FUNDAMENTOS DE TECNOLOGIA ELECTRICA GUMERSINDO QUEIJO GARCIA UNED

UNIDAD DIDÁCTICA

Fundamentos de Tecnología Eléctrica

GUMERSINDO QUEIJO GARCÍA

UNIVERSIDAD NACIONAL DE EDUCACIÓN A DISTANCIA

UNIDAD DIDÁCTICA (0163210UD01A02) FUNDAMENTOS DE TECNOLOGÍA ELÉCTRICA Quedan rigurosamente prohibidas, sin la autorización escrita de los titulares del «Copyright», bajo las sanciones establecidas en las leyes, la reproducción total o parcial de esta obra por cualquier medio o procedimiento, comprendidos la reprografía y el tratamiento informático, y la distribución de ejemplares de ella mediante alquiler o préstamo públicos. © Universidad Nacional de Educación a Distancia Madrid, 2009 Librería UNED: Bravo Murillo, 38 - 28015 Madrid Tels.: 91 398 75 60/73 73 e-mail: [email protected] © Gumersindo Queijo García ISBN: 978-84-362-5889-9 Depósito legal: M. 30.110-2010 Segunda edición: julio de 2009 Primera reimpresión: julio de 2010 Impreso en España - Printed in Spain Imprime: Fernández Ciudad, S. L. Coto de Doñana, 10. 28320 Pinto (Madrid)

ÍNDICE

Preámbulo .................................................................................................

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PARTE PRIMERA TEORÍA DE CIRCUITOS Tema 1. INTRODUCCIÓN Y CONCEPTOS GENERALES ....................................

17

1.1. 1.2. 1.3. 1.4.

Dipolo eléctrico ................................................................................. Corriente de un dipolo...................................................................... Diferencia de potencial entre los terminales de un dipolo ............. Potencia de un dipolo ....................................................................... a) Criterio receptor ........................................................................... b) Criterio generador ........................................................................ c) Medida de la potencia .................................................................. 1.5. Cortocircuito y circuito abierto .......................................................

17 19 20 22 23 23 24 25

Tema 2. COMPONENTES ELEMENTALES ..................................................... 2.1. Definición de circuito eléctrico........................................................ 2.2. Elementos activos ............................................................................. a) Fuente de tensión ......................................................................... b) Fuente de intensidad o de corriente............................................ 2.3. Elementos pasivos ............................................................................ a) Resistencia .................................................................................... b) Inductancia o bobina ................................................................... c) Condensador................................................................................. 2.4. Elementos activos. Modelos más próximos a la realidad...............

27 27 28 29 31 33 34 36 41 45

Tema 3. LEYES DE KIRCHHOFF ................................................................. 3.1. Definición de nudo y malla .............................................................. 3.2. Ley de nudos o 1.ª Ley de Kirchhoff ................................................

47 48 51

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FUNDAMENTOS DE TECNOLOGÍA ELÉCTRICA

3.3. Ley de mallas o 2.ª Ley de Kirchhoff ............................................... 3.4. Asociación de elementos pasivos ..................................................... a) Asociación de resistencias en serie: Divisor de tensión ............ b) Asociación de resistencias en paralelo: Divisor de intensidad .. 3.5. Asociación de elementos activos...................................................... a) Fuentes de tensión: Conexión en serie ........................................ b) Fuentes de tensión: Conexión en paralelo .................................. c) Fuentes de intensidad: Conexión en serie .................................. d) Fuentes de intensidad: Conexión en paralelo ............................. e) Asociación en paralelo de fuentes de tensión con elementos pasivos........................................................................................... f) Asociación en serie de fuentes de intensidad con elementos pasivos........................................................................................... 3.6. Conversión de fuente de tensión en fuentes de intensidad y viceversa ... 3.7. Ejercicios ...........................................................................................

53 58 59 61 63 63 64 64 65 65 66 67 70

Tema 4. ANÁLISIS DE CIRCUITOS LINEALES ................................................ 4.1. Método general ................................................................................. 4.2. Análisis de circuitos eléctricos utilizando el método de mallas .... 4.3. Análisis de circuitos eléctricos utilizando el método de nudos .... 4.4. Ejercicios de autocomprobación .....................................................

71 71 75 85 95

Tema 5. TEOREMAS FUNDAMENTALES DEL ANÁLISIS DE CIRCUITOS ............ 5.1. Principio de superposición............................................................... 5.2. Teorema de sustitución .................................................................... 5.3. Dipolo equivalente Thévenin y dipolo equivalente Norton ............ a) Cálculo del valor de la fuente de tensión del equivalente Thévenin ............................................................................................. b) Cálculo de la intensidad del circuito equivalente Norton ......... c) Cálculo de la resistencia de los equivalentes Thévenin y Norton .... d) Concordancia de los equivalentes Thévenin y Norton ............... 5.4. Ejercicios de autocomprobación .....................................................

99 100 104 105 106 107 107 109 118

Tema 6. MAGNITUDES SINUSOIDALES ......................................................... 6.1. Introducción...................................................................................... 6.2. Valor eficaz........................................................................................ 6.3. Notación compleja ............................................................................ 6.4. Leyes de Kirchhoff............................................................................

121 122 125 126 133

8

ÍNDICE

6.5. Notación compleja con valores eficaces .......................................... 136 6.6. Ejercicios de autocomprobación ..................................................... 137 Tema 7. COMPORTAMIENTO DE LOS ELEMENTOS IDEALES EN CORRIENTE ALTERNA ...................................................................................... 7.1. Resistencia....................................................................................... 7.2. Bobina ............................................................................................. 7.3. Condensador ................................................................................... 7.4. Impedancia Compleja..................................................................... a) Impedancia inductiva: Circuito RL serie.................................. b) Impedancia capacitiva: Circuito RC serie ................................ c) Admitancia ................................................................................. 7.5. Asociación de impedancias en serie: Divisor de tensión ............. 7.6. Asociación de Impedancias en paralelo: Divisor de intensidad ... 7.7. Circuito RLC serie........................................................................... 7.8. Análisis de circuitos en corriente alterna ...................................... a) Método general o aplicación de las leyes de Kirchhoff ........... b) Método de mallas ...................................................................... c) Análisis de circuitos eléctricos utilizando el método de nudos ......................................................................................... 7.9. Teoremas ......................................................................................... a) Principio de superposición ........................................................ b) Teorema de sustitución ............................................................. c) Dipolo equivalente Thévenin y Dipolo equivalente Norton..... 7.10. Ejercicios de autocomprobación ..................................................

166 167 168 172 172 172

Tema 8. POTENCIA EN CORRIENTE ALTERNA .............................................. 8.1. Potencia instantánea y activa consumida ....................................... 8.2. Potencia compleja............................................................................. 8.3. Potencia alterna en los elementos: Resistencia............................... 8.4. Potencia alterna en los elementos: Bobina...................................... 8.5. Potencia alterna en los elementos: Condensador ........................... 8.6. Potencia alterna en los elementos: Impedancia.............................. 8.7. Balance de potencias ........................................................................ 8.8. Factor de potencia ............................................................................

175 176 177 179 180 182 184 187 190

139 140 142 144 147 148 151 154 155 156 158 164 164 165

Tema 9. SISTEMAS TRIFÁSICOS .................................................................. 203 9.1. Definición .......................................................................................... 204

9


9.2. Circuitos trifásicos equilibrados ...................................................... 9.3. Valores de fase o simples y valores de línea o compuestos ............ a) Conexión en estrella ..................................................................... b) Conexión en triángulo.................................................................. 9.4. Solución de circuitos trifásicos equilibrados .................................. 9.5. Conversión estrella-triángulo ........................................................... 9.6. Ejercicios Sistemas Trifásicos..........................................................

208 209 211 214 216 222 225

Tema 10. POTENCIA EN SISTEMAS TRIFÁSICOS EQUILIBRADOS.................... 10.1. Potencia instantánea ...................................................................... 10.2. Potencia trifásica en función de los valores de fase ..................... 10.3. Potencia trifásica en función de los valores de línea o compuestos .. a) Conexión en Estrella .................................................................. b) Conexión en Triángulo .............................................................. c) Ejemplo....................................................................................... 10.4. Compensación del factor de potencia ........................................... a) ¿Por qué compensar el factor de potencia?.............................. b) Corrección del factor de potencia en un circuito monofásico .. c) Compensación del factor de potencia en un circuito trifásico. Batería de condensadores conectada en TRIÁNGULO ........... d) Compensación del factor de potencia en un circuito trifásico. Batería de condensadores conectada en ESTRELLA .............. e) Ejemplo....................................................................................... 10.5. Medida de la potencia en sistemas trifásicos ................................ 10.6. Ejercicios de autocomprobación ...................................................

229 229 230 231 232 233 234 237 237 241 243 245 246 247 253

PARTE SEGUNDA MÁQUINAS ELÉCTRICAS E INSTALACIONES Tema 11. PRINCIPIOS GENERALES DE LAS MÁQUINAS ELÉCTRICAS.............. 11.1. Introducción.................................................................................... 11.2. Definiciones .................................................................................... 11.3. Clasificación general de las máquinas eléctricas ......................... 11.4. Elementos constructivos básicos: Núcleo ferromagnético: estator, rotor. Arrollamientos ..................................................................... a) Colector de delgas y el colector de anillos ................................

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269 269 270 275 275 278

ÍNDICE

11.5. Balance energético y rendimiento. Pérdidas en el cobre, en el hierro y mecánicas .............................................................................. a) Potencia asignada o nominal ................................................... b) Rendimiento ............................................................................... 11.6. Valores nominales y placa de características ............................... Tema 12. TRANSFORMADORES ................................................................... 12.1. Introducción.................................................................................... 12.2. Constitución y formas constructivas ............................................ 12.3. Transformador ideal ...................................................................... 12.4. Magnitudes referidas ..................................................................... 12.5. Circuito equivalente del transformador real ................................ a) Análisis de un transformador, despreciando su rama en paralelo .............................................................................................. 12.6. Ensayos de vacío y cortocircuito .................................................. a) Ensayo de vacío ......................................................................... b) Ensayo de cortocircuito............................................................. 12.7. Funcionamiento en carga: Caída de tensión interna. Rendimiento y regulación ....................................................................... 12.8. Transformadores trifásicos ............................................................ a) Índice horario ............................................................................ b) Condiciones de conexión en paralelo de transformadores...... 12.9. Ejercicios ......................................................................................... Tema 13. MÁQUINAS ASÍNCRONAS .............................................................. 13.1. Introducción ................................................................................. 13.2. Constitución física ....................................................................... 13.3. Campo magnético giratorio. Principio de funcionamiento ....... 13.4. Circuito equivalente simplificado ............................................... 13.5. Ensayo en cortocircuito................................................................ 13.6. Ensayo en vacío ............................................................................ 13.7. Curvas características .................................................................. 13.8. Balance de potencias ................................................................... 13.9. Arranque de motores de inducción trifásicos: Arranque directo. Arranque por autotransformador. Arranque estrella-triángulo. Arranque mediante resistencias rotóricas .................................. 13.10. El motor monofásico ................................................................... 13.11. Descripción de otros tipos de máquinas eléctricas.....................

281 282 283 284 285 285 286 287 289 290 292 294 295 297 300 301 301 302 302 307 307 308 310 312 315 317 319 323

323 325 326

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Tema 14. PROTECCIONES ELÉCTRICAS EN LAS INSTALACIONES DE BAJA TENSIÓN .................................................................................... 14.1. Introducción ................................................................................... 14.2. Generalidades ................................................................................. 14.3. Elementos con función de mando y maniobra ............................ a) Interruptores ............................................................................. b) Contactor ................................................................................... c) Disyuntores o interruptor de corte automático ...................... d) Seccionador ............................................................................... 14.4. Elementos de protección ............................................................... a) Fusibles ...................................................................................... b) Relé y disparador ...................................................................... 14.5. Tipos de distribución del neutro.................................................... a) Neutro a Tierra sistema TT ....................................................... b) Puesta a tierra esquemas TN .................................................... c) Neutro aislado. Sistema IT ....................................................... 14.6. Protección contra contactos directos ........................................... 14.7. Protección contra contactos indirectos ........................................

335 335 336 339 339 340 341 342 343 343 343 346 348 348 351 352 353

Tema 15. INSTALACIONES ELÉCTRICAS ....................................................... 15.1. Introducción ................................................................................... 15.2. Distribución en Baja Tensión ........................................................ 15.3. Instalaciones receptoras en Baja Tensión: .................................... 15.4. El conductor.................................................................................... 15.5. Cálculo de las secciones de los conductores eléctricos ................ 15.6. Esquema general de una instalación ............................................. 15.7. Instalaciones individuales .............................................................. 15.8. Facturación de energía eléctrica en Baja Tensión ....................... a) Complemento de Discriminación horaria ................................ b) Energía reactiva ......................................................................... c) Complemento de estacionalidad ............................................... d) Complemento de interrumpibilidad .........................................

355 355 356 356 357 358 365 367 368 370 371 372 372

Bibliografía ............................................................................................... 375 Anexo I. Leyenda de tipos de instalación recogidos en la Tabla 2.4.... 377 Anexo II. Álgebra de números complejos.............................................. 379 Anexo III. Relación de tarifas básicas con los precios de sus términos de potencia y energía ........................................................... 383 Anexo IV. Trigonometría........................................................................ 385

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PREÁMBULO

Este libro corresponde con el temario de la asignatura Fundamentos de Tecnología Eléctrica de la titulación de Ingeniero Técnico Mecánico de la Universidad a distancia. Al ser la única asignatura de «electricidad» que se imparte en esta titulación se ha diseñado un temario «largo y estrecho», es decir el espectro es muy amplio. Incluyen desde las leyes de Kirchhoff hasta una visión resumida de las instalaciones eléctricas. Como para tan largo temario la duración es de un sólo cuatrimestre se ha simplificado mucho todo el análisis: se han eliminado técnicas de análisis, se han simplificado los posibles casos, y se han eliminado muchas demostraciones, por lo que el alumno (o el lector en general) «se ha de creer» muchas de las cosas que aseguramos en este texto. No obstante, incluimos la final algunos textos de referencia en el que el lector puede encontrar con mayor exactitud y precisión todo lo que damos por supuesto, y para mayor simplicidad, en este texto. La asignatura se compone de dos partes claramente diferenciadas cuyo orden seguiremos en este libro. • Teoría de circuitos. • Máquinas eléctricas e Instalaciones. Desarrollaremos cada grupo por separado aunque será necesario que el alumno domine la teoría de circuitos antes de comenzar con el resto del temario ya que a la hora de redactar los apartados de máquinas eléctricas e instalaciones hemos supuesto que hay un dominio de la parte de teoría de circuitos.

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PARTE PRIMERA

TEORÍA DE CIRCUITOS

TEMA 1

INTRODUCCIÓN Y CONCEPTOS GENERALES

1.1. Dipolo eléctrico 1.2. Corriente de un dipolo 1.3. Diferencia de potencial entre los terminales de un dipolo 1.4. Potencia de un dipolo a) Criterio receptor d) Criterio generador c) Medida de la potencia 1.5. Cortocircuito y circuito abierto.

En esta sección del libro nuestro principal objetivo es el dominio de las técnicas de análisis del circuito y el conocimiento de qué es lo que está pasando en cada elemento de un circuito eléctrico y saber, con más o menos detalle, el porqué está pasando. Para su mejor conocimiento partiremos de lo más sencillo a lo más difícil, así comenzaremos con el análisis en corriente continua para el que describiremos las técnicas de análisis generales, que luego extrapolaremos a la corriente alterna. Y por fin veremos cómo gestionar la corriente trifásica.

1.1. DIPOLO ELÉCTRICO La electricidad y, en general, el electromagnetismo está contenida en todos los ámbitos de nuestra actuación y en la propia naturaleza como la electricidad estática, la actividad neuronal, o los rayos son algunos de los ejemplos... La explicación del electromagnetismo la dio Maxwell, mediante el planteamiento de cinco ecuaciones. No obstante para el ámbito de aplicación de

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Terminal 2 Terminal 1 Terminal 3

Terminal i

Terminal n

uij

iK

V

A

Terminal k

Terminal j

Figura 1. Multipolo (n-polos).

esta asignatura nos quedaremos con los desarrollos simplificados de los grandes genios del siglo XIX. Además utilizaremos su notación, en la que se suponía que la electricidad era un desplazamiento de las cargas positivas. Hoy nos enseñan desde pequeños que es una corriente de electrones. Pues este concepto lo tomaremos como axioma. Así nuestros fenómenos serán descritos por corrientes eléctricas que circulan por elementos con unos terminales de acceso y entre los que se somete o produce una determinada diferencia de tensión, potencial o voltaje, como mejor lo queramos definir. En la figura 1 se muestra un circuito eléctrico genérico al que se accede desde muchos cables. Esta formación se le llama multipolo (un número grande de terminales o polos) en este multipolo se definen los siguientes conceptos: Diferencia de potencial o tensión uij entre los terminales i y j, es el trabajo que se realiza dentro de un campo eléctrico, sobre la unidad de carga positiva para transportarla desde el punto i al punto j. Se mide con un aparato llamado voltímetro y sus unidades son los voltios [V] La intensidad de corriente eléctrica ik es la cantidad de carga eléctrica que pasa a través de una sección en una unidad de tiempo. La unidad en el

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Sistema internacional de unidades es el amperio [A} y se mide mediante un aparato llamado amperímetro. Cada circuito eléctrico se puede dividir en elementos más pequeños y, en general, sólo con dos terminales de acceso. Esta estructura se llama dipolo y se define como algo que tiene dos terminales (o polos) por los que puede circular una intensidad. En la figura 2 se dibuja un dipolo con dos terminales A y B. Este dipolo lo caracterizaremos por la corriente que lo circula i y por la tensión entre sus terminales u. u i A

B

Figura 2. Dipolo.

1.2. CORRIENTE DE UN DIPOLO Ya definimos en el apartado anterior la corriente eléctrica y sus unidades, ahora, con el fin de poder resolver los circuitos se ha de definir para cada corriente un sentido. En el ejemplo de la figura 3, el dipolo tiene dos terminales y hemos definido dos intensidades iA e iB: iA es entrante al dipolo e iB saliente del dipolo (ya veremos posteriormente como iA ha de ser igual a iB, para que se cumpla el segundo principio de la termodinámica de conservación de la energía). u iB

iA A

B

Figura 3. Corriente en un dipolo.

El sentido de circulación de la corriente se elige de forma arbitraria. Una vez elegido nos fijará su relación con el resto de intensidades y de tensiones. Si la corriente real pasa en el sentido elegido previamente, su resultado nos dará un número positivo, o negativo si realmente circula en sentido contrario.

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Para medir la corriente eléctrica utilizamos un aparato llamado amperímetro que lo representaremos según la figura 4, y por el que ha de circular la intensidad que queremos medir. Este aparato lo consideraremos ideal y, por tanto no influirá en absoluto en el circuito (como si no estuviese).

i A

Figura 4. Esquema de un amperímetro.

1.3. DIFERENCIA DE POTENCIAL ENTRE LOS TERMINALES DE UN DIPOLO Como ya definimos anteriormente, el trabajo producido por el paso de unas cargas a través de un dipolo, se traduce en una diferencia de potencial entre los terminales de dicho elemento. Así, si el dipolo de la figura 5, absorbe una energía eléctrica de 1 julio cuando pasa entre A y B una carga de un culombio, se produce entre A y B una diferencia de potencial de 1 V, o lo que es lo mismo, el potencial eléctrico del punto A (VA) es superior en 1 V al potencial eléctrico del punto B (VB). En la misma figura 5 se muestra la «perdida de potencial en el elemento». VA

u iA

VB

VA A

B

u =VA -VB VB

Figura 5. Diferencia de potencial entre el terminal A y el terminal B.

Si lo que ocurre es que el elemento (dipolo) de la figura 1.6 suministra una energía de 1 julio, cuando la carga pasa un culombio de A a B, se producirá un aumento del potencial eléctrico de 1 V. Por tanto, el potencial eléctrico del punto A (VA) es inferior en 1 V al potencial eléctrico del punto B (VB). En la misma figura 6 se muestra la «ganancia de potencial en el elemento».

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VB

u iA

VB

VA A

u =VB –VA VA

B

Figura 6. Diferencia de potencial entre el terminal A y el terminal B.

Por tanto, cuando el elemento absorbe o consume energía, el potencial del terminal de entrada de la corriente es superior al de salida; por el contrario cuando el elemento suministra o genera energía, el potencial del terminal de entrada de corriente es inferior al del terminal de salida. Al igual que hicimos con la corriente, en general es necesario definir un sentido de la diferencia de potencial o tensión entre los terminales de un dipolo. La forma de especificar este sentido se realiza o bien mediante una flecha o con la combinación de símbolos (+/–). El sentido de referencia asignado será, en el caso de utilizar una flecha el punto extremo de la fecha para el punto de menor potencial, o en caso de utilizar la notación (+/–) el (+) se lo pondremos al terminal que le vamos a asignar un mayor potencial y el símbolo (–) al de menor potencial. Como en el caso de la intensidad, asignar el sentido de referencia es necesario para analizar la interacción de la tensión del dipolo con el resto de tensiones del circuito y con las intensidades. Al haber hecho esta asignación de forma arbitraria, el resultado numérico puede ser positivo (hemos acertado con el sentido real) o negativo (pues realmente es el contrario). En la figura 7 se indican dos formas habituales de representar la caída de tensión en un dipolo.

A

u

A

u

B B

Figura 7. Tensión en los terminales de un dipolo.

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En la figura 7 se indican dos formas habituales de representar la caída de tensión en un dipolo. (a)

(b) A

u

V

V

B

Figura 8. Esquema de un voltímetro [a] y su conexión [b].

La tensión entre dos terminales se mide con la ayuda de un aparato de medida llamado voltímetro cuya representación se muestra en la figura 8, y que ha de estar conectado a los dos puntos cuya diferencia de potencial queremos medir. Este aparato lo consideraremos ideal y, por tanto no influirá en absoluto en el circuito (como si no estuviese).

1.4. POTENCIA DE UN DIPOLO Según la definición de diferencia de potencial o tensión entre dos terminales de un dipolo la energía absorbida —consumida— o suministrada —generada— en un dipolo dW, si llamados a dq la carga que atraviesa el dipolo debido a una diferencia de potencial u,

dW = u ⋅ dq = p ⋅ dt Llamando p a la potencia aplicada y dt al tiempo en el que circula la dq y, teniendo en cuenta que la intensidad que circula por un dipolo es:

i=

dq dt

Sustituyendo en la expresión de la energía, obtendremos finalmente el valor de la potencia p.

22


  p = u⋅ i dW = u ⋅ dq = u ⋅ i ⋅ dt  dW = p ⋅ dt

Las unidades de la potencia son los vatios [W], aunque en corriente alterna se dispone además de otras unidades, los Voltiamperios [VA] y los Voltiamperios reactivos [VAr], que definiremos más tarde. Para saber si el producto de u i corresponde con una potencia y energía absorbida por el dipolo o suministrada por el dipolo, se han de tener en cuenta los sentidos de referencia asignados a la intensidad y a la tensión del dipolo, según se especifica en los siguientes subapartados:

a) Criterio receptor En este caso, los sentidos de referencia de tensión e intensidad se representan en la figura 9. u

u

i

i A

B

A

B

Figura 9. Criterio receptor.

Con los sentidos de referencia elegidos para la tensión e intensidad, el resultado obtenido del producto u · i será siempre la potencia consumida o absorbida por el dipolo. Como sea que los valores de u e i han sido seleccionados de forma arbitraria el resultado numérico real de la potencia consumida puede ser negativo, lo que significaría que estamos ante un elemento generador de potencia.

b) Criterio generador Decimos que consideramos el criterio generador si los sentidos de referencia de tensión e intensidad elegidos son los que se muestran en la figura 10.

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u

u

i

i A

B

A

B

Figura 10. Criterio generador.

Con los sentidos de referencia elegidos para la tensión e intensidad, el resultado obtenido del producto u · i será siempre potencia suministrada o generada por el dipolo. De nuevo, como sea que los valores de u e i han sido seleccionados de forma arbitraria el resultado numérico real de la potencia generada puede ser negativo, lo que significaría que estamos ante una carga, un elemento que consume potencia.

c) Medida de la potencia La medida de la potencia real [W] se realiza mediante un aparato llamado vatímetro. Como la potencia es el producto de la tensión por la intensidad, el vatímetro ha de medir tensión e intensidad, así dispone de 4 terminales dos para la intensidad y dos para la tensión. Por tanto, se colocará de forma que los terminales de intensidad midan la intensidad que deseamos medir, y se colocarán los terminales de tensión para medir la tensión que queremos medir. En la figura 11 se muestra el esquema de es un vatímetro y cómo se conecta. Terminales para medir intensidad W W

W W

Terminales para medir tensión

A

i

u

B

Figura 11. Esquema de un vatímetro y forma de conexión.

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Al igual que el amperímetro y el voltímetro, el vatímetro ideal es un elemento que no introduce ninguna modificación en el sistema que ha de ser resuelto como si no existiera.

1.5. CORTOCIRCUITO Y CIRCUITO ABIERTO Cuando entre dos terminales de un circuito no existe elemento de unión se dice que están en circuito abierto. En la figura 12 se muestra como no hay una conexión directa entre los terminales A y B, por tanto se dice que están a circuito abierto. Como ya comprobaremos posteriormente entre A y B NO CIRCULARÁ intensidad ninguna es decir, las intensidades. iA = iB = 0 A ATENCIÓN: Del hecho de que las dos intensidades sean nulas NO SE PUEDE DEDUCIR NUNCA que la tensión del potencial del punto A (VA) sea igual al potencial eléctrico del punto B (VB), de hecho lo normal es que haya diferencia de potencial entre los dos puntos y, por tanto, aparezca una tensión entre los terminales a circuito abierto. Un ejemplo de circuito abierto es un enchufe que si bien la intensidad no sale del enchufe si hay tensión (por lo que recomendamos no tocar los dos terminales de un circuito abierto).

iA

A

u

iB

B

Figura 12. Circuito abierto.

Cuando dos terminales de un circuito están unidos mediante un cable ideal (un elemento sin resistencia) se dice que están en cortocircuito. La figura 13 muestra un dipolo con los terminales A y B cortocircuitados.

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En este caso, lo que se produce es que el potencial del punto A (VA) se hace igual al potencial eléctrico del punto B (VB), y por tanto no hay tensión entre ellos. ATENCIÓN: Del hecho de que la tensión entre A y B sea nula NO SE PUEDE DEDUCIR NUNCA que la intensidad que circula entre A y B sea nula. De hecho hay QUE TENER MUCHÍSIMO CUIDADO AL CORTOCIRCUITAR DOS TERMINALES PORQUE SE PUEDEN PRODUCIR UNAS CORRIENTES ELEVADÍSIMAS QUE DAÑEN LAS INSTALACIONES.

iA

A

u=0V

iB

B

Figura 13. Cortocircuito.

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TEMA 2

COMPONENTES ELEMENTALES

2.1. Definición de circuito eléctrico 2.2. Elementos activos a) Fuente de tensión b) Fuente de intensidad o de corriente 2.3. Elementos pasivos a) Resistencia b) Inductancia o bobina c) Condensador 2.4. Elementos pasivos: modelos más próximos a la realidad

En esta sección se estudia la definición de circuito así como el comportamiento de los elementos ideales que lo constituyen: fuentes independientes y dependientes, resistencias, bobinas y condensadores. Para cada uno de ellos se indica su principio de funcionamiento, su constitución, su representación simbólica y la relación que liga la tensión o diferencia de potencial entre sus terminales y la intensidad que lo circula, lo que eléctricamente significa, analizar su comportamiento.

2.1. DEFINICIÓN DE CIRCUITO ELÉCTRICO Un circuito eléctrico es un sistema de conexiones entre diferentes elementos por los que puede circular electricidad. En la figura 14 se muestra un circuito en el que se representan varios elementos ideales y aparatos de medida.

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Figura 14. Circuito eléctrico.

2.2. ELEMENTOS ACTIVOS Se llaman elementos activos aquellos elementos capaces de generar electricidad, es decir, son fuentes de energía eléctrica. Tomando como base el principio de conservación de la energía, se puede afirmar que una fuente de energía eléctrica, es un elemento conversor de energía, es decir, tiene la capacidad de transformar la energía química, mecánica, térmica, solar... en energía eléctrica. Ejemplos de fuentes son: • Las pilas o baterías que convierten la energía química en eléctrica. • Los paneles fotovoltaicos que convierten la energía solar en eléctrica. • Los generadores que convierte la energía mecánica (básicamente) en eléctrica. En muchos casos las fuentes de energía pueden llegar a consumirla, es decir cambiar el sentido de conversión. Son ejemplo de ello, las pilas cuando se están cargando que convierten la energía eléctrica en química o algunos generadores eléctricos que actúan como motores produciendo energía mecánica a partir de la electricidad consumida. Existen también multitud de casos que no son reversibles, como el de las pilas no recargables o los paneles fotovoltaicos, que no pueden producir energía solar. Los elementos activos se subdividen en fuentes de tensión y fuentes de intensidad, que a su vez se subdividen en elementos independientes o dependientes.

28


a) Fuente de tensión Se llama fuente de tensión ideal independiente a aquel elemento o dipolo que es capaz de imponer una diferencia de potencial entre sus terminales, o tensión de consigna, independiente de la corriente que la circule o del circuito al que esté conectada. La ecuación que caracteriza a este elemento es: u(t) = E(t) En donde u(t) es la tensión entre sus bornes en función del tiempo y E(t) es la tensión de consigna y corresponde con una expresión matemática. Los casos más característicos que nos podemos encontrar son fuente de tensión de corriente continua y de corriente alterna. En el primer caso E(t) = constante (por ejemplo el caso típico de una pila E(t) = 1,5 V) (figura 16a), y en el caso de la corriente alterna la función E(t) es senoidal del tipo E(t) = Esen100 πt (figura 16b). A

+

uAB

B

Figura 15. Fuente de tensión. (a) 2

(b)

u(t)

1,2

1,8

1

1,6

0,8

1,4

E(t) = 1,5 V

0,4

1

0,2

0,8

0

0,6

-0,2

0,4

-0,4

-0,4

tiempo

-0,6

0,2

-0,2

E(t) = sen 100 πt

0,6

1,2

0

u(t)

tiempo

-0,8 -1 -1,2

Figura 16. Ejemplos de fuentes de tensión continua (a) y alterna (b).

29


Los símbolos que utilizaremos a lo largo del curso serán los siguientes: +

+

+ --

Fuente de tensión genérica

Fuente de tensión continua

Fuente de tensión alterna

Figura 17. Símbolos representativos de las fuentes de tensión.

Como ya se ha comentado la intensidad que suministra una fuente de tensión depende del elemento al que esté conectado. IMPORTANTE

Una fuente de tensión ideal puede estar en circuito abierto, es decir con sus terminales al aire, sin conectarlos a ningún elemento, en ese caso no se produciría ninguna corriente de salida. Un cortocircuito se puede asimilar a una fuente de tensión de valor 0 V.

Una fuente de tensión ideal no se puede conectar a otra fuente de tensión ideal, ni se puede hacer un cortocircuito (conectar los dos terminales mediante un cable ideal), tal como se indica en la figura 18. En el caso de una fuente real tampoco se debe hacer porque se produciría una explosión.

A

A

+ +

+ +

+ + egl

B Fuente de tensión a circuito abierto

A

+ +

eg2

B Dos fuentes de tensión Ideales diferentes

B Una fuente de tensión cortocircuitada

Figura 18. Fuente de tensión en circuito abierto, en paralelo con otra fuente y en cortocircuito.

30


Se llaman fuentes de tensión dependientes aquellas fuentes de tensión cuyo valor de consigna depende de algún parámetro del sistema, es decir, de una tensión o una intensidad en algún punto del propio circuito. En la figura 19 se muestra un circuito en el que la fuente de tensión E1 depende de la tensión entre los terminales A y B del circuito. 10 Ω i1

A

C

+ +

I1 = 4 i1

+ E1 = 3 u1

5Ω

E1

u1

B

B

Figura 19. Circuito con una fuente de tensión (E1) y una fuente de intensidad (I1) dependientes.

b) Fuente de intensidad o de corriente Una fuente de corriente o intensidad independiente e ideal es un dipolo con capacidad de suministrar una intensidad determinada entre sus terminales independientemente del circuito al que esté conectada. Su símbolo se representa en la figura 20. En ella se marca mediante una flecha el sentido positivo de la intensidad que la define. ig B

Figura 20. Símbolo de una fuente de intensidad.

No existen símbolos diferentes para la corriente continua (CC) o corriente alterna (CA), como ocurría con las fuentes de tensión. De nuevo la ecuación que caracteriza la fuente de intensidad es: i(t) = I(t)

31


en donde i(t) es la intensidad entre sus bornes en función del tiempo y I(t) es una expresión matemática. Igual que en las fuentes de tensión, las de intensidad que nos podemos encontrar habitualmente son las fuentes de corriente continua y de corriente alterna. En el primer caso I(t) = constante (figura 21b), y en el caso de la corriente alterna la función I(t) es senoidal del tipo I(t) =I sen100πt (figura 21a).

1,2

i(t)

1

(a)

2

I(t) = sen 100 πt A

0,8

1,6

0,6

1,4

0,4

1,2

0,2

1

0

tiempo

-0,2

(b)

i(t)

1,8

I(t) = 1,5 A

0,8 0,6

-0,4

0,4

-0,6

0,2

-0,8

0

-1

-0,2

-1,2

-0,4

tiempo

Figura 21. Ejemplos de fuentes de corriente alterna (a) y continua (b).

En este caso la tensión que aparece en bornes de la fuente de intensidad dependerá del circuito al que esté conectado. Como ya se ha comentado la intensidad que suministra una fuente de tensión depende del elemento al que esté conectado. IMPORTANTE

Los terminales de una fuente de corriente continua pueden estar unidos entre sí o cortocircuitados. Un circuito abierto se puede analizar como una fuente de intensidad de corriente nula.

Una fuente de intensidad no puede dejarse en circuito abierto o conectada entre sus terminales a otra fuente de intensidad de diferente valor (en este caso se produciría una explosión).

Se llaman fuentes de intensidad dependientes aquellas fuentes de intensidad cuyo valor de consigna depende de algún parámetro del sistema, es decir, de una tensión o una intensidad en algún punto del propio circuito.

32


A

A

A

B

B

ig1

ig2

B Fuente de corriente cortocircuitada

Dos fuentes de corriente Ideales diferentes

Fuerte de corriente a circuito abierto

Figura 22. Fuentes de intensidad en cortocircuito, conectadas en serie y en circuito abierto.

En la figura 19 se muestra un circuito en el que la fuente de intensidad I1 depende de la intensidad que circula por la fuente de tensión dependiente E1 del circuito.

2.3. ELEMENTOS PASIVOS Se llaman elementos pasivos aquellos elementos que no son capaces de generar electricidad, es decir, son elementos que consumen energía o la almacenan. Los elementos que vamos a analizar son: resistencia, bobina y condensador. De cada elemento analizaremos su funcionamiento y la ecuación característica. Esta ecuación será una relación entre la tensión aplicada al elemento ideal y la intensidad que lo circula. Es importante reseñar que las relaciones entre tensión e intensidad en cada elemento, será positiva si la tensión y la intensidad van en el mismo sentido pero será negativa si la tensión y la intensidad van en sentido contrario. En la tabla 2.1 se muestran las cuatro posibilidades de definir los sentidos de tensión e intensidad y el signo de la relación. Este criterio de signos se seguirá en TODOS los elementos pasivos que vamos a desarrollar a continuación.

33


Tabla 2.1. Sentido de la relación tensión/ intensidad en los elementos pasivos en función del sentido definido de tensión e intensidad. A i

B

A

i

B Relación positiva tensión intensidad

u

A i

u

B

u

A i

B

Relación negativa tensión-intensidad

u

a) Resistencia La resistencia ideal es un dipolo que convierte toda la energía que consume en forma de calor, es una estufa. Representa físicamente la oposición a la circulación de la corriente de los materiales: cualquier material presenta una resistencia, los materiales que conducen bien la electricidad: cobre, aluminio... presentan valores de resistencia pequeños, mientras que los materiales que conducen mal la electricidad presentan grandes valores de resistencia. A estos últimos materiales se les llama aislantes, ya que se utilizan para aislar los elementos conductores del resto del mundo. De forma esquemática la resistencia se representa por el esquema indicado en la figura 23. La unidad de medida es el ohmio [Ω], tiene siempre un valor positivo1. La ecuación característica que liga la tensión y la intensidad en una resistencia es, teniendo en cuenta el criterio de signos de la figura 23

u(t ) = Ri(t ) Como dijimos en el apartado anterior, es importante reseñar que la relación entre tensión e intensidad en una resistencia, es positiva si la tensión

1

En algún caso raro en el que se simula un elemento por una resistencia esta podría tener un valor negativo, pero estos casos están exentos de nuestro curso y se considerará un error grave la asunción de una resistencia de valor negativo.

34


y la intensidad van en el mismo sentido, como se indica en la figura 23. En la tabla 2.2 se muestran las cuatro posibilidades de definir los sentidos de tensión e intensidad y las dos expresiones características de la resistencia que se pueden encontrar. El resultado final ha de ser un valor de R positivo. Este criterio de signos se seguirá en TODOS los elementos pasivos que vamos a desarrollar a continuación. R A

i

B

u

Figura 23. Representación simbólica de la resistencia y sentidos de referencia.

Tabla 2.2. Sentido de la relación tensión/ intensidad en la resistencia en función del sentido definido de tensión e intensidad. A i

R

R B

A

i

B u(t) = Ri(t) u

u

R A i

R B

A i

u(t) = –Ri(t)

B

u

u

La potencia consumida por una resistencia HA DE SER SIEMPRE POSITIVA.

Recordando la expresión de la potencia, y sustituyendo en ella la expresión que caracteriza la resistencia, obtenemos 2

p(t ) = u(t )i(t ) = R ( i(t )

2

)

( u(t)) = R

35


Obsérvese que la expresión de la potencia es función del cuadrado de la intensidad o de la tensión, por lo que efectivamente (independientemente del signo que hayamos asignado a la intensidad o a la tensión), SIEMPRE NOS DARÁ UN VALOR POSITIVO. La energía consumida por la resistencia es siempre positiva. En alguna ocasión se considera el parámetro inverso a la resistencia, que se define como CONDUCTANCIA o la facilidad que tiene un elemento para conducir la corriente, se representa por una G y su relación con la resistencia es:

1 Ω y, sus unidades son siemens [S] o [Ω–1] o [ ]. R Su ecuación característica es por tanto: i(t) = Gu(t).

G=

b) Inductancia o bobina La bobina ideal es un elemento pasivo que puede almacenar energía en forma de campo magnético. Está constituido por un conductor enrollado en forma de espiral, bien en el aire o bien sobre un elemento ferromagnético. El efecto físico es el de un imán variable cuyo campo magnético (imanación) depende del número de vueltas (espiras) que dé el conductor para formar la bobina, del tipo de material sobre el que está enrollada la bobina y del tipo de corriente que la circule. La característica propia de la bobina se llama coeficiente de auto inducción L y sus unidades son Henrios [H]. La expresión matemática que explica el funcionamiento de la bobina en función de la tensión y la intensidad que circula por ella, de acuerdo con los sentidos indicados en la figura 24 es:

di(t ) dt A esta expresión se le aplica el mismo criterio de signos que vimos al principio, cuando se modifiquen los sentidos de tensión o intensidad. u(t ) = L

Observe que la tensión que aparece en los terminales de una bobina es proporcional a la derivada de la intensidad que la circula. Esto significa

36


que sólo se producirá tensión en los extremos de la bobina si se produce una variación de intensidad. En efecto, si la bobina tiene un campo determinado producido por una intensidad constante, no se produce ninguna alteración por lo que la bobina no presenta ninguna reacción y la tensión entre sus terminales es nula. No obstante, si modificamos la intensidad que la circula estamos modificando su campo, su equilibrio y por tanto se produce una reacción ante ese cambio intentando evitarlo. ¿Cómo?: produciendo una tensión en los extremos. Si el cambio es a mayor intensidad (derivada positiva), se producirá un aumento del campo magnético por lo que se producirá una reacción creando una tensión que intente evitar ese incremento de intensidad, comportándose como se comportaría una resistencia: creando una tensión en el sentido indicado en la figura 24. L A

i

B

u

Figura 24. Representación simbólica de la bobina y sentidos de referencia.

En el caso en que se llegase a un nuevo equilibrio de intensidad constante la tensión que aparecería entre los bornes de la bobina sería cero y, por tanto, se comportaría como un cortocircuito. Por tanto, la podríamos sustituir por un conductor sin resistencia como se muestra en la figura 25. L A

i

B

u=0V

Figura 25. Representación simbólica de una bobina por la que circula una intensidad constante.

Si analizamos con detalle la ecuación de la bobina observamos que la intensidad no debe variar bruscamente, si se produjese un cambio en escalón de la intensidad produciría una derivada infinita. Es decir, se produciría una tensión infinita entre sus bornes. En la realidad no se produce nunca un cor-

37


te de corriente de tipo escalón ya que en el caso en el que intentemos desenchufar un elemento que contiene una bobina, y por ella circula una intensidad, en realidad se produce un arco (una chispa), que hace que la corriente pase a cero rápidamente. En cuanto a la potencia consumida por una bobina será:

p (t ) = u(t ) ⋅ i (t ) = Li (t )

di (t ) dt

En este caso la potencia puede ser positiva o negativa en función de como sea la intensidad y su derivada. No ocurre como en la resistencia en la que la potencia es siempre positiva. Ahora la potencia puede ser negativa. ¿Qué significa esto? Sencillamente que una bobina ideal es un elemento que almacena energía y que tiene la capacidad de devolverla al sistema. Recordemos que la energía almacenada en una bobina se puede calcular mediante la expresión: t

t

WL (t ) = ∫ p(t ) dt = ∫ Li(t ) 0

0

t 2 L di(t ) dt = L ∫ i(t ) di(t ) = ( i(t ) + WL (0 ) 2 dt 0

)

En donde WL(t) es la energía almacenada en la bobina en el instante t y WL(0) es la energía almacenada en el instante inicial. Si suponemos que este valor es cero, se observa que la energía almacenada en la bobina en cada momento sólo depende del cuadrado de la intensidad que la circula y que es positiva. Veamos el caso de específico que se muestra en la figura 26. En ella se indica la intensidad, la tensión, la potencia y la energía almacenada en una bobina. En esta figura la intensidad que circula por una bobina se ha supuesto de tipo trapecio, en la que los tramos rectos son del tipo i(t)= α It + K, en donde α tiene valor 1 o –1, según suba o baje la recta, y tramos de intensidad constante. di(t ) = Lα I, La expresión de la tensión viene dada por su derivada, u(t ) = L dt es decir la tensión vale +LI en el caso de que la intensidad este aumentado o – LI en el caso de que la intensidad disminuya. Recordemos que la poten2 L i(t ) . cia p(t ) = u(t ) ⋅ i(t ) y que la energía es WL (t ) = 2

( )

38


Así, entre 0 y 0,2 segundos la bobina se encuentra desmagnetizada, la intensidad que la recorre es por tanto cero y no hay ninguna tensión entre sus bornes. Por tanto la potencia consumida por la bobina es cero y también lo es la energía almacenada en ella. Es una piedra. Entre 0,2 y 0,4 segundos, la intensidad que recorre la bobina aumenta, la tensión que aparece entre sus bornes es positiva (la bobina se está oponiendo al aumento del campo magnético), la potencia consumida es positiva (ya que tanto la tensión como la intensidad son positivas), lo cual implica que esta absorbiendo potencia y la energía almacenada aumenta (estamos aumentando el campo magnético): estamos magnetizando y almacenando energía. Así, entre 0,4 y 0,6 segundos la bobina se encuentra magnetizada, la intensidad que la recorre es constante, con un valor determinado pero constante, en esta situación ni aumentamos ni disminuimos el campo magnético de la bobina por tanto no hay ninguna tensión entre sus bornes (en efecto la derivada de la intensidad es cero). En este período la potencia consumida por la bobina es cero (lo es la tensión), pero como hay un campo magnético tiene almacenada una energía que se mantiene constante durante este período: se comprota como un imán permanente. Entre 0,6 y 0,8 segundos la intensidad que recorre la bobina disminuye (estamos bajando el campo magnético), la bobina se vuelve a oponer a este cambio produciendo ahora una tensión en sentido contrario que en el caso en el que intentábamos magnetizar, o sea negativa. La potencia es ahora negativa (producto de intensidad positiva con tensión negativa), es decir, estamos cediendo potencia al sistema y la energía almacenada va disminuyendo: estamos desmagnetizando la bobina y devolviendo energía al sistema. Al llegar a 0,8 segundos la intensidad se extingue y lo hace también el campo magnético, esta situación se mantiene entre 0,8 y 1 segundos. En este período, la intensidad es constante e igual a cero, por lo que la bobina se encuentra desmagnetizada, no hay ninguna tensión entre sus bornes y, por tanto, la potencia consumida por la bobina es cero y también lo es la energía almacenada en ella. Vuelve a ser una piedra. Entre 1 y 1,2 segundos, la intensidad que recorre la bobina se hace cada vez más negativa, lo que significa que aumenta la intensidad en sentido contrario al que hemos tomado como referencia. Si esto ocurre, aumenta el

39


campo almacenado en la bobina pero ahora en sentido contrario al que ocurría entre 0,2 y 0,4 segundos, es decir, si en aquel caso el Norte se encontraba a la derecha, ahora lo estará a la izquierda. Como estamos modificando el campo aparecerá una tensión en bornes de la bobina que se intentará oponer al paso de corriente, por lo que aparece una tensión es negativa según el criterio adoptado en la figura (además la derivada de la intensidad es negativa). Ahora, observamos que la potencia consumida es positiva también ya que tanto la tensión como la intensidad son negativas. Esto significa que de nuevo la bobina se está magnetizando y está absorbiendo potencia y la energía almacenada aumenta (estamos aumentando el campo magnético): estamos magnetizando y almacenando energía.

u(t), i(t), WL(t)

Así, entre 1,2 y 1,4 segundos ocurre lo mismo que entre 0,4 y 0,6 segundos: la bobina se encuentra magnetizada, la intensidad que la recorre es constante, con un valor determinado negativo en este caso, pero constante, en esta situación ni aumentamos ni disminuimos el campo magnético de la bobina por tanto y no hay ninguna tensión entre sus bornes (en efecto la

Potencia p(t)

Energía W(t)

Tiempo 0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

1,6

1,8

2

2,2

2,4

2,6

2,8

3

3,2

Tensión u(t)

Intensidad i(t)

Figura 26. Evolución de la tensión, la intensidad, la potencia y la energía almacenada en una bobina.

40


derivada de la intensidad es cero). En este período la potencia consumida por la bobina es cero (lo es la tensión), pero como hay un campo magnético y por tanto tiene almacenada una energía que se mantiene constante durante este período: se comprota como un imán permanente. Entre 1,4 y 1,6 segundos la intensidad en valor absoluto disminuye, lo cual significa que va reduciéndose la intensidad en sentido contrario al fijado en la figura. En este momento estamos bajando el campo magnético, por lo que la bobina se vuelve a oponer a esta variación produciendo ahora una tensión en sentido contrario que en el caso en el que intentábamos magnetizar, o sea positiva (en el mismo sentido que la referencia). La potencia es ahora negativa (producto de intensidad negativa con tensión positiva), es decir, estamos cediendo potencia al sistema y la energía almacenada va disminuyendo: estamos desmagnetizando la bobina y devolviendo energía al sistema. El sistema se vuelve a repetir de nuevo el proceso entre 1,6 y 1,8 segundos es exactamente igual al descrito para entre 0 y 0,2 segundos.

c) Condensador Un condensador ideal es un elemento pasivo que puede almacenar energía en forma de campo eléctrico (es capaz de almacenar cargas). Está constituido por dos placas metálicas separadas por un elemento aislante (que no conduce la corriente). La característica propia del condensador se llama capacidad C y sus unidades son Faradios [F] La expresión matemática que explica el funcionamiento del condensador en función de la tensión y la intensidad que circula por el, de acuerdo con los sentidos indicados en la figura 27 es:

i(t ) = C

o en forma integral u(t ) =

du(t ) dt

1

∫ C i(t )dt 41


i

A

_ _ _ _

+ + + +

B

C A

i

B

u

Figura 27. Representación simbólica de la capacidad y sentidos de referencia de tensión e intensidad. Esquema de funcionamiento de un condensador.

A las expresiones anteriores se les aplica el mismo criterio de signos que vimos al principio en el momento en el que se modifiquen los sentidos de tensión o intensidad. El paso de la corriente por el condensador hace que se almacenen cargas positivas en una de las placas y la misma cantidad de negativas en la otra placa. El aumento de cargas en cada lado de la placa produce una diferencia de potencial que aumenta a medida que aumentan las cargas.

C A

i=0

B

u

Figura 28. Representación simbólica de un condensador al que se le aplica una tensión constante.

42


La intensidad que recorre un condensador depende de la derivada de su tensión. Sólo circulará intensidad por un condensador si la tensión entre sus terminales varía. Esto significa que si no varía la tensión en un condensador este se comportará como un circuito abierto: Si analizamos con detalle la ecuación del condensador observamos que la tensión no debe variar bruscamente, si se produjese un cambio en escalón de la tensión produciría una derivada infinita de intensidad. Es decir, se necesitaría un aporte de infinita corriente para que la tensión pudiera variar bruscamente. Si cortocircuitamos un condensador lo hacemos a través de una mínima resistencia por la que circula una gran intensidad de pequeña duración. En cuanto a la potencia consumida por un condensador será:

p (t ) = u (t ) ⋅ i (t ) = Cu(t )

du(t ) dt

En este caso la potencia puede ser positiva o negativa en función de como sea la tensión y su derivada. No ocurre, como en la resistencia en la que la potencia es siempre positiva ahora la potencia puede ser negativa. Estamos ante el mismo caso que la bobina: un condensador ideal es un elemento que almacena energía y que tiene la capacidad de devolverla al sistema. Recordemos que la energía almacenada en un condensador se puede calcular mediante la expresión: t

t

WC (t ) = ∫ p(t ) dt = ∫ Cu(t ) 0

0

t 2 du(t ) C dt = C ∫ u(t ) du(t ) = ( u(t ) + WC (0) dt 2 0

)

En donde WC(t) es la energía almacenada en el condensador en el instante t y WC(0) es la energía almacenada en el instante inicial. Si suponemos que este valor es cero, se observa que la energía almacenada en el condensador en cada momento sólo depende del cuadrado de la tensión entre sus bornes y que es positiva. Veamos un caso de específico que se muestra en la figura 29. En ella se indica la intensidad, la tensión, la potencia y la energía almacenada en un condensador. Hemos puesto el mismo caso que en la bobina pero intercambiando tensión por intensidad, ahora la tensión en bornes del condensador se ha supuesto de tipo trapecio, en la que los tramos rectos son del tipo

43


u(t)= αUt + K, en donde α tiene valor 1 o –1, según suba o baje la recta, y tramos de intensidad constante. du(t ) La expresión de la intensidad viene dada por su derivada, i(t ) = C = Cα U, dt es decir la intensidad vale +CU en el caso de que la tensión esté aumentado ó – CU en el caso de que la tensión disminuya. Recordemos que la potencia 2 C p(t) = u(t)· i(t)y que la energía es WC (t ) = u(t ) . Se propone al lector que 2 analice igual que se hizo para la bobina los diferentes períodos de tiempo. Básicamente entre 0 y 0,2 segundos no hay carga en el condensador y por tanto su tensión es nula, entre 0,2 y 0,4 segundos hay aportación de carga (circula la intensidad) luego la diferencia de potencial entre los terminales del condensador aumenta, potencia positiva se almacena energía; entre 0,4 y 0,6 la tensión es constante luego no hay aporte de cargas, la corriente es nula. Entre 0,6 y 0,8 la tensión disminuye luego se está descargando el condensador, por tanto la intensidad ha de circular en sentido contrario, la energía almacenada se cede. Por fin, entre 1 y 1,2 se carga el condensador en sentido contrario, la intensidad ha de circular en sentido contrario, pero se vuelve a cargar...

(

)

Figura 29. Evolución de la tensión, la intensidad, la potencia y la energía almacenada en un condensador.

44


2.4. ELEMENTOS ACTIVOS. MODELOS MÁS PRÓXIMOS A LA REALIDAD Los modelos descritos en el apartado anterior son ideales y tienen una muy buena relación con los objetos reales. No obstante, es necesario realizar una aproximación a la realidad ya que ninguna fuente es capaz de mantener entre sus bornes la característica especificada. Así en el caso de una fuente de tensión real se representa por una fuente de tensión ideal eg con una resistencia en serie llamada resistencia interna Rg, y la fuente de intensidad real la representaremos con una fuente ideal de intensidad ig y una resistencia interna Rg en paralelo como indica la figura 30. i +

i

A

A

Rg

eg

u

B

ig

u

Rg

B

Figura 30. Esquemas equivalentes de una fuente de tensión real y de una fuente de intensidad real.

45

TEMA 3

LEYES DE KIRCHHOFF

3.1. Definición de nudo y malla 3.2. Ley de nudos o 1.a Ley de Kirchhoff 3.3. Ley de mallas o 2.a Ley de Kirchhoff 3.4. Asociación de elementos pasivos a) Asociación de resistencias en serie: Divisor de tensión. b) Asociación de resistencias en paralelo: Divisor de intensidad 3.5. Asociación de elementos activos a) Fuentes de tensión: Conexión en serie b) Fuentes de tensión: Conexión en paralelo c) Fuentes de intensidad: Conexión en serie d) Fuentes de intensidad: Conexión en paralelo e) Asociación en paralelo de fuentes de tensión con elementos pasivos f) Asociación en serie de fuentes de intensidad con elementos pasivos 3.6. Conversión de fuente de tensión en fuentes de intensidad y viceversa 3.7. Ejercicios

Para la resolución de los circuitos eléctricos no sólo es preciso el conocimiento de las ecuaciones que ligan tensión e intensidad en cada elemento, sino que es preciso conocer sus relaciones dentro del circuito. Estas relaciones básicas se denominan leyes de Kirchhoff.

47


En esta sección se presentan el concepto de nudo y de malla de un circuito eléctrico. Se enuncian las dos leyes de Kirchhoff: de nudos y de mallas cuyas ecuaciones, unidas a las de los elementos, nos permitirán resolver cualquier circuito eléctrico. También se definen las asociaciones en serie y paralelo.

3.1. DEFINICIÓN DE NUDO Y MALLA Como ya vimos en el tema anterior, un circuito es un sistema de conexiones entre diferentes elementos sobre los que puede circular electricidad. En la figura 31 se muestra un circuito constituido por 3 elementos pasivos y por un elemento generador (una fuente de tensión eg). Obsérvese que en la figura 31 ya hemos definido un conjunto de tensiones e intensidades para cada elemento. Note que los sentidos de tensión e intensidad elegidos en los elementos pasivos corresponden con una relación positiva entre tensión e intensidad independientemente de qué elemento sea. Para el elemento activo hemos elegido un sentido contrario entre tensión e intensidad. Para la constitución de este circuito se efectuaron conexiones entre los terminales de los elementos, cada una de estas conexiones (puntos negros en la figura), se llaman NUDOS. En la figura, hay 3 nudos, llamados A, B y C que corresponden: (A) a la unión entre uno de los terminales de la fuente y uno de los terminales del elemento 1; el nudo (B) que une un terminal de cada uno de los tres elementos 1, 2 y 3 y, por fin, el nudo (C) que une los terminales libres del los elementos 2 y 3, con el terminal libre del elemento generador. i1

A

ig

1

B i2

u1

+ +

2 2

eg

C

Figura 31.

48

i3

u2

33

u3

LEYES DE KIRCHHOFF

A la hora de seleccionar los nudos de un circuito hemos de tener muy en cuenta que cada nudo ha de estar separado por otro por un elemento activo o pasivo, y nunca debe haber dos nudos unidos por un cortocircuito. Observemos el circuito de la figura 32. En el hemos señalado 3 nudos con el mismo nombre y distinto subíndice. Si analizamos estos tres nudos C1, C2 y C3 observamos que no hay ningún elemento entre ellos, por tanto todos esos «nudos» son realmente 1 el nudo C, y la intensidad ix que hemos pintado no tiene sentido realmente. También ocurre lo mismo con los nudos llamados D1 y D2. i1

A

11

i2

u1

ig1 eg1

B

+

i3

u2

2

3

ix C1

C2

C3 i4

i5

ig2 +

eg2

44

D1

u4

5

D2

Figura 32. Circuito eléctrico.

Además de los nudos, para resolver un circuito se precisa identificar, dentro de un circuito, lo que llamamos mallas. Así se denominan a las líneas que uniendo diferentes elementos del sistema pueden cerrarse sobre sí mismas y por donde puede circular la intensidad. En el circuito de la figura 33 podemos ver tres mallas: • La malla 1 « » está compuesta por la fuente de tensión, el elemento 1 y el elemento 2. • La malla 2 «

» está formada por los elementos 2 y 3.

• La malla 3 « » está formada por los elementos externos la fuente de tensión y los elementos 1 y 3.

49


A i1

11

B

ig

i2 +

eg

Malla 1 Malla 2 Malla 3

2

i3

u2

3

u3

C

Figura 33. Ejemplo de mallas en un circuito eléctrico.

En la figura 34 se muestran dos tipos de estructuras de circuito, y en ellos se representan diferentes mallas posibles (las líneas en trazo continuo se suponen con un elemento cada una). En ellas se observan diferentes tipos de mallas y no se han pintado todas las posibles. Proponemos al alumno que intente finalizar el resto de posibilidades (en la figura 34 a quedan 7 posibles mallas y en la figura 34 b sólo 3). Es necesario recalcar que a partir de ahora sólo utilizaremos las mallas correspondientes a los «agujeros», es decir, las que en la figura 34 están señalizadas con las línea « » (4 en la figura 34 a y 4 en la figura 34 b). Se ele-

a

b

Figura 34. Ejemplo de posibles mallas en un circuito eléctrico.

50

LEYES DE KIRCHHOFF

girán éstas y sólo éstas, porque son las que nos darán un sistema de ecuaciones linealmente independientes.

3.2. LEY DE NUDOS O 1.a LEY DE KIRCHHOFF Esta ley basada en el principio de conservación de la energía establece la continuidad de las corrientes que entran en un nudo de un circuito eléctrico. En la figura 35, se dice que la intensidad i1 es entrante en el nudo A y la intensidad i2 es saliente del nudo B. Este criterio se fija previamente a la solución del circuito y no implica un valor positivo de la intensidad. Si cambiamos el signo de la intensidad cambiaremos el concepto entrante/saliente: se dice también que la intensidad –i1 (con signo negativo) es saliente del nudo A y la intensidad –i2 (con signo negativo) es entrante al nudo B. i1

A

i2

B

Figura 35. Criterio entrante (i1)/saliente (i2) del nudo.

Así establecido el criterio de intensidades entrantes y salientes, la primera ley de Kirchhoff se enuncia de dos formas: • La suma de todas las intensidades entrantes en un nudo es cero. • La suma de intensidades entrantes en un circuito es igual a la suma de las salientes. Para las intensidades dibujadas en la figura 36, la primera ley de Kirchhoff, en su primera acepción sería: i1 – i2 – i3 – i4 + i5 = 0 o, en su segunda definición: i1 + i5 = i2 + i3 + i4

51


i1

i2 i3

i5

i4

Figura 36. Esquema representativo de la Ley de nudos.

Obsérvese que ambas ecuaciones son iguales. Volviendo al circuito de la figura 31, en él hemos definido los nudos A, B y C, la aplicación de la primera ley de Kirchhoff en cada nudo es: • Nudo A:

ig = i1

• Nudo B:

i1 = i2 + i3

• Nudo C:

i2 + i3 = ig

Estas tres ecuaciones no son independientes entre si: obsérvese que de la ecuación del nudo C se obtiene sustituyendo en la ecuación del nudo B, la ecuación del nudo A, por tanto de las tres ecuaciones, una es linealmente dependiente, lo que significa que NO se puede utilizar en la solución de nuestro circuito. Siempre, de todas las posibles ecuaciones de los nudos de un circuito hay una que no se puede utilizar ya que se puede obtener como combinación lineal del resto. Por tanto si hay n nudos se podrán utilizar sólo n – 1 ecuaciones. Le proponemos al alumno que realice el análisis de los nudos del circuito de la figura 32. Si nos fijamos con detalle en el nudo A, se observa que la intensidad que circula por la fuente eg y por el elemento 1 es la misma, cuando por dos elementos seguidos pasa la misma intensidad se dice que están conectados en serie. En la figura 37 se observan varias conexiones en serie.

52

LEYES DE KIRCHHOFF

i1

i

u1

1 1

A Rg

+

eg

u

eg1 +

i1 B 2 2

u2

i1

Figura 37. Esquemas de disposiciones en serie.

3.3. LEY DE MALLAS O 2.a LEY DE KIRCHHOFF La segunda ley de Kirchhoff se refiere a la relación entre tensiones dentro de una malla de un circuito. Se puede expresar como: la suma de todas las tensiones que pertenecen a una malla en una misma dirección determinada es nula.

u1

i8 i7

i1 A

6 6

i1 B

i9

22

F i14

u5 i5

55

u4 E

i4 i13

44

i10

C

u3

3 3

u6 i6

i15

11

u2

∑ uk = 0 k

i3 i11

D i12

Figura 38. Esquema representativo de la Ley de Mallas.

53


En la figura 38 se muestra una malla que forma parte de un circuito más amplio. De acuerdo con el sentido de referencia indicado en la malla (línea de puntos), la segunda ecuación de Kirchhoff para la malla seleccionada será:

u1 + u2 + u3 + u4 + u5 + u6 = 0 Obsérvese que todos los sentidos de las tensiones de la figura 38, coinciden con el sentido de giro de la malla, si, en algún caso no coincidiera habría que poner la tensión con signo negativo. Veamos el caso de la figura 39 en donde en el mismo circuito hemos modificado algún sentido de las tensiones. Ahora, la segunda ley de Kirchhoff será:

u1 − u2 − u3 + u4 − u5 + u6 = 0

u1

i8 i7

i1 A

6 6

B

i9

22

F i14

u3

3 3

u5 i5

55

u4 E

i4

44

i10

C

u6 i6

i15

11

u2 i1

i3 i11

D

i13

i12

Figura 39. Esquema de la Ley de Mallas.

Veamos el caso del circuito completo indicado en la figura 40. En el circuito de la figura 40 se han indicado los sentidos en los que se tomarán como positivas las tensiones de cada elemento (obsérvese que hemos elegido en todas, el mismo sentido: el de las agujas del reloj). La malla 1 « elemento 2:

» compuesta por la fuente de tensión, el elemento 1 y el

u1 + u2 − eg = 0

54

LEYES DE KIRCHHOFF

A i1

B

1 u1

ig

i2

+

eg

Malla 1 Malla 2 Malla 3

2 2

i3

u2

3

u3

C

Figura 40. Mallas de un circuito.

La malla 2 «

» está formada por los elementos 2 y 3

u3 − u2 = 0 La malla 3 « » está formada por los elementos externos la fuente de tensión y los elementos 1 y 3.

u1 + u3 − eg = 0 De estas tres ecuaciones sólo dos de ellas son independientes, podríamos obtener la tercera sustituyendo la segunda en la primera. Ya veremos qué número de ecuaciones hemos de seleccionar para resolver los problemas, pero ya adelantamos que coincidirán con aquellas mallas alrededor de un espacio en blanco. Obsérvese con detalle la ecuación de la malla 2 « »; la ecuación que liga las tensiones 2 y 3 es: u3 – u2 = 0, que se puede re-escribir como u3 = u2, esta nueva escritura muestra la igualdad de las dos tensiones. Observe que los dos elementos están conectados entre los mismos nudos B y C, se dice en este caso que los elementos están en paralelo. Se dice que varios elementos están en paralelo cuando están conectados a los mismos nudos y sus tensiones son, por tanto iguales.

55


A i3

i4

u3

3

4

i5

u4

5

u5

u

B

Figura 41. Diversos elementos conectados en paralelo.

Aunque hemos definido hasta el momento una línea cerrada con elementos, no es necesario que haya físicamente un elemento para cerrar una malla y establecer la segunda Ley de Kirchhoff, lo podremos hacer si conocemos (o suponemos conocida) la tensión que une dos nudos. Por ejemplo en el caso de la figura 42 podremos también plantear la segunda ley de Kirchhoff. Obsérvese que faltan los elementos 3 y 5, en donde hay un circuito abierto. La 2.a Ley de Kirchhoff quedaría:

u1 − u2 + u3 − u4 + u5 + u6 = 0

u1

i8

i7

i1

66

1 1

u2 i2

u3

u4

i6 u5

i14

i10

22

u6

i15

i9

i4 i13

i11 4 4 i12

Figura 42. Esquema de la Ley de Mallas sin que tenga que haber elementos físicos.

56

LEYES DE KIRCHHOFF

Esta forma de plantear la segunda ley de Kirchhoff la utilizaremos mucho en determinadas estructuras como la de la fuente de tensión real:

uR i +

A Rg

eg

u

uR + u − eg = 0 o despejando el valor de la fuente de tensión: eg = uR + u.

B

Note el lector que en esta última expresión se puede deducir una forma nueva de plantear la segunda ley de Kirchhoff para obtener una tensión en función del resto: la tensión en un sentido (eg) es igual a la suma de tensiones en sentido contrario (uR + u).

Una vez definidas las ecuaciones de los elementos y sus interrelaciones se puede resolver cualquier circuito eléctrico. Veamos un ejemplo. Sea el circuito eléctrico del la figura 43, en él, conocemos que está alimentado por una fuente de tensión de 20 V, de corriente continua y que dispone de 2 resistencias de 10 Ω. Vamos a determinar todas las intensidades que circulan por todos los elementos y las tensiones de las resistencias. Ley de nudos:

• A: iv − i1 = 0 → iv = i1  i =i =i • B : i1 − i2 = 0 → i2 = i1  1 2 v

i1

A iv

10 Ω B u1

+

10 Ω

u2

20 V

i2 C

Figura 43.

57


Ley de mallas en sentido horario

• u1 + u2 − 20 = 0 Ecuaciones de las resistencias

• A: u1 = 10i1 • B: u2 = 10i2 Sustituyendo las intensidades por iv , y sustituyendo las ecuaciones de la resistencia en la ley de mallas obtenemos la ecuación:

10iv + 10iv − 20 = 0, → iv = 1A Luego el circuito resuelto nos queda como se indica en la figura 44: En la siguiente tabla hemos calculado las potencias consumidas por los diferentes elementos. Obsérvese que la potencia consumida por las resistencias es igual a la generada por la fuente. Elemento

Potencia consumida p = ui

R1

10 W

R2

10 W

Total R

20 W

1A

A 1A +

10 Ω B 10 V

1A C

Potencia generada por la fuente 20 V

20 W

10 Ω

10 V

20 V

Figura 44.

3.4. ASOCIACIÓN DE ELEMENTOS PASIVOS En muchas ocasiones, para resolver los circuitos más rápidamente se tiende a asociar los elementos de modo que se reduzcan las variables del sistema. Veremos como reducir las resistencias en serie y en paralelo a una sola resistencia o las fuentes de tensión o las de intensidad.

58

LEYES DE KIRCHHOFF

a) Asociación de resistencias en serie: Divisor de tensión Consideremos los tres elementos (que serán resistencias) en serie de la figura 45 a, estos tres elementos los queremos reducir a un único equivalente como muestra en la figura 45 b. Para que RT, sea equivalente al conjunto de las tres resistencias, se ha de cumplir que aplicando la misma tensión a los dos esquemas (uT) se obtenga en los dos la misma intensidad i1. Observamos, además, que por las tres resistencias del circuito de la figura 45 a, circula la misma intensidad (se podría razonar también por aplicación del a primera ley de Kirchhoff, pero es evidente). Aplicando la segunda ley de Kirchhoff a los dos circuitos en el sentido de las agujas del reloj obtenemos que:

(a)

(b)

A i1

u1

R1

i1

uT R2 R 1

u2

uT

RT

B

i1

R3 R 3

A

u3

B

Figura 45. Resistencias en serie; divisor de tensión.

59


Circuito a: uT – u3 – u2 – u1 = 0, o cambiando los términos negativos al otro lado de la ecuación: uT = u3 + u2 + u1 En el circuito b: uT es la tensión de la resistencia RT, Recordando las expresiones de la resistencia y siendo i1.la intensidad que circula en ambos casos por todas las resistencias (condición obligatoria para que estén en serie) obtenemos el valor de las tensiones en función de las resistencias y de la intensidad que circula por ellas, así:

u1 = R1i1 ; u2 = R2 i1 ; u3 = R3 i1 y, en el circuito b:: uT = RT i1 sustituyendo todas estas expresiones en la ecuación uT – u3 – u2, obtenemos:

RT i1 = R3 i1 + R2 i1 + R1i1 = ( R3 + R2 + R1 )i1 o simplificando la intensidad:

RT = R3 + R2 + R1 Así, la resistencia equivalente de un conjunto de resistencias en serie es la suma de todas ellas obteniéndose siempre una resistencia de mayor valor que la mayor. A esta forma de poner resistencias en serie se le llama también divisor de tensión, ya que cada tensión ui es menor que la tensión total uT y proporcional a su propia resistencia. Veamos como se puede expresar. La tensión en la resistencia 1, u1

u1 = R1i1 = R1

R1uT uT = RT R3 + R2 + R1

de la misma forma se puede calcular u2 y u3.

u2 =

60

R2 uT R3 uT ; u3 = R3 + R2 + R1 R3 + R2 + R1

LEYES DE KIRCHHOFF

En cualquier divisor de tensión o conjunto de resistencias en serie con n elementos, la resistencia equivalente RT = ∑ Ri y la tensión de un elemento i cualquiera serán.

ui =

Ri u RT T

b) Asociación de resistencias en paralelo: Divisor de intensidad Como ya hemos definido se dice que varios elementos están en paralelo si la tensión entre sus terminales es la misma. Veamos cómo se reduce un conjunto de resistencias conectadas en paralelo. De nuevo lo que pretendemos es obtener un circuito como el indicado en la figura 46 b a partir del indicado en la figura 46 a. Observando el circuito 46 a vemos que al estar en paralelo se ha de cumplir que:

iT − i 3 − i2 − i1 = 0 Aplicando la primera ley de Kirchhoff al nudo A:

iT = i 3 + i2 + i1 y, como conocemos las ecuaciones de los elementos:

iT =

u u u uT ; i1 = T ; i2 = T ; i3 = T R1 R2 R3 RT

(a) i1 R11 R

i2

u1

R22 R

(b) iT

iT A

A

i3

u2

RR33

u3

uT

B

RTT R

uT

B

Figura 46. Resistencias en paralelo: divisor de intensidad.

61


sustituyendo estas expresiones en la ecuación de Kirchhoff:

uT uT uT uT = + + , y eliminando el valor de la tensión uT nos resulta la expreRT R1 R2 R3 sión final para la resistencia equivalente a un conjunto de resistencias en paralelo

1 1 1 1 = + + RT R1 R2 R3 En el caso genérico de disponer de n resistencia en paralelo la resistencia equivalente se calcularía:

1 1 =∑ RT i Ri

o

RT =

1 1 ∑ i Ri

En el caso de disponer de 3 resistencias de 30 Ω cada una el conjunto total se comportará con una resistencia equivalente:

1 1 1 1 3 1 = + + = = ; luegoÄ RT = 10Ω RT 30 30 30 30 10 Obsérvese que hemos obtenido una resistencia menor al asociar varias resistencias en paralelo. Se cumplirá siempre que esta resistencia equivalente será menor que la menor. Si en vez de utilizar resistencias utilizamos conductancias G, la expresión es más sencilla:

GT =

1 1 =∑ = ∑ Gi RT i Ri i

Esta asociación de elementos se denomina divisor de corriente porque por cada elemento del divisor pasa una parte de la corriente total que entra en él. Esta corriente individual de cada uno de los elementos podría expresarse en función de la corriente que entra en el divisor iT y las resistencias de los elementos:

62

LEYES DE KIRCHHOFF

1 1 G R1 u u R 1 iT iT = 1 iT ⋅ = 1 iT = i1 = 1 = T = 1 1 R1 R1 R1 RT ∑ Gi ∑ i RT i Ri Obsérvese que en la última expresión se ha utilizado la conductancia, y resulta una expresión más sencilla. En el caso particular de dos resistencias, las expresiones anteriores se reducen a: iT A i1

R1

i2

u1 R2

1 1 1 = + RT R1 R2 u2

uT

RT =

R1 ⋅ R2 R1 + R2

i1 ==

R2 i R1 + R2 T

i2 ==

R1 i R1 + R2 T

B

Note el lector que en el numerador de la expresión de la intensidad que pasa por una rama aparece la resistencia en la otra. 3.5. ASOCIACIÓN DE ELEMENTOS ACTIVOS Ya hemos visto en la definición de las fuentes de tensión e intensidad, como NO SE PODÍAN CONECTAR las fuentes, En todo caso veremos ahora cómo se conectan. a) Fuentes de tensión: Conexión en serie Con esta forma de conexión de las fuentes de tensión se obtienen fuentes de tensión de valor mayor: Aplicando la 2.a ley de Kirchhoff, en sentido contrario a las agujas del reloj: eg1 + eg2 + eg3 – egt = 0, que reorganizada quedaría: egt = eg1 + eg2 + eg3

63


iT

A

+ iT

eg1 +

+

eg2

eg3

A

egt

egt

egt = eg1 + eg2 + eg3

+ B B

Figura 47. Asociación de fuentes de tensión en serie.

Obsérvese que, para que se sumen sus tensiones, es necesario que todas las fuentes de tensión tengan el + en el mismo lado (en este caso todas en la parte superior). Colocar una fuente en sentido contrario la descargaría y reduciría la tensión total. b) Fuentes de tensión: Conexión en paralelo Como ya dijimos sólo se pueden conectar en paralelo fuentes de tensión del mismo valor. Esta forma de conexión se utiliza en aparatos eléctricos para obtener fuentes de mayor potencia (que sean capaces de dar mayores intensidades). POSIBLE iT A eg1

ig1 + eg2

ig2 + eg3

ig3 + egt B

NUNCA eg1 = eg2

iT A +

ig1 egt = eg1 = eg2 = eg3 B

eg1

+

A

ig2 + eg2 B

c) Fuentes de intensidad: Conexión en serie Como ya dijimos, sólo se pueden conectar en serie fuentes de intensidad del mismo valor. Esta forma de conexión se utiliza para obtener fuentes de mayor potencia.

64

LEYES DE KIRCHHOFF

ig

POSIBLE A

NUNCA A

A

ig1

ig = ig1 = ig2 = ig3

ig2

u

ig

ig1

u

ig1 = ig2

ig2

ig3 B

B

B

d) Fuentes de intensidad: Conexión en paralelo Con esta forma de conexión de las fuentes de intensidad se consiguen fuentes de intensidad de valor mayor: Aplicando la 1.a ley de Kirchhoff, en el nudo A: ig1 + i21 + ig3 – igt = 0, que reorganizada quedaría: igt = ig1 + ig1 + ig3 igt A

ig1

ig2

A u

ig3 B

ig

u B

Figura 48. Asociación de fuentes de intensidad en paralelo.

Obsérvese que, para que se sume su intensidad es necesario que todas las fuentes de intensidad estén colocadas en la misma posición (en este caso todas las flechas para arriba). Colocar una fuente en sentido contrario la descargaría y reduciría la intensidad total.

e) Asociación en paralelo de fuentes de tensión con elementos pasivos En el circuito de la figura vemos el caso de una fuente de tensión conectada en paralelo con dos resistencias, veremos como el conjunto de elementos se comporta como una fuente de tensión.

65


iAB i1

i2

iAB

A

A

i3 +

u1

R1

eg2

+ R3

uAB

u3

B

eg2

uAB

B

Figura 49. Asociación de elementos pasivos con fuente de tensión en paralelo.

Al estar en paralelo (todos los elementos conectados a los nudos A y B), la tensión de todos ellos es igual. Esto se puede además demostrar aplicando la 2.a ley de Kirchhoff. Por tanto se cumple que: u1 = eg2 = u3 = uAB. Así, la tensión del dipolo formado por el conjunto en paralelo de las dos resistencia y la fuente tiene una tensión igual a la de la fuente y que por la propia definición de fuente de tensión, esta tensión se mantendrá siempre en el valor de consigna eg2, por tanto el conjunto se portará como una fuente de tensión de valor eg2. Nótese que esta fuente de tensión equivalente no es la misma que la del circuito ya que mientras en la fuente equivalente del mismo valor numérico, circula la intensidad iAB, por la fuente original circula i2. Este mismo equivalente sirve si en vez de elementos pasivos hay una fuente de intensidad.

f) Asociación en serie de fuentes de intensidad con elementos pasivos En el circuito de la figura 50 vemos el caso de una fuente de intensidad conectada en serie con dos resistencias, veremos como el conjunto de elementos se comporta como una fuente de intensidad. Al estar en serie todos los elementos, la intensidad que los recorre es la misma, por tanto se cumple que: ig = iAB. Como la tensión del dipolo formado por el conjunto en serie de las dos resistencia y la fuente es recorrido por una intensidad igual a la de la fuente y que por la propia definición de fuente de intensidad, esta intensidad se mantendrá siempre en el valor de consigna ig, por tanto el conjunto se portará como una fuente de intensidad de valor ig.

66

LEYES DE KIRCHHOFF

u3

u2

u1

R2

R1

ig iAB

ig

uAB

B

A B

A

uAB

Figura 50. Asociación de elementos pasivos con una fuente de intensidad en serie.

Nótese que esta fuente de intensidad equivalente no es la misma que la del circuito original, aunque coincidan sus valores numéricos, ya que mientras en la tensión de la fuente equivalente es uAB, la fuente original es u3. Este mismo equivalente se utiliza aunque en vez de elementos pasivos haya una fuente de tensión.

3.6. CONVERSIÓN DE FUENTE DE TENSIÓN EN FUENTES DE INTENSIDAD Y VICEVERSA Como ya definimos anteriormente las fuentes reales de tensión e intensidad tienen asociado un elemento resistivo, en serie en el caso de tensión, en paralelo en el caso de intensidad. Estos dos modelos son intercambiables, es decir, se puede cambiar una fuente de tensión real por una fuente de intensidad real y viceversa. Cómo se realiza este cambio es lo que vamos a ver en este apartado. i + eg

i

A Rge u

B

ig

Rgi

A

u

B

Para que ambos circuitos sean equivalentes, se ha de cumplir que, en cualquier condición de trabajo, las tensiones u, en los dos circuitos y las intensidades i, en los dos circuitos, sean siempre iguales. Así en el caso en el que no haya nada conectado entre A y B (en vacío), la intensidad i, en ambos circuitos ha de ser cero por tanto la tensión u será:

67


• En el caso de la fuente de tensión: la tensión de la resistencia es nula ya que la intensidad que circula por ella es nula: uRe = Rge ⋅ i = 0. uRe i +

A Rge

eg

u

B

Por tanto aplicando la 2.a ley de Kirchhoff en el sentido de las agujas del reloj: uRe = u – eg = 0, que organizando y sustituyendo el valor de la tensión en la resistencia: u = eg • En la fuente de intensidad, aplicando la primera ley de Kirchhoff al nudo A: ig = iRi + i, como la intensidad i = 0, y la tensión de la resistencia es igual a u u = Rgi iRi = Rgi ig igualando las dos expresiones de tensión, obtenemos: u = eg = Rgi ig i

A

iRi ig

u

Rgi

B

Igual que en vacío, en el caso de un cortocircuito entre A y B también la tensión u y la intensidad i serán iguales en los dos casos. Ahora al haber cortocircuitado los terminales A y B la tensión u= 0. • En la fuente de tensión: aplicando la 2.a ley de Kirchhoff en sentido de las agujas del reloj: uRe + u – eg = 0

68

⇒

uRe = eg

LEYES DE KIRCHHOFF

y como uRe = Rgii; la intensidad que circula por la fuente en estas condiciones es:

i=

eg Rge

uRe i

A Rge

+ eg

u=0

B

• En la fuente de intensidad, la tensión de la resistencia es cero al estar cortocircuitada, eso significa que la intensidad que la circula ha de ser obligatoriamente cero ya que se ha de cumplir al ecuación del elemento u = Rgii, por tanto como ha de cumplirse la 1.a ley de Kirchhoff en el nudo A, la intensidad que circula por el cortocircuito ig = i. Igualando las expresiones de las intensidades en las dos fuentes obtenemos que:

i=

eg Rge

= ig i

A

iRi ig

Rgi

u=0

B

Si comparamos con la expresión que nos ha salido en el análisis a circuito abierto, se deduce que, para que la fuente de tensión e intensidad sean iguales ha de cumplirse que: A

Rgi = Rge = Rg eg = Rg ig

+ eg

A

Rg ig

B

Rg

B

69


eg

eg

eg

+

Rg

ig

Rg

B

B

A

A

Rg

ig

+

+

A

Rg

B

B

A

A

Rg

ig

Rg

B

B

A

A

Rg

ig

+ B

Rg B

eg = Rg ig Rgi = Rge = Rg eg = Rg ig Rgi = Rge = Rg eg = − Rg ig Rgi = Rge = Rg eg = − Rg ig Rgi = Rge = Rg

RELACIÓN POSITIVA

A eg

RELACIÓN NEGATIVA

ATENCIÓN: Tenga muy en cuenta el lector que el resultado del cambio depende de los sentidos de tensión e intensidad de las fuentes que hemos considerado. En la figura siguiente observe el lector cómo se modifican los signos de las expresiones de conversión.

3.7. EJERCICIOS En el circuito eléctrico de la figura 32 plantee la primera ley de Kirchhoff para los nudos B, C y D (recuerde que todos los subíndices son un mismo nudo). En el circuito de la figura. Defina los sentidos de tensión e intensidad en cada elemento del circuito, aplique la primera ley de Kirchhoff a todos los nudos indicados. Defina 1 malla en la que esté incluida la tensión u, y aplicando la segunda ley de Kirchhoff, exprese la tensión u en función del resto de tensiones de malla. Dibuje 4 mallas más y aplique la segunda ley de Kirchhoff.

70

TEMA 4

ANÁLISIS DE CIRCUITOS LINEALES

4.1. Método General 4.2. Análisis de circuitos eléctricos utilizando el método de mallas 4.3. Análisis de circuitos eléctricos utilizando el método de nudos 4.4. Ejercicios de autocomprobación

En lo que sigue analizaremos como se resuelve un circuito eléctrico tanto de la forma general como mediante los métodos llamados de nudos y mallas. Estos dos métodos simplifican el cálculo total. Por análisis de un circuito eléctrico entendemos la resolución del mismo, es decir conocer las intensidades y tensiones en TODOS sus elementos. Si disponemos de n elementos (fuentes y elementos pasivos) en un circuito eléctrico con N nudos, para solucionarlo tenemos que calcular 2n variables (tensión e intensidad). Para solucionarlo necesitamos un sistema de 2n ecuaciones linealmente independientes. ¿Cómo elegimos las ecuaciones? Esto será lo que desarrollaremos en este capítulo. Debido a que sólo vamos a analizar los circuitos en corriente continua veremos sólo la solución de circuitos resistivos (formados sólo por fuentes de tensión e intensidad y resistencias).

4.1. MÉTODO GENERAL En un circuito eléctrico con n elementos (fuentes y elementos pasivos) y N nudos, necesitaremos 2n ecuaciones para poder solucionarlo. Estas ecuaciones son: • Como tenemos n elementos tendremos n ecuaciones que relacionan la tensión con la intensidad (o nos dan el valor de la tensión en las fuentes de tensión o nos dan el valor de la intensidad en las fuentes de intensidad).

71


• Si tenemos N nudos tendremos N – 1 ecuaciones correspondientes a la primera ley de Kirchhoff, linealmente independientes. Para completar el número de ecuaciones definitivamente necesitamos un número de ecuaciones de malla M, a la que aplicaremos la segunda ley de Kirchhoff el mínimo número de ecuaciones de malla M = 2n – n – (N – 1) = n – N +1. Veamos el ejemplo de la figura 51 En esta figura tenemos 4 elementos y, por tanto tendremos 8 incógnitas (la tensión y la intensidad en todos los elementos): eg, ig, u1, i1, u2, i2, u3, i3. Hemos definido 3 nudos, luego tendremos 2 ecuaciones linealmente independientes correspondientes a la ley de nudos: Nudo A: ig = i1 Nudo B: i1 = i2 + i3 Como tenemos 4 elementos tendremos 4 ecuaciones propias de los elementos: La fuente de tensión: eg = 10V, por la propia definición de la fuente. En las resistencias u1 = R1i1 ; u2 = R2 i2 ; u3 = R3 i3 . Ahora ya tenemos 2 + 4 = 6 ecuaciones y, por tanto, para solucionarlo, necesitamos 8 – 6 = 2, dos ecuaciones más que obtendremos de la apli-

i1

A

R1

B

ig

i2 +

i3

u1

eg (a)

u2 R3

R2

(b) C

Figura 51.

72

u3

R1 = 5Ω R2 = 10Ω R3 = 10Ω eg = 10V


cación de la ley de mallas. Para eso hemos definido dos mallas en el circuito, en las que sumaremos las tensiones en el sentido de las agujas del reloj así: Malla (a): u1 + u2 − eg = 0 Malla (b): u3 − u2 = 0 Ya hemos obtenido las 8 ecuaciones que nos ayudarán a resolver el sistema, para ello sustituiremos, en las dos ecuaciones de mallas todas las tensiones por sus relaciones ecuaciones de los elementos.

R1i1 + R2 i2 − 10 = 0 ⇒ 5i1 + 10 i2 = 10 R3 i3 = R2 i2

⇒ 10 i3 = 10 i2

con la ecuación del nudo B: i1 = i2 + i3

⇒ i3 = i2

⇒ i1 = i2 + i2 = 2i2 .

Así, 5i1 + 10i2 = 10, se convierte definitivamente en: 5 ⋅ 2i2 + 10i2 = 10 = 20 i2 . Y por tanto las intensidades serán: i2 = 0.5A = i3 ; i1 = 1A = ig . y las tensiones: u1 = 5 V; u2 = u3 = 5 V . El circuito completamente resuelto se muestra en la figura 52, y en la tabla adjunta a la figura 52, se indican las potencias consumidas por las resistencias y la generada por la fuente (recuerde el lector los criterios de signos asignados a la potencia). Obsérvese que la potencia consumida por las resistencias es igual a la generada por la fuente. 1A

A

5Ω

1A

0,5A +

10V

Elemento

Potencia consumida p = ui

R1

5W

R2

5W

Total R

10 W

B 0,5A

5V 10Ω

5V

10Ω

C

Figura 52. Soluciones del circuito de la figura 50.

5V

Potencia generada por la fuente 10 V

10 W

73


Esta forma de solución pese a que es muy efectiva, da lugar a grandes sistemas de ecuaciones con muchas variables y muchas incógnitas. Es por ello que, para la solución de cualquier circuito, conviene realizar antes de comenzar a solucionarlo una simplificación del circuito, mediante la reducción de elementos en serie o en paralelo. Si analizamos el circuito del caso anterior vemos que las resistencias R2 y R3 están en paralelo luego podremos calcular una resistencia equivalente a las dos:

R23 =

R2 ⋅ R3 10 ⋅10 = = 5Ω R2 + R3 10 + 10

Y además, sabemos que las tensiones de cada elemento es la misma que la del conjunto: u3 = u2 = u23. Así hemos reducido el número de incógnitas y de ecuaciones. Si nos fijamos en el nudo A, podremos eliminarlo, efectivamente ha de ocurrir siempre que ig = i1, y por tanto podremos suprimir como variable una de las dos intensidades. Así el circuito quedaría: ig

R1 B i23 = ig

ig + eg

u1 R23

u23

R1 = 5Ω R23 = 5Ω eg = 10V

C

Obsérvese que ahora, para el nudo B, de nuevo no sería necesario plantear una nueva ecuación de Kirchhoff y por tanto podemos suprimir la variable i23 por ig, Planteando la ecuación de la malla que nos queda sería: u1 + u23 – eg = 0. Y sustituyendo en ella las ecuaciones de los elementos (ya que por todos ellos circula la intensidad ig,: 5ig + 5ig – 10 = 0. Por tanto ig = 1 A, deshacer el circuito y calcular el resto de tensiones e intensidades es muy sencillo. Le proponemos al lector que realice el ejercicio.

74


ATENCIÓN. Cuando se realizan simplificaciones en el circuito es necesario tener en cuenta que estas simplificaciones NO CORRESPONDEN al circuito original. Por tanto será necesario deshacer las modificaciones para dar una solución correcta.

4.2. ANÁLISIS DE CIRCUITOS ELÉCTRICOS UTILIZANDO EL MÉTODO DE MALLAS Como hemos visto en el apartado anterior la utilización directa de las leyes de Kirchhoff da lugar a sistemas de ecuaciones muy amplios, en el caso de que el circuito se pueda simplificar este número de ecuaciones disminuye pero no es siempre el caso. Una forma de resolver el problema del número de ecuaciones a la vez que sistematizar el cálculo consiste en plantear el problema por el llamado método de mallas. En este caso, las variables que se eligen para resolver el circuito son las llamadas intensidades de malla. Éstas son intensidades circulares que recorren una malla entera, y que son iguales para toda la malla. Las intensidad real que circula por cada elemento se calcula sumando las de todas las mallas de las que forma parte. Para aclarar estos conceptos analicemos el ejemplo de la figura 53. En ella se ha dibujado la malla D, dentro

iB eg7 ig7

+ R9 u9, i9 iC

R10 iD

u10, i10

ig12 + eg12

Figura 53. Definición de intensidad de malla.

75


de un circuito eléctrico, formada por dos resistencias y dos fuentes de tensión independientes. Se define como intensidad de la malla D la intensidad iD que recorre todos sus elementos y se define un sentido (el indicado en la figura es el de las agujas del reloj). Además, se han indicado las intensidades de malla de las mallas laterales iB e iC, que recorren las mallas B y C respectivamente. D y B tienen como elementos comunes la fuente eg7 y las mallas D y C, la resistencia R9. Obsérvese que para cada elemento hemos definido su propia tensión e intensidad. Como ya hemos dicho, la intensidad que circula por cada elemento en la suma de todas las intensidades de malla que circulan por él. Para su cálculo hemos de tener en cuenta tanto el sentido que hemos definido para la intensidad del elemento, como el de circulación de la malla. Así, si la intensidad de malla circula en el mismo sentido que la del elemento, contribuirá a ella positivamente, mientras que si lo hace al contrario lo hará negativamente. A modo de ejemplo, la intensidad que circula por la resistencia R10. y que hemos llamado i10, será igual que la intensidad de malla i10= iD, ya que por ese elemento sólo circula la intensidad de la malla D. Lo mismo le pasa a la intensidad que circula por la fuente eg12; ig12 = iD. Obsérvese que el signo (+) es debido a que hemos elegido los sentidos de la corriente del elemento y de la malla en el mismo sentido. A la intensidad que circula por la resistencia R9. y que hemos llamado i9, contribuirán tanto la intensidad de la malla C como la de la malla D. Obsérvese que si bien la intensidad iD, recorre el elemento en el mismo sentido que la intensidad i9, no ocurre lo mismo con la intensidad iC, que lo hace en sentido contrario, así, la intensidad i9 = iD – iC Para la intensidad de la fuente eg7 (i7), la corriente de malla iD contribuirá de forma negativa ya que recorre la fuente en sentido contrario al establecido por nosotros para i7, mientras que la corriente de malla iB lo hará de forma positiva (la recorre en el mismo sentido que la intensidad i7). Así: i7 = – iD + iB. Esta introducción nos ha servido también, para comprobar que si conocemos las intensidades de malla podremos conocer las intensidades en todos los elementos y, mediante sus ecuaciones de definición, las tensiones. Para el análisis de un circuito por el método de mallas es necesario sistematizar la definición de los parámetros:

76


• En el circuito a analizar por el método de mallas sólo puede haber fuentes de tensión. Si hubiese en el circuito alguna fuente de intensidad hemos de convertirla previamente en fuente de tensión. • Todas las intensidades de malla recorren las mallas en el mismo sentido (todas en el sentido de las agujas del reloj o todas en el contrario). • Las intensidades y las tensiones en cada elemento pasivo se disponen en el mismo sentido para que la ecuación de definición del elemento sea positiva u9 = R9 i9 Para su sistematización analizaremos el circuito de la figura 54. En este circuito hemos indicado las 4 mallas en las que haremos el análisis y que nos servirán para calcular todos los parámetros. Con el fin de simplificar la notación, en la figura 55 hemos eliminado los nombres de los elementos pasivos sustituyéndolos por un número (al elemento 9 le corresponden la tensión u9 y la intensidad i9; y hemos agrupado las fechas de tensión e intensidad. Hemos dejado las fuentes de tensión con su propio sentido y el sentido de intensidad que hemos tomado como positivos es siempre saliente del polo con un [+]. A continuación y con los datos que tenemos, vamos a realizar un análisis detallado del circuito partiendo de las leyes de Kirchhoff. Nuestro objetivo es obtener un sistema de ecuaciones en el que estén como incógnitas las intensidades de malla iA, iB, iC e iD . Con este proceso además, conseguiremos sistematizar la forma de plantear un sistema de ecuaciones más reducido. u1, i1

u2, i2

R1

R3 u3, i3

1

R2

u6, i6

ig5 +

u4, i4

R4

eg5

eg7

4 3

+ ig8

R11

iB

6 R10

u9, i9

u10, i10

+

iA

+ eg8

2

8 +

7

+ iC

9

5

iD

10

R9 ig12 +

u11, i11

eg12

Figura 54.

11

+

12

Figura 55.

77


Las intensidades de cada elemento en función de las intensidades de malla son: i1 = iA;

i2 = –iB;

i3 = –iA;

i4 = iA – iB;

ig5 = –iB;

i6 = iA – iC;

i7 = iB – iD;

i8 = –iC

i9 = –iC + iD;

i10 = iD;

i11 = –iC;

i12 = iD;

La relación entre tensión e intensidad en cada resistencia es: uk = Rk ik. Empecemos por la primera ley de Kirchhoff aplicada a la ecuación de la malla A. En el sentido de giro de la intensidad de malla la ecuación es: u1 + u4 + u6 – u3 = 0 Sustituyendo los valores de las ecuaciones de los elementos, la ecuación queda: R1 i1 + R4 i4 +R6 i6 – R3 i3 = 0 Ahora sustituyendo las intensidades de los elementos por las intensidades de malla: R1 iA + R4 (iA – iB) + R6 (iA – iC) – R3 (–iA) = 0 Agrupando por intensidades de malla, la ecuación resulta: (R1 + R4 + R6 + R3 ) iA – R4 iB – R6 iC = 0 Obsérvese que en la ecuación de la malla A, aparecen la intensidad de la propia malla y las intensidades de las mallas B y C que tienen elementos pasivos comunes con la malla A: el elemento 4 con la malla B y el elemento 6 con la malla C. No aparece la intensidad de malla D al no compartir ningún elemento. Además, el elemento que multiplica a la intensidad de malla A: (R1 + R4 + R6 + R3) es exactamente la suma de todas las resistencias de la malla A. El término que multiplica a la intensidad de la malla B: – R4 iB, es la resistencia del elemento común a las dos mallas y aparece con signo negativo.

78


También esto se verifica en el término que multiplica a la intensidad de malla C: –R6 iC. Analicemos ahora la ecuación de la malla B, en el sentido de giro de la intensidad de malla: – u2 + eg5 – eg7 – u4 = 0 Sustituyendo los valores de las ecuaciones de los elementos, y pasando las fuentes al otro lado de la ecuación resulta: – R2 i2 – R4 i4 = – eg5 + eg7. Ahora sustituyendo las intensidades de los elementos por las intensidades de malla: – R2 (– iB) – R4 (iA – iB) = – eg5 + eg7 Agrupando por intensidades de malla: (R2 + R4) iB – R4 iA = –eg5 + eg7. Obsérvese de nuevo que, en la ecuación de la malla B: • Aparecen la intensidad de la propia malla y la intensidad de la malla A, que es la única que tiene elementos pasivos comunes con la malla B: el elemento 4. No aparece la intensidad de malla C al no compartir ningún elemento pasivo, ni la malla D porque el único elemento compartido es una fuente de tensión, que no es elemento pasivo. • Además, el elemento que multiplica a la intensidad de malla B: (R2 + R4) es exactamente la suma de todas las resistencias de la malla B. • El término que multiplica a la intensidad de la malla A, – R4 iA es la resistencia del elemento que común a las dos mallas y aparece con signo negativo. • Además ahora como hay elementos activos, éstos aparecen en el lado derecho de la ecuación con signo (+) si la intensidad de la malla sale por el (+) de la fuente y (–) si lo hace por el lado contrario. Repitamos de nuevo el proceso, ahora con la malla D; en el sentido de giro de la intensidad de malla, la ecuación resulta: eg7 + u10 – eg12 + u9 = 0 Sustituyendo los valores de las ecuaciones de los elementos, y pasando las fuentes al otro lado de la ecuación: R10 i10 + R9 i9 = – eg7 + eg12

79


Ahora sustituyendo las intensidades de los elementos por las intensidades de malla: R10 (iD)+ R9 (–iC + iD) = –eg7 + eg12 Agrupando por intensidades de malla: (R10 + R9) iD – R9 iC = –eg7 + eg12. Obsérvese de nuevo que, en la ecuación de la malla D: • Aparecen la intensidad de la propia malla y la intensidad de la malla C, con la que tiene elementos pasivos comunes: el elemento 9. No aparece la intensidad de malla A al no compartir ningún elemento, ni la malla B porque el único elemento compartido es una fuente de tensión. • Además, el elemento que multiplica a la intensidad de malla D: (R10 + R9) es de nuevo la suma de todas las resistencias de la malla D. • El término que multiplica a la intensidad de la malla C, – R9 iC es la resistencia del elemento común a las dos mallas y aparece con signo negativo. • Además ahora como hay elementos activos: – eg7 + eg12, estos aparecen en el lado derecho de la ecuación con signo (+) si la intensidad de la malla sale por el (+) de la fuente y (–) si lo hace por el lado contrario. De todo lo anterior se puede deducir cómo plantear una ecuación por el método de mallas de forma directa, y realicemos así la ecuación del nudo C: En la ecuación de una malla aparece la intensidad de la propia malla y todas las intensidades de las mallas que tengan elementos pasivos comunes. En el caso de la malla C aparecerán la intensidad iC y las intensidades de las mallas que comparten elementos pasivos: iA (elemento 6) e iD (elemento 9). Además, el elemento que multiplica a la intensidad de malla propia es exactamente la suma de todas las resistencias de la malla. En el caso de la malla C el término que multiplica a iC : (R6 + R9 + R11). El término que multiplica a la intensidad de las mallas que comparten elementos comunes es la resistencia (o la suma de resistencias en el caso de que sea más de una) del elemento común a las dos mallas y aparece con signo negativo. Para la malla C: El término que multiplica a la intensidad de la malla A es: – R6 iA. El término que multiplica a la intensidad de la malla D es: – R9 iD.

80


Además, si hay elementos activos (sólo fuentes de tensión), aparecerán en el lado derecho de la ecuación con signo (+) si la intensidad de la malla sale por el (+) de la fuente y (–) si lo hace al contrario. En la malla C hay un elemento activo que aparece en el lado derecho de la ecuación: –eg8. La ecuación total de la malla C será: (R6 + R9 + R11) iC – R6 iA – R9 iD = –eg8. De esta forma es muy sencillo analizar un circuito eléctrico. NOTA Si el circuito posee fuentes dependidentes cada una de ellas representa una nueva incógnita y, por tanto, precisa una nueva ecuación, que se obtendrá directamente de la relación de la tensión/intensidad de la que depende.

Ejemplo: solución del circuito de la figura 56 por el método de mallas.

4Ω

5Ω

A

+ 50V

–

uAB

2Ω

2Ω

10A

B

Figura 56.

Antes de plantear la solución del circuito observemos que no todas las fuentes del circuito son de tensión: hay una fuente de intensidad, que se ha de convertir en fuente de tensión para solucionarlo. Si repasamos lo visto en el capítulo anterior, la conversión de fuente de intensidad en fuente de tensión es:

Rg = 2Ω

A + eg

Rg

A ig

Rg

eg = Rg ig = 20 V B

B

81


El nuevo circuito se muestra en la figura 57, en el que hemos definido las dos intensidades de malla que utilizaremos para su resolución. Malla A: (4 + 2) iA – 2 iB = 50. Malla B: (5 + 2 + 2) iB – 2 iA = –20. 2Ω 4Ω

5Ω +

+ 2Ω

iA

50V –

iB

– 20V

Equivalente fuente de intensidad

Figura 57.

Resolviendo el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas: 6iA – 2 iB = 50 ⇒

6iA – 2iB = 50

9iB – 2 iA = –20 ⇒ 27iB – 6iA = –60 25iB

= –10

iB = – 0,4 A iA = 8,2 A Para calcular todas las tensiones e intensidades del circuito basta con volver el circuito al circuito original y resolver aplicando las leyes de Kirchhoff y de los elementos. En la figura 58 se muestran los resultados. i1

u1 4Ω

+ 50V –

iA u2

u3 i3

5Ω

2Ω iB i2

i1 = iA = 8,2A ⇒ u1 = 4i1 = 32,8V A

i4 u4

uAB

i3 = –iB = 0,4A ⇒ u3 = 5i3 = 2V 2Ω 10A

B

i4 = 10 – i3 = 9,6A ⇒ u4 = 2i4 = 19,2V

Figura 58.

82

i2 = iA – iB = 8,6A ⇒ u2 = 2i2 = 17,2V


La tensión en la fuente de intensidad es igual a la de la resistencia R4 (19,2 V) y la intensidad de la fuente de tensión es i1 (8,2 A). Obsérvese que para el cálculo de la tensión en las fuentes de intensidad es necesario acudir al circuito de modo que es el circuito conectado a la fuente quien fija dicha tensión. En el caso de la fuente de tensión es el circuito conectado a ella quién fija la intensidad que la circula. Una primera comprobación para saber si el problema está bien resuelto es aplicar la segunda ley de Kirchhoff a alguna malla (por ejemplo en la malla A se cumple que 50 = 32,8 + 17,2) Realizando el análisis de potencias ha de resultar siempre que la potencia consumida es igual a la generada:

Elemento pasivo

1: 4 Ω 2: 2 Ω 3: 5 Ω 4: 2 Ω Total

Potencia consumida 268,96 147,92 W

0,8

602

184,32

Elemento Tensión Intensidad Total activo 50 V 10 A Potencia generada W

410

192

602

EJEMPLO: Solución por el método de mallas de un circuito con fuentes dependientes. En la figura 59 se muestra el equivalente de un elemento electrónico llamado tiristor. En él, hay dos fuentes dependientes una de tensión de valor e1 = 3u1 V en donde u1 es la tensión entre los terminales A y B o en la resistencia de 2 Ω . La otra fuente dependiente es de intensidad de valor ii1 = 4i1 A que depende de la intensidad que sale de la fuente independiente de 90 V. i1 C 4Ω + 90V

–

A +

ii1 = 4i1

e1

1Ω

u1

2Ω

e1 = 3u1 B

B

Figura 59.

83


i1 C 4Ω –

1Ω +

+

+ 90V

A

e1

iA

– ui1 = 4i1

u1

2Ω

iB

e1 = 3u1 B

B Equivalente fuente de intensidad

Figura 60

De nuevo para solucionar el circuito todas las fuentes han de ser de tensión, por lo que se debe convertir la fuente de intensidad dependiente en una fuente de tensión. El circuito se muestra en la figura 60. Las ecuaciones de malla son: Malla A: 4 iA = 90 – e1 Malla B: (2+1) iB = ui1 Obsérvese que por no tener elementos pasivos comunes sólo aparecen las intensidades propias de las mallas. Ahora además tenemos dos nuevas incógnitas e1 y ui1 por lo que precisamos dos ecuaciones más. Estas ecuaciones se obtienen directamente de las definiciones de las fuentes: e1 = 3u1 como u1 no es variable del sistema hemos de ponerla en función de alguna de ellas en este caso como u1 es la tensión en la resistencia de 2 Ω, se puede expresar en función de la intensidad de malla iB . u1 = 2 iB y por tanto la ecuación necesaria será: e1 = 3 × 2 iB = 6 iB ii1 = 4i1 pero de nuevo i1 no es una variable del sistema pero la podemos poner en función de la intensidad de malla iA : i1 = iA: Por tanto la ecuación necesaria será: ii1 = 4 iA De este modo tenemos ya todas las ecuaciones necesarias para resolver el sistema. El resultado final se muestra en la figura 61.

84


30V

+ 90V

–

7,5A

10A A

4Ω

+

ii1 = 30A

e1

1Ω

20V

2Ω

e1 = 60V 20A B

B

Figura 61.

4.3. ANÁLISIS DE CIRCUITOS ELÉCTRICOS UTILIZANDO EL MÉTODO DE NUDOS Hemos visto en el apartado anterior, que una forma de resolver el problema del número de ecuaciones a la vez que sistematizar el cálculo consiste en utilizar como variable las intensidades de malla. Vamos ahora a definir un nuevo método en el que utilizaremos como variables las tensiones de cada uno de los nudos del circuito con respecto a otro llamado de referencia. Veamos un ejemplo: en la figura 62 se representa una parte de un circuito en el que se han representado varios nudos (D, E, F y G) y uno que se ha tomado como referencia (G) indicándose mediante el símbolo de «puesta a tierra» . Se han indicado además las variables que utilizaremos para la solución del circuito mediante el método de nudos: la diferencia de tensión entre cualquier nudo y el de referencia: las tensiones uDG, uEG, uDG, .... Estas tensiones se pueden relacionar fácilmente con las tensiones de los elementos; según la figura 62, • uDG = –e8 = –u6 + e9 • u6 = uEG – uDG • e7 = uEG – uFG Esta introducción nos ha servido también, para comprobar que si conocemos las tensiones de nudos podremos conocer las tensiones en todos los elementos, y mediante sus ecuaciones de definición las intensidades.

85


Para el análisis de un circuito por el método de nudos es necesario sistematizar la definición de los parámetros: • En el circuito a analizar por el método de nudos sólo puede haber fuentes de intensidad. Si hubiese en el circuito alguna fuente de tensión hemos de convertirla previamente en fuente de intensidad. • Todas las tensiones de nudo se definen con respecto a un nudo de referencia que se ha de definir en primer lugar. • Las intensidades y las tensiones en cada elemento pasivo van en el mismo sentido para que la ecuación de definición sea positiva: ui = Ri ii. u1, i1

u2, i2

A

B R1

u3, i3

C R2

R3

u4, i4

R4 u6, i6

ig7

E

D R6 e8

R5

u5, i5

F

e7

ig8

ig9

e9

u10, i10

R10

G

Figura 62.

Con el fin de deducir las reglas para la obtención de forma directa de las ecuaciones de nudos, analizaremos el circuito de la figura 62 compuesto por tres fuentes de intensidad y 7 resistencias. Tomaremos el nudo G como referencia. Con el fin de simplificar la notación, y para una mayor claridad en el desarrollo, en la figura 63 hemos eliminado los nombres de los elementos pasivos sustituyéndolos por un número (al elemento 4 le corresponden la

86


tensión u4, la intensidad i4 y la resistencia R4); y hemos agrupado las fechas de tensión e intensidad. Hemos dejado las fuentes de intensidad y el sentido de la tensión que hemos tomado es contrario a la intensidad (este criterio es habitual para las fuentes de tensión e intensidad de modo que la potencia generada sea positiva). A continuación, y con los datos que tenemos, vamos a realizar un análisis detallado del circuito partiendo de la primera ley de Kirchhoff, con el fin de obtener un sistema de ecuaciones en el que estén como incógnitas las tensiones de los nudos uAG, uBG, uCG, uDG, uEG, y uFG, de esta forma conseguiremos sistematizar la forma de plantear un sistema de ecuaciones más reducido. 1

A

C

B 2 uBG

uAG

3

4 6

uCG ig7

E

D

uEG e8

ig8

5

F

e7

uDG

uFG

ig9

10

G

Figura 63.

Las tensiones de cada elemento en función de las tensiones de nudo son: u1 = uAG – uBG

u2 = uCG – uBG;

u3 = uAG – uDG

u4 = uBG – uEG

u5 = – uCG + uFG

u6 = uEG – uDG

u10 = uFG

87


La relación entre tensión e intensidad en cada resistencia es: uk = Rk ik. En este caso vamos a plantear la primera ecuación de Kirchhoff a todos los nudos del circuito excepto al de referencia G, ya que esta ecuación sería linealmente dependiente. Para el nudo A: i1 + i3 = 0. en función de sus tensiones:

u1 u3 + = 0. R1 R3

Sustituyendo las tensiones de los elementos por las tensiones de nudos.

1 1 uAG − uBG + ( (u − uDG = 0. R1 R3 AG

)

)

 1 1 1 1 Reordenando:  uBG − u = 0. +  uAG − R1 R3 DG  R1 R3  Observe el lector que: • En esta ecuación aparecen la tensión del nudo A [uAG] y las de los dos nudos conectados mediante un elemento pasivo B [uBG] y D [uDG]. • El término que multiplica a la tensión propia del nudo del nudo [uAG] es la suma de las conductancias (o el inverso de las resistencias) de  1 1 todos los elementos que están unidos al nudo A  + .  R1 R3  • El término que multiplica a la tensión del nudo B, [uBG] es la conduc-

 1  tancia de la rama que une los nudos A y B  − uBG  , con signo nega R1  tivo, y lo mismo le ocurre al coeficiente que multiplica a la tensión del 1 sión del nudo D: − u . R3 DG • La suma de todos estos elementos es igual a cero (no hay fuentes de intensidad en el nudo A).

88


Veamos ahora la primera ecuación de Kirchhoff para el nudo B: i1 + i2 – i4= 0 Que, en función de sus tensiones queda:

u1 u2 u4 + − = 0. R1 R2 R4

Sustituyendo las tensiones de los elementos por las tensiones de nudos.

uAG − uBG uCG − uBG uBG − uEG + + =0 R1 R2 R4 Reordenando y cambiando de signo toda la ecuación queda:

 1 1 1  1 1 1  R + R + R  uBG − R uAG − R uEG − R uCG = 0  1 2 4 1 4 2 Observe, de nuevo el lector que en esta ecuación: • Aparecen la tensión del nudo B [uBG] y las de los tres nudos conectados mediante un elemento pasivo A [uAG], C [uCG] y E [uEG]. • El término que multiplica a la tensión propia del nudo del nudo [uBG] es la suma de las conductancias (o el inverso de las resistencias) de todos

 1 1 1 todos los elementos que están unidos al nudo B:  + + .  R1 R2 R4  • El término que multiplica a la tensión del nudo A, [uBG] es la con 1  ductancia de la rama que une los nudos A y B  − uCG  , con signo  R2  negativo, y lo mismo le ocurre al coeficiente que multiplica a la ten    sión del nudo C:  − 1 u  , y E  − 1 u  . CG EG  R2   R4  • La suma de todos estos elementos es igual a cero (no hay fuentes de intensidad en el nudo B). Veamos ahora el nudo F que posee una fuente de intensidad, la primera ecuación de Kirchhoff será: i5 + i10 + ig7 = 0, que, ordenándola pasando el término de la fuente a la otra parte del ecuación queda: i5 + i10 = – ig7.

89


Haciendo los mismos pasos que con los nudos A y B para las intensidades i5 e i10 queda la ecuación

uFG − uCG uFG + = − ig 7 R5 R10

 1 1  1 ⇒  + u = −i g 7 uFG −  R5 CG  R5 R10 

De nuevo en esta ecuación: • Aparecen la tensión del nudo F [uFG] y la del único nudo conectado mediante un elemento pasivo C [uCG] . Obviamente no aparece la tensión del nudo G por ser la referencia ni la del nudo E por estar conectado directamente a él pero mediante una fuente de intensidad. • El término que multiplica a la tensión propia del nudo del nudo F [uFG] es la suma de las conductancias de todos los elementos que están unidos a él, y el término que multiplica a la tensión del nudo C, es la conductancia de la rama que une los nudos F y C con signo negativo, • Ahora aparece en la derecha (término independiente de la ecuación) la intensidad de la fuente conectada al nudo [ig7] con signo negativo. Aparecerá en este término la suma de las fuentes de intensidad que confluyen en el nudo tomadas como positivas si la intensidad de la fuente entra en el nudo. Siguiendo las conclusiones de los resultados anteriores podremos obtener de forma directa la ecuación correspondiente al nudo E: • Aparecerán su tensión y la de todos los nudos conectados directamente mediante un elemento pasivo B [uBG], y D [uDG]. • El término que multiplica a la tensión propia del nudo [ueG] es la suma de las conductancias (de todos los elementos que están unidos a él:

 1 1 +  R R .  4 6 • El término que multiplica a la tensión del nudo B, es la conductancia  1  uBG  , de la rama que une los nudos E y B con signo negativo:  −  R4  y lo mismo le ocurre al coeficiente que multiplica a la tensión del nudo  1  D:  − uDG  .  R6 

90


• El término independiente será la suma de las fuentes de intensidad que confluyen en el nudo tomadas como positivas si la intensidad de la fuente entra en el nudo: [ig7 + ig9] (la intensidad de las dos fuentes entra en el nudo). La ecuación total del nudo será:

 1 1  1 1  R + R  uEG − R uBG − R uDG = i g 7 + i g 9  4 6 4 6 Siguiendo esta misma forma de plantear el sistema de ecuaciones, las del resto de nudos serán: Nudo D:

 1 1 1 1  R + R  uDG − R uAG − R uEG = − i g 8 .  3 6 3 6

Nudo C:

 1 1 1 1  R + R  uCG − R uBG − R uFG = 0.  2 5 2 5

Con este método hemos conseguido reducir el conjunto de ecuaciones a 6. No obstante aconsejamos al lector que antes de comenzar el análisis de un circuito por el método de nudos vea la posibilidad de reducir el número total de estos mediante la asociación de elementos. Por ejemplo en el circuito de la figura 62, las resistencias 3 y 1 están en serie y podrían reducirse a una sola R31 = R3 + R1 pudiendo absorber el nudo A. Lo mismo se le puede aplicar a las resistencias 2 y 5 agrupándola en una sola y eliminando el nudo C. Con esto se conseguiría fácilmente reducir a 4 el número de nudos y, por tanto, el de ecuaciones. En este caso el circuito y sus ecuaciones serían: B

13

4

uBG

6

ig7

E

D uEG e8

ig8

25

F

e7

uDG ig9

uFG

10

G

91


 1 1  1 1 Nudo D:  uDG − uBG − u = − ig 8 +  R13 R6 EG  R13 R6   1 1  1 1 Nudo E:  uEG − uBG − u = ig 7 + ig 9 +  R4 R6 DG  R4 R6   1 1  1 Nudo F:  + uFG − u = −i g 7  R25 BG  R25 R10   1 1 1  1 1 1 Nudo B:  uBG − uDG − uEG − u =0 + +  R13 R4 R25 FG  R13 R25 R4  IMPORTANTE

Recuerde el lector que resolver el circuito es calcular las tensiones y las intensidades en TODOS los ELEMENTOS DEL CIRCUITO REAL y no en los simplificados.

Al igual que en el análisis por mallas si el circuito posee fuentes dependidentes cada una de ellas representa una nueva incógnita y, por tanto precisa una nueva ecuación, que se obtendrá directamente de la relación de la tensión/intensidad de la que depende.

EJEMPLO análisis del circuito de la figura 65 por el método de nudos. En este caso observamos que hay una fuente de de tensión que hemos de convertir a fuente de intensidad y que el nudo de referencia tomado ha sido el D. El cambio de fuente de tensión a fuente de intensidad que hemos representado ya en la figura 65 b, se hace del mismo modo que en los ejemplos anteriores. Tenga el lector mucho cuidado con la situación del (+) de la fuente de tensión y del sentido de la flecha en la fuente de intensidad: la flecha ha de dirigirse hacia el sentido en donde estaba antes el (+). En la figura 65 b, hemos indicado la tres tensiones que por el método de nudos corresponden a las variables del sistema. Las ecuaciones planteadas de forma directa quedarán:

 1 1 1 Nudo A:  +  uAD − uBD = 16  6 8 6

92


Equivalente fuente de tensión

6Ω

A A

6Ω

B

3Ω

18V

B

C

3Ω 6A

C

+ 16A

8Ω

4Ω

2Ω

uBD

2Ω

16A

3A

8Ω

3A

4Ω

uAD

uCD D

D

Figura 65a. Circuito original.

Figura 65b. Circuito modificado para el análisis por nudos.

 1 1 1 1 1 Nudo B:  + +  uBD − uAD − uCD = 6 6 3  6 4 3  1 1 1 Nudo C:  +  uCD − uBD = 3 − 6 3  3 2 Observe el lector que el hecho de que se haya pintado la fuente de intensidad agrupada con su resistencia en paralelo no significa que no esté conectada dicha resistencia entre los nudos extremos como se indica en la figura 66.

A

B

C

3Ω

6Ω 8Ω uBD

2Ω 4Ω

uAD

3A uCD

D

Figura 66.

Quitando los denominadores las ecuaciones y resolviendo el sistema obtenemos:

93


 uAD = 70,14 V  9uBD − 2uAD − 4uCD = 72  uBD = 26,74 V  u = 7,10 V 5uCD − 2uBD = −18 CD  7uAD − 4uBD = 384

Uno de los posibles procesos para resolver el circuito es como sigue (los resultados se indican en la figura 67. 43,4V

1,64V

A 7,23A

B 0,55A

6Ω

C

18V

6,67A

3Ω

+

8,77A 8Ω 16A

2Ω

26,74V 4Ω

70,14V

3A 7,1V 3,55A

D

Figura 67.

Como conocemos las tensiones uAD, uBD, uCD conocemos directamente la tensión en las resistencias de 8 Ω, [uAD], en la de 4 Ω, [uBD], y en la 2 Ω, [uCD], por lo que podremos conocer las intensidades que circulan por dichos elementos por aplicación de la ley de Ohm. La tensión en la resistencia de 6 Ω se puede obtener mediante las tensiones uAD, uBD, así, uAB = uAD – uBD, por tanto uAB = 43,4 V, la intensidad que la circula se calcula aplicando la ley de Ohm. La intensidad que circula por la resistencia de 3 Ω, se calcula fácilmente aplicando la primera ley de Kirchhoff al nudo B, ya que sabemos las intensidades que circulan por las resistencias de 6 Ω y de 4 Ω . La tensión en esa resistencia se calcula de nuevo mediante la ley de Ohm. La tensión en la fuente de intensidad de 15 A es la misma que la de su resistencia en paralelo: 70,1 V, la tensión en la fuente de intensidad de 3A es la tensión de la resistencia en paralelo o la tensión calculada uCD : 7,1 V. Por fin, la intensidad en la fuente de tensión, es la misma que la que circula por la resistencia que está en serie con ella: 0,55 A.

94


De nuevo, para comprobar si los cálculos están bien hechos es conveniente analizar una malla o un nudo. Si nos fijamos en le nudo C se cumple: intensidades entrantes en el nudo (3 A + 0,55 A) son iguales a las salientes (3,55 A). Obsérvese que en este ejemplo la intensidad de la fuente de tensión es entrante a la fuente por el terminal señalado con un (+), esto indica que en este caso esta fuente se está comportando como un elemento pasivo. Realicemos un balance de potencias en el que ha de resultar siempre que la potencia consumida es igual a la generada: Elemento pasivo Potencia consumida W Elemento activo Potencia generada W

8Ω

6Ω

4Ω

3Ω

2Ω

TOTAL

615,1

313,78

178,35

0,90

25,2

1.133,33

Tensión 18 V

Intensidad 16 A

Intensidad 3A

TOTAL

–9,9

1.122,2

21,3

1.133,6

Observe el lector que los resultados del balance no cuadran exactamente, esto ocurre porque al no ser cifras exactas no hemos tenido en cuenta más que una o dos cifras decimales por lo que este error de redondeo se acumula dando este tipo de errores. No confunda el lector este error de redondeo que debe ser siempre una proporción mínima de la cantidad (obsérvese que aquí el error es menor de un 0,03% de la cantidad expresada), cuando los errores son de magnitud superior son por errores de cálculo o planteamiento.

4.4. EJERCICIOS DE AUTOCOMPROBACIÓN EJERCICIO IV.1: En el circuito de la figura, calcule la tensión uBD en la resistencia de 4 Ω, por aplicación del método de análisis de mallas.

95


+ 21V 6Ω

3Ω

B

A

C

2Ω

uBD 3A

+

4Ω

6Ω

8V D

EJERCICIO IV.2: Considere la red resistiva representada en la figura adjunta, calcule por el método de mallas las intensidades i2, i3 e i4, y las potencias suministradas por los generadores y consumidas por las resistencias. Compruebe que se cumple el principio de conservación de la energía. 4Ω

i2

6Ω

i3

B i4

4Ω

2Ω uBD

8Ω

+

+ 12V

3V D

EJERCICIO IV.3: En la red resistiva representada en la figura adjunta, calcule por el método de nudos la tensión uAB, y las potencias suministradas por los generadores y consumidas por las resistencias. Compruebe que se cumple el principio de conservación de la energía.

6Ω

9A

12Ω

12A

A

6Ω

uAB

B

96


EJERCICIO IV.4: Para el circuito de la figura, plantee las ecuaciones del análisis por nudos y realice el balance de potencias. 6V

+

0,5Ω

B

1Ω

4V

0,5Ω

A

C +

2A

1Ω

uBD

0,5Ω 2A D

ATENCIÓN. Obsérvese que el nudo B está representado como una línea y que la fuente de tensión de 6V, no se puede convertir en fuente de intensidad por lo que para poder resolver el circuito se tendrá que aplicar el principio de sustitución.

97

TEMA 5

TEOREMAS FUNDAMENTALES DEL ANÁLISIS DE CIRCUITOS

5.1. Principio de superposición 5.2. Teorema de sustitución 5.3. Dipolo equivalente Thévenin y dipolo equivalente Norton a) Cálculo del valor de la fuente de tensión del equivalente Thévenin b) Cálculo de la intensidad del circuito equivalente Norton c) Cálculo de la resistencia de los equivalentes Thévenin y Norton d) Concordancia de los equivalentes Thévenin y Norton 5.4. Ejercicios de autocomprobación

En este capítulo veremos los principales teoremas que nos sirven para el desarrollo de la asignatura. No demostraremos casi ninguna de las afirmaciones que vamos a realizar; para ello al lector interesado le aconsejamos la lectura de Parra y otros [1]. Todo lo que a continuación se enuncia se basa en la propiedad que los circuitos eléctricos que vamos a estudiar son lineales, lo que significa que: • Se pueden sumar los efectos individuales de cada una de las fuentes • Si se multiplica todas las fuentes por un coeficiente, todas las tensiones e intensidades del circuito se ven multiplicadas por este coeficiente. La primera parte de la definición se denomina principio de superposición y da lugar a un método de resolución de circuitos que implica la solución del circuito por fuentes o conjunto de fuentes.

99


De la segunda definición veremos cómo, conociendo la respuesta de un circuito ante una determinada excitación, podremos saber la respuesta ante un múltiplo de dicha excitación. Además de estos principios veremos el Teorema de sustitución, y analizaremos dos equivalentes de cualquier circuito eléctrico: los equivalentes Thévenin y Norton.

5.1. PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN Hemos definido en la introducción que una de las consecuencias de la linealidad de los circuitos eléctricos (los que vamos a estudiar en esta asignatura y que representa la mayor parte de los circuitos que nos rodean) que la respuesta de un circuito en el que existen varias fuentes, se puede calcular como la superposición de las respuestas del circuito a cada fuente individual. Para aislar una fuente de tensión o intensidad, lo que debemos hacer es anular el resto de fuentes de tensión e intensidad. Anular una fuente significa hacer cero el valor de consigna, lo que implica que las fuentes de tensión se conviertan en cortocircuitos y las fuentes de intensidad en circuitos abiertos. En la figura 68 se resume como se anulan las fuentes de tensión e intensidad. Veamos un ejemplo: supongamos el circuito de la figura 69 en el que hemos incluido dos fuentes de tensión. Fuente de tensión

Fuente de intensidad

eg = 0 Cortocircuito

ig = 0 Circuito abierto

A

A

A

A

+ eg

B

ig

eg = 0

B

B

ig = 0

B

Figura 68. Forma de anular las fuentes de tensión e intensidad para el análisis por superposición o para hacer pasivo un circuito eléctrico.

100


R1 u1 i2

ig1

R3

R2

+ eg1

u3

u2

eg3

ig3 +

Figura 69

Si denominamos como: i’, u’, ..., a las respuestas de los elementos del circuito cuando sólo actúa la fuente eg1 y denominamos como valores: i”, u”, ..., a las respuesta de los elementos del circuito cuando sólo actúa la fuente eg2, el principio de superposición afirma que uk = uk’ + uk’’ y que ik = ik’ + ik’’ para cualquier elemento. Para comprobar esta afirmación en lo que sigue resolveremos primero el circuito completo y luego cada uno de los circuitos de forma separada y sumaremos los resultados finales. Suponemos los valores R1 = R2 = R3 = 2 Ω y eg1 = eg2 =6 V. a) Circuito completo con las dos fuentes. R1 u1 ig1 + eg1

R1

i2

R3

R2

u3

u2

eg3

ig3 +

ig1 + eg1

iA

u1 i2

R3 u3

R2 u2

eg3

iB ig3

+

Analizando por mallas el circuito: • (R1 + R2) iA – R2 iB = eg1 • (R2 + R3) iB – R2 iA = –eg3

101


Resolviendo las ecuaciones se obtienen los valores de las intensidades de malla: • 4 iA – 2 iB = 6 • 4 iB – 2 iA = –6 • iA = 1 A • iB = –1 A Y de ellas el resto de variables del circuito: ig1 = iA = 1 A;

ig3 = –iB = 1 A;

i2 = iA – iB = 2 A;

u1 = 2 ig1 = 2 V;

u3 = 2 ig3 = 2 V;

u2 = 2 i2 = 4 V;

ig1 = 1 A;

ig3 = 1 A;

i2 = 2 A;

u1 = 2 V;

u2 = 4 V;

u3 = 2 V;

b) Ahora resolveremos el circuito con cada fuente de forma separada. Con sólo la fuente 1

Con sólo la fuente 2

R1 u’1 i’g1 +

eg1

R1 u”1

i’2

i”g1

R2

R2 u’2

u’3

R3

i’g3

En este caso R2 y R3 están en paralelo por lo que se puede reducir a una sola resistencia. Además prescindiremos de todas las intensidades que no sean la de la fuente.

102

i”2

u”2

eg3

u”3

R3

i”g3 +

En este caso están en paralelo R2 y R1 por lo que se puede reducir a una sola resistencia. De nuevo prescindiremos de todas las intensidades excepto la de la fuente.




R1 i’g1

R12

u’1

+

u”1 u’2

eg1

eg3

R23 =

u”3

R23

R2 ⋅ R3 = 1Ω R2 + R3

R12 =

En este caso u’2 = –u’3

R3

i”g3 +

R2 ⋅ R1 = 1Ω R2 + R1

Aquí se cumple u”1 = – u”2

Planteando la 1.a ley de Kirchhoff: eg1 = u’1 + u’2 = 2i’g1 + 1i’g1= 6 V Se obtiene la intensidad. i’g1= 2 A y de ella el resto de variables del sistema u’1 = 2i’g1 = 4 V u’2 = –u’3 = 2 V i’2= u’2 /2 = 1 A i’g3= u’3 /2 = –1 A

Planteando la 1.a ley de Kirchhoff: eg3 = u”3 – u”1 = 2i”g3 – 1(–i”g3) = 6 V Se obtiene la intensidad. i”g3= 2 A y de ella el resto de variables del sistema u”3 = 2i”g3 = 4 V u”1 = –1i”g3 = –2 V u”2 = –u”1 = 2 V i”g1= u”1/2 = –1 A i”2= u”2/2 = 1 A

Total i’g1 = 2 A i’g3 = –1 A i’2 = 1 A u’1 = 4 V u’2 = 2 V u’3 = –2 V

i”g1 = –1 A i”g3 = 2 A i”2 = 1 A u”1 = –2 V u”2 = 2 V u”3 = 4 V

Obsérvese que, en efecto, el valor total calculado anteriormente es la suma de todos los parciales.

103


5.2. TEOREMA DE SUSTITUCIÓN Según este teorema podremos sustituir cualquier elemento de un circuito por una fuente de tensión igual a la tensión que tiene el elemento o por una fuente de intensidad igual a la que circula por el elemento, sin que se note ninguna diferencia en el circuito. Además la fuente se comportará como el elemento al que sustituye (si sustituye a una resistencia se comportará como tal, consumiendo potencia y energía). R1 u1 i2

ig1 +

eR2 +

eg1

u3

4V

eg3

R3

ig3 +

Figura 70.

Este teorema se utiliza en demostraciones y en aquellos casos en los que una fuente de intensidad no se puede sustituir por una fuente de tensión cuando analizamos un circuito por nudos o al contrario cuando lo analizamos por mallas. Veamos un ejemplo, en el circuito de la figura 70 la tensión de la resistencia R2, u2 = 4 V. El teorema asegura que si sustituimos la resistencia por una fuente de tensión de 4 V el circuito no se modificará (no variará ninguna tensión ni intensidad), y además esta fuente consumirá la misma potencia que la resistencia. Volviendo a plantear las ecuaciones de la 2.a ley de Kirchhoff: • R1 ig1 + 4 – eg1 = 0

⇒ 2ig1 = 2

⇒ ig1 = 1 A

• R3 ig3 + 4 – eg3 = 0

⇒ 2ig3 = 2

⇒ ig3 = 1 A

Las intensidades i2 = ig1 + ig31 = 2 A.

104


Obsérvese que el resto de datos son exactamente iguales que en el caso resuelto anteriormente.

5.3. DIPOLO EQUIVALENTE THÉVENIN Y DIPOLO EQUIVALENTE NORTON En muchos casos, cuando estamos analizado el funcionamiento de un circuito, sólo necesitamos conocer la respuesta de una parte de él y, por tanto, no necesitaríamos tener que resolver todo el circuito eléctrico para analizar esa parte. En los circuitos anteriores esto no se pude hacer (lo podremos dejar de resolver pero analizar lo hemos de analizar). El caso más normal es el de analizar un circuito conectado a la red. La red eléctrica no siempre se puede considerar como una fuente de tensión ideal, y por tanto hay que conocer su comportamiento. Claro que para eso no nos vamos a resolver todos los circuitos conectados, utilizaremos un equivalente de la red. Los más sencillos son los que conocemos como los equivalentes Thévenin y Norton que sustituyen la parte del circuito que no queramos tener que resolver cada vez. Como ya hemos dicho este equivalente sirve sólo para analizar lo que ocurre fuera del equivalente y no de lo que ocurre dentro del dipolo. Si recordamos cómo una fuente de tensión se podría convertir en fuente de intensidad podemos ver que el equivalente Thévenin de un circuito y el Circuito

R1 ig1 +

eg1

E

C

u1

i2

R2

u2 eg3

R3

u4

u3 R5 D

Equivalente Norton

i

i

i

R0 A u0

ig3 +

R4

Equivalente Thévenin

B

+ e0

A u B

Ecuaciones de equivalencia

A Rcc iN

u

R0 = Rcc e0 = Rcc iN

B

u5

Figura 71. Forma esquemática de los circuitos equivalentes Thévenin y Norton.

105


equivalente Norton deben ser entre si equivalentes si de verdad representan el funcionamiento de todo el circuito1. Recuerde el lector que para que ambos equivalentes sean sustitutos, el uno del otro ha de verificarse como en cualquier fuente de tensión e intensidad: El cálculo de estos equivalentes es relativamente sencillo veamos cómo se calcula.

a) Cálculo del valor de la fuente de tensión del equivalente Thévenin Para que el equivalente Thévenin sea realmente un equivalente del circuito que va a sustituir, ha de serlo en todas las circunstancias, por ejemplo, cuando dejamos los terminales A y B en vacío como se indica en la figura 72. Circuito

Equivalente Thévenin i0 = 0A A

C

u0

i0 = 0A A R0

+ e0

B

u0

B

Figura 72.

Dentro del equivalente Thévenin, si la intensidad i0 es nula la caída de tensión en la resistencia R0 será nula también y, por tanto aplicando Kirchhoff se obtiene que: e0 = u0 Por tanto la tensión de la fuente del equivalente Thévenin es igual a la tensión que aparece entre los terminales A y B del circuito cuando estos terminales están abiertos o en vacío: e0 = u0. 1 Esta demostración así como la de que realmente estos equivalentes son equivalentes reales consulte el lector la referencia de Parra y otros [1]-

106


b) Cálculo de la intensidad del circuito equivalente Norton En la figura 73 se muestra cómo se calcula esta intensidad del equivalente. Para que el equivalente Norton sea realmente un equivalente al circuito que va a sustituir, ha de serlo en todas las circunstancias, por ejemplo cuando se cortocircuitan los terminales A y B como se indica en la figura 73. Circuito icc

Equivalente Norton icc

A ucc = 0A

C

A

iR Rcc

ucc = 0A

iN B

B

Figura 73.

Si cortocircuitamos A y B, la caída de tensión en la resistencia, que está cortocircuitada, será también nula, por lo que no puede circular intensidad por ella (recordemos que uR =Rcc iR y, si uR = 0 lo tiene que ser iR). Por tanto, si la intensidad iR es nula al aplicar al 1.a ley de Kirchhoff al nudo A se obtiene que: iN = icc Por tanto, la intensidad del equivalente Norton iN es la intensidad que circula entre los terminales A y B cuando estos terminales están cortocircuitados (icc).

c) Cálculo de la resistencia de los equivalentes Thévenin y Norton La deducción para el cálculo de esta resistencia se basa en la aplicación del principio de superposición y las condiciones de linealidad. No vamos a realizar su demostración pero el lector interesado podrá verla en la referencia Parra y otros [1]. Para el cálculo de dicha resistencia será necesario hacerlo sobre el circuito pasivo. Se llama CIRCUITO PASIVO de un circuito al que se obtiene eliminando las fuentes de tensión e intensidad independientes.

107


La resistencia de los dos equivalentes es la resistencia entre los terminales A y B en el circuito pasivo. Hay dos formas de cálculo de la resistencia, una utilizada habitualmente cuando el circuito no contiene fuentes dependientes, que se basa en la reducción serie–paralelo, hasta obtener una única resistencia entre ambos terminales. La segunda forma de hacerlo es utilizar una fuente externa conectarla al circuito pasivo, (puede ser bien una fuente de tensión bien una fuente de intensidad), como se muestra en la figura 74.

R0

A

A + eg

Circuito pasivo

Circuito pasivo

i

R0 u

B

ig

B

Figura 74.

Este método se utiliza habitualmente cuando en el circuito pasivo hay fuentes dependientes, que por no ser independiente no se pueden eliminar, y por tanto no se pueden reducir fácilmente las resistencias del circuito. Tanto en el caso de poner una fuente de tensión como una fuente de intensidad se resuelve el circuito para conocer la relación tensión/intensidad de la fuente. Esta relación nos dará la resistencia equivalente. Obsérvese que en la figura 74:

eg i

= R0 =

u ig

Si la fuente de tensión la hacemos igual a 1V la intensidad que sale de la fuente tendrá el mismo valor numérico que el inverso de la resistencia, y si la fuente de intensidad la hacemos igual a 1A la tensión de la fuente tendrá el valor numérico de la resistencia que buscamos.

108


d) Concordancia de los equivalentes Thévenin y Norton Por ser los dos el equivalente de un mismo circuito ambos tienen que ser equivalentes entre sí; luego se ha de verificar, además de que las resistencias sean iguales (en este caso lo hemos impuesto), que se cumpla que e0 = R0 icc Esta ecuación se utiliza en ocasiones para el cálculo de la resistencia del equivalente. Es decir en vez de analizar el circuito pasivo en ocasiones resulta más cómodo calcular la tensión en vacío y la intensidad de cortocircuito, con estos dos valores el cálculo de la resistencia es sencillo:

R0 =

e0 icc

IMPORTANTE

Para el cálculo de los equivalentes Thévenin y Norton es FUNDAMENTAL los sentidos que elijamos de tensiones e intensidades. Además esta elección es muy importante para la relación entre uno y otro como lo era en las fuentes de tensión e intensidad.

Relaciones positivas entre todos los parámetros

Equivalente Thévenin i

Equivalente Norton

R0

+

i

A

A

Rcc u

e0

u

icc

B

B

i

A + e0

u

Rcc icc

A

u

i B

B

Veamos el ejemplo de la figura 75.

109


R1

R4

C

u1 ig1

iº

u4 A

i2

iA

R2

R3 u2

+ eg1

u0

u3

eg1 = eg3 = 6V

iB

eg3

E

R1 = 2Ω = R2 = R3 = R4 = R5

B R5

ig3 D

+

u5

Figura 75.

Cálculo de la tensión en vacío u0 = e0 la fuente de tensión del equivalente Thévenin. Por estar abierto el circuito, la intensidad i que circula por las resistencias R4 y R5 es cero. En estas circunstancias las tensiones de las resistencias R4 y R5 son cero (recordemos que u4 = R4 i). Por tanto el potencial del nudo A es el mimo que el del nudo C y lo mismo ocurre con B y D esto hace que la tensión u0 sea la misma tensión que entre C y D. Con esta consideración, el circuito de la figura 75 lo podremos reducir al de la figura 76. R1 C u1 ig1

iA

A

i2 R2

R3 u0

+

u3

eg1 u2

E

iB

B

ig3

eg3 +

D

Figura 76.

110


Y por tanto la tensión u0 = –u3. Para calcular la tensión u3 resolveremos el circuito, aunque en este caso sólo nos interesa conocer el valor de u3 y no el resto de tensiones e intensidades. Para resolver el circuito utilizaremos el método de mallas y calcularemos la intensidad de malla iB. Conocida esta intensidad la intensidad que circula por la resistencia R3 es ig3 = –iB y la tensión u3 = R3 ig3. Por fin, la tensión u0 = –u3. Analizando por mallas el circuito: • (R1 + R2) iA – R2 iB = eg1 • (R2 + R3) iB – R2 iA = –eg3 • 4 iA – 2 iB = 6 • 4 iB – 2 iA = –6 Resolviendo el sistema obtenemos que: iB = –1 A; y por tanto: ig3 = –iB = 1 A; la tensión de la resistencia R3 será, por tanto: u3 = 2 ig3 = 2 V; y por fin la tensión en vacío: u0 = –u3 = –2 V; Obsérvese que la tensión u0 tiene un valor negativo, lo único que significa es que realmente el punto B tiene mayor potencial eléctrico que el A. Cálculo de la Resistencia equivalente para los equivalentes Thévenin y Norton En el circuito de la figura 77 se muestra el circuito pasivo: Hemos eliminado las fuentes de tensión (las hemos sustituido por un cortocircuito). (a)

(b) C

R1 R2

C R4

R4

A

A

R3 R123 B

B

R5 E

D

R5 D

Figura 77.

111


Lo que pretendemos ahora es calcular cual es la resistencia equivalente del circuito vista desde A y B, para ello, en circuitos sencillos como el de la figura, intentaremos reducir todos los elementos pasivos (resistencias en nuestro caso) hasta que quede uno sólo, equivalente al conjunto. Una vez hecho pasivo el circuito se observa en la figura 77 a que el nudo E y el nudo D son el mismo: los une un cortocircuito. Por tanto las resistencias R1, R2 y R3 están conectadas entre los mismos nudos, y, por tanto, están en paralelo. Así podremos reducir este grupo de tres resistencias a una sola según:

1 1 1 1 = + + R123 R1 R2 R3

1 1 1 1 = + + R123 2 2 2

R123 = 2 / 3 Ω

Sustituyendo esta resistencia por el conjunto de las tres, el circuito queda como indica la figura 77b formado por tres resistencias en serie. La resistencia total vista desde A y B es: R0 = R123 + R4 + R5

R0 = 14/3 Ω

El otro método para el cálculo de la resistencia equivalente se muestra en la figura 78: hemos conectado al circuito pasivo, la fuente de tensión eg, la resistencia equivalente será la relación entre esta tensión y la intensidad que circula por ella i. Para resolver el circuito podremos plantear tres ecuaciones de malla, con tres incógnitas. Si reducimos las resistencias R1, R2 y R3 a una sola, reducimos el problema a una malla sola, como se muestra en la figura 79, por lo que tendremos un sistema con una ecuación y una incógnita, la intensidad de malla iC. Además esta intensidad coincide con al intensidad i de la fuente. Así, ahora la ecuación de la malla C quedaría: (R4 + R123+ R5) iC = eg. e 14 Como iC = i, la relación g = R0 = R4 + R123 + R5 = Ω. 3 i Que efectivamente da el resultado que ya conociamos. Se realiza de la misma forma si se conecta entre A y B una fuente de intensidad.

112


R1

C

R4 C

R4

i iA

i

A

R2

iC

+ R3

eg

iC

iB

+ eg

R123 B

B

R5

R5 E

A

D

D

Figura 78.

Figura 79.

Equivalente Thévenin del circuito Sustituyendo los valores de tensión e intensidad que hemos obtenido el equivalente Thévenin del circuito se muestra en la figura 80. Obsérvese que hemos respetado los signos originales por lo que la tensión el equivalente ha salido negativa. A +

14/3Ω

–2V

B

Figura 80.

Cálculo de la intensidad de cortocircuito icc la fuente de intensidad del equivalente Norton Para el cálculo de esta intensidad basta con cortocircuitar los terminales A y B del circuito de la figura 76 y calcular la intensidad que circula por ellos (figura 81). Obsérvese en la figura 81 que la intensidad icc coincide con la intensidad de malla iC.

113


R1

C

u4

u1

+

A

i2

iA

ig1

R3 R2

eg1

R4

iB

u2

eg3

E

iC

u3

B R5

ig3 +

icc

D u5

Figura 81.

Por tanto analizaremos el circuito intentado obtener en primer lugar la incógnita iC (la única que nos interesa en este caso). Las ecuaciones de malla del circuito son:

A

• (R1 + R2) iA – R2 iB = eg1 • (R2 + R3) iB – R2 iA – R3 iC = –eg3

–3/7A

14/3Ω

• (R4 + R5+ R3) iC – R3 iB = 0 • 4 iA – 2 iB = 6

B

• 4 iB – 2 iA – 2 iC = –6

Figura 82.

• 6 iC – 2 iB = 0 Resolviendo el sistema por el método de sustitución: • 6 iC – 2 iB = 0

⇒ iB = 3 iC;

• 4 iA – 2 iB = 6

⇒ iA= (3+ iB )/ 2 ⇒ iA= 3(1+ iC )/ 2

• 4 iB – 2 iA – 2 iC = –6

⇒ 12 i – 2 [3(1+ iC)/ 2] – 2 iC = –6 ⇒ iC = –3/7 A

Por tanto icc = iC = –3/7 A Equivalente Norton del circuito se muestra en la figura 82. Obsérvese que hemos respetado los signos originales por lo que la intensidad del equivalente ha salido negativa. EJEMPLO V.1: En el circuito de la figura 83, calcule el equivalente Thévenin visto desde los terminales A y B.

114


El circuito está formado por dos resistencias y dos fuentes de tensión una de ellas independiente de valor E, y otra dependiente de valor Ri siendo i la intensidad que circula por el circuito, en el sentido indicado Cálculo de la tensión en vacío: Al estar en vacío la carga la intensidad i es cero y por tanto valdrá cero la fuente de tensión dependiente (se convierte en un CORTOCIRCUITO) y también serán cero, la caída de tensión en las dos resistencias (ver figura 84). i

R

+ E

A

R

i

+

A

E R

u

u

+

+

Ri

Ri B

B

Figura 83.

Figura 84.

Aplicando la 1.a ley de Kirchhoff obtenemos que la tensión entre A y B es: e0 = E Cálculo de la resistencia equivalente: En este caso por haber una fuente de tensión dependiente, la deberemos calcular por el segundo método que hemos visto: aplicar una fuente de tensión a los terminales A y B, y analizar la relación tensión/intensidad. El circuito pasivo equivalente (ver figura 85) se obtiene eliminando la fuente de tensión E que es la única independiente. i

i

R

R

A

A +

R

R

u Ri

Ri

+ B

Figura 85.

+

i

u

B

Figura 86.

115


En la figura 86 se muestra el circuito pasivo con la fuente de valor u, para resolver el circuito, resolvemos la malla: (R + R) i = u – Ri 3Ri = u ⇒ Req = 3R El circuito equivalente Thévenin pedido queda: A + E

3R

B

EJEMPLO V.2: En el circuito de la figura 87, el generador E proporciona una tensión de 100 V y R tiene un valor de 10 Ω. Calcule el equivalente Norton visto desde los terminales A y B. El circuito dispone de dos resistencia y dos fuentes, una de tensión independiente de valor E y otra de intensidad dependiente de valor gV1 en donde V1 es la tensión entre los terminales A y B. R

R A

+ E

V1

gV1

B

Figura 87.

Cálculo de la intensidad en cortocircuito: Al cortocircuitar A y B la tensión V1 se hace nula por lo que la fuente de intensidad dependiente se hace nula (es decir se convierte en un circuito ABIERTO). El circuito final queda como el de la figura 88, que se resuelve fácilmente por mallas:

2 R icc = E ⇒ icc =

116

E 2R


R

R A icc

+ E

gV1

V1 = 0

icc

B

Figura 88.

Cálculo de la impedancia del equivalente Norton La impedancia del equivalente se calcula haciendo pasivo el circuito (anulado la fuente de tensión E) y calculando la relación tensión/intensidad de la fuente colocada entre los terminales A y B (figura 89). R

R A i + V1

gV1

u

B

Figura 89. Obsérvese que la tensión V1 ahora es igual a la de la fuente de tensión u, y para resolver más fácilmente el circuito cambiaremos la fuente de intensidad con la resistencia R en paralelo, por su equivalente en fuente de tensión según se muestra en la siguiente figura 90: R

R A i +

+ RgV1

i

V1

u

B

Figura 90.

117


La solución es sencilla planteando la ecuación por mallas: 2R i = u –Rgu = (1 – gR) u por tanto, la resistencia equivalente es:

Req =

u 2R = i (1 − gR )

El equivalente Norton es: A

icc

Req

B

5.4. EJERCICIOS DE AUTOCOMPROBACIÓN EJERCICIO V.3. En el circuito de la figura, determine los equivalentes Thévenin y Norton del circuito comprobando los resultados. A 8Ω 2Ω + D

B

–

20V

5Ω 5Ω C

EJERCICIO V.4. En el circuito de la figura, determine los equivalentes Thévenin y Norton del circuito comprobando los resultados. i1

C

A ii1 = 50i1

+ 90V

3kΩ

B

118

uAB

200Ω

–

B


EJERCICIO V.5. En el circuito de la figura, determine los equivalentes Thévenin y Norton del circuito comprobando los resultados. i1

C

10Ω

+

+

ii1 = 4i1

e1

–

15V

A

uAB

5Ω

e1 = 3uAB B

B

EJERCICIO V.6. En el circuito de la figura, determine los equivalentes Thévenin y Norton del circuito comprobando los resultados. 4Ω

i2

i3

C

6Ω A

i4 2Ω

4Ω

8Ω

uBD

+

+ 12V

uAB

B

3V

D

119

TEMA 6

MAGNITUDES SINUSOIDALES

6.1. Introducción 6.2. Valor Eficaz 6.3. Notación Compleja 6.4. Leyes de Kirchhoff 6.5. Notación Compleja con valores eficaces 6.6. Ejercicios de autocomprobación

Una vez terminado el análisis de los circuitos eléctricos de forma general vamos, tras habernos dedicado al caso particular de la corriente continua vamos a pasar a la solución de circuitos en corriente alterna. Este tipo de corriente es el más utilizado en nuestro mundo. Prácticamente todos los sistemas de generación-distribución y consumo de la electricidad se hacen utilizando este tipo de corriente. Normalmente se utilizan las siglas c.a. (corriente alterna) o las homónimas en inglés AC (alternating current). Comenzaremos este capítulo definiendo la corriente alterna y los parámetros que la identifican. El análisis de circuitos en corriente alterna se basa básicamente en lo dicho hasta ahora, las leyes de Kirchhoff y las ecuaciones de cada elemento; el problema comienza cuando los elementos son bobinas y condensadores cuya ecuación de definición es una ecuación en derivadas y las tensiones e intensidades que recorren los elementos son variables con el tiempo: un pequeño circuito se convierte de pronto en una ecuación íntegro-diferencial. ¿Qué vamos a hacer para no tener que hacer una análisis matemático profundo para resolver pequeños circuitos? Pues vamos a modificar nuestras variables (en función del tiempo) y las pasaremos al campo complejo, en el

121


que pese a su nombre, las integrales se convierten en divisiones y las derivadas en multiplicaciones. Todo el cálculo se simplifica enormemente pasando a operar en variables complejas (con módulo y argumento o parte real e imaginaria). Definidas nuestras variables en el campo complejo definiremos nuevas potencias a parte de la que conocemos ahora. Y aplicaremos todas las técnicas analizadas hasta ahora a la solución de los sistemas eléctricos.

6.1. INTRODUCCIÓN Por corriente alterna se entiende una corriente que varia de forma sinusoidal en el tiempo. Los electrones «no se mueven como en la corriente continua hacia un lado» ahora «avanzan y retroceden de forma armónica». Este tipo de corriente se impuso a la corriente continua a principio del sigo XX, Hasta el momento en el que Tesla patentó la máquina bifásica de corriente alterna, todo era corriente continua. No obstante la robustez y las mejores características de la máquina de Tesla así como la utilización del transformador lograron la victoria de la alterna sobre la continua. En la figura 91 se muestra la forma de onda de una corriente senoidal. La expresión habitual de este tipo de onda será, por ejemplo para una tensión u en función del tiempo: u = E sen ωt

E(t) = Esen 100πt Amplitud = E

E

u(t) T (período en [s]

Tiempo

–E

Figura 91.

122


en donde: u es una tensión instantánea en [V], E es el valor máximo o la amplitud [V], ω es la pulsación en [rad/s] o en [1/s] o en [s–1] y t es el tiempo en [s]. En las expresiones de tensiones e intensidades se puede utilizar bien el seno bien el coseno. Esta elección dependerá de la forma de onda, del origen de tiempos seleccionado y la elección de una u otra determinará la selección para todas las variables, es decir todas las funciones que elijamos serán o todas senos o todas cosenos. Esta onda está caracterizada por los siguientes parámetros: • Ciclo. Parte mínima de la onda que se repite a lo largo del tiempo. En la figura 91 hemos destacado en mayor grosor un ciclo que va desde un máximo al siguiente consecutivo. • E: Valor máximo o amplitud, es el valor máximo que alcanza la onda se mide en las unidades de los que estemos representando. En el caso de la figura voltios [V]. • T: Período: medido en segundos es el tiempo que dura un ciclo: es el tiempo que transcurre desde un punto determinado de la onda hasta que ese mismo punto se vuelve a repetir. En la figura hemos elegido el valor máximo. En el sistema eléctrico español el período es de 20 ms. • f : Frecuencia, es el inverso del período o el número de ciclos que hay en una unidad de tiempo (lo normal un segundo). Sus unidades son Hercios [Hz] o ciclos por segundos. 1 f = en el sistema eléctrico español la frecuencia es de 50 Hz. T ω • : Pulsación. Al igual que la frecuencia es una medida de lo rápida que es fluctuación de la onda, sus unidades son [rad/s] o en [1/s] o en [s–1]. Su relación con la frecuencia es directa ya que en un ciclo hay 2π radianes: ω = 2π f. Debido a que el argumento de las funciones senoidales son grados o radianes, muy frecuentemente se utiliza en la escala de las abscisas no el tiempo como hemos indicado en la figura 91 sino el valor del argumento del seno, es decir ω t. En la mayor parte de las ocasiones en vez de referirnos al tiempo hablaremos del argumento, y por tanto, nos referimos en radianes o en grados si hacemos la conversión a sexagesimales. Así la figura 92 hemos indicado los tres tipos de medidas del «tiempo».

123


E(t) = Esen 100πt E

u(t)

5

10

π/2 90˚

π 180˚

15

Tiempo ms ángulo rad grados

20

3π/2 270˚

2π 380˚

T (20 ms), (2π rad), (380˚) –E

Figura 92.

En ocasiones el paso por cero de la senoide no se encuentra en el origen, de modo que la ecuación genérica de cualquier variable (tensión o intensidad) será: u = E sen (ω t + ϕ)

u(t) E

Tiempo π/2

3π/2

π

ϕ

–E

Figura 93a. u(t) b a

Tiempo

ϕ

Figura 93b.

124

2π


Esto es, para t = 0; u = E sen ϕ, como se muestra en la figura 93a.

El ángulo ϕ se conoce como desfase inicial.

En la figura 93 b se muestra una comparación entre dos variables alternas de la misma frecuencia. La onda a) con menor máximo y la onda b) no pasan por el valor cero al mismo tiempo. En este caso se dice que hay un desfase entre la onda a) y la b). Este desfase, se mide entre puntos equivalentes de las dos ondas, en nuestro caso lo hemos hecho en su primer paso por cero con derivada negativa. Esta cantidad le corresponde a un ángulo ϕ (vean que hay otro punto en el que las dos ondas pasan por cero pero con derivada positiva). En este caso se dice que la onda a) va adelantada con respecto a la onda b) (el paso por cero lo realiza en un tiempo anterior la onda a) que la b).

6.2. VALOR EFICAZ En una variable senoidal, el concepto de valor eficaz está unido directamente con la potencia realmente consumida por un elemento. Así, físicamente el valor eficaz de una corriente alterna es el valor de la intensidad de corriente continua equivalente que produjera en una resistencia la misma disipación de calor que la que ella produce. Matemáticamente la expresión de un valor eficaz, para una tensión alterna u(t), Uef es:

Uef =

1 T

∫0 ( u(t )) dt 2

T

Que para el caso de ondas senoidales del tipo u(t)= U sen ω t El valor eficaz Uef es:

Uef =

U

2 _ el valor eficaz es, por tanto, √2 veces menor que el valor máximo. NOTA. Este valor es fundamental ya que de él dependerá el cálculo de la potencia y es el valor que suministran los aparatos de medida: voltímetros y amperímetros.

125


6.3. NOTACIÓN COMPLEJA Como comentamos en la introducción la resolución de un circuito eléctrico en corriente alterna y de forma directa no es obvio. Veamos el caso del circuito de la figura 94 (le llamaremos serie RLC). Si aplicamos la segunda ley de Kirchhoff (o de mallas) al circuito obtenemos: eg = uL + uR + uC Como la intensidad que recorre todos los elementos es la misma sustituyendo las ecuaciones de los elementos en la ecuación anterior obtendremos una ecuación con una sola incógnita: la intensidad. • uR (t ) = Ri(t ) •

uL (t ) = L

•

uC (t ) =

di(t ) dt

eg (t ) = Ri(t ) + L

∫ C i(t)dt 1

1 di(t ) + ∫ i(t )dt dt C

Las soluciones serán del tipo: uL = UL cos(ω t + ϕL)

uC = UC cos(ω t + ϕC) i = I cos(ω t + ϕI)

No es sencillo calcular los valores de UL, ϕL, UC, ϕC, I y ϕI. L i

i uL

R

uR

i

+ eg

uC

Figura 94.

126

C


Para la solución de problemas de alterna utilizaremos la notación compleja que consiste en representar las tensiones e intensidades mediante un vector giratorio. Esta notación fue introducida por Steinmetz en 1893 y simplificó notablemente el análisis de los circuitos en corriente alterna senoidal. Según esta notación sustituiremos las funciones temporales [uL = UL sen (ω t + ϕ)], por su vector complejo representativo [UL ej(ω t + ϕ)].

Esta nueva notación el término ej(ω t + ϕ) , como se muestra en la figura 95: es un vector que gira en el campo complejo (eje de abscisas número reales, eje de ordenadas números complejos) que se puede expresar como su coorEje imaginario

Eje real Vector giratorio ej(ωt + ϕ) ϕ –E

E u(t) π/2

π

3π/2

Tiempo

2π

Senoide producida por la proyección del vector giratorio sobre el eje real a lo largo del tiempo

Figura 95.

127


denada en el eje real (parte real) y su coordenada en el eje imaginario (parte imaginaria) según la expresión: ej(ω t + ϕ) = cos (ω t + ϕ) + j sen (ω t + ϕ) __ Con j = √ –1, la unidad imaginaria. También se puede definir por

su módulo (1 en este caso) y su argumento: ω t + ϕ ej(ωt + ϕ) = 1 /ω t + ϕ

Note el lector que todos esto valores son variables en el tiempo (esta la variable t incluida en todas las expresiones). En el fondo lo que vamos a hacer es cambiar las senoides por sus vectores que se mueven a una velocidad ω, y nos daremos cuenta que el derivar va a significar retrasar el vector 90° (y modificarle un poco su amplitud), el integrar será lo mismo que adelantarlo 90° (y modificarle también un poco su amplitud). Al final con ello conseguimos una serie de vectores que giran todos a la misma velocidad, por lo cual la relación entre ellos se mantendrá constante a lo largo del tiempo. Así lo que nos interesará será calcular la relación de los vectores en cualquier instante de tiempo, solo bastará ponerlos a la velocidad ω (que se hace multiplicando el vector parado por ej(ω t)). Para conseguir la ecuación real basta deshacer el cambio hecho. Con este sistema resolveremos el problema con nuestras nuevas variables complejas (que como veremos resulta sencillo). Una ver resuelto el problema en el campo complejo deberemos volver a realizar el cambio de variable. Para realizar el cambio, las funciones seno serán la proyección del vector «móvil» sobre el eje imaginario, y si las funciones son coseno las proyección será sobre el eje real. Con el fin de realizar un cambio de variable sin equívocos y de modo sencillo y directo, es ABSOLUTAMENTE NECESARIO que todas las fuentes de tensión e intensidad del circuito original tengan o BIEN FORMA DE SENO O BIEN FORMA DE COSENO, NUNCA LAS DOS.

Para ello nos ayuda la relación existente entre las funciones seno y coseno: • sen ϕ = cos (90 – ϕ).

• cos ϕ = sen (90 + ϕ).

128


IMPORTANTE

Todo el desarrollo que vamos a hacer a partir de ahora se basa en una velocidad de giro del vector constante e igual para todas las señales, esto significa que para resolver el problema según la técnica que vamos a explicar TODAS LAS FUENTES HAN DE TENER LA MISMA FRECUENCIA.

Ello significa que si hay fuentes de diferentes frecuencias se resolverá todo el circuito para cada frecuencia utilizando el método de superposición. La respuesta final de un circuito a diferentes frecuencias se calculará como la suma de las respuestas individuales a cada frecuencia. Veamos el ejemplo de la figura 95 en el que se muestra un circuito RL serie, la fuente de tensión es de corriente alterna senoidal de expresión eg = E cos (ω t + ϕ). ¿Qué ventajas tienen estas nuevas variables? La razón para imponer este cambio de variable se debe a que las derivadas de la nueva función y su integral dan funciones similares. Así si la función fuera. uL = UL sen (ω t + ϕ), y la sustituiremos por su vector representativo: U L = UL ej(ωt + ϕ)

Su derivada:

dU L = U L ( jω ) e j (ω t + ϕ ) = jω U L e j (ω t + ϕ ) = jω U L dt

Y su integral:

∫ U L dt = ∫ U L e

j (ω t +ϕ )

U L e j (ω t + ϕ ) U L dt = = jω jω

Obsérvese que al haber hecho el cambio de variable la derivada del vector se convierte en multiplicar por jω el propio vector y hacer una integral del vector se convierte en dividirlo por jω. Vemos como de la ecuación integrodiferencial que vimos anteriormente pasaremos a resolver un sistema de ecuaciones con números complejos (más sencilla ¡dónde va!). Veamos el ejemplo de un circuito serie RL como el indicado en la figura 95. En este circuito conocemos el valor de la fuente de tensión E y su desfase ini-

129


cial ϕg así como los valores de la resistencia R y de la inductancia L. Deberemos calcular los valores de la intensidad i y las tensiones uL y uR. Si aplicamos la segunda ley de Kirchhoff (o de mallas) al circuito obtenemos: eg = uL + uR i

L i

uL

+

uR

R

eg = Ecos (ωt + ϕg)

Figura 95.

Como la intensidad que recorre todos los elementos es la misma sustituyendo las ecuaciones de los elementos en la ecuación anterior obtendremos una ecuación con una sola incógnita: la intensidad.

uR (t ) = Ri(t )  di(t )  di(t )  eg (t ) = Ri(t ) + L dt uL (t ) = L  dt  Haciendo los cambios de variable: Valor real

Campo de Euler

Variables a calcular

eg = E cos(ω t + ϕg)

E g = E ej (ω t + ϕg)

conocemos todos sus términos E, ϕg y ω

uL = UL cos(ω t + ϕL)

U L = UL ej (ω t + ϕL)

hemos de calcular: UL y ϕL

uR = UR cos(ω t + ϕR)

U R = UR ej (ω t + ϕR)

hemos de calcular: UR y ϕR

i = I cos(ω t + ϕi)

I = I ej (ω t + ϕi)

hemos de calcular: I y ϕi

La ecuación del circuito queda una vez convertida al campo de Euler en:

130

E g (t ) = RI (t ) + L

d I (t ) . dt


Y, sustituyendo los valores (y la derivada por un producto por jω) la ecuación queda: E ej (ω t + ϕg) = R I ej (ω t + ϕi) + L (jω ) I ej (ω t + ϕi)

Sacando factor común I ej (ω t + ϕi) y, como ej (ω t + ϕi) = ej (ω t) ej (ϕi) la ecuación queda: E ej (ω t) ej (ϕg) = (R + jω L) I ej (ω t) ej (ϕi)

Obsérvese que en los dos términos de la expresión aparece ej (ω t) que se puede eliminar en las dos partes de la ecuación, restando definitivamente la expresión: E ej(ϕg) = (R+jω L) I ej(ϕi)

La expresión final es una ecuación en números complejos y en la que se ha eliminado el tiempo como variable, volviendo a desagrupar el lado derecho de la ecuación esta nos queda definitivamente: E ej (ϕg) = R I ej (ϕi) + jω L I ej (ϕi)

De nuevo analicemos la expresión obtenida: Obsérvese que es igual que la original en la que la fuente de tensión la hemos sustituido por un número complejo de módulo E y argumento ϕg la intensidad por un número complejo de módulo I y argumento ϕi , la resistencia R y la autoinducción L se han quedado igual y la derivada la hemos sustituido por jω. La solución de la ecuación es relativamente sencilla conociendo el álgebra de complejos1. (R+jω L) es un número complejo de módulo Z = mento ϕz =arctg (ω L/R) = Z ej (ϕz).

R2 + (ω L)2 y de argu-

Por tanto la ecuación para resolver será: E ej (ϕg) = Z ej (ϕz) I ej(ϕi) = Z I ej (ϕz+ϕi) Es la igualdad de dos complejos por tanto ha de cumplirse que En cuanto a sus módulos: E = Z I.

En cuanto a sus argumentos: ϕg = ϕz + ϕi. 1

En el anexo 2 se repasan las principales operaciones de complejos.

131


de estas dos ecuaciones obtenemos fácilmente I y ϕi con lo que tendremos ya definida la intensidad i = I cos (ω t + ϕi), uR = Ri

la tensión en la resistencia y por tanto

uR = R I cos(ω t + ϕi) (obsérvese que ϕR = ϕi)

di(t ) = −ω L I sen (ω t + ϕ i ) dt o dejándolo en forma de coseno2: uL = ω L I cos (ω t + ϕi – π/2). y como en la bobina la tensión es: uL (t ) = L

Siguiendo esta técnica podremos calcular los valores de las tensiones y las intensidades en todo momento.

Eje imaginario

A partir de ahora, denominaremos a los números complejos E g = E ej (ω t + ϕg) como E g = E ejωt en donde la letra en Comercial Scritp BT indica la parte no móvil del número complejo: E = E ejϕg, que se podrá representar gráficamente como un vector de módulo E y argumento ϕg como el indicado en la figura 96a.

Fasor

E = E ejϕg

E ϕg Eje real

Figura 96a.

Los fasores correspondientes a todas las tensiones e intensidades del circuito anterior se muestran en la figura 96b. A esta forma de representación de los vectores se llama DIAGRAMA VECTORIAL O FASORIAL.

Obsérvese que para que se puedan representar los fasores de esta forma, las formas de onda temporales a las que representan han de ser, o bien TODAS las funciones senos, o bien TODAS las funciones cosenos. 2

132

Obsérvese que ϕL = ϕi – π/2.

Eje imaginario


E = E ejϕg = E /ϕg; UL = UL ejϕL = UL /ϕg; UL

E ϕL

ϕg

UR

I ϕi = ϕR

UR = UR ejϕR = UL /ϕg; I = I ejϕi = I /ϕi;

Eje real

Figura 96b. ATENCIÓN, por razones de simplicidad de las operaciones y los resultados, el término ej(ωt) lo eliminaremos las expresiones de las ecuaciones, también identificaremos cada tensión e intensidad por su complejo correspondiente comercial = A /ϕ. No obstante el lector ha de tener siempre en cuenta que las funciones reales a las que representa esta terminología son expresiones senoidales. IMPORTANTE

La solución mediante el sistema de notación compleja sólo se puede hacer con circuitos en los que TODAS LAS FUENTES TIENEN LA MISMA FRECUENCIA. Si en algún circuito hubiera diferentes frecuencias o corriente continua mezclada con alterna, ha de utilizarse el teorema de superposición y resolver el circuito para cada frecuencia de forma independiente para, al final, sumar los valores temporales que no los valores complejos. Esta técnica NO SIRVE PARA ANALIZAR UN CIRCUITO EN CORRIENTE CONTINUA.

6.4. LEYES DE KIRCHHOFF Las leyes de Kirchhoff se pueden expresar también en forma compleja, veamos cómo: La primera ley establece que la suma de todas las intensidades entrantes en un nudo es cero. Por tanto, para las intensidades dibujadas en la figura 97, la primera ley de Kirchhoff, en su primera acepción sería: i1 – i2 – i3 – i4 + i5 = 0 Si estas intensidades fueran las funciones senoidales indicadas en la tabla tendrían la conversión al campo complejo que se incluye en la tabla:

133


Valor real

Campo de Euler

i1 = I1 cos(ω t + ϕ1)

I 1 = I1 ej (ω t + ϕ1)

I1 = I1 ej (ϕ1)

I 1 = I1 ej (ω t)

i2 = I2 cos(ω t + ϕ2)

I 2 = I2 ej (ω t + ϕ2)

I2 = I2 ej (ϕ2)

I 2 = I2 ej (ω t)

i3 = I3 cos(ω t + ϕ3)

I 3 = I3 ej (ω t + ϕ3)

I3 = I3 ej (ϕ3)

I 3 = I3 ej (ω t)

Valor real

Campo de Euler

i4 = I4 cos(ω t + ϕ4)

I 4 = I4 ej (ω t + ϕ4)

I4 = I4 ej (ϕ4)

I 4 = I4 ej (ω t)

i5 = I5 cos(ω t + ϕ5)

I 5 = I5 ej (ω t + ϕ5)

I5 = I5 ej (ϕ5)

I 5 = I5 ej (ω t)

i1

i2 i3

i5

i4

Figura 97.

La ecuación en valores reales pasada a complejos quedaría i1 – i2 – i3 – i4 + i5 = 0 ⇒ I1 – I2 – I3 – I4 + I5 = 0

I1 ej (ω t) – I2 ej (ω t) – I3 ej (ω t) – I4 ej (ω t) + I5 ej (ω t) = 0 ⇒ I1 – I2 – I3 – I4 +I5 = 0 Obsérvese que la ecuación de la primera ley de Kirchhoff es exactamente la misma en el campo complejo que en el real. La segunda ley de Kirchhoff, que se refiere a la relación entre tensiones dentro de una malla de un circuito, se expresa como: la suma de todas las tensiones en una misma dirección que pertenecen a una malla determinada es nula.

∑ uk = 0 k

134


u1

i8

i1

i7 A 6

1

2

B

i9

u3

3 u5

i5

F

u4

E i4

5

i14

4

i13

i10

C

u6 i6

i15

u2 i2

i3 D

i11

i12

Figura 98.

De acuerdo con el sentido de referencia indicado en la malla (línea de puntos) de la figura 98, la segunda ecuación de Kirchhoff para la malla seleccionada es: u1 + u2 + u3 + u4 + u5 + u6 = 0 De nuevo, suponiendo que son funciones senoidales cuya conversión al campo complejo además se indica en la siguiente tabla Valor real

Campo de Euler

u1 = U1 cos(ω t + ϕ1)

U1 = U1 ej(ωt + ϕ1)

U1 = U1 ej(ϕ1)

U1 = U1 ej(ωt)

u2 = U2 cos(ω t + ϕ2)

U2 = U2 ej(ωt + ϕ2)

U2 = U2 ej(ϕ2)

U2 = U2 ej(ωt)

u3 = U3 cos(ω t + ϕ3)

U3 = U3 ej(ωt + ϕ3)

U3 = U3 ej(ϕ3)

U3 = U3 ej(ωt)

u4 = U4 cos(ω t + ϕ4)

U4 = U4 ej(ωt + ϕ4)

U4 = U4 ej(ϕ4)

U4 = U4 ej(ωt)

u5 = U5 cos(ω t + ϕ5)

U5 = U5 ej(ωt + ϕ5)

U5 = U5 ej(ϕ5)

U5 = U5 ej(ωt)

u6 = U6 cos(ω t + ϕ6)

U6 = U6 ej(ωt + ϕ6)

U6 = U6 ej(ϕ6)

U6 = U6 ej(ωt)

La ecuación de mallas quedaría: u1 + u2 + u3 + u4 + u5 + u6 = 0 ⇒ U1 + U2 + U3 + U4 + U5 + U6 = 0 U1 ej(ωt) + U2 ej(ωt) + U3 ej(ωt) + U4 ej(ωt) + U5 ej(ωt) + U6 ej(ωt) = 0 U1 + U2 + U3 + U4 + U5 + U6 = 0

135


Obsérvese que la ecuación de la segunda ley de Kirchhoff es exactamente la misma en el campo complejo que en el real. Las leyes de Kirchhoff se enuncian de la misma forma tanto en el campo real como en el complejo. Retomemos el caso del circuito LR anterior; habíamos llegado a la conclusión de que los fasores asociados a las tensiones e intensidades eran las que muestran en la figura 99b. Pero como en esta representación fasorial o diagrama vectorial se han de cumplir además las leyes de Kirchhoff, se debe cumplir que: E = UR + UL, Y por tanto, en el diagrama vectorial han de sumarse también según se muestra en la figura 99c.

+

L i

uL uR

eg = Ecos (ωt + ϕg)

R

UL

E ϕL

ϕg

UR I ϕi = ϕR

Eje imaginario

i

Eje imaginario

Estas propiedades harán como veremos más tarde que un circuito pueda solucionarse mediante el diagrama vectorial asociado de tensiones e intensidades.

UL E

UR I ϕi = ϕR

ϕg

Eje real

a)

b)

Eje real

c)

Figura 99.

6.5. NOTACIÓN COMPLEJA CON VALORES EFICACES Hasta ahora sólo hemos hecho la deducción con valores máximos para obtener una mayor simplicidad en las deducciones. No obstante cuando hablamos de corriente alterna los valores que realmente se manejan son VALORES EFICACES, Cuando decidimos que en nuestra casa tenemos una corriente alterna de 220 V este valor es eficaz y cuando en un problema de

136


corriente alterna digamos que la tensión es de 380 V estamos diciendo que la tensión realmente es de 380 V eficaces. Todas las deducciones que hemos hecho se pueden hacer con valores efi_ caces (obsérvese que si incluimos un √2, antes de cada expresión del valor de tensión e intensidad estos se simplifican quedando las relaciones entre tensión e intensidad iguales tanto en valor eficaz como en valor máximo. La notación compleja sirve tanto para valores eficaces como para valores máximos. IMPORTANTE

Al comienzo de un ejercicio en corriente alterna el alumno ha de seleccionar qué tipo de valor utilizará si el máximo o el eficaz. Una vez elegido TODAS LAS VARIABLES HABRÁN DE DARSE EN ESE VALOR. En general, aconsejamos que se utilicen valores eficaces siempre ya que son las medidas de los aparatos de medida y las potencias en corriente alterna se calculan en función de los valores eficaces.

6.6. EJERCICIOS DE AUTOCOMPROBACIÓN Ejercicio VI.1: De la gráfica representada en la figura determine los parámetros Valor máximo o amplitud, el período: la frecuencia, su pulsación y su valor eficaz. Escriba su expresión matemática en función del valor eficaz y represente gráficamente su fasor. u(t) 12V

Tiempo 0,8 rad

π/2

π

3π/2

2π

–12V

137


Ejercicio VI.2. Determine en el circuito de la figura los números complejos asociados a los fasores de la fuente, la resistencia y del elemento Z, así como los de al intensidad i y las tensiones. Realice el diagrama vectorial de los fasores de las tensiones del circuito en los tres casos siguientes: • El elemento Z es una resistencia de valor 3 Ω. • El elemento Z es una bobina de valor 2 mH • El elemento Z es un condensador de valor 4 F. i +

Z i

uX 2Ω

eg = 5sen(100πt + π/4)

138

uR

TEMA 7

COMPORTAMIENTO DE LOS ELEMENTOS IDEALES EN CORRIENTE ALTERNA

7.1. Resistencia 7.2. Bobina 7.3. Condensador 7.4. Impedancia Compleja a) Impedancia inductiva: Circuito RL serie b) Impedancia capacitiva: Circuito RC serie c) Admitancia 7.5. Asociación de impedancias en serie: Divisor de tensión 7.6. Asociación de Impedancias en paralelo: Divisor de intensidad 7.7. Circuito RLC serie 7.8. Análisis de Circuitos en corriente alterna a) Método General o aplicación de las leyes de Kirchhoff b) Método de mallas c) Análisis de circuitos eléctricos utilizando el método de nudos 7.9. Teoremas a) Principio de superposición b) Teorema de Sustitución c) Dipolo equivalente Thévenin y Dipolo equivalente Norton 7.10. Ejercicios de autocomprobación

139


Los elementos que estudiamos en la primera parte del curso son los mismos que vamos a ver ahora, sus ecuaciones de definición serán las mismas, pero en esta ocasión, vamos a ver cómo quedan ahora las ecuaciones en el campo complejo y cuáles son las relaciones entre módulos y argumentos: se intentará poner la relación entre tensión compleja U y la intensidad compleja I, que «circula»1 por el elemento. Así mismo nos servirá para definir la impedancia compleja que será la relación entre ambas. El criterio de signos que vamos a utilizar es el mismo que se ha visto en la primera parte: A i

A i

B

B

Relación positiva tensión intensidad u

A i

u

A i

B u

B

Relación negativa tensión-intensidad

u

7.1. RESISTENCIA La resistencia sigue siendo un elemento que consume energía en forma de calor. La ecuación característica que liga la tensión y la intensidad en una resistencia es, teniendo en cuenta el criterio de signos de la figura: A i

R

B

u(t ) = Ri(t )

u

Si, la intensidad que circula por la resistencia es i = I cos(ω t + ϕi) Tendrá asociado un elemento complejo I = I ej(ωt + ϕi) , del que conocemos I, ϕi y ω; la tensión u que aparece entre los bornes de la resistencia tendrá como solución una función senoidal del tipo u = U cos(ωt + ϕu) y por tanto tendrá asignado un valor complejo asociado U= U ej(ωt + ϕu). Sustituyendo en la 1

Recuerde el lector que la única intensidad que realmente circula por el circuito no es la intensidad compleja es la intensidad senoidal variable a lo largo del tiempo.

140


ecuación de definición U ej(ωt + ϕu) = R I ej(ωt + ϕi). La ecuación la podremos simplificar: U ejωt ej ϕu = R I ejωt ej ϕi el término ejωt puede desaparecer en los dos lados de la ecuación se convierte en: U ej ϕu = R I ej ϕi Obsérvese que esta expresión precisa la nueva ecuación de definición la resistencia utilizando la notación compleja: U= RI En donde I = I ejϕi = I cos ϕi + j I sen ϕi. Resolviendo la ecuación, igualando los módulos y los argumentos obtenemos que: • U = RI ⇒ el módulo de la tensión es igual al módulo de la intensidad multiplicado por el valor de la resistencia; • ϕu = ϕi ⇒ los argumentos de tensión e intensidad son iguales. El número complejo asociado a la tensión U = RI ej(ϕi) = R I cos ϕi + j RI sen ϕi. El fasor en función del tiempo será: U= I ej(ωt + ϕi) y por tanto en su forma real u = RI cos(ωt + ϕi). Como el ángulo de la tensión y de la intensidad es el mismo se dice que ambas magnitudes están EN FASE.

Eje imaginario

En la figura 100 se muestran la tensión y la intensidad de la resistencia en forma fasorial y en la figura 101 se muestran las formas de onda de la tensión y la intensidad.

U I ϕi = ϕu Eje real

Figura 100. Diagrama vectorial de tensión e intensidad en la resistencia.

141


Tensión/intensidad

25 20

u(t) RESISTENCIA

15 10

i(t)

5 0

ϕ

Tiempo

–5

–10 –15 –20 –25

Figura 101. Formas de onda de la tensión y la intensidad en una resistencia.

7.2. BOBINA La expresión matemática que explica el funcionamiento de la bobina en función de la tensión y la intensidad que circula por ella, de acuerdo con los sentidos indicados en la figura es: L A i

B

u(t ) = L

di(t ) dt

u

Ahora, si la intensidad que circula por la bobina es i = I cos(ωt + ϕ). Tendrá asociado un elemento complejo I = I ej(ωt + ϕ), del que conocemos I, ϕ y ω; la tensión u que aparece entre los bornes de la bobina tendrá como solución una función senoidal del tipo u = U cos(ωt + ϕu) y por tanto tendrá asignado un valor complejo asociado U= U ej(ωt + ϕu). d ( I e j (ω t + ϕ ) ) Sustituyendo en la ecuación de definición U e j (ω t + ϕ u ) = L = dt = jωL I ej(ωt + ϕ). Pero jω L es un complejo que se puede expresar como ωL ej(π/2). La ecuación la podremos simplificar: U ejωt ejϕ u = ωL ej(π/2) × I ejω t ejϕ; de nuevo el término ejωt puede desaparecer en los dos lados de la ecuación se convierte en: U ejϕ u = ω L ej(π/2) × I ejϕ

142


Obsérvese que esta expresión precisa la nueva ecuación de definición la bobina utilizando la notación compleja: U = jω L I En donde I = I ejϕ = I cos ϕ + j I sen ϕ. Agrupando los complejos la expresión queda: U ejϕu = ω L I ej(ϕ+π/2) Para resolverla igualamos los módulos y los argumentos a cada lado de la ecuación obtenemos que: • U = ω L I ⇒ el módulo de la tensión es igual al módulo de la intensidad multiplicado por ω L; • ϕu =

π + ϕ ⇒ El argumento de tensión es más grande que el de la inten2

intensidad. Lo que implica además que el fasor tensión es perpendicular al fasor intensidad. El número complejo asociado a la tensión U.  π U = ωLI ej(ϕ+π/2) = ωLI cos  ϕ +  + j ωLI sen 2 

 π  ϕ + 2  . El fasor en función del tiempo será: U= ωLI ej(ωt + ϕ +π/2), y la tensión real será: u = ωLI cos  π  ω t + ϕ + 2  .

Eje imaginario

La solución en forma fasorial se muestra en la figura 102. Obsérvese que el vector tensión U está «adelantado» 90° (π/2) con respecto al fasor intensidad I. Esto ocurre siempre en una bobina.

U

π ϕu = ϕ +— 2

I ϕ Eje real

Figura 102. Diagrama vectorial de tensión e intensidad en una bobina.

143


Tensión/intensidad

25 20

BOBINA

15

i(t)

10 5 0

ϕ

Tiempo

–5

–10 –15

u(t)

–20 –25

Figura 103. Formas de onda de la tensión y la intensidad en una bobina.

En la figura 103 se muestra la forma de onda de la tensión y la intensidad; aquí también se observa que la tensión está «adelantada» 90 grados con respecto de la intensidad (obsérvese que la tensión alcanza el máximo antes, en tiempo, que la intensidad). 7.3. CONDENSADOR La expresión matemática que explica el funcionamiento del condensador en función de la tensión y la intensidad que circula por el, de acuerdo con los sentidos indicados en la figura adjunta es:

du(t ) i(t ) = C dt

C A i

B u

o, en forma integral u(t ) =

1

∫ C i(t )dt.

A las expresiones anteriores se les aplica el mismo criterio de signos que sobre el sentido de tensiones e intensidades que se estableció al principio del capitulo. Ahora, si la intensidad que circula por el condensador es i = I cos(ωt + ϕ). Tendrá asociado un elemento complejo I= I ej(ωt + ϕ), del que conocemos I, ϕ y ω.

144


La tensión u que aparece entre los bornes del condensador tendrá como solución una función senoidal del tipo u = U cos(ωt + ϕυ) y por tanto tendrá asignado un valor complejo asociado U= U eϕ(ωτ + ϕυ). Sustituyendo en la ecuación de definición:

U e j (ω t + ϕ ) =

1

1

j (ω t +ϕ ) dt = I e j (ω t + ϕ ) ∫C Ie jω C

Pero 1/(jωC) es un complejo que se puede expresar como

1 − j (π / 2 ) e , o como ωC

1 / − π / 2 . De nuevo podremos simplificar la ecuación: U e jω t e jϕ u = ωC 1 − j (π / 2 ) e = I e jϖ t e jϕ ; y de nuevo, el término ejωτ puede desaparecer en los ωC dos lados de la ecuación, que se convierte en: U e jϕ u =

1 − j (π / 2 ) e I e jϕ ωC

De nuevo observe el lector que hemos llegado a la nueva ecuación de definición del funcionamiento de un condensador en corriente alterna, que expresada en su forma fasorial será:

U =

1 I jωC

En donde I = I ejϕ = I cosϕ + j I senϕ. De la expresión anterior, agrupando los complejos queda:

1 I e j (ϕ − π / 2 ) ωC Por tanto, igualando los módulos y los argumentos obtenemos que: U e jϕ u =

I ⇒ el módulo de la tensión es igual al módulo de la intensidad ωC dividiéndolo por ωC; π • ϕ u = ϕ − ⇒ El argumento de tensión es π/2 más pequeño que el de la 2 intensidad (implica que el fasor asociado de la tensión es perpendicular al de la intensidad). • U=

145


Por tanto el complejo asociado a la tensión U será:

U =

  π I j (ϕ − π / 2 ) I I π e = cos  ϕ −  + j sen  ϕ -  . ωC ωC 2 ωC   2

El fasor en función del tiempo será: U =

I e j (ω t + ϕ − π / 2 ) y la tensión real jω C

 π será: u = U cos  ω t + ϕ −  . 2 

Eje imaginario

En forma fasorial se muestra en la figura 104: obsérvese que el vector tensión U está «retrasado» 90° (π/2) con respecto al fasor intensidad I (y por tanto ambos fasores son perpendiculares). I ϕ Eje real π ϕu = ϕ – — 2 u

Figura 104. Diagrama vectorial de tensión e intensidad en un condensador.

Tensión/intensidad

25 20

u(t) CONDENSADOR

15 10 5 0

ϕ

Tiempo

–5

–10

i(t)

–15 –20 –25

Figura 105. Formas de onda de la tensión y la intensidad en un condensador.

146


En la figura 105 se muestra la forma de onda de la tensión y la intensidad; aquí también se observa que la intensidad está «adelantada» 90 grados con respecto de la tensión (obsérvese que la intensidad alcanza el máximo antes que la tensión).

7.4. IMPEDANCIA COMPLEJA Durante el análisis de los diferentes elementos en corriente alterna y en notación compleja hemos visto que las ecuaciones de definición son: Para la resistencia:

U= R I

U = jωL I 1 Para el condensador : U = I

Para la bobina:

jωC

Se define como impedancia compleja Z, a la razón entre los fasores de tensión e intensidad, o aquél coeficiente que multiplicado por la intensidad compleja da la tensión compleja. Las unidades de la impedancia compleja se corresponden con los ohmios [Ω]. Estas cantidades para los elementos ideales son: Resistencia

Bobina

Condensador

ZR

ZL

ZC

R

jωL

1 jω C

Para la resistencia la impedancia es un número real que coincide con la Resistencia del elemento, para la bobina y el condensador es un número imaginario puro y depende de la frecuencia del sistema; es de signo positivo para la bobina, mientras que en el condensador al estar j en el denominador el número complejo final es imaginario negativo. En general (y como veremos a continuación), la impedancia es un número complejo: Z = R + jX la parte real que llamados R se llama resistencia, y la parte imaginaria, que hemos llamado X, se llama reactancia, también la ponemos en

forma módulo – argumento: Z/ϕz . El módulo Z = ϕz = arctg (X/R).

R 2 + (ω L )2 y de argumento

147


a) Impedancia inductiva: Circuito RL serie Veamos de nuevo el ejemplo de la figura 106 en el que se muestra un circuito RL serie, que en general muestra el caso de una bobina real o, de forma muy esquemática, cualquier elemento motor. La fuente de tensión es de corriente alterna senoidal: eg = E sen(ωt + ϕg). En este circuito conocemos el valor máximo de la fuente de tensión E, la pulsación ω y su desfase inicial ϕγ así como los valores de la resistencia R y de la inductancia L. L

i

i

uL

+

uR eg = Esen(ωt + ϕg)

R

Figura 106.

Como hicimos en el apartado de «Notación compleja» en el que se resolvió el circuito, al aplicar el cambio a complejos y la primera ecuación de Kirchhoff obteníamos la expresión: E ej(ϕg) = (R+jω L) I ej(ϕi) E = (R + jω L) I Esta expresión sería la ecuación de definición del elemento Z del circuito de la figura 107, que representa la asociación en serie de la resistencia y de la bobina. A esta asociación la llamaremos impedancia inductiva. I

A

+ e

E

z

B

Figura 107.

148


Por tanto, en el caso de una bobina real con elemento resistivo en serie, la tensión compleja se obtiene multiplicando la intensidad compleja I por el número complejo (R+jωL) que, como ya hemos definido en el apartado anterior es la impedancia del conjunto. La impedancia total se puede expresar también como Z ej(ϕζ), en donde su módulo Z =

R2 + (ω L )2 , y su argumento

 ωL (este ángulo es positivo y comprendido entre 0 y 90°). ϕ Z = arctg   R  Además, se observa que la impedancia de dos elementos en serie y, en general, de múltiples elementos en serie, es la suma de las impedancias individuales: Z = R + jωL = ZR + ZL Por tanto, en el caso genérico de una impedancia compleja Z, con el criterio de signos de la figura adjunta: las relaciones entre tensión e intensidad son: A

I

E =Z I E

E eϕ(ϕ g) = Z eϕ(ϕ z) I eϕ(ϕ i) = Z I eϕ(ϕ z+ϕ i)

B

Esta expresión es la igualdad de dos complejos, por tanto ha de cumplirse que: • En cuanto a sus módulos: E = Z I : el módulo de la tensión es igual al módulo de la intensidad multiplicado por el módulo de la impedancia. Por tanto I = E/Z. • En cuanto a sus argumentos: ϕg = ϕz + ϕi : el argumento de la tensión es la suma del de la impedancia mas el de la intensidad. Por tanto: ϕi = ϕg – ϕz. Así, el número complejo asociado a la Intensidad I

I =

E j (ϕ g −ϕ z ) E E e = cos (ϕ g − ϕ z ) + j sen (ϕ g − ϕ z ) Z Z Z

E j (ω t + ϕ g − ϕ z ) El fasor en función del tiempo será: I = e , y la intensidad real Z E será: i = sen (ω t + ϕ g − ϕ z ). Z

149

Eje imaginario


E ϕg ϕz

I

ϕi = ϕg – ϕz

Eje real

Figura 108. Diagrama vectorial de tensión e intensidad en una impedancia.

El diagrama fasorial se muestra en la figura 108. obsérvese que el vector tensión E está «adelantado» con respecto al fasor de la intensidad I un ángulo igual al de la impedancia ϕz y que, por tanto, la intensidad está RETRASADA con respecto a la tensión. Esta relación es característica de las impedancias, como la que hemos analizado, en donde la parte imaginaria de la impedancia es positiva debido a que son preponderantes las bobinas. En este caso se dice que la impedancia es de tipo Inductivo. En la figura 109 se muestra la forma de onda de la tensión y la intensidad; aquí también se observa que la tensión está «adelantada» un ángulo ϕz con respecto de la intensidad (obsérvese que la intensidad alcanza el máximo después que la tensión).

Tensión/intensidad

25 20

u(t)

15 10

i(t)

IMPEDANCIA INDUCTIVA

5 0

ϕi

ϕz ϕg

Tiempo

–5

–10 –15 –20 –25

Figura 109.

150


Las impedancias de tipo INDUCTIVO tienen su parte imaginaria positiva por lo que el ángulo ϕz es positivo y comprendido entre 0 y 90° o entre 0 y π /2 radianes.

b) Impedancia capacitiva: Circuito RC serie Analicemos ahora qué ocurriría si en el caso anterior, en vez de tener una bobina tuviésemos un condensador. La solución del circuito suponiendo conocidos los valores de la capacidad del condensador, la fuente de tensión y la resistencia. C

i

i uC

+

uR

R

eg = Esen(ωt + ϕg)

Figura 110. Circuito RC serie.

En la figura 110 se muestra un circuito RC serie. La fuente de tensión es de corriente alterna senoidal: eg = E sen(ωt + ϕg). En este circuito conocemos el valor máximo de la fuente de tensión E, la pulsación ω y su desfase inicial ϕg así como los valores de la resistencia R y de la capacidad C. Al aplicar el cambio al campo complejo (véase la figura 111), de la primera ecuación de Kirchhoff obtenemos la ecuación: UC + UR – E = 0 Sustituyendo las expresiones de tensión en el condensador y en la resistencia que hemos visto en los apartados anteriores y reordenando la ecuación.

E = E e j (ϕ g ) =

1 I e j (ϕ g ) + R I e j (ϕ i ) jωC

 1  I E = R + jωC  

151


–j — ωC

I

+

Uc

E

Ur

R

Figura 111. Circuito RC serie.

De esta expresión deducimos, como en el apartado anterior que, en el caso de un condensador con elemento resistivo en serie: La tensión compleja se obtiene multiplicando la intensidad compleja I  1  por el número complejo  R + que, como ya hemos definido, es la impejω C  

1 = − j, pasando el valor unitario complejo j j , nótese que ahora la parte imaginaal numerador la impedancia Z = R − ωC ria de la impedancia (la reactancia) es en este caso negativa. En estos casos se 1 . dice que la impedancia es de TIPO CAPACITIVO ωC La impedancia total se puede expresar también como Z = Z ej(ϕz) complejo dancia del conjunto. Como sea que

2

 1  (este  1  ϕ = arctg − y su argumento R + , Z   ωCR   ω C  ángulo es negativo y comprendido entre 0 y –90° o entre 0 y –π/2 radianes). cuyo su módulo Z =

2

• De nuevo E =Z I E ej(ϕg) = Z ej(ϕz) I ej(ϕi) = Z I ej(ϕz+ϕi) • La impedancia de dos elementos en serie y, en general, de múltiples elementos en serie, es la suma de las impedancias individuales

Z =R+

152

1 = Z + Zc jωC


Para resolver el circuito y calcular la intensidad que circula, de la ecuación compleja anterior deducimos que: • Por igualdad de módulos ha de cumplirse que: E = Z I : el módulo de la tensión es igual al módulo de la intensidad multiplicado por el módulo de la impedancia ⇒ I = E/Z.

Eje imaginario

• Por igualdad de sus argumentos: ϕg = ϕz + ϕi el argumento de la tensión es la suma del de la impedancia mas el de la intensidad (recuérdese que en este caso ϕz < 0).

ϕg = ϕi + ϕz = ϕi – [ϕz]

I

ϕi E

ϕz

ϕg Eje real

Figura 112. Diagrama vectorial del circuito RC serie.

Así, el número complejo asociado a la Intensidad I: • I =

E j (ϕ g − ϕ z ) E E e = cos (ϕ g − ϕ z ) + j sen (ϕ g − ϕ z ). Z Z Z

El fasor en función del tiempo será: • I=

E j (ω t + ϕ g − ϕ z ) E e , y la intensidad real será: i = sen (ω t + ϕ g − ϕ z ). Z Z

El diagrama vectorial se muestra en la figura 112. Obsérvese que, aunque las expresiones en función de Z son las mismas que en el caso anterior ahora, el vector intensidad I está «ADELANTADO» con respecto al fasor de la tensión E un ángulo igual al de la impedancia ϕz. Este «adelantamiento» se debe a que ahora el ángulo ϕz < 0.

153


Tensión/intensidad

25 20

u(t)

15 10

i(t)

IMPEDANCIA CAPACITATIVA

5 0

ϕg

ϕz ϕi

–5

Tiempo

–10 –15 –20 –25

Figura 113. Formas de onda de la tensión y la intensidad en una Impedancia capacitiva.

En la figura 113 se muestra la forma de onda de la tensión y la intensidad; aquí también se observa que la intensidad está «adelantada» un ángulo ϕζ con respecto de la intensidad (obsérvese que la tensión alcanza el máximo después que la intensidad). Las impedancias de tipo CAPACITIVO tienen su parte imaginaria NEGATIVA por lo que el ángulo ϕz es negativo y comprendido entre 0 y –90° o entre 0 y –π /2 radianes.

c) Admitancia Se llama admitancia compleja al inverso de la impedancia compleja: 1 Y= . Z La admitancia es, por tanto un número complejo Y = G + jB, su parte real [G] se denomina conductancia y su parte imaginaria [B] susceptancia. La admitancia se utiliza frecuentemente para el análisis de circuitos mediante ordenador ya que este tipo de programas utilizan, para resolver los circuitos eléctricos, el método de nudos.

154


7.5. ASOCIACIÓN DE IMPEDANCIAS EN SERIE: DIVISOR DE TENSIÓN Al igual que las resistencias y como ya hemos comentado, el equivalente de un conjunto de impedancias en serie es la suma de todas ellas. ZΤ = Z1 + Z2 + Z3 Si las impedancias fueran sólo resistencias expresión de la resistencia equivalente sería la que vimos en su momento: RΤ = R3 + R2 + R1 (la resistencia equivalente es mayor que la mayor). A iT Z1 U1 IT

UT

Z2 U2 iT

A

UT

ZT

Z3 U3 B

B

Figura 114. Impedancias en serie; divisor de tensión.

Si las impedancias fueran sólo bobinas la ecuación queda: ZΤ = jωLΤ = jωL1 + jωL2 + jωL3 LΤ = L1 + L2 + L3 La impedancia equivalente de un conjunto de bobinas en serie es una bobina equivalente cuyo coeficiente de auto inducción es la suma de todos los individuales (la bobina equivalente es mayor que la mayor). Si lo que tuviésemos fueran condensadores

ZT =

1 1 1 1 = + + jωCT jωC1 jωC 2 jωC 3 1 1 1 1 = + + CT C1 C 2 C 3

155


La impedancia equivalente de un conjunto de condensadores en serie es un condensador equivalente cuya capacidad total se calcula como el inverso de la suma de los inversos de las capacidades. Esta operación da como resultado una capacidad menor que la menor de los condensadores en serie (se propone al lector que realice un ejercicio con una capacidad de 1 Faradio). Z1UT La tensión en la impedancia 1, U1: U1 = . En cualquier divisor Z 3 + Z 2 + Z1 de tensión o conjunto de impedancias en serie con n elementos la resistencia equivalente ZT = ∑ Z i y la tensión de un elemento cualquiera será: i

Ui =

Zi U ZT T

7.6. ASOCIACIÓN DE IMPEDANCIAS EN PARALELO: DIVISOR DE INTENSIDAD Las deducciones de las expresiones de este tipo de asociación son exactamente iguales a las que hicimos en su momento con las resistencias, por lo que se propone como ejercicio al lector su deducción. La impedancia equivalente de una serie de impedancias en paralelo se calcula como:

1 1 1 1 = + + ZT Z1 Z 2 Z 3 IT I1

Z1

I2

U1

Z2

A

IT

U2

Z3

U3

UT

UT

ZT

B

Figura 115. Impedancias en paralelo: divisor de intensidad.

156

A

I3

B


En el caso genérico de disponer de n impedancias en paralelo la impedancia equivalente se calcularía:

1 1 =∑ ZT i Zi

ó

ZT =

1 1 ∑ i Zi

Si las impedancias fueran sólo resistencias, la expresión de la resistencia 1 1 1 1 = + + equivalente sería la que vimos en su momento: (la resisRT R1 R2 R3 tencia equivalente es menor que la menor de las de paralelo). Si las impedancias fueran sólo condensadores la impedancia equivalente es:

1 = ZT

1 1 1 1 = jω CT = + + = jω C1 + jω C2 + jω C3 1 1 1 1 jω C T jω C 1 jω C 2 jω C 3 CT = C1 + C2 + C3

La impedancia equivalente de un conjunto de condensadores en paralelo es un condensador equivalente cuya capacidad es la suma de todas las capacidades individuales (el condensador equivalente es mayor que el mayor). Si lo que tuviésemos fueran bobinas

1 1 1 1 1 = = + + ZT jω LT jω L1 jωL2 jω L3 1 1 1 1 + = + LT L1 L2 L3 La impedancia equivalente de un conjunto de bobinas en paralelo es una bobina equivalente cuyo coeficiente de autoinducción total se calcula como el inverso de la suma de los inversos de los coeficientes de autoinducción individuales. Esta operación da como resultado una bobina menor que la menor las bobinas en paralelo. Si en vez de utilizar impedancias utilizamos las admitancias Y, la expresión es más sencilla:

157


YT =

1 1 =∑ = ∑ Yi ZT i Zi i

Esta asociación de elementos se denomina divisor de corriente porque por cada elemento del divisor pasa una parte de la corriente total que entra en él. Esta corriente individual de cada uno de los elementos podría expresarse en función de loa corriente que entra en el divisor IT y las Impedancias de los elementos:

1 1 U U Y Z Z1 1 IT ⋅ = 1 IT = I1 = 1 = T = IT = 1 IT 1 1 Z1 Z1 Z1 ZT ∑ Yi ∑ i ZT i Zi Obsérvese que en la última expresión se ha utilizado la conductancia, y resulta una expresión más sencilla. En el caso particular de dos impedancias, las expresiones anteriores se reducen a:

1 1 1 = + ZT Z1 Z 2

ZT =

Z1 ⋅ Z 2 Z1 + Z 2

I1 =

Z2 I Z1Z 2 T

I2 =

Z1 I Z1Z 2 T

Note el lector que en el numerador de la expresión de la intensidad que pasa por una rama aparece la resistencia en la otra.

7.7. CIRCUITO RLC SERIE Es interesante conocer el comportamiento de un circuito RLC en serie (se llama así a un circuito formado por una resistencia, una bobina y un condensador conectados en serie), que se utilizan en la industria en filtros, para conocer el comportamiento de una bobina y un condensador al mismo tiempo. Esto nos ayudará luego además, cuando hablemos de las potencias en alterna. En la figura 116a se muestra un circuito RLC serie alimentado por una fuente de tensión de corriente alterna.

158


i

A

R

L

uR

uL

i C

+ uC eg = Esen (ωt + ϕg)

B

Figura 116a. Circuito RLC serie. Representación en función del tiempo.

R

I A

UR

jωL

I

UL

C

+ UC Eg = E/ϕg

B

Figura 116b. Circuito RLC serie. Representación compleja.

Para resolver el circuito hacemos el cambio a complejos, calculando para cada elemento su impedancia compleja: Resistencia ZR = R Bobina ZL = jωL

Condensador ZC =

1 jωC

En la figura 116b se muestra ya el circuito con las variables en el campo complejo. Para solucionarlo calcularemos la intensidad compleja I, y a partir de este resultado todos los demás datos. Aplicando la primera ley de Kirchhoff: Eg = UR + UL + UC Y sustituyendo las ecuaciones de los elementos:

159


UR = RI

Eg = RI + jω LI −

UL = jω LI

1 I jω C

UC =

1 I jω C

  1 ⇒ Eg  R + j  ω L − jω C  

   I 

Observemos ahora que el conjunto RLC se puede resumir en una impedancia común Z, que siguiendo el esquema de la figura 117 en este caso la relación entre tensión e intensidad es:

Eg = ZI  1  Z = R + j ϖ L − ω C   I

A +

Eg

B

Figura 117. Impedancia equivalente.

Observe que la parte real de la impedancia está formada por al resistencia de circuito y que la parte imaginaria de la impedancia (la reactancia X) es una diferencia entre dos cantidades.

X = ωL –

1 ωC

Esto indica que el efecto de la bobina es complementario al del condensador. Analizando la expresión observamos que la reactancia puede ser: 1 • Positiva: X > 0 ⇒ ω L > . Lo que significa que la parte bobina ωC supera al condensador estamos ante un caso de Impedancia inductiva.

160


1 . Lo que significa que la parte capacitiva ωC supera a la inductiva estamos ante un caso de Impedancia capacitiva.

• Negativa: X < 0 ⇒ ω L <

1 . Lo que significa que la parte capacitiva ωC iguala a la inductiva, estamos ante un caso de Impedancia resistiva pura. Observe que en este caso la impedancia total se comporta como una resistencia. Cuando ocurre este fenómeno decimos que el circuito es resonante a la pulsación ω; o que ω es la pulsación de resonancia del circuito (normalmente se habla de frecuencia de resonancia).

• Nula: X = 0 ⇒ ω L =

Si la impedancia total se expresa como Z = Z ej(ϕz) un complejo cuyo su

 1 2 ωL −    1 ωC módulo Z = R 2 +  ω L − , y su argumento arctg  R ω C     gulo puede variar entre –90° y 90 o entre –π/2 y π/2 radianes)

   (este án 

El circuito lo resolvemos fácilmente como: Eg = Z I

⇒

E ej(ϕg) = Z ej(ϕz) I ej(ϕi) = Z I ej(ϕz+ϕi)

• E = Z I luego:

I = E/Z

• ϕg = ϕz + ϕi

ϕi = ϕg – ϕz

por tanto

Así, el número complejo asociado a la Intensidad:

E j (ϕ g − ϕ z ) E E e = cos (ϕ g − ϕ z ) + j sen (ϕ g − ϕ z ) Z Z Z E j (ω t + ϕ g − ϕ z ) e , y la intensidad real El fasor en función del tiempo será: I = Z E sen (ω t + ϕ g − ϕ z ). será: i = Z En este caso los resultados pueden ser inductivos o capacitivos en función de cómo sea la inductancia. I =

Para analizar con más detalle las expresiones vamos a hacer una pequeña reducción que simplifica un poco las ecuaciones sin eliminar nada de su exactitud. Supongamos que el desfase inicial de la tensión es nulo ϕg = 0, y

161


1 ) y el ángulo ωC de la impedancia total ϕz > 0. En este caso los fasores se muestran en la siguiente tabla: que el resultado es de tipo inductivo (esto es X > 0 ⇒ ω L >

Eg = E /0 V

Sólo tendría parte real.

Eje imaginario

Tensión de la fuente:

Eg

Intensidad: I = I/–ϕz A

Eje imaginario

Eje real

Vector retrasado un ángulo ϕz con respecto de la tensión.

Eg –ϕz

Eje real

Tensión en la resistencia: UR = R I = R/0° I/–ϕz = R I/–ϕz V

Eje imaginario

I

–ϕz I

Eje real uR

Tensión en la bobina:

Vector de módulo L I y de argumento (–ϕz + 90°) perpendicular al vector intensidad en adelanto.

UC

1 I = jω C

1 / −90o I / −ϕ Z = ωC 1 I / −ϕ Z − 90o V ωC

162

Eje imaginario

UL = jωL I = ωL/90° I/–ϕz = ωLI/–ϕz + 90° V

Tensión en el condensador:

Vector de módulo RI y de argumento (– ϕ z ) es decir, paralelo al vector intensidad o en fase con él.

1 I ωC y de argumento (–ϕz – 90°) perpendicular al vector intensidad en retraso. Vector de módulo

–ϕz 90˚ uC

I

Eje real

Diagrama vectorial total: Se ha de cumplir la 2.a ley de Kirchhoff: Eγ = UR + UL + UC

Eje imaginario


UC UL

Eg –ϕz

90˚ i

Eje real

UR

Obsérvese que la tensión del condensador y de la bobina van en la misma dirección, pero en sentido contrario. En este caso UL > UC ya que hemos dicho que tiene efecto inductivo.

150

Tensión/intensidad

uL(t)

eg(t) CIRCUITO RLC SERIE

100

uR(t) 50

uC(t) 0

Tiempo i(t)

–50

–100

–ϕz

–150

π/2

π/2

Figura 118. Evolución de las tensiones en todos los elementos y la intensidad del circuito RLC serie en función del tiempo.

En la figura 118 se muestra la evolución de las tensiones en todos los elementos y la intensidad del circuito en función del tiempo. Observe que: la tensión en la resistencia sigue la misma forma que la intensidad; la intensidad está retrasada con respecto a la tensión [eg] un ángulo [ϕz]; que la tensión en la bobina [uL] está adelantada π/2 con respecto a la intensidad y que la tensión en el condensador [uC] está retrasada π/2 con respecto a la intensidad. En la figura 119 hemos resaltado las curvas de la tensión en el condensador y en la bobina: Obsérvese cómo son ambas tensiones en complementarias (esto es desfasadas entre si 180°), por lo que se van restando en valor absoluto todo el tiempo. También hemos de destacar que en este caso, hemos representado un ejemplo en el que el valor máximo de la tensión en la bobina es mayor que la de la fuente. Este hecho, aunque habitual, puede ocurrir que tanto en las

163


Tensión/intensidad

bobinas como en el condensador se presenten valores con órdenes de magnitud de varios centenares de veces superiores a los de la fuente. 150

CIRCUITO RLC SERIE

uL(t)

eg(t)

100

uC(t)

50

i(t)

0

Tiempo –50

–ϕz –100

–150

Figura 119.

7.8. ANÁLISIS DE CIRCUITOS EN CORRIENTE ALTERNA Ya hemos visto en los apartados anteriores la aplicación directa de las leyes de Kirchhoff como método para la solución de un circuito en corriente alterna. Lo que realizaremos en este apartado en un repaso de las técnicas de solución de circuitos, que son exactamente las mismas que en corriente continua sólo que ahora tendremos que utilizar la notación acompleja y recordar siempre que estamos ante unas funciones senoidales con tensiones variables a lo largo del tiempo, y no constantes como en corriente continua.

a) Método general o aplicación de las leyes de Kirchhoff En el circuito de la figura 120, Tenemos 4 elementos (tres pasivos y uno activos), luego tenemos como incógnitas las tensiones y las intensidades en todos los elementos, por tanto 8 incógnitas por lo que necesitamos 8 ecuaciones: Hemos definido 3 nudos y, por tanto, tenemos entonces dos ecuaciones linealmente independientes:

164

• Nudo A:

Ig = I1,

• Nudo B:

Ig = I2 + I3


I1

A Ig

R1 U1

+

B I3 I2

jX3

R2

U2

U3

(a) Eg (b) C

Figura 120.

Como tenemos 4 elementos tendremos 4 ecuaciones propias de los elementos: • La fuente de tensión: Eg = 10/0 V, por la propia definición de la fuente • En las resistencias; U1 = R1 Ig; U2 = R2 I2; U3 = jX3 I3. Las ecuaciones de mallas en el circuito (en sentido igual al de las agujas del reloj): • Malla (a):

U1 + U2 – Eg = 0

• Malla (b):

U3 – U2 = 0

Tenemos ya planteadas las 2 + 4 + 2 = 8 ecuaciones. Se reduciría el número de ecuaciones y se facilitaría su solución en el caso de que hubiésemos simplificado el nudo A y los elementos en paralelo. b) Método de mallas Para el análisis de un circuito por el método de mallas, vamos a utilizar el circuito de la figura 121a. Lo primero en lo que hay que fijase es en el tipo de fuentes y en sus frecuencias: es necesario que todas las fuentes del circuito sean de tensión y de la misma frecuencia. En el circuito de la figura 121a hay una fuente de intensidad (y hemos supuesto que todas las fuentes tienen la misma frecuencia), por lo que sustituiremos la fuente de intensidad Ig1 con el condensador paralelo por su fuente de tensión equivalente como se ve en la figura 121b.

165


Eg2 +

Eg2 +

IB

Eg1

L2

Ig1

R

jωL1

R

L1 +

C

+

jωL2 IA

–Jg1 —— ωC

+

IC

Eg1

Figura 121a.

–j —— ωC

Figura 121b.

Las tres intensidades de malla IA, IB, e IC seleccionadas (figura 121b) giran en el sentido de las agujas del reloj. Las ecuaciones de malla escritas directamente aplicando las mismas reglas que en continua son: • (jωL1 + jωL2) IA – jωL1 IB – jωL2 IC = Eg1

• (jωL1 + R) IB – jωL1 IA – R IC = Eg2

− j Ig 1  j  I − j ω L I − R I = •  j ω L1 + R − 2 A B ωC  C ωC  Con estas tres calculamos las incógnitas y resolveremos el circuito. c) Análisis de circuitos eléctricos utilizando el método de nudos De nuevo, las variables que utilizaremos para la solución del circuito mediante el método de nudos serán la diferencia de tensión entre cualquier nudo y el de referencia. El circuito de la figura 122a tiene tres nudos de los cuales consideraremos el nudo C como el de referencia. Lo primero en analizarse ha de ser el tipo de fuentes y el sus frecuencias: es necesario que todas las fuentes del circuito sean de intensidad y de la misma frecuencia. Por tanto, lo primero a realizar en el caso del circuito de la figura 122a es el cambio de todas las fuentes a fuentes de intensidad, cuyo cambio se presenta en la figura 122b. Las variables serán UAC y UBC.

166


Ig2

Ig2

R

A IC

R

IR B R IL

IEg

A UAC UBC +

Ig

L C

B

Eg

+

Ig R

–j —— ωC

C

Figura 122a.

E —g Rg

jωC C

Figura 122b.

Y las ecuaciones nodales escritas directamente aplicando las mismas reglas que en continua son:

 1  1 • Nudo A: jωC + UAC −   UBC = I g − Ig 2 .   R  R Eg  1  1 1 1 • Nudo B:  + +  UBC −   UAC = + Ig 2 . R  R  jωL R R  Una vez calculadas las tensiones de nudo, se calculan el resto de tensiones e intensidades. IMPORTANTE

Recuerde el lector que resolver el circuito es calcular las tensiones y las intensidades en TODOS los ELEMENTOS DEL CIRCUITO REALES y no en los simplificados.

7.9. TEOREMAS Aunque en capítulos anteriores hemos analizado sólo con corriente continua los circuitos siguen siendo lineales y, por tanto, son de aplicación todos los teoremas que vimos en su momento.

167


a) Principio de superposición Hemos definido que la respuesta a un circuito se puede calcular como la superposición de las respuestas a cada fuente de forma individual. Como ya hemos dicho esto se debe aplicar en aquellos casos en los que hay fuentes de diferente frecuencia o de diferente forma de onda (p. ej., continua y alterna). 100µF

50µH

uR

+

1Ω

4

+ sen(106t)V

sen(10 t)V + 1V

Figura 123.

Como ejemplo resolveremos el siguiente ejercicio: en el circuito de la figura 123, calcule la tensión en la resistencia uR. Obsérvese que en el circuito de la figura 123 hay tres fuentes de tensión, una de corriente continua y dos de corriente alterna: una de ω1=104 rad/s y otra ω2=106 rad/s. Para resolver el circuito aplicaremos el método de superposición. Tenga en cuenta el lector que las impedancias de las bobinas y del condensador dependen de la pulsación por lo que se comportarán de forma diferente para cada frecuencia así como para la corriente continua. Por tanto analizaremos la tensión en la resistencia para cada fuente: • Tensión en la resistencia cuando sólo actúa la fuente de tensión de pulsación ω1 = 104 rad/s.

168


a)

El circuito simplificado queda según la figura 124a.

50µH

Para el cálculo de u’R pasaremos todas las variables al campo complejo y calcularemos las impedancias complejas según las expresiones de la tabla siguiente:

100µF

+

u’R

1Ω

sen(104t)V

Resistencia

Bobina

Condensador

ZΡ

ZΛ

ZΧ

R

jωL

1 jω C

b)

+ Eg1

j0,5Ω

–jΩ U R’

1Ω

Así el circuito en el campo complejo queda como se indica en al figura 124b, con Eg1 = 1/0° V. Para calcular la tensión de la resistencia, haremos en paralelo de la resistencia y el condensador (véase figura 124c):

c)

j0,5Ω + Eg1

Z RC =

ZRC

U’R

1Ω × (− j Ω ) 1 − j = Ω 1− j 2

Aplicando ahora la expresión del divisor de tensión, obtenemos directamente la tensión U’R. Figura 124.

UR′ =

Z RC E = 1 − jV = Z RC + j0, 5 g1

2 / – 45º V

Como los complejos los hemos hecho con _ el valor máximo; el valor obtenido es el valor máximo, por tanto; u’R = √2 sen(104t – π/4) V. • Tensión en la resistencia cuando sólo actúa la fuente de tensión de pulsación ω1 = 106 rad/s, el circuito resulta ser el de la figura 125a: –j0,01Ω

100µF

+

u”R

50µH 1Ω

U ”R

–j50Ω 6

sen(10 t)V

Figura 125a.

+ Eg2

1Ω

Figura 125b.

169


Para el cálculo de u’’R pasaremos al campo complejo. Así el circuito en el campo complejo queda según se muestra en la figura 125b, con Eg2 = 1/0° V. Para calcular la tensión de la resistencia, haremos en paralelo de la resistencia y la bobina según se muestra en la figura 126:

Z RL =

1Ω × ( j50 Ω ) ≈ 1/ + 1.46 º Ω 1 + j50 –j0,01Ω

ZRL

U ”R

+ Eg2

Figura 126.

Aplicando de nuevo la expresión del divisor de tensión, obtenemos directamente la tensión U ’’R.

UR′′ =

Z RL E ≈ 0, 99 /0 º V Z RL + j 0, 01 g 2

Como los complejos los hemos realizando utilizando como módulo el valor máximo; el valor obtenido es también un valor máximo, por tanto; u’’R = 0,99 sen(106 t) V. • Tensión en la resistencia cuando sólo actúa la fuente de tensión continua, el circuito se representa en la figura 127a. Pero, como en corriente continua una bobina se comporta como un cortocircuito y un condensador como un circuito abierto, se puede simplificar más según se muestra en la figura 127b. Obsérvese que al sustituir la bobina por un cortocircuito, se hace cero la tensión entre sus extremos (que correspondían a los del condensador de la figura 127a). Por lo que tensión uR’’’ = –1 V.

170


u’’’R

1Ω

u’’’R

100µH

1Ω

50µH

+

+

1V

1V

Figura 127a.

Figura 127b.

La tensión total de la resistencia es: u = u’R + uR’’ + uR’’’ _ R uR = –1 + √2 sen(104 t – π/4) + 0,99 sen(106 t) V En la figura 128b se muestran cómo evolucionan las tensiones u’R, u’’R y uR’’’ y en la figura 128a se muestra la tensión total uR a lo largo del tiempo. Detalle

4

3

2

Tensión

1

0

Tiempo

–1

–2

Figura 128a. Tensión en la resistencia uΡ. Detalle

2 1,5

Resistencia

Tensión

1 0,5 0 ϕ

Tiempo

–0,5 –1 –1,5 –2

Figura 128b. Tensiones individuales en la resistencia.

171


b) Teorema de Sustitución Según este teorema podremos sustituir cualquier elemento de un circuito por una fuente de tensión igual a la tensión que tiene el elemento o por una fuente de intensidad igual a la que circula por el elemento, sin que se note ninguna diferencia en el circuito. Además la fuente se comportará como el elemento al que sustituye (si se sustituye a una resistencia se comportará como tal consumiendo potencia y energía). c) Dipolo equivalente Thévenin y Dipolo equivalente Norton Su cálculo se realiza de la misma forma que se ha contado en corriente continua.

7.10. EJERCICIOS DE AUTOCOMPROBACIÓN EJERCICIO VII.1: El circuito de la figura está compuesto por dos fuentes independientes eg e ig, y una fuente dependiente i2 que tienen los siguientes valores:

eg = 100 2 cos(100 t ) V ig = 21, 213 sen(100 t ) A i2 = uR ig L1

R

uR + eg

L2

i2

En donde uR es la tensión en la resistencia R.

172

C


Los valores de los diferentes elementos son: L1 = 20 mH; L2 = 30 mH; C= 2 mF; R = 4 Ω Se pide: • Represente el circuito en el campo de Euler (en complejos). • Ecuaciones de mallas del circuito que permitan resolverlo. EJERCICIO VII.2: En el circuito de la figura, calcúlese en módulo y argumento el valor de la fuente de tensión E, tomando como origen de fases la corriente I. (Se aconseja dibujar el diagrama vectorial). Datos: UR = 10 V, UL = 20 V, UC = 10 V. jωL

R

i UR

+

UL –j —— ωC

E

UC

EJERCICIO VII.3: Calcule el equivalente Thévenin y el equivalente Norton vistos desde los terminales C y D del circuito de la figura. Las fuentes dependientes tienen las siguientes expresiones: • E1 = j15 I1 –J5 I2 • E2 = –j15 I2 + j5 I1 I1

5Ω

A

5Ω

+

+

E1

5Ω

I3 C

E2 I2

+

Eg = 220/0˚V

B

10Ω

B

173

TEMA 8

POTENCIA EN CORRIENTE ALTERNA

8.1. Potencia instantánea y activa consumida 8.2. Potencia compleja 8.3. Potencia alterna en los elementos: RESISTENCIA 8.4. Potencia alterna en los elementos: BOBINA 8.5. Potencia alterna en los elementos: Condensador 8.6. Potencia alterna en los elementos: Impedancia 8.7. Balance de potencias 8.8. Factor de potencia

Hasta ahora hemos definido cómo funcionan los elementos en corriente alterna, ahora vamos a ver qué ocurre con la potencia. Si bien la definición de potencia que vimos en su origen sigue siendo válida veremos como la fluctuación de la tensión y la intensidad hace que la potencia instantánea sea variable con el tiempo. No nos interesa tener un valor instantáneo fluctuante sino conocer cuanto esfuerzo de verdad nos supone suministrar una determinada energía por lo que definiremos una potencia media real que representa con exactitud dicho esfuerzo. Además por haber elementos almacenadores de energía (las bobinas y los condensadores) cuyo funcionamiento ya se explicó anteriormente, se producen unas intensidades reales por los circuitos que nos resulta muy útil conocer, pero que no producen potencia real, para ello definiremos la potencia aparente compleja, y para tener una idea de la magnitud de energía que almacenan o ceden las bobinas y los condensadores definiremos la potencia reactiva. Analizaremos cuales son las potencias de los diferentes elementos y, en general, de las impedancias.

175


8.1. POTENCIA INSTANTÁNEA Y ACTIVA CONSUMIDA Como definimos al principio del curso, la potencia consumida por un dipolo como el de la figura 128 es: p = u × i. Suponiendo que la tensión y la intensidad son valores senoidales (hemos tomado como referencia la intensidad para simplificar la notación): u = U cos(ωt +ϕ)

i = I cos(ωt)

e

u i A

B

Figura 128.

En donde los valores de U e I son los valores máximos de, tensión e intensidad respectivamente, la potencia instantánea p = u × i = U cos(ωt +ϕ) × I cos(ωt) = U I cos(ωt +ϕ) cos(ωt) En función del ángulo doble1 la expresión anterior queda:

p=

UI [cos(ϕ ) + cos(2ω t + ϕ )] 2

Esta potencia instantánea se expresa en vatios [W].

_ Si en _vez de los valores máximos se utilizan los valores eficaces: U = √2 Uef ; I = √2 Ief la expresión de la potencia instantánea se simplifica: p = Uef Ief [cos(ϕ) + cos(2ωt +ϕ)] En la figura 129 se muestra la forma de la potencia instantánea en función del tiempo. En este caso la potencia instantánea puede ser positiva o negativa (este hecho ya es debido a que las bobinas y los condensadores son elementos capaces de almacenar energía). 1 cosα cosβ = [cos(α − β) + cos(α+β)]/2. Esta relación se obtiene fácilmente de la expresiones de la suma de ángulos: • cos(α + β) = cosα cosβ − senα senβ. • cos(α − β) ⵧ cosα cosβ + senα senβ.

176


250

Valor máximo = UefIef(cosϕ+1) 200

Valor medio = P = UefIefcosϕ

150

Potencia W

100

B

50 0 –50

i(t)

–100

u(t)

Tiempo

Valor mínimo de la potencia = UefIef(cosϕ–1)

–150

Figura 129. Diagrama temporal de tensión, corriente y potencia instantánea.

Obsérvese que, en esta expresión, hay un término que no depende del tiempo: Uef Ief cos(ϕ) y otro término variable con el tiempo y cuya pulsación es el doble de las de la tensión y de la intensidad: Uef Ief. En la figura 129 se observa como la potencia instantánea es una senoide alrededor del valor medio Uef Ief cos(ϕ) que es el término constante. El valor máximo es [Uef Ief (cos ϕ +1)] y su valor mínimo [Uef Ief (cos ϕ –1)]. Al valor medio de la potencia instantánea lo vamos a llamar potencia activa o real P, que se calcula matemáticamente como:

P= 1 T

T

1 T

T

1

T

∫0 p(t )dt = T ∫0 U ef I ef  cos ϕ + cos(2ω t + ϕ ) dt = 1

T

∫0 U ef I ef cos ϕ dt + T ∫0 U ef I ef  cos(2ω t + ϕ )  dt = U ef I ef cos ϕ

Sus unidades son los vatios [W] y representa el esfuerzo necesario para poder suministrar la energía consumida por el dipolo.

8.2. POTENCIA COMPLEJA En el campo complejo vamos a definir además de la potencia real que acabamos de definir la potencia compleja SS consumida por el dipolo de la

177

Imaginario


A

i

u u

ϕu–ϕi ϕu ϕi

i Real

B

Figura 130. Diagrama vectorial de tensión y corriente.

figura 130 como el producto de la tensión compleja por el complejo conjugado2 de la intensidad. S =U I* Por tanto, si U = Uef ejϕu e I = Ief ejϕi. La potencia compleja S: S = U I* = Uef ejϕu Ief e–jϕi = Uef Ief ej(ϕu–ϕi). En su forma de parte real e imaginaria: S = Uef Ief cos(ϕu–ϕi ) + j Uef Ief sen(ϕu–ϕi). Pero sabemos que ϕu–ϕi es la diferencia angular entre la tensión y la intensidad que hemos llamado ϕ, y, por tanto, la parte real de la potencia aparente es Uef Ief cos(ϕu–ϕi ) = Uef Ief cosϕ = P, es la potencia activa o real que acabamos de definir. A la parte imaginaria de la potencia aparente Uef Ief sen(ϕu–ϕi ) = Uef Ief senϕ = Q, la definimos como la potencia reactiva. Por tanto la potencia aparente S = P + jQ. Las unidades de la potencia aparente son voltiamperios [VA] y las unidades de la potencia reactiva son voltiamperios reactivos [VAr]. Note el lector que las tres potencias forman un triángulo rectángulo de la figura 131:

Dado un complejo A = X + jY = A e j en donde A es el módulo ( A = X 2 + Y 2 ) y ϕ = arctg(Y/X). Su complejo conjugado tiene el mismo módulo A pero su argumento el mismo pero con signo opuesto e–j, por tanto A *= X – jY = A e–j. 2

178


S Q ϕ P

Figura 131. Triángulo de potencias.

• P = U ef I ef cos ϕ = S cos ϕ • Q = U ef I ef senϕ = S senϕ

P 2 + Q2 • ϕ = arctg (Q / P ) = ϕ u – ϕ i • S=

NOTE el lector la importancia de que en el cálculo de la potencia aparente con números complejos aparezca el conjugado de la intensidad, ya que es fundamental que el ángulo en el triángulo de potencias ϕ sea exactamente la diferencia entre el ángulo de la tensión y el de la intensidad, como se muestra en la figura 130.

8.3. POTENCIA ALTERNA EN LOS ELEMENTOS: RESISTENCIA La potencia consumida por una resistencia HA DE SER SIEMPRE POSITIVA y se llama energía consumida por efecto Joule. Recordando la expresión de la potencia: _ _ p(t) = u(t) i(t)= √2 Uef cos(ω t + ϕu) √2 Ief cos(ω t + ϕu) = 2Uef Ief cos2(ω t + ϕu) y, sustituyendo el valor del cos2 por el valor doble del ángulo, obtenemos: p(t) =Uef Ief [cos 2(ωt + ϕu) –1] En la gráfica 132 se muestra la expresión de la potencia instantánea consumida por una resistencia. Se observa que la potencia es siempre positiva, que tiene una frecuencia doble que la de la red, que su valor medio (o su potencia activa) es Uef Ief. En el caso de la resistencia la diferencia angular entre tensión e intensidad era nula (ϕ =0) (véase la figura 133). Por tanto:

179


Potencia consumida en una resistencia

300

Valor medio UI/2

Potencia W

250 200 150 100 50

u(t)

i(t)

0 –0,8 –50

Tiempo

Figura 132. Potencia instantánea en una resistencia.

• P = U ef I ef cos ϕ = U ef I ef

[W]

• Q = U ef I ef senϕ = 0

[VAr]

• S=

P 2 + Q2 = P

[VA]

• ϕ = arctg (Q / P ) = 0

S=P Como además Uef = R Ief (en modulo). P = Uef Ief = R I2ef

[W]

Imaginario

Las resistencias sólo consumen potencia activa y ésta ha de ser positiva.

I

U

ϕi = ϕu Real

Figura 133. Diagrama vectorial.

8.4. POTENCIA ALTERNA EN LOS ELEMENTOS: BOBINA Recordemos que en una bobina si la función de la intensidad que la recorre es: i(t ) = 2IIef cos(ω t + ϕ ), la función de la tensión que aparece entre sus bornes es:

–

180


Potencia consumida por una bobina

200

Valor medio 0

150

Potencia W

100 50

u(t)

B

0 –0,8 –50

i(t)

Tiempo

–100 –150 –200

Figura 134. Potencia instantánea en una bobina.

En cuanto a la potencia instantánea consumida por una bobina será:

 π p(t ) = u(t ) ⋅ i(t ) = 2U ef cos  ω t + ϕ +  2I ef cos(ω t + ϕ ) = 2  2U ef sen(ω t + ϕ )I ef cos(ω t + ϕ ) y, sustituyendo el valor del sen×cos por el valor del ángulo doble, obtenemos: p(t) = Uef Ief sen (2ωt + ϕ) La gráfica de la potencia instantánea se representa en la figura 134. En este caso la potencia instantánea puede ser positiva o negativa. Este hecho es debido a que en un ciclo el elemento almacena energía en forma de campo magnético que devuelve al sistema en el siguiente ciclo; tiene una frecuencia doble que la de la tensión y su valor medio es 0. En el caso de la bobina la diferencia angular entre tensión e intensidad es de 90° (véase la figura 135). Por tanto • P = U ef I ef cos ϕ = 0

[W]

• Q = U ef I ef senϕ = U ef I ef

[VAr]

• S=

P 2 + Q2 = Q

[VA]

• ϕ = arctg (Q / P ) = 90 º

S = jQ Por tanto se dice que la POTENCIA ACTIVA O REAL de una bobina es nula; las bobinas sólo consumen potencia reactiva y ésta ha de ser positiva.

181

Imaginario


u

π ϕ u = ϕi + — 2 π — 2

i ϕi Real

Figura 135. Diagrama vectorial.

Como además U = jωL I = j XL I, y en modulo Uef = XL Ief

Observe el lector que si bien la potencia real que consume una bobina es nula, existe un valor instantáneo real de una potencia intercambiada con el sistema y, por tanto, de una intensidad que circula por dicho sistema. La POTENCIA REACTIVA CONSUMIDA por una bobina nos da una idea de la energía intercambiada con el sistema.

8.5. POTENCIA ALTERNA EN LOS ELEMENTOS: CONDENSADOR Recordando lo establecido en el capítulo anterior, si en un condensador aparece una intensidad de valor i(t ) = 2II ef cos(ω t + ϕ ), es porque entre sus bornes se le aplica la tensión

–

.

La potencia instantánea consumida por un condensador será entonces:

 π p(t ) = u(t ) ⋅ i(t ) = 2U ef cos  ω t + ϕ −  2 I ef cos(ω t + ϕ ) = 2  2U ef sen (ω t + ϕ )I ef cos(ω t + ϕ )

182


Potencia en un condensador

200 150

Valor medio 0

Potencia W

100 50 0

–0,8

Tiempo

–50

–100 –150

i(t)

–200

u(t)

Figura 136. Potencia instantánea en una bobina.

y, sustituyendo el valor del cos2 por el valor del ángulo doble, obtenemos: p(t) = Uef Ief sen (2ωt + ϕ) La gráfica de la potencia se representa en la figura 136. De nuevo, en el caso del condensador, la potencia instantánea puede ser positiva o negativa, debido a que el elemento almacena energía en forma de campo eléctrico que devuelve al sistema en el siguiente ciclo, tiene una frecuencia doble que la de la tensión y su valor medio es 0. En el caso del condensador la diferencia angular entre tensión e intensidad es de –90° (véase la figura 137). Por tanto: • P = U ef I ef cos ϕ = 0

[W]

• Q = U ef I ef senϕ = − U ef I ef

[VAr]]

P 2 + Q2 = Q

[VA]

• S=

• ϕ = arctg (Q / P ) = −90 º

S = jQ La potencia activa consumida por los condensadores es NULA. La potencia reactiva «consumida» por los condensadores es negativa, por lo que realmente los condensadores GENERAN POTENCIA REACTIVA.

183

Imaginario


I

Real

π ϕu = – — 2 U

π ϕu = ϕi – — 2

Figura 137. Diagrama vectorial de un condensador.

Como además U =

1 I jω C

U = − jX C I , y en móduloÅ Å Å U ef = XC I ef . 2

Q = − U ef I ef = − X C I 2ef =

U 1 2 I ef = − ef = −ω C U 2ef ωC XC

[V VAr]

No obstante, tal como ocurría en la bobina, si bien la potencia real que consume un condensador es nula, existe un valor instantáneo real de una potencia intercambiada con el sistema y, por tanto de una intensidad que circula por dicho sistema. Para tener esto en cuenta utilizamos el término de POTENCIA REACTIVA GENERADA por un condensador. Note el lector que la potencia reactiva generada por los condensadores es consumida por las bobinas. Existe un intercambio de potencia entre las bobinas y los condensadores que analizaremos posteriormente.

8.6. POTENCIA ALTERNA EN LOS ELEMENTOS: IMPEDANCIA En cuanto a la potencia instantánea consumida por una impedancia será la misma que hemos deducido para un dipolo genérico que se analizan en el epígrafe 8.1: p = Uef Ief [cos(ϕ) + cos(2ωt +ϕ)] La gráfica de la potencia se representa el al figura 138.

184


250

Valor máximo = UefIef(cosϕ+1)

200

Valor medio = P = UefIefcosϕ

Potencia W

150 100 50

B

0 –50

i(t)

–100 –150

u(t) Tiempo

Valor mínimo de la potencia = UefIef(cosϕ–1)

Figura 138. Diagrama temporal de tensión, corriente y potencia instantánea.

En cuanto a la potencia compleja, si suponemos, como en el caso indicado en la figura 138, que la tensión u(t) está adelantada con respecto a la intensidad i(t) un ángulo ϕ, estaremos ante el caso de una impedancia de tipo inductivo, en el que los vectores asociados a la tensión y son la intensidad son: _ u = √2 Uef cos(ωt +ϕ) U = Uef ejϕ U = Uef /ϕ _ i = √2 Ief cos(ωt) I = Ief ej0 I = Ief /0° Como la impedancia es la relación entre tensión e intensidad U = Z I ha U U de ser: Z = ef , que es un complejo de módulo Z = ef y su argumento ϕ, Ief I ef Z = Z ejϕ = Z /ϕ = Z cosϕ + j Z senϕ = R + j X Por tanto, la potencia aparente: S =U I* = Uef /ϕ Ief /–0° = Uef Ief /ϕ = S /ϕ A

I

U

Z

B

Figura 139. Impedancias-Dipolo.

185


NOTE que el ángulo de desfase entre tensión e intensidad es el ángulo de la impedancia compleja y es el argumento de la potencia compleja.

En la figura 140 se muestran el triángulo de impedancias, el triángulo de potencias y el diagrama vectorial. Fasor

Z ϕ

X

Imaginario

Impedancia

R

Potencia u

S ϕ

Q

ϕ i Real

P

Figura 140. Comparación entre los triángulos de impedancias y potencias y el diagrama vectorial de tensiones/intensidades.

Expresiones del cálculo de las potencias complejas En función de la tensión y la intensidad:

En función de las potencias:

• P = Uef Ief cosϕ

• Q = S senϕ

• Q = Uef Ief senϕ

• P = S cosϕ

• S=

• S = Uef Ief

P 2 + Q2

• Q = P tgϕ En función de la impedancia y la TENSIÓN. Recordemos que, en módulo Uef = Z Ief: • S= U ef • P=

• Q=

186

U2ef Z U 2ef Z

U ef Z

=

U2ef Z

En función de la impedancia y la INTENSIDAD. Recordemos que, en módulo Uef = Z Ief: • S = ZIef Ief = ZI2ef • P = ZI2ef cosϕ • Q = ZI2ef senϕ

cos ϕ

senϕ


Si la impedancia Z se expresa como R + jX, R = Z cosϕ y X = Z senϕ, podemos sustituir en las expresiones anteriores y obtenemos que: • P = I2ef Z cosϕ = RI2ef • Q = I2ef Z senϕ = X I2ef Expresiones que nos indican que la POTENCIA ACTIVA ES SÓLO CONSUMIDA POR LA PARTE RESISTIVA DE LA IMPEDANCIA, y la POTENCIA REACTIVA ES SÓLO CONSUMIDA POR LA PARTE REACTIVA DE LA IMPEDANCIA. NOTA. Tenga mucho cuidado el lector en la aplicación de estas expresiones. En una impedancia representada por R + jX, tiene un equivalente con el de una resistencia en serie con una bobina. Si bien, la parte resistiva del elemento es la que consume TODA la potencia activa, tenga el lector en cuenta que por esa resistencia circula toda la intensidad que circula por la impedancia Ief , pero la tensión que soporta la resistencia equivalente NO es el total de la tensión aplicada a la impedancia Uef 3.

8.7. BALANCE DE POTENCIAS En todo circuito eléctrico se ha de cumplir que el balance de potencias tanto potencias activas como reactivas esté equilibrado:

∑ Qci = ∑ Qgk ; ∑ Pci = ∑ Pgk i

k

i

k

3

La expresión Z = R +j X implica que la impedancia compleja está compuesta por un equivalente serie formado por una resistencia serie y una reactancia serie como se indica en la figura. Por tanto la potencia activa P = R I2ef pero si se desea utilizar la tensión y la resistencia en el cálculo de la potencia observe que la tensión aplicada a la resistencia es UR y, por tanto la expresión a utilizar sería

P=

U2 Z

cos ϕ ó P =

UR2 R

observe que hemos sustituido la tensión de la impedancia por la tensión de la

resistencia. A

I UR U UL z

B

187


siendo Pci y Qci la potencias activas y reactivas consumidas en el circuito y Pgk y Qgk las potencias activas y reactivas generadas. Obsérvese que de las expresiones anteriores se deduce que también se cumple en el caso de la potencia aparente compleja (note el lector que se cumple sólo se cumple con el número complejo, que NO con el módulo):

∑ Sci = ∑ Sgk i

k

EJEMPLO En el circuito de al figura 141, calculemos la potencias de todos los elementos. R = 1 Ω, C = 1 mF, L = 20 mH, E = 15 V y f = 50 Hz. Pasando el circuito al campo complejo en el que la pulsación ω = 2πf = 100π rad/s: Impedancias: • Resistencia: 1 Ω. • Bobina: jωL = j100π 20 × 10–3 = j 2π Ω. • Condensador: 1/jωC = –j/(100π 1 10–3 ) = –j10/π Ω = –j3,18 Ω La tensión de la fuente en valor eficaz será: _ _ √2 Eef = E ; Eef = 15/√2 = 10,61 V Para resolver el circuito lo haremos suponiendo que el ángulo ϕg = 0.

i

A

+

R

L

uR

uL

eg = Esen(ωt + ϕg)

B

Figura 141.

188

i C uC


I A

+

1Ω

j2πΩ

UR

UL

I UC

Eg = 10,61/0 V

–j3,2Ω

B

Figura 142.

Aplicando mallas: (1 + j6,28 – j3,18) I = 10,61 V Por tanto: I = 10,61/(1+j3,1) = 3,257 /–17,9° A. Obsérvese que la intensidad va retrasada con respecto a la tensión por ser el sistema inductivo (la reactancia de la bobina es mayor que la del condensador). Las tensiones serán (véase el diagrama vectorial en la figura 143): • UR = R I = 1 × 3,257/–17,9° = 3,257/–17,9° V • UL = ZL I = j 2π × 3,257/–17,9° = 20,46/72,1° V • UC = ZC I = –j 3,18 Ω × 3,257/–17,9° = 10,36/–107,9° V Las potencias complejas:

Imaginario

• SR = UR I* = 3,257/–17,9° × 3,257/17,9° = 10,61/0° VA; PR = 10,61W; QR = 0 VAr.

UC Eg –ϕz

UL Real

90˚ I

UR

Figura 143. Diagrama vectorial del Circuito RLC serie.

189


• SC = UC I* = 10,36/–107,9° × 3,257/17,9° = 33,74/–90° VA; PC = 0 W; QC = –33,74 VAr. • SL = UL I* = 20,46/72,1° × 3,257/17,9° = 66,64/90° VA; PL = 0 W; QL = 66,64 VAr. Estas cantidades también las podríamos haber calculado conociendo sólo la intensidad I. • Como la resistencia sólo puede consumir potencia activa esta la podremos calcular como: PR = R | I |2

PR = 1 | 3,25 |2 = 10,61 W

• Como la bobina sólo puede consumir potencia reactiva esta la podremos calcular como: QL = XL |I |2

QL = 2π | 3,257 |2 = 66,64 VAr

• Como el condensador sólo puede generar potencia reactiva, la podremos calcular como: QC = –XC | I |2

QC = –3,18 | 3,257 |2 = –33,74 VAr

Por balance de potencias sabemos que la potencia activa generada por la fuente deberá ser la consumida por la resistencia, y que la potencia reactiva generada por la fuente debe ser igual a la consumida por la carga, por tanto: • PG = PR = 10,61 W • QG = QL + QC = 66,64 –33,74 = 32,9 VAr Esto debe ser igual al producto de SG = Eg I* SG = Eg I* = 10,61/0° × 3,257/17,9° = = 34,56/17,9° VA = 10,61 + j 32,9 VA

8.8. FACTOR DE POTENCIA Dado un dipolo como el de la figura 144, se llama factor de potencia al cosϕ siendo el ángulo ϕ el desfase o diferencia angular entre la tensión y la intensidad del dipolo. Este ángulo es también el ángulo ϕ de la impedancia equivalente del dipolo: Z = Z/ϕ.

190

Imaginario


A

I

U

U

ϕ

Z

I Real

B

Figura 144.

Si recordamos la expresión de la potencia activa en función de la tensión y la intensidad: P = Uef Ief cosϕ = S cosϕ, el factor de potencia da una idea de la cantidad de potencia activa o real que está consumiendo el dipolo. El factor de potencia de una resistencia es 1 (ϕ = 0; cosϕ = 1). Las cargas con un factor de potencia unidad son puramente resistivas. El factor de potencia de un condensador es nulo (ϕ = –90; cosϕ = 0) por tanto, no consumirá potencia activa. El factor de potencia de un bobina es nulo (ϕ = 90; cosϕ = 0) por tanto, no consumirá potencia activa. Recuerde el lector que SÓLO CONSUMEN POTENCIA ACTIVA LAS RESISTENCIAS (EN SU CASO LA PARTE RESISTIVA DE LA IMPEDANCIA).

Como cosϕ = cos(–ϕ) mediante el factor de potencia no se sabe si la carga es de tipo inductivo (ϕ > 0, intensidad retrasada con respecto de la tensión) o de tipo capacitivo (ϕ < 0, intensidad adelantada con respecto de la tensión), por lo que es necesario especificar el tipo de factor de potencia. Ejemplo VIII.1 En el circuito de la figura 145, se representa una pequeña instalación eléctrica conectada mediante un cable de impedancia (0,1 + j0,2 Ω) a la red

191


Ig A 0,1 + j0,2 Ω

C

A IC

UL

IM

Eg

V

Motor

+

IR

U

R

B

Figura 145.

(que en el ejercicio se representa por una fuente de tensión ideal) de una frecuencia de 50 Hz. La instalación consiste en un conjunto de motores que consumen una potencia de 4000 W, con una factor de potencia 0,7071 (inductivo), un circuito de alimentación del alumbrado, formado sólo por bombillas que consumen una potencia total de 4000 W con un factor de potencia unidad (son resistencias) y una batería de condensadores en paralelo. Además se conoce que las medidas de los aparatos de lectura son: Amperímetro 36,36 A, Voltímetro 220 V, y se sabe que el conjunto formado por los motores, las lámparas y la batería de condensadores tiene un factor de potencia igual a la unidad. Determine, la tensión de la fuente, la intensidad que circula por cada uno de los elementos, la potencia generada por la fuente, y la consumida por cada elemento, así como la capacidad de la batería de condensadores C. La medida del voltímetro es la tensión entre los nudos C y B en valor eficaz, además para simplificación de nuestro problema tomaremos como origen de fases esta tensión por tanto el complejo U = 220/0° V. C IC

UL + Eg

R U

B

Figura 146.

192

IM Motor

ig A 0,1 + j0,2 Ω

IR

R


El amperímetro mide el valor eficaz de la intensidad que sale de la fuente en módulo (pero, por ahora, no conocemos su argumento), por tanto | Ig | = Ig_ef = 36,36 A. Como el conjunto formado por las cargas y el condensador presenta un factor de potencia unidad, significa que la impedancia equivalente de las bombillas, el motor y el condensador, es una resistencia R como se indica en la figura 146. Obsérvese que por esta resistencia circula la intensidad Ig. Pero sabemos que en una resistencia la tensión y la intensidad están en fase, por lo que Ig estará en fase con la tensión U = 220/0° V, por tanto Ig = 36,36/0° A. Para calcular la tensión de la fuente Eg basta aplicar la 2.a ley de Kirchhoff: Eg = UL + U Con UL la caída de tensión en el cable que la calculamos fácilmente ya que conocemos su impedancia: • UL = ZL Ig = (0,1 + j 0,2 Ω) 36,36/0° A = 3,636 + j 7,272 V • Eg = 3,636 + j 7,272 V + 220V = 223,636 + j 7,272 V = 223,8/1,9° V La potencia generada por la fuente es: • Sg = Eg Ig* = 223,8/1,9° 36,36/0° = 8137,37/1,9° VA = 8132 + j 269,8 VA La potencia perdida en la línea, aunque la podemos calcular como: SL = UL Ig* , la calcularemos como suma de la potencia activa y la reactiva utilizando los valores de la impedancia: • PL = R Ig2 = 0,1 × 36,362 = 132 W • QL = X Ig2 = 0,2 × 36,362 = 264,2 VAr • SL = 132+ j 264,2 VA Para el cálculo de la intensidad en el motor seguiremos el siguiente procedimiento. El conjunto de motores sabemos que consumen una potencia de 4000 W, con una factor de potencia 0,7071 (inductivo), y que la tensión de alimentación es, en valor eficaz, U = 220/0° V. Por tanto la potencia activa consumida por los motores es 4000 W, y como sabemos que la potencia activa: P = UM IM cosϕ La intensidad IM = P/UM cosϕ = 4000W / (220V × 0,7071) = 25,71 A.

193


Pero este valor es sólo el módulo. Su argumento se calculará a partir del factor de potencia. Si cosϕ = 0,7071, ϕ = 45° , y como este es el desfase entre tensión e intensidad y el motor tiene carácter inductivo, la intensidad irá retrasada 45° con respecto a la tensión, por tanto: • IM = 25,71/–45° A = 18,18 – j18,18 A. La intensidad en la resistencia la calcularemos del mismo modo: Como la potencia activa consumida es de 4000 W, y como para una resistencia P = UR IR con UR = U = 220 V, • IR = P/UR = 4000W/220 V = 18,18 A. Pero este valor de nuevo es sólo el módulo. Su argumento lo calcularemos conociendo que en una resistencia la tensión y la intensidad están en fase y por tanto • IR = 18,18 A. Para el cálculo de la intensidad en el condensador podríamos utilizar la 1.a ley de Kirchhoff en el nudo C, ya que conocemos todas las intensidades excepto la del condensador. Se tiene que cumplir en C que: Ig = IR + IM + IC . Por tanto: IC = Ig – IR – IM = 36,36/0° A – 18,18/0° – 25,71/–45° A Sustituyendo los complejos por parte real e imaginaria: IC = (36,36) – (18,18) – (18,18 – j18,18) = 0 +j 18,18 A = 18,18/90° A Observe el lector que la intensidad del condensador es sólo imaginaria y compensa toda la parte imaginaria de la intensidad del motor. El cálculo de la capacidad C es sencillo. Como sabemos que Para el condensador: U =

1 I . jω C C

O, en módulo U = IC /ωC. • C = IC /ωU. Como la frecuencia son 50 Hz, ω = 314,16 rad/s. • C = 18,18 / (314,16 × 220) = 263 · 10–6 F = 263 µF.

194


También se puede calcular la intensidad en el condensador utilizando el balance de potencias, es decir: Como el conjunto formado por las bombillas, el motor y el condensador presenta un factor de potencia unidad la intensidad, significa que la impedancia equivalente de las bombillas, el motor y el condensador, es una resistencia R, lo que significa que el conjunto SOLO CONSUME POTENCIA ACTIVA. Ello significa que toda la reactiva consumida por el motor es generada por el condensador: • QC = QM = PM tgϕ = 4000 tg 45° = 4000 VAr. La intensidad IC = Q/U = 4000 W/220 V = 18,18 A, y al ser condensador estará adelantada 90° con respecto a su tensión, por tanto • IC = 18,18/90° A. La capacidad también se podría calcular en función de la potencia ya que como: • QC = XC I 2ef =

U 2ef XC

=

I 2ef

ωC

= ω CU 2ef .

Por tanto C = QC / ωU2ef. Que dará el mismo resultado que por el método anterior.

EJEMPLO VIII.2 El circuito de la figura es un montaje preparado para calcular los valores de R, X y la impedancia capacitiva Z, que tiene como parte real R y como parte imaginaria –2X. La tensión del generador que proporciona energía _ al circuito es de 400 V y de 50 Hz y la potencia suministrada es: 6.000 √3 + j 2000 VA. Tomando como origen de fases la tensión en la fuente E, conteste a las siguientes preguntas: • Expresiones complejas de E e I. • Expresiones complejas de I1, I2, UBC, y de la impedancia equivalente del circuito vista por la fuente en función de R y X.

195


• Relación entre R y X. • Valores de R y X. • Exprese numéricamente las magnitudes del circuito y calcule las medidas del voltímetro y del vatímetro. Dibuje el diagrama vectorial de tensiones e intensidades. A I

z I1

I2 R

W

+ Eg

B

C

V UBC X

R

D

Solución La potencia aparte suministrada por la fuente S = E I*. Si la tensión es el origen de fases E = 400 V = 400 /0° V . _ _ La intensidad I* = S/E = (6000 √3 + j 2000)/400 = 15√3 + j 5 A, y por tanto _ I = 15√3 – j 5 A Expresiones complejas de I 1, I 2, U BC, y de la impedancia equivalente del circuito Como al conjunto de la rama A-D la tensión aplicada es E,

I2 =

E 400 400(R − jX ) = = R + jX R + jX R2 + X 2

Así mismo en la rama A-D la tensión aplicada es también E, y la impedancia conjunto de Z y R es: Z + R = (R – j2X) + R = 2R – j2X

Así,Å Å I1 =

196

400 200( R + jX ) E = = 2 R − j2 X 2 R − j2 X R2 + X 2


y la tensión UBC.

UBC = −UAB + UAC = − R I1 + (2R − j 2X )I 2 = −

200(R + jX ) 200 [(2X 2 - R 2 ) + jXR ] 400R (R − jX ) + 2 − 2 R j X ( ) = R2 + X 2 R2 + X 2 R2 + X 2

La impedancia Z vista desde la fuente será el paralelo de las dos ramas ABD, y ACD, y por tanto:

Z =

2(R 2 + X 2 )(3R + jX ) (R + jX )(2R − j 2 X ) = (R + jX ) + (2R − j 2X ) 3R 2 + X 2

Relación entre R y X Como se conoce la tensión y la intensidad de la fuente se puede calcular fácilmente la impedancia equivalente, esta será:

Z =

E 400 20 = = (3 3 + j ) Ω I 15 3 − j 5 7

Comparando la parte real y la parte imaginaria de ambas expresiones:

2( R2 + X 2 )3 R 60 3 = 7 3 R2 + X 2

;

2( R2 + X 2 ) X 20 = 7 3 R2 + X 2

Y dividiendo las dos expresiones entre si se obtiene rápidamente la relación pedida

3 R 60 3 = y por tanto R = X 3 X 20 Valores de R y X Para calcular los valores de R y X basta sustituir la relación que acabamos de calcular en alguna de las expresiones anteriores, por ejemplo en la segunda:

2(3 X 2 + X 2 ) X 20 = 7 3⋅3X 2 + X 2

197


_ De aquí se obtiene fácilmente que X = 10 Ω , y, por tanto, R = 10 √3 Ω . Exprese numéricamente las magnitudes del circuito y calcule las medidas del voltímetro y del vatímetro. Dibuje el diagrama vectorial de tensiones e intensidades. Sustituyendo los valores de R y X calculados en las expresiones anteriores obtenemos directamente que: _ –30° A = 20 • I2= 10 √3 – j 10 A _ 30° A • I1= 5 √3 + j 5 A = 10 • UBC = –50 + j 50 3 V

+120° V

= 100

El voltímetro marca, por tanto, 100 V. El vatímetro marca W= | I1 | | UBC | cos (I1^UBC) = 10 · 100 cos (30 – 120) = 0 W A I

Z I2

I1

UZ R

U2

+ eg

B

C

X

UX

U1 R

D

Siguiendo el esquema de la figura adjunta, las diferentes tensiones serán: _ _ • U2 = 10 √3 20 –30° = 200 √3 –30° V _ _ • U1= 10 √3 10 30° = 100 √3 30° V • UX= 10 90° 20

–30° = 200

60° V _ • UZ=400 – U1 = 400 – (150 + j50 √3 ) V _ • UZ= 250– j 50 √3 V • El diagrama vectorial será aproximadamente el de la figura siguiente:

198


UBC U1

UZ

I1

U I I1

I2

UX

U2

EJERCICIO VIII.3 Para el circuito de la figura se pide: • Calcule la tensión y la intensidad en cada elemento. • Compruebe si se verifica el teorema de Boucherot. Forma de solucionarlo. En este tipo de circuitos con pocos elementos pero con estructura complicada, si bien se pueden aplicar los métodos de resolución normales, nudos y mallas, también se puede analizar utilizado las ecuaciones de Kirchhoff directamente debido a que no son muchas ecuaciones y su planeamiento es muy sencillo. 1Ω 4,5mH

iE

i1 +

+ 90/0 V

E

A

C

e1 = 2u1

e1

B

ig = 0,5i1

u1

2Ω

B

199


Debe recordarse que las tensiones de las fuentes dependientes no son datos sino variables a resolver Para analizar el circuito por el método de mallas, es necesario convertir la fuente de intensidad en fuente de tensión, pero tenga en cuenta el lector que entonces que la tensión u1 no sería ya la tensión en la resistencia del equivalente sino la del conjunto de fuente de tensión y resistencia. El circuito se reduciría como se indica en la figura. 1Ω 4,5mH

iE

90/0 V

C

2Ω i1 +

+ e

e1 = 2u1

A

e1

u1

+ eg = i1

B

Obsérvese que, aunque se obtienen dos mallas y se simplifica el proceso, se ha de estar muy atento a cuales son y si tiene sentido las variables antiguas de las que dependían las fuentes de tensión e intensidad.

Recuerde el lector que por cada fuente dependiente se exige una ecuación más En el caso de utilizar el método de nudos, para su resolución, habría que cambiar todas las fuentes de tensión a fuentes de intensidad. En este caso la fuente de tensión dependiente no tiene un elemento en serie y, por tanto no se puede convertir a fuente de intensidad, por ello para solucionar este tipo de problemas se debe aplicar el teorema de sustitución y sustituir la fuente de tensión por una fuente de intensidad de un valor desconocido, de forma que la tensión entre sus bornes siga la misma expresión que la fuente original. Ello da lugar a una incógnita nueva (el valor de la intensidad de la fuente), y por tanto a la necesidad de una nueva ecuación.

200


EJERCICIO VIII.4 Para el circuito de la figura se pide: Determine la impedancia Z y realice el balance de potencias del circuito de la figura, sabiendo que la intensidad I está en fase con la tensión de la fuente. I

A

R2

C1

C2 R3

+ Eg

A

C

D

R4

Z L4 B

Datos: C1= 5 mF, R2 = 10 Ω; C2 = 500 µF, R3 = 2 Ω; R4 = 8 Ω; L4 = 4mH; La lectura del amperímetro es de 10 A, y la fuente de tensión tiene la siguiente expresión: eg = 56,5685 cos 100t V. Forma de resolverlo: En primer lugar es necesario calcular el circuito en el campo complejo (para el valor de la fuente elegiremos el valor eficaz ya que lo vamos a mezclar con el valor del amperímetro...). Tomaremos como origen de fases la tensión de al fuente E/0 V. Como lo que nos dicen es que la intensidad I está en fase con la tensión de la fuente su valor será: I = 10/0 A

201


C1

Como conocemos la impedancia del condensador C2, su tensión será fácil calcularla. Esta tensión es la tensión entre los nudos A-D. La tensión D-B es sencillo calcularla con esta tensión y la de la fuente. La intensidad que circula por esta rama se calcula sabiendo la impedancia de la resistencia R4 y la bobina L4. Con ella se conoce la intensidad en la resistencia R3 y su tensión, por tanto ahora ya podremos calcular la tensión en la rama A-C, y la intensidad que circula por ella. La tensión de la rama C-B también la podremos calcular ya que conocemos las tensiones de la rama C-D y D-B. La intensidad de la rama CB se puede calcular aplicando la 1.a ley de Kirchhoff al nudo C. Conocidas tensión e intensidad se conoce Z, en módulo y argumento. El balance de potencias se realiza como en casos anteriores, la intensidad de la fuente se calcula por Kirchhoff también.

202

TEMA 9

SISTEMAS TRIFÁSICOS

9.1. Definición 9.2. Circuitos trifásicos equilibrados 9.3. Valores de fase o simples y valores de línea o compuestos a) Conexión en estrella b) Conexión en triángulo 9.4. Solución de circuitos trifásicos equilibrados 9.5. Conversión estrella-triángulo 9.6. Ejercicios Sistemas Trifásicos

Hemos analizado hasta ahora las técnicas básicas del análisis de circuitos eléctricos. Un poco, como el desarrollo de la electricidad, hemos comenzado con la corriente continua, hemos seguido con la corriente alterna y ahora terminaremos esta parte con los sistemas trifásicos. Vamos a comenzar por definir que un sistema trifásico de magnitudes periódicas (tensiones e intensidades —que es nuestro caso—) como un conjunto de 3 funciones iguales en forma pero retardadas entre si un tiempo. En este curso sólo nos dedicaremos a los sistemas trifásicos equilibrados que son el conjunto de tres funciones senoidales desfasadas entre si 120°. En la figura 147 se muestra un ejemplo de un sistema trifásico de tensiones. Es decir, en vez de trabajar con una sola tensión vamos a trabajar con tres tensiones alternas. Una forma descriptiva de conseguir estos sistemas es mediante la asociación de tres fuentes de tensión iguales en módulo y desfasadas cada una un ángulo de 120° como se indica en la figura 147. Los sistemas trifásicos son casi coetáneos con la propia institucionalización de la corriente alterna como forma de desarrollo de la electricidad.

203

2,5 2 1,5

Tensión


120˚ = 2π/3

Fase A

Fase B

120˚ = 2π/3

eA

Fase C

1

Fase A: eA = E senωt

0,5 0

eB

ϕ

Tiempo

–0,5 –1

Fase B: eB = E sen(ωt – 120˚) eC

–1,5

Fase C: eC = E sen(ωt + 102˚)

–2 –2,5

Figura 147.

El principal hecho de expansión de la corriente alterna se debe a la máquina de Tesla: un motor muy sencillo, muy robusto que funcionaba con corriente bifásica alterna. Si bien con corrientes bifásicas (un sistema de alimentación con dos tensiones alternas desfasadas 90°), funcionaba bien, la máquina se comportaba mejor con sistemas de más fases. El sistema de tres fases resultó el óptimo ya que se obtenían el mayor número de fases con el mínimo número de cables. Todos los sistemas de producción de electricidad, transporte, distribución y grandes cargas funcionan con un sistema trifásico: nuestro mundo se desarrolla con un sistema trifásico. No obstante, y aunque coexisten las tres tensiones en nuestra vida, para el análisis de circuitos, veremos cómo se pueden analizar en bloque o se puede reducir a un conjunto monofásico en el que analizar sólo una de las fases y sus resultados extrapolarlos a las otras dos.

9.1. DEFINICIÓN Un sistema de tensiones o intensidades trifásico equilibrado como el indicado en la figura 147 está completamente identificado con los datos de una sola de las fases: la frecuencia (f) (o su pulsación ω = 2πf, o su período T = 1/f), el valor máximo o su valor eficaz [Uef] y por su desfase con res-

204


pecto al origen ϕ; y la «secuencia» en las que las tres fases se colocan. Es decir, si llamamos a las tres tensiones eA , eB y eC , por secuencia entendemos el orden en el tiempo de las fases. Si definimos la fase A como el origen, la secuencia nos indica cuál es la tensión que está retrasada con respecto a A y, por supuesto, cuál es la que está adelantada. A1

B1

+

C1

+

+ eB

eA

A2

eC

B2

C2

Figura 148.

Un sistema trifásico lo podremos imaginar como generado por las tres fuentes monofásicas de la figura 148. Cada una de ellas con el mismo módulo y desfasadas entre si 120°. _ eA =√2 Uef sen(ω t + ϕ) V, _ eB = √2 Uef sen(ωt + ϕ – 120°) V _ eC = √2 Uef sen(ωt + ϕ + 120°) V Estas tres tensiones se pueden conectar uniendo los tres terminales A2, B2 y C2, en un único terminal que llamaremos neutro N según se indica en la figura 149: B1 A1 C1 + eA

+ eB

+ eC

A2 = B2 = C2 = N

Figura 149.

205


A esta forma de conexión le llamaremos conexión en estrella. En este tipo de conexión el neutro, que siempre existe, puede estar accesible o no, dependiendo si se realiza una conexión del neutro al exterior (como en el caso de la figura 149). También se puede representar la conexión en estrella según el esquema de la figura 150a. Obsérvese que en este caso el neutro pese a que existe no es accesible. El diagrama vectorial de tensiones se muestra en la figura 150b:

(b)

(a)

EA

120˚ 2π/3 rad

EC

EA

+

ϕ

A 120˚

N

+ EB

120˚ B EB

EC

+

C

Figura 150.

Si, en cambio, unimos los terminales A2 con B1, B2 con C1 , y C2 con A1 tendremos la llamada conexión en triángulo que se muestra en la figura 151. A A1

C2 + EA

EC

+ C 1

C

B2 A2

+ EB B1 B

Figura 151. Conexión en triángulo.

206


Así, si las tensiones _ uAB = eA = √2 Uef sen(ω t + ϕ) V, _ uBC = eB = √2 Uef sen(ω t + ϕ – 120°) V _ uCA = eC = √2 Uef sen(ω t + ϕ + 120°) V Obsérvese que, en todos los casos, la suma algébrica de las tres tensiones es cero de forma constante. eA + eB + eC = 0 En estos ejemplos de un sistema de tensiones trifásico hemos mostrado siempre que la tensión eB está retrasada 120° con respecto a la tensión eA y que la tensión eC está adelantada 120° con respecto a la tensión eA. Pues bien, a esta configuración de tensiones la llamamos secuencia directa. Llamaremos en general secuencia directa a aquella combinación de tensiones en la que, una vez nominadas las fases A, B y C (o 1, 2 y 3) (o R, S y T), la fase B está (2 o S) está retrasada 120° con respecto a la fase A, y la fase C esta adelantada 120°. Por el contrario, si una vez enumeradas las fases, resultase que la tensión de la fase B está adelantada 120° con respecto de la tensión de la fase A, se dice que el sistema tiene secuencia inversa. En la figura 152 se muestra un diagrama fasorial con un secuencia inversa.

EB

120˚ 2π/3 rad EA ϕ

120˚ 120˚

EC

Figura 152. Diagrama vectorial de tensiones en un sistema trifásico equilibrado de secuencia inversa.

207


Aunque la definición de la secuencia es una forma de marcar las fases, es vital en el caso de las máquinas eléctricas rotativas su definición, ya que según se alimente con secuencia directa o inversa el motor girará en uno u otro sentido (analice la importancia en el caso de un ascensor, una correa...). 9.2. CIRCUITOS TRIFÁSICOS EQUILIBRADOS Se llaman circuitos trifásicos equilibrados a aquellos circuitos que no sólo están alimentados por un sistema trifásico equilibrado de tensiones, sino que todas las impedancias de las fases son iguales entre si. En la figura 153 se muestra un sistema trifásico en el que un generador trifásico de secuencia directa alimenta dos cargas mediante una línea dividida en dos tramos. Para considerar el circuito trifásico de la figura 153, como equilibrado se ha de cumplir que: • El sistema de alimentación sea trifásico equilibrado. • Que las impedancias de la línea 1 sean iguales entre sí: ZL1a = ZL1b = ZL1c. • Que las impedancias de la carga 1 sean iguales entre sí: Z1a = Z1b = Z1c. • Que las impedancias de la línea 2 sean iguales entre sí: ZL2a = ZL2b = ZL2c. • Que las impedancias de la carga 2 sean iguales entre sí: Z2a = Z2b = Z2c. Si se cumple todo esto estamos ante un sistema trifásico equilibrado que son los más habituales en nuestro entorno y a los que nos dedicaremos en este curso. Generador trifásico a 220/0V

Línea 1

Línea 2

ZL1a

ZL2a

Carga 2 Z2ab Z2ca

220/120V b 220/–120V

ZL1b

ZL2b Z2bc

c ZL1c

ZL2c

Z1a

Z1c Z1b Carga 1

Figura 153. Esquema de un circuito trifásico.

208


Si no se cumple alguna de las condiciones anteriores estaremos ante un circuito trifásico desequilibrado cuyo análisis se aparta de los fines de este curso. Un sistema de alimentación trifásico equilibrado en un circuito trifásico equilibrado produce tensiones e intensidades trifásicos equilibrados de la misma secuencia en todos los elementos. Significa esto que en el circuito de la figura anterior (sistema de tensiones trifásico equilibrado de secuencia directa) las caídas de tensión en las impedancias, ZL1a, ZL1b y ZL1c formarán un sistema trifásico equilibrado de tensiones. Por tanto si la tensión en ZL1a, es UL1/α, las tensiones en ZL1b y ZL1c serán UL1/α–120°, y UL1/α+120°, respectivamente. También lo serán las intensidades que circulen por las impedancias de la carga 1: por ejemplo si la intensidad que circula por la impedancia Z1a fuese I1/θ, las intensidades en Z1b y Z1c serán respectivamente I1/θ –120°, y I1/θ + 120°. Por tanto en un sistema equilibrado basta con resolver una fase para tener resueltas las otras dos.

9.3. VALORES DE FASE O SIMPLES Y VALORES DE LÍNEA O COMPUESTOS En los sistemas trifásicos no siempre tenemos acceso al interior de los aparatos de forma que podamos hacer medias directas de tensiones e intensidades en los propios elementos monofásicos que constituyen el aparato trifásico. En la figura 154 se muestra un generador trifásico al que no tenemos acceso al interior, por tanto, para medir la tensión de salida hemos de medir la tensión que hay entre dos fases, tal como muestra la figura 154. A V

G C

B

Figura 154. Generador trifásico.

209


En muchas ocasiones nos interesa tener las expresiones de uso común en función de estos valores medidos fuera de la máquina. Así definiremos como valores de línea o compuestos a los valores de tensión e intensidad medidos fuera del propio aparato trifásico, realmente medidos en la línea de alimentación de la carga o aparato trifásico. Serán por tanto, valores de línea o compuestos las tensiones y las intensidades indicadas en la figura 155: Las tensiones UAB, UBC y UCA, y las intensidades IA, IB e IC. A IA UCA

A

UAB IC

C V

BC

B

IB

Figura 155. Valores de línea o compuestos.

Observe el lector que todos estos valores son «medibles» por aparatos de medida situados fuera del aparato eléctrico, y son independientes de la conexión interna del aparato. Por valores de fase o simples se entienden los valores de tensión e intensidad que hay en cada uno de los elementos que constituyen las fases del sistema trifásico. En las figuras 156a y b se muestran los valores de fase, en los dos tipos de conexión trifásica. + EA

IA

A A

b)

a) N

+ EB

IB

IAB B

+ EAB

+ EC

IC

B C

+ E BC IBC

Figura 156. Valores de fase.

210

ECA + ICA C


También aquí, independientemente de la conexión, los valores de fase son los relativos a cada una de ellas. En la figura 156 a se muestra una fuente trifásica con conexión en estrella. En este caso, los valores de fase serán los valores de cada una de las fuentes individuales: tensiones EA, EB e EC. e intensidades IA, IB e IC. En la figura 156 b se muestra una fuente trifásica con conexión en triángulo, de nuevo los valores de fase serán los valores de cada una de las fuentes individuales: en nuestro caso las tensiones EAB, EBC y ECA. y las intensidades IAB, IBC e ICA. Lo que si depende de la conexión, como es lógico, es la relación entre los valores de fase y los valores de línea. Lo que analizaremos a continuación son las relaciones entre los valores de fase y los de línea.

a) Conexión en estrella En este caso vemos que la intensidad que circula por la impedancia ZA, de la figura 157, es la misma que la que circula por el amperímetro, por tanto, en el caso de conexión en estrella: la intensidad de línea es igual que la intensidad de fase. En cambio, la tensión que mide el voltímetro V es UBC y esta tensión no es la de ninguna de las impedancias. Aplicando la 2.a ley de Kirchhoff a la malla C–N–B–C tenemos la ecuación: • UC – UB + UBC = 0 y despejando UBC = UB – UC. IA

A

ZA

ZB

IB

ZC

IB

B

UCA

uB uC

A

UAB

uA N

IA

UBC

V

IC

IC C

Figura 157. Relación entre valores de fase y de línea en una conexión en estrella.

211


UA = ZAIA IC

UC

UA ϕ

Desfase de la impedancia ZA

IB IA UB

Figura 158. Diagrama vectorial de los valores de fase en una conexión en estrella.

En la figura 159 se ha hecho esta operación de forma gráfica, en la que se forma el triangulo isósceles formado por las tensiones UB – UC y UBC. el ángulo entre UB, y UC es de 120° por ser un sistema trifásico equilibrado, y dos ángulos restantes han de ser iguales entre sí y de valor 30°.1 Por tanto, el módulo de la tensión |UBC | se puede calcular fácilmente a partir del módulo de la tensión |UB |, _ |UBC | = 2 |UB | cos 30° = √3 |UB | Obsérvese que el fasor de la tensión de línea UBC está adelantado 30° con respecto de la tensión de fase UB.

UC

UA

UB

UB

30˚ 120˚

UBC

30˚

UBC

–UC –UC

Figura 159. Relación entre las tensiones de fase y de línea en una conexión en estrella. 1

212

Recordemos que la suma de los ángulos interiores de cualquier triángulo es 180°.


Se podría decir que el fasor UBC se puede obtener del fasor UB multipli_ cándolo por el número complejo adimensional √3/30°. Si esto mismo lo hacemos con el resto de tensiones obtenemos las expresiones: • UAB = UA – UB • UBC = UC – UA Representado estos valores en el diagrama fasorial de la figura 160 comprobamos que el sistema de tensiones de línea es un sistema trifásico equilibrado.

–UA

UAB UC

–UB

UCA UA UB

UuBC –UC

Figura 160. Relación entre las tensiones de fase y de línea en una conexión en estrella.

En todos los casos se cumple que el fasor de la tensión de línea UAB, UBC y UCA se puede obtener del fasor de la tensión de fase correspondiente UA, UB y_UC respectivamente, multiplicándolo por el número complejo adimensional √3/30°, por tanto se concluye que en una conexión en estrella la relación entre los valores de tensiones de línea y de fase es: _ • UAB = UA √3/30° _ • UBC = UB √3/30° _ • UCA = UC √3/30°

213


b) Conexión en triángulo En este caso, representado en la figura 161, vemos que la tensión que mide el voltímetro V es UBC, que coincide con la tensión de la impedancia ZBC, por tanto, en el caso de conexión en triángulo: la tensión de línea es igual que la tensión de fase. A IA

A ICA UCA

IAB UAB

ZAB

ZCA

UCA B

ZBC

C

UBC

A

UAB

IB

UBC

IBCB

V

C IC

Figura 161. Relación entre valores de fase y de línea en una conexión en triángulo.

En cambio, la intensidad de línea que mide el amperímetro A es IA y esta intensidad no es la que circula por ninguna de las impedancias. Aplicando la 1.a ley de Kirchhoff al nudo A obtenemos la ecuación: IA = IAB – ICA

ICA

UCA

UAB ϕ

Desfase de impedancia ZAB

IAB IBC UBC

UAB = ZABIAB

Figura 162. Diagrama vectorial de los valores de fase en una conexión en triángulo.

En la figura 163 se ha hecho esta operación de forma gráfica. El triángulo formado por las intensidades IAB, ICA e IA es isósceles y el ángulo entre IAB e

214


ICA es de 120°, por ser un sistema trifásico equilibrado, y dos ángulos restantes han de ser iguales entre sí y de valor 30°. ICA IAB 30˚ IAB

120˚ –ICA

IBC

30˚

IA

–ICA

IA

Figura 163. Relación entre las intensidades de fase y de línea en una conexión en triángulo.

Por tanto, el módulo de la intensidad |IA| se puede calcular fácilmente a partir del módulo de las intensidades |IAB| e |ICA|. _ |IA | = 2 |IAB | cos 30° = √3 |IAB | –IBC

IC

ICA IAB

–ICA

IB IBC –IAB

IA

Figura 164. Relación entre las intensidades de fase y de línea en una conexión en triángulo.

Obsérvese que el vector de la intensidad de línea IA está retrasado 30° con respecto de la intensidad de fase IAB. del fasor Se podría decir, en este caso, que el fasor IA se puede obtener _ IAB multiplicándolo por el número complejo adimensional √3/–30°.

215


Si esto mismo lo hacemos con el resto de intensidades de línea, obtenemos las expresiones: • IB = IBC – IAB • IC = ICA – IBC Representado estos valores en el diagrama fasorial de la figura 164 comprobamos que en sistema de intensidades de línea es un sistema trifásico equilibrado. En todos los casos se cumple que el fasor de la intensidad de línea IA, IB e IC se puede obtener del fasor de la intensidad de fase correspondiente IAB, IBC e_ICA respectivamente, multiplicándolo por el número complejo adimensional √3/–30°, por tanto se puede asegurar que, en una conexión en triángulo, la relación entre los valores de intensidades de línea y de fase es: _ • IA = IAB √3/–30° _ • IB = IBC √3/–30° _ • IC = ICA √3/–30° ATENCION: Tenga en cuenta el lector que si en los valores de fase cumple que la relación entre tensión e intensidad Ufase = Zfase Ifase esta relación NO SE CUMPLE para los valores de línea o compuestos.

9.4. SOLUCIÓN DE CIRCUITOS TRIFÁSICOS EQUILIBRADOS Aunque la aplicación de los teoremas generales de teoría de circuito son posibles, es decir podremos analizar un circuito trifásico por el método de mallas o de nudos, con todas las tensiones y las intensidades, la característica básica de que, en un circuito trifásico equilibrado, todas las tensiones e intensidades son trifásicas equilibradas hace que podamos reducir a un circuito equivalente monofásico el conjunto trifásico. Dos modelos son los que se utilizan habitualmente: • el circuito monofásico equivalente estrella-estrella (en el que se todos los elementos que lo constituyen están conectados en estrella) y • el circuito monofásico equivalente triángulo —triángulo (en el que todos los elementos del circuito han de estar conectados en triángulo).

216


EA

+

A

ZL

A’

Z

IA N

EB

B

+

ZL

B’

Z

N’

IB C

EC +

ZL

C’

Z

IC

ZN IA

IB

IC

Figura 165.

Por su simplicidad, en este curso sólo utilizaremos el equivalente estrellaestrella que pasaremos a describir a continuación. Como ya se ha comentado para la utilización de este método todos los elementos han de estar conectados en estrella. En la figura 165 se muestra un circuito trifásico equilibrado sencillo, en el que una carga Z, en estrella con neutro N’ accesible se conecta mediante una línea trifásica de impedancia de fase ZL a un sistema de tensiones trifásico equilibrado EA, EB y EC, cuyo neutro N es accesible. Además los neutros se han unido mediante un cable cuya impedancia es ZN. Para el análisis del circuito hemos seleccionas unas intensidades de malla: IA, IB, e IC Estas intensidades son un poco diferentes de las habituales, pero las hemos escogido así para que coincidan con las intensidades que circulan por las fases. Además obsérvese que por la línea de neutro circulan las tres intensidades en el mismo sentido. Resolveremos el circuito aplicando la segunda ley de Kirchhoff: A: EA = ZL IA + ZIA + ZN (IA + IB + IC) B: EB = ZL IB + Z IB + ZN (IA + IB + IC) C: EC = ZL IC + ZIC + ZN (IA + IB + IC)

217


Sumando las tres ecuaciones obtenemos: A+B+C: EA + EB + EC = ZL (IA + IB + IC) + Z (IA + IB + IC) + ZN (IA + IB + IC) O de forma simplificada: EA + EB + EC =(ZL + Z + ZN) (IA + IB + IC) Como EA + EB + EC = 0 y como la suma de las impedancias no es nula, lo tiene que ser la suma de las tres intensidades, por tanto: IA + IB + IC = 0 Sustituyendo este resultado en la ecuación de la malla A:

EA = Z L I A + ZI A

⇒ EA = (Z L + Z )I A

⇒ IA =

EA ZL + Z

Y, de la misma forma obtenemos las intensidades:

IB =

EC EB e IC = ZL + Z ZL + Z

De todo lo anterior se concluye que: • Se demuestra que el sistema de intensidades trifásicas IA, IB, e IC forman un conjunto trifásico equilibrado, y por tanto lo son todas las tensiones del circuito. • Que aunque los neutros de las estrellas estén conectados entre si por ellos NO CIRCULA ninguna intensidad, lo que significa que TODOS LOS NEUTROS de un sistema trifásico equilibrado estén conectados entre si o no, están todos a la misma tensión. • Recordando entonces la ecuación de la malla A: EA = ZL IA + Z IA vemos que es independiente del resto de intensidades y que la solución de la malla corresponde con el circuito representado en la figura 166. Ésta es la forma de obtener el circuito monofásico equivalente estrella–estrella: separamos una fase y unimos todos los neutros entre sí. Las soluciones serán los valores de fase o simples de las variables del circuito. Supóngase que en el ejemplo de al figura 165, EA (en valor eficaz) vale 100 V, y es un sistema de secuencia directa, la impedancia ZL = 1+j Ω y la impedancia Z = 7 + j 5 Ω.

218


EA

+

A IA

ZL

A’

Z

ULA

UA

N

N’

Figura 166.

En el circuito monofásico de la figura 166, tomando como origen de fases la tensión EA = 100/0° V. La intensidad IA =

EA 100 100 = = = 10 /-36,87º A. Z L + Z 8 + j 6 10 /36,87 º

Y las tensiones en la línea ULA y en la carga UA se podrán calcular fácilmente en función de la intensidad: _ • ULA = ZL IA = √2/45° Ω × 10/–36,87° A = 34,64/8,13° V 14.14/8.13ºV __ • UA = Z IA = √74/35,54° Ω × 10/–36,87° A = 86,02/–1,33° V Como las intensidades IA, IB, e IC forman un conjunto trifásico equilibrado de secuencia directa, IB = 10/–36,87°–120° A = 10/–156,87° A IC = 10/–36,87° + 120° A = 10/83,13° A + EA

A

IA = 10/–36,87˚ A EA = 100/0˚ V + N

EB

B

A’

ZL ULA = 34,6/8,13˚ V

UA’ = 83,02/–1,33˚ V

14.14/8.13º V

B’

ZL

IB = 10/–156,87˚ A ULB = 34,6/–111,87˚ V EB = 100/–120˚ V

Z

Z

N’

UB’ = 83,02/–121,33˚ V

14.14/-111.87º V

+ EC

C

IC = 10/83,13˚ A EC = 100/–120˚ V

100/120º V

C’

ZL ULC = 34,6/128,13˚ V

Z

UC’ = 83,02/118,67˚ V

14.14/128.13º V

ZN

Figura 167.

219


+ EA

IA = 10/–36,87˚ A A

N

EB

A’

Z

EAB = 100÷3/30˚ V

ECA = 100÷3/150˚ V +

ZL

EC’A’ = 83,02÷3/148,67˚ V B

ZL

B’

Z

N’

IB = 10/–156,87˚ A EBC = 100÷3/–90˚ V + EC

C

ZL

C’

Z

IC = 10/83,13˚ A

ZN

Figura 168.

Lo mismo haremos con el resto de tensiones. En la figura 167 indicamos todos los valores de tensiones e intensidades de fase. En la figura 168 se muestran los valores de línea o compuestos. Obsérvese que _ para su cálculo hemos multiplicado los valores de fase por el complejo √3/30°. En todo caso y aunque no lo hemos indicado, la tensión de la impedancia Z N es SIEMPRE cero. Ejemplo: para resolver el circuito de la figura 169 (a), obtendremos en primer lugar, el diagrama fase neutro aislando al fase A y cortocircuitando todos los neutros: Supongamos ahora que los valores son: ZL1a = 0,59 + j 0,22 Ω (0,63/20,45° Ω); ZL2a = 0,1+ j 0,1 Ω (0,141/45° Ω); Z1a = 32 + j 24 Ω (40/36,87° Ω); Z2a = 7,9 + j 5,9 Ω (9,86/36,754° Ω) y que la tensión EA = 220/0° V. Para resolver el circuito podríamos plantear dos mallas resolver las ecuaciones y obtener las tensiones e intensidades en todos los elementos. No obstante y como sólo tiene impedancias en serie y en paralelo conectadas a una fuente, anularemos una malla y obtendremos directamente IA.

220


Generador trifásico + IA A EA + EB + EC

IB B IC C

Línea 1

Línea 2

Carga 2

ZL1a

ZL2a

Z2a

ZL1b

ZL2b

N Z2b

Z2bc

ZL1c

Z2c

Z1a

Z1c N Z1b Carga 1

Figura 169a. Circuito trifásico. Generador Línea 1 trifásico + IA A EA ZL1a

Carga 1

N

N

Línea 2

Carga 2

IA2 Z1a

ZL2a

Z2a N

Figura 169b. Equivalente monofásico.

Como ZL2a está en serie con Z2a su equivalente será = 0,1+ j 0,1 Ω + 7,9 + j 5,9 Ω = 8 + j 6 Ω . esta impedancia está en paralelo con Z1a por lo que su impedancia equivalente conjunta será Z12a

Z12 a =

Z1a (8 + j6 ) = 6, 41 + j 4, 78 Ω = 8/36, 67 º Ω Z1a + (8 + j6)

En el circuito equivalente de la figura 170, se observa que la intensidad de malla es la propia intensidad IA por tanto: EA =(ZL1a + Z12a) IA IA = EA / (ZL1a + Z12a) = 220/0° V/[(0,59 + j 0,22 Ω) + (6,41 + j 4,78 Ω)] IA = 25,57/–35,54° A • La caída de tensión en ZL1a será UL1a = ZL1a × IA = 16,1/–15,09° V • La caída de tensión en Z12a será U12a = Z12a × IA = 204,56/1,13° V.

221


Generador trifásico + EA

Línea 1

iA

Carga 1 Línea 2 Carga 2

A ZL1a

N

Z12a N

Figura 170.

La tensión U12a que acabamos de calcular es misma que en la impedancia serie de ZL2a con Z2a de (8 + j 6 Ω) (ver figura 169 b) por tanto la intensidad que circulará por esa rama IA2.

IA 2 =

U12 a = 20, 456 / −35, 74 ºA Z L 2a

• La caída de tensión en ZL2a será UL2a = ZL2a × IA2 = 2,88/9,26° V • La caída de tensión en Z2a será U2a = Z2a × IA2 = 201,7/1,014° V Las tensiones e intensidades en el resto de las fases se calcula a partir de los valores de la fase a, retrasando 120° para los de la fase b, y adelantando 120° para los de la fase c.

9.5. CONVERSIÓN ESTRELLA-TRIÁNGULO En el apartado anterior hemos visto cómo se resuelve un circuito trifásico equilibrado conectado en estrella. Para hacerlo, es básico que TODAS LAS FUENTES Y TODAS LAS CARGAS estén conectadas en estrella. En este apartado veremos cómo se convierte una impedancia y una fuente de triángulo a estrella (y viceversa). Para que la configuración en triángulo de la figura sea equivalente a la configuración en estrella ha de cumplirse que la impedancia entre cualquier par de terminales ha de ser igual. En estas condiciones veamos que impedancia se ve entre A y B dejando a circuito abierto el terminal C (figura 171).

222


A

A

A

ZY B

Z∆

ZY ZY

Z∆ Z∆

C

B

C

B C

Figura 170.

En el caso de la estrella (figura 171) la impedancia vista entre A y B es el resultado de dos impedancias en serie A-N y N-B. ZAB = 2 ZY A

A

A

ZY B N

Z∆

ZY

zY

C

Z∆ Z∆ B

C

B C

Figura 171.

En el caso del triángulo las impedancias que unen A–C y C–B están en serie, y su conjunto está en paralelo con la que une A y B. Así

Z AB =

Z ∆ (2Z ∆ ) 2 = Z Z ∆ + 2Z ∆ 3 ∆

2 Como ambas impedancias han de ser iguales se cumple que: 2ZY = Z ∆ 3 por tanto: ZY =

Z∆ 3

Le proponemos al lector que realice esta misma operación para los terminales B y C, y para los C y A (los resultados han de ser los mismos).

223


(a)

(b)

IA

ECA IAB

+ EA

+ EB

IB

EAB ECA

EAB

B

EC +

EAB

EC

A

IC

EBC

+

ECA

EA +

+ E BC

EB

ICA

IBC

EBC

C

Figura 172.

En el caso de tener fuentes el cambio es más sencillo basta con aplicar el método de sustitución (ver figura 172a): Los valores de las fuentes de tensión EAB, EBC y ECA son los valores de tensiones de línea en el caso de conexión en estrella y se obtienen según se indica en el diagrama fasorial de la figura 172b. Por tanto la relación entre las fuentes de tensión equivalente conectadas en triángulo y en estrella es la misma que la que hemos calculado entre los valores de tensiones de fase y los de línea de los elementos conectados en estrella: Equivalencia estrella-triángulo _ EAB = EA √3/30° _ EBC = EB √3/30°

_ ECA = EC √3/30°

224

Equivalencia triángulo-estrella

EA =

EB =

EC =

EAB 3 EBC 3 ECA 3

/ − 30 º

/ − 30 º

/ − 30 º


9.6. EJERCICIOS SISTEMAS TRIFÁSICOS El dibujo de la figura 173, representa un sistema trifásico equilibrado. La carga está formada por tres impedancias de valor Z = 9 + j 6 Ω conectadas en triángulo. La línea que une la fuente y la carga es puramente inductiva y su reactancia es de X = 2 Ω. La tensión de línea en la fuente es de 692,82 V. Determínese: 1) Factor de potencia de la carga. 2) Valor eficaz de la tensión de línea en la carga. Línea + EA

ZLa

IA A’

A

A

Z∆ + N

EB + EC

IB B’ IC C’

ZLb ZLc

B

Z∆

Z∆ B

C

C

Figura 173.

Para resolver el circuito lo haremos mediante el circuito monofásico fase neutro equivalente. Para ello todo ha de estar conectado en estrella por tanto, como la carga está conectada en triángulo; Z∆ = 9 + j 6 Ω, en priZ mer lugar calcularemos la estrella equivalente ZY = ∆ ; 3 ZY = 3 + j 2 Ω Así, el circuito quedará como el de la figura 174. El diagrama monofásico equivalente será el indicado en la figura 175. Aplicando mallas: (ZLa + ZY) IA = EA.

IA =

EA 400 400 = = = 80 / − 53,13 ºA Z La + ZY 3 + j 2 + j 2 5/53,13 º

225


Línea +

IiA A’

ZLa

A

+

IB B’

ZLb

B

+

IC C’

ZLc

C

EA

N

EB EC

ZY

ZY

N

ZY

Figura 174.

Esta intensidad es la intensidad de línea, que coincide con al intensidad que circula por cada una de las fuentes monofásicas del generador por lo que es también la intensidad de fase del generador. La caída de tensión en la línea: • ULA = ZLa IA = 2/90° Ω × 80/–53,13° A = 160/36,87° V Y la tensión fase neutro de la carga: • UAN = ZY IA = 3,6/33,69° Ω × 80/–53,13° A = 288,44/–19,44° V. y la tensión de línea en el caso de conexión en estrella será: _ _ • UAB = UA √3/30° = 288,44√3/10,56° V = 500/10,56° V No obstante en el caso real que teníamos al principio, la carga estaba conectada realmente en triángulo, por lo que para el caso original la tensión de fase y la tensión de línea coinciden y serán las que hemos calculado anteriormente. A’

IA

A

EA

ZY = 3 + j2Ω

ZLa = j2Ω

N’

N

+

Figua 175.

226


Para el cálculo de la intensidad que circula por cada una de las impedancias de la carga en triángulo verdadera lo haremos siguiendo la expresión que relacionaba la intensidad de fase (IAB) con la intensidad de línea (IA): _ IA = IAB √3/–30° Por tanto la intensidad de fase:

I AB =

IA

=

80 / − 53,13º

3 / − 30 º

3 / − 30 º

= 46,19 / − 23,13º A.

En la figura 176 se muestran todas las tensiones e intensidades del circuito. IAB = 46,2/–23,1˚ A

UCA = 500/130,56˚ V ICA = 46,2/96,9˚ A

UAB = 500/10,56˚ V + EA

IA = 80/–53,13˚ A

ZLa

A ICA

IAB ULA = 160/36,87˚ A Z∆

N

+ EB + EC

ULB = 160/–113,13˚ A IB = 80/–173,13˚ A IC = 80/66,87˚ A

Z∆ B

ZLb ZLc

ULC = 160/156,87˚ A

Z∆

IBC C

UBC = 500/–109,44˚ V IBC = 46,2/–143,1˚ A

Figura 176.

227

TEMA 10

POTENCIA EN SISTEMAS TRIFÁSICOS EQUILIBRADOS

10.1. Potencia instantánea 10.2. Potencia trifásica en función de los valores de fase 10.3. Potencia trifásica en función de los valores de línea o compuestos a) Conexión en Estrella b) Conexión en Triángulo c) Ejemplo 10.4. Compensación del factor de potencia a) ¿Porqué compensar el factor de potencia? b) Corrección del factor de potencia en un circuito monofásico c) Compensación del factor de potencia en un circuito trifásico. Batería de condensadores conectada en TRIÁNGULO d) Compensación del factor de potencia en un circuito trifásico. Batería de condensadores conectada en ESTRELLA e) Ejemplo 10.5. Medida de la potencia en sistemas trifásicos 10.6. Ejercicios de autocomprobación

En este apartado definiremos cómo se calcula y miden las potencias en un sistema trifásico equilibrado,

10.1. POTENCIA INSTANTÁNEA Definimos como potencia instantánea consumida por un sistema trifásico a la suma de las potencias instantáneas consumidas por cada una de las fases.

229


Si suponemos un sistema trifásico equilibrado de secuencia directa y las cargas de cada una de las fases inductiva de valor Z/ϕ: pt = pA + pB + pC = uA iA + uB iB + uC iC Si, la tensión y la intensidad de la fase A son _ • uA = √2 Uef sen(ω t) V, (la suponemos el origen de fases) _ • iA = √2 Ief sen(ω t – ϕ) A, las correspondientes al resto de las fases serán: _ • uB = √2 Uef sen(ω t – 120°) V, _ • iB = √2 Ief sen(ω t – ϕ – 120°) A, _ • uC = √2 Uef sen(ω t + 120°) V, _ • iC = √2 Ief sen(ω t – ϕ + 120°) A. Sustituyendo en la ecuación de la potencia estas expresiones y simplificando en función del ángulo doble1 y simplificando la expresión de la potencia instantánea trifásica queda: p = 3 Uef Ief cos(ϕ) Lo que nos indica que la potencia trifásica instantánea que se está transmitiendo por un sistema eléctrico es constante e igual a suma de las potencias activas que consume cada fase.

10.2. POTENCIA TRIFÁSICA EN FUNCIÓN DE LOS VALORES DE FASE Al igual que en los sistemas monofásicos la potencia compleja o aparente trifásica es la suma de las potencia de cada fase. Como para cada fase SA = UA IA* = Uef Ief /ϕ = U B IB* = UC IC* = Pm + jQm. Las potencias complejas son iguales en todas las fases, ya que para cada una de ellas se cumple que módulos de tensiones e intensidades son iguales 1

cosα cosβ = [cos(α – β) + cos(α + β) ]/2. Esta relación se obtiene fácilmente de la expresiones de la suma de ángulos: – cos(α – β) = cosα cosβ + senα senβ. – cos(α + β) = cosα cosβ – senα senβ

230


y el desfase entre ellas es el mismo (recordemos que el sistema trifásico es equilibrado y por tanto todas las impedancias de fase son iguales). También son iguales la potencia activa monofásica [Pm] y la potencia reactiva monofásica [Qm]. Por tanto ST = SA + SB + SC = UA IA* + UB IB* + UC IC* = 3 SA = 3 Uef Ief /ϕ = 3 (Pm + jQm) Podemos decir que la potencia compleja trifásica es tres veces la potencia compleja de una fase y como: ST = PT + jQT = 3Pm + j3Qm La potencia activa trifásica es el triple que la potencia activa monofásica y la potencia reactiva trifásica es el triple que la potencia activa monofásica, por tanto las expresiones de la potencia trifásica. • PT = 3 Uef Ief cosϕ = 3 S cosϕ • QT = 3 Uef Ief senϕ = 3 S senϕ • ST = 3 S • ST = PT 2 + QT 2 • ϕ = arctg (QT /PT) • QT = PT tgϕ para el cálculo de las potencias activas monofásicas se pueden utilizar las expresiones de la potencia que se vieron en el apartado de potencia en corriente alterna.

10.3. POTENCIA TRIFÁSICA EN FUNCIÓN DE LOS VALORES DE LÍNEA O COMPUESTOS En el anterior apartado vimos la forma «natural» de calcular los valores de las potencias en función de los que consume cada fase. En efecto, el resultado fue que las tres fases consumen el triple que una, y que esta conclusión es independiente de cómo estén conectadas las fases en las cargas trifásicas. No obstante debido a que no siempre podremos medir de forma sencilla los valores de tensiones e intensidades dentro de las fases, vamos a

231


referir las expresiones que vimos en el apartado anterior a los valores que denominamos de línea o compuestos. Si recordamos lo dicho en apartados anteriores, la relación entre valores de fase y valores de línea depende del tipo de conexión de la carga. Por tanto calcularemos las expresiones de la potencia trifásica para las dos conexiones.

a) Conexión en Estrella Como el sistema es trifásico equilibrado los módulos de las tensiones de fase son iguales [Uf], y también ocurrirá con los valores de_línea [UL]. Como la relación entre valores_ de fase y de línea es: UAB = UA √3/30°, la relación entre módulos es UL = √3 Uf. ZA

UAB

UA N

ZB UB UC ZC

A IA

IiA

IB

A

UCA

B UBC

IB V

IC C

IC

Relación entre los valores de línea y fase en la conexión en estrella

Valores de fase

Tensiones

Intensidades

UA, UB y UC

IA, IB e IC |IA |=|IB |=|IC | = If

|UA |=|UB |=|UC | = Uf Valores compuestos

_ UAB = UA √3/30° _ UBC = UB √3/30° _ UCA = UC √3/30° |UAB | = |UBC | = |UCA | = UL _ UL = √3 Uf

232

IA, IB e IC If = IL


La igualdad de módulos se cumple también en las intensidades tanto entre las de fase [If], como entre las de línea [IL]. Además, en este caso son iguales las de línea a las de fase [If = IL]. Por tanto las expresiones de las potencias sustituyendo las relaciones de tensión e intensidad que se indican en la tabla: _ • PT = 3 Uf If cosϕ = √3 UL IL cosϕ _ • QT = 3 Uf If senϕ = √3 UL IL senϕ _ • ST = √3 UL IL • ST = PT 2 + QT 2 • QT = PT tgϕ NOTA: En cuanto al resto de relaciones cuando aparecen las impedancias aconsejamos al lector que no utilice nunca los valores de línea y utilice las expresiones en función de los valores de fase.

b) Conexión en Triángulo Como el sistema es trifásico equilibrado los módulos de las tensiones de fase son iguales [Uf], y también ocurrirá con los valores de línea [UL]. Además, en este caso son iguales las de línea a las de fase [UL = Uf]. ICA UCA

A IA

A IAB

ZCA

ZAB

UAB

A

B IB

C

ZBC

UBC

V

IBC B CI C

La igualdad de módulos se cumple también en las intensidades tanto entre las de fase [If], como entre las _de línea [IL]. Como la relación entre valores _ de fase y de línea es: IA = IAB √3/ – 30°, la relación entre módulos es IL = √3 If.

233


Relación entre los valores de línea y fase en la conexión en triángulo

Valores de fase

Tensiones

Intensidades

UAB ,UBC y UCA

IAB, IBC e ICA |IAB | = |IBC | = |ICA | = If

|UAB | = |UBC | = |UCA | = Uf

_ Valores compuestos

UAB,UBC y UCA UL = Uf

IA = IAB √3/–30° _ IB = IBC √3/–30° _ IC = ICA √3/–30° |IA | = |IB | = |IC | = IL _ IL √3If

Por tanto las expresiones de las potencias sustituyendo las relaciones de tensión e intensidad que se indican en la tabla: _ • PT = 3 Uf If cosϕ = √3 UL IL cosϕ _ • QT = 3 Uf If senϕ = √3 UL IL senϕ _ • ST = √3 UL IL • ST = PT 2 + QT 2 • QT = PT tgϕ NOTA: En cuanto al resto de relaciones cuando aparecen las impedancias aconsejamos al lector que no utilice nunca los valores de línea y utilice las expresiones en función de los valores de fase. Observe el lector que las expresiones de las potencias en función de los valores de línea son las mismas para cualquier conexión, pero tenga mucho cuidado al hacer la aplicación ya que, insistimos, la relación entre valores de fase y valores de línea depende del tipo de conexión de la carga.

c) Ejemplo La fábrica de vehículos a tracción «La Veloz, S.A.» tiene, en sus instalaciones de Argamasilla del Campo, dos líneas de producción que se pueden

234


asimilar a dos cargas trifásicas equilibradas distribuidas según se indica en la figura 177. La red que alimenta la fábrica tiene como equivalente una fuente de tensión trifásica ideal de secuencia directa. La alimentación a las cadenas se realiza mediante un cable, que por problemas medioambientales de la zona, fue necesario apantallar y su impedancia por fase se puede asimilar a una impedancia ZL de (1 – j) Ω. Si la potencia consumida en cada cadena es la indicada en la figura 177, y la tensión del voltímetro es de 346,41 voltios, calcúlese: • La impedancia por fase equivalente de cada cadena (supónganse conectadas en estrella). • La intensidad de alimentación de la cadena. • La tensión de línea de la fuente equivalente. Conocida la tensión de línea de cada carga trifásica, se puede obtener rápidamente el valor de las impedancias monofásicas y el circuito monofásico equivalente YY. En este diagrama se calcularán las intensidades y conocidas éstas el cálculo de la tensión fase-neutro de la fuente es inmediato y por tanto su valor de línea. Generador trifásico + EA

IA

A ZL

N

+ EB + EC

P2 = 12.000 W Q2 = 12.000 VAr

ZL = 1 – jΩ

IB

IC

Z2

V

B

N ZL

Z2

ZL

Z2

C

Z1

Z1

Z1

N P1 = 15.000 W Q1 = 15.000 VAr

Figura 177.

235


Tensión fase neutro de cada carga U =

Carga 1: Valor monofásico

Pm1 = Q m1 =

15000 = 5000 W 3

15000 = 5000 VAr 3

346.41 V 3

= 200 V.

Carga 2: Valor monofásico

Pm 2 = Qm 2 =

12000 = 4000 W 3

12000 = 4000 VAr 3

Como

Pm1 + jQm1 =

U2 Z1*

Pm 2 + jQ m 2 =

40000 = 4 (1 − j ) Ω, 5000 + j 5000 Z1 = 4 + j 4 Ω

Z1* =

Z 2* =

U2 Z2*

40000 = 5 (1 − j ) Ω, 4000 + j 4000

Z2 = 5 + j 5 Ω

El circuito equivalente monofásico sería el indicado en la figura 178. Tomando como origen de fases la tensión U:

I1 =

200 U = = 25(1 − j ) A Z1 4 + j 4

I2 =

200 U = = 20(1 − j ) A Z2 5 + j 5

y la intensidad de la fuente

IL = I1 + I2 = 45(1 − j ) A La caída de tensión en la impedancia de línea

UL = Z L IL = 40(1 − j )(1 − j ) = − j 80 V

236


ZL

IL

UL

I1

I2

Z1

Z2

+ EA

U

N

Figura 178.

Así la tensión en la fuente será

E = UL + U = 200 − j80 V = 215,5/ – 21, 8 º V _ y por tanto, su tensión de línea será = √3 × 215,5 = 373 V.

10.4. COMPENSACIÓN DEL FACTOR DE POTENCIA Las instalaciones eléctricas están formadas básicamente por motores eléctricos y por cargas de tipo inductivo, es decir, con factor de potencia (cosϕ) diferente de la unidad y mayor que cero, lo que significa que no sólo consumen potencia activa sino también reactiva. a) ¿Por qué compensar el factor de potencia? Para ver el efecto del factor de potencia de una carga sobre el sistema analicemos el caso monofásico de la figura 179 en la que hemos supuesto que la carga Z1, tiene un factor de potencia (cosϕ) de 0,7 (lo que equivale a un ángulo ϕ de 45°) y consume una potencia activa de 1.000 W. Por condiciones de calidad de la red, el distribuidor (representado aquí por la fuente y la impedancia ZL debe modificar la tensión de la fuente EA para que la tensión en la carga se mantenga en un valor fijo2 de 100 V. Ade2

Según la norma española la compañía distribuidora debe mantener la tensión en la entrada (acometida) del cliente en un margen de ± 5% del valor nominal de la tensión. Esto significa que si el cliente es de Baja tensión, la tensión nominal son 220 V, luego la tensión del consumidor ha de estar entre 205 y 235 V.

237


más. la línea que alimenta al consumidor de impedancia ZL = 0,5 + j 0,2 Ω3, es un cable cuya capacidad máxima es de 14 A. Calculemos la tensión de la fuente y la intensidad que circula por la línea. Como la potencia activa es de 1.000 W con un cosϕ = 0,7 (lo que equivale a un ángulo ϕ de 45°), la potencia reactiva que consume la carga es: Q = P tgϕ = 1.000 VAr La potencia aparente es:

S = P 2 + Q2 = 2 1.000 VA Como conocemos la potencia activa, la tensión y el factor de potencia para calcular la intensidad que circula por la línea se puede calcular con la expresión:

P = U I cos ϕ ⇒ I =

P = 10 2 A = 14,14 A U cos ϕ

Como conocemos al potencia aparente S = U I, podríamos obtener la intensidad con esta expresión. Para el cálculo de la tensión de la fuente, podremos hacerlo mediante las leyes de Kirchhoff o mediante el balance de potencias. Por Kirchhoff, tomaríamos como origen de fases _la tensión en la carga U = 100 /0° V, la intensidad IL, tendrá de módulo 10 √2 A (como hemos calculado antes) y de argumento tendrá el de la impedancia: – 45° (con valor negativo al ser una impedancia de tipo inductivo —la intensidad está retrasada con respecto a la tensión—). Por tanto: _ IL = 10 √2 /– 45° A Como conocemos la impedancia ZL podremos calcular su tensión UL = ZL IL, y una vez conocida, aplicamos la 2.a ley de Kirchhoff: EA = UL + U (RECUERDE EL LECTOR QUE ESTAS SUMAS SON DE NÚMEROS COMPLEJOS Y NO DE LOS MÓDULOS). Proponemos al lector que siguiendo estos pasos

calcule la tensión en la fuente. 3

El valor de esta impedancia es excesivamente elevado para el valor real pero la hemos supuesto así para evidenciar el resultado.

238


ZL

iL

A

UL + EA

U

Z1

B

Figura 179.

Utilizando el balance de potencias, lo que intentamos saber es la potencia generada por la fuente. Como conocemos su intensidad (I) podremos calcular rápidamente la tensión. La potencia activa y reactiva consumidas por la carga son respectivamente 1.000 W y 1.000 VAr. La impedancia ZL consume también una potencia activa y reactiva que, como conocemos la intensidad que circula por ella y los valores de R y X de la impedancia, su cálculo será: _ • PL = RL IL2 = 0,5 (10 √2) 2 = 100 W _ • QL = XL IL2 = 0,2 (10 √2) 2 = 40 VAr Por tanto las potencias generadas por la fuente son: • PG = PL + P = 1.200 W • QG = QL + Q = 1.040 VAr • SG = PG 2 + QG 2 = 1588 VA y el argumento de la potencia aparente: ϕG = arctg (QG /PG) = 40,91°. Por tanto, la tensión en módulo EA la calcularemos a partir de la expresión SG = EA IL. EA = 112,28 V El ángulo de la tensión estará 40,91° adelantado con respecto de la intensidad, luego EA = 112,28 /40,91° – 45° V = 112,28/– 4,1° V

239


Resumiendo la línea estaría sobrecargada y no puede admitir la intensidad que circula por el cable de 14,14 A. La tensión de la fuente debe ser 112,28 V, Las pérdidas de potencia activa en la línea son 100W. Supongamos ahora que la carga es igual pero el factor de potencia es la unidad: Como la potencia activa es de 1000 W con un cosϕ = 1 la potencia reactiva que consume la carga es: 0 VAr, la intensidad que circula por la línea se puede calcular

P = U I cos ϕ ⇒ I =

P = 10 A U

Utilizando el balance de potencias para el cálculo de la tensión: La impedancia ZL consume una potencia activa y reactiva que, como conocemos la intensidad que circula por ella y los valores de R y X de la impedancia: • PL = RL IL2 = 0,5 (10) 2 = 50 W • QL = XL IL2 = 0,2 (10) 2 = 20 VAr Por tanto las potencias generadas por la fuente son: • PG = PL + P = 1050 W • QG = QL + Q = 20 VAr • SG = PG 2 + QG 2 = 1050 VA y, el argumento de la potencia aparente: ϕG = arctg (QG /PG) = 1,1°. • La tensión en módulo EA la calcularemos a partir de la expresión SG = EA IL: EA = 105 V. • El argumento de la tensión estará 1,1° adelantado con respecto de la intensidad, luego EA = 105 /1,1° – 0° V = 105/1,1° V Resumiendo, la línea no está sobrecargada y puede admitir esta carga ya que la intensidad que circula por el cable es de 10 A menor

240


que la máxima admitida por el conductor; la tensión de la fuente debe ser 105 V, y las pérdidas de potencia activa en la línea son 50 W. Conclusiones • En ambos casos la potencia activa consumida por la carga es la misma, lo que significa que el trabajo realizado es el mismo en los dos casos (la producción es la misma). • En el primer caso trabajaríamos con la línea sobrecargada la intensidad es 0,14 A superior a la permitida y en el segundo caso la intensidad es de 10 A, por lo que línea tiene holgura, le faltan 4 A para llegar a su límite. Incluso habría la posibilidad de conexión de un nuevo cliente, en paralelo con el actual, que consumiera estos 4 amperios (es decir, que consumiera una potencia aparente de 400 VA). • Las pérdidas de potencia activa en la línea se reducen a la mitad, lo que significa que la central ha de generar 50 W menos, lo que representa un ahorro para el sistema. • El hecho que produce estas diferencias es que en el segundo caso no hay consumo de potencia reactiva. • La corrección del factor de potencia es el método para reducir el consumo de reactiva de las cargas. b) Corrección del factor de potencia en un circuito monofásico Efectivamente los motores son bobinas y no se puede modificar este hecho por lo que no se puede reducir la reactiva consumida por ellos. No obstante, se puede hacer algo para reducir la reactiva absorbida de la red por el conjunto de las cargas de una instalación. Sabemos que un condensador genera sólo potencia reactiva luego, para conseguir reducir el consumo de potencia reactiva de una instalación, basta instalar unos condensadores en paralelo o en serie con la carga. A este hecho se le llama compensación del factor de potencia. En la figura 180 se muestra la compensación serie y la paralelo. En la industria normalmente sólo se utiliza la compensación en paralelo y a ella nos dedicaremos en este apartado.

241


ZL

a)

UL

IL

ZL

b)

A IC

I1

UL +

+ EA

EA

U

IL

A I1

UC U

B

B

Figura 180. Dos tipos de compensación de potencia reactiva a) en paralelo (la más utilizada) y b) en serie (utilizada en casos excepcionales y básicamente para líneas de potencia).

Nuestra pretensión es calcular la capacidad del condensador que se desea instalar en paralelo con la carga como se indica en la figura 181, de modo que se compense la reactiva necesaria para pasar de un factor de potencia cosϕ1 a uno nuevo cosϕ2. Suponiendo que se conoce la tensión U (U/0°), y la potencia activa consumida por la carga Z1 que llamaremos P, si queremos pasar de un factor de potencia cosϕ1 en donde la carga consume una potencia reactiva Q1 a un segundo factor de potencia cosϕ2 en donde la carga consuma Q2 (una cantidad menor obviamente), tendremos que poner una condensador que genere la diferencia de reactivas: Qc = Q1 – Q2 ZL UL

IL

A I1

IC

+ EA

U

Z1

B

Figura 181. 4

Realmente la tensión en una carga antes y después poner un condensador no es la misma, es normalmente un poco mayor. No obstante para nuestros cálculos esta variación no da una diferencia sustancial en la capacidad a calcular.

242


Si conocemos la tensión de la carga que asumiremos constante4 la capacidad del condensador se puede calcular mediante al expresión (en función de la reactiva GENERADA).

QC = ω CU 2 ⇒ C =

Qc

ω U2

Como los datos de partida son la potencia y los factores de potencia, la ecuación anterior se puede poner en función de estos datos ya que Q = P tgϕ. Qc = Q1 – Q2 = P tgϕ1 – P tgϕ2 = P (tgϕ1 – tgϕ2)

C=

Qc

ωU

2

=

1 P (tgϕ1 − tgϕ2 ) ωU2

En el caso en que se deseara compensar toda la reactiva, como en nuestro ejemplo Q2 = 0 VAr y por tanto Qc = Q1. c) Compensación del factor de potencia en un circuito trifásico. Batería de condensadores conectada en TRIÁNGULO La compensación de reactiva en sistemas trifásicos se realiza igual que en los sistema monofásicos sólo que ahora, además, hay que tener en cuenta cómo se quiere conecta la batería de condensadores para calcular su capacidad. En el circuito de la figura 182 se desea compensar el factor de potencia de la carga trifásica, que consume una potencia activa (trifásica) P con un factor de potencia cosϕ1 a un factor de potencia cosϕ2 mediante una batería de condensadores conectada en triángulo. En estas condiciones calcularemos la capacidad necesaria que llamaremos C∆. La carga trifásica consume una potencia activa (trifásica) P, y una potencia reactiva (trifásica) Q1. En función de la potencia activa (trifásica): Q1 = P tgϕ1 Si se desea que el conjunto de carga más batería de condensadores tenga un factor de potencia cosϕ2 , como su potencia activa (trifásica) P se man-

243


tiene, ahora el conjunto absorberá una potencia reactiva (trifásica) Q2 , que en función de la potencia activa se puede calcular como: Q2 = P tgϕ2 La potencia reactiva (trifásica) que ha de suministrar la batería de condensadores es la diferencia: Qc = Q1 – Q2 = P tgϕ1 – P tgϕ2 = P (tgϕ1 – tgϕ2) Como la reactiva que genera cada uno de los condensadores de la figura 182 es: Qcm = ω C∆ Uf2 , (en donde Uf es la tensión de fase de cada condensador y Qcm la reactiva generada por cada condensador) la reactiva total trifásica será tres veces la de uno de los condensadores: Qc = 3Qcm = 3ω C∆ Uf2 Y la capacidad será

C∆ =

QC 3ω U

2 L

=

1 P (tgϕ1 − tgϕ 2 ) 3ω U 2L

Si esta expresión se quiere poner en función de la tensión de línea la expresión es la misma, ya que en un triángulo la tensión de línea es igual que la de fase:

C∆ =

QC 3ω U

2 L

=

1 P (tgϕ1 − tgϕ 2 ) 3ω U 2L

Generador trifásico

A

Carga trifásica

B

P, Q1, ϕ1

C

C∆

C∆

C∆ Batería de condensadores

Conjunto carga + batería

QC

P, Q2, ϕ2

Figura 182.

244


d) Compensación del factor de potencia en un circuito trifásico. Batería de condensadores conectada en ESTRELLA Ahora deseamos compensar el factor de potencia de la carga trifásica representada el circuito de la figura 183, que consume una potencia activa (trifásica) P con un factor de potencia cosϕ1, a un factor de potencia cosϕ2 mediante una batería de condensadores conectada en estrella. Calcularemos la capacidad necesaria que llamaremos Cy. El proceso es igual que en el caso de condensadores conectados en triángulo: La carga trifásica consume una potencia activa (trifásica) P, y una potencia reactiva (trifásica) Q1. En función de la potencia activa (trifásica): Q1 = P tgϕ1 Si se desea que el conjunto de carga más batería de condensadores tenga un factor de potencia cosϕ2 , como su potencia activa (trifásica) P se mantiene, ahora el conjunto absorberá una potencia reactiva (trifásica) Q2 que en función de la potencia activa, se puede calcular como: Q2 = P tgϕ2


A

Carga trifásica

B P, Q1, ϕ1 C CY

CY

CY

N Batería de condensadores QC

Conjunto carga + batería P, Q2, ϕ2

Figura 183.

245


La potencia reactiva (trifásica) que ha de suministrar la batería de condensadores es la diferencia: Qc = Q1 – Q2 = P tgϕ1 – P tgϕ2 = P (tgϕ1 – tgϕ2) Como la reactiva que genera cada uno de los condensadores de la figura 183, es: Qcm = ω Cy Uf2 (en donde Uf es la tensión de fase de cada condensador y Qcm la reactiva generada por cada condensador), la reactiva total trifásica será tres veces la de uno de los condensadores Qc = 3Qcm = 3ω Cy Uf2 Y la capacidad será

Cy =

QC P (tgϕ1 − tgϕ 2 ) = 3ω Uf2 3ω Uf2

Que es exactamente la misma que para los condensadores en triángulo (no obstante el resultado ante las mismas condiciones será diferente ya que en cada caso es diferente la tensión de fase). Si esta expresión _ se quiere poner en función de la tensión de línea, como en este caso UL = √3 Uf la expresión es final resulta.

Cy =

QC 1 = P (tgϕ1 − tgϕ2 ) 2 ϖ UL ϖ U2L

Comparando los dos resultados observamos que Cy = 3 C∆. En el caso en el que se quisiera compensar toda la potencia reactiva, significaría que Q2 = 0 y, por tanto, Qc = Q1. e) Ejemplo Supóngase que la carga trifásica de la figura 182 es de 50 kW con un factor de potencia 0,75 (ind) el sistema de alimentación es la red de distribución básica: 380 V (tensión de línea) y 50 Hz. Calcúlese la capacidad de los condensadores de modo que se compense la carga hasta obtener una factor de potencia de 0,95. Datos de la fuente trifásica: • Tensión de línea: 380. • Frecuencia: 50 Hz. • Pulsación ω = 2π f = 100π rad/s.

246


Datos de la carga:

Ángulos Potencia activa Reactiva Q = P tgϕ

Carga

Conjunto carga /batería

41,41

18,20

50000 W

50000 W

44096,4 VAr

16439,2 VAr

• Tensión de fase línea de la batería: 380 V. • Tensión de fase de la batería: 380 V (por estar conectada en triángulo). Reactiva que tiene que suministrar el condensador Qc = 44094.6 – 16439,2 = 27657,2 VAr

C∆ =

QC = 20 mF 3ϖ U2f

Para evitar mayores problemas aconsejamos al lector que en vez de datos trifásicos utilice los datos monofásicos para el cálculo de la capacidad, así , si la reactiva trifásica es Qc = 27657,2 VAr, la reactiva que tiene que generar un condensador individual es: Qcm = Qc /3 = 9219 VAr Y por tanto la capacidad por fase será: C ∆ =

Qcm = 20 mF. ϖ U2f

Esta última expresión no depende de cómo esté conectada la batería. 10.5. MEDIDA DE LA POTENCIA EN SISTEMAS TRIFÁSICOS Para la lectura de la potencia que se consume en un sistema trifásico no existen vatímetros trifásicos, sólo se pueden utilizar vatímetros monofásicos. Si las fases las tenemos accesibles es decir pudiéramos instalar el vatímetro en una fase como se indica en la figura 184, en los sistemas trifásicos equilibrados bastaría por multiplicar por 3 la lectura de ese vatímetro para obtener la potencia trifásica. P=3 W

247


A

W

W

A

A

ZY B

Z∆

Z∆

ZY C

ZY

B

Z∆

C

B C

Figura 184.

Si no tenemos posibilidad de acceso a las fases podríamos utilizar el método indicado en la figura 185, mediante el cual con tres vatímetros se conectan en forma una estrella. Con este sistema se consigue introducir un «neutro artificial» para que la bobina voltimétrica del vatímetro mida la tensión fase-neutro. En este caso y como el sistema es equilibrado la tensión de neutro es la tensión de todos los neutros y, por tanto, cada uno de los vatímetros nos indica la potencia activa consumida en una fase (esta afirmación es sencilla de demostrar tanto en el caso de que la carga sea en estrella como en triángulo. le proponemos al lector que realice esta demostración). La potencia activa total trifásica consumida por la carga es la suma de la lectura de los tres vatímetros. P = W1 + W2 + W3 = 3 W1


A

B

W1 Carga trifásica W2 P, Q1, ϕ1

C

W3

Figura 185.

248



A

W1

Carga trifásica

B P, Q1, ϕ1 C

Figura 186.

Como el sistema es equilibrado, los tres vatímetros deberían indicar lo mismo por lo que si pudiéramos simular el efecto de dos vatímetros, con uno nos llegaría. Un sistema que reduce el precio de lectura siguiendo este método (que utiliza sin necesidad tres vatímetros), consiste en sustituir dos de los vatímetros por sus impedancias equivalentes (bobinas voltímétricas), por lo que no se modifica el circuito y queda igualmente equilibrado. Esta forma de conexión se muestra en la figura186. No obstante el método más habitual de medida de la potencia activa en el método de los dos vatímetros como se indica en la figura 187. Este sistema sirve para la lectura tanto de potencia activa como reactiva y, además tanto en sistemas equilibrados como desequilibrados La situación de los vatímetros hace que su medida individual no tenga relación física con el valor de la potencia consumida por la carga, pero


A

B

Carga trifásica

W1

W2

P, Q1, ϕ1

C

Figura 187.

249


veremos como la suma de las dos medidas indica la potencia activa total consumida por la carga y que de su diferencia podremos calcular la reactiva consumida. El vatímetro W1 mide exactamente mide: W1 = |UAC | |IA | cos (UCA, IA) El módulo de la tensión UAC por el módulo de la intensidad IA por el coseno del ángulo que forman la tensión UAC y la intensidad IA (ψ). En la figura 188 se representa el diagrama vectorial completo de tensiones e intensidades (en el que hemos supuesto la secuencia directa y que la carga es de tipo inductivo y está conectada en estrella). El módulo de la tensión UAC es la tensión de línea UL y el módulo de la intensidad IA es la intensidad de línea IL. La tensión UAC es la contraria a la tensión UCA, la intensidad IA, que es también la intensidad de fase de la carga, está retrasada un ángulo ϕ con respecto de la tensión UA (tensión de fase de la carga). Por tanto, el ángulo (ψ) entre la tensión UAC y la intensidad IA lo calcularemos de la siguiente forma como se ve en la figura 188: 120˚

UCA

UAB

IC

UC

30˚ UA ϕ IA IB

180˚ – 120˚ – 30˚

ϕ UAC

UB

30˚

θ: Desfase entre UBC e IB

Ψ: Desfase entre la tensión UAC y la intensidad IA UBC

Figura 188.

250


• El ángulo entre UCA y UAC es de 180° (ya que UAC = – UCA). • El ángulo entre UCA y UAB es de 120° (por ser un sistema trifásico de secuencia directa). • El ángulo entre UAB y UA es de 30° (relación entre tensión de fase y de línea al estar la carga en estrella). • El ángulo entre IA y UA es ϕ (ángulo de la impedancia de la carga). Por tanto el ángulo que forman la tensión UAC y la intensidad IA es:

ψ= 180 – 120 – 30 – ϕ = 30° – ϕ Por tanto la lectura de vatímetro W1 es: W1 = |UAC | |IA |cos (UCA, IA) = UL IL cos (30° – ϕ) Como vemos este valor no tiene nada que ver con al realidad física de las potencias. Veamos ahora qué mide W2 W2 = |UBC ||IB | cos (UBC, IB) El módulo de la tensión UBC por el módulo de la intensidad IB por el coseno del ángulo que forman la tensión UBC y la intensidad IB (θ). Seguimos utilizando la se representación del diagrama vectorial completo de tensiones e intensidades de la figura 188 (en el que hemos supuesto la secuencia directa y que la carga es de tipo inductivo y está conectada en estrella). El módulo de la tensión UBC es la tensión de línea UL y el módulo de la intensidad IB es la intensidad de línea IL. La tensión UBC es la tensión de línea entre los terminales B y C, y la intensidad IB, que es también la intensidad de fase de la carga, está retrasada un ángulo ϕ con respecto de la tensión UB (tensión de fase de la carga). Por tanto, el ángulo (θ) entre la tensión UBC y la intensidad IB lo calcularemos de la siguiente forma como se ve en la figura 188. El ángulo entre UBC y UB es de 30° (relación entre tensión de fase y de línea al estar la carga en estrella). El ángulo entre IB y UB es ϕ (ángulo de la impedancia de la carga).

251


Por tanto el ángulo que forman la tensión UBC y la intensidad IB es: θ = 30 + ϕ. Por tanto la lectura de vatímetro W2 es: W2 = |UBC | |IB | cos(UBC, IB) = UL IL cos (30° + ϕ) Como vemos este valor tampoco tiene nada que ver con al realidad física de las potencias. No obstante sumemos los dos valores: W1 + W2 = UL IL cos (30° – ϕ) + UL IL cos (30° + ϕ) = UL IL [cos (30° – ϕ) + cos (30° + ϕ)] Simplificando los ángulos según las expresiones: • cos(α + β) = cos α cos β – sen α senβ • cos(α – β) = cos α cos β + sen α senβ

_ Obtenemos la expresión: W1 + W2 = √3 UL IL cos (ϕ) = P. Que es la de la potencia trifásica consumida por la carga. Si en hacemos la diferencia W1 – W2 = UL IL cos (30° – ϕ) – UL IL cos (30° + ϕ) = UL IL [cos (30° – ϕ) – cos (30° + ϕ)] Y simplificando de la misma forma que en la anterior encontramos la ecuación: _ _ W1 – W2 = UL IL sen ϕ/ √3 = Q /√3 Obsérvese que ahora la diferencia en las lecturas da una cantidad proporcional a la potencia reactiva. Por tanto conocidas las lecturas de los vatímetros: • P = W1 + W2. _ • Q = √3 (W1 – W2).

252


10.6. EJERCICIOS DE AUTOCOMPROBACIÓN Ejemplo X.1: Un circuito trifásico equilibrado con carga en estrella se alimenta con tensión fase neutro de 900V. Se comprueba que los vatímetros del método de los dos vatímetros marcan lo mismo e igual a 4,5 kW. Calcule el valor de la corriente de línea IL, la tensión de línea VL, la impedancia por fase Z, y las potencias generadas. Si los vatímetros del método de los dos vatímetros miden igual, significa que: W1 + W2 = P = 2 × 4,5 = 9 kW _ W1 – W2 = Q/√3 = 0 VAr

_ Como la tensión fase neutro es 900 V, la tensión de línea será: VL = 900 √3 = 1558,84 V.

W1 W2

_ La potencia activa es P = √3 VL IL cosϕ. Como en este caso la carga es resistiva pura (Q = 0), el cosϕ =1, y por tanto:

IL =

P 3VL

= 3, 33 A

Conocida la intensidad de línea que es igual a la de fase y la tensión de fase, como además es resistiva la carga:

Z=R=

Vf 900 = = 270 Ω I L 3, 33

Ejemplo X.2: Considere el sistema trifásico equilibrado de la figura, sin neutro, y de secuencia directa de fases:

253


R1 a

A

+

Ea

Ec + n

c

R1

Zc C

N Zc

Eb b

+

Zc

R1 B

Si VBC = 120 V y Rl = 0.6 Ω en el caso en el que la carga total Z consuma 5 kVA con un fdp inductivo de 0,8, calcule: • La potencia total disipada en las resistencias de las líneas Rl y las potencias activa y reactiva generadas por la fuente trifásica. • El valor de la tensión fase-neutro de la fuente: Ea. Conocida la potencia aparente trifásica el cálculo de la intensidad de línea es inmediato.

Por tanto la intensidad de línea será: La potencia total disipada por las resistencias será: PR = 3R1 I2 = 1041,6 W. Como el cosϕ = 0,8 ⇒ ϕ = 36,87°. • La potencia activa de la carga P = 5000 · 0,8 = 4000 W. • La potencia reactiva de la carga Q = 5000 · 0,6 = 3000 VAr. La potencia total suministrada por la fuente será: • PG = PR + P = 5041,6 W. • QG = Q = 3000 VAr. Para el cálculo de la tensión fase neutro se pueden emplear dos métodos: Utilizando la potencia aparente total: La potencia aparente total: SG = PG2 + QG2 = 5.866 VA.

254


_ La tensión de línea se calcularía como SG = √3 VLG I. Por tanto: VLG =

SG 3I

= 140,8 V; y la tensión fase neutro :

VaG =

VLG 3

= 81, 28 V

Utilizando el equivalente monofásico En la figura adjunta hemos indicado el diagrama monofásico fase – neutro equivalente. La tensión U =

120

= 69, 28 V y tomando como origen de fases la inten3 sidad I, la tensión U = 69,28/36,87° V = 55,424 + j41,57 V. La caída de tensión en la resistencia UR = R1 I = 0,6 · 24,056 = 14,43. La tensión Eg = UR + U = 69,86 + j 41,57 V = 81,29/30,75° V R1

Ea

i

A

ZC

U

B

Ejemplo X.3: Una subestación de distribución alimenta por medio de una línea trifásica de media tensión las instalaciones de un cliente. Según el esquema indicado en la siguiente figura. Se puede considerar que la subestación se comporta como una fuente ideal de tensión trifásica, equilibrada y de secuencia directa, que mantiene constante en la instalación del cliente una tensión compuesta de 15.000 V/50 Hz. La línea de transmisión entre la subestación y el cliente tiene una impedancia de 10 + j 10 Ω por fase.

255


15.000 V/50 Hz +

R

R’

+

S’

S

+

T’

T 10 + j10Ω/fase

M 3375 8* 40 kW + η = 85% fdp = 0,8 (i) j2092Ω/fase

Subestación

Línea distribución

160 kVA C = 40% fdp = 0,95 (i)

Instalación taller mecanizado

El cliente tiene un taller de mecanizado de grandes piezas con los siguientes equipos: • 4 fresadoras, 2 grupos de soldadura y un puente grúa que equipan entre todos 8 motores trifásicos de 40 kW cada uno, rendimiento del 85% y factor de potencia 0,8 inductivo. • Otros equipos monofásicos de menor potencia unitaria (tornos automáticos, prensas...) repartidos equilibradamente entre las tres fases de forma que se comportan en conjunto como una carga trifásica en triángulo de 3375 + j 2092 Ω por fase. • Un transformador trifásico de 15.000/380 V de 160 kVA de potencia nominal que alimenta las instalaciones de alumbrado así como otros equipos de baja tensión del taller. Todo ello supone una carga del 40% de la potencia nominal del transformador con un factor de potencia de 0,95 inductivo. Calcule: • El módulo de las corrientes de línea absorbidas por cada una de las cargas. • Los valores complejos de la corriente de línea total que alimenta el taller en cada una de las fases así como el factor de potencia de la instalación. • La potencia activa, reactiva, aparente y compleja totales de la instalación. • La potencia reactiva y la capacidad por fase que ha de tener un banco de condensadores que, conectado en triangulo a la entrada del taller, consiga mejorar el factor de potencia de la instalación hasta un valor de 0,95 inductivo.

256


• La tensión compuesta que ha de tener la subestación (a principio de línea) para mantener en 15.000 V la tensión compuesta en el taller (después de conectar los condensadores). • Dibuje el diagrama fasorial de tensiones simples y compuestas (en el extremo receptor) e intensidades de línea totales, y apoyándose en él determine la lectura de dos vatímetros conectados según el método de los dos vatímetros (conexión Arón) a la entrada de la instalación (después de conectar los condensadores). SOLUCIÓN El lector a estas alturas de curso todavía no está familiarizado con determinada terminología que aparece en este problema, aunque se podría haber evitado su uso, se ha preferido dejarla y hacer una «traducción». Como veremos más tarde los motores son elementos que convierten la energía eléctrica en mecánica, los datos que se dan en este problema son la potencia útil mecánica en el eje, y su rendimiento que define la potencia eléctrica absorbida de la red. Así cada motor de los 8, absorberá una potencia P 40000 activa que se calcula según la expresión Pa = Mecánica = = 47.058,8 W. 0, 85 η y por tanto la carga trifásica equivalente a los 8 motores será una carga que consume una potencia activa PM = 376.470,58 W y un factor de potencia de 0,8 inductivo. El trasformador es un elemento que cambia las condiciones de tensión e intensidad eleva o baja la tensión con una potencia relativamente constante, en este caso lo que hace es disminuir la tensión de 15.000 V a la tensión normalizada de 380 V (tensión de línea) /220 V (tensión fase neutro). En este caso se da como dato la potencia aparente nominal del trasformador (que coincide habitualmente con el valor máximo de la potencia que puede transformar sin que se estropee) y el valor porcentual de la carga real sobre este valor que se llama carga del trasformador. Así la carga real que soporta el transformador es:

Sc = C * SNominal = 0, 4 *160000 = 64000 VA y, por tanto, la carga equivalente es una carga trifásica que consume una potencia aparente SM = 64 kVA, con un factor de potencia 0,95 Inductivo.

257


Ahora la figura anterior se convierte en el siguiente esquema: 15.000 V/50 Hz +

R

R’

+

S’

S

+

T’

T 10 + j10Ω/fase

Subestación

Línea distribución

motores PM = 376,47 kW fdp = 0,8(i)

3375 + j2092Ω/fase

Equipo de baja SM = 54 kVA fdp = 0,95 (i)


Resolveremos el ejercicio operado con potencias, cuyo planteamiento será más sencillo. Antes de comenzar a resolverlo recuerde el lector que en el enunciado se dice que la tensión en bornes del cliente es de 15.000 V, lo que significa que la tensión de los motores, el equivalente en estrella y el equipo de baja están alimentados individualmente a 15.000 V de tensión de línea. Conviene que antes de empezar a operar el lector calcule las potencia activas y reactivas de cada carga; así Carga Motores: • PM = 376.470,58 W; QM = PM tgϕ = 376.470,58 W · 0,75 =282.352,94 VAr. Carga triángulo: • Sb = 3

150002 U2 = 3 = 170 /31, 79 kVA = 144 4,5 + j 89, 56 kVA 3375 − j2092 Z*

Carga del consumo en baja: • Pc= Sc cosϕc = 64 · 0,95 = 60,8 kW; • Qc= Sc senϕc = 64 · 0,31 = 20 kVAr • Cálculo del módulo de las corrientes de línea absorbidas por cada una de las cargas.

258


Para la calcular la carga de los motores (IM) conocemos, la potencia activa, la tensión de línea y el factor de potencia, luego la intensidad:

IM =

Pa

376 470,59

=

3 ⋅ Vlinea ⋅ cos ϕ a

3 ⋅15000 ⋅ 0, 8

= 18,113 A

En la carga en triángulo, (Ib∆) conocemos la tensión de líneas (igual a la de fase en este caso), y la impedancia de fase (en triángulo), por tanto la corriente de fase será:

Ib∆ =

15000

=

33752 + 20922

15000 = 3, 778 A 3970, 78

y la corriente de línea será, por tanto: I b = 3 ⋅ I b ∆ = 6, 543 A. Para la carga del equipo de baja tensión (Ic), conocemos la tensión de línea, la potencia aparente y el factor de potencia, la intensidad de línea será:

Ic =

Sc 3 ⋅ Vlinea

=

64 000 3 ⋅15000

= 2, 463 A

• Cálculo de los valores complejos de la corriente de línea total que alimenta el taller en cada una de las fases así como el factor de potencia de la instalación. Para el cálculo de la intensidad de línea total, se puede hacer bien utilizando las impedancias de los elementos o bien utilizando las potencias. Para solucionarlo según la primera forma, tomamos como origen de fases (argumento) la tensión simple o tensión fase – neutro de la fase R en el extremo receptor (taller). De esta forma, las expresiones complejas de la intensidad de línea de la fase R en cada una de las cargas serán: Para los Motores:

I MR = 18,113 / − arccos 0, 8 = 18,113 / − 36,87 º = 14, 49 − j10,868 A Para la carga en triángulo (convertimos en estrella la impedancia y así resulta más fácil el calculo de la intensidad de línea).

259


15000

IbR

/0

15000

/0 URN 3 3 = = = = 3375 2092 1323.593 /31.793 Z∆ +j 3 3 3 = 6.543 / − 31.793o = 5.561 − j 3.44 A

Para la carga en baja tensión IcR = 2,463/–arctg(0,95) = 2,463/18,195° = 2,34 – j0,769 A Así pues la corriente de línea total en la fase R será:

I R = I MR + IbR + I cR = 22, 391 − j15, 084 = 26, 998/ − 33, 967º A Al ser un sistema trifásico equilibrado, para las fases S y T tendremos:

IS = 26, 998/ − 33, 967º −120 º = 26, 998/ − 153, 967º A IT = 26, 998/ − 33, 967º +120 º = 26, 998/86, 03º A El factor de potencia total de la instalación será: f .d . p. = cos ϕ = cos (33.967º ) = 0.829 inductivo

En caso de hacerlo con potencias: • Potencia activa total consumida por el cliente: PTotal = 376,47 + 144,5 + 60,8 = 581,76 kW • Potencia reactiva total consumida por el cliente: QTotal = 282,35 + 89,56 + 20 = 391,9 kVAr • Potencia aparente total consumida por el cliente:

STotal = 581, 76 2 + 391, 92 = 701, 45 kVA • Intensidad de línea

I Total

STotal 3U

=

701, 45 3 × 15000

= 26, 998 A

• Factor de potencia total cosϕ = PTotal/STotal = 0,8294; por tanto ϕ= 33,967°

260


Por tanto tomando como referencia la misma tensión la intensidad de la fase R será: recuerde como el conjunto es de carácter inductivo (consume potencia reactiva), la intensidad está retrasada un ángulo ϕ con respecto de la tensión

I R = 26, 998 / − 33, 967º A y las otras intensidades se calculan de la misma manera. • Cálculo de la potencia activa, reactiva, aparente y compleja totales de la instalación. Si hemos calculado la intensidad utilizando la potencia este valor ya lo hemos obtenido, si no lo podremos calcular de esta otra forma: Siendo el sistema equilibrado, la potencia compleja la podemos calcular como:

S = 3 ⋅ URN ⋅ IR* = 3 ⋅

15000 3

⋅ 26, 998 /33, 967º =

= 701428, 62 /33, 967 º = 581736, 49 + j 391898, 91 VA En módulo S = 701,42 kVA y las potencias activa y reactiva respectivamente: P = 581736,49 W Q = 391898,91 VAr • Cálculo de la potencia reactiva y la capacidad por fase que ha de tener un banco de condensadores que, conectado en triángulo a la entrada del taller, consiga mejorar el factor de potencia de la instalación hasta un valor de 0,95 inductivo. La potencia reactiva a suministrar por el banco de condensadores para corregir el factor de potencia de 0,829 a 0,95 vendrá dada por:

Qc = Q − Q ' = P (tgϕ − tgϕ ') = 200708, 336 VAr con

tgϕ = tg (33,967º ) = 0,6737 y tgϕ ' = tg (18,1949 º ) = 0,3287.

Conocida la potencia reactiva del banco de condensadores, podemos calcular la capacidad por fase de los condensadores como 2 Qc = 3 ⋅ ω ⋅ C ⋅ Ufase

261


que, estando los condensadores conectados en triángulo tendremos y por tanto Qc = 3 · ω · C∆ · U2línea

C∆ =

Qc 3 ⋅ 2 ⋅π ⋅ f ⋅U

=

2

200708, 336 = 0, 946 µ F 3 ⋅ 2 ⋅ π ⋅ 50 ⋅150002

linea

• Cálculo de la tensión compuesta que ha de tener la subestación (a principio de línea) para mantener en 15.000 V la tensión compuesta en el taller (después de conectar los condensadores). La nueva corriente de línea (incluyendo la aportación del banco de condensadores) será (recordemos que la potencia activa consumida por el conjunto permanece constante):

IR' =

P

=

3 ⋅ Ulinea ⋅ cos ϕ '

581736, 49 3 ⋅15000 ⋅ 0, 95

= 23, 569 A

I’R = 23,569/– arccos 0,95 = 23,569/–18,19° A Con esta intensidad y suponiendo el equivalente estrella del conjunto la tensión fase neutro del conjunto como se observa en la figura adjunta: De esta forma, la tensión simple a principio de la línea (en la subestación) valdrá: ZL

IR

R

UL + ERN

UR


N

ERN = URN + UL = URN + I R' ⋅ Z L = =

15000 3

15000 3

/0 º + 23, 569 / − 18,19 º ⋅ (10 + j10) =

/0 º + 23,569 / − 18,19 º ⋅10 2 /45º =

15000 3

/0 º + 333, 32/26, 81º =

= 8957, 74 + j150, 34 = 8959 /0, 96 º V

262


Y por tanto, el módulo de la tensión compuesta (o tensión de línea) en la subestación será:

U 'linea = 3 ⋅ 8959 = 15517, 44 V Si utilizamos las potencias para el cálculo de la nueva intensidad y de la tensión de la fuente: Potencia aparente del conjunto del taller compensado: PTotalN = 581,76 kW (la misma). QTotal = 191,19 kVAr (los que se consumían antes menos los que genera el condensador). Nueva potencia aparente total STotalN = 581,76 + j 191,19 = 612,59/18,26° kVA. S 612,59 Intensidad de línea TotalN = = 23, 58 A. 3U 3 × 15000 Pérdidas de potencia en la línea de distribución: • PL = 3 × 10 × 23,582 = 16,68 kW • QL = 3 × 10 × 23,582 = 16,68 kVAr La potencia generada por la fuente trifásica • PG = 16,68 + 581,76 = 598,44 kW • QG = 16,68 + 191,19 = 207,87 kVAr • SG = 598,44 + j 207,87 = 633,51/19,15° kVA La tensión de línea del generador EG =

SG 3I G

=

633,51 3 × 23, 58

= 15, 5 kV.

• Dibujo del diagrama fasorial de tensiones simples y compuestas (en el extremo receptor) e intensidades de línea totales, y apoyándose en él determine la lectura de dos vatímetros conectados según el método de los dos vatímetros (conexión Arón) a la entrada de la instalación (después de conectar los condensadores). El diagrama fasorial de tensiones e intensidades queda como sigue, siendo ϕ ′ = 18.19°.

263


Así pues, la medida de dos vatímetros conectados en conexión Aron en las fases R y S será: 120˚ URS

IT UTR

UTN 30˚ URN ϕ Is USN

Ir

ϕ

180˚ – 120˚ – 30˚ URT

30˚

UST

Ψ: Desfase entre la tensión URT y la intensidad IR

W1 = U RT · I R · cos(URT , IR ) = 15000 * 23.569 * cos (30 º −18,19º ) = 346051, 26 W

W2 = U ST · I S · cos (UST , IS ) = 15000 * 23.569 * cos (30 º −18,19 º ) = 235688, 55 W Se comprueba que, salvo errores de redondeo, la suma de los valores de estos vatímetros nos da la potencia activa consumida en la instalación: W1 + W2 = 235688,55 + 346051,26 = 581739,81 W ≈ P Ejercicio X.4: En la figura se representa un sistema trifásico equilibrado constituido por: • Un generador de tensiones trifásicas, equilibradas, de frecuencia 50 Hz y secuencia directa • Tres impedancias de línea iguales de valor ZL = 1 + j 2 Ω. • Una carga trifásica equilibrada formada por tres impedancias iguales conectadas en triángulo, de valor Z2 = 10(6 – j 3) Ω , cada una.

264


• Una carga trifásica equilibrada, de carácter inductivo, formada por tres impedancias iguales, conectadas en estrella, cuyo valor Z1 se desconoce. Se sabe, sin embargo, que la potencia activa trifásica consumida por la carga es 2002 W y que la lectura del vatímetro indicado en la figura es 1156 W. Se ha medido la tensión entre los puntos A’ y B’, resultando un valor eficaz UA’B’ = 200 V. Determine: • Valor eficaz de las corrientes de fase consumidas por las cargas Z1 y Z2. • Valor eficaz de la corriente de línea cedida por el generador. • Potencias trifásicas activa y reactiva cedidas por el generador al conjunto del circuito. • Capacidad, por fase, de la batería de condensadores que debería conectarse en triángulo en paralelo con el conjunto de las cargas Z1 y Z2 para corregir su factor de potencia compensando totalmente la reactiva (cos ϕ = 1). Generador trifásico + EA

IA A

A’ ZL

N

+

IB B

+

IC

EB

P2 = 2002 W

ZL = 1+ j2Ω

W Z1

V B’

N

ZL EC

Z1 C’

C

Z1

ZL Z2

Z2

Z2 Z2 = 10(1 – j3)Ω

Recuerde el lector a la hora de plantear la solución, la utilización del balance de potencias en circuitos de este tipo, suele resultar una forma más sencilla de realización.

265

PARTE SEGUNDA

MÁQUINAS ELÉCTRICAS E INSTALACIONES

TEMA 11

PRINCIPIOS GENERALES DE LAS MÁQUINAS ELÉCTRICAS

11.1. Introducción 11.2. Definiciones 11.3. Clasificación general de las máquinas eléctricas 11.4. Elementos constructivos básicos: Núcleo ferromagnético: estator, rotor. Arrollamientos a) Colector de delgas y el colector de anillos 11.5. Balance energético y rendimiento. Pérdidas en el cobre, en el hierro y mecánicas a) Potencia asignada o nominal b) Rendimiento 11.6. Valores nominales y placa de características

11.1. INTRODUCCIÓN Antes de comenzar nuestra exposición hemos de reseñar que esta parte del libro, tiene de nuevo una intención eminentemente práctica y que, por tanto, mayor información y más detallada la podrá encontrar el lector en las referencias que se indican al final del libro. Las máquinas eléctricas son en su constitución bobinas, cuyos campos magnéticos son capaces de cambiar las condiciones (tensión e intensidad) de la energía eléctrica o convertir energía eléctrica en mecánica o viceversa. Si en los circuitos eléctricos que estudiamos la conexión entre los diferentes elementos se realizaba mediante conductores, ahora la canalización del flujo magnético, se hace mediante materiales ferromagnéticos. Ahora tendremos circuitos magnéticos. Un circuito magnético está formado generalmente por una estructura de hierro, sobre la que se arrollan una o más bobinas por

269


las que circulan corrientes, que dan lugar a los flujos que aparecen en el sistema, y que son los responsables del cambio de condiciones o de energía. El cálculo riguroso de los flujos producidos es generalmente difícil de realizar, no obstante para los órdenes de magnitud de las variables que serán necesarias para explicar los diferentes conceptos en las aplicaciones que se dan en los sistemas eléctricos de uso normal, las reglas de los circuitos magnéticos se simplifican mucho. Además en todos los casos se va a diseñar un circuito eléctrico equivalente de forma que podamos incluir la máquina en el estudio normal de un circuito eléctrico.

11.2. DEFINICIONES El comportamiento de un circuito magnético es muy similar al de un circuito eléctrico por lo que pueden aplicarse a dichos circuitos magnéticos todos los teoremas de redes analizados en los temas anteriores como aunque la resolución es algo más compleja debido al carácter no lineal del núcleo ferromagnético, y las propiedades magnéticas un material ideal1 se definen en función la susceptibilidad magnética [χm], coeficiente adimensional que expresa la proporcionalidad entre la magnetización (campo magnético dentro del material [H]) y la intensidad de campo magnético (una especie de «circulación de corriente magnética» que se origina siempre que un material tiene un campo magnético). Todo material sufre una magnetización [H], al estar sometido a un campo de inducción magnética [B] y esta relación se expresa por: B = µ H = µ0 (1 + χm) H (µ es la permeabilidad magnética del material, µ0 la permeabilidad magnética del aire y χm la susceptibilidad magnética. En función de cuanto más fácilmente se magnetizan los materiales, se pueden clasifican en: • Diamagnéticos, materiales con mucha dificultad de imanación y lo hacen en sentido contrario al campo aplicado como el cobre y el helio.

1

270

Lineal, homogéneo e isótropo.


• Paramagnéticos materiales con mucha dificultad de imanación pero lo hacen en el sentido del campo aplicado como el aluminio y el sodio. • Ferromagnéticos. Fácilmente magnetizables. Los más interesantes para las aplicaciones de este curso son los materiales llamados ferromagnéticos, caracterizados por tener imanaciones grandes aún en presencia de campos magnéticos muy débiles. Los únicos elementos ferromagnéticos a la temperatura ambiente o superior sólo son: hierro, cobalto y níquel. Casi todas las aleaciones y compuestos magnéticos contienen uno o más de estos tres elementos. La facilidad de imanación procede de las fuerzas mecánico cuánticas, que tienden a alinear paralelamente entre sí en los llamados dominios magnéticos2. Cuando un material ferromagnético se coloca dentro de un campo magnético, los dominios se van alineando, de tal forma que sus campos magnéticos se suman al campo externo. El resultado final es un campo total mayor. Este efecto puede observarse en la curva de la figura 189, que relaciona a la inducción resultante en función de la intensidad de campo magnético H: Supongamos que, en el instante inicial, el material se encuentra en estado magnético neutro (es decir, si haber sufrido ninguna imanación previa). En este momento los dominios tienen alineaciones orientadas al azar y el momento magnético total es nulo. Al aplicar una intensidad de campo magnético H de pequeño valor, se produce una expansión de los dominios orientados en el sentido del campo magnético y una reducción de los que están orientados menos favorablemente. Este crecimiento es reversible, y si se elimina el campo H exterior, la densidad de flujo B también desaparece. Si se sigue elevando el valor de H, a partir de un umbral (que lo hemos denominado por M en la figura 189), los dominios «bien orientados» continúan aumentando su volumen, a la vez que se producen rotaciones bruscas para que sus momentos magnéticos sigan la dirección más próxima a H. Este movimiento de rotación es irreversible. Estamos en el intervalo entre los puntos M y N de la figura 189. Si en este intervalo, se dejara de aplicar la

2

Por dominios magnéticos se entienden agrupaciones de imanes permanentes elementales (dipolos magnéticos) que se forman en los elementos metálicos. Cuando están alineados en la misma dirección y sentido magnéticos forman un metal magnético.

271


B Bsat

N

Zona de rotación de los dominios

Zona de crecimiento irreversible M Zona de crecimiento reversible H

Figura 189. La inducción B en función de la intensidad de campo magnético H.

excitación magnética, no se llegaría al punto inicial ya que los dominios que han rotado permanecen en la nueva alineación. Si se sigue incrementando el valor de campo (más allá del punto N), el proceso de alineación continua extendiéndose a todos los dominios y a los momentos magnéticos dentro de los mismos y de tal forma que cuando los dominios están alineados totalmente se dice que el material se ha saturado. La curva dibujada en la figura 189 se denomina curva de imanación de la muestra y en la figura 190 se representan algunas formas de curvas de magnetización para diversos materiales empleados en la construcción de máquinas eléctricas. Se observa que la chapa magnética posee mejores cualidades magnéticas que el hierro fundido o que el acero fundido, ya que para la misma excitación magnética se consiguen inducciones más elevadas, lo que supone un volumen menor de material para obtener una intensidad de campo B determinada. No obstante, el valor de la inducción magnética que se produce en un material ferromagnético debido a una determinada excitación magnética, no es exactamente la función de la figura 1893, sino que depende de la historia 3 Este efecto se podía intuir al explicar la forma en que se orientaban los dominios magnéticos, en la zona MN se producían unos «saltos» que no eran recuperables al disminuir la inducción. Esto hacía que el material se quedase magnetizado de forma permanente en ese sentido y, por tanto no se puede volver al mismo punto de partida.

272


B 2 Teslas

450 A v/m Chapa magnética Acero fundido

Hierro fundido

H

Figura 190. Formas de curvas de magnetización para diversos materiales empleados en la construcción de máquinas eléctricas.

de material. En la figura 191, se muestra la curva real de la inducción magnética en función del campo aplicado. En ella se observa que el que si el material ha estado previamente magnetizado, al anular el campo exterior, el material se queda «magnetizado» (recordemos que los saltos bruscos no se recuperaban). Este valor de la inducción magnética «restante» se llama magnetismo o inducción remanente y constituye el estado de magnetización permanente del material al que hemos magnetizado. Obsérvese que el sentido de esta inducción remanente depende del sentido del campo aplicado con anterioridad de manera que, como se indica en la figura 191, las curvas de magnetización en un sentido y en el otro son diferentes y constituyen lo que sea denomina ciclo de histéresis. Cuando en un núcleo magnético se aumenta el campo magnético asociado, se produce una aportación de energía que se almacena en forma de campo magnético en el material. Cuando se reducen los campos magnéticos asociados, parte de la energía almacenada es devuelta a la fuente. Sin embargo, parte de la energía almacenada (en los saltos) se pierde irremediablemente en el núcleo en forma de calor. Esta pérdida de energía es debida a dos causas: la característica de histéresis del material (pérdidas por histéresis) y a las corrientes inducidas en el núcleo (pérdidas por corrientes parásitas o corrientes de Foucault). Con el fin de reducir las pérdidas en el hierro de las máquinas eléctricas, deben emplearse chapas magnéticas de pequeño espesor y baja conductividad

273

FUNDAMENTOS DE TECNOLOGÍA ELÉCTRICA B

N Magnetizado en el sentido NM H Magnetizado en el sentido MN

M

Figura 191. Curvas de magnetización en un sentido y en el otro. Ciclo de histéresis.

y que tengan además, un ciclo de histéresis pequeño. Las chapas magnéticas se caracterizan, fundamentalmente, por contener silicio en la proporción de entre un 4 a un 5%. Esta adición de silicio ha tenido como efecto el aumento de la resistividad del material y, por tanto, la disminución de las pérdidas por corrientes de Foucault. No obstante la incorporación del silicio presenta, inconvenientes desde el punto de vista mecánico: el hierro se vuelve duro y quebradizo. Además, para reducir las pérdidas por corrientes de Foucault, a parte de disminuir el espesor de las chapas (hoy comprendidos entre 0,3 y 0,5 mm), es preciso intercalar entre las mismas un aislamiento. Al principio se utilizaba el papel como aislante, pero éste se alteraba fácilmente por el calor. Luego se utilizó un barniz de silicato sódico que cubría las dos caras y que era de espesor de la mitad del papel; ahora las chapas de grano orientado vienen preparadas mediante un tratamiento químico especial conocido comercialmente como «carlite», que crea una película aislante extremadamente delgada (0,001 mm —diez veces inferior al barniz—) cuya adherencia e inalterabilidad al calor son notables. En cuanto a la calidad magnética de una chapa está influida no sólo por la composición química del hierro que la constituye, sino también por los procedimientos de fabricación, particularmente por el sistema de laminado y los tratamientos térmicos.

274


11.3. CLASIFICACIÓN GENERAL DE LAS MÁQUINAS ELÉCTRICAS Como ya vimos, la principal razón de ser de las máquinas eléctricas es la una conversión de energía de una forma a otra, una de las cuales, al menos, es eléctrica. En base a este punto de vista energético, se pueden clasificar las en tres tipos fundamentales: • Generador. Se llama así a la máquina cuya función es la de transformar la energía mecánica en eléctrica. • Motor. Se llama así a la máquina cuya función es la de transformar la energía eléctrica en mecánica. • Transformador. Se llama así a la máquina cuya función es la de transformar las magnitudes de tensión y corriente de la energía eléctrica. En los generadores y motores actúa la energía mecánica y por ello son máquinas dotadas de movimiento, que normalmente es de rotación. Por el contrario, los transformadores son máquinas eléctricas en las que actúan únicamente la energía eléctrica y son máquinas estáticas. Cada máquina en particular cumple, teóricamente, con el principio de reciprocidad electromagnética, lo cual quiere decir que son reversibles, pudiendo funcionar como generador o como un motor (en la práctica, existe alguna diferencia en su construcción, que caracteriza a uno u otro modo de funcionamiento).

11.4. ELEMENTOS CONSTRUCTIVOS BÁSICOS. NÚCLEO FERROMAGNÉTICO: ESTATOR, ROTOR. ARROLLAMIENTOS En el caso de un transformador, en la actualidad está constituido por chapas de grano orientado, de forma tal y como indica la figura 192. En el caso una máquina eléctrica rotativa (motores o generadores) se compone de las dos partes que se indican esquemáticamente en la figura de 193. Una parte fija que se denomina estátor y que tiene forma cilíndrica. En su interior se coloca el rotor, que es la parte giratoria de la máquina. El rotor se monta en un eje que descansa en dos rodamientos o cojinetes. El espacio de aire que separa el estátor de rotor, necesario para que pueda

275


Figura 192. Construcción de un transformador.

girar la máquina, se denomina entrehierro. El campo magnético que existe en el entrehierro es el medio de acoplamiento entre los sistemas eléctrico y mecánico. Normalmente, tanto en el estátor como en el rotor existen devanados hechos con conductores de cobre por los que circulan corrientes suministradas o cedidas a un circuito exterior que constituye el sistema eléctrico. Uno de los devanados tiene como misión crear un flujo en entrehierro y por ello se denomina inductor, o también excitación o campo. El otro devanado recibe el flujo del anterior y se inducen en él corrientes que se cierran (la forma de cerrar estas corrientes depende del tipo de máquina) y que se denomina inducido. Puede situarse el inductor en el estátor y el inducido en el rotor o viceversa; lo que realmente cuenta es el movimiento relativo entre ambos devanados y teóricamente puede elegirse cualquiera de ambas soluciones. Estátor

Rotor

Figura de 193. Esquema de las partes que constituyen una máquina eléctrica rotativa.

276


Desde el punto de vista de la configuración física las máquinas eléctricas adoptan tres formas básicas: • Cuando estátor y el rotor son dos cilindros uno encajado en el otro (como en la figura 193); • cuando el estátor presenta unos salientes magnéticos denominados polos (figura 194a); • cuando es el rotor quien presenta unos salientes magnéticos denominados polos (figura 194b). a) Estátor de polos salientes

b) Rotor de polos salientes

Figura de 194. Constitución de una máquina eléctrica rotativa de polos salientes.

En estos dos últimos tipos de máquinas el devanando inductor se sitúa en los polos, que son recorridos habitualmente por una corriente continua. Esta corriente es la encargada de crear un campo magnético que puede asimilarse al que produce un imán permanente (en algunos casos, cuando el motor es muy pequeño —tipo el motor de un coche eléctrico de juguete— se utilizan imanes permanentes). El número de polos en una máquina eléctrica no tiene que ser de dos exclusivamente como en un imán y sino que puede tener todos los pares se polos que el diseñador de la máquina crea conveniente (en todo caso el número de polos ha de ser siempre par). En la figura 195 se muestra una máquina con 4 polos o con dos pares de polos. En una máquina bipolar, en una vuelta completa en el rotor se produce un ciclo completo magnético; sin embargo, para una máquina con p pares de polos, en una vuelta completa del rotor se recorren p ciclos magnéticos completos; por ejemplo, para la máquina representado en la figura 194, se tiene p = 1, y por tanto

277


en una vuelta completa del rotor se producirá un ciclo completo «eléctrico»¸ mientras que, en la figura 195, cuyo número de pares de polos es p = 2, por cada vuelta competa del rotor se producirán dos ciclos completos «eléctricos». a) Estátor de 4 polos salientes

b) Rotor de 4 polos salientes

Figura de 195. Constitución de una máquina eléctrica rotativa de 4 polos salientes.

a) Colector de delgas y el colector de anillos Si bien, para introducir o sacar corrientes de los bobinados situados en estátor de la máquina basta con hacer unas conexiones fijas directas desde el sistema exterior a estos devanados; en el rotor se complica un poco más y es preciso recurrir a sistemas colectores. Estos colectores dependen del tipo de máquina y difieren entre sí según sea la máquina de corriente continua o de corriente alterna. Para ver el funcionamiento de estos colectores se va a considerar el estudio de un generador elemental (figura 196), constituido por un imán

B N

S

Figura de 196. Funcionamiento de un generador de corriente alterna.

278


B N

S

Figura de 197. Inductor de la máquina representada en la figura 196.

en el estátor, que hace de inductor (figura 197) y una espira en el rotor (figura 198), que hace de inducido. Consideremos el esquema de la donde la espira gira a una velocidad ω rad/s dentro de un campo magnético B de un imán permanente. Los extremos de la espira de van a parar a dos anillos de bronce sobre los que rozan dos escobillas de grafito (figura 198c), a las cuales se conecta el circuito exterior, compuesto por un receptor de energía simulado por una resistencia de carga R. Los vectores de inducción magnética B y el de superficie de la espira S, forman un momento determinado por el ángulo magnético: p α, siendo p el número de pares de polos de la máquina y α el ángulo geométrico correspondiente. a) Inducido completo

b) Parte móvil del inducido Anillos colectores

c) Parte fija del inducido Circuito eléctrico exterior

Espira

Escobillas

Figura de 198. Funcionamiento de un generador de corriente alterna.

279


De acuerdo con la ley de Faraday, la fuerza electromotriz inducida en la espira al girar dentro un campo magnético del imán será:

e=

dφ d = (BS cos pα ) dt dt

Además, expresando el ángulo α en función de la velocidad en revoluciones por minuto [n] y del número de pares de polos p se puede obtener fácilmente la expresión de la fuerza electromotriz en el inducido: e = BSp ω sen pωt comparando esta expresión con la de una fuerza electromotriz alterna de pulsación ωf =2pf, siendo f, la frecuencia en Hz, (e = E sen ωt), se deduce que la relación entre las revoluciones por minuto de la máquina y la frecuencia de la fuerza electromotriz alterna obtenida es:

ωf = 2π p (n/60), o, en función da la frecuencia: f = p n/60. Por tanto, en la espira se obtiene una fuerza electromotriz alterna, cuya frecuencia es proporcional a la velocidad de giro y al número de pares de polos de la máquina. Por otra parte, el estar las escobillas rozando los anillos colectores, se consigue que la corriente que circula por el circuito exterior sea de la misma forma que la que se tiene en la espiral de inducido. En el caso de querer obtener corriente continua se utilizaría un sistema con colector como se indica en la figura 199. En este caso la espira va conectada a un colector (figura 201) normalmente de cobre formado en este caso por dos delgas. Cada extremo de la espira va unido solidamente a una delga diferente. El colector gira con la espira. Aquí, a

N

B

S

Figura de 199. Funcionamiento de un generador de corriente continua.

280


B

S

N

Figura de 200. Inductor de la máquina representada en la figura 199.

diferencia de la máquina anterior, las escobillas recogen la corriente de una u otra delga según sea la que pase por debajo de ellas. La base matemática es la misma que la expresada anteriormente, el proceso físico es el mismo pero ahora la corriente que circula por la resistencia es siempre en el mismo sentido ya que cuando se va a producir el cambio de sentido la corriente en la escobilla, es el momento en el que las escobillas cambian de delga. a) Inducido completo

b) Colector de delgas

c) Parte móvil del inducido

d) Parte fija del inducido

Delgas Circuito eléctrico exterior

Espira

Escobilla

Figura de 201. Funcionamiento de un generador de corriente continua.

11.5. BALANCE ENERGÉTICO Y RENDIMIENTO. PÉRDIDAS EN EL COBRE, EN EL HIERRO Y MECÁNICAS En la transformación electromecánica de la energía que tiene lugar en una máquina eléctrica, una fracción de la potencia total que entra en la máquina (bien mecánica bien eléctrica) no se utiliza ya que se convierte en calor. A esta energía se llama pérdidas de la máquina.

281


Las pérdidas las podemos clasificar siguiendo la constitución física de la máquina: • Está formada por un circuito eléctrico, que incluye los devanados del inductor e inducido y con resistencias y donde se producen unas pérdidas por efecto Joule, llamadas frecuentemente pérdidas en el cobre; • Los arrollamientos se colocan en estructuras magnéticas, realizadas con chapas de acero al silicio que debido a los campos magnéticos variables, se producen corrientes inducidas y por tanto unas pérdidas que se conocen como perdidas por efecto Ferranti o pérdidas en el hierro. • Si la máquina tiene movimiento —caso de los motores o generadores—, se producen unas pérdidas mecánicas debidas al rozamiento de las diversas partes móviles del sistema. Estas pérdidas influyen sobre dos magnitudes muy importantes en la utilización de la máquina eléctrica: el rendimiento y el calentamiento. a) Potencia asignada o nominal Se llama potencia asignada a un valor que señala el fabricante, en función de la clase de servicio al que se destine la máquina, y para el cual el fabricante asegura siempre que no se produzcan calentamientos inadmisibles para la vida de los aislantes. La norma española indica, además, que las características asignadas de una máquina eléctrica deben estar marcadas en la placa de características. En el caso de los generadores: • Si son de corriente continua, la potencia asignada es la potencia eléctrica en sus bornes expresada en vatios. • Si son de corriente alterna la potencia asignada es la potencia eléctrica aparente en sus bornes, y debe expresarse en voltiamperios junto con la indicación del factor de potencia4. En los motores, tanto de continua como de alterna, la potencia asignada es la potencia mecánica disponible en el eje y debe expresarse en vatios. 4

El factor de potencia asignado a los generadores síncronos debe ser de 0,8 si va a actuar sobreexcitado, salvo especificación contraria.

282


En transformadores la potencia asignada es la potencia eléctrica aparente en bornes del primario o del secundario y debe expresarse en voltiamperios. b) Rendimiento El rendimiento se define como el cociente entre la potencia útil y la potencia absorbida total, de acuerdo con la siguiente expresión:

η=

Pu PT

En donde, Pu es la potencia útil o la potencia utilizada al final del proceso y PT es la potencia total consumida por la máquina. Llamando Pp a la potencia perdida se verifica: Pp = PT – Pu.

Rendimiento

O, expresado de otra forma, la potencia total es igual a la potencia útil más la potencia perdida. En el caso de un generador, la potencia útil es la potencia eléctrica entregada a la carga y en el caso de un motor es la potencia mecánica en el árbol de la máquina. La potencia perdida se puede considerar como la suma de las pérdidas en el hierro las pérdidas mecánicas y las pérdidas en el cobre. Suponiendo que las pérdidas en el hierro son constantes, que las pérdidas en el cobre proporcionales a la intensidad al cuadrado, se podría escribir la ecuación del rendimiento en función de la potencia útil, quedando la curva del rendimiento en función de la potencia según la figura 202:

cos ϕ cos ϕ’ < cos ϕ

Sηmáx Potencia aparato, S

Figura de 202. Rendimiento de una máquina en función de la potencia aparente.

283


Analizando la figura 202, del rendimiento de la máquina se pueden deducir las siguientes consecuencias prácticas: • Se debe evitar el funcionamiento con cargas de reducidas, ya que el rendimiento sería pequeño. • Se debe procurar que la máquina funcione con un índice de carga próximo al óptimo para obtener un mejor rendimiento. • Se debe rechazar toda máquina cuya potencia asignada sea demasiado elevada respecto al servicio a que se destina, pues trabajaría con cargas reducidas y su rendimiento sería pequeño. En consecuencia, para un mismo trabajo la energía absorbida y por tanto pagada sería mayor (además de realizar una inversión mayor de la necesaria).

11.6. VALORES NOMINALES Y PLACA DE CARACTERÍSTICAS Se llaman valores nominales a los valores de diseño del la máquina que obligatoriamente han de incluirse en la denominada placa de características, dentro de los valores nominales están, las tensiones de funcionamiento, el tipo de conexión, la potencia nominal, la velocidad de funcionamiento... Cada dato específico depende del tipo de máquina del que se trate.

284

TEMA 12

TRANSFORMADORES

12.1. Introducción 12.2. Constitución y formas constructivas 12.3. Transformador ideal 12.4. Magnitudes referidas 12.5. Circuito equivalente del transformador real a) Análisis de un transformador, despreciando su rama en paralelo 12.6. Ensayos de vacío y cortocircuito a) Ensayo de vacío b) Ensayo de cortocircuito 12.7. Funcionamiento en carga: Caída de tensión interna. Rendimiento y regulación 12.8. Transformadores trifásicos a) Índice horario b) Condiciones de conexión en paralelo de transformadores 12.9. Ejercicios

12.1. INTRODUCCIÓN El transformador es la máquina eléctrica más robusta y más eficiente, y la que ha permitido, en nuestra opinión, el avance más significativo de la tecnología eléctrica, al permitir la generalización del uso de la electricidad y su abaratamiento. El uso básico del transformador es el cambio de las condiciones de la electricidad es decir de unas condición de tensión alta e intensidad baja (tómense estos adjetivos con mucha precaución) a otras de tensión baja e intensidad alta, o viceversa.

285


Este uso ha permitido que la electricidad se pueda producir muy lejos de los centros de consumo, en las ubicaciones adecuadas: más baratas (en las proximidades de un río, cerca de una cuenca minera, allá donde el viento sopla de verdad…). En fin, desde el generador de electricidad que ya hemos visto que se llamaba alternador hasta nuestro hogar, la electricidad pasa por muchos transformadores, primero el que llamamos de máquina que es el que conecta el alternador (de unos 20 kV) con la red, generalmente de transporte de electricidad (a 220-400 kV), esta red a la que vierte la mayor parte de la energía producida en cualquier país pasa a la red de distribución (a tensiones entre 132 kV y normalmente 25 kV, aunque quedan todavía tensiones de 15 kV, 18 kV…). Todo esto lo permiten una serie de transformadores que van adaptando las condiciones de suministro de electricidad de tensiones elevadas e intensidades bajas, para evitar las pérdida en las líneas (recuerde que las pérdidas dependen del cuadrado de la intensidad). No obstante hasta llegar a nuestro hogar, taller o centro de trabajo quedan todavía algún transformador a utilizar. Nuestro tema comenzará por una descripción muy breve de las razones físicas del funcionamiento del transformador, más información sobre este punto el alumno la podrá encontrar en la bibliografía de referencia. A continuación pasaremos a describir el modelo matemático del transformador real explicando a qué se refiere cada uno de los elementos integrantes del modelo y por describir la manera experimental de calcular las diferentes partes del modelo. La reducción de transformadores trifásicos a monofásicos y la descripción de los nuevos parámetros, que estos tipos de transformadores introducen en los modelos del trasformador será nuestro siguiente apartado, y terminaremos por definir las características básicas de los transformadores así como las condiciones de conexión.

12.2. CONSTITUCIÓN Y FORMAS CONSTRUCTIVAS Un transformador está formado normalmente por dos bobinas una llamada devanado primario y otra devanado secundario, construido de forma que ambas bobinas tengan una gran influencia mutua. Este detalle es básico en un transformador: cuanto mayor sea la «influencia» o el acoplamiento de una bobina con la otra mejor será el transformador. Para conseguirlo, se arrollan dos bobinas sobre un núcleo ferromagnético formado por chapas, tal y como se ha visto en el capítulo precedente.

286

TRANSFORMADORES

12.3. TRANSFORMADOR IDEAL Si «la influencia» entre las dos bobinas (el acoplamiento) es perfecta, habremos obtenido el transformador ideal. En este caso cualquier flujo magnético que pase por una bobina pasará por la otra, cualquier modificación de flujo magnético producido en una de las bobinas modificará el flujo global que circula por ambas y, por tanto, cualquier modificación del flujo magnético producirá una reacción en cada bobina. La forma como reaccionan y el porqué de esta reacción, aconsejamos al alumno que lo analice, se puede ver con todo detalle y precisión en Fraile Mora [2]. Para el fin de estos apuntes, baste con que el lector recuerde que la tensión que aparece en una bobina en proporcional a la derivada de la intensidad que lo circula. A

u=L

i

di dt B

La variación de la intensidad produce una variación de flujo y ésta a su vez, induce una «reacción eléctrica» produciendo una diferencia de potencial que intenta oponerse a la variación de la intensidad. En el caso del transformador, como el indicado en la figura 203a, la circulación de la intensidad i1, por el devanado 1 produce un flujo en el núcleo magnético, si la intensidad varía, también varia el flujo y por tanto se produce una tensión en los extremos de la bobina, u1 que cumple la ecuación u1 = L función de la inductancia de la bobina L.

di1 en dt

Pero obsérvese que, si el flujo Φ se cierra por el circuito magnético, en la bobina 2, se está viendo la misma variación de flujo que en la bobina 1, por tanto se produce el mismo efecto, por lo que aparece una tensión u2 en esta bobina, que será proporcional a la variación de la intensidad que circula por la bobina 1. Esta relación se expresa por:

u2 = M

di1 . En donde M, es lo que llamamos el acoplamiento mutuo. dt

287


(a)

(b)

Flujo magnético Φ A1

i1

i2

A2

i1 u1 u1

u2

u2 B1

B2

Figura 203. Esquema de un transformador ideal.

Por tanto, se puede entender que, al compartir las dos bobinas el mismo flujo magnético, cualquier variación del mismo, producido por cualquier intensidad que circule por ellas, va a producir efecto en las dos bobinas. OBSÉRVESE QUE SÓLO SE PRODUCIRÁ UNA DIFERENCIA DE POTENCIAL O TENSIÓN SI HAY VARIACIÓN DE CORRIENTE.

Así, UN TRANSFORMADOR SÓLO FUNCIONARÁ SI SE LE ALIMENTA CON CORRIENTE ALTERNA o, en general se producen variaciones en las corrientes que circulan por ellas. Un transformador no funcionará nunca en corriente continua: se comportará como un cortocircuito.

El esquema equivalente a un transformador se muestra en la figura 203b, y está formado por dos bobinas separadas por dos líneas paralelas y con unos «puntos negros» llamados terminales correspondientes, que dan una indicación del sentido de bobinado de la máquina (nuestros transformadores serán siempre con los terminales correspondientes en la parte superior). Las ecuaciones que ligan las tensiones primaria y secundaria en un transformador ideal y las intensidades, se calculan en función de la llamada relación de transformación «a», que se define como la relación entre el número de vueltas de la bobina 1 (N1) y el número de vueltas de la bobina 2 (N2). Según las siguientes expresiones:

288

TRANSFORMADORES

• a=

N1 N2

• u1 = au2 • i1 = −

i2 a

Obsérvese que las ecuaciones obtenidas por la representación matemática del transformador ideal, las hacen independientes del tipo de corriente; no obstante insistimos que el transformador real sólo funcionará en corriente alterna o variable. Veamos ahora, según los signos de referencia de la figura 5.2, para el transformador ideal, la potencia que está entrando en el lado primario P1 y la que está saliendo del secundario P2 son: • P1 = u1i1. • P2 = u2i2. Sustituyendo los valores de u2 e i2 en la ecuación de la potencia de salida P2: • P2 = u2 i2 =

u1 1 −ai1 ) = −u1i1 ( a

Vemos que la potencia de salida es la misa que la de entrada y por tanto un transformador ideal no consume potencia activa ni reactiva.

12.4. MAGNITUDES REFERIDAS En este apartado incluiremos las principales magnitudes de un trasformador, que se definen en su placa de características, y que se llaman valores nominales. Se llaman valores nominales de un trasformador aquellos para los que fue diseñado:

1 Obsérvese que en este caso el signo negativo del producto de tensión por intensidad en el lado primario: – u1 i1 se refiere a la potencia suministrada en ese lado.

289


• Tensión nominal primaria: tensión de uso normal para la que fue diseñado el devanado primario (que suele ser el de mayor tensión) y el aislamiento de todos sus partes. • Tensión nominal secundaria: tensión de uso normal para la que fue diseñado el devanado del secundario (que suele ser el de menor tensión) y el aislamiento de todos sus partes. • Potencia nominal: potencia aparente para la que fueron diseñadas todos los calentamientos de la máquina. Como la potencia nominal tiene mucha relación con la intensidad nominal, y ésta es la que produce los calentamientos en los arrollamientos del transformador, todas las partes del transformador se diseñan para que puedan evacuar la energía producida por las pérdidas en el cobre de la máquina, de modo que la temperatura interna que alcance el transformador no dañe sus aislamientos. • Relación de transformación: relación entre la tensión primaria y la secundaria (o el cociente entre las espiras del lado primario y las del secundario.)

12.5. CIRCUITO EQUIVALENTE DEL TRANSFORMADOR REAL Como se ha descrito anteriormente un transformador real, está formado por materiales físicos, reales, con histéresis, con permeabilidad finita y cómo no, con pérdidas. El modelo de un transformador real se muestra en la figura 204, que se puede reducir al de la figura 205 fácilmente. El transformador está constituido por dos bobinas formadas por conductores reales con resistencia, y, por tanto originando unas pérdidas de energía A1 i1

u1

Xµ1

Xcc1

Rcc1

Rcc2

RFe1

Xcc2

RFe2

i2

Xµ2

A2

u2

a:1 B1

B2

Figura 204. Circuito equivalente de un transformador real.

290

TRANSFORMADORES

Xcc

A1 i1

u1

Xµ

Rcc

i2

A2

u2

RFe a:1

B1

B2

Figura 205. Circuito equivalente de un transformador real reducido al primario.

en el cobre. Estas pérdidas dependerán de la intensidad que circule por las bobinas y por tanto, su equivalente ha de ser una resistencia y ha de estar en serie con el transformador. A la resistencia equivalente a todo el cobre dentro del transformador la llamaremos Rcc que incluye tanto los devanados del primario como del secundario (Rcc1 y Rcc2 en la figura 204 respectivamente). Estas resistencia se sitúan habitualmente en el lado primario como suma de las dos (referida la del secundario al primario) (Rcc en la figura 205.). Las bobinas reales, tampoco son perfectas, como nosotros hubiéramos deseado, sino que no todo el flujo generado por el paso de la corriente pasa por todas las espiras: hay una pérdida de flujo. Este flujo depende de la corriente que circula por las bobinas. Su efecto es muy asimilable al una bobina en serie con el transformador ideal, a la denominamos Xcc (Xcc1 y Xcc2 en la figura 204 las del lado primario y secundario respectivamente). Estas reactancias se sitúan habitualmente en el lado primario como suma de las dos (referida la del secundario al primario) (Xcc en la figura 205).

A1 i1

Xcc

Rcc

i2

u1

A2

u2

a:1 B1

B2

Figura 206. Circuito equivalente reducido al primario en el que se desprecian las «pérdidas en el hierro.

291


Con el trasformador ideal, y los parámetros Rcc y Xcc hemos idealizado todo el cobre del transformador. Nos queda por simular «la realidad» del circuito magnético. Como ya dijimos en la introducción de los apuntes, todos los circuitos magnéticos están realizados por chapas acumuladas y aisladas entre si para evitar, en lo posible, la circulación de las corrientes de Foucault. No obstante, y aunque se le ponen cada vez más barreras, estas corrientes siguen empeñadas en producirse, lo que origina el calentamiento del núcleo, y por tanto unas pérdidas de potencia activa. Estas pérdidas, no dependen de la intensidad que circule por las bobinas y si, de los efectos del campo, es decir, de la tensión en el transformador. Por tanto, la representaremos por una resistencia, en paralelo con el trasformador ideal, que la llamaremos RFe (RFe1 y RFe2 en la figura 204 las del lado primario y secundario respectivamente). Estas reactancias se sitúan habitualmente en el lado primario como equivalente (paralelo) de las dos (referida la del secundario al primario) (RFe en la figura 205). Por último, la permeabilidad del material con el que están formadas las chapas no es perfecto, por lo cual no es capaz de comportarse como un cortocircuito para el flujo magnético y, por tanto, parte del flujo magnético producido en una bobina no se cierra por la otra. Este flujo que tampoco depende de la intensidad que circula por la bobina, se ha simulado como una reactancia en paralelo con el transformador ideal, y que le hemos dado el nombre de Xµ (Xµ1 y Xµ2 en la figura 204 respectivamente las del lado primario y secundario). Estas reactancias se sitúan habitualmente en el lado primario como un equivalente de las dos (referida la del secundario al primario) (Xµ en la figura 205). Para la solución de un ejercicio en el que está incluido un transformador se utiliza el esquema de la figura 205 o incluso el de la figura 206 en el que se ha eliminado la rama de pérdidas en el circuito magnético. a) Análisis de un transformador, despreciando su rama en paralelo En el circuito de la figura 207 vamos a calcular las intensidades que circulan por el primario y el secundario, y la tensión que aparece en la carga. Sabemos que el transformador tiene los siguientes parámetros: Rcc = 1 Ω y Xcc = 4 Ω, la relación de transformación a = 4. La carga es una impedancia de factor de potencia 1, de 20 Ω y la tensión de alimentación es alterna senoidal de 220 V y frecuencia 50 Hz.

292

TRANSFORMADORES

A1 i1

eg

Xcc

Rcc

i2

A2

+ u1

u2

a:1 B1

B2

Figura 207.

Para el análisis del circuito podríamos bien utilizar las ecuaciones de definición del transformador e incluirlas dentro del sistema de ecuaciones conocidas para la solución del circuito, bien «eliminarlo», es decir, pasar al primario todo el circuito, resolverlo en ese lado y calcular los resultados finales. En este caso lo vamos a solucionar pasando al primario la resistencia R y dejaremos una malla única en el primario. Se utiliza así el transformador como «adaptador de impedancias». Veamos cómo se hace: En el transformador de la figura 208 las expresiones del transformador, y la ley de Ohm en el secundario2: Sustituyendo primero u2 y luego i2 por i1 la tensión u1 se puede poner en función de la intensidad del primario, así: • u1 = au2 = aRi 2 = aRai1 = a 2 Ri1 • u1 = a 2 Ri1 i1

i2

u1

u2

A2

R

a:1 B2

Figura 208. 2

Obsérvese que la tensión y la intensidad van en el mismo sentido en la resistencia R.

293


jXcc

A1 I1

Rcc

i1 + eg u1

u1

a2R

a2R B1

Figura 209.

Figura 210.

Esta última expresión u1 = a2Ri coincide con la ley de Ohm aplicada a una resistencia según se muestra en la figura 209. En general, cualquier impedancia que esté en paralelo con el transformador en el secundario se puede pasar al primario multiplicándola por el cuadrado de la relación de transformación. 2 • u1 = a Ri1

Sustituyendo el transformador por esta resistencia, como se muestra en la figura 210, la solución en complejos sería la indicada a continuación. • Eg = I1 [(Rcc + a2R) + j Xcc]. Y, para nuestro caso: • I1 = Eg/[(Rcc + c] = 220/0°/ [(1 + 22 20) + j 4] = 2,7/ – 2,83° A. • La intensidad I2 = a I1 = 2 × 2,7/ – 2,83° A = 5,4/ – 2,83° A. • La tensión en el secundario U2 =R I2 = 108/ – 2,83° V.

12.6. ENSAYOS DE VACÍO Y CORTOCIRCUITO Para el cálculo de los parámetros del modelo equivalente del transformador: Rcc, Xcc, RFe y Xµ, se utilizan dos ensayos de laboratorio que se denominan: ensayo en vacío y ensayo en cortocircuito.

294

TRANSFORMADORES

a) Ensayo de vacío Con el ensayo de vacío se pretende calcular los valores de RFe y Xµ y consiste en alimentar al transformador, bien por el lado de baja (este lado habitualmente), bien por el de alta a la tensión la nominal (o a una tensión inferior a la nominal) dejando el otro terminal en circuito abierto. En estas condiciones se mide la intensidad que entra en le transformador y la potencia activa que está consumiendo mediante un vatímetro. En la figura 211 se muestran las conexiones al transformador para la realización de este ensayo.

i2 Transformador

A1 i1

u1

A2

A

W

+ u2

B1

eg

V

B2

Figura 211.

Si analizamos el esquema simplificado (figura 212) lo que estamos midiendo con el vatímetro son las pérdidas, en el cobre (en Rcc) y las pérdidas en el hierro en RFe. No obstante, como la intensidad en el secundario ha de ser nula (estamos a circuito abierto i1= 0) y además en un transformador ideal se cumple que:

i1 = A1

Rcc

i1

i2 a Xcc

i2

A2

ig

+ u1

u2

RFe

eg

Xµ

a:1 B1

B2

Figura 212.

295


A’1

A2

Ig

+ U2

RFe

eg

Xµ

B’1

B2

Figura 213.

La intensidad que circula por el secundario del transformador ha de ser nula también, por tanto la intensidad entrante al transformador se ha de derivar por la rama en paralelo. De esta forma el equivalente del transformador referido al secundario queda simplificado a la rama de magnetización como se representa en la figura 213. Aunque esta explicación corresponde al equivalente simplificado que hemos realizado, la realidad del transformador es muy parecida y, en este ensayo real las intensidades que puedan circular por el cobre son despreciables frente a las pérdidas en el hierro. Con las medidas de los aparatos instalados en el ensayo, calcularemos RFe y Xµ siguiendo el siguiente procedimiento. Llamando W a la medida del vatímetro, V a la del voltímetro e I a la del amperímetro; sabemos que: • W = PFe = V I cosϕ. La potencia aparente: S = V I. La potencia reactiva consumida por la reactancia: Qµ = S2 − PFe2 . Los valores de RFe y Xµ serán:

RFe =

V2 , PFe

Xµ =

V2 Qµ

Ejemplo. Un transformador monofásico de 5 kVA, 50 Hz cuya relación de transformación nominal es de 5.000/200 V, ha sido sometido a un ensayo en

296

TRANSFORMADORES

vacío de 200 V (en el secundario). La intensidad absorbida fue de 11,2 A, y la potencia medida de 570 W. Calcule los valores de las impedancias de magnetización (RFe y Xµ). En este caso como el ensayo se realizó en el secundario de la máquina, seguiremos el mismo proceso que el descrito anteriormente: La potencia aparente S = 200 ×11,2 = 2240 VA. La potencia reactiva consumida por la reactancia: µ

S 2 − P 2 = 2166, 26 VAr.

Por tanto, tos valores de RFe y Xµ serán:

RFe =

V2 = 70,17 Ä Ω PFe

Xµ =

V2 = 18, 46 Ω Qµ

b) Ensayo de cortocircuito Para calcular los valores de Rcc y Xcc o las pérdidas en el cobre se utiliza el llamado ensayo en cortocircuito. Este ensayo consiste en alimentar el transformador por (normalmente) el lado de alta o primario con intensidad nominal3, mientras el secundario se encuentra en cortocircuito. Este ensayo se hace a una tensión muy baja y con mucho cuidado siguiendo el esquema indicado en la figura 214. Se utiliza el lado de alta debido a que la corriente nominal es mucho más pequeña en este terminal, no obstante y aunque en principio se hace a corriente nominal, la corriente de ensayo puede ser algo menor, pero, en todo caso, mayor que la corriente que obteníamos en el ensayo en vacío. La conexión de los aparatos se muestra en la figura 214. Si observamos el circuito equivalente de la figura 215, al cortocircuitar el devanado del secundario hacemos nula la tensión de dicho devanado y por tanto u2 = 0 V). En este caso, la tensión en el primario, al cumplirse la ecuación del transformador ideal u1 = au2, ha de ser nula también. Por tanto, cortocircuitado el secundario, nos queda la rama de magnetización en paralelo con la impedancia que representa al cobre. La intensidad

3

También, en este caso, se hace con valores de intensidad inferiores a la nominal para casos en los que esta intensidad sea muy elevada.

297


A1

W

i1

Transformador

A + eg

u1

V

B1

i2

A2

u2 = 0

B2

Figura 214.

ig

eg

i1

A1

Xcc

Rcc

RFe

u1

i2 A2

+ Xµ

a:1 B1

B2

Figura 215.

que circule por aquellas es despreciable frente a la que circula por Rcc y Xcc. Por lo que podremos eliminarlas para el análisis de este ensayo. El circuito equivalente final se muestra en la figura 216. La medida del vatímetro nos da la potencia perdida en el cobre, el amperímetro mide la intensidad que circula por los elementos Icc y el voltímetro marcará la tensión de la fuente Eg. El proceso para el cálculo de los valores de Rcc y Xcc es el siguiente:

A1

Xcc

Rcc

A2

Icc + eg

B1

B2

Figura 216.

298

TRANSFORMADORES

Llamando W a la medida del vatímetro, V a la del voltímetro e I a la del amperímetro; sabemos que: • W = Pcc = V I cosϕ, • La potencia aparente: S = V I. • La potencia reactiva consumida por la reactancia Q = S 2 − P 2 = Qcc . • Los valores de Rcc y Xcc serán: • Rcc =

Pcc I

2

X cc =

Qcc I2

Ejemplo. Un transformador monofásico de 4 kVA, 200/100 V, 50 Hz, se ensaya en cortocircuito y se obtienen los siguientes valores: aparatos de medida instalados en A.T. y el circuito de B.T. cortocircuitado. Los valores son de 15 V, 10 A y 80 W. Calculemos la resistencia y reactancia de cortocircuito referidas al primario bajo los supuestos que se encuentre alimentado por el primario o por el secundario. Obsérvese que el ensayo de cortocircuito no se ha hecho a la intensidad nominal, sino a una intensidad inferior (la mitad exactamente) Inominal = 4000 VA/ 200 V = 20 A No obstante el método de cálculo de los parámetros es el mismo. Además, como el ensayo se realizó en el primario de la máquina, seguiremos el mismo proceso que el descrito anteriormente. • Pcc = 80 W, Vcc = 15 V; Icc = 10 A. • La potencia aparente: Scc = 15 V × 10 A = 150 VA. • La potencia reactiva consumida por la reactancia = S 2 − P 2 = 170. VAr. c cc cc • Los valores de Rcc y Xcc serán:

Rcc =

Pcc = 0, 8Ä Ω I cc 2

X cc =

Qcc = 1, 7 Ω I cc 2

299


12.7. FUNCIONAMIENTO EN CARGA: CAÍDA DE TENSIÓN INTERNA. RENDIMIENTO Y REGULACIÓN Como ya hemos visto, el transformador real, se diferencia de uno ideal en dos características fundamentales, tiene pérdidas y al paso de corriente se produce una caída de tensión interna que hace que la relación de transformación no sea exacta y que dependa de la carga. En la construcción de un transformador se intenta minimizar lo más posible ambos aspectos.

ig

eg

i1

A1

Xcc

Rcc

i2

B1

ucc

+

eg

Xµ

RFe

u1

u2

Z

a:1 A2

B2

Figura 217.

El cálculo de la caída de tensión se puede realizar utilizando el equivalente reducido al primario (ver figura 217). Despreciando el efecto de pérdida de intensidad por la rama paralelo4, y reduciendo todo el circuito al primario (la impedancia en le secundario se pasa al primario multiplicándola por el cuadrado de la relación de transformación), el circuito equivalente resulta el de la figura 218. La caída de tensión Ucc es sencilla de calcular: Ucc = (Rcc + j Xcc) Icc Este cálculo es una aproximación que resulta adecuada al tipo de trasformador utilizado en la industria y de uso normal (es decir sin necesidad de una gran precisión en la tensión de salida). Este valor se suele dar en la placa de características para la intensidad normal, en % con respecto a la tensión nominal. Su valor ronda el 6%.

4

Si bien para corrientes bajas la corriente que circula no sería despreciable, pero en este caso lo que sería despreciable sería la caída de tensión interna.

300

TRANSFORMADORES

A1 I1

+ Eg

jXcc

Rcc

Ucc U1

a2Z

B1

Figura 218.

12.8. TRANSFORMADORES TRIFÁSICOS El transformador trifásico es un elemento que puede estar constituido por un núcleo «trifásico» o por un conjunto de tres transformadores monofásicos. Su tratamiento en el análisis de circuitos se hace mediante el equivalente fase neutro del transformador. El cálculo de los parámetros se realiza también mediante los ensayos de cortocircuito y vacío. En este caso los procedimientos son iguales pero utilizando medidas de línea y valores trifásicos. Para el cálculo específico se sigue el mismo procedimiento que el monofásico tras haber reducido el trasformador a su equivalente fase neutro. a) Índice horario A diferencia de los transformadores monofásicos, en los que la diferencia angular entre la tensión primaria y la secundaria es prácticamente nula (sólo la diferencia la caída de tensión interna del trasformador), en un transformador en trifásico, la forma de conexión de los diferentes devanados da lugar a un amplio margen de desfases entre la tensión primaria y la secundaria. Estas diferencias angulares son siempre múltiplos de 30 grados por los que para identificar la diferencia angular se habla del índice horario (o la diferencia angular dividido por 30). Si un transformador tiene un índice horario de 5, significa que la diferencia angular entra la tensión primaria y la secundaria es de 5 × 30 = 150 grados.

301


b) Condiciones de conexión en paralelo de transformadores Muchas veces no resulta conveniente o posible instalar un solo transformador para suministrar la potencia necesaria. En ese caso hemos de instalar dos o más transformadores en paralelo, que no tienen por qué ser iguales exactamente. En estas circunstancias ¿qué condiciones hemos de exigir a esos transformadores? Que tengan la misma relación de transformación (si no se producirán un cortocircuito en el secundario que producirá el sobrecalentamiento de los transformadores y su completa destrucción). Que tengan la misma caída de tensión interna (en caso de que la caída de tensión interna sea diferente se van a producir corrientes por los transformadores que lo sobrecalentarán y podrán destruirlos). En transformadores trifásicos que tengan el mismo índice horario (de nuevo si no es así se pueden producir grandes corrientes de cortocircuito que los destruirían).

12.9. EJERCICIOS Ejercicio XII-1. Halle el equivalente Norton visto entre los terminales A y B del circuito de la figura, comprobando los resultados (los devanados cumplen las condiciones de un transformador ideal). El número de vueltas del devanado 1 es de 500 y las del devanado 2, 1000. 1Ω

I1

A I2

U1 1:2

+ 150/0˚ V

U2

B

la relación de un trasformador ideal implica que a =

302

N1 i = 0, 5; u1 = au2 ; i1 = − 2 . N2

TRANSFORMADORES

Cálculo de la tensión en vacío UAB Esta tensión es el valor de la tensión en el secundario U2. Por la ecuación del transformador se tiene que cumplir que I = − I2 = −2I , 1 2

a

y por la primera ley de Kirchhoff I1 = I2, la única posibilidad que cumple las dos ecuaciones es que I1 = I2 = 0 A. Y, por tanto, la caída de tensión en la resistencia es nula. Planteando la ecuación de mallas: 150 = UR + U1 + U2 = 0 + U1 + U2 y como U1 = 0,5 U2 䉴 150 = 1,5U2 䉴 U2 = 100 /0° V 䉴 U1 = 50 /0° V, por tanto la tensión en vacío UAB = U2 = 100 /0° V. Cálculo de la intensidad de cortocircuito Icc Como el cortocircuito afecta a la tensión U2 ésta ha de ser obligatoriamente nula. Y como se ha de cumplir, por las condiciones del transformador, que U1 = 0,5 U2 , también será nula la tensión U1. 1Ω

i1

A u1

+

i2 icc

1:2

150/0˚ V

u2

B

Aplicando la 2.a ley de Kirchhoff: 150 = UR + U1 + U2 = UR + 0 + 0 y por tanto UR = 150 V , la intensidad I1 =

UR 150 = = 150 Ä A. 1 R

I2 = −2I2 ; la intensidad por el devanado secundario del a transformador será I2 = – 75 A. Como I1 = −

303


Por tanto aplicando la primera ley de Kirchhoff al nudo A: I1 – I2 = Icc = 150° + 75° = 225° A. Icc = 225 A Cálculo de la impedancia equivalente del circuito:

Z1 = 1Ω

UAB 100 = = 0, 44 Ω 225 Icc i1

i u1

A

i2 +

1:2 u2

e

B

• Ecuación del nudo A: I2 – I1 = I

I2 = −2I2 a • Ecuación del trafo U1 = 0,5 U2 • Ecuación del trafo: I1 = −

• Ecuación del malla E = U2 • Ecuación del malla; 1 I1 + U1 + U2 = 0 Operando. I = I2 – I1 = – 1,5 I1 1 I1 + U1 + U2 = I1 + 1,5 U2 = I1 + 1,5 E = – 0,66 I + 1,5 E = 0 0,66 I = 1,5 E como Z1 =

E 0, 66 = = 0, 44 Ω. 1, 5 I

Ejercicio XII-2. Un transformador monofásico doméstico de 4 kVA, 200/400 V, tiene el esquema equivalente referido al secundario (lado de 400 V). Realice el ensayo en cortocircuito y halle la potencia en ensayo de cortocircuito y la tensión de cortocircuito. (Nota: realice las suposiciones habituales en este ensayo). Respuestas: 15 W; 4,27 V.

304

TRANSFORMADORES

Xcc = 0,4Ω Rcc = 0,15Ω A1

Xµ = 400Ω

B1

A2

RFe = 800Ω

B2

Ejercicio XII-3. Calcule el circuito equivalente del transformador referido al primario del transformador monofásico de 100 kVA, 50 Hz y relación de transformación 4400/2200 V, si en los ensayos ha suministrado los siguientes datos: • Vacío U20 = 2200 V; I20 = 1,08 A; P20 = 525 W. • Corto U1cc = 220 V; Icc = 22,72 V; P1cc = 1300 W.

305

TEMA 13

MÁQUINAS ASÍNCRONAS

13.1. Introducción 13.2. Constitución física 13.3. Campo magnético giratorio. Principio de funcionamiento 13.4. Circuito equivalente simplificado 13.5. Ensayo en cortocircuito 13.6. Ensayo en vacío 13.7. Curvas características 13.8. Balance de potencias 13.9. Arranque de motores de inducción trifásicos: Arranque directo. Arranque por autotransformador. Arranque estrellatriángulo. Arranque mediante resistencias rotóricas 13.10. El motor monofásico 13.11. Descripción de otros tipos de máquinas eléctricas

13.1. INTRODUCCIÓN Esta máquina inventada por Tesla (al menos en su utilización comercial)1, revolucionó el sector eléctrico mundial de finales del sigo XIX, y lanzó el uso de la corriente alterna, eliminando el uso generalizado de su alternativa: la corriente continua. La razón de este éxito fue que la máquina de Tesla era más eficiente y más robusta (con mucho menos costes de mantenimiento) que su oponente 1

Galileo Ferraris patentó dos meses antes que Nikola Tesla una máquina eléctrica similar, pero con problemas de diseño que impedía que tuviera interés comercial.

307


la máquina de corriente continua, aunque es un poco menos versátil, ya que es mucho más difícil el control exacto de su velocidad. La gran diferencia de esta máquina con las demás es que, para transmitir energía, no necesita que uno de los devanados (normalmente el rotor) esté alimentado desde fuera (se pueden suprimir los anillos colectores). El principio de funcionamiento de las máquinas asíncronas se basa en la creación de un campo magnético giratorio que gira a una velocidad llamada de sincronismo, cuyo análisis se verá tras el estudio de la configuración física. En este caso, un devanado (normalmente el estátor) crea el campo magnético giratorio e induce una corriente en el otro (por ello el nombre de máquina de inducción). El nombre de asíncrona se debe a que la velocidad de giro del rotor es diferente a la de «sincronismo» (velocidad de giro del campo magnético giratorio y que está muy relacionada con la frecuencia de la red eléctrica). Estas máquinas influyeron mucho en la decisión de haberse implantado el sistema trifásico de corriente. No obstante la primera máquina asíncrona que diseñó Tesla funcionaba con una corriente bifásica. En general todas estas máquinas funcionan bien con corrientes polifásicas, pero con corrientes monofásicas presentan problemas para grandes potencias. En todo caso nuestra vida está rodeada de máquinas asíncronas monofásicas: la mayor parte de los electrodomésticos: lavadoras, secadoras, frigoríficos, aires acondicionados, batidoras... Hoy en día puede decirse que más del 80% de los motores eléctricos industriales emplean este tipo de máquina. En este tema analizaremos el funcionamiento de la máquina, sus aspectos constructivos: básicamente los tipos de rotores; seguiremos por analizar el modelo monofásico de los motores trifásicos y definir el deslizamiento. La definición de par y el análisis de su dependencia con los parámetros eléctricos. Finalizará este tema con el análisis de la curva par – velocidad y del funcionamiento de la máquina monofásica.

13.2. CONSTITUCIÓN FÍSICA El aspecto general de este tipo de máquinas se presenta en la figura 219. Normalmente en el estátor existen devanados hechos con conductores de cobre por los que circulan corrientes suministradas o cedidas a un circuito exterior que constituye el sistema eléctrico. Estos devanados tienen como

308


misión crear un flujo en entrehierro y por ello se denomina inductor, o también excitación o campo. En cuanto al rotor, está constituido, normalmente por una serie de espiras2 cortocircuitadas en el propio rotor y sin ninguna comunicación con el exterior tal y como se muestra en la figura 220. Este devanado recibe el flujo del primero y se inducen en el corrientes que se cierran por el cortocircuito. Rotor

Estátor

Figura de 219. Constitución de una máquina eléctrica de inducción.

En ocasiones para determinadas aplicaciones que exijan un control de velocidad o modificación del par de arranque se utilizan rotores bobinados con salida al exterior y cuyo funcionamiento en régimen permanente es en cortocircuito. Normalmente estátor y rotor están formados por núcleos de chapas magnéticas. Espira

Aro que cortocircuita las espiras

Figura 220. Rotor en «jaula de ardilla» de una máquina asíncrona. 2

Espira es un conductor que rodea al rotor.

309


13.3. CAMPO MAGNÉTICO GIRATORIO. PRINCIPIO DE FUNCIONAMIENTO El uso habitual de este tipo de máquina es como motor por lo que, en lo que sigue los consideraremos así. Mediante una disposición de las espiras en el devanado del estátor y mediante la alimentación trifásica, se consigue la realización de un campo magnético giratorio. Esto significa que si se aislase el estátor de la máquina y se instalase una bola en la superficie interior, al enchufar la máquina la bola empezaría a girar siguiendo el campo giratorio. La velocidad de giro de este campo, llamada velocidad de sincronismo, depende de la frecuencia de alimentación y del número de pares de polos de la máquina, siguiendo la expresión:

ns =

60f p

En donde ns, es la velocidad en rpm, f la frecuencia en Hz y p el número de pares de polos del estátor de la máquina. El número de pares de polos p de una máquina asíncrona se consigue haciendo repeticiones de la secuencia de fases (A, B y C) a lo largo de la superficie interior del estátor. con cada secuencia de fases A-B-C se obtiene un par de polos. Al introducir un rotor, que está en cortocircuito habitualmente, dentro de este campo giratorio se producen en él unas corrientes eléctricas3. Estas corrientes en medio de un campo magnético originan fuerzas mecánicas en el rotor que intentan seguir el campo giratorio de modo que se reduzca la variación del flujo magnético que ven las espiras. El momento total de estas fuerzas origina un par de rotación de la máquina que produce un movimiento de giro en el rotor siguiendo el campo giratorio inducido por el estátor de forma que, cuanto más próximas sean las dos velocidades, menores son las corrientes producidas en el rotor y por tanto, menores las fuerzas mecánicas producidas y por tanto menor el par. 3 Al producirse una variación del campo que ven las espiras del rotor, se inducen en ellas unas diferencias de potencial. Si no estuviesen cerradas las espiras, bien por un cortocircuito bien mediante la conexión a un circuito externo, no se produciría ningún efecto nuevo, pero al estar cortocircuitadas las espiras (o cerrado un circuito) se producen en ellas unas corrientes.

310


1,5

Funcionamiento como freno

Funcionamiento como motor

Funcionamiento como generador

s>1

1>s>0

s<0 0,0 Deslizamiento s

1,0

Figura 221. Diferentes formas de funcionamiento de la máquina asíncrona en función del deslizamiento y de la velocidad del rotor (%).

A la diferencia entre la velocidad de giro del campo en el estátor y la velocidad de giro del rotor se le llama deslizamiento:

s=

ns − n ns

en donde: s es el deslizamiento, n la velocidad de giro real del motor y ns la velocidad de sincronismo de la máquina. Los diferentes tipos de funcionamiento dependiendo del valor del deslizamiento (véase figura 221) son: • s = 1 la velocidad de rotor es nula (está parado el rotor con la máquina funcionando). Esta situación puede quemar el motor o generador. • 0 < s < 1 la velocidad de la máquina está por debajo de la de sincronismo, el rotor va «arrastrándose» tras el estátor, por lo que estamos ante un motor: la máquina está transformado en energía mecánica la energía eléctrica (ascensor subiendo). • s = 0, la velocidad del rotor iguala a la del estátor en la máquina ideal sin pérdidas el rotor gira libremente. Esta situación es imposible en la realidad ya que siempre habrá pérdidas y estaremos en el caso siguiente: generador. • s < 0, el rotor es más rápido que la velocidad del estátor luego lo tenemos que estar moviendo desde fuera, lo que significa que la máquina está actuando como generador de corriente eléctrica: la máquina está transformando la energía mecánica en energía eléctrica. • s > 1 El motor gira en sentido contrario al del campo síncrono. En este caso el motor está actuando como freno (por ejemplo, cuando baja un ascensor). Este caso es muy particular ya que en casi ninguna aplicación de las máquinas eléctricas permite el cambio de giro.

311


Un análisis con mayor profundidad se puede ver en el libro de referencia [Fraile, Máquinas Eléctricas]

13.4. CIRCUITO EQUIVALENTE SIMPLIFICADO El circuito equivalente del motor asíncrono es el modelo matemático del motor que representa su comportamiento. Al igual que en el transformador vamos a relacionar las pérdidas en el cobre de la máquina por una resistencias, la energía necesaria para la inducción real de la máquina por unas bobinas y, por fin, determinaremos la representación de la energía desarrollada por el motor como una resistencia equivalente variable. El circuito equivalente reducido se muestra en la siguiente figura 222. En la figura 222 se representa el estátor a la izquierda del transformador ideal, se incluyen en él: • el efecto de las pérdidas en el cobre (Rcc1), • la dispersión de las bobinas del estátor (Xcc1), • las pérdidas en la chapas del estátor —pérdidas Foucault— (RFe1), • la dispersión en el estátor y parte de la del entrehierro —el hueco entre el estátor y el rotor— (Xµ1). A la derecha del transformador ideal se muestran: • las pérdidas en la chapas del rotor —pérdidas Foucault— (RFe2); • las dispersión en el rotor y las del entrehierro no tomadas en consideración en el estátor (Xµ2);

A1

u1

Xcc1

i1

Rcc1

Rcc2

Xcc2

i2

A2 1 – 1) Rcc2(— s

Xµ1

RFe1

RFe2

Xµ2

a:1 B1

B2

Figura 222. Esquema equivalente completo de un motor asíncrono.

312


• las pérdidas en el cobre (Rcc2) • y la dispersión de las bobinas del rotor (Xcc2). Además, de lo comentado anteriormente en el modelo incluye el efecto de la carga representada por una resistencia variable en función de la resistencia constante de rotor [R’2] y del deslizamiento [s].

1 Resistencia equivalente a la potencia mecánica en el rotor = Rcc 2 ( − 1) Ω.

s

Esta resistencia equivalente en el rotor se hace cero (cortocircuito) en el caso que esté parado el rotor (s = 1) y aumenta a medida que el deslizamiento se hace menor, hasta llegar a infinito (circuito abierto) para un deslizamiento cero (la velocidad del rotor es igual a la de sincronismo). En la figura 223 se muestra la variación de esta resistencia en función del deslizamiento. Obsérvese que para el rotor parado el deslizamiento s = 1, y la resistencia equivalente de la carga es cero, por lo que se comporta eléctricamente como un cortocircuito. En cambio si se consiguiera que la velocidad de giro del motor fuera igual a la de sincronismo, el deslizamiento sería 0 y la resistencia equivalente infinito, eléctricamente la carga se comportaría como un circuito abierto. La potencia mecánica cedida por el motor se calcularía como: 1.500

1.000

Funcionamiento como motor 500

0

Deslizamiento 1

0,8

0,6

0,4

0,2

0

–0,2

–500

–1.000

Funcionamiento como generador

1.500

Figura 223. Evolución de la resistencia equivalente del rotor, en función del deslizamiento.

313


1 Potencia mecánica P = Rcc 2 ( − 1) × I 22 .

s

Siendo I2 el módulo de la intensidad que circula por el equivalente eléctrico del rotor. Nótese que, en el circuito equivalente de la figura 222, se han agrupado, sin ninguna separación (diferente de la introducida por el transformador) el estátor y el rotor. Esta representación incluye ya una primera aproximación ya que las corrientes que circulan por el rotor y las tensiones inducidas en él, no son de la misma frecuencia que las del estátor. Al tener velocidad diferente el rotor que el estátor, en aquel se producen corrientes de frecuencia proporcional a su velocidad, y por tanto diferente de las del estátor. No obstante esta primera aproximación siempre se tiene en cuenta en los cálculos normales. En todo caso, el circuito de la figura 222 sigue siendo el esquema equivalente muy complicado, por lo que para usos normales se utiliza el de la figura 224. En este esquema se ha pasado todo al devanado del estátor, se han unido las pérdidas por magnetización y en el entrehierro. Nótese que no se han unido las pérdidas en el estátor y en el rotor, básicamente porque la resistencia equivalente de la carga del motor (R’cc2) es la del devanado del rotor, por lo que es necesario conocerla con una cierta exactitud. En lo que sigue, y para mayor facilidad de cálculo, agruparemos Rcc1 + R’cc2 = Rcc, y Xcc1 + X’cc2 = Xcc (pero siempre teniendo en cuenta que debemos conocer el valor de R’cc2 siguiendo el esquema de la figura 225.

A1

u1

B1

Xcc1

i1

Rcc1

X’cc2

R’cc2

i’2 A’ 2 1 – 1) R’cc2(— S

Xµ1

RFe1

B2

Figura 224. Esquema equivalente reducido de un motor asíncrono.

314


A1

Xcc

i1

Rcc

i’2 A’ 2 1 – 1) R’cc2(— S

u1

Xµ

RFe

B1

B’2

Figura 225. Esquema equivalente simplificado de un motor asíncrono.

13.5. ENSAYO EN CORTOCIRCUITO Con este ensayo se calculan los valores de Rcc y Xcc. Se realiza con el motor trabado de modo que el rotor no se pueda mover y, por tanto el deslizamiento sea la unidad. En estas condiciones la resistencia equivalente a la carga se anula y se comporta como un cortocircuito. El esquema utilizado es el de la figura 226. El motor se alimenta mediante una fuente de tensión variable, se aumenta su tensión desde 0 V, hasta que pasa por el amperímetro la intensidad nominal de la máquina. En la figura 226 se ha eliminado la rama en paralelo, correspondiente a los elementos de RFe y Xµ. Esta aproximación no varía mucho los resultados ya que, los valores de resistencia y reactancia RFe y Xµ son tan elevados con respecto de los valores de Rcc, y Xcc que las intensidades que los hubieran recorrido serían despreciables.

A

W

Xcc

A1 i1

Rcc

i’2 A’ 2

+ eg

V

Xµ

B1

RFe

0Ω

B’2

Figura 226. Esquema de conexión en el ensayo en cortocircuito de un motor asíncrono.

315


El cálculo de los elementos se realizaría de la misma forma que se hizo en el transformador: La medida del vatímetro [W] nos da la potencia perdida en el cobre y nos permitirá calcular el valor de la resistencia Rcc: Llamando W a la medida del vatímetro, V, a la del voltímetro e I a la del amperímetro; sabemos que: W = Pcc.

Rcc =

Pcc I2

La reactancia de dispersión la calcularemos siguiendo el siguiente proceso: • W = Pcc = V I cosϕ, • La potencia aparente: S = V I. • La potencia reactiva consumida por la reactancia será: Q = S2 − Pcc = Qcc . • El valor de Xcc será: X cc =

Qcc I2

.

En este caso además hemos de conocer y diferenciar la medida de la resistencia del estátor de la del rotor. Para poder realizar esta diferencia es necesario realizar un nuevo ensayo. Este ensayo es sencillamente la medida de la resistencia del devanado del estátor. La medida es muy sencilla en el caso de máquinas trifásicas se mide la resistencia de una fase, entre fase y neutro (si este está accesible). En el caso de que no fuera accesible el neutro se mediría la resistencia entre dos fases: la de una fase sería, en el caso de conexión en estrella, sencillamente la mitad; en una conexión en triángulo sería los dos tercios del valor medido. R’cc2 = Rcc – R1 Recuerde el lector que en todo nuestro desarrollo estamos analizando el esquema monofásico fase neutro de la máquina asíncrona trifásica La diferenciación entre X1 y X 2’ no tiene gran interés pero si se quiere hacer, una buena suposición es suponerlas iguales e iguales a la mitad de Xcc.

316


13.6. ENSAYO EN VACÍO Este ensayo se utiliza para el cálculo de los valores de RFe y Xµ. Se realiza dejando girar libremente el rotor de la máquina eléctrica, en estas circunstancias y en ausencia de pérdidas la máquina funcionaría con deslizamiento nulo (es decir el rotor circularía a la velocidad de sincronismo) y por tanto el equivalente eléctrico del rotor se comportaría como un circuito abierto. En estas circunstancias no se produciría ninguna fuerza en el rotor, ningún par de giro, por lo que giraría por su propia inercia hasta el infinito. Lo cierto es que la máquina tiene pérdidas mecánicas en el rotor (pérdidas de rozamiento y ventilación), y, por tanto, no puede girar nunca a la velocidad de sincronismo. No obstante el deslizamiento es muy cercano a cero, la intensidad que recorre el rotor es muy pequeña por lo que lo consideraremos las pérdidas del rotor despreciables y veremos como se pueden calcular las pérdidas mecánicas. Este ensayo se realiza siguiendo el sistema de conexión de la figura 227. En este circuito hemos puesto la rama de pérdidas en el hierro-entrehierro a la derecha de la pérdidas en el cobre del estátor (esquema este más parecido a la realidad ya que las pérdidas en paralelo se producen fundamentalmente en el entrehierro de la máquina), la razón es que en esta máquina no son despreciables las pérdidas en el cobre del estátor en el ensayo en vacío. Y por tanto hemos de calcularlas y tenerlas en cuenta. No obstante aunque se ha pintado la reactancia de dispersión del primario, realmente su valor es muy inferior al del entrehierro por lo que su efecto si se puede despreciar.

A

W

A1 i1

Xcc1

Rcc1

A’2

+ eg

V

Xµ

B1

RFe

B’2

Figura 227. Esquema de conexión en el ensayo en vacío de un motor asíncrono.

317


Así las pérdidas medidas por el vatímetro [W ] son: [W ] = PFe + PCu1 + Pm. En donde PFe son la pérdidas en el hierro, PCu1 las pérdidas en el cobre del estátor y Pm las pérdidas mecánicas en el eje del rotor. El mecanismo para el cálculo de las pérdidas mecánicas consiste en realizar una curva de pérdidas en función de la tensión y extrapolar las pérdidas para tensión cero. Este valor coincidiría con el de las pérdidas mecánicas. Para nuestro curso se supondrán conocidas o despreciables. Ya hemos comentado como obtener la resistencia del cobre del estátor por lo que el método de cálculo de los parámetros será: Llamando W a la medida del vatímetro, V, a la del voltímetro e I, a la del amperímetro y Pm un valor conocido de las pérdidas mecánicas; sabemos que: • W = PFe + PCu1 + Pm • PCu1= R1 I 2 • PFe = W – PCu1 – Pm • PFe = V I cosϕ. S=VI

La potencia aparente:

La potencia reactiva consumida por la reactancia: Qµ = S2 − P 2 Los valores de RFe y Xµ serán:

RFe =

V2 PFe Ä

Xµ =

V2 Qµ

Obsérvese que suponemos nula la caída de tensión en la resistencia del cobre del estátor. Esto no es cierto pero la diferencia en porcentaje es muy pequeña por lo por simplicidad se elimina.

El lector no debe hacer esta suposición es ningún otra parte del curso excepto a la hora de calcular las secciones de los conductores.

318


13.7. CURVAS CARACTERÍSTICAS Nos referimos como curvas características básicamente a la curva que relaciona el par mecánico con el deslizamiento, dejando otras curvas como el diagrama circular para otros cursos. La ecuación que liga la potencia mecánica el eje [P] y el par motor [T], en función de la velocidad angular [ω] en rad/s, o la velocidad giro [n] o la de sincronismo en rpm [ns] es la siguiente:

T=

P P P = = 2π ω 2π n n (1 − s ) 60 60 S

Desarrollando esta expresión se obtiene la siguiente expresión del par en función de los parámetros eléctricos de la máquina:

T=

m1

R2' 2 V s 1

P = 2 2π   R2'  n 2π  2  n R + + X 60 cc  60 s  1 s   

(6.5.1)

En donde V1 es la tensión fase neutro de alimentación a la máquina y m1 el número de fases. Analizando la expresión (6.5.1) observamos que el par depende de los parámetros de la máquina, de la tensión de alimentación y del deslizamiento. Si se suponen los parámetros de la máquina constantes y la tensión de alimentación también, podemos calcular cual es el deslizamiento s que produce el par máximo. Este valor lo calcularemos derivando la expresión anterior en función del deslizamiento e igualando a cero. Las expresiones resultantes son, para el deslizamiento máximo:

smax =

R2' 2 R12 + X cc

(6.5.2)

y el par máximo Tmáx.

319


Tmax =

m1V12 2π 2  ns 2  R1 + R12 + X cc   60

(6.5.3)

Obsérvese que el deslizamiento para el que se produce el par máximo sólo depende de los parámetros internos de la máquina (la resistencia del rotor, la del estator y de las reactancias de dispersión), también el par máximo excepto de la tensión, no depende de ningún otro parámetro externo, en general es fijo para cada máquina4. En ocasiones es conveniente conocer la relación entre el par y la velocidad de giro del rotor. Una de estas curvas cuya expresión se conoce por la fórmula de Kloss relaciona los valores máximos con los valores del par y la velocidad en cualquier punto de la curva.

2(1 + as m ) T = s Tmax s + 2as m + m sm s siendo a =

(6.5.4)

R1 las relaciones de resistencias estátor/rotor. R2'

Esta ecuación tiene el aspecto de la figura 228.

Par Motor T

Tmáx

Sm s=1

Deslizamiento s

s=0

Figura 228. Curva par - velocidad de un motor asíncrono. 4

En los motores asíncronos de rotor bobinado hay una conexión externa del rotor por lo que en este caso se podría modificar la resistencia rotórica y por tanto el par máximo.

320


Esta curva para valores de s << sm (cerca de s = 0), la expresión (6.5.4) se reduce a:

2s T = m Tmáx s que es la expresión de una recta; para los casos en los que s >> sm (desde el arranque), la expresión (6.5.4) se reduce a:

2s T = m Tmáx s que es la ecuación de una hipérbola. Analizando con un poco más de detalle la curva observemos que en el arranque (s = 1) hay un par (llamado par de arranque Ta), superior a cero pero por debajo del par máximo. El valor de par de arranque lo podemos calcular de la expresión general 6.5.1 sustituyendo s por su valor: Así el par de arranque será:

Ta =

m1R2' V12 2π ns  Rcc 2 + X cc2  60

El funcionamiento del motor es como sigue: la carga conectada a motor tiene una característica propia par velocidad, que puede ser constante, en cargas tipo ascensores, grúas, montacargas, mecanismos de avance de máquinas, cintas transportadoras, o variables con la velocidad (en este caso normalmente aumentan de forma cuadrática), como son bombas centrífugas, ventiladores, hélices, ...). En la figura 229 hemos pintado tres tipos de curvas, dos variables con la velocidad (las denominadas (i) e (ii), y una constante con la velocidad (iii). Para que el motor funcione es necesario que en el momento del arranque el par motor sea mayor que el par de frenado. En los casos (i) y (ii) ocurre así, y por tanto la máquina arranca y se llega a un punto de equilibrio. En el caso (iii), el motor queda parado al no superar el par motor al par resistente. ATENCIÓN en este caso el motor se queda en CORTOCIRCUITO por lo que si

321


Par motor T

Zona de equilibrio inestable

Zona de equilibrio estable

Tmáx

(ii) (i)

(iii)

Ta

Sll

Sm Sl

s=1

s=0 Deslizamiento s

Figura 229. Curva par-velocidad de un motor asíncrono y tres cargas tipo.

se mantiene esta situación durante un cierto tiempo el MOTOR SE QUEMA Y SE DESTRUYE. NUNCA MANTENGA MÁS DE UNOS POCOS SEGUNDOS UN MOTOR CON EL ROTOR BLOQUEADO YA QUE SE DESTRUIRÁ EL MOTOR, E INCLUSO LA INSTALACIÓN. Ya veremos en los próximos capítulos como la

norma obliga a proteger tanto los motores como las instalaciones ante cortocircuitos (dentro de lo que está el bloqueo de un motor alimentado a tensión nominal). En los casos (i) y (ii), el motor arranca y se queda en donde par motor y par resistente se igualan. En nuestro caso se quedan en dos puntos de funcionamiento diferentes (i) se queda en la zona llamada de equilibrio estable, y (ii) en la zona de equilibrio inestable. En la «zona estable» el punto de equilibrio del par motor y del par resistente se encuentra situado en el tramo entre el desliza miento máximo y el sincronismo (o deslizamiento nulo). En esta parte de la curva un aumento inesperado del par resistente produce una disminución de la velocidad y, que conlleva, un aumento del par motor y por tanto se llega a una nueva situación de equilibrio. En esta misma zona si el par resistente disminuye, se produce un aumento de la velocidad y una disminución del par motor, por lo que se llega de nuevo a un punto de equilibrio. Por el contrario, como en el caso (ii), el par motor y el par resistente se juntan en la «zona de equilibrio inestable» situada entre el deslizamiento s = 1

322


(situación de parado) y el deslizamiento máximo. En esta zona se origina ante cualquier perturbación un aumento del par de freno se produce una disminución de la velocidad del motor, que hace disminuir el par, al ser menor el par motor que el par de freno, la velocidad disminuye pudiendo llegar a pararse la máquina y provocar nuevos arranques, en función del comportamiento dinámico de la carga. 13.8. BALANCE DE POTENCIAS En el caso del motor, no toda la energía que entra en él llega a utilizarse en el eje. Esta energía de pérdidas ya las hemos comentado al hacer el equivalente eléctrico de la máquina. Potencia de entrada [P] = Potencia útil en el eje [Pu] + pérdidas mecánicas (rozamiento y ventilación) [Pm] + pérdidas en el cobre del rotor [PCu2] + pérdidas en el entrehierro [PFe] + pérdidas en el cobre del estátor [PCu1]. El rendimiento del motor será:

η=

Pu P

13.9. ARRANQUE DE MOTORES DE INDUCCIÓN TRIFÁSICOS: ARRANQUE DIRECTO. ARRANQUE POR AUTOTRANSFORMADOR. ARRANQUE ESTRELLATRIÁNGULO. ARRANQUE MEDIANTE RESISTENCIAS ROTÓRICAS En la curva par-velocidad de la máquina de la figura 229, se observa como el par de arranque es muy inferior al par máximo. Esto hace que cargas como la indicada en la figura 229 como (iii), si bien podrían funcionar en régimen permanente y de modo estable con un motor con unas características iguales al de la figura 229 , no se pueden utilizar ya que no pueden ser arrancadas. Además, las corrientes producidas en los motores en el momento del arranque afectan no sólo a la instalación eléctrica propia, sino a la red, pudiendo producir, en el caso de grandes motores conectados a redes débiles, caídas de tensión inadmisibles para el resto de clientes conectados a la misma red local.

323


Dos son los problemas de arranque que se quieren solucionar: el bajo par de arranque y la alta corriente de cortocircuito. Para mejorar el par de arranque recordemos su expresión:

Ta =

m1R2' V12 2π n  R 2 + X cc2  60 s  cc

La forma de aumentar el par Ta se puede hacer bien aumentando el numerador: aumentando la resistencia rotórica R’2 o bien aumentando la tensión V1. Pero el aumento de tensión tiene la desventaja de que implicaría un aumento de la corriente de arranque, y el método de cambio de resistencias rotóricas, sólo se puede realizar si la máquina está preparada para ello. Uno de los tipos de rotores de las máquinas asíncronas son los llamados de rotor bobinado. Estos motores tienen el rotor bobinado y una conexión al exterior mediante anillos colectores. En este caso se pueden insertar resistencias exteriores en el rotor, de forma que se pueda obtener el par máximo en el momento del arranque. Si recordamos la expresión del deslizamiento para el máximo: s m =

R2' R12 + X cc2

vemos que si añadimos resistencias adi-

2 cionales Ra de forma que Ra + R2' = R12 + X cc , obtendremos el par máximo para s = 1.

También se puede intentar reducir la carga en el momento del arranque e ir aumentándola a medida que aumenta la velocidad. Aunque en máquinas pequeñas se utiliza el llamado arranque directo, que como su nombre indica consiste en conectar el motor a la red sin ambages. Los grandes motores precisan de métodos de control de la intensidad de arranque. Los más habituales son los siguientes: arranque por autotransformador5 y arranque estrella-triángulo. El primero consiste en alimentar la máquina a través de un autotransformador que va elevando la tensión desde un 70% de la nominal hasta la nominal. 5 Un autotransformador es un transformador en el que el secundario es parte del devanado del primario. Es estos no hay separación galvánica entre primario y secundario y su rendimiento es un poco peor. No obstante, su precio es muy inferior. Se utiliza mucho para transformadores de gran potencia en la red de transporte 400/220 kV o 400/132 kV.

324


El método de arranque mediante la conexión estrella triángulo _consiste en alimentar los devanados de la máquina, primero con una tensión √3 inferior a la nominal y luego con la nominal. Ello se consigue conectando las fases del estátor de la máquina primero en estrella y luego en triángulo.

13.10. EL MOTOR MONOFÁSICO El motor monofásico asíncrono se utiliza mucho en usos domésticos de pequeño potencia, y de potencias inferiores a 1kW (aunque pueda haber alguna aplicación específica un poco mayor). Esto motores son de jaula de ardilla y se consigue una especie de campo giratorio en el estátor. Su mayor problema es que el par de arranque es nulo, como se puse muestra en la figura 230. Para mejorar esta característica se utiliza el motor de fase partida, con arranque por condensador o con espira de sombra.

Par motor T

Motor de fase partida. Este tipo de motor dispone de dos bobinados separados entre si 90° eléctricos (recuerde que por cada par de polos hay 360° eléctricos). Uno de ellos, llamado principal, cubre los 2/3 del conjunto y tiene una gran reactancia y baja resistencia, mientras que el otro llamado secundario, y que ocupa el resto de las ranuras, se realiza con alta resistencia y baja reactancia. Con esta característica diferente se consigue obtener dos tensiones desfasadas para el momento del arranque, y por tanto que aparezca par en este momento. No obstante el devanado

Ta Velocidad (Deslizamiento s)

Figura 230. Curva par-velocidad de un motor asíncrono monofásico.

325


de alta resistencia ha de eliminarse lo más pronto posible ya que empeora el rendimiento de la máquina. Una forma habitual de hacerlo es cortocircuitándolo mediante un dispositivo centrífugo situado en el eje del motor. En el llamado arranque por condensador, en el devanado secundario del caso anterior se coloca un condensador en serie que mejora la diferencia angular y por tanto el par de arranque. En ocasiones se utiliza un condensador con el devanado auxiliar conectado durante todo el período. En este caso el devanado auxiliar presenta menor resistencia que en el caso de que se anule tras el arranque. La espira de sombra, aunque la hemos dejado para lo último, fue el primer método de arranque y se utiliza en máquinas asíncronas de pequeña potencia. En este caso se arrolla una espira en cortocircuito sobre una parte de los polos del estátor, por lo que se consigue un par de arranque.

13.11. DESCRIPCIÓN DE OTROS TIPOS DE MÁQUINAS ELÉCTRICAS Otros tipos de máquinas muy utilizadas en la actualidad son las máquinas síncronas y las de corriente continua, que se describieron ya en el tema 4. La característica principal de las máquinas síncronas es que su funcionamiento, si bien basa también en la obtención de un campo giratorio en el estátor, en este caso el rotor gira a la velocidad del campo magnético del estátor o velocidad de sincronismo. Para su funcionamiento necesitan un campo constante en el rotor, y el campo magnético giratorio en el entrehierro. Para conseguir el campo del rotor, o bien se realiza con imanes permanentes (para máquinas de pequeña potencia), o bien se instalan unos devanados en corriente continua, alimentado el rotor mediante un sistema de anillos colectores conectados al exterior. Este tipo de máquina se utiliza como generador de electricidad, o en aquellas aplicaciones en los que se precisa una la velocidad constante en cualquier punto de funcionamiento (con cualquier carga). Estas máquinas son más caras, normalmente, que las asíncronas. Por último las máquinas de corriente continua, aunque fueron las primeras en se utilizadas sólo se usan en la actualidad para aplicaciones muy específicas.

326


Xcc

ia

Rcc

+ eg

Figura 231. Equivalente del motor en el momento del arranque.

Ejemplo. El circuito equivalente de un motor de inducción trifásico de 4 polos conectado en estrella, presenta los siguiente valores: R1= R’2= 0,85 Ω y Xcc= 5 Ω, si la red tiene una tensión de 380 V, 50 Hz, Calcule, despreciando la rama en paralelo, la corriente de arranque y la de plena carga, si el deslizamiento en este último régimen es del 0,04. En la figura 232 hemos dibujado el circuito equivalente del motor asíncrono en donde Rcc = R1 + R’2= 1,7 Ω. La resistencia R = R’2= 0,85 Ω. La corriente de arranque se produce en el momento en el que el deslizamiento es igual a la unidad por tanto el rotor está cortocircuitado. La intensidad en módulo:

Ia =

380

X cc2 + Rcc2

= 71, 95 A

La intensidad, en módulo a plena carga es:

380

In =

2 cc

X + (Rcc + 24R2' )2 i

Xcc

= 16, 771 A

Rcc

+ eg

24R’2

Figura 232. Esquema equivalente del motor a plena carga.

327


Ejemplo. Sea un motor asíncrono trifásico en estrella con neutro accesible de 2 kW, y 380 V (tensión de línea) de rotor de jaula de ardilla con los siguientes valores de sus parámetros por fase reducidos al estator: R1= 0,3 Ω; R’2= 0,2 Ω; X1= 0,2 Ω; X ’2= 0,2, se desprecian los valores de la rama en paralelo. De termine los valores de los diferentes aparatos en el ensayo en cortocircuito, sabiendo que se hace a intensidad nominal. El diagrama equivalente fase-neutro del motor, para el ensayo en cortocircuito se muestra en la figura 233: El ensayo se realiza con el motor trabado de forma que el deslizamiento s sea 1, y se cortocircuite la resistencia equivalente de la energía mecánica transferida. Para realizar el ensayo se alimenta el motor con una fuente de tensión variable y se aumenta hasta llegar a la intensidad nominal del motor. Los valores de Xcc = (0,2 + 0,2) Ω = 0,4 Ω ; Rcc = 0,3 + 0,2 Ω = 0,5 Ω _ Como la potencia total trifásica consumida _ por el motor es: P = √3 UL IL, la intensidad nominal del motor es IL = P/ √3 UL = 3,04 A. Por tanto; • La medida de potencia del vatímetro será: 0,5 IL2 = 4,6 W. • La medida del amperímetro: IL = 3,04 A. • La impedancia total vista desde la fuente:

Zcc = X cc2 + Rcc2 = 0, 42 + 0, 52 . • La tensión del voltímetro ucc = IL Zcc = 1,95 V.

Xcc A

s=1 R = 0Ω 1 – 1) R(— s

V

Figura 233.

328

i

W

+ ucc

Rcc


Ejercicio XIII-1. Un motor asíncrono con rotor en jaula de ardilla de 220/380 V, 50 Hz, 10 polos tiene los siguientes parámetros en su circuito equivalente por fase: R1= 0,5 Ω; R’2= 0,8 Ω; X1= 3 Ω; X ’2= 3,5 Ω, se desprecian los valores de la rama en paralelo y las pérdidas mecánicas, calcule la corriente de arranque de la máquina. Si el deslizamiento a plena carga es del 4% calcula la corriente absorbida, la potencia y el par desarrollado, la potencia absorbida de la red y el rendimiento. El esquema equivalente del motor sin pérdidas en el entrehierro: A1

Xcc1

i1

Rcc1

R’cc2

X’cc2

i’2

A’2 1 – 1) R’cc2(— s

B1

B2

En este esquema los valores de Rcc1= 0,5 Ω; R’cc2= 0,8 Ω; Xcc1= 1,5 Ω; X ’cc2= 1,5 Ω. Lo podremos resumir al siguiente esquema:

A1

I1

j3Ω

1,3Ω A’2

1 – 1) 0,8(— s U1

B1

B’2

La intensidad de arranque se producirá en el momento que s =1 (el rotor está parado), por lo cual la resistencia equivalente a la energía mecánica será nula (es un cortocircuito)

329


Ia

A1

j3Ω

1,3Ω A’2

U1

B1

B’2

Por tanto la intensidad de arranque se calculará de forma sencilla (aplicando mallas): U1 = (1,3 + j3) Ia Ia = 220/(1,3 + j3) = 67,29 /–66,57 A La velocidad de sincronismo de la máquina es ns =

60 f , y por tanto, p

en nuestro caso: ns = 60 × 50/5 = 600 rpm (revoluciones por minuto). La velocidad de la máquina a plena carga = 600 × (1 – 0,04) = 576 rpm. La resistencia equivalente al par mecánico =

 1 1   – 1 = 19, 2 Ω R ′ cc 2 =  – 1 = 0,8  2   0, 04 

A1

I1

j3Ω

1,3Ω A’2

19,2Ω U1

B1

330

B’2


Por tanto, a plena carga la intensidad que circula por la máquina será, aplicando mallas: U1 = (1,3 + 19,2 + j3) I1 I1 = 220/(20,5 + j3) = 10,62 /–8,32 A La potencia mecánica que pasa al eje monofásica (ya que no hay pérdidas mecánicas será: PMn = 19,2 I12 = 2165,45 W Como la máquina es trifásica la potencia en el eje será PMn = 3 PMn = 6496,38 W. El par motor en el eje será:

T=

6496, 38 P P = = = 35, 9 Nm 2π ω 2π 576 n 60 60

La potencia absorbida por la red será la potencia mecánica en el eje más las pérdidas en la máquina, las pérdidas totales en la máquina (trifásicas) serán: PR = 3 RccI12 = 3 1,3 10,622 = 439,86 W Así que el rendimiento será: η = 6496,38/(6496,38 + 439,86) = 0,9366 o en % el rendimiento es del 93,66%. Ejercicio XIII-2. El circuito equivalente de un motor de inducción monofásico de 4 polos conectado en estrella, presenta los siguientes valores: R1 = R′2 = 0,85 Ω y Xcc = 5 Ω, si la red tiene una tensión de 380 V, 50 Hz, calcule la corriente de arranque y la de plena carga, si el deslizamiento en este último regimen es del 0,04. Calcule además el par de arranque y el par máximo y el par a plena carga. El circuito equivalente se aprecia en la siguiente figura.

331


j5Ω

I1

A1

1,7Ω A’2

1 – 1) 0,85(— s U1

B1

B’2

Para calcular la intensidad de arranque hacemos cero la resistencia del par mecánico, y resolvemos: U1 = (1,7 + j5) Ia Ia = 380/(1,7 + j5) = 71,955 /–71,22 A A plena carga la resistencia equivalente del par mecánico será:

1   1  – 1 = 20, 4 Ω R ′ cc2  – 1 = 0, 85  s   0, 04  Con esta resistencia la intensidad a plena carga será: U1 = (1,7 + 20,4 + j5) I1 I1 = 380/(22,1 + j5) = 17,65 /–12,75 A La velocidad de sincronismo es: ns =

60 f , y por tanto, en nuestro caso: p

ns = 60 × 50/2 = 1500 rpm (revoluciones por minuto). El par de arranque sólo depende de los parámetros del motor será (como es monofásico m1 = 1):

Ta =

332

m1R ′ 2 V12 2π 2  n  R 2 + X cc  60 s  cc

=

0,85 × 3802 2π × 1500 × 1, 72 + 52  60

= 28, 02 Nm


El deslizamiento del par máximo es:

sm =

R′2

=

2 R12 + X cc

0, 85 1, 72 + 52

= 0,161

El par máximo que sólo depende de los parámetros del motor será:

Tmáx =

m1V12 2π 2  ns 2  R1 + R12 + X cc    60

=

1 × 380 2 2π 1500 × 2 1, 7 + 1, 72 + 52    60

= 65, 84 Nm

La velocidad de la máquina a plena carga: 1500 × (1 – 0,04) = 1440 rpm. La potencia mecánica que pasa al eje (ya que no hay pérdidas mecánicas) sera: PMn = 20,4 I12 = 6355,059 W Y el par motor en el eje a plena carga será:

T=

6355, 059 P P = = = 42,14 Nm 2π ω 2π 1440 n 60 60

333

TEMA 14

PROTECCIONES ELÉCTRICAS EN LAS INSTALACIONES DE BAJA TENSIÓN

14.1. Introducción 14.2. Generalidades 14.3. Elementos con función de mando y maniobra a) Interruptores b) Contactor c) Disyuntores o interruptor de corte automático d) Seccionador 14.4. Elementos de protección a) Fusibles b) Relé y disparador 14.5. Tipos de distribución del neutro a) Neutro a Tierra sistema TT b) Puesta a tierra esquemas TN c) Neutro aislado. Sistema IT 14.6. Protección contra contactos directos 14.7. Protección contra contactos indirectos

14.1. INTRODUCCIÓN En estos apuntes se ofrece una visión de los elementos y de las partes que componen una instalación eléctrica de baja tensión. Todas las definiciones aquí recogidas y la terminología utilizada se encuentra en los reglamentos y en las normas de aplicación promulgadas por los distintos organismos competentes y, muy especialmente, en el «Reglamento Electrotécnico para Baja Tensión» (a partir de ahora le llamaremos por sus siglas RBT) del Ministerio de

335


Industria, Turismo y Comercio (Real Decreto 842/2002 de 2 de agosto publicado en el boletín oficial del estado número 224 de 18 de septiembre de 2002). El bloque está formado por el reglamento técnico para baja tensión y las instrucciones técnicas complementarias (a partir de ahora ITC) que desarrollan las distintas partes del reglamento. Además, para apoyar la aplicación práctica del reglamento, el ministerio ha publicado la guía técnica de aplicación del reglamento para baja tensión. En este curso nos dedicaremos en especial, a las instalaciones de baja tensión de uso industrial que podrá servir para la realización del proyecto eléctrico de una pequeña instalación. Como especifica el RBT en su artículo 1 su finalidad es la de preservar la seguridad de las personas y los bienes, así como asegurar el buen funcionamiento de dichas instalaciones y prevenir las perturbaciones en otras instalaciones y servicios. Además con su aplicación se contribuye a la fiabilidad técnica y a la eficiencia económica de las instalaciones. En este capítulo nos dedicaremos a la descripción de los elementos básicos que forman la instalación eléctrica, los elementos de protección, dejaremos para el próximo capítulo la descripción de la instalación en su conjunto.

14.2. GENERALIDADES Toda instalación eléctrica ha tener un sistema de regulación, mando, control y protección tanto de las instalaciones como de los usuarios. Es por ello que el RBT incluye una serie de normativa a cumplir, y se definen en los artículos 15, 16, 17 y 18, y en las correspondientes ITC que lo desarrolla. La función de mando, o de maniobra, consiste en la puesta en servicio o fuera de servicio de un aparato para su utilización o de una parte de una instalación. Esta función se realiza bien manualmente, mediante unos aparatos llamados interruptores o conmutadores (por ejemplo un interruptor de la luz), o bien a distancia, con ayuda de los llamados contactores que accionarán a su vez a los interruptores (por ejemplo el elemento que se aprieta para apagar un ordenador). La función de protección consiste en evitar poner en peligro o dañar a las personas que utilizan la instalación eléctrica y a los equipos que están conectados a ella. Se distinguen tres tipos de funciones de protección:

336


• Función de corte de urgencia. Así se llama a la protección contra las sobreintensidades (sobrecargas y cortocircuitos). Las protecciones contra las sobreintensidades tienen por objeto evitar que un aumento anormal de la corriente que recorre un conductor o un aparato, se caliente en exceso y pueda deteriorarse el aislamiento del conductor o los circuitos internos del aparato. Para el cálculo de los elementos necesarios para realizar la función de corte de urgencia y proteger una instalación o un elemento, se distingue generalmente entre: — Los cortocircuitos, con valores de intensidad de corriente muy elevados de varias veces la intensidad máxima del elemento, que resultan de contactos de impedancia despreciable entre conductores activos a potenciales diferentes. La sobreintensidad producida por el cortocircuito ha de eliminarse los más rápidamente posible ya que los calentamientos que produce en los cables puede llegar a dañar de forma perenne tanto el aislamiento como el sistema de chapas que forman los circuitos magnéticos. — Las sobrecargas, resultantes del aumento de la carga de los motores o de la conexión de nuevos consumidores adicionales sobre una línea. Con valores superiores a los conocidos como valores nominales o máximos de las instalación en unas decenas por encima del 100%, y aunque no tan rápidamente como los cortocircuitos, las sobrecargas han de ser eliminadas en un tiempo corto. El calentamiento producido por una sobrecarga es lento por lo que el aparato eléctrico puede funcionar sin temor a ser dañado durante un cierto tiempo. Este tiempo dependerá básicamente del nivel de sobrecarga y del tipo de aparato que sufre la sobrecarga. Un ejemplo de sobrecargas habituales en los motores son las corrientes de arranque, que en condiciones normales, disminuyen muy rápidamente y además, obviamente, los motores están diseñados para aguantarlas. No obstante, en el caso de que duren más de lo previsto (por ejemplo si el rotor está trabado) pueden dañar el aislamiento y, en este caso, es necesario desconectar el motor de su alimentación... Por tanto, se han de seleccionar los elementos de protección de forma que admitan un determinado nivel de sobrecarga, pero sólo durante un cierto tiempo. Esto se consigue normalmente retardando el tiempo de actuación

337


• Función de protección contra contactos directos o indirectos. Estas protecciones tienen por objeto evitar el choque eléctrico que se produciría al entrar en contacto una persona con una masa (parte metálica de un aparato que, en condiciones normales, está aislada de las partes activas) puesta accidentalmente bajo tensión. • Y la función de protección contra sobretensiones transitorias, que son aparatos de protección de la instalación contra sobretensiones de gran magnitud (como las producidas por el impacto de un rayo en el sistema eléctrico) que se transmiten por la red de distribución. Estos impulsos se deben fundamentalmente a la caída de rayos en las líneas eléctricas o en sus proximidades, induciendo pulsos de tensión en las redes de distribución de amplitud elevada (de 2 a 8 kV) y pequeña duración (1,2 ms de subida y 50 ms de bajada), pero con energía suficiente para destruir circuitos electrónicos y afectar a los aislamientos eléctricos. Aunque hemos separado en nuestra clasificación las funciones de protección y mando, no siempre las ejecutan elementos diferentes, es decir, para aislar del exterior nuestra casa (y dar un apagón en nuestro hogar) lo podremos hacer activando el llamado Interruptor de Control de Potencia (IPC), cuya misión básica no es la de mando. Siguiendo este criterio analizaremos los elementos según para lo que se utilice, así veremos los elementos de protección con función de mando y maniobra (por ejemplo el ICP), los elementos de protección con función sólo de protección (por ejemplo los característicos fusibles), y terminaremos analizando cómo se puede hacer para la proteger una instalación contra contactos directos e indirectos —realmente para protegernos de un contacto con un elemento a tensión. Veremos en el siguiente capítulo cómo se instalan y dónde se instalan estos elementos de protección pero antes de comenzar a analizar cómo funcionan los elementos recordemos que el sistema de alimentación general es trifásico, que en general se dispone de corriente trifásica a la entrada del domicilio, taller... La alimentación a cada centro de consumo vivienda, o comercio... se realiza normalmente en corriente monofásica a no ser que la potencia instalada supere los 14.500 vatios, en cuyo caso la alimentación deberá realizarse obligatoriamente en corriente trifásica. En todos los casos una vez dentro de la instalación los circuitos individuales que necesiten corriente monofásica se alimentarán entre fase y neutro.

338


14.3. ELEMENTOS CON FUNCIÓN DE MANDO Y MANIOBRA Son elementos de protección con función de mando y maniobra, los interruptores, los disyuntores o interruptores automáticos de corte, los contactores, y los seccionadores. a) Interruptores El interruptor es un aparato mecánico de mando manual directo, capaz de establecer, de soportar y de interrumpir la intensidad de corriente asignada, en las condiciones normales del circuito, y cumplir eventualmente las condiciones específicas de sobrecarga en servicio y cortocircuito. Según el número de polos (conductores activos) que contiene se habla de interruptores (ver figura 234): • unipolares (abren o cierran una fase), • bipolares (abren o cierran dos fases, normalmente una fase y el neutro), • tripolares (abren o cierran las tres fases) y • tetrapolares (abren o cierran las tres fases y el neutro). Cuando el interruptor abre todos los conductores activos (fases y neutro) de una instalación se dice que el corte es omnipolar. Unipolar

Bipolar

Tripolar

Tetrapolar

Figura 234. Esquema básico de un Interruptor de cuchilla.

339


Los interruptores de los aparatos o de los circuitos de distribución de baja tensión alimentados en corriente monofásica son en la mayoría de los casos unipolares (por ejemplo, el caso de pequeños interruptores que cortan el suministro de un pequeño motor o los interruptores de la luz en las viviendas). En estos casos es necesario colocar el interruptor sobre el conductor de la fase, ya que si se coloca sobre el hilo del neutro puede haber en el aparato una tensión con respecto a tierra que de lugar a una corriente que circule a través del cuerpo humano en caso de contacto. Un interruptor viene caracterizado por la tensión nominal, por la intensidad nominal de trabajo, y por el poder de cortocircuito. El poder de cortocircuito es el valor de la intensidad de cortocircuito que puede interrumpir sin deterioro de cualquiera de sus partes. Los interruptores que además tienen como función la separación de circuitos con fines de garantizar el aislamiento efectivo del circuito separado se conocen con el nombre de interruptores-seccionadores y deben cortar todas las fases, incluyendo el neutro en algún tipo de instalaciones y deben ser conformes a la norma UNE-EN 60947-3. b) Contactor El contactor es un aparato mecánico de conexión y desconexión eléctrica que tiene una función idéntica a la de un interruptor: capaz de establecer, soportar e interrumpir corrientes en condiciones normales del circuito, incluso las de sobrecarga, pero a diferencia de los interruptores, está accionado por cualquier forma de energía, menos manual, y sus elementos móviles de contacto están mantenidos contra los elementos fijos o separado de ellos por la acción de un circuito magnético. El contactor tiene una posición mecánica de reposo, que corresponde a la que tienen sus contactos cuando el circuito de la bobina está abierto y la bobina, por lo tanto, sin tensión. En la figura 236 se muestran los dos tipos de contactores en posición normal cerrado a) y en posición normal abierto b). En la figura 235 se muestra esquemáticamente cómo está constituido. Cuando la bobina se pone en tensión (circula intensidad por ella), se produce una fuerza en el circuito magnético que lo hace desplazarse para cerrarlo y anular el entrehierro, el contactor cambia la posición (en el caso de la figura 235 se cierra) de sus contactos respecto a la de reposo; cuando se inte-

340


Bobina para cambiar posición del contacto móvil (y mantenerla en esa nueva posición)

A

Circuito magnético Contacto parte móvil

B

Parte fija del contacto

Figura 235. Esquema básico de un contactor.

rrumpe la corriente en la bobina, el circuito magnético se abre y el contactor vuelve a la posición de reposo, ya sea de cierre o de apertura. Este elemento permite realizar la función de mando a distancia, manual o automáticamente, según se actúe sobre el circuito de la bobina. Mecánicamente los contactores están construidos para efectuar un número de maniobras muy grande. Su poder de corte y de cierre es muy elevado, normalmente 10 veces su intensidad asignada, lo que le permite absorber, por ejemplo, la punta de arranque de un motor asíncrono. Contacto parte móvil Contacto parte fija

a

b

Figura 236. Tipos de contactores.

c) Disyuntores o interruptor de corte automático El disyuntor o interruptor de corte automático, es un aparato de mando, generalmente manual. Se utiliza principalmente para controlar los circuitos principales de una instalación eléctrica, y no para el mando de una máquina de uso intensivo.

341


Figura 236. Disyuntor.

En reposo, los contactos móviles están separados de los contactos fijos. El accionamiento de un pulsador o de una palanca provoca el cierre de los contactos al mismo tiempo que la deformación de un resorte que permanece comprimido mientras dura el cierre de los contactos del aparato. La apertura de los contactos se provoca por el accionamiento de una bieleta, que libera bruscamente la energía almacenada en el resorte, produciendo la separación rápida de los contactos. Esta rapidez de apertura, que no se produce en los contactores, confiere a estos aparatos un poder de corte mucho más elevado que el de los contactores. De este tipo son los generales de una vivienda, en donde manualmente se cierran y se abren apretando un pulsador, o se utiliza la propia palanca para cerrar. d) Seccionador El seccionador permite poner fuera de tensión la instalación, o una parte de la misma, para realizar trabajos de reparación en ella. A esta funcionalidad se la denomina función de seccionamiento y consiste en la puesta fuera de tensión de todos los elementos activos. A diferencia del interruptor, el seccionador no tiene poder de corte, es decir, no debe ser maniobrado en carga (esto es, cuando circula corriente) ya que no puede interrumpir la corriente que lo atraviesa. Solo se utilizan seccionadores sin otra función en sistemas a tensiones elevadas. No se utilizan en las viviendas o instalaciones de pequeño tamaño, en estos casos su función va unida a la del interruptor.

342


14.4. ELEMENTOS DE PROTECCIÓN a) Fusibles Estos aparatos son los encargados de vigilar la magnitud de las corrientes que circulan por los equipos o instalaciones que protegen y de hacer funcionar una alarma o provocar la apertura del circuito en caso de defecto. El fusible más común , y del que deriva su nombre, abre , por fusión de uno o varios de sus elementos fusibles colocados y calibrados para este efecto, el circuito o los circuitos donde ha sido insertado, cuando la corriente que lo atraviesa supera un valor determinado, durante un tiempo también determinado.

Figura 237. Fusibles.

Se distinguen dos tipos de fusibles: los de uso industrial, que tienen un alto poder de corte (superior a los 50.000 A) y los de uso doméstico, de menor poder de corte y de acción rápida por lo que protegen a la vez contra sobrecargas y contra cortocircuitos Ciertos fusibles sometidos a intensidades del orden de 10 veces su intensidad asignada pueden asegurar la protección contra los cortocircuitos teniendo en cuenta su rapidez de funcionamiento. Los fusibles pueden estar combinados con seccionadores y deben ser conformes a la serie de normas UNE-EN 60269 o con interruptores siendo entonces conformes a la norma UNE-EN 60947-3. b) Relé y disparador Estos aparatos son los encargados de vigilar la magnitud de las corrientes que circulan por los equipos o instalaciones que protegen, son la «inteligencia de los circuitos de protección» y su misión es la de dar una orden (bien de apertura, cierre, alarma o señalización) y no la de efectuarla (para eso estar los interruptores).

343


La diferencia entre el relé y el disparador radica en la forma en la que actúa sobre el dispositivo de salida. Así, el disparador actúa mecánicamente sobre los aparatos de interrupción de la corriente a los que está asociado (interruptores automáticos y contactores). Por el contrario, el relé actúa eléctricamente sobre el circuito de mando del aparato encargado de interrumpir la corriente anormal. Los principales relés de protección o de disparo son: los relés o disparadores térmicos, los relés o disparadores electromagnéticos, los relés o disparadores magnetotérmicos y los relés o disparadores diferenciales. En el caso del disparador térmico, su funcionamiento se basa en la propiedad de una bilámina formada por dos láminas de metales diferentes con coeficientes de dilatación también diferentes. El paso de la corriente calienta esta bilámina, por efecto Joule (aunque para el caso de fuertes intensidades, sólo está recorrida por una corriente proporcional de unos pocos amperios) (figura 238a). Cuando la intensidad de corriente es superior al valor de reglaje, la bilámina se deforma y actúa sobre el sistema de disparo (figura 238b). a)

b)

Contactor Contactor

Disparador térmico

Figura 238 Funcionamiento del disparador térmico.

Este tipo de disparador a causa de su inercia, tiene una acción lenta de tiempo inverso, asegura la protección contra las sobrecargas. El disparador electromagnético está constituido por un electroimán con una pieza móvil. Un aumento brusco de la corriente que recorre las bobinas del relé da lugar al desplazamiento de la pieza móvil, provocando su actuación. Esta forma de funcionamiento hace que el dispositivo de disparo sea accionado cuando la intensidad sobrepasa el valor de reglaje. Este tipo de relé actúa instantáneamente.

344


Superficie fija Muelle A

Circuito magnético Bobina

Disparador electromagnético

A

B B

Contactor

Figura 239. Funcionamiento del disparador electromecánico.

En la figura 239 se muestra un dispositivo en el que el valor de reglaje se realiza mediante la presión de un muelle. Cuando la fuerza originada en el entrehierro es superior a la del muelle, este cede y el núcleo se cierra produciendo en este caso una apertura del contactor. Se denomina relé o disparador magnetotérmico al elemento que está constituido por la asociación de un relé electromagnético y de un disparador térmico. Su acción es a la vez instantánea y diferenciada, y su protección es completa contra las sobreintensidades (cortocircuitos y sobrecargas). El funcionamiento del dispositivo diferencial residual (o diferencial) se basa en el hecho de que en un circuito sin defecto a tierra, la suma vectorial de las corrientes de los conductores activos es nula. En la figura 240, si las intensidades i1 = i2 significa que no hay ningún defecto en la instalación, En estas circunstancias no hay variación de flujo en toro magnético, y no se circula intensidad a través del circuito interno. En esta situación, los contactos del dispositivo de corte (contactor en el caso de la figura 240) están cerrados y, por lo tanto, la instalación o el aparato que protege el relé diferencial en tensión. Cuando aparece una corriente de defecto, es decir, al ponerse en contacto un conductor activo con un elemento (masa, persona, etc.), se establece y cierra un circuito a través de tierra (bien a través del hilo de tierra bien directamente) en este caso i1 苷 i2 (ya que parte de la intensidad se cierra a través del nuevo circuito. Ahora se produce en el toro magnético un campo proporcional a la diferencia de intensidades. Este campo produce una tensión en la bobina arrollada al toro que hace circular una intensidad entre los pun-

345


Diferencial

Elemento que actúa sobre el contactor A

B Instalación eléctrica

i1

i2

Toro magnético detector de diferencia de corriente

Contactor

Figura 240.

tos A y B de la figura 240. Esta corriente hace actuar el relé que acciona al dispositivo de corte y se abre el circuito (se produce la apertura de los contactos del circuito). Obsérvese que en este caso y según dice la normativa hemos puesto un contactor bipolar. Un relé diferencial está regulado para funcionar a partir de un cierto valor de la corriente de defecto. Se define así la corriente diferencial nominal residual de desconexión, llamada también sensibilidad del relé, como aquel valor de la corriente derivada a tierra a partir del cual se produce la desconexión de la instalación. Esta desconexión será tanto más rápida cuanto mayor sea el valor de la corriente derivada. Los interruptores diferenciales (conjunto, en un mismo aparato, formado por un relé diferencial que actúa sobre un interruptor) pueden incorporar también dispositivos de protección contra sobreintensidades conforme a lo establecido en la norma UNE-EN 61009. 14.5. TIPOS DE DISTRIBUCIÓN DEL NEUTRO Antes de comenzar con el análisis de la protección contra contactos directo e indirectos vamos a analizar las formas posibles en la que se conecta el sistema de neutro de la alimentación a tierra y como se conectan las masas de los elementos.

346


Conductor de fase o neutro

Conexión de puesta a tierra

Conductor de fase o neutro

Figura 241.

En todo caso es necesario recordar que el sistema de neutro de la alimentación es diferente del sistema de puesta a tierra de los aparatos receptores y no se deben confundir ambos conceptos, aunque en ocasiones nos refiramos al mismo cable. En la figura 241 se muestra una toma de corriente normal (de hasta 20 A) en donde se indican la posición de los hilos de fase y neutro (que son intercambiables) y la de masa o tierra de los aparatos receptores conectados a ella. En las instalaciones de baja tensión habituales, el tipo de distribución de neutro (o la forma en la que se conecta el neutro a tierra), se designa por dos letras mayúsculas, la primera indica el tipo de unión del neutro a tierra y la segunda la unión de las distintas masas de los equipos a tierra. En la tabla 14.1 se describen las diferentes posibilidades. Tabla 14.1 Tipos de conexión a tierra. Primera letra: Conexión del neutro de la alimentación.

Segunda letra: Conexión de las masas de los equipos.

T

Conexión directa del punto neutro a tierra.

T

Conexión de las masas a tierra.

I

Ausencia de conexión del neutro a tierra, o unión por medio de una impedancia de elevado valor.

N

Conexión de las masas al neutro, que a su vez está puesto a tierra.

Las posibilidades pueden ser tres TT, TN o IT, ya que N exige que el neutro de la alimentación esté a tierra por lo que no puede ser IN.

347


a) Neutro a Tierra sistema TT Es el sistema de distribución de neutro que obligatoriamente tienen las redes de distribución pública, por imposición del Reglamento de Baja Tensión. Por lo tanto toda instalación conectada a un transformador de la compañía de distribución ha de tener esta configuración. Sólo en el caso de que el transformador de BT sea propio y no se comparta con ningún otro usuario, se pueden utilizar otros medios de distribución de neutro. El esquema de este tipo de conexión se muestra en la figura 242; en él se observa cómo las masas de los equipos están conectadas mediante un conductor de protección (CP) y unidas a tierra en un punto diferente a la toma de tierra del neutro. En este caso, todas las masas de los equipos eléctricos protegidos por un mismo dispositivo de protección. Si varios dispositivos de protección van montados en serie, esta prescripción se aplica por separado a las masas protegidas por cada dispositivo. En este esquema se pueden utilizar: bien dispositivos de protección de corriente diferencial-residual; o bien dispositivos de protección de máxima corriente, tales como fusibles o interruptores automáticos (éstos sólo se pueden utilizar si el valor de la resistencia RA tiene un valor muy bajo). En caso de utilización de interruptores diferenciales comerciales, estos tienen diferentes corrientes de defecto de disparo (30 mA, 100 mA, 300 mA...). Teniendo en cuenta que en el peor de los casos la corriente de disparo del dispositivo no puede nunca provocar tensiones superiores a los 50 V (o menores depen-

Conductores de fase Conductor de neutro CP Lado transformador

Lado aparato receptor

Figura 242. Sistema de puesta a tierra TT.

348


diendo del tipo de instalación), para calcular la corriente de disparo se utiliza la expresión: RA × Ia ≤ U En donde RA es la suma de las resistencias de la toma de tierra y de los conductores de protección de las masas; Ia es la corriente que asegura el funcionamiento del dispositivo y U es la tensión de contacto límite convencional (50, 24 V u otras según los casos) No debe confundirse la corriente admisible (25 A, 32 A, 40 A...) con la corriente residual. La corriente admisible indica el valor máximo de corriente que puede circular por el interruptor sin que se dañe por sobrecalentamiento o por la capacidad de corte. b) Puesta a tierra esquemas TN Este es el caso de una instalación en donde además de que el punto neutro de la instalación esté directamente unido a tierra, las masas de los equipos están unidas mediante los llamados conductores de protección que a su vez están unidos a la tierra del punto neutro. Correspondiendo a esta definición hay dos tipos de unión del cable de protección a tierra, la primera mediante el sistema llamado TN-S, representado en la figura 243a, en donde el conductor de neutro y el de protección (llamado CP) son diferentes y por tanto tenemos, en sistemas trifásicos: 3 + 1 + 1 = 5 cables; y en sistemas monofásicos: 1 + 1 + 1 = 3 cables. La segunda forma es la llamada TN-C, y cuyo esquema se representa en la figura 243b, aquí las dos funcio-

Conductores de fase Conductor de neutro CP

Lado transformador

Conductor de puesta a tierra


Figura 243a. Sistema de puesta a tierra TN-S.

349


nes las hace un sólo conductor que es de neutro y protección (se denomina CPN). Ahora el número de de cables es: en sistemas trifásicos: 3 + 1 = 4 cables; y en sistemas monofásicos: 1 + 1 = 2 cables. En esta configuración el conductor CPN ha de estar unido a tierra en numerosos puntos.

Conductores de fase CPN

Lado transformador

Conductor de neutro y de puesta a tierra


Figura 243b. Sistema de puesta a tierra TN-C.

Cuando en disposiciones TN ocurre un defecto de fase a tierra (un defecto de aislamiento), se producen corrientes muy elevadas debido a que la impedancia de cierre de bucle es muy pequeña (menor que en el caso anterior) al estar el cable de protección conectado directamente al neutro de la instalación. Por tanto los dispositivos de protección han de ser interruptores magnetotérmicos, aunque en los sistemas TN-S pueden utilizarse también dispositivos de corte por corriente diferencial residual. En todo caso se deben elegir de manera que, si se produce un cortocircuito entre un conductor de fase y uno de protección o una masa, el tiempo de corte automático sea igual a lo especificado en la tabla 14.2 y se cumpla la condición siguiente: Zs × Ia ≤ U0 En donde Zs es la impedancia del bucle de defecto; Ia es la corriente que asegura el funcionamiento del dispositivo y U0 es la tensión nominal entre fase y tierra, en valor eficaz para corriente alterna. ATENCION: Cuando el conductor neutro y el conductor de protección sean comunes no podrán utilizarse dispositivos de protección de corriente diferencial-residual.

Se pueden combinar en una misma instalación ambos tipos de puesta a tierra.

350


Tabla 14.2 Tiempos máximos de corte. U0 (V)

Tiempos de interrupción (s)

230

0,4

400

0,2

> 400

0,1

c) Neutro aislado. Sistema IT En este tipo de instalaciones la alimentación está asilada de tierra mediante una impedancia, como se muestra en la figura 244. En todo caso la masa de los receptores está conectada y unida a una misma puesta a tierra. En este tipo de esquema se recomienda no distribuir el neutro. En cuanto a la impedancia de bucle de este tipo de instalación no será muy elevada en el primer fallo de aislamiento (no así en le segundo), y por tanto la intensidad de defecto será muy baja. De nuevo se aplica la ecuación siguiente para determinar la intensidad de actuación de la protección RA × Ia ≤ U En donde RA es la suma de las resistencias de la toma de tierra y de los conductores de protección de las masas; Ia es la corriente que asegura el funcionamiento del dispositivo y U es la tensión de contacto límite convencional (50 V, 24 V u otras según los casos).

Conductores de fase

CP Lado transformador


Figura 244. Sistema IT.

351


La desconexión de un primer defecto será obligatoria si se puede alcanzar con la intensidad de defecto Ia que hace igualar la tensión a 50 V (o el resto SEGÚN LOS CASOS). No obstante, si no se llegase al valor límite, la instalación podría seguir funcionando en condiciones normales con este primer defecto. En caso de producirse un segundo defecto la intensidad implicada sería mayor, ya que un hilo de fase actuaría como cable de neutro. De producirse un primer defecto sería necesario disponer de un sistema de señalización de primer defecto, llamado «Controlador Permanente de Aislamiento», y que se coloca entre el neutro del transformador y el conducto de protección de la instalación. La protección ante segundos defectos la proporciona los dispositivos de protección contra cortocircuitos, siempre que todas las masas del circuito estén conectadas al mismo conducto de protección CP. En caso contrario habría que utilizar interruptores de corriente diferencial residual para el corte.

14.6. PROTECCIÓN CONTRA CONTACTOS DIRECTOS La protección contra contactos directos consiste en tomar las medidas destinadas a proteger las personas contra los peligros que pueden derivarse de un contacto con las partes activas de los materiales eléctricos. La norma UNE 20.460-4-41 indica que los medios a utilizar son: el aislamiento de las partes activas, protección por medio de barreras o envolventes, por medio de obstáculos mediante la puesta fuera de alcance por alejamiento o complementaria por dispositivos de corriente diferencial residual. Por protección del aislamiento de las partes activas, se entiende que éstas deberán estar recubiertas de un aislamiento que no pueda ser eliminado más que destruyéndolo (este es el tipo más habitual, el del cable aislado). La protección por medio de barreras o envolventes obliga a que las partes activas (y no aisladas) se encuentren en el interior de las envolventes o detrás de barreras que posean un grado mínimo de protección IPXXB (según la norma UNE 20.324) (es el caso de las envolventes de los cuadros de mando y protección o las casetas de transformación). Las protecciones por medio de obstáculos o mediante la puesta fuera de alcance por alejamiento, se utilizan para espacios en los que sólo pueden entrar personal autorizado

352


(como por ejemplo subestaciones). En el caso de la protección complementaria por dispositivos de corriente diferencial residual, se utilizan sólo como complementaria a otra protección, y para evitar su fallo. 14.7. PROTECCIÓN CONTRA CONTACTOS INDIRECTOS Esta protección se consigue mediante la utilización de alguno de las siguientes medidas: Protección por corte automático de la alimentación. Este tipo de protección es obligatoria cuando puede producirse un efecto peligroso en las personas o animales domésticos en caso de defecto. Este corte está destinado a impedir que una tensión de contacto de valor suficiente, se mantenga durante un tiempo tal que pueda dar como resultado un riesgo. Se utiliza como referencia lo indicado en la norma UNE 20.572-1. Básicamente, en función de los esquemas de puesta a tierra de la instalación descritos se han definido los sistemas de protección más adecuados. Protección por empleo de equipos de la clase II o por aislamiento equivalente. Se asegura esta protección por utilización de equipos con un aislamiento doble o reforzado. En la norma UNE 20.460 .4.41 se describen las características del revestimiento que deben cumplir las envolventes de estos equipos. Protección en los locales o emplazamientos conductores. Esta medida de protección esta destinada a impedir en caso de fallo del aislamiento principal de las partes activas, el contacto simultáneo con partes que pueden estar puestas a tensiones diferentes. En estos casos las masas deben estar dispuestas de manera que, en condiciones normales, las personas no hagan contacto simultáneo: con una masa y cualquier elemento conductor, si estos elementos pueden encontrarse a tensiones diferentes en caso de un fallo del aislamiento principal de las partes activas. En estos locales no se debe prever ningún conductor de protección, y se consideran las condiciones satisfechas si se cumplen una o varias de las condiciones siguientes: • Alejamiento respecto de las masas y de los elementos conductores, así como de las masas entre sí. Este alejamiento se considera suficiente si la distancia entre dos elementos es de 2 m como mínimo, pudiendo reducirse a 1,25 m por fuera del volumen de accesibilidad.

353


• Interposición de obstáculos eficaces entre las masas o entre las masas y los elementos conductores. Estos obstáculos son considerados como suficientemente eficaces si dejan la distancia a franquear en los valores indicados en el punto anterior. No deben conectarse ni a tierra ni a las masas y, en la medida de lo posible, deben ser de material aislante. • Aislamiento o disposición aislada de los elementos conductores. El aislamiento debe tener una rigidez mecánica suficiente y poder soportar una tensión de ensayo de un mínimo de 2000 V. La corriente de fuga no debe ser superior a 1 mA en las condiciones normales de empleo. Protección mediante conexiones equipotenciales locales no conectadas a tierra. En el caso de necesitar conexiones de equipotencialidad local, diferente de la de tierra, los conductores deben conectar todas las masas y todos los elementos conductores que sean simultáneamente accesibles. Esta conexión equipotencial local no debe estar conectada a tierra, ni directamente ni a través de masas o elementos conductores. Protección por separación eléctrica. Si el circuito debe tener una alimentación separada la fuente debe ser separada también, las condiciones especiales se enuncian en la norma UNE 20.460-4-41.

354

TEMA 15

INSTALACIONES ELÉCTRICAS

15.1. Introducción 15.2. Distribución en Baja Tensión 15.3. Instalaciones receptoras en Baja Tensión 15.4. El conductor 15.5. Cálculo de las secciones de los conductores eléctricos 15.6. Esquema general de una instalación 15.7. Instalaciones individuales 15.8. Facturación de energía eléctrica en Baja Tensión a) Complemento de Discriminación horaria b) Energía reactiva c) Complemento de estacionalidad d) Complemento de interrumpibilidad

15.1. INTRODUCCIÓN Una vez descritos los elementos básicos de protección nos dedicaremos a analizar las instalaciones en su conjunto. En este capítulo pretendemos dar una visión de qué es una instalación eléctrica, cuáles son sus partes y qué componentes encontrará en ella, así como que conozca parte de la normativa que le es aplicable. Por este motivo es conveniente que tenga el Reglamento Electrotécnico para Baja Tensión (RBT), sus Instrucciones Técnicas Complementarias (ITC) que lo desarrollan, así como los catálogos y las hojas de características de los fabricantes de equipos y de aparamenta eléctrica. Por último, en la electrotecnia y en la tecnología eléctrica, como ocurre en cualquier ciencia o cualquier otro campo técnico, existe una terminología propia que es necesario conocer.

355


15.2. DISTRIBUCIÓN EN BAJA TENSIÓN Según el Reglamento Electrotécnico para Baja Tensión son instalaciones eléctricas de baja tensión todas aquellas instalaciones que utilizan tensiones de hasta 1000 V en corriente alterna o 1500 V en corriente continua. En particular se denominan según la siguiente tabla. Tabla 15.1. Valores límite Denominación

Corriente alterna (valor eficaz)

Corriente continua (valor medio aritmético)

Muy Baja Tensión

Un <50 V

Un ≤ 75 V

Tensión usual

50 < Un ≤ 500 V

75 < Un ≤ 750 V

Tensión especial

500 < Un ≤ 1000 V

750 < Un ≤ 1500 V

Las tensiones nominales usualmente utilizadas en las distribuciones de corriente alterna son: • 230 V entre fases, para las redes trifásicas de tres conductores. • 230 V entre fase y neutro y 400 V entre fases, para las redes trifásicas de cuatro conductores. Si en alguna instalación no se puede utilizar alguna de las tensiones normalizadas anteriores, deberán estar preparadas para su utilización en un futuro1. La frecuencia normalizada es fija y de valor 50 Hz.

15.3. INSTALACIONES RECEPTORAS EN BAJA TENSIÓN Según el RBT se entiende por instalación eléctrica todo conjunto de aparatos y de circuitos asociados en previsión de un fin particular: producción, conversión transformación, transporte, distribución o utilización de la ener1

Este párrafo se debe a que todavía existen en varios sitios (muy pocos, si los hay), la distribución a la tensión de 220/125 V (fase-fase/fase-neutro), que se pretende eliminar completamente.

356


gía eléctrica. En función de su utilización o suministro, el RBT los clasifica en normales y complementarios. Como complementarios o de seguridad el RBT entiende aquellos suministros que, a efectos de seguridad y continuidad de suministro, disponen de una línea de distribución independiente desde su mismo origen en baja tensión. Son básicamente los de socorro, los de reserva (mantener el servicio de los elementos de funcionamiento indispensable), y el suministro duplicado. También se definen locales de características especiales, aquellos locales a los que se aplicará una legislación especial más restrictiva. Estos locales son los emplazamientos mojados o en los que exista atmósfera húmeda, gases o polvos de materias no inflamables o combustibles, temperaturas muy elevadas o muy bajas en relación con las normales, los que se dediquen a la conservación o la reparación de automóviles, los que estén afectos a los servicios de producción o distribución de la energía eléctrica, en las instalaciones donde se utilicen las tensiones especiales. Tienen tratamiento particular las instalaciones de enlace, las interiores o receptoras, las interiores en viviendas, en locales de pública concurrencia o en aquellas que tienen riesgo de incendio o explosión. Por fin se definen un conjunto de instalaciones con fines especiales (tales como piscinas, ferias, stands...) a las que se aplicarán normativas determinadas.

15.4. EL CONDUCTOR El conductor es el elemento del circuito que conduce la corriente eléctrica y que va, normalmente recubierto y protegido por un material aislante, llamado conductor aislado. Este conductor aislado puede estar asociado a otros conductores mediante una cubierta aislante que los rodee. Con esa disposición se le denomina cable o conductor aislado con cubierta. Otras opciones están indicadas en la norma UNE 21 022. El RBT prescribe el aislamiento de los conductores utilizados en todas las instalaciones eléctricas en locales de pública concurrencia (hospitales, hoteles, teatros, bares, oficinas con afluencia de público, etc.), así como el de los circuitos de las instalaciones de enlace de cualquier edificio o industria (línea general de alimentación, centralización de contadores y derivaciones individuales). En lo relativo a la identificación de los conductores, es especialmente importante identificar, en todos los circuitos, tanto el conductor de protec-

357


ción (tierra) con el color verde-amarillo (es muy importante observar esta norma: el color verde-amarillo sólo se puede utilizar para identificar el conductor de protección y este conductor sólo puede utilizar el color verdeamarillo), como el conductor neutro, cuando se use, con el color azul claro. Los conductores de fase se identificarán con los colores marrón o negro. En caso de circuitos trifásicos en donde sea necesario distinguir las fases, se utilizarán los colores gris, marrón y negro. Cuando el conductor tenga un aislamiento que no pueda obtenerse comercialmente en los colores requeridos, la identificación debe realizarse mediante señalizadores, argollas, etiquetas u otros medios que permitan la correcta identificación del conductor en cualquier punto accesible de la instalación. En cualquier caso el conductor de protección debe utilizar siempre el color verde-amarillo.

15.5. CÁLCULO DE LAS SECCIONES DE LOS CONDUCTORES ELÉCTRICOS Para el cálculo de la sección de los conductores de fase (conductores activos) de un circuito existen dos criterios que se deben aplicar, considerando siempre el que resulte más desfavorable (es decir, el que conduce a una sección mayor del conductor). Estos son: • Máxima caída de tensión admisible. Según este criterio, la sección del conductor debe ser tal que la mayor caída de tensión que se produzca en cualquier punto del circuito sea menor que un valor dado (en tanto por ciento de la tensión nominal). • Máxima intensidad de corriente admisible. Según este criterio, la sección del conductor debe ser tal que admita, sin destrucción o deterioro de las características del cable, el paso de la máxima corriente prevista. Desde el punto de vista práctico, para calcular la sección y, en definitiva, elegir el conductor apropiado para un circuito de una instalación, se procede de la siguiente manera: Según el fin del circuito, el Reglamento Electrotécnico para Baja Tensión define el valor de la máxima caída de tensión admisible: 3% de la tensión nominal para circuitos de alumbrado y 5% para otros usos. Con este valor

358


se calcula la sección del conductor que produciría esa caída de tensión, en el punto más desfavorable del circuito, considerando alimentados todos los aparatos susceptibles de funcionar simultáneamente. Se toma la sección normalizada inmediatamente superior a la calculada. Para esa sección normalizada se determina su máxima intensidad de corriente admisible. Este valor se encuentra tabulado en el Reglamento y es función del tipo de cable y se corrige según distintos factores como el tipo de tendido e instalación, de agrupación y de canalización, de la temperatura media ambiente, etc. Se calcula la intensidad de corriente máxima que circulará por el circuito a partir de las potencias de todos los aparatos susceptibles de funcionar simultáneamente (teniendo en cuenta los picos de corriente de arranque de los motores que estén conectados en el circuito). Si este valor es inferior a la máxima intensidad de corriente admisible correspondiente a la sección normaliza tomada, ésta es la sección del conductor buscada. Si no, se toma la siguiente sección normalizada (lógicamente mayor) y se vuelve repetir el proceso. La experiencia dice que, de forma general y para instalaciones con consumos normales, para longitudes inferiores a 10 metros el criterio determinante suele ser el de la máxima intensidad de corriente admisible y para longitudes mayores lo es el de la máxima caída de tensión. Por último, en cuanto a la sección mínima que han de tener los conductores de protección, ésta está normalizada en el Reglamento y se determina a partir de la sección de los conductores de fase del circuito. Como ayuda, se ha incluido la tabla 15.1 de intensidades admisibles que indica el RBT y sus guías, según el tipo de aislamiento de cable, para las configuraciones de instalación y agrupación de cables más habituales. La descripción de los diferentes tipos de instalación se indica en el anexo I. Aunque en dicha tabla no se especifican intensidades admisibles para los cables de aislamiento termoplástico con base de poliolefina (tipo Z1), éstas son equivalentes a la de los cables con aislamiento de PVC. A modo de ejemplo, en la tabla 15.3 se presentan los valores máximos de longitud de los conductores en función de su sección y de la intensidad nominal del dispositivo de protección para una caída de tensión del 3%, considerando una temperatura estimada del conductor de 40°C y una carga con un factor de potencia igual a 1.

359


Tabla 15.2. Intensidades máximas admisibles en función del tipo de cable e instalación. Tipo de instalación

Tipo de cable

A

A2

3x 2x XLPE XLPE o EPR o EPR

3x PVC 2x PVC


3x PVC 2x PVC

B


3x PVC 2x PVC

B2

3x XLPE o EPR

3x PVC 2x PVC

C

3x PVC 2x PVC

E

3x PVC

F

2x XLPE o EPR 3x 2x XLPE XLPE o EPR o EPR 3x 2x 2x PVC XLPE XLPE o EPR o EPR 3x XLPE o EPR

3x PVC

G

3x XLPE o EPR

3x PVC

Sección mm2

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

1,5

11

11,5

13

13,5

15

16

—

18

21

24

—

2,5

15

16

17,5

18,5

21

22

—

25

29

33

—

4,0

20

21

23

24

27

30

—

34

38

45

—

6,0

25

27

30

32

36

37

—

44

49

57

—

10,0

34

37

40

44

50

52

—

60

68

76

—

16,0

45

49

54

59

66

70

—

80

91

105

—

25,0

59

64

70

77

84

88

96

106

116

123

166

35,0

77

86

96

104

110

119

131

144

154

206

50,0

94

103

117

125

135

145

139

175

188

230

360


Tabla 15.2. (Continuación). Tipo de instalación

Tipo de cable

Sección mm2

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

70,0

149

160

171

188

202

224

244

321

95,0

180

194

207

230

245

271

296

391

120,0

208

225

240

267

284

314

348

455

150,0

236

260

278

310

338

363

404

525

185,0

268

297

317

354

386

415

464

601

240,0

315

350

374

419

455

490

552

711

300,0

360

404

423

484

524

565

640

821

COBRE Resistividad ρ 0,018 Ω mm2/m

Para calcular la caída de tensión que se produce en un conductor considérese el circuito de la figura 245. En él se representa una carga monofásica Z que se encuentra a una distancia l del origen de la instalación que la alimenta a través de un conductor cuya impedancia total es RL + jX L Ω. Tomando como origen de fases la tensión en la carga UZ , la tensión en el origen del conductor es: U = (RL + jX L) I + UZ = (UZ + RL I cosϕ) – j (XL I sen ϕ) Tabla 15.3. Ejemplo de valor de la longitud máxima del cable (m). Intensidad nominal del dispositivo de protección (A)

10 (A)

Sección del conductor (mm2) 27 m

2,5

45 m

6

20 (A)

25 (A)

Longitud máxima del cable (m)

1,5

4

16 (A)

28 m 45 m

36 m

—

53 m

43 m

361


RL + jXL Ω A

I = I/–ϕ A

UL U

UZ=UZ/0 V

Z

B

Figura 245. Caída de tensión en un conductor.

En esta expresión la parte imaginaria es muy pequeña en comparación con la parte real, por lo que a efectos de cálculo se puede despreciar. De esta forma, la caída de tensión depende sólo de la resistencia total del conductor y su valor es: U = RL I cosϕ Dividiendo esta expresión por la tensión de la red se obtiene la caída de tensión relativa (en tanto por uno):

∆U/U = RL I cosϕ/ U En circuitos monofásicos, tanto de corriente continua como de corriente alterna, el conductor tiene una longitud de 2l metros (ya que hay que considerar tanto el conductor «de ida» como el conductor «de vuelta» que hay entre la carga y el origen de la instalación). Teniendo en cuenta que la resistencia total del circuito en función de la longitud (l —habitualmente en m—), superficie (s —habitualmente en mm2) y tipo de material (su resistividad ρ —habitualmente en Ω mm2/m— ) es:

2l s Sustituyendo esta expresión en la del valor unitario de la caída de tensión y multiplicando por 100, para obtener el valor porcentual, se obtiene finalmente la expresión de la caída de tensión,

RL = ρ

∆U 200 l I cos ϕ =ρ U s U

362


En circuitos trifásicos el razonamiento es completamente análogo. Suponiendo una carga equilibrada y operando con valores por fase se llega a la siguiente expresión:

∆U f 100l I f cos ϕ 100 l =ρ =ρ Uf s Uf s

3I cos ϕ U

donde I es la intensidad de línea y U la tensión de línea del sistema. Obsérvese que para los sistemas trifásicos la longitud del conductor es sólo de l metros ya que, como se ya sabe, sólo son necesarios tres conductores (uno por fase). Para el cálculo de la intensidad utilizaremos el valor de la potencia especificada que se va a consumir. En el caso de que se desee calcular la sección teniendo por dato la caída porcentual de tensión (3 o 5%), las expresiones a utilizar serían:

200 l I cos ϕ ∆U U U 100 l I f cos ϕ 100l • y, para sistemas trifásicos: s = ρ =ρ ∆U f ∆U f Uf Uf Uf • para sistemas monofásicos s = ρ

3I cos ϕ U

∆U f ∆U = = 3 % o 5% Uf U en función del tipo de uso que se le de a la instalación. Recuerde que, en las expresiones anteriores

EJEMPLO: Calcule la sección que ha de tener un cable de cobre de aislamiento de XLPE, en instalación de tipo A de 100 m en cuyo extremo se situará una carga trifásica de 30 kW, factor de potencia 0,8, alimentada a una tensión de línea de 300 V. La intensidad de línea que circula por los cables se obtiene de la expresión:

I=

Pz 3VL cos ϕ

=

30.000 3 ⋅ 300 ⋅ 0, 8

= 72,17 A

363


Criterio de máxima intensidad: según la tabla 15.2, un cable de cobre de aislamiento XLPE en instalación de tipo A que soporte una intensidad mayor de 72,17 A, ha de tener una sección mínima de 25 mm2 (con 84 A de máxima intensidad). Criterio de caída _ de tensión: Si la tensión de línea es de 300V, la de fase neutro será: 300/√3 V, por tanto, la caída máxima admisible en el cable será el 5% de esta tensión: 8,7 V

l s

Por tanto si ∆Vmáx = Rcable I cable = ρ I cable , la sección mínima la calcularemos siguiendo la expresión: s = ρ

l 100 I cable = 0, 018 72,17 = 14,93 mm2 . ∆Vmáx 8, 7

La sección a utilizar está fijada por el criterio de máxima intensidad y es la de 25 mm2. EJEMPLO: Una instalación monofásica de tipo C dispone de un cable bipolar de PVC (dos conductores juntos) de 20 m de longitud y de 2,5 mm2 de sección. Determine cual será la potencia máxima que se puede instalar, considerando 1 el factor de potencia, y la tensión de alimentación de 220 V. Siguiendo el criterio de máxima intensidad, ésta será teniendo en cuenta lo establecido en la tabla 15.2: 22 A La resistencia del conductor será:

R=ρ

l 40 Ä m = 0, 018 = 0, 288Ä Ω s 2, 5Ä mm2

Por criterio de máxima caída de tensión, la máxima intensidad máxima que puede pasar sería la que produjese una caída de tensión del 5% de la nominal, es decir 11 V. La intensidad que produce esta caída de tensión es:

I máx =

∆Vmáx 11Ä V = = 38,19 Ä A 0, 288 Ä Ω R

Obsérvese que el criterio más restrictivo que limita la máxima intensidad es la capacidad del conductor 22 A, por tanto esta será la que determine la potencia máxima a instalar: S = 220 × 22 = 4.840 VA

364


15.6. ESQUEMA GENERAL DE UNA INSTALACIÓN Una instalación eléctrica sencilla se representa en la figura 246, y en la figura 247 se muestra una instalación más compleja, en ellas se observan las siguientes partes, partiendo de la Red de distribución que es el «cable perteneciente a la compañía eléctrica y que distribuye en el barrio. Red de distribución Acometida Cuadro de protección y medida F Instalación de enlace

Fusible de seguridad Contador

W

ICP CM

Caja del interruptor de control de potencia Caja de los dispositivos generales de mando y protección

Instalación interior

Figura 246.

• Acometida : Es la parte de la red de distribución que alimenta la caja o cajas generales de protección (la alimentación de la compañía distribuidora). En el caso de al figura 246 sólo se ha pintado una acometida. • Instalación de enlace: Aquella instalación que une la caja (o cajas) general de protección con las instalaciones interiores del usuario (incluye todas las cajas y los cables que las unen). • Caja general de protección: Son las cajas que alojan los elementos de protección de las líneas generales de alimentación, se instalarán preferentemente en fachadas exteriores de edificios, en lugares de acceso libre y permanente. Contendrán los cortacircuitos fusibles con poder de corte igual, al menos, a la corriente de cortocircuito prevista (Guía BT 13).

365


• Caja de protección y medida: En le caso de suministros con uno o dos usuarios (desde el mismo emplazamiento) se podrá colocar una caja general de protección que incluya además al equipo de medida (contador) (Guía BT 13). Este caso se representa en la figura 246 y es el caso habitual de la alimentación a viviendas aisladas (tipo chalet). • Línea general de alimentación: Es aquella que enlaza la caja general de protección con la centralización de contadores en aquellas instalaciones con mas de uno o dos usuarios que se alimenten desde el mismo emplazamiento (Guía BT 14) (en el caso de la figura 247 existen dos centros de contadores). • Contadores. Los contadores son los aparatos encargados de medir el consumo eléctrico (W en la figura 246). Estarán ubicados en módulos (cajas con tapas que se puedan precintar), paneles o armarios, que deben cumplir la normativa adecuada. Cada derivación individual debe llevar asociada su propia protección: fusibles de seguridad antes Red de distribución

Acometida Cuadro general de mando y protección

Línea general de alimentación

Caja de derivación Emplazamiento de contadores F

F

W

W

ICP CM

Interruptor general de maniobra

F

F

F

F

W

W

W

W

Derivación individual

Contador

ICP

ICP

ICP

ICP

ICP

CM

CM

CM

CM

CM

Figura 247.

366

Fusible de seguridad


del contador en cada uno de los hilos de fase (independientes de las protecciones de la instalación interior) con capacidad de corte en función de la máxima intensidad de cortocircuito que pueda presentarse en ese punto (F, en la figura 246) (Guía BT 16). • Derivaciones individuales. Es la parte de la instalación que, partiendo de la línea general de alimentación suministra energía eléctrica a una instalación de usuario (debe ser independiente del resto de los usuarios (Guía BT 15).

15.7. INSTALACIONES INDIVIDUALES Los aparatos de mando o maniobra deben estar claramente identificados para evitar toda puesta en servicio accidental. En la guía técnica de aplicación BT-17, se especifica que los dispositivos generales de mando y protección, se situarán lo más cerca posible del punto de entrada de la derivación individual en el local o vivienda del usuario. En viviendas y en locales comerciales e industriales en los que proceda, se colocará una caja para el interruptor de control de potencia, inmediatamente antes de los demás dispositivos, en un compartimento independiente y precintable. El resto de dispositivos generales e individuales de mando y protección cuya posición de servicio sea vertical, se ubicarán en le interior de uno o varios cuadros de distribución de donde partirán los circuitos interiores. Las envolventes de los cuadros se deberán ajustar a las normas UNE 20451 y UNE-EN 60.439-3. En la figura 248 se representa un cuadro de una instalación de una vivienda en la que se muestran los diferentes elementos que las componen. En cuanto a los dispositivos generales de mando y protección serán, como mínimo: • Un interruptor automático de corte omnipolar, que permita su accionamiento manual y que esté dotado de elementos de protección contra sobrecarga y cortocircuitos. Este interruptor será independiente del interruptor de control de potencia. • Un interruptor diferencial general, destinado a la protección contra contactos indirectos de todos los circuitos, salvo de la protección con-

367


tra contactos indirectos se efectúa mediante otro dispositivos de acuerdo con la ITC-BT-24. • Dispositivos de corte omnipolar, destinados a la protección contra sobrecargas y cortocircuitos de cada uno de los circuitos interiores de la vivienda o local. • Dispositivo de protección contra sobretensiones, según ITC-BT-23 en el caso de que fuese necesario. • Si por algún motivo, la instalación necesitase un interruptor diferencial por cada circuito o grupo de circuitos, se podrá prescindir del interruptor diferencial general, siempre que queden protegidos todos los circuitos. Dentro de cada instalación individual, en la figura 248 se han indicado los elementos necesarios en una instalación interior en viviendas en esta figura se ha incluido el interruptor diferencial general, aunque no sería necesario debido a que cada línea tiene asociado un interruptor diferencial. Caja de los dispositivos generales de mando y protección

Derivación individual

Interruptor general bipolar Interruptor diferencial general

Interruptor bipolar individual por línea Interruptor diferencial

Precinto Interruptor de Control de Potencia (ICP)

Figura 248.

15.8. FACTURACIÓN DE ENERGÍA ELÉCTRICA EN BAJA TENSIÓN La facturación de la energía eléctrica en baja tensión se realiza bien siguiendo las condiciones de contratación en el mercado mayorista, mediante una compañía comercializadora correspondiente o bien a tarifa. Esta

368


última forma desaparecerá con el tiempo con el tiempo y quedará sólo una nueva tarifa llamada de último recurso. Los consumidores sometidos a tarifa se rigen por el RD de tarifas cuya publicación es anual normalmente, aunque si la situación económica así lo exigiese se publica una o dos veces más. En él se fijan los precios de la energía suministrada y el de la potencia contratada. Existen varios tipos de tarifa en función de la potencia contratada y del nivel de tensión. Así mismo existen descuentos por consumo durante la noche (tarifa con discriminación horaria), o en el caso de grandes consumidores por mejora del factor de potencia. Además en el actual sistema español cualquier consumidor puede acudir al mercado mayorista para la adquisición de la energía, en este caso el consumidor ha de pagar el precio de la energía más los cánones de acceso a la red de distribución y a la de transporte. Aunque esta posibilidad está permitida por ley los costes de acceso al mercado son muy elevados para los consumos habituales en Baja Tensión, por lo que normalmente se utiliza un comercializador. En el anexo 2 siguiente se muestran los diferentes tipos de tarifas y su coste a julio de 2007. A los términos de potencia y energía es necesario sumar los correspondientes al equipo de medida El sistema de tarifas que se utiliza desde 1983, se estructura en torno a unas tarifas generales en función de la tensión de suministro y la utilización de la potencia contratada, a los cuales puede acogerse cualquier tipo de consumidor distribuidores (solo aplicable a pequeños distribuidores existentes), grandes abonados y tarifas domésticas condicionados o bien al uso de la energía o bien a las características del suministro, las dos últimas. La estructura fue re-definida en la Orden de 12 de enero de 1995, con sus modificaciones posteriores, la última de las cuales corresponde al Real Decreto 1634/2006, de 29 de diciembre. Dentro de las modificaciones destacan: • La creación en 1994 de una tarifa para grandes consumidores, la tarifa horaria de potencia, que en sus precios básicos de potencia y energía integra todos los componentes del coste. • El cambio en la estructura de las tarifas 1.0, 2.0 y 3.0, recogido en el Real Decreto 1634/2006, de 29 de diciembre. • La desaparición de las tarifas de usos específicos, exceptuando la tarifa de riegos agrícolas que se encuentra en vigor hasta el 1 de julio de 2007.

369


• Las tarifas del suministro de energía eléctrica en alta tensión desaparecerán el 1 de enero 2010, según se recoge en el artículo 19, apartado cuatro del Real Decreto-Ley 6/2000, de 23 de junio de Medidas Urgentes de Intensificación de la Competencia en Mercados de Bienes y Servicios, en la redacción dada por la Ley 24/2005, de 18 de noviembre, de reformas para el impulso a la productividad. La formación del precio final de la energía eléctrica consumida se realiza aplicando una fórmula binómica, con un término función de la potencia contratada y otro función de la energía consumida, a esta facturación básica se le suman los recargos o descuentos correspondientes a los cuatro complementos tarifarios existentes: energía reactiva, discriminación horaria, estacionalidad e interrumpibildad, con lo cual se obtiene el precio final de la energía eléctrica consumida. Por fin, la factura eléctrica se completa con los importes del alquiler de los equipos de medida y los impuestos. a) Complemento de Discriminación horaria El objetivo fundamental de este complemento es lograr el aplanamiento de la curva de carga diaria, y, en su caso, de la monótona del sistema eléctrico nacional. El complemento por discriminación horaria tiene en cuenta el distinto coste de la energía eléctrica en cada periodo horario. El complemento se valora como un descuento o un recargo en función del período en el que se realiza el consumo. El consumidor tiene derecho a elegir entre los cinco tipos de discriminación horaria que existen, según el que más se ajuste a sus necesidades: • Tipo 0: «Tarifa nocturna». Se aplica solo a los abonados de la tarifa 2.0 (domésticos). Durante las horas diurnas aproximadamente (16 horas diarias) tiene un recargo del 3% y durante 8 horas (nocturas) al día un descuento del 55%. Ya no se pueden ampliar los . En la actualidad, únicamente resulta de aplicación a los suministros que estuvieran acogidos a esta opción tarifaria a la entrada en vigor del Real Decreto 1634/2006, de 29 de diciembre. • Tipo 1: Se aplica a los abonados que no hayan optado por otro tipo de complemento, tiene un recargo del 20% en toda la energía consumida. Se aplica a abonados de cualquier tarifa excepto las 1.0 y 2.0.1, 2.0.2,

370


2.0.3 y 3.0.1 (domésticos), que no hayan instalado contador discriminador y tengan una potencia inferior a 50 kW. Podrían estar incluidas aquí pequeñas industrias y comercios. • Tipo 2: Diferencia dos periodos, por un lado la punta 4 horas al día con un recargo de 40% y por otro el llano y valle, sin recargo ni descuento. Los usuarios serían similares a los del Tipo 1. • Tipo 3: Todos los días del año se dividen en tres periodos, la punta 4 horas al día con recargo del 70%, valle 8 horas al día con un descuento del 43% y llano 12 horas al día sin recargo ni descuento. El usuario tipo sería una pequeña o mediana industria. • Tipo 4: Los días laborables de lunes a viernes se dividen en punta 6 h/día, llano 10 h/día y valle 8 h/día, los sábados, domingo y festivos se consideran valle las 24 horas, las horas punta tienen un recargo del 100%, y las valle un descuento del 43%. De uso normal en la industria. • Tipo 5: En este tipo se distribuyen los días del año en cuatro categorías, pico 70 días, alto 80 días, medio 80 días y bajo 135 días, dentro de cada categoría de días se determinan periodos de punta, llano y valle. Los recargos y descuentos correspondientes son los siguientes: Tipo de hora

Recargo/bonificación

Punta de días pico

300% de recargo

Punta de días alto

100% de recargo

Llanos

sin recargo ni descuento.

Valles

43% de descuento

Usada por grandes industrias con muchas posibilidades de modulación. b) Energía reactiva Está basado en unos recargos y descuentos porcentuales en función del factor de potencia y se aplica sobre la totalidad de la facturación básica. Varía entre un descuento del 4% para cos j = 1 a un recargo del 47% para cos j = 0,5. A las tarifas 1.0, 2.0.1, 2.0.2, 2.0.3 y 3.0.1 únicamente les es de aplicación el complemento por reactiva si se midiera un coseno de φ inferior a 0,8.

371


c) Complemento de estacionalidad Prevé un descuento del 10% sobre el término de energía para los consumos efectuados en temporada baja (mayo, junio, agosto y septiembre) y un recargo del 10% durante la temporada alta (enero, febrero, noviembre y diciembre), solo aplicable a los abonados que facturen por el Modo estacional y es incompatible con la discriminación horaria Tipo 5. d) Complemento de interrumpibilidad De aplicación a los grandes abonados en tarifas generales de Alta Tensión (Potencia contratada en punta y llano 5MW). Se aplica sobre la facturación básica y consiste en que el cliente, a cambio de unos determinados descuentos en la factura, se compromete, durante 5 años, a reducir su demanda y no superar una potencia preestablecida (Pmáx.) en los periodos que se le solicite por parte de la empresa suministradora. Los tipos de interrupciones normales a los que pueden acogerse los consumidores son los siguientes: Tiempo de interrupción

Preaviso

TIPO A

12 horas-16 horas

TIPO B

6 horas-6 horas

TIPO C

3 horas-1 hora

TIPO D

45 minutos-5 minutos

Además, los tipos A y B anteriores tendrán la modalidad de aplicación flexible. Los descuentos sobre la totalidad de la facturación básica que pueden obtenerse por este complemento son función: • Del tipo o tipos a los que esté acogido. • De la potencia ofertada en cada tipo (Diferencia entre la potencia contratada en punta y/o llano y la potencia residual Pmax.). • De la utilización de la potencia contratada (Energía anual consumida dividido por la potencia contratada en punta y/o llano). • Del número de interrupciones realizadas.

372


En la Disposición transitoria primera del Real Decreto 1634/2006, de 29 de diciembre, se contempla la desaparición tanto del complemento de interrumpibilidad correspondiente a tarifas generales de alta tensión como de la tarifa horaria de potencia. Esta tarifa será sustituida por medidas específicas de gestión de la demanda.

373

BIBLIOGRAFÍA

PASTOR GUTIÉRREZ, A.; ORTEGA JIMÉNEZ, J.; PARRA PRIETO, V. M. y PÉREZ-COYTO, A.: Circuitos Eléctricos, vol. I. Unidades Didácticas. Editorial UNED, 2003. FRAILE MORA, J.: Máquinas Eléctricas, Ed. McGraw-Hill, 5.a ed., Madrid, 2003. — Reglamento Electrotécnico para Baja Tensión e Instrucciones Técnicas Complementarias, Ed. BOE, 2002. USAOLA, J.; MORENO, M. A.: Circuitos Eléctricos, Problemas y ejercicios resueltos, Prentice Hall, 2003. LÓPEZ, J.; SALCEDO, J. M.: Circuitos eléctricos Primer Contacto, Anaya, 2005. FRAILE MORA, J.: Ejercicios de Máquinas Eléctricas, Ed. McGraw-Hill, 2005. Colección Schaum.

375

ANEXO I

LEYENDA DE TIPOS DE INSTALACIÓN RECOGIDOS EN LA TABLA 2.4

TIPO DE INSTALACIÓN

DESCRIPCIÓN

A

• Conductores unipolares aislados en tubos empotrados en paredes aislantes. • Cables multiconductores empotrados directamente en paredes térmicamente aislantes. • Conductores unipolares aislados en molduras. • Conductores unipolares aislados en conductos o cables uni o multiconductores dentro de los marcos de las puertas. • Conductores unipolares aislados en tubos o cables uni o multiconductores dentro de los marcos de las ventanas.

A2

• Cables multiconductores en tubos empotrados en paredes térmicamente aislantes.

B

• Conductores unipolares aislados en tubos (2) en montaje superficial o empotrados en obra Conductores unipolares aislados en sobre pared de madera o separados a una distancia inferior a 0,3 veces el diámetro del tubo. • Conductores unipolares aislados en conductos de sección no circular sobre pared de madera. • Conductores unipolares aislados en conductos empotrados en pared de obra. • Cables unipolares o multiconductores en huecos de obra de fábrica (*). • Conductores unipolares aislados en tubos dentro de huecos de obra de fábrica (*). • Conductores unipolares aislados en conductos de sección no circular en huecos de obra de fábrica (*). • Conductores unipolares aislados o cables unipolares en canal protectora fijadas a una pared de madera o empotradas en el suelo (*). • Cables uni o multiconductores en falsos techos o techos suspendidos (*).

377


TIPO DE INSTALACIÓN

B

• • • •

Conductores unipolares aislados en canal protectora suspendida. Conductores unipolares aislados en canales de obra ventilados. Cables uni o multiconductores en canales de obra ventilados. Conductores unipolares aislados o cables unipolares dentro de zócalos acanalados.

B2

• Cables multiconductores en tubos (2)en montaje superficial o empotrados en obra. • Cables multiconductores en tubos sobre pared de madera o separados a una distancia inferior a 0,3 veces el diámetro del tubo. • Cables multiconductores en conductos de sección no circular sobre pared de madera. • Cables multiconductores dentro de zócalos acanalados.

C

• Cables multiconductores directamente sobre la pared (3). • Cables unipolares o multiconductores sobre bandejas no perforadas. • Cables unipolares o multiconductores fijados en el techo o pared de madera o espaciados 0,3 veces el diámetro del cable. • Cables uni o multiconductores empotrados directamente en paredes.

E

• Cables multiconductores a aire libre (4). Distancia a la pared no inferior a 0,3 D (5). • Cables unipolares o multiconductores sobre bandejas perforadas en horizontal o vertical. • Cables unipolares o multiconductores sobre soportes. • Cables unipolares o multiconductores suspendidos de un cable fiador.

F

• Cables unipolares en contacto mutuo (4). Distancia a la pared no inferior a D (5). • Cables unipolares o multiconductores sobre bandejas perforadas en horizontal o vertical. • Cables unipolares o multiconductores sobre soportes. • Cables unipolares o multiconductores suspendidos de un cable fiador.

G

378

DESCRIPCIÓN

• Cables unipolares separados mínimo D (5). • Conductores desnudos o aislados sobre aisladores.

ANEXOS

ANEXO II

ÁLGEBRA DE NÚMEROS COMPLEJOS

Un número complejo esta formado por un binomio: una parte real y una imaginaria. Hay dos formas de representar un número complejo para los fines de esta asignatura: En forma cartesiana (con coordenadas con parte real y parte imaginaria) o en forma polar (como un vector con módulo y argumento). En la figura A2.1 se muestra un ejemplo. En forma cartesiana, la parte imaginaria la representaremos por el pro__ ducto del número imaginario j = √–1, multiplicado por un número real. En forma de coordenadas por tanto el número complejo de la figura A2.1, lo representaremos, de forma general como E = a + jb unidades Y en su forma vectorial lo representaremos como: E = E/ϕ° unidades, o como su expresión en el campo de Euler E = Ee – jϕ° – unidades Las relaciones entre a, b, E y ϕ son: a = E cos ϕ

ϕ = arc tg (b/a) Eje imaginario

E2 = a2 + b2

b

b = E sen ϕ

E E ϕ

a Eje real

Figura A2.1.

379


NOTA

Tenga el lector mucho cuidado al calcular el ángulo mediante la tangente ya que puede dar lugar a error. en el anexo IV de trigonometría se muestra con mayor detalle, no obstante recuerde que si la tangente es positiva el ángulo puede estar en el primer o tercer cuadrante, y si la tangente es negativa el ángulo pude estar en segundo o en el cuarto cuadrante.

Segundo cuadrante 90 # ϕ2 # 180˚

Primer cuadrante ϕ2

ϕ1

0 # ϕ1 # 90˚

tg ϕ2 # 0 sen ϕ2 $ 0 cos ϕ2 # 0

tg ϕ1 $ 0 sen ϕ1 $ 0 cos ϕ1 $ 0

Tercer cuadrante

Cuarto cuadrante

180 # ϕ3 # 270˚

–90 # ϕ4 # 0˚ 270 # ϕ4 # 360˚

tg ϕ3 $ 0 sen ϕ3 # 0 cos ϕ3 # 0

ϕ3

ϕ4

tg ϕ4 # 0 sen ϕ4 # 0 cos ϕ4 $ 0

En el caso de la figura A2.2, en número complejo E tiene una parte real de 3 unidades y una parte imaginaria de 4 unidades, Así lo representaremos como: E = 3 + j 4 unidades En su expresión módulo argumento: E = 5/53,1° unidades , o como su expresión en el campo de Euler E = 5e j53,1° unidades.

Eje imaginario

En donde 52 = 32 + 42 , y 53,1 = arc tg (4/3).

4 E ϕg

3 Eje real

Figura A2.2.

380

ANEXOS

Complejo conjugado Se llama complejo conjugado E* de un número (y se marca poniendo un asterisco al nombre del complejo) a un complejo con el mismo módulo y de argumento el opuesto (es decir cambiado de signo): E = (a + j b) = A/ϕa;

Si

E* = (a – jb) = A/– ϕa; Se cumple que el producto de un complejo por su conjugado da como resultado un número real igual al cuadrado del módulo: E × E*= A2 + j 0 Adición y sustracción de números complejos Forma de sumar números complejos, si están en forma cartesiana: • (a + jb) + (c + jd) = (a + c) + j (b + d). La suma en forma polar no es posible directamente por lo que es conveniente pasarlo previamente a su forma cartesiana y sumarlo asï: Sean A y B números complejos: A = 2 + j 3 y B = – 4 + j 6. • A + B = – 2 + j 9. La sustracción es análoga a la adición. Multiplicación de números complejos Sean los números complejos en forma cartesiana (a + jb) y (c + jd), entonces: • (a + jb) (c + jd) = (ac – bd) + j (ad + bc) (a + jb) (c + jd) = ac + jad + jbc + j 2bd = (ac – bd) + j (ad + bc) ya que j 2 = – 1. En forma polar, si los complejos a multiplicar son A/ϕa y B/ϕb. • A/ϕa × B/ϕb = A × B/ϕa + ϕb.

381


Sean A y B números complejos: • A = 2 + j 3 = 3,606/56,31 y B = – 4 + j6 = 7,211/– 56,31. • A × B = – 26 + j 0 = – 26 • A × B = 3,606/56,31° × 7,21/–56,31° = 26/0°. División de números complejos En su expresión cartesiana: sean los números complejos A = (a + jb) y B = (c + jd): La forma para realizar la división entre números complejos es, eliminando el denominador multiplicando el numerador y el denominador por el complejo conjugado de este último:

A a + jb a + jb c − jd (ac + bd ) + j (−ad + bc ) = = × = = B c + jd c + jd c − jd c2 + d 2 =

(ac + bd ) + j (− ad + bc ) B

2

En su forma polar, si los complejos a multiplicar son A = A/ϕa y B = B/ϕb. • A = A / ϕ / Bϕ = A / ϕ − ϕ a b b B B a Esta forma es más sencilla que en la cartesiana. Sea A = 2 + j 3 y B = 1 + i. • B = 2 + j 3 = 2 + j 3 × 1 − j = (2 + 3) + j (−2 + 3) = 5 + j B 2 1+ j 1 + j 1− j 12 + 12

382

ANEXOS

ANEXO III

RELACIÓN DE TARIFAS BÁSICAS CON LOS PRECIOS DE SUS TÉRMINOS DE POTENCIA Y ENERGÍA Término de potencia: Tp €/kW mes

Término de energía Te: €/kW

0,282652 1, 569577 1,581887 1,589889 1,615741 1,566552 2,533604 0,387721

0,063533 0,089168 0,089868 0,090322 0,091791 0,091706 0,084852 0,089979

Corta utilización: 1.1. General no superior a 36 kV 1.2. General mayor de 36 kV y no superior a 72,5 kV 1.3. General mayor de 72,5 kV y no superior a 145 kV 1.4. Mayor de 145 kV

2,271918 2,148523 2,075938 2,017871

0,0782284 0,073505 0,071338 0,068947

Media utilización: 2.1. No superior a 36 KV 2.2. Mayor de 36 kV y no superior a 72,5 kV 2.3. Mayor de 72,5 kV y no superior a 145 kV 2.4. Mayor de 145 kV

4,697183 4,441901 4,296025 4,186618

0,071749 0,067172 0,06522 0,063119

Larga utilización: 3.1. No superior a 36 kV 3.2. Mayor de 36 kV y no superior a 72,5 kV 3.3. Mayor de 72,5 kV y no superior a 145 kV 3.4. Mayor de 145 kV

12,532584 11,719066 11,359945 11,015481

0,05969 0,0562 0,054032 0,052558

R.1. No superior a 36 kV R.2. Mayor de 36 kV y no superior a 72,5 kV R.3. Mayor de 72,5 kV

0,597203 0,567339 0,537483

0,081953 0,077173 0,074558

Tarifa G.4 de grandes consumidores

11,93875

0,013676

Tarifas y escalones de tensión

BAJA TENSIÓN 1.0. General, Potencia 1 kW (1) 2.0.1. General, 1 kW < Potencia 2,5 kW (1) 2.0.2. General, 2,5 kW < Potencia 5 kW (1) 2.0.3. General, 5 kW < Potencia 10 kW (1) 3.0.1. General, 10 kW < Potencia 15 kW (1) 3.0.2. General, potencia superior a 15 kW 4.0. General de larga utilización, potencia superior a 15 kW R.0. De riegos agrícolas. ALTA TENSIÓN Tarifas generales:

Tarifas R. De Riesgos Agrícolas:

383


(Continuación)

Tarifas y escalones de tensión

Término de potencia: Tp €/kW mes

Término de energía Te: €/kW

2,48952 2,349989 2,291238 2,217802

0,052654 0,05023 0,048468 0,047146

Tarifas venta a distribuidores (D): D.1: D.2: D.3: D.4:

No superior a 36 kV Mayor de 36 kV, y no superior a 72,5 kV Mayor de 72,5 kV y no superior a 145 kV Mayor de 145 kV

(1) 1. A estas tarifas cuando no se les aplique el complemento por discriminación horaria que se regula en el punto siguiente y el consumo promedio diario sea superior al equivalente a 1.300 kWh en un bimestre, se aplicará a la energía consumida por encima de dicha cuantía un recargo de 0,013 €/kWh en exceso consumido. Para ello, la facturación debe corresponder a lecturas reales del contador. 2. A estas tarifas cuando se aplique el complemento por discriminación horaria de dos períodos se aplicarán directamente los siguientes precios a la energía consumida en cada uno de los períodos horarios.

384

ANEXOS

ANEXO IV

TRIGONOMETRÍA

Ángulo. Porción de plano comprendida entre dos rectas que se cruzan.

P(x,y) r α O

α y x A

Figura A4.1.

Medida de ángulos Grados sexagesimales (DEG) 1° = 60′ = 3.600′′. La circunferencia está dividida en 360°. Radianes (RAD) 360° = 2·π radianes. Razones trigonométricas. Dada una circunferencia de radio r, si tomamos un arco AP, donde A (ver figura A4.1) es un punto del semieje positivo de las x y P(x, y), el punto del extremo, se definen las razones trigonométricas del ángulo en la forma: • Seno

sen α = y /r

• Coseno

cos α = x /r

• Tangente

tg α = seno/coseno = y /x

• Cotangente cotg α = 1/ tangente = coseno/seno = x /y • Secante

sec α = 1/coseno = r /x

• Cosecante

cosec α = 1/seno = r /y

385


Signo de las razones. En cada cuadrante, dependiendo del signo de las abscisas y ordenadas, las razones presentan los siguientes signos:

+

+

–

+

–

+

–

–

–

+

+

–

Seno

Coseno

Tangente

Figura A4.2.

Ángulos notables • 60° Para determinar sus razones tenemos en cuenta que se forma un triángulo equilátero en la figura A4.3. _ _ sen 60° = y/r = (√ 3r/2)/r = √ 3/2 °

° °

cos 60° = X/r = (r/2)/r = 1/2 _ _ tg 60° = (√3/2)/(1/2) = √3

r 60˚ x = r/2

y

x = r/2 r

r2 = y2 + (r/2)2 = y2 + r2/4 y = (3r2/4)½ = r/2

Figura A4.3. Relaciones entre x e y en el caso de α = 60°.

• 30°: Formamos el triángulo equilátero de la figura A4.4.

° ° ° 386

sen 30° = y/r = (r/2)/r = 1/2 _ cos 30° = x/r = √3/2 _ _ _ tg 30 ° = sen/cos = (1/2)/(√3/2) = 1/√3 = √3 /3

ANEXOS

r 30˚ y

y = r/2

x

r r

r2 = x2 + (r/2)2 = x2 + r2/4

_

x = (3r 2/4)½ = √3r/2


• 45° La x y la y son iguales, e iguales a los lados de un cuadrado por lo que se forma un triángulo isósceles rectángulo de la figura A4.5: _ _ _ sen 45° = y/r = l / (√ 2 l) = 1/√ 2 = √ 2/2 ° _ ° cos 45° = x/r = y /r = sen 45° = √2/2

°

tg 45° = sen 45°/cos 45° = 1

x=y=l

r

y=1 45˚

r 2 = x2 + y 2 = l 2 + l 2 = 2 l 2 _ r = l √2

x=1


Relaciones entre las razones trigonométricas. 1. cos2 α + sen2 α = 1 Se obtiene de la expresión de las funciones senoidales: • sen α = y/r de donde y = r sen α • cos α = x/r de donde x = r cos α • como según Pitágoras: x2 + y2 = r2 tenemos que r2cos2α + r2sen2α = r2

387


2. 1 + cotg2α = cosec2α • Se obtiene dividiendo el relación anterior (1) entre sen2 α 1 + cos2α /sen2α = 1/ sen2α 3. 1 + tg2α = sec2α • Se obtiene de la misma forma que la expresión anterior, dividiendo la expresión 1 ahora por el cos2 α. Relaciones entre las razones trigonométricas de algunos ángulos. Ángulos suplementarios (β = 180 – α)

Ángulos complementarios (β = 90 – α) α y’

β = 180 – α

y α

α –x

y

x

sen β = cos α cos β = sen α tg β = cotg α

Ángulos que difieren en 180˚ (β = 180 + α)

y’

x

x’

sen β = sen α cos β = –cos α tg α = –tg α

β = 180 + α r α x’ x α r

β = 90 – α α y

y

sen β = sen α cos β = –cos α tg β = tg α

Ángulos opuestos (β = –α)

r r

y αx = x β = –α y’ = –y

sen β = –sen α cos β = cos α tg β = –tg α

Representación de las razones trigonométricas sobre la circunferencia goniométrica. Se denomina circunferencia goniométrica a la que tiene de radio la unidad, en esta circunferencia: • sen α = y/r = y • cos α = x/r = x • tg α = y/x = y′/x′ = y′, ya que x′ = 1

388

ANEXOS

tg α sen α y x

y x cos α

y x x’

cosec α r’ y’ y

y

sec α r

r’ y

y’

r

x x’

y’

y’ x

x’ cotg α

Figura A4.7. Suma de ángulos (suponemos la circunferencia goniométrica (r = 1)).

• cotg α = x/y = x′/y′ = x′ ya que y′ = 1 • sec α = 1/cos α = 1/(x/r) = r/x = r′/x′ = r′, ya que x′ = 1 • cosec α = 1/sen α = 1/(y/r) = r/y = r′/y′ = r′, ya que y′ = 1 a) Coseno de la suma α cosβ β – senα α senβ β α + β) = cosα • cos(α Esta expresión se demuestra de la siguiente forma (OB = 1) (véase la figura A4.7). cos(α + β) = OC/OB = OC = OD – CD = OD – BE = OA cosα – ΑΒ senα = = OB cosβ cosα – ΟΒ senβ senα = cosα cosβ – senα senβ B

E

α α+β 90˚ A

β α O

C

D

Figura A4.8.

389


b) Coseno de la diferencia α – β) = cosα α cosβ β + senα α senβ β • cos(α Esta expresión se demuestra sustituyendo β por – β εn la expresión del coseno de la suma: cos(α – β) = cos[α + (– β)] = cosα cos(– β) – senα sen(– β) = cosα cosβ – senα(– senβ) = cosα cosβ + senα senβ c) Seno de la suma α + β) = senα α cosβ β + cosα α senβ β • sen(α sen(α + β) = – cos[α + (β + 90)] = – [cosαcos(β + 90) – senαsen(β + 90)] = – [cosα(– senβ) – senαcosβ] = senαcosβ + cosαsenβ d) Seno de la diferencia α – β) = senα α cosβ β – cosα α senβ β • sen(α sen(α – β) = senα cos(– β) + cosαsen(– β) = senα cosβ – cosα senβ e) Tangente de la suma β) α + β) = (tgα α + tgβ β)/(1 – tgα α tgβ • tg(α f) Tangente de la diferencia. α – β) = (tgα α – tgβ β)/(1 + tgα α tgβ β) • tg(α g) Coseno del ángulo doble (caso a: α = β) α) = cos2α – sen2α • cos(2α h) Seno del ángulo doble (caso c: α = β) α) = 2 senα α cosα α • sen(2α

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ANEXOS

i) Tangente del ángulo doble (caso e: α = β) α + β) = (tgα α + tgα α)/(1 – tgα α tgα α) = 2tgα α/(1 – tg2α) • tg(α j) y k) Coseno y seno del ángulo mitad α)/2]½ α/2) = [(1 + cosα • cos(α α/2) = [(1 – cosα α)/2]½ • sen(α l) Tangente del ángulo mitad α)/(1 + cosα α)] α/2) = [(1 – cosα • tg(α

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FUNDAMENTOS DE TECNOLOGIA ELECTRICA GUMERSINDO QUEIJO GARCIA UNED

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