PRACTICA 7
MÁXIMA TRANSFERENCIA DE POTENCIA EN CIRCUITOS DE CORRIENTE ALTERNA. OBJETIVO. Comprobar experimentalmente la aplicación del teorema de máxima transferencia de potencia, a los circuitos de corriente alterna.
CONSIDERACIONES TEÓRICAS. El teorema de máxima transferencia de potencia, en circuitos de corriente alterna, establece que: “Una “Una fuen fuente te prop propor orci cion onar aráá la pote potenc ncia ia má máxi xima ma a un unaa carg carga, a, cuan cuando do la impedancia de la carga sea el conjugado de la impedancia de la fuente o del circuito equivalente de Thévenin de la red, excluyendo la carga. Así, en símbolos de algebra compleja, tenemos, *
Z CARGA = Z TH Ω
(1)
para la condición de máxima transferencia de potencia. El símbolo * significa el conjugado del número complejo. Esto es, para la condición de máxima transferencia de potencia, nuestro circuito deberá consistir de un circuito equivalente de Thévenin conectado a una carga de un valor tal que sea el conjugado de la impedancia de Thévenin. El arreglo de este circuito se muestra en la figura 1.
Z1=ZTH Z2
E
ZCARGA=ZTH
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119
PRACTICA 7
FIGURA 1. CIRCUITO PARA LA MÁXIMA TRANSFERENCIA DE POTENCIA, EN CORRIENTE ALTERNA
En el circuito de la figura 1, E y Z 1, son a tensión de la fuente y la impedancia de ella, o bien la impedancia equivalente de Thévenin en el caso de tener una red de dos puertos más complicada antes de llegar a la carga. Supongamos que la impedancia de la carga es, Z 2 = R2 + jX 2
y que es de tal naturaleza que se pueden variar en forma individual sus características. Para determ determina inarr sus valores valores de resist resistenc encia ia y reacta reactancia ncia que hacen hacen que la transf transfere erenci nciaa de potencia de la fuente a la carga sea máxima, seguiremos segu iremos el procedimiento siguiente: La impedancia total del circuito será igual a, Z = Z1 + Z 2 = ( R1 + R2 ) + j ( X1 + X2 = Z ∠ θ )
de donde, Z
=
( R1
+ R 2
)2
+
( X 1
+
X 2 )
2
La intensidad de corriente en el e l circuito será igual a,
r E I= Z Considerando como referencia a la tensión tenemos.
r
I =
E
( R1 + R2 ) + ( X1 + X 2 ) 2
2
∠ − θ
de donde, I
E
=
( R1 + R2 ) 2 + ( X 1 + X 2 ) 2
La potencia tomada por la carga será igual a: 2
P2 = R2 I =
R2 E 2 2
2
( R1 + R2 ) + ( X1 + X 2 )
(2) (2)
Considerando que la carga es variable, entonces las únicas variables de la ecuación 2 son X y R , por lo que para determinar el valor máximo de la potencia, derivaremos la ecuación 2 con respecto a estas dos variables, y enseguida determinaremos los valores que hacen que estas derivadas sean igual con cero. 2
2
Derivando la ecuación 2 con respecto a X tendremos que: 2
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120
PRACTICA 7
∂ P 2 − 2( X 1 + X 2 ) 0 = R2 E 2 = 2 2 2 ∂ X 2 [( R1 + R2 ) + ( X 1 + X 2 ) ]
Para que la derivada sea igual a cero es necesario que, X 2
(3)
X 1
= −
Derivando la ecuación 2 con respecto a R 2 tendremos que,
(
)
2 2 2 2 2 E R1 − R2 + E X 1 + X 2 = = ∂ R2 2 2 2 R1 + R2 + X 1 + X 2
∂ P 2
[(
(
)
(
)
)
]
0
Para que esta ecuación sea igual con cero, es necesario que, R1
=
(4)
R2
Por lo tanto, la máxima transferencia de potencia se logra cuando las partes reactivas de las impedancias Z y Z se anulan y sus componentes reales son iguales. Las ecuaciones números (3) y (4) se pueden combinar en una sola expresión, esto es, 1
2
Z =Z 2
*
1
Ecuación que concuerda con la denominada 1. Desde la perspectiva de la fuente, o del circuito equivalente de Thévenin, la impedancia total del circuito, para obtener la máxima transferencia de potencia es, Z M
*
= Z TH + Z CARGA = Z TH + Z TH
De la ley de la suma de los números complejos, tenemos * Z TH + Z TH =
2 ℜ [ Z TH ]
Ω
Esto es, para la máxima transferencia de potencia, la impedancia del circuito es una resistencia pura de un valor igual al doble de la resistencia de la fuente, o del circuito equivalente de Thévenin.
EJEMPLO: Determinar las características de la carga con la que se obtiene la máxima transferencia de potencia, en el circuito de la figura 2 y la potencia máxima correspondiente.
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PRACTICA 7
Z1 FIGURA 2
Las impedancias de las ramas del circuito son iguales a: Z = 10.0 ∠ 0.0 Ω 1
Z = R2 − jX = R2 − j 2
= 20.0 − j
C
1 2π fC
1 = 20.0 − j 132.6 = 134.1∠ − 81.4° Ω 2π × 60 × 20 × 10 6 −
Z = j X = j 2π fL = j 2π × 60 × 2 = j 754 = 754∠ 90.0° Ω 3
L
La tensión de Thévenin será igual a,
r
r
r
r Z 2
VTH = VAB = VCD = E
Z1 + Z 2
Tomando como referencia la tensión de la fuente, tenemos que,
r
VTH =
120.0 ∠ 0.0° × 134.1∠ − 81.4° = 118.3 ∠ − 4.2° V 10.0 ∠ 0.0° + 134.1∠ − 81.4°
La impedancia de Thévenin será igual a, ZTH = Z 3 + = 754 ∠ 90.0° +
Z1Z 2 Z1 + Z 2
10.00 ∠0.0° × 134.1 ∠ − 84.1° = 753 ∠ 89.3°Ω 10.00 ∠0.0° + 134.1 ∠ − 84.1°
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PRACTICA 7
Quedando el circuito como se muestra en la figura 3.
FIGURA 3.
De donde la impedancia de la carga que hace que se tenga la máxima transferencia de potencia será igual a, * = 753.3∠ − 89.3° = 9.87 − j 753 Ω Z Mc arg a = ZTH
La cual está formada por un resistor con una resistencia de 9.20 Ω y una reactancia capacitiva de 753 Ω la cual equivale a un capacitor con una capacitancia igual a C=
1
=
2π fX
C
1 6 = 3.52 × 10 F = 3.52 µ F 2π × 60 × 753 −
La corriente en el circuito, cuando se tiene la condición de máxima transferencia de potencia es igual a,
r
I =
E
2 × R
TH
=
118.3 ∠ − 4.2 = 6.016 ∠ − 4.17° A 2 × 9.87∠ 0.0
De aquí que la potencia tomada por la carga, en condiciones de máxima transferencia de potencia sea igual a, PMc arg a = RMc arg a I 2 = 9.87 × 6.522 = 354.48 W
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PRACTICA 7
GUIA DE LA PRÁCTICA. APARATOS Y ACCESORIOS EMPLEADOS.
Fuente de corriente alterna variable de 60 Hz
Dos vóltmetros de corriente alterna de alta impedancia (Multímetros digitales)
Resistor variable de 11 pasos, con multiplicador de X10 Ω
Resistor variable de 11 pasos, con multiplicador de X100 Ω
Inductor con núcleo de hierro recto ajustable, con derivación de 3000 vueltas, RL = 130 Ω , L = 703 mH.
Capacitor fijo de 10
Desconectador de un polo un tiro
Un tablero de conexiones.
µ
F ± 10 %
CALCULOS INICIALES. Antes de iniciar la práctica, calcule las caídas de tensión en el inductor, capacitor, resistor y la combinación del resistor y el capacitor, la corriente y la potencia activa tomada por la carga, del circuito de la figura 4. Considerando que la resistencia del resistor R varía de 20 en 20 Ω , desde 0 hasta 400 Ω , incluyendo el valor de 130 Ω . Anote los valores obtenidos en la tabla 1. 1
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124
PRACTICA 7
FIGURA 4.
TABLA 1. RESULTADOS DE LOS CÁLCULOS PARA OBTENER LAS CAÍDAS DE TENSIÓN Y LA CORRIENTE EN LOS ELEMENTOS DEL CIRCUITO DE LA FIGURA NÚMERO 4 E = 10.0 V
RESISTENCIA DE CARGA R 1 [ ] 0.0
CORRIENTE I [mA]
CAÍDAS DE TENSIÓN, [V] INDUCTOR CAPACITOR RESISTOR COMBINACIÓN
VIND
VC
VR
VC –R 1
POTENCIA ACTIVA, P [mW]
20 40 60 80 100 120 130 140 160 180 200 220 240 260 280 300 320
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PRACTICA 7
340 360 380 400
Observe si los elementos suministrados soportan las tensiones y corrientes calculadas.
PROCEDIMIENTO. 1. Medición de las resistencias con Multímetro en función de Óhmetro.
Forme una sola unidad con los resistores variables de X100 y X10. Mida sus resistencias en pasos de 20 en 20 Ω , hasta 400 Ω , también incluya el valor correspondiente al de la resistencia nominal del inductor (130 Ω ). Anote los valores obtenidos en la tabla 2. Mida la resistencia del inductor y anótela en la tabla 2. 2. Ajuste de la resistencia del inductor.
Forme un circuito como el mostrado en la figura 5.
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PRACTICA 7
FIGURA 5. CIRCUITO PARA REALIZAR LA PRÁCTICA
Coloque el resistor RES en un valor igual con el valor nominal de la resistencia del inductor (130 [Ω ]). Cierre el desconectador DES y ajuste la indicación del vóltmetro de la fuente a exactamente 10.0 [V]. Desplace el núcleo de hierro del inductor hasta que las indicaciones de los vóltmetros del inductor VMIND y del vóltmetro de la combinación capacitor-resistor VMCR sean iguales. Abra el desconectador DES.
TABLA 2. LECTURAS. RESISTOR DE CARGA [ ] NOMINAL MEDIDO R In R Im
CAÍDAS DE TENSIÓN, [V] INDUCTOR CAP-RES RESISTOR VMIND VMCR VMR1
0.0 20 40 60 80 100 120 130 140 160 180 200 220 240 260 280 300 320 340 360 380
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PRACTICA 7
400
INDUCTOR
VALOR NOMINAL:
[H]
VALOR MEDIDO:
[H]
3. Medición de las caídas de tensión. 3.1.
3.2.
Lleve el resistor RES a un valor igual con cero. Cierre el desconectador DES y ajuste la indicación del vóltmetro de la fuente a exactamente 10.00 V. Tome las lecturas de los vóltmetros VMIND y VMCR y anótelas en la tabla 3. Mida la caída de tensión del resistor RES, colocando el vóltmetro VMCR entre los puntos 3 y 4, anote el valor obtenido en la tabla 2. Aumente el valor del resistor RES en 20 Ω , y repita el procedimiento de medición anterior.
3.3.
Repita el paso 3.2 hasta llegar a 120 Ω
3.4.
Lleve el valor del resistor RES a 130 Ω y repita el procedimiento de medición ya descrito.
3.5.
Lleve el valor del resistor RES a 140 Ω y repita el procedimiento de medición ya descrito.
3.6.
Repita el paso 3.2 hasta llegar a 400 Ω .
4. Cálculos.
Con los valores medidos de las resistencias de carga y sus caídas de tensión, calcule las potencias activas tomadas por la carga, las corrientes en el circuito, las reactancias de la carga y del inductor, así como sus impedancias. Anote los valores obtenidos en la tabla 3. Calcule los valores medios de las resistencias y a partir de ellos determine los valores medios de la inductancia del inductor y la capacitancia del capacitor. Anote los valores obtenidos en la tabla 3. 5. Gráficas. Trace la gráfica potencia activa-resistencia de carga del circuito. Tomando como abscisas los valores de la resistencia de carga y como ordenadas los valores de la potencia activa. Trace las gráficas, en una sola hoja, de las tensiones en el inductor y las tensiones en el conjunto capacitor-resistencia de carga, contra la resistencia de carga, tomando como abscisas los valores de la resistencia de carga y como ordenadas los de las tensiones.
CONCLUSIONES
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PRACTICA 7
Se deben analizar minuciosamente los resultados obtenidos para compararlos con los esperados. Comentar si se cumplen los objetivos de esta práctica. Así como la facilidad o dificultad del manejo de los aparatos. Discutir las anormalidades, si es que las hubo, durante el desarrollo de la práctica, así como cualquier otra observación relevante.
TABLA 3. RESULTADOS DE LOS CÁLCULOS. R I = Lmed =
[ ] [mH]
X Imed = C med =
RESISTOR POTENCIA CORRIENTE I R1m P CG [mW] [mA] [ ]
[ ] [μF]
X Cmed =
[ ]
INDUCTOR ZIND [ ]
X L
[ ]
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CARGA ZCG [ ]
X CG
[ ]
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BIBLIOGRAFÍA 1. Boylestad Robert L. Análisis introductorio de circuitos. Agustín Contín. Traducción del inglés de la obra de Robert L. Boylestad, Introductory Circuit Análisis. Ciudad de México, México: Editorial Trillas S.A. de C.V. 1990. 2. Edminister Joseph E. Teoría y problemas de Circuitos Eléctricos. Julio Fournier González. Traducción del inglés de la obra de Joseph E. Edminister, Shaum’s Outline of Electric Circuits . Ciudad de México, México: Libros McGraw-Hill de México, S.A. de C.V. 1986. 3. González Aguilar Fernando, introducción al Anáisis de Circuitos. Ciudad de México, México: editorial Limusa, S.A. de C.V. 1987. 4. Hayt William H. y Kemmerly Jack E. Análisis de Circuitos en Ingeniería. Rodolfo Bravo y Marcia González Osuna. Traducción del inglés de la obra de William H. Hayt Jr. Y Jack E. Kemmerly, Engineering Circuit Analysis. Ciudad de México, México: McGraw-Hill / Interamericana de México, S.A. de C.V. 1993 5. Jonson David E. y varios. Análisis básicos de Circuitos Eléctricos. Virgilio González Pozo. Traducción del inglés de la obra de David E. Jonson, John L. Hilburn y Johnny R. Johnson, Basic Electric Circuit Análisis. Ciudad de México, México. Prentice-Hall Hispanoamericana, S.A. 1991. 6. Ras Oliva Enrique. Teoría de los Circuitos, Fundamentos. Barcelona, España: Marcombo Boixareu Editores. 1988. 7. Scott Donald E. Introducción al Análisis de Circuitos, un enfoque sistémico. Rafael Sanjurjo Navarro. Traducción del inglés de la obra de Donald E. Scott, An introduction to Circuit Análisis: A Systems Approach. Madrid, España: McGraw-Hill/Interamericana de España, S.A.. 1989.
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130
PRACTICA 7
8. Van Valkenburg M. E. Análisis de Redes. Hortensia Corona Rodríguez. Traducción del inglés de la obra de M. E. Van Valkenburg Network Análisis. Ciudad de México, México: Editorial Limusa, S.A. de C.V. 1991.
INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERIA MECÁNICA Y ELÉCTRICA DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA ELÉCTRICA ACADEMIA DE ELECTROTECNIA
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“HOJAS DE CAMPO”
PRÁCTICA 7 MÁXIMA TRANSFERENCIA DE POTENCIA EN CIRCUITOS DE CORRIENTE ALTERNA.
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PRACTICA 7
NOMBRE: PROFESORES: BOLETA: ING.: GRUPO: ING.: SUBGRUPO: ING.: SECCIÓN: CALIFICACIÓN: FECHA: MÁXIMA TRANSFERENCIA DE POTENCIA EN CIRCUITOS DE PRÁCTICA 7 CORRIENTE ALTERNA. LABORATORIO DE HOJA DE DATOS ORIGINALES. DIAGRAMAS ELÉCTRICOS. ANÁLISIS DE CIRCUITOS ELÉCTRICOS II NOMBRE: BOLETA GRUPO SUBGRUPO SECCIÓN FECHA FIRMA PROF.
INDUCTOR
INT.
FUSIBLE
L= 703 mH
R I = 130.0
CAPACITOR
C= 10
F
E E=10.00 V
f = 60 Hz RESISTOR
R 1= 130.0
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132
PRACTICA 7
FIGURA 4.
MÁXIMA TRANSFERENCIA DE POTENCIA EN CIRCUITOS DE CORRIENTE ALTERNA. HOJA DE DATOS ORIGINALES. DIAGRAMAS ELÉCTRICOS. NOMBRE: BOLETA
GRUPO
SUBGRUPO
PRÁCTICA 7 LABORATORIO DE ANÁLISIS DE CIRCUITOS ELÉCTRICOS II
SECCIÓN
FECHA
FIRMA PROF.
VMI
INT.
FUSIBLE
F
R 1
L
I
2
IND. CAP
E
VM
C-R
3 VM
E=10.00 V
RES R
f = 60 Hz
X100
1
X10
4
N
FIGURA 5. CIRCUITO PARA REALIZAR LA PRÁCTICA.
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133
PRACTICA 7
MÁXIMA TRANSFERENCIA DE POTENCIA EN CIRCUITOS DE CORRIENTE ALTERNA. HOJA DE DATOS ORIGINALES. CÁLCULOS INICIALES. NOMBRE: BOLETA
GRUPO
SUBGRUPO
SECCIÓN
PRÁCTICA 7 LABORATORIO DE ANÁLISIS DE CIRCUITOS ELÉCTRICOS II FECHA
FIRMA PROF.
TABLA 1. RESULTADOS DE LOS CÁLCULOS PARA OBTENER LAS CAÍDAS DE TENSIÓN Y LA CORRIENTE EN LOS ELEMENTOS DEL CIRCUITO DE LA FIGURA NÚMERO 4. E=10.00 V RESISTENCIA DE CARGA, R 1 [ ]
CORRIENTE I
[MA]
CAÍDAS DE TENSIÓN , [V] INDUCTOR CAPACITOR RESISTOR COMBINACIÓN VIND VC V1 VC-R1
POTENCIA ACTIVA, P [MW]
0.0 20.0 40.0 60.0 80.0 100.0 120.0 130.0 140.0 160.0 180.0 200.0 220.0 240.0 260.0 280.0 300.0 320.0 340.0 360.0 LABORATORIO DE ANÁLISIS DE CIRCUITOS ELÉCTRICOS II
134
PRACTICA 7
380.0 400.0
MÁXIMA TRANSFERENCIA DE POTENCIA EN CIRCUITOS DE CORRIENTE ALTERNA. HOJA DE DATOS ORIGINALES. TABLA DE LECTURAS. NOMBRE: BOLETA
GRUPO
SUBGRUPO
SECCIÓN
PRÁCTICA 7 LABORATORIO DE ANÁLISIS DE CIRCUITOS ELÉCTRICOS II FECHA
FIRMA PROF.
TABLA 2. LECTURAS.
RESISTOR DE CARGA, NOMINAL R 1n 0.0 20.0 40.0 60.0 80.0 100.0 120.0 130.0 140.0 160.0 180.0 200.0 220.0 240.0 260.0 280.0 300.0 320.0 340.0 360.0 380.0 400.0
MEDIDO R 1m
CAÍDAS DE TENSIÓN, V INDUCTOR VMI
INDUCTOR VALOR NOMINAL: :
CAR-RES VMCR
RESISTOR VMR1
[H] VALOR MEDIDO:
LABORATORIO DE ANÁLISIS DE CIRCUITOS ELÉCTRICOS II
[H]
135
PRACTICA 7
MÁXIMA TRANSFERENCIA DE POTENCIA EN CIRCUITOS DE CORRIENTE ALTERNA. HOJA DE DATOS ORIGINALES. DIAGRAMAS FÍSICOS. NOMBRE: BOLETA
GRUPO
SUBGRUPO
PRÁCTICA 7 LABORATORIO DE ANÁLISIS DE CIRCUITOS ELÉCTRICOS II
SECCIÓN
FECHA
FIRMA PROF.
FUENTE DE CORRIENTE ALTERNA 123456
ATF1
L1
L2
L3
ATF2
ATF3 PATITO1
V
A m A C OM V I
T
OUT
N
LABORATORIO DE ANÁLISIS DE CIRCUITOS ELÉCTRICOS II
136
PRACTICA 7
RESISTOR
INDUCTOR
RESISTOR
X10
X100 L 1000 VUELTAS
2000 VUELTAS
0
2000
0
VUELTAS
CAPACITOR
C = 10
F
MÁXIMA TRANSFERENCIA DE POTENCIA EN CIRCUITOS DE CORRIENTE ALTERNA. HOJA DE DATOS ORIGINALES. MEMORIA DE CÁLCULO NOMBRE: BOLETA
GRUPO
SUBGRUPO
SECCIÓN
PRÁCTICA 7 LABORATORIO DE ANÁLISIS DE CIRCUITOS ELÉCTRICOS II FECHA
LABORATORIO DE ANÁLISIS DE CIRCUITOS ELÉCTRICOS II
FIRMA PROF.
137
PRACTICA 7
MÁXIMA TRANSFERENCIA DE POTENCIA EN CIRCUITOS DE CORRIENTE ALTERNA. HOJA DE DATOS ORIGINALES. MEMORIA DE CÁLCULO NOMBRE: BOLETA
GRUPO
SUBGRUPO
SECCIÓN
PRÁCTICA 7 LABORATORIO DE ANÁLISIS DE CIRCUITOS ELÉCTRICOS II FECHA
LABORATORIO DE ANÁLISIS DE CIRCUITOS ELÉCTRICOS II
FIRMA PROF.
138
PRACTICA 7
MÁXIMA TRANSFERENCIA DE POTENCIA EN CIRCUITOS DE CORRIENTE ALTERNA. HOJA DE DATOS ORIGINALES. Resumen del Procedimiento experimental. NOMBRE: BOLETA
GRUPO
SUBGRUPO
SECCIÓN
PRÁCTICA 7 LABORATORIO DE ANÁLISIS DE CIRCUITOS ELÉCTRICOS II FECHA
LABORATORIO DE ANÁLISIS DE CIRCUITOS ELÉCTRICOS II
FIRMA PROF.
139
PRACTICA 7
MÁXIMA TRANSFERENCIA DE POTENCIA EN CIRCUITOS DE CORRIENTE ALTERNA. HOJA DE DATOS ORIGINALES. Cuestionario. NOMBRE: BOLETA
GRUPO
SUBGRUPO
SECCIÓN
PRÁCTICA 7 LABORATORIO DE ANÁLISIS DE CIRCUITOS ELÉCTRICOS II FECHA
LABORATORIO DE ANÁLISIS DE CIRCUITOS ELÉCTRICOS II
FIRMA PROF.
140
