COLÉGIO PEDRO II – UNIDADE UNIDADE ESCOLAR SÃO CRISTÓVÃO CRISTÓVÃO III 2a SÉRIE – MATEMÁTICA I COORDENADORA: MARIA HELENA M. M. BACCAR
LISTA DE EXPONENCIAIS E LOGARITMOS – FUNÇÕES E APLICAÇÕES GABARITO I) LIVRO DE MATEMÁTICA – GELSON IEZZI E OUTROS – VOL 2 1) Duas populações designadas por F e G, têm os respectivos crescimentos expressos pelas funções f(t) = 3 ! t" e g(t) = 1#("t), sendo t n$mero n%o negativo &ue expressa o tempo em meses' a) populaç%o G duplica a cada mês *ustifi&ue'
Soluço! A "#$%&"'l (* $'+'$',-' $'+'$',-' # u. './o 0u#l0u'$ 1o#3o '. .'-'-! O .4- -'5u%' 6 $'/$'-'#3o $'/$' -'#3o /o$ ( 7 8*! Lo5o9 5: 7 8) ; 8
Soluço! C#l1ul#3o o- "#lo$'- # +uço9 '.o-> '.o-> 5:?8) – 5:?<) ;8
Soluço! O=-'$"' # #='l# ' o 5$&+%1o! AA- +uç@'- #--u.'. o .'-.o "#lo$ '. ; 2! t 0 1 2 3
f(t) = 36 + t
g(t) = 10.2
36 37 40 45
10 20 40 80
") urva de aprendi4agem 5 um conceito criado por psic6logos &ue constataram a relaç%o existente entre a eficiência de um indiv7duo e a &uantidade de treinamento ou experiência experiência possu7da por esse indiv7duo' indiv7duo' 8m exemplo de urva de prendi4agem prendi4agem 5 dado pela express%o 9 = :## . ;##e< #,-t, em &ue 9 = &uantidade de peças produ4idas mensalmente por um funcion0rio> t = meses de experiência> e = ",:1?3 a) De acordo com essa express%o, &uantas peças um funcion0rio com " meses de experiência dever0 produ4ir mensalmente
Soluço! Su=-%u%3o # '/$'--o '/$'--o o "#lo$ 3' ; 29 '.o-> :2) ; << – <<' , <9?:2)! :2) ; << – <<' ,8 << – <<:<9) ??2 /'ç#-! +) / um funcion0rio sem &ual&uer experiência, &uantas peças dever0 produ4ir mensalmente ompare com o resultado do item (a)' @0 coerência entre eles
Soluço! Su=-%u%3o # '/$'--o '/$'--o o "#lo$ 3' ; <9 '.o-> :<) ; << – <<' , <9?:<)! :2) ; << – << ; << /'ç#-! H& 1o'$41%#! M'o- '/'$%41%#9 .'o- /'ç#- /$o3u%3#-! 3) Determine o dom7nio de cada uma das seguintes funções'
f = IR A → IR Soluço! L'.=$#3o 0u'9 3#3o u. J.'$o $'#l a :1o. < K # 8) '.o- 0u'> f ( x) = log a x a) f(x) = log3(; . x) +) f(x) = log (-x . ;) +
- x − ; > # ; − x
># − x > −; ⇒ x < ; D f = D x ∈ IR C x < ;B
- x
>
; ⇒ x
>
; ;
D f = D x ∈ IR C x > B -
d) f(x) = log("x . 3) (< x" ! "x ! 3)
c) f(x) = log(" . x) (x ! 1)
i )# < " x − 3 ≠ 1 ⇒ " x − 3 > # ⇒ x > i)# < " − x ≠ 1 ⇒ " − x > # ⇒ − x > −" ⇒ x < " e − x ≠ 1 − " ⇒ x ≠ 1 ii) x + 1 > # ⇒ x > −1 D f = D x ∈ IR C − 1 < x < "> x ≠ 1B
3 "
e " x ≠ 3 + 1 ⇒ " x ≠ ; ⇒ x ≠ " ii) − x " + " x + 3 > # ⇒ x " − " x − 3 < # ⇒ ( x − 3)( x + 1) < # ⇒ −1 < x < 3 D f
=
D x ∈ IR C
3 "
<
x < 3> x ≠ "B
;) onstrua o gr0fico das funções'
Soluço! A$%=u%3o #l5u- "#lo$'- /#$# < '. :#) ' 8 '. :=)9 '.o-> a) f(x) = log3 x
x
f(t) = log3x
1/9 1/3 1 2 3 9
-2 -1 0 0,63092975 1 2
+) f(x) = log" (x . 1)
t
f(t) = log2(x-1)
1,5 2 3 4 5 6
-1 0 1 1,584962501 2 2,321928095
OBSERVAÇÕES> 8) O 8 5$&+%1o NO %'$1'/# o '%o ! I-o 69 o Q& "#lo$'- 3' (* #l 0u' +:) ;
Soluço! D'/o%- 3' '1o$#3#- #- -oluç@'- 3'"'. o='3'1'$ - 1o3%ç@'- 3' '%-41%# 3olo5#$%.o-! :lo5#N '%-' -'> < K # 8 ' N <)!
a) log" ("x . -) = log"3
+) log3 (3 . x) = log3 (3x ! :)
c) log- ("x . 3) = " " x − 3 = - "
3 − x " x − -
=3 " x = - + 3 " x = ? ⇒ x = ; S = D;B
= 3 x + : − ; x = : − 3 − ; x = ; ⇒ x = −1 i )3 − x > # ⇒ x < 3 ii )3( −1) + : = ; > #( satisfaz ) S = D−1B
" x − 3 = "- ⇒ " x x
= "?
= 1;
i ) " x − 3 > # ⇒ " x ii ) "(1;) − 3 = "-
> 3 ⇒ x >
>
3
" #( satisfaz )
S = D1;B
d) log" (x" ! x . ;) = 3
e) (log3 x)" . "'log3 x = 3 log 3 x
+ x − ; = " 3 x " + x − ; = ? x " + x − 1" = # ( x − 3)( x + ;) = # ⇒ x = 3> x = −; i )( −3) " + ( −3) − ; = " > # ii )( −;) " + ( −;) − ; = ? > #( satisfaz ) S = D−;,3B x "
=
y
y " − " y = 3 ( y − 3)( y + 1) = # ⇒ y = 3> y = −1 a) y = 3 ⇒ log 3 x = 3 ⇒ x = ": > # b) y = −1 ⇒ log 3 x = −1 ⇒ x =
1 3
>
#
1
S = D ,":B 3
f) "'log x = log ("x . 3) ! log (x ! ")
g) log; x ! logx ; = " log ; x
= log(" x − 3)( x + ") " x = ( " x − 3)( x + ") x " = " x " + ; x − 3 x − x " + x − = # ( x + 3)( x − ") = # ⇒ x = −3> x = " i ) − 3 < #> indefinido ii ) " > #> satisfaz S = D"B log x "
=
log ; x +
y + y "
1
y
−
=
y log ; ; log ; x " ⇒ y
=
"
"
+
1 = " y
" y + 1 = # ⇒ ( y − 1) "
log ; x
=
# ⇒ y
=
1
y ⇒ log ; x = 1 ⇒ x = ;' i); > #> satisfaz S = D;B =
) log3 (x ! ") . log1C3 (x . ) = log3 ("x . -) i) log1 C 3 ( x − ) = y ⇒ ( x − ) = (1 C 3) y ⇒ ( x − ) = 3 y ⇒ − y = log 3 ( x − ) log 3 ( x + ") + log 3 ( x − ) = log 3 (" x − -) ⇒ log 3 ( x + ")( x − ) = log 3 (" x − -) −
( x + ")( x − )
=
" x − - ⇒ x "
−
; x − 1" = " x − - ⇒ x "
−
x − :
=
# ⇒ ( x − :)( x + 1) = #
i) x = −1 ⇒ (−1 − ) < #> indefinido ii ) x = :( satisfaz ) S = D:B
) olo&ue (verdadeiro) ou F (falso) nas sentenças'
Soluço! P#$# $'-ol"'$ '--#- 0u'-@'- 6 '1'--&$%o l'.=$#$! #) S' # 89 'o # +uço lo5#$.%1# +:) ; lo5# 6 1$'-1''> 8 K 2 'o +:8) K +:2)! =) S' < K # K 89 'o # +uço lo5#$.%1# +:) ; lo5 # 6 3'1$'-1''> 8 K 2 'o o- "#lo$'-o +:8) +:2)! log
3
> log 1, ( V )
log 1 1#
"
5 negativo ( V )
log 1 3 > # 3
( F )
> 1, Base > 1
"
3
log
1
#
3
#," > log
1
3
#," <
3
-
3 >1
>1
log #, " #,1 > log #, " " (
( V )
3
# < Base < 1
< Base < 1
V )
log ? - > # (
#,1 < "
-
-
# < Base
# < Base < 1
<1
V )
>1
Base
>1
II) EXERCCIOS DO LIVRO DE MATEMÁTICA> DANTE VOL 8 :) p@ de uma soluç%o 5 o logaritmo decimal do inverso da concentraç%o de @3!' 9ual o p@ de uma soluç%o cuHa concentraç%o de @3! 5 ;,-'1#<- mol Cl
Soluço! Su=-%u%3o o- "#lo$'- %3%1#3o-9 '.o-> pH = log
1 −-
;,-'1#
=
log
1# -
=
;,-
log 1# -
−
log ;,- = - log 1# − log ;,- ≈ -(1) − #,-3 = ;,3-:
?) alcule a meia
Soluço! A '/$'--o /#$# # -%u#ço 3'-1$%# /o3' -'$ $'/$'-'#3# /o$> :) ;
= Q# 'e
"
− # , #;
t
⇒
1 "
=e
− # , #;
t
1
⇒ −#,#;t = ln ⇒ −#,#;t = −#,L31 ⇒ t ≈ "
− #,L31 ≈ 1:,3anos' − #,#;
L) 8ma pessoa coloca EM 1###,## num fundo de aplicaç%o &ue rende, em m5dia, 1,-J a'm' /m &uantos meses essa pessoa ter0 no m7nimo EM 13##,## (8se a calculadora)
Soluço! U%l%#3o # 'o$%# 3' .#'.&%1# +%#1'%$#9 '.o-> C = 1### M
= 1###(1 + 1,-J) t ⇒ 13## = 1###(1 + #,#1-) t ⇒ (1,#1-) t =
t =
log1,3 log 1,#1-
13 1#
⇒ t = log1, #1-
13 1#
≈ 1:,meses
1#) intensidade N de um terremoto, medida na escala Eicter, 5 um n$mero &ue possui variaç%o entre N = # at5 N = ?,L para maior terremoto conecido' N 5 dado pela f6rmula I =
" 3
log1#
E 5 a energia li+erada no terremoto em &uiloOatt<ora e /# = :'1# PO' <3
a) 9ual a energia li+erada num terremoto de intensidade ? na escala Eicter
Soluço! Su=-%u%3o o- "#lo$'-9 '.o-> ?= "; "
" 3 =
log1# log1#
E :'1#
−
3
E :'1#
−
3
⇒ 1" =
log1#
E :'1#
−
3
⇒
E :'1#
1"
−
3
= 1#
⇒
E = 1#1"':'1#
−
3
=
L :'1# kwh'
E na &ual E #
+) umentando de uma unidade a intensidade do terremoto, por &uanto fica multiplicada a energia li+erada
Soluço! Su=-%u%3o o- "#lo$'- 1o. I ; 9 '.o-> L= ":
" 3 =
"
log1# log1#
E Q −3
:'1#
E Q
⇒
−3
":
:'1#
=
"
E Q
log1#
⇒
−3
":
E Q
:'1#
:'1#
−3
= 1#
"
":
⇒
"1 −3
E Q = 1# ':'1# "
=
:'1# " kwh'
"1 3
E Q :'1# " = E :'1#L
= 1#
"
3
1#
=
= 1#
1#
⇒
E Q = E '1# 1#
11) R%o necess0rios - anos para &ue o co+alto<# perca a metade de sua radioatividade' 9ual 5 a porcentagem de sua atividade original &ue permanecer0 no fim de "# anos t
1 Soluço! A +uço -'$&> N (t ) = N # ! R'/#$' 0u' N:?) ; N " "#
;
1 1 N N ("#) = N # = N # = # " " 1 N ("#) = #,#"- N # N ("#) = ,"-J N #
II) EXERCCIOS DE VESTIBULARES 1"' (S8 < RS) Re log ? x = m e x T # ent%o log; x 5 igual a
Soluço! log ; x
=
m
=
log? ;
i ) log? ; ⇒
log? x
y
y ⇒ ; = ?
=
log ; x
log? ;
=
m
"
=
3m "
⇒
""
=
( "3 ) y
⇒
""
=
"3 y
⇒
" = 3 y ⇒ y
=
" 3
'
3
13' (F8/RU < RS) Re x = log ; : e V = log1 ;L, verifi&ue &ue x < V = #'
Soluço! x − y
=
log ; : −
log ; ;L log ; 1
=
log ; : −
log ; : " log ; ;"
=
log ; : −
" log ; : " log ; ;
=
log ; : −
log ; : 1
=
#
1;' (8/SG < SE) Rendo log- = a e log : = +, expresse log-#1:- em funç%o de # e ='
Soluço! log -# 1:-
=
log 1:log -#
=
log -"': log -'1#
=
" log - + log : log - + log 1#
=
"a + b a
+1
1-' (S8 < RS) umentando um n$mero x de 1 unidades, seu logaritmo na +ase 3 aumenta de " unidades' /nt%o x 5
Soluço! i) x ⇒ log3 x = a ii) x + 1 ⇒ log3 ( x + 1) = a + " log3 ( x + 1)
=
log3 x + "
log3 ( x + 1) − log3 x
=
"
x + 1 x + 1 " = "⇒ =3 x x VERIC!"# O' i) log3 " = y ii) log3 (" + 1) = log3 1? = z log3
z − y = log3 1? − log3 " = log3 log3 (" + 1) = (log3 ") + "
⇒
1? "
x + 1 x
=
=
L ⇒ x + 1 = L x ⇒ ? x
log3 L = " ⇒ z = y + "
= 1 ⇒
x = "'