18
F´ısica Moderna
• Moda
dρ dv
⇒v
Caruso • Oguri
3
= (2v − 2αv )ae−αv
vmod
mod
=
1 = α −1/2 = α
2
=0
vmod
2
kT = m
2
RT µ
onde R = 8,315 107 erg/K.mol ´e a constante universal dos gases e µ, a massa molecular do g´as.
×
• M´edia v =
∞
∞
v ρ(v) dv = a
0
0
a v 3 e−αv dv = α −2 2 2
I 3
=
4 2 √ α3/2 α−2 = π 2 π
α−1/2
√ 2/ π
2kT = m
• M´edia quadr´atica (valor eficaz):
v2 = a
∞
0
8 π
v = ef
• Desvio-padr˜ao: σv =
2,55
kT m
√
√ 2 3/2 3/2 −5/2 2 α α π α−1
3/2
⇓ v =
⇒
ef
3
kT > v > v m
mod
− − σv =
3
v2
8 kT π m
v
2
0,45
mod
v2
3 3 v 4 e−αv dv = a πα −5/2 = π 8 8 2
kT > v m
I 4
v 2 = 3
kT m
kT = 0,67 m
kT m
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2-a Tiragem
c 2009, Elsevier Editora Ltda. Todos os direitos reservados e protegidos pela Lei 9.610 de 19/02/1998. Nenhuma parte deste livro, sem autoriza¸c˜ c˜ao ao pr´evia evia por escrito da editora, poder´ a ser reproduzida ou transmitida sejam quais forem os meios empregados: eletrˆ onicos, onicos, mecˆanicos, anicos, fotogr´aficos, aficos, grava¸c˜ cao a˜o ou quaisquer outros. coes ˜oes Editoriais Copidesque: Caravelas Produ¸c˜ Revis˜ ao: Marco Antˆ onio on io Corrˆ Co rrˆea ea Editora¸c˜ cao ˜ Eletrˆ onica: Francisco Caruso & Vitor Oguri Elsevier Editora Ltda. Conhecimento sem Fronteiras Rua Sete de Setembro, 111 – 16- andar 20050-006 Rio de Janeiro - RJ - Brasil o
Rua Quintana, 753, 8- andar 04569-011 Brooklin - S˜ao ao Paulo - SP Tel.: (11) 5105-8555 o
Servi¸co co de Atendimento ao Cliente 0800-0265340
[email protected] ISBN 10: 85-352-3645-7 ISBN 13: 978-85-352-3645-3 Nota: Muito
zelo e t´ecnica ecnica foram empregados na edi¸ ed i¸c˜ cao a˜o desta obra. No entanto, podem ocorrer erros de digita¸c˜ cao, a˜o, impress˜ao ao ou d´ uvida conceitual. Em qualquer das hip´oteses, uvida oteses, solicitamo solicitamoss a com comunic unica¸ a¸c˜ c˜ao ao `a nossa nossa Cent Central ral de Atend Atendime iment ntos, os, para para que possamo possamoss esclarecer ou encaminhar a quest˜ao. ao. Nem a editora nem os autores assumem qualquer responsabilidade por eventuais danos ou perdas a pessoas ou bens, originados do uso desta publica¸c˜ c˜ao. ao. CIP-Brasil, cataloga¸c˜ c˜ao-na-fonte. ao-na-fonte. Sindicato Nacional dos Editores de Livros, RJ.
C317f Caruso, Francisco F´ısica moderna moder na : exerc´ exerc´ıcios resolvidos resolvi dos / Francisco Caruso, Vitor Oguri. – Rio de Janeiro: Elsevier, 2009 – 2- reimpress˜ ao. ao. a
ISBN 978-85-352-3645-3 1. F´ısica – Problemas, Problemas , quest˜oes, oes, exerc´ exerc´ıcios. I. Oguri, Vitor, 1951 -. II. T´ıtulo. 09-3464. CDD 530 CDU 53 15.07.09 20.07.09 013841
A Jos´ e Leite Lopes, in memoriam, e a Jos´ e M.F. Bassalo, com amizade.
´ a lembran¸ca da flor no fruto, E e n˜ ao o sol, que o faz maduro. Antˆ onio Fantinato
Explicar o vis´ıvel complicado a partir do invis´ıvel simples, eis a forma de inteligˆ encia intuitiva `a qual (...) devemos a atom´ıstica. Jean Perrin
Apresenta¸ c˜ ao Os livros n˜ ao s˜ ao feitos apenas com o que se sabe e o que se vˆ e. Necessitam de ra´ızes mais profundas.
Gaston Bachelard Este livro apresenta a solu¸ca˜o de todos os exerc´ıcios propostos na primeira edi¸c˜ao do nosso livro F´ısica Moderna: Origens Cl´ assicas e Fundamentos Quˆ anticos , publicado em 2006 pela Editora Campus/Elsevier, agraciado com o Prˆemio Jabuti em 2007. Procuramos resolvˆe-los da forma mais clara e completa poss´ıvel, relembrando, muitas vezes, os conceitos envolvidos ou remetendo o leitor ao ponto espec´ıfico do livro ao qual ele pode se dirigir para enfrentar o exerc´ıcio proposto. Sempre que necess´ ario, ao tentar resolver os exerc´ıcios que envolvam c´alculos num´ericos, utilize os valores das constantes e das convers˜ oes de unidades apresentadas nas tabelas a seguir. Se preferir, use valores aproximados. Constantes Universais Simb.
e h h me m p k c G ²0 ¹0
SI
Outros Sistemas
1,6 × 10-19 C 6,626 × 10-34 J.s 1,055 × 10-34 J.s 9,11 × 10-31 kg 1,673 × 10-27 kg 1,381 × 10-23 J/K 3,0 × 108 m/s 6,674 × 10-11 m3.kg-1.s-2 8,854 × 10-12 F/m 4¼ × 10 -7 N.A -2
4,8 × 10-10 ues 6,626 × 10 -27 erg.s 6,58 × 10 -22 MeV.s 0,511 MeV/c 2 938,3 MeV/c 2 8,617 × 10-5 eV/K
Gostar´ıamos de aproveitar a ocasi˜ ao para deixar claro que n˜ao ´e absolutamente nossa inten¸ca˜o incentivar os alunos que estejam seguindo regularmente um curso baseado no livro F´ısica Moderna a n˜ao tentarem resolver os exerc´ıcios, ao tornar acess´ıveis as solu¸c˜oes. O processo de abordar, equacionar e resolver os problemas propostos ´e parte integrante indispens´avel do processo de aprendizagem. Nenhum estudante pode queimar esta etapa, sob o risco de estar ix
x
F´ısica Moderna
Caruso • Oguri
se enganando. O livro de solu¸coes ˜ deve apenas servir como fonte de consulta, ou para adquirir confian¸ca em sua estrat´ egia de abordagem dos problemas, ou para conferir suas respostas ou, no m´aximo, para encontrar alguma dica de como come¸car a buscar as solu¸c˜oes. Conversão de Unidades
1 pol 1A 1T 1C 1F 1N 1J 1 eV 1 GeV-1 1 barn 1 atm O
2,54 cm 10-8 cm 104 G 3 × 109 ues 1017 cm 105 dyn 107 erg 1,6 × 10-19 J 0,2 × 10-13 cm = 0,66 × 10-24 s 10-24 cm2 1,01 × 105 Pa = 760 Torr
Do ponto de vista do professor, este livro pode lhe economizar tempo no preparo de suas aulas e na corre¸c˜ao dos exerc´ıcios, al´em de lhe permitir selecionar, com maior brevidade e facilidade, os exerc´ıcios que far´ a em classe como exemplo e quais deixar´a para o estudante resolver. A menos que se especifique o contr´ a rio, os n´ umeros das equa¸co˜es, figuras e tabelas citados ao longo do texto referem-se ao nosso F´ısica Moderna: Origens Cl´ assicas e Fundamentos Quˆ anticos . Queremos agradecer ao colega Fabio Antonio Seixas de Rezende e aos alunos do curso de F´ısica da Uerj Analu Ver¸cosa Cust´odio, Andrea Mantuano Coelho da Silva, J´ essica Furtado Guimar˜ a es e Rafael de Vasconcellos Clarim pela revis˜ao do manuscrito e a Francisca Val´eria Fortaleza Vasconcelos pelo aux´ılio na digita¸ca˜o de alguns cap´ıtulos. Naturalmente, qualquer falha que ainda persista deve ser atribu´ıda apenas aos autores. Nosso reconhecimento tamb´ em a toda a equipe da Elsevier pelo profissionalismo e aten¸c˜a o dada a` elabora¸ca˜o deste livro, em particular a Silvia Barbosa Lima, Vanessa Vilas Bˆoas Huguenin e, em especial, a Andr´e Wolff por seu apoio e empenho que tornaram esse projeto realidade. Aproveitamos para agradecer a todos que apontaram erros de impress˜ao na primeira edi¸ca˜o do livro de texto, em especial ao amigo Jorge Barreto, e lembrar ao leitor que h´a uma errata, dispon´ıvel no site http://www.cbpf.br/ caruso/sitelivro/index.html, que deve periodicamente ser consultada por quem n˜ ao disp˜ oe da reimpress˜ ao corrigida (2008). ∼
Francisco Caruso & Vitor Oguri Rio de Janeiro, 13 de outubro de 2009.
1
A estrutura da mat´ eria: concep¸ co ˜es filos´ oficas na Antiguidade Exerc´ ıcio 1.8.1 Erat´ ostenes
conhecia o fato de que, na cidade de Siene, na Gr´ ecia, uma vez por ano, no solst´ıcio de ver˜ ao, precisamente ao meio-dia, uma haste que fosse colocada perpendicularmente ao ch˜ ao n˜ ao tinha sombra. Refazendo a experiˆ encia em Alexandria, concluiu que a sombra nunca chegava a desaparecer e que, de fato, no mesmo dia e hora citados, a sombra projetada sobre a terra fazia um ˆ angulo de 7o com a haste, o que ´ e incompat´ıvel com a Terra ser plana. Supondo que a Terra ´e esf´ erica, e sabendo que a distˆ ancia entre essas duas cidades ´e cerca de 700 km, recalcule o valor estimado por Erat´ ostenes para o raio da Terra.
Erat´ ostenes supˆos que os raios solares s˜ao paralelos na regi˜ ao que engloba as duas cidades consideradas, conforme ilustra a figura a seguir. Se, em Alexandria, a sombra projetada sobre a terra fazia um ˆangulo de 7 com a haste (no mesmo instante em que n˜ao havia sombra em Siene), este ´e tamb´em o ˆangulo entre a vertical e o zˆenite1 nessa cidade. Assim, este ˆangulo ´e o mesmo ˆangulo θ = 7 entre os raios, r, da Terra, que delimitam o arco que interliga as duas cidades, cuja distˆ ancia ser´a denotada por d. o
o
1
Cabe lembrar que o zˆenite ´ e o ponto exato acima da cabe¸ ca de um observador, na superf´ıcie ´ de um astro, projetado na ab´ oboda celeste. E, na pr´ atica, o marco referencial de localiza¸ c˜ ao de posi¸ co ˜es de objetos celestes.
1
2
F´ısica Moderna
Caruso • Oguri
Logo, tg θ
θ = dr
ou tg 7 = 0,128 o
⇒
d r
18
Portanto, usando o valor aproximado de d = 700 km, dado no problema, encontra-se r
5 600 km
Mas alguns autores afirmam que as medidas de comprimento feitas no s´ eculo III a.C. usavam a unidade est´ ostenes teria utilizado em seus adio e que Erat´ c´ alculos a distˆancia de 5 000 est´ adios. Sabendo-se que 1 est´adio 180 m, isto corresponderia a uma distˆancia de 900 km entre as cidades, o que leva `a predi¸c˜ao
r
7 370 km
As duas previs˜oes devem ser comparadas com o valor atual de r
6378,1 km
˜ es filoso ´ ficas na Antiguidade 1. A estrutura da mat ´ eria: concepc ¸o
3
Note que, no primeiro caso, a discrepˆancia ´e de cerca de 11%, enquanto no segundo, de 13,5%. De qualquer forma, trata-se de uma estimativa muito boa considerada a ´epoca em que foi feita. Exerc´ ıcio 1.8.2 Mostre
que, no sistema solar de Kepler, descrito no texto, a raz˜ ao entre o raio da esfera de Saturno e a de J´ upiter ´ e igual a 3.
√
Considere a figura a seguir, sendo a o comprimento da aresta do cubo inscrito na esfera externa e que circunscreve a esfera interior.
Levando-se em conta o triˆangulo ABO da figura acima, utilizando-se as rela¸c˜oes m´etricas conhecidas entre as diagonais e a aresta de um cubo inscrito em uma esfera de raio R = OA (raio de Saturno) e aplicando-se o teorema de Pit´ agoras ao triˆ angulo cinza, obt´em-se
2
√
2
R = r + (r 2)2 = 3r2
⇓ R = r
√
3
onde r = OB = a/2 ´e o raio de J´upiter. Os pitag´ oricos, que n˜ ao dispunham de qualquer forma de nota¸c˜ ao num´ erica, convencionaram exprimir os n´ umeros de forma semelhante ao que se usa ainda hoje nos domin´ os. Mais precisamente, eles confundiam o ponto da Geometria com a unidade da Aritm´ etica e, assim, pensavam nos n´ umeros como algo espacialmente extenso. Desse modo, para eles, os objetos Exerc´ ıcio 1.8.3
4
F´ısica Moderna
Caruso • Oguri
concretos eram literalmente compostos de agregados de unidades-pontos-´ atomos. Comente essas ideias ` a luz do que foi visto na Se¸c˜ ao 1.4.
Os n´ umeros para os pitag´oricos, segundo Arist´oteles, n˜ao seriam separ´aveis da mat´eria. No que concerne `a concep¸c˜ao que eles tinham da mat´eria f´ısica, ´e importante entender inicialmente a quest˜ao da representa¸ca˜o dos n´ umeros para se compreender a cr´ıtica aristot´elica. Expressar os n´ umeros de forma geom´etrica, a partir de pontos, leva aos conceitos de “n´ umero retangular” e de “n´ umero quadrado”. Como exemplo do primeiro, pode-se imaginar o n´ umero 20, representado por 20 pontos regularmente dispostos sobre os lados e no interior de um quadril´atero cujo comprimento do lado maior difere do outro por apenas uma unidade (20 = 4 5). J´ a o nu ´ mero 16, por exemplo, igual a 4 4 = 42 , pode ser constru´ıdo colocando-se a unidade (um ponto) no v´ ertice de um quadrado e “somandose” sucessivamente a ele os demais n´umeros ´ımpares em forma de “L”. Assim, 4 = 1+3 seria representado por um quadrado 2 2; o 9 = 1 +3 +5 formaria um quadrado com nove pontos e o n´ umero 16 seria obtido a partir do 9 somando mais 7 unidades, que ´e o ´ımpar seguinte, correspondendo a um quadrado 4 4.
×
×
×
×
Segundo Simpl´ıcio, este tipo de representa¸ca˜o num´ erica levou os pitag´oricos e muitos comentadores a associarem o infinito aos n´umeros pares. Claro que o que est´a por tr´ as disto ´e a possibilidade ad infinitum da divis˜ao em partes iguais. Pelo que vimos na Se¸c˜ao 1.4, Arist´ oteles n˜ao podia, obviamente, aceitar o crit´erio de divisibilidade por 2 como uma explica¸ca˜o do infinito, conceito, ali´ as, por ele abominado. Al´ em disto, lembre-se de que na referida se¸ca˜ o foi reproduzida uma cita¸ca˜o segundo a qual seria imposs´ıvel que alguma coisa cont´ınua resulte composta de indivis´ıveis . Desta forma, o Estagirita foi tamb´ em levado a criticar a concep¸ca˜o pitag´ orica da mat´eria, pois as unidades-pontos-´ em como a base atomos , consideradas tamb´ f´ısica da mat´ eria real – uma forma primitiva de a´tomo –, n˜ ao poderiam ser aceitas em um sistema filos´ofico que negava o vazio. Lembre-se de sua afirma¸c˜ao de que ´e imposs´ıvel que uma linha resulte composta de pontos, se ´e verdade que a linha ´ e um cont´ınuo e o ponto, um indivis´ıvel . Imaginar os n´ umeros espacialmente extensos ter´a tamb´em impacto em outro cap´ıtulo importante da Filosofia Grega, ou seja, na discuss˜ ao dos paradoxos de Zen˜ao. Para mais detalhes veja, por exemplo, G.S. Kirk; J.E. Raven, Os fil´ osofos pr´e-socr´ aticos .
2
As origens do atomismo cient´ıfico: contribui¸ co ˜es da Qu´ımica Fa¸ca um resumo do conceito de mˆ onadas introduzido pelo fil´ osofo e matem´ atico alem˜ ao Gottfried Wilhelm Leibniz. Exerc´ ıcio 2.9.1
A palavra mˆ onada deriva do grego µoν ´ αζ , que significa unidade . Consta que este termo tenha sido considerado pela primeira vez pelos pitag´oricos. Para eles, toda a teoria dos n´ umeros – e, por conseguinte, de todas as coisas – derivava dessa unidade. Bem mais tarde, tal conceito ir´a evoluir para algo como “aquela unidade que espelha o todo”, especialmente na filosofia de Nicolau de Cusa (1401-1464). Giordano Bruno (1548-1600) foi quem formulou mais precisamente a ideia de que as mˆonadas seriam compostas destas part´ıculas m´ınimas, nas quais se encontram a substˆancia das coisas. O fil´osofo alem˜ ao Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) herdou este conceito de Bruno, transformando-o e entendendo-o muito mais como um princ´ıpio ativo inerente `as substˆancias do que como part´ıculas m´ınimas. Leibniz aborda de forma sucinta e incompleta este conceito em dois livros escritos em 1714: Principles of Nature and of Grace e Monadology . Suas mˆo nadas, que s´ o poderiam ser criadas e aniquiladas por Deus, n˜ao devem absolutamente ser entendidas como substˆancias materiais. S˜ao uma esp´ecie de ´atomo metaf´ısico, desprovido de extens˜ao ou partes e, portanto, indivis´ıvel e imaterial, como uma esp´ecie de alma, respons´avel pela uni˜ao dos organismos e dos seres vivos. Cada mˆ onada ´e distinta das demais e n˜ao existem duas mˆonadas iguais, ao contr´ ario dos a´tomos de Leucipo e Dem´ocrito, que s˜ao idˆenticos para a mesma 5
6
F´ısica Moderna
Caruso • Oguri
substˆancia. Sendo assim, fica claro, por dois motivos, que a monadologia (teoria das mˆonadas) de Leibniz difere crucialmente do atomismo grego, segundo o qual as menores partes da mat´eria s˜ ao inanimadas, possuem duas ou trˆ es propriedades b´ asicas (segundo o fil´osofo) e est˜ao em movimento eterno, embora privadas de qualquer tipo de iniciativa ou qualidade que permitissem ver os ´atomos como algum tipo de princ´ıpio ativo da mat´eria. S´o para citar um exemplo de aplica¸ca˜o filos´ ofica em sequˆ encia, Kant, em 1756, sob clara influˆ encia de Leibniz, vai considerar as mˆ onadas como as fontes ´ importante lembrar que Kant foi o do movimento no espa¸co newtoniano. E primeiro fil´ osofo a contribuir para a difus˜ao do mecanicismo de Newton. Exerc´ ıcio 2.9.2 Comente as implica¸ coes ˜
que a existˆencia de is´ otopos e is´ obaros trazem para os ´ atomos de Dem´ ocrito e de Dalton. Os is´ obaros s˜ao a´tomos com mesmo n´ umero de massa e n´umeros atˆomicos diferentes; os is´ otopos s˜ao a´tomos de um mesmo elemento com o mesmo n´umero de pr´ otons (mesmo Z ) e n´ umero de nˆeutrons diferentes (diferentes A). Do ponto de vista do atomismo de Dem´ocrito, como se viu no Cap´ıtulo 1 do livro de texto, a existˆ encia de is´ otopos e is´obaros poderia ser acomodada, uma vez que ele atribu´ıa ao a´tomo duas propriedades capazes de diferenci´a-los: tamanho e formato. J´a do ponto de vista de Dalton, a descoberta dos is´otopos e is´obaros seria um problema, pois, como foi visto na Se¸ca˜o 2.5.1, ambos ferem sua ideia basilar de que “as part´ıculas ´ ultimas de todos os corpos homogˆ eneos s˜ ao perfeitamente semelhantes em peso, forma etc. Em outras palavras, toda part´ıcula de ´ agua ´e c omo qualquer part´ıcula de ´ agua; toda part´ıcula de hidrogˆ enio ´e como qualquer outra de hidrogˆenio (...)”. Exerc´ ıcio 2.9.3 Segundo
o qu´ımico John Dalton, uma mol´ ecula de ´ agua ´e formada de 1 ´ atomo de hidrogˆ enio e 1 de oxigˆ enio, enquanto a amˆ onia seria constitu´ıda de 1 ´ atomo de hidrogˆ enio e 1 de azoto (nitrogˆ enio). Essa hip´ otese foi testada por Thomas Thomson, em 1807. Sabe-se que o peso relativo de uma mol´ecula de ´ agua ´e formado de 85 2/3 partes de oxigˆenio e 14 1/3 partes de hidrogˆ enio, enquanto a de amˆ onia consiste em 80 partes de azoto e 20 de hidrogˆ enio. Mostre que as densidades relativas do hidrogˆ enio, do azoto e do oxigˆenio est˜ ao, respectivamente, na raz˜ ao de 1 : 4 : 6. Compare o resultado com os valores da Tabela dos elementos de Dalton (Figura 2.6).
˜ es da Qu´ımica 2. As origens do atomismo cient´ıfico: contribuic ¸o
7
Segundo Dalton, as mol´eculas de a´gua e de amˆonia eram formadas, respectivamente, da seguinte forma:
´agua amˆonia
= 1 H + 1 O = 1 H + 1 N (azoto)
Estas hip´oteses foram testadas por Thomas Thomson, em 1807, utilizando as propor¸co˜es em peso de cada uma destas mol´eculas conforme os valores dados no enunciado do problema, ou seja, m
O
= 85 2/3 =
257 3
m
H
= 14 1/3 =
43 3
Logo,
m 43 = m 257 H
O
1 6
J´a a amˆonia consiste em 80 partes de azoto para 20 de hidrogˆ enio, portanto, m 20 = m 80 H
N
1 4
Fica assim mostrado que as densidades relativas do hidrogˆenio, do azoto e do oxigˆenio guardam entre si, respectivamente, as raz˜oes m : m : m = 1 : 4 : 6 H
N
O
Este resultado deve ser comparado com o obtido a partir dos valores da Tabela de Dalton, mostrada na Figura 2.6 do livro de texto: m : m : m = 1 : 7 : 5 H
N
O
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F´ısica Moderna
Caruso • Oguri
Observando a representa¸cao ˜ gr´ afica de Chancourtois (Figura 2.9), mostre que, se m ´e o peso atˆ omico de um elemento da primeira espiral, ent˜ ao o peso atˆ omico de outros elementos com caracter´ısticas similares ser´ a dado por m + 16n, onde n ´e um n´ umero inteiro. Exerc´ ıcio
2.9.4
Observando-se a representa¸ca˜o gr´ afica de Chancourtois (Figura 2.9), nota-se que os elementos com propriedades semelhantes aparecem na mesma vertical. A diferen¸c a de peso atˆomico entre dois elementos consecutivos na vertical ´e igual a 16. Assim, por exemplo, os elementos l´ıtio (Li), s´odio (Na) e pot´assio (K), que pertencem ao Grupo I da Tabela de Mendeleiev, tˆem, respectivamente, pesos atˆomicos A = 7, A = 7 + (16 × 1) e A = 7 + (16 × 2). Para os demais membros do grupo, essa recorrˆ encia pode ser expressa, de forma compacta, como A = 7 + 16n, onde n ´e um n´ umero natural. A f´ ormula para um termo gen´erico de peso atˆomico m ´e A = m + 16n Seguindo a regra do quadril´ atero e utilizando a Tabela de Mendeleiev de 1871, determine as massas atˆ omicas dos elementos dos Grupos III e IV, linha 5, e compare com os valores reportados na Tabela 2.8. Exerc´ ıcio 2.9.5
Na nota¸ca˜o da Figura 2.12 do livro, reproduzida a seguir, o problema pede para encontrar a massa atˆomica de X e Y correspondendo, respectivamente, aos grupos III e IV.
˜ es da Qu´ımica 2. As origens do atomismo cient´ıfico: contribuic ¸o
27,3
28
Al 65
Zn
9
Si X
?
Y
?? 113
In
X
?
Y
??
75
As 118
Su
Aplicando-se a regra do quadril´ atero, chega-se a: X =
27,3 + Y + 113 + 65 205,3 + Y = 4 4
Y
28 + 75 + 118 + X 221 + X = 4 4
=
o que ´e equivalente ao seguinte sistema de equa¸co˜es lineares
4X = 4Y =
205,3 + Y 221 + X
que tem como solu¸c˜oes X = 69,48 e Y = 72,62. Estes valores se comparam, respectivamente, aos valores X = 6 8 e Y = 72 reportados na Tabela de Mendeleiev de 1871 reproduzida a seguir.
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F´ısica Moderna
Caruso • Oguri
Exerc´ ıcio 2.9.6 Considere a seguinte rea¸ cao ˜
nuclear da qual resulta a forma¸cao ˜
de um is´ otopo da prata ( Ag): + X → Ag108 Ag107 47 47 onde X ´e uma part´ıcula. Determine X . A rea¸ca˜o nuclear da qual resulta a forma¸ca˜o de um is´otopo da prata (Ag): Ag107 + X → Ag108 47 47
mant´ em inalterado o valor de Z (da carga el´etrica) e altera o valor do n´ umero de massa A em uma unidade. Portanto, e como o n´umero de massa e o n´umero atˆ omico se conservam na rea¸ca˜o, a part´ıcula X possui uma unidade de massa atˆ omica e ´e eletricamente neutra: o nˆeutron (n10 ). Exerc´ ıcio 2.9.7 Considere
o seguinte processo de fiss˜ ao do urˆ anio:
1 U235 92 + n0
→
1 Pr147 59 + X + 3n0
onde X representa o is´ otopo de um elemento qu´ımico. Determine esse elemento X . O processo de fiss˜ao do urˆanio mencionado ´e 1 U235 92 + n0
→
1 Pr147 59 + X + 3n0
onde X representa o is´otopo de um elemento qu´ımico a determinar. A conserva¸c˜ao da carga el´etrica implica que o is´ otopo X tenha Z = 92 − 59 = 33. J´ a a conserva¸ca˜ o do n´ umero de massa requer que o valor de A deste is´otopo seja A = 235 + 1 − 147 − 3 × 1 = 86 Logo, trata-se do is´otopo do arsˆenio (As) X = As 86 33
is´ otopo mais abundante do alum´ınio ´e o Al27 . Determine o 13 n´ umero de pr´ otons, nˆeutrons e el´etrons desse is´ otopo. Exerc´ ıcio 2.9.8 O
Considere o elemento Al27 . O n´ umero de pr´otons ´e Z = 13, que ´e igual ao 13 n´ umero de el´etrons, j´a que a carga el´etrica total ´e zero, e o n´umero de nˆeutrons ´e igual a A menos o n´ umero de pr´otons, ou seja, 27 − 13 = 14 nˆeutrons.
˜ es da Qu´ımica 2. As origens do atomismo cient´ıfico: contribuic ¸o
11
O argˆ onio ( Ar) encontrado na natureza ´e composto de 3 is´ otopos, cujos ´ atomos aparecem nas seguintes propor¸coes: 0,34% ˜ de Ar 36 , 0,07% de Ar38 e 99,59 de Ar40. Determime, a partir desses dados, o peso atˆ omico do argˆ onio. Exerc´ ıcio 2.9.9
Sabe-se que os is´otopos do Ar tˆem as seguintes massas atˆomicas: 36
) = 35,9676 u
38
) = 37,9627 u
m(Ar m(Ar
m(Ar40 ) = 39,9624 u
Usando as fra¸c˜oes encontradas na natureza, segue-se que m(Ar) =
0,34 100
×
35,9676 +
0,07 100
×
37,9627 +
99,59 100
×
39,9624
ou m(Ar) = 39,95 u
Determine a raz˜ ao dos is´ otopos do tipo N15 e N14 que comp˜ oem o nitrogˆ enio encontrado na natureza, sabendo que seu peso atˆ omico ´e 14,0067. Exerc´ ıcio
2.9.10
Considerando-se que: a composi¸ca˜o do nitrogˆenio encontrado na natureza dependa apenas de seus is´otopos N14 e N15 ; x ´e a fra¸c˜ao do primeiro e (1 − x), a do segundo, tem-se, em termos da massa atˆomica, xm(N14 ) + (1 − x)m(N15 ) = 14,0067 Como m(N14 ) = 14,00307 u ; m(N15 ) = 15,0001 u, segue-se que 14,00307x + 15,0001(1 − x) = 14,0067 ou (14,00307 − 15,0001)x = donde x =
0,9934 = 0,9964 0,99703
15,0001 + 14,0067
−
⇒
(1 − x) = 0,0036
Assim, a raz˜ao dos is´otopos N15 e N14 na composi¸ca˜o do nitrogˆenio encontrado na natureza ´e (1 − x) 0,0036 = = 0,003613 = 0,36% x 0,9964
12
F´ısica Moderna
Exerc´ ıcio 2.9.11 Considere
Caruso • Oguri
a equa¸cao ˜ qu´ımica N2 + 3 H2
→
2NH3
Supondo que N2 e NH3 estejam sob as mesmas condi¸coes ˜ de temperatura e press˜ ao, calcule o volume produzido de NH3 nessa rea¸cao ˜ a partir de 10 L de N2 . A rea¸c˜ao dada ´e N2 + 3 H2
→
2NH3
o que quer dizer que 1 mol´ecula de N2 reage com 3 mol´eculas de H2 para formarem 2 mol´eculas de NH3 . Por outro lado, sabe-se da hip´ otese de Avogadro que um n´ umero igual de mol´ eculas dos gases nas mesmas condi¸c˜oes de temperatura e press˜ao ocupam volumes iguais. Assim, se N2 e NH3 est˜ao a` mesma temperatura e press˜a o, o volume de NH3 formado ser´a o dobro do de N2 , ou seja, volume NH3 = 20 L
Exerc´ ıcio 2.9.12 Determine
o n´ umero de ´ atomos de oxigˆenio existentes em
25 g de CaCO3 . O problema pede o n´umero de ´atomos de oxigˆ enio existentes em 25 g de CaCO3 . Sabe-se que 1 mol de CaCO3 tem a seguinte massa: 40 + 12 + 3 × 16 = 100 g Portanto, 25 g correspondem a 1/4 de mol de CaCO3 . Por sua vez, a cada mol de CaCO3 tem-se trˆes moles de O. Assim, em 25 g de CaCO3 tem-se o equivalente a 3/4 de mol de O , enquanto 1 mol de O tem 6,02 × 1023 mol´eculas. O resultado, ent˜ ao, ´e 3/4 × 6,02 × 1023 , ou seja, 4,515 × 1023 mol´eculas
Exerc´ ıcio 2.9.13 Determine
o n´ umero de moles de g´ as N2 existentes em 35,7 g
de nitrogˆenio. A massa de N2 em 1 mol de nitrogˆenio ´e 2 × 14 = 28 g. Logo, a quantidade de mat´eria correspondente a 35,7 g de nitrogˆenio ´e n =
35,7 g = 1,28 mol 28,0 g/mol
˜ es da Qu´ımica 2. As origens do atomismo cient´ıfico: contribuic ¸o
Exerc´ ıcio 2.9.14 Determine
13
o n´ umero de moles existentes em 42,4 g de car-
bonato de s´ odio, CO3 Na2 . A massa de 1 mol de Na2 CO3 ´e dada por 2 × 23 + 12 + 3 × 16 = 106 g. Logo, a quantidade de mat´eria correspondente a 42,4 g de Na2 CO3 ´e n =
42,4 g = 0,4 mol 106,0 g/mol
Exerc´ ıcio 2.9.15 Determine
a f´ ormula qu´ımica m´ınima de um composto cuja massa relativa ´e formada de 60% de oxigˆenio e 40% de enxofre. As massas por mol do oxigˆ enio e do enxofre s˜ ao, respectivamente, m(O) = 16 g ;
m(S) = 32 g
Por simplicidade, pode-se considerar uma massa de 100 g do composto. Nela, 60 g provˆem do O e 40 g, do S. Tem-se, assim,
60 g m(O)
=
60 mol O = 3,75 mol O 16
40 g m(S)
=
40 mol S = 1,25 mol S 32
A raz˜ao entre os constituintes ´e, ent˜ao, 3,75 mol O : 1,25 mol S o que corresponde `a f´ ormula SO3 .
⇒
3 mol O : 1 mol S
3
O atomismo na F´ ısica: o triunfo do mecanicismo
∞
Exerc´ ıcio 3.6.1 Calcule
os valores da integral
2
xn e−αx dx, para os inteiros
0
n = 0, 1, 2, 3, 4 e 5.
∞
As integrais do tipo I n =
fun¸c˜oes gama de Euler como:
1 I n = Γ 2
n+1 2
2
xn e−αx dx podem ser calculadas a partir das
0
α−(n+1)/2
com
Γ(x) =
∞
tx−1 e−t dt
0
onde Γ(n + 1) = n! = nΓ(n) e Γ(1/2) =
√ π.
Para n = 0,
∞
I 0 =
0
e−αx
2
1 dx = Γ 2
0+1 2
α−1/2
1 = 2
π α
Para n = 1, a integral ´e uma integral exata a menos de um fator multiplicativo ( 2α). Logo,
−
I 1 =
− 2α1
15
16
F´ısica Moderna
Caruso • Oguri
Para n = 2,
∞
I n =
xn e−αx
2
0
1 3 dx = Γ 2 2
α−(3)/2
Sabendo que Γ(n + 1) = nΓ(n), Γ donde
√ π
3 = Γ 2
1 1 1 + 1 = Γ = 2 2 2 2
I 2 =
√ π 4
α−3/2
Para n = 3,
∞
I 3 =
2
x3 e−αx
0
1 3+1 dx = Γ 2 2
α−2
Como Γ(2) = Γ(1 + 1) = 1! = 1, I 3 =
1 2α2
Para n = 4,
× ×
∞
I 4 =
2
x4 e−αx
0
Como Γ
1 5 dx = Γ 2 2
5 3 3 3 = Γ = 2 2 2 2
1 2
Γ
α−(5)/2
3 3 = 2 4
√ π
√
3 π −5/2 I 4 = α 8 Por fim, para n = 5,
∞
I 5 =
0
donde
2
x5 e−αx
5+1 1 dx = Γ 2 2
I 5 =
1 α3
α−3
3. O atomismo na F´ ısica: o triunfo do mecanicismo
17
• Resumindo, para os primeiros n´umeros ´ımpares (n = 1, 3, 5), I 1 (α) =
∞
2
x e−αx dx =
0
I 3 (α) =
∞
2
dI 1 α−2 αx − x e dx = − = 2
3
dα
0
I 5 (α) =
−
∞
1 −αx ∞ 1 α−1 e = = 2α 2α 2 0
2
x5 e−αx dx =
0
2
3 − dI = α −3 dα
• Para os valores pares (n = 0, 2, 4), de acordo com a ´ultima equa¸ca˜o da p´agina 76 do livro de texto, I 0 (α) =
∞
2
e−αx
0
I 2 (α) =
∞
1 dx = 2
2
x2 e−αx dx =
0
I 4 (α) =
∞
2
x4 e−αx dx =
0
√
π π −1/2 = α 2 α
√
−
dI 0 π −3/2 = α dα 4
−
dI 2 3 π −5/2 = α dα 8
√
Exerc´ ıcio 3.6.2 Determine,
em fun¸cao ˜ da temperatura e da massa molecular do g´ as, a moda, a m´edia, a m´edia quadr´ atica e o desvio-padr˜ ao para a distribui¸cao ˜ dos m´ odulos das velocidades de Maxwell. A distribui¸ca˜o (ρ) dos m´odulos das velocidades (v) de um g´a s ideal em equil´ıbrio t´ermico a` temperatura T pode ser escrita como
ρ(v) = av 2 e−αv
2
onde
a =
√ 4π α3/2
α =
m 2kT
sendo k = 1,38 10−23 J/K a constante de Boltzmann e m, a massa de cada mol´ecula do g´as.
×
