Geometria Analitica - Santillana

GEOMETRÍA ANALÍTICA Esenciales Geometria Analitica c1 1

GEOMETRÍA ANALÍTICA

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Esenciales de... Geometría analítica D.R.© 2008 Lápiz Tinta Editores, S.A. de C.V. Cda. de Seminario No. 53 México 01780, D.F.

Teoría y problemas de: Profa. Alma Nora Arana Hernández.

D.R.© de esta edición, Editorial Santillana, S.A. de C.V. Av. Universidad #767, 03100, México, D.F. ISBN: 978-970-29-2149-3 Primera edición: abril 2008.

Dirección Editorial: Clemente Merodio López. Editora en Jefe de Bachillerato: Laura Milena Valencia Escobar. Gerencia de Procesos Editoriales: Laura Milena Valencia Escobar. Coordinación de Arte y Diseño: Francisco Ibarra Meza. Fotomecánica electrónica: Gabriel Miranda Barrón, Manuel Zea Atenco y Benito Sayago Luna.

La presentación y disposición en conjunto y de cada página del libro Esenciales de... Geometría analítica, son propiedad del editor. Queda estrictamente prohibida la reproducción parcial o total de esta obra por cualquier sistema o método electrónico, incluso el fotocopiado, sin autorización escrita del editor.

Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana. Reg. Núm.802

Impreso en México.

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Contenido CONTENIDO

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Capítulo

Relaciones y funciones

Capítulo

Trigonometría

35

Capítulo

Función exponencial y logarítmica

85

Capítulo

Sistemas de coordenadas y algunos conceptos básicos

93

Capítulo

Discusión de ecuaciones algebraicas

109

Capítulo

Análisis y construcción de lugares geométricos

119

Capítulo

Circunferencia

135

Capítulo

La parábola

145

Capítulo

Elipse

155

Capítulo

La hipérbola

163

Capítulo

Ecuación general de segundo grado

169

1

iii

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Geometría analítica 1. Relaciones y funciones 1.1. 1.2.

1.3.

1.4. 1.5. 1.6. 1.7. 1.8.

1.9. 1.10.

1.11.

Producto cartesiano Relaciones • Funciones lineales • Diferencia entre relación y función Concepto de función • Función real de variable real • Representación de una función • Operaciones con funciones • Composición de funciones Funciones algebraicas y trascendentes Funciones pares e impares Funciones inversas Función exponencial • Representación gráfica de la función exponencial Función exponencial • Gráfica de la función exponencial • Ecuaciones y sistemas de ecuaciones exponenciales Logaritmos • Consecuencias de la definición de logaritmos Propiedad de los logaritmos • Logaritmo de un producto • Logaritmo de un cociente • Logaritmo de una potencia • Logaritmo de una raíz • Los decimales y los logaritmos naturales • Relación entre logaritmos decimales y neperianos Función logaritmo • Relación función logaritmo exponencial • Ecuaciones y sistemas de ecuaciones logarítmicas

2. Trigonometría 2.1. 2.2. 2.3.

2.4. 2.5.

Razones trigonométricas Resolución de triángulos rectángulos Funciones trigonométricas de dos ángulos • Obtención de las funciones para la suma de dos ángulos • Fórmulas para la suma de dos ángulos • Fórmulas para la mitad de un ángulo Ley de los senos Ley de los cosenos

1 1 2 6 7 9 10 12 13 14 15 16 17 20 22 23 23 24 21 26 27 27 27 27 28 29 31 32 33 33 35

35 43 48 49 49 54 56 60

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Geometría analítica 2.6. 2.7.

Resolución de triángulos oblicuángulos Razones trigonométricas para un ángulo en cualquier cuadrante • Círculo unitario • Suplemento de un ángulo • Signos de las funciones fundamentales en cada cuadrante • Ángulos negativos • Fórmulas de reducción • Medida de un ángulo • Círculo trigonométrico Las funciones trigonométricas de ciertos ángulos • Funciones trigonométricas directas • Dominio • Funciones trigonométricas inversas • La función tangente

2.8.

3. Función exponencial y logarítmica 3.1. 3.2. 3.3.

62 66 66 67 68 69 70 71 74 76 77 78 81 82 85

Función exponencial Función logarítmica Ecuaciones exponenciales y logarítmicas

85 86 88

4. Sistemas de coordenadas y algunos conceptos básicos

93

4.1. 4.2. 4.3. 4.4.

Coordenadas cartesianas Distancia entre dos puntos División de un segmento en una razón dada Área de un polígono • Área de un triángulo Pendiente de una recta Relación entre pendientes de rectas paralelas y perpendiculares

4.5. 4.6.

5.

Discusión de ecuaciones algebraicas 5.1. 5.2. 5.3. 5.4.

5.5.

Intersecciones con los ejes coordenados Simetrías con los ejes coordenados y con el origen Extensión de una curva Asíntotas • Asíntotas horizontales • Asíntoras verticales Gráficas de ecuaciones

93 96 98 101 101 104 107 109 109 110 112 115 115 115 116

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Geometría analítica 6. Análisis y construcción de los lugares geométricos 6.1. 6.2. 6.3. 6.4.

Geometría analítica 119 Lugar geométrico 119 Lugares geométricos más comunes 120 La línea recta como lugar geométrico 122 • Ecuación de una recta que pasa por un punto y tiene una pendiente determinada 122 • Forma pendiente ordenada al origen de la ecuación de la recta 125 • Forma simétrica de la ecuación de la recta 126 • Forma general de la ecuación de la recta 127 • Punto de intersección entre dos rectas 128 • Obtención de los elementos de una recta a partir de su ecuación 129 • Forma normal de la ecuación de una recta 130 • Aplicaciones de la forma normal 131

7. Circunferencia 7.1. 7.2. 7.3.

Lugar geométrico Elementos de la circunferencia • Radio Obtención de los elementos de una circunferencia conocida con su ecuación

8. La parábola 8.1. 8.2. 8.3.

8.4.

Lugar geométrico Eje de simetría o eje focal Posición de la parábola • Parábola vertical • Parábola horizontal • Inclinada Formas de la ecuación de la parábola • Vertical • Horizontal

9. Elipse 9.1. 9.2.

119

135 135 135 137 138 145 145 145 146 146 147 147 147 147 148 155

Lugar geométrico Formas de la ecuación de elipse

155 156

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Geometría analítica 10. La hipérbola 10.1. 10.2.

Lugar geométrico Formas de la ecuación de hipérbola

11. Ecuación general de segundo grado 11.1.

11.2.

Ecuación general completa • Ecuación sin término Bxy • Ecuación con término Bxy Propiedades de reflexión en las cónicas • Propiedad óptica de la elipse

Respuestas

163 163 164 169 169 169 170 170 171

175

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Capítulo 1

1

Relaciones y funciones

1.1. Producto cartesiano Se definirá producto cartesiano de dos conjuntos a todos los posibles pares ordenados de elementos de la forma (a, b), donde a pertenece a A y b pertenece a B y se escribe normalmente A × B. Por ejemplo, si A = {1, 2} y B = {x, y, z}, entonces A × B = {(1, x), (1, y), (1, z), (2, x), (2, y), (2, z)}. Y B A = {(x, 1), (y, 1), (z, 1), (x, 2), (y, 2), (z, 2)}. En este caso, A × B ≠ B × A, pues al ser pares ordenados, el par (1, x) es distinto del par (x, 1).

1.1.1. Resuelve: Sean A = {1, 3, 5, 7} y B = {2, 4, 6, 8} dos conjuntos. 1. ¿A cuántos pares ordenados dará origen el producto cartesiano A × B? 2 ¿Cuál sería la regla? 3. ¿Por qué A × B ≠ B × A? Desarrollo: A × B = {1, 3, 5, 7} × {2, 4, 6, 8} = {(1, 2), (1, 4), (1, 6), (1, 8),… B × A = {2, 4, 6, 8} × {1, 3, 5, 7} = {(2, 1), (2, 3), (2, 5), (2, 7),… Y: (1, 2) ≠ (2, 1), considerando que un par ordenado señala a un punto en el plano cartesiano, éstos dos tendrían diferentes ubicaciones. Por tanto, serían diferentes puntos. 4. Como son pares ordenados, ¿deben tener idéntico número de elementos? 5. Como son pares ordenados, ¿por qué no considerar como puntos de una sola dimensión a las intersecciones de las líneas? 1. REL ACIONES Y FUNCIONES

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1

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Geometría analítica 1.1.2. Resuelve: Sean A = {a, e, i, o, u} y B = {b, c, d} 1.

Obtener A × B

2. Obtener B × A 3. Obtener A × Ø

4. Obtén lo indicado: Sean A = {1, 2, 3} y B = {0, 0} 5.

Obtener A × B

1.2. Relaciones La Teoría de conjuntos define una relación considerando que los elementos de ambos forman pares ordenados. Consideremos a dos conjuntos A y B, donde: A = {2, 3, 5, 7, 11} y B = {4, 9, 25} (A contiene los primeros 5 números primos y B los primeros 3 elevados al cuadrado). Observa que ambos conjuntos son independientes uno del otro mientras no se realice alguna operación que las relaciones. Por ejemplo, si realizamos su producto cartesiano: A × B= {(2, 4), (2, 9), (2, 25), (3, 4), (3, 9), (3, 25), (5, 4), (5, 9), (5, 25), (7, 4), (7, 9), (7, 25), (11, 4), (11, 9), (11, 25)}. Se ve claramente que existe una correspondencia entre los elementos de ambos conjuntos; por ejemplo, el elemento 2 de A le corresponde o está relacionado con los elementos 4, 9 y 25 de B. Algunos ejemplos de relación son la estatura de un niño, que depende de su edad; la paga de un obrero, que depende del número de horas que trabaje; los impuestos que cause una empresa, que dependen de las utilidades que obtenga de su ejercicio; el sexo de una persona, que depende de la combinación que obtenga en su concepción de los cromosomas x y y de sus padres, etcétera. 2


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Capítulo 1 Relación implícita: Aquella que existe aunque no se haya definido en función de solo la variable independiente. y + 2x = x 2; y 2 + x 2 = x

Relación explícita: Aquella que existe cuando se despeja la variable dependiente. y = x 2 + 2x; y = ! x – x 2

Relación algebraica: Aquella definida por una expresión en términos de literales y signos matemáticos, esto es, la definida por una ecuación (o igualdad). Por ejemplo, los casos anteriores para definir las relaciones implícitas y explícitas. Relación no algebraica: Aquellas que no poseen las características anteriores (relación algebraica), como son las funciones trigonométricas, el logaritmo, la función exponencial, que no surgen de las algebraicas, a las que se denomina trascendentes.

1.2.1. Expresa algebraicamente la relación implícita de los siguientes enunciados. 1. El doble de la edad de Carlos más la edad de Adela es igual a la edad de Carlos al cuadrado menos 3 veces la de Adela. 2. Un estudio determinó que el volumen de cierto depósito menos el volumen de otro era igual a 3 veces el volumen del otro más la quinta parte del primero. 3. Hace muchos milenios, la humanidad dedujo que existía una relación entre el diámetro de un círculo y su perímetro, así como entre éste y su área. En cierto problema de ingeniería donde se requería obtener una sección circular (corona), se dedujo que dicha área (Ac) era igual a la tercera parte del área del círculo mayor (A) menos el área del menor (a). 4. La resistencia de un concreto está relacionada con el área de la grava utilizada. De manera empírica se sabe que, a medida que dicha área aumenta, la resistencia del concreto también aumenta. ¿Qué hacen los técnicos para aprovechar dicha relación? 5. ¿Cuál sería el límite del área del problema anterior? 6. Pitágoras, hace 2 500 años, realizó una aportación científica que ha aportado grandes servicios a la humanidad. Se trata de una herramienta para resolver problemas técnicos de diversas índoles. Su forma general es a2 + b2 = c2 y expresa la conocida relación de que la suma de los catetos al cuadrado de un triángulo equilátero es igual al cuadrado de su hipotenusa. Pongamos a cada una de estas incógnitas, como ejercicio de relación explícita. 1. REL ACIONES Y FUNCIONES


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Geometría analítica 7. Explicita la expresión en términos de cada incógnita:

y = x2 + x – 2 8. Explicita la expresión en términos de cada incógnita:

y3 + 3 = x3 –5 9. Resuelve la expresión algebraica de la siguiente situación: Supongamos a 2 cuerpos en el espacio, uno mayor, de masa M, y otro menor, de masa m, con sus centros de masas colocados a una distancia d:

M

m

d

10. Halla la expresión algebraica de la siguiente situación: Al analizar los puntos de una curva (pares ordenados) se logró determinar algunos cuyos valores son {(1, 2), (2, 4), (3, 6), (4, 8),…}.

11. Al analizar los puntos de una curva (pares ordenados) se logró determinar algunos cuyos valores son: {(1, 1), (2, 4), (3, 9), (4, 16),…}.

¿Cuál es su relación algebraica?

12. Halla la expresión algebraica de las siguientes situaciones: Al analizar los puntos de una curva (pares ordenados) se logró determinar algunos cuyos valores son: {(1, 3, (2, 6), (3, 11), (4, 18),…}. Al analizar los puntos de una curva (pares ordenados) se logró determinar algunos cuyos valores son: {(1, –2, (2, 1), (3, 8), (4, 15),…}. 4


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Capítulo 1 Relación creciente: Aquella que, cuando el valor de la variable independiente crece, hace crecer a la variable dependiente. Por ejemplo: La talla de una persona está relacionada con su peso. El peso de una persona está relacionada con su consumo alimenticio. El impacto que sufre una persona está relacionado con la altura de la cual se desploma. Relación decreciente: Aquella que, cuando el valor de la variable independiente crece, hace decrecer a la variable dependiente. Por ejemplo: El tiempo que tarda una construcción decrece si aumenta el número de trabajadores. La salud de una persona decrece cuando aumentan el número de sus virus. Relación continua: Aquella que no tiene interrupciones a lo largo de su relación o, al menos, en cierto intervalo considerado. Por ejemplo: y = x, es una relación continua en cualquier intervalo considerado. Esto es, adopte x el valor que adopte, siempre existirá el valor de y correspondiente (de hecho será la misma). Por supuesto, existen muchas relaciones en las cuales no se puede determinar a simple vista si existen puntos o intervalos en los cuales para un valor (o valores) de la variable independiente no existen valores de la dependiente. La determinación de estos puntos de ruptura ocupa un extenso apartado en el trabajo matemático por su importancia práctica. Otra forma de definir una relación continua es que, en ella, su representación gráfica (curva) no presenta discontinuidades, esto es, intervalos en los cuales no se puede representar. Relación discontinua: Aquellas cuyas gráficas presentan puntos o intervalos en las cuales no existe manera de representar la curva porque, entonces, los valores que adopta la variable independiente no generan valores representables de la dependiente. Otro enfoque es que las curvas son colecciones de puntos originados por pares ordenados (el lugar geométrico de la expresión); en los puntos de discontinuidades dichos pares ordenados no existen, pues sólo existe uno de los valores de dichos pares. La verificación de que una relación es creciente la obtenemos cuando graficamos los valores de los pares ordenados que genera la relación. La curva que describe una relación algebraica creciente siempre ascenderá hacia la derecha (abscisas) y arriba (ordenadas).

1. REL ACIONES Y FUNCIONES


5

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Geometría analítica Tabulación: Literales S n ne

Valores 48.4 4 0

72.6 6 0

96.8 8 0

157.3 10 2

217.8 12 4

Graficación: La gráfica nos muestra una línea que va ascendiendo a medida que se trabajan más horas. Para poder representarse, se dividió al salario entre10. Sólo se graficó la porción de 4 a 10 horas. Al considerar el tramo después de las 8 horas, la curva de la gráfica tiene una inflexión con respecto a la línea que llega hasta 8 horas, pero sigue siendo ascendente:

s a l a r i o

11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

-11-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

-2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10 -11

horas

1.2.2 La expresión y = x – 5, ¿es una relación creciente?

Funciones lineales A este tipo de expresión algebraica se le denomina lineal por su representación gráfica y nos muestra una expresión de primer grado en x. y=x–5 6


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Capítulo 1 Diferencia entre relación y función La diferencia entre una relación y una función es que, en las relaciones, a las primeras componentes de la pareja ordenada le pueden corresponder varios valores; (una función, por su parte, es una relación a la que solo le corresponde un valor). Otros ejemplos de expresiones lineales o funciones lineales son: 1. Comenzando por x = 0, expresa el conjunto de 10 pares ordenados de la relación: y = x – 5: A = {(0, –5), (1, –4), (2, –3), (3, –4), (4, –1), (5, 0), (6, 1), (7, 2), (8, 3), (9, 4)} 2. A partir del siguiente conjunto de pares ordenados, halla la relación: C = {(0, 0), (1, 12 ), (2, 1)} Analizando a los pares ordenados, se deduce que el valor para la ordenada es igual a la x mitad del valor de la abscisa. Por tanto: y = 2 3. A partir del siguiente conjunto de pares ordenados, halla la relación: B = {(0, 5), (1, 4), (2, 3), (3, 2)} Analizando a los pares ordenados, se deduce que el valor para la ordenada es igual al x valor negativo la abscisa más cinco, por tanto, y = 5 + − 2 . 4. Presenta al conjunto D con los primeros 5 pares ordenados a partir de x = 0 D = {(0, 5), (1, 4.5), (2, 4), (3, 3.5), (4, 3)} 5. Uno de los problemas más fascinantes y típicos de la geometría analítica se presenta cuando, de una investigación, se obtiene una serie de valores que sugieren que dos (o más) variables están relacionadas. El reto es hallar dicha relación en términos algebraicos. A partir del siguiente conjunto de pares ordenados, halla la relación: B = {(2, 5), (3, 10), (4, 17), (5, 26)} 1.2.3 Resuelve: 1. Define la relación decreciente en términos algebraicos: 1 E = # ^ 0, 3 h, ^ 1, 1 h, ^ 2, 2 h 1. REL ACIONES Y FUNCIONES


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Geometría analítica Para esclarecer las características de las relaciones decrecientes conviene tabular la colección de los pares ordenados: Tabulación: Literales x y

Valores 1 1

2 1 2

3 1 3

4 1 4

2. Dado el conjunto F, deduce la relación: Sea F = {(0, α), (1, 4), (2, 3.5), (3, 3.25)} 3. Dada la expresión: b 5 y= x &y= x

Expresa al conjunto G conteniendo los primeros 5 pares ordenados a partir de x = 0: 4. Dada la expresión: b 5 y= x &y= x

Expresa al conjunto H conteniendo los primeros 5 pares ordenados a partir de x = –8: 5. ¿Es H un relación decreciente? 6. Dada la expresión: y=

b x2

Expresa al conjunto I conteniendo los primeros 5 pares ordenados a partir de x = 0. 7. Dada la expresión: y=

b x2

Expresa al conjunto J conteniendo los primeros 5 pares ordenados a partir de x = –5. 7. Dada la expresión: 7 y = x +5

Tabula los primeros 5 pares ordenados a partir de x = 0. 8


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Capítulo 1 1.2.4 Resuelve: 1. Analiza la continuidad de la siguiente relación: y = 5x + 10 2. Analiza la continuidad de la siguiente relación: yx = x2 – 5 3. ¿Existen otros puntos de discontinuidad en el ejercicio anterior? 4. Cita los intervalos donde la relación en estudio es continua. 5. Propón una relación que sea continua en (–α, +α).

1.2.5 Resuelve: 1. Investiga el comportamiento gráfico de la siguiente relación: y=

1 x –9 2

2. ¿La relación siguiente es continua o discontinua? 1 y= x–9

1.3. Concepto de función Dados dos conjuntos D e I, se dice que f es una función definida en el conjunto D y tomando valores en el conjunto I cuando a cada elemento de D se le asigna uno y sólo un elemento de I. Se presenta por: f : D → I El conjunto D recibe indistintamente los nombres de conjunto origen, conjunto inicial, dominio de la función y se representa por Dom(f). Cualquier elemento del conjunto D se puede representar con la letra x y será la variable independiente. 1. REL ACIONES Y FUNCIONES


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Geometría analítica Cada elemento x de D tiene por imagen, mediante la función f, un elemento de I que se representa por y y es la variable dependiente. Esto se expresa escribiendo y = f(x). El conjunto I es el conjunto final y los elementos que son imagen de algún elemento de D forman el conjunto imagen (Im(f)) o recorrido de la función (f(D)). f :D → 1 x → f(x) = y Función real de variable real Se llama función real de variable real a toda función definida de un subconjunto D de los números reales, en el conjunto R de los números reales, tal que a cada elemento x de D le corresponde uno y sólo un elemento y de R. f :D → R x → f(x) = y Para que una función quede correctamente definida es necesario determinar: El conjunto inicial o dominio de la función. El conjunto final o imagen de la función. La regla por la cual se asigna a cada elemento del conjunto origen un solo elemento del conjunto imagen. Así, por ejemplo, la función definida por: f :R → R x → x2 asigna a cada número real su cuadrado. Tiene por conjunto origen o dominio todos los números reales, pues dado cualquier número real x, siempre es posible calcular su cuadrado, siendo el resultado otro real. Tiene por conjunto imagen todos los números reales positivos, puesto que el cuadrado de un número siempre es positivo: Im (f) = R+ 10

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Capítulo 1 La regla de asignación es ésta: “Dado cualquier número real x, calcular su cuadrado para obtener la imagen”. Función polinómica de grado n: f :R → R x → y = f(x) = a0 + a1x + a2x2 + ... + anxn donde a0, a1, a2, ..., an son números reales. Función constante: Es la definida por: y = f(x) = a0 (a0 una constante); su gráfica corresponde a una recta paralela al eje x, a0 unidades por encima o por debajo del eje x, según el signo de a0.

y

y

y=a

0

0

a

0

x 0

>0

y=a

0

x

Función lineal: Es la definida por: y = f(x) = a0 + a1x. Función identidad: Es la definida por y = f(x) = x; su gráfica corresponde a una recta que pasa por el origen formando un ángulo de 45º con el semieje positivo x.

y

y

y=x 450

y = –x 450

x

x

Función cuadrática: Es la definida por: y = f(x) = a0 + a1 x + a2 x2 se llama función cuadrática. 1. REL ACIONES Y FUNCIONES

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Geometría analítica Función cúbica: Es la definida por: y = f(x) = a0 + a1x + a2 x2 + a3x3. Dentro de estas se destaca una por el uso que se hace de ella en las aplicaciones. Se habla de la función y = f(x) = x3, llamada parábola cúbica, cuya gráfica es la siguiente: y

y = x3 x

1.3.1 Resuelve: 1. Halla el Dominio de la función f definida por f(x) = 1/(x – 2). 2. Halla el Dominio de la función g ] x g =+ x 2 – 9 . 3. Halla el Dominio de la función definida por h ] x g = 4. Dada la función f definida por f(x) =

1 . x2 – x – 6

1 . x2 + 2

a Halla la imagen de los números –3, 0, 3 y 5. b. ¿Cuál es su dominio de definición? c. ¿Hay algún número que se transforme en el 0? Representación de una función La representación gráfica de una función permite visualizar de un modo claro y preciso su comportamiento. Una función f asigna a cada número x del conjunto origen un número y = f(x) del conjunto imagen. El conjunto de los pares de números (x, y) determinados por la función recibe el nombre de grafo de la función. Para obtener los pares basta con dar valores a la variable independiente x, y obtener los correspondientes de la variable dependiente y, para formar una tabla de valores. 12

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Capítulo 1 Una vez obtenidos los pares de números, se representan en un sistema de ejes cartesianos, que consiste en dos ejes perpendiculares que se cortan en un punto, llamado origen de coordenadas y representado por O; el eje horizontal recibe el nombre de eje de abscisas y en él se representan los valores de la variable independiente; el eje vertical recibe el nombre de eje de ordenadas y en él se representan los valores de la variable dependiente. Cada par corresponde a un punto del plano. Uniendo todos los puntos, se obtiene la gráfica de la función.

Operaciones con funciones Suma de funciones: Sean f y g dos funciones reales de variable real definidas en un mismo intervalo. Se llama suma de ambas funciones y se representa por f + g:

(f + g)(x) = f(x) + g(x) Resta de funciones: Del mismo modo que se ha definido la suma de funciones, se define la resta de dos funciones reales de variable real f y g, como la función:

(f – g)(x) = f(x) – g(x) Para que esto sea posible es necesario que f y g estén definidas en un mismo intervalo. Producto de funciones: Sean f y g dos funciones reales de variable real, definidas en un mismo intervalo. Se llama función producto de f y g a la que es definida por:

(f·g)(x) = f(x)·g(x) Cociente de funciones: Dadas dos funciones reales de variable real, (f,g) y definidas en un mismo intervalo, se llama función cociente de f y g a la función definida por:

(f·g)(x) = f(x)·g(x) La función f/g está definida en todos los puntos en los que la función g no se anula. Producto de un número por una función: Dado un número real a y una función f, el producto del número por la función es la función definida por:

(a . f)(x) = a . f(x)


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Geometría analítica 1.3.2. Resuelve: 1. Sean las funciones f(x) = 3x + 1, y g(x) = 2x – 4. a. Define la función f + g y. b. Calcula las imágenes de los números 2, –3y 1/5. 2. Dadas las funciones f(x) = x² – 3, y g(x) = x + 3. a. Define la función (f – g)(x). b. Calcula las imágenes de 1/3, –2 y 0 mediante la función f – g. x 3. Dadas las funciones f ] x g = 2 – 3 y g ] x g = 2 $ x + 1 , define la función f . g.

4. Dadas las funciones f(x) = – x – 1, y g(x) = 2x + 3, define f/g. Calcula las imágenes de los números –1, 2 y 3/2 mediante f/g. 5. Dada la función f(x) = x² + x – 2, calcula a. 3 $ f y b.

f 3

Obtén las imágenes de los números 2, 1 y 0 mediante la función 3 · f. Composición de funciones Dadas dos funciones reales de variable real, f y g, se llama composición de las funciones f y g, y se escribe g o f. La función (g o f)(x) se lee ‘f compuesto con g aplicado a x’. f

g

R R R x " f ] x g " g $ 7 f ] x gA

Primero actúa la función f y después la función g, sobre f(x). Para obtener la imagen de la función compuesta aplicada a un número x, se siguen estos pasos:

14

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Capítulo 1 a. Se calcula la imagen de x mediante la función f, f(x). b. Se calcula la imagen mediante la función g, de f(x). Es decir, se aplica la función g al resultado obtenido anteriormente. 1.3.3 Resuelve: 1. Sean las funciones f(x) = x + 3 y g(x) = x². Calcula g o f y la imagen mediante esta función de 1, 0 y –3. 2. La imagen de dos números 1, 0, –3, mediante la función g o f es: 3. Dadas las funciones f(x) = x² + 1, y g(x) = 3x – 2, calcula: a. (g o f) (x) b. (f o g) (x) c. (g o f) (1) y (f o g) (–1) d. El original de 49 para la función g o f.

1.4. Funciones algebraicas y trascendentes Una función algebraica explícita es aquella cuya variable y se obtiene combinando un número finito de veces la variable x y constantes número reales por medio de operaciones algebraicas de suma, resta, multiplicación, división, elevación a potencias y extracción de raíces. Un ejemplo de una función algebraica explícita es aquella para la cual la regla de correspondencia viene dada por: ^ x + 5 h3 y= ^ x + 3h 2 3

Se llama función trascendente aquella cuya variable y contiene expresiones trigonométricas, exponenciales o logarítmicas. Ejemplos de funciones trascendentes son las siguientes: y = ex + sen x y = 3x y = log2 x + 5 1. REL ACIONES Y FUNCIONES

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15

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Geometría analítica 1.5. Funciones pares e impares Una función f es par si los números x y –x están en su dominio y además: f(–x) = f(+x). Una función f es impar si los números x y –x están en su dominio y además: f(–x) = –f(x). Es evidente, desde el punto de vista geométrico, que la gráfica de una función par es simétrica con respecto al eje y:

y

y

x

x

También es evidente que toda función racional que solo contiene potencias pares ^ x , x 2, x 4, ... h de la variable x es par. 0

Así, la función y = f ] x g =

x2 – 1 es par. x + 2x 2 + 1 4

Igualmente, la gráfica de una función impar es simétrica con respecto al origen.

y

y

x

x

1.6. Funciones inversas Para hacer claridad sobre el concepto de función inversa, tomemos la función f que está definida por la ecuación 16

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Capítulo 1 y =f(x) = x3 – 1

(1)

y cuyo dominio y rango es el conjunto R de los números reales. Al despejar x en la ecuación (1) se obtiene: x = 3 y+1

]2g

Por la forma que presenta esta ecuación, se sabe que dado cualquier valor de y, tomado del rango de f (esto es, de R), existe uno y solo un valor de x situado en el dominio de f. En consecuencia, la ecuación (2) nos define otra función cuyo dominio es el rango de f y cuyo rango es el domino de f. Así, por ejemplo, la ecuación (1) asigna al valor x = 2, un único valor de y, en este caso: y = 23 – 1 = 7 La segunda ecuación efectúa la operación inversa, esto es, al valor y = 7 le asigna el valor de: x = 3 7 + 1 = 2. Si se quiere ahora representar, como es usual, con x a la variable independiente y con y a la dependiente se intercambia x por y en la ecuación (2) y así se obtiene: y = 3 x+1

]3g

La función definida por (2) o (3) que se representa en forma general por f - 1 se conoce como la inversa de la función f definida por (1). Igualmente, la función definida por (1) es la inversa de la función f - 1 definida por (2). Es decir: y = f -1 ] x g = 3 x + 1

y = f(x) = x3 – 1

Las gráficas de f(x) y de f - 1 (x) representadas en el mismo plano cartesiano:

y=

x

1

y=x

3

–1

y=x

Considera ahora la función y = f(x) = x2 + 1


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Geometría analítica El dominio de f lo constituye el conjunto R de los números reales y el rango es el intervalo 6 1, + 3 @ . Al despejar x, se obtiene: x = ! y - 1 . Esta última ecuación dice que para cada valor que se le asigne a la variable y le corresponden dos valores a la variable x, y en consecuencia, esta última ecuación no define una función. En este caso se dice que la función y = f(x) = x2 + 1 no tiene inversa o que f –1 no existe. De los dos ejemplos anteriores, se deduce fácilmente que una función f tiene inversa si f es 1–1. Sea f: A → B una función inyectiva y suprayectiva. x " f ]xg

La inversa de f, denotada f - 1 , es la función: f - 1: B " A x 7 f -1 ] x g

tal que: f - 1 ^ f ] x g h = x para cada x d A (Dominio de f) f ^ f - 1 ] x g h = x para cada x d B (Dominio de f –1)

Se debe tener cuidado con el –1 usado en f –1. El –1 no es un exponente, es simplemente un símbolo para denotar la inversa. Como ejemplo ilustrativo, considera nuevamente la función definida por la ecuación: y = f(x) = x3 -1 se tiene: f f :R → R * x : f(x) = x3 – 1 x f es 1 – 1

*

f - 1: R " R x 7 f -1 ] x g = 3 x + 1

f y f –1 son inversas una de la otra. Además, f - 1 ^ f ] x g h = f - 1 ] x 3 – 1 g = 3 ] x 3 – 1 g + 1 = x, x i D ^ f h = R 3 f ^ f -1 ] x g h = f ^ 3 x + 1 h = ^ 3 x + 1 h – 1 = x x i D ^ f -1 h = R

18

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Capítulo 1 Como se mencionó antes, la función f : R [1, + ∞) x → f(x) = x2 +1 No tiene inversa (pues f no es 1 – 1). Sin embargo, dicha función genera dos funciones: f : (–∞, 0] → [1, + ∞)

x → f(x) = x2 + 1 y

g : (0, + ∞] → [1, + ∞)

x → g(x) = x2 + 1

Que son 1 – 1 en sus respectivos dominios (fig. 16.) y en consecuencia tienen inversa.

y

y

x

x

Para la función f se tiene: f –1: [1, + ∞) → (–∞, 0]

f : (–∞, 0] → [1, + ∞) x → f(x) = x2 + 1 Las gráficas de f y f figura:

–1

x 7 f -1 ] x g = –

x –1

en el mismo sistema de coordenadas aparecen en la siguiente

y f

y=x x

f –1 1. REL ACIONES Y FUNCIONES

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19

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Geometría analítica Igualmente, para la función g se tiene: g : [0, + ∞) → [1, + ∞)

g –1: [1, + ∞) → (0, + ∞]

x → g(x) = x2 + 1

x → g-1 ] x g = – x – 1

Las gráficas de g y g–1 en el mismo sistema de coordenadas aparecen en la siguiente figura:

y

g g1

x

y=x

Además: f -1 ^ f ] x g h = f -1 ] x2 + 1 g = – ] x2 + 1 g – 1 = – x2 =– x 2 ^ propiedad del valor absoluto h =– x = x ^ definición de x h

Es decir: f - 1 ^ f ] x g h = x para cada x d ^ –3, 0 @ = D ^ f h . Igualmente, 2 f ^^ f - 1 ] x g hh = f ^ – x – 1 h = ^ – x – 1 h + 1 = ] x – 1 g + 1 = x

es decir, f ^ f - 1 ] x g h = x para cada x d 6 1, + 3 h = D ^ f - 1 h

Nota que las gráficas de f y f –1 (g y g–1) son simétricas con respecto a la recta y = x. 20

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Capítulo 1 1.7. Función exponencial Se llama función exponencial de base a, siendo a un número real positivo y distinto de 1, a la función:

f :R → R x → f(x) = ax Esta función se escribe también como f(x) = expax y se lee ‘exponencial en base a de x’. Algunas propiedades de las potencias:

1. a 0 = 1 1 2. a - n = a n m n

3. a = n a m m n

4. a - =

1 = a m n

n

1 am

La función y = 2 x es una función exponencial de base 2. Algunos de los valores que toma esta función, f : R → R, son: 1 1 f ] - 3 g = 2-3 = 3 = 8 2 1 1 1 f b – 2 l = 2- = = 2 2 1 2

1 2

f ] 1 g = 21 = 2 3 f b2l = 2 = 3 2

23 =

8

1 La función y = 2 x es una función exponencial de base 12 .

Alguno de los valores que toma esta función, f : R → R, son:


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Geometría analítica 1 0 f ]0g = b 2 l = 1

1 1 f ] 4 g = 2 - 4 = 4 = 16 2 2 3

2 1 1 f b– 3 l = b 2 l = = 1 b l 2 2 3

3

22

1 2 1 f ]2g = b 2 l = 4

Cuando a = e, donde e es el número irracional cuya representación decimal con sus primeras cifras decimales, e = 2.7182818284…., la función exponencial ex se llama función exponencial de base e y, frecuentemente, se denota por exp (x) = ex. Propiedades de la función exponencial y = ax. a. Para x = 0, la función toma el valor 1: f(0) = a0 = 1. b. Para x = 1, la función toma el valor a: f(1) = a1 = a. c. La función es positiva para cualquier valor de x: f(x) > 0. Esto es debido a que la base de la potencia (a) es positiva, y cualquier potencia de base positiva da como resultado un número positivo. d . Si la base de la potencia es mayor que 1, a > 1, la función es creciente. e. Si la base de la potencia es menor que 1, a < 1, la función es decreciente.

Representación gráfica de la función exponencial Observando las propiedades antes descritas para una función exponencial, se han de distinguir dos casos para hacer la representación de una función y = ax. a. a > 1. En este caso, para x = 0, y = a0 = 1. para x = 1, y = a1 = a. para cualquier x, la función es creciente y siempre positiva. Como caso particular se representa la función y = 2x. b. a < 1. Para x = 0, y = a0 = 1. 22

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Capítulo 1 Para x = 1, y = a1 = a. Para cualquier x la función es decreciente y siempre positiva. 1 x Como caso particular se representa la función y = b 2 l .

En las siguientes figuras aparecen las gráficas de algunas funciones exponenciales de base a > 1 (fig. 1) y de base a < 1 (fig. 2).

y y y = ex

x y = (1/e)x

y = 2x

1 y = xy = ( 2 ) x

e

e 2

2 1 2 1 e –I

I

Fig. 1.

–I

x

x

Fig. 2.

1.8. Función logarítmica Sea a un real positivo fijo, a ≠ 0 y sea x cualquier real positivo, entonces: y = logax

ay = x

La función que hace corresponder a cada número real positivo su logaritmo en base a ≠ 0. Denotada por y = logax se llama función logarítmica de base a, y, el número logax se llama logaritmo de x en la base a. La definición anterior, se expresa diciendo que el logaritmo de un número, en una base dada, es el exponente al cual se debe elevar la base para obtener el número.


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Geometría analítica Gráfica de la función logarítmica En las figuras 3 y 4 aparecen las gráficas de las funciones y = log 2 x y y = log x 1 2

En la figura 5 se han trazado conjuntamente las curvas y = 2x y y = log2 x Puede notarse que las curvas son simétricas con respecto a la recta y = x.

y y = f (x) =1 log 2x

(1,0)

x

Figura 3.

y

y = f (x) =1 log 1 x 2

(1,0)

x Figura. 4.

y

y=2x

y =1 log 2 x

x

Figura. 5. 24

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Capítulo 1 Ecuaciones y sistemas de ecuaciones exponenciales Las ecuaciones en las que la incógnita aparece como exponente son ecuaciones exponenciales. No hay ninguna fórmula general que indique cómo resolver cualquier ecuación exponencial. Sólo la práctica ayuda a decidir, en cada caso, qué camino se debe tomar. Para resolver estas ecuaciones hay que tener presente algunos resultados y propiedades: a. ax = ay

x= y

Conviene, por tanto, siempre que sea posible, expresar los dos miembros de la ecuación como potencias de la misma base. b. a x $ a y = a x + y x c. a y = a x - y a

d. ] a x gy = a x $ y 1.8.1 Resuelve: 1 1. Resuelve 2 1 - x = 8 2

2. Resuelve 4 x + 1 + 2 x + 3 = 320 3. Resuelve 5 x + 5 x + 2 + 5 x + 4 = 651 4. Resuelve el sistema: 2x – 42 y = 0 x – y = 15 5. Resuelve el sistema: 22x + 5 y = 2 2−x + y = 8 6. Resuelve el sistema: 2x + 2y = 24 2x ⋅ 2y = 128 1. REL ACIONES Y FUNCIONES

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Geometría analítica 1.9. Logaritmos Dado un número real a positivo no nulo y distinto de 1 (a > 0; a ≠ 0; a ≠ 1) y un número N positivo y no nulo (N > 0; N ≠ 0) se llama logaritmo en base a de N al exponente x al que hay que elevar dicha base para obtener el número. Para indicar que x es el logaritmo en base a de N se escribe: logaN = x y se lee ‘logaritmo en base a de N es igual a x’. Por lo tanto, loga N= x (notación logarítmica) equivale a decir que ax = N(notación exponencial). Notación logarítmica Notacón exponencial 23 = 8 log 2 8 = 3 1 -2 log 4 = –2 = 22 = 4 2 73 = 73 log 7 7 3 = 3 1 2

Consecuencias de la definición de logaritmo 1. El logaritmo de 1, en cualquier base, es 0: loga 1 = 0, ya que a0 = 1. 2. El logaritmo de un número igual a la base es 1: logaa = 1, ya que a1 = a. 3. El logaritmo de una potencia cuya base es igual a la base del logaritmo es igual al exponente de la potencia: logaam = m, ya que am = am. 4. No existe el logaritmo en cualquier base de un número negativo o cero. 5. El logaritmo de un número N mayor que cero y menor que 1, 0 < N < 1, es negativo si la base a del logaritmo es a > 1. 1 1 Así, por ejemplo, log a 9 = –2 , ya que 3 - 2 = 9

6. El logaritmo de un número N mayor que cero y menor que 1, 0 < N < 1, es positivo si la base a del logaritmo es a < 1. 1 1 2 1 Por ejemplo, log 9 = 2 , ya que b 3 l = 9 1 3

7. El logaritmo de un número N > 1 es positivo si la base es a > 1. 26

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Capítulo 1 Así, log 3 9 = 2 ; ya que 3 2 = 9 . 8. El logaritmo de un número N > 1 es negativo si la base es a < 1. -2 Así, log 25 = –2, ya que b 15 l = 25 1 5

1.10. Propiedades de los logaritmos Logaritmo de un producto El logaritmo de un producto de dos números es igual a la suma de los logaritmos de cada uno de ellos. log a ] X $ Y g = log a X + log a Y

Demostración: Sea log a X = x; esto significa que a x = X Sea log a Y = y; esto significa que a y = Y log a ] X $ Y g = log a ] a x $ a y g = log a a x + y = x + y = log a X + log a Y

Este resultado se puede generalizar para más de dos factores. Si X1, X2, X3, f, Xn son n números reales, positivos y no nulos, log a ] X1 $ X2 f Xn g = log a X1 + log a X2 + f + log a Xn

Logaritmo de un cociente El logaritmo de un cociente de dos números es igual al logaritmo del numerador menos el logaritmo del denominador. X log a Y = log a X – log a Y

Sea logaX = x; esto significa que ax =X Sea logaY = y; esto significa que ax =Y X ax log a b Y l = log a b a y l = log a ] a x - y g = x – y = loga X –loga Y


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Geometría analítica Logaritmo de una potencia El logaritmo de una potencia es igual al exponente multiplicado por el logaritmo de la base de la potencia. logaXn = n logaX Demostración: Sea log a X = x; esto significa que a x = X n log a X n = log a ] a x g = log a a nx = nx = n log a X

Logaritmo de una raíz El logaritmo de una raíz es igual al logaritmo del radicando dividido entre el índice de la raíz. 1 log a n X = n log a X

Demostración: Este es un caso particular del apartado anterior, logaritmo de una potencia. 1 log a n X = log a X = n $ log a X 1 n

Observa que las propiedades anteriores se refieren al logaritmo de un producto, un cociente, una potencia y una raíz, pero nada se ha dicho sobre el logaritmo de una suma o una resta. El logaritmo de una suma o de una resta no admite desarrollo.

1.10.1. Resuelve: 1. Sabiendo que log 10 2 = 0.301030 y log 10 3 = 0.477121, calcula log 10 6, log 10 8, 3 log 10 2 y log 10 3 3.6 1 2. Calcula log 2 64, log 4, log 7 7 1 2

3. Desarrolla el logaritmo de la expresión: B=

xy 3 3 2z 4

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Capítulo 1 4. Desarrolla el logaritmo de la expresión: C =

2 2 2

5. Obtén la expresión de E a partir del desarrollo de su logaritmo: 1 log E = 3 log x + 2 log y – 2 log z

6. Calcula x para que cada una de las siguientes expresiones sea cierta: 1 1 1 log x 8 = 2 ; log x 9 = –2; log 27 x = 3 ; log 10 0.01 = x; log x = –1 1 2

Los decimales y logaritmos naturales De todas las posibles bases que pueden tomarse para los logaritmos, las más usuales son la base 10 y la base e. Los logaritmos que tienen base 10 se llaman logaritmos decimales, logaritmos vulgares o logaritmos de Briggs, y para representarlos se escribe sencillamente log sin necesidad de especificar la base: log 10 X = log X

Las tablas que tradicionalmente se han usado para calcular logaritmos son tablas de logaritmos decimales. Se escriben a continuación algunos ejemplos de logaritmos decimales: log 1 = 0; puesto que 100 = 1 log 10 = 1; puesto que 101 = 10 log 10 000 = 4; puesto que 104 = 10 000 log 0.1 = −1; puesto que 10−1 = 0.1 Los logaritmos que tienen base e se llaman logaritmos neperianos o naturales. Para representarlos se escribe ln o bien L: log e X = ln X = LX

Algunos ejemplos de logaritmos neperianos son: In 1 = 0; puesto que e0 = 1 In e2 = 2; puesto que e2 = e2 In e−1 = −1; puesto que 10−1 = e−1


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Geometría analítica El número e tiene gran importancia en las matemáticas. No es racional (no es cociente de dos números enteros) y es el límite de la sucesión n n a 1 + 1n k , es decir, lim a 1 + n1 k = e n"3

Su valor, con seis cifras decimales, es e = 2.718281... Cambio de base: Para un mismo número X existen infinitos logaritmos, dependiendo de la base que se le asigne. Por ejemplo, el logaritmo de 8 es 1, –1, 3, –3, 0.903090, 2.079441... según que la base considerada sea 8, 1/8, 2, 1/2, 10, e ... Es posible pasar del logaritmo de un número en una base a determinada al logaritmo de ese mismo número en otra base b, sin más que aplicar la siguiente fórmula: log a x log b x = log b a

Demostración: Sea: log a x = A & a A = x 3 aA = bB log b x = B & b B = x

Tomando logaritmos en base a en la igualdad anterior, se tiene: log a a A = log a b B & A log a a = B log a b

Despejando B, y teniendo en cuenta que log a a = 1 , se tiene: A B = log b a

es decir, log a x log b x = log b a

30

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Capítulo 1 1.10.2 Resuelve: 1. Sabiendo que log28 = 3, calcular log168 2. Sabiendo que log327 = 3, calcular log927 3. Sabiendo que log72 = 0.301030 y log 7 = 0.845098. calcular log7 2. Relación entre logaritmos decimales y neperianos Conocido el logaritmo decimal de un número, la fórmula que permite obtener su logaritmo neperiano es: log X ln X = log e , donde log e = 0.434294

Conocido el logaritmo neperiano de un número, la fórmula que permite obtener su logaritmo decimal es: ln X ln X = ln 10 , donde log e = 0.434294

Relación entre los logaritmos en base a y en base 1a : log X = 1 a

log a X log a X 1 = –1 = – log a X log a a

log X = – log a X 1 a

Relación entre logab y logba: log a a 1 log b a = log b = log b a a

Los logaritmos logab y logba a son inversos. 1.10.3 Resuelve:

1. Dado el log 25 = 1.397940, calcula ln 25. 2. Dado el ln 17 = 2.833213, calcula log 17. 1. REL ACIONES Y FUNCIONES

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Geometría analítica 3. Calcula log 216 , sabiendo que log 6 216 = 3 . 1 6

4. Calcula log 3 10 , sabiendo que log 3 = 0.477121. 5. Calcula log 5 e , sabiendo que ln 5 = 1.609437.

1.11. Función logaritmo La función logarítmica de base a es aquella función que asigna a cada número su logaritmo en base a. Puesto que los números negativos no tienen logaritmo, la función logarítmica se define en el conjunto de los números reales positivos excluido el cero, y toma valores en el conjunto de los números reales. loga : R + − { 0 } → R x → loga x R+ − { 0 } Representa al conjunto de los números reales positivos, excluido el cero. R + − { 0 } = (0, + ∞) En la representación gráfica de la función logarítmica conviene distinguir dos casos: a. Función logarítmica de base mayor que 1: a>1 La representación gráfica pone de relieve los principales resultados sobre logaritmos: El logaritmo de 1 es cero: loga1 = 0. El logaritmo de la base es la unidad: logaa = 1 Los números comprendidos entre 0 y 1 (0 < x < 1) tienen logaritmo negativo. Los números mayores que 1 (x > 1) tienen logaritmo positivo. La función es creciente. 32

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3/27/08 10:34:43 AM

Capítulo 1 b. Función logarítmica de base menor que 1: a<1 En la representación gráfica se observa que: El logaritmo de 1 es cero: loga1 = 0. El logaritmo de la base es la unidad: logaa = 1 Los números comprendidos entre 0 y 1 (0 < x < 1) tienen logaritmo positivo. Los números mayores que 1 (x > 1) tienen logaritmo negativo. La función es decreciente.

1.11.1 Resuelve: 1. Representa gráficamente la función y = log 2 x . 2. Representa gráficamente la función y = log x . 1 2

Relación función logaritmo exponencial La función logarítmica es la inversa de la función exponencial. Para comprobar que dos funciones son inversas basta con: a. Intercambiar entre sí las variables x e y en una de las dos funciones. b. Despejar la variable y, y comprobar que se obtiene la otra función. En este caso: a. En la función logarítmica y = logax se intercambia x por y, obteniendo: x = logay. b. Despejando la variable y en x = logay, se tiene y = ax, es decir, la función exponencial. Las gráficas de dos funciones inversas son simétricas respecto de la bisectriz del primer y tercer cuadrante. 1. REL ACIONES Y FUNCIONES

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Geometría analítica Representando en un mismo diagrama las funciones y = logax y y = ax, los resultados son estas gráficas. Ecuaciones y sistemas de ecuaciones logarítmicas Una ecuación logarítmica es aquella por donde la incógnita aparece en una expresión afectada por un logaritmo. Así, en la ecuación 2 log x = 1 + log (x – 0.9), en la que la incógnita x aparece tras el signo de logaritmo, es logarítmica. Un sistema de ecuaciones logarítmicas es un sistema formado por ecuaciones logarítmicas. log x + log y 3 = 5 x log y = 1 Para resolver estas ecuaciones se intenta, aplicando las propiedades de los logaritmos, llegar a expresiones del tipo log A = log B. Una vez conseguido, se aplica la equivalencia log A = log B + A = B

Deduciendo, a partir de aquí, los valores de las incógnitas. 1.11.2. Resuelve: 1. Resuelve la ecuación 2 log x = 1 + log (x – 0,9). x 2. Resuelve la ecuación 3 log x – log 32 = log 2

3. Resuelve la ecuación 2 x = 57 . 1 4. Resuelve la ecuación 5 1 - x = 40 2

5. Resuelve 4 3 $ x = 8 x + 6 6. Resuelve el sistema: log x + log y 3 = 5 x log y = 1

7. Soluciona el sistema: log x + log y = 2 x – y = 20 34

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Geometria Analitica - Santillana

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