Guia 123456 Tz

Procesamiento Digital de Señales

Dr. Luis Alejandro Iturri Hinojosa

GUÍA DE EJERCICIOS No. 1 

Sea la siguiente señal discreta x(n)={1 , 1*, 1, 1, 0.5, 0.5} , calcular:

a) x(n-2) ; b) x(4-n) ; c)x(n+2) ; d)x(n)u(2-n) e) x(n+1) δ(n-3); f) x(n 2) ; g) parte par de x(n) h) parte impar de x(n) Verificar con MATLAB cada caso. 

Utilice MATLAB para generar las gráficas de las siguientes señales: 2 ⎧ t + 4t + 4 − 2 ≤ t < −1 ⎪ 2 x1 (t ) = ⎨0.16t − 0.48t + 0.36 − 1 ≤ t < 1.5 ⎪ otros 0 ⎩ ( 0.5 t +1) t < −2 ⎧ e ⎪ − 2 ≤ t < −0.5 − 0.5t ⎪⎪ x2 (t ) = ⎨ − 0.5 ≤ t < 1.5 1.21 ⎪− t 2 + 3t − 1.04 1.5 ≤ t < 2.6 ⎪ 2.6 ≤ t ⎪⎩ sin(π t − 1.6π )

Y Calcule: a) x1(1-t)x2(t)

b) x1(2t)x2(t-2)

c) x1(t/4)x2(3t) 

( ).

Considere el siguiente sistema: y (n ) = H { x (n )} = x n

2

a) Es invariante en el tiempo?

⎧1 0 ≤ n ≤ 3 b) Sea x(n ) = ⎨ la señal aplicada al sistema, 0 otros ⎩ determine y Dibuje: iii) y 2 (n ) = H { x (n − 2 )}

i) y (n )

ii) y (n − 2 )

iv) Compare y 2 (n ) con y (n − 2 ) , ¿Qué conclusión saca?



Sean las señales x(n)={3 , 2, 1, 0*, 1, 2, 3}, y(n)={-1 , -1, -1,

-1, 0*, 1, 1, 1, 1}. Dibuje y compruebe con MATLAB las señales: a) x(2n) b) x(3n-1) ; c) y(1-n) ; d) y(2-2n) ; e) x(n-2)+y(n+2) ; f) x(2n)+y(n-4) ; g) x(n+2)y(n-2) ; h) x(3-n)y(n) ; i) x(-n)y(-n) ; j) x(n)y(-2-n) ; k) x(n+2)y(6-n)

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Determine si las siguientes señales son periódicas, si es el caso encuentre el periodo 2

fundamental. a) x(n ) = (− 1) ; b) x(n ) = (− 1) . n



n

Con MATLAB dibuje las partes par e impar de estas funciones: g(t)

h(t)

1

1

t

t

1

0

0

1

2

-1



7 Determine el periodo fundamental y la frecuencia fundamental de: a) cos( π n) 15

b) 10 cos(50π n +

π

4

) ; c) cos(50π n) + sin(15π n) . Compruebe con MATLAB

su resultado. 

Dibuje en MATLAB las partes par e impar de: a) u (n ) − u (n − 4 ) ,

b) e 

( )

− n4

(

u (n ) , c) cos 2π n

4

)

(

)

, d) sin 2π n u (n ) . 4

Grafique las siguientes funciones y determine a partir de e llas el periodo ⎛ π n ⎞ ⎛ π n ⎞ fundamental de cada una. a) 5 sin ⎜ ⎟ + 8 cos⎜ ⎟ , ⎝ 2 ⎠ ⎝ 3 ⎠

⎛ 7π n ⎞ ⎛ 7π n ⎞ − j j n b) 10 sin ⎜ ⎟ + 8 cos⎜ ⎟ , c) ℜe(e + e ⎝ 12 ⎠ ⎝ 4 ⎠ π



n/3

π

),

d) ℜe(e jn + e − jn / 3 )

Encuentre con MATLAB la transformación de las funciones: ⎛ π n ⎞ ⎛ π n ⎞ a) x(n ) = 10 cos⎜ ⎟ cos⎜ ⎟ 4x(2n+2) , x(-n-3) ⎝ 10 ⎠ ⎝ 2 ⎠ 5 ⎧ ⎪ 5 − 3n ⎪ b) g (n ) = ⎨ 2 ⎪− 23 + n ⎪⎩ 41

n≤0

0
g(3n) , g(n 2-2)

n>8





Sean x(t ) y y (t ) como se dan en la figura. y(t)

x(t)

1

1 t

-1

0

1

2

t

3

-2

-1

-1

1

2

-1

Utilizando Matlab, encuentre:

a) x(t)y(t-1) d) x(t)y(-1-t) g) x(4-t)y(t) 

b) x(t-1)y(-t) e) x(t)y(2-t)

c) x(t+1)y(t-2) f) x(2t)y(t/2+1)

Utilizando Matlab grafique g(t): 1

1 t -1

0

-2

1

-1

1

2

-1

-1 X

X

g(t)

1

g(t)

1 t

-1

0

1

-2

-1

-1

Sea x1 ( n) = 5 cos(

n

π

(b) ) y x2 (n) = −8e



− ( n / 6 )2

grafique utilizando MATLAB las 4 siguientes combinaciones de estas señales en el intervalo de -20 a 20 de n.

a) x1(n)x2(n) d) x1(2n)/x 2(-n) 

2

-1

(a) 

1

b) 4x1(n)+2x 2(n) c) x1(2n)x 2(3n) e)2x 1(n/2)+4x 2(n/3)

Determine la energía de las siguientes señales:

a) rampa(n)-2rampa(n-4)+rampa(n-8) b) rect(t)cos( 4π t ) c) u(n)-u(10-n) d) rect(t)cos( 2π t ) ⎧5 − t 4 ≤ t ≤ 5 ⎪ 1 − 4 ≤ t ≤ 4 ⎪ e) x(t ) = ⎨ ⎪t + 5 − 5 ≤ t ≤ −4 ⎪⎩ 0 otros Determine la potencia de la señal: 2sen( 200π t ).





Considere la señal de entrada x(n) al sistema caracterizado por su respuesta al impulso h(n). Encuentre la respuesta del sistema analíticamente.

b)

( ) = {1,2*,4} , h(n ) = {− 1,1,1*,1,−1} x(n ) = {1*,2,−1} , h(n ) = x( n)

c)

x n

d)

x n

a)

e) f) g) h) i) j)

x n

1 1 − 1⎫ , *,1, ⎬ 2 ⎭ ⎩2 2

( ) = {0,1,−2*,3,−4} , h(n ) = ⎧⎨

( ) = {1,2*,3,4,5} , h(n ) = {1 *} x(n ) = {1*,−2,3} , h (n ) = {0*,0,1,1,1,1} x(n ) = {0*,0,1,1,1,1} , h(n ) = {1,−2*,3} x(n ) = {0*,1,4,−3} , h (n ) = {1*,0,−1,−1} x(n ) = {1*,1,2} , h (n ) = u ( n ) x(n ) = {1,1,0*,1,1} , h (n ) = {1,−2,−3,4 *} x(n ) = {1,2,0*,2,1} , h (n ) = u ( n)

⎛ 1 ⎞ k) x(n ) = ⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠

n

n

⎛ 1 ⎞ u ( n) , h(n ) = ⎜ ⎟ u ( n) ⎝ 4 ⎠

Verifique sus resultados utilizando MATLAB. 

Considere la señal de entrada x(n) al sistema caracterizado por su respuesta al impulso h(n). Encuentre la respuesta del sistema analíticamente.

( ) = 3[u (n + 3) − u (n − 8 )] , h(n ) = [u (n + 1) − u (n − 3)] b) x(n ) = u (n + 5) − u (n ) , h(n ) = u ( n + 1) − u (n − 9 ) c) x(n ) = 0.9 [u ( n + 2) − u (n − 4 )] , h(n ) = 0.7 [u ( n + 2) − u (n − 11)] d) x(n ) = (− 0.8 ) [u (n) − u (n − 6 )] , h(n ) = u (n ) a)

x n

n

n

n

Verifique sus resultados utilizando MATLAB. 

Considere la entrada x(n ) = 2[u (n + 2) − u (n − 12 )] a un sistema LTI con respuesta al impulso



( ) = α [u (n − 2) − u (n − 13)] . Encuentre la salida y(n).

h n

n

Suponga que la entrada x(n) y la respuesta al impulso h(n) de un sistema LTI estan dadas por: x(n ) = −u (n ) + 2u (n − 3) − u (n − 6 ) , h(n ) = u (n + 1) − u (n − 10 ) . Encuentre la salida del sistema y(n) analíticamente. Verifique su resultado con MATLAB.





Encuentre la respuesta natural o de entrada cero de los sistemas descritos por las siguientes ecuaciones en diferencias: a) y (n ) −

9

y (n − 2 ) = x (n − 1) ; y (− 1) = 1 ; y (− 2 ) = −1 16 1 1 b) y (n ) − y (n − 1) − y (n − 2 ) = x (n ) + x (n − 1) ; y (− 1) = 0 ; y (− 2 ) = 1 4 8 1 c) y (n ) + y (n − 1) + y (n − 2 ) = x (n ) + 2 x (n − 1) ; y (− 1) = −1 ; y (− 2 ) = 1 2 Verifique sus respuestas analíticas con MATLAB.



Encuentre la respuesta forzada de los sistemas descritos por las siguientes ecuaciones en diferencias: n

1 ⎛ 1 ⎞ a) y (n ) − y (n − 1) = 2 x( n ) ; (i ) x ( n) = 2u (n ) (ii ) x ( n) = −⎜ ⎟ u ( n) (iii ) x( n) = cos( π n)u ( n) 5 5 ⎝ 2 ⎠ 2

n

n

⎛ 1 ⎞ ⎛ 3 ⎞ b) 16 y (n ) − y (n − 2 ) = 16 x (n − 1) ; (i ) x( n) = u (n ) (ii ) x ( n) = −⎜ ⎟ u ( n) (iii ) x( n) = ⎜ ⎟ u (n) ⎝ 2 ⎠ ⎝ 4 ⎠ c)

8 y (n ) − 2 y (n − 1) − y (n − 2 ) = 8 x (n ) + 8 x (n − 1) Siendo : n

π 1 ⎛ 1 ⎞ (i ) x (n) = −2u (n ) (ii ) x (n) = ⎜ ⎟ u ( n) (iii ) x ( n) = exp( j n)u ( n) (iv) x( n) = ( ) n u ( n) 4 2 ⎝ 8 ⎠

Verifique sus respuestas analíticas con MATLAB.



Determine la salida de los sistemas descritos por las siguientes ecuaciones en diferencias con las condiciones iniciales y entrada como se especifica: n

⎛ 1 ⎞ a) 2 y (n ) − y(n − 1) = 4 x (n ) ; y (− 1) = 3 ; x (n ) = 2⎜ − ⎟ u ( n) ⎝ 2 ⎠ b) 3 y (n ) − 5 y (n − 1) + 2 y (n − 2) = x (n ) + 2 x (n − 1) Siendo: n

⎛ 2 ⎞ y (− 1) = 1 ; y ( −2) = −1 ; x(n ) = ⎜ ⎟ u ( n) ⎝ 3 ⎠ c) 8 y (n ) − 6 y (n − 1) + y ( n − 2) = 16 x (n ) Siendo: y (− 1) = 1 ; y (−2) = −1 ; x(n ) = 2u ( n) d) 2 y (n ) − 7 y (n − 1) − 4 y ( n − 2) = 2 x (n ) + x( n − 1)

Siendo: y (− 1) = 1 ; y ( −2) = −1

Para: n

n

⎛ 2 ⎞ ⎛ 1 ⎞ (i ) x (n ) = ⎜ ⎟ u ( n) (ii ) x(n ) = ⎜ − ⎟ u ( n) (iii ) x (n) = 4 n u ( n) ⎝ 3 ⎠ ⎝ 2 ⎠ Verifique sus respuestas analíticas con MATLAB. Instituto Politécnico Nacional – ESIME - Zacatenco


M.C. Luis Alejandro Iturri Hinojosa

GUÍA DE EJERCICIOS No. 6a Crear en MATLAB una función “fidealpb.m" que reciba dos parámetros: M (longitud del filtro) y wc(frecuencia de corte). Y entregue como resultado un arreglo de valores discretos para h lp. Utilizando la función “respenamp.m” indicar analíticamente el tipo de filtro FIR, los polinomios del filtro, la longitud del filtro y dibujar sus respuestas en magnitud (Hr(w)) de los siguientes filtros: (a) h(n)=[5,-2,3,-2,5]

(b) h(n)=[1,-2,3,-4,3,-2,1]

(d) h(n)=[4,-5,3,6,-3,5,-4]

(e) h(n)=[2,-2,-2,2]

(c) h(n)=[3,-2,2,-3] (f) h(n)=[4,1,-2,5,-5,2,-1,-4]

(g) h(n)=[1 2 3 4 5 6 7 8 9] Verificar su resultado con MATLAB

Diseñar un filtro pasa banda utilizando la ventana de Hamming para: o o o o

Frecuencia baja de rechazo Frecuencia alta de rechazo Frecuencia baja de banda de paso Frecuencia alta de banda de paso

0.2 pi 0.7 pi - As=55dB 0.3 pi 0.6pi - Rp=0.5dB

Diseñar un filtro rechaza banda utilizando la ventana de Hanning para: o o o o

Frecuencia baja de rechazo Frecuencia alta de rechazo Frecuencia baja de banda de paso Frecuencia alta de banda de paso

0.35 pi 0.65 pi - As=50dB 0.2 pi 0.8pi - Rp=0.5dB



Prof. LuisAlejandro Iturri Hinojosa

Transformada Z

1. Determinar la transformada Z de las siguientes señales y dibujar su correspondiente región de convergencia. b) x ( n) = 5( −2) n cos(

a) x ( n) = (1 + n)u ( n) d) x( n) =

1

1

( n + n)( ) 3 2

2

g) x( n) = ( n3 n sin(

π

n +1

j) x( n) = n 2 (− 2)

4

n −1

u ( n)

n))u (n)

4

n+

π

6

−

c) x( n) = (2 n + 2 n )u ( n)

)u ( n) n

e) x( n) = ( −1) 2 u ( n)

⎛ 1 ⎞ f) x( n) = ⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠

h) x( n) = n(− 1) u ( n)

i) x (n) = ( n 2 n cos(

−n

n

n

k) x( n) = n(− 1) cos( n

u ( n)

π

π

3

[u (n ) − u (n − 10 )] π

3

n))u ( n)

n)u ( n )

2. Determinar la transformada Z y dibujar la región de convergencia de las señales:

⎧ ⎛ 1 ⎞ n ⎪⎜ ⎟ ⎪ 3 a) x1 (n) = ⎨ ⎝ ⎠− n 1 ⎞ ⎪⎛ ⎜ ⎪⎩⎝ 2 ⎠⎟ c) x3 ( n) = x1 ( n + 4)

⎧⎛ 1 ⎞ n ⎪ − 2n b) x 2 ( n) = ⎨⎜⎝ 3 ⎠⎟ ⎪ 0 ⎩

≥0 n<0 n

≥0 n<0 n

d) x4 (n) = x1 (− n)

3. Encontrar la convolución de las siguientes señales por medio de la transformada Z.

⎧ ⎛ 1 ⎞ n ⎪⎜ ⎟ ⎪ ⎝ 3 ⎠ x1 (n) = ⎨ −n 1 ⎞ ⎪⎛ ⎪⎩⎜⎝ 2 ⎠⎟

≥0 n<0

⎛ 1 ⎞ x 2 ( n) = ⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠

n

n

u ( n)

4. Utilizando divisiones sucesivas encontrar la transformada inversa de: 1 + 2 z −1 a) x(n) es Causal b) x(n) es no Causal X ( Z ) = 1 − 2 z −1 + z − 2 5. Determinar la señal causal x(n) cuya transformada Z es: −1 1 1 + 3 z a) X ( Z ) = b) X ( Z ) = −1 −1 2 1 + 3 z −1 + 2 z − 2 1 − 2 z 1 − z

(

)(

)

+ z −7 d) X ( Z ) = 1 − z −1 z

g) X ( Z ) =

−6

e) X ( Z ) =

2 − 1.5 z −1 1 − 1.5 z −1 + 0.5 z − 2

1 + 2 z −2

f) X ( Z ) =

1 + z − 2

h) X ( Z ) =

c) X ( Z ) =

1 + 2 z −1 + z −2 1 + 4 z −1 + 4 z − 2

i) X ( Z ) =

1 1 − z

−1

+ 0.5 z − 2 1 + 6 z −1 + z −2

1

(

)(

4 1 − 2 z −1 + 2 z − 2 1 − 0.5 z −1

1 − 0.5 z −1 1 + 0.5 z −1

j) X ( Z ) =

)

1 − az −1 z

−1

−a

6. Encontrar la convolución de las siguientes señales utilizando la transformada Z:

⎛ 1 ⎞ a) x1 (n) = ⎜ ⎟ ⎝ 4 ⎠ ⎛ 1 ⎞ c) x1 ( n) = ⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠

n

⎡ ⎛ 1 ⎞ n ⎤ u (n − 1) ; x 2 ( n) = ⎢1 + ⎜ ⎟ ⎥u ( n) ⎢⎣ ⎝ 2 ⎠ ⎥⎦

⎛ 1 ⎞ b) x1 (n) = u (n) ; x 2 ( n) = δ ( n) + ⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠

n

u ( n)

n

u (n )

; x2 (n) = cos(π n)u (n)

d) x1 (n) = nu(n) ; x 2 (n) = 2 n u (n − 1)

7. Verificar las soluciones de los problemas de la guía de Ecuaciones en Diferencias utilizando la transformada Z unilateral.

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