GRAFICOS DE CONTROL PARA ATRIBUTOS Muchas características de la calidad no pueden representarse convenientemente con valores numéricos. En tales casos, cada artículo inspeccionado por lo general se clasifica como conforme o disconforme respecto de las especificaciones para esas características de la calidad. A las características de la calidad de este tipo se les llama Atributos. El término atributos se utiliza en literatura sobre control de calidad para describir dos situaciones: 1. Cada pieza producida es defectuosa o no defectuosa (cumple las especificaciones o no). 2. Una sola pieza puede tener uno o más defectos y el número número de estos es determinado. determinado. En el primer caso, una gráfica de control está basada en la distribución binomial; en el último, la distribución de Poisson es la base para la gráfica. Se presentan dos gráficas de control de atributos: 1. Gráfica de control para la fracción disconforme o gráfica p 2. Gráfica de control de disconformidades o gráfica c
Gráfica p.- Se clasifica la unidad de observación en una de dos categorías alternas, por ejemplo pasa o no pasa, cumple con las especificac iones y no cumple con las especificaciones; Se puede rastrear la producción de unidades defectuosas en la muestra de observación. En la gráfica p se toma una muestra o subgrupo de n artículos, que puede ser la totalidad o una parte de las piezas de un pedido, un lote, un embarque o cierta producción. Se revisa cada uno de n artículos y se encuentra cuales son defectuosos; entonces, se grafica la proporción pi de los artículos defectuosos, que se obtiene al dividir la cantidad de artículos defectuosos encontrada en cada muestra entre el tamaño de muestra. Cuando se está haciendo un estudio inicial para establecer los límites de control en una gráfica p, entonces, lo que se tiene que hacer es estimar la media y la desviación estándar de la variable que se grafica; que en el caso de la gráfica p, es pi. Considerando esto, y de acuerdo con la distribución binomial, si se toman varias muestras (aproximadamente 20), los límites de control para una gráfica p están dados por:
El gráfico P sirve para detectar artículos defectuosos cuando se están analizando variables por atributos, nos proporcionará la fracción o porcentaje de artículos defectuosos en la población que se encuentra bajo estudio.
Ejemplo.Una compañía de productos electrónicos fabrica tubos de rayos catódicos. Con objeto de controlar el proceso, durante 21 días de cierto mes, se muestrearon cada día 50 tubos de la línea de producción y se inspeccionaron. En la siguiente tabla, se presenta el número de tubos defectuosos encontrados cada día:
GRAFICOS DE CONTROL PARA ATRIBUTOS Día Tubos Defectuosos Día Tubos Defectuosos 1
11
12
23
2
15
13
15
3
12
14
12
4
10
15
11
5
9
16
11
6
12
17
16
7
12
18
15
8
14
19
10
9
9
20
13
10
13
21
12
11
15
Determinar: a) Los límites de control y la línea central de la gráfica p de la fracción de tubos de rayos catódicos defectuosos. b) Traza la gráfica de control p, ¿está el proceso bajo control? c) En caso de que el proceso esté fuera de control, recalcula los límites de control omitiendo los datos que caen fuera de los límites 3-σ.
Solución: a) Realizamos una recopilación de los datos ofrecidos por el enunciado del problema: · Gráfica de control p, fracción de defectos. · Tamaño de la muestra: n = 50. · Número de muestras: m = 21. Nos piden obtener la gráfica de control de fracción de defectos p, cuyos límites de control son:
Siendo:
Ya disponemos de todos los datos necesarios para obtener los límites de control de la gráfica de fracción defectuosos, p: (Continua siguiente página)
2
GRAFICOS DE CONTROL PARA ATRIBUTOS
b) Debemos representar la gráfica de control p, de fracción de tubos de rayos catódicos defectuosos:
Una vez dibujada la gráfica de control, pasamos a su análisis. En un primer vistazo observamos que un punto, el número 12, está fuera de los límites de control 3σ, por lo tanto, el proceso está fuera de control.
c) El proceso contiene un punto, concretamente el punto 12, fuera de los límites de control, el enunciado nos dice que lo eliminemos y recalculemos los límites de control nuevamente. . Gráfica de control p, fracción de defectos. . Tamaño de la muestra: n = 50.
3
GRAFICOS DE CONTROL PARA ATRIBUTOS . Número de muestras: m = 20. Nos piden obtener la nueva gráfica de control de fracción de defectos p, cuyos límites de control son:
Debemos representar la nueva gráfica de control p, de fracción de tubos de rayos catódicos defectuosos,
Podemos observar que el proceso está bajo control ya que cumple con todas las premisas necesarias. A veces, la técnica de eliminar un punto concreto que hace que el proceso completo esté fuera de control es útil, ya que se haya podido dar por causas ajenas al propio proceso y es un momento único y aislado. 4
GRAFICOS DE CONTROL PARA ATRIBUTOS Ejercicio.Se selecciona una muestra de 100 tazas de una figura especial de loza, durante cada uno de 25 días sucesivos, y en cada uno se examina para ver si tiene defectos. Los números resultantes de tazas no aceptables son los siguientes:
Día
Defectos
1
7
2
4
3
3
4
6
5
4
6
9
7
6
8
7
9
5
10
3
11
7
12
8
13
4
14
6
15
2
16
9
17
14
18
6
19
7
20
11
21
6
22
7
23
4
24
8
25
6
5
GRAFICOS DE CONTROL PARA ATRIBUTOS Gráfica C .- Cuando una observación consiste en la cantidad de defectos por unidad de observación, se rastrean la cantidad de los defectos. Los gráficos C se utilizan para controlar el número de defectos en una muestra del producto o unidad de inspección. Para controlar este proceso, un inspector se coloca al final de la línea de producción y cada cierto intervalo retira una unidad de inspección, verifica y anota el número total de defectos. Una unidad defectuosa puede tener uno o más defectos. Sin embargo, es posible que una unidad de producto tenga varios defectos y que no sea clasificada como defectuosa debido a la naturaleza poco importante del defecto. Existen en la práctica muchas situaciones en las que es preferible trabajar con el número de defectos que con el porcentaje o el número de unidades defectuosas. Por ejemplo, el número de soldaduras defectuosas en un tubo de conducción de gas, el número de defectos funcionales es un dispositivo electrónico, etc. En el gráfico ‘c’ se representan el número de defectos existentes en cada unidad de inspección. En la mayor parte de los casos, la unidad de inspección será una unidad de producto aunque esto no es absolutamente necesario ya que la unidad de inspección constituye simplemente una porción de producción sobre la que es conveniente registrar el número de defectos encontrados. Puede ser un grupo de 1,5 6 10 unidades de producto. Supongamos que los defectos tienen lugar en esta unidad de inspección de acuerdo con la distribución de Poisson.
Donde x es el número de defectos en la unidad de inspección y C es el parámetro de la distribución, Sabemos que la media y la varianza de la distribución de Poisson son ambas iguales a C. En consecuencia, los límites de control 3 sigma para el número de defectos serán:
Hay que tener en cuenta que la probabilidad de producir una falsa al arma por situarse el punto por encima del límite de control superior es diferente que la de situarse por debajo del límite inferior (colas superior e inferior diferentes). Si no se conoce el parámetro c, debe estimarse a partir de una muestra preliminar de unidades de inspección. Otro punto a considerar en este tema son los denominados Límites de Advertencia , los cuales se deben calcular paralelamente a los Límites de Control C. Estos límites se basan en las medidas basadas σ y 2σ, Para poder explicar este punto veamos el desarrollo del ejercicio siguiente:
Ej5. En un proceso de fabricación de placas de circuitos impresos, además del espesor, es necesario mantener bajo control el número de defectos que puedan presentar. Para ello, tomamos 26 unidades de inspección constituidas, cada una de ellas, por 100 placas muestreadas aleatoriamente. En la tabla que sigue, se detalla el número de defectos encontrados: (Continua siguiente página)
6
GRAFICOS DE CONTROL PARA ATRIBUTOS Unidad Número de Defectos Unidad Número de Defectos 1
21
14
19
2
24
15
10
3
16
16
17
4
12
17
13
5
15
18
22
6
5
19
18
7
28
20
39
8
20
21
30
9
31
22
24
10
25
23
16
11
20
24
19
12
24
25
17
13
16
26
15
Determinar: a) Los límites de control y la línea central de la carta C . b) Traza la gráfica de control C , ¿cuántos puntos de la gráfica de control quedan fuera de los límites calculados? c) Elimine los puntos que quedan fuera de los límites de control 3- σ y recalcula dichos límites así cómo la línea central.
SOLUCION: a) Realizamos una recopilación de los datos ofrecidos por el enunciado del problema: · Carta de control C , número de defectos. · Tamaño de la muestra: n = 100. · Número de muestras: m = 26. Nos piden obtener la carta de control del número de defectos, C , cuyos límites de control son:
Siendo:
Ya disponemos de todos los datos necesarios para obtener los límites de control de la carta de defectos, C :
7
GRAFICOS DE CONTROL PARA ATRIBUTOS
b) Debemos representar la carta de control C , del número de defectos, pero antes, debemos obtener los límites σ y 2σ de la mi sma, para su posterior análisis mediante el método: Western Electric Handbook 1956, el cual nos indica que los criterios para discernir si un proceso mediante cartas de control, esté fuera o no de control, serán los descritos y proporcionados por: Western Electric Handbook 1956. Criterios para que un proceso esté fuera de control: Un punto cae más allá de los límites de control 3- σ (Límites de actuación). Dos de tres puntos consecutivos, caen más allá de un límite 2- σ (Límites de advertencia). Cuatro de cinco puntos consecutivos, están a una distancia 1-σ o mayor de la línea central. Ocho puntos consecutivos de la gráfica, están al mismo lado de la línea central.
Para obtener los límites de advertencia σ y 2σ, existen dos formas, una es mediante una simple regla de tres, y la otra, algo más sofisticada, es obteniendo el valor de σ. En este caso, usaremos la regla de tres para obtener los límites de control de advertencia.
- Para el Límite Superior: (LSC - LC)/3 = (33.210861 - 19.846154)/3 ≈ 4.454902 Por lo tanto, los Límites De Advertencia De Control 2σ son: · c + 2·σ = 19.846154 + 2·4.454902 = 28.755958 Para los Límites De Advertencia De Control σ son: · c + σ = 19.846154 + 4.454902 = 24.301056
- Para el límite inferior: (LC - LIC)/3 = (19.846154 - 6.481447)/3 ≈ 4.454902 Por lo tanto, los Límites De Advertencia De Control 2σ son: · c - 2·σ = 19.846154 - 2·4.454902 = 10.93635 Para los Límites De Advertencia De Control σ son: · c - σ = 19.846154 - 4.454902 = 15.391252 Podemos comprobar, que tanto para el límite superior como para el inferior, el valor es el mismo, esto es así ya que existe la misma distancia entre la línea central, LC, con el límite superior, LSC, y el límite inferior, LIC. Y en este momento, estamos en disposición de realizar la gráfica de control C :
8
GRAFICOS DE CONTROL PARA ATRIBUTOS
33.21
28.76
24.30
19.85
15.39
10.94
6.48
Una vez dibujada la gráfica de control, pasamos a su análisis. En un primer vistazo observamos que dos puntos, el número 6 y el 20, están fuera de los límites de cont rol 3σ, por lo tanto, el proceso está fuera de control .
c) El proceso contiene dos puntos, concretamente el punto 6 y el punto 20, fuera de los límites de control, el enunciado nos dice que los eliminemos y recalculemos l os límites de control nuevamente. · Carta de control C , número de defectos. · Tamaño de la muestra: n = 100. · Número de muestras: m = 24. Nos piden obtener la carta de control del número de defectos, C , cuyos límites de control son:
Siendo:
9
GRAFICOS DE CONTROL PARA ATRIBUTOS Ya disponemos de todos los datos necesarios para obtener los límites de control de la carta de defectos, C :
Debemos representar la carta de control C , del número de defectos, pero antes, debemos obtener los límites σ y 2σ de la misma, para su posterior análisis mediante el método: Western Electric Handbook 1956, tal como se señaló anteriormente. Para obtener los límites de advertencia σ y 2σ, existen dos formas, una es mediante una simple regla de tres, y la otra, algo más sofisticada, es obteniendo el valor de σ. En este caso, usaremos la regla de tres para obtener los límites de control de advertencia.
- Para el límite superior: (LSC - LC)/3 = (32.970802 - 19.666667)/3 ≈ 4.434712 Por lo tanto, los límites de advertencia de control 2σ son: · c + 2·σ = 19.666667 + 2·4.4.434712 = 28.536091 Para los límites de advertencia de control σ son: · c + σ = 19.666667 + 4.434712 = 24.101379
- Para el límite inferior: (LC - LIC)/3 = (19.666667 - 6.362532)/3 ≈ 4.434712 Por lo tanto, los límites de advertencia de control 2σ son: · c - 2·σ = 19.666667 - 2·4.434712 = 10.797243 Para los límites de advertencia de control σ son: · c - σ = 19.666667 - 4.4.434712 = 15.231955 Podemos comprobar, que tanto para el límite superior como para el inferior, el valor es el mismo, esto es así ya que existe la misma distancia entre la línea central, LC, con el límite superior, LSC, y el límite inferior, LIC. Y en este momento, estamos en disposición de realizar la gráfica de control C : En el gráfico ahora podemos observar que ya todos los puntos están dentro de los límites de control, pero aun así, el proceso sigue estando fuera de control , ya que 4 de 5 puntos consecutivos están a una distancia 1σ o superior de la línea central. (Continua siguiente página)
10
GRAFICOS DE CONTROL PARA ATRIBUTOS
32.97
28.54
24.10
19.67
15.23
10.80
6.36
Los puntos que están fuera de control son: · 4: 1σ inferior. · 5: 1σ inferior. · 6: 1σ superior. · 7: LC. · 8: 2σ superior. Por lo tanto, el proceso del número de defectos de la carta C, está fuera de control.
Ejercicio.- Una empresa fabrica paneles metálicos, a veces aparecen fallas en el acabado de estos paneles, por lo cual la compañía desea establecer una grafica de control para encontrar el número de fallas. Los números de fallas de cada uno de 24 paneles a los que se les hizo el muestreo a intervalos regulares de tiempo son los siguientes: Muestra Nº Nº Defectos
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
7
10
9
12
13
6
13
7
5
11
8
10
13
9
21
10
6
8
3
12
7
11
14
10
11
GRAFICOS DE CONTROL PARA ATRIBUTOS Grafica u Proporción De Defectos.- Hay situaciones en las cuales estamos interesados en el número promedio de defectos por unidad, en lugar del número de defectos en la muestra. La gráfica u puede ser usada bajo cada una de las siguientes suposiciones: Como substituto de la gráfica c cuando el tamaño muestral es variado. Cuando el tamaño muestral varía, de modo que la gráfica c no puede usarse.
Es decir, tenemos que la variable u representa el promedio de errores por unidad, se define como el cociente del número total de errores X de la muestra (la cual es una variable de Poisson), dividido por el tamaño promedio de la muestra n.
Límites de control del gráfico U (promedio de defectos por unidad) basado en los valores muestrales:
EJEMPLO DE UN GRÁFICO DE CONTROL“U “DEFECTOS POR UNIDAD
En una fábrica de ceniceros de vidrio con producción diaria de varias miles de piezas, se toman cada día muestras de diferentes tamaños, contabilizando los defectos y encontrando el siguiente resultado: Nº Nº Día Muestra Día Muestra Defectos Defectos
a) b)
1
304
4
16
310
6
2
310
6
17
311
7
3
320
3
18
315
7
4
340
4
19
319
9
5
345
5
20
320
3
6
298
0
21
345
5
7
284
2
22
305
5
8
290
3
23
300
4
9
299
0
24
320
3
10
305
5
25
298
1
11
308
9
26
308
8
12
310
4
27
310
5
13
312
3
28
345
7
14
320
7
29
298
2
15
300
4
30
290
2
Calcule los valores de defectos por unidad para cada subgrupo, los defectos promedio por unidad y los límites de control. Elabore la gráfica correspondiente
12
GRAFICOS DE CONTROL PARA ATRIBUTOS c) d) e) f)
Interprétela Ponga en control estadístico el proceso Vuelva a elaborar la gráfica final. Interprete esta última gráfica
SOLUCIÓN a)
Cálculos iniciales.
Dia
Muestra, n
Nº Defectos
U
Dia
Muestra, n
Nº Defectos
U
1
304
4
0.0132
16
310
6
0.0194
2
310
6
0.0194
17
311
7
0.0225
3
320
3
0.0094
18
315
7
0.0222
4
340
4
0.0118
19
319
9
0.0282
5
345
5
0.0145
20
320
3
0.0094
6
298
0
0.0000
21
345
5
0.0145
7
284
2
0.0070
22
305
5
0.0164
8
290
3
0.0103
23
300
4
0.0133
9
299
0
0.0000
24
320
3
0.0094
10
305
5
0.0164
25
298
1
0.0034
11
308
9
0.0292
26
308
8
0.0260
12
310
4
0.0129
27
310
5
0.0161
13
312
3
0.0096
28
345
7
0.0203
14
320
7
0.0219
29
298
2
0.0067
15
300
4
0.0133
30
290
2
0.0069
Sub Total
4645
59
0.1889
Sub Total
4694
74
0.2347
Total
9339
133
0.4236
Promedio
311.3
4.4333333
0.0142
En la tabla se muestran los valores de defectos por unidad. Cálculo de los límites:
√ √
13
GRAFICOS DE CONTROL PARA ATRIBUTOS b)
Gráfica u 0.04
0.035
LCS = 0.0345
0.03 0.025 0.02 LC = 0.0142
0.015 0.01 0.005
LCI = 0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
c)
Interpretación de la gráfica: Puntos fuera.- No hay ningún punto fuera, por lo que podemos decir que el proceso se encuentra en control estadístico. Corridas.- No hay ninguna corrida bien definida, pero es propenso del 3 al 9 en donde solo el punto 5 está por arriba; del 14 al 19 con solo el 15 por abajo. Tendencias.- Tampoco está perfectamente definidas pero existe anormalidad del 2 al 9 ; del 13 al 19; y del 19 al 25.
d)
Poner el proceso en control estadístico: De origen se encuentra la gráfica en control, tampoco procede por lo tanto desarrollar los puntos e) y f).
Ejercicio.- Se han observado los defectos de 24 muestras sucesivas de artículos producidos en 24 turnos sucesivos. Elaborar la gráfica KuK y comente sus resultados.
Turno
Producción
Nº de Defectos
Turno
Producción
Nº de Defectos
Turno
Producción
Nº de Defectos
1
96
12
9
100
19
17
100
21
2
99
14
10
99
20
18
97
19
3
99
21
11
100
19
19
87
12
4
100
21
12
100
17
20
100
12
5
100
15
13
100
20
21
100
18
6
100
18
14
94
9
22
98
24
7
100
22
15
94
13
23
97
19
8
100
20
16
99
30
24
97
19
a) b) c)
Calcule los valores de defectos por unidad para cada subgrupo, los defectos promedio por unidad y los límites de control. Elabore la gráfica correspondiente Interprétela
14
GRAFICOS DE CONTROL PARA ATRIBUTOS Gráfica de control por número de piezas defectuosas (np).- El gráfico np sirve para detectar la fracción de artículos defectuosos cuando se están analizando variables por atributos, nos proporcionará la fracción o porcentaje de artículos defectuosos en la población que se encuentra bajo estudio. Los pasos para obtener el gráfico np 1. Definir la característica de calidad (atributo) que se desea analizar. 2. Controlar las condiciones del proceso. Eliminar todas las variables asignables o atribuibles del proceso. 3. Tomar un número K de muestras. Las muestras deben de ser de tamaño constante, es decir todas las muestras son del mismo tamaño. El número de muestras no debe ser menor a 20, y cada muestra debe tener por lo menos 50 elementos. 4. Tabular resultados de acuerdo a la siguiente tabla
Número de muestra
Tamaño de muestra (n)
Número de productos defectuosos (np)
Fracción de defectuosos (p) p= np/p
1
n
np1
p1
2
n
np2
p2
....
....
....
....
k
n
npk
pk
5. Cálculo de : Posteriormente se calcula la media (promedio) del número de artículos defectuosos de todas las muestras.
6. Cálculo de los Límites de Control del Proceso: Dado que se está realizando el análisis de los atributos (se tiene o no se tiene) se utiliza una distribución binomial para calcular los límites de control. Los cuales están dados por:
Límite superior de Control (LSC) Límite Central de Control (LCC) Límite Inferior de Control (LIC)
7.
Graficar: A continuación se realiza la gráfica, en la cual se marcan los límites de control y en relación a ellos se grafica el número de defectuosos de cada una de las muestras. 8. Comparar el proceso con los límites de especificaciones. Observar el comportamiento del proceso de acuerdo con la gráfica y sacar co nclusiones.
15
GRAFICOS DE CONTROL PARA ATRIBUTOS Ejemplo.- Un fabricante de latas de aluminio registra el número de partes defectuosas, tomando muestras cada hora de n = 50, con 30 subgrupos. Realizar la gráfica de control para la siguiente serie de datos obtenida durante el muestreo. Muestra 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Latas defectuosas np 12 15 8 10 4 7 16 9 14 10 5 6 17 12 22
Muestra 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
Latas defectuosas np 8 10 5 13 11 20 18 24 15 9 12 7 13 9 6
Solución:
Ejercicio.- En un proceso de fabricación de placas de circuitos impresos, además del espesor, es necesario mantener bajo control el número de defectos que puedan presentar. Para ello, tomamos 26 unidades de inspección constituidas, cada una de ellas, por 100 placas muestreadas aleatoriamente. En la tabla que sigue, se detalla el número de defectos encontrados: 16
GRAFICOS DE CONTROL PARA ATRIBUTOS Unidad Número de Defectos Unidad Número de Defectos 1
21
14
19
2
24
15
10
3
16
16
17
4
12
17
13
5
15
18
22
6
5
19
18
7
28
20
39
8
20
21
30
9
31
22
24
10
25
23
16
11
20
24
19
12
24
25
17
13
16
26
15
Elaborar la gráfica de control np.
17
