PREPARACIÓN A LA: GEOMETRÍA
CICLO VERANO
UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS CIRCUNFERENCIA (teoremas fundamentales y ángulos en la
circunferencia) circunferencia)
GEOMETRÍA Nº 06 DEFINICIÓN OT ⊥ Se denomina circunferencia al lugar geométrico de α=90° todos los puntos de un plano cuya distancia a otro punto del mismo plano llamado centro, es constante. ON ⊥ AB 2. Si: O es centro Esta longitud constante se denomina radio.
;
L
M
Entonces: AM = MB ;
D C
P
H
O
R A
B
A
B
M
O m
mAN = mNB
N
n T
Centro Radio Cuerda Diámetro Secante
:O : OP , OP = R : CD : AB , AB = 2R : m
Tangente : n Arco : CD , CTD
3. Si mAB = mCD Flecha Sagita: MH Pto de tangencia : T Longitud de la circunferencia: 2 πR Área del círculo: 2 πR π = 3.1416 ó π = 22/7
CÍRCULO Es aquella superficie plana determinada por la unión de una circunferencia y su región interior.
B M
Entonces: AB = CD ; OM = ON
A
O
C N
4. Si:
D
AB // CD //
A
B
C
D
m
Entonces: mAC = mBD ;
PROPIEDADES
T
mCT = mTD
m
L
1.
5. Si:
α
O
PA y PB
son tangentes y O es centro.
T
Si: L es tangente OT es radio
A
Entonces:
O
P α θ
Entonces: PA = PB B
;
α
=θ
GEOMETRÍA CICLO VERANO R r O
TEOREMA DE PONCELET En todo triángulo rectángulo la suma de las longitudes de los catetos es igual a la suma de las longitudes de la hipotenusaC y el diámetro de la circunferencia inscrita. Se cumple: a b
O1 O2 = R + r
O
1
2
Circunferencias Secantes R r O
O
1
R – r < O 1 O2 < R + r 2
a + b = c + 2r
r
Circunferencias Tangentes Interiores A
B
c
Nota Inradio : Radio de la circunferencia inscrita. Circunradio : Radio de la circunferencia circunscrita.
R
r T O
O
1
TEOREMA DE PITHOT En todo cuadrilátero circunscrito a una circunferencia, la suma de las longitudes de dos lados opuestos es igual a la suma de las C longitudes de los otros dos b lados. B
O1 O2 = R – r
2
Circunferencias Interiores
c a
R
Se cumple: a+c = b+d
r
O
D
A
O
1
O1 O2 < R – r 2
d
POSICIONES RELATIVAS DE CIRCUNFERENCIAS COPLANARES
DOS
Circunferencias Concéntricas R r
Circunferencias Exteriores O R r O
1
O
O1 O2 > R + r 2
EJERCICIOS PROPUESTOS 1. Circunferencias Tangentes Exteriores
En la figura mostrada, hallar “R”. A) 4
GEOMETRÍA CICLO VERANO
B) 5 C) 7 D) 6 E) 3 2.
En la figura mostrada, calcular “x”. A) 20° B) 40° C) 30° D) 50° E) 10°
3.
5.
A) 2 B) 3 C) 6 D) 4 E) 1 9.
En la figura mostrada, hallar “X” A) 55 B) 60 C) 65 D) 75 E) 45
En la figura mostrada, calcular “X” A) 10° B) 12° C) 15° D) 18° E) 10°
Calcular el perímetro de la región trapecial ABCD.
A) 22 B) 30 C) 28 D) 26 E) 23 8. En la figura mostrada, hallar “X” si: “O” es centro.
En la figura mostrada, calcular (a + b) A) 360° B) 450º C) 540° D) 270° E) 180°
4.
7.
10.
En la figura mostrada, hallar “X”. A) 45° B) 37° C) 30° D) 60° E) 53°
En la figura mostrada, hallar “X”. A) 3a - 2b B) 2b – a C) 2a - b D) a + b E) a - b 11.
6.
En la figura mostrada, calcular “x”, si “O” es centro. A) 80° B) 40° C) 45° D) 55° E) 60°
En la figura mostrada, calcular AB, si CO* = 4 O* y O son centros. A) 4 B) 8 C) 2 D) 12 E) 6
GEOMETRÍA CICLO VERANO
12.
En la figura mostrada, calcular “x” si: “O” es centro. A) 54 B) 36 C) 30 D) 50 E) 40
13.
E) 15
17.
A) 80° B) 60° C) 40° D) 50° E) 90°
En la figura mostrada, calcular “X” si “O” es centro.
18.
En la figura mostrada, calcular
m¼ ET
19.
20.
16.
B) 15°
C) 25° E) 30°
En la figura mostrada, calcular el perímetro de la región sombreada. A) 12 B) 6 C) 9 D) 18
figura
mostrada
hallar
x,
si
Según el gráfico, AB = 10 y AC = 16, calcular la medida del arco BEC. A) 74° B) 60° C) 53° D) 37° E) 65°
En la figura mostrada, calcular “x”, si ABCD es un romboide.
A) 20° D) 35°
la
A) 30° B) 60° C) 75° D) 45° E) 50°
.
A) 60° B) 45° C) 90° D) 75° E) 67,5°
15.
En
¼ ED + ¼ AM = 120 °
A) 50° B) 60° C) 90° D) 75° E) 120° 14.
En la figura calcular “x”.
En la figura mostrada, hallar mS BEC , si la relación de radios es de 4 a 1 y AB = BC. A) 18,5° B) 26,5° C) 14° D) 15° E) 12,5°
