Fundamentos de Transferencia de Masa Fenómenos de Transporte
Martha Guadalupe Velázquez Pérez 27 de Enero de 2011
NOMBRE DE LA ALUMNA: Martha Guadalupe Velázquez Pérez
PROFESORA: Dra. Julia Griselda Cerón Bretón
MATERIA: Fenómenos de Transporte
TEMA: Fundamentos de Transferencia de Masa
Cd. del Carmen, Campeche a 27 de Enero de 2011.
Índice
Introducción
La transferencia de masa por difusión molecular es el tránsito de masa como resultado de una diferencia de concentración en una mezcla. Existen numerosos ejemplos cotidianos de transporte de materia: la difusión de humo y otros contaminantes en la atmósfera; la transferencia de soluto entre las fases de un absorbedor de gas, un extractor o en una torre de enfriamiento; la mezcla del azúcar en un pocillo de tinto; el secado de la ropa (difusión del vapor de agua en el aire); el intercambio de oxígeno - gas carbónico en los pulmones. Supongamos un cristal de permanganato de potasio en un vaso con agua. Las moléculas disueltas del cristal difunden lentamente desde la región de alta concentración en el fondo, tendiendo a convertir uniforme la concentración (Proporcional a la intensidad del color) con el tiempo. Este tipo de difusión se debe al movimiento errático de las moléculas y se denomina difusión molecular. De otra parte, la corriente de humo que sale desde una chimenea en un día con mucho viento, el humo se dispersa en la atmósfera debido a las fluctuaciones de velocidad y dirección del viento: se llama Dispersión o Difusión Turbulenta. Ahora, así como en el transporte de calor, el transporte de masa puede ocurrir tanto por difusión como por convección, esta última representa el transporte de masa que resulta del movimiento global del fluido y la primera el transporte debido a gradientes de concentración. De nuevo, como en transporte de calor, el transporte convectivo de masa consiste de dos tipos: convección forzada, en la que el movimiento es generado por una fuerza externa, y convección libre, un efecto de flotación en el cual el movimiento global se desarrolla naturalmente como consecuencia de cambios de densidad originados en las diferencias de concentración del medio.
Definiciones Básicas:
La difusión es más compleja que el flujo viscoso o la transmisión de calor debido a la innovación de tener que operar con mezclas. En una mezcla que difunde las velocidades de los componentes individuales son distintas y existen varios métodos adecuados para promediar las velocidades de los componentes con el fin de obtener la velocidad local de la mezcla. La elección de esta velocidad local es necesaria para poder definir las velocidades de difusión. Por lo tanto debemos estudiar con detalle las definiciones de concentraciones, velocidades y densidades de flujo. Adoptamos una regla de notación: cuando se consideran sistemas de dos componentes se especifican las especies A y B. En sistemas de varios componentes se especifican las especies 1, 2, 3, etc., o bien en las discusiones generales se utiliza un subíndice supuesto tal como i, j, k para referir las diferentes especies. Las fórmulas cuya validez se limita a sistemas binarios se identifican fácilmente porque intervienen los subíndices A y B. Concentraciones: La concentración de las especies en un sistema de varios componentes puede expresarse de diversas formas pero nosotros consideramos sólo las cuatro siguientes: •
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Concentración másica volumétrica ρ i que es la masa de la especie i por unidad de volumen de solución. Concentración molar c i = ρi/Mi (densidad molar) que es el número de moles de la especie i por unidad de volumen de solución. M i, peso molecular de la especie i. Fracción másica wi = ρi/ρ es la concentración de masa de la especie i dividida por la densidad total de la solución. Fracción molar x i = ci/c que es la concentración molar de la especie i dividida por la concentración molar de la solución. Frecuentemente usaremos y i en el caso de gases. Para el caso que sea aplicable la ley de los gases perfectos, las presiones parciales son también una medida de la concentración: P T = pA + pB; P TV = nRT; pAV = nART; pBV = nBRT; pA/P T = nA/ (nA + nB) = yA. Aquí n indica número de moles.
Mediante la palabra solución se designa una mezcla gaseosa, líquida o sólida que forma una sola fase. Para el caso de sistemas binarios la mutua relación de estas unidades de concentración es:
ρ = ρ A + ρB = densidad de la solución (masa/volumen de solución) ρ A = c AM A (masa de A/volumen de solución) w A = ρ A / ρ = fracción de masa de A. M = ρ /c peso molecular medio de la mezcla x A + x B = 1; w A + wB = 1; x AM A + x BMB = M = w A /M A + wB /MB = 1/M = ( ρ A / ρM A ) + ( ρB / ρMB ) = (c A+cB )/ ρ = c/ ρ x A = (w A /M A )/(w A /M A + wB /MB ); dx A /dw A = [M AMB(w A /M A + wB /MB )2 ]−1 w A = (x AM A )/(x ); dw A /dx A = M AMB(x AM A + x BMB )−2 AM A + x BMB
Primera Ley de Fick
Para definir algunos de los términos usados en el estudio de la difusión consideremos un ejemplo simple y de geometría similar al usado en las otras formas de transporte. Dos placas grandes se colocan a una distancia b, pequeña en comparación con las otras dimensiones de la placa. El aire entre ambas está inicialmente seco y permanece libre de corrientes. En el momento t = 0 la placa inferior se humedece completamente en un líquido (digamos agua) y así se mantiene para asegurar que la película de fluido adyacente a la misma conserve una concentración uniforme de vapor del líquido e igual al de saturación a la temperatura y presión del sistema. La placa superior está constituida de un material fuertemente adsorbente (sílica - gel si el vapor es de agua) que garantice que la película de fluido vecina a la placa superior permanece a concentración cero. A medida que transcurre el tiempo la humedad penetra en la película gaseosa hasta que alcanza la placa superior y eventualmente pasado un espacio de tiempo suficientemente grande alcanza el estado estacionario donde el perfil de concentraciones no cambiará más con el tiempo (ver figura 2.1b). En el experimento que nos ocupa para la película gaseosa completamente estancada se ha encontrado que: [moles de A/tiempo.área] Aquí DAB, la propiedad de transporte, es la difusividad másica de la especie A a través de la especie B. Esta ecuación es una forma simplificada de la primera ley de Fick de la difusión, que mantiene su validez para soluciones binarias diluidas de densidad constante, y que nos dice que la difusión molecular es proporcional al gradiente de concentraciones y que ocurre en el sentido en el cual decrece este. Un análisis riguroso basado en la termodinámica de los procesos irreversibles muestra que el gradiente de potencial correcto no es el
gradiente de concentraciones sino el gradiente de potencial químico y que, para mezclas multicomponentes, deben incluirse los gradientes de las otras especies en la ecuación. Sin embargo se acostumbra asumir para mezclas multicomponentes que la especie B representa todos los componentes diferentes de A.
Para el caso en el cual se presentan gradientes de concentración en más de una dirección podemos expresar la ley de Fick haciendo uso del operador nabla:
J A* = − D AB ∇( Densidades de flujo: Supongamos un fluido puro que es transportado por un conducto circular de área transversal A. Su caudal puede expresarse como Q’ = vA en unidades de longitud al cubo por unidad de tiempo, donde v es la velocidad másica promedio y A es el área seccional del conducto. El caudal másico se expresa como m' = ρQ’ con dimensiones de masa por unidad de tiempo. Podemos definir entonces la densidad de flujo másico referido a ejes estacionarios como: n = m’/ A = ρv [masa/tiempo.área] Si pensamos ahora que el fluido está constituido por dos especies A y B, la densidad de flujo másico de la mezcla podría definirse simplemente como n = n A + nB
La velocidad de un objeto único es intuitivamente clara. La velocidad de un conjunto de partículas que se mueven pero mantiene la misma posición relativa entre ellas es la misma de cualquier partícula individual. Pero la velocidad de este conjunto se vuelve confusa si las partículas se mueven con velocidades diferentes, que es lo que ocurre en una mezcla que presenta gradientes de concentración o sea que difunde. Si llamamos v A a la velocidad de la especie A con respecto a ejes coordenados estacionarios (la palabra velocidad no expresa aquí la velocidad de una molécula individual de la especie A sino la suma de las velocidades de las moléculas de esta especie comprendidas en un pequeño elemento de volumen, dividido por el número de dichas moléculas). Por lo tanto, la velocidad másica media para una especie de la mezcla de dos componentes podría definirse como: vA = nA /ρ A = NA/cA donde NA = nA/MA es la densidad de flujo molar de la especie A. En resumen: n = nA + nB = ρAvA + ρBvB = ρv y también: v = n/ρ = (n A + nB)/(ρ A + ρB) = (ρAvA + ρBvB)/ρ = wAvA + wBvB Si consideramos el flujo de las moles más bien que el de la masa podemos definir similarmente una velocidad molar media para la mezcla: v* = N/c = (NA + NB)/(cA + cB) = (cAv + cBv)/c = xAvA + xBvB otras relaciones son: (v − v*) = wA(vA − v*) + wB(vB − v*) (v* − v) = x A(vA − v) + xB(vB − v) Observamos pues que las densidades de flujo son magnitudes vectoriales que representan la masa (o los moles) de una especie que cruzan la unidad de área por unidad de tiempo. El movimiento puede estar referido a unas coordenadas estacionarias, pero también puede estar referido a un plano que avance a la velocidad media local molar v* o másica v. Estas últimas pueden definirse como densidades de flujo superpuestas al flujo global o densidades de flujo difusionales: JA* = cA(vA − v*)
que es la densidad de flujo molar relativa a la v*, muy usada en difusión ordinaria, y jA = ρ A(vA − v) conocida como la densidad de flujo de masa del componente A con respecto a unos ejes que se mueven a la velocidad v, muy usado en la difusión térmica. También podemos definir jA* = JAMA o densidad de flujo másico referida a la v*, y JA = jA/MA denominada densidad de flujo molar referido a la v.
EJEMPLO 1. Cómo están relacionados J A* y NA?.
Solución.
* N A = c Av A ; J A = c A(v A − v*) ; v* = x Av A + x Bv B * J A = c Av /c)(c Av ) = N A − x ) A − (c A A + cBv B A(N A + NB * O sea: N A = J A + x AN
Esto implica que el flujo molar de A con respecto a los ejes fijos es el flujo con respecto a la velocidad molar promedio más el flujo de A causado por el flujo global relacionado a v* o sea N. Podemos observar también que: * J A* = N A − x AN; JB = NB − x BN * * J A + JB = N − (x A + x B )N = 0 es decir J A* = − JB*
lo que nos indica que la suma de las densidades molares de difusión relativas a la velocidad media molar en cualquier mezcla es cero. En general: Σni = ρv = n ; Σ ji = 0 ; ji = ni — win ΣNi = cv* = N ; Σ Ji* = 0 ; Ji* = Ni − x iN Hacemos resaltar el hecho de que en general una densidad de flujo tiene un aporte difusional y uno convectivo, y que en el caso de la transferencia de masa, mientras la densidad de flujo total N, sea diferente de cero, existirá una contribución por arrastre c Av* o ρ Av según el caso. En general tratándose de difusión en líquidos sin flujo convectivo neto, o en sólidos, este término puede despreciarse. No así en gases estancados donde omitirlo puede introducir serios errores en la estimación de los perfiles y las densidades de flujo.
Balances de materia: El tema de fenómenos de transporte está íntimamente ligado con la predicción de variaciones de temperatura, concentración y/o velocidad dentro de un medio. Para obtener estos perfiles se utilizan dos conjuntos de ecuaciones: (1) Ecuaciones de balance o conservación y (2) Ecuaciones de velocidades o de densidades de flujo. Recordemos que el balance general para un sistema es: [Velocidad de salida ] − [Velocidad de entrada] + [Velocidad de acumulación = [Velocidad de generación] o abreviadamente: Salida − Entrada + Acumulación = Generación. El sistema se define como la porción de universo bajo estudio. El resto del universo son los alrededores. El sistema puede ser una cantidad específica de materia o de volumen (frecuentemente llamado volumen de control). La velocidad de entrada se refiere a todo el flujo dentro del sistema (de la cantidad involucrada) a través de los límites del sistema, y la velocidad de salida se refiere a todo flujo que deje el sistema a través de sus límites. La diferencia de la segunda menos la primera es la velocidad neta de salida. La velocidad de generación se refiere a toda producción dentro del sistema, y la velocidad de acumulación se refiere a la velocidad de cambio con el tiempo de la cantidad total de masa, energía o cantidad de movimiento en el sistema y puede ser positivo o negativo. Las ecuaciones de balance pueden aplicarse al sistema como un todo (balances globales o macroscópicos), a un incremento (balance incremental), o a un elemento diferencial (balance diferencial). Las ecuaciones como la anterior son también denominadas leyes de conservación.
EJEMPLO 2. Se está llenando un tanque con un líquido que fluye con caudal másico m1’, kg/s. Al mismo tiempo el líquido sale a razón de m 2’, kg/s. El área transversal del tanque es S y la altura del nivel del líquido en el tanque en cualquier momento t es z (ver figura 2.2). Al aplicar la ecuación de balance al líquido dentro del tanque observamos que la velocidad de generación es cero puesto que no se produce masa dentro
del tanque; pero la velocidad de acumulación no será cero a menos que m1’ = m2’ o sea que las magnitudes de los caudales hacia y desde el tanque sean iguales. Si tal fuera el caso tendríamos una situación de estado estable puesto que no hay cambio en la cantidad de líquido en el tanque con el tiempo.
Sin embargo, si suponemos que la cantidad entrando m1’ es mayor que la cantidad que sale m 2’, el nivel del líquido en el tanque cambiará con el tiempo a medida que el tanque se llena y la velocidad de acumulación será mayor que cero. Si la masa total del sistema es M y la densidad de líquido es ρ, la velocidad de acumulación es:
y el balance global es entonces:
EJEMPLO 3. Supongamos ahora que ocurre una reacción química homogénea dentro del tanque el cual permanece bien agitado, de tal manera que puede considerarse velocidad de reacción uniforme dentro del mismo. Denominemos A la especie producida en la reacción, y su velocidad de producción por unidad de volumen es Φ A (masa de A por unidad de volumen y unidad de tiempo). Entonces la velocidad de generación será Φ A⋅V, donde V es el volumen de fluido en el tanque. Supongamos que la corriente que entra contiene una pequeña cantidad de A de tal manera que la velocidad másica de entrada de A es m’A1. Si m’A2 representa la velocidad de salida de la especie A, la ley de conservación para la especie A será:
salida − entrada + acumulación = generación. En el ejemplo 2 no podía haber generación puesto que la masa total debe conservarse; pero si una reacción química está ocurriendo dentro del líquido y produciendo la especie A la generación no es cero y la masa de A no se conserva. En este último caso debemos distinguir entre el término de generación y el término de entrada siendo éste la cantidad que atraviesa los límites del sistema y el otro la generación de A ocurriendo en cada punto dentro del sistema.
EJEMPLO 4. Fluye agua dentro de un tanque bien agitado a 150 lb./hr, se agrega cloruro de sodio a 30 lb/hr. La solución resultante deja el tanque a 120 lb/hr; debido a la agitación la concentración de la solución de salida es igual a la del tanque. Hay 100 lb. de agua pura en el tanque al comenzar la operación, y los caudales de entrada y salida se mantienen constantes posteriormente. Calcule la concentración de salida (fracción másica de sal) después de una hora.
Solución. NaCl = A; 1 = entrada; 2 = salida. Un balance para el componente A:
Donde MA = M⋅wA siendo M la masa total dentro del tanque en cualquier momento t, y m’ A = m’⋅wA:
usando un balance total:
de donde M = 60t + M 0 ; M0 = 100 lb. Remplazando en (i) y separando variables se obtiene:
despejando y simplificando:
para t = 1 hr, w A2 = 0.126 = 12.6 % en peso de NaCl. Para t ⇒ ∞, wA2 ⇒ 1/6.
EJEMPLO 5. Tratamiento de una corriente residual. Una corriente fluida de velocidad volumétrica de flujo constante Q’ se vierte en un río. La corriente contiene un material residual A de concentración cA0, que es inestable y se descompone con una velocidad proporcional a la concentración, de acuerdo con la expresión Φ A = − kV⋅cA [mol A /t. L3] ; kV [t−1] Con el fin de reducir la contaminación, se ha decidido hacer pasar el fluido a través de un tanque de retención, de volumen V, antes de verterlo al río. En el instante cero, el fluido entra en el tanque vacío con caudal volumétrico Q’. El líquido en el tanque puede considerarse que está perfectamente agitado, y no sale de él hasta que el tanque está totalmente lleno. Deduzca una expresión para la concentración de A en el tanque, y en la corriente que sale de él en función del tiempo.
Solución. En el período 0 ≤ t ≤ V/Q’ durante en el cual el tanque se está llenando, un balance molar macroscópico de la especie A da:
M A = Q’ ⋅t ⋅c A: cantidad de moles totales de A en el tanque en cualquier instante.
de donde MA = (Q’⋅cA0/kv) [1 − exp(−kv⋅t)] y (cA/cA0) =
[1 − exp(−kv⋅t)]/(kv⋅t) para t ≤ V/Q’
Cuando t = V/Q’, cA = cAf que es la concentración para el instante en que el tanque se llena: (cAf /cA0) = [1 − exp(−k v⋅V/Q’)]/(kv⋅V/Q’) Luego de que el tanque se llena tendremos:
Cuando t ⇒ ∞, cA = cA∞ = constante y [QcA0 − (Q + kv⋅V)cA∞] ⇒ 0 En el límite cA∞ = [Q’cA0 / (Q’ + kv⋅V)]
Transferencia de masa por difusión unidireccional Película plana estancada: Retornando a la figura 2.1, encontramos una situación en la cual hay flujo por difusión molecular, de la especie A, entre los planos ubicados en z = 0 y z = b. La geometría corresponde claramente a la de la figura 1.9 en transferencia de calor. Si ha transcurrido suficiente tiempo, las concentraciones entre los dos planos opuestos no cambiaran más con el tiempo. El análisis de este sistema puede hacerse retomando la ecuación de continuidad para la especie A, ecuación (1.7) en términos de flujos molares por tratarse de una mezcla gaseosa a presión y temperatura constantes. Para determinar perfiles de concentración y/o densidades de flujo el balance se hace en un elemento diferencial de volumen. Sabiendo que m Az = NAz.Az [mol A/t]:
Con
teniendo presente que en este caso dV = A z dz con A z constante:
Haciendo cero los términos que no intervienen de acuerdo con las condiciones del sistema (estado estable ∂c A / ∂t = 0; no hay reacción química homogénea: ΦD = 0; solo hay gradientes de concentración en la dirección z). Se reduce a dN Az /dz = 0 o sea N Az constante.
Recordando que la densidad de flujo de la especie A en un medio donde hay gradientes de concentración consta de dos términos N Az = J* Az * + c A v z donde el primero representa la cantidad de A que se desplaza por unidad de área y unidad de tiempo en la dirección que decrece la concentración y el segundo término indica la cantidad de A desplazado por unidad de área y unidad de tiempo gracias al movimiento general del fluido. Reemplazando la ley de Fick y la definición de v *, queda N Az = − D AB(dc A /dz) + y A(N Az + NBz ). Necesitamos información adicional sobre la relación entre N A y NB (podemos suprimir el subíndice z sabiendo que sólo hay transporte en esta dirección). Analizando el modelo físico que estamos estudiando observamos que B no puede cruzar a través del plano ubicado en z = 0. En este caso, aunque existe gradiente de concentración de B (porque si en z = 0, yA es mayor que y A en z = b, entonces en z = 0, y B deberá ser menor que y B en z = b, puesto que yA + yB = 1 para cualquier valor de z), NB = 0, o sea que la velocidad con que es transportado por arrastre global en la dirección z positiva iguala la velocidad de difusión en sentido contrario, o dicho de otra manera, su gradiente de concentración se mantiene por la fricción intermolecular entre A y B. Reemplazando esta condición de no - difusión de B y despejando NA obtenemos:
Para gases ideales c es constante a P T y T dadas y DAB puede considerarse independiente de la concentración. Reemplazando en el balance y dividiendo por −cD AB:
Las condiciones límite son: Para z = 0: y A = y ) AS; y BS = (1 – y AS Para z = b: y A = y ) AG; y BG = (1 − y AG Integrando: y ln(1 – yA) = C1z + C2 Para evaluar C 1 y C2 con las condiciones límite: − ln(1 – y AS ) = C1 (0) + C2 − ln(1 − y ) = C1 b + C2 AG
Realizando las transformaciones necesarias hallamos que C1 = [1/b][ln(y BS /y BG )] ; C2 = − ln y BS De lo anterior:
Usando la ecuación anterior podemos hallar la concentración media de A o de B entre 0 ≤ z ≤ b. Por ejemplo la concentración media de B será:
Dado que:
Ahora para saber la velocidad a la que la especie A es transferida a través de un plano dado perpendicular a z basta con calcular N A en un plano cualquiera. Para z = 0:
Esta expresión hubiera podido obtenerse sin determinar el perfil de concentraciones, aprovechando que N A es constante, separamos variables e integramos entre los límites. Esta misma situación física se puede obtener con un modelo denominado la "celda de Arnold", consistente en un tubo estrecho lleno parcialmente con un líquido puro A, y mantenido a presión y temperaturas constantes. Por el extremo superior del tubo se hace fluir un gas B, prácticamente insoluble en el líquido A e inerte químicamente
con respecto a los vapores de A. El nivel del líquido A dentro de la celda se mantiene artificiosamente constante.
El líquido A pasa a la fase vapor y difunde a través de la columna de B que permanece estancado por no ser soluble en A. El sistema a considerar es la película gaseosa comprendida entre la superficie del líquido y la boca del tubo. Inmediatamente sobre la superficie líquida se puede tomar la concentración de la especie A en la fase gaseosa, yAs, como la de equilibrio con el líquido de la interfase, es decir, que es la relación entre la presión de vapor de A a la temperatura del sistema y la presión total, suponiendo que A y B forman una mezcla gaseosa ideal. Para z = b la composición de la corriente gaseosa se mantiene constante para que y AG se mantenga constante y conocida, e igual a la presión parcial de la sustancia A en dicha corriente, sobre la presión total de sistema, que ya dijimos es constante. Con el tiempo se alcanza un perfil de concentraciones constante y la situación es en todo concordante con la contemplada en la figura 2.1, y el tratamiento matemático será el mismo.
Los resultados anteriores se han utilizado para la determinación experimental de difusividades gaseosas. De otra parte estos resultados se aplican también en la "teoría de película" para la transferencia de materia. En la figura 2.4 se presenta un gas fluyendo a lo largo de la superficie de un sólido o de un líquido. En las proximidades de la superficie existe una capa que se mueve lentamente (efecto de frenado) a través de la cual difunde A; en esta teoría o modelo se supone que existe una transición brusca entre una película estancada y un fluido totalmente mezclado en el que los gradientes de concentración son despreciables. Por lo tanto toda la resistencia a la difusión desde la superficie hasta la corriente principal de gas se asume que está en una película estancada de espesor constante, z F ficticio. Aunque este modelo no es real desde el punto de vista físico, ha resultado, sin embargo, muy útil como base de correlación de los coeficientes de transferencia de materia convectivos a partir de una representación física sencilla. De hecho, si por analogía con la llamada ley de Newton del enfriamiento, según la cual, la transferencia de calor por convección desde una superficie caliente a temperatura T S hacia sus alrededores a temperatura T f se puede expresar como q = h(T S – T ) podríamos f reescribir la ecuación (2.4) en términos de una fuerza motriz característica de concentración (y AS – y ) multiplicándola y dividiéndola AG por (y AS – y ) = [(1 – y AG ) − (1 – y AS )] y reconociendo que: AG
Obtenemos entonces:
Obsérvese que hemos reemplazado b = z F, la longitud del camino de difusión. La ecuación anterior tiene la forma característica de la ley de Newton del enfriamiento, donde k y sería el coeficiente convectivo de transferencia de masa, y la fuerza guía es (y AS – y ). AG Dependiendo de si esta fuerza guía se encuentra en otras unidades de concentración cambiará el subíndice del coeficiente convectivo y, respectivamente, sus dimensiones y unidades. Así por ejemplo si la fuerza guía se expresa en función de concentraciones molares, tendremos N A = k C(c AS − c AG ) = ck C⋅(y AS – y ) siendo c la AG concentración molar total. Observamos entonces que ck C = k y . Si multiplicamos la ecuación anterior para NA por el peso molecular de A, MA, obtenemos n A = k ρ( ρ AS − ρ AG ), densidad de flujo másica con fuerza guía expresada en concentraciones másicas volumétricas. Se puede concluir fácilmente que k C = k ρ. Para el caso en el que se presente contradifusión equimolecular, NAz + NBz = 0, al reemplazar en la primera ley de Fick obtenemos:
para NA constante, separamos variables e integramos a lo largo del camino de difusión z F para obtener:
k’y es el tipo de coeficiente que se usa en este caso. Difiere claramente de k y que resulta fuertemente dependiente de la concentración a través de yBML. Un tipo de coeficiente independiente de la concentración se obtiene para casos generales en estado estable, manipulando la ley de Fick de la siguiente manera: N A = − D ABc(dy A /dz) + y A(N A + NB ) ⇒ [N A − y A(N A + NB )]dz = − D ABc⋅dy A
integrando y reorganizando obtenemos:
Aquí R A es la relación entre N A /(N A + NB ) y se hace uno para NB = 0. Esta expresión sirve para introducir la definición del coeficiente tipo F, utilizado cuando las concentraciones son altas. Tanto F como z F requieren de análisis posteriores para su determinación. Reacción química heterogénea no instantánea: Considere la reacción 2 A → A2 en un reactor catalítico. La reacción en la superficie catalítica no es instantánea sino proporcional a la concentración de A en esa superficie. Halle el flujo molar de A. En la superficie NAS = c''1k A = cx''1k A siendo k1 la constante de velocidad de reacción.
A debe difundir a través de una película de fluido que rodea la partícula de catalizador, y por cada dos moléculas de A que se mueven en la dirección positiva del eje de las zetas contradifunde una molécula del dímero A 2. Por tanto, en el estado estable, N Az = −2NA2z y aplicando la primera ley de Fick a este sistema binario obtenemos:
Reorganizando:
Realizando un balance de materia para un elemento diferencial de espesor dz encontramos que
Integrando una vez:
Integrando nuevamente:
CL1: En z = 0,
x A = x AG
; CL2: En z = δ, x /c 'k1 A = N Az
Sustituyendo la primera:
Sustituyendo la segunda:
Despejando:
Reemplazando los valores de las constantes obtenemos:
Multiplicando todos los términos por los logaritmos llegamos a:
y utilizando las propiedades de
Extrayendo logaritmos nuevamente para obtener
Reemplazando en la expresión para
Si
con
entonces:
Para y suficientemente pequeño puede tomarse solo el primer término de esta serie de Taylor así:
Otras Condiciones Límite : En el caso anterior la relación entre las densidades de flujo NA y NB fueron obtenidas a partir de la estequiometría de la reacción. En otros casos es necesario analizar cuidadosamente el modelo físico para determinar esta relación.
