CIP-Brasil. Catalogação-na-Fonte Câmara Brasileira do Livro, SP
G298
Geometria analítica : 2 grau I Are[ Antar Neto . .. [et al.]. -- São Paulo : Ed. Moderna, 1980 (Noções de matemática; v.6) 1. Geometria analítica (2 grau) I. Antar Neto, Aref, 1949-
17. CDD-516 18. - 516.3
79-1565
lndice para catálogo sistemático: 1. Geometria analítica
516 (17.)
516.3 (18.)
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1980 Impresso no Brasil 2 4 6 8 10 9 7 5 3
,
lndice Parte I Coordenadas na reta...... . ...............................
PARTE I Capítulo 1 - Coordenadas na reta Capítulo 2 - Coordenadas cartesianas no plano
Capítulo
~~
Coordenadas na reta
1.1- SEGMENTO DE RETA Dados dois pontos A e B, vamos representar o segmento de reta de extremidades A e B por AB (ou por BA).
A.-------------------------------•8 Fig. 1.1
Se adotarmos um segmento unitário OU, em relação ao qual podemos medir o comprimento de outro 'segmento qualquer, indicaremos o comprimento do segmento de reta Ãii por med.
AB
Exemplos
o
U
~----~
A
o
c
B
E
~------+-----~~-----+------~
~ u
O símbolo med.
u
u
u
u
med. med. med.
AB = AD = 3 EC= 2
AB pode ser lido:
"medida do segmento AB" ou "comprimento do segmento AB" ou "módulo do segmento AB" ou, ainda, "distância entre os pontos A e B".
3
Esta última leitura é usual na Geometria Analítica; para ela também usamos o símbolo:
Assim, nos exemplos acima podemos escrever:
<\:c=
2
Segmento nulo - No caso em que os pontos A e B coincidem, o segmento
AB é chamado segmento nulo; adotaremos: med. AB = õAB = O 1.2- SEGMENTO ORIENTADO Sobre um segmento de reta ,AB podemos fixar dois sentidos de percurso: um de A para B e o outro de B para A. Quando sobre o segmento AB ftxamos um dos sentidos de percurso, construímos um novo objeto matemático: o segmento orientado . • Se o sentido escolhido for o de A para B, o segmento orientado será indicado por
AB
-
onde o ponto A é chamado de origem do segmento orientado e o ponto B, de
. . do segmento orientado. Por outro lado, DA indicará o segmento extreffildade orientado de 8 para A: a origem é 8 e a extremidade é A. Veja a figura 1.2: A - - - - - - -...... 8
As
A - - - - . . . , . - - - - B A------,-----eB
Aê
BÃ
Fig.1.2
No caso em que
AB
é o segmento nulo, para os segmentos orientados
~AB e BA não definimos sentido.
1.3- EIXO Numa reta temos dois sentidos. Podemos chamar um deles de positivo e o outro de negativo Chamamos de reta orientada ou eixo uma reta sobre a qual foi feita a escolha de qual é o sentido positivo. Nos desenhos, o sentido positivo do eixo é indicado por uma flecha. Fig.1.3
4
(sentido positivo)
1.4- MEDIDA ALGeBRICA DE UM SEGMENTO ORIENTADO Consideremos um eixo e e um segmento unitário õtJ através do qual podemos medir o comprimento de segmentos contidos no eixo. Dados dois pontos . distintos A e B, a medida algébrica do segmento orientado AB é um número real indicado por
-
---+
e dado por + c5AB ou - c5AB, conforme o sentido de AB concordar ou discordar do sentido de e (fig. 1.4).
o A B e ~----.------------. ~
O
A
B
e
--+---~--------------~ AB = -c5AB Fig.l.4
--
Observações: 1~) Se A = B, os segmentos nulos AB e BA têm medida algébrica AB = BA = O. 2~) ~imediato que, em qualquer situação dos pontos A e 8: AB = - BA ou AB + BA = O Exemplos a)
o
u u
~A----~----~B~----0~----~----~----~F~ FD
AB = 2
b)
o
u
=
-3
B
A
u u
u
AB = 3 BA:;:: -3
u
AB:;:: -BA
5
1.5 - SISTEMA DE COORDENADAS ABSCISSAS Consideremos sobre um eixo e um ponto O e um segmento unitário. Dado um ponto P qualquer desse eixo, a abscissa de P é um número real indicado por
Xp
o
p
o
Xp
e
e tal que: Fig. l.S
Xp = OP
O ponto O será chamado origem das abscissas e a abscissa de O é igual a zero. Exemplo E
-2
o -1
o
A
B
c
J3
3
9 2
u
o
Fig. 1.6
OA =
XA
OB
XB
xc
=
-
oc
'
..f3
XE
= OD = -1 = OE = -2
XQ
=o
Xo
=3 9
=-
2
e
Para indicar que a abscissa de um ponto Pé o número xp, costuma-se escrever: P(xp) Assim, no exemplo anterior temos:
A(VJ)
C( 2__)
B(3)
D(-1)
2
Com a definição de abscissa de um ponto, o que fizemos foi estabelecer uma wrrespondência bijetora entre os números reais e os pontos do eixo : a cada ponto do eixo corresponde um único número real
e a cada número real corresponde um único ponto do eiXo
6
. Essa correspondência é chamada sistema de coordenadas abscissas ou simplesmente sistema de abscissas. Observe que a abscissa de um ponto P determina por completo a posição de P sobre e. O módulo da abscissa dá a distância do ponto P à origem O; o sinal da abscissa determina em que "lado" do ponto O está situado o ponto P; se a abscissa é positiva, o ponto P está situado a ·"caminho" do sentido positivo com respeito a O; se a abscissa é negativa, o ponto P está situado a ."caminho" do sentido negativo com respeito a O; se a abscissa é zero, Pé a origem O. De uma forma intuitiva, com relação à figura abaixo:
o ______a_b_sc_is_sa_s_n_e_ga_t_iv_a_s____~~ t~~-----ab_s_c_is_sa_s_p_o_si_ti_~_s_______e
xo
=
o
estão situados "à direita" de O os pontos de abscissas positivas; estão situados ''à esquerda" de O os pontos de abscissas negativas. É possível, agora, expressar a medida algébrica de um segmento orientado --+ AB através das abscissas de sua origem e de sua extremidade: consideremos dois pontos A e B de abscissas xA e xB respectivamente. É fácil perceber (fig. 1.7) que:
o
A
e
B
ou seja,
AB
Fig. 1.7
I(1.1)
= XB - XA
Enunciamos assim que:
A medida algébrica de um segmento orientado é igual à diferença entre a abscissa da extremidade e a abscissa da origem do segmento. Exemplos
o o
A
o o
B
B
2
2
3
-1
o o
AB = 4- 1
3
AB
1-4
-3
AB
(3)- (-2)
4 A
A
-2
3
4 B
2
3
5
7
8
-2
-1
-4
-3
-4
-3
A
o o
A
2
-2
-1
o o
-2
-1
o
8
----i
-5
A
8
----i
-5
AB
(-2)- (3)
-5
AB
= (-3)- (-5)
2
AB
= (-5)- ( -3)
-2
3
Por outro lado, se quisermos a distância entre os pontos A e B, basta --+ --+ calcular o módulo da medida algébrica do segmento orientado AB (ou BA):
Exercícios Resolvidos 1.1)
Determine a abscissa do ponto P, sabendo que PM = -4 e xM = 7. Solução
,
PM = -4 <==>xM- Xp = -4 Como xM = 7, temos: 7 - xp = -4 Portanto: xp = 11 1.2)
Sendo A, B e C pontos quaisquer pertencentes a um mesmo eixo, verifique que : (Relação de Chasles) Solução
AB +BC+ CA = (xB-xA) + (xc-xB) + (xA-xc) =
+ xc-xc =o
-XA +xA + XB-XB 1.3)
Num eixo temos os pontos A(-1), B(2) e C(-3). Calcule a abscissa do ponto P ldo mesmo eixo) tal que: AP • AB + BP • CP + AC