Fundamentos de Sistemas Elktricos de Potsncia
Prof.ManoeiAfonsadeCa~]linkr Coordenadar do LDSP DEE 1 CTG 1 UFPE
Editora Livraria da Fisica
Luiz Cera Zanetta Jr.
Fundamentos de Sistemas Elktricos de Potsncia
Editora Livraria da Fisica SBo Paulo - 2006 - 1"di~Bo
Copyright 2005: Editora Livraria da Fisica Editor: Josk Roberto Marinho Capa: Arte Ativa Impressiio: Grifica Paym Diagramaqgo: Carlos Eduardo de Morais Pereira Ilustraq6es: Ricardo Vianna Lacourt Revisiio do texto: Tiinia Mano Maeta Dados Internacionais de Catalogaqiio na Publicaqiio ( CIP ) (C2mara Brasileira do Livro, SP, Brasil) Zanetta Jhnior, Luiz Cera Fundamentos de sistemas eletricos de potsncia / Luiz Cera Zanetta Jr. - I. ed. - S2o Paulo : Editora Livraria da Fisica, 2005. Bibliografia. 1. Centrais eletricas 2. Correntes elCtricas 3. Energia eletrica - Distribuiq80 4. Energia eletrica - Sistemas 5. Energia eletrica - Transmissgo
6. Linhas elCtricas I. Titulo.
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indices para cathlogo sistemitico: 1. Sistemas eletricos de potCncia : Engenharia eletrica
62 1.3 191
ISBN: 85-88325-41-1
Editora Livraria da Fisica Telefone: (1 1) 3936-34 13
~ww.1ivrariadafisica.com. br
CAP~TULO1 Introduqiio aos Parimetros de Linhas de Transmissso ...................... 5 1.1 Introduqiio ...................................................................................................... 5 1.2 Condutores Utilizados em Sistemas de Potencia ........................................... 6 1.2.1 Resistencia de Condutores ..................................................................... 8 1.2.2 Efeito da Temperatura na Resistencia dos Condutores em Corrente Continua .................................................. 9 1.3 Indutincia de Linhas de Transmiss50 .......................................................... 1 1 1.3.1 Generalidades....................................................................................... 11 1.3.2 Fluxo Concatenado com um Condutor ................................................ 15 1.3.3 Indutincia de um Condutor devida ao Fluxo Interno .......................... 15 1.3.4 Efeito Pelicular .................................................................................... 20 1.3.5 Indutincia de um Condutor devida ao Fluxo Externo ......................... 24 1.3.6 Adiqiio dos Fluxos Interno e Externo ................................................... 28 1.3.7 Indutincia de uma Linha a Dois Fios com Condutores Cilindricos .....29 1.3.8 Fluxo Concatenado com um Condutor por urn Grupo de Condutores ...............................................................31 1.3.9 Linha Bifasica com Condutores Compostos ou em Feixe ...................34 1.3.10Reatincia Indutiva da Linha com Utilizaqiio de Tabelas .....................43 1.3.1 1Indutincia de Linhas Trifisicas com Espaqamento Eqiiilatero............45 1.3.12 Linhas Trifasicas com Espaqamento Assimktrico ...............................47 1.4 Capacitincia de Linhas de Transmissso ......................................................50 1.4.1 Generalidades ....................................:..................................................50 1.4.2 Condutor Isolado ..................................................................................51 1.4.3 Diferenqa de Potencial entre Dois Pontos no Espaqo ..........................52 1.4.4 Capacitincia de uma Linha Bifasica ....................................................53 1.4.5 Linha Trifasica com Espaqamento Eqiiilatero .....................................59 1.4.6 Linha Trifasica corn Espaqamento Assimetrico ...................................62 1.4.7 Consideraqiio de Condutores Compostos ou Bundle ...........................65 1.5 Referencias Bibliograficas ........................................................................... 70
CAP~TULO2 Calculo Matricial de Parimetros de Linhas de Transmissso ...........71 2.1 Introduqiio ....................................................................................................71 2.2 Calculo de Parimetros Incluindo o Efeito do Solo ......................................71 2.2.1 Matriz de Impedincias Skrie ................................................................72 2.2.2 Aplicaqiio do Metodo das Imagens ......................................................73 2.2.3 Solo com Resistividade niio Nula ........................................................76 2.2.4 Efeito dos Cabos-Guarda ..................................................................... 78 2.2.5 Aplicaqso de Componentes Simetricas ................................................83
Fundamentos de Sistemas Elktricos de PotBncia
2.3 Matriz de Capacitincias ...............................................................................88 2.3.1 Consideraqio dos Cabos-Guarda ........................................................-95 2.3.2 Aplicaq5o das Componentes Simktricas no CBlculo de Capacitincia ................................................ 98 2.4 Linhas de Transmissio com Circuitos em Paralelo e Cabos-guarda .........100 2.5 CBlculo Computacional de Parimetros de Linhas de Transmiss50 ...........114 2.5.1 Calculo da Impedincia Skrie (Matriz de Impedincias) .....................114 2.5.2 Calculo da Matriz de Admitincias Capacitiva ...................................118 2.6 Refertncias Bibliogrhficas .........................................................................121
CAP~TULO3 RelapBes entre TensBes e Correntes em uma Linha de Transmiss50....123 3.1 Introduqgo .................................................................................................. 123 3.2 Propagaqio de Ondas Eletromagnkticas em uma Linha de Transmiss50 ..................................................................123 3.3 Impedincia Caracteristica de uma Linha de Transmiss50 .........................127 3.4 Regime Perrnanente em Linhas de Transmiss50 .......................................127 3.4.1 Modelo de Linhas de Transmiss50 com Comprimento Finito ...........130 3.4.2 Quadripolo Equivalente ......................................................................133 3.4.3 Modelo n Equivalente de uma Linha Genkrica (Linha Longa) .........134 3.4.4 Modelo n Nominal ............................................................................. 140 3.4.5 Modelo para Linhas Curtas ................................................................ 141 3.4.6 Modelo T Nominal ............................................................................. 142 3.5 Algumas Propriedades de Quadripolos......................................................143 3.5.1 Associaqio em Cascata de Quadripolos .............................................143 3.5.2 Associaq5o de Quzdripolos em Paralelo ........................................ 1 4 4 3.5.3 Representaqgo de Elementos Concentrados Atravks de Quadripolos ............................................... 145 3.6 Transmiss50 de Potzncia ............................................................................ 146 3.7 Compensaqio Reativa de Linhas de Transmiss50 .....................................150 3.7.1 Linha de Transmiss50 em Vazio ........................................................150 3.7.2 Linha de Transmiss50 em Carga ........................................................ 154 3.8 Refertncias Bibliograficas .........................................................................164 CAPITULO 4 Curto-circuit0 ................................................................................. 165 4.1 Introduqio .................................................................................................. 165 4.2 Modelos de Geradores ...............................................................................167 4.2.1 Motor Sincrono .................................................................................. 170 4.2.2 Motor de Induqio ............................................................................... 170 4.3 Curto-circuit0 Considerando as Condiqdes Pre-falta .................................171. 4.4 Modelo de Carga e Analise Prk-falta .........................................................179' 4.4.1 Modelo de Carga ................................................................................ 179 4.4.2 Estudo das Condiq6es Prk-Falta ......................................................... 180 4.5 Curto Trifasico Equilibrado ...............................
.. n
T!
I
Szimario
.
.
Curto-c~rcu~to Fase-terra ............................................................................ 183 Curto Dupla-fase ........................................................................................ 1 88 Curto Dupla-fase-terra ...............................................................................191 Potencia de Curto-circuit0 ..................................................................... 1 9 5 4.9.1 Potencia de Curto-circuit0 Trifisica .................................................1 9 5 4.9.2 Potencia de Curto-circuit0 Monofisica .............................................. 198 4.10 Refersncias Bibliogrificas ......................................................................... 2 12 4.6 4.7 4.8 4.9
CAP~TULO5 Tratamento Matricial de Redes ...................................................... 2 13 5.1 Introduqiio.................................................................................................. 2 13 5.2 Matrizes para Redes de Seqiiencias ...........................................................2 13 5.2.1 Formaqiio da Matriz Y Considerando os Elementos Indutivos sem M6tuas ..................................................2 13 5.2.2 FormaqBo da Matriz Y Considerando , Elementos Indutivos com Mctuas ......................................................2 16 5.2.3 ObtenqBo da Matriz de Impedincias Nodais ...................................... 2 18 5.3 Matrizes Trifasicas .................................................................................... 220 5.3.1 Formaqiio da Matriz Y Trifisica .........................................................221 5.4 ReferEncias Bibliogrificas ......................................................................... 224
CAP~TULO6 Cilculo Matricial do Curto-circuit0 ............................................... 225 6.1 Introduqzo ..................................................................................................225 6.2 Informaqdes da Rede Pri-falta .................................................................. 225 6.3 Informaqdes da Rede em Falta .................................................................. 226 6.4 Superposiqdes ............................................................................................ 228 6.5 Componentes de Fase ................................................................................ 228 6.6 Cilculos de Curto-circuit0 .........................................................................229 6.6.1 Curto Trifasico ...................................................................................229 6.6.2 Curto Dupla-fase .................................................................................230 6.6.3 Curto Fase-terra .................................................................................231 6.6.4 Curto Dupla-fase-terra ...:...................................................................232 6.7 Refercncias Bibliograficas ......................................................................... 238 CAP~TULO7 Fluxo de Potzncia em uma Rede Elitrica ......................................239 7.1 Introduqiio.................................................................................................. 239 7.2 Anilise de uma Rede Elementar ....................................................... :........240 7.3 Variiveis e Anilises de Interesse ..............................................................244 7.3.1 Barras ................................................................................................. 244 7.3.2 Ligaqdes ............................................................................................. 245 7.4 Consideraqdes sobre o MCtodo Iterativo de Gauss e Gauss-Seidel ...........250 7.4.1 Mitodo de Gauss ...............................................................................250 7.4.2 Fhxo de Potcncia com o Mitodo Iterativo de Gauss-Seidel .............253 7.5 Fluxo de Potencia corn o Mitodo Iterativo de Newton-Raphson ..............254
Fur~damenrosde Sistemas Elkfricos de PotBncia
7.5.1 Mitodo Iterativo de Newton-Raphson ...............................................254 7.5.2 Fluxo de Potencia em uma Rede Elitrica com o Mitodo de Newton-Raphson ................................................... 258 7.5.3 Montagem da Matriz Jacobiana ......................................................... 259 7.6 Fluxo de Potzncia corn o M6todo Newton-Raphson Desacoplado-riipido ......................................................273 7.7 Referencias Bibliogriificas ........................................................................-284 CAPITULO 8 Estabilidade ....................................................................................285 8.1 Introduqiio .................................................................................................. 285 8.2 Modelo Elementar ..................................................................................... 286 8.2.1 Modelo Classico .................................................................................286 8.2.2 Obtenqiio da Curva P x S.................................................................... 286 8.3 Anilise da Estabilidade ..............................................................................289 8.3.1 Elevaqiio da Potencia Meciinica .........................................................291 8.3.2 Ocorrencia de Curto-circuit0 ............................................................. 292 . 8.4 Equaqgo Eletromecanica ............................................................................ 294 8.4.1 Equaqiio de Oscilaqiio (Swing) .......................................................... 294 8.4.2 Critirio das Areas Iguais .................................................................... 296 8.5.1 Modelo Eletromeciinico Simples ....................................................... 300 8.5 Referencias Bibliogrificas .........................................................................312 n
Um sistema elktrico de potsncia 6 constituido por usinas geradoras, linhas de alta tensiio de transmissso de energia e sistemas de distribuiqiio. As usinas geradoras estiio localizadas proximo dos recursos naturais energkticos, como as usinas hidroelktricas estabelecidas nos pontos favoraveis para o aproveitamento dos desniveis e quedas de Bgua dos rios, assim como locais propicios para a formaqiio de lagos e o armazenamento da iigua. Da mesma forma, as usinas tirmicas localizam-se proximo das reservas de coinbustiveis fosseis como o carvgo ou gas. Cabe mencionar que pode ser mais econamico fazer o aproveitamento desses combustiveis por meio de sua queima, geraqiio de calor e sua transformaqiio em energia elktrica, transportando-a via linhas de alta tensiio at6 os centros de consumo, do que efetuar o transporte do combustive1 por veiculos, ferrovias OLI embarcaqdes. At6 mesmo as usinas nucleares, que eventualmente poderiam se localizar proximo aos centros de consumo, por razdes de seguranqa siio instaladas em regides afastadas das grandes cidades. As grandes empresas estatais ou privadas siio normalmente as responsaveis pela geraqiio de energia eletrica, devido ao expressivo aporte de capital necessario nesses empreendimentos. Nas usinas geradoras a energia eletrica e produzida em urn nivel de tensiio da ordem de uma ou duas dezenas de quilovolts, sendo inuito comum a tens50 de 13,8 kV, mas essa 6 uma tens20 baixa demais para que o seu transporte seja economicamente viavel a longas distiincias. Desse modo, utilizam-se transformadores encarregados de elevar esse nivel de tens20 a um patainar superior, que vai de algumas dezenas de quilovolts ate algumas centenas. Essa energia, ao chegar aos grandes centros de consumo, como as cidades e parques industriais, percorre regiaes densamente habitadas, com circulaqiio permanente de pessoas, cuja seguranqa exige a reduqzo do nivel de tens50 a patamares inferiores, novamente sendo muito comum a tens20 de 13,8 kV. Dessa tarefa se encarregam as empresas distribuidoras, que fornecem energia elitrica aos consumidores, geralmente classificados em grupos, como residenciais, comerciais e industriais.
2 Ftrndurnentos de Sisternus Elitricos de Pot6nciu
Fatores macroecon6micos, emprkstimos, juros, variaqdes de preqos internacionais de insumos energkticos, previsdes de demanda e contratos de energia formam o pano de fundo de toda ulna engenharia financeira que deterrnina a viabilidade e o sucesso de cada empreendimento. Tudo isso ocorre ainda ligado a uma tendincia recente de desregulamentaqiio do setor elktrico, ou seja, a grosso mod0 diminuindo a participaqiio estatal na geraqiio, transmiss50 e distribuiqiio, e permitindo a entrada no mercado de um numero maior de agentes empreendedores privados. Apbs mais de um skculo de exploraqiio da energia elktrica, as fontes de energia mais proximas dos centros de consumo ja se encontram em utilizaq50 plena ou quase isso, o que implica a busca de potenciais cada vez inais distantes, com desafios a serem superados no transporte destas grandes quantidades de energia. Embora diversos aspectos ligados aos sistemas elktricos de grande porte, como os anteriorinente inencionados, sejam assuntos palpitantes, nosso interesse neste trabalho k dirigido a um aspect0 extremamente importante neste encadeamento, que k o da transmissiio de energia elktrica por meio de linhas de alta tensgo. Inumeros problemas tkcnicos devem ser superados para que a energia elktrica possa ser transportada atendendo aos requisitos de seguranqa das instalaqdes e das pessoas envolvidas. Aspectos cruciais como confiabilidade, flexibilidade e custos envolvidos no transporte estabelecem o nucleo das aqdes das equipes tkcnicas encarregadas da operaqiio e planejamento dos sistemas elktricos de potincia. Do ponto de vista das linhas akreas de transmiss50, cabe a nbs entender os aspectos basicos dos campos elktrico e magnktico, que estabelecem os fundamentos para a transmiss50 de energia atraves de cabos. Dessa forma trataremos dos aspectos basicos no calculo dos parimetros das linhas de transmiss50, com e sem a presenqa do solo. Em seguida, estabeleceremos a modelagem eleinentar da linha de transmissiio em regime permanente, delineando modelos utilizaveis do ponto de vista da teoria de circuitos, que s5o uteis no chlculo de variaveis elktricas coino tensdes, correntes e potincias, assim como suas relaqdes matematicas. Faz parte ainda de nosso objetivo analisar o calculo das correntes de curtocircuito, principalmente do ponto de vista de sua avaliaqiio para os diferentes tipos j de faltas em redes elktricas, coin o uso das cornponentes simetricas. I . Uin outro tema de nosso interesse e igualmente importante sera a abordagem i do fluxo de potencia em redes pois, como sabemos, os sistemas elktricos s5o constituidos por diversas usinas de geraqiio e centros de consumo, interligados por redes '' elktricas com diferentes configuragdes, que evoluem e se modificain devido a varios fatores. As interligaqdes elktricas na transmissiio permitiram um aproveitamento
1
-
mais econBmico e confiivel dos recursos energkticos e dos equipamentos eletricos. Fari parte de nossa investigaqiio a compreensiio do fluxo desta energia pelos diferentes caminhos possiveis de uma rede interligada, com o seu equacionamento por meio de uma formulaqiio eficiente no calculo das grandezas eletricas envolvidas. Desfrutamos de not6rios beneficios que as interligaqdes de sistemas proporcionam as redes elktricas, como reduqiio de custos e aumento da confiabilidade. No entanto, a partir destis interligaqdes tambem surgiram dificuldades tkcnicas para uma operaqiio estivel dos sistemas diante de perturbaqdes inevitiveis, algumas normais, provenientes de alteraqdes operativas e variaqdes da carga. Outras perturbaqdes siio causadas por curto-circuitos, cuja origem muitas vezes se encontra em tempestades e quedas de raios nas linhas de transmissiio, alem de outros fatores. Desse modo, complementamos o texto com ulna introduqgo a estabilidade de geradores conectados a barramentos suficientemente robustos, conhecidos como barramentos infinitos, introduzindo os conceitos elementares de estabilidade de redes, corn base no modelo clissico de geradores. Mencionamos que o objetivo deste livro foi reunir os elementos de transmissgo de energia elktrica em urn sistema de potencia, particularmente aqueles empregados na cadeira de Sistemas de Potencia I, na formaqiio de engenheiros eletricistas pela Escola Politkcnica da USP. Sua despretensiosa elaboraqiio niio pretende substituir uma vasta e rica literatura de textos clissicos existente sobre o tema, mas apenas condensar aspectos hndamentais empregados em urn curso de graduaqgo. Para sua leitura, o aluno de graduaqiio necessita apenas conhecimentos de componentes simktricas e modelos de equipamentos em valores por unidade, desenvolvidos em cursos mais bisicos. A anilise introdut6ria desenvolvida se ampliar6 num segundotrabalho impresso, ainda em elaboraqiio, abordando aspectos complementares mais avanqados.
4 Fundamentos de Sistemas Elitricos de Potgncia
INTRODUCAO AOS PARAMETROS DE LINHASDE TRANSMISSAO
0 projeto de uma linha de transmissiio envolve c ~ l c u l o selktricos e mec2nicos, pois o bom dimensionamento eletrico esti intimamente ligado a fatores mec2nicos, como por exemplo o dimensionamento das estruturas capazes de suportar o peso dos cabos, rajadas de ventos e outras ocorrencias como rompimento de cabos, etc. Como o cab0 sofre defonna~des,a sua altura em relaqiio ao solo, entre duas estruturas, k inferior A sua altura nas torres. Alkm disso, como os vgos entre torres podem ser irregulares, por exemplo em trechos montanhosos, nas travessias de rios ou de vales, existe a necessidade de uma otimizaqiio do numero de torres e de suas alturas visando reduzir custos, assim como a definir adequadamente o tracionamento admissivel desses cabos nas estruturas. A elevaqiio da tensiio necessita de maior altura dos condutores em relaq8o ao solo, assim como de um inaior distanciamento entre fases, o que implica maiores estruturas de sustentaqiio, freqiientemente methlicas, conhecidas corno torres de linhas de transmiss80. 0 s cabos condutores s8o presos As estruturas por meio de cadeias de isoladores, e siio constituidos por fios encordoados que apresentam caracteristicas elktricas e mecinicas. Do ponto de vista ineciinico destacam-se como variiveis o peso e a resistencia a tragiio, assim como sua flexibilidade, fundamental para a fabricaqiio, transporte e montagem no campo. Do ponto de vista eletrico, s8o importantes variaveis a condutividade e a seqiio condutora. Nosso objetivo basic0 volta-se para os aspectos elktricos fundamentais do chlculo dos parimetros de uma linha de transmissiio, correspondentes As caracteristicas elktricas, dimensdes e espaqamento dos condutores. Com o cilculo dos campos magnkticos e elktricos definiremos os parimetros indutivos e capacitivos das linhas de transmissgo. Na avaliaqzo elementar de parimetros, desenvolvida a seguir, desconsideramos o efeito do solo, mas dele nos ocuparemos em capitulo posterior dedicado a o k m a .
6 Fzrndan?entosde Sistemas Elktricos de Potgncia
Nosso interesse no calculo dos parimetros elktricos justifica-se pela importiincia dessa tarefa, da qua1 siio dependentes e alicerqadas as demais avaliaqdes que se faqam de um sistema elktrico de potzncia.
1.2 Condutores Utilizados em Sistemas de Potencia Uma preocupaqiio basica na seleqiio d i um condutor, definido o material a ser utilizado, cobre ou aluminio, 6 com a area de segiio transversal, que esta associada ao volume de material a ser utilizado e portanto ao custo da transmissiio. 0 s aspectos de custo siio tratados dentro de um t6pico chamado de seleqiio do condutor econamico, que niio sera objeto de nossa anilise. Ao alterarmos o diimetro do condutor, modificamos a densidade de corrente I IS , e conseqiientemente as perdas. 0 s aspectos positivos em aumentar o dismetro siio reduzir as perdas e tatnbkm o gradiente elktrico na superficie do condutor, atenuando o efeito corona. Em contrapartida, isso aumenta o custo da transmissso.
S,
(3
S = irea da se@o
condutora
s 2
Figura 1.1 : Condutores corn raios diferentes. Quando comparamos condutores de cobre com os de aluminio, fixados um mesmo comprimento e uma mesma resistzncia elktrica do circuito, o volume de aluminio sera maior, pois sera necessaria uma seqiio condutora maior para compensar sua condutividade, inferior em relaqiio a do cobre. Apesar disso, devido a maior densidade do cobre, o peso em cobre sera aproxi~nadamenteo dobro em relaqiio ao do aluminio. Isso confere uma vantagem adicional ao aluminio, que pode ser utilizado com estruturas de sustentaqiio mais leves, alkm do seu custo mais baixo. A dificuldade pratica em se fabricar condutores com diimetros elevados implica o uso de cabos formados por diversos fios, denominados cabos encordoados. Quando um so cab0 encordoado niio k suficiente para transmitir a corrente total, adicionamos mais cabos em paralelo, separados por espagadores, formando cabos multiplos. Existem diferentes tipos de condutores, e os mais usados em linhas de transmiss50 siio norrnalmente, por raz6es econ6micas, condutores de aluminio:
..,,
Capitzilo 1. Introdtrpio aos Pardmetros de Linhas
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CA: condutor de aluminio puro. AAAC: condutor de liga de aluminio, de all aluminium alloy conductor. CAA: condutor de aluminio com alma de aqo, cuja denominaqiio muito conhecida em ingles 6 ACSR, de altrminium cable steel reinforced. ACAR: condutor de aluminio com alma de liga de aluminio, de alziminium conductor alloy reinforced.
A '
SeqZo condutora em forrna de coroa
-A Suporte
meciinico de aqo Figura 1.2: Formaqiio 2417 de um cabo CAA que apresenta 24 fios de aluminio e 7 de aqo.
No process0 de encordoamento os fios descrevem uma trajet6ria helicoidal em torno do centro do condutor. Levando-se em conta ainda que os cabos sofrem uma deforrnaqiio provocada pel0 seu peso, o comprimento real 6 um pouco maior que a extensiio da linha !. .
flecha
Figura 1.3: Efeitos de encordoamento e flecha.
!.
: comprimento da linha,
.ere,,
7402.e.
8 Ftrndanlentos de Sistemas Elktricos de Potincia
Da mesma forma, a resistencia total da linha pode ser estimada em urn valor um pouco acima dos obtidos nos calculos.
As perdas nos condutores em corrente continua, devidas ao efeito Joule, s5o representadas por rneio de resistencias, com a seguinte express20 conhecida:
Figura 1.4: Dimensdes de um condutor.
S2o importantes as seguintes variaveis que definem um condutor cilindrico: t : cornprimento do condutor ou da linha (pks, metros, km), r : raio do condutor (centimetros, polegadas), S : area da seqiio do condutor (mm' ou CM = circular mil), p : resistividade do material utilizado, o : condutividade do material utilizado. A area de 1 CM corresponde B area de um circulo com diiimetro de urn milksimo de polegada. A area de 1 MCM corresponde a 1000 vezes a area de 1 CM. Obtemos a seguinte correspondencia entre areas dadas em mm' e CM:
P"----
Capitulo I . I n t r o d z ~ ~aos a " ~Pardmetros de Linhas
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ou aproximadamente em MCM:
Slnln 2 = 0,5SMCM. A resistividade, ou condutividade @padr60ou %dr60), padronizada para urn condutor, e a do cobre recozido. Dessa forrna, para outros processos metalurgicos, podemos estabelecer uma correspondCncia entre suas resistividades corn a padronizada, conforme os exemplos a seguir para o cobre e o aluminio. 0 cobre A tCmpera dura tern 97% da condutividade do a;,,,/,.ii,, apresentando a resistividade p = 1,77 x 1o - ~a m (20 'C) . 0 aluminio A tEmpera dura tem 61% da condutividade do opac/rii,, corn resistividade p = 2,83 x 1o - ~a m (20 'C) .
1.2.2 Efeito da Temperatura nu ResistZncia dos Condutores em Corrente Continua Sem entrarmos em maiores detalhes, a figura abaixo ilustra o efeito conhecido da variaqiio linear da resistCncia em funqiio da temperatura, quando o condutor 6 percorrido por corrente continua.
Temperatura A
Figura 1.5: Grafico temperaturax resistcncia.
com:
R2 -
ITI
R,
I~l+ll'
+ 12
10 Fzrndamentos de Sistemas Elktricos de Potgncia
T = Temperatura de referencia na qua1 a resistencia seria teoricamente desprezivel. T = - 234,5 "C para cobre recozido com 100% de condutividade do o,,,l,fi,, T = - 24 1,O "C para cobre B tempera dura, T = - 228,O "C para aluminio B tempera dura. Para a corre@o da resistencia, em h n @ o de temperatura, utilizamos a seineihanqa de triingulos, tomando a temperatura T em modulo. Vejamos alguns valores tabelados de resistencia de condutores, utilizando o cab0 Grosbeak 636 MCM (636 mil circular mil ou 636.000 CM), com: R, = 0,0268 R / 1000 p6s (CC) . Em corrente continua, passando a unidade de comprimento para milhas, obteinos:
Muitos dados encontram-se tabelados em unidades inglesas e desse inodo 6 conveniente nos habituarmos a trabalhar com as conversdes de unidades para o sistema internacional. A conversZo de 1000 pes para milhas 6 feita da seguinte forrna:
1000 pis -+
0,3048 mi, 1,609
1000 pks-
0,1894 m i .
Corrigindo essa resistencia para 50 "C, obtemos:
Nesse caso, tl = 20 "C, t2 = 50 "C e T = -228 "C. No entanto, cabe mencionar que, em corrente alternada, as resisthcias apresentam um comportainento dependente do efeito pelicular, sendo mais conveniente sua obtenqgo em tabelas fornecidas pelos fabricantes. Para o mesino cab0 Grosbeak, extrairiamos os seguintes valores: R,,
2ooc = 0,1454
R/mi , RacSOoC = 0,1596 Rlmi
.
Capitzrlo 1. IntroduqZo aos Par6rnetros de Linhas
II
1.3 Indutiincia de Linhas de Transmissgo Neste item introduziremos o cilculo de indutiincias de linhas de transmiss80, sem levar em conta a presenga do solo. Antes porkm, recordemos alguns conceitos basicos de fluxo concatenado em espiras ou bobinas, assim como os conceitos de fluxos interno e externo concatenados com condutores.
1.3. I
Generalidades
Figura 1.6: Indutgncia corn nucleo ferromagnCtico. Dada uma bobina, envolvendo um nucleo composto por material ferromagnktico, sabemos que para densidades de fluxo elevadas pode ocorrer a saturaq80 do nucleo e nessa situaggo obtemos indutiincias n5o lineares, que variam com a intensidade da corrente.
L = nBo linear, L = ~ ( i )
Figura 1.7: Curva
4x i .
Nos lneios com permeabilidade magnktica constante, como por exemplo o ar, encontramos uma rela950 linear entre o fluxo e a corrente i, 4 = Li . Nas linhas de transmiss50 aCreas, assurnimos a indutgncia L com urn valor
constante, para qualquer nivel de corrente, adotando p,,. E p o , sendo po a permeabilidade do vacuo. No caso linear, sabemos que:
Analisare~nosa relag50 entre a tens50 e a corrente, em grandezas alternadas no canlpo complexo, aplicando a transfon~~ada de Laplace:
Em reginie per~nanentesenoidal, calculando no ponto s = j w , sendo w a fi-equkncia de excitag50, obte~nosa relag50 fasorial entre tens50 e corrente:
coln a corrente atrasada de 90" em relaggo a tensgo, simplificarnos a notaq50: V = jXI .
(1.2)
Definimos a reatiincia indutiva do bipolo por:
Quando te~noscircuitos relativan~enteprbximos, encontramos uma indutiincia mGtua entre eles, definida pela relaggo entre fluxo concatenado coln um circuit0 devido a corrente no outro.
Figusa 1.8: Indutiincia mi~tua.
-
Cauitzrlo 1. Introduca"~aos Para^melros de Linhas
13
q12o flux0 concatenado com o circuito 1 devido a corrente no circuito 2. Observamas que nesse exemplo o fluxo concatenado corn o circuito 1 corresponde i s linhas de fluxo 2 , 3 e 4 da figura 1.8.
42 =M12I2M I 2 a indutiincia mutua entre os circuitos 1 e 2. 5 = jmM1212. X, = mM1 a reatiincia mutua entre os circuitos 1 e 2. No cilculo de circuitos magnkticos, o fluxo @ ( t )concatenado corn uma espira esti confinado no material ferromagnktico, conforme a figura 1.9.
fluxo condatenado Figura 1.9: Fluxo magnetic0 concatenado com uma espira.
As linhas fechadas de B e H, aqui tambim denominadas linhas de fluxo, envolvern completamente o condutor. Quando temos N espiras, o fluxo concatenado corn a bobina, colocando em skrie todas as espiras, k dado por A = N@,sendo @ , como vimos, o fluxo concatenado com uma espira. A tens20 nos terminais de cada espira k obtida corn a aplicag2o da Lei de Lenz, adotando a conveng20 do receptor. e ( t )=-,d @ sendo el =e7 =... =e,?= e ( t ) dt em todas as espiras. A tens20 nos terminais da bobina e obtida por:
ou:
que pode ser reescrita como:
14 Fundamentos de Sistemas ElLtricos de Potgncia
e admitindo A como o fluxo concatenado com iV espiras em sirie, defini~nos A. = L i , sendo L a indutincia do enrolamento, que se comporta como um fator de proporqiio entre a corrente e o fluxo, nos casos sem saturaqiio.
espiia (vista superior) Figura 1.10: Fluxo concatenado coin N espiras. Quando temos dois condutores longos de comprimento C, espaqados por uma distiincia D, com l>>D , podemos analogamente aplicar o conceit0 de fluxo concatenado com uma espira, definida pel0 retingulo formado pelos dois condutores, desprezando o efeito do fluxo nas duas extremidades. Novamente, as linhas de fluxo envolvem completamente o condutor.
<
C >> D
>
Figura 1.1 1 : Fluxo concatenado corn a espira corn dois condutores paralelos.
Do ponto de vista do circuito elktrico, podemos associar uma indutincia ao circuito formado pelos dois condutores.
Capittrlo I . Introduqfio nos Pardmetros de Linhas
1.3.2
15
Fluxo Concatenado corn urn Condutor
Um conceito importante, que se aplica ao calculo de parimetros de linhas de transmiss50, 6 o de fluxo concatenado corn um condutor apenas. Para isso necessariamente precisarnos fazer uma abstraq5o e supor que o outro condutor, de retorno, encontra-se muito distante, a uma distincia D tendendo ao infinite.
condutor 1 B
I
1
d
J
1
.
----.
X
X
,,-
X
\
,.- - \ '' condutor 1 4 j ,: \
\
\
1
\
D+co
e(t)
I
#'
condutor 2 Figura 1.12: Fluxo concatenado corn urn condutor. Nesse caso, podernos aceitar o conceito de fluxo concatenado com urn condutor. Veremos a seguir, de tnodo bastante simplificado, como tratar o fluxo interno em urn condutor.
1.3.3
Indutcincia de urn Condzitor devida ao Fluxo Interno
Para uma precis50 rnaior no calculo, consideramos a indutiincia interna do condutor. Vejamos como obter essa induthcia, supondo urn condutor solido, corn raio R e segiio S, percorrido por corrente continua corn intensidade I, que apresenta densidade uniforme de corrente em toda a seqiio condutora:
Para isso, fazemos urna extens50 do conceito de fluxo concatenado, definindo o fluxo parcial concatenado em urn condutor, ao calcularmos o fluxo interno, correspondente a uma se@o condutora corn raio r < R .
I6
Fundamentos de Sisten~asElktricos de PotBncia
Figura 1.13: Fluxo interno e externo. Para r < R, calculemos a densidade de fluxo em uma linha fechada. Na figura 1.14 B,,, Br2 e BY3 S ~ densidades O de fluxo internas ao condutor, a distincias q < r2 < 13 < R , etc.
Figura 1.14: Densidades de fluxo internas ao condutor
0 fluxo interno ao condutor, inserido em um elemento tubular de raio r < R e espessura dr, 6 dado pela express50 d@r= B,dr, a ser novamente examinada logo mais adiante. Definimos o fluxo parcial concatenado corn a corrente I,., envolvida por esse elemento tubular, pela expressgo:
Obtemos o vetor H, em um ponto no interior do condutor, a uma distincia r do centro, utilizando a Lei Circuital de Ampere.
Capittrlo I . Introdupio aos Parimetros de Linhas
17
Figura 1.15: Fluxo em urn elemento tubular. Supondo a corrente continua uniforrnernente distribuida pela seqiio transversal, obtemos a corrente interna ao circulo de raio r, corn r < R , dada pela relaqiio de ireas:
Fazendo a circuita@o do vetor intensidade de carnpo magnetic0 H , em urn caminho fechado, obternos:
Corno H , 6 constante a urna distincia r do centro do circulo:
ou:
18 Fzrndamentos de Sisten~asElktricos de Potgncia
Conseqiientemente, como B, = p H , , obtemos: B, =- '"I wb/m2. 2nR2 De posse da densidade de fluxo By, ,calcularemos a indutiincia interna do condutor segundo dois procedimentos distintos, o primeiro por rneio da energia eletromagnktica interna e o segundo por meio do fluxo interno concatenado parcialmente.
Energia eletromagnktica interna do condutor Podemos calcular a energia magnktica interna ao condutor, considerando o volume do condutor em um comprimento unitirio, 1 wmag=? JB, ~ , d v o l =- J /lr212~ v o [ . 2 4
2 (2n) R
Para isso consideremos um elemento tubular, de comprimento unitario, com volume dvol = 2 n r d r , resultando em:
que corresponde A energia magnktica em uma indutincia Li,percorrida por uma corrente I :
Considerando a perrneabilidade do condutor proxima da permeabilidade do vacuo:
obtemos:
Ou seja, a indutiincia interna de um condutor, percorrido por corrente continua, k uma constante que independe das suas dimensdes. Por sua vez, podemos obter o fluxo interno do condutor por meio da relaqiio:
Capittllo 1. Introdu~iioaos Parcimetros de Linhas
19
resultando em:
Figura 1.16: Elemento tubular.
Fluxo interno concatenado parcialmente 0 fluxo incremental em um elemento tubular com raio r e espessura dr C dado pelo produto Brds , sendo ds = d r x 1 , no caso de comprimento unithrio, resultando em:
d@r=-
'
Idr Wblm .
2 n ~ ~
Este fluxo interno d@,. concatena somente a parcela I, de corrente interna, ja obtida anteriorrnente. Faremos a seguir o calculo da induthncia interna empregando o conceit0 de fluxo parcialmente concatenado com um condutor, definido peia expressgo:
resultando em:
20 Fzindainentos de Sisternus Elktricos de PotEncia 3.
dA=- pr
. Idr .
0 fluxo parcial envolve apenas uma parcela da corrente interna do condutor, e desse modo, integrando-o no interval0 0 2 r i R , obtemos:
ou:
Observamos que a idCia de fluxo concatenado esta relacionada com a corrente envolvida pelos enlaces de fluxo, que s5o linhas fechadas, e a indutiincia interna do condutor C definida pela rela@o entre o fluxo concatenado interno total e a corrente total do condutor, que se expressa por:
Admitindo-se p = po = 4x1o
- ~, obtemos:
Esse resultado, coincidente com o da express50 (1.5), demonstra a validade do conceito de fluxo parcialmente concatenado com o condutor. Lembramos que os resultados anteriormente obtidos para o fluxo concatenado so valem para condutores cilindricos percorridos por corrente continua, sendo um conceito tebrico importante para o calculo da indutiincia interna. Do ponto de vista pritico, para os cabos encordoados, veremos posteriomente como abordar essa indutiincia.
1.3.4
Efeito Pelicular
Antes de prosseguir, faremos uma breve e x p l a n a ~ l osobre a dish.ibui@o de correntes internas em um condutor, percorrido por corrente alternada. A densidade de corrente em um condutor percorrido por corrente alternada n2o 6 mais uniforrne, diferentemente do caso de conduq50 em corrente continua, como fizemos na hip6tese adotada na express50 (1.3), obedecendo a uma distribui-
Capittrlo 1. IntroduqCo aos Pardmetros de Linhns
;
21
qlo que depende da permeabilidade e resistividade do material, assim como da fieqiiencia de excitaqlo.
Figura 1.17: Distribuiqgo de correntes corn o efeito pelicular. Esse efeito, conhecido como pelicular, altera a indutincia interna do condutor e tem implicaqdes na avaliaqiio das perdas, quando empregamos corrente alternada, pois ocorre uma concentragiio de correntes do centro do condutor para sua periferia, A medida que a freqiigncia aumenta, o que causa uma elevaqiio da resistencia, corn uma reduqiio na area efetiva de conduqiio. Obviamente, o aumento da concentraqgo de correntes k gradual, do centro do condutor para a superficie externa, niio ocorrendo as descontinuidades indicadas na figura 1.17, apenas ilustrativas do fen6meno eletromagnktico. N5o sera o nosso prop6sito explorar detalhadamente o equacionainento do efeito pelicular, neste texto introdut6rio. Com o objetivo de apresentar os passos do equacionamento, rnencionamos que na deduqiio a seguir siio utilizadas formula~6es basicas do eletromagnetismo, convenientemente elaboradas no campo complexo, em valores fasoriais. Da mesma forma como empregamos grandezas fasoriais de tensdes e correntes, dada a linearidade das relagdes que utilizaremos, k equivalente obter resultados instantineos ou fasoriais em regime permanente. Por exemplo, como ty= LI, sendo L linear, a associaqiio de valores fasoriais aos fluxos, a partir dos fasores de corrente alternada, 6 imediata. Para isso, tomemos um condutor cilindrico de raio R e cornprimento unitario e chamemos a densidade fasorial das correntes J , , no sentido longitudinal do condutor, A uma distiincia radial r 5 R do seu centro.
22 Fz~ndamentosde Sisternas Eldtricos de Potgncia
Figura 1.18: Contornos para aplicagiio das equagbes de Maxwell. a) CircuitaqBo no contorno a , aplicando a Lei de Ampkre, ao longo do circulo de raio r que envolve a corrente contida no cilindro correspondente:
Com a equaq5o (129,trabalhando nesse contornoa, sabemos que a corrente interna do cilindro, com seqiio circular de raio r e Area interna A, 6 funqiio da densidade de corrente Jr :
Das f6rrnulas (1.8) e (1.9) concluimos que:
Diferenciando em relaqBo A r, 6 imediato obter a seguinte expressiio:
b) Circuita@o no retingulo de espessura dr, Lei de Lenz:
Capitt~loI. Introduqa"~aos Pardmetros de Linhas 23 No primeiro membro da equaqiio (1.1 I), como o campo elitrico k longitudinal e proportional A densidade de corrente, E, = pJ,, calculamos a queda de tensgo ao longo do contorno retangularp, adotando o sentido horario. Com relaqiio ao segundo membro, obtemos o fluxo na superficie envolvida por esse contorno.
Exprimindo de forma incremental a alteraqiio da densidade de cowente,
escrevemos: aJr p-dr
a~
= -jwpH,dr.
0 que implica a relaqiio entre J, e H, ,
com a qual podemos eliminar H, da expressiio (1.1 O), resultando em uma equaqiio diferencial de segunda ordem, da densidade de corrente em relaqiio a distiincia radial r ao centro do condutor:
Tal equaqiio diferencial apresenta soluqiio em s k i e bem conhecida, denominada sirie de Bessel de primeira espicie e ordem zero. Chamando m = ,/e conhecida a densidade de corrente na superficie do condutor, JR, escrevemos a expressgo da densidade de corrente interna ao condutor J,., em variiveis complexas, na qual os termos ber e bei, relativos a parte real e a imaginiria das skries, estiio definidos em expressdes matematicas, n5o exploradas aqui.
A figura a seguir exemplifica um possivel comportamento do m6dulo da variivel complexa J,, em funqgo de r, para uma dada freqiizncia de excitaqiio em um condutor cilindrico.
24 Fundamentos de Sistemas El&tricosde PotZncia
Figura 1.19: Densidade de corrente em funqiio da distiincia r ao centro do condutor, em corrente alternada.
Cabe comentar que a indutincia interna corresponde a uma pequena parcela da indutincia total de um condutor. 0 efeito pelicular visto anteriormente reduz ainda mais essa parcela, n8o sendo por isso um aspect0 preponderante no calculo de indutiincias. 0 impact0 mais significativo do efeito pelicular se manifesta na elevaqBo da resistencia e conseqiientemente nas perdas Joule.
1.3.5
Indutincia de urn Condutor devida ao Fluxo Externo
Neste item faremos o cilculo da parcela de indutiincia correspondente ao fluxo externo ao condutor, o qua1 pode ser feito em valores instantineos ou fasoriais, indiferentemente. Como o cilculo anterior de indutincias internas foi feito em corrente continua, voltareinos a empregar essa hipbtese em nossa formula$io. Vejamos como obter uma express50 que forneqa o fluxo confinado em duas superficies cilindricas determinadas pelas distincias D, e D2 ao centro do condutor? que passam pelos pontos I; e P2 mostrados na figura 1.20. Para isso, calcularemos o fluxo na superficie S 2 , apoiada em um plano que passa pelo centro do condutor e contern os pontos 4 e P2, sendo ortogonal a todas as linhas do vetor densidade de fluxo:
Aplicando novamente a Lei de Ampere a um caminho fechado e circular com raio r, r 2 R , do vetor intensidade de calnpo H , , obtemos:
Cauitulo I . Introduciio aos Pardmetros de Linhas 25
elemento tubular
Figura 1.20: Superficies concEntricas de um elemento tubular. Nessa linha circular, como o vetor H , 6 constante, podemos fazerc
H , $ ~ z= I , que resulta em: 2nrH, = I ,
ou:
Sendo o vetor densidade de fluxo dado por:
Observamos que o vetor H , internamente cresce de mod0 linear com a distincia em relaggo ao centro do condutor ( r I R ) e externamente decresce com uma fungiio hiperbblica, em fung8o da distincia ao centro ( r 2 R ) .
26 Fundamentus de Sistemas El&tricosde PotBncia
Figura 1.2 1: Curva H x r.
0 fluxo inserido em urn elemento tubular com raio r e corn espessura dr k dado por:
que, integrado, fornece o fluxo concatenado entre os pontos 1 e 2, ou I j e P2, externos ao condutor:
Observamos que estamos impondo D2 > Dl e que o fluxo externo concatena a corrente uma vez, de tal mod0 que: dQ = d A (N=l). Sabendo que ,LL E p0 = 4 n x 1o - ~ ,a express50 (1.13) tambkm pode ser colocada na forma:
Capitulo I . Introdupio aos Pardmetros de Linhas
..
27.
Esse fluxo, dividido pela corrente do condutor, fomece uma indutiincia parcial, que chamaremos de L12,
ou ainda:
L,, = 2 x 1 0 ln~ D2 ~ Hlkm . Dl Novamente, lembrando o conceit0 de energia arrnazenada em um volume, aqui particularmente empregado na coroa, ou na regiIo tubular externa ao condutor, com comprimento unithrio e compreendida entre os pontos I; e P2, podemos escrever:
na qua1 h o Z = 2nrdr C o increment0 de volume do elemento tubular com raio r e espessura dr.
Temos:
Que resulta na mesma expressgo anteriorrnente obtida em (1.14).
1.3.6
AdiqCo dos Fluxos Interno e Externo
Vejamos como calcular o fluxo total concatenado com um condutor, at6 um ponto P externo ao mesmo, situado a uma distincia D do centro.
Figura 1.22: Fluxo concatenado corn urn condutor desde o seu centro at6 urn ponto externo P.
Calculemos o fluxo total concatenado em duas etapas: @=@i + @ e .
0 fluxo interno, como vimos, 6 dado por:
Observamos que colocando o ponto 1 na superficie do condutor, a uma distincia D, = r do centro, e o ponto 2 coincidente com P, a uma distincia D2 = D do centro, o fluxo externo, empregando a express20 (l.l3), e dado por:
Somando as duas parcelas, interna e externa:
Usando o artificio de escrever:
ficamos com a express2o:
PT*-
Cauitulo I . Introduciio aos Pardmetros de Linhas
29
ou:
ou ainda:
Chamando r' = re-114 de raio corrigido, escrevemos a express50 modificada para o fluxo concatenado:
correspondente ao fluxo concatenado desde o seu centro at6 um ponto externo P. Podemos calcular a indutincia, incluindo todo o fluxo do condutor, do seu centro at6 um ponto P externo, correspondente B energia magnitica armazenada nessa regiiio do espaqo. Tomando a express50 anterior, escrevemos:
1.3.7
Indutdncia de uma Linha a Dois Fios corn Condzitores Cilindricos
Figura 1.23: Linha monofasica a dois fios.
30 Fundamentos de Sistenlas Eldtricos de Potgncia
Consideremos os dois fios a e b da figura 1.23 compostos por condutores cilindricos, com raios externos r, e r2, respectivamente. Observamos que no plano transversal que corta o circuito, se convencionarmos como positivas as correntes que entram no plano, teremos I, = Ie Ih =-I, portanto corn uma soma de correntes nula penetrando no plano transversal. Vejamos como calcular o fluxo total concatenado com o circuito formado pe10s dois condutores espaqados por uma distincia D. A Grea, associada a urn comprimento unitdrio dos fios, 6 dada por D x 1 .
Figura 1.24: Fluxo concatenado corn dois condutores.
A contribuiqgo do fluxo, dada pel0 condutor a, utilizando a express50 (1.17) 6 : Q, = 2 x 10-7 I, In,
D
D corn indutincia parcial L, = 2 x 10-7 1n 7.
rl
r,
A contribuiq50 do condutor b 6 dada por:
D Q~ =2x10- 7Ibin,,D com L~ = 2 x 1 0 - ~in7. r? Y? Observamos que Qa tem sentido hordrio e Qb sentido anti-horirio, de mod0 que podemos som&los na superficie apoiada entre as duas espiras, assim como as indutincias, obtendo a indutiincia total do circuito:
r"I
I
I
Capitulo 1. Introduqiio aos Para^metrosde Linhas
31
Lembremos que essa express20 6 vilida para corrente continua e condutor cilindrico com se@o circular de raio r, exercendo r'o papel de urn raio equivalente. Elaborando a express20 urn pouco mais, obtemos: L=4x10- 7 ln- D e no caso particular de condutores iguais, quando r' = r,'=
6,
Observamos que o n ~ m e r oquatro aparece apenas nas expressaes de linhas a dois fios, quando somamos as indutincias individuais de cada fio.
1.3.8
Fluxo Concatenado corn urn Condutorpor urn Grupo de Condutores
Desenvolveremos, a seguir, urn conceito fundamental no cilculo de indutlncias, quando est2o presentes virios condutores, retilineos e paralelos, percorridos por diferentes correntes. Precisamos ent2o tratar o fluxo concatenado com um condutor devido a um grupo de condutores convencionando como positivas as correntes que penetram no corte transversal do circuito e supondo que a soma das correntes nos condutores seja nula, o que de certa forma nos conduz novamente a idiia de circuito elitrico, ou seja, que deve haver urn retorno de corrente por parte de alguns condutores. Sejam n condutores separados espacialmente por distiincias D, , percorridos por correntes I i , 1 2 i 5 n , de tal mod0 que:
Assumindo um ponto P distante do grupo de condutores, calculemos inicialmente a parcela de fluxo concatenado com o condutor 1 utilizando a formula geral do fluxo concatenado entre os pontos 1 e 2 genericos no espaqo. Faremos o ponto P coincidir com o ponto 2 e o ponto 1 estara situado na superficie do condutor 1 . Incluindo o fluxo interno e utilizando o conceito de raio corrigido, obternos, utilizando a equaqiio (1.16):
32 Fundamentos de Sistemas EIBtricos de Potincia
Figura 1.25: Fluxo concatenado corn urn condutor por urn grupo de condutores.
Empregando a equaqgo (1.13), a parcela de fluxo concatenado com o condutor 1, devida ao condutor 2 6:
Supomos ainda que o fluxo entre os pontos 1 e P, devido ao condutor 2, ngo altera as linhas de fluxo j i existentes do condutor 1. Estendendo esse resultado aos demais condutores, fazemos a superposiqiio dos fluxos, escrevendo genericamente:
que pode ser desmembrada na seguinte expressgo:
Utilizando a restriqgo imposta de soma de correntes nula, escrevemos:
-
Cauitulo I . Introduciio aos Par2rneti-os de Linhas
33
que, substituida na equago anterior, fornece:
ou ainda:
4,= ~
I
1 1 I , 1n7+12 In-+ rl Dl 2
...+ I,
X I O - ~
I, ln-+
P
DnP
I2In-
P
DnP
1 In-+ Dl t7
+ ... -t- It7-l ln D(.-l)P Drip
Deslocando o ponto P a uma distincia muito grande do condutor 1, tendendo ao infinito, os quocientes Dip 1D, tendem ao valor unitirio e conseqiientemente os limites: "P'
(Dip 1Drip )
siio nulos, resultando em uma expressgo mais simplificada do fluxo concatenado com o condutor 1:
A expressgo (1.19) apresenta um resultado interessante, que sera a base de nossas avaliagaes de fluxos concatenados com condutores, na presenya de outros, percorridos por correntes submetidas a restriggo de apresentarem uma soma nula. Voltemos ao caso simplificado da linha a dois fios, corn o intuit0 de avaliar essa expressiio, aplicando agora o conceit0 de fluxo concatenado corn urn condutor por um grupo de condutores. Para a fase a, escrevemos:
como Ih =-I,, convencionando como positiva a corrente I, que penetra no plano transversal aos condutores.
34 Fundamentos de Sistemas Elktricos de PotBncia
resultando em:
Desse modo, associamos uma indutincia ao condutor a, dada por:
e analogamente para o condutor b,
e desse mod0 obtemos a indutincia total da linha a dois fios:
L = L,
+ Lh =4x10- 7 ln-
D
Verificamos assim a equivalencia dos procedimentos, ao compararrnos as equa@es (1.1 8) e (1.20). No cilculo de indutincias de linhas de transmissiio, corn varios condutores dispostos espacialmente, usaremos o conceit0 de fluxo concatenado com um condutor, por urn grupo de condutores, que facilita o cilculo.
1.3.9
Linha B fbsica corn Condutores Compostos ou en7 Feixe
Veremos a seguir como tratar o caso de uma linha bifisica, na qua1 cada fase 6 composta por um conjunto de subcondutores, o que introduz algumas vantagens na transmissgo de energia eletrica. Uma primeira vantagem C aumentar a capacidade de corrente de cada fase da linha de transmissiio, pois cada condutor tem urn limite miximo de corrente admissivel. Uma segunda vantagem, igualmente importante, 6 diminuir a indutincia equivalente de cada fase, conforme veremos-a seguir. Esse conjunto de subcondutores C chamado de feixe, tambCm conhecido como bundle, na sua denominaq50 original em ingles.
--
Capittilo I . Introdupio aos Para^metros de Linhas
35
Figura 1.26: DisposigBo espacial dos subcondutores.
Cilculo da indutincia da fase a, L, Tomemos o caso corn n subcondutores na fase a e rn subcondutores na fase b, conforrne a figura a seguir. fase a
+I
fase b -I
Iln
carga Ilm
n sub-condutores
m sub-condutores
Figura 1.27: Linha bifasica corn n subcondutores na fase a e m subcondutores na fase 6 .
0 cilculo sera desenvolvido em quatro etapas: com o subcondutor 1 da fase a. l a etapa: Cilculo do fluxo concatenado 2a etapa: Calculo da indutincia desse subcondutor, percorrido por uma corrente I, .
3a etapa: Cilculo da indutincia mCdia dos subcondutores de uma inesma fase, estendendo o resultado aos demais subcondutores.
36 Fundamentos de Sistenlas Elktricos de PotEncia
4" etapa: Cilculo da indutincia equivalente dos n subcondutores em paralelo. .-
Calculamos inicialmente o fluxo concatenado com o subcondutor 1, devido B contribuiqiio do conjunto correspondente ii fase a . Faremos ainda uma hip6tese adicional, admitindo tambkm que os subcondutores s5o aproximadamente iguais e que as correntes se distribuem igualmente por todos os subcondutores. Desse modo:
Nesse caso, calculemos o fluxo concatenado com o condutor 1, devido ao conjunto a , lembrando que nessa parcela contribuem apenas os subcondutores dessa fase:
Em seguida, obtemos o fluxo concatenado com o condutor 1 da fase a , devido ao conjunto 6 , considerando a parcela do fluxo correspondente aos condutores da outra fase, assumindo as mesmas hip6teses de subdivisso de correntes entre condutores da fase b.
resultando no fluxo concatenado total com o condutor 1, colocado na fonna compacta:
$Il =$Il, +$Ilb =2x10- 7 I l n ~
D 1~D12/...Dlm~ I
-4
No numerador, encontramos a media geomktrica das distincias do subcondutor 1, da fase a, a todos os subcondutores da fase b. No denominador encontramos a mkdia geomktrica do raio corrigido do subcondutor a com as distincias a todos os subcondutores da pr6pria fase a. Para o condutor 2, escrevemos analogamente:
--
Capitulo I . Introdupio aos Pardmetros de Linhas 37
Estendendo esse resultado aos demais subcondutores, obtemos as indutlncias individuais de cada um, fazendo a divisiio do fluxo pela parcela de corrente I l n :
=A= ~ X Iln
Dlm)
It...
I O - ~ ~ I ~
d.;o12' q D 21.. ..Dzm.
L, = A = 2 x 1 0 - ~ n i n
d41r;..4,'
Iln
L, = >@= 2 x 1 0 Iln
7
nln
d.-
I
..- ~
n n i
Calculando a indutlncia m i d i a z dos subcondutores da fase a (conjunto a), fazendo a soma das expressdes logaritmicas:
Como os n subcondutores estiio ligados em paralelo, a indutiincia do conjunto a 6 dada por:
que pode ser recalculada da seguinte foma:
Introduzimos entiio o conceito de distlncia midia geomitrica mutua, entre os conjuntos de subcondutores das fases a e b. Observe que os conjuntos a e b nHo tCm correntes em fase, sendo que nesse caso particular, na realidade, as correntes estzo em oposiqiio de fases.
Da mesma forma, apresentamos o conceito de raio equivalente do conjunto de subcondutores a ou distlncia midia geomitrica pr6pria do conjunto a. Lernbra-
38 Fundamentos de Sistemas Elktricos de PotGncia
mos que todos os subcondutores do conjunto a apresentam a mesma parcela de corrente em mbdulo e sinal I / n , subdividida igualmente por todos os subcondutores. Em corrente alternada admitimos uma hipbtese semelhante, supondo as correntes com o mesmo m6dulo e fase em todos os subcondutores. Para evitar confus2o de nomenclatura, passaremos a chamar a distincia tnedia geomktrica propria de raio equivalente do conjunto de subcondutores (ou bundle) de uma fase. A letra z tem a finalidade de especificar o cilculo voltado para impedincias ou reatiincias indutivas da linha de transmiss50 que, como veremos, sera um pouco diferente do cilculo de capacitiincias. Definimos o raio equivalente da fase a:
Finalmente, escrevemos a express20 da indutincia da fase a na sua forma compacta: 7
Lo = 2x10- ln-.
DMG req"',
Chlculo da indutiincia da fase b e total Analogamente, obtemos a indutincia do conjunto b: 7
Lb =2x10- ln-,
DMG
resultando para a indutiincia total da linha bifasica:
Colocando essa express50 na forma usual, obtemos:
DMG L = ~ x I o -,-. ~ ~ ~
Se as fases possuirem caracteristicas identicas, teremos reqzo= r,L4-- , resultando em uma expressgo aniloga A obtida anteriormente para a linha bifisica a dois fios.
Capittilo I . Introduq60 aos Pardmetros de Linhas
? I
DMC
39
linha bifhsica a dois fios
I
Figura 1.28: Cilculo da indutiincia.
Linha com a fase constituida por condutor cilindrico:
Linha com um feixe de subcondutores em cada fase: 7 DMG L, = 2x10- In------,
na qua1 rev," C o raio equivalente da fase a. Em vez de continuarmos usando o raio corrigido do condutor s6lido r', valid o para corrente continua, passaremos a utilizar o raio mkdio geomktrico, rmg, valido para cabos encordoados e corrente alternada, que leva em conta a mkdia geometrica das distincias entre os fios que cornpaern um cab0 encordoado, de forma semelhante ao conceit0 anterior de mCdia geomktrica propria dos subcondutores de uma fase, alCm de levar em conta a disposiqZo dos condutores em torno do suporte meciinico no caso de cabos CAA (ACSR). Em geral, n5o fazemos o chlculo do raio mkdio geometrico, sendo o mesmo obtido de tabelas de condutores, assim como as demais caracteristicas elCtricas ou mecinicas do cabo, fornecidas pelos fabricantes.
40 Fundamentos de Sistenlas El~tricosde Potkncia
Como exemplo, a linha com a fase constituida por um cab0 encordoado apresentaria a indutincia:
L, =2x10- 7 ln-. D rmg Resumo da nomenclatura para distincias medias geometricas proprias Faremos aqui um breve resumo da nomenclatura adotada para os subcondutores de uma fase. a) Condutor solido e o seu raio corrigido v', que 6 um conceito mais teorico, com a finalidade de incluir o fluxo interno do condutor em corrente continua.
w Figura 1.29: Condutor cilindrico.
b) Cabo encordoado, para o qua1 usaremos uma extens50 do conceito de distincia midia geomktrica propria, expressa pelo raio midio geomktrico rmg. No caso pratico de feixes de cabos encordoados e corrente alternada, trocamos r' pelo raio midio geomktrico rmg e as expressdes se mantern.
Figura 1.30: Cabo condutor encordoado. c) Feixe de subcondutores cilindricos e o seu raio equivalente:
Figura 1.31 : Feixe de condutores cilindricos.
Cauitulo I . Introductio aos Pardmetros de Linhas 41
d) Cabos encordoados em feixe. A expressgo a seguir k utilizada em casos praticos em corrente alternada.
Figura 1.32: Feixe com n cabos encordoados. Na realidade, os programas existentes de cilculo de par5metros nZo utilizam o conceito do raio mkdio geomktrico, tratando os cabos encordoados como condutores tubulares, utilizando fbrmulas relativamente complexas para correqdes de concentraqaes de correntes em funqSio da freqiiencia. Nessa etapa do nosso curso, introdut6ria ao cilculo de pariimetros, continuaremos utilizando o conceito de raio mkdio geomktrico, que k suficientemente preciso para os nossos prop6sitos. Assim, substituimos o bundle percorrido pela corrente I por um condutor equivalente, dado pela distfincia mkdia geomktrica pr6pria do bundle, ou raio equivalente, o que facilita muito os cilculos. 0 s casos priticos de cabos em feixe apresentam sempre subcondutores iguais espaqados uniformemente, circunscritos em um circulo. A simetria dessas configuraqdes permite um cilculo mais simples, como veremos a seguir, nos casos mais comuns de 2 , 3 e 4 subcondutores em um mesmo feixe. a) Caso de dois subcondutores:
Figura 1.33: Disposiqiio espacial de dois subcondutores em feixe. e : espaqamento entre subcondutores.
42
Fundarnentos de Sistemas Ele'tricos de PotBncia
A distincia mCdia geomktrica pr6pria D,,segundo a referencia [2] ou raio equivalente, re,, , C dada por:
Para a resistzncia equivalente do feixe, adotamos:
sendo R,, a resistsncia em corrente alternada para cada condutor, em uma dada temperatura. b) Caso de tres subcondutores:
Figura
Disposi~iioespacial de trts subcondutores
feixe.
Para a resistencia equivalente:
c) Caso de quatro subcondutores:
Figura 1.35: Disposiqiio espacial de quatro subcondutores, em feixe.
Capittilo I . Introduqlio aos Par2metros de Linhas
43
Para a resistencia equivalente:
0 raio equivalente tambBm pode ser calculado, genericamente, pela expressgo a seguir, conhecido o n ~ m e r ode subcondutores e o raio do circulo circunscrito R:
Lembramos ainda que, na nomenclatura da referencia [2], temos:
Ds = re, , Dm = DMG . A distPncia DMG tambim B conhecida por distlncia equivalente, ou D, .
1.3.I0
ReatZncia Indzltiva da Linha corn Utilizaqiio de Tabelas
Apesar do menor uso de tabelas atualmente, vejamos como utilizar os valores de reatincias indutivas Xi constantes destas tabelas [2,3] que se referem sempre a = rmg e D,, = DMG, e apresentam normalum condutor por fase, nesse caso D,, mente valores em unidades inglesas. Dada a reatlncia distribuida de um condutor, em Qlkrn, sabemos que:
Xi = 2nfl
(2nf = w ) ,
Xi= 2 n f 2 x 1 0 - ~ni-
DMG
=4nf
In-
DMG
Qlm .
Passando a unidade de comprimento para milhas:
X i (R/mi) = Xi(R/krn)x 1,609 ; Observamos que na referencia [2] as expressdes usam log (logaritmo na base 10) em vez de In (logaritmo na base e):
X, = 2,022xl0"fln-
DMG rmg
Separando em duas parcelas:
Q/mi
.
44 Fundarnentos de Sisternas Elktricos de Pot&ncia
Xu 6 definida como a reatincia do condutor para espaqamento de 1 pk: X, = 2 , 0 2 2 ~ 1 0 f- ~ln-
1
.
rmg Observamos que, dispondo da reatincia X u , obtemos o raio midi0 geomitrico em p6s, ou seja, essa 6 uma maneira indireta de fornecer o raio medio geometrico do condutor. Xd 6 o fator de espaqamento, tambCm em pCs:
EXEMPLO 1 Calcular a reatincia da fase a de uma linha bifisica com cab0 Grosbeak, com a geometria indicada abaixo:
I
I I
25 p t s
I I 1
Figura 1.36: Disposi@o espacial de dois condutores coln cabo Grosbeak.
D,, = DMG = 25 pes . Consultando uma tabela de cabos, obtemos: Grosbeak 636 MCM; 26(A1)/7(aqo),
X, = 0,4 12 Q/mi para 1 p6 de afastamento. Sabemos tambCm que a reatincia de uma fase 6 dada por:
xi= 2 , 0 2 2 ~10-~.fin---,DMG
Capitulo I . Introduqiio aos Pardmetros de Linhas 45
Xd = 0,391 nlmi,
Xi= 0,803 Qlmi. No caso de linha bifisica a dois fios, multiplicamos o resultado por 2:
Xi= 2 x 0,803 = 1,606 Qlmi . 1.3.11 Indutdncia de Linhas Trijibsicas corn Espaqarnento Equilbtero Vejamos o cilculo da indutincia de uma fase, em um sistema trifasico. Em corrente alternada, no caso de um condutor, utilizamos o rmg e no caso de cabos em substituindo os subcondutores de uma fase pel0 condutor feixe utilizamos o r, com raio equivalente, concentrico corn o circulo que circunscreve o feixe.
Figura 1.37: Linha trifhsica com espaqamento equilatero D. Novamente, admitiremos que a soma das correntes trifisicas 6 nula, conforrne as hip6teses adotadas para o chlculo do fluxo concatenado corn um condutor por urn grupo de condutores. Esse artificio nos perrnitiri introduzir uma simplificagiio significativa, com boa aproximaqiio, no chlculo da distiincia media geomktrica mhtua (DMG).
Essa restriggo corresponde a assumir que niio temos corrente de seqiiencia zero na linha, ou seja, que os resultados seriio razoaveis apenas para a seqiiencia positiva. Supondo as tres fases identicas, calculamos o fluxo concatenado com a fase n aplicando a equaqiio (l.l9), trocando r' por reqZ, obtemos:
Sabendo que:
46 Fundamentos de Sistemas Elitricos de Potgncia
I,
+ I, + I, = 0 =3I, + I,
= -I,
,
resultando ern:
ou:
m = 2 x 1 0 - ~I~
[ ): in-
Obteinos a indutincia da fase a:
L, = 2x10- 7 In- D H/m req:
Figura 1.38: Sistema trifhsico equilibrado.
Observamos que, nessa estrutura particular, o valor de DMG coincide com o espaqamento entre fases D, pois:
Verificamos tambkm que a indutincia (ou reatincia) de urna fase relaciona tensdes e correntes que compdem um sistema trifasico simktrico e equilibrado e, portanto, as tensdes e correntes de urna fase estiio referidas a urna tens50 de neutro nula.
EXEMPLO 2 Dada urna linha com espaqamento equilitero, com D = 25 pks e um cab0 Grosbeak por fase, calculamos a reatincia de urna fase aplicando (1.29): Consultando urna tabela sabemos que: rmg = 0,0335 pks :
--.
Cauitzrlo I . Introduca'o aos Pardmetros de Linhas
47
25 = 0,499 Rlkm , x = m ~ = m x 2 ~ 1 0 - " 10,0335 n que corresponde a 0,803 Rlmi, conforme o exemplo anterior. Observamos que DMG e r,, devem estar na mesma unidade.
1.3.12 Linhas Trfbsicas corn Espaqarnento Assirnktrico No caso de linhas trifisicas com espaqamento assimktrico, o cilculo da indutincia de uma fase com as expressdes anteriores so k possivel em linhas com transposigiio. Calculamos o fluxo mkdio, concatenado com o condutor da fase a (ou bundle), supondo as fases a , b e c com a mesma composiqiio de subcondutores. Introduzimos a idkia de transposigiio dos condutores, tomando o fluxo mkdio concatenado nos tris trechos da linha de transmiss80. Observamos que cada condutor ocupa, em cada trecho, uma das tris possiveis posiqdes distintas, resultando em um fluxo mkdio para cada condutor ao longo da linha de transmissiio. Desse modo, subdividimos a linha em tris trechos I, I1 e 111, com uma rotaqiio das posigdes ocupadas por cada condutor, conforrne a figura a seguir. trechos
I
I a
I I
I I I
b
el3
Carte transversal dos condutores no trecho I
c
1
I
I I
II
b
a I I
t/3
1
I w z,
I
I
I11
c
b I I I w
(
I I
a
c
c 3
I1
I
e
I
r
C 13 )
I 'I
Posicgo aQea dos condutores Figura 1.39: Linha trifasica corn espagamento assimetrico. Consideremos uma linha com feixes de mesma caracteristica reyzo= reyzh- rep e assumiremos que os condutores sofreriio uma rotaqzo no sentido antihoririo. 0 s fluxos mkdios em cada fase seriio obtidos pela mkdia dos fluxos concatenados em cada trecho da linha.
48
Fundamentos de Sistemas Elitricos de Potkncia
Obtemos o fluxo concatenado corn a fase a no trecho I:
c
3
Figura 1.40: Trecho I.
Para o trecho 11:
b
Figura 1.41 : Trecho 11.
3
----
Capitzrlo I . IntroduqZo aos Pardmetros de Linhas
49
E tambkm para o trecho 111: I, ln-+
1
Ibln-+
1
reqz
I, In-
3
a
3
Figura 1.42: Trecho 111.
0 fluxo mkdio concatenado, com o condutor da fase a, C dado pela media aritmktica:
Como Ib+ I, = -Ia, escrevemos:
h=
,
2~10-~ D D D v424,4, 1,1n l 2 233 l 3 = 2 x l 0 - ~ 1 ~ 1 n req;
req,
Resultando na indutincia da fase a:
7
L, =2x10- In-,
DMG
'eqz .A
na qua1 a distgncia mCdia geomktrica mutua DMG k dada por:
DMG = ~
D
~
.~
D
~
~
D
~
~
50 Ftrndamentos de Sistemas El&tricos de Potgncia
1.4 Capacitgncia de Linhas de Transmissgo 1.4.1
Generalidades
Neste item apresentaremos o cblculo de capacitlncias de linhas de transmiss%o,ainda sem levar em conta o efeito do solo. Ao energizarmos condutores aCreos por meio de urn gerador, mesmo sem alimentar nenhuma carga, observaremos uma corrente capacitiva fornecida pel0 gerador. Tal efeito t semelhante ao de energizarmos um capacitor com duas placas em paralelo, conforme o caso da linha bifisica da figura 1.43.
Figura 1.43: Linha bifisica corn dois fios.
Aplicando-se urna tensb altemada, a cada semiciclo as polaridades se altemam. + + + + + + + + + + + +
+ + + + + + + + + + + + Figura 1.44: Semiciclo positivo e semiciclo negativo.
Capittrlo I . Introdug60 aos Parcimetros de Linhas 51
Ao associarmos uma capacitincia C = QI V aos condutores, obtemos uma relaq5o entre tens50 e corrente, dada pela admitincia (susceptincia) capacitiva da linha, sendo vilida a equaq5o em valores fasoriais:
I = jwCV
1.4.2
.
Condzltor Isolado
Suponhamos urn condutor cilindrico isolado no espaqo, carregado corn uma densidade de carga Q por unidade de cornprimento.
Figura 1.45: Campo elktrico de um condutor isolado.
R: raio do condutor. r: raio da superficie cilindrica, r > R. A carga do condutor C obtida por meio do cilculo do fluxo do vetor deslocam e n t o d , em uma superficie cilindrica externa ao condutor, com raio r e comprimento unitirio, o que corresponde i aplicaq5o da Lei de Gauss:
Sabemos que o vetor deslocamento d (densidade de fluxo) e o campo elttrico est5o relacionados pela relag50 constitutiva: d=&E, na qua1 r C a permissividade do dieletrico.
E
52 Fundamentos de Sisternas Ele'tricos de PotBncia
Como as linhas do campo elktrico siio radiais e portanto normais A superficie cilindrica que envolve o condutor, a densidade de fluxo k constante nessa superficie, simplificando o calculo:
A Area de uma superficie cilindrica corn raio r e comprimento unitario k dada por:
Obtemos entiio o campo elktrico em uma linha radial, a uma distincia r do seu centro:
Observamos que, como niio temos cargas internas no condutor, o c~lculodo campo elktrico s6 tem interesse a uma distincia r do centro, tal que r > R . Desse modo, considerando a distribuiqiio de cargas na superficie do condutor, diferentemente do calculo de indutincias, niio ha necessidade de considerarmos efeitos internos como as correqbes do raio efetivo. Sendo assim, o raio do condutor, a ser utilizado nos cilculos, sera sempre o seu raio externo. Em contrapartida, para o calculo do campo externo, em vez de considerarmos a carga distribuida na superficie do condutor, resulta em boa aproximaqiio considera-la concentrada no centro desse condutor.
1.4.3
Diferenga de Potencial entre Dois Pontos no Espago
/ Figura 1.46: Condutor e dois pontos do espago.
Capitulo 1. Introdu~Coaos Pardmetros de Linhas
53
De posse da express50 do campo elCtrico, calculamos a diferenqa de potencial entre dois pontos quaisquer do espaqo, 1 e 2, onde Dl e D2 s50 as distiincias entre o centro do. condutor e os pontos 1 e 2 no espaqo, que est5o localizados em superficies concC!ntricas e equipotenciais. Como a diferen~ade potencial entre os pontos 2 e 2' 6 nula, pois a superficie cilindrica 6 equipotencial, faremos o calculo em uma linha radial que passa pelos pontos 1 e 2'. Observamos que estamos utilizando o simbolo D para as distlncias, que n l o deve ser confundido corn o vetor deslocamento d . Esta express50 sere fundamental para o cilculo de capacitiincias de linhas de transmisslo, a ser utilizada nos itens a seguir.
1.4.4
Capacit2ncia de uma Linha B fbsica
Linha bifhsica De posse da expressgo fundamental da diferenqa de potencial entre dois pontos no espaqo, externos ao condutor, podemos dar inicio ao calculo de capacitiincias de linhas de transmisslo, comeqando pela linha bifhsica. \
\
Equipotencial que intercepta o condutor 2
'\, \ \
/ / / /
,
/
/
,, /
I
Figura 1.47: Linha monofhsica a dois fios.
A hip6tese bisica de calculo utilizada C que a soma das cargas dos condutores 6 nula.
54
Fundamentos de Sistemas Elktuicos de PotPncia
Ou seja, admitiremos, por hipbtese, que a soma das cargas k nula, mesmo no caso de n condutores no espago:
Calculemos inicialmente a diferenqa de potencial entre os condutores 1 e 2 devida apenas ti carga do condutor 1. 0 cilculo da diferenqa de potencial entre os dois condutores k feito entre o ponto 1, localizado na superficie do condutor 1, e um ponto 2 no espaqo, localizado em uma linha equipotencial que intercepta o condutor 2 e passa pel0 seu centro. Embora o condutor 1 n5o tenha carga no seu interior, para efeito de cilculo assumiremos uma carga filiforrne, localizada no seu centro. Como a distiincia D entre os eixos 6 bem maior do que o raio dos condutores, D >> q e D >> r2, assumiremos que esta aproximaqiio no cilculo do campo elktrico, nas proximidades da superficie do condutor, niio introduz uma variaqgo significativa no cilculo da diferenqa de potencial entre os pontos 1 e 2. Com relaqiio A fbrmula (1.36), D2 corresponde a D e Dl corresponde a rj .
A diferenqa de potencial devida ti carga do condutor 2 e obtida com a mesma expressiio, considerando-se esta carga tambkm como filiforme e localizada no centro do condutor. Na aplicaqiio da fbrrnula bisica, isso corresponde a fazer D2 = r2, pois o ponto 2 esta localizado na superficie do condutor 2, e Dl = D .
Superpondo o efeito dos dois condutores na diferenqa de potencial, encontramos:
llPC
Capifulo I . Introduqzo aos Parrimetros de Linhas
55
ou:
que pode ser representada como:
No caso particular demaior interesse, quando r, = r2 = r , obtemos:
Desse modo, a capacitincia entre os condutores 1 e 2 6 dada por:
Nota: r sera sempre o raio externo, mesmo no caso de cabos encordoados. Normalmente, estamos interessados em uma capacitincia fase-neutro e usaremos o artificio de considerar a capacitincia entre os condutores 1 e 2 como a composiqiio serie de duas capacitincias iguais dos condutores para o neutro. Observamos que na figura abaixo o ponto n e considerado no potencial zero.
Figura 1.48: Capacitiincia fase-neutro.
56 Fundamentos de Sisternas Elitricos de Potgncia
Capacitincia fase-neutro da linha bifisica:
Ao alimentarmos uma linha bifisica com dois condutores, mesmo sem carga, encontramos uma corrente capacitiva, dada por:
Figura 1.49: Energizaggo da linha.
Essa corrente capacitiva ocorre em todas as linhas d e transmissgo, quando aplicamos tensiio nos terminais da linha em vazio, sendo essa operaqiio conhecida na pritica como energizagiio da linha. A admitiincia da linha, ou mais corretamente a susceptincia, pois desprezamos a condutincia, 6 dada pela expressiio:
Aumentando o comprimento da linha !, aumentamos a capacitgncia total e conseqiientemente a admitincia Y,, que siio proporcionais ao coinprimento da linha e desse mod0 aumentamos tambCm a corrente. Esta tambim aumenta se elevarmos a tensiio de alimentaqiio.
Capitulo I . Introdu~iioaos Pardmetros de Linhas 57
Podemos definir uma reatincia capacitiva para a linha: -
1
X c t o t a ~--
--
1
wc,,e rce
Om.
A reatincia capacitiva i inversamente proporcional ao comprimento. As tabelas contendo caracteristicas elitricas de condutores podem apresentar informaq6es das reatiincias capacitivas fase-neutro. Vejamos como utiliza-las: Reatsncia por fase (fase-neutro) Consideremos a permissividade do ar como igual B do viicuo:
Obtemos a expressgo da reatincia capacitiva fazendo:
xc=-
Xc =
1
-
1
-
1
- 2,862x109 ln-,D
f
2,862x109
f
r
1,779x106 D D = In- Omi . In- Qm ou X,, f r r
Que pode ser desmembrada em:
X; : Reatincia capacitiva para afastamento de 1 pi, com o raio r dado em p i s (1 p i = 12 polegadas). X; : fator de afastamento (ou espa~amento)da reatincia capacitiva em pis.
EXEMPLO 3 Vejamos o caso do cab0 Grosbeak, com diimetro externo D,,, = 0,99" (lembramos novamente que para o cilculo de capacitincias usamos o raio externo, e ngo o rmg do condutor). Consideramos nesse caso um afastamento D = 20 pes. Da tabela, para o cab0 Grosbeak, obtemos a reatgncia para espaqamento de 1 p i :
58
Fundamentos de Sistemas El&tricosde Potgncia
Calculamos o fator de espaqamento:
Resultando em uma reatincia de 183.420 Qmi . Obtemos o raio externo em pis, para trabalhar com a mesina unidade do espaqamento entre fases.
E podemos aplicar a formula da reatincia para uma fase:
que praticamente coincide com o resultado anterior. Para uma linha de 100 milhas, obteriamos a reatincia total fase-neutro:
Neste ponto, i conveniente efetuar o mesmo chlculo, a partir da admitincia de uma fase para o neutro, utilizando a express50 (1.41):
Nota: Conforme veremos no capitulo 2, podemos trabalhar com o inverso da capacitincia:
Calculamos a admitincia da linha:
Yc = 3 , 3 9 ~ 1 0 " Slkrn.
-
Capitulo 1. Introduqiio aos Parimetros de Linhas
59
Para um comprimento de 100 mi, correspondente a 160,9 km, obtemos a adrnitiincia total da linha:
que corresponde a uma reatiincia de:
Xc,o,,I = 1833,3 fi (reatiincia de uma fase para o neutro). Verificada a equivalhcia dos dois procedimentos, comentamos que o calculo da capacitiincia tornou-se tiio rotineiro, que niio ha necessidade de extrairmos os valores de reatiincias das tabelas. Podemos calcular a corrente capacitiva da linha monofisica a dois fios:
Para uma tensiio entre condutores de 200 kV:
1.4.5
Linha TvifGisica corn Espa~amentoEquildtero
Vejamos como obter a capacitiincia fase-neutro de uma linha trifiisica corn espaqamento equilhtero.
Figura 1 S O : Linha trifasica corn espaqamento equilhtero.
60 Fundamentos de Sistemas Elktricos de Potincia
Adotaremos a restriggo de que a soma das cargas nas tr2s fases e nula, ou seja, nesse desenvolvimento admitiremos apenas seqiihcia positiva para cargas e tensdes.
Em um caso generic0 corn n condutores, generalizaremos esta condiqiio, para:
Admitiremos ainda que os condutores siio iguais, corn o mesmo raio externo. Para obter a capacitincia fase-neutro, necessitamos calcular inicialmente as diferengas de potenciais fase-fase, lembrando que a diferenga de potencial entre dois pontos, 1 e 2, no espago e dada pela equagiio basica (1.36),
Nesse caso, calculando as diferenqas de potenciais entre fases, VOh e Vh,, superpondo a contribuiqiio de todos os condutores, obtemos para VUh,posicionando o pontol na superficie do condutor da fase a e o ponto 2 na fase b:
Observamos que o cilculo da diferenga de potencial entre os condutores a e b, com relag20 as cargas Qa e Q h , C similar ao realizado para a linha bifasica. A contribuigso da carga Qc e nula, pois estes condutores estiio situados em uma superficie equipotencial em relaq2o a esta carga. Analogamente, a diferenga de potencial V,, 6 dada por:
Somando as diferengas de potencial:
Pela hip6tese anteriormente adotada, sabemos que:
Capitulo I . Introduqa'o aos Pardmetros de Linhas
61
resultando na expressiio:
Figura 1.5 1 : Tens6es de fase e de linha.
PorCm, sabemos que em um sistema trifisico simCtrico e equilibrado, conforme a figura 1.5 1, podemos escrever as relaq6es:
Como a soma vetorial Vah+ Yo, C um numero real,
Finalmente, obtemos a capacitlncia fase-neutro, que apresenta uma expressgo identica ti obida para a capacitlncia fase-neutro da linha monofasica a dois fios (1.41): Van Can =--Qa
-
2w D F/m. In-
62 Fundarnentos de Sisten~asElitricos de Potgncia
1.4.6
Linha Tr$&sica corn Espa~arnentoAssirnktrico
Para obtermos a capacitincia fase-neutro, no caso de uma linha com espagamento assimktrico, k necessirio que a linha seja transposta. A fim de explicitar o c8lcul0, adotaremos urn procedimento semelhante ao adotado para o cilculo de indutincias no item 1.2.10, e tambkm ao caso anterior de espagamento equilatero, calculando a tens20 entre fases VUh nos trss trechos de transposigso I, 11,111, com os condutores ocupando as possiveis posiq6es espaciais.
trechos
I I
~4
a
------------
I I I
b
-------
b 2
I I I
c 3
P 13
Corte transversal dos condutores no trecho I
(
I I
I11
c
I I I I
b
a
c
b
c
-----
I
I1
a
I
I
I I
I I
I I w
P I3
n
n
I
I I VI
.C
PI3
1
I
Posiciio aCrea dos condutores Figura 1.52: Transposig?io da linha.
Novamente, lembrando da express50 para diferenqa de potencial entre dois pontos,
aplicamos a f6rmula para os trechos I, I1 e 111. Para o trecho I:
Capitulo I . IntroduqZo aos ParGmetros de Linhas
3 Figura 1.53: Trecho I.
Para o trecho 11:
b
3
Figura 1.54: Trecho 11.
E finalmente para o trecho 111:
a
Figura 1.55: Trecho 111.
3
63
64
Fundamentos de Sistemas ElBtricos de PotZncia
Calculando o valor mkdio das tensaes entre fases ao longo da linha,
Multiplicand0 por 3 e simultaneamente extraindo a raiz cubica dos argumentos, a express20 n2o se altera. Conforme definiqiio anterior de distiincia media geometrica, sabemos que:
e a distgncia media geometrica mutua entre fases. Desse modo, podemos escrever iima express20 mais simples:
DMG r
1 Voh =-[Qaln 2 n ~
r
Analogamente, escrevemos para a tens50 entre as fases a e c:
ink) -
DMG r + Q~
1
vuc =-(Qain~ X E
Novamente, somando Vab com Va, , que como vimos anteriormente resulta em 3Va, :
DMG Vab + Vac = - 2Q, Inp+ Y
1 DMG 3vu,, = -2( ~n Q~~ I ~ - + (rQ ~ Sabendo que: Qh +Qc =-Qa
7
1 DMG ?Van = [2n& 3 Q U InT) e portanto:
Qh
In
Y
DMG
+ Qc 1-.1,
+Q~)I~
Y
DMG
Capitzrlo I . IntroduqLio aos Pardmetros de Linhas
65
DMG Resultando para a capacitiincia fase-neutro:
2z~ Can =
DMG
(Ffm)
In -----
1.4.7
Consideraqa"~de Condutores Compostos ou Bundle
A consideraqgo de condutores compostos, no cilculo de capacitiincias de linhas de transmissgo, 6 semelhante ao cilculo de indutiincias, com a substituiqgo dos varios subcondutores por um condutor com raio equivalente. Vejamos o caso de uma linha monofisica, coin dois subcondutores por fase, cada subcondutor com metade da carga total da fase.
Figura 1.56: Disposiqiio espacial da linha.
Admitimos que a distincia entre fases k bem maior do que o espaqamento entre subcondutores D >> e , assim como e >> r . D: distincia entre eixos das fases a e b. e: espaqainento entre os subcondutores de cada fase. Calculemos a diferenqa de potencial entre os pontos 1 e 2 da figura, usando a equaqgo (1.36):
A diferenqa de potencial, considerando a presenqa dos quatro subcondutores, e dada por:
66 Fzrndnrnentos de Sisternas Elktricos de Potgncia
Figura 1.57: Linha monofasica coln dois condutores por fase.
Chamando o raio equivalente para dois sub-condutores em uma mesrna fase de:
na qua1 r k o raio externo do condutor, temos:
Observamos a semelhanga de tratamento com o caso de indutgncias. Para os casos com trEs e quatro subcondutores, dispostos em uma figura regular, usamos as mesmas expressaes obtidas em (1.27) e (1.28), apenas trocando o raio mkdio geomktrico pelo raio externo do condutor.
EXEMPLO 4 Dada uma linha trifhsica com espagamento equilitero de 107 m e raio equivalente do feixe de condutores de 4,457 cm, alimentando o seu inicio com tens20 nominal, obter a corrente e a potencia fornecidas pelo gerador, considerando os seguintes dados: Tens50 nominal de linha: 500 kV. Comprimento: 250 km. Chlculo da capacitiincia aplicando a express20 (1.42):
C,
= 10,272 nF/km
.
Calculo da corrente absorvida pela linha em vazio:
V,, ,
= 500V; t' = 250km.
Capittllo I . Introduq60 aos Pardmetros de Linhas
67
Uma primeira possibilidade de c~lculo6 trabalharrnos em valores por unidade:
Sh = l o 0 MVA, Vb =500 k V ,
111=279,5 A ,
Q = 242 MVA . Outra possibilidade 6 trabalharmos diretamente corn os valores nominais: = j w x l 0 , 2 7 2 ~ 1 0 -~~2 5 0 ,
I=W,
Pot6ncia reativa trifisica
Nesse exemplo, verificamos que a passagem para valores por unidade, quando n5o temos transformadores, nZo 6 necessaria ao calculo.
EXEMPLO 5 Calcular as reatincias indutivas e capacitivas, por fase, da linha de transmissiio, dadas as distincias em metros, utilizando o cab0 Drake.
Figura 1.58: Disposiy50 espacial dos condutores da linha de transmiss50.
Das tabelas de cabos extraimos os dados: rmg = 0,0373 pes , X u = 0,399 Rlmi , d,,, = 1,108 polegadas . Calculamos:
DMG = D = 7-
= 12,164 m (admitindo a transposigiio da linha).
Sabendo que 1 pi! = 0,3048 m, converternos o rmg para metros: rmg = 0,O 1 137 m. Calculemos a reatincia por fase:
Obtemos a reatincia indutiva da linha: Xi = 2nJLu = 0,526 Rlkm = 0,526 x 1,609 Rlmi = 0,846 Rlmi , ou: Xi = X u + X d espagamento de 39,91 pks, 39,9 1 pks =
12,164 m 0,3048
que coincide com o resultado anterior. Calculemos a capacitincia convertendo o raio externo para metros:
Capitt~lo1. Introdu~fioaos ParGmetros de Linhas
69
(observe que o raio externo tem valor diferente do rmg). can
2 ~ & = . 12.164 Flm
= 8 , 8 5 ~ 1 0 - 'Flm, ~
ou, na forma mais usual:
As f6nnulas apresentadas nesse capitulo para linhas trifasicas, de indutincias e capacitincias, contem algumas limita~des,conforme veremos no capitulo a seguir. No entanto, dada a simplicidade desse tratamento, sua aplicaqgo 6 interessante quando necessitamos analisar alteraqaes na geometria da cabeqa de torre, ou mesmo na configuraqiio dos subcondutores. Propomos a seguir um exercicio que condensa os principais graus de liberdade nos parimetros de uma linha de transmiss80, com relaggo As distincias medias geometricas pr6pria e mutua.
EXERC~CIOPROPOSTO Considerando os mesmos dados do exemplo 5, calcule os parimetros indutivos e capacitivos da linha de transmiss80: a) Admita feixe com dois e quatro subcondutores por fase e espaGamento de 45 e 80 cin. b) Altere as distincias entre fases em mais 50% e lnenos 50%. c) Coinpare os valores obtidos de indutincias e capacitiincias da linha de transmiss80. d) Como podemos reduzir a indutincia de uma linha? 0 que ocorre com a capacitiincia?
EXEMPLO DE TABELA DE CABOS CAA (ACSR)
Dados de condutores extraidos de Aluminium Electrical Conductor Handbook, New York, September 1971.
1.5 Referzncias bibliograficas [ I ] Purcell, E. M. Elefricidade e Magnefismo. SZo Paulo, Edgar Blucher, 1973 (Curso de Fisica de Berkeley, 2). [2] Stevenson Junior, W. D. Elementos de Analise de Sistemas de Potgncia. 2.ed. McGraw-Hill, 1986. [3] Electric Power Research Institute. T1.ansr7~issionLine Reference Book: 345 kV and Above. 2. ed. Palo Alto, 1982.
Estenderemos as anilises efetuadas no capitulo 1, calculando os pariimetros elktricos de uma linha de transmissiio com a presenga do solo, o que nos levara a uma abordagem matricial das impediincias e capacitiincias distribuidas da linha. Nosso proposito k incluir a presenya do solo ainda que de maneira elementar, de tal mod0 que avaliayaes simplificadas do seu efeito possam ser realizadas. Consideramos inicialmente o solo como um condutor perfeito, com resistividade nula, o que iri permitir a aplicayiio do metodo das imagens, viabilizando, desse modo, a extensiio dos conceitos anteriorrnente desenvolvidos. Poderemos, entiio, avaliar os efeitos de outros cabos akreos nas proximidades das linhas de transmissiio, e assim dos efeitos dos cabos-guarda, tambkm conhecidos por cabos pira-raios. Cabe mencionar que a consideragiio mais ampla do solo, com resistividade n5o nula, so e possivel atravks de formulaydes matematicas mais complexas, como por exemplo o desenvolvimento das expressdes em series na formulagiio de Carson, que estiio fora do escopo deste texto, e por isso aqui brevemente mencionadas. Apresentaremos a seguir os conceitos elementares do cilculo de pariimetros de linhas de transmissiio, com a presenga simplificada do solo, o que permitiri ao aluno o aprendizado dos elementos basicos, ~ t e i scomo ponto de partida em estudos mais aprofundados, que porventura sejam necessirios em atividades mais especializadas.
2.2 Calculo de Parilmetros Incluindo o Efeito do Solo Neste item, introduziremos o c ~ l c u l omatricial de impediincias skrie de linhas de transmissiio, incluindo o efeito da presenga do solo, considerado como um condutor perfeito, com resistividade p = 0 .
2.2.1
Matriz de Impedincias Skrie Inclusiio da presenqa do solo:
Inicio
Fim
Figura 2.1 : Linha de transmiss50 polifasica.
Figura 2.2: Catenaria. No calculo de parimetros de cabos akreos adotaremos as hipoteses descritas a seguir. a) Consideramos os cabos cilindricos, retilineos, paralelos ao plano do solo, uniforrnes e com comprimento suficientemente longo para desprezar o efeito de distorg6es de campos nas extreinidades.
P"-
Capitulo 2. Calculo Matricial de Pardnletros de Linhas
73
b) Consideramos a altura media do condutor, para levar em conta o efeito da &formaqgo do cabo, que descreve uma curva na forma de uma cateniria. Uma hip6tese razokvel para calcularmos a altura media 6 adotar:
considerando que: h, : altura do cab0 na torre, h,, : altura do cab0 no meio do viio, supondo o terreno plano, f : flecha no meio do vgo, f = h* - h,, . c) A resistividade p do solo e admitida constante, com o terreno plano e homogeneo, com perrneabilidade relativa magnktica aproximadamente igual a p, = 1 ,
( P = PO)d) 0 campo eletromagnktico produzido por um cabo individualmente niio se altera com a presenqa de campos causados pela passagem de corrente em outros cabos aereos. Iniciemos nossa consideraqiio do efeito do solo, admitindo urn solo perfeito, com resistividade nula p = 0 . At6 aqui, para aplicarmos a f6rrnula do fluxo concatenado com urn condutor por um grupo de condutores, admitimos a hip6tese de que a soma das correntes era nula. Isto implica limitar o ciilculo considerando apenas o efeito das correntes de seqiiencia positiva ou negativa, desprezando o efeito da seqiihcia zero, em que:
A consideraqiio do efeito do solo resolve este problema, quando aplicamos o metodo das imagens, perrnitindo analisar casos em que a soma das correntes nZo 6 nula.
2.2.2
Aplicaq60 do Mktodo das Imagens
Na figura 2.3 temos: hi : altura media do condutor i em relaq8o ao solo, d, : distlncia entre os condutores akreos i e j (escritas corn letras minusculas), D, : distlncia entre condutor i e imagem do condutor j (escritas com letras maiusculas), r ~ q -:iraio
equivalente do i-ksimo condutor (ou feixe de subcondutores).
Figura 2.3: Disposigiio es,pacia1dos cabos condutores.
Sabemos que d, = dji e D, = Dji . Para os cabos aCreos, podemos admitir uma somat6ria de correntes nil0 nula:
No entanto, para as imagens encontramos a mesma somat6ria com o sinal trocado:
de tal mod0 que para todo o conjunto de condutores, a soma total das correntes e nula, permitindo entilo a aplicaq50 da express50 do fluxo concatenado corn um condutor genirico i por um grupo de condutores. Calculemos o fluxo concatenado com o condutor i, por unidade de comprimento do cabo, considerando o grupo de condutores e incluindo as imagens:
Resultando na express50 mais compacta, que seri doravante utilizada:
2hi In-+...+ reqzi
I,,in-
Capitulo 2. Ccilculo Matricial de Pardmetros de Linhas
-
75
Para esse condutor, incluindo a parcela resistiva, a queda de tens50 serie na linha por unidade de comprimento pode ser escrita como:
Aplicando a transforrnada de Laplace nesta equaq20, obtemos:
AV, ( s ) = RiiIi ( s ) + s& ( s ) .
(2.2)
Incluindo a queda de tens50 por efeito resistivo, escrevemos para o i-ksimo condutor, com s = j w em regime perrnanente senoidal, a express50 da queda de tensso ao longo da linha de transmissgo, para uma dada unidade de comprimento:
Lembrando que d, = dji e D, = Dji , ao multiplicar a express50 (2.1) por j w e somar o resultado com a queda resistiva, obtemos:
A 5 = R,~I,+ j 2 w x 1 0 - ~
+In"). dni
Denominamos as reatincias pr6prias:
e as reatincias mutuas:
Escrevendo as expressdes para as quedas de tens20 em regime perrnanente, em um grupo de condutores acoplados, obtemos:
Chamando as impedincias por unidade de comprimento: Zii = Rii + jXii : impedincia pr6pria do i-esimo condutor,
76
Fundarnentos de Sistenlas Elktricos de Potgncia
Zv = jXii : impedincia m6tua entre os condutores i e j.
Obtemos a matriz de impedincias sCrie dos cabos acoplados, em regime permanente senoidal, para uma freqiiencia w = 2nf radls
na qua1 [ z ] C a matriz de impedincias strie da linha de transmiss50, que apresenta estrutura simktrica.
Como:
d.. = d , D.. = D .., entlo z.. = zji . 'J
J'
! I
J
'
'J
Com o objetivo de facilitar o tratamento, no caso de feixes de condutores, trabalharemos sempre com o conceit0 de raio equivalente do feixe, apresentado no capitulo anterior. 0 s programas de citlculo de parimetros inicial~nenteconsideram cada cab0 do feixe, o que implica na formaqiio de uma matriz de impedincias de ordem mais elevada. Em uma segunda etapa, como esses cabos estiio submetidos a mesma diferenqa de potencial, opera-se uma reduqgo na matriz, obtendo-se os parimetros equivalentes de cada fase. No entanto, adotaremos o raio equivalente do feixe, o que C suficientemente preciso para os propositos do nosso texto.
2.2.3
Solo corn Resistividade na"oNula
Vimos at6 aqui a consideraqiio do efeito do solo com resistividade nula. Na realidade o solo niio C urn condutor perfeito, apresentando uma resistividade p # 0 .
Capitulo 2. Chlculo Matricial de Pardmetros de Linhas
77
Isto faz com que as correntes pel0 solo se distribuam de mod0 diferente, de acordo corn a frequzncia, ou seja, para frequzncias mais elevadas as correntes tendem a se concentrar na superficie, apresentando um efeito semelhante ao efeito pelicular em um condutor, visto no capitulo 1. A forrnulaqiio matemitica deste tratamento 6 relativamente complexa, envolvendo uma decomposiqiio em sthie de Bessel, sendo muito aceita a proposiqiio feita por Carson em 1926, que passou a ser denominada correqiio de Carson. Nessa correqiio, o efeito equivalente 6 o de se considerar, para diferentes freqiizncias, as imagens com posiqdes diferentes, niio sendo objetivo do nosso curso um aprofundamento deste tratamento matemitico. Consideramos, entiio, os parimetros calculados admitindo o solo com resistividade nula, mais um termo de correqiio de Carson, para levar em conta p # 0 .
Zg = AR,
+ j 2 w x 1 0 ~ 1 n -1+
jAX, Wkm.
dg
Com resistividade nula, p = 0, adotamos:
Permanecendo vhlidas todas as expressdes anteriormente apresentadas. Com a finalidade de considerar o efeito de resistividade do solo niio nula, corn p # 0 , aplicamos as correqdes de Carson abaixo indicadas (vilidas na faixa de 0 a 100 Hz):
AX, =4 0 1 ~
0 , 0 0 2 6 4 9 2 ( h i.I+ h . ) J z
4
1
+... +...
78
Fundamentos de Sistemas Ele'tricos de PotZncia
Comentamos que os programas atuais de cilculo de parimetros consideram correqaes mais complexas, envolvendo um n ~ m e r obem maior de terrnos e de coeficientes, que siio apresentados no item 2.5.
2.2.4
Efeito dos Cabos-Guarda
autoportante
estaiada
Figura 2.4: Tones de linhas de transmissiio.
Em linhas de transmissiio que atravessam regiaes corn nivel elevado de descargas atmosf6ricas para a terra 6 conveniente proteg6-las com cabos-guarda, posicionados de tal forrna que os raios atinjam preferencialmente estes cabos e niio os condutores. Este assunto 6 tratado no estudo do desempenho atmosfkrico da linha de transmissiio a surtos atmosfkricos (lightningperformance). Para considerar a influencia dos cabos-guarda na matriz de impedincias skrie de uma linha de transmissiio, esses siio simplesmente incluidos na matriz de impedincias, de mod0 anilogo aos demais condutores. Consideremos as quedas de tensiio longitudinais (variaqdes de tensiio com a corrente) na linha, na forma compacta, admitindo a possibilidade de mais de um cabo-guarda:
[Z,,] : matriz de impediincias skrie dos cabos condutores, [Zss]: matriz dos cabos-guarda,
7
Capitulo 2. Ccilctrlo Matricial de Parbmetros de Linhas
[Z,]
79
: matriz de impedencias mhtuas entre condutores e cabos-guarda.
No caso de apenas um cabo-guarda, exemplificamos:
[a
Como a matriz tem estrutura simktrica, [Zq] = [Z;,] . Antes de introduzirmos a eliminaqiio dos cabos-guarda, recordemos o procedimento algkbrico simples de eliminaqiio de uma equaqiio, na soluqiio de um sistema linear, com as caracteristicas definidas a seguir. Suponhamos um sistema linear de duas equaqdes, tendo como incognitas as variiveis x e y e admitindo os coeficientes a , p, S e p conhecidos.
Tomando a segunda equaqiio, a variivel y pode ser colocada em funqiio de x, na forma:
que substituida na primeira equaqiio fornece:
e finalmente:
A obtenqiio das variiveis x e y k entiio imediata. 0 mesmo procedimento pode ser adotado quando temos um sistema de equaqdes, escrito na forma matricial, sendo [x] e ly] vetores de inc6gnitas e [a], [fl,[ f i , [d e [p] matrizes e vetores:
80
Fundamentos de Sistemas Elitricos de Potgncia
Novamente eliminando o vetor de variiveis [y] , na segunda equayio:
que substituido na primeira equayio, resulta em:
["I =([PI-[rI[Pl-' [sl)[.l, e facilmente obtemos [XI, com a soluyiio do sistema linear de equaydes. Aplicamos o mesmo procedimento no calculo de parametros de linhas de transmissiio, quando temos sistemas de equaqdes lineares com algumas condiydes de contorno conhecidas, como no caso do uso de cabos-guarda. Tal procedimento 6 conhecido como reduqiio dos cabos-guarda.
Cabos-guarda aterrados Vejamos inicialmente o uso de cabos-guarda conectados corn a torre e portanto aterrados. Quando o cabo-guarda for continuamente aterrado, ou seja, aterrado em todas as torres, podemos admitir quedas de tensiio longitudinais AV, = 0 , ao longo do trecho examinado.
Figura 2.5: Cabos-guarda aterrados. Entre duas torres consecutivas, k e k - 1 na faixa de freqiiencias do regime permanente a 60 Hz, podemos admitir que as bases das torres se encontram praticamente no mesmo potencial de terra Vq = Vq, e que as quedas de tensio AV, nas estruturas sejam nulas. Desse modo, as quedas de tens50 nos cabos-guarda AV' = V, - V,-* tambCm s5o nulas e tal resultado pode ser estendido ao longo de todo o trecho de linha examinado.
Capitulo 2. Cdlculo Matricial de Pardmetros de Linhas 81
0 sistema de equapFes (2.6) com AV, = 0 pode ser particionado na forrna de duas equa~Fesmatriciais:
Podernos entlo eliminar o vetor de corrente [I,] nos para-raios:
que substituido na equapiio de quedas de tens20 fornece:
e finalmente:
Desse modo, eliminamos as correntes nos cabos-guards e ficamos com uma matriz de impediincias equivalente que inclui o seu efeito. Esta simples elimina@o de equaqFes recebe o nome de reduqiio de Kron,
Essa opera~lo,de certa forrna, nos leva a fazer uma analogia com os enrolamentos primirio e secundario de um transfomador, cujas tensties e correntes podem ser relacionadas pela matriz:
4,I I : tenslo e corrente do primirio, V2,I2 : tenslo e corrente do secundirio, Z,, Z2 : impediincias pr6prias do primhrio e secundario, Z, : impediincia mctua entre primirio e secundario.
82
Fundamentos de Sistemas Ele'tricos de Potgncia
Quando temos o secundirio em curto podemos obter uma impedgncia equivalente vista do primirio, fazendo V2 = 0 , portanto:
Vejamos o caso de eliminaq20 de apenas um cabo-guarda e, sem perda de generalidade, consideremos o caso de uma linha trifhsica corn um cabo-guarda aterrado. Para isso tomemos a express20 (2.7), fazendo AV4 = 0 :
Aplicando a express50 (2.8), obtemos:
Voltando a urn caso genkrico, observamos que cada novo elemento da matriz z i , a p b a eliminaqio das linhas e colunas n, seri constituido por: /
2..
I/
= 2.. - 'in !I
-
'nj 9
No caso de eliminaq20 de um cabo-guarda, essa operaq5o k relativamente simples de ser efetuada sem necessitarmos recorrer aos cilculos matriciais. No caso
Cauitulo 2. Ccilculo Matricial de Pnrcimetros de Linhas 83
de eliminaqiio de dois ou mais cabos-guarda k recomendivel o us0 de expressdes matriciais. Cabos-guarda isolados A eliminaq50 dos cabos-guarda nesse caso k mais simples, pois os mesmos encontram-se isolados em todas as torres da linha de transmissiio por meio de pequenos isoladores, sem passagem de corrente a 60 Hz. Nesse caso, para. o regime permanente admitiremos I g = 0 :
Resultando em:
Ou seja, sob o ponto de vista das quedas de tens50 nos condutores, a presenqa dos cabos-guarda pode ser ignorada. Podemos, no entanto, calcular a tensiio induzida nos cabos-guarda, como em qualquer condutor paralelo a linha de transmissiio:
Ap6s a eliminaqiio dos cabos-guarda, nos casos de cabos aterrados ou isolados, obtemos uma matriz correspondente aos condutores das trzs fases, que chamaremos de fases a, b e c , de forma a niio confundir com as componentes simktricas 0, 1 e 2. Neste caso escrevemos:
ou, na forma compacta:
1
1.
[ ~ a b c= ] [ ~ a b c[labc
1
j 2.2.5
,
Aplica~Gode Componentes Sirndtricas
0 fato de as equaqdes de queda de tensiio apresentarem acoplamento entre fases sugere a aplicaqiio de transformaq6es de componentes de fase para componentes simktricas.
Em um sistema de potzncia trabalhamos com tensdes e correntes trifisicas senoidais, chamadas de componentes de seqiihcias de fase, escritas em regime permanente para um ponto da rede.
vb
rede
Figura 2.6: Grandezas de fase. Definimos uma transformaqiio de coordenadas [Vabc], [Iuhc] , para um novo sistema de coordenadas [ v ~ e~[lOl2] ~ ] e chamamos essas novas coordenadas de componentes simktricas. Essa operaqiio matemitica, conhecida como uma mudanqa de base de um sistema, k comum na da ilgebra linear. A matriz de transformac;go utilizada em sistemas trifisicos, em regime permanente senoidal, 6 dada por:
Sendo:
na qua1 definimos os nhmeros cornplexos:
Capitulo 2. Chlculo Matricial de Par6metros de Linhas
85
Desmembrando a expressgo (2.10) temos:
Estabelecemos entgo que a tensgo Yo estii associada a uma seqiisncia de fasores em paralelo (alinhados no plano complexo), 5 estii associada a uma seqiisncia de fasores de seqiisncia direta, ou seja, com a rotaqgo das componentes em sentido anti-horhrio, e V3 - esth associada a uma seqiisncia de fasores de seqiihcia inversa, ou seja, com rota@o em sentido horiirio.
Figura 2.7: Decomposiq50 em componentes simitricas.
Dado que a matriz [T] t uma base, e portanto inversivel, a transformag80 inversa 6 feita tomando-se simplesmente:
sendo, como vimos:
Quando trabalhamos corn condigaes transitorias de redes, em deterrninados casos, temos a necessidade de aplicar as chamadas transforrnaqdes modais, que n2o
seriio objeto de nossa discuss50, mas que podem ser encontradas em diversas referencias. Com essas transformaqdes conseguimos o desacoplamento das equaqdes, com vantagens introduzidas no cilculo dos transitbrios em sistemas de potencia. Podemos entender a transforma950 em componentes simitricas como uma opera950 semelhante no regime permanente, na qua1 efetuamos o mesmo desacoplamento das componentes de fase, atraves de matrizes de transforrnaq80, que diagonalizam o sistema de equaqdes em anilise. Desse modo, podemos estabelecer uma correspondencia entre valores de fase e de seqiiencias para as quedas de tensdes longitudinais.
nas quais:
AVO, A 4 e AV2 s5o as quedas de tens50, em sirie da linha de transmissiio, dadas em componentes de sequencias zero, positiva e negativa, respectivamente. Da mesma forma, I. , I , e I2 s5o as correntes de sequencia na linha. Vejamos agora como obter os pariimetros serie da linha de transmiss50 em componentes simktricas. Para isso, substituimos (2.12) e (2.13) em (2.1 1):
A matriz [ZabC]k simetrica, com cada termo dependente da posiqiio geometrica dos cabos. Prk-multiplicando toda a express50 matricial por , encontramos:
[TI-'
Essa passagem resulta na matriz de impediincias sirie em componentes simetricas:
Cauitulo 2. Crilculo Matricial de Parcimetros de Linhas 87
na qual:
Para os termos da diagonal: zooou zo k a impedincia de sequgncia zero, z1 ou zl k a impedincia de sequencia positiva, zz2 ou z2 k a impedincia de sequCncia negativa. 0 s termos fora da. diagonal correspondem 6s impedincias mutuas entre seqiigncias. Quando fazemos a transposiqiio de uma linha de transmiss50 trifisica, obtemos para os termos pr6prios da diagonal principal:
e para as mutuas fora da diagonal:
Isso ocorre porque todas as fases ocupam em media todas as possiveis posiqdes no espaqo, como vimos anterionnente. Observamos que esse 6 urn procedimento semelhante ao adotado para transposiqdes no capitulo 1. Entiio, para linhas corn transposigZo, obtemos uma matriz com a seguinte composiqiio:
Esta matriz tem uma estrutura particular, simetrica e balanceada, que favorece a aplicaqiio de componentes simktricas. Aplicadas as transformaqdes, obtemos um sistema de equaqdes desacoplado, corn a matriz de impedincias em componentes simktricas com elementos nulos fora da diagonal.
88
Fundamentus de Sisternas Ele'tricos de Potgncia
A impedincia de seqiigncia zero zo, (zoo) t a soma dos elementos da primeira linha de [zQbc] transposta. As impedlncias de seqiigncia positiva e negativa e z2 ( z ~ siio ~ iguais ) e dadas pela expressiio: zl, (z,
Essas impedincias de seqiigncia positiva e negativa siio iguais 6 diferenqa entre as impedgncias pr6pria e a m ~ t u a . No caso de linhas niio transpostas, a matriz T niio diagonaliza a matriz de impedincias de fase, sendo necessirio obter uma matriz adequada a esta finalidade, atravks do cilculo dos autovalores e autovetores. No caso de matrizes balanceadas, a matriz T e sempre a mesma, tornando conveniente a aplicaqiio de componentes simetricas. Embora possamos solucionar os problemas usando componentes de fase, no caso de linhas transpostas 6 conveniente a aplicaqiio de componentes simttricas.
2.3 Matriz de Capacitiincias Vejamos como obter a matriz de capacitincias de uma linha, admitindo o solo como um condutor perfeito e aplicando o mttodo das imagens. Ao incluirmos o solo, pemitimos uma generalizaqiio do nosso problema, pois podemos trabalhar com a hip6tese de somat6rio das cargas de n condutores niio nulo:
Considerando inicialmente o caso de dois condutores akreos e aplicando o metodo das imagens, temos a representaqiio da figura 2.8.
Capitulo 2. Ccilculo Matricial de Parcimetros de Linhas 89
Figura 2.8: Dois condutores atreos.
Corn a aplicaqgo do mktodo das imagens, temos para os condutores akreos:
e para as imagens:
de tal mod0 que o somat6rio total de cargas C nulo. Calculemos a diferenqa de potencial do condutor i em relaqso ao solo, considerado com potencial nulo. Para isso, tomemos a equagzo bisica de diferenga de potencial entre dois pontos (1.36) apresentada no capitulo 1,
Situando o ponto 2 sobre a superficie do solo e o ponto 1 na superficie do condutor, e superpondo os resultados das quatro cargas de condutores e imagens, obtemos:
90
Fundamentos de Sistemas EEtricos de Potencia
ou:
Observamos que podemos deslocar o ponto 2 ao longo da equipotencial do solo que os resultados niio se alteram, por exemplo, na posiqiio 2' indicada na figura 2.8, a contribuiqiio da carga Q j seria:
mantendo o resultado obtido anteriorrnente corn o ponto 2.
Figura 2.9: Linha corn n condutores aereos.
Para uma linha de transmiss50 generics, com n condutores akreos, estendemos o resultado da express50 (2.20), fazendo:
Capitulo 2. Cdlculo Matricial de Pardmetros de Linhas
91
Essas expressdes podem ser colocadas na forma matricial, fazendo: -
Dl n In dl n Din ln din 2hn In '"n
-
ou: - -
Pin
QI
Pii
Pin
Qi
Pni
Pnn -
-Qn
-
, -
que pode ser colocada na f o m a compacta:
PI=IPl[Ql. E denominamos [ P ] matriz dos coeficientes de potenciais de Maxwell, na qua1 estes coeficientes siio obtidos pelas expressdes:
r;: seri sempre o raio extemo do condutor i, ou o raio equivalente quando os condutores de uma fase fomarem um feixe. Obviamente o raio equivalente deverh ser calculado com o raio externo do condutor. A matriz [ P ] t simttrica, pois D, = Dji e d, = d j i .
92
Fundamentos de Sistemas Eletricos de Potincia
Como: 1
1 2 7 ~2n8,85x10-l2 ~ Flm -
1
=17,98 km/pF ,
27Tx8,85x10-121o6 pF/ km 1o
-~
i aceitivel trabalharmos com a express50 mais simplificada:
Lembrando que:
Ao considerarrnos as tres fases, essa express50 pode ser colocada na forma vetorial:
Para o regime pemanente senoidal, obtemos a seguinte relaggo entre correntes e cargas elitricas, em valores fasoriais:
[ I ]= i@[Q]. Obtemos as cargas elitricas, a partir da express50 (2.21), fazendo:
Chamamos a matriz inversa dos coeficientes de potcncia de Maxwell de matriz de capacitlncias [c] ,
resultando em:
[QI = [cl[vl Para o nosso sistema matricial de equagaes, escrevemos:
sendo:
Capitulo 2. Calculo Matricial de Pardmetros de Linhas
93
[I]: vetor de correntes fasoriais,
[v] : vetor de tensaes fasoriais, [Y] : matriz de admitlncias nodais, [Y] = j w [ c ] . Nessa altura, comentamos que a matriz [Y] tem a estrutura de uma matriz de admithncias, sendo as correntes injetadas nos n6s e [qas tensaes nodais.
[a
Figura 2.10: Rede capacitiva.
Observamos que estamos trabalhando com parsmetros distribuidos, e quando falamos em corrente injetada nos n6s, estamos nos referindo a urna parcela de corrente transversal as linhas de transmissgo.
A?+-
&
Figura 2.1 1 : Corrente nodal injetada na rede de capacitincias para linha corn cornprimento unitirio.
Ou seja, ao aplicarmos tens50 no condutor i, estamos nos referindo A corrente Ii injetada transversalmente na linha, que atua no n6 i da matriz de admitsncias no-
dais, forrnada pelos condutores com comprimento unitirio !. = 1 . Para avaliannos a corrente transversal total, evidentemente, somamos todas as parcelas unitirias que compdem o comprimento total da linha. Observamos que estamos desprezando, ate aqui, o efeito de correntes longitudinais que alteram a distribuiqso de tensdes ao longo da linha, pois estamos analisando apenas a parcela eletrostitica. A fonnulaqio completa, que leva em conta os efeitos longitudinais e transversais, seri objeto do pr6ximo capitulo, no qua1 desenvolveremos modelos mais completos de linhas de transmissgo. A matriz de capacitincias 6 dada por:
Sendo cii a soma das capacitincias incidentes no n6 i e cv a capacitlncia entre os nos i e j, com sinal trocado. No caso de uma linha trifasica, exemplificamos:
e para as capacitincias mutuas entre fases, temos em regime perrnanente senoidal (valores eficazes):
e assim por diante, Se os condutores a6reos 1, 2 e 3 corresponderem i s fases a, b e c de uma linha, teremos:
A obtenqgo das capacitgncias Cat, Cbr, C,, , Cab, Cbc, Ccu , de uma linha trifasica 6 feita no exemplo 1, figura 2.19. Para o caso de uma linha trifhsica, exemplificamos as matrizes mencionadas at6 aqui:
Capittilo 2. Ccilculo Matricial de Pardmetros de Linhas
2.3.1
95
Consideraqa"~dos Cabos-Guavda
A consideraqiio da presenqa dos cabos-guarda 6 feita de mod0 semelhante ao caso da matriz de impediincias, admitindo-se os casos de cabos aterrados e cabos isolados.
Figura 2.12: Torres corn urn e dois cabos-guarda.
Tomemos o caso de uma linha trifasica, com as fases a, b e c correspondentes aos condutores 1, 2 e 3. A inclusiio de um cabo-guarda 6 feita com a adiqBo de mais uma linha e uma coluna na matriz dos coeficientes de potenciais de Maxwell. -
7
Vb -
PO"
Pa6
Poc
Pba
Pbb
Pbc
j
Pag
- Q -~
Pbg X
Pca
PS~
P C ~
pic
Pgb
PPgc j Pgg
-- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- --
- Pga
Qb Qc -QS -
d
96
Fundamentos de Sistemas Ele'tricos de Potgncia
Analogamente, a matriz dos coeficientes de potenciais de Maxwell com dois cabosguarda 6 feita com a inclusfio de duas linhas e duas colunas:
-
-
-
Va
Paa
Pub
Pac
Vh
Pba
Pbh
Phc
Vc = PCU Pcb ,Pee --------------1
Pg~a ~
g
~P
I
- -
-
I
Pagl
Pug2
Qa
I
Phgl
Pbg2
Qb
Pcgl
Pcg2
x Qc
I I I
I
.
T-----------
pglgl
~ bI C
pglg2
Q g1
I
_'g2-
_Pg2a
Pg2b
Pg2c
I Pg2gl
P g 2 ~ 2 - -Qg2-
Ou na forrna compacta, para um caso genkrico:
Quando necessitamos efetuar c8lculos, que dependem apenas dos condutores, k conveniente eliminar os cabos-guarda, cujo procedimento sera descrito a seguir. Cabos-guarda aterrados
Figura 2.13 : Cabo-guarda aterrado. Quando os cabos-guarda forem aterrados, para baixas fi-eqiiencias, como a freqiiencia nominal operativa, assumimos uma queda de potencial nula na torre, estando o cabo-guarda no mesmo potencial do solo:
e assim:
Capitulo 2. Cblculo Matricial de Pardmetros de Linhas
97
Essa equaqgo pode ser particionada na forma de duas equaqaes matriciais:
Podemos entPo eliminar a carga Qg dos pira-raios, tomando a segunda equa~8o particionada:
que substituida na primeira equaqPo fornece:
Desse mod0 eliminamos as cargas do cabo-guarda e ficamos com uma matriz equivalente de coeficientes de potenciais, que inclui o efeito dos cabos-guarda:
Cabos-guarda Isolados
Figura 2.14: Cabo-guarda isolado.
98
Fundamentos de Sisfemas Elktricos de Pot2ncia
Nesse caso, a carga do cabo-guarda 6 nula, Qg = 0 :
Resultando em:
Para se obter a tens50 induzida no cabo-guarda isolado, ou em qualquer condutor paralelo a linha de transmiss50, em vazio, reescrevemos a express50 (2.28):
que substituida na equaqgo (2.29) fornece:
2.3.2
AplicaqEo das Componentes Sime'tricas no Calculo de Capacitdncia
No caso de linha trifhsica transposta, fazemos o baanceamento na matriz dos deficientes de potenciais de Maxwell, conforrne o procedimento anteriorrnente adotad0 no chlculo de impedincias. Consideremos a linha trifasica com as fases a, b e c coincidentes com os condutores 1 , 2 e 3, respectivamente:
onde:
7-
Capitulo 2. Crilculo Matricial de Pardmetros de Linhas
Ap6s o balanceamento, efetuamos a inversiio da matriz de capacitGncias da linha transposta:
[PI,
99
obtendo a matriz
Aplicando as componentes simktricas, obtemos:
Substituindo-se as relaqdes anteriores em (2.32), obtemos:
PrC-multiplicando os dois membros da igualdade por
T-I
:
Verificamos que, como cm tem sinal negativo na matriz de capacitincias, as capacitincias de sequencia positiva siio maiores do que as capacitincias de sequCncia zero, cl > co.
100
Fundamentos de Sistemas Ele'tricos de Potgncia
2.4 Linhas de Transmiss50 corn Circuitos em Paralelo e Cabos-guarda
Figura 2.15: Circuitos em paralelo.
Em uma mesma torre de uma linha de transmissgo podemos encontrar ate dois circuitos. AlCm disso, podem existir outras linhas na mesma faixa de passagem ou mesmo nas proximidades. H i casos em que devemos levar em conta o acoplamento entre os condutores desses circuitos, construindo matrizes de impedincias e capacitincias expandidas. Examinaremos o tratamento de mGltiplos condutores com a formag50 da matriz de impedhcias serie, sendo esse procedimento analog0 ao que seria tambCm adotado para a matriz de capacitincias.
Quedas de tens20 nos condutores Para cada circuit0 trifasico, escrevemos as quedas de tensgo sCrie nos condutores:
e tambim para os cabos-guarda:
Capitulo 2. Ccilculo Matricial de Pardmetros de Linhas
101
Assumimos a existsncia de q cabos-guarda em uma torre. Normalmente encontramos q 1 2 , no entanto, podem existir alguns projetos especiais com q = 3 . No caso de virias linhas na mesma faixa de passagem, com todos os circuitos acoplados, podemos encontrar q 2 3 . A obteng2o da matriz de impedincias skrie dos circuitos acoplados segue os seguintes passos: 1" Passo: montagem da matriz de impedincias sCrie, com todos os condutores a& reos, incluindo os cabos-guarda.
na qual:
[z:~~]: matriz de impedlncias serie dos cabos abc do circuito i, [z!,,~] : matriz de impedlncias mdtuas entre os condutores nbc dos circuitos i ej, [z$~]: impedlncias mdtuas entre os condutores abr do circuito i corn os cabosguarda, - LZgS : matriz de impedlncias serie considerando somente os cabos-guarda.
2" Passo: eliminagiio dos cabos-guarda, isolados ou aterrados.
As matrizes reduzidas z$,~, nesse passo, apresentarn elementos distintos daqueles do passo 1, ap6s a reduqiio, no caso de cabos-guarda aterrados. 3" Passo: se houver transposigiio em k segdes, obtemos uma media das impedincias dos condutores segundo suas posigdes espaciais ao longo de toda a linha de transmissFio.
A seguir, analisaremos o caso mais comum de um circuito duplo, com dois cabos-guarda, e nesse caso particular, aproveitamos para calcular os parimetros seqiienciais, sendo esse procedimento extensive1 ao caso de m6ltiplos circuitos. Uma transposiqgo que ngo introduza acoplamento entre seqiiencias nTio 6 usual, sendo executada com urn circuito transposto em tres seqdes e outro em nove seqdes. Consideremos o caso mais comum de circuitos com disposiqbes simetricas na mesma torre, com transposiqdes em tres trechos para cada circuito, segundo urn esquema de rotaq5o de fases em direqdes opostas para os dois circuitos, denominada de rotaqTio anti-simetrica.
Figura 2.16: Rotaqgo de fases anti-simktrica. A matriz de impedancias sCrie para cada trecho teria a seguinte constituiq50, respeitando a nomenclatura da figura anterior:
Capitulo 2. Cdctrlo Matricial de Pardmetros de Linhas
103
As fases a, b, c de cada circuit0 ocupariam as seguintes posiqdes espaciais nos trechos de transposiqiio I, 11, 111:
om a eliminaqiio dos cabos-guarda, temos a matriz reduzida, cujos elernentos seriio diferentes daqueles da matriz completa original, se os cabos-guarda forem aterrados:
Ap6s a transposiqiio proposta, temos uma matriz com a seguinte estrutura, adequada para a aplicaqiio de componentes simktricas:
na qual, cada sub-matriz apresenta os terrnos da diagonal iguais entre si e os fora da diagonal tambkm iguais entre si:
104
Fundamentos de Sistemas Elitricos de Potincia
Escrevemos o sistema de equaqdes matricial na forma compacta:
4" passo: Transformamos em componentes simitricas as tensdes e correntes, segun-
do o tratamento matricial abaixo indicado.
Pri-multiplicando os dois inembros por:
temos:
ou:
T-',
x[~i12]
abc T
7'-1221 abc
T Z ~ ~ ~ T ] T T-1222 T abc
I0 12
Resultando na express50 transforrnada:
Nesse caso, com a transposiqgo proposta, para 1I i, j I 2 , obtemos:
Capitulo 2. Calculo Matricial de Pardmetros de Linhas
105
0 s circuitos duplos, em geral, apresentam Z# >> 2: = 2:. Desse modo, em terrnos praticos, muitas vezes levamos em conta apenas o acoplamento mutuo entre sequencias para a sequencia zero, principalmente no calculo de correntes de curto-circuit0 envolvendo circuitos paralelos.
circ. 2
zZ2
-
$
"
102'
+
Figura 2.17: Circuito equivalente de seqiiencia zero com mutua entre circuitos.
0 s resultados anteriores, obtidos para o calculo de indutincias de linhas de transmissiio, podem ser estendidos ao calculo de capacitincias em linhas com circuitos multiples, sendo que normalmente desprezamos tambem as mutuas de seqiiencias zero.
EXEMPLO 1
he: altura media do condutor
I he = 2 0 m
he = 20 m
"
Figura 2.18: Geometria da linha do exemplo 1.
h, = 2 0 m
////I//-
106
Fundamentos de Sistemas Elktricos de Potincia
Uma linha de transmissiio trifisica (a, b, c), com feixe de dois subcondutores akreos, utilizando cab0 Drake, apresenta a geometria indicada na figura 2.18: a) Calcular a matriz de impedgncias skrie em Q h , sem a presenya de cabo-guarda, sendo fornecida a resisthcia a 70 "C . ~onsiberara resistividade do solo p = 0 . Dados: Consultando uma tabela de cabos, obtemos para o cab0 Drake rmg = 0,0373 pks e convertendo para cm, rmg = 1,1369 cm . Dm, = 1,108 pol,
Q Rac Roc = 0,0875 1 -,para o feixe R = -, temperatura a 70 "C , krn 2 Calculemos o raio equivalente do feixe com dois subcondutores e espayamento e = 20 cm :
2 h, z,, = R + j w 2 x 1 0 - ~ln-, re,
i
Capitulo 2. Calculo Matricial de Pardmetros de Linhas
107
Matriz de impedincias
b) Impediincias de seqiiencia positiva e seqiiencia zero considerando-se a transposigiio da linha:
R R z, =0,04375+ j0,50758 -, zm = j0,09143 -, krn krn
Com o solo considerado ideal, obtemos resisti5ncias de seqiiencia positiva e zero iguais, porim, sabemos que em casos reais essa igualdade niio ocorre, quando p+O. c) Supondo o condutor c aterrado nas extremidades e sabendo que foram medidas as
108
Fundamentos de Sistemas Elbtricos de Potincia
correntes nas fases a e 6 , I, = 500L0° A e Ih= 8 0 0 1 - 1 lo0 A , calcular a queda de tens50 na fase a, admitindo-se a linha sem transposiq50 e comprimento de 50 km.
Da terceira linha extraimos a corrente I, :
o = ~ ( z ~ , I+,Z ~ , I ~+z,,I,),
C = ~ Okm,
ou:
AV, =(zaala +zabIb +zaCIc)!, AV, =4,633+ j l l , l 8 1 k V , resultando em: AVa = l2,102L6,493' kV . Embora essa situaqiio seja bem incomum, nesse caso mostramos a versatilidade do chlculo matricial para se obter inforrnaqdes em condi~desdesequilibradas. AlCm disso, 6 facil obter as correntes e tensdes induzidas em cabos paralelos a linha, por exemplo, a corrente na fase c poderia indicar a corrente que circularia em um condutor aterrado nas duas extremidades e paralelo A linha de transmiss50.
d) Calculo da matriz de capacitgncias sem o cabo-guarda
Pela tabela, Dm,= 1,108 pol :
reqc= 5,305 cm ,
Capitulo 2. Chlculo Matricial de Pardmetros de Linhas
Sabemos que:
c=P-'. Resultando na matriz de capacitiincias, sem transposiqgo: 8,852 -1,743 -0,703
-1,743 9,140 -1,743
-0,703 -1,743 8,852
Figura 2.19: Rede de capacitincias para cornprimento unitario.
109
110
Fundamentos de Sistemas ElPtricos de Potgncia
Fazendo a transposig50, escrevemos:
pnl = 2 1,803 km/nF , Pp
Pm
Pm
Prn
Pni
1
119,12 21,803 21,803 119,12 21,803 . 119,12 Obtemos a matriz de capacitiincias, com transposiqiio:
e) Desconsiderando o efeito do solo, calcularemos a impedincia serie e a capacitincia da linha, cornparando com os valores de seqiiencia positiva obtidos no item a. Com os c~lculospreliminares:
DMG = ( d 2 d d ) t = req:
=f i d ,
=JK,
DMG=12,599 m, r,, =4,768 cm, l>qc =5,305 c m . Aplicamos as expressaes de impediincias e capacitiincias: DMG Z = R+ j ~ x 2 ~ 1 0 ~ l n - ,
Capitulo 2. Ccilcz~loMatricial de Pardmetros de Linhas
C=
.
2?#7~~ C= DMG7 .
-
111
1
DMG
- A ,
'eqc
'
'eqc
Sem efeito do solo, obtemos os valores:
Z = 0,04375 +.j O , 4204 Qlkm ,C = 10,165 nF/krn Comparando com os resultados de parimetros de seqiiencia positiva, obtidos dos calculos matriciais, e considerando o efeito do solo:
2,= 0,04375 + jO, 4162 Qlkm , C, = 10,276 nFIkm . Observamos a proximidade dos resultados de impedincias e capacitincias, em linhas transpostas, sem cabo-guarda, quando utilizamos os mktodos dos capitu10s 1 e 2, sem incluir, ou incluindo o efeito do solo, respectivamente, para o calculo de parimetros de seqiitncia positiva.
EXEMPLO 2 Na mesma linha de transmiss20 do exemplo 1, verificou-se a necessidade de dois cabos-guarda, simetricamente espaqados.
120 cml
120 cm1
I I
I
>II
k
I
o
m
I
I
b 0
0
6
c
0
0
E
E
2-
N
0\ .~\1
~ \ 1
E
3
I I
I I
I
a
0
120 cm1
3
II
-r'
1%: altura media do condutor
II
E
E
<-
o PI
c\1
II
II
II
<"
e-'
.,
u
0
I?!: altura na torre do
cabo guarda flecha do cab0 guarda: 6 m
u
/////////zm
Figura 2.20: Geo~netriada linha corn a inclusiio de dois cabos-guarda.
112
Fundamenros de Sistemas Elitricos de PotEncia
A posi~iiodos cabos, assim como suas conexdes com as torres, s%oindicadas na figura 2.21, sendo um aterrado e o outro isolado.
torre
I
torre
I
dados d o cab0 - guarda Roc = 5,43R/km
X,(1 PC) =0,84R/mi
Figura 2.2 1: Configuraqiio dos cabos-guarda.
a) Obter a matriz de impedincias sirie Na matriz de impedgncias so se considera o cabo-guarda 2, pois o caboguarda 1 n%oesti conectado com a torre.
h, = 2 9 , 2 m , f = 6 m . Altura midia do cabo-guarda:
Matriz de impedgncias sCrie incluindo o cabo-guarda 2 A matriz de impedhncias dos cabos condutores perrnanece a mesma e acrescentamos a linha e a coluna correspondentes ao cabo-guarda 2:
Calculo do rmg do cabo-guarda, conhecendo-se a reatsncia de um pC X ,
Aplicando a formula de reatincia de um cab0 para afastamento de urn PC:
I
Capitulo 2. C ~ l c u l oMatricial de Pardmetros de Linhas
i
resultando em:
rrng = 0,000984 ft, ou rmg = 0,03 cm. Obtemos a complementa@o da matriz de impediincias serie:
zgg
=rg + j w x 2 x 1 0 - ~ln-, hP rmg
R zag = j0,0828 km'
I 13
114
Fundamentos de Sistenfas Elktricos de Potgncia
b) Considerando a linha sem transposiqiio, determinar a mutua entre as fases a e b ap6s a eliminaqiio dos cabos-guarda. Para se obter a mutua deve-se eliminar o cabo-guarda, fazendo a reduqiio de Kron, mas apenas para o elemento zOb:
z i b = 0,002 1
+ j0,1065 Rlkm
m6tua entre fases a e b.
Observamos, ap6s a eliminaqgo do cabo-guarda, o surgimento de uma componente resistiva na impedincia mutua entre fases.
2.5 Calculo Cornputacional de Pariimetros de Linhas de Transmiss50 2.5.1
Calculo da Impedincia Skrie (Matriz de Impedbncias)
No cilculo da impedincia sCrie consideramos o efeito das variaqdes de frequencias na passagem da corrente pelos condutores, chamado de efeito pelicular, e tambCm no seu retorno pela terra. 0 estudo das correntes com retorno pela terra e sua influencia para o cilculo de parimetros resulta nas correqdes de Carson [4].
7
\
".. I
I I I I I I I I I I
' l\\ \
I
\ \\
'I
\ ' \I \I
6
I
0
Figura 2.22: Disposigiio espacial dos condutores e metodo das imagens.
Capitulo 2. Cblctrlo Matricial de Pardmetros de Linhas
115
hi : altura do condutor i em relag20 ao solo, dg : distiincia entre os condutores i e j, D, : distiincia entre o condutor i e a imagem do condutor j, r;. : raio do condutor i, $u : Ingulo, xu : distincia horizontal entre os condutores i e j , w = 2nf radls . 0 chlculo da reatIncia sirie de uma linha de transmissiio em uma primeira fase supde a terra como um condutor perfeito, de tal mod0 que podemos aplicar o mitodo das imagens. Em uma segunda fase sHo introduzidas as corregdes de Carson e o efeito pelicular [3]. A matriz de impediincias sirie i composta pelos seguintes elementos em Qh. Reatiincias proprias (elementos da diagonal):
Reatiincias mutuas:
po : permeabilidade magnitica do ar. q+, : resistencia interna do condutor. xi-in, : reatiincia interna do condutor. Arc : corregiio de Carson da parcela resistiva. Axc : corregiio de Carson da parcela indutiva. Arc e Axc sHo as correqdes de Carson, que introduzem o efeito do retorno pela terra. As correqdes sHo fUnqPo do Lngulo ( @ = O para termos pr6prios e $ = @i para os termos mutuos). Essas correq6es sHo tambtm fun920 da variivel a , dada por:
J freqiiencia (Hz).
116
Fundamentos de Sisremas Elitricos de Potgncia
p : resistividade do solo (Qm). D B igual a 2hi para as impedincias prbprias e igual a D, para as impedlncias mutuas. As coneqdes Arc e AxC sgo apresentadas na forma de series infinitas, ananjadas para facilidade do calculo computational, e podem ser colocadas nas formas abaixo, dependendo do valor do parimetro a. a) a I 5 (freqiisncias n5o muito elevadas).
In/8-b, a cos@+b2 [(c, -1n a ) a2cos 2@+@a2sen 2@]+b3a3cos 34
1/
d r c =4wx104 1-d4a4cos4@-b5a5cos 5@+b6[(c6 -1n a)a6cos6@+@a6 sen 6@]+
AX' =4wx104
{ -b4 [(c4-1n a)a4cos 4@+@a4sen 4@]+b5a5cos 5@-d6a6cos 6 i
I
+b7a7 cos7@-b8 [(c,-1n a ) a8cos8@+@a8 sen 8@]+.. .
J
0 s coeficientes bi, ci, di , siio calculados com f6rmulas recursivas e preparados previamente em tabelas. bl =
8 -
para indice impar,
1 b2 = - para indice par, 16 bi = bi-2
sinal com os valores iniciais: i ( i + 2)
sinal = f 1 que muda de quatro em quatro tennos i = 1, 2, 3 , 4 sinal = 1; i = 5, 6, 7, 8 sinal = -1, etc.
Capitulo 2. Ccilczrlo Matricial de Pardmetros de Linhas 117 As funq6es trigonomktricas siio obtidas conforme a figura 2.22:
b) a > 5 (freqiizncias elevadas).
Para o caso de a > 5, a expansgo em skrie melhor ajustada 6:
cos) AxC= --( a
cos 3@ 3 cos 5) - 45 cos 74 a3 a5 a +
Rlkm.
podem tambkm levar em conta o efeito pelicular [3]. q-int. e 0 chlculo da resistsncia interna k mais importante do que o chlculo da reatincia interna, que representa uma pequena parcela da reatiincia total. A determinaggo mais atual destes pariimetros 6 feita para os condutores com alma de ago (ACSR) considerando uma coroa circular de aluminio em torno da alma de ago, sendo os condutores circulares um caso particular destes condutores tubulares.
Figura 2.23: Condutor tubular.
q e r siio respectivamente o raio interno e externo desta coroa. A express50 para o c~lculodos pariimetros internos do condutor k dada por: c-int.
+ jwl /
'-1". .
= j-mr(l-s 1
r~~
2
ber'mq '= ker'mq
+ j bei'mq + j kei'mq
2
)
(bermr + jbeimr)+y,(kermr+ jkeimr) (ber'mr
na qual: '
ric: resistencia em corrente continua,
+ j bei'mr ) + a,(ker'mr + j kei'mr )
'
118
Fundamentos de Sistemas Elitricos de PotGncia
4
s=-;
r
8nx10-~.f ( m r )2 = k - 1 ; (ms12 = k - s ; k = Pr I 1-s2 1-s2 rcc
-
E no caso dos materiais niio magnkticos, como os condutores de aluminio e cobre, pr = 1 . As funqdes de Bessel modificadas ber( ), ker( ), bei( ), kei( ), ber'( ), etc , etc., siio calculadas com aproxima~despolinomiais, havendo tambkm os aplicativos matemiticos que contem estas fungdes. Comentamos ainda que o efeito das correg6es de Carson pode ser aproximadamente calculado com as expressdes da referCncia [5], que introduz a distincia complexa p. '
A referencia [3] comenta que em casos estudados os resultados obtidos com esta fbrrnula aproximada e com as de Carson apresentam uma diferenga mixima de 9% na faixa de freqiiencias de 100 Hz a 10 kHz, sendo inferior para outras freqiiencias, podendo ser considerada uma boa aproximagiio.
2.5.2
Ccilculo da Matriz de Admitbncias Capacitiva
Desprezaremos no cilculo as condutiincias para a terra de uma linha de transmissiio e deste mod0 o problema C dirigido para a obtenqiio da matriz de capacitsncias.. Inicialmente montamos a matriz dos coeficientes de potenciais de Maxwell. No cilculo destes coeficientes supomos a terra como um condutor perfeito e com potencial nulo, e deste mod0 aplicamos diretamente o mCtodo das imagens. 0 s terrnos da diagonal s3o expressos por:
Capitulo 2. Calctrlo Matricial de Pardmetros de Linhas
119
/
1
-= 17,975 109x 1o6 km/F [3], usando a velocidade da luz 299.792,5 krnls. 2m0
Escrevemos para os termos fora da diagonal:
Sendo P a matriz dos coeficientes de potenciais de Maxwell,
n: numero de condutores. Obtemos a matriz de capacitincias C pela invers5o de P:
A matriz de capacitincias C tem a estrutura de uma matriz de admitiincias, na diagonal temos a soma das capacitincias incidentes no n6 e fora da diagonal as capacitincias entre os n6s, com sinal trocado.
EXEMPLO 3 Faremos a seguir um exemplo de cilculo de pariimetros usando a rotina Line Constants do programa ATP [7]. 0 s dados de condutores e a geometria da linha de transmiss50 s5o apresentados a seguir: Frequencia: 60 Hz. Cabo Condutor: 636 MCM, ACSR Forma~50:26/7, Grosbreak. Diiimetro externo: 2,5 16 cm. Diimetro interno: 0,927 cm. Relag50 T/D: 0,3 156, ou seja, -T/D=(r-ri)/(2r). Resistencia AC: 0,0922 Q/krn. Flecha: 17 m. Cabos Pira-Raios: AGO,EHS, 5/16", classe B. Diimetro: 0,794 cm. Resistencia AC: 4,9 Q k m . Flecha: 15 m.
120
Fundamentos de Sistemas Elbtricos de Potkncia
Cabos Phra-raios Aterrados (atraves de operaqdes inatriciais podemos eliminar os cabos phra-raios aterrados). Resistividade do solo: 1000 a m . Geometria:
Figura 2.24: Geometria da torre. Considerando linha de transmissiio niio transposta ternos a matriz de irnpedincias em Q/km (apresentamos apenas a parte triangular inferior, pela sirnetria):
Matriz de susceptincias em Slkm (triangular inferior): 0,29596 -0,0478 18
0,30446
-0,O 18609 -0,0478 18 0,29596
1
XIO-~.
Considerando a linha perfeitamente transposta (tomarnos a media dos elementos da diagonal e fora da diagonal, tambem a media dos seus elementos), obtemos os resultados a seguir, usando as expressdes (2.1 9), (2.33) e (2.34): SeqiiEncia zero:
Ro + jXo = 0,456 13 + j l , 7253 Wkm.
jwC, = j 0 , 2 2 6 3 ~ 1 0 -S~l k m . Co = 5,9 nF/km.
F
Capitulo 2. Calculo Matricial de Pardmetros de Linhas 12 1 SeqiiCncia positiva:
[I] Electric Power Research Institute. Transmission Line Reference Book: 345 kV and Above. 2. ed. Palo Alto, 1982. [2] El-Hawary, M. E. Electrical Power Systems. Piscataway, IEEE Press , 1995. [3] Dommel, H. W. Electromagnetic Transients Program Reference Manual: EMTP Theory Book. Portland, BPA, 1986. [4] Carson, J. R. Wave Propagation in Overhead wires with Ground Return. Bell System Technical Journal, vol. 5, pp.539-54, 1926. [5] Deri, A.; Tevan, G.; Semlyen, A.; Castanheira, A. The Complex Ground Return Plane - A SimpliJied Model for Homogeneous and Multi-layer Earth Return. IEEE Transactions on Power Apparatus and Systems, vol. 100, n. 8, pp.3686-93, Aug. 1981. [6] Zanetta, L. C. Transitdrios Eletromagnkticos em Sistemas de Potzncia. Siio Paulo, Edusp, 2002. [7] ATP: Alternative Transients Program Rule Book. Leuven, K.U. Leuven EMTP Center, 1987.
R E L A C ~ EENTRE S T E N S ~ EE SCORRENTES EM UMA LINHA DE TRANSMISS~O
Neste capitulo seriio estabelecidas as relaqdes fundamentais entre tensdes e correntes em uma linha de transmissiio. A formulaqiio matemitica mais completa, baseada em parimetros distribuidos, permite o equacionamento das ondas trafegantes em uma linha de transmissiio. A partir desta formulaqiio siio obtidos os modelos mais precisos de representaqiio da linha, considerados aqui no cilculo do regime permanente senoidal de redes elitricas. Com o conhecimento destas relaqdes i possivel estabelecer modelos na forma de quadripolos, assim como modelos equivalentes na forma de circuitos n, exatos ou aproximados, que siio bhsicos na representaqiio de linhas para avaliaqiio de fen8menos elCtricos em regime permanente senoidal. Siio ainda tratados neste capitulo aspectos coma a compensaqiio reativa, derivada e sirie, assim como algumas limitaqdes na transferhcia da potzncia elktrica entre as extremidades de uma linha de transmissiio. 0 assunto 6 bem amplo, ficando o aluno ciente de que os conceitos fundamentais aqui desenvolvidos merecem um aprimoramento, no caso de avaliaqdes da compensaqiio reativa em sistemas reais.
3.2 Propagaglo de Ondas EletromagnCticas em uma Linha de Transmisslo Consideremos uma linha de transmissiio com parimetros distribuidos R', L' e C' por unidade de comprimento, representados na figura em segmentos de linha com comprimento Ax. 0 equacionamento de propagaqiio de ondas, aqui reproduzido, encontra-se descrito em referencias que tratam da teoria de ondas e linhas. Para a variaqiio de tensiio longitudinal ~ v ( x , t )em um trecho Ax, consideramos os pariimetros R'Ax , L ' A ~e C'Ax concentrados nesse trecho e escrevemos:
124 Fzrndamentos de Sistemas Elktricos de PotBncia
v(x,t)-v(x+
AX,^) = R 1 d x i ( x , t ) +L'Ax
ai ( x ,t ) at
Figura 3.1 : Propagaqgo de ondas em uma rede genkrica.
Analogamente para variaqbes de correntes i ( x ,t ) :
Aplicando a transforrnada de Laplace, supondo condiqdes iniciais quiescentes:
I ( x ,s ) - I ( x + Ax, s ) = sC'Ax V ( x + Ax, s ) . Reescrevemos as duas equaqdes anteriores:
Passando ao limite Ax riavel x:
( x ,s )
ax
+ 0 , obtemos as derivadas parciais em relaggo a va-
= -sC'V ( x ,s ) .
Capitulo 3. Relaqdes entre Tensdes e Correntes em urna Linha de Transmiss60 125
Derivando novamente a fbrmula (3.1) em relag50 a x:
a2v (x, S) = -(R'+ d') (x, s) ax2 ax
9
e usando a express50 (3.2), obtemos:
Temos em (3.3) uma equagiio de propagagiio de ondas de tensiio e seguindo um procedimento andogo, obtemos uma expressiio semelhante para propaga~iiode ondas de corrente,
a2I (x, S) =(R' + d')(sc')I (x, S) ax2 A solugiio geral da equagiio (3.3), ainda no dominio da freqiitncia, pode ser proposta na forma:
v (x, s) = V+(0,s)e-y(S)X+ V - (0, s)e+y(.)x na qua1 ,
e ,
9
s5o expressdes transformadas de fung6es temporais, conheci-
das no ponto x = 0 , associadas as ondas progressivas e regressivas. Definimos a constante de propagag50 y ( s ) :
0 mesmo procedimento anterior pode ser repetido para correntes, resultando em:
I (x,s) = I+ (0,s) e
-y(.s)x
+ I-(0,s)
e+Y(+
(3.7)
Uma interpretaqgo mais simples da solugiio geral apresentada em (3.5) pode ser feita no dominio do tempo e para isto desprezaremos as perdas, supondo R' = 0 . Reescrevemos as equagdes (3.3), (3.4) e (3.6):
a2v(x,s) = s2L'C'V (x, s) ,
ax2
a21(x,s)
ax2
= s2L'c'I (x, s) ,
Chamando a velocidade de propagaq50:
temos:
V + ( 0 , s ) representa a transformada de Laplace F ( s ) de uma fUn~2of ( t ), conhecida na origem (no ponto x = 0 ), a partir da qual obtemos a onda de tens50 em um ponto x qualquer da linha. Obtemos a express50 (3.5) simplificada:
/
As duas parcelas da equaqlo (3.9) sHo soluqlo de (3.8). Para obtermos a soluq5o no tempo desta equaq5o aplicamos a transformada inversa de Laplace, lembran- i ! do da propriedade de translaqgo no tempo: I
F ( s )ex'
H
f ( t+ a )
Antitransformando a express20 (3.9),
I
na qual v+ 6 uma onda que se propaga no sentido positivo de x (onda progressiva) e r v- e uma onda que se propaga no sentido negativo de x (onda regressiva). A tens50 total 6 obtida pela superposiqiio das duas componentes. Analogamente para correntes, escrevemos:
Resultando na soluq5o no dominio do tempo:
-
Capitulo 3. Relaqdes entre Tensdes e Correntes em urna Linha de Transmissco 127
Nesse caso particular de linha monofasica de transmissiio airea, sem perdas, usando as expressdes de indutiincias e capacitincias monofisicas, obtidas nos capitulos anteriores, temos a velocidade de propagaqiio:
que i a velocidade de propagaqiio da luz. Detalhes adicionais sobre a propagaqiio de ondas eletromagniticas no dominio do tempo em linhas de transmiss80, assiin como de analises das componentes progressivas e regressivas, podem ser encontrados em diversas referencias sobre o assunto.
3.3 Impedlncia Caracteristica de uma Linha de Transmissfo Estabeleceremos uma relagiio fundamental entre tens50 e corrente em uma linha de transmissiio. Substituindo a soluqiio geral da tens20 (3.5) em (3.1) obtemos: I
I (x,s) = -
I
R' + SL'
ou:
Lembrando da expressgo (3.6), substituimos y(s) em (3.12):
na qua1 2,(s) 6 a impediincia caracteristica da linha de transmissiio, dada por:
Mais detalhes sobre propagaqiio de ondas eletromagniticas no dominio do tempo podem ser encontrados na referencia [7].
3.4 Regime Permanente em Linhas de Transmissfo As equaqdes de propagaqiio de ondas, no dominio da freqiicncia, s8o formalmente as mesmas no dominio do tempo, bastando calcular as expressdes corn a
128 Fundamentos de Sistenlas Elktricos de Potgncia
transformada de Laplace no ponto s = j w , para obtermos o regime permanente senoidal. Para uma linha com cornprimento infinito, fazendo s = j w na express50 (3.3), obtemos no ponto x:
Simplificando a notaqgo, definimos a constante de propagaq50 y , em uma dada freqiitncia s = j w ,pela expressgo:
Temos ainda a impedincia caracteristica para s = j w :
na qual 2' = R'+ jwL' e Y' = j d ' . Reescrevemos a expressiio (3.5) apenas em funqgo da varihvel x, em regime perrnanente senoidal:
na qual ~ ( x 6) o fasor da tens50 em urn ponto x da linha de transmissiio. Nessa expressiio, identificamos a parcela progressiva, V+ (x) = V+ ( 0 )e-Yx , assim como a parcela regressiva, V- (x) = V- (0) e+Yx. Em regime permanente senoidal, obtemos a expressiio da tens50 no tempo pela equaqgo:
).
v(x,t) = h ~ e ( (x)ejW V
Para o calculo em regime permanente, com s = j w , separemos a constante de propagaq5o y em duas parcelas, uma real e outra imaginaria: y=a+jP, na qual:
(3.17)
Capitulo 3. Relaqdes entre Tensdes e Correntes em trma Linha de TransmissGo 129
a : constante de atenuaqiio,
p : constante de defasagem. Com a finalidade de interpretarmos essas constantes, tomemos uma. componente da soluqiio da equaqiio de onda, por exemplo, a parcela progressiva, em uma linha com comprimento semi-infinito. 0 fasor da tensiio aplicado na origem, x = 0 , C dado por V+ (0) ,e assim: V+ (x) = V+ (0) e-yx . Tal expressiio nos inforrna que, conhecido o fasor da tensiio cossenoidal na origem, V+(O)LB,podemos obter o fasor da tensiio em qualquer ponto x da linha de transmissiio, por meio do operador complexo e-YX:
v ( x ) = V+ (O)LB e-Yx. Ou, chamando V+(O)LB = veje :
que C equivalente a:
v ( x ) = Ve-ax .j(e-Px) No dominio do tempo, obtemos a tensiio na origem: v(0,t)=JZVcos(wt+0). No ponto x:
Para um observador que se desloca com uma velocidade:
o argument0 do cosseno se mantCm inalterado, pois wt = p x e
v,,,P chamada de
velocidade de fase. No caso particular de uma linha sem perdas temos:
No estudo do regime permanente estaremos analisando ondas senoidais estacionirias de tenslo e corrente. A exceqiio de alguns casos especiais, nos quais real-
130 Ftindamentos de Sisten~asElktiicos de Potgncia
qaremos o m6dulo e a fase, as grandezas fasoriais de tens50 simplificadamente representadas por V e I .
3.4.1
v
e corrente I estarPo
Modelo de Linhas de Transmissa"~corn Comprimento Finito
Voltemos ao nosso objetivo inicial, que e o de forrnular urn modelo para uma linha de transmiss50 com comprimento finito, em regime permanente senoidal. Para isso retomemos as equaqdes (3.5) e (3.13), simplificando ainda um pouco mais a notaq.50 fasorial de tensdes e correntes:
+~ - e + ~ ' .
V (x)=
1 I ( X ) = -(v
+e-y" -
(3.19)
v - ~yx+
zc
1
Para a linha de comprimento finito, conhecemos as condiqdes de contorno nas extremidades, dadas pelos fasores de correntes e tensdes. Suponhamos uma linha com comprimento finito, na qua1 V, e I , s5o as tensdes e correntes no lado emissor, ou lado fonte e V, e I, s5o as tensdes e correntes no lado receptor. emissor
receptor
////I
Figura 3.2: Linha corn dois tenninais. No lado emissor, para x = 0 , temos as condiqdes de contorno:
v(o)=v,e I ( o ) = I , . Entgo:
v,=v++v-,
,
Capitulo 3. Relaqdes entre Tensdes e Correntes em uma Linha de Transmissa'o 131
ou: Z,Is = 'V - V-.
(3.22)
Somando-se (3.21) com (3.22), obtemos a componente progressiva V f :
A identificaqiio da tensiio ~ ' c o m ondas trafegantes 6 imediata, pois se coni siderarmos a linha com comprimento semi-infinito, ao aplicarrnos uma onda progressiva no inicio, obtemos:
1 l
c,
e portanto:
Supondo a linha com comprimento semi-infinito, temos V, se propagando indefinidamente pela linha, com as atenuaqdes de e-YX, como vimos anterionnente. Tal formulaq80 tem correspond2ncia corn o mktodo das caracteristicas, muito utilizado no estudo de propagaqiio de ondas em linhas de transmissZo. Agora, subtraindo-se (3.22) de (3.2 l), obtemos:
Reescrevemos (3.1 9):
Reagrupando os tennos nas variAveis ,YX
V ( x )=
+ e-YX
2
eYx
v,- zc
y,
- _,-Y.Y 2
I,
que pode ser reescrita como:
v ( x ) = cosh ( y x ) V, - 2,senh ( y x ) I,s, pois sabemos que:
9
e I,, obtemos:
132 Ftrndamentos cie Sistemas Ele'tricos de Potgncia
senh ( yx) =
- e-Yx
eYx
2
e cosh ( yx) =
eYx + e-Yx 9
2
em que a constante de propagaqiio y, j i definida anteriormente, 6 um numero complexo y = a + j p . No lado receptor, para x = !, temos outras condiqdes de contorno:
que, substituidas em (3.23), fornecem: Vr = cosh ( yP) V, - 2,. senh ( y t ) I,,. Reescrevendo a formula (3.20):
ou:
senh ( yx) I(x)=V, + cosh ( yx) I,. z c
Desse modo, novamente no ponto x = C , escrevemos:
Ir = -
senh ( y!)
zc
V,+cosh(y!)~,.
[
1
Colocando-se (3.24) e (3.25) na forma matricial, obtemos:
][ =
cosh (rt) -2, senh ( YC)]
- senh ( y t )
zc
cosh (ye)
V,
IS
Ou, na forma mais tradicional, invertendo-se a matriz:
Capitulo 3. Relaqdes entre Tens6es e Correntes em uma Linha de Transmissa'o 133
pois sabemos que: [cosh
- [senh
2
=1
A expressgo (3.26) condensa as relagdes fundamentais entre os fasores de tensdes e correntes no inicio e fim de linha, a serem empregadas no c6lculo de tensdes e correntes em linhas de transmissiio.
Com base na expressgo (3.26), estabelecemos o modelo de um quadripolo equivalente de uma linha de transmissgo, definido pelas constantes A, B, C e D: A = cosh (ye) ,
B = 2,senh ( yC) , C=
senh ( yC) 9
Zc
D = cosh ( ye) . Observamos que dadas as condigaes de simetria da linha de transmissiio, obtemos A = D . Temos as relagaes entre tensaes e correntes em uma linha de transmissgo com comprimento finito C , na forrna de um quadripolo:
Para linha em vazio, ou seja, sem carga no lado receptor, portanto com I , = 0 , temos:
Vs = A V, . 0 termo A representa a relaggo de tensdes entre inicio e fim de linha, ou o inverso do ganho de tensiio em vazio:
A corrente no inicio da linha, para linha em vazio, 6 dada por:
I34
Ftrndamentos de Sisten~asElktricos de PotEncia
Para linha em curto-circuit0 no terminal receptor, com V, = 0 , temos:
V, = BI, , portanto:
Finalmente, para a linha em curto, sabemos que:
I , = DI, ,
3.4.3
Modelo nEquivalente de urna Linha Genkrica (Linha Longa)
Vejamos agora como estabelecer correspondZncias entre tensaes e correntes por meio de um modelo n composto por uma impediincia skrie e duas admitiincias para a terra, no caso de uma linha genkrica. Esse modelo, norrnalmente, C empregado para linhas longas, mas pela sua generalidade pode ser usado para qualquer linha de transmissiio. Nesse modelo, vhlido para uma dada freqiiencia, representam-se os pariimetros indutivos e capacitivos de mod0 exato, sem qualquer aproximaqiio, sendo tambkm conhecido como modelo n exato.
Figura 3.3: Modelo n equivalente.
Chamemos: 2,: impediincia skrie exata, 6 : admitiincia para a terra do lado 1,
Capitulo 3. Relapies entre Tens6es e Correntes em urna Linha de Transmissa'o 135
Y2 : admitincia para a terra do lado 2. Para uma linha, sem compensagiio reativa, por raz6es de sirnetria, sabemos que & = Y2 = Ye/2 . No entanto, trabalharemos inicialmente de mod0 genkrico com fi # Y2, que facilita o entendimento de linhas compensadas com reatores, que podem apresentar esta assimetria em um modelo equivalente. Da figura 3.3, equacionando para a tens50 Vs , podemos estabelecer a igualdade:
Vs = Vr + ze(1, + 5 V r ) , ou:
Comparando com a primeira linha da equag5o (3.27), identificamos: A=(1+ZeY2),
(3.29)
B=Ze,
(3.30)
e desse mod0 obtemos:
Equacionando para a corrente I,, temos:
I, =&Vs +Ir+Y,Vr. Substituindo
ISs= [(I
da express50 (3.28) em (3.32):
+ zey2)vr + zeIr]+ + y2vr ,
=(r; +zer;y2 +y3)vr + ( l + Z e r ; ) l r .
ISS
Comparando corn a segunda linha da equagiio (3.27): C=&+Z,y,Y,+Y,, D=(l+ze&), Da equag5o (3.34) obtemos:
136 Fundamentos de Sistemas Elbtricos de Potgncia
As expressdes genCricas (3.30), (3.31), (3.33), (3.34) e (3.35) serzo uteis, posteriormente, na anilise de alguns casos particulares de quadripolos. Essas expressaes s5o tambCm muito interessantes para fazermos a convers50 do modelo na forma de quadripolos para a forrna de matriz de admitincias. No caso de linhas de transmissiio, concentramos metade da admitiincia em cada extremidade, com a finalidade de obtermos o modelo n: da linha. Desse modo, chamemos:
Das relaqaes anteriores, (3.31), (3.35) e (3.36), 6 imediato que:
Das expressdes (3.33) e (3.36), escrevemos:
Das equaqdes (3.30) e (3.37) temos:
Como sabemos: 2
[cosh
- [senh ( y!)]
2
=I
,
Lembrando que definimos:
C=
senh (ye)
zc
7
multiplicando o numerador e denominador dessa expressso por senh ( y ! ) , escrevemos:
r
Capitulo 3. Relaqdes entre Tens6es e Correntes em uma Linha de Transmissfio 137
Verificamos desse mod0 que:
Observamos que o modelo de quadripolos da linha de transmissgo esta cornpletamente definido, corn a obtenggo das constantes A e B.
Com relay50 ao modelo n equivalente, podemos estabelecer algumas relagdes e para tanto chamemos os valores totais de impedincias e admitincias da linha de transmissgo por:
z = z'.e,
(3.41)
Sabemos que:
.d, "y ( y e ). I?,
2, = Z, senh ( y e )=
senh
Multiplicando-se o numerador e o denominador por Z = z'.C,
obtemos:
Como:
escrevemos a express20 da impedincia sCrie do circuit0 n exato, em funyiio da impedincia 2, multiplicada por um fator de correggo: senh ( y e )
2, = z
Y!
138 Fzrndamentos de Sistemas Elktricos de Potencia
ye-- cosh(yC) - 1 1 2
senh(yC)
'
Usando a identidade: tanh
($) coshsenh(yl)(yk')
=
1
'
verificamos que:
Yc - tanh 2
($)
lZT
=
6 ($1 tanh
.
Multiplicand0 e dividindo essa expresslo por
JY'!
, como:
obtemos:
Corn as expressdes (3.43) e (3.44), encontramos formas alternativas de se ot ter o circuit0 n exato de uma linha de transmissiio. Como a impediincia caracteristica e a constante de propagaqiio siio ncmerc complexos, 6 interessante avaliarrnos suas fases, quando estamos trabalhando co linhas de transmissiio na freqiiencia de 60 Hz. Denominamos:
,
CapituIo 3. Rela~desentre Tenslies e Correntes em tuna Linha de Transmiss60
139
Em linhas de alta tensgo, como R' << X' , observamos que o iingulo p e elevado, situado freqiientemente na regi5o acima de 70" . Desse modo, no cilculo da constante de propagaq20, normalmente encontramos:
que em condiqdes normais apresenta fase pr6xima de 90°, ou seja, a << ,8 . No cilculo da impedincia caracteristica,
com uma parte imaginiria bem menor do que a parte real, ou seja, com a fase levemente negativa. Com o modelo de quadripolos, verificamos uma caracteristica interessante, quando a earga apresenta uma impedincia igual A impediincia caracteristica 2,. Nesse caso, conhecemos a relay50 entre a tens50 e a corrente no lado receptor,
Calculemos a tens50 V,, em um ponto x qualquer, ou at6 mesmo, sem perda de generalidade, no ponto x = 0, em que Vy = Vs,
[:I
cosh ( y ! ) Zc senh ( y!)
= [ s ~ ~ ~ ( ; . ! ) cosh (ye)
zc
Calculando a relaqgo entre V, e I ,no inicio da linha encontramos novamente o valor de Zc , pois:
y.Y - IrZc [cosh -I,
I , [cosh
( Y.!) + senh ( Y!)]
+ senh (ye)]
=zc,
(3.45)
ou seja, temos a mesma relaq5o entre tens20 e corrente ao longo de toda a linha de transmisszo, pois o ponto x C genkrico, resultando no inicio da linha:
Observamos que a igualdade V, = eY'vr ou Vr = e - Y ' ~ ss6 6 vilida para uma onda progressiva em uma linha de transmiss50 com comprimento infinito, sem reflexdes.
140 Fundamentos de Sistemas Elitricos de PotBncia -
---
-- -
Como vimos, a impedincia caracteristica calculada na frequencia de 60 Hz,
i niimero complexo, com a fase levemente negativa, apresentando urna pequena parcela reativa. No caso particular de linha ideal, sem perdas, a impediincia caracteristica apresenta um comportamento puramente resistivo, dado por: lrl
Nesta expressgo, Zo i denominada de impediincia de surto, caracterizada por urna resistencia, muito utilizada na interpretaggo de fen6menos de alta frequencia. Percebemos que se admitirmos urna linha semi-infinita ideal, composta de indutores e capacitores puros, ou urna linha ideal finita alimentando urna carga Zo ,a potencia absorvida por esta linha 6 puramente ativa. Das expressaes (3.45) e (3.46), verificamos que v2wc'dx = I ~ ~ L ' A X ou, seja, a cada increment0 Ax do comprirnento de linha a potencia reativa capacitiva gerada i cancelada pela potencia reativa indutiva absorvida.
3.4.4
Modelo ;TNominal
Podemos, com o modelo n: exato, estabelecer algumas relagdes mais simplificadas, ainda com urna boa precisgo, admitindo algumas restrigdes. Para freqiiencias na faixa de 50 a 60 Hz, considerando linhas midias, corn comprimentos na faixa de 80 a 240 km, sabemos que: senh ( yC)
2, = 2
,n
y =-y9
tanh(Y 410
*
Nessas condiqdes, temos aproximadamente:
e portanto:
Capitulo 3. Relaqdes entre Tensdes e Correntes em uma Linha de Transmisscio 141
Essa faixa de 80 a 240 krn 6 apenas orientativa e n2o deve ser entendida como uma restriqzo muito rigida. Nesse caso, C ficil construir o quadripolo correspondente ao modelo n nominal:
Figura 3.4: Modelo n nominal.
3.4.5
Modelo para Linhas Curtas
Figura 3.5: Modelo para linha curta. Para linhas com compriinentos inferiores a 80 kin, a 60 Hz, 6 razohvel desprezar as capacitincias (admitiincias) para a terra, ficando o modelo apenas com uma impedincia em sCrie. Nesse caso, fazendo Y = 0 e analisando as equaqdes (3.47), (3.48) e (3.49), 6 imediato que:
142 Fundamentos de Sistemas Elktricos de PotBncia 1
3.4.6
Modelo T Nominal
////I
Figura 3.6: Modelo T de linha de transmissZo. Usando a figura 3.6, equacionamos:
Reagrupando os terrnos em tensBes e correntes:
resultando em:
Escrevendo as expressdes de Vy e I , em funqiio de cial, temos:
5, e
I,. , na forma matri-
Capitt~lo3. RelaqGes entre TensGes e Correntes em uma Linha de Transmissa'o 143
Este modelo 6 menos utilizado do que o modelo n; e o mesmo procedimento poderia ser adotado na obtenqiio do modelo T exato.
3.5 Algumas Propriedades de Quadripolos 3.5.1
AssociaqGo em Cascata de Quadripolos
Figura 3.7: Associaqiio em cascata de quadripolos.
Para o primeiro quadripolo:
Para o segundo quadripolo:
Substituindo-se a expresiio (3.55) em (3.54):
Obtemos entgo um quadripolo equivalente, dado pelo produto das matrizes dos quadripolos em cascata:
144 Fundamentos de Sistenlas Elktricos de Potgncia
resultando nos pariimetros A, B, C e D equivalentes dessa associaqiio:
Usando as relaqdes anteriores, (3.30), (3.3 1) e (3.35), escrevemos os parsmetros do modelo TC equivalente da associaqiio em cascata:
3.5.2
Associaq60 de Quadripolos em Paralelo
Figura 3.8: Associaq?io de quadripolos em paralelo.
Pelo fato de envolver varias operaqdes matriciais, embora niio seja uma operaggo muito complexa, C recomendavel que a associaqiio de quadripolos em paralelo seja feita com rotinas em computador. No entanto, essa associaqiio pode ser feita facilmente por meio de um passo intermediario, convertendo suas representaqdes em forma de matrizes de admitiincias e somando as matrizes, ou convertendo-as em forma de modelos I T ,com impediincia em sirie e admitincias para a terra, associando em paralelo os componentes de ambos os modelos 7c . Ap6s o passo intennediario, retornamos ao quadripolo equivalente da associa@o.
Capitulo 3. Relaq6es entre TensGes e Correntes em uma Linha de Transmiss60 145
Figura 3.9: Quadripolo equivalente corn associa@io dos modelos n.
No caso da figura 3.9, com modelos n: , sabemos que:
2, = z,, I/ z,, , Ye1 =Ye11 +Ye21
7
YE2 =&12 + % 2 2 .
As constantes A, B, C e D podem entgo ser calculadas usando as expressaes (3.29), (3.30), (3.33) e (3.34):
3.5.3
RepresentaqEo de Elernentos Concentrados Atravis de Quadripolos
Elementos Concentrados em SCrie Em sistemas de potencia encontramos os reatores limitadores de curtocircuit0 em redes de media tensgo, ou os bancos de capacitores sirie, esses mais comuns de serem encontrados em virios niveis de tensgo. 0 modelo de quadripolo i identico ao de linha curta, ou mais genericamente, podemos retornar i s equaqdes (3.29), (3.30), (3.33) e (3.34), fazendo = Y? = 0 , resultando em:
2:impedincia do elemento em skrie. Elementos Concentrados em Derivaq~oparaa Terra Esses elementos podem representar cargas, capacitores ou reatores de compensa~iioda potencia reativa da linha. Simplificando o modelo T, encontramos facilmente o quadripolo de um elemento em derivaqiio (shunt), fazendo Z = 0 na express50 (3.53):
A analise do fluxo de pothcia em uma linha de transmiss50 utiliza a matriz de admitincias nodais, empregando como modelo de linha o circuito n;, considerado mais conveniente nesse caso. 0 estudo do fluxo de potencia por meio dos quadripolos ngo 6 usual, porCm, com essa fomula@o, estabelecemos algumas relaqdes interessantes do ponto de vista de transmiss50 de potencia em uma linha de transmissgo.
Figura 3.10: Constantes de urn quadripolo.
Vs e Vr s8o as tensdes fase-terra em um circuito monofasico, ou tensaes de seqiicncias em um circuito trifasico. Como: Vs = AV,
+ BI,,
obtemos a corrente I, :
Capitulo 3. Rela~liesentre Tenslies e Correntes em uma Linha de Transmissiio
147
Trabalhando com os fasores de tens20 na forrna polar, representados em modulo e fase, escrevemos:
vy= l v s l L 6 ,
vr =IvrILo0. Desse modo:
A = IAILa,
Reescrevemos a expressiio da corrente:
A potencia aparente transmitida por fase, entregue no ponto receptor, 6 dada por:
Sr =
c + jQr = V,I;.
Lembramos que Vr =
Iv, I LO0,ou seja, com fase nula, obtemos:
com as parcelas ativa e reativa:
Pr = I ~ ~ I cos(b I ~ ~- 6) I - lA1Ivr'
IBI
IBI
cos(b - a ) ,
Estas parcelas podem ser analisadas por meio de uma representagso chamada diagrama de circulo, forrnada pela diferenqa dos dois vetores que comp6em a expressiio (3.59). Supondo os m6dulos das tens6es constantes, assim como os parimetros da linha, resta como variivel o iingulo 8 . Na figura 3.1 1, o primeiro vetor NO tem o modulo constante e um ingulo variivel b - 6 , que descreve um circulo em e
.
148 Fundamentos de Sistemas Elitricos de Potencia
torno do ponto 0 . 0 segundo vetor MO 6 fixo e a potencia complexa Sr 6 dada pela diferenqa entre esses vetores, NO - MO.
constante -+
/
Figura 3.1 1 : Diagrama de circulo.
Trabalhando com tensdes de fase, V, e Vr e considerando a potencia monofasica Pr + jQr , obtemos a expressiio da maxima potencia ativa transmitida pela linha, para a condiqiio de abertura angular correspondente a 8 = b , o que maximiza a primeira parcela de (3.59), sendo a segunda parcela fixa.
Vejamos o caso particular de linha sem perdas, do qua1 serh possivel extrair uma f6rrnula muito comum em analises de sistemas de potencia, principalmente nos estudos de estabilidade. Ao desprezarmos as perdas, a constante de propaga~iiotoma-se um numero imaginhrio:
e a constante A da linha: cosh ( yl) =
ejJ77~
+
3
,-/&WE 9
CapituIo 3. Relaq6es entre Tens6es e Correntes em uma Linha de Transmiss50 149
6 a soma de dois numeros complexos conjugados, portanto, A 6 um numero real com fase a = 0' : A = IAILOO. Como nesse caso trabalhamos com a impedincia de surto, que 6 urn numero real, temos:
B = Zosenh(y!)
B = Zo
,
ejmt' - e 2
- j m t
= jZo sen (J*.e)
A constante B e um numero imaginirio puro, com fase b = 90". Substituindose esses valores de a e b na equagiio (3.60), obtemos:
Sabendo que:
simplificamos para:
Figura 3.12: Curva P x 6 .
Esta express50 apresenta uma relagiio senoidal entre a potsncia ativa transmitida e a abertura angular das tens6es de inicio e fim de linha.
Observamos que uma expressgo ainda mais simplificada e facilmente obtida, se admitirmos a linha composta apenas pela sua reatiincia serie (modelo de linha curta), com A = 1 e B = jX , o que implica uma f6rmula muito utilizada na descriqiio da potzncia ativa em funqiio do ingulo S :
3.7 Compensaqgo Reativa de Linhas de Transmissgo 3.7.1
Linha de Transmissiio em Vazio
A potzncia reativa capacitiva, gerada pela presenqa das capacitiincias das linhas de transmissiio, 6 normalmente compensada com a instalaqiio de reatores em derivaqgo nas extremidades da linha. Dependendo dos requisitos operativos do sistema e do comprimento da linha, podemos instalar reatores em apenas um terminal ou em ambos, sendo que nas linhas curtas normalmente niio h i necessidade de reatores. Como introduqiio ao assunto, vejamos um caso bem simples, analisando o efeito de instalar um reator em apenas uma extremidade da linha de transmissiio em vazio, no caso o lado receptor. Calculemos inicialmente a tens50 no final da linha, conhecendo a tens20 de alimentaqiio do gerador, conectado no seu inicio. Com o circuit0 n equivalente da figura 3.3, admitindo I, = 0, aplicamos o divisor de tensiio, obtendo:
1
Capitulo 3. RelaqGes entre Tensdes e Correntes em uma Linha de Transmissfio 151
Utilizando a express20 (3.37), obtemos:
Verificamos que, na linha em vazio, a constante A corresponde ao inverso de um divisor de tensgo. No caso particular de uma linha sem perdas, utilizando o n: nominal, temos:
Substituindo-se na express20 anteriormente obtida, temos:
I
Observamos que em uma linha de transmiss20, a constante A tem m6dulo menor do que um, sendo este fato mais facilmente observado nesse caso de linha sem perdas, o que implica uma elevaqgo da tens20 no final da linha sem carga. Tal i elevaq2o da tens20, tambkm conhecida como efeito Ferranti, pode ser proibitiva no caso de linhas longas, ou mesmo quando conectamos linhas em sirie nas interligagbes a longa distiincia. A configuraq20 de uma linha conectada a uma barra e em vazio na outra extremidade pode ser encontrada na opera~iiode energizaqiio da linha, ou mesmo em manobras de abertura de cargas, tambkm conhecidas como rejeiqbes de carga. Vejamos agora o que acontece quando ligamos um reator no final da linha ; em vazio.
Figura 3.13: Compensaqiio reativa.
/ Y, 6 a admitiincia do reator. i,
152 Fttndamentos de Sistenlas Ele'tricos de PotEncia
Normalmente o reator C fornecido com uma potencia trifasica Q3$ e uma tens20 nominal de linha V. Se a potsncia for trifisica, obtemos admitiincia Y,., com a I tens50 nominal de linha:
Com a pot6ncia monofisica, obtemos Y,. segundo a express20:
Com o reator ligado no fim da linha, associamos os quadripolos em cascata: 1
Resultando no quadripolo equivalente da associaqiio:
Novamente, para o conjunto linha em vazio com reator, ou seja, sem carga no1 iI terminal receptor, obtemos a constante A equivalente da associaqiio em cascata:
I
I
Supondo a tensiio fixa no inicio da linha, se quisermos impor a mesma tensiio! no final da linha em vazio, o que corresponderia a um perfil plano de tensgo durante; a energizaqiio, C necessaria a condiq2o A, = 1, ou seja:
A+BY,=l. Resultando na seguinte admitiincia do reator, necessaria para impor tensdes de inicio e fim de linha iguais:
I-A YY =-. B Lembrando que o valor da admitiincia do n equivalente 6 dado por:
I
I j
i
Capitulo 3. RelaqGes entre Tensdes e Correntes em uma Linha de Transmiss60
153
encontramos, nesse caso, a admitincia do reator que cancela exatamente a admitiincia da linha de transmissiio:
Voltando ao nosso divisor de tensiio, teremos uma admitincia, predominantemente indutiva, cancelando a admitincia, predominantemente capacitiva, concentrada no circuito n:, o que corresponde a uma impedincia infinita no firn da linha (condiqiio ressonante para o indutor e o capacitor) e deste mod0 obtemos a tens20 de inicio igual A tens20 de fim de linha, pois niio hB corrente no circuito. Quando a alimentaqiio 6 feita pela extremidade oposta, pel0 lado receptor, e o inicio da linha esti desconectado de qualquer fonte, tudo se processa da mesma forma, sendo provavelmente necesshrio tambem instalar um reator de inicio de linha. Nesse caso, alteramos a constante D da linha.
Figura 3.14: Quadripolo corn reatores na entrada e saida.
1 i
!
'
I '
Desse modo, os reatores podeln ser utilizados no inicio e firn de linha, com a finalidade de controlar as tensaes quando temos a alimentaqzo apenas por um dos dois lados, como por exemplo nas energizaqdes ou rejeiqdes de carga, ou meslno nas condiqdes de baixo carregamento, em carga leve, com a corrente I, pequena. As linhas de transmiss50 apresentam potencias reativas tambem nas demais condiq6es operativas, sendo que equipamentos de potencia reativa, indutivos e capacitivos, s5o empregados para controlar as tensdes e a potencia transmitida. Em casos priticos, niio 6 recomendavel cancelarmos completamente a admitincia capacitiva da linha em 100% com reatores, limitando essa compensaq20 na faixa de 40% a 80%. A raz5o para isso esti na possivel ocorrhcia de ressoniincias, com a linha desconectada da rede, estando pr6xima de outras linha de transmiss50 operando em paralelo [7].
154 Fundamentos de Sistemas El&tricosde PotBncia
3.7.2
Linha de TransmissZo em Carga
Levando em conta o modelo de linha longa, condensado na expressgo (3.26), 6 conveniente estabelecer alguns conceitos de transmissgo de potencia ativa, associados ao seu correspondente consumo de potencia reativa, de tal mod0 a viabilizar o transporte de energia requerido. Para isso simplifiquemos algumas expressaes, trabalhando com linhas sem perdas, no sentido de analisarrnos os efeitos preponderantes mais significativos. A seguir, veremos algumas definiqaes adicionais. V,, I,: ondas estacionirias de tensgo e corrente em um ponto x da linha de transmissiio, em regime permanente senoidal. S : ingulo de transmissiio. : impedancia de surto. Zo =
A = v T ou A = v l f , A : comprimento de onda, f : freqiiencia de excitaqiio, 0 = p.! : comprimento elCtrico da linha de transmissiio.
vL
Po = -: potencia natural da linha. 20
V : tensso nominal da linha. Se V for tensgo fase-terra, a potencia natural C monofasica. Em caso contririo, se V for tensiio de linha a potencia natural sera trifisica. A linha de transmissiio sem perdas, transportando potencia natural, apresenta um perfil plano de tensiio ao longo de toda a sua extensgo, (3.45) e (3.46). E recomendivel, por motivos priticos, operar transmitindo potencia inferior potencia natural e dessa forrna Po seri sempre uma referencia importante na transmissgo de energia elCtrica. Faremos a seguir um resumo de alguns aspectos mais elementares na transmissiio de potencia ativa. Seja a linha de transmisslo sem compensaqiio, corn os fasores de inicio e fim de linha segundo a notaqgo:
J
1 / A
I
'
Capitulo 3. Relaqdes entre Tensdes e Correntes em uma Linha de Transmissiio 155
emissor
-
receptor
IS
1,. d
P+jQ +
/////
Figura 3.1 5: Linha sem compensaq20. Como desprezamos as perdas, o que facilita o equacionamento sem prejudicar a interpretaqiio dos aspectos fundamentais, sabemos que as constantes do quadrip010 da linha ficam:
e que a corrente no receptor pode ser escrita como:
Desse modo, obteremos uma express20 interessante para entenderrnos a rela?go entre as tensaes de inicio e fim de linha com a potencia entregue no sistema receptor, assim como sua dependencia do comprimento elktrico da linha de transmissiio B . Para isso, reescrevemos a primeira linha da expressgo (3.26):
Separando as partes real e imaginiria:
156 Fztndamentos de Sistemas Elktricos de Pol6ncia
Q=
P=
vr(v,cos S - v, cose) 2, sen 6
V s Vr
Z0 sen 8
sen 6 .
A equaq2o (3.71) 6 equivalente a equaq2o (3.63). Com o prop6sito de interpretarmos, de forma ainda mais simplificada, essa equag20, para linhas n2o muito longas, aproximamos 6 = sen 6 . Nesse caso, verificamos que o produto ZoP& resulta na reatincia skrie total da linha de transmiss20 X,
Ficando a express20 (3.72) coincidente corn a (3.64):
na qua1 identificamos um primeiro indicador do miximo valor de potencia ativa a ser transmitido por uma linha de transmiss50:
Se considerarmos modulos de tensdes iguais no inicio e fim de linha, V, = V, simplificamos a formula (3.7 1):
p=sen 6
sen^,
ou ainda,
Para linhas pouco carregadas e n2o muito longas:
,'
Capitulo 3. RelaqGes entre Tens6es e Correntes em unla Linha de TransmissGo 157
As expressdes anteriores nos oferecem os elementos bisicos para analisarmos o comportamento das tensdes e potencias em uma linha de transmissgo. Ngo tem sido pritica a utilizaqgo de linhas longas sem compensa@o reativa. Linhas com comprimentos razoiveis apresentam um bom desempenho quando compensadas. 0 s principais objetivos da compensaqZo s5o modificar os parlmetros Zo e 8 , com influencia nas tensdes e potencias, viabilizando as operaqaes em carga e em vazio, com enfoque em aspectos de estabilidade da transmissgo e controle das tensdes ao longo da linha. A medida que aumentamos o comprimento C da linha de transmissgo, elevamos o comprimento elitrico 8 . Uma anilise mais cuidadosa da express50 (3.67) revela ser proibitivo o transporte de niveis razoiveis de potencia a grandes distincias sem compensaq50, sendo um dos motivos os elevados valores requeridos de tens20 , no inicio da linha, alim da grande sensibilidade desses valores em relaqgo ao fator de potencia da carga, para manterrnos tensgo nominal V,. no sistema receptor.
I
<,
Na fase de projeto da geometria da torre e disposiqiio espacial dos condutores, j i estamos visando caracteristicas favoriveis ao transporte de energia. Esgotados os graus de liberdade disponiveis no projeto da linha, adicionamos as compensaqdes que, em cltima instincia, suprem as deficiencias reativas que a linha apresentaria isoladamente.
1
1 1
I II
1
I
6
1
Condi~desestiveis para o transporte de potencia tambim s2o fundamentais em um projeto de transmissgo de energia elitrica a longas distincias. A expressgo (3.73) nos d i um primeiro indicador, rnuito simplificado, do limite miximo adrnissivel de transporte de potgncia ativa na linha de transmiss50. Para comprimentos elevados, verificamos o impact0 da reatlncia sirie no limite de potencia e consequentemente a necessidade de sua reduqiio para se estender a capacidade de transporte e elevar as condiqdes de robustez do sistema, assunto que seri um pouco mais detalhado no capitulo 8, dedicado i estabilidade de sistemas elktricos. Imaginemos uma situaqBo ideal de compensa@io, com capacitores skrie e reatores em derivaqgo incrementais, buscando uma compensa~50continuamente distribuida ao longo da linha de transmisslo. Ao adicionarmos capacitores ficticios em serie estamos reduzindo a reatincia sirie, consequentemente diminuindo Zo e 8 . Ao adicionarmos reatores ficticios em paralelo, estamos reduzindo a capacitlncia em derivaqgo, conseqiientemente aumentando Zo e diminuindo 19.As linhas longas, com comprimentos da ordem de 700 krn a 1.000 km, de certa forma utilizam essa combinaqso de recursos, ao distribuirem, mesmo que parcialmente, reatores em derivaqgo e capacitores em sirie, instalados em subestaqdes de seccionamento, in-
158 Fzrndamentos de Sistemas Elktricos de Po fgncia
termediiirias, que permitem a adiq5o desses equipamentos ao longo da rota da linha. ' Dessa forma, estamos adequando as indutsncias e capacitiincias da linha para uma operaqzo mais segura diante das varias condiqdes de carregamento, ou ate mesmo , de linha em vazio. Notamos ainda, embora alguma menq5o anterior jii tenha sido feita, a conveniincia da instalagiio de capacitores sirie, reduzindo o comprimento eletrico, sobretudo nas linhas longas de alta tens5o.
Figura 3.16: Quadripolos de seqdes de linha ligadas por capacitor sCrie. Para finalizar, comentamos que a definiq5o de compensaqZo reativa shunt e skrie, de um sistema de transmiss50 a longa distiincia, 6 uma tarefa relativamente ampla, que deve abordar todas as condiqdes operativas normais e de emergencia.
EXEMPLO 1 S5o dadas duas linhas de transmissgo de 500 kV (tens50 nominal de linha) com os parsmetros de seqiiencia positiva: LT1: Z;=0,4L80° Rlkm, C;=ll nFIkm, comprimento=270 km , LT2: Z i = 0 , 3 ~ 7 6 "Qlkm, C; = 12 nF/km, comprimento=350 km . Obter para as duas linhas as constantes ABCD, o circuit0 n: exato, e o reator a ser instalado, no fim de linha, para tornar as tensdes de inicio e fim de linha iguais, na opera950 em vazio. . R LTl: 2;=0,0695+ j0,3939 -, km
!,=270 k m ,
6') jCC;,
q'= j4,1469~10-'
S km
-,
Capitulo 3. Relacdes entre Tensdes e Correntes em uma Linha de Transmissa'o 159
y=1,1225~10-4+ j0,0013 krn-l. Analogamente, para a LT2:
Parametros dos quadripolos:
Al = C O S ~ ( Y ~)C ~
A, = 0,941 + jO,0103
BI = Zcl sinh ( ylPI )
Bl = 18,0161 + j104,3252 Q
1 C2 =-sinh(yzC2)
C2 = - 1 , 0 4 4 4 ~ 1 0 - ~+j0,0015 S
zc2
Circuitos n exatos: LTl - Ramo sirie: I
? I I
Bl = 18,0161 + j104,3252 Q , Ramo shunt:
LT2 - Ramo skrie:
B2 = 24,052+,j99,3301 R Ramo shunt:
Ye, - A2 - 1 = 2,7412~10-6+ j 8 , 0 2 4 9 ~ 1 0 -S~. 2 B2 Quadripolo equivalente com reatores no fim da linha:
Impondo que a constante A tenha valor unitirio, obtemos a admitincia do reator:
I-A Yr =-, B ou, para a impediincia,
Observamos que o cancelamento perfeito da admitincia da linha, usando o modelo n exato, exigiria um reator com resistencia negativa, o que e impossivel de ser realizado com elementos passivos. Desse modo, fazemos uma aproximaq50, tomando apenas a parte imaginiria:
EXEMPLO 2 Neste exemplo adotaremos os dados da LTl, do exemplo 1.
Capitulo 3. Relaq6es entre Tensties e Correntes em urna Linhu de Transmissiio
I61
a) Para atender a urna carga trifisica de 800 MW, corn fator de potencia de 0,9, instala-se um capacitor skrie no fim da linha (LTI), corn reatiincia de 60 Q. Coln uma tens20 fase-terra, medida no fim da linha de 1,039 L - 10" pu, pede-se a tens20 e corrente no inicio da linha. Adotar tens20 nominal de linha 500 kV. Trabalharemos com potencias monofisicas e tensdes fase-neutro.
S, =266,6667+ j129,1526 M V A , v, =1,039L-lo0,
Z,, = -j 6 0 Q . Para obtermos os valores de tens50 em kV, sabemos que:
Associag5o em cascata do quadripolo da linha e do capacitor:
Obtemos a corrente no terminal receptor da linha: C*
I,. = 0,8008 - jO, 5785 kA
.
Corn os pariimetros do quadripolo equivalente, calculemos os resultados no inicio da linha:
v,= AV, +(Az,+ B)I,. , I,= ~ cv, + (cz, + A ) ] , . Resultando nos valores:
Vs = 32 1,1022 - jl8,4206 kV ,
I, = 0,8684 - j O , 2496 A ,
I ~ ~ I = 3 2 1 , 6 3 0k2V ,
11,(=0,9036 k A .
162 Fundamentos de Sistemas Elktricos de Potzncia
b) Analisando o saldo de potzncia entre inicio e fim de linha, quais siio as perdas, ativa e reativa, na linha de transmissiio? Obtemos a potzncia monofasica no inicio da linha:
S, = I,' , Ss = 283,4509 + j64,15 18 MVA ,
K.
resultando na potencia trifisica no inicio da linha: S3, = 850,33 + j192,45 Perdas trifasicas na linha de transmissiio: A S Z ~ ( S-S,.), ,~ AS = 50,3527 - 195,0023 MVA . As perdas ativas siio de 50 MW, devido ao efeito resistivo dos cabos. As perdas de potencia reativa de 195 MVA, corn valor negativo, indicam, na nossa convenqiio, uma potzncia capacitiva absorvida pela linha, fato que, no jargiio tradicional, C conhecido como um fornecimento de reativos indutivos ao sistema externo a linha de transmiss20. c) Qua1 C o circuit0 n: exato do conjunto linha e capacitor? Ramo sCrie:
B, = AZ,
+ B = 18,6336+ j47,8636 Q . I
Ramo shunt: y.2 =
i
A-1 = - 2,298 1 x I o - +j0,00 ~ 11 S, AX, + B
EXEMPLO 3 Um operador conecta em sCrie as linhas de transmiss20 LT1 e LT2 do exemplo 1, por meio de um banco de capacitores sCrie. Com a linha em vazio, siio encontradas as tensdes 1,03218" pu de tens20 no inicio da linha e 1,2 15614,144" pu no fim da linha.
Figura 3.17: Rede elitrica.
Capitulo 3. Relaqdes entre Tensaes e Correntes em uma Linha de Transmissco
163
a) Qua1 o valor da reatiincia do banco de capacitores? Tensdes em coordenadas polares,
Tensdes em coordenadas cartesianas, v, =1,022+0,1436 p u , v, =1,2124+ j0,0878 p u . Tensdes fase-terra em kV: Vh V, = v, -,
&
Vb Vr = V , , Vb = 500 kV (tens20 de linha) .
J 3
Temos os quadripolos:
Associando os quadripolos em cascata:
obtemos:
Como a linha esti em vazio, I, = 0 , temos V, = AcVr,
A parcela resistiva se deve a uma pequena imprecisgo na mediq50 dos fasores, com o capacitor apresentando uma reatincia de 98 . b) Mantida essa tens50 em modulo no inicio da linha e considerando tens50 nominal no fim da linha, qua1 a potzncia ativa mixima que pode ser transferida para ulna carga no fim da linha?
Tolnelnos os pariimetros do quadripolo equivalente:
A,, = A , A , +C,A,Z,, +C,B,, B,, = A, B, + '42A, Z,, + A, B, . Chamemos a a fase de A, e b a fase de B, . Aplicando a express50 (3.62),
4
, , , ,*
=1526,21 M W .
Vs, Vr : valores de tensgo fase-terra.
3.8 ReferCncias Bibliograficas
i
[ I ] Stevenson Junior, W. D. Elen~entosde Analise de Sistelnas de Potgncia 2.ed. McGraw-Hill, 1986. 1i [2] Miller, T. J. E. Reactive Power Control in Electric Systenzs. New York, John Wiley, 1988. [3] Westinghouse Electric Corporation. Electrical Transmission and Distribution Reference Book 4. ed. East Pittsburgh, 1964. [4] Johnson, W. C. Transnlission Lines and Networks. New York, McGraw-Hill, 1950. [5] Mariotto, P. A. Ondas e Linhas. Rio de Janeiro, Guanabara Dois, 198 1. i [6] Orsini, L. Q. Curso de Circuitos Elkbicos. Siio Paulo, Edgard Blucher, 1993,2v. 1 [7] Zanetta, L. C. Transitbrios Eletromagnkticos en1 Sistenzas de Potgncia Sgo 1 Paulo, ~ d u s p2002. , i!
1
I
0 chlculo da corrente de curto-circuit0 6 necesshrio para a especificaqiio dos equipamentos de um sistema elktrico. Durante o curto-circuito, altas correntes siio estabelecidas, com a elevaqiio de temperaturas e solicitaqdes termicas, alem dos esforqos meciinicos e deformaqdes de materiais. 0 s sistemas de proteqzo de sistemas elitricos siio ajustados para operar o mais rapido possivel, por6m a atuaqiio coordenada de relks de protegiio e disjuntores pode levar i permanencia do curto-circuit0 por alguns ciclos. Alim disso, como os sistemas de proteqiio estiio sujeitos a falhas, os equipamentos que compdeln a rede devem ser dimensionados para suportar essas correntes elevadas, at6 que algum dispositivo de proteqiio de retaguarda acione o disjuntor. Desse modo, equipamentos e disjuntores devem ser especificados para os niveis de corrente de curto e duraqdes correspondentes, o que 6 fundamental para uma operagiio segura e sem danos ao sistema elktrico. Em uma abordagem mais avanqada, o tratamento do curto-circuit0 6 feito matricialmente, inclusive por meio de matrizes trifasicas, que representam os acoplamentos entre fases quando necess8rio. No entanto, neste capitulo niio empregaremos o calculo matricial e seguiremos a metodologia convencional, com a aplicagiio das componentes simktricas, que 6 ferramenta essencial ao engenheiro eletricista da hrea de sistemas de potencia. Com exceqiio dos geradores, todos os modelos necessirios ao ciilculo pretendido j i devem estar suficientemente amadurecidos pel0 estudante. Embora a compreensiio inais aprofundada do comportamento transit6rio da miquina sincrona faqa parte de um curso especifico de miquinas elktricas, faremos aqui uma introdu$50 resumida aos modelos de geradores, dirigida ao estudo de curto-circuit0 ern regime permanente senoidal.
166 Fundamentos de Sistenfas Elktricos de Potgncia
4.2 Modelos de Geradores 0 equacionamento de fenamenos transit6rios em geradores C feito sob a for-
mulaq5o da teoria geral das miquinas elCtricas e transformaq50 de Park, compreendendo urn determinado nfimero de equaqdes diferenciais que envolvem fluxos, correntes e tensdes nos eixos diretos e de quadratura. Desse modo, os fen& menos transit6rios siio estudados por meio de funqdes de transfergncias, que condensam os efeitos dos enrolamentos representados em ambos os eixos. Sem entrarmos em detalhes dessa teoria, o cilculo do curto-circuit0 pode ser simplificado, tomando como base o modelo do gerador composto por urna tens50 interna e urna reatfincia, tambCm conhecido como modelo de tens50 atris de urna reatincia.
Figura 4.1 : Modelo de gerador. Nesse modelo, as tensBes intemas tem estreita correspondencia com o comportamento dos fluxos nos enrolamentos, pois tens50 e fluxo, em um enrolamento qualquer, est5o relacionados pela expressgo:
Em variiveis complexas, E = jwLI ou E = j w Y . Supondo a freqiiencia constante, com w na fieqiiencia nominal, adotando bases de tensdes e fluxos relacionadas pela express50 Vh = mbY/h, verificamos que tensdes e fluxos apresentam nesse caso valores percentuais, ou mesmo valores por unidade, idznticos. Quando aplicamos um curto-circuit0 trifisico nos terminais de um gerador sincrono, a corrente em urna fase apresenta urna componente oscilatbria, superposta com urna componente de corrente continua, que depende do instante de aplicaq50 do curto.
Capitulo 4. Ctrrto-circz~ito 167
I
c.c.: cornponente continua
Figura 4.2: Corrente de curto-circuit0 assimitrica. Analisando mais detalhadamente a componente oscilat6ria, observamos um comportamento delimitado por tr6s regiaes distintas, conforme a figura 4.3. As correntes de curto nas regi6es I, II e III s5o chamadas de subtransitbria, transitbria e de regime permanente, respectivamente. Desse modo, o modelo proposto para as maquinas elktricas, em estudos de curto-circuito, simplifica as equaqdes de Park e esta focado essencialmente no eixo direto, dada a natureza preponderantemente desmagnetizante do curto-circuito. Esse modelo admite que durante o curto a forqa eletromotriz, pela sua correspondencia com fluxos, permanece razoavelmente constante, de acordo com a Lei de Lenz. Essa tens20, atras de uma reatincia variivel, resulta nas correntes de curto subtransitbrias, transitbrias e em regime permanente senoidal. 0 modelo de reatincia variavel 6 relativamente simples e presta-se ao calculo de diferentes niveis de corrente de curto, supondo uma tens50 interna constante. Desse modo, na operag20 do gerador em vazio, a tens50 intema E terh o mesmo valor da tens20 no terminal V, , pois n3o ha quedas de tens50 pela passagem da corrente.
I" =- L:
jxi
corrente subtransitbria de curto-circuit0 (I),
I,=- L: corrente transitbria de curto-circuit0 (Il), jx; E I,. =corrente de curto-circuit0 em regime permanente (114. jx,
168 Ftlndamentos de Sistemas Elitricos de Potgncia
A condig50 de maior interesse para os nossos propositos, no cilculo da corrente de curto-circuito, 6 a subtransitbria, que envolve os niveis de corrente mais elevados.
Figura 4.3: Periodos da corrente de falta.
0 s modelos dinimicos de geradores, utilizados em programas de estabilidade, s5o baseados nas equagdes de Park e permitem o calculo da evoluqiio dos fasores durante fen6menos transitbrios como por exemplo um curto-circuit0 na rede. Alguns modelos s5o ainda mais complexos, como os utilizados em programas de transitbrios eletromagnt5ticos. 0 modelo simplificado, composto por uma tens50 atris de uma reatincia, permite o cilculo fasorial da corrente em cada uma das etapas predominantes do curto-circuito, mencionadas anteriormente, viabilizando o chlculo por meio de uma metodologia simplificada e suficientemente precisa na avaliag50 dessas correntes em valores eficazes. Com o gerador operando em carga, no sentido de adequar a precis50 do modelo, C necesshrio ajustar a tens50 interna, correspondente ao periodo analisado do curto. Para esse modelo existem as possiveis condigdes internas de excitag50: E" : tens50 atris de uma reatincia subtransitbria Xi . E' : tens50 atras de uma reatincia transitbria Xi . E : tens50 atras de uma reatincia sincrona X d . Esse artificio permite melhorar a precis50 da corrente obtida em cada urn dos periodos selecionados. Supondo um determinado periodo do curto-circuito, calculamos as tensdes internas que est5o relacionadas com as tensdes terminais pelas reatincias e corrente de carga:
V, : tens20 no terminal. I : corrente de carga. sobreexcitado
subexcitado /'\ 1 \
Figura 4.4: Diagramas fasoriais da tens20 interna no periodo subtransitorio.
Com a finalidade de esclarecer um pouco melhor esse aspecto, suponhamos o cilculo da corrente subtransitbria de curto-circuito, admitindo o gerador alimentando uma carga com impedincia Z . Aproveitaremos tambim para dar inicio a uma de nossas tarefas, que 6 a de apresentar o cilculo do curto-circuit0 levando em conta as condiqdes pri-operativas dos geradores e recursos de cilculo empregando o teorema de Thkvenin. Para isso, suponhamos o gerador operando com tens20 4no terminal. Aplicando o teorema de Thkvenin, calculamos a corrente de curto-circuit0 trifisico no terminal do gerador, no periodo subtransitbrio:
G,=Yr,
Resultando na corrente subtransitbria:
Figura 4.5: Gerador em carga e corrente de curto subtransitoria.
170 Fundamentos de Sistemas Elitricos de Pot&ncia
Com base nesse modelo, a corrente de curto-circuit0 trifisico no terminal do gerador, ao fecharmos a chave S, tamb6m 6 dada pela express50:
Para que a corrente de curto-circuit0 seja a mesma, igualamos as duas equagdes anteriores e obtemos uma express50 familiar, dada pelo divisor de tens5o:
& = ZE"
Z + jx;'
Sabemos ainda que na condi~gopr6-falta temos as rela~des:
I=
E" Z+jXi '
Verificamos ent5o a necessidade de que a tens50 interna E" esteja relacionada com a tens50 terminal V, pela express50 (4.2), para que o cilculo das correntes esteja coerente. Para os demais periodos o raciocinio 6 analogo, como por exemplo o transitorio, no qua1 obtemos a tensgo interna E' :
E'= V, + jXiI.
4.2.1
Motor Sincrono
Admitimos que durante o curto-circuit0 o comportamento do gerador e do motor sincronos, como maquinas elktricas, s5o similares. Para um motor sincrono, estabelecemos como positiva a corrente absorvida e nesse caso apenas trocamos o sinal da corrente para obter a tens50 interna:
4.2.2
Motor de InduqGo
Devido A inkrcia do rotor e ao fluxo interno, os motores de induqzo durante a falta atuam como geradores, contribuindo para a corrente de curto, embora em urn
~d
period0 de tempo relativamente menor. Conhecendo a impediincia de curto-circuit0 do motor de induq50, ou utilizando valores tipicos [ 5 ] , trabalhamos de mod0 anilogo ao anteriorrnente exposto, obtendo uma tens50 interna:
Em=V, - jXmI, e a corrente de curto-circuit0 correspondente:
4.3 Curto-circuit0 Considerando as Condiqdes PrC-falta Vejamos a seguir os passos necessirios ao calculo da corrente de curtocircuit0 levando em conta as condiqdes prBfalta. Utilizaremos uma rede elitrica simples, composta por dois geradores ideais e duas impediincias, conforme a ligaqiio da figura 4.6. Essa rede pode representar desde a conexiio singela de um gerador com um motor, at6 o paralelismo de dois sistemas complexos, representados pelos seus equivalentes de Th6venin, no ponto P.
Figura 4.6: Circuito a ser analisado (rede A pre-falta).
=IE,IL~~
=IE~IL&.
Tensdes: El e E2 Impediincias: Z1 e Z 2 . Trabalharemos com o principio da superposiqiio, excitando a rede em duas situaqdes, uma denominada de prk-falta e outra de falta. E portanto conveniente introduzir a nomenclatura a ser utilizada e que nos acompanhara ao longo do texto:
I pf : corrente prk-falta (ou corrente de carga). : corrente de falta.
I{ e I{ : contribuiq6es de falta.
172 Fundnmentos de Sistemas Elktricos de Pot2ncia
I : corrente de curto com superposiqiio. I I e I2 :contribuiqdes de curto com superposiqiio. Na condiqiio prC-falta temos os sistemas operando interligados, sendo possivel obter as tensdes e correntes ao longo da rede. Calculamos a corrente:
No ponto P, em regime perrnanente, escrevemos a tens20 prk-falta:
Observamos que, aplicando o principio da superposiq%oquando somente a fonte El estii ligada, encontramos a tens50 em P dada pelo divisor de tensiio:
Quando somente a fonte E2 esti ligada obtemos:
Figura 4.7: Falta no ponto P.
Ao superpor, no ponto P, o efeito das duas tensdes, encontramos Ee/ = E P 1 + E p 2 , que coincide com o valor obtido anteriormente.
Na figura 4.7 apresentamos a rede quando ocorre um curto-circuit0 no ponto P, com tensiio operativa pre-falta Eif . Veremos a seguir duas possibilidades de calculo da corrente de curto I . a) Resoluqiio do circuit0 eletrico por analise de malhas (metodo 1). Neste caso particular, como as malhas siio independentes, calculamos a corrente de curto no ponto P, assim como as contribuiq6es das duas ligaq6es adjacentes a esse ponto, de um mod0 muito simples:
1=11 +I2,
Portanto:
As correntes obtidas j i siio os valores finais do calculo, tambkm denominadas em nossa nomenclatura de valores superpostos. Circuitos mais complexos podem necessitar do uso de equacionamento matricial, como as matrizes de impedincias de malhas, matrizes de impedincias nodais ou de admitincias nodais, a serem estudadas no capitulo 6. Corn esse procedimento, e necessario conhecer as tensties internas em todos os geradores da rede, nesse caso representadas pelas fontes El e E 2 . b) Resoluqiio pel0 equivalente de Thevenin (metodo 2). Utilizando o teorema de Thevenin, a corrente de curto I tambkm pode ser obtida pel0 calculo:
na qua1 Eth = E f , ou seja, a tens30 pri-falta em P.
Figura 4.8: Equivalente de Thkvenin.
174 Fundamentos de Sistemas Elitricos de Potzncia
A impedincia de Thkvenin, vista do ponto P, 6 dada por:
Desse modo, a corrente I 6 obtida pela expressiio:
Verificamos que a soluqiio e identica a do caso anterior, o que demonstra a utilidade do uso do equivalente de Thkvenin, principalmente no estudo de redes mais complexas. Nesse caso, precisamos conhecer a tens50 apenas no ponto de falta, sem a necessidade de calcular as tens6es internas de todos os geradores da rede. Vejamos a seguir a resoluqiio da rede da figura 4.7 com a utilizaqiio. do principio da superposiqiio. Introduziremos a nomenclatura de rede em falta, em concordincia com uma vasta literatura sobre o tema. Para isso calculamos a corrente de curto I = Eth / Zth . A rede prBfalta opera inicialmente em regime permanente, na condiqiio da figura 4.6, e com a falta encontra-se conforme a figura 4.7. Com a finalidade de explicar a soluqiio passo a passo, substituiremos a ligaqiio representativa do curto por um gerador de corrente, cuja intensidade 6 igual a corrente de curto, conforrne a figura 4.9.
Figura 4.9: Representaqfio do curto-circuit0 corn urn gerador de corrente. Observamos que, com esse artificio, a distribuiqiio de tens6es e correntes ao longo da rede em falta niio se modifica. Podemos aplicar o principio da superposiqiio, supondo em uma primeira etapa a rede apenas com os geradores de tensiio, que se encontra solucionada segundo consideraqaes anteriores, denominada rede prC-falta.
!
:
Em uma segunda etapa obtemos o efeito do gerador de corrente I , que passaremos a chamar de If em uma rede denominada de falta, conforme a figura 4.10.
I
Figura 4.10: Rede em falta, apenas corn o gerador de corrente de curto. Resolvemos entiio a rede apenas com o gerador de corrente, obtendo as componentes I{ e I{ pel0 divisor de corrente:
substituindo-se o valor de I =If da expresslo (4.4), vem:
que pode ser reescrita como:
Analogamente para
I{
:
No circuit0 da figura 4.10, considerando apenas o gerador de corrente, obtemos a tensiio no ponto P, na rede em falta:
176 Fundarnentos de Sisternas Elktricos de Pot&ncia
Superposiqiio A etapa final consiste em aplicar o principio da superposiqiio e para isso somamos as correntes e tensBes obtidas com as soluq6es das redes prC-falta (figura 4.7) e de falta (figura 4. lo). Para a contribuiqiio oriunda da fonte 1, cowespondente a ligaqio adjacente ZI, superpomos I P* e I{ :
Da mesma forma, para a contribuiqiio da fonte 2:
A+-
&
Figura 4.1 1: Superposigiio de correntes.
Vejamos o cilculo de I , :
Analogamente, encontramos:
A superposiqiio de tensaes no ponto P sob curto-circuito:
obviamente resulta em uma tens50 nula:
Na superposiq20 da corrente de curto para a terra, como a corrente para a terra na rede prC-falta C nula, escrevemos:
Ou seja, a corrente de falta para a terra e a corrente superposta se equivalem. Essa coincidencia nos favorece, pois a corrente de curto-circuit0 recebe a denominaqgo por norma de corrente de falta, sem associi-la A rede de falta, como fizemos de acordo com uma extensa literatura. De qualquer forma, como os valores siio os mesmos, esse aspect0 n2o apresenta maiores complicaqdes de denominaqiio. No caso dessa rede simples, vimos que C equivalente resolver a rede tanto pelo mCtodo l como pel0 mCtodo 2, no entanto, em redes mais complexas, envolvendo cilculos matriciais, 6 conveniente seguirmos o mCtodo 2, pois 6 mais imediato dispor da inforrnaqiio do equivalente de Thkvenin na barra de curto, sendo a tens20 de Thkvenin extraida de um programa de fluxo de potencia, a ser estudado no capitulo 7. 0 artificio utilizado, na substituiqiio do curto por um gerador de corrente, C equivalente ao de substituirmos o curto por dois geradores de tensgo, no ponto P, em oposiq2o de fases e com valor E p = Elh . Desse modo, o circuito da figura 4.7 C equivalente ao da figura 4.12.
Figura 4.12: Representag20 do curto corn geradores de tensilo. Esse circuito pode ser resolvido em duas etapas, aplicando-se o principio da superposiqiio aos geradores conectados ao ponto P. Na resoluqiio do circuito da figura 4.13, observamos que a ligaqiio ou niio do gerador EP = Efh no ponto P em nada modifica a distribuiqiio de tensdes e correntes na rede prC-falta, e tal gerador pode ser omitido, corn os resultados identicos aos obtidos anteriormente na soluqiio da rede da figura 4.6.
178 Fundamentos de Sisten~asElitricos de Potgncia
Circuito (a) Figura 4.13: Rede prBfalta
Circuito (b) Figura 4.14: Rede de falta.
A resolu~50do circuit0 da figura 4.14 C identica Bquela obtida anteriorrnente para a figura 4.10, que resulta na corrente de curto:
Concluimos portanto que os procedimentos s5o equivalentes, ao substituirmos o curto por um gerador de corrente ou por dois geradores de tens50 em oposiq5o de fases. Comentamos ainda que, em boa parte dos estudos a parcela da corrente de carga C bem inferior B corrente de curto e alCm disso algumas configuraqdes da rede n5o apresentam as suas condiqdes de carregamento bem definidas, como analises de evoluqdes da rede. Desse modo, C comum desprezarmos o efeito das condiqbes prCfalta, utilizando a rede sem carga e adotando o valor de tensiio nominal de 1,O pu em todas as barras, o que implica uma sensivel simplificaqiio do c~lculo,sem grande impact0 nos resultados.
1
4.4 Modelo de Carga e Analise PrC-falta
Quanto aos modelos de carga, esta 6 uma quest50 relativamente complexa, e trabalhamos genericamente com tres modelos:
Impedfincia constante
Corrente constante Figura 4.15 : Modelos de carga.
Potencia constante
Ao considerarmos os carregamentos da rede em condiqdes pri-falta, no calculo do curto-circuito, estamos extrapolando o comportamento de modelos mais adequados para outros estudos, como fluxo de potencia ou estabilidade. Fica portanto uma d6vida sobre o real comportamento da carga nos breves periodos transitbrios ou subtransit6rios do curto, muitas vezes em condiqdes desequilibradas. 0 s modelos de corrente constante, ou de potencia constante, ou mesmo uma composiqiio de ambos, siio mais adequados para estudos de fluxo de potencia ou de estabilidade. Pelo fato de estarmos aplicando o principio da superposiqiio, podemos utilizar apenas os modelos lineares, ficando descartado o modelo de carga com potsncia constante, que envolve o produto da tens20 pela corrente. Nessa mesma categoria encontram-se as cargas n8o lineares de circuitos retificadores, muito comuns em processos industriais, cujo comportamento i dependente da malha de controle utilizada. A representaqso detalhada desses equipamentos s6 6 possivel em programas de transit6rios eletromagniticos. Cabe salientar que algumas aproximaqdes no modelo de carga nso apresentam uma grande imprecis50 no cilculo, pois em geral a parcela correspondente a corrente pri-falta 6 relativamente pequena em relaqiio A corrente total de curto. Por essa raz20, muitas vezes a contribuiq50 da corrente pr6-falta niio i considerada, o que simplifica todo o procedimento de cilculo. As cargas constituidas por motores tsm tratamento semelhante ao de geradores, conforme discuss20 do item 4.2. Determinados componentes da rede como reatores ou bancos de capacitores, ou mesmo cargas resistivas, como as de ilumina-
180 Fundamentos de Sistemas Ele'tricos de PotBncia
piio, apresentam urn comportamento de impedgncia constante, devendo-se tomar urn cuidado especial corn transitbrios causados por descarga de bancos de capacitores.
4.4.2
Estudo das Condiq6es Prb-Falta
Normalmente as condipdes prk-falta sZo estabelecidas em urn estudo de fluxo de potencia, como veremos no capitulo 7, do qua1 siio extraidas as tensdes nas barras, correntes e fluxos de potencia nos ramos de ligapdes. Faremos aqui urn breve resumo, do ponto de vista das informapBes prk-falta bisicas:
Figura 4.16: Representa~goda carga numa barra i. Para cada barra i siio definidas as variiveis 4, Qi, V,, Bi . Nesse caso, 4 e Qisiio potencias absorvidas por cargas ligadas para a terra. Em uma ligagiio temos umfluxo de potencia da barra i em direpiio i barra j.
4 , Qi, 5, Qi Figura 4.17: Fluxo de pottncia. Corn as tensdes
I.. = 'J
V, e V j obtemos a corrente na ligapiio i - j, dada por:
5 - vj zu
0 fluxo de pothcia por fase e o trifisico siio calculados pelas expressaes:
Vejamos como obter a impediincia de uma carga, do tipo impediincia constante, conhecendo a potincia absorvida e a tens20 na barra. Admitiremos os dados em valores por unidade. Q
Modelo RL sCrie
No caso de tens20 nominal (1 pu):
zi: impediincia para a terra (pu), y, : admitiincia para a terra (pu). Q
Modelo RL paralelo
4.5 Curto Trifhsico Equilibrado
A Figura 4.18: Curto trifisico.
182 Fundamentos de Sistenlas Elitricos de Potgncia
Consideremos uma rede trifisica equilibrada, da qua1 s5o acessiveis as tres fases em uma barra k do sistema. Ao aplicarmos uma falta trifisica, considerando iguais as impediincias de falta Zg , nas tres fases, estamos diante de um caso semelhante ao de uma carga equilibrada, ligada em estrela aterrada ou nZo, com o envolvimento apenas da sequsncia positiva, resultando no circuit0 equivalente de sequencia positiva:
Figura 4.19: Curto trifasico corn envolvimento da seqiiencia positiva. Dadas as condiqdes equilibradas, concluimos que o curto trifisico pode ser aterrado ou isolado, sendo indiferente a presenga ou n5o do aterramento do centro estrela, com correntes identicas de fase em ambos os casos, resultando na soma i, + ib + ic = 0 no ponto N de neutro. Supondo as grandezas (E, I, 2)em valores por unidade (e, i, z), escrevemos:
Com exceqzo de alguns casos especiais para calibragem de proteqbes, C coem relag20 As demais impedincias da mum desprezarmos a impedincia de falta zE, rede, resultando em um cilculo levemente conservative, com zg = 0 :
que chamaremos de corrente de curto-circuit0 trifisica:
( I/ /
I
I
Capitulo 4. Curto-circuit0 183
Da mesma forma, conhecidas a tensgo pr6-falta e a corrente de curto-circuit0 trifhsica, sabemos o valor da impedincia de seqiizncia positiva Z , , do equivalente de Thkvenin da barra.
-
Consideremos o curto fase-terra ocorrendo por meio de uma impedincia falta
z,
k
rede
I
a
b
ib
=o
ic = O
+
0
T
i, +
0
zg
C
LZP-
Figura 4.20: Curto fase-terra. As condiqbes de contorno em um n6 genCrico k, para curto atraves de impedincia, s2o apresentadas a seguir, em valores por unidade:
Essas condiqbes de contorno seriio utilizadas na obten~iiodos modelos em componentes simktricas e para isso escrevemos genericamente:
1
1
l a a
184 Fundamentos de Sistemas Eldtricos de PotZncia
1
1
l
a
a
Da express20 (4.12), sabemos que:
0% ia = 3i0.
(4.1 6)
Da primeira linha da f6rrnula (4.13) e com as equaqdes (4.10) e (4.16), escrevemos: v0 +vI +v2 =va =3zgio. Como as correntes nos tres diagramas sgo iguais, conforme a express20 (4.15) e a tens20 na fase a C igual a 3z,io, ou nula no caso de z, = 0, podemos propor a conexgo em s6rie dos diagramas de impedincias: de seqiiencia positiva, de seqiiencia negativa e de seqiiencia zero, apresentada na figura 4.2 1. Lembramos que as impedincias de seqiiencia positiva e negativa s2o iguais. A partir do circuit0 obtemos:
Observamos que el = vthl corresponde a tens20 de seqiiSncia positiva, dada pela tens20 do equivalente de Thivenin no ponto de falta. As impedgncias equivalentes de Thevenin, de seqiiencia positiva e seqiiencia zero, s2o zl =zthl e zo = zrh, , respectivamente. No caso particular de curto franco, adotamos zg = 0 e a deduqlo do equacionamento passa a ser mais imediata, pois vo + v, + v2 = 0 . Sabendo que:
A.
seq. 1
,
il +
Figura 4.2 1 : ConexBo dos diagramas de seqiitncias no curto fase-terra.
e como z, = z2 , obtemos:
Isso corresponde a colocar os tres diagramas de seqiihcias em serie e posteriormente em curto. No ponto de curto encontramos:
Ao longo do texto, chamaremos a corrente de curto monofisica de i14,sendo:
E interessante obter as tensdes vo, Y e v2 nos diagramas de seqiizncias:
Sabendo que vo + vl + v2 = 0 , obtemos:
j
I
Observamos que tambim podemos obter v, do divisor de tensgo, em relaqgo a tens50 aplicada ao circuit0 el . Para vo e v2 encontramos divisores anilogos, porim com polaridade trocada. I Em componentes de fase, obtemos as tensdes vh e v, : I 1
1
l a a Lembrando que:
calculemos as tensdes nas fases b e c:
I
1
i I
Observamos que se desprezarmos as resistencias da rede, ou seja, trabalhando apenas com reatgncias z = j x , obtemos valores iguais em modulo para as tensdes vb e v, nas fases s2s b e c. Neste ponto 6 conveniente definirmos o fator de sobretens50 como a relaqio mais elevada entre a tens20 em uma fase s$ vb ou vc, durante o curto, pela tens50 preexistente, antes do curto, correspondente A tens50 do equivalente de Thevenin el . Fator de sobretensgo, calculado para a fase b:
Repetimos o calculo para a fase c e tomamos o pior caso. Com a finalidade de obtermos uma express20 mais simples, adotaremos k = zo / z l na equagiio (4.22) e aproximaremos este nfimero complexo k por um numero real, admitindo que as impediincias de seqiizncia positiva e zero apresentem fases aproximadamente iguais, obtendo:
Desenvolvendo o numero complexo: ke- jl so0
-i
e lembrando que k passa a ser um numero real, obtemos:
188 Ft~ndarnentosde Sisternas Elitvicos de Potgncia
Resultando no modulo do fator de sobretens50 para o curto fase-terra:
Para sistemas com zo = z, , portanto com k = 1, o fator de sobretensgo 6 unitirio, pois n2o havendo mutuas, a tens50 em uma fase n8o depende do que ocorre com a outra. Conhecidas a tens50 do equivalente de Thivenin e da corrente de curto faseterra, temos inforrnaqdes sobre as impedincias de seqiisncias positiva e zero, a serem exploradas no item 4.9.
A figura 4.22 mostra a representaqiio do curto dupla-fase atraves de impedgncia.
& Figura 4.22: Curto dupla-fase com impediincia entre fases. Estabelecemos as condiqdes de contomo para esse tipo de falta, escrevendo:
ib +ic = O ,
(4.27)
i, =O,
(4.28)
Das equa~tiesde correntes, (4.27) e (4.28), concluirnos que: ia +ib +ic = 0 ,
o que irnplica urna corrente de seqiiencia zero nula, ou seja, sern o envolvimento dessa seqiiencia no curto dupla-fase, pois io = 0. Corno ia = 0 , tem-se:
o que implica:
A express50 de tens50 (4.29), reescrita em componentes simktricas, apresenta:
que pode ser rearranjada em:
Cancelando o terrno a2- a , resulta em: v1 - v2 = zSiI . Das expressties (4.30) a (4.32), obternos o circuit0 em componentes simetricas para o ciilculo do curto dupla-fase:
1 1 Zf
seq. 1
f
I
+
2J
seq. 2
il
el
-
z1
-
I
I
.
i z 2
-
I
Figura 4.23: Conex20 dos diagramas de seqiisncias positiva e negativa no curto dupla-fase. L
.
190 Fundamentos de Sistemas Elktricos de Potincia
Calculando a corrente no circuito:
e como: 21 = 2 2
,
temos:
Calculemos as correntes nas fases b e c:
i,=a i l + a
i2=
2.
(a-a 2 , i,,
que satisfaz a condiq2o de contorno i, = -ib
. I
Chlculo da tens20 na fase a Escrevemos a tens50 de seqiiencia positiva, obtida do divisor de tenslo:
i
I
Esta tenslo tambem poderia ser obtida pelo calculo da queda de tens20 no diai grama de seqiiencia positiva: I
v1 = el - zlil .
i
A tenslo v2 6 dada por:
Como il = -i2 , escrevemos v2 = z2il . A tenslo na fase a, como vo = 0 , e dada pela soma de vl + v2 das duas ex. pressdes anteriores, resultando em v, =el . Concluimos que, independentemente dc valor de z f , nlo ha sobretenslo na fase a. Em geral, adotarnos z~ = 0 e simplificamos as equagdes: i 1
I
I
Quando z f = 0 , a simplifica~Bopermite uma d e d u ~ l orhpida da 1igaqHo dos diagramas de seqiiencias, pois il = -i2 e como vb = v, 6 imediato que vl = v 2 , tornando-se 6bvia a ligaqiio em paralelo dos diagramas de seqiiencias. Calculemos as correntes em componentes de fase, adotando Z J = 0 : 0
l a a --
!
Lembrando que:
obtemos em rn6dulo da corrente de curto dupla-fase:
i que 6 inferior ao m6dulo da corrente de curto trifhsico. 1
!
I 4.8 Curto Dupla-fase-terra I 1f CondiqBes de contorno '
I
I
I
i, = 0 ,
1
vb = z f i b + z g ( i b+ i c ) ,
ii
!
Figura 4.24: Curto dupla-fase-terra.
Como a corrente na fase a 6 nula, i, = 0 , temos: io +il +i2 = 0 , sugerindo a conexlo dos tres diagramas de seqiiencias em urn mesmo ponto, de tal forrna que a soma das correntes seja nula. Da expresslo (4.12), sabemos que (i, + ib + i,) = 3i0 e como i, = 0 , temos:
Reescrevendo as equaqbes de tensbes em componentes simitricas:
ou: vl --zfil = v 2 -zfi2.
Da expressgo (4.34), isolando os terrnos de seqiiencia zero: vo - ( zf +3zg)iO=-a2 (v,- z f i l ) - a ( v 2 - z f i 2 ) . Usando (4.36) e sabendo que:
resulta o diagrama de impediincias visto na figura 4.25. Desse diagrama, a corrente de sequencia positiva 6 dada pela expressiio:
As correntes i2 e i0 s2o obtidas pelo divisor de corrente, composto pelas impedgncias de sequencia negativa e seqiiencia zero.
h Figura 4.25: Conex20 dos diagramas sequenciais para o curto dupla-fase-terra.
Em geral adotamos -2, = z,, = 0 , e nesse caso a deduqiio e imediata, pois como i, = 0 , obtemos: io + il + i2 = 0 . Como: vb = 0 e V , = 0 , obtemos:
Essas equaqdes resultam em condiqdes duais do curto fase-terra, que implicam uma ligaqiio em paralelo dos diagramas de sequhcias.
194 Ftlndamentos de Sistemas Elktricos de Potgncia
Curto dupla-fase-terra: vo = vl = v2 e io + il + i2 = 0 . Curto fase-terra: io = il = i? e vo + v1 + v2 = 0 . A corrente il C obtida pela express50 mais simplificada:
Lembrando que z2 = zl , temos:
As correntes i2 e i0 siio extraidas pelo divisor de corrente, conforme rnenqiio anterior, lembrando que nos casos de interesse zl = z2 ;t z0 .
Das expressdes anteriores siio extraidas as correntes de fase i,,
.
lh,
.
r, :
Para calcularmos ih, a express20 6 semelhante a (4.23), para o calculo de tensdes durante o curto fase-terra, trocando z0 por zl , e dividindo por zl :
Calculo da tens30 na fase a Sabemos que vo = vl = v2 = v, 13 , e como vo = -iozo, das expressdes anteriores obtemos: A
Observamos que, fazendo z0 -+ m , ou seja, impedindo a circulaq20 de corrente de seqiihcia zero, recaimos no mesmo resultado do curto dupla-fase, corn v1 = el / 2 e vl = vo ,nesse caso:
Analogamente ao curto fase-terra, definimos um fator de sobretensgo para a fase a, adotando k = z0 / zl como um numero real:
naqual k = z O / z l .
Em um circuit0 trifasico, simetrico e equilibrado, trabalhamos corn tensdes nominais de fase e de linha. Tens20 nominal de linha: V. Tens50 nominal de fase:
Para a seqiiencia positiva, conhecidas as tensdes:
obtemos Vh, V, e Vbc e V, pelos correspondentes defasamentos de 120". Conhecida a corrente 13@de curto trifisico em uma barra, definimos a potencia de curto-circuit0 trifisico nesse local da rede pela seguinte expressZo, considerando a tens20 nominal da barra:
Essa expressiio fornece a potencia aparente de curto-circuit0 trifisico, ern modulo. Podemos estender um pouco mais o conceito, definindo em valor complexo:
Figura 4.26: Tensdes de iinha e de fase.
Adotando a potencia de base trifisica,
na qua1 Vb, = V C a tens50 de linha, em valores por unidade obtemos s = vi* . Como na tens50 nominal v = 1,0 pu, temos o valor da potencia dado pel0 complexo conjugado da corrente:
Com tensgo nominal, sabemos que a corrente C igual ao valor da admitincia, em pu, pois i = y . Conseqiientemente, verificamos que o conjugado da potencia complexa 6 igual ao valor da admithcia de Thkvenin, no local do curto:
Ou seja, a inforrnaqiio da potencia de curto-circuit0 trifisica nada mais 6 do que a informaq50 da impedincia ou admitincia do equivalente de Thkvenin nesse ponto da rede elktrica, o que sera util na exposiqiio a seguir. Consideremos um sistema com as possiveis configuraqaes: .
paralelo Figura 4.27: Elementos em sCrie e paralelo, ligados ao barramento infinito.
A barra A i chamada de barramento infinito, considerada com freqiitncia e tensiio constantes, independentemente de qualquer alteraqiio na rede. Em terrnos de circuitos elktricos a tens20 nesse ponto i imposta por uma fonte ideal de tensgo senoidal. Obviamente a potencia de curto-circuit0 da barra A i infinita. Para elementos conectados em paralelo entre as barras A e B, a potencia de curto-circuit0 na barra B, admitindo-se a presenqa apenas do i-ksimo elemento e supondo condiqdes nominais, 6 dada por:
Isso ocorre pois, em vazio, o equivalente de Thkvenin nessa barra apresenta a mesma tensiio nominal da barra A, de 1,O pu e com a barra A aterrada a admitincia deste equivalente tern valor igual a yi. A potencia de curto-circuit0 trifisica total na barra B, quando todos os elementos estiio conectados simultaneamente, i dada pela soma:
i= 1
i=l
ou:
ou seja, a potencia de curto-circuit0 total na barra B, com todos os elementos ligados em paralelo, corresponde a soma das potencias de curto-circuit0 de cada elemento ligado individualmente. Para elementos conectados em sirie, sabernos que a impedincia do equivalente de Thkvenin i dada pela soma dos componentes individuais:
198 Fundamentos de Sistemas Elitricos de PotBncia
Essa expressiio pode ser escrita na forma:
i
i i
i
ou:
Ou seja, a soma dos inversos das admitgncias corresponde ao paralelo desses elementos:
Yr = YI / / ~ /2/ ~ -n
!
Em termos de potencias de curto-circuito, analogamente: st =sl//s2// ...//sfl.
A potencia de curto-circuit0 resultante da barra, com n elementos em skrie, k dada j pel0 paralelo das potencias de curto-circuit0 de cada elemento conectado individualmente ao barramento infinito. Como no curto-circuit0 trifisico temos o envolvimento apenas da sequencia positiva, Z , = ZIh, tambem podemos calcular a potencia trifasica pela expressiio:
I
I
Cabe ainda definir a potencia de curto-circuit0 monofasica aparente:
s,, = JSvr,, , ou em valor complexo:
assumindo tensiio de fase V / L O . 0 s equivalentes de Thkvenin de sequencia positiva e zero podem ser fornecidos indiretamente atraves das potencias de curto-circuit0 monofasica e trifasica. Corn a potencia de curto-circuit0 trifasica s3,, obtemos:
*
Com a potencia de curto-circuit0 monofhsica sl,, sabendo que sip = i14, escrevemos:
que pode ser reescrita como:
Porem, como:
1 resulta em valores por unidade:
I
ou ainda:
i EXEMPLO 1 !
Um conjunto de dez motores sincronos, de 5 MVA cada urn, representado pe; la sua potincia equivalente, 6 conectado a urn sistema eletrico por meio de uma linha de transmiss50 de 69 kV, corn 60 km de comprimento, e as respectivas transI i formaqdes de tens50 no inicio e fim da linha. 0 sistema eletrico de alimentaq50 1 apresenta as potencias de curto-circuit0 trifasica e monofasica, indicadas na figura. SBo fornecidos os parlmetros de seqiiencia positiva e zero da linha de transmissGo, ! valores nominais e reatlncias dos transformadores e motores. Sabe~nosque o conjunto de motores opera corn tens50 nominal na barra 4, i absorvendo a potincia de 46,5 MW corn fator de potencia unithrio. I I
1
I
k
=
200
Fzrndamentos de Sisfemas Elktricos de Potgncia
4
xo = j 1,1053 alkm
69/13,8kV 50 MVA x = 10%
conjunto de motores sincronos xi=j0,18pu 10x5 MVA
Figura 4.28: Sistema de alimentaqgo dos motores.
a) Curto trifisico Considerando-se um curto trifisico na bawa 2, calcular as correntes de fase no primirio e no secundario do transformador T,, admitindo a superposiq50 corn as cowentes pre-falta. A potencia de base adotada 6 Sh = 100 MVA . Iniciamos a solu@o obtendo o diagrama de impediincias de seqiiencia positiva e zero em valores por unidade.
sequzncia positiva eg
sequencia zero
Figura 4.29: Redes de seqiiencia positiva e zero, em valores por unidade.
ImpedDncia de base
Capittrlo 4. Ctrrto-circtrito 201
Reatiincias da linha em valores por unidade
Reatsncias dos transformadores em pu
Reatiincias do equivalente de Thevenin do sistema de alirnentaqiio
S3$ = 500 MVA em pu s3) = j-
5 00 =j5, 100
Condiqiio prC-falta Examinemos as condiqdes prk-falta, a partir das informaq6es operativas do motor. A carga total tern o fator de potencia unitirio e corno s = vi*, obtemos i=0,465 pu . Como a tens50 na barra 4 k unitiria em pu, obtemos a tens50 na barra 2 corn as respectivas rotaqdes angulares de seqiizncia positiva que ocorrem no transformador.
As correntes no primirio e secundirio do transformador 7; s5o:
202 Fundamentos de Sistemas Elbtricos de Potgncia
Barra 1
Barra 2
Figura 4.30: Rede prt-falta.
CondiqBo de falta trifhsica na barra 2 e
Equivalente de Th6venin Impedfincia equivalente de Th6venin de seqiiencia positiva:
A Figura 4.3 1 : Rede de faita.
Calculo de correntes
Capitulo 4. Czvto-circz~ito 203
Figura 4.32: Equivalente de Thkvenin. Com relaqiio A corrente de curto-circuit0 trifisica total, este j i 6 o valor final, niio havendo corrente prk-falta da barra para a terra em regime pennanente. , At6 aqui obtivemos a corrente de curto-circuit0 trifisica total. Vejamos as contribuig6es de cada lado do circuito e para isso montemos o circuito equivalente.
Figura 4.33: Divisor de corrente. Aplicando o divisor de corrente, obtemos a contribuigiio vinda do secundario do transfonnador :
A corrente I,{ corresponde B corrente I{ no circuito de falta da figura 4.10:
{i = 2 , 6 4 8 1 - 40,7". Analogamente, obtemos a contribuigiio do lado da linha de transmissiio, I/" da figura 4.10:
Calculemos a contribuiqiio para a corrente de curto i , do lado do secundario do transformador , aplicando o principio da superposigiio. Como todas as rotaq6es
204 Fzrndamentos de Sistemas ElBtricos de Potincia
ja foram efetuadas, basta somar as correntes de falta e prk-falta:
i,s = ip/
+ [i
= 0, 465L30°
+ 2,648L - 40,7" = 2,836L - 3 1,80° pu .
Resultando finalmente nos valores em kA, para a corrente na fase a: = 2,836 Is (secundirio) A
100 x69
= 2,373,
As correntes nas fases b e c s5o obtidas com as respectivas rotaqbes de fase:
I, = I,/-120°,
I, = IaL1200.
Obtemos tambkm a corrente no primario:
i~ = i dP +i,/ ~ l L - 3 0 ~ = 0 , 4 6 5 + 2 , 6 4 8 L - 7 0 , 7 ~ = 2 , 8 3 6 L - 6 1 , 8 0 ~ . Observamos que bastava rodar 30" a corrente is do secundario,
I, =ll,87L-61,80° kA. As correntes nas fases b e c siio obtidas com as respectivas rotaqdes de fase: I,=I,L-120°,
1,=I,L12O0.
Calculo de tenshes
& Figura 4.34: Rede de falta.
Capittilo 4. Curto-circuit0 205
Coma vimos, podemos resolver a rede em falta usando um gerador de tensso ou um gerador de corrente. Calculemos, por exemplo, a tens50 na barra 4, durante o curto. Corn o gerador de tensio Obtemos a tens50 na barra 4, na rede de falta, simplesmente com o divisor de tensgo:
Corn o gerador de corrente Com o gerador de corrente, conhecemos a contribuiqgo da corrente do lado da linha de transmissiio, chamada de 121, que precisa ter o defasamento correspondente, para utilizaqgo na barra 4 da rede:
Apresentando o mesmo resultado anterior. Obtemos o valor final da tens50 na barra 4 superpondo os resultados das tens6es pre-falta e de falta:
b) Curto fase-terra Para o curto fase-terra, calcular as correntes de fase no primhrio e no secundirio do transformador q . Vejamos agora como seria a soluq50, quando admitimos um curto monofasico no ponto 2. Iniciamos o calculo da corrente de falta com a ligaqgo em sirie dos diagramas de seqiiencias, compostos pelos equivalentes de Thevenin no ponto de falta. Irnpedincia equivalente de seqiicncia positiva z,
= j0,294.
ImpedBncia equivalente de seqiicncia zero
z,,, = jO,2// j l , 593 3 z,,, = jO,178 .
206 Fundamentos de Sistemas Elitricos de Pot6ncia
Figura 4.35: Ligaq2o dos diagramas de seqiiencias. Sabendo que efh 6 a tens50 do equivalente de Thevenin no ponto 2, obtemos as correntes de seqiizncias:
lf =3~1,384L-40,7~=4,152L-40,7~ p u . A corrente de falta fase-terra ja C o valor final, pois a corrente prC-falta 6 nula para a terra. b l ) ContribuiqBo do lado secundiirio do transformador 7; (69 kV). Contribuiqiio da seqiisncia positiva Novamente, usando o mesmo divisor de corrente de sequencia positiva:
obtemos a contribuigiio da corrente de falta existente no lado 69 kV do transformador T, :
Superpondo com a corrente de prk-falta, obtemos o valor total da contribui$50 de corrente de seqiiencia positiva do lado secundirio do transformador 7',:
+
I'('1 , - 1,'~f(') if(')
= 0,465L30°+1,02L - 40,7"= 1,2531- 20,2".
Contribuiqiio da seqiicncia negativa A contribuigiio de seqiisncia negativa C idgntica o divisor de corrente C o mesmo:
de seqiiencia positiva, pois
Como niio h i corrente prk-falta de sequgncia negativa, essa jB 6 a contribuiqiio total.
Contribuiqiio da sequcncia zero Tomando-se o divisor de corrente de seqiiencia zero:
Correntes de fase Obtemos as contribuiqaes de correntes de fase, do lado secundirio do transforrnador 7;, que tambCm ja siio valores superpostos:
I
1
l
a
a
1,02L - 40,7"
Finalmente, em valores reais, basta multiplicar pela corrente de base em 69 kV:
b2) Contribuiqiio do primirio (1 3,8 kV) do transformador T,. As correntes existentes no lado de 13,8 kV desse transformador podem ser calculadas com os correspondentes defasamentos das correntes de seqiihcias positiva e negativa, lembrando que niio existe componente de sequencia zero:
0 1,253L-20,2°x1L-300 1,02L-40,7°xlL+300
2,1411-32,56" = 1,741L154,51° O,465L12O0
][
1
pu,
OU,em valores reais:
b3) Calculo das tens6es na barra 2 para o curto fase-terra. V2 = -2th2i2
V0 = -~thoio
Podemos ainda obter o modulo da tens50 na fase b, utilizando a formula simplificada:
Como f,, = vb /el e lembrando da tensgo de Thkvenin nesse ponto: el = 1,06 pu,
b4) Cilculo da corrente de curto e a tensiio na barra 2, considerando um reator de neutro de 20 Q no transformador 7i. A instalaqgo de um reator no neutro do transformador altera o diagrama de seqiiencia zero. 20 xn = j-= j0,42 pu. 47,61
Figura 4.36: Diagrama de seqiiEncia zero, corn reator de neutro.
zth0 = jl, 46 11j,
1593 = jO,762 ,
210
Fzrndamentos de Sistemas Ele'tricos de Potgncia
EXEMPLO 2 Considere o sistema descrito a seguir:
2301500 kV 800 MVA x=8%
Figura 4.37: Rede do exemplo 2.
As pothcias de curto-circuit0 trifhsica e monofasica na barra 1 s50, respectivamente, 5000 MVA e 6000 MVA. Parametros da linha de transmissHo zl = 0,04 +j0,35 Slkm, cl = 13 nF/km, zo = 0,14 +j0,65 Sllkm, co = 9 nF/km. Utilizando o modelo de linha longa, pede-se calcular a corrente de curto faseterra no fim da linha, sabendo que a mesma possui tens20 nominal no inicio e encontra-se em vazio. Adotando:
Sb =lo00 MVA , Vb =500 k V , obtemos:
SoluqHo corn modelo de linha longa Calculemos os parsmetros A e B de linha longa, para as seqiiencias positiva e zero, usando as expressdes do capitulo 3.
Seqiikncia positiva
Seqiiencia zero
A, =0,897+ jO,0116
A, = 0,868 + j0,028
B, =13,03+ jl18,31 i-2
Bo =44,675+ j217,85 i-2
Capitulo 4. Curto-circuit0 21 1
Com a linha em vazio, obtemos a tensgo no final da linha, que 6 a tensiio prk-falta:
e,h = v,. .
Equivalente de ThGvenin de seqiiencia positiva, visto no fim da linha
Figura 4.38: Equivalente de Thkvenin de sequencia positiva.
Bl- 1 =0,0094- j4,581 p u , zcl -A, - 1 2,
Equivalente de Thcvenin de seqiicncia zero
Figura 4.39: Equivalente de Thkvenin de sequencia zero.
212 Fundamentos de Sistemas Elktricos de Potgncia
[I] Stevenson Junior, W. D. Elenzentos de Andlise de Sisternus de Poti?ncia. 2.ed. McGraw-Hill, 1986. [2] Stagg, G. H. & EL-Abiad, A. H. Computer Methods in Power Systen?Analysis. New York, McGraw-Hill, 1968. [3] Anderson, P. M. Analysis of Faulted Power Systems. Ames, Iowa State University Press, 1973. [4] Ramos, D. S. & Dias, E. M. Sistemas El.4tricos de Pofi?nciu: Regime Permanente. Rio de Janeiro, Guanabara Dois, 1982 2 vols. [5] IEEE Std 141-93 Recommended Practice for Electric Power Distribution for Industrial Plants.
0 tratamento matricial de redes k objeto de uma extensa literatura que explora suas propriedades fundamentais. Recordaremos os aspectos bisicos na formaqiio da matriz de admitiincias que exprime propriedades nodais da teoria de circuitos, mencionando de passagem a formaqiio da matriz de impedincias nodais. Para uma abordagem mais detalhada do assunto, quanto ao aspect0 de eficizncia computational, que n2o e o objetivo deste texto, o aluno pode contar corn virias publicagaes dedicadas ao tema.
5.2 Matrizes para Redes de SeqiiQncias 0 estudo de uma rede equilibrada, em regime permanente, utiliza a representa920 apenas da seqiihcia positiva. No caso de desequilibrios, ou mesmo ern alguns tipos de curto-circuitos, necessitamos tambkm da rede de seqiiencia zero, ou ate mesmo da rede trifhsica.
5.2.1
FormaqLio da Matriz Y Considerando os Elementos Indutivos sem Mzituas
Faqamos uma breve recordagiio da tkcnica de formaqiio da matriz de admitiincias nodais Y, que requer o conceit0 de matriz primitiva dos elementos. Consideremos inicialmente o caso bisico de rede monofisica, constituida por bipolos puramente passivos, sem a existencia de geradores de corrente ou de tens20 nesses elementos. vP -+-
p
-
vq
Y,,
q
vI,,P(7 == ypqvpcl Vp-vq
Figura 5.1 : Elementos de rede.
21 4 Fundamentos de Sistemas Elktricos de Potencia
Temos entiio:
I , = YP~VP,, ou:
Por meio da anilise da estrutura da rede obtemos a equaqiio biisica para a forrnaqiio da matriz de admitincias nodais [2,3]:
A matriz de incidzncia nodal A (ou de conexiio nodal), contkm as informaq6es topol6gicas, e a matriz primitiva de admitincias [ Y P ]fornece os elementos da rede. Com as rnatrizes primitivas escrevemos as equaq6es:
[vPq] : vetor de diferenqas de potenciais entre os n6s dos elementos da rede, [ I , , ~ ]: vetor de correntes nos elernentos da rede. Portanto [ Y P ]pode ser obtida pela inversiio de [ Z P ], fazendo:
A formaqiio da matriz Y , a partir da expressiio (5.3), n5o i eficiente em termos computacionais, sendo mais pratico aplicarmos a regra de colocar na diagonal a soma das admitincias incidentes nos n6s e fora da diagonal as admitincias de ligaqbes entre n6s com sinal trocado. As linhas da rnatriz de admitincias nodais podem ser obtidas aplicando a primeira lei de Kirchhoff, o que faremos a seguir para um n6 genirico i. A soma de todas as correntes injetadas no n6 i, incluindo a parcela do gerador de tensiio (ou um eventual gerador de corrente), deve ser nula:
Desse modo:
I
Capitzrlo 5. Tratamento Matricial de Redes 2 15
I..!I= Y.. ( 6 - vj) !I
Figura 5.2: Elementos conectados n6 genCrico i.
Desenvolvendo:
Escrevendo essa equaqiio para todos os nos da rede, obtemos:
[ I ]: vetor de correntes injetadas nos n6s, [ V ]: vetor de tensaes nodais, [ Y ]: matriz de admitiincias nodais. 0 s termos da matriz Y , indicados por letras minusculas, siio dados por:
Nos termos fora da diagonal temos as admitincias da rede com o sinal trocado. Nos termos da diagonal temos o somat6rio de todas as admitiincias que incidem no no, inclusive as admitincias para a terra, representadas por qona figura 5.2. Obviamente, a matriz Y tem uma s6rie de propriedades que niio siio discutidas em detalhes neste texto. Em sua formaqiio, ou em modificaqdes de sua estrutura nos sistemas de ordem elevada, empregamos ticnicas de compactaq20, devido a
21 6 Fzrndarnentos de Sisternus Elitricos de Potgncia
elevada esparsidade das redes elktricas, assim como de ordenaqzo 6tima, o que leva a um tratamento computacional eficiente. Para efeito pritico, consideraremos que o n6 de referzncia k a terra, fazendo portanto parte da rede. Uma confusiio comum que fazemos 6 na consideraqgo da corrente injetada no n6 i. Na figura 5.2, se nHo houver o gerador de tensgo, a corrente injetada Ii,componente do vetor [ I ] , sera nula. Por outro lado, se o termo "20 for incluido na matriz de admitincias, uma parcela da corrente injetada na rede seria -Iio.
5.2.2
Forrna~Goda Matriz Y Considerando Elementos Indutivos corn Mctuas
Esses elementos indutivos referem-se a circuitos com um acoplamento miituo de sequencia positiva ou de sequzncia zero, sendo este ultimo caso o mais significativo, principalmente em condiqdes de falta com circuitos em paralelo. 0 caso mais importante de inclus2o de mutuas 6 o de linhas de transmiss20, normalmente na rede de seqiizncia zero. Nesse caso, verificamos que a submatriz de admitiincias primitiva entra com o mesmo sinal nos blocos matriciais alinhados corn a diagonal principal e com sinal trocado nos blocos fora dessa diagonal. Tal propriedade facilita a adiqzo de elementos com mutuas na matriz de admitincias nodais e 1 pode ser deduzida a partir de ulna simples extensso da equaqiio (5.7) escrita matri- ' cialmente, ou seja, subdividiremos a barra i em subnbs, correspondentes aos circui- , tos em paralelo, ou acoplados, incidentes nesse n6 original. Como exemplo, tomemos os subn6s i,, ib e i, trifasicos, se estivermos utilizando componentes de fase para uma dada linha de transmissso, ou i,, i2 e i3 se estivermos representando trzs ' circuitos acoplados em paralelo, em uma dada seqiiencia. Escrevendo de forma vetorial a primeira lei de Kirchhoff em cada barra i, supondo circuitos acoplados para as demais barras j da rede, j # i , temos:
:
na qual: [Ii] : vetor cujos elementos siio as correntes injetadas nos subnos da barra i, [ y1, [Vj] : vetores cujos elementos sHo as tensdes nos subn6s da barra i e j, [yy]: matriz primitiva de elementos conectados aos conjuntos de subnos existentes na barra i e na barra j , incluindo os acoplamentos existentes. Desenvolvendo:
I
I
1
I
-
Capitulo 5. Tratnmento Matricial de Redes
21 7
E imediato verificar que nos blocos da diagonal principal, correspondentes i barra i, as submatrizes entram com o mesmo sinal e nas demais barras, fora da diagonal principal, as submatrizes entram com o sinal trocado.
Figura 5.3: InserqBo das sub-matrizes dos elementos corn mutuas. Para curto-circuitar dois ou mais n6s (ou subn6s em circuitos acoplados) em uma determinada barra da rede, por exemplo, dois ou mais circuitos conectados na mesma barra, il = i2 = i3, a modifica950 na matriz 6 muito simples, bastando reter um determinado no (ou subn6), adicionando-se as linhas e colunas correspondentes aos n6s (ou subnos) a serem eliminados 6 linha e 6 coluna desse n6 retido. Na matriz de admitilncias nodais a seguir, exemplifiquemos a operaqgo de curto-circuitar os n6s k e m, supondo mantido o no k e extinto o n6 In. Nesse no k, isso corresponde a somar as correntes injetadas Ik + I , e igualar as tens6es Vk = Vm, cuja opera950 corresponde a uma soma das linhas e colunas k e m, mantendo-se a linha e coluna k . -
-
-
-
-
I1
Y11
Y In
F
Ik
Ykl
Ykn
'?k
. -- .
Im -In
Yn71 -
-Ynl
Com o curto-circuit0 dos nos k e m:
X
Ymn Y
:
-
.
Vm
-'nu
... 5.2.3
Ynk
ynnl
...
Ynn
ObtenqCo da Matriz de Impedbncias Nodais
Existem algoritmos para a formaqgo direta da matriz Zbl,s,porim, o mod0 mais conveniente de obtE-la, para os nossos prop6sitos, 6 por meio da inversgo da matriz Y, usando a formula (5.9):
sendo: [z6u.s
1= [YI-'
(5.15)
Verificamos que injetando numa dada rede uma corrente de valor unithrio Ik , no n6 k, podemos constmir uma coluna da matriz Zbus, medindo as tensaes nos n6s da rede. Nesse caso devemos tornar inativos os geradores da rede, como por exemplo curto-circuitando os n6s de todos os geradores de tensgo. k
ref.
Figura 5.4: Rede genCrica corn n nos.
Capitulo 5. Tratamento Mntricial de Redes
21 9
Desse mod0 obtemos a impedincia equivalente de Thkvenin da rede no n6 k, zkk , pois: Vk = z k k I k =zkk ( I k = 1 ,
Ii = O if k ) .
(5.16)
Obtemos tambem as impedincias zik , pois:
Observamos que a partir da matriz Y , 6 conveniente calcular a coluna k da matriz Zbus,simplesmente pela solug50 do sistema linear:
Fazendo Ik= 1 , calculamos o vetor de incognitas [ x ] com metodos de triangularizaqiio e retro-substituiqiio. Desse modo, operando em uma coluna k da matriz de impedincias, referente a um no de entrada k, injetada uma determinada corrente neste no, obtemos as tensees ao longo de toda a rede. Na obten~iioda impedincia equivalente de Thkvenin, vista dos n6s k e m, utilizamos a express50 (5.1 5),
A inversiio 6 obtida com a tabela de fatores previamente montada, seguida da retro-substitui~iio[3]. Aplicamos o vetor de correntes,a seguir no sistema de equag6es:
ou seja, injetando um gerador de corrente unitlrio (+I) no no k e um gerador com sinal trocado (-1) no n6 m. 0 vetor [v] 6 numericamente igual B diferen~adas colunas k e rn da matriz. Lembramos ainda que ao utilizarmos a matriz Y para obter o equivalente de Thkvenin, aterramos os nos internos de geradores de tens20 da rede E, = 0 .
Obtemos ent2o:
na qua1 [ z k] e [z,,] s5o as colunas k e in da matriz. Sen50 vejarnos:
Como zkn7= znIk, temos a irnpedincia de Thevenin entre os nos k e rn. ZI = Vk - Vm = Zkk
+ ZnIn7 - 2zkm.
(5.17)
Para obtermos a impedincia equivalente de Thevenin, vista apenas do no k, tornamos nulos os elementos da linha e coluna m, na express20 (5.17), resultando em 2, = zkk , que 6 urn resultado coincidente com a express20 (5.16). Desse modo, observarnos que a impedincia equivalente de Thkvenin, vista de uma determinada barra, encontra-se no elemento da diagonal da matriz de irnpedincias nodais, correspondente ao no dessa barra. Essa propriedade sera util na extra950 das impedincias equivalentes de Thevenin, a partir da rnatriz de impedincias nodais de uma determinada rede eletrica, tornando-se urna simples opera920 de consulta aos elernentos da diagonal.
5.3 Matrizes Trifasicas Veremos a seguir um metodo simples de forma950 da matriz de admitincias nodais trifhsica.
Capitulo 5. Tratarnento Matricial de Redes
22I
No estudo de algumas condiqaes de desequilibrio em uma rede, como 6 o caso de linhas niio transpostas, ou quando ocorrem simultaneamente duas ou mais condi~aesde desequilibrio, como por exemplo uma fase aberta e um curto-circuito, niio convim a aplicaqiio das componentes simitricas. Nessas ocasiaes, C mais indicad0 analisar a rede por meio da sua estrutura trifisica. 0 tratamento das indutincias mutuas entre fases 6 identico ao de mutuas entre circuitos, de redes monofAsicas, conforme descrigiio anterior.
5.3.1
ForrnaqCo da Matriz Y Trifdsica
Para a forrnaq30 da matriz Y trifisica utilizamos os conceitos anteriores, observando que a matriz [YP] mantCm o sinal quando inserida nos elementos que compdem os blocos da diagonal principal (submatrizes) e troca de sinal ao ser inserida nos elementos fora dessa diagonal. A matriz 6 convenientemente expandida para comportar os subn6s trifiisicos de cada barra. 0 s componentes indutivos sirie da linha de transmiss20 apresentam ligayaes entre barras trifisicas da rede. Vejamos entilo como inserir na matriz de admitincias estes elementos.
Figura 5.5: Elementos indutivos com indutiincias mutuas.
z: impedhcia prbpria, considerada a mesma nas tr6s fases. z, , z2 e z3 : impedincias mutuas.
222 Fzindamentos de Sistenlas Elktricos de PotPncia
obtendo a matriz [ Y P ]primitiva temos:
Aplicando as regras anteriores obtkm-se:
ou seja, chamando G = [ Y P ], temos para o caso de uma linha de transmissiio:
Figura 5.6: Introduqiio de G na matriz de admitiincias nodais.
Uma dada matriz GI , que descreva as admitiincias de um componente ligadc a uma barra trifisica da rede eletrica, com ligaq6es entre os seus nos e a terra, sem transfergncias para outros barramentos da rede, e inserida simplesmente corn sua adiqiio ao bloco trifisico correspondente da diagonal principal.
Capittrlo 5. Tratamento Matricial de Redes
223
Como exemplo desse caso temos as matrizes de admitincias capacitivas de linhas trifisicas, que siio concentradas nas extremidades da linha e inseridas na matriz de admitincias conforrne o procedimento descrito. No exemplo a seguir veremos como tratar as capacitincias e indutincias de uma linha de transmissiio trifhsica, elucidando os aspectos discutidos ate aqui.
EXEMPLO 1 Para uma linha de transmissiio com tens30 nominal de 230 kV siio fornecidas as matrizes de capacitincias, concentradas nas extremidades para formaqiio do circuito n: trifisico, e a matriz de impedincias skrie dos elementos. Montar a matriz de admitincias trifisica da linha de transmissiio. Essa linha tem elementos diferentes fora da diagonal, significando que niio e transposta, correspondendo a urn perfil de torre com configuraqiio plana, z, = z 3 , / Z , =z(j = z , = z . Matriz de impedincias skrie e matriz de capacitincias em cada extremidade: I
I
1 solU~50: Montagem da matriz Y de admitincias da linha de transrnissiio. a) Montagem da matriz Y com n6s que apresentam ligaqdes para a terra. Chamemos:
A submatriz [G,], que 6 igual nas duas extremidades e niio apresenta mutuas , indutivas, entra com o mesmo sinal nos blocos alinhados com a diagonal principal.
b) Obtenqiio das a d m i t b i a s primitivas dos elementos skrie da linha:
224
Ftrndamentos de Siste~nasElitricos de Pot2ncia
Calculando a matriz inversa: G2 = [z"]-',
det = -j67500, e tambkm a matriz dos cofatores:
A rnatriz inversa 6 o resultado da divisso da matriz dos cofatores, transposta, pel0 determinante:
c) Introdu@o dos elementos skrie na matriz de admitiincias:
A submatriz [G2] entra com o mesmo sinal nos blocos alinhados com a diagonal principal e com sinal trocado fora dessa diagonal.
[ l ] Orsini, L. Q. Curso de Circuitos Elitricos. S5o Paulo, Edgard Blucher, 1993 2 vols. [2] Stagg, G. H. & EL-Abiad, A. H. Computer Methods ii7 Power Syste171Analysis. New York, McGraw-Hill, 1968. [3] Ramos, D. S. & Dias, E. M. Sistemas Elktricos de Potzncia: Regime Permanente. Rio de Janeiro, Guanabara Dois, 1982 2vols. [4] Dommel, H. W. Electromagnetic Transients Program Reference Manual: EMTP Theory Book. Portland, BPA, 1986.
/
1
Veremos a seguir o cilculo matricial das correntes de falta e contribuigbes, ocorrendo os curtos trifasico, fase-terra, dupla-fase e dupla-fase-terra. Fundamentalmente, o procedimento k o mesmo descrito no capitulo 4, com exceggo da ticnica de extraygo de informaydes contidas nas matrizes de admitgncias ou de impedgncias nodais, que apresentam a forma organizada para trabalharmos com redes eletricas. A impediincia de sequencia, necessaria ao cilculo do curto-circuit0 em uma determinada barra k, 6 a impediincia equivalente de Thkvenin nessa barra, dada pelo elemento zkk da diagonal da matriz Zbus.Dessa forma, os equivalentes de Thkvenin, para a barra em curto, s5o obtidos das matrizes de impediincias nodais, de seqiiencias positiva, negativa e zero. Estudos detalhados de curto-circuit0 podem necessitar de uma representaqiio das condiydes pr6-falta, modelo n: equivalente da linha de transmissgo, perdas em geradores e transformadores, etc. Em deterrninados casos, como em analises de planejamento, nem sempre s2o necessirias analises muito rigorosas e muitas vezes simplificamos a representaqzo dos componentes, assim como desprezamos as condiydes pre-falta, considerando 1,O pu em todas as barras do sistema. Nas redes eletricas de grande porte, o estudo do curto-circuit0 so e viavel com a utilizaqgo dos metodos computacionais. Desse modo, necessitamos de ferramentas que tracem um panorama das correntes de curto ao longo de toda a rede e apresentem as medidas corretivas mais indicadas, causando o menor impact0 possivel na operay80 em regime permanente, alem de ngo comprometer outras restrigbes como limites de tens80 e sobretensdes.
6.2 Informag6es da Rede PrC-falta As informay6es da rede prk-falta s5o obtidas de programas de fluxo de poten-
j cia, que apresentam as tensdes e correntes, de sequ&nciapositiva, em uma rede elk-
226 Fundarnentos de Sisternas Elitricos de Potgncia
trica. Em todos os tipos de curto utilizaremos essas inforinagdes de mod0 semelhante, superpostas com os valores calculados de seqiizncia positiva da rede em falta. Conhecidas as tensaes pri-falta ao longo da rede, FP], 1 2 i 2 n , as correntes pri-falta em cada ligaq8o s8o calculadas da seguinte forrna: /f - J7lf I.. . - J / ~ f y.!'> ! I
(
&I )
Y
,
na qual:
I;] : corrente pr6-falta da barra i para a barra j, ~j~ : tens80
pri-falta na barra i,
vyf : tenslo prt-falta na barra j, $'): admitincia
de seqiiencia positiva da ligaqlo entre a barra i e a barra j.
Nos casos de ligaqdes com componentes para a terra, chlculos adicionais devem ser convenientemente realizados. 0 s estudos de curto-circuit0 podem envolver diferentes modelos de componentes da rede, principalmente da linha de transmiss80, cujo modelo mais completo considera a imped2ncia strie da linha e a capacitincia, alim de realizar correqdes hiperbblicas no cilculo do circuit0 n: equivalente.
6.3 Informaq6es da Rede em Falta
Aplicando o teorema de Thevenin, com as impedincias equivalentes calculadas para as seqiiencias zero, positiva e negativa, obtemos as correntes de seqiicncias no local de curto, seguindo o mesmo procedimento do capitulo 4. Apresentamos a seguir a notaq8o a ser utilizada nos cilculos, para as varihveis de seqiihcias.
I{(') : corrente seqiiencial de falta na barra k, s = {0, 1,2} , V ( : tens80 do equivalente de Tht-venin (tens80 pri-falta de seqiiZncia positiva na barra k ), : tens80 seqiiencial de falta na barra k, s = {0, 1,2} ,
~k/(')
zi;) : elementos da diagonal da matriz Z,,,, de seqiisncia zero, positiva ou negativa, s ={0,1,2}.
De posse das correntes de falta, calculadas na para diferentes tipos de curto, obtemos as tensBes em cada barra da rede nas seqii2ncias correspondentes.
Capitulo 6. Ccilculo Matricial do Curto-circz~ito 227 -
seq. 1
i seq. 1
seq. 2
I
seq. 2
seq. 1
-
seq. 0
Figura 6.1 : Ligaqiio dos diagramas de sequgncias.
No cBlculo dessas tensties de falta . utilizamos informagties da matriz ZbllS,para todas as barras 1 5 i 5 n de cada sequencia s = {O,l, 2) :
z:," : elemento ik da matriz de impediincias nodais, na seqiiencia s, s = {0,1,2] , I / ( ' ) = 0, i # k , I/(" : obtida da solug20 dos diagramas de sequencias. 0 procedimento, empregando a inatriz de impediincias Z h W ,6 praticamente equivalente A utilizagiio da matriz de admitiincias nodais Y, pois o sisteina linear de equagties 6 o mesmo. Colocando o sistema de equagties na forma da matriz de admitiincias, escrevemos: -
-V,f ( r ) -
(s)
Yl P?
I
(s) Ykn (.s)
Ynn
x
y.f(s)
k
- -v p )-
.
228 Fundamentos de Sistenlas Ele'tricos de Potgncia
y!) : elemento ij da matriz de admitlncias nodais, de sequencia s = {o,1,2}, relacionado com a admitlncia da ligaqgo por '!y = -Y!'). !I Esse sistema linear de equaqdes pode ser resolvido de diferentes formas, sendo conveniente a triangularizag20 de Gauss com retro-substituiq20, juntamente corn t6cnicas de compactaq20 e de eliminaq20 6tirna.de n6s, n2o apresentadas neste texto. Eventualmente, quando se pretende analisar alteraq6es na rede, o mitodo de formaq2o da matriz Zbu,spela definiqlo pode ser mais eficiente. Em seguida, obtemos as correntes nas ligaqaes. I,"" corrente na ligaqlo ij, na rede em falta, de seqiiencia zero, positiva ou negativa, s = {0,1,2]. Um cilculo importante 6 o da contribuiglo da corrente de uma ligaggo contigua i barra de curto k, em uma dada sequencia. A contribuiq20 6 definida pela corrente que percorre a ligaqzo em direg2o ao ponto de curto, bastando fazer j = k .
Obtemos as tensdes superpostas de sequencia positiva, nas barras i, adicionando a tens20 pri-falta B tens20 de sequhcia positiva de falta.
4('=)J y f + 5f (I) , 4(1)
(6.3)
: tens20 superposta na barra i, de seqiiencia positiva, para curto na barra k,
Iii(1) : corrente superposta na ligaqgo ij, de seqiiencia positiva, para curto na barra k. Calculamos as correntes superpostas de sequencia positiva, nas ligaqdes iJ', adicionando a corrente pri-falta i corrente de sequencia positiva de falta.
Nos casos mais simplificados, sem o estudo pri-falta, adotamos r/;pf em todas as barras e ignoramos o passo de superposiq20.
6.5 Componentes de Fase
= 1,O pu
Capitulo 6. Chlculo Matricial do Curto-circuit0 229 Calculamos as componentes de fase, de correntes e tensdes, aplicando as matrizes de transformaqBo As componentes superpostas de sequhcias:
6.6 Calculos de Curto-circuit0 Analisaremos a seguir o curto trifisico e o curto dupla-fase, que n5o envolvem a sequsncia zero.
0 cilculo do curto trifasico equilibrado, aterrado ou nBo, tem o envolvimento apenas da seqiiencia positiva, pois niio ha retorno de corrente pela terra. Corrente de curto na barra em falta
Tensaes e correntes de seqiisncia positiva nas ligaqaes Obtemos as tensdes de falta nas barras da rede de seqiihcia positiva:
De posse das tensaes de falta em cada barra da rede, calculamos as correntes de falta nas ligaqaes:
Superposiqiio A corrente de curto 6 obtida da soluqiio da rede de falta, niio necessitando de superposiqiio. A corrente de contribuiqiio de cada ligaqiio 6 obtida com a superposiqBo da corrente pr6-falta com a corrente de falta:
Da mesma forma, calculamos a tens50 em uma dada barra i, 1 5 i 5 n , superpondo a tens50 pr6-falta corn a tens20 de falta:
A corrente de contribuiqiio pode igualmente ser obtida com a superposiq20 das tensdes prBfalta e de falta e em seguida calculamos as correntes de contribui~go:
Essa alternativa de cilculo podera ser aplicada em todos os tipos de curto e desse mod0 niio repetiremos mais este comentario.
Componentes de fase Obtemos a componente da fase a coincidente com a sequzncia positiva e aplicamos as respectivas defasagens de 120 graus para as fases b e c.
Chlculo das correntes de seqiicncias No curto dupla-fase h i envolvimento apenas das sequencias positiva e negativa:
Tensties e correntes de sequcncias nas ligagties 0 calculo das contribuiq6es 6 analog0 ao do caso do curto trifasico, podendo existir correntes pr6-falta apenas de seqiiencia positiva. No curto dupla-fase devemos considerar a sequencia negativa nos c~lculosde tensiio e corrente.
Superposiq30 A corrente de curto-circuit0 fase-fase j6 6 a corrente de curto fase-fase de fal-
Capitulo 6. CalcuIo Matricial do Curto-circtrito 231
ta obtida. Finalmente, as tens6es e correntes de contribui@o, de sequhcia positiva, sgo obtidas superpondo os valores prk-falta corn os de falta:
Componentes de fase Obtemos as componentes de fase corn as matrizes de transforma+?io utilizando as componentes de seqiicncias positiva e negativa, impondo componente de seqiiencia zero nula em todas as operag6es. Vejarnos a seguir os curtos corn envolvimento da terra, e portanto da sequEncia zero, que sgo o curto fase-terra e o curto dupla-fase-terra.
Cilculo das correntes de seqiihcias
Tens6es e correntes de seqiicncias nas ligaq6es Obtemos as tens6es de falta nas barras i:
0 ccilculo das correntes nas ligaq6es 6 analogo aos casos anteriores, podendo existir correntes prk-falta, mas apenas de seqiiiincia positiva. A principal diferen~a6 que, devido ao envolvimento da terra, devem ser consideradas as tres seqiiGncias nos calculos de tens50 e corrente. Em particular, na seqiizncia zero levamos em conta as mi~tuasde circuitos em paralelo, entre as ligaqdes mn e i j . Por exemplo, para urn circuit0 duplo i j - inn, calculamos as correntes nas lig a ~ d e usando s a matriz primitiva de admitsncias:
Y!"" v ,tnti - admitlncia da matriz primitiva dos elementos, mtttua entre as ligaq6es ij e /?In, K/'hO) : admitlncia da matriz primitiva dos elementos, pr6pria da ligaqiio q. Nas demais seqiiencias desprezamos as mGtuas de circuitos em paralelo:
I/(.Q= !J
(Y f ( s ) -
f (4)+),
.I
J '
={I, 21
SuperposiqBo A corrente de curto fase-terra na rede de falta ja 6 a corrente de curto na barra. As correntes nas ligaqdes, de seqiigncia positiva, s5o obtidas superpondo-se a corrente prk-falta corn a corrente de falta:
Da mesma forma, calculamos a tens50 de sequencia positiva, em uma dada bawa i, 1 < i < n , superpondo a tens50 prk-falta com a tens50 de falta:
Componentes de fase Obtemos as componentes de fase com as matrizes de transforrnaqiio utilizando as componentes de sequencias positiva, negativa e zero, em todas as operaqaes.
Chlculo das correntes de seqiicncias
Tensiies e correntes de seqii6ncias nas ligaqiies
Cnpitzrlo 6. Calctllo Matricial do Czrrto-circuit0 233
0 chlculo das correntes nas ligaqdes i anhlogo ao caso do curto fase-terra. Superposiqio A corrente de curto-circuit0 dupla-fase-terra de falta j i i a corrente de curto na barra.
0 cAlculo das contribuiqdes 6 anilogo ao do caso do curto fase-terra, podendo existir correntes pr6-falta, mas apenas de seqiiencia positiva.
Componentes de fase Obtemos as componentes de fase corn as matrizes de transformaqiio utilizando as componentes de seqiiencias positiva, negativa e zero, em todas as operag6es.
EXEMPLO 1 Para o exemplo a seguir, seriio calculados os valores de curto trifhsico, curto fase-terra, curto dupla-fase e curto dupla-fase-terra, alem dos fatores de sobretensiio para curto fase-terra e curto dupla-fase-terra. A rede seri a inesma do exemplo 1 do capitulo 4, exceto que analisaremos tambim a possibilidade de um segundo circuit0 na linha de transmissgo. sistema equivalente
conjunto de motores sincronos 1 Ax2
60km
3
Figura 6.2: Rede exemplo para cilculo de curto-circuito. 0 s valores dos pariimetros da rede Go:
234 Ftrndamentos de Sistemas Elktricos de PotZncia
0 s calculos siio realizados considerando o valor de tens20 nominal em todas as barras da rede, desprezando portanto as correntes pr6-falta. A potsncia de base adotada 6 de 100 MVA e os valores de base para a tens50 sCio de 13,8 kV e de 69 kV. 0 s calculos foram feitos usando-se um programa diditico de curto-circuito.
Calculo corn os dois circuitos (2-3a e 2-3b) * * * Curto circuit0 franco na barra (1) * * * Vbase= 13.80 kV I Sbase= 100.00 MVA I Ibase= ---EQUIVALENTE DE THEVENIN DA BARFLA--Vthl= 1.000 fase 0 (pu) = 13.80 fase 0 (kV) Zthl= O+j0.1677 (pu) = O+j0.3193 (Ohms) ZthO= O+j0.1 (pu) = O+j0.1904 (Ohms)
4.184 k~
I
Zbase=
1.90 Ohms
corrente de CURT0 TRIFASICO na barra (1) 5.9648 fase -90 (pu) = 24.9549 fase -90 ( k ~ )
----------------------------------------------------------------------------corrente de CURT0 FASE-TERRA na barra (1) 6.8918 fase -90 (pu) = 28.8331 fase -90 (kA) fator de sobretensao na fase B (pu): FstB= 0.932 fator de sobretensao na fase C (pu): FstC= 0.932 ----------------------------------------------------------------------------corrente de CURT0 DUPLA FASE na barra (1) 5.1657 fase 180 (pu) = 21.6116 fase 180 (kA)
............................................................................. corrente de CURT0 DUPLA FASE-TERRA na barra (1) 6.5826 fase 1.4E+02 (pu) = 27.5394 fase 141.6975 (kA) fator de sobretensao na fase A (pu): FstA= 0.816 ............................................................................. ............................................................................. * * * Curto circuit~f r a n c ~na barra (2) * * * Vbase= 69.00 kV I Sbase= 100.00 MVA I Ibase= 0.837 kA I Zbase= 47.61 Ohms ---EQUIVALENTE DE THEVENIN DA BARRA--Vthl= 1.000 fase 0 (pu) = 69.00 fase 0 (kV) Zthl= O+j0.2706 (pu) = 0+j12 .a834 (Ohms) ZthO= O+j0.1689 (pu) = O+j8.0406 (Ohms)
corrente de CURT0 TRIFASICO na barra (2) 3.6955 fase -90 (pu) = 3.0921 fase -90 (kA)
----------------------------------------------------------------------------corrente de CURT0 FASE-TERRA na barra (2) 4.2248 fase -90 (pu) = 3.5351 fase -90 (kA) fator de sobretensao na fase B (pu): FstB= 0.937 fator de sobretensao na fase C (pu): FstC= 0.937
----------------------------------------------------------------------------corrente de CURT0 DUPLA FASE na barra (2) 3.2004 fase 180 (pu) = 2.6779 fase 180 (kA)
Capitulo 6.Cdlculo Matricial do Curto-circzlito 235 corrente de CURT0 DUPLA FASE-TERRA na barra (2) 4.0400 fase 1.4E+02 (pu) = 3.3804 fase 142.3888 (kA) fator de sobretensao na fase A (pu): FstA= 0.833
* * * Curto circuit~f r a n c ~na barra (3) * * * Vbase= 69.00 kV I Sbase= 100.00 MVA I Ibase= ---EQUIVALENTE DE THEVENIN DA BARRA--Vthl= 1.000 fase 0 (pu) = 69.00 fase 0 (kV) Zthl= 0+j0.3064 (pu) = O+j14.5868 (Ohms) ZthO= 0+j0.1689 (pu) = O+j8.0406 (Ohms)
0.837 kA
I
Zbase=
47.61 Ohms
corrente de CURT0 TRIFASICO na barra (3) 3.2639 fase -90 (pu) = 2.7310 fase -90 ( k ~ )
............................................................................. corrente de CURT0 FASE-TERRA na barra (3) 3.8381 fase -90 (pu) = 3.2115 fase -90 (kA) fator de sobretensao na fase B (pu): FstB= 0.925 fator de sobretensao na fase C (pu): FstC= 0.925
............................................................................. corrente de CURT0 DUPLA FASE na barra (3) 2.8266 fase 180 (pu) = 2.3652 fase 180 (kA)
............................................................................. corrente de CURT0 DUPLA EASE-TERRA na barra (3) 3.6623 fase 1.4E+02 (pu) = 3.0644 fase 140.5174 (kA) fator de sobretensao na fase A (pu): FstA= 0.787
* * * Curto circuit~f r a n c ~na barra (4) * * * Vbase= 13.80 kV I Sbase= 100.00 MVA I Ibase= ---EQUIVALENTE DE THEVENIN DA BARRA--Vthl= 1.000 fase 0 (pu) = 13.80 fase 0 (kV) Zthl= O+j0.2552 (pu) = 0+j0.4860 (Ohms) ZthO= O+j0.3600 (pu) = O+j0.6856 (Ohms)
4.184 kA
1
Zbase=
1.90 Ohms
corrente de CURT0 TRIFASICO na barra (4) 3.9187 fase -90 (pu) = 16.3946 fase -90 (kA)
corrente de CURT0 FASE-TERRA na barra (4) 3.4468 fase -90 (pu) = 14.4203 fase -90 (kA) fator de sobretensao na fase B (pu): FstB= 1.065 fator de sobretensao na fase C (pu): FstC= 1.065
corrente de CURT0 DUPLA FASE na barra (4) 3.3937 fase 180 (pu) = 14 .I981 fase 180 (kA) ............................................................................. corrente de CURT0 DUPLA FASE-TERRA na barra (4) 3.7260 fase 1.6E+02 (pu) = 15.5884 fase 155.6179 (kA) fator de sobretensao na fase A (pu): FstA= 1.107
236 Fundamentos de Sistemas Elktricos de Potgncia Matriz Ybusl (valores em pu) 1 1 [ 0-jlo.ooo 2 [ O+j5.000 3 [ o+jo 4 [ O+jO Matriz Y ~ U S O(valores em PU) 1 1 [ 0-j10.000 O+j0 2 [ O+j0 3 [ o+j0 4 [
Calculo corn urn circuito 2-3a * * * Curto circuito franco na barra (1) * * * Vbase= 13.80 kV I Sbase= 100.00 MVA I Ibase= ---EQUIVALENTE DE THEVENIN DA BARRA--Vthl= 1.000 fase 0 (pu) = 13.80 fase 0 (kV) Zthl= O+j0.1736 (pu) = O+j0.3305 (Ohms) ZthO= O+j0.1 (pu) = O+j0.1904 (Ohms)
4.184 kA
I
Zbase=
1.90 Ohms
corrente de CURT0 TRIFASICO na barra (1) 5.7616 fase -90 (pu) = 24.1049 fase -90 (kA)
............................................................................. corrente de CURT0 EASE-TERRA na barra (1) 6.7095 fase -90 (pu) = 28.0707 fase -90 (kA) fator de sobretensao na fase B (pu): FstB= 0.929 fator de sobretensao na fase C (pu): FstC= 0.929 ............................................................................. corrente de CURT0 DUPLA FASE na barra (1) 4.9897 fase 180 (pu) = 20.8754 fase 180 (kA)
............................................................................. corrente de CURT0 DUPLA FASE-TERRA na barra (1) 6.4047 fase 1.4E+02 (pu) = 26.7955 fase 141.1751 (kA) fator de sobretensao na fase A (pu): FstA= 0.803 ............................................................................. ............................................................................. * * * Curto circuit~f r a n c ~na barra (2) * * * Vbase= 69.00 kV 1 Sbase= 100.00 MVA ( Ibase= 0.837 kA I Zbase= 47.61 Ohms ---EQUIVALENTEDE THEVENIN DA BARRA--Vthl= 1.000 fase 0 (pu) = 69.00 fase 0 (kV) Zthl= 0+j0.2942 (pu) = O+j14.0092 (Ohms) ZthO= 0+j0.I777 (pu) = O+j8.4598 (Ohms)
corrente de CURT0 TRIFASICO na barra (2) 3.3985 fase -90 (pu) = 2.8436 fase -90 (kA)
corrente de CURT0 FASE-TERRA na barra (2) 3.9155 fase -90 (pu) = 3.2762 fase -90 (kA) fator de sobretensao na fase B (pu): FstB= 0.933
Capitulo 6.Cdlculo Matricial do Curto-circzrito 23 7 fator de sobretensao na fase C (pu): FstC= 0.933 corrente de CURT0 DUPLA FASE na barra (2) 2.9432 fase 180 (pu) = 2.4627 fase 180 ( k A )
............................................................................. corrente de CURT0 DUPLA FASE-TERRA na barra (2) 3.7408 fase 1.4E+02 (pu) = 3.1301 fase 141.8847 (kA) fator de sobretensao na fase A (pu): FstA= 0.821
............................................................................. .............................................................................
* * * Curto circuit~f r a n c ~na barra (3) * * * Vbase= 69.00 kV I Sbase= 100.00 MVA I Ibase= ---EQUIVALENTE DE THEVENIN DA BARRA--Vthl= 1.000 fase 0 (pu) = 69.00 fase 0 (kV) Zthl= 0+j0.3527 (pu) = O+j16.7934 (Ohms) ZthO= O+j0.1777 (pu) = 0+j8.4598 (Ohms)
0.837 kA
I
Zbase=
47.61 Ohms
corrente de CURT0 TRIFASICO na barra (3) 2.8350 fase -90 (pu) = 2.3722 fase -90 (kA)
............................................................................. corrente de CURT0 FASE-TERRA na barra (3) 3.3969 fase -90 (pu) = 2.8424 fase -90 (kA) fator de sobretensao na fase B (pu): FstB= 0.917 fator de sobretensao na fase C (pu): FstC= 0.917 ............................................................................. corrente de CURT0 DUPLA FASE na barra (3) 2.4552 fase 180 (pu) = 2.0544 fase 180 (kA)
............................................................................. corrente de CURT0 DUPLA FASE-TERRA na barra (3) 3.2427 fase 1.4E+02 (pu) = 2.7133 fase 139.2130 (kA) fator de sobretensao na fase A (pu): FstA= 0.753
* * * Curto circuit~f r a n c ~na barra (4) * * * Vbase= 13.80 kV I Sbase= 100.00 MVA I Ibase= ---EQUIVALENTE DE THEVENIN DA BARRA--Vthl= 1.000 fase 0 (pu) = 13.80 fase 0 (kV) Zthl= 0+j0.2743 (pu) = O+j0.5225 (Ohms) ZthO= O+j0.3600 (pu) = 0+j0.6856 (Ohms)
4.184 kA
I
Zbase=
1.90 Ohms
corrente de CURT0 TRIFASICO na barra (4) 3.6451 fase -90 (pu) = 15.2499 fase -90 ( k ~ ) ........................................................................... corrente de CURT0 FASE-TERRA na barra (4) 3.3015 fase -90 (pu) = 13.8124 fase -90 ( k A ) fator de sobretensao na fase B (pu): FstB= 1.050 fator de sobretensao na fase C (pu): FstC= 1.050
............................................................................. corrente de CURT0 DUPLA FASE na barra (4) 3.1567 fase 180 (pu) = 13.2068 fase 180 (kA) ............................................................................. corrente de CURT0 DUPLA FASE-TERRA na barra (4) 3.4987 fase 1.5E+02 (pu) = 14.6374 fase 154.4579 (kA)
238 Ftlndanlentos de Sisternas EIBtricos de Potgncia fator de sobretensao na fase Matriz Y b u s l (valores em pu) 1 [ 2 [ 3 [ 4 [
1 0-j 10.000 O+j 5 . 0 0 0 O+j0 O+jO
A
( p u ) : FstA= 1 . 0 8 6 2 O+j5.000 0-j 6.808 O+j1.808 O+jO
3 O+jO O+j 1 . 8 0 8 0-j6.808 O + j5 . 0 0 0
4 O+jO O+jO O+j5 . 0 0 0 0-j7.778
2 O+j 0 0-15.718 O+j 0 . 7 1 8 O+j0
3 O+jO O+j 0 . 7 1 8 0-j5.718 O+jO
O+jO 1 O+jO ] O+jO ] 0-j2.778 1
] ] ] ]
Matriz YbusO (valores em pu) 1
1 [ 3
[
0-j 10.000 O+jO O+j 0
4
[
O+jO
2 [
4
A tabela 6.1 mostra a influencia do segundo circuito nas correntes de falta: barra 1 2 3 4
corrente de falta fase-terra (kA) corrente de falta trifisica (kA) 1 circuito 2 circuitos dif. (%) 1 circuito 2 circuitos dif. (%) 2,7 1 28,07 28,83 24,95 3,52 24,lO 7,93 3,54 8,80 3,28 2,84 3,09 13,03 2,84 3,2 1 2,73 15,19 2,3 7 4,42 14,42 15,24 16,39 7,55 13,81 Tabela 6.1 - Influtncia do segundo circuito nas correntes de falta.
No caso com 2 circu~tos,para curto fase-terra nas barras 2 ou 3, quando a m ~ t u ade seqiiencia zero 6 desconsiderada nos cilculos, ocorre um pequeno aumento nos valores de corrente de falta. Para linhas mais longas o efeito da mutua poderia ser um pouco maior do que nesse caso, em que a linha tem somente 60 km.
Tabela 6.2 - Influtncia da mutua nas correntes de falta fase-terra.
6.7 Referencias Bibliograficas [ l ] Stagg, G. H. & EL-Abiad, A. H. Con7puter Methods in Power System Analysis. New York, McGraw-Hill, 1968. [2] Anderson, P. M. Analysis of Faulted Power Systen7s. Ames, Iowa State University Press, 1973. [3] Ramos, D. S. & Dias, E. M. Sisternas Ele'tricos de Potzncia: Regime Pernqanente. Rio de Janeiro, Guanabara Dois, 1982 2vols.
F ~ u x DE o POT~NCIA EM UMA REDE ELETRICA
0 planejamento e a operaqiio de sistemas de energia elitrica tem como finalidade atender ao continuo crescimento da carga assim como suas variaqdes diirias e sazonais. Uma industria de grande porte, urna rede de distribuiq20 de energia eletrica ou mesmo todo o sistema elitrico integrado nacional (SIN) s2o exemplos de sisternas de potencia. 0 atendimento da carga, representando os consumidores de energia eletrica residenciais, comerciais e industriais, 6 urna tarefa que requer a previs2o de instalaq2o de novos equipamentos e reforqos nos sistemas de transmiss20 e distribuiqgo, assim como sua adequada utilizaqiio nos procedimentos operativos. A anilise do fluxo de potencia no atendimento das cargas pressupde a disponibilidade de ferramentas adequadas e confiiveis, principalmente quando o sistema envolvido 6 de grande porte. Para o correto dimensionamento da rede eletrica, dentro dos critkrios vigentes e normas de projeto, i necesshrio comparar alternativas de transmissiio e construggo de novas linhas, programar investimentos de geraq20, assim como adequar a cornpensag20 reativa necessiria. Na soluqBo de circuitos elktricos, em regime permanente, estamos habituados a tratar com redes coln impedsncias fixas e conhecidas, formando um sistema linear de equaqdes. Na soluqiio de uma rede elitrica, colocada na fonna de um problema de fluxo de potencia, a formulay20 6 um pouco diferente, pois algumas impediincias para a terra, principalmente aquelas conectadas a determinados pontos de entrega de O energia, como subestaydes, tambem conhecidas como barras de carga, n2o S ~ COnhecidas n priori. Como exemplo, n2o se pode afirmar que urna barra, representando urna cidade ou urna industria, tenha urna impedgncia para a terra determinada e que a mesma seja constante para diferentes condigdes operativas da rede. A forma usual encontrada como mais adequada k admitir que a potencia complexa, absorvida por algumas barras de carga, tenha urna potencia determinada e admitida constante dentro de certas flutuaqdes da rede. Sendo a potencia complexa o resultado do produto fasorial de tensdes e correntes, surge essa caracteristica de n2o linearidade das equagdes envolvidas, objeto de nossas consideraqdes neste capitulo.
7.2 Aniilise de uma Rede Elementar Com a finalidade de estabelecermos as noq6es fundainentais do fluxo de potencia, sera necessirio desenvolver o equacionamento basico a ser e~npregadoem nossa anilise. As potzncias absorvidas por cargas ligadas para a terra, ativa P e reativa Q, formam a potencia complexa na fonna retangular:
S = P + jQ.
(7.1)
Alkm disso, sabe~nosque a potencia complexa, ern funqiio das grandezas fasoriais de tens20 e corrente, 6 definida pela expressgo:
A associaq2o das expressaes (7.1) e (7.2) pode ser escrita em urna forma mais conveniente:
na qua1 o fasor da tens20 k definido por um m6dulo e ulna fase V L B . Iniciemos a interpretaq50 da distribuiqiio de fluxos de potEncia em uma rede elktrica, tomando urna rede simples, constituida por uma barra de geraqiio e urna barra de carga, interligadas por meio de urna linha de transinissiio, representada apenas pela sua impedincia serie Z = R + jX .
Figura 7.1 : Rede elementar.
Conforine a figura 7.1, a barra 1 6 uma barra de carga, e a barra 2 6 uma barra de geraq50. Admitiremos conhecido o fasor da tens50 na barra de geraq50, com os valores do modulo da tens50 V2 e da fase 6'2 especificados: Tens50 na barra 2: V2LB2. Caso a impedhcia para a terra da barra 1 fosse conhecida, a solu@io do pro-
Capitulo 7. Fluxo de PotBncia em trma Rede Elktrica 241
blema seria trivial. No entanto, estamos admitindo como fixas, ou especificadas, as componentes 4 e Q1da potencia complexa absorvida pela carga da barra 1, restando determinar Vj e 8,. Da rede elktrica extraimos a equaq2o:
Na carga, aplicamos a expressiio (7.3):
Para simplificar a soluqiio, adotaremos 82 = 0" . Como o circuit0 6 radial, impomos a condiqiio de igualdade das correntes na linha e na carga, I = II , fazendo:
ou:
Observamos que no primeiro membro Q e 61' siio inc6gnitas e que no segundo membro todos os terrnos silo conhecidos. Escrevemos:
A equaqiio com varigveis complexas pode ser decomposta em duas equaqaes, relativas i s colnponentes real e imaginiria. Igualando-se a parte real dos dois membros, obtemos:
e portanto:
242 Fundainentos de Sistenzas Elitricos de Potincia
Para a parte imaginiria, analogamente:
-4V2
sen$] = 3 ,
ou:
Nesse caso simples, sabemos que: sen 2 6, + cos 2 0, = 1 . Chamando o m6dulo da tens20 5 = x , que 6 a nossa inc6gnita, corn a expressgo anterior eliminamos o ingulo 8, e obtemos uma equaqiio em h n @ o apenas do m6dulo da tensgo:
Resultando na equa~iiodo quarto grau com os coeficientes determinados, que apresenta a possibilidade de obtermos as raizes com expressdes conhecidas:
EXEMPLO 1 Com tens50 nominal na barra de geraqiio, obter a tens50 na barra de carga 1, para a rede da figura 7.1, conhecendo a potencia complexa nessa barra. Dados da rede: Tensgo nominal de linha: 69 kV,
! = 3 0 krn,
X'
= 0,555
Qlkm,
Capittilo 7. FIuxo de Potgncia em zrma Rede Ele'trica 243
Adotando os valores de base So = 10 MVA e Vg = 69 kV, obtemos os valores em pu:
Com os valores numkricos do nosso exemplo, calculamos as constantes A e B:
Montamos a equaq5o (7.4):
Obtemos duas soluq6es: yl =0,9988 ou y2= 0,0012
.
Considerando como solug50 viavel apenas yl ,temos:
x = 0,999 ou vl -- 0,999 pu . Como: -5V2 senO1= B ,
e portanto:
81 = -0,03 5 rad, 8, = - 2". Observamos que nesse caso bem simples, quando fixamos as pottncias e nZo as impedincias, obtemos um polin6mio do quarto grau, que ainda apresenta mitodo conhecido para obter as raizes. Quando aumentamos o nfimero de barras de carga e geraq50, obtemos polin6mios com graus mais elevados que requerem mitodos numkricos iterativos para obtengiio das raizes.
7.3 Varihveis e Anhlises de Interesse 7.3.1
Barras
Normalmente, um estudo de fluxo de potencia envolve o cilculo das tensdes nas barras, potcncias injetadas ou absorvidas em determinados pontos da rede, assim como fluxos de potencia nos ramos de ligaqdes. A potencia absorvida por uma determinada barra de carga 6 caracterizada pelas variaveis indicadas na figura 7.2:
Figura 7.2: Barra de carga i. De certa forma, para cada barra i, as correntes absorvidas pelas cargas siio definidas pelas quatro variaveis biisicas 4 , Qi, 4 , B;, com os fasores de tensdes escritos na forrna polar, como na equagiio (7.3).
Considerando o circuit0 a seguir, exemplificamos:
A Figura 7.3: Circuito em estudo. Na barra 2, como niio temos carga, especificamos P2 = Q2 = 0 . Na barra 3 especificamos os valores d e 4 e Q3, que compdem a potcncia complexa drenada pela carga.
Capitulo 7. Fluxo de Potzncia em trma Rede Elitrica
245
0 s dados de barras definem as potiincias injetadas ou extraidas da rede eletrica, nas barras de gerag8o ou de carga. No sentido de caracterizarmos os diferentes tipos de barras de uma rede elktrica, convencionamos triis diferentes possibilidades: barras de carga, barras de gerag80 e uma 6nica barra de gerag8o denominada de barra oscilante, tambem conhecida como swing. a) Barras de carga, do tipo 1, tambem conhecidas como do tipo PQ, nas quais conhecemos P e Q , restando deterrninar V e 8 . Lembramos que no nosso exemplo simples, anteriormente apresentado, trabalhamos com uma barra na qual conheciamos as potiincias especificadas. b) Barras de geraqiio, ou do tipo 2, tambem conhecidas como do tipo PV, nas quais fixamos as grandezas P e V , dado que em uma usina hidreletrica o operador dispde de recursos para controlar a potiincia ativa, por meio de controles na turbina, e tambim da tensiio, por meio do sistema de excitagiio dos geradores sincronos. Nessas barras resta determinar Q e 8 . c) Barra oscilante do tipo V8, ou do tipo 3. Definimos uma unica barra de geragiio como barra oscilante, na qual conhecemos V e 0 , restando deterrninar P e Q . Essa necessidade pode ser vista no exemplo 1, anteriorrnente apresentado, ao fixannos a tensiio e o ingulo da barra de geragiio.
0 s dados de ligagdes definem a topologia da rede e fornecem os elementos para a formaqiio da matriz de admitiincias nodais, caracterizando-se por: parsmetros de seqiiencia positiva das linhas de transmissiio, tens20 e potencia nominal de equipamentos, reatincia de dispersiio, taps de transformadores, reatincia de equipamentos skrie como reatores e capacitores, etc.
LigagBes sem elementos para a terra
Figura 7.4: Fluxo de pothcia na ligaqso ij.
246 Fundamentos de Sistenjas Elitricos de Potgncia
Em uma dada ligaqiio estamos interessados em obter o fluxo de potencia da barra i em direqiio a barra j . Adicionalmente queremos avaliar a potencia que sai da barra i e a potencia que efetivamente chega na barra j . Observamos que a corrente na ligaqiio, caso n8o existam caminhos para a terra, k a mesma, porkm a potencia se altera em funqiio das perdas na transmissiio. Nesse caso, a ligaqiio ij tem o comportamento de um bipolo. Com as tensaes 5 e Vj obtemos a corrente, dada por:
I.. = rl
5L6; - V j L B j
zij
I.. = - I r/
.. J1
Figura 7.5: Correntes na ligaqgo ij. Exemplificamos a seguir alguns casos de fluxo de potgncia em ligagbes. 0 fluxo de potencia por fase, entrando na barra i e dirigindo-se a barra j, k dado por:
0 fluxo de potencia por fase, entrando na barra j e dirigindo-se a barra i, k dado por:
0 fluxo de potzncia por fase, chegando na barra j , proveniente da barra i, C dado por:
ou:
Sabemos ainda que a soma das potencias em uma barra C nula, o que decorre da primeira lei de Kirclihoff, portanto Sy,j(j)= Sji .
-
Capitulo 7. Fluxo de Potgncia em trma Rede Elktrica 247
Perdas na transmissio Como vimos, a corrente 6 a mesma, porkm as tensaes siio diferentes, o que explica a alteraqiio no fluxo de potcncia calculado nas extremidades da linha de transmissiio, cuja diferenga k responsive1 pelas perdas na transmissso, dada pela expressiio: ASy = S.. - Si( j ) , [J
Queda de tensio e abertura angular Em uma ligaqiio, k interessante observar as relag6es de fluxos de potsncia com quedas de tensiio e aberturas angulares, pois essas siio as variiveis normalmente utilizadas quando analisamos os resultados dos calculos e processamentos em computadores digitais. Para isso, tomemos uma ligaq5o bem simples, constituida por uma impedgncia complexa, desprezando eventuais conex6es com a terra. Com a finalidade de simplificar ainda mais a anilise, adotaremos a tens50 na barra de inicio do ram0 considerado com fase nula. Desse modo, temos: 8
Figura 7.6: Queda da tensiio no ram0 R+jX
A queda de tens50 nesse ram0 k dada pel0 produto:
Em uma boa parte das linhas de EAT e nos transformadores, em uma primeira analise, podemos desprezar o efeito da resistencia em relaqiio ao da reatincia indutiva. Fazendo R = 0 , resulta na queda de tensgo:
A tens50 no final da linha 6 igual ii tens50 de inicio menos a queda de tens50 na ligaq50, ou seja:
Em geral, com os valores mais usuais para essas variaveis, a parcela imaginaria tern urn efeito preponderante na abertura angular entre as tensBes e dessa forrna o fluxo de potencia ativa atua principalmente no atraso do 5ngulo da tens20 da bacra final j em relaqgo ii barra inicial i. Considerando Q = 0:
Outro conceito igualmente importante refere-se ao impact0 da potencia reativa no mbdulo da tensso, com uma reduqgo no valor da tens50 da barra j em relaq2o ao da barra i, segundo o sentido adotado para o fluxo de potencia reativa, considerado positivo da barra i para a barra j. Considerando P = 0:
Figura 7.7: Diagrama fasorial da equaq2o (7.1 0).
Urn conceito pratico empregado usualmente 6 o de que o fluxo de reativos em uma ligaq5o esti orientado do no corn tensso mais elevada para o n6 com tens20 mais baixa, vilido obviamente nos casos de ligagBes em que se pode desprezar o efeito de fugas de correntes para a terra.
Capitulo 7. Fluxo de Potgncia en? trma Rede Elktrica
249
Ligag6es corn elementos para a terra As ligagdes podem ser compostas por quadripolos, tambkm representados por circuitos n , como no caso de modelos mais completos de linha de transmissgo ou de transformadores fora do tap nominal. A presenqa de elementos para a terra obviamente altera a corrente na ligag2o e o cilculo do fluxo de potencia deve considerar este fato.
Figura 7.8: LigagHo corn circuito x. 0 s elementos Z,, k; e Yj compFem o circuito n da l i g a ~ l oij. 2, : impediincia skrie, k; : elemento em derivaqso na barra i, Yj : elemento em derivaq20 na barra j. Nas ligagdes com circuitos n,precisamos levar em conta o efeito dos ramos para a terra nas extremidades. Tais ramos tem influencia na corrente, que agora n2o pode mais ser considerada a mesma no inicio e fim de linha. Esse fato pode ainda apresentar algumas surpresas na aplicaqio das f6rmulas simplificadas, apresentadas anteriormente de queda de tensgo. Nesse caso, complementamos a expressso (7.7) do fluxo de potencia, acrescendo a parcela direcionada para a terra:
na qua1 Iit 6 a corrente para a terra no elemento e I.p e a corrente para a terra no elemento Y, . A expressgo (7.11) pode ser reescrita como:
250 Fundamenros de Sistemas Eldtricos de Potgncia
7.4 Considera~Bessobre os MCtodos Iterativos de Gauss e Gauss-Seidel
Podemos obter a soluqiio de uma equaq80 transcendental segundo diferentes mktodos iterativos. 0 algoritmo do ponto fixo, cujo principio esta apoiado em substituiqaes sucessivas, k um dos mktodos possiveis de serem aplicados, ao escrevermos o equacionamento da seguinte forma, calculando a variavel x na iteraqiio k+ 1 : X (k+l) =
(x("
)
Caso fosse necessirio obter a soluqiio de um polin61ni0, por exemplo, x + x = 7 , no qua1 6 possivel isolar a variivel x, escrevemos: 5
Desse modo, C simples obter a soluqiio do polin6mio sem maiores recursos matemiticos. Obviamente o ncmero de iteraqdes ira depender do valor inicialmente adotado do), ou seja, de qulo prbximo esteja esse valor da soluqZo final da variivel x. A soluq8o de um problema de fluxo de potencia em uma rede elktrica, por meio do algoritmo de Gauss, tem estreita correspondencia com o algoritmo do ponto fixo. Veja~noscomo seria a soluq8o do fluxo de potencia da mesma rede elementar do exemplo 1, anteriormente apresentado, com o mktodo iterativo de Gauss.
rede E
2
I
carga
1
1 P+jQ
Figura 7.9: Rede elementar para o estudo do mCtodo iterativo de Gauss. Para calcularmos a corrente na barra 1, precisamos conhecer a tensiio nessa barra, visto que a potzncia complexa C um dado do problema. Se essa tensiio for conhecida, a obtenqlo da corrente k imediata; em caso contririo precisamos descobrir a tenslo, por meio de um procedimento iterativo. Uma forrnulaqiio possivel i subdividir a soluq8o iterativa do problema em duas etapas, na forma de duas equa-
Capittrlo 7. Fluxo de PotGncia em zrma Rede ElBtrica
251
gdes, uma para a corrente equacionada sob o ponto de vista das restrigdes da carga e outra sob o ponto de vista das restrigdes da rede elktrica, conforrne o encaminhamento a seguir: i) Equaq2o da carga no passo k segundo a equagiio (7.3):
ii) Equaqiio da rede no passo k visando obter a tens20 para o passo k+ 1. Nesse caso, equacionamos a corrente saindo da barra de geragiio para a barra de carga pela expressiio:
ou:
1. Na primeira iteraq20, adotamos um valor inicial de partida para a tens20 na barra de carga, 6(O).
, obtemos a corrente 2. Em qualquer iteraq2o k, conhecido o valor da tensno I( k ) usando a expressso contida em i), equacionada sob o ponto de vista da potzncia fixada para a carga. calculamos a tens50 da pr6xima iteraqso v ( ~ +utilizando ') a 3. Com a corrente express20 contida em ii). 4. Obtemos o m6dulo das diferengas entre duas iteraqces consecutivas para modulo e fase da tensgo.
5. Testamos o erro com um critkrio de parada, dado por uma precis50 a ser adotada no cilculo:
Se o erro niio for admissivel fazemos k = k + 1 e voltamos ao passo 2.
i
EXEMPLO 2 Aplicar o algoritmo de Gauss ao exemplo 1, adotando uin erro de E, = E~ = 0,005. 1" Iteraqio Como em principio todas as barras da rede devern operar corn uin valor pr6xiino da tensiio nominal, seria razohvel adotar como ponto de partida de qualquer solu@o iterativa o valor inicial de 1,O pu. Adotaremos um valor inicial na primeira iteraqiio, k = 0, para rn6dulo e fase da tens20 na barra de carga, como uma primeira tentativa vjo) = 0,9L0°, propositalrnente diferente do valor de 1,O pu. Para a soluqiio na carga, aplicando i), observando que os indices superiores, entre parenteses, referem-se ao nhmero da iteraqgo, encontramos:
sendo fixados pl = 1 e ql = 0 . Para a soluqiio na rede, aplicando ii), usando a corrente obtida corn a equaqiio na carga iiO',tern-se:
ou seja:
Comparamos o valor da tensgo, obtido corn o equacionamento na rede, corn o anteriormente proposto para o equacionamento na carga, que develn ser iguais. Encontramos a soluq5o se o err0 estiver dentro de uma determinada precisiio. Erro no iingulo da tensiio:
Erro no m6dulo da tensiio:
Como o err0 no valor angular esth acima do criterio de parada, repetimos o procedimento nuina segunda iteraqgo, tomando agora o valor previamente obtido na rede e impondo na carga v{" = 1L- 0,03848, reiniciando o processo. t
Capitulo 7. Fluxo de Pot6ncia em zrma Rede Elktrica
253
Recalculamos a tens50 na rede corn ii):
~ 1 =~I - ) jO,O35~lL-O,O3848=I-O,035LI,532, Comparamos o valor de v, , proposto inicialmente na carga, com o calculado na rede,
IAV~
=lv12) -v(l)l=10,9993-11=0,0007, I
Com o err0 dentro da precis20 desejada. Para Lima precisgo maior damos continuidade ao procedimento iterativo.
7.4.2
Fluxo de Potzncia corn o Mktodo Itemtivo de Gauss-Seidel
Conhecidos os fundamentos do procedimento iterativo do mktodo de Gauss, vejamos uma introdug50 ao algoritrno de Gauss-Seidel, que apresenta rnaior eficiencia de chlculo, sendo a verszo mais difundida do mktodo. Em uma rede elktrica mais complexa, organizamos as equaqaes com a matriz de admitincias nodais:
[I]=
[Y][vl
7
(7.14)
na qua1 [I] 6 o vetor coluna das correntes fasoriais injetadas nas barras, [V] 6 vetor coluna das tensaes fasoriais nas barras e [Y] 6 a matriz de admitgncias nodais. Reescrevendo a equaqzo da potencia complexa (7.3), para uma determinada barra de carga i:
associada B equaq2o nodal de corrente, extraida da matriz de admitiincias:
254
Fundcrmentos de Sistemas Eli fricos de Pot Encia
obtemos:
Essa equaqgo, escrita na forma iterativa do metodo de Gauss, supondo tensdes de barras como incbgnitas, se apresenta corno:
com a qua1 podemos introduzir o metodo aprimorado, denominado de Gauss-Seidel. Esse metodo, no calculo da tens20 de uma deteminada barra i, na iteraq2o k+l ap6ia-se na atualizaqiio dos valores de tens20 obtidos, previamente calculados ate a barra i-1, nesta mesma iteraq2o k+l , conforme a express20 a seguir: i-l
j=l
j=i+l
Essa fomulaq20 proporciona ao algoritmo maior eficizncia computacional, que pode ser complementada por medidas que evitem ciilculos repetidos ao longo das iteraqdes. Exceto algumas situaqdes muito especiais, os algoritmos iterativos baseados no metodo de Gauss niio se apresentam com a soluq2o mais indicada na soluqiio de um problema de fluxo de potencia em uma rede eletrica, portanto niio entraremos em maiores detalhes de sua aplicaqiio. Para essa finalidade, algoritmos baseados no metodo de Newton-Raphson apresentam um desempenho superior, que passaremos a descrever a seguir.
7.5 Fluxo de Potencia corn o M6todo Iterativo de Newton-Raphson 7.5.1
Mitodo Iterativo de Newton-Raphson
Vejamos como obter a soluqiio de uma equaqiio niio linear com o metodo iterativo de Newton-Raphson, tambkm conhecido como metodo das tangentes. Tal metodo enquadra-se em uma proposigiio que busca levar em conta o gradiente da funqiio a cada passo de execuqiio.
Capitulo 7. Fluxo de Pot6ncia em zrma Rede Elktrica
255
A figura 7.10 lustra a aplicaqgo progressiva do metodo para obtermos a soluqgo da equaqlo transcendental f ( x ) = y , de um ponto de partida (xo,f ( x o ) ) , conhecida a derivada da funqlo em qualquer ponto. Escrevendo a expressgo da derivada da h n @ o f (x) no ponto xo .
0 s valores incrementais em torno do ponto xo podem ser obtidos com a derivada:
0 ponto xl da figura pode ser escrito como:
ou:
Analogamente escrevemos o ponto x2 :
E assim sucessivamente, at6 encontrarmos a solu$io numerica da equa@o, dentro de uma precisgo desejada.
0 criterio de parada 6 definido por um erro inaximo
E
:
I~-f(~k)l<&. Obviamente, quanto mais perto estiver a estimativa inicial xo da soluqiio, menor sera o n ~ m e r ode itera~6esnecessarias durante o ciilculo.
Figura 7.10: Mktodo iterativo de Newton-Raphson.
Quando temos um sistema de equaqdes, podemos generalizar construindo a matriz Jacobiana, formada pela derivada primeira de todas as equaqdes, em relaqzo a todas as variaveis do sistema, ou seja:
Efetuando a expansgo em skrie de Taylor, em torno de urn ponto conhecido:
obtemos:
.fn
( X : ~ ) , X ~.., ' , $1.
) +a!,
ax, x
AX,
+...+-?fn
~ ~ )
axn
,!p)
4
7
I YR
a,
Capittllo 7. Fluxo de PotGncia em zlma Rede Elktrica
257
0 sistema de equagdes pode ser convenientemente colocado na forma matricial:
Escrevemos:
[ J ] k a matriz Jacobiana de primeira ordem, calculada em um ponto [do)] conhecido. A aplicaggo desse mktodo numkrico de solu$io de sistemas n5o lineares consiste, ent50, nos seguintes passos: 1) Sugerimos um valor de partida como solu@o do problema: [ x c O ) ]ou , seja, [ Af ] resolvida em h n @ o de [x'"]. Em qualquer iteragiio, executamos os passos a seguir: 2) Calculamos o valor de diferengas [ Af] e a matriz Jacobiana [ J ] no ponto determinado. 3) Verificamos se os [ Af ] estgo dentro da precisgo. 4) Se a precis50 for satisfatbria encerramos o cilculo. Em caso contrhrio, se a precis50 for insuficiente, damos andamento ao procedimento iterativo, resolvendo o sistema de equag6es (7.20) obtendo o vetor de incbgnitas [ A x ] . 5 ) Calculamos o novo ponto de solug5o:
e voltamos ao passo 2.
7.5.2
Flz~xode Potgncia em uma Rede Ele'trica corn o Mktodo de Newton-Raphson
Apresentaremos a seguir um mktodo de solug50 muito eficiente no cilculo do fluxo de potzncia em uma rede elktrica, conhecido como o mitodo de NewtonRaphson, utilizando a inatriz de admitincias nodais da rede elktrica. Para o cilculo do fluxo de potencia, o sistema de equaq6es n5o lineares a ser resolvido, com variiveis complexas, k analogo a expresszo (7.19), constituido pelas express6es:
258
Fundamentos de Sistemas Elitricos de Potincia
Esse sistema, colocado em funq5o das equaqaes nodais, apresentadas em (7.17), k rearranjado da seguinte f o m a :
Prosseguindo de forma analoga i indicada anteriormente, tern-se:
que pode ser explicitado em termos das incognitas, correspondentes As variaq6es de tensiio [AV] a cada passo de iteraqiio k, ainda em variaveis complexas:
Detalhando um pouco mais a express50 (7.22), para uma barra genkrica i na qua1 a admitiincia entre os n6s i e j esti colocada na forma retangular, k;, = G, + jBU, e os fasores de tens50 estlo escritos na forma polar 516:= L$ejei, temos:
ou:
Capitulo 7. Fluxo de Pot&ncia em zrma Rede Elktricn
259
Resultando em:
Considerando a = 6, - @ , podemos reescrever as equaqaes de pot@nciaativa e reativa da seguinte forma: n
8 = c 2 ~+,z,y v j (
G c~o s a - B, sencr) ,
j=l j#i n
Q, =-c2Bii - - ~ VI , J~ . (!IG . - s e nB,a +c o s a ) .
7.5.3
Montagem da Matriz Jacobiana
Barras de carga Para uma barra de carga, supondo (: e Q, conhecidos, as equa~6esacirna se enquadram na fonnulaqiio anterior para o metodo de Newton-Raphson, sendo o vetor de incognitas composto por iingulos Oi e modulos 6 . Construimos as derivadas parciais, por meio de uma forrnulaqiio b e ~ ndifundida, proposta inicialmente por Van Ness e Griffin:
na qua1 exe~nplificamosos vetores componentes do vetor de incognitas:
260 Fundrrmentos de Sisfemas El&tricosde Potgncia
Sendo necessaria a prepara~goadequada das submatrizes H, N,J e L :
Construqlo da submatriz [HJ a) Elementos fora da diagonal:
ap. H . . =-=
asj
-V.V ( B , c o s a + GNs e n a ) . 1 1
b) Elementos da diagonal:
a4 aa = C 4 v j(G, s e n a + B, c o s a ) ,
aP 2-x-
ao, aa ao,
i=~
Capitulo 7. Fluxo de Potgncia em tima Rede Eldtrica
Lembrando da equaqiio de potencia reativa, reescrevemos o somat6rio:
Elementos da submatriz
[w
a) Fora da diagonal:
b) Na diagonal:
Elementos da submatriz
[JI
a) Fora da diagonal:
J..
=a= (B, a8. ?Vj
s e n a - G, c o s a ) .
.I
b) Na diagonal: aQi
aQ.
aa
aei
aa
ae,
J . . =---A x-,
aa
naqual -=-I,
a ei
261
262 Fundarnentos de Sisternas Elbtricos de PotCncia
Elementos da submatriz [L] a) Fora da diagonal:
b) Na diagonal:
Obtemos:
L;; = Qi - v,2 Bii . Observamos ainda que:
H . . =L.. e J . . = - N ... !I
!I
!I
! I
Algoritmo: 1) Entrada de dados de barras e ligaqdes e proposigiio de um valor inicial para as incognitas:
2) Chlculo das pothcias e do vetor de diferengas, entre potencias especificadas e calculadas, ern cada itera@o:
Capitulo 7. Fluxo de PotBncia em trmn Rede El6trica
263
ce
na qua1 k a potencia ativa especificada na barra i e QF k a potencia reativa especificada na barra i. Se todos os componentes do vetor de diferenqas [D] estiverem dentro da precisiio desejada encerramos o processamento. Em caso contrhrio, passamos ao passo 3. 3) Calculamos o vetor de inc6gnitas resolvendo o sistema linear, montando a matriz Jacobiana.
vetor de inc6gnitas.
Quanto ao mktodo de soluqiio desse sistema de equaqdes linearizado, como a matriz Jacobiana k niio-simktrica, a sua ordem pode ser muito elevada, a tecnica apropriada consiste na triangularizaqiio de Gauss e retro-substituiqgo, conhecidas do curso de chlculo numkrico e portanto niio reproduzidas neste texto. As derivadas parciais, necesshrias ao chlculo das quatro submatrizes H, N, J e L, siio obtidas com as expressaes: Elementos Submatriz Fora da diagonal (i,.j)
a~ aej
Da diagonal (i,i)
ap.
H
~ = - ~ ~ , ( ~ ~ c o s a + ~ ~ se' =-Q; n a ) - 52 B;,
N
V-=av.
ae;
ap
FV, ( G c~o s a - B, s e n a )
.I
J L
a= a ej
V.V. (B, sena-G,/ c o s a ) 1
.I
a Q i = - c ~ j ( ~ , c o s a + ~ , / s e n n 5) "i
av,
7
= Q.I - V.-B.. I I1
Tabela 7.1 : Elementos das submatrizes componentes da matriz Jacobiana. Lembramos que:
264 Fzrndamentos de Sistenlas Elktricos de PotBncia
4) Atualizamos o vetor de incbgnitas e voltamos ao passo 2, para a proxima iteraqiio.
At6 aqui abordarnos o equacionamento basic0 nas barras de carga do tipo P Q , cabendo ainda destacar que, ao utilizarmos equaqdes nodais, adotamos a convenqgo de correntes positivas injetadas nos nos. Como nas equaqdes de potencias nas cargas adotamos a convenqiio de bipolos passivos, ou seja, correntes positivas entrando no bipolo, necessitamos adequar as convenqdes, o que 6 solucionado por meio de um artificio muito simples, trocando o sinal das potzncias especificadas nas barras de carga. Barras de geraqiio Apresentado o tratamento das barras de carga, resta portanto comentar a inclusiio das barras de geraq20, do tipo PV , no equacionamento. Essas barras de tens20 controlada, na formulaqiio em coordenadas polares, s2o levadas em conta de mod0 trivial, pois como a potencia reativa desse tipo de barra n2o k especificada, a equaqiio correspondente a Q, niio k necessiria. Alkm disso, sendo o mcjdulo da tens20 nesse tipo de barra constante, as derivadas parciais em relaqiio a 4 s2o nulas, e portanto desnecessario o calculo de A T . Desse rnodo, ao considerarmos essas barras, simplesmente descartalnos a linha e coluna correspondentes a Q,, do sistema de equaqdes. Para a barra de geraqiio selecionada como swing, ou do tipo V B , simplesmente eliminamos as equaqdes correspondentes de potencia ativa e reativa, por razdes anilogas. Como niio conhecemos a pviori as perdas do sistema, antes de resolve-lo, k 6bvio que n2o podemos trabalhar apenas com barras do tipo PV e do tipo P Q , dada a impossibilidade de fixarrnos a potencia ativa em todas as barras de geraq20, ficando assim clara a necessidade de pelo menos uma barra do tip0 V B . Dado urn sistema corn n barras, composto por n, barras de carga do tip0 1, ng barras de geraqiio do tip0 2 e uma barra de geraqiio oscilante, n = n, + n, + 1, a ordem do sistema de equaqdes a ser resolvido iterativamente sera 2nc + n,: .
EXEMPLO 3 Vejamos a soluq2o do nosso exemplo elementar com a aplicaq2o do metodo de Newton-Raphson.
Capitulo 7. Fluxo de Pot~nciaem uma Rede Elktrica
Em valores por unidades, construimos a matriz Ye charnamos:
Desenvolvimento das equagdes de potzncias nos nos.
Teinos: v 2 L Q 2= l L O O ,
jbl = -j28,57, jb12 = j28,57. Adota~noso valor inicial para a tens20 na barra de carga: v1
(O'L~,(O)
= l L O O.
Calculamos as potEncias injetadas nas barras, usando as expressdes:
265
266 Fzrndamentos de Sistemas Elktricos de Potgncia
pl= -v1 28,57 sen (Q2 - Q1) = 28,57y sen (el) ,
As potincias calculadas para a estimativa inicial s2o: =0 ,
qjo) = o . Obtemos as diferenqas entre valores calculados e especificados: dp(O)zP;-p, = - I ,
em que pf e qf s5o valores especificados. Considerando que o critkrio de parada seja:
como dpjo'= - I , continuamos os calculos.
1" Iteraqiio Definimos o vetor de diferengas das incbgnitas:
e tambkm o vetor de diferenqas das potzncias:
Como a barra 2 k uma barra de referincia, as express6es se simplificam, restando apenas os primeiros elementos das diagonais das submatrizes H, N, J e L:
-Capitulo 7. Fluxo de PotZncia em tlma Rede Elktrica
11
= 41( O )
- ( V ~ ( O )b1 ) ~ = 0 + 1x 28,57 = 28,57 .
Substituindo os valores numericos, resulta em:
p [ ' ) = v/')28,57sen
Corno
1 ~ ~ : '1 )
dl)) = 1x 28,57 sen (-0,035)
( 1
> O,O1 passamos para a
3 prl) = -0,9998
~trcraq~o.
,
267
268 Fzlndamentos de Sisternas Elktricos de Potincia
substituindo nas matrizes,
p [ 2 ) = 0 , 9 9 9 4 28,57 ~ sen (-0,035) = -0,999 1 ,
[
q,(2) = 28,57 0, 99942 - 0,9994 cos (-0,03 5 ) ] = 0,0004,
Como:
nZo ha necessidade de se fazer novas iteraqbes, convergindo a soluqZo para: V,
= 0,9994,
16' =-0,035.
EXEMPLO 5 Aplicaremos o mktodo de Newton-Raphson a um sistema de quatro barras, conforme a figura 7.12, na qua1 apresentalnos os dados de barras e admitincias de ligaqdes em valores por unidades. Desenvolvimento das equaqdes de potencias nos n6s, considerando as expressbes:
Capittrlo 7. FIuxo de Potzncia em trma Rede Elktrica
Figura 7.1 1 : Dados e configuraq30 do sistema de quatro barras.
Temos os valores especificados: V,
=1,05,
E como valores iniciais:
Calculamos as potencias corn os valores anteriores para uma estimativa inicial:
Obtemos as diferengas entre valores calculados e especificados:
269
270 Fundamentos de Sistenlas Elc!tricos de Potgncia
Considerando que o critkrio de parada seja:
e como este n%o6 satisfeito, continuamos os cilculos. Definimos o vetor de diferenqas das inc6gnitas:
E tambkm o vetor de diferenqas das potencias:
Capitulo 7. Fluxo de PotEncia em trma Rede Elktrica 271
Sabendo-se que:
Temos: v;') = 0,9972,
vi') = 0,9945,
Calculamos os novos valores de potencia para as tensdes e ingulos obtidos na itera~iioanterior:
Obtemos as diferenqas entre os valores calculados e especificados:
np{"= p;' dp;') =
= -0,OO 19 ,
pz - p!) = -0,0040 ,
d p i ' ) = p3e - p$') = -0,008 1 ,
dq!) = q2 -q!) =-0,0188, As$'' = qz - qi') = -0,0272 ,
como o criterio de parada n5o 6 satisfeito, continuamos os calculos.
Sabendo-se que:
temos:
Calculamos os novos valores de potzncia para as tensaes e Sngulos obtidos na itera~zoanterior:
Capitulo 7. Fluxo de Potgncia en7 zlmn Rede Elktvica
273
Obtemos as diferengas entre os valores calculados e especificados. *PI(') = p f - p j 2 ) = 0 , 0 1 4 3 ~ 1 0 - ~
d p i 2 )=
- p f ) = -0,0327 x I
o-~
d p i 2 ) = pf - pi2) = -0,0456 x 10"
Como o criterio de parada 6 satisfeito, n2o ha necessidade de fazermos novas iteraqaes, convergindo a soluq~opara:
7.6 Fluxo de Potencia corn o Mktodo Newton-Raphson Desacoplado-riipido 0 metodo desacoplado-rApido introduz simplificaqaes na formulaqiio anteriormente descrita, fundamentadas em hip6teses validas para sistemas de EAT e UAT, apresentando facilidades de implementaqiio e eficizncia cornputacional. Para isso, reescrevemos a equaq2o basica, com a finalidade de introduzir alteraqaes na matriz Jacobiana, da seguinte forma:
274
Ftrndnmentos de Sisten~asElktricos de Potincia
Na qua1 redefinimos a varihvel a , agora escrita como:
A primeira hip6tese admite que nas ligaq6es temos a relaq8o Rji << Xu.Sendo assim, o metodo trabalha apenas com as susceptlncias extraidas da matriz de admitlncias, compostas pelos elementos B,. 0 s elementos da inatriz de admitincias siio calculados da seguinte forma:
Desprezando a condutincia, temos:
Nesse caso, o equacionamento obtido das relaq6es nodais resulta em:
8 - jQ; =
x n
n
jB,6Vj ( c o s a - j s e n a ) = x5vj ( B s~e n a + jBji cosa)
Considerando ainda as aproximaq6es: sen a = a e cos a = 1, obtemos:
Corn as condutincias desprezadas, a potencia reativa apresenta uma influzncia pequena na abertura angular das tensees de barras, conforme anilise do item 1.3. Para a equaqiio (7.27), que relaciona potencia ativa e abertura angular, e conveniente reescreve-la como:
P
"
n
jti
j#i
"=zv.B..@. - ~ v . B . . ~ . yi j=, J !I' j = l J r/ 1 .
Capitulo 7. Fluxo de Potgncia em uma Rede Elktrica
275
Nessa formulaqiio s2o omitidos os elementos que afetam o fluxo de potitncia reativo, como elementos em derivagiio capacitivos ou indutivos, assim como as capacitincias de linhas de transmissiio. Como nessa equagiio a potencia nodal 6 principalmente afetada pelos ingulos, corn as quedas de tens20 desempenhando um papel secundario, assumi~nos
v. = 1,o. J Supondo AV << V , assumimos que para valores incrementais que:
e escrevemos:
Porkm, das equagbes nodais, como desprezamos os elementos reativos para a terra, sabemos que:
e portanto:
Agrupamos os dois terrnos do segundo mernbro, escrevendo:
compondo as linhas do equacionamento matricial:
Chamando [B'] = -[B], ou seja, trocando o sinal da matriz de susceptiincias, montada corn o procedimento anteriorrnente sugerido, obtemos:
[$I
= [B' ][A,] .
Para a equaggo (7.28), relativa A potencia reativa e tensaes de barras, temos:
Rearranjando essa equaqiio:
Assumindo as mesmas hip6teses anteriores, podemos admitir que:
escrevendo:
ou ainda:
Da mesma forrna, chamando - [ B ] = [B"], temos:
Para a formaqgo de [ B " ]omitimos os transformadores de t-otaqlo de fase, que afetam o fluxo de potcncia ativo. Consideramos as capacitiincias de LT's, reatiincias em derivaqiio, incluindo os elementos reativos oriundos de transformadores fora do tap nominal. 0 sistema iterativo de equaqbes fica:
Capitulo 7. Fluxo de Potgncia em trma Rede Elktrica
277
A seqiizncia de citlculo estit condicionada aos seguintes passos: 1) Calculamos A0 da equaqgo:
2) Atualizamos 0(""+') = dk) +A0. 3) Utilizamos os novos 0( k + ' ) no calculo de [AQI V ] e obtemos [ A V ] da express50 a seguir:
A vantagem do mitodo desacoplado-ripido k acelerar o calculo, evitando a atualizaq50 do Jacobiano a cada iteraqiio, o que implica uma elevaqiio do nGmero de iteraqdes, p o r i ~ ncom ganho no tempo total de soluq5o. 0 exemplo a seguir e elucidativo da aplicaq5o do mktodo.
EXEMPLO 6 Fluxo de potsncia corn o mitodo Newton-Raphson desacoplado. A rede a seguir 6 cornposta por um gerador, uma linha de transmiss20 de 69 kV, um transformador abaixador 69/13,8 kV e duas cargas, uma na tens50 de 69 kV e outra na tens50 de 13,8 kV. Obter as tensdes nas barras de carga.
Sl
5'2
Figura 7.12: Circuito exemplo utilizando o metodo Newton-Raphson desacoplado.
Dados:
L T : X'=0,055 Qlkm, !=30 k m , T : S,, = 8 MVA, x = 5 , 5 % ,
4 =10MW,
Ql =OMVAr,
P? = 5 MW, Q2 = 3,75 MVAr. Precis50 adotada:
Convertendo os dados para valores em pu e tomando 10 MVA como potencia de base, temos: Linha de transmiss50: x = j 0 , 0 5 5 ~ 3 0 ~ 1 0 1 6=9j0,035 ~ pu,
y13 = -j28,57. Transformador:
x = j O , 0 5 5 ~ 1 0 / 8= j0,06875 pu, y12 = -j14,54.
Pf= 1 , 0 p u , q ; = o p u , p; =-0,s pu,
=-0,375 pu,
0 quadro abaixo apresenta um resumo dos dados de barras: no da barra
tipo
1
carga
2
carga
3
swing
dados(pu) p, =-1 41 - 0 p2 = -0,5 92 = -0,375
inc6gnitas VI 7
61
v2
62
9
v3 = l,o
6, = 0°
P3, 93
A matriz de suscept8ncias, corn as resistcncias desprezadas, e dada por: -43,ll 14,54
14,54 -14,54
28,57
0
28,57
Capitulo 7. Fluxo de PotPncia em zrma Rede Elitrica
279
Nesse caso particular, sem ramos reativos para terra e transformadores defasadores, temos para as barras 1 e 2:
[B']= [B"]=
43,ll -14,54
-14,54 14,54
1
Escrevendo as equaq6es de potencias ativas (7.25) para as barras de carga: pl = -vl [i4,54v2 sen(e2 -0,) + 28,57v3 sen(o3 -el )] ,
(a>
p2 =-14,54v1v2 sen(Ol -4).
(b)
Aplicando a equaqiio (7.26):
q l = v ~ x 4 3 7 1 1 - v l v 2 ~ 1 4 , 5 4 ~ c o s ( ~ 2 - ~ ~ ) - v l v 3 ~ 2 8 , 5 7 c o s ( ~ 3(c) -8,)7 9,
=-VIV~
2
~ 1 4 , 5 4 ~ 0-Q2)+v2 ~ ( 8 ~ ~14,54.
Vamos adotar a precis50 de 0,005 e os seguintes valores iniciais: 0,(0) -07
Inicio dos calculos:
l aItera950 CBlculo de [ A P ( ' ) ] . Substituindo-se os valores iniciais em (a) e (b), obtemos:
(dl
280 Fundnmentos de Sistemas Ele'tricos de Pot6ncia
Que s5o valores superiores, em m6dul0, a precisiio adotada. CBlculo de [ AP I V(')]
.
Cilculo de [B(')] .
CBlculo de [AQ(')]. No calculo de q/O'ja utilizaremos os valores de 81 calculados nesta iteraqlo, usando as equaqaes da barra de carga da rede: qi0) = 0,048 q y ) = 0,0086 , Aq{O' = qe - qfO) = -0,048 ,
AqiO' =q$ -q?) =-0,3836, que siio valores superiores, em m6dulos, ;jl precis50 adotada.
Capitulo 7. Fluxo de PotGncia em zrma Rede Elktrica
CBlculo de
281
[ v(')1 :
2" Iteraqao Repetindo o processo, utilizamos agora os valores do Qi e yi calculados na itera920 anterior.
1
CBlculo de [ AP(') :
que s2o valores, em modulo, superiores a precis20 adotada.
1
Ciilculo de [ AP I v(') :
282
Ftrndamentos de Sisteinas El&fricosde Pot6ncia
Calculo de [6( 2 1 1 ..
Cdlculo de [ A Q ( ' ) ] :
que s5o valores superiores, em modulo, A precis50 adotada.
Capitulo 7. FIuxo de PotEncia em trma Rede Elitrica
que s2o valores inferiores em m6dulo i precis20 adotada.
283
que siio valores, em modulo, inferiores a precisgo adotada. Dessa forma, encerramos os calculos, obtendo os seguintes valores como soluqZo para o problema: V, = 0,9842,
8, = -0,0532,
v2 = 0,9567,
O2 = -0,0899.
7.7 ReferCncias Bibliograficas [ l ] Stevenson Junior, W. D. Elengentos de Anblise de Siste~iasde PofCncin 2.ed. McGraw-Hill, 1986. [2] Ramos, D. S. & Dias, E. M. Sistengas Elkfricos de Potincia: Regime Permanente. Rio de Janeiro, Guanabara Dois, 1982 2 vols. [3] El-Hawary, M. E. Electrical Power Systems. Piscataway, IEEE Press, 1995. [4] Monticelli, A. Fluxo de Carga en? Redes de Energia Elkfrica. SZo Paulo, Edgar Bliicher, 1983.
0 s conceitos de estabilidade siio amplos, com diversos tipos de problemas a serem avaliados, como a estabilidade a grandes e pequenas perturbaqbes, analises estiticas e diniimicas, estabilidade da tenszo, etc. No estudo da estabilidade diniimica a pequenas perturbaqdes verificamos se as oscilaqbes de pequena intensidade siio bein amortecidas, ou seja, estudamos o amortecimento das oscilaqdes corn base nas equaqdes linearizadas da rede eletrica. A estabilidade esthtica 6 voltada para o conhecimento dos limites operativos em condiqdes de regime permanente. Ao analisar a estabilidade a grandes perturbaqdes interessa investigar a capacidade do sistema elitrico de absorver os grandes impactos causados por modificaq6es estruturais sensiveis, como curto-circuito, saidas de linhas, efeitos em cascata, etc., que diio origem a desligamentos temporaries, tambem conhecidos coino blecautes. Essa analise se concentra basicamente na capacidade do sistema em desenvolver torques sincronizantes para que a operaq5o sincrona n5o se desfaqa. 0 propbsito deste capitulo i introduzir as idiias fundamentais sobre opera~iio estavel de miquinas rotativas, como os geradores e motores, operando em ulna rede interligada. Nesta anilise inicial toinaremos como base o caso simplificado da operaqiio de um gerador conectado a urn barramento infinito, que k o caminho mais indicado para a apresentaqiio dos principios elementares. Consideraremos ent"ao um gerador ligado a um barramento capaz de ~nantera tens50 e a freqiiencia constantes, ficando as oscilaqdes angulares por conta do gerador estudado. Analises mais complexas da estabilidade elktrica podem ser encontradas em textos especificos e mais detalhados sobre o tema.
8.2 Modelo Elementar
Nesta analise elementar da estabilidade de sistemas eletricos de potzncia lanqaremos m5o de um equacionamento baseado no inodelo clissico de uma miquina sincrona acoplada a um barramento infinito por meio de uma reatincia. Esse inodelo de gerador considera a tensgo interna constante E, supondo que os fluxos permaneqain inalterados durante o period0 considerado de oscilaqaes eletromecinicas, desprezando as sali2ncias rot6ricas da miquina.
Figura 8.1 : Modelo clBssico de uma maquina sincrona conectada a urn barramento infinito.
Sendo: VLOO: tens20 do barramento infinito, EL6 : tens50 interna do gerador, com E fixo e S variivel, X reatgncia total do sistema entre o barramento infinito e a tens20 do gerador. Desse modo, a miquina sincrona e representada por uma forqa eletromotriz atris de uma reatincia transitdria denominada Xi.A reatincia X da figura pode englobar a linha, o transformador e a reattincia transit6ria da miquina.
8.2.2
ObtenqCo da Curva P x ~
Construiremos a seguir a curva P x S que apresenta a potencia elktrica fornecida pelo gerador em funqso do Gngulo, de conjugado ou de potencia, em nosso sistema simples composto por um gerador ligado a um barramento infinito, por meio de uma impediincia constituida apenas pela sua parcela reativa. Trabalharemos com valores por unidade, adotando a potencia nominal igual a potencia de base da miquina sincrona Sbase= Sn . Calculamos o valor da corrente no circuit0 da figura 8.1:
Capitt~lo8. Estabilidade
7t I
2
7C
28 7
6
Figura 8.2: Curva da potencia transmitida P em fungi50 do Gngulo 6 .
cujo valor conjugado 6 dado por:
Obtemos a potencia complexa fornecida pel0 gerador, a partir da tenslo interna EL6 :
Como estamos interessados na potencia ativa, tomemos a parte real de
5,
P = Re(S) , resultando na potencia ativa transmitida em funqlo do ingulo 6 :
p=- EV sen 6 .
X
E interessante notar que, como n l o h i perdas nesse modelo elementar, a potencia ativa transferida seri a meslna em qualquer ponto da rede.
A curva da potencia ativa transmitida, em funqc;io do iingulo 6, k uma funq5o senoidal, cujo valor miximo depende de E, V e X Em ulna condig50 operativa de equilibrio sabeinos que a potgncia mechica no eixo e igual i potencia elktrica transmitida P, resultando em dois pontos de equilibrio, com apenas um deles estivel, conforrne anilise a ser feita no pr6ximo item. P, : potencia meciinica constante, sem regulaqgo.
Figura 8.3: Curva da potencia ativa transmitida em funq.50 do 5ngulo 6 numa condiq50 operativa de equilibrio. Ponto 1 : ponto de equilibrio operativo (estivel). Ponto 2: ponto de equilibrio instivel. Ponto 3: condiqgo limite de estabilidade S = X I 2
EXEMPLO 1 Obter a curva P x S e o ponto de operaqiio de ulna miquina ligada diretamente ao barramento infinito. 0 s dados s5o fornecidos em valores por unidade: Reatincia transitoria do gerador: x i = 0,3 pu. Tensiio do barramento infinito: v = lLOOpu . PotEncia entregue ao barramento infinito:
Soluqiio: Obtemos a tens20 interna E, calculando a queda de tensiio a partir do valor da corrente e da potencia complexa. Corn v = 1 pu , temos s = i* .
Capitzrlo 8. Estabilidade
289
e = 1,163L13,43" , tensgo interna do modelo classico em pu. Obtemos a curva P x 6 utilizando a equagiio (8.4):
Figura 8.4: Curva P X 6 do gerador ligado ao barramento infinito.
8.3 Anilise da Estabilidade Para analisarmos a estabilidade da miquina sincrona em rela920 ao barramento infinito, admitirernos inicialmente que o sisterna esth operando em uma condiq5o de equilibria, ou seja, que a potencia mecinica transmitida ao gerador pela turbina e igual a potencia eletrica produzida pelo gerador e, conseqiientemente, que a maquina sincrona opera com velocidade constante. A posigso angular do rotor 6 expressa pel0 Gngulo 6 , escrito como:
u,.: velocidade angular do rotor, u.s : velocidade sincrona de referzncia, 6, : ingulo inicial. Desse modo, 6 representa mudanqas angulares em relaggo a referencia sincrona. A velocidade u = d w d t representa uma velocidade relativa ern relaq5o a velocidade sincrona.
+i----TF gerador
Figura 8.5: Gerador com potzncias mechicas no eixo, iq,, e CIII. Em um gerador sincrono de poles salientes, segundo o modelo de Park, n2o explorado neste texto, o ingulo S indica a posi~iioangular do eixo de quadratura em rela920 a u ~ n areferencia da rede. Conforme men950 anterior, trabalharemos com o inodelo clissico de geradores, sem considerar a saliencia rotbrica ou o nilmero de polos do rotor, siinplificando o tratamento de variiveis mecinicas e elitricas. Desse modo, em regime permanente, para um observador localizado em uma refersncia corn rotaq2o angular sincrona, denominada de referencia sincrona, o iingulo 6 seri constante e eventualmente nulo se porventura essa referencia for coincidente coln a posiq2o angular do rotor, o que geralmente niio ocorre, como por exemplo no circuit0 da figura 8.1, com a referencia angular posicionada na tens50 sincrona do barramento infinito. Em nosso inodelo suporernos ainda que os fenbmenos a serem estudados tern curta duraq2o e desse inodo podelnos admitir que 6 constante, n2o havendo tempo para os controladores da potencia mecinica atuarem. Assim, iremos assumir como constantes a potencia mecinica P,,e o modulo de tens20 interna E . Observamos ent2o que, quando ocorrem disti~rbioselitricos na rede, temos variaqdes na potencia elktrica transmitida, que podem acelerar ou frear a maquina sincrona.
e,,
Capitulo 8. Estabilidade
291
e,,
Na figura 8.5 observamos que na condiqiio de equilibrio, = P , obternos duas soluqdes para o lngulo do gerador em relag20 ao barramento infinito, 60 e
n-60.
e,,
No gerador, sabemos que quando > P a rotaq2o aumenta e conseqiientemente o ingulo 6 . Em caso contririo, quando < P , a rota920 dirninui, assim como o ingulo 6 . Desse modo, verificamos que somente o sngulo 60 corresponde a um ponto de operaqiio estivel, pois se admitirmos uma pequena perturbaqgo nas condiqdes operativas, com aumento da velocidade e conseqiientemente do ingulo 6 , a potencia elitrica passa a ser maior do que a potencia mecsnica, causando ent2o o retorno operaqiio no valor do gngulo S o . Por outro lado, se a velocidade reduzir, corn a diminuiqiio do Gngulo 6 , a potencia meciinica passa a superar a potencia elitrica desenvolvida, ocorrendo urna aceleraqgo e novamente o retorno ao lngulo operativo 6 0 . De mod0 analogo, verificamos que o ponto n- 60 n2o corresponde a urna condiqiio operativa estivel, pois, dada uma perturbaqiio, que aumente a velocidade assim como o Gngulo 6 , a potencia rnecGnica supera a potencia elitrica, corn ulna aceleraqiio e elevaqiio ainda maior do ingulo 6 . Da mesrna forma, coln uma redu920 da velocidade e do ingulo 6 , a potencia elktrica k rnaior do que a potEncia meclnica, o que causa urna reduqiio desse sngulo ate que o mesrno se estabilize no valor So.
en
Analisemos inicialmente o caso de uma elevaqzo na potencia meciinica de para , conforme a figura 8.5. 0 gerador que inicialmente opera corn o ingulo 6, deveri se estabilizar na nova condiq2o de equilibrio GI. Para isso, ocorre uma aceleraq20 positiva na velocidade, corn > P , com o aumento do ingulo 6 atd atingir o Gngulo 6,)porim, ao atingir o lngulo S1, embora nesse ponto a aceleraq20 seja nula, o rotor tern velocidade suficiente para que este sngulo seja ultrapassado. Apbs ultrapassar o ingulo 6, a acelera~iiopassa a ser negativa, agora corn < P, corn urna reduqiio na velocidade, passando o rotor a ser submetido a uma condiq2o de freio eletromeciinico. A velocidade se reduz at6 atingir urn valor nulo na mixima excursiio do lngulo 6 , aqui chamado de Nesse ponto, apesar da velocidade nula, existe uma aceleraqgo negativa que promove a reduqiio do ingulo 6. Ap6s algumas o ~ c i l a ~ d eos ,ingulo deveri se estabilizar no seu novo ponto de equilibrio, com valor 6 = 61 , se considerarmos as componentes de torque que causam o amorteciinento das oscilaq6es.
c,,
e,,,
e,,,
e,,,
tf.
Sabemos que os torques siio proporcionais i s aceleragdes angulares e como esta~nostrabalhando com torques iguais as potencias em valores por unidade, conhecemos as aceleraqdes atraves da diferenqa - P , conhecida como potencia acelerante.
e,,
Analiselnos agora ulna condiqiio igualmente simplificada, de urn curtocircuit0 trifasico aplicado no terminal da miiquina sincrona, durante urn certo periodo de tempo, dado pelo tempo de eliminaqiio do defeito pel0 disjuntor, que suporemos ocorrer quando o gngulo atingir o valor 8= 8,,( Sl, e o ingulo no qua1 ocorre a abertura do disjuntor).
disjuntor Figura 8.6: Curto-circuito no terminal da miquina sincrona.
A reatiincia X I representa a reatincia interna do gerador e X 2 a reatiincia da linha que conecta o gerador ao barramento infinito. Durante o periodo do curto, podemos supor que a potencia eletrica transrnitida 6 nula, pois a tensiio no terminal do gerador tambim e nula. Nesse caso, a potencia mecinica fica maior do que a potencia eletrica (conjugado resistente) e a mhquina comeqa a acelerar, com a velocidade superando a velocidade sincrona. Com a elevagiio da velocidade ocorre urn aumento do iingulo 6 do rotor, confonne indicado na figura 8.7. 0 iingulo inicial S = So aurnenta at6 6,, durante o periodo de tempo t , , dado pela eliminag50 do curto-circuito. Durante esse tempo t, a miquina i acelerada pela potencia acelerante Pa = P,, - P , pois P,, e maior do que P , sendo P , neste caso particular, igual a zero. Com a eliminaqiio do defeito em t,, , correspondente ao iingulo a,,, a potencia elitrica desenvolvida passa a ser a da curva original, sendo que agora a potencia elitrica volta a ser transferida para o barramento infinito e nessa condiqiio P 6 maior do que P,, , co~neqandoa miquina a frear corn aceleragiio negativa crescente, ate atingir a velocidade sincrona, conforme indicado na figura 8.8 pel0 p0nto.f:
Capitzllo 8. Estabilidnde
293
otzncia acelerante
P durante o curto
Figura 8.7: Curva P X 6 para curto-circuit0 no terminal da micluina sincrona. No ponto f temos uma velocidade relativa nula em relagiio a velocidade angular sincrona de referencia a r .Nesse ponto, cowespondente B maxima excursiio angular do lngulo 6 = 6f encontramos a maxima aceleragiio negativa.
Figura 8.8: Curva P X 6 corn a abertura do disjuntor em
6[, , elirninando o curto.
Nessa figura as setas indicam secluencialmente a potEncia eletrica P desenvolvida pelo gerador: 1 : curto, 2: aceleragso durante o curto, c o ~ no aumento de 6, 3: eliminagiio do curto, 4: acelerag80 negativa, corn o aumento de 8 e redug20 da velocidade, 5 : r e d u ~ 8 odo Bngulo 6 e oscila@o em torno do ponto de equilibria. Ao atingir o ponto,L como temos P maior do que , con10 indicado na figu-
c,,
294
Fzrndaineiitos de Sistemas Ele'tricos de Potgncia
ra, obtemos uma aceleraqiio negativa tendendo a diminuir o ingulo e assim por diante. 0 novo ponto de equilibrio final depende da curva P X6 e da potencia meciinica t,,, para a condiq8o final do sistema. Neste caso particular, a curva P x 6 final coincide com a inicial, assim como a potencia mecinica , retornando o sistema ao seu ponto de equilibrio original 6 0 .Em um caso geral, se ocorrer ulna modificagiio permanente no sistema, a sua curva P x 6 devera se alterar na condiqiio final, assim como o novo ponto de equilibrio. Urn critirio que pode ser empregado, para analise da estabilidade, d o critkrio das areas iguais, corn o aual podelnos demonstrar que a condigiio de estabilidade e dada por uma iirea de aceieraqiio A, menor ou igual B Area de freio A? . Para a estabilidade, vemos entiio que alguns aspectos silo basicos, como as condiq6es de operaqiio do sistema ( P ,E , 6 , X ) antes da ocorrencia e o tipo de defeito. Nesse caso, vimos um defeito muito grave, que leva a potencia eletrica a zero, no entanto, existem outros nos quais parte da potencia ainda 6 transmitida. Podemos incluir outros aspectos como o tempo de eliminaqiio do curto, seqiiencia de atuaq8o da proteqzo, etc. Devemos ainda lembrar que os fen6menos eletricos reais siio mais complexes que os exemplos simplificados expostos anteriormente, sendo necessirio representar a existencia de outros torques elktricos, dados por representaqaes rnais detalhadas de enrolamentos da rnaquina e da atuaq8o de reguladores de tens50 e velocidade, eic. Nos sistemas reais existem ainda outros fatores que introduzem amortecimento nessas oscilaqdes, que n8o estiio incluidos em nosso modelo.
c,,
el,,
A seguir, introduziremos a equaqiio fundamental que relaciona grandezas e l 6 tricas e mechicas para o nosso estudo de estabilidade de geradores em uma rede eletrica, que sera i~tilna construqiio de um modelo eletromeciinico do sistema.
8.4.1
Equaqa"o de 0scilaqa"o (Swing)
A equaqiio diniimica do movimento angular do gerador e chamada de equa$50 de swing ou de oscilaqiio, relacionando o torque de aceleraqiio com o produto do momento de inertia pela aceleraqiio angular:
0 primeiro membro da equaqBo 6 dado pel0 produto do momento de inkrcia J, de todas as massas rotativas ligadas ao eixo do rotor pela acelera~iioangular. 0 torque de aceleraqiio pode ser express0 por:
T,:torque mecinico,
T,:torque eletromagnktico. Vimos anteriormente que a posigiio angular do rotor 6 6 expressa pela equa$50 (8.5):
0 iingulo 6, = w,,t 6 o resultado do movimento angular do rotor na velocidade nominal que chamaremos w, (CL),=U,~). 0 iingulo 6 6 variivel no tempo e representa desvios do deslocamento angular do rotor em relaqiio B posiqiio angular sincrona 8, . Com as equaqdes (8.7) e (8.8), escrevemos:
Uma forrna bern interessante de tratarmos a equaqiio (8.9) e dividi-la pelo torque nominal T,, , aqui tomado como um valor de base, OLI de referencia, corn a finalidade de encontrarrnos uma express20 em valores por unidade:
Relembrando a definiqgo de energia cinktica de urn corpo em rotaqiio na velocidade nominal, escrevemos:
Sabendo que a potzncia nominal 6 dada por press50 (8.1 1) acima da seguinte forma:
el= dc),,T,, , reescrevemos a ex-
Denominamos a raz2o entre a energia cinktica na velocidade angular q,e a pot2ncia nominal C7como a constante de inercia H da miquina:
A constante de inercia H 6 util para o nosso proposito de relacionar as grandezas eletricas e meciinicas de uma maneira simples, sendo ulna grandeza dada em segundos. A equag.50 de oscila@o, com os torques ern valores por unidade, e dada pol:
Introduzindo ainda uma considerag20 adicional, normalmente adotada, admitiremos que Tp,, = P!,?, , ou seja, os valores de potsncias e torques em valores por unidade s5o aproximadamente iguais, quando a velocidade n%ose altera substancialmente em relaq5o A velocidade sincrona. Sendo P = u,.T e 4, = u17T,, , obtemos em valores por unidades:
Corn P,,,, = TpUquando w, = ull Rearranjando a equag2o (8.14), telnos a equa@o de oscilag50 ou de swing, em valores por unidade:
8.4.2
Critkrio das Areas Iguais Definimos a potincia acelerante, em valores por unidade, pela express5o:
Nas regides 1 e 2 indicadas na figura 8.9, sabemos que: em 1 : p, > 0, reg20 de aceleraqiio, em 2 : p, < 0, regiiio de freio.
Figura 8.9: Curva P X6 : regiaes de acelerac;c?oe freio.
0 critkrio das Areas iguais estabelece as bases conceituais para o entendiinento dos fen8menos que envolvem a estabilidade de mhquinas elktricas. Chamando:
a equaqso de oscilaqgo (8.15) pode ser reescrita como:
d6 na qua1 w = - e p,, 6 a potEncia acelerante. dt Podemos escrever a derivada parcial a seguir, utilizando a regra da cadeia:
Nessa expressgo, substituindo-se: d6 dt
- por
w e
dw dt
- por
Pa
-,
a
obtemos a express20 incremental:
Entendemos w como uma velocidade relativa, com base na velocidade angular sincrona uLS,ou seja, com w = u,, -usI Integrando a equaqiio a partir de uma condiq2o de equilibrio, inicialmente na velocidade sincrona, corn w0 = 0 , obtemos:
ou ainda:
Essa express50 fomece os elementos basicos para a proposiqiio do critkrio das areas iguais e para isso analisemos a figura (8.10).
Figura 8.10: CritCrio das areas iguais.
A partir de um Lngulo inicial So, como p,, > p e portanto pa > 0 , a velocidade do rotor aumenta com o consequente aumento do Lngulo 6 e portanto a area A, k uma area de aceleraqgo. Ao atingir o ponto de equilibrio 6, temos ulna aceleraqiio nula, porem a velocidade 6 maxima apos urn period0 de aceleraq20 positiva. Apos 6,, a aceleraq20 passa a ser negativa, dando inicio a redu~2oda velocidade. Para que a velocidade se anule no Lngulo 6t 6 necesslrio que a area sob aceleraq2o negativa, A 2 , seja igual em modulo a 6rea sob aceleraqiio positiva, A, . Co-
Capitzrlo 8. Estabilidade
299
locado de outra forma, podemos entender o criteria das ireas iguais tomando coma base a equaqgo (8.18), ou seja, para que a velocidade, inicialmente nula em J0 , torne-se novamente nula em 61, 6 necesskio que a integral da potencia acelerante seja nula no intervalo 60- 6/ , o que de fato ocorre quando A, = A2. Esse criterio das irea iguais 6 Gtil no entendimento de diversos fenameno~ em sistemas eletricos de potzncia. Um caso bem interessante e o da analise de uma perturbaqiio iniciada por um curto-circuito, seguido da abertura de linha, confonne indicado na figura 8.1 1.
L4 LT2
G
- /
-
* --
barramento infinito
minaq%odo curto corn a saida de IJT2
Figura 8.1 1 : Curto-circuit0 seguido de abertura da linha.
Uma das avaliaqdes 6 saber se, apbs a eliminaq50 da falta, o sistema sera capaz de desenvolver torques sincronizantes que o conduzam a uma situaqBo de equilibrio, o que em suma se traduz em ulna avaliaqiio das ireas de aceleraq50 e freio. Ha ainda ulna quest50 relativa aos tempos criticos de atuaqBo da proteqso, que est5o associados aos gngulos criticos de abertura de faltas. 0 iingulo critic0 de elirninaqiio da falta 6, e definido pela condiqBo de igualdade das ireas A, e A-) , estabelecendo o lilnite angular de permanencia da falta para que o sistema seja estivel apbs a eliminaqiio do curto com a abertura da linha. Em termos elementares, essas ireas tern correspondzncia corn uma energia acrescentada ou retirada do sistema pois a integral do torque, em um intervalo de fingulo 6 , corresponde a urn trabalho executado e o torque 6 considerado igual li
potcncia eletrica em valores por unidade. Nesse caso, para que o sistema seja estivel -5 necessirio que a soma de todas as Areas que acrescentem energia cinetica, com p, > 0 , seja inferior ou igual B soma de todas as ireas que possam retirar energia cinktica do sistema, coin p,, < 0 .
Vejamos como construir um modelo que leva em conta as equaqdes elktricas e mecinicas simultaneamente. A parte eletrica sera dada pela curva P x 6,associada a potencia que o gerador consegue transmitir atraves de uma rede eletrica, representada pela reatincia de transfer6ncia X. A parte rnecsnica 6 obtida atraves de uma equaqiio do tipo torque igual ao momento de inercia vezes a aceleraqiio angular. Niio entraremos em detalhes deste equacionamento, levando em conta aspectos de ni~rnerode polos e conversiio de variiveis inecsnicas em eletricas. Apresentarernos apenas a constante de inercia H do gerador que condensa este tratamento, conforrne formulaq50 do item 8.4.1. A constante de inercia 6 dada em segundos, na base do gerador em MVA. Se todas as variiveis estiverem na base do gerador, simplesmente tomamos a constante de inercia. Ao trabalharrnos em outra base, precisamos corrigir a constante de in&cia adequadamente. No sentido de diferenciarmos os valores por unidade, usaremos, preferencialmente, letras minGsculas para essas grandezas. A equaqiio do movi~nentoangular meciinico 6 expressa por: d26
w,,
-=-(P, dt2 2H
-P)>
na qua1 wl. 6 a velocidade angular de referhcia, sincrona. C o ~ n ovimos, originalmente essas equaqdes referem-se a torques, porkm em valores por unidade os torques podem ser aproximados por potEncias eletricas, sendo essa uma forma mais conveniente para se abordar este equacionamento. A velocidade angular e dada por:
Capitulo 8. Estabilidade
301
Lembrando da equag5o (8.4), que relaciona a potzncia eletrica com o ingulo S , podemos colocar essas equag6es em um modelo realimentado, dando origem a um oscilador de segunda ordem, que descreve a dinimica do sistema eletromecinico.
Pm
+
Pa
Wn
0
2Hs
(radls)
6 ( rad) 11s
Figura 8.12: Modelo eletromecinico simples.
EXEMPLO 2 Neste exemplo aplicareinos o criterio das areas iguais a um caso bem simples de curto-circuit0 em uma barra, suposta como um barramento infinito, a qual se conecta um gerador. Observamos que estamos traball~andocom um caso idealizado de barramento infinito, que apresenta uma contribuiq80 infinita para a corrente de curto, a qual n5o sera objeto de nossa anhlise. A reatincia total entre a tens50 interna e a barra 6 de 0,4 pu e a tens50 intet-na do gerador 6 fixada em e = 1,l pu . A potencia el6trica for-necida ao barramento 6. de 1 pu . Vamos deterininar o iingulo critico de abertura do curto, ou de eliminaq20 do curto, para que o sistema permanega estivel.
Figura 8.13: Circuito do exe~nplo2. Determinaqiio do iingulo critico de abertura 6,. Coino viinos, entendemos o iingulo critico corno aquele a partir do qual o sistema perderk a estabilidade. Desse modo, deliinitaremos a curva Px 6 em duas regi6es: uma de acelerag80 A , , compreendida entre 6, e 6, e outra de freio A,, compreendida entre 6, e n - 6, , de tal inodo que A, = A2 . Para qualquer ingulo de abertura rnaior que 6, o sistema sera insthvel.
302
Fztndarnentos de Sisten7as Elktricos de PotBncia
Obtenqlo do iingulo operativo 6, usando a equaq5o (8.4):
I=- 1 , l x l sen a/, 0,4 = 0,372 rad,
6?= z- 6, = 2,77 rad. A curva P x 6 e dada pela express20 em valores por unidade: y = 2,75sen 6 , Pmas
=2,75 .
A potencia meciinica t2 fixada em: Pn7
=1
Figura 8.14: Curva P x 6 do exemplo 2.
A area de aceleraqlo e estabelecida pela Area do retiingulo:
A area A2 e calculada corno a Area sob a funq2o senoidal menos a Area do retiingulo. A Area sob a funqlo senoidal, em um interval0 6, - 6, 6 dada por: A = J6f p ,,,,, sen 6 = (-p ,,,,C 4
6f -
O S ~ )- ~ - p,,,
4
(COS
6, - cos 6/) .
Capitulo 8. Estabilidade
303
P (cos 6, - cos 6/)
---+
.Figura 8.15: Area sob urn trecho de fun920 senoidal. A hrea A7 6 dada por:
A2 = Pmvx ( ~ 0 ~- 6c ,o s ~ ~ )~m-
(62
-6,)
Impornos a condiqiio de estabilidade com Al = A2 :
pm(6c - q ) = p l( ~ 0 ~- c60,s 6 , ) - p m ( 6 2 - a , ) , p m ( &+ ) + P I
c o d 2 = p , cosJc.
Substituindo-se os valores nuinericos: 1(2,77 - 0,372) + 2,75 cos (2,77) = 2,75 cos 6, , -0,164 = 2,75 cos 6,
3 6, = 1,63 rad
.
0 iingulo critico para eliminag20 do curto 6 1,63 rad.
EXEMPLO 3 0 sistema a seguir apresenta urn gerador fomecendo potEncia ativa, p = I pu, para urn barramento infinite, por meio de um transforinador e dois circuitos corn reatiincias iguais. Verificaremos a mhxirna excursso angular que ocorre quando os disjuntores dl e d7 - fazem a abertura de um circuito.
Figura 8.16: Circuito antes da abertura dos disjuntores.
304 Fzlndamentos de Sistemas Elbtvicos de Potencia
Operaqiio em regime permanente: Observamos que, coincidentemente, a opera920 em regime permanente, antes da abertura, 6 exatamente a mesma do exemplo anterior. Determinaq20 do iingulo operativo na condiq20 de prk-abertura:
I=- 1 , l x l sen 6,z 6,= 0,372 rad . 034 Determinamos a cul-va P x 6 durante a opera920 em regime permanente: p = 2,75sen6.
Ap6s a abertura de um circuito, obtemos a nova condiq20 operativa:
Figura 8.17: Circuito ap6s a abertura dos disjuntores.
Temos a nova curva de transferzncia de potencia ativa, corn o sistema buscando uma nova condiqgo de equilibrio em 6,:
antes
Figura 8.1 8: Curvas P X6 antes e ap6s a abertura dos disjuntores.
Capitulo 8. Estabilidade
305
Aplicando o critCrio das areas iguais, obtemos as areas A, e A2 pelas diferengas indicadas na figura 8.18.
Obtemos o 6ngulo 6, :
Se = arc sen
(&)
= 0,577 rad
Substituindo-se os valores numkricos, deterrninamos a area de acelera~iio: AI = 1(0,577 - 0,372) - 1,83[cos (0,372) - cos (0,577)] ,
A, =0,0339. A area de f'reio A2 C dada pela express50:
Impondo a condi~iiode areas iguais Al = A2, obtemos:
Nesse caso, resolvendo por tentativas, encontramos 6/ = 0,794 rad , embora possamos tambkm aplicar um algoritmo de solug50 mais elaborado, como por exemplo o mktodo iterativo de Newton-Raphson.
EXEMPLO 4 Um gerador sincrono, conectado A barra A, esti fornecendo a potencia indicada na figura 8.19 a um grande sistema B, que pode ser representado como um
306 Fundamentos de Sistemas Ele'tvicos de Potgncia
barramento infinito. A linha A-C, que esta operando em vazio, sofie um curtocircuit0 no terminal C. Determinar o iingulo maximo de abertura do disjuntor d para que o sistema permaneqa estivel. Dados em pu: Gerador: x i = 0,3 pu. Transformador: x, = 0,l pu. Linhas: x = 0,4 pu. Tens50 na barra A: v~ = 1,O19L24,33". Potsncia entrando na barra A: s = 1,0496 + jO, 275 pu .
Figura 8.19: Circuito referente ao exemplo 4.
Soluqiio: Conhecidas a tens50 e a potsncia na barra A, calculamos a corrente:
Obtemos a tens50 interna do gerador, sabendo que a reatgncia entre essa tensiio e a barra A t dada por x i + x, :
Como desconsideramos as perdas do gerador, conhecida sua potencia ativa fornecida, determinamos a potencia mecinica: p, = 1,0496 pu.
Capitulo 8. Estabilidade
307
Na situagiio prk-falta temos uma reatincia total entre o gerador e o sistema de x = 0,8 pu e conseqiientemente a potzncia maxima da curva P X 6 , de acordo com a equagiio (8.4) 6 :
Na situagiio de falta ainda ha possibilidade de transferencia de potsncia, mesmo corn o curto-circuit0 na barra C. Para calcular a curva P x 6 durante o curto-circuito, montamos o diagrama de seqiihcia positiva:
Figura 8.20:ReduqBo do no 3.
Para obtermos a reatincia entre os n6s 1 e 2, fazemos a transformag50 da estrela em delta, conforrne a figura 8.20, aqui facilitada pela igualdade das reatincias. Observamos que o curto-circuit0 poderia ter ocorrido nas proximidades da barra A, e nesse caso a reatincia para a terra assumiria um valor menor. A transforrnagiio estrela-delta k equivalente A redugiio do n6 3, da matriz de admitincias, conforme descrigiio no capitulo 2, item 2.2.4. Na matriz de admitiincias nodais, temos corrente nodal nula no no 3.
Com a reduggo do no 3, obtemos o novo elemento de ligaq50 entre os nos 1 e 2.
Trocando o sinal para obtermos a admitincia do elemento de transferzncia:
308 Fzlndamentos de Sistemas Elktricos de Potgncia
correspondendo a uma reatincia xl = jl, 2 pu . Na situaqiio 2, com o curto-circuito, obtemos a potencia maxima da curva P x 6 , com essa reatincia equivalente calculada.
Obtemos entzo a figura ilustrativa das duas condiq6es:
Figura 8.21 : Curvas P X 6 do exemplo 4.
Temos as areas:
COS
6, =
P,(62-~l)+~~~~~62-~2cos6 PI - P2
Substituindo-se os valores numkricos:
1,0496 = 1,5sen S1,
6, = 0,775 rad , S2=n-6, = 2,366 rad. Obtemos: cos6, = - 0 , 2 3 1 1 a 6 , =1,804 rad, correspondendo a 1 03,36" .
EXEMPLO 5 0 sistema esti operando em regime permanente, conectado a um barramento infinito, quando ocorre a abertura de uma linha atraves da opera950 dos disjuntores dl e d 2 . Dados: Gerador x i = 0,3 pu , Transfomador x, = 0, I pu , Linha xl = 0,8 pu , Tens50 interna do gerador e = 1,2L39,30° . Determinar o ingulo miximo de religamento da linha, com o fechamento de dl e d2,para que o sistema permane9a estivel.
Figura 8.22: Circuito do exe~nplo5.
Solu~iio: Com o sistema em regime permanente, temos a reatincia total entre o gerador e o barramento infinito:
Obtemos as curvas P x 6 . 1) Em regime permanente, temos a potencia mixima:
31 0 Fundarnentos de Sisternas Elktricos de PotZncia
Com o ingulo de operaqiio 6, = 0,686 rad conhecido, obtemos a potencia ativa transmitida, que coincide com a potencia mecinica fornecida pelo gerador: p = 1,5sen(0,686),
p = 0,95 pu, pm =0,95 pu.
2) Com a abertura da linha temos a segunda situaqiio da curva P x 6 , com x = 1,2, sendo a potencia mixima dada por:
Obtemos o iingulo de equilibrio nessa condiqiio: 0,95 = 1senS2,
S2=1,253 rad. Obtemos as representaqdes das curvas P x 6 .
Figura 8.23: Curva PX6 do exemplo 5.
61 = 0,686 rad,
S2= 1,253 rad, 6-3= ~t - S2= 1,889 rad,
S4=IT-6, = 2,456 rad .
Analise das areas: Al =prn( 6 2 - 6 1 ) - 1 ( ~ ~ ~ - ~601~ 6 ~ ) = 0 , 0 7 7 4 ,
Como A2 < Al, concluimos que com a abertura da linha, o sistema nso C estavel, e desse modo, temos um saldo de area de aceleraqiio de A, -A? - = AA ate o iingulo S3:
Se o religamento ocorrer em J 3 , temos uma Area de freio A3 + A4 : A3 +A4 =1,5(cos6~-cos64)-0,95(6~ -S3) =0,0876. Como A3 + A4 > AA, verificamos que esta sobrando area de freio e portanto o iingulo critic0 de religamento esta entre S3e S4.Desse modo, calculamos as areas: As =prn(6,- 6 3 ) - p 2 ( ~ ~ ~ ~ 3 - ~ ~ ~ ~ , ) , = p I( ~ 0 - ~ c o6s ~ ~~)-P,(~~-~~~). Obtemos o seguinte balanqo de areas: Al-A2+A5-A4=0 ou AA+A5=A4. Substituindo-se as equaqdes anteriores, escrevemos: A A + ~ , ( ~- 6 , 3)-P2(~~ - ~~06~ )6 , ) = p ~ ( c o s-6c ,0 s 6 q ) - P m ( 6 4 - ~ , ) ,
cos 6, =
Prn(64- 6 3 ) + p I
~ 0 ~ -6-2 4 ~ 0 ~ +6AA 3
PI - P2
Finalmente: C O S ~ ,=-0,506
ou
6,=2,101 rad.
312
Fzlndamentos de Sisternas Eletricos de PotZncia
8.5 ReferCncias Bibliogrificas [ I ] Stevenson Junior, W. D. Elementos de Analise de Sistemas de Potgncia 2.ed. McGraw-Hill, 1986. i2] Kimbark, E. W. Power System Stability. Vol.I - Elements o f Stability Calculations. New York, John Wiley & Sons, 1947. [3] El-Hawary, M. E. Electrical Power Systems. Piscataway, IEEE Press, 1995. [4] Anderson, P. M. & Fouad, A. A. Power System Control and Stability. Piscataway, IEEE Press 1993. [5] Kundur, P. Power System Stability and Control. New York, McGraw-Hill, 1994.
Prof. Manoei Aforlso de Qm!.iboj;ilisr Coordenador do LDSP DEE 1 CTG l UFPE
