Bài t p XSTK ch ư ng I – S ki n ngẫ ngẫ u nhi nhiên ên và phép tính xác su t
CH
NG I
CÁC S Ự KI N NG U NHI ÊN VÀ PHÉP TÍNH XS I. Sự ki n ngẫ ngẫ u nhiên nhiên,, định định nghĩa nghĩa xác su t, gi i tích tích tổ hợ p. Câu 1. M t h p có có N qu quảả cầ u đư c đán đánh h số số từ 1 đ n N. N. Rút Rút từ ng quả quả ra, ra, ghi ghi số sau sau đó đó bỏ bỏ l i trong h p, làm n l n như như vậ y. Hỏ i có có bao bao nhi nhiêu kh ả năng năng có thể thể x y ra. Có bao bao nhi nhi êu kh ả năng năng ra biế biế n cố cố A: “Các “Các quả quả đ ã đư c rút rút ra là đôi đôi mộ t khác khác nhau nhau.” .” x y ra Câu 2. Có bao nhiêu cách phân tích s ố 100 100 th thành t ng c a a. ba s ố nguy uyêên d ng. b. ba số ng nguy uyên không âm. Câu 3. Có 30 t m thẻ thẻ đánh ánh số số từ 1 t i 30 30. Chọ Chọ n ng ng u nh nhi ên ra 10 t m th th . Tính xác su t đ : a. T t cả t m thẻ thẻ đề u mang mang số ch n. b. Có đúng đúng 5 số chia chia hế t cho cho 3. thẻ mang mang số lẻ , 5 t m thẻ thẻ mang mang số ch n tro trong ng đó chỉ chỉ có có m t số số chia chia hế t cho cho 10. 10. c. Có 5 t m thẻ Câu 4. Có bao nhiêu s ố đi n tho tho i gồ m 4 chữ chữ số có đúng đúng 1 cặ p chữ chữ số trùng nhau? Câu 5. M t h p đ ng 4 viên viên bi đỏ , 5 viên bi tr ng, ng, 6 viên viên bi vàn vàng. g. Ngư Ngư i ta ch n 4 viên bi t ừ hộ p bi. Tính xác su t để ch n đư c 4 bi đủ 3 màu. Câu 6. Trong 10 s n phẩ phẩ m có có 2 phế phế ph m. T ìm xác su t để để tron trong g 5 sả n phẩ phẩ m chọ chọ n ngẫ ngẫ u nhi nhiên có: a. 1 phế ph m b. Không có ph ế ph m c. Ít nh t 1 ph phếế ph m Câu 7. Trong m t thành ph ố có 5 khách khách s n. Có 3 khách khách du lịch đế n th ành ph ố đó, m i ng ư i ng u nhi nhiên m t khá khách ch sạ n. T ìm xác su t đ : ch n ng a. M i ngư ngư i ở mộ t kh khách ách s n khá khácc nha nhau u. b. Có đú đúng 2 ng i ở cùng 1 khách s n. Câu 8. M t l p có có 3 tổ họ c sin sinh, h, tron trong g đó đó tổ tổ 1 có có 12 12 ng ng i, t ổ 2 có có 10 ngư i và tổ 3 có 15 ngư i. Ch n hú hú ho hoạ ra 1 nhó nhóm m h c sin sinh h g m 4 ngư i. để trong trong nhóm nhóm có đúng 1 họ c sinh sinh tổ 1 a. Tính xá xác su su t để b. Bi t trong trong nhóm nhóm có có đúng đúng 1 họ c sinh sinh tổ 1, tính tính x xác ác su t để trong trong nh nhóm óm đó có đúng đúng 1 họ c sinh t ổ 3. Câu 9. Ba nữ nhân nhân viên ph c v A, B và C thay nhau r a đĩa chén chén v à gi ả sử ba ng ư i này đ u “khéo “khéo léo” léo” như nhau. nhau. Trong Trong m t tháng tháng có có 4 chén chén bị bị vỡ . T ìm xác su t chén và chị B đánh đánh vỡ 1 chén. chén. a. Chị A đánh vỡ 3 chén b. M t tro trong ng 3 ngư ngư i đán đánh h vỡ vỡ 4 ché chén. n. II. Công th c c ng v à nhân xác su t, côn công th th c Becnulli. Câu 10. Tron Trong g 1 vùn vùng g dân dân cư , tỷ lệ mắ c b nh tim tim là 9%, m c b nh huyế huyế t áp áp là 12%, và m c cả 2 lo i b nh trên là 7%. Ch n ngẫ ngẫ u nhiê nhiên n 1 ngư ngư i tro trong ng vùn vùng g đó. đó. Tín Tính h xác xác suấ t để để ng i đó đó khô không ng m c cả bệ nh tim tim và b nh huyế huyế t áp. áp. Câu 11. Ba x ạ thủ thủ A, B, C đ c l p v i nha nhau u cùng n ổ súng súng vào bia. Xác su t b n trúng củ a 3 ngư i A, B và C t ng ng là 0.7, 0.6 và 0.9 a. Tính xá xác su su t để để duy duy nhấ nhấ t 1 xạ thủ thủ bắ n trú trúng ng b. Tính xác su t để để có ít nh t 1xạ 1xạ thủ thủ bắ n trú trúng ng Câu 12. Chia ng u nnhi hiên m t bộ bài 52 quân thành 4 ph n đ u nha nhau u the theo o các cách h sau sau:: đầ u ti tiên ch n ng u nhiên nhiên 13 quân bài, bài, sau sau đó chọ n ng u nhiên 13 quân ti p theo từ số bài còn l i .... .. T ìm xác để tron trong g m i phầ phầ n đ u có có 1 con con át. át. su t để Câu 13. Cho các s ự ki n A,B A,B v i P(A) P(A) =P(B) =P(B) = 1/2; 1/2; P ( AB ) 1 / 8 a. Tìm P( A B) b. Tìm P( AB) , P ( A B) 1
Bài t p XSTK ch ư ng I – S ki n ngẫ u nhiên và phép tính xác su t
Câu 14. M t lô hàng g m 100 sả n phẩ m, trong đó có 5 phế ph m. Lô h àng đ c chấ p nhậ n n u ch n hú hoạ ra 50 sả n phẩ m để ki m tra th ì s ố phế phẩ m khômg quá 1. T ìm xác su t để lô hàng đ
c ch p nh n. Câu 15. M t c u thủ ném bóng rổ cho đ n khi nào trúng r ổ th ì thôi. Tìm xác su t để c u thủ đó d ng ném ở lầ n ném thứ 4, bi t r ng xác suấ t ném trúng ở mỗ i l n ném l à 0,4. Câu 16. M t h p chứ a 3 bi tr ng, 7 bi đỏ v à 15 bi xanh. M t h p khác chứ a 10 bi trắ ng, 6 bi đỏ v à 9 bi xanh. L y ngẫ u nhiên từ m i h p m t viên bi. Tìm xác su t để hai bi lấ y ra có c ùng m u. Câu 17. Có 6 kh u súng cũ và 4 kh u súng m i, trong đó xác su t trúng khi bắ n bằ ng súng cũ l à 0,8, còn súng m i là 0,95. B n hú hoạ bằ ng 1 khẩ u súng th ì th y trúng. Khi đó điề u g ì có kh năng xả y ra l n h n: bắ n b ng kh u súng m i hay bắ n b ng kh u súng c . Câu 18. M t máy bay ném bom 1 m c tiêu ph i bay qua 3 ph òng tuy n. Xác suấ t để mỗ i ph òng tuy n tiêu di t đư c máy bay là 0,8. a. Tìm xác su t máy bay rơ i trư c khi đ n m c tiêu. b. Giả sử máy bay bị rơ i, tìm xác su t để phòng tuy n 1 b n rơ i. Mu n b o vệ m c tiêu v i xác su t 99,99% cầ n tổ ch c bao nhi êu tuy n phòng th . Câu 19. Có 2 máy bay A và B. A có 4 độ ng cơ và B có 2 độ ng cơ . A có thể bay đư c n u ít nhấ t 2 đ ng cơ hoạ t đ ng, B có thể bay đư c n u có ít nh t 1 đ ng cơ hoạ t đ ng. Các đ ng cơ hoạt đ ng độ c l p và m i đ ng cơ có cùng xác suấ t hoạ t đ ng là q. Tính các xác su t để A, B bay đư c. Máy bay nào có xác su t bay đ ư c l n h n. Câu 20. Dân số ở 1 thành ph ố nọ là 100 000 ng i. Thành ph ố có 3 tờ nh t báo A, B và C. T ỉ lệ ng i dân c a th ành ph ố đọ c các tờ báo trên là như sau: 10% đọ c tờ A, 30% đ c tờ B, 5% đọ c tờ C, 8% đọ c cả A và B, 2% đọ c cả A và C, 4% đọ c cả B và C, 1% đọ c cả 3 tờ báo. a. Có bao nhiêu ng i chỉ đọ c m t tờ báo. b. Có bao nhiêu ngư i đọ c ít nh t 2 tờ báo. c. Có ba o nhiêu ng i không đọ c tờ báo nào. Câu 21. M t thi t bị ch a 3 bộ ph n A, B,C. Bi t xác su t h ng củ a A l à 0,04 và n u A hỏ ng th ì xác su t h ng c a B là 0,5. Ngoài ra, xác su t A,B cùng h ng đồ ng th i C không h ng l à 0,01. a. Tìm xác su t có ít nhấ t 1 bộ ph n không h ng. b. N u biế t thêm xác su t A và C cùng h ng là 0,03; Xác su t B và C cùng h ng là 0,01; Tìm xác su t g p ít nhấ t 2 bộ ph n h ng. Câu 22. Nghiên c u t p số đo chiề u cao củ a cha và con trong 1 cu c điề u tra xã h i h c ta th y: tỷ lệ cha đ t chi u cao ti êu chu n l à 25%, tỷ lệ con có chi u cao đạ t ti êu chu n là 36%, trong khi đó xác suấ t để cha hoặ c con có chiề u cao đạ t ti êu chu n l à 42%. Tính xác su t để ngư i cha đ t tiêu chu n như ng ng i con th ì không đạ t tiêu chu n. Câu 23. Theo th ng k ê xác su t để 2 ngày liên ti ế p có m a ở 1 thành ph ố vào mùa hè là 0,5; còn không mư a là 0,3. Biế t các sự ki n có 1 ngày mư a, 1 ngày không m a là đ ng khả năng.Tính xác su t để ngày thứ 2 có mư a, bi t ngày đ u không mư a. Câu 24. Hai v n độ ng viên bóng bàn A và B đấ u 1 trậ n g m tố i đa 5 ván (không có k t quả hòa sau m i ván và tr n đ u sẽ dừ ng nế u 1 ngư i nào đó thắ ng tr c 3 ván). Xác su t để A thắ ng đ c ở 1 ván là 0,7. a. Tính các xác su t để A th ng sau x ván (x=3,4,5). b. Tính xác su t để tr n đ u k t thúc sau 5 ván. Câu 25. M t ng i say rư u b c 8 b c. M i b c anh ta ti n lên phía tr c 1m ho c lùi l i phía sau 1m v i xác su t như nhau. Tính xác suấ t để sau 8 bư c a. Anh ta tr ở lạ i điể m xuấ t phát. b. Anh ta cách điể m xu t phát hơ n 4m.
III. Công th c xác su t đ y đủ v à công th c Bayet. Câu 26. M t phân xư ng có 3 máy tự độ ng: máy 1 s n xu t 25%, máy 2 sả n xuấ t 30%, máy 3 l à 45% s n ph m. Tỷ lệ phế ph m tư ng ng c a các máy là 0,1%, 0,2% và 0,3%. Ch n ng u nhiên ra 1 s n ph m c a phân xư ng. T ìm các xác su t: a. Nó là ph ế ph m 2
Bài t p XSTK ch ư ng I – S ki n ngẫ u nhiên và phép tính xác su t
b. Bi t nó là phế ph m. Tính xác suấ t để sả n phẩ m đó do máy thứ 1 s n xuấ t. Câu 27. Tỷ lệ ngư i nghi n thu c lá ở m t vùng là 30%. Bi t r ng tỷ lệ ngư i bị viêm h ng trong số nh ng ng i nghi n thu c là 60%, còn t ỷ lệ ng i bị viêm h ng trong số ngư i không nghi n là 40%. a. L y ngẫ u nhiên m t ng i th y r ng ng ư i y bi viêm h ng. Tính xác su t ngư i đó nghi n thu c lá. b. N u ngư i đó không bị viêm h ng. Tính xác su t ngư i đó nghiệ n thu c. Câu 28. M t xí nghiệ p có 2 phân xư ng cùng s n xu t m t lo i s n ph m. Số lư ng s n ph m c a phân xư ng I g p 4 củ a phân xư ng II. Biế t tỷ lệ phế ph m c a phân xư ng I là 5%, còn c a phân xư ng 2 là 8%. Tính xác su t để n u l y hú h a ra đư c 1 s n ph m t t th ì đó là s n phẩ m c a phân xư ng I. Câu 29. M t nhà văn hóa có 3 nhóm độ i viên v i tỷ lệ nữ t ng ng là 15%, 25% và 55%. Cho bi t số h i viên c a nhóm 3 nhi u g p 3 lầ n nhóm 1 và g p 2 lầ n nhóm 2. Chọ n hú h a 1 hộ i viên nam. Tính xác su t để hộ i viên nam đó thuộ c nhóm 1. Câu 30. Có 3 h p: Hộ p thứ nh t có 3 bi đỏ , 2 bi tr ng; H p thứ 2 có 2 bi đỏ , 2 bi tr ng; H p thứ 3 không có viên nào. L y ngẫ u nhiên 1 viên bi t ừ h p thứ nh t và 1 viên bi t ừ h p thứ 2 bỏ vào h p thứ 3. Sau đó từ hộ p thứ 3 l y ngẫ u nhiên ra 1 viên bi. a. Tính xác su t để viên bi đó màu đỏ . b. Bi t r ng viên bi l y ra từ hộ p thứ 3 là đỏ , Tính xác su t để lúc đ u ta l y đ c viên bi đỏ từ h p thứ nh t bỏ vào h p thứ 3. Câu 31. B n 3 phát vào m t máy bay v i xác su t trúng tư ng ng là 0.4, 0.5, và 0.7. N u trúng m t phát th ì xác su t rơ i máy bay là 0.2; nế u trúng hai phát th ì xác su t rơ i máy bay là 0.6, c òn n u trúng cả 3 phát th ì ch c chắ n máy bay rơ i. T ìm xác su t để máy bay rơ i. Câu 32. H p I có 4 viên bi đỏ , 2 viên bi xanh; h p II có 3 viên bi đỏ , 3 viên bi xanh. B ỏ ng u nhiên m t viên bi t ừ hộ p I sang hộ p II, sau đó l i bỏ ng u nhiên m t viên bi t ừ hộ p II sang h p I. Cu i cùng rút ng u nhiên từ h p I ra m t viên bi. a. Tính xác su t để viên bi rút ra sau cùng m u đ . b. N u viên rút ra sau cùng m u đ , t ìm xác su t lúc ban đ u rút đư c viên bi đỏ ở hộ p I cho vào h p II. Câu 33. M t h p có 10 quả bóng bàn trong đó có 6 quả mớ i (nghĩa là chư a sử dụ ng lầ n nào). Hôm qua, độ i bóng lấ y ng u nhi ên ra 3 qu ả để tậ p sau đó trả lạ i h p. Hôm nay, đ i bóng l i l y ngẫ u nhiên ra 3 qu ả để t p. a. Tìm xác su t để 3 quả bóng lấ y ra hôm nay đ u m i. b. Bi t r ng hôm nay l y ra đư c 3 quả mớ i. Tính xác suấ t để hôm qua l y ra ít nhấ t 2 quả m i. Câu 34. Có 10 sinh viên đi thi trong đó có 3 thu c lo i gi i, 4 thuộ c lo i khá và 3 thu c loạ i trung bình. Trong ngân hàng thi có 20 câu h i, sinh viên lo i gi i trả l i đư c h t, lo i khá trả l i đư c 16 câu và lo i trung b ình trả l i đ c 10 câu. G i ng u nhiên 1 sinh viên. Sinh viên đó trả lờ i đư c cả 3 câu h i trong phi u thi. Tính xác su t đó l à sinh viên thu c loạ i trung b ình. Câu 35. M t chuồ ng gà có 9 con mái và 1 con tr ng, chu ng gà kia có 1 con mái và 5 con tr ng. Từ mỗ i chu ng bắ t ng u nhi ên ra 1con làm th ịt. Các con gà còn l i đ c d n vào chu ng thứ 3. Từ chuồ ng thứ 3 b t ng u nhiên 1 con gà. Tìm xác su t để con gà b t đ c ở chu ng 3 là gà tr ng. Câu 36. Trong 1 kho rư u, số lư ng rư u lo i A và lo i B bằ ng nhau. Ngư i ta ch n ngẫ u nhiên 1 chai và đư a cho 5 ngư i n m th . Biế t xác suấ t đoán đúng c a m i ng i là 0,8. Có 3 ng i k t lu n rư u lo i A, 2 ngư i kế t luậ n rư u lo i B. H i khi đó xác su t chai r u đó thuộ c loạ i A là bao nhiêu? Câu 37. M t hãng hàng không bi t r ng 5% số khách đ t trư c vé cho các chuyế n đã định sẽ hoãn không đi chuyế n bay đó. Do đó hãng đã đư a ra mộ t chính sách là sẽ bán 52 ghế cho 1 chuyế n bay mà trong đó mỗ i chuyế n chỉ chở đư c 50 khách hàng. Tìm xác su t để tấ t cả các khách đặ t chỗ tr c và không hoãn chuy n bay đề u có ghế . Biế t r ng xác suấ t bán đư c 51 vé hoặ c 52 vé là như nhau và bằ ng 10%.
3
Bài t
p XSTK chư ng II - Bi n ngẫ u nhi ên và lu t phân phố i xác su t
BÀI T P CH
NG II
I. Bi
n ng u nhiên r i r c Câu 1. Ti n hành 3 l n thử nghi m độ c l p, trong đó xác su t để thử nghi m th ành công m i l n là 0,4. G i X là số l n thử thành công. a. L p b ng phân bố xác suấ t c a X b. Tính E( 3X - 1 ) Câu 2. (1.45) M t chùm chìa khoá g m 4 chi c gi ng nhau, trong đó chỉ có mộ t chiế c mở đ c c a. Ngư i ta thử ng u nhiên t ng chi c cho đ n khi mở đư c c a.G i X là số lầ n th . a. Tìm phân ph i xác su t củ a X b. Tìm kỳ v ng và ph ng sai c a X. Câu 3. (3.45) M t xạ thủ có 5 viên đạ n. Anh ta phả i b n vào bia v i quy định khi nào có 2 viên trúng bia ho c h t đ n th ì d ng. Bi t xác su t b n trúng bia ở mỗ i l n b n l à 0,4 và g i X là số đ n c n b n. a. Tìm phân ph i xác su t củ a X b. Tìm kỳ v ng và ph ng sai c a X. Câu 4. Trong 1 thành phố nào đó 65% dân cư thích xem bóng đá. Chọ n ngẫ u nhiên 12 ng i và g i X là số ng i thích xem bóng đá trong số đó. a. G i tên phân bố xác su t củ a X. b. Tìm xác su t để có đúng 5 ngư i thích xem bóng đá. c. Tìm xác su t để có ít nhấ t 2 ngư i thích xem bóng đá. Câu 5. Tỉ lệ cử tri ng hộ ng cử viên A trong 1 cu c b u cử t ng th ng là 40%. Ng i ta h i ý ki n 20 cử tri đư c chọ n 1 cách ng u nhiên. G i X là số ngư i bỏ phi u cho ông A trong cu c b u cử đó. a. Tìm giá trị trung b ình, độ l ch chuẩ n c a X và mod X. b. Tìm P{X < 10} Câu 6. Bi n ngẫ u nhiên r i r c X chỉ có 2 giá trị x1 và x 2 (x1 < x 2). Xác su t để X nhậ n giá trị x1 là 0,2. Tìm lu t phân phố i xác su t c a X, biế t kỳ vọ ng EX = 2,6 v à độ lệ ch tiêu chu n X = 0,8. II. Bi
n ngẫ u nhiên liên t c
Câu 7.
Bi n ngẫ u nhiên X có m t độ xác su t f(x) =
k sin3x , x (0 , 0 , x (0 ,
a. Xác định k, hàm phân bố F(x) b. Tính P( /6 X < /2 ) 2
2
(5.45) Bi n ngẫ u nhiên X có hàm m t đ f(x) = c / a x trên kho ng (-a,a) và b ng 0 ở ngoài kho ng đó. Xác định hằ ng số c, sau đó tính kỳ vọ ng v à phư ng sai củ a X.
Câu 8.
x
(6.45) Bi n ngẫ u nhiên X có hàm m t độ f (x) c /(e e và sau đó tính kỳ vọ ng củ a X.
Câu 9.
x
) . Xác định hằ ng số c
II. Các lu
t phân phố i thông dụ ng Câu 10. T i mộ t tr m ki m soát giao thông trung b ình 30 giây có 10 xe ôtô đi qua. a. Tìm xác su t để có đúng 12 xe đi qua trong vòng 1 phút. b. Tính xác su t để trong kho ng t phút có ít nhấ t 1 xe ôtô đi qua.
1
Bài t
p XSTK chư ng II - Bi n ngẫ u nhi ên và lu t phân phố i xác su t
Câu 11.
M t gara cho thuê ôtô th y r ng số ngư i đ n thuê ôtô vào thứ b y cu i tu n là 1 ĐLNN có phân bố poat xông vớ i tham số = 2. Giả sử gara có 4 chi c ôtô. Hãy tìm xác su t đ : a. T t cả 4 ôtô đ u đư c thuê b. Gara không đáp ng đư c yêu c u (thiế u xe cho thuê) c. Trung bình có bao nhiêu ôtô đ c thuê Câu 12. M t hành khách đế n bế n xe buýt đúng lúc 10 gi . Th i gian xe buýt đ n bế n đó đón khách là biế n ngẫ u nhiên có phân ph i đ u trong khoả ng từ 10 giờ đế n 10 giờ 30 phút. a. Tìm xác su t để ng i đó ph i đ i ít nh t 10 phút b. Bi t r ng lúc 10 giờ 15 phút xe buýt vẫ n ch a đế n. T ìm xác su t để ngư i đó ph i đợ i ít nhấ t 10 phút n a. Câu 13. Giả sử X là bi n ngẫ u nhiên có phân ph i chu n v i trung b ình 3 và ph ng sai 0,16. Hãy tính : a. P(X > 3), P(X > 3,784) b. Tìm c sao cho P(3 - c < X < 3 + c) = 0,9. Câu 14. (8.45) Các viên bi do 1 máy tự đ ng sản xu t ra đư c coi là đạt yêu cầ u n ế u đư ng kính X c a chúng lệ ch so v i thiế t kế không quá 0,7 mm. Cho biế n ngẫ u nhi ên X tuân theo lu t phân phố i chu n v i độ l ch tiêu chu n σ = 0,4 mm. Tính tỉ lệ bi đạ t yêu c u. Câu 15. (7.46) Chi u dài c a 1 lo i cây là bi n ngẫ u nhiên tuân theo lu t phân phố i chu n. Trong 1 m u 640 cây có 25 cây th p h n 18m, 110 cây cao hơ n 24m. a. Tìm chi u cao trung b ình c a cây và độ l ch tiêu chuẩ n t ng ng b. c l ng số cây có chi u cao từ 16m đ n 20m trong số 640 cây nói trên. Câu 16. Lãi su t (%) đầ u tư vào 1 dự án trong năm 2006 đư c coi như mộ t bi n ngẫ u nhiên tuân theo quy lu t chu n.Theo đánh giá c a uỷ ban đ u t ư th ì v i xác suấ t 0,1587 cho lãi su t cao hơ n 20% và vớ i xác suấ t 0,0228 cho lãi su t l n h n 25%. Vậ y khả năng đ u tư mà không bị lỗ là bao nhiêu? Câu 17. M t viên đạ n có t m xa trung b ình là 300m. Giả sử t m xa đó là 1 bi n ngẫ u nhiên tuân theo lu t chu n v i σ = 10. Hãy tìm tỉ lệ đ n bay quá t m xa trung b ình từ 15 đ n 30m. Câu 18. L y ngẫ u nhiên 1 điể m M trên n a đ ng tròn tâm O, đư ng kính AB = 2a. Bi t r ng xác suấ t điể m M rơ i vào cung CD bấ t k ì c a n a đ ng tròn AMB chỉ phụ thu c vào độ dài cung CD a. Tìm hàm phân ph i xác su t c a biế n ngẫ u nhiên Y chỉ diệ n tích tam giác AMB. b. Tìm giá trị trung b ình c a di n tích tam giác ấ y. Câu 19. (6.47) Từ đi m A(0,-a) (a > 0) trong n a m t ph ng toạ độ xOy phầ n x 0, ng i ta k ẻ ng u nhiên 1 tia At h p v i tia Oy m t góc . Bi t φ là bi n ngẫ u nhiên có phân ph i đ u trong khoả ng (0, /4). Tia At c t Ox t i điể m M. a. Tìm hàm phân ph i xác su t c a biế n ngẫ u nhiên X chỉ diệ n tích tam giác AOM. b. Tìm giá trị trung b ình c a diệ n tích trên. Năng suấ t lúa ở 1 địa phư ng là biế n ngẫ u nhiên có phân ph i chu n v i kỳ Câu 20. v ng 42 t /ha và σ = 3 tạ /ha. T ìm xác su t để khi g t ngẫ u nhiên 3 th a ruộ ng th ì có 2 th a có năng suấ t sai lệ ch so v i trung b ình không quá 1 t /ha.
2
Bài t p xác suấ t thố ng kê chư ng III - Bnn nhi u chi u
BÀI T P CH 1. Bi
NG III
n ng u nhiên r i r c
Câu 1.
Cho bi n ngẫ u nhiên X và Y có b ng phân bố xác suấ t đồ ng thờ i nh ư sau X
1
2
3
1
0.12
0.15
0.03
2
0.28
0.35
0.07
Y
a. CMR X và Y đ c l p b. L p b ng phân ph i xác su t c a X và c a Y. c. Tính EZ b ng 2 cách và ki m tra EZ = EX.EY d. Tìm quy lu t phân ph i củ a biế n ngẫ u nhiên Z = XY. Câu 2.Cho X, Y là hai bi n ngẫ u nhiên có phân bố xác suấ t đ ng th i là X Y -1 0 1 -1
4/15
1/15
4/15
0
1/15
2/15
1/15
1
0
2/15
0
a. Tìm EX, EY, cov(X,Y) b. X và Y có đ c l p không? c. Tìm b ng phân ph i xác suấ t củ a X,Y . Câu 3 Cho X, Y là 2 bi n ngẫ u nhiên có b ng phân ph i đ ng th i là X Y 1 2 3
a. b. c. d. 2. Bi
1
0,17
0,13
0,25
2
0,10
0,30
0,05
L p b ng phân ph i xác su t c a X,Y. L p ma trậ n Covarian c a X,Y. Tìm hệ số t ng quan. X,Y có độ c l p không?
n ng u nhiên liên t c
Câu 4
Cho X, Y là 2 bi n ngẫ u nhiên có hàm m t độ đ ng th i là
a. Tìm h ng số k b. Tìm các hàm m t độ c a X và c a Y c. X và Y có độ c l p không ? Câu 5 Cho X, Y là 2 bi n ngẫ u nhiên có hàm m t độ đ ng th i là
1
Bài t p xác suấ t thố ng kê chư ng III - Bnn nhi u chi u
a. Tìm h ng số k. b. Tìm hàm phân bố đ ng th i c a X và Y Câu 8. Cho X, Y là hai bi n ngẫ u nhiên có hàm m t độ
a. Tìm hàm m t độ c a X,Y . b. Tìm xác su t để X,Y n m trong h ình chữ nh t O(0,0);A(0,1);B(1,2);D(2,0) Câu 9. X, Y là hai bi n ngẫ u nhiên có hàm m t độ đ ng th i là
a. Tìm hàm m t độ c a X,Y b. Tìm hàm m t độ f1 (x| y) ; f2 (y| x) Câu 11. Cho X, Y là 2 bi n ngẫ u nhiên đ c l p v i nhau có cùng phân bố đ u trên [0, 2]. Tìm hàm phân ph i c a các bi n ngẫ u nhiên sau: a. Z = X + Y d. U = X - Y. b. T = XY c. P(-1 Y - X 1) Bài 13. Hai ng i b n h n g p nhau t i c ng trư ng trong kho ng từ 5h đ n 6h, v i giả thi t th i đi m đ n c a m i ngư i là ng u nhiên. a. Tìm hàm phân ph i xác su t c a th i gian gi a 2 th i đi m đ n củ a 2 ng i. b. V i quy c chỉ đ i nhau trong vòng 10 phút, tìm xác su t để 2 ngư i đ c g p nhau Câu 14.
a.
2
2
Cho X ~ N(5; 1 ); Y ~ N(3; 0,2 ) Tìm P(X + Y < 5,5).
c.
Tìm P(X < 1; Y < 1)
b. Tìm P(X < Y);P(X > 2Y) Câu 15.
Tr ng l ng c a ngư i ch ng có phân bố chu n v i kỳ v ng 70kg v à độ l ch tiêu chu n 9 kg, còn tr ng l ng ngư i vợ có kỳ v ng 55 kg và độ l ch tiêu chu n 4 k g. Hệ số t ng quan trọ ng lư ng gi a hai vợ ch ng là 2/3. Tính xác su t vợ n ng hơ n chồ ng.
2
Bài t
BÀI T
P CH
p XSTK chư ng IV -
cl
ng kho ng tin c y
NG IV
Câu 1. Doanh số c a m t c a hàng là bi n ngẫ u nhiên có phân ph i chu n v i độ l ch chu n 2 tri u trên tháng. Điề u tra ng u nhiên doanh số c a 500 c a hàng có quy mô t ng tự nhau tìm đư c doanh số trung b ình là 7,9 tri u. Vớ i độ tin cậ y 95% hãy c lư ng doanh số trung b ình c a các cử a hàng thu c quy mô đó. Câu 2. M t tuy n xe buýt chạ y từ A đ n B, chạ y thử 31 lầ n li ên ti p trên đoạn đư ng này cho ta số liệ u l ng xăng hao phí Lư ng xăng hao phí 10,5-11 11-11,5 11,5-12 12-12,5 12,5-13 T n số 3 6 10 8 4 V i độ tin c y 90% hãy c l ng lư ng xăng hao phí trung b ình cho xe buýt đi từ A đ n B. Bi t lư ng xăng hao phí là bi n ngẫ u nhiên tuân theo lu t phân phố i chu n. Câu 3. Đ c l ng bề dày trung bình c a m t t m tôn do mộ t nhà máy s n xuấ t thử nghi m, ngư i ta tiế n hành đo 15 t m thu đư c k t quả sau Bề dày (mm) 1,8-1,9 1,9-2 2-2,1 2,1-2,2 2,2-2,3 T n số 1 4 6 3 2 D a vào số li u trên hãy c l ng bề dày trung bình t m tôn do nhà máy trên s n xu t v i khoả ng tin c y đ i x ng vớ i độ tin c y 95%. Biế t rằ n g bề dày các t m tôn là bi n ng u nhiên tuân theo lu t phân phố i chu n. Câu 4. Để xác định trọ ng lư ng trung b ình c a các bao b t m ì đư c đóng b ng máy tự 2 độ ng, ngư i ta ch n ngẫ u nhiên 15 bao và tính đư c X = 29,8 kg, s = 0,144 (giả sử tr ng lư ng nói trên tuân theo lu t phân phố i chu n). T ìm kho ng tin cậ y 99% cho trọ ng lư ng trung b ình c a các bao b t m ì. Câu 5. Kh o sát mẫ u g m 12 ngư i cho th y số lầ n đi xem phim trong 1 năm nh ư sau: 14 16 17 17 24 20 32 18 29 31 15 35 Tìm kho ng tin c y đố i x ng 95% cho số lầ n trung b ình mà m i ngư i t i r p xem phim trong m t năm (giả sử số lầ n đó tuân theo luậ t phân phố i chu n). Câu 6. Để xác định chi u cao trung b ình c a các cây bạ ch đàn trong khu r ng m i tr ng ng i ta ch n ra 1 mẫ u g m 35 cây. K t quả đo đạ c như sau: Kho ng chi u cao (m) 6.5-7 7-7.5 7.5-8 8-8.5 8.5-9 9-9.5 T n số 2 4 10 11 5 3 Tìm kho ng tin cậ y 95% cho chiề u cao trung b ình c a các cây b ch đàn trong r ng nói trên. Câu 7. Ng i ta điề u tra 144 sinh viên ở 1 trư ng đạ i h c về chi phí cho giáo tr ình năm thứ nh t th ì th y trung b ình là 190 nghìn đồ ng, độ lệ ch chuẩ n là 30 nghìn đồ ng (chi phí cho giáo trình giả sử là 1 bi n ngẫ u nhiên có phân ph i chuẩ n). a. Tính c l ng chi phí trung b ình cho giáo trình năm thứ nhấ t v i độ tin c y 95%. b. Độ tin c y v n là 95%, n u mu n độ chính xác c a c l ng là 3000 đ ng th ì ph i đi u tra bao nhiêu sinh viên. Câu 8. Ở m t qu n ngư i ta đi u tra ti n đi n phả i trả trong m t tháng. Ng i ta ch n ra 200 hộ mộ t cách ngẫ u nhiên và đ c kế t quả sau: Số ti n [50,80) [80,110) [110,140) [140,170) [170,200) [200,230) [230,260] Số hộ 14 25 43 46 39 23 10 c l ng kho ng cho số ti n trung b ình m t hộ dân phả i trả ở qu n đó v i độ tin c y là 90%. Giả sử tiề n đi n phả i trả trong mộ t tháng l à bi n ngẫ u nhiên tuân theo lu t phân phố i chu n.
1
Bài t
p XSTK chư ng IV -
cl
ng kho ng tin c y
Câu 9. Trong số 500 ngư i mua xe máy ở mộ t c a hàng có 300 ng i mua xe Honda. T ìm kho ng tin cậ y 95% cho tỉ lệ ngư i mua xe Honda. Câu 10. Ở 1 b n xe liên tỉnh, kiể m tra ngẫ u nhiên 80 chuy n th ì có 64 chuy n xuấ t phát đúng giờ . T ìm kho ng tin c y 99% cho tỉ lệ chuyế n xe xu t phát đúng giờ . Câu 11. Trong 360 phép thử sự ki n A xu t hi n 270 lầ n (giả sử các phép thử gi ng nhau và độ c l p). T ìm kho ng tin c y 95% cho xác su t xuấ t hiệ n sự ki n A.Chấ t l ng kho ng tin c y sẽ thay đổ i thế nào n u ta gi m độ tin cậ y. Câu 12. Thử nghi m 300 bóng đèn đi n tử cùng lo i th ì th y 6 bóng có l i kĩ thuậ t.Vớ i đ tin c y 99%, hãy tìm c l ng cho tỉ lệ bóng có l i kĩ thu t. Sau đó c l ng đi m không ch ch cho phư ng sai củ a tỉ lệ đó. Câu 13. Mở thử 200 h p c a kho đồ h p thấ y có 8 hộ p bị bi n chấ t. V i đ ộ tin c y 95% hãy c lư ng tỉ lệ hộ p bị bi n ch t t i đa củ a kho. Câu 14. Giả sử mứ c thu nh p hàng năm củ a các gia đ ình nông thôn là đ i l ng ng u nhiên có phân ph i chuẩ n. Đi u tra thu nhậ p c a 40 gia đ ình ở mộ t thôn ta có số li u: Thu nh p(triệ u đồ ng/năm) 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7 7.5 8 Số gia đình 1 3 4 6 8 7 6 3 2 V i độ tin c y 95% hãy c l ng số gia đ ình có thu nh p d i 5 tri u đ ng 1 năm bi t thôn đó có 80 gia đ ình. Câu 15. Sai số đo củ a 1 loạ i d ng cụ đo có phân ph i chu n v i độ l ch ti êu chu n b ng 20. C n ph i ti n hành bao nhiêu phép đo độ c l p để sai số ph m phả i không v t quá 10 v i độ tin c y 0.95. Câu 16. Ki m tra ngẫ u nhiên 500 s n ph m c a 1 nhà máy thì th y có 360 sả n phẩ m loạ i A. Hãy c l ng tỉ lệ sản ph m lo i A t i thi u c a nh à máy trên v i độ tin cậ y 95%. Câu 17. S n l ng ngày c a m t phân x ng là bi n ngẫ u nhiên tuân theo lu t phân phố i chu n. K t quả thố ng k ê c a 10 ngày cho ta bộ số li u: 23 27 26 21 28 25 30 26 23 26. Hãy xác định khoả n tin cậ y 90% cho ph ng sai cho sả n l ng ngày c a phân xư ng trên. Câu 18. Để xác định mứ c thờ i gian gia công mộ t chi ti t máy, ng i ta tiế n hành th nghi m gia công 25 chi tiế t; kế t quả trên t p m u thu đư c: th i gian trung b ình là 20 h v i độ lệ ch chuẩ n m u hiệ u chỉnh s=2,02. Vớ i độ tin c y 95% h ãy xác định khoả ng tin c y đ i x ng cho ph ng sai củ a thờ i gian gia công. Biế t thờ i gian gia công là bi n ng u nhiên tuân theo lu t phân phố i chu n. Câu 19. Ở m t qu n ngư i ta đi u tra ti n đi n phả i trả trong m t tháng. Ng i ta ch n ra 200 hộ mộ t cách ngẫ u nhiên và đ c kế t quả sau: Số ti n [50,80) [80,110) [110,140) [140,170) [170,200) [200,230) [230,260] Số hộ 14 25 43 46 39 23 10 c l ng kho ng cho phư ng sai số ti n mà m t hộ dân ph i trả ở quậ n đó v i độ tin cậ y là 90%. Giả sử tiề n đi n phả i trả trong m t tháng l à bi n ngẫ u nhiên tuân theo lu t phân ph i chu n. Câu 20. M t tuy n xe buýt chạ y từ A đ n B, chạ y thử 31 lầ n li ên ti p trên đoạn đư ng này cho ta số liệ u l ng xăng hao phí Lư ng xăng hao phí 10,5-11 11-11,5 11,5-12 12-12,5 12,5-13 T n số 3 6 10 8 4 V i độ tin cậ y 95% hãy c l ng độ t n mát lư ng xăng hao phí cho xe buýt đi từ A đ n B. Bi t lư ng xăng hao phí là bi n ngẫ u nhiên tuân theo lu t phân phố i chu n.
2
Bài t
BÀI T P CH
p XSTK ch ư ng V –
Ki
m định giả thuy t
NG V
1. Ki m định giả thuy t cho 1 giá trị Câu 1. M t loạ i bóng đèn đ c cho bi t tuổ i thọ trung b ình là 4 200 gi . Kiể m tra ng u nhiên 40 bóng th y tu i thọ trung b ình là 4100 gi , bi t tu i thọ c a bóng đèn giả sử tuân theo lu t phân ph i chu n v i độ l ch tiêu chu n 200 gi . V i mứ c ý nghĩa 5%, tu i thọ th t sự củ a bóng đ èn có ph i 4 200 giờ hay không? Câu 2. M t c a hàng th c phẩ m nhậ n thấ y thờ i gian v a qua trung b ình 1 khách hàng mua 15 ngàn đồ ng th c phẩ m. Tu n này c a hàng ch n ng u nhiên 15 khách hàng th y trung b ình 1 khách hàng mua 14 ngàn đ ng th c phẩ m v i độ lệ ch chuẩ n m u hiệ u chỉnh là 2 ngàn. Bi t s c mua củ a khách hàng đư c giả thiế t là tuân theo lu t phân phố i chu n. V i m c ý nghĩa 1%, s c mua củ a khách h àng có th c sự gi m sút? Câu 3. G o đ c đóng gói b ng máy tự độ ng có tr ng l ng đóng bao theo quy định 15kg. L y ngẫ u nhiên 27 bao ra ki m tra tr ng lư ng trung b ình c a chúng ta đư c b ng số li u sau: Tr ng l ng 14,6-14,8 14,8-15 15-15,2 15,2-15,4 15,4-15,6 T n su t 4 7 8 6 2 (Giả thiế t trọ ng lư ng củ a các bao g o tuân theo luậ t phân phố i chu n). V i m c ý nghĩa 0,05 có cầ n phả i d ng máy để điề u chỉnh hay không? Câu 4. M c thu nh p trung b ình năm ngoái củ a các gia đ ình ở nông thôn là 6 tri u m t năm. Điề u tra thu nhậ p c a 40 gia đ ình ở mộ t thôn ta có số li u Thu nh p (triệ u đ ng / năm) 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7 7.5 8 Số gia đình 1 3 4 6 8 7 6 3 2 V i độ mứ c ý nghĩa 5% có thể coi m c thu nh p h àng năm củ a gia đ ình c i thiệ n hơ n năm tr c hay không. Bi t m c thu nh p là bi n ngẫ u nhiên tuân theo lu t phân ph i chu n. Câu 5. Tr ng l ng đóng gói đư ng lo i 500g m t gói trên m t máy tự đ ng là bi n ng u nhiên có phân ph i chu n. Ki m tra ng u nhiên 100 gói thu đư c k t quả sau : Tr ng lư ng (gam) 495 497 498 500 502 503 504 Số gói 8 12 20 32 16 8 4 V i m c ý ngh a 5%, có thể coi trọ ng lư ng trung b ình là b ng 500g theo quy định hay không? Câu 6. Định m c thờ i gian hoàn thành s n ph m là 14 phút. Có c n phả i đ i định m c không, n u theo dõi th i gian hoàn thành s n phẩ m c a 25 công nhân, ta thu đ c b ng số li u trung bình 15,2 phút, độ lệ ch hiệ u chỉnh 2,6 phút. Yêu c u k t luậ n v i m c ý nghĩa 5% bi t th i gian hoàn thành m t s n ph m là bi n ng u nhiên tuân theo lu t phân ph i chu n. Câu 7. Ng i ta đã th c hi n m t c i tiế n kỹ thu t trong bộ chế hoà khí c a xe ôtô vớ i hy v ng sẽ ti t ki m đư c xăng hơ n. Dùng thử 12 l n thu đư c k t quả sau về số km ch y đư c cho 1 lít xăng. 20,6 20,6 20,5 21,0 21,1 21,2 20,8 20,7 20,6 20,9 20,3 20,2 N u trư c khi cả i tiế n m t lít xăng trung b ình ch y đ c 20,2 km th ì có th k t lu n r ng c i ti n trên đã mang l i hiệ u quả đáng kể hay không vớ i m c ý nghĩa 5%. Giả thiế t số km ch y đư c cho 1 lít xăng tuân theo luậ t phân ph i chu n.
1
Bài t
p XSTK ch ư ng V –
Ki
m định giả thuy t
Câu 8. Theo m t ngu n tin cho rằ ng tỷ lệ hộ dân thích xem ch ng trình “ Ở nhà chủ nh t” trên VTV3 là 50%. Thăm dò 36 hộ dân thấ y có 20 hộ dân thích xem ch ng tr ình này. V i m c ý nghĩa 1%. Ki m định xem nguồ n tin n ày có đáng tin cậ y hay không? Câu 9. T i m t trạ i chăn nuôi gà, tỷ lệ gà m c b nh K là 34%, sau m t thờ i gian điề u trị, ng i ta kiể m tra 100 con th y có 20 con m c b nh K, có thể kế t luậ n sự đi u trị có hiệ u quả hay không vớ i m c ý nghĩa 5%. Câu 10. M t công ti A s n xu t bánh kẹ o tuy ên bố rằ ng 1/2 số trẻ em thích ăn bánh kẹ o c a công ti. Trong m t m u g m 100 trẻ em đư c h i, có 47 em tỏ ra thích ăn bánh c a công ti. V i m c ý nghĩa 5%, số li u trên có ch ng tỏ là tuyên bố củ a công ti là đúng hay không? 2. Ki m định giả thiế t cho hai giá tr Câu 11. Ch n ngẫ u nhiên 80 bóng đèn củ a nhà máy A th y tuổ i thọ trung b ình là 1 258 gi , đ l ch chuẩ n là 94 gi . Chọ n ngẫ u nhiên 60 bóng đèn củ a nhà máy B th y tuổ i thọ trung b ình là 1 029 gi , v i độ lệ ch chu n 98 giờ . V i m c ý nghĩa 5%, hãy ki m định giả thiế t có phả i th c sự tu i thọ c a 2 la i bóng đèn khác nhau hay không. Câu 12. L ng trung b ình c a 10 công nhân thu c nhà máy A là 1200 nghìn đ ng v i độ l ch hi u chỉnh 140 ngh ìn. L ng trung b ình c a 12 công nhân c a nhà máy B là 1300 nghìn đồ ng vớ i độ lệ c hiệ u chỉnh 100 ngh ìn. Th c sự lư ng trung b ình c a hai nhà máy có khác nhau không, v i mứ c ý nghĩa 5%. Câu 13. Theo dõi 15 năm l ng mư a trung b ình vào tháng năm tạ i huy n A là 1,94 inch v i đ l ch tiêu chu n hiệ u chỉnh 0,45 inch. Theo dõi 10 năm, l ng m a trung b ình huy n B vào tháng năm là 1,04 inch v i độ lệ ch hi u chỉnh 0,26 inch. Ki m định giả thi t xem ph i chăng vào tháng 5 t i địa phuơ ng A m a nhiề u hơ n địa ph ng B hay không vớ i m c ý nghĩa 1%. Câu 14. Hai máy tự độ ng dùng để cắ t nhữ ng thanh kim lo i do cùng m t kỹ thu t viên ph trách và căn chỉnh. Từ mỗ i máy lấ y ra 31 thanh kim loạ i để ki m tra thu đ c k t quả sau: Máy 1: Trung bình m u 12 cm, độ lệ ch hi u chỉnh 1,2 cm. Máy 2: Trung bình m u 12,3 cm, độ lệ ch hi u chỉnh 1,4 cm. V i m c ý nghĩa 0,01 có thể cho r ng chiề u dài c a các thanh kim lo i do máy 2 s n xu t khác chi u dài do máy 1 s n xuấ t hay không. ( Biế t chiề u dài thanh kim lo i do các máy s n xu t có phân phố i chu n và giả sử phư ng sai củ a các thanh kim lo i do hai máy s n xuấ t là như nhau). Câu 15. Quan sát 6 lọ ch t hoá họ c do hai cân khác nhau cân. Biế t cân n ng c a lọ hoá chấ t tuân theo lu t phân ph i chuẩ n, ta có Cân I 0,5 1 2,5 3 4 5 Cân II 1 1,5 2 2 2,5 3 Ki m định giả thiế t hai cân có cân khác nhau hay không vớ i mứ c ý nghĩa 5%. ( Giả sử phư ng sai cân nặ ng các lọ hoá chấ t do hai cân là như nhau). Câu 16. Để so sánh 2 chế độ bón phân cho 1 loạ i cây tr ng ng i ta chia 8 m nh ru ng m i m nh thành 2 n a. N a thứ nh t áp dụ ng phư ng pháp bón phân I, nử a thứ 2 theo phư ng pháp bón phân II (Các ch ế độ chăm sóc khác nhau). Sau khi thu hoạ ch ta đ c số li u v năng suấ t như sau. M nh 1 2 3 4 5 6 7 8 Năng suấ t n a thứ I 15 20 16 22 24 14 18 20 2
Bài t
p XSTK ch ư ng V –
Ki
m định giả thuy t
Năng su t nử a thứ II 15 22 14 25 29 16 20 24 Đánh giá xem hai chế độ bón phân có gi ng nhau không vớ i mứ c ý nghĩa 1%. Câu 17. Từ kho đồ hộ p 1, l y ng u nhiên 1000 h p để ki m tra tháy có 20 hộ p bị hỏ ng. Từ kho 2 l y ngẫ u nhiên 900 h p th y 30 hộ p bị hỏ ng. Hỏ i ch t lư ng b o qu n c a 2 khô có th c sự gi ng nhau hay không vớ i m c ý nghĩa 5%. Câu 18. B nh A đ c đi u trị theo hai phư ng pháp. Sau mộ t thờ i gian th y kế t quả như sau Trong 102 b nh nhân đi u trị phư ng pháp I có 82 khỏ i b nh. Trong 98 b nh nhân đi u trị ph ng pháp II có 69 khỏ i b nh. H i có phả i phư ng pháp I điề u trị tố t hơ n phư ng pháp II hai hay không vớ i m c ý nghĩa 5%. Câu 19. Để đánh giá hiệ u quả củ a hai dây chuyề n s n xuấ t ng i ta tiế n hành ki m tra 1000 s n phẩ m do dây chuy n 1 sả n xuấ t có 10 s n p h m h ng, ki m tra 1000 sả n phẩ m do dây chuy n 2 sả n xuấ t thấ y có 8 sả n phẩ m h ng. V i m c ý nghĩa 5%, có k t luậ n g ì về tỷ lệ sả n phẩ m h ng từ 2 dây chuy n trên.
3