Geometría - Milton Donaire

´ FILOSOFÍA Y NUMEROS

Cuadernillo N◦ 5

´ FORMA GEOMETRICA DEL ´ ´ AREA DE UNA REGION CUADRANGULAR

Milton F. Donaire Serie: Números umeros y Ciencia

2

Milton Favio Donaire Pena n ã

Índice general 1. HI HIST STOR ORIA IA

11

´ 2. FOMULAS

17

3. EL TEOREMA 23 ´ 3.1. CUADRILATEROS ATER OS COMCOMPLEMENTARIOS . . . . 23 4. APLICA APLICACIO CIONES NES 4.1. 4. 1. LADO LADOS S CONG CONGR RUENT UENTES ES 4.2. 4. 2. LADO LADOS S CONG CONGR RUENT UENTES ES 4.3. 4. 3. CIRCULO INSCRITO RITO . . ´ DE DISTANCIAS 4.4. RAZON DE DISTANCIAS Ń . . . . . . . 4.5. BISECCIO ´ 4.6. LEON PIERRE ANNE . 4.7. 4. 7. SUMA SUMA DE PROD PRODUC UCTO TOS S 3

43 43 45 47 48 50 51 55

´ 4.8. AREA . . . . . . . . . . 4.9. SHARIGUIN . . . . . . . ´ 4.10. AREA . . . . . . . . . .

5. PROB PROBLE LEMA MAS S 5.1. Problema 1 . 5.2. Problema 2 . 5.3. Problema 3 . 5.4. Problema 4 . 5.5. Problema 5 . 5.6. Problema 6 .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

56 58 60

65 65 66 67 68 69 70

Presentaci´ on on En estos tiempos nos ha tocado ver cómo omo las tecnolog tecnolog´´ıas avanzan anzan cada cada vez más as y que son muchas las personas que hacen uso de ella obteniendo buenos resultados. Es nuestro propósito, osito, en ese sentido, aprovechar estos medios para poner a su alcance de manera gratuita un conjunto de cuadernillos electrónicos onicos de los más as variados temas que van desde los numeros, u´ meros, la ciencia, hasta las humanidades, con el unico u ´ nico fin de poder contribuir a la cultura de nuestra gente, pues estamos mos co conv nven enci cido doss que que un pa´ pa´ıs que que estu estudi dia, a, es un pa´ pa´ıs que despie despierta rta,, un pa´ pa´ıs que se cultur culturiza iza es un pais pais que progre progresa, sa, un pa´ pa´ıs que lee, es un pa´ pa´ıs que no se somete. 5

6


Introducci´ on on Este trabajo tiene como propósito osito dar a conocer un teorema nuevo sobre áreas areas de regiones cuadrangulares que promete tener bastante utilidad. El teorema en cuestión on que se presenta en este cuadernillo permite calcular el area área de cualquier región on cuadrangular sin tener que recurrir al clásico asico teorema trigono go nom´ métri etrico co que que iinv nvol oluc ucra ra al pro product ductoo de de las diagonales con el seno del ángulo angulo que forman, lo cual equivale a decir que representa presenta una forma forma purame puramente nte geo geom´ métrietrica de obtener tal área, area, y es precisamente en ello, y en su simplicidad, que radica su importancia. 7

8


El punto de partida fue el estudio del area área de una región on trapecial como el producto de la longitud de uno de sus lados laterales con la distancia distancia a él, el, desde el punto medio del otro lado lateral, la pregunta pregunta era si ese resultado resultado podr´ dr´ıa generalizarse. Al encontrarse que dicha generalización on era posible, el siguiente paso fue fue bus busca carl rlee una una demo demost stra raci ci´ón on senc sencililla la,, de de tal manera que dicho resultado pueda ser incluido en los textos de nivel medio escolar. Posteriormente se vio que el teorema era válido alido en todos los cuadriláteros ateros inclusive en los cruzados y que para un cuadrilátero atero convexo, cuando se usaban las diagon diagonale aless y sus puntos medios medios,, pod´ıa ser resuelto como un caso particular del teorema de León on Anne cuyo resultado se presenta presenta también en en este este cuader cuadernil nillo. lo. Por ultimo, u´ ltimo, se han agregado resultados especiales que se obtienen con el teorema de manera directa, directa, p ero que tambi tambi´én en se pueden obtener por otros métodos eto dos clásiasicos, lo cual da la posibilidad al estudian-

9

te y al profesor de resolverlos usando los teor teorem emas as co cono noci cido dos. s. As´ As´ı tambi´ también en se han han agregado en la parte final una serie de problemas aplicativos que están an propuestos para el lector. El Autor

10


Dedic Dedicado ado al Ing. Ing. Man Manue uell Areval evalo o V. por el gran trabajo que realiza en la divulgaci´ on e investigaci´ on de la matem´ atica y por sus valiosos aportes a la bella geometr´ıa.

Cap´ıtulo 1 HISTORIA En los trabajos de Euclides, el cuadrilátero atero se encuentra en la tercera parte de la definición on 19 de su libro I “Figuras cuadril´ ateras son aquellas que se encuentran cuentran deb debajo ajo de cuatro cuatro l´ıneas ıneas rec”mientras que para hablar de la metas ”mientras dida de su superficie, en el mismo libro escribe en la segunda parte de la proposición o n 34 que “...la diagonal divide al ”, par arale alelo logr gramo amo en dos part artes es iguale iguales s ”, en las proposiciones 35 y 36 nos habla de paralelogramos dibujados entre dos rectas paralelas que tienen la misma base y aquellos que tienen bases de igual lon11

12


gitud, sucedido esto los paralelogramos tendrán an igual area, área, realiza unos resultados análogos alogos para la superficie triangular en las proposiciones 37 y 38, para finalmente deducir en la proposición o n 41 que “Si un paralelogramo comparte su base con un tri´ angulo y est´ a contenido entre las mismas paralelas, el paralelogramo es el doble del tri´ angulo ”. La proposición on 42 del libro I de los elementos de Euclides es clave para poder deducir que en todo trapecio las regiones determinadas por las diagonales con los lados no paralelos son equivalentes, ya que este resultado puede servir para la demostración on de tal proposición o n que Euclides presenta a modo de problema: “Construir sobre los lados de un ´ angulo dado, un paralelogramo igual a un tri´ angulo dado ”. En 1841 en el libro Elementos de Geometr metr´´ıa de S. F. La Lacr croi oix, x, en el apar aparta ta-do 159 de la página agina XXV de su undécieci-

13

ma edición on nos dice que “Dos figuras de diferentes formas, bien de una extensi´ on igual o que contienen ´ areas igua”, en ese misles, se llaman equivalentes ”, mo libro en el apartado 160 nos dice que “En los tri´ angulos y en los paralelogramos se toma arbitrariamente por base uno de sus lados, y se da el nombre de altu al turra a la per erppendi endicu cula larr bajad ajadaa de dessde el ´ angulo opuesto a dicho lado del tri´ angulo o a cualquier punto del lado opuesto en el paralelogramo ”, Lacroix usa tales definiciones tan igual como actualmente lo usamos para luego enunciar expl expl´ıci ıcita tamente mente la formula formula del area área de un triángulo. angulo. En este mismo texto Lacroix señala nala que el area a´rea de cualquier cualquier pol ol´´ıgono incluy incluyendo al de un cuadrilátero atero se calcula como la suma de los triángu angulo loss en que que éste este se puepuede di dividir, pero Lacroix s´ı enun nuncia expl´ıcitamente las formulas para las áreas areas de un trapecio y de cualquier paralelogramo tal y como las trabajamos actualmente.

14


Anos nõs antes antes en 18 1807 07 A. M. Le Lege gend ndre re hab hab´ıa publicado el libro Elementos de La Geometr´ metr´ıa - con Notas, en dicho dicho texto ya se usan usan lo loss mis mismo mo térmi ermino noss que que ci cita ta La Lacr croi oix, x, as´´ı Le as Legen gendre dre en su segun segundo do Li Libro bro defidefine las figuras equivalen equivalentes, tes, tambi tambi´én en da enunciados enunciados expl´ expl´ıcitos para las áreas areas de las regiones paralelográmicas amicas y triangulares como base por altura sobre dos y tambi tambi´én en para el trapecio como semi suma de bases por altura, no hace mención on del área area de un p ol ol´´ıgono cualquiera cualquiera pero s´ı de un pol ol´´ıgono ıgono regular. regular. En 1467 Regiomontanus publica su Tratado sobre el Triángulo, angulo, en el cual se formulan expl´ expl´ıcitamente tambi tambi´én en las formas de calcular el area área de un triángulo angulo como base por altura sobre dos; y haciendo uso del seno de un ángulo angulo por medio del cálculo alculo del area área deduce que el área area de un triángulo angulo se puede calcular como la mitad del producto de dos lados lados de un triánguangulo con el seno del ángulo angulo que subtienden, esto lo enuncia en su teorema 25 del libro II. De lo anterior podemos de-

15

ducir que la formula trigonom´ trigonométrica etrica para calcular el área area de una región on triangular se co cono nocc´ıa por aq aque uellllaa épo ep o ca ca,, seg segun u´ n Carl Boyer, es probable que Regiomontanus, conociera el trabajo de Nassir-al-Din-alTusi usi un astr´ stróno onomo iran iran´´ı que sus sus est estudio udioss de la astron astronom om´´ıa lo hab´ hab´ıan lle llevvado casi casi a formalizar formalizar la trigonometr trigonometr´´ıa como una disciplina independiente, es decir comparable al trabajo que realiza Euclides con los Elementos. Es conocido además as que Nassir escribió un trabajo estudiando a los cuadriláteros, ateros, en el cual trabaja amplia pliame mente nte la trig trigon onom omet etrr´ıa ıa.. Copérni Cop´ ernico co ayuda ayuda mucho en cuanto cuanto a la divulgación on de lo loss teor teorem emas as trig trigon onom´ ométri etri-cos de Regiomontanus, sin embargo es su alumno J. Rheticus quien en su Opus Palatinum de Triangulis da una mayor madure durezz a la teor teor´´ıa fo form rmal al de la trig trigon onoometr´ıa.

16


Cap´ıtulo 2 ´ FOMULAS En Geometr´ Geometr´ıa se dispone dispone del teorema de Brahamagupta para calcular el área area de una región on cuadrangular inscrita en una circ ci rcun unfe fere renc ncia ia,, ttal al fórmula ormula resu result ltaa ser ser una una generalización on del teorema de Herón on para el area área de una región on triangular. En ese sentido si p es la mitad de la suma de las longitudes de los lados DA = a, AB = b, atero B C = c y C D = d de un cuadrilátero ABCD entonces: ABCD entonces:  [ABCD] =

( p − a)( p − b)( p − c)( p − d)

Si el cuadrilátero atero no se encuentra encuentra inscrito en una circunferencia, entonces usa17

18


mos una medida angular α que es igual a la semi-suma de las medidas de dos ánguangulos opuestos cualesquiera del cuadriláteatero, en tal caso la formula general queda como sigue: [ABCD] ABCD]2 = p( p − a)( p )( p − b)( p )( p − c)( p )( p − d) − abcd cos2 α

Bretschne Bretschneide iderr hab´ hab´ıa lle llegad gadoo al result resultaado para el área area de cualquier cualquier región on cuadrangular usando las diagonales x y y : [ABCD] ABCD]2 = p( p − a)( p )( p − b)( p )( p − c)( p )( p − d)− 1 (ac + bd + xy)( xy )(ac ac + bd − xy) xy ) 4

y la fórmula ormula más as simple pero que hace uso de la trigonomet trigonometrr´ıa, nos indica indica que el area área de una región on cuadrangular es igual a la mitad del producto de las longitudes de sus diagonales con el seno del ángulo angulo formado por ellas. xy sin θ [ABCD] = 2

Al ser esta ultima, u ´ ltima, sumamente simple, se ha difundido ampliamente entre los estudiantes de la educación on media regular

19

as´ı com as´ comoo en el medi medioo Pre Pre univer universi sita tari rio. o. Es por ell elloo que esta esta fórmula ormula trigon trigonom´ ométrietrica aparece en casi todos los textos del ámbito indicado. Algunos textos de Geoambito metr´ıa, qu que ev evitan la la f´ fo´rmul mula trigonométrica, indican que el área area de una región on cuadrangu drangular lar se p odr´ dr´ıa cal calcul cular ar hacien haciendo do uso de la disección, on, es decir de hacer cálculos alculos sobre algunas partes de ella, para luego proceder a sumarlas. B

B

C

C

h h

A

b

D

A

b

D

Figura 2.1: [ABCD [ABCD]] = b · h

Pero dos son las fórmulas ormulas que nos han dado la idea de calcular el área area de una región on cuadrangular en base al producto de uno de sus lados y una perpendicular relativ relativaa a dicho lado, la fórmula ormula del area área para los paralelogramos y la fórmula ormula del

20


area área para los trapecios: La pregunta que debimos responder es ¿qué ten´ıan en comun u´ n estas fórmulas ormulas en su aspecto gráfico?, afico?, lo interesante de esto es que no tardó en aparecer la respuesta. Se trataba de las diagonales y la recta que pasa por los puntos medios de las diagonales, la conocida recta de Newton, única unica en el caso del trapecio pero no determinada en el caso del paralelogramo: B

B

C

l

l

C

h h

A

b

D

A

b

D

Figura 2.2: l: recta que pasa por los puntos medios de las diagonales

En base a estos resultados anteriores, es que surgió de manera natural, la pregunta de si esta fórmula ormula era válida alida para todos los cuadriláteros, ateros, ya que lo era en el caso del paralelogramo y en el caso del

21

trapecio. Es en esa dirección on que se trató de buscar una demostración on a un posible resultado general, usando inicialmente la recta que pasa por los puntos medios de las diagonales, lo cual se consiguió después es de alg alguno unoss intentos, posteri osteriorm ormente ente se puso al descubiert descubiertoo que se pod´ıa llega llegarr al mismo teorema sin tener que usar la recta que pasa por los puntos medios de las diagonales.

22


Cap´ıtulo 3 EL TEOREMA 3.1.

´ CUADRILATEROS COMPLEMENTARIOS

Será necesario para nuestro estudio introducir la idea del complemento de una región. on. Definici´ on on 1. Dos cuadril´ ateros ser´ an denominados complementarios si siendo uno, el contorno de una regi´ on convexa y el otro de una regi´ on no convexa, se pueden unir compartiendo dos lado la dos, s, a modo modo de romp ompecab abez ezas as,, par ara a darnos un paralelogramo (por medio de 23

24


la adici´ on de las figuras o por medio de la sustracci´ on). Cualquiera de ellas ser´ a denominada el complemento de la otra.

Figura Figura 3.1: 3.1: Cua Cuadri dril´ láteros ateros Complem Comp lementari entarios os

Notemos que siempre dos cuadriláteros ateros complementarios tienen sus 4 lados paralelos y de igual longitud, además también poseen una de sus diagonales de igual longitud, un ángulo angulo de igual medida y uno suplementario de otro.

25

Ahora estamos en condiciones de poder dar a conocer nuestro Teorema:

´ de Cualquier reTeorema 1. El area gi´ on cuadrangular es igual al producto de las longitudes de uno de sus lados (b) con la perpendicular (h) trazada hacia dicho lado, desde el punto de intersecci´ on del lado opuesto a él, el, con la recta que pasa por el centro del paralelogramo que forma con su cuadril´ atero complementario, y que es paralela a la diagonal no com´ un con este ´ ultimo cuadril´ atero. B

P

B

A

L

O

O

h

L

C

b

C

h

A

b

D

P

D

Figu Figura ra 3.2: 3.2: O: centro del paralelogramo, y la recta L es paralela a la diagonal no común un C P , P , entonces: [ABCD] ABCD] = bh

26

Milton Favio Donaire Pena n ã 

Prueba

Paso 1 : Por ser paralelogramo B

P

B L X

C

Y

Z

A A

D

A + B= X + Y + Z Paso 2 : Trazamos DL // C P L

m

m

B M

B

P

L

Y

X

Z

C

A A

D

M : mediana, B = Y B C L : B M : Del paso 1 y 2 se sigue: A = X + Z

27

Paso 3 M

B

P

L

Z

X

O

A

h

C

D

A

b

[ABCD] ABCD] = X + A + Z ABCD] = 2A [ABCD] pero A = bh De all´ı[ABCD] ABCD] = bh



Definici´ on on 2. Denominamos mediana de un cuadril´ atero al segmento que une uno de sus vértices, ertices, con el baricentr aricentroo de la regi´ on triangular determinada por loss otr lo otros os tr tres es vértic ertices es del cuadri cuadril´ l´ atero. Teorema. En todo cuadril´ atero sus medianas son concurrentes, en un punto que las divide a cada una de ellas en la raz´ on de 3 a 1.

28


D

B

3k C

G

G ABC k

k

G ABC

G 3k C

A

B

A

D

Figura 3.3: G: Baricentro de ABCD de ABCD

Definici´ on on 3. En todo cuadril´ atero al punto de concurrencia de sus medianas le denominaremos baricentro del cuadril´ atero. atero los segTeorema. En todo cuadril´ mentos que unen los puntos medios de sus lados opuestos, se intersecan en el baricentro del cuadril´ atero.

Definici´ on on 4. En todo cuadril´ atero al segmento que une los puntos medios de dos lados opuestos se le denomina Bimediana.

29 B

B

C G G

C

A

D

A

D

Figura 3.4: G: Baricentro del cuadrilátero atero

Teorema 2. Si construimos un paralelogramo que tenga por lados, dos lados de un cuadril´ atero dado. Y si por el baric aricentr entro de dell cuadri cuadril´ l´ ater at eroo da dado do,, tr traazamos una recta L paralela a la recta que que une une el vértic erticee del par arale alelo logr gramo amo no contenido en el cuadril´ aterro, con ate el vértic erticee del cuadri cuadril´ l´ atero no contenido en el parale lelo logr gram amo, o, enton ntoncces: El area ´ de cualquier regi´ on cuadrangular es igual al producto de las longitudes de uno de sus lados (b) con la perpendicular (h) trazada hacia dicho lado desde el punto de intersecci´ on del lado opuesto a él, el, con la recta que pasa por el ba-

30


ricentro del cuadril´ atero y que es paralela a la recta L. B

B

L

L

P C G

G

C h

P h

D

A

A

D b

b

Figura 3.5: G: baricentro, entonces [ABCD [ABCD]] = b · h B

P C E

A

G

h

D

F

b

Figura 3.6: G: baricentro, entonces [ABCD [ABCD]] = b · h

31 

Prueba B

P

L

M

O

S C G

N A

D

Figura 3.7: G: baricentro

Para su demostración o n basta ver que la recta L que pasa por G y es paralela a la recta C P , en pasa pasa por el centro P , también del paralelogramo, lo que reduce la prueba de este teorema a la del teorema 1 

Teorema 3. El area ´ de Cualquier regi´ on cuadrangular es igual al producto de las longitudes de uno de sus lados (b) con la perpendicular (h) trazada hacia dicho lado, desde el punto de intersecci´ on del lado opuesto a él, el, con

32


la recta que pasa por los puntos medios de las diagonales del cuadril´ atero. B

P C

M h

N

A

D b

Figura 3.8: [ABCD [ABCD]] = b · h 

´ Prueba METODO 1 B

S

P M

C

h

N

D

A b

33

Construimos el paralelogramo A paralelogramo ABS BSD D usando su cuadrilátero atero complementario de ABCD, ABCD, como M es M es punto medio de la diagonal B D, entonces M M será el centro del paralelogramo ABSD. anguABSD. En el triángulo ACS se obtiene que la recta N M ser´ será AC S se paralela a la recta S C ; es decir, al final la prueba de este teorema se reduce al teorema 1 ya demostrado.  

´ Prueba METODO 2 (Caso 1) B

B

P

P C

M

C M

h

h N

N

A

D

A

b

Usando regiones equivalentes [ABCD] 2[BCDN ] ABCD] = 2[BCDN [ABCD] 2[AP D] = bh. ABCD] = 2[AP bh.

D b



34


Prueba (Caso 2) B C P

M

h

N

A

D

b

[ABCD] ABCD]/2 = [BCDN ] = [B N P ] P ] + [N P D] − [C [C P D] = [B N P ] P ] + [N C P ] P ] + [N P D] − [C [C P D] − [N [N C P ] P ] = [N P D] + [N C P ] P ] + [N P D] − [C [C P D] − [N [N C P ] P ] = [NCPD] [C P D] − [N [N C P ] NCPD] + [N P D] − [C P ] = [N C D] + [C P D] + [N P D] − [C [C P D] − [N [N C P ] P ] = [AN D] + [N P D] − [N [N C P ] P ] = [AN D] + [N P D] − [AN [AN P ] P ] = [AP D] = bh/2 bh/2 Finalmente [ABCD] ABCD] = bh



35

Cuando la región on a trabajar es una región on no convexa, el teorema sigue siendo igual de válido, alido, la recta que pasa por los puntos medios de las diagonales sigue intersecando a sus 4 lados, entonces se genera un tercer caso de la fórmula; ormula; igual que en los casos anteriores, se puede tomar cualquier lado del cuadrilátero atero como base b para aplicar la fórmula, ormula, y desde el punto de corte de la recta de Newton con 1 el lado opuesto se trazar trazar´´ıa la perpend erp endiicular h a usar. B

M

P C N

h

A

D b

Figura 3.9: [ABCD [ABCD]] = b · h 1

Lados opuestos: opuestos : aquellos que no comparten comparte n un mismo vértice ertice

36


Prueba (Caso 3)

B

B

N

N

P

P C

M

M

A

D

C h

A

D b

[ABCD] = 2[MBCD] = 2[APD] = bh

A continuación on podemos realizar una modificación on significativa en el cálculo alculo del area área de la región on cuadrangular en su forma no trigonométrica, ésta sta sera´ como sigue:

Teorema 4. El area ´ de Cualquier regi´ on cuadrangular es igual al producto de las longitudes de uno de sus lados (b) con la perpendicular (h) trazada hacia dicho lado, desde el punto de intersecci´ on del lado opuesto a él, el, con la recta que pasa por el punto medio

37

de una de sus diagonales y el baricentro del cuadril´ atero. B

B

P M

C G

G

P h

M

C h

D A

A b

D b


Definici´ on on 5. Denominamos puntos de superficie de un cuadril´ atero, a los puntos de intersecci´ on de su recta de Newton, con cada uno de los lados del cuadril´ atero. Definici´ on o n 6. Denominamos perpendicular de superficie de un cuadril´ atero, a las perpendiculares trazadas desde los puntos de superficie hacia los lados opuestos a ellos.

38


Esta forma de calcular el área area de una región on cuadrangular nos a permitido seguir guir buscan buscando do una mayor mayor genera generaliz lizaci aci´ón, on, que de por s´ı ya esta´ expresada en el enunciado del teorema 2, con ello se puede demostrar los resultados siguientes (G (G: Baricentro): B

B

m b

b

m

L G

E A

D

E

D

A

n

n

C

h

C

h P

P

Figura 3.11: [AB [ABE E ] − [E [E C D] = b · h

De lo anterior anterior observamos observamos que la fórmuormula que estamos presentando en este cuadernillo se puede aplicar para una región on

39 2

cuadrangular cruzada pero en ese caso la formula nos arroja la diferencia de las áreas de las regiones triangulares deterareas minadas por el cuadrilátero atero cruzado, mas no la suma suma de la lass área areass de de dicha dichass reg regio ione nes. s. En la figura que sigue se muestra otro resultado de áreas areas de regiones equivalentes: B

W Z

D

A

C

Y

X

Figura 3.12: [AB [ABY Y ]] = [C DX ] DX ] = [B C Z ] = [ADW ] ADW ] 2

Se denomina denomina as´ as´ı cuando cuando el cuadril´ cuadril´ atero atero tiene lados que se intersecan

40


Cada una de esas regiones triangulares tiene por área area la diferencia de las áreas areas de las regiones triangulares determinadas por el cuadrilátero atero cruzado ABCD cruzado ABCD..

´ de cualquier reTeorema eorema 5. El area gi´ on cuadrangular es igual al producto de las longitudes de uno de sus lados con la de la perpendicular hacia dicho lado, trazada desde el punto de corte del la recta que contiene al lado consecutivo cutivo a él el con la recta que pasa por el punto medio de una diagonal y que es paralela a la otra diagonal. B

B C

C

h h

A

b

D

A


b

D

41

En el siguiente gráfico afico se aprecian las regiones triangulares determinadas que se relacionan con el teorema anterior, cada una de ellas de área area igual a la mitad del area área de la regi´ región on cuadra cuadrangu ngular lar.. B

A A

C C

D A C

Figura 3.14: [AB [ABA A ] = [B C C ] = [DAA ] = [DCC DC C ] 







Las perpendiculares de superficie determinadas por la recta de Newton tienen la misma longitud que las perpendiculares que se determinaron el teorema anterior, escogidas convenientemente.

42


h1 h2

h2

Figura 3.15: h1 = h2

NOTA La prueba del teorema 5, es bastante simple, si por B trazamos una recta paAC y que interseca ralela a la diagonal AC a la recta DC en P , P , entonces se prueba rápidamente apidamente que [ABCD [ABCD]] = [AP D], de all´´ı la prueba all prueba se termina termina haciendo haciendo uso de la base media del triángulo angulo de hipotenusa P D.

Cap´ıtulo 4 APLICACIONES En este cap´ cap´ıtulo presentamos presentamos algunos algunos resultados que se pueden demostrar aplicando cando el teorem teoremaa dado, dado, pero que también en se pueden pueden obtene obtenerr usando usando otros otros métodos eto dos..

4.1.

LADOS CONGRUENTES

Si en un cuadril´ atero ABCD, M y N son puntos de superficie de los lados B C y AD respectivamente y B C = AD , entonces la recta de Newton determina ´ angulos de igual medida con dichos lados. 43

44

Milton Favio Donaire Pena n ã B a

M θ C

α

A

D N

a

Figura 4.1: α = θ 

Prueba

[B N C ] = B C · M N · sin θ = [ABCD] ABCD]/2 [AM D] = AD ·M N ·sin α = [ABCD] ABCD]/2 De al alll´ı se si sigu guee que: que: (B C · M N )sin θ = (AD · M N )sin α N )sin N )sin como B C = AD, AD, Entonces θ=α 

45

NOTA En general, si las longitudes de los lados AD y BC fueran diferentes, se tendr´ tendr´ıa el siguiente resultado: (B C · M N )sin θ = (AD · M N )sin α N )sin N )sin Si B C  = AD entonces: AD sin θ = sin α B C

4.2.

LADOS CONGRUENTES

ABCD D, AB = Si en un cuadril´ atero ABC B C = C D, y M es el punto de intersecci´ on de la recta de Newton del cuadri´ altero con el lado AD. Si M est´ a en la prolongaci´ on del segmento DA entonces la perpendicular trazada por M hacia el lado B C es igual a la diferencia de las distancias desde dicho punto hacia los otros lados del cuadril´ atero.

46


A

b D

x a

B

C

Figura 4.2: x = a − b 

Prueba

El área area de la región on cuadrangular cuadrangular ABCD se puede expresar como la diferencia entre las areas áreas de las regiones MBCD y M B A [ABCD] ABCD] = [B M C ] + [C M D] − [B M A] x · B C a · C D b · AB + − x · B C = 2 2 2 Como AB = B C = C D Entonces:  x=a−b

47

4.3.

CIRCULO INSCRITO

P C

ha

r

A

a

B

1 1 1 1 2 Figura 4.3: + + + = ha hb hc hd r

C´ alculo del inradio de un cuadril´ atero circunscrito, en funci´ on de las per1 pendiculares de superficie . 

Prueba

[ABCD] ABCD] = a · ha = b · hb = c · hc = ((a + b + c + d) · r)/2 d · hd = ((a 1

Llamaremos Llamarem os as a s´ı a las perp pe rpendicu endiculares lares trazadas desde el punto de intersecci´ on de la recta de Newton con los lados del cuadril´ on ateatero, hacia sus respectivos lados opuestos

48


1/ha = a/[ a/[ABCD] ABCD] 1/hb = b/ b/[[ABCD] ABCD] 1/hc = c/[ c/[ABCD] ABCD] 1/hd = d/[ d/[ABCD] ABCD] Sumando 1 1 1 a+b+c+d + + = [ABCD] ha h b hc ABCD] y como [ABCD [ABCD]] = ((a ((a+ b+c +d)· r)/2 1 1 1 1 2 + + + = ha h b hc hd r

4.4.



´ DE DISTANCIAS RAZON

M y N son puntos medios de las diagonales AC y B D de un cuadril´ atero ABCD, P y Q son puntos medios de C M y B N Las rectas M N y AD

49

son secantes en G y las rectas P Q y M N se intersecan en S , entonces las distancias de G y S al lado B C est´ an en la relaci´ on de 1:4

C B

P

a

b

Q

M S

A



N

D

G

Prueba

Sabemos que [ABCD [ABCD]] = 4[MNCB 4[MNCB]] 4(a · B C ) b · B C = 4(a luego: b = 4 · a



50


´ BISECCION

4.5.

B

P C M

N

E A

F

D b

b

Si CE // PD entonces:

[ABPF] = [FDCP]

Si M y N son puntos medios de las diagonales de un cuadril´ atero ABCD, y la recta M N interseca al lado B C en P , siendo la recta C E paralela paralela a la recta P D, con E en en la recta AD; si F es un punto en AD de modo que AF = DE , entonces [ABPF ] = [P F C D] D ].

51 

Prueba

[B P A] + [P C D] = [AP D] = [AP F ] F ] + [F P D ] = [DP E ] + [F P D] = [DP C ] + [F P D ] = [F P C D] D]



Buscando en los archivos históricos oricos de geometr geometr´´ıa, se puede puede encon encontrar una publicación on del matemático atico Frances: Anne, Pier Pierre re Léon eon (180 (18066 - 18 1850 50), ), en esta esta pupublicación on él el presen presenta un teorema teorema que hace que el caso 1 de nuestro teorema del cálculo alculo del área area de un cuad cuadri ril´ láter ateroo sea sea un corolario de su teorema.

4.6.

´ LEON PIERRE ANNE

Dado un cuadril´ atero, el lugar geométrico de todos los puntos tal que la suma de las ´ areas de los tri´ angulos determinados con dicho punto y dos lados opuestos es igual a la suma de las ´ areas de los otros dos tri´ angulos deter-

52


minados con los otros dos lados; es la l´ıne ınea rect ctaa que que pas asaa por lo loss pu punt ntos os meme2 dios de las diagonales . C B

M O

N

A



D

Prueba (Original)

Repro Reproduc ducimo imoss la prueba prueba origin original al de Léon eon Anne: Sea MN la recta que pasa por los puntos medios de las diagonales; las perpendiculare dicularess bajada ba jadass desde desde los vértices ertices del cuadrilátero atero sobre dicha recta son iguales dos a dos, se sigue que los triángulos angulos 2

Puede leerse sobre este teorema en el F. G. M. (1912) Teorema 555 Problema 1613 (p´ ag ag 767), además as se encuentra una generalizaci´ on on para cualquier cualqui er p ol ol´´ıgono en el libro Inducci´ Induccion oń en la Geometr Geom etr´´ıa de Golovina Golovina y Yaglo aglom m (pág ag 70) de la editorial MIR

53

con bases iguales sobre el segmento M N y co con n vérti ertice cess en A y en C C son equivalentes, lo mismo para los triángulos angulos con vértices en B y en D. Entonces: [AO AOB B ] = [AM B ] + [AO AOM M ]] + [B OM ] M ] [D OC ] = [DM C ] - [C OM ] M ] - [DOM ] M ] además as AOM M ]] = [C OM ] M ] y [D OM ] M ] = [B OM ] M ] [AO luego: [AO AOB B ] + [DOC ] = [AM B ] + [DM C ] De la misma rorma: [AO AOD D] = [AM D] + [D OM ] M ] - [AO AOM M ]] M ] + [C OM ] M ] [C OB ] = [C M B ] - [B OM ] sumando: [AO AOD D] + [C O B ] = [AM D] + [C M B ] de los resultados obtenidos, queda demostrado que: [AO AOB B ] + [C OD] = [AO AOD D ] + [C O B ]  

Prueba (Alternativa)

Se˜ Senale nãlemo moss que que el teor teorem emaa de Léon eon AnAnne, se puede demostrar demostrar tambi´ también en si partiparti-

54


mos usando el teorema dado al inicio del art´ıculo. C

C B

B

S

S O

A

O

G

D

A

G

D

Siendo O un punto del segmento S G, entonces podremos encontrar regiones equivalentes que permiten la demostración on del teorema [AO +[C O G] + AOB B ] + [DOC ] = [AO AOB B ] +[C GD] [OGD] [AO +[AOG AOB B ] + [DO C ] = [AO AOB B ] +[AO G] + GB ] [OGB] [AO AOB B ] + [DOC ] = [ABCD] ABCD]/2 de all all´´ı se sig sigue ue que: que: [B O C ] + [AO AOD D] = [ABCD] ABCD]/2 de donde se concluye que: [AO AOB B ] + [C OD] = [AO AOD D ] + [C O B ] 

55

4.7.

SUMA DE PRODUCTOS

Para todo punto S ubicado ubicado en la regi´ on interior de un cuadril´ atero convexo y en la recta que pasa por los puntos medios de las diagonales, se verifica que la suma de los productos de dos lados opuestos con sus respectivas distancias a ellos desde S , se mantiene constante: b

C

B

m

y

x a

M

c S N

n A

d

D

Figura 4.4: x · a + y · c = m · b + n · d

56


Prueba

Del teorema de Léon eon Anne, se sabe que para los triángulos angulos con vértice ertice en S, se cumple: [ASB AS B ] + [D S C ] = [B S C ] + [ASD AS D] De al alll´ı se si sigu guee que: que: x·a+y·c=m·b+n·d

4.8.



´ AREA

Si M y N son puntos medios de las diagonales de un cuadril´ atero ABCD, P y Q puntos medios de las diagonales BMN MN C , y S el pundel cuadril´ atero B to de superficie del lado M N del cua BMN MN C , entonces el ´ dril´ atero B area de AS D es igual a 3/2 del ´ la regi´ on ASD area B MN C . de la regi´ on cuadrangular BMN

57 C B

P Q

M N

S

D

A

Figura 4.5: [AS [ASD D] = 3 · [BMNC [BMNC ]/2 

Prueba

m

C

B

P

a

4a

Q

M N

S

h

A

b

D

G

58


Sabemos que [BMNC ] = 2[B 2[B S C ] = a · m 2[B 2[ 2[ASD B S C ] + 2[AS D] = [ABCD] ABCD] a · m + h · b = 4a · m entonces: h · b = 3a · m (h · b)/2 = 3(a · m)/2 [ASD AS D] = 3 · [ [BMNC BMNC ]/2

4.9.



SHARIGUIN

La recta que pasa por los puntos medios de las diagonales AC y BC del cuadril´ atero ABCD corta a los lados AB y DC respectivamente en los punM ] = tos M y N. Demostrar que [DC M ] [ABN AB N ]].

59

C B

M

L

N K

D

A

Figura 4.6: [DC [DCM M ]] = [ABN AB N ] 

Prueba (Original)

Solución on original del libro de Shariguin (Problema II-37 pág. ag. 72) Supongamos que K es es el punto medio de DB y L es punto medio de AC [AN M ] M ] = [C N M ] M ] ya que AL = LC precisamente de esta manera: [B N M ] M ] = [DN M ] M ] de donde se deduce la afirmación on 

60


Prueba (Alternativa)

Tenem enemos os un segu segund ndoo méto etodo si apli aplica ca-mos el teorema teorema dado en este art´ art´ıculo. ıculo. ABCD]/2 [B N A] = [ABCD] ABCD]/2 [D N C ] = [ABCD] de donde: [D C M ] M ] = [ABN AB N ].].

4.10.



´ AREA

La recta que pasa por los puntos medios de las diagonales AC y BD del cuadril´ atero ABCD interseca a los lados AB y DC respectivamente en los puntos M y N. Si L es punto medio del segmento M N entonces el ´ area de AB L es igual a la cuarta parla regi´ on ABL te del ´ area de la regi´ on cuadrangular ABCD.

61



Prueba

La prueba es inmediata ya que el área area de la región on ABN area AB N es la mitad del área de la región ABCD on ABCD,, y como el área area de la región on ABL mitad del área area de AB L es la mitad ABN AB N ,, entonces se sigue la demostración on de inmediato.  B C N

L M

D A Figura 4.7: [AB [ABL L] = [ABCD] ABCD]/4

62


Comentarios 1. Parte del teorema expuesto en este cuadernillo (para el caso del cuadrilátero atero convexo y cuando el punto de superfi3 atero y cie está en un lado del cuadrilátero no en sus prolongaciones), puede ser interpretado como un caso particular del teorema de L. Anne, es decir como un Corolario que se desprende del teorema de Anne, ello cuando se usa la recta que pasa por los puntos medios de las diagonales. 2. Usando el teorema expuesto en este art art´ıc ıcul uloo es pos osib ible le rápidamente apidamente demostrar trar el teorem teoremaa de Léon eon Anne. Anne. 3. El teorema presentado para el área area del cuadrilátero atero es general, de modo que una perpendicular de superficie puede o no estar en la región on cuadrangular. 3

Denominamos Denomina mos as´ as´ı, en este art´ art´ıculo, al punto de intersecci´ on on de la recta de Newton de un cuadril´ atero con alguna de las rectas atero que contienen a sus lados

63

4. El resu result ltad adoo mos mostr trad adoo en en est estee art art´´ıc ıcuulo es especialmente importante por su sencillez, por la forma en que se puede demostrar, y porque involucra al baricentro del cuadrilátero. atero.

64


Cap´ıtulo 5 PROBLEMAS 5.1.

Problema 1

Dado un cuadrado MBLD, MBLD , A es un punto en la prolongación o n de DM , M , Q es un punto de M L y C C un punto en la prolongación on de AQ de AQ de modo que AQ = QC , la recta M L interseca al segmento B C en P . P . Si m∠LB LBC C = θ y AD · B P = area de la región ABCD on ABCD.. K . Calcule el área 65

66

Milton Favio Donaire Pena n ã C P B

L

θ

Q

A

5.2.

M

D

Problema 2

P es P es un punto en la prolongación on del diámetro ametro B C de una semicircunferencia C de y Q un punto en dicha semicircunferencia, de modo que la medida del arco C Q ◦ es 37 , se prolonga el segmento B Q, hasta el punto D, y se ubica el punto A, al mismo lado que D respecto de la recta ◦ B P , P , tal que m∠ABP AB P = 90 , y AB = [AP D] = S , B C = C D = 2C P . P . Si [AP calcule el área area de la región A on ABP BP D (con◦ sidere la aproximación ta tan 26, 5 = 1/2).

67 A D

Q

B

5.3.

C

P

Problema 3

on del C es un punto en la prolongación C es diámetro ametro AB de AB de una semicircunferencia y un punto en dicha semicircunferencia, N un N se traza N H perpendicular perpendicular a AB (H en AB) AB ) de modo que resulta AH = H C , luego se contruye el cuadrado HCDQ que pasa por N N ,, S S es otro punto de la semicircunferencia tal que los arcos S N y N B miden igual, además as las rectas N B y AS se se intersecan en M y y las rectas M Q y DC se se intersecan en P . P . Conociendo que el area área de la región on AMPH es AMPH es S . Calcule el area área de la región on trapecial HQDB trapecial HQDB..

68


M Q

S

D

N P

A

5.4.

O

H

B

C

Problema 4

ABCD, y un cuaDado un rectángulo angulo ABCD, drilátero A atero ADN donde M est´ está en AB, DNM M donde AB , N interseca de modo que el segmento M N en P al P al lado B C , y el segmento N D interseca en Q al lado B C . Si además a s se sabe que la recta que pasa por los puntos medios de las diagonales del cuadrilátero atero mbién por P . ADNM p ADNM pasa tambi´ P . Demuestre que: [M [M B P ] P ] + [DC Q] = [QN P ]. P ].

69 N

B

P

Q

C

M

D

A

5.5.

Problema 5

Dado un cuadrilátero atero convexo A convexo ABC BCD D donde la recta que pasa por los puntos medios medios de las diagon diagonale aless del cuadri cuadril´ látero, atero, interseca en M a DC , si el si sim´ métri etrico co de D respecto de AM AM es el punto P P ubicado en el segmento AB. AB . Demuestre que [M P B ] = [M C B ].

Geometría - Milton Donaire

Recommend Documents