Sugerencias metodológicas 175 Comente con los niños/as cómo en el problema presentado en el

-

texto, para dividir el dinero (en bolivianos) entre los nietos, se utili-

en una división donde no deseamos quedarnos con un resto.

12, 5

-

28 70

Anote en la pizarra una división y resuélvala con ellos. Haga un alto cuando llegan al resto para colocar la coma en el cociente, aumen-

174

14 35

zan los centavos, y que igual que se puede fraccionar la moneda, se puede fraccionar cualquier cantidad para obtener un resultado

14

70 0


3.

4.

24

' 60

=

0,4

50

' 80

=

0,625

100

' 125

=

0,8

12

' 25

=

0,48

36

' 48

=

0,75

125

' 250

=

0,5

=

2

' 25

=

4

' 25

=

' 25

226

7.

57 4

1 ,8

=

38 50

1 4 ,2 5

=

0 ,7 6

147 20

=

•

María preparó 4 litros de gelatina y quiere llenar 20 vasitos para un cumpleaños. ¿Cuántos litros contendrá cada vasito?

•

La mamá de Joaquín le da 50 bolivianos para sus recreos de 20 días y le indica que gaste la misma cantidad cada día. ¿Cuánto puede gastar Joaquín por día?

•

En un camión hay 450 kg de carga distribuidas en 24 cajas de igual peso. ¿Cuántos kilogramos contiene cada caja?

7,35

Calcula y completa.

18

6.

Problemas

Expresa cada fracción como número decimal. Para ello, divide el numerador por el denominador. 9 5

5.

Más actividades

Divide un número natural entre otro número natural mayor.

0,08

=

' 25

=

1

' 50

=

0,16

3

' 50

=

0,72

42

9,04

' 50

102

0,02 0,06

=

' 50

=

0,84 2,04

Observa los precios y calcula. Bs 0,75

• •

¿Cuánto cuesta un lápiz?

• •

¿Y una goma?

Bs 0,25

¿Y una escuadra?

Bs 1,50

¿Cuánto cuesta un cuaderno? Bs 2,6

Sofía ya no usa su violín y puso un aviso en su instituto para ofrecerlo a la venta. ¿Cuál será el valor de cada cuota para quien quiera comprarlo? Cada cuota será de Bs 77,75.

Vendo violín en perfecto estado. Precio: Bs 622

Pueden pagarlo en 8 cuotas iguales.

8.

Lee y resuelve.

•

Pepe pagó Bs 18 por una docena de cuñapés. ¿Cuánto le costó cada uno? Cada cuñapé le costó Bs 1,50.

•

Luis compró 4 poleras en ofer ta. Pagó Bs 99. ¿Cuánto le costó cada polera? Cada polera le costó Bs 24,75.


175

tar un cero al resto y seguir operando con decimales; el 7 se convierte en 70 para seguir dividiendo. Proponga un par de ejemplos más, permitiendo que algunos niños/as voluntarios los resuelvan en la pizarra para que sus compañeros/as los observen. Pida a los niños/as que ejerciten el procedimiento individualmente en sus cuadernos, comparando los cocientes decimales entre sí.


175

Más información

División de un decimal entre un natural

Recuerde a los Cuatro amigos pidieron una pizza familiar que les costó Bs 55,20. ¿Cuánto debe pagar cada uno si reparten el costo en partes iguales?

niños/as que en los nú meros naturales es mayor el número con más

Para saber cuánto pagará cada uno, dividimos 55,20 por 4.

cifras y en los números decimales no es así,

1. Dividimos la parte entera como en la división con números naturales.

ya que un decimal con milésimas tiene más números que uno con solo décimas y puede valer

-

menos que el segundo.

55, 20

4

4

13

-

15

Señale que en la recta

-

numérica un número

2. Al llegar a la coma en el dividendo, nos detenemos y anotamos una coma en el cociente. 55, 20

4

4

13

15

12

-

3

12

decimal es mayor si está

3. Seguimos dividiendo como sabemos hacerlo. 55, 20

-

4

13, 80

15

-

anotamos la coma

12 32

-

32 00

3

-

situado después, es decir, más a la derecha

4

00 0

Cada amigo pagará Bs 13,80.

que otro.

Para dividir un número decimal por un número natural, hacemos la división como si fueran números naturales y ponemos la coma en el cociente al bajar la primera cifra decimal.

1.

Realiza las siguientes divisiones. 27, 45

24, 48

9 3,05

2.

12

14, 7

2,04

90, 27

7

9

2,1

10,03

Realiza las divisiones.

24,56

' 2

123,65

=

' 5

345,6

' 8

171,6

' 12

=

= =

12,28

3,123

1,041

45,04

' 4

=

11,26

24,73

25,236 ' 6 =

4,206

78,05

' 7

=

11,15

43,2

25,83

' 9

2,87

398,2

' 11

14,3

302,4

' 24

12,6

2 335,2

176

' 3

=

= =

36,2

=

' 56

=

41,7


Sugerencias metodológicas Proponga a los niños/as un ejercicio similar al del ejemplo del libro: hay que repartir un gasto de 159,60 entre tres personas. Anote la división en columna en la pizarra. Pida a los niños/as que le propongan formas de resolverla. Algunos/as, probablemente, le propondrán dividir primero los bolivianos (la parte entera) y luego los centavos (la parte decimal) para finalmente sumar los resultados. Permita que muestren de forma práctica su forma de división. Enséñeles que en estos casos, podemos operar como siempre lo hacemos al dividir, pero

176


3.

Más actividades

Divide un número decimal entre un número natural mayor. Observa el ejemplo.

3,248

Divisiones

' 8

3, 248

Como 3 < 8, escribimos 0 y coma en el cociente, y comenzamos a dividir 32 entre 8.

_

3 2

8

Prepare una hoja de trabajo

0, 406

para los niños/as o anote

048

-

ejercicios en la pizarra para

48

que puedan resolverlos.

0 2, 56

8

4, 705

0,32

9, 988

5 0,941

11 0,908

3,25

' 2

=

22,5

' 15

=

14,62

' 20

6,325

' 5

=

=

77,1 ' 30 = 81,99 1, 8015

0, 456

15 0,1201

6 0,076

0, 95

16,9

5 0,19

' 9

=

' 13

=

625,25 ' 25 = 468,21

4.

5.

' 3

=

Los organizadores de un campamento compraron algunos alimentos. Observa la tabla y contesta. Alimentos

Costo total

¿Cuál fue el costo de ...

15 paquetes de arroz

Bs 382,50

... un paquete de arroz?

8 paquetes de azúcar

Bs 154,80

10 arrobas de papa

Bs 500,50

• • •

50 kilos de tomate

Bs 255,50

•

... cinco kilos de tomate? Bs 25,55

Bs 25,50

... dos paquetes de azúcar? Bs 38,70 ... tres arrobas de papa? Bs 150,15

Lee y resuelve.

•

Un maple de una docena de huevos cuesta Bs 37,20. ¿Cuánto cuesta cada huevo? Cada huevo cuesta Bs 0,31 o 31 centavos.

•

María compró un colchón nuevo en Bs 878,40 y debe pagarlo en tres cuotas iguales. ¿Cuánto pagará en cada cuota? Deberá pagar cuotas de Bs 292,80

•

Cinco hermanos se reparten una herencia de 8 754,80 dólares. ¿Cuánto dinero le corresponderá a cada uno si dividen la herencia en partes iguales? A cada hermano le corresponderán 1 750,96 dólares


177

que al llegar a la primera cifra decimal, debemos poner una coma en el cociente para poder seguir operando. Si desea, puede mostrarles que para eliminar la coma del dividendo, podemos multiplicar el divisor por un múltiplo de 10 aumentando tantos ceros como cifras decimales tenga el dividendo, pero que de esta forma tendríamos que trabajar con números muy grandes. Proponga varios ejercicios que los niños/as resuelvan en parejas, uno de cada forma, y pídales que comparen los cocientes calculados.


177

Más actividades

División de un natural entre un decimal

Cálculo mental a toda velocidad

El papá de Mariela necesita comprar dólares para realizar un pago. El tipo de cambio está en Bs 6,59 y él quiere cambiar Bs 1 470. ¿Cuánto dólares podrá comprar?

Siga ejercitando la precisión y velocidad en el cálculo mental con

Para saber cuántos dólares puede comprar, necesitamos dividir 1 470 por 6,59.

listas de divisiones y

1. Contamos cuántos decimales tiene el divisor.

sus cocientes escritos en la pizarra. Utilice un cronómetro como punto

6,59

de interés para que los

3. Dividimos hasta donde necesitemos. 147000

2 decimales

niños/as logren nuevos “records” del curso.

2. Multiplicamos el dividendo y el divisor por 100 para obtener una división entre naturales.

1 470 _

' 6,59 _

Anote en la pizarra ejercicios como los siguientes, cuidando que todos los

_

147 000

659 223, 00

1520

-

# 100 # 100

Tipo de cambio significa que 1 dólar = 6,59 bolivianos.

1318

_

1318 2020

' 659

-

1977 00430

El papá de Mariela puede comprar 223 dólares.

niños/as tengan oportunidad de solucionarlos. 39

'

1,3

40

34

'

2,5

43,75

24 ' 1,6

66,66

5

0,075

30

70 ' 1,75

15

70 ' 1,6

13,6

'

Para dividir un número natural por un número decimal, suprimimos la coma del divisor y agregamos tantos ceros como cifras decimales tenga el divisor. Luego, resolvemos la división entre naturales.

1.

Divide los siguientes números naturales entre números decimales.

1 296

'

1,2

1 080

1 296

'

0,96

1 350

1 296

' 0,012

108 000

3 198

'

2,6

1230

3 198

'

0,26

12 300

3 198

' 0,026

123 000

178


Sugerencias metodológicas Recuerde a los niños/as cómo se aplica la propiedad fundamental de la división. Pregúnteles qué sucede con el cociente de la división cuando multiplicamos o dividimos el dividendo y el divisor por un mismo número. Pida a tres niños/as que resuelvan tres ejercicios de forma simultánea en la pizarra para comprobar esta propiedad; puede proponerles un ejercicio como 76 : 4 y pedir a un niño/a que multiplique ambos números por 2, a otro por 3 y al tercero por 4.

178


2.

Tipo de cambio / Banco Central de Bolivia País

Moneda

Bolivianos por moneda extranjera

Estados Unidos

Dólar

6,96

Europa *

Euro

8,92

Argentina

Peso

1,54

Brasil

Real

3,53

Chile

Peso

0,014

Paraguay

Guaraní

0,00159

Perú

Nuevo Sol

2,59

Uruguay

Peso

0,34

Fuente: www.bcb.gob.bo (9 de febrero de 2012)

3.

Más actividades

Observa los tipos de cambio en bolivianos para cada moneda extranjera. Luego, calcula y responde.

•

Problemas

¿Cuántos bolivianos necesitas para comprar un euro?

•

Tengo un bidón con 24 litros de aceite y quiero dividirlo en recipientes de 0,75 litros cada uno. ¿Cuántos recipientes puedo llenar?

•

Tengo una cinta de 12 metros de largo y quiero dividirla en trozos de 0,25 cm. ¿Cuántos trozos de cinta obtendré?

•

Tengo 30 kilogramos de azúcar y quiero repartirlos en bolsas de 1,5 kg cada una. ¿Cuántas bolsas conseguiré llenar?

¿Cuántos euros puedes comprar con Bs 1 784? 200 euros.

•

¿Cuántos pesos argentinos puedes comprar con Bs 539? 350 pesos argentinos.

•

¿Y cuántos reales brasileros puedes comprar con Bs 1 059? 300 reales brasileros.

Inventa tres preguntas relacionadas con el cambio de moneda, en las que se divida un número natural entre un decimal. Intercambia las preguntas con tus compañeros. Las respuestas son libres.

4.

•

Bs 8,92.

Lee y resuelve.

•

Pensamiento

La mamá de Juanita pagó Bs 171 por las entradas al cine. Cada entrada costó Bs 28,50. ¿ Cuántas entradas compró?

crítico e

Compró 6 entradas.

•

investigación

El papá de Juanita gastó Bs 187 en gasolina. Cada litro cuesta Bs 3,74. ¿Cuántos litros cargó?

Comente con los niños/as

Cargó 50 litros de gasolina.

•

•

la importancia de utilizar

Juanita pagó Bs 22 por las manzanas que compró. Cada manzana costaba Bs 2,75. ¿Cuántas manzanas compró en total?

decimales en la vida diaria

Compró 8 manzanas.

cuatro operaciones aritmé-

y de poder realizar las ticas con ellos. Pregúnteles

El hermano de Juanita quiso cambiar sus ahorros en bolivianos por dólares. Si tenía Bs 693 y el tipo de cambio estaba en 6,93, ¿cuántos dólares logró ahorrar?

si podrían realizar operaciones combinadas con decimales.

Logró ahorrar 100 dólares.

•

La hermana de Juanita recibió Bs 21 para sus recreos del colegio. Si en cada recreo gasta Bs 3,50, ¿para cuántos recreos le alcanzará su dinero? Su dinero le alcanzará para 6 recreos.


179

Recuerde a los niños/as cómo aprendieron a multiplicar un decimal por un múltiplo de 10, recorriendo la coma hacia la derecha. Entonces, ellos podrán convertir decimales a enteros multiplicando por múltiplos de 10, también en divisiones de dos números decimales. Muestre en la pizarra un par de ejemplos de cómo aplicar este procedimiento.


179

Más actividades

Problemas con porcentajes

Problemas •

•

•

Una tienda ofreció un 15 % de descuento el día de su aniver sario. Ese día, Jorge compró una lavadora que regularmente cuesta Bs 2 000. ¿Cuánto ahorró en la compra?

Laura ha recibido en su tienda de muebles 50 sillas y un sofá. Cada silla cuesta Bs 450 y el sofá Bs 1 500. Al total le han hecho un descuento del 12 %. ¿Cuánto ha pagado Laura? Lola compra una cámara de fotos de Bs 990,50 y un reproductor de mp3 de Bs 279,50. Al pagar le hacen un descuento del 10 %. ¿Cuánto tiene que pagar? Inés compró una computadora de Bs 1 800. Pagó el 28 % como cuota inicial y el resto en seis cuotas sin intereses. ¿Cuánto pagó en cada cuota?

Podemos calcular de distintas formas el 15 % de 2 000. Primera forma

Segunda forma

Hallamos el 1 % o la centésima parte de 2 000. 2 000 ' 100 = 20 Luego, multiplicamos por 15 para obtener el 15 %. 20 # 15 = 300

Expresamos 15 % como fracción o como número decimal. 15 % de 2 000 =

15 100

de 2 000.

15 % de 2 000 = 0,15 de 2 000. Resolvemos. 15 100

#2

000 = 300 o 0,15 #2 000 = 300

Jorge ahorró en su compra Bs 300.

1.

Observa la oferta de un mismo artefacto en tres diferentes tiendas. Luego, completa la tabla y responde. O L E L S 10 % descuento

12 % d es c u e nt o

Licuadoras: Bs 350

•

L A E CO N Ó M I CA

LA MODERNA

t o e s c u e n 11 % d

Licuadoras: Bs 360

Tienda

Precio de la licuadora (Bs)

El Sol

350

Licuadoras: Bs 352

Descuento (Bs)

Precio final de la licuadora (Bs)

10 % de 350 = 35

315

La Moderna

360

12 % de 360 = 43,20

316,80

La Económica

352

11 % de 352 = 38,72

313,28

¿Cuánto es el descuento en la Moderna? Bs 43,20

•

¿Cuántos bolivianos menos que su precio original cuesta la licuadora en oferta en el Sol? Bs 35 menos.

•

¿En cuál de las tiendas el precio final es mayor? En la Moderna.

•

¿Y dónde es menor el precio final? En la Económica.

•

¿En qué tienda conviene hacer la compra? En la Económica.

180


Sugerencias metodológicas Recuerde con los niños/as cómo se calcula un porcentaje y explíqueles que resolverán e inventarán problemas donde aparezcan porcentajes combinados con otras operaciones aritméticas. Recuerde que es importante aplicar los cuatro pasos para resolver un problema, y que en el primer paso es imprescindible leer y comprender los datos que se presentan y la pregunta que se quiere contestar, antes de comenzar a operar. Recupere con los niños/as folletos de supermercados y tiendas donde se vean ofertas e

180


2.

Más actividades

Calcula cuánto gastará Cecilia si va hoy a hacer su compra y cuánto si espera hasta el domingo, cuando hay 20 % de descuento sobre el total de la compra.

Problemas Arroz Bs 7,50

Lista: 2 paq. de arroz 1/2 kg de queso 4 yogures 250 g de jamón

Queso Bs 28,70/kg

Hoy

Cecilia gastaría hoy Bs 50, 15 y el domingo, Bs 40,12.

3.

Jamón Bs 64/kg

Yogur Bs 1,20

El año pasado, un auto costaba Bs 60 000. Este año, su precio ha aumentado 6 %. ¿Cuánto cuesta el auto este año? ¿Cuánto ha subido el precio?

•

Los 120 niños y niñas del quinto curso de un colegio fueron a visitar un museo. Cada entrada cuesta Bs 5, pero por ser un grupo grande hacen un descuento del 5 %. ¿Cuánto tienen que pagar en total?

•

Cada mes, Antonio paga una cuota de Bs 1 200. El mes pasado se retrasó con el pago y tuvo que pagar un incremento del 4 %. ¿Cuánto tuvo que pagar en total?

Domingo

Arroz _

15

Arroz _

12

Queso

14,35

Queso

11,48

Yogur _

4,80

Yogur _

Jamón _

16

Jamón _

12,80

Total _

50,15

Total _

40,12

_

•

_

3,84

Lee y resuelve.

•

El año pasado, una mensualidad del colegio costaba Bs 800. Este año la han aumentado en un 5 %. ¿Cuánto cuesta la mensualidad este año? ¿En cuántos bolivianos ha aumentado? 5 % de 800 = 40 Cuesta Bs 840; aumentó Bs 40.

•

Marcos tenía Bs 300. Gastó el 45 % en un pantalón y el 55 % en una chompa. ¿Qué prenda le costó más? ¿Cuánto costó cada una? La chompa le costó más: Bs 165. El pantalón costó Bs 135.

•

Amalia compró un televisor que estaba en oferta. El precio inicial era Bs 2 400, pero estaba rebajado un 25 %. ¿Cuánto le costó a A malia el televisor? ¿Cuánto dinero ahorró con la oferta? 25 % de 2 400 = 600. Ahorró 600 bolivianos. El televisor le costó Bs 1 800.

4.

Pensamiento

Halla los siguientes porcentajes con la calculadora. Observa el ejemplo. 27 % de 30

0, 27

_

300

#

Utilizamos la calculadora. 0

2 7

3

#

0

0

El 27 % de 300 es 81.

=

15 % de 720 =

108

73 % de 900 =

657

crítico e

99 % de 800 =

792

64 % de 750 =

480

investigación

17 % de 300 =

51

36 % de 250 =

90

23 % de 500 =

115

21 % de 260 =

54,60

Comente con los niños/as

14 % de 800 =

112

38 % de 480 =

182,40

qué sucede cuando existen ofertas en el mercado y cómo muchos comerciantes suben sus precios para luego ofrecerlos con descuento. También cómo la oferta “tienta” a consumir objetos que muchas


181

veces no necesitamos para vivir bien.

inventen en conjunto algunos ejercicios, anotando en la pizarra algunos datos como: precio anterior, descuento (porcentaje), cantidad de cuotas a pagar, precio con descuento, etc. Explique a los niños/as que los porcentajes son útiles para otros cálculos, no únicamente para los relacionados con dinero, sino también cuando se trabaja con personas, libros, materiales de construcción, alimentos, etc. Pídales que propongan situaciones en las que aplicarían el cálculo con porcentajes.


181

Más actividades


Hacer un esquema para encontrar todas las posibilidades

Hacer un esquema para encontrar todas las posibilidades Con ayuda de un esquema puedes encontrar t odas las posibilidades. Después, elige las soluciones válidas y contesta.

Proponga a los niños/as realizar otros esquemas

Regina tiene Bs 110 y quiere comprar dos de los objetos que ve en oferta. ¿Cuáles puede comprar?

donde encuentren todas las posibilidades de combina-

Primero, hacemos un esquema.

ción, por ejemplo: •

•

•

Pluma

una camisa blanca, una camisa azul, un pantalón marrón y un pantalón azul.

El Cd y otro objeto

Cd

_

55 + 43 = 98

los turnos por parejas para atender una tienda, considerando que hay ocho empleados.

= 120

58

Polera _ 55 +

un fixture para un campeonato de fútbol donde participan seis equipos (pueden ponerles nombres o colores para diferenciarlos).

65

Agenda _ 55 +

=

Agenda _ 43 + 65

La plumafuente y otro objeto

Pluma

La agenda y otro objeto

Agenda – Polera _

+ 58

Polera _ 43

65

+

113

= 108 = 101

58

= 123

Después elegimos las posibilidades válidas: las sumas cuyo total sea un número igual o menor a 110. Regina podrá comprar: el Cd y la plumafuente;

1.

la plumafuente y la agenda

o

la plumafuente y la polera

Observa la carta de un restaurante y escribe todos los posibles menús que pueden pedirse ese día.

Menú del día Entrada: ensalada o salpicón Sopa: fideos o trigo Segundo: pescado o estofado Postre: fruta o helado

•

Ensalada

¡Son muchas combinaciones posibles!

Sopa fideo + pescado + fruta Sopa trigo + pescado + fruta Sopa fideo + estofado + fruta Sopa trigo + estofado + fruta Sopa fideo + pescado + helado Sopa trigo + pescado + helado Sopa fideo + estofado + helado Sopa trigo + estofado + helado (mismas 8 combinaciones cambiando ensalada por salpicón).

Julio, Lorena, Pablo y Susana necesitan organizarse en parejas para hacer un trabajo del colegio. Anota todas las combinaciones posibles. Julio – Lorena/ Julio + Pablo/ Julio + Susana/ Lorena + Pablo/ Lorena + Susana/ Pablo + Susana.

182

182



Más información


Uso de la calculadora.

Uso de la calculadora

La coma y el punto en los decimales

Para indicar un número decimal en la calculadora debes usar la tecla , ya que en otros países, la coma decimal es representada por un punto y la separación de miles la hacen con una coma, es decir, todo lo contrario a como nosotros la usamos.

El primero en usar la coma decimal fue el astrónomo italiano Giovanni Magini

En la calculadora no es necesario hacer la separación de miles, sino solo la separación decimal.

(1555 – 1617). Inventó los

Para indicar el número decimal 3,45 hacemos lo siguiente.

recomendó usar el punto

logaritmos neperianos y decimal. El caos que oca-

3

4

5

3.45

_

sionó siguió durante siglos, y hoy en día la coma se usa

1.

en todo el mundo, excepto

Usa tu calculadora para completar las siguientes series: 1,2

+ 1,5

2,7

+ 1,5

4,2

+ 1,5

5,7

+ 1,5

7,2

7,4

+ 3,7

11,1

+ 3,7

14,8

+ 3,7

18,5

+ 3,7

22,2

25,8

– 4,3

21,5

– 4,3

17,2

– 4,3

12,9

– 4,3

8,6

37,05

– 1,2

35,85

– 1,2

34,65

– 1,2

33,45

– 1,2

32,25

en Estados Unidos, donde se pone punto a los decimales. Recién el año 2003, en la XXII Conferencia General de Pesos y Medidas, el Sistema Internacional (SI) admitió los dos

2.

Usa tu calculadora para multiplicar y dividir.

símbolos para representar

# 1,25

25,36

25,35

3,25

36,5

45,625

129,48

16,6

52,4

65,5

658,32

84,4

107,9

779,22

99,9

86,32 3.

31,7

los números decimales: el

' 7,8

La calculadora nos sirve para comprobar resultados.

punto y la coma.

El uso de la calculadora El debate sobre el uso de la calculadora en primaria

Cuando quieras anotar un número decimal menor a 1 en la calculadora, recuerda que no necesitas anotar el cero. Observa el ejemplo y calcula el factor que falta.

sigue vigente. Muchos docentes opinan que los niños/as realizan mecáni-

Anotamos 0,99 9

9

Leemos

camente las operaciones,

0,004 + 1,379 = 1,383

yéndose directamente a los

1,187 + 0,73 = 1,917

resultados. Otros aprueban

4,839 – 4,789 = 0,05 0.99

2,378

#

0,5

su uso para comprobar

= 1,189

resultados. Lo cierto es que la tecnología está totalmente incorporada en la vida de muchos niños/as y es importante enseñarles a hacer un buen uso de


183

ella. Calculadoras (también la de Accesorios en la computadora) y planillas de cálculo (como Excel) son útiles herramientas en el área matemática.


183

Notas sobre las

Evalúa tus logros

actividades de

1.

evaluación

Ordena los números verticalmente y encuentra las sumas. 197,28 + 23,8 + 9,324

3,89 + 12,068 + 321,9

230,404

2

337,858

Si los niños/as siguen presentando dificultades para restar un 21,09 + 8,98 + 289,92

decimal a un natural,

577,55 + 21,57 + 0,005

319,99

retome el tema para

599,125

mostrarles cómo operar aumentando ceros en el minuendo.

3

2.

Ordena los números verticalmente y encuentra las diferencias. 135,97 – 77,5

Indique a los niños/as

293,56 – 28,991

58,47

que observen el sentido

264,569

de las flechas antes de calcular, y que decidan si utilizarán la operación que está indicada

832,42 – 8,324

o la operación inversa.

3.

1,08

Completa. 20,58 4,8

4.

+ 4,25

24,83

– 1,27

23,56

4,5

+ 0,8

5,3

– 0,3

+ 2,5 – 0,07

– 3,7

26,06 5,23

22,36

+ 0,15

5,38

Completa los cuadrados mágicos. Recuerda que la suma de cada columna es igual a la suma de las filas e igual a la suma de las diagonales. 13,55

1,30

10,05

4,8

8,3

11,8

6,55

15,3

3,05

La diagonal suma

184

184

1 000 – 998,92

824,096

24,9

30,81

35,86

3

4

32,83

34,85

36,87

2,8

3,2

3,6

33,84

38,89

31,82

3,8

2,4

3,4

37,88

La fila suma

104,55

La columna suma

2,6

9,6



5.

Mi desempeño

Halla los productos. 355, 2 81

#

#

28 771,2

6.

22

2, 15

#

13 718,32

como docente

2784, 7

128, 35

623, 56

#

275,9525

0, 7 •

1949,29

Completa las pirámides. El producto de dos factores seguidos se escribe en el cuadro que hay encima de los dos. Los números de las bases de las pirámides son los No mismos. ¿Crees que al final obtendrás el mismo producto? 0,006

0,1

0,06

0,3

0,015

0,2

0,1

0,5

0,2

0,5

Muchas veces

0,009

0,15

0,15

0,3

0,5

Pocas veces

0,06

0,3

0,2 •

7.

Calcula las multiplicaciones. # 10

=

43,25

0,18

# 10

# 100

=

73

15,3

# 100

4,325 0,73

52,68 8.

# 1

52 680

000 =

3,257

# 1

1,8

=

1 530

=

3 257

000 =

Halla en cada caso el cociente con dos cifras decimales. 75, 9

22

20, 33

19 1,07

Pocas veces

•

68

Facilito la aplicación práctica de los nuevos aprendizajes en situaciones de la vida diaria (compra y venta, mediciones, lectura de datos e información).

Muchas veces

3,45

52, 36

Fomento en los niños/as las asociaciones entre contenidos (números enteros, fraccionarios, decimales y porcentajes).

3346, 56

0,77

83

Incentivo el respeto al desarrollo y las capacidades propias en cada niño/a.

40,32

Muchas veces

Pocas veces 9.

Calcula las divisiones. 35

' 10

89,72 478

' 100

' 1

3,5

= =

000 =

0,07

' 10

0,8972

438,5

' 100

0,478

12,75

' 1



0,007

= =

000 =

4,385 0,01275

185

185


10.

Calcula mentalmente el precio unitario de cada golosina.

evaluación 11. Acepte como válidas las operaciones sucesivas, pero promueva que los niños/as formulen

Cada caramelo

_

Bs 0,275

Cada galleta

_

Bs 5,83

Cada confite _ Bs 0,0452

operaciones combinadas para resolver los problemas.

11.

Lee y resuelve.

•

David compró un cuaderno por Bs 4,75 y un compás por Bs 9,85. Para pagar entregó Bs 20. ¿Cuánto le dieron de cambio? 20 – (4,75 + 9,85) = 5,40 Le dieron de cambio Bs 5,40.

•

Carolina compró 5 sobres de figuritas el lunes y 6 sobres más el jueves. Cada sobre cuesta Bs 2,40. ¿Cuánto gastó en total? 2,40

# (5

+ 6) = 26,40

Gastó Bs 26,40 en figuritas.

•

Mercedes va al banco a cambiar monedas por billetes. Entrega 80 monedas de 20 centavos y 28 monedas de 50 centavos. Le dan billetes de 10 bolivianos. ¿Cuántos billetes le dan? (80

# 0,20)

+ (28

# 0,50)

= 16 + 14 = 30

Le dan 3 billetes de Bs 10.

•

Manuel quiere usar el 70 % de sus ahorros para comprar un regalo a su papá. Si tiene ahor rados Bs 300, ¿cuánto dinero gastará en el regalo? 70 % de 300 = 210 Gastará Bs 210 en el regalo para su papá.

•

Laura tenía un sueldo de Bs 2 100 y Carla uno de Bs 1 800. A Laura le subieron el sueldo un 4 % y a Claudia un 12 %. ¿Quién cobra más después del aumento de sueldo? 4 % de 2 100 = 84; 12 % de 1 800 = 216 Laura cobra Bs 2 184 y Claudia Bs 2 016. Laura cobra más que Claudia.

•

Jorge quiere comprar una bicicleta que cuesta 280 dólares. Tiene 2 000 bolivianos y el tipo de cambio está en USD 1 = Bs 6,97. ¿Le alcanza el dinero para hacer la compra? 280

#6,97

= 1 951,60

La bicicleta cuesta Bs 1 951,60; tiene dinero suficiente para comprarla.

186

186




VALORES El tener o disponer dine-

La historia de la moneda

ro se ha convertido en un símbolo de poder en

En la antigua Roma se empezó a usar el metal como una forma de pago. Las primeras monedas se acuñaron en el templo de la diosa Juno Moneta, de donde nació el nombre moneda. También existen referencias de monedas acuñadas en el territorio que actualmente ocupan China y otros países de Asia Menor, unos 5 000 años antes de Cristo. Desde entonces, el uso de las monedas se extendió a muchos países y culturas como una medida de cambio. El metal fue complementado con el papel moneda de los billetes.

nuestra sociedad. Las personas se “miden” por su poder de consumo y no por otros valores que les permiten ser quienes son. Muchas veces,

La moneda que está oficialmente en vigencia en Bolivia desde 1987 es el boliviano y se representa con el símbolo Bs. En nuestro país utilizamos con frecuencia el dólar americano para realizar transacciones comerciales. También estamos familiarizados con monedas de algunos países limítrofes y con el euro.

•

tampoco se considera de dónde proviene el dinero que vemos circular. La sociedad de consumo y la publicidad nos venden la

Si en mayo del año 2012 un dólar costaba 7,10 bolivianos y un euro costaba 9,05 bolivianos, ¿cuántos dólares costaba un euro? 1 dólar = Bs 7,10

1 euro = Bs 9,05

falsa idea de que para ser felices necesitamos tener

1 euro = 1,27 dólares

muchos objetos –mejor aún si son las últimas versiones lanzadas al mercado–. Los niños/as crecen

Los coleccionistas de monedas

bajo este bombardeo y, si no existe una reflexión y

Algunas personas están dedicadas a estudiar y coleccionar monedas y billetes; se llaman numismáticos y hacen de esta afición toda una pasión que los lleva a tener encuentros e intercambios.

un modelo constantes de otras formas de vida por parte de sus familiares y

Si nos fijamos bien, las monedas emiten mucha información sobre las circunstancias en el momento de su acuñación. Por un lado, nos hablan de la historia de un país, sus líderes, gobiernos y acontecimientos históricos. Por otro lado, nos muestran algo de las costumbres o valores de un pueblo en diferentes épocas. Las monedas aparecen y desaparecen con los países.

•

educadores, incorporarán estas ideas a sus sistemas de creencias. Nuestro país se carac-

Actualmente, la Casa de la Moneda en Potosí alberga una bella colección de monedas y los instrumentos que se usaron para acuñarlas. Para visitar su museo los adultos pagan una entrada de Bs 18,50 y los niños, Bs 5,50.

teriza por una gran des-

¿Cuánto dinero recaudó el museo si en un mes lo visitaron 250 adultos y 430 niños?

posibilidades de consumo.

(250 # 18,50) + (430

milias siguen practicando

#

igualdad en el ingreso de las familias y también, en consecuencia, en sus Para sobrevivir, muchas fa-

5,50) = 4 625 + 2 365 = 6 990

El museo recaudó Bs 6 990 por las visitas del mes.

el intercambio o trueque. En el pasado, muchas culturas garantizaron de esta misma forma la provisión


187

de productos de diferentes pisos ecológicos a sus comunidades: la sal viajaba desde el altiplano a las tierras bajas y desde allí se enviaban frutas y verduras, por ejemplo. Algunas personas se han animado a augurar la desaparición de la moneda en el futuro.


187


10

Longitud, masa y capacidad


El bienestar

Posibles

Todos los seres humanos necesitamos manifestar nuestros sentimientos y emociones, y para eso conversamos, escribimos, cantamos y bailamos. Necesitamos compartir los momentos especiales de la vida; entonces preparamos alimentos y bebidas, adornamos nuestras casas y usamos nuestros mejores vestidos para atender a las personas que se interesan por nosotros. Aquí o allá, nuestro bienestar requiere que nos sintamos bien con nosotros mismos, con las demás personas y con el ambiente en que vivimos. Y también requiere que aprendamos a cuidar y atesorar la vida en todas sus manifestaciones.

dificultades en la unidad Confundir los múltiplos y submúltiplos de las distintas unidades de medida. Estimar medidas usando unidades correctas. Convertir unas unidades a otras multiplican-

• ¿Qué opinas sobre la afirmación de que todos los seres humanos tenemos las mismas necesidades y lo que varía es la forma de satisfacerlas?

• ¿Qué manifestaciones crees que diferencian tu cultura de otras culturas?

• ¿Qué significado le das al bienestar o al estar bien en todos los sentidos posibles?

• ¿Cómo puedes ayudar a lograr este bienestar en tu vida, en la de otras personas y en la de tu planeta?

do y dividiendo números naturales y decimales. Resolver problemas que

188


incluyen varias unidades de medida.

Contextualización de la unidad Longitud, masa y capacidad El bienestar se

alcanza cuando somos capaces de convivir en armonía con nosotros mis-

mos, con los demás y con el ambiente. Algunas veces, asociamos el bienestar a las condiciones que nos rodean y podemos creer que aquellos que tienen más objetos alcanzan mayor bienestar. Sin embargo, muchas personas dedican hoy su tiempo a actividades que les reportan bienestar sin necesidad de hacer grandes gastos o inversiones, y muchas comunidades viven bien compartiendo su tiempo, actividades y producción.

188



RECUERDA 1.

Múltiplo y submúltiplo

Completa la tabla, encontrando las equivalencias. Kilogramos

3

4

5

6

10

Medios kilos

6

8

10

12

20

Cuartos de kilo

12

16

20

24

40

Unidad de medida: longitud, masa y capacidad Kilómetro, hectómetro y decámetro

2.

Estima la medida de

Metro, decímetro,

Tu altura

El largo de tu pie

Respuesta libre. 3.

centímetro y milímetro

El peso de este libro

Respuesta libre.

Kilogramo, hectogramo y

350 a 400 gramos.

decagramo Gramo, decigramo,

Calcula la cantidad de litros que hay en cada caso.

centigramo, miligramo _1 l

_

1 l 2

_

Quintal métrico y tonelada

1 l 4

métrica Kilolitro, hectolitro y

+

+

+ 4.

_

1

1

2

l

3 4

+

l

+

+

+

+

+

+

_

_

2

1 2

1

3 4

decalitro

l

Litro, decilitro, centilitro y mililitro

l

Medidas convencionales y no convencionales

Calcula las multiplicaciones y divisiones.

57

# 10

=

570

184

# 10

=

1 840

329

# 100

= 32 900

' 10

= 5,7

184

' 10

= 18,4

Magnitudes

= 3,29

Esquema

329

' 100

45,8 ' 100 = 0,458

=

0,75 # 1 000 =

750

0,75

' 1

000 = 0,00075

000 = 2 400

2,4

' 1

000 = 0,0024

2,4

# 100

# 1

Palmos, pies o pasos

57

4 580

45,8

5.

+

_

1

Completa el número que falta. 45

# 100

123

# 1

Otro vocabulario 64

= 4 500

000 = 123 000

' 10

de la unidad

= 6,4

435 ' 100 = 4,35

7,28 # 100 = 728

7

0,85 # 100 = 85

329

'

100 '

= 0,07

Necesidades y formas de satisfacerlas

1 000 = 0,329

Cultura 6.

Lee y resuelve.

•

Carrera de fondo

Manuel abre una botella de 1 litro y medio de jugo y llena 4 vasos de un cuarto litro cada uno. ¿Qué cantidad de jugo ha quedado en la botella?

Control de peso y talla

1/2 litro.

Tara y peso máximo autorizado de un camión


189

Camión cisterna

Para vivir bien •

Complementariedad – todas las personas somos distintas, pero todas somos importantes y podemos ayudarnos unas a las otras; lo mismo sucede con los demás seres vivos que habitan este planeta.

•

Paz – podemos convivir en armonía si consideramos que nuestro punto de vista es apenas eso, uno de los tantos enfoques para encarar la vida y sus desafíos.


189

Más información

Unidades de longitud

Unidades anglosajonas María y Julia disfrutan mucho correr. Están entrenando para competir en una carrera de fondo. ¿Cuál de las niñas tiene razón sobre la distancia que correrán?

En Estados Unidos y Reino Unido, para medir longitudes, no utilizan

Yo pensé que eran 5 kilómetros...

Me dijeron que vamos a correr 5 000 metros.

un sistema basado en el metro. Sus unidades,

En griego, kilo significa mil; hecto significa cien y deca significa diez.

diferentes a las nuestras, son las siguientes, ordenadas de menor a mayor: pulgada, pie, yarda y milla.

Para medir grandes distancias usamos unidades mayores que el metro. 1 km = 1 000 m _ 5 km = 5 000 m Ambas niñas expresan la misma

El pie y la pulgada

distancia de dos formas.

surgieron al utilizar como unidades de medida partes del cuerpo

Los múltiplos del metro son: el decámetro, el hectómetro y el kilómetro. Nombre

humano. Se emplean para medir longitudes pequeñas. Una pulgada

Relación con el metro

Decámetro (dam)

1 dam = 10 m

1m=

Hectómetro (hm)

1 hm = 100 m

1m=

1 km = 1 000 m

1m=

equivale a 2,54 centíKilómetro (km)

metros y un pie a

1 10

dam = 0,1 dam

1 100

hm = 0,01 hm

1 1000

km = 0,001 km

30,48 centímetros. Para medir longitudes pequeñas usamos unidades menores que el metro.

Para medir longitudes

Los submúltiplos del metro son: el decímetro, el centímetro y el milímetro.

mayores, las unidades

Nombre

más usadas son la yarda y la milla. La yarda

Relación con el metro

Decímetro (dm)

1 m = 10 dm

1 dm =

es ligeramente menor Centímetro (cm)

que un metro y la milla equivale casi a dos

1 m = 100 cm

Milímetro (mm)

kilómetros.

Piensa, piensa

1 m = 1 000 mm

1 cm = 1 mm =

1 10

m = 0,1 m

1 100

m = 0,01 m

1 1000

m = 0,001 m

El metro es la principal unidad de medida de longitud.

En el siglo XVIII el pie era una medida inglesa

1.

Indica, en cada caso, qué unidad te parece correcta para medir la longitud.

de longitud, equivalente a 30,48 cm. En el mismo siglo, el pie era una medida española de longitud equivalente

La distancia para llegar a destino

a 27,9 cm. Si un objeto

cm

km

La altura de un edificio

km

m

El largo de un lápiz

dm

dam

El grosor de una moneda

cm

mm

medía 10 pies en España, ¿cuántos pies

190


medía en Inglaterra?

Sugerencias metodológicas Recuerde con los niños/as que la longitud es la distancia que existe entre dos puntos y que existen diferentes unidades de medida, según se quieran medir pequeñas (cortas) o grandes (largas) longitudes. Comente con los niños/as cómo a medida que se perfeccionan los instrumentos de medición, se pueden medir longitudes menores (con los nanómetros, por ejemplo) o larguísimas, como las que vemos con sofisticados telescopios. Recuperen los aprendizajes de años anteriores, identificando las medidas en un metro (decímetros, centímetros, milímetros) y ejercitando pequeñas conversiones (como 5 decíme-

190


2.

3.

Más actividades

Estima cada longitud y relaciónala con su medida. El ancho de una uña.

1m

Instrumentos de medición

El ancho de una mesa.

1 km

Arme con los niños/as una

La distancia recorrida al caminar 10 minutos.

1 dam

El grosor de la mina de un lápiz.

1 cm

El largo de un autobús.

1 mm

colección de instrumentos de medición de longitudes. Pídales que busquen en sus casas o con familiares flexómetros, winchas, metros de sastrería, reglas.

Anota en metros la altura de cada niño. ¿Quién es más alto? César es el más alto.

Tal vez alguno consigue un Mido un metro y cinco decímetros.

Yo mido 1 metro y 57 centímetros.

Julio

“medidor” digital. Permita

Y yo, 1 metro, 5 decímetros y 8 centímetros.

Carlos

que los niños/as experimenten con ellos y comprueben que las unidades

César

son estándar y seguramente conocidas, como el 1m y 5 dm

1, 50 m

_

1 m, 57 cm

_

1 m, 5 dm, 8 cm _

1, 57 m

metro, el centímetro y el

1, 58 m

milímetro. 4.

Trabaja con los múltiplos del metro y expresa en la unidad indicada. Observa los ejemplos. 1 km = 1 000 m

5.

_ 2,5

km = 2,5

# 1

000 = 2 500 m / 1 m =

# 10

=

12

m

43 m =

0,13

# 100

=

13

m

125 m =

4,23

# 1

=

4 230

m

7 327 m =

1,2 dam =

1,2

0,13 hm = 4,23 km =

000

1 100

43

hm

_ 4

' 10

125

m=4

7 327

' 1

= 0,04 hm

Pensamiento

4, 3 dam

=

' 100

' 100

crítico e

1, 25 hm

=

investigación

= 7, 327 km

000

Trabaja con los submúltiplos del metro y expresa en la unidad indicada. Observa los ejemplos.

Pida a los niños/as que investiguen cómo funciona

1 m = 100 cm

_ 8

m=8

# 100

= 800 cm / 1 dm =

1 10

m

_ 25

dm = 25

' 10

el contador de kilometraje

= 2,5 m

de un automóvil y que lo 8,4 m =

8, 4 # 10

=

84

dm

19 dm =

7,2 m =

7, 2 # 100

=

720

cm

314,5 cm =

314,5

1 273 mm =

1 273

9,98 m = 9, 98 # 1 000 6.

= 9 980

mm

19

' 10

1, 9

=

' 100 ' 1

000

expliquen en clases con

m

varios ejemplos.

= 3, 145 m =

1, 273

m

Lee y resuelve.

•

María y su mamá caminan cada mañana desde su casa a la de sus tíos una distancia de 1,2 km. Si ya llevan recorridos 7 hm y 8 dam, ¿cuántos metros les falta caminar aún? Les falta caminar 420 metros.


191

tros = 0,5 metro). Calculen también largas distancias, estimando cuántas cuadras y metros (luego kilómetros) recorren los niños/as habitualmente, por ejemplo, desd e sus casas hasta el colegio.


191

Más información


El nanómetro Las unidades de longitud forman un sistema decimal; es decir, cada unidad es 10 veces mayor que la inmediatamente inferior.

Con el avance tecnológico y de la observación se han perfeccionado

Para pasar de una unidad a otra menor, se multiplica.

los instrumentos de # 10

observación y medición. En la nanotecnología

# 10

km

se observan materiales y seres que tienen

hm ' 10

# 10

dam ' 10

# 10

m

# 10

dm

' 10

' 10

# 10

cm ' 10

mm ' 10

dimensiones más que diminutas. Para ello, se ha establecido el nanó-

Para pasar de una unidad a otra mayor, se divide.

metro como una unidad

Para pasar, por ejemplo, de m a cm o de dm a mm, multiplicamos por 100.

de longitud equivalente a la millonésima parte

# 100

de un metro.

# 10

' 1 000 # 10

m

1 nanómetro se escribe _

Para pasar, por ejemplo, de m a km o de mm a m, dividimos por 1 000.

dm

cm

' 10

km

3,4 m = 340 cm

1nm

1nm = 0,000001 m dm

cubrió en el fondo del

# 10

cm

m

' 1 000 # 10

mm

' 10

m

0,328 dm = 32,8 mm

océano el ser vivo más pequeño del mundo y

' 10

' 1 000

# 100

El año 1998 se des-

dam

3 800 m = 3,8 km

# 100

1nm = 1/1000000 m

' 10

hm

' 10

dm

cm

' 10

mm

5 520 mm = 5,52 m

# 100

' 1 000

se lo denominó nanobios. En el microscopio electrónico forman una

1.

Completa el cuadro.

maraña de filamentos

# 100

# 10

# 1 000

parecidos a las hifas de km

los hongos, midiendo de 20 a 150 nanóme-

'10

tros de tamaño. Los niños/as escuchan

2.

nología y especialmente sobre la nanobótica, que son nuevos campos de experimentación

dam

m

'1 000

dm

cm

mm

'100

Observa el cuadro anterior y anota qué operaciones harías para pasar:

hablar en películas y series sobre la nanotec-

hm

_

De km a dam Multiplico por 100

_

De km a m Multiplico por 1 000

_

De m a mm Multiplico por 1 000

_

De hm a dm Multiplico por 1 000

científica.

192


Tic Sopa de letras de longitudes Juego para consolidar términos y conceptos relacionados con las medidas de longitud.

Sugerencias metodológicas Comente con los niños/as cómo en Bolivia usamos el metro como principal unidad de medida de longitud, aunque existen otras medidas no convencionales que siguen vigentes. Constate que los niños/as reconocen claramente los múltiplos y submúltiplos del metro. Dibuje con ellos la tabla de conversiones, donde a la izquierda figura como medida mayor el kilómetro; a medida que vayamos yendo hacia la derecha, las medidas son más pequeñas, hasta llegar al milímetro, y que este procedimiento podemos hacerlo multiplicando de 10 en 10. Pregunte a los niños/as, entonces, qué operación deb eríamos realizar para pas ar

192


3.

Más actividades

Expresa todas las medidas en metros y ordénalas de menor a mayor.

40,5 dm

415 m

475 cm

457 hm

405 dam

415 m

4, 75 m

45 700 m

4 050 m

405 m

4,9 km

Juegos de parejas con longitudes

4 900 m

4,75 m < 405 m < 415 m < 4 050 m < 4 900 m < 45 700

Forme grupos de 3 niños y pida a cada grupo que haga

4.

Utiliza este cuadro de unidades para expresar cada medida en la unidad que se indica. Si necesitas, añade ceros. km

25,13 m en dam

_

47,8 dm en dam

_

8,7 hm en m

5.

hm

8

_

7,43 m en mm =

7 430 mm

38,1 dam en dm =

3 810 dm

dam

m

dm

cm

2

5

1

3

4

7

8

24 tarjetas: 12 verdes y 12 azules, y que escriban en cada tarjeta lo que a

mm

7

_

2,513 dam

_

0,478 dam

_

870

continuación se indica: 7,2 km 8,58 hm 7,2 dam

m

6, 13 m

317 mm =

0, 317 m

4,7 hm =

470 m

8,6 m

0,9 m

8,5 m

4, 832 m

3,56 m 0,72 m 0,3 m

573 dm en hm =

0, 573 hm

7200 m 858 m 72 m

En dm

613 cm =

0,3 dam

4 832 mm en m =

Expresa en la unidad indicada. En m

5,6 km 0,3 hm

400 cm = 35 mm = 34,8 cm =

En cm

40 dm

7,4 dm =

3,48 dm

3,59 m =

3m

86 dm

900 mm

850 cm

35,6 dm 72 cm 300 mm

315 mm = 31,5 cm

0, 35 dm

5600 m 30 m

Reparta cuatro tarjetas

74 cm

azules a cada niño. Pongan

359 cm

las tarjetas verdes en un montón boca abajo y decidan qué niño/a empezará

En dam

7,5 m =

0,75 dam

3 km =

300 dam

3,5 hm = 6.

35 dam

En hm

1,8 dam = 3,5 km = 123,8 m =

0,18 hm 35 hm 1,238 hm

7,3 km

6 hm =

0,6 km

sus tarjetas si tiene alguna

0,08 km

con una longitud equiva-

8 dam =

Marina va de su casa a casa de Jaime. De ahí van juntos al club. ¿Cuántos metros recorre Jaime?

5 075 m

¿Cuántos metros recorre Marina?

5 425 m

¿Cuántos metros más que Jaime recorre Marina?

orden, tomará una tarjeta

7 300 m =

Marina 3 hm y 50 m

Observa y resuelve. Expresa las distancias en metros antes de calcular.

•

a jugar. Cada jugador, por

En km

del montón y buscará entre

lente a la que eligió. Si la Jaime

m 5 2 y m k 4

350 m Rocío

•

Todos los días, Rocío camina ida y vuelta de casa al club. ¿Cuántos metros 1 330 m recorre en una semana? ¿Cuántos kilómetros son? 1,33 km

•

Jaime fue desde su casa a la de Rocío pasando por el club.

tiene, junta las dos tarjetas

5 k m y 7 5 m

y las deja sobre la mesa; si no la tiene, vuelve a dejar la tarjeta en el montón mezclándola con el resto.

9 dam y 5 m

Club

Gana el jugador que primero se quede sin tarjetas.

¿Cuántos metros recorrió si fue y volvió haciendo el mismo trayecto? 10 340 m

•

Rocío visitó a Marina y luego a Jaime. Para volver a su casa eligió el camino que pasa por el club. ¿Qué distancia en metros ha recorrido en total? 9 545 m


193

Tic Longitud Cálculo de equivalencias entre medidas de longitud usando la tabla de conversiones.

de una medida menor a una mayor (dividir por múltiplos de 10). Ejerciten con ejemplos el sistema de multiplicar y dividir, moviendo la coma hacia la izquierda o la derecha y aumentando ceros cuando sea necesario. Permita que los niños/as practiquen suficientemente y que encuentren caminos propios para resolver los problemas. Dejen en exhibición en la sala la tabla de conversión de medidas de longitud.


193

Más información

Unidades de masa

El quilate El control de peso y talla ayuda a verificar el buen estado de salud de los niños. Estás en muy

Una aleación es una mezcla de distintos

Calculo que aumenté un kilo y medio desde el último control.

buen peso para tu edad, Jaime.

metales. Se hace para conseguir las mejores propiedades de todos ellos. En las joyas se

Para medir la masa o el peso de un objeto, utilizamos el kilogramo como medida principal, pero el sistema de múltiplos y submúltiplos se estableció a partir del gramo.

emplean siempre aleaciones de oro o plata con otros metales. Para

Los múltiplos del gramo son: el decagramo, el hectogramo y el kilogramo.

indicar la cantidad de oro que hay en una joya

Nombre

se emplea el quilate. Un quilate es la veinticuatroava par te (1/24) del peso de una joya.

Relación con el gramo

Decagramo (dag)

1 dag = 10 g

1g=

Hectogramo (hg)

1 hg = 100 g

1g=

1 kg = 1 000 g

1g=

Kilogramo (kg)

Cuando decimos que un

1

1 100

18 quilates, significa

1

peso total del collar en

Relación con el gramo 1

Decigramo (dg)

1 g = 10 dg

1 dg =

Centigramo (cg)

1 g = 100 cg

1 cg =

Miligramo (mg)

1 g = 1 000 mg

1 mg =

10

24 partes, 18 son de oro y el resto es de otro metal, es decir, 18/24 del collar son de oro.

g = 0,1 g

1 100

g = 0,01 g

1 1000

g = 0,001 g

Para expresar masas muy grandes utilizamos múltiplos del kilogramo.

Cuantos más quilates, más oro tiene una joya.

Los múltiplos del kilogramo son: el quintal y la tonelada. Nombre

Relación con el kilogramo

Quintal métrico (q)

Tic

Masas y precios Relación entre cantidades de productos y su costo.

kg = 0,001 kg

1000

Los submúltiplos del gramo son: el decigramo, el centigramo y el miligramo. Nombre

que, si dividimos el

Tic

hg = 0,01 hg

Para expresar pequeñas masas usamos submúltiplos del gramo.

collar de oro es de

En el mercado Cálculo de masas para ordenar una serie de bolsas.

dag = 0,1 dag

10

Tonelada métrica (t)

1 q = 100 kg

1 kg =

1 t = 1 000 kg

1 kg =

1 100

q = 0,01 q

1 1000

t = 0,001 t

La principal unidad de medida de masa o peso es el kilogramo.

Indica en cada caso, cuál te parece que es la cantidad que expresa cada masa.

1.

4 mg

4 kg

2 kg

2g

150 cg

1,5 t

194

2,5 dag


Sugerencias metodológicas Comente con los niños/as qué tipo de medidas de masa están habituados a utilizar en la vida diaria, por ejemplo, en las compras en el mercado. Seguramente algunos nombrarán los kilos, las libras, las arrobas, los quintales. Explique a los niños/as que el Sistema Internacional de Medidas ha adoptado el kilogramo como unidad de medida principal consistente en 1000 gramos, pero que el gramo es la unidad que se utiliza para establecer múltiplos y submúltiplos. Conversen también cómo medirían la carga de un camión:

194

2,5 q


2.

Más actividades

Estima la masa de cada objeto y relaciónala con su medida. Un toro

1g

Objetos y medidas

Una píldora

1t

Forme grupos de 4 o

Un hombre grande

1 dag

Un ratón

1q

da en cuatro partes. Cada

Una papaya

1 kg

parte señalará una medida

5 niños/as y entregue a cada grupo una hoja dividi-

de masa. Por ejemplo, 3.

5 kg, 10 g, 1 t, 3 m g. Pida

La tara es el peso de un camión vacío. El peso máximo autorizado (PMA) es el peso del camión más su mayor carga sin que se dañe el vehículo ni dañe los caminos o puentes por los que circule. Observa los dibujos y contesta.

a los niños/as de cada grupo que imaginen y escriban el nombre de cuatro

Tara: 9 600 kg PMA: 18 270 kg

Tara: 12 190 kg PMA: 25 000 kg

objetos que tengan aproxi-

Tara: 4 300 kg PMA: 9 850 kg

madamente las medidas dadas. Luego, pida a un niño/a

4.

que nombre uno de los

9,6 t

•

¿Cuántas toneladas pesa el camión naranja vacío?

•

¿Cuántas toneladas de carga puede llevar el camión naranja?

•

¿Qué camión puede transportar más carga?

El azul: 12,81 t

•

¿Qué camión es más pesado sin estar cargado?

El azul: 12,19 t

objetos señalados en su

8,67 t

grupo. Los niños/as de los otros grupos deberán decir de qué medida se trata.

Trabaja con los múltiplos y los submúltiplos del gramo y expresa en la unidad indicada. Observa los ejemplos. 1 kg = 1 000 g 1,3 dag = 72 hg = 4,8 kg =

_ 3,8

1,3 72 4,8

kg = 3,8

# 10

# 100 # 1

# 1

13

=

000 = 3 800 g / 1 g = g

590 g =

= 7 200 g

325,5 g =

000

= 4 800

g

Pensamiento

1 1000

kg _ 700 g = 700

590

750 g =

' 10

=

' 1

59

000 = 0,7 kg

= 3,255 hg

750

= 0,75

' 1

000

investigación

dag

325,5 ' 100

crítico e


kg

averigüen los datos de su 1 g = 1 000 mg

_ 5

g=5

# 1

000 = 5 000 mg / 1 dg =

1 10

g

_ 24,7

dg = 24,7

' 10

= 2,47 g

peso y su talla al nac er y, si pudieran, de controles

56,3 g =

56,3 # 10

1,85 g =

1,85 # 100

0,75 g = 5.

0,75 # 1 000

= 563 =

185

= 750

dg

428 dg =

428

' 10

cg

350,5 cg = 350,5 ' 100

mg

1 432 mg = 1 432 ' 1 000

= 42,8

g

pediátricos que les hu-

= 3,505

g

bieran hecho durante su

= 1,432 g

crecimiento. Construyan

Lee y resuelve.

una tabla con las medidas recomendadas para los

•

Una barra de chocolate pesa 0,8 kg. Si el 25% es cacao, ¿cuántos gramos de cacao tiene la barra?

niños/as en diferentes

La barra tiene 200 gramos de cacao.

este seguimiento sirve para

edades y comenten cómo verificar la buena salud


195

del niño/a en sus primeros años.

(10 000 kilogramos, por ejemplo) y cómo se h a preferido usar u na medida mayor, llamada tonelada, equivalente a 1 000 kg. Comenten que, igual que en las unidades de medida de longitud, las medidas de masa se organizan en un sistema decimal, que permite convertir fácilmente una medida en otra. Ejerciten la estimación de pesos o masas de diferentes objetos. Si es posible, experimenten el peso con balanzas o romanas.


195

Más actividades


Estimación de masas Las unidades de masa también for man un sistema decimal; es decir, cada unidad es 10 veces mayor que la inmediatamente inferior.

Los niños/as requieren tener experiencias concretas para el dominio

Para pasar de una unidad a otra menor, se multiplica.

de las unidades de # 10

medida. Consigan diferentes

# 10

kg

# 10

hg

# 10

dag

# 10

g

# 10

dg

cg

mg

objetos y procedan a ' 10

realizar una primera

' 10

' 10

' 10

' 10

' 10

clasificación de los Para pasar de una unidad a otra mayor, sedivide.

mismos en “pesados” y “livianos”, establecien -

Entre los múltiplos del kilogramo tenemos las siguientes relaciones:

do anteriormente cuál # 10

será su parámetro para determinar si un objeto

# 100

t

es pesado o liviano.

q

Anoten sus conclusio-

' 10

kg ' 100

nes en dos columnas. En un segundo momen-

Para pasar, por ejemplo, de g a mg, multiplicamos por 1 000.

to, anoten el nombre de un objeto y estimen

# 1

su peso usando las g

unidades de medida

dg

# 10

de masa. Finalmen-

Para pasar, por ejemplo, de g a kg, dividimos por 1 000. ' 1

000

cg

# 10

# 10

mg

kg

' 10

# 1

' 10

' 10

dag

g

4 500 g = 4,5 kg

1,8 g = 1 800 g

te, comprueben si su

hg

000

' 1

000

000

estimación es correcta, utilizando una balanza y anotando el peso

1.

exacto del objeto.

Completa los cuadros. # 100

hg

kg '10

2.

#

10

dag

# 1

g

'1 000

dg

000 cg

# 1

t

mg

000

kg

q '100

'100

Observa los cuadros anteriores y anota qué operación harías para pasar: _

De kg a mg

Multiplico por 1 000 000

_

De t a q

Multiplico por 10

_

De g a hg

Divido por 100

_

De kg a t

Divido por 1 000

196


Sugerencias metodológicas Presente a los niños/as la tabla de conversión de medidas de masa. Establezca relaciones entre los prefijos que se utilizan en las medidas de longitud y las de masa, por ejemplo, kilómetro y kilogramo, con el prefijo kilo, que significa 1 000 o hectómetro y hectogramo, con el prefijo hecto, que significa 100. Los niños/as probablemente deducirán que para realizar conversiones entre medidas de masa se opera igual que con las unidades de longitud, multiplicando y dividiendo, moviendo la coma hacia la izquierda o la derecha y aumentando ceros, cuando el caso lo requiera. Ofrezca a los niños/as suficientes ejercicios y problemas

196


3.

kg

3,12 hg en dg _

hg

dag

g

3

1

2

dg

cg

0,65 kg en g

5.

8 0

_

6


mg _

81 mg en g _

4.

Más actividades

Utiliza este cuadro de unidades para expresar cada medida en la unidad que se indica. Si necesitas, añade ceros.

_

1

5

3 120 dg

Igual que con las medidas de longitud, procuren armar

0,081 g

un “laboratorio” que incluya

_ 650

g

todo tipo de balanzas don-

348,5 g en mg =

348 500 mg

0,114 hg en g = 11,4 g

de experimentar con pesos

134 dag en kg =

1,34 kg

4 320 cg en kg = 0,0432 kg

y masas. Pueden fabricar también algunas balanzas

Completa las tablas.

de platillos y pesas para

kg

hg

dag

g

dg

cg

mg

t

q

kg

5

50

500

15

150

1 500

15 000

1

10

1 000

0,4

4

40

8

80

800

8 000

1,5

15

1 500

19

190

1 900

4

40

400

4 000

3

30

3 000

establecer equivalencias.

Control de peso y talla Consigan una balanza de pie y un tallímetro (o fabríquenlo fijando una cinta

Expresa en la unidad indicada.

métrica a la pared). RealiEn g

En kg

18 dg =

1,8 g

29 hg =

2,9 kg

13 kg =

13 000 g

50 mg =

0,00005 kg

4,8 g

138 q =

13 800 kg

4 800 mg = En mg

En cg

10 g =

10 000 mg

14 cg =

140 mg

1 kg = 1 000 000 mg 6.

cen la medición y el regis-

14 q =

1,4 t

tro de la talla y el peso de

500 kg =

0,5 t

cada niño/a de la clase en

1 200 kg =

1,2 t

las diferencias. Anoten los datos y compárenlos con

En dag

280 cg

las medidas recomendadas

12 hg =

120 dag

1,3 dg =

13 cg

40 kg =

4 000 dag

100 mg =

10 cg

1 200 dg =

28 g =

un marco de respeto hacia

internacionalmente.

12 dag

Una balanza está en equilibrio cuando las masas que están sobre cada uno de los platillos son iguales. Averigua cuántos gramos pesa el paquete azul.

2

1 2

kg

1 kg 750 g

2 500 g – 750 g = 1 750 g 7.

En t

5 hg 20 dag

300 g

1 520 g – 300 g = 1 220 g

1,3 hg

80 g

130 g – 80 g = 50 g

Lee y resuelve.

•

Para hacer una torta, Corina necesita un cuarto kilo de cacao. En el supermercado venden bolsitas de 125 g. ¿Cuántas tiene que comprar? Tiene que comprar dos bolsitas.


197

para que afiancen sus nuevos conocimientos. Deténgase a trabajar con toneladas y quintales métricos, considerando que pueden representar una dificultad para algunos niños/as, ya que constituyen una irregularidad respecto a la forma de operar con la tabla de conversiones.


197

Más actividades


Los latidos de nuestro corazón

Muchos médicos recomiendan tomar diariamente dos litr os de agua.

Plantee a los niños/as el Cada vaso tiene una capacidad de 250 mililitros.

siguiente problema para que lo resuelvan:

Entonces, necesitamos 8 vasos para vaciar los 2 litros de agua.

Sabemos que nuestro corazón late de forma

Para medir capacidades de diferentes recipientes utilizamos el litro, sus múltiplos y submúltiplos.

rítmica para impulsar la sangre a través de todo

Los múltiplos del litro son: el decalitro, el hectolitro y el kilolitro.

nuestro organismo. La

Nombre

Relación con el litro

sangre transporta el oxígeno y sustancias nutritivas y también productos de desecho, como el dióxido de carbono.

Decalitro (dal)

1 dal = 10

l

1 l =

Hectolitro (hl)

1 hl = 100

l

1 l =

Kilolitro (kl)

El cuerpo de un niño de

1 kl = 1 000

l

1 l =

1 10 1

100

hl = 0,01 hl

1 1000

kl = 0,001 kl

Para medir pequeñas capacidades usamos los submúltiplos del litro.

5° curso de primaria contiene unos 3600 ml de

Los submúltiplos del litro son: el decilitro, el centilitro y el mililitro.

sangre, y en un día com-

Nombre

pleto pasan alrededor de

Decilitro (dl)

Relación con el litro 1

l =

10 dl

1 dl =

45 hl por el corazón. Centilitro (cl) •

dal = 0,1 dal

1

l =

100 cl

1 cl =

¿Cuántos litros de sangre contiene el cuerpo de un

Mililitro (ml)

1

l =

1 000 ml

1 ml =

1 10 1 100

l = l =

1 1000

0,1

l

0,01

l =

l

0,001

l

niño de 5° de primaria? •

El litro es la principal unidad de medida de capacidad.

¿Cuántos litros de sangre pasan en un día completo por el corazón de un niño

1.

Indica, en cada caso, cuál te parece que es la capacidad correcta.

de 5° de primaria?

Más problemas •

200 hl

Una piscina de 48 kl de capacidad se llena a

2.

razón de 4000 l por hora.

3 hl

3 dal

12 ml

12

1 hl

l

1 ml

Estima la capacidad de cada recipiente y relaciónala con su medida.

Una jarra mediana

¿Cuánto tiempo tarda en

•

200 ml

1 kl

llenarse por completo?

Una cucharita de café

1 dal

Si quieres llenar con jugo

Un depósito de agua

1

12 jarras de 22,5 dl cada

Un bidón

l

1 cl

una, ¿cuántos litros de jugo te hacen fal ta?

198


Sugerencias metodológicas Presente a los niños/as la tabla de conversión de medidas de capacidad. Pida a los niños/as que establezcan nuevamente relaciones entre las unidades de longitud, las de masa y las de c apacidad en el uso de prefijos (kilo es 1 000, hecto es 100, deca es 10, etc.). Realicen conversiones multiplicando y dividiendo, moviendo la coma hacia la izquierda o la derecha y aumentando ceros, cuando el caso lo requiera. Ofrezca a los niños/as suficientes ejercicios y problemas para que afiancen sus nuevos conocimientos.

198


Más actividades Las unidades de capacidad forman también un sistema decimal.


Para pasar de una unidad a otra menor, se multiplica. # 10

# 10

kl

# 10

hl ' 10

dal

# 10

# 10

dl

l

' 10

' 10

Junten con los niños/as # 10

cl

' 10

' 10

todo tipo de envases para experimentar con líquidos

ml

lo que son las medidas de capacidad; pueden reunir

' 10

mamaderas, jeringas, vasos

Para pasar de una unidad a otra mayor, se divide.

medidores, vasos de yogur, botellas personales, de litro,

¿Qué operación deberías hacer para pasar de kl a dal? Multiplico por 100 Divido por 100

¿Y de dal a kl? 3.

dos litros, bidones. Todo

Multiplico por 100

¿O de hl a l ?

necesita ser bien lavado y mantenerse en orden para

Mira las relaciones entre unidades de capacidad y completa el esquema.

realizar experimentaciones. # 10

# 100

hl

kl

# 1

l

dal

'10

con colorante natural para

ml

cl

establecer equivalencias.

'100

Usa el cuadro y expresa cada medida en la unidad que se indica. kl

45,3 l en ml

5.

Se puede usar agua teñida

dl

'1 000

4.

000

hl

dal

_

7,34 dl en ml

_

9,58 l en hl

_

dl

l

4

Pensamiento

5

9

cl

crítico e

ml

45 300 ml

3

_

7

3

_ 734 ml

5

8

39,9 dal en kl =

0,399 kl

350 l en cl =

35 000 cl

23,1 cl en l =

0,231 l

4,01 dal en l =

40,1 l

4

_

investigación

0,0958 hl

Pida a los niños/as que averigüen cuál puede ser la relación entre un litro y un decímetro cúbico. Pueden construir un “prototipo” de

Expresa en la unidad indicada. En

decímetro cúbico para comEn dal

l

42,5 l

90 dl =

0,9 dal

7,6 hl =

760 l

34,5 l =

3,45 dal

9,278 kl =

9 278 l

0,5 hl =

5 dal

4,25 dal =

En hl

978 l = 15 dal = 1 kl =

probar esta relación.

En kl 9,78 hl

3 000 l =

3 kl

1,5 hl

478 dal =

4,78 kl

10 hl

25 hl =

Converse con los niños/as sobre las ventajas de un sistema de medición

2,5 kl

aceptado por todos los países del mundo, y sobre

6.

Lee y resuelve.

la pervivencia de formas

•

tradicionales y locales de

Iván ha llenado un depósito de 12 dal de capacidad con 15 baldes iguales llenos de agua. ¿Cuál es la capacidad en litros de un balde?

medición.

Cada balde tiene 8 litros de capacidad.



199

199

Más actividades Determinar el dato que sobra Recuerde con los niños/as que en la primera unidad de este libro (página 20) se

Solución de problemas Determinar el dato que sobra

Lee cada problema y piensa qué operaciones v as a hacer y qué datos necesitas. Después, subraya el dato que sobra en el recuadro y resuelve el problema.

presentan los cuatro pasos para resolver un problema

1.

de forma ordenada. Reflexione con ellos sobre la importancia del primer

Dato que sobra

paso –Comprender el problema– antes de precipitar-

Precio de las frutillas Bs 15,50

se a solucionarlo.

Precio de las naranjas Bs 7,30

En esta unidad se propone descubrir qué información está de más en el plantea-

Martina compró un kilo de frutillas en Bs 15,50; una docena de naranjas en Bs 7,30 y dos bolsas de detergente en Bs 34,70. ¿Cuánto gastó Martina en frutas?

Precio del detergente Bs 34,70 2.

miento de un problema. En las diferentes unidades se fueron presentando es-

Respuesta: Martina gastó Bs 22,80 en frutas.

En una tienda de deportes, un par de zapatillas que cuesta Bs 350 tiene un descuento de Bs 73,80 y un buzo de Bs 280 tiene un descuento de Bs 35,90. ¿Cuánto cambio le dan a Julio si paga un par de zapatillas con Bs 300? Dato que sobra

trategias para desarrollar la habilidad de resolución de problemas, que es funda-

El descuento de Bs 73,80 en las zapatillas.

mental para la aplicación

El costo y el descuento en el buzo.

de la matemática en la vida

El pago realizado con Bs 300.

diaria.

Respuesta: Julio recibirá Bs 23,80 de cambio.

Proponga a los niños/as que inventen otros proble-

3.

mas donde sobren datos y que desafíen a sus compañeros a descubrirlos.

En un municipio se instalaron en las calles contenedores para recoger papel usado. El pri mer año se re cogieron 42 345,75 kg de papel; el segundo año, 12 500,90 kg más que el primero; el tercer año, 16 785,50 kg más que el segundo año y el cuarto año 76 450,85 kg. ¿Cuántos kilos de papel recogieron el tercer año? Dato que sobra El papel recogido el primer año. El papel recogido el segundo año. El papel recogido el cuarto año.

200

200

Respuesta:

El tercer año se recogieron 71 632,15 kg de papel.



Más actividades


Medidas en la vida diaria

Medidas en la vida diaria

Pida a los niños/as que consigan recetas sencillas

Cuando trabajamos con medidas, es importante establecer relaciones entre magnitudes. Puedes entrenarte utilizando medidas convencionales y no convencionales e instrumentos calibrados para comparar magnitudes.

de sus familiares. Pónganlas en común y elijan una donde puedan aplicar sus

Instrumentos de medición No convencionales

Convencionales

conocimientos del uso de

Las medidas no convencionales son aquellas que no están reconocidas en el Sistema Internacional de Medidas.

medidas de masa y capacidad. Busque con ellos la mejor forma de conseguir

Longitud

los ingredientes y medirlos. Preparen la receta y pruébenla entre todos. Anoten la receta en sus

Capacidad

cuadernos, utilizando fracciones, números decimales Masa

1.

y unidades de medida.

Algunas medidas de longitud se pueden estimar usando palmos, pies o pasos. Mide varios objetos o distancias y luego verifica las medidas con una cinta métrica. Las respuestas pueden variar. Ancho de una mesa Distancia entre A y B (ej. ancho del salón de clases) Distancia entre C y D (ej. ancho de la cancha)

2.

cm

pies

m

1 pie =

pasos

m

1 paso =

20

1 palmo =

cm

0,3

m

1

m

En las recetas de cocina se usan medidas como tazas y cucharas (también pizcas, cucharillas, etc), que puedes precisar con ayuda de una mamadera y una balanza. Relaciona.

4 tazas de azúcar 1 cuchara de azúcar

3.

palmos

1

kg

20

g

4 tazas de agua

1

1 cuchara de agua

5

l

ml

Inventa con tus compañeros otros ejercicios de medición. Te sugerimos, por ejemplo, llenar un mismo envase con distintos sólidos para comparar si su peso es el mismo. Por ejemplo, un vasito de yogur relleno con avena, harina, tierra, arroz, aserrín, etc.



201

201

Notas sobre las

Evalúa tus logros

actividades de

1.

evaluación

Completa. 4 000

0,04 km =

cm

4 500 cm =

m

7 dam =

1

2,37 hm =

237

Evalúe si deja en exposición en las paredes

3,58 m =

3 580

mm

300 dm =

50 dam =

5 000

dm

2 400 cm =

de la clase las tablas de conversión de medi-

0,003 hm =

das de longitud, masa y

7,43 dm =

30

cm

743

mm

0,45 0,07 3

hm km dam

0,24 0,04

4 mm =

hm dm

175

1 750 hm =

km

capacidad para que los niños/as las c onsulten cuando resuelvan los

8 dag =

8 000

ejercicios.

1,4 cg =

14

Tic Medidas equivalentes Equivalencias entre medidas de longitud, masa y capacidad.

0,45

hg

mg

67,1 cg =

0,0671

dag

cg

25 dag =

0,25

67,4 g =

6 740

55 hg =

5,5

kg

9,37 mg =

40 hg =

40 000

dg

3 500 g =

0,3 dg =

30

2,5 t =

2 500

5 kl =

500

37 dal =

mg kg

dal

3 700

dl

0,0937

dg

35

29,8 hg =

2,98

540 kg =

5,4

hg kg q

700 l =

7

hl

50 ml =

0,5

dl kl

240

ml

53 dal =

0,53

0,3 l =

300

ml

3,5 cl =

0,0035

dal

72

cl

137 hl =

13,7

kl

cl

34,5 dl =

4,7 hl =

47 000

3,45

l

Expresa en la unidad indicada.

0,04 km y 192 cm = En m

1,5 dam y 74 dm = 4 t, 6 q y 5 hg = En kg

5 dag, 2 dg y 3,8 mg = 3 kl, 4 dal y 7dl = En l

2 hl, 1,3

202

202

kg

24 cl =

7,2 dl =

2.

450 dg =

cg

l y

5 ml =

40 m + 1,92 m

=

15 m + 9,4 m

=

4 000 kg + 600 kg + 0,5 kg 0,05 kg + 0,0002 kg + 0,0000038 kg

= =

41,92 m 24,4 m

4 600,5 kg 0,0502038 kg

3 000 l + 40 l + 0,7 l

=

3 040,7 l

200 l + 1,3 l + 0,005 l

=

201,305 l



3.

Mi desempeño

Escribe en cada caso la unidad de medida que creas más adecuada.

•

Un libro mide 20

• • •

Una habitación mide 3

•

La carga del camión es de 1,5

• • •

cm m

de altura. km

La distancia entre dos pueblos es 7,5 Un perro pesa 25

kg

•

.

. t

. g

Una barra de chocolate pesa 120

. l

La capacidad de una piscina es de 400 En la copa entran 200

como docente

de ancho.

ml

.

Recupero y valoro el conocimiento del medio cultural de los niños/as sobre las medidas, según la región del país en la que vivan.

de vino.

Muchas veces 4.

Busca y escribe.


Dos objetos o seres que midan más de 1 metro y menos de 1 dam de longitud.

5.

Dos productos que pesen más de 1 hg y menos de 1 kg.

Pocas veces

Dos envases que puedan contener más de 100 ml y menos de 1 l

Un auto

Un libro

Un frasco de mermelada

Una cama

Una pelota

Un vaso

•

¿Cuánto tardará la tortuga en recorrer el trayecto entre A y B si camina 1 hm por día?

Fomento la observación y la experimentación en los niños/as, atesorándolas como germen de una actitud curiosa y científica.

Muchas veces

Tardará 750 días.

¿Y el trayecto entre B y C?

Pocas veces

Tardará 15 días. •

75 km B

A

1 5 0 0 m

Resalto la importancia de compartir lo que se tiene con los demás, sin favoritismos, tratando a todos por igual.

C

Muchas veces 6.

¿A cuántos metros sobre el nivel del mar vuelan los dos aviones?

Pocas veces

12 km, 4 hm, 300 dm

13 km, 3 hm, 200 dm

12 430 m

13 320 m



203

203


7.

Expresa en la misma unidad e indica el peso mayor y el menor.

evaluación 9 Pida a los niños/as que observen con atención

8.

1 kg, 18 dag, 7 g

2 878 g Peso mayor

1 187 g Peso menor

unidades de medida

549,5

347,83 m +

para alcanzar el resul-

652,17

922,57 mm +

tado propuesto en los 9.

18 hg, 1 dag, 70 g

1 880 g

Completa con la medida que falta.

450,5 g +

que deben convertir las

ejercicios.

1 kg, 18 hg, 78 g

77,43

g = 1 kg m = 1 km mm = 1 m

79,58 kg + 74,8 cl + 555,5 mg +

920,42 25,2 444,5

kg = 1 t cl = 1

l

mg = 1 g

Lee y resuelve.

•

Julio tiene que recorrer tres cuadras para ir de su casa a la escuela. Una cuadra tiene 90 m y otra 12 dam. ¿Qué longitud tendrá la tercera cuadra si en total hay 0,3 km desde la casa de Julio hasta su escuela? 300 m – (90 m + 120 m) = 90 m. La tercera cuadra tiene 90 metros.

•

Un camión puede transportar una carga máxima de 3,5 toneladas. Si debe entregar un pedido de 50 bolsas de azúcar de 25 kg cada una y 100 bolsas de arroz de 50 kg cada una, ¿cuántos viajes deberá realizar para completar la entrega? Para transportar los 7 500 kg debe realizar 3 viajes.

•

La señora Alicia compró en el mer cado 10 kg de distintas verduras. Compró 4,3 kg de papa; 1,8 kg de zanahoria; 500 g de apio; 1,50 kg de tomate y el resto de zapallo. ¿Cuántos kilogramos de zapallo compró? Compró 1,9 kg de zapallo.

•

La señora Flora quiere fraccionar un bidón de aceite de 9 litros. ¿Cuántas botellas de 750 ml podrá llenar con el aceite? 9 000

' 750

= 12

Podrá llenar 12 botellas de 750 ml de aceite.

•

El papá de Andrea preparó una rica sopa de verduras. En la olla había 32 dl de sopa. Si ya sir vió cuatro platos de 45 cl cada uno, ¿qué cantidad de sopa queda aún en la olla? 320 cl – ( 45 cl

#4)

= 140

Quedan aún 14 dl de sopa en la olla.

204

204




VALORES Quedan testimonios

Las medidas en el mundo

hasta la actualidad, de la forma como en dis-

Existen testimonios de las formas que encontraron diferentes culturas de medir objetos y fenómenos. Algunas usaron partes del cuerpo como unidad de referencia, fijándose cuántas veces cabía esa unidad en el objeto que se quería medir. ¿Cuántos pies había de un extremo a otro de una cama? ¿Cuántos pasos existían entre un árbol y otro? ¿Cuántas tazas había en un saquillo de cereal? Las medidas no convencionales siguen siendo usadas en la actualidad, pero la mayoría de los países del mundo –salvo tr es– llegó a un acuerdo a mediados del pasado siglo, adoptando de forma oficial el uso de un Sistema Internacional de Medidas (SIM). En el SIM se proponen unidades básicas para expresar magnitudes físicas, como longitudes, masa o peso, volumen o capacidad, tiempo y temperatura, entre otras. Han pasado muchos años y los instrumentos de medición se han perfeccionado. Podemos estar seguros que aquí o allá, tienen una misma calibración, que nos permite encontrar equivalencias entre medidas tomadas con instrumentos similares.

•

tintas culturas se buscó medir los objetos que rodeaban al ser humano. Y para medirlos, se utilizaron medidas arbitrarias, que tenían que ver muchas veces con las partes del cuerpo humano –y algunas veces, con las partes del cuerpo humano de algún monarca–. Así, heredamos una forma muy

Doña Juanita gastó Bs 40 en una arroba de papa –una arroba tiene aproximadamente 13 kilogramos–. Doña Clara compró 5 kg de la misma papa, a un costo de Bs 20. ¿Quién pagó un mejor precio? Juanita: 40

'

“centrada en nosotros” de medir la realidad. Lo pequeño o grande lo medimos con relación a

13 = 3,07 Clara: 20 ' 5 = 4 Doña Juanita pagó el mejor precio.

nuestro tamaño, peso o capacidad.

Nuestro bienestar

Considerarnos parte de un gran proyecto

En nuestras vidas, podemos jugar todo el tiempo con la imagen del medio vaso lleno o el medio vaso vacío. Hay personas que eligen lamentarse y quejarse por el estado de las cosas; hay otras personas que buscan soluciones a los problemas y aportan su granito de arena para el bienestar común. Es una elección personal.

universal nos ofrece una verdadera lección de humildad. ¿Somos verdaderamente grandes

Cuando observes lo que transcurre a tu alrededor, conserva siempre la imagen de las magnitudes: existen objetos y fenómenos minúsculos, pequeños, medianos, grandes e inmensos. Muchos pueden ser vistos y medidos; otros no tienen aún explicación científica. La vida misma es un misterio y tienes el privilegio de vivirla y de ayudar a conservarla.

si nos comparamos con

•

Para comprobar lo relativo de las magnitudes, podemos hacer una simple comparación entre nuestro planeta y la estrella que nos permite vivir gracias a su luz y calor y que, a simple vista, vemos de un tamaño relativamente pequeño. El Sol tiene un diámetro de 1 392 000 km y el de la Tierra mide 12 756 km en el Ecuador ¿Cuántas veces más grande es el diámetro del Sol que el de la Tierra?

realmente pequeños si

El diámetro del Sol es 109 veces mayor que el de la Tierra.

Cuando podemos cam-


montañas de 6 000 metros de altura como las que tenemos en Bolivia? ¿Somos nos comparamos con el tamaño de los primeros organismos unicelulares que poblaron el planeta?

205

biar nuestro punto de vista, es como si lográramos ampliar nuestra visión, alcanzando 360º de mirada alrededor nuestro. Entonces es cuando vemos al otro –o a los demás seres- con mayor respeto y consideración. Y también podemos agradecerles, porque la vida es una sola, y su bienestar es nuestro bienestar.


205

Notas sobre las

Repaso acumulativo


1.

Ordena los números decimales de mayor a menor. 9,41 > 4,91 > 4,19 > 1,49

3

4,19

4,91

9,41

1,49

Si algún niño/a mostrara dificultad para

10,05

10,5

10,005

1,05

10,5 > 10,05 > 10,005 > 1,05

17,4

14,7

71,4

47,1

71,4 > 47,1 > 17,4 > 14,7

resolver los ejercicios, recuérdele que otra forma de leer la línea horizontal que separa el

2.

Completa las equivalencias, anotando números decimales.

numerador del denomi-

3 U, 18 d =

3,18

7Uy1m=

7,001

2/5 se puede leer “dos

8dy7c=

0,87

20 c y 1 000 m =

1,2

quintos” o “dos dividido

7dy1m=

0,701

72 d y 7 m =

7,207

nador es “dividido por”.

por cinc o”. 3.

Expresa en forma de número decimal. 27

100

45 100

4.

16

2,7

=

10

=

10

1

0,45

1000

1

0,16

=

20

0,001

=

=

50

=

5

0,1

100 1

0,4

4

=

=

0,05

0,25

Anota los números que faltan en las rectas numéricas. Mayores que 2,3 y menores que 2,9 2,3

2,4

2,5

2,6

2,7

2,8

1,35

1,45

1,55

1,65

1,75

1,85

2,9

Mayores que 1,35 y menores que 1,95

5.

Suma las fracciones decimales, expresándolas primero en forma de número decimal. 15 10

6.

+

137 100

=

2,87

48 100

+

480 1000

=

0,96

3 10

+

325 1000

=

0,625

Ordena verticalmente y suma o resta. 375,08 + 1,43 + 28,25 404,76

206

206

1,95

65,3 + 47,16 + 0,03

20,437 – 0,194

112,49

20,243

5,144 – 1,027 4,117




evaluación

Multiplica. 5728

1978, 25

2, 5

#

#

1 4320

10

27, 83

60

#

11 8695

Considere si es oportuno dejar en exhibición

1, 32

36,7356

en la pared los cuadros de conversión de medidas para que los niños/ 8.

as los tengan como

Divide hasta que el cociente tenga dos cifras decimales.

referencia. 4 932

50

1 603, 35

98,64

63 25,45

81 , 34

1, 25 65,07

11 Pida a los niños/as que lean varias veces los problemas antes de resolverlos, y que además

9.

Completa las multiplicaciones y divisiones por múltiplos de 10.

84,32 0,59 1,3 10.

# 10

# 100

# 1

= 843,2

5,42

# 100

= 59

0,02

# 10

61,3

# 1

000 = 1 300

=

83,32

0,2

0,59

000 = 61 300

1,3

de elegir las operacio-

' 100

000 = 0,00542

nes adecuadas, requie-

= 0,0002

ren convertir todas las

5,42

' 1

= 0,059

0,02

' 100

000 = 0,0013

61,3

' 10

' 10

' 1

= 0,8332

= 6,13

8,3

te la que se pide en la

825 cm = 4,3 km = 16 cm =

pregunta que se quiere

m

8,25

m

4 300 m 0,16

0,019 g

19 mg =

172,9 cm

1 729 mm =

medidas a una misma unidad, preferentemen-

Completa las equivalencias.

83 dm =

11.

= 542

m

19,32 kl = 1 932

dal

18,3 g =

1 830

1,5 t =

1 500 kg

7,08 hl = 7 080

dl

12,3 q =

1 230

157 ml = 0,157

l

2 530 mg =

2,53

cg

1,23 l =

kg g

25 l =

contestar.

1 230 ml

2 500 cl

Lee y resuelve.

•

Una cinta mide 4 metros. La cortamos en 25 trozos iguales. ¿Cuántos centímetros mide cada trozo? Cada trozo mide 16 cm.

•

Para elaborar una receta, una farmacéutica necesita exactamente 12,3 dg de sacarosa. Si ya tiene 20 mg, ¿cuántos centígramos precisa todavía? 123 cg – 2 cg = 121 cg

Necesita aún 121 cg de sacarosa.



207

207

Guia Matemáticas 5 Primaria

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