INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL ESIME ZACATENCO I. E., I. C. A., I.S.A. ACADEMIA DE MATEMÁTICAS GUIA E.T.S. DE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL TURNO MATUTINO Y VESPERTINO 1. Resuelva las siguientes desigualdades: (a)
Conjunto solución: [-1, ½) ; Conjunto solución: [-8, -3) - 3) U (2, ∞)
(b)
(c) Encontrar el conjunto que contemple las soluciones de
∣ 2 x 4∣
7 y∣ 2 x∣ 1
Conjunto solución: [11 / 2]U [1 / 2, 2, 3/ 3 / 2] 2] (d) ∣ 3 x 5∣ 5 Conjunto solución: x 1 / 3 ó x 4 2. Encuentre el dominio e imagen de las siguientes funciones. (a)
es real.
(b) f ( x)
x 6 2
Dominio: x 6 y x 6 ; Imagen: [0, )
3 X 2 Dominio
(c)
Imagen: [0, ∞) Dominio: [-∞, [- ∞, -1] U [3, ∞); Imagen:
2 x
3
Imagen [0, ) .
x si x 0 (d) f x Dominio: 2 si x<0 x
Imagen:
3. Diga cuál es el dominio de las siguientes funciones y bosqueje sus gráficas: (a)
;
Respuesta: Dominio (0, ∞)
(b)
;
Respuesta: Dominio (0, ∞) 1
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(c) Respuesta: Dominio (−∞, ∞) (d) Respuesta: Dominio [0, ∞)
4. Describa la razón por la que no se puede encontrar x tal que: (a) sen (x) = 11/5 (b) cos(x) = 7/3 5. Determine si las siguientes funciones son pares o impares
2
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; Dominio: (6,∞) (6,∞)
(b)
Dominio: (6,∞)
(c)
Dominio: (−∞,∞)
(d)
; Dominio: [6,∞)
7. Grafique las siguientes funciones mediante desplazamientos a la izquierda o a la derecha, hacia arriba o hacia abajo según corresponda. (a) 3 e2 x (b) 2 ln(1 x) (c) 3 sen( x ) 8. Encuentre: (a) La composición de f y g (b) La composición de g y f
para
Y Respuestas: (a)
;
(b)
9. Calcule los siguientes límites:
(a)
; Respuesta: 3
(b)
; Respuesta: No existe.
(c)
; Respuesta: Sen1
(d) lim
x
5 2 x
2
3 x 5 x
2
; Respuesta: 4/10
3
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3 2 (2 z 3 k) 4 k z
2 z(2 z k)
2
k 0
x x 6
; Respuesta: 1
2
(f) lim x 2
(g) lim x
x 4 2
; Respuesta: 5/4
2 x 2 x 3
2 x 2 x 3 ; Respuesta: 2
∣ x ∣
(h) lim
; Respuesta: El límite no existe ya que los límites laterales no x coinciden. x 0
10. Encuentre las asíntotas horizontales y verticales de la gráfica de: (a)
; Respuesta: AV: x = -3 y x = -4, AH: y= 2
11. Encuentre los valores de a y b de modo que la función sea continua
Respuesta:
a= 2; b= -3
12. Determine si las siguientes funciones son continuas: (a)
f( x) 1 /
(b)
f x
x 6 ; Respuesta: La función es discontinua en 3 y -3 2
x si x 0 x
; Respuesta: La función es continua.
si x<0
13. Encuentre las derivadas de las siguientes funciones utilizando la regla de los 4 pasos (Mediante la definición formal de derivada como límite) (a)
x 2 2 x Respuesta: 2 x 2
(b)
5 x5 2 Respuesta: 25 x
(c)
1 / x
2 Respuesta: 1 / x
14. Encuentre la derivada de la función dada:
(a)
(b)
;
;
Respuesta:
Respuesta:
4
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;
Respuesta:
(d)
; Respuesta:
(e)
;
(f)
Respuesta:
Compruebe que
es igual a sec2x
15. Encuentre ecuaciones de las rectas tangente y normal a la curva en el punto (π/4, π/4): (a) Respuesta: Recta Tangente y=x; Recta Normal y= - x + π/2 3
3
(b) 2x +2y -9xy=0 en el punto (2,1). Respuesta: Recta tangente 5x-4y-6=0; Recta Normal 4x+5y-13=0 16. Mediante regla de la cadena derive las siguientes funciones: 2 (a) 3sen(cos( 3x 5 )) Respuesta:
3cos(cos ( 3x 5 )(sen( 3x 5 ))1 / 2((3x 5) 2
(b) e
2
cos ( 2 sen( 2 x ) )
e
cos ( 2 sen ( 2x 2 ) )
2
2
1/ 2
)(6x )
Respuesta: 2
2
1/ 2
2
( sen( 2sen(2 x ) ))1 / 2(2 sen(2 x )) )(2cos(2 x )(4 x)
17. Encuentre f´´( ) si f(x) = Respuesta: f’’(π)=1/2
2 cos x
18. Determine si la siguiente función es diferenciable en x=3
x 2 2 si x 3 f x 2 20 x si 3
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(a)
;
(b)
Respuesta:
; Respuesta:
(c)
;
(d)
Respuesta:
; Respuesta:
(e)
; Respuesta:
(f)
;
Respuesta:
Por partes: (a)
;
Respuesta:
6
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Respuesta:
(c)
Respuesta:
(d)
; (Sugerencia:
).
Respuesta:
Descomposición trigonométrica: (a)
;
(b)
Respuesta:
; Respuesta:
Fracciones parciales: a) 2 x 5
( x 1)
2
dx
2 ( x 1)
3 ( x 1)
2
dx.
=
b) 2 x 2
x
2
x
dx 2 ln ∣ x ∣ +c
c)
7 x 1 dx ln ∣ x ∣ +6 ln ∣ x 1∣ +c 2 x x
22. Aplicaciones de la integral 2 (a) Calcule el área comprendida entre las curvas y x 1 , y 4
Respuesta: 12 16 / 3 7
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y x
2
con respecto al
eje Y en el intervalo de 2 a 4. Respuesta:
992 5
.
23. Verifique si las siguientes sucesiones convergen o divergen: (a) an { (b) bn {
1
} Respuesta: Converge 3n 1
3n 1 } Repuesta: Converge 2n
1 (c) cn {( )n} Respuesta: Converge 3
(d) d n {2n2 3n} Respuesta: Diverge 24. Verifique si las siguientes series geométricas convergen o divergen
(a)
2
7( 5 )
k 1
Respuesta: 35/3
k 1
(b)
1
12( 2 )
k 1
Respuesta: 24
k 1
(c)
3
5( 2 )
k 1
Respuesta: La serie no converge.
k 1
8
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