GEODESIA FISICA APLICADA

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Geodesia Física Aplicada Tomo I INSTITUTO NACIONAL DE ESTADISTICA GEOGRAFIA E INFORMATICA

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Tomo I INSTITUTO NACIONAL DE ESTADISTICA GEOGRAFIA E INFORMATICA

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Secretaría de Programación y Presupuesto Instituto Nacional de Estadística, Geografía e Informática Informes y Ventas: Balderas No. 71, planta baja, Centro Delegación Cuauhtémoc 06040 México, D.F. Te!. 521-42-51 Insurgentes Sur No. 795, planta baja, colonia Nápoles, Delegación Benito Juárez 03810 México, D.F. Tels.: 687-46-91 y 687-29-11, ext. 289 Geodesia Física Aplicada Tomo I Dirección General de Geografía México, D.F. junio de 1984 ISBN 968-809-916-3

GEODESIA FISICA APLICADA

TOMO

Por Dr. Petr Vanicek

Traductor

M. en C. Rafael Sosa Torres DETENAL México, D. F. 1979

Departamento de Ingeniería Topográfica Un ivers idad de New Brunswick Fredericton, N. B. Canadá. 1971

NOTA DEL TRADUCTOR

Deseo dej ar constanc ia de que este trabaj o es en real idad resultado del esfuerzo que DETENAL está haciendo con el propósito de elevar el nivel de los conocimientos geodésicos dentro y fuera de la propia institución. Debe pues, agradecerse la disposición y el apoyo brindado por las autoridades de DETENAL, particularmente de aquéllas responsables del Area de Geodesia que al facilitarnos medios y personal, hi-cieron posible que estas notas vieran la luz del dta.

Se agradece profunda y sinceramente, la gentileza del autor Dr. Petr Vanicek, de la Universidad de New Brunswick, al permitir la traducción y divulgación de su obra en español.

El excelente trabajo de mecanografiado estuvo a cargo de la Srita. Blanca Estela Ibarra Cortés de la Oficina de Apoyo Vert ical.

También de la Oficina de Apoyo Vertical el Sr. Julio Bueyes Oliva tuvo la responsabil idad de trazar los diagramas y el arduo y paciente trabajo de escribir todas y cada una de las fórmulas que en estas notas aparecen. Mi sincero reconocimiento al Sr. Bueyes 01 iva por la alta calidad de su trabajo.

M. en C. Rafael Sosa Torres

C o N T E N IDO Pago

EL OBJETIVO DE LA GEODESIA FISICA.

2.

ELEMENTOS DE LA TEORIA DEL POTENCIAL. ••••••••.••••••••••••• 2.1.- CONCEPTO DE UN CAMPO DE FUERZA. ••.•••••••••••••••••• 2.2.- LA GRAVITACION DE NEWTON. •••• ......... .............. 2.3.- CAMPO DE GRAVITACION DE UN PUNTO DE MASA M. ......... 2.4.- CAMPO DE GRAVITACION DE UN CUERPO FISICO. •••••••••.• 2.5.- CAMPO DE FUERZA SOBRE Y POR ENCIMA DE LA SUPERFICIE DE UN CUERPO EN ROTACION. •••.•••••••••••••• 2.6.- NOCION DE POTENCIAL. ••••••••••••••••••••••••••••.•.• 2.7.- POTENCIAL DE UN PUNTO "ATRAYENTE". .................. 2.8.- POTENCIAL DE UN CUERPO "ATRAYENTE". ................. 2.9.- POTENCIAL DE LA GRAVEDAD DE UN CUERPO EN ROTACION .•••••.•••••••.•••••••••••.••••••••••••••••••• 2.10.- EL POTENCIAL COMO SOLUCION A LA ECUACION DE POISSON O A LA ECUACION DE LAPLACE .••••••.••.•.•••.• 2.11.- FUNCIONES ARMONICAS Y SUS PROPIEDADES ............... 2.12.- PROBLEMAS DE VALOR EN LA FRONTERA .••••••••••••••..•. 2.13.- ALGUNOS METODOS PARA RESOLVER PROBLEMAS DE VALOR EN LA FRONTERA. ••.•••••.•••••••••.•.•.••••..•• 2.14. - AUTOVALORES Y AUTOFUNC IONES. ... .. .. .. • .. .... .... .. .. 2.15.- EL LAPLACEANO EN COORDENADAS CURVILINEAS. COEFICIENTES DE LAME .••••••••.•••.••••••••••.•••..•• 2.16.- EL METODO DE FURIER APLICADO AL LAPLACEANO EN COORDENADAS ESFERICAS .••..••••••.••.••...••.•.... 2.17.- AUTOFUNCIONES DEL LAPLACEANO EN COORDENADAS ESFERICAS. ARMONICAS ESFERICAS .•••..•.•....•....•.. 2.18.- ORTOGONALIDAD DE LAS FUNCIONES ARMONICAS Y DESARROLLOS EN ARMONICAS ESFERICAS •.••••.••.••••••.• 2.19.- SOLUCION COMPLETA DE LA ECUACION DE LAPLACE EN COORDENADAS ESFERICAS ......•..•••.••.•••••.••••.. 2.20.- SOLUCION COMPLETA DE LA ECUACION DE LAPLACE EN COORDENADAS ELIPSOIDALES .•••.••..•.•••••••••..... 2.21.- SOLUCION A PROBLEMAS DE VALOR EN LA FRONTERA USANDO ARMONICAS ESFERICAS ......•...••...•.•........ 2.22.- CONEXION ENTRE LOS COEFICIENTES DE LAS ARMONI CAS ESFER I CAS Y EL CUERPO ATRAYENTE. • .. ... .. .. . . .. 2.23.- INTERPRETACION FISICA DE LOS COEFICIENTES DE ARMONICAS DE GRADO INFERIOR ......................... 2.24.- SUPERFICIES EQUIPOTENCIALES. LINEAS DE FUE~ ZA. .... .••.•.....••.. .•.•. .•••....•••..•..•.••......

3.

EL CAMPO DE GRAVEDAD TERRESTRE Y SUS APROXIMACIO- NES. . . . . . . . . • . • . . •. . . . . • . . . • . • • • • . . • •. . • . . • . . . • .• • . • . . . . . . . 3 . 1. - EL GE OI DE . . . . . . • • . • . . . . . . • • • . • . • . • • • • . • . • • . • • . • . • • • .

2

2 3 4

4 6

7 8 9 10

11 14 16

17 19

21 29 31 35

38 40 41 44 48

51

52 52

INEGI. Geodesia Física Aplicada Tomo I

1.

Pago

3.2.3.3.3.4.-

OBSERVACIONES SOBRE EL ESFEROIDE. • •••••••••••••••••. 54 POTENCIAL NORMAL Y POTENCIAL PERTURBANTE. • •••••••••• 55 LA ESFERA COMO SUPERFICIE DE REFERENCIA NORMAL. • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 58 3.5.- EL ELIPSOIDE ROTACIONAL COMO SUPERFICIE "NOE. MAL" DE REFERENCIA. ................................. 58 3.6.- LA GRAVEDAD "NORMAL" REFERIDA A LA SUPERFI-CIE ELIPSOIDAL DE REFERENCIA ••••••••••.••••••••••••• 60 3.7.- TEOREMA DE CLAIRAUT, PARA LOS APLASTAMIENTOS DE GRAVEDAD Y GEOMETRICO. • •••••••••••••••••••••••••• 64 3.8.- FORMULAS DE SOMIGLIANA PARA LA GRAVEDAD NORML.

3.9.-

. . • . . • . . . • . . • . . . . . . • . ••. . . . . • . •• • • . • . . • • . . • . . . . . ••• ••••••••••••••••. •••••• •••• •••• ••. •••••••••••

68

3.10.- DEFINICION DE: ANOMALIA DE LA GRAVEDAD; PERTURBACION DE LA GRAVEDAD; ALTURA GEOIDAL y DESVIACION DE LA VERTICAL. .. ........................ 3.11.- RELACION ENTRE EL POTENCIAL DE PERTURBACION y LA ALTURA GEOIDAL. SEGUNDA FORMULA DE

70

fv\A L.

BRUNS.


66

FORMULAS DE CASSINIS PARA LA GRAVEDAD NOR- -

•• • • • • • • •• • • • •• •• • •• • • • • • • • • • •• ••• ••• • • • •• •• • •

72

3.12.- ECUACION GRAVIMETRICAFUNDAMENTAL. .. ................. 3.13.- DISCUSION DE LA ECUACION GRAVIMETRICA FUNDAMENTAL. EL PROBLEMA MIXTO DE VALOR EN LA FRONTERA DE GEODES lA. ............................... 3.14.- EL GRADIENTE VERTICAL DE LA GRAVEDAD •••••••••••••••• 3.15.- SOLUCION AL PROBLEMA MIXTO DEL VALOR EN LA FRONTERA DE GEODESIA FISICA ••••••••••••••••••••••••• 3.16.- LA INTEGRAL DE STOKES. .............................. 3.17.- FORMULA DE STOKES. DETERMINACION GRAVIMETRl CA DEL GEOIDE ••••••••••••••.•••••••••••••••••••••••• 3.18.- ALGUNAS CONSIDERACIONES SOBRE LA FORMULA DE

73

STOKES.

75 77 81 83 86

• • • •• • • • • • • •• •• • • • •• .. • • ••• • • •• ••• • • • • • • • • • •• .

87

3.19.- LAS FORMULAS DE VENING-MEINESZ •••••••••••••••••••••• 3.20.- LINEAMIENTOS PARA LA SOLUCION NUMERICA DE LAS FORMULAS DE STOKES y DE VEN ING-ME I NESZ. • • • • •• • • •

89

ii

92

1.

EL OBJETIVO DE LA GEODESIA FISICA.

En Topografía tratamos con la determinación de la posición mutua de puntos. Cuando trabajamos en áreas pequeñas podemos confor-marnos con las relaciones medidas. Por 10 tanto la relación entre dos puntos puede expresarse como: P

p 1 -

2

En áreas grandes no podemos hacer 10 mismo. No somos capª ces de medir directamente las relaciones entre los puntos y tenemos que referirlos a un marco común que interrelacione a los dos puntos. De aquí que realmente hablemos entonces de la relación: p -

1-

Morco -

P 2

La descripción de tal marco y las relaciones entre los puntos y el marco es uno de los objetivos principales de la Geodesia. Usualmente en Geodesia, cierto tipo de superficie "próxima" a la supe.!:. ficie topográfica de la tierra, se elige como superficie de referencia que juega el papel del marco. Es deseable, por supuesto, que la supe.!:. ficie de referencia esté tan próxima a la superficie topográfica como sea posible de modo que los puntos individuales (cuya posición hacia la superficie topográfica puede medirse) puedan referirse a la superfl cie de referencia de un modo sencillo.

Cuando medimos las posiciones y relaciones entre 105 pun-tos sobre la superficie terrestre (y también por encima o debajo del punto superficial), estamos sujetos a toda clase de influencias fisi-cas del ambiente. Nuestros instrumentos obedecen algunas "leyes" y -"reglas" f is icas que debemos tratar de comprender para estar en pos ibl lidad de interpretar nuestras mediciones. Todos estamos conscientes de la fuerza de la gravedad; de la fuerza de Coriolis; refracción del aire; influencias de las variaciones de la temperatura; etc.; por nombrar algunas. Para los procesos estáticos· como son las observaciones ~ geodésicas - las dos influencias físicas más importantes son la .!:.efrac ción y la gravedad. Ambas cambian la geometría del espacio en que trª bajamos y por 10 tanto, deben estudiarse y comprenderse, tan claramente como sea posible. Dejaremos por completo el estudio de la refrac-ción _Este es uno de 105 temas en 105 cursos de Topografia_. Dedicar~ mos nuestra atención casi exclusivamente a la gravedad. La comprensión teórica del campo de gravedad. Su determinación y sus relaciones (relevancia) con las investigaciones geon~tri- 1 -


A la vez, por conveniencia de cálculo, queremos que la superficie de referencia tenga la forma geométrica más simple que sea PQ sible. Es concebible, desde luego, que la superficie topográfica no seria una buena referencia desde este punto de vista.

- 2 -

cas (que constituyen el tema principal de la Topografía) es el campo de la Geodesia Física. De aquí que este Tomo I será dedicado a dos ob jetivos principales: priIT~ro, obtener algo de comprensión y dominio del modelo matemático del campo de gravedad. Este tema se conoce como la Teoria del Potencial. El desarrollo del tema sera: El campo de gravedad terrestre y sus aproximaciones usadas en Geodesia. En la primera mitad de este Tomo deberemos aprender algo sobre las herramientas matemáticas usadas en Geodesia Física. El conocimiento de estas herramientas nos permitirá seguir en la segunda mitad el desarrollo de los conceptos clásicos, asi como determinar la relación entre el campo de gravedad y algunas de las superficies de referencia usadas en Geodesia.

2.

ELEMENTOS DE LA TEORIA DEL POTENCIAL. 2.1.-

CONCEPTO DE UN CAMPO DE FUERZA.

Donde, en una cierta área de nuestro espacio-tiempo, teng~ mos actuando algunas fuerzas físicas, describimos a menudo el área de interés por un Campo Vectorial, en vez de tratar con las fuerzas.


Por un campo vectorial entendemos una triada de números reales atribuidos a cada punto (dados por una cuarteta de números reales) de nuestro espacio-tiempo. Usando el Sistema Euclidiano de Coordenadas podemos representar gráficamente un campo vectorial, ésto es:

en cualquier punto de tiempo.

x Para hacer más fáciles las cosas, en Geodesia Física consl deramos a tod"s los campos vectoriales con que trabajamos como estacio narios, ésto es, que no cambian con el tiempo. Cualquier campo estacionario puede describirse completamefl

- 3 -

te por una función "f" de tres valores, usualmente denominados como: f·,

f (r) E R3 ;

(para describir las tres valoraciones) de los argumentos _Las coordeng das del punto en el espacio_o Estas tres coordenadas, números reales, pueden ser consideradas como coordenadas del radio vector del punto en cuestión. 2.2.-

LA GRAVITACION DE NEWTON.

El comienzo de todo fueron los resultados experimentales (observaciones astronómicas) de un astrónomo Danés - Tycho-de-Brahe -hechos en la segunda mitad del Siglo XVI. Estas observaciones constituyeron las bases sobre las que un astrónomo matemático Alemán, Johannes Kepler apoyó la formulación de sus famosas tres leyes que gobiernan el movimiento de los planetas alrededor del sol (a comienzo del Siglo XVII). De estas tres leyes experimentales el matemático y fisico Inglés, Isaac Newton, derivó su principio de gravitación (PhilQ sophiae Naturlis Principia Mathemati~a, 1687) que permanece hasta ahora como la piedra angular de la Mecánica Newtoniana. La formulac!ón clásica de este principio es: "La fuerza de atracción mutua de dos masas mi' m2' es proporcional a su producto e inversamente proporcional al cuadrado de su distancia". En notación vectorial:

l

=K

mi

. m2 p3

-

.p T = I

2

-

P =

K

mi • m2

p3

-

'P-

2

r - r . I 2

Donde -P: - P; son los vectores que unen las dos masas y están dirigidas en sentido contrario a las fuerzas f l , f2 • K es la constante de proporcionalidad llamada Constante de Gravitación (de Ne\.¡ton) . De una multitud de mediciones el valor de K fue determinado y el valor de -2

seg )

aceptado por un número de organizaciones científicas como la mejor aproximación conocida hasta la fecha. Aun se discute si el valor de K varia con el tiempo. ¡Nótese las unidades físicas de K!


f

- 4 -

2.3.-

CAMPO DE GRAVITACION DE UN PUNTO DE MASA M.

Podemos ver que el Principio de Gravitación de Newton es completamente simétrico: no hay preferencia por alguna de las masas. Sin embargo, por conveniencia, llamamos "atrayente" a una de las masas y "atraida" a la otra. Este nos permite formular el Prirr cipio en términos de un campo de fuerza (campo vectorial) como: f : K

..M- p. p3

comprendiendo que el vector f representa una fuerza ejercida por la_.--=:. masa M sobre una masa unitaria m. El vector res dirigido de M hacia m y no es sino el radio vector de m, si M está localizada en el centro del sistema de coordenadas. Este es un ejemplo de un campo vectorial radial (o central) donde todos los vectores apuntan de afuera hacia un punto M. En cualquier proyección bidimensional 10 veríamos así:


y se le llama Campo de Gravitación de un Punto.

Notese que en este caso no estamos interesados en los tos que m ej erce sobre M. 2.4.-

efe~

CAMPO DE GRAVITACION DE UN CUERPO FISICO.

Se estableció a través de experimentos que las fuerzas gr-ª vitacionales pueden sumarse en la misma forma que los vectores tridi-mensionales en un espacio Eucl idiano E~. De aquí que si tenemos dos masas M~, M~ actuando sobre una masa unitaria m podemos escribir para la fuerza gravitacional resultante:

f

M --~=f + f = K (- ~ P R. l, I 2 p3 I fJ3 2 I

2

- 5 Z

-

m

s iendo PI y P2 los vectores respectivos que unen a MI' M2 con m.

/.. P¡

Similarmente podemos escribir para un sistema completo de masas MI' Mz, .... , Mn:

,..'iX

n

n

1=¿ i=1

r¡

f,

I

--

¿

K

~

p,3

i= I

'p. I

y

M

- -;:1I 8=7 I I

I

es el rad io vector de Mi •

Nuevamente aquí no estamos iAteresados en la gravitación que actúa entre las masas individuales M" tampoco nos interesa el efecto de m sobre las MIs. I Si imaginamos un cuerpo físico con un área B de E3 , con una densidad ~ (~) atribuída a cada punto del área, entonces la masa &1 de una parte diferencial6B del cuerpo estará dada por el producto:

6M = 68, ~ (-;) ,

Podemos escribir entonces para el campo de gravitación de todo el cuerpo B:

- =- L f

K

B

~-p3

-P, ' --P= , dB .

r - r'

siendo -; el rad i o vector de 1 elemento dM. Note que aquí

~

es función de la pos ición del elemento dB

yP lo es de la posición del elemento y del lugar donde el campo está siendo investigado.


donde~(-;) es el valor de la densidad en un punto representativo de 6B.

- 6 -

2.5.-

CAMPO DE FUERZA SOBRE Y POR ENCIMA DE LA SUPERFICIE DE UN CUERPO EN ROTACION (CUANDO USTED ROTA CON EL).

Nuevamente, por experiencia se conoce que una rotación for zada de una masa m con velocidad rotacional (angular) w a una distan-: cia r" del eje de rotación empuja la masa hacia afuera desde _ el eje de rotación. La presión (Fuerza) tiene una magnitud de:

f = r" w 2 m. e

La expresión en forma vectorial para la como es conocida la presión anterior, es: fe

fuer~ª-centrifuga,

= w 2. m· -r"

Imaginemos ahora la situación cuando una masa unitaria es forzada a rotar sobre o por encima de un cuerpo B. Primero es atraida por la fuerza gravitacional del cuerpo y luego empujada hacia afuera por la fuerza centrífuga. La fuerza combinada resultante, conocida CQ mo gravedad es entonces dada por:

-


r'l

-

-

•

¡Nótese la diferencia entre r" y P! Estas son las dos fuerzas que experimentamos actuando so-bre un objeto estacionario sobre la superficie terrestre. Nótese que si: el objeto es atraido hacia el cuerpo, y si: el objeto es empujado (rechazado) del cuerpo.

- 7-

2.6.-

NOCION DE POTENCIAL.

El campo de fuerza es una representación muy Otil de un comportamiento físico. Sin embargo, la necesidad de conocer tres nOm~ ros reales (coordenadas del vector fuerza) para cada punto en el espacio es un inconveniente. Por esta razón es mejor adoptar una herramienta más simple para describir el marco físico. Una de las más simples herramientas es el potencial. La relación del potencial (campo escalar) al campo de fueL za (campo vectorial) se parece mucho a la relación de la función priml tiva a la función original en el análisis de la función real. Allí la función primitiva F (si existe) se relaciona con la función original a través de: F(X) =

f

jf

(X) dX;

d F (X)

dX

= f (X)

.

Aquí el porencial V (si existe) se relaciona con la fuerza por ecuaciones similares: V(;)=

jfe;¡ d~V(V(-;))= GradV(7i=f¡;j,

donde el operador V (o grad) es el equivalente vectorial del operador ~ en el anál isis ordinario. dX Hablamos de V como del .gQtencial de f

y de f

como el .9Lª

diente de V. Nótese que aquí ~ significa el radio vector (vector de PQ sición) del lugar donde estamos calculando el potencial (fuerza). En E3 ~ es simplemente (X, Y, Z) o como se escribe algunas veces:

= X-;I

siendo

¡, T ,k los

+

yj

+

Z_ k

vectores unitarios en los ejes coordenados.

Usualmente no es fácil integrar el campo vectorial para OQ tener, siempre que exista, su potencial. Nos lleva a las ecuaciones integrales, ya díficiles de por si. Por 10 tanto, usualmente trata-mos evitar estas dificultades de alguna manera. Si el potencial existe es suficiente mostrar que su gradiente es el campo vectorial original. En otras palabras, si a un campo escalar le encontramos un gradiente que sea idéntico con el campo vectorial original habremos enco~ trado el potencial. El potencial es la noción más importante usada en Geodesia Física.


r

- 8 -

2.7.-

POTENCIAL DE UN PUNTO "ATRAYENTE".

Podemos mostrar que el potencial de un punto atrayente de masa M está dado por:

V(;)=K~, r

considerando nuevamente que M está en el centro del sistema de coordenadas. Tenemos: VIV)=2JL.

+OV

ox T

ay]

+ QJL

az k

= QL I ª-r...

or

ox i

+ -ª.L + Oy T

=~ V Ir) Or

r = I X2

+y2 +Z2) 1/2 ~ ~

= -'- r- I . 2 X = X . r- I

aX

-ª-.L = y . r- I . ~ = z. ay , aZ

2 -1

r

Esto es:

v (r)

=

fl . r

Por otra parte:


ibL = De aqu ¡que:

KM

Or

VlV)

r- 2

= -K ~ ·7 3 r

la cual es la expresión para la gravitación de una masa M como se tra en 2.3.

mue~

Entonces:

V IV) =T

.

La que es condición suficiente y necesaria para que V sea el potencial de T .

-ª-'=-_ )= aZ

k

- 9 -

¡Nótese el signo de V! 2.8.-

POTENCIAL DE UN CUERPO "ATRAYENTE".

Similar a 2.7 se muestra que:

v(7) =

i ~dB,

K

B P

donde P = "7 _"7 ; siendor l el radio vector del elemento dM =O-d8 , es el potencial de un cuerpo atrayente B. 1

Tenemos: V (V) = V (K

f

pO- -dB)

=K

S

f

0--

V (_'_) dB_

P

8

Puesto que:

tenemos que:

p= (X-';)j y

p=

+(Y-7])T+(Z-~)k

[(X-~)2+ (Y-7])2 +(Z-~)2J ~2

Por lo tanto:

a -, ap

-1

\7

-

ap

P

donde:

~

ap

-2

a()

=- P ; ~ -

ax

aX

a

a

- + -p k - l + -p- -

aV

J

aZ

2 P d P = 2 (X - ~) dx

oP = (x-<.,)p; s::-I ax-

y cícl icamente:

ap

-1

oP

-1

- - =(Y-7]) p ¡ - = ( Z - { ; ) p

ay

aZ

Finalmente obtenemos:

y: V(V)=-K

J:

B

0--

-pdB=f,

p3

(Ver 2.4)


1

V(-)=v(p)=-(p)(---¡

- 10 -

La que es condición necesaria y suficiente para que V sea el potencial de f . 2.9.-

POTENCIAL DE LA GRAVEDAD DE UN CUERPO EN ROTACION.

La fuerza de la gravedad f está dada-20r la suma de la fuerza gravitacional con la fuerza centrifuga fc. Puesto que para un par de escalares A, B cualesqu iera 'V es un operador 1 ineal,

f9

'V

(A+B) ='V (A)

+ 'V (B),

podemos tratar de encontrar el potencial de la gravedad en términos de la suma de dos potenciales: el correspondiente a la gravitación y el de la fuerza centrífuga. Llamando V al primero y W al segundo, podemos escribir:

Ya conocemos V con 2.8 por 10 que el problema se resuelve encontrando W. Puede demostrarse que: _

I

2

"2 ' r"

W ( r )

2 W

(note que

-;:,,,-;:. (7) )

es el potencial de la fuerza centrífuga. r" es la proyección de en el plano perpendicular al eje de rotación. Tenemos:

r

r"" reos a •


Poniendo por conveniencia, el eje Z, coincidente con el eje de rotación (10 que no está en detrimento de la generalidad del tratamiento), obtenemos:

-;=

X· +y. +Zk I J

r"" X.

I

-

+ Y.J + O k

y:

2 \7(r")

=2

r"

X Y (-·i+-·J)z 2 -rOl r r 11

11

Por 10 que:

'J l W) = w 2r -JI

"

fe-

- 11 -

Por 10 tanto, el potencial de la gravedad de un cuerpo en rotación Bes:

u=v+w=

1<18 ~dB+ P

_1_w 2 2.

r~

De un vistazo a esta última fórmula nos convence que ~ primer término decrece con?al alejarnos de la superficie de B, mien-tras que el segundo término aumenta con r". Por 10 tanto, debe exis-tir un lugar donde: fe

=-

fg

(Este es actualmente el lugar donde son colocados los satélites esta-cionarios, en el caso de la tierra). Note que la integral ha ganado una singularidad en el punsi éste está dentro o por encima de la superficie del cuerpo B. Entonces el del mismo punto se convierte en cero y la función integrada se va hasta el infinito. Tambi¿n podemos notar el mismo fenómeno con la fuerza gravitacional.

~

Esta es una propiedad muy desafortunada. Mostraremos ahora que el problema de encontrar el potencial apropiado puede transformarse a un problema de valor en la front~ ra, en derivadas parciales. 2.10.- EL POTENCIAL COMO SOLUCION A LA ECUACION DE POISSON O A LA ECUACION DE LAPLACE. Como sabemos de Anál is is Vectorial, la "primera derivada" de un campo vectorial r, llamada también divergencia de r, se expresa como:

Vo

Donde Vo es el volumen del espacio abarcado por la superfl cie S y Fn es la magnitud del vector Fn que a su vez es la proyección de F sobre la normal a S. La integración ~ es obtenida sobre toda la su~erficie cerr2 da S. E 1 término: Fn .ds


\l (Fl = dlv F = lim VO- o

- 12 -

Vm

a menudo es llamado el flujo deF a través de dS. Si en r el es positivo, hablamos de una fuente enr; si es negativo se le llama anti-fuente (hundimiento). Para simplificar tomaremos a S como siendo la de

~na

esfe-

L2 (puede demostrarse que la forma de S es irrelevante, yen el limite

obtenemos siempre la misma respuesta) y preguntarnos ¿Cuál será la diyergencia de un campo gravitacional? Obviamente, la masa abarcada por S será: M = u.Vo

siendo u la densidad de la masa dentro de S. Esta masa radiará (o aQ sorberá según el caso) la fuerza gravitacional:

F=-(~)r r3

cuando, por simplicidad, localizamos a S en el centro del sistema de coordenadas. Obviamente, esta fuerza será normal a S en cualquier

luga~

de modo que: Fn = -

CT

~. K r2

Por 10 tanto: IJ. Fn ds = 71's

=-

4rr

l= -4KrrCTVo

y:

viF) =lim ( - 4 KrrCTVo) =- 4KrrCT Vo-o

(ant ¡-fuente)


Esta ecuaci6n de divergencia es vál ida para todos los puntos en el espacio. Podemos notar que ~ (~) depende del valor de Si tomamos un cuerpo físico B con densidad cio con densidad cero, obtenemos:

__L=

V( F ( r)) = ~

4rrKU; 4rrK

O;

rE B

2= -

2rrKa- i

en un espa--

excepto en la superficie de B

7"

•

en la superficie de B

r/B

Echemos ahora un vistazo sobre b ir:

CT

-

V(F) mismo.

Podemos escr1

=V . F (producto esca lar)

- 13 -

(producto escalar) • Pero hemos aprendido que: F=V(V)

siendo V el potencial de F.

De aqui que:

-

a al

i al

i al

2 V(F) =V'(V(V»= _V_+_V_+_V_ =6(v).

Aqui:

es un operador diferencial de segundo orden. rador de Laplace (Laplaceano).

Es conocido como el ope-

Poniendo estos dos resultados juntos concluimos con las ecuaciones diferenciales parciales para V: en 8 • sobre lo superficie de B • fuero de 8 •

6

(V)

= h (7) t O

I

siendo h una función conocida. La última ecuación:

6(v) = O es conocida como la ecuaclon de Laplace. Estas son las dos ecuaciones diferenciales fundamentales de la teoria del potencial. Hemos aprendido ya que el potencial de gravitación en o SQ bre la superficie de un cuerpo físico debe satisfacer la ecuación de Poisson. La ecuación de Laplace es válida fuera del cuerpo.


Las dos primeras son conocidas como ecuaciones de Poisson, teniendo la fórmula general:

- 13

I

_

Veamos ahora qué ecuación diferencial es vál ida para el PQ tencial de la fuerza centrífuga. Colocando el eje Z sobre el eje de rotación del cuerpo podemos escribir:

Por ot ra pa rte :

Pero

= 2 +2+0 :: 4


Concluimos que puesto que:

b.r"

2

=4

en este particular Sistema de coordenadas, también vale 4 en cualquier sistema de coordenadas que se tenga y por lo tanto tenemos:

- 14 -

Note que nuevamente 6 6(A+B)

es un operador lineal de modo que:

= 6lA)+6lB); 6(kA)= k.6(A),

para cualquier par de funciones A, B Y una constante k. Debemos notar que el potencial gravitacional externo del cuerpo atrayente satisface la ecuación de Laplace. El potencial debido a la gravedad no: este potencial tiene que satisfacer la siguiente ecuación de Poisson:

donde solo

~

es función de posición.

En todo el espacio U tiene segundas derivadas discontinuas solamente en los puntos (superficies) donde ~ (7) es discontinua: SQ. bre la superficie del cuerpo, o dentro de él si tiene densidad discontinua (capas, áreas, puntos). U mismo es continuo a través de todo el espacio. 2.11.- FUNCIONES ARMONICAS y SUS PROPIEDADES. Las funciones que en un área A satisfacen la ecuación de Laplace son llamadas Armónicas en A. Por ejemplo, la gravitación de un cuerpo atrayente es una función armónica fuera del cuerpo. Cualquier función armónica tiene las propiedades siguien-tes: Tienen los valores maxlmos y mínimos en el límite de cualquier área cerrada: B c:=

A,

los valores dentro de B serán menores que el máximo y mayores que el mínimo. ii).

Es analítica en todos los puntos de A: tiene derivª das de cualquier orden.

iii).

Se presta a la inversión esférica. Esto significa que si V(ir) es armónico dentro (o fuera) de una e~ fera unitaria, entonces: I --+ r --V(R)·donde R=-r'

r2

es armónico fuera (dentro) de la misma esfera a medida que la esfera se transforma a si misma (es decir, hablamos de una esfera unitaria con centro en


i).

- 15 -

el origen del sistema de coordenadas). dad se general iza para cualquier:

Esta

propi~

B= A,

con la consecuencia de que B también se invierte. iv).

El valor de V (armónico dentro de culado en el centro de la esfera, dia de todos los valores sobre la que si la esfera está centrada en un radio R, tenemos: I y ( -O 1 :o --247TR

v).

§

s

una esfera), cales igual a la meesfera. De aqui el origen y tiene

-

y ( r ) ds

La propiedad más importante ha sido establecida por el matemático Francés Dirichlet, y dice que los valores de una función armónica sobre una superficie de limite cerrado determina una y solamente una fun ción armónica dentro del limite. Esto, consecuent~ mente, es conocido como el principio de Dirichlet. Se ha demostrado que la correspondiente función armónica existe siempre si la frontera es suficientemente suave, es decir, que tenga un plano tangente de variación continua, y si la función armónica tiende a desaparecer en el infinito (cuando el área se considera infinita).

Establezcamos la prueba del principio de Dirichlet, 10 que es lo más fácil de hacer: sea B un área finita con frontera S. Supongamos que existen dos funciones armónicas V, W, que pueden tener los mismos valores sobre la frontera S. De aqui que:


U=Y-W,

también función armónica debido a la linealidad del operador !J. , debe tener un valor en la frontera igual a cero. Pero, de acuerdo a la prL mera propiedad de las funciones armónicas, ambos, máximo y mlntmo, existen sobre la frontera. Puesto que para U ambas son cero, U debe ser cero dentro de B. De aqui que: Y-w=O, Y=W,

lo que concluye la prueba. Mencionamos aquí que:

~(7) = --=--'- (47Trl

es conocida como la función ~rmónica fundamental o solución fundamen-tal de la ecuación de Laplace. Más tarde se mostrará su uso.

- 16 -

2.12.- PROBLEMAS DE VALOR EN LA FRONTERA. El principio de Dirich1et asegura que es posible resolver la ecuaclon de Lap1ace si conocemos los valores de la función buscada sobre la frontera de una cierta área. El problema de encontrar la fun ción armónica que pueda satisfacer ciertas condiciones en la frontera es llamado un problema de valor en la frontera. Existen tres tipos de estos problemas el primero, debido a Dirich1et, y con cuyo nombre seconoce, es expresado en el principio de Dirich1et. Se le puede defi-nir como: dados un área de interés y los valores sobre las fronteras del área de la función armónica V, buscada, encontrar la función armónica V dentro del área. Esto significa que se tiene que resolver la ecuación de Lap1ace 6v =0 conociendo el valor

v (7) ,7 €

s

donde S es la superficie de frontera cerrada del área de interés. E1problema tiene solución Si y solamente si las condiciones del princi-pío de Dirich1et son satisfechas. El segundo problema de valor en la frontera se debe a Newman; difiere del primero en que en vez de conocer v(7) conocemos sobre la frontera a:

~ On

(r),7ES

la Qerivada de la función a través de la normal n a la frontera S. PQ ra que el segundo problema tenga solución en un área dada es necesario que: ,f(

-.1:L. ds = O

'JJs On

div \lV= O

Esta, junto con las condiciones del principio de Dirich1et son suficientes para asegurar que el problema de Newman tiene solución. Hablamos de tercer o mixto problema de valor en la frontecuando sobre la superficie S se da una combinación lineal de los primeros dos:

IQ

f (7) = el

v

(r)

+

C2

OVI7i

dn

r € 5 •


Esta condición surge inmediatamente de la condición de que V es armónica dentro del área, ya que:

- 17 Note que junto a las consideraciones del principio de Dirichlet también debe satisfacerse:

~s

f

(7)

necesa r i amente: (C

ff

ds= C I

~s vCr-)

ds

ov (r) . ds =O)

on

2.13.- ALGUNOS METODOS PARA RESOLVER PROBLEMAS DE VALOR EN LA FRONTERA. Existen muchas formas para resolver probiemas de valor en la frontera. Por nombrar algunas, podemos usar p. ej. el cálculo operacional (transformaciones de Laplace, de Fourier y otras), métodos de anál isis funcional, transición a ecuaciones integrales, método de Green, método de Furier o métodos numéricos. Todos están interrelaciQ nados de una manera o de otra y adentrarse con ellos tomaría una gran cantidad de tiempo. Solo tocaremos brevemente el método de Green dedl cándole mayor tiempo al método de Furier, que es el más adecuado y por 10 tanto más popular en Geodesia Física. El método de Green, como se aplica al problema de Dirichlet para el interior de un área A, consta de dos etapas:


i).

Primero, tratamos de encontrar la función de Green en la forma:

donde r', r € A, ~ es la solución fundamental de la ecuación de Laplace (Ver 2.11), y V, armónico en A, es función der' para cualquier r fija. Además, G sobre la frontera debe ser iqual con cero, es de-cir, V = -S . Por lo tanto,"podemos ver que G es solamente función de la forma de A. Generalmente es muy difícil encontrar G para una A específica. i i).

Una vez que la función de Green es conocida, la soly ción al problema interno de Dirichlet se da expl icitamente por:

v ( r' dG

OG Vs (- r ) ds a;;-

donde On es el gradiente sal iente de G sobre la frontera S y Vs es el valor de frontera de V. Note que en la integración ~ es solo una variable -

- 18 -

aux i1 iar. Para el problema externo tenemos que usar la inversión esférica. También puede usarse el método de Green en una forma ligera-mente diferente para resolver el problema del valor en la frontera para la ecuación de Poisson. El caso especial de la solución de Green para la esfera de radio R es conocido como la integral de Poisson. V(~)

2

2

=__R_(_r_'-_R__) __ Ií 47T

donde lJt

)fs (r2

V(R,8, A)

+R2

d

- 2R r coslJt r/2 s

es el ángulo esférico entre r l y r.

El método Furier se basa en un principio enteramente diferente. Busca la solución de V (X, Y, Z) en términos del producto de tres funciones independientes:

v (X,Y,Z)

= X\x.)

y(y)

Z(z) ,

o, como algunas veces le llamamos, se busca la separación de variables. El desarrollo nos lleva a tres ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden separadas: 1.-

Suponemos primero que:

v (X,Y,Z) =

XIx)

4>

(y,z)

y:

2.-

Aun cuando el lado izquierdo de la ecuación anterior es solo función de x mientras que el otro lado es func ión de y, z, ambos lados deben ser constantes (obviamente no pueden variar porque si lo hicieran, -


Por lo tanto:

- 19 -

variarían independientemente y la ecuación no podría ser sat isfecha). Por lo tanto:

cp-, (a-
-, rlx

2

X

a/

o, como usualmente las escribimos: 11

X -

e, x = o

"",1/ I

~yy

~/f ~ +~ zz + C1 ~ =o

Así, hemos separado ya la primera variable X. 3.-

Si ponemos:

cp

(y,z)

= Y(y)

z(z)

entonces la segunda ecuación se convierte en: Zyl/ + YZ" + C, YZ =0


Apl icando el mismo argumento que en (2) obtenemos:

La ecuación diferencial parcial original es entonces dividida en 3 ecuaciones diferenciales ordinarias. Cualquier solución de estas tres ecuaciones (para CU2 lesquiera valores de CI , C2) que satisfaga las condl ciones en la frontera, es a la vez la solución del -problema del valor en la frontera. 2.14.-

AUTOVALORES y AUTOFUNCIONES.

Las tres ecuaciones diferenciales ordinarias con que terminamos con el método de Furier pueden o no tener solución para valo-res arbitrarios de las constantes C, , C2 sobre la frontera prescrita. De hech~casi todas las ecuaciones diferenciales ordinarias conqueten~

- 20 -

mos que tratar, son del tipo de Sturm-Luiville (caso especial de ecuaciones diferenciales con propia-adjunta), que solo tienen solución para algunos valores particulares de las constantes. Estos valores son conocidos como autovalores de la ecuación en cuestión. La ecuación de Sturm-Luiville usualmente es escrita como:

+ A Py = O

( K y' 1 - q y

donde Y es la función desconocida de X; K, P , son algunas funciones positivas de X conocidas; q es una función no-negativa de X conoci-da; A es un número real. Además, P , conocida como la función de peso, se requiere que este previamente definida. Puede demostrarse que tal ecuación tiene solución para:

para un infinidad de valores de A (autovalores), todos ellos no-neg-ª tivos. Cada valor particular de A , digamos At da una y solamente una solución particular Yi de la ecuación. Estas soluciones (funciones) son llamadas autofunciones de la ecuación. Existe por 10 tanto, una infinidad de diferentes autofunciones para'cualquier ecuación de Sturm-Luiville. puedt pr~arse que ellas crean un sistema ortogonal de funciones sobre a, ~ con peso P Por 10 tanto, tenemos:

lb

Yi(xl

YJ (x)

p(X) dl(

= Ni 8¡j

a

Ni

=

l

b 2 Yi (X)

P (X)

dl(

a

es conoc ida como 1a 8ij

.!:lQ..[!I@.

es la

de Y¡ 8

de Kronecker.

Para K(X) = 1; q(X) = O Y P (X) = 1 sobre [a, bJ , laEjemplo.ecuación de Sturm-Luiville representa la ecuación del movimiento armónico. Para sus autovalores obtenemos: 411'"2 Ai = _ _ _ _ _ ¡2, i = O 1,2, . . ( b-a)2


donde:

- 21 -

Sus autofunciones son:

cos (Ai X),

sen

(fi

x)

1

i = O, 1,2 .. '

Como sabemos, cualquier conbinación 1 ineal de las soluciones particulares que satisfaga las condiciones en la frontera es la SQ lución de nuestro problema de valor en la frontera (unidimensional). Ya que estaremos trabajando extensamente con autofunciones, mostrare-mos que este concepto tiene importancia básica en Geodesia Física. Nótese que las tres ecuaciones diferenciales ordinarias rivadas en 2.13 son del tipo de Sturm-Luiville.

d~

Hasta aquí hemos estado trabajando con coordenadas Eucl i-dianas comunes X, Y, Z. Sin embargo, ellas no son las más apropiadas para los propósitos geodésicos cuando se trata con el cuerpo terrestre, el cual es aproximadamente esférico o elipsoidal. De aquí que en estos casos sea más fácil manejar las coordenadas esféricas o el ipsoidales. El cambio a estos sistemas será el tema de los capítulos si- gu ientes. 2.15.- EL LAPLACEANO EN COORDENADAS CURVIL1NEAS. TES DE LAME.


Coordenadas Curvilíneas: s istema de coordenadas cu'rvi 1 íneas ( cada punto (X, Y, Z) tenemos:

LOS COEF1CIEN--

Decimos que hemos definido un ql q2 q3 ) en E3 si para

es decir, si podemos expresar cada q como una función de (X, Y, Z) y vi ceve rsa, todas 1as X, Y, Z como func iones de q. Por lo tanto, se requiere la relación uno a uno entre ellos. I

- 23 -

Ejemplos: 1.-

Coordenadas Esféricas.

Z

p

y

/ /

/

/ / /

x sen 8 eos

A. .

y = r sen 8 sen \ . Z=reos8.

r

= (X 2 +y2

+i) ~ 2

.

8= Are tg

[ (X ;y2)Y2 ] .

\=

(l)

Are Ig

X


x= r


- 22 -

LINEAS DE COORDENADAS EN UN SISTEMA CURVILINEO

- 24 -

2.-

Coordenadas El ipsoidales.

Este sistema requiere que la distancia focal del sistema sea dado de antemano.

v \

z

\ \ \

, \ \

sena

, \

Z~~r-~--------/~p

" ""

""

---f"------'--+---'--.1--.., X,V ESFERA

x

x = (u 2 + E 2..!... ) 2 sen e =

z=

+ E2

u cos

I

)"2

sen

e.

A = Are

tg

e= Are

cos (l/u)

e

A . sen A •

cos

(y IX)


Y

{u 2

- 25 -

Estos sistemas son ortogonales localmente. Coeficientes de Lamé: ,definidas como:

q

Las funciones Hi

de

3 Hi

M, M + LlMi

= lim

donde M, M + LlM¡ puntos:

, i = 1,2,3

Llqi

Llqi-O

es la longitud de la linea

M=M(q,q ,q) 1 2 3

,

qi

que conecta los dos

M+LlM= M(q +Llq,q ,q) 1 1 I 2 3 M +6M2 = M (ql ,q2Llq 2' q3) M+LlM 3 =M(ql,q2' Q3,LlQ3)' O

graficamente:

\

~-""~\----......

Q,

M( ql +LlQI ,Qz, Q3)

q3


M(QI,Q2,Q3· LlQ 3)

son conocidas como Coeficien-tes de Lamé.

- 26 -

Ej emp 10:

Para coordenadas _1

Hr - 1m 6r _ O

esféricas~

estos son:

~ =

MlrB)...), M(r+6r,tt,>")

=

6r M(rB'A} M(r,B,6B,'A)

" 6r m-O 6B

11m

1

= 11m _r__ = r

68-0 6B M(rB'A}, M (r,B,'A,+6A)

_:.-...::..~~.:..-:.:~..:..:.!.~~--

H'A=l1m

6A- O HA= r sen B

6'A

= 11m 6'A-0

z

r

/ /

V/

/

I

I

x


~--------+----~-------~y

- 27 -

Problema: das elipsoidales.

Derive los Coeficientes de Lamé para coordena--

Nótese que para el sistema X, Y, Z, todos los HI

son

igu~

les con 1. Es evidente que usando los coeficientes de Lamé podemos presar el incremento diferencial dSI a 10 largo de las 1 íneas de coordenadas individuales q¡ como:

e~

dSi = MM+dMi=Hi dqi

Las derivadas de cualquier campo escalar a 10 largo de estas lineas están dadas por:

-af- = - aSi

af aqi

Hi

de modo que para el gradiente de f en coordenadas curvilíneas podemos escribir: 3

'7f=¿ i=1

_1 Hi

af

ei

aqi

Similarmente, tomando el volumen diferencial:


dV=7r dSi =7r Hi dqi ,

i

podemos derivar la expresión para la divergencia de un campo vector ial :

a(tI

-1

HI 7ri HJ ) aqi

- 28 -

Considerando que:

6f='l'lf, obtenemos para el Lap1aceano:

L'lf=(7r ¡:jI) I i

i

.

I-O-IH~

aq.

I

I

17T H·) ¡:j.1

I

J'

I

)

~)) Oq¡

=

ti. l ) I I -O-I7TH).) H.2~) I i aq . ) · I Oq¡ I

=17T i

Ej emp 10: Se obtendrá el Lap1aceano en coordenadas esféricas simplemente sustituyendo Hí obtenidos previamente:

= r 2 sen8

+

~) +~ l ~sene

I r 2 sene

Or (2r sen

I

sen r

e

.:l

_u_f_

Or

af

a>.. ))

af + r 2 sen e Or if + cos e oe af + sen e e a;2

02!

-~,----

6f :. ~

ae

2 r

0>..2 +

02

~

Or2

+

cote

_~_ r2


L'lf=

- 29 -

Problema:

Derive el Laplaceano en coordenadas el ipsoida--

les. 2.16.- EL METODO DE FURIER APLICADO AL LAPLACEANO EN COORDENADAS ESFERI CAS. Tomando el Laplaceano en coordenadas esféricas tal como se derivó en 2.15 busquemos la solución de f en la forma siguiente:

f(r,e,")

= R(r) Y(e,>..).

Obtenemos: .::.2f u'::'f dR I U 11 ¡-=-d-r-Y=RY, =R Y,

o/

af

ay

.::.2f U

a2y

a¡¡-=Ra¡j' ae 2 =R oe 2

Sustituyendo estos valores en la ecuación de Laplace obtenemos:

6f=_2_R/Y+R'IY+

cote

ay

-r-2- Rae

2

I

+7

R

ay ae2 +

r2sen2e


Multipl icando esta ecuación por r~/(R y)

R'

6f= 2r - R

sen 2

nos da:

e

Por 10 tanto:

- I (2 r R' +r 2 R ,,) ::- -J - (cot R

y

2 e-ay ta-2 -y +--. _0 Y ) oe oe2 sen2e 0,,2 J

= C, :: Constante

- 30 -

y

as! hemos separado la primera variable r en la ecuación:

r 2 R fI

+2r

R' - C R I

= O -- - - -

(1)

Las dos variables restantes 8

,>-.

,deben satsifacer-

la ecuación: _ coton 8 ay

a8

+ a2 y

a8 2

+señ 2

a2 y

a>-.2

+ CI y =o ------ --- (21 •

Busquemos de nuevo la sol~ción de (2) en términos de un producto de dos funciones independientes de T y L:

Y(8,>-')=T(81 L(>-') Tenemos:

a>-.

TL"

Las que son sustituidas en (2) para obtener: Coton 8 T'L + T"L + se-¡.,2 8 Tl' +

cl TL = O

2 Multiplicando esta ecuación por sen 81TL 2 2 sen8cos8 T'/T+sen 8 T"/T+L"/L+C I sen 8=O

obtenemos:

I


~= nI,

- 31 -

por lo tanto:

1

2

~'

2

Tlsen eT"+senecoseT') +Clsen e=-L=const=C2

y podemos concluir con:

2 2 sen eT"+senecoser'+lC sen e- C )r=o------- l2') 1

L"+LC=O 2

2

l 2")

(2")

e,

Cualquier función de r, ~,que puede satisfacer las tres ecuaciones (1, 2', 2") Y satisfacer también las condiciones en la frontera es la solución de nuestro problema de valor en la frontera (formulado en coordenadas esféricas). 2.17.- AUTOFUNC10NES DEL LAPLACEANO EN COORDENADAS ESFER1CAS. ARMON1CAS ESFER1CAS. Para ver para cuales valores de CI y C2 las tres ecuacio-nes tienen solución, tomaremos primero la última ecuación. La ecuación (2") es obviamente la ecuación del movimiento armónico_ Por 10 tanto, de acuerdo con 2.14 las autofunciones de (~,) son:


cos l~~) , sen lA~), m = 0,1,2, ------ •

El intervalo que define a ~

Por 10 tanto, los autovalores son:

lC 2 =lMm

m" 0,1,2, ________ _

y las autofunciones pueden ahora escribirse como:

cos mA,sen mA, m= 0,1,2, ______ _

- 32 -

Por lo tanto, cualquier combinación 1 ineal de estas funciQ nes trigonométricas satisface la ecuación (2"). La ecuación (2 1 ) es un poco más difícil de tratar. ejemplo, puede resolverse por sustitución:

Por

e

1 = cos

Obtenemos as í : cos1, 1E [-I,IJ

e=arc

Más aún, obtenemos: T(

e) :: T( a re

dT

dT

dI

de

dt

de

I

cos t) , T :: - - :: - -

T"::_d_(~~)=~( dT )~ + dT _d_ (~):: T"::

.!L.L dt

de

dt

2

2

(J!L)

2

de

+...Q.L

de

dt

dT

Llamando

d1

d1

,y

¡ __,_ de 2

de

dI

de

de

TttI'

y estableciendo que: dI

- - = -sene de • Obtenemos: sen2 el TI~ sen 2

e - T,' cos e )+ sen ecose ~' l- sen e )+l CI seJ e - C2 )

T=O


de

- 33 -

Esto se reduce a:

Sustituyendo t por cos8

y (1-t2fz.

por sen 8 .

Obtenemos:

o, como usualmente se escribe:

2 (1- t ) T" - 2t TI tt t

+lC 1

-

~ ( 1_ t 2 )

) T =0

YEsta ecuación es conocida como ec~ión de L~ndre de or2 den C2 Tiene sentido tratar de encontrar soluciones solamente para los valores de C para los que (2") tiene siempre solución, es de2 cir, para:


De aquí que:

(l-t 2 )T"-2tT' tt t

2

+ lC - -m-2- ) I

(1- t )

T=O

Puede verse que la ecuaclon de Legendre, también es del po de las de Sturm=Luiville, particularmente cuando escribimos:

~L

- 34 -

Obviamente aqui: 2

K=ll-t ), q=

m2

¡-:=f"2' p=

1, tEl-I,I)

10 que satisface los requerimientos de la ecuación de S.-L. Puede demostrarse que sus autovalores son:

con las correspondientes autofunciones: m

_d_ _ p lt) dlm n

donde: Pn l t) = --'--,ni Zn

Cualquier combinación 1 ineal de estas funciones asociadas de Legendre es solución a la ecuación (2 1 ) . Por 10 tanto, cualquier combinación 1 ineal de las funciones trigonométricas con las funciones asociadas es una solución a la ecuación (2) de (2.16). Podemos escrib ir:

ro

¿

y l8, A) = [lAnmCOS mA+ Bnmsen mA) m=O

~mlcos 8)]

n>m

donde Anm, Bnm son constantes arbitrarias. La expresión anterior también puede escribirse en la forma siguiente:

ro

Y=¿ n= O

ro

n

¿ n= O m:lO

Ynm =

n

¿ ¿

n=O m= O


Las funciones Pnm son conocidas como funciones asociadas de Legendre (polinomiales) de orden "n" y grado "m", entanto que Pn se conocen como polinomios de Legendre (funciones). Estos últimos solo son el caso especial de las primeras para el grado cero.

- 35 -

Las funciones Yn, Ynm, Cnm, Snm, son todas llamadas armóni cas esféricas (de superficie). No es difícil ver para una esfera de radio r constante = K), tenemos:

R(a)

ro

a (tenemos

ro

f(o,8,A)=K I Yn=I Yn, n= O n= O

Yn=KYn

De aquí que la solución de la ecuación de Laplace sobre cualquier esfera está dada por una combinación lineal de armónicas esféricas. Por 10 tanto, las armónicas esféricas son autofunciones del Laplaceano sobre cualquier esfera. El estudio de las funciones asociadas de Legendre, así como de las funciones de Legendre de segunda clase se deja al lector interesado. Se le recomienda: W. A. Heiskanen & H. Moritz: Physical Geodesy. 2.18.- ORTOGONALIDAD DE LAS ARMONICAS ESFERICAS y DESARROLLOS EN ARMONICAS ESFERICAS. Hemos visto en 2.14 que cualquier par de autofunciones con peso p de una ecuación de Sturm-Luiville es ortogonal sobre el inter. valo apropiado. Por 10 tanto, las funciones cosmA senmA, son ortogona les sobre [- 7T,7T ) con peso 1 Tenemos:


para cuando

ep

sea

seno

, o coseno) y:

/271", i=O Ni=/ ----7T, i;t"O

La integral es, por supuesto, s,iempre cero si no son ambos indistintamente coseno o seno.

epi

epj

Por otra parte, las funciones Pnm son ortogonales sobre para 8 con peso 1 ( (-1 , I ) para t}. Nuevamente puede demostrarse que: [O,7T)

- 36 -

1T

I

J

Pnm(t) Pkm(tldt=

-1

= Mnm

10

Pnm(cosB) Pkm(cosB) senB dB

onk,

donde:

2

Mnm=---2n+1

(ntm)

!

(n-m)!

Por 10 tanto, cualquier par de funciones:

cpnm

cpm (A)

donde

(B,A) = cpm (A) Pnm (cosB)

sea cos m Aósen mA, son

ortogonales en el área:

Tenemos:

f

A

ep

nm

(B,A)CPn(8,A)d k~ A

sen8 dAd8 =

=f1TJ1TcP. (A}P (coSB)cp~(A)Pkn(cos8). O -1T m nm ). }.

P. • (cosB) Jo(1Tn(cosB) m. k p

sen 8

dB· ¿1T (1T,+..'t'm (A) epilo (A.) dX.= Mn 8nk Nnm 3m¡..0=


Con peso igual a 1.

- 37 -

=M

8 =/ N 8 nm no nk ml~

41T

(n+m)!

2n+1

(n-m)!

~ 2n+1

(n- m)1

8 nk

!n+m)!

8m~'

8 nk 8

mi

m

, m#o

cpnm

Nótese que dividiendo las funciones

(M

=°

entre:

nm

el sistema se convierte en ortonormal. Las funciones:

son ortonormales; es decir:

Dada cualquier función integrable h( 8,A), definida sobre A, podemos desarrollarla en series bidimensionales generalizadas de


Four ier:

ro h

l8, A) =

n=o

ro

n

¿ ¿ m=o

CnmCPnm (8, A 1

=

¿

n=o

donde los coeficientes Cnm están dados por:

Yn

I

- 38 -

~

Se usa en vez de que ser cerrada en este desarrollo.

Jl.

a propósito porque A no tiene

Nótese que una superficie esférica es una de tales áreas A Y que cualquier función definida sobre ella puede por lo tanto, des~ rrollarse en series de armónicas esféricas sin ninguna conexión con la ecuación de Laplace. Si sucede que la función h sea el va~or en la frontera de un problema de valor en la frontera, entonces: R(r)

h(8,A),

es la solución del problema fuera o dentro de la esfera para la cual h es conocida.

2.19.- SOLUCION COMPLETA DE LA ECUACION DE LAPLACE EN COORDENADAS ESFERICAS. Hasta aquí hemos establecido que cualquier combinación 1 ineal de las armónicas esféricas de su~erficie es una solución a la ecuación (2) de 2.16. Para completar la discusión del método de Fourier apl icado al Laplaceano en coordenadas esféricas, tenemos que encontrar la solución de la ecuación (1) de 2.16. Hemos aprendido que la ecuación (2) tiene solución solo p~ ra: el = n(n+I),n=m, m+I .. ________ •

Esto debe tenerse en mente cuando se resuelva la ecuación (1), 1a que camb i a a:

Esta se conoce como ecuación de Euler y puede resolverse por la sustitución de: r ;; exp (t)

Podemos escribir: t

= Ln

r, R' = R' _d_t_ r

t

dr

= R' I

R' I

el

2 2 R" = _d_ (R' _d_I_) :: R" (_d_t_) + R' _d_l_ = rr dr t dr tI dr I dr2


r 2 R"+2rR'-n(n+l) R=O

- 39 -

.,- R"

;;21

tt

C"

+

I RI (- --'--)

1

r2

= R"

tt

-2t g - R' t

-21 g

Por 10 tanto la ecuación de Euler se convierte en: g2(R" .g-21_ R , g-2 t )+2g t R' -1 tt t t g -n(n+I)R=O

o bien

Esta es una ecuación lineal de segundo orden cuya ecuación caracteristica es: 0

2

+ a-n ( n +1)

O,

+n (n + 1)

=-

por 10 que: o

12

= - _12

±

J

_1 4

= __ I_± Jln+-I-)2

2

2

-±J

n2

_1

2

+ n +_1_.

=_1- ±(n+_I_)=~

2

2

4

n

~n.l


Hay entonces dos conjuntos de funciones que satisfacen la ecuación de Euler:

Sabemos ya que para que el problema de valor en la frontera tenga solución fuera de la esfera, es pre-requisito la desaparición de la solución, en el infinito. Por 10 tanto R no puede proporcionarnos esta solución. Por otro lado R' no da una solución a un problema de valor en la frontera dentro de una esfera porque crece más allá de todos los limites para r o l o que contradice la primera y cuarta propiedades de las funciones armónicas (Ver 2.11). Por 10 tanto, R~) da la solución a la ecuación de Laplace dentro de la esfera y R(2) la da n para fuera. Por supuesto que podemos tener una esfera para la que una función pudiera ser armónica fuera y dentro (en un área o punto determinado), ya que ninguna función puede ser armónica a través de todo el espacio, en cuyo caso se requiere que ambas soluciones (la interna y la externa) tengan el mismo valor. Es evidente que ésto solo puede s~ ceder solo en una esfera con radio r = 1, la esfera unitaria. Uno pu~ de ver realmente que las dos soluciones a la ecuación de Laplace:

- 40 -

ro

ro f.

I

=I

e=

f

n= o

I

n=o

se prestan mutuamente a la inversión esférica (ver 2.11) si y solamente si una es la solución para dentro y la otra para fuera de la esfera unitaria. En la práctica raras veces queremos resolver un problema de valor en la frontera para una esfera unitaria. Si deseamos resol-ver el problema para una esfera de radio "a" todo 10 que se debe hacer es escalar las soluciones de tal modo que las haga compatibles con la nueva esfera. Esto se hace fácilmente y podemos ver que:

ro

=I n=o

f.

I

(_r_l

n

o

Yn

ro f = '\;' 'e 1..-

n=o

(-º-

r

l (ntll

Yn

son respectivamente las soluciones completas para el interior y exte-r ior de la esfera de rad io "a". 2.20.- SOLUCION COMPLETA DE LA ECUACION DE LAPLACE EN COORDENADAS ELIPSOIDALES.

La solución completa de la ecuación de Laplace en coordenª das elipsoidales es análoga a la solución en coordenadas esféricas:

ro

n

r =n¿=o m=I o [pnm

(/-L. E,

I

n

f=I I e

n=o m=o

[ q

nm

(fL,E.b l P

nm

(cos8)(A cosmA+B sen mAl] nm nm

donde:

q

nm

(fL,E.bl=Q

nm

(¡Ll/aU.JLl E E


ro

bl P (cos8l (A cosmA+ B sen mAl] nm nm nm

- 41 -

Aquí, "¡" es la unidad Legendre de segunda clase y"b" es (definido por "b" y "E") para el que la externa. Este elipsoide juega el dio "a", como se vió en 2.19.

imaginaria; Q son las funciones de el semieje menor del elipsoide fi es la solución interna y fe mismo papel que la esfera de ra--

Nótese la símil itud de estructura de estas fórmulas con las esféricas. S i no fuera por los índ ices "m" por "p" y "q" sería posible escribirlas de la misma manera. Aquí, a causa de la asimetría de las coordenadas el ipsoidales con respecto a las funciones "radiales" p, q, dependen del orden así como del grado de la armónica esférica de superficie con la cual se combinan.

e ,

Un estudio más profundo de este tema se deja al lector (use Heiskanen & Moritz: Physical Geodesy). S i llamamos: y nm

'

podemos escribir:

ro

n

=I I n =o m= o

f. I

~m hmfe

=

ro

n

I

I

n= o m=o


2.21.- SOLUC10N A LOS PROBLEMAS DE VALOR EN LA FRONTERA USANDO AE MONICAS ESFERICAS. Hemos demostrado en 2.18 que R.h es la solución al problema de Dirichlet si h( e,A ) es el valor en la frontera sobre la sg perficie esférica de radio "a". Por lo tanto la solución al problema esférico de Dirichlet puede escribirse como:

ro

f. I

=I

o

n=o

donde los c ie:

Y n

(_r_ )n

ro Yn , fe =

coeficien~~s

=I [p m=o

nm

I

n=o

(_0_

r

)n+1 Yn

t

Anm, Bnm en las armónicas esféricas de superfi-

(cose)(A

nm

cosmA+B

nm

senmA)]

- 42 -

son determinadas por las integrales desarrolladas en 2.18: 2n

+I

(n-m)

Anm =---'--

271'

B

nm

=~

(n-m)

271'

(para m

!

fi>s h (~A 1 pnm

(n+m)1

!

(n+m)1

fA

o el término 271'

h le).)

( cos 8) cos m A ds

'

~m (c058) sen mA ds

es sustituido por 471').

Por 10 tanto:

h(e,A)

=

ro

¿

Yn

(e,A)

n=o

Note que; h(e,A) =1 (a,8,A)

La integración se lleva a cabo sobre toda la esfera.

h(e,A) =_13_ f (r,e,A) I

an

__ r= a

a_

Dr

f(r,e,A) Ir=a

tratamos también de obtener una solución de la forma (para cuando solo nos i nte resa el exte r i or de 1a esfe ra de rad i o "a") :

ro

¿

fe = n= o

R~ Yn'

,

donde Yn es la armonlca esférica de "n-ésimo" grado determinada de la misma fórmula usada en el problema de Dirichlet (pero ahora h( A es la derivada de la función buscada respecto a la normal saliente de la esfera), R'n es igual a anRn donde a n es una constante particu--

e,


Para el problema esférico de Newman, cuando está dado el valor de la frontera:

- 43 -

lar para cada "n". Demostraremos que para:

realmente existe tal solución. Para probarlo, consideremos la solución:

=

f

ro ¿

e n=o

__

0_

(ntl)

(_o_)ntl r

*

la que diferenciándola con respecto a "r" obtenemos:

I - L+ +

~= Or

n= o

n

2

Y".-L

I

n Or

I

;:n-I = (_0_ n= o r

t+ 2yl n

para: r=o

~I Or

r=o

=¿

n=o

yl n

el cual es el valor en la frontera, otra vez.

ff

h ds

Por 10 tanto si:

=o

y el problema de Newman tiene solución, la solución supuesta

única.

ro


U,) es la

Usualmente se escribe como:

f e

= -o

'" (_o )n+1 ¿ n=o r

y/n· n+1

El problema esférico de valor en la frontera más importante en geodesia fisica es el tercero o mixto. Hablamos de este tipo de problema cuando una función:

h(e,A) = (e, f(r,e, A) + e2 E.L (r,e,A)

Or

= (e, flr,e,A)+e2

I

=

r=o

-ªL (r,e,A) 1_ Or

r-a

- 44 -

se da sobre la esfera. Otra vez estamos interesados solo en el caso _ externo y buscamos una solución de la forma:

ro

I

tl

f = R e n=o n

Yo"

n

Consideramos aquí también:

ro

h

=I

n=o

y~/,

Rn

= !3n

Rn

Se puede demostrar que tal solución existe si tomamos:

La prueba se deja al lector quien puede adoptar el mismo método que para el problema de Newman. Aquí solo establecemos que:

ro

f

_"

- L.. e n=o

a )n+1 (r

y'~

Nótese que cualquier truncación de las series de armónicas esféricas proporciona una solución "prec-isa" de l::,f = o; es decir, es una función armónica. Desde este punto de vista no importa que tam- bién aproximen las series truncadas el valor en la frontera. Por 10 tanto, cualquier serie truncada de armónicas esféricas representa siem pre un potencial de alguna fuerza. El grado de aproximación del poten cial actual depende del grado de aproximación del valor en la fronte-ra. Esta es la ventaja principal de usar armónicas esféricas. 2.22.- CONEXION ENTRE LOS COEFICIENTES DE LAS ARMONICAS ESFERICAS y EL CUERPO ATRAYENTE. Supongamos que estamos interesados en resolver el problema de Dirichlet para el exterior de una esfera de radio "a" que encierra completamente a un cuerpo atrayente B. Nos interesa la relación, que exista entre los coeficientes de las armónicas esféricas y el cuerpo atrayente, es decir ¿ podemos decir algo del cuerpo B cuando conoce-mos su potencial ?


resuelve el tercer tipo de problema de valor en la frontera para el ex terior de la esfera de radio "a".

- 45 -

Para establecer esto tomemos el potencial del cuerpo atrayente (Ver 2.8):

-

V(r)=k

[o-

-dB,

B

P

p= -; _--;:'1.

Aquí

2770

+ r'~

El producto escalar ~.~ puede expresarse como: r.r ' cosljl de modo que:

p

z

p2 = r 2 _

Entonces

2 ~

2

p=(r-2rr/cosljl+r J )2 2

:: r (1- 2

""-t--I---+-~y

1

'2 r r' cos ljI + --f2)

De la teoría de las funciones de Legendre se conoce que: -~

x

y =(1-2 Xttt2) 2

para:

es la función generatriz de los polinomios de Legendre los que pueden expresarse como:

ro INEGI. Geodesia Física Aplicada Tomo I

y =

¿

~ (X) In,

n=o

donde Pn son los pol inomios de Legendre (de grado cero). Se

ve

fácilmente que en nuestro caso r> r ' por 10 que:

con 10 que podemos escribir:

ro _1- = _1_

p

r

¿

n=o

~

(cos 1jI)(

+t

- 46 -

Aquí

puede expresarse del triángulo esférico:

COS\V

z•

cos tJ;

1

= cos8 cos8 1 + sen 8 sen 8 cos (X-A)

I

Puede demostrarse por cálculos ted i osos que:

X-A

~ (costJ;)

a'

1

t

hr -

~ o (cos 8') +

~ [(n-m)1 , + 2 ¿ --'~m(cos8) hm(cos8) m=1 (ntm)!

dm(r,'8'X)

tYtP(r8Xl t

=~ o (cos 8)

(cos mA cos mA+ sen mA sen mA') ]

' ,

•

Esta fórmula se conoce como la fórmula de descomposición 8, 8' y A , A Sustidonde se nota una simetría completa en tuyendo este resultado en la expresión para tlp y este I;P en lafórmula para V, obtenemos: V(7í=K n

+2

I

m=1

r er!r

JB

I

(~)n r

n= o

((n-m)! (n+m)!

[p

(cos8) P (cos8')+ nono

P (cos8) P (cos8') (cosmA cosmA' nm nm

Aquí la integración se lleva sobre todo el cuerpo B, es d~ c ir, sobre todos los puntos con coordenadas r', 8' , X.' Podemosescribir entonces:

ro V ( r ) = Jo (

+- t

t I{

~ o (cos 8)

+I P (cos8) (1 m=o nm B

fs

K

er r n ~ o (cos 8') d B + I

n

cos mX dB

+

¡

B

2(n-m)! ( n+m) I

2 (n-m)! (n+m)!

sen m A sen m A' d B ) }

/ Kerr/np (cos8 )cosmA nm

Kerr I nP (cos 8' ) nm


+ sen m A sen m X)) ] d B

- 47 -

Multiplicando y dividiendo cada término para a n+1 obtene-mos:

~

V (r) = ¿

n=o n

+

o n+1 { (-r-)

,

¿ ~m(COS m=1

~o(cose)

e) [2K -

+ l'

(n-m)1 ---'

(n+m)~

o

B

n CT(+) p (cose') dB no

B

CT ( - - ) P (cose) o nm

i

r''''

1,,-1

\ \1 2 K- ....;.(_n-_m.......:....,) cos ml\ cos ml\ dB + o (n+m)!

~m (cos 8')

+

,

CT ( __ r/_)n

o

B

sen mA. sen m)( dB]} •

Llamando:

K o

1 B

r' n f CT(O) ~o(cose) dB= AnO,

(n-m)¡ (n+m)!

Jr B

r' n CT(o) ~m(Cos

e' ) cos mA dB= A f

nm

1


(n - m) 1 r' n I (n+m)! B CT(-o-) ~m(cose) sen mX d8= Bnm

,

*

podemos escribir:

ro V(

rl =

¿

n=o

( _o_)ntl y

r

n '

que es nuestra bien conocida fórmula para la solución exterior de Dirichlet (2.21). Las ecuaciones (*) anteriores determinan las rela-ciones entre los coeficientes Anm, Bnm y el cuerpo atrayente B. Nótese que la estructura del integrando es el producto de una función armQ nica (dentro de la- esfera r = a, - con coeficientes unitarios por armQ nicas) con la densidad. Podemos ver que las fórmulas (*) no nos dan mucha información sobre el cuerpo B. Sin embargo, se demostrará en el siguiente p~

- 48 -

rrafo que de las armónicas de grados inferiores puede obtenerse alguna información. 2.23.- INTE-RPRETACION FISICA DE LOS COEFICIENTES DE ARMONICAS DE

GRADO INFERIOR. Las fórmulas desarrolladas en 2.22 nos permiten interpre-tar físicamente los coeficientes para armónicas de grado inferior. Pª ra hacerlo tenemos que evaluar los términos:

Las funciones asociadas están dadas por:

=l

e'

p

=:3 sen

=sen e'

p

=:3 sen 2 e'

=1

p

= cos

00 10

P

11

cos 2

~O

p

21

22

2

e' - _12 _

e' cose',

Por 10 tanto, las funciones

C~m,

S~m

pueden escribirse co-

mo sigue:

=o

el = 1

S'

el~ =cos e'

s(o =o

el'l =sene' cosX

S'" -sen el sen.

el =l 20

2

00

e- L2

cos2

x

S'= o 20

C, = 3sen e' cos e' cos x'

, = :3 sen elcos e' sen 1\\' S21

C~2 = :3sen2 e COs2A

, :3 sen2e' sen 21\" S22=

21

Cambiando a coordenadas Euclidianas X, Y, Z usando la transformación de 2.15: X=r'SeneICOSA, Y=r l sene'senX, Z=r/cose


00

- 49 -

obtenemos:

e'

::

1

S~o::

o

e:o :

Z

r'S;o ::

o

00

r' r

l

e" :: X

r,2el

2

::...L

20

2

r'S'"

x2 __,_ y2 t 2

r'e 21 =3X2

Z2

2 r/ 5

20 :::O 1

5 21 = 3YZ 2 r' S22 =6XY •

r

/e'22 = 3X 2 _3Y2

,2

:: y

La comprobación de las fórmulas anteriores se deja como ejercicio al lector. Sustituyendo estos resultados en las expresiones (*) para Anm , Bnm , obtenemos: B ::: O 00 B,O ::: O B,)

:::

8

=0

20


B ::: 2' 8

22

K

a2

1B

-L 3 o

a-ydB

1aYZdB B

::: _K_ .~ 20 3

f

(jxy dB

8

Por otro lado, las coordenadas del centro de gravedad de B están dadas por:

~::-'-f M

B

a-xdB,

TJ::--&-!a-YdB, t;::-'-fa-ZdB 8 M B

- 50 -

donde M es la masa de B. Si además, introducimos la matriz del tensor de inercia de B para el origen del sistema de coordenadas:

r,Ia

y=

-1 -1

2 (y t

-¡ f -1

II O-d8,

-¡ -f f

XYo-dB,

8

XYo-dB,

8

{X

2

+ Z2)O-dB,

8

XZo-dB,

8

XZo-dB

B YZo-d8

=

8

YZo-dB

8

(X 2+ y2)O-d8

B

-D 8

-F

-El -F

CJ

donde A, B, e, son los momentos principales de inercia en el origen del sistema de coordenadas y D, E, F, son los productos de inercia (mQ mentos de divergencia), obtenemos:

00

=

JL a

M

6

00

IO

" ..JL MS 2

8

AII

K =-M~ 02

B

A

A 2.0 A 21

0

=_K_ ( A+B -C) 03

2

=_K_ E 03

A 22 =_K_(B-A) 40 3

Por 10 inferior tienen un miento nos ayudará fórmulas usadas en

10

IJ

8 20

= O

=O K = - - M7] 02

=O K

8 21 :,: - " - F 03 8 22

K

=-D 3 20

tanto, los coeficientes para las armonlcas de grado significado completamente definido. Este descubrimás adelante para obtener algún beneficio de las Geodesia Física.

Solo anotaremos aquí que cualquiera que sea la forma que pueda tener el cuerpo atrayente y cualquiera que sea la distribución -


A

- 51 de su densidad, las primeras armónicas esféricas de su potencial de gravitación dependen solamente de sus momentos principales de inercia y de sus productos de inercia. 2.24.- SUPERFICIES EQUIPOTENCIALES.

LINEAS DE FUERZA.

Los lugares geométricos de igual potencial: constante, son llamados superficies eguipotenciales del potencial V. Para valo-res diversos de la constante, obtenemos diferentes superficies equipotenciales. Las superficies equipotenciales del potencial de la gravedad (campo de la gravedad) son suaves debido a qUe el potencial es con tínuo a través del espacio; analítico en el área donde es armónico y solamente tiene derivadas de segundo orden discontinuas sobre las fron teras de validez de las ecuaciones de Laplace, Poisson. Las curvatu-ras varían suavemente de los lugares donde la densidad cambia súbita-mente, es decir, su curvatura cambia tan rápidamente como 10 hace la densidad. Las superficies equipotenciales nunca se cruzan unas con otras y se parecen mucho en su configuración a las capas de una cebo-lla. Ej emp 10: Una sección transversal del potencial de la gravedad de una esfera rigida en rotación con distribución homogénea de densidad, tendría la forma siguiente:

Uf INEGI. Geodesia Física Aplicada Tomo I

I

Las líneas de fuerza son las curvas a las que el gradiente del potencial, es decir, el campo de fuerza, es tangente en cualquier punto. Estas lineas son siempre perpendiculares a las superficies equipotenciales como se puede probar por un simple cálculo. Para la diferencial total de potencial V obtenemos: dv =

~ dx +~ dy +-ª.L dz =\7V de; OX OY aZ

Esta fórmula nos da la herramienta para determinar qué pasa con dV cuando apuntamos a en varias direcciones. Es claro que si ~ se encuentra en el plano tangente al equipotencial V = Constan--

a:

- 52 te, entonces dV debe ser cero, es decir, no hay incremento de poten- si nos movemos sobre la superfJLcie equipotencial. Pero para que 6~d! sea cero es necesario que 6V sea perpendicular a da, es decir, 6v debe coincidir con la normal a V = constante, lo que ya ha sido d~ mostrado. ci~1

Podemos ver también que no existe fuerza actuando sobre la superficie equipotencial. Esta es la razón porqué un cuerpo elástico homogéneo trata de alcanzar una forma que se ajuste a una de las supeL ficies equipotenciales. En tal situación no existen fuerzas tangenci~ les (tensiones) actuando sobre la superficie y el cuerpo está en equi1 ibrio. Sin embargo, para un cuerpo rígido las fuerzas tangenciales están siempre presentes. Si el cuerpo elástico no es homogéneo, no sl gue la forma de una superficie equipotencial. Los elementos más den-sos son "jalados hacia el centro del cuerpo". Los elementos más ligeros son empujados hacia los lados. Esta fuerza adicional contribuye al balance de las fuerzas equil ibrándolas en forma diferente que para un cuerpo homogéneo. Las superficies equipotenciales siguen entonces, a cierta distancia, la inmersión de los elementos más densos.

AREA DE MAYOR DENSIDAD

EL CAMPO DE GRAVEDAD TERRESTRE Y SUS APROXIMACIONES. 3.1.-

EL GEOIDE.

La tierra como un todo, se comporta como un cuerpo elástico no-homogéneo. Ha alcanzado un cierto equilibrio de modo que no se aparta mucho de una de sus superficies equipotenciales. Sin embargo, se aparta. Esto se debe a: 1.-

Corteza terrestre rígida localmente (con su topogra-fía que, por supuesto, no coincide con la superficie equipotencial).

2.-

Desigual distribución de densidad de sus masas.


3.

- 53 -

Si los océanos fueran homogéneos, es decir, si la densidad del agua fuera la misma en todas partes (la misma salinidad, temperaty ra, contenido mineral, etc.), la superficie oceánica seguiria una su-perficie equipotencial. Desafortunadamente, los océanos no se comportan razonablemente y su superficie se aparta de la superficie equipotencial en alg~ nos lugares, alrededor de ~ 2 m. Además, no todos tienen el mismo nivel y probablemente siempre están deslizándose hacia el norte o el sur, debido al continuo derretimiento de los casquetes polares. La superficie equipotencial que va a través de las superfl eies oeeanlcas en promedio es llamada geoide. Matemáticamente, el geoide puede ser descrito como: -

ro

o

n+1

Ulr)=¿ l-r-) n=o

V

n

+ _1- w 2 r,,2= Uo = Constante 2

donde "a" es el radio de la esfera que abarca todas las masas de la tierra, es decir, esfera externa en la que es armónico el potencial gravitacional de la tierra. Tal esfera se conoce generalmente como es fera de referencia. En la práctica, la esfera de referencia no requi~ re abarcar toda la tierra. Los excesos de masa fuera de la esfera pueden el iminarse por cálculos. Podemos ver que si conoc<~mos el valor del potencial gr-ª vitacional (o en su caso, si conocemos la derivada normal de este po-tencial o alternativamente, una combinación 1 ineal del potencial y su derivada normal), sobre Ja esfera de referencia, seremos capaces de d~ terminar el geoide. La determinación involucraría la evaluación de U(~) en una área determinada y el trazo de la superficie geoidal U(~) = Uo.


Otra forma de expresar el geoide es usando las armónicas el ipsoidales:

ro

n

I

U(7),,¿ q lfL,E,bl y + _1- w 2 r,,2 ::: UD = Constante n=o m=o nm nm 2

Aqui, el elipsoide ( b,E ) es la superficie de referencia, llamada el ipsoide de referencia. El geoide expresado de una manera o de otra es, por supuesto, el mismo. Las armónicas esféricas Vn en la solución esférica son exactamente las mismas que las Ynm usadas en la solución el ipsoidal . El el ipsoide de referencia abarcaría a toda la tierra. En la práctica no la abarca y la deficiencia se toma en cuenta artifie i a 1mente.

- 54 Desafortunadamente no conocemos el valor del potencial gr~ vitacional sobre la superficie de referencia. No podemos usar el proceso descrito. En los párrafos siguientes veremos cómo vamos a resolver este problema. La pregunta que puede aparecer en la mente del lector es ¿por qué estamos más interesados en las superficies equipotenciales que en cualquier otra característica del campo de gravedad? La expl icación es sencilla: las superficies equipotenciales tienen una aplicación inmediata en Geodesia. Definen el plano horizontal local (plano tangente a la superficie equipotencial en un punto determinado), al que al ineamos nuestros instrumentos cuando hacemos "centro de estación". Por 10 tanto, estas superficies definen la geometría del espacio en donde trabajamos de la forma mas objetiva. Ellas representan el marco al que se liga todo nuestro trabajo de posicionamiento. 3.2.-

OBSERVACIONES SOBRE EL ESFEROIDE.

Por esferoide (en la 1 iteratura no-inglesa) entendemos un geoide simpl ificado (en la 1 iteratura inglesa el esferoide coirrcide con el elipsoide rotacional. El esferoide de Bruns consta del potencial de la fuerza gravitacional de la tierra, desarrollado en armónicas esféricas hasta el segundo grado, más el potencial de la fuerza centrífuga. Al mismo tiempo hace que el origen del sistema de coordenadas coincida con el centro de la tierra. Además, asume que el eje de rotación coincide con el eje principal de inercia (es decir, que 105 productos de iner-cia D, E, F = O) Y permite que su eje Z coincida con estos dos. Para el potencial terrestre podemos escribir: 2 " a n+1 U(r)=L ( r )

\+

1 2

n=o

U (7") :: _K_ M +_K_ ( A+S s r r3 2

C + 22

+

w

+ ~(S-A) 20 4r3

-c) e

2 r/,2 = Constante

sustituyendo para C20 , C22 , las expresiones en 2.33 (en X, Y, Z), obtg nemos: - r)=K 3 2 2 U ( - - M +K- [ (A+B - - - C ) ( Z 2 - -I X2- -1Y 2 )+-(B-A)(X-Y) B r r5 2 2 2 4

+ J..-. 2

w 2 (X 2 +y2) = Constante

J+


y sustituyendo las armónicas esféricas de 2.23 para los coeficientes, bajo las consideraciones anteriores obtenemos para el esferoide de Bruns:

- 55 -

supuestamente una superficie de décimo cuarto orden. El esferoide de Helmert se basa en las mismas consideraciQ nes aunque usa armónicas esféricas mayores del 4° grado. El resultado es una superficie de vigésimo segundo orden. La expresión para el esferoide puede simplificarse asumien do una simetria rotacional de la tierra, es decir, A = B. Haciendo é~ to se descubre que el esferoide se separa una cantidad despreciable del elipsoide rotacional. Esta es la razón por la que no estamos muy interesados en usar el esferoide como aproximación del geoide. Nótese que las expresiones para el esferoide contienen las siguientes cantidades desconocidas: M,A,B,C,w.

3.3.-

POTENCIAL NORMAL Y POTENCIAL PERTURBANTE.

Una forma de evitar las dificultades mencionadas al final de 3.1 es definir un potencial normal y su correspondiente gravedad normal. La idea detrás de ésto es separar el potencial actual (U ) de la tierra en dos partes: u = UN +T donde UN es el potencial en donde coincide una de las superficies equipotenciales con la superficie de referencia; T es la diferencia en tre el potencial actual yel normal (UN usualmente es llamado poten-cial normal); T es entonces llamado potencial perturbante. Por lo tan to, la superficie de referencia es conocida como superficie de referen c ia norma 1.


La superficie de referencia a la que el potencial normal puede referirse usualmente es una esfera o un elipsoide rotacional. Nótese que si tenemos éxito en separar el potencial actual: U =V

+

_1- w 2 r,,2 2

de tal modo que se tenga:

concluimos con:

T=V-V

N

- 56 -

es decir, el potencial perturbante satisface la ecuación de Laplace fuera del cuerpo atrayente (la tierra). Demostraremos que ésto puede hacerse tanto para la esfera como para el elipsoide. 3.4.-

LA ESFERA COMO SUPERFICIE DE REFERENCIA NORMAL. Para la esfera podemos escribir:

donde JS) es constante sobre la esfera de rad io (a).

Por lo tanto:

N

(S)I

U

N r=a

=U(S)= ro ¿ l -º- )n+1 No n =o

(S)

I

n

r= a

no

~o

y

r

+ ..l...

w 2 r,,2

I

= Constante

r= a

2

donde: ylS) = A n

deb ido a que na 1) .

(cos 8) ,

U(S) no varía con A

(la esfera tiene simetría rotacio- -

N

Las componentes en 8 están presentes porque tienen que compensar la asimetría en 8 del término centrífugo.

r" 1 = a sen 8 . r= a Por lo tanto:

En términos de las funciones de Legendre: sen 2 8 = 1- cos 2

e =-,-(l_L cos 2 8) = L 3 2 2 3

( I _ l co,2 2

8+-L)= 2


Aquí:

- 57 el potencial de la fuerza centrifuga es: 1 -3 w 2 0 2

[p00

p20

8) -

(cos

(cos 8 )]

(5l

Podemos, entonces, escribir para UNo

Por 10 tanto:

por

~

10

Para que todas las 8 sean cero, todos los coeficientes deben ser cero. Por 10 tanto:

(Sl Sustituyendo estos resultados en la fórmula original para V • obtenemos: N /5)

N

= ~ (U(S) __1_ w 2 No

r

02 )

3.

3 2 2 p + 0 0 w p 00 r3 3 20

(S)

El valor de UNo (constante) deberá seleccionarse de tal manera que corresponda a la fuerza de atracción de la tierra actual. Para el geoide, de (3.1) tenemos:

-

U( rl

ro

=¿


n=o

nH

(.JI..) r

Y

n

+ -'2

2 1 2 2 w 2 r"aV (r ) + - w r ll •

2 .

donde V (--;) es el potencial atractivo de la tierra. como (3.2): V (r)

=- rK

M

Puede escribirse

+ O (t :3 )

Por 10 tan--, donde O (r-:3) son los términos de orden inferior a r- 2 to, podemos escribir aproximadamente, comparando los primeros términos de los dos potenciales:

o (S). K ,••2 ,,2 U =M + ""'-"'-

No

o

:3

- 58 (Sl

Sustituyendo este resultado en la ecuaclon para U con cluimos con la expresión para el potencial normal usando una e~~era cQ mo referencia: (S)· K M 05 U =-+No r3

Nótese que el potencial normal está expresado en base a tres cantidades desconocidas: KM, a, w • Nótese también que general-mente las superficies equipetenciales de la gravedad no son esféricas. Solamente para r = a obtenemos una superficie equipotencial esférica: la esfera de referencia. 3.5. -

EL EL IPSO lOE ROTAC IONAl COMO SUPERFI ClE "NORMAL" DE REFE-RENC lA.

El elipsoide rotacional es la superficie de referencia nOL mal usada casi exclusivamente en geodesia. Esto se debe a su proximidad con el geoide o con el esferoide. El potencial normal relacionado con este elipsoide puede desarrollarse similarmente al caso de la esfª ra. Podemos escribir otra vez:

(El

donde se requiere que UN sea constante sobre el el ipsoide de referen cia (b, E), aunque éste no se haya aún especificado. Por lo tanto, usando armónicas el ipsoidales:

ro

ya que estando el (b, E) rotacional en el plano A , todos los térmi-nos que contienen A deben desaparecer. Aquí, evidentemente:

(Ver 2.15), de modo que podemos escribir:


I

2 2 2 U(El! = U(El= ( IJ.Ebl! A n (cos[)l+-2' w ("i+E l! sen [)= qno ,!! fL= b no'ño ' f L = b N fL=b No n=o = Conslante

- 59 -

Análogo a 3.4, la expresión anterior puede satisfacerse si Entonces:

y solamente si todos los coeficientes para Pno son cero.

Por 10 que: w 2 a2 A :-20 3 (E)

Por 10 tanto V N

se convierte:

y puesto que: q

00

(,u.,E,bl =arc; tan (-E-l/are tan (Lb) ,u.

podemos escribir usando "r" para desarrollar '"," en una serie:

qoo (,u.,E,bl: E/[ r are tan (

%)] +

O

are tan

%.

y nuevamente

(r 3 )


(E)

Para establecer ~l valor de UNo ' comparamos nuevamente los primeros términos de v(E (E.Í0n el V determinado para el geoide y buscamos un valor, tal de NUNoque corresponda a la fuerza de atrac- ción de la tierra actual. Obtenemos: V(EI: N

~ r

2 2 are toó I (El 1 (u(EI _ w 0 ) lb No 3

+

O (;'3)

el cual puede compararse nuevamente con el primer término de la fuerza de atracción:

- 60 Entonces: 2 2 KM'; E are tañ l (E; ) ( u(E)_ w 0 } b No 3

de lo que: (E)' KM U = - - are ton (E; ) No E b

2 2

w a +3

Sustituyendo este resultado en la ecuación para nemos:

obt~

(E). KM 2 2 UN = Q (f-L,E,b)- ore ton (E/b)+Q. (f-L,E,b) ~ 00 E cO 3

+

2 W

2

(J-L

3

KM

+E

= -E- are lon( E/f-L) + _

w (J.L2 + ~ 2

3

}]

2

)

(I-~

(cose))

20

w 2 ( 2+ E2) '\

+

[

= 2 2 Q2J(f-L,E,b} w 3 o -

p (cose) 20

Nótese que el potencial normal puede calcularse si conocemos las siguientes cantidades: KM, b, E, w • Nótese que generalmente las superficies equipotenciales del potencial normal no son elipsol dales. Solamente para ~ = b obtenemos la superficie equipotencial el ipsoidal: el el ipsoide de referencia. 3.6.-

LA GRAVEDAD "NORMAL" REFERIDA A LA SUPERFICIE ELIPSOIDAL DE REFERENC lA.

Tomando la fórmula para el potencial normal, podemos calcQ lar la fuerza de gravedad correspondiente a este potencial sobre y por encima de la superficie de referencia (el elipsoide de referencia). Sabemos que la fuerza que pertenece al potencial puede obtenerse como el gradiente del potencial. Por lo tanto:


p (cose) 20

- 61 -

y = Grod (U(E)) = 'l N

U lE )

N

'len coordenadas el ipsoidales está dada por (Ver 2.15): 3 -

'l=¿ ~ -

O

•

Oqi

i=1 H I

donde los coeficientes de Lamé son igual a:

HfJ-

=

l

fJ-2 + E2 eos 2 fJ-2+ E2

e 1/2 ).

He (E)

Puesto que UN dedor del eje Z), tenemos:

=(fJ-2 +E2 eos2e)l/~ \

A

no depende de

= (fJ-2 + E2)1/2 sene •

(ya que es simétrica alr~

D U(E) _ _......:.;N~ =0

DA (E)

Diferenciando UN das encontramos: (E)

)

1.

O UN KM O --'-'- = - - - - - ore ton (E/fJ-l + 2-3 w 2 fJ- + Of' E OfJ-

a

+ (-OfJ-


con respecto a las otras dos coordena--

Aquí

q

."i -2 0

20

2

-3- w

2

3

a

}J..) f'20(eos

e)

1

- - are ton (E/fJ-l = 2 OfJI+E2/fJ-

La expresión:

puede evaluarse aproximadamente desarrollando las funciones de Legendre de segunda clase en series de potencia en: I

fJ-/E

O

b/E

E

2

fJ- +

E2

- 62 -

respect i vamente. Llamando: q 20

:f(~,t.}/f(b)

donde: f( X ) : ( 3 ( X/E)

2

+ 1) ore ton

(E / X ) - 3 X/E ,

pero:

ore ton (E/X) = E/X- 1/3 (E/X)3 + 1/5 (E/X)5- .••..• Por lo que: f(X) = [ 3 (E/X)-2 -+ I][E/X -1/3 (E/X)3 =3(E/X)

_1

-(E/X)+3/5lE/X)

5

+ 1/5 (E/X)

3

+ 1/5 (E/X )~ .. _]

- 3 (E/X)I

=

5 '3 -3/7(E/X) +----+(E/X)-1/3(E/X)

+

-1 - ----- - 3(E/X)

le

= (~ _ 1/3)(E/X)3 + (1/5 _ 311)( E/X)5

5

+ ---- - =

= 4/15 (E/X) 3 - 8/35 (E/X) 5 +----- = 4/15 (E/X):3 [ I-(T (E/X) 2] •

Por lo tanto:

20

:::

r( 1- O (E/p. )2]

4/15(E/b)3 [1-0(E/b)2J

~[I-O(E/J'}

1

[1+0(E/b)2]

p.3

Fina lmente: oq?n_ "' __ 3 b3

~

Op.

p.4

[

4 ]

1-0 (E/p.)

3

4

::: -3 b /p.


4/15 (E/p. q

- 63 -

Por lo tanto, la derivada parcial puede escribirse final-mente como: w 2 a2 b 3

KM

P (cos8) 20

fL4

2 + -3

w

2 fL (1- P (cos 8)). 20

(E)

..l

u UN ~ [

2)- - - -

(fL,E,b)

q

08

20

donde: d

--p

d8

20

2'

(cos8)=d/d8 (3/2cos 8-1/2)=-3cos8sen8=-P (cos8) 21

No es difícil ver que la gravedad normal y debe ser perpendicular (normal) al el ipsoide de refer~.ncia en cualquier punto so-bre este el ipsoide. Llamando a la gra~edad normal sobre el el ip-soide, obtenemos:

i

~

1

OU~)

t:ijL

Ya -

O¡.¡.

e¡.¡.

y, después de sustituir los valores de

2

fL

+E

2

H¡.¡.

obtenemos:

1/2

( /+Efos2 8)

+w

2

fL


Cons iderando

(1-~0(cos8)J

le¡.¡. f1.=b

E 2 ~02 _b2 obtenemos:

Pero:

por lo que:

+

2

4

2 w 0 + ( -.:.::..---='-+3bKM

- 64 -

E I término 0 2 b w 2 /KM a menudo es denotado por "m" (siendo aproximadamente igual a 0.33 x 10- 2 para la tierra). Usando m la gravedad normal sobre el el ipsoide de referencia puede expresarse como sigue:

3.7.-

TEOREMA DE CLAIRAUT PARA LOS APLASTAMIENTOS DE GRAVEDAD Y GEOMETRICO.

Usando la gravedad normal puede desarrollarse un teorema muy importante de Geodesia Física que relaciona la gravedad con la geQ metría del el ipsoide de referencia: Para la gravedad normal sobre el ecuador Ya

podemos escrl

b ir:

cos 2 8

8 = 90°, P (cos8) = l 20

1

2

-

8=900

-1- = - _12 2

por 10 que:

.JSfYL[I-Lm--I-((_a-)2m+~m)J=

{;

:3

ob

2

b

:3

KM ob

(l_m_(_0_)2~) b

2

Similarmente, para la gravedad normal sobre los polos,

y b

8 = 0°,

180° ,

~O (cos8)1

=1

8= o~ 180° KM- ~1 -2- m+(-) o 2. m +2y. -- -

b

02

:3

:3

b

KM (1+ (-b-) o 2 m) m ] =---::2"" o

Por 10 tanto:

)'b- _ '" b- [ 1 + (0 - )2 m ] [ I+m+(--) o 2 -m+ - - - ] -

lo

o

b

b

3 (--) o 2 m+----- ] =b- [ I+m+o 2. b

2

=


de donde:

- 65 -

Considerando que:

y que: b b- a ---1=--

a

a

podemos escribir:

y - y

a

b

y

b-a

-b

- -a -

a

[ m+ 3 - (a- ) 2 m+---- ] 2 b

3 - (a- )2..... -- ] =bm --- [ 1+

a

2

b

a

Pero: 2 ~ (l_m_(-º-)2 ~ )... ___ _

bm

-a-

Yo

b

2

Entonces:

't-Ya + ___

a-b

a

~ ~

a

2

w - [ I - m - ( - )2 -b-

y.a

b

m] [1 +3 - ( -a- ) +2 - - ]

2

/

2

b

3 a 2 ] [ 1+--(-b-) +----


2

Aquí, el término (~- ~ )1 ">;;=f* (=a en literatura antigua) es conocido como aplastamiento de la gravedad y (a - b)/a = f ( = i en la 1 iteratura antigua) es el conocido aplastamiento (geométrl co) del elipsoide de referencia. De aquí que la fórmula puede escri-b irse: f

* + ~f -bwT2 a

a 2 2 (-;-)

[ 1+ 3

+------ ]

la que es conocida como el teorema de Clairaut. Fue derivada primero por el matemático francés Clairaut (1738) en la forma:

la que es obviamente una simpl ificación mayor de la fórmula anterior para a = b •

- 66 -

3.8.-

FORMULAS DE SOMIG..IANA PARA LA GRAVEDAD NORMAL.

Al geodesta ital iano Somigl iana (1929) se le deben las fÓL mulas más prácticas para la gravedad normal. El desarrolló la fórmula Yo (a partir de 3.6) considerando los siguientes aspectos: Re-escribamos: p (cos 20

e) = -23- cos 2 e-

-1

2

usando ahora la identidad: 1

2

= _1- (cos2 e +sen 2 2

e)

nos queda que p (cose) 20

= cos 2 e- --Í-sen 2 e 2

Sustituyendo este valor en la fórmula para Yo

obtenemos:

y

o

_+ (

-1-}2 m +

+

m) sen

2

e] .

Usando otra identidad:

~ 3

m

= ( 1- ~ m) (cos 2 3

e +sen2 e )

podemos escribir:

Las expresiones entre paréntesis pueden sustituirse usando las fórmulas para ~ 'b de 3.7: 2

(1+(~)2m}::::::~ b

KM

a b )á KM


1-

- 67 -

y de este modo obtenemos: a )b

C05

2

8 +b Ya

sen

2

8

+ b2 sen 2 8)1/2

(0 2 cos 2 8

En Geodesia es más común trabajar con la latitud geodésica geocéntrica 8 Como sabemos por Geodesia relacionadas a través de la latitud geocéntrl ca reducida ~ en la forma siguiente: ~ que con la colatitud Geométrica~ y 8 están

~ = 90° - 8.

tan ~ =

+

tan

~

Por 10 tanto: cot

b

8 =-a

tfiln~

con 10 que podemos escribir: cos

8 =c b

sen

sen

8 = cacos

donde "C" es una constante arbitraria. en la fórmula para Yo obtenemos: c2 b 2 a X b

Sustituyendo estas expresiones

sen2~ + c2 a2 b ~ cos~ a


Por otro lado, sabemos que:

Por 10 que:

de cuya expresión obtenemos el valor de "C". Sustituyendo este valor en la expres ión para Yo finalmente obtenemos:

- 68 -

Nótese la simetría de las dos fórmulas de Somigliana para la gravedad normal. 3.9.-

FORMULAS DE CASSINIS PARA LA GRAVEDAD NORMAL.

En la práctica geodésica es usual aún usar otra fórmula d~ bida también a Somigliana aunque comúnmente conocida como Fórmula de Cassinis. Esto se debe a que Cassinis fue el primero en haber presentado al Congreso de la IUGG (en 1930) estimaciones de los valores de los coeficientes que aparecen en la fórmula. El desarrollo téórico va como sigue: expresando el cos 2 de la última fórmula en 3.8 como l-sen 2 cp, obtenemos:

cp

= De acuerdo a nuestra notación en 3.7:

f

=-º--=...!L = 1 _ _ ba

a

Por 10 tanto:

=1 +f

*

_b_ = I-f

a

Ya [ 1+(f* - f -

r::: ---------~-. y 2 o

{1+[{I-n2-I]sen2cpt

a

=

ff

* )sen2 cp]

[1+(f~2t)sen2cp]I/2

Puesto que los aplastamientos son mucho más pequeños que la unidad, podemos desarrollar el denominador en series de potencia:

-1/2 [1+(f2-zflsen2cp] = 1-+(t2-20sen2

y entonces obtenemos:

cp-:-----.--

I


con lo que:

- 69 -

~~

)d

1+ (f*- f - ff*) sen

2

4»

(1-

t-

(f2- 2 f ) sen 2

4>

--------J =

1 1 ** sen4 =y [ I+(f * - f - f f*-2 f +f)sen 2 f - (2 f -2f)(f-f-ff)

0 2 2

cp+--- ] •

Sust ituyendo:

obtenemos:

"Y,;

~ yo [I+(f*-ff*-

_1 f2_

2

~ 2

(f2-2fHf*- f-ff'*l )sen2.,4,.

't'

+

'*

1 U2 2f)(f'*f - f f l s e n 2 2~j1 +e "Y,;

~ Ya

(1

+'0 sen 2 cf> + 73 sen 2 2cp)


Donde:

En la fórmula original de Cassinis, adoptada en 1930, se lee:

>;; :::

978.0490 (1+0.0052884sen 2

cp -

0.0000059 sen2

2cp) gol

En 1967 la IUGG adoptó nuevos valores para los coeficien-- ; tes, de modo que ahora tenemos:

"y,;::: 978031 (1+0.0053024sen 2

cp

-0.00OO059sen 2 2

cf>l

gol.

- 70 -

3.10.- DEFINICION DE: ANOMALIA DE LA GRAVEDAD; PERTURBACION DE LA GRAVEDAD; ALTURA GEOIDAL y DESVIACION DE LA VERTICAL. Simbolicemos por U al potencial de la gravedad normal rel~ cionado con un elipsoide rotacional (superficie de referencia ¡aún de~ conocida~) y por W al potencial actual terrestre. A la diferencia T = W - U la hemos llamada Potencial de Perturbación (3.3). Tambiénes conocida como Potencial Anómalo. Para el objeto de las cuatro definiciones posteriores consideremos que ya conocemos al el ipsoide de referencia y llamemos Uo al potencial normal sobre el el ipsoide de referencia (¡cuya superficie equipotencial coincide con el el ipsoide de referencia~). Podemos en-tonces dibujar la siguiente sección transversal: Podemos ver que U = Uo es el elipsoide de referenc ia; W = Uo es el geoide; la superficie que nos gustaría determl nar 9 OQ es la• gravedad actual _ sobre e"1 geOlde; YOo es la gravedad normal sobre la supeL ficie de referencia. La dis-tancia N = PQ se conoce como altura geoidal (ondulación geoidal) en el punto Q. El vector

es llamado vector de anomalía y su valor absoluto ~gop es conocido como la anomalta de la gravedad sobre la superficie de referencia. ~

100 m en

conocido como desviación de la vertical, muy raras veces excede 1', usualmente es menor de 5" (Valores de ~ 30" son ya consideradas excepcionales). Debido a esta amplitud tan pequeña de ,general-mente calculamos la anomalía de la gravedad de:

e

~g

op

e

=9 - y op 00

en vez de:

~gop = I-gop - ~ 1= 9op 'OQ

-

v

'00

cose·


Las alturas geoidales probablemente no excedan cualquier lugar del mundo. El ángulo

- 71 -

Esta 8 ,por supuesto, nada tiene que ver con la segun da coordenada esférica. Tomando W = Uo y U = Up de modo tal que las dos superficies coinciden en P sobre el geoide, obtenemos el Vector de Perturba-ción de la gravedad:

\

W=Uo

\

perturbación de la gravedad:

8g

::: 9 op °P

y.

P

el ángulo

--

l: 9

'f. .\ es

op p

para todos los propósitos prá~ ticos, idéntico a la desvia- ción de la vertical. Ellos difieren solamente por el termino que aparece por la curvatura de la línea de plomada del campo normal. Cons iderando que


89

g= Vw y y= Vu

obtenemos:

:9'-y::: VW-VU= V(W-U)=VT

De aquí que el vector de perturbación de la gravedad en un punto P sobre el geoide está dado por el gradiente del potencial de perturbación en el punto. Similarmente, podemos escribir:

ow

9 :::-~.

_ aU y---¡;;;-

donde n, n' son las normales locales externas al geoide y el ipsoide respectivamente. Puesto que el ángulo entre las dos normales (desviación de la vertical) es pequeño, tenemos: 89 =

I-;-y I:::

9-

y::: - --=-O.:..;.W_ +

on

~ ::: - OW + 2!L On'

On

cm

=- -ªIOn

- 72 -

Por 10 tanto, la perturbación de la gravedad está dada como la derivada negativa del potencial de perturbación tomada con res-pecto a la vertical local (o, en su caso, normal elipsoidal). La anomalía de la gravedad es usada mas en geodesia terre~ tre clásica. La perturbación de la gravedad es usada ampl iamente en las teorías modernas y en la geodesia por satél ites. Puesto que la perturbación de la gravedad está referida al geoide, es decir, al punto P, en vez de al elipsoide, al usarla referi remos cualquier cosa automáticamente al geoide. Se tendrá la idea de que inclusive el potencial de perturbación y la altura geoidal están referidas al geoide. Nótese que aún nos estamos moviendo suavemente sobre un ni vel superficial sin conocer el geoide ni el elipsoide de referencia. Por 10 tanto, no podemos medir ninguna de las cantidades involucradas. 3.11.- RELAC10N ENTRE EL POTENCIAL DE PERTURBACION y LA ALTURA GEOIDAL. SEGUNDA FORMULA DE BRUNS. De 3.10 tomamos ahora ambas secciones transversales. diagrama podemos escribir:

I

Del

u - U = illL N = - Y.. NO P O Gn l O O Q

(*)

p

Puesto que: N

I

p

I I

=N O

I

~{j">{j

entonces:

------.::g

Por definición: Wp

= Up

+ Tp.

Por 10 tanto:

Pero Wp en nuestra notación también es igual a Uo o UQ • Por 10 tanto, finalmente tenemos:


Q

- 73 -

o

que es una de las fórmulas más importantes de geodesia fisica, debida al geodesta alemán Bruns (1878). Se conoce como la Segunda Fórmula de Bruns y relaciona el potencial de perturbación (T) con la ondulación geo ida 1 (N). Cuando consideramos un el ipsoide de referencia, como siempre es el caso, sin conocer los valores de las constantes involucradas (KM, a, E, w ) es como si tuviéramos un valor equivocado del potencial normal. Denotemos por UA al valor asumido del potencial normal y por 8u a la diferencia UA - Uo. Entonces:

Su =UA - Uo= WP - UQ = -

V fo

N'

P

+ T'P

de donde obtenemos:

Esta fórmula se conoce como la fórmula generalizada de Bruns. Relaciona el potencial de perturbación (calculado de un cam po de gravedad normal asumido) con la altura geoidal por encima del elipsoide asumido.


Note que 8u es función de 8M, 8a, 8E, U, 8 ; donde 8M, Ba, 8E, son las diferencias entre los valores verdaderos M, a, E, y los valores asumidos MI, al, El. En la práct ica 8u se cons idera constante e interpretada como imprecisión en nuestro conocimiento de Wp, el valor del potencial correspondiente al geoide. 3.12.- ECUACION GRAVIMETRICA FUNDAMENTAL. Consideremos nuevamente que conocemos la forma verdadera del elipsoide de referencia (a, E) y las otras dos constantes necesa-rias (KM,w ) para determinar la gravedad normal. Tenemos que la anomalia de la gravedad es:

L'lg =9 P

P

-

y. o

- 74 -

y

la perturbación de la gravedad: 8g =g p

p

-r..p

Podemos escribir entonces:

.6.g

p

= 8 gp + (yp - r..o )

Por otra parte, sabemos que (3.10):

9 = Vw -

9 =-

~: ,y =Vu -

y =-

~~

de donde: 8g

p

pero puesto que

8g

=-~I +~I On pOn' p B es pequeño: n

_..l1L I

;, POn'

~

+~

POn'

n', escribimos finalmente.

IP -O( w 1-P- - MO IP On' -U)

T

OUI -O n

IP -

v -,p ,

.Q!L On'

Io = -

r.:

o

Si ahora diferenciamos la ecuación (;·c) de (3.11) con res-pecto a n', obtenemos:

~I-~I --~I On' Pon' o on' ~ es decir:

y - y =oY -P

o

onl

I

Q,

N

p

Np ,


Así mismo tenemos que:

- 75 -

En esta forma la anomalia de la gravedad se relaciona con la perturbación de la gravedad:

D.g ::: og

P

P

poniendo

+R

On'

1 N O

p

Usando la segunda fórmula de Bruns para sustituir a Np y por su expresión final, obtenemos:

Og p

D.g ::: P

~ I + _1- ~ I

on'

on'

Yo

p

T

o p

Esta ecuación gravimétrica fundamental usualmente se escrl be como:

_-ª.:L ah

+_1-

ro

k ah

T

donde la normal al elipsoide se sutituye por la altura y todos sus té~ minos están referidos al punto O (o Q, según el caso), es decir, al el i pso i de de refe renc i a. Es to 10 podemos hace r porque D.g , as í como T están realmente referidos tanto a P como a O (o Q) y por mera conveniencia hemos decidido previamente designarlos con el sub-índice P. Considerando nuevamente un elipsoide de referencia arbitr_,ªrio (muy próximo al geoide), podemos concluir con la ecuación generall zada: 11

I~


ug - -

donde todas las variables están referidas al elipsoide de referencia arbitrario. 3.13.- D1SCUSION DE LA ECUAC10N GRAV1METR1CA FUNDAMENTAL BLEMA MIXTa DE VALOR EN LA FRONTERA DE GEODESIA.

o

EL PRO

No es difícil ver que la ecuación'gravimétrica fundamental nos provee con los valores de frontera del problema del tipo mixto para resolver la ecuación de Laplace:

D.T=O

- 76 -

para el exterior del el ipsoide de referencia, considerando que el el i2 soide y los valores KM,w (para calcular la gravedad normal) son se-leccionados adecuadamente. Existen tres dificultades involucradas en la solución del tercer problema del valor de frontera usando las anomalías de la gravedad (de la ecuación fundamental de la gravedad): i).-

No conocemos y nunca conoceremos los valores verda deros de a, E KM,w • Por 10 tanto, el términodesconoc ido estará s iempre presente y no pod~ mos aplicar como es el método desarrollado anteriormente (Ver 2.21).

i i).-

El geoide ni es conocido o accesible sobre los con tinentes. Por lo tanto, el valor goP necesarlopara la determinación de 6g (Ver 3.10) no es ob-se rvab le. I nc I us i ve, [j,g no si emp re puede obtene.r se sin introducir consideraciones mayores. Por otro lado, son muy escasas las observaciones de goP sobre la superficie océánica y obviamente, materia de preocupación.

iii).-

Aún más, el requerimiento básico para 6T = 0, es decir, la densidad cr= 0, usualmente no es sa-tisfecha en cualquier lugar fuera del el ipsoide. El el ipsoide de referencia asumido normalmente se aproxima al geoide en sentido med io y de modo que cas i s iemp re es té por debaj o de I te r reno en los continentes e, inclusive, por debajo del nivel medio del mar en varios lugares.

Las dos últimas dificultades son superadas usualmente alte rando las anomalías de la gravedad de tal modo que se neutral icen. R~ ducimos primero al geoide, las observaciones de la gravedad hechas sobre la superficie de la tierra y luego, por cálculos, se toman en cuen ta las masas por encima del elipsoide. Estas reducciones de la gravedad, sin embargo, serán tratadas en otro lugar. Para el tratamiento del problema mixto del valor en la frontera asumiremos que las anoma-lías de la gravedad están ya corregidas de un modo apropiado. Antes de abocarnos a resolver este tipo de problema debe-mos ver el término:

ay' c}h

y tratar de encontrarle una expreslon más adecuada. Podría lograrse directamente del potencial normal (3.5) si expresamos Y por su gra-diente y la diferenciamos con respecto a la normal el ipsoidal, pero é~ to sería un trabajo muy tedioso. Mostraremos un método más corto usan do geometría diferencial.


Su

- 77 -

3.14.- EL GRADIENTE VERTICAL DE LA GRAVEDAD, Consideremos el potencial W de la tierra actual .. La superficie equipotencial W (X, Y, z) = Wp puede conside rarse como una función impl icita de X, Y, Z. Consideremos un sistema ortogonal local de coordenadas tales que el eje Y coincida con la normal a W = Wp (vertical); el eje !está en el plano tangente a W = Wp y dirigido hacia el norte; el eje Y apunta al oeste. La derivada total de W con respecto a

-dW - - - -aW - - + iJw -dX O'X aZ

X es:

-

dZ

La segunda derivada total es:

222

'" .:!Y:!. =~ + ~ ....u.. d X OX2 ifX al.' dí<

+

iw

al oí<

~

dX

2

+~ 0'Z2

'" 2

O

(~)+~

dX

al'

Llamemos:

~=wt..,

Ox

X

Puesto que W

Constan-

Además, dZ/dX = O ya que Z es perpendicular a W La segunda derivada total se convierte entonces:

Constan-

similarmente las otras derivadas parciales. te, tenemos:

y

dW


dX

te.

-

w;:.' " + W!-.,Z XX

=0

=O rJ

Similarmente, la segunda derivada total con respecto a y da:

w:':"'", + w:'" yy z

=0

2 d

Z dX :¿

- 78 Aqu í :

el valor absoluto de la gravedad en el punto en cuesti6n. curva y

Por Geometría Diferencial sabemos que la curvatura K de la y (X) está dada por: 2 -3/2

K=yl/( I+Y' )

2~

~2

Entonces, en nuestro caso, d Z/dX puede considerarse la cu.[ya,.!ura de"L: = "t: (X), el perfil N - S de la superficie equipotencialj d2 Z/dy2 sería la curvatura en el perfil E - W. Esto se debe a que las primeras derivadas en ambas direcciones son cero. Llamando J al valor negativo de toda la curvatura de la SM perficie equipotencial, dada como la media aritmética de las dos curv~ tu ras de los perfiles perpendiculares, obtenemos:

donde el operador de Laplace en el sistema de coordenadas local está dado por:

Combinando las tres últimas ecuaciones y considerando que:

w::.,~ -ª-w:... =_......L g : - ~ zz al: z 0'2 Oh


Por otro lado, puesto que W es el potencial de la gravedad, tiene que satisfacer la ecuación de Poisson:

- 79 -

finalmente obtenemos:

Esta fórmula se conoce como la primera fórmula de Bruns y relaciona el gradiente vertical de la gravedad con los otros paráme- tros que determinan el campo potencial. Nótese que las cantidades g, J, O" están referidas al punto en donde examinamos el grad iente. La primera fórmula de Bruns es una de las escasas fórmulas rigurosas de Geodes ia Fís ica. No es difícil ver que para la gravedad normal sobre el elipsoide tenemos ahora:

ay ah

- - = -2yJ -2w

2

Aquí J es aún desconocido. Sin embargo en este caso somos capaces de expresar J en función del radio de curvatura del meridiano M, y del radio de curvatura de la sección transversal del primer vertical N (¡no confundir estas M, N con la masa de la tierra y la ondula-ción geoidal!). Tenemos: I 2

I M

I N

J=-(-+-)


(note el signo; en matemáticas la curvatura se toma positiva para una superficie convexa; en Geodesia es positiva para una superficie cóncava vista a través de la normal). Aquí M y N pueden expresarse, como sabemos de Geodesia Geométrica: I

_

b 02

2

- - - - - (1 + e'

M

2 cos

cf»

donde: 2 2)1/2 e,=_E_ = ( o - b b b

Por 10 tanto:

3/2

,

I

b

N

0

-=--(I+e 2

/2

cos

2

cf»

1/2

- 80 -

Usando

19,2=

f=I-~

_ 1 _ -1= ( H)2

podemos escribir:

HI-f~ = (2f-f2) (I-t)

(1+2f+-----)=

Por 10 tanto: 1

M

::::::

_1_::::: N

~ O

+

(1-1.2f

cosZ.cp)3/2=-'L2 o

(1+2fc052 cp)I/2

a

(1+3f

co~2cp+-- __ )

=_b_(I+f cos 2 4> + ____ ) a2

de donde:

Podemos entonces escribir para el gradiente de la gravedad

Aqui 2w 2 es más pequeño que el primer término y puede considerarse como un término correctivo. Sin embargo puede aproximarse por:

usando la fórmula para m de 3.6 y:


norma 1 :

- 81 -

de 3.7. Sustituyendo este resultado en nuestra ecuación original, podemos escribir:

-ªL ~ _ rL ( _b_ + 2 _b_ f

ah

o

o

C05 2

o

cp

+m )

Aquí b/a = 1 - f; b/a en el término cos cp2 puede igualarse a 1 (ya que es mucho menor que el primer término), y:

Finalmente concluimos entonces con:

ay (H despreciando todos

~

-

105

~ (1 + m + f cos 2 cp ) o

términos de orden mayor en m, f.

3.15.- SOLUCION AL PROBLEMA MIXTO DEL VALOR EN LA FRONTERA DE GEQ DESIA FISICA. Sustituyendo el resultado de 3.14 en la ecuación gravimé-trica fundamental obtenemos:

~ 9 ~ - _0_ (T +8 U ) INEGI. Geodesia Física Aplicada Tomo I

Oh

- _2_ ( I + m + f cos 2

cp )( T + 8u 1

a

donde hemos el iminado 105 tildes y aceptamos de ahora en adelante que la ecuación es vál ida sobre un el ipsoide de referencia arbitrario que está muy próximo al geoide ya que todas las cantidades involucradas e~ tán calculadas teniendo como base este elipsoide. Este es nuestro valor en la frontera para: ~ (T

+ 8U) =O

por encima del el ipsoide de referencia. -3 Puede demostrarse que con una precisión del orden del 3 x 10 el coeficiente para T + oU es constante sobre el el ipsoide e igual a:

- 82 -

- 2/R

donde:

La solución al tercer problema de valor en la frontera de escribirse aproximadamente entonces (Ver 2.21): T

=T

+DU ~

ro

n

qnm (fL,E,bl

I I

6g

n=O m=O -~+~

R

a

m

= L'\ '\ L

_R-

nm n=O m=O n - I

q

nm

69

pu~

nm

R

donde 6g son las armónicas esféricas de 6g de referencia obtenemos:

ro T ~ I -'L n= O n-I

Sobre el elipsoide

6g -----------(+l n

Nótese que la expresión no está definida para n

= 1.

Tenemos que asumir que la armónica de primer grado está completamente perdida. Esta es la condición que tiene que satisfacer: se para esta particular combinación 1 ineal de valores en la frontera. Corresponde a la condición:

El

-ª..L

an

dEl = O

para el problema de Newman. Aquí nuestra condición es:

11

6g cos

o/

dEl =0

El

Expresando:

T = W-

(U-

8Ul=W-U

podemos desarrollar los tres potenciales en armónicas esféricas yen--


fi

- 83 -

T

contrar que los coeficientes para la armónica de primer grado para depende del desplazamiento del centro del elipsoide de referencia del centro de gravedad de la tierra. Si consideramos que ellos coinciden entonces podemos igualar a cero la armónica de primer grado y escribir: T = TO

+

I

n

n=2

~I

L1g n

donde por To simbol izamos a la armonlca de grado cero de T. la solución sobre el elipsoide de referencia.

Esta es -

Puesto que:

la ecuación anterior la podemos escribir como:

ro

T

~K ~ + I R

n=2

R

n=T

L1g n

Aquí, cuando tratamos con L1g, consideramos que éste debe cor reg irse por: i).-


ii).-

La influencia de las masas sobre el el ipsoide. La reducción de la gravedad observada del terrenoal geoide.

3.16.- LA INTEGRAL DE STOKES. Desarrollemos la anomalía de la gravedad sobre el elipsoide de referencia en armónicas esféricas (el ipsoidales). Como sabemos, tenemos para L1g , como para cualquier función arbitraria:

donde: n

L1gn

=I m=o

[(AnmCOS m

A + Bnmsen

m

A)

~m(COse)J

- 84 -

con: Anm

(n - m)!

2n+1

2~

:t----'-

\n+m)1

2n+1

B =(n-m)! nm \ n+m)1

2~

~g(8~X)cosmX'P

g

~I

(cos8) dEl,

nm

¡¡;

~g(8;A')senmX~m(cOS8)dEI,

)f..

El

(para m=o,seró 4~enves de 2~),

Simbol izamos con tildes las variables auxil iares en la integración. Sustituyendo las expresiones para los coeficientes en las expres iones para ~g ,obtenemos: n

-

2n

+1

P (cos 8) no

4~

fj

n

+¿

{,n-m)! m = 1 ( n+ m ) !

~9

fj El

P

2n+1 2~

P (cos8') dEl no

+

P (cos8) [cos mA nm

cosm>: Pnm(cos8')dEI +senmA

(COS

nm

~g

El

8') dEl]

}

f4.1

~g

sen mX

•

Sacando la integral fuera de la sumatoria, obtenemos:

I:.g = n

2n

+1

4~

ff

El

I((n-m)lI { l:.q(8~~)[pno (cos8)pno (cos8') +2 m=1 n +n !


~ 9n

- 85 -

~m

(cos

8 ) ~m(cos e')(cos mACOS m X+seo m A seom X)) ] }dEI

Puede verse que la expresión entre paréntesis rectangula-res es igual a Pn (cos'f. ) (Ver 2.22), donde1/{ es la distancia esf~ rica entre el punto ( 8,A) donde se calcula Ll9nY el 11 punto auxi- liar de integración 11 ( Podemos escribir entonces:

e;x ).

6g = n

2 n +I 417"

t(

~I

6g (e):)

P n

(cos 1jJ) dEl •

Este resultado puede sustituirse en la ecuación (+) en 3.15 y obtener:

ro

T::: ¿

n=o

=

[...!L n-I

_R_ 417"

~ 411"

~ 6g

Ji

El

6g (e:X)

~

(cosljJ)

R_ !6(coslj!) dEl t _

El

417"

f

dEl] =

6g El

ro

¿

0= 2


donde las series se conocen como función de Stokes primer término no es sino:

2n+1 0-1

P (<:.os Ijt)

n

dEl

[s (Ij!)] yel

El segundo término usualmente se llama integral de

Stokes

y representa la solución completa al problema mixto de valor en la

frontera para 6g o = o sobre el elipsoide. Esto corresponde a la integral de Poisson para el problema del valor en la frontera sobre la esfera.

,

Podemos ver que se ha dejado fuera del desarrollo la armónica de primer grado: TI ,,_R_=

1-1

6g I

- 86 -

Esto se hace porque se demostró que cuando el centro del el ipsoide coincide con el centro de gravedad terrestre, Tí tiende a cero. La coincidencia de los dos centros tiene que suponerse.

3.17.- FORMULA DE STOKES.

DETERMINACION GRAVIMETRICA DEL GEOIDE.

Desde el punto de vista de la determinación del geoide, el conocimiento de T es solo una etapa intermedia, ya que el geoide es definido como la superficie equipotencial:

Sin embargo, se ve fácilmente que usando la fórmula gener2

1 izada de Bruns (Ver 3.11) las ondulaciones geoidales N pueden calcu-larse de

T.

Podemos escribir:

T = T+8u =y N o bien:

N'::: _R_tc llg S(-l')dEI-Rllg Iy' 41TY' JI o

To= -

R llg o

donde por "O" simbolizamos nuevamente a la primera armónica esféricaen un desarrollo apropiado. Recordando la fórmula de ~o en 3.15, obt~ nemos:

- R llg ::: K ~ + 8u = - 8NG o R Escribiendo la fórmula para N en la forma:


Aquí podemos tomar una gravedad media G en vez de y' con una influencia pequeña sobre la ya 1 imitada precisión. Queda por verse si llg puede expresarse en términos de otros parámetros. o De la fórmula en 3.15 para T podemos ver que:

- 87 -

~g

N +eN = - R - - f i 47TG

S(lJ!ldEI

El

obtenemos: eN

=-

K eM _

RG

-ª.!L ' G

La fórmula para N se conoce como fórmula de Stokes y nos da las ondulaciones del geoide sobre la superficie el ipsoidal de referencia considerada. La corrección eN a las ondulaciones calculadas puede agregarse s i conocemos e M y 8U, los errores en la masa y en el potencial del el ipsoide considerado.


La fórmula (sin el término eN) se debe a Sir George Gabriel Stokes (1819-1903), matemático y físico de Cambridge. Fue publicada en 1849, y es quizás, la fórmula más importante de Geodesia Fl sica. Permite la determinación del geoide (referido al el ipsoide de referencia considerado) a partir de datos gravimétricos. El geoide calculado por esta fórmula es, debido a nuestras consideraciones, siempre concéntrico con la superficie de referencia. oN usualmente se toma como una constante y se interpreta como una CQ rrección a uno de los ejes del el ipsoide. La razón de ésto es que las constantes E,w del el ipsoide de referencia se conocen mucho mejor que a, KM; 'puede considerarse también que e u se debe principalmente a 8M y (5a. Su efecto de incertidumbre no puede determinarse. Es más fácil tomar en cuenta este efecto cambiando el tamaño del elipsoide de referencia en vez de cambiar su masa. De este modo el elipsoide de referencia se aproxima más al geoide, 10 que es una propiedad dese~ b le.

3.18.- ALGUNAS CONSIDERACIONES SOBRE LA FORMULA DE STOKES. La función de Stokes puede expresarse sin usar las series infinitas como: S (IJ!

1 = 2 -R- +

1

+

3L~( -

I

2

I - 3 -

-

~ R I

- cos

--cos 2

IJ!

(5 +

IJ! + -~- ) ) 2R

- 88 -

Puede verse que para

~-

O

1/1-0

y

S (

1/1

)-00

Su gráfica luce entonces psi:

4 ~ -----------------------/~ 1

O -1

700

1170

I

I

1800

Puede observarse claramente cómo las anomalías de la grav~ dad sobre toda la tierra contribuyen para cada ondulación geoida1 particular N en cualquier lugar. Mientras más nos acercamos al punto de interés, más conbribuye la anomalía ~g a la ondulación. Por 10 tanto, cuando usamos la fórmula de Stokes tenemos que conocer muy bien ~g , particularmente en la vecindad del punto de interés. La fórmula de Stokes puede escribirse de diversas formas. Aquí solo mencionaremos dos: Primero, podemos elegir el punto de int~ rés como el origen de coordenadas polares sobre el el ipsoide y obtener:


-2

- 89 -

¡27r 7r

R Nf8N=-47rG a=o

11JI=0

l1g(a.lJI)

S(IJI)

senlJldlJl da=

=RG

donde: F(l/I)

I = -2S

(o/) sen

o/

y L'.'.g (IJI ) es la anomalía media de la distancia angular IJI ' a partir del punto de interés. Alternativamente, §EI puede expresarse en términos de coordenadas geográficas y obtenemos:

27r N(cp.Al+8N=_R- 1 47TG >':=0


1

f7r/2L'.'.g(cp~X) 't' __ ~'-

Tri2

S(lJIleoscp'dcp'dA

donde:

IJI =Are

cos (sen

ep sen ep' +cos ep cos ep' cos (X - Al·

En la práctica, los métodos numéricos son usados casi ex-clusivamente para evaluar estas integrales. 3.19.- LAS FORMULAS DE VENING-MEINESZ. Otra aplicación de la solución completa al problema mixto de valor en la frontera, es decir, de la integral de Stokes, son las

- 90 fórmulas que permiten el cálculo de las componentes N - S Y W - E de la desviación de la vertical local a partir de las anomalías de la gr~ vedad conocidas sobre toda la tierra. Las fórmulas pueden derivarse como sigue: De la sección transversal siguiente puede verse que:

Si la sección transversal se toma en el plano definido por las dos normales entonces:

€

=e

Si la sección transversal está en el plano meridiano (o primer vertical) E representa a la componente N - S (W - E) de 11 amada .; (r¡) .

e

Para estas dos componentes tenemos: dS

ELIPSOIDE

coeficientes de Lamé, para r

de donde:

donde los signos (-) expresan la convención de que para dN pos i tivo ~. r¡ se cons ideran que decrecen al incremen-tarse ~. A • Llamando d~ ,dA a los incrementos diferenciales en el meridiano y primer vertical y usando los R (sobre el elipsoide), tenemos:


dN

- 91 -

Tomando N de la fórmula de Stokes y cons iderando constante obtenemos:

~ =_ _ 1_ 41TG

'1] =-

([ /)"g gEl

I

41TG tos el>

ff.

El

Os (1/1)

04>

8 N como

dEl,

~g

dEl

Expresando las derivadas parciales como: OS(~)

=

04>

OS(~)

a~

OS.(~)

0'1-'

oCP

OA

OIJl!Ocp

y derivando en 2.22;

cos IJI

=sen 4>

OIJlIOA

=

OS(~)

~

dlJl

OA

de la fórmula para cos''''

sen 4>' + cos

4> cos 4>' cos ( 'X -

usada

A) ,

obtenemos: -

sen'"

f t = cos 4> 04>

sen 4>' - sen


= coscf> coscf>'

4>

cos cf>' CDS

(

X-A) =

sen (X-A) •

Por otro lado, del triángulo esférico obtenemos: sen

I

I

I I

I

:90!. cf> I

/~-

~-::-;---¡¡,---I

coa

sen '1-' sen

I

:

IJI

a =cos 4>

sen

4>' -

sen cf> cos cf> ' cos ( A' - A) ,

a = cos cf>' sen (X-A) •

- 92 -

Combinando estos dos conjuntos de ecuaciones obtenemos:

---ª-L ocp = -

cos a

, ..EL o).. = -

cos cp sen a

Sustituyendo estos resultados en las fórmulas para", "l, finalmente concluimos con:

~ =____ 41TG

It. ~I

~I

/).g

OS

(lit)·

cos a dEl

0'/1 sen a dEl

las fórmulas de Vening-Meinesz. En estas fórmulas '/1 ,a pueden to-marse nuevamente como coordenadas "polares" sobre el el ipsoide o pue-den transformarse a cualquier otro par de coordenadas sobre el elipsol de. 3.20.- LINEAMIENTOS PARA LA SOLUCION NUMERICA DE LAS FORMULAS DE STOKES y DE VENING-MEINESZ.

I

S('/I). O

respectivamente), sobre el elipsoide y tenemos que usar uno de los innumerables métodos numéricos para evaluar las integrales dobles. TQ dos los métodos numéricos, cualquiera que usemos, sustituye la doble integración por doble sumatoria sobre dos parámetros. E1 formato, para los va lores de /).g para la sumator ia puede ser de dos tipos básicamente. Polar o rectangular. El formato polar corresponde a las variables a, '" descritas en 3.18. Por 10 tanto, el formato tiene que cambiarse constantemente para hacerla que


Las anomalias de la gravedad /).g en las fórmulas de Stokes y de Vening-Meinesz no pueden obtenerse para cada punto del elipsoide de referencia. Pueden obtenerse para un número de puntos discretos donde los valores de la gravedad han sido observados sobre la superficie terrestre. Por 10 tanto, no podemos integrarlas (más precisamen-te, integrar el producto de las anomal ias de la gravedad con la fun- c ión de peso:

- 93 -

se centre sobre el punto de interés. Deb i do a que e 1 punto de llg va r i a con 1/1 (y tamb ién con oc.. en el caso de las fórmulas de Vening-Meinesz), el formato puede designarse en tal forma que tenga las áreas mayores correspondiendo a pesos más pequeños y viceversa. Evidentemente si llg se pesa en forma "muy 1 igera" puede representar áreas mayores pero s in que estas contribuyan mucho al resultado y viceversa. El formato en cuadricula rectangular se basa generalmente en coordenadas geográficas como las que se menciQ nan en 3.18. Este método es preferible cuando estudiamos el globo com pleto y no solo puntos individuales. Esto se hace porque los valores representativos de l:>.g para cada bloque de dimensiones lld> x llA pueden ligarse en forma permanente con los valores de los b~oques aprQ piados. La cuadrícula no cambia de un punto de interés a otro.


La dificultad más seria que se encuentra en la solución ny merlca es la creciente influencia de las anomalias de la gravedad a ~ dida que uno se acerca al punto de interés. Una simple mirada a las funciones de peso nos convence de que las vecindades del punto tienen un efecto considerable sobre el resultado. Este problema puede supe-rarse por dos caminos: El primero consiste en que es usual hacer más densa la cuadricula en las vecindades del punto. El segundo es que se han obtenido diversas fórmulas para expresar la influencia de las anomalías de la gravedad en la vecindad más próxima a través de otras características del campo de gravedad que no tratan con la función de Stokes. Usando este tipo de fórmulas, dividimos las contribuciones dª bidas a las anomalias de la gravedad en distantes y cercanas (o exte-riores e interiores) y las tratamos separadamente.


Esta pUblicación consta de 250 ejemplares y se terminó de imprimir en el mes de junio de 1984 en los talleres de la Dirección General de Integración y Análisis de la Información, sita en Centeno No. 670, colonia Granjas México. Delegación Iztacalco 08400 México, D.F.

ISBN 968-809-916-3

5PP

nrp...,a¡j/.......... , 1IICiiI" 14 p-1i!5lJpUE!5to tNnITuTQ NACIONAL DE ESTAOISl ICA GEOGRAFIA E INFORMATICA

1"

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GEODESIA FISICA APLICADA

TOMO

Por Dr. Petr Vanicek

I1

Departamento de Inseniería Topográfica Universidad de New Brunswick Fredericton, N. B. Canadá. 1971

Traductor M. en C. Rafael Sosa Torres DETENAL México, D. F. 1977

NOTA DEL TRADUCTOR

Deseo dej ar constanc ia de que este trabaj o es en real idad resultado del esfuerzo que DETENAL está haciendo con el propósito de elevar el nivel de los conocimientos geodésicos dentro y fuera de la propia institución. Debe pues, agradecerse la disposición y el apoyo brindado por las autoridades de DETENAL, particularmente de aquéllas responsables del Area de Geodesia que al facilitarnos medios y personal, hi-cieron posible que estas notas vieran la luz del día. Se agradece profunda y sinceramente, la gentileza del autor Dr. Petr Vanicek, de la Universidad de New Brunswick, al permitir la traducción y divulgación de su obra en español. El excelente trabajo de mecanografiado estuvo a cargo de la Srita. Blanca Estela Ibarra Cortés de la Oficina de Apoyo Vertica"l. También de la Oficina de Apoyo Vertical el Sr. Julio Bueyes 01 iva tuvo la responsabil idad de trazar los diagramas y el arduo y paciente trabajo de escribir todas y cada una de las fórmulas que en estas notas aparecen. Mi sincero reconocimiento al" Sr. Bueyes 01 iva por la alta cal idad de su trabajo. M. en C. Rafael Sosa Torres

C o N T E N IDO Pago

4.

FUNDAMENTOS DE GRAVIMETRIA. • ••••••••••••••••••••••••••••••••• 103 OBSERVACIONES DE LA GRAVEDAD. .. ..................... .. 103 4.2.- INSTRUMENTOS USADOS EN GRAVIMETRIA •••••••••••••••••••• 104 4.3.- REDES GRAVI~\ETRICAS • •••••••••••••••••••••••••••••••••• 106 4.4.- EVALUACION DE LA GRAVEDAD OBSERVADA .••.....•.••••••••. 107 4.5.- CORRECCION y ANOMALIA POR AIRE LIBRE .••••••••••••••••• 108 4.6.- CORRECCION y ANOMALIA DE BOUGUER •••••••••••••••••••••• 109 4.7.- CORRECCION POR TERRENO Y ANOMALlA REFINADA DE BOUGUER. • •••••••••••..•.••••....••.....•..•••••••••••• 113 4.J.- CORRECCION y ~NOMALlA ISOSTATICA. '" .••...•......•...• 117 4.8.1.- ISOSTASIA ••••.•.....•••••••••••.••••••••••••• 117 4.8.2.- MODELO Y TEORIA DE PRATTS. • •••••••••••••••••• 118 4.8.3.- MODELO Y TEORIA DE AIRY •••••••••••••••••••••• 119 4.0.4.- MODELO Y TEORIA DE VENING - MEINESZ. • •••••••• 121 4.3.5.- CORRECCION y ANOMALIA ISOSTATICA ••••••••••••• 121 4.9.- OTRAS CORRECCIONES Y ANOMALIAS DE LA GRAVEDAD .••••••••• 123 4.10.- "EFECTO IND IRECTO, COGEO ID::". • ....................... . 123 4.11.- DISCUSION DE LAS ANOMALIAS DE LA GRAVEDAD INDIVIDUAL. ~~ •••••••••••••••••.••••••••••••••••••••••••• 124 4.12.- MAPAS DE GRAVEDAD, BANCOS DE DATOS DE GRAVE-DAD. • ................................................. . 125

4.1.-

5.

ALTURAS...

5.1.-

• .................................................... .

126

ALTURAS OBSERVADAS .•••.•••.•.•••..•••••••••••••••••••• 126

5.2.- NUMEROS GEOPOTENCIALES. .. ............................ . 127 5.3. - ALTURAS DINAM I CAS • • •••••••••••••••.••••••••••••••••••. 128 5.4.- ALTURAS ORTOMETRICAS ................................. . 129 5.5. - ALTURAS NORMALES. • ••••••.•••••••••••••••••••••.••••••• 133 5.6.- ALTURAS BASADAS SOBRE LA GRAVEDAD NORMAL ••••••.••••••• 134 5.7.- DISCUSION DE LOS SISTEMAS DE ALTURA INDIVI- DUAL. • ................................................. . 135 5.3.- EL NIVEL HED 10 DEL MAR COMO REFERENC lA DE AL137 TURA. 6.

USO DE OBSERVACIONES ASTRONOt·\ICAS EN GEODESIA ................ 139 6.1.- S ISTEHAS DE COORDENADAS CARTES lANAS GEOCENTRl CAS, GEODESICAS y ASTRONOMICAS. SUS TRANSFOE MACIONES. ASTRODESVIACIONES .......................... 139 6.2.- DEFINICION DE UN "PUNTO CORRESPONDIENTE" SO-BRE EL ELIPSOIDE DE REFERENCIA A UN PUNTO EN LA SUPERFICIE; LAS PROYECCIONES DE HELMERT Y DE P IZZETI.

• ••••••••••••••••••••••••••••••••.•••••••••

142

6.3.-

RELACION ENTRE LA ASTRO-DESVIACION Y LA DES-VIACION GRAVIMETRICA ••••.•••••.••.•.•..••••••••••••••• 143 6.4.- AZIMUTES ASTRONOMICO Y GEODESICO. ECUACIONDE LA PLA CE •

• •••••

ti • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • ti •

i i

"

•

•

•

•

•

•

1 46

INEGI. Geodesia Física Aplicada Tomo II

................................................ .

Pago

6.5.6.6.-

6.7. -

7.

DETERMINACION ASTROGEODESICA DEL GEOIDE (NIVE LACION ASTRONOMICA) ....................... :-........... DETERMINACION ASTRO-GRAVIMETRICA DEL GEOIDE (NIVELACION ASTRO-GRAVIMETRICA) .••••••••..••.••.••••.• DETERM INAC ION DE UN EL IPSO IDE DE REFERENC lA OPTIMO A PARTIR DE LAS DESVIACIONES DE LA VER TICAL y LAS ALTURAS GEOIDALES .••••••..••.• :-•..••.••••• 6.7.1.- RELACION ENTRE EL CAMBIO DEL ELIPSOI DE DE REFERENCIA Y LAS DESVIACIONESy ALTURAS GEO IDALES. . . • • . •• .. .... . • •• . . • . .... 6.7.2.- DETERMINACION DEL OPTIMO ELIPSOIDE DE REFERENC lA LOCAL. • •• • . .. • ... .•• ••• . • . .. ... 6.7.3.- DETERMINACION DEL ELIPSOIDE MEDIO DE LA TIERRA ....................................

TOP I COS DIVE RSOS. • . • • • • • • • • . • • . • • • • . • • • • • . • • . . . • • . • • . • . • • • . •• 7.1.- REDUCCION DE LOS ANGULOS HORIZONTALES OBSERVA DOS AL ELIPSOIDE DE REFERENCIA. • ..........: ........... 7.2.- REDUCCION DE DISTANCIAS OBSERVADAS AL ELIPSOl DE DE REFERENC lA. . ••••.••••••••....••....••..•...••.•. 7.3. - ALTURAS TR IANGULADAS. • . . ••• . ... . • . •• . . . .. ••• • .. • . •• • .• 7.4.- AJUSTE "TRIDIMENSIONAL" DE REDES GEODESICAS ........... 7.5.- DISCUSION DE DIVERSOS METODOS PARA DETERMINAR EL GEOIDE. . ...........................................

RE C O N O C I M I E N T O

152 154 154

157 159

160

160 161

166 168

169

.•.•..••.••..••••••••..•.•••.•..••.••. 171 172

REFERENCIAS


150

iii

4.

FUNDAMENTOS DE GRAVIMETRIA.

4.1.nos con seados. se mide (mgal = de 9 en

OBSERVACIONES DE LA GRAVEDAD.

Las observaciones de la gravedad son el medio de proveerlos valores de la aceleración de la gravedad en los puntos d~ La aceleración de la gravedad, usualmente simbo1 izada por g en gals (1 ga1 = 1 cm seg-a ) o sus fracciones decimales - - _ 6 10-3 ga1; f-L9a1 = 10Sal). Obviamente el valor aproximado cualquier lugar sobre la superficie de la tierra es 980 sals.

Desde el punto de vista de la posición de los puntos de observación podemos dividir las observaciones de 9ravedad en: 1) .1 1) .1 1 1) .1V).-

Observaciones en el terreno. Observaciones Submarinas (Ya sean observadas desde el Submarino o sobre el fondo del mar). Observaciones en la Superficie del mar (Desde el barco). Observaciones Aéreas (Desde el aeroplano).

Desde el punto de vista de las técnicas de observación usada podemos hablar acerca de: 1).11).-

Observaciones absolutas. Observaciones relativas.

Las primeras se basan en la idea de la observación directa del valor de 9 en un punto. Las observaciones posteriores ajustan la diferencia en gravedad para dos estaciones. Para propósitos geodésicos nos gustada conocer la gravedad con un error en valor absoluto menor veces el fenómeno 9 obserde 0.1 mga I = 10- 4 ga1, es dec ir, = 10- 7

Las mediciones relativas son hechas de tal manera que le~ mos la lectura sravimétr ica en un punto donde la gravedad ya se conoce. Luego tomamos otra lectura en un punto desconocido y otro en el punto conocido. Por lo tanto, tenemos dos diferencias en lecturas que multipl icadas por una constante conocida de dos diferencias de gravedad. Su discrepancia se atribuye a la imprecisión del instrumeD. to y dividida linealmente con el tiempo sobre am;)as diferencias.

103


vado. Esta es una precisión muy alta y es más fácil de o~tener usando observaciones relativas en lugar de las absolutas. Como hemos dicho en Geodesia F1sica 1, no se ha establecido aun 105 ""alores de gestán sujetos a cualquier cambio secular. De modo que los consideraremos permanentes. Por otro lado, sabemos que el valor de la grave-dad cambia con la posición del sol y la luna. Este fenómeno conocido como marea gravimétrica, puede estimarse en no mas de -0.15 a +0.08 mgals. Puesto que las variaciones de la marea de la gravedad son conocidas y predecibles, ellas pueden ser corregidas.

4.2.-

INSTRUMENTOS USADOS EN GRAVIMETRIA.

Básicamente hay tres diferentes tipos de instrumentos usª dos para observaciones de gravedad (mediciones de g).

1). I I) • I I I) •

PENDUlOS VERTICALES. GRAV I METROS. INSTRUMENTOS DE CAlDA liBRE.

los tipos primero y tercero, pueden usarse para medicio-nes absolutas, el segundo no. "los Péndulos" pueden ser ordinarios, reversibles, invertidos, muy largos o múltiple. Su uso se basa en la idea de que hay una relación conocida entre el periodo de oscilación '¡' el valor de g, llamada T = C g-1;2 donde C es la Constante relacionada a la masa y a la longitud del péndulo. la relación anterior se origina en la ecuación de movimiento del péndulo. No es dificil ver que observando el periodo de oscilación podemos deducir el valor de g, considerando a "C" como conocida. La precisión obtenible con péndulos es del orden de ±3 a iO.l mgals (para péndulos muy largos). El aparato pendular submari-no de Vening - Meinesz (tres péndulos acoplados con registro fotogr~ fico), tuvo como mejor precisión ± 4 mgals. los ma~'ores obstáculos -en el logro de cualquier precisión mejor, son influencias numerosas como resistencia (aire, cortes), temperatura, inestabilidad de las-construcciones establecidad, también errores en tiempo contribuyen -significativamente en la distribución para la relativamente baja pre: cisión. los "grav1metros" son los artefactos ampl iamente usados en 9ravirretría. Todos los diseños invariaulemente están Jasados soore la medición de la posici61' relativa de masas f i j a s y liiJres. Hay tres diseños Jás icos en los grav1rretros modernos. l.

TORS I ONAl . TORSIONAL A I I r - - - - - MASA ATRAIDA; CON ESPEJO


1......._ - - FILAMENTO

---

MASA FIJA CON ESPEJO

MARCO

LECTURA EXTERIOR OPTICA

Toda la COllstrucc ión está :lec:la de Uila pieza de cuarzo fu.!l dido. Este diseño fue usado prirrero en un grav1r..etro Danés por Nor~,aard (precisi6n ~O.2 mgal). Básicamente el mismo diseño aunqueequipado con varios instrumentos de compensación y diferentes sistemas de lectura c;zterior es usado por los grav1metros American Worden - - -

104

(precisi6n 11.

~0.03 mgals) yen los gravtmetros de modelos alemanes.

RESORTE CIRCULAR.

LECTURA DE SALIDA

<:J

OPTICO

ESPEJO FIJO

RESORTE

9

\;II'I\;UL_AI'I'-~

Este es el princIpIo usado por el GKA de Molodenski - - (precis i6n :t0.3 mSal.) y de toda la famil ia de subsecuentes grav1metros rusos. Var{an por diferentes sistemas de compensación o de lectura exterior. 111.

RESORTE ESPIRAL.

LECTURA EXTERIOR OPTICA

Además de estos tres, hay un número de otros diseños como de presi6n de Sas, de vioraci6n o gravtmetros bifilares. Pero nunca han sallado amplio reconocimiento. Los grav1metros también son usados casi exclusivamente cQ mo instrumentos montados sobre balancines o plataformas giroestabil izadas, aerotransportadas o por barcos. Su precisi6n es aun comparatl vamente mas ::'aja ( !0.5 '/ .!10 mgals respectivamente), debido a la contabil idad ir¡adecuada para las aceleraciones de las embarcaciones involucradas. Lo mismo es vál ido para los gravtmetros o para el fondo del mar, donde el mayor defecto es nuestra ineptitud para 1 igar coordenadas p rec i sas con e 1 punto de oose rvac i 6n.

105


Este sistema con varias compensaciones y lecturas exterio res se usa en los grav1metros Norteamericanos y los de La Coste - Rom berg (precisión 0.01 mgal) y parece ser el mejor logrado.

Generalmente los gravimétros han logrado más aceptaci6n _ que cualquier otro instrumento gravimétrico, debido principalmente a su versatilidad. Son fáciles de operar y su teoría es bien conocida. La Onica informaci6n que uno puede obtener de un gravímetro es la lectura sobre una escala. Esta tiene que compararse con el valor propio de la gravedad calibrada. Esta comparaci6n es conocida como calibraci6n. Tres obstáculos mayores pueden enlistarse contra _ los gravímetros en general.

1. 1 l. 11 l.

Inh~bilidad para r,ledir la gravedad absoluta. La necesidad de cal ibraci6n frecuente. La presencia inevitable de deriva deJido a varias componentes y otras causas.

"Instrumentos de caída 1 iore", son los descu0rimientos más modernos en gravimetría. Se oasan en el tiempo de caída de un cuerpo 1 ibre en el vacío. Puesto que la aceleraci6n de una caída libre es "g", la magnitud de la gr.wedad puede deducirse del tiempo de la caída 1 ibre. El instrumento está aun en experimentaci6n y la precisi6n no va más allá de la regi6n de :1 mgal. Puede mencionarse aqut un instrumento :nas, s in embargo el no mide directamente la gravedad. Es la balanza de torsi6n de Eotvos (vari6metro), diseñado para medir los gradientes horizontales de la gravedad. Hay dos tipos diferentes de vari6metros:

tI:


La incl inac i6n tI: came; ia con el az imut del orazo de pa l anca dando los va lores de los grad ientes de "g" en va r i as di rece iQ nes. 4.3.-

REDES GRAVIMETRICAS.

Desde el punto de vista del uso de la gravedad podemos distinguir dos usos diferentes de la gravedad. l. 11.

o~servada

Geodés ica. Geof1sica.

La segunda, usada en prospecci6n goefísica (local izaci6n de diversos dep6sitos de mineral), ha tenido un carácter local.

106

Los usuarios no están interesados en la gravedad absoluta, sino en la relativa. Esto es de poco interés para un geodesta. La primera, debido a la necesidad de abastecer los valores absolutos de la gravedad, ha sido organizado a nivel internacional. Por lo tanto los trabajos gravimétricos nacionales están todos conecta dos a un punto internacional de referencia - Postdam (Se conoce ahoraque su gravedad se derivó con un error de +12.8 mgal. Su valor es demasiado alto. Las redes nacionales están divididas en 3 órdenes. l.

La de primer orden consta de la estación de referencia nacional y de "todos los puntos absolutos". Usualmente están localizados en los aeropuertos de modo que su acceso es fácil. La estación de referencia nacional canadiense es el pilar en la base del antiguo Observatorio Dominio en Ottawa. Su valor, es conocido como siendo también alto por algunos 2.3 mgal. Fue estable cido por métodos relativos.

I l.

Las de segundo orden, constan de puntos establecidos a unas 10 - 20 millas unas de otras y fácilmente accesibles por carro (a lo largo de carreteras, etc.).

111.

Las de tercer orden, tienen puntos mas densos, aunque su precisión es más baja. Estas están siendo cons- truidas corrientemente en Canadá.

4.4.-

EVALUACION DE LA GRAVEDAD OBSERVADA.

Puesto que hay varios usuarios para la información de la gravedad, hay también varios aspectos de la evaluaci6n de los da-tos de la gravedad. En éste y en los párrafos siguientes de esta secci6n vamos a mostrar como puede evaluarse la sravedad ooservada de modo que nos dé las anomalfas de la gravedad soore el el ipsoide de referencia, necesaria para evaluar la f6rmula de Stokes (Ver G. Ftsica 1). Podemos recordar (secci6n 3.15 de Geodesia F1sica 1), que

107


Aoemas de las redes nacionales hay algunas "11neas de Cal ioraci6n" internacionales, extend iéndose a través de ampl ias áreas para cubrir el mayor ranSo posi~le de valores de gravedad. Sus pun-tos usualmente son ocservados con mucha precisi6n para establecer un conocimiento muy preciso de la gravedad. Ellos son usados para la c~ libraci6n de Srav1metros individuales, es decir, derivan la corres-pondencia uno a uno de la escala de la lectura con los valores de la s¡ravedad. La 11nea de Cal ibraci6n de Norteamérica corre de Alaska al Sur de México.

para obtener la 6.g (Anomal ía de la gravedad), sobre el el ipsoide de referencia tenemos que: 1)

Conocer la "gravedad actual" sobre el geoide; (go)

11) Suprimir sobre g. el efecto de las masas que están por encima del elipsoide. Puesto que todas las fórmulas usadas para la determinación del geoide son solo aproximadas, podemos darnos el lu jo de introducir una aproximación del mismo orden pero mucho más con ve niente; nosotros no requerimos que las masas sobre el elipsoide sean medidas, en su lugar se requiere que todas las masas sobre el geoide sean removidas. Esto significa que es 10 mismo como si hubiéramos for mulado el problema del valor de la frontera sobre el geoide en vez desobre el elipsoide.

Sin embargo, no conocemos la distribución de las masas. es decir, la distribución de la densidad CT, dentro de la tierra. Tampoco conocemos las variaciones de la densidad dentro de las capas superficiales, que nos expl ican las protuberancias sobre el geoide. La tarea para evaluar la 6.g sobre el geoide es por 10 tanto for:llidable '/ representa uno de los mayores obstáculos de la geodesia clásica.

Lo dificil de la tarea se refleja en el amplio espectro de las ideas, técnicas V actitudes desplegadas por diversos escolares en s:eodesia. Aqu1 vamos a mostrar lo generalmente aceptado y los métodos más usados en el problema.

4.5.-

CORRECCION y ANOMALIA POR AIRE LIBRE.

La correcciÓn por aire libre se origina de la siguiente imaginaci6n algo simplificada: Sup6ngase que hemos tomado la o:"'serv~ ci6n de 9 (so~re la superficie topográfica de la tierra) en ausencia de todas las masas redundantes sobre el geoide. La estaci6n de oos e .r: vaci6n es entonces imaginada como que está flotando libre en el aire. Entonces la Cmica correcci6n (reducci6n) necesaria para obtener el v~ lor de la gravedad sobre el ~eoide es: ~

-bg

og =-h INEGI. Geodesia Física Aplicada Tomo II

F

bh

Donde h es la altura de nuestra estaci6n so~re el geoide. (Aqu18g nada tiene que hacer con la perturbac i6n de la gravedad def in1 da en Geodesia Ft~:ica 1; J 3.10). Considerando toda la masa del geo1 de concentrada en su ce:ltro de gravedad y s imbol izada por "r" a la distancia de la superficie geoidal desde el centro de gravedad, podemos escribir aproximadamente parago (so;Jre el geoide) M r

go~K2

Diferenc iando ésta con respecto a "r" o:Jtenemos: bgo

M

br

r3

--~-2K--

108

og que aproxime el término Oh En esta fórmula "r" puede ser aproximada aun más por la longitud del radio vector del elipsoide de referencia: b90

Oh

~ -2KM (+

a3

_3_ 2

f cos 2'"

+ _______ )

't'

O por el radio R =$.de la esfera de referencia: ~,.... -2KM

Oh RS En el mejor de los casos, por lo tanto, la fórmula simpl ifl cada:

8g ~ F

Con 8 9

F

M 2 K3 h= 0,3086 h

R

en mga l. para h en m puede usarse.

La correspondiente anomalía de la gravedad'

169 F =9 +8 9 F' y

I

es conocida como la anomalía al aire libre. Aunque la anomalia al aire libre se basa aparentemente sobre consideraciones enteramente erróneas es ampliamente usada debido a algunas propiedades que discutiremos más tarde.

4.6.-

CORRECION y ANOMALIA DE BOUGUER.

Aparentemente el tratamiento de la gravedad al aire libre no describe muy bien la realidad. Obviamente cuando observamos la g so bre la superficie de la tierra su valor se influencia por las masas entre la superficie topográfica y el geoide, así también por las masas en cerradas por el geoide. Esta influencia de las masas sobre el geoide deberá corregirse también. Esto se hace usualmente en dos etapas: l. Remoción de la influencia de la placa de altura h (m) de espesor uniforme. 11. Remoción de la influencia de las irregularidades de la topografia, es decir, la influencia de las masas encerradas entre la su perficie topográfica y la superficie plana de la placa.

En esta sección vamos a tratar con la placa -conocida como placa de Bouguer- en memoria del geodesta francés Bouguer. quien fue el primero que usó esta corrección en su trabajo de gravedad en Perú en 1974. La segunda etapa, considerada como un refinamiento de la primera se conoce como corrección por terreno y se tratará en la sección siguien te. La placa, o la capa cubre la totalidad del geoide y por lo tanto tiene una forma espacial completamente complicada. Afortunadame~ te, sin embargo, es suficiente en la primera aproximación considerarla placa como una capa plana. Entonces puede agregarse a ella una co-rrección por la curvatura de la tierra, como veremos mas adelante. Para derivar la corrección por la placa, consideramos un

109


75.

cilindro circular de altura 11, radio "a" (no confundir con el semieje mayor del elipsoide de referencia) y densidad u. ¿Cuál será su atrae ción en un punto P? Sabemos por la teor1a del potencial que un cuer: po B en atracción actGa sobre una masa unitaria con una fuerza (Ver G.F.I #2.4) f=

-K~;3 pd e

El potencial de esta fuerza se da por (Ver G. F. I 2.8)

i

..E:. )B p d e

V=K(

La forma más fácil de derivar la fuerza de atracción de nuestro cilindro es expresarla en coordenadas cil1ndricas y calcular su potencial primero en un punto localizado sobre el eje Z Obtenemos 21T h a V (P) = Ku

r _ j Z=O Jr;:;O " +de

)a-O

donde de =r" dr:' dz.da

y

de

integrando con respecto a ce

f

rdr "d

da:

hall

V(P)=2lfKuj Z=O

o

(Zp r=O E "

z2 Z) +r

La integral interior puede resolverse por sustitución:


2 2 ,,2 t =(Zp-Z) +r

Esto da:

Por 10 tanto:

110

,,2J~2

Aqu1 la inteSral puede otra vez resolverse por otra sustl tuci6n: t = Zp-Z

Aqu1

Por 10 tanto: 1= - {- [(ZP-h) I + "2

(i+( Zp-h)2) 1/2+ 0 2 Ln «

Zp -h )+(0 2 + (Zp-h)2 )1/2]

+

[z P(o2 + Zp

2 )1/2,,-02 Ln ( Zpt(O 2+Zp 2 )1/2)]

S imbol izando 2 2] 1/2por "d " y (a 2 +Zp2 ) 1/2por [ o +(Zp-h)

"b"

podemos finalmente escribir 1 2 1 2 Zp- h+d )] V(P)=2TrKCT [ -Zph+"2Ii-"2«Zp-h)d-Zp b+o Ln - - - Zp+b

Puesto que estamos interesados en la obtención del ~radieD te vertical de este potencial, es decir, la componente en direcci6n Z la que para todos los prop6sitos prácticos coincide con la direcci6n de 9. hemos de tomar la primera derivada de V (en P) con respecto a Zp. Obtenemos:

[1

od

Ob (1+ - - ) (Zp+b) - (1+ ~) (Zp-h+d)]

~p

u~

P

(Zptb)2

Donde

I

-ªsL:= -'-d- I 2(Zp-h) := OZp

2

P

I

~I

\Zp-h) , . --ª.lL= -'- t)1 2Zp = 2d p' OZp 2 P b

111

p


OV Od Ob 2 Zp + b - - = f =2TTKCT -h--(d+(Zp-h)---b-Zp-+o X OZp p 2 Ozp Ozp Zp-h+d

De aqut que fp pueda reescribirse como: d (Zp-h)2 b fp=-2lTKCT [ h+2+~ -2

Z$

0

2

- 2"b + 2

Zp+b Zp-htd X

(Zp-h) Zp ( I t -- ) ( Zp+b )-(1+1) )(Zp-h+d) d (Zp+b)2

I

p

Evaluando la fórmula anterior en P sobre el cil indro, tenemos Zp=h,d=Oj

b=~

y obtenemos: fp=- lTKCT [ 2h+0-

~(02+ h2) ___h_2__ +

~

+ 02. ( h+~)(ht V ~)_(I+_h_)o] 0-1" n..ranñ2


] =

. Aqu1 cons Iderando o>h

~.puede

desarrollarse en series de potencia;

'i o.Jten lendo: I

h

2

I

h2

fp=-2lTKCT(hto-o(I+2"(a) +-------»=-2lTKCT(h-T 0-------) =- 2 TrKCTh (1-

~

--------)

20

112

Considerando infinito el ditll1letro del ci1 indro, es decir, convirtiendo el ci1 indro enp1ac) de Bouguer. O;;tenemos finalmente: og = Lim fp

=- 2lTK
P a-a La correcci6n debido a 1ap1ac3 de Bouguer. En la práctica la (j de la parte más superior de la costra terrestre se asume usualmente en 2.67 9 cm- 3 10 que da entonces:

!8

gp

=- 0.1119 h 1

en mga1 para h en metros.

La suma 09F+og= O.l967h se conoce como "correcci6n incompleta de Bousuer" (SIMPLE/y la anoma11a correspondiente:

!.0. gp = 9 +09F + 89p -

Y1

es llamada ''Anoma11a incompleta de Bouguer" (S IMPLE).

4.7. -

CORRECCION POR TERRENO Y ANOW\L1A REFINADA DE BOUGUER.

La segunda etapa en la eva1uaci6n de la influencia de las masas entre el geoide y la superficie topográfica consiste en el conteo de las masas atrapadas entre la placa de Bouguer y la Superf ic ie.

Primero dividimos el área alrededor de nuestra estaci6n en compartimentos de acuerdo a un machote. Una de las posibles divisiones se muestra en el di~ grama. La contribuci6n de cada compartimento indivi-dual se calcula separadame~ te y entonces es determinado su efecto combirrado. P~ ra determinar la contribu-ción de un compartimento tal podemos escribir, usando nuevamente coordenadas ci11ndricas r,a,z para la fuerza en atracción en valor absoluto debido a un elemento de masa dm: dfp

113

=K

dm

p2


La eva1uaci6n es fácilmente hecha usando un método de "MQ de1c de templete ".

Donde p2&.r 2 + Z2 . Note que aqut omitimos las dos primas de "r". La componente vert i cal de la fuerza atractiva,nuestra correcc i6n&3gTi debido al elemento de masa en el i-ésimo compartimento es tá dada por

Ah

~

d8gTi = dfpsen,8= dfp

Para todo el compart imento (~a por ~h por ~a)obtenemos cOl! siderando otra vez, la densidad homogénea er para el compartimento to-tal y una altura promedio~hsobreP:

fa=O~afZ=O6hfr=o0+60Lp3

8 9Ti = Ker

r. dr. dz. da

=K~ f~al~h fa+~a v

a=O

Z=O

__Z_r_ dr.dz.da {r 2 +z 2 )3/2

r=c

intesrando con respecto a a tenemos:

8g Ti = Ker~a

1L.\h f a z=o

+~a

Zr .dr. dz (r 2 + Z2 )3/2

r=a


La integrac i6n respecto a Z puede resol verse usando la su.§. tituci6n:

Obtenemos: 8gr' = K(j~a

la+~o [1-v0r2+~h2)

I

r

=0

r

r

dt -t 2

donde la integral interior da:

[-

~"{r-2.-+-~-h2-) 114

+-'r

] dr

Por 10 tanto podemos escrl~lr: ro+~o \

V

S,n ~ KUt:.a J.

'"'~KUt:.a1&J:

r2 + ~h2J

Otra sust i tuc ión

o

/

l= ? + ~h2

do:

8 9T ; = KCT~a

(~o -

J

V

/

r

z

'

+ ~h

z

d, J

v1o+~O)2 dt ) =

~o2+~h2

Para ~h«o

o+~o

Obtenemos

O aproximadamente

KCT~a~h2_ _ = --'-'_---.:=.:..:

2

(_'_

o

+

I

~

)

Varios esquemas han sido ideados como templetes para simplificar la ecuación anterior. Recien'cemente con la aparición de las computadoras los Modelos han perdido su sisnificado. Sin embargo, aun sobre 1as computadoras, uno tiene que usar un esquema de una mar¡~ ra o de otra y por 10 tanto uno tiene que comprender la manera de cómo poner uno. En todos los esquemas la determinación de la corrección por terreno involucra la determinación de una altura proflledio~h para cada compartimento. Los compartimentos más cerrados contribuyen más a toda la corrección. Por 10 tanto las alturas allí tienen que ser-

115


La corrección completa por terreno se da por:

conocidas con mayor preclSlon. Por 10 tanto, la rej illa tiene que ser densa en la vecindad de la estación de gravedad. Algunas veces, particularmente en áreas montañosas, una rej illa fina no es suficiente para dar una precisión adecuada; entonces la contribución de la ve cindad inmediata es determinada por otros métodos, usando gradientes'" de gravedad o los valores de gravedad. Estos están siendo proporcionados por observaciones adicionales. Obviamente los cálculos involucrados son muy tediosos y la corrección por terreno es aplicada ento!!. ces solamente cuando es absolutamente necesario. La magnitud de la corrección por terreno es usualmente del orden de unas cuantas decimas de mgal. para terreno plano o con lamería suave. Llega a algunos mga1. en áreas de baja montaña y a dece-nas de mgal. en zonas de alta montaña. Correcciones de cerca de 40 mgal. han sido experimentados en Colorado, 70 mgal. en Los Cárpatos, etc. Notamos que la correcclon por terreno es siempre positiva no importa que el terreno esté más bajo o más alto que la estación de observación. Este hecho puede entenderse del diagrama:

MASA REDUNDANT


DEFICIENCIA DE MASA

Por 10 tanto, el desprecio de la corrección por terreno introduce una desviacíón sistemática.

116

La suma 8g F t 8gp t8gT se conoce como "corrección completa de Bouguer" (REF INADA). Correspond ientemente:

es llamada "Anomalia completa de Bouguer". Podemos notar que aqui, asi como cuando derivamos la co-rrecclon incompleta de Bouguer, que hemos considerado plana la tie-rra. Esto puede hacerse, porque la atracción de las masas que se sa len del plano horizontal de la estación de gravedad, disminuye muy ráp idamente. S in embargo, para trabaj os muy prec isos, este "efecto esférico" tiene que medirse matemáticamente. En tal caso, usualmente comenzamos a considerar la curva de la tierra desde la distancia esférica de 1.5 0 ( 167 km). 'Esta distancia corresponde al radio del área interior en el modelo de Hayford, del que hablaremos en 4.8.5. De esta distancia en adelante el espesor de la placa topográfica y aun el de la de Bouguer, puede considerarse como cero, cuando se c~~ paran con la distancia. Por 10 tanto, la corrección de Bouguer (Refinada), puede calcularse de la expresión para el potencial de una capa superficial de densidad variable.

4.8.-

CORRECCION y ANOMALIA ISOSTATICA.

4.8.1.-

ISOSTASIA.

La expl icación para este descubrimiento está acaso en "ISOSTASIA", la teoría del equil ibrio de la corteza terrestre. La idea de la Isostasia probablemente se origino ya por Leonardo da

117


Cuando uno calcula las anomalias de Bouguer en grandes áreas, uno descubre que sistemáticamente tiene grandes valores positivos sobre los océanos y grandes valores negativos bajo las monta-ñas. Tales valores, generalmente corresponden a ondulaciones geoid~ les positivas sobre los mares y ondulaciones negativas bajo las re-giones montañosas. Este descubrimiento contradice nuestra hipótesis, basadas en principios fisicos. Si la corteza terrestre fuera homog~ nea y de un espesor uniforme, podríamos suponer que el geoide sigue al terreno, a cierto grado resaltando arriba del elipsoide bajo las montañas y permaneciendo debajo del elipsoide sobre los mares.

Vinc i. Las pr imeras formula ciones matemáticas pueden fundarse en las teorías de J. M. Pratts (1354) y G. B. A i ry (1855). Más rec iente-mente (1931) F. A. Venins-Meinesz, produjo su teoría, la que se acepta como la, quizás, más real ista de to-das. Puesto que la Isostasia es importante para la Geodesia, vamos a del inear todas estas teorías.

4.8.2.-

MODELO Y TEORIA DE PRATTS.

La idea básica de Pratts, es que la corteza terrestre está dividida en más o menos 010ques independientes de diferente densidad., entonces él, los considera flotando sobre el nivel del magma que des-cansa a la profundidad T. Este nivel usualmente se llama el "nivel de compensación".

NIVEL DEL MAR

hi

~ara que los bloques individuales (columnas) ejerzan la misma presión sobre el mag-ma, es necesario que el producto

(T

+ hi)

sea el mismo para todas las columnas considerando una cierta profundidad T del nivel de compensación y una dens idad promed io 00 , podemos expresar la constante como: CONSTANTE

= T~

y considerándola como una contribución de una columna de altura promedio nula. De estas dos expresiones, podemos determinar la densidad de cada columna individual, sobresa1iendohi en km en promedio, S00re el nivel del mar:
=
Aquí T tiene que postu1arse (usualmente alrededor de 100

118

km, para hacer realistas las densidades individuales Yoo generalmente se toma en 2.67 g cm -3 • Cuando se trata con un tenemos que añadir también el peso LlamandoO"wa la densidad del agua y por Di la profund idad media de la del mar, obtenemos:

bloque sumergido en el océano, le de la columna de agua involucrada. (usualmente tomada en 1.027cm-3 ) corteza del bloque bajo el nivel -

Por 10 tanto: r-O"--i=---T-~-----D-i-~-W----'

J

_ T-Di El modelo de Pratts con ciertas modificaciones, fue usado por J. F. Hayford (1912), para suavizar las desviaciones gravimétri-cas de la vertical, las que se emplearon para la determinación del más apropiado el ipsoide para Norteamérica.

4.3.3.-

MODELO Y TEORIA DE AIRY.

El modelo de Airy, se basa en la analogía de los ~loques de la corteza terrestre con montañas de hielo flotantes. Su modelo cons idera una dens idad constante de 0"0 = 2.67 g cm- 3 para todos los ~loques individuales y por 10 tanto, tiene que concluirse que los jlQ ques se hunden diferentemente en el magma plástico de acuerdo con sus a 1tu ras. De la ley de Arquímedes, el equil ibrio de una columna de altura T+hi +lm sumergida en un líquido, una profund idad To + .6Ti se logra cuando la igualdad siguiente es satisfecha:

h¡

T NIVEL t.lAGMATICO

JI

~///1

T Tthi+ATi

1

CfM

T TotAT

1

119

Aquí To+.6Ti es la pro fund idad sumerg ida y O"M es la densidad del líquido ma~ ma en nuestro caso. Usualmente se considera a O" = 3.27g crñ 3 M


NIVEL DEL MAR

De la ecuación para una columna de altura 10 tanto, la altura sumergida L).Ti=O)

hi=O

(y por -

Podemos determinar T

o

=T~ CT M

Entonces la primera ecuación da: hi

a;. +L).Ti o;,

= L). Ti CT

M

y L).Ti =hi

~;, CTM" o;,

4.45 hi

Para los bloques bajo los océanos podemos escribir simi-1armente: (T-L).Ti-Dila;.+Di CT = (To-L).TilCT W

M

Donde Di nuevamente es la profund idad promed io de los océanos y CTW es la densidad del agua, que se asume en 1.027 g cm- 3 Sustituyendo para To

,

o;, -

Di

-L).Ti

obtenemos:

o;, + Di

CT = - 6Ti CT

w

M

y L).Ti =Di

CTo -

CT

CT M

w o;,

:= 2.73 Di

El espesor de la corteza, de acuerdo al modelo de Airy, es dado entonces por:


t :=

<

T+h

+ 4.45h=Tt 5.45h

sobre los continentes bajo los océanos

- T-D-2.73D = T - 3.73D

T es generalmente postulado como s ie;,do, en cua1qu ier lugar, entre 30 - 50 km. El modelo de Airy, fue usado originalmente por Heiskanen, en su primer intento para calcular las anoma1tas corregidas isostáticamente.

120

4.8.4.-

MODELO Y TEORIA DE VENING - MEINESZ.

Los dos modelos precedentes, consideran a los bloques indi viduales (columnas), como moviéndose más o menos independientemente: uno de otro. Las investigaciones geofísicas, han mostrado alguna evidencia, que ésto no es enteramente el caso y que los modelos son algo sobre simplificados. TERRENo

N:E:::~~_

Esto fue la Razón de Porqué Vening - Meinesz, hiciera -un modelo diferente de la c~ pa terrestre. El considera a la corteza, como una capa homogénea elástica, de espesor variable, conocido como "Modelo Regional".

El espesor medio se asume que sea de 30 km. La descrip- ción matemática del modelo, se basa en la teoría de la elasticidad y es muy compl icada. Debido a sus matemáticas complicadas, es muy raramente usa da en la práctica. De acuerdo a nuestro conocimiento actual, la corteza terrestre se comporta como una combinación de todos estos tres modelos. Tiene definitivamente, una densidad variable, así como un espesor va-riable y se comporta como una capa elástica "estructurada". Mientras más se aprende sobre la corteza de otras fuentes (sismología, mareas terrestres, geología, tectónicos, etc.), será más difícil diseñar fiel mente un modelo real. Además, la compensación isostática continOa su2 vemente y tiene que considerarse como un continuo proceso dinámico que contribuye a los llamados movimientos de la corteza. CORRECCION y ANOMALIA ISOSTATICA.

Para expl icar la Isostasia de la corteza terrestre (la cOL teza se sabe como estando compensada isostáticamente, sobre un área que cubre un 90% de la superficie terrestre), uno tiene que cambiar convenientemente la corrección simple o la refinada de Bouguer. Esto puede hacerse usando básicamente la misma técnica que hemos usado para calcular las correcciones por terreno. Dividimos la superficie terre~ tre en compartimentos usando un modelo y obtenemos las columnas corre~ pondientes de la corteza terrestre. En otras palabras, elegimos las fronteras de los bloques de la corteza de acuerdo al modelo, desaten-diendo la estructura actual de los bloques, el que es completamente desconocido de cualquier manera. Entonces la corr~~ción de Bouguer (sin la componente del a i re 1 ibre), puede cons ider. e como tomada en cuenta, para la atrac-ción de algunas "columnas m ~Ias" de densidad ~ y alturas entre

121


4.8.5.-

T+hi , en caso de la corrección refinada o T+h, donde h es la altu ra de nuestra estaci6n de gravedad, en caso de la corrección simple.Cuando queremos tomar en cuenta la lsostasia tenemos que sustraer al efecto de la diferencia, entre estas columnas medias y las columnas compensadas isostáticamente. Por 10 tanto, usando el modelo de Pratts, sustraemos el efecto de las columnas del mismo tamaño, pero con las densidades O; =00 -O; calculadas para a¡ dada en 4.8.2. Por esto fue que Hayford h izo en 1912 la se lecc i6n T= 113.7 Km. El mode 1o patrón que él di señ6 entonces, ha servido de prototipo para casi todos los modelos subse-cuentes, en el campo de las correcciones isostáticas. El modelo usado ha sido también muy útil para otras tareas, tales como los cálcu-los de las correcc iones por terreno, menc ionadas ya en 4.7. Su d iseño se basó en la necesidad de hacer todos los cálculos manualmente y, pierde algo su importancia, con la introducción de las computadoras. Cuando usamos el modelo de Airy, tenemos que sustraer el efecto de las partes sumergidas de las columnas, con densidad ~M- ~o • Diversas tablas que asumen diferentes valores de T, han sido publ icadas principalmente por geodestas finlandeses y el nombre de Heiskanen se ha mencionado en este contexto. Tablas similares por Vening - - Meinesz se obtienen para su propio modelo isostático.


Cuando se calcula la corrección isostática tenemos que cQ menzar por considerar nuevamente, la curvatura de la tierra a partir de cierta distancia. Como en los casos de las correcciones por capa 0 o por terreno, ésto se el ige usualmente a partir de 1.5 , a partir de esta distancia, la corrección combinada og, ' (Bouguer, sin la corre.s ción por aire libre y compensaci6n), puede calcularse de la expresi6n para el potencial de capas de doble superficie, separadas Tkm. La capa super ior, correspond iente a la "topograf1a condensada" (dens idad variable, corresponde a las alturas variables), está en atracción; la capa inferior, correspondiente a la falta de masa en la columna, está en re-T puls ión. Por 10 tanto, cada columna actúa como un di polo. La suma de la correcci6n -combinada y la correcci6n al aire 1 ibre se conoce como "correcci6n isostática". La anomal1a

se llama "anoma11a isostática" (compensada isostáticamente). La co-rrección combinadaogl, es generalmente, justamente pequeña en compar,9. ción conogF y la correcci6n al aire libre es entonces, a menudo considerada como la primera aproximaci6n a la correcci6n. isostática. E~

122

to puede comprenderse cuando se real iza que la anomalía al aire 1 ibre puede interpretarse como que supone a las masas por enci~a del nivel del mar, completamente compensadas debido a la pérdida de masas más bajas y por lo tanto, sin efecto sobre la estación de sravedad sobre la superficie.

4.9.-

OTRAS CORRECCIONES Y ANOMALIAS DE LA GRAVEDAD.

1).

"La corrección de Rudski", se basa en el principio de una inversión esférica respecto a una esfera de radio R, que va siempre abajo del geoide. Las masas sobresal ientes so~'re el geoide son "cambiadas" al interior de la esfera. La corrección es matem~ ticamente rigurosa, pero no tiene ningCtn signific~ do físico. Por lo tanto, es usada raramente.

11).

"La corrección por la condensación de Helmert", to.. ma en cuenta las masas redundantes por medio de e.25. presar su efecto en términos de una capa superfi-cial (sobre el geoide) de densidad variable. Esequivalente a la corrección isostática de Pratts, calculada para T = O. Es aproximadamente igual a la corrección por aire 1 ibre.

111).

"La correcc ión de Bruns", no es más que la corrección al aire 1 iDre, referida al el ipsoide de referencia en vez de al geoide. Por lo tanto, formalmente tiene la misma forma que la 89" (Ver 4.5\ con h+N en vez de la h Teóricamente esta corrección de:jerfa preferirse en vez de la del aire li-bre, puesto que quita de enmedio, el efecto de las masas so~re el el ipsoide y nos da entonces el va-lor de la frontera sobre el el ipsoide. Su apl icación está impedida por nuestro desconocimiento del >jeoide.

4.10.- "EFECTO INDIRECTO, COGEOIDE".

Cuando removemos e 1 efecto de 1a placa de Bougue r y/olas ondulaciones del cerreno, actualmente dissrer;amos las [nasas encima del ~eoide. En otras pala~ras, cuando usamos la a~omalía de Bouguer (simple o refinada). nosostros cam.·iamos mate"láticamente la distri0uci6n real de las masas, el potencial de la tierra ;' por 10 lan~o, ta::!! ,;ién al geoide., entonces, la superficie distorsionada se conoce como

123


Aparte de las correcciones y anomalías tratadas en las secciones precedentes, existen muchas otras definidas en la literatura. Están basadas en diferentes hipótesis, de las primeras hemos tr~ tado ya. Por nombrar alr;unas, mencionaremos las siguientes.

"cogeoide". Expresando el cambio del potencial, debido a la remoción de la placa de Bouguer y/o del terreno, por Ts ' podemos decir, que el potencialWde la tierra se cambiópor8ws =Ts • El efecto de lasanomalías de Bouguer sobre el geoide, calculadas por medio de la fórmula de Stokes, está dada por 10 tanto, usando la fórmula de Bruns: 8N = 8w s

a

y

_l y

Esta distorsión usualmente se llama el efecto indirecto de la masa removida y la superficie así distorsionada es conocida como cogeo ide. 8N s de 1as anoma 1 i as de Bougue r puede se r tan grande como 440 m, es decir, mucho mayor que la misma N. El cogeoide puede reducirse al geoide evaluando la canti-dad Ts , y entonces todos 10s8Ns sobre la superficie terrestre. Elmétodo de modelo puede usarse para este propósito nuevamente, para de terminar laTs en los compartimentos individuales, en mucho de la mis": ma forma como la usada, para la determinación de las correcciones por terreno. La única diferencia es que aqui se buscarian las diferencias en potencial, en vez que diferencias de la fuerza atractiva. Argumento similar se tiene para las anoma1ias isostáticas. Sin embargo, ellas dan un cog~oide diferente, que tiene que transformarse en el geoide, usando nuevamente la fórmula anterior, donde 8w se da como la diferencia Ts-Te . AquiTe denota el potencial de los "bloques anómalos", el efecto de los cuales se sustrajo de los "blo-ques regulares de Bouguer". Puesto que el valor absoluto de Ta - Te es mucho más pequeño que el valor absoluto de Te , el efecto indirecto de las anoma1 ías isostáticas es mucho más pequeño que las anoma1ias de Bouguer, es del orden de ± 10 m. No es difícil ver que aquí el efecto indirecto no está prQ ducido por las anomalías de aire libre. Alli no manipulamos con las masas como un todo. Esta es una ventaja fuerte de discusión, de usar las anomalias al aire libre en vez que cualquier otra anomalía.


4.11.- DISCUSION DE LAS ANOMALIAS DE LA GRAVEDAD INDIVIDUALES. A pesar de nuestra intuición, no es la anomalia de Bouguer la que mejor representa la distribución real de las masas. Aunque pa rezca considerar la distribución visible de las masas adecuadamente, el hecho de que haya deficiencia de masa en la parte interior de la corteza, que tiende a evitar la redundancia de masa en la parte superior de la corteza, distorsion~ su sentido real. Esto puede verse de su descomunal efecto indirecto. De aquí que la anomalía de Bougu~r no sea recomendable para la determinación del seoide. Sin embargo, es muy útil para prospección geofisica, debido a que varia lentamente y refleja las irregularidades de la gravedad local de una manera muv útil. Las anomalias isostáticamente compensadas (Isostasia)

124

obviamente son la representaci6n más veraz de 10 natural y podr1a ser te6ricamente la mejor a emplear para la determinaci6n del geoide. Su principal desventaja es su cálculo comp1 icado. Hemos visto que uno tiene que calcular la correcci6n refinada de Bouguer primero, y luego determinar la correcci6n de compensaci6n y finalmente, evaluar el efecto ind i recto después de haber ap1 icado la f6rmu1a de Stokes. Más precisamente, la f6rmu1a de Stokes es realmente evaluada sobre el coseoide y por 10 tanto, la correcci6n por aire 1 iore deberta tomarse respecto al cogeoide. Por 10 tanto, la altura usada en la determinac i6n de la correcc i6n por a i re 1 ibre deber1a ser h + 8NI ,en vez de h

Como hemos establecido ya en 4.8.5, la anoma1ta por aire 1 ibre puede considerarse como la primera aproximaci6n a la anoma1ta isostáticamente compensada. Además, es muy simple de calcular y no tiene efecto indirecto. Estas son las dos razones de porqué las anoma11as por aire 1 ibre son usadas casi exclusivamente, para la determl naci6n Sravimétrica del geoide. Muchos "geoides gravimétricos", han s ido calculados por varios autores, los más conocidos han sido producidos por Hirvonen (1934), Jeffreys (1943), Tanin (1948-49), Heiskanen (1957), Uoti1a (1962-64) y Kau1a (1961-65). La literatura es rica en ejemplos. Los geoides individuE les var1an muy amp1 iamente, principalmente debido a las diferentes técnicas de interpo1aci6n, usadas por los autores para determinar los valores interpolados de anoma1tas en áreas sin trabajar. Aunque se supone que los mejores geoides no tengan una precisión mejor de algo ±10 m. Esto se debe al hecho a que grandes regiones sobre la supeL ficie de la tierra han permanecido sin investigación y porque la formula de Stokes, debido a todas las aproximaciones usadas, tiene su propia imprecisión inherente. En la secci6n 6, vamos a mostrar algunas técnicas más precisas de c6mo calcular las ondulaciones geoida1es sojre el datum local.

Es usual representar los resultados de un trabajo de gravedad, en la forma de un mapa. Los mapas pueden tratar con la gravedad observada o con anoma11as. Ellos pueden representar los puntos individuales o pro--veernos con 11neas que unan los puntos de igual anoma11a - ISOANOMA-LAS -. Los mapas pueden tener escalas diferentes y por 10 tanto, mo~ trar regiones de diferente tamaRo. Para nosotros, los más importan-tes, SOI1 los mapas de escala pequeRa de anoma11as por aire 1 ibre. Recientemente, la tendencia ha sido sustituir los mapas por ot ras formas de rep resen tac ión de los datos. A sa;Je r, ahora pue-

125


4.12.- lAAPAS DE GRAVEDAD, BANCOS DE DATOS DE GRAVEDAD.

de el usuario proveerse con datos de gravedad de una cierta área en una forma digital. Los bancos de datos de la Sección de Gravedad de la R3ma de F1s ica de la Tierra (Departamento de Eners;ía, ,1inas 'l Re··cursos) en Ottawa, puede servir de ejemplo a este respecto. Los datos de gravedad pueden abastecerse por tarjetas pe.r:. foradas o en cintas magnéticas acompañadas por enl istado de cálculos 'l un croquis en cualquier escala querida, que contenga las anomal ¡as requeridas o los valores observados. Otro ejemplo es la Agencia de la Fuerza Aérea de U.S.A. con sus "Cartas Aeronáuticas '/ Centro de Ir1.. formació~', que tratan con datos de gravedad de gran parte del mundo 'l que puede obtenerse de ellos.

5.

ALTURAS 5.1.-

ALTURAS OBSERVADAS. ~~~e

Consideremos una línea de nivelación A, B, con las e~ taciones intermedias señal~ das por círculos. Cuandoconsideramos que el campo de la gravedad generalmente se representa por superfi-cies equipotenciales no paralelas, no es difícil ver At/--_ _que la suma de las diferencias de nivel observadas8Lno es iqual a la suma de las diferencias de altura 8h De aquí que la diferencia nivelada de dos puntos cualquiera A, B, no es igual a la diferencia de altura A 'l B, hB-hA Esto se debe a la falta de paralel ismo de las superficies equipotenciales.


La relación actual entre la diferencia de nivel observada 8L y la "Correspondiente" diferencia de altura 8h puede expresarse a través de la gravedad. Podemos escribir:

I -

dw ~ P - - 9p ;

dw [dh B~

-9 B ,

o usando diferencias: 8W=-9 8L=-9,8h

P

te.

8

Donde 9pj9 Bes la gravedad actual en P 'l B' respectivamenPor 10 que podemos escribir para8h

126

y si 9p

:f: 9B'

entonces

8h t: 8L

Esta propiedad desafortunada da como resultado que diversas l'ineas de nivelaci6nqueconecten a los mis;nos dos puritos, dai:difer:ntes d~ferencias ~e nivel ¿8L' Usando diferenciales en vez de diferencias, es decir, abstrayéndonos de la nivelaci6n actual, podemos escribir generalmente:

~B dL fhS y

tam~ién

rB

JA

dL

Ruta 1

f

l

hA

B dL

Ruta 2

La última propiedad usualmente es escrita como:

f + dL

y citada como una integración

so~re

O

un c'irculo cerrado.

Podemos concluir que el resultado de una nivelación, sin tomar en cuenta la gravedad, 110 define únicamente la altura de cualquier punto. Pero la definición única de una altura de cualquier punto sobre la superficie es una cuesti6n altamente desea~le. Para losrarlo, tenemos que tomar en consideración la gravedad.

5.2.-

NUMEROS GEOPOTENClALES.

6C = C - CA AS s Los números C - Ce ; C - CA ; donde Co es el poteil-o cial del seoide, son conocidos como "N%meros Geopotenciales", que d~ finen las alturas de By A. Evidentemente la diferencia de dos nú;n~ ros equipotenciales CS-CA puede calcularse de:

CS-CA =!::::,. CAB =

l

A

B

gdL -:::

¿

B

9i

8Li

i=A

Donde 9 (gi ), es la gravedad en la superficie (actual), a 10 largo de la l'inea de nivelación que conecta A con B. No es dif'icil ver que los números ~Jeopote¡1Ciales definell la altura úr,ica de cualquier punto. Esto siSllifica qLle cualquier 11

127


Una forma de definir alturas únicas es usar directamente las superficies equipotenciales para definir la altura de un punto. Podemos decir que un punto que se :lalle sOJre una superficie equipotencial W=C B esUi encima (o dec)ajo) del punto que se halla S00re la superficie equipotencial W = CA por:

nea que conecta A con B, que tomemos, la ¿j.CAS será s iempre la misma. Decimos que los nameros geopotenciales no son rutas dependientes y escribimos:

f

gdL=O

La desventaja de los nameros geoPQtenciales, es que no se dan en unidades de lon9itud, sino en cm2/s~ - de al11 su nombre numéricamente ellos se desv1an de las alturas observadas en un 2%, siempre y cuando elijamos las unidades en la forma más conveniente. Esto es mucho para cualquier trabajo técnico y ésta es la raz6n de que los nameros geopotenciales sean muy raramente usados en la práct ica técn ica.

5.3.- ALTURAS DINAMICAS. Se señalan las "alturas dinámicas" porque tienen las ven tajas de los nameros seopotenciales y el iminan sus desventajas. La altura dinámica de un punto A, se define como:

~= CA/G Donde G es un valor de gravedad seleccionado como refe-rencia. G se el ige generalmente de tal manera, que aproxime el va-lor promedio de "g" del área en cuesti6n -usualmente un pa1s o un grupo de países. Podemos ver que hD está expresado en unidades de longitud y su valor no se desv1a de la altura nivelada tanto como 10 hace el correspondiente namero geopotencial. Por otro lado, los puntos que se apoyan so~re una superficie equipotencial, tienen la misma al tura dinámica. Esto usualmente se expresa, por un slogan "en un si~ tema de altura dinámica, una superficie 'lacustre es plana", Es una práctica general expresar la diferencia de altura dinámica de dos puntos A, B, en términos de una correcci~l a la dif~ rencia de nivel observado. Para derivar esa correcci6n vamos a escribir:

s


::

~ ~9i

SLi

I=A Sumando y restando G a Si¡ obtenemos: gi-G G

Aquí

¿Su = ¿j.hM i

AS

es la diferencia de nivel observada (medida) entre A y B Y

128

Su

" ¿

gi-G

o

- G - OLi =.6AB

es la "corrección dinámica" que a:1damos uuscando.

5.4.-

ALTURAS ORTO:1ETRICAS.

"La altura ortométrica" de un punto A, se define como la lonsitud de la línea de plomada actual que u:.a e 1 punto A con el geo.1. de. Hemos visto en 5.1, que la d iferenc ia ow puede TERRENO expresarse como ow=-g' oh .,--r77 donde S' es la gravedad a lo largo de la 11nea de plQ mada, entonces podemos es-cribir para Oh

Oh=hO A

ahora

-

recordamos

b -o

k..

y

g'

=_ fWA dw WO

g'

a 1 teorema sobre e 1 "va 1or nled i o" di c iendo que si f es continua sobre [a,b] entogces la integral defin.1. da fa f(X) dX siempre puede expresarse como f(x) (b-a) donde fu) es un valor entre Ha) f(b)

Obviamente si f es una función 1 ineal, entonces

f(x)=f(o) apl icando el tefJrema sobre nuestro caso, donde [a,bJ= [WO,WAJ;f= I/g' y la integral

Entonces la altura ortomé trica de un punto, se define como la razón de su nOmero geopotencial y una "gravedad med ia" a 10 largo de su 1 ínea de plomada en el sentido del teorema citado anteriormente.

129

WA '7"-r-.r7-7~-r-r"""7""1

Wo

I/g~


definida igual a la altura ortométrica de A, obtenemos:

Para evaluar la oravedad med ia, escribimos: ~

-

g' = -

I

-¡:;o (WA A

hO

o) = -

- W

I

(WA

----o J, hA WO

IrA, dw = O JI 0_ 9 dh

hA

h

-o

En la 6ltima intesral, Si tiene que considerarse conocida a través de la 11nea de plomada, como una funci6n de altura. De acuer do al tipo de consideraci6n (hip6tesis) usada, obtenemos diversas defT niciones de alturas ortométricas. La mejor conocida es la de "Helmert", quien usa las "hip6tesis de Poincaré-Pray", concerniente a la gravedad a través de la lfnea de plomada. Su método se basa en la prirnera f6rmula de Brulls (Ver Geodesia F1sica 1, ~ 3.14), que se lee:

ag ah

- - =- 2 9 J

+ 4lT Ka- -

2 w

2

La misma f6rmula apl icada a la gravedad normal sobre el el ipsoide medio de la tierra da:

2.L =- 2yJo-2w 2 ah Aqu1 J y Jo son las curvaturas medias de la superficie equipotencial actual y la correspondiente superficie equipotencial nor mal respe:::tivamente. Tomando aproximadamente gJ* yJo

Obtenemos, cuando restamos la segunda de la primera f6rmula:

-ªL. ay ah ah

+ 41fKa-

En esta f6rmula%f puede tomarse apro)(imadamente igual al gradiente "por aire 1 ibre", es decir, - 0.3086 msal/m. L:·lTKaparaa- = 2.67gcrñ-:~ se convierte en 0.2233 mgal/m. Por 10 tanto: r-~------------------~ Este es el gradiente de 2L~-O.0848 mgol/m Poincaré-Pray de la gravedad a.f ah . tual subterránea. Ahora vamos a escribir para cualquier punto Al, sOJre la l'¡nea de plomada de A: INEGI. Geodesia Física Aplicada Tomo II

I

9¡;f. = 9'= 9A +

= gA

fA A

- 0.0848

aa9

h

dh

A'

~

dh

[mgalJ

Fina lmente oiJtenemos: g'=g -0.0848{¡'o-hO )=g +0.0848· O

para h

A

• (h~ - h~)

en metros.

130

[ÁJA mgol *' A

Podemos evaluar la gravedad media a través de la lfnea de plomada. Sustituyendo el Oltimo resultado para g' en la fórmula para S' , obtenemos:

¡hA

o

-

g'

=7

I A

= 9A +

O

~o

(gA +00848

0.0848

(h~- zll dZ

[h~ Z -

2

h~

t-]o = gA + 0.0424

h~ [m gol poroh en m]

A

Note que después de todos los cAlculos, concluimos con el valor de 9' que deberfa deducirse de (0"). inmediatamente pa.-a 9' del punto central de la l'nea de plomada:

9 =9A +00848 (hAO- h2'~

1

Esta es la consecuencia de haber elegido que 9 sea una función 1 ineal de hO. Usando el valor determinado de g' para la altura crtométrica de Helmert:

podemos ahora escribir

o, con suficiente precisión:

tP= C/{g + O.0424hM) Otras variaciones más refinadas del mismo tema, son definiciones deuidas a Niethammer, Mader, Ledersteser, etc. Sistemas illUCllO más aproximados, usados extensail'ente en la prActica técnica, Ilan sido ideados por Baranov, Ramsayer, Ledersteger.

y similarmente para B.

Para la diferencia de sus alturas, oJte"emos:

'3'


Nuevamente es una práctica comOn, corno en el caso de las alturas dinámicas, expresar las diferencias de alturas ortométricas (cualquiera que sean), como una suma de dos términos: La diferencia de nivel ooservada y la corrección. Para hacerlo, vamos a escribir para la altura ortométrica de un punto A:

D

D

AB

AB

pero Llh =!i.

M + t:.h;

AB

D

°

h =h B B

por 10 tanto t:.h~B= t:.h~B +

g'B

y similarmente hD=hO A

G

LPAB +

h~

~-G

A

~ G

g~-G

G

G

En los términos correct ivos, las al turas ortométr icas pue den sustituirse por alturas observadas sin un efecto mayor, y final: mente, oatenemos para la "correcci6n ortométrica": 1\0

_ I\D

M

UAB~ U AB +hA

gÁ-G G

-h

M

B

gé- G -G

La cosa interesante a notar sobre la correcci6n ortométri ca, es que puede cons'iderarse como estando compuesta de tres correc-: cionesdinámicas para las siguientes tres 11neas AB, AnA. BoB. O para ser más preciso, como una suma de correcciones dinámicas en el ciL cuito abierto A ABB


Para concluir, notamos que las alturas ortométricas de puntos diferentes que se hallan sobre una superficie equipotencial, son generalmente diferentes. Por 10 tanto, en el sistema ortométrico una superficie lacustre no es plana, y el agua puede "fluir hacia - arriba". Por otro lado, usualmente ellas son más aproximadas a las alturas niveladas. Puesto que tienen un significado geométrico definido, -alturas geométricas por encima del nivel del mar (geoide)-, también son consideradas como el recurso mas intuitivo en la práctica casi exclusivamente. Como ejemplo de la magnitud, que la corrección ortométrica puede lograr, están los 23 cm experimentados en la nivelación de una ruta Alpina (Biasca - Sto Bernardino), sobre una longitud de 50 km y subiendo de 300 a 2,000 m. Esto es cerca de 30 veces mayor que el límite de tolerancia para nivelación de precisión.

5.5.- ALTURAS NORMALES. Las "alturas normales", no se supone que describen a las a I tu r~s sob re el geo ¡de. E 11 as ref ¡eren los pun tos a otra supe rf ic ¡'e conoCida como "Cuasigeoide" y S . t geodésicas modernas de MOI~dens:.~JusH~n perfectamente a las teorías sigeoide es una sup~rfic~ pura IJ e Irv?n~n en particular. El cua men t e matemat Ica ( . . .. co) que se apana solo unos . Sin significado físi metros de 1 geolde '. y cOIncIde con e'1 , So--

132

ore los mares. Por otra parte, las alturas normales pueden considerarse como una aproximaci6n a las alturas ortométricas. La altura normal de un punto A, se define como: N h =

A

e/y' A

donde y/ es la gravedad normal media, a lo largo de la 11nea de plom~ da de A, tomada del el ipsoide terrestre med io al punto h~ • En otras palabras, Y' se calcula cQ mo un valor medio de la 9r~ vedad normal en AoAI (Vea A el diagrama). Note que g' (Vea el altimo ~ ) ser1a un valor medio de la gravedad actual en AA" y debido a la relaci6n entre las ondula-ciones geoidales (y por lo tanto, a una cierta exten-si6n del cuasigeoide) y el campo de la gravedad, los Ao dos valores g', y', no se apartan mucho tampoco.

Nuevamente podemos escribir para el valor medio hN

Y, = -'N

y'

r A,/dh

h Jo A

donde h '" o es el el ipsoide y ,'(h)lh:OYo es la gravedad normal soore el elipsoide. En Geodesia F1sica 1, '13.14, hemos desarrollado la f6.r. mula siguiente para el gradiente vertical de la gravedad normal:

a, oh

2,

,.1..

- - - ':::"- - - (I+m +f cos 2,#",)

Integrando el gradiente vertical desde el elipsoide en adelante, da:

sustituyendo esta, por,' en la integral anterior, finalmente obtenemos:

Y''Z:'Yo- ~ (l+m+fcos2
133


a

si tomamos h=h~ /2. Las alturas calculadas por esta Y' se conocen como "a 1 tu ras de Mol odensk ij ". Es tas son usadas ailora exc 1us i vamente en Rusia y en el Este de Europa, ell vez de las alturas ortomé-tricas. Ahora podemos ver el segundo término de la expresión ante Evidentemente puede considerarse como un término correctivo aCons iderando:

r ior.

Yo.

KM

térmillo como;

~~R2

:0

Y

11

11

a~

R

(I+m+fcos

podemos escrioir el sesundo

2

R3

Comparando con la correcci6n por aire 1 iore ~ 4.5, nos c0D. vence que nuestro término correctivo puede escribirse en una primera aproximaci6n como una corrección por aire 1 iore negativa a Yo para h = h~ /2. Numé ricamente o:J tenemos;

yl V =Yo -

0.3086 h~ 12

=Yo -0.1542 h~

Las a 1 tu ras norma 1es que usan

Y'v

son 1 L>'"ladas "a 1 tu ras

de Vignal". Estas se han adoptado en Europa Occidental, para las redes de nivelaci6n unificadas de Europa. Se ve ftlcilmente que la corrección nOllmal a la diferencia de nivel oi:Jservada6h~B se da por la misma f6rmula, que para la co-rrección ortométrica con la excepci6n de que en vez de g' escrioimos Por lo tanto:

Y' .

Yé-G G

Obviamente, las al turas normales def inen la pos ic ión vertical de cada punto en forma única, nuevan-ente.


5.6.- ALTURAS BASADAS SOBRE LA GRAVEDAD NORMAL. Dondequiera que la gravedad no esté determinada suficiente mente, para evaluar los números geopotenciales sobre las bases de la gravedad observada en la superficie, por lo menos podemos tomar en cuenta la gravedad normal. La gravedad normal considera el efecto de la convergencia total de las superficies equipotenciales correspondientes al cambio de Y desde el ecuador a los polos, lo que es del orden de 5,400 mgal. Las irregularidades locales del campo de sr.§. vedad actual, usualmente menores de 200 m'jal., son desprec iadas. Si decidimos usar la normal en vez de la gravedad ooserva-

134

da, calculamos los valores aproximados de las diferencias de los ros geopotenc iales 6c de la fórmula s isu iente:

na~

B

!::,:CAB= I

Y¡

8 Li

i=A

La gravedad normal es aqu1, por supuesto, una función de la latitude{>¡ y de la altura hi del punto para el que se calcula Yi Es suficiente para determinar Y¡ de:

xI = y.o

(e{>.) - O.3086h M \. I

donde Yo(e{>¡) se da por una de las fórmulas internacionales para la gravedad normal sobre el el ipsoide medio de la tierra. El error in-troJucido por usar e{> , h sobre el el ipsoide local en vez del el ipsoide med io de la tierra, es cuando mucho de decenas de mgals. en Canadá. Entonces las alturas ortométricas son derivadas de !::.C usando nuevamente la gravedad normal exactamente de la misma manera como fue usada la gravedad o:Jservada. El mismo apoyo es verdadero p~ ra las alturas dinámicas también. Generalmente podemos observar que alturas basadas en la gravedad normal, está significando aproximar las alturas propias (~a~ sadas en la gravedad actual, observada) y entonces pueden considerarse como alturas de orden más bajo, desde el punto de vista riguroso. Estas no deben confundirse con las alturas normales de ninsuna mane-ra. Canadá y U.S.A. están entre los paIses donde estas altu-ras aproximadas, son hasta ahora, usadas exclusivamente. 5.7.-

DISCUSION DE LOS SISTEMAS DE ALTURA INDIVIDUAL

1) 11) 111)

Altura dinámica (C, dividida por una Gravedad constante de referencia para uno o más pa1ses). Altura ortométrica CC, dividida por la gravedad actual media a 10 largo de la 11nea de plo:nada del punto tomado entre el geoide y la superficie). Altura normal CC, dividida por la gravedad normal media a 10 largo de la l1nea de plomada del punto, tomando entre el el ipsoide y un punto de altura encima del elipsoide).

Sin considerar las alturas basadas en la gravedad normal,

135


Hemos visto (
que pueden considerarse como un caso degenerado de las propias altu-ras, entonces tenemos tres definiciones diferentes de alturas: Ellas no son y no se espera que sean equivalentes. Representan tres cantidades geométricas (Físicas) diferentes. Las alturas dinámicas están relacionadas estrechamente al concepto de superficies equipotenciales. Uno puede decir, que ellas reflejan la geometría del espacio físico que nos rodea. Como ya he-mos visto, los puntos que se hallan sobre una superficie equipotencial, tienen la misma altura dinámica (para un valor de la gravedad de referencia). Las alturas ortométricas son lo que uno puede llamar, "Las alturas del Sentido Común". Los puntos que tienen la misma altura ortométrica tienen la misma distancia vertical desde el geoide. Debido a que estas alturas no describen las propiedades físicas del espacio que nos rodea, ellas tienen la propiedad desafortunada de que no consl driln el fl'Jif\ del é.lqu.:>. Podemos tener el flujo del agua de un punto ortométricamente más bajo a otro ortométricamente mayor. Para ver la magnitud de la diferencia entre la altura ortométrica y la dinámica, tomamos la componente de la gravedad normal solamente y dibujamos el diagrama siguien300m-toh ..g te: Las cant idades .6h looY .6h 300 señalan la cantidad de con-vergencia de las superficies equipotenciales normales y por 10 tanto, también aprox1 madamente la diferencia so-bre la altura ortométrica y la dinámica. Ellas pueden evaluarse de las f6rmulas sl guientes:

~

100m

~


300m

que pueden derivarse de nuestra relaci6n conocida: dU= - ydh

tomando

UIOO-UO~ - 100m í

Ya~

-

97800gal.m y

136

I

obtenemos aproximadamente 6.h !:::53 cm ; 6.h!::: 160cm 100

I

300_

Las alturas normales están, filosóficamente hablando, más cerca de las alturas ortométricas. Sin embargo, la desventaja es que aunque en la superficie están referidas al cuasigeoide,este no tiene significado físico. Por otro lado, no existen hipótesis, que las definan. Para fines prácticos las alturas normales son tan buenas como las ortométricas. Los tres sistemas definen la altura de cualquier punto en Estas pueden interpretarse gráficamente como sigue:

- -.

T

-::-----" G - -1/ CU4S/GE; EOloe: __ ----:ñ:------o

h

O/OE:

--

1 5.8.-

=CONSTANTE W. W : A

EL NIVEL MEDIO DEL MAR COMO REFERENCIA DE ALTURA.

BANCO BASICO DE NIVEL

POLEA

1

Ah =CONSTANTE

PLUMA

Ah,

C_M_ETR_O~::::;;::¡Jl..~N~IV~EL~ FLOTADOR

137

Las redes de nivelación, usualmente están conectadas a un número de bancos básicos situados próximos a mareómetros. Sus alturas (g~ neralmente de solo unos metros por encima del nivel del mar) se determinan como 6.h-6.hJ6.hdonde6.h es una coristante ~el mare~metro. 6.h 3 es la diferencia de nivel entre el cero del mareó metro y el banco yl::.h 2 es: la lectura media de la carta que corresponde, al I~i vel medio del mar".l::.h 2 se obtiene como la media de las lecturas sobre un per1Q


forma única.

do de muchos aAos. Luego la altura del banco básico puede considerar se como referido directamente al nivel medio del mar, que nos repre-~ senta al geoide (cuasigeoide). Las alturas de los puntos individuales de la red de nivelaci6n se determinan por ajuste. Primero son determinadas las dife-rencias de alturas ortométricas (dinámicas, normal) de las 11neas de nive1aci6n, usando las diferencias niveladas y las correcciones apropiadas. Luego se ajusta la red dejando fijas las alturas de los Ban-cos Básicos. Por supuesto que este procedimiento supone que: 1) 11)

Las lecturas medias de la carta representan el nivel medio del mar que es constante sobre cualquier per10 do de tiempo. Todos los mare6mtetros se refieren al mismo nivel:-el geoide (cuasigeoide).

HaD1ando estrictamente, ninguna de estas consideraciones parece que sea vál ida. El nivel del mar en cualquier punto, está sujeto a muchas influencias. Parece cierto ahora que la combinaci6n de estas influencias causa que el nivel del mar se eleve sistemáticamente, sobre todo el mundo. La segunda consideraci6n se aprecia inco- rrecta debido a que las condiciones locales (vientos predominantes, sal inidad, temperatura, etc.,), influencia permanentemente al nivel del mar de a19una manera.


Por 10 que el procedimiento más satisfactorio ser1a posesionar solamente un punto (referencia) en la red, con una altura fija supuesta por el ajuste. Este punto de referencia se local izar1a pr6ximo al centro de la red (preferible en un área geo16gicamente esta-ble), para lograr la mejor propagaci6n de errores. Después de tener ajustada la red, uno puede estudiar las alturas de los niveles del mar - como los indicados por el mare6metro -, relativas al punto de referencia. De estas alturas relativas, puede deducirse, una difere~ cia media entre los niveles del mar y el punto de referencia, que ser1a válida por un cierto pedodo de tiempo en todos los puntos, incl.!:!. sive el punto de referencia, puede darse la correcci6n apropiada. E~ tonces la altura del punto de referencia puede declararse fijo para un cierto per1odo de tiempo.

138

6.

USO DE OBSERVACIONES ASTRONOMlCAS EN GEODESIA 6.1.-

SISTEMAS DE COORDENADAS CARTESIANAS GEOCENTRICAS, GEODESICAS y ASTRONOMlCAS. SUS TRANSFORI"ACICNES. ASTRODESVIACIO NES. -

z I)

z

º~

u

o a:

lJJ

o

,P

...,

lJJ lJJ

/¡\

(,(,\0

X

«..~

'/(

~l>-" "

\>\'?-~ O \J

'\

\>\l>-~ (,-c-

'\

*'?-~ ~~\

y

\.

r::,'?-«..~

\.

El sistema "CartesianoGeocéntrico" puede ser "promedio" - usando el eje promedio de rotación de la tierra -, o "ins-tantáneo" - usando el eje instantáneo de rotación para el eje Z -. Está centrado en el centro de sravedad de la tierra y el plano +XZ contiene el ojservatorio de Greenwich.

I

S i los ejes no se illtersectan en el centro de gravedad, ha~lamos so~re e 1 "S istema Cartes iano Relativo". Las transfol: mac iones entre estos sistemas son un caso de traslación y rotaciones diferenciales.

'\

t·z

~

P

11)

11

'~as

coordenadas Geodési

ca~'de un punto P, son ~

cp).., H

Pa ra hace r P.2 referirlas a las coordenadas Cartesianas, tiene que darse el elipsoide de referencia por su centro y 105 dos ejes principales "a" y "o". El radio vector del punto P se da ?or:

b.

-++-'------~x=y

1_1

(N'l(tH) coscp cos A \'* N COS 4>

y:::

........

( Nli( t H) coscp sen A (N~ ~

........ ........

)2 +H) sencp

'x

Aqu'l el radio de curvatura en el primer vertical es:

139


si~le

Para H pequeña, la altura sobre el el ipsoide de referen-c ia, tenemos: COS COS

>"]

cos sen>.. [

b 2. ( a ) sen

Estas f6rmulas, as1 como más detalles, pueden encontrarse en Krakiwsky, E. J. Wells, D. E., 1971; Sistemas de Coordenadas en Geodesia, UNB. Note que no requerimos que el centro del elipsoide _ de referencia, coincida con el centro de sravedad de la tierra. Por otra parte, usualmente queremos que su semieje menor sea paralelo al eje medio de rotación de la tierra. i...as tbnllulas ante¡-iores son vál idas, por supuesto, sola-mente cuando los dos sistemas (Geodésico y Cartesiano), son concéntrl cos y representan la transformación directa de Coordenadas Geodésicas a Cartesianas. Si los dos sistemas no son concéntricos entonces la desviación (traslación) de los dos centros tienen que agregarse a la transf"rmaci6n. La transformdción inverS=l es más complicada y. usualmente se resuelve por un proceso iterativo. Ver Krakiwsky, Wel1s,

1971.

?

G~ i

III)

ELIPSOIDE DE REFERENCIA----'

"Las Coordenadas Astron6micas" de un punto P son
I~:~+(I = INEGI. Geodesia Física Aplicada Tomo II

h

H - N

La relaci6n entreA y >.. no es tan oov ia. Sin emoa rso podemos esc r i:; i r 1a f á c i lr.-e n te a tráves de la considera-' ción de que la imasen de ~' en el plano XV se da por:

140

y entonces:

(A -

A)

cos

cp =7]'

La ecuación siguiente también es válida aprox imadamente:

z

(A - A) COS q,!::! 7]'

Note que si q, se observó astronómicamente, puede o no ser corregida por el efecto del movimiento polar. q, y A son ob-servadas en redes geodés icas sobre todo un conj unto de puntos conoc i-dos como "puntos de desviación". Obviamente si las coordenadas astronómicas q" A, de un punto son observadas y sus coordenadas geodési-cas cp, A derivadas de redes terrestres (calculadas sobre el el ipsol de de referencia), la relación de estos dos pares de coordenadas puede usarse para proporcionarnos las componentes ~: 7]' de la desviación de la vertical en la superficie de la tierra, conocida como "as trodesviación" en P. Esta técnica es usada ampl iamente en la práctica.

141


Por lo tanto, podemos transformar las coordenadas astronómicas loc~ les a geodésicas sola-mente si conocemos la ondulación geoidal y k..-_-;--J-----t-- y las dos componentes de la desviación de la ver tical ~:7]' "en el punto 1"'. Las coordena das geodésicas pueden ~ ~ ELIPSOIDE transformarse sUJsecuen DE REFERENCIA temente a las cartesia~ nas, a través del elipsoide de referencia sox bre el que se conocen las coordenadas geodésl caso Por lo tanto, podemos concluir que para transformar las coordenadas astronómicas (que pueden cons iderarse como "coordenadas observadas") a cartesianas, tenemos que conocer dos superficies - el el ipsoi de de referencia y el geoide o más precisamente el el ipsoide y el ca~ po de gravedad, dado por las superficies equipotenciales entre el -~ geoide y el punto ?

6.2.-

DEFINICION DE UN "PUNTO CORRESPONDIENTE" SOBRE EL ELIPSOIDE DE REFERENCIA A UN PUNTO EN LA SUPERFI CIE; LAS PROYEC-ClONES DE HELMERT Y DE PIZZETI.

Por Geodesia Geométrica se conoce que el el ipsoide de refe rencia, es la superficie sobre la que se lleva a cabo el ajuste de la~ redes horizontales usualmente. Por 10 tanto, tenemos que definir la proyecci6n de los puntos sobre la superficie de la tierra sobre el - el ipsoide de referencia o, en otras palabras, tenemos que definir 10 que entendemos por un "punto correspondiete" Po so:)re el el ipsoide al punto P sobre la superficie. La forma m~s obvia de defi-nir el punto correspondiente Po a P=(ep,A,H) es tomarPo =( A,O ). Esta def in ici6n se debe al geodesta al~ mán Helmert y la proyecci6n Q de Po a Po es conoc ida, por 10 tanto, como "Proyecci6n de Helmert". Su interpretaci6n geométrica es muy fácil y puede cons iderarse como S~ neral izaci6n directa de la definici6n anteriormente us~ da de puntos correspondien-tes en el geoide y en el el ipsoide. Si el punto P en la superficie se determina por sus coordenadas astronómicas
ep,

~=( ep=

donde

("7'

s.on 105 componentes de la astrodesviación en el punto P.

W:w, QL-_~Q~'~_~--~~W~:Wo GEOIDE

142

La segunda definición se debe al geodesta ital iano Pizzeti. El sugiere calcu-lar primero el "punto corre~ pondiente Q'" sobre el geoide proyectando P a través de la actual ltnea de Plomada. Luego este punto Q' se pro-yecta a 10 largo de la nor-mal el ipsoidal al el ipsoide, para obtener el punto corre~ pond iente Po' Esta doble proyección se conoce como "Proyecc ión de P izzet i". Su expresi6n matemática es evidentemente más compl icada que esta de Helmert.

En la práctica, la definici6n de Helmert se usa casi dondequi.era, principalmente debido a su simplicidad. Estas dos defini-ciones, sin embargo, dan casi resultados idénticos, siendo la distancia entre Po y P~ usualmente no mayor de unos centímetros, puede alcanzar ocasionalmente, la magnitud de un metro.

6.3.-

RELACION ENTRE LA ASTRO-DESVIACION y LA DESVIACION GRAVIMETRI CA.

Hasta ahora nos hemos encontrado con dos tipos de desviac iones de la vert ical. Una, introduc ida en Geodes ia Fís ica 1 13.19, describi6 la relaci6n entre el geoide y el elipsoide medio de la tierra. Estas desviaciones pueden calcularse de los datos de la grave-dad y se conocen como "desviaciones gravimétricas o aosolutas". Sus componentes se señalan aquí, así como en Geodesia Física 1, por ~,~ E 1 segundo tipo, las componentes t:~' que :lemos enco!!. trado en ~ 6.1, relaciona la superficie equipotencial del punto en el terreno con el elipsoide de referencia. Puesto que estas desviacio-nes pueden determinarse a partir de observaciones astron6micas (yobservaciones geodésicas y cálculos), ellas usualmente se llaman "des-viaciones astron6micas o relativas". Si el elipsoide de referencia, usado en la determinaci6n de las astrodesviaciones, pasa a ser el el ipsoide medio de la tierra, podríamos concluir con la situaci6n descrita sobre el diagrama, donde e' señala la astrodesviaci6n y e la desviaci6n gravimétrica. En cuyo caso, las dos desviaciones podrían diferir solo por el término debido a la curvatura de la línea de plomada actual. Posteriormente veremos que cuando conocemos la relaci6n mutua del el ipsoide medio de la tierra y el el ipsoide de referencia, (usada para deri-

se

?

7

h

1 143


7

var las astro-desviaciones) somos capaces de transformar las astrodesviaciones originales a nuevas astrodesviaciones referidas al el ipsoide medio de la tierra. En otras palabras, conociendo la relaci6n de 105 dos el ipsoides, podemos hablar sobre la relación de los dos tipos de desviaciÓn en los términos usados anteriormente, puesto que las astrodesviaciones pueden transformarse primero a las astrodesviaciones refe ridas al el ipsoide medio. Por lo tanto, para el resto de este Capttu~ lo, consideraremos que las astrodesviaciones "están" referidas al el i..e. soide medio de la tierra. Para desarrollar las expresiones para las dos componentes del término Curvatura, llamaremos primero

tomando nuevamente el sistema ortogonal local de coordenadas X Y Z con el eje "z" coincidiento con la normal exterior y el eje "X" apun-tando al sur sobre el plano tangente a la superficie equipotencial local (Ver también Geodesia F1sica I,rj 3.14). Esta orientaciÓn particular del sistema X Y Z se elige de modo que corresponda al sent ido de ~ y 7'} • Tomando el incremento del vector diferencial a lo largo de la linea de plomada. da = d xi parale lo al vector de la gravedad 9 = \lw podemos escribir: dx/Wx = dy/W'y = dz/wí

+ d Y j +d z k

donde Wx se pone por ~ aX y s imi larmente Wy; wí ta es la ecuación diferencial de la 11nea de plomada.

Es-


Puesto que queremos determinar las D.f;. ; D.7'} ; es decir, los términos de curvatura en el plano meridiano y en el plano del prl mer vertical, vamos a investigar las proyecciones de la linea de la X plomada en los planos XZ y YZ, escribiendo para la prQ X = X (z) yección en el plano XZ. Recordando I a fórmula para la curvatura de - X

=

X(Z): K=X"(I+X /2 )-S/2

y cons iderando que X/=O debido a nuestra elecciÓn ------~~---~p--~~-------..z del sistema coordenado (X ha ten ido un m1n imo en p), , podemos escribir para la curvatura en el plano XZ:

lx

Kx= - -2dz

144

Por otro lado, de la ecuación diferencial de la 11nea de la plomada tenemos:

Wx -dx- : dz

W'z

tomando la derivada de esta expres ión con respecto a IIZIl, obtenemos: 2

d x :

dz 2

--Lwí 2

[w' (W" 2

X2

+W"

A-) -W (W"+W" ~)] dz x·"ZZ ZX dz 1

XX

dx Pero aqu1 nuevamente """'dZ : O como arriba y W'x =0 po.!: que el eje X es tangente a la superficie equipotencial W::constante. Por 10 tanto

~ d2 X _ Kx - - 2

dz

W'z W"xz W'Z2

=

W'XZ W'z

SaiJemos que W es ana 1 ¡ti co dentro de 1a tierra • de modo que W = WlX Cons iderando que wi =-g ; finalmente podemos escri:"ir:

xz

~ Ox

Kx=_Ig

Ana 1ogamente:

1

Ky=

9

L1 amando d{: al camo i o d1. ferencial en la componente del meridiano de la desviaci6n, correspondiente al cambio diferencial de altura dh (Ver el diagrama), o~ tenemos:

~ ~ 9

Ox

El cambio total~{:en{: correspondiente al desplazamiento desde P hasta p¿ esta dado entonces por:

I. ~{:= l~ I p -g-

Og Ox

·dh

Ana 1ogamente:

~r¡=

¡P

1" 0_1_ g

145

~ ·dh

Oy


d{:=Kxdh=

Diversas f6rmulas adecuadas para la evaluaci6n pr§ctica de estas cantidades, pueden encontrarse en la 1 iteratura. Se basan en hip6tesis diferentes para la sravedad actual dentro de la tierra y no vamos a tratarlas aqu1. Ahora vamos a recapitular aquí las correcciones por curvatura 6.(, y 6.7] a apl icarse cuando queremos reducir la "desviaci6n superficial" a "geoidal" o viceversa. La magn i tud de 6.!;. , 6.7], puede lograr muc:los sesundos de arco. Es probable que sea mayor en zonas montañosas y menor en las resiones llanas. Por 10 tanto, en las regiones llanas, las corres. ciones por curvatura a menudo son despreciadas.

6.4.- AZIMUTES ASTRONOMICO

y GEODESICO.

ECUACION DE LAPLACE.

Cuando tratamos con un par de puntos s00re la superficie de la tierra, podemos definir el azimut de uno respecto del otro. En geodesia trabajamos con dos tipos de azimutes: Astron6micos y Geodésicos.


''El Azimut Astron6mico" "A" de un punto B respecto a un punto P, se define como el ángulo entre dos planos: El plano del merl diano astron6mico local de P y el plano vertical que contiene al punto B. "El plano meridiano astron6mico local", se da por una línea vertical local; es decir, la 11nea tangente a la línea de la plomada local en P - y otro punto - el punto distante del eje promedio de rotaci6n definido por su posici6n entre las formaciones de las estrellas. "El plano vertical que contiene al punto B", es definido entonces por lavertical local anterior y el punto B sobre la superficie de la tierra. Pode~os notar que los planos meridianos astron6micos generalmente no contienen al polo promedio de rotaci6n sobre la superficie de la tierra. La diversidad de planos astro-meridianos que intersectan a una esfera unitaria centrada en el centro de gravedad de la tierra pu~ de verse entonces:

Intersecci6n con el eje promedio de rotaci6n. "E 1 Az imut Geodés i co" "a" de un punto B respecto a 1 punto P, se define como el ángulo entre dos líneas: La proyecciÓn del meridiano geodésico en el plano tangente al el ipsoide de referencia en Po

146

(correspondiente a P) y la tangente a la proyecci6n de la curva geodésica que conecta Po con Bo (correspondiente a B), sobre el elipsoide, en el mismo plano tangente. El meridiano seodésico de P (y también

MERIDIANO GEODESICO DE B

MERIDIANO GEODESICO MERIDIANO GEODESICO DE P

DE B

GEODESICO DE P

~),

es la geodésica sobre el el ipsoide de referencia, que contiene los polos el ipsoidales y el punto ~. Note que el plano del meridiano geodésico, no contiene, en general, el eje de rotaci6n de la tierra, cuando el el ipsoide de referencia no está coaxial con la tierra. Para establecer la relaci6n entre los azimutes astron6mi-cos y geodésicos, consideramos primero que el eje de rotaci6n de la tierra es paralelo (no coincidente), con el semieje menor del el ipsoide de referencia. Entonces podemos tomar una esfera unitaria centrada en el punto P. El diagrama muestra los diversos puntos y ctrculos que ootenemos soore la esfera: ZP. _ El cenit el ipsoidal local.

PARALELA AL EJE DE RDTACIDN DE LA TIERRA---·,

Zp'-El cenit astron6mico 10 ca 1. <;O\
I>\-~~

N· - Imasen del polo norte es decir, la intersec-*" ci6n de la parte norte de la ltnea paralela con el eje de rotaci6n VISUAL A"B" de la tierra, yendo a ~~~~~---4~~--+-t------~ través de P con la esfera.

s',-

Proyecci6n del punto B so~re la esfera.

S. _1 ntersecc i6n sO;Jre la

147


",,,,::---:::~,.c.\'" ,.o~~~~"

esfera de los planos 1 y 1 l. El plano 1, contiene la vertical astronómica local (tangente a la 11nea de la plomada local en p) y el punto B. El plano 11, con tiene la normal local al elipsoide y la tangente a la seodésica PoBo. Remarcando los dos triángulos en los que estamos interesa-dos NZpZp y ZpZpS , obtenemos la formación siguiente. Apl icando la regla de Napier al triángulo rectangular NZpQ , obtenemos:

N

sen 7]':;: cos (90 0

-6>")

cos

4>

Cons iderando que ( , 7]' 6>.. son muy pequeños en valor absoluto, podemos escri-b ir: sen

Zp ~--~-1-

4>:: sen (<:>-()

O

4> -;;- <:> - ( y

7] '-:>- sen

6>.. cos 4> --:: 6>" cos 4>

y

s Estas ecuaciones coinciden con 1as ecuac iones en ~ 6.1, que definen la desviación astronóml ca, la que de hecho puede considerarse como una prueba de exactitud de la representación del triángulo NZpZp en la forma en que 10 hemos hecho. Por otro lado, la parte cen--tral del Oltimo diagrama puede retrazarse y entonces señalarse.


\

Entonces obtenemos:

6o, ~ 6>.. cos (90 <:»-::>- 6 >.. senA> y 6° 2-::" ¡.t. cos Z 0

-

Entonces podemos escribir:

148

zP

Tomando los tr iángulos QZp ,RZpZp y proyectándQ los so~re el plano tangente a la esfera, digamos Zp , obtenemos el diagrama siguiente. Aqu'T las 11neas pueden dibujarse derechas, de0ido al ta:naño extrer,ladél"lente pefJueño de la formac i(¡n.

Del triángulo Q Zp Zp'obtenemos:

-,~e' sen {K-90~'

,; e' cos

Zp ...""t+-:.-.-....L..,....

-r¡'=

e

K

o'

y

I

sen K

ir Estas f6rmulas relacioncin la desviación 8' con las componentes

y su azimut K

Note que

"

8 '~2 = 4:"'+ 'n' , - ton K = -r¡''/ , Por otra parte, podemos escribir, usando el triángulo RZpZp

8 = 8'sen(K-a)=8'(sen K. cos a -cosK. sen a) =-r¡ 'cos a-' sen a tenemos:

pero, del triángulo esférico SRZ& sen

8 = sen

o, cons iderando

Z sen

f.L

8 y f.L muy pequeños:

entonces, finalmente podemos escribir para A-a

A-a -:::- (A-)..) sen

cp + ('~en

a" r¡' cos a) cot Z

esta es la bien conocida "ecuación de Laplace" (no confundirla con la otra ecuación de Laplace D.V=O), en su forma completa. Expresa la relación entre los azimutes astronómico y geodésico a tra-vés de otras cantidades.

149


f.L :: 8/ sen Z = { r¡' cos a - (sen a ) / sen Z

Podemos notar que el segundo término contiene a Z, que depende sobre la distancia cenital de la visual PB, así como la desvia-ción sobre el punto principal y la curvatura de su 1 inea de la ploma-da. Su evaluación precisa es muy difícil. En la literatura geodési-ca, Z usualmente se supone igual a la distancia cenital que se mencionó, la que puede causar alguna ansiedad. La aplicación de las correcciones debidas a los azimutes astronómicos observados, llamadas: la corrección "normal sesgada", la corrección "a la geodésica", como sabe_ mos de geodesia geométrica y la corrección por la "curvatura de la línea de plomada actual", el imina estas pos ibles fuentes de error. Sin embargo, estas correcciones son raramente aplicadas en la práctica. Para prop6sitos astron6micos, el segundo término usualmente se separa por completo. El azimut (geodésico) determinado de a'= A-( A-Al sencp

se conoce como "azimut de Laplace". Un punto A para el que se determi. nó el azimut de Laplace, se llama entonces "puntos de Laplace". Los puntos de Laplace son usados para: 1). La orientaci6n de las redes horizontales sobre el el ipsoide de referencia. 11). Orientaci6n del el ipsoide de referencia de modo que su semieje menor, sea paralelo al eje de rotaci6n de la tierra. La S9 lución directa por mínimos cuadrados que minimiza la sumatoria de los cuadrados (d..'_rL)'Z es usualmente empleada para este propós ito. Note que la ecuación simpl ificada de Laplace nos permite encontrar otra fórmula para r¡' Cons iderando que A-"A= r¡'/eos cp (ver anteriormente), derivamos r¡'~(A-aleotgcp refiriendo la componente E-VV de las astrodesviaciones con la diferencia de los dos azimutes.


6.5.-

DETERMINACION ASTROGEODESICA DEL GEOIDE (NIVELACION ASTRONO~\ I CA) •

(p

Como hemos visto en Geodesia F1sica I 3.13), existe una relación precisa entre las desviaciones de la vertical so~re el geoide y las ondulaciones seoidales. Hemos visto que la ecuación si-guiente tiene caoida: d N =- Ed s donde E es la componente de la desviaci6n en el azimut a de ds E 1 si sno es "menos" deo ido a 1a convenc i 6n de signos pa ra ~ y r¡ Obviamente s i las componentes de la desviaci6n soore el

150

geoide se refieren a un elipsoide de referencia (promedio de la tierra o local), podemos usarlas para determinar las que están referidas al mismo elipsoide. Por 10 tanto, las astrodesviaciones pueden usarse para propósitos de determinar los incrementos de altura geoidal respecto al elipsoide de referencia usado cuando sea corregido por curvatura de la linea de plomada actual entre la superficie y el geoide. En otras palabras, corrigiendo las componentes de la astrodesviación por el téc mino de curvatura (Ver 6.3), ellas pueden usarse en la fórmula anterior dan~o las variaciones de la altura geoidal respecto al elipsoide de referencia. NORTE

La cant idad E puede determinarse de las com~onentes ~I?t y el azimut a del segmento de línea ds del diagrama como ~ ..... ds E=€ COS (l-'T] sena ,~

-'

La idea de la determinación astrogeodésica del geoide, nuevamente debida a Helmert, se basa en 10 siguiente: Con sidérese conocida la compone~ te de la astrodesviaci6n a 10 largo de una línea dada AB sg bre la superficie.

a y p

A

Considerando que podemos reducir estas componentes al geoide (apl icando las correcciones B por curvatura), y asumiendo ~ue la altura geoidal en A , NA se conoce y podemos determinar la altura geoidal de B de la fórmula evidente: dN =N A -

fB

(€ COS

(l -

"1 sen

a)

ds

A

Ns"'"NA-

~

('cosa;

-"1;

sen

a;-;j

Esta f6rmula corresponde al caso mostrado en el diagrama. En la práctica es usual desig nar circuitos cerrad06 consistentes de tramos de líneas, entonces las ondulaciones geol dales pueden determinarse para todos los puntos involucrados y los c i rcu i tos o redes de circuitos ajustarse de la

dSB+,

B

151


En la pr~ctica no conocemos en forma continua las astrodesviaciones a 10 largo del perfil sino contamos con puntos con desviacig nes conocidas que son espaciadas suficientemente densas y podemos sustl tuir la integral por la sumatoria y escribir:

misma forma como los circuitos de nivelación. Los re sultados más confiables sonlos que están más próximos a todos los puntos de astrode~ viación. Podemos concluir notando que mientras la fórmula de Sto-kes proporciona las ondula-ciones geoidales sobre el el ipsoide medio de la tierra (una vez que se ha determinado la propia escala), la " as tronivelación", como se conoce este método, nos provee con las alturas geoidales por encima del el ipsoide de referencia, es decir, el el ipsoide usado para el cálculo de las coordenadas geodésicas. Los perfiles (o circuitos ) geoidales, usualmente comienzan en el origen del el ipsoide de referencia, donde se supuso la ondulación geoidal (generalmente supuesta que sea cero). A+z

A

6.6.- DETERMINACION ASTRO-GRAVIMETRICA DEL GEOIDE (NIVELACION Ai TRO-GRAVIMETRICA). La determinación astrogeodésica de los perfiles geoidales. vista matemáticamente, representa un ejemplo del uso de la fórmula tr~ pezoidal para evaluar la compl icada integral definida. La debil idad de la técnica está en la interpolaci6n 1 ineal entre dos puntos adyace~ tes de astrodesviaci6n cualquiera. Por lo tanto, como hemos mencionado ya, es un imperativo allí, tener los puntos de desviación espacia-dos tan pr6ximos como sea posible. Esto, por supuesto, represente un requerimiento muy costoso.


Una manera de superar esta necesidad es usar el conocimie~ to del campo de gravedad local para suplementar los puntos de desvia-ci6n. Como sabemos, (Geodesia Física 11 3.13), es posible obtener la desviación absoluta (gravimétrica), en cualquier punto del geoide, de las anomalías de la gravedad~ usando las fórmulas de Vening-Meinesz. Tomando estas fórmulas para <; y 7J ' podemos dividir la integración involucrada allí, en dos términos: 1).

11).

Integración en la vecindad de los puntos de interés, (por encima de unos grados o algunos cientos de mi-11 as) • Integraci6n sobre el resto del globo terrestre.

El primer término, cuando calculamos para los puntos densa mente espaciados a la l"rgode un perfil, reflejará los "efectos loca:' les", es decir, el efecto del ambiente inmediato a los puntos. Por lo tanto, variará irregularmente. El segundo término variará solo muy lentamente y las

152

variaciones entre cualquier par de adyacentes puntos de deflexión den considerarse como aproximadamente lineales.

pu~

Por 10 tanto, el primer término de las fórmulas de Ven ing-Me inesz, puede usarse para la densificación de las desviacio-nes, a 10 largo de un perfil que conecte los dos puntos adyacentes de astrodesviación. El hecho de que las fórmulas de Vening-Meinesz, den desviaciones gravimétricas, es decir, desviaciones referidas al el ipso ide Oled io de 1a t ie rra, es inmater i a 1. La diferencia entre las desviaciones astronómica y gravimétrica, puede considerarse ciertamente como lineal, prácticamente e.!}. tre cualquier par de puntos de desviación adyacentes, y por 10 tanto, tiene aproximadamente la misma influencia sobre los resultados como el segundo término en las fórmulas de Vening-Meinesz. OE~'l/IACIONES

¡ 1 l

A

ETRICAS PARCI \.ES GRA'l/It.A

;t{

Ei'-. I

*

Ea

ASTROOESVIACIONES I

INTt::RPOLADAS

s

B

Una forma de usar las des-viaciones gravimétricas - "parciales" (dadas por el primer término), sería calcular sus valores E* a 10 largo del perfil AB, incluyendo los puntos A y B. - Considerando que la difere~ c ia entre E~ y ElI<~ var1a linealmente podemos escribir para la astrodes-viación interpolada. E¡

Lo que fácilmente puede verificar el lector.

No es dif1cil ver que la interpolación cuadrática (o de orden mayor), puede usarse en vez de la 1 ineal. En tal caso, tendría mos que considerar tres (o más) astrodesviaciones, a 10 largo del pei f i 1. Otras fuentes de información pueden usarse para interpo-lar entre dos o más puntos de astrodesviación también. Podríamos - usar, teóricamente, por ejemplo, los valores del gradiente horizontal de la gravedad, distancias cenitales observadas entre un par de pun-tos adyacentes detallados sobre el perfil, o también los valores calculados de la atracción del terreno corregido isostáticamente.

153


Esta idea se debe a Molodensky y el método se. conoce como "determinación astrogravimétrica del geoide".

Podemos notar que la dificultad más seria con la nivela- ción astrogravimétrica, nuevamente es la necesidad de considerar el efecto del terreno inmediato (por encima de unas millas), al punto interpolado. Esto puede requerir alguna densificación de gravedad en ciertos puntos. Para concluir, señalamos que amoos métodos (astrogeodésico o astrogravimétrico), sufren de una propiedad desafortunada. El hecho de que la altura geoidal aumenta a medida que nos alejamos del punto de origen, debido a causas imprevistas y a errores sistemáticos, conte nidos inherentemente en las astrodesviaciones. Por 10 tanto, quizá, : un ajuste por mfnimos cuadrados de una superficie a las astrodesviaciQ nes (y/o a las desviaciones densificadas. ), pueda dar una mejor res-puesta que los perfiles. 6.7.-

DETERMINACION DE UN ELIPSOIDE DE REFERENCIA OPTIMO A PAR-TIR DE LAS DESVIACIONES DE LA VERTICAL Y LAS ALTURAS GEOIDALES. 6.7.1.-

RELACION ENTRE EL CAMBIO DEL ELIPSOIDE DE REFERE)i CIA y LAS DESVIACIONES Y ALTURAS GEOIDALES.

Cuando tratamos con las desviaciones y alturas geoidales, siempre debemos tomar en cuenta el hecho de que están referidas a unelipsoide de referencia especifico. Por 10 tanto, si cam~iamos el - el ipsoide, también 10 hacen las desviaciones y alturas geoidales (pue~ to que el geoide permanece constante para todo nuestro trabajo). Hablando sobre el cambio del el ipsoide de referencia blamos sobre tres cambios distintos: 1)

El cambio del centro del el ipsoide respecto al cen-t~o de gravedad de la tierra, es decir, traslación.

11)

El cambio de la orientación dada por los tres ángu-los de rotaci6n.

111) INEGI. Geodesia Física Aplicada Tomo II

ha--

El cambio de la forma y tamaño del el ipsoide, es decir, del semieje mayor y del aplastamiento, o de cual quier par de parámetros que describan la forma y el tamaño de un el ipsoide de rotación.

En total hay ocho parámetros impl icados. Afortunadamente la tierra es casi esférica y por 10 tanto, los elipsoides de referencia usualmente son casi esféricos también, (el aplastamiento del orden de 1/300 no aplasta mucho a la esfera). Puesto que la orientación del el ipsoide de referencia, es generalmente bueno y deoido a que la orientación de un el ipsoide casi esférico de cualquier manera juega un papel menor, la rotaci6n, usualmente no se -

154

toma en cuenta en todo., entonces por camolO del el ipsoide de referencia, entenderemos el cam0io de los restantes cinco parámetros, las - tres componentes de traslación y los dos por forma y tamaño. Como sabemos por Geodesia Geométrica (Krakiwsky E. J. and Wells, D. E. 1971), el elipsoide de referencia considerado, usualmente no está dado por su centro y los parámetros de forma y tamaño., sene-ralmente está definido por las componentes de desviación geoidales ~Oj T)o y la ondulación geoidalNo en el punto de origen, (Rancho de Meade para el NAD2,7}PulkoYO para el el ipsoide de Krasowski, etc.) y sus parámetros de forma y tamaño. Entonces, en vez de hablar so:)re los parám~ tras Xo l Yo ,. Zo , a , f, hablaremos de ~o,. 'Yl tomando la pra·'0' No' o , f pia orientación por buena. La fórmula que expresa los cambios en las coordenadas seodésicas e/>, A,H de un punto P en relación al cambio de Xo, Yo, Zo, a f ha sido derivada en Krakiwsky Wells,~1971). Se lee: 8x

1

8y o

=A

[

donde

l' A = -----;--o cos e/>

+6

8zo

2

coscp sene/> COSA " cose/> sene/> sen A ; - cos e/> sen A; - cos A ; O

-o cos 2 e/> COS A ¡-o cos 2 e/> sen A

¡-O

sen e/> cose/>

O; 2 sen e/> cose/> O',

O

11 I i o sen 2

e/>

Aqu1 todos los elemeneos de las matrices A y B están referidas al punto P, Para derivar la relación entre el cam;Jio de ~o,T)o,NO, a f y el cambio de (T), N en un punto arbitrario, establecemos rrimero la relación entre 8e/>o8Ao,8Ho por un lado y por el otro ~xo,8yo,8zo,8o,8f. Obviamente e;ta relación, es justo un caso especial de la relación introducida arriba y podemos escri~ir:

155


B=

8epo 8Ao 8Ho

8xo

=Ao

8yo

[::]

+Bo

8zo

(~)(~) ~, /,

Aqut las matrices Ao ' Bo ' no son otras sino A, B, referi-das al pUilto de or igen. Ahora podemos 1 ibrarnos de las componentes 8Xo; 8vo; 8zo, en las que noestaremos interesados. Para este propós ito, mu1tip1 icamos la ecuación (,-,) por A- 1 por el lado izquierdo; la ecuación (o'--,~) por A-~ por el lado izquierdo y restamos (,-,,-,) de (,-,). Obtenemos:

Esta ecuación puede reescribirse como:

-1

+ (B-AAo Bo)


Recordemos, en esta etapa, la definición de las componentes de las desviaciones geoida1es y 1aa1tura elipsoidal H.Nosotros sab~ mos que:

Aqu1 las cant idades ép, A, h (coordenadas astronómicas) y (correcciones por curvatura), nada tienen que ver con el e1ip-soide de referencia y por 10 tanto, no serán influidas por el cambio del elipsoide; por 10 que podemos escribir: ~Ll~

Sustituyendo estos resultados en la anterior ecuación de transformación, finalmente obtenemos:

156

8~oj87]0

+0

8No

[::]

~

donde

e

pueden considerarse igual a:

~'D

cos

~o

cos

~ +sen ~o

sen

~ cos (A- AO) ; - sen ~ sen ( A- AO ) ; -

-;- [ sen cos

c::

sen~o sen(A-Ao); -o [cos

-

COS(A-AO);

[sen

cos

~-

~o sen~

cos (A- AO) ]

_I_(cos"'/" sen(A-Ao))

a

'1"'0

~o sen~ +sen~o cos~ COS(A-AO~;- o cos~ sen (A-AO ); [sen~o sen ~ + cos ~o cos~ COS(A-AO) ]

+(sen~o cos~-cos~o sen~ cos (A-AO)); -

+

~o

~o

cas

~o

sen ( >.. - AO l;

senep + cos

sen 3 cos

~o cos~ + cos~o sen2~os'enepcos(A-Ao)

~o

sen

-2cos ~ (senep-sen ~o) sen 2
(>..- AO)

~o cos ep cos (>"->"0)-1] ¡sen! epo sen +cos ~o

sen 2

epo cos (A-Ao)

Esta fórmula lleva el nombre de Vening-Meinesz, que fue de los primeros en derivarla y es una de las fórmulas más importantes en Geodesia. Relaciona el cambio de las componentes de las desviaciones, (superficiales o geoidales) y las ondulaciones geoidales al cambio del el ipsoide de referencia, representado por 8e-0; 8']0; 8No ; 8a ; 8f , como originalmente establecimos para derivar. 6.7.2.-

DETERMINACION DEL OPTIMO ELIPSOIDE DE REFERENCIA LOCAL.

Las desviaciones de la vertical (y las ondulaciones geoidales), nos dan la relaci6n "geométrica" entre las dos superficies, - el el ipsoide de referencia y el geoide -. Por 10 tanto, pueden usarse para dos prop6sitos distintos: 1)

Considerando conocido al elipsoide de referencia, de-terminar el geoide. Hemos tratado ya este problema en

157


+sen2

6.5

y

6.6.

Considerando el geoide, determinar el elipsoide de r~ ferencia mejor ajustado (óptimo).

11)

El óptimo elipsoide de referencia para cierta área, puede definirse en una diversidad de formas posibles. Las dos definiciones más usadas son: 1.

El mejor ajuste, en el sentido de que minimiza la suma de los cuadrados de las desviaciones geoidales conocidas en el área.

2.

El mejor ajuste en el sentido de que minimiza la suma de los cuadrados de las ondulaciones geoidales deter~i nadas en el área.

Obviamente, en ambos casos, las fórmulas desarrolladas en

6.7.1, serán .mu¡ út iles. Para el primer el ipsoide óptimo podemos escribir:

[~ [~+ l:~ o

o

CR

[:~:1+ [:~ + [~ 8N~J

OR

donde ~,:;:¡ son 1as "nuevas" componentes de desv i ac i6n, obten i das de las "viejas" componentes ~,7J después de cambiar el "viejo" elipsoide ( ~O,7J~NO,o, f ) al "nuevo" el ip..2q.!de ( ~o +8~o,7Jo+87Jo,No+8No.o+8o,f+8t Y~R' UR son las matrices reducidas C,D de 6.7.1 que solo contienen las prjmeras dos filas ( En esle caso no estamos tratando con8N i. Llamando e a la primera fila de el y DI a la de [5, podemos escribir:


y, similarmente:

De estas ecuaciones 1 ineales de observación, podemos deter minar los incrementos ajustados 8~o,37Jo,3No,8o,3f que hacen mini ma la expresión:

i =I

158

)

Luego, el el ipsoide de referencia mejor ajustado en el <'írea se obtiene sumando los incrementos ajustados a los par<'ímetros del el ipsoide "viejo". No es diffcil ver que si el el ipsoide de referencia óptimo, en el sentido de la segunda definición, se desea, inmediatamente podemos escribir:

+ y se procede a obtener sión:

105

n

N

incrementos ajustados minimizando la expre-

¿ (NtON)

2

Tiene valor notar, que para un ~rea 1 imitada, los dos el ipsol des óptimos, no serán los mismos. Para un área 1 imitada, uno también debe estar conciente del hecho de que ON y 00 son dependientes, casi 1 i-nealmente (debido a la forma casi esférica del el ipsoide) y la matriz de las ecuaciones normales para los incrementos ajustados, es probable que sea pobremente condicionada. 6.7.3.-

DETERMINACION DEL ELIPSOIDE MEDIO DE LA TIERRA.

La misma técnica, es decir, la minimización de ¿(Ni+ONi)2

el el ipsoide mejor ajustado a todo el globo. Tal el ipsoide, usualmente se llama "El ipsoide medio de la tierra o absoluto". Ha sido mostrado que para toda la tierra, las dos condiciones anteriores son equivalentes y por 10 tanto, dan el mismo el ipsoide. La cuestión que podr1a plantearse ahora, es si el "geoide gravimétrico" dado por la fórmula de Stokes puede usarse con el propósito de determinar el el ipsoide medio de la tierra ta~ bién. La respuesta a esta cuestión es positiva. En este método generalmente definimos el el ipsoide medio de la tierra de modo que participe de la masa del geoide M, el potenc ial Wo ,la veloc idad angular u..I y la d iferencia de los principales momentos de inercia C-{-(AtB). Ha sido mos-trado nuevamente, que estas cantidades ftsicas, no determinan solamente un el ipsoide, sino que este elipsoide es idéntico con el definido, por el proceso de ajuste descrito anteriormente. Una forma alternativa intere-sante y a menudo usada en la determinación del el ipsoide medio de la tierra, es usar las desviaciones gravimétricas y astronómicas (reducidas al geoide). Obviamente en teoría deberían ser las mismas, si las astrodes-viaciones fueron calculadas sobre el elipsoide medio de la tierra. Debido al hecho de que están usualmente calculadas sobre el el ipsoide de ref~ rencia local y debido a 105 errores inevitables, asumidos al azar, las dos desviaciones no coinciden. Esta idea puede explorarse para formular el modelo de ajuste que trata de las correcciones a los parámetros del elipsoide de referencia usado que pudiera minimizar la expre~ión:

¿ ((,;

-lt+ ( 7] --r¡'tiy: J

donde';,7] son las componentes de las astrodesviaciones y ~,>, 7]'>' son las de las desviaciones gravimétricas. Teóricamente el el ipsoide logrado usando esta técnica, nuevamente ser1a el mismo que los previos citados. 159


oL: [(,;to,;f+(7]t07])2] puede apl icarse a toda la tierra, para determinar -

7.

TOPICOS DIVERSOS. 7.1.-

REDUCCION DE LOS ANGULOS HORIZONTALES OBSERVADOS AL ELIPSOI DE DE REFERENCIA.

Como ya sabemos, nuestras redes horizontales y verticales, están referidas a dos superficies diferentes, mientras que la red vertl cal (alturas), están referidas al geoide o cuasigeoide y la red horizon tal se refiere al elipsoide de referencia usado. Teóricamente las alturas pueden referirse al elipsoide, si conocemos las alturas del geoide (cuasigeoide), sobre el elipsoide, es decir, las ondulaciones geoidales (cuasigeoidales). Por lo tanto, para ser capaces de hablar sobre posiciones relativas de puntos individuales, en un espacio tridimensional, tenemos que conocer la posición rela tiva del geoide respecto al elipsoide y viceversa. Para estar en posibilidad de tratar con ambas redes, sobre el el ipsoide, tenemos primero que proyectar los puntos individuales de.5. de la superficie de la tierra al elipsoide. Esto puede hacerse, usan-do una de las proyecciones descritas en ~ 6.2. Al mismo tiempo, tene-mos que proyectar sobre el elipsoide, los elementos individuales observados, los ángulos horizontales y las distancias, para ser capaces de calcular las posiciones de los puntos trigonométricos y cuyas coordenadas astronómicas no son observadas sobre el elipsoide. En este capitulo mostramos como proyectar (reducir), los ángulos horizontales.


Para reducir un án~ulo horizontal observado desde el terreno al .el ipsoide, pode~os usar ía fór~ula desarro~lada en ~ 6.4, para la relación entre los aZlmutes astron6mlco y geodésIco. Es concebible, que el ángulo observado il pueda expresarse como la dif~ rencia de dos azimutes astro~ nóm i cos .a = A - A ~-~~I En2tanto -'-='---],g.~----~ que el ángulo reducido sobre el elipsoide como la diferen cia entre los correspondientes azimutes geodésicos: w=a-a I 2

Por 10 tanto, 1\ amando ó'w a la diferencia il-w pode-mos escribir:

ó'w =(A I -

A ) - (a - a ) 2

= (A.- >..) sen

I

2

cp + (e'sen

- ((sen a 2-"7' cos a 2

)

=(A I- a)I

01-

- (A 2 - a2 ) =

"7'cos al) ctg Z. - ( A-A) sen

ctg Z2

160

r.p-

Sustituyendo aqut las expresiones (P6.4) p;)ra~'y 7]'

~~ 8

1

cos K i 7]

= 8' sen

K

Obtenemos:

donde K=orc tg 7]'1(,' es el azimut de la astrodesviaci6n,8'

Para tener una idea de las magnitudes involucradas, consideremos un ángulo !l observado en altas montañas, donde tenemos: 8'=20",, 0=45°'0=-45°' K=O·' 1 Z=Z 2 = 100° I '2 '

tenemos:

7.2.-

REDUCCION DE DISTANCIAS OBSERVADAS AL ELIPSOIDE DE REFEREli CIA.

=

161

+


Para ser capaces de derivar las f6rmulas de reducci6n, vamos a dibujar el diagrama que describa el problema que estaremos tra-tando. En el diagrama, p es la distancia observada y HA H. sonlas alturas el ipsoidales PO,Sg son la cuerda y la distancia elipsoidal entre las dos proyecciones Ao Po de A y B. 1/1 es el ángulo espacial de las proyecciones de las dos normales en el plano de proyecci6n, dadas por los tres puntos: A B O, siendo O el centro de OA O. RA R. son los radios de curvatura de la secci6n elipsoidal A~a dada por:

e,

A

B

'"

1

So

eo

;So¡~ RIl,

°A ° °a

-

h °A

"-

,

-

"-

:-t-

_0,_ '_':::°a

Aqut a A , aa son los azimutes de la secci6n el ipsoidal en A y B; M, N son los radios de curvatura principales. Poniendo AoS por R~ triángulo SAB:


p2 = (R~

+ HA )2

y BoS por R'a

+ (R~ +Ha )2

- 2

(R~ + HA)

Expresandocoslj¡ como 1 - 2sen 21/1¡2

p2

=~R~+HA)-(R~+HB)J

2

+

podemos escribir del / (R a + Ha ) cos

'It

obtenemos:

4(R~+HA) (R~+Ha) sen '172 2

Apl icando el mismo procedimiento al triánsulo SAoBo obtene mos:

162

y

4 R~ R~

flac iendo R¡

RS

p2 , _

Este resultado puede sustituirse en la fórmula para - R'B =6R' y HA - Ha =6H, obtenemos:

De,notand2..,.a la med ia R", Re por R, y SRA. - Re = 0..5 obtenemos:

R

A.

J

-

R

'"

o

~anto

6R'

A

+-2

,

6R'

R' =R

ORA+OR B 2

R B = R - -- 2 Tomando

« obtenemos

,

6R'

A

2

6R'

R ~ R + -_. R'~ R - - I

B

2

163


Por lo

y

donde H si9nifica la media de HA' Ha y~H significa su diferencia. Después de algún desarrollo, el producto de los dos últimos términos se con vierte aproximadamente: 1+2

H

R

H2

+ -R2 =

1+2

H R

Podemos ver que el mismo resultado se obtiene de:

As í como de:

~R'

2

Sustituyendo esta aproximación en la expresión parap2 ,


obtenemos:

164

por lo tanto, finalmente podemos escribir la ecuaci6n para p' 2 o

Fl= o

l-~H2_2~R'~H

(1 +2 ~)

Donde~R', para la di stancia cortep, usualmente es tan p~ queña que puede despreciarse completamente.

Podemos notar que distancia horizontal, digamos

p2 _~H2, representa el cuadrado de la

P:

Separando~R', podemos escribir:

",p(l_lL)

R

"" H

que es la f6rmula aproximada, usada en la práctica para reducir distan cias cortas horizontales. Para la distancia el ipsoidal So, aproximadamente obtenemos:

pero 'ti puede expresarse de la f6rmula anterior para: sen 2

~2

como:

o/ ,:. 2 are sen ~

So ~ 2R are sen

[~ { 1- L 2R 2

Como ejemplo, vamos a tomar una distancia P de 20km. medida por un aparato EDM, entre dos puntos soore el mismo meridiano en lati-tud = 45° H = 200 m., H = 800 m. Desprec i amos pr ..mero AR.' y obten~ mos:

165


Por lo tanto:

2

l<::::t.P(I-9XIO-

4

4

)

(1-1.56XI0 )m 2

O

4

Por 10 tanto, fb<::::t. P(l - 4.5 x 10- )(1 - 0.78 x 10-4 ) rn. I la corrección por "pend iente" y la de por "el ipsoide", vienen a ser 9 m. y 1.56 m. respectivamente.

7.3.- ALTURAS TRIANGULADAS. ASTRO VERTICAL

E"e

I

ELIPSOIDE DE REFERENCIA

/

Dej ando a un 1ado 1a ref ra-cción, las distancias cenita 1esS A ;SB son 10 que obten;: mos de las observaciones, sQ bre la superficie de la tierra. Por otro lado, los ángulos ZA ZB' son las cantidades qu~ nos sustarfa obtener y que nos permitiría determinar la diferencia en las alturas el ipsoida1es de los puntos A y B. Solamente vamos a tratar con distancias cortas So' por 10 que podemos escribir - - - RA ~ RB ~ R, con suficiente precisión y considerar a So como siendo un arco esférico.


Primer~,

166

podemos escribir:

donde la f6rmula para EA se deriv6 en ~ 6.5, puesto que EA evidente:ne.!} te es la componente de eA en el azimut a AB de la línea AB. Una f6rmula completamente análo']a, puede escrioirse para B, Note el sisno del término entre paréntesis. Se ori~ina de la definici6n del sentido de (,;7]' yen el diagrama anterior, tantoEA como EB pueden ser negativas. Una vez que las cantidades lA y lB, son determinadas, pod~ mos evaluar la diferencia HB - HA' como una funci6n de lA y de lB' A.pl ¡cando la l~y de lils tangentes al triángulo SAB y cons iderando R RA ,; Re, obtehemos: (R+H A -R-H B) ton [+(180 0

o

(HA - H ) ton [ B

+

(360 0

-

lA + 1800

-

lA - lB)] c:;: (2R

-

lB)] C:;:(R+HA +R + Ha) ton

+HA + HB)

Aquí, evidentemente 1JO° que escribir la ecuación como:

(lA

laton

+ lB) =

[+

(180

0 -

lA -180

0

+ lBl]

lA

2

IJ! =

So/R, de modo

denotando por H a la media de HA y Hs ' Ahora podemos sustituir

So - ctg - - por tan (90 0 2R

+

So/2R)

y obtenemos:

Debido a que SO/2R, es un ángulo muy peque~o, podemos rrollar la primera tangente en series de potencia.

sOl.2R = _ 0S _ + - I ( -5-0 ):3+ ----- = -So- (1+ 2R

3

2R

2R

S02

12R2

+ ------)

Sustituyendo esto en nuestra ecuación para la diferencia de altura, obtenemos:

H -H c:;: 2R(I+.Ji..-) BAR

S _0_

2R

(1

52

+ __ 0 _ 1 ton 12R 2

167

Z

Z B- A

2


ton

des~

Por 10 tanto, usando las distancias cenitales, te6ricamente estamos en posibil idad de determinar directamente las alturas sobre el el ipsoide. Desafortunadamente, las distancias cenitales observadas, son muy sensibles a la refracci6n atmosférica, (el mayor problema en las observaciones geodésicas) y la precisi6n de las alturas triangula-das, es muy baja hasta ahora. Trabajos vehementes se llevan en esta _ área, siendo el nuevo concepto, satisfacer la necesidad de determinar las astrodesviaciones y las correcciones por refracci6n, usando observa ciones redundantes. 7.4.-

AJUSTE "TRIDIMENSIONAL" DE REDES GEODESICAS.

Recientemente, algOn interés de la comunidad geodésica, se ha dirigido hacia el llamado Método "Tridimensional", para los proble-mas geodésicos. A este método se avoc6 ya Bruns, a fines del siglo XIX y en los c,ncuenta de nuestro siglo, revivido por Hotine. Toda la idea del tratamiento tridimensional, es usar el espacio Eucl idiano Tridimensional, en vez del curvado espacio bidimensional - El el ipsoide. Usando este método, cada punto de la red se da por una tripleta de coordenadas, sean X Y Z (Cartesianas geocéntricas) o ,A,H (Geociésicas). Para estar en posibilidad de reconciliar lasobservaciones astron6micas con las terrestres, tenemos que expresar ta~ bién las verticales astron6micas locales (tangentes a la 11nea de plom~ da locales). Usualmente esto se hace por medio de dos parámetros dire~ tores, sea di rectamente

Una vez hecho esto, podemos formular las ecuaciones para el azimut astron6mico A, distancia cenitalS tomada respecto a la astrove~ tical local y la distancia de la cuerda p, entre dos puntos cualquiera de la red. Considerando que tenemos suficientes observaciones de las cantidades actuales A, S" y los ángulos horizontales wiJ=A¡-AJ P.2 demos formular el ajuste paramétrico para los incrementos desconocidos dx, dy, dz, d, dA, dH, déP, dA. Luego las pos ic iones espaci~ les de los puntos individuales y sus direcciones de las 11neas de plom~ da pueden determinarse. Los modos de formular los modelos y ajustar- los, son numero!¡os y no se con s ider6 la ayuda que pud ieran aportar en este escrito. Si ambos ajustes, es decir, el "tridimensional" y uno queuse el el ipsoide de referencia, son formulados apropiadamente; debedan dar resultados iguales. Son equivalentes matemáticamente. Sin embargo desde el punto de vista numéricos, uno puede preferirse al otro, debido a su menor labor involucrada. La diferencia entre los dos, es que usan el el ipsoide de referencia, en forma expl1cita o impl1cita y esta diterencia se refleja en las f6rmulas.

168

7.5.-

DISCUSION DE DIVERSOS METODOS PARA DETERMINAR EL GEOIDE.

Hasta aquí, hemos encontrado tres métodos diferentes, para la determinación del geoide: 1)

"Gravimétrico".- Usando la fórmula de Stokes, que trata con las anomalías de la gravedad, (Ver Geodesia Fisica 1 ~ 3.17).

11)

IIAstrogeodésico".- Usando las astrodesviaciones de la vertical (Ver ~6.5).

111)

IIAstrogravimétrico".- Usando las astrodesviaciones y las anomalías de la gravedad (Ver ~6.6).

También hemos visto que el primer método, proporciona él geoide referido al elipsoide medio de la tierra, es decir, el elipsol de determinado en este caso, por la gravedad normal por encima a un factor de escala, (el factor de escala del entonces elipsoide determl nado, tiene que abastecerse de otras fuentes). Por otro lado, elgeoide gravimétrico es concéntrico con el el ipsoide medio de la tie-rra y por lo tanto, se conoce como "geoide absoluto". El segundo y tercer método, dan el geoide referido al - elipsoide de referencia usado, usualmente local, y el geoide por 10tanto, se conoce como "geoide relativo". La escala de este geoide se evaluá apropiadamente. La desventaja de este geoide es, sin embargo, que su precisión decrete con la distancia desde el punto de origen, donde la posición relativa de las dos superficies (geoide y elipsoide de referencia), es supuesta. Si conocimos la relación del elipsoide local respecto al elipsoide medio de la tierra, podríamos transformar el geoide relativo a geoide absoluto y viceversa.

Por otro lado, la astronivelación y sobre todo la nivelación astrogravimétrica, son más precisas. La precisión es, por supuesto, una función del cubrimiento del área por punto de astrodesvi~ ción y los puntos de la gravedad (en caso de la segunda técnica). Teóricamente, la precisión puede ser .:t 1 m. El mayor obstáculo aquí, es la necesidad de corregir las astrodesviaciones por la curvatura de la línea de plomada actual.

169


El geoide gravimétrico (absoluto), tiene la incertidumbre inherente del orden de.::: 5 a 10 m en el mejor caso. La falta de exactitud se debe a dos factores principales: Primero, las anomalías de la gravedad no son conocidas muy bien sobre todo el globo. Las o~ servaciones de gravedad en diversas regiones, como en mares y áreas polares, son muy escasas. Segundo, la fórmula de Stokes es solo una aproximación esférica, es decir, no podemos suponer que dé precisión mej or que .:t N 3 x 10- 3

En años recientes, la determinación gravimétrica ha dado un salto por los satél ites. La idea de usar la información satélite, para la determinación del geoide absoluto, se basa en la posibilidad de interpretar las perturbaciones de la órbita del satél ite, en términos de las perturbaciones de la gravedad del campo de la gravedad, sobre de la tierra. Estas perturbaciones, entonces pueden transmitirse al elipsoide medio de la tierra y convertirse en potencial de perturb~ ción y finalmente, en alturas geoidales. La información de la órbita del Satélite, puede usarse de dos maneras: Ya sea sobre sí mismo o en conjunción con los datos de gravedad terrestres. Por 10 tanto, pode-mas tener dos modos más para la determinación del geoide absoluto: IV)

Determinación Satél ite.

V)

Determinación combinada.

De los dos últimos métodos, el primero adolece del efecto de la altitud de los satélites usados. A la altitud de las órbitas del satél ite, los "detalles" del campo de gravedad terrestre, son in-distinguibles y no estarnos en posibilidad de resolver el geoide para cualquier detalle. Es básicamente el mismo problema, como si trataramas de determinar la forma de un depósito subterráneo de la gravedad calculada sobre la superficie, un problema encontrado en geofísica apl icada. Hablando en términos de armónicas esféricas, la determina-ción del satél ite, solo puede proporcionar algunas armónicas de bajo grado.


Por 10 tanto, la solución combinada es preferible hasta ahora por la ventaja del cubrimiento global por satélite y suplementado por la información terrestre, en las estructuras detalladas, por 10 menos en las áreas trabajadas. Por 10 tanto, se considera como teóricamente mejor.

170

RE CONOC I MI E NT O

EL AUTOR DESEA RECONOCER, LA AMABLE ASISTENCIA DEL DR. E. J. KRAKIWSKY.

LAS ETERNAS DISCUSIONES QUE

EL TUVO CON EL DR. KRAKIWSKY DURANTE EL PERIODO DE ESCRITURA DE ESTOS DOS TOMOS DE NOTAS DE LECTURA LO AYUDARON A CLARIFICAR UN GRAN NUMERO DE PUNTOS.

LAS GRACIAS DEL AUTOR VAN TAMBIEN PARA LA SRITA. JANET PRINGLE, POR SU PACIENCIA CON EL, ASI COMO POR LA ESCRITURA.

TODAS LAS CORRECCIONES Y COMENTARIOS SERAN

ALTAME~


TE APRECIADAS.

REFERENCIAS

A1 lector interesado, se recomienda completar su conocimiento acudiendo a los tres principales 1 i bros de texto de Geodesia publ icados en Ingles, llamados: Bomford, G. 1971.-

"GEODESY".

Clarendon, Press.

Oxford. Heiskanen, W. A. GEODESyll.

&

Moritz, 1967.-

W. H. Freeman

Hotine, M. 1969.-

&

"PHISICAL

Co. San Francisco.

"MATHEMATlCAL GEODESY".

ESSA

Monograph 2. U. S. Dept. of Commerce. Washington. Un caudal de ~6picos en publ icaciones especiales, papeles cient1ficos y 1 ibros de texto en otros lenguajes pueden también encontrarse en estos li-


bros citados.

172


Esta publicación consta de 250 ejemplares y se terminó de imprimir en el mes de junio de 1984 en los talleres de la Dirección General de Integración y Análisis de la Información, sita en Centeno No. 670, colonia Granjas México. Delegación Iztacalco 08400 México, D.F.

ISBN 968-809-817-'

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GEODESIA FISICA APLICADA

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