CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL ING. BEATRIZ S. SOTO CRUZ
NÚMEROS REALES
1. Una aleación está compuesta por
24 29
de cobre,
4 29
de estaño y
1 29
de zinc. ¿Cuántos kilogramos de
cada metal habrá en 348 Kilogramos de aleación? 2. Un automóvil ha consumido
2 5
de la gasolina que cabe en su depósito al recorrer los
5 11
de su
trayecto. Sabiendo que al final sobran 6 litros, hallar la capacidad del depósito. 3. Dado un cordel, Juan toma la mitad. De lo que queda Pedro toma la mitad; de lo que queda María toma la mitad; de lo que queda Carmen toma 4. Una epidemia mató los
3 7
2 5
. Al final quedan 30 cm. ¿Cuál era la longitud?
de las vacas de un ganadero y de las que le quedaron vendió
1 2
. Si todavía
le quedaron 24 vacas, ¿cuántas vacas tenía al principio, cuántas murieron y cuántas vendió? 5. Estando vacío un estanque y cerrado el desagüe se abren tres grifos y el estanque se llena en una hora. Si únicamente se hubieran abierto dos grifos el estanque hubiera tardado dos horas en llenarse. ¿Cuánto tiempo tarda en llenar el estanque el tercer grifo? 6. Resolver la inecuación dada y comprobar el resultado r esultado gráficamente. 2
4
3
3
a) x 2 x
b) x 12 x 60 10 2 x 2
c) d)
x 2 x 1 x x 1 x 2 x 2 2
0
1
e) 3 x 7 x 2 3 7. Determine si la curva es la gráfica de una función de x. Si lo es, dé el dominio y la imagen de la función. a) b)
c)
d)
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8. Usted pone algunos cubos de hielo en un vaso, lo llena con agua fría y lo deja sobre una mesa. Describa cómo cambia la temperatura del agua a medida que pasa el tiempo. 9. Encuentre el dominio y trace la gráfica de la función. a) y 1 x 2
1 x si x 1 b) f x si x 1 ln x 10. Encuentre una expresión para la función cuya gráfica consta del segmento rectilíneo del punto 2 2 hasta el punto 1, 0 junto con la mitad superior del círculo con centro en el origen y radio 1. 11. Un recipiente rectangular para almacenamiento, con su parte superior abierta, tiene un volumen de 10 m 3 . La longitud de su base es el doble de su ancho. El material para su base cuesta 10 dólares por metro cuadrado y el material 6 dólares por metro cuadrado. Exprese el costo del material como función del ancho de la base.
12. Se deja caer una piedra en un lago, que crea una onda circular que viaja hacia afuera a una velocidad de 60 cm / s . Exprese el radio r de este círculo como función del tiempo t (en segundos). 13. Un avión vuela a una velocidad de 350mi / h , a una altitud de una milla y pasa directamente sobre una estación de radar en el instante t 0 . Exprese la distancia horizontal d (en millas) que el avión ha volado como función de t . Exprese la distancia s entre el avión y la estación de radar como función de d . Aplique la composición para expresar s como función de t . 14. Cuando se dispara el flash de una cámara, de inmediato las pilas empiezan a recargar el capacitor del flash, en el cual se almacena la carga eléctrica dada por t a Q t Q0 1 e (La capacidad máxima de carga es Q0 y t se mide en segundos.) a) Encuentre la inversa de esta función y explique su significado. b) ¿Cuánto tarda en recargarse el capacitor hasta 90% de su capacidad, si a 2 ? 15. Determine si la proposición es verdadera o falsa. Si es verdadera, explique por qué. Si es falsa, explique por qué o dé un ejemplo que refute la proposición. a) Si f es una función, entonces f s t f s f t
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b) Si f s f t , entonces s t c) Si f es una función, entonces f 3 x 3 f x d) Si x1 x2 y f es una función decreciente, entonces f x1 f x2 e) Si f y g son funciones, entonces f g g f
f) Si f es uno a uno, entonces f 1 x
1 f x
g) Si 0 a b , entonces ln a ln b h) Si x 0 , entonces ln x 6 6 ln x 16. Encuentre el valor exacto de cada expresión a) log 5 10 log 5 20 3 log 5 2 b) 2log 3 log 5 c) e 3 ln 2 17. Resuelva x en cada ecuación a) e x 5 b) ln x 2 2
2
x
c) e e 2 LÍMITES Y DERIVADAS
18. Determinar el valor del límite a)
lim
x 5
b) lim x 5
c)
6 x 5 6 x 5 x 1
lim x 2
x x 2 2
19. Evalúe el límite si existe a) lim
x 0
b) lim
x 9
x 52 25 x
x 2 81 x 3
1 1 c) lim t 0 t 1 t t tan x sen x d) lim 3 x 0
e) lim
x 0
x
sen 2 3 x tan 3 2 x 7 x 5
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL ING. BEATRIZ S. SOTO CRUZ 3 x x 2 1 2 6 x 2 3 x 4 2 x 2 x 9 9 f) lim 2 9 x 3 3 x 2 4 x 3 3 x 1 3 2 x 2 x 3 x 4 x 1 2 x 1 g) lim 4 x 1 x x 2 1 2
2
2
h) 20. Encuentre el límite, si existe. Si no lo hay, explique por qué. a) lim x 4 x 4
b) lim3 x
2
2 x 2 3 x 2x 3
21. Hay un número tal que
lim
x 2
3 x 2 ax a 3 x 2 x 2
exista? Si es así, encuentre los valores de a y del
límite. DERIVADAS
22. Aplique el teorema del valor intermedio para demostrar que existe una raíz de la ecuación dada en el intervalo especificado 0, 1 a) x 3 3x 1 0 b) x 2 x 1
1, 2 1, 2
c) ln x e x 23. Encuentre una ecuación de la recta tangente a la curva dada en el punto especificado. a) y x
4 x
b) y x x c) y x 2 2e x
2, 4 1, 2 0, 2
24. ¿En cuál punto sobre la curva y 1 2e x 3 x la recta tangente es paralela a la recta 3 x y 5 ? 25. Encuentre las ecuaciones de las dos rectas que pasan por el punto 2, 3 que son tangentes a la parábola y x 2 x 26. Una compañía fabrica chips para computadora a partir de plaquitas cuadradas de silicio. Se desea conservar la longitud del lado de esas plaquitas muy próxima a 15 mm y, asimismo, saber cómo cambia el área A x de ellas cuando cambia la longitud x del lado. Encuentre A' 15 y explique su significado en esta situación. 27. Se está inflando un globo esférico. Encuentre la razón de aumento del área superficial s 4 r 2 con respecto al radio r , cuando éste es de (a) 1 pie, (b) 2 pies y (c) 3 pies.
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28. La ley de Boyle expresa que cuando se comprime una muestra de gas a una temperatura constante, el producto de la presión y el volumen se mantiene constante: PV C . Encuentre la razón de cambio del volumen en relación con la presión. 29. Una escalera de 10 pies de largo está apoyada en una pared vertical. Sea el ángulo entre la parte superior de la escalera y la pared, y x la distancia del extremo inferior de aquélla hasta la pared. Si el extremo inferior de la escalera se desliza alejándose de la pared, ¿con qué rapidez cambia x con respecto a cuando
3
?
30. Si s A cos t , exprese la ecuación del movimiento de una partícula, se dice que esa partícula describe un movimiento armónico simple. a) Encuentre la velocidad de la partícula en el instante t . b) ¿Cuándo la velocidad es 0 ? 31. Encuentre todos los puntos de la curva x 2 y 2 x y 2 donde la pendiente de la recta tangente es 1. 32. Hallar la derivada de la función. a) y x x x b) y ln x
c) y x ln x 33. Encuentre y ' si y ln x 2 y 2 34. Una persona camina en línea recta a una velocidad de 4 pies/s. En el piso, a 20 pies de distancia del camino, hay un faro, que se mantiene dirigido hacia el caminante. ¿A qué velocidad gira el faro cuando el sujeto se encuentra a 15 pies del punto del camino más cercano al faro? 35. Un semáforo está en el extremo de un poste de 15 pies de altura. Un hombre, de 6 pies de talla, se aleja de él con una velocidad de 5
pies
en línea recta. ¿Con qué rapidez se relaja la parte superior de
s su sombra cuando él se encuentra a 40 pies de distancia del poste?
36. Dos automóviles parten del mismo punto. Uno va hacia el sur a 60 25
mi h
mi h
y el otro hacia el oeste, a
. ¿Con qué velocidad aumenta la distancia entre ellos después de dos horas?
37. La altura de una triángulo aumenta con una velocidad de 1 velocidad de 2
cm
cm
min
, mientras que el área lo hace a una
2
min
. ¿Con qué velocidad aumenta lavase del triángulo cuando la altura es de 10 cm
y el área es 100 cm 2 ? 38. Una lancha es remolcada hacia un muelle con una cuerda fija a su proa que pasa por una polea en el muelle. Esa polea está a 1 m más allá de la proa del bote. Si se corre la cuerda a una velocidad de 1
m s
, ¿con qué velocidad se acerca la lancha al muelle cuando está a 8 m de distancia de él?
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39. Un globo de aire caliente se eleva en forma vertical y una cuerda atada a la base del globo se va soltando a razón de 1.5
m s
. El torno desde el cual se suelta la cuerda esta a 6 m de la plataforma de
abordaje. Si se han soltado 150 m de cuerda, ¿con qué rapidez asciende el globo?
40. Dos lados de un triángulo miden 4 m y 5 m , y el ángulo entre ellos aumenta con una rapidez de 0.06
rad s
. Calcule la rapidez con que el área del triángulo se incrementa cuando el ángulo entre los
lados, de longitud fija, es de
3
.
41. Se encontró que el contorno de un cubo era de 30 m con un posible error de medición de 0.1 cm . Use diferenciales para estimar el posible error máximo al calcular: a) El volumen del cubo. b) Su área superficial. 42. La circunferencia de una esfera midió 84 cm , con error posible de 0.5 cm .Use diferenciales para estimar el error máximo en el área superficial calculada ¿Cuál es el error relativo? 43. Si se cuenta con 1,200 cm 2 de material para hacer una caja con base cuadrada y la parte superior abierta, encuentre el volumen máximo posible de la caja. 44. Un recipiente rectangular para almacenamiento con la parte superior abierta, debe tener un volumen de 10 m 3 . El largo de su base es el doble del ancho. El material para la base cuesta 10 dólares por metro cuadrado. El material para los costados, 6 dólares por metro cuadrado. Encuentre el costo de los materiales para tener el más barato de esos recipientes. 45. Halle el punto más cercano al punto 0, 3 sobre la recta 6 x y 9 46. Halle las dimensiones del rectángulo de área máxima que se pueda inscribir en un círculo de radio r . 47. En un cartel rectangular los márgenes superior e inferior miden 6 cm cada uno y los laterales 4 cm . Si el área del material impreso se fija en 384 cm 2 , ¿cuáles son las dimensiones del cartel de área máxima? 48. Se va a construir el armazón de una cometa a partir de seis tiras de madera. Se han cortado las seis tiras exteriores con las longitudes que se indican en la figura. Para maximizar el área de la cometa, ¿qué longitud deben tener los trozos diagonales?
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49. Se dobla la esquina superior izquierda de un trozo de papel de 8 pulg de ancho por 12 pulg de largo para llevarla hasta el borde de la derecha, como en la figura. ¿Cómo la doblaría de modo que se minimice la longitud del doblez? En otras palabras, ¿cómo elegiría x para minimizar y ?
INTEGRALES
50. La densidad lineal de una varilla de 4 m de longitud es x 9 2 x en kilogramos por metro, donde x se mide en metros desde un extremo de la varilla. Halle la masa total de la varilla. 51. Una población animal crece a razón de 200 50 t anualmente (t medido en años). ¿Qué tanto aumenta la población entre el año 4 y el año 10 ? 52. El costo marginal de la producción de una tela es C ' x 3 0.01 x 0.000006 x 2 (en dólares por yarda). Halle el incremento en el costo si el nivel de producción se eleva de 2000 a 4000 yardas. 53. La respiración es cíclica y un ciclo respiratorio completo – desde el principio de la inhalación hasta el final de la exhalación- requiere unos 5 s . El gasto máximo de aire que entra en los pulmones es de más o menos 0.5
L s
. Esto explica en parte por qué a menudo se ha usado la función
2 para modelar el gasto de aire hacia los pulmones. Úselo para hallar el volumen de 2 5 aire inhalado en los pulmones en el tiempo t . 54. Encuentre el área de la región sombreada. f t
1
sen
55. Encuentre el volumen del sólido obtenido al girar la región limitada por las curvas dadas alrededor del eje especificado. a) y x 2 , x 1, y 0 alrededor del eje x .
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b) y x 3 , x 1, y 0 alrededor del eje y . 56. Encuentre el volumen del sólido S descrito. a) Un casquete de una esfera con radio r y altura h .
b) Una pirámide con altura h y base de un triángulo equilátero con lado a (un tetraedro).
57. Halle el centroide de la región limitada por las curvas. a) y sen 2 x, y 0, x 0, x
2
b) y sen x, y cos x, x 0, x
4
c) x 5 y 2 , x 0 58. Calcule el trabajo efectuado al empujar 8 m un automóvil, ejerciendo sobre él una fuerza constante de 900 N . 59. Se precisan 2 J de trabajo para estirar un resorte desde su longitud natural de 30 cm , hasta 42 cm . ¿Cuánto trabajo se necesita para estirarlo de 35 a 40 cm ? 60. Si se precisan 6 J de trabajo para estirar un resorte de 10 a 12 cm y otros 10 J para estirarlo de 12 a 14 cm , ¿cuál es la longitud natural de ese resorte? 61. Un halcón vuela a 15
m s
a una altitud de 180 m y accidentalmente suelta a su presa. La trayectoria
parabólica de la presa en caída libre está descrita por la ecuación y 180
x
2
45
hasta tocar tierra,
donde y es la altura sobre el suelo y x es la distancia horizontal, en metros. Calcule la distancia que recorre la presa entre el instante que la suelta y al tocar tierra. 62. Una cometa vuela al oeste. La altura de la cometa por arriba del suelo desde la posición horizontal x 0 hasta x 80 pies está dada por: y 150
Calcule la distancia recorrida.
1 40
x 502
