DIFERENSIAL KALKULUS FUNGSI BEBERAPA VARIABEL
1.1 FUNGSI FUNGSI BEBERAPA BEBERAPA VARIABEL VARIABEL
Jika terhadap setiap titik (x,y) yang terletak di bidang xy dikaitkan suatu bilangan real z, maka dikatakan bahwa z adalah fungsi dari dua variabel x dan y. Contoh fungsi semacam itu adalah z ! x" # y"
,
z ! x sin xy
$iferensiasi terhadap fungsi%fungsi tersebut sesuai diferensiasi fungsi y!u&v
,
y ! u.v ,
y ! u'v
dengan u dan v adalah fungsi x. $alam bebetapa hal fungsi dari dua variabel dapat dianggap sebagai fungsi dari satu variabel dengan variabel lainnya dianggap konstan. ungsi dengan lebih dari dua variabel dibahas serupa. Contoh fungsi dengan lebih dari dua variabel u!xyz, u!x" & y" & z" t" ungsi dengan lebih dari dua variabel sering di*umpai di fisika, misalnya. p =
RT V
,
L =
π r θ n
"
,
E =
+ "
n
" " " m∑ (u+ + vi + wi ) i =+
1.2 DOMAIN DAN KAWASAN KAWASAN
-azimnya fungsi dari variabel didefinisikan dalam suatu interval -azimn -azimnya ya fungsi fungsi dari dari satu satu variab variabel el didefi didefinis nisika ikan n dalam dalam suatu suatu interv interval al a ≤ x ≤ b . ntuk ntuk suatu suatu fungsi fungsi dari variab variabel el x dan y diperl diperlukan ukan konsep serupa. serupa. -ayakn -ayaknya ya didefinisikan dalam empat persegi pan*ang. a ≤ x ≤ b/
c ≤ y ≤ d
0erb 0erbag agai ai masa masala lah h yang yang diha dihadap dapii meme memerl rluk ukan an daer daerah ah defin definis isii beru berupa pa lingkaran, elips dan sebagainya. ntuk mencakup hal ini perlu dirumuskan pengertian domain. 1engertian tentang himpunan titik%titik di bidang xy berarti setiap kumpulan titik%titik, terhingga atau tak terhingga *umlahnya, misalnya %
2iti 2itik% k%ti titi tik k
(3,3 (3,3)) dan dan 4+,3 4+,3))
%
2iti 2itik% k%ti titi tik k
pada pada gari gariss y!x y!x
%
2iti 2itik% k%ti titi tik k
dida didala lam m ling lingka kara ran n x"&y" ! +
-ingkungan dari titik (x+,y+) diartikan himpunan titik%titik dalam lingkaran berpusat di (x+,y+) dan ber*ari%*ari
δ ,
maka dapat disebut lingkungan ber*ari%*ari
5etiap titik (x,y) dari lingkungan memenuhi pertidaksamaan.
δ .
( x − x+ ) "
+ ( y − y+ ) " < δ "
5uatu himpunan disebut himpunan terbuka *ika setiap titik (x,y) dari himpunan mempunyai lingkungan yang seluruhnya terletak dalam himpunan tersebut. 2itik%titik dalam (interior ) dari suatu lingkungan adalah terbuka, begitu pula dari ellips, bu*ur sangkar dan sebagainya. 6impunan terbuka ini ditentukan oleh pertidaksamaan "
"
x + y < +,
x " "
+
y " "
< +, x < +, y > +
5eluruh bidang xy adalah terbuka, begitu pula setengah bidang x 73. 2itik%titik dalam sebuah lingkaran berikut kelilingnya tidak terbuka, karena lingkungan titik pada keliling tidak seluruhnya terletak dalam lingkaran sebagai himpunan titik%titik. 5uatu himpunan 8 tertutup *9ka titik%titik dari bidang yang tidak di 8 membentuk himpunan terbuka. 2itik%titik pada keliling lingkaran x" & y" ! + dan di luarnya membentuk suatu himpunan tertutup. 2itik%titik pada keliling dan di dalam lingkaran membentuk himpunan tertutup pula. 5uatu himpunan terbatas *ika seluruh himpunan dapat dicakup dalam suatu lingkaran yang cukup besar. :aka titik%titik dari bu*ur sangkar
x ≤+,
y ≤+
merupakan himpunan terbatas tetapi himpunan ini tertutup pula. 2itik%titik interior dari ellips x"&"y"; + merupakan himpunan terbatas yang terbuka. $omain didefinisikan sebagai himpunan terbuka yang berh dan bersifat bahwa setiap dua titik 1 dan < dari himpunan dapat dihubungkan oleh garis patah yang seluruhnya terletak dalam himpunan. Jelas, titik%titik dalam suatu lingkaran merupakan dcmain. =ita ingat%kan bahwa suatu domain $ lidak dapat dibentuk oleh dua himpunan terbuka yang tidak bertindihan. :isalnya, titik%titik memenuhi > x > 7 3 membentuk himpunan ? terbuka terdiri atas dua bagian, himpunan titik%titik x 7 3 dan himpunan titik%titik x ; 3. 6impunan ? ini bukan domain, karena titik (%+,3) dan (+,3) yang terletak di ? tak dapat dihubungkan oleh garis patah yang seluruhnya terletak di ?. 5uatu titik batas (boundary) dari suatu himpunan memiliki sifat bahwa setiap lingkungannya mengandung paling sedikit satu titik di dalam himpunan dan paling sedikit satu titik tidak di dalam himpunan. 2itik%titik batas dari domain lingkaran x" & y" ; + adalah titik%titik pada keliling x2 + y" ! +.
2idak ada titik batas dari himpunan terbuka yang dapat merupakan anggota himpunan tersebut, sebaliknya setiap titik batas dari himpunan tertutup adalah anggota himpunan tersebut. =awasan atau region dipakai untuk menyatakan suatu himpunan, mungkin ditambah dengan sebagian atau seluruh batas. =awasan dapat berupa domain *ika tidak ada titik batas yang diikutsertakan. Jika se%mua titik batas diikutsertakan, kawasan disebut kawasan tertutup dan merupakan himpi9nan tertutup. Jadi, lingkaran. dengan titik dalamnya x" & y" ; + adalah kawasan tertutup. 5uatu domain kadang%kadang disebut kawasan terbuka. 5ering kita *umpai bahwa suatu domain didefinisikan oleh satu atau lebih pertidaksamaan. 0atas dari domain didefinisikan oleh satu persamaan atau lebih, sedang kawasan
didefinisikan
oleh gabungan
dari pertidaksamaan dan
persamaan,
misalnya xy ; +
adalah domain
xy ! +
adalah batasnya
xy
≤+
adalah kawasan tertutup
1erluasan pengertian ini ke dalam tiga dimensi atau lebih tidak sukar. ntuk empat dimensi atau lebih penampilan secara grafik men*adi sulit. -ingkungan titik (x+,y+,z+) dalam ruang merupakan himpu titik%titik (x,y,z) di dalam bola ( x − x+ ) "
+ ( y − y+ ) " + ( z − z + ) " < δ "
$efinisi selan*utnya dapat dikembangkan sesuai di atas. ntuk satu dimensi, definisi berupa demikian -ingkungan titik x pada sumbu x adalah interval x+
− δ < x < x+ + δ + 5uatu domain pada sumbu x dapat berupa salah satu htmpunan berikut (+) @nterval terbuka (") @nterval tak terhingga terbuka (A) @nterval tak terhingga terbuka
() 5eluruh sumbu x.
1.3 TURUNAN PARSIAL
:isalkan z ! f(x,y) didefinisikan dalam domain $ di bidang xy dan misalkan (x+, y+) sebuah titik dari $. ungsi (x+, y+) tergantung pada x sa*a dan didefinisikan dalam interval sekitar x1. :aka turunannya terhadap x di x ! x+ mungkin ada. Jika ada, nilainya disebut Btuiunan parsialB dari f(x,y) terhadap x d9 (x+, y+) dan dinyatakan oleh
otasi%notasi lain yang digunakan adalah zx, f x, tetapi *ika v; dan turunan parsial digunakan bersama%sama, notasi seperti %D% atai lebih diinginkan. ungsi z ! fEx,y) dapat digambarkan oltii sebuah permukaan d ruang. 1ersamaan y ! y* adalah bidang datar dan perpotonga dengan permukaan f(x,y) berbentuk suatu lengkung. z ∂
2urunan parsial
∂ x
di (x ,y,) dapat di*elaskan sebagai condong dari garis
singgung pada lengkung di titik (x+ , y+). :isalkan kita pilih z ! F & x " # y" ditenti di titik x ! +, y ! " ntuk
y
z = + + x " ,
!
"
diperoleh
∂ z " = x ∂ x dan f x(+,")!"
∂ z > ( x , y ) 2urunan parsial ∂ x ditentukan serupa, x diambil tetap sama dengan x1, +
+
dan f(x+,y) diturunkan terhadap y. :aka didapat f ( x+ , y+ + ∆ y ) − ( f ( x+ , y+ ) ∂ z > ( x , y ) = lim ∆ y →3 ∂ y ∆ y +
+
@ni dapat diterangkan sebagai condong dari garis singgung pada kung yang merupakan perpotongan antara bidang x ! x+ dan permukaan z! f(x,y). ntuk turunan ini ditulis pula fy(x+ ,y+ ).
Jika titik (x +,y.) berubah%ubah, diperoleh fungsi baru dalam variabel ialah fungsi f x(x,y).
z ∂
$emikian pula turunan
y ∂
adalah fungsi f y(x,y).
ntuk fungsi z ! f(x,y), turunan diperoleh dengan menurunkan fungsi terhadap satu variabel, sedang variabel satunya dianggap tetap.
∂w g ( x, y, u + ∆( x, y, u, v) = ∆lim ∂u u →3 ∆u $efinisi%definisi di atas%dapat diperluas untuk fungsi%fungsi dari tiga variabel atau lebih. Jika w ! g(x,y,u,v) maka sa9ah satu turunan parsialnya adalah AwG 4u
lim g(x,y,u & 8Dv)%g(x,y,u,v) 8%6%H
8u
dengan variabel%variabel x,y,v dianggap tetap. ntukD fungsi%fungsi dengan beberapa variabel, lebih baik dicantumkan tanda dari variabel yang kita anggap tetap pada turunan parsial. :isalnya
(
∂ z ∂
) y berarti fx(x, y), dengan z = f(x, y)
∂ z ) yv berarti fx4x, y, z), dengan z = f(x, y, z3 ∂ x Contoh + Jika w = xuv + u % "v, maka ∂w = uv, ∂w = xv ++, ∂w = xu − " ∂ x ∂u ∂v (
Contoh " Jika u, v, x, y dihubungkan oleh persamaan % persamaan
= x % y, v = x + y, maka ( ∂u ) y = +, ( ∂u )v = " ∂ x ∂ x ∂u ) y = +, ( ∂v )u = " ( ∂ x ∂ x " Contoh A Jika x + y " − z " = +, maka ∂ z = 3, "y % "z ∂ z = 3 sehingga "x % "z ∂ x ∂ x u
∂ z = x , ∂ z = y (z ≠ 3) ∂ x z ∂ y z
$@?I?5@8- 2H28$alam membentuk turunan parsial ∂ z ' ∂ x dan ∂ z ' ∂ y , perubahan
x ∆
dan
y ∆
ditin*au berasingan. 5ekarang kita tin*au pengaruh perubahan x dan y bersama%sama. :isalkan (x,y) titik tertentu dari $ dan (x & 8x, y & 8y) titik kedua dari $. :aka fungsi z ! f(x,y) berubah sebesar 8z bermula dari (x,y) sampai (x & 8x, y & 8y).
∆z ! f(x & ∆x, y & ∆y) % f(x,y) 1ernyataan ini menentukan
∆z sebagai fungsi dari ∆x dan ∆y, dan x dan y
dianggap konstan, dengan sifat khusus
∆z ! 3 *ika ∆x ! 3 dan ∆y ! 3 :isalkan *ika
z !x" & xy & xy", maka
∆ z = E( x + ∆ x) " + ( x + ∆ x)( y + ∆ y) + ( x + ∆ x)( y + ∆ y) " " " % (x + xy + xy ) = ∆ x(" x = y + y " ) + ∆ y ( x + " xy) + (∆ x) " + ∆ x∆ y(+ + " y ) + (∆ y) " x + ∆ x(∆ y) " $i sini ∆ z mempunyai bentuk ∆ z = a(∆ x) + b(∆ y) + x(∆ x) " + d (∆ x)(∆ y ) + e(∆ y) " + f (∆ x)(∆ y) " Jelas terlihat bahwa 8z adalah fungsi dari
x dan
∆y. mumnya fungsi z !
f(x,y) dikatakan mempunyai diferensial total di titik (x,y) *ika di titik ini
∆z ! a
dengan a,b tidak tergantung pada dan
y & e+ ∆x &e"
x&b
∆x, ∆y dan
y e+ dan e"
adalah fungsi dari
∆x
y sehingga
=3 ∆ x → 3 ∆ y → 3
=3 ∆ x → 3 ∆ y → 3
lim e+
lim e " dan
persamaan linear dari a ∆x dan b ∆y disebut diferensial total dari z dititik (x,y) dan dinyatakan oleh dz dz ! a ∆x &b ∆y Jika
∆ x
dan
∆ y
cukup kecil, nilai
∆z mendekati dz. 2epatnya dapat ditulis
∆ z = ( a + e+ ) ∆ z + (b + e" ) ∆ y
penggantian e+ dan e" oleh 3 tidak akan mengakibatkan kesalahan yang berarti, *ika
∆x
dan
y diambil cukup kecil. (2in*auan ini tidak berlaku *ika a atau b bernilai
3). 2eorema *ika z !f4x,y) mempunyai diferensial total di titik (x,y) maka, a
=
∂ z vz ,b = ∂ x ∂ y adalah kedua turunan parsial di (x,y) dan bernilai sebagai yang
diberikan. 0ukti 2entukan ∂ z ∂ x
=
lim
∆ z
∆ x → 3 ∆ x
=
y!3 (karena y konstan) lim
( a + e+ ) ∆ x
∆ x → 3
∆ x
=
lim ∆ x → 3
( a + e+ ) = a
$engan *alan serupa ditun*ukkan
∂ z = b . 2erdapatnya turunan parsial di titik (x,y), ∂ y
belum cukup memberi *aminan aanya diferensial total, tetapi kontinuitasnya disekitar titik tersebut cukup memberi *aminan. -emma $asar Jika z!f(x,y) mempunyai turunan parsial pertama yang kontinu di $, maka z mempunyai diferensial total dz =
∂ z dx ∂ z dy + ∂ x ∂ y
disetiap titik (x, y) dari $
ntuk fungsi dari tiga variabel atau lebih, misalnya w!f(x,y,u,v), maka dw =
∂ z ∂w ∂w ∂w dx + dy + du + dv ∂ x ∂ y ∂u ∂v
contoh Jika w =
xy z
, maka dw
= y dx + x dy − xy" dz z
z
z
$iferensial ungsi dari fungsi ungsi berikut yang akan ditin*au didefinisikan dalam domain tertentu dan mempunyai turunan parsial pertama yang kontinu sehingga diferensialnya dapat dibentuk. 2eorema. Jika z = f 4 x, y ) dan x
= g(t), y = h(t) maka
∂ z dx ∂ z dv + ∂ x dt ∂ y dt dt *ika z = f(x, y) dan x = g(u, v), y(u, v) maka ∂ z ∂ z dx ∂ x dy ∂ z ∂ z dx ∂ z dx = + = + , (+.+) ∂u ∂ x dt ∂ y du ∂v ∂ x dv ∂ x dv dz
=
1ada umumnya *ika z ! f(x,y,t, ....... ) dan x ! g(u,v,w, .........) K!h(u,v,w,........) . t !p(u,v,w,.......) :aka
∂ z ∂ z dx ∂ x dy ∂ z ∂t = + + +....... ∂u ∂ x du ∂ y du ∂v ∂u ∂ z ∂ z dx ∂ x dy ∂ z ∂t = + + +....... ∂v ∂ x dv ∂ y dv ∂t ∂v ∂ z ∂ z dx ∂ x dy ∂ z ∂t = + + +....... ∂w ∂ x dw ∂ y dw ∂v ∂w
persamaan z!f(x,y) dan x ! g4t), y!h(t) dapat ditulis z!f(g(t), h(t) dan merupakan dz
fungsi t dengan turunan
dt
sedang
dx dt
dan
dy dt
masing%masing adalah gL4t) dan
hL(t). z ∂
2urunan
dan
x ∂
∂z ∂y
∂z ∂ z y dan x yang sama dengan fx(x,y) y ∂ ∂ x
dapat ditulis
dan fy(x,y). 2eorema diatas dengan mudah dapat dibuktikan *ika ditin*au
∆ x = g (t + ∆t ) − g (t ), ∆ y = (t + ∆t ) − (t ) sedang ∆ z ditentukan sebagai ∆ z = f ( x + ∆ x, y + ∆ y) − f ( x, y) dari lemma dasar diperoleh
∆ z = ∂ z ∆ x + ∂ z ∆ x + e ∆ x + e ∆ y ∂ x ∂ y ∆t ∆ z = ∂ z ∆ x + ∂ z ∆ y + e ∆ x + e ∆ y maka ∆t ∂ x ∆t ∂ y ∆t ∆t ∆t ∆ x dan ∆ y mendekati turunan dx Jika ∆t mendekati o, maka ∆t ∆t dt +
"
+
dan
dy dt
"
, sedangkan e+ dan e" mendekati 3 karena
∆x dan ∆y mendekati 3.
:aka
∆ z ∂ z dx ∂ z dy = + + 3 dx + 3 dy atau ∆t →3 ∆t ∂ x dt ∂ y dt dt dt ∂ z dy dz ∂ z dx = + ∂ x dt ∂ y dt dt lim
sesuai apa yang harus dibuktikan.
=etiga fungsi t/x!g(t), y!h(t), z!fMg(t), h(t)N mempunyai diferensial dx
= dx ∆t
,
dt
dapat ditulis ialah dz
dz dt
dy
∆t =
= dy ∆t
,
dz =
dt ∂ z dx ∆t + ∂ z dy ∆t ∂ x dt ∂ y dt
dz dt
∆t
= ∂z dx + ∂ z dy ∂x ∂ y
Teorema
Iumus
diferensial
dz =
z!f(x,y,t ......) dan dx !
∂ z + ∂ z + ∂ z + dx dy dt ....... ∂ x ∂ y ∂t
yang
berlaku
*ika
∆x, dy ! ∆y, dt! ∆t, ..... , tetap berlaku *ika x,y,t, ...... ,
*uga z adalah fungsi dari variabel bebas lainnyaa dan dx, dy, dt ......., dz adalah diferensial bersangkutan.
contoh +. Jika z =
x
"
−+
y
, maka
" "xy dx % (x % +) dy ∂ z " x ∂ z + − x " = , = " dan dz = " ∂ x y ∂ y y y " " " contoh ". Jika r = x + y ma!ardr = xdx + y dy ∂r y ∂r y = x dan , = ∂ x r ∂ y r y + y xdy = ydx contoh A. Jika z = arc tan , (x ≠ 3) maka dz = . d = " x x x " + y " y + + x y x ∂ z ∂ z dan , =− " = " " " ∂ x x + y ∂ y x + y
Fun!" Im#$"!"%& Fun!" In'er!& (a)o*"an
Jika (x,y,z) adalah fungsi dari x, y, z yang diberikan, maka persamaan (x,y,z) ! 3 adalah hubungan anara fungsi z dengan x dan y. Jika x" & y"&z" + ! 3, maka
z = + − x
"
− y " atau
z = + − x
"
− y " dan
" " kedua fungsi tertentu x + y ≤ + . =edua fungsi ini secara implisit oleh persamaan
x "
+ y " + z " −+ = 3 . (x,y,z) ! 3 mungkin menentukan satu atau lebih fungsi implisit w dari x,y,z.
Jika dua persamaan semacam itu diberikan (x,y,z,w3 ! 3 dan O (x,y,z,w) ! 3 1ada umumnya secara teori mungkin untuk menyusutkan persamaan dengan eliminasi men*adi bentuk P!f(x,y) dan z!g(x,y) :aka diperoleh dua persamaan dengan dua variabel. 1ada umumnya, *ika dimiliki m persamaan dengan n anu (m;n), mungkin memecahkan m variabel sebagi fungsi dari n%m variabel lainnya. Jumlah variabel bebas sama dengan banyaknya persamaan. ntuk memperoleh gambaran yang *elas, baiklah kita berikan suatu contoh yang khusus, dimana fungsi%fungsi itu linear. :isalkan diberikan tiga persamaan dalam F anu (x,y,z,u,v) ! 3, O(x,y,z,u,v) ! 3 6(x,y,z,y,v) ! 3 dengan , O dan 6 adalah linear tanpa konstanta. 1ersamaan%persamaan di atas dapat ditulis a+x & b+y & c+z & d+u & e+v ! 3 a"x & b"y & c"z & d"u & e"v ! 3 aAx & bAy & cAz & dAu & eAv ! 3
penyelesaian khusus untuk persamaan ini adalah x ! 3, y ! 3, z ! 3, u ! 3, v ! 3. misalkan x, y, z dipilih sebagai variabel bebas, sedang u dan v tidak bebas, maka dapat ditulis. a+x & b+y & c+z ! % d+u & e+v a"x & b"y & c"z ! % d"u & e"v aAx & bAy & cAz ! % dAu & eAv penyelesaian untuk x,y,z mudah dilakukan dengan menggunakan aturan Cramer. $eterminan dari koefisien dari koefisien%koefisien adalah a+
b+
c+
" = a "
b"
c"
aA
bA
cA
determinan yang diperoleh dari $ dengan menggantikan kolom pertama dari $ dengan kolom dari konstanta, dinyatakan dengan $+
− d +u − e+v " = − d " − e" v − d A − eA v
b+
c+
d +
b+
c+
e+
b+
c+
b"
c"
= − d "
b"
c"
− e"
b"
c" v
bA
cA
d A
bA
cA
eA
bA
cA
$emikian pula $" dan $A adalah determinan masing%masing dibentuk dari $ dengan menggantikan kolom kedua dan ketiga. Jika $ ≠ 3, maka penyelesaian tunggal adalah x =
"+ "
,
y=
""
z=
"
"A "
=alau $+ ditulis dalam bentuk yang lebih ringkas "+
= − pu − #v maka
x
= − p u − "
# v "
0egitu pula y dan z dapat dinyatakan dalam bentuk serupa. :aka x,y,z dapat ditulis dalam bentuk Qfungsi linear dalam u dan vR, yang menyusut men*adi 3 untuk u ! 3 dan v ! 3. Jika $ !3, mungkin memilih tiga variabel lainnya, misalnya x,u,v yang memberikan $ ≠ 3. Jika tidak mungkin memilih tiga variabel linear sehingga $
≠ 3,
maka sistem
persamaan%persamaan ini dikatakan degrenerated. :arilah kita tin*au kembali yang lebih umum di mana ,O,6 tidak linear. Jika x,y,z dianggap fungsi dari u dan v, maka S!f(u,v), y!g(u,v), z!h(u,v) $apat ditulis Mf(uv), g(u,v), h(u,v) u,vN ! 3
OMf(uv), g(u,v), h(u,v) u,vN ! 3 6Mf(uv), g(u,v), h(u,v) u,vN ! 3 $iferensial total dari fungsi%fungsi ini sama dengan nol, maka xdx & ydy & zdz & udu & $vdv ! 3 Oxdx & Oydy & Ozdz & Oudu & $vdv ! 3 6xdx & 6ydy & 6zdz & 6udu & $vdv ! 3 $iferensial dx, dy dan dz dapat dinyatakan dalam du dan dv. =ita tin*au persamaan ,O,6 untuk titik tertentu (x +, y+, z+, u+, v+). 2urunan parsial x, y, ...... dihitung di titik (x +, y+, z+, u+, v+), sehingga koefisien%koefisien dalam (+.) dapat dianggap sebagai konstanta.
:aka (+.) akan serupa dengan (+."), yang merupakan persamaan%persamaan linear simultan dalam F anu, ialah dx, dy, du, dv.
@ni dapat diselesaikan dengan determinan, untuk memperoleh tiga anu misalnya dxm, dy, dz dalam suku du dan dv. :aka diperoleh
dx = −
p
# du − dv/ dy = ......... " "
& x
& y
" z
" = % x
% y
" z
$ x
$ y
$ z
dan
dengan & u
& y
& z
p = %u
% y
" z /
$ x
$ y
$ z
& v
& y
" z
# = %v
% y
" z
$ v
$ y
$ z
dengan mudah dapat dimengerti bahwa ∂ x ∂u
=−
p
dan
"
∂ x ∂v
=−
# "
& u
& y
" z
& v
& y
" z
%u
% y
" z
%v
% y
" z
∂ x = $ u ∂u & x
$ y
$ z
$ y
$ z
& y
" z
∂ x = $ v ∂v & x
& y
" z
% x
% y
" z
% x
% y
" z
$ x
$ y
$ z
$ x
$ y
$ z
kalau $
dan
≠3
$alam kuliah%kuliah yang lebih lan*ut ditun*ukkan bahwa *ika ,O,6 mempunyai turunan kontinu dalam domain termasuk titik (x+,y+,z+,u+,v+) maka persyaratan $ ≠ 3 cukup untuk men*amin bahwa x,y,z adalah fungsi%fungsi dari u dan
v yang dapat diturunkan dan terdefinisikan di sekitar titik (u+, v +3 dengan nilai x+, y +, z+ dititik tersebut. 2eorema tersebut di atas adalah bentuk umum dan dikenal sebagai teorema implist. 0ukti untuk teorema ini dapat diambil dari buku 'ourant() "ifferentia* and ntegra* 'a*cu*u). Jika $!3, dipilih variabel bebas lainnya sehingga $ ≠ 3. $eterminan $ disini dibentuk secara khusus oleh turunan parsial dari tiga fungsi tersebut, yang merupakan fungsi dari tiga variabel ini. $eterminan%determinan semacam ini disebut determinan Jacobian. $eterminan Jacobian ditulis secara ringkas. ∂( & , %, $ ) ∂ x
=
∂u
∂ y ∂v
=
∂(u , y, z ) ∂( & , %, $ )
∂( & , %, $ )
,
∂ x
=
∂v
∂(v, y , z ) ∂( & , %, $ )
∂( & , % , $ ) ∂ y
,
=
∂u
∂( x, y, z ) ∂( & , % , $ )
∂( x, y, z )
∂( x, y, z )
∂( x, y, z )
∂( & , % , $ )
∂( & , % , $ )
∂( & , % , $ )
∂( x, v, z ) ∂( & , % , $ )
,
∂ z
=
∂u
∂( x, y , z )
∂( x, y, u ) ∂( & , % , $ )
∂ z
,
=
∂v
∂( x, y, v) ∂( & , % , $ )
∂( x, y , z )
2epatnya turunan ini harus ditulis
∂( x, y , z )
∂ x v, ∂ x u dan seterusnya. 8pa yang telah ∂u ∂v
diterangkan adalah khas untuk sistem m persamaan dalam n anu. 0erapa contoh lainnya akan diberikan sebagai berikut + 1ersamaan dalam " anu (x,y) ! 3 → + persamaan dalam A anu (x,y,z) ! 3
dy dx
=−
&x &y
( &y
≠ 3)
&x ∂ z =− &z ∂ x
∂ z &y = − ( &z ≠ 3) ∂ x &z " persamaan dalam A anu (x,y,z) ! 3, O(x,y,z) ! 3
∂( & , % ) ∂( & , % ) dz ∂( y , x ) dy ∂( x, y ) , =− =− ∂( & , % ) dx ∂( & , % ) dx ∂( y , x ) ∂( y , z )
dengan
∂( & , % ) & y = ∂( y , z ) % y
" persamaan dalam anu (x,y,u,v) ! 3, O(x,y,u,v) ! 3
& z % z
≠3
∂ ( & , % )
dx
=−
du
dy
=−
du
∂ (u , y ) ∂ ( & , % )
∂ ( & , % )
dx
,
=−
dv
∂ (v, y ) ∂ ( & , % )
∂ ( x, y )
∂ ( x, y )
∂ ( & , % )
∂ ( & , % )
∂ ( x, u ) ∂ ( & , % )
dy
,
=−
dv
∂ ( x, y )
∂ ( x, v ) ∂ ( & , % )
dengan
∂ ( & , % ) ∂ ( x, y )
≠3
∂ ( x, y )
Cara lain ungsi%fungsi ,O,6 dapat diturunkan secara parsial terhadap u ata v dan diperoleh diantaranya.
∂ x &y ∂ y &z dz &u + + + =3 du ∂u ∂u dz ∂ x ∂ y %x + %y + %z + %u = 3 du ∂u ∂u ∂ x ∂ y dz $x + $y + $z + $u = 3 du ∂u ∂u &x
1ersamaan ini adalah linear dalam tiga turunan parsial, yang dapat diselesaikan dengan determinan untuk
∂ x ∂ y ∂ z , , . 6asilnya tentu akan serupa. 5elain cara ∂u ∂u ∂u
determinan dapat pula digunakan cara eliminasi. :isalnya untuk persamaan% persamaan u & " v x " & y" ! 3 ,
"u v "xy ! 3
=ita punyai du & "dv "xdx & "y dy ! 3, "du ! dv ! "y dx ! "x dy ! 3 dapatkah sekarang dipecahkan untuk dx dan dy dalam du dan dv. ("x%y) du (x&"y3 dv ("x" & "y") dy ! 3 dari persamaan ini terbaca ∂ x ∂u
=
" x − y "
" x + " y
,
"
∂v ∂v
=
− ( x + " y )
" x " + " y "
sesuai di atas dapat dihitung turunan%turunan lainnya. 1enyelesaian dengan determinan sebetulnya merupakan langkah yang sistematis.
ungsi @nvers Jika *umlah variabel tidak bebas sama dengan *umlah variabel bebas, persamaan% persamaan simultan ini dapat dianggap sebagai transformasi dari koordinat%koordinat. :aka, *ika (x,y,u,v) ! 3 ,
O(x,y,u,v) ! 3
ungsi%fungsi bersangkutan x ! f(u,v),
y ! g (u,v)
(+.T)
dapat dianggap sebagai titik%titik berpasangan di bidan xy dan di bidang uv -engkung%lengkung u ! tetap dan v ! tetap di bidang xy menentukan suatu sistem koordinat%koordinat lengkung di bidang xy. Contoh yang lazim dari ini adalah persamaan%persamaan x! e cos
,
y ! r sin
yang menghubungkan koordinat tegak lurus dan koordinat polar. Jika tranformasi diberikan secara eksplisit seperti (+.T) maka turunan parsial x ∂ ∂u
,
x ∂ ∂v
,
y ∂ ∂v
,
y ∂ ∂v
dapat langsung dibaca. Uariabel%variabel u dan v dapat pula
dipilih sebagai variabel tidak bebas, sedang x dan y bebas. 1ersamaan implisitnya men*adi u ! k(x,y),
v ! +(x,y)
(+.V3
1ersamaan%persamaan (+.V) merupakan invers dari (+.T). untuk memperoleh turunan parsial dari fungsi invers, dapat ditulis (+.T) dalam bentuk lain. f(u,v) x ! 3, g(u,v) y ! 3 Contoh penyelesaian " persamaan dengan anu dapat diterapkan disini, sehingga diperoleh
∂u =− ∂ x
−+
f v
3
gv
f u
f v
gu
gv
Jacobian
=
gv f u
f v
gu
gv
, dan seterusnya
∂(f , g ) = ∂( x, y ) ∂(u , v) ∂(u , v ) memegang peranan penting disebut QJacobian
dari transformasiR. 2eorema fungsi implisit tersebut di atas mengandung arti bahwa *ika Jacobian
∂( x, y ) ∂(u , v) tidak 3 di titik (u+, v+), maka fungsi invers k(x,y) dan +(x,y) dapat diturunkan dan didefinisikan dengan baik di sekitar titik (x+, y+), dimana x+ ! f(u+, v+) dan y+ ! g(u+, v+). Jacobian bersikap seperti turunan pula dalam beberapa hal, misalnya peraturan%peraturn seperti berikut
∂( x, y ) . ∂(u, v) = ∂( x, y ) → ∂( x, y) ∂(u, v) = + ∂(u, v) ∂( z , w) ∂( z , w) ∂(u, v) ∂( x, y ) persamaan kedua menun*ukkan bahwa Jacobian dari transformasi invers adalah kebalikan dari Jacobian transformasi semula.
Turunan Par!"a$ Or+e Le*", T"n"
$iberikan fungsi z!(x,y), maka kedua turunan parsialnya
∂ z ' ∂ x dan
∂ z ' ∂ y
adalah fungsi%fungsi dari x dan y pula ∂ z ∂ x
= &x( x, y )
∂ z
,
∂ y
= &y ( x, y)
masing%masing dapat diturunkan terhadap x dan y, maka diperoleh keempat turunan parsial keduanya "
∂ z ∂ x
"
"
= &xx( x, y )
∂ z
,
∂ x.∂ x
"
∂ z ∂ x.∂ y
= &xy( x, y )
"
= &yx( x, y )
:aka
∂" z ∂ x "
∂ z
,
∂ x
"
= &yy( x, y )
diperoleh karena
diperoleh dengan menurunkan "
domain maka berlaku
∂ z
∂ z x ∂ z ∂
∂ x
"
diturunkan terhadap x+, sedang
∂ z ∂ y∂ x
"
terhadap y. Jika turunan kontinu dalam suatu
"
=
∂ y∂ x
∂ z ∂ x∂ y
2urunan parsial ketiga dan orde lebih tinggi didefinisikan serupa, dan urutan turunan tidak dipengaruhi *ika turunan%turunan terebut kontinu dalam domain tersebut. ntuk turunan parsial orde tiga diperoleh empat rupa
∂A z , ∂ x A ∂A z , ∂ y A
∂A z ∂A z ∂A z = = ∂ x " ∂ y ∂ x ∂ y ∂ x ∂ y ∂ x " ∂A z ∂A z ∂" z = = ∂ x∂ y " ∂ y " ∂ x ∂ y ∂ x ∂y
otasi%notasi lain untuk turunan%turunan orde tinggi sebagai berikut
∂" z ∂" z = z zz = f ++( x , y ) , = z xy = + "+ ( x, y ) ∂ x∂ y ∂ x " ∂A w ∂ w = w zyx = f A"+ ( x, y , z ), " " = w zzxx = f AA++ ( x, yz ) ∂ x ∂ y ∂ z ∂ x∂ z Jika z!f(x,y), -aplacian dari z, dinyatakan oleh sebagai Qvektor operator diferensialR ∇=
∂ x ∂
i +
∂
y ∂
* +
∂
z ∂
k
5ecara simbolis ditulis " " " ∇ = ∇. ∇ = ∂ " + ∂ " + ∂ " ∂ x ∂ y ∂ z
∆"
terletak pada arti dari
Jika z ! f4x,y3 mempunyai turunan kedua yang kontinu di dalam domain $ dan
∇" z = 3 di $, maka z dikatakan harmonis di $. 5yarat%syarat serupa berlaku untuk fungsi%fungsi harmonis ialah
∂" z + ∂" z = ∂" w + ∂" w = 3, 3 ∂ x " ∂ y " ∂ x " ∂ y " $an dikenal sebagi persamaan%persamaan -aplace dalam dua dan tiga dimensi. =ombinasi lain yang penting dari turunan%turunan tampil dalam persamaan QbiharmonisR
∂ z ∂ z ∂ z + " " " + " =3 ∂ x ∂ x ∂ y ∂ y
yang di*umpai dalam teori elastisite t.
Turunan Le*", T"n" Sua%u Fun!" Da$am Fun!"
:isalnya z ! f(x,y) dan x ! g(t), y ! h(t), sehingga z dapat dinyatakan dalam t sa*a. 2urunan dz dt
=
dz dt
dapat dihitung
∂ z dx ∂ z dy + ∂ x dt ∂ y dt
ntuk turunan kedua "
d z "
dt
" " dz ∂ z d x dx d ∂ z ∂ z d y dy d ∂ z = = + + + dt dt ∂ x dt " dt dt ∂ x ∂ y dt " dt dt ∂ y
d
∂ z ∂" z dx ∂" z dy + sedangkan . . − = dt ∂ x ∂ x " dt ∂ y∂ x dt " d ∂ z ∂" z dx z dy ∂ = + ". , dt ∂ y ∂ x∂ y dt ∂ y dt d
5eluruhnya memberikan d " z dt "
"
∂ z d " x ∂" z dx " ∂" z = + + ∂ x dt " ∂ x " dt ∂ x∂ y
5esuai itu kalau z = f(x, y), x
dt
"
dy " ∂" z ∂ z d " y + " + dt ∂ y " dt ∂ y dt
dx dy
= g(u, v), y = h(u, v) maka ∂u ∂ y ∂ z = ∂ z ∂ x + ∂ z ∂ y ∂" z = ∂ z ∂" x + ∂ ∂ z ∂ x + ∂ z ∂" y + ∂ ∂ z , " " " ∂u ∂v ∂u ∂ y ∂u ∂ x ∂u ∂u ∂u ∂u ∂ y ∂u ∂u ∂ y ∂u ∂u ∂ ∂ z = ∂" z ∂ x + ∂" z ∂ y ∂ ∂ z ∂" z ∂" z ∂ y = + , " ∂u ∂ x ∂ x " ∂u ∂v∂ x ∂u ∂u ∂ y ∂ x∂ y ∂u ∂ y ∂u " " " " " z ∂ x z ∂ x ∂ y z ∂ y z ∂" y ∂" z = ∂ z ∂" x + ∂ ∂ ∂ ∂ + " + + ∂ x∂ y ∂u ∂u ∂ y " ∂u ∂ y ∂u " ∂u " ∂ x ∂u " ∂ x " ∂u
∂ z = dy ∂ " z , esuai di atas dapat dibentuk , ∂u ∂vdx ∂v " Contoh y
= f(x)
dan
x
= et
maka dy dy dx dy t = = e dt dx dt dx d " y d dy t dy d t (e ) = e + " dt dx dx dt dt d " y "t = "e dx
=
d " y dx t e . dx " dt
dy t e dx dy dy dy t dapat pula ditulis = e = x dx dx dt d dy d dy dx d " y maka = x = x " dt dx dx dx dt dt
+
dy t e dx
+
=
d " y " x dx "
+
= x
d dy x dx dx
dy x dx
La#$a)"an Da$am Koor+"na% Po$ar& S"$"n+er Dan Bo$a
8kan kita bahas sekarang transformasi dari -aplacian dalam sistem koordinat lainnya. :ula%mula kita tin*au -aplacian dimensi dua. " " w ∂ w ∂ ∇ w = " + " dan pernyataannya dalam koordinat polar (r, θ ) ∂ x ∂ y "
:aka w ! f(x,y) dan x =r cos θ , y = r sin θ dan ∇" w ingin kita nyatakan dalam r dan
, pula turunan w terhadap r dan
.
1enyelesaiannya adalah sebagai berikut
∂w ∂w ∂r ∂w ∂θ = + ∂ x ∂r ∂ x ∂θ ∂ x
∂w ∂w ∂r ∂w ∂θ = + ∂ y ∂r ∂ y ∂θ ∂ y ∂r ∂θ ∂r ∂θ , , , kita gunakan persamaan % persamaan ∂ x ∂ x ∂ y ∂ y dx =cos θ dr % r sin θ dθ , dy =sin θ dr +r cos θ dθ
ntuk menghitung
1ersamaan ini dapat diselesaik an untuk memperoleh dr dan dθ dr :aka
=cos θ dx +sin θ dy
,
dθ =%
sin θ dx r
+
cos θ dy r
sin θ ∂θ cos θ ∂r ∂r ∂θ , =cos θ , =sin θ , =− = r r ∂x ∂y ∂x ∂ y
$apat ditulis
∂w ∂w sin θ ∂w ∂w ∂w cos θ ∂w , = cos θ =sin θ + r ∂θ ∂x ∂r r ∂θ ∂ y ∂r 1ersamaan ini merupakan peraturan umum untuk menyatakan turunan terhadap x atau y dalam suku%suku dari turunan%turunan terhadap r dan diturunkan sekali lagi terhadap x, diperoleh
θ . =alau ∂w'∂x
∂" w ∂ ∂w ∂ ∂w sin θ ∂w cos θ = = − r ∂θ ∂ x " ∂ x ∂ x ∂ x ∂r ∂" w = ∂ θ ∂w − sin θ α w ∂r + ∂ θ ∂w cos . cos ∂r ∂r r ∂θ ∂ x ∂θ ∂ x " ∂r sin θ ∂w ∂w r ∂θ ∂ x ∂" w ∂ ∂w sin θ ∂w cos θ = cos θ − " r ∂r ∂r ∂θ ∂ x sin θ ∂ ∂w − cos θ r ∂θ ∂r
sin θ r
∂w ∂θ
1eraturan penurunan untuk hasil kali memberikan
∂w ∂" w " = − θ cos ∂ x " ∂r "
∂" w sin " w ∂" w + ∂r ∂θ r ∂θ " r " sin "θ ∂w " sin θ cos θ ∂w + + " ∂r ∂θ r r " sin θ cos θ
$engan cara serupa diperoleh
∂ w ∂ ∂w ∂ ∂w cosθ ∂w = =sin θ + sin θ " ∂y ∂ y ∂r ∂r ∂θ r ∂ y cos θ ∂ ∂w cosθ ∂w = sin θ + ∂r ∂θ r ∂θ r ∂w ∂" w " sin θ cosθ ∂" w cos " θ ∂" w " = sin θ " + + " ∂r ∂θ r ∂ y " ∂r ∂θ " r cos " θ ∂w " sin θ cos θ ∂w = − ∂r ∂θ r r "
$itambahkan
∂" w ∂" w ∂" w + ∂" w + ∂w ∇ w= " + " = " + " + " r ∂r ∂ x ∂ y ∂ x r ∂ $ "
(inilah yang diinginkan) 1ersamaan terakhir ini memungkinkan penulisan -aplacian berdimensi tiga dalam koordinat silinder untuk transformasi. x = r cos θ ,
y = r sin θ ,
z =z
∂w ∂w ∂w + + ∂ x " ∂ y " ∂ z " " " " w + ∂ w + ∂w ∂ ∂ = " + " + + w " r ∂r r ∂θ ∂r ∂ z "
∇" w =
"
"
"
Cara penyelesaian sesuai diatas penulisan -aplacian berdimensi tiga dalam, koordinat silinder untuk transformasi.
∂" w ∂" w ∂" w ∂" w + ∂" w ∇ w= " + " + " = " + " p ∂ x ∂ y ∂ z ∂ p ∂φ " + ∂" w " ∂w cosφ ∂w + " " + + " ∂ p p " ∂φ p p sin φ ∂θ "
