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SOLUCIONARIO DE: BALOTARIO DE MATEMÁTICA AVANZADA 2015 A

Universidad Nacional del Callao (UNAC) Facultad de Ingeniería Eléctrica y Electrónica (FIEE) Escuela Profesional de Ingeniería Electrónica PROFESOR: Lic. Raúl Castro Vidal GRUPO: N° 3 INTEGRANTES: Miranda Ñahui Jorge Orlando Manza Chávez Herber Torres Trujillano Javier Espinoza Huancas Alexander Sánchez Casas Javier Vizarres Valentín Erick Sanchez Remigio Banner Paredes Vaca José Luis

1313220436 1223220544 1313220204 1313220329 1313210198 1313210073 1313210215 1313210135

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO FACULTAD DE INGENIERA ELÉCTRICA Y ELECTRÓNICA

ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA ELECTRÓNICA

BALOTARIO DE MATEMÁTICA AVANZADA 2015 A PROBLEMA 01 Si y son números complejos demuestre que: a)

||   |||| b) || ||  (|| || ). c) || ||  (|| )(|| ). Solución 1 Nociones básicas:               || Solución:   ||   ||    ||||  ||        ||      || ||   Restando  de :   ̅    |||| || || ̅      |||| || ||    || |||| ||||  || ||  ( ||)( ||) Solución 2 Recordando: ‖‖         ‖̅  ‖ ‖‖ ‖‖ ‖‖ ‖‖ ‖‖ ‖‖ ‖‖ , -,      -  ,     ,                 ‖‖‖‖ ‖‖‖‖   ) Matemática Avanzada

Balotario Resuelto

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               De lo cual vemos que (1) es igual (2) de lo cual se puede demostrar la igualdad. PROBLEMA 02 Resuelva: Sea

 *    ||  +. Calcula y representa gráficamente  para las funciones: a)   b)    En forma polar   ||     √  . /     √    ./ Esto se interpreta como una ampliación y rotación de los puntos de    √ ./  .   √  /   √ ./   √ ./    c)   ⁄  |⁄⁄|   El circulo ||  Por   ⁄    ⁄ ||  ⁄  |⁄|           Elevando al cuadrado     . / . /       () La transformación del círculo ||   es otro círculo pero de ⁄ radio Estudia la continuidad en el disco   *    ||  + de las funciones. Matemática Avanzada

Balotario Resuelto

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    

     ⁄

PROBLEMA 03 Sea la función: Si es un subconjunto abierto de y es una función armónica, se llama armónica conjugada a toda función que cumpla que la nueva función es derivable en . Prueba que las siguientes funciones son armónicas y halla una armónica conjugada.

  

           ⁄  a)                   Para encontrar su canónica utilizamos las ecuaciones de Cauchy-Riemann ya que si f es analítica  y  son analíticas.                            b)                   Utilizando las ecuaciones de Cauchy-Riemann                          c)   ⁄(   )                   Matemática Avanzada

Balotario Resuelto

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                                                                         PROBLEMA 04 Calcular el valor de la integral ∫ ⁄ , siendo  el camino indicado en la figura siguiente: PROBLEMA 05 Sea integrales:

 ,   ,-. Calcular en función del parámetro  el valor de las siguientes                                                                                                                                             Matemática Avanzada

Balotario Resuelto

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                                                                    ⁄  PROBLEMA 06 Demuestre: Sea para

      un polinomio con coeficientes reales, esto es,        . Se pide:  . a) Comprobar que para todo    se cumple la igualdad  b) Usando el apartado anterior, probar que si  es solución compleja de , entonces su conjugada también es solución. c) Calcular todas las soluciones de    . PROBLEMA 07 Demuestre: Una función se dice que es armónica en el conjunto abierto si es de clase (existen sus derivadas parciales de orden dos y son funciones continuas) y verifica la relación



  



       Dada una función derivable   , comprueba que las funciones parte real   y parte imaginaria  son armónicas en . Nota: Supón aunque posteriormente veremos que esta suposición es superflua, que las funciones parte real y parte imaginaria de f son de clase  . PROBLEMA 08 Dada la curva   ,   ,- calcular la integral:      Matemática Avanzada

Balotario Resuelto

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             Sea    es analítica para todo               ,                ( ) Donde

PROBLEMA 09 Calcular el valor de la integral:

⁄               ,Sea:                   ,





  ⁄, es analítica en  ya que    está fuera de  ⁄      ⁄       PROBLEMA 10 PROBLEMA 11 Estudie la convergencia de las series: ¿En qué vector se transforma al girarlo Sea el vector

√     √       √        ⁄

Matemática Avanzada

⁄?.

Balotario Resuelto

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⁄ √  Girando

 ⁄

    ⁄ 

√ 

  √  √     √ 



¿Qué ángulo es necesario girarlo para que el resultado sea Teniendo que:

  √       √    √ []  √ [] √ [ ] √ []        

√ ?

    

PROBLEMA 12 Sea una función de variable compleja. Demuestra que la parte real imaginaria son simultáneamente derivables si y solo si es constante.

  



y la parte

Solución Consideremos la función

        La parte real  es derivable y la parte imaginaria  es derivable Se cumple la ecuación de Cauchy-Riemann y son continuas las funciones:                 es analítica en una curva  Comprobamos que         Por la ecuación de Cauchy-Riemann:                          PROBLEMA 13


Balotario Resuelto

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ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA ELECTRÓNICA PROBLEMA 14 Calcular la integral de la función conjugación

  a lo largo de la siguiente curva.

Orientación negativa

  ̅;   ̅    ,              0 .  /1          

   

PROBLEMA 15 Calcular la integral

∫||, siendo  el camino del ejercicio anterior.      |̅|̅ ||               | | ̅       PROBLEMA 16

PROBLEMA 17 Represente gráficamente:

PROBLEMA 18 Determina los puntos singulares de las siguientes funciones: a)  Definición de puntos singulares donde ) deja de ser analítica

        Tenemos dos puntos singulares:




     Balotario Resuelto

6



 /   .             ./      PROBLEMA 19 Calcula a partir de las condiciones de Cauchy-Riemann, las derivadas de las funciones:

                 b)                 

                 

a)

PROBLEMA 20

PROBLEMA 21 Calcule las siguientes integrales:  a) 

∫  

b)

∫   

       ,-∮            ∮       ∑ 





    √   √                 Matemática Avanzada

Balotario Resuelto

7



          √  √   √  √            √      √          √       √        PROBLEMA 22

PROBLEMA 23 Demuestre:

      

  √         ()        

                            √  Pero

            

  √       

PROBLEMA 24 es una función analítica, demuestre que es derivable y se verifica la ecuación de Gauchy-Riemann.

    

2

Sea la función f (x+iy) =U(x,y)+iv(x,y) analítica suponemos U(x,y) y v(x,y) funciones de clase c siendo analítica se satisface las ecuaciones de cauchy-rieman.

            .Derivando (1)respecto de y:

      Matemática Avanzada

Balotario Resuelto

8


ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA ELECTRÓNICA .Derivando (2) respecto de x:

      .Derivando (1) respecto de x:

      .Derivando (2) respecto de y:

      Igualando (3) y (4)

           Igualando (5) y (6)

           Por (α) y (β) U(x,y) y v(x,y) son armónicas

PROBLEMA 25 Sea F : S  C  C una función analítica en el interior de una curva de

Jordan

y sobre

excepto en número finito de puntos singulares a1 , a2 , a3 ,..............., an del interior de

C

n

Demuestre que

 F ( z)dz  2 i Re sF (a ) . 

C


j

j 1

Balotario Resuelto

9



Demostración Resolución por el Teorema de Residuos Resolución: Sea

 =  

F(z) es función Compleja Del teorema de los conjuntos múltiplemente conexas n

 F(z)dz    d ( z )dz ; siendo F(z) analítica

Sabemos :

j 1 cj

c

Y que :



F(z)dz =

c

      

n

;

para un punto

  en

n

 F(z)dz;   F ( z )dz   2 i. Res(a ) 

c

j 1 cj

 F(z)dz  2 i. Res(a ) 

j

j 1

j

Siendo

c

    ,

puntos singulares

SIN NUMERO

           ∫   + ∫    + ∫   + ∫   ∫  + ∫   +∫  + ∫       2∫ +  ∫     2  | +    |  2+  (  -   )  2+  ()=2 Matemática Avanzada





0

0

Balotario Resuelto

10




Balotario Resuelto

11

G3

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