Geometría Vectorial en R3 - Eduardo Espinoza Ramos-MiBibliotecaVirtual.pdf

INDICE CAPITULO I VECTORES VECTORE S EN R3 Pag. 1.1.

C o n c e p to s B á s ic o s

1

1.2. 1.2.1.

Espacio Tridimensional Ejes Coordenados

2 2

1.2.2.

.Distancia entre dos puntos en R 3

1.3. 1.4.

V e c to r T r i d im e n s io n a l

3 4

1.5.

I n te r p r e t a c ió n G e o m é tr ic a d e u n V e c to r T r i d im e n s io n a l Vector de Posición o Radio Vector

5 5

16

O pe pe r a c i o n e s c o n V e c to r e s

6

1.22. 1.22. 1.23. 1.24. 1.24.

Proyección Ortogonal y Componente Definicion es Relación entre Proyección y Componente

26 27 28

1.25. 1.26. 1.26. 1.27. 1.27. 1.28. 1.29. 1.29. 1.30. 1.31. 1.32. 1.33. 1.33. 1.34. 1.35. 1.35. 1.36. 1.37. 1.37. 1.38.

Ángulo entre dos Vectores La desigualdad de Cauchy - Schwarz Ángulos Directores, Cósen os Directore s y Número s Directores Prod ucto Vectorial Definic ión Propieda des del Produ cto Vectorial Teor ema Teore ma Producto Mixto o Produ cto Triple Escalar Propieda des del Producto Escalar Volumen de Paralelep ípedo Volumen del Tetraed ro Ejercicio s Desarro llados Ejercicios Propues tos

29 31 32 34 34 35 38 40 41 41 43 44 45 141 141

2.8. 2.9 2.10

Ecuación Vectorial de la Recta Ecuación Param étrica de la Recta en el Espacio. Ecuación Simétrica de la Recta.

183 184 18 1855

2.11 2.11 2.12 2.13 2.14 2.15 2.16 2.17 2.18 2.19 2.20 2.21 2.22 2.23 2.24 2.25 2.26

Rectas Paialela s y Ortogona les. Ánguloêntre Dos Rectas. Distancia Distancia Mínima entre Dos Rectas (Rectas que se Cruzan ). Teorem a. Teorem a. Proyección Ortogonal de un Punto Sobreuna Sobre una Recta. Ejercicios Desarro llados. Definición. Ecuación Vectorial del Plano. Ecuación Param étrica del Plano. Ecuación General del Plano. Planos Paralelos y Ortogona les. Intersección de Planos. Ecuación Biplanar de la Recta. Intersecc ión entre Recta y Plano. Plano Paralelo a una Recta y PlanoPerpendicular Plano Perpendicular a una Recta.

187 189 18 1899 19 1911 192 194 19 1955 211 211 213 213 214 216 216 218 219

2.27 2.28 2.29

Familia de Planos. Ecuacion es Incompleta s del Plano. Distancia de un Punto a un Plano.

221 222 224

175 175 176 178 178 180

2.30 2.31

Ángulo entre Recta y Plano. Proyec ción Ortogonal de un Punto sobre un Plano.

226 227

2.32 2.33

181 181 181 181 182 182

2.34

Proyección Ortogonal de una Recta sobre un Plano. Distancia Mínima entre un Plano y unaRecta una Recta que no está contenida en el Plano. Ángulo entre dos Planos.

231 232

2.35 2.36

Ejercicios Desarrollad os. Ejercicios Propues tos.

232 248

CAPITULO II RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL 2.1. 2.2. 2.3. 2.4. 2.5. 2.6. 2.7.

Sistemas de Coorde nadas Rectang ulares en el Espacio Distancia entre dos Puntos División de un Segmento según una razón dada Ángulo s Directores, Cóseno s Directores y Númer os Directores Expresiones de los Cósenos Directores de una recta determinados por dos de sus punt os Relación entre los Cósen os Directore s de una recta La recta en el Espacio Tridim ensional

227

1

Vectores en R3

CAPITULO III

CAPITULO I

SUPERFICIES CUÁDRICAS 3.1. 3.2. 3.3. 3,4. 3.5. 3.6. 3.7. 3.8. 3.9. 3.10. or 3.11. e n 3.12.

3.13. 3.14.

I ntro d uc c ión . D ef inición. S u p e r f i c ie s C u á d r i c a s .

278 2 78 28 0

1.

VECTORES EN R 3

D is is c us ió n de la la G rá rá fic a de de la E cu cu a ció n de de un una Su Su pe rf ic ie . Estudio de las Principales Superficies Cuádricas. S u p e r f i c i e s C i li n d r i c a s . Determinación de la Ecuación de una Superficie Cilindrica. Cilindrica. S u p e r f i c i e C ó n ic a . D e te r m in a ció n de de la E c ua c ión de la la s u pe rf ic ie C ónica. S u p e r fic ie s de R e volu ción . Traslación de Ejes. R o t a c i ó n d e E j e s e n u n o d e lo s P la n o s C o o r d e n a d o s . E jer c icio s D es a r ro llad o s . E j e r c i c i o s P r o p u e s to s .

2 80 284

1.1. 1.1.

CONCEPTOS BÁ SIC OS,

BIBLIOGRAFIA

3 00 303 303 3 04 . 306 309 311 3 14 340 357

a)

INTRODUCCIÓN.-

Los antiguos Griegos desarrollaron la Geometría elemental, ellos crearon una forma sistemática de analizar las propiedades de los puntos, las rectas, los triángulos, las circunferencias y otras configuraciones. Todos sus trabajos estaban sistematizados en “los elementos de Euclides” que fueron las bases de la geometría plana y del espacio hasta nuestros días, sin embargo no se había conseguido avances importantes; pero en 1637, el filósofo y matemático francés “Rene Descartes” revolucionó la matemática de su época, al crear la Geometría Analítica en la que introduce las las coordenadas rectangulares, llamadas también en su m emoria coordenadas cartesianas y de esta forma consigue algebrizar las ideas geométricas de sus antecesores. El propósito de este método consiste en introducir mediante un sistema de coordenadas, los conceptos de relaciones geométricas a conceptos de relaciones algebraicas y viceversa, por lo tanto en este capitulo estudiaremos el método analítico y para esto nos familiarizaremos con el concepto de vector que es una herramienta de gran importancia en la matemática moderna.

2

Ed ua rdo Esp ino za Ram os

b)

3

Vectores en R3

TERNA ORDENADA .-

Llamaremos Tema Ordenada a tres objetos cualquiera x, y, z que denotarem os por (x,y,z), donde “x” es llamado la primera componente, “y” la segunda

La dirección positiva se indica por medio de una flecha, los ejes de coordenadas tomados de dos en dos determinan tres planos llamados plan os coo rden ado s; plan o XY, plan o XZ y plano YZ, esto s plan os dividen al espacio tridimensional en ocho regiones llamadas ociantes

componente y a “zMla “zMla tercera componente. Ejem plo.- Son temas ordenadas (2,4,6), (2,4,6), (-1,3,-5), (-1,3,-5), (Pedro, Juan, Juan, María) dos temas ordenadas (x { , y , , Z , Z \) y (x2,y2>z2 ) son iguales, si sus prim eras , segu nda s y terce ras com pon ente s son iguale s. En for ma sim bólic a es: I (xl9ylfzi)^(x2ry2*z2) <= <=* ^ = ^2 A y\ - y j A zi : ~ z2

1 .2.

ESPACIO TRIDIMENSIONAL.Llamaremos espacio tridimensional al conjunto üe todas las temas ordenado de números reales y que denotaremos por R 3, donde cada tema ordenada (x,y,z) se denomina punto del espacio tridimensional. 1.2.2.

DISTANCIA ENTRE DOS P UNTO S EN R3 La distancia no dirigida entre dos puntos f, (x { , y ,, en el espacio tridimensional está dado por:

) y P2(x P2(x 2, v2,

<7(1 P P\, P2) - \¡( x2 - x\ f + (y2 ~ >’ >’i )2 + (z2 “ M)2

P2(J<2)y2,z2)

1.2.1. 1.2.1.

EJES COORDEN ADOS.-

Los ejes de coordenadas son generalmente identificados por las letras X, Y, Z y hablarem os frecuen temente del eje X, X, del eje Y y del eje Z.

X

Ed ua rdo Esp ino za Ra mo s Vectores en R3

Dentro de las aplicaciones de la matemática a la física e ingeniería se usan frecuentemente cantidades que poseen magnitudes y dirección: por ejem plo tene mos la fuer za, velo cida d, ace lera ción y desplazamiento, a estas cantidades se representan geométricamente por un s egm ento de recta dirig ida al cu al llam arem os vector. Consideremos un punto P y un punto Q y al segmento de recta » dirigido de P a Q denotaremos por PQ donde el punto P se llanta llanta punto inicial y el pun to Q se llama punt o term inal o final. Lueg o el

Al vector cuyas componentes son (0,0,0) llamaremos vector cero y simbolizaremos por:

—>

0 = ( 0 ,0 ,0 )

Si a e V3 => a = (í7 j , fl2 ,a 3) , al al puesto del vector a quedara definido definido

®

por:

—^

- a ~ - ( a x , a 2 , a 2 ) 2 ) = (-¿q - a 2 - a 3 )

—

1.4. 1.4.

segmento dirigido PQ se llama vector de P a Q y denotarem os por:

Sea

PQ - a .

13 .

INTERPRETACION GEOM ETRICA DE UN VECTOR TRIDIMENSIONAL.a = {a{9a2,a3) un vector en el espacio, espacio, al cual lo representaremos representaremos

mediante un segmento dirigido tal como PQ PQ ; donde P(x,y,z) es el punto inicial y Q(x + aly + Z + a?,) a?,) es el extremo libre del vector (tal como se muestra en la figura).

VECTOR TRIDIMENSIONAL.Un vector tridimensional es una tema ordenada de números reales (x,y,z), donde x, y, z son las componentes del vector. —> —> Así como las temas ordenadas a = (3,4,5), b = (1,-3,2) determinan a los —* —)

vectores a .b en donde 3, 4, 5 y 1,-3, 2 son sus componentes. OBSERVACIONES.-

a = PQ =Q ~ P = (x + al,y-¥a2,z + a3)-( x, y, z) = (al,a2,a3) (al,a2,a3)

A los vectores tridimensionales se denota por: —> —> —> a = (f l|, fl2»¿? fl2»¿?3) > b = (b{yb2,b$), c = (c,,c 2 ,c 3 ), ... , etc. ©

1.5. 1.5.

VECTOR DE POSICION O RADIO VECTOR.-

Al conjunto conjunto de vector vectores es tridi tridimensio mensionale naless denotar denotaremos emos por: por: V 3 , de modo

Un vector a =

es de posición, si el punto inicial coincide con el

que: V3 = R R = { a = {ax,a {ax,a 2,ci3)! ci ci ¡ , a 2,¿/3 e R}

origen de coordenadas y el extremo libre del vector esta ubicado en cüaiquier pun to del e spac io, tal c omo se mue stra en la fig ura.

6

Ed uar do Esp ino za Ra mo s

Vectores en R3

1

a - b <=> (2x - z, 3y - 1, x + 3z) = (x - z + 3, 2y - 3z, x + y + 5z) 2x - z = x - z + 3 3y -1 = 2v -3 z

> I or

entonces entonces * >’+ 3z = l jr + 3z = .v + y + y + 5z y + 2z = 0

.v = 3 => < y = -2 z = \

M = 7x - 1ly + 5z = 7(3) - 11(-2) + 5(1) = 48 b)

j

1,6, 1,6,

OPERA CIONE S CON VECTOR ES.a)

—»

IGUALDAD DE VECT ORE S.- Dos vectores vectores a

---»

y b son iguales

si y solo si, sus correspondientes toman los mismos valores, es decir: —> —>

—■*

c ompone ntes

INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA IGUALDAD IGUALDAD DE VECTORES.Dos vectores son iguales si tienen la misma dirección, e! mismo sentido, el mismo tamaño, el mismo punto inicial, el mismo punto —» —> terminal, se denota por a = b .

—>

Si a , b e V3 entonces escribiremos: a =(ax,a2, « 3 ): b = (b ], b2 ,£ 3 ) y expresamos así: así: — > — ) a = b

<=>

a\ —b]

a

a 2 — b2 a

a3 = b2

no son iguales, entonces escribiremos: — > —>

a^ b

<=>

Dos vectores son equivalentes si tienen la misma dirección, el mismo sentido, el mismo tamaño, pero diferente punto inicial y se —> —» denota así a = b .

a , * b: para algún i = 1,2,3. 1,2,3.

—» —» Ejem plo.- Hallar el valor de M = 7x - ll y + 5z, si a = b , donde —> —> ¿7 = ( 2 x - z , 3 y - l , x + 3 z ) y 6 = (.t -z + 3,2y-3z,A + y + 5z) 5z) Solución Aplicando el concepto de igualdad de vectores

p un unto in inicial

p un un to to in inicial

Edu ard o Esp ino za Ram os

c)

Vectores en R3

PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UN VECTOR.-

. "4 —

Si a , b e V 3, 3 , entonces

Sea X un un escalar (X e R) y sea sea a e ^ un vector vector tridimen tridimensiona sional, l, entonces entonces -4 — -> llamaremos producto de X por a denotad o por A. a , al vector resultante cuyas componentes deben ser multiplicadas por X , esto es:

•Aa = A.(«i, «2 *a *a 3 ) = ( ^ 1 *

— ' —

4 '

—4

—4

a = ( a ] , a 2 , a $ ) , b = (¿?j,b2 (¿?j,b2 , b3 )

—> ;

a + b = (a¡ + (a¡ + /?,, a2 +b2, a3+b 2) Ejemplo.-

—> —> Si a e V3 V3 => a = (a{,a2,a z) , luego se tiene: tiene:

9

Si a =(3 ,5,7) y b =(1,4,6 ) entonces: entonces: 7+ b = (3 ,5,7 )+ (1,4,6) = (3+1, '5 + 4,7 + 6) = (4,9,13)

) f)

INTERPRETACIÓN VECTORES.-

GEOMÉTRICA

DE

LA

SUMA

DE

En la interpretación geométrica de la suma de vectores consideramos los métodos siguientes: ler. d)

PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACIÓN MULTIPLICACIÓN DE UN ESCALAR POR UN VECTOR. —> —» Para todo todo escalar escalar r, s e R y los vectores a , b e V3, se verifican las siguientes siguientes propiedades.

MÉTODO DEL PARALELOGRAM O. —) — ) Se dibujan las repres entacion es de los vectores a y b desde el el mism o punto (se hace coincid ir los puntos terminal de a e inicial de b ) y se completa el paral el ogramo. La diagona l trazada desd e _ 4

e)

©

r. a es un ve ctor .

( 3)

r ( a + b ) = r a + r b T );); $ h ^ W -

( 5)

i. a = a eU vw vá o v^.u v^.uV V< 0 ,

^ t-A

(¿)

( r + s) a = r a + s a jp \ 2* 2*\

(* )

r (s (s . a ) = ( r j ) a

SUMA DE VECTORES TRIDIMENSIONAL. —) —> —4 -4 Dados los vectores a y b , elvector elvector resultante suma a + b , se obtiene sumando sus correspondientes com ponentes, esto es:

_L *

el punto común representa a + b .

10

Educirá # E spi no za Ram os

2do.

MÉTODO DEL TRIÁNGULO.-

11

Vectores en R3

g)

PROPIEDADES DE LA SUMA DE VECTORES. — — >—f ^ Para todo vector a, b, c se verifica verifica las siguientes propiedades: propiedades:

—> —> Los vectores a y b se grafican uno a continuación de otro, otro, luego — > —> el vector resultante a + b se obtiene del punto inicial del vector —> —> a con el el punto final del vector b

®

—> —> -J fvi i ( I a + b es un vector.

®

—» —> —> —> —> -» a + (b +c ) = (a + b) + c , asoc asocia iati tiva va

— * — ■» —> —> a+ b = b+ a , conmutativa

V a-vector, a-vector, existe existe un único vector - a (inverso aditivo).

®

punto inicial inicial 3er.

MÉTODO DEL POLIGONO VECTORIAL.La resultante de la suma de varios vectores se obtiene llevando los vectores una a continuación de otro, haciendo coincidir el extremo de uno con el origen del otro, para finalmente determinar la resultante uniendo el origen del primer vector con el extremo del ultimo vector.

h)

tal tal que a.+( - a ) = 0

— > ^ ->— * — > V a vector, existe un único vector 0 tal que a + 0 = a (el neutro aditivo)

DIFERENCIA DE VECTORES. —> —> Consideremos los vectores a , b ; a la diferencia diferencia de estos vectores vectores se define de la siguiente manera: a - b = a + ( - b ) Si a , b e V 3 ==> a = (a{,a2,a3) , b =(b{,b2,b3) =(b{,b2,b3) , de donde: a - b = ( ax ax - b x, a 2 - b 2, a 3 - b 3)

Ejemplo.- Sean Sean a =(- 1,3 ,5) y b = (4,8,16) (4,8,16) . Hallar 3. (b -2 a) + 6 a ~2 b Solución b - 2 a = ( 4 .8 ,1 6) - 2 ( - 1,3,5) - (4, 8,1 6) - (- 2, 6, 15 ) = (6,2 ,1) 6 a - 2 b = 6 (-l , 3, 3,5) 5) ~ 2(4,8,16) 2(4,8,16) = (-6,18,30) - (8,16,32) (8,16,32) = (-14,2 , -2)

a = 1+ 2+ 3+ ...+ n

3( b - 2 a ) + 6 a - 2 b = 3(6,2,1) 3(6,2,1) + (-14 ,2, -2) = (18,6,2) + (-14,2 , -2) = (4,8,0)

12


13

Vectores en R3

i) i,

\

INTERPRETACIÓN GEOMETRICA DE LA DIFERENCIA DE VECTORES.-

Ahora dibujamos dibujamos - b

A los los vectores vectores a y b lo representaremos por los segmentos dirigidos dirigidos

:f\r>'0vi

C

, '5'*" PQ y PR con *a *a condición de tener el origen coman en el punto P, (v(ventonces entonces la diferencia diferencia de a y b es decir: decir: a - b quedara represent representado ado >

—>

—»

—»

—»

*

por el seg men to d irig ido QR , puesto puesto que: que: b + ( a - b) = a (\ er gráfico). gráfico).

Empleando la regla del triángulo triángulo para la la suma se dibuja dibuja a - b

1/7. 1/7.

—> > Ejemplo.- Dado la representa representación ción de a y b dibuje dibuje

-— — i —> a - b , usando la

definición de resta y la regla del triángulo para la suma.

LONGITUD O MÓDULO O NORMA DE UN VECTOR,La longitud o módulo de un vector a es el número real real no negativo, negativo, —> repres entado por: || a | y es definido por la raíz cuadrada de la suma de los cuadrado de sus componentes, esto es: —> —) S i a e V 3 => a = (a},a2,a^ (a},a2,a ^ ) , de donde: donde: cuya representación gráfica es:

Solución Dibujando

los

vectores

a = AB ,

b = AC , AC , desde el mismo punto inicial A.

14


Vectores en R3

©

Ejemp lo.- Si a =(1,3 ,5) => II a ||= Vi +9 + 25 = <¿35 ¿35

1.8. 1.8.

Se verifican las siguientes propiedades: || a | | > 0 , V T e V3

Si a = (¿7j , a 2, a 3) * r 6 R, entonces se tiene: —) r a a =r(a]ya2,a3) = (ra ^ra 2,ra3)

PROPIEDA DES DEL MÓDU LO DE UN VECTOR.-

0

15

su modul o es: 0

|| r a ||= yj( ||= yj( rax)2 + (ra (ra~~2)2~+(ra3)2 = >fr*yjaf+a¡ +a¡

|| a | | = 0 <=> a = 0 = r

0

II r. a || = | r III a || , V a e V3 , r e R.

( 4)

|| a + b || < || a || + 1| b ||, V a , b € V3 (desi guald ad triang ular)

Por lo tanto: || r a || = |r||| a La desigualdad triangular lo demostraremos posteriormente en base a la desigualdad desigualdad de CAUCHY-SCHWARZ.

Demostración ®

( 2)

1.9.

Si a = (flj (flj ,n2 .n3) * (0,0,0 (0,0,0)) = => > a x ± 0 v a 2 * 0 v a3 * 0 II a 11= y¡a\ 11= y¡a\

i)

+a\ +al * 0 como y/ af + a l + a $ > 0 e ntonces

Si || a | = 0 Si

|| a ||> 0

VECTOR UNITARIO.Se llama vector unitario, al vector cuyo módulo es la unidad, es decir: a es un —> vector unitario si y solo si || a || = 1. - > 3 1 4 — -=) es unitario por que Ejemplo.- El vector a = (— 5 V2 V 2 5 V2

=> a =( 0,0 ,0)

& = ( a x , a 2 , a 2 ) =* II a II" yjî + «2 + °3 = 0 entonces a =

fl,2 + « | + « 3 = 0

<=> n r = 0 a

A ^3 -0

Si

—> —> a = 0 entonces

~> -> Dado un vector a ^ 0 , entonces el vector u =

—> || a ||= 0

Si a =(0,0.0) =(0,0.0) => => |||a |a ||=Vo ||=Vo 2+ 02 +0 2 =0- =»

9 1 16 1 1 r + - + — = J - + - = VI =1 50 2 50 M2 2

1.10. TEOREMA.-

—> —> por lo t ant o 0 , = a2 a2 = a3 = 0 => a = (0,0,0) = 0 ii)

a

|| a| |= 0

Demostración

n

es un vector unitario. unitario.

Edu ard o Esp ino za Ra mo s

16

Vectores en R3

1.12.

17

DEFINICION.

Sea a e V3 => a = («,, a2, a2 , a3) * (0 ,0,0) , entonces entonces:: Diremos que el vector a está expresado en combinación combinación lineal de los los vectores 7 a = s b+ r c ¿7 y c si existen escalares s, r e R, tal que:

a

' es unitario unitario si || w| |= l, es decir: decir: =(II a || || a || || a || || a || ü't a-i <— ) 2 + ( - ^ - ) 2 + ( - ^ - ) 2 = - 5 — + ^ - + a II l |a |a ||| | | |a | a ||| | V|| a || a II2 l la la | |2 |2 2

2

2

CZj + #2 # 2 + í?3

=

1

Ejemplo.- Expresar el el vector vector a =(9 ,4,16 ) en combinación lineal lineal de los los —* —> vectores b =(3,-1,2) y c =(1,2,4). Por lo tanto, tanto, como || w ([= ([= 1 entonces u es unitario.

Solución —?

El vector a es expres ado en comb inación lineal lineal de los vectores si existen —> —> —> escalares a, P e R tal tal que: que: d = a b+ (3 c .

Ejemplo.- Si a =(1,3,5) =* II a ||=>/l + 9 + 25 -V 35

por lo ta nto

-> a 1 3 5 w = ------- = (—? = , - 7=^» 4 -r) es unitario. unitario. ^ 5 ’ V 3 5’ 5’ >/ >/35

(9,4,16) = a(3,- l,2 ) + p( 1,2,4), 1,2,4), de donde 3 a + (}= (}= 9 - a 4- 2p = 4 , al resolver el sistema se tiene: 2a + 4p = 16

1.11. 1.11. COMBINACIÓN LINEAL DE VECTORES.Sea { a |,a 2,...,a^ } un conjunto de vectores, llamaremos combinación lineal lineal —> —> —> de los vectores a { , a 2 , - , a n , n , a la expresión siguiente:

Luego la combin ación lineal es:

1.13. -r -* •-* •-* r1ai+r2 a2 + ...+rna ...+rna n donde

r,, r2,..., r„ e R

a =2 p = 3

(9,4,16) = 2(3,-1 ,2) + 3(1,2,4)

DEFINICION.Un conjunto conjunto

{aj , a 2,. .., an ) de n vectores se dice dice que son linealmente linealmente

independiente, si toda combinación lineal, igualada al vector nulo.

18


r a + j¿? + fc = 0 , de donde donde al reemplazar reemplazar se se tiene: tiene:

rx a, + r2 a2+ ...+ ...+ rn a n = 0 , r¡ e R , R , i= l,2,...,n implica que ^ = r2 =.. . =

19

Vectores en R3

r(2,5,-l) + s(3,-7,0) + t(0,2,-3) = (0,0,0)

=0

(2r + 3s, 5r - 7s + 2t, 2t, -r - 3t) = (0,0,0) (0,0,0) por igualdad

Cuando los vectores no son linealmente independiente se dice que son linealmente dependiente.

3 r = ---- 5

2r + 3s + 3s = 0

2 5 r - 7 s 7 s + 2t = 2t = 0 res olviendo el sistema se tiene: < 1 t =—s -r-% =0

OBSERVACIÓN.-

donde s es

2

f l)

Los vectores a, fr son linealmente dependiente cuando los vectores a y —» b son colineales. a

b

^

arbitrario. Entonces a,Z? y c son linealmente dependiente. ©

Determinar la la dependencia o independencia independencia lineal de los vectores 7 = ( u , i ), ) , 7 = ( i, i , -i -i ,i,i ), ) , 7 = ( u , - i) i)

©

Los vectores a,¿> son linealmente linealmente independiente cuando los vectores a

Solución ^ En forma similar al ejemplo ejemplo anterior expresaremos expresaremos a'los vectores a , b y —» c en combina ción lineal. .

y b no son colineales. colineales.

.

.

*

— ^

r a a + s b + t c - 0 de donde r( 1,1,1) 1,1,1) + s(l ,-l ,l) + t(l ,l, -l) = (0,0,0) (0,0,0) r + s + t = t = 0 r - s + / = 0 , resolvien do el sistema se tiene: tiene: r = s = t = 0. Ejemplo.-

r + s - t = 0

Determinar la dependencia o independencia lineal de los vectores

Entonces los vectores a , b y c son linealmente independiente.

a = (2,5-1), b = ( 3 - 7 , 0 ) , 7 = ( 0 , 2 -3 -3 )

1.14 1.14,, VECT VECTOR ORES ES FlfflDA M SN TA imSolución Utilizando la definición correspondiente, formularemos la combinación lineal y determinaremos los escalares respectivos siempre que sea posible.

Consideremos los vectores (1,0,0), (0,1,0) y (0,0,1) en V3 al cual denotaremos denotaremos así:

i = (1,0,0), (1,0,0), 7 = (0,1,0), k = (0,0,1)

20


Estos vectores son unitarios y se representan a partir del origen de coordenadas situada sobre los ejes coordenados en sentido positivo al de los ejes; a estos vectores se les denomina vectores fundamentales. _ Todo

vector vector

a e V 3,

es

decir: decir:

k = (0 ,0 , 1 )

a = (a], (a ], a 2, a3), puede expresarse

Esdecir:

—> —> —> —» a , b e V 3 => a = (<2, , a 2 ,fl3) , b = ( b l , b 2 , b 3 ) a • b —(flj, a 2,

1.16. 1.16. PROPIEDADES VECTORES.-

= a x( 1,0 ,0 ) + a 2 (0 ,1,0 ) + a3 ( a3 (0 ,0 ,1) = al i + a2 j + a3 k

*^2 *^2

^3

a . 7 = (2,1,3).(3,2,1) (2,1,3).(3,2,1) = 6 + 2 + 3=11 OBSERVACIÓN.-

a = (a,, (a ,, a 2, a 3) = (ax, (ax,0 ,0 )+ ( 0 , a2, a2 ,0 ) + (0 ,0 , a3)

)*(ü?j, ¿2 ’^3 ) ==

—> —» Ejem plo.- Sí a = (2,1, (2,1,3) 3) y b = (3,2,1) (3,2,1) entonces:

T = (0,1 (0,1,0 ,0))

como combinación lineal de los vectores fundamentales. En efecto: efecto:

21

Vectores y sus Aplicaciones

El producto escalar de dos vectores es un número real.

DEL

PROD UCTO

ESCALAR

Consideremos tres vectores a , a , b, c y re R un número real cualquiera; entonces: —» -» —» —» —> a.b=b.a (r a (r a ) . b = r.( a ® ©

a = a¡ i +a2 j+ a 3 k Ejemplo.- Expresar el vector 2 a - b

—»

—»

—»

a .(b+ c) = a ,. b + a . c

@

h . a Ja l|a|| = a Ja .

©

—» —> —> (b+ c). a = b . a+ a+ c . a

©

—> —> l| a|| 2 = a . a

\0o\

Ejemplo.- Sí || a || = 7 ,|| ¿ || = 3 y a . b = - 4 .

Solución — > —^

© como combinación lineal lineal de los

vectores z, j y k , siendo a = i - j + 2 k , b = 2 i - j + 2 k

—»

— »

k ) = - j + 2 k 2 a - ¿>= (2 í —2 y + 4 * ) - ( 2 z - 7 + 2 k )

Hallar M = = (11 a>+ 3 ¿ ). (2 a + 7 b) Solución

2a-fr=0.7+(-l)7+2*

1.15. 1.15. PRODUCTO ESCALAR DE VECTORES.El producto escalar (o producto interno) interno) de dos vectores a ; b está dado por la suma de los pr oductos de sus componentes correspondientes. correspondientes.

DE

M =(11 a + 3? ). (2 a + 7fe) =11 a .(2 a + 7fe) + 3Z 3Z? .(2 a + 7 fe) fe) = 22 a . a + 77 a. b + 6a .b+ 21 b b = 22 1| a ||2+83 a. b+ 21 1| b ||2 = 22(49) + 83(-4) + 21(9) = 1078 - 332 + 189 = 1267 - 332 = 935 M = 935

22

Ed ua rdo Esp ino za Ra mo s

1.17. 1.17. VECTORES PARALELOS Y ORTOGONALES.i)

6 - —4 = -----10 = —2 . iLueg A2 - - — Luegoo "a y 7/ ? son son para parale lelo los. s. 6 9 15 3 J F

Dos vectores a y b son paralelos paralelos (a |¡ b) si uno de ellos es igual igual al otro vector multiplicado por un número real, es decir:

1.18. CRITERIO DE COLINEA LIDAD.Un conjunto de punto A, B y C son colineales si y solo si pertenecen a una misma recta.

<=» 3 r € R tal que a - r. b

a || b

- ...................... o----------------------------- - -- ------------ L AG L Be L Ce L

Ejemplo.- Sí a =(-6,4,1 0) y b = (9, (9, -6 ,-1 5) , entonces entonces se tiene: tiene: —> —> 2 3* a || b <=> r = r = — , tal tal que que a =

2

23

Vectores y su s Aplicaciohes

Por lo

b

tanto, tomando de dos en dos se obtienen

vectores par alelos,

~AB ~AB || AC . OBSERVACIÓN.-

El vecto r 0 es paralelo a todos los vectores , en efecto: — > —> —» -> —> 0 = 0. a , V a € V3 , 0 e R, entonces: a y 0 son para lelos .

C O N SE SE C U EN EN C IA IA S ..-

—> —> Si a,kV 3 entonces —) = (¿?j (¿?j,, /?2, ¿>3) , aho ra si

— > a = (al (a l , a 2,a 2, a 3) , , i = 1, 2, 3 son

Ejemplo.- Determinar si los puntos A (3,l,-4), B(2,2,-2) y C( 1,3,0) 1,3,0) son colineales. Solución Los puntos A, B y C son colineales, si al tomar de dos en dos se generan vectores paralelos

diferen tes de cero, se tiene de la igualdad: (flj (flj ta 2,a3) = X(b},b2sb3) X(b},b2sb3)

~AB = B - A = (2 ,2-2 ) - (3,1,-4) (3,1,-4) = (-1,1, (-1,1,2) 2)

ax ¿lo Lo que eslo es lo mismo: A, = — = — = —

ÁC = C - A = (1, (1,3, 3,0) 0) -(3,1,-4 ) = (-2,2,4) = 2(- l,l,2)

b\

h2

es decir si

~^-i 7^ a || b entonces existe existe

bi

pro por cion alid ad e ntre las c om pone ntes corr espo ndie ntes . ~BC = ~BC = C - B = B = (1,3 (1,3,0 ,0)) - (2, 2-2 ) = (-1,1,2) (-1,1,2) Ejemplo.-

Determinar si los vectoresa vectores a =(-6,4,10 )

y b = (9,-6,- 15) son Luego

para lelos .

AC = AC = 2 AB

=> AC y AC y AB

son paralelos

Solución —^ —> Si a || b => debe existir proporcionalidad correspondientes:

BC = 1 AB entre

las

=»

BC y BC y AB AB

son paralelos

componentes Luego los puntos A, B y C son colineales colineales

Edu ard o E spi no za Ram os

24 i¡)

Dos vect vector ores es a y b son ortogonales (a J_ b) si se verifica la siguiente

25


1.20.

TEOREMA.-

relación. a+ b || = l| a - b II, es decir:

a± h

<=>

Los vector vectores es a y b son ortogonales sí y solo sí a . b - 0

I] a+ d 1|=|| = || a - b \

Demostración Ejemplo.- Los vectores vectores efecto:

a =(3 ,0,0) y b =(0 ,0,4) son ortogona ortogonales, les, en ||

b ||=|| (3,0,4) ||=>/9 + 16 =5

^ i)

b | | = | |a | a - b IIII =»

a _L b

DE

LA

se tiene:

|| a ||2 +2 a . b + 1| b ||2= || a ||2 - 2 a . b + 1| b ||2

de dond e

4 a . b = 0 => a . b = 0

—*

Como los vectores a+¿> y a - b son ¡i)

las diagonales del paralelogramos cuyos entonces si

.

—^ ^ 9 —^ ^9 Luego || a 4- b || = || a - b || , desarrollando los cuadrad os de la igualdad

GEOMÉTRICA 1.19. INTERPRETACION ORTOGONALIDAD DE VECTORES.-

lados son a y b ,

( po po rd rd em em ooss tr tr ar ar )

—> —> por hipó tesis se tien e que a y b son ortogonales entonces —> — > —> —> || a + b ||=|| ||=|| a - b || (p or definición de ortogonalid ad).

|| a - b ||=|| (3,0,-4) ||= yj9 ||= yj9 + \6 = 5 I

^ —> —>—> Sí a l ¿ => a. ¿? =0

los

—^ ^ —> —> Si a . b = 0 => a_Lb (por demostrar demostrar)) Como a . b = 0 => 4 a . b = || a+ b a+ b ||2 - | | a - b ||2

vectores a y b son ortogonales ortogonales esto esto significa que el paralelogramos es un rectángulo, por lo tanto sus diagonales son congruentes.

De donde || a + b ||“ = || a - b ||“ => || a+ b || = || a - b || esta relación —> —> nos indi indica ca que que los vectores vectores a y b son ortogonales ortogonales (por definición definición de ortogonalidad)

II a+¿> ||=||&-b ||

A

Ejem plo.- Determinar cuales de los pares pares de vectores dados son ortogonales. ortogonales. Otro

a * b / /

modo

de

interpretar

la

ortogonalidad de los vectores a y

(¡)

a = (1-5,4) , fe = (-1,3, (-1,3,4) 4) a .b = (1,-5,4).(-l, 3,4) 3,4) = -1 -15 + 16 = -16 + 16 = 0 entonc entonces es a y son ortogonales.

b

* Edu ard o Esp ino za Ram os

26

2 , a - t í f c • %> %> ).). / * f ( a - r . b). b = 0 => a . r II b II2 = 0 , de donde r -

a = (2,4 (2,4,3 ,3)) y b = (-2-3,1)

©

a .b = (2,4,3).(-2,-3, (2,4,3).(-2,-3,l) l) = -4 -1 2 + 3==-13 3==-13 entonc entonces es a y ortogonales. 1.21.

27


b

es el único 1* 1*11 112

no son

número real, como e l / ? , significa que el triángulo cuya hipotenusa es el —> —»

—>

—* a b —* —* q ^ vector a tendrá como a los vectores: — :— , b ; a ----- :— . En consecuen cia;

TEOREMA.-

II ¿l | 2 II ¿I P —» —» ali vector vector —a --* — .7b , que es parale lo al vecto r b , llamaremos proyección

Los vectores a, b son ortogonale s sí y solo sí || a+ b ||2= || a ||¿ 4-1| b || 2

ii ¿ ii2

La demostración de este teorema queda como ejercicio para el lector. lector.

—>

—>

ortogonal del vector a sobre el vector b .

1.22. 1.22. PROYECCIÓN ORTOGONAL Y COMPONENTE.-

—» —»

Al

vecto vectorr

a b — ^ — — .b

Consideremos dos vectores a y b no nulos, construyamos un triángulo triángulo —>

—> —>

la

forma forma

siguiente: siguiente:

—* —»

—>

->

a .b j * ——— . b - (— 3^- ).—— , de donde es el vector unitario en la dirección 11*11 11¿11 11*11 ii¿ ii2 —» —> a b del vector b , en tanto que el núme ro es la longitud dirigida del vector

—>

e

en

II ¿I I2

—»

rectángulo cuya hipotenusa sea el vector a y su base sea el vector r. b (donde r

expresaremos

R) paralelo al vector b de modo que los los lados del triángulo quedara

representado así: — > —* —* — * Hipotenusa el el vector a y por catetos a los vectores vectores r. b , c = a - r. b donde —> —> c A-b

a -* proy ecció n, al1 num ero —— , llam are mos com pon ente del vect or a en la 11 ¿11

dirección del vector b .

1.23.

DEFINICIONES.i)

Como c 1 b , ó lo que es lo mismo: (a - r. b ) L b entonces se tiene:

a y b dos vectores, vectores, donde b * 0 , definimos la proyección —> —> ortogonal del del vector a sobre el vector b y los los representamos del del modo siguiente: Sean

Edu ard o E spi no za Ra mo s

28

ii)


29

©

Si la comp\ > 0, la p ro yt y b tienen la misma dirección.

©

Si la compt < 0 , l a pr oy * y b tienen direcciones direcciones opuestas. opuestas.

©

Si la compt = 0 quiere decir que a _L _L b

b

b

-> -» -* -> a .b Sean a y b dos vectores, donde b ± 0 , a! número —— que es la 11*11 longitud dirigida del vector p ro y l le llamaremos la componente del del h vector a en la la dirección dirección del vector b y denotarem os asi:

1.24. 1.24. RELACIÓN ENTRE PROYECCIÓN Y COMPONENTE.Consideremos dos vectores a y b donde b ¿ 0 por definición definición sabemos que:

OBS ERV ACI ON.-

La diferencia entre proyección ortogonal y componente

radica en que la proyecc ión ortogonal es un vector y la componente es un núm ero real. al vector pr oy t expresaremos en la forma siguiente: siguiente:

1.25. 1.25. ANGULO ENTRE PO S VECTORES.: a . b T* T* ( a .b) b 2 ------- .------- , como pr oy l = .b comp.,

a *

1*1

1*11

Entonces se tiene:

*

TEOR EMA .-

—' Demostrar Demostrar que el ángulo ángulo formado formado entre dos vectores vectores a y b no nulos corresponden a la siguiente relación.


Demostración Com o a y

Vectores en R3

31

a •b •b

COS# :

|| a mi mi ¿ ||

b son dos vectores no nulos y 0 es el ángulo formado por estos

dos vectore vectoress (# = Z( a, b ) ) , de modo que el campo de variabilidad esta dado por 0 < 0 < k .

(-3 t0,-4).(4,0 ,-3)

_

-12 + 0 + 12 = 0 25

II( - 3 .0 .^ ) 1111( 1111(4,0 4,0-3) -3) ||

Como eos 0 = 0 entonces 0 = árceos 0 = 90° 90°

1.26. 1.26. LA DESIGUALDAD DE CAUCHY - SCHWARZ.TEO REM A.-

Demostrar que: para todo vector a y b se verifica la siguiente relación:

—> —>

—>

—>

| a . b |<|| a ||. || b ||

Demostración b

—>

compt = *

=>

|| b || compt = a . b

—>

Primero veremos para el el caso en que a J'f b

Por definición de componente sabemos que:

... (1)

II M I

del gráfico gráfico se sabe que eos# =

compt -» — de dond dondee compt =|| a || eos# ... (2)

t|a||

reemp lazando (2) en (1) se tiene:

|| a |||| b |(eos# = a . b

Del gráfico, mediante el Teorema de Pitágoras se tiene: | pr o yt ||2= || a ||2 - 1| c ||2<|| a ||2, lo que es lo mismo b

t II<|| | pr oy t II<|| a || , además a . b =|| b || compt b

b

Ejemplo.- Hallar Hallar el ángulo ángulo entre entre los los vectores vectores a = (-3,0 ,-4 ) y b - (4,0,-3) a .b |=|| b ||.|| compt || < || b ||.|| pr ||.|| pr oy i ||<|| a |||| b ||, de donde Solución Si 0 = Z ( a , b ) entonces se tiene:

b

b


32

—>

33

Definimos los siguientes ángulos: ot = = ¿ ( i , a , a ), p = ¿ ( j , a ), y = entonces:

ahora veremos el caso cuando a || b es decir: —» —»

Vectores en en R 1

—>

k , k , a ),

Si a || b => 3 r e R tal que a = r . b

| a . ? h | ( r ¿ ) . f c | = | r | . | | f c | | 2 =| | r ¿ | | . | | ¿ | | = | | a | | . | | ¿ | | por lo tan to:

a . b = || a||. || b ||

Luego de (1) y (2) se tiene:

a)

A los núm eros ¿7 ¿7, , a 2>ai, i, se les llama llama números directores del vector a .

b)

A los ángul os a, (3, y form ados por los ejes pos itivo s y el vect or a . se ^ les llaman ángulos directores del vector a . ^

••• (2)

Los ángulos directore s tom an va lores entre 0o y 180° es decir: 0o < a, p, y <180°.

a .b < a

APLICACIÓN,- Como aplicación de este teorema, demostraremos la desigualdad triangular: triangular:

—> —>

—)

^

|| a+ b ||<|| a ]| + || b ||

c)

A los cosenos de los ángulos directores se les llama cosenos directores del —)

vector a . Es decir: eos a, eos P, eos y ||a + ¿||2= ||a||+ 2a.A + ||¿||2<||at|2 +2||a||.||¿H + ||¿||2

—►—>

a = /C(i, /C(i, a ) => => co sa = —— a \ \ a + b ||2<|| ||2<|| a ||2 +2 1| a ||. ||£ ||+ 11MI2• de don donde de || a+6 ||2<(|| a ||+ || b ||)2 por lo tanto:

|| a+ b ||< || a || + 1| b ||

P -

1.27. 1.27. ÁNGULOS DIRECTORES, COSENOS DIRECTORES Y NÚMEROS DIRECTORES.- _____________________________ _

IUH

7»a ) => eos p eos p - — ~ — II 7 II-II II-II a ||

|| a ||

y = ¿ ( k . a)=> eos 7 = — Sea a e V3 entonces:

= -^L_ ^de donde a } =|| a ||cosa

II i II. lia ||

3

IU 11-11 a II

a = ( ax ax, a 2 , ^ )

=> a 2 =|| a || eos P eos P

= ~t j~

=>

a3 = | | a | | c o s y

II a*II

como a =( a 1,a 2,fl3) = (|| a ||co sa , || a ¡|cos/3, ¡|cos/3, || a ||cosy) —>

—>

a —1| a [I( co sa , eos /3, /3, eos y eos y ) , tomand o módulo en ambos lados es decir: a 11=11 a || Veos2 a + eos2 /? + cos2y , de donde se tiene: eos2a + eos2 p eos2 p + c os 2 y = 1

34


Vectores en R3

35

1.28. 1.28. PRODUCTO VECTORIAL. —■> .

Para calcular un vector a forma siguiente. siguiente. —* Si a ={ax,a2)

&Xb 'y

,

( # 2^3 *7 # 3¿2 ,

— Cl\b^ Cl\b^ ,

“ ^ 2 ^1 ^1 )

ortogonal a otro vector a en i? ' se definió en la Ejemplo.- Sean a = (1-2,0 ) y ¿=(1 ,3.2) entonces entonces

—î a^=(-¿* 2 ,a ,) que se obtenía obtenía de hacer girar al vector

=>

—>

= ( - 4 - 0 , 0 - 2 , 3 - 2 ) = ( - 44- 2 ,1 ,1 )

a un ángulo de 90° en sentido sentido antihorario. antihorario.

Pero para el caso de los vectores en R a un vector a su ortogona l no se —> . —> define por a , puesto que, para un vector fijo a ^ 0 , existen infinitas

a . a x b = (1,—2,0 ).( —4,—2,1) = - 4 + 4 + 0 = 0

direcciones en las las que unvector un vector b es ortogonal al vector a

¿ . a x ¿ = (-l,3,2).(-4 -2,1) = 4 - 6 + 2 = 0 como se puede observar a x ¿ es ortogonal ortogonal tanto a a como a b .

1.30. 1.30. PROPIEDADES DEL PRODUCTO VECTORIAL.VECTORIAL.Sean a ,

Í C . Á ) 6 - ( E .a ) c

c e V3, r e R, entonces: entonces:

a x b e s ortogonal tanto a a como a b . —> -—>

—> —>

a x b = - ¿ x a (el producto producto vectorial vectorial no es conmutativo)

Por lo tanto tanto definiremos definiremos una operación entre entre dos vectores a y b en R 3 , de —>

tal manera que resulte resulte un vector que que sea perpendicular perpendicular tanto al al vector a como

(5)

(r. a)x ¿ = r . ( a x b )

©

—>

( 4)

ax(¿+c)

= ax¿+ a x c

al vector b .

1.29.

DEFINICIÓN. Considerar dos vectores de V3, a = (oj, « 2 »^ 3 ) * b = ( b,, b,, ¿ 2 A ) ento entonc nces es el — >

—> —>

1

—> —> —»

a x( ¿ x c ) ^ ( a x ¿ ) x c

(ó )

a x ¿ = ÍÍ| ¿I

j í ?')

k í?3

¿2 ¿3

—^

pro duc to vecto rial de a y b se define por:

La demostración de estas propiedades son directas mediante la definición. definición.

Ed uar do Esp ino za Ram os

36

37

Vectores en R3

i =(1,0,0)

= alb2 k + avb3(avb3(- j ) + a 2bl (- k) + a2b3 i + a3b} a3b}(( - i ) + a3b{ j

7 = (0,1,0) (0,1,0)

—> —> —> = (tf 2Z 2Z?3 “ « 3^2 ) 1+ (a3^ ~ « 1^3 («i^22 “ a2^l ) ) * 1^3 ) /+ («i^

í = (0,0 (0,0,1 ,1))

= (a2b3 - a 3b2>a3bxb2>a3bx- a }b3, a¡b2- a 2b{) que es el producto esperado.

Vectores fundamentales del espacio usando la definición de producto vectorial

De igual manera podemos obtener desarrollando el determinante de tercer orden propuesto en la propiedad (6).

obtenemos:

... (*)

i —> —¡> a a- b = ¿Zj b\

i k «2 a3 a 3 = (a2b3 - a 3¿>2 ) i- {a xb3- a3b a3bx) y+(fl,¿?2 - a2b}) k b2 b3 —> —> —> = (fl 2¿ > , ) i +(a3b{-ci - ci xb3) j+( a\b 2 - a 2b\ ) k

Esta propiedad es muy importante, porque permite calcular el producto vectorial sin necesidad de recordar la definición. usando las propiedad es de (*) obtenemos la definición de a x b —>

Es decir: Si

—>

a = (ax,a 2ya3) 2ya3) =

—>

(2,1,3 ,3)) entonces: entonces: Ejemplo.- Sean a = (-2 ,1 ,4) , & = (2,1

—>

i +a 2 j+ a 3 k 1 a x b = - 2

b = (bx. (b x.b2 b2 ,b 3) = bx i + b2 j + b3 k

2

j k 1 4 = (3 ( 3 - 4 ) ¿ - ( - 6 - 8 ) j + ( —2 - 2 ) k 13

—> —> —> —> — —> —> —> a j c ¿ = ( o , i + a 2 j + a 3 k ) x( x( b } i + b 2 j + b 2 k ) a jc &= - i +14 j +14 j —4 k —> —> —> —> —> —> —> —> = a{ i x(bx x(bx i-¥b2 j+b 3 k)-\-a2 j jc(fr, i +b2 j+b3 k)+ a3 ¿xífy a3 ¿xífy i+b2 j +b 3 k) —» —►

= £2,^, ,^, I

—> —>

—> —»

* -*y +

* *¿ +t f 2^l j x i + a 2b3 j X j +

—> —>

—) —» —» —» —> —» —> —> + tf2¿>3 j tf2¿>3 j x k + a 3b{ k x j + a 3b2k x j + a 3b3 k x k

OBSER VAC IÓN.-

El desarrollo desarrollo del determinant determinantee de tercer orden es como como


38

este procedimiento se denomina, desarrollo por m enores complementarios de la prim era fila y es la té cnic a re com end ada para calc ular el p rod ucto vecto rial.

Vectores en R3

dedon de:

39 || a x b ||2= (|| (|| í|| .| | b ||sen 0) 2

''

por tanto:

131.

te o r e m a 7 NO TA .Demo strar que:

Cual es el sign ifica do g eom étri co de || a x b ||.

|| a x b || = || a ||.|| b ||sen0 , donde 0 es el ángulo entre ios Consideremos un paralelogramo paralelogramo cuyos lados son los vectores vectores a y b .

vectores a y b ; 0 < 0 < 7t 7t Demostración — > — > —> S ea ean a , k V 3 => & = ( a l , a 2 , a 3 ) y b = ( b x , b 29 29b ¡ ) ) por definición de a x b tenemos:

a x b = (a2b^ (a2b^ ~a$b2,

~ a\b$, a\b$, a{b2a{b2- a 2bl)

|| a a b ||= y¡(a2b^ ||= y¡(a2b^ ~ a }b2)2 + }b2)2 + (a3* (a3*, -a ,* ,) 2 +(a,b2 - a 2bxf bxf , de donde || a x b ||2=(a2¿3-fl3fc2)2 +(a ib\

La altura h es igual a:

+ (a\b 2 ~a2bi)2

—> h =|| b || sen 0 , además el área de un paralelog ramo es: A€ = (base) x. x. (altura)

efectuando operaciones en el segundo miembro y factorizando se tiene: II a

X b

II" = (tífj2 + £?2

X¿f

+ t>2 +^3

|| b || sen 0, es decir: decir:

)"~(a l^| + #2^2 #2^2 +£í3^3) +£í3^3)

A=Ha ||.||¿> ||sen0=||a x~b \\\\ ==> | | a x ¿ | | 2 = | | a | | 2 . | | ¿ | | : - ( a .f .f c ) 2

- (D

A = | | 7j 7j c / ?| ?| |

— ^ ^

por lo tanto || a x b || es el área del paralelogramos formado por los vectores per o a . fc =1 =11 a II-II II-II *11 *11 eos 0 , de d onde : al reemplazar (2) en (1) se obtiene:

(a . b ) 2 =1 =11 a ||2|| * ||2 cos $ — (2)

ay b . Ejemplo.- Hallar el área del paralelogramos formado por los vectores a = (1,3 (1,3,7 ,7)) y ¿= (-2 ,-4 ,3) Solución

40

Edu ard o E spi noz a R am os Vectores en R3

-> * u ? =¡ 1

J 3

i-2

-4

k i i 7 = 3 7 / - 1 7 j + 2 k

—>

A =|| a x b |||| =V(37)2+(-1 7)2 +2 2

■-» * axb= - 1 -2

A = VÜ662 u2

1.32. TEOREMA.son paralelos si y solo si a x b =

T e

-> 7 2 3

-»| k 3 = -7 / -5 1

a x b = ~7 / —5 j —5 j + k * 0

a y b no son paralelos. paralelos.

Demostración i)

—> —>

Si a 11b =>

—>

—>

j.3 3 . PR OD UC TO MIX TO O P RO DU CT O TÉMPLE TÉMPLE ESCA LA R.-

—>

a x b = 0 ( por demo strar)

—> —>

Sean

—» —»

como a |||| b => ^ ( a , b ) = 0° o 7t 7t => sen sen 0o = sen n = 0 per o || a x b || = || a || . || b || sen 0 o = 0 —> —>

como || a x b ||= 0 ii)

—> —>

—> i

Si a x b = 0

=>

como a x b = 0

—>

=> a ||b

=>

|| a x b || = 0

—> —> Por lo tanto, tanto, a y b son parálelos.

tf] a b c ] = a . b x c = b\

a2 a3

—)

Cl

c 2 C3

k>2 b3

—) —> —>

Considerem os los los vectores a, b, c e V3 entonces se verifica:

=» | | a | | * 0 , | |f |f r | | * 0

Enton ces || a || . || b || sen 6 = 0 => sen 0 = 0

y

1.34. 1.34. PROPIEDADE S DEL PRODUC TO TRIPLE ESCALAR.-

=» || a || . || b || sen 0 = 0

a de de má má s a * 0 , b * 0

—7— * ,

—>

(por demostrar)

a ,b y c tres vectores vectores de V3 , al producid mixto de aVb yy cc que

=» 0 = 0° o 7t

y

denotaremos denotar emos por l a b e ] se define define como como el produc producto to escalar escalar de a y b x c , es decir:

axb = 0

—> —>

—>

Ejemp lo.- Dados los vectores a = (-1,2,3), ¿>=(-2,3,1). ¿Son pa ral elo s estos vectores? Solución --> —> — > Si axbÔ a j f b f b , entonces calculamos

3

Demostrar que dos vectores a

41

©

la b c ] - a . ( b x c ) = b . ( c x a ) = c . ( a x b )

©

| a b c ] = a . ( b x c ) = I b x c compl

©

fa b c] = [c a bj = [b c a]

b x t

42


Vectores en R3

43

Ejemplo.* Sí a = (-5,1,3), b = (1,3,-1) y c = (-2,1,3), entonces [abe]:

-5 1

1 3 3(1 + 6) = -3 0 3 -1J = -5 (9 +1) ~ (3 - 2) + 3(1

-2

1

3

mediante el producto mixto, se puede describir la orientación de R de R

(tal como

se observa en los siguientes gráficos). b

—35. —35.

VO LUM EN DE PARA PA RALEL LEL EPI PEDO PE DO .Consideremos el el paralelepípedo paralelepípedo fonnado por los vectores vectores 7, b y e .

La flecha indica la orientación v Negativa (DESTROGIRA).

La flecha indica la orientación po siti va (LE VO GIR A).

En gene general ral:: Si [a b c ] > 0 , entonce entoncess decimos decimos que a ,b , c

están están orient orientados ados

—> —>

pos itiv ame nte y q ue los vec tor es p r oy t t -* -* y b x c tienen la misma dirección, bx c

es decir que los vectores a y b x c están en un mismo plano P que contiene \ —>

c

—>

al paralelogramo formado por b y c . Si

o —>— >— > —> —> —y [ a b c ] < 0 , entonc entonces es decimo decimoss qu quee los los vecto vectore ress a, b, c

orientados positivamente y que los vectores p r o y t _ bxc

— )

y

no están están

b x c tienen

, || = | c o m p t

bxc

entonces:

bxc

|= c o m p t

porque

b xc

x c ) - a ( \\bx7\\

V' = a . ( b x c ) = f a b e ]

c o m p t , > 0 ,

bxc

V =|| b x c || compt .. .. =|| b x c ||

—> —>

direcciones opuestas, ósea que los vectores a y b x c están en el lado opuesto del espacio con respecto al plano P que contiene al paralelogramo formado por los vectores b y c .

h = altura =|| altura =|| pr oy *

xc)

44


po r lo tan to si

[abc]>0

=>

[abe]

Vectores en R3

rep res ent a el vo lum en del

Ejem plo,

45 Determinar el volumen del tetraedro cuyas aristas son son los los vectores vectores a = (2,1,3), b = (-3,0,6), 7 = (4,5,-6) (4,5,-6)

par ale lep ípe do de aris tas a , y e par a el cas o en que [a b c ] < 0 ent onc es —>— >— > V =¡ =¡ [ a b c ] | es el volumen del pa ralelepípedo.

Solución

Eje mpl o.- Determina r el volumen del paralelepípedo cuyas aristas son los _> _> —» — * vectores a = (2,6,- 4), b = (3,2,7) y c = (2,4,3).

Solución 2

6 -4

V = |[ a b c ]| = | 3 2 2 4

7

= 1461 = 46 u

3

1.36. 1.36. VOLUMEN DEL TETRAEDRO.2 1 ->-> ->->-> -> i V= -[abc] =- 4 6 6 -3

Consideremo s el tetraedro formado por los vectores a , b y c .

1 -3 1 ^ q 5 - 6 = —(60 —(60 - 6 - 45) = —= — 6 6 2 0 6

V = -3u

3

2

1.37. 1.37. EJERCICIOS DESARROLLA DOS. A &

Dados los puntos A(11,-5,4) y B(-5,7,-l). Hallar las componentes de los vectores AB y BA .

Solución i -» -* | a i V = - II b x c II. i compl - I = -|| b x c ||.—— ||.——— — = - a .(.( b x c ) 6 fcArc 6 II b X c II 6 V=-[a be] 6

De la interpretación geométrica de un vector se tiene: AB ~ B - A = (-5 = (-5 ,7-1) - (11-5,4) = (-16,12, (-16,12,-5) -5)

•*. AB =(-16,12,-5)

BA = A A - B = B = (11,-5,4) (11,-5,4) - (-5 ,7-1 ) = (16,-12, (16,-12,5) 5)

/.

BA BA =(16,-12,5)


Vectores en R3

Hallar el punto B c on el que coincide el extremo del vector a = (13,64,5) si su

47 a r = (w ^

bssj

pun to i nicial es A( -8 ,12,-6 ) Solución —>

>

Si A,B y C son puntos de una misma recta, hallar el vector AC sabiendo que —>

B se encuentr a entre A y C donde A(3,4,5 ) y B(2,2,7) y || AC || = 5 .

Como a = AB = B - A de donde donde B = a + A

Solución

B = (13,64,5) + (-8,12,-6) = (13 - 8, 64 + 12, 5 - 6) = (5,76,-1) por lo ta nto B(5 ,76, -1)

Como AC y AB tienen la misma dirección entonces

—>

—>

Si a = ( jc, - 12,4) , hallar el valor de x sabiendo que el módulo de a es 13. Solución

¡I * C ||

|| AB ||

|| AS ||

Como || a ||= V*2 +1 44+ 16 = 13 13 , de donde .y2 +160 = 169 Pero A B - B - A = (2,2,7)-(3,4,5) = (-1,-2,2) entonces

jc2

= 9 y por lo tanto x = 3 o x = -3 —»

Hallar el vector que tiene la misma dirección del vector

b = (5,-2,4), sí

|| a ||= 9>/5 9>/5 ( a es el vector que tiene la misma dirección que

b ).

Solución —> —> a ■ b C om om o a y b tienen la misma dirección ent on ces = ----II a || ||b |j

de donde || AB ||= >/l + 4 + 4 = \¡9 = 3

Como AC AC =| =|| a & | | - ^ L = 5 ( l ~ 2’ 2’ 2) II AS || 3

3

Determinar para qué valores de x e y los vectores

3

3

a = (-2 ,3 , y) y

—>

b = (*,-6 ,2) son paralelos. paralelos. Solución —> —>

—>

'

—>

Si a || b => 3 X 3 X e R tal que a = A b al reemplazar por sus componentes se tiene: (-2 ,3,y) = A(x,A(x,- 6,2)

de dond e Ax = -2 ,

-6A = 3

,

y = 2A

48


Vectores en R3

Solución

x— ¿ - =4 _ I

2 1 x = x = — , X = = — , y = 2X. 2X. Luego X 2

2

a = M = N - M = ( x ,y , y rz r z ) - (1,2-3)

y = 2 (-i) = -l Por lo tanto los valores de x e y es:

&

&

Solución —>

,

x -1 = 3 y - 2 = - l z+3= 4

a - a i - 2 j + k , y b = 2a 2a i + a j —k

son ortogonales.

—>

N(x,y,z)

(3,-1,4) = (x- 1, y - 2, z + 3),de 3),de donde:

x = 4 , y = -1 -1

Para que valores de “a”, los vectores

49

—> —>

a= (3,-1,4)

x = 4 => y = 1Luego - =1

N(4, l, l)

M(1,2,-3)

Determinar el origen del vector con el punto (1.-1,2). 0 ¿ n ln rm n Solución

si su extrem o libre coincide _ (\ ^

’

Sí a _Lb (ort ogon ales ) => a . b = 0

N(1 ,-1,2)

a - M N - N - M - (1,— (1 ,—1,2) 1,2 ) — ( a*, y, z) y, z) a . b = (tf,-2,l).(2«,«,-l) - 2 a ~ - 2 a - i - ü

(2,-3,-1) = ( I - x, --11 - y, 2 - z), igualando se tiene tiene::

l±j3 son los valores de a. a=-

2= 1 - x

, -3 = -1 - y ,

x = -1 9 y = 2 , z = 3

por lo t anto

&

-1 = 2 - z

Hallar las coordenadas de los vectores AB y BA BA , conociendo los puntos A(3;-l,2) y B(-1,2,1).

Determinar Determinar para para que que valores valores de m y n los vector vectores es Solución

Ir Ir

b AB —B - A - (-1,2, (-1,2,1) 1) - (3-1,2) = (-4,3 -1)

AB = (-4,3-1)

—>

—^

—>

—>

-■-)

a - - 2 i +3 j + n k

—>

i - 6 j + 2 k son colineales. Solución

—* —> Como a y b son colineales => a y b son paralelos, es decir: BA = A ~ B = (3,-1,2) - (-1,2,1) (-1,2,1) = (4-3,1)

BA BA =(4,-3,1) « || ¿> < = > 3 r e R / « = r ¿ ? , d e d on ond e: e:

Los extremos del vector

- 2 / + 3 j + n k = r( m i - 6 / + 2 /;)

a = (3,-1,4) coinciden con los los puntos N y M. M.

Determinar las coordenadas de! punto N, sabiendo que el punto M es el origen y sus coordenadas son (1,2,-3).

(-2,3,n) = r (m,-6,2) = (mr,-6r,2r) entonces: entonces:

m - 4 - 2 = mr 3 = -6 r => r ¿ 2 n = 2r n = -l

y

Vectores en R3


50

Determinar para qué valores de a los vectores vectores a + a b ; a - a b —> — > per pen dicu lare s en tre sí, sabi endo que || a ||= 3, || b ||= 5 .

son

Solución — )

—> —> —>

Como a + a ¿b_L a- a

—>

—>

—■ > —►

=> (« + oc

51

II a + b || 2 = [| a II2 + II b II2 + 2 a . b = 25 + 64 + 40 = 129

|| a + b ||= n/Í29

\\a-b\\2=\\2\\2 +| |H |2 - 2 a . ¿= 25 + 64-40 = 49

|j « —* || = 7

—> ~> —> Los vectores a y b forman entre sí un ángulo de 45° y el el módulo de a es 3.

—>

>

ce b) = 0

—> —>

—>

Hallar el módulo de b , de modo que ( a - b )sea ) sea perpendicular

a a .

Solución

í-a ^ -O

=» «’ « ’ , » ± £ = 2 - =>

a=

25

->

—» —>

—>

Como || a ||=3 ||= 3y además a —b 1.a por 1.a por hipót esis:

5

—>

También sabemos que:

Calcular || a - b || sabiendo que: || ¿?| |=13, || b ||= 19 y || «+ b ||= 24 Solución

>

- -? —*

—>

—>

—> - >

¿ ( a , ¿?) ¿?) = 45° como a - b L a =» ( a - b ) . a = 0

de donde || « ||2 - a . 6 = 0 => || a ||2 = | a |||| b || eos45°

|| ¿í-f b ||= 24, elevando al cuadrado tenemos: || a || = || b ||e os 45°

=+> 2 = ~ - \ \ b \ \ => \\b\\=3yj2

|| fl +d| |2 = 242 => \\a\\2 \\a\\2 +IIHI2 + 2 a . b = 5 1 6 169 + 361 + 2 a

S

= 576 => 2 a . b = 4 6

||fl -f t||2 = ||fl||2 + || ¿| |2 - 2 a A> A> -169 + 361-46 = 48 4844

II a 11= 5 y || b 11=8 . Determinar: Determinar: ||tf+¿>|| y || a- ¿? || . Solución

Los vectores a y b forman entre sí un un ángulo de 45° y el módulo de a es 3. —> —> —> —> Hallar el módulo de b para que *?+/? forme con a un ángulode ángulo de 30°.

||fl-]>||=2 2

Los vectores a y b forman un ángulo a = 60°, se sabe además además que: w/

Í

Solución Por hipótesistenemos: hipótesis tenemos: —>

a , b )= 45°

y | a || = 3

—> —>—> >—>

Determinaremos || b ||, para que j£ (a ,a + b) = 30°

. xAy —» —» —» xAy —* Como a.fc =|| a mi b ||co s45 ° = — —1| b || a .(
52


■4

— >— > — > . /i — >— >

*

3J 3

53

Vectores en R3

^ ^

Calcular ios cosenos directores del vector a = (12,-15,-16)

|o ||2 ||2 + a.¿> a.¿> =11« 1111^-11 -11 «+*11 «+*11 => 9 + ^ | | H l = ^ II a + * I

Solución

V2 ||= y¡3 y¡3 3 + — 1| b ||= — 1| a + b || elevando al cuadrado y simplificando

«? , cosy = —a*i «1 , eos a = ((a l , a 2 >a >a3 \) ) => eos a = ----eos pn - ——

IMI

| b ||2 -3>/21| ¿71| —9 = 0 , resolvie ndo la ecuación : || b ||= —(V6+V 2) = ----------2 2senl5°

II«II

II«

a - (12,-1 5,-16 ) de donde tenemos: Hallar las coordenadas del punto M si su radio vector forma con los ejes coordenados ángulos iguales y su módulo es igual a 3.

\ Q ||= y¡ \ 4 4 + 225 + 256 = 25

Solución Por condición del problema: problema: entonces

12 ^ 15 3 eos a - — , eos n = ------ = — 25 25 5

a = P =y (l9 )

eos 2 a + eos 2 P + eos2 y = 1

3cos a = l

=> cosa = ±—

Demostrar que: que:

eos eos y =

cos “ a + eos 2 p + eos 2 y = 1 y determinar determinar los ángulos ot,p ot,p,y ,y >

—>

—>

—4

formados por el vector a = a x i + a 2 j + a 3 k con las direccion es positivas de los ejes coordenados.

per pero

Solución eos a =

n«u

eos p eos p = Ü-2

=>a{ =>a{ =|| =|| a || cosa = 3(±— ) = ±3 => a x = ±y ±y l 3

3 R => a2 a2 =11 a || eos fi eos fi = 3(±— ) = ±3 => a2 = a2 = ±V¡3

IMI

-4 Se conoce que: sí a = ( ax, ax , a 2 , a 3) entonces

cosa =

II«II

3

^ eos p eos pa = —— eos y = — - => a3 =|| a3 =|| a ||cosy = 3(±— ) = ±3 => a3 = a3 = ±y¡3

l|a||

po r lo tanto las c oor den ada s de l p unto M son:

M(±>/3,+V3,±>/3)

2

eos" B B = -— -— II « II2

eos y = -

3

eos 2 a = —a\—

>> a; eos" y = —- —

sumando se tiene: tiene:

54


o + eos"0 7 = —^1— + - - -eos 2 ex + ex + eos"0 (5 + (5 -- - + ^3 II «I I 2

II « II 2

como

^"^3=L= ¿L_Li_ II & II = 1i = ~íZj—+í?2 ^ -----

II « II 2

II « II 2

55

Vectores en RJ

d = a + b + c entonces:

II « II 2

--■> —> —> —> —> —> —> —* —> —■> — > a . d = d = ¿7(0 + Z?+ c ) = ¿z. a + <7 . Z>-f <7 . c

—»

II **IP c o s a - — ---- d- a — = — -—

de donde

—> —) — > o . d = 11a ||2

eos2 a-feo s2 p-feos 2 y= 1 —> —»

20)

—>

—>

Demostrar que fl+ Z? y ¿2- b son ortogonales sí solo sí || a || = | b | | .

ii? iui «

Solución i)

=> a + b ± a ~ b

ii)

=* =* || a || = || b ||

• Jf l'llv = - II« — -II => a = arcco arccos( s(— — -)

¡i ik 11-ii«11 11?11

Sea p - ¿ ( d , b ) => eos /i -

11?1

------ ^ ------

\\d\\:\\b\\

como a + b l . a - b

=» ( a - h b ) . ( a - b ) = 0

- -■ > — >

—7

—^

—>

—>

■ —>

—>

—;>

—>

Luego b . d - b .(« + Z>+ c) = b . + 1| /? ||2 + b .c II « II2 -11 -11 b II2 = o

=>

IM IH I MI2

•••

I I? I? I N I ? II II

—*

de donde se tiene: ii)

=> sí || a ||= || = || b || =>

a+bla-b

como || « || = || b. || => ||? ||2 = |l?ll2 =* => (a+ b).(a~ b) = 0 = 0 21 )

||« ||2 - || ¿ || 2 = 0

a + b L a - b (ortogonales).

Si a , b y c son las aristas de un paralelepípedo rectangular, entonces determinar los ángulos formados entre las aristas y diagonales respectivamente (caso particular del cubo). Solución

-» —>

Sea a = /C(d,a) =>

b eos P = — — — — = — ; Ik lU M I

* üi) Sea7 = X!( í/,c)

— r — r —*

co sa = -

d .a

|| b ||2 ||2 =■=■-

|| ¿ || "

IM U M I

I I¿ I I

„ l|¿ |l => /}=aTCCOS /}=aTCCOS((---- -) | | ¿ II II

de => eos 7 = --------- — ------

—f — t —* —* —?- —?

—f —»

—*

|| c |||| c || d- c iL—11 eos y eos y = — --------- = —11— 1---- = iL

=>

per o d .c = (a+ b+ b+ c).c - a . c-f Z>. c + 1| c || 2 de donde se tiene: tiene:

Sea d = a+ b+ c

i)

—>

b .d =\\ b\\2

II ¿ I I - I I ? II

—) —^

—>

d . c = I = III c

|¡? |U I? ||

| | ? ||

7

l|c l| c || = arccos(- —-) —-) | | ? ||

56

Edu ard o Es pin oza Ra mo s

En particu lar del cubo se tiene: || a ||=|| b ||=|| c ||

Vectores en R3

—» ¡i2 _ =|| a 4- b+ c \\~ || d ||" ||"

Solución i)

\\d ||2 = | a ||2+|| b \ \ 2 +|| c ||- = 3|| a ||2 por lo tanto:

57

=*

sean a, b vectores unitarios de modo que:

|| d ||= ||= ^3 || a || II a 11= 11~b || = || a+~b\\-\

II— a II L uego: c os o s a = ~ -IIa IMII

1 V 3

eos ¡3 = ¡3 = — ------= 4 = II MI. IUII ^

2 + 2c os 0= l

=> /ü = arccos(-j=)

=>

e o sQ sQ — —— => 0 = 1 2 0 °

S

ii)

Sí 0 = X ( a , b ) = 120°

como || a + b | |= |= 1 =>

a+ b = 6 = 6 + a

Solución

—> —> j ) el ángulo por calcular,.

Por cosenos directore s tenemos: eo s2 a + eos 2 (3+ eo s2 y s2 y = = 1, respectivamente se tiene: tie ne: eo s2 12CP+C 12CP+COS2 OS2 15CP 15CP+ COS2

a + b es unitario.

Probar que la suma de vectores es conmutativa, es decir:

Solución

1 ree mp laz ando an do se tiene: tien e: «*•

—+ —+ —+c os2 B os2 B = \ => eos2 P eos2 P = - => eos p eos p - ± — => (i = (60°, 120°) 4 4 4 2 £3 )

=> ||a +¿ || = l

I a+ b | |2= || a ||2 + 1| b ||2 + 2 1| a ||. || b ||cosl20° = 2-1 =

Un vector ha formado los ángulos de 120° y 150° con los ejes OX, OZ respectivamente, Determinar el ángulo formado con el eje OY.

Sea p =

2

S

análogamente se puede determinar la medida de los otros ángulos tomando cualquier otra diagonal del paralelepípedo rectangular.

sé

=» || « II2 + 1|^||2 1|^||2 + 2 II« ||.||7 IIco IIcose se = i

||a + £ ||2=i

'

t v c r----- = —¡= —i¡= => 7 = arccos(~—) eos y - —~— —~— IMI-IUI!

= 120° =* 0 = ¿ ( a , b ) = 120°

=> a = ar cc os (/ - 71=)>

Demostrar que: si dos vectores son unitarios, entonces la suma es un vector unitario si y solo si el ángulo formado por dichos vectores es de 120°.

Se observa que:

AD + DC = AC por definición definición de suma de donde:

a - \ - b ~ c c

...(1)

AB + BC = AC por definición de suma de donde:

—> —> —> b+ a = c ... (2)

comparando (1) y (2) se tiene:

—> —> —> —> a+b~b+a


58 25)

Demostrar

que

la

suma suma

( 0 + ¿?) + c = £*+ £*+ (/? + c ) . -► C

de

vectores

es

asociativa, asociativa,

es

Vectores en R3

59

decir: decir:

S o lu ció n Se observa que: AB + AB + BC = AC c

por definición de suma de vectores, de donde: a+b=^C

D

d

A continuación se debe comprobar que el segmento que une los puntos medio de dos lados de un triángulo es igual a la mitad de la longitud del tercer lado del triángulo, para ello sabemos que:

...(1)

BC + BC + CD = #C por definición definición de suma de vectores, vectores, de donde: 6+ 7= £D

I M N I N I H I ^ AB ||= - 1| A# ||, por lo tanto: tanto: 2 2

. .... ( 2 )

AB + £D = AD por definición definición de suma de vectores, de de donde: a + (b+ c) = d

||M A ||= —1| AB 2

Sean a y b dos vectores que tienen tienen distinta dirección. Hallar la expresió n de —> —> —> cualquier vector c del plano plano determinado determinado por a y b .

... (3)

Solución AC + CD = AD por definición definición de suma de vectores, de donde: donde:

—)

Sabemos que el vector t b es paralelo ( a+ 6) + c - d comparando comparando (3) y (4) se tiene: tiene:

—>

... (4)

al Vector b , V te R análogamente análogamente el

—> —> —> —> —> —> ( a+ fc )+ c = a + (6 +c)

vector s a es paralelo al vector a , V s e R, y aplicando la regla del del

Demostrar que el segmento que une los puntos medios de dos lados de un triángulo es paralelo al tercer lado e igual a la mitad de su longitud. Solución

par alelo gram o tenem os: c = s a + t b , V s, t e R; que es la expresión pedida. (S )

Demostrar que en un triángulo isósceles, isósceles, la la mediana es igual igual a la altura. altura. Solución

60

Ed ua rdo Es pin oza Ra mo s

61

Vectores en R3

Por hipótesis hipótesis tenemos tenemos que: || a ||= || b debem os demostra r que: h . c = 0 . Según el gráfico sabemos que:

h .c =( a

2

).c

... (1) (1)

—>

reemplazando (2) en (1) (1) tenemos:

reemplazando (2) en (1) se tiene: tiene:

c + b = a => c = a - b . . . ( 2) 2)

igualmente según el gráfico se tiene:

—> —>

—> —>

AB

b =-

( a ----- ^ —).( a - b ) = h . c , de donde

h . c = i ( a + b ) . ( a - b ) = = ^ ( a . a - b . b ) = i ( | | a | | 22- | |b |b | | 2) 2) = 0 , en to n c es :

+ BC

■a + -

AB

c , de donde

AB || + 1| BC

BC || a + (|| AB | | - | | BC BC ||) b + 1| AB || c = 0

en general se tiene:

J| BC BC || + ( - 1| AB || - 1| BC ||)+ || AB || = 0

h . c = 0 => h_L c Si los extremos de tres vectores distintos distintos

l a a + ¡i ¡i b+y c = 0 I a + ¡3 + y = 0

a , b y c , de origen común son

f -> colin colineal eales. es.

-(a-c)

AB II+ || BC

AB

(29)

AB

b = a+ -

Demuéstr Demuéstrese ese que se cumple cumple la relaci relación ón

-»

Jaa+/3b+yc-0 [a + P + + y = 0

/■' \

(30)

—> —>

—>

Demu éstrese que si tres vectores distintos a , b y c , cumple la la relación

siendo a, P y y números reales distintos distintos de cero. Solución Consideremos tres vectores origen común. Del gráfico se tiene:

—> -> * _* a , b y e distintos distintos con extremos colineales colineales y

b = a + AB

iaa+/3b+yc-0 [a + [a + p p + y - 0

sien sien(|0 (|0 a, p y y números números reales reales disti distinto ntoss de cero, cero, —» —>

—■ *

entonces los los extremos de los vectores a .b y c son colineales. Solución Como a + p + y = 0 => p = -(a + y), reemplazando:


62 —> —» — » a a - ( a + y )b )b + y c = 0 = > ( a - f y ) b = a a + y c

Vectores en R3

A

Solución Por hipótesis tenemos: M P * P *= P ' N = —MN

—»

de do donde nde b =

^

a+y

se observa que y

—>

y

—>

a+

a+y

~>

c = an

y

a+y

2

—» —»

(c - a )

N M ' = M ' P = - NP y P A / ’= ’= M V V = - f W 2 2

—7

b es un vector que que se obtiene sumando sumando el el vector a y el el

—>

~

>

vector —-— ( c - a ) que es paralelo al al vectorc vectorc - a y esto nos nos implica implica que el el a +7

KP + K M ' = - P N

—>

extremo de b se encuentra encuentra en la línea que que une A y C. 3l )

Demostrar

que que el triángulo inscritoen inscritoen un semicírcu lo

además en la figura se observa que:

=> es untriángulo un triángulo

-(K P+ KN) +2KM'

KN + KN + KM KM ’= ’= — PN 2

rectángulo. Solución —>

Luego KM ' = —( —( K P + KN )

—>

Se observa que || a ||=|| c || por ser radio radio de un circulo. P or or d em em os os tr tr ar ar qu e: e: es decir decir que: que:

—> —> —>

a+ cla-c —> —>

(a + c) .( a- c) = 0

Lueg Luego: o: (a +c ). (a -c ) = a . a - c . c =|| =|| a |p - 1| c | pe ro co m o|| a ||= || c || enton ces:

(a + c ). (a -c )= || a ||2 - || c ||2=|| a ||2 - | |a | | 2=0

En consec consecuen uencia cia ( a+ c ) .( a - c ) = 0 5 Í)

=>

a + c J. a - c

Si k es un punto interior del triángulo MNP y M \ N \ P ' son los puntos medios de los lados del triángulo. Demostrar que: K M + K + K N N -+ K P = K M ’ M ’+ K N '+ N '+ K K F

Igualmente de los otros lados deducimos:

64

Ed uar do Es pin oza Ra mo s

Vectores en R3

Ahora sumando (1), (2) y (3) se tiene:

65

— s — s — — — s — — => a + - b = 0 .Luegoa Luego a = — b = k b , do dond ndee r r s —> —> — —> 2 L = k b esto significa que k = ~ . Como L a y b son paralelos ( a || b) lo

Suponi Suponiend endoo qu quee r ^ O KM ' + K N' + K P' =- ~ ( K P + K N ) + -( KM + ~ K P ) + -( K M + KN ) 2 2 2

---7

-----

cual contradice a la hipótesis, hipótesis, por lo tanto r = 0. Suponiendo que s * 0 se tiene tiene

K M + K N+ K P = K M' + K N'+ K P'

po r lo tanto:

j» —> -

—»

—>

^

—a + b = 0 de d onde b = — a = /: a ,donde k - — . s s s —> -> —» -4 Como b = k a estosignifica estosignifica que a y bson b son par alelo s lo cu al con trad ice a la hipótesis, por tanto s = 0.

7

Sean a , b dos vectores de un mismo origen y sus extremos extremos los puntos A y B respectivamente. Expresar un tercer vector en términos de los los vectores dados, tal que comparta del mismo origen y su extremo se encuentra en el punto medio del segmento AB .

Demostrar que si a, b son dos vectores cuyas direcciones direcciones se cortan, entonces entonces — > — > —> la igualdad vectorial a{a +p xh= a 2 a+ ¡i2 ¡i2 h , implica que a , = : p.: = /L .

Solución OM debe expresarse en términos de a, b por hipótesis hipótesis se sabe que: que:

Solución

B

"4

Porhipótesis Por hipótesis

A M = MB = — AB , además se tiene:

2

a —>

'—*

y

b se cortan entonces los — —> >

a + — AB = OM

vectores a y b noson no son paralelos como a ] a + b = a 2 a+ —> —> —> (oq (oq - a 2) - / J 2) ^ = 0 (por el ejercici ejercicioo 11 11). ).

B - ~ A B = O OM M

Se tiene: tiene: otj otj = a 2; $ = )3 )32 .

2

b - M 5 = OM

2

(3^

p4 )

que los vectores

>

a + AAÍ = O M

sumando se tiene:

se tiene

a + b = 2 OM

por lo tanto:

OM = OM = —( —( a + b )

2

Dem ostr ar que si lo s v ecto res a y b n o son para lelo s la igual dad r a a + s + s b b = 0 , implica que r = s = 0. Solución Por hipótesis hipótesis tenemos que: r a + í b = 0 y que a, b son vectores vectores no paralelo paralelos. s.

—♦

—>

b yentonces:

Demostrar que las diagonales de un paralelogramo se cortan en su punto medio. Solución Consideremos el paralelogramo OABC cuyas diagonales se cortan en el punto P, además en la gráfica se observa que: D

a

66


i)

a + AC AC - b

entonces

AP = r ( b - a ) , ii)

OB = a + b

y

AC - b - a

y

AP = r. AC

Vectores en R3

67 B

o

r e R pue sto que AB que AB y AC son paralelos.

O P - s . O B o" OP =

, se

R puestoque

OP y OB son paralelos. iii)

—>

— > ———>

a = OP ~ AP reemp lazando i), ii) en iii) se tiene: tiene:

—» -» —» —» « = s(a+ b) —r(b—a ), de donde —>

—>

—>

—>

—>

no son para = (s (s + r) r) a + ( s - r ) b , como a y b no son para lelos y de acu erd o al (ejercicio 12) _ 1_ fs + r = l 5~ 2 , Se tiene que: i => por lo tanto: ls —r = 0 1 v r = = —

ii)

a + b = - ( c + d ) DE = - FG

2

iii)

~O P = 5 O S = - 0 5

2

con lo que se afirma que P es el punto medio de las

^ P = r . ^ C = - ^\ ^\ C 2

a+ b+ c+ d = O = O (traye (trayecto ctori riaa cerr cerrada ada))

£ + c = -( -( a + d)

=» - ( a + b ) - — ( c + d ) d ) 2 2 => DF = GF de(ii)

1 -> -» i -> -> > > > > Lueg o—(fc+c) o—(fc+c) = — (a+¿/) de do dond ndee EF = - GD => EF = DE 2 2

diagonales. & ’ )

Demostrar que el polígono que resulta de unir los puntos medios medios de los lados lados de un cuadrilátero, es un paralelogramo. Solución Consideremos el cuadrilátero OABC siendo E, F, D, G los puntos medios de sus lados. En la figura que:

por lo t anto tene mos que:

DE = GF

y

EF - DG (ii), (iii)

de modo que el cuadrilátero resultante resultante es un paralelogramo. En un triángulo cualquiera, demostrar que existe otro triángulo cuyos lados son iguales y paralelos del primero. Solución


68 La condición para que tres vectores

a,b,c

Vectores en R3

formen un triángulo es:

69

|| a ||2 ||2 +|| b ||2 +2 a . b =|| c ||2 de don donde de \\ c \\2 +2 a . b =\\ c \\2 => o .b = 0

a+ b+ c = 0

—>

—>

—>

—>

por lo tanto a _L _L b ; como a y b son ortogonales, ortogonales, por consiguiente el el triángulo es un triángulo rectángulo. (40)

Demostrar vectorialment vectorialmentee que que en un triángulo isósceles hay dos medianas de igual medida. Solución —)

En la figura (b) se tiene:

—>

d = = —(¿?+ c)

Sabemo s por hipótesis que: || a || = | b || po r ser triángulo isósceles:

e = —(a+ b) b)

- a además del gráfico se tiene: V = —- + b

B

2

f = - ( c + a )

Sumando se tiene:

por defi nició n d e s uma de vecto res

-> -» b d+ e + f

2

(a + ¿?+ ¿?+ c) = 0

—> —> —> —^ Luego <¿+ e + / = 0 cumple la condición condición de formar un triángulo. triángulo.

u ~ a-\-— por definición definición de suma de de vectores. vectores. 2

Luego demostr aremos que:

Demostrar vectorialmente que: si el cuadrado de la longitud de un lado de un triángulo es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los otros dos lados entonces el triángulo es un triángulo rectángulo.

v ll2 ll2=ll“ =ll“ -+ b 11=^

—>

—>

|| v || = || u ||

+ a . b + I + III b II2 co mo II a II = 11b I

Solución entonces entonces:: || v ||2= 2 = ~-^ ~-^ Se sabe que:

- +a.b

... (1)

|| a ||2 + || b ||2=|| c ||2

Y como la trayectoria es cerrada entonces t «

l|2=ll a + j l l = l l a ||2 ||2

+

como || a| | = || ¿|

a+ b+ c = c = 0 , pero ci+b = - c . (a+ b)(a+ b) = (- c )(— c )

entonces: || u ||2= 5 Ha Ha H + a j ,

...(2)

70


ahora comparando (1) y (2) se tiene:

71

Vectores en R3

|| v ||2 = || u ||2 =* || v || = || u ||

En el gráfico se observa que: OA -i- AC -i- AC - OC

q

\

por lo tanto las dos med iana s de un triá ngulo isósc eles, sus med idas son

de donde

... (1)

A+ A C = C

\

iguales.

\

Como C divide al segmento AB en la razón r, (41)

Demostrar que si las magnitudes de la suma suma y la diferencia de dos dos vectores son entonces A C - r CB - r ( B - C )

iguales, entonces los vectores son perpendiculares.

.— > ósea que: AC = r ( B - C )

Solución —>

—>

Consideremos dos vectores a y b , entonces por condición del problema se —>

tiene:

( 42 )

—> —>

—>

♦

^

^

-..(2)

B

Ahora reemplazando (2) en (1) se tiene:

-

|| a + b || = || a - b | | , de donde || a+ b ||- = || a - b | | , desarrollando

tenemos: || a ||2 + || b ||2 +2 a . b =|| a ||‘ + 1| b ||‘ - 2 a . b ahora simplificando simplificando

A + ~AC ~AC = A + r( B - C ) => C ~ A = r B - r C

4«.ib=0=>

(1 + r)C = A + rB, de donde

esto indica que los vectores a y b son perpendiculares.

Demostrar que si la suma y la diferencia de dos vectores vectores sea perpendiculares, perpendiculares, entonces los vectores tienen magnitudes iguales. Solución Consideremos dos vectores a y b de tal manera que:

£4 )

Á -4- r f í

C = ---------- , r * -1 -1 1+ r

Consideremos cuatro puntos A,B, C y P, de tal manera, que si P está en la recta que pasa por los puntos A, B y C, y que divide a los segmentos A B , BC y CA en las razones r, s y t respectiv amente. Dem ostrar que r.s.t. = l Solución

a+ b± a- b

=> ( a+ a+ b )).. (a ( a - b ) = 0

De los datos del problema se tiene que:

Ahora desarrollamos el producto escalar se tiene: P divide al al segmento AB en la razón r

=>

A P = r PB

... (1)

P divide al s egmento BC en la razó n s

=> BP = s PC

... (2)

P divide al al segmento CA en la razón t

=>

...(3)

|| a ||2 - a . b + l ? . a - \ \ h||2 = 0 => || a ||2=|| b ||2 de donde: || a ||=|| ¿ || 4

(53 )

Si A,B y C son puntos de una misma recta, el punto C divide al segmento AB en la razón r, si AC = r CB . Determinar C, si C divide al segmento AB en la razón r. Solución

C P- t

PA

72


De (3)

CP = t(- AP )

=>

PB = - s t A P

73

a \— a + — Y¡ Y¡i L «1 +Yi «2 + /i

... (5)

CP =-t AP


Vectores en R3

... (6)

«i*ri

— o,»ri

f&L «2 a »i+ri

a 2+ y2 o

« j+rj

ahora reemplazando (6) en (1) se tiene: AP = r (- st ) AP => AP = —rst —rst AP

La condi ción necesaria, es pues: pues: (1 + rst). AP = 0 , como AP * 0 entonces

ao*f (J8+y c + 8 d = 0

1 + rst = 0 => rst = -1

T

#

(45J

si las rectas AB y CD son paralelas paralelas enton ces :

Los vectores a . b , c y d son distintos con origen común. Encuéntrese la condición necesaria y suficiente para que sus puntos extremos sean copíanares.

a - b - k c + k d = 0 l-l-* +*=0

Solución Los puntos A,B,C y D (extremos de los vectores a y b y c

y d ), serán

(4 ó)

-4

f

Del ejerci ejercicio cio (7) se tien tiene: e:

-4-4

j a *a *P i 8 =0 i ai+Pi+Yi=0

f

->

—►

—>

de los sistemas se tiene:

—»

—>

—»

Tí a , t f + y t 8 a 2 c + y 2 d , , = ---------------- , de donde: P =

Oi+7i

«2 +r 2

7

también se cumple la relación (1)

gfliKCfóü La relación siguiente se cumple.

( a - c).(8- h)+tc~*b).{a-h h)+tc~*b).{a-h)) + (b- a). (c -h) = 0 como se puede demostrar por simple desarrollo.

-»

lcx2 c + p2 P + y 2 d = 0 a 2 + p 2 +Y +Y2 = 0 [

7

Demu éstrese que las tres alturas de un triángulo coinc iden en un punto.

—>

extremo del vector P ), y lo mismo sucederá con P y D por lo tanto.

7

a - b = k ( c - d ) , de donde

por lo tanto si P es punto común de AB y CD, entonces A,B,C y D son copíanares.

copíanares cuando uniéndolos dos a dos, cualesquiera de ellas, las rectas resultantes se corten o sean paralelas. Supongamos queconectamos queconectamos A con B y C; si ambas rectas se cortan, los pu nto s A,P y B estarán enlínea enlínea recta (P punto de intersección de lasrectas lasrectas y

..(1)

a+P+y+8=0

—> —>

—> —>

Si los vectores ( b - h ) y (a~ h) tienen la dirección de las alturas correspondientes y son, po r ta nto, per pen dic ula res , r esp ect iva me nte ,

A

...

( 1 )

74

Edu ard o Esp ino za R am os

( a - c ) y ( c - b) resulta que: ( a - c ) . ( b - h ) = 0 ,

(c-b ).(a~ h) = 0

Vectores en R3

(48)

75

Demostrar que si G es el centro de gravedad del triángulo de vértices vértices A,B y C, entonc entonces es G = - ( A + Z?+ C).

y teniendo en cuenta la parte (1) se tiene:

Solución

altura resultante; por tanto, las tres alturas coinciden en el punto H.

Se conoce que el centro de gravedad de un triángulo, es el punto de intersección de sus medianas.

Si P es el punto de intersección intersección de las medianas del triángulo triángulo ABC, O es un un

En este caso las medianas son:

Luego

®

( b - a ) . ( c - h ) = 0

a) es perpen perpendic dicular ular a (c - h ) ; y (c - /i) tendr tendráá la dirección dirección de la

punto cualquiera del espacio demuestre que:

OP =

O A + A + OB + OB + O C ). C ).

A A , BB' y C C (ver gráfico)

Solución A+ C Sea M el punt puntoo medi medioo de A y C =» Af = — ... (1) (1)

C ' A’= — AC

además mediante mediante el el ejercicio ejercicio (3) se se tiene: tiene:

2

por otr a par te AG = r GA%= GA%= 4(G C'+ C’A) de de donde AG = r(G C?+ C?+ C' A ) ...(2)

Además por la propiedad de las medianas:

ahora reemplazando (2) en (1) s« tiene: 3

=» P - M - —(B - M ) 3

por otro lado:

„ , , B M B 2M \ , D . . . . P = M + ---------- = — + ------ =—(B+ =—(B+ 2M ) 3 3 3 3 3

reemplazando reemplazando (1) en (2) tenemos: tenemos:

AG = r(GC ’+ ^ AC )

AG = AC + CG

... (4)

per o CG=rGCV P = - ( A + f l + C) C) 3

... (3) (3)

... (5)

reemplazando (5) en (4) se tiene:

AG = AC =t GC'

... ( 6 )

igualando (3) y (6) se tiene: r(GC' + — ~AC) = ~AC +1 ~AC +1GC*' GC*' pero com o

GC' y AC

ejercicio (1) se tiene:

( r - t ) G C ' +( +( — 1) AC = 0 2

son no nulos y ni paralelos entonces por el r - 1= 0

y —r - l = 0 de donde r = t = 2. 2

76


Luego AG = 2 GA'

=> G - A = 2 A - 2 G de donde 3G = A + A + 2A' ... (7)

Como A es un punto medio de B y C entonces

5 4- C

A' = —- —

... (8)

B + B + C ahora reemplazando reemplazando (8) en (7) (7) tenemos 3G = A + 2(—- —) de donde,

.\ ¡49)

77

Vectores en R3

De las condiciones del problema se tiene: AP =- A M , DM =~D C 3 2 de donde DM =

CD

2

por demostrar BP = j BD , de donde:

G = —(A +J9 + C) 3

Si G es el centro de gravedad del triángulo A,B,C demostr ar que: ~GA + + G £ + G C = 0 .

~BP ~BP = BA + ~AP = ~CD ~CD + ~~AM = ~C D + ~( A D + DM )

~BP = ~BP = C D + — —(( f i C - ' — CD CD ) = C D + - S C - — 3 2 3 3

Solución Mediante el ejercicio (26) el centro de gravedad del AABC es: G = -( A + B + C ) dedonde 3G = A + B + C 3

...(1 )

AG+Gfl +GC =A -G + fl-G + C- G = A + B + C -3 3

. .... (2)

- x CD +—BC = —(B —(B C + CD ) = — BD porlotanto: 3 3 3 3

BP = — BD 3

Dado un paralelogramo paralelogramo cayos vértices son los puntos A,B,C y D siendo P y Q los puntos medios de los lados BC y CD respectivamente. Demostrar que AP y AQ trisecan a la diagonal BD .

reem plazando (1) en (2) se tiene:

GA + GB + GC = 3G - 3G = 0 Solución

GA+Gfi+GC=0 Sea E y F los puntos de intersección de AP y AQ con la diagonal BD . (5§)

Dado un paralelogramo de de vértices vértices los puntos A,B,C y D si M es el punto medio de CD y P esta en A M a — de la distancia de A a P, demostrar 3 vectorialmente que: BP = BP = -^ BD -^ BD Solución

Por demostrar que: BF = ~ BD Del gráfico se tiene: BF =r B D~ r( BC+ CD)

D

Q

c


79

■4 Demostrar que cualquier vector A se puede escribir de la la siguiente manera:

BF = BP + P F = — BC +1 PA = — BC + t( PB + B A) 2

Vectores en R3

2

~BF ~BF = ( - - - ) ñ C + í . C D

... (2)

2 2

igualando ( 1) y (2 ) se tiene: r ( e c + C ü) ü ) = ( - - - ) BC + t. CD ,de donde

v

2 2

2 2

B C + ( r - t ) C D = 0

pero com o fíC y CD son vectores no paralelos paralelos y diferente del del vector nulo y 1 t + 4- -------- = 0 rr 41 r =/= po r el ejer cici o ( 1) se tiene: 2 2 3 r —/ = 0

por lo ta nto de ( 1) se tiene:

3

Deducir la ley de los cosenos en un triángulo empleando producto escalar.

— r — t

»

-4 - 4 4 4 —> —> En consecuencia: (A. i ), (A, 7 ) , (A, son las compo nentes del vector -4 -> -4 - 4 ->-> -4 - 4 A = Ax i + Ay j + A z k donde A x = A . i , A y = A . j , A z = A . k

/.

“4 —> —> —> —> —> 4 —> — 4 — > A = (A. i) i+(A. 7 ) j + ( A . k ) k

Solución —> _ —> —> Se conoce que: || A ¡| = A. A

— f

i . i = 1, 7 . 7 = 1, £ . ¿ = 1

de esto se deduce que:

Siendo

4 —> —> —^ q b \ba a =|| a || , b =|J b ||, probar que el vector: c = -------- r— biseca al a +b 4

— r

— 9

ángulo formado por a, b . Solución

| | c | | 2 = | | A + Í |h |h ( Á + B U A + B ) -4-4 ->-4 — > —> -4 4 = A.A+A.B+B .A+B.B | t c | | 2 = | | A |||| 2 + | | B | | 2 + 2 A . B k l|2= lt A H2 + ll ñ H2 +2|| A ||||fl||co ||||fl||co sa do dond ndee a = ¿ ( A , B )

Si a = ¿ ( a , c ) y ¡5 = ¿ (c ,b ) Demostrar que: a = p Entonces:

-4 -4

a = /C{a /C{a,, c) => c o s a - —

a .c

80


81

BC = 2 BN => C - B = 2N - 2B => N =

a.b+b.a _> _> > —» —» — ► a + fc a.(a.b+b.a) || a || a . b + 1| a || b cosa = — — —= — — = — —— II a ||.|| c || (a + b) || b) || a ||.|| c || (a + b) || b) || a ||.|| c || -» —> -» -» a.b+a.b c o s a = ------------ — (a + b) || b) || c ||

Vectores en R3

B + C

... (3)

pero MP = P - M = - ( B + D ) - ( ^ - ^ ~ ) = - ( B - A) = ~~AB

2

2

2

2

1

••• U )

... (4)

—> —> —»

-¿âb+ba^ P = ¿ ¿ . b )

J n = N - P = ^ ^ - ^ ( B + D) = - ( C - D ) = - ( C ~ D ) = - 1 ) C

2

â + ! =* =* eos/? — ~~~~~ ~ II¿ lilili CII CII II b lili c II

2

2

2

/ W | | = I || || D C |

a. II b II2 +11 b II. a . b a \ \b \b \\ \\ + a . b Q a . b +a b eos p eos p = — -— -— = — — "— "— => e o s P = — . . . ( 2) 2) (0 + ¿>)|| ¿>)|| c || (a +b)\\b \\\\ c || (a + b) || b) || c || ahora ahora comparamos comparamos (1) y (2) se tiene tiene eos a = cosp, y como el campo de variación de a, P es de 0o a 180° (ángulo entre dos vectores) se concluye que:

sumando (4) y (5) se tiene:

2

... (5) I MP II+ II W ||= 1 ||

|!+^ || DC

| MN ||= MN ||= —(II AB 11+ 11 DC

a= p (55 )

Demostrar Demostrar que el segmento de recta que une los puntos puntos medios de los lados no paralelos de un trapecio es paralelo a las bases, y su longitud es igual a la mitad

Que condiciones debe cumplir los vectores a y b par a que el vec tor a + —>

de la suma de las longitudes de las bases.

Solución

Solución j C( a C( a ,

DA = 2 MA =* A - D = 2A - 2M 2M = A+ D 2 PB = DB

=> M = --------

2

—^ —> —>

=> 2B - 2P = B - D

2P = B + D =* P = - ( B + D) 2

a + b) b) - ¿ ( b , a + b) b)

si a = ¿(a , a+ b) b) entonces

... (1)

eos a - • (2)

—)

bise que al á ngulo form ado por los vec tore s a y b .

a .(a+b)

a lili a+ b |

82


7 7 si a = ¿(b, a+ b) entonces entonces

b .(# + b) co sa = — -----II a lili a+ b ||

ahora igualando (1) y (2) se tiene:

a.(a+b)

••• W

83

Vectores en R3

(s s)

Un sólido sólido de 100 100 N. N. de de peso depende del centro de una cuerda (como se

b.(a+b)

I a lili a+ b II II b\\ a+b a simplifican do se tiene: — =

b —» — > > —■■■• => a || b ||= b || a || comoel comoel modulo del

II «IIII «IIII M I

vector no se

puedeigualar puede igualaral al

vector pode vector pode mos afirmar que la condición es

IMHIMI

Determinar la tensión T en la cuerda. (57)

Sean a y b dos vectores no nulos tales que || a || = || b ||= m

Solución

si el ángulo

entre a y b es de — radianes y la norma de su diferencia es 2 - m. Hallar m. 3 3 Solución n Como — = 3

—>

—>

Por hipótesis se tiene:

|| a ||= || b || = T

así mismo sabemos que: que:

|| w ||=|| - w | = 100 N. 100 N.

—>

—>

a , b ) entonces: además a + b = - w . Luego:

n a.b eos — = ---------3 a I b

\a+ b ||2 ||2 = ||-w ||2=1002

M I2 + IIMI2 + 2 1| a\\\\b || eos 120° = 1002

donde ¿C(a,b) = 12 120° 0° ento entonc nces es r 2+ F 2+ 2F 2(— 2(— ) = 10 1002 02 1

a.b

2

m2

7 a.b

2

m2

además || a - b || = 2 -m

T 2 = 10 1002 02

2 . £ - 2 a . b = 4 = 4 - 4 w + m “ => || a ||“ + 1| b ||2 -2 a . £

2

m2 + m 2 - 2 ( — ) = 4 - 4 m + m 2 => 4 - 4 m ~ 0

2

m=l

Qg )

T = 100 N

Verificar Verificar que los vectores vectores a =(2,-1,3 ) y £ = (- 6 ,3 -9 ) son colineal colineales, es, determinar cuál es el más largo y en cuantas veces, cómo están dirigidos, en una misma dirección o en direcciones opuestas. Solución

84


2 252 1 ^ r => r - ±~ , pero pero como c y d tiene direcciones direcciones opuestas, entonces: entonces:

Si a y b son colineales, quiere decir que a y b son paralelos. ^

Ósea que:

—> —>

—>

—^

a \ \ b <= <=> 3 r e R I a - r b ,

r =- 3

de donde

(2, -1,3 ) = —i (- 6,3 , -9 ) => -3(2,-1,3) = (-6,3,-9) —>

(60)

85

Vectores en R3

x = -48, y = 45, z =- 36

por lo t anto: d = ( x, y, z ) = x i + y j + z le

—>

Luego b es 3 veces más largo que a y como como r = -3 < 0

Dos vectores a y b forman an ángulo

Entonces a y b tienen direccione s opuestas.

II b ||= 4, calcular: y

a)

a.b

c =16 i —15 ; + \2 k . Determinar la descomposición en la misma base del —> —> vector d , que es paralelo al vector c , tiene direccion es opues ta el, si

e)

(3 íz -2 b).(a + 2 b)

Dada

la

—>

—>

descomposición —>

del

vector

c

en

la

base

i , j , k

b)

a 2

y sabiendo que || a | | ~ 3 ,

c)

b 2

d)

(a+b)2

—>

Solución Sea d =( x, y, z) don donde de | |d || =75 entonc entonces: es: >Jx2 + >Jx2 + y 2 + z2 =7 5

... (1)

=» 3 r e R/ c = r d , ento entonc nces es::

(y>,-15,12) = r(x,y,z) =» 16 = rx , -15 = ry , 12 = rz ^ donde ^ ^ x = — 16 , y de r

15 , z = — 12 r

r

reemplazando (2) en (1) se tiene: tiene: 252 75 = J( — )2+ ( - —)2 +(— )2 => 752 = — V r r r r

... U)

f)

(a -/ ?) 2

g)

(3a + 2b )2

Solución

\\ d | ||=75.

como como c || d

d = -48 i + 45 j 45 j - 36 &

a)

-> -* —» —> o . b =|| a ID! b || eos a = (3)(4) eos — = -6

b)

ü 2=|| a ||2= 32 =9

c)

b 2=||fc||2=4 2 =16 =>

d)

( a + b ) 2 = a 2+ 2+ 2 a . b + b 2= 9- 12 + 6 = 13 13

e)

( 3 a - 2 b ) . ( a +2 +2 b ) = 3 a 2+ 4 a . b - 4 b 2= 2 7 - 2 4 - 6 4 = - 61 61

f)

(a-~b)2 = ~a 2-2 ~a ,~b+~b ,~b+~b 2= 9 + 12 + 16 = 37

g)

(3 a + 2 £>)2 = 9 a 2+ l 2 a . b + 4 h 2= 81 -7 2 + 64 = 73 73

=> a 2=9 b 22= = 16

V 86


©

Dados los vectores unitarios a, b y c que satisfacen a+ b+ c - 0 , calcular —» —> —*

Vectores en R3

87 Solución —^ —> —>

—» —»

—>

Como a + b + c — 0

a . ¿7+ b . c + a . c

—> —>

=^> ||

¿>+c ||2 = 0 entonces

Solución —>

—>

II a lh + II ¿ II2 + 1| c ||2 | |2 +2(¿?.

—>

Por hipótesis se tiene || a || = || b || = | c ||= 1

—> —» —» -*

b . c + a . c)

=0

—> —»

13

¿/.¿7+¿7.C+fl.¿?=—

Y además 0+ /7 +c = O => II a+ b+ c c |||| = 0 , entonces entonces::

Los vectores

i a II2 + 1! ^ II2 + II c II2 +2(a . b+ b . c + a . c) = 0

- >

a y b forman un ángulo oc = —, además "sabemos "sabemos que:

6

r —

— * — >

|| a ||= v3 , || b ||= 1, calcular el ángulo 0 formado por los vectores p - a-r b a .h+ b .c+ a .c = — = —

—>

2

Cada pa,r de vectores a , b —>

que || a || =4 ,

/?= a+ &+ c

—>

y q =a-b. ye

—>

Solución

forman entre si un ángulo de 60°, sabiendo —>•

|| ¿? ||= 2 y || c| | = 6. Determinar el módulo del vector

.

Solución Como p = a + b + c

de donde a . b = —

=> || p || p || = | a+ b+ c ||

2

íp lili q I

| p||2= 16+4+36+2 (|| a |||| b ||cos60° + || b |||| c ||cos60°+|| a |||| c ||cos60°)

fl II2 + || b ||2 +2a . i =3 + ] + 2(-) = 4 + 3 = 7

p | p | |2 = 56 + 2 (4 + 6 + 12) = 100 Dados tres vectores además

sabemos

b y c , , que satisfacen a la condición: que:

2

I P 11 11= 10

—>

||tf||=3,

-*4

||¿>||=1

y

—>

a+ b+ c = 0 ,

||c||=4.

I9 l|2=ll ® lP + II M P - 2 a . I b = 3 + l - 2 ( L = 4 - 3 = 1 2

Calcular: COSÍ?

a . b + b . c + a . c .

p . q

_ ( a + b U a - b )

|| a ||2 - || b ||2


88 n 3 - 1 , 2 eos 0 ——¡=—~ — — —pr ^ V í V7 ( 6 <^

n , 2 => /. a = a rc co s( -r ) V7

Hallar el vector x , que es colineal al vector:

Vectores en R3

89

Por otro lado:

a =(2,1,- 1) y satisface satisface a la como

condición x . ¿z = 3.

x =14

x l a

=> a . x = 0

x l b

=> b . x = 0

3x, +2x-> + 2x-> 2x-> = 0 =>

18 18xx, -2 2x 2- 5x 3 = 0

r 2 4- x22 4- x3~ = 14 => yXj ^

Solución —» —> -» -» -> Como x y a son colineales => => a || x es decir si a || x

Luego se tiene:

—> —> 3 r € R / a - r x = x = (rx,, rx2, rx 2, rx3) entonces, (2,1 -1) = (r x, , rx2, rx3)

—> —> C om om o x . a = 3

=>

2 x, x, 4 - x 2 - x 3 = 3

1

1

2

2

x> = - , x3 = - -

po porr lo tant tanto: o:

...(2)

... (3)

2

... ( )

x3 = -2 x 2 , x, = ^ x , , por lo tanto: tanto:

“*

1

x

= ( ^ x2 , x 2 , - 2 x2 )

como II x| |= 14

1

x = ( i, - ,- - )

—>

2

x7 =12

x ——4 i ~ 6 ~ 6 y 4-12 k

2

->

=> ( ^ - ) 2 4-(x2)2 4-(x2)2 4-(-2x2)2 = 19 1966

49 -x“ =196 => x2 =±6 pero pero x2 <0 ento entonc nces es x, = -4 , x7 =- 6,

—>

El vector x es perpendicular a los vectores a = 3 / 4- 2 7 + 2 k y —> —> —^ ^ b = 18 18 i - 2 2 7 - 5 £ yforma con el eje OYun OY un ángulo obtuso. Hallar las —>

x f 4-x? 4-x3 4-x3 =196

... UJ

6 4 1 1 . Reemplazando (2) en (1) se tiene: tiene: —+ - + - = 3 => —= 3 =>r =>r - 2 r r r r

de do dond ndee x , = l ,

... ( 1)

de {1 >y (2) tenemos que: que:

2 x2 1= —, x13 = — x, - —, r r r

de donde se tiene:

3xj 4- 2 x-) 4- 2 x 3 = 0 18 18x, x, - 22x2 - 5x3 —0

Hallar el vector x , si se se sabe que es perpendi cular a los vectores a = (2 ,3. —1) y b = (1,-2,3) y satisface a la condici ón x .(2 i - j + k ) = ) = - 6

—)

Solución

coord enadas de x sabiendo que || x |¡= 14. Solución

Sea

a = (x ,, x2, x3) tal que x 1 a , x l b

Sea OY = (0, y,0) el vector sobre el eje OY y sea: —* —>— » —» * * = (x 1,x 2 ,x3) como ¿ { x , O Y ) es obtuso => x . O Y < 0 luego x 2 < 0 .

=> pero y > 0

x l a —» —» x _L _L b

x .a =0 —» —> x .b = 0

x .(2 z- 7 4-&) = - 6

2xj 4-3x2 —x3 = 0 4- 3 x 3 = 0 Xj - 2x 2 42Xj - X2 4- Xj = 0

... (a)


90

x " x " (-3,3,3)

resolviendo el sistema sistema (a) se tiene: tiene: x, = -3 , x2 = *3 = 3 69)

Vectores en R3

71)

91

En la figura figura se tiene tiene | | a | | = 6 , || b ||= 8 Hallar a . b

—> —> * Tomemos dos vectores a = (3-1,5) y b = (1 ,2-3 ). Determinar Determinar el el vector x , — »

Solución

_ >

que es perpendicular al eje OZ y satisface a la condiciones x . a = 9 , —>

El ángulo formado entre los vectores a y b es

x . = -4 Solución

120 ° = ¿ { a . b ) =>

Sea OZ un vector sobre el eje OZ es decir: x 1 OZ $=> x . OZ = 0 => x 3z = 0

a II b

=> x3 =0

entonc entonces es x= (x ,, x 2 ,0)

—* —>

de donde: | x .a = 9

13xj 3xj - x 2 = 9

x .b = - 4

Xj + 2 x 2 = - 4

resolvien do el sistema se tiene: Xj = 2 , x 2 = -3

Si A + B + C - 0

—>

/

—>

j

a b =|¡ a ¡||| b || eos 12 120° 0° = - - ( 6 )(8 ) = -24 y A = || A ||= 3, /J= || /?| |=5 , C =|| =|| C ||= ||= 7 . Determine el

ángulo que forma A y B .

/. x = x = (2,-3,0) (70)

a .b

eos 120 °:

Solución

Encuentre todos los vectores que son perpendiculares a cada uno uno de los los —» —» vectores a =(1,3,-2) y b = (2,-4,1).

Sea a = ¿C(A, B) = 180°

. Ahora por la ley de los cosenos:

c || 2 = ||.4 ||2 + | | B ||2 - 2 II A lili A lili B B Ileos# Ileos# Solución 49 = 34 - 30 eos 0 de donde eos 6 - —

Sea x = (x, , x2, x3) el vector perpendicular a a y b entonces: —^ > X _L¿7 -> —>

x _L

—> —> <=>

<=>

X . ¿í = 0 —) —>

=>

x . ¿> = 0

resolviendo el sistema (a ) se se tiene: tiene:

/A‘l +

_ ^x3 “ 0

2xj - 4 x2 + x3 = 0

2

...(a)

=^ 0 = 1 20 20 °

Luego a = 180° 180° - 0 = 180° - 120° = 60°

a = ¿(A ,£) = 60 60°°

Si a, (i y y son los ángulos (llamados ángulos directores) que el vector A forma con los ejes X, Y, Z respectivamente. Demostrar que el vector unitario unitario

x, = x2 , x 3 = 2 x,

A se puede escribir escribir como: a - eos a. i + eos p. j p. j + eos y. y. k , En consecuencia Luego x = (x1,x 2,x 3) = (x ,,x ,,2 x, ) = Xj(1, Xj(1,1, 1,2) 2)

x = x,(1,1,2), x, e R

—>

—»

A

—»

—>

—>

—»

el vector A será: A =| | A || a =|| A || (cosa. i + cos /?. j+ /?. j+ co s y . k ) k ) .

92


Solución

93

Vectores en R3

Calculamos el vector B O tiene por coordenadas (0,0,0), M tiene por coordenadas. (2,6,1.5) y k = O M = M - O = (2,6,1.5)

A k Sea k = = ------ = vector unitario en la dirección de k . im i a

2

6

1 .5

A

4 1 2 3

Es decir k = ( — , — . - 1 - ) . d on on ddee | | & | | =6 =6 . 5 e nt nt on on ce ce s £ = (— , — , — ) 6.5 6.5 6.5 13 13 13 iuii —>

—>

—->

—>

—>

—>

>

Luego B = B = || B || B || || £ = 650(— , — ,— ) = (200,600,150)

A =|| A || cosa, i + || A\\ además A =|| || A\\ eos /?. j + || A Heos/, k —>

i4 =||

—>

—>

—>

—>

|| (co sa. / + cos p. cos p. 7 + eos y. y. fe) fe)

13 13 13

... (2 ) ...(

a = eos a. i + eos (3. j (3. j + eos y. /;

de ( 1) y (2 ) se obtiene que: •—>

—>

Obtener la suma de los vectores A y B que se muestran en la figura en donde M es el punto medio del segmento BG. Solución

B = 200 = 200 7+ 600 y+150 k —> Calculamos el vector A . C, tiene por coordenadas (0,6,0), E tiene por coordenadas (2,0,3) y sea —» P = ~CE = E - C = (2-6, 3), además además P =

, do dond ndee || P|| =7 11*11

Luego A =|| A \ \P = 70 700( —

7

7 7

= ( 2 0 0 ,- 6 0 0 .3 0 0 )

A = 200 ¿- 600 j 600 j + 300 k —> —>

ahora calculamos A+ # es decir: A+ /? = (200 (200 /-6 0 0 7 + 300 300 *) + (200 7+600 7+ 150 ?) —> —> — > —> A+ 5 = 400 400 i +450 k

94


95

Vectores en R3

Determ inar la diferencia entre los vectores A y B que se muestra en la figura figura

luego

donde M es el punto medio de AE.

B = 640 = 640 7+ 480 7

= 800(—, 800(—, 0, - ) = (6 40,0,480) 5 5 —» —>

ahora calculam os A - ,6 es decir: — >

— >

— >

— >

— >

— >

— >

A - B ~ (200 1 + 6 OO j + 300&) —(640 —(640 i+480Jfc) A - B = -44 0 7 + 600 600 7-180) 7 s76 )

La figura mostrada es un un paralelepíped o rectangular donde || AB ||=5¿7, || AF AF ||= 4a , || ~AG ~AG ||= l a si 7 = A D + H G + AB + 7 7 , calcul calcular ar | 7 1¡ A

B

Calculam os el vector A . el punto O, tiene por coordenadas (0,0,0 ); G. tiene --» --»

por coo rde nad as (2,6 ,3) y sea

> A ^ N — N — OG OG = (2,6,3) y N — — — ve vec tor _ a

ii^ ii

2 6 3

unitario en la dirección al vector N N es decir N = (—, (—, —,—), dond e || N || N || || = 7 7 7 7 Luego A =|| A =|| A II N II N = = 7 0 Ó ( | , | , | ) = (2 (2 0000 ,,66 0000 ,,33 0000 )

A la figura consideremos en un sistema y ubicaremos a los puntos respectivos.

A = 200 1+600 j+ 3 0 0 k calculam os el vector 19 , el punto O, tiene por coorden adas (0,0,0) ; M tiene por > A fyf coordenadas (2,0,1,5) y sea M sea M = OM = M - O = (2,0,1,5) y M y M = ■ ■= v e c tor

IIM|| A unitario en la dirección al vector A/ es decir M =

2

1.5

4 ^5

3

96


97

Vectores en R3

AD = D - A = (4a,5a,Q) (4a,5a,Q)- (0,0,7a) (0,0,7a) = (4a,5a-7a)

| | / ? ü H l P+ N + M ||2 || 2 = |j P |j P || || 2 + \\N ||2 ||2 + ||Aí ||Aí ||2 + 2 ( P . M + P . N + M . N) N)

HG - G - H = H = (0,0,0)-(4a,5aJa) (0,0,0) -(4a,5aJa) = {-4a,-5a -7a)

|| /? ||2 = 12 1211 + 100 + 4 = 225

A/T = B - A - (0,5a,7a )- (0.0,7a) (0.0,7a) = ^0,5a ^0,5a,0) ,0)

78\J 78 \J

|| ^| != 15

Calcular e! trabajo realizado por la fuerza f — (3,— (3,—5.2) al desp inzar se su Hinto }

de aplicación dei origen origen aí aí extremo del del vector S1- (2.-5 , ~7 ).

AF = F - A = (4a,0,0) (4a,0,0)

Solución

S = AD +7 /C + A£ + AF OBSER VACIÓN .-

S - 4a,5a ,-7 a ) + (-4a,- -5a,-7 a) + (0,5a,0) (0,5a,0) + í4a,0,0)

Si d vector vector

representa representa u n a fuerza, cuyo ; uao de

aplic ación se despl aza del 5 = ( 4 a, a, 5 a, a, -1 -1 4 a ) =» i| 5 j ¡ - \ / l6 l6 a 2 + 2 5 a2 a2 + 1 9966 a2 a2

¡¡ 5 |||| = v 2233 7 a

vector

orig en a» &xtr<íj &xtr<íjro ro del del

—^

5 , el trabajo w realizado por esta esta fuerza se determina m ediante h

igualdad-

w- f.S

Tres fuerzas Af,N y F están aplicadas a un punto y tienen direcciones ,, -A c om om o / s ( 3, 3, -5 -5 ,,22 ) y S =(2 ,-1 -7) entonc entonces es

perp end icula res entre si. Hal lar la mag nitud de su resu ltant e R , sabiendo qu e || M || = 2kg 2kg - f , || N || N ||= ||= lQfcglQfcg- / y || P !|= !|= 1 Ikg 1 Ikg - /

14 = 17 (3,-5 ,2).( 2,-5 ,-7) = 6 -t-t- 25 —

^79} ^79}

Por lo tanto w = 17

Calcula r el trabajo realizado por la fuerza / = (3,—2,- 5) si su pimío de de aplicación se desplaza un movimiento rectilíneo de la posición A(2,-3,5) de ía posic ión B(3„- 2,-I). Solución Sea S = AB ~ B - A = (2 -2,- 1) - (2-3,5) = (i .1.-6 .1.-6))

por ser perpendiculares

|| R || R || = || P+ || P+ M + N + N \

- > -•->

m*=-/ . s s = (3,-2 ,-5).( l,l,-6) = 3 -2 + 30 = 31

por lo tanto tanto w = 31

Edu ard o E spin oza Ra mo s

Vectores en R

99

Pero además j además j - ( f x , f y , f z ) d e do do nndd e / = / v i + f + f y j + / , k ,también se conoce que f Y= | / || eos eos a , f y = || / || eos

. / , = || / || eos y

de donde eos a = 0.49 . eos (i = 0.29 , eos y = 0.87 f x. / -f f como como / = f x. -f f y . j - f_ .k = | 7 || eos a. i + 1| / || eos p+\ eos p+\ \ f || eos y k 7

^

7

f =X\ f I! I! (eosa. (eos a. i + eos j6. j6. y + eos y. k ) k ) =100(0.49 í +0. 29 y + 0.87/: ) El extremo de / es (x + 3, 3, y - 2, z - 5) y esto debe coincidir con A(2,-3,5). A(2,-3,5). Luego x = -l, y =-1. z =10. Los cosenos directores de la fuerza de 100 libras que se muestra en la figura son 0.49, 0.29 y 0.87. Determinar:

a)

a)

/‘^4 9 / + 29 Í+8 7A.

b)

Las com pone ntes esc alar es en los m ism o eje s: f x . i , / y. / , f_ .k , es

*_ »

—>

Los vectores componentes a lo largo de los ejes X,Y,Z.

b) Los componentes escalares en los mismos ejes.

Sea f el vector fuerza en donde || / ||= 100 100 libras

—)

—>

decir: 49 i , 29 j . 89 k ósea (49,0,0), (0.29,0). (0,0.87). Descomponer la fuerza de 100 lbrs. en componentes según las direcciones de los ejes X,Y,Z. ¿Cuales son los los cosenos directore s? (según figura).

En la figura se tiene F = = (-3,4,2) = -3 / + 4 j + 2 k


100 100

Vectores en R3

101

Solución

Fx Fx -|¡ F |!cosa ~>

—>

Datos: Dat os:

Como F = (F x, F y , F z) z ) de donde j Fy - |¡ F || || eos (5

* =11S 11S 11= 11=10

=|| ~F |||| eos y De donde se tiene: tiene:

= || A || —12 —12

F -3 cos a = —— = = -0.557

5 =115 ll=?

|| ? || 100 100

En la figura triangular se puede aplicar la ley de cosenos para hallar B =|¡ B =|¡ h | |. F, 4 eos /? = —-—= -> i----Q() = 0.742 F eos y = —

i

->

| | F ||

-----------------------------------------------------------------------------

----------------- --------.-----------------

B =Í| B =Í| B B j¡= j¡= v A v A 2 + s2 - 2 As cos a = si14 si 14 + 100- 240eos 60° = 2 ^ 1

2 = — - = 0. 0.37 i

ahora ahora usamos usamos la ley ley de senos: senos:

i ? ii ■“

— = —. dé donde se tiene. tiene. sen a sen(l sen(l 80° - f i )

Luego las componentes de la fuerza de 100 lbrs. según X,Y,Z serán. F x = 100cosa = -55.7 lbrs.;

y __________ sen ¡3 = ----- sena = -— -—io=s en 60 ° = 2 . 5 fJ — ento nces : ____________ B = ar e sen (2.5. in —r ,) 2V 3Í V31 V31 V31

Fv - 100cosp = 74.2 lbrs.

1*1

Fz = 100 eos y = 37.1 lbrs. ^84) 82 )

Para que valores de a, los vectores: A A = a perp endic ular es. Solución

i - 2 j + k y k y B = 2ai 2a i + j - 4 k son

<^> A . B = 0, entonces

plan o XY. Solución

Mediante la condición de perpendicularidad: es decir: A 1 B

B = 4 i - 3 j + k k y paralelo al Hallar un vector unitario perpe ndicular al vector: B =

(a i - 2 j+ k ).(2 k ).(2aa i + a j - 4 k ) k ) = 0

—> — > —> —> —> Sea A ~ A x i + Ay j + A z k perpendicular al vector B y par alelo al plan o XY, entonces debe satisfacer las siguientes condiciones: A, = 0 para que sea sea paralelo al plano XY.

2a2-2 a -4 = 0 83 )

de donde a = 2, a = -1

El vector sumade suma de dos vectores tiene 10 unidades de longitud y hace un ángulo de 60° con uno de los vectores componentes, el cual tiene 12 unidades de longitud. Encontrar la magnitud del otro vector y el ángulo entre ellos.

©

A 2 + Ay + A\ - 1. para que sea unitario.

©

A . B - 0 , para que sea perpendicular al vector B vector B , lo

queimplica que implica que:


102

[Áz + A~ -1 . i de donde al resolver el sistema se tiene: [ 4A 4A x - 3 A y = 0 A. = -4 . 5 r" a

,85) ,85)

3 Ax = —, 5

Vectores en R3

Designando el vector posición de P0 P0 po r r0 y el vector posición de cualquie r — » punt o P (x,y ,z) del plano por r vemos que el vector:

A 3=""^^- i + - y L ue uego: A j

—*

j

/>,) P />,) P ~ r ~ ro = ro = (-X-1) i + (y + l) j l) j + ( z - 3 ) Je

—*

7T

Los vectores a y £ tiene igual igual longitud longitud y forman un ángulo de — si la

> debe de ser perpendicular a A , es decir decir::

— > —> —> A . ( r- r 0) = 0

... (1)

longitud de a+ b es 4 unidades mayor que la longitud que uno de ellos. Hallar ¡MI.

Solución Datos del problema:

—> —> || || = || 6 || = * ,

—>—>

si ¿ { a , b ) = Z - => => a . ? = | |f |f l ||| | |||| H | c o s | = y

=

yjr

=>

“> || a + ¿ ||= ||= .r + 4

«- * = y

—

|| a+ fc || 2 = (jc + 4) 2 => || a ||2 + || b ||2 +2 a . b = x 2+ 8jc + 16

...( 2) La ecuación (1) es la ecuación que debe ser satisfecha por los vectores de ^ — ) — > —> pos ición r de todos los puntos del del plano, reem plazando ( r - r0 ) y A A en (1) y efectuando efectuando operacio operaciones nes se tiene: tiene: 2x-4y + z - 9 = 0

reemplazando (1) en (2) se tiene: jc2 - 4 j c - 8 = 0 x - 2 = ±2\Í 3 por lo tanto

=> x 2 - 4 x = 8

( x - 2 ) 2 = 12 12

=* x = 2 ±2 y¡ 3 de donde * = 2 + 2>/3 2>/3

Si 0 es el ángulo que el vector A forma co n el eje Z y si
|| a ||= 2 + 2>/3 —>

8¿ )

—>

—> —*

Expresar Expresar la ecuación de un plano perpendicula perpendicularr al vector A vector A = 2 i - 4 ; + k y que pasa por el punto P(l,-1,3). Solución

el vector A se puede escribir como: —* — ^ —> —> —> A = A = || A || A || || (sen 0. eos 0. eos
104


Vectores en R3

105

Solución —>

—>

Los vectores rn y r2i que une los puntos I\ con P2 y P2 con F\ serán: Az = A sen 6 De la figura, el triángulo OAB es rectángulo y si cumple: A ' = A sen 6

—>

siendo A la proyección del vector A sobre el plano XY por otro lado, en el triángulo rectángulo OCD se tiene:

ahora mediante (1) y (2) se tiene:

)

88

Ax = A'cos^l Ay = Ay = A’sen^J

—>

—*

—>

—»

—>

—>

= 3 / +12 j +12 j —4 k ; r23 = —3 i + 4 £ , y sus vectores unitario son dados por:

r\2

12

...(2)

_

12 13 '12

(3 i + 12 7 —4 &) ; r23 7

' 23

I*2 I*23 I

I

de la la figura se tiene que r12 r12 y r23 son los vectores unitarios de de A y Z? de modo qüe:

Ax = A sen 0. eos § eos § ,, A y = A sen 0. sen (t>

y. j + A z . k , que reemplazando se tiene: como A = A = Ax . i + i + A A y. j

-> —» 52 — > A = A rn = — (3 i + 12 12 j - 4 k ) = 12 i + i + 4 8 y - 1 66**

A = A = A(sen0.cos<|). A(sen0.cos<|). i + se n0 .s en <)). j + cos0 . k )

25 -> B = B rn = - ( - l *+4fc) l *+4fc) = -15 i + 20 k

donde donde A=|| A||

Referente a la figura adjunta, escribir la expresión vectorial para los vectores A y B sabiendo sabiendo que: que:

A= || A| |= 52 y B= \\ B\ \ =2 5

(89)

Demos trar que si dos vectores tienen la misma magnitud y hacen un ángulo 0, 0, su suma tiene magnitud.

0 2

ñ

5 = 2vco s(~) y su diferencia D = D = 2 v s e n ( - ) .

2


106 106

Vectores en R3

107

Solución Un vector a , ha formado con los ejes OX, O Y ios ángulos a = 60°, p = 120°, —»

—>

—>

—^

calcular las coordenadas del vector a sabiendo que | a ||= 2 .

Sean A y B dos vectores tal que: que:

Solución A =|| A || = | B ||= v y 0 = ¿(A ,B) Sea S = A+B de donde

a = (a x, a 2, a 3 )

el vector pedido, pedido, además por cosenos directores tenemos: tenemos:

=11 S 11= 11= vil A IIII + \ \ B \ f + 2 A . B 5 =1 ti j

cosa =

ii « ii

5 = Vil A ||2 +|| B\\2 + B\\2 + 2 1| A lili lili # || e os# os # =yj lv 2 + 2 v2 eos v2 eos 6 - y¡2 y¡2 .v. .v.Vi + eos 0 .. . (1) 1+ cos(9

como eos" —= ------------2 2

------- 7T L ^ => VI+cos 0 = J2cos-~ /:

V

a 2 =|| a ||

eos 7 -

¿?3 = || a || eos 7 = 2 eos 7 = 2 eos y

eos P = 2 eos 120 ° = - 1

ii « ii

0

B 2

= 'Jl.V.y¡2 cos(—) = 2vcos(—) S =

2

eos ¡i = .. .( 2 )

2

reemplazando ( 2 ) en ( 1) se tiene:

#

a, = || a || eos a = 2 eos 60° = 1

como eos 2 a + eos 2 p + cos 2 y = l, entonces

= 2v cos( ~) s =

2

en forma similar para D = A - B

eo s 2 60° + cos 2 120 ° + cos 2 y = 1 => —+ —+ cos 2 y = 1 4 4

D =|| D

cos“ 7 = — => e o os s7 = ± —

||= a/|| a/|| A ||2 cos B ||2 + 1| B ||2 ||2 - 2 A. B = Vil A lP + IIII B ||2 ||2 - 2 1| A |||| B || cosB

D = D = yj yj lv 2 -2 V 2 COS0 = yJl v.^ JT- COsÓ como sen2 —= - —

2

2

••• (3 )

=>. V, -i - eo eos 0 = J

y

2 sen(— sen(— ^ ) 2

... (4 )

1

V n/22

2

2

y¡2 „, V2 :T2

po r lo tanto las coor dena das del vect or a = («,, a2 , ¿z3) es: 91)

Se dan tres vectores

a = (1-3,4),

p r o y \ _» . reemplazando (4) en (3) se tiene:

^.

(£>+f) +f )

6 + c = (3-4, 2) + (-1,1 (-1,1,4) ,4) = (2 -3,6)

a = (i;- 1, ±V 2 ) .

b = (3-4,2) y c = (-1,1,4). Calcular

. í Solución

r

= 2 eos7 = 2( ± — ) = ± v 2

c om om o


; a . ( b + c ) ,7 . 7\ (l,-3,4).(2,-3, (l,-3,4).(2,-3,6) 6) p r o y \ _ = ------------- .(b+ c) = ------- ———— - .( 2 , - 3 ,o) ,2 ib+c) . 7 4 + 9 + 36 |fe+c j~

como

= 2 + 9 + 24 ( 2 , -3 , 6 ) = - (2, (2, -3, 6 ) 49 7 Hallar los vectores

a

y

b

Vectores en R3

109

II ¿7 1| = pr oy; eos#

en el AAD AADE: E: co s0 =-

de V-, tales que:

V 29 25 29

29V 29 25

I

\a =

pr oyZ = (2,3,4) y b

pr oy t t =(4,3,2).

I cl

V29 29V29 -> " : = — ~— entonces entonces a =|| a || pr oy t 25 25 29

I pr oy r -

COSÍ?

29\¡29

1 (4,3,2) =^(4,3,2 ) ■—f = (4,3,2) 25

-> -> -* ?9x /2 9 1 2Q -> 90 fe =|| fe || proy^ proy^ = 2 1 _ _ . (2,3,4) = — (2,3,4) (2,3,4) de don donde de fe = — (2,3.4) (2,3.4) * 25 V29 25 25

Sea ABCD un rectángulo tal que 2 AB = AZ) y ; sean E y F puntos medios DC , respectivamente. Sí M = A E + AC + AC + A F . Hallar de los lados BC y DC —t

el valor de:

AB

i — p rroo yí yí = - ¿= ¿ = ( 4, 4 , 3 ,,22 ) « "V29

H

c o m p + c o m p 2M 2M . AD

Solución

II pr oy t || ||p« >y’ enelAABC, cos0 = ----- — => II fe 11= 11=: COS0

...

( 1 )

De los datos del problema el gráfico es: Como M = A £ + A C + A F

eos# =

. .... ( 1) 1)

pr oy “ , proy-.) proy-.) = ¿C(ci, b) entonces: Calculamos los vectores: vectores: A E , E , AC y AF

COS0

_ (2, 3,4 ).(4 ,3,2) _ 8 + 9 + 8 _ 25 ” ñ|| pr ¿"Ñ” ¿"Ñ /29%/29 /29%/29 29 29 || pr oy _ oy _îm lili lili pro pro y^ || ” n Pr°y-¿

¿7

Pr°y-

«


110

Vectores en R3

111 111

reemplazando (2) en (1) se tiene: AC X. D B => A C . D B = 0 , de donde jcj jcj 44- y, - Z\ —jc2 - y 2 + z 2 = ^ ••• (2) M = AE + AC + AF - ( a ya)+ (2 a, a) + (2a ,~ ) DC = ( 3, 3, - x2 x2 , 4 - y 2 , - 5 - z 2 ) , 0 =(8,10,6) M = (a + 2a + 2ay a + a + — + —) = (50 ,— ) también calculamos AB , AD y 2 M DC 11 0

=> 3 r e R tal que DC = r 0 , de donde

AB = (0 ,0) , AD = (20,0), 2 Ai =(100,50) A'2 = 3-8/*, y 7 = 4 - 1 0 r , z 2 = ~ 5 ~ 6 r m M comp ^ = —

AB

comp''

ab

ahora reemplazando (1) y (3) en (2) se tiene:

AB ||

=

2A/.AD ----------------

••••

•*

= ------------

II AD ||

8 r ~ 141 Or - 61*+1 - 34- 8r - 4 +1 Or - 5 - 6 r = 0 de donde 24r = í 2

(20,0).(100,50) — i Va 20 --------------

Luego:

r\0 = — 25 0 t = — + tIO com p M i 4- comp 2M IO AB .45 .45 ($ 4 )

(3)

Si A ( - 1 , 0 , - 1 ) y C ( 3 , 4 , - 5 ) s o n los extremos de una distancia de un rombo ABCD, hallar vectoriaimente los puntos B y D si el lado AB es paralelo al

©

[*\ = 3 , y, = 5 , z, = 2 < [a2 = -1 , y 2 = - 1 , z 2 = - 8

B = (3,5.2) D ( - l , - ll- 8 )

Encontrar la proyección del vector 0 = (4,-3 ,2) sobre el eje que forma con los los ejes coordenados ángulos agudos iguales. Solución

vector 0 = (8,10,6) Solución B(xvyvz,)

Sea u el vector unitario que forma con los ejes coordenados ángulos agudos iguales.

AB || 0 = > 3 r e R tal que AB = r a

— > de donde (x¡ 4- }*y,, Z\ }*y,, Z\ 4-1) 4-1) = r( 8,l 0.6) de donde se tiene: * jc,

= 8 r —1 ,

yj= 10 r,

=(4,4,-4),

^

Luego Luego eos# = -~j= (por el ángulo 0 es agudo) zx =

6 r —1 —1

Entonces: AC

— »

DB = ( x } - * 2 , y, - y 2 > -1 ” *2 )

^

*>

1

(cos0.cos0.cos0)como|| u ||=1 ||=1 =>cos^ =>cos^ 0+co s2 04-eos2 0 = 1=»COS20 = = — u = (cos0.cos0.cos0)como||

-u "= (-=■,— 1 1 1. (-=■,—= ,- 7=-) V3 S V3


Vectores en R3

113

M N =(12,-16,15) N =(12,-16,15) Z

a. U -*

yf í y/3 y/3 y/3 , 1

1

1,

II WII _4 ____ 3_ >/3

2

V3 + >/3

1

1

1 } _ ,y^(_ L _ L

y¡3' \¡3 ' \ ¡3

1

JL)

v 3 ’ -^3 >/3

* a -MN (1,-3,1).(12,-16 ,15) „ , P r o y ^ = .MN = — ■ ^ ..( 1 2 ,- 1 6 ,1 5 ) IIMAMI2 ll(12,-16,15)||-

-

•

pr o yt yt =(1,1,1) u Se dan tres tres vectores: vectores:

a = -2 i + j+ k ,

= i + 5 j , c = 4 / + 4 y —A: .

i (3íj— 2b) Calcular: pr oy ^

pr oy _ a = - - ( 1 2 , - 1 6 ,1 ,1 5 ) MN 25 Los puntos A y H, B y E, C y F . D y G son respectivamente, vértices opuestos de las caras ABCD y HEFG (opuestos) de un paralelepípedo. Encontrar su

Solución

volumen. volumen. Si se

Calculando 3 a - 2 b - (-8,-7,3)

sabe sabe que

A(4,0,-l),

F = ( / j , / 2,0),

BD = (13,-1 (13,-1 ,-21) , PF = pr oy c¿ = (3,-6,3) AF

Solución 16 + 16 + 1

11

p m y Í{ a- 2b) 2b) = - — ( 4, 4 , 4, 4, -1 -1 ) C 11 Se dan dan dos puntos M(-5,7,-6) y N(7,-9,9). Calcular la proyección proyección del del vector vector a - (1,— (1,—3,1) 3,1) sobr e el eje del ve ctor MN . Solución Calculando el vector: MN = N —M — (7 (7 ,—9,9) —(—5,7 ,—6) = (12,(1 2,- 16, 15) 15 )

Como pr oy ( ^ =(3,-6 ,3) ’=> AF AF ||(3,-6,3) AF

CP ~ (-1,3,7).


114

1 / =-

f\ ~ 4 = 3í

99)

3 / =5

f 2 f 2 = -6 - 61

por igual dad se t iene:

Vectores en R3

F(5,-2,0)

a-4i-j+3k y —) —> per pen dic ular a a y b . Sí

Solución

/2=“2

1 = 31

b = -2 / + j - 2 k . Hallar un vector unitario

yn vector perpendicular a los vectores a y b es a x b entonces u = como PF = (3,- 6 ,3)

=> F - P = (3,-6 ,3) => P - F - (3,-6 ,3)

!| a x b || es un vector unitario perpendicular a a y b , ah ora calculare mos —> —> vector a x b ,

P = (5,-2,0) (5,-2,0) - (3,-6 ,3) = (2,4,-3) => P(2,4,-3) Además CP =(-1,3,7)

axh

el

=> P -C = (-1,3, (-1,3,7) 7) => C = P-( -l, 3,7 ) i

C = (2,4,-3 )-(-1 ,3,7) = (3,1,-10) (3,1,-10) => C(3,1,-10) C(3,1,-10) 7 1

Com o M es punto medio de A y C =*

a xb -

k

4 - 1 3 -2

11

j 1

= - i F 2 y + 2 k

=>

a x b = - i + 2 j+2k

-2

Luego || a x b ||= Vl + 4 + 4 = 3, por lo tanto se tiene tiene MD = — BD

D - M M = - ( 1 3 , - 1 , - 2 1 )

2

2

D - M

=

+

=> D - B = (10,0,-16)

,

CP = ( - 6 , 0 , 1 5 ) ,

2

-3

V=[CF.CP.CD] = -6 7

0

15 = 117

-1

-6

Sí a = 3 i - y - 2 k , b = 2 í + 3 7 + £ . Hallar : a)

(a+2¿)x(2fl-¿)

b) Solución

B = (10,0,-16 )-(13,-1,-2 ) => B(-3,l,5) CD = ( 7 , - 1 , - 6 )

10 u-

V = 117

— i + — j + - k 3 3 3

II « x ¿? ||

de donde D( 10,0,-16) 100)

Además BD =(1 3,-1, -21)

l-> l- > 2 “t 2 7

h w= a x — = -1( - i-?+ 2 "t;-f2_ *)

|| (a +

|


116 b)

« + ¿ = 5 i +2 j - k ,

(Í 03 )

a - b = i - 4 j - 3 k

117

Vectores en R3

Demostrar que:\\a que:\\a xb ||24 -(« .¿)2 =|| « ||2| ||2|| b ||2 Solución

i j ( « 4 - 2b 2b ) x ( a - b ) - 5 2 1 -4

k 14 j —22 k -1 = -1 0 / + 14 -3

|| a x b II" II" + (« . ¿ ) 2 = (|| a ||.|| b ||sen 0)2 +(|| « ||.|| ||.|| b | | c o s 0 ) 2 = 11 a ll2|l b ||2(sen2 0 + eo s2 6 ) ) =|| « ||2|| b || 2 || a x ¿ || 2 +(« .

|| (« r b ) x ( a - b ) ||= VlOO +196 + 484 = 2>/Í85 (101)

Los vectores

-4

—4

a y b forman un ángulo ángulo

sabiendo sabiendo que || « || - 6 ,

(lÓ j)

Los vectores a

¿V=|| a ||2|| ¿ ||2

y ¿ son perpendiculares entre sí, sabiendo:

¡j « |¡= 3 ,

— 4

|| ¿ || —4 calcular: i b || = 5 , calcular II a x b | |. Solución

a)

b)

|| («+ b)x(a—b) ||

|| (3 (3 « - b ) x ( a - 2 ¿) ||

Solución Conocem os que: || a x b || = || a |||| b || sen 6 entonces: a )

(«4- b ) x ( a - b )

eos eos 0 = — => 5

\ a x b ||=|| « Hit b ||sen# = 20(y) = 16

—4 —4

|| («4(«4 - ¿ ) a( « - ¿ ) | |= |= 24 24

b)

|| (3«-¿ )x(«-2 ¿)|| = ||3« ||3« x(« -2¿ )-¿jr («-2 ¿)|| — 4

9_ 4 eos2 6 = J l -----sen sen 0 = \j 1- eos26 V 25 ~ 5

¿ * ( « - ¿ ) = a x a - a x b+ b x a~ b x b

II (« 44- ¿ )x (« - ¿ ) II= II= 2 IIII ¿ X« II = 2 II ¿ IIII « II II sen 90° = 2(4)(3)(1) = 24

Solución =» 12 = 20 eos 0

¿)4-

= 0+ ¿x«4 -¿x«-0 = 2¿ -«

S ea ea | M | = 1 0 , | | ¿ | | = 2 , « . ¿ = 1 2 c a lc lc ul ula r | | « * ¿ |

Como a . b =11 a II l| b || eos 6

*(«-

—4. —4 —4 ~4 —4 —4

i« * ¿ ||= (6)(5 )sen ^ = 30(—) = 15 15 6 2 ( 10 10 2) 2)

= «

— 4 —4 — 4 — 4 — 4

— 4

— 4

— 4 — 4 — 4

— 4

=\\3 a x a - 6 a x b - b x a + 2 b x b \\ = \ \ 6 b b x a - b x a \\=5\ \\=5\\\ = 5 1| A || || a || sen 90° = 5(4)(3)(1) = 60 \ \ Q a - b ) x ( a - 2 b ) \ \ = (3lQ

118 Í105J


— > — > -> — > Los vectores a , b y c satisfacen ia condición a + b + c = 0 . D emo strar que: axb=bxc-cxa Solución i)

—> —> —>

-— >

—>

—> —>

x( a + b + c ) = a x 0 = ¿7 se tiene: a x(

a+ /?+ c = 0 , multiplica ndo por

—*

—> —>

—>

a x b = - a x c = c xa

ii)

-4

=>

—>

(lOó)

Los vectores

a ,B ,c

—>

—)

—>

—>

—)

—)

=> ¿? -d y B - c son colineales. colineales.

Determinar el área de un paralelogramo que tiene como diagonales los vectores —> —» ¿ 7 = 3 / + j —2 k y b = i - 3 j + 4lc Solución B

—>—> —^

a xb = c xa

AC AC = ¿7= AB + BC BD = B + A D - AB

—> —> —> — > —> —> —> —^ —> —7 —) ' * —^ b x a + b x b+ b x c ~ 0 =>b =>b x a+ 0 a+ 0 + b x c = 0

de (i) y (ii) se tiene:

—>

Área del paralelog ramo = || AB a AD ||

b x( a + a + B + c ) = b a 0 = 0

—» .—» - > —» —» - > b x c = - b xa = a xb

—>

como ( a - d ) x ( b - c) = 0

0

> > > > > ) > > —> — 5'—>-- > -> a x ti + a x b + a x c = 0 =>0 + a x b+ a x c = 0 —> —>

119

Vectores en R3

=>

—> —>

a x b - ( A B + B + BC )a( BC )a( AD AD x A B ) = AB x( A D - A B ) + B C { A D - A B )

—> —> -> —» a xb - b x c —> —>

= AS a AD- AB a AB + BC x A D - B C a AB

—> —>

a x b =b x c = c x a

= A B a A D - 0 + 0 - A D a AB AB = A B a A D + A B a A D

y ¿i ¿i están ligados por las relaciones a x b . - c x d , ,

a xb = 2 AB x AD

axb => A B x A D = -

a x c - b x d . Demostrar que los valores valores ¿7~d y b - c son colineales. 1 área del paralelogram o = || AB a AD ||= —1| a x b |

Solución —> —>

—* —>

—>

) = 0 , puesto que si son colineales, los vectores Por demostrar: ( a - d ) x ( b x c ) = —>

son paralelos y el producto vectorial debe ser el vector 0 (nulo). (a a<¿)a(B a<¿)a(B a c ) = a x ( b - c ) - d x ( b - c) c) = a x b - a x c - d x b + d x c —> —> —> —>

—> —> —> —>

—> —> —) —>

—> —>

—>

= (0Arf+¿/Ac)-(flAc+¿/AB) = ( a x b - c x d ) - ( a X c - b x d ) = 0-0 = 0


12 0

Vectores en R3

Determ inar el área de un triángulo con vértices en los puntos P{3,-1,2), P{3,-1,2),

1211 12

i j a x b = 1 -2

Q(l,-l,-3), R(4,-3,l). Solución

1

1

k 3 = i + 5 j + 3 k -2

__

—*

,

___ ___

área del paralelogramo = |¡ a x b ||= v i + 25 + 9 = V35 i r

b)

J j íy área del trián gulo = - 1| a x c | |= |= - v l + 1+ 1+ 1 = ~ “ w2 w2

c)

El volumen del paralelep ípedo = [ a b e 1 -2 [a b c\= 1 1 1 - 3

Dados los vectores a - (1»— (1»—2, 3 ), b — (1,1,-2) (1,1,-2) y c — (1,-3,4). ( 1,-3,4). Calcular: a)

El área del paralelogramo de lados a y b .

b)

El área del trián gulo de lados a, c y c - a .

c)

El volume n del paralelepíp edo de aristas

d)

3 - 2 =2 u1 4

1 —^ ^ ^ 2 1 El volumen del tetraedro = ~ \ a b e b e l = — u2 = ~ u 2 6 6 3

Sí || a ||= ||= 3; || /? ||=4 , calcul calcular ar (a x b).(a xb ) + (a . b )2 . Solución b y c —» —>

d)

—>

El volumen del tetraedro cuyas aristas son a, b y c . = 11a H2il b II2 II2 (sen20 + cos2 0) = || a ||2|| b

Solución a)

{a xb).(a x b)+(a. b )2 = \ \ a x b \\2 M a . b ) 2 =|| a ||2|| b ||2 sen2 0+|| a ||2|! b ||2 cos20

área paralelogramo = || a x b [| donde a = (1,-2,3), a = (1,1 - 2)

\\2 =(3)2(4)2=144

(a x b).(a x b ) + {a . {a . b )2 = 144 144 —> —> -> Se dan los vectores a - (5,0,1); b = (3-2,0); c = (-4,1, x (-4,1, x ) . Hallar la tercera componente x con la condición de que los tres vectores resulten en un mismo plano.


en R*

123

Solución Si íos tres vectores esta en un mismo plano, entonces el volumen del

•4 — > i j Momento de fuerza = a x f = 1 - 4

par alele pípe do es c ero , ó sea [a b c ] = 0

Entonces [ a b e ]

5 0 3 -2

1 0 =0

-4

*

1

-lOx -lOx - 5 = 0

2 - 4

k 4 = (-4,3,4) 5

—> —>

—>

Sean los vectores w, n y r sí ( m x n )x ) x ( m x r ) ~ m . Calcular ( m x n ) x ( n x r }. Solución —> —> —> —t —> —f

—> —> —>

.La .La fuerza / = (3.2,-4) esta aplicada en el punto, punto, A( 2,- l,l). Determinar el

Aplicado la propiedad: a x(b x c) ~ (a . c ) b - ( a . b ). ). c

momento de esta fuerza con respecto al origen de coordenadas. por lo canto sea a - m x n

Solución —>

OBSE RVACIÓ N: "Si el vector vector f representa una fuerza, aplicada a cierto

—> —»

->

_.>

(m x (m x n ) x ( m x r ) ~ a x (r nx r ) r ) = ( a . r ) r ) m— ( a . m ) r - ( m x n . r ) m ~ ( m x n . ni ni ) r

—>

pun to M, y el vec tor a esta dirigido del punto O al punto —) —^

M, el vector a x b representa el momento de esta fuerza respecto al punto O '’. Sea a = O A = A - O = (2-1,1), / = (3,2,-4) (3,2,-4) / 2 Momento de fuerza = a x f = f = 3

j k + 7 á: á: -1 1 = 2 i + l l j í +7 2 -4

= ( /n / n . t n . r ) - ( m .n xm) r =(m x n . r)m = m 0 de donde m x n . r =1

ahora calculando lo pedido:

—> —> ^ — * —> —> —> —» —» —> —> —» —» — •»—» —> •—> ( w r « ) . t ( / u r ) = ( w x / i . n . r ) rt r t - ( /n / n j t /j / j .« . « ) r = ( w u / i .r . r ) n = 1 . n = /i —> —> -» —> (ma n )a (n x r) —n Deducir la ley de los senos en un triángulo empleando el producto vectorial. vectorial.

La fuerza / = (2,-4,5 ) esta aplicada al punto punto M(4,-2,3). Determinar ei momento de esta fuerza con respecto al punto A(3,2-l). Solución

180° -p

Solución —•> —) — > — > —> — ^ —> —> C = A -£ => C x C = ( A ~ B ) x C

,C = A '0

0 ~ A x C ~ B x C entonces A ,tC = B x C

A

B

124


C |¡ = || B | A x C |¡ || B x C |¡ entonces

|| A |||| C | se na = || B || B |||| |||| C || sen(180c” 8 )

125

Vectores en R3

ABCD rectángulo, puesto que: pr oy AB_ = pr oy AB - pro y AB = AB

| A || A || sena =|| B || B || sen ¡i

=> l A i i = sen ¡3 ¡3 sena

. . . (1 )

3 CA

A B . AC C =A- B

=> A = B + C

■=* A x A = (B + C) xA

Q - B x A + Cx C x A A entonces

-------------

|| C IH IHI A || se n a =|| A |l|| B |l|| B || || sen 0

|C || se na =| |5 || se n0

=> ■!-—ü — ü = ' •-

AC

J , . AC = AC AC de donde

I! AC II2 II2

CxA - - Bx A - AxB

I C x A || = || A || A x B II =>

CA

AB . AC

— >

*

= 1 =» AB . A C = |! AC

II AC ||2 AB . A C = | AC |“= AC . AC

sen a

=>

AB . AC - AC . A C = 0

...(2)

sen 6

( A B ~ A C ) . A C = 0 <=> ( B - A - C + A) . A C =0 =0 de (1) y (2) se tiene:

^1 6^

sen p sen p

1*11 1*11 sen a

ll c l sen 0

<=>

C¿T. C¿T. AC =0

Como AB es la la diagonal del paralelogram o => CB y AC son los lados del para lelog ram o.

Los puntos A(6,~6,8), A(6,~6,8), B, C y D son los vértices de un paralelogramo, paralelogramo, siendo siendo

Para hallar el área de QAPD, es suficiente hallar AD puesto que AP AP conocido.

AB = (1,7,3) (1,7,3) uno de sus diagonale s si pro y AB - AC AC . Encontrar el área del

Como pr oy BP

3 CA

45

BC

7 (2,4,5 ) 45

=> BC || —1(2,4.5)11(2,4,5) 45

para lelo gra mo que se cons truy e con auxi lio de P de mo do que: AP - (1,4,4); sea una de sus aristas. AD

una de sus diagonales, se sabe además que

pro€ ^ - ¿ (2’4’5) 7

Solución Por datos del problema se tiene que:

Como AD || BC

AD || (2,4,5)

Además AD = pro y AB =(2,4,5) ~AD Entonces A = área = ¡| AP x AD ||=|| (4,-3,4) ||= V4Í u 2

126 (¿17)


127

Vectores en R3

Es falso o verdadero la siguiente proposición: proposición: —>

—> -■» —» ,,

x~-h || + 1 1| ^ x b |¡+A II a x h 11= 2 II a x ~ II II + i | | 2 a x~-h || |¡ +A aaef

(a x b ).(b x c )x (c x a ) -■{a .(b x c )y

Solución —»

—> —i —i

J

—> —>

J

—> —»

|

—>

—>

|| a x b | | = - | | a x b | | + - | | a x b | ||+ + - | | a x b ||| | + AM AM t 6 4 8

—»• ->

Sea A = a x b , B - b x c , D — e x a axu:f = “ = “

II a x b ||= - ^( ^( 1 2200 ) = ^

= 55 u 2

AMEF 55 u 2

A . ( B x D ) = A . \ B x ( C x a ) ] = A \ ( B . a ) C - ( B .C ) a] (119J

= a .r &.[((£ jc c ). tí ) c - (b x c . c) a ] ] o también

Sí

a * b , c G R 3 ; ; donde [a b c]& 0. Determine un vector u , tal que

u x tí = m x m x b , y [« a c] = c] = m , m e R (m es dato). o a' b

\o

b c j c =

(tí j

. c).[a

b

b b

]

Solución •-» —>

= [ tí b

c].[a

b c ]=

| tí

b c ]

—> —>

Como u x a —u x b

= (cí . b x c Y

—> —» —>

por lo t anto la pr opo sici ón es falso , salv o e n el caso en que a . b x

c

M r(tí~/)) =0

=> =>

=>

-> —> —» — >

—»

ux a— —uu x b — 0

u || a - b

de donde

tal tal qu quee u = t ( a - b )

=> 3 te R

= 1. —■>—>—>

—> —> —>—>

—> —>

—> —»

m = \ u a c] = c] = [r(tí- b ) a c ] - ( t { a - b ) x a) a) . c (l l8 )

Dado el paralelog ramo ABCD en

/?3 de área 120 w2 . Si E esta sobre BC sobre BC a

i de la distancia distancia de B a C y sí F esta sobre CD a — de la distancia distancia deD a C. 3 4 Halle el área del triángulo AEF.

—i

m = t ( a x a - b x a ),), c => m ~ - t \ b a c \

=>

m - t [a [ a b c]

m / - "‘I»-» I »-»-» -» [abe]

Solución A =|| A =|| tí a- b || = área del paralelogramo 1 A = — 1| 1| tí .Vb .Vb || = área del triángulo

e c F + Â AD ^ _ ^ A ABE A ABE + A ^ e Â AD F + Â AEF

\12(y

—•»—>- A

=>

Demuéstrese que:

—>

—> —>

—>

m u = ~ —— [abe]

ento entonc nces es

—> —>

—>

—> —>

a x(b x c) + b x(c x a) = e x(b x a) Solución

Media Mediant ntee la propi propieda edadd del produc: produc:oo trip triple le..

—^

>

—)

—> —>

—> —> —>

—>

a x (b x c ) = ( a .c ) b - ( a , —> —> —>

—> —> —•>

b x ( c x a ) = ( b . a ) c - ( b . c ) a

128


129

Vectores en R3

ahora sumando ambos miembros se tiene:

El producto mixto de tres vectores a , b y c de V} , esta definido por

-4 — 4■— —4

a

—~i

12l)

Si

-4 4 —4 "-* '~4 —> —■> c')+ bx (c x a ) = c x(b x a) -

a x(b

x

a, b

yc son vectores

— 4 —? —> — 4

V3; a

de

—> —> --4

[a b c] = a .(b x c) verificar que se puede expresar en forma de determinante

/v( b x c ) r b x ( c \ a ) = ( a . c ) b - ( a . b ) . c = c x( x( b xa )

y j5 númer o reales

a, — 4— 4 -4 así como [a b c] = a .(b x c) = b\

a 2 #3 b2 ¿>3

c,

c 2 c.

cualesquiera.

— 4 — 4 —> —

—>

Solución

Demostrar que f a b ( c +ex + ex a a + ¡3 b ¡3 b 1= [ a b c J “ > ™4 —4

Solución

—4

Como a, b y c e V 3

—4

—4

=> a = (íj,,fl2, a 3) , 6 = (¿, ,¿>2,í> 2,í>3), c = (c ,,c 2,c }) .

Aplicando la definición de producto mixto se tiene:

—4 —4 — 4

-4

—>

-~4 —4

—4

—4

—4

—7

—>

-■-*

—> -~4

-V.

i b x c - b\ C\

— >

[a b( c + a a + p + p b )] - a .( b x(c + a a «f p b ))))- a (b x c + a b x a- ra b x b)

— 4 —> — 4

—» —> —>

—>

— 4

—>

—> —> —)

j

k

k >2 bi c2 3

- a .(b x c + a b x a + 0) = a .(b x c) + a. a .(b x a) -~>

-4

->

- > —> —>

_ > _ »_ »

4 — >—> —

= a.(hxc) +ab.(ax .a) = a.(bxc) = [ab c]

a .(b x c) = (a{,a 2 t a 3 )Xb 2 c y - b 7 ic2, b 3 c{-b¡c3, blc 2 - b xcx) = ax( bxc bxc 3 ~b 3 c2 ) + a 2 (b 3 cx- b {c3) +a 3 (b{c 2 ~ b 2 c x)

[a b(c + aa + /Jb )) = Ia b el

|| a x b || = 72 , determinar a , b .

b0

b-y

Cn

C,

b2 bl b3 + a? C\ c2 C3

a¡

a 2 a3

b\

b2

Ci

C, C 3

b \

b3

Solución Aplicando el ejercicio (115): || a x b ||2 +(ci +(ci . b ) 2 = || a ||2||

*1 -->--4 —4 - 4 —4 - 4 [a b c]= a .(b x c) = b) c\

|| 2

Entonces al reemplazar sus valores se tiene: 124)

Mostrar que:

°2

b2 C 2.

— 4-4— 4

[ a b c ] - [ b c a \ ~ [ c a b ] - - [ a c b ] - - \ b a c] c] = l e b a ) Solución

130


a2 b2 c2

a\ i a b v ] = c\ <0 = “

tí3

*1 =-

c\

C-2

c3

b2

h

es c2> fl2 a3 b2

<0

«3

C

-

b2 b\ /?1 _ _ a~i ¿?2 = <0 c2 c’í tí2 tí3 tí 2 (‘l (‘l ^ 2 «3 «1 r3

1311 13

Vectores en R3

Además || a x b ¡| = || a || || b || sen3Q° || sen3Q° = (6)(3)(-) = (6)(3)(-) = 9 2 [tí b c]~ a . b(b xc) = b .(c xa) - c .(a .(a xb) = a(a xb).( a x b) = a\\ ax b ||2= 8 ’a

b¡ tí3

*—> [tí 6 c] = 81a como || c ||=3

lo que es lo mismo expresar así: [a b c] = ~\ a c h ) = f c a b\~ -\ c b tí ] = [ b c a ] - - [ b a c]

|| c || = |a |a ||| a x b || => 3 = |a | 9 ... (2)

3

—> — > —» —> Si a , b y c son vecto res de l7-,, l7-,, y si a y c son paralelos. paralelos. Demostrar que ¡ a b e 1= 0.

reemplazando (2) en (1) se tiene: (127 J

Solución Como c |¡ a ^

... (l)

c3

a x(b x c) = c) = (a . c) b- (a . b ) c

Mostra r que:

Solución

3 a e R ta tal que c = a a

—>— >—» —» —> “» —» — > —» —> [a b c] - a .(b xc ) = a .(b x(a a)) = a a .(b xa ) = a b . (a (a x a ) = a b . 0 = 0

Aplicando la definición del producto vectorial.

bx c

[ a b e ] - 0 > Si el vector c es perpendicular a ios vectores vectores a y b y elángulo elánguloformado formado —>

[tí b c ] = ±27

i bx

j k b2 b3 = (b2 c3 - b 3 c2) i + (b3 cx - b{ c3) j c3) j + (bxc2 -& 2Cj ) k

c\

c2

c3

>

por

tí y b es igual a 30°. Sabiendo que || tí ||= 6, || b ||= 3 y || c || = 3 .Calcular [tí [tí

a x(b x c) -

c ]. Solución

—> —> —> —> — ^ ^ Como c || a . b => c || a x b y sí c || a x b

=> 3 a e R tal que c = a( a x b)

b2 c3 —b3 c2

= [t í2 (Z?,C2 (Z?,C2 ~ b 2 Cx) “

t í3

b3 cx —bxc3 bxc3 ¿>jC2 —¿Sci

¿»iC 1(/?11c2 -Z?2ci )J./ + —¿»iC3 3 )] i + [a3 (b 2 c 3 - / 7 3 c , ) - t í 1(/? --»

+ la,( la,(Z? Z?33c, -ó ,c 3) - a 2(¿2c3 - b 3 c 2 ) U

i 32


Vectores en R3

(a xfc).(c*¿) = r .( .( c x d ) - c .( .( d x r ) ~ d . ( r x c ) - ~ d . {c {c x r ) = - d \ c x { a xb xb ) ]

= (a 2 bxc2 - a 2 b 2 c x - a 3 b3 cx+a 3 bxc3) i + (a3 b 2 c 3 ~ ^ b 3 c 2 - a xbxc bxc 2 ~axb 2 cx) j+ —> + (a xb 3 cx- a xbxc bxc 3 ~ a 2 b 2 c 3 + a 2 b 3 c 2 ) k —> —> —>

—>

—>

= - d . ¡ (7 (7 . b ) 7 - ( 7 . 7 ) 7 ] = - ( d . 7 ) . ( 7 . 7 ) + ( d .b . b ) . ( 7 . 7) 7)

... (1)

—>—>

—>

—>

—> —>

—> —>

—) —)

—>

—4 —> —> —y

= -{a .d).(b . c) + (a . c).(b .d) - (a . c).(b .d )- (a .d).(b . c )

(a . c) b = b = (a,Cj + a 2c 2 + í?3c 3 )*(fy * + ^ 2 7 + ^3 =

133

—>

(a x b).(c xd) = (a . c).(b .d )- (a .d).(b . c)

+ « 2î c 2 + a3 ^ \c 3 ^ i +(axb 2 c x + a 2 b 2-c2 + a 3 b 2 c3) j -f -f —>

+ (íz¡63c1 (íz¡63c1+ci +ci 2 b 3 c 2 + a 3 b 3 c3) k

(129 J

Los vectores a , b y c de V 3 forman una tema de ano derecha y son —>

perp end icul are s entr e sí, sabi end o que |¡ ¿ z ||= 4 ,

(a . Z?) c = (axbx+a 2 b 2 + a 3 b 3 ). (cx i + c 2 7 + c3 A:) —» —> = (fljfrjCj (fljfrjCj + « 2^ 2^! + a 3^ 3cl) i +(a \bxC \bxC 2 -i- a 2 b 2 c 2 + a 3 b 3c 2 ) j-T

—>

|| ¿ ? || = 2

y

—>

|¡ c || = 3 .

Calcular [ a b e ] . Solución

—>

+ (#!&! C3 + a 2/?2c3 2/?2c3 + í73^3c3) ^

entonces

(¿2 . c ) b - ( a . b ) C = (£22^1^2 (£22^1^2 _ í *2^1Ci *2^1Ci ~ ° 3 ^ 3 C\ + a 3 ^\ C 3 ^ 1 +

ahora comparando (1) y (2) se tiene: (128}

—»

... (2)

a x(b x c) = (a . c) b- (a .b) c

—>—»

Dados los vectores a , b , c , d e V 3 , Dem ostrar que: que: —> —t —> —>

—> —> —> —>

—> —> —>

(« jcb jc b ) . ( c x d ) = (a (a . c ) ( b . d ) - ( a . d)(b . c) Solución

a || b x c => 3 r e R tal que a - r ( b x c )

[a b c]= a .(b x c) = c) = || a |||| b x c || eo e o s 0 o —1| a ||¡|b ||¡|b x c ||

+ (a 3 b 2 c 3 ~ a 3b 3 c 2 ~ a xbxc bxc 2 +axb 2 cx) j+ + (f l1/>3c1 3c 1 —« 1¿?1c 3 - a 2 b 2 c 3 + a 2 b 3 c 2 ) k

Por dato del problema se tiene que a, b, c son perpendiculares perpendiculares entre sí

(Identidad de Lagrange)

[a b e b e]] —|| a |||| b x c |¡=|| r(b xc)\\\\b xc || =¡r|||¿>xc|||| =¡r|||¿>xc |||| b x c ||=| r\\\bxc ||2 ||2 ... (1) || b x c || = | b lili c || sen 90° = (2)(3) = 6 reem plazando (2) en (1) se tiene: —¥ — —» —> como a , b , c forman una mano a derecha —> —>

Consideremos r = a x b entonc es se tiene:

entonces [ a b c ] = 36r

... (2) r | 36 [ a b c ] -\ r |

... (3)

— >—>— ^ [a b c]> 0 ... (4)


además a = r (b x c ) i a i— 6 6 r

=> 4 = 6r

=> \\ a \ = \r\\\ \r\\\ b x b \\ - 6 r =>

135

V, » 1 \ a . ( b x c ) \ F= l X \ U i b c ] 1= 1= 2V 2 o 6

2

r ——

ahora reemplazando (5) en (4) se tiene:

Vectores en R

*-*(5)

Dados los vértices de un tetraedro A(2,3,D, B(4,l,-2), C(6,3.7) y D(-5,-4,8). Hallar la longitud de su altura bajada desde el vértice D.

f a b c ] = 24

Demostrar que el volumen del tetraedro que tiene a+b , b+ c y a + c como

V,=2V2

Solución a = AB = (2,-2,3) = (2,-2,3)

Sean

aristas concurrentes, es el doble del volumen del tetraedro que tiene a los —> —)

—>

~b = ~AC = (4,0,6) = (4,0,6)

vectores a , b y c de V 3, 3 , com o aristas concurrentes. Solución

c = A D = ( = ( - 7 - 7 , 7 )

—> —■» —> —•>

Sean V, el volumen de! de! tetraedro de aristas concurre ntes a + b , b+ c y a+ c y sea V 2 el volume n del tetraedro por demostr ar que: V^, = 2V 2 Vj = —| [(« + b)(b+ c)(a+ c)(a+ c)]| = 7 1(a+ b).((b + c)x(a+ c )) | 6 6 V = - 1( « + b).(b x(a+ c)+ c x(a+ c)) | c)) | = - \ ( a +b +b ) . ( b x a + b x c + c x a + e x c)| 6 6

d = a x b =(-12,-24,8) sea || h || la altura bajada. Luego h = proyÜ proyÜ de donde d i! = II proy-, ii proy-,c ||ii = |i compí c .= -\ c . d \I = 302 r = -----308 = 11 hu II II ' II2 II2 ll ^784 28

Determinar las fuerzas fj —> vec tor a = (1,1,1)y (1,1,1)y || /q || = 3 ,

®

h 11= 11

y F 2 , tal que su resultan te R sea paralela al —» _ -> || F || F 2 || = v6 y si Fl tiene tiene la dirección del eje OX. Solución

—>

Com o F, tiene la dirección del eje OX =>

|| eje OX

Luego Fx = (*,0,0) para algún x > 0. Además || Fx || Fx || = 3 => ||x|| = 3 => x = 3 *¡ = (3,0,0)


136

Sea F ?= ( a, b, c ) y como R = F{ + F 2 , entonces R = R = (a + (a + 3, b + c) po rs er R || R || a => R x a = 0 =0 c-a-3- 0

Vectores en R3

I

(B+ CW C+ .4) .4) = B = B x( C+ 4) C+ 4) + C x( C+ A ) = B x C + B x A + C xC + O - B x C+ C+ B x A + C x A = { Á+ Á+ 8 )AB+ C )x (C + A)

=> R x a = ( b - c , c - a - 3 , a + 3~ b) = (0 ,0,0 )

-■(A+ B).( BxC+ Bx A+ Cx A)

a - t -3 ¿?= r , para todo t e R

=>

¿z+ 3 - 6 = 0

= 4.(6 X r +

c=í

fl V 4+

C x 4 ) 4 ) + B . ( B x C + B x 4 + C x 4 )

A . B x C + A . B x A . A C x A+ B . B x C + B . B x A + B . C x Á

=> ¡! F ¡! F 2 II2= II2= 6 enton ces

x>r ser | F2 II = >/6

137

> > —>

>

>

>

TT >

>----- -> >

>

> —> —J»

A . £ x C + 0 + 0 + 0 + 0 + B + B . C x A ^ A . B x C + C . A x B (f-3 )2+ f2+ *~=6

=>

t= 1

e nt nto nncc es es

F 2 = ( -2 -2,1,1 ) = A . B x C + A . B x C = 2 A 2 A . B x C

= ( 3 ,0 ,0 , 0) 0) ,

í =

( “ 2, 2 , 1, 1)

Si

a,b,

c , d son vectores de V3, Dem ostrar que:

—> —> —> —>

(133)

Hallar

la la

constante constante

a de

forma

que los

vectores vectores

—> —> —^ —>

Solución

B = i + 2 j - 3 k y C = 3 i + a j + 5 k k sean coplanares. Solución —, —, — ^ ^ ^ C con coplanares <=> [ A B C J = 0 Los vectores A , B , C

2 -1 [AfíC]:

1 3

2 a

1 -3 5

( f l ^ M . ( c ^ í / ) = f l . ( ¿ r ( c j : í / ) ) = í } . [ ( L í í) í ) í ’’- ( / ) . c ) í / ] —> —> —> —>

—> —>

(c x

c

a).(b

x d ) =

—»

—> —» —>

—> —> —»

.(« x(6 x d)) = c[(a . d)

b - ( a

. b ) d]

( a x b) b) . (c (c x d ) - ( a . a . c).(6 . d ) - ( a . d) d) .( . ( b . b . c ) —> —> —> —>

Simplificar

—> —>

(a xd ). (b x c) = a .(d .(d x(b x c)) = a .[(d .[(d . c) b ~( d . b). c]

: 0 , desarr ollando se tiene:

2(10 + 3a) + (5 + a) + a - 6 = 0 (134)

—> —» —> —>

( a x b ) . ( c x d ) + ( a x d ) . ( b x c ) + ( c x a ) . ( b x d ) - 0

=> 7a = -28 de donde a = -4

(A+#).(/?+C)x(C+ A) (A+#).(/?+C)x(C+ A) Solución

—> —> —> —>

—> —> — —>

( a x d ) . ( b x c ) = ( a . b ) . (d (d . c ) - ( a . c ) . ( d . b )

( c x a) a) . ( b x d ) - ( b . c ) .( .( a . d ) - ( a . d ) . ( a - b) b) —> —> —> —>

—> —> —> —>

—> •— >

—> —>

( í J i i ? ) . ( c i í / ) + ( fl fl X £ Í) Í) .( .( i) i) rc rc ’) ’) + ( c i í i ) ~ ( ¿ i í / ) = 0

138


Si c es el vector que biseca al ángulo que forman los vectores a y b de V3, c xa

demostrar que:

e IIII a II

Como

a se encuentra en el plano determinado por los vectores b y c

entonces b x c

bxc II b ¡| || c ||

1.a

= 0 => a .b x c = 0

ci-^ Q') a^ a^ 1 1 - 1 :0=> ci\ —í7¡ i\ —í7¡ — «2 (—1 2) 7 - I 1

Solución Sea

139

Vectores en R3

(—1—2) = 0 = > a2 a2 —3a 3

= 3¿/3

c - -

Como

*11 \\b\\

como a I d

- x c =■ 0

de donde ax + a 2 = 0

=> a . d = 0

=» (a ,, 0 2,0 3)(1,1 3)(1,1,0 ,0)) = 0 a 2 ~ - a x => a = («1

II c IIII


■x c =

c xa li e I II « II

c

x(

a

b

* ------ ) = 0

par a ax =

c xb

II C II II M I

cx a

bxc

II M I II M I

|| M I IIII e I

— , a2= -/— , ^1 9 V 19

19 n? =2 7

3

de donde

V 19

27 = —1 — 3 V19

12 1277 _ 27 _1 27 V 19 ’ v 19 ’ 3 V 19

127 127 _1 127 V 19 V19 *3 V19

Los puntos A( 1,1,1), B(2,3,4) , C(4,3,2 ) son los vértices de un triángulo. El segmento segmento OP es perpendicular perpendicular al lado AC y “O” es punto punto medio de

r~~

^

— I CI I* || = J = J a i + af + - ~ = 3 => '' 9

Halle el vector a cuyo módulo es V3 , que se encuentra en el plano de los —> —* —» vectores b = ( 1,1,-1) ( 1,1,-1) y c = (1,-1,1) sabiendo ade más que el vector a es

AB . Hallar el área del cuadrilátero OBCP. Solución

per pend icul ar a l ve ctor d = (1,1,0). El área del cuadrilátero OBCP esta dado por:

Solución Sea a = (a,, a 2 , a 3 ) de ) de d onde || a || = y¡af = y¡af +a%+a$ = +a%+a$ = V3 .Luego a[ + a[ +

+ a$ - 9


Vectores en R3

1411 14


A = 2 yj 6 —— Vó = — Vó u 2 10

10

1.38. EJERCIC IOS PROPU ESTOS.Dado los vectores a = 2 i - j + k , -¥ —> —» c/ = 3 i + 2 j + 5k . Determinar Determinar

&

b = i +3 j - 2 k ,

c = -2 i + j- 3 k y

los los

a, (3 y

qued = a a + (3¿ (3¿>+ yc . Como AP || AC

=> 3 t e R tal que AP = t( A C ) ) = /(3,2,1)

escalares escalares Rpta.

—>

&

ap ~ap x ^ AP . AB A 3 Ademas AO = pr oy í = -------------- . AB = ( —,1,—) II AB II2 2 2

para

a = -2 , (3=1 , y =- 3

—»

—>

Se dan cuatro vectores: vectores: a =(2,1 ,0),¿ ,0), ¿ > = ( 1 -1 -1 , 22)) , c= (2,2,-l) y —> d = = (3,7,-1). Hallar la descomposición de cada uno de estos vectores teniendo por base los o tros tres. -> i -* i -> Rpta. a = - b — c + ~ d 2 2 2

^ i ± ( U , 3 ) = ( i,l^ ) 1+4+9 2 2

—>

- » —> —>

c=2a+3b+d

> 21 7 7 Luego AP = (— , — , — ) . Ahora calculam os los produc tos vectoriales. 5 10 5 10

y

,

-> ? ^ 1 1-* b = - a + - c — d 3 3 3

,

d=2a-3b+c

—>

-»

—» —»

Sea A = / + 4 j + 3 k . B = b i + a j —4 k y par a q uevalores ue valores de a y b; el vector —>

—>

—>

Rpta. a = 2 , b = 2

A es es perpendicul perpendicular ar con 5 sí ||£ ||= 3 6 .

Si —>

—■»

ay

->

sonvectores son vectores no para no para lelos tales que: —>

—>

-»

c = (m + n - \) a + (m + ri) b ,

—>

.—>

—>

) tí + (2m -rc + l) 6 . Hallar m y n tal que c = 3 d . c# ¿i = ( m - n ) tí 2 1 Rpta. m = — , n = ----3 12 _J ~—

^5 )

—> — ^ Hallar el valor de t, de manera que a - t b sea ortogon al a b , también halle el —>

—>

—>

valor de h,tal h,tal que: b - h a seanortogonales sean ortogonales a a .

142


^ l)

b = 2 i — j + 2 k , a = 3 i -r j+3 k

a)

Vectores en R3

b)

? = 2~í-3~]+6~k ,

c)

7 = 37+4?5 7 , 7 = 97+ 127 -5?

d)

-4 -4

—4

—» ->

a =77+14?

—>

->

—>

a = ( 3 , -1 -1 , 0 ) , ? = (1.5, 0, 2 . 55)) ,

modulo modulo de de || (a -2 ¿?+ 3 c ) ( a - fr) ||

a - a i - 3 j +2 k Rpta. a = -6

? = 3 /- 2 7 + ? , donde e = (0,0,1).

15)

Rpta.

30

^7) / T

\

\17y

vector

Rp ta. M = -29

Demostrar Demostrar que si a + b y a - b son orto gonales sí y solo sí || a || = || b || ->

de un rombo

— 4 —>

-4

B(3,5,2) , D(-l,-l,- 8 )

—4 - 4 - 4 -4-4- 4 -4 -4 - 4- 4 - 4 Los vectores a , b y c d e V 2cumplen que: 2 a —3 b - c y3 a—2 b =5 c -4 -4 — > -4 —> 2 siendo a un vector unitario, unitario, calcular la la norma de b - c . Rpta. || b - c || = — lo

— 4

— 4

— 4

Pruébese que sí: d = = b + c y si b es paralelos a a entonces d es paralelo a -4

-

4

—4

¿7 sí y solo si c es paralelo a o .

’N

V^9) V^9)

—4 —4 —4

20)

(2 ^

— 4

—4 —4 ~4

Demo strar que el vector b .(a . c) - c .(a . b) es perpendicular al al vector a .

ABCD. Hallar vectorialmente los vértices B y D si el lado AB es paralelo al Rpta.

-4

Si a y b son vectores no nulos ni paralelos. paralelos. Demostrar que a a + f ib ib = 0 implica que a = P = 0 . %

■=*

Si A(-1,0,-1) y C(3,4,-5) son losextremos losextremos de unadiagonal una diagonal

Rp ta. M = 14 1477

Pruébe se que: si c ^ 0 y si íj y ¿ son paralelos al vector c . entonces a

—>

—> —4 ~4 -4 —4 'y Halla un vector V en la dirección de a = - i + j - k y cuya longitud sea lá -> 1 1 1 mitad del vector a . Rpta. V

11)

del

y b son paralelos.

d = 2 7 . H allar el

Rpta. a = ± ^

vector a = (8,10,6).

= 4x + 5y — 7z, si elmódulo

a ~ ( 4 x - 1 2 , -2 x+ 'y + z, 3x + z) es igual acer o.

y

—4 —4 —> Hallar el valor de a sabiendo que || ot i + (a -1) j + (a +1) k \\=2.

10 )

Hallar el valor de M

Hallar el valor de M = 5x + 4y — 8 z, si el módulo del vector

b = í + 2 j - a k son perpendiculares perpendiculares entre sí.

Sí

_»

a ~ (x + (x + 3, x 3, x + + 3z, y + 2z) es igual a cero.

Determinar para que valores de a los vectores vectores —>

—> -4 —> —>

-*

b = i + 3 j 3 j - 3 k , 0 = 6 / -10 j - 3 k

—# —>

S ea ea n a, b y c vectoresdiferentes, vectores diferentes, mostrar conun conun ejemplo que si se cumple a .b ~ a .c , no , no se puede afirmarque afirmarque b - c .

U3 ) / /

143

— 4

Demostrar que el vector b

Demostrar Demostrar que si

a

y

^ jy

4

—4

— .a es perpendicular al al vector a .

b

son vectores vectores paralelos paralelos en R 2 entonces

144


Sean a , b y c tres vectores con el mismo punto inicial P 0 , si existen número r, s y t diferentes de cero tales que r a + s b+ t c = 0 y r + s + t = 1 y sisi Pj, P Pj, P 2 y P 3

son los los puntos terminales de ayb

y

Vectores en R3

( 30 )

Si A (3, l,l) , B(0,-2 ,l), C(2 ,l,0) y D son puntos coplanares. Halle el punto D, de modo que el triángulo ABD sea equilátero.

®

-> -> 1 1 1 1 -> Dados los vectores a = (1,2,3,4,5) y b = ( 1, — , h a l l a r lo s v e c t o r e s c 2 3 4 5

c c respectivamente.

—>

y d con la condición c/l a ,

Demuestre que los vectores vectores P, P2 y P 2 P 3 son paralelos. 0

145

Do s v ec ec to tor es es a = (3-2,6) y b - (-1,2-2) están aplicados a un mismo punto. —> Hallar las coordenadas del vector c que tiene la dirección de la bisectriz del

(32 )

y

—>

=

—> —>

Los vectores A, B, C, D, E son coplanares , ABCD es cua drado, y AC una de sus diagonales. Halle C(18,8,-10), E(-6,2,-18)

vectorialmente los puntos B y D sí A(3,l,-2) ,

ángulo formado por los vectores a y b sí || c ||= 3>/42 3>/42 . R pta . c = (-15,3,12) (33) (24)

Halle —>

|| v || ,|| 2 ii + 3 v ||;

si ||v ||= 6 y n i v

y los los vectore vectoress («* («*+ v) y

Muestre

que

si

uy

v

son

distintos del

vector

cero,

entonces

|| m+ v || = || u || + 1| v || si y so lo si u es un un múltiplo escalar positivo de v .

—>

(4 w -9 v ) son ortogonales. ortogonales.

a .b * Demuestre que el vector b ------ :— . a es perpendicular al vector vector a .

Los puntos A, B y C son colineales, tales que A (l,0 ,2), B(5,3,- 10) y || AC AC ||= 39 ,

Hallar el el punto C, si B se encuentr a entre A y C.

(26)

Sea a = ¿?+ ¿?+ c . Si b es paralelo a un vector vector d , demostrar que a es paralelo — > —> —> a ti sí y solo si c es parale paralelo lo a ¿ .

(27)

Si A(- l,3,2) y C(3,-5,0) son los extremos de una diagonal del rectángulo

ÍMI2 35)

>,

a = (4,5,3) Si a+ 6 + c+ d = 0 , calcular 2 c .d y sabiendo que || 0 +

||= 6 , || c ||= 3,

—>

—>

—*

términos de sus productos escalares de manera tal que el vector p - r a - s b —> — > sea perpendicular a los vectores a y b simultáneamente. (3ó)

Pruebe que que en cualquier paralelogramos la suma de los cuadrados de las longitudes de las diagonales es igual al doble de la suma d i los cuadrados de dos lados adyacentes.

(3^

En la figura ABCD es un paralelogramo: paralelogramo:

ABCD. Hallar B y D si el lado AB es paralelo al vector x = x = (1,1,1) Si A(-1,0,-1) y C(3,4,-5) son los extremos de una diagonal diagonal del rombo ABCD, Hallar vectorialmente los vértices B y D si el lado AB es paralelo al vector

Dados los vectores a , b y p e R 2, determinar los números r y s en


146 38)

Deducir la ley de los cosenos en un un triángulo triángulo empleando el producto escalar.

Vectores en R3

43)

PD . En que razón el punto O de intersección de Sí ~PC = 3 PA y PB = 2 PD las rectas AB y CD divide a AB y CD ?

©

En

la

OC = ~ OB ,

figura

AD = ~ AB , E es punto medio de

Rpta. - 2 y - -

O A , probar

que: OD

y

BE se

La figur figuraa PQRS es un rombo rombo

cortan en O y también: OP - — OD , 4

tal que \ \ P Q \ \ = a

AP = ~ J c 4

Demostrar que:

PQ . SQ = 0

(44)

y BP = ~PE .

Si ABCDEF, es un hexágono que se muestra en la figura cuyo lado mide “x”

Si ABCD es un cuadrilátero y M un

unidades, determinar

II- A£ + — CF CF || 3 3

pun to me dio de DC probar que Rpta. -jVÍ9 AE

©

3

y I d E = — DB . 3

En la figura adjunta tenemos un cubo y cono “techo una pirámide regular, todas

^5 )

Dados los puntos P(l,2 ), Q(2,5), R(5,8),

S(9,10)

que

fonnan

un

trapecio, encontrar dos puntos M y N

de arista x”, sí:

sobre las diagonales, si se sabe que:

7= D£+ —>

Hallar la norma de de 5 .

Rpta.

—>

||s||=:*;

TTTt PS PS - QR ' MN = MN = -------------- , tal como en la


148

149

Vectores en R

Si M y N son puntos de trisección del lado BC del triángulo ABC y A N = m AC + n AB . Calcular Calcular —- — m n

EB = s B A + r BC _ 2 *"” 5 ’

Rpta.

Rpta.

__4 5

— 2

En el paralelogramo ABCD, M es punt o me dio de AB. Hal lar s y t sí

Rpta. En

s = t = = la

figura

ABCD

es

un

par alel ogr amo sí BP = — PC y sí BE = m BC + n AP . Calcular mn Rpta.

(49)

mn = mn = -

5 16

En el triángulo ABC se tiene

Demostrar que un vector unitario en tres dimensiones se puede expresar como: -» —> —» u = c o s a i + c o s p j+ eo s y le donde le donde a, ¡i, ¡i, y están definidas en la la figura. figura.

150


^ 3)

Dado el paralelog ramos de vértices consecutivos A, B, C y D; si E es el punto medio de CD y si F es el punto de intersección de ED y AE. Demostrar que F

Vectores en R3

En e! hexágono regular ABCDEF, de —>

lado a, hallar la norma de 5 , sabiendo

2

esta a — de la distancia distancia de B a D. 3 (3 )

151

2 — * 1 — * 1— * que: 5 = - ( + - D E ) E ) + — EB . 3 2 2

B

Dado el paralelogramos ABCD, con E a — de la la distancia de D a C y F como Rpta.

el punto de intersección de AE y la diagonal BD ¿A qué distancia de B a D se

-a

encuentra F?. (55 )

En el triángulo MPQ, ME es la mediana del del lado lado PQ, demostrar que: que:

(60}

y los segmen tos AR y BQ BQ son

mediana s, Hallar Hallar s y t si se sabe que RM = 5 M C+ t PQ

| |M |M P | |2 |2 + | |¡|¡ Í G | | 2= 2= 2 | | A f £ | |2 |2 + i | | P G | | 2 (56)

En el triángulo PQR se tiene MC H PR

Q

En el paralelogramos PQRS de la figura, N es punto medio. Hallar s y t sí lPT =s QR+t PN

(¡Si) ,^7)

Se dan tres vectores: a - 2 i - j + 3 k ' ,

Rpta. || a-r b ||= b ||= 20

Hallar el vector x , de modo que verifiqu verifiquee las las condicione condicioness * .¿ = - 1 1 , Rpta.

1c. a a = -5 , * . c = 20 . (S )

* = (-3,3,3)

Demostrar que si dos vectores tienen la misma magnitud M y hacen un ángulo 0

su

suma

tiene una

magnitu d

Dados || a ||= 1, || ¿>||= 23, || a - b || = 30 30 . Calcular Calcular ||a+ ¿? ||.

b = i - 3 j + 2 k , c - 3 i + 2 j - 4 k .

|| s s || = 2M eos— y

su difer diferen enci ciaa

(S )

Los vecto vectores res a y b son perpendiculares entre sí y \\ a a || = 5, || ¿7 1|= 12,

152

g )


Los lados de un triángulo triángulo son los vectores a , b y a - b sí || a ||= 2, || b || = 3 y a . b = - — . Hallar | | f l - £ | |

153

Vectores en R3

(72)

Sean ¿7= (2,-1,5) , b = (-1,-2,3 ) y c = (1-1,1)tres (1-1,1)tres vectores en tf 3.

Hallar

—> —> —s» —y

un vector unitario en la dirección del vector V = a - b+ c .

R p ta ta . \ \ a - b \ \ ~ A

-* 4 3 Rpta. u = (—,0 ,—) ,—) 5 5 ^5)

(66)

Hallar el vector x , que es colineal al vector a = (2,1,-1) y satisface a la —» —» 1 1 condición x . a = 3 . Rpta.

Sí

a + b + c = 0, ||a ||= 3 ,

| |í|í > | | = 4

y

Rpta'. 2 —> —>

y

—>

c

......

tales que ||¿/|| = v2 6 ,

—* —*

—T —T —T

—T

Sean los vectores vectores a, b y c tales que a = ¿>+ c , || a ||= 5 , || = 1 0 . H al al la la r | | c | | .

¡g )

—>

j—

^

j| ¿>|| = 3v 2

|| c ||= 4 y

a + b+ c = 0 . Calcu lar la Rp ta. -13

r

__

|| = 2y¡5

( 74 )

Hallar las coordenadas del vector x , que es colineal con el vector a - (2,1,-1) -> -* -* 1 1 y satisface la condición a . x = 3. Rpta. x = (1,— (1,—,— ,— ) 2 2

(75)

Para que valoresde valoresde m los vectores pe rpe ndi cul are s.

®

Si

y

Rpta. || c || = 4>/2

b . c = 12 sí a - b ~ c . Halla r || c |

g )

Sabiendo que || a | = 3 , || b ||= 1, —> —> —> —> —> —> suma a . b + b . c + a . c .

|| c | |= |= 6. Hallar el valor de

a.(2b-a) Sean los vectores a , b

(73)

y

a = (m,-2 ,l) y b - (2 m, m,-4) sean R p ta . m = 1 o m =2

~* -> -> -» y ¿>=(1,1,-4) Hallar dos vectores c y d de /? <3 =(3,-1,2) y¿>=(1,1,-4) —»

Rpta. | | c | | = 5

—> —>

satisface las condiciones siguientes: a = c + d ,

S í a + ¿ - c = 0 y |||| a | |= |= 2 , || ¿> ¿> |||| = W 3 , | | c | | = 8 . C a lc lc ul ul ar ar a . c .

que

—» -> —► —»

b .d = 0, c || d .

Rpta. c = i ( - l ,-1,4) , d = -j(5,—1,1)

—> —»

Rpta. a . c = 10 (77} 60)

Demostrar que los puntos A(2,0,-l), B(3,2,-l) y C(5,6,-4) son colineales. colineales.

CTt)

Dados los vectores a = (5,-2,1), b = (6,1,-4) y c = (1,2,1). C alcu lar el pro du cto de las co mp on en tes de un ve cto r x , tal que a .x = 3 , c . jc = 15 .

Rpta. *240

—* —>—> —> —> —>—> —y —> —> Si 0 + 6 + c + d = 0 c al al cu cu la la r 2 c .d sabiendo que || ü+ b || = 6 , | | c | | = 3 , II ¿i || = 4

(g )

R pt a. ~

S í 0 + 6 + c = 0 y || a ||= ||= 2, ||¿>||=5, || c ||= ||= 6. Calcul Calcular ar a .b .

b .x = 62 , Rpta. ~ 2

154 1 9 )


155

Vectores en R3

Dados dos vectores a y

En la figura se tiene: || a ||= 4 , || b ||= 6 . H allar a . b .

b forma n entre sí un ángulo de 60° y el módulo

>

—>

—> —>

—>

|| ¿* || = 6. H allar él modulo de b paraque para que a - b forman con a un ángulo de 30°. 12QO

«Pía- o .b

-

=12

(87)

Si a , b son vectores unitarios y 0 es el ángulo entre ellos. Demostrar que: — 1| a - b || = | sen —| 2 2

80 ) 80 )

Dos vectores a y b forman un ángulo agudo cuyo sen 0 = 0.75, 0.75, averiguar el —»

—> —»

módulo del vector b , sabiendo quea que a - b es ortogonal

Rpta. | | 6 | | = ^ ^ \ / 7

de a es 27. (g l)

(g§)

|| a - b ||. Rpta.|| a + b ||= \/19 ;|| a - b ||=7

(90)

Dados los vértices de un triángulo A(2,-l,-3 ), B(l,2,-4) y C(3,- l,-2). Calcular Calcular las coordenadas del vector h que es colineal a la altura bajada desde el vértice A al lado opuesto, si el vector h forma con el eje O Y un ángulo obtuso y su modulo es igual a 2y¡34 . 2y¡34 .

Rpta. || * || - 3 72

|| b ||=8 , determinar || a+

(5 l)

b

||y ||a ||a -

b ||.

Rpta.

VÍ29 y 7

Sean a, b y c vectores diferente de cero, cero, y suponiendo que el ángulo entre entre —> —> —> -> a y c es igual al ángulo entre b y c ; para que valor de t es el vector c —> — > —> —> — > per pen dic ular al v ect or d =\\ b \\a+t b Rpta. / = - 1| a ||

Rpta. h - (-5,8,-6)

Un vector ha formado los ángulos de de 120° y 150° 150° con los ejes OX, OZ respectivamente. respectivamente. Determinar el á ngulo formado con el eje OY.

Rpta. || ¿?+¿> || = 2>/3

—> —> Los vectores a y b forman unángu un ángulo lo de de 60°, 60°, sabiendo sabiendo que || g ||= 5 ,

0 = 45°

Se dan los vértices de un triángulo A(3,2.-3), B(5, l,-1) y C(l,-2 ,1). Calcular el 4 Rpta. arc cos (-—) ángulo externo del vértice A. (-—)

a y b forman un ángulo de de 45° y el módulo de a es 3. —> —> —> —> Determinar el módulo de bde modo que a - b sea per pen dicu lar a a .

||f l|| = >/48 >/48 y || 6 ||= 6 .

Rpta.

(89)

Los vectores

—> — > —> —> Calcular ||¿*+¿?|| sabiendo que a y b form an un ángulo de 150° y que

Se dan los vértices de un triángulo A(-l,-2 ,4), B(-4,-2,0) y C(3,- 2,l). Calcular el ángulo interno del vértice B.

Los vectores a y b forman un ángulo de 0 = 120°, sabiendo que ¡| a |j = 3 y || b || = 5 . Determ inar ||

(82)

-»

a a y que el módulo

Rpta. p = {60°, 120°) (92)

Hallar las coordenadas del punto M si su radio radio vector forma con con los ejes coordenados ángulos iguales y su módulo es igual a 3. Rpta. M(±V3,±V3,±x/3) Se tiene un tetraedro con vértice en 0( 0,0,0), A(4,8,12), B( 14,4,8) 14,4,8) y C(12,8,4). Si se une cada vértice con el baricentro (punto de intersección de las medianas), de las caras opuestas, se forman segmentos que se interceptan en un Rpta. P(7,5,6) punt o. Hall ar d ichos punto s.

156 94)


pun tos A ( l, l, l) , B(5 ,7,4) , C(6 ,7,8 ), D(7 ,5,9 ) dete rmi nan un tetr aed ro, si desde A y D parten simultáneamente 2 móviles con dirección al baricentro de

L os

15 7

Vectores en R3

(lO l)

Dado el triángulo de vértice A,B y C con ángulo en A igual igual a 45°; AB ||= 6>/2 , graficar y hallar || BC BC ||, c om om p A - c o m p ^

la cara ABC, cada uno con una velocida d de V¡2 u/seg. En que punto se

BC

BC

encuentra que partió de D, cuando el que partió de “A” llega al baricentro. r

¡95)

\

^102)

Rpta. P(2,5,4)

—> —>

b = (2,3,0)

y

—>

c = ( -4 -5 -6 )

si una de sus diagonal diagonales es es el vector

b

\J93 )

Rpta. V = 288 w3

d = (0,-4,-12). Hallar el volumen del paralelepípedo.

->

-»

c

Rpta. — 2

y || b - a ||=5 . Hallar compt - compt

Las aristas de un paralele pípedo son paralelos a los vectores a = (1,0,0), —>

-4

Los lados de un triángulo son los vectores a , b y b - a , sí || a ||= = 6 , || b ||= 2 a

— > —> — > — > — > — > Los lados de un triángulo son a , b y a - b tales que || a ||= 10, || b ||= 6 y Rpta. || a - b ||= 14

compt = = - 5 . Hallar la la longitud longitud de a - b b

96)

Si a = 3 ¿ + 2 j 2 j - 3 k , ¿?= (0,0,-l), c = 2ex+ 3e 2 + 2e3, 2e 3, donde el 9 e 2 , e 3 son vectores unitarios

carte sianos

del

sistema

tridime nsional,

calcular:

A \ U0 4)

—> —4 —4 ■— 4 — 4 —4 Los lados de un triángulo son a , b y o+Z? o+Z? tale taless que que ||a ||=8, ||=8, ||¿ ||= 6 y Rpta. 32

|| a+ b ||= >/68 . Hallar compi?*b) -?>comp{“~b) pr oy }( * c) - ( c o m p t ^ ) b . a

—

£7 )

a

c-b

—> —> —) —>

—)

—>

Los lados de un triángulo son los vectores a , b , a - b , , sí || a ||= 5 , || b ||= 3, b

(lOs )

Sí || a - b ||= 4, || b ||= 3 y compt"b =

. Hallar la norma de a .

Rpta. || a - b |¡= \/l9

además compZ = ——. H alla r || a - b ||. —, —, (98)

b

Rpta. || a ||= >/69

2

— > —► > Los lados de un triángulo son los vectores a , b y a + b sí || a ||= 4 , || b ||= 6

/

\

(l06)

—r

—*

—?

Sea || a ||= \¡65 , || a+ b ||= 164 y comp{ S*b) =

I*

Rpta. || a + b ||= y¡76 ||= y¡76

y compt = 2 . Hallar || a + b b ||.

I í 11 102

. Hallar comp{ comp {'*~b '*~b ). b

Rpta. comp'* ^ = —— /> 5 ^99) ^99)

Los lados de un triángulo son los vectores a , b y a + b , , tales que || a | | - 3 , (a+b)

(107)

Sean los vectores a, c ortogonal al vector j que satisface a las condiciones —4 - > - + - * —> 4 a . c = 6 , compt -1 -Hallar c . Rpta. c = (—,0,2)

• , (108)

—4 -> —4 — —* > — > Si a es 11 11 al plano XY, sabiendo que || a + b ||=|| a - b | |, donde donde b = (-4,-3,1).

|| b ||= 2-v2 y || a+ b ||= y¡53 ||= y¡53 . Calcular I co mp t - c o m p t b

Los vectores a y b son los lados de un paralelogram os si || a ||= 6, — » —> “♦ 1Q —> — > —> || a ||= 2 1| b || y comp* comp* = — determinar || a - b ||. Rpta. || a - b ||= 5 b 3

Hallar un vector unitario en la dirección de a .

1 4

Rpta. u _ = (- ,—,0) ,—,0) a 5 5

158

l109J


Si a y b son dos vectores no nulos tales que el módulo de || a ||=|| b ||= k y 71

Vectores en R3

116)

el ángulo entre a y b es — y la norma de su diferencia es 2 - k. Hallar k

159

Sí d = a+ b+ c , || a ||= p , p , \\b\\=.q, *

|| c ||= r , a . b = p q , q , a . c - p r y

—>

—>

Rpta. || d ||= p ||= p + q + r

p ro y t = r . Hallar el módulo de d .

Rpta. k = 1 (110)

Dados los vectores A = A = 3 i + 3 j 3 j - 3 k y £ = i + 2 j + 3 k encontrar.

117)

Si a = (4,-2,1) y b = (2,-1,4).Hallar (2,-1,4).Hallar la componente del vector V = = 3 a - 2 b —>

->

-»

]Q

sobre el vector w = 2 a + 3 b . a)

—> — ) La proyección de A sobre B .

b)

El ángulo entre los dos vectores. H8)

(111)

Dado el AABC en el cual

¿ A = 120° , || AB ||= 4 y || AC || AC

|| BC || BC || y las proyecciones de

llí)

Dado el AABC AABC con

|| BC || BC || y las proyecciones de

|| AB ||=8,

|| AC || AC \\=6^¡2, \\=6^¡2, encontrar

Si

a ~ (2,3,1) y b = (2,1,-3),calcular (2,1,-3),calcular la la proyecc ión del vector V ~ 3 a - ~ 3 b —>

||= 7 , enco ntrar

AB y AC sobre BC .

¿ A = 45°,

Rpta. — 3

—>

1¿

—>

Rpta. — (1 ,2,0 )

sobre el w = b - 2 a

©

Demuéstrese que:

comp{“+b) = compt + compt b b b

©

Demostrar que: Sí

c o m p t - c o m p t _ = 0 entonces || ¿2 1|=|| b |j o +¿» «+/)

(121)

Sí a . b * 0 * 0 y

AB y AC sobre BC . a . c * 0. Demuéstres Demuéstrese: e:

proy " = pro y*

^

(ll3)

c

»

c = Xb

Z>

Dado el triángulo ABC con || AB |¡= 10 , || AC ||=9, || BC ||=7 , encontrar Sean a , b , c y d vectores en V 2 tal que a = b+ c + d . Demostrar que: las proyecciones de AC y BC sobre AB .

(114)

Dado el AABC con || AB ||= 5 , || AC || AC ||= 7 ,

\\ BC ||= 9 ,

proy ecc ione s d e AB y AC sobre CB . (l is )

a)

pr oy ^ + pr o yt + pr oy t = a

b)

Si || b ||=|| c ||=|| d || entonces pr entonces pr oy t + t + p r o y t + t + proy" es paralelo a a . b c d

encontrar las las

Dadoss los Dado los vecto vectores res A = 3 / + 2 j - 6 k , B - A i - 2 j + k k . Hallar el vector —> —> proy ecc ión del vec tor A sobr e e l ve ctor B y el ángulo entre los vectores.

(l 2 ^

En el paralelogr paralelogramo amo ABCD, <(BA D) = 60°. 60°. B.

|| AB ||= a , || A D ||= 2a , donde donde a e R - (0)

Sí p =|| p r o y ^ || y q =|| p =|| p r oy 1^ AD

AB


160

Hallar p + q

Rpta-

En la figura,

a , b y c son tres

(128J

Sí pr oy x_ =(1,4,5) y p r o y y_+ = (4,1,5). Hallar los vectores

tí» ;

Sí a = (1,2 (1,2,3 ,3)) y b - (1,1,0). Descomponer ei vector a como la suma ele ele un

Vv

a*

/ .*•

—>

vectores de R , tales que b es

e y

—>

vector paralelo al vector b y un un vector ortogonal al al vector b .

unitario, c es ortogonal a a y

130)

¿z. ¿z. Z? = — 1| a ||. Hallar compt c 2

Rpta.

161 161

Vectores en R3

^3^

co mpa. mpa.

Si p r o y " =(1,2,3) y pr oy ^ = (2,1,3); Hallar a y b AC de longitudes 5. 9 y 7 Dado un triángul triánguloo ABC, con lados lados A B , BC y AC respectivamente, hallar compAB y c o mp AC^ AC

En el rectángulo de la figura: H,P y Q son puntos medios

AZ? = 4 FB ,

(132)

OC ||= 4 a , || OC

CB

Calcula r el trabajo realizado por la resultante de tres fuerzas M = M = (3,-4 .2), —> —> N = N = (2,3,-5) y P = (-3 ,-2 ,4) , aplicadas en un un punto, de modo modo que si el punte de aplicación se desplaza, en movimiento rectilíneo de la posición M posición M ,, (5.3,-7)

|| OA OA ||= a

Sí

—i» —>

-*í -*í

------

a la po sic ión Ai 2(4, -1,4). Rpta. W = 13 (sug: w - f . e , e = M xM : xM : ) 7=/^f + a p+ g c . Hallar: com pv__^+c _ _^+c ompv a b

Rpta.

— (2 6> /5 +5 3 )a

(133)

20

qb

0.775, expresa la respuesta en forma vectorial.

Dados tres puntos A,B y C, los cuales forman un triángulo, hallar la dirección de una altura cualesquiera del triángulo, usando el vector proyección. Rp ta.

La altura relativa al lado AB :

PC = AC - pr oy AC AB

127)

En el paralelogramo ABCD, ¿ (BAD) = 60°, || AB ||- 2 , || AD ||= 4 , sí

p =|| pr oy

||, q =|| pr oy AC | | . Hallar p + q. ¿O

AB

Rpta. p + q = 9

Determina r las proyecciones de una fuerza de 100 lbrs. cuyos cosenos directores son 0.29, 0.4, -0.S7, sobre una recta de cosenos directores -0.2, 0.6,

(134)

—>

—>

—>

—>

Rpta. F = 9 i - 29 j - 38 ¿

En un triángulo con ios ios vértices A(l, -1,2) , B(5,-6,2) y C(l ,3,-1) , hállese la altura h =|| BD ||

Rpta. h = 5

Determinar las fuerzas F{ y f 2 , tal tal que que su resultante resultante R sea paralela al vector —> —> —> —> a = (1,1,1) (1,1,1) y || F{ || F{ ||= ||= 3 , || F2 ||= V6 y si Fx tiene la dirección del eje OX. Rpta. F{ =(3,0,0) y F2 =(-2,1,1)


162 ^36 )

Vectores en R3

Un triángulo tiene vectores en A(2,3,7), B(-!J ,2) y C(l,-2,3) encontrar.

La fuerza F = (2,2.9) esta aplicada al punto Q(4,2,-3). Q(4,2,-3). Determinar la magnitud magnitud

a)El a) El ángulo que hace la mediana al lado A C con el lado

y los cosenos directores del momento M de ésta íuerza con respecio a. punte —> 3 6 2 P(2.4,0 P(2.4,0). ). Rpta. || A/||= A/||= 28, eosa = - ~ , cosj8 = - ~ . c o sy sy = ~^3^

163

b)

La longitud de la mediana al lado AB -4

Se dan tres tres fuerza fuerzass P = (2,-1,-3 ), Q = (3,2,-1) yP = (-4,1,3) (-4,1,3) aplicadas al punto B(-1,4,-2). Deter minar la magnitud y los los cosenos direc tores dei

BC . BC .

-4

-4

-4

A = i + 2. j+ a k ¿cuál sea el valor de “a” necesario para que Dado el vector A = este forme un ángulo de 60° con el eje de coordenados Z.

—»

momento M de la resultante de estas tuerzas con respecto al punto A( 2.3r- 1). 1). 1 — || M || M ||= \/66 , co sa =

Rpta. (l38 }

Los vectores v y w

— 4 -4

—4

1

, eos eos /3 =

4

forman un ángulo agudo donde s en 0 = —. Hallar || w;| 4

—4

sí ( v - w)J_ w)J_ v y || v ||= 27 . ^

N

139)

—>

—4 —4

—4 —4

un triángulo ABC, si AD

—4

—4

by

— 4

wparalelo a

146)

En la figura se tiene ABCD un

-y

6 , vector es de

w = pr oy * b

S i a y b son vectores de R n que forman un ángulo de 60° y sí el módulo de a es 3. Hallar el módulo de b para que a + b forma con a un ángulo de 30°. En la figura OASBCRDQ es un

^4^

Un vector de 48 unidades de magnitud magnitud forma con el eje X un ángulo ángulo de 150° y con el eje Z un ángulo de 60°. Expresar en forma cartesiana otro vector que 9

142)

un vector perpendicular al plano

Dado el sistema de ecuaciones vectoriales: vectoriales: - 4 —4

—4 —4

—4

—4 —4

—4

—4

DABC. Hallar el punto T, si T

—4

11 j + 9 k a + b ~ 11 i - y + 5 k , a - b = - 5 i + 11 j

a)

-4 -4

Calcular a y b

b)

cubo de arista “a”. El punto M es tal que AM — — AC y M T es 4

multipli multiplicado cado por el el es ca la r- - reproduzca reproduzca el vecto vectorr dado. dado.

per tene ce al p lano x - y. ,

-4 -4 -4

Ca lcul ar el ángu lo e ntre a y a + b

es la median a del lado BC . Demostrar

vectorialm ente que: || AB ||2+ ||2+ || A C ||2=2|| AD |¡|¡2 + - || BC ||2 (gran ear)

«

Sean b * 0 , a = u + w , , w ortogonal a tf3 . Demostrar que:

(íw )

En

7 *cos ^ = ” ^ 5 ^

r,

164 (148)


]5 5

Vectores en R

Para el sistema mostrado en la figura. b) f i - 4 j

, 12 k - 5 j

y 8 i+ 7 y

c)

A( 0,0,0)

, B( 1,0,1)

y C(0,1,1)

d)

A(4,~2,3)

, B(5,8,6)

y C(-7,5,-4 )

e)

A( 1,2, 1,2,1) 1)

, B(2,l, -2)

y C(3,-2,2)

—>

Hallar el vector 5 , si:

7= B y D puntos medios de aristas del cubo.

(l5 3)

Si j| a |j= 3 , || b ||= 26 y || o x b ||= 72 , calcular a . b . Los vectores

Rp ta, ± 30

2k , ' --> a y b forman un ángulo de — , sabiendo que que jj a || —1 ,

—^

|| b ||= 2, calcular:

^149 ^149yy

a)

EL vec tor a es perpendicular a los vectores vectores b = (3,2,-1) y c =(-1,2,2; y

||«-v/?||

¿>) a ( a+2 b)\\ b) ¡| (2 ¿7+ ¿>

c)

|| (a + 3 b)x(3 b)x(3 a - b ) |j

—>

forma con el eje OY un ángulo obtuso. Hallar el vector a sabiendo que || o || = IOa/ IOa/55 .

Rpta.

a)

||a || a x b || = 3

b)

27

Rp ta. a =(12,-10 ,15) Sí a - (2,1,-3) y b = (1,— (1,—2,1). Hallar un ve ctor de mó dulo 5 perpe ndicul ar al

(150)

|| x || x ||= 14. (151^

( l5 ^

—>

El vector x es perpendicular a los los vectores a = (3,2,2) y b - (18,-22,-5) y forma con el eje OY un ángulo obtuso. Hallar sus componentes sabiendo que Rpta. * = (-4 -6 ,-1 2)

vector a x b .

®

Sea

7 = (5,3,0) (5,3,0) , b = (3,7,0)

c)

a - (1,3,7) , b = (-2,-4,3)

b)

Calcúlese el área de los triángulos con vértices: vértices: a)

A(0,0,0 )

, B( 1,0,0) y C(3,8.0 )

1,1) 1,1)

~> —> —> -4 —> —» a=(2,-1 ,2) y c =(3 ,4,-1 ). Hallar un vector b tal que a x b - c y

Calcula r el área del paralelo gram o de lados: a)

£-

Rp ta.

Rpta. b= b = (1,—1,-1) a = 2 7+ 3 ]+ 5 7 , 7 = l -

2

k

157J

Sea a =(3,-1,2) y c - (-2,4,5 ). Hallar Hallar un vector b tal que a x b = c y a.b=5.

(158)

Rpta. ¿=(2,1,0)

Los vectores a y b son perpend iculares sí || a |j = V3 y || b || = V12 . Hallar el valor de || (2 a - 3 6 )x(3 a + b ) ||

Rp ta. 66

166

I59 j


Conociendo d

los vectores: vectores:

a - (1,-1,3)>

b - (2,-5 ,0),

<~f

Dados los vectores a = (2,-3,4), b = (1,1,-1) (1,1,-1) y c = (2,3,-2). Hallar el vector

I 2).

x sabiendo que es perpendic ular a los vectores a y b y que que x . c =12.

siguientes expresiones: expresiones: - (3 ,2,-6 ), calcular las siguientes ...»

—> —>

a)

(

d)

—> —» —> -> ((a x b)x c).d

ax

b ).(c v d )

167

Vectores en R

—»

-■> "*

b)

( b x a ) . ( c x d )

c)

a x{

b v c ) v d

e)

-> —> —> {a a*á ).(b x c )

f)

•••> * --> (a x c )x b x d

(-2,12,10) Rpta. x = (-2,12,10) 16 6

Ei vector x es perpendicular al eje X, y al vector a = (5,-2,3) y forma un ángulo agudo con el eje Z. Hallar las compon entes del vector x sabiendo que

{S60) {S60)

Calcular el

seno de! de! ángulo ángulo

formado por los vectores «= (2,- 2,1 ) „ Rpt a. sen 0

b = (2,3,6).

(161^) (161^)

y

5\lY7 — —

j¡ j¡ JC¡j C¡j ^ ViTV . 16 7

Demostra r que si si a es el ángulo que forman los vectores no ortogonales a y

b , entonces:

El vec tor x es perpendicula r a los vectores a - (4,-2,-3) y i>-- (CJ,3 ) y

Rp ta. x = (0 ,9.6 )

tg a-

\ a x b Í| a.b

forma con el eje OY un ángulo obtuso, hallar sus coordenadas sabiendo que || a ||= 26.

Rpta. x = ( - 5 - 2 4 , 8 )

16 8

Hallar el vector x , sabiendo sabiendo que es perpendic ular a los vectores a ~ (2,-3,1) —> —»

—»

—»

(1,-2,3) y satisface satisface la condició n x .( i + 2 j - 7 k ) = 10 . y b ~ (1,-2,3)

(l6^

El vector x es perpendicular aleje OZ y al vector a =(8,-15, 3) y forma un ángulo agudo con el

eje OX.Hallar OX.Hallar lascoordena lascoordena das de

a sabiendo que

Rpta. x Rpta. x = (45,24.0)

|| je ||= 51.

(7,5,11) 1) Rpta. x = (7,5,1 (169)

Los vectores c i , b , c forman forman una tema de mano derecha y son perpendiculares perpendiculares —r

—)

—í

—> ■—V —>

entre sí. Sabiendo que || a ||= 4, || b ||= 2, || c ¡|= ¡|= 3 , calcular a .(b x c ).

®

-> Sean los vectores a

-> J 3 y b talque talque|| | « | | = - ^ - ,

Hallar || (2 a + 3 b)x(2 a -5 b) || (l6^

2n I I H I = 2 y ¿ ( a 1b ) = — .

Rpta. 12

El vector x es perpendicular a los vectores a = (1,-2,-3) y b = (-2.2,5) y —y

Rpta. 24 (170)

El vector c es perpendic ular a les vectores a y b el ángulo formado por a —> —> —> —* y b es igua iguall a 30° 30° sabi sabiend endoo qque ue ||a ||= 6 , ||6 |¡= 3 . ¡ |c|¡= 3 , calc calcula ular r «.(he).

Rpta. ± 27

forma con el eje OY un ángulo obtuso sí || x ¡|=84. Hallar las componentes del vector x .

Rpta. x Rpta. x = (8,-2,4)

Determinar si son copíanares los vectores a. h y c sí:

168

Edu ard o E spi noz a Ra mo s

Vectores en R3

<• = (1,9-11)

,178)

Prob ar la siguiente identidad:

a = (3-2,1),

b = (2,1.2 (2,1.2), ), 7 = (3-1 ,-2)

(179J

Si

a =(2,-1,2),

b = (1,2 ,-3),

i)

a = (2,3,-1), b = (1-1,3) ,

ii) üi) Rpta.

i)

c = (3,—4,7) ii)

si son coplanares

Dados tres vectores no nocoplanares coplanares - > - > —>

—»

+

a,b y c . Demuéstreseque Demuéstrese que los vectores

-->

®

—►

Si || a ||=|| b ||=5 y ¿ ( a , b ) = ) = ~ , calcular el área de un triángulo triángulo construido —>

—>

—>

Calcular el área del tetraedro cuyos vértices

—>

U7?)

- > - » —» —» —» —> # = ( úi. m) m+ mjc(¿zjcm ),

a

interpretar

u ||

A,¿? ,C son vectores determ inados por el origen y los puntos A.B.C.

Deducir la ley de los senos en un triángulo empleando el produc to vectorial.

i + j ,

Dem ostrar que:

18£y

Si en los vectores a, b y c se verifica la la ley asociativa asociativa para el producto > > 7 ------ -> > vectorial, demostrar que los vectores a xb , a y b x c son linealmente dependiente.

(l8ó )

Demostrar que: Sean a, b, c c d e

Rpta. 2 u2 ^ —* —* —* plan o de A = 4 i - j + 3 k y

b)

El producto vectorial.

( A x B ) x C = ( A . C ) B - ( B . C) C) A tal qu e ú r ¿ > + k c + c j i : f l = 0 . C al al cu cu la la r [ a b e j Rpta. 0

(l88^

B = -2 / + j - 3 k , , mediante: El producto escalar

a x(b x c ) + b x(c x a)+ c x(a x b) = b) = 0

(1841

Rpta. 3 u 2

/

Determinarun Determinar un vector unitario per unitario per pend icul ar al

a)

—>

r~—

Rpta. 50v2

Hallar el volumen del paralelepípedodeterminado paralelepípedo determinado por por los vec tor es j + k ,

un vector unitario arbitrario, entonces demostrar que todo vector

Dem ostrar que: A x B+ B x C + C x A es perpendicular al al plano ABC.

están en los puntosA(2.-l,l), puntos A(2.-l,l),

B(5,5,4),C(3,2,l)yD(4,l,3). (í w )

, , demostrar

—» —»

sobre los vectores a - 2 b y 3 a + 2 b . ( l7 ^

u — u x v

son coplanares. 183)

—>

w -w x

—» -* —>

Si —> —»

u

v x

Sí || u || = 1. Demostr ar que || u x( a x u) || = |¡ a x

—» —>

/?+ c y c - a son coplanares.

a+ 2b -c , 3 a - b + c ,

v , h ' ií e V

pued e ser exp res ado así: geométricamente la ecuación.

Demuéstrese que para cualquier vectores dadas a , b y c c , los vectores a+ b , —* —»

(a + &)•[(« j: c).v( íj+ ¿>)| ¿>)| = 0 , V a, b, c e P3

3, no son paralelos. Si Si —» —> —> que: v+vv+w = 0 Sea

no son coplanares

iii) si son coplanares

(l7 3)

169

Determinar todos los vectores no nulos nulos ortogonales a los vectores a = (2,-3.4) y b = (-1,5,9).

Rpta. x = (-4a,-19?l, 7X), x e R

170


Sí A J j . C C d e Vr3, con A \ b x C ) =+0 y a A+b B+c C — 0 , donde a b,c e R.

Sí los vectores a, b de V3 V3 son ortogonales y a . x . x = a , b . x - S , V ;c de —» (x (x ■* "■* í HH- -¿ -¿ — b + t ^ a x b ) donde t es un V'3 entonces probar que: *: !! a ||2

— >

entonces analizar si-los vectores linealmente dependiente.

||¿ ||

pará met ro arbit rario .

1711 17

Vectores en RJ

A , B

..-i y C

son linealmente independiente

( í 9 7) 7)

S ’ ! ¡ r ¡ ¡¡- í .O .O , jj d !(-•■ 7 . ca lcul ar ( r x d ) . ( d x c ) —(c .d )~

(l98)

Elvector El vector c es

o

Demostrar que: —> —>

—»

—> —>

—>

—> —»

- » - » —» —» - *

—7

perpendicular a los vectores a , b y ¿ ( a , b ) - y , sabiendo

(tf-¿/ (tf-¿/)A(Z>)A(Z>- c) + (¿>-í/)jc( c-fl) + (í*-¿/) x(a - b) = 2( a aZ? aZ? + Z?a c + c + c aíí) qu quee |i a Ij= 8 , 1| h || = j; c jj~-6 ca lcular [a b c ]

Rp ta. 14 1444

Sí a - (a , n 2 ><*3 ) , t = (b¡tb2,b3) , c = (c{ 9c 2 , c 3)

[a

b c] = b\ c\

Sean

a,

(199¡ '

a2

a3

bi c2

bi tí j k]

Dados los vectores a —>

y

I 1 1 1 ¿>= (3,—, (3,—, —, —,—) ,—) de V*. Hatiav k, \ 2 3 4 5

—> --+ --+

—i

\a r d ± a vectores c y d tal tal que c \ \a

a

b - c + d

c3

Si a, b, c y d son vectores de

cualesquiera. Demostrar: Demostrar: b yc y d vectores cualesquiera.

—¥ —»

—>

(tf JCZ?).( c A¿/) :

[aZ? [aZ? c ]d + [¿ c b ]a+ [a c d] b + [a b c] d = 0 = 0 (193)

—»

(1,2 ,3,43 )

+

—►— >

b .c

-> Z?.d

a .c

, demos trar que:

¿Es verdad o falsa la siguiente siguiente proposición?: proposición?: (201 ; c .O

a[¿*

•*(« *&)1) = - I I a II2 a X b

x

c)

(l94^

Sí (a x b ) x ( a x d ) - a . Hallar el valor de ( a x b ) x ( b x d ) . b

(l95)

Si a , b 9 c , d , e s o n vectores n vectores de V'3, demostr ar que: labd]

[abe]

[a b c][a d e] = —>—>-■ >-■> —) —►—* [a c d] [a ce ]

Si tz, tz,Z Z? y c son vectores de V3 , demo strar que —► —>

(o x b ). (c x d ) x ( c x a ) = ((a a Z?) -c)~ \202y

Si a, b, c y d son vectores de V3 V3 , demo strar que: [a b d ]c + [a c b]d [ c b d]a + [a c d \b ~ [a

(203j

Si

-•-> ->

->

a , b , c yd e e V3, están relacionados por a x b = c x d , —> —v

—■> —t

Demuestre que los vectores a - d y b - c son paralelos.

a a c = b x d


Sí a , b , c , d vectores de R . Demue stre que: que:

173

Vectores en R3

(2iij

Sean a =(1,-11) y 6 =(2,1 ,-1). Hallar el el vector vector c tal que a x c - b y -> -* i a . c - 1 R p ta . c - - ( 1 , - 4 , - 2 )

(212y

Si el producto escalar de dos vectores a . b b = 6 y || a || = 3 , || b |] = 4. Hallar el

= (fl . c)(/> . d ) ~ { a . d ) ( b . c )

(a

, —* —> —> —> Sí a , b , c , d vectores de R \ Demuestre que:

—» —>

—» —»

—» —> —> ■ —>

modulo de la suma de los vectores.

—>

-— —

Rp ta. || a+ b || = v37

( a x b ) x ( c x d ) = b ( a .c .c x d ) - a ( b . c x d )

7

-•

a , b , c , d vectores de

o

(213)

. Demues tre que:

Hallar un vector a que es paralelo al vector b = (-2,1,3) y a . b - 28 . —>

Rpta. a =(-4,2,6) (a x b ) . ( c x d ) + (b x c) .( a x d ) + (c x a) .( b x d ) = Q —>

-4

@ —>

_^

Si tí , b y c , son los vectores de posición de los vectores de un triángulo ABC; demostrar que: a x b + b x c + c x a =25 m

-> -» Hallar un vector ci , que es paralelo a b = (1,1,—1) (1,1,—1) y a x c -(0,2,2) donde **->

—>

c = (2,1,(2,1,-1). 1).

Rpta. a =( -2 -2,2 )

donde s es es el área del del

—>

triángulo y w es un vector unitario unitario perpendicular al plano del del triángulo ABC. ABC.

( 21 5 )

Dados los vectores a =(2,-1,1), b =(-1,2,2) y c =(1,-2,a) =(1,-2, a) , cuanto debe valer “a” para que los vectores sean coplanares. Rp ta. a = -2

(2 16 )

Dados los vectores a = (-1,1,2), b = (1,3,4), c = (1,1,1) y d - (1,-5,1). Hallar

Si A , A , B B ,C e V3 V3 con con A.(fl A.(fl aC )* 0 y « A+ £B+ cC = 0 , do dond ndee a ,b ,c e R, entonces analizar si los vectores vectores A, B y C son linealmente linealmente independiente independiente o linealmente dependiente. dependiente. El vector c es perpendicular a los vectores n y b y

los valores de m, n y r para que m a- n b+ r c = d yj . 15 9 1 Kpta. m - — —, n —~ , r = — 8 8 4

= —, sabiendo 6

que || a ||=8 , || b ||=|| c ||= 6, calcular [ a b e ] .

®

—> •-* —* —* — » —> Si a . b - 20 y || a J|= 3 ,|| /? || = 10, Ha llar || ¿z a /; |¡ R pt a.

Los vectores a - (1,2,1) y b = (2,1,0) son perpe ndiculare s al v ector c , —* —► ademá s la proyecc ión de c sobre Af es (2,2,2). Hallar el vector

©

S e t ie ie ne ne un v ec ec to to r a , cuya tercera componente es 2, si a es perpendicular a —■»

—»

los vectores vectores ¿>=(1,-2,I ¿>=(1,-2,I ) y t* = (- !,! ,-2 ).Hallar ). Hallar el vector

—'■> jj a x b ¡j = 1075

—»

a


174

i CAPITULO II

Re cta s y Pla no s en el E spa cio

[2.1. [2.1. I

Tridimensional

175

SISTEMA DE COORDE NADA RECTANG ULAR E N EL. EL. E S P A C I O .Consideremos tres planos mutuamente perpendiculares, Pxy, Pxz y Pyz, que se

2.

RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO] TRIDIMENSIONAL ___ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ___ ]

cón an en un un mismo punto O. elementos geométricos. geométricos.

En la figura identifica mos los siguientes ~7 / / P x z

7

PR E-R EQ UIS ITO S.- Para la la comprensión adecuada de este tema de rectas rectas y plan os en R3, se re quie re de los con ocim ient os prev ios de:

y /

Sistema de coordenadas en el plano.

y y /

/

/

7

y /

y y / y

0

Y P x y /

Solución de sistemas de ecuaciones. Elementos de geometría del espacio.

coordenadas. Al terminar este capítulo el el alumno debe ser capaz capaz de:

/ / y y y

x /

OB JET IVO S.- Establecer los fundamentos necesarios para el trazado de plan os y rect as en el espa cio, resp ecto a un sist em a de

Pyz

/ a)

EJE S COORDENA DOS.-

Los ejes generalmente generalmente son identific identificados ados por

Describir el sistema coordenado en el espacio.

las

Situar puntos en el sistema coordenado del espacio.

frecuentemente del eje X, del eje Y y del eje Z, donde:

Recordar las distintas formas de la ecuación general de un plano.

letras

X,

Y,

Z

y

se

habla

Trazar un plano dada su ecuación, interpretando geométricamente.

El eje X es la recta determinada por la

Hallar la ecuación del plano a partir de condiciones geométricas.

intersección de los planos Pxy y Pxz, el eje Y es la recta determinada por la

Recordar que dos ecuaciones lineales simultáneas representan una recta en el espacio. (Sistema Compatible). Compatible). Representar gráficamente una recta en el espacio. Hallar la ecuación de la recta en el espacio a partir de condiciones geométricas dadas.

intersección de los planos Pxy y Pyz y el eje Z es la recta determinada por la intersección de los plano Pxz y Pyz. La dirección positiva se indica por medio de una flecha. Los ejes coordenados tomados de dos en dos determinan tres planos, llamados plan os coo rden ados .

176

Ed uar do Esp ino za Ram os Rec tas y Pla no s en el E spa cio Trid ime nsio nal

b)

177

PL AN OS CO OR DE NA DO S.E1 plano coordenado XY que denotaremos

Sea a = p2, ento nce s:

por Pxy, es det erm ina do po r las rec tas: eje X y el eje Y.

—> > a = P\ Pl = P i ~ P \ =(-*2 ~ x \ * y 2

El Plano coordenado XZ que denotaremos por Pxz, es det erm ina do po r las rec..as: eje

~M>

por lo tan to la lon git ud del vec tor a es:

X y el eje Z. Y

El Plano coordenado YZ que denotaremos

d(P\>Pl)=\\ d(P\>Pl)=\\ a || =,/(*> - X \ ? + (y2 (y2 - y,)2+ (;2- z, )2 )2

por Pyz , es de ter min ad o po r las reci as: eje Y y el eje Z.

un vector de origen pj y extremo

Ejemp lo.- Hallar la distancia entre los puntos pi (-1,-2,2) (-1,-2,2) y p2(2 ,4,-l)

Los planos coordenados dividen al espacio tridimensional en 8 sub-

Solución

espacios llamados ociantes. Consideremos un punto p(*.y,z), cualquiera en el espacio tridimensional,

Sea a = w

2

= p 2 - Pl ( 2 , 4 - 1 ) - ( - 1 - 2 , 2 ) = ( 3 ,6 ,6 - 3 )

a través de p(x.y,z) se construye tres planos, un plano perpendicular a cada uno de los ejes coordenados.

d ( p v p 2) 2) =

/.

Sea A(x, 0, 0 ) el punto en el cual el plano perpendicular corta al eje X, B(0, y, 0) el punto en el cual el plano perpendicular corta al eje Y, y sea C(o,o,z) el punto en ei cual el plano perpendicular corla al eje Z. 2.2.

La distancia distancia no dirigida entre entre dos puntos p, (x¡ (x¡ ,y> ,z.) y p2 (x2,y2,z2) del espacio tridimensional está dado por:

d(Pi
d(p]tp2) = 3n/ó

Ejem plo.- Demostrar que los puntos pi (-2,4,-3), p 2 (4,-3,-2) y p3(-3,-2,4) son los vértices de un triángulo equilátero.

Solución

DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS.TEOR EM A.-

|| 7 II =y¡327 ó 2+(-3)2 2+(-3)2 = 79 +36 + 9 = 754

Los puntos puntos P i, P2 y P3 son los vértices de un triángulo eq uilátero si: d(pt,P 2> = d(pi,p3) = d(p2, d(p2, p3), p3), ahora calculando cada una de las distancias:

i,P2) = ^(4-(-2))2+ (-3-4 )2+(-2 -(-3))2 d( Pi,P2) d ( P j, P3) =

= 736+ 736+4 9 + 1 = 7 8 6

V(~3 V(~3 - (-2 ))2 + (-2 - 4)2 + (4 - (-3 ))2 = 7l + 36 + 49 = V86 V86


179

Rec ias y Pla no s en el E spa cio Trid ime nsi ona l

d i p 2, p 3)=3^ ( - 3 - 4 ) 2 + (- 2 - (—3) )2 + ( 4 - ( —2)}2 - V49

Eje mplo .- Hallar i .- coorden adas de los los puntos de trisección del segmento cuyos extremos son (5,-1,7) y (-3,3,1)

\> ] p;, son los

Como las distancias son iguales,, entonces ios puntos pj vértices de un triángulo equilátero. equilátero.

Solución

DIVISIÓN DE UN SEGM ENTO •SEGÚN UNA RAZÓN* DADA,- __________ _ _______ j ______ _____________ _______ _ ______ Si los puntos o? (x , ,yj ,zj) > p? (y z

TEO RE MA .-

de un segmento dirigido

,/•>) ,/•>) son k:> ex?rentos ex?r entos

p,p : : l;.s coorde nadas de un

punto p(x y,7 i que div ide al s egm ento p}p2 en la R .:/óu r = p, p - ->p ->p9 es: a

A =

, +

ta s

7 —

1+ r

Vi + ry 2 , y = — 1+ r

Z\

*

(p + rp 2 ) ?ahora reemplazamos por

(x,y, z) = z) = —~ —~ (( * i »yi »yi ’"i) + r(A+y 2,i 2 )>

x { ± r x 2 1+ r -------------

z, + rz9 “ — —), po por igu a lda d se ne ne: I+ r

yi + ry 2 1+ r y '

----- — ----y — -----

zr + rz 2 1+ r

-1 + 1(3)

J

7 + d i) ' - - ¿ r - T -

2

2

7 ¡ ,5 * ? ? t>

pjB 2Bp^ Ahora calculemos las coordenadas del punto B donde: r = — _ = = 2, Bp2 Bp2 entonces r = 2

•>

qu que: e: p jp = rp p -, de don donde de = r (/?2 “ al despejar p se tiene:

► sus coordena coordenadas das respecti respectivas: vas:

a , + ta 2 yí + o s (A,y,z) = (— 7- ----- , 1+r ’ 1+r

7

2

Del gráfico gráfico se se tien tiene: e: p j p / / p p => 3 r e R

1+ r

PjA p,A 1 r - Trzrrzr- - — entonces entonces r = l/ / 2 . por lo tanto se tiene: Ap 2 2p,A 2

r *

1+ r

p

P2(-3 P2(-3,3, ,3,1) 1) H-------------- ----- *-------------- « ------------ B

Calculando las coordenadas del punto A se tiene:

5 + A -3 )

+

Demostración

tal

P A -1 ,7) -— ------- H-------------A

------------------- r ^- 1 z — -------------------

5 + 2 ((- 3) 3) 1 - 1 + 2( 3) 5 ' 7 + 2(1) 9 a-, = ------------ -- — » y? = -------------- = - , z^ = ---------- = — 1+ 2 3 2 1+ 2 3 1+ 2 3 CO RO LA RIO .- Si

p(x,y,z)

es

„

1 5 9 ) 3 3 3

el punto medio del segmento p, p2 ,

p,p entonces r ----------- = 1. Luego las coordenadas dei punto PP 2 medio son: x i + x 2 =— —

y i + y i h + ¿2 , y = — :— * , z - ---------

Ejem plo.- Los puntos extremos de un segmento son pj (-2,1,4) (-2,1,4) y p2 (3,2,-1). Hallar la coordenadas coordenadas del punto medio del segmento pjp 0


Solución

Los ángulos directore s tem an valores entre 0o y 180°, 180°, es decir: 0o < oc, oc, p, y < 180°.

Sea p' x,y,z) el punto medio de p= y p> p> entonces •Xj -f A-2

2 e n to nc e s

__

2+ 2

1811 18

Rec tas y Pla no s en el Es pa cio Trid ime nsi ona l

ni)

i " 2

A los los cosenos de los ángulos directores de la la recta L, es decir: eos a. eos ¡L eos y, se denominan cosenos directores.

2.5.

} 3 3 o { - - ,- ) ' 0 9 0

EXPRESIONES DE LOS COSENOS DIRECTORES DE UNA RECTA DETERMINADOS POR DOS DE SUS PUNT PUNTOS OS»»: —' v

á n o u l o s D I R E C T O R E S , COSENOS DIRECTORAS Y! NÚ M E R O S D IR E C T O R E S* - ___________ j

Sea L una recta recta

que

pasa por los

punto s pj (xj ,y, ,Zj) y p2 (x2 ,y2 ,z2). ,z2). Considéreme?.1 Considéreme?.1-, el vecto r a \ e:. el espacio tridimensional ios ángulos ot, ot, ¡3 v y formad os por ios ios ejes coorde nadas positivos y el vector a - (6-,, ó1 ó1, . a -,); es decir: a

2( . o v ¡i -

Si d( pj, p2) =|| =|| p, p2 H y a , fi y y son los

{ j . ). y - ¿L{ k. a ) . Si a ! IL

ángulos directores
i recta ) donde a = (a¡, a :., a.O a.O direm os que:

tien tiene: e: cosa = —-— —, c o s p -

— Z i _ # COs y =

¿(Pi>P2)

2.6. :

— £ l_ l_

¿(Pi,P2)

RELAC IÓN ENTRE LOS COSENOS DIREC TORE S DjE U N A R E C T A .TEOREMA.- La suma de los cuadrados de los cosenos directores de una recta L es igual a 1, es decir: eos2a +cos2JJ+cos2 y = 1

i)

a¡, a?, Ü3 son los'números directores de la recta L.

ii)

Los ángulos a, ¡3 y y se llaman ángulos directores de la recta L. y son

Demostración Aplicando la parte 2.5, se tiene:

formado s por los rayos positivos de los ejes de coordenadas y la recia, respectivamente.

cosa = ~ ~ — d

> e o s/? = -

d

■ yi

, cosy = — Zx , de donde d

Edu ard o E sp ino za Ra mo s

182

2.8.

d = J ( x 2 - x , ) 2 + ( y 2 - . V i ) 2 + U 2 - * i ) 2 . p o r l o>tanto: ' 2

( - * 2 - - < l) 2

eos" eos" a + eos" eos" p + eos" eos" 7 =

-j

----- + ------d75L------ +. (Z2“75* l ) 2 -

á2

; 2" - 1

OBSERVACIÓN.-

7

do dond ndee H || = yja? + a \ + a ] ,

r)

=>

i .a

a.

\a\\

a

=>

Sea L la recta que pasa por ei punto Po í Po í x x o ’ y0 •2(, ) para lelo al vect or

z *i

a - (ax,a 2 , a ?) \P(x,y,z)

Si a = (ah a2, a3) a3) es un vector dire cción de la recta L,

= * . c o sa sa -

ECUACION VECTORIAL DE LA RECTA.-

\

eos 2 a + eos (5+eos (5+eos y= l

183

Rect as y Pla nos en e l Es pac io Trid imen sion al

K \

Si p(x,y,z) de R3es un punto cualquiera de la a '= (aâg.ag)

entonces:

\ — * = KV o^ o) vector a , es decir: ► > que: p 0p = 0p = r a ,

1

¿Zj = || a || c o s a

recta L, entonces el vector p0p es paralelo al

entonces p = p = p 0 es dado por:

n j .a a2 c o s /3 /3 = — = —— \a\\ \\a

a2 = || a || eos P

L = {P = p 0 -f t¿? t¿? /te R }

+

— ^ ^ p0p l / l / a <=>3 t e R tal de donde p - p{)- í a —^ 1 a , por lo tanto la recta L

ecuación ecuación vectori vectorial al de de la la recta recta L. L.

Ejem plo.- Hallar la la ecuación vectorial vectorial de la recta L que que pasa por el punto punto =

Y-¿(k,a)

k n

a-i

=>

tl |, a^ =j| a || eos y eos y

I a II I a II a =(j| a || eos a, || a || eos (i, || a |¡cosyH| a || (cosa,cosp,cos y (cosa,cosp,cos y)) .

(4,0,5) y es paralela al vector a = (1,-1,3) Solución

—^ Como la ecuación vectorial de la recta es: L = { p { p 0 + / a / t e R ] reempla >tndo los datos se tiene: L - {(4,0,5) + 1( 1 1 1 , 3 ) / f e / ? }

A .

L A

R E C T A , -

2.7. 2.7.

LA RECTA EÑE LES PA CIO TRIDIMENSIONAL.^] TRIDIMENSIONAL.^] Dado un punto Pq (x {), {), v0,z 0) y un vector a - ( a x, a 2 , a 2 ) no nulo, llamaremos recta que pasa por p 0 (x0, (x 0, y y Q, ) paralela al vector a ~ (a{, (a {,aa 2, a 3) al conjunto. L - \ p e R h l p = p 0 +t a a , te R]

OBS ERV ACIÓ N.-

Para cada cada par de puntos puntos distintos distintos de R3, R3, hay una y solo solo una recta que pasa por ellos.

Ejem plo.- Hallar la ecuación vectorial vectorial de la recta que pasa por los puntos P, (1,3,5) y P2 (4,2,7). (4,2,7). Solución La ecuación vectorial de la recta, está dado por: L = { p \ + t p xp 2 ! t e /?}, donde

p^p 2 - (3,-1,2)

L = {(1 = {(1,3 ,3,5 ,5)) + í(3,-l,2 ) /f e /? }

184


Consideremos la recta L = { p 0 + 1 a í t e R }. Un punto

OBS ERV ACI ÓN.-

p de R

OBS ERV ACIO N.-

perte nece a la rec ta L si p = p 0 + ! a par a

dado por: x = x l + ( x 2 - x í )t

p e L <=> p - Po + t a par a a lgún t rea

L: y = y i + ( y 2 - y i ) r * t e R

ECUACION PARAMETRICA DE LA RECTA EN EL ESPACIO.Consideremos la ecuación vectorial de la recta L De la observación anterior se tiene:

{P0 -f t ai te R\

z =

Ejemplo.- Hallar las ecuaciones paramétricas de la recta L que pasa por los punto s P , ( 1,2,1 ) y P2 (5,-1 ,1) Solución

(x,y,z) = (x0, (x0, yo, yo, zo) zo) + t (ai, a2, a2, a*), a*), es decir:

De acuerdo a la observación se tiene que las ecuaciones paramétricas de la recta L son: x ~ l + ( 5 - 1)/ y = 2 + (~ l-2 )r

L:

+ (z 2 “ Z{)t

P e L <=$ P = PQ+t (7 , para algún t e R

de donde, al reemplazar por las coordenadas de P, P0 y de las componentes del ve c to ra se tiene: tiene:

Las e naciones paramétricas de la la recta L que pasa por x 2 , y2» z 2 ) está el par de puntos Pj ( xi , y x, z ¡) y P 2 ( x

algún t en R, es decir:

2.9.

185

Rec tas y Pla no s en el E spa cio Trid imen sion al

,t e R esdecir: esdecir:

z = 1+ Or

z = l + (l-l) ¿

y = y = y0 + a 2 f * * z = z = z0 + a 3t

x = \ + 4t L : y = 2 - 3 1 , t € R

2.10. 2.10. ECUACIÓN SIMÉTRICA SIMÉTRICA DE LA RECTA.Las cuales se conocen con el nombre de ecuaciones paramétricas de la recta L Ejem plo.- Hallar las ecuaciones paramétricas paramétricas de la recta recta L que pasa por el el -» punt o (5,3 ,2), para lela al v ecto r a - (4,1,-1) Solución x = 5 + 4t 4t Las ecuacione s paramé tricas de la recta L son:

LC y = 3+ f z — 2 —t —t

Consideremos las ecuaciones paramétricas de la recta L. x = x = ,x0 + a{t L: y —y o + ai t Z - z 0 +a3t Suponiendo que aj * 0, a2 & 0,

, te R

x - x 0

, t e R

# 0, despejando el parám etro t de cada

y —y q z - z 0 = -------- = ---------- = --------- , de donde por igualdad ecuación tenemos: t = ax a2 a3

186


L:

x - x q

y-y

al

a-, a-,

2.11. 2.11. RECTAS PARALELAS Y ORTOGONALES.-

0

a* Las relaciones de paralelismo y ortogonalidad entre dos rectas se da comparando sus vectores direccionales. direccionales.

Que se denomina ecuación simétrica de la recta L. Ejem plo.- Encontrar las las ecuaciones simétricas simétricas de la la recta recta paralela —>

ai

Consideremos las ecuaciones vectoriales de dos rectas.

vector a = (4,-3,2) que pasa por el punto (2.5,-1)

—>

Lj =

Solución como L:

x - xq

y - y o

se tiene L:

a,

187


x —2

v- 5

z+ i

4

íp 0 + r a I t e /?}

y

—>

L2

= {í / 0 + X b ! A e

R)

La recta Lj y 1a recta L2 son paralelas L t // L2) L2) si y solo si, sus vectores direccionales son paralelo, es decir:

Lx f f L 7 <=>a / / b

OBSERVACION.©

Si a3= 0, la la ecuación ecuación simétrica simétrica de la la recta L se escribe en en la forma r x x x0 L : -----------

Si ai = 0

a

=

y -y 0 -— ” a

z = -zá -zá

a3= 0 . La ecuación simétrica de la recta L se escribe en la

forma: L: x = x0 Ejem plo.-

z = Zo

a

Hallar la la ecuación simétrica de ia recta L que pasa por P0 (-1,1,1) para lela al v ecto r a = (2,0,1) Solución

como L: a 7 = 0 ,

ecuación simétrica de la recta L y como x - x 0 Z~ Z q ----- • = --------"i a3 x + \ z -1 L: ------ = 2 1

la ecuación de esta recta es L:

reemplazamos por los datos se tiene: tiene:

a

a

y ~ y 0 , ahora y = y = 1

OBSERVACIÓN.©

Si Lj y L2 son paralelas paralelas (Lj // L2), L2), entonces Li = L2 ó Lj n L2 = 0.

©

Si L¡ y L2no son parale paralelas las

H L2 H L2), ), entonces entonces Lj n L2

se cruzan) ó L] n L2 consta de un solo punto.

<¡) (ias rectas rectas

188


Ejem plo.- La recta L x = {(1,2 {(1,2,— ,—1) -f- r( 5, -2 ,- 3) /r € /?} es paralela a la recta

189

Re cta s y Pla nos en el E spa cio Trid imen sion al

2.12. ÁNGU LO ENTRE DOS RECTAS.- i

L 2 = {(1,-3,2) + A (- 10,4,6) 10,4,6) / A e .&} puesto que el ve ctor dirección

I

Cons Consid ider eremo emoss las las ecu ecuac acio ione ness de dos dos rec recta tass 1

—> —> de L, , ¿í = (5,-2,-3) es parale lo al vector b = (-10,4,6) que es el vector

L x={ p0 +t a l t e R} y L 2 ={ q 0 + / b / 1 e R } R } Un ángulo entre las rectas Lj y L2 se define como el

dirección dirección de la recta L2 .

ángulo formado por sus vectores direccionales a y Ejem plo. - H allar

la ecuación de la la recta L que intercepta

en ángulo

—>

—> —>

b , es decir: ¿ ( 1 ^ , 1^,) = ¿( a, b) = 6 , y es dado por

recto a la recta L. = {(1,2,3) {(1,2,3) + t(2 ,l,- l) / 1e R) y que pasa por el el

la fórmula.

pun to A (2 ,0, l).

—» —> Solución

COS0 -

y 0 < 0 < 7t

IMI11HI _______ _______ Ejem plo.- Encuéntrese un un ángulo ángulo formado por las las rectas rectas L, = { ( l , 3 - 2 ) + f ( 3 , - 6 , 9 ) / í e r } y L 2 = {(2,1 {(2,1,7) ,7) + A(1,-3 .4)/ /l e R\ Solución —> —>

—>

—>

Como 0 = ^(L 1,L2) = ^(«,¿ 7) dond dondee a - (3,-6,9), b = (1,-3,4) entonces. “ b

_ (3,-6,9).(1,-3,4 (3,-6,9).(1,-3,4 ) _ 3 +18 + 36 _ 6%/91

57 6-s/91

eos 0 = 0.99587 de donde 0 - árceos (0.99587) (2 t- 1, 1, 2 + 1,2 - 1). (2,1,(2,1,-1) 1) = 0 => 4 t-2 + 2 + t-2 + t = 0 => r = “> 1 7 5 1 por lo ta nto AP = AP = ( - —,—,—) —,—,—) = —(-1,7,5) —(-1,7,5) . 3 3 3 3 LuegoL = {(2,0,1) + A(-1,7,5) f X e R}

2.13. 2.13. DISTANCIA MÍNIMA ENTRE DOS RECTAS (RECTAS QUE SE CRUZAN).- __________ __________ __________ _________ _________ __________ _________ ____ Si Lx ={ p ={ p 0

^

+ 1 a / 1 e

R } y

^ ={ g0 + A / A e R } R } son dos rectas no paralelas

(rectas que se cruzan), entonces a la distancia mínima entre las retas Lj y L2 denotaremos por d ( d ( Lx, L x, ¿2 ) y e s definido como el segmento perpendicular común a am bas rectas. rectas.

190


Si las rectas rectas Li y L2 se cruzan, quiere decir decir que existen planos planos paralelos que contienen a las rectas Lj y L2 respectivamente.

191

Rec tas y Pla no s e n el E spa cio Trid ime nsio nal

2.14. TEOREMA.={qQ+ Á, b f he R } dos rectas no paralelas paralelas

Sean L,={p0-f/a/¿e/?}y (rectas que se cruzan).

Demuestre que la distancia mínima entre L, y L2 está dado por: d ( A . í, í, ) = ! Í S ii Demostración axb

i i á l ]

ir

Presentaremos en un gráfico, en

forma

intuitiva a las dos rectas que se cruzan sin interceptarse y sin ser paralelas del gráfico observamos que la distancia mínima entre las rectas Lt y L2 es: “La longitud del N es la normal al plano P2; Si d es la la distancia entre los planos Pi y P2 donde N es > —> —» ■—> —> —> — por lo ta nto A es ortog onal a los vecto res a y b entonces N entonces N = a x b —> Ahora consideremos el vector unitario en la dirección de la normal N ;

vector proyección de p 0 q 0 sobre a x b , lo cual es expresado en forma matemática por: P o % - a x b

¡j¡y = — = — — y como 0 = IIAMI

, AC ) entonces

( a x b ) ||, de donde donde

eos 6 =

II M n IIII AC IIII AC ||

fifl fifl .AC --------- , de donde = — ---------

. A C =|| AC || co sé

distancia distancia

por otro lado en el tr iáng ulo rect ángu lo ABC se tiene : ... (2 )

AC | AC |

y —2

dos

rectas

Z+ 1

Escribiendo

las

y

2 - 3 Solución rectas

L\ = {(1.2,—1) {(1.2,—1) + /(5,3, 2) / ) —I —I

las

y + 1 z - 3

4

d =11 d =11 AClIcos#

perpendicular entre

i

x b )| |

oblicuas dadas por las ecuaciones Lx L x: ------ = -------- = -------- ,

... (1)

x+2

d(L[

I Pu% a * b ll(o

X —1 —1

II AC II AC || ||

de donde al comparar (1) y (2) se tiene:

=

llo*¿>)ll2 Ejem plo.- Calcule la

'AC

•••

1

dadas

en

forma

vectorial

se

tiene:

g fl} y L 2 = {(-2 -1, 3) + A(4, A(4,2,-3) 2,-3) / A e fl}, la

distancia entre Lj Lj y L 2es dado por:

192


193

Re cta s y P lan os en e l Es pa cio Trid ime nsio nal

d ( / , , L¡ ) = 1 Po% -a .x b \ , do dond nde: e: p0(l,2,- l),q 0( -2,- l,3) ^ P¡7o=(P¡7o=(-3,3,-3,4 3,4))

0

= Z ( p 0 p 9 a) => eos 0 = — = —

ll(«*¿)ll —> además a = (5,3,2),

a xb -

i 5 4

j k 3 2 2 -3

—> b = ( 4,2,-3), ( 4,2,-3), entonces:

además sen# = — = —

\\axb\\ = m d z ( p , L ) =\ =\ \ \ PoPlI2 se n2d =| n2d =||| P0p P0p ||2 (l~co (l~co s2 #)

I Po% . a x b \ _ j—38| _

OBS ERV ACIÓ N.-

^

d(P,L) =|| p =|| p 0p || sen 0

de donde : (-1 3,2 3,-2 ) =>

II

II PoP II

p aqQ. a x b - 3 9 -6 9 -8 = -38 , por lo tant tanto: o:

|| (a x

—

IIp o p I!II«

II

V702

= W if a

-

-

l

á

I P n p f U f

38

p

! II «I f

^702 _ IIPoP l|2|l « l| 2 - i P o P - a f

Si las rectas L, y L 2 son paralelas, entonces d ( L l , L 2 ) = d ( P t L 2 ) , donde P es un punto cualquiera L {. de la recta L{.

2.15. TEOREMA.-

d(p,L}=

Vil PoP II2! 2! «II 2
II «II 2

Ejem plo.- Hallar la distancia t ' x + \ y + 2 z + 1 L* — — i i i

del

punto

P(3,l,- 2)

a

la

recta

Solución

Demostrai* que la distancia del punto P a la recta L {={ p 0 + t a/t e R}e s dado

Escribimos Escribimos la recta en forma forma vectori vectorial: al:

L = {(-1 {(-1 ,-2,,-2,- í) + t( l, l, l) /t e R}

i

II2II« i T - ( P o P « ) 2

por: d(p, L) = L) =

i IIp0pII2II « II2 -(PoP-a?

,

,,

v II p 0p

-------- - --------------- --------

Hall

Demostración Hacemos un dibujo intuitivo, para su interpretación, entonces. En el triángulo A P0P se tiene:

,, TV

La d(p,L) es dada por: d ( p , L) =

donde

p0 (-l,-2 ,-l) y p(3,l-2) entonces entonces p0p

p 0 p. a = 4 + 3- 1 = 6 , || PoP IIII = s/26 , || a ||= S

= (4,3,-1 ) (4,3,-1 ) ,a =(1,1,1),

194

Ed ua rd o E spi no za Ram os

195

Rec tas y Pla no s en el Esp aci o Trid ime nsio nal

„

„

\ll \ll AiPlPlI AiPlPlI a \\-iPoP - a ) 2 n/26(3)-36

6+30+2 A = (0,-7 ,2) + ------------- .(3,5,2) entonces A = (0,-7,2) + (3.5.2) = (3,-2,4) 38

¡42

{ p M = -------------

A (3,-2,4)

2.16. 2.16. PROYECCIÓN ORTOGONAL DE UN PUNTO SOBRE UNA RECTA. _ —> Consideremos una recta L {={ p 0 + t a! t e e R ] y un punto p, que no pertenece a la recta L. Entonces la proyección ortogonal del punto p sobre la recta L es el punto A de — la recta L, al cual denotaremos pr oy L L p de tal manera que el vector AP AP sea ortogonal a la recta L. Observando el gráfico se tiene: PqA = pr oy P f f

de donde A - P 0 = p r o y Y p p

2.17. EJERCICIOS DESARROLLADOS.Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto A (3,1,-2) y es , x + \ y + 2 z + 1 per pen dicu lar y cor ta a la rect a L: L : ------ = -------- = ------Solución Escribiend Escribiendoo en forma vect vectori orial al a la recta recta L = {(-1 {(-1 ,-2,,-2,- l) + t( l , l ,l ) / t e R) La recta pedida pasa por A(3 ,l,-2) cuya ecuación es: es: L, = {(3,1,-2) + X( + X( a , c ) / a e R)

/

A = A = P 0 + p r o y j , Osea: c o m o L ± L 1= > ( l,l, l ,l,l ) .( .( a ,b ,b , c ) = 0 => a + b + c = 0 ••• A = pr oy L p = p 0 + proy PoP Ejem plo.- H allar la proyección ortogonal ortogonal del punto

P(2 ,-l,3) sobre la

recta L = {(0,-7,2) + 1 (3,5,2) (3,5,2) / 1e R)

... ( 1 )

a+b+c=0 S ea ea p e L

a

L, L, entonces p e L

a

p e L j de donde

Si p e L =» p(- l + t, -2 + t,t, -1 + t ) , p e Lj =» p(3 + Xa, Xa, 1 + Xb, Xb, -2 + Xc), Xc),

Solución

entonces: (-1 + t, -2 + t, -1 + t) = (3 + Xa, Xa, 1 + Xb, Xb, -2 + Xc) Xc) de donde:

A = p 0 + pr oy PoP , P , don8e p0p don8e p0p = (2,6,1) n

—1+ / = 3+ Xa - 2 + r = 1+ /U> -1 + r = -2+A c

a = (3,5,2) => a = >/38

-5 A= a-c 1 b-a

A = (0,- 7,2) +

(2,6,1).(3,5,2) — . (3,5,2) 38

a-c

b-a

entonces

c = 5b - 4a

... (2)


de (1) y (2) se tiene: a = 2b, c = -3b, (a,b,c) = (2b, b,-3b) = b(2,l,-3) po r l o t ant o la r ect a p edi da es:

Escribiendo a la recta recta

x - l y + l z - 3 L ,: ------ = ------- = en forma vectorial vectorial 3 2 -5 se tiene:

L = {(3, 1,-2 ) + X (2,1,-3) (2,1,-3) / X e R}

Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (3, 3,4) y es perpendicular x + 2 y- 3 z+2 a cada una de las rectas L ,: —*— = ------ = -------- , y 2 -1 5 Y o -\ Y ^ x - 3 2 y - l 3 - z

L2 :

Lz ■

-------= --------- = ------1

2

-3

L = {(1,-1,3 {(1,-1,3)) + t(3,2,-5)/ 1€ R} Sea pe L] a L

*7 ~ —r - x. % __ 3

4

como b = MP = P-M = (3t + 2, 2t - 3, -5t + 6)

A las ecuaciones dadas escribiremos en forma vectorial L> = {(3,7/2 {(3,7/2,3) ,3) + X (1,1,3) (1,1,3) I X e R}.

además

Sea L la recta pedida que pasa por el punto (3,-3,4) es decir:

í ( 2 - 1 , 5 . (a,b,c) = 0

í l a - b + 5c = 0

[(1,1,3). [(1,1,3). (a, b, c) = 0

|tf + fr + 3c = 0

8

a ,b = — ,

=» t = 0, b = (2,-3,6)

po r lo tant o: L= {( -l, 2, -3 ) + t (2,- 3,6 ) / t e R)

como L _LL _LL j, L 2 entonce s (a,b,c) J_ (2,-1,5),(1,1,3) entonces

3a —

—» —> —* a ± b = * a . b = 0 => (6,-2,-3).(3t + 2, 2t - 3, -5t +6)=0

6(3t + 2) - 2(2t - 3) - 3(-5i + 6) = 0

L={(3,-3,4) + p(a,b,c)/peR}

de donde c -

p e L i a P e L .

Si p € Lj => p( l + 3t, -1 -1 + 2t, 3 - 5t) para algún t 6 R

3

Solución

Li = {(-2,3, {(-2,3,-2) -2) + t(2 ,-l ,5 )/ t e R}, y

197

Rec tas y Pla no s e n e l Esp aci o Trid imen sion al

8

Dados los puntos A (3,1,1) y B (3,-2,4). Hallar el punto C de la recta L = {(l, -l,l) + t( 1,1,0)/ te R} tal tal que que Z ( A B , A C ) = 60° Solución

a 3a a (a, b,c ) = (¿2, —,- — ) = —(8,1-3)

8

©

8

8

L = {(3,-3,4 {(3,-3,4)) + t (8,1,-3 (8,1,-3)) /t e R) Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto M(-l,2,-3) e s perpendicular -> y-t- 1 z —3 x —1 y-t-1 al vector a =(6 ,-2,-3) y se corta con la recta L {: —— = —— = — —

Sea C e L

—^ —> —> —> A B . A C =|| AB mi AC || eo s60° ,

dónde

—) —> AB = (0,-3,3), A C = ( f - 2 , / - 2 ,,00 ) 11AS 1AS |1= 9 -9 =3 ,2 >¡9 + 9 — )

Solución

=> C(1 + 1, -1 + t, 1)

,

—

*

_

|| AC||= ;2 (f- 2 )2 = \/'2¡/-2|

—^

Como

—>

—>

—>

AB A B . A C =|| AB ||||AC ||| |AC

|| eos eo s 60° , reemplazando: reemplazando:

6-3 r = 3>/2. >/2|r-2|— => 11 - 2 | = 2 - 1 de dond dondee t - 2 < 0 como t < 2 2

entonc ent onces es C(1 + t, -1 + 1, 1), para para t < 2. Una recta pasa por el punto p( 1,1,1) y es paralela al vector

—»

a -

(1,2,3), otra

recta pasa por el punto Q(2,l ,0) y es paralela al vector b = (3,8,13). Demostrar que las dos rectas se cortan y determinar su punto de intersección. S o l u c i ó n

Sean

U

= {(1,1,1) {(1,1,1) + 1(1,2,3) / t e R) y L2 = {(2,1,0)+X (3,8,13) (3,8,13) /

Las rectas Li y L2 se cortan si y solo sol o Po e

t

Po €

Lj

a

si 3 P0 tal que P0e P0 e U

Lj

a L2

==^

Po £

L2

Si P0 e

Lí =»

P0( 1 + t, 1 + 2 t , 1 + 3 t )

P0 e

L2 =»

Po( Po(2 + 3X, 1 + 8X,, 8X,, 13X)

a

X e

R).

L2 como


200

201

Rec tas y Pla no s en el E spa cio Trid ime nsio nal

Hallar la ecuación de una re cta que p asa por p( 19,0,0) y corta a las rectas L, = {(5,0,1) + t (1,1,1) / t e R ) , y L2= {(-1,2,2) + X (-2,1,0) (-2,1,0) / X / X ee R) Solución

N e L2 = {(2,2, 0) + X (1,-1,1)/ (1,-1,1)/ X e R ) => N (2 + X, + X, 2 2 - X, X)

B e U = U = { (-1.2,2 )+ X (-2,1,0) I (-2,1,0) I X e R) =* B (-2A -1 , X + 2, 2)

P e L 3= | (0,3,-2) (0,3,-2) + r (5,0,2 (5,0,2)) / r e R | => P (5r, (5r, 33,, -2 + 2r) 2r) —> —> como A#N = NP entonces se tiene:

^ MN = N - M =(A - t+1 , -A, - 2t + l, X - 2)

como los punto P, A, B son colineales, entonces. — > —» —» —> PA/ / AP => => 3 r e R R tal que PA = r 'A B de donde A - P = r(B - A)

—) iVP iVP = P - W = (5r - X - X - - 2, 1+ X, 2r X, 2r - X - X - 2), de donde

que al reemplazar por sus coordenadas se tiene: tiene:

(Jt-t+1, -X-2t+l, X-2)=(5r- X-2, 1+A X-2, 1+A,, 2r-A-2), 2r-A-2), por igualdad de vectores se tiene:

( t - 14, t , t - l ) = r ( - 2 A - t - 6 , A - t + 2 ,,- t + 3)

A -í + l = 5r—A5r—A- 2 —A—2f +1 = 1 + A A-2 = 2r-A -2

5r-2A +f =3 2A+2f = 0 2r-2 A =0

í-14 = -2 rA -r/-6 r

. .... (1 (1 ) ...(2) . .... (3 (3 )

por igual dad de vect ores se tie ne:

f -1 = -r t + t + 3r

de (2) y (3) se tiene X tiene X = = - 1, r = X = X ahora reemplazamos en la ecuación (1). (1). (=

2

A= - , 2

r = - | . L u e g o 2, 2) , 2 2 L = {

¿ ¿ ¿

(—■i . —2,2) + í(8,5,—l í(8,5,—l ) / / e /? }

t = Xr- rt + 2r

P ( — ,3 ,- 1 ) ¿-

...( 1) 1) ...(2) ...(3)

j , 3r + l r-1 de la ecuación (3) y (2) se tiene: t = = -------- , A= ------ de la ecuación (1) r+1 r (1 + r) t + 2rA + 6r = 14 reem plaz ando t y A, A, se tiene:

202

Ed ua rdo Esp ino za R am os

-> “ > 28 luego a - PA = PA = (t - 14, t, t - 1) para t - — , 13

-> 15 154 28 a = ( - ------ , — , 13 13

15 13

L={(-4,2,6)+ t(a,b,c) / te R}, como 0= ¿ (Lj,L)= ¿ (L2,L)= X (L3,L) (L3,L) entonces:

)

(a,byc).( 2 ,2 ,1) 2a + 2b+ c cos0 = —==== —===== = —= — 7== - ....... = 3 yfa +b 2 + c 2 34 a + b 2 + c 2

.\ L = {(19,0,0) {(19,0,0) + t (-154, (-154, 28, 15) 15) / 1e R} Encuentre el punto de intersección intersección de las las rectas: Lj= {-1,7,1 {-1,7,17)+ 7)+ t(-l,2 ,3)/teR ) x - 1 y z y L2: L 2: ------- = ^ = — 4 1 -5 Solución

(a,¿ >,c) .(3, 0,4) 3¿? + 4c <- / 2 .2 , 2 c / 2 . 2 , 2 5V¿ 5V¿í+0 + c 5V« +¿> +c

COS0 COS0 ss— =========== =========== = — = — ========== ==========

(fl,&,c).(2,l,2)

Escribiendo la ecuación ecuación L2 en forma vectorial vectorial.. L^ = {(7,0,0)+A(4,l,-5)/Ae R} Sea Sea p e

L»

Si pe Lj 5X)

=>

como p e L¡

a

a

COSg=

L2 entonces p e Lj a p e L2 .

p( -l - 1, 7 + 2t, 17 + 3t)

a

p e L2

ento nces p (7 + 4A, A, -

L2 => (-1 - 1, 7 + 2t, 2t, 17 + 3t) = (7 + 4A, 4A, X> -5X)

entonces t = -4 , X = -1.

las

2

3Va

+b+c

no

copíanares

concurrentes

en

0(1,-2,3),

j t - l y 5-2 5-2 z - 3 x - l 3 - z x-1 y + 2 z -3 a L :------ = ------- = ------- ;L>: ------- = y = -2 ,L,: = = —— . M 2 2 1 3 -4 7 2 1 2 Hallar la ecuación de una recta que pasa por el punto A(-4,2,6) y forma ángulos iguales con las rectas dadas. Solución Escribiendo las rectas rectas dadas en forma vectorial. vectorial. Li ={(1,-2,3)+ t(2,2 ,l)/ te R }, L2 = {(1,3,-2) + X + X (3,0,4) (3,0,4) / A e R) y L3= {(1,-2,3) + r (2,1,2) I (2,1,2) I r e r e R} Sea L la recta pedida que pasa por el punto A (-4,2,6) es decir:

...(2)

/ 2

3yfl

2

.......

+ 6" + c

se tiene:

a + 10b - 7c = 0

de (2) y (3)

se tiene:

a + 5b - 2c = 0

de (1) y (3)

se tiene:

b=c

2

- (3)

L = {(-4,2,6) + r (-3c,c,c) / r e R }

L = {(-4,2,6 {(-4,2,6)) + t (-3,1 (-3,1,1) ,1) /t e R} (í ? )

rectas

. . . ( 1) 1)

2a + ¿?+ 2 c

2 ~

de (1) y (2)

Luego: Luego: p( 3, -l,5 )

17 + 3/ = -5A Dadas

/ 2

como b = centonces c entonces a = -3c,

- l - / = 7 + 4A 7 + 2/ = A

203

Rec tas y Pla no s e n el Es pa cio Trid ime nsio nal

Encontrar la ecuación de la recta que pasa por el punto p(7,-2,9) y es x - 2 y z+ 3 jt + 4 y - 2 z per pen dic ular a las rec tas L . :------- = — = -------- , y L*: L *: -------- = -------- = — . 1 2 -2 3 2 2 5 -2 Solución Los vect vectore oress direc direccio ciones nes de de Lj y L2 respectivamente.

—> —> son son a - (2,-2,3), b - (2,5,-2)

Sea L la recta que que pasa por el el punto p(7,-2,9), luego la recta -> —» —> pedi da L = {(7,- 2,9) + t e l l teR}, teR}, pero pero como como L J .L 1 . L 2 entonces c í a , —>

b entonces:

204


Sea p c =axb-

1 2 2

205

Rec tas y Pla no s en el Es pa cio Trid ime nsio nal

j k -2 3 = (-11,10,14). 5 -2

e

L i a L2

Si p e

L,

=*

p e L|

a

p e

L2

=> p(2 + t, 1 + t, 4)

p € L2 => p(2 + a , 1 + a , 3 + a ) Por lo lo tanto: tanto:

L = {(7,-2,9) {(7,-2,9) + t (-11,10,14) / 1 e R}

como pe L]

Hallar laecuación la ecuaciónvectorial vectorial de la recta que intercepta en ángulo recto a las rectas

a

L2, entonces:

(2 + 1, 1 + 1, 4) = (2 + a, 1 + a, 3 + a)

Lj ={(3,3,4)+ {(3,3,4)+ t (2,2,3) / t e R) , L2= {(1,6,-1) {(1,6,-1) + X (-1,2,0) I (-1,2,0) I X e R j. 2+r —2 + oc

Solución

de donde: M + í = l + a L1 Sean

A e Lj =» A (3 + 2t, 3 + 2t, 4+3t), B e L 2 => B (1 (1 -A ,6 + 2A,-1)

como A,B son puntos sobre la recta L entonces el vector dirección de la recta L es —> —► a = A B = B - A de donde se tiene:

B

a = (-2 - 2t - X, 3 X, 3 + 2 X - 2t, 2t, -5 -5 - 3t) 3t) como L 1 L !, L2 a.(2,2,3) = 0

í-1 7t+ 2A= 13 ^ 1 2r+ 5A - -8 reso^ reso^vi vien^° en^° [a (-1,2,0) = 0 l" í +

ento entonc nces es::

0 siste sistema ma se tiene tiene t= -1, -1, X=-2, X=-2,

—► —> por lo tanto los punto s son A (1,1 ,1), B (3,2 ,-1) , a = AB AB = B - A = (-2,-1,2). Luego la ecuación vectorial de la recta pedida es:

a! resolver el sistema se tiene que: t = a = I

4 = 3+a por lo tanto el pun to p es p (3,2 ,4), ahor a tome mos en t cer can o a p as í com o t = 2 entonces el punto A de L2es A (4,3,4), además además B e L, => B(2 B(2 + a, 1 + a, 3 + a) ento nce s se tiene: —» —> —> —» a = AB = B - A = (a - 2, a - 2, a - 1) por otra parte b = AP =P- A=(-1,-1,0) 1 —^ ^ además el área A = —1| a x b ||= 5 a 2 - 2a

de dond e

^ ^ || a x b ||= 10 entonces

49 = 0 de donde se tiene: a x = 1 - 5 ^ 2 , a 2 = 1+ 5V2 por lo tanto

las rectas pedidas son:

L = L = í(4,3,4) + r( -l + 5V2, -1 + 5^ 2, 5 y ¡ 2 ) / t e R }

L = {(4 {(4,3 ,3,4 ,4)) + /(-1-5 a/2, -1 -5 ^2 , - 5 ^ 2 ) / t e R ¡ \

L = {(1 {(1,1, ,1,1) 1) + t(-2,-1,2)/t e R)

@

Determinar

una

recta L tal que con las rectas L] ={ (2,l, 4)+ t(l,l,0 )/te R}

y L2= {(2+ a, 1 + a, 3 + a) / a e R) determinan un triángulo triángulo de de área 5u2 5u2.. Solución

Sea A (l, l,2 ) un punto y supongamos supongamos que la la recta L tiene por ecuaciones par amé trica s a: x = 4 -t, y = 5 + 3t. z = 3 + t, t e R, encontrar un punto B en L, tal que el vector A - B y la la recta sean perpendicular. Solución

206


207

Rec tas y Pla no s en el E spa cio Trid ime nsi ona l

SeaL = {(4,5,3) {(4,5,3) + t(-l,3 ,l) / 16 R)

eos p =

= -jzr

=>

p = arccos(-j^)

IM I

V3 V3

b = P0A = A - P 0 ~ (-3,-4,-1) b

= p r°y a “

1= eos 7 - —^3 - = — = —= S II II

a .b

=>

,1 7 = arccos('

V3

Hallar la longitud del menor segmento horizontal (paralelo al plano XY) que L¿ ={(0,0,0) + A(1,1,1 une las rectas L, = {(1,2,0) + *(1,2,1)/f e /?} y L¿ ={(0,0,0) ,1,1) /A s i?} i?} (-1,3, (-1,3,1). 1). (-3, -4- 1 )

.(-1,3,1)

Solución

11

3-12-1

10

11

11

L, = {(1,2,0) {(1,2,0) + f(l,2,1)/ / e /?} /?}

10 30 10 ( - 1 ,3 ,1 ) = (— ,— - — ) 11

11

¿2 = {(0,0,01+ A(1,I,1)/ Ae /?} /?}

11

10 30 10 10 30 10 PqB = B - P 0 = ( = (— — - — ,— ) =» 5 ( 4 + — ,5 — , 3 -— -— ) 11

11

11

11

11

11

como A5 / / al plano XY entonces X entonces X = = t.

54 25 23 5 ((— — , — ,— )

Luego

A (1 + t, 2 + 2t, t) y B (t, t, t)

11 11 11

J =|| A5 ||= ||= Determinar los ángulos entre una recta L paralela al vector a = (1,1,1) y los ejes

( / '( '( / ) =

coordenadas. Solución Sea L = [ P 0 + t a / t e R } , donde a = (1,1,1) es la dirección de la recta L y || a || = >¡3 ¡3 ,entonces: °\ 1 eos a = —— = — = —= = IUII ^

+ 2)2 + 0 de donde /( * ) = V**~+4í+ V**~+4í+ 5

/+2 =0 •■ Vf + 4í+5

=> t = = - 2 número critico. critico.

/. ¿ = || A5 ||=V l + 0 + 0 = l ^7)

Dadas

las

rectas rectas

=> ¿ = 1

Lj = {(1-2 ,5)+í( 2,3,- 4)¡ 4) ¡ t e

r ]

Ey = Ey = {(-2,1,2)+A(0,1,2)/ X {(-2,1,2)+A(0,1,2)/ X e /?}. Hallar la ecuación de la perpendicular común. a = arccos(-^) V3

Solución Las rectas Li y L 2 no son paralelas, es decir Lj // L2.

y

209

Rec tas y Pla nos en el E spa cio Trid imen sion al

208


Ahora veremos si 3 pe L |

aL 2

=> p e Li

a

p e L2.

Luego B(0,0,1) entonces está dado por el vector AB = B - A = ( - 2 - 2 - 2 )

Si p € L, => p (1 + 2t, -2 + 3t, 5 - 4 t) , p e L2 => p (-2, I + A, 2 + 2A) 2A) (1 + 2t, -2 + 3t, 5 - 4t) = (-2, 1 + A, A, 2 + 2A) 2A)

l + 2í = -2

- 2 + 3r = 1+ A => 5 -4 í = 2 + 2A

de donde

AB = ( - 2 - 2 - 2 )

3

Determinar la ecuación de la recta que pasa por el punto medio de AB y corta baj o u n án gul o de 60° a l a r ect a que pas a p or los pun tos R y S , d on de A(2 ,4.0 ),

2

B(0,0,-2), R(3,3,3), S(-l,3,3). Solución

— 2 13 A= — 2

El punto medio del segmento AB es M( 1,2,-1), y observando el gráfico este problema tiene dos solucione i.

po r l o t ant o l as rec tas L, y L 2 son rec tas que se c ruz an.

La ecuación de la recta Lj que pasa por R y S es: es:

1 a- 2 0

j k 3 - 4 = 10 i - 4 j + 2 k 1

Li = {(-1,3 {(-1,3,3) ,3) + t (1,0 ,0)/t e R)

2

Sea N el punto de intersección de L con Lj es decir:

L = {(l,-2,5) + t(10 ,-4,2 )/t€ R} R} ; L' = {(-2,1,-2) + A (10,-4, 2 ) / A e R} R}

Si N g Li => N (-l + 1, 3, 3) pasa algún t e R. Definimos

Determinar bajo que dirección debe ser lanzada rectilíneamente una partícula desde el punto A(2,2,3), hacia la recta L = ((0, 1 + A, A, -A) -A) / A e R } para que lo

b - M N = N - M = ( t - 2,1,4), como 60° = Z (L,Lj) = Z ( a , b ) entonces:

alcance al cabo de dos segundos, siendo su velocidad V = = >/3u! seg. Solución

eos 60° =

® ^

; donde « = (1,0,0 (1,0,0)) y ¿?= ¿?= (t- 2 , 1,4)

( M I II II M I

Sea B e L =* B(0, 1 + A, -A) para al gún A e R. además e = vt donde e = d(A,B) para t = 2 seg. V = = V5 u , e = 2>/3

c os

60 o = -(1’ 0 , 0 ) ’(’( Í _ 2 ’ 1 , 4) 4)

-

\ j ( t - 2 ) 2 +1 + 16

'~ 2 2

y j ( t - 2 ) 2 + 17

¿ ( A , B ) = >/ 4 + ( A - l ) 2 + ( - A - 3 ) 2 = 2 V 3 yj(t -

de donde A2 A2 + 2A 2A + 1 = 0 => A = -1

2)2 +1 + 16 = 2(r 2(r -2 )

=>

(í - 2)2 +17 = 4(/ - 2)2

210


3(f-2r=17

=>

17

b = ( ± J j , l , 4 )

t = 2:

211

Rec tas y Pla no s en el Es pac io Trid ime nsio nal

B.

EL PLANQ»PLANQ»-

2.18. DEFINICIÓN.» Luego las soluciones al problema son: Un plano es un conjunto P de puntos p(x,y,z) de R3 . Si existe existe un punto Po(x0 Po(x0>y >yo, o,zo) zo) de R3 y dos vectores no paralelos —> b = (bx,b 2 ,B3) de R3de tal manera que:

L = { ( l , 2 , - l ) + Á ( J j , l 4 ) / Á e R } ; L ' = { ( l , 2 , - l ) + r ( - J y , 1 , 4 ) / r e P } Dados los vértices de un triángulo A(3,-l,-l), B(l,2,-7) y C(-5,14,-3). Hallar las ecuaciones simétricas de la bisectriz del ángulo interno del vértice B.

a = (a, , (a, , a 2

P-= í{ P ( x , y , z ) e /r /P (x , y.c) = P0(x0 P0(x0,, v0,z0) v0,z0) + í a + X b ,

)

y

t.Xe R

Solución Tomemos los vectores unitarios u y v en las » ——> direcciones de BA y B C , C , respectivamente

¡2.19. ECUAC IÓN VECTORIAL DEL PLANO.-

do dond ndee £ 4 = (2-3,6), BC =(-6,12,4) BA 1„ „ ^ BC 1, , * u = --------- = -(2,-3,6) y v = ^ =-(-3,6,2) BC I BA

/

z* k

Consideremos un plano P que pasa por el

í

punto po(xo,y0 po(xo,y0,z0) ,z0) y que es para lelo a los *^ —) vectores a = (tf,,a2, 0 3) y b = (B,,B2,B3).

/

V *

/po r a / / /

... ... v

a/

p - p 0 = ta + Áb entonces:

entonces sea B = w+ v el v ector dirección de la bisectriz BD es decir: I 1 B = -( -1 ,3 ,8 ) = — (1, -3,- 8). 7 7

Luego Luego los los números números director directores es de la bisectri bisectrizz

BD son 1,-3, -8. -8. Si B( l,2, -7) pertene ce a la bisectriz, entonces sus ecuaciones x - l simétricas son: L : 1

y-2

z +1 -8

Sea p e P entonces existen t, X e R tal — > —> —> que: p0/? = /tf + AB , de donde

p - p0 + t a+ X b , luego Que es la ecuación vectorial del plano P. Ejem plo.

Hallar la la ecuación ecuación del plano que que pasa por el punto M(3,4,-5) y es —)

—>

para lelo a los vect ores a = (3,(3,-4,4,--5) -5) y B = (l,- 2, 1) . Solución Como la ecuación del plano es P = { p 0 + r a + X b! L Ae R} R} donde

212


—>

—>

po = iM(3,4,-5) y a = (3,1,-1), b = (1 ,-2.1),

por lo tanto al reemplazar se tiene:

213


©

Si po es un un ppunto unto fijo fijo ddel el plano plano P y N es su normal, entonc es la ecuación P: N . ( p - p 0) = 0) ==0

P = {(3,4,-5) + t (3,1,-1) + A(l,-2 ,1) / t, A. e R}

del plano es:

OBSERVACIÓN.-

Es la ecuación del plano que pasa por p0 y cuya normal es N . N .

De la ecuación vectorial del plano P = { p { p 0 + / a -í- X -í- X b I t . X € /?} se obtiene la normal del plano que es una recta perpendicular a dicho plano: N = a x b

2.20. 2.20. ECUACIONES PARAMETRIC AS DEL PLANO.Consideremos el plano.

7

—*

Si N es una normal al plano P = { P^ + 1 a + X a / 1 , X e e /?} y si p¡, p2s P —>

——>

entonces N es ortogonal a p, P p, P 2 ~Pi' ~ P\ P\

T = [ P 0 + t a + X b / t , X e R }

Si p e P entonces p - p , + t a + X b para t, X e R, reemplazando por sus respectivas componentes se tiene: (x,y,z) = (x0, yo, Zo) + t (ai, a2, a3) + X (b (b 1?b 2, b3) de do nde por igual dad se tie ne: jc=

+

+

P : y = y 0 +a 2 t+b2X

t, A, t, A, 6 R

z = Zq + a 3í + 6jA 6jA Que soi j tas ecuaciones paramétricas del plano P. — t

(y\

— r

— 7

Si N N es la normal al plano P = { p 0 + t a + X b / t . X e /?} y si p - p0 es ortogonal a N entonces N entonces pe P, N

*2.21. *2.21. ECUAC IÓN GENERAL DEL PLANO.Sea P el plano plano que pasa por el punto punto (* o » ’ zo ) cuy° vector normal es: Po (*o N = N = (A,B,C). Si p e P entonces: p 0 P - L N , N , de donde p 0 p . N = 0 entonces —> N . ( p - p 0) = 0. 0. Ahora reemplazando por sus componentes:

214


(A,B ,C) .(x - x0, x0, y - y0, z - z0) z0) = 0 enton ces A(x - x0) + B(y - y0) -t-t C(z - z0) = 0

Si N 1 U N 2 => 3 r g R tal que A 1 = r N N 2, 2, lo que quiere decir que los coeficientes de las ecuaciones cartesianas de los planos deben ser

Ax + By + Cz + (-Ax0 - By0 - Cz0) = 0, de dond e P: Ax + By + Cz + D = 0.

prop orci onal es, o se a que debe cump lirse:

Que es la ecuación general del plano P.

A = ^2 b 2

Ejem plo.- Encontrar la ecuación ecuación del plano que pasa pasa por el punto punto (2,4,-1) con vector normal N =(2,3,4). N =(2,3,4).

c,

—r

La ecuación del plano es dado por

—» P : N .((x,y,z) N .((x,y,z) - (2,4,-1)) = 0,

Ejemplo.Ejemplo.- Los plano planoss Pp 3x + 5y - l z + 2 3 5 - 7 1 son paralelos paralelos porque: —= — = ------ - — = r 6 10 -14 2

P: (2,3 ,4). (v 2, y - 4, z + 1) = 0,

P : 2(x - 2) + 3(y - 4) + 4(z + 1) = 0

Si los planos planos Pi y P2 son paralelos paralelos puede ocurrir que: que: Pi = P2 ó Pi n P2 = ó,

Solución

. . P: 222.

215

Rec tas y Pla no s en el Es pac io Trid imen sion al

es decir:

2x + 3y 3y + 4 z - 12 = 0

P 1 // P 2 <=> Pi = P2

PLAÑQSPARALELOS Y ORTOGONALES ■ Consideremos

los

P j: A j: A xx + xx + B B xy + xy + C, z C, z + + D, D, = 0

planos: planos: —>

P2 : A2x A2x + # 2y+C 2z+D 2 =0 , donde N¡ = (Aj son sus normales, respectivamente, entonces:

ii) y

P, n P2 = (

El plano plano Pf es ortogonal ortogonal al al plano plano P2 (Pi 1 P2) P2) si y solo solo si sus normales —■>

—>

N 1 y N 2 son ortogonales, es decir:

—>

,C ,) y N 2 = ( A 2 , B 2 , C 2)

P, 1 P2 P 2 <=> N } 1 N 2

—>

i)

ó

El plano Pi es paralelo al al plano P2 (P! // P2) si y solo si sus normales N \

tanto

y N i son paralelas, es decir:

P,//P2 <=> N i J/N2

P.

216


217

Rect as y Pla no s en el E spa cio Trid ime nsio nal

Ejem plo.- El plano 4x - y+2z= 7 es ortogonal ortogonal al plano P2: x+ 6y + z = 16 —> —> — > * por que N i . N 2 = 0. En efecto como N \ = (4,-1 ,2), TV2 = (L ó,1), ó,1), se

a -

N \ x N o,

normales

tiene: N {. N 2 = (4,-1,2).( 1,6,1) 1,6,1) = 4-6+ 2=0.

donde

de

y

N \

los planos

son las Pi

v

P2

respectivamente:

2.23. 2.23. INTERSECCIÓN DE PLANOS.i Consideremos

los

planos:

P2: A2Jc+ A2Jc+ 5 2y + C0z+

P j: A{x + B + B xy + xy + C.z +

=0

y

a = N { x N 2

=0 . Si el plano P! no es para lelo al plano P2

A A 2

j

k

B\ c, *(0,0,0) B 2 C?

(P i^ P a) entonces la intersección intersección de Pi y P2 nos da una recta L, es decir: Si

// P2 =» 3 L tal que Pj n P2 = L

El punto p 0 ( x 0 , y 0 , z 0) por donde pasa la recta se determina resolviendo resolviendo el sistema de ecuaciones de los planos Pj y P2 . Ejem plo.- Hallar la la ecuación vectorial vectorial de la recta L, dado por la intersección intersección de los planos Pi : 3x + y - 2z = 5 ; P2 : x + 2y + z + 5 = 0. Solución Calculando el vector dirección

a =

2.24. 2.24. ECUACIÓN BIPLANAR BIPLANAR PE LA RECTA.RECTA.A la ecuación de una recta que es la intersección de dos planos se denomina ecuación biplanar de la recta y se expresa en la forma siguiente: í

/?!> /?!>’+ ’+ CjZ + Dj = 0

{ A 2 x+ B2y + C 2 z + D 2 = 0 La ecuación biplanar de la recta se expresa en forma vectorial, paramétrica y —► simétrica. El vector dirección a de la recta se determina en la forma siguiente:

i 3 1

—> a

de la recta L.

j k 1 - 2 = (5,- 5,5) = 5(1 5(1 -1,1) 2 1

ahora calculamos un punto de ia recta L, para esto resolvemos el sistema de ecuaciones. |3x + y-2 z = 5 tr + 2y + z + 5 = 0

entonces

= -5 ^ 1 » simplifi simplificando cando U+ y = -1 ’

¡5x + 5y

ahora damos un un valor a cualquiera cualquiera de las variables variables de x e y por ejemplo para x = 0, y = -1, z = -3 entonces p0 (0,-1,-3).

218


219


Luego la ecuación de la recta L en forma vectorial es:

Ejem plo.- Hallar e! e! punto de intersección de de la recta L :

L = {(0,-1,-3) {(0,-1,-3) + t (1,-1,1) (1,-1,1) / 1€ R)

-------

3

=—= -1

-----

2

y el plano P: 2x + 3y - z + 11 = 0.

Otra forma de obtener la ecuación vectorial de la recta L es expresar des de la

Solución

variables en función de la tercera variable y para esto se elimina una de las Escribiendo la recta L en forma vectorial. L = {(-2,0,4) + t (3,-1,2) / t e R)

variables del sistema.

como L Ji P => 3 p tal que p € L n P. Si p e L n P entonc entonces es p e L n pe P

3 x + y - 2 z = 5 [x + 2 y + z = - 5

enton ces x + y = -1

de dond e y = -1 - x

como p e L entonces p(-2 + 3t, -t, -t, 4 + 2t) para algún t e R. además p e P => 2(- 2 + 3t) + 3 ( t) - (4 + 2t) + 11= 0

ahora se toma cualquiera de las ecuaciones, x + 2y + z = -5 como (x,y ,z)e L ^

Luego:

x - 2 - 2x + z = -5 de donde z = -3 + x (x,y,z) (x,y,z) = (x, -1 - x, -3 + x) (x,y ,z) = (0,-1 ,-3) + (x,-x,x) = (0,-1 (0,-1 ,-3) ,-3) + x( 11 ,1 )

p ( ll , 3, -2). -2).

PLAN O PARALEL O A UNA RECTA Y “ pLAÍÑ pLAÍÑO O PERPENDICULAR AUNA RECTA.RECTA. _________ ____ __________ Considerem os la ecuación

general del p lano P: Ax + B y + Cz + D = 0,

donde ;V= (A,B,C) es la normal y la ecuación vectorial de la recta

Luego: Luego: L = {(0,{(0,-1,1,-3) 3) + t (L -U ) / 1c R}

2.25. INTERSEC CION ENTRE RECTA Y PLANO.-

L = { p 0

—»

+ 1 cH

-»

e R] donde a es el vector dirección. t e

Consideremos la ecuación general de un plano:

La recta l. es paralela al plano P si y solo si el vector dirección a es ortogonal

P:

al vector nonnal N es decir:

Ax + By + Cz + D = 0 y la la ecuación

vectorial de la recta L = {p 0 +t a / 1 e R}. Si L y P

no son paralelos entonces al

iníersectarse nos da un punto Q, es decir: L n P = {Q {Q }• }• Para calcular el punto Q de intersección se resuelve el sistema de ecuaciones de la recta L y el plano P.

2.26

t = -3

L / / P <=> a ± N

Edu ard o E spi noz a Ram os

220

Si la recta L es paralela al plano P puede ocurrir que la recta L está contenida

Rec tas y Pla nos en el E spa cio Trid ime nsio nal

Í2.27. Í2.27. FAMILIA PE I L ANOS.-]

en el p lano P ó que l a inter secc ión e s el <)>, es decir : En forma similar que en la geometría analítica plana, plana, en donde se consideraba una familia tíe rectas, en este caso se puede considera r una familia de piaros ,

S i L / /P /P = > L c P ó L n P = 0

pe r e jem plo, la ecua ción 2x 2x.. - y + 3z + D = 0 repr esen ta una fam ilia de plan es La recta L es perpendicular al plano P si y solo si el vector dirección a de L es —>

—>

—>

par alel o al vect or n orm al N de N de P, es decir: L L P <=> a f J N

para lelo s dond e su no rma l es A - (2, 1,3;. Una fam ilia de plan os impo rtante , es ei sistema de planos que pasan por la intersección de dos planos dados, cuya ecuaciones se expresan: ÍPp Ai X+ B ,V + C.Z + D, = 0 \ \ [Pj.‘ A.'yX A.'yX + 3^ y ^ y ^ E'yZ E'yZ 4" D') D') —0

-«(i)

Los puntos p(x,y,z) que satisfacen u la ecuación (1) están sobre la recia de intersección, dichos puntos p(x,yyz) también satisfacen a la ecuación: Kl ( ( A, x x -f B¡y -f B¡y + C]z + D j) K 2 (A2x + B2y + B2y 4- C2z 4C2z 4- £>2) = 0 Ejemplo.- Demostrar que la recta L = {(-2,1,-5) {(-2,1,-5) + t (3,-4,4) / t e

R) es

para lelo al pla no P: 4x - 3y - 6z - 5 = 0 Solución

a - (3,-4,4) (3,-4,4)

►

N =(4,-3,-6)

Para demostrar que la recta L es paralelo al plan o P debe de cum plirs e que el vect or —y dirección a de la recta es perpendicu lar al vector normal N N del plano, es decir: L//P<=> a ± N => a . N = 12 = 12 + 12- 24 = 0

Luego como a . N N =0 entonces n i AL AL plano P.

Por lo lo tanto tanto la recta L es paralelo paralelo al al

donde Kj y K: son número s reales cualesquier a

... (2)

excepto que sean ceros

simultáneamente. Si en la ecuación (2) se tiene que Kj * 0, entonces a la ecuación (2) se puede expresar m la forma: ■Axx+ B{y B{y + C i Z + 4- K( A 2 X +B 2y + C2Z+ D2 ) = 0 0 A la ecuación (3) (3) se denomina la

—(3)

familia de planos que pasan por la la

intersección intersección de los planos Pi y P 2 . Ejem plos.- Hallar la la ecuación del plano que pasa por la la intersección de los los plano planoss 2 x -y -z 4 -8 = 0 , x 4 -6 y -2 z- 7 = 0 y po porr ei pu punt ntee (1 ,-2,2). Solución

222


Rec tas y Pla nos en el F: pa ció Trid ime nsio nal

223

Aplicando el concepto de familia de planos se tiene:

1er 1er

P: 2 x - y - z + 8 + k (x (x + 6 y - 2 z - 7 ) = 0

2do Si A = C = D = G, B * 0 entonces el plano P: y = 0 que es el plano XZ

s como (1 ,-2,2) € P => 2 + 2 - 2 + 8 + k(l -1 2 - 4 -7 ) = 0 => k = — li

3,rt 3,rt SiA = B = D = 0, C ^ 0 entonces el plano P: z = 0 que es el plano XY 4to Si B = C = 0, el plano P: Ax + D = 0 es para lelos al plano YZ

5 P: 2 j t - y - z + 8 + — ( .t.t + 6 y - 2 z - 7 j - 0

5t0 Si A = C = 0, el plano P: By + D = 0 es paralelos al plano XZ

/ . P: 27 x + 19y - 2Jz + 53 = 0

Ejem plo. - Hallar la ecuación del plano que pasa por la la intersección de ios ios plan os 2x - y + 3z = 2 y 4x + 3y - z = i y es pe rp en di cu la r^ plano 3x - 4y - 2z = 9

Si B = C = D ~ 0,. 0,. A ^ 5 entonces el plano P: x = 0, que es el plano YZ.

6t0 Si A = B = 0, el plano P: Cz + D = 0 es para lelos al plan o XY 7mo Si C - D = 0, el el plano P: Ax + By = 0, contiene al eje Z y es ortogonal al plano XY

Solución Sea Pa la familia de planos que pa san por la intersección de los planos 2x - y + 3z = 2

y

4x + 3 y - z •= 1

8to Si B = D = 0, el plano P: Ax + Cz = 0, contiene al eje Y y es ortogona l al plan o XZ

Pa : 2x - y + 3z - 2 + a(4x + 3 y - z - l) = 0

9"° Si A - D - 0, el pi ar : P: By 44- Cz = 0, 0, contiene al al eje X y es es ortogonal al al pian o YZ

Pa : (4 a + 2)x + (3 a - l)y + (3 - a)z - 2 - a = 0, donde su normal normal es:

10mo

—» N a = (4a + 2,3a-1,3 - a ) y sea P: 3x - 4y - 2z = 9 cuya cuya norma normall es: es: N = (3,-4 -2)

como como Pa l P =» N a ± N => N => N . N a = 0

(3,-4,-2).(4a+2,3a-l (3,-4,-2).(4a+2,3a-l ,3-a)=0, de donde donde 12a+6 -12a + 4 - 6+2a = 0 = >a= - 2 .\ Pa : óx + 7y - 5z = 0

[2.28. [2.28. ECUACIO NES INCOMP LETAS DFL PLANO.Consider emos el plano P: Ax + By + Cz + D = 0, donde A2 t B2+ C' ¿ 0. como A, B, C y D son númer os reales, entonces se presentan ios siguientes casos:

Si C = 0, el plano P: Ax + By + D = 0, es paralelo al eje Z y además es ortogonal ai plano coordenado XY.

l l avoSi avoSi B = 0. el piano P: Ax + Cz + D = 0, es paralelo al eje Y y además es ort< gonal al plano coordenado XZ !2avoSi A = 0, el plano P: By t Cz + D = 0, es paralelo al eje X y además es ortogonal al plano coordenado YZ 13avoSi D = 0, el plano P: Ax + By + Cz = 0, pasa por el origen de coordenadas. Ejem plo.- Hallar la ecuación del del plano que pasa pasa por los puntos puntos A(7,2,-3) y B(5,6,-4) y es paralelo al eje X. Solución

Fiuardo Espinoza Espinoza Ramos

224

Sea P el plano buscado. P: N .[(*, .[(*, y, z y, z)) - (7,2,-3)] (7,2,-3)] = 0

En el triángulo rectángulo se tiene:

como A, B e P =* AB =(-2,4,-1) // P, como eje X // P => => i // P entonces la

de (1) y (2) se tiene que:

normal es:

¿V ^ / KAB KAB

j 0 4

k 0 :(0 ,1,4) -1

d ( p x, x, P) =|| p 0 p { || eos 0

1

d{p],V) = poP poPl.p l.p N = N = i 1 -2

+ B(y, —y0) + C(zx — C(zx —z0) z0) r VA ' + B“ + C* C* d(/?j,P) =

Ax, + By, + Cz, + £)| V a 2 + B + B 2 + C2

2 29. DISTANCIA DE UN PUNTO A UN PL A N o7 | Consideremos la ecuación general de un plano P: Ax + By + Cz + D - 0

[ A ■A xx + By x + Cz{ + Cz{ + (- Ax0 - By0 - Cz0)| Cz0)| / o 7" VA +B “ + C“

A ( A ' t — a’0 a’0 )

P; y + 47+ 10 = 0

... ( 2 )

*(A,B,C).(Xx *(A,B,C).(Xx-- x 0, y , - y 0, z , - z 0 )

V A + B 2 =» P: (0,1,4). (x - 7, y -2, z + 3) = 0

225


Ejem plo.- Calcular dado

y un punto p* (x,, yi?z,) que no pertenece ai plano P.

la

distancia distancia

del

punto

A(l,5, -4)

al

plano

por P: P: 3x - y + 2z = 6. Solución

¿(A, P) =

P o - y0 + - 6¡ V9+1+4

|3 —5 —8 —6| 16 Vl4 y[\A d(A.P) =

OBS ERV ACI ÓN.-

16 Vl4

Dadas las ecuaciones generales de dos planos paralelos

Pi: Ax + By + Cz + D, =0 y P 2: Ax + By + Cz + D + D 2 = 0, la distancia entre dichos planos está dado por la fórmula. consideremos un vector unitario p N en la dirección dirección del del vector-normal, es

d 1 ~ r >2 Va 2 + b 2 + c 2

decir:

ii N = - ^ - = - = L - = ( A ,,B B , C) C) || N || N || || '¡A- + B-+C

n ) como 0 = ¿ ( P o P\>P n ) entonces p 0 p\ - \i N ~|| PoP\ ||cos0

Ejem plos.- Hallar la distancia distancia entre entre los planos paralelos paralelos Pi: x - 3y + 4z = 10 y P 2: x —3y + 4z = 6. Solución

226


Re cta s y Pla no s en el Es pa cio Trid ime nsi ona l

Ejem plo.- Hallar el ángulo ángulo 0 que forma la recta L = {(1,8, {(1,8,11 )+t (1,1,2) /'/' te R)

Aplicando la fórmula de ía distancia entre dos planos paralelos P,: x - 3y + 4z =10 y

con el plano P: 2x - y + z = 7.

P2: x - 3y + 4z - 6 = 0

\ ' a 2 + B 2 + C 2

*’ 2

V ÍT 9 + 16

227

V26

Sea 6 =

13

Solución —> —> L , P) donde a = (1, i ,2) vector direcció n de la recta y N = (2,-1,1)

el vector normal del plano P. Ahora aplicamos la relación para calcular el

2-726 d ( P ( P „ P 2 ) = 13

ángulo 0. sen# =-

2.30. ANGULO ENTRE RECTA Y PLANO.-

a . N

(1,1,2).(2, —1,1) 1,1) _ 2 -1 + 2 _ 1 \¡ 6 Vó 6 2

R} y la Consideremos la ecuación vectorial de una recta L ~ { p () + i a / t e R} de don donde: de: sen 0= — entonc entonces es 6 = 60° 60°

ecuació n general del plano P: Ax + By + Cz + D = 0 cuyo vector norma l es N N = (A,B,C)

2

2.31. 2.31.

PROYECCION ORTOGONAL DE UN PUNTO SOBRE UN UNÍ PLANO.1 La proyecc ión ortogonal de un punto p sobre el plano P: Ax + By + Cz + D= 0 con normal N=(A ,B,C) es el punto p0 del plano plano P, al cual denotaremos denotaremos por Pr oy % , ,de tal manera que el vector p0p vector p0p es ortogonal al plano P. Para hallar el pun to po traz amo s por el pun to p una rect a L orto gona l al plan o P es —)

decir: decir : L - [ p + t N f t e R] d e d oonn ddee L n P = p 0 Sea

0=¿(a,N)

cos0 = -

a . N

ángulo

entre los

K , además se tiene a = — -

2

II *11II *11II AM

vectores vectores 0

o

y

N .■ N .■ entonc entonces: es:

, entonces: *—>

a . N

sena - sen(— sen(—-0 -0 ) = cos. cos.00 : \a

AM

por lo tan to:

se na - -

a . N

II a II1!

N ||

Que es la expresión para calcular el ángulo ángulo a formado por una recta y un plano

228


Ejem plo.- Hallar

la proyección ortogonal del punto A( 1,2, 1,2,3) 3)

229

Re cta s y Pla no s en el E spa cio Trid ime nsio nal

sobre

el plano P: x - y + 3z = 4 Solución

IL

P'

—»

A'

/ L1

como P: x - y + 3z = 4, donde N =( N =( 1,-i .3) es la normal de P y L la recta que pasa por el pum o A( l,2 ,3 ) y es per pen dicu lar al plan o P entonces L - { A + t N i t e R] R] es decir: L = {(1,2,3) {(1,2,3) + t(l,-l, 3) / 1e R¡

L' ={ P 0 + t PQB / t e R] cuando L TI P

L ' = { P ' + t ( A ' - P ' ) / t e /?} cuando P

Ejem plo.- Hallar la la proyección proyección ortogonal ortogonal de la la recta L = {(t, {(t, 1 - 1, 2t) í le R) sobre el plano P: x + y + z = 1

S ea ea B e L n P => B e L a B e P.

Solución

Si B g L => B(1 + t,t, 2 - 1, 3 + 3t) p ara algún t e R

como L y P no son paralelos, entonces existe un punto de intersección intersección A e L a P.

como como B e P => l + t - 2 + t + 9 + 9t = 4 => í = 11

Si A e L a P entone A e L

7 , — 26 de donde B {— , — 21 ) por lo tanto tanto la la proyección proyección ortogonal ortogonal del del punto A 11

11

U

Si A g L => (t, 1- 1, 2t) para algún algún t e R com o A e P = > t + l - t + 2 t = l => t = 0 => A(0, 1,0) por otra parte:

2.32. 2.32. PROYECCIÓN ORTOGONAL DE UNA RECTA RECTA SOBRE UN P L A N O . - __________________________________________ proyección

A e P

11

7 26 21 sobre el plano plano P es B{ B {— , — , — ) . 11 11 11

La

a

ortogonal

de

la

recta L = L = { p 0 + 1 a i i e R } s ob ob re re el el

plano P: Ax + By + Cz + D = 0, es la re cta L’, el cual den otar em os por Pr oy-j? que está contenida en el plano P y que pasa por dos puntos de P que ôn las pro yecc ione s ortog onal es de d os punt os de L sobre el plan o P.

L = {(t, {(t, 1 - 1, 2t) 2t) / tER }= {(0,1,0) {(0,1,0) + t (1,-1,2) (1,-1,2) / 1e R), de donde donde a = AB = (1,-1,2) => B-A =(l,-1 ,2), B=A+( 1,-1,2)=(0,1,0)+( 1,-1,2)=(0,1,0)+( 1,-1,2) 1,-1,2) =>B(1,0,2) ahora calculamos el punto C que es la proyección ortogonal del punto B sobre el plano P, para esto trazamos la recta L }que pasa por B perpendicular al plano L, = {(1,0,2) + X (1,1,1) (1,1,1) i X e R}

P es decir: SeaCg Lj

a

P =» =» C e L j A C e P


230 Si C

e

D e L2 => D(3 + 2t, -2 - 1, -5 + t) para algún t e R.

L, => C (1 + X, K 2 K 2 + X) para X) para algún X algún X e e R.

como como C e P

como D e P => 6 + 4t + 2 + t-5 + t= l => t ~

=> l+ X + 7. + 2 + \= l

1 de donde C(—, 3

231


D(~ , - - - — ) d e do nd e 3 3 3

3

3

— > 7 3 11 4 4 1 2 17 31 1. CD = D —C = ( —,— ,---------------------------------------) = —(4,- 17 ,-3 i; 3 2 2 3 3 3 3 6 6 6

2 4 — > 1 - —, —) y AC = C - A - “ (1,-5, (1,-5,4) 4) 3 3 3

SiL'= Proyp = { A + t A C / t e R } de de dond donde. e.-. -. L’={(0,l,0) L’={(0,l,0) + í(!, -5 ,4) /í e R} Ejemplo.- Hallar la proyección ortogonal de la recta L = {(2 + t.l -• 3t, -5t) / t e R}, sobre el plano P: 2x - y + z - 1.

, ••• L' = P r ovp ovp =

4 4 3 3

1 ) + t (4 (4 -17,31)//e /?} 3

2.33. 2.33. DISTANCIA MINIMA ENTRE UN PLANO Y UNA RECTA RECTA QUE NO ESTA CONTENIDA E N EL PLANO.-

Solución

La

distancia

mínima

entre

una

recta

—»

Donde a - A B = (1,-3,-5) si A(2,l,0 ) => B(3,-2,-5) B(3,-2,-5)

L = ( p 0 +f a l t e R} y un plano P: — > N . ( p ~ Q0) = 0< donde la recta L no está

ahora calcu calculamos lamos sus sus proyeccio proyecciones nes ortogona ortogonales les

contenida en el plano P y además L es

L= {(2,1,0) + t (1,-3,-5) (1,-3,-5) / 1 e R}

L

B

/ L1 L1 D

sobre el plano P, C = = Pr oy £ y D = Pro>p

para lela a P es dado por la f órmu la.

para

calcular C trazamos trazamos la recta L, L, que pasa por A es decir: como C e Li Si C

e

a

P

=>

C e L|

a

N

im i

C e P.

L, => C(2 + 2t, 1 - 1, t) para algú n

como C e

d(L, P) d(L, P) =| comp^ Qq P q |=| QoPo-N

Lj = {(2,1,0) {(2,1,0) + t (2,-1,1) / t e R)

t e

P => 4 + 4t - i + t +t = 1 => t = t = - -

1

Ejem plo.- Hallar la la distancia distancia de de la recta L = {(-2,1,5) {(-2,1,5) + t (3,-4,4) (3,-4,4) / t e R) al plano P: 4x - 3y - 6z - 5 = 0

R. 4 4 po porr lo tant tantoo C(“ ’^

Solución 1

Tomemos un punto del plano. plano. z = 0, y = 5, x = 5 entonce s Q0 = (5,5,0) y p0 = (-2,1,5) => Q^ p 0 = Q 0 - p 0 = (7,4,-5) = (7,4,-5)

ahora calculamos elpunto D, para esto trazamos la recta L2 que pasa por el d(LsP) ~ | QV po •N , _ . (7.■4,-5).(4,-3,-6)

pun to B, es decir: L2= {(3, {(3,-2 -2,-5 ,-5)) + t( 2 ,- l, l) /t e R}, como D

e

L2 a P entonces:

11*11

V16 + 9 + 36

¡28-12 + 30 30|| = ^ 6 Vól

a/ óT

232


2.34. ANGULO ENTRE DOS PLANOS.-

Solución

Consideremos las ecuaciones generales de dos planos Pj:A)X+Bly+ Ci

como co mo P_LPi => N j j //P, además se tiene

z+D|=0, cuya normal es /V= (A ,, B ,, B ], C ]) C ]) y P2 : A> x + B2 y + C2 z + D + D2 ~ 0, ~ 0, cuya normal es N

2

233


que: A,B e P => AB / / P , AB =(1,1,4) 1

= ( A ( A 2, B 2, B -,, C2). El ángulo 0 formado por los planos Pi y P2

—> i j — » jV = 1 1 1 1

es igual al ángulo entre sus vectores >

—>

>

1

>

»

como N como N _ _L L A B , N x entonces: k 4 = (-5,5,0) = -5(1,-1,0) -1

dado por la expresión siguiente. de donde tenemos que: N = -5(1 ,-1,0) . —> Luego P: N . ((x, y, z) - (x0, yo yo.. zo)) zo)) = 0 de donde Ejem plo.- Hallar el ángulo ángulo formado por los planos Pj: x - y = 4 y P2: x+z = 6

©

Hallar la ecuación ecuación caríesb a de un plano que pasa por el el punto p(l,2,-3 ) y por la intersección del plano x - y + 2z = 4 con el plano XY.

Solución P j : x - y = 4 de donde N , N , = (1,-1,0), Si 0 = ¿ (Pj, P2)= ¿ ( N x , N 2 )

Solución P 2: x + z = 6 de donde N 2 =(1,0,1)

entonces

La intersección del plano x - y + 2z = 4 con el

N

eos# = ------------ ^ P0(4,0,0)

.1 ü como eos 6 = — entonces entonces 0 = 60 2

2.35. 2.35. EJERCICIOS DESARROLLADOS.©

Encontrar una ecuación del plano que pasa por los puntos A(l,0,-1) y B(2,l,3) y que además es perpendicular al plano Pi = {(x,y,z) e R3 / x + y - z + 2 = 0 ¡

[x -y +2z~ 4 plan o X Y e s la rect a L:\ z = 0 = 0

P(1.2,3)

N, N, I!I! II N , n ( 1 ,- 1 ,0 ) .( 1 ,0 ,1 ) 1 - 0 + 0 1 eos 6 = ------- = —¡=------= ------------ = —, 2 2 ■ j i ji ji

P: x - y = l

* a

= ( 1 ,1 , 1 y 0) 0)

1

Escribiendo la ecuación de la recta L en forma vectorial para z = 0 = > x - y = 4 => x = y + 4

Si (x,y,z) e L => (x,y,z) = (y + 4, y, 0) = (4,0,0) + y (1,1,0) Lue goL = {(4,0 {(4,0,0 ,0)) + t (1,1, (1,1,00 ) /t e R} ahora calculamos la normal N = p 0p x a , donde pQp = (-3,2 ,-3) — > ,1,0) entonces: entonces: a = ( 1,1,0)

y

234


i -3 1

j 2 1

235

Rec tas y Pla no s e n el Es pa cio Trid ime nsi ona l

ahora reemplazamos (2) en (1) se tiene: C = = (>/3 - 2 )B

k -3 = (3,-3,-5), como el plano P pasa por p(l,2,-3 ) O

como N N = ((A A , B ,C ,C ) = ( B , B , ( V 3 - 2 ) B ) = B ( l , l , V 3 - 2 )

B *0

Por lo lo tant tantoo P: (1,1 (1,1,, ^ 3 -2 ).( jc -3 ,y -l, z + 2) = 0 P: N . [(x,y,z) - (1,2,-3)] = 0, de donde P: (3,-3,-5).(x - 1, y - 2. z + 3) =s 0

P: x+ y + (V3-2 )z +2V 3-8 = 0

/. P : 3 x - 3 y - 5 z = 12

©

Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto p0 (3,1,-2) > hace ángulos

(^ )

S e a p = (a,b,c) y N = (A,B,C) (A,B,C) —» —*

Solución

El plano pedido es: P: N . ( p ~ p 0) = 0, de donde /V = (A,B,C) y po (3,1,-2) el —> —> —> —> Com o A J_ J_ p => N. p = 0

pun to p or d ond e p asa el p lan o. X (Lj ,P) = X (L2 X (L2 ,P) = X ( X ( L3 ,P), donde: La condición del*problema es: X (Lj

—>

i

L c n: Ax n: Ax + By + Cz + D = 0 Sea p e L

WNlUW

H * II I M I

Aa + Bb + Ce = 0 además

L = {p 0 + t pl t e R] = { (x0, ( x0, yo yo,, z0) + t (a,b,c) / t e R} por demostrar que

Td on d e a = = (1,1,1), b = (1.0,0), N = N = (A.B.C)

=•

nulos de R 3 cal que

si po (x0,yo,z0) (x0,yo,z0) es un pun to del plan o n = Ax + By + By + + Cz + D = 0. —> Demostrar que L = {p 0 + t ¡i! t e R] está contenida en n.

Solución

sen9 = - N ' a

no

N ± p

iguales con las rectas Lj = {(1,4 ,2) +1(1,1,1) / 1e R} L2: eje OX, L3 : eje OY

par a X X (Lj ,P) = X ( X ( L2 ,P), se tiene:

vectores vectores

p (x0 + t a, y0 + t b, z0 + 1c)

com o p0 e re =» A(x 0 + t a) + B(y 0 + t b) +C(z0 +C(z0+ 1 c) + D = 0

efectuando operaciones operaciones $e $e tiene que: (V3 -1 )A - 2? - C = 0

... (1)

= Ax 0 + By 0 -rCz 0 + D + t(A a + Bb + Cc)= Cc)= 0, o

para X (L2 X (L2 ,P) = X (L3 X (L3 ,P) se tiene:

= 0 + 1(Aa, Bb, Ce) - 0 + to to = 0, entonces p e n luego luego L c n. sen8 =

N ' b IIÍVIIII *11 *11

-

*'-C

, donde ¿ = (1,0,0), c = (0,1,1), Ar=(A,B.C)

11ÍVIIII ^ II

efectuando operaciones se tiene:

A= B

.. (2)

®

Hallar Hallar la ecuación ecuación del plano que pasa por el punto punto A(3 ,4,l)y es ortogona ortogonall a los planos P j : x -y = 4, P2: x + z = 6. Solución

236



©

Sea P i: x -y = 4 de donde N l = (.1,-1,0}

237

Encontrar Encontrar la ecuación ecuación dei plano plano que que pasa pasa por los los punto puntoss Pi (i.0 ,-t) y P2(-1,2,1) y es paralelo a la recta de intersección intersección de los planos 3x + y - 2z = 6, 4x - y + 3z = 0

P2: x + z = 6 de donde N 2 = (1.0,1)

Solución

—>

P: A' .(p - A) = 0 es el plano pedido como P J_ Pi , P2 entonces N, , N 2 //P de donde la —» normal N de N de P es:

= (-l,-l,l) para dete rm inar el vect or norm al al plano P, prim ero halla rem os el vec tor como P: N .(p - A)=0, A)=0, al reemplazar se se tiene, tiene, P: (-l ,-l ,l) .(x - 3, 3, y - 4,z-l )=0

dirección v de la recta de intersección.

P: x + y - z = 6

©

i

Encontrar la ecuación del del plano que pasa por (1,2,-3) y sea paralelo paralelo al al plano

v = N ] x N 2 = 3

3x - y + 2z = 4. ¿Cuál es la distancia entre los planos?

j

k

1

- 2 =(1,-17,-7) donde N } =(3,1,-2) y N 2 =(4,-1,3)

4 - 1 3

Solución ahora trasladamos el vector v paralelamente al al plano buscado y con el vector Sea

P,: 3x - y + 2z = 4, donde N ] = (3,-l,2)y P e! plan plan o pedid o,

com o P2 P2 = (-2,2,2) = (-2,2,2) se obtiene la normal N al N al piano P, es decir

P // Pi entonces P: 3x - y + 2z + D = 0 per o ( l ,2,-3) e P

3 - 2 - 6 + D = 0 =>

D= 5

por lo t anto el plano es P: 3x - y + 2z + 5= 0, la distancia entre ambos planes

i N = N = p\ p2 x v x v = -2 1

j 2 -17

k 2 = (20,-12,32) -7

para lelos se tiene : considerando el punto pi(l,0,-l) en el plano y la normal N normal N =(20,-12,32)se =(20,-12,32)se tiene: f.

P: N .(p N .(p - pL) pL) = 0, 0, reemp lazando se tiene. P: (20,-1 2,32).(x - 1, y, z + 1) = 0 /. P: 5x - 3y + 8z 8z + 3 = 0

238 ( ü)


Si

P

es

un

plano

tal

En la recta L: x = jc jc0 + a, í, y = y0 + a2í, z = z0 +

P n e je je x = j ( a , 0 , 0 ) / a ^ 0 . a e R j ,

que:

239

Rec tas y Pla no s e n e l Esp acio Trid ime nsio nal

. te R el vector dirección

P n eje y = {(0,b,0) / b ^ 0, a e R}. Demostrar que P tiene la ecuación.

es a = (a¡ ,a 2 ,a 3) y en el plano P: ax + by + cz + d = 0, sa normal es

~ •* y z P: - + f + - = l a b e

Af = (a,b,c). (a,b,c). Sea Pj: N \ . ( p - p 0) = 0) = 0 , el plano buscado donde: Solución N\ - a x N - a» a*y

ü2 ro í b

a3 » c

«1

P, : ( x - x 0) I~ b

a

k «3 = ( ü2 b c a3 «i j c a

J 1 c

Po

1 ? ?

a3 e

a3 c

a\ a

*3 e

a\ a

a2 b

y -y 0, z - z0) = 0

a«1 O-.I > a,1 a-> j = 0 + (z-z0) a c a c

a0

=0

b P: (be, ac, ab) -(x - a, y, z) = 0 => P: bcx + acy + abz = abe

(l o)

Si A,B,C y D son todos no nulos. Demuéstrese que el tetraedro formado por los planos coordenados y el plano P: Ax + By + Cz + D = 0 tiene un volumen

x y z / . P: - + f + - = 1 a b e Demostrar

que

la

ecuación

del

1 D igual igual a V ~ — 6 AB C

plano,

L: x - jc0 jc0 + ají , y = y = yo yo + a2í, - = zo = zo + + ^ >

que

te R

pasa

por

bx

«i

a

z ~z o

b

recía

y es perpendi perpendicul cular ar al

plan o P : ax + by + cz + d = 0, se pu ede rep rese ntar en la form a: *--xo y - y o

la

Solución Sean P, Q, R, los puntos de intersección del plan o P: Ax + By + Cz + D = 0, con los ejes coordenados respectivamente, es decir:

c,

e

Solución

P ( ~ , 0 , 0), <2(0, ~ , 0 )

y í ( 0 ,0, - é

/% /%. tí el volumen V del tetraedro OPQR es:

O


i —> —> —> V = = - | [OP OQ OR] | de donde se tiene: tiene: 6 T S

b — . I ' - l | 0 0 ^

v =i 6

-> OG = (

D ~~A

0

0

0

D B

0

0

o

D C

Dados Dados los los puntos puntos

2±y¡2

a - 2b 2b - c = 0 2a + 2b - 2c - 3

resolviendo el sistema se tiene:

D

- D 3 _ 1 D3 AB C 6 ABC

.

2±V2 1 u = ( a ¿ t c ) = ) = (---------- , 4 2

1 y - - - Z)3 6

entonce s

Px: Px: 2x + 2y -2 z+ 2' = 0 y P2: x—2 x—2 y -z = 1 y el el punto punto

2±y¡2

Solución P r x + 2y ■+ ?z - 5 5 ea p^ _ x + 2y + 2z = 5 —^ —^ N\ N\ = (1,2,2) y P 2 = XZ

de

donde

P3 = ? tal que P3-LP2 y además —^ —^ Sea A 3 = (¿z,0,c) (¿z,0,c) la norma de P3 puesto —^ —^ que N 3 es paral elo al plano XZ y XZ_L XZ_LP3. P3.

—*

Sea £ = {(2,1,4)+* u / t e P} don donde de u =( a,6 ,c) y H u||=l como L l /P2 l /P2 => u .N 2 ~ 0 => a - 26 - c = 0

... (1)

por otr a pa rte se ti ene: j£(L, Pt ) = 30° .entonces sen 30° = -

u.Nx

—> —> —> donde A, =(1,2,2) y N 3 =( a, 0, c)

Además eos 6 = = donde

K I II II I í l

MI IM

u . N{ ~ — 1| u ¡[ [[ ATj [[ => 2a + 2a + 2b 2b - 2 c = — . 2^ 2^ 3

1, rr-s )=- 2 ± V 2 , 2 , - 2 ± V 2 4 7

4

—^ P2: jc- 2 y - z = 1, 1, de donde su normal es A2 - (1 -2 -1 ) —>

2±V2

plan o X Z y hace un ángu lo 0 = árceos ^ con el plano x + 2y + 2z = 5.

A(2.1,4). Hallar la ecuación de una recta que pasa por el punto A que es

—^ Pji 2x + 2y -2 z + 2 = 0, de donde su normal es N¡ = N¡ = (2,2-2)

c=-

Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto (0,0,1), es ortogonal al

par alel a a P2 y que haga un á ngulo de 30° con P, . Solución

b = -

L = L = {(2,1,4 {(2,1,4)) + *(2 ± V?, 2, - 2 ± >/2) >/2) / / e /?} /?}

Luego se tiene: (l 2)

c om o || u | f * l = *
a = -

c 2 + 6 2 -he2 = 1 = 1

£

—>

241


2ci + 2 b - 2c = 3... = 3... (2) ^ (3)

COS0 -

( 1, 1, 2 ,,22 ).). ( a ,0 ,0 , c )

1

a + 2c

3 y]a2 y]a2 + c 2

^

3*Ja *Ja2 + c“^

I ^ 2~ ~ 3 V ¿r +c = a+ 2c entonc entonces es se tiene: tiene: n = - —c 4

242


243

Rec tas y Pla no s en el Es pa cio Trid imen sion al

V2 como a = (3 = 60° => eos" a + cos2 p + c os os “ y = 1 = > c o s y = ± - ^ -

3c c, v por lo t anto /V3 = ( - — ,0 ,c ) = ——(3,0,— —(3,0 ,—4) —> —> ( 0,01)) Luego P3: Nv ( p - ( 0,0 1)) - 0, al reem plazar se tiene: P3 : (3,0,-4).(x, (3,0,-4).(x, y, z -1) = 0

„ 1 1 V2 1 , N = ( - , - , ± ) = - 1,1,±a 1,1,±a/2 /2 2 2 2 2

P3 :3 *- 4z + 4 = 0 La ecuación del plano es:

P: x + y ± y¡2z + D = 0

Un plano pasa por el punto A(3,l,-1), es perpendicular al plano 2x - 2y+ z = * jo+ 0 + 0 + /) ! 11 como d i O , P) = 2 => => — > = 2 de do donde nde D = 4 => D = 4 v D = -4 Vl+1 + 2

4, y un intercepto Z es igual a -3, hállese su ecuación. Solución —y —y Sea Px: 2 x - 2y + z = -4 , de donde Aj = (2- 2,1 ) y P el plano por calcular, calcular, —y —y Luego como como P jlP =* A ,/ /P y como el el intercepto intercepto Z con con P es es -3 entonces B(0,0,-3) es un punto del plano P y además A, B € P —y

—^ —^ AB / /P / /P de donde donde

—> —y

AB = (-3,-1,-2) como como N { , AB/ /P entonces la la normal P es N dado por:

Si D = 4 entonces P,: x+ y ±\^2z + 4 = 0; P2: x + y D =-4 entonces P2: + y ± y fl z - 4 - 0 Hallar la ecuación del piano perpendicular al plano z = 2, que contenga al pun to (2 ,2,2’) y que hag a un áng ulo de 60° con e l p lano VJ jt + 2 y - 3 z + 2 = 0 Solución

j

k

N = N }x A B = -3

1

-1

-2 = (-5,-1,8)

2

-2

La ecuación del plano pedido es de la forma P: Ax + By + D = 0 puesto que es per pen dicu lar al plano z = 2 par alelo al plan o XY. La norm al del plan o P es

1

A = (A,B,0).

P: AL U- 3, y -1 , z + 1) = 0, de donde donde P: (-5,-l,8).(x - 3, y - 1, 1, z+ 1) 1) = 0, por lo tanto:

Si Px: >/3,r >/3,r + 2y - 3z + 2 = 0, de donde N l =[y / 3,2,-3) 3 ,2,-3)

P: 5x + y - 8 z - 24 = 0

Hallar la ecuación de cada uno de los planos que se hallan a dos unidades del origen y tiene una normal que hace ángulos de 60° con los semi ejes positivos OX y OY. Solución —^ / Sea P el plano buscado, cuya normal es N - (co sa , eos eos j8 , eos y )

*

El ángulo formado por Px y P es 0=60° que que es dado por : eos# =

—» -4 N N 1* l í i l 11*1

yÍ3A + 2B 1 S A +2B eos 60 = — 7 ... de dond e —= — , W A ' + B 2 2 4V 77+ 4 ( A 2 + B 2) = 3 A 2 + 4 f í 2 +4yf3AB => A = 4yÍ3B 4yÍ3B

r ~i ~i ------~ r => 2 VA + B“ = \ 3 / ... (1)

244

Ed ua rdo Es pin oza Ram os

como (2,2,2) e P => 2A + 2B + D = 0

... (2) (17 )

b de (1) y (2) se tiene D = D = - ( & S + 2 ) b

... (3)

reem plazando (1) y 3) en P: Ax + By + D = 0 P: 4y¡3Bx+By-(Syl3 + 2)R = 0, B * 0

245


Dado el plano P: x - 2y + 3z = 8 y la recta L:

Solución

=>P: 4^3 x + y-8>/3 y-8>/3 -2 = 0

•*+ 4 5 -z . . — — - —— , y = -1, -1, escnbiremos escnbiremos en forma forma

Hallar la ecuación de la recta reflejada.

vectorial L = {-4,-4,5) {-4,-4,5) + t(4,0,3) / 1 e R}.

^1

Solución

Sea Lx la recta por determinar, es decir L{ = L{ = {(0,2,-l ) ) + r( a, b, c) / r e AJ}como J}co mo

■

Lj corta corta a L => 3p € L ( n L

S e o b s e rv a que p 2 e L , a k => p2 € L¡ a p 2 e n Si p 2 e Z>j => p2 (5 + /, - / , 0) par a algún además p2 e J -2

de donde

t~ R

n : 2(5 + /) + /+ 0 -1 = 0 => t=-3

P2(2,3,0)

también

¿ 3= {(5.0 {(5.0,0 ,0)) + A(2, A(2,-1.1)/A -1.1)/A e fl} fl} L3n L3 n / r =>A e

a

=> p e

Si p e L, => => p(ra, 2 + r b ,- l + rc) rc)

^

a

p e L

peL

=>

p(-4 p(-4 + 4 t,-1, t,-1, 5 + 3t) 3t)

de donde por igualdad (ra, 2 + rb, -1 + re) = (-4 + 4t, -1, 5 + 3t) 3t) entonces:

Pl (5,0,0) (5,0,0) e L,

como 7t: 7t: 2x- y+z -l= 0, de donde = (2,—1 (2,—1,1) ,1) —> — > entonces NÍ.7T => N f l L 3 de donde:

A e

y = -L Hallar la

corta la recta L.

A la ecuación de la recta L:

,

5—r

ecuación de la recta que pasa por el punto (0,2,-1) paralela al plano dado y

La recta Lj = {(5+ /, - /, 0) / 1 e /?} se refleja en el plano n: n: 2x - y + z - 1=0,

l' \

x+4 ^

4/-4 r 3 b = — r 6-31 c = ■ a

- 4 + 4r 4r = ra -1 = 2 + rb 5+3 / = -1 + re

--------

... (1)

A e tu

Si A e ¿ 3 =->A(5+ 2A, - A,A A,A)) para algún algún A e R, además A e tc entonces

como P: x -2y + 3z = 8 de donde N = N = (1,- 2,3) como Lj / /P entonces

2(5 + 2A) 2A) + A+ A - 1 = 0 entonces A = - - , de donde:

a L N N donde a = ( a , b y c ) ) Si o liV => a. N = N = 0 =* a - 2 b + 3c = 0 ...(2)

3 3 3 3 3 3, A(2, A(2,— —, - —) =* AP AP, = ( 3 ,- - ,- ) =* Bp, Bp, =pi -B = 2Apj 2Apj = 2 (3 ,- -,- ) = (6,-3,3) 2 2 2 2 2 2

reemplazando (1) en (2) se tien e.

Pjp 2 = p2 ~P i = (-3 ,3, 0) => Bp2 = p2 - B = (3,0,3) (3,0,3) como Bp2// L y p2 e L entonces L = {(2,3,0) + r(3,0,3)/re R)

, , , 12 de donde: a - — , b = r

4/-4 6 18-9/ + —+ ---------- = 0 r r r

t=4

3 6 -> 3 , c = —— —— como a - (a,b,c) (a,b,c) = —(4,-1 -2) r r r

:. L :. L,, = {(0,2-1) + A(4- 1 -2 ) / A e /?} •



El intercepto Y de un plano es menor en una unidad que su intercepto Z y

^ T ñ ' T ñ ' l = »

entonces:

mayor en 2 unidades que su intercepto X, si el volumen volumen encerrado por el plano y los tres planos coordenados es 15M3, Hallar la ecuación del plano.

L jj L, L,

Solución

l l (a.byc). (a.byc ). (—, —, 1) = 0 => 2a + 2a + 3b -f6c = 0 ' 3 2

Los puntos por donde pasa el plano re son:

como el plano P: x + y - z - 0, de donde

(0,0,a), (0,a - 1,0), (a - 3,0,0) y la ecuación del

P U L

plano es: —>

(l,l,-~l),(a,£,c) = 0

—»

(1) N = ( 1,1,— 1,1,—1) po r ser se r

N = (a ,b ,c ) = 0

Í2a + 36+6c = 0 ahora resolvemos el sistema siguiente:

(0, 0, a) e n => (A,B, C).(0,0 ,a) = d =» aC = d (0,a (0,a -1,0) e n => (A,B,C ).(0,a - 1,0) = d

... (2)

entonces entonces a + b - c = 0

n : ;V. (x, y,z ) = é/ donde Ar = (A, B,C )

jc = 9c U = -8 -8 c

(a,b,c) = (9c,-Be, c) = c(9, -8, 1) por io tanto L = {(1,-1,1) + X(9,-8,l) / X e 1 y + 1 z - 1 R) lo que es igual a expresar en la forma. L : -----1 -8

B(a -1) = d => (a - 3,0,0) € ti (A,B, C).(a - 3,0,0) = d => A (a - 3) = d. de donde . A = A =

* -( j. »

d d — el . , . .. 1 d 3 donde V = 15 = 15uu ,B = ,C = ademas se tiene que: V ~ a -3 a- 1 a 6 AB C

(20)

Sean n ]: 3x + y + y - *? *?= 1 y

: jc - y + 3z - 1, 1, dos planos. Hallar las ecuacion es

par amé trica s de la rec ta L que pasa por las pro yec cion es del pun to Q( 1,1,1) sobre cada plano.

V=~

d d d a- 3 a- 1 a

Solución

d d d —15 —15 => => (a -3 )( a- l) a= 90 => a=6 d e d onde A= — #==--,C= —, 3

1 1 1 como 7t: N.(x,y,z) = d => n \ d ( —, —, —, —).(* —).(* , y,z) = d 3 5 6 '

5

6

x

y

z

3

5

6

k : — + — + —-

\

Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (1,-1,1), perpendicular a la recta 3x = 2y = z, y paralela al plano x + y - z = 0 Solución Sean L = {(1,-1,1) + >.(a,b,c) / X e R} la recta buscada Ll: 3x = 2y = z

Del gráfico se observa que la recta L pasa por los puntos A y B que son las proy ecc ione s del pun to Q sobre cada piano , por lo tanto calc ular emo s ios punt os A y B.

248


,l) + í( 3 ,l - l) /r e R)

Para el punto A trazamos trazamos la recta recta L ,, es decir: decir:

como A e L j n / r , entonces Ae L,

a

t] . S i A A e 7 t]

par a algún t e R, adem ás A e 7T, de donde el punto

5

=» B(1 B(1 + t, 1 - t. 1 + 3t)

Rpta. (9,-4,0), (3,0,-2), (0,2, 3) :( 3 y

Rpta . x = 4 + 5t , y = -7 -7 - 1lt, z = -2

n 7t2 => B e L , a B 6 ^ :

para algún

t e R

dedonde dondeel punto punto #(yy #(yy’ YI' YI' Ti^

4 -> > Sea ci — AB = B - A = — (1,1,-2) por lo tanto la recta L pedida es:

(7 )

Hallar las ecuaciones de la recta L que pasa por el punto

A(-l,0 ,2), es

ortogonal a la recta recta L, = {(2,2,0 )-f r( 5, -2 ,-3 )/r e /?} /?} y que corta con la recta recta L,: —— = - = — . 2 5 1 ( 5)

5 9 13 „ L -{ (— , — , —) + 4(1 4(1,1 ,1 - 2 ) /A e /?} /?} cuyas cuyas ecuaci ecuaciones ones parametrica parametricass es: es:

Rpta. L={(-l,0 L={(-l,0,2) ,2)+t(3 +t(32,6 2,65,10 5,10)/t )/t € R}. R}.

Hallar las ecuaciones de la recta que pasa por el punto M(-4,-5,3) y se corta x +1 y + y + 3 z ~ 2 x -2 y +1 z — 1 L» : ------- = ------ = ------con las dos rectas. L : — - * ------- = -------- ; L» 3 - 2 - 1 2 3 - 5 x + 4 y + 5 z - 3 Rpta. L: ------- = - — = 3 3 - 1 Hallar las ecuaciones de la recta que pasa por el punto A(-l,2,-3), es —^ per pen dicu lar al v ecto r a = (6, -2, -3) y se corta con la recta x-1 v +1 +1 z -3 j t +1 y —2 ¿+ 3 = ------ -- ------- Rpta. L : ------ = — — = —— 3 2 -5 2 -3 6

x — x —— — + P 11

,P

Dados los vértices vértices de un triángulo A(3,6,-7 ), B(-3,2,3) y C(4,-7,-2 ). Hallar las ecuaciones paramétricas de su mediana, trazada desde el vértice C.

2 además Be 7T 7T, => 1+ t ~ 1+ t + 3(1 3(1 + 3t) 3t) = 1 => t = - — 11 9 13 5

L:

Por ¡os puntos A(-ó ,ó?-5) ,ó?-5) y y B(12,-6,i) se ha trazado una recta. Hallar los pun tos de inter secc ión de e sta rect a co n los pl anos coor denad as.

L x => A(1 + 3t, 1+ t, 1- 1) 2 3(1 + 3t) + 1+ t +■t - 1 = 1 => t = = - — ,

decir: L, ={(1 ={(1,1 ,1,l ,l)) + r(l,- l,3 )/re /?}comoBe /?}comoBe SiBeL}

'-i/ '

e

9 13 7 ’ — , — ). Para el punto B trazamos la recta L 2 , es

249


€ R

13 z = — 2P

(2 )

11

2,36. 2,36. EJERCICIOS PROPUESTOS^

Dadas las rectas L, = {(3,1,0)+ {(3,1,0)+ r( 1,0,1)/r 1,0,1)/r e r } y ¿ 2 = {(1,1 {(1,1,1) ,1) + A(2,1,0)/ Ae r ) . Hallar el punto Q que equidista de ambas rectas una distancia mínima, además hallar esta distancia. distancia.

Una recta pasa por el punto A(-2,l,3), es perpendicular e intercepta a la recta Lj = {(2,2,1) {(2,2,1) + r(l ,0 -1 ) / 1 e /?}. Hallar la ecuació n vectorial de dicha recta. Rpta. L={(-2,1,3) + A.(l,l,l)/A,e R}.

( i)

Rpta. F

13 3 3 Q (— , —, —) y d 4 2 4

v6 ----

4

Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto A(2,0 ,l) y que intercepta a la recta L{ - {(1,2, {(1,2,3) 3) + f(2,2,3) / re /? } en ángulo recto. Rp ta. L={(2,0 ,1)+Á(-33,18 ,1)+Á(-33,18,10)/te ,10)/te R}


La recta L pasa por el punto A(2,l,5) y además intercepta y es perpendicular a x - l y + 2 z - 3 la recta L ,: —— = ——- — - — — Determinar la ecuación de de la recta L. L.

^ 7)

A(-5,-4,4) y B(3,-2,-4) y que corta a la recta L - {(1,1,1) -*-¿(-3,-8, -3 )

/ 1 e

^8)

R\

la

distancia

L2: L 2: .v - v - 26 + z z

mas

corta entre Rpta.

Sean las rectas /,, ={(5.1.2) ?(2,0,2 ) ?(2,0,2 ) / i

las

rectas L ]: 2x

y- ;.

d{ L , L ) - 13 J. lu

(l 9 )

3

3

Una rectaLj pasa por los puntos puntos A(2 ,1,-1) ,1,-1) y B(5,-l,3 ) y otra recta L 2 pasa por

Rpta. L1= -1.7,5)/Ae Rj L1= { ( | l , | | , - l ) T ;( ; ( ll - 7 ,5 , 5 ) /í / í e /?}, U = { ( | i | | , - 1 ) + A ( -1.7,5)/Ae (2(^

Rpta. U = U = {(-4,2,—6) + r( 2 ,ll -7 )/ f e /?}

Hallar la ecuación vectorial de la recta que intercepta un ángulo recto a las rectas

= {(3,4,3) {(3,4,3) + f( 2, 2 ,3 )/ /e /?} y L-, = {(1,6-1 ) + A( -1, 2,0 )/A e R} R}

Encontr ar la la longitud del cordel que se necesita para llegar desde el el punto P(8,6,5) hasta una vara recta de madera que pasa por los puntos A(3,5,3) y

los puntos C(-4,2,-6) y corta perpendicularmente perpendicularmente a L ,. Hallar la ecuación de A.

con cada

una de ellas.

Hallar un punto que equidista de ambas rectas una distancia mínima. 13

Hallar una recta L que intercepta intercepta a las rectas L, = {(2,1,-1) 3- ¿(3,4,0) / 1 e /?} y L2 = {(1,1,2) = {(1,1,2) + ¿(-4,3,0) í t e /?} formando un ángulo 0 = arctgVJ

+ R\ . L, = {(3 {(3,2, ,2,1) 1) + AÍ2 J.0) / Áe /?}, /?},

Rpta. P (— (— , —, —, —) 4 2 4

Dados los los vértices de un triángulo A(2,-l,-3 ), 3(5,2,-7) y C(-7,l 1,6) 1,6).. Hallar Hallar las ecuaciones canónicas de la bisectriz del ángulo externo al vértice A. x —2 y + 1 z + 3 Rpta. L: ------- = ------- = ------6 -1 -7

Rpta. L= { ( - 1,-3.0)+ k(,i .4,2)/ k(,i .4,2)/ a € R } } Determinar

Dado los vértices de un triángulo triángulo A( 3,-i, -l), B(l,2,-7 ) y C(-5 ,14,-3). ,14,-3). Hallar las ecuaciones canónicas de la bisectriz del ángulo interno del vértice B. x-l y - 2 z + 1 Rpta. L: ------- = -------- = ------1 -3 -8

Rpta. L={(2,l,5)+t(28,-l L={(2,l,5)+t(28,-l 1,-20)/t€Rj 1,-20)/t€Rj Hallar la ecu ación de la re cta que pasa por el punco medio de AB donde

251

Rec tas y Pla no s en el Es pac io Trid ime nsi ona l

Rpta.

B(8.3,l). 21)

d(PyL).

[629

Hallar la ecuación de la recta L que pasa p or el pu nto M( 1,0,2) que es ortogona l a la recta L¡ - {(1 + 2/, 5¿. 1+ ¿) / ¿ e R} y que se corta con la recta

Rpta. L= {(l,6,-l)+t(-2,-l,2 )/ 1 e R} Dado los vértices de un triángulo A( 1,-2,-4), B( 3,l,- 3) y C(5 ,l,-7 ). H allar las

L,:

-----

5

=L Z _J_ 2 - 3

R p t a . L = { (1 (1 ,,00 ,,22 )+ )+ 1 (5 (5 3 ,,-- 14 14 ,,-- 36 36 ) /t/t e R}

ecuaciones paramétricas de la altura bajada desde el vértice B al lado opuesto. Rpta. x = 3t + 3, y = 1 5 t + l , z = 1 9 t - 3 Hallar la ecuación vectorial de una recta que pasa por el punto A(2,l,-i) y corta a las rectas Lx = {(1,1,1) + ¿(2,4,5) f ¿(2,4,5) f t e R } y L ,: eje x.

Las rectas

y

de vectores direccionales (-3,1,2) y (1,2,3)

respectiv amente, se interceptan en (4,1,1). Hallar la recta (ó rectas)

que ai

interceptar a las dos primeras, determinan un triángulo isósceles con base en y cuya área es 6^f[9 u 2.

Ed uar do Esp ino zo Ram os

253


Hallar las recta L que pasa por el punto A(5,0,0) que corta al eje y en un punto

a)

¿Cuál es la menor distancia entre ambas rectas?

B de tal modo que forma con el origen un triángulo de arrea 30 ¡ r . r .

b)

¿Ca lcula r un vec tor orto gona l a amb as recta s cuy a longi tud sea igual a ia

Rpt a, I = {(5.0.0) +

12.0 12.0> > / 1e R }

distancia distancia menor?

Rpta.

a)

d = y¡6uy b)

a =(-2,1,1)

Hallar las ecuaciones paramétricas paramétricas de la perpendicnL perpendicnL : comti comti >a las rectas, dadas por las ecuaciones , y = 2/ -9 , r

L,

L,; a •- 3/ ~ 7 . y~ -?/ í4 . ;

3v 4 4

y

-/ -13. -13. Rpta Rpta L: x ~ 2i-5 2i-5 . y - -3u t ~

-4»

(30)

Determ inar una recta L tal que can las rectas L{ = L{ = {(2,1,4) + t( 1,1,0)// t( 1,1,0)// e /?}, /?}, ,L> = {(2 + A, A, 1414- A, 3 + A) A) / A e /?}. Dete rmin e un tr iáng ulo d e ár ea 5 u 2 . opta .

Una recta que pasa por el pumo A( 1.2.3), haciendo un ángulo de :0' :0' con el ojr

L - {(4,3,4) 4- /(1 ±5>/2 , - 1± 5-^2, ± 5^ 2) / t e /?}

X ) 60° con ci eje Y Halla r su ei nación ílpfm /. - {(1,2,3 {(1,2,3 r+ ri.ivÓ. l.O ) l.O ) / t ■ ■ /v! \---1 y 1 z ~ l Hados un pumo A en ia recta recta / , . — •= — — y u n pum o B en I:, I:, «vera ' a 7 4 L, - {(3,0, {(3,0,8) 8) + n i, 2.5,2;// ^ R\ que determinan un segmento

AB AB

que

forma con ia recta Lj un ángulo de 30°. 30°. Hallar la la distancia de A a B.

Hallar la ecuación vectorial Je la recta L. que ir-mrrepta a las recias

ángulo recto

Rpta.

y

L, = {(-2,1 {(-2,1 -2 ) 1 A(í> k,2) /

R}

9 9 25 L = L = { (- -- , - —, — ) + r(—30.197,— 30.197,—137) 137) f f i í~ i í~ A'}

y que es ortogonal a cada una de de las rectas L¡ ~ {( -2 ,3, -2 ) 4 r( 2, ~1.5) / 1 e R\ x - 3 2 v - 7 3~2 : ------ = ---------. 1 2 - 3

Rp ta. L = {(0,5,5)+t(-1 {(0,5,5)+t(-1 ,-3 ,1) / te R} ¿Cuales son los puntos de la recta recta L= {(jc,y,z) e R * / x = y ~ z \ tales que. jun to con el p unto (0,0 ,2) dete rmi nar un trián gulo equil áter o?.

recta rectass

={(t,-2,0) + /(l ,2 ,l) /re /?}, /?}, L, = {(jc,y,z)e R* I x - y , x = z]

en

Hallar las ecuacion es paramétr icas de la recta que pasa por el punto A0¡3.--3,4)

v '

La unión consecu tiva de ios puntos A., B. C y D es un parale íogramo si ias coorden adas de los tres primeros puntos son A( 1,2,3), B(0, 1,4), C( -1,2,6). Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos C y D.

Hallar una ecuación de la recta que pasa por el punto PQ PQ(0,1,1) y corta a las

Rpta || AB* |b 10

L j-{(1,-2,5)4 j-{(1,-2,5)4 i(2,3,-4)/m i(2, 3,-4)/m ~

3^)

Dadas las rectas

Rpta. L = {(0,1,1)+ {(0,1,1)+ t(3,1.1)/te t(3,1.1)/te R} * = {(1, 6 + r , l ) / r e #}. Lj = {(2 {(2 + /; Ó-Ó-- 2f. 1 )/ í e R} y

Hallar la recta L que intercepta a L x y L2 determinando un triángulo de una unidad cuadrada de área, si L pasa por el punto M(3,2,l). Rpta. L = {(3,2,1) + 1(-2,5,0) 1(-2,5,0) /t e R}

Rp ta. x = 3 - 7t, y = -3 + 111, z - 4 + 5t

Dadas las rectas L, que pasa por los punto A(2,1.2) y Rí 5.4,5) y L- que pasa por los p unto s C (7,4 ,3) y D( 10,8,5 ).

Dado el punto A(4, 3,2), dete rminar d os puntos B y C de la recta L ={(2t,3,-t) /t e R} tal que con A sean los vértices vértices de un triángulo isósceles isósceles de área igual a 6 M , si el lado desigual desigual esta sobre la recta L. L.

25 4


(Sé )

Dado el punto A(4,3,2), determinar determinar dos dos puntos puntos B y C de ia recta

(4 2 )

Hallar la e cuación de ia recta que pasa por (2,1,5) y es perpen dicular a los vectores (1,-1,2) y (2,1,-1).

(43)

Determ inar la la ecuación de la recta que intercepta un ángulo recio a la recta

L = {(2,-2,2) + t(3,l,l)/t g R}, tales que con A, sean los vértices de un triángulo isósceles de arrea igual a 9>¡72 9>¡72 unidades cuadradas, si el lado desigual esta sobre la recta L. (3?)

L{ = L{ = {(1,2,3 {(1,2,3)) + í(2,l, -l) / / e R] y que pasa por el punto punto A(2 ,0, l).

Dado el punto Q(6,3,2) y la recta L = {(l,- l,4) + t(0,-l t(0,-l ,1) / t e R} determinar

(44 )

Hallar el punto de intersección de las rectas si existen.

las rectas que pasa por Q y cortan a L formando un ángulo de 60°.

Rpta.

3■>p2. 3^/2 L, = {(6,3,2) {(6,3,2) + /( -5 ,-l + ------- - 1 - ------- ) / f e R] 1 2 2 L , = { (6 (6 ,,33 ,,22 ) + A ( - 5 , - 1 -

(38)

3y¡2

3^2 , - l + — ) / A e R } 2 2

Las recta rectass L, ={(3 -2,4) + í(0 ,4,- 4) /re R }, L, ={(1={(1-1,2 1,2)) + -2 ,-1 ,0 )/ Ae r ]

®

(4 ^

y ¿3 = {(2,6, {(2,6,-3) -3) + a(3 ,-5,5) / ,-5,5) / a e /?} contiene 3 aristas de un paralelepípedo.

x

v- 2

a)

L,: —= — “ = z + I , L>: 3 - 1

b)

x - 2 y - 2 I ,: = •------ = z - 3 , ‘ -3 6

z + 3 = y-r2 = ------4 -3

X-1

------

a~ 3 ------

2

L, ={(l,~ l,l) + r(2 ,~l ,4) /f€ /?}, /?}, L2 ={(1,2,-3) + A(-1 ,4,2)/Ag

Z>7 . ' ( J l)

y

es

perpendicular

a

la

a z= x+

2.

(4^

Hallar la ecuación de la recta que pasa por el el punto

(1,0,1) (1,0,1) y corta

a las

rectas Lx -{(-1,1,1) + /(2,0,l)//e /?}, L>\ L>\ x - y + z = \ , x + 2 y - z = G Rpta. L = {(1,0,1)+ A.(-ó,7.IB) f A.(-ó,7.IB) f X e R} (48)

Hallar la ecuación de la la recta recta que que pasa pasa por (1,2,3) y que que intercepta intercepta

Hallar una ecuación vectorial vectorial de la recta que pasa por P(0,l,- 2) y corta corta a las las rectas L,-{(1,4,3)+ 1{ 1,3, 1 ,3,0) 0)/r /r e /?}, /?},

recia

x -4 v+ 2 “ — , z —5 z —5 2 3

per pen dicu larm ente al s egm ento de e xtre mos (2,3 ,4) y (- 3,2.5 ).

x — 1 L ,:-------- = v - 4 = c + i ’ -1

w x = — v =— z Rpta. L: — -1 -1 1

r }

Hallar la ecuación de la recta L que pasa por el punto A(3,4,-5), corta a la recta = {(1,3,-2) {(1,3,-2) + r(4,3 r(4,3,2) ,2) /f e R} R}

z = —, 2 3

a la recta x = y-5, z =2y =2y -3, yque intercepta a la recta y = 2x4 2x4-- i

Rpta. L ={(0,6,-l) + t(0,l,0) / te R} (40 )

v

Encontrar las ecuaciones de la recta que pasa por el origen, es perpendicular

ellos. Rpta. (3,-2,4),(2,6,-3),(3,0,2),(5,1,2),(5.-1,4),(0,3,-1),(0,5,-3),(2,4,-1) Hallar la ecuació n de una recta perpendicular al plano XZ, que una las rectas

z + 2 + 2 =v + 5 = ------4

L,; x L,; x =

Hallar la distancia entre las rectas

Encontrar cada uno de los otros vértices de este si (3,-2,4) y (2,6,-3) son dos de

(39)

255


={( x,y,z) e R 3/ x - y = 3z a 4 -z = a*Í

Rp ta. L = {(0,1,-2) + t( 13,39,-7) 13,39,-7) / 1e R} ( 49)

Hallar la ecuación de la la recta que p3sa por el punto A(3 ,l,2) y corta

a las

rectas L, = {( 2,4-1 ) + /(0,1,2) /(0,1,2) ! t t e /?}, L2: L 2: x - y + z = 4 A 2x + z = 6 Rpta. L = {(0,2,6)+ {(0,2,6)+ t(l,-l,-2 )/te R}

256

Edu ard o E spi noz a Ram os

( 50 )

Hallar una ecuación vectorial de la recta L cuya ortogonal sobre el plano XY XY esta dado por z = 0. x - 2y - 5 = 0 y cuya proyección ortogonal sobre el piano YZ esta dado por x = 0, y - z 4- 2 = 0.

5i )

Sean

las

rectas L{: x - y + z - 5 = 0

4 x - 2 y a-5z a- 5z - 7 = 0. Demostr ar que (52)

Demo strar que que la condición, según la cual las dos rectas *-¿7, y - b { Z ~ c l r x - a 2 y -b 2 z~c2 L}: L}: —- = —-— = — — y L2 : ---------= ------- —= ------ — está n situa das en mx

Rp ta. L= {(1 {(1 ,-2,0) + t(2 ,1.1) /t e R } a

A - 3 y + 6 = 0 ; L2: 2 v + z - 5 = 0

«3

a

un plano, se puede expresar de la forma:

n2

L , : 2x + '2y~ '2y ~ 5z + 10= 0

a

a

Hallar la distancia Í a + y + 2z -l = 0

+ y -2 c + 13 = 0;

x - y - z + 3 = 0

A -2 y -z -l= 0

Rp ta. L = {(1,6,-5) {(1,6,-5) + t(-21.19,-30) / 1e R} (53)

mas ; U "

Encontr ar la distancia perpend icular del punto P(-1,3,1) a la recta x-2z= 1, y= 1.

Hallar la distancia del punto P(6,-3.3) a la recta L:2x+2y-f z=0

a

Las rectas L, = { ( A , y , z ) e R 3 l x - 2 y = 3, z = 2}, L2

=

fh

a - 7 _ v +3 _ z ~ 6 ~ ~ ~ - 2 ~ ~ ~3

Hallar la distancia mas corta entre las dos rectas que se cruzan a + 2 y - 2 z + 1 Lx ={(l,-2,3) + í(2,l,l)/f e R ) ; U : 1

4x-y-3z -5=0

{,4 + r(3 -5,5) f -5,5) f t e

,L , ) = — V3 Rpta. í/ ( L , ,L 5 /?}.

6 !j

Hallar la distancia del punto P(7,7,4) a la recta: L :

6A

+ 2y 2y + z - 4

= 0

6a- v-2z -10 = 0

L3 = |(jc, |(jc, y, z ) e R 3 l x = 3, y- \- z~ 2 } contiene aristas de un paralelepípe paralelepípedo, do,

Rpta. d(P,L) = 11

uno de cuyos vértices es A(2,4,-l) encontrar sus otros vértices y su superficie lateral. Rpta . a) (3,0,2),(5,-1,4),(0,5,-3).(5,1,2) (3,0,2),(5,-1,4),(0,5,-3).(5,1,2),(0, ,(0,3,-1 3,-1 ),(2,6,-3),(3,-2,4) b)

=0

Rpta. d(P,L) = 7

Rpta. d(p,L) d(p,L) = 3 (5?)

1

m3

corta entre las dos rectas cruzadas 2x - y +z- 3 = 0 n Je Rpta. d(L [,L2) = — , I a + y ■+ z ~ \ = 0 6

Hallar la distancia del punto P(-1,2,3) a la recta: L :

3VT0 Rpta. d ( p , L ) = -------(54)

c2

Halle el punto punto de intersección intersección de de la recta: recta: L: x = 4 + 5t , y = - l+ t, z = 4- t y el plano 3x - y + 7z + 8 = 0. Rp ta. P(- 31,-8,11)

pei*pendicular a c ada una de las rectas. a

2 ~ b\ m2

m.

¡ / L2.

Hallar la la ecuación de la recta que pasa por el punto f\}( \, 6,-5) y es

L,: 3a - 2>-f 3z f 9 = 0

257


(62)

a = 31 Hallar la proyección del punto P(2,- l,3) sobre sobre la recta L : * y = 5/ - 7 z - 2 t + 2

( 2 V 2 9 4 + 2 V 2 + 4 V 6 )u 6 )u 2 Rpta. Q(3,-2,4)

258

(63)

64)


x = 0 y = t , —oo < 7 < oo Demostrar que la recta L: L: y = z - t a)

Esta en el plano 6 x + 4y - 4z = 0

b)

Es para lela al pl ano 5x - 3y -i- 3z = 1 y es ta d eba jo d e él.

c)

Es paralela al plano 6 x + 2y - 2z = 3 y esta arriba de él. él.

(69)

Hallar la la ecuació n de cada plano que contiene intercepto x en 2, intercepto y 6 en 3, y se halla a las distancia de — del del origen. Rpta. P: 3x + 2y ± 6 z = 6

(70)

Enco ntrar la la ecuació n del plano que pasa por los puntos A(-2,5,3) y ¡3(4,8 ,- 8 ) y es perpendicular al plano XZ.

(7^

Rp ta. P: 1lx + 6 z + 4 = 0

Determinar los puntos de intersección intersección y el ángulo que que forman los los planos n x\ 4x + 3y + z = 0; n 2 : x + y ~ z = 15 = 15

Un plano pasa por el punto (3,1,-1). es perpendicular al piano, 2x - 2y + z í- 4 = 0 y su intersección co n el eje z es -3. Hallar su ecuac ión.

^ 2)

Calcula r la distancia del punto p(6,-3,3) a la recta:

R pt a. 71: 71: 5x + y - 8z = 24 (ó i)

Hallar la ecuación del plano que pasa por el recta L: es perpend icular al plano 7t : 2x + y + 2z + 4 = 0.

(66)

x +1 ^

v- i ^

(73) 4

corta a las rectas.

Rpta. P: 2y - z = 0

( 67 )

(68)

Hallar la ecuación del plano que pasa por los los puntos A(l, 0,-1) y B(2,0,2) B(2,0,2) y

tí :

zr,:

21.v+ (40-3 V r70 jv-7 z = 28 21jf + Í40+3 VÍ70)y -7z = 28

y

[2x -y + z = 0 L,: { ^ [y-2z + 2 = 0

Desde el óco F(0,0,10) se lanza un rayo luminoso el cual se refleja en el espejo plano n de ecuación x + y + z = 1. Hallar la direcció n con la cual se lanzó el rayo, si el rayo reflejado pasa por el punto G(2,3,15).

(76)

Halle la ecuación del plano que contenga a la recta x - 3 = -(y + 5)= -(z + 2 ) y el punto (5,0,-4).

forma u n ángulo de 60° con el plano 2x - 2y + z + 6 = 0. Rpta.

[* -y = 0 L, : 1 [x -z = 0

(75)

Rpta. tt: x - 9 y - 1 7 z + 3 = 0

el punto p(4,-3,2).

|4*-y-3 z-i5 = 0

Determinar la ecuación de la recta que pasa por el punto medio de AB y corta bajo un áng ulo de 60° a la rect a que pasa por M y N dond e A(2 ,4,0 ), B(0,0 ,2), M(3,3,3), N(-l,3,3).

n: 6x + y + 2z = 19

x v - 6 z + 3 Hallar la ecuación del plano determinado por la recta L: L : ---- — — = — -- y

j 2 jc+ 2 >’+ z = 0

^ )

a ~ (2,-3,-1), b = (0,-1,4), c - (2,1,-3) si los los vectores tienen tienen su origen en Rpta.

L: L :

Hallar la ecuación vectorial de la la recta que pasa por el punto p(3, 2,-l) y que

'

Hallar la ecuación del del plano que pasa por los puntos extremo s de los vectores

el punto p( 1,0,3).

259


(7?)

Rp ta. P: x + z = i

Hallar la ecuación del plano que pasa pasa por el punto A(2,2,-4) y es paralelo paralelo cada Lx\ x + y - z + ll una de las rectas ll = 0 a J c - y + 2 z - 7 = 0 y • i L2: 2 x - 3 y - 2 z + 8 = 0 a * + 2y + z - 9 = 0 Rpta. P: 29x + 9y + z - 72 = 0


Un rayo de luz luz se dirige por la recta L = {(2 {(2 - 1, -t, 1) / 1e R} al chocar con el espejo plano 7c: 2x - y + z + 2 = 0, se refleja. Hallar la recta L, en la cual esta Rpta. L, = {(- 5,-7 ,1) + A( 1,4,1) 1,4,1) / A e R)

el rayo reflejado.

(8ó)

(87)

rayo

k x\ x\

luminoso

que

sigue

la

trayectoria

de

la

Hallar la ecuación del plano que pasa por los los punto A(2,0 ,-l), B(0,2,5) y es Rpta. P: x - 2y + z = 1

,89/

El pie

recta

Lj ={(0,2,0) +1(1,1 ,\ ) / t e /?}. /?}. Hallar el punto de intercepción de la recta

de la perpendic ular trazada desde el origen al plano P es el punto

A( 1,-2,1). Hallar la ecuación del plano P. (90)

que contiene al rayo reflejado con el plano n: 2x + y + z = 16.

Rpta. P: x - 2y + z = 6

Encontrar la ecuación de un plano que pasa por el punto A(i,- 2.1) y es per pen dicu lar al v ecto r O A , A , siendo O el origen de coordenadas.

El radio vector normal a un plano tiene una longitud de 5 unidades y dos de sus ángulos directores son a=45° y (3= 60°. Hallar la ecuación del plano si este

Rpta. P: x - 2y + z = 6 (91)

pas a po r el extr emo de su ra dio vecto r no rmal. Rpta. n ]: y¡2x + y + z -- 10 = 0 k 2 : y¡2x +

además pasa por el punto A(0 ,1,0). ,1,0).

los dos planos.

(92)

Pr 3 x + 2 y - z = \ y P2 : 2 x - 5 y + 4 z = 7

de

un

plano

P. Sabiendo que la

Hallar la proyección ortogonal de la la recta. L = {(1 {(1 + t, 1 - 2t, 2 + 3t) 3t) / t eR } sobre el plano n: x - 2y + 3z = 33.

(w )

Rpta. Pr oy¡¡ = oy¡¡ = (3,-3,8)

Hallar la ecuación del plano que pasa por la recta de intersección de

los

plan os 3 x - y + 2z = 5 y 8x + 2 y - z = 3 y que con tiene al or igen.

Rpta. P: 2x - z = 0

Hallar la ecuación dei plano que pasa por el punto A(-2,3,l) y es ortogonal a

vectorial vectorial

Rpta. P: (22,5,-5).[(x,y,z) - (1,1,1)]=0; P ’: (-22,5,-5).[(jc,y,z)-(l,l,l)] (-22,5,-5).[(jc,y,z)-(l,l,l)] = 0

Rpta. P: 3x + 2y + 4z ± 12 = 0

Hallar la ecuación del plano que contiene a la recta L: x = y = 2z y que

la ecuación

L = {(1,1,1) + t (0,1,1) / teR } está contenida en el plano P y que el

ángulo que forma el plano P con el plano n: n: 3x - y - z = 0 es 60°.

El volumen del tetraedro formado por un cierto plano y los planos coordenadas cuya ecuación es 3x + 2y + 4z + 6 = 0.

Hallar recta

y - z - 10 = 0 *

es \2u*. Hallar la ecuación del plano, sabiendo que es para lelo al plano

los punto A(l,2,-4), B(4,-

Rpta. P: 1lx + 9y + 2z - 21 = 0

Hallar la recta L que es paralela a los planos Px: 3 a + 1 2 v - 3 z = 5 y jt + 5 y - 3 z +1 P,: 3 . t - 4 v + 9 z = - 7 y que corta a las rectas L,: ------- = ------- = ------- y ' 2 - 1 3 x - 3 y + 1 z - 2 Rpta. L = {(-3, -1, 2) + /(—8,3,4 ) / / e R) L,'. ------- = ------- = ------“ -2 3 4

por los

x - y + 2z = 2 que representa un espejo, al cual incide incide un

pasa por

88)

pun tos A (l ,5, -3) y B(-5 .-4,1 1). Dado el plano

que

ortogonal al plano 3x + y - z = 7.

Rpta. P: 2x - 7y - 3z + 3 = 0 Hallar la ecuación del plano perpendicular al plan al plan o XY y que pasa Rpta. P: 3x - 2y + 7 = 0

Hallar la ecuación del plano 3,2) y C(-4,5,10).

Hallar una ecuació n del plano que pasa por el punto A 1,-1,4) y es ortogonal a cada uno de los planos P j : 2* + y - 2 + 2 = 0 y P2. x —y + —y + 32-1 = 0.

261


Rpta. 71: 31x + 13y - 1lz = 0 (94)

Dos rectas L, = {(3,4,3)+ {(3,4,3)+ r(- 2,0 ,l)/ í e R} y L2 L2 = {(1 -24 -3) + r(l,-2,1)/* e /?} son paralelos a un plano P y están en lados opuestos respecto al plano. Hallar el piano P si se sabe que d(Lj ,P) = d(L2 ,P) = 3

262


£5 )

Un plano pasa por el punto A(5,- l,3) y dos de sus ángulos directores de su

fi tf )

96)

(97)

Rpta. n: 2x - y - 2z = -7

7tj: jt + >/2y + z - 8 + >/2 = 0 ó n 2: x + yf ly + z - 2 + V 2 - - 0 102)

Hallar la distancia del punto p al plano 71donde. a)

Sean los puntos A(2,3,4) y B(3,l,6) y el plano P: x + y - 4z = 3. Hallar un plan o n que pasa por A y B y que forma con el plano P un ángulo de 45°.

normal son a = 60° y (3= 45°. Hallar la ecuación del plano. Rpta.

b)

p( -10,-10,5),

7t: x + 2 y - 3 z = 1 8

c)

p(3 ,-2, 5),

r c :2 x - y + z = 0

50VÍ3 13

Rpta. k: x + 3y - 2z - 6 = 0 (103)

63 — i— R p ta ta . d ( p , * ) = — V14 d)

p (l ,l ,5), k: 2 x + 3y - 2z = 4

Hallar la ecuación del piano n que conti contiene ene a la la recta recta L :x -y -l= 0 a

x + y + z = 2 y que es es ortogo ortogona nall al plano plano de de coorde coordenad nadaa X Z. Z. Rpta. k: 2 x + z = 3

(104)

Hallar la ecuación del plano que pasa por la recta x = 2 t+ l, y = -3t + 2, z = 2t - 3 y por el punto A(2,-2 ,l)

Dados los puntos A(3,5 ,l), B(-L 1,3) y C(2, 4,l) del del triángulo ABC. donde G es el centro de gravedad de dicho triángulo y G es la proyección ortogonal de R

Hallar la ecuación del plano P que contiene a la recta L \\

un ángulo de 30° con el plano x + y + z - 1 = 0.

y

x+y + 3z-7 = 0 [ 3* 3* + 2 y - z = 0

y

es perpendicular al plano P1: 2x + y - 2z +1 = 0. Rpta. 7t: 7t: 4x + 4y + z - 16 = 0

IOO) IOO)

^

1 , 1 r •*+! •*+! y -1 2+1 es paralela a la recta L2: —— = — — = — Rpta. n: 2x - 2y - z + 1= 0

3 . 1 Rpta. (—, 3, - —)

Hallar la ecuación del plano que pasa por los puntos (1,3,0) y (4,0,0) y forma

(99)

Rpta. k: 4x + 6y -1- 5z = 1

Hallar la ecuación del plano que pasa por la recta L{: L {:

•> sobre el triángulo ABC. Si || GR ||= 6 V2 . Hallar la proyecció n ortogon al de G sobre el plano BCR.

Hallar la ecuación del piano k paralelo al plano n y: x + 3 y -2 z + 14 = 0 y tal que la suma de sus interceptos con los ejes coordenadas sea igual a 5.

Rpta. rf(p,7r) =

p ( l5 ,-22 ,10) , 7t: x + 10y + 4 z+ 1 5 = 0

263


Rpta. P: 19x + 16y + 27z = 70

x + x + 2 y y - 3 y es Hallar la ecuación del piano que pasa por la recta L 1‘ 2 -3 4 jc —1 v z + z + 7 Rpta. P: 7x + 6y par alel a a la re cta L2: —j— = ~ "—• 6y + z - 4 = 0 Un cu bo tiene dos de sus car as en los planos P x: 2x + 6y + 3z ~1 2 = 0 y

108)

Determinar la ecuación de una

recta que

sea paralela a los planos

L{ = {f(1,0,1) / P :x + z ~ 4 = 0 y Q:x + y = 2 e intercepta intercepta a las las rectas rectas L{ = (1,0,1) / 1e R}

P2 : 6x + 18y + 9z + 6 = 0. Hallar su á rea total y su v olumen. Rpta. Af = 24u2

Hallar la ecuación del plano que pasa p or el punto de coordenadas A(2,-l,l) y es perpe perpendi ndicul cular ar a los do doss plano planoss 2 x -z + l= 0 , y = 0 Rpta. P: x + 2z - 4 = 0

,

V = 8m3

y ¿2 = {(0,1,0 {(0,1,0)) + A(0,0,3)/ Ae /?} /?}

Rpta. L = {(1,0, {(1,0,1) 1) + t(l, -1,1) -1,1) / 1e R}

264

Ed ua rd o E spi no za Ram os

Tres k :

vértices


de un tetraedro regular se encuen tra sobre el plano

Hallar el ángulo

5x - 7y+z+2 =0 y el el cuarto vértice sobre sobre la recta L={ (l+t, 2+t,-3+2t)/

te R}. Hallar el volumen de dicho tetraedro.

1 3

Rp ta. V = = — u

Rpta. M: x - y + 13 = 06 M: x - y - 11 = 0

i)

Rpta. P: 5x + 2z = 0

de

los

planos

Esta contenido en el plano P determinado por los puntos p0 (0,0,0),

...

_ t *+1 y -1 Sea perpend icular a la recta L, : ------ = j:------- = 2 z 2 3 21 19 4 Rpta. L = { ( - y , - — , , — ) + r( 2 ,- 3, 10 )/ f € R } III) Para por PnL,.

* + y - >/2 z = - 4 118J

x+ y-V 2z = 4

inter sección

II)

Hallar las ecuaciones de cada uno de los los planos que se hallan a 2 unidades del origen y tiene una normal que hace un ángulo de 60° con ambos eje X, eje Y. Rpta. ;t + y + V2z = - 4 ;

de

p, (2,2 ,0) y p2( 0 , l -2 ).

Hallar la ecuación del plano P que pasa por los puntos A(-2,-3,5) y B(4.6,-10)

112)

recta

Determinar una ecuación de ia recta L que satisfaga a la vez las condiciones siguientes:

O de R 3 tal que A,B,C y P sean los vértices de un tetraedro de volumen igual a

y que es perpendicular al plano XZ.

la

3x + y + 3 z = 5 ;x - y + z = 2 y la recta recta de intersec intersección ción de los planos planos 13 8x - y + 7z = 3 ; x - y + z = 2 Rpta. 0 = árceos ( ) VÍ72

Dados los puntos A(l,2 ,3), B(4,5,6) y C(7,8,8). Hallar el conjunto M de puntos 6 unidades cuadradas.

entr e

265

; x + y - 4 l z = 4

Determinar bajo que dirección debe ser lanzada rectilíneamente una partícula desde el punto A(2,2,3) hacia la recta L = {(0, 1 + r, -r) / r e R} para que la alcance al cabo de 2 segundos, siendo su velocidad V = V5u V5 u / se / se g .

Demostrar que la intersección de la recta. L = {Q0 + t . a /1 e R] y el plano -» ( p a - Qr .) N .) N -> (P""P o)-^ = 0, es el pun punto to A(£ 0 +( ----- ----------- ) a ) . a . N Demostrar que la ecuación del plano que pasa por el punto A(x0,y0»ô) y es par alel a a los dos vecto res a=[al 9a29a3) y b =(bl 9b2 ,b3) se puede

Rpta. ~\ B = ( - 2 - 2 - 2 ) l§

Una partícula comienza a moverse moverse en en la la dirección dirección en el el punto punto A( 15,-22,10) 15,-22,10) y

^-^0

se mueve con una velocidad constante V = = (1,1,1) ¿Cuánto tarda la partícula en alcanzar al plano 7t: x + lOy + 4z = -15 ?

Rp ta. t = 10 seg.

^-^0 =0

°\

°2

D3

Demostrar que la ecuación del plano que pasa por el punto a(jcj , a(jcj , y l9zx) *y

¿En qué dirección debería moverse la partícula del problema anterior para

y es P é le la al vector vector a —(t*i*t*2,a3) se puede expresar en la

alcanzar el plano en tiempo mínimo? si el módulo de la velocidad es el mismo

x ~ x \

del problema anterior ¿Cuál es el tiempo mínimo? 50 — i Rpta. (1,10,4) , tm = ^ ^ 39 se8 ‘

y -y 0

expresar en la forma:

forma:

y-y\ y 2 ~~y\ ~~y\

z-z\ 22-z, = 0

266


Demostrar que la ecuación del plano que pasa por tres puntos A{ xr y ], z] ) y

267


(126;

Hallar

en

el

eje

x

un

punto

equidistante equidistante

de

los

dos

planos planos

7t,: 7t,: 12x-16 y + 15z 15z + 1= 0 y rc rc2: 2x + 2 y - z - l = 0

B{x2'y2'zi) y c(*3,y 3,z3) se puede expresar en la forma:

{12'y

x - x % y - y i

Z- Zi

x 2 - x \

y2~y\

z2 ~ z i

x * ~ x \

y*-y\

z3 ~ z \

A (2 ,l,l) y B(l,6,4 ) sean los vértices vértices de un triángulo equilátero. equilátero.

(128/ (128 /

Demostrar que la ecuación del del plano que pasa por el punto p0 (* 0 ’ >0 »zo) y es

perpendicular

a

los

dos

planos

Hallar un punto C del plano n: x - y + z - 3 = 0, tal que con los puntos

Hallar la ecuación general del plano que contiene a la recta L:

[2;c [2;c + y - z = 3 U + 2y-z = 1

y es ortogonal al plano 2x + y - z - 3 = 0.

71,: A,* + 5 ,y + C,Z + D, = 0,

Rpta. 4 x - 7 y + z - 9 = 0

tc2: A2x + B2y + C2Z + D2 = D2 = 0 se puede representar representar en la forma siguiente siguiente:: 129}

Hallar la ecuación ecuación del plano paralelo paralelo al plano 2x - y + 2z + 4 = 0 sabiendo que Rpta. 2x - y + 2z - 8 = 0 el punto (3,2,-1) equidista de ambos planos.

(130)

Hallar la ecuación de una recta que pasa por el punto (3,4,-6) y es paralelo a los planos x + 2y -z = 4 , 3x - y + 2z = -6.

=0 B * Demostrar que la ecuación del plano que pasa por la recta L : x = x = x0 + 1a ,

Rpta. L= {(3,4,-6) {(3,4,-6) + 1(-3,5,7) 1(-3,5,7) / te R}

y = y0 + 1b , z = z0 + / c y por el punto a( x, , y,, z,) se puede expresar en la

forma:

z - z x

x - x,i

y - y {

*i-*o a

y i - y o z\ ~ zo = 0 b e

Hallar la ecuación de la recta que pasa por (1,3,2), es paralelo al plano

m )

132)

a la la recta L = {(1,5,-1) {(1,5,-1) + t (3,2,-3) / 1e R}.

L{ = L{ = {(1-2,3) + f(l>0,l) / f(l>0,l) / t e J?}.

Hallar la ecuación del plano que pasa por los puntos (1,3,0) y (4,0,0) y que forma un ángulo ángulo de 30° 30° con el el plano plano x + y + z - l= 0 .

Hallar la ecuación del plano que pasa pasa por la intersección de los los plano Px y P2 donde Pt : 3x + 10y + 5z + 6 = 0 , P2 : x + 4y + 3z + 4 = 0 y sea paralela

tc= {(1,4,0) {(1,4,0) + /( l, 1,1) ,1) + A (0 ,l,2 )/f ,A e /?} /?} y forma un án gulo de 60° con la recta

Rpta. L = L = {(1,3-2) + í(3± 2 V2 , 2±y¡2, 2±y¡2, í) /r e 7?}

[jc+y + z-“2 z-“2 = 0 Hallar la ecuación de la proyección de la la recta L: ^ sobr e el [x + 2y + z = 0 plan o F ; 3x + y + 3z - 1 = 0

©

Determinar Determinar la ecuación ecuación vecto vectorial rial de la la recta recta que sea sea paralela paralela a los los planos planos Px: x + z - 4 = 0 y P2: x + y = 2 e intercepta a las rectas £,:{/(!,0,1) + / e /?} y L, = {(0,1,0) + A(0,0,3) / A g R}

268

134)


La proyección ortogonal ortogonal de de la recta recta L sobre sobre el plano plano P j: x - 2y - 3z = 0 es la la recta s

269


Hallar la ecuación del plano P que pasa por los puntos A(-1,2,0) y B(3,-l,2) y 1 que forma ángulo 0 = arccos(-—) arccos(-—) con el plano plano Pj :x + y - 4 = 0 .

:{(1-4-5r, 2 + í, t - \ ) l t e /?} y la proyección ortogonal de L sobre el

pla no P2 : x + y + 2z = 6 es la rec ta / ^ { ( l + í , 1+ í, 2 - t ) l t e R} R}. Hallar las

¡135)

ecuaciones paramétricas de la recta L.

La distancia distancia del punto punto Q (l,0 ,3) del plano P es 3. Si P pasa por la recta recta

Hallar la ecuación cartesiana del plano que pasa por (2,6,1) y contiene a

Í5;c-6 y + 2z + 15 = 0 L: 1 . Hallar la ecu ació n del plano P. U - 2 y + z+ 3 = 0

la recta recta

L: —= —; y = -5. -5. 3 8

Rpta.

88 x-1 3y -65 = 0

Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto M(3,0,l) y forma un ángulo de 60° con la intersección de los planos Px: 2 x + y - 2 z - 2 = 0, 0,

Hallar la ecuación cartesiana del plano que pasa por (3,4,1) y es perpendicular a los planos

x -y = 4 ,x + z = 6.

P2 = {(3,2,2) + 1(1,2,2) + A(2,l,l) / 1,A e /?}

Rp ta. x + y - z - 6 = 0

144) (l3 7)

Hallar las ecuaciones de los planos paralelos que cortan en ángulo recto a los pla nos Px: x + z - 2 = 0 y P2: x - y + 3 = 0 . Sab ien do que uno de ell os pas a p or el punto p( 1,1,1) y el punto q(2 ,-1,2) equidistan de ambos.

Dadas las rectas no coplanares concurrentes en 0(1,-2, 3) x - l y + 2 z - 3 x - \ 3 - z x - \ y + 2 z ~ 3 Ly . = ------- = ------- , L¿ : ------- = ------- , y = -2, ¿3: ------ = -------- = ------- . 1 -4 1 2 2 3 2 2 Hallar Hallar la ecuación de u** plano que pasa por el punto M(-4 ,2,6) yf ángulos igua les con estas rectas. rectas.

(13$)

Hallar la ecuaciones del plano que pasa por la recta de intersección de los pla nos P j: x + y - z = 0 , P2: x + 2y + z + 6 = 0 y es pa ral elo a la rec ta que pas a po r lo s p unt os A (l ,- l, l) y B( 2, l,2 ).

139)

Dadas las rectas Lj ={(3,4 ,5)+/( 0,1,-2 ) / t e r ) , L¿ = {(4,-2,l) + A(l,2,3 A(l,2,3 ) / X e R} y Lj = {(0,0,0) + ¡i (2,1,0) I p e R}. Hallar la ecuación cartesiana de un plano que corta a estas rectas en los puntos A,B y C respectivamente de tal modo se sabe además que estos puntos están alineados y que al plano AB = B C , se solicitado es paralelo a la recta x = y = z . Rp ta. 19x - 20y + z - 81 = 0

140)

Encontra r la ecua ción del plano qu e pasa por la intersección de los planos 2 x - y - 5 z = 4 y 3x + y - z = 0 y es paralel paraleloo al al plano 12 12xx - y - 17 17zz = 14 Rp ta. 12x - y - 17z = 6

AS )

Rpta.

3x - y - z + 20

Hallar la ecuació n del plano n que pasa por A( 1,4,-2 ), es paralela a la recta recta L={(2,6 ,5)+t ( l,-2 ,0 )/t eR } y tal que la distancia de 7t 7t a L sea sea igual a 1. 3- y z+ 3 jc + l 3 - y z ~ 1 Consideremos las rectas L, : x = - \ ; ------- = ------- y L .: ------ = -------- = -----l l a l l i de modo que L es una recta que corta ortogona lmente a L, y si es el piano que determina

L2 y L; n 2

es el plano que determina L, y L.

Determinar el ángulo formado por n j y n 2 . Dados

los

planos

xc3: 2x + 3 y - z - 1 3 = 0

n x: 3^: + 2 y + 5^ + 1= 0, y

las

rectas

tc2: J c- y + z + 4 = 0 y x - 5 y —1 z L : ------ = -------- = —; 1

2

1

jt + 2 y - 1 z Ln: Ln : • ^ = —— = ~ . Determinar Determinar la ecuación del plano que pasa pasa punto de intersección de dichos plano y es paralelo a ambas rectas.

270 148/ 14 8/


€ /?} y P: x + z - l = 0 Si L = {(r —1, 2 - t , 0 ) / t €

un plano plano.. Hallar Hallar la recta recta

(l5S^

Lj, contenida en P, tal que ¿(L, l^) = 60° = 60° 149/

Un hombre se encuentra encuentra en 0( 0,0 ,0) , lanza lanza una flecha desde A(0,0,16) hacia un blanco en B(50,12,16) que se encuentra sobre el plano 25x - 6y - 1 178 = 0, haciendo impacto a 0 . 1 unidades del del blanco. Si la flecha fue lanzada con una

Encontrar la ecuación del plano que pasa por la intersección de los

trayectoria paralela al plano XY, hallar el ángulo que debió girar el hombre

plano s 2 x - y - 5 z = 4 y 3x + y - z = 0 y pa rale lo al plan o 12x - y - 17z = 4

par a no fallar.

Rpta. 1 2 x - y - 1 7 z = 1 2 150J

Hallar la

ecuación

del

plano que

pasa

a

través

de

perpendicular perpendicular a cada uno de los planos planos 2x + 3y - z - 5 = 0 , x - 2y + 2z - 3= 0.

la recta

Rp ta . x + y + 2z = 11 11 ; 11x + 2y - 5z - 22 = 0

Rpta, 4x - 5y - 7z - 23 = 0 15 ?)

mas a la puerta, tal que pase por la recta de intercepción de ambos planos y que

rayo reflejado, se refleja nuevamente en el espejo plano YZ y este último rayo reflejado pasa por (5,1,4). Hallar la ecuación de este ultimo rayo reflejado.

152J

m

154/

19

sea paralelo este plano a la columna que describe la ecuación de la recta Lx = {(3,1,6 {(3,1,6)) + f (1,1 (1,1,0) ,0) /t e R } . Hallar la ecuación de dicho plano.

18 , 0 , y ) + f ( 6 , 5 , 2 ) /r /r e R]

Hallar las ecuaciones simétricas de la recta que pasa por el punto M(3,-2,-4)

Una puerta puerta rotatoria rotatoria de un centro comercial consta consta de dos planos Pt: 5x + 3 y -z -9 = 0 y P2: P2: 3x -2y + 5z- 6 = 0, se qui quieereaumentar re aumentar un plano

Un rayo de luz parte del punto (1,4,2) se se refleja en el espejo plano YZ, este

Rpta. L =

Rpta. 3.62°

Encontrar la ecuación del plano que pasa por el punto Q(3,-5,2) y es

L ={(1,8,1) + 1( l,- 3, l) /te R | y forma un un ángulo ángulo de 60° con el plano 2x-y+z= 7.

151J

271

Re cta s y P lan os en el E spa cio Trid ime nsi ona l

Rp ta. 19x - 19y + 41z - 39 = 0 (158 )

Hallar la ecuación de .una recta que pasa por (3,1,2) y corta a las rectas

para lelam ente al plano n: n: 3x - 2y - 3z - 7 = 0 y que corta a la recta x - 2 y + 4 z ~ l x-3 y + 2 z+ 4 Lj: ------- = ------- = ------- . Rpta. -2 2 5 -6

r i í* -y + z = 4 L1={(2.4,-l)+f(0,l,2)/fe *}, Z^: \ [2 x + z = 6 = 6

x - 2 z - 3 = 0 La recta L: |í ^ ^ , intercepta intercepta al plano x + 3 y -z + 4 = 0, encontrar el

Enc ontré la ecuació ^êl plano que es perpendicular al plano 2x + 3y 3y - 5z = 0,

pun to de inters ecció n p y enc ontr ar la ecua ción de la rec ta en éste plan o que jt - 1 y + 2 z + 1 Rpta. (1 ,-2,- 1) , ------- = — — = ----- pas a p or p y es p erp end icul ar a L.

(2,1,-2).

Hallar

la

ecuación

del

plano

L, ={ (9,5,4) + í(l, 1,2 1,2 ) / t e R} y

que

pasa

por

la la

intersección

= {(1,2,3) + ¿(2,1,1)/Ae R}

Rpta. L = {(3,1,2)+t (-1,10,11 )/t e R} contiene al origen, y es paralelo a la recta que pasa por los puntos (1,-1,3) y

|l60 j

Hallar una recta en eh plano determinado por los puntos A(0,0,0), B(2,2,0) y jc+1 y - 1 C(0 ,1,-2) ,1,-2) y que corta ortogonalmente a la recta L : ------ = -------- = 2z.

2

de

siendo la

distancia del plano al origen igual a y¡234 y¡234 unidades. Rpta. 1l(x 1 l(x - 11)+ 11)+ 7(x - 7) + 8(x - 8)= 0

Rpta. 5x - 5y - z = 0

2

Dados los puntos puntos A(I,-3,4 ); B(3,-2,2) y el plano plano n: 2x - 2y + z = 12. 12. Hallar los puntos C y D del plano x tal que A,B,C y D son los vértices consecutivos de un cuadrado.

272

® (l63 )í

Eduardo Eduardo Espinoza Espinoza Ramos Ramos

Í5jc-4y-2z = 5 169 J 169 J Una puerta rotatoria de un centro comercial comercial consta de dos planos planos Hallar las ecuaciones de las proyecciones deP ,:la 5* recta + 3 y - Lz:-\ 9 = 0 y P2: 3 x - 2 y + 5z- 6 = 0. Se quiere aumentar un plano (*+2z-2«Q mas a la puerta, tal que pase por la recta de intersección de ambos planos y que sobre el plano P: 2x - y + z -1 a¡ 0 sea paralelo este plano a la columna que describe la ecuación de la recta Hallar la ecuación del del plano que contiene a las las siguientes rectas rectas que que se L, = {(3,1,6)+ {(3,1,6)+ f(l ,l,0 )/f e /?}. Hallar la ecuación de dicho plano. jc- 2 y + 3 z+2 interceptan L : ------- = ------------4 - 1 3

Rpta. 19x - 19y + 41z - 39 = 0

Í3x+ 2y + z = -2 .L,:i L,:i +

170J

Rpta. 4x + 7y - 3 í ♦ 7 » 0 x+y-4z*0 Cuáles son los puntos B y C de la recta L:' tales que junto con L :' l*+y»4 el punto A{3 ,-2, 4) determinan un triángulo equilátero. (*
®

Una

^171J

¿En que dirección debería movers e la partícula del problem a anterio r para alcanzar el plano en tiempo mínimo? si el módulo de la velocidad es el mismo que en el problema anterior. ¿Cual es el tiempo mínimo?. 50 ,— Rpta. «= (l,10,4),rm = — V39 V39 seg. seg.

13 22 Rpta. Rpta. £ = {(0,— {(0,— ,— )+f(S#9,)+f(S#9,- 4) /f e /?}. 5 5 x - \ y t 2 5 - z 9 „ y-1 z+2 Dadas las rectas rectas L,: ------ = ------ - - — , i , : x : x » » - 2, 2 , — - = ------ que se

(^72^

Hallar la ecuación vectorial de la recta que pasa por el punto P = (3,2,-1) y que íx -y = 0 Í 2 x - y + z = 0 corta a las rectas: L,: i y L*,: L*,: \ U -z = 0 [ y - 2 z + 2= 0

1 2 3 4 . 1 2 cruzan. Hallar la ecuación de la recta que pasa por A(-l,-2,0) que sea

^173)

Dados

Un rayo de luz luz parte parte un punto (2,1,6 ), je refleja en el espejo plano XZ, este este rayo reflejado se refleja nuevamente en el plano YZ, y este ultimo rayo reflejado pasa por (3,8,2). Hallar Hallar la ecuación de es te ultimo rayo reflejado.

Hallar Hallar la ecuación del plano n que contiene a la rectaL: recta L: x - y -1=

los

planos

7t, \ 2 x + 3 y - z - 13 = 0

n x: 3^ + 2y + 5z + l = 0, y

las

rectas

n 2: 2 : x - y + z + 4 = 0, x - 5 y-1 z L : ------ = -------- = 1

Rpta. L={(-l,-2,0) + 1(-l,6,4)/t€ R}

L2:

0,

Por el punto A(1 ,0, 1) se traza una perpendicular al plano P: 2x + y - z = 7. Si B es el pie de dicha perpendicular, determinar determinar un puntoC, puntoC, en la recta: recta: L = {(-1,1,0) + t (0,1,5) / t e R} de modo que el volumen del tetraedro cuyos vértices son A,B,C y D, es igual a 4 u 3. D es el punto de intersección de la 3 25 recta L con el plano P. Rp ta. cx( - 1 ,0 ,0 - 5 ) ó c2 c2 ( - l , - ~ , ------ )

x + 2

2

1

z - 1 z = — - = —. —. Determinar la ecuación ecuación del plano que pasa por el punto

de intersección de dicho planos y es paralelo a ambas rectas. Rpta . 5x - 4y + 3z + 13 13 = 0

al plano plano coordenado XZ. XZ. x + y + z -2 =0 y que es ortogonal al (l68)

partícula comienza a moverse en el A(15,-22,10 );y se mueve con una

velocidad constante v = (1,1,1). ¿Cuanto tard a la partícula en a lcanza r al Rpta. t = 10 seg. plano : x + lOy + 4z = -15?.

perpendicular a Lj (en el espacio) y corte a L7 L7 .

^67 ^

273


174j

Se tiene dos túneles túneles que parten de la superficie (Suponer que la superficie superficie es lisa y es el plano XY) desde los puntos p ]A (0,5/ ]A (0,5/ 2,0) y p XB(5,2,0) y llegan 2B(-5,3-5). Hallar la respectivamente, a los puntos p2 A( - 7 - 1 - 7 ) y p 2B(-5,3-5). mínima distancia que debe tener un túnel que debe quedar a nivel (paralelo al plan o XY) y v a a serv ir pa ra inter cone ctar a los túnel es A y B. R pt a. d= 2.457

274 ^175J


La unión consec utiva de los puncos puncos A, B, C y D es un paralelogramo. Si las las coordenadas de los tres puntos son A( 1,2,3), 1,2,3), B(0,-l,4) , C(-l,2 ,6). Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos C y D. Rpta.

176)

L= {(0,5,5)+t(-1,-3,1 {(0,5,5)+t(-1,-3,1)) /teR )

Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto P(2,-3,-4) y que intercepta en los ejes coordenados segmentos de igual magnitud y diferente de cero.

Un plano plano es paralelo al al plano plano P: 2x + 2y + z - 1 = 0 y el el punto(2,2,2) punto (2,2,2) es equidistante de ambos planos, hállese la ecuación del plano. Rpta. n: 2x + 2y + z - 19 = 0 Hallar la ecuación ecuación del plano que que pasa por el punto punto M(l,2 ,-3) y es par es par alelo a las _ * - 1 y + 1 z —7 _ x+5 y-2 z+3 rectas Lj : ------ = ------- = -------- , Lo • -3 3 -2 -1 Rpta. 9 x + 1ly + 5z - 16 = 0

Rpta. P: x + y + z + 5 = 0

[ 177 177 )

Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto M(3,-l,4) y también por la recta recta de int inters ersecc ección ión de los los pla planos nos x + 2 y - z = 4 ; 2x - 3y + z = 6. 6. Rpta. 3x - y - 10 = 0

(178)

Rpta. x + 7y - 4 = 0 Hallar la ecuación del plano que pasa por la intersección de los planos 2x - y - 5z = 4 ; 3x + y - z = 0 y es paralelo al al plano 12x - y - 17z + 14 = 0. Rpta. 1 2 x - y - 1 7 z - 12 = 0 (180)

punt o M (2, -2, l).

Rpta. 4x + 6y + 5z - 1 = 0 Í2jc+y ~z + l = 0

Hallar la ecuación del plano que pasa por la recta L : < y es [jc+ y + 2z +1 = 0 para lelo al se gme nto limita do por los p unto s P{ (2,5,-3) ( 2,5,-3) y P2 (3,-2,2). P2 (3,-2,2). Rpta. 9x + 7y + 8z + 7 = 0 * = 3f + l Hallar la ecuación del plano que pasa por la recta L x : y = y = 2t + 2t + 3 y es z - - t - 2

Hallar la ecuación de una recta que pasa por el punto P(3,4,-6) y es paralelo a los planos x + 2y - z = 4; 3x - y + 2z = -6. Rpta. L = {(3,4,-6) {(3,4,-6) + t(3,-5,-7 ) t(3,-5,-7 ) ¡ t e R]

18lJ

jc = 2t +1 +1 Hallar la ecuación del plano que pasa por la recta L : y y = -3 / + 2 y por el z = 2/ - 3

Hallar la ecuación del plano que pasa por la recta de intersección de los planos 3x + y- 2 z + 2 = 0 y x - 3 y - z + 3 = 0 y es es perpend perpendicul icular ar al plano XY.

(179)

275

Rec tas y Pla no s en el E spa cio Trid ime nsi ona l

Determinar la proyección de la recta L = {( 1,-2,1 ,-2,1) + t( 1 1 ,1) ,1) / 1€ R} sobr sobree el el plano

k :

4x + 2 y - 2 z - 1 = 0.

Rpta. Ln = { ((2

- , - ) + /(l,-l,l) /í € R] 4 4

_ , , Í2x-y + z -3 = 0 paralelo a la recta L2 : < . i*+ 2y-z~ 5 = 0

Rpta. 13x - 14y + 1 lz + 51 = 0

x —1 y + 2 z —2 Hallar Hallar la ecuación ecuación de! plano plano que que pasa por la recta recta:: L, : - y - = - ^ = - y — y es perpendicular al plano P: 3x + 2y - z - 5 = O.Rpta. O.Rpta. n: x - 8y - 13z + 9 = 0 Hallar la ecuación del plano que pasa por la recta de intersección de los planos

182J

Hallar la la proyección proyección de la la recta L = {(1,2,-1) {(1,2,-1) + t(2,l, -l) / t e R | sobre el el plano n: x + y - z - 8 = 0.

Rpta. Ln = {(3, {(3,3, 3,-2) -2) + r(2 ,-l ,l)/ /e R)

3x - 2y + z - 3 = 0, 0, x - 2z = 0 y es perpendicular al plano plano x - 2 y + z + 5 = 0. Rpta. l l x - 2 y - 1 5 z -3 -3 = 0

276


@

Hallar la e cuación del plano que pasa por la intersecció n de los planos x - y + z = 4, 2x + y - 2z = 6 y por el origen. origen. Rpta. x + 5y - 7z = 0

y $ Í/

Hallar la ecuación ecuación cartesiana de un plano que contenga a la la recta

277

Sup erf icie s Cuá dric as

CAPITULO III

g

L = (1,2,-3) + t(l,-4,2) / t € R} y se encuentra encuentra a una distancia distancia de —= —= V41 unidades del punto P(2,-4,-5). Rpta . 6x + 2y 2y + z = 7 ; 30x + 2y - 1lz = 67 67

3.

SUPERFICIES CUÁDRICAS.PRE-REQUISITOS.-Para PRE-REQUISITOS. -Para la comprensión adecuada de este tema de superficies, se requiere de los conocimientos previos de: -

Elementos de geometría plana: r ecta, circunfer encia, cónicas, etc. etc.

-

Elementos de geometría del espacio: planos, secciones planas de un cuerpo, etc.

OBJETIVOS.- Establecer los fundamentos necesarios para la intensificación de las técnicas para el trazado de las superficies a partir de sus ecuaciones como premisas así como también las curvas y regiones, para utilizarlos en las diversas aplicaciones. Al finalizar el estudio de este capítulo el alumno debe ser capaz de: -

Descr ibir el procedim iento seguido en el trazado de las superficies.

-

Recoc^ cer la forma de la ecuación ecuación de las cuádricas centradas. centradas.

-

Representar gráficamente gráficamente las siguientes siguientes superficies: superficies: Elipsoide, Elipsoide, Paraboloide, Paraboloide, Hiperboloide de una y dos hojas, Paraboloide Elíptico, Paraboloide hiperbólico.

-

Identifica r las ecuacione s de cilindros y conos.

-

Determin ar: la directriz, generatriz de los los cilindros y conos. Representar gráficamente a los cilindros y conos.

278

3.1.


Su per fici es Cuá dri cas

279

Por ejemplo la ecuación x =* k, k constante, representa un plano plano paralelo al plan o YZ .

INTRODUCCIÓN,Analíticamente Analíticamente la ecuación E(x,y) = 0, nos representa un lugar geométrico en el plano XY, a la ecuación E(x,y) = 0, extenderemos al espacio tridimensional, cuya ecuación rectangular en tres variables variables representaremos representaremos por: F(x, y, z) = Q También se conoce que todo plano se representa analíticamente por una única ecuación lineal de la forma: P: Ax + By + Cz + D = 0 De una manera más general, veremos si existe una representación analítica de

De igual m anera la ecuación x 2 + y + y 2 - 4 considerada en el espacio espacio representa

una figura geométrica, al cual denominaremos superficie, tai representación

un cilindro circular recto.

consistirá de una única ecuación rectangular de la forma: F(x,y,z) = 0

.>.(1) .>.(1)

Por ejemplo, por medio de la distancia entre dos puntos se puede demostrar que la superficie esférica de radio r con centro en el origen se representa analíticamente por la ecuación:

3.2.

DEFINICIÓN.Llamaremos superficie al conjunto de puntos p(x,y,z) de R 3 que satisf satisfacen acen una sola ecuación de la forma: __________ F(x,y,z) = 0 La ecuación F(x,y,z) = 0, contiene tres variables, sin embargo la ecuación de una superficie puede contener solamente una o dos variables.

Toda ecuación de la forma F(x,y,z) = 0, no necesariamente representa una superficie, superficie, po r ejemplo la ecuación x 2 + y2 + y2 + z z 2 +9 = 0 , no representa ningún lugar geométrico, además la ecuación x 2 + y 2 + z + z 2 = 0, tiene una solución real que es: x = y = z = 0, cuyo lugar geométr ico está constitu ido por un sólo punto , el o rigen.

280

3.3.


SUPER FICIES CUÁDRICAS.-

b)

Llamaremos superficies cuádricas a toda ecuación de segundo grado en las variables x,y,z que tiene la forma:

Con el eje Y: Y: En la ecuación F(x,y,z) = 0 se hace x = z = 0, es decir: F(0,y,0) = 0

c)

Con el eje Z: En la ecuación F(x,y,z) = 0 se hace x = y = 0, es decir: F(0,0,z) = 0

A x2 + x2 + By By 2 + Cz2 Cz 2 + Dxy + Dxy + Exz + Exz + Fyz + Fyz + Gx + Hy + Kz + L - -0 donde A, B, C, D, E, F, G, H, K son constantes, y por los menos una es diferente de cero. a . J a

281

Su per ficie s Cu ádr icas

2o

d i s c u s ió ió n d e l a g r á f i c a d e l a e c u a c i ó n d e UNA SUPERFICIE.SUPERFICIE.- _____ __________ _________ _________ _________ _________ __________ __________

Es la curva de intersección de la superficie F(x,y,z) = 0 con cada uno de los planos coordenados. Las trazas sobre los planos coordenados se obtienen de la siguiente forma:

Para construir la gráfica de una superficie consideremos consideremos la siguiente discusión, discusión, mediante los pasos siguientes:

©

Intersección con los ejes coordenados.

©

Trazas sobre los planos coordenados.

©

Simetrías con respecto a los planos coordenados, ejes coordenados y el

Trazas sobre los planos coordenados.-

a)

La traza sobre el plano XY:

z =0, = 0, es decir: b)

La traza sobre el plano XZ:

F(x,y,0) = 0

En la ecuación F(x,y,z) = 0 se hace y = 0, es decir: F(x,0,z) = 0

origen.

©

Secciones transversales o secciones paralelas a los planos coordenados.

©

Extensión de la superficie.

©

Construcción de la superficie.

Consideremos la ecuación de una superficie.

c)

La traza traza sobre ei plano YZ:

En la ecuación F(x,y,z) = 0 se hace x = 0, es es decir: F(0,y,z) = 0

3o

Simetrías Respecto a los Planos Coordenados, Ejes Coordena dos y el origen: a)

F( x,y, z) ==Q

Existe simetría respecto al: -

Ahora describiremos todo el proceso a realizar en la construcción de la gráfica

Plano XY, sí F(x,y,z) = F(x,y,-z) Plano XZ, sí F(x,y,z) = F(x,-y,z)

de dicha superficie. superficie. • Io

En la ecuación F(x,y,z) = 0 se hace

Plano YZ, si F(x,y,z) = F(-x,y,z)

Intersección con los ejes coordenados.a)

Con el eje X: En la ecuación F(x,y,z) = 0 se hace y = z = 0, es decir: F(x,0,0) = 0

b)

Existe simetría respecto al: -

Eje X, sí F(x,y,z) = F(x,-y,-z)

282


c)

-

Eje Y, si F(x,y,z) = F(-x,y,-z)

-

Eje Z, si F(x,y,z) = F(-x,-y,z)

283

Sup erf icie s Cuá dric as

a)

Con el eje X, se hace y = z = 0, de donde x2 = 1 entonces x = ± 1, de donde donde los puntos son: son: (1,0, 0), (-1,0,0)

b)

Con respecto respecto al origen: Sí F(x,y,z) = F(-x,-y,-z)

Con el eje Y, se h ace x = z = 0, de don de y =1 ento nce s y = ±1, de donde los puntos son: (0,1,0) , (0, -l,0 )

4o

Secciones Transversales Coordenados.-

ó

Secciones

paralelas

a

los los

planos c)

Es la curva de intersección de la superficie con los planos paralelos a los plan os coor dena dos. 2)

Con el eje Z, se hace x = y = 0, de donde z 2= -1 existe intersección con el eje Z.

entonces entonces no

Las trazas sobre los planos coordenado s.

Las secciones Transversales se pueden obtener de la siguiente siguiente forma:

5o

a)

Sobre el plano XY :

Se hace z = k es decir:

F(x,y,k ) = 0

b)

Sob re el plan o X Z:

Se ha ce y = k es decir :

F(x ,k,z ) = 0

c)

Sobre el plano YZ:

Se hace x = k es decir:

F(k,y,z) = 0

Extensión De La Superficie.Consiste en determinar el dominio de la ecuación F(x,y,z) = 0

6o

3)

Construcción De La Superficie. -

4)

La traz a s obre el plano XZ; se h ace y = 0; hipérbola.

c)

La traza sobre el plano YZ; se hace x = 0; y 2 - z 2 =1 es una hipérbola.

x2 - z2 = 1 es un a

Simetría con con respecto a los planos planos coordenados, coordenados, ejes coordenados y al origen.

Las secciones secciones transversales transversales o paralelas paralelas a los planos coordenados: coordenados: Considere mos las se cciones paralelas al plano XY; sea z = k entonces x"2 + y + y 2 = 1+ 1 + k 2 es una familia de circunferenc ia.

Solución Intersecc iones con los ejes coordenados .

b)

los planos coordenados, puesto que la ecuación no cambia al aplicar el criterio establecido.

Con la ayuda de la discusión de la ecuación de una superficie se

1)

La traza sobre el plano XY ; se hace z = 0; x2 + y2 =1 es una circunferencia.

La superficie es simétrica respecto al origen, a los ejes coordenados y a

construye la gráfica. Ejemplo.- Discutir y hacer la gráfica de la superficie cuya ecuación es: x2 + y2 - z 2 = 1

a)

5)

Extensión:

z = ±y ]x2 + ]x2 + y 2 -1 , x2 + y 1 > 1

284


285

Sup erfi cies Cu ádr icas

X y — + — = 1 , es una elips e en el p lan o X Y. a b La traza sobre el plano XZ, se hace y = 0 jc2 z2 — + — = 1 , es una elips e en el p lano XZ. a" c

La traza sobre el plano YZ, se hace x = 0 >'2 + — z 2 = 1, es una elips e en el p lano YZ. — b2 c2 c)

3.5,

ESTUDIO DE CUÁDRICAS.A)

ELI PS OID E.-

LAS

2

V

2

SUPERFICIES

Es el lugar geométrico de todos todos los los puntos p(x,y,z) de R

X

PRINCIPALES

2

2

Con respecto al origen origen 3; si si (x,y,z )eE <=> (-x,-y,-z) e E Con respecto al eje X 3; sí (x,y, z)eE <=> (x,-y,-z) e E

2

Z

Con respecto al eje Y 3; sí (x,y, z)eE <=> (-x,y,-z) e E

Graficando el Elipsoide se tiene:

Con respecto aleje al eje Z 3; sí (x,y,z)e E <=> (-x,-y,z) e E

Interseccio nes con los ejes coordenado s. Con el eje X, se hace y =z = 0, x = ±a, Ax(a, 0,0 ),

Con respecto al plano XY 3; sí (x,y,z> €E <=>(x,y,-z ) e E (-¿7,0,0) (-¿7,0,0)

Con el eje Y, Y, se hace x = z = 0, 0, y = ±b, £,(0, /?,0), B2( 0 - b , 0 ) Con el eje Z, se hace x = y = 0, z = ±c, C¡ (o , o , c) , c) , C2(o. o, -c ) b)

2

x y z Sea E : — + — +— = 1, ento entonc nces es,, a2 b2 c2

que satisfacen a la ecuación de la forma:

— + JV + — = 1, a * 0 , b * 0 , c ^ O , a * b , a ^ c ó b * c . a b2 c2

a)

Simetrías con respecto respecto al al origen, origen, ejes y planos planos coordenados. coordenados.

Las Trazas sobre los planos coordenados. La traza sobre el plano XY, se hace z = 0

Con respecto respecto al al plano XZ 3; sí (x,y,z )€E <=> (x,-y,z) e E Con respecto al al plano YZ 3; sí (x,y,z)e E <=» (-x,y,z) e E

d) Las secciones paralelas a los planos coorden ados. x2 y2 k2 Los Los pla plano noss z = k, k, cor corta ta la supe superf rfic icie ie en la curva curva — + - 1 — - , a~ b c que es una familia de elipses donde -c < k < c

286


e)

Extensió Extensiónn de la superfici superficiee de 2

2

2

x~ v~ z — +— +— = 1 a" b 2 c 2

287

Sup erf icie s C ua drá tica s

b)

Las Traz as sobr e lo s pl anos coor den ados .

se tiene

La traza sobre el plano XY, se hace z = 0.

2

x +— y <^ l — —y- a d e a d on on ade de — z = \c Ul ■ x a 2 ¿>2 a 2 ¿>2

1

x2 + x2 + y y 2 = R 2, es un circunferencia en el plano XY. La traza sobre el plano XZ, se hace y = 0. x 2 + z2 = R 2 , es un circunferencia en el plano XZ. La traza sobre el plano YZ, se hace x = 0. y2 + z + z 2 = R2, R 2, es una circunferencia en el plano YZ. c)

B)

La Esfe ra.-

La Superficie esférica es el lugar geométrica de todos los

La ecuación de la esfera x 2 + y + y 2 + z 2 = R 2 es simétrica con respecto

punto s p(x, y,z) el es pacio que equi dista n de un pu nto fijo, la distancia constante se llama radio y el punto fijo centro. x2 y2 z 1 Si en la la ecuación ecuación del del elipso elipsoide ide — + ~ - + — = 1se tiene tiene a = b = c = R * 0 , a b c

Simétricas con respecto respecto al origen, ejes y planos coordenados. coordenados.

al origen, a los ejes y planos coordenados. d)

Las secciones paralelos a los planos coordenados. Las

secciones

paralelas

lo

el elipsoide se transfo rma en jc2 jc2 + y2 + z2 = R 2 , que es la ecuación de la

tomaremos con

esfera de radio R y centro el origen de coordenadas.

plan o coor den ado XY, es decir,

Graficando la esfera se tiene:

z = k se tiene x 2 + y 2 - R 2 - k 2 ,

a)

-R < k < R, que es una familia

Intersecciones con los ejes coordenados. Con el eje X, X, se hace, y = z = 0, x = ±R, Aj(/?,0 ,0), A2( - R , 0 , 0) Con el eje Y, se hace, x = z = 0, y = ±R, Z?](0,/?,0). S2(0,-/?,0) Con el eje Z, se hace, C2(0,0,~R)

x = y = 0,

z = ±R,

CjCCX CjCCXO,/ O,/?), ?),

respecto

al

de circunferencia. TE OR EM A.-

La ecuación ecuación de la la superficie superficie esférica de centro el el punto punto c(h,k,l) y de radio la constante R > 0 es:

( x -h - h ) 2+ 2 + { y - k f + { z - l f = R2 R2 Demostración


288

Sea P(x,y,z) un punto cualquiera de la esfera, luego por definición de esfera se tiene :

289

Sup erf icie s Cua drá tica s

6(5 + 6t) - 3(-l - 3t) - 2(- l

U) + 63 = 0 de donde

t = -2, A(-7,5, 3), como c es punto medio de A y p se tiene:

E = = {P(x9y, {P(x9y, z) z) e e R2 l d ( p , c ) = =

1,2,1) . Además, r = d (c,p) = 7 po r lo tanto:

yj (x -h )2 +( y - k ) 2H z - l ) 2 = R R de donde: E: ( x + l ) 2 + ( y - 2 ) 2 +( z- 1) 2 = 49 49

OBSERVACIÓN.-

La

ecuaci ecuación ón

(j t- ¿ )2 + (>’-¿ (>’-¿ ) 2 + U - /) 2 = /T

se

C)

PARA BOLO IDE ELÍP TICO .-

punt os p(x ,y,z) de R que satisfacen a

conoce con el nombre nombre de la forma ordinaria de la ecuación de la esfera, si desarrollamos la ecuación de la esfera se tiene:

Es el lugar lugar geométrico geométrico de todos todos los los

2

X

V

2

•

= z > > donde la ecuación de de la forma ' - + —- =z donde a* 0, b* 0, a * b. b. a2 l 2

R2 = 0, de donde se tiene: -t2 + v2 + z + z - 2hx -2 ky -2 lz + h2 +k 2 +l2 - R2 tiene: Graficando el paraboloide elíptico se tiene: x 2 + y 2 +z 2 + Ax+ By + Cz+ D ^ O luego una superficie esférica queda determinada por cuatro puntos no coplanares.

a)

Con el eje X, se se hace y = z = 0, 0, x = 0 => A( 0,0,0)

Ejem plo.- Hallar la ecuación de la esfera que está en los planos para lelos 6x - 3y - 2z - 35 = 0, 6x - 3y - 2z + 63 = 0. Sabi endo que

Intersecciones Intersecciones con los ejes coordenados.

Con el eje Y, se se hace x = z = 0, y = 0 => B (0,0,0)

el punto punto P (5 ,- l, -l ) es el pu nto de c onta cto de u no de e llos. Con el eje Z, se hace x = y = 0, z = 0 => C (0,0,0)

Solución Sea L = {(5,-1,-1 {(5,-1,-1)) + t(6,-3,-2 t(6,-3,-2)) / 1e R} Sea A e L - 3y - 2z - 35 = 0

a

P2 => A 6 L

a

A € P2

Si A e L => A(5 + 6t, -1 -1 - 3t, -1 2t)

b)

Las Trazas sobre sobre los planos coordenados La traza sobre el plano XY, se hace z = 0 x 2 ¿r

+

y2 bl

= o que representa un punto P(0,0,0).

para algún t e R, c om o A e P2 ento nces La traza sobre el plano XZ, se hace y = 0 P2: 6 x - 3y - 2z + 63 = 0

290

Edu ard o E sp ino za Ram os

291

Sup erf icie s Cu ad ráti cas

x 1 . z = z = — que representa representa a una parábola en el el plano XZ. XZ. a " La traza sobre el plano YZ, se hace x = 0 z= c)

v2

que representa a una parábola en el plano YZ.

Simetrías con respecto al origen, ejes y planos coordena dos. Con respecto al origen 3 puesto que (-x,~y,-z) (-x,~y,-z) € Pf Con respecto aleje X, 3 puesto que que (x,-y,-z) (x,-y,-z) g Pf.

OTRAS VARIANTES

Con respecto al eje Y, 3 puesto que (-x,y,-z) & Pe Con respecto al eje Z, 3 puesto que (~x,-y,z) (~x,-y,z) e Pf Con respecto al plano XY, 3 puesto que (x,y,-z) g Pe Con respecto al plano XZ, 3 puesto que (x,-y,z) e Pe Con respecto al plano YZ, 3 puesto que (-x,y,z) e Pe d)

Seccione s paralelas a los planos coordenad os. Las secciones paralelas tomarem os con respe cto al plano XY para esto se tiene z = k que cort a la supe rfici e en la curva jc2

2

— + = k que que es una familia de elipses. a" b e)

Extensión de la superficie:

2 x 2 y 2 z = —z —z + - y es definid definidoo V(x,y) V(x,y) e R a b

D)

HIP ERB OLO IDE DE UNA HOJA .-

Es el lugar geométrico geométrico de todos todos 3

los puntos P(x,y,z) de R que x 2 y 2 z 2 satisfacen a la ecuación — + — = 1, donde a * 0, b* 0, c * 0. a 2 b 2 c2 Graficando el hiperboloide de una hoja se tiene. a)

Intersecciones con los ejes coordenados. -

Con el eje X, se hace y = z = 0, x = ±a, A x(a x(a , 0,0), A2 ( a ,0,0)

292


-

Con el eje Y, se hace x = z = 0, y = ±b, Bx (0,/?,0), B2 (0 -b ,Q )

-

Con el eje Z, se hace x = y = 0, z 2 - - c 2 , 3 .

Sup erf icie s C uad ráti cas

293

trazas sobre Los Pianos Coordenados. b) Las trazas -

x 2 y 2 La Traza Traza sobre sobre el el plano plano XY, se hace z = 0; 0; donde — + -y = 1* a b es elipse.

x a2

x2 -2 La Traza sobre sobre el plano XZ, se se hace y = 0; donde — - - y = 1, a es hipérbola V r z- 2 - La Traza sobre el plano YZ, se hace x = 0; donde ^-r —= 1, b2 c2 es hipérbola

c)

OTRAS VARIANTES

Simetrías.

a

2

b

x~9 y 2 a2 b

, 2 2

e

Z2 _ c ~

- Con respecto al origen es simétrica. Con respecto a los ejes coordenados es simétrica. - Con respecto a los planos coordenad os es simétrica. d)

Secciones paralelas a los planos coordenados.

Los planos z = kcorta kcorta a lasuperficie lasuperficie en lacurv lacurvaa

x 2 v2 k2 — + -y- = 1 + — , a “ ¿r c~

Que es una familia deelipses deelipses ylos ylos planos y = kcorta kcorta a la superficie

x 2 z 2 , kI 2 u2 b - k I 2 en la curva curva — — -* = !+ — = — , -b < k < b, que es una una a2 c2 c2 b2 familia de hipérbola.

E)

HIP ERB OLO IDE DE DOS HOJA S.-

Es el lugar geométrico de todos los puntos P(x,y,z) de R 3 que

2

2

2

* y z satisf satisfacen acen a la ecuación ecuación:: — — ~ = 1, donde donde a* 0, b * 0, c * 0. a b c

294


295

Sup erf icie s C uad ráti cas

Graficando el hiperboloide de dos hojas se tiene:

Los planos y - k, corta a la superficie dando la curva,

a)

f 2 x 2 v 2 k —r — 7 = 1+ — que es una familia familia de hipérbolas. hipérbolas. a c b

Interseccione s con los ejes coordenados. - Con el eje X. se hace y = z = 0, x = ±a: A (a , 0,0), A2 0,0), A2(-¿7,0,0) (-¿7,0,0)

Los

- Con el eje Y, se hace x = z = 0, .y = ±>h~b2 ±>h~b2 , 3

Las Tra zas sobre los p lanos coord enado s. -»

-

■>

x'" y“ La traza traza sobre sobre el plano XY, se hace z = 0; 0; donde donde — ~ ~ - 1, es a' b~ hipérbola

x-2 z1 - La traza sobre el plano XZ, se hace y = 0; donde — donde — — ~ = 1, es ¿T c " hipérbola -

c)

La

traza sobre 2 - 1— — = 1 ,a b2 c2

el

plano

YZ,

se

hace

x

=0;

donde

Simetrías. Con respecto al origen, existe simetría. Con respecto a los ejes coordenados, existe simetría. Con respecto a los planos coordenados existe.

d)

Secciones paralelas a los planos coordenado s. Los planos z = k, corta a la superficie, dando la curva, / 2 X2 y 2 fe — - Z _ = } que es u na fami lia de hipér bolas . a 2 b2 c2 4

x = k,

corta

ala superficie dando

lacurva, lacurva,

y 2 z 2 k 2 ~ a 2 — + — = ----- ;— donde k > a o k< k< -a, -a, que es unafamilia una familia de b~ c~ a~ elipses.

- Con el eje Z, se hace x = y = 0, z = ± V - c 2 , 3 b)

planos

296


F)

Hipe rbolo ide Para bólico.-

Es el lugar geométrico de todos los puntos P(x,y,z) de R* R* que satisfacen a la la ecuació n

y 2

X2

de la for forma ma:: —- — a~

Z

c

297


Con respecte a los planos coordenados 3 Pxy, 3 Paz, Paz, d)

Secciones parálelas a los planos coordenado s.

, donde donde a y b son son po posi siti tivo voss y c * 00.. Al plano XY, se hace z = k,

Grafieando el hiperboloide parabólico para el caso c > 0. a)

3 P yz .

y2 b2

x2 a2

k c

familia de

hipérbolas.

Intersecciones Intersecciones con los ejes coordenados. coordenados.

jc2 jc2 k2 Al plano plano XZ, se hace hace y = k, — - = ------- , familia de a2 c b pará bolas .

Con el eje X, se hace z = y = 0, x = 0. A(0,0,0) Con el eje Y, se hace x = z = 0. y = 0, B(0,0,0)

v z k Al plano YZ, se hace x = k, 3 ^ = - + — , familia de b2 c a2 pará bolas .

Con el eje Z. se hace x = y = 0, z = 0, C(0,0,Ü) b)

Las Tra zas sobre los plano s co orde nado s, La traza traza sobre sobre el plano XY, se hace z = 0,

b y = — x , a

b y = y = — x , recta. a La traza sobre el plano XZ, se hace y ~ 0 ,

C

2

z = — j x ,

paráb ola. La traz a sobre el plano YZ, se hace x = 0 ,

c -> z = — y“ — y“ , b~

pará bola. c)

Simetrías. Con respecto al origen, 3 Con respecto a los ejes coordenados , con el el eje Z 3 en los demás ejes 3 .

OTRAS VARIANTES.También el hiperboloide parabólico tiene las ecuaciones siguientes:

298


a2

c2

b

b2

c1

299

Su per ficie s C uá dric as

b La traza sobre el plano YZ, se hace x = ü, y = ± —z —z dos rectas. c

o c)

Simetrías: Con respecto al origen, existe. Con respecto a los los ejes coordenados, existe. Con respecto a los planos coordenados, existe.

d)

Secciones paralelas a los planos coordenad os: i2 x 2 y 2 fe Al plano plano XY, se se hace z = k, — + — = — , familia familia de elipses. a “ b~ c

G)

EL CONO ELÍP TIC O O CIRCU LAR.-

Es el el lugar lugar geométric geométricoo de todos los puntos p(x,y,z) de 2 2 x y z ' 3 R , que satisfacen satisfacen a la la ecuación ecuación de la forma: forma: : -r + — = — , a * 0, b * 0, a b c c ¿ 0. Graficando el cono elíptico se tiene: a)

b)

Intersecciones Intersecciones conlos con los ejes coordenados: Con el eje X,

se hace y = z = 0, x = 0, A(0,0,0).

Con el eje Y,

se hacex = z = 0, y = 0, B(0,0,0).

Con el eje Z,

se hace x = y = 0, z = 0, C(0,0,0).

Las Tra zas sobre los p lanos coor denad os: La traza sobre el plano XY, se hace z =0, x = y = 0 =* =* p(0,0,0) La traza sobre el plano XZ, se hace y = 0, x - ± ^ - z dos rectas.

z 2 JC2 k 2 Al plano plano XZ, XZ, se hace hace y = k, — — - = — , famil familia ia de c a b~ hipérbola?: Al plano plano YZ, se hace x = k, hipérbolas. Z

z 2 y 2 , 2k — — —= — , famili familiaa de c2 b2 r r

300


OTRAS VARIANTES

301

Sup erfi cies Cu ád rica s

3.7

DETERM INACIÓN DE LA SUPERFICIE CILINDRICA.-

ECUAC IÓN

DE

UNA! UNA!

Consideremos la directriz en uno de los planos coordenados por ejemplo, tomamos el plano YZ, entonces la ecuación de la directriz es: D : Si

p(x,y,z)

es

un

ÍF(y,z) = 0 x = 0

punto

cualquiera de la superficie, cuya generatriz tiene por números directores [a,b,c] y si p' (0, y (0, y \ z ) es el punto de

3.6.

SUPERFICIES CILINDRICAS.CILINDRICAS.Llamaremos superficie cilindrica a la superficie que es generada por una recta que se mueve a lo largo de una curva plana dada, de tal manera que siempre se mantenga paralela a una recta fija dada que no está en el plano de dicha curva. La recta móvil se llama generatriz y la curva plana se llama directriz de la superficie cilindrica. Si la generatriz de una superficie cilindrica es perpendicular al plano de la directriz; la superficie se llama cilindro recto, en caso contrario cilindro oblicuo.

intersección de la directriz con la generatriz que pasa por

el

pun to p(x, y,z)

entonces el punto p’(0, y p’(0, y , ¿ ) satisface a la ecuación de la directriz: D:

F(yVzO = 0 *’= 0

(1)

Y la ecuación de la Generatriz es dado por: G:

x — x —0 y - y

(2)

De las ecuaciones (1) y (2) al eliminar los parámetros x \ y \ ¿ se tiene la ecuación de la superficie cilindrica. Ejem plo.- Hallar la ecuación de la superficie cuya directriz directriz es la parábola x = 4 y , z = 0, contenida en el plano XY, y cuya generatriz tiene po r nú mer os dire ctor es [1,1,3].

302


303

Sup erfi cies Cuá dric as

Solución

Solución

Consideremos las secciones paralelas al plano coordenado XY, z = k,

Íjc2 - Ay

La ecuación de la directriz es: D :

z = 0

obteniendo

punto p

jx'2 = 4y' f =0

2

Completando

cuadrado

2 ^ Luego ( x + k ) + ( y - k y ~ L z = k , es una fam ilia de circunferencia caso

y la generatr iz entonces

satisface a la ecuación de la directriz: D:

2

( x + k y + ( y - k ) 2 = 1 = 1

Sea p '(j c \y \z ') punto de intersec intersección ción de la directriz

2

x + y +2 k + 2 k x - 2 ky = \.

2

2

2

2

par ticu lar k = 0, se tiene la ecua ción de la direc triz x + y = 1, z = 0 que es 2

una circunferencia en el plano XY po r lo tanto x + y + z + 2 xz 2 xz - 2 y z = 1 es

... (1)

una superficie cilindrica circular. La recta que une los centros (-k, k,

y \ z ') con números directores

k) de las circunferencias es paralela

[1,1,3] es:

a la generatriz, por lo tanto los _ x - x C:~

y-y ,

z-z

, z

_ , G :*-x

números

.<21

directores directores

de

las

generatriz son [-1,1,1]. Ahora eliminamos los parámetros de (1) y (2) x - x = — 3 y - y

Luego su gráfico es:

.

z 3 x - z = 3 3 z 3 y - z y = y — = -------3 3

X - X — X —

x

-----------

Reemplazando Reemplazando (3) en (1) se tiene: tiene:

... (3)

3.8.

SUPERF ICIE CÓNICA.Llamaremos superficie cónica a la superficie que es generada por una recta que

(——- )2 =

se mueve de tal manera que siempre pasa por una curva plana dada fija y por

-)

un punto fijo que no está contenido en el plano de la curva fqa dada. La recta móvil se llama generatriz y la curva fija dada directriz y el punto fijo

9x~ + 9x~ + z —6x z ^ 3 6 y + I2 z = 0

se llama vértice de la superficie cónica. Ejem plo.-

Demostrar

que que

la la

ecuación

2

2

2

x + y + 2 z - r 2 x z - 2 y z - \

representa a una superficie cilindrica; Hallar las ecuaciones de su directriz y los números directores de su generatriz.

El vértice divide a la superficie cónica en dos porciones cada una de los cuales se llama hoja o ram a de la superficie cónica.

304

3.9.


DETERMINACIÓN DE LA ECUACIÓN DE SUPERFICI SUPERFICIE E C ÓNIC A.- ____ _________ _________ _________ ________ ___ __

305


LA

Consideremos la ecuación de la directriz en uno de los planos coordenados, por ejemplo en el plan o YZ, cuya ecuación es: D:

F(y,* ) = 0 y el vértice x=0

Como P (x‘, y’, z ') per tenece a la directriz, por lo tanto lo satisface, es decir: Í F ( y \ z rm \ x' = x' = 0

Ahora reemplazando (3) m (1): 4(

Ejemplo. x - xq

... (2)

x ~ yo

De las ecuaciones (1) y (2) al eliminar los parámetros x , y ' , z se obtiene la ecuación de la superficie cónica.

a

y ~i

= i de donde

El eje OZ es el eje de un cono circular que tiene el vértice en el el origen de coordenadas; el punto M(3,-4,7) está situado en su superficie. Hallar la ecuación de este cono. Solución Sea A(0,0,7),

Ejemplo.- Hallarla ecuación de la superficie cónica cuya directriz es la elips elipsee 4jc2 4jc2 + z2 = l

)2 -f

36 a:2 +1 2y 2 + 9z 2 + 24;cy +1 8 jcz - 96 96xx -102 y - 72z + 207 207 = 0

La ecuación de la generatriz que pasa por V y p es dado por. G i x - x 0 0 _ y - J o _ Z - Z Q

y -i

y = 4 y cuyo cuyo vértice es el punto V( l,l,3 )

Solución

M(3,-4,7)

~ M A = A - M = =(-3,4,0) R=\ \ MA 11=79 + 16 =5 es el radio radio de la sección circular circular del cono.

í 4 jc2 + z2 = 1 La ecuación de la directriz es: D: < como p’(x*,y’,z’) e D, l y=^

Si z = 7, entonces la directriz es:

x - 0 v-O G : ------- = ----------

J t ''- O

y - 0

z

-O

z ' -

.

de donde:

x .y z G : — = — = —

0

x'

y'

... (2 )

7

De la ecuación (2) despejamos los parámetros, x',y' se tiene: Por el punto p(x,y,z) se hace pasar un plano perpendicular al eje de revolu la intersección de la superficie con el plano es una circunferenci circunferencia. a.

7x x ' ~ 1 _ y _ _ £ y

=>

< ,

7v

” ?


... (3)

Si c es el punto de intersección del plano con la recta L y Q es el pun intersección con la curva C entonces se cumple d(P,C) = d(Q,C) que ecuación de la superficie de revolución. Si la superficie de revolución es obtenida por la rotación de una curva qu( en uno de los planos coordenados alrededor de uno de los ejes coordenadc coordenadc

( — ) 2 + (— (— ) 2 = 25 25 d e d o n d e 4 9 x 2 + 49 y" = 2 5z“ z z

3.10. SUPERFICIES DE REVÓLtíCIÓN,REVÓLtíCIÓN,-

ecuación se determina mediante el cuadro siguiente: siguiente: Ecuación de la Generatriz z = f(y); x. = 0

Eje-de Revolución Eje Y

Ecuación de la superficie x 2 + z 2 = /

2

309

Sup erf icies Cuá dri cas

308


Ejem plo.-

Hallar la ecuación de la la superficie superficie engendrada por la rotación de 2 2 la hipérbola y - 4 x 2 = 44,, z - 0, entorno entorno al eje Y. Y. Solución

La genera triz es de la form a x = f(y), z = 0 y el eje de rota ción es el eje Y, por lo tanto la ecuación de la superficie de revolución es: x + z = /"( y ),

como como

v - 4x -4

y 2 - 4

f (y)

ahora

1 4 reemplazando se tiene: tiene: x 2 + z 1 ~ — — — de dond e 4 x 2 + 4 z - y 2 + 4 - 0

El punto M lo trasladamos al plano OXY, mediante una rotación de esta per pen dicu lar a lred edo r del eje O X desi gnem os a es te p unto por N ( x \ y ' .0). ' .0). Luego se tiene CAÍ CAÍ = CN , CN , de donde CAÍ CAÍ = yj = yj y2 + y2 + z 2 CN = CN = y' en to ton ce ce s se tiene:

I [ x ' = x = x

+"

. .... (1)

M está situado en la superficie de revolución, si y solo si, el punto N está en la x y ,2 e l ip s e d a d a , e s d e c i r : — + —r - = 1 .. . (2) ¿r b~ 2 V2 . 2z X , aliora reemplazando (1) en (2) tenemos: —T — ' T + + 1— -— = 1, que que es la ecuació ecuaciónn a b~ de la superficie de revolución buscada.

3.11. TRASL ACIÓN DE EJES.La Traslación de ejes en el espacio tridimensional se realiza en forma similar que la traslación traslación de ejes en el plano cartesiano; cartesiano; si C '(^ 0,y 0’zo) es un Punt0 en el sistema cartesiano OXYZ, entonces en el punto C(A* C(A*0,y 0,y 0,z0) construiremos el nuevo nuevo siste sistema ma O’X T Z ’ de tal tal manera manera que que los rayos rayos posit positivos ivos de los nuevos ejes sean paralelos y tengan el mismo sentido que el sistema cartesiano Ejem plo.- Hallar la ecuación de la superficie superficie engendrada por la rotación rotación de la elipse

Consideremos

un

arbitrario

el

en

í l+ z l = i a 2 b2 , alrededo r del eje OX.

punto espacio

M(x,y,z) y c es el pie de la per pen dicu lar del pun to M al eje OX.

310

Ed uar do Esp ino za Ra mo s Sup erfi cies Cuá dri cas

Un punto p en el espacio correspondiente al sistema OXYZ, tiene por coordenadas a (x,y,z) es decir, p(x,y,z) y en el sistema O ' X ' Y ' Z ' tiene por coordenadas a ( x ' , y \ z ' ) es decir decir p(x \y \z ’). La relación relación entre entre estas estas coordenadas está dado por: x = x0 +x '
z = z0 + z' Ejem plo.- Graficar la la superficie superficie mediante mediante una traslación traslación x 2 + y 2 + z 2 - 3 x + 4y - 8 z = 0

311

3.12. ROTACIÓN DE EjES EN UNO DE LOS PLANOS COORDENADOS. ________ ' _________ ____ ________ ___ Veremos la rotación de los ejes de los planos coordenados manteniéndose el otro eje fijo y el mismo origen. Suponiendo que efectuamos una transformación de coordenadas del plano XY en otro sistema X 'Y ' en donde se mantiene fijo fijo el origen origen y los los ejes ejes X' e f son obtenidos rotando los ejes X e Y en forma antihoraria en un ángulo 0 como se ilustra en la figura.

Solución Completando cuadrados se tiene: *2 -3 * + - + y2 +4 y + 4+ z2 -8z + 16 16 = —+ —+ 4 + 16 16 4 4 (x—^)2+ (x—^)2+ (y + 2)2+ 2)2+ (z -4 )2 = — , x,2x,2- y ,2+ ,2+ z' 2 = — do nd nd e 0 ' ( - , - 2 , 4) 2 4 4 2

Esta transformación en el plano XY es:

2 X

Cada punto p tendrá dos representaciones una en coordenadas (x,y) con respecto al sistema original y la otra en coordenadas ( x \ y ' ) con respecto al nuevo sistema. sistema.

312

Ed ua rdo Es pin oza Ram os

Ahora determinaremos la relación (x,y) y ( a \ / ) , para esto tracemos las rectas OP, AP y BP (Ver figura).

313

Su per fici es Cu ád rica s

como x = a'eos 0 - y'sen # , y = a'sen# + y’eos# se tiene: tiene: A( a' cos # - y'se n# )2 4- # ( a ' cos # -y'sen#)(A 'sen# + y'cos#) y'cos#) + = 0 C(x' sen# s en# + y ' e o s # ) 2+ 2 + D(a'cos# - y ’s ’s e n# n# ) + E ( x' sen# x' sen# + y’cos#) + F = desarrollando y simplificando se tiene: (Aeos2 # + #sen# eos # + Csen2#) Csen2#) *,2+ (Asen2# (Asen2# - #sen#c os#+C cos2#)y 2 + (#c os 2# - Asen2# Asen2# + Csen Csen 2#)A 'y'+ D(cos# D(cos# + £sen#) £sen#)A* A* + ( £ ’c o s # - D c o s # ) y ' + / r = 0 Como el coeficiente de

a ' y'

debe ser cero, entonces se tiene:

B eos 28 - A sen 20 + C sen 20 = 0 de donde se tiene: Luego el triángulo A OAP se tiene: donde

a

= OP cos(# cos(# + a ), y - OP sen( sen( # + a ), de

x = OPcos# cosa - O P sen# P sen# sena [ y - OP sen sen 0 c o s a - OP sen OP sen a eos #

En el triángulo A OBP se tiene:

al resolver el sistema se tiene:

que es

x' = OP co s a , y - OP se OP se na

ahora reemplazando (2) en (1) se tiene:

I x -

a 'cos#

... (2) (2)

2

Graficar la superficie z = xy, mediante una rotación. rotación. Solución

[y = A ' s e n # + y’cos#

j a = a ' eos# - y’sen# y’sen# Se conoce que ] [y = a'sen# - y’eos y’eos##

a'= a eos# -f y -f y sen# sen# [y'= y [y'= y e os os # - x s e n #

relación para obtener el ángulo de rotación.

Ejem plo.-

- y ’ sen#

... (3)

Por tratarse del plano XOY veremos el caso de la ecuación de segundo grado: 2

pnc A — A — O A _ C B eos 20 = (A - C) sen 20 => — — p0r \0 \0 tanto c tg 2# = ----- — sen 2# B ° B

Ax + Bxy + Cy + Dx + Ey + Ey + F + F = = 0, donde A, B, C no nulos simultáneamente. simultáneamente.

Ahora reemplazamos en la ecuación de la superficie. z = z = Ay Ay = (a'cos# - y'sen#)(A'sen# + y’cos#) z - x

2

2 o o e o s# s# s e n # - a ' y ' s e n # + a ’ y ’e ’e os os " # - y ’" ’" s e n# n# e o s# s#

314


z = z = x ' eo s 0 sen 0 - (cos^ 6 - sen~ 9 ) x l y t - y 1 se n 6 eo eo s 0

315

Su per ficie s Cuá dric as

b)

Las traza s s obre los pl anos coord enad os. Sobre el plano XY; z = 0; a 2 = -(y ± 1) 1) parábola. parábola.

Si e os2 0 - sen2 0 = 0 => tg 2 0 = 1 => 0 = —

Sobre el plano XZ; y = 0;

,2 7T 7T ,2 7T ^ A~ y ~ , . , A' V z = a eo s-s en y sen—eos— sen—eos— = ------- — de dond dondee z = ---------- ~~ 4 4 4 4 2 2 2 2

z = 1h a 2.

Sobre el plano YZ; x = 0; z = z = ln | y |. c)

Simetrías en el origen, Ejes y planos coordenad os. Con respecto al origen de coorden adas 3 Con respecto a los ejes ejes coordenadas 3 Con respecto a los planos coordenadas es simétrico con respecto ai plan o YZ.

d)

Seccione s paralelas a los planos coordenad os. Al plano XY ; z = k, | y + x 2 \ - e k , familia de parábolas.

3.13. 3.13. EJERCICIOS DESARROLLADOS.©

1 4 2 2 Discutir y graficar la superficie z = z = —lu(a + 2a “y + y )

Al plano XZ; y = k, x 2 = ez - k . Al plano YZ; x = k, y = ez ~ k 2. Z f

Solución z = —ln(A4 + 2 A 2 y + y2) = ln|A 2 + y | => \ y + x2 |= a)

Interseccion es con los ejes coordenado s. Con el eje X; X; se hace y = z = 0; x = ± l Con el eje Y; se hace x = z = 0;y = ± l Con el eje Z; se hace x = y = 0;3 , no existe intersección

x2= -(y + 1)

Edua rdo Esp inoz a R amo s

316

©

317

Su per ficie s Cu adr átic as

2x Discutir Discutir y graficar graficar la superfici superficiee z = •2 i x + y~ Solución a)

Intersecciones con los ejes coordenados: x 2 + y 2 & 0

=> x ^ 0. y

0

Con el eje X; se hace y = z = 0; 3 Con el eje Y; se hace x = z = 0; 3 Con el eje Z; se hace x = y = 0: 3 b)

Las traz as sobre los plano s c oord enado s. Sobre el piano X Y: se hace z = 0; x = 0, y e R. 2 Sobre el plano XZ; se hace y = 0; z = z = — . x

Solución a)

Sobre el plano YZ: se hace x = 0; z = 0 c)

Intersecciones con los ejes coordenados. coordenados. Con el eje X; se hace y = z = 0; x = ±1

Simetrías. Con el eje Y; se hace x = z = 0; y = ±1 En el origen, existe. Con el el eje eje Z; se se hace hace x = y = 0; 3 z e R En los ejes coordenadas, 3 eje X, 3 eje Y, 3 eje Z.

b)

Las traza s sobr e los plan os coor dena dos.

En los planos coordenadas, coordenadas, 3 piano XY, 3 plano XZ, 3 plano YZ. d)

Sobre el el plano XY; XY; se hace hace z = 0, ln 0 2+ y 2) = 't 2 x + y =1 circunferencia.

Secciones Transversales. En el plano XY; se hace z = k, obteniéndose k{x~+y“) = 2x9 familia de circunferencias de centro (—, 0 ) y radio r = — , k * 0 .

k

k

Sobre el plano XZ; se hace y = 0; z = z = 2 ln|;t|. Sobre el plano YZ; se hace x = 0; z = 2 ln|y|.

de donde

318


c)

Simetrías.

Con el eje Y; se hace x = z = 0; y = ±1

En el origen 3

Con el eje eje Z; Z; se hace hace x = y = 0 ; 3 z e R

En los ejes coordenadas, 3 eje X, 3 eje Y, 3 eje Z.

b)

En los planos coordenadas, coordenadas, 3 plano XY, 3 plano XZ, 3 plano YZ. d)

319

Su per fici es Cu ad ráti cas

Las traz as sobr e lo s pl anos coor dena dos. Sobre el plano XY; se hace z = 0, | x | + | y | = 1 es un rombo. Sobre el plano XZ; se hace y = 0; x = ±1.

Secciones Transversales.

Sobre el plano YZ; se hace x = 0; y = ±1.

En el plano XY; se hace z = k, de donde se tiene: \n( x2 + y2) = k => x 2 + y + y 1 = e k, familia de circunferencias.

c)

Z

Simetrías. En el el origen 3 En los ejes coordenadas, eje X 3, eje Y 3, eje Z 3. En los planos coordenadas, coordenadas, plano XY 3, plano XZ 3, plano YZ 3.

d)

Secciones Transversales. En el plano plano XY; se hace z = k,

Y

©

Discutir y graficar la superficie superficie | x | + | y | =1 Solución a)

Intersecciones con los ejes coordenados. Con el eje X; se hace y = z = 0; x = ±1

|x | + | y | = l

320


321

Su per ficie s C ua drá tica s

Discutir y graficar la superficie cuya ecuación es dada por x 2 +y~ - 4 z = 0 Solución a)

Intersecciones con los ejes coordenados. Con el eje X; se hace y = z = 0;x = 0 Con el eje Y; se hace x = z = 0; y = 0 Con el eje Z; se hace hace x = y = 0;z = 0

b)

®

Las traz as sobre los plan os coor dena dos.

Solución 2

2

Sobre el plano XY; se hace z = 0, x + y = 0 es un punto (0,0) Sobre el plano XZ; se hace y = 0; 4z = x es una parábola. 2

✓ Sobre el plano YZ; se hace x = 0; Az - y es una parábola. c)

Simetrías. En el origen 3 En ios ejes coordenadas, el eje X 3 , eje Y 3, eje Z 3. En los planos coordenadas, coordenadas, plano XY 3 , plano XZ 3, plano YZ 3.

d)

Secciones Transversales. En el el plano plano XY; XY; se hace z = k, k, x " + y ~ = 4 k , familia de circunferencias.

2 2 ^ Trazar la superficie cuya ecuación es jc - y - 2 z “ + 2x = 1

x ~ _ y2 _ 2 z~ + 2 x = = 1, 1, compl completa etando ndo cuadra cuadrados dos

^ + ^— —— z 2 = 1, 2 2

es un hiperboloide de dos Lejas de centro en C( -1,0,0). -1,0,0). Su intersección en el eje eje x es -1 + V2, -1 - y¡2 , y¡2 , haciend o el traslado del origen (0,0,0) al pu nto C(- 1,0,0) se tiene.

322 ©


Hallar la ecuación de la superficie esférica que pasa por la circunferencia de 2

2

2

intersecci intersección ón de las superficies superficies esféricas esféricas * + y + ¿ -4 x - 8 y + 6? + 12 = 0; x 2 + y2 +z 2 -4 x + 4y -6 z -1 2 = 0 y que es tangen tangente te al plano plano x + 2y 2y - 2z 2z = 3. 3.

323


©

Hallar las ecuacione ecuacioness de de los los planos planos tangen tangentes tes o ^ o x~ + y 2 + z2 + z2 - 10x + 2y+ 26z =113 y paralelas a r

x+5 2

E, : — —

Solución

y -1 z + 13 = - 3 , 2

---------

a

la las

esfera rectas

_ x + 1 y + 1 a z = i = 3 -2

Ly :

Solución

Aplicando el criterio de la familia de superficies.

2 ^ 2 E: x + y “ + z + z -1 Ox + 2 y + 26 z = z = 113, completando cuadrados se tiene: x 2 + y 2 + z 2 - 4 x -8 y + 6z 6z + 12 + *(x2 + y 2 + z 2 - 4 x + 4 y - 6 z - 1 2 ) = 0 (1-f - k ) x 2 + 2 + (1 + *)y2 +(1 + k) z2 - 4 ( * + l) l) x + 4 ( * - 2 ) y + ( 6 - 6 * ) z = 12* - 12 2 1 ? a 4 ( k - 2 ) y 6(1 - k ) 12^-12 x~ + y + z “ - 4x + ---------- —+ —+ z = z = ------------ , completando cuadrados * +1 k +1 * +1 ^ , 2(* 2(* -2 ). 2 , 3(1 - k ) , 29* -2 6 * + 17 , , , (x -2 )“ + (y + — -) + (¿ + -)“ = r , de donde donde * +1 *+ 1 (* + 1)2 1)2 ^ 4-2 * 3 ( 1 - * ). ). C(2, --------- , — - - ------ -) , *+1 ¿+1

2 29 29 **22 - 2 6 * + 17 r = -------------- r — (* + 1)

E: E: ( x -5 )2 + (y + l)2 + (z + 13)2 13)2 = 308, de dond dondee C(5,-1,-13) C(5,-1,-13) y r = V308 V308 x+5 Sea 3

8 - 4 * + -----------6 - 6 * -3 2 + -------*+1 *+1

_

29k -26k +17 (1 3 -l tt) 2 =(* + l)2 9(1+ *)2

----------------------

, c, 2 . _ , , . 35* 35* +1 3* -4 = 0 de donde donde

z + 13 a =(2,-3,2) b - (3,-2,0)

-2

como las rectas Lj y L, son paralelas al plano tangente entonces la normal al

plan o P es:

como la superf icie es tangente al plano P: x + 2y - 2z = 3

j2 / N 2 29* -2 6 * + 17 d (c, p) (c, p) = r = --------------- -----(fc+D

y -1 -3

-> —+ —^ ^ i N = a x b - 2 3

—> * j —) —) —^ - 3 2 = 4 i + 6 j +5 * =(4,6,5) -2 0

Ahora tomamos la recta que pa sa por el centro de la esfera en la la dirección de la abrmal:

L = {(5,-1,-13) + t(4,6,5) / 1e R)

Sea A g L => A(4t + 5, 6t - 1, 5t - 13 13). ). Se sabe que r - CA = A - C = = (4r ,6f ,5r) ,5r)

1 4 (5*-1)(7*+ 4) = 0 =>* = - , * = - —,

1 o para para * = — => C(2,3,-2), C(2,3,-2), r* ||

x 2 + y 2 + z - 4x - 6y + 4z + 8 = 0

H= r = a/i6^~+^ 67^+2 57^ = ^308 ,

de donde

A( 13,11,-3), A'(-3,-1 3,-2 3).

77 /2 =3 08 => => t = ±2 ±2,


324

Para hallar el punto de contacto. Hallamos la recta que pasa por el Centro y el pun to de con tacto , que por def inic ión tend rá com o vec tor dire ccio nal el vect or

Las ecuaciones de los planos tangentes son (4,6,5).(x ~ 13, 13, y -11 , z + 3) = 0

4x + 6y + 5z = 103

(4,6,5).(.x + 3, y 3, y +13, +13, z z + + 23) = 0

4jc 4jc + 6v + 5z = -20 5 2

®

2

normal del Plano tangente: tangente: L= (t(2,-6,3) / t e R) intersectando L con el plano c 2(2t) - 6(-6t) + 3(3t) - 49 = 0 => 4t + 36t 36t + 9t = 49 => t = l

2

Hallar la la ec ecuación del plano plano tangente tangente a la esfera x + y + z = 49 en el punto [aliar la M( ó,-3,-2)

/

$> ¿—i

OMU N pero

\

x 7 ' \ /' \ / Jl JlL-T j / A \ / 1 / \ x — X: // / / / / /

P q - (2,-6,3) ( íí )

Solución

z

325

Su per ficie s Cu adr átic as

Hallar la ecuación del cilindro cuyas generatrices son paralelas al vector a - (2,- 3,4 ), si las ecuaciones ecuaciones de la directriz son: son:

OM = M - O = (6

jc2 +

y2 = 9 z = z = 1

-> Luego N = (6,-3,2) entonces la del plano tangente tangente en M será: — ► y

—> P: j P: j V . ( * - 6 ; y + 3 , z - 2 ) = P: 6x - 3y + 2z - 49

Demostrar que el plano 2x -óy + 3z - 49 = 0, es tangente a la esfera x 2 + y 2+ z 2 - 4 9 . Calcula r las coordenadas del punto de contacto. Solución Si P: P: 2x - 6x + 3z - 49 = 0 es tangente a la esfera x 2 + y + y 2 + z + z = 49 entonces d(C ,P) = r Eliminando los parámetros x \ y ' de ' de ks^c uaciones (1) y (2). (2).

C: Centro de la esfera = (0,0,0) r: radio de la esfera = 7 _ d(C'P) = por lo ta nto P es tange nte al P lano

X’ X’-’X' ’X'

12( 0 )- 6 (0 )+ 3 ( 0 ) - 4 9 1 V4 + 36 + 9

49

' VÍ9

Z -

1

2 4 Luego de la ecuación (2) se tiene: tiene: y - y ' _ z - 1

2 jc- z + 1 x , = -----------,_ 4y+ 3z-3

... (3)

326



i

( 3 í Z i ± l ) 2 + ( l Z ± l i z l)2 = 9 2 4

= , 4 ( 2 j c - z + 1 ) 2 + ( 4 y + 3 z - 3 )2 = 144

16jc" 16jc" + 16y" + 13z" - i6xz + 24y z + 16x —24 —24 y —26z —26z = 13 1311 (12)

327

Sup erf icies Cu adr átic as

Sean E : x 2 + y2 + z2 + 2 x - 2 y . + \ 0 z = 29 y la recta recta L={(-6,-10,4)+ L={(-6,-10,4)+ t (3,5,- 4)/1 e R}. Hallar la ecuación de la superficie cilindrica cuyos núme ros directores de las generatrices resultan al efectuar el producto vectorial de los vectores normales a los planos tangentes a la esfera E en el punto de intersección de este cilindro es la curva que resulta de interceptar la esfera con el plano XZ.

¡X \ x p 2

j

k

3

2

2 - 2 5

6 = (-22,26,16)

La curva directriz resulta de interceptar la esfera E con el plano XZ entonces Í(* + y = 0 por lo tanto: D : i l

5)2=55

D 2 + ( z +

la curva directriz

y = o

Sea P '(x \y \z ') un punto de de intersección intersección de de la directriz directriz con la generatri generatriz, z, entonces la satisface:

D:

\(x'+l) Á+( z'+S)¿ z'+S)¿ =55 {

... (1)

y’= 0

Solución

£: (jc (jc + 1)2 1)2 + (y - 1)2 1)2 + (z + 5)2 = 56 donde C(- 1,1 1,1 ,-5) centro de la esfera:

calculando la recta generatriz del cilindro G : — -22 x x y z z donde G: -11 13 13 8

L = {(-6,-10,4) {(-6,-10,4) + t (3,5,-4) / 1e R} = {(-6 + 3t, -10 -10 + 5t, 4 -4t) / 1e R}.

de la ecuación (1) y (2) eliminamos los parámetros x , z de la ecuación (2) se

E : x 2 + y 2 + z + 2x - 2 y +10z = 29, completando cuadrados

S ea ea P e L n E Si P

e

e nt nto nc nc es es P e L

a

P

E. de donde

e

JC-Jt -11 z - z ' 8

tiene.

L =» P(-6 + 3t, -10 -10 + 5t, 5t, 4 - 4t) para algún t e R.

13 y 13

X = x +

ahora reemplazamos (3) en (1) tenemos:

5 0 r - 2 5 6 r + 30 0 = 0 = > / , = 2 , f 2 = 3

(x +

pa ra

2,

(1,—1,1); par a t2 = 3,

P2(4,4,-3 ).

Los vectores nontiales a los planos tangentes son: 2 -2 ,6) = ~CPl= Pl- C = ( 2-2

,

n2 =CP2 = P2- C = ( 5,3,2)

calculando el producto vectorial de las normales a los planos tangentes

Uy 13

de

... (2)

.(3)

y ' = z - & 13

Como P e E => (-5+ 3/) 2-t-(-ll2-t-(-ll-»-5í »-5í)2+ )2+ (9 -4 í)2 =56 , de don donde de

«

^ =— 26 16

+1)“ + (z - y j + 5)2 = 55 , desarrollando se tiene:

169x2 +1 85y2 + 169¿2 + 286xy - 208yz + 338* - 754y + 1690z = 5070 Hallar la ecuación del cilindro, si se dan las ecuaciones de la directriz 2 2 x -y =z

1

x + y + z = 0

y la generatrices son perpendiculares al plano de la directriz.

328


Solución 2

329


ahora reemplazando en la ecuación ecuación x ,2+ ,2+ y ’ y ’2 = z 1

2

] x - y ~ z Sea D: i , la curva directriz. (x + y + z = 0 = 0

2 x - z - y x2 , 2 y - z - x 2 2 z - x - y J „ J (-----*) - ( --------)= ---, desarro llando se tiene.

Sea P’( x \y \z ') el punto punto de intersección intersección de la directriz directriz con la generatriz, generatriz, í ,2

D: D : i

entonces entonces si F (x \y ’,z') e D se tiene: tiene:

I x - y

,2

=z

[x’+y [x’+y ’+z Ô

...(1 )

•*. x 2 - y 2 - 2 x z + 2 y z -2 -2 z + x + y = 0 Las genera trices de un cilindro circ unscrito en la esfera x2 + y2 + z2 = l son perp end icula res al pl ano x + y - 2z + 5 = 0. H allar la ec uac ión de e ste cilin dro. Solución

como la generatriz es perpendicular al plano de la directriz, entonces el vector —»

Considerando la curva directriz en el plano XY para esto z = 0, por lo tanto, la

normal es la dirección de la generatriz es decir a = (1,1,1)

directriz es dado por: D: D:

ahora calculando la ecuación de la generatriz:

1

1

|x2+y2=l [

Sea

1y - y - z - z '

[y - y - z + z ’

generatriz D: D:

... (3)

el

de la directriz

punto

de

c on

las

entonces lo satisface: [x,2+y,2 = l ¿

L

(1)

=o

Calculando la ecuación de la generatriz.

reemplazando (3) en la ecuación x'+ y'+ z's 0 se tiene tiene:: 2z —x —y x - z + z'+ y - z + z'+ z' = 0 => z ' = ------ ------2z -x-y , 2x -z-y x ' = x - z + ------------- => x = --------------

P ' ( x \ y \ z )

intersección

eliminando los parámetros x ' , ' , y ' , ' , Z ' dé las ecuacion es (1) y (2). í x' = x ~ z + z

, la curva directriz.

Z = 0

1

\x-x'= z~z'

*

G*

= 1

= 1

z -2

... (2)

De la ecuación (1) y (2) eliminamos los parámetros x \ y \ ,

2 x + z -2

X = -----------

2z -x-y y = y - z + — -—

, 2y -z-x =» y - — z—

y = * 2 ± l

.(3)

Edu ard o E spi noz a Ra mo s

330 reempl reemplaza azando ndo (3) (3) en en (1) (1) se tien tiene: e: ( ^ ^ ) 2 +(±^

331

Sup erfi cies Cu adr átic as

Sea C el centro de la esfera de Radio R

:)2 = 1, desarr desarroll olland andoo se se

luego en el A ACD: R 2 = (2 - a ) 2 + 2 5 .

tiene: tiene: 2x 2+ 2 y2 + z2 +2 xz + 2yz = 2 (15)

Hallar la ecuación de la esfera que

pasa

por

las

En el ACBE se obtiene: R 2 - ( 3 - a ) ¿ + 16.

circunferencias circunferencias

x 2 + z2 = 25, y = 2; x 2 + z~ = 16 , y = 3

Luego igualando se tiene:

Solución

( 2 - o ) 2 + 2 5 = ( 3 - a ) 2 + 16 => 2a = -4 de donde a = -2

pa ra vis ua liz ar el pla nte am ien to del problema.

Luego el centro es C(-2,0,0) y el radio R" = 41 por lo tanto la ecuación de la

el A ACD.

r2 = ( 2 - b ) 2 + 25 En el A BCE se tiene r - í 3 ■- h) +1 6,

E : (jc + 2) 2 -t-y2 + z = 41

esfera es:

Del gráfico se tiene A(0,2,5) y en

©

El eje OY es el eje de un cono circular que tiene el vértice en el origen de coordenadas, sus generatrices forman un ángulo de 60° con el eje OY. Hallar la ecuación de este cono.

Solución

por lo tanto al igualar se tiene.

Definimos a la curva directriz en el pla no y = 1

-2. { 2 - b ) 2 +25 = (3 -¿ )2 + 16 => b = -2. Luego el centro es C(0,-2,0) y el radio r = 41

D:

41 x 2 + (y + 2 )2 + z2 = 41

16)

2 ,2 ^ | x + z = 3

i

, la curva directriz

,= >

Sea P ' ( x \ y \ z ' ) G D a G entonces

Hallar la ecuación de la esfera que pasa por las circunferenc ias * + y~ = 25,

se

z = 2 ; x 2 + y 2 = 16, z = 3

entonces satisface a la ecuación:

tiene

si

P ' ( x \ y \ z ' ) e D

Solución Con los datos del problema haremos un bosquejo del gráfico.

D:

¡ x '2+ z '2 '2 = 3 y ’= 1

... (1)

332


G : ———= —— = —— —— —= —— jc'- O y '- O z ' - 0

ahora calculam os la ecuación de la generatriz:

G:—=—=— Jt’ y* z'

de donde

... (2)

333

Sup erf icies Cua drá tica s

(x ,

= J x 2 + y2 + z 2. ^ 7

2

* +y +z - U + y + z) z) = V

2

2( x + y + z) = 3y¡x2 + 3y¡x2 + y2 + z2

de la ecuación (1) y (2) eliminamos los parámetros x x 7 =y

... (3)

Hallar la ecuación del cono que tiene el vértice en el punto (0,0,C) ; si las j 2 y"7 ecuacione ecuacioness de la directri directrizz son: son: — + — = 1, z = 0 a 2 b2

z' = ±

Solución

y

Reem plazando (3) en (1) (1) se tiene:

(—)2 (—)2 + (—)2 (—)2 = 3 , de donde x 2 + z + z = 3 y 2 .V

y

Encon trar la ecuación del cono, con vértice en el origen, cuyas generatrices hacen un ángulo de 30° con el vector unitario que forman ángulos iguales con

£ -+Z_ = i Sea D : a2 b1 , la curva directriz. Si P ' ( x \ y ' > z ) Z= 0 2 =1 satisface D :

D entonces lo

... (1)

=0

los ejes X, Y, Z. Solución Por datos del problema —) u = (cosa, eos/J,cosy ), como como 2

2

2

se

tiene

2

e o s a + c o s p -feos y = l => 3c os “ a = 1 Y

puesto que eos a = eos P = eos y eos y c o sa sa = ± — 2

- n/3 u = — (1,1,1) (1,1,1) 3

ahora calculamos la ecuación de la generatriz generatriz donde V(0,0,C) es el vértice de , . . . . . „ *-0 v-0 z - c , la superítele comea. comea. G : ------= -------- ycomo z = z = 0 jc’-O jc’-O y '- O z ' - c x y z + c G : — = — = ----- x' y ' —c x

y _ z - c Ly'

Sea r = ( x ( x , y, z) el vector de posició n de un punto cualquiera del cono, com o —> —> — > —> r . . u =|| r |||| u || eos 30° por dato se ti ene entonc es.

z-c

-c

... (2 ), de las ecuaciones (1) y (2) eliminamos x , y' , 'XC 'XC X =c~.z cy y = c-z

... (3)

,

reemp lazando (3) en (1) se tiene:

1 (/---- xc -)s2 + — 1 (/-----cy )x2 = 1, , simplificando • t * se tiene x 2 + ^ y 2 a~ c - z b c- z a2 b

( z - c— )2 =0 c

334


Hallar la ecuación del cono que tiene el vértice en el origen de coordenadas, si 2 * -2 z + l = 0 las ecuaciones de la directriz son: [ y - z + 1= 0

335


(2 l)

Una vez comprobado que que ei punto M(l,3,- 1) está situado en el paraboloide hiperbólico 44xx 2 - z 2 2 =y , hallar las ecuaciones ecuaciones de sus generatrices que pasa por el p unto M. Solución

Solución jt —2z '+ l = 0 jc - 2 z + l = 0 Sea D: D : i sí P ' ( x \ y \ ¿ ) e D entonces D entonces D: D: \ ... (1) [ y y - z +1 z +1 = 0 [ y'-z'+l = = 0

Sea H: 4 x 2 - z 2 = y => Aí(l,3,-l)e H => 4 -1 = 3 Las ecuaciones de sus generatrices que pasan por M son (2x + z)(2x - z)= y.

n *-0 1 T y - 0 z - o La ecuación ecuación de la la generat generatriz riz es: es: G : —— —— = —— —— jc’— jc’—0 y ' - 0 z' - O G:—=—=— X ’ y ’ z f

de donde

L : 2 x + z = k a

de donde:

2 x - z = — k

... (1)

... (2) Lj : 2x - z = z = k a 2x + z = z = —

... (2)

de las ecuaciones (1) y (2) eliminamos los parámetros x ' 9y \ z ' x

z

de la ecuación (1) 2x + z = k => 2 - 1= k => k = l x' = Z z

Z = JL JL y ' z'

y

,

(3)

L,: 2x + z = \ 1

y z '

= —

2x-z-y

a

=>

L, : —= 2 Ü l = ——1 4 -2

de la ecuaci ecuación ón (2), (2), 2 x -z = k => 2 + l = k

=> k = 3

reemplazando (3) en la la ecuación y'+ z'+l = 0 Ln,: Ln,: 2 x -z = 3

yz_

—

z '+1 '+1 — 0

=>

z

z z = z - y X X = z - y y

JC

2

2

2

x - z + y =0

=> L¿: z = 2 x - 3 a

y = 12*-9

( X y , z ) e Lo => (*,y ,z) = (x, 12*- 9, 2x -3 ) = (0,-9,-3) (0,-9,-3) + x( 1,12,2 1,12,2))

^^

Ahora reemplazamos reemplazamos (4) en x'“ -2 z'+ l = 0, se tiene: tiene: (------ )2 ----------- + 1=0 z-y z-y simplificando simplificando tenemos la ecuación

2x + z = y

... (4)

y z - y

^

a

22)

x

y+9

1

12

z+3

Hallar ia ia ecuación de la superficie engendrada por rotación de la la elipse 2

2

£-+i-=l b2 c2 entorno del eje O Y. x=

0

337

Sup erf icies Cua drá tica s

336


Sea M(x,y,z) un punto en el espacio tomado Solución

arbitrariamente,

y

D

el

pie

de

la

per pen dicu lar traz ada des de el pun to M al

Consideremos un punto arbitrario del espacio M(x,y,z) y que C es el pie de la per pen dic ular baja da del punt o M al ej e O Y al p unto M lo t ras lada mos al p lano OYZ mediante una rotación de esta perpendicular alrededor del eje OY y a

eje OZ. El punto M lo trasladamos ai plano OXZ mediante una rotación de esta

este punto designamos por N(0,y,z) ahora haremos el dibujo correspondiente a

per pen dicu lar

la superficie, mediante el cual daremos la ecuación de dicha superficie. superficie.

alre ded or

del

eje

OZ.

Designemos este punto en dicha situación por N ( x \ 0, \ 0, y y '). Luego || DM DM ||=|| DN |] DN |] donde ¡¡ DM 1 DM 111=

- O) O)2 + (y - O)2+ O)2+

(Z

- z)2 = J x 2 + y2

además ¡¡ DN ¡¡ DN ¡|= .v' pnr!< tanto \x'\- Jx + y* y* además z - i

(1)

El punto M está situado en la superficie de revolución si y solamente si, el CN donde CM = \jx2 + Z2 , CN = zx de donde \zx\ = \ix2 +: CM ■CN además es evidente que

x pun to N está en la hip érb ola dada, es decir: si — _2 a

>(1)

z =1 c2

... (2)

... (2) ahora ahora reemplazamos reemplazamos (1) en (2) se tiene. tiene.

y -— 4 r = l, simplific simplificando ando

El punto M(x,y,z) está situado en la superficie de revolución si y solo si N ( o ;, y {>z{) {>z{) está está en la elipse dada, es decir:

+ -!r = l b2 c

x 2 + y 2 a

... (3)
de las igualdades (1) y (2) en (3) se tiene: tiene: ~ - + — ~ — = 1que es la ecuación b“ c busc ada. Hallar

la ecuación de la superficie engen drada por la rotación de la o o K~ Z hipérbola — — - = 1, y = 0, alrededor del eje eje OZ. OZ. a c Solución

x2 c

i , ecuación de la superficie engendrada. engendrada.

Demostrar que el hiperboloide de dos hojas, determinado por la ecuación X2 y 2 2 2 + ----- - = -1 se puede tener por rotación de la hipérbola. a 2 b¿ c1 z 2 c2

x 2 _ ^ a2 entorno al eje OZ y una sucesiva contracc ión uniform e del

y = Q espacio al plano OXZ.

338


Solución Primeramente hallaremos la ecuación de la superficie de revolución que se va a generar. Sea M(x,y,z) un punto del espacio tomado arbitrariamente y D el pie de la perp end icula r traza da desd e M al eje OZ, el punt o M lo tras lada mos por rotación de esta perpendicular sobre el eje OZ hacia el plano OXZ. Asignamos a este punto en dicha situación por N ( x \0 , z ')

339


Demostrar que el elipsoide escaleno determinado por la ecuación -> D 2 x~ y“ z _ + ^__ + Z:T Z:T = l se pUede pUede obte ner como resu ltado de una rota ción d él a cr b~ c~ x “ y -a + 7b2 alrededor del eje OX y una sucesiva contracción := 0 uniforme del espacio hacia el plano OXY.

elipse:

Solución Luego || DM || = | DN DN || , de donde se tiene: Hallaremos primero la ecuación de la \ \ DM DM \ \ =y =y ¡ (x (x - 0) 0) 2 + ( y - 0 ) 2 + U - Z ) ' = J i r + y 2 y || DN || = ¡jv' ¡jv'

superficie de revolución que se va a

luego se tiene Ixl = ^ x 2 + y2 y z = z como en el punto N ( x ' . o . z ) está en

generar. Sea M(x,y,z) un punto del espacio tomado arbitrariamente y D el pie de la

z'2 la hipérbola hipérbola entonces entonces — c

x'2 =1 a~

por lo t anto se tien e:

per pen dicu lar t raz ado des de M al ej e OX. z 2 — c

El punto M lo trasladamos por rotación de esta perpendicular sobre el eje OX

x 2 + y"1 — =1 a“

... (1)

es la superficie de revolución engendrada, suponiendo ahora que se efectúa una contracción uniforme del espacio de la superficie (1) hacia el plano OXZ con el coeficiente de contracción

q ~ — y que el punto M ' ( x \ y \ z ) b

es el

punt o que se tras lada M(x ,y,z ) com o MM ' es perpendicular al plano OXZ

hacia el plano OXY, designemos este punto en dicha situación por N(x,y,0) luego || DM || DM ||=|| ||=|| DN DN ||, de donde: II DM 11=

- x ) 2 + 2 + (y-- O)2 + (z - O)2 = V r + Z2 y II

po r lo tant o | y ’|’| = y]y = y]y 2 + z2 ,

II = |y'|

x = x = x'

... (1)

tenemos que: x = x

,

a , , y =-y , z = z z O

^

...(2) ■2

ahora reemplazando (2) en (1) se tiene. tiene. Z'2 4c z ’2 Jt'2 simplific simplificando ando se tiene: tiene: — c2 a

X

n2

/> a~

=1

y'2 x*2- y'2 z’2 —= 1------------- —r —r- + — ------ —= - 1 b2 a2 b2 c2

x 2 y 2 como — + Z-- = 1, contiene al punto M si y solo si, el punto N está en a" b" x a y ’2 la elips e dada, es decir: ——+ — —= 1 ... (2) a b»2 X~

ahora reemplazan reemplazando do (2) (2) en (1) tenemos tenemos — +

y" -f

— =1

... (3)

340

Edu ard o E sp ino za Ram os

La ecuación (3) es la ecuación de la superficie de revolución engendrada. Supongamos ahora que se efectúa una contracción uniforme del espacio de la c superficie (3) hacia el plano OXY, con el coeficiente q - ~ , y y que el punto b M ' ( x \ y \ z ' ) es el punto al que se traslada M(x,y,z); como M M ' es per pen dicu lar al p lano OXY , te nemos ; (4) supongamos que M (x,y,z) es un punto arbitrario de la superficie de revolución (3) sustituyen do aquí sus valores de la ecuación (4) se tiene: „,2 y ' 2+ ( - z f

a2

b»2

x ' 2 a¿

1, simplifican do *

y'2 bi i

z '2 ——= \ ...(5) c

Luego la ecuación (5) es la ecuación del elipsoide escalena.

3.14. EJERCICIOS PROPUESTOS. I-

© *5) *5)

Discutir y graficar las siguientes superficies: | x | + 1y | = 6 - z

(2

2 = ln(x + y¿ ) r2

x2 ©

©

4x y x z — , , 2x y+ 2y x 4x" —9y + ¿" =36

Z" H + H

@

^ ? A x “ + z~ = 4 y

©

©

x2 —2y + 4z

©

y = |x2 | —2|x| + l

o 2 ¿ 2 - 2 3 x - 6 y +2z -: -: 6

©

x2 -3 y 2 —4z = 0

©

2 2 1 y + z = sen" x

®

z = x4 + y4 -4 x 2y 2y""

@

V x + x + \jz —2

®

z=lyl

^ 2 2 x = y ‘ + z" z"

®

X2 = |z|

©

z + y2 + y2 —2y = 0

®

2 2 — — = 9y 36 25

( § )

z = ( x + 2)~ + (y - -3)2 -9

®

|x|2 |x|2 z- 2 x + z|y|2 z|y|2 =0

©

x 2 + y 2 + z 2 - 30 c+ 2z) + (y + 8) = 0

®

8x2 -4 xy + 5y*+z~

©

2 x 2 - y 2 +8 j2 = - 8

®

z = z = ( x + 2 ) 2 + ( y - 3 )

(33)

Discut Discutir ir y grafic graficar ar la superf superfici iciee |x |2 z -2 x + z |y |2 = 0

L54) L54)

Discutir Discutir y graficar graficar la superfici superficiee 8x2 - 4xy + 5y z + z 2 =36

35)

Discutir y graficar analíticamente analíticamente la gráfica de la superficie

©

©

9x + 4y - 12z 12z = 0 2 .2 , x + y = ln z

341


„2

©

^ ~ 4A y — + — 36 25 '

4 x + «Jy «Jy +yfz =1

©

2.2 x + z = tg y

x =2 x + 4z 4z

®

y 2+ z = 2

(S í)

4x2 + 9y 2 - z

=36

a)

x2 + y 2 + z 2 -3( x + 2z) + (y + 8) = 0

b)

2 xx22 - y 2 + 8 z2 z2 = -

342 (3ó)


®

Hacer una discusión completa del paraboloide de ecuación

Discutir y graficar las superficies: superficies: a)

16 16x2-4 x2-4 y 2 - z2 +1 = 0

b) 8 y = x 1 - z~

c)

4x2 -3 v 2 ~ z 2 =12

d) y2 - 9 z 2 - -x -x 2 - 9 = 0

dos

superficies

esféricas

x “ + y 1 + z 2 - 4 x - 2 y - 6 z + 1 0 = 0

y

Hallar la ecuación de la

esfera

que que

está en los planos paralelos

7r,: 7r,: 2 x - y + 2z + l = 0; 0; /r2: 2x~ > 4-2 z - 17 = 0 conociendo que P( 1,3,0) 1,3,0) es el punt o de c onta cto de u no d e el los. Hallar la ecuación de la

x + 2y •+■2z = ~3 ~3 en el punto P(l, l,-3 ). Rpta. ( x - 2 ) 2 + ( y - 3 ) w 4-(z +l)~ = 9 Hallar la ecuación de la esfera que pasa por el origen de coordenadas y por la f x~- 4* y 2 4- z~ 2 1 4- z~^ ~ ¿ijr circunferencia < Rpta. x~ + y + z ~ - 10z 10z + 15y-2 5z = 0 [ 2 x - 3 y + 5z = 5 Hallar la

ecuación de

la esfera que

| x 2 4- y 2 4 -z -z " - 2 x 4 - 3 y - 6 z - 5 = 0

\ [ *

5x 5x44- 2y - z = 3

pasa

por la

L: L: 2 a f 4 y - z - 7 ~ 0

®

® y por el punto P (2,-1,1)

la

tangente en (1,-1,4) al plano

2 2 ^ Halle la ecuación de la la esfera concéntrica a x + y 4-z“ 4-6y-4 z4-9 = 0 y

Halle la ecuación de la esfera cuyo centro está en el plano XY y es tangente al piano 3x 4- 2y - z - 6 = 0 en (1,5,7).

(l2 )

Se dan dos puntos fijos P y Q, demostrar que el lugar geométrico de un punto P0 que satisface a la igualda d || PP0 || = n || QP0 || es u na esfer a (con n constante, n ^ 1).

circunferencia

x 2 + y2 +z 2+6x + 4y -2 z = 25 25;; x2+ y2 +z +2 x-6 y+ 12 z = 17 y conti contien enee al punto punto (1,-1,2). (1,-1,2).

la ecuación de la esfera

©

Rpta. ( x - 1 ) 2 4- ( y - 2 ) 2 + ( z - l ) " = 3 5 a

Encuentre

tangente al plano n: 2x - 3y 4- 2z 4- 4 = 0.

y tangente en (2,5,-4) al plano x + 3y - 5z - 37 = 0.

ecuación de la esfera quecontiene quecontiene

tiene su centro en la recta

Pj: Pj: 2x- y + y + 3z -1 5 = 0 y tangente en (1 ,-2,5) al plano plano P2: x - 2 y + 4z - 27 = 0

Hallar la ecuación de la esfera tangenteen tangenteen (4,3,6) al plano plano 3x + y .+ 5z - 45 = 0

Hallar la

esfera que

A 44xx 4 --55 v + 7 - 14 14 = 0 y es tangen te a los planos

x+ 2y -2 z- 2 = 0, x + 2y-2z + 4 = 0. Rpta. (x+1)2 + (y -3 )2 + (z -3 )‘ = 4

circunferencia

Rpta. x2 + y + y 2 + z2 4 z2 4 -13x4-9 y-9z + 14 = 0

(5 )

las

Rp ta. x2 + y2 -rz - l $ x - 3 2 y - 2 1 z + 70 = 0

Hallar la ecuació n de la esfera de ra dio R = 3 y que es tangen te al plano

( 4)

de

también pasa por el punto (-2,4,0).

II.-

©

intersección

x" + y2 4- z~ 4- z~ — —2x 2x + 2y~ 4z + 2 = 0 ,

©

©

Hallar la ecuación de la superficie esférica que pasa por la circunferencia de

x 2 - y 2 - 2 x 4 - 4 y 44- z = 6

(37 )

343

Su per ficie s C uad ráti cas

Rpta.7 1(x2 + y2 + z2) + 176x~6 6y + 25 8z- 950 = 0

(S )

Hallar la ecuación de la la esfera tangente a los los planos XZ y YZ en el primer octante si su radio es 5 y pasa por el punto (9,2,6).

344


345

Su per ficie s Cua drá tica s

---------------------------

\4 )

Determ inar

el

centro

y

radio

f u - 3 ) 2 + (y+ 2)2 + (z- 1) 2 = 100 100 \ [ 2jt- 2y -z + 9 = 0 ^5)

de

la

circunfer encia

(2 2 )

Rpta. C(- l,2,3) , R = 8

I ( a - i)2 +.íy+ l)2 + (z + 2)2 =65 ¡Rpta. C: ; l 18a - 22 y + 5z —30 5z —30 = 0

Calcu lar el radio de la la esfera que es tangente a los planos 3x + 2y —6z —15 =0, 3x •+- 2y - 6z + 55 = 0.

Rp ta . R = 5 (23)

(l ó)

El punto C (l,- l,-2 ) es el centro de una circunferencia que coila en la recta 2x - y + 2z - 12= 0. 4x - 7y - z + 6 = 0 una cuerda de longitud igual a 8. Hallar la ecuación de la circunferencia.

Hallar la ecuación de de la esfera con el el centro en C(2,3,~l). que corta en la la recta recta 5x - 4y + 3z + 20 = 0, 3x - 4y + z 8 = 0, una cuerda de longitud igual a í 6.

Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los tres puntos A (3 .-i, -2 ), | ( a - 2)2 + v 2

8(1 ,1,- 2) y C( -1,3,0).

¡Rpta. ¡Rpta. C: 1

+(r-3r

=27

1

Rpta. ( a - 2)~ + ( y - 3)~ + ( z + D2 = 289 (24) (ti)

Hallar Hallar

la

x ? + y 2 + z -

ecuación 8 a --

del * plano plano

tangente tangente

a

la

( 25 )

( 2^ Hallar la ecuación canónica de la recta que contiene el diámetro de la esfera x 2 + y + y 2 +z - a + 3y + z + z - 13 = 0, que es paralelo a la la recta x = 2 t - l , , •*-0.5 y + 1.5 1.5 z. z. + 0.5 Rpta. L : y = -3t + 5, z = 4t - 7. = -------- = -------- J 2 - 3 4 * Hallar en la esfera

Hallar los valores de A pa a los cuales el plano x + y + z = A es tangente a la z ^ 'y esfera a “ + y" + = 12. Rp ta. A = 1 6

Rpta. L: x = 5t - 1, y = -t -t +3 , z = 2t - 0.5

5 x -y + 2 z- 17 = 0.

( jc —l) —l) 2

+ (y + 2)~ + (c ~ 3 ) = 25

Hallar (a-3)~

^ 7)

Hallar (a - 3 ) 2

la la

ecuación ecuación

Rp ta. M( -2,- 2,7) , d = 3

las

ecuaciones

Hallar la ecuación del plano que pasa por la línea de intersección de las dos

plaño

de

los

Rpta. ^8)

tangente tangente

a

la la

esfera

planos

tangentes

a

ia

esfera

+ (y + 2) 2 + (z - 1)2 1)2 = 25 paralelos al al plano 4x + 3z - 17 = 0

Determinar

la

ecuación

,-*2 ,-*2 + (» v- l)2 + 4(z + 2)2 = 4 ( 2^

del

+ ( y - l) ‘ +(z + 2)2 = 24 24 en el punto punto M(-1,3,0) M(-1,3,0).. Rpta. 2x - y - z = -5 -5

el punt o M más

pró xim o al plan o 3x - 4z + 19 = 0 y calc ular la d istan cia d del punto P a éste plano .

49, calcular las coordenadas del punto punto de contacto. Rpta. (2,-6,3) (2,-6,3)

de la esfera x 2 + y + y 2 + z + z 2 + 2 a - 6y + z - 1 1= 0 , que es perpendicular al piano

( 20 )

*>

x~ r y" + z~

y + 2? + 2? + 10 = 0 y que sea paralelo al plano x+ 2y - 2/ - 3=0 2 y +

Hallar las ecuaciones paramétricas de la recta que contiene ei diámetro

^$)

Demostrar que el plano 2x - 6y + 3 a - 49 = 0 es tangente tangente a la esfera ">

esfera

x 2 + ( y - l) 2 + (z + 2)2 =9

del

4x + 3z - 40 = 0 ; 4x + 3z +1 0 = 0 plano

tangente

al

elipsoide

paralelo al plano tangente tangente de ia esfera en ei ei punto punto (-1 , 1, 1, - 2 + >/8^ >/8^..

esferas 2 a2 + 2y “ + 2z~ + 2z~ + 3a —2 y + z —5 = 0 ; a ” + y^ + z + z - x + 3y + 3y - 2¿ + 1= 0. 0. Rpta. 5x - 8y + 5z - 7 = 0

Rpta. 3a- - 6 V 2 c + 2V3 + 6 n/ 2 - 4 = 0 .

Edua rdo Esp inoz a Ram os

346 (29)

Deduc ir

la

condición, según ía cual el plano Ax 4 By 4 By + Cz + D - 0. es

tangente a la esfera x2 4 y 2 4 z2 = R 2 . (30)

Encuentr e la ecuación Jt1:2 Jt1:2 x -y 4 3z -1 5 = 0

(3?)

Rpta. A" R~ + B “R 7 + C 2R" = D

pun tos P | (0,5,0) y P2 (-2,1,0). Encontrar la ecuación de la la esfera cuyo centro esta en el plano XZ y es tangente al plano plano 2x - y 4 z - 4 = 0 en el punto punto P( 1,7, 1,7,4). 4).

n 2: x - 3y 4 4z - 27 ---- 0 . v = 51 — 11. 11. z = z = - 4 y 4 9

49 se han trazado planos tangentes a y la esfer esferaa (x + 2)2 4 ( y - l) “ t ( z + 5)2 = 49 esta esfera. Hallar sus ecuaciones.

40)

Hallar

la

ecuacióndel ecuación del

plano

P

que

contiene

a

ía

recta L = {(1,2,3) 4 t( 1,-1.0) / 1,-1.0) / t e R} de modo que dicho plano plano sea tangente a

¿«

la esfera x " 4 y 2 4 z ¿ = 1.

Rp ta. 3x - 2 v + 6z -1 1 = 0, 6.r 4- 3y 4 2z - 30 = 0 32)

Encontrar Encontrar la ecuación ecuación de la e; fera que es tangente tangente a! plano x - 8 y 4 4 z 4 7 = 0 y es es concéntrica a la la esfera x2 4 y 2 4 z 2 z 2 —12x —4y —4y —6z 4 33 = 0 . Hallar la ecuación de la esfera cuyo centro esta en el eje X y pasa por los

de la esfera tangente en (1,-1,4) ai piano y tangente tangente en
Por los puntos de intersección de la recta x -- 3131- 5.

347

Su per fici es Cu adr átic as

Hallar las ecuaciones de los los pianos pianos tangentes tangentes a la la esfera esfera x ' 4 y" 4 :

(4 ^

Determinar la la ecuación í 2x + 4 y - z = z = 7 i [ 4 x 4 5 y 4 z = 14 14

par alel o al pla no x 44- 2y - 2z -415 -415 -0. Rpta. x + 2y ~ 2- -9 = 0, 0, x 4 2y - 2z + 9 = C

y

de una esfera cuyo centro esta sobre tangente a los planos

la recta

P, : x 4 2 y - 2 z = z = 2

y

P2 P2 : x 4 2 v - 2 z 4 4 = 0 . ,¿3)

Demostrar que por la recta x •-4t •- 4t 4- 4, y = 3* 4 1, z = 1 41 se puede trazar -> o 2 solame nte un plano tangente a la esf era x “ 4 y" 4 z ~ 2 x 4 6 y 4 2 z 4 8 = 0 y hallar su ecuación .

Rp ta. x - y T z = 2

D e m o s tr a r qu e se pu ed e tr az ar p o r la re cta tangentes a la esfera

8.V -11 v + 8" = 30 ¡ , [ x - y - 2 z = 0 = 0

2

dos

p lan o s

^ 3)

las

ecuac iones

de

4 2 z - 17 = 0, conociendo que P0(l,3,0) es el

las

esferas

que

contenga

x 2 4 y 2 4 z 2 = 5 , x 4 2y 4 3z = 3 y son tangentes al plano

2

D em em o st st ra ra r q uuee e l h ip ip er er bo bo lo lo id id e d e d ooss h oojj as as ~ + ~

2

(44)

= - 1 t ie ie ne ne u n p uunn to to

4x

él circulo

4 3y = 15.

Demostrar que el paraboloide elíptico elíptico

4

2

= 2 y tiene un punto común con

el plano 2 x - 2 y - z -1 0 = 0 y hallar hallar sus coordenada coordenadas. s.

punt o d e c onta cto de uno de el los. Hallar

2

Rp ta. c(6,-2 ,2)

común con con el plano 5x 4 2z 45 - 0 y hallar hallar sus coordenadas coordenadas c (3 ,0 -10).

x “ 4 y “ 4 z 4 z 4 22xx - 6 y 4 4z ~ 15 = 0

k ^:2 x ~ y

2 2 J2 Demostrar que el elipsoide elipsoide — 4 — 4 — = 1, tiene un pun to com ún con el 81 36 36 pla no 4x - 3y 4 \2 z - 54 = 0 y hallar hallar sus coordenada coordenadas. s.

Hallar la ecuación de la esfera que está en los planos paraleles izx:2x —y + 2z + 1 - 0 ,

®

(45 )

Rpta, c(9,5,~2)

Discutir y graficar las superficies superficies cilindricas cilindricas,, rectas rectas cuyas ecuaciones se da. a)

x2

~4z

=0

b)

y24 z2 = 4

348


c)

9A2+ 9A2+ 4y 2 =36

e)

A2

+ y2 -2y = 0

d)

y~ + z = 2

f)

9y2-4 z2 =36

(5^

Hallar la superficie superficie cilindrica uya directriz es la intersección de las las superficies

+ 3 z 2 = 1 3a2 - y + 3 l .

\

g ) x (46 )

1/2 ,

+2

1/2

i .

=2

h)

a

2/3 ,

+v

2/3

z - -- 0;

y2 = 4a,

[l, —l,l]

c)

A'2 - y 2 = 1, 2 = 0 ; [0 ,2 - 1]

b)

a

2 a + 3y - z = 0 y cuya generatriz son paralelos a la recta

1 _ y - 4 _ z + 2

— "~ Y ~ ~ ~T~

,

=1

Identificar y graficar la superficie

Dada la ecuación de la directriz y los número s directores de las generatr ices de una superficie cilindrica. Hallar su ecuación y su gráfica. a)

349


a

2

+ y 2 + 4z 2 - 2xy + 2xy + 4 a z ~ 4 yz = 1.

a 2 + y 2 + 5z2 - 2az + 4 yz = 1, ¿es una superficie

Graficar Graficar la superfici superficiee

cilindrica? Es caso afirmativo hallar sus elementos.

jr2 + z2 = 1, y ==0; ==0; [2 .1 -1 ] (54 )

d) x 2 + y = U z = 0 ; [ 2 ,0 . l]

Graficar Graficar la superficie superficie v“ + 6 y 2 + 25z~ + 2 az —24 —24 yz —16 = 0 en ca so de se r superficie cilindrica, hallar sus elementos.

♦

e)

4 x ? + z 2 + 4z = 0, y = 0; [4,1,0 [4,1,0]]

f)

x* x* + z ’ = l, y = 0; 0; [3,1,-!]

g)

2 y ‘ + z~ = z~ = 2, x = 0; [ 1,2,3] 1,2,3]

íi)

jt z = l, y = 0; [2.-1.0 ]

(S )

Demuestr Demuestree que

a

2

+ 4 y 2 - 2 x z 4 %yz~t-5z2 = 4 es una superficie cilindrica y

conociendo sus elementos, halle su gráfica. (5ó)

(47 )

(48)

Hallar la ecuación de la superficie cilindrica cuya directriz 2 2y + z = L x = 0 con generatriz ortogonal al plano a -f-f- 2 y - 2^ - 4 - 0.

es (5^

2

'

Halle

la

ecuación

4 a 2 + z 2 + 4 z = 0,

Las generatrices de un cilindro circunscrito circunscrito en la esfera ') ■’> 2 x " x " + y “ + z + z - 2x + 4y + 2z 2z - 3 = 0, son paralelas a la recta x= 2t - 3, y= -t + 7, z = -2t + 5

Encuentre la ecuación del cilindro de radio 2 y tiene tiene por eje a la recta recta x - l v=3-z de

la

y = 0

superficie

cilindrica

cuya

directriz

es

y la generatriz tiene como número s directores

[4,1,0].

Rpta. 4a" + 4y 2 +z~ + 12y — 6 z + 8 a 2 —4yz = 27 .

Pruebe que la ecuación

a 2 + y 2 +5 z +5 z 2 + 2a^ + 4yz - 4 = 0

representa una

superficie cilindrica. Halle la directriz directriz y la g eneratriz esboce la gráfica.

(49 )

Las ecuaciones de una recta paralela a la generatriz de la superficie cilindrica cilindrica es x + 2y — z = 4, 2x — y + z + 6 = 0, y la la ecuación de su directriz es 7 :1- ? 2a" + y" + y" = = 4, se pide hallar la ecuación de su superficie.

59)

Encuen tre la ecuación dei círculo que es perpen dicular al plano XY, y cuya directriz es el círculo en el plano XY con centro en c(4,-3,0) y radio 5.

la

ecuación

del

cilindro

circunscrito

a

las

dos

esferas

£ , : ( a - 2 ) 2 + ( y - l ) 2 + z 2 = 2 5 , E 2 : A2 A2 + y 2 + z 2 = 2 5 . (60)

(50 )

Hallar

Demos trar que la ecuación 2 a2 + 2 y 2 + 4 z 2 +4A z-9yz = 2 represe representa nta una superficie cilindrica, y hallar las ecuaciones de su directriz y los números directores de sus generatrices. generatrices.

350


(él)

Hallar al ecuación del cilindro cuyas generatrices son paralelas al vector r -i _ x A’+ v* = 9 ¿7 = (2,- 3,4 ), si las ecuaciones de la generatriz son j ' ^

(62)

Dadas las ecuaciones de la directriz y las coordenadas del vértice de una superficie cónica, hallar su ecuación y hacer su gráfica.

16x2+ 16x2 + 16y 2 +13 +1 3 z 2 -16 xz + 24 24 yz yz +16x - 24 y - 26 z 26 z

Rpta.

Hallar la ecuación de un cilindro circular que pasa por el punto M (2 ,-l ,l) sí la recta x = 3t 3t + 1, 1, y = -2t - 2, z = t + 2, en el eje del mismo. Rpta.

(ó?)

351

Sup erf icies Cu adr átic as

a)

x 2 + y 2 = 4, z = 2,

b)

x2 = 2y , z = -2, V(0,0,0)

Rpta. x2 + yz = 0

c)

z = 4y, x = 0, V(2,0,0)

Rpta. z2+2xy = 4y

d)

y2 + z2 =9, x = 2, V (-U 0) Rpta.

5x2 +10y2 + I3z2 ^2 xy -6 xz + 4yz + 26x + 20 y- 38 z+ 3 = 0 e)

Demuestre que las las ecuaciones dadas representan una superficie cilindrica y hallar la ecuación de su directriz y los números directores de sus generatrices y

Rpta. x 2 + y2 = z2

V(0,0,0)

8x2 - 9 y 2 -9 z 2 -6x y + 22x+ 12y 12y + 5 = 0

x2 - 4 z 2 = 4, y = 3, V(- l,l,l) Rpta. 4x 2 - 7y 2 —16z“ ~4x y + 16yz 16yz + 12x+ 26y + 48z = 31

construir su gráfica. f) a)

4x" + 64y" + z 2 - 32 xy xy -ff 4z ~ 0

c)

x 2 + 4 y 2 + 5z2 + 2x7, + 2x7, + 4 yz 4 yz - 4 = 0

d)

17x" + 2 y 2 + z 2 - 8 x y - 6 x z - 2 = 0

e)

x2 + 5z2 -2 xz + 8yz + 4y 2 - 4 = 0

f)

2x2 + 4y2 -4xz + 6z2 + 8 y z - 4 = 0

g)

z2+x2+2y2+2y z-2xy -l = 0

h)

2x2 + y2 + 3z2 -2 yz + 4x z- 2 = 0

i)

z2+4xy+ 2y2-4xz + 6x2-4 = 0

j)

8x 2 - 9 y 2 - 9 z 2 -6 x y -r 2 2 x + 12 y + 5 = 0

b)

xz + 2yz - 1 = 0

y = x3, z = z = 2, V (0,0,0) V (0,0,0)

Rpta. 4 x ‘5- y 2 = 0

(65)

Hallar la ecuación del cono circular, si los ejes de coordenadas son generatrices Rpta. xy + xz + yz = 0 de él.

(óó)

Hallar la la ecuación del cono que tiene el vértice en el origen de coordena das, si ^

2

2

las generatri generatrices ces son son tangent tangentes es de de la esfera esfera (x + 2)“ + ( y - l) “ -t-( z-l) = 9. Rpta. x" +4y~ - 4 z 2 + 4xy + 12xz-6yz = 0 (# 7 )

Hallar la ecuació n del cono que tiene el vértice en el punto P (5,0,0) , si las 9

9

9

generatrices son tangentes tangentes a la esfera x“ + y" + z~ z~ = 9. Rpta. 9x2 -1 6y2 -1 6z2 - 90x + 225 225 = 0 Hallar la ecuación del cono si su vértice es el punto (3,-1,-2) y las ecuaciones de la directriz son:

2 ,2 2 . Ix -f y - z =1 [x - y + z

=0

Rpta. 3x 3x22 - 5 y2 +7z2 -6xy + 10x z~2 yz-4 x+ 4y-4 z + 4 = 0

y+1 z+1 . x - 2 La rec recta ta —- — - — — = — — es el eje eje de un cono cir circu cula larr cu>o cu>o vért vértic icee est estáá situado en el plano OYZ. Hallar la ecuación de éste cono, si se sabe que el punto M (1 ,1 ,- —) está situado situado en la superficie . Rpta.35 * 2 + 3 5 y~ 116c+ 35 35 - 0 y ~ -5 2 c ' - 2 3 2 x y - 1 16xc + 1 1 6 y c + 23 2 x -7 0 y - 116 Hallar la ecuac ecu ación ión de la superficie supe rficie cuya directriz es la curva C: x =cos =co s t, y

=1 +

sen t, z = 2 + sen sen t , y , y cuyo vértice vértice es el punt puntoo V ( l ,l ,- 2 ).

Hallar la ecuación del cono cuyo vértice está*en el origen de coordenadas, si se dan las ecuaciones de su directriz.

a)

9 yy 2 — + } — = 1, z = c

x~ a ,

V

7

9

x~

2 Z ____ _i _i _

~~2 +

a

c

9

1 ,

y = b

n

* 2

y2

^

Rpta. — + -+r— -+r— t ~~] ~~] a~

b~

2

2

c

2

R p ta . L + L _ Z _ = i a"

c

b~

354

Edua rdo Es pinos a Ram os

(73? (73?))

Hallar la ecua ción del cono cuy o vértice está en el punto (3,-1 ,*2) si las J x 2 + y2 - z 2 =1 . . . . . ecuaciones de la directriz directriz son < [jt-y + z = 0

Rpta. 3jc2 -5 y 2+ 7z2 -6xy + 10.x:z-2 yz-4.r-4z + 4 = 0 (go)

Un punto P que se e ncuentra sobre la recta que pasa por los puntos (4,2,2) y (-2,0,6) es el vértice de una superficie cónica, sabiendo que la segunda compon ente de P es 1 y que la directriz del cono se encuentra en al intersección de la esfera x 2 + y 2 + z ¿ —2x —4y — —4y —2z 2z = 3 co n el pl ano

z = 0. Ha lla r la

(Si)

g)

C: x + 2y = 6, 6, z = 0

Rpta. x~ + z 2 +2 y = 6

h)

C:y 2 = 2z, * = 0

Rpta. y 4 - 4 * 2 - 4 z 2 = 0

i)

C:z-ex, y= 0

Rpta. z = e'F+S

2 Ixl C: z = - L L , y = 0 l + x~

Rpta. y 2 + z 2 =

j) (83)

Hallar la e cuación de la sup erficie cónica cuya directriz es la hipérbola

4x a+x2)

Hallar la ecuación de la superficie engendrada por rotación de la elipse. 2

ecuación de la superficie cónica.

355

Superf icies Cuadrá ticas

2

*b2 c2 x = 0

entorno el eje OY.

2

Rpta.

2 ,2

^ 7 + ——

b~

c

x 2 - 4 z 2 = 4 , y = 3 y cuyo vértice es el punto (-1,1,1). Hallar la ecuación de la superficie engendrada por la rotación de la elipse. 4jc2 - 7 y 2 -1 6 z2 -4jc y-1 6y z + 12. 12.xx + 26 y + 48z 48z = 31 Rpta. 4jc2 (S )

Hallar la ecuación de la la superfic superficie ie de revolución generada por la la rotación rotación de la la

C :z :z = e y y x - 0 , e j e y

•

2

alrededor del eje OX

Rpta. x + z = e 2y

b)

C:y = 3x, z = 0, eje x

Rpta. 9jc2 9jc2 - y2 - z = 0

c)

C:y = lnz, lnz, x = 0 ejez

Rpta. jt2 + y 2 =l nz

d)

C:z2 =2 y,

Rpta. Rpta. :c2+ z2 -2 y = 0

c)

C : y \ z 2 = 4 , a: = 0 eje y

Rpta. y2 ~jc2 - z 2 = 4

f)

C : 9 x 2 +4 y2 = 36, z = 0

Rpta. 9 x 2 + 4y2 + 9 z 2 = 3 6

2

Rpta.

Z= 0

curva dada entorno al eje indicado.

a)

2

£_+2L-i a 2 * ¡y2

2

a

2

~ Z =1 b-

Hallar la ecuación de la superficie engendrada por la rotación de la 2

hiperboloide

2

x x i L - i a2 c2 alrededor del eje OZ.

2 j i — —7 = 1

2

Rpta.

y= 0 Demostrar que el hiperboloide de una hoja determinado por la ecuación. jc=

0 eje y

X2 y2 %2 — + —5 7 = 1 , ar b c

se

puede

obtener

por

rotación

de

la

hipérbola

x 2 z 2 ——7 = 1, y = 0 entorno del eje O Z y una sucesiva con tracción u niforme —y —— a c del espacio hacia el plano OXZ.

356 (8 ^

Biblio graf ía

Ed ua rdo Esp ino za Ramo *

Demostrar que el hiperboloide hiperboloide de dos hojas, determinado por la ,ecuación 2

2

2

x y z i —77----- 7 - - 1 , ar bl c¿ £2 c

se

j puede

obtener

por

rotación

de

la

357

ÍOGRAFIA Geometría Analítica del Espacio Enfoque Vectorial por ZOISMO MENNA

hipérbola

GONCALVES.

jt 2 j = L y = 0 entorno del eje OZ y una sucesiva contracción unifórm e a

(í)

(ieometría (ieometría Analític Analíticaa por MAYRA SOLANA SOLANA SAGARDUY. SAGARDUY.

del espacio hacia el plano OXZ. Complemento de Geometría Analítica por JOSE DIAZ DUQUE y MARIA V. (SB)

Hallar la ecuación de la superficie generada por una familia de rectas que pasan

VARELA MARCELO.

por la c urva: ' x 2 + y 2 = 4; z = 3 y por el punto (0,0,1). (0,0,1). JÍ )

Rpta. x 2 + y 2 ~ { z - \ V ^9)

Problemas de Geometría Analítica por D. KLETENIK

Hallar la la superf icie de revolución que se se genera al rotar la recta z = 2x, y - 0,

Geometría Analítica por ROSS R. MIDDLEM1SS.

Rp ta. 4x 2 + 4y2 = z 2, 0 < z < 2

0 < x < 1 entorno al eje Z.

( 7) (90 )

Geometría Analítica por CI 1ARLES H. LEHMANN.

Problemas y Ejercicios de Geometría Analítica por FRANC ISCO J. DE LA

Dedúzcase la ecuación de la superficie cónica que tiene como directriz la curva BORBOLLA.

de ecuaci ecuacione oness para paramét métri ricas cas:: x s l + 1 , y = /2 y z = 0 y vérti vértice ce en el punto punto V(l,0,-3).

^ 8)

x2 - y z - 6 x - 3 y + 3 = 0 Rpta. 3 x2

Geometría Analítica un Enfoque Vectorial Vectorial por CHARLES WEXLER.

Dedúzcase la ecuación de la superficie cónica con vértice en el origen y cuya directriz es la curva x = t, y = í2 , z = 3.

^0)

Rp ta. 4 x 2 - y z - 0

(^ 2 )

de la superficie esférica x 2 + y 2 + z 2 - 2 x - 3 = 0 0 y como directriz la sección Rp ta. x 2 - 3 ; ? t- y2 - 2x + 1 0

Álgebra Lineal por PALOMA SANZ y PEDRO ORTEGA. Algebra Lineal por STANLEY I. GROSSMAN.

Dedúzcase la ecuación de la superficie cónica que tiene como vértice el centro

de esta superfic ie por el plano z = 1.

Geom etría Analítica por JOSEPH H. K1NDLE. K1NDLE.

?

Linear Algebra por ROBERT R. STOLL y EDEARD T. WONG.

(75)

Álgebra Lineal por BERNARD KOLMAN.

(h )

Álgebra Lineal Lineal por JOSE ANTONIO LINDLOW - WIECHERS.

Geometría Vectorial en R3 - Eduardo Espinoza Ramos-MiBibliotecaVirtual.pdf

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