Electrotechnique Chapitre 2 Puissance Puis sancess électri électriques ques en régim régimee sinuso sinusoïda ïdall © Fabr Fabric icee Sinc Sincèr èree ; vers versio ion n 3.0. 3.0.5 5 http://pagesperso-orange.fr/fabrice.sincere/ 1
Sommaire 1- Puis Puissa sanc nces es 2- Vecteurs de Fresnel et pu puissances 3- Nombr Nombres es comp comple lexe xess et pui puiss ssan ance cess 4- Théo Théorè rèm me de Bouc Bouche hero rott 5- Fac Facteur teur de pui puissan ssance ce
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Chapitre 2 Puis Pu issa sanc nces es él élect ectri riqu ques es en régime sinusoïdal 1- Pu Puis issa sanc nces es • Puissa Puissance nce instan instantan tanée ée Soit un di dipôle quelconque :
i(t)
dipôle
Fig. 1 u(t) A l’intant t :
p(t) = u(t)i(t)
[W] = [V][A]
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• Puissa Puissance nce “act “active ive”” P (en watt) watt) La pui puiss ssan ance ce act activ ivee est est la val valeu eurr moye moyenn nnee de la la puis puissa sanc ncee inst instan anta tané néee :
P =
Pour Pour un dipô dipôle le liné linéai aire re en ré régi gime me sinu sinuso soïd ïdal al :
P = Ueff Ieff cos ϕ
Ueff : vale valeur ur ef effi fica cace ce de la la tens tensio ion n (en (en V) Ieff :
“
“
du courant (en A)
ϕ : dépha déphasag sagee entre entre la tensio tension n et le cour courant ant (ϕu/i)
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• Puis Puissa sanc ncee “réa “réact ctiv ive” e” Q (en (en var var : volt voltam ampè père re ré réac acti tif) f) Pour Pour un dipô dipôle le liné linéai aire re en ré régi gime me sinu sinuso soïd ïdal al : Q = Ueff Ieff sin ϕ • Puissance Puissance “appar “apparente” ente” S (en VA : voltampèr voltampère) e) S = Ueff Ieff Rem Remar arqu quee :
S est est posi positi tive ve..
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• Rela Relati tion on entr entree les les pui puiss ssan ance cess cos ϕ =
P S
sin ϕ =
Q S
tan ϕ =
Q P
cos²ϕ + sin²ϕ = 1 : S = P ² + Q² En résumé : triangle des puissances
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• Puis Puissa sanc nces es cons consom omm mée éess par par les les dipô dipôle less pass passif ifss élém élémen enta tair ires es (en convention récepteur)
- ré rési sist stan ance ce R (en (en Ω) déphasage nul : ϕ = 0 P = UI cos ϕ = UI Loi d’Ohm : U = RI P = RI² RI² (lo (loi de Joul Joule) e) Q = UI sin ϕ = 0 var Unee ré Un rési sist stan ance ce ne ne co cons nsom omme me pa pass de pui puiss ssan ance ce réa réact ctiv ive. e.
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- bobi bobin ne par parfait aite d’in d’indu ducctan tance L (en (en henr henry) y)
ϕ = +90° P=0W La L a bo bobi bine ne ne co cons nsom omme me pa pass de pu puis issa sanc ncee act activ ive. e. Q = UI sin ϕ = UI Loi Loi d’Oh d’Ohm m : U = ZI
avec avec : Z = Lω
Q = +LωI² > 0 La bob bobine ine con consom somme me de la pui puissa ssance nce réa réacti ctive. ve.
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- cond conden ensa sate teur ur parf parfai aitt de de cap capac acit itéé C (en (en fa fara rad) d)
ϕ = -90° P=0W Lee cond L conden ensa sate teur ur ne co cons nsom omme me pa pass de de puis puissa sanc ncee acti active ve.. Q = -UI Impé Impéda danc ncee :
Z = 1/(C 1/(Cω)
Q = -I²/(Cω) < 0 Lee conde L condens nsat ateu eurr es estt un géné généra rate teur ur de puis puissa sanc ncee réact réactiv ive. e.
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2- Ve Vect cteu eurs rs de Fr Fres esne nell et pu puis issa sanc nces es
dipôle i(t) linéaire
U
u(t)
I
I'
P = U⋅I
U
Q = U ⋅ I' S= U I I 10
3- No Nomb mbre ress co comp mple lexe xess et pui puiss ssan ance cess • Puis Puissa sanc ncee appa appare ren nte com complex plexee :
S = U I*
U = (U, ϕu) : nom nombre bre com complex plexee asso associ ciéé à la tens tensio ion n I = (I, ϕi) “ “ au courant I* dési désign gnee le conj conjug ugué ué de I S = U I* = (UI, ϕu - ϕi) = (S, ϕ) S est est le modu module le de S P est la partie réelle de S Q est est la par partie imag imagin inai airre de S En déf défin init itiv ivee :
S = P + jQ 11
• Appl Applic icat atio ion n : puis puissa sanc nces es des des dipôl dipôles es pass passif ifss liné linéai aire ress En rég régim imee sinu sinuso soïd ïdal al,, un dipô dipôle le pass passif if liné linéai aire re est est ca cara ract ctér éris iséé par par son son impé impéda danc ncee com complex plexee :
Fig. 5 I
Z = U
I
jX
R U
Z = R + jX Avec : • R la la rési résist stanc ancee (en (en Ω) • X la la ré réactance (en Ω) 12
On montre que : S = Z I² = U² / Z P = R I² : Loi Loi de Joul Joulee Q = X I² Rem Remar arqu quee : Q et X ont ont le mêm mêmee sign signe. e. On peut peut donc donc class lasseer les les dipô dipôle less en troi troiss catég atégor orie iess : X=0 Q=0: X>0 Q>0: X<0 Q<0:
dipô dipôle le ré rési sist stif if (ϕ = 0°) dipô dipôle le indu induct ctif if (0° (0° < ϕ < +90°) dipô dipôle le ca capa paci citi tiff (-90 (-90°° < ϕ < 0°)
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• Cas Cas par particu ticullier ier des des dip dipô ôles pass passif ifss élémen émenta tair ires es Tableau 1 Impédance Résistance Réactance complexe Dipôle passif Z = R + jX
R
X
P
Q
S
RI²
XI²
ZI²
linéaire Résistance
= U²/Z R
R
0
RI²
0
parfaite Bobine
= U²/R +jLω +jLω
0
+Lω +Lω
0
parfaite Condensateur parfait
RI²
+Lω +LωI²
LωI²
=+U²/(Lω =+U²/(Lω) = U²/(Lω U²/(Lω) -j/(Cω -j/(Cω)
0
-1/(Cω -1/(Cω)
0
-I²/(Cω -I²/(Cω)
I²/(Cω I²/(Cω)
= -U²Cω -U²Cω
= U²Cω U²Cω
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4- Th Théo éorè rème me de Bo Bouc uche hero rott Cons Consid idér éron onss l’as l’asso soci ciat atio ion n suiv suivan ante te : I
U
Le dipô dipôlle Di cons consom omm me les les pui puiss ssan ance cess : • active Pi • et réactive Qi L’as L’asso soci ciat atio ion n cons consom omme me les les pui puiss ssan ance cess ac acti tive ve P et et réa réact ctiv ivee Q. Le théo théorrème ème de Bouc Bouche herrot trad tradu uit la cons conser erv vatio ation n de de l'én l'éner erg gie : P = ∑ Pi i
Q = ∑ Qi i
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I
U
A.N. Ampoule : P1 = 100 W Q1 ≈ 0 (dipôl (dipôlee ré rési sist stif if)) Radi Radiat ateu eurr : P2 = 1500 W Q2 ≈ 0 (dipôl (dipôlee ré rési sist stif if)) Aspi Aspira rate teur ur (mot (moteu eurr univ univer erse sel) l) : P3 = 1250 W Q3 = +900 +900 vars vars (dip (dipôl ôlee indu induct ctif if)) L'in L'inst stal alllatio ation n cons consom omm me donc donc : P = 2,85 kW Q = +0,9 kvar
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Atte Attent ntio ion n : le thé théor orèm èmee de Bou Bouch cher erot ot ne s'ap s'appl pliq ique ue pas pas à la puissance apparente. S ≠ ∑ Si i
Il fa faut ut util utilis iser er la re rela lati tion on : S=
A.N.
P² + Q²
S = 2,99 kVA d'où : I = S / U =13,0 A cos ϕ = P / S = 0,95 17
5- Fa Fact cteu eurr de pu puis issa sanc ncee Défi Défini niti tion on :
k =
P S
=
puissance active puissance apparente
Pour Pour un dipô dipôle le liné linéai aire re en ré régi gime me sinu sinuso soïd ïdal al : k = cos ϕ A noter que : |k| ≤ 1 - dipôle résistif : k = cos 0 = 1 - bobine ou condensateur parfait : k = 0 • A.N. Pour Pour l’as l’aspi pira rate teur ur préc précéd éden entt : cos ϕ3 =
P3 S3
=
1250 1250² + 900²
= 0,81
0,8 est l'ordr l'ordree de grande grandeur ur du facteu facteurr de puissa puissance nce d'un d'un mote moteur ur altern alternat atif if en charge charge..
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