Guia de 100 Ejercicios de Vibraciones

Diseño de Máquinas – Ing. Molero M Gustavo J. Correo Electrónico: [email protected]

GUIA DE EJERCICIOS PARA RESOLVER PARA DISEÑO DE MÁQUINAS - TRAYECTO III - ABRIL 2013 Normas: Explicar detalladamente cada ejercicio, paso a paso. 1.- Formule la Ecuación de Movimiento (E.D.M), del Sistema Mecánico (S.M), de la figura mostrada, mediante el método de Newton y mediante el método de Energía. También deberá hallar la ecuación que expresa la frecuencia circular, la frecuencia natural. Y si posee valores sustituirlos en las ecuaciones encontradas y encontrar las incógnitas planteadas.

2.- Formule la Ecuación de Movimiento (E.D.M), del Sistema Mecánico (S.M), de la figura mostrada, mediante el método de Newton y mediante el método de Energía. También deberá hallar la ecuación que expresa la frecuencia circular, la frecuencia natural. Dos barras esbeltas uniformes están soldadas según se indica en la figura. La barra ABC. Pesa 10 N en la posición de equilibrio está horizontal; la barra BD pesa 15 N y en la posición de equilibrio vertical, el pivote esta exento de rozamientos. Determinar: a- Razón de amortiguamiento. b- El tipo de movimiento movimiento (Sub amortiguado, sobre amortiguado o con amortiguamiento crítico) c- La frecuencia y el periodo del movimiento.

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3.- Formule la Ecuación de Movimiento (E.D.M), del Sistema Mecánico (S.M), de la figura mostrada, mediante el método de Newton y mediante el método de Energía. También deberá hallar la ecuación que expresa la frecuencia circular, la frecuencia natural. Una barra esbelta uniformes de 2 Kg y 500 mm de longitud gira alrededor de un pivote exento de rozamientos situado en B, según se puede observar en la figura. En la posición de equilibrio la barra, está horizontal; Determinar para este sistema: a- Razón de amortiguamiento. b- El tipo de movimiento (Sub amortiguado, sobre amortiguado amortiguado o con amortiguamiento crítico) c- La frecuencia y el periodo del movimiento.

4.- Formule la Ecuación de Movimiento (E.D.M), del Sistema Mecánico (S.M), de la figura mostrada, mediante el método de Newton y mediante el método de Energía. También deberá hallar la ecuación que expresa la frecuencia circular, la frecuencia natural. Un cilindro uniforme de 5Kg rueda sin deslizamiento por un plano inclinado, como se indica en la figura, el resorte esta unido a un hilo ligero inextensible, arrollado sobre el cilindro y el amortiguador lo está a un pequeño pasador exento de rozamientos situado en el centro G del cilindro de 400 mm de diámetro. a- Razón de amortiguamiento. b- El tipo de movimiento (Sub amortiguado, sobre amortiguado amortiguado o con amortiguamiento crítico) c- La frecuencia y el periodo del movimiento.

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5.- Formule la Ecuación de Movimiento (E.D.M), del Sistema Mecánico (S.M), de la figura mostrada, mediante el método de Newton y mediante el método de Energía. También deberá hallar la ecuación que expresa la frecuencia circular, la frecuencia natural. Un cilindro uniforme de 5Kg rueda sin deslizamiento por una superficie horizontal, como se indica en la figura, el resorte y el amortiguador están conectados a un pequeño pasador exento de rozamientos situado en el centro G del cilindro de 20 cm de diámetro. Determinar además: a- Razón de amortiguamiento. b- El tipo de movimiento (Sub amortiguado, sobre amortiguado amortiguado o con amortiguamiento crítico) c- La frecuencia y el periodo del movimiento.

6.- Formule la Ecuación de Movimiento (E.D.M), del Sistema Mecánico (S.M), de la figura mostrada, mediante el método de Newton y mediante el método de Energía. También deberá hallar la ecuación que expresa la frecuencia circular, la frecuencia natural. Una barra esbelta uniformes de 1,5 m de longitud y que pesa 15 N, gira alrededor de un pivote exento de rozamientos situado en A, según se puede observar en la figura. En la posición de equilibrio la barra, está horizontal; Determinar para este sistema: a- Razón de amortiguamiento. b- El tipo de movimiento (Sub amortiguado, sobre amortiguado amortiguado o con amortiguamiento crítico) c- La frecuencia y el periodo del movimiento.

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8.- Formule la Ecuación de Movimiento (E.D.M), del Sistema Mecánico (S.M), de la figura mostrada, mediante el método de Newton y mediante el método de Energía. También deberá hallar la ecuación que expresa la frecuencia circular, la frecuencia natural. Se quiere determinar el coeficiente de amortiguamiento c de un amortiguador observando la oscilación de una bloque de 50 N de peso que pende de el como se muestra en la figura. Cuando se tira hacia abajo del bloque y se suelta, se observa que la amplitud de la vibración resultante disminuye de 125 mm a 75 mm en 20 ciclos de oscilación. Calcule el valor de c si los 20 ciclos se completan en 5 seg, en 10 seg y en 15 seg.

9.- Formule la Ecuación de Movimiento (E.D.M), del Sistema Mecánico (S.M), de la figura mostrada, mediante el método de Newton y mediante el método de Energía. También deberá hallar la ecuación que expresa la frecuencia circular, la frecuencia natural. s dos masas de la figura se deslizan por sendas superficies horizontales exentas de rozamiento. En la posición de equilibrio, la barra ABC está vertical, siendo despreciable su masa. Si a= 100 mm y se suponen oscilaciones de pequeña amplitud. Determinar: a- Razón de amortiguamiento. b- El tipo de movimiento (Sub amortiguado, sobre amortiguado o con amortiguamiento crítico) c- La frecuencia y el periodo del movimiento.

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10.- Formule la Ecuación de Movimiento (E.D.M), del Sistema Mecánico (S.M), de la figura mostrada, mediante el método de Newton y mediante el método de Energía. También deberá hallar la ecuación que expresa la frecuencia circular, la frecuencia natural. El bloque de 25 N de peso de la figura se desliza por una superficie horizontal exenta de rozamiento mientras que el que pesa 15 N pende en un plano vertical. La barra ABC tiene más despreciable y en la posición de equilibrio tiene horizontal su brazo AB. Si c=250 N*seg/m y se supone oscilaciones de pequeña amplitud, Determine: a- Razón de amortiguamiento. b- El tipo de movimiento (Sub amortiguado, sobre amortiguado o con amortiguamiento crítico) c- La frecuencia y el periodo del movimiento. d- el valor de c que da el amortiguamiento critico. e- la razón de amplitudes de la vibración entre los picos positivos segundo y tercero, los picos positivos primero y tercero los picos positivos tercero y quinto, el primer pico positivo y el pico negativo siguiente.

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11.- Formule la Ecuación de Movimiento (E.D.M), del Sistema Mecánico (S.M), de la figura mostrada, mediante el método de Newton y mediante el método de Energía. También deberá hallar la ecuación que expresa la frecuencia circular, la frecuencia natural. Dos bloques mostrados en la figura penden, en un plano vertical, de una barra de masa despreciable que está horizontal en la posición de equilibrio. Si a015 cm y se suponen oscilaciones de pequeña amplitud, determine:

a-

Razón de amortiguamiento.

b-

amortiguado o con amortiguamiento crítico).

El tipo de movimiento (Sub amortiguado, sobre c-

La frecuencia y el periodo del movimiento.

d-

El

valor de a que da amortiguamiento crítico.

12.- Formule la Ecuación de Movimiento (E.D.M), del Sistema Mecánico (S.M), de la figura mostrada, mediante el método de Newton y mediante el método de Energía. Una masa de 4 Kg pende de un plano vertical, según se indica en la figura. El resorte se halla sometido a tracción en todo momento y las poleas son pequeñas y exentas de rozamientos. Si se desplaza la masa 15 mm por encima de su posición de equilibrio y se suelta dándole una velocidad hacia abajo de 750 mm/seg, cuando t=0, determinar. a- La ecuación diferencial que rige el movimiento. b- El periodo de la vibración resultante.

c-

La posición de la masa en función del tiempo.

d-

El primer instante

t1>0 en que se anula la velocidad de la masa.

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13.- Formule la Ecuación de Movimiento (E.D.M), del Sistema Mecánico (S.M), de la figura mostrada, mediante el método de Newton y mediante el método de Energía. Un bloque que pesa 100 N se desliza por una superficie horizontal exenta de rozamiento, según se indica en la figura. Los dos resortes están sometidos a tracción en todo momento y las poleas son pequeñas y exentas de rozamientos. Si se desplaza el bloque 75 mm a la izquierda de su posición de equilibrio y se suelta dándole velocidad de 1,25 m/seg, hacia la derecha cuando t=0, determinar. a.- La ecuación diferencial que rige el movimiento. b.- El periodo de la vibración resultante.

14.- Formule la Ecuación de Movimiento (E.D.M), del Sistema Mecánico (S.M), de la figura mostrada, mediante el método de Newton y mediante el método de Energía. Si se desplaza la masa de 5 mm por debajo de su posición de equilibrio y se suelta una velocidad hacia arriba de 250 mm/seg, cuando t=0, determine: periodo de vibración resultante

c.-

a.-

La ecuación diferencial que rige el movimiento. b.- El

La posición de la masa en función del tiempo.

d.-

El primer

instante t1>0 en que la masa pasa por su posición de equilibrio.

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15.- Formule la Ecuación de Movimiento (E.D.M), del Sistema Mecánico (S.M), de la figura mostrada, mediante el método de Newton y mediante el método de Energía. Un bloque que pesa 50 N pende, en un plano vertical, de dos resortes y un amortiguador, según se indica en la figura. Si se desplaza el bloque 175 mm por encima de su posición de equilibrio y se suelta dándole una velocidad hacia arriba de 3,75 m/seg, cuando t=0, determinar el movimiento.

b.-

El periodo de la vibración resultante.

c.-

a.-

La ecuación diferencial que rige

La posición del bloque en función del

tiempo. d. El primer instante t1>0 en el que el bloque pasa por su posición de equilibrio.

16.- Formule la Ecuación de Movimiento (E.D.M), del Sistema Mecánico (S.M), de la figura mostrada, mediante el método de Newton y mediante el método de Energía. Un bloque de mas m se desliza por una superficie horizontal exenta de rozamientos, según se indica en la figura. Determine el coeficiente de amortiguador c del amortiguador único que podría sustituir a los dos representados sin que cambiara la frecuencia de vibración del bloque.

17.- Formule la Ecuación de Movimiento (E.D.M), del Sistema Mecánico (S.M), de la figura mostrada, mediante el método de Newton y mediante el método de Energía. Un bloque de masa m se desliza por una superficie horizontal exenta de rozamientos, según se indica en la figura. Determinar el coeficiente de amortiguamiento c del amortiguador único que podría sustituir a los representados sin que se cambiara la frec uencia de vibración del bloque.

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18.- Formule la Ecuación de Movimiento (E.D.M), del Sistema Mecánico (S.M), de la figura mostrada, mediante el método de Newton y mediante el método de Energía. Una barra esbelta uniforme de 3 Kg tiene una longitud de 100 mm y está en equilibrio en la posición horizontal que se indica en la figura. Cuando se desciende un poco E y se suelta, se observa que la amplitud del pico de la oscilación es un 90% de la amplitud del pico anterior. Si la constante del resorte es de 400 N/m determine. a.- El valor del coeficiente de amortiguamiento c. b.- El periodo amortiguado, la frecuencia amortiguada y la pulsación amortiguada de la vibración resultante.

19.- Formule la Ecuación de Movimiento (E.D.M), del Sistema Mecánico (S.M), de la figura mostrada, mediante el método de Newton y mediante el método de Energía.

20.- Formule la Ecuación de Movimiento (E.D.M), del Sistema Mecánico (S.M), de la figura mostrada, mediante el método de Newton y mediante el método de Energía.

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21.- Formule la Ecuación de Movimiento (E.D.M), del Sistema Mecánico (S.M), de la figura mostrada, mediante el método de Newton y mediante el método de Energía. Un bloque que pesa 50 N está suspendido en un plano vertical por tres resortes, según indica la figura. Si se desplaza 175 mm, hacia arriba a partir de su posición de equilibrio y se suelta con una velocidad hacia arriba de 3,75 m/seg, cuando t=0, determinar. a.- La ecuación diferencial que rige el movimiento. b.-

El periodo y la amplitud de la vibración resultante.

c.-

La posición del bloque en función del

tiempo. d.- El menor tiempo T1>0 de paso el bloque por su posición de equilibrio.

22.- Formule la Ecuación de Movimiento (E.D.M), del Sistema Mecánico (S.M), de la figura mostrada, mediante el método de Newton y mediante el método de Energía. Una masa de 4 Kg está suspendida en un plano vertical. Según se indica en la figura. Los dos resortes están sometidos a tracción en todo momento y las poleas son pequeñas y están exentas de rozamientos. Si se lleva la masa a 15 mm por encima de posición de equilibrio y se suelta con una velocidad de 1,25 m/seg, hacia la derecha, cuando t=0, determinar: movimiento.

b.-

a.-

La ecuación diferencial que rige el

El periodo y la amplitud de la vibración resultante.

c.-

La posición del bloque en

función del tiempo. d.- El menor tiempo t1>0 correspondiente a la velocidad nula de la masa.

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23.- Formule la Ecuación de Movimiento (E.D.M), del Sistema Mecánico (S.M), de la figura mostrada, mediante el método de Newton y mediante el método de Energía. También deberá hallar la ecuación que expresa la frecuencia circular, la frecuencia natural. Y si posee valores sustituirlos en las ecuaciones encontradas y encontrar las incógnitas planteadas.




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96.- Formule la Ecuación de Movimiento (E.D.M), del Sistema Mecánico (S.M), de la figura mostrada, mediante el método de Newton y mediante el método de Energía. También deberá hallar la ecuación que expresa la frecuencia circular, la frecuencia natural. Y si posee valores sustituirlos en las ecuaciones encontradas y encontrar las incógnitas planteadas. Determine también el máximo desplazamiento del pistón después de encontrarse con el resorte amortiguador ¿Cuantos segundos se requieren?

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99.- Formule la Ecuación de Movimiento (E.D.M), del Sistema Mecánico (S.M), de la figura mostrada, mediante el método de Newton y mediante el método de Energía. También deberá hallar la ecuación que expresa la frecuencia circular, la frecuencia natural. Y si posee valores sustituirlos en las ecuaciones encontradas y encontrar las incógnitas planteadas. Calcule el momento de inercia.

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100.- Formule la Ecuación de Movimiento (E.D.M), del Sistema Mecánico (S.M), de la figura mostrada, mediante el método de Newton y mediante el método de Energía. También deberá hallar la ecuación que expresa la frecuencia circular, la frecuencia natural. Y si posee valores sustituirlos en las ecuaciones encontradas y encontrar las incógnitas planteadas. Hallar el momento de inercia de la biela, con respecto a su centro de gravedad.


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122.- Una máquina apoyada sobre un soporte elástico es modelada como un sistema de un grado de libertad. El piso es sometido a un desplazamiento y(t) definido en la figura. La 3 máquina tiene una masa de 4000 [kg] y los soportes tienen una rigidez de 2∙10 [N/m]. Calcular la vibración resultante en la máquina debido al movimiento del piso.

123.- La figura muestra un poste de transmisión eléctrico con un transformador montado en la parte superior de éste. El sistema es solicitado por una aceleración basal producida por el transito de vehículos en la cercanía. La duración del registro es igual a un medio (1/2) del período natural del sistema. Calcular la respuesta en el tiempo del desplazamiento relativo del transformador.

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124.- La rueda excéntrica mostrada en la figura imparte una desplazamiento y(t) en la forma de una función periódica tipo diente de sierra al extremo inferior del sistema, donde y(t) es mostrado en la figura. Derive una expresión para la respuesta x(t) por medio de un análisis de Fourier.

125.- Un instrumento delicado es montado sobre un resorte en el piso de un laboratorio de prueba. Se ha determinado que el piso vibra verticalmente con movimiento armónico de amplitud 2,54 [mm] a 10 [Hz]. Si la masa del instrumento es 45,359 [kg], determinar la rigidez del aislamiento requerido para reducir la amplitud de movimiento vertical del instrumento a 0,0254 [mm]. Asuma amortiguamiento igual a cero.

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126.- La figura muestra esquemáticamente una turbina de agua (de tipo Francis) en la cual fluye agua desde A hasta B para luego seguir por el conducto C. El rotor del sistema tiene una masa de 250 [kg] y un desbalanceo dado por:

m  e  4 [kg  mm]

Donde m es la masa desbalanceada y e su excentricidad. La distancia (holgura) entre el rotor y las paredes del conducto es 5 [mm]. La turbina opera en un rango de velocidad entre 500 y 5000 [rpm]. Determinar el radio del cigüeñal de tal manera que el rotor siempre esté libre de tocar el conducto para el rango de operación dado. Despreciar el amortiguamiento del sistema.

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128.- La viga mostrada en la figura tiene una longitud de 6 [m], un ancho de 1 [m] y un espesor de t [m]. La viga tiene un motor instalado en su extremo libre con una masa de 75 [kg] y una velocidad de 1200 [rpm]. Una fuerza armónica es generada por el motor debido a un desbalance con una magnitud de 6000 [N]. Encontrar el espesor necesario para que 11

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la amplitud de la respuesta estacionaria sea menor que 5 [cm]. ( E = 2·10 [N/m ] ) Encontrar la amplitud de la respuesta estacionaria del sistema encontrado en a) si un amortiguamiento equivalente al 10% del crítico es considerado.

128.- Un sistema de video de masa m es empaquetado en una caja utilizando un material flexible. La rigidez y amortiguamiento del material flexible están dados por k y c, respectivamente. Si la caja es tirada accidentalmente desde una altura h del piso rígido, calcular el movimiento del sistema de video.

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129.- Un prisma rectangular de madera de densidad

 W ,

altura h y sección a  b , se

encuentra inicialmente sumergido en un recipiente con aceite de densidad

 0 .

Calcular la

respuesta del prisma de madera en los primeros diez ciclos de vibración utilizando el método de Diferencias Central, Aceleración Constante y Aceleración Lineal, con intervalos de tiempo t iguales a T/20, T/10, T/2 y T, donde T es el período del sistema. Utilizar los siguientes valores numéricos:

a

2

b

1

h

4

g  10  W  1 / 20  0  1 / 8

X 0

0

 X 0

1

130.- Repetir el problema anterior considerando un nivel de amortiguamiento equivalente del 10%. En otras palabras, considerar d = 0,1

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131.- Considerar el modelo matemático correspondiente a un sistema de un grado de libertad con amortiguamiento viscoso positivo:

  0,1 X   X  0 X  (0)  0 X (0)  1 , X  (t ) versus t . a) Resolver y dibujar X (t ) y X  (t ) versus t . ¿Qué se puede concluir con respecto a la b) Dibujar X (t ) versus X estabilidad del sistema? 132.- Considerar el modelo matemático correspondiente a un sistema de un grado de libertad con amortiguamiento viscoso negativo:

  0,1 X   X  0 X  (0)  0 X (0)  0,1 , X  (t ) versus t . Resolver y dibujar X (t ) y X  (t ) versus t . ¿Qué consecuencias tendría esta respuesta a) Dibujar X (t ) versus X para un sistema físico? Nota: El colapso del puente Tacoma en el año 1940 se debió a este tipo de respuesta.

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133.- Un modelo simplificado de un tanque es mostrado en la figura. Este modelo puede ser utilizado para obtener información sobre el movimiento angular y el movimiento lineal (hacia arriba y abajo) del sistema. Suponer que la masa total es m y el momento polar de masa con respecto al centro de gravedad (C.G.) es J.

a) Obtener las ecuaciones de movimiento usando una coordenada de rotación y otra de traslación verticales definidas en el centro de gravedad (C.G.).

b) Repetir a) con un sistema definido en un punto a una distancia “e” del centro de gravedad del tanque.

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134.- Encuentre las frecuencias naturales y los modos de vibrar para la estructura de corte de tres pisos mostrada en la figura. Dibuje los modos naturales.

135.- Una de las ruedas y hojas de resortes de un automóvil, que viaja sobre un camino rugoso, es mostrado en la figura (a). Por simplicidad, todas las ruedas pueden suponerse iguales y el sistema puede ser idealizado como se muestra en la figura (b). El automóvil tiene una masa m1=1200 kg y la hoja de resortes tiene una rigidez total de k 1 = 500 kN/m. Las ruedas y ejes tienen una masa m 2 = 400 kg y los neumáticos tienen una rigidez k2 = 400 kN/m. Si la superficie del camino varía sinusoidalmente con una amplitud Y = 0.1m y un período L = 5m, encuentre las velocidades críticas del automóvil.

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136.- Una bomba centrífuga, que tiene un desbalance me, está soportada sobre una fundación rígida de masa m2 por medio de resortes aisladores de rigidez k1, como muestra la figura. Si la rigidez y amortiguamiento del suelo son k 2 y c2, encuentre el desplazamiento en estado estacionario de la bomba y la fundación para los siguientes datos: m = 0.2 [kg], e = 0.15 [m], m1 = 360 [kg], k1 = 350 [kN/m], m2 = 900 [kg], k2 = 175 [kN/m], c2 = 35 [kN·s/m], y la velocidad de la bomba 1200 [rpm].

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137.- Un marco de dos pisos es modelado como se muestra en la figura. Se asume que las vigas son rígidas y que las columnas tienen una rigidez a la flexión EI 1 y EI2, con una masa despreciable. La rigidez de cada columna puede ser calculada como:

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24EIi/hi

i = 1,2

Para m1 = 2m, m2 = m, h1 = h 2 = h, EI1 = EI 2 = EI, determine las frecuencias naturales y las formas modales del marco.

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138.- Para el sistema mostrado en la figura, determinar la frecuencia fundamental y su correspondiente modo de vibrar, utilizando el método de iteración matricial. Comenzar el proceso iterativo mediante 3 configuraciones distintas.

139.- Una cuerda de longitud L, fija en ambos extremos, es deformada en su punto medio y luego liberada, tal como se indica en la figura. Determinar y dibujar la oscilación de la cuerda para: t = 0.025 , 0.5 , 0.75 , 1.0 , 1.25 , 1.5 , 1.75 y 2 segundos. Utilizar los siguientes valores numéricos: T = 1 , m = 1 , L = 1 , h = 0.2

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140.- La figura muestra un diagrama simplificado de una grúa móvil. Las vigas de soporte tienen una sección cuadrada y el cable una sección circular. Ambos elementos están construidos de acero. Diseñar la viga y el cable de tal manera que las frecuencias naturales del sistema sean mayores que la frecuencia a la cual opera el motor eléctrico localizado en el carro (1500 r.p.m.). 6

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2

Utilizar E = 30·10 lb/in , g = 386,4 in/s .

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142.- Un cierto sistema de medición está definido esquemáticamente como:

La relación Input-Output está dada por medio de la ecuación:

 (t )  2d X  (t )  X (t )  f (t ) X  (0)  0 X (0)  0 ; X

donde f (t ) es el Input, X (t ) es el Output y la señal “error” es definida como la diferencia entre el Input y el Output.

a) Si f (t ) = P para

t≥

0, calcular la correspondiente señal error del sistema.

Estudiar el caso en que t >> 1.

b) Repetir el punto a) con f (t ) = P·t para t > 0. Explicar físicamente.

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143.- Considerar el péndulo invertido conectado por dos resortes mostrado en la figura. Derivar la ecuación de movimiento del sistema. ¿Bajo qué condiciones la solución no es estable desde el punto de vista físico?.

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144.- Un edificio de marcos es modelado con cuatro columnas de acero idénticas, de peso w cada una, y con un diafragma rígido de peso W , como se muestra en la figura. Las columnas están empotradas al suelo y tienen una rigidez a la flexión EI cada una. Determinar la frecuencia natural de vibración horizontal del edificio de marcos, asumiendo que la conexión entre el diafragma y las columnas está pivoteada, como se muestra en la figura (a), y posteriormente asumiendo que esta conexión está impedida de girar, como se muestra en la figura (b).

145.-Derivar la expresión para la frecuencia natural del sistema mostrado en la figura. Notar que la carga W es aplicada en el extremo de la viga 1 y en el punto medio de la viga 2.

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