Analyse et Filtrage des signaux signaux numériques
M1 ST/TRM (2016/2017) Série n°3
≠ 0
N 1 ≤ n ≤ N 2
= 0
ailleurs
1.Une séquence finie x(n) est définie par : x(n) =
1 0.5 0.25
Déterminer le ROC suivant les différentes valeurs de N. 2. Dnner la transfrmée en ! de la fnctin numérique discr"te #$n% représentée par le &rap'ique ci-cntre. -1 -0.5
3. Calculer la transfrmée en !( )$!%( et esquisser la carte des p*les et !érs ainsi que la ROC pur c'acune des séquences suivantes : x ( n) = (0.5) u ( n) + (0.25) u ( n) ( y (n) = (0.25) u ( n) + (0.5) u ( − n − 1) ( z ( n) = (0.5) u ( n) + (0.25 ) u ( − n − 1) n
n
n
n
n
n
4. Calculer la +ransfrmée en , du si&nal x$n% ret! $n%( - en appliquant la définitin de la +, directement( - en utilisant le si&nal éc'eln et le t'ér"me du retard. 5. it " $#% la fnctin de transfert d/un + causal avec : H ( z ) =
az − 1 z − a
avec a réel
Déterminer les valeurs de a pur lesquelles " $#% crrespnd un s3st"me sta4le. rendre une valeur de a 0.5. $ %6. Représenter alrs les p*les et !érs de la l a fnctin( la ré&in de cnver&ence. Dnner et tracer6 " $ $ %6. 6. it les + décrits par les équatins suivantes : - y(n) = 3 y(n −1) − 2 y(n − 2) + x(n) - y(n) = 0.3 y(n −1) + 0.3 y(n + 1) − 0.3 x(n) ur c'aque cas( déterminer la fnctin de transfert du s3st"me. 7tudier la sta4ilité et la causalité et calculer la répnse impulsinnelle. impulsinnelle. 7. 7ta4lir les crrespndan c rrespndances ces entre les dia&rammes p*les !érs et les répnses en fréquence pur une fréquence d/éc'antillnna&e $e1 en 8ustifiant vs c'i# : 1
1
1
1
0.8
0.8
0.8
0.8
0.6
0.6
0.6
0.6
0.4
0.4
0.4
0.4
e r i a 0.2 n i g a 0 m I e i t r -0.2 a P
e r i a 0.2 n i g a m 0 I e i t r -0.2 a P
e r i a 0.2 n i g a m 0 I e i t r -0.2 a P
e r i a 0.2 n i g a 0 m I e i t r -0.2 a P
5 X 5
X
5
5
X
-0.4
-0.4
-0.4
-0.6
-0.6
-0.6
-0.6
-0.8
-0.8
-0.8
-0.8
-1
-1 -1
-0.5
0
0. 5
-0.5
0
0.5
1
4
X
-0.5
0
0. 5
X
1
-1
-0.5
Partie Réelle
2
2
1.8
1.8
1.6
1.6
1.4
1.4
4
X
-1 -1
Partie Réelle
Partie Réelle 7
X
-0.4
-1 -1
1
X
0
0. 5
1
Partie Réelle
8
7
6
6
5
1.2
4
5
1.2
1
1
4
3 0.8
0.8
0.6
2
2
0.4
0.4
1 0.2 0 0
0. 05
0. 1
0. 15
0. 2
0. 25
0. 3
0. 35
0. 4
0. 45
0. 5
3
0.6
1
0.2
0 0
0. 05
0.1
0.1 5
0.2
0. 25
0. 3
0. 35
0. 4
0. 45
0. 5
0
0 0
FEI,USTHB [
0.05
0. 1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0. 4
0. 45
0.5
0
0. 05
0. 1
0 .15
0. 2
0. 25
0 .3
0. 35
0. 4
0 .4 5
50
0. 5
Analyse et Filtrage des signaux signaux numériques
M1 ST/TRM (2016/2017)
8. On suppse que le tracé des p*les et des !érs de ce s3st"me est le suivant : - 7st-ce un filtre R9 u R $;ustifier vtre répnse% - Dnner l/allure appr#imative de <$f% - Déterminer <$!% puis déterminer et tracer '$n% - = partir de '$n%( étudier la sta4ilité( la causalité et l/invariance de ce filtre. - Calculer et tracer <$f% pur au mins > valeurs - Ce filtre pss"de-t-il un retard de &rupe cnstant cnstant $8ustifier% - Déterminer sa répnse pur une entrée éc'eln éc 'eln #$n%U$n%. #$n%U$n%. 1
9. +ruver la séquence y$n% qui a cmme c mme transfrmée en # % Y ( z ) = 10. De quelle fnctin f nctin x(n)' la fnctin: X ( z ) =
2 2 z 2 2
z − 0.8 2 z + 0.64
1 2 6 − 5 z − + z −
3 X
&
est la transfrmée en ,
11. +ruver '$n% crrespndant la transfrmée en # suivante : H ( z ) =
z 2
−2
a z
−2
− 2 z −1 + 1 − 2az −1 + 1
lutins 1. i N 1≥0 RDCC-?0@
i N2≤0 RDCC-?∞@
i N1≤0 ≤N2 RDCC-?0( ∞@
2. )$!% 1 A 0(5 ! -1 A 0(25 ! -2 - 1 !-> - 0(5 !-B RDCC-?0@ z (2 z − 0.75)
6. <$!%!2F$!2->!A2% causal pur 6!62 6!62 mais insta4le insta4le avec #$n%$2nA1-1%U$n% <$!%0.>G5 $1F$>!-1%A1F$0.>>!-1%% $1F$>!-1%A1F$0.>>!-1%% causal pur 6!6> insta4le insta4le avec #$n%0.>G5$>n -0.>>n%U$n% 8. +us les p*les en 0 alrs R9( <$!%! ->A !-2A !-1A1( '$n% δ$n->%Aδ$n-2%Aδ$n-1%A1( <$f%2$cs$>πf+e%A cs$πf+e%%e->π 8f+e( Retard de &rupe cst( #$n%U$n% alrs 3$n% U$n->%AU$n-2%AU$n-1%AU$n% U$n->%AU$n-2%AU$n-1%AU$n%
9. y (n) =
1 1
n
1 1
n
U (n) − U (n) 2 2 3 3 n
n−1
π ( n − 1) U (n) 4
10. x( n) = 0.8n cos
11. x(n) = (n + 1)a U (n + 1) − 2na U (n) + (n − 1)a
n− 2
U (n − 1)
Exercices supplémentaires 1.
Soit un système linéaire invariant dans le temps (SLID) dont la réponse impulsionnelle h(n) est telle que :
h(n)=1 pour 0 ≤ n ≤ 3 et 0 ailleurs Calculer la réponse y(n) à la suite x(n) définie par : - x(n)=anpour 0 ≤ n ≤ 5, avec a=0.7 et x(n)=0 ailleurs. - x(n)=cos(2πn/8) pour 0≤ n ≤ 7 et x(n)=0 ailleurs.
2. it y$n% x$n% A ax$n-1%A y$n-1%( l/équatin au# différences d/un s3st"me discret causal. a% +ruve! $n%( la répnse impulsinnelle de ce s3st"me K pur quelles valeurs de a et le s3st"me est- il sta4le 4% +ruve! la répnse impulsinnelle du s3st"me frmé par la mise en série de deu# s3st"mes $n%. c% LMme questin pur la mise en parall"le de deu# s3st"mes $n%. n
n-1
Répnses !a% '$n% 4 u$n% A a4 u$n-1%K n
sta4le pur a finie et 6461.
n-1
2 n-2
n
4% '$n%'$n% $nA1%4 u$n% A $2na4 A $n-1%a 4 %u$n-1%
n-1
c% 2'$n% 24 u$n% A 2a4 u$n-1%
3. On cnsid"re un s3st"me linéaire ré&i par l/équatin au# différences suivante : y$n% $x$n*m%A x$n*m+1%A x$n*m+2%%F> m est un param"tre entier. -Lntrer que ce s3st"me est linéaire invariant dans le temps. 7tudier la causalité et la sta4ilité seln les valeurs de m. -Calculer la fnctin de transfert " $#% de ce s3st"me pur m0 et m1. -7n déduire la répnse fréquentielle. Répnses e s3st"me est causal si m1 et tu8urs sta4le. ur m0(<$!%1F>$1A! -1A!-2%(
On suppse dnné le tracé des p*les et des !érs du s3st"me suivant : - 7st-ce un filtre R9 u R $;ustifier vtre répnse% - Dnner l/allure appr#imative de <$f% - Déterminer <$!% puis déterminer l/équatin de récurrence - Déterminer et tracer '$n% - = partir de '$n%( étudier la sta4ilité( la causalité et l/invariance du filtre
X 2
X
5. Déterminer en utilisant la décmpsitin en éléments simples( la frme du si&nal x$n% dnt la +, est dnnée par :
X ( z ) =
z 2
z 2
avec z > 2 X ( z ) = 2 et z 2 − 3 z + 2 z − (a + 1) z + a #$n% 1F$1-a%A anaF$a-1%$1-anA1%F$1-a% Répnses ! #$n% $2nA1 -1%u$n% 6. On cnsid"re la transfrmée : X ( z ) =
z z − z 0
+
z z − z
*
on pose z 0 = e
( r + jθ )
avec
a <1
( déterminer x(n).
0
rn
Répnse x(n) = 2e cos(nθ )U (n)
7. 7n utilisant la mét'de des résidus puis celle de décmpsitins en éléments dans la +, est cnnue( déterminer z − z 0 '$n% dnt la transfrmée est : H ( z ) = z 0 : réel , p 0 = ρ e jθ * ( z − p 0 )( z − p 0 )
ρ n−1 z0 z0 1 cos sin( ) sin cos( ) θ θ θ θ − n + n Répnse h(n) = U (n − 1) sin θ ρ ρ 2
y ( n) = x (n − 1) − z0 x (n − 2) + 2 ρ cos θ y ( n − 1) − ρ y ( n − 2)
Certains e#ercices snt inspirés des références r éférences suivantes P1BQP15Q
FEI,USTHB [
52
Analyse et Filtrage des signaux signaux numériques 8. On cnsid"re le s3st"me suivant : x(n)
M1 ST/TRM (2016/2017)
y(n)
0.35
(n)
0.3
1/3
On suppse que '$n% est dnné cmme ci-cntre.
0.25
- Calculer et tracer sn aut crrélatin et en déduire sn éner&ie
0.2
0.15
- +racer sn aut crrélatin crr élatin si lEn suppse quEil est péridique de péride H.
0.1
- 7tudier la causalité
0.05
- 7st ce un filtre R9 u R
0
-= partir de lEe#pressin de '$n%( déduire le r*le de ce filtre :
1
2
3
4
5
6
7
8
9
- Déterminer lEéquatin au# récurrences du s3st"me : - Déterminer les p*les et !érs de ce filtre puis dnner leur tracé. tracé. 7n déduire un tracé appr#imative appr#imative de |<$f%| - Calculer et tracer tracer |<$f%| puis en déduire le tracé du mdule de la +9D pur NI.
9. On cnsid"re que lEéquatin au# récurrences du s3st"me suivant est dnnée cmme suit :
3$n%0.H 3$n-1% - 0.J1 3$n-2% A #$n% A 2 #$n-1% A #$n-2% - 7tudier la causalité et lEinvariance de ce s3st"me - 7st ce un filtre R9 u R - Déterminer <$!% et dnner dnner le tracé des p*les p*les et !érs( !érs( en déduire le r*le de ce filtre : - Dnner les allures allures appr#imatives de '$n% et 6<$f%6 6<$f%6 - Déterminer '$n% et tracer la pur les > premi"res valeurs - On suppse que fe I 000δ$n-2%ABδ$n->% et '$n%Hδ$n%AGδ$n-1%ABδ$n-2%Aδ$n->% - Ce s3st"me est-il invariant ;ustifier. - 7tudier la sta4ilité et la causalité de #$n%( '$n% et 3$n%. - es si&nau# #$n%( '$n% et 3$n% snt-ils éner&ie finie $u infinie% ;ustifier - Déterminer 3$n% directement et tracer le. - Déterminer 3$n% en passant par la +, de #$n% et '$n% - On cnsid"re que #$n% et '$n% snt péridiques de péride B( déterminer 3$n% de 2 faTns. f aTns. - uelle est lien entre la cnvlutin et l/autcrrélatin 1
11. On suppse que le tracé des p*les et des !érs dEun s3st"me est le suivant : - Dnner les allures appr#imatives de '$n% et 6<$f%6 puis en déduire le r*le du filtre - Déterminer <$!% $On suppsera un &ain de 1 en ! -1% - Déterminer les cefficients du filtre - On suppse que fe > 00
0.8 0.6