Gabarito Livro Caruso Fisica Moderna

1

A estrutura estrut ura da mat´ eria: eria: concep¸ concep c ¸˜ oes filos´ oficas oficas na Antig¨ uidade uidade ou

Exerc´ Ex erc´ ıcio ıc io 1.8.1 1.8 .1

tg 7o = 0,128 Erat´ ostenes ostenes supˆ supôs o s que que os raio raioss sola solare ress s˜ aaoo paralelos na região ao que engloba as duas cidades cons-deradas, conforme ilustra a figura abaixo.

⇒

d r

 18

Portanto, usando o valor aproximado da distˆ anancia d = 700 km, dada no problema, encontra-se r

600 0 km  5 60

Mas alguns autores afirmam que as medidas de comprimen comprimento to feitas no s´ eculo eculo III a.C. usavam usavam a adio e que Erat´ unidade est´ ostenes ostenes teria utilizado em seus cálculos alculos a distˆ distˆ ancia a ncia de 5000 est´ adios. adios. Sabendo-se que 1 estádio adio 180 m, isto corresponcorresponderia a uma distância ancia de 900 km entre as cidades, o que leva à predi¸c˜ cãaoo



r

 7 37 370 0 km

a ser comparado com o valor atual de r

Note que, no primeiro caso, a discrepânci an ciaa é da ordem de 11%, enquanto no segundo, de 13, 13,5%. De qualqu qualquer er forma, forma, trata-s trata-see de uma estimat estimativ ivaa muito boa considerada a época epoca em que foi feita.

Se, em Alexandria, a sombra projetada sobre a terra fazia um ângulo a ngulo de 7o com a haste (no mesm me smoo inst instan ante te em que que n˜ a o havi ao haviaa som sombra bra em Siene), Sie ne), este est e é também em o angulo aˆngulo entre a vertical e o zˆ enite enite nesta cidade. Assim, Assim, este angul aˆng uloo é o o mesmo angulo aˆngulo θ = 7 entre os raios, r, da Terra que delimitam delimitam o arco arco que compreen compreende de as duas duas cidades, cuja distância ancia ser´ a denotada por d. Logo, tg θ =

 6378 6378,,1 km

d r 1

2

F´ısica Mo derna


Cons Consid ider eree a figu figura abai abaix xo, sen sendo a o comprimento da aresta do cubo inscrito na esfera externa e que circunscreve a esfera interior.

Caruso

•

Oguri

disp dispos osto toss sobr sobree os lado ladoss e no inte interi rior or de um quadril´ atero a tero cujo cujo comp compri rime ment ntoo do lado lado mai maior or difere do outro por apenas uma unidade (20 = 4 5). Ja´ o numero u ´ mero 16, por exemplo, igual a 2 4 4 = 4 , pode ser constru´ constru´ıdo colocando-se a unidade (um ponto) no vértice ertice de um quadrado e “soman “somandodo-se” se” sucess sucessiv ivame ament ntee a ele os demais demais números umeros ´ımpares ımpares em forma de “L”. Assim, Assim, 4 = 1 + 3 seria representado por um quadrado 2 2; o 9 = 1 + 3 + 5 formaria um quadrado com nove pontos e o n´ umero 16 seria obtido a partir do 9 umero somando somand o mais ma is 7 unidades, un idades, que é o ´ımpar seguinte, correspondendo a um quadrado 4 4.

× ×

×

×

 da Lev Levando ando-s -see em con conta o triˆ triˆ angulo angulo OAB figura anterior, utilizando-se as rela¸c˜ cões oe s métri et rica cass conhecidas entre as diagonais e a aresta de um cubo inscrito em uma esfera de raio R = OA (raio de Saturno) e aplicando-se o teorema de Pitágoras agoras ao triˆ angulo angulo cinza, obtém-se em-se

R2 = r2 + 2r 2r2 = 3r 2

⇒

R=

√3 r

onde r = OB = a/2 a/2 é o raio de J´ upiter. upiter. Exerc´ Ex erc´ ıcio ıc io 1.8.3 1.8 .3

Os numer u ´ meros os para para os pita pitag´ g´ oricos oricos,, segund segundoo Arist´ oteles, oteles, n˜ ao ao seriam separ´ aveis aveis da mat´ ma téria. eria . No que concer concerne ne a concep concep¸¸c˜ cão a o que que eles eles tinh tinham am da matéria eria f´ısica, ısi ca, é import imp ortante ante entender ente nder inicia ini cialme lmente nte a quest˜ ao ao da representa¸c˜ cao ã o dos n´ umeros umeros para se compree com preender nder a cr´ cr´ıtica ıti ca aristo ari stot´ télica. eli ca. Expressar os números umeros de forma geométrica, etrica, a partir de pontos, leva aos conceitos de “n´ umero umero retan retangu gular lar”” e de “n´ umer u mero o quad quadra rado do”. ”. Como Como exemplo do primeiro, pode-se imaginar o n´ umero umero 20, 20, repr repres esen enta tado do por 20 pontos pontos regu regular larme men nte

Segund Segundoo Simpl Simpl´´ıcio, ıcio, este este tipo de repres represenenta¸c˜ cão ao num´ numérica erica levou levou os pitag´ oric o ricos os e muito muitoss comentadore comentadoress a associarem associarem o infinito infinito aos n´ umeros umeros pare pares. s. Claro Claro que que o que que est´ a por trás as disto é a infinitum da divis˜ possibilidade ad infinitum ao ao em partes iguais. iguais. Pelo Pelo que vimos vimos na Se¸ c˜ cao ão 1.4, Arist´ oteles oteles não ao podia, obvia obviamen mente, te, aceitar aceitar o crit´ crit´ erio erio de divi divisi sibi bilid lidad adee por 2 como como uma uma expl explic ica¸ a¸ c˜ cão do infin infinit ito, o, conc concei eito, to, ali´ alias, a´s, por ele ele abom abomin inad ado. o. Al´ em em disto, lembre-se lembre-se que na referida referida se¸c˜ cão a o foi reprodu reproduzid zidaa uma cita¸ citac˜ çao, a˜ o, na qual ual ele ele afirm afirmaa imposs´ıvel que alguma coisa cont´ cont´ınua resulte ser imposs´ composta compost a de indivi ind iviss´ıveis ıve is . Desta forma, forma, o Estagirita Estagirita foi tamb´ também em levado levado a criticar a concep¸c˜ cao aõ pitag´ orica orica da matéria, eria, pois atomos, conside as unidades-pontos-´ con siderada radass tamb´ t ambém em como a base f´ısica da matéria eria real – uma forma primitiva de atomo a´tomo –, n˜ ao poderiam ser aceitas em ao um sistema filos´ ofico que negava o vazio. Lembreofico se de sua afirma¸c˜ cão ao de que é impo im poss´ ss´ıvel ıve l que uma linha resulte composta de pontos, pontos , se se ´ e verdade ve rdade que qu e a linha lin ha ´ e um cont´ınuo ınu o e o ponto, ponto , um indivi ind iviss´ıvel ıve l .

Imagin Imag inar ar os n´ umeros umeros espaci espacialme alment ntee extenextensos sos ter´ ter´ a tamb´ também em impacto em outro cap´ cap´ıtulo impo import rtan ante te da Filo Filoso sofia fia Greg Grega, a, ou seja seja,, na discussão a o dos dos para parado doxo xoss de Zen˜ Zen˜ aao. o. Para ara mai maiss deta detalh lhes es veja, eja, por exem exempl plo, o, [G.S [G.S.. Kirk Kirk;; J.E. J.E. osof os ofos os pré-socr´ e-s ocr´ aticos]. Raven, Os fil´

2

F´ısica Mo derna


Cons Consid ider eree a figu figura abai abaix xo, sen sendo a o comprimento da aresta do cubo inscrito na esfera externa e que circunscreve a esfera interior.

Caruso

•

Oguri

disp dispos osto toss sobr sobree os lado ladoss e no inte interi rior or de um quadril´ atero a tero cujo cujo comp compri rime ment ntoo do lado lado mai maior or difere do outro por apenas uma unidade (20 = 4 5). Ja´ o numero u ´ mero 16, por exemplo, igual a 2 4 4 = 4 , pode ser constru´ constru´ıdo colocando-se a unidade (um ponto) no vértice ertice de um quadrado e “soman “somandodo-se” se” sucess sucessiv ivame ament ntee a ele os demais demais números umeros ´ımpares ımpares em forma de “L”. Assim, Assim, 4 = 1 + 3 seria representado por um quadrado 2 2; o 9 = 1 + 3 + 5 formaria um quadrado com nove pontos e o n´ umero 16 seria obtido a partir do 9 umero somando somand o mais ma is 7 unidades, un idades, que é o ´ımpar seguinte, correspondendo a um quadrado 4 4.

× ×

×

×

 da Lev Levando ando-s -see em con conta o triˆ triˆ angulo angulo OAB figura anterior, utilizando-se as rela¸c˜ cões oe s métri et rica cass conhecidas entre as diagonais e a aresta de um cubo inscrito em uma esfera de raio R = OA (raio de Saturno) e aplicando-se o teorema de Pitágoras agoras ao triˆ angulo angulo cinza, obtém-se em-se

R2 = r2 + 2r 2r2 = 3r 2

⇒

R=

√3 r

onde r = OB = a/2 a/2 é o raio de J´ upiter. upiter. Exerc´ Ex erc´ ıcio ıc io 1.8.3 1.8 .3

Os numer u ´ meros os para para os pita pitag´ g´ oricos oricos,, segund segundoo Arist´ oteles, oteles, n˜ ao ao seriam separ´ aveis aveis da mat´ ma téria. eria . No que concer concerne ne a concep concep¸¸c˜ cão a o que que eles eles tinh tinham am da matéria eria f´ısica, ısi ca, é import imp ortante ante entender ente nder inicia ini cialme lmente nte a quest˜ ao ao da representa¸c˜ cao ã o dos n´ umeros umeros para se compree com preender nder a cr´ cr´ıtica ıti ca aristo ari stot´ télica. eli ca. Expressar os números umeros de forma geométrica, etrica, a partir de pontos, leva aos conceitos de “n´ umero umero retan retangu gular lar”” e de “n´ umer u mero o quad quadra rado do”. ”. Como Como exemplo do primeiro, pode-se imaginar o n´ umero umero 20, 20, repr repres esen enta tado do por 20 pontos pontos regu regular larme men nte

Segund Segundoo Simpl Simpl´´ıcio, ıcio, este este tipo de repres represenenta¸c˜ cão ao num´ numérica erica levou levou os pitag´ oric o ricos os e muito muitoss comentadore comentadoress a associarem associarem o infinito infinito aos n´ umeros umeros pare pares. s. Claro Claro que que o que que est´ a por trás as disto é a infinitum da divis˜ possibilidade ad infinitum ao ao em partes iguais. iguais. Pelo Pelo que vimos vimos na Se¸ c˜ cao ão 1.4, Arist´ oteles oteles não ao podia, obvia obviamen mente, te, aceitar aceitar o crit´ crit´ erio erio de divi divisi sibi bilid lidad adee por 2 como como uma uma expl explic ica¸ a¸ c˜ cão do infin infinit ito, o, conc concei eito, to, ali´ alias, a´s, por ele ele abom abomin inad ado. o. Al´ em em disto, lembre-se lembre-se que na referida referida se¸c˜ cão a o foi reprodu reproduzid zidaa uma cita¸ citac˜ çao, a˜ o, na qual ual ele ele afirm afirmaa imposs´ıvel que alguma coisa cont´ cont´ınua resulte ser imposs´ composta compost a de indivi ind iviss´ıveis ıve is . Desta forma, forma, o Estagirita Estagirita foi tamb´ também em levado levado a criticar a concep¸c˜ cao aõ pitag´ orica orica da matéria, eria, pois atomos, conside as unidades-pontos-´ con siderada radass tamb´ t ambém em como a base f´ısica da matéria eria real – uma forma primitiva de atomo a´tomo –, n˜ ao poderiam ser aceitas em ao um sistema filos´ ofico que negava o vazio. Lembreofico se de sua afirma¸c˜ cão ao de que é impo im poss´ ss´ıvel ıve l que uma linha resulte composta de pontos, pontos , se se ´ e verdade ve rdade que qu e a linha lin ha ´ e um cont´ınuo ınu o e o ponto, ponto , um indivi ind iviss´ıvel ıve l .

Imagin Imag inar ar os n´ umeros umeros espaci espacialme alment ntee extenextensos sos ter´ ter´ a tamb´ também em impacto em outro cap´ cap´ıtulo impo import rtan ante te da Filo Filoso sofia fia Greg Grega, a, ou seja seja,, na discussão a o dos dos para parado doxo xoss de Zen˜ Zen˜ aao. o. Para ara mai maiss deta detalh lhes es veja, eja, por exem exempl plo, o, [G.S [G.S.. Kirk Kirk;; J.E. J.E. osof os ofos os pré-socr´ e-s ocr´ aticos]. Raven, Os fil´

2

As origens do atomismo atomis mo cient´ cient´ıfico: contribui¸ c˜ co ˜es da Qu´ımica Exerc´ Ex erc´ ıcio ıc io 2.9.1 2.9 .1


obaros s˜ Os is´ ao ao atomos a´tomos com mesmo n´ umero umero de otopos s˜ massa e n´ umeros umeros atˆ omicos omicos iguais; os is´ aaoo atomo á tomoss de um me mesm smoo elem elemen ento to com com o me mesm smoo númer u meroo de pr´ prótons otons (mesmo (mesmo Z ) e n umer u ´ meroo de nêutrons eutrons diferentes (diferentes (difere ntes A).

A palavra palavra mˆ deriv va do greg gregoo µoν ´ µoν αζ α ´ ζ , onada onada deri que significa significa unidade. Cons Consta ta que que este este termo termo tenha tenha sido sido consid considera erado do pela primei primeira ra vez vez pelos pelos pitag´ oric o ricos os.. Bem Bem ma mais is tarde tarde,, tal tal conc concei eito to ir´ a evolu evoluir ir para para alg algoo como como “aq “aque uela la unid unidad adee que que espel espelha ha o todo” todo”,, espec especia ialm lmen ente te na filos filosofi ofiaa de Nicolau Nicolau de Cusa (1401-1464 (1401-1464). ). Giordan Giordanoo Bruno Bruno (1548-1600) foi quem formulou mais precisamente a id´ idéia e ia de que que as mˆ onadas onadas seriam seriam com composta postass destas dest as part pa rt´´ıculas ıcu las m´ınimas ıni mas,, nas na s quais qua is se encontram enco ntram a substˆ ancia ancia das coisas.

Do ponto de vista do atomismo de Dem´ ocrito, ocrito, como com o se viu no Cap´ C ap´ıtulo ıtu lo 1, a existˆ ex istência enci a de is´ otopos otopos e isóbaros obaros poderia ser acomodada, uma vez que ele atribu´ıa ıa ao atomo a´tomo duas propriedades capazes de diferenciá-los: a-los: tamanho e formato. J´ a do ponto de vista de Dalton, a descoberta dos is´ otopos otopos e isóbaros obaros seria um problema, pois, como foi visto na Se¸c˜ cão ao 2.5.1, ambos ferem sua part´ıculas ´ ultima ultimass de id´ eia eia basilar basilar de que “as part´

O filósofo osofo alem˜ alemao aõ Gottfr Gottfried ied Wilhel Wilhelm m Leibni Leibnizz (1646 (1646-1 -1716 716)) herd herdou ou este este conc concei eito to de Brun Bruno, o, transformando-o e entendendo-o muito mais copr inc´ c´ ıpio ıp io ativo at ivo inerente ` mo um prin as as substâncias ancias do que como co mo part´ pa rt´ıcul ıc ulas as m´ınim ın imas as..

todos os corpos corpos homogˆ homogˆ eneos eneos s˜ ao perfeit perfeitamente amente seme semelh lhan ante tess em peso, eso, form forma a etc. etc. Em outr outras as palavras, toda part´ part´ıcula de ´ agua ´ e como qualquer qualqu er part´ıcula ıcu la de ´ agua ag ua;; toda part´ıcu ıcula la de hidrogˆ hi drogˆ enio en io ´ e como qualquer qualqu er outra de hidrogˆ enio enio (...)”.

Cada Cada mˆ onada onada é distin distinta ta das demais demais e n˜ aaoo existe existem m duas duas mˆ onadas onadas iguais iguais,, ao contr´ contr´ ario ario dos atomos átomos de Leucipo e Dem´ ocrito, ocrito, que s˜ ao ao idˆ idêntic ent icos os para a mesma substância. ancia.


Send Sendoo assi assim, m, fica fica clar claro, o, por por dois dois mo moti tiv vos, os, que a monadologia (teo (teori riaa das das mˆ onad o nadas as)) de Leibniz Leibniz difere difere crucialmen crucialmente te do atomismo grego, segundo o qual as menores partes da matéria eria sãaoo inanimadas, possuem duas ou três es propriedades b´ asicas asicas (segundo o fil´ osofo) osofo) e estão ao em movimento eter eterno no,, ma mass s˜ a o priv ao privas as de qual qualqu quer er tipo tipo de iniciat iniciativ ivaa ou qualid qualidade ade que permitis permitissem sem ver ver os atomos átomos como algum tipo de princ´ princ´ıpio ativo ativo da mat´ ma téria er ia..

mH : mN : mO = 1 : 7 : 5


Observ Observand ando-s o-see a repres represen enta¸ ta¸c˜ caõ gra´fica de Chanco Chancourt urtois ois (Figur (Figuraa 2.9), 2.9), nota-se nota-se que os eleelementos com propriedades semelhantes aparecem 3

4

F´ısica Mo derna

na mesma vertical vertical.. A diferen¸ diferen¸ca ca de peso atˆ omico omico entre entre dois elementos elementos consecutiv consecutivos os na vertical vertical é igual igual a 16. Assi Assim, m, por exem exempl plo, o, os eleme elemen ntos l´ıtio (Li), s´ odio odio (Na) e pot´ assio assio (K), que pertencem ao Grupo I da Tabela de Mendeleiev, têm em pesos atômicos omicos respectivamente iguais a 7, 7 + (16 1) e 7 + (16 2). 2). Para ara os dema demais is membr membros os do grupo, grupo, essa essa recorr recorrˆência encia pode ser expres expressa, sa, de forma compacta, como A = 7+ 16n, onde n é um número umero inteiro. inteiro. A generaliza¸ generaliza¸ c˜ cao ão para um termo genérico erico de peso atômico omico m é

×

×

Caruso

•

Oguri


(1

− x) = 0,0036 = 0,003613 = 0,0,36% x

0,9964


volume NH3 = 20 L

A = m + 16n 16n

Exerc´ Ex erc´ ıcio ıc io 2.9.12 2.9 .12 Exerc´ Ex erc´ ıcio ıc io 2.9.5 2.9 .5

tem como solu¸c˜ cões oes X = 69 69,,48 e Y = 72 72,,62. Estes valores se comparam, respectivamente, aos valores X = 68 e Y = 72 reportados na Tabela de Mendeleiev de 1871 (Tabela 2.8). Exerc´ Ex erc´ ıcio ıc io 2.9.6 2.9 .6

4,515


n=

Portanto, a part´ part´ıcula X possui uma unidade de massa massa atˆ omica omica e é eletricamen eletricamente te neutra: neutra: o 1 nêutr eu tron on (n0 ). Exerc´ Ex erc´ ıcio ıc io 2.9.7 2.9 .7

× 1023 mo mol´ lécul ec ulas as

35 35,,7 g = 1,28 mol 28 28,,0 g/mol


n=

42 42,,4 g = 0,4 mol 106,,0 g/mol 106

X = As86 33 Exerc´ Ex erc´ ıcio ıc io 2.9.15 2.9 .15 Exerc´ Ex erc´ ıcio ıc io 2.9.8 2.9 .8

13 nêutro eut rons. ns. Exerc´ Ex erc´ ıcio ıc io 2.9.9 2.9 .9

m(Ar36 ) = 39, 39,95 u

A fórmu or mula la é SO3 .

3

O atomismo atomismo na F´ısica: o triunfo triunfo do mecanicismo ⇓


Para valores pares (n (n = 0, 2, 4, . . .), de acordo com a ultima u ´ltima equa¸c˜ cao ã o da p´ agina a gina 75 do livro de texto, I 0 (α) =

  

∞

2

e−αx

0

I 2 (α) =

∞

0

I 4 (α) =

∞

0

1 dx = 2

π π −1/2 = α α 2

2

√π

dα

4

×

α−3/2

√

2

dα

• Média

8

v Exerc´ Ex erc´ ıcio ıc io 3.6.2 3.6 .2

ρ(v ) = av e−αv

2

×

dρ dv



= (2v (2v

vmod

∞

=

onde

  

∞

=

√

− 2αv3)ae−αv

2

4

2 π

√ 2/ π

m 2kT



2

v 3 e−αv dv =

a −2 α 2

I 3

4 3/2 a= α π α=

v ρ(v) dv

0

0

=

k = 1,38 10−23 J/K é a constante de Boltzmann Boltzm ann e m é a massa mass a de cada cad a molécula ecu la do g´ as. as.

• Moda

      √              

=a

A distribui¸c˜ cão ao (ρ) dos m´ odulos odulos das velocidades (v (v ) de um gás as ideal em equil´ıbrio ıbrio térmico ermico a` temperatura T pode ser escrita como

2

RT µ

2

onde R = 8,315 107 erg/K. erg /K.mol mol é a consta con stannte universal dos gases e µ, a massa molecular do g´ as. as.

dI 3 3 π −5/2 x e−αx dx = − = α 4

1 = α−1/2 = α

  

√



dI 0 x e−αx dx = − = 2

vmod =



8 π

α3/2 α−2 = α−1/2

kT m

2 π

2,55

2kT m

kT m

• Média edi a quadr´ qua drática atica (valor eficaz): v = v 2 

=0

vmod

ef

5



> vmod

6

F´ısica Moderna

Caruso

•

Oguri

Exerc´ ıcio 3.6.6

v2

 

 √           √            ∞

=a

0

2

v 4 e−αv dv = 38 a πα −5/2 I 4

=

3 π 8

2 3/2 3/2 −5/2 kT 2 α α =3 π m α−1

3/2

Logo,

⇒ 1 = 4,97 × 10−21 J T 2 = 273,16K =⇒ 2  = 5,65 × 10−21 J T 3 = 300,16K =⇒ 3  = 6,21 × 10−21 J T 1 = 240,16K =

Exerc´ ıcio 3.6.7

vef =

kT m

3

   −         − 

• Desvio-padrão: σv =

> v > vmod

3

σv =

8 π

kT m

v2

v

0,45

2

kT m

vef =

      3

kT m

=

3

RT µ

onde R = 8,315 107 erg/K.mol e T Assim,

×

 

µ(N2 )

 28 µ(He)  2

=

⇒ =⇒



300,16K.

vef (N2 )

 520 m/s (He)  1900 m/s

vef

Exerc´ ıcio 3.6.3

Exerc´ ıcio 3.6.8

As moléculas de cloro (Cl2 ) e hidrogênio (H2 ) terã o, respectivamente, os menores e maiores valores para a moda, para a média, para o valor eficaz e para o desvio-padrão.

Igualando-se a energia cinética média e a energia potencial de cada ´ıon, T =

2eV = 7,7 3k

× 106 K

Exerc´ ıcio 3.6.4

v v

He4 He3

=

  µHe4 = µHe3

4 2 = 3 3

√  1.15

Exerc´ ıcio 3.6.9

N vx

→∞

Exerc´ ıcio 3.6.5

vef = vsom



9 3 = 5 5

√  1,34

− 

N = 1 2

erf(ξ)

Exerc´ ıcio 3.6.10



N 0 v= N erf(ξ) →

2 2 ξ e−ξ π

−√



7

3. O atomismo na F´ısica: o triunfo do mecanicismo Exerc´ ıcio 3.6.11


Como o valor modal da velocidade (vmod ) para uma molécula de hidrogênio (µ 2 u) a` temperatura ambiente (T 300,16 K) é da ordem de 1 580 m/s, obtém-se



   4,9 × 109 Hz

f = nσ v




  

ξ1 = 0,014

⇒ P (v > v1) = 0,9999 ξ2 = 0,06333 ⇒ P (v > v2 ) = 0,9998 ξ3 = 0,6333 ⇒ P (v > v3) = 0,8089

Uma vez que o livre caminho m´ edio (), por exemplo, para as moléculas de oxigênio, µ(O2 ) 32, de raio (r) cerca de 1,8 10−10 m, a` temperatura ambiente (T 300 K) é dado por


As respectivas porcentagem das moléculas que têm velocidades maiores que v0 = 1000 m/s s˜ ao 2 dadas, respectivamente para T 1 = 10 K, T 2 = 103 K e T 3 = 104 K, por

1 nσ

× 10−8 ⇔ P (v > v ) = 0,28 ⇔ 28 % P (v > v ) = 0,95 ⇔ 95 % P (v > v0 ) = 2,2

 10−5 cm

e o volume efetivo ocupado por uma mol´ ecula, igual ao cubo da distˆ ancia média entre elas, pode ser estimado por d3 ou d

  

×



=



 

22,4  6,023 1023

×



=

1 n

 3,3 × 10−7 cm, o que implica que

0,0000022 %

r
0

0


dN = N


1 ∆ = m v 2 2

  − 12 mv2 = 12 mσv2  0,9 × 10−7 J


Nas condi¸co˜es normais de temperatura e pressão, a densidade (ou concentra¸cão n) de moléculas de um gás ideal é da ordem de 6,023 1023 n= 22400

×

 2,68 × 1019 moléculas/cm

3



2 1 1/2 e−/kT d π (kT )3/2

8

F´ısica Moderna

Caruso


N > N



=

−

1 e−x +...... 4 x3/2



2 1 e−x  1/2 −x x e + + π 2 x1/2

    −     −  2 1/2 −x x e π



=

+

1 2

√2mkT

é o valor modal do

onde pmod

1/2

kT

kT 

1 4



1 2

1+

+......



dP ( p,p + d p) =



2

1 x

2 π

√

 





1 4

Oguri


 

=

•

1 x

+ Exerc´ ıcio 3.6.24



e− /kT 1 + 2

+......




P = nkT

d p

Na solu¸caõ dos diversos ´ıtens deste exerc´ıcio ser˜ ao u ´teis os resultados das seguintes integrais:



kT 

2

momentum .





=

4 p2 p exp pmod π p3mod

 8,8 × 10−8 N/m

2

       

I

=

   

∞

1 α

e−αz dz =

0

I 0 =

∞

√

π −1/2 e−αz dz = α 2

2

0

I 2 = I 4 =

∞

2

z 2 e−αz dz =

0

∞

z 4 e−αz

2

0

√π 4

α−3/2

√

3 π −5/2 dz = α 8

a) a energia cinética média: Exerc´ ıcio 3.6.20

O n´ umero total de choques por segundo e por unidade de área pode tamb´ em ser expresso em termos de (P, T ) como P N A nc =

3RT

  2RT πµ

1/2

P N A = 3

c = 32 kT b) a energia potencial média:

  2 πµRT

1/2

 = 52 kT c) a dispers ao na posi¸cão:


I = 1,5

×

1012

σz =

moléculas/s

RT µg

Cabe aqui um coment´ ario. Considerando-se a temperatura ambiente, verifica-se que, no SI,


a = 1,8 µm

z  2 ×

10−21 1,62 10−27

×

5

× 10  10

m

9

3. O atomismo na F´ısica: o triunfo do mecanicismo

Tal valor vai implicar um valor t˜ a o alto para a dispersã o na posi¸cão, que simplesmente mostra que a atmosfera n˜ a ao ´ e isot´ ermica , o que est´ impl´ıcito na aplica¸ cão da distribui¸cão de MaxwellBoltzmann ao problema (veja item d). d) o valor da dispers˜ ao na posi¸cão para molécula de H2 , a` temperatura de 300 K: Para a molécula de H2 , µ = 2 u. Assim, σz = 1,3

sendo φ o aˆngulo azimutal sobre o qual ainda n˜ ao se integrou. Por outro lado,

× 107 cm

dN = J αinc dσ dt


 × √ √  × × ×

5π K = 32

¯V + 9 R C 4

2 2

RT πM

2

1 RT 2πd2 P N A

P M RT

Desse modo, pode-se obter uma expressão para a se¸caõ de choque infinitesimal, dσ, em termos do parâmetro de impacto b da colis˜ ao, dada por

×

1 M

dσ = b db dφ O choque de uma part´ıcula com uma esfera r´ıgida pode ser representado pela figura a seguir.

a qual pode ser simplificada, de forma a se obter a express˜ ao solicitada:



 

5 ¯ 9 K = C V + R 16 4

RT πM

1/2

1 N A d2


t=

ln(0,125) ln(0,5)

× 20

⇒

t = 60 h


Foi mostrado nas p´ a ginas 376 e 377 do livro inc de texto que, se J α é a densidade de corrente de part´ıculas que incidem sobre o alvo, a taxa de part´ıculas (dN/dt) que será espalhada entre um ângulo s´ olido Ω e Ω + dΩ é dada por dN = J αinc dΩ = J αinc b db dφ dt

Para se obter a se¸cão de choque diferencial em rela¸cão ao aˆngulo s´ olido dΩ é necessário expressar o parˆ ametro de impacto em termos do aˆngulo de espalhamento θ. Da figura vê-se que

 

θ=π

− 2χ

b = R sen χ = R sen

σ(Ω)

− π 2

θ 2

dσ 1 ≡ dΩ = R2 4

= R cos

θ 2

10

F´ısica Moderna


Na figura abaixo apresenta-se um esbo¸co da se¸caõ de choque clássica de Mott (linha cheia) comparada com a se¸cã o de choque cl´ assica de Rutherford (linha pontilhada).

Lembre-se que a se¸cã o de choque cl´ assica de Mott para o espalhamento coulombiano entre part´ıculas idênticas de carga elétrica e pode ser escrita como σ(θ) =

2

       e2 4E

cosec4

θ 2

+ sec4

θ 2

Note que as duas se¸cõ es de choque cl´ assicas têm comportamento praticamente idênticos para â ngulos compreendidos entre 0o e 50o , tornando-se muito diferentes a partir deste valor.



Caruso

•

Oguri

4

O movimento browniano e a hip´ otese molecular Exerc´ ıcio 4.6.1

Exerc´ ıcio 4.6.4

Usando-se a equa¸caõ O nú mero de Avogadro pode ser obtido da equa¸cão N A =

 t λ2

RT 3πηa

λ=

 6,99 × 1023

    x2 =

RT t 3πηaN A

obtém-se λ = 6,1 µm

Exerc´ ıcio 4.6.2

Deve-se ter [F ] = MLT −2 = [a]α [v]β [η]γ = α

Exerc´ ıcio 4.6.5

k = 1,36

β

= L L T −β M γ L−γ T −γ = = M γ Lα+β −γ T −(β +γ ) Segue-se, então, que γ = 1 e

 

α + β

− γ = 1

β + γ = 2

α=1

⇒ ⇒

β = 1

e, portanto, F

∼ aηv

Exerc´ ıcio 4.6.3

kT RT t= x2 = 3πηa 3πηaN

t

A

11

× 10−23 J/K

5

Concep¸ co ˜es cl´ assicas sobre a natureza da luz Exerc´ ıcio 5.10.1


Os coeficientes de reflex˜ ao e transmissã o s˜ ao dados, respectivamente, por

Tomando-se a derivada temporal da lei de Gauss,

r=



k1 k2 k1 + k2

−



2

e

t=

4k1 k2 (k1 + k2 )2

 · D = 4πρ Por outro lado,

Sendo assim, r+t =

=



 · ∂ ∂tD = 4π ∂ρ ∂t

⇒ 



(k12 + k22 2k1 k2 + 4k1 k2 ) (k1 + k2 )2

 1 ∂ D ⇒ ∂ D = c(  × H  ) − 4πJ   × H  = 4πc J + c ∂t ∂t



Tomando-se o divergente da u ´ ltima equa¸caõ e igualando o resultado a` equa¸cão obtida da lei de Gauss, encontra-se

−

k1 + k2 k1 + k2



2

=1



 · ∂ ∂tD = c · ( × H  ) −4π · J  = 4π ∂ρ ∂t


2

sen

(kx

1 = 2T

  −   − 

1 ωt) = T

− 

  − T

1

0

T

2

sen

2πt T

kx

0

cos2 kx

2πt T

   =0

dt

ou,

∂ρ   + J = 0 ∂t

·

1 dt = 2


O campo elétrico propaga-se na dire¸caõ kˆ e é da forma ˆ 0 sen(ky + ωt)  = E z kˆ = kB E

12

13

˜ es cla ´ ssicas sobre a natureza da luz 5. Concepc ¸o

onde (veja figura a seguir)


Considere a situa¸caõ representada na figura a seguir.

∆P =







gν dν

 ≡ cg

Por outro lado, combinando-se as equa¸cões g = u /c e I = c u , obtém-se que g c = I/c e, portanto, P = I/c

 



F m =

±qvB (S.I.)

m 2 (v v02 ) = qvB R Como o termo da diferen¸ca entre os quadrados das velocidades pode ser expresso como

−

e a pressão é dada por

 

e

Logo,

gν Sc∆t dν

1 ∆P P = =c S ∆t

v02 F c = m R



(v 2

±

− v02) = (v − v0)(v + v0) = ∆v · 2v

Logo, ∆v =

± qBR 2m

Exerc´ ıcio 5.10.9 Exerc´ ıcio 5.10.6

Recordando que P atm = 1 atm = 105 Pa

⇒

P Sol = 10−10 P atm

Considere uma part´ıcula de carga q em movimento circular uniforme, conforme a figura a seguir.


1 dB E = r 2 dt

  A corrente elétrica produzida é


I =

Neste movimento, a for¸ca centr´ıpeta é dada pela resultante v2 m = F c + F m R

(F m << F c )

q ω v = q= q T 2π 2πR

Por outro lado, m = I S = IπR 2 =

·

v qR 2

14

F´ısica Moderna

Assim,

Caruso

•

Oguri


m0 =

v0 qR 2

⇒ m − m0 ≡ ∆m = v −2 v0 qR

Como ∆v =

±

BR q 2m

⇒

∆m =

  ± q 2 R2 4m

A fórmula de Larmor expressa a potência irradiada por uma carga acelerada e é dada pela equa¸cão (5.31) do livro, ou seja, 2e2 2 P = 3 a 3c

B

 

Para uma for¸ca do tipo F = ma = a acelera¸caõ é dada por


a=

Considere o movimento ao longo do eixo-y (figura) descrito pela equa¸cão y = y0 cos(2πνt)

−eE o cos ωt,

eE o ω 2 cos ωt mωo2

onde ωo = k/m é a freq¨ uência natural. Assim,

P =

2e4 E o2 ω 4 cos2 (ωt) e4 E o2 c = 3m2 ωo4 c3 3m2 ωo2 λ4





tendo sido usado o resultado do Exerc´ıcio 5.10.2 e depois expresso o resultado final em termos do comprimento de onda λ, dado pela rela¸ caõ ω = c/λ. A acelera¸cão é dada por a = (2πν )2 y0 cos(2πνt) A potência irradiada é dada pela f´ ormula de Larmor P =

2 e2 3 c3

==

a2(tr )T

2e2 3c3

× 16π4ν 4y02cos2[2πν (t − r/c)]T

Como o valor m´ edio a` direita da equa¸cão anterior é igual a 1/2, chega-se ao resultado 16π4 ν 4 e2 y02 P = 3c3


Este resultado, encontrado originalmente por Lord Rayleigh, permite concluir que a luz azul (de menor comprimento de onda) é mais espalhada do que a luz vermelha. De fato, os comprimentos de onda do azul variam entre 450 495 nm (nanˆ o metros), enquanto os do vermelho est˜ ao compreendidos entre 620 750 nm. Se, para efeito de estimativa, considera-se os valores m´ edios λazul = 472,5 nm e λvermelho = 685 nm, obtémse

−

−

P azul P vermelho

 10−12 W

λvermelho λazul

   4

=

685 472,5

4

= 4,4

Assim, o céu é azul porque o que se vê é a luz refratada e espalhada pela moléculas de oxigênio e nitrogênio que compôem o céu em sua maioria, ou seja, n˜ a o se está olhando diretamente para a fonte da luz. Entretanto, como a luz violeta tem um comprimento de onda ainda menor ( 380 450 nm) do que o azul, pode-se indagar o porquê, ent˜ ao, o céu n˜ ao é violeta ao invés de azul. Acontece que a vis˜ ao do olho humano

−

P

 



˜ es cla ´ ssicas sobre a natureza da luz 5. Concepc ¸o

normal é mais acurada para comprimentos de onda contidos no intervalo de 400 700 nm. Desse modo, uma parte do violeta n˜ ao se vê e a restante, com comprimentos mais pr´ o ximos do azul, se confunde com esta cor.

−


A energia perdida pelo próton no movimento orbital é  2,7 10−7 eV



×


A distribui¸cã o angular da se¸cã o de choque diferencial de Thomson é dada pela figura a seguir.

Note que a se¸cã o de choque diferencial de Thomson apresenta um m´ınimo para θ = 90o e é máxima para a frente (θ = 0o ) e para trás (θ = 180o ).

15

6

A Eletrodinˆ amica e a Teoria da Relatividade Restrita de Einstein nos dois sistemas inerciais como




a) Das transforma¸cõ es de Galileu entre dois sistemas inerciais S e S  , segue-se que ∂ ∂x ∂ ∂y ∂ ∂z ∂ ∂t

= = = =

∂x  ∂ ∂ =  ∂x ∂x ∂x  ∂ ∂y  ∂ ∂z  ∂x  ∂ ∂t  ∂ + = ∂t ∂x  ∂t ∂t 

−v ∂x∂ 

+

∂ 2 ∂x 2

+

∂ 2 ∂ 2 ∂ 2 + + ∂y 2 ∂z 2 ∂x 2

=



−

v ∂ 2 2 c ∂x  ∂t 

∂ 2 ∂ 2 ∂ 2 + + ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2

1

donde

= = = =

∂ 2 ∂x 2 ∂ 2 ∂y 2 ∂ 2 ∂z 2 ∂ 2 v 2 2 ∂x

−

2

2

− vc2 ∂x∂ 2 +



1 ∂ 2 Ψ = 0 2 2  c ∂t

ou seja, a equa¸caõ n˜ ao mant´ em a mesma forma nos dois sistemas inerciais S e S  .

∂ ∂t 

 −  ∂ 2 ∂x 2 ∂ 2 ∂y 2 ∂ 2 ∂z 2 ∂ 2 ∂t 2

−



1 ∂ 2 Ψ= c2 ∂t 2

−

v2 c2

v ∂ 2 2 c ∂x  ∂t 

−

∂ 2 ∂ 2 ∂ 2 + + + ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2 1 ∂ 2 Ψ = 0 2 2  c ∂t



b) por outro lado, resulta das transforma¸cões de Lorentz entre dois sistemas inerciais S e S  ,

−

∂ 2 ∂x 2 ∂ 2 ∂y 2 ∂ 2 ∂z 2 ∂ 2 ∂t 2

∂ 2 ∂ 2 2v   + 2 ∂x ∂t ∂t

Uma vez que para um campo escalar Ψ(x,y,z,t) = Ψ (x , y , z  , t ) a equa¸cão de onda de d’Alembert pode ser escrita

onde 16

= = = =

2 2 ∂ 2 ∂ 2 2 v 2 v ∂ γ 2γ 2   + γ 4 2 ∂x 2 c ∂x ∂t c ∂t 2 ∂ ∂y 2 ∂ 2 ∂z 2 ∂ 2 ∂ 2 ∂ 2 γ 2 v 2 2 2γ 2 v   + γ 2 2 ∂x ∂x ∂t ∂t 2

γ = (1

−

−

− v2/c2)−1/2.

ou seja, no sistema

ˆ mica e a Teoria da Relatividade Restrita de Einstein 6. A Eletrodina

S  ,



17


∂ 2 γ ∂x 2

2 2 v ∂ 2 ∂ 2 2 v ∂ 2γ 2   + γ 4 2 + 2 + c ∂x ∂t c ∂t ∂y 2 2 2 ∂ ∂ 2 2 v ∂ 2 v + γ 2 2 + 2γ 2   + ∂z 2 c ∂x c ∂x ∂t 2 2 γ ∂ Ψ = 0  2 2 c ∂t

2

2

−

−

−

 −       − −    v2 c2

γ 1

∆L = Lo



Fazendo-se um pequeno algebrismo, vˆ e-se que a equa¸cão de onda de d’Alembert mantém a mesma forma em dois sistemas inerciais. De fato, 2

O encurtamento (∆L) do avi˜ ao para um observador no solo será dado por

∂ 2 ∂ 2 ∂ 2 + + + ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2

− L = 12

v2 c2

∂ 2 Ψ = 0  2 ∂t

v c

2

Lo = 0,1 nm


Para um observador no solo, será necessário um intervalo de tempo da ordem de τ T = 106 s

1

1 2 γ 1 c2



 11,6 dias

para que as medidas dos rel´ ogios difiram por um valor igual a 2,0 µs.

1


a)

b)

1/2

−   −  v2

1

c2

1

1


τ T = γ (v)τ o = 15,2 µs

1 v2

− 2 c2 = 0,99995

1/2

v2 c2


= 0,02


∆t = Lo

900 50 v = = 0,5 ps c2 9 1016

×

×

A rela¸cão entre os volumes V e V o ser´ a dada por lx ly lz V =  = 0,6 V o lx ly lz

× × × ×

e o volume V , por V = 0,6 V o = 600 cm3

 1000


v

 0,14c = 4,2 × 107 m/s

δ


∆t = γd 

v vd 0,4 600 = = = 0,8 µs c2 cc 3 108

 d


× ×

− δ∗ = 2 × 10−7 m


v = 3,6

× 104 m/s

18

F´ısica Moderna


Para fazer o esbo¸co da dependêndia de e/m com a velocidade, considere a tabela a seguir. Velocidade (1010 cm/s)

e/m (108 C/g)

°

e/ ° m (108 C/g)

1,00

1,7

1,06066

1,658213

1,50

1,52

1,154701

1,523165

2,36

1,31

1,619753

1,085844

2,48

1,17

1,777171

0,989663

2,59

0,97

1,981634

0,88755

2,72

0,77

2,370523

0,741946

2,83

0,63

3,01344

0,583652

As duas primeiras colunas correspondem aos dados do exerc´ıcio; a terceira mostra os diversos valores do fator de Lorentz γ e a u ´ ltima leva em conta como valor esperado para e/(γm) o valor atual de e/m dividido pelo respectivo γ .

Na figura acima, comparam-se os valores obtidos por Kaufmann (c´ırculos) com os valores esperados segundo a Relatividade Restrita (quadrados). Cabe notar que a discrepˆ ancia observada foi o motivo que levou Kaufmann a criticar a teoria de Einstein na época de suas medidas.

Caruso

•

Oguri

7

A desconstru¸ c˜ ao do ´ atomo: algumas evidˆ encias do s´ eculo XIX 16 C = C 3 3 16 C 36 λ6 = = C 8 8 36

Exerc´ ıcio 7.5.1

λ4 =

Os resultados encontrados s˜ ao:

• Para Lyman: A λ12 = 1215 ˚

e

A λ13 = 1025 ˚

e

λ35 = 12810 ˚ A

Na nota¸cã o de Stoney, estes valores est˜ ao respectivamente associados a`s raias H α , H β e H γ . Suas razões valem

• Para Paschen: λ34 = 18750 ˚ A

H α : H β =

• Para Brackett:

e

λ45 = 44440 ˚ A

λ46 = 26240 ˚ A

e

H α : H γ =

36C 5

36C 5

27 = × 3C 16 20

8 32 = = × 8C 36 5 20

Portanto, Exerc´ ıcio 7.5.2

H α : H β : H γ =

A f´ ormula de Balmer pode ser escrita como λ=

onde C

1 1 1 : : 20 27 32

C



1 m2

−

1 n2



Exerc´ ıcio 7.5.3

Utilizando para 1/RH o valor aproximado de 0,9115 10−5 cm, encontra-se que o menor comprimento de onda para a série de Lyman é 911,3 ˚ A e o maior, 1 215 ˚ A.

≡ 1/RH .

×

As rela¸ cõ es obtidas por Stoney, em 1871, referem-se às raias de Balmer correspondentes aos valores m = 3, 4 e 6. Para estes valores, a aplica¸cão direta da f´ ormula anterior fornece os seguintes comprimentos de onda: λ3 =

Exerc´ ıcio 7.5.4

Uma rede de difra¸caõ de Rowland tinha uma resolu¸cã o da ordem de 600 linhas/mm, o que corresponde a uma distˆ ancia entre as linhas de cerca de 1/600 167 10−3 mm. J´ a uma rede

C 36 = C 5 5 36



19

×

20

F´ısica Moderna

com um espa¸camento entre linhas de 2 10−8 m = 2 10−5 mm corresponde a um poder de resolu¸cão de

×

×

2

×

1 = 50 000 linhas/mm 10−5

Exerc´ ıcio 7.5.5

O número de mols em 1,08 n=

1,08 103 g 18 g/mol

×

× 103 g de a´gua é

⇒

n = 60 mols

Exerc´ ıcio 7.5.6

O volume de hidrogênio é calculado pela equa¸cão de Clapeyron V =

nRT P

A pressão de 700 mmHg é igual a 0,93 Logo, V =

2,5

ou V = 6,7

× 105 Pa.

× 10−3 × 8,3 × 3 × 102 0,93 × 105

× 10−5 m3 = 6,7 × 10−2 L ⇓ V = 67 mL

Exerc´ ıcio 7.5.7

A constante de Faraday (F ), de acordo com as leis da eletrólise, é a constante de proporcionalidade entre o equivalente eltroqu´ımico (K ) e o equivalente qu´ımico (µ/n). De acordo com os dados da tabela a seguir, a constante de Faraday pode ser obtida a partir de um ajuste linear, como ilustra a pr´ oxima figura, e é dada por F = (9,651

± 0,001) × 104 C/mol

Caruso

•

Oguri

8

Os raios cat´ odicos: a descoberta do el´ etron e dos raios X Exerc´ ıcio 8.5.1

Exerc´ ıcio 8.5.2

a)

 F P

O estudo das descargas em gases, durante o final do s´ eculo XIX, foi um dos cap´ıtulos mais marcantes da F´ısica. Foi a partir dele que se descobriram o elétron e os raios X . O debate cient´ıfico em torno deste tema teve o mérito inicial de colocar na ordem do dia a discussão acerca da natureza da luz. Ambas foram descobertas que tiveram, historicamente, um papel essencial na compreens˜ ao da estrutura da matéria e da F´ısica Atˆ omica.

= 3, 6

el´ etron

× 1011

b)

 F P

pr´ otron

1 = 1836

 F P

= 1,96 el´ etron

Exerc´ ıcio 8.5.3

O elétron põe em evidência, depois de cerca de 25 séculos, o fato de que o a´tomo n˜ ao é indivis´ıvel, como acreditavam os gregos e os qu´ımicos. Por outro lado, dos estudos de raios cat´ odicos v˜ ao aparecer as primeiras v´ a lvulas e os primeiros diodos, marcos de uma nova era que estava para se onica , que viria a inaugurar no século XX, a eletrˆ mudar qualitativamente a tecnologia deste século.

v = 1,45

× 107 m/s

Exerc´ ıcio 8.5.4

a) y = 0,3537 m

J´ a os raios X , descobertos por Röntgen, foram muito importantes no estudo da cristalografia, a partir dos estudos de William Henry Bragg e William Lawrence Bragg e na pr´ opria compreens˜ a o as regularidades atˆ omicas, como ficou evidenciado do trabalho sistem´ a tico de Moseley. Assim como o elétron, os raios X tiveram enorme impacto sobre a sociedade, a partir de suas aplica¸co˜es na a´rea médica e, posteriormente, na ind´ ustria.

b) θ = 28, 8o

Exerc´ ıcio 8.5.5

Y D = 2dV a V

21

× 108

22

F´ısica Moderna

Exerc´ ıcio 8.5.6

Caruso

•

Oguri

Exerc´ ıcio 8.5.8

e = 4,8 m

Considere o esquema a seguir.

× 107 C/kg

Exerc´ ıcio 8.5.9

O m´ odulo do campo elétrico deve valer E =

3ma q

a) v0 = 2,9

que pode ainda ser escrito como

× 107 m/s

b)

E = Y = 0,25 mm

Exerc´ ıcio 8.5.7

−  1

ρar ρ

3mg q


Considere o esquema da figura a seguir. No movimento circular uniforme (v = ωr), F v e, portanto, o aˆngulo descrito ap´ o s um tempo t é dado por θ = ωt. Logo, para pequenos ângulos, y = rθ = ωrt = vt

V = 1,9

× 109 V

⊥


A janela do aparato de Lenard deve ser delgada para evitar que o feixe se enfraque¸ca pela intera¸cão com a mat´ eria, deve vedar bem o entorno do orif´ıcio para eliminar perdas inconvenientes e deve ser resistente o suficiente para suportar a diferen¸ca de pressã o entre o ar exterior e o ar rarefeito dentro do tubo. Exerc´ ıcio 8.5.12

A velocidade pode ser determinada pela conserva¸caõ de energia, 1 mv 2 = qV 2

⇒

v=



2qV m

onde V é o potencial acelerador. Substituindo o valor de v na expressão anterior para y encontrase y=



2qV t m

⇒

y1 (t) = y2 (t)

  m2 m1

1/2

Uma vez que a densidade do óleo é muito maior do que a do ar, ρóleo >> ρar , a expressão para a carga (q) adquirida por uma gota de o´leo, em fun¸cão das velocidades terminais de descida (vg ) e de subida (vE ) da gota, sob a a¸caõ de um campo elétrico E , pode ser expressa como q



√

1/2

9π 2 η 3/2 vg (vg + vE ) E ρ1/2 g 1/2

onde η = 1,824 g = 9,81 m/s2 .

× 10−5 Ns/m2, ρ = 0,92 g/cm3

e

23

´ dicos: a descoberta do el ´ 8. Os raios cato e tron e dos raios X

Como V = 5085 V e d = 1,6 cm, o campo elétrico ser´ a dado por E = V /d = 3,18 105 V/m.

×

Por outro lado, as duas velocidades que aparecem na express˜ ao da carga podem ser expressas, em termos dos tempos de subida (tE ) e de descida (tg ) da got´ıcula, por vg = s/tg e vE = s/tE , onde s = 1,021 cm. Assim, a carga adquirida pela gota de óleo pode ser expressa como q=

=

√ 9π 2 E

η 3/2

s1/2

ρ1/2 g 1/2 t1/2 g

√ 9π 2 (ηs/t )3/2

s



1 1 + tg tE



E

9π = E

2 ρg

ηs tg

1+

tg tE

3

1+

×

−

q

¢q=q – q 1(×10 –19C)

n

¢q /e

(|¢q|-ne)/q

34,81

-4,94

3

-3,083

0,00337

36,63

-3,12

2

-1,947

-0,00212

41,57

1,82

1

1,136

0,00548

33,25

-6,5

4

-4,057

0,00230

| |

tg tE

x

Para o tempo m´ edio de queda tg = 11,88 s resulta Q = 25,99 10−19 C

×

Desse modo, de acordo com os dados para os tempos de subida, os valores para as cargas elétricas das gotas s˜ a o reportados na tabela a seguir.

≡ ∆qe

e

y

≡ ∆q q−1 ne

pode-se testar se os dados são compat´ıveis com a hipótese de que existe uma carga elementar, tal que a varia¸caõ relativa ∆q/q1 seja igual a ne/q1 , ou seja, de que y = 0. Fazendo-se um ajuste aos dados do tipo y = a (constante), obtém-se para a constante e para a incerteza associada (σa ), os seguintes valores

1+tg/tE q (×10–19C)

22,37

1,53

39,75

34,80

1,34

34,81

29,68

1,41

36,63

19,70

1,60

41,57

42,30

1,28

33,25

  

Ap´ os um exaustivo n´ umero de experimentos, Millikan estimou que a menor valor absoluto da diferen¸ca entre as cargas das gotas de óleo era da ordem de 4,991

×

Definindo-se

Q

tE(s)

1

onde n é o n´ umero inteiro positivo mais pr´ oximo − 19 de ∆q /e, onde e = 1,664 10 C é o suposto valor da carga elementar inicialmente estimada por Millikan.

          g (ρg)1/2

Escolhendo o valor q1 = 39,80 10−19 C, correspondente ao tempo de subida tE = 22,37 s, como valor de referência, pode-se construir a próxima tabela com os quatro valores restantes, em fun¸caõ da diferen¸ca ∆q = q q1 .

× 10−10 statC = 1,664 × 10−19 C

ou seja, as medidas das cargas elétricas eram m´ ultiplos de uma quantidade elementar associada ao elétron, cujo valor atual é e = 1,60217733(49) 10−19 C.

×

N

a=y=

 i=1

σa =

onde σy =

yi = 0,0004 N

y √σN = 0,0017 ⇒

  N i

(yi

2σa = 0,0034

− y)2 = 0,0034 N

e N = 4.

O resultado do ajuste é mostrado no diagrama de dispersão a seguir. Uma vez que a < 2σa , o valor de ajuste encontrado para a constante é compat´ıvel com o zero, ou seja, com a hip´ o tese de que a carga adquirida por uma gota, é quantizada, sendo um m´ ultiplo da menor diferen¸ca encontrada por

24

F´ısica Moderna

Millikan e = 4,991

× 10−10 statC = 1,664 × 10−19 C

a qual é igual a magnitude inicialmente estimada por Millikan para a carga do elétron. Exerc´ ıcio 8.5.13

6,25

× 1018 elétrons/s


Como as part´ıculas espalhadas formam um ângulo reto no laborat´ orio, o próton est´ a colidindo com uma part´ıculas de massa praticamente igual à dele, portanto, o g´ as deve ser o hidrogênio. Exerc´ ıcio 8.5.15

d = 2,814 ˚ A

Caruso

•

Oguri

9

A Radioatividade No limite em que n

Exerc´ ıcio 9.7.1

α = 1,125

Qn =

× 10−5 erg = 7 MeV

N =1 N o

→ ∞, 2 2

3 3

− λt + λ2!t − λ3!t

+ ... = e−λt

Assim, N = N o e−λt

Exerc´ ıcio 9.7.2

n = 1,1

× 1011 s−1

Exerc´ ıcio 9.7.5

m = 2,52 Exerc´ ıcio 9.7.3

N A

Exerc´ ıcio 9.7.6

 5,9 × 1023

O processo de decaimento de radioisótopos a ser considerado é do tipo

Exerc´ ıcio 9.7.4

A

O lim Qn = N/N o . Expandindo a express˜ ao n→∞ de Qn de acordo com a f´ ormula do binˆ omio de Newton, tem-se Qn =

1

=1

−

− dN = λN dt

n

− n λtn + n(n2!−

n(n

1) λ2 t2 n2

Como o elemento B está no meio da cadeia de decaimento, o n´ umero deste radioisótopo que ainda existir´ a decorrido um intervalo de tempo t ser´ a a diferen¸c a entre o n´ umero produzido pelo decaimento de A e o n´ umero que decaiu em C .

+

− 1)(n − 2) λ3t3 + ... n3

3!

Se N o é o n´ umero inicial de a´tomos do tipo A e sua constante de decaimento é λA , o n´ umero de átomos do tipo B formados ap´ os um intervado de tempo dt ser´ a igual ao n´ umero dN de átomos A que deca´ıram em B, o que é dado por

´ conveniente reescrevê-la como E

  − −    − − −

Qn = 1

λt + 1

1

1 n

1

1 n

λ2 t2 + 2!

2 n

λ3 t3 + ... 3!

→ B → C

Sabe-se que a lei do decaimento radioativo é

−  λt n

× 10−3 g

− dN (Adt→ B) = λAN A 25

26

F´ısica Moderna

Por sua vez, se se considera que o número inicial de átomos do tipo B é zero e que sua constante de decaimento é λB , neste mesmo intervalo de tempo o n´ umero destes átomos vai variar seguindo a mesma lei, ou seja,

− dN (Bdt→ C ) = λB N B A varia¸cã o final de a´tomos do tipo B, dN B , neste intervalo infinitesimal de tempo, é a diferen¸ca das duas equa¸cões, ou seja, B − dN = λA N A − λB N B dt

O n´ umero de átomos do tipo A que sobrevivem pode ser eliminado da equa¸caõ anterior lembrando que N A = N o e−λA t Assim, dN B = λA N o e−λAt dt ou

− λB N B

dN B + λB N B = λA N o e−λAt dt

´ conveniente multiplicar-se toda a u´ltima E equa¸cã o pelo fator eλB t , de forma a facilitar a integra¸caõ. De fato, obtém-se eλB t

dN B + λB N B eλB t = λA N o e(λB −λA )t dt

ou eλB t dN B + λB N B eλB t dt = λA N o e(λB −λA)t dt que é ainda equivalente a

 

d eλB t N B = λA N o e(λB −λA)t dt Integrando-se ambos os lados, chega-se a N B eλB t =

λA λB

− λA

N o e(λB −λA )t + C

onde C é uma constante de integra¸caõ, que pode ser determinada pela condi¸cã o de que o n´ umero de átomos B em t = 0 é nulo: λA λA 0= N o + C C = N o λB λA λB λA

−

⇒

− −

Caruso

•

Oguri

Substituindo este valor na equa¸cão anterior, obtém-se λB t

N B e

= N o

λA λB

− λA

e, finalmente, N B = N o

λA λB

− λA





e

(λB λA )t

−

 −

e−λAt − e−λB t

1



10

A radia¸ c˜ ao de corpo negro e a concep¸ c˜ ao corpuscular da luz Exerc´ ıcio 10.6.1


Segundo Paschen, a densidade espectral de energia da radia¸caõ de corpo negro é dada por

Se um fóton é totalmente absorvido por um elétron livre, este adquire toda sua energia e todo o seu momentum . Segundo as leis de conserva¸caõ de momentum e energia,

u(λ, T ) = bλ−γ e−a/(λT ) onde γ

p γ + p e = p e

 5,66.

E γ + E e = E e

Assim, a lei de Stefan pode ser escrita como u=



u(λ, T ) dλ = aT

=b



∞

0

λ−γ e−a/(λT ) dλ

·

E γ 2 + E e2 + 2E γ E e = E e2

(E γ 2 p2γ c2 ) + (E e2

−

0

− p2e c2) +

      − ·  − 

Definindo a λT

p2γ + p2e + 2 pγ p  e = pe2

Multiplicando a express˜ ao derivada da conserva¸cã o do momentum por c2 e subtraindo-a da express˜ ao derivada da conserva¸cã o de energia, obtém-se

4

∞

⇒ ⇒

m2e c4

0

a ≡ x ⇒ λ = xT ⇒ dλ = − x2aT dx

+2(E γ E e

p  γ p  e c2 ) = (E e2

pe2 c2 )

m2e c4

obtém-se 1 γ γ 1

u = ba − T −

Uma vez que E γ = pγ c e me c2 é invariante, podese escrever E γ E e = ( pγ p e )c2

    ∞

γ 2

x − e−x dx cte. = aT 4

0

·

⇓

Logo, para se obter a dependência correta da energia total irradiada pelo corpo negro com a temperatura, deve-se ter γ 1 = 4, ou seja,

E e = pe c cos θ

−

⇒

E e pe c

≤1

Desse modo, a hip´ o tese de que a energia e o momentum de um f´ oton podem ser inteiramente transferidos para um elétron livre, é incompat´ıvel com a expressão relativ´ıstica

γ = 5

E e2 = p2e c2 + m2e c4 27

⇒

E e >1 pe c

28

F´ısica Moderna

Assim, a energia e o momentum n˜ ao poderiam se conservar simultaneamente se o el´ etron for livre. Entretanto, se o elétron for ligado, haver´ a uma contribui¸caõ à sua energia devida a` intera¸cão eletromagnética, expressa pela fun¸caõ trabalho.

•

Oguri


a) 8π ch 1 5 hc/KλT λ e

uλ =

com (λM T = b = 0,29 cm K) .

·


b)

A dimensão da constante de Planck é [h] = [energia]

Caruso

−1

− 

x = e−x 5

1

× [tempo] = ML2T −2T = ML2T −1 c)

Por outro lado,

h = 4, 8 k

[momento angular] = [momentum linear] [distˆ ancia] = MLT −1 L = ML2 T −1

×

×

× 10−11 s.K


Portanto,

k4 h3

[h] = [momento angular]

 1,25 × 108 J.s−3 · K−4



E = 21, 796

× 10−19 J = 13,62 eV

k = 1,38

× 10−23 J/K

h = 6,6

× 10−34 J.s

e Exerc´ ıcio 10.6.5

P N = 126 W


P = u/3 Exerc´ ıcio 10.6.6

 N t

= 1019 fótons/s

dU = T dS

− P dV = d(uV ) = udV + V du

 

= udV + dU dT dT Exerc´ ıcio 10.6.7

T = 5,7

×

103

Expressando dS em termos de dT e dV , tem-se K

 

∂S dU = T ∂T

dT + T

V

= udV + T

 

 

du dT dT

∂S ∂T

T

dV

− u3 dV

10.

29

˜ o de corpo negro e a concepc ˜ o corpuscular da luz A radiac ¸a ¸a

ou

e

 

∂S T ∂T

= V

∂S dT + T ∂T V



    

Igualando

         

dV =

V

du v dT + u + dV dT 3 4 3

∂S ∂T ∂S ∂T

u

V du T dT

=

V

4 u = 3 T T

b=

−1,3739 V

com incertezas dadas, respectivamente, por σa = 0,0078 J/C

ν

e

(1014 Hz)

σb = 0,053 V

V (volt)

5,19

0,75

5,49

0,81

6,88

1,41

7,41

1,61

8,22

1,95

O a juste é apresentado na figura que se segue.

      ∂ ∂V

∂S ∂T

=

V T

∂ ∂T

∂S ∂V

T V

Obtém-se 1 du 4 1 du = T dT 3 T dt

− 43

⇓ ⇒

du 4u = dT T

u T 2

u = aT 4


De acordo com a hip´ o tese de Einstein, o potencial de corte V e a freqüência ν , associada ao f´ oton incidente, est˜ ao relacionadas por V =

− h e

ν

φ

onde h é a constante de Planck, e é a carga do elétron e φ, a fun¸caõ trabalho. A partir dos dados da Tabela 10.7, reproduzida a seguir, que apresentam um coeficiente de correla¸cão linear da ordem de 0,999719, a rela¸cão de Einstein se ajusta aos dados quando os parˆ ametros a = h/e e b = φ s˜ ao

−

a=

 × h e

1014 = 0,4037 J.s./C

Considerando que a carga do elétron é dada por (PDG) e = 1,602176462(63)

× 10−19 C

a constante de Planck é estimada como hest = (6,46

± 0,12) × 10−34 J.s

Comparando-se com o valor de referência, href = 6,62606876(52)

× 10−34 J.s

encontra-se a discrepância

|h − h | = 0,166 est

ref

Sendo esta diferen¸ca menor que 2 0,12 = 0,24 este resultado mostra a compatibilidade entre a estimativa e o valor de referência.

×

30

F´ısica Moderna

Caruso

•

Oguri

ou


A cinem´ atica do efeito Compton representada na figura a seguir.

est´ a

(

− 0)(γ + 0) = pcγ cos φ

que elevado ao quadrado resulta em

− 0)2(γ + 0)2 = ( pc)22γ cos2 φ

(

Uma vez que ( pc)2 = 2 resulta

− 0)(γ + 0)2 = ( + 0)2γ cos2 φ

( Da conseva¸cão da energia, tem-se

Assim, 2γ cos2 φ 2γ cos2 φ  0 = = 2  + 0 (γ + 0 )2 γ + 20 γ + 20

γ + 0 = γ + 

−

Explicitando o quadrado da energia do f´ oton espalhado γ 2 = 2γ + 20 γ + 20

− 20 = ( + 0)( − 0),

Portanto, (2γ + 20 γ + 20

− 2(γ + 0) + 2

O diagrama seguinte expressa a lei da conserva¸caõ de momentum

− 2γ cos2 φ) =

= 0 (2γ + 20 γ + 20 + 2γ cos2 φ) ou [2γ (1

− cos2 φ) + 20γ + 20] = = 0 [2γ (1 − cos2 φ) + 20 γ + 20 ] + 20 2γ cos2 φ Assim, 20 2γ cos2 φ  = 0 + (1 2γ pγ 2 = p2 + p2γ

− 2 ppγ cos φ

22γ cos2 φ

= 0 +

γ 0

donde, γ 2 = p2 c2 + 2γ

2

20

Levando-se em conta que = e 2  igualando as duas equa¸cões anteriores para  , obtém-se γ 2 = 2γ + 20 γ + 20 = 2

−

− 2(γ + 0) + 2

− 20 + 2γ − 2 pcγ cos φ

donde (γ + 0 )

− cos2 φ) + 2 + γ 0

Uma vez que

− 2 pcγ cos φ ( pc)2

(1

− cos2 φ) + 20γ + 20

γ hν = 0 mc2 pode-se escrever

2hν cos2 φ = α(1 cos2 φ) + 2 +

−

1 α

+ mc2

ou ainda,  = hν

− 20(γ + 0) = 2 pcγ cos φ

≡α

2α cos2 φ α2 + 2α + 1 α2 (1

   − (1+α)2

−

cos2 φ)

+ mc2

10.

˜ o de corpo negro e a concepc ˜ o corpuscular da luz A radiac ¸a ¸a

Finalmente, explicitando α, chega-se ao resultado 2  = hν



1+

hν mc2

hν cos2 φ mc2

 −  2

hν mc2

2

+ mc2 (1

− cos2 φ)

31

11

Modelos atˆ omicos cl´ assicos Exerc´ ıcio 11.8.1

A solu¸cão deste problema requer a elabora¸cão de um programa num´ erico. Apresenta-se abaixo o fluxograma l´ ogico deste programa, a partir do qual determina-se o limite solicitado. N=(nº máximo possível de elétrons) LOOP de n=1 a N (sobre o nº de elétrons) S=0 LOOP de i=1, n-1 (sobre nº de termos da soma) S = S + 1/(sen(pi*i/n) soma = s/4*n END LOOP (sobre soma) IF soma > 1 WRITE, n-1 END LOOP (sobre nº de elétrons)


a g

 1020


Trata-se, na verdade, de um exerc´ıcio muito simples. Basta que se perceba que a se¸ca˜ o de choque de Rutherford depende do produto da carga nuclear e da part´ıcula espalhada elevado ao quadrado, dσ = dΩ

2

  Ze2 mvo2

1 sen4 θ/2

Portanto, se ao inv´ es de Ze o n´ ucleo tivesse uma carga el´ etrica Ze em nada alteraria a previsã o de espalhamento do modelo de Rutherford.

−

32

12

Modelos quˆ anticos do ´ atomo Assim, o menor comprimento de onda (λmin) corresponde à transi¸cã o tal que n , o que define o processo f´ısico de ioniza¸cão para o qual o elétron é arrancado do a´tomo, e a energia de ioniza¸cão pode ser determinada por


→∞

B = 14 Wb/m2 = 14 T


I = µ = 9,0

4hc = 21,764 λmin

× 10−19 J

ou

× 10−24 A.m2

I = 13,6 eV


ν 23 5/36 5 = = ν 13 8/9 32


Representando os n´ıveis de energia segundo o esquema abaixo, que mostra a transi¸cã o do n´ıvel 5 para o n´ıvel 3, o problema resume-se à determina¸cã o do n´ umero de pares de inteiros existentes entre n = 1 e n = 5.


Segundo o modelo de Bohr, o espectro de energia do a´tomo de hidrogênio é dado por n =

−

e2 1 = 2a n2

(5, 4) (5, 3) (5, 2) (5, 1)

− n2

(4, 3) (4, 2) (4, 1)

I

onde I é a energia de ioniza¸cão.

(3, 2) (3, 1)

Considerando que a energia de um fó ton (γ ) absorvido ou emitido por um a´tomo de hidrogênio é dada pela diferen¸ca de energia entre dois n´ıveis do espectro,

(2, 1)

hc γ = hν = = n λ

C 52

I

e a s´ erie de Balmer corresponde a transi¸cõ es a partir do n´ıvel  = 2, cujos comprimentos de onda correspondentes são dados por

|

10 pares

Esse n´ umero pode ser calculado tamb´ em pela an´ alise combinat´ oria como

| − | =  | n12 − 12 |

hc 1 = I λ n2

   

=

  5 2

=

5! 5! = = 10 (5 2)!2! 3!2!

−


1 4

− |

o = 2,72 keV 33

34

F´ısica Moderna


v = αc


x=


m p = 1836,28 me

Para as impurezas do tipo i,

  c 1 = λi 26

c

λCo

ou

− 1)



Z i = 1 + 26 Para i = 1, Z 1 = 1 + 26

(Z i



1785 2285

λCo λi

 24 ⇒ Cromo

e, para a outra impureza, Z 2 = 1 + 26



1785 1537

 29 ⇒ Cobre

Caruso

•

Oguri

13

A Mecˆ anica Quˆ antica Matricial Completando, convenientemente, pode-se escrever


 ∞

ε = onde

  ε

= = =

εn e−βεn n

=

eβε n

−d log dβ

∞



p2 1 H = + mω02 x2 2m 2

e−βε n

n=0

p2 = + 2m

β = 1/kT

−

     − −

e2 E 2 2 2mω0

m ω0 x 2

2 e E m 2ω0

2



Definindo-se y = x (e/mω 2 ) E , a matriz hamiltoniana pode ser reescrita como

−

εn

   −    −  −       ∞

p2 1 H = + mω02 y2 2m 2

d log e−βε 0 /2 e−βε n dβ n=0

d dβ ε0 2

ε0 β + log 2

d log dβ

∞



ε0 2 ε0 2

e2 E 2 2 2mω0

Desse modo,



e−βε n

[x, H ] = [y, H ] = i

n=0

ν



e−βε n

[ p,H ] =

n=0

0

0

0

0

p m

e

0

0

−imω02x

Portanto, a solu¸caõ para as matrizes y e p implica que os termos diagonais da matriz H sejam dados por



2e−βε ε0 1 + eβε 1+ = 1 − e−βε 2 1 − e−βε eβε /2 + e−βε/2 hν hν = cotgh − βε /2 βε /2 2 2kT −e e 0

−

 

n =

  n+

1 2

ω0

2

e 2 − 2mω 2 E 0


A matriz hamiltoniana, nesse caso, é dada por p2 1 H = + mω02 x2 2m 2

Parte-se de [x, p] = i, H = T + V , T = e V = mω02 x2 /2.

− eEx

p2 /(2m) 35



e2 E 2 2 2mω0

εn = (n + 1/2)ε0 = nε0 +ε0 /2

ε0 e−βε0 −βε 0

=

e2 eEx + E 2 2 2mω0

=0

1−e

=

−

os termos,

36

F´ısica Moderna

Caruso

a)

•

Oguri

ou [x2 , H ] = [x2 , T ] = i

[ p,H ] = [ p,T + V ] = [ p,T ] + [ p,V ] = [ p,p2 /(2m)] + [ p, mω02 x2 /2] =



m

(xp + px)

d)

1 1 [ p,p2 ] + mω02 [ p,x2 ] 2m 2

[xp,T ] = xpT

− T xp

Como [x, p] = i

⇒ xp = i + px, pode-se escrever [xp,T ] = iT + pxT − iT − T px = pxT − T px = [ px, T ]

Levando-se em conta que [A, B 2 ] = [A,BB] = ABB

− BBA = ABB −BAB + BAB −BBA

   =0

Por outro lado, como [ p,T ( p)] = 0 segue-se que

= [A, B]B + B[A, B] e que [ p,f ( p)] = 0

[xp,T ] = xT p

para qualquer fun¸cão f que dependa s´ o dos momenta , pode-se escrever

⇔ pT = T p,

− T xp = [x, T ] p

ou p2 [xp,T ] = [ px, T ] = i = 2iT m

1 [ p,H ] = mω02 [ p,x]x + x[ p,x] 2

−i, [ p,H ] = [ p,V ] = −imω02 x

e lembrando que [ p,x] =


a) Substituindo no operador hamiltoniano

b)

p2 1 H = + mω2 x2 2m 2

[x, H ] = [x, T + V ] = [x, T ] + [x, V ] = [x, p2 /(2m)] =

as defini¸cões de x e p em termos dos operadores a e a† , tem-se

1 [x, p] p + p[x, p] 2m

logo, [x, H ] = [x, T ] = i

H = p m

1 ωm † − 2m (a − a)(a† − a)+ 2  + 12 mω2 2ωm (a + a† )(a + a† )

=

c)

[x2 , H ]

=

[x2 , T +

V ] =

=

[x2 , T ]



1 = ([x, p]x + x[x, p]) p + p([x, p]x + x[x, p]) 2m

{

4 ω

4

− −



(a† − a)(a† − a) + (a + a† )(a + a† ) a† a† + aa† + a† a

+aa + aa† + a† a + a† a†

1 2 2 1 = [x , p ] = [x2 , p] p + p[x2 , p] 2m 2m



ω

ou

}

H =

w

2

− aa+



(a† a + aa† )

37

ˆ nica Qua ˆ ntica Matricial 13. A Meca

b) Para calcular o comutador [a, a† ], é preciso explicitar primeiro os operadores a e a† em termos de x e p:

 

2ωm

a + a† = a

− a†



x

[H, a† ] = ω a† Analogamente, [H, a] =

2 p ωm

= i

=

ou seja, 1 2

a† =

1 2

a =

 

2ωm 

2ωm 

x

  − ≡   ≡ i

x+i

2 p ωm 2 p ωm

1 (αx 2

− iβp)

ω

2

ω

2

[a† a + aa† , a]

( a† a a

 −

aa† a + aa† a

[H, a] =

1 (αx + iβp) 2

ω

2

( a + aa† a

−

−

=

−

=

−

×

Hψ = ψ

−

 × 

−ω a

d) Considere, inicialmente, um auto-estado ψ do oscilador harmˆ onico simples, de energia , tal que

−

=

− aa†a − a)

⇓ [H, a] =

1 [(αx + iβp), (αx iβp)] 4 1 ( iαβ [x, p] + iαβ [ p,x]) 4 iαβ 2iαβ ([ p,x] [x, p]) = [x, p] 4 4 iαβ 1 2ωm 2 i = 2 2  ωm



Agora o segundo e o terceiro termos se anulam e substituem-se os termos assinalados de modo que

Assim, [a, a† ] =

− a aa† )

×

Aplicando-se, por exemplo, a identidade [H, a† ] = (ω/2)a† sobre a fun¸cão ψ, tem-se

ou seja,

[H, a† ]ψ =

[a, a† ] = 1

ω

2

a† ψ = Ha† ψ

− a†Hψ

Pode-se ainda escrever c)



H

[H, a† ] = =

ω

ω

2

2

[a† a + aa† , a† ]

2



a† ψ = a† Hψ = a† ψ = a† ψ

donde Ha† ψ =

(a† aa†

− a† a†a + aa† a† − a†aa† )

 

O primeiro e o quarto termos de anulam. Os termos assinalados na equa¸caõ anterior poder ser escritos convenientemente utilizado, respectivamente, as rela¸co˜es a† a = aa† 1 e aa† = 1 + a† a, que decorrem da rela¸caõ de comuta¸cão entre os operadores a e a† . Assim,

−

[H, a† ] =

−

ω

ω

2

(a†

− a†aa† + a†aa† + a† ) ⇓

  +

ω

2

a† ψ

Portanto, o estado a† ψ é auto-estado do operador hamiltoniano, com autovalor  + ω/2. Por este motivo, a† é denominado operador de levantamento, enquanto a é o operador de abaixamento, pois o estado aψ ´ e auto-estado do operador hamiltoniano, com autovalor  ω/2.

−

Uma conseq¨ ueˆncia imediata disto é que o operador a, se aplicado ao estado fundamental, dá zero como resultado, isto é, aψ0 = 0

38

F´ısica Moderna

Por outro lado, foi mostrado no item a, que H =

w

2

(a† a + aa† )

Com o uso da rela¸cão de comuta¸cão [a, a† ] = 1, o hamiltoniano pode ser reescrito como H = a† a + Se este operador fundamental,

é

1 w 2

aplicado

ao

estado

1 1 Hψ0 = a† a ψ0 + w ψ0 = w ψ0 2 2 Mostra-se, assim, que ω/2 é o menor valor de energia do oscilador harmˆ onico simples.

Caruso

•

Oguri

14

A Mecˆ anica Quˆ antica Ondulat´ oria b)




usculo “A onda é um quadro de jogos, o corp´ uma chance.” Esta frase de Bachelard faz alus˜ ao ao fato de que a previsão de qualquer medida referente a uma part´ıcula quântica, ao contr´ ario do que ocorre em F´ısica cl´ a ssica, requer o conhecimento pr´ evio de sua fun¸ cão de onda em todo o espa¸co, obtida a partir da equa¸cão de Sch¨ o dinger. Todas as informa¸cõ es sobre a part´ıcula, de uma certa forma, j´ a est˜ ao contidas nesse quadro formado pelo espa¸co abstrato das ´ uma fun¸cões de onda, o espa¸co de Hilbert. E medida particular que projeta uma e apenas uma chance dentre todas as poss´ıveis.

×

⇒ √

h = 0,69 p

1.

Como γ =

 γmc ⇒ λ = ph = 1, 24 × 10−15 m ν =

E = 2, 4 h

c = 4,4

⇒

⇒

× 1023 Hz

× 10−6 eV


× 10−23 kg.m/s

λ = 3,33 ˚ A

× 10−11 = 0,069 ˚A Exerc´ ıcio 14.11.5

E = γmc 2 = 8,69 ν =




p = γmv = 9,66

 

⇒ 

p = γmv

a) v = 108 m/s v/c = 1/3 γ = 1/2 − 1 1 3 8 1 = = γ = 1,06 9 4 8/9

λ =

× 10−14 J = 0,512 MeV

Segue-se que γ = E/E o 1, 953 103 v c


 −    

E = 16 eV E o = mc2 = 8,199

E = 1,31 h

Como pc << mHe c2 , o problema é n˜ ao relativ´ıstico, e segue-se

× 10−14 J

a)

× 1020 Hz

v= 39

p m

⇒

v = 1,66 m/s

40

F´ısica Moderna

b)

p2

c =

•

Oguri

que é a equa¸caõ de Schrödinger independente do tempo.

T = 1,33 K

⇒

2m

Caruso


Da equa¸cão de Schrödinger,

Se existe uma onda associada a uma part´ıcula, como defendia de Broglie, ela deve, segundo Schrödinger, por analogia ao problema da corda vibrante, satisfazer uma equa¸ ca˜ o de onda tipo d’Alembert (equa¸caõ (5.1) do livro de texto)

 −  1 ∂ 2 v2 ∂t 2

2

Ψ(r, t) = 0

Uma solu¸cão geral desta equa¸caõ pode ser do tipo Ψ(r, t) = u(r)e−iωt da qual resulta que a fun¸cão que cont´ em a dependência espacial deve satisfazer a` equa¸cão

2

 − 2m 2ψ + V (r)ψ = i ∂ψ ∂t

se V = V R + iV I e ψ = ψR + iψI , seguese (igualdando-se as partes real e imagin´ aria ds equa¸cão) que

 −   −

2

O termo p2 pode ser expresso em fun¸cã o da energia total do sistema conservativo, ou seja, 2

p = 2m(E

− V )

e, portanto, k2 =

2m 2

(E

− V )

resultado este que leva à seguinte equa¸cão para u(r): 2 u + 2m2 (E V )u = 0



−

ou, 2

2 u( r) +

− 2m 

2  ψ 2m

I

− V ψ I

I

=

+ V I ψR + V R ψI = 

∂ψ I ∂t

∂ψ R ∂t

2

2m

− ∂ψ∂t

2ψ

I

I

+ V R ψI = 0

Logo, a dependência temporal de ψI variaria exponencialmente no tempo como ψI (t) = ψI (0)e−t/V I

p2

⇒

2

V I ψI =

Por outro lado, de Broglie havia admitido a existência de uma rela¸cão linear entre p e  k, tal que p =  k

p2 H = E = + V 2m

+ V R ψR

R

   −

onde k 2 = ω 2 /v2 .

k2 =

2ψ 2m

Se ψR = 0, das equa¸co˜es anteriores resulta, respectivamente,

2u + k2u = 0

e, portanto,

2

V (r)u(r) = Eu(r)

com um coeficiente /V I . J´ a a dependência espacial seria dada pela equa¸caõ de Schrödinger independente do tempo, sendo o potencial apenas a parte real do potencial total. Por outro lado, se ψI = 0,

 −  

2

2 ψ  2m

V I ψR = 

R

+ V R ψR = 0

∂ψ R ∂t

⇒

ψR (t) = ψR (0)e+t/V I

Neste caso, ψR também variaria exponencialmente no tempo, com o mesmo coeficiente, mas sinal contrário, enquanto que a equa¸cão espacial é do mesmo tipo do caso anterior. Portanto, pode-se concluir que a existência de um potencial complexo permite que a fun¸ caõ

41

ˆ nica Qua ˆ ntica Ondulat o ´ ria 14. A Meca

de onda seja somente real ou imagin´ aria pura, mas n˜ ao haveria conserva¸cã o da densidade de probabilidade.

H ( q)ψE ( q) = Eψ E ( q) = H (q)ψE ( q)

−

−

−

⇓


ψE (q)

∼ ψE (−q) ou ψE (q) = λψE (−q) ⇓ 2 2 ψE (q) dq = λψE (−q) dq = 1

Suponha que existam duas autofun¸ cões diferentes, uk e u , com autovalores de energia E k e E  . Logo d2 uk dx2

2mE k

=

2

uk +

2mV 2

uk Logo,

d2 u dx2

2mE 

=

−

2

u +

2mV 2

            λ2

u

ψE (q)

2

dq = 1

1

Multiplicando a primeira equa¸ca˜ o por u e a segunda, por uk , e subtraindo uma da outra, chega-se a u

d2 uk dx2

λ2 = 1

λ=

⇒

±1

2

− uk ddxu2 = 2m (E k − E  )uk u 2


ou



d du uk dx dx

−



duk 2m u = 2 (E k dx 

A=

− E  )uk u

 2 L

o que equivale a du uk dx

−

duk 2m u = 2 (E k dx 

− E )

b)



uk u dx

Se há degenerescência, E k = E  para uk = u , o que implica que



du duk = u dx dx

ou

   −  

2 πx ρn (x) = sen2 n L L

=

1 1 L

cos n

πx L

du duk = u uk

o que requer que u = uk , contrariando a hip´ otese. Portanto, em problemas unidimensionais, n˜ ao há autoestados degenerados para a equa¸ cã o de Schrödinger. Exerc´ ıcio 14.11.9

 

H ( i∂/∂q, q) = H ( i∂/∂q,

−

H (q)ψE (q)

−

= Eψ E (q)

−q)

c) A probabilidade P = P (0 < x < L/4) é dada por

42

F´ısica Moderna

Caruso

•

Oguri

a)

P =

1 1 + 4 2nπ

   × − 

0

n = par

1

n = 1, 5, 9,

1

·· · n = 3, 7, 11, · ··

A= b)

1

   −    − E 2

½(x)

a


∆E =

√1a

E 2 =

E n2

E n2 = 0

x

x0 +a

x0

fig. 14.13


Seja ψ(r, 0) = αψ1 (r) + βψ 2 (r) A densidade de probabilidade é dada por

ρ(x) =

ρ(r, t) = ψ ∗ (r, t)ψ(r, t) = = a(r) + [c(r) + c∗ (r)] cos ωt+ = i[c(r) − c∗ (r)] sen ωt

ou

c)



b(r) cos φ(r) =

[α∗ βψ 1∗ (r)ψ2 (r)]  tg φ(r) = [α∗βψ1∗(r)ψ2(r)]

e

  

1/a

xo < x < xo + a

0

x > xo + a

2

x2 = x2o + xoa + a3 Assim,

−[c(r)] = i[c(r) − c∗(r)]

Assim,

x < xo

d)

onde b(r)sen φ(r) = [c(r)] = c(r) + c∗ (r)

0

x = xo + a/2

ρ(r, t) = a(r) + b(r) cos[ωt + φ(r)]

 −

  

(∆x)2 = x2

  − x2 = a2

ou ∆x =

√a12

b = 2 c = 2 α β ψ1 (r) ψ2 (r)

||

| || |



a) A† =

ψ(x, 0) =

 

Aeiko

xo < x < xo + a

0

x < xo

e x > xo + a

−

− dxd

b) A† = c∗

1 3

1 4

=

a2 12

43

ˆ nica Qua ˆ ntica Ondulat o ´ ria 14. A Meca

c)

c) p2 [xp,H ] + [ px, H ] = 2i m

d A† = i =A dx

d)


A† = A

a) Exerc´ ıcio 14.11.15

[r p,T  ] = i

·



m

( p2x

+ p2y

+ p2z )

p2 = i m

Aφn (r) = an φn (r) b) a)

 V

ou

      

φ∗n (Aφn ) dV = (an

(Aφn )∗ φn dV

V

2

− a∗n)

φn dV = 0

V

≥0

 

r = rˆ r p  =

i  =

−  −

[r p,V (r)] = 

·

an = a∗n (real)

 V

ou

φ∗n (Aφn ) dV = (an

Para an = a



− a )



⇒

V



(Aφ )∗ φn dV

V

φn φ dV = 0 V

−ir dV dr


ωo =



∂ 1 ∂ 1 ∂ i rˆ + θˆ + φˆ ∂r r ∂θ rsen θ ∂φ

Logo,

⇓

b)



1 √LC

T =

⇒

√

2π = 2π LC ωo

·  10−27 J.s  h

φ∗ φn dV = 0

(eV ) T

  energia



A =

| |

2 n cn an

a)



cos(qx) dx

cos(qx) = lim e−x

eiqx + e−iqx 2

senqα lim = α →∞ q


H = p2 /2m e [x, p] = i



a) [x, H ] = i b) [x2 , H ] = [xx,H ] = i

ou

p m 

m

→0

1 cos(qx) = lim 2  →0 (xp + px)

+



∞

0



∞

e(iq −)x dx+

0



∞ e(−iq−)x dx

0



44

F´ısica Moderna



1 1 cos(qx) = lim e(iq−)x  0 → 2 iq 

−

1 ( iq )x iq+ e

− −

−



1 1 lim 2  →0 iq + 

cos(qx) =



=

1 2

=

1 2 lim 2 2  →0  + q 2

lim →0

  ∞



0

0

1

− iq − 

1 +iq

∞

+

1  iq

−



=



Logo senqα 2 = lim 2 α →∞  →0  + q 2 q lim

b) Fazendo q =  tg θ 2 + q 2 = 2 (1 + tg2 θ) = 2 sec2 θ, tem-se dq =  sec2 θ dθ, donde

⇒

lim





∞

→0 −∞

 dq = 2 2  + q2



π/2

dθ = π

0

Logo,  = πδ(q)  →0 2 + q 2 lim

1

" 1 2"

lim 0

" "

"

q

" = a±(q ) "2+q 2

Caruso

•

Oguri

15

Aplica¸ co ˜es da equa¸ c˜ ao de Schr¨ odinger Exerc´ ıcio 15.7.1 ¥

¥

a) As solu¸cõ es para cada uma das regi˜ o es são dadas por incidente

0

refletida

        

a

x

ψI = Aeiko x + Be −iko x ψII = Ce ikx

onda de uma part´ıcula livre dentro do po¸co é

transmitida

ψn (x) =

b)

     2 sen a

0

t=

   −−   −   −  −  −  −    −  4 1

1+

r=1

−t=1 1

r=

1+

V o /E

4 1

1+

1 1

2

V o /E V o /E

V o /E

e x > a)

π 2 2 E n = n 2ma2 2

onde n = 1, 2, 3,

V o /E

1

(x < 0

(0 < x < a)

com autovalores

V o /E

1

nπx a

·· ·

a) O valor médio da posi¸cão é dado por

2

xn = a2

2

O valor médio do momentum é dado por

2

 pn = 0 b)


Considere o po¸c o de potencial confinante esquematizado na pró xima figura. A fun¸cã o de

(∆x)n = 45

a 12

√

 − 1

6 n2 π 2

46

F´ısica Moderna

Caruso

•

Oguri

O valor médio do quadrado do momentum é dado por

  nπ a

(∆ p)n = 

∆ p =



Para n = 1

n2 π 2 12

− 12

a

(∆x)(∆ p) =



10   > 7 2 2

d) Partindo da fun¸cão de onda no instante t = 0,

⇒ ∆x · ∆ p é m´ınimo. Neste caso,

(∆x∆ p)m´ın imo



10

Assim, o produto das incertezas é dado por

Chega-se, portanto, ao produto das incertezas, dado por (∆x)n (∆ p)n = 

√

 0,57 > 2

ψ(x, 0) =

√   ∞ 8 15

n=1

n3 π3

sen

nπx a

n = 1, 3, 5,...

π 2 2 = n 2ma2 2

E n

c)

       | | ×    × 

2

ψ( p) =

4

pa

1 + cos

30a π

1+4



2

obtém-se a dependência temporal de ψ multiplicando-se cada uma das autofun¸cõ es sen (nπx/a) por E −iE n t/, chegando-se assim a

pa

pa

ψ(x, t) =



+

d)

+ 1 A= 2 a



30 a

+

√

        

8 15 πx −i π2 2 sen e 2ma t π3 a 1 3πx −i 27π22 sen e 2ma t 27 a 2 1 5πx i 125π2 t 2 ma sen e 125 a 1 7πx −i 73 π22 t sen e 2ma + 73 a 





−

−



· ··

e) Exerc´ ıcio 15.7.3

√

8 15 cn = 3 3 n π

com

n = 1, 3, 5,...

A figura a seguir representa o potencial descrito no enunciado do exerc´ıcio.

⇓

V (x)

| |2= n960 6 π6

P (E n ) = cn

V o

E

e)

V

o

∆x = a

 − 2 7

I

1 a = 4 2 7

√

II

0

III

a

x



t = 1+

V o2 4E (V o E )

−

47

˜es da equac ˜ o de Schro ¨ dinger Aplicac ¸o ¸a

15.

senh2 ρa



1

b)

lim t =

E<
16E (V 0 V 02

− E ) e2ρa << 1

c) E > V 0



V o t = 1+ sen2 ka 4E (E V o )



−

1 t = 1+ 4(E/V o )(E/V o

− 1)



−1

sen2 ka

        − √ √ −  

1 lim t = 1 + sen2 E>>V 0 4(E/V o )2



−1

Esta expressão mostra um efeito ressonante, como ilustram as figuras a seguir para diferentes valores de ........

=1

V o E

f) r = 1

2

t=

sen2

E V o

2mV o 

V o 2 2 2E sen

EV o

E V o

a

2mV o  a

g) O m´ aximo de t é obtido quando r = 0. ko = nπ

⇒ tmáx = 1 2mE 2

a2 = n2 π2

⇓ n2 π 2 2 E n = n = 1, 2 2ma2


t = 6,93

× 10−69


E = d) E >> V 0

⇒ k = √2mE/ = k0

2mV o  a

−ma2V 02 22

···

−1

48

F´ısica Moderna

Caruso

•

Oguri

Definindo-se uma nova variável y=x

− mωq 2  0

reescreve-se o hamiltoniano como p2 1 H = + mω02 y2 2m 2

−

q2 2  = H osc 2mω02

−

q2 2  2mω02

Neste caso, os autovalores já foram determinados no exerc´ıcio 13.5.2 e valem Exerc´ ıcio 15.7.6

n =

b)


a) Como foi visto no exerc´ıcio 13.5.2, é conveniente completar o quadrado no operador hamiltoniano, acrescenta-do e subtraindo o termo constante q 2 /(2mω02 ) (j´ a que o campo eleétrico é constante), de modo que H =

p2 1 + mω02 x2 2m 2

2

2

q q 2 2 − qx + 2mω 2  − 2mω2  0

0

      − − =0

p2 = + 2m

m ω0 x 2

2 q  m 2ω0

2

q2 2  2mω02

  1 n+ 2

ω0

−

q2 2  2mω02

15.

49


c)

que é ainda igual a [L2 , z] = Lx [Lx , z] + [Lx , z]Lx + Ly [Ly , z]+ +[Ly , z]Ly + Lz [Lz , z] + [Lz , z]Lz O comutador [Lz , z] = 0 e os demais foram calculados nos ´ıtens anteriores. Portanto, [L2 , z] = Lx ( iy) + ( iy)Lx +

−

−

+Ly (ix) + (ix)Ly = i( Lx y

−


− yLx + Ly x + xLy )

Pode-se ainda escrever


[L2 , z] = 2i(xLy

a) b)

− yLx − iz)

f) Usando o resultado do item anterior,

c)

  

[L2 , [L2 , z]] = 2i [L2 , xLy ]

d)

− [L2, yLx]+

−i[L2, z] = 2i [L2, x]Ly + x[L2, Ly ]+ −[L2, y]Lx − y[L2, Lx] − i(L2z − zL2)

e) Neste exerc´ıcio utiliza-se a fórmula do momento angular em coordenadas cartesianas e suas componentes, bem como as rela¸cões de incerteza [xi , p j ] = iδij . Exerc´ ıcio 15.7.11



Cada componente do momento angular comulta com L2 , ou seja, [L2 , Lx ] = [L2 , Ly ] = 0. Escrevendo os quatro termos restantes explicitamente, obtém-se

a)

[L2 , [L2 , z]] = 22 (zL2 + L2 z) [Lx , z] = [yp z , z]

− [zpy , z] = y[ pz , z] = −iy

b)

g)  = xLx + yLy + zL z r L

[Ly , z] = [zp x , z]

− [xpz , z] = −x[ pz , z] = ix

[Lx , y] = [yp z , y]

− [zpy , y] = −z[ py , y] = iz

c)

d)

·

= x(yp z

− zpy ) + y(zpx − xpz ) + z(xpy − ypx) = (xy − yx) pz − (xz − zx) py + (yz − zy) px = 0 Exerc´ ıcio 15.7.12

[Ly , x] = [zp x , x]

− [xpz , x] = z[ px, x] = −iz


e) Parte-se de [L2 , z] = [L2x , z] + [L2y , z] + [L2z , z]

 px =  py  =  py  = 0

50

F´ısica Moderna

Caruso

•

Oguri

Para uma equa¸cão do tipo y  + α(x)y + β (x)y = 0 De fato, como os polinˆ omios de Legendre formam uma base completa, pode-se expressar G(x) como uma superposi¸caõ de P  (x) da forma Exerc´ ıcio 15.7.14

k<

Gk (x) =



an P n (x)

n=0

+1

n=0

dg = gα(x) dx

k<

  an

P  (x)P n (x) dx =

−1



an δn

n=0

Como no somat´ o rio todos os valores de n são menores do que , segue-se que a integral proposta é nula.

ao de Hermite a) equa¸c˜

−



d dy A(x) + [λB(x) + C (x)]y = 0 dx dx que pode aind ser escrita como 2

d y 1 dA dy 1 + + [λB(x) + C (x)]y = 0 dx2 A dx dx A Comparando com a equa¸caõ de Hermite,

−2x ⇒

α(x)dx

−2x

⇒

2

g = e−x

Sua equa¸cão é

2

A(x) = e−x

De uma forma mais geral, o que foi feito foi o seguinte. Tem-se a equa¸cão de Hermite da forma

− 2xy + 2ny = 0

− x2)ψ = 0

Neste caso, a compara¸ca˜ o com a equa¸ ca˜ o de Sturm-Liouville é direta, obtendo-se A(x) = 1;

λ = γ ;

B(x) = 1;

C (x) =

−x2

e a equa¸ca˜ o de Hermite na forma de SturmLiouville se escreve

 

d e−x2 H  + 2ne−x2 H = 0 n n dx c) equa¸c˜ ao de Laguerre Os polinˆ omios ordin´ arios de Laguerre satisfazem a equa¸cã o (15.106) do livro de texto com k = 0, ou seja,

Segue-se ainda, por compara¸cão direta, que C = 0 e λ = 2n.

y

 

No caso da equa¸caõ de Hermite,

− 1)H = 0

−

1 dA = A dx

g(x) = exp

d2 ψ + (γ dx2

onde γ 1 = 2n, com n inteiro. Por outro lado, a equa¸cão de Sturm-Liouville é



dg y dx

b) oscilador harmônico simples

A equa¸cão de Hermite foi escrita no livro de texto como dH 2x + (γ dx

 

dg = α(x)dx g

⇒

Logo,

α(x) =


d2 H dx2

d g(x)[y  + α(x)y ] = [g(x)y  ] = gy  + dx ou

o que transforma a integral anterior em k<

pode-se buscar o chamado “fator de integra¸cão”, g(x), tal que

xy +

(1

− x) y + ny = 0 x

Neste caso, o fator de integra¸cão é g = exp



(1 dx x

  −

dx = eln x e−x = xe−x

15.

Na forma de Sturm-Liouville, a equa¸caõ de Laguerre fica d (ex−x dx

Ln) + ne−xLn = 0

Por sua vez,

e, portanto, 2 ( + 1) + 2( + 1) = 2 ( + 1)2 + +2 ( + 1)2

No caso da equa¸cão de Legendre

− x2)y − 2xy + ( + 1)y = 0

o fator de integra¸cã o imediatamente, pois d (1 dx

é

− x2) = −2x

−

x2 )P  ] +



− 2( + 1)( + 1)

ou ainda 22 + 2 + 22 + 2 = 2 (2 + 2 + 1)+

identificado

Portanto, a equa¸caõ de Legendre escrita na forma de Sturm-Liouville é d [(1 dx

− λ)2 = 22(λ + λ)

(λ

d) equa¸c˜ ao de Legendre

(1

51


+2 (2 + 2 + 1)

− 2( +  +  + 1)

O termo do lado esquerdo da equa¸cão anterior pode ser escrito como 22 + 2 + 22 + 2 = 2 + 2

2  1

 −  −         

( + 1)P  = 0

( )2 2( +)

−

( +)2

+ 1 + 2  + 2 + 2 + 2 + 2 ( ++1)2


= ( +  + 1)2 + (

A integral a ser calculada vale 8π (k)2 [ j0 (kr) + j2 (kr)] 3

J´ a o termo do lado direito desta mesma equa¸caõ pode ser escrito como  4

22 2 + 4 + 23

+  2

ψ | L2 | 

−

( )2 )

−

Logo,

− )2 − 1 =



Assim, (λ



(2

− 2)2

   [( +)( )]2


λ



−

2  + 2

( +  + 1)2 + (

 

2 2 + 23 +

2(2 2 )( )

−

3 ψ = 2 4

22 

 −    − −  −   (2 2 )2


− )2 − 1

−

λ = 2 ( + 1) λ = 2  ( + 1) 

⇓

± λ = 2[( + 1) ± ( + 1)]

−λ)2 = 4[2(+1)2+2(+1)2−2(+1)(+1)]

+2 (2

2 ) (

 −  −

) + (

− )2

( +)( )

−

= [( + )2 + 2( + ) + 1]( = ( +  + 1)2 (

− )2

− )2

Assim, ( +  + 1)2

− 1 = [( +  + 1)2 − 1]( − )2

52

F´ısica Moderna

[( +  + 1)2

⇓

− 1][( − )2 − 1] = 0

donde 

−  = ±1

ou  = 

±1

( = 0, 1, 2, 3,...)

Caruso

•

Oguri

16

A equa¸ c˜ ao de Dirac: o spin do el´ etron e o p´ ositron Para σy ,


det No estado caracterizado pelos n´ umeros quânticos n = 1,  = 0 e m = 0, no orbital mais simples, freq¨ uentemente chamado de orbital ou camada K , podem se acomodar apenas 2 elétrons, que diferem entre si apenas no spin. No estado seguinte (n = 2), a camada L, pode haver 2 elétrons no orbital s e 6 no orbital p, em um total de 8 el´ etrons e assim sucessivamente. A generaliza¸ caõ é imediata: para uma camada rotulada pelo n´ u mero quântico n, o n´ umero m´ aximo de elétrons que pode ser acomodado é 2 n2 , sendo o fator 2 associado aos dois poss´ıveis estados de spin do elétron.

e, para σz , det



1 0

− λz

−

⇓ ⇒

 

=0

λy =

±1

 

0

−1 − λz = 0 ⇓ −(1 + λz )(1 − λz ) = λ2 − 1 = 0 ⇒ λz = ±1 Portanto, todas as matrizes de Pauli tˆ em autovalores iguais a 1.

±

Este resultado, apresentado em 1924 por Edmund Clifton Stoner (1899-1968) no artigo “The Distribution of Electrons among Atomic Levels”, Philosophical Magazine , Series 6, Volume e conhecido como regra 48, No. 286, p. 719-736, ´ de Stoner .


A matriz S z pode ser escrita como S z =






± 2 σz = ± 2



1 0 0 1

−



Assim, basta calcular os auto-estados u1 e u2 de σz . Para λ = 1, tem-se

Assim, para σx ,

λ2x

λy i i λy

λ2y + i2 = 0

×

det

 − −

 −

λx 1

1

−λx ⇓

−1 =0 ⇒





=0

λx =

1 0 0 1

−

o que implica que

±1 53

 

    a b

=1

a=a b=

−b

⇒ b =0

a b

54

F´ısica Moderna

Escolhendo a = 1, obtém-se u1 =

  1 0

Analogamente, para λ =

Logo,

 

a=

−a

−1, deve-se obter ⇒a=0

b=b

u2 =

  0 1

Sendo assim, os autovetores de S z são u1 =



2

  1 0

; u2 =



2

  0 1


O alum´ınio (Al13 ) possui 2 elétrons na camada K , 8 na L e 3 n a M , assim distribu´ıdos: 1s2 2s2 2 p6 3s2 3 p1 . J´ a o argˆ onio (Ar18 ), que é um g´ as nobre, tem uma distribui¸cão eletrˆ onica que difere da do alum´ınio na u´ltima camada, na qual ele possui 8 elétrons, ou seja, 1s2 2s2 2 p6 3s2 3 p6 .

Caruso

•

Oguri

17

Os indivis´ıveis de hoje composto de um quark c e um antiquark d¯ possui carga total +1.


Sabe-se que o próton é formado de três quarks de valência (uud) e o nêutron corresponde a um estado (udd). Pela conserva¸caõ da carga elétrica, a carga de cada uma dessas part´ıculas deve ser igual a` soma das cargas qi (i = u, d) de seus constituintes. Logo,

 

q p


Heisenberg foi quem introduziu o conceito de nú cleon, para se referir ao fato de que pr´ oton e nˆ eutron apresentam-se como dois estados de uma mesma part´ıcula que, do ponto de vista das intera¸cões fortes, comportam-se da mesma maneira.

= +1 = 2qu + qd

qn = 0 = qu + 2qd

Esta simetria é claramente quebrada na presen¸ca de um campo eletromagnético, capaz de distinguir as cargas elétricas do pr´ oton da do nêutron. Portanto, o n´ umero de estados de cargas elétricas poss´ıvel para o n´ ucleon é 2. Portanto, tem-se para este novo n´ umero quântico isospin , associado ao n´ ucleon, o seguinte valor

Resolvendo o sistema, obtém-se qu = +2/3 qd =

−1/3

2I + 1 = 2 Exerc´ ıcio 17.5.2

O bárion Ω− tem carga elétrica 1, ou seja, sua carga elétrica é igual a` do elétron. Se a part´ıcula Ω− é composta de 3 quarks do tipo s, segue-se da lei de conserva¸cão de carga que a carga elétrica deste quark é 1/3.

−

−


Foi mostrado no exerc´ıcio 17.5.1 que o quark u tem carga elétrica +2/3. Por outro lado, sabese que as antipart´ıculas têm carga elétrica oposta à da sua correspondente part´ıcula. Portanto, o antiquark u ¯ tem carga 2/3. Como a carga do D0 é nula, segue-se que o quark c também tem carga +2/3. Deste modo vê-se que de fato o méson D

−

55

⇒

I =

1 2

Gabarito Livro Caruso Fisica Moderna

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