Combinatorică Combinatorică şi tehnica Backtracking Teste grilă 1.
a.
2.
a.
3.
a.
4.
a. b.
5.
a.
Se generează toate numerele naturale de 4 cifre, cifre aflate în ordine strict crescătoare, orice două cifre vecine din fiecare număr generat fiind valori neconsecutive. De exemplu, numerele 1579 şi 2468 sunt în şirul numerelor generate, în timp ce 3851, 1679, 479 nu sunt. Câte numere se generează în total? 12
b.
15
c.
20
d.
24
olosi olosind nd model modelul ul com!in com!inări ărilor lor,, se genere generează ază cuvint cuvintee cu câte câte două două litere litere , distincte din mul"imea {i,t,e,m} o!"inându#se o!"inându#se,, în ordine$ ordine$ it, ie, im te, tm , em . Dacă se utilizează exact aceeaşi te%nică pentru a genera cuvinte cu trei litere distincte din mul"imea {a,i,t,e,m}, atunci antepenultimul antepenultimul cuvânt generat este$ iem
b.
itm
atm
c.
tem
d.
olosind modelul com!inărilor, se generează cuvinte cu câte două litere distincte distincte din mul"imea mul"imea {i,t,e,m} o!"inându#se o!"inându#se,, în ordine$ ordine$ it, ie, im, te, tm, em . Dacă se utilizează exact aceeaşi te%nică pentru a genera cuvi cuvint ntee cu patr patruu lite litere re dist distin inct ctee din din mul" mul"im imea ea {i,t,e,m,a,x}, atun atunci ci numărul de cuvinte generate care încep cu litera t este$ 24
b. 12
c. 16
d. 4
olosi olosind nd model modelul ul com!in com!inări ărilor lor se genere generează ază cuvinte cuvinte cu câte câte două două litere litere distincte distincte din mul"imea mul"imea {i,t,e,m} o!"inându#se, o!"inându#se, în ordine$ ordine$ it, ie, im, te, tm, em . Dacă se utilize utilizează ază exact aceeaşi aceeaşi te%nic te%nicăă pentru a genera genera toate cuvintele cu patru litere distincte din mul"imea {i,t,e,m,a,x}, atunci predecesorul şi succesorul cuvântului tema generat la un moment dat sunt, în această ordine$ ordine$ iemx imax
temx teax
c. imax temx d. item emax
olosind modelul com!inărilor se generează cuvinte cu câte două litere distincte din mul"imea {i,t,e,m} o!"inându#se, în ordine$ it, ie, im, te, tm, em . Dacă se utilizează exact aceeaşi te%nică pentru a genera cuvi cuvint ntee cu patr patruu lite litere re dist distin inct ctee din din mul" mul"im imea ea {i,t,e,m,a,x}, atun atunci ci numărul de cuvinte generate care se termină cu litera a este$ 4
b.
12
c.
24
d.
5
&'(
olosind modelul com!inărilor se generează cuvinte cu câte trei litere distincte din din mul"im mul"imea ea {i,t,e,m} o!"inându#se, în ordine$ ite, itm, iem, tem . Dacă se utilizează exact aceeaşi te%nică pentru a genera cuvinte cu patru litere dist distin inct ctee din din mul" mul"im imea ea {c,r,i,t,e,m,a,s}, atun atunci ci num numărul ărul de cuvi cuvint ntee generate care încep cu litera r şi se termină cu litera a sau cu litera s este$
6.
30
a.
16
c.
d.
12
Se consideră mul"imea {4, 1, 2, 3} . Dacă se generează toate permutările elementelor acestei mul"imi, în câte dintre acestea elementele 1 şi 2 apar pe pozi"i pozi"iii consec consecuti utive, ve, în această ordine )ca )ca în permu permută tări rile le (1,2,3,4) sau (3,1,2,4)*?
7.
8
a.
8.
20
b.
24
b.
c.
6
d.
12
Desenul alăturat reprezintă o %artă cu 5 "ări numerotate de la 1 la 5. Se generează toate variantele de colorare a acestei %ăr"i având la dispozi"ie 4 culori notate cu A, B, C, D, astf astfel el încâ încâtt oric oricar aree două două "ări "ări veci vecine ne să nu fie fie (A,B,C,A,B) ) având colorate la fel. +rima solu"ie este (A,B,C,A,B următoare următoareaa semnifica" semnifica"ie$ ie$ "ara 1 e colorată cu A , "ara 2 e colorată cu B, "ara 3 e colorată cu C, "ara 4 e colorată cu A , "ara 5 e colorată cu B. tiind că următoarele trei solu"ii (A,B,C,A,C), sunt o!"inute în ordinea (A,B,C,A,D), (A,B,C,D,A), care este solu"ia care se o!"ine după varianta de colorare c olorare (C,A,B,D,C)?
a.
9.
a.
10.
a.
)D,A,B,D,A * b. )C,A,D,B,A *
c.
)C,D,B,A, B*
d.
)C,A,B,C,D*
Se generează toate numerele de 5 cifre, cu cifre distincte, care pe pozi"ii pare au cifre pare, iar pe pozi"ii impare au cifre impare. +rimele şase numere gene genera rate te sunt sunt$$ 10325, 10327, 10329, 10345, 10347, 10349. Care este următorul număr generat după numărul 96785? 96587
98123
b.
c.
96783
d.
98103
Se generează produsul cartezian al mul"imilor {1,2,3}, {1,2}, {3,4,5}. Câte dintre elementele produsului cartezian con"in cel pu"in o valoare egală cu 1? 18
b.
6
c.
24
d.
12
&'4
11.
a.
12.
a.
Desenul alăturat reprezintă o %artă cu 5 "ări numerotate de la 1 la 5. Se generează toate variantele de colorare a acestei acestei %ăr"i având la dispozi"ie dispozi"ie 4 culori notate cu A, B, C, D, astfel încât oricare două "ări vecine să nu fie colorate la fel. +rima solu"ie este (A, B, C, A, B) având următoarea semnifica"ie$ "ara 1 e colo colorrată ată cu A , "ara 2 e col colorat oratăă cu B, "ara 3 e colorată colorată cu C, "ara 4 e colorată cu A , "ara 5 e colorată cu B. Care din următoarele variante poate reprezenta o solu"ie de colorare? )C,D,B,A,A *
)D,B,D,A,C*
b.
c.
)D,C,B,D,C*
d.
)C,B,D,B,A *
Se generează matricele pătratice cu n linii şi n Dacă n4, care este coloan coloanee cu eleme elemente nte 0 şi 1 care pe fiecare matric matricea ea genera generată tă imedi imediat at linie nie au un sin singur ele element ent egal cu 1, pe după matricea$ fiecare coloană au un singur element egal cu 0010 1, iar restul elementelor sunt nule. Dacă n3, matricele sunt generate în ordinea 1000 următoare$ 100
100
010
010
001
001
010
001
100
001
100
010
001
010
001
100
010
100
0010 1000 0100 0001
b.
0010 0100 1000 0001
c.
0001 1000 0010 0100
0001 0100
d.
0010 0001 1000 0100
-enera -enerarea rea tuturo tuturorr şiruri şirurilor lor de 4 elemente, fiecare element putând fi orice literă literă din mul"imea mul"imea {a,!,m,",#,t}, se realizează cu autorul unui algoritm ec%ivalent cu algoritmul de generare a$ a. produsului cartezian b. permutărilor c. aranamentelor d. com!inărilor
13.
14. olosind primele patru numere prime, se construiesc, în ordine, următoarele sume sume$$ 2$ 2%3$ 2%3%5$ 2%3%5%7$ 2%3%7$ 2%5$ 2%5%7$ 2%7$ 3$ 3%5$ 3%5%7$ 3%7$ 5$ 5%7$ 7 . olosind aceeaşi metodă, construim sume
utilizând primele cinci numere prime. Care este a şasea sumă, astfel o!"inută? a.
2%3%5%11
b.
2%3%7
c.
3%5%11
d.
2%3%5%7%11
&'/
15. olosind met#&a !ac"trac"in', se construiesc numere cu cifre distincte, numere numere care au suma cifrelor egală egală cu 5 şi nu sunt divizi!ile cu 10. Se o!"in, o!"in, în acestă ordine, numerele : 104$ 14$ 203$ 23$ 302$ 32$ 401$ 41$ 5. Care este a aseea n*m+r o!"inut dacă, folosind acelaşi algoritm, se construies construiescc numere numere naturale cu cifre diferite, diferite, nedivizi!ile nedivizi!ile cu 10 şi cu suma cifrelor egală cu 6. a.
213
b.
1302
c.
2013
d.
15
16. olosind numai cifrele {0,5,3,8}, se construiesc, prin metoda !ac0trac0ing, toate numerele cu 3 cifre în care oricare două cifre alăturate nu au aceeaşi paritate. Se o!"in, în ordine numerele$ 505, 503, 585, 583, 305, 303, 385, 383, 850, 858, 830, 838 . 1tilizând acelaşi algoritm pentru a o!"ine numere cu patru cifre din mul"imea {0,3,6,2,92, în care oricare două
cifre alăturate nu au aceeaşi paritate, al şaselea număr care se o!"ine este$ a.
3092
b.
3690
c.
6309
d.
3096
17. 1n elev, elev, folosind folosind met#&a !ac"trac"in', construieşte toate numerele cu cifre distincte, numere care au suma cifrelor egală cu 5 şi nu sunt divizi!ile cu 10. 3l o!"ine, în această ordine, numerele : 104$ 14$ 203$ 23$ 302$ 32$ 401$ 41$ 5 . olosind aceeaşi metodă, el construieşte toate numerele naturale naturale cu cifre diferite, diferite, nedivizi!il nedivizi!ilee cu 10 şi cu suma cifrelor egală cu 6.
Care sunt primele patru numere pe care le construieşte? a.
1023$ 105$ 15$ 6
b.
123$ 132$ 15$ 213
c.
1023$ 123$ 1032$ 132
d.
1023$ 1032$ 105$ 1203$
18. olos olosind ind cifrel cifrelee {0,5,3,8}, se gene genere reaz azăă toat toatee nume numere rele le cu 3 cifre cu
proprietatea că oricare două cifre alăturate alăturate nu au aceeaşi paritate. paritate. stfel, se o!"in în ordine numerele$ 505, 503, 585, 583, 305, 303, 385, 383, 850, 858, 830,838 . olosind aceeaşi metodă, se generează numere de patru cifre din mul"imea {0,3,6,2,92, ultimul număr astfel o!"inut este$ a.
9292
b.
3629
c.
9692
d.
9632
19. +entru n4151, sta!ili"i câte numere strict mai mari decât n şi având exact aceleaşi cifre ca şi n există. a.
5
b.
4
c.
2
d.
3
20. Se generează toate şirurile 6 de paranteze care se înc%id corect$ ()(()), ((())), (())(), ()()(). 5ipseşte vreo solu"ie?
Da, trei solu"ii c. 6u a.
Da, una singură d. Da, două solu"ii b.
&'7
21. +ro!lema +ro!lema generării generării tuturor numerelor numerelor de n cifre (n9) cu cifrele în ordine a. b. c. d.
strict crescătoare este similară cu pro!lema$ generării permutărilor de n elemente generării com!inărilor de 9 elemente luate căte n generării com!inărilor de n elemente luate căte 9 generării aranamentelor de 9 elemente luate căte n
22. +entru a scrie valoarea 10 ca sumă de numere prime se foloseşte metoda
!ac0 !ac0tr trac ac0i 0ing ng şi se gene genere reaz ază, ă, în acea aceast stăă ordi ordine ne,, sume sumele le dist distin inct cte$ e$ 2%2%2%2%2, 2%2%3%3, 2%3%5, 3%7, 5%5. olosind exact aceeaşi metodă, se scrie valoarea 9 ca sumă de numere numere prime. Care este a doua solu"ie? a.
2%2%2%3
!.
2%2%5
c.
2%2%3%2
&.
2%7
23. 1n program foloseşte metoda !ac0trac0ing pentru a afişa toate steagurile tri tricol colore ore for formate ate cu cul culori orile a!, a!astr*, 'a!en, m#-, ne'r*, #rt#cai*, r#/*, -er&e. Se ştie că în miloc singurele culori care pot fi folosi folosite te sunt sunt a!, 'a!en sa sau #rt#cai*, iar cele trei culori dintr#un
steag tre!uie să fie distincte două câte două. +rimele patru steaguri generate de program sunt$ ) a!, 'a!en, a!astr**, )a!, 'a!en, m#-*, )a!, 'a!en, ne'r**, )a!, 'a!en, #rt#cai* #rt#cai**. Care este cel de al optulea steag generat de program? a. a! #rt#cai* , #rt#cai* m#, m#b. a! #rt#cai* , #rt#cai*, a!astr* c.
a!astr*, a!, 'a!en
d.
a! #rt#cai* , #rt#cai*, 'a!en
24. 8rei !ăie"i A A , B şi C, si trei fete D, şi , tre!uie să formeze o ec%ipă de trei
copii, care să participe la un concurs. 3c%ipa tre!uie să fie mixtă )adică să con"ină cel pu"in pu"in o fată şi cel pu"in un !ăiat*. 9rdinea copiilor în ec%ipă ec%ipă este importantă deoarece aceasta va fi ordinea de intrare a copiilor în concurs )de exemplu ec%ipa A , B, D este diferită de ec%ipa B A , A , D*. :n câte dintre ec%ipele A formate se găsesc atât !ăiatul A cât cât şi !ăiatul B? a.
3
b.
36
c.
18
d.
6
&';
pro!lema &. >. (. 4. /. 7. ;. . '. &@. &&. &>. &(. &4. &/. &7. &;. &. &'. >@. >&. >>. >(. >4.
<ăspuns a= a=teptat
! a d c a c c ! d d c ! a a ! a d a ! ! d ! d c
&'
