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3.5 Aplicaciones
tangente con CirB2. ◦ Tres bolas, dos bandas. En este caso la Bola A golpeará la Bola B, después dos bandas y finalmente la Bola C. Elegimos, por ejemplo, Banda4 y Banda3. ◦ Tres bolas, tres bandas. En este caso la Bola A golpeará la Bola B, después tres bandas y finalmente la Bola C. Elegimos, por ejemplo, Banda4 , Banda3 y Banda2. Modo Juego. En este modo añadiremos algo más de interactividad con el usuario. En vez de ser el propio usuario el que mueva las bolas como quiera y ver el resultado en tiempo real, lo que vamos a hacer es imponer una configuración inicial de las bolas y que el usuario deba elegir el punto solución, entendiendo por punto solución aquel en el que se produce la intersección con la bola. Incluso se realiza una animación para ver el resultado de la jugada. Las bolas que aparecen en la mesa las podemos mover como queramos, y eso no es lo que queremos en este modo de juego. El usuario seguirá pudiendo elegir el número de bolas y de bandas, con lo que según la combinación elegida, nosotros mostraremos las bolas en una posición determinada. Internamente calcularemos la solución pero no la mostraremos. El usuario la mostrará si lo desea. Para esto se crea una Casilla de Control y le ponemos de nombre Solución. Esta valdrá true cuando este marcada y false cuando no lo esté.
Figura 3.5: Imagen de la construcción completa.
En la figura 3.5 se observa una captura de pantalla de la construcción finalmente implementada y en la que se aprecia la interface del juego. Se aprecia perfectamente como la pantalla se divide en tres zonas. La zona de la izquierda nos recuerda
3 Transformaciones geométricas
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las opciones disponibles en el modo de juego, con las características de los botones que aparecen en la parte inferior de la mesa. En la parte central tenemos la mesa de juego, mientras que en la parte de la derecha tenemos la ayuda, que nos recuerda en qué va a consistir la jugada que hacemos. También se nos recuerda que existe un botón para actualizar el juego y que debemos presionarlo cada vez que hacemos una jugada. Este proceso puede llevar unos segundos y es esencial para el correcto funcionamiento del mismo. En la página web de recursos de este libro podemos encontrar un enlace a la simulación.
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3.5 Aplicaciones
3.5.2
La geometría de Escher
Introducción Maurits Cornelis Escher nació el 17 de junio de 1898 en Leenwarden (Países Bajos), hijo de un ingeniero hidráulico. Como tantos otros grandes artistas, era zurdo. Su profesor F.W. van der Haagen le enseñó la técnica de los grabados en linóleo y fue una gran influencia para el joven Escher. En 1919 comenzó a estudiar en la Escuela de Arquitectura, pero abandonó sus estudios. A cambio, comenzó a aprender la técnica del grabado en madera o xilografía de Samuel Jesserun de Mesquita, su maestro, que utilizaría posteriormente en muchas de sus obras.
Hacia 1922 fue a Italia de vacaciones y acabó viviendo en Roma una larga temporada. Muchas de las obras de Escher en las que aparecen casas y edificios en la costa están inspiaradas en la arquitectura tradicional de los pequeños pueblecitos italianos. Escher también viajó a España, donde descubriría la Alhambra de Granada, el Generalife y la Mezquita de Córdoba, cuyas maravillas estudiaría con detalle. Lo que aprendió allí tendría fuertes influencias en muchos de sus trabajos, especialmente en los relacionados con la partición regular del plano y el uso de patrones que rellenan el espacio sin dejar ningún hueco. A partir de 1935, Escher dejó italia entre otras cosas debido al desagradable clima político que se avecinaba y que desembocaría en la II Guerra Mundial, y pasó algunos años en Suiza, cuyo clima le resultó muy desagradable y poco inspirador.
Luego fue a vivir a Bélgica en 1937 y, finalmente, regresó a Baarn, Holanda, en 1941. Hasta 1951 vivió básicamente dependiendo económicamente de sus padres. A partir de entonces fue cuando comenzó a vender sus grabados y obtener un buen dinero por ellos. Esto le permitió vivir sus últimos años con una economía personal excelente. Generalmente hacía copias de las litografías y grabados por encargo. También hizo por encargo diseños de sellos, portadas de libros, y algunas esculturas en marfil y madera. Hasta 1962 su producción de trabajos fue muy constante. Entonces cayó enfermo y eso supuso un pequeño parón transitorio. En 1969 realizó su último trabajo original, Serpientes , que demostraba que su habilidad seguía intacta. Hacia 1970 ingresó en una residencia para artistas en Holanda, donde pudo mantener su propio taller. Falleció el 27 de marzo de 1972.
3 Transformaciones geométricas
3.5.3
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La geometría de Escher
Nos centramos en estudiar la geometría presente tanto en la parte de su obra relacionada con los cristales y construcciones como en las simetrías, ya que muchos de los grabados más conocidos y que más le han hecho destacar son los que se fundamentan en la división regular del plano mediante diversas figuras. Algunos ejemplos de estas figuras son peces, mariposas, duendes, pájaros, etc. La fascinación que sintió en su visita a la Alhambra de Granada, especialmente el descubrimiento de los posibles recubrimientos del plano, motivó su estudio de las posibles simetrías del plano, apoyándose en los estudios realizados por el matemático George Pólya, que determinó las 17 posibles simetrías planas. Tras el arduo estudio en el que Escher consiguió dar una explicación popular a las diecisiete posibles simetrías planas, decidió ir más allá e intentar hacer que estas simetrías cambiasen de forma regular su tamaño, evitando los espacios entre figura y figura. Intentaremos responder a preguntas como: ¿De dónde partimos para realizar las construcciones de cada mosaico? ¿Mediante todas las figuras regulares se puede construir un teselado? ¿Cómo podemos llegar al resultado final obtenido por Escher, partiendo de polígonos? La cualidad fundamental de la mayoría de las obras en las que nos vamos a centrar son las particiones regulares de la superficie, definidas como teselados.
Definición 17 (teselado). Un teselado es una regularidad o patrón de figuras que cubre o pavimenta completamente una superficie plana y que cumple dos requisitos: • No existen espacios vacíos entre figura y figura. • No se podrán superponer las diferentes figuras de los mosaicos. Los teselados se crean usando transformaciones isométricas sobre una figura inicial. Tenemos innumerables ejemplos a lo largo del tiempo y una geografía amplia en la que distintas culturas han utilizado esta técnica para formar pavimentos o muros de mosaicos en catedrales y palacios. El objetivo en esta sección es presentar una serie de mosaicos basados en la aplicación de ciertas transformaciones geométricas a ciertos polígonos. Las transformaciones involucradas en este estudio son:
Traslación: deslizamientos sobre el plano. En las teselaciones cada polígono será trasladado en varias direcciones para cubrir el plano.
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3.5 Aplicaciones
Rotación: nos servirán para obtener las diversas figuras que compondrán el teselado.
Reflexión: vamos a reflejar respecto a una recta que hará el papel de un espejo y utilizaremos esta transformación para cubrir el plano.
Para poder teselar tenemos que utilizar ciertos polígonos que nos permitan cubrir el plano y cumplan las cualidades del teselado. Dependiendo de los polígonos que utilicemos diremos que los teselados podrán ser: regulares, semiregulares, no regulares.
Teselados regulares Los únicos polígonos regulares que cubren completamente una superficie plana son: el triángulo equilátero, el cuadrado y el hexágono. Como la unión en cada vértice debe sumar
