giai sach bai tap XSTK DH KTQD chuong 1 full v1.pdf

2015 GIẢI SÁCH BÀI TẬP XÁC SUẤT THỐNG KÊ ĐH KINH TẾ QD- chương 1

TS. Nguy ễn Văn Minh

ĐH Ngoại Thương Hà nội 7/21/2015


ĐH Ngoại Thương Hà nội

tr ường ĐH KTQD Giải bài tậ p sách ‘‘Bài tậ p Xác suất và Thống Kê toán’’ trường

07/2015 Bài tậ p có sự giúp đỡ c của SV K52, K53. Có nhi ều chỗ sai sót mong đượ c góp ý : [email protected] [email protected] §1 Định ngh ĩa cổ điển về xác su ất Bài 1.1 Gieo một con xúc xắc đố i xứng và đồ ng chất.

Tìm xác suất để đượ c: c: a. Mặt sáu chấm xuất hiện. b. Mặt có số chẵn chấm xuất hiện. Giải:

a) Không gian mẫu là {1,2,...,6} Gọi A=biến cố khi gieo con xúc x ắc thì đượ c mặt 6 chấm Số k ết cục duy nhất đồng khả năng: n=6 Số k ết cục thuận lợ i : m=1 m 1  P(A) = = . 6 n b) Gọi B=biến cố khi gieo xúc xắc thí mặt chẵn chấm xuất hiện 3 m Tương tự ta có: P(B) = = = 0,5. n 6 Bài 1.2 Có 100 t ấm bìa hình vuông nh ư nhau được đánh số t ừ 1 đến 100. Ta lấy ngẫu nhiên một t ấm bìa. Tìm xác suất : a. Đượ c một tấm bìa có số không có s ố 5. b. Đượ c một tấm bìa có số chia hết cho 2 ho ặc cho 5 ho ặc cả cho 2 và cho 5. Giải:

a) Không gian mẫu là {1,2,...,100}. {1,2,. ..,100}. Gọi A là biến cố khi lấy ngẫu nhiên một tấm bìa có số có số 5. Số k ết cục duy nhất đồng khả năng là n = 100. Số k ết cục thuận lợ i m = 19 (10 số có đơn vị là 5, 10 số có hàng chục là 5, lưu ý số 55 đượ c tính 2 lần) Do đó P( A) 

19  0,19 . 100

Vậy xác suất để lấy ngẫu nhiên một tấm bìa có số không có s ố 5 là 1  P( A)  1  0,19  0, 81. b) Gọi A là biến cố khi lấy ngẫu nhiên một t ấm bìa có số chia hết cho 2 ho ặc cho 5 ho ặc cả cho 2 và cho 5. Số k ết cục duy nhất đồng khả năng là n = 100.

2



tr ường ĐH KTQD Giải bài tậ p sách ‘‘Bài tậ p Xác suất và Thống Kê toán’’ trường

07/2015 Bài tậ p có sự giúp đỡ c của SV K52, K53. Có nhi ều chỗ sai sót mong đượ c góp ý : [email protected] [email protected] §1 Định ngh ĩa cổ điển về xác su ất Bài 1.1 Gieo một con xúc xắc đố i xứng và đồ ng chất.

Tìm xác suất để đượ c: c: a. Mặt sáu chấm xuất hiện. b. Mặt có số chẵn chấm xuất hiện. Giải:

a) Không gian mẫu là {1,2,...,6} Gọi A=biến cố khi gieo con xúc x ắc thì đượ c mặt 6 chấm Số k ết cục duy nhất đồng khả năng: n=6 Số k ết cục thuận lợ i : m=1 m 1  P(A) = = . 6 n b) Gọi B=biến cố khi gieo xúc xắc thí mặt chẵn chấm xuất hiện 3 m Tương tự ta có: P(B) = = = 0,5. n 6 Bài 1.2 Có 100 t ấm bìa hình vuông nh ư nhau được đánh số t ừ 1 đến 100. Ta lấy ngẫu nhiên một t ấm bìa. Tìm xác suất : a. Đượ c một tấm bìa có số không có s ố 5. b. Đượ c một tấm bìa có số chia hết cho 2 ho ặc cho 5 ho ặc cả cho 2 và cho 5. Giải:

a) Không gian mẫu là {1,2,...,100}. {1,2,. ..,100}. Gọi A là biến cố khi lấy ngẫu nhiên một tấm bìa có số có số 5. Số k ết cục duy nhất đồng khả năng là n = 100. Số k ết cục thuận lợ i m = 19 (10 số có đơn vị là 5, 10 số có hàng chục là 5, lưu ý số 55 đượ c tính 2 lần) Do đó P( A) 

19  0,19 . 100

Vậy xác suất để lấy ngẫu nhiên một tấm bìa có số không có s ố 5 là 1  P( A)  1  0,19  0, 81. b) Gọi A là biến cố khi lấy ngẫu nhiên một t ấm bìa có số chia hết cho 2 ho ặc cho 5 ho ặc cả cho 2 và cho 5. Số k ết cục duy nhất đồng khả năng là n = 100.

2



Số k ết cục thuận lợi m = 60 (trong đó có 50 số chia hết cho 2, 20 s ố chia hết cho 5, chú ý có 10 s ố chia 60  0, 6 . hết cho 10 đượ c tính 2 lần) do đó P( A)  100 Bài 1.3 Một hộ p có a quả cầu tr ắng và b qu ả cầu đen. Lấ y ngẫu nhiên lần

lượ t hai quả cầu.

a) Tìm xác suất để quả cầu thứ nhất tr ắng. b) Tìm xác suất để quả cầu thứ hai tr ắng biết r ằng quả cầu thứ nhất tr ắng. c) Tìm xác suất để quả cầu thứ nhất tr ắng biết r ằng quả cầu thứ hai tr ắng. Giải: a) Đánh số a quả cầu tr ắng là 1, 2,..., a và b qu ả cầu đen là a+1,...,a+b.

Không gian mẫu là {1,2,...,a+b} Số k ết cục duy nhất đồng khả năng là a  b . A là biến cố khi lấy ngẫu nhiên đượ c quả cầu thứ nhất tr ắng, số k ết cục thuận lợ i là a do đó P( A) 

a ab

.

b) Đánh số a quả cầu tr ắng là 1, 2,..., a và b qu ả cầu đen là a+1,...,a+b. Không gian mẫu là tậ p các bộ số (u,v) vớ i 1  u  a,1  v  a  b; u  v . Số k ết cục duy nhất đồng khả năng là a(a  b 1) . Nếu quả thứ nhất tr ắng thì số cách chọn nó là a cách, v ậy số cách chọn quả thứ 2 là a-1. Số k ết cục thuận lợ i là a(a-1). do đó Pb 

a (a  1) a(a  b  1)



a 1 a  b 1

.

c) Đánh số a quả cầu tr ắng là 1, 2,..., a và b qu ả cầu đen là a+1,...,a+b. Không gian mẫu là tậ p các bộ số (u,v) vớ i 1  u  a  b,1  v  a; u  v . Số k ết cục duy nhất đồng khả năng là a(a  b 1) . Nếu quả thứ hai tr ắng thì số cách chọn nó là a cách, vậy số cách chọn quả thứ 1 tr ắng là a-1. Số k ết cục thuận lợ i là a(a-1). do đó Pc 

a (a  1) a(a  b  1)



a 1 a  b 1

.

Bài 1.4 Một hộ p có a quả cầu tr ắng và b qu ả cầu đen. Lấ y ngẫu nhiên ra lần lượ t t ừng quả cầu.

Tìm xác suất để: a. Quả cầu thứ 2 là tr ắng 3



b. Quả cầu cuồi cùng là tr ắng. Giải: a) Đánh số a quả cầu tr ắng là 1, 2,..., a và b qu ả cầu đen là a+1,...,a+b.

Không gian mẫu là tậ p các bộ số (u,v) vớ i 1  u, v  a  b; u  v . Số k ết cục duy nhất đồng khả năng là (a  b )( a  b  1) . Số cách chọn quả thứ 2 là a, sau đó có a+b -1 cách chọn quả thứ nhất vậy số k ết cục thuận lợ i là: a(a  b  1) .

do đó Pa 

a (a  b  1)

(a  b)(a  b  1)



a a b

.

a) Đánh số a quả cầu tr ắng là 1, 2,..., a và b qu ả cầu đen là a+1,...,a+b. Không gian mẫu là tậ p các bộ số ( u1 , u2 , ..., ua b ) là hoán vị của 1,2,...,a+b. Số k ết cục duy nhất đồng khả năng là (a  b)! . Số cách chọn quả cuối cùng là a, sau đó có a+b-1 cách chọn quả 1, a+b-2 cách chọn quả 2,...,và cuối cùng là 1 cách chọn quả thứ a+b-1. Do đó số k ết cục thuận lợ i là a(a  b  1)! . do đó Pb 

a (a  b  1) !

(a  b)!



a a b

.

Bài 1.5 Gieo đồng thời hai đồng xu. Tìm xác su ất để đượ c

a) Hai mặt cùng sấ p xuất hiện b) Một sấ p, một ngửa c) Có ít nhất một mặt sấ p Giải: Không gian mẫu là (N,N),

(S,N), (N,S), (S,S).

a) Số k ết cục thuận lợ i là 1: (S,S) nên

Pa 

1  0,25 . 4

b) Số k ết cục thuận lợ i là 2: (S,N) và (N,S) nên

Pb 

2 0, 5 .  0,5 4

b) Số k ết cục thuận lợ i là 3: (S,N), (N,S) và (S,S) nên

Pb 

3  0,75 . 4

Bài 1.6 Gieo đồng thờ i hai con xúc xắc. Tìm xác suất để đượ c hai mặt

a) Có tổng số chấm bằng 7 b) Có tổng số chấm nhỏ hơn 8 c) Có ít nhất một mặt 6 chấm ắng) và B (đen) các mặt tương t ương ứng vớ i W1..., W 6 và B1..., B6 Giải: Đánh dấu 2 con xúc x ắc là W (tr ắng) 4



Không gian mẫu là tất cả các cặ p (Wi , B j ) , Số k ết cục duy nhất đồng khả năng là 36. a) Có 6 cặ p có tổng số chấm bằng 7 là (W1 , B6 ) , …, (W6 , B1 ) vậy

Pa 

6 1  . 36 6

b) Có 0 cặ p có t ổng số chấm bằng 1, Có 1 c ặ p có t ổng số chấm bằng 2, Có 2 c ặ p có t ổng số chấm bằng 3, Có 3 cặ p có tổng số chấm bằng 4, Có 4 c ặ p có tổng số chấm bằng 5, Có 5 c ặ p có tổng số chấm bằng 6, Có 6 cặ p có tổng số chấm bằng 7. Do đó có 1+2+…+6 = 21 cặ p có tổng số chấm nhỏ hơn 8, vậ y 21 7 Pb   . 36 12 c) Có ít nhất một mặt 6 chấm nên số k ết cục thuận lợi đồng khả năng là 11 gồ m : (W1 , B6 ) , …, (W6 , B6 ) và 11 (W6 , B1 ) ,…, (W6 , B5 ) , vậy Pc  36 Ba ngườ i khách cuối cùng ra khỏ i nhà bỏ quên mũ. Chủ nhà không biết rõ chủ c ủa những chiếc mũ đó nên gửi tr ả họ một cách ngẫu nhiên. Tìm xác su ất để:

Bài 1.7

a) b) c) d)

Cả 3 người cùng đượ c tr ả sai mũ Có đúng một người đượ c tr ả đúng mũ Có đúng hai người đượ c tr ả đúng mũ Cả ba người đều đượ c tr ả đúng mũ

Giải: Gọi 3 cái mũ tương ứ ng của 3 người đó là 1, 2,

3.

Không gian mẫu là 6 hoán v ị của 1, 2, 3 g ồm các bộ (i,j,k): (1,2,3), …, (3,2,1). Ta hiểu là đem mũ i trả cho ngườ i 1, mũ j trả cho ngườ i 2, mũ k trả cho ngườ i 3. a) số các bộ (i,j,k) mà i  1, j  2, k  3 chỉ có 2 bộ thuận lợ i như vậy là (2,3,1), (3,1,2), v ậy

Pa 

2 1  . 6 3

b) Nếu chỉ người 1 đượ c tr ả đúng mũ th ì chỉ có một khả năng thuậ n lợ i (1,3,2). Nếu chỉ người 2 đượ c tr ả đúng mũ thì chỉ có một khả năng thuận lợ i (3,2,1). Nếu chỉ người 3 đượ c tr ả đúng mũ thì chỉ có một khả năng thuận lợ i (2,1,3), vậy

Pb 

3 1  . 6 2

c) Nếu có đúng 2 người đượ c tr ả đúng mũ thì ngườ i còn lại c ũng phả i tr t r ả đúng mũ, không có khả năng 0 thuận lợ i nào, vậy Pc   0 . 6 d) Có duy nh ất một khả năng thuận lợ i là (1, 2, 3), v ậy

5

Pd 

1 . 6



Một lớ p sinh viên có 50% học tiếng Anh, 40% học tiếng Pháp, 30% học tiếng Đức, 20% học tiếng Anh và Pháp, 15% h ọc tiếng Anh và Đứ c, 10% học tiếng Pháp và Đứ c, 5% học cả ba thứ tiếng. Tìm xác suất khi lấy ngẫu nhiên 1 sinh viên thì ng ười đó: Bài 1.8

a) b) c) d)

Học ít nhất một trong 3 ngo ại ngữ Chỉ học tiếng Anh và tiếng Đức Chỉ học tiếng Pháp Học tiếng Pháp biết người đó họ c tiếng Anh

Giải: Vẽ biểu đồ Ven.

Gọi A, B, C tương ứ ng là biến cố lấy ngẫu nhiên 1 sinh viên thì sinh viên đó học tiếng Anh, Pháp, Đứ c. a) Pa  P( A  B  C )  P( A)  P(B)  P(C )  P ( A  B )  P (B  C )  P (C  A)  P ( A  B  C )  50%  40%  30%  20%  15% 10%  5%  80%  0,8

b) Pb  P( A  C )  P( A  B  C) = 15%  5%  0,1 c) Pc  P( B)  P( A  B )  P( B  C )  P( A  B  C )  40%  20%  10%  5%  0,15 P ( B  A)

20%  0,4 chính là t ỷ lệ diện tích của A  B vớ i diện tích của A với qui ướ c hình P( A) 50% tròn lớ n có diện tích là 1. d)

Pd 



Một ngườ i g ọi điện thoại cho bạn nhưng quên mấ t 3 chữ số cuối và chỉ nhớ r ằng chúng khác nhau. Tìm xác suất để người đó quay số một lần được đúng số điện thoại của bạn. Bài 1.9

Giải: Không gian mẫu là tậ p con của tậ p các số 000, 001, …, 999 mà có 3 ch ữ số khác nhau.

Ta phải tìm số các cặ p (a,b,c) vớ i a,b,c nhận từ 0,…, 9 mà a, b, c khác nhau đôi mộ t. a có 10 cách chọn, sau đó b có 9 cách chọn, sau đó c có 8 cách chọ n , vậy số các cặ p như vậy là 10.9.8 = 720. xác suất để người đó quay số một lần được đúng số điện thoại của bạn là Bài 1.10 Trong một hòm

1 . 720

đựng 10 chi tiết đạt tiêu chuẩn và 5 chi tiết phế ph ẩm. Lấy đồng thờ i 3 chi tiết.

Tính xác suất: a) Cả 3 chi tiết lấy ra thuộc tiêu chuẩn b) Trong số 3 chi tiết lấy ra có 2 chi tiết đạt tiêu chuẩn. Giải: Gọi các chi tiết đạt tiêu chuẩn là 1, …, 10, các chi tiết phế phẩm là 11, …, 15.

Không gian mẫu là tậ p các tậ p con {a, b, c} vớ i a, b, c khác nhau đôi 1 nhận giá tr ị từ 1 đến 15. Số các k ết cục đồng khả năng là

3 C 15 

15.14.13  5.7.13 . 3.2.1 6


ĐH Ngoại Thương Hà nội 3 C 10 

10.9.8  5.3.8 (lấy 3 số trong 10 s ố không c ần xế p thứ tự), vậy 3.2.1

C102 .C 51 

10.9 .5  5.9.5 (lấy 2 s ố trong 10 s ố và s ố còn lại trong 5 số, không 2.1

a) Số các k ết cục thuận lợ i là Pa 

C 103 3 C 15



5.3.8  0,264 5.7.13

b) Số các k ết c ục thuận lợ i là cần xế p thứ tự), vậy

Pb 

5.9.5  0,495 . 5.7.13

Bài 1.11 Một nhi đồ ng tậ p xế p chữ. Em có các chữ N, Ê, H, G, H, N. Tìm xác su ất để em đó trong khi sắ p

xế p ngẫu nhiên đượ c chữ NGHÊNH. Giải: Đầu tiên ta xế p chữ N : có C 62 

Sau đó đến chữ H : có C 42 

6.5  15 cách xế p 2 chữ N vào 6 v ị trí. Còn lại 4 vị trí. 2.1

4.3  6 cách xế p 2 chữ H vào 4 v ị trí. Còn lại 2 vị trí. 2.1

Sau đó đến chữ Ê có 2 cách xế p, còn vị trí cuố i cùng cho chữ G.

Vậy số cách xế p có thể có là 15.6.2.1 = 180, v ậy P 

1 . 180

Bài 1.12 Thang máy của một tòa nhà 7 t ầng xuất phát t ừ tầng một vớ i 3 khách. Tìm xác su ất để :

a) Tất cả cùng ra ở tầng 4. b) Tất cả cùng ra ở một tầng. c) Mỗi ngườ i ra ở một tầng khác nhau. Giải: Mỗi khách có thể ra ở một trong 6 t ầng, vậy số

a) số k ết cục thuận lợ i là 1, vậy

Pa 

1 . 216

b) số k ết cục thuận lợ i là 6, vậy

Pb 

6 1  . 216 36

các trườ ng hợ p có thể xảy ra là 6.6.6 = 216.

c) ngườ i thứ nhất có 6 cách ra thang máy, ngườ i thứ 2 còn 5 ra thang máy, ng ườ i thứ 3 có 4 cách ra thang máy,

số các k ết cục thuận lợ i là A63  6.5.4 , vậy

Pc 

6.5.4 5  . 216 9

Bài 1.13 Trên giá sách có xế p ngẫu

nhiên một tuyển t ậ p của tác giả X gồm 12 cuốn. Tìm xác su ất để các tập đượ c xế p theo thứ tự hoặc từ trái sang phải, hoặc từ phải sang trái. Giải: Số cách xế p sách là: 12!

Gọi A là biến cố “xế p theo thứ tự từ trái sang phải hoặc từ phải sang trái”. 7



2 . 12! Bài 1.14 Lấy ngẫu nhiên 3 quân bài t ừ một cỗ bài 52 quân. Tìm xác su ất để : vì A có 2 khả năng  P  A 

a) Đượ c 3 quân át b) Đượ c 1 quân át Giải: Số các k ết cục đồng khả năng

là C 523 .

a) Số cách chọn 3 quân át t ừ 4 quân át là :

C 43

, vậ y

Pa 

3

C 4 3

C 52



4.3.2 1 .  52.51.50 5525

b) Số cách chọn 1 quân át t ừ 4 quân át là C 41  4 , hai quân còn lại có số cách chọn là C 482 . Vậy

Pb 

4C 482 3

C 52



4.48.47.3.2.1 1128 .  52.51.50.2 5525

Một lô hàng có 6 chính phẩm và 4 phế phẩm đượ c chia ngẫu nhiên thành 2 thành ph ần bằng nhau. Tìm xác suất để mỗ i phần có số chính phẩm bằng nhau. Bài 1.15

Giải: Mỗi phần sẽ có 5 sản phẩm.

Chỉ cần xét phần 1 vì phần 2 là phần bù của phần 1. Để mỗ i phần có số chính phẩm bằng nhau thì phần một phải là (3 chính phẩm+2 phế phẩm).

Các k ết c ục đồng khả năng của ph ần 1 là (5 chính phẩm), (4 chính phẩm+1 phế ph ẩm), (3 chính phẩm+2 phế phẩm), (2 chính phẩm+3 phế phẩm), (1 chính phẩm+4 phế phẩm).

1 Do đó P  . 5 Bài 1.16 Mỗi vé xổ số có 5 chữ số. Tìm xác suất để một ngườ i mua một vé đượ c vé :

a) Có 5 chữ số khác nhau b) Có 5 chữ số đều lẻ Giải: Không gian mẫu là {00000,00001, …, 99999} là các s ố có 5 chữ số từ 0 đến 99999 (nếu thiếu số thì

viết số 0 vào đầu). Số các k ết cục đồ ng khả năng là 100000. a) Chữ s ố th ứ 1 có 10 cách chọn, chữ s ố thứ 2 có 9 cách chọn, chữ s ố th ứ 3 có 8 cách chọn, chữ s ố thứ 4 có 7 cách chọn, chữ số thứ 5 có 6 cách chọn. Số các k ết cục thuận lợi là : 10.9.8.7.6. Do đó 10.9.8.7.6 189 Pa    0,3024 . 100000 625 b) Mỗ i chữ số có 5 cách chọn là 1,3,5,7,9. S ố các k ết cục thuận lợ i là : 55. Do đó 55 1   0,03125 . Pb  100000 32 8



Bài 1.17 Năm ngườ i A, B, C, D, E ng ồi một cách ngẫu nhiên vào một chiếc ghế dài. Tìm xác su ất để :

a) C ngồ i chính giữa b) A và B ngồ i ở hai đầu ghế Giải: Giả sử ghế dài đượ c chia thành 5 ô, mỗi ngườ i ngồ i vào một ô.

Có 5 cách xếp cho ngườ i A ngồi, sau đó còn 4 cách xếp cho ngườ i B, 3 cách xếp cho ngườ i C, 2 cách xế p cho ngườ i D và cuố i cùng 1 cách duy nh ất cho ngườ i E. Số các k ết cục đồng khả năng là 5.4.3.2.1=120. a) C ngồi chính giữa, v ậy có 1 cách xế p cho C, còn 4 cách x ế p cho A, 3 cách xế p cho B, 2 cách x ế p cho 24 1   0,2 . D, 1 cách xế p cho E. Số các k ết cục thuận lợ i là 1.4.3.2.1=24. V ậy Pa  120 5 b) A và B ngồi hai đầu ghế nên có 2 cách xế p cho A, B cùng ng ồ i là A B hoặc B A ở hai đầu ghế, sau đó có 3 cách xế p cho C, 2 cách xế p cho D, và 1 cách xế p duy nhất cho E. Số các k ết cục thuận lợ i là : 12  0,1 . 2.3.2.1=12. V ậy Pa  120 Trong một chiếc hộ p có n quả c ầu được đánh số t ừ 1 t ớ i n. Một ngườ i lấy ngẫu nhiên cùng một lúc ra hai quả. Tính xác su ất để người đó lấy đượ c một quả có số hiệu nhỏ hơn k và mộ t quả có số hiệu lớn hơn k (1
Giải: Chọn 2 qu ả cầu trong n qu ả cầu, số k ết cục đồng khả năng

là C n2 .

Số cách chọn 1 quả cầu có số hiệu nhỏ hơn k là k  1 . Số cách chọn quả cầu có số hiệu lớn hơn k là n  k . Số k ết cục thuận lợ i là (k  1)(n  k ) . Vậy

P

(k  1)(n  k ) 2

Cn



2(k  1)(n  k ) . n( n  1)

Bài 1.19 Gieo n con xúc xắc đối xứng và đồ ng chất. Tìm xác suất để đượ c tổng số chấm là n  1 . Giải: Gieo n con xúc x ắc thì ta có số k ết cục đồng khả năng là 6

Nếu tổng số chấm là n  1 thì chỉ có trườ ng hợ p P 

n

6n

n 1

n

.

mặt 1 và 1 mặt 2. Số k ết cục thuận lợ i là: n. Vậ y

. §2 Định ngh ĩa thống kê về xác su ất

Tần suất xuất hiện biến cố viên đạn trúng đích củ a một xạ thủ là 0,85. Tìm số viên đạn trúng đích của xạ thủ đó nếu ngườ i bắn 200 viên đạn. Bài 1.20

Giải: Có 0,85 = 85% s ố viên đạn trúng đích. Vậ y bắn 200 viên thì có 85%.200 = 170 viên trúng

9

đích.



Có thể xem xác su ất sinh là con trai là bao nhiêu n ếu theo dõi 88200 tr ẻ sơ sinh ở một vùng thấ y có 45600 con trai. Bài 1.21

Giải:

Vì số quan sát 88200 khá l ớ n nên có thể coi xác suất sinh con trai ở vùng đó chính là tầ n suất 45600 76   0,517 . 88200 147

Bài 1.22 Dùng bảng số ngẫu nhiên để mô phỏng k ết qu ả của 50 lần tung một con xúc s ắc. Từ đó tìm tần

suất xuất hiện các mặt 1, 2, …, 6 chấm và mô t ả bằng đồ thị. Đồ thị tần suất này sẽ như thế nào nếu tung 1 triệu lần? Giải: Sử dụng bảng số ngẫu nhiên, lấy ra 50 chữ số có giá tr ị >0 và <7 bắt đầu từ một dòng ngẫu nhiên, ta

đượ c:

5-4-4-6-1-4-6-2-1-5-6-2-1-1-5-3-1-3-3-6-4-5-3-1-5-1-2-4-1-1-1-1-2-6-1-2-5-2-5-3-5-4-1-2-2-5-5-5-3-5 Lậ p bảng tần suất: Mặt

1

2

3

4

5

6

Số lần xuất hiện

13

8

6

6

12

5

Tần suất

0,26

0,16

0,12

0,12

0,24

0,1

Tần suất suất hiện các mặt khi tung xúc sắc 50 lần 0,3 0,2 0,1 0

Mặt 1 chấm Mặt 2 chấm Mặt 3 chấm Mặt 4 chấm Mặt 5 chấm Mặt 6 chấm Tần suất

Khi tung 1 triệu lần, đồ thị sẽ gần như đườ ng thẳng, bở i khả năng xuất hiện từng mặt là tương đồng (giả sử con xúc sắc cân tuyệt đối và không chịu ảnh hưở ng từ bên ngoài).

1 Đồ thị các tần suất này sẽ tiệm cận đườ ng thẳng y  . 6 §3 Bài t ập tổng hợ p Bài 1.23 Ngườ i ta chuyên chở một hòm gồ m a chính phẩm và b ph ế phẩm vào kho. Trên đường đi ngườ i

ta đánh rơi 1 sản phẩm. Đến kho kiểm tra ngẫu nhiên 1 s ản phẩm thì đượ c chính phẩm. Tìm xác suất để sản phẩm đánh rơi là chính phẩm. Giải: Có a chính phẩm.

Sau khi đánh rơi tạ i kho chọn ra 1 sản phẩm thì nó là chính phẩm 10

TS. Nguy ễn Văn Minh 


sản phẩm đánh rơi nếu là chính phẩm thì chỉ có thể là a  1 chính phẩm

Số khả năng của sản phẩm đánh rơi là a + b – 1 (1 là sản phẩm chọn tại kho) 

Xác suất sản phẩm đánh rơi là chính phẩm là P

a 1 a  b 1

Bài 1.24 Số lượ ng nhân viên c ủa công ty A đượ c phân loại theo lứa tuổi và giới tính như sau: Giớ i tính Tuổi

Nam

Dướ i 30 120 Từ 30-40 260 Trên 40 400 Tìm xác suất để lấy ngẫu nhiên một ngườ i của công ty đó th ì đượ c:

Nữ 170 420 230

a. Một nhân viên t ừ 40 tuổi tr ở xuống b. Một nam nhân viên trên 40 c. Một nữ nhân viên t ừ 40 tuổi tr ở xuống Giải:

a. Xác suất chọn đượ c 1 nhân viên t ừ 40 tuổi tr ở xuống: Pa =

120  170  260  420 97   0,61 1600 160

b. Xác suất chọn đượ c 1 nam nhân viên trên 40 tu ổi: Pb=

400 1   0,25 1600 4

c. Xác suất chọn đượ c 1 nữ nhân viên t ừ 40 tuổi tr ở xuống: Pc=

170  420 59   0,37 1600 160

Bài 1.25 Một cửa hàng đồ

điện nhập lô bóng điện đóng thành từ ng hộ p, mỗi hộ p 12 chiếc. Chủ cửa hàng kiểm tra chất lượ ng bằng cách lấy ngẫu nhiên 3 bóng để thử và nếu cả 3 bóng cùng t ốt thì hộp bóng điệ n đó đượ c chấ p nhận. Tìm xác su ất để một hộp bóng điện đượ c chấ p nhận nếu trong hộp đó có 4 bóng bị hỏng. Giải: Xét một hộp 12 bóng, trong đó có 4 bóng hỏ ng.

Gọi A là biến cố “ 3 bóng điện đượ c lấy ra trong hộ p có 4 bóng hỏng đều tốt” Số k ết hợ p đồng khả năng xảy ra là số tổ hợ p chậ p 3 từ 12 phần tử. Như vậy ta có: n= C 123  220 Trong hộ p có 4 bóng hỏng, 8 bóng t ốt nên số khả năng thuậ n lợ i lấy đượ c 3 bóng t ốt là m = C 83  56 11



Vậy xác suất hộp điện đượ c chấ p nhận là: P(A) =

56  0,254 220

Bài 1.26 Giả sử xác suất sinh con trai và con gái là như nhau. Một gia đình có 3 con. Tính xác su ất

để gia đình đó có: a. Hai con Gái b. Ít nhất hai con gái. c. Hai con gái biết đứa con đầu lòng là gái. d. Ít nhất hai con gái biết r ằng gia đ ình đó có ít nhấ t một con gái Giải: Xác suất sinh con trai và con gái là như nhau và đề u bằng

1 . 2

Mỗi lần gia đình đó sinh con sẽ có hai khả năng xả y ra hoặc là con trai hoặc là con gái, mà gia đ ình đó có ba con nên số khả năng là có thể xảy ra là 8. Không gian mẫu là các bộ ( c1 , c2 , c3 ) mà ci nhận giá tr ị trai hoặc gái. 2

a) A là biến cố gia đình đó sinh hai con gái P(A) =

C 3

8



3 8

b) B là biến cố gia đình đó sinh ít nhất hai con gái. Do gia đ ình đó sinh ít nhất hai con gái nên gia đình đó có thể sinh hai con gái ho ặc ba con gái.

Nếu gia đình đó sinh hai con gái có 3 khả năng xảy ra (như câu a)), gia đ ình đó sinh ba con gái có một khả năng xả y ra. P(B)=

4 8

c) Gia đình đó sinh hai con gái biết đứa con đầu là con gái Đứa thứ hai là con gái thì đứa thứ ba là con trai, đứa thứ hai là con trai thì đứa thứ ba là con gái.

Vậy xác suất sinh hai con gái mà đứa con đầ u lòng là con gái là:

1 1 1 1 1 P= .  .  2 2 2 2 2 d) D=Biến cố gia đình đó sinh ít nhất hai con gái biết gia đình đó có ít nhấ t 1 con gái. Gia đình đó có ít nhấ t một con gái vậy số khả năng xả y ra là

8-1=7 (bỏ đi 1 trườ ng hợ p 3 nam). Không gian mẫu còn 7 giá tr ị. Gia đình đó có ít nhấ t hai con gái nên ho ặc có hai con gái ho ặc có ba con gái

Nếu gia đ ình đó có hai con gái sẽ có một con trai có ba khả năng xả y ra, nếu gia đình đó có ba con gái có 4 môt khả năng xả y ra P(D)= . 7 12



Bài 1.27 Tìm xác suất để gặ p ngẫu nhiên ba ngườ i không quen bi ết nhau ở ngoài đườ ng thì họ:

a. Có ngày sinh nh ật khác nhau. b. Có ngày sinh nh ật trùng nhau. Giải: Giả sử 1 năm có 365 ngày

Tổng số k ết cục đồng khả năng là: 3653 3  365.364.363 , do đó a) Số k ết cục thuận lợi 3 ngườ i có 3 ngày sinh khác nhau là A365

Pa 

3

A365

3653



365.364.363  0.992 3653

b) Gọi B là biến cố “cả 3 ngườ i có ngày sinh nh ật trùng nhau” => có 365 k ết quả thuận lợ i vớ i biến cố trên. Vậy xác suất của biến cố

Pb 

365 1  . 3653 3652

Bài 1.28 Một lô sản phẩm gồ m 100 chiếc ấm sứ trong đó có 20 chiế c vỡ nắ p, 15 chiếc sứt vòi, 10 chi ếc

mẻ miệng. 7 chiếc vừa vỡ nắ p vừa sứt vòi, 5 chiếc vừa vỡ nắ p vừa mẻ miệng, 3 chiếc vừa sứt vòi vừa mẻ miệng. 1 chiếc vừa vỡ nắ p vừa sứt vòi vừa mẻ miệng. Lấy ngẫu nhiên 1 s ản phẩm để kiểm tra. Tìm xác suất: a) Sản phẩm đó có khuyết t ật. b) Sản phẩm đó chỉ bị sứt vòi. c) Sản phẩm đó bị sứt vòi biết r ằng nó bị vỡ nắ p Giải: Số sp chỉ b ị vỡ nắ p là: 20 - 7 - 5 + 1 = 9 chiếc

Số sp chỉ bị sứt vòi là: 6 chiếc Số sp chỉ bị mẻ miệng là: 3 chiếc Số sp vừa vỡ nắ p vừa sứt vòi là: 6 chiếc Số sp vừa vỡ nắ p vừa mẻ miệng là: 4 chiếc Số sp vừa sứt vòi vừa mẻ miệng là: 2 chiếc Số sp vừa vỡ nắ p vừa sứt vòi vừa mẻ miệng là 1 chiếc Gọi A là biến cố sp bị khuyết t ật 

P(A) =

9  6  3  6  4  2  1 31   0.31 100 100

Gọi B là biến cố sp chỉ bị sứt vòi

13

TS. Nguy ễn Văn Minh 

P(B) =


6  0.06 100

Gọi C là biến cố sp bị sứt vòi biết r ằng nó b ị vỡ nắ p 

P(C) =

6 1 = 0.35 9  6  4 1

Bài 1.29 Biết r ằng tại xí nghiệ p trong 3 tháng cuối năm đã có 6 vụ tai nạn lao động. Tìm xác su ất để

không có ngày nào có quá 1 v ụ tai nạn lao độ ng. Giải: Vì 3 tháng cuối năm có 31+30+31=92 ngày, ta gọi là ngày 1,..., ngày 92. Không gian mẫu là tậ p các bộ số tự nhiên ( a1 , a2 ,..., a6 ) sao cho ak nhận giá tr ị từ 1, 2,..,92 (tai nạn thứ k xảy ra ở ngày ak ). Số các trườ ng hợp đồng khả năng là n = 926 . Gọi A là biến cố “không có ngày nào có quá 1 v ụ tai nạn lao độ ng”. Có ngh ĩa một ngày có 1 vụ tai nạn hoặc không. Số k ết cục thuận lợ i cho biến cố A là số chỉnh hợ p chậ p 6 của từ 92 phần tử (các ak đôi mộ t khác nhau): m = A926 . 6

Vậy: P(A) = Bài 1.30

A92

926

.

Có n người trong đó có m ngườ i trùng tên xế p hàng một cách ngẫu nhiên. Tìm xác su ất để m

người trùng tên đứng cạnh nhau nếu:

a, Họ xế p hàng ngang. b, Họ xế p vòng tròn. Giải: a) Vì có n ng ườ i xế p thành hàng ngang nên s ẽ có n! cách xế p.

Gọi A là biến cố “m người trùng tên đứng cạnh nhau khi họ xế p hàng ngang”. Nếu coi m người trùng tên đứ ng cạnh nhau này là 1 ngườ i thì ta có (n – m + 1)! cách x ếp. Và trong đó lạ i có m! cách xếp cho m ngườ i trùng tên. Vậy xác suất để m người trùng tên đứng cạnh nhau khi họ xế p hàng ngang là: P(A) =

m !(n m 1)! n!

b) Ví có n ngườ i xế p thành vòng tròn nên sẽ có (n – 1)! cách sắ p xế p. Gọi b là biến cố “m người trùng tên đứ ng cạnh nhau khi họ xế p thành vòng tròn”. 14



Nếu coi m người trùng tên đứ ng cạnh nhau là 1 ngườ i thì khi xếp n ngườ i thành vòng tròn ta có (n – m)! cách xế p. Số k ết quả thuận lợ i cho B là: m!(n – m)!. Vậy xác suất để m người trùng tên đứng cạnh nhau khi họ xế p vòng tròn là: P(B) =

m !(n m)!

(n 1)!

Bài 1.31 Ba nữ nhân viên phục vụ A, B, C thay nhau r ửa đĩa chén và giả thiết ba người này đề u “khéo

léo” như nhau. Trong mộ t tháng có 4 chén b ị vỡ . Tìm xác suất: a. Chị A đánh vỡ 3 chén và chị B đánh vỡ 1 chén b. Một trong 3 người đánh vỡ 3 chén c. Một trong 3 người đánh vỡ cả 4 chén Giải: Không

gian mẫu là các bộ số (a,b,c,d) ở đó vớ i a, b, c, d nh ận giá tr ị 1, 2, 3 (giá tr ị 1, 2 ,3 nếu chén đó đượ c chị A, B, C tương ứng đánh vỡ .). Số các trườ ng hợp đồng khả năng là 4 3 . a) Chị A đánh vỡ 3 chén và chị B đánh vỡ 1 chén, có ngh ĩa có 3 số 1 và 1 s ố 2. S ố các trườ ng hợ p thuận lợ i là 4 1 C 43.1  4 nên Pa  3  . 4 16 b) Một trong 3 người đánh vỡ 3 chén nên có 6 kh ả năng là 6 2 (3,1,0); (3,0,1) ;(1,3,0);(0,3,1);(1,0,3);(0,1,3). V ậy Pb   . 15 5 3 1 c) Một trong 3 người đánh vỡ cả 4 chén nên có 3 kh ả năng là (4,0,0);(0,4,0):(0,0,4) nên Pc   15 5 Bài 1.32 Có 10 khách ng ẫu nhiên bướ c vào 1 cửa hàng có 3 qu ầy. Tìm xác su ất để có 3 người đế n qu ầy số 1. Giải: Mỗi vị khách đều có 3 sự lựa chọn vào 1 trong 3 qu ầy bất k ỳ của cửa hàng. Vậy 10 vị khách sẽ có 3 10 sự lựa chọn vào 1 trong 3 qu ầy bất k ỳ của cửa hàng. Không gian mẫu là các bộ số ( a1 , a2 ,..., a10 ) trong đó ak nhận giá tr ị 1,2,3 nếu khách k vào qu ầy 1,2,3 tương ứng.

Gọi A là biến cố 3 vị khách đến quầy số 1 (có ngh ĩa có 3 số ak bằng 1). Số cách chọn 3 vị trí trong 10 v ị trí để gán giá tr ị 1 là C 103 . Ta thấy , 7 vị khách còn lại sẽ xế p vào 2 qu ầy còn lại (quầy 2 và 3). Mỗi vị khách có 2 sự lựa chọn vào 2 quầy 2 và 3. V ậy số trườ ng hợ p xếp đượ c là 27 Số cách chọn 3 vị khách vào qu ầy 1 và 7 v ị khách vào 2 qu ầy 2 và 3 là 27.C 103 Vậy xác suất 3 v ị khách vào qu ầy số 1 là 15



27.C 103 P(A) = 10 = 0,26. 3 §4 Quan h ệ giữ a các bi ến cố Bài 1.33 Một chi tiết đượ c lấy ngẫu nhiên có thể là chi tiết loại 1(ký hiệu là A) ho ặc chi tiết loại 2(ký hiệu

là B) hoặc chi tiết lo ại 3(ký hiệu là C). Hãy mô t ả các biến cố sau đây: a) A  B Giải:

a) b) c) d)

b)

AB  C

c) A  B

d) AC

Gọi

A là biến cố “chi tiết lấy ra thuộc loại I” B là biến cố “chi tiết lấy ra thuộc loại II” C là biến cố “chi tiết lấy ra thuộc loại III” A + B là biến cố lấy ra chi tiết loại A ho ặc loại B. A  B là biến cố không lấy ra đượ c chi tiết loại A hoặc loại B , hay chính là l ấy ra chi tiết loại C. AB + C là biến cố lấy ra ho ặc chi tiết loại C ho ặc vừa là chi tiết A vừa là chi tiết B. AC là biến cố lấy ra chi tiết vừa là loại A vừa là lo ại C.

Bài 1.34 Ba ngườ i cùng bắn vào 1 mục tiêu. Gọi Ak là biến cố

ngườ i thứ k bắn trúng mục tiêu. Hãy viết

bằng ký hiệu các biến cố biểu thị bằng: a. b. c. d.

Chỉ có ngườ i thứ nhất bắn trúng mục tiêu Chỉ có một ngườ i bắn trúng mục tiêu Chỉ có hai ngườ i bắn trúng mục tiêu Có ngườ i bắn trúng mục tiêu

Giải: 3 ngườ i cùng bắn vào mục tiêu. Gọi Ak là biến cố

ngườ i thứ k bắn trúng mục tiêu (k = 1,3 )

a) Chỉ có ngườ i thứ nhất bắn trúng mục tiêu: A1. A2 A3 . b) Chỉ có 1 ngườ i bắn trúng mục tiêu: A1 A2 A3  A1 A2 A3  A1 A2 A3 . c) Chỉ có 2 ngườ i bắn trúng mục tiêu: A1 A2 A3  A1 A2 A3  A1 A2 A3 . d) Có ngườ i bắn trúng mục tiêu: A1 A2 A3 . Bài 1.35 Ta kiểm tra theo thứ t ự một lô hàng có 10 s ản phẩm. Các sản phẩm đều thuộc một trong hai lo ại:

Tốt ho ặc Xấu. Ký hiệu Ak = (k = 1,10 ) là bi ến cố ch ỉ s ản phẩm ki ểm tra thứ k thuộc loại x ấu. Viết b ằng ký hiệu các biến cố sau: a. Cả 10 sản phẩm đều xấu. b. Có ít nhất một sản phẩm xấu c. Có 6 sản phẩm đầu kiểm tra là tốt, còn các sản phẩm còn lại là xấu. d. Các sản phẩm kiểm tra theo thứ tự chẵn là tốt, còn các sản phẩm kiểm tra theo thứ tự lẻ là xấu. Giải: a) A = A1 A2... A10 b) B = A1  A2  ...  A10 c) C = A1 A2 ... A6 A7 ... A10 d) D = A1 A2 A3...A9 A10 16



Bài 1.36 Gọi A là biến cố sinh con gái và B là bi ến cố sinh con có tr ọng lượng hơn 3kg. H ãy mô t ả

tổng và tích của 2 biến cố trên. Giải: A+B = “Sinh con gái ho ặc sinh con nặng hơn 3kg” A.B = “Sinh con gái n ặng hơn 3kg”

Bài 1.37 Một công ty tham gia đấ u thầu hai d ự án. Gọi A và B tương ứ ng là biến cố công ty thắng thầu dự

án thứ nhất và thứ hai. Hãy mô t ả tổng và tích của A và B. Giải: Tổng A+ B là biến cố: công ty thắng thầu 1 trong 2 d ự án

Tích A.B là biến cố: công ty thắng thầu cả 2 dự án §5 Định lý cộng và đị nh lý nhân xác su ất Bài 1.38 Cơ cấu chất lượ ng sản phẩm của một nhà máy như sau:

Sản phẩm loại 1: 40%, sản phẩm loại 2: 50%, còn l ại là phế phẩm. Lấy ngẫu nhiên một sản phẩm của nhà máy. Tính xác su ất sản phẩm lấy ra thuộc loại 1 hoặc loại 2. Giải: Gọi A1 là biến cố sản phẩm lấy ra thuộc loại 1

Gọi A2 là biến cố lấy ra sản phẩm loại 2 Gọi A là biến cố sản phẩm lấy ra thuộc loại 1 ho ặc loại 2 A= A1+A2 Vì A1 và A2 xung khắc với nhau, do đó: P(A) = P(A1+ A2) = P(A1)+P(A2) =0,4 +0,5=0,9. Để nhậ p kho, s ản ph ẩm c ủa nhà máy ph ải tr ải qua 3 phòng ki ểm tra chất lượ ng, xác suất phát hiện ra phế phẩm ở các phòng theo thứ tự là 0,8; 0,9 và 0,99. Tính xác su ất phế phẩm đượ c nhậ p kho( các phòng kiểm tra hoạt động độ c lậ p) Bài 1.39

Giải: Gọi Ak là biến cố “sản phẩm của nhà máy đi qua ph òng kiểm tra số k là phế phẩm” (k=1,2,3).

A là biến cố “sản phẩm nhậ p kho là phế phẩm”

Ta có: P(A1) = 1 – 0.8 = 0.2; P(A2)= 0.1; P(A3)= 0.01. Vì 3 phong ki ểm tra ho ạt động độ c lậ p nên A1, A2, A3 là các biến cố độc lậ p Xác suất để sản phẩm nhậ p kho là phế phẩm: P(A) = P(A1.A2.A3) = P(A1).P(A2).P(A3)= 0.1x0.2x0,01= 0,0002 Bài 1.40 Xác suất để khi đo một đại lượ ng vật lý phạm sai số

vượ t quá tiêu chuẩn cho phép là 0,4. Th ực hiện 3 lần đo độ c lậ p . Tìm xác suất sao cho có đúng một lần đo sai số vượ t quá tiêu chuẩn. Giải : Gọi Ak là

biến cố đo sai lần k (k=1,2,3) .

Có P( Ak ) = 0,4 => P( Ak ) = 0,6 . 17



A = Biến cố có đúng mộ t lần đo sai số vượ t quá tiêu chuẩn = A1 A2 A3  A1 A2 A3  A1 A2 A3 P(A) = P( A1 A2 A3  A1 A2 A3  A1 A2 A3 ) = 3 . 0,4 . 0,6 . 0,6 = 0,432 . Bài 1.41 Một hộ p chứa 3 bi tr ắng, 7 bi đỏ và 15 bi xanh. M ột hộ p khác chứa 10 bi tr ắng, 6 bi đỏ và 9 bi

xanh. Lấy ngẫu nhiên t ừ mỗ i hộ p một bi. Tìm xác suất để hai bi lấy ra có cùng màu. Giải: Gọi A1 = biến cố lấy đượ c bi tr ắng ở hộ p 1

 P (A1) =

3 25

7 25 15 C1 = biến cố lấy đượ c bi xanh ở hộ p 1  P (C1) = 25 10 A2 = biến cố lấy đượ c bi tr ắng ở hộ p 2  P (A2) = 25 6 B2 = biến cố lấy được bi đỏ ở hộ p 2  P (B2) = 25 9 C2 = biến cố lấy đượ c bi xanh ở hộ p 2  P (C2) = 25 Vì A1, B1, C1, A2, B2, C2 là các biến cố độc lậ p nên: B1 = biến cố lấy được bi đỏ ở hộ p 1  P (B1) =

3 10 6 . = 25 25 125 7 6 42 B = biến cố lấy được 2 bi màu đỏ  P (B) = P(B1) . P (B2) = . = 25 25 625 15 9 27 C = biến cố lấy đượ c 2 bi màu xanh  P(C) = P(C1) .P (C2) = . = 25 25 125 D = biến cố lấy đượ c 2 bi cùng màu A, B, C là các biến cố độc lậ p nên ta có xác suất để 2 bi lấy ra có cùng màu là: 6 42 27 207 P (D) = P (A) + P (B) + P (C) = + + = . 125 625 125 625 Bài 1.42 Hai ngườ i cùng bắn vào 1 mục tiêu. Khả năng bắ n trúng c ủa từng ngườ i là 0,8 và 0,9. Tìm xác suất: a, Chỉ có 1 ngườ i bắn trúng b, Có ngườ i bắn trúng mục tiêu c, Cả 2 ngườ i bắn trượ t A = biến cố lấy đượ c 2 bi màu tr ắng  P (A) = P (A1) .P (A2) =

Giải: Gọi A1 là biến cố

ngườ i thứ nhất bắn trúng mục tiêu.

Vậy P(A1) = 0,8; P( A1 )=1-0,8= 0,2 Gọi A2 là biến cố ngườ i thứ hai bắn trúng mục tiêu. Vậy P(A2) = 0,9 Vậy P(A2) = 0,9; P( A2 )=1-0,9= 0,1 a, Gọi A là biến cố chỉ có 1 ngườ i bắn trúng Có 2 trườ ng hợ p xảy ra 18



TH1: Ngườ i 1 bắn trúng và ngườ i 2 không b ắn trúng.

P(A1 A2 )= P(A1). P( A2 )=0,8.0,1=0,08 TH2: Ngườ i 1 không bắn trúng và ngườ i 2 bắn trúng.

P( A1 A2)= P( A1 ). P(A2)=0,2.0,9=0,18 Vậy xác suất chỉ có 1 ngườ i bắn trúng mục tiêu là: P(A) = P(A1 A2 ) + P( A1 A2) = 0,08 + 0,18 = 0,26 b) Gọi B là biến cố có ngườ i trúng mục tiêu.  B là biến cố cả hai người đều bắn trượ t.

Vậy nên P( B ) = P( A1 ). P( A2 )= 0,2.0,1 = 0,02 Vậy nên P(B)= 1- P( B ) = 1 – 0,02 = 0,98 Bài 1.43 Chi tiết được gia công qua k công đoạ n nối tiế p nhau và chất lượ ng chi tiết ch ỉ đượ c kiểm tra sau

khi đã đượ c gia công xong. Xác su ất gây ra khuyết tật cho chi tiết ở công đoạn thứ i là Pi (i  1,..., k ) . Tìm xác suất để sau khi gia công xong chi ti ết có khuyết tật. Giải:

Sản phẩm được gia công qua k công đoạ n. Sản phẩm có thể có chi tiết khuyết tật ở bất cứ công đoạn nào. Ta có xác suất để chi tiết công đoạn 1 khuyết t ật là P1 nên xác suất để chi tiết công đoạn 1 không khuy ết tật là P1  1  P1 Tương tự, xác suất để chi tiết công đoạn i không khuy ết tật là Pi  1  Pi

Vậy xác suất để sản phẩm không khuy ết tật là P  P1 P2 ...Pi ...Pk nên xác suất để sản phẩm có chi tiết khuyết tật là 1  P  1  P1 P2 ...Pi ...Pk  1  (1  P1 )...(1  Pk ) . Bài 1.44 Trong hộ p có n quả bóng bàn mới. Ngườ i ta lấy ra k quả để chơi ( k 

n

2

) sau đó lạ i bỏ vào hộ p.

Tìm xác suất để lần sau lấy k quả để chơi thì lấy đượ c toàn bóng mớ i. Giải: Sau khi lấy ra k quả để chơi, r ồi lại bỏ lại thì số bóng bàn m ớ i còn lại trong hộ p là n – k quả và số

bóng cũ sẽ là k quả. n

Gọi A là “biến cố lấy đượ c k quả mớ i lần 2”. Khi đó, xác suất lấy đượ c k quả mớ i là (chú ý k  ): 2 P(A)=

Cnk  k k

Cn

2

 n  k !  n  k ! n! .   : k ! n  2k  ! k ! n  k  ! n ! n  2k  !

19



Bài 1.45 Tín hiệu thông tin đượ c phát 3 lần vớ i xác suất thu đượ c của mỗ i lần là 0,4.

Tìm xác suất để nguồn thu nhận được thông tin đó. Nếu muốn xác suất thu được thông tin lên đến 0,9 thì phải phát ít nhất bao nhiêu lần. Giải:

a. Gọi A là biến cố “không lần nào thu đượ c thông tin”  P (A) = 0,6 . 0,6 . 0,6= 0,216 Gọi  ̅ là biến cố “ít nhất một lần thu đượ c thông tin”

 ̅

 P ( ) = 1- P (A) = 1- 0,216 = 0,784

b. Nếu muốn xác su ất thu được thông tin lên đế n 0,9 thì xác su ất không thu đượ c thông tin phải là 0,1. Ta có : P (A) = 0,1 P (  ̅ ) = 0,9 Gọi n là số lần phát, ta có : 0,6 = 0,1 hay n = 4,5. Vậy phải phát ít nhất 5 lần Bài 1.46 Hai ngườ i cùng bắn vào một mục tiêu, khả năng chỉ có một ngườ i bắn trúng là 0,38. Tìm

xác suất bắn trúng của ngườ i thứ 1 biết khả năng bắn trúng của ngườ i thứ 2 là 0,8.

Giải: Gọi xác suất bắn trúng c ủa ngườ i thứ nhất và ngườ i thứ hai lần lượ t là x và y

Xác suất chỉ một ngườ i bắn trúng là x(1-y) + y(1-x) = 0.38 Theo bài có y = 0.8 nên x = 0.7 Vậy xác suất bắn trúng của ngườ i thứ nhất là 0.7 Bài 1.47 Trong 10 s ản phẩm có 2 phế phẩm. Lấy ngẫu nhiên 2 s ản phẩm. Tính xác su ất để cả 2 sản phẩm

đều là phế phẩm trong trườ ng hợ p:

a. Lấy hoàn lại. b. Lấy không hoàn lại. Giải:

a. Gọi A là biến cố: cả 2 sản phẩm lấy được đều là phế phẩm A1 là biến cố: sản phẩm đầu tiên lấy đượ c là phế phẩm A2 là biến cố: sản phẩm thứ hai lấy đượ c là phế phẩm

⇒

A=A1.A2. Vì lấy có hoàn lại nên A1 và A2 là 2 biến cố độc lậ p nên P(A)=P(A1).P(A2).

Ta có P(A1)=P(A2)=2/10 ⇒ P(A)=0,2.0,2=0,04 b. Vì lấy không hoàn lại nên A1 và A2 là hai biến cố phụ thuộc ⇒ P(A) = P(A1A2) = P(A1).P(A2|A1) =  .  = 0,022.

20



Một nồi hơi đượ c lắ p van b ảo hiểm vớ i xác suất hỏng của các van tương ứng là 0,1 và 0,2. N ồ i hơi sẽ ho ạt động an toàn khi có van không h ỏng. Tìm xác su ất để nồi hơi hoạt độ ng: Bài 1.48

a. An toàn b. Mất an toàn Giải: Gọi A1 là biến cố van 1 không h ỏng : P(A1)=0,1

Gọi A2 là biến cố van 2 không h ỏng : P(A2)=0,2 Gọi A là biến cố nồi hơi hoạt độ ng không an toàn khi có van b ị hỏng. P(A)=P(A1.A2)=P(A1).P(A2)=0,1.0,2=0,02. Vậy xác suất để nồi hơi hoạt độ ng an toàn là: P=1 - 0,02=0,98. Bắn liên tiế p vào 1 mục tiêu cho đến khi viên đạn đầ u tiên trúng mục tiêu thì dừng. Tính xác suất sao cho phải bắn đến viên thứ 6, biết r ằng xác suất trúng mục tiêu của mỗi viên đạ n là 0,2 và các lần bắn độc lậ p nhau. Giải: Gọi A là biến cố “Phải bắn đến viên thứ 6 mới trúng đích” Ak là biến cố “Viên thứ k trúng đích” : P(Ak ) = 0,2. Bài 1.49

Phải bắn đến viên thứ 6 mới trúng đích. Vậ y, phải bắn trượ t 5 lần đầu và lần thứ sáu thì trúng. Ta l ại có các lần bắn có k ết quả độc lậ p vớ i nhau, vì vậy các biến cố A1, A2, …, A6 là các biến cố độc lậ p. Vậy xác suất để lần thứ 6 trúng đích là:

).P( ).P( ).P( ).P( ).P(A6) = (1 − 0,2).0,2 = 0,065536. P(A) = P(  Bài 1.50

Một th ủ kho có chùm chìa khóa g ồm 9 chiếc trong đó chỉ có một chiếc mở cửa kho. Anh ta thử

ngẫu nhiên t ừng chìa khóa một, chiếc nào đã đượ c thử thì không th ử lại. Tính xác suất anh ta mở được đã ở lần thử thứ tư. Giải: Gọi A1 là biến cố: “Lần thứ nhất không mở đượ c cửa kho”.

A2 là biến cố: “Lần thứ hai không m ở đượ c cửa kho”. A3 là biến cố: “Lần thứ ba không mở đượ c cửa kho”. A4 là biến cố: “Lần thứ tư mở đượ c cửa kho”. Theo đầu bài, thủ kho thử ngẫu nhiên t ừng chìa một, chiếc nào đã đượ c thử thì không thử lại. Do đó A1,

A2, A3, A4 là các biến cố phụ thuộc. Xét biến c ố A1, chùm chìa khóa có 9 chìa trong đó chỉ có một chìa mở đượ c, 8 chìa còn lại không mở  đượ c. Lần thứ nhất không mở đượ c. Vậy biến cố A1 có xác suất: P(A1) = 

21



Xét biến cố A2, sau khi thử lần thứ nhất, còn 8 chiếc chìa khóa trong đó 1 chiếc mở đượ c và 7 chiếc  không mở đượ c. Lận thứ hai không mở đượ c. Vậy biến cố A2 có xác suất: P(A2|A1) =  Tương tự, xét biến c ố A3, sau khi thử lần thứ hai, còn 7 chiếc chìa khóa trong đó 1 chiếc mở đượ c và 6  chiếc không mở đượ c. Lần thứ 3 không mở đượ c. Vậy biến cố A3 có xác suất: P(A3|A1A2) = 

Xét biến cố A4, sau khi thử lần ba, còn 6 chiếc chìa khóa trong đó có 1 chiế c mở đượ c và 5 chiếc không mở đượ c. Lần thứ tư mở đượ c. Vậy biến cố A4 có xác su ất: P(A4|A1A2A3) =  Vậy xác suất để mở đượ c cửa kho ở lần thử thứ tư là:

8 7 6 1 1 P(A) = P(A1A2A3A4)=P(A1).P(A2|A1).P(A3|A1A2).P(A4|A1A2A3) = . . .  . 9 8 7 6 9 Bài 1.51 Công ty sử dụng hai hình thức quảng cáo là đài phát

thanh và vô tuyến truyền hình. Giả sử 25% khách hàng nắm đượ c thông tin này qua vô tuy ến truyền hình, 34% khách hàng n ắm đượ c thông tin qua đài phát thanh và 10% khách hàng nắm đượ c thông tin qua c ả hai hình thức quảng cáo. Tìm xác suất để chọn ngẫu nhiên 1 khách hàng thì ng ười đó nắm đượ c thông tin về sản phẩm của công ty. Giải: A là biến cố “khách hàng nắm đượ c thông tin c ủa công ty qua vô tuy ến truyền hình”

B là biến cố “khách hàng nắm đượ c thông tin c ủa công ty qua đài phát thanh”. Theo đề bài : P(A) = 0,25; P(B) =0.34; P(A.B) = 0,1.

A+B= “khách hàng nắm đượ c thông tin của công ty” P (A+B) = P(A) + P(B) - P(A.B) = 0,25 + 0,34 – 0,1 = 0,49. Vậy xác suất để khách hàng nắm đượ c thông tin c ủa công ty là 49%. Bài 1.52 Gieo 2 con xúc xắc đối xứng và đồ ng chất. Gọi A là biến cố xuất hiện khi t ổng số chấm thu

đượ c là lẻ, B là biến cố đượ c ít nhất một mặt một chấm. Tính P(AB),P(A+B), P( AB) Giải: Gieo hai con xúc xắc.

Mỗi xúc xắc có 6 mặt tương ứng vớ i các số chấm 1,2,3,4,5,6 . A là biến cố xuất hiện khi t ổng số chấm thu đượ c là lẻ. B là biến cố đượ c ít nhất một mặt một chấm. A={(1,2),(1,4),(1,6),(2,3),(2,5),(3,4),(3,6),(4,5),(5,6),(2,1),(4,1),(6,1),(3,2),(5,2), (4, 3),(6,3),(5,4),(6,5)} B={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(3,1),(4,1),(5,1),(6,1)} B|A ={(1,2),(1,4),(1,6),(2,1),(4,1),(6,1)}.  P(B|A)=  Vậy P(A)= P(B)=    Vì A và B là hai bi ến cố phụ thuộc nên :    P(AB)=P(A).P(B|A)=  .  =      P(A+B)= P(A) + P(B) – P(AB)=  +  -  =  22



)= 1- P(AB)= . P(  Bài 1.53 Có 2 bóng đ èn điệ n vớ i xác suất h ỏng tương ứ ng là 0,1 và 0,2 và vi ệc chúng hỏng là độ c lậ p vớ i nhau. Tính xác su ất để mạch không có điệ n do bóng h ỏng nếu chúng mắc: a) Nối tiế p b) Song song Giải: Gọi xác suất để 2 đèn hỏ ng lần lượ t là P1 và P2

Ta có

P1  0,1

và P2  0,2 và 2 biến cố đèn hỏng là 2 biến cố độc lậ p

a) Mạch nố i tiế p : mạch không có điện khi 1 trong 2 đèn hỏ ng Xác suất đèn 1 không hỏ ng P1  1  P1  1  0,1  0,9 Xác suất đèn 2 không hỏ ng

P2  1  P2  1  0,2  0,8

Xác suất để mạch có điệ n tức là 2 đèn đề u không h ỏng là

P  P1 P2  0,9.0,8 

0,72

nên xác suất để mạch không có điện là Pa  1  0,72  0, 28 b) Mạch song song : m ạch không có điệ n khi cả 2 đèn đều hỏng nên xác suất để mạch không có điệ n là Pb  PP 1 2  0,1.0,2  0,02 Bài 1.54 Có hai lô hàng. Lô 1: Có 90 chính ph ẩm và 10 phế phẩm. Lô 2: Có 80 chính ph ẩm và 20 ph ế

phẩm. Lấy ngẫu nhiên t ừ mỗ i lô hàng một sản phẩm. Tìm xác suất để: a. Lấy đượ c một chính phẩm b. Lấy đượ c ít nhất một chính phẩm. Giải: a) Gọi A là biến cố “Lấy đượ c 1 chính phẩm”. Để A xảy ra, có thể lấy 1 chính phẩm từ Lô 1 và 1

phế phẩm từ Lô 2 ho ặc 1 chính phẩm từ Lô 2 và 1 ph ế phẩm từ Lô 1.

    Do đó, xác suấ t của biến cố A: ( ) =  .  +  .  = 0,26 b) Gọi B là biến cố “Lấy đượ c ít nhất 1 chính phẩm” thì biến cố đối  là “Không lấy đượ c chính phẩm nào”.

 .  = 0,02 nên () = 1 − () = 1 − 0,02 = 0,98. Xác suất của biến cố : ( ) =   Một lô hàng có 9 s ản ph ẩm. M ỗ i lần ki ểm tra chất lượ ng l ấy ng ẫu nhiên 3 sản ph ẩm. Sau khi kiểm tra xong lại tr ả vào lô hàng. Tính xác su ất để sau 3 lần ki ểm tra lô hàng, t ất cả các sản ph ẩm đều đượ c kiểm tra. Bài 1.55

). Gọi A là biến cố sau 3 lần Gọi  là biến cố lần thứ i lấy ra 3 s ản phẩm m ới để kiểm tra. (i= 1,3 kiểm tra tất cả các sản phẩm đều đượ c kiểm tra. A= A1.A2.A3 Vì các biến cố phụ thuộc nên ta có: Giải:

    P(A) = P(A1).P(A2|A1).P(A3|A1A2) =  ∙  ∙  = .    23



Bài 1.56 Xác suất để 1 viên đạ n bắn trúng đích là 0,8. Hỏ i phải bắn bao nhiêu viên đạn để vớ i xác

suất nhỏ hơn 0,4 có thể hy vọng r ằng không có viên nào trượ t. Giải: Giả sử bắn n lần. Gọi Ak = biến cố “lần thứ k bắn

trúng” (k=1,...,n).

A = biến cố “Trong n lần bắn đều trúng” Ta có: P(A1) = P(A2) = …. = P(An) = 0,8. Do A1, A2,…An độc lậ p nên => P(A) = 0,8 Theo giả thiết xác suất của biến cố A < 0,4  0,8n  0, 4  ln 0,8n  ln 0, 4  n ln 0,8  ln 0, 4  n  4,1 . Vậy phải bắn ít nhất 5 viên đạn để vớ i xác suất nhỏ hơn 0,4 có thể hi vọng r ằng không có viên nào trượ t. Bài 1.57 Phải tung một con xúc xắc ít nhất trong bao nhiêu lần để vớ i xác suất lớn hơn 0,5 có thể hy vọng

r ằng có ít nhất 1 lần đượ c mặt 6 chấm. Giải: Giả sử tung con xúc x ắc k

lần thì ít nhất có 1 lần xuất hiện mặt 6 chấm.

Gọi A là biến cố “ít nhất 1 lần xuất hiện mặt 6 chấm”. Vậy Ā là biến cố “Mặt 6 chấm không xu ất hiện lần nào”.

⟹ P(Ā) = () Có P(A) + P(Ā) = 1

⟹ P(A) = 1 – P(Ā) = 1 – () > 0,5 ⟹ 



<

 k > log  k >3,8 ⟹ ⟹ 

Vậy số lần ít nhất cần gieo để xuất hiện mặt 6 chấm ít nhất 1 lần vớ i xác suất lớn hơn 0,5 là 4 lầ n. §6 Công th ứ c Bernoulli Bài 1.58 Một nhân viên bán hàng m ỗi ngày đi chào hàng ở 10 nơi vớ i xác suất bán hàng ở mỗi nơi là 0,2.

a. Tìm xác su ất để người đó bán đượ c hàng ở 2 nơi b. Tìm xác suất để người đó bán đượ c hàng ở ít nhất 1 nơi Giải: Coi việc

bán hàng ở mỗi nơi của người đó là mộ t phép thử thì ta có 10 phép th ử độc lậ p. Trong m ỗ i phép thử ch ỉ có 2 khả năng đố i lậ p: ho ặc bán đượ c hàng ho ặc không. Xác su ất bán đượ c hàng mỗi nơi là 0,2. Vậy bài toán thỏa mãn lược đồ Bernoulli. 24



a. Gọi A là biến cố người đó bán đượ c hàng ở 2 nơi.  .0,22.0,88=0,3 P(A)=  b. Gọi B là xác suất người đó không bán đượ c ở nơi nào.  .0,20.0,810 P(B)=  Vậy xác suất để người đó bán đượ c ở ít nhất một nơi là: P= 1 – P(B) =0,8926 Tỷ lệ phế phẩm của 1 máy là 5%. Tìm xác su ất để trong 12 s ản phẩm do máy đó sản xuất ra có: a. 2 phế phẩm. b. Không quá 2 ph ế phẩm.

Bài 1.59

Giải: a)

Xác suất để sản xuất ra 2 phế phẩm đó là:  (2) = .0,05.0,95 ≈ 0,0988

≈ 9,88%

b) Gọi B là biến cố để “máy đó sản xuất ra có không quá 2 phế phẩm”, ta có:

() = (0) + (1) + (2)  0,05.0,95 +  0,05.0,95 +  0,05.0,95 =   







≈ 0,9804 ≈ 98,04%

Bài 1.60 Đề thi tr ắc nghiệm có 10 câu hỏi , mỗ i câu hỏi có 5 cách tr ả lời , trong đó chỉ có một cách tr ả lờ i

đúng . Một thí sinh chọn cách tr ả lờ i một cách hoàn toàn hú họa . Tìm xác suất để người đó thi đỗ , biết r ằng để đỗ phải tr ả lời đúng ít nhất 8 câu . Giải: Coi việc tr ả lờ i mỗ i câu hỏ i của người đó là mộ t phép thử độc lậ p , ta có 10 phép th ử độc lậ p . M ỗi

phép thử có 5 cách tr ả lờ i nên xác su ất để tr ả lời đúng mỗ i câu hỏ i là 0,2 . Vậy bài toán thỏa mãn lược đồ Bernoulli . Theo công thức Bernoulli :

 . 0,28. 0,82 = 0,000078 . P10(8) =  Bài 1.61 Một siêu thị lắ p 4 chuông báo cháy ho ạt động độ c lậ p vớ i nhau. Xác su ất để khi có cháy mỗ i

chuông kêu là 0,95. Tìm xác su ất để có chuông kêu khi cháy. Giải: Gọi A là biến cố chuông kêu khi có cháy

Ta có  là biến cố không có chuông nào kêu khi cháy. Coi 4 chuông báo cháy là 4 phép th ử, ta có 4 phép thử độc lậ p. Trong mỗ i phép thử có 2 khả năng xả y ra chuông kêu ho ặc không kêu khi có cháy. Xác su ất chuông kêu khi có cháy là p = 0,95. P( )=P4(0)= 0,054=6,25. 10-6 Vậy P(A)=1-P( )=1- 6,25. 10-6=0,999994.

25


ĐH Ngoại Thương Hà nội §6 Công thứ c xác su ất đầy đủ và công th ứ c Bayes

Bài 1.62 Hai máy cùng sản xuất 1 loại sản phẩm. Tỷ lệ phế phẩm của máy I là 3% còn của máy II là 2%.

Từ một kho gồm 2/3 sản phẩm máy I và 1/3 s ản phẩm máy II ta lấy ra 1 sản phẩm. Tính xác su ất để sản phẩm đó là tốt. Giải: Gọi A là biến cố sản phẩm lấy ra là t ốt

H1 là biến cố sản phẩm lấy ra của máy I. H2 là biến cố sản phẩm lấy ra của máy II Tỉ lệ phế phẩm của máy I và máy II lần lượ t là 3% và 2% nên tỉ lệ sản phẩm tốt của máy I và II lần lượ t là: 97% và 98%. Biến cố A có thể xảy ra vớ i 1 trong 2 biến cố H1 và H2 tạo nên một nhóm đầy đủ các biến cố . Do đó theo công thức đầy đủ ta có: P(A)= P(H1). P( | ) + P(H2) .P( | )= 2/3. 0,97 + 1/3. 0,98 = 0,9733. Bài 1.63 Có

2 xạ thủ loại I và 8 xạ thủ loại II, xác suất bắn trúng đích củ a các loại xạ thủ theo thứ t ự là

0,9 và 0,8. a) Lấy ngẫu nhiên ra 1 xạ thủ và xạ thủ đó bắn 1 viên đạ n. Tìm xác su ất để viên đạn đó trúng đích. b) Nếu lấy ra 2 xạ thủ và mỗi ngườ i bắn 1 viên thì kh ả năng để cả 2 viên đều trúng đích là bao nhiêu? Giải: a) Lấy ng ẫu nhiên 1 xạ thủ.

 Gọi H1 là biến cố “chọn xạ thủ loại I” ⇒  () =   Gọi H2 là biến cố “chọn xạ thủ loại II” ⇒  (  ) =  Gọi A là biến cố “viên đạn trúng đích” Biến cố A có thể xảy ra vớ i 1 trong 2 biến cố H1 và H2, tạo nên một nhóm đầy đủ các biến cố. Theo công thức xác suất đầy đủ:

( ) = ( ).( | ) + ( ). ( | ) =

2 8 × 0,9 + ×0,8 = 0,82 10 10

b) Khi A xảy ra (ngườ i đầu tiên bắn trúng đích): Áp dụng công thức Bayes:



( ) 9 = ( | ) =  .( ( ) | ) = 0,2.0,9 0,82 41 ( ) 32 = ( | ) =   .( ( ) | ) = 0,8.0,8 0,82 41 ( ),() được điều chỉnh mớ i là ( ) =  và ( ) = .

Gọi B là biến cố “cả 2 viên đạn trúng đích”

⇒ () = ( ).(| ) + (). (|) 26



=

9 32 .0,9 + .0,8 41 41

≈

= 0,6683 0,67 Bài 1.64 Có 2 lô s ản phẩm. Lô 1: Gồm toàn chính phẩm. Lô 2: Có t ỉ lệ phế phẩm và chính phẩm là ¼.

Chọn ngẫu nhiên một lô, t ừ lô này lấy ngẫu nhiên 1 sản phẩm, thấy nó là chính phẩm, r ồi hoàn lại sản phẩm này vào lô. Hỏi r ằng nếu lấy ngẫu nhiên (cũng từ lô đã chọn) một sản phẩm khác thì xác suất để lấy sản phẩm này là phế phẩm là bao nhiêu ? Giải: Giả sử: H1= “biến cố lấy đượ c sản phẩm từ lô 1”

H2= “biến cố lấy sản phẩm từ lô 2” A= “biến cố sản phẩm lấy lần 1 là chính ph ẩm”

→ Theo công thức đầy đủ ta có     P(A)= P( H 1). P( | ) + P( H 2). P( | ) =  ∙ 1 +  ∙  =  Khi A xảy ra: P  H1|A =

P  H1  .P  A|H1  P( A)

1 .1 5 2 = = 9 9 10

1 4 . P  H 2  .P  A|H 2  4 2 P  H 2 |A = = 5 = 9 9 P( A) 10

  Vậy P(H1), P(H2) được điều chỉnh mớ i là: P(H1)= , P(H2)= . Gọi B= “biến cố lấy đượ c sản phẩm 2 là phế phẩm”

   Khi đó: P(B) = P(H2).P( | ) =  ∙  = . Bài 1.65 Bắn 3 phát đạn vào một máy bay vớ i xác suất trúng tương ứ ng là 0,4; 0,5 và 0,7. N ếu trúng một

phát thì xác suất rơi máy bay là 0,2; nế u trúng 2 phát thì xác su ất rơi máy bay là 0,6 còn nếu trúng cả 3 phát thì chắc chắn máy bay rơi. T ìm xác suất đề máy bay rơi. Giải: Gọi A là biến cố

“ Máy bay rơi "

1,3  là biến cố trúng k phát, k=  là biến cố bắn trúng phát thứ k,

k= 1,3

Ta có A1  G1 .G2 .G3  G1 .G2 .G3  G1 .G2 .G3 nên 27



P(A1) = 0,4.0,5.0,3+ 0,6.0,5.0,3+ 0,6.0,5.0,7 = 0,36. Tương tự có P(A2) =0,4 ; P(A3) = 0,14.

Hệ A1 , A2 , A3 là hệ đầy đủ. Có P(A) = P(A1).P(A| A1)+P(A2).P(A| A2)+P(A3).P(A|3) =0,458. Vậy xác suất để máy bay rơi là 0,458. Bài 1.66 Có hai lô hàng. Lô 1: Có 7 chính ph ẩm và 3 phế phẩm. Lô 2: Có 8 chính ph ẩm và 2 phế phẩm.

Từ lô thứ nhất lấy ra 2 sản phẩm, từ lô thứ hai lấy ra 3 sản phẩm r ồi trong số sản phẩm lấy đượ c lấy ra lại lấy tiế p ngẫu nhiên 2 sản phẩm. Tính xác suất để trong 2 sản phẩm đó có ít nhấ t một chính phẩm. Giải: Gọi A là biến cố lấy ra ít nhất 1 chính phẩm thì  ̅ là biến cố lấy đượ c toàn phế phẩm (2 ph ế phẩm). Gọi H1 là biến cố lấy đượ c 2 sản phẩm lấy ra đều thuộc lô 1. H2 là biến cố lấy đượ c 2 sản phẩm lấy ra từ lô 2. H3 là biến cố lấy đượ c 2 sản phẩm thì 1 sản phẩm thuộc lô 1, 1 s ản phẩm thuộc lô 2

      .    Ta có P(H1) =  =  , P(H2) =  =  , P(H3) =    =  =  . 





 ̅ xảy ra đồng thờ i vớ i 3 biến cố trên và 3 biến cố này lậ p thành 1 nhóm biến cố đầy đủ     Ta có: P( A | H 1 ) =   =  , P( A | H 2 ) =   =  , P( A | H 3 ) = 



.  = 0,6.  

Theo công thức xác suất đầy đủ ta có: P(  ̅) = P(H1).P(  ̅| H1)+P(H2).P(  ̅|H2)+P(H3).P(  ̅|H3)= 37/750. Vậy P(A)=1- P(  ̅) = 1- 37/750 ≈ 0,951. Bài 1.67 Có hai lô sản phẩm. Lô 1: Có a chính ph ẩm và b phế phẩm. Lô 2: Có c chính ph ẩm và d phế

phẩm. Từ lô thứ nhất bỏ sang lô thứ hai một sản phẩm, sau đó từ lô thứ hai bỏ sang lô thứ nhất một sản phẩm. Sau đó từ lô thứ nhất lấy ra một sản phẩm. Tìm xác suất để lấy đượ c chính phẩm. Giải: Gọi H1 là biến cố “Thành phần của lô 1 không đổ i”.

H2 là biến cố “Ở lô 1 phế phẩm đượ c thay thế bằng chính phẩm”. H3 là biến cố “Ở lô 1 chính ph ẩm đượ c thay thế bằng phế phẩm”. A là biến cố “Lấy đượ c chính phẩm”. Hệ H1 , H2 , H 3 là một hệ đầy đủ. Ta đi tính xác suấ t của chúng.

28



Nếu H1 xảy ra: do thành phần lô 1 không đổi do đó ta có hai trườ ng hợ p lấy chính phẩm từ lô 1 sang lô 2 sau đó lại lấy chính phẩm từ lô 2 sang lô 1 (trườ ng hợ p 1) hoặc lấy phế phẩm từ lô 1 sang lô 2 r ồi lấy phế

phẩm từ lô 2 sang lô 1 (trườ ng hợ p 2). +) Trườ ng hợp 1: đầu tiên chọn 1 trong a chính ph ẩm trong lô 1 bỏ sang lô 2 sau đó chọ n 1 trong c+1 chính phẩm ở trong lô 2 để bỏ sang lô 1. +) Trườ ng hợp 2: đầu tiên chọn 1 trong b ph ế phẩm ở lô 1 bỏ sang lô 2 sau đó chọ n 1 trong d+1 phế phẩm ở lô 2 bỏ sang lô 1.

∁ . ∁  ∁ .∁ () ( ) Ta có: P(H1) = ( = ()() )( ) Nếu H2 xảy ra: ta lấy 1 phế phẩm từ lô 1 sang lô 2 r ồi lấy 1 chính ph ẩm từ lô 2 sang lô 1.

∁ . ∁ =  Ta có: P(H2) = ()(  (  )( ) ) Nếu H3 xảy ra: ta lấy 1 chính phẩm từ lô 1 sang lô 2 r ồi lấy 1 phế phẩm từ lô 2 sang lô 1.

∁ . ∁ =  Ta có: P(H3) = ()(  (  )( ) )    Có: P(A|H1)=  ; P(A|H2)=  ; P(A|H3)=  Vậy P(A) = P(H1). P(A|H1) + P(H2). P(A|H2) + P(H3). P(A|H3)

() ()      = ()( ) .  + ()( ) .  + ( )( ) .   +  . =  (  )  ( ) Bài 1.68 Tỷ lệ ngườ i dân nghiện thuốc lá ở một vùng là 30%. Bi ết r ằng tỷ lệ ngườ i bị viêm họng trong số

ngườ i nghiện thuốc lá 60%, còn t ỷ lệ ngườ i bị viêm họng trong số ngườ i không hút thu ốc lá là 40%. a. Lấy ngẫu nhiên một ngườ i, biết r ằng người đó viêm họ ng. Tính xác suất người đó nghiệ n thuốc.

b. Nếu người đó không bị viêm họng, tính xác su ất để người đó là nghiện thuốc. Giải:

Thuốc lá

Viêm họng Bị - B Không bị - C Tổng

Nghiện A1 0,18 0,12 0,3

Không nghiện A2 0,28 0,42 0,7

29

Tổng 0,46 0,54 1


a.


gọi A1 là biến cố người đó nghiệ n thuốc A2 là biến cố người đó không nghiệ n thuốc. B là biến cố người đó bị viêm họng

     P(B) = P(A1) . P(B|A1) + P(A2) . P(B|A2) =  .  +  .  =   

. ( ). ( | ) P(A1|B) =  ()  =  = 0,3913 

b.

C là biến cố người đó không bị viêm họng

 P(C) = 1- P(B) = . ().(|) = P(A1|C) = ()

  .  = 0,222  

Một cỗ máy có 3 bộ phận 1, 2, 3. Xác su ất hỏng của các bộ phận trong thờ i gian làm việc theo thứ t ự là 0,2; 0,4 và 0,3. Cu ối ngày làm việc đượ c biết r ằng có 2 bộ ph ận b ị hỏng. Tính xác su ất để 2 bộ phận bị hỏng đó là bộ phận 1 và 2. Bài 1.69

Giải: Đặt

A1 là biến cố bị hỏng của bộ phận 1 : P(A1) =0.2

A2 là biến cố bị hỏng của bộ phận 2 : P(A2) =0.4 A3 là biến cố bị hỏng của bộ phận 3 : P(A2) =0.3 B là biến cố bị hỏng của 2 bộ phận trong 3 bộ phận.

 ) + P( A1 A3) + P(  P(B) = P(A1 A2  A2A3) = 0,2.0,4.0,7 + 0,2.0,6.0,3 + 0,8.0,4.0,3 = 0,188. Xác suất để bộ phận 1 và 2 b ị hỏng là: P(A1A2) =

(  ) = ,.,., 0.298. (  ) . ≈

Bài 1.70 Trong một bệnh

viện, tỷ lệ bệnh nhân các t ỉnh như sau : tỉnh A : 25% , t ỉnh B : 35% , t ỉnh C : 40% . Biết r ằng tỷ lệ bệnh nhân là k ỹ sư của các tỉnh là: t ỉnh A : 2% , t ỉnh B: 3% , t ỉnh C : 3,5%. Ch ọn ngẫu nhiên một bệnh nhân. Tính xác su ất để bệnh nhân đó là kỹ sư. Giải: Gọi A là biến cố chọn đượ c bệnh nhân là k ĩ sư .

H1 là biến cố chọn đượ c bệnh nhân ở tỉnh A : P(H1) = 25% H2 là biến cố chọn đượ c bệnh nhân ở tỉnh B : P(H 2) = 35% H3 là biến cố chọn đượ c bệnh nhân ở tỉnh C : P(H 3) = 40% Như vậy A có thể xảy ra đồ ng thờ i vớ i H1 , H2 , H3 và H1, H2, H3 tạo ra một nhóm đầy đủ các biến cố . Theo công thức tính xác suất biến cố đầy đủ : 30



P(A) = P(H1). P(A|H1) + P(H2).P(A|H2) + P(H3). P(A|H3) = 0,25.0,02 + 0,35 .0,03 + 0,4.0,035 = 0,0295. Bài 1.71 Một ngườ i có 3 chỗ ưa thích như nhau để câu cá. Xác suất để câu đượ c cá ở những chỗ

đó tương ứng là : 0,6 ; 0,7 ; 0,8. Bi ết r ằng ở một chỗ người đó thả câu 3 lần và chỉ câu đượ c một con cá. Tìm xác suất để cá đượ c câu ở chỗ thứ nhất. Giải:

Gọi H1 là biến cố người đó câu ở chỗ thứ nhất H2 là biến cố người đó câu ở chỗ thứ hai H3 là biến cố người đó câu ở chỗ thứ ba P(H1) = P(H2) = P(H3) = 1/3. A là biến cố câu đượ c cá. Theo công thức Bernoulli : P(A|H1) = C 31 .0,6 . 0,4 2. P(A|H2) = C 31 .0,7. 0,32 . P(A|H3) = C 31 0,8. 0,2 2 . Áp dụng công thức Bayes : P(H1/A) =

P( H1 ).P( A | H1 ) 3

1 P(H ).P( A | H ) i

= 0,502.

i

i

§5 Bài t ập tổng hợp chương 1 Bài 1.72 Xác suất của biến cố A là 0,7. Hãy cho bi ết con số đó có ý nghĩa g ì? Giải: Con số đó có nghĩa là trong 1 không gian cho trước có 100% các trườ ng hợ p xảy ra thì số các

trườ ng hợ p thuận lợi để biến cố A xảy ra sẽ chiếm 70%. Bài 1.73 Có 30 s ản phẩm trong đó có 3 phế phẩm đượ c bỏ ngẫu nhiên vào 3 hộ p vớ i số

lượ ng bằng nhau.

Tìm xác suất để có một hộp nào đó có mộ t phế phẩm. Giải: Gọi A là biến cố hộp nào đó có 1 phế phẩm.

Giả sử 3 hộ p này phân biệt vớ i nhau, cố k ết cục duy nhất đồng khả năng có thể xảy ra khi xế p 30 sản      (xế p 10 sản phẩm vào hộp 1, sau đó xế p 10 sản phẩm vào hộ p 2 và cuối phẩm vào 3 hộ p là:  . .  cùng là 10 sản phẩm còn lại vào hộ p 3). Xét biến cố A : cả 3 phế phẩm đều nằm trong 1 hộ p. Nếu 3 phế phẩm đều nằm trong hộ p 1, số k ết cục thuận lợ i là:

 Với trườ ng hợ p 3 phế phẩm cùng nằm trong hộ p 2 ho ặc 3 : tương tự.

     Vậy số k ết cục thuận lợ i cho biến cố A là: 3.   31



.  .  nên P( A ) =   suy ra P(A) = 1 -   = 0,911.   Bài 1.74 Ra khỏi phòng khách N ng ườ i cùng số giày xỏ ngẫu nhiên vào một đôi giày trong bóng tố i. Mỗi

ngườ i chỉ có thể phân biệt chiếc giày trái và phải, còn không phân bi ệt đượ c giày của mình vớ i giày của ngườ i khác. Tìm xác su ất để:

a. Mỗi ngườ i khách xỏ đúng vào đôi giày của mình. b. Mỗi ngườ i khách xỏ đúng hai chiế c giày của một đôi giày nào đó. Giải: a) Gọi Ak là biến cố

ngườ i thứ k xỏ đúng đôi giày củ a mình (k = 1,..., N).

A là biến cố mỗi ngườ i khách xỏ đúng đôi giày củ a mình. Ta có : A  A1. A2 ...AN và P( A)  P( A1.A2 ...A N )  P ( A1 ).P ( A2 | A1 ).P ( A3 | A1 A2 )...P (AN | A1 A2 ...AN 1 ) Phòng khách có N ng ườ i, vì thế có N chiếc giày trái và N chiếc giày phải. Xác suất để ngườ i thứ 1 xỏ đúng chiếc giày trái và chiếc giày phải của mình (trong N chiếc giày trái   và N chiếc giày phải) là P( A1 ) =  . . Xác suất để ngườ i thứ 2 xỏ đúng chiếc giày trái và chiếc giày phải của mình (trong N-1 chiếc giày trái   và N-1 chiếc giày phải còn lại) là P( A2 | A1 ) =  .  . … Xác suất để ngườ i thứ N-1 xỏ đúng chiếc giày trái và chiếc giày phải của mình (trong 2 chiếc giày trái   và 2 chiếc giày phải còn lại) là P( A N 1 | A1 A2 ...AN 2 ) =  . . Cuối cùng P( A N | A1 A2 ...AN 1 ) = 1. Do đó, xác suất để mỗi ngườ i xỏ đúng đôi giày củ a mình là:

1 1 1 1 1 111 1 . . . .. . . .  2 2 1 1  N !2 N N N  1 N  1 b) Giả sử mỗ i người đi ra khỏ i phòng sẽ xỏ 1 chiếc giày trái bất kì. Gọi Ak là biến cố ngườ i thứ k xỏ đúng chiếc giày phải còn lại (k = 1,..., N). A là biến cố mỗi ngườ i khách xỏ đúng 1 đôi giày nào đó . Ta có : A  A1. A2 ...AN và P( A)  P( A1.A2 ...A N )  P ( A1 ).P ( A2 | A1 ).P ( A3 | A1 A2 )...P (AN | A1 A2 ...AN 1 ) Xác suất để ngườ i thứ 1 xỏ chiếc giày phải cùng đôi vớ i chiếc giày trái (trong N chiếc giày phải):  P( A1 ) =  Xác suất để ngườ i thứ 2 xỏ chiếc giày phải cùng đôi vớ i chiếc giày trái (trong N-1 chiếc giày phải còn  lại): P( A2 | A1 ) =  32



… Xác suất để ngườ i thứ N-1 xỏ chiếc giày phải cùng đôi vớ i chiếc giày trái (trong 2 chiếc giày phải còn  lại): P( A N 1 | A1 A2...AN 2 ) = . Cuối cùng P( A N | A1 A2 ...AN 1 ) = 1. Do đó, xác suất để mỗi ngườ i có thể xỏ được vào đúng 2 chiếc giày cùng đôi là:

1

1 1 11 1 .. . . .  2 2 1 1 N ! N N  1 .

1

Tỷ lệ phế phẩm c ủa một máy là 5%. Ngườ i ta dùng một thiết bị kiểm tra tự động đạt được độ chính xác khá cao song v ẫn có sai sót. T ỷ lệ sai sót đối v ớ i chính phẩm là 4% còn đố i vớ i phế phẩm là 1%. Nếu sản phẩm bị k ết luận là phế phẩm thì bị lo ại. a. Tìm t ỷ lệ sản phẩm đượ c k ết luận là chính phẩm mà thực ra là phế phẩm. b. Tìm t ỷ lệ sản phâm bị k ết luận là phế phẩm mà thực ra là chính phẩm. c. Tìm t ỷ lệ sản phâm bị thiết bị kiểm tra đó kết luận nhầm. Giải: Gọi A = “Sản phẩm sản xuất ra là chính phẩm” Bài 1.75

B = “Sản phẩm sản xuất ra là phế phẩm” H1 = “Sản phẩm đượ c thiết bị k ết luận là chính phẩm” H2 = “Sản phẩm đượ c k ết luận là phế phẩm” Ta có: P(A) = 0,95 P(B) = 0,05 P(H1|A) = 0,96; P(H2|A) =0,04 P(H1|B) = 0,01; P(H2|B) = 0,99 a) Gọi C = “sản phẩm đượ c k ết luận là chính phẩm nhưng thực ra là phế phẩm” = H1B P(C) = P(H1B)=P(B).P(H1|B)= 0,05.0,01=0,0005=0,05%. b) D = “Sản phẩm đượ c k ết luận là phế phẩm nhưng thực ra là chính phẩm” = H2A P(D)= P(H2A)= P(A).P(H2|A) = 0,95.0,04=0,038=3,8%. c) E = “Sản phẩm bị k ết luận nhầm” P(E)= P(C) + P(D) = 0,05%+3,8%= 3,85%. Bài 1.76 Thống kê 2000 sinh viên một khóa của trườ ng kinh t ế theo giớ i tính và ngành học thu đượ c các

số liệu sau:

Nam Học kinh tế 400 Học quản tr ị kinh doanh 800

Nữ 500 300

Lấy ngẫu nhiên một sinh viên khóa đó. T ìm xác suất để đượ c : a. Nam sinh viên b. Sinh viên học kinh tế c. Hoặc nam sinh viên, ho ặc học kinh tế d. Nam sinh viên và h ọc kinh tế e. Nếu đã chọn đượ c nam sinh viên thì xác su ất để người đó họ c kinh tế bằng bao nhiêu? Giải: Không gian mẫu: |Ω| = 2000 (SV) 33



a. Số nam sinh viên c ủa khóa: A= 400+800=1200 (SV)  Xác suất để sinh viên đó là sinh viên nam là : P(A) =  = 0,6 b. Số sinh viên khoa kinh t ế là B= 400+500=900

 Xác suất để sinh viên đó là sinh viên kinh tế là : P(B) =  = 0,45 c. Xác suất để đó là sinh viên nam hoặ c sinh viên kinh t ế là :  = 0,85 P(C) =   d. Xác suất là nam sinh viên và học kinh t ế là : P(D) =  = 0,2 e. Nếu đã chọn đượ c một nam sinh viên thì xác su ất để người đó họ c kinh tế là: P(E) = P(B|A) = () =  = 1/3. ()  Bài 1.77 Lô hàng xu ất khẩu có 100 kiện hàng, trong đó

có 60 kiệ n hàng của xí nghiệ p A và 40 kiện hàng

của xí nghiệ p B. T ỷ lệ phế phẩm của xí nghiệp A và B tương ứng là 30% và 10%. Ngườ i ta lấy ngẫu nhiên một kiện hàng để kiểm tra. a. Trướ c khi mở kiện hàng để kiểm tra thì xác suất để kiện hàng đó là kiệ n hàng của xí nghiệ p A là bao nhiêu? b. Giả sử mở kiện hàng và lấy ngẫu nhiên ra một sản phẩm thì đượ c phế phẩm. Vậy xác suất để đó là kiện hàng của xí nghiệ p A là bao nhiêu? c. Giả sử lấy tiế p sản phẩm thứ hai từ kiện hàng đó thì cũng lấy đượ c phế phẩm. Vậy xác suất để đó là kiện hàng của xí nghiệ p A là bao nhiêu? Giải:

a. Gọi H1 là biến cố trướ c khi mở kiện hàng ra kiểm tra thì đó là kiện hàng của xí nghiệ p A.  P  H 1  

60 3  . 100 5

b. Gọi Y là biến cố sản phẩm lấy ngẫu nhiên là phế phẩm H1 là biến cố kiện hàng của xí nghiệ p A: P  H 1  

3 5

2 H2 là biến cố kiện hàng của xí nghiệ p B: P  H 2   . 5 3 2 Ta có P(Y )  P  H1  .P(Y | H1 )  P  H 2  .P(Y | H 2 )  .0,3  .0,1 . 5 5 Theo công thức Bayes: xác su ất để kiện hàng đó củ a xí nghiệ p A là

34


P( H1 | Y ) 

P  H1  .P (Y | H 1 ) P Y 


3 .0,3 9 5   (so sánh v ớ i 3 2 .0,3  .0,1 11 5 5

P  H 1  

3 ở câu a) thì nó đã điều chỉnh 5

do biến cố Y xảy ra). c. Gọi C là biến cố: “sản phẩm thứ 2 lấy ra phế phẩm”. Do Y đ ã xảy ra nên nếu gọi H1 là biến cố kiện hàng của xí nghiệ p A thì P  H 1  

9 11

H2 là biến cố kiện hàng của xí nghiệ p B: P  H 2   1  P  H1  

2 . 11

9 2 .0,3  .0,1 . 11 11 Theo công thức Bayes: xác suất để kiện hàng đó củ a xí nghiệ p A là P(C )  P  H1  .P(C | H1 )  P  H 2  .P(C | H 2 ) 

9 .0,3 P  H1  .P(C | H1 ) 27 11 . P( H1 | C )    9 2 29 P  C  .0,3  .0,1 11 11 Chú ý: Cách giải câu c) cho trườ ng hợ p lấy lần 1 r ồi lại bỏ sản phẩm đó lại kiện hàng. Còn tr ườ ng hợ p lấ y lần 1 r ồi nhưng không bỏ lại thì ta vẫn coi t ỷ lệ ph ế phẩm của xí nghiệp A và B tương ứ ng là 30% và 10% do số sản phẩm ở 1 kiện hàng thực tế r ất nhiều ( n  100 ). Bài 1.78 Điều tra sở thích xem TV của các cặ p vợ chồng cho thấy 30% các bà vợ thườ ng xem chương

trình thể thao, 50% các ông chồng thường thích xem chương tr ình thể thao. Song nếu thấy vợ xem thì t ỷ lệ chồng xem cùng là 60%. L ấy ngẫu nhiên một cặ p vợ chồng. Tìm xác su ất để: a) Cả hai cùng thường xem chương tr ình thể thao b) Có ít nhất một ngườ i thườ ng xem c) Không có ai thườ ng xem d) Nếu chồng xem thì vợ xem cùng e) Nếu chồng không xem thì v ợ vẫn xem. Giải: Gọi A là “biến cố vợ thường xem chương tr ình thể thao” : P(A) = 0,3. Gọi B là “biến cố chồng thường xem chương tr ình thể thao”: P(B) = 0,5 và P() = 0,5  P  B|A  0,6 và P  B|A   0, 4 . Lấy ngẫu nhiên một cặ p vợ chồng. a) Xác suất để cả hai cùng thường xem chương tr ình thể thao là: Pa  P  AB   P  B|A .P  A  0,6 .0,3  0,18 b) Xác suất để có ít nhất một người thườ ng xem là: Pb  P( A  B)  P  A  P  B   P  AB   0,3  0,5  0,18  0,62 c) Vì biến cố có ít nhất một người thườ ng xem và biến cố “không có ai thườ ng xem” là 2 biến cố đối nhau. 35



Xác suất để không có ai thườ ng xem là: Pc  1  Pb  1  0,62  0,38

d) Xác suất để nếu chồng thườ ng xem thì vợ xem cùng: P  A .P  B|A 0,3 . 0,6 Pd  P  A|B     0,36 P( B) 0,5 e) Xác suất để nếu chồng không xem thì v ợ vẫn xem: Pe  P  A|B  

P  A  .P  B|A P(B)



0,3 . 0,4  0, 24 0,5

Một nhân viên bán hàng mỗi năm đến bán ở công ty A ba l ần. Xác suất để lần đầu bán đượ c hàng là 0,8. N ếu lần trước bán đượ c hàng thì xác su ất để lần sau bán đượ c hàng là 0,9 còn n ếu l ần trướ c không bán đượ c hàng thì xác su ất để lần sau bán đượ c hàng chỉ còn 0,4. Tìm xác su ất để: a. Cả 3 lần bán đượ c hàng. b. Có đúng 2 lần bán đượ c hàng. Giải: Gọi Ak là biến cố “ bán đượ c hàng ở lần thứ k” : P(A1 ) = 0,8 Bài 1.79

P(A2 |A1 ) = 0,9; P(A2 |) = 0,4 P(A3|A2 ) = 0,9; P(A3 |) = 0,4 a. Xác suất để cả 3 lần bán đượ c hàng là: P(A) = P(A1.A2.A3) = P(A1).P(A2|A1).P(A3|A2A1) = 0,8.0,9.0,9 = 0,648 b. Xác suất để có đúng 2 lần bán đượ c hàng là: P(B) = P( .A2. A3 + A1. .A3 + A1.A2. ) = P( ).P(A2 |).P(A3|A2. ) + P(A1).P(  | ).P(A3|A1. ) + |A2. ) P(A1).P(A2|A1).P(  = 0,2.0,4.0,9 + 0,8.0,1.0,4 + 0,8.0,9.0,1 = 0,075 Bài 1.80 Ngườ i ta biết một cặ p tr ẻ sinh đôi có thể là một cặp sinh đôi thậ t do cùng một tr ứng sinh ra (E 1).

Trong trườ ng hợp đó chúng bao giờ cũng có cùng giớ i tính. Nếu chúng do các tr ứng khác nhau sinh ra

(E2) thì xác suất để chúng có cùng gi ớ i tính là 1/2. Bây gi ờ nếu c ặ p tr ẻ sinh đôi đó có cùng giớ i tính thì xác suất để chúng là cặ p sinh đôi thật là bao nhiêu? Giải: Gọi E1 là biến cố “cặp sinh đôi do cùng mộ t tr ứng sinh ra”, ta có: P(E 1) = p.

E2 là biến cố “cặp sinh đôi do các trứng khác nhau sinh ra” nên P(E 2) = 1 – p. A là biến cố “cặp sinh đôi có cùng giớ i tính”.

 Ta có: P(A|E1) = 1; P(A|E2) = . 36



P( A)  P( A | E1 ).P( E1 )  P( A | E2 ).P( E2 )  1 . p 

Do đó, P(E 1|A) =

P( A | E1 ).P( E1 ) P( A)

=

(1  p) . 2

2 p 1. p = . (1 p ) p  1 1. p  2

Vậy xác suất để cặp sinh đôi có cùng giớ i tính là cặp sinh đôi thật là Bài 1.81 Một hộp kín đự ng 3 qu ả cầu đỏ

2 p . p  1

và 6 quả cầu xanh. Tính xác su ất để khi chia hộ p cầu một cách

ngẫu nhiên thành 3 ph ần bằng nhau thì: a. Cả 3 quả cầu đỏ ở trong một phần. b. Mỗi một phần có một quả cầu đỏ. Giải: Ta đánh dấu 3 quả cầu đỏ

là Đ1, Đ2, Đ3 và 6 quả xanh là X1,..., X6. T ất cả là 9 qu ả khác nhau.

a) Gọi A là biến cố cả 3 quả cầu đỏ trong 1 phần. Số k ết cục duy nhất đồng khả năng: n = C 93 . C 63 . còn lại là phần 3).

3

C 3

(chọn 3 quả cho phần 1 sau đó 3 quả cho phần 2 và

Số k ết cục thuận lợ i: m = 3. C 63 . C 33 (nếu 3 quả đỏ vào phần 1 thì tiế p theo ta chọn 3 qu ả cho phần 2 và còn lại là phần 3; tương tự cho trườ ng hợ p 3 quả đỏ vào phần 2 và phần 3). P(A) =

m n

=

3 C 93

=

3 . 84

b) Gọi B là biến cố mỗ i phần có một quả cầu đỏ. Số k ết cục duy nhất đồng khả năng : n = C 93 . C 63 . C 33 Số k ết cục thuận lợ i: m = 3! . C 62 . C 42 . C 22 Theo định ngh ĩa cổ điển: P(B) =

m n

=

9 . 28

Bài 1.82 Tại 1 siêu th ị hệ thống phun nướ c t ự động đượ c lắ p liên k ết vớ i mốt hệ thống báo độ ng hỏa

hoạn. Khả năng hệ thống phun nướ c bị hỏng là 0,1. Khả năng hệ thống báo độ ng bị hỏng là 0,2. Khả năng để cả 2 hệ thống này cùng hỏng là 0,04. Hãy tính xác su ất: a, Có ít nhất 1 hệ thống ho ạt động bình thườ ng b, Cả 2 hệ thống đều hoạt động bình thườ ng. Giải: Gọi A là biến cố “hệ thống phun nướ c bị hỏng” : P(A) = 0,1 B là biến cố “hệ thống báo độ ng bị hỏng” : P(B) = 0,2 a, Gọi C là biến cố “có ít nhất một hệ thống ho ạt động bình thườ ng” 37


 ̅


 ̅

 là biến cố “cả 2 hệ thống cùng hỏng”. P( ) =P(AB)  P(C) = 1 – P( ) = 1 – 0,04 = 0,96.

 ̅

b, Gọi D là biến cố “cả 2 hệ thống đều hoạt động bình thườ ng”. D là biến cố "mộ t trong 2 hệ thống bị hỏ ng"  P( D ) = P(A+B) = P(A) + P(B) – P(AB) = 0,1 + 0,2 – 0,04 = 0,26 ) = 1 – 0,26 = 0,74.  P(D) = 1 – P(  Bài 1.83* Trong một kho rượ u số lượng chai rượ u lo ại A và lo ại B bằng nhau. Ngườ i ta lấy ngẫu nhiên 1 chai rượu trong kho và đưa cho 4 người sành rượ u nếm thử để xác định xem đây là loại rượ u nào. Giả sử mỗi ngườ i có khả năng đoán trúng là 80%. Có ba ngườ i k ết lu ận chai rượ u thuộc loại A và một ngườ i k ết luận chai rượ u thuộc loại B. Vậy chai rượu đượ c chọn thuộc loại A vớ i xác suất là bao nhiêu? Giải: Gọi H1 là biến cố

chai rượu đượ c chọn thuộc loại A.

H2 là biến cố chai rượu đượ c chọn thuộc loại B. Hệ H1, H2 là một hệ đầy đủ. P( H1 )  P( H 2 )  0,5 . C là biến cố “3 ngườ i k ết luận chai rượ u thuộc loại A, ngườ i còn lại k ết luận loại B” Ta đi tính P(C|H1)? Chai rượ u l ấy ra thuộc loại A, nên ở đây coi là dãy 4 phép thử Bernoulli, trong 4 phép th ử thì D = "biến cố k ết luận loại A" xảy ra 3 lần vớ i P(D) = p = 0,8  q  1  p  0,2 .

suy ra P(C|H1) =

3

3

C4 p q 

4.0,83.0, 2 .

Ta đi tính P(C|H2)? Chai rượ u l ấy ra thuộc loại B, nên ở đây coi là dãy 4 phép thử Bernoulli, trong 4 phép th ử thì D = "biế n cố k ết luận loại A" xảy ra 3 lần vớ i P(D) = p = 0,2  q  1  p  0,8 .

suy ra P(C|H2) =

3

3

C4 p q 

4.0, 23.0,8 .

Do đó P (C )  P ( H1 ).P (C | H 1 )  P ( H 2 ).P (C | H 2 )  0,5.4.0,83 .0, 2  0,5.4.0, 23 .0,8

Vậy chai rượu đượ c chọn thuộc loại A vớ i xác suất là: P( H1 | C ) 

P( H1 ).P(C | H1 ) P(C )

0,5.4.0,83.0, 2 0,8 2 82 64    2 2   94,12% . 3 3 2 2 0,5.4.0,8 .0, 2  0,5.4.0, 2 .0,8 0,8  0, 2 8  2 68

Bài 1.84 Có hai hộp đựng các mẫu hàng xu ất khẩu. Hộ p thứ nhất đựng 10 mẫu trong đó có 6 mẫ u loại A

và 4 mẫu loại B. Hộ p thứ 2 đựng 10 mẫu trong đó có 3 mẫ u loại A và 7 mẫu loại B. a. Từ mỗ i hộ p lấy ngẫu nhiên một mẫu hàng. Tính xác su ất để 2 mẫu lấy ra cùng lo ại b. Giả sử xác suất lựa chọn các hộ p lần lượ t là 0,45 và 0,55  Chọn ngẫu nhiên một hộ p và từ đó lấy ngẫu nhiên một mẫu. Tính xác su ất để mẫu lấy ra là loại B  Chọn ngẫu nhiên một hộ p và từ đó lấy ngẫu nhiên một mẫu thì đượ c mẫu loại A. Hỏi mẫu đó có khả năng thuộ c hộ p nào nhiều hơn? 38



Giải:

a. Tổng số cách lấy từ mỗ i hộ p một mẫu sản phẩm là : 10.10 (10 cách ch ọn từ hộ p 1; 10 cách chọn từ hộ p 2). Số cách lấy ra 2 mẫu cùng lo ại là: 6.3+4.7 (6 cách lấy từ hộ p 1 và 3 cách lấy từ hộ p 2 sản phẩm A; 4 cách lấy từ hộ p 1 và 7 cách lấy từ hộ p 2 sản phẩm B ). 6.3  4.7  0,46 . Xác suất để 2 mẫu lấy ra cùng lo ại: P = 10.10 b. Gọi H1là “Biến cố lấy ở hộ p thứ nhất” Gọi H2 là “Biến cố lấy ở hộ p thứ 2” C = “Biến cố lấy đượ c mẫu B” Theo công thức đầy đủ: P(C) = P(H1).P( | ) + P(H2).P( | )

 + 0,55.  = 0,565 = 0,45.  * Vậy xác suất lấy đượ c mẫu loại B là : 0,565. * Gọi D = “Biến cố lấy đượ c mẫu A”  P(D) = 1 – P(C) = 1 – 0,565 = 0,435

6 P  H1  .P  D| H 1  0,45. 10   0,62  P  H 1|D   P  D 0,435 3 0,55. D H P  H 2  .P  | 2  10  0,38 P  H 2 |D    P B 0,435  P(  |) > P( |) Vậy mẫu lấy đượ c có khả năng thuộc hộ p 1 nhiều hơn. Qua kinh nghiệm, ngườ i quản lý của mộ t cửa hàng bán giầy th ể thao biết r ằng xác suất để một đôi đế cao su của một hãng nào đó có 0 hoặ c 1 ho ặc 2 chiếc bị hỏng tương ứng là : 0,90 ; 0,08 ; 0,02. Anh ta lấy ngẫu nhiên một đôi giày loại đó từ tủ trưng bày và sau đó lấ y ngẫu nhiên 1 chiếc thì nó b ị hỏng. Hỏi xác suất để chiếc kia cũng bị hỏng là bao nhiêu ? Giải: Gọi H1 là biến cố “chiếc thứ nhất lấy đượ c là của đôi không chiế c nào hỏng” Bài 1.85

H2 là biến cố “chiếc thứ nhất lấy đượ c là của đôi có 1 chiếc bị hỏng” H3 là biến cố “chiếc thứ nhất lấy đượ c là của đôi có 2 chiếc bị hỏng” theo đề bài thì

Gọi

P(H1)=0,9;

P(H2)=0,08; P(H3)=0,02

A là biến cố “chiếc một lấy ra bị hỏng” B là biến cố “chiếc hai lấy ra bị hỏng”

P(A) = P(H1).P(A|H1)+P(H2).P(A|H2)+P(H3).P(A|H3) 39



= 0,9.0+0,08.0,5+0,02.1=0,06 P  H 3  .P( A | H 3 ) P(B) = P (H3|A)= = 1/3. P( A) Bài 1.86 Hai cửa hàng A và B cung c ấ p các hộp đĩa mề m máy tính cho một trung tâm tin học vớ i tỉ lệ 3/2. Tỷ lệ đĩa bị lỗ i của các cửa hàng tương ứng là 1% và 2%. Một sinh viên đế n thực tậ p tại trung tâm chọn ngẫu nhiên một hộp đĩa gồ m 20 chiếc và từ đó rút ngẫu nhiên ra 1 đĩa. a. Tính xác su ất để sinh viên đó rút phải đĩa bị lỗ i. b. Sau khi khới động máy, sinh viên đó nhậ n thấy đĩa bị lỗ i. Tính xác suất để đĩa này thuộc cửa hàng A. Giải: a) Gọi

X = “biến cố rút phải đĩa bị lỗ i” H1= “biến cố lấy hộp đĩa của cửa hàng A” : P(H1) = 3/5 = 0,6. H2= “biến cố lấy hộp đĩa của cửa hàng B” : P(H2) = 2/5 = 0,4. Ta có P(X|H1) = 0,01 ; P(X|H 2) = 0,02 Do H1, H2 là các biến cố đầy đủ nên : P(X) = P(H1).P(X|H1) + P(H2).P(X|H2) = 0,6 . 0,01 + 0,4 . 0,02 = 0,014. b) Theo công thức Bayes, ta có: P( H1 | X ) 

P( H1 ).P ( X | H1 ) P( X )



0,6 . 0,01  0,4286 . 0,014

Vậy xác suất để đĩa bị lỗ i đó thuộ c của hàng A là 0,4286. Bài 1.87* Tỷ lệ phế phẩm của máy I là 1%, của máy II là 2%. Một lô sản phẩm gồm 40% sản phẩm của

máy I và 60% s ản phẩm của máy 2. Ngườ i ta lấy ngẫu nhiên 2 s ản phẩm để kiểm tra. a. Tìm xác suất trong 2 sản phẩm lấy ra có ít nhất 1 sản phẩm tốt. b. Giả sử hai sản phẩm kiểm tra đều là tốt thì khả năng lấy tiếp đượ c hai sản phẩm tốt nữa là bao nhiêu? Giải: a) Gọi H là biến cố "2 sản phẩm lấy ra thuộc nhà máy 1"

Gọi H là biến cố "2 sản phẩm lấy ra thuộc nhà máy 2" Gọi H là biến cố "1 sản phẩm lấy ra thuộc nhà máy 1; 1 s ản phẩm lấy ra thuộc nhà máy 2" Gọi A là biến cố "2 sản phẩm lấy ra là phế phẩm" H H H là một hệ đầy đủ vớ i P(H1) = 0,42; P(H2) = 0,62; P(H3) = 2.0,4.0,6.  P( A)  P( H1 ).P( A | H1 )  P( H 2 ).P( A | H 2 )  P(H3 ).P( A | H3 )  0, 42.0,012  0, 62.0,02 2  2.0,4.0,6.0,01.0,02  0,000256  = "có ít nhất một sản phẩm tốt", P(A)=1-P(A)= 0.999744.  biến cố A

b) Gọi B là biến cố "2 sản phẩm lấy ra là chính ph ẩm". P( B)  P( H1 ).P( B | H1 )  P ( H 2 ).P( B | H 2 )  P(H3 ).P ( B | H3 )  0, 42.0,992  0, 62.0,982  2.0,4.0,6.0,99.0,98  0,968256 . Giả sử B đã xảy ra.

40



0, 4 2.0,99 2 0, 62.0,982 2.0,4.0,6.0,99.0,98 P ( H1 | B )  ; P( H 2 | B )  ; P (H3 | B )  . 0,968256 0, 968256 0,968256 vậy P( H1 ), P( H 2 ), P(H3 ) được điều chỉnh mớ i khi B xảy ra là: 0, 4 2.0,99 2 0, 62.0, 982 2.0,4.0,6.0,99.0,98 ; P( H 2 )  ; P ( H 3 )  P( H1 )  0,968256 0 ,968256 0,968 256 Gọi C = biến cố 2 sản phẩm lấ y ra tiế p là chính phẩm. P(C )  P( H1 ).P(C | H1 )  P( H 2 ).P (C | H 2 )  P( H3 ).P(C | H3 )

0, 42.0,99 2 0,6 2.0,982 2.0, 4.0,6.0,99.0,98 2 .0,99  .0,9 82  .0,99.0,98  0.968272 . 0,968256 0,968256 0,96825 6 Bài 1.88 Một công nhân đi làm ở thành phố khi tr ở về nhà có hai cách: Đi theo đườ ng ngầm hoặc đi qua

cầu. Biết r ằng anh ta đi lối đườ ng ng ầm trong 1/3 trườ ng hợ p, còn lại đi cầu. Nếu đi lối đườ ng ng ầm 75% trườ ng hợ p anh ta v ề nhà trướ c 6h, còn đi lố i cầu chỉ có 70% trườ ng hợ p. Tìm xác suất để công nhân đó đã đi lố i cầu, biết r ằng anh ta về nhà sau 6 gi ờ .  Giải: Gọi H là “biến cố người công nhân đi đườ ng ngầm”: () = . 

 là “biến cố người công nhân đi lối đi cầ u”: P() =  ( |) =  ; ( |) =   ̅ là “biến cố về nhà sau 6h”: P(  ̅|) = ; (  ̅|) =  A là “biến cố về nhà trướ c  6h”:

Xác suất để anh ta về nhà sau 6h là:

(  ̅) = (). (  ̅|) + ().(  ̅|) 1 1 2 3 17 = ∙ + ∙ = 3 4 3 10 60

Khi điều đó xả y ra thì xác suất để anh ta đi lố i cầu:

2 3   ( ).  (  ̅| ) 3 ∙ 10  (|  ̅) = (  ̅) = 17 = 0,7059 60

Vậy, xác suất để công nhân đó đ ã đi lố i cầu, biết r ằng anh ta về nhà sau 6h là 0,7059. Bài 1.89* Ba công nhân cùng s ản xu ất 1 loại sản phẩm, xác suất để ngườ i thứ nhất và ngườ i thứ hai làm ra chính phẩm bằng 0,9. Còn xác su ất để ngườ i thứ 3 làm ra chính ph ẩm là 0,8. Một ngườ i trong số đó làm ra 8 sản phẩm, thấy có 2 phế ph ẩm. Tìm xác suất để trong 8 s ản phẩm tiế p theo c ũng do người đó sả n xuất sẽ có 6 chính ph ẩm. Giải: Gọi A là biến cố trong 8 sản phẩm đầu tiên có 2 phế phẩm. H1 là biến cố 8 sản phẩm đó do ngườ i thứ nhất làm ra H2 là biến cố 8 sản phẩm đó do ngườ i thứ 2 làm ra H3 là biến cố 8 sản phẩm đó do ngườ i thứ 3 làm ra Ta có P(H1) = P(H2) = P(H3) = 1/3. Ta đi tính P(A|H1): ngườ i 1 làm ra 8 sản phẩm có 6 chính phẩm và 2 phế phẩm. 41



Đây là 1 dãy 8 phép thử Bernoulli có 6 lần thành công vớ i xác suất mỗ i lần thành công là P("ngườ i 1 làm ra chính phẩm") = 0,9 nên P(A|H1) = C 86 0,9 6.0,12 . Tương tự P(A|H2) = C 86 0,9 6.0,12 ; P(A|H3) = C 86 0,86.0,2 2 .

P(A) = P(H1).P(A|H1) + P(H2).P(A|H2) + P(H3).P(A|H3) =

1 6 6 2 1 6 6 2 1 6 6 2 1 2 6 2 1 2 6 2 1 2 6 2 C 0,9 .0,1  C8 0,9 .0,1  C8 0,8 .0, 2  C8 0,9 .0,1  C8 0,9 .0,1  C8 0,8 .0, 2 3 8 3 3 3 3 3

= 0,0496 + 0,0496 + 0,0979 =0,1971 P(H1|A) = P(H2|A) = P(H3|A) =

P  H1  .P( A / H1 ) P( A)

=

0,0496  0,25165 0,1971

0,0979  0,4967 . 0,1971

Giả sử biến cố A đã xảy ra. Gọi B là biến cố trong 8 s ản phẩm tiế p theo có 6 chính phẩm, tương tự trên ta có: P(B) = P(H1|A).P(B|H1A) + P(H2|A).P(B|H2A) + P(H3|A).P(B|H3A) = 0, 25165.C86 0,96 .0,12  0, 25165.C86 0,96 .0,12  0, 4967.C 86 0,86 .0, 22 = 2.0, 25165.C82 0, 96 .0,12  0, 4967.C 82 0, 86.0, 22 = 0,074893+0,145832=0,2207 Vậy P(B) = 0,2207. Bài 1.90*

Một lô hàng có 8 s ản phẩm cùng loại. Kiểm tra ngẫu nhiên 4 sản phẩm thấy có 3 chính phẩm

và 1 phế phẩm. Tìm xác suất để khi kiểm tra tiế p 3 sản phẩm nữa sẽ có một chính phẩm và 2 ph ế phẩm. Giải: Gọi A là biến cố “lấy đượ c 3 chính phẩm và 1 phế phẩm”.

B là biến cố “lấy đượ c 2 phế phẩm và 1 chính phẩm”. Hi là biến cố “trong 8 sản phẩm có i chính phẩm”, i = 0,…,8.

1 Hệ H 0 , H 2 ,..., H 8 là một hệ đầy đủ và P( H 0 )  P( H1 )  ...  P( H8 )   p . 9 Ta có: P(A) = P(H0).P(A|H0) +P(H1).P(A|H1)+...+ P(H7).P(A|H7)+ P(H8).P(A|H8) C33 .5 C35.3 C36 .2 C37 .1 C34 .4  p.0  p.0  p.0  p 4  p 4  p 4  p 4  p 4  p.0 C8 C8 C8 C8 C8 C33 .5 C35 .3 C36 .2 C73 .1 C34 .4  p 4  p 4  p 4  p 4  p 4 . C8 C8 C8 C8 C8 42



C34 .4 p 4 C8 P(H 4 ).P(A | H 4 )  Khi đó, P(H 4|A) = C33 .5 C34 .4 C35 .3 C36.2 C37 .1 P(A) p 4  p 4  p 4  p 4  p 4 C8 C8 C8 C8 C8 C34 .4 8 .  3  C3 .5  C34 .4  C35.3  C36 .2  C37 .1 63 C35 .3 p 4 P(H5 ).P(A | H5 ) C8  P(H5|A) = C33 .5 C34 .4 C35 .3 C36 .2 C37 .1 P( A) p 4  p 4  p 4  p 4  p 4 C8 C8 C8 C8 C8 C35 .3 5 .  3  C3 .5  C34 .4  C35.3  C36 .2  C37 .1 21 Giả sử A đã xảy ra thì xác suất để lấy đượ c 2 phế phẩm và 1 chính phẩm là: P(B) = P(H0|A).P(B|H0A) + ...+ P(H8|A).P(B|H8A) 8 C32 5 C12 3 = P(H4|A).P(B|H4A) + P(H5|A).P(B|H5A) = . 3  . 3  . 63 C4 21 C 4 14

≈ 0,2143. Chú ý là: P(B|HiA) = 0 vớ i mọ i i  4,5 vì 4  số chính phẩm  5. Bài 1.91 Một hộ p có n sản phẩm, bỏ vào đó 1 sả n phẩm tốt sau đó lấ y ngẫu nhiên ra 1 s ản phẩm. Tìm xác

suất để sản phẩm lấy ra là t ốt nếu mọ i giả thiết về tr ạng thái cấu thành ban đầ u của hộp là đồ ng xác su ất. Giải: Gọi A =

“biến cố lấy đượ c sản phẩm tốt”

Hi = biến cố lúc đầu hộ p có i sản phẩm tốt (i = 0,..., n). Hệ H 0 , H1 ,..., H n là một hệ đầy đủ và 1

P(A|H0) =

C 1 1

Cn1



1

P(A|H1) =

C 2 1

C n 1

=

P( H 0 )  P( H1 )  ...  P( H n ) 

1 n 1

2 n 1

... P(A|Hn) =

C n1 1 1

C n 1

=

n 1 n 1

Ta có P(A) = P(H0).P(A|H0) + P(H1).P(A|H1) +...+ P(Hn).P(A|Hn) 43

1 n 1

.



1

=

.

1

n 1 n 1

1

=

2.



1

.

2

n 1 n  1

 n  2  (n  1)





1

.

n 1

n  1 n 1

n2

. (n  1) 2 2(n  1) Bài 1.92* Trong hộ p có n sản phẩm, trong đó mỗ i sản phẩm đều có thể là chính phẩm hoặc phế phẩm vớ i xác suất như nhau. Lấ y ngẫu nhiên lần lượ t k sản phẩm theo phương thức có hoàn lại thì đượ c toàn chính phẩm. Tính xác su ất để hộ p có chứa toàn chính ph ẩm. Giải: Gọi A là biến cố k sản phẩm lấy ra đều là chính ph ẩm. Hi là biến cố trong hộp đó có i chính phẩ m (i = 0, n ) Hệ H 0 , H1 ,..., H n là một hệ đầy đủ và

P( H 0 )  P( H1 )  ...  P( H n ) 

1 n 1

 p.

Ta có P(A) = P(H0).P(A|H0) + P(H1).P(A|H1) +...+ P(Hn).P(A|Hn) = p.P(A|H0) + p.P(A|H1) +...+ p.P(A|Hn) Hiển nhiên P  A | H 0   0 . Theo công thức Bayes thì: P  H i  .P  A | H i  p.P  A | Hi  P  A | Hi    P(Hi|A) = . P( A) p.P  A | H 0   ...  p.P  A | H n  P  A | H1   ...  P  A | H n  Ta sẽ đi tính P  A | H i  vớ i mọ i i = 1,...,n: Trong hộ p có i chính phẩm và n-i phế phẩm. Ta đánh số các sản phẩm là 1, 2, ... , n. Chọn ra lần lượ t k s ản phẩm (có hoàn lại). Tổng số k ết cục đồng khả năng : nk (n cách chọn sản phẩm 1, ..., n cách chọn sản phẩm thứ k). Trong hộ p có i chính phẩm nên số cách chọn a1  a2  ...  ai để coi là chính phẩm là C ni . Số các trườ ng hợ p thuận lợi để chọn k sản phẩm từ a1 , a2 ,..., ai là i k . Do đó tổ ng số trườ ng hợ p thuận lợi để chọn k sản phẩm chính phẩm từ hộ p có i chính phẩm là : Cni .i k i k Cn .i Suy ra P  A | H i   k . n

Vậy xác suất để hộ p có chứa toàn chính phẩm là P(Hn|A)  Cnn n k 1

2

3

Cn1  Cn .2  Cn 3  Cn n k

k

k

n

k

n

 n

n  n  1

.2k 

P  A | H n  P  A | H1   ...  P  A | H n 

=

k

n  n  1 ( n  2)

. 3k  n k

2! 3! Bài 1.93* A chơi cờ vớ i B vớ i xác suất th ắng mỗ i ván bằng p. Tìm xác su ất p để A thắng chung cuộc trong 2 ván dễ hơn thắng chung cu ộc trong 4 ván , biết để thắng chung cu ộc A phải thắng ít nhất một nửa tổng số ván chơi. Giải: Gọi C là biến cố A thắng chung cu ộc trong 2 ván = bi ến cố A thắng ít nhất 1 ván trong hai ván.

D là biến cố A thắng chung cu ộc trong 4 ván = bi ến cố A thắng ít nhất 2 ván trong 4 ván. Ta tính P(C):

C là biến cố A không th ắng ván nào trong hai ván, theo dãy Bernoulli thì

P(C )  C20 p0 (1  p)2  (1  p)2 . 44



Ta tính P(D): D là biến cố A thắng 0 ho ặc 1 ván trong 4 ván, theo dãy Bernoulli thì P( D)  C40 p0 (1  p) 4  C41 p1 (1  p)3  (1  p) 4  4 p(1  p)3 .

Để A thắng chung cu ộc trong 2 ván dễ hơn thắng chung cu ộc trong 4 ván tương đương 2

4

3

2

P(C )  P( D)  P(C )  P( D)  (1  p )  (1  p )  4 p(1  p )  1  (1  p)  4 p(1  p)

 0  p 2  2 p  4 p  4 p 2  0  2 p  3 p 2  0  2  3 p  p 

2 . 3

2 Vậy 0  p  . 3 Bài 1.94 Một xí nghiệ p có hai dây chuyền cùng lắ p ráp một loại sản phẩm vớ i tỷ lệ phế phẩm tương ứng

là 2% và 3%. Tính xác su ất để một khách hàng mua 2 s ản phẩm của xí nghiệp đó thì mua phải 1 phế phẩm. Giải:

Gọi A là biến cố “Mua 1 phế phẩm”. Biến cố A xảy ra đồ ng thờ i vớ i 1 trong 2 biến cố sau đây tạo thành 1 nhóm đầy đủ các biến cố: H1: “Phế phẩm do dây chuyền 1 sản xuất” H2: “Phế phẩm do dây chuyền 2 sản xuất” Theo công thức xác suất đầy đủ, ta có:

( ) = ( ).( |) + ( ). ( | )  Theo đề bài: P(H1) = P(H2) =  P(A|H1) = 0,02

P(A|H2) = 0,03

  Do đó, ( ) =  .0,02+  .0,03 = 0,025 =  Mà biến cố đối  ̅ của A là “Mua đượ c 1 chính phẩm”.

(  ̅) = 1 − ( ) = 1 − 0,025 = 0,975 =  Khách hàng mua 2 lần, đây chính là d ãy 2 phép thử Bernoulli. Do đó, xác suất để người này mua đượ c 1 phế phẩm trong 2 lần mua: C21 p1q1  2 pq  0,04875 .

Hai cầu thủ bóng r ổ, mỗi ngườ i ném bóng 2 lần, xác suất ném trúng đích của mỗ i cầu thủ theo thứ tự là 0,6 và 0,7. Tính xác suất: a. Số lần ném trúng r ổ của cầu thủ thứ nhất nhiều hơn số lần ném trúng r ổ của cầu thủ thứ hai. b. Số lần ném trúng r ổ của hai người như nhau. Bài 1.95*

45



Giải: Coi mỗ i lần ném bóng c ủa cầu thủ thứ

“ i” là 1 phép thử, ta có 2 phép th ử độc lậ p, mỗ i phép thử có 2 trườ ng hợ p xảy ra: trúng đích hoặc không trúng đích. Đối vớ i cầu thủ thứ nhất:

Xác suất ném trúng đích củ a mỗ i lần ném là 0,6. Như vậ y nó thỏa mãn lược đồ Bernoulli. Ta có xác suất để anh ta ném trúng đích cả 2 lần là: P1(2) = C22.0,62.0,40 = 0,36 Xác suất để anh ta ném trúng đích 1 lầ n là: P1(1) = C12.0,6.0,4 = 0,48 Xác suất để anh ta ném trượ t cả 2 lần là : P1(0) = C20.0,60.0,42 = 0,16 Đối vớ i cầu thủ thứ 2: Xác suất ném trúng đích củ a mỗ i lần ném là 0,7 Ta có xác suất để anh ta ném trúng đích cả 2 lần là : P2(2) = C22.0,72.0,30 = 0,49 Xác suất để anh ta ném trúng đích 1 lầ n là: P2(1) = C12.0,7.0,3 = 0,42 Xác suất để anh ta ném trượ t cả 2 lần là: P2(0) = C20.0,70.0,32 = 0,09

a. Gọi A là biến cố “số lần ném trúng r ổ của cầu thủ thứ 1 nhiều hơn số lần ném trúng r ổ của cầu thủ thứ 2” (có 3 trườ ng hợ p là 2-1;2-0;1-0). Ta có: P(A) = P1(2).P2(1) + P1(2).P2(0) +P1(1).P2(0) = 0,36.0,42 + 0,36.0,09 + 0,48.0,09 = 0,2268 b. Gọi B là biến cố “số lần ném trúng r ổ của cả 2 ngườ i bằng nhau” (có 3 trườ ng hợ p là 2-2;1-1;0-0) Ta có: P(B) =P1(2).P2(2) + P1(1).P2(1) + P1(0).P2(0) =0,36.0,49 + 0,48.0,42 + 0,16.0,09 = 0,3924 Một bình có a cầu tr ắng và b c ầu đen. Hai ngườ i lần lượ t lấy theo phương thứ c có hoàn lại. Tính xác suất ngườ i thứ nhất lấy đượ c cầu tr ắng trướ c. Bài 1.96*

Giải: Ai = “biến cố

ở lần i ngườ i 1 rút đượ c quả cầu tr ắng, các lần trướ c cả người 1 và người 2 đề u rút

phải quả cầu đen ” Lần 1: P(A1) =

a ab

Lần 2: xét thứ tự lấy : lần 1 (người 1, ngườ i 2); lần 2(người 1, ngườ i 2)……. Để người 1 rút đượ c cầu tr ắng đầu tiên ở lần 2 thì ở lần 1, cả 2 người đểu rút đượ c cầu đen. Do đó: 2

b  a . . P(A2) = =   . a b a b a b  ab  a b b

b

a

… tương tự b  P(Ai) =    a b

2( i 1)

.

a

a

i-1

a b

= t .

ab

2

b  vớ i t =   < 1  a,b  N  ab 

A= “biến cố ngườ i 1 lấy đượ c cầu tr ắng trướ c”  P(A) =

P( A ) = i

a a b a

=

. ( 1 + t + t2 + t3 + … )

a b

.

1 1  t

(vì tổng S=1 + t + t 2 + t3 + … là tổng của cấ p số nhân có công bộ i 0 < t < 1) 46


ĐH Ngoại Thương Hà nội ab (a  b)2 = . = a  b a.(a  2b) a  2b a

ab

Vậy xác suất để ngườ i 1 lấy đượ c cầu tr ắng trướ c là Bài 1.97* Trong r ạ p có n chỗ

.

a  2b

được đánh số, n ngườ i có vé vào ngồ i một cách ngẫu nhiên. Tìm xác su ất để

có m ngườ i ngồi đúng chỗ . Giải:

Gọi A là biến cố “có m ngườ i ngồi đúng chỗ”. Gọi B là biến cố: “n-m ngườ i còn lại ngồ i sai chỗ”.

Ta đi tính P(A) và P(B):

Số trườ ng hợp đồng khả năng khi xếp m ngườ i vào n v ị trí là  . Số trườ ng hợ p thuận lợ i cho biến cố A là:  (chọn m trong n ngườ i và nếu có m ngườ i thì sẽ có 1 cách duy nhất xếp để m người này đúng chỗ ) C nm

Do đó P(A) =

m

An



1 m!

.

Gọi C là biến cố: “có ít nhất 1 ngườ i trong số n-m ngườ i còn lại ngồi đúng chỗ ở n-m vị trí còn lại”. Ta có: P(B) =1- P(C). Xét n-m ngườ i còn lại đánh số là 1, 2, ..., n-m. Gọi Ai là biến cố “ngườ i thứ i ngồi đúng chỗ ”. C

nm

n m

P ( A ... A ) ...  (1) 1 A  P(C )  1 P( A )  P( A A )...  (1) 1  ... k

i

i

i

i

Ta có P( Ai ) 

j

i j

nm

i1  ik

n  m 1

ik

P( A1... An m )

  P( Ai )  1 . i 1

1

.

1

nên

n  m n  m 1

1

i1

ik

P( A A )  C 2 i

n m

j

i j

P ( A ... A )  , ..., P ( A1 ... A  k ! ...

i1   ik

i1

n m

1

P( Ai Aj )  P( Ai ) P( A j | Ai ) 

Tương tự

i

n m

)

1

 n  m !

.

1 1 (1) k ( 1) n m n m (1) k Do đó P( B)    ...  .  ...   2! 3! (n  m)!  ! k! k k  2 47

.

1 nm

.

1

1 . n  m  1 2! 



(1) k Vậy xác suất để có m ngườ i ngồi đúng chỗ là P  P( A).P( B)   . m ! k  2 k ! 1

n m

Một hệ thống k ỹ thuật gồm n bộ phận vớ i xác xuất hoạt động tốt của mỗ i bộ phận là p. H ệ thống sẽ ngừng ho ạt động khi có ít nhất 1 bộ phận bị hỏng. Để nâng cao độ tin cậy của hệ thống ngườ i ta dự tr ữ thêm n bộ phận nữa theo 2 phương thức sau: Bài 1.98*

a)

P

P

b)

P

P

P

P

P

P

P

P

P

P

Hỏi phương thức dự tr ữ nào mang lại độ tin cậy cao hơn cho cả hệ thống. Giải: Sau khi bổ sung thêm n bộ phận thì ta có t ổng tất cả là 2n bộ phận đượ c bố

trí theo 2 phương thứ c

a) và b). Khi n = 1 thì 2 hệ thống giống hệt nhau nên ta chỉ cần xét n  2 . Ta đi tính xác suất để hệ thống ho ạt động ở a) và b) là Pa , Pb . * a) hệ gồm n ô vuông to, m ỗ i ô vuông có 2 b ộ phận đượ c mắc song song, xác su ất để ô vuông to b ị hỏng 2 là 1  p  (cả hai nhánh đều cùng hỏng). 2

Do đó xác suất để ô vuông to ho ạt động tốt là 1  1  p   2 p  p 2 .

Ta có hệ thống là n ô vuông to mắc nố i tiếp, do đó xác suất để hệ thống ho ạt động tốt là: n

Pa   2 p  p 2   p n  2  p 

n

(n ô vuông to cùng ho ạt động tốt).

* b) Hệ thống đượ c chia làm 2 nhánh, mỗ i nhánh là n bộ phận mắc song song, Ta có xác suất để 1 nhánh ho ạt động tốt là p n . nên xác suất để 1 nhánh không ho ạt động là 1  p n . 2

Do đó xác suất để hệ thống hỏng là 1  p n  (hai nhánh đều hỏng). 48


ĐH Ngoại Thương Hà nội 2

Pb  1  1  p n   2 p n  p 2 n  p n (2  p n ) .

Suy ra

Công việc còn lại là so sánh Pa , Pb . Ta sẽ chứng tỏ r ằng Pa  Pb vớ i mọ i n  2 và 0 < P < 1. Đặt q = 1 – p (q > 0) ta có n

n

n

n

Pa  Pb  p n  2  p   pn (2  p n )   2  p   2  pn  1  q   1  q  

2

Thật vậy theo nhị thức Newton ta có n

n

1  q   1  q   1  Cn1 q  Cn2 q2  ...  Cnk qk  ...  qn  1 Cn1 q  Cn2 q2  ... ( 1)k Cnk qk  ... ( 1)n qn  2  2Cn2 q2  2Cn4 q 4  ...  2 . Vậy phương thức dự tr ữ a) mang lại độ tin cậy hơn phương thức dự tr ữ b). Bài 1.99* Hai người chơi cờ thỏa thuận v ớ i nhau là ai thắng trướ c 1 số ván nhất định thì sẽ thắng cuộc. Tr ận đấu bị gián đoạn khi ngườ i thứ 1 còn thiếu m ván thắng, ngườ i thứ 2 còn thiếu n ván thắng. Vậy phải phân chia tiền đặt như thế nào cho hợ p lý nếu xác suất thắng mỗ i ván của mỗi người đều bằng 0,5. Giải: Gọi P1 , P2 là xác suất thắng cuộc của người 1 và ngườ i 2 nếu tr ận đấu đượ c tiế p t ục đến cuối cùng.

Rõ ràng tiền phải chia theo tỷ lệ

P1 P2

là hợ p lý.

Vậy ta sẽ đi tính P1 : Các trườ ng hợ p thắng cuộc của ngườ i thứ nhất đó là có thể thắng sau: m; m+1; m+2; m+3;…;m+n-1 ván nữa (riêng ván cuối cùng ngườ i 1 phải thắng) vớ i xác suất tương ứng là P  m  ; P  m  1 ;...; P  m  n  1 .

Mỗi trườ ng hợp đó là một dãy Bernulli mà xác su ất mỗ i phép thử thành công là 0,5. Ta tính P  m  : đây là dãy thành công).

m  1 phép

thử Bernoulli và ván cu ối bắt buộc phải th ắng (có 

P  m   C mm11.0,5m

Ta tính P  m  1 : đây là dãy thành công).

m phép

1

Tương tự ta có: 

… 49

m  1 phép

thử

.0, 50.0, 5  0,5m

.0,5m1.0,51.0,5  Cm1 .0,5 m 1

P  m  2   Cmm11 0,5m

thử

1

thử Bernoulli và ván cuối bắt buộc phải thắng (có

P  m  1  Cmm

m  1 phép

1

 m 2 .0,52.0,5  Cm2 1 0,5


ĐH Ngoại Thương Hà nội 

P  m  n  1  Cmmn1 2 0,5m

1

.0,5n 1.0,5  Cmn 1n 2 0,5m n 1

Vì các tr ườ ng hợ p này xung khắc vớ i nhau nên xác su ất thắng cuộc của ngườ i thứ nhất là: m m m n m n 1 P1  P  m   P  m  1  ...  P  m  n  1  0,5  C m1 .0,5 1  Cm2 1 0,5 2  ...  Cm 1n  2 0,5 hay P1  0,5

m

1 C1 .0,51  C 2 1 0,52  ...  C 1 2 0,5 1  . m

n m n

m

n

Hoàn toàn tương tự ta tính đượ c P2 như sau: P2  0,5

n

Bài 1.100*

1  C1 .0,51  C 21 0,52  ...  C 12 0,5 1  . n

n

m m n

m

Một ngườ i bỏ hai bao diêm vào túi, mỗ i bao có n que diêm. M ỗ i khi hút thuốc người đó rút

ngẫu nhiên một bao và đánh mộ t que. Tìm xác suất để khi người đó phát hiệ n một bao đã hết diêm thì bao kia còn lại đúng r que diêm. Giải: Cách hiểu thứ nhất: trong một lần lấy ra 1 bao r ỗng và phát hi ện ra nó hết.

Cách hiểu thứ hai: trong một lần lấy ra bao còn 1 que thì đánh que đó và phát hiện bao đó hế t luôn. Gọi H 1 là biến cố rút đượ c bao 1. H 2 là biến cố rút đượ c bao 2. Ta có P( H1 )  P( H 2 )  0,5 .

* Lờ i giải cho cách hiểu thứ nhất: Theo đề bài, người đó phát hiện một bao đã hết và bao còn lại có r que diêm nên người đó đã lấy diêm 2n  r  1 lần (lần cuối phát hiện một bao hết nên không lấy đượ c diêm).

TH1: Lần cuối rút đượ c bao 1 (lần cuố i có xác suất xảy ra là 0,5) có ngh ĩa 2 n  r lần kia phải có n lần rút đượ c bao 1 và n  r lần không rút đượ c bao 1. Đây là một dãy 2n  r phép thử Bernoulli trong đó có n lầ n rút thành công bao 1 ( p  q  0,5 )

xác suất để nó xảy ra là : P(TH1)  C2nn r .0,5n.0,5n r .0,5  C2nnr .0,5 2 n r1 . TH2: Lần cuối rút đượ c bao 2 (lần cuố i có xác suất xảy ra là 0,5) có ngh ĩa 2 n  r lần kia phải có n lần rút đượ c bao 2 và n  r lần không rút đượ c bao 2. Đây là một dãy 2n  r phép thử Bernoulli trong đó có n lầ n rút thành công bao 2 ( p  q  0,5 )

xác suất để nó xảy ra là : P(TH 2)  C2nn r .0,5n.0,5n r .0,5  C2nn r .0,5 2 n r 1 . Vậy xác suất để khi người đó phát hiện 1 bao đ ã hết diêm thì bao kia còn lại đúng r que diêm là: 50

giai sach bai tap XSTK DH KTQD chuong 1 full v1.pdf

Recommend Documents