Geometría en los primeros años de la EGB

Extraído del artículo: “Geometría en los primeros años de la EGB: problemas de su enseñanza, problemas para su enseñanza” de Broitamn-Itzcovich Broitamn-Itzcovich en Enseñar matemtica en el !ivel Inicial " el #rimer $iclo de la EGB, #anizza, %& 'comp&(

1.

INTRODUCCIÓN

En este traba)o plantearemos al*unas líneas *enerales acerca de +u entendemos por *eometría " por hacer *eometría en la escuela& %encionaremos al*unos debates acerca de la inalidad de su enseñanza retomando " analizando críticamente ciertas ideas +ue han circulado en los .ltimos años en la literatura didctica " +ue tienen ti enen uerte incidencia en las prcticas docentes actuales& #lantearemos asimismo al*unos problemas didcticos de la enseñanza de la *eometría en *eneral " del primer ciclo en particular& #or .ltimo, presentaremos un anlisis didctico de al*unos problemas *eomtricos para los primeros *rados de la escuela primaria& primaria& Es importante importante destacar destacar el rea de vacanci vacanciaa +ue existe actualme actualmente nte en la investi*a investi*aci/n ci/n sobre la enseñanza " el aprendiza)e de la *eometría& 0 dierencia de lo +ue ocurre con la enseñanza del campo numrico, contamos s/lo con al*unos estudios acerca de los procesos constructivos por parte de los niños sobre ob)etos *eomtricos " con mu" pocos traba)os de investi*aci/n acerca de la enseñanza de la *eometría& 0 pesar de señalar la insuiciencia de estudios psicol/*icos " didcticos, es posible ho" brindar al*unas orientaciones sobre la enseñanza de la *eometría, tomando los aportes de dierentes traba)os& #or una parte consideraremos las investi*aciones realizadas desde la didctica de la matemtica rancesa, en particular el estudio " anlisis de los procesos " en/menos de la enseñanza usual abordados por Brousseau '1234, 1231( " el desarrollo de la 5eoría 5eoría de 6itu 6ituac acio ione ness '123 '1237( 7( +ue +ue perm permit itee cons consid ider erar ar al*u al*una nass de las las cara caract cter erís ísti tica cass ms ms trascendentes +ue deberían ad+uirir los procesos de enseñanza& 8icha teoría nos orece un marco desde el cual elaborar criterios de selecci/n, diseño " anlisis didctico de problemas +ue permitan permitan *enerar procesos procesos constructivos constructivos por parte de los alumnos a partir de un cierto tipo de *esti/n en la clase& %s particularmente, sobre la enseñanza de la *eometría contamos con los estudios de Berthelot " 6alin '1229(, aborde '1224(; Balache '123<(, =re*ona '122>( " Glvez '1229(, en +uienes nos inspiramos para plantear la diversidad " comple)idad de los problemas didcticos& didcticos& 5ambin nos sirve de marco reerencial nuestra propia experiencia de traba)o con alumnos de estos *rados, con docentes en cursos de capacitaci/n o instancias de actualizaci/n en didctica de la matemtica " en el traba)o en asesoramiento tcnico didctico " desarrollo curricular llevado a cabo en los .ltimos años '6adovs?", #arra, Itzcovich " Broitman, 1223; Broitman, Itzcovich @441(& $omo concepci/n de aprendiza)e adoptamos las tesis pia*etianas +ue explican el pasa)e de un estado de menor conocimiento a un estado de ma"or conocimiento& 8esde esta perspectiva, se considera la necesidad de +ue los alumnos se conronten a situaciones problemticas nuevas, nuevas, rente a las cuales pon*an pon*an en )ue*o sus “vie)os” “vie)os” conocimientos; conocimientos; " si ellos no les son suiciente suicientess para alcanzar alcanzar una soluci/n soluci/n eicaz, eicaz, pued puedan an construir construir una nueva respuesta en un proceso interactivo de e+uilibrios " dese+uilibrios& 6e trata de un comple)o proceso de reor*anizaci/n de sus conocimientos en direcci/n a los saberes propios de la disciplina& 0 partir de estas ideas resulta necesario aceptar " prever la provisoriedad " el lar*o plazo en los procesos de construcci/n de conceptos matemticos en la escuela por parte de los alumnos&

Extraído del artículo: “Geometría en los primeros años de la EGB: problemas de su enseñanza, problemas para su enseñanza” de Broitamn-Itzcovich en Enseñar matemtica en el !ivel Inicial " el #rimer $iclo de la EGB, #anizza, %& 'comp&(

2.

DESDE LA GEOMETRÍA QUE ESTUDIA EL ESPACIO REAL HACIA LA GEOMETRÍA QUE CREA UN ESPACIO MATEMATIZADO.

Es bastante habitual, con respecto a la enseñanza de la *eometría, leer o escuchar ciertas relexiones acerca de las uertes " en apariencia tan evidentes relaciones entre la *eometría " la realidad& 0l*unas de estas ideas +ue circulan " +ue encabezan propuestas didcticas biblio*ricas son: “la *eometría est en todos lados”, “la *eometría est en la realidad”, “los niños aprenden *eometría sin darse cuenta en interacci/n con el espacio real”, etc& Aa" a+uí al*unos supuestos interesantes para analizar& #or un lado, ha" una “discusi/n” acerca del ob)eto de estudio de la *eometría: es la *eometría una ciencia +ue estudia el espacio ísicoC En se*undo lu*ar, sub"ace a las ideas anteriormente mencionadas una cierta concepci/n sobre el proceso de ad+uisici/n de saberes *eomtricos:  se aprende *eometría a travs de la interacci/n con el espacio ísicoC 0l pensar sobre la enseñanza de la *eometría resulta necesario realizar una distinci/n& 6abemos +ue el ori*en de muchos conocimientos *eomtricos se encuentra en problemas espaciales li*ados a la medida de espacios ísicos& 6antal/ '1271( airma +ue toda la *eometría - hasta los Elementos de Euclides- era “una reuni/n de re*las empíricas para medir o dividir i*uras”& Glvez '1229( señala tambin +ue la Geometría sur*i/ como una ciencia empírica en la +ue los esuerzos de teorizaci/n estuvieron al servicio del control de las relaciones del hombre con su espacio circundante& 6in embar*o, la construcci/n de ob)etos *eomtricos " el desarrollo posterior de la *eometría como rama de la matemtica, se ha “desprendido” de dichos espacios ísicos " se ha constituido en el estudio de un espacio ideal con “ob)etos te/ricos” +ue obedecen a las re*las del traba)o matemtico& #osiblemente al*unas i*uras *eomtricas 'cuadrado, círculo, rectn*ulo, etc&( ha"an sido creadas en un intento por modelizar las ormas de ob)etos ísicos& Babini '127<( señala incluso +ue los nombres +ue Euclides utiliza para las mismas hacen reerencia a dichos ob)etos& 0hora bien, esas i*uras, una vez conceptualizadas, "a son en sí mismas “ob)etos te/ricos”& D las propiedades +ue se ormulan sobre ellas "a no tienen necesariamente reerentes ísicos& Es ms, no se veriican en los ob)etos ísicos muchas de las propiedades +ue sí se cumplen en los ob)etos *eomtricos 'por e)emplo, una mesa cuadrada no tiene sus cuatro lados i*uales indeectiblemente, en tanto +ue el cuadrado sí(& El proceso de creaci/n de ob)etos *eomtricos abandona lue*o sus reerentes ísicos ori*inales " crea ob)etos te/ricos “puros” 'por e)emplo, los dodec*onos c/ncavos( " relaciones te/ricas “puras” 'por e)emplo, la suma de n*ulos interiores de una i*ura 1, etc&(& Glvez '1229( alude a este proceso mostrando c/mo el espacio ísico de a+uella primera *eometría empírica, deviene en “espacio puro, ormal”& n hito en esta transormaci/n est dado por la aparici/n de “os Elementos” de Euclides, momento culminante en el desarrollo de la *eometría en tanto rama de las matemticas +ue marca el inicio en la separaci/n de los conceptos *eomtricos de lo sensible& Babini '127<( se reiere a dicho 1

a propiedad de la suma de los n*ulos de un trin*ulo es un ob)eto te/rico +ue precisa ser demostrado por medio de ar*umentaciones& Aan sido analizadas críticamente a+uellas propuestas de enseñanza +ue tratan a esta propiedad de manera empírica& Evidentemente por los errores del trazado " de la medici/n diícilmente la suma de n*ulos interiores de un trin*ulo medidos con transportador sea 134F 'Balache, 123<(&


hito mostrando c/mo Euclides le coniri/ a la *eometría “el sentido de se*uridad " de certeza” de los resultados +ue se van produciendo ms all de la intuici/n " de la veriicaci/n empírica& as verdades *eomtricas a las +ue se arriba son “anexactas, abstractas, necesarias " sin reerencia a la realidad” 'Glvez, 1229( Esta primera *eometría puede ser denominada “*eometría empírica”, “*eometría intuitiva” o “*eometría de la observaci/n” " a+uella *eometría "a desprendida del espacio sensible sería la “*eometría de las matemticas” o “*eometría de la demostraci/n”& as relaciones entre una " otra son a.n ho" ob)eto de relexi/n " de investi*aci/n& 0hora bien, no todos los conocimientos espaciales empíricos devinieron ob)etos matemticos puros& %uchos, incluso al*unos de uso social actual, reieren al estudio del espacio ísico " no necesariamente orman parte de la disciplina matemtica, como es el caso de la interpretaci/n de mapas o planos& a pertenencia o no a la disciplina permite una primera distinci/n entre conocimiento *eomtrico " conocimiento espacial& Aemos señalado +ue los conocimientos *eomtricos constitu"en espacios te/ricos ideales& Esta característica exi*e +ue la validaci/n de los resultados obtenidos s/lo pueda ser racional " ar*umentativa& En cambio, los conocimientos espaciales permiten resolver problemas del espacio ísico " el modo de determinar la validez de los resultados encontrados no necesita respetar las re*las del traba)o *eomtrico, sino +ue es, en la ma"or parte de los problemas, de naturaleza empírica& Ae a+uí otra distinci/n entre el estudio de lo espacial " el estudio de la *eometría reerida ahora al modo de validaci/n de resultados " conocimientos 'Berthelot " 6alin, 1229(& #or otra parte, sabemos de ciertas dierencias entre los procesos constructivos de los conocimientos *eomtricos " de al*unos conocimientos espaciales& os niños utilizan el espacio " constru"en conocimientos prcticos +ue les permiten dominar sus desplazamientos " construir sistemas de reerencias& En el uso “real” del espacio 'cuando un niño va de su cuarto al baño, cuando patea una pelota hacia un arco, etc&( no necesariamente pone en )ue*o conocimientos matemticos& Estos conocimientos espaciales son ad+uisiciones espontneas, independientes del pasa)e de los niños por la escuela 'Berthelot " 6alin,1229; Broitman, @444; $astro, @444; 6aiz, 123<(& a construcci/n de estas nociones espaciales ha sido estudiada por #ia*et @. En cambio, los conocimientos *eomtricos de la matemtica, si bien pueden tener una construcci/n +ue permita hablar de una *eometría intuitiva, precisarn, para su ad+uisici/n, de un marco institucional con intencionalidad didctica& Ae a+uí una nueva distinci/n entre el estudio del espacio " de la *eometría& ueda pendiente a.n conocer con ma"or proundidad los procesos de construcci/n de conocimientos *eomtricos por parte de los niños desde su propia *eometría intuitiva hacia la *eometría +ue aprendern en la escuela& El pasa)e de la intuici/n al saber, de los conocimientos iniciales a los sistemticos, tiene a.n muchos interro*antes " señalamos allí nuevamente un rea de vacancia de inda*aciones didcticas& Aemos intentado relevar ciertas distinciones entre conocimientos espaciales " *eomtricos& 6in embar*o, tienen ras*os comunes& no de ellos es el poder @

#ia*et, H e Inhelder, B '1293( a rpresentation de lespace chez lenant , #aris& #resses nivesitaires de =rance " #ia*et, H; Inhelder, B& " 6zemins?a '12

anticipatorio& #or e)emplo, el conocimiento acerca de la representaci/n plana de un cierto espacio ísico permite anticipar cul es el recorrido ms conveniente para desplazarse de un lu*ar al otro sin necesidad de estar “presente” en el espacio ísico representado& n e)emplo del poder anticipatorio de los conocimientos *eomtricos es la utilizaci/n de propiedades de las i*uras para determinar el valor de los n*ulos interiores de un trin*ulo e+uiltero, sin necesidad de medirlos& %encionamos +ue muchos conocimientos espaciales son de naturaleza espontnea& 6in embar*o, existen al*unos cu"a ad+uisici/n no lo es, por e)emplo, los reeridos a la producci/n e interpretaci/n de planos& Kstos involucran representaciones simb/licas convencionales " por lo tanto exi*en, para su construcci/n, de una interacci/n sistemtica con dichos ob)etos " de un caudal de inormaci/n +ue debe ser comunicado& El tipo de actividad intelectual +ue demanda a los alumnos la ad+uisici/n de estos conocimientos es bastante pr/xima a la ad+uisici/n de conceptos matemticos en *eneral, " *eomtricos en particular& %uchas investi*aciones conclu"en en la necesidad e importancia de considerar estos conocimientos como ob)etos de enseñanza en la escuela '6aiz, capitulo IL, en este mismo libro(& $onsideramos +ue su proximidad a los ob)etos matemticos " su cercanía en el modo de ad+uisici/n, )ustiicarían su inserci/n escolar en el rea de la matemtica& 5al vez sea rtil retomar a+uí la distinci/n entre conocimiento " saber: "Los conocimin!os son os m#ios$ % mn&#o im'(ci!os$ # % %cci)n$ # '*ocs%min!o # % in+o*m%ci)n o # *%,on%min!o$ 'o* o'osici)n % os s%-*s & son os o-/!os 0isi-s # %s !*%ns%ccions #i#c!ic%s3 'Brousseau, 1229(& 4 E s%-* s  '*o#&c!o c&!&*% # &n% ins!i!&ci)n & !in 'o* o-/!o o-s*0%*$ %n%i,%* 5 o*6%ni,%* os conocimin!os % +in # +%cii!%* s& com&nic%ci)n..." 'Brousseau " $enteno, 1221( Estos conceptos son .tiles para estudiar la problemtica de la enseñanza, considerada tambin como 4*0o # conocimin!os % s%-*s 73 'Brun, 1229(& os conocimientos pueden ser ms o menos privados, ms o menos locales, vlidos o err/neos " pueden no tener reerencia directa en la disciplina matemtica& El saber, en cambio, sí tiene reerencia en la disciplina " en la comunidad de matemticos 9& u nos aporta esta distinci/nC #or una parte, permite reconocer +ue muchos de los conocimientos *eomtricos de los niños pe+ueños +ue se hacen circular en la escuela no tienen a.n el status de saberes matemticos& a vinculaci/n entre los conocimientos de los niños " el saber es de carcter pro*resivo& a enseñanza )ustamente tiene la responsabilidad de hacerlos evolucionar con la mirada puesta en el saber& #or otra parte, muchos autores coinciden en señalar +ue la escuela puede considerar ob)etos de enseñanza no s/lo a los saberes& Esta distinci/n permite identiicar ciertos conocimientos espaciales, +ue, aun+ue no ormen parte de la matemtica, pueden se considerados ob)etos de enseñanza 'como los "a mencionados relativos a la representaci/n plana del espacio(&

J

El trmino “relevo” es utilizado en el ori*inal en rancs en el sentido de “cambio de status”& Esta distinci/n no es dicot/mica& os conocimientos de un *rupo escolar podrían considerarse saberes para esa “comunidad”& 9


7.

ENTRE LO SENSI8LE 9 LO INTELIGI8LE: UNA GRAN ;ARIEDAD DE PRO8LEMAS

0 partir del anlisis precedente es posible distin*uir tipos de problemas se*.n los conocimientos involucrados " el proceso de ad+uisici/n de los mismos& Existen ciertos problemas +ue se resuelven exclusivamente con conocimientos espaciales, cu"a ad+uisici/n es aparentemente espontnea ", en principio, no precisarían ser considerados ob)etos de enseñanza en la escuela& 5al es el caso de los problemas de desplazamiento eectivo en el espacio ísico, problemas li*ados a las nociones espaciales estudiadas por #ia*et& Mtros problemas son a+uellos +ue tambin involucran conocimientos espaciales, " de los +ue no sabemos a.n c/mo se da su proceso de ad+uisici/n& 6on, de al*una manera, mu" similares a los anteriores, pero una dierencia la constitu"e el hecho de +ue no son producto del desarrollo espontneo& n e)emplo es la orientaci/n en espacios de “*randes” dimensiones& 6abemos +ue ha" adultos +ue tienen importantes diicultades para orientarse en dichos espacios, tal vez por ello, podría )ustiicarse la necesidad de una enseñanza sistemtica& Brousseau '123J, citado en Ler*naud, 122<( analiza +ue en los problemas espaciales una variable didctica > est dada por el tamaño del espacio - si se trata del microespacio, el mesoespacio o el macroespacio 7 -& En la comparaci/n entre este tipo de problemas " el anterior, podría considerarse el tamaño del espacio como variable& a ma*nitud del espacio ísico en el +ue se debe desenvolver el su)eto, modiica sustancialmente el problema " los medios de resoluci/n& 8e ahí la dierencia entre los problemas de desplazamiento al interior de una vivienda '+ue exi*en conocimientos cu"a ad+uisici/n es espontnea(, de los problemas de desplazamiento en una ciudad '+ue exi*en conocimientos cu"a ad+uisici/n involucra niveles ms comple)os de conceptualizaci/n, representaci/n " anticipaci/n( <& #odríamos considerar +ue existe una tercera clase de problemas similares a los anteriores - en tanto se resuelven con conocimientos espaciales cu"a ad+uisici/n tampoco es espontnea -, pero en los "a sabemos +ue es posible intervenir didcticamente para avorecer su ad+uisici/n& 6e trata de los problemas de producci/n e interpretaci/n de representaciones planas " comunicaci/n de la posici/n de ob)etos " desplazamientos en el espacio '$olinvaux, 8ibar re, 1232; Glvez 123>; 6aiz, capítulo IL de este mismo libro(& 6i bien son problemas vinculados a la orientaci/n espacial en *randes dimensiones, exi*en conocimientos ms especíicos, como por e)emplo acerca de las i*uras 'stas pueden utilizarse para producir representaciones planas( o inormaciones " convenciones 'para interpretar " producir representaciones(& %uchos autores 'Berthelot " 6alin, 1229; 6aiz, 123<( coinciden en señalar la necesidad de +ue este tipo de problemas orme parte de la currícula escolar& Aa" experiencias didcticas >

6e podr encontrar una deinici/n de este concepto elaborado por Brousseau en Bartolom " =re*ona, $apítulo IL de este mismo libro& 7 Incluso el macroespacio puede ser distin*uido en unci/n de la homo*eneidad& !o parecen ser del mismo nivel de comple)idad la orientaci/n espacial en el medio del ocano +ue en una ciudad& a hetero*eneidad del espacio permitiría construir mentalmente puntos de reerencia - para +uien est en condiciones de identiicarlos -& < 6ern necesarias investi*aciones psicol/*icas " didcticas +ue expli+uen si es posible intervenir didcticamente " c/mo para contribuir a la ad+uisici/n de conocimientos li*ados a la orientaci/n espacial en *randes dimensiones&


al respecto +ue muestran la continuidad de las diicultades +ue encuentran los alumnos al traba)ar con representaciones de espacios ísicos cuando no han abordado sistemticamente este ob)eto de estudio& #or otra parte, tambin es posible observar la evoluci/n de sus representaciones cuando se *eneran condiciones didcticas para +ue los alumnos ten*an oportunidades de mediar con problemas diversos de producci/n e interpretaci/n de planos 'Broitman, @444(& 5ambin sabemos de a+uellos problemas espaciales +ue se resuelven con conocimientos *eomtricos& Berthelot " 6alin los denominan problemas “espacio - *eomtricos”& 0l*unos e)emplos son las aplicaciones del teorema de 5hales 3 para determinar la altura de ob)etos no posibles de ser medidos empíricamente 'montañas, pozos, etc&(; o la decisi/n sobre cules medidas tomar para reproducir un ob)eto o parte de l 'una orma trian*ular, un vidrio romboidal, una arandela a partir de una porci/n de la misma, etc&(& Este tipo de problemas tambin se inscribe en las relaciones comple)as entre el espacio ísico " el espacio matematizado& a enseñanza N como desarrollaremos ms adelante N ha )ustiicado con este tipo de problemas la inalidad de los conocimientos *eomtricos& Es importante señalar +ue la ma"or parte de los e)emplos en los cuales conocimientos *eomtricos de la matemtica son .tiles para resolver problemas del espacio sensible por su nivel de comple)idad conceptual, son abordables recin en se*undo o tercer ciclo de la escolaridad bsica obli*atoria& D por .ltimo tenemos a+uellos problemas +ue se resuelven con conocimientos *eomtricos +ue “viven” en la disciplina " +ue indudablemente precisan de un traba)o sistemtico para su apropiaci/n& 6e trata de todos a+uellos problemas *eomtricos “puros”, +ue no tienen su paralelo en la realidad, ni en la vida social, ni en la experiencia& #or e)emplo, todos los problemas +ue involucran propiedades de i*uras " cuerpos *eomtricos& Evidentemente estas clases de problemas no constitu"en cate*orías exclu"entes, ni pretenden ser exhaustivas o deinitivas& 6e trata simplemente de un anlisis con el in de aportar al debate " su necesaria proundizaci/n& no de los ob)etivos de esta distinci/n es llamar la atenci/n de la necesidad de constituir en ob)etos de estudio en el primer ciclo - " por +u no en el se*undo - de la escolaridad bsica a todos a+uellos conocimientos espaciales cu"a ad+uisici/n no es espontnea, es decir tanto a a+uellos problemas li*ados a la orientaci/n espacial en *randes dimensiones, como a los problemas de la representaci/n plana del espacio sensible& !os permite tambin señalar la innecesariedad de abordar didcticamente la enseñanza de conocimientos espaciales cu"a ad+uisici/n es espontnea& D por .ltimo, nos alerta tambin, acerca de la imposibilidad de )ustiicar, en el primer ciclo de la escolaridad primaria, la enseñanza de la *eometría de las matemticas como medio de resoluci/n de problemas del espacio real& a validez de la enseñanza de la *eometría de las matemticas deber ser )ustiicada por otras razones +ue expondremos ms adelante& M bien podría ocurrir +ue, en al*.n momento de la evoluci/n de la didctica de la matemtica o de proundas revisiones de las decisiones curriculares undamentadas en la investi*aci/n, se empiece a considerar en el primer ciclo como ob)eto de estudio a los problemas espaciales, " recin en el se*undo ciclo, a los problemas *eomtricos de la matemtica o problemas espacio-*eomtricos& 8e)amos planteado este interro*ante& 3

Es interesante señalar a+uí +ue en realidad el 5eorema de 5hales es un conocimiento , +ue si bien *eomtrico, se ori*ina por problemas del espacio ísico& na vez constituido como ob)eto te/rico permite ser reutilizado, tanto a problemas de la *eometría matemtica, como del espacio sensible&


<.

ADQUIRIR

CONOCIMIENTOS

9

4UN

MODO

DE

PENSAR3

GEOM=TRICOS COMO APROPIACIÓN CULTURAL %uchas propuestas didcticas tambin plantean desde sus undamentos la idea de +ue enseñar matemtica debe servir para la vida cotidiana o para aprender a desenvolverse me)or en el espacio ísico& 8ichas ideas ponen en )ue*o el debate acerca de la inalidad de la enseñanza de la *eometría& 0doptan, desde nuestra perspectiva, una concepci/n instrumentalista de la enseñanza de la matemtica: se le exi*e +ue sea “.til”, o +ue deba “servir” para al*o externo& Ae a+uí dos problemas& no reiere a la inalidad externa, " el otro a sus relaciones con el espacio ísico& $on respecto al primero, pensamos +ue un ob)etivo de la enseñanza de la matemtica puede ser la utilidad para resolver problemas de la vida cotidiana o el uso social de ciertos conocimientos& #ero dicha inalidad no debería ser exclusiva ni prioritaria& 8esarrollaremos estas ideas ms adelante& $on respecto a la se*unda cuesti/n acerca de las relaciones del estudio de la *eometría de las matemticas con el espacio ísico, ha", en diversos mbitos educativos, una cierta “0o&n!%# # s!%-c* *%cions n%!&*%s n!* o snsi- 5 o in!i6i-” 'aborde, 1224(, entre lo perceptivo " lo te/rico& Aemos mostrado anteriormente la comple)a relaci/n entre los conocimientos espaciales " los *eomtricos& D si bien hemos señalado +ue ha" conocimientos *eomtricos +ue permiten resolver problemas espaciales, no ha", al menos por ahora, evidencias conclu"entes de +ue estudiar *eometría de las matemticas en los primeros años de la escolaridad permita un ma"or dominio del espacio ísico real& En este sentido, Brousseau '1229( señala “ no s ci*!o & % 6om!*(% s *+i*% % %s *%cions con  s'%cio3. 5al vez muchos conocimientos *eomtricos +ue orman parte de la currícula escolar no “sirvan” para la vida cotidiana, " tampoco necesariamente abonen a la conceptualizaci/n sobre el espacio ísico& $ul ser entonces la inalidad de la enseñanza de la “*eometría de las matemticas”, *eometría casi ale)ada de lo real, de lo sensible, de lo empírico, de lo intuitivo, de lo .tilC a motivaci/n principal de la enseñanza de la *eometría no debería ser, desde nuestro punto de vista, la “utilidad prctica”, sino el desaío intelectual +ue la misma involucra& 4Un% cn!*%ci)n >c&si0% n % &!ii#%# ?%c '*#* # 0is!% % % m%!m!ic% como '*o#&c!o c&!&*%$ como '*c!ic%$ como +o*m% # 'ns%min!o3 '6adovs?" " otros, 1222(& D en relaci/n con la utilidad +ue se le asi*na a la *eometría para el dominio del espacio ísico adoptamos la relexi/n de aborde: 4% 6om!*(% # %s m%!m!ic%s no s  s!&#io # s'%cio 5 # n&s!*%s *%cions con  s'%cio$ sino  &6%* n & s /*ci!% &n% *%cion%i#%# 0%#% % s& >cnci% m>im%3 'aborde, 1239 citado en Glvez, 1229( 2& 2

Evidentemente cuando aborde airma +ue la *eometría de las matemticas no estudia el espacio, se est reiriendo al espacio ísico& $omo "a hemos desarrollado anteriormente, la *eometría de las matemticas sí estudia el espacio matematizado&


na de las razones principales por las cuales es importante la enseñanza de la *eometría es por+ue la escuela es tambin un lu*ar de creaci/n " transmisi/n de la cultura& D la *eometría orma parte de la misma& $uando se hace reerencia a la importancia de “transmitir la cultura” se corre el ries*o de una interpretaci/n +ue considere +ue dicha transmisi/n debe ser realizada como una comunicaci/n directa del saber *eomtrico& Kste, sabemos, ha sido un ras*o característico de la enseñanza durante muchos años& Estamos concibiendo “transmitir la cultura” con un sentido dierente: los recortes del saber cultural *eomtrico pueden ser ad+uiridos por los alumnos en el marco de un traba)o intelectual matemtico de resoluci/n " anlisis de problemas, de debate " ar*umentaci/n acerca de los mismos, +ue les permita simultneamente a la apropiaci/n de aspectos o recortes de dichos “ob)etos del saber”, acceder a un modo de pensar, a un modo de producir& a apropiaci/n de un tipo de actividad intelectual propia de la construcci/n de conocimientos matemticos, es, desde nuestro punto de vista, una condici/n indispensable para acceder a la cultura matemtica& 6i esto no es considerado como parte de la enseñanza, se corre el ries*o de transmitir .nicamente los resultados& $omo señala 0rti*ue '1237(: “&&&lo +ue se propone la enseñanza de las matemticas no es simplemente la transmisi/n de conocimientos matemticos, sino, ms *lobalmente, la transmisi/n de una cultura& 6e trata de +ue los alumnos entren en el )ue*o matemtico”& a *eometría no constitu"e solamente un con)unto de saberes ormalizados a lo lar*o de la historia, sino +ue es asimismo un modelo de razonamiento " deducci/n mu" importante para la ormaci/n cultural de los su)etos& En síntesis, la enseñanza de la *eometría en la escuela primaria puede apuntar a dos *randes ob)etivos& #or una parte, a la construcci/n de conocimientos cada vez ms pr/ximos a “porciones” de saber *eomtrico elaborados a lo lar*o de la historia de la humanidad& D, en se*undo lu*ar, " tal vez sea el ms importante, al inicio en un modo de pensar propio del saber *eomtrico& 0mbos ob)etivos estn estrechamente imbricados& 0nalicemos ahora el primer ob)etivo& Entre todo el ba*a)e de conocimientos *eomtricos acumulados, cules es posible considerar, en la escuela primaria, como principal ob)eto de estudioC Evidentemente el recorte, selecci/n " secuenciaci/n de saberes matemticos a enseñar orma parte del proceso de transposici/n didctica 14& Es posible rastrear dierentes decisiones " podemos ima*inar otras nuevas, a partir de las cuales se seleccionen conocimientos a.n nunca puestos en )ue*o en este nivel de la enseñanza& El recorte actual involucra el estudio de las propiedades de las i*uras " de los cuerpos *eomtricos& #or +u esta *eometríaC 11 #or +u estos ob)etos N " no otros - de esta *eometríaC Entre las diversas *eometrías existentes, es posible considerar +ue la *eometría euclideana involucra un nivel de comple)idad posible de ser accesible a los alumnos de este nivel de escolaridad, a dierencia de lo +ue sucede con la *eometría pro"ectiva o la 14

$hevallard, D& '122<( a 5ransposici/n 8idctica& 8el saber 6abio al saber enseñado& Bs& 0s& 0i+ue& 8e hecho, se ha intentado enseñar nociones topol/*icas en el !ivel Inicial " primer ciclo de la escuela primaria de la mano de la Oeorma de la %atemtica %oderna " apo"ados en la evoluci/n espontnea de los conocimientos espaciales de los niños estudiada por #ia*et& Aa sido suicientemente analizada la conusi/n entre #sicolo*ía " 8idctica " el aplicacionismo directo de resultados de inda*aciones psico*enticas a la enseñanza 'Brun, 1234; $oll, 123J; $astorina, $oll, 1223, etc&( 11


*eometría de los ractales& 5ambin es posible pensar +ue la *eometría euclideana es una “vía re*ia” para el inicio en el estudio de un modo de pensar *eomtrico, tambin sobre la base de sus niveles de comple)idad& Mtra buena raz/n - al menos por ahora para considerar a las propiedades de las i*uras " de los cuerpos *eomtricos como principales ob)etos de estudio en la escuela primaria, es +ue se trata de ob)etos +ue “viven” allí desde hace muchos años& Esto no si*niica +ue la supervivencia sea raz/n suiciente para su permanencia& 6in embar*o, no ha" - por ahora - razones para “echarlos”& 6e*uramente en el uturo nuevas investi*aciones didcticas, abonen a un proceso de re-selecci/n de recortes a.n dentro de la misma *eometría; o tal vez se consideren ob)etos de enseñanza a saberes *eomtricos de otras *eometrías existentes& Aabiendo apenas mencionado al*unas provisorias e insuicientes )ustiicaciones para considerar a la *eometría euclideana como .nica *eometría a estudiar en la escuela primaria, o para considerar al estudio de las i*uras " cuerpos como principales ob)etos de enseñanza, de)amos por ahora de lado dicha discusi/n, mencionando la necesidad de proundizar en este tipo de anlisis& !uestro primer ob)etivo mencionado, - el estudio de las propiedades de las i*uras " los cuerpos - es posible de ser abordado desde el primer ciclo& Es importante hacer una nueva aclaraci/n& as propiedades *eomtricas de las i*uras " cuerpos orman parte, sin duda, del con)unto de saberes *eomtricos& Evidentemente los niños - retomamos para ello la distinci/n entre conocimiento " saber anteriormente mencionada - pondrn en )ue*o ciertos conocimientos sobre las i*uras +ue a.n distan mucho de las propiedades enunciadas por el saber, así como sucede con otros ob)etos matemticos& as características +ue los niños podrn utilizar o ormular, son a+uellas versiones provisorias “privadas” de las propiedades “p.blicas” del saber sabio 1@& El pasa)e de unas a otras ser parte de un proceso +ue excede el traba)o en el primer ciclo& %s adelante, abordaremos el anlisis de al*unos problemas +ue permiten poner en )ue*o el estudio de dichas características& Mtro problema didctico del primer ciclo es el tratamiento aparentemente inevitable de los “dibu)os” de las i*uras *eomtricas " de las representaciones tridimensionales de los cuerpos& Aa sido suicientemente estudiada la distinci/n entre dibu)o " i*ura '0rsac 1232; aborde 1224; =re*ona, 122>(& as i*uras son ob)etos te/ricos, matemticos e ideales +ue s/lo tienen existencia en el interior de la *eometría de las matemticas& !o son ob)etos tan*ibles de existencia empírica& os dibu)os, en cambio, son representaciones materiales de dichos ob)etos +ue no “muestran” las propiedades +ue deinen a las i*uras& as conceptualizaciones de los su)etos acerca de los ob)etos *eomtricos son las +ue determinan +u propiedades pueden “verse” en los dibu)os& Aa sido estudiado c/mo la enseñanza de la *eometría estuvo or*anizada en la presentaci/n ostensiva1J de dibu)os como así tambin al*unas consecuencias de dicha orma de “hacer vivir” las i*uras en las aulas: los alumnos tienden a transerir ciertas propiedades de los dibu)os a las i*uras 'la posici/n en la ho)a, restricciones a i*uras +ue no las poseen, etc&(& n e)emplo de c/mo se “amal*aman” propiedades a las i*uras puede analizarse cuando, rente al pedido de construir un rombo, los alumnos tienden a construir un rombo cuadrado; o, rente al pedido de construcci/n de un cuadriltero, 1@

Evidentemente tambin el saber sabio tiene carcter de provisoriedad& Berthelot " 6alin '1229( caracterizan a la enseñanza ostensiva como a+uella en la +ue las i*uras son “mostradas”& 0nalizan críticamente el supuesto psicol/*ico " didctico de +ue los alumnos podrn identiicar propiedades de las i*uras a travs de la percepci/n& 1J


tienden a construir un rectn*ulo& as diicultades para comprender la *eneralidad " la particularidad de las i*uras tambin se reuerza didcticamente por la presentaci/n casi exclusiva de “i*uras típicas” 'Berthelot " 6alin 1229, =re*ona, 122>, etc&(& 0hora bien, muchas de las propuestas didcticas +ue intentan subsanar esta relaci/n casi “natural” o identiicaci/n entre ob)etos *eomtricos " dibu)os +ue los representan, estn diri*idas al se*undo o tercer ciclo& !o encontramos por ahora, ormas de abordar en el primer ciclo el estudio de las i*uras *eomtricas sin considerar como punto de partida los dibu)os con los +ue las representamos& a problemtica de las relaciones entre dibu)os " i*uras tambin se inscribe en el marco de la relaci/n entre conocimientos " saberes& #or un lado, ha" decisiones li*adas al proceso de transormaci/n de saberes a conocimientos a enseñar: c/mo iniciar a los alumnos en el estudio de las i*uras " no exclusivamente de los dibu)os con los cuales las representamosC #or otra parte, involucra el pasa)e de los conocimientos construidos por los niños en esos primeros años a saberes: c/mo hacer avanzar dichos conocimientos iniciales sobre los dibu)os hacia conocimientos sobre las i*uras ms pr/ximos al saberC 19 Lolvamos al se*undo ob)etivo planteado: el inicio en un modo de pensar propio del saber *eomtrico& Este “modo de pensar” supone poder apo"arse en propiedades de los ob)etos *eomtricos para poder anticipar relaciones no conocidas o inerir nuevas propiedades& Es decir, realizar un proceso de anticipaci/n sobre los resultados a obtener sin necesidad de realizar acciones empíricas " sin apo"arse exclusivamente en la percepci/n& El modo de pensar *eomtrico implica demostrar la validez de una airmaci/n a travs de ar*umentos, los +ue, incluso en al*unos casos, se oponen a la percepci/n o a la medida 1>& Estos aspectos del estudio de la *eometría se inician en los primeros años de la escuela primaria, pero son ms propios del se*undo " tercer ciclo& En los problemas +ue a continuaci/n se analizan se mostrar dicho )ue*o anticipatorio& 8estacamos a+uí la importancia de orecer condiciones para +ue todos los alumnos se apropien de este particular modo de pensar, tan dierente al de otras reas del conocimiento, a veces casi opuesto a la racionalidad cotidiana& =orma parte del con)unto de conocimientos +ue la escuela tiene la obli*aci/n de socializar, "a +ue, si no se aprenden en la escuela, diícilmente se aprendan& 4C*mos & ?%5 &n mo#o # s!&#i%* 6om!*(% & '*mi! & os %&mnos #s%**on &n mo#o # 'ns%*$ '*o'io # % m%!m!ic%$ & s)o >is! si % sc&% o '*o0oc% 5 % & c*mos & !o#os os %&mnos !inn #*c?o % %cc#*. Es % *%ci)n con  s%-* % & s! n /&6o3 '6adovs?" " otros, 1223(& 6eñalamos entonces un “ries*o”: considerar a la matemtica “.til” como necesaria “para todos”, " a la matemtica en tanto “modo de pensar” como lu)o accesible exclusivamente “para unos pocos” permite )ustiicar prcticas de enseñanza discriminatorias& 6ub"ace al presente debate didctico una cuesti/n ideol/*ica: si

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$uando los niños conocen los dibu)os pueden distin*uir el dibu)o de un cuadrado entre otros dibu)os de otras i*uras& #ero el conocimiento de las propiedades de los cuadrados les permitir a los alumnos resolver una *ama ms amplia de problemas +ue no involucran exclusivamente el terreno de la percepci/n& #or e)emplo, podrn construirlos, comunicar a otros alumnos sus características, ormular pre*untas para adivinar de cul i*ura se trata, etc& 1> #or e)emplo, la construcci/n de un trin*ulo cu"os lados midan 14, > " >, podría admitir una “resoluci/n empírica”, aun+ue dicho trin*ulo no existe&


omentar o no el acceso de todos los niños al “modo de pensar” *eomtrico, sin duda “porci/n” de la cultura&

Geometría en los primeros años de la EGB

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