Listado de Fórmulas
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*
+
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[(
(
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)
)
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(
(16)
Monto
(17)
Tasa de interés
(18)
Tiempo (19)
Monto con variaciones de tasas
(20)
Capital inicial
(21)
Monto
(22)
Monto
(23)
Capital
(24)
Tasa
(25)
Tiempo
(26)
Interés
(27)
Capital
(28)
Tasa
(29)
Tiempo
(30)
Interés devengado en el periodo k
⁄
( ⁄ (
Monto
)]
)
(
(15)
) )
)
Factores Financieros
(
[
(
[ (
Factor Simple de Capitalización
)
)
(
) )
]
Factor de Capitalización de la Serie
]
Factor de Recuperación del Capital
(
[
[
Factor Simple de Actualización
)
(
]
)
(
) (
)
]
Factor de Depósito al Fondo de Amortización
Factor de Actualización de la Serie
Factores Financieros Aplicados a S, P y R
Valor futuro en función del valor presente.
Valor futuro en función de la renta constante.
Valor presente en función del valor futuro.
Valor presente en función de la renta constante.
Renta constante en función del valor futuro. Renta constante en función del valor presente.
Ejercicios 1. Calcular el interés simple de S/. 2,000 al 2,5% mensual desde el 12 de marzo al 15 de junio del mismo año. Solución: Debido a que la tasa es mensual podemos expresar el periodo de tiempo en meses (95/30) I =? P = 2,000 i = 0,025 n = 95/30
Número de días Marzo = 19 Abril = 30 Mayo = 31 Junio = 15 95
I = 2,000 x 0,025 x 95/30 I = 158.33
2. ¿Qué capital colocado al 24% anual ha producido S/. 300 de interés simple al término de 18 semanas? Solución: En 18 semanas existen 126 días (18 x 7 = 126), los mismos que expresados en función de la tasa anual originan: n = 126/360. Reemplazando los datos del problema tenemos la ecuación 300 = P x 0,24 x 126/360, que tiene la siguiente solución: P=? i = 0,24 I = 300 n = 126/360
P =
300 . 0,24 x 126/360
P = 3 571,43
3. Si deseo ganar un interés simple de S/. 3000 en el periodo comprendido entre el 4 de abril y 31 de mayo, ¿qué capital debo colocar en un banco que paga una tasa mensual del 2%? Solución: P=? i = 0,02 I = 3000 n = 57/30
Número de días Abril = 26 Mayo = 31 57
P =
3000 . 0,02 x 57/30
P = 78 947,37
4. Un capital de S/. 2000 ha producido un interés de S/. 60 durante 36 días, calcule la tasa anual de interés simple. Solución: Dado que se pide una tasa anual debemos trabajar con n anual (n = 36/360). Con la información disponible planteamos: 60 = 2000 x i x 36/360 y despejamos i. i =? P = 2000 I = 60 n = 36/360
i =
60 . 2000 x 36/360
i = 0,3
5. ¿Durante qué tiempo habrá estado impuesto un capital de S/. 15000 al 28% anual, si el interés simple producido es de S/. 300? Solución: Con la información del problema podemos plantear la siguiente ecuación de interés simple: 300 = 15000 x 0,28 x n. Despejando n obtendremos un período de tiempo anual pues la tasa utilizada como dato es anual. n=? P = 15000 i = 0,28 I = 300
n=
300 . 15000 x 0,28
n = 0,07142857147 años
El periodo anual puede ser convertido a días multiplicándolo por 360. n = 0,07142857147 x 360 = 25,71 días
6. ¿Qué interés simple habrá ganado una inversión de S/. 2000 colocada del 3 al marzo al 28 de junio del mismo año a una tasa mensual del 3%, la misma que varió el 16 de abril al 2,8% y posteriormente al 2,6% el 16 de junio? ¿Cuál es la tasa acumulada? Solución: Las variaciones de las tasas se explican en el siguiente diagrama: n = 117 días n1 = 44 3/3
n2 = 61
i1 = 0,03
16/4
i2 = 0,028
n3 = 12 16/6
i3 = 0,026
28/6
El interés simple ganado por el capital inicial de S/. 2000 durante los plazos de vigencia de las tasas es: Interés periódico I1 = 2000 x 0,03 x 44/30 I2 = 2000 x 0,028 x 61/30 I3 = 2000 x 0,026 x 12/30 Total
Subtotal 88,00 113,87 20,80 222,67
Como el capital inicial P ha permanecido invariable durante todo el plazo de la operación, el cálculo del interés, cuando existen variaciones de tasas, se puede generalizar: I = Pi1n1 + Pi2n2 + Pi3n3 + Pi4n4 + ….. + Pimnm Aplicando la fórmula anterior, la solución directa se realiza con la siguiente ecuación. I = 2000 (0,03 x 44/30) + (0,028 x 61/30) + (0,026 x 12/30) I = 2000 0,111333333 I = 222,67
7. Una deuda de S/. 2000 contraída el 8 de junio para ser cancelada el 8 de julio, y pactada originalmente a una tasa anual de interés simple del 24%, sufre las siguientes variaciones a partir de las siguientes fechas: día 12 de junio 2,5% mensual, día 24 de junio 9%, trimestral, día 3 de julio 21% semestral. ¿Qué interés se pagará al vencimiento? Solución: Las variaciones de las tasas se explican en el siguiente diagrama: 8/6 n1 = 4/360
12/6
i1 = 0,24 año
n2 = 12/30
24/6
i2 = 0,025 mes
n3 = 9/90
3/7
i3 = 0,09 trim
n4 = 5/180
8/7
i4 = 0,21 sem
I = 2000 (0,24 x 4/360 + 0,025 x 12/30 + 0,09 x 9/90 + 0,21 x 5/180) I = 2000 (0,0275) I = 55
8. Una cuenta de ahorros abierta el 4 de abril con un depósito inicial de S/. 500 tuvo en ese mes el siguiente movimiento: día 8, depósito de S/. 100; día 17, retiro de S/. 400; día 23, depósito de S/. 500; día 23, retiro de S/. 200 ¿Qué interés simple se acumuló al 30 de abril percibiendo una tasa anual del 24%? Solución: Las variaciones que ha experimentado el capital inicial por cargos y abonos realizados después del depósito inicial se explican en siguiente diagrama: 500 4/4
600 n1 = 4
8/4
200 n2 = 9
17/4
500 n3 = 6
23/4
n4 = 7
30/4
El interés simple ganado por los diversos capitales desde el 4 de abril hasta el 30 de abril es el siguiente. Interés periódico Subtotal I1 = 500 x 0,24 x 4/360 1,33 I2 = 600 x 0,24 x 9/360 3,60 I3 = 200 x 0,24 x 6/360 0,80 I4 = 500 x 0,24 x 7/360 2,33 Interés acumulado 8,06
9. El 2 de junio se abre una cuenta de ahorros con S/. 2000 y se efectúan depósitos de S/. 500 y S/. 300 los días 8 y 16, y un retiro de S/. 200 el día 26 de junio. La tasa anual pactada fue 28%, la cual bajó al 26% a partir del 16 de junio. ¿Cuál fue el interés simple acumulado y cuál es el saldo disponible al 1 de julio? i1= 0,28 2000 2/6
i2 = 0,26
2500 n1 = 6/360
8/6
2800 n2 = 8/36
2600
16/6 n3 = 10/360 26/6
n4 = 5/360
1/7
Interés periódico I1 = 2000 x 0,28 x 6/360 I2 = 2500 x 0,28 x 8/360 I3 = 2800 x 0,26 x 10/360 I4 = 2600 x 0,26 x 5/360 Interés acumulado
Subtotal 9,33 15,56 20,22 9,39 54,50
El saldo disponible el día 1 de julio es igual al saldo acumulado de S/. 2600 más los intereses totales que se generaron hasta esa fecha, que hacen un monto de S/. 2654,50.
10. ¿Cuál es el monto simple que ha producido un capital de S/. 5000 del 6 de abril al 26 de junio del mismo año a una tasa mensual del 2%? Solución: Del 6 de abril al 26 de junio han transcurrido 81 días, los mismos que se expresan en términos mensuales (81/30) pues la tasa proporcionada como dato es mensual. S =? P = 5000 i = 0,02 n = 81/30
Número de días Abril = 24 Mayo = 31 Junio = 26 81
S = 5000 x (1 + 0,02 x 81/30) S = 5270
11. El 25 de junio, el saldo de una cuenta de ahorros fue de S/. 5000. Calcule su monto al 30 de setiembre aplicando una tasa mensual de interés simple del 3%, considerando que la entidad financiera abona los intereses en la cuenta cada fin de mes. Solución: S=? P = 5000 n = 97/30 i = 0,03
Junio Julio Agosto Setiembre
S1 = S2 = S3 = S4 =
5000 (1 + 0,03 x 5/30) 5025 (1 + 0,03 x 31/30) 5180,775 (1 + 0,003 x 31/30) 5341,379 (1 + 0,03 x 30/30)
= = = =
5025 5180,775 5341,379 5501,62
12. Calcule el monto simple de un depósito de ahorro de S/. 5000 colocado el 9 de agosto y cancelado el 1 de setiembre. Las tasas anuales han sido: 30% a partir del 1 de agosto; 28% a partir del 16 de agosto y 26% a partir del 1 de setiembre.
9/8 P = 5000 S=? P = 5000 i1 = 0,30 i2 = 0,28
i1 = 0,3 n1 = 7/360
16/8
i2 = 0,28
S=? 1/9
n2 = 16/360
S = 5000 1 + (0,3 x 7/360 + 0,28 x 16/360) S = 5091,39 n1 = 7/360 n2 = 16/360
13. Un paquete accionario es adquirido el 23 de mayo en S/. 24000 y vendido el 18 de junio, recibiéndose en esta fecha un importe neto de S/. 26800. Calcule la tasa mensual de interés simple de la operación. Solución: El problema consiste en determinar la rentabilidad mensual de una inversión de S/. 24000 que se convirtió en S/. 26800 en el plazo de 26 días. Cálculo de los días Mayo = 8 Junio = 18 26
i=? P = 24000 S = 26800 n = 26/30
i = (26800/24000) - 1 . 26/30 i = 0,134615385
La rentabilidad generada en los 26 días se puede calcular por proporción (0,134615385/30)26 = 0,1166665. 14. Un artículo cuyo precio al contado es de S/. 120 es vendido con “tarjeta de crédito” para pagar S/. 127,20 dentro de 45 días ¿Qué tasa mensual de interés simple se cargó al crédito? Solución: i=? P = 120 S = 127,20 n = 45/30
i = (127,20/120) - 1 . 45/30 i = 0,04
15. Se pone a la venta un departamento ubicado en la Av. Sucre de Pueblo Libre, para lo cual se plantean las siguientes alternativas: a) $17 500 al contado. b) $10 000 al contado y el saldo a 60 días con una letra de $7700. c) $8 000 al contado y el saldo con dos letras, una de $6000 a 30 días y otra de $3680 a 60 días. d) $6 000 al contado y el saldo con tres letras de $4000 con vencimientos a 30, 60 y 90 días cada una respectivamente. Si un cliente dispone del efectivo para efectuar la compra al contado y por su capital puede percibir una tasa anual de interés simple del 24%, ¿Cuál es la oferta más conveniente? Explique. Solución: Alternativa b) 10 000 +
7700 = 17403,85 1 + 0,24 x 60/360
Alternativa c) 8000 +
6000 + 3680 = 17420,81 1 + 0,24 x 30/360 1 + 0,24 x 60/360
Alternativa d) 6000 +
4000 + 4000 + 4000 = 17541,31 1 + 0,24 x 30/360 1 + 0,24 x 60/360 1 + 0,24 x 90/360
Comparación de alternativas en el presente. Alternativa Contado
a 17 500
b 17 404
c 17 421
d 17 541
La alternativa de menor costo es la b). En efecto, si se dispone de $17 500, el cliente puede pagar la cuota inicial de $10 000 y el saldo de $7 500 depositarlo en el banco durante 60 días percibiendo una tasa anual del 24%, plazo en el cual dicho importe se habrá capitalizado a $7 800, monto con el cual puede pagar la letra de $7 700 y quedarle un remanente de $100.
16. Se ha colocado un capital a una tasa de interés simple del 4% trimestral, habiéndose convertido a los 4 meses en S/. 2500 ¿Cuál fue el importe de ese capital? Solución: Para calcular el valor presente de S/. 2500 con una tasa trimestral del 4%, debemos convertir el periodo de 4 meses en trimestres (n = 4/3 trimestres) y despejar P de la fórmula del monto. Solución: P=? i = 0,04 n = 4/3 S = 2500
P =
2500 . 1 + 0,04 x 4/3
P = 2373,42
17. Cierto capital y sus intereses hacen un total de S/. 2000. Si la tasa aplicada ha sido del 4% cuatrimestral, habiendo estado colocado el capital inicial durante 6 meses ¿Cuál ha sido el interés simple y el capital que lo ha producido? Solución: Tenemos que P + I = S = 2000. Dado que adicionalmente conocemos i y n, podemos calcular el valor de P. Solución: P=? I = ? S = 2000 i = 0,04 n = 6/4
P =
2000 . 1 + 0,04 x 6/4
P = 1886,79
Restando el capital inicial del monto podemos obtener el interés. I = 2000 – 1886,79 = 113,21
18. Calcular el importe capitalizado de un depósito a plazo de S/. 20000 colocado durante 6 meses a una tasa nominal anual del 36% capitalizable diariamente. Solución: Dado que la frecuencia de capitalización es diaria, la tasa nominal anual debe ser convertida a ese periodo (0,36/360 = 0,0000833) para poderla capitalizar durante los 180 días del semestre. S = 20 000 (1 + 0,36/360)180 S = 23 942,19
S =? P = 20000 n = 6 x 30 i = 0,36/360
19. ¿Qué monto debe dejarse en letras con vencimiento dentro de 38 días, si después de descontarlas se requiere disponer de un importe neto de S/. 20000, sabiendo que el banco cobra una tasa efectiva mensual del 3,5%? Solución: El monto es un valor futuro S, mientras que el importe disponible después de haber deducido el importe del descuento es un valor presente P = 20000. Conociendo n = 38/30 e i = 3,5% mensual, el monto requerido lo encontramos con la siguiente ecuación. S = 20 000 (1 + 0,035)38/30 S = 20 890,77
S =? n = 38/30 P = 20000 i = 0,035
20. Una persona abre una cuenta bancaria el 14 de abril con S/. 1000 percibiendo una tasa nominal mensual del 4% con capitalización diaria. El 2 de mayo retira S/. 400, el 15 de mayo retira S/. 200 y el 3 de junio depósito S/. 100. ¿Qué monto acumuló desde la fecha de su depósito inicial hasta el 24 de junio, fecha en que canceló la cuenta? Depósitos 1000 18 d. 14/04 Retiros
S1
13 d.
02.05 400
Cálculo S = 1000,00 (1 + 0,04/30)18 = S = 624,27 (1 + 0,04/30)13 = S = 435,18 (1 + 0,04/30)19 = S = 546,34 (1 + 0,04/30)21 =
S2
19 d.
15.05 200
1024,27 635.18 446.34 561,84
S3 03.06
21 d.
S4 24.06
D/(R) - 400 - 200 + 100
Monto 624,27 435.18 546,34 561,84
21. El 6 de junio, la empresa Agroexport S.A compró en el Banco Platino un Certificado de Depósito a Plazo (CDP) a 90 días por un importe de S/. 20 000, ganando una tasa nominal anual del 24% con capitalización diaria; si el 1 de julio la tasa bajó al 18% nominal anual (con la misma capitalización), ¿cuál fue el monto que recibió Agroexport al vencimiento del plazo del CDP?
Solución: S=? i1 = 0,24/360 06.06
n1 = 25
i2 = 0,18/360 01.07
n2 = 65
04.09
S = 20 000 (1 + 0,24/360)25 (1 + 0,18/360)65 S = 21 007.62
S=? P = 20 000
22. Una deuda de S/. 1000 con opción a renovarse automáticamente cada 30 días, debe cancelarse el 20 de setiembre. ¿Qué monto debe pagarse el 19 de diciembre si el contrato de crédito establece que por la primera renovación se carga una tasa efectiva mensual del 5%; por la segunda, una tasa efectiva mensual del 6%; y por la tercera, una tasa efectiva mensual del 7%? Solución: i1 = 0,05 20.09 P = 1000 S=? P = 1000
i2 = 0,06
n1 = 1
20.10
i3 = 0,07
n2 = 1
19.11 n3 = 1
S=? 19.12
S = 1 000 (1,05 x 1,06 x 1,07) S = 1 190,91
23. ¿Cuánto debo invertir hoy para acumular S/. 20 000 dentro 120 días en una institución de crédito que paga una tasa nominal anual del 24% con capitalización diaria? Solución: P=? S = 20000 n = 120 i = 0,24/360
P =
20 000 . (1 + 0,24/360)120
P = 18 462,82
24. ¿Cuánto podré disponer hoy si me han descontado un paquete de 4 letras cuyos importes son S/. 2000, 6500, 8000 y 7500, las cuales vencen dentro de 15, 30, 45 y 60 días respectivamente? La tasa efectiva quincenal que cobra la entidad financiera es del 1%.
0 P=?
2000
6500
8000
7500
1
2
3
4
P = 2 000/1,01 + 6 500/1,012 + 8 000/1,013 + 7 500/1,014 P = 23 324,20
25.La empresa Indutrust en la adquisición de un grupo electrógeno está evaluando las siguientes propuestas: a) $ 8000 al contado. b) Al crédito con una inicial de $2000 y 6 cuotas de $ 1200 c/u, con vencimiento cada 30 días. Considerando que Indutrust tiene una tasa de rentabilidad en dólares del 6% mensual, ¿qué opción le conviene?, ¿por qué?
Solución: P = 2 000 + 1 200/1,06 + 1 200/1,062 + 1 200/1,063 + 1 200/1,064 + 1 200/1,065 + 1 200/1,066 P = 7 900,79 26. Haciendo uso de una línea de descuento, el Banco Interamericano descontó a una empresa 2 letras cuyos valores nominales fueron de S/. 10 000 y S/. 20 000, siendo sus vencimientos dentro de 25 y 35 días respectivamente. ¿Cuál es el valor presente de ambas letras considerando una tasa efectiva trimestral del 9%? Solución:
10000 P=?
20000
25
n = 35 días
P = 10 000 + 20 000 = 29 104,30 1,0925/90 1,0935/90
27. El 24 de setiembre se efectuó un depósito en un banco percibiendo una tasa efectiva mensual del 4%, la cual varió el 16 de octubre al 4,2% y al 4,5% el 11 de noviembre. El día de hoy, 25 de noviembre, el saldo de la cuenta es de S/. 6500. ¿Qué importe se depositó originalmente? ¿Cuál fue la tasa acumulada? Solución: 22 d 24/09 16/10 P = ? i1 = 0,04 P=? S = 6 500 i1 = 0,04 i2 = 0,042 i3 = 0,045
n1 = 22/30 n2 = 26/30 n3 = 14/30
26 d
14 d
6 500
11/11 i2 = 0,042
25/11 i3 = 0,045
P=
6 500 . 1,0422/30 x 1,04226/30 x 1,04514/30
P=
6 500 = 5 970,57 1,088672888
la tasa acumulada en el periodo de 62 días se obtiene del denominador de la ecuación que calcula P, el cual responde a la expresión:
I + i = 1 + 0,088672888 En consecuencia; i = 8,87%
28. Los flujos de caja y las inflaciones mensuales proyectados por la empresa Agroexport S.A. se muestran en el cuadro adjunto. Calcule el valor presente de dichos flujos.
Flujo de caja Inflación
0 2 000
Mes 1 2 000 2,00%
Mes 2 2 200 1,80%
Mes 3 2 400 1,60%
Mes 4 2 500 1,65%
Solución:
2000 0
2000 0,02
1
2200 0,018
2400
2
0,016
3
2500 0,0165
n = 4 meses
P = 2 000 + 2 000 + 2 200 + 2 400 + 2 500 . 1,02 1,02 x 1,018 1,02 x 1,018 x 1,016 1,02 x 1,018 x 1,016 x 1,0165 P = 10 685,71
29. Calcule la tasa de rentabilidad efectiva mensual de un bono comprado en S/. 2000 y vendido al cabo de 90 días en S/. 2 315,25. Solución: La tasa de rentabilidad pedida es la tasa efectiva de interés. Con los datos proporcionados S, P y n, podemos plantear la siguiente ecuación: 2 315,25 = 2 000(1 + i)3, la misma que se resuelve del siguiente modo. ? (
2 000 90/30 2 315,25
)
⁄
30. Calcule la tasa de rentabilidad efectiva anual de un capital de S/. 5000 que en el lapso de 88 días produjo un interés efectivo de S/. 500. Solución: Para calcular la tasa de rentabilidad efectiva anual (tasa efectiva), con los datos proporcionados, podemos plantear la siguiente ecuación: 5 500 = 5 000(1 + i)360/88, la misma que se resuelve del siguiente modo: i=? P = 5 000
(
)
⁄
n = 360/88 S = 5 500
31. Una persona deposita S/. 2000 en el Banco Norsur percibiendo una tasa efectiva mensual del 4%. En la misma fecha deposita S/. 5000 en el Banco Surnor percibiendo una tasa nominal anual del 48% con capitalización trimestral. Calcule la tasa efectiva mensual promedio que ganó por ambos depósitos durante 8 meses. Solución: Obtenemos el importe de P sumando los capitales iniciales P1 = 2000 y P2 = 5000 P = 2000 + 5000 = 7000 Obtenemos el monto S generado por los capitales P1 y P2 en el plazo de 8 meses. S = 2 000(1,048) + 5000(1,128/3) = 9 501,36 Para calcular la tasa efectiva mensual planteamos la ecuación del monto y despejamos i: 9 501,36 = 7 000(1 + i)8
(
)
⁄
32. La empresa Jacobs tiene en un banco una deuda de S/. 10 000 que vence dentro de 48 días, por la cual paga una tasa efectiva mensual del 3%. Además tiene otra deuda de S/. 15 000, por la cual paga una tasa efectiva mensual del 4%, la que vence dentro de 63 días. Jacobs propone pagar ambas deudas con el descuento de un pagaré con valor nominal de S/. 27 033, el mismo que vencerá dentro de 90 días. ¿Qué tasa efectiva mensual está cargando el banco a Jacobs? S = 27 033 y n = 90 días. El importe de P lo encontramos descontando los montos S1 = 10000 y S2 = 15000 con las tasas efectivas mensuales del 3% y 4% respectivamente. ⁄
⁄
Con estos valores podemos plantear la siguiente ecuación: 27 033 = 23 352,13(1 + i)3 y despejar i. (
)
⁄
33. Después de colocar un capital de S/. 1000 a una tasa de interés efectiva del 4% mensual se ha obtenido un monto de S/. 1 500 ¿A qué tiempo se colocó el capital?
Solución: El problema consiste en calcular n sabiendo que S = 1500, P = 1000 e i = 0,04. Con la información disponible podemos plantear la siguiente ecuación: 1500 = 1 000(1 + 0,04)n y despejar n. (
)
Como la tasa es efectiva mensual n está expresa en meses. El resultado en días se obtiene: 10,33803507 x 30 = 310 días.
34.
¿
En cuántos días podré: a) triplicar y b) cuadriplicar un capital a la tasa efectiva anual del
50%? Solución: Un capital de P = 1 para triplicarse deberá haberse convertido en un monto S = 3. Con una tasa efectiva anual puede plantearse la siguiente ecuación: 3 = 1(1 + 0,5)n/360. Despejando n obtendremos periodos de tiempo diarios.
Para cuadruplicar el capital
35. ¿Cuánto tiempo debe transcurrir para que la relación entre un capital de S/. 8 000, colocado a una tasa del 4% efectivo mensual, y su monto sea de 4/10?
Solución: La relación entre un capital P = 8000 y su respectivo monto S se puede representar: 8000/S, relación que por los datos del problema tiene que igualarse a 4/10. De la igualdad propuesta se despeja S y se forma la ecuación del monto: 20000 = 8 000(1 + 0,04)n, de la cual despejamos n para encontrar los períodos de tiempo capitalizados. n=? P = 8 000 S = 20 000
(
)
(
)
i = 0,04
36. ¿Cuánto de interés se pagará por un préstamos de S/. 6000 que devenga una tasa efectiva trimestral del 2%? El crédito se ha utilizado durante 17 días. Solución: El plazo de la operación debe expresarse en periodos trimestrales (n = 17/90) porque la tasa efectiva proporcionada como dato es trimestral. I=? P = 6 000 i = 0,02 n = 17/90
I = 6 000 (1,0217/90 – 1) I = 22,49
37. Calcular el interés bimestral que habrá ganado un depósito de ahorros de S/. 5000 colocado a una tasa nominal anual del 24% con capitalización trimestral. Solución: El plazo de la operación debe expresarse en periodos bimestrales (n = 60/90) porque la tasa efectiva proporcionada como dato es trimestral. I=? P = 5 000 i = 0,24/4 n = 2/3
I = 5 000 (1 + 1,24/4)2/3 – 1 I = 198,05
38. Una inversión efectuada en la Bolsa de Valores produjo un interés de S/. 1300 durante 77 días; en ese lapso de tiempo la tasa acumulada fue del 5,4% ¿Cuál fue el importe original de la inversión? Solución: Con los datos planteamos la ecuación del interés compuesto: 1300 = P(1 + 0,054) – 1 y despejar P. P=? I = 1 300 n = 77/77 i = 0,054
P=
1300 . 1,054 - 1
P = 24 074,07
39. La rentabilidad en 23 días de un paquete accionario adquirido en Bolsa fue de S/. 500; dicho paquete accionario acumuló en 30 días una tasa de rentabilidad del 3,9% ¿Cuál fue su precio de adquisición? Solución: El interés (rentabilidad) ganado en 23 días fue de S/. 500, mientras que en el plazo de 30 días las acciones acumularon una tasa efectiva del 3,9%. Con estos datos podemos plantear la siguiente ecuación del interés compuesto: 500 = P(1 + 0,039)23/30 - 1 y despejar P. P=? I = 500 n = 23/30 i = 0,039
P=
500 . 1,03923/30 - 1
P = 16 797,64
40. El 18 de enero la compañía Mari´s compró en Bolsa un paquete accionario en S/. 90 000, el cual vendió el 26 de febrero obteniendo una rentabilidad neta de S/. 6500. Calcule la tasa de rentabilidad efectiva mensual que obtuvo Mari´s en esa operación. Solución: El problema nos pide calcular una tasa efectiva mensual conociendo I = 6500, generado por P = 90 000, en el plazo de 39 días. Estos datos nos permiten plantear la siguiente ecuación: 6500 = 90 000(1 + i)39/30 - 1, de la cual despejamos i. ? 90 000 39/30 6 500
(
)
⁄
41. ¿Cuántos días serán necesarios para que un capital de S/. 10000 produzca un interés de S/. 1,000 a una tasa nominal anual del 24% con capitalización mensual? Solución: ? 10 000
(
)
1 000 0,24/12
42. Un depósito de S/. 20 000 estuvo colocado durante 90 días ganando una tasa nominal anual del 36% con capitalización diaria ¿Qué interés se ganó el día 46 y el día 87? Solución: El interés ganado en el día 46 es la diferencia del interés acumulado hasta el día 46 menos el interés acumulado hasta el día 45 I46 = 20 000(1,00146 – 1) = 941,00 I45 = 20 000(1,00145 – 1) = 920,08 Interés del día 46 = 20,92
El interés devengado en cualquier período k puede calcularse con Ik = Pi(1 + i)n-1 Interés del día 46 =
I46 = 20 000 x 0,001 (1,00146-1) = 20,92
Interés del día 87 =
I87 = 20 000 x 0,001 (1,00187-1) = 21,80
43. La compañía Ferrosal ha recibido un financiamiento bancario de S/. 10 000 para cancelarlo conjuntamente con los intereses acumulados dentro de 6 meses, generados por una tasa nominal anual del 24% capitalizable mensualmente. En la fecha del desembolso, el préstamo fue contabilizado de la siguiente manera:
Cargo Caja Interés por devengar
Abono Préstamo de terceros 11 261,62
10 000,00 1 261,62
Calcule los importes de intereses que se devengarán mensualmente. Solución: Los intereses que se devengarán en cada mes son: I1 = 10 000 x 0,021,021-1 = 200,00 I2 = 10 000 x 0,021,022-1 = 204,00 I3 = 10 000 x 0,021,023-1 = 208,08 I4 = 10 000 x 0,021,024-1 = 212,24 I5 = 10 000 x 0,021,025-1 = 216,48 I6 = 10 000 x 0,021,026-1 = 220,82 Interés acumulado = 1 261,62
I = ? P = 10 000 i = 0,24/12 n=6
44. La empresa exportadora Tejidos de Alpaca S.A. ha conseguido la refinanciación de sus deudas vencidas y por vencer (según diagrama adjunto), pagando una tasa efectiva del 5% mensual. Calcule el importe a cancelar en el mes 3 que sustituya el total de sus obligaciones. 200
800
400
X
200
250
200
0
1
2
3
4
5
6
Solución: El importe a cancelar en el momento 3 (fecha focal) que sustituye al total de obligaciones es la sumatoria de los flujos ubicados en los momentos 0, 1 y 2 capitalizados hacia la fecha focal: y de los flujos 4, 5 y 6 descontados hacia la fecha focal. X = 200(1,053) + 800(1,052) + 400(1,05) + 200(1,05-1) + 250(1,05-2) + 200(1,05-3) X = 2 123,53
45. Sustituir dos deudas de S/. 20 000 y S/. 30 000 con vencimiento dentro de 2 y 4 meses respectivamente por un único pago con vencimiento a 3 meses, asumiendo una tasa anual de 60% con capitalización mensual.
Solución: El importe a cancelar en el momento 3 que sustituya a las deudas ubicadas en los momentos 2 y 4 es la sumatoria del flujo ubicado en el momento 2 capitalizado durante un período, y del flujo ubicado en el momento 4 descontado durante un periodo. 20 000 0
1
2
X=? i = 0,05
30 000
3
4
X = 20 000 (1,05) + 30 000 (1,05-1) X = 49 571,43
46. El 18 de abril, el Gerente Financiero de la Empresa Sur S.A. estaba revisando los compromisos de pagos de la cuenta Caja-Bancos para el mes de mayo, y encontró la siguiente información de vencimientos pendientes con el Banco Indulin: día 20 S/. 2 500(pagaré); día 21 S/. 1 800 (letras); día 24 S/. 6 300 (préstamo) y día 28, S/. 3 500 (importaciones). Según información obtenida del flujo de caja, durante el mes de mayo, el saldo proyectado será negativo, por lo que solicita al banco el diferimiento de los pagos que vencen en mayo, para el 16 de junio, aceptando pagar una tasa efectiva mensual del 5% ¿Cuál es el importe que deberá cancelar Sur S.A. en esa fecha? Solución: El diagrama de flujo de caja del problema es el siguiente:
18/4
2500
1800
6300
3500
20/5
21/5
24/5
28/5
X=? 16/6 19 días 23 días 26 días 27 días
El problema se resuelve capitalizando los flujos hasta el día 16 de junio con la tasa efectiva mensual del 5%. X = 2500(1,0527/30) + 1800(1,0526/30) + 6300(1,0523/30) + 3500(1,0519/30) X = 14 639,93
47. Prepare una alternativa de venta al crédito para una máquina cuyo precio al contado es $ 10000, bajo las siguientes condiciones: cuota inicial equivalente al 25% del precio de contado y seis cuotas uniformes con vencimiento cada 30 días. La tasa efectiva mensual es del 5% sobre el saldo deudor. Solución:
La cuota inicial es el 25% de $10 000 = 2 500; y el saldo a financiar es P = $7 500; con este importe podemos plantear una ecuación de valor equivalente igualándola con los flujos de caja futuros X, descontados con la tasa efectiva mensual del 5% tantos períodos como sean necesarios. Planteada la igualdad se obtiene la respuesta despejando de ella la incógnita X. 7500 = X(1,05-1) + X(1,05-2) + X(1,05-3) + X(1,05-4) + X(1,05-5) + X(1,05-6) 7500 = 5,075692067X X = 1477.63
48. En el proceso de adquisición de una maquinaria se han recibido las siguientes propuestas: a) Al contado por S/. 10 000. b) Al crédito con una cuota inicial de S/. 4 000 y seis cuotas mensuales de S/. 1 100 ¿Qué opción aceptaría usted si el costo del dinero es del 4% efectivo mensual y no tiene restricciones de capital? Solución: Formando una ecuación de valor equivalente en el momento 0 para evaluar la propuesta b) podemos comparar a valor presente ambas propuestas.
,
Dado que la evaluación es de costos, el criterio de decisión será el menor de los costos, en el presente caso; la propuesta b).
49. En la fecha una empresa se dispone a pagar una deuda de S/. 5000 vencida hace tres meses y otra deuda de S/. 2000 que vencerá dentro de dos meses. Las deudas vencidas generan una tasa efectiva anual del 36% y las deudas vigentes generan una tasa nominal anual del 24% con capitalización trimestral. ¿Qué importe deberá cancelar la empresa? Solución: El importe a cancelar en el momento 0 es la sumatoria de los flujos ubicados en los momentos -3 y 2; el primero capitalizado 3 periodos y el segundo descontado dos periodos.
5 000
2 000 i = 36% anual
-3
-2
-1
i = 6% trim 0 P=?
1
n = 2 meses
P = 5 000(1,363/12) + 2 000(1,06-2/3) P = 7 323,31
50. ¿Cuánto tiempo debe transcurrir para que los intereses generados por un capital sean iguales al mismo capital colocado a una tasa del 5% de interés efectivo mensual? Rp. 14,2066 meses = 14 meses y 6 días.
