Fundamentos de La Teoría Electromagnética, 4ta Edición - John R. Reitz

(3-5b)

El operador V2 implica la derivación con respecto a más de una variable. En conse cuencia, la ecuación de Poisson es una ecuación en d erivadas parciales

que puede

resolverse una vezen quela sefrontera. conoce la dependencia funcional de r{ x , y, z ) y las condi ciones adecuadas El o perador V2 , así como el V. V * y V x , no hacen referencia a ningú n sistema de coordenad as part icular . Para resolver un problem a determ inado, debe mo s exp resar V2 en función de x* y, z o de r, 0, 0, o de algún otro sistema coordenado. L a elección del sistema particular de coordenadas es arbit rari a, pero se logrará una extraordinaria sim  pli fi cació n d el pro b le m a si se e lige u n sis te m a c o m pati ble co n la sim etr ía del p ro b le m a elect rostáti co. La forma que tom a V2< pen dif erentes sistemas d e coo rdenadas se halla fácilmente tomand o primero el gr adiente de (py aplicando lueg o V*. Util izando exp re siones específi cas del capítulo 1(o del Ap éndice IV), tenem os las si guientes formas.* Coo rdenadas rect angulares: _2

d 2(p d 2(p

v * ma ?+ #

d 2w

+ &

(3-6)

Coordenadas esféricas: sen ,

v> -

1 d ( 7 d
'

1

+

d / (scn

d(p\ eJ¡l

d 2cp

1 )+

S

ñ

í

* Para la forma del laplaciano en otros sistemas coordenados más complic ados, el lector puede ver las referencias al final de este capítu lo.

3 Res olución d e problemas e lectr ostát icos

Coordenadas cilindricas: 1 d / dcp\

+

1 d 2q>

+

d 2q>

(3-8)

~r~dr V ~3 r) + ? J d 2 + ~dz

Deberá observarse que r y G t ienen distintos si gnificados en (3-7) y (3-8). En co orde  nadas esféricas, re s la mag nitud del radio vector desde el srcen y 6 es el áng ulo polar. En coordenadas cili ndricas, r es la distancia perpendicu lar al eje del cil indro y 0 es el ángulo azimutal con respecto a este ej e.

ECUACIÓN DE LAPLACE En cierto t ipo de problem as electr ostáticos en los que intervienen co nductores, toda la carga se encuen tra ya sea sobre la superfici e de los conduc tores o en form a de cargas pun tu ale s fija s. E n est os caso s, p es cero en la m ay orí a d e lo s p u n to s del esp acio .

D onde se anula la densidad de carga, la form a más sen cill a V > = 0 que es la ecuación de L

ecuación de P oisson se reduce

a la (3-9)

aplace .

Supon gamo s que t enemos un conjunto de N conductores que se mantienen a los p o te n cia le s
3.2 Ecuación

Teorema /. Si (pv (pv . . . ,
de Laplace

ión de Laplace,

C 2(p 2 + ■■ ■ + C nq>n

(3-10)

donde la s C son co nstantes arbitrarias, t

am bién es u na solución.

La dem ostr ación de este teorema es inm

ediata a pa rti r del hecho d

V 2

59

e que

V 2 Cn(fn

= C i V > , + C 2 V2
Teorema II: Teorema de unici dad. D os soluci ones de la ecuación de Laplace que satisf acen las misma s condiciones en la frontera di fier en a lo sum o en una con stante adit iva.

Para demo st rar est e teorem a consi deremos una región cerr ada VQexterior a las super ficies Sv Sw . . . , 5 Nde los diversos conductores del problem a y li m it ada en el exteri or p o r u n a s u p e r fic ie S , si endo e sta últi m a un a superficie en el infi nit o o un a superficie físi ca real que e ncierra VQ. Supongam os que (p{ y
| V • (V0 ) ¿u = í J Vu


Js + st+ -+ s N

ya que la segu nda int egral se anul a. La divergencia pued ción (1.1. 7) de la tabla 1.1 para q ue dé:

V • (
=


Pero V 2# se anula en todos los se reduce en este caso a

f JVn

(V< P)2dv =0

e desarroll

arse segú

n la ecua

+ (Vd >) 2

pun tos de V 0, de m odo q ue el t eorem a de la divergencia

60

3 R esolución

de problem as elect rost áti cos

Ahora ( V 0 )2 debe ser posit ivo o cero e n cada punto de V 0 y , puesto que su integral es cero, es evidente que (V # )2 = 0 es la única posi bil idad. El teorema queda así esencial m ente demostrado. Una función cuy o gradiente es VQ, 0 cero en todos los puntos no puede cambiar; por tanto, en todos los puntos de tiene el mism o v alor que el que tiene en las superficies li m itadoras. Si las condiciones en la fro ntera se han dad o al espe cificar
3. 3

Z

ECUACI ON DE LAPL ACE CON UNA VARI ABLE INDEPEND

ució n

I ENTE

S i (p es función de una sola variable, la ecuación de L aplace se redu ce a una ecuación diferencial ordinaria. Considérese el caso en que (p e s (p{x), es decir, una función de una sola coor denada rectangular x . Entonces L f =0

y


(3-U)

b

es la solución gene ral, donde a y b son constant es elegidas de tal m odo qu e se cumplan las condiciones d e la fr ontera. Éste es el resultado qu e se encontró en el cap ítulo ante rior para el potencial ent re dos placas co nductoras cargadas con orientación normal al eje.*. La sit uación no es más com plicada en ot ros sist emas c oordenados en lo s que

Ir2-?-

=0,

(3-12)

< p (r ) = - - + b

La solución general de la ecuación de Laplace en coordenadas cilindricas para una función indepen diente de G y z , es decir, para < p(r), se deja com o ejerc icio en la sección de probl emas.

3. 4

-

Z

SOLU CIONES A LA ECUA CI ÓN DE LAPLACE EN COOR DENA DAS ESFÉRI CAS: ARM ÓNICOS

ESFÉRI COS

Dirigi mos ahora nuestra atenci ón a la s soluciones de la ecuación de La place en las que (p es funci ón de más de una variabl e. Muchos de los problemas que nos int eresan tratan de condu ctores en form a de esferas o cilindros y , por tanto, se necesitan so lu ciones de la ecuación de Laplace ya se a en coordenadas esféri cas o cilindri cas. Pri m ero abordaremos el problem a esf érico, pero veremos que conviene lim itar el a náli si s

3.4 So luciones

a la ecuación

de Lap lace en coorde nadas esféricas

61

FIGURA 3.1 Localización del punto P en función de las coordenadas esféricas r, 6,
► Dir ección pol ar

a los casos en que (p es indepen diente del ángulo azimutal
1 3 / ? dcp\ ‘ I r Td r\(r T dr “ )/+

1

3 /' 9 \ sen — rr6 l3sen

r

9

dep ,

_

— 30 ) = 0

(3 -1 3 )

_.

Esta ecuación d

if erencial parcial se resolverá por un a técnica conoc ida com o separa uye en la ecua ción de variabl es. Una soluci ón de la forma (p(r , 9 ) = Z (r)P(0) se sustit ción (3-13), lo que prod uce 1 d ( 2 dZ\ - 2 P ( e ) - r2 — rL ' dr \ d r)

Z (r)

+ 2

r2sen$

d I

dd \

O bserve que las derivadas parciales han sido sustit que Z y P son funcio nes d e un a sola variable. D p o r r2, tr a n sfo rm am o s la e c u ac ió n (3 -1 4) en 1 d ( 2dZ\ — - I r 2— ) = Z d r\

El lado i zquierdo

dr 1

1

dP \

~ , J se n 0— ) = 0

d (

d9)

uidas po r derivadas total es, puesto ividiend o po r
Psen0

dd \

„ (3 -1 5 )

dP\

(s en 0—

-------------------

dd

de esta ecuación es f unción únicam

/ ente de

ry

el lado derech o es

r puede ser igual a un función de 9 . La única form a en que una función de a función de 0p ara todos l os valor es de r y 9 es que ambas funciones sean constantes. En conse cuencia , igual aremos cada miem bro de la ecuación (3-15) a k> siendo k la “constante de separación”. N o to d o s lo s v a lo re s d e k proporcionan necesariamente soluciones aceptables con bases fí sic as. Co nsidere pri mero la ecua ción para 0, conocida com o ecuación de Legendre:

62

3 Reso luci ón de problemas

ele ctr ost át icos

TABLA 3.1 Polinomios de Legendre pa ra n = 0. 1, 2 y 3.

Pn(9)

0 1 2 3

i eo s 0 i( 3 eos 20 — 1) K 5 eos3 9 - 3 eo s 0)

1

(sene^

d

s e n 8 dd \

= )0 + dd

kP

(3- 16)

Las ún icas soluciones fí sicam ente aceptables que están definidas en el intervalo d e 9, (n ) corr esponden a k = n (n + 1) , siendo n un en tero posit ivo. La que v a desde 0 hasta soluci ón para una n en pa rti cular se representará con Pn(0 ). L as soluci ones de la ecua ción (3-16) para otr os valores de k no se com portan bien en la vecindad de 6= 0 o 9 = /rradiane s, volviéndose infi nitas o incluso indefini das p ara esos v alores de 9.* Estas soluciones no pueden satisf acer condiciones fí sicas en la fron tera y, por tanto, deb en descartar se, t Las soluciones aceptables, Pn (0 ), son polinom ios en eos 9 y generalmente se de nominan p o lin o m io s d e L e g e n d re . Las p ri m eras cuat ro funci ones de L egend re se dan en la tabla 3. 1. Es evidente de la ecuación (3-16) que los P n pueden m ult ipl icar se po r cua lquier con stante arbit raria. Volvamos ah

ora a la ecuación radial

d l 2d Z \

(3-17,

donde hem os em pleado la form a explí cit a de k que d io soluci ones de 9 aceptables. La inspección de la ecuac ión ( 3-17) m uestra que dos soluci ones inde pend ientes s on Z n =

r"

y

Z n = r -( n+l )

Las sol uciones de la ecuaci ón d e L aplace se obti enen m ediant e el producto (pn(ry 6) = Z n(r)P n(B ), donde debe teners e especi al cuidado para que Z y P corr espondan al mismo valor de n . Esto es impresci ndibl e, puesto que ambos m iembros de la ecuación (3-15) son iguales a la m isma con stant e, es decir, n (n + 1).

* La exposición ha sido demasiado breve. El lecto r que se interese en el tema deberá consultar más textos de matemáticas p ara un tratamiento detallado de la ecuación de Legendre. Véanse, por ejemplo, los libros indicados al final de este capítu lo. La ecuación de Legendre se expr esa generalment e en una forma distin ta. sustituyendo x = eos 6, y sus soluciones se representan entonces con Pn(x) o f*n(cos G). t Este enunciado requiere algunas limitaciones. En algunos problemas electrostáticos , las regiones alrede dor de 9 = 0 y 8 = 7Tpueden excluirse naturalmente, por ejemp lo, por superficies cónicas conduc toras. En estas condiciones podrían también utilizarse las soluciones de la ecuación (3-16) con otros valores de k Los problemas de este tipo no se considerarán aqu í.

3. 5 E sfera conductora en un cam

Hem os resuelt o a sí l a ecuación de Laplace en coordenadas esféricas así las sol uciones conocidas com o arm ónicos esféri cos :
o

q>„

63

po eléct ri co uniforme

, obteni endo

= r-
(3-18)

donde Pn(8 ) es uno de los poli nom ios de la tabla 3 .1 y n es un entero po siti vo o cero. Los armónicos es fér icos for man un conjunto de f unciones adecuado para la s olución de la ecuación de Lap lace con fronteras esf éricas y sim etría azimutal. Estas solucio nes pueden com binarse de acuerdo con el Teorema I. Vari os de lo s armón icos de zona n = 0, es decir, (p = constan te, es ya nos son bien con ocidos: una de las sol uciones para un a solución tri vial de la ecuación de Laplace, válida en cualqu ier si stem a de coo rde nadas; el armón ico esféri co r - ] es el poten cial de un a carga puntual, y r~ 2 eos 6 es el p o te n c ia l d e u n dip olo .

ESFE RA CONDUCTORA EN UN CAMPO ELÉCTR

I CO UNI FORME

Ilust raremos la utili dad d e l os armó nicos de zo na para problem as electrostát icos que ti enen sim etrí a esf érica resolviendo el problem a de una esfera cond uctora descarga da colocada en un campo eléctrico inici alm ente unifor me , E Q. Las lí neas d e u n cam po eléctrico uniforme son paralelas, pero la prese ncia del cond uctor altera el cam po d e tal m anera que las lí neas de éste chocan perpendicularmente con la superf ici e del co nduc tor , que es una superficie equipotencial Si tomam os la dirección del cam po eléctri co inicialmente uniforme como la dirección polar .(dirección z ) y si fi jam os el srcen de nuestr o siste ma de coordenadas de m odo que coincida con el cent ro de la esf era, en tonces de l a si m etr ía del pr oblema se ve que el potencial será independiente del ángulo azimutal

+ A 2r eos 9 + C 2r~2 eos 6

{ r '[

+ %A 3r2(3 eo s2 6 — 1) +

{C 3r~\ 3

eo s2 6 — 1) + • * * (3-19)

donde las A y las C son con stantes arbit rari as. Pa ra r grande, el campo eléctrico se distorsionará sólo ligeramente con respecto a su forma inicial y el potencial será el apropiado para un campo eléctrico uniforme.

[E( r, 0 ) ] _ = E0 = [cp(r,

E0k

= -E 0z + const ante = - £ 0r cos

9

+ constante

(3-20)

64

3 Resolución de prob

lem as electrost

áti cos

En consecuencia, para que concuerden las ecuaciones (3-19) y (3-20 ) para r grande, demás, todas la s A desd e A3 en ad elante deben igualarse a cero. El término C{ r l produce un campo radi al que, com o podría esperars e, es com pa tible sólo con un conductor esférico que tiene una carga total neta. Como nuestro p ro b le m a trata de un co n d u c to r d escarg ad o , la c o n sta n te C , d e b e ig u alarse a c e ro . E n la superficie de la esfera, (p = (p0, y el potencial de be se r indepe ndiente del án gulo ©. Los dos térm inos en que interviene eos ©pueden eliminarse en tre sí , pero los t érm inos con potencias inversas de r, mayores, no pueden eliminarse entre sí debido a qu e con

A 2 = -E q. A

ti enen funci ones de Legend re diferentes. L a única posi bili dad es igualar t cero cuando i > 3. La ecuación (3-19) se convierte ahora en 6)

=A , -

= (p0

q)(r,

E 0r

e o s 6 + C 2r~2 eos©,

para

r

odas las C

a

> a (3-21)

Ya que las dos expre siones deben ser iguales en r = a , A 1= (pQ y C2 = E Qa 3. De la última expresión para el potencial, podemos calcular no sólo el campo eléctrico en todos los puntos del espacio (véase la Fig. 3.2) , sino tam bién la densidad supe rficial de carga sobre la esfera conductora:

(3-22)

p a ra r > a

ct(©) =

€0E r\r=a

La carga total sobre

la esf era,

es evidentem

ente cero, lo

que concu erda con nue stra suposición inici

P

FIGURA 3.2 Líneas de flujo eléctrico pa ra el ca so de un a esfera conductora colocada en un campo eléctrico uniforme.

r.

9

(3-23)

= ?>€q E 0 eo s ©

al.

3.6 Soluciones

a la ecuación

SOLU CIONES A LA ECUACI

en coorden adas cil indricas

65

ÓN

DE LAPL ACE EN COORDENA CI LI NDRICAS: A

de Laplace

DAS

RM ÓNICOS

CILÍ NDRICOS

La ecuación de Laplace en coordenadas cilindricas puede resolverse también por el m étodo de separ ación de vari able s. Aquí nuevamente conviene resolver sól o un ti po restri ngido de problem as, es deci r, aquellos en los cuales el potencial es indep endiente de la coordenada z . Estas soluciones son apropiadas para ciertos prob lem as en los que interviene un con ductor cil indrico o alamb tratan de un segm ento cilindri co cor to. Si el potencial es independiente de cili ndricas se conv iert e en

re recto y l argo, pero z,

no

para aqu ell os que

la ecuación de Laplace en coordenadas

(3-24) A l sustit uir

cp = Y(r)S(6),

la ecuación se reduce a

, (3-25)

donde k nuevamente desemp eña el papel de una constante de separac ión. L a ecuaci ón p a ra 0 e s p a rt ic u la rm e n te se n cil la ; ti en e p o r so lu cio n es e o s k m 0 y sen km 0. Pero para que estas soluciones tengan sentido fís ico, cada una deb e ser una función univalent e de 0; por l o que co s

k i a( 6

+

sen

k xa( Q

+

2 t í)

= eos =sen

2 j z )

k m e k V26

O, dicho de o tra forma, una vez qu e 0 ha recorrido todo el inter valo desde 0 hasta 2ny la función debe unirse suavemente a su valor en 0 = 0. Esto puede su cede r sól o si k = n2, siendo n un entero. Podemos, además, pedir que n sea positivo (o cero) sin p e rd e r n in g u n a d e esta s so lu cio n es. Volvie ndo a la ecuación de r, podem os verifi car fáci lmente qu e Y(r) es r" o r n\ a m enos que n = 0 cuando Y (r ) = ln r o Y ( r ) = constante. En co nsecue ncia, las solucio nes buscadas de la ecuación de Laplace, que se denom inan arm ónicos cil ind ricos, son ln

1

r

r n eos n 0

r n

r n sen/2

r

0

eos

''sen

nd n6

Estas funciones form an un conjunto comp leto para las variabl es r, 0 en coordenadas cilindricas, y el potencial
3 R esolución de problem

as elect rostát icos

ECUACION DE LAPLACE EN COORDENAD AS RECTANGULARES En coordenadas rectangular

es, las variables

pueden separarse hac

iendo la sustit

ución

< p( x , y, z ) = f {x )f2 (y )h {z )

p o r lo q u e la ec u ac ió n d e L ap lace se red u c e a 1

d 2/ ,

/,(*)

dx2

d 2f 2

1

+ f 2( y ) d y 2

1

/,(z)

d %

(3‘26a)

dz2

El lado izqui erdo de esta ecuación es una función de x e y , y el derecho es función de z únicamente; e n consecuencia, am bos m iembros deben igualarse a la misma con stan te, k. Esta constant e es la pri m era constant e de separación. Las dos ecuaciones obteni das a partir de (3-26a) son d 2U

(3-26b)

d ? +k ^ =0

O

h = k _ If

í i

h dy2

f

dx2

Esta última ecuación se ha expresado de tal f orm a que las variables x e y est én s epara - m (segunda constante de sepa das. Cada miem bro de esta ecuación se ig uala ahora a ración). Por tant o, = 0

d 2U

^

+ m f2

(3- 26c)

“= 0( k + m

Las ecuaciones (3-26b), (3-26c) y (3-26d) se r nes típicas para (f(x, y, z ) e s cp(xt y, z )

(3 -2 6d)

)f

esuelven fácil mente. U na de las soluci o

= A e ~ {k^m )V2x eos m 1/2y eo s k l,2z

(3-27)

Las o tras siete soluciones independ ientes para un pa r de cons tantes de separa ción (A:, m ) se obtienen haciendo una o más de las siguientes sustituciones: + ( k + m ) mx por -(k + m )ir2x , sen m l/2y po r eo s m ]r2y y sen k m z por eos kmzHa sta ahora no ha habido restri cción sobre k ni sobre m , pero las condiciones en la frontera del problem a restr ingen generalmente k (o m ) a un conjunto discreto de valores positivos o ne gativos. Vale l a pen a observa r que las condiciones en la f rontera son las que realmente imperan en la selección de las solucione s perti nentes para una ecuación di fere ncial parcia l. Para r e y fij os, l a siguiente función es justam ente el desa rrol lo en ser ie de Fo u rier para una función par ar bitrar ia de z:

* Las secciones con asterisco puede n ser omitidas sin perder continuidad .

3.8 Ecua ción de Lap lace en dos dimensiones:

2 A pq e

= 2


P

i-p2* q')'n x co s p y

eos

soluci ón general

67

qz

9

Las soluciones individuales en la ecuación (3-27) no representan potenc iales que correspond en a sit uaciones fí sicas senci llas. Sin em bargo, el caso en el que ambas constantes de separación son cero corresponde a una situación física de interés; por tanto, diri giremos nu estra at ención a este caso. De la ecuación (3-26d), es evidente que /,(*) = a xx %o sea, / , ( x ) = constante, es una sol ución; de la ecuación (3-26c) obte nemos f 2(y ), etc. Así, q) ( x, y,

+

z ) = A ,xyz + A sx

+

A 2xy

+

A by

A nz

+

+

A 3 yz

+

A 4xz

(3-28a)

A h

donde las A son c onstantes arbit rari as. Esta solución pue de ap licarse a l caso en el que tres planos condu ctores se cortan perpend icularmente. Si estos planos son los planos coordenados xy, yz y z x y, todos están al mism o potencial, entonces
=

z)

+

A,xyz

(3-28b)

A„

Se deja com o ejerci cio para el lector determinar la densidad de carga superfici al sob re los planos coordenado s que es compa ti ble con la ecuación (3- 28b).

ECUAC I ON DE LAPLACE EN DOS DIMENSI SOLUCI ÓN G ENERAL

ONES:

Si el potencial es una función de do s coo rdenad as rectangulares únicam ción de Laplace puede expresarse como d 2(p

d*(p

s ?

+ a ? = °

ente, la ecu a

(3-29“»

Es posible ob tener una solución general de esta ecuación po r m edio de una transfor mación a un nuevo con junto de vari able s independi entes . Sin em bargo, debe rá resal tar se que dicha transformación conduce a una simplificación de la ecuación srcinal sola m ente en el caso bidimensional. Sea | = donde

i=

x

+

i y,

rj = x - i y

V -T es el número i ma ginario unidad. En términos de est

a2 dx d2 dy2

a2

^ d2 +2 — — + 3§

d2

<9§2

+ 2

d 2(P ? = 4v^ r* i z = a0 f dr /

drj

d2 d$ dr)

as r elaci ones,

d2 dr\ 32 dr )

<3-29b )

68

3 Resolución

de problem

as electr ostát icos

Es evidente que la solución general a la ecuación (3-29b) es

F2(t¡) = F¡(x + iy)

+ F¿x -

iy )

(3-30)

donde F { y F 2 son funciones que son adecuadam ente* continuas y arbitrarias diferenciables. Las funciones F { y F 2 son cantidades complejas en general, pero se p u e d e n c o n s tr u ir d o s fu n c io n e s r e a le s d e la s ig u ie n te fo rm a . S u p o n g a m o s p rim e ro q ue la s dos funciones F 2(x - iy) = F f x - iy), es decir, que F { y F 2 dependen del mismo argumento. Entonces,
i y ) = 2 R e [F,(*

donde Re signi fi ca p a r te r e a l d e . P or otr o lado, la segunda es


F,(*

+ i>>)] función real del potencial

- />-)] = 2 Im [F, (. c + />-)]

ca p a r te im a g in a r ia d e . P or tant o, las partes real e im aginaria de cual quier funci ón com pleja F (x + iy ) son soluciones de la ecuación de Laplace. Las soluciones halladas de est a form a no se rest ringen a un sistema de coorden a das part icul ar. Po r ej em plo, los arm ónicos cilindri cos de la secci ón 3.7 se ob ti enen de la s funciones com plejasf ( x + iy)n = r*eind, y In (x + iy) = ln r + iO. Po r otr a part e, cuand o es necesario resolver un problema bidime nsional part icul ar, no hay un proce dimiento establecido para hallar la función compleja adecuada. Este método genera tanta s soluciones que no es posible enum erarl as y hay que de jar fuera las que no sati s fagan las condiciones en la frontera del problema. E n caso s sencill os, las funciones necesarias pueden h all arse por ensayo y err or; en otros casos, el método d e represen ser úti l. taci ón conforme (que está m ás allá del alcance de este texto) puede don de Im signifi

%

3. 9

~

—

I MÁGENES

EL ECT ROST ÁTI CAS

Para un conjunto dado de condiciones en la frontera, la solución de la ecuación de Laplace es única, de modo que si obtenemos una solución (p(x , y, z ) por cualquier m edio y si esta (p sat isface todas las condiciones en la frontera, entonces se ha en con  trado una solución com pleta de l problem a. El m étodo de imágenes es un procedimien to para lograr este resul tado sin resolver específi cam ente un a ecuación d iferencial . No se aplica univers almen te a t odos los t ipos de problem as electrost áti cos, pero un núm e ro sufici ente de problemas d e inter és caen dentro de esta categorí a, de m odo qu e vale la pena exp one r aquí e l método. Supo ngam os que el potencial puede expresarse en la siguiente forma: / \

^

/v

1

+ 4

^

* La función F debe ser "analítica” en el t Las coordenadas cilindricas y

f a (r/) , 0 ^

d a> (3-31)

dominio (*, y) de interés. Véa se el Apéndic e VII, ecuación (VII-3).

rectangulares se

relacionan en la

forma usual:

x = r eos 6,y = r sen 0.

69

3.9 Imágenes electrostáticas

don de
~ EJEMPL O 3.1 Carga puntual cerca de un plano conductor

Tom aremos ahora algunos ejemp los específi cos para d em ostrar las ventajas d el m étodo de la carga imagen. Se destacará que la solución de estos ejem plos serí a m uy difícil si tuviéramos que util izar otros métodos analít icos. Con sideraremo s p rim e ro e l p r o b le m a d e u n a c a r g a p u n tu a l q colocada cerca de un plano conduc tor de ext ensión infi nit a. Para form ular el problem a m atem áti cam ente, considere m os el plano cond uctor de ta l forma que coincida con el plano y z , y s upongam os que la carga puntual está sobre el eje x en el punto x = d (véa se la Fig. 3.3a). El p o te n c ia l s e a ju s ta a lo in d ic a d o e n la e c u a c ió n ( 3 - 3 1), c o n
= 4j T60 r,

4 jr60V (^ — d )

+ y2 + z :

(3-32)

Solución : C onsidere un prob lem a dif erente, el de dos cargas pu ntuales (q y - q ) separadas por u na dist ancia 2 d , co m o en la figura 3.3(b). El potencial de estas dos cargas, cp(x, y , z ) =

4/r e„r,

<7 4jre„r2

(3-33)

no só lo sat isf ace la ecuación de L aplace en todos los pun tos exteriores a las car gas, si no qu e también se reduc e a un a constante (es deci r, cero) sobre el plano que b is e c a p e r p e n d ic u la rm e n te el s e g m e n to q u e u n e la s d o s c a r g a s . A s í p u e s , la e c u a  ción (3-33) satisface l as condiciones en la frontera del prob lem a srci nal. Deb ido a que las soluciones de la ecuación d e Lap lace son únicas, l a ecua ción (3-33) es el p o te n c ia l c o r r e c to e n to d o e l s e m ie s p a c io d e l la d o d e r e c h o d e l p la n o c o n d u c to r. La car ga - q da srcen al potenci al:
4zce0r 2

4 n e 0\/(x

+ d )2 + y 2 + z 2

Esta carga se ll am a imagen de l a carga pun tual q . N atural m ente, l a imagen no existe en real idad, y la ecuación (3-32) no da correctam ente el potencial en el inter ior ni a la i zquierda del plano co ndu ctor de la figura 3. 3(a).

(3-34)

70

3 Reso lución de problem

as electros

tát icos

FIGURA 3.3

(x, y , *)

(x, y, z)

Problema de una carga p u n tu al y d e un p la n o conductor resuelto m ediante el método de la carga imagen: (a) p ro b le m a o ri g in a l; (b ) situación de la carga imag en; (c) líneas de fuerza (líneas punteadas) y superficies equipotenciales (líneas continuas).

(a)

El cam po eléctrico E en la regi ón d e la derecha del plano con ductor puede obtenerse com o m enos el gradiente de la ecuación (3-33) . Ya que la superfi cie del plano cond uc tor representa una zona interfacial que relaciona dos soluciones de la ecuación de Lap lace, a saber, < p= 0 y la ec uación (3 -33), la discontinuidad en el cam po eléc trico se ti ene en cu enta m ediante una densidad de carga sup erfi cial O sobre el plano:

°(y, z) “

-

~

2j [ ( d2

+ ziya

(3-35)

3.9 Imág enes electr ostáti cas

71

Las lí neas de fuerza y l as superfici es equipotencial es correspon dientes al problema srcinal se i lustr an en la figura 3.3(c). Éstas son las mism as lí nea s de fuerz a y sup erfi cies equipotencial es qu e corres pond en al problem a de dos cargas p untuales de la fi gu ra 3.3(b), excepto que en este últ imo ca so las lí neas de fluj o con ti nuarían den tro de la p a r te iz q u ie rd a d e l s e m ip la n o . D e la f ig u r a e s e v id e n te q u e todas l as lí neas de fl ujo eléctrico que normalmente convergen en la carga imagen son interceptadas por el p la n o e n la f ig u r a 3 .3 (c ). E n c o n s e c u e n c ia , la c a rg a to ta l s o b re e l p la n o e s ig u a l a la d e la carga imag en - q . E ste m ismo result ado puede obtenerse matem áti cam ente i ntegran do la ecuación (3-35) sobre t od a la superfi cie (véase el problem a 3.14) . Es evidente que la carga puntual q ejer ce una fu erza atractiva sobre el plano, debido a que la carga superfi cial i ndu cida es de signo co ntrar io. Por la ley de N ewton de la acción y la r eacción, esta fuerza es igual en m agnitud a la fuerza ejercida sob re q p o r el p la n o . P u e s to q u e l a c a rg a p u n tu a l n o e x p e rim e n ta n in g u n a fu e r z a d e b id a a su p ro p io c a m p o ,

- q Vcp 2

F = que es exactam

~

EJEM PLO 3.2 Carga puntual cerca de un a esquina que forma un ángulo recto

ente la f uerza ejercida sobre ell

(3-36) a p or l a carga im

agen.

O tro problem a que pued e resolvers e sencill am ente en tér m inos de imá genes es el de determinar el campo eléctrico de una carga puntual q en la vecindad de la int ersección de dos planos co nductores en án gulo recto (véase la Fi g. 3.4a) .

Solución: L as posici ones de las cargas ima gen necesa rias se m uestran en la fi gu ra 3.4(b). Se ve de inm ediato que los dos planos, il ustrados con lí neas pun teadas en la fi gura, son superfi cies de potencial cero deb ido a los potenciales com bina dos de q y las t res cargas imag en. La dificult ad principal al r esolver un pro blem a por el m étodo de la carga imagen es el de encon trar un grupo de cargas imagen qu e produ zca superfici es equipotencial es en los condu ctores. El problem a es dir ecto sólo para casos en los que la geom etrí a es sencilla. Tal es el caso del si gu iente ej em plo.

FIGURA 3.4 Carga puntual en una esquina que forma un ángulo recto.

• Q

• Q

72

3 R esolución de problem

as electrost

áti cos

FIGURA 3.5 Carga puntual q en la vecindad de una esfera conductora; q ' es la carga imagen.

_

_

EJ EM PL O 3. 3

C arga puntual y esfe ra conductora

Considere m os el problema planteado por una carga una esfeq en la vecindad de ra conduc tora; se requiere una carga i m agen sencill a para hacer que la esfera sea una superfi cie de p o te n c ia l ce ro . Se necesita una carga imagen adicional para cam biar el potenci al d e la esfera a algún otro valor consta nte. a posición de la imag en Solución: D eter m inaremos primero la magnitud y l q' que, junto co n la carga puntual los puntos q, prod uce un po tenci al cero en todos de la esfer a. L a geom etría de la sit uación se ilustra en la figura 3 .5. La carga p u n tu a l q está a un a dist ancia d del centro de la esfer a y el radio d e la esfera es a. Es evidente de la simetría del pr oblem a que la carga im agen q ' estará en la rect a que pasa por la esf era. q y p or el centro de Lo s result ados deseados se obti enen con m ayor facil idad utili zando coo rde nada s esféricas, con el srcen de coo rdenad as en el centro de la esfera. Se a e l eje p o la r l a re c ta q u e u n e q con el srcen. La distancia b y la m agnitud de q ' se han de determinar en función de la s cantidades especificadas q , d , a . E l potencial en un p u n to a r b itra rio P debido a q y q ‘ est á dado p or cp(r, 9,
= — 3 — + - 3 . ----4 J ie nr , 4 near 2 =

_

- L [ ■ X 4 n e a L\ J r 2 + d 2 - 2 r d eos Q \Jr 2 + b 2 - 2 r b eos 6 (3-37)

En la superfi cie de la esfer a, r - a y ( p(a , 0, (p) = 0 para t oda expresión (3-37).
b 2 — la b eos 6 = - y / d '1 + a ¿ — 2 a d eos 6 d

En con secuenci a,

0 y (p. Pero de la 6 sólo si las dos b =

3.9 Im ágen es electrostát

a2 , b = ~

icas

73

(3-38)

y, además, 9' =

(3 -3 9)

Estas ecuaciones so ra carga imagen.

n úti les pa ra determinar la

posición y

la mag nitud de la

prim e

U na segunda carga imagen q " pu ede co locarse en el centro de la e sfera sin destruir l a naturaleza equipotencial de la superfi cie esféri ca. L a m agnitud d e q" es arbit rari a; pued e ajustarse de m odo que esté de acu erdo con las cond iciones en la fr ontera del proble ma. Con est o hem os encontr ado un a soluci ón com pleta para el problem a de l a esfera condu ctora con una carga puntual; el potenc ial en todos los puntos ex teri ores a la e sfera es


1 4 n e 0 ■r,

El po tencial prop io del condu

r2

ctor esféri

(3-40)

r . co es

^ y la densidad

=

<3 - 4 » de carga sup

0 ( 6, (p)

erfi cial sobre la esfera es

d r r=a

(3- 42)

Todas las l íneas de fuerza que norm alm ente conve rgen sobre las cargas son inter ceptadas por la esfera. Po r tant o, l a carg a total sobre la esfera, Q, es igual a la sum a de las cargas i magen:

Q = q'

+ q"

(3-43)

Este resultado pued e verifi carse por integración directa de la ecua ción (3-42). Casos esp ecial es d e inter és son la esfera p u e s ta a tie r r a : (p{a ) = 0 , q " = 0; y e l conduc tor esfé ric o descargad o : q " = - q \

FIGURA 3.6 Dos líneas de carga infinitamente largas y paralelas (d e carga X y -X por unidad de longitud) se muestran perp endicu lar es al pla no del papel.

3 R esolución de problem

as electr ostát icos

LI NEA S DE CAR GA Y LI NEAS I MAGEN H asta ahora , nuestra t écnica de i m ágenes se ha lim it ado a problem as en los que inter vienen cargas puntuales y, en consecuenc ia, i m ágenes pun tuales . E n esta sección con sideraremos varios problemas que pueden resolverse por medio de cargas imagen lineal es. C onsiderem os dos líneas de carga infinit am ente lar gas y paralelas, con cargas A y -A por unidad d El potencial en cua

e longitud, respecti vam ente, t al com o se m uestra en la figura 3.6 lquier punto está dado p or

=



.

o-44»

donde r x y r2 son las dis tanci as perpend icular es desde el punto hasta las dos líneas de carga. Los equ ipotencial es se ob ti enen igualando la ecuaci ón (3-44) a un a constant e, p ro c e d im ie n to q u e e s e q u iv a le n te a e x ig ir q ue -

=

M

(3-45)

siendo M una constante. Por tant o, los equipotenciales pueden determ inarse con la ecuación (3- 45). El equipotencial que corresponde a M = 1 es el plano situado a la mitad de la distancia que hay entre las dos líneas de carga e identificado como la superficie equipotencial 1 en la figura 3.6. El potencial del plano es cero. En consecuencia, el p ro b le m a d e u n a lín e a d e c a rg a la rg a o r ie n ta d a p a r a le la m e n te a un p la n o c o n d u c to r se ha resuelto ef icazmen te. El potencial en la m it ad del espacio está dado co rrect am ente p o r la e c u a c ió n (3 -4 4 ). S u p o n g a m o s q u e la lín e a d e c a rg a m o s tr a d a e n la p a r te d e r e c h a de la figura es la carga especi ficada, que está a una distancia d del p la n o c o n d u c to r. Entonces la línea de carga del lado izquierdo de la figura desem peña el papel de una imag en. N uevam ente, la carga tot al sobre el plano es igual a la de la carga im agen. C onsiderem os a conti nuación superficies equipotenc iales que co rresponden a otros valores de r, y M . L a form a general de la superfi cie pued e hallarse expresando r2 e n coordenad as r ectangulares. Por comod idad, el egim os el srcen del sist em a coordenado en la línea de carga posit iva, y hacem os qu e esta carga coincida con el ejez ; la s egund a línea de carga está col ocada en x = - 2 d , y = 0. Ahora

x = - 2d , y = 0 .

rí = *2 + y 2 r\ = (x +

2df

+ y2

de modo que la ecuación (3-45) se convierte, después de alguna manipulación algebraica, en

3. 11 Sistemas

de con ductores

y coeficientes

de potenc ial

75

É sta es la ecuaci ón de un cil indro circular que se extiende paralelo al eje z. S i M e s m enor que uno, el ci li ndro rod ea la lí nea de carga p ositi va co m o lo ha ce la superfici e equipotencial II de la figur a. El eje del cili ndro p asa p or el punto

X

= y el radio

2M ¿d >- =M 0

0-47)

del cili nd ro es 2M d

í

173

~ EJEMPLO 3.4 Cilindro conductor cargado con orientación p a r a le la a un plano conductor

R‘ =

1 -

M

(3-4 8)

Estam os ahora en posición de resolver vari os problem as interesantes en l os que inter vienen con ductores cil indri cos, pero sólo se expon drá uno d e este t ipo. Con  sideremos el problema de un conductor cilindrico largo en la vecindad de un p la n o c o n d u c to r y o rie n ta d o p a r a le la m e n te a é s te . E l c ilin d ro tie n e c a rg a A p o r unidad de longit ud. L a figura 3.6 pued e servir para ilustrar el problem a; los dos condu ctores coinciden con la s superficies punteadas.

Solución; Am bas líneas de carga son imág enes en este caso, y el potenci al en la r egión que rod ea al cil indro y qu e está a la derecha del p lano está dad o po r l a ecuación (3-44). Es evidente que la carga induc ida sobre el plano es igual a -X p o r u n id a d d e d is ta n c ia e n la d ir e c c ió n z-

3 .1 1

Z

SI STEM A DE CON DUC TORES Y COE FI CI ENTES DE POTEN CI AL En la s secci ones an teri ores se han analizado varios métodos impo rtant es para obtener soluciones de la ecuación de Laplace. A unq ue son de c arácter general, po r considera ciones prácticas est os m étodos se li m it an a problem as en los que los cond uctores tie nen formas más bien sencillas. Cuando sus formas son complicadas, una solución matemática completa en forma analítica queda descartada. Sin embargo, se pueden sacar algunas conclusiones con resp ecto al sist em a simplem ente porqu e el potencial sat is face la ecuaci ón de L apl ace. D e hecho, d em ostr aremos aqu í que exist e u na rela ción lineal entre el potencial de uno d e los condu ctores y las cargas de los di versos con ductores del sist em a. Los co efici entes en esta rel ación, l os ll am ados coeficientes dep otenci al , son funciones só lo de la geom etrí a (específi cam ente, no depend en ni de la s cargas ni de los potenciales) y , aunque n o siem pre se puedan calcular analí ti cam en te, pueden determ inarse num éri cam ente o a part ir de experim entos. Supongamos que hay N conductor es en una g eom etr ía fi ja . C onsideremos que QjX).L a soluci ón todos los conductores están descargad os excepto el j , q ue t iene carga adecuada de la ecuación de Laplace en el espacio exterior a los conductores estará

El campo electrostático en medios dieléctricos H asta ahora hemos ignorado problemas en los que intervi enen m edios dieléct ricos y hem os trat ado casos en los que el campo eléctrico es produc ido exclusivam ente por cargas en u na dist ribución determinada o por cargas li bres sobre la su perfici e de los conductores. En este capítulo trat arem os de rem ediar est a situaci ón c onsiderand o el caso más general. U n material dieléctrico ideal es aquel que no ti ene cargas libres. Sin em bargo, todos los m edios materiales se comp onen de m oléculas; éstas a s u vez se com ponen de entidades cargada s (núcleos atóm icos y electrone s) y las m olécu las de l os dieléctri cos son, de hecho, afectadas por la presencia de un cam po eléctrico. El cam  p o e lé c tric o p ro d u c e u n a fu e rz a q u e s e e je r c e s o b r e c a d a p a r tíc u la c a rg a d a , e m p u ja n  do las partículas positi vas en la direcci ón d el cam po y las neg ativas en senti do opu est o, de m odo que las par tes positi vas y negati vas de cada molécula se des plaza n de su s p osicio  nes de equilibrio en sentidos opuestos. Sin embargo, estos desplazamientos están limitados (e n la m ayoría de los casos, a fracci ones m uy pequ eñas de un diámetro m olecular) por int ensas fuerzas recuperad oras que se for m an al cam biar l a configu ra ción de l as car gas de la m olécula. El tér m ino “carga l igada” , en con traste con el de “carga libre” de un conductor, s e usa a veces para p oner énfasis en el hec ho de que tales cargas moleculares no son libres para moverse muy lejos o ser extraídas del material dieléctrico. El efecto total, desde el punto de vista macroscópico, es más fáci l de v isuali zar com o un desplazamiento d e toda la carga positiva en el diel éctri co con respecto a la carga neg ati va. Se d ice entonces q ue el dieléctri co está polarizado. Un dieléctr ico p o la r iz a d o , aun cuando sea eléctricame nte neutro en prom edio, p ro d u c e in d u d a b le m e n te u n c a m p o e lé c tr ic o e n lo s p u n to s e x te r io r e s c in te rio re s d el dieléct ri co. C om o result ado, nos vem os en una situación que parece se r algo embarazosa: la polarización del dieléctrico depende del campo eléctrico total en el medio, pero una parte del campo eléctrico es producida por el dieléctrico mismo. A dem ás, el ca m po eléctri co d ist ante del dieléct ri co p uede m odificar l a distri  b u c ió n d e c a r g a lib r e s o b r e lo s c u e r p o s c o n d u c to r e s y e s to , a s u v e z , p r o d u c ir á

98

4 El ca m po electr ostático en med

ios di eléct ricos

modificaciones en el campo eléctrico en el dieléctr ico. El propósito principal de es te capítulo es desarrollar métod os g enerales para man ejar esta curiosa sit uación.

4 .1

P O L A R IZ A C IÓ N En esta sección consi

deraremos un pequeño elem

ento de volumen

A

v de un medio

dieléctr ico que, com o un todo, es eléctri cam ente neut ro. Si el m edio está polarizado, entonces se ha producido un a separaci ón d e cargas posit ivas y negativas y el elem ento de volum en se caracteri za por un m om ento di polar eléctr ico

(4-1) Según la sección 2.9, esta cantidad determina el campo eléctrico producido por en pun tos dist antes (es deci r, a dist ancias grandes com paradas co n las dim ensiones elemento de vol umen).

Av del

Como Ap depende del tamaño del el em ento de volumen, es más convenien te trabaj ar con P, el m om ento dipolar eléctri co po r unidad de volumen. P generalmente se llama p o la r iz a c ió n e lé c tr ic a o simplemente p o la r iz a c ió n del medio.

H ablando est rict am ente, P debe definirse como el límite de esta cant idad a m edida qu e A v se hace m uy pequ eño desde el punto de vist a macroscópico. D e esta f orma, P se convierte en una función puntual P(*, y , z)-

Las d imen siones de P son carga por unidad de área; en unidades mk s, C /m2 . Es evident e que P (x, y , z ) es una canti dad vect ori al que, en cada eleme nto de v olu men, tiene la dirección de Ap. Esta cantidad, a su vez, tiene la dirección del despla zam iento de la carga positiva con respecto a la carga negativa (véase la Fig. 4.1). Aun cuando A v s t considere m uy p equeño desd e e l punto de vista macroscópico, contiene m uchas m olécul as. Puest o que una m olécula es una de l as peq ueñas entida des eléctri cam ente neutras que forman el materi al dieléctr ico, a veces co nviene hablar del m om ento dipolar eléctri co p /;¡ de un a sola m olécula; esto es.

r dq molécula

(4-3)

4.2 Cam po fue ra de un m edio dieléct

99

rico

FIGURA 4.1 Porción de m ater ial dieléctri co polarizado. Cada elemento de vol umen se representa como un dipolo Ap.

Es ev ident e de la ecuación (4 -I) que el m om ento dipolar asoci ado con A;; está dado p o r A p = X p w, d o n d e la s u m a in c lu y e to d a s la s m o lé c u la s c o n te n id a s e n el e le m e n to A v . En consecuencia, r =¿

2

p„

( «,

Este enfoq ue se desarrollará con m ás detall e en el capit ulo 5. Aun que l a figura 4.1 repres ente cada el em ento de v olumen del dieléct ri co p ola rizado co m o un peq ueño dipolo, puede ser m ás instruct ivo visualizar el diel éctri co en tér m inos de sus moléculas e ima ginar que cada d ipolo de la f igura 4. 1 representa una sola molécula.

4. 2

=

CAMPO

FUERA

DE UN MEDI O DI ELÉCT RI CO

Consideremos una porción finita de material dieléctrico polarizado, es decir, que está caract erizada en cada punto r ' por un a polari zación P (r'). La p olarización da srcen a un cam po eléct rico, y nu estr o problem a es calcular este campo en un punto r q ue e stá fuera de l a m asa del diel éctri co (véase la Fig. 4.2). C om o en el cap ít ulo 2, enc ontrarem os m ás con ven iente calcu lar prim ero el po tencial

V, z)

10 0

4 El cam po electrostát

ico en m edios diel éctri cos

Cad a el emento de volumen A i/ del m edio diel éctr ico se caracteri za por un mo  m ento dipolar A = P A v f y, com o la distancia entre (* , y , z) y A t/ es grande com parada con las di m ensiones de A i/ , es te m om ento dipol ar deter m ina com plet am ente la contri  b u c ió n d e la s c a rg a s e n A i / al p o te n c ia l: a

-

A p - ( r - r ')

P(r ') • ( r — r' )

4jre0| r - r ' | 3 Aquí, r -

r ' e s el vect or, di rigi do hacia afuera de Ai/, |r — r '| =

V(*

A v'

4jr«r0| r - r ' | 3 cuya m agnitud está dad

- x ' f + ( y - y +' ) 2(z - z ’)2

a por (4- 6)

El potencial total en el punto r se obtiene sumando las contribuciones de todas las p a r te s d e l d ie lé c tr ic o :

1 f P(^ ') ^(r -^ ’)d^/ 4 n e|r J- Vllr '|3


(4 -7 )

Este resul tado es c orrecto, y (p puede calcularse direct am ente ap artir de la ecuación P. Sin embargo, nos interesa expresar la (4-7) si se conoc e la form a funcional de ecuación (4-7) en una forma diferente por medio de una transformación matemática sencilla. Si Ir - r' l está dado por la ecuación (4-6), entonces 1 ,r - r '|/

\

r - r' |r - r '|3

(4- 8)

como puede verse por la aplicación directa del operador gradiente en coordenadas cart esianas. El operado r V ' contiene derivadas con respecto a las coordenad as primas. En ciert as cir cunstancias, es co nveniente efectuar un ope rador gradiente con respecto a l as coorden adas n o primas; esto se indicará e n la form a usual con V. Evidentem ente. V ' operando sobre una funci ón de Ir - r' l es i gual a -V operando sobre l a m isma funci ón. N ecesitar em os el operado r V m ás adelante para obtener el campo e léctr ico en un pu nto r. S in embargo, al resolver la i ntegral (4-7) sobre el volum en dieléctri co VQi el punto r se mantiene fijo. Por tanto, el integrando de (4-7) puede transformarse m ediante la ecuación (4-8) :

p (r- o Ir - r L a ecuación de la tabla

(4-9) pue de transf orm arse aún m

ás m ediante la i

dentidad v

ectorial (1. 1.7)

1.1 :

V '. (/F) = f V ■F + F • V ' f

(4-10)

donde / es cualquier función puntual escalar y F es u na función p untual vect ori al arbit rari a. Aquí, nuevam ente, la pri m a indi ca derivación con respec to a l as coorden a das pri mas. Si / = (1/l r - r' l) y F = P, el integrando, o sea, la ecuación (4-9), se conv iert e en

4.2 Cam po fuera de un m

10 1

edio diel éctr ico

Ir - r'l3 Finalm ente, e l potencial

, (Ec. 4-7), puede exp

1

r

¿ P-nda'

4 ^ ()t

don de la integral

1

|r - r'|

de volumen

resarse com

o

f (-V '-P )dv'

4jre„ J„#

|r - r'|

de V ' ■(P/lr - r'l ) ha sido sustit

(4' 12) uida po r una integral

de

superficie apli cando el t eorem a de la di vergencia, y n es la norm al hacia afuera eleme nto de superfici e d a ' (hacia afuera signifi ca fuera del d iel éctri co).

Las cantidades P ■n y -V • P que aparecen en las integrales de la ecuación (4-12) son dos fun ciones escalares obtenidas a partir de la polarización Es c onve niente asigna r a estas cant idades símb olos especial es. Co m o ti enen las dimensiones de carga por uni dad de área y carga por unidad de volum en, respectivam ente, escr ibi remo s

Op = P • n = P„

del

P.

(4-13 )

y P p

—V • P

=

(4-14)

o p y p p d e n s id a d e s d e c a rg a d e p o la r iza c ió n .

Llamar emos a

L a densidad superfi cial de carga de po lar izaci ón está dada p or la com pone nte de pola rizaci ón norm al a la superfi cie, y la densidad d e carga v olum étri ca de la polarización es una m edida de la no uniform idad de la polari zación dentro del materi al. El potenc ial debido al m aterial dieléctrico „(r

).

-L

[{

^

+ f

4 j r c o L j 5b|r - r '|

L

|r - r '| J

dq'P

4*6, J | r - r ' l

(4‘1 5)

se expresa aho ra de t al man era que es evidente que proviene d e una distri buc ión de carga. En otras palabras, el m ate ri al diel éctri co se ha susti tuido po r un a dist ribución adecua da de cargas de polar izaci ón. A unque la ecuaci

ón (4-15) se ha obteni

do po r m edio de un

a tr ansformación m

a

temática, deb ería ser posible entender Gpy pp con argum entos puram ente fí sicos. Que exist e un a densidad de carga su perfici al (Jp es evidente de la figura 4.1, en la que se v e qu e esta carga se form a a partir de los extr em os de d ipolos con igual orient ación. D e este modo, se crea una densidad de carga en cada superficie que no sea paralela al vector de polari zación. V olvi endo ahora a pp, es de esperar que p p A v ' represente el exceso de carga o la carga neta del e lemento de volum en A v \ P uede verse que és te es realmente el caso de la siguiente manera: definamos dos densidades de carga

10 2

4 El cam po electr ostáti co en m edios diel éctr icos

otal positiva y de la carga total nega ti va por p * y p~ com o representantes de la carga t unidad de volumen, respecti vam ente. Esto es, i p + representa t odos los núcleos atóm cos po r unidad de volumen del dieléctri co y, de form a simil ar, p" represen ta todos los electr ones. E n el est ado no polarizado, cada elem ento de vo lum en del dieléctri co es eléctri cam ente neutro. Po r tant o, p » C * \ y 'y z ' ) + p ó ( x =' , yo ' , z ' ) dond e el subíndice cero representa las densidades en

(4- 16) la configuración no

polari zada.

Supo ngam os que, como con secuencia de la polarización, l a carga positiva es despla zada un 8 * (jt, y, z ) y la negativa un 8~(x, y, z). L a carga positiva que atraviesa un elemento de áre a d a ' es p*8* • n da'. Por tanto la g a n a n c ia d e c a r g a p o s itiv a del ele m ento de volumen Az/ durante el proceso de polarizaci ón es

- i P ¡t6+ -nda Ja s

'

(4-17)

donde A S es la s uperficie que limita Az/ . A nálogam ente, e l desplazam negativa aum enta l a carga (disminuye la carga negativa) en A z/en 6 (- pñ)S~ Ja s

iento de la carga

■ n da

(4-18)

La ganan cia total en la carga del elemento de vo lumen Az/ es la suma de las ecuaci ones (4-17) y (4-18) y , com o consecu encia de (4-16) , pued e expresarse en la forma

-
p (t( 6 + -

b~)-nda'

= - V - [ p (T ( 6 + - 8 ") ] A i/

(4- l9 )

Jas

Pero 8 * - 8“ es sól o el d espla zam ient o relati vo d e la s densidades de carga positiva y nega tiva y , por tanto, p¿( 8* - 8") es equivalente a lo qu e hem os llam ado polarización P. A sí pues, em ento de volum en del dieléctri p p A v ' es la car ga neta en un el co po lari zado. A pri m era vist a puede parecer bas tant e extraño que, habiendo em pezado con elem entos de volumen eléctri cam ente neutros de m ater ial dieléct rico, f inalicemo s con elem entos de vo lumen qu e tie nen un a carga neta. Segú n nu estr o pun to de vista srci nal, el dieléctr ico se com pone de dipolos elem entales Ap, y era esencial que cada Ap fuera eléct ricamente n eutro para que la ecuación (4-5) diera el potencial correctamen  te . A hora vem os que m ientr as V • P no se anul e, lo s el em entos de volum en individu a les parecen estar cargados. El srcen de esta aparente paradoja se encuentra en la transf orm ación m atem ática ( 4-11) . La contr ibución de cada elem ento de volum en se transforma en un término de volum en diferente y en un térm ino de superfici e. La carga tot al de l volum en y de la superficie del ele m ento es aún cer o, pero cuando reunim os varios el em entos de volum en para for m ar una pieza m acroscópica de m ate ri al dieléctr ico, encontramos que las contri buciones al potencial de las diversas “sup erfi cies inter nas” s e el im inan. Nos quedan efectivam ente elemen tos de vo lumen cargados y un a contribución sup

erficial de la

frontera real

del cuerpo

dieléctri co.

4.3 El cam po eléctr ico den tro de un dieléctr ico

10 3

La carga de polarización total de un cuerpo dieléctrico,

Q p = f (-V J ya

'-P

) d v ' + ¿ P nda JSa

(4-20)

deb e ser igual a cero, ya que nuestra prem isa fue que el dieléctri co, com o un todo, era eléctri cam ente neutro. Este r esultado es evidente de la form a de la ecuación (4-20), que claramen te se anula com o consecuen cia del teor em a de la diver gencia. Tenem os aho ra dos exp resiones distint as para el potencial electrostático

4* e0 U* , ° r| r^ -— r ^|

E(r) = z M f

EL CAM PO E LÉCTRICO DENTRO

da' +

í Pr^—

Ir -

^dv-

(4-21)

DE UN DI ELÉCTR I CO

Antes de que podamos escribir una expresión para el campo eléctrico dentro de un m edio polari zado, es necesario definir este camp o eléctrico con precisi ón. L o qu e nos interesa es el cam po eléct rico ma croscópico , es decir , el cam po eléctrico prom edio en una pequeña región del dieléctrico que, sin embargo, contiene un gran número de m olécula s. Un enfoque alt ernati vo, y tal vez preferible, e s definir el cam po eléctr ico directamente en términos de un experim ento macroscópico.

E l cam po eléct rico ( ma croscópico) es la fuerza por unidad de ca rga sobre una carga de prueba sumergida en el dieléctrico, en el límite en el que la carga de prue ba es tan pequeñ a que no afecta, por sí mism a, la dist ribución de carga.

Esta carga de prueba debe ser dimensionalmentc pequeña desde el punto de vista m acrosc ópico (l o que llamaremos carga “punüm r) > pero será gr ande com parada con el tamaño de u na molécula. A unque el enunciado anterior es la defi nición fundam ental del cam po eléctri co m acroscópi co E , es difí cil em plear esta defini ción directamente para obtener una expresión para el cam po, puesto que tendríamos qu e calcular l a fuerza sobre un cuerpo cargado de gran tam año y luego ir a l lí mite a me dida que dism inuya el tama ño del objeto. E n consecuencia, vem os que conviene em plear ot ra propiedad del cam po eléc tr ico para ayudarnos a o btener l a expresi ón analí ti ca que estam os buscando.

10 4

4 El cam po electr ostáti co en m edios dieléct ricos

FIGURA 4.3 La trayect oria A D C D está contenida p arcial m ente en la cavidad en forma de aguja y parcialmente en el dieléctrico. En un dieléctrico isótropo (véase la Sec. 4.5 ) la polarización P tiene la direcci ón de E.

B

A

i

5

\ r

r'

D --► e

de modo que, para la orientación mostrada de la aguja, o r = 0 sobre las p a re d es ci li n d ri cas. E n un dieléctrico anisótropo. ar no es necesariamente cero, p er o su v alo r n o in fl u y e en la componente longitudinal del campo eléctrico en la cavidad.

De esta for ma, obtendrem os E en función de las car gas de polarización del m edio. Posteri ormen te, en la sección 4.9, se dem ostrará que la cantidad que he m os llamad o E concue rda realmente con l a fundamental “definici ón de fuerza”. El cam po electr ostáti co en un dieléct rico deb e tener l as mism as propiedade s bá sicas que encontramos válidas para E en el vacío; en particular, E es un campo conservativo y, en consecu encia, p uede derivarse de un p otencial es calar. Así pues,

V x E=0 o, en forma equivalente, E • d \ = 0 A pliquem os esta últ ima ecuación a la trayectori a A B C D mo strada en la f igura 4.3, e n la que el segmento form a de agu ja sacada del diel éctri co, A B está en una cavidad con y el segmento C D está dentro del dieléctrico mismo. Como los segmentos A D y BC p u e d e n h a c e rs e a r b itra ria m e n te p e q u e ñ o s , la in te g ra l d e lín e a s e re d u c e a E u •1 — E j • I = 0 o, en forma equivalente, = E d,

(4-22)

donde los s ubíndices ente, al vacío y al dieléctrico, y el v y d s e refieren, respectivam subíndice i indica la componente tangencial. La ecuación (4-22) e s v álida independientemente de la ori entación de la cavidad en forma de aguja. Si la “aguja” se orienta hacia la dirección de E, entonces E é - E(¡.

4.3 El campo eléctrico dentro de un dieléctrico

Ad em ás, por simetrí a, el cam po dentro de la cavidad es paralelo a agu ja, esto es, E s = E , Est o nos conduce a la sigui ente conclusi

105

la dirección de la ón im po rtante*;

E l campo eléctrico en un dieléctrico es igual al cam po eléctrico dentro de una cavidad en form a de agu ja contenida en el di eléctr ico, con el eje de la cavidad o ri entado paralelam ente a la dir ección del cam po elé ctr ico.

Evidentemente, el problem a de calcular el camp o e léct rico dentro de un dieléct ri co se r edu ce a calcular el cam po eléctri co en el int erior de una cavidad e n form a de ag uja en el diel éctri co. Pero el cam po eléctri co en d icha cav idad es un ca m po ex terno y, en consecuen cia, pue de calcularse med iante los r esultados de la sección 4.2. Com o en la sección 4.2, supondremos ahora que la polarización del dieléctrico es una función dada P(*', y \ z ') y calcular em os el potenci al y el cam po eléctrico que se srcinan de esta polar izaci ón. Tom ando el pun to r del campo en el centro de la cavidad y em plean do la ecuación (4-15), obtenem os para el potencial


í

1

1

+

4;r«r0 donde

pp (x',y'

,z' )dv'

4jre0Jy0-v¡

V{) - V, es el volum

f

o P( x ' , y ' , z ’) d a '

Sn+S' en del dieléctr

(4-23)

|T — r | ico excluye

ndo la “agu ja”, 50 es la superfici e

ex terior del dieléctri co, y S f = S ] + S 2 + S c son las sup erfi cies de la aguja. Pero de la figura 4. 3 se ve que Gp = 0 sobre la superficie cil indrica S c de la aguja. A dem ás, l a aguja puede hacerse arbitr ariamen te delgada, de mo do que las sup erfici es 5 , y S2 tengan un área despreciabl e. A sí pues, só lo las superfici es ex teri ores del dieléct rico contribuyen y la integral de superficie de la ecuación (4-23) se vuelve idéntica en form a a la i ntegral de superfici e de la ecuación (4-15). La integral de volum en de la ecuación (4-23) excluye la cavi dad. Sin em bargo, la contri buc ión de la cavidad a esta integral es despreciabl e, com o puede ve rse fácil m ente. La densidad de carga o p está limitada; la cantidad dv'i Ir - r'l no diverge en el punto del campo (es decir, cuando r ' = r) p o r q u e e l v o lu m e n e n el p u n to e s u n c e ro d e o rd e n m á s a lt o q u e e l lím lr - r ' l ; y finalmente el volum en V, de la aguja puede hac erse arbitr ariamen te pequ eño h acien V ] y la ecuación do m ás fi na la cavidad. A sí pues, no necesitamo s excluir e l volum en (4-23) se vuelve semejante en la forma a la ecuación (4-15). En otras palabras, la ecuación (4-15) da el potencial cp(f) independientemente de q ue el punto r se localice dentro o fuera d el diel éctr ico.

* Este enunciado es estrictamente válido sólo para los dieléctricos isótropos (véase la Sec. 4.5). Para dieléctricos anisótropos. este argumento no es aplicable y nuestra conclusión debe generalizarse: el campo eléctrico dentro de un dieléctrico es igual a la componente longitudinal del campo eléctrico dentro de una cavidad en forma de aguja en el dieléctrico, siempre y cuando el eje de la cavidad esté orientado paralelamente a la dirección del campo eléctrico en el dieléctrico.

10 6

4 El cam po electr ostáti co en m edios dieléct ricos

El cam po eléct rico E(r) p u e d e c a lc u la rs e c o m o m e n o s el g ra d ie n te d e la e c u a c ió n (4-23) . Pero este camp o difie re de la ecuaci ón (4-21) sólo en una cantidad desp recia b le . A s í p u e s , la ecuaci ón (4 -21) da la contri bución de l m edio al cam po eléctrico en r, independientem ente de si r está dentr o o fuera del m edi o. Los cálculos indicados en las ecuaciones (4-15) y (4-21) son directos para los casos en que ón conocida. (Alguno s ejem plos de este P(x, y , z ) es una función de posici tipo se encuentran entre los problemas del final de este capítulo.) Sin embargo, en la m ayoría de los caso s la polarización se ori gina com o respuesta a un cam po eléctri co que se ha im puesto sobre el m edio dieléct rico, esto es, P(*', y \ z 0 es una func ión del s, la si tuación es cam po eléctri co m acroscópico total E (x', y \zO y, en estas condicione m ucho m ás com plica da. Primero, si bien e s necesario conocer la form a f uncional de P(E), esta forma se conoce exp crimen tal m entc en la m ayoría de los casos y, por tanto, no causa dificul tad. La com plicación r eal se debe a que P depen de del cam po eléctri co ibución del dieléct rico m ismo, y esta contribución es la que total, incluyendo la contr deseamos evaluar. Así pues, no podemos determinar P p o rq u e n o c o n o c e m o s E , y viceversa. Es evidente que se nec esit a un enfoque disti nto del problem a y éste se proporcio nará en las siguientes secciones.

4. 4

—

LEY DE GAUSS EL DESPLAZAM

EN UN DI ELÉCTRI CO: I ENTO ELÉCTRI CO

E n el capítulo 2 dedujim os una relación im portan te entre el flujo eléctrico y la carga, es decir , la le y de G auss. Esta le y establece que el fluj o eléctri co qu e pasa a través de una superfi cie cerrada arbitr aria es proporcional a la car ga tot al en cerrada po r la supe r ficie. Al aplicar la ley de Gauss a una región que contiene cargas inmersas en un dieléct rico, debem os tener cuidado en incluir todas las ca rgas dentro de la superfi cie gaussiana, tant o la carga de polari zación com o la carga que está inmersa. En la figura 4.4, la superficie punteada S es una superficie cerrada imaginaria colocada dentro de un m edio dieléct rico. C onsiderem os cier ta canti dad de carga Qy

FIGURA 4.4 Construcción de una superficie gaussiana S en un medio dieléctrico.

4.4 Ley de Ga uss en un diel éctri co: el desplazam

iento eléctrico

10 7

contenida en el volumen li mitado por S , y supongam os que esta carga se encuen tra en las superficies de los tres conduc tores en las cantidad es qr qv y q v Po r l a ley de G auss, (4-24) donde

Q es la ca rga libre neta,

Q

=

y Q p es la carga de p

+
olarización

net a:

5 ] +S2+ S$ Si+Sz+Sj

(4-25a)

J y

Aquí V es el volum en del dieléctr ico encerrado p or S . No hay frontera del material dieléct rico en S, de mod o q ue la i ntegral de sup erfi cie en la ecuación (4-25a) no con tiene una contri bución de S. Si tr ansform am os la int egral de volum en de (4-25 a) en un a i ntegral de sup erfi cie p o r m e d io d e l te o r e m a d e la d iv e rg e n c ia , d e b e m o s te n e r c u id a d o e n in c lu ir la s c o n tr i b u c io n e s d e to d a s la s s u p e r fic ie s q u e li m it a n V , es d ecir. S, Sp Sv y S v E s evidente que las tr es últ imas co ntri buciones ca ncelarán el pri m er tér m ino de la ecuac ión (4-25a ), de modo que (4-25b) Al co m binar este result ado co n (4-24),

obtenem os (4-26)

L a ecuación (4-26) establ ece que el fl ujo del vector e QE + P, que p asa po r una super fi cie cer rada, es igual a l a carga neta inm ersa en el volumen encerrado po r la supe rfi  ci e. E sta cantidad vectorial es l o suficient em ente i m portante com o para m erecer un nom bre y un sím bolo espec ial .

Po r tant o, defini remo s un nuevo ca p la z a m ie n to e lé c tr ic o :

m po vectori al macroscóp

ico, D, el

D = €0E + P el cual evi dentemen área.* En fun ción de D, la 5

des (4-27)

te t iene l as mism as unidades q ecuación

(4-26) se convierte e

ue P , carga por unidad de n (4-28)

En unidades gaussi anas. D se defi ne com o D = E + 4;rP; D, E y P tienen l as mismas unidades de carga por unidad de área, y en el vacío D = E.

108

4 E l cam po electrostáti

co en m edios diel éctri cos

ley de G auss pa ra el Este resul tado se cono ce generalm ente como desplazam iento eléct ri co o, si m plem ente, ley de G auss.

La ecua ción (4-28) es aplicable a una región del espacio limitada po r cualquier supe rfi cie cerrada 5; s i la apli cam os a un a pequeñ a región en la que toda la carga encerrada está di str ibui da com o una densidad de carga p, entonces la ley de G auss se con vierte e n D • n da = p Al d ividi r esta ecuación

AV

entre

A V y tom ar el lí mite, obt enem os

V •D = p

(4- 29)

Este resultado se ll am a a veces form a diferencial de la l ey d e Gauss. La ventaja de expresar las formas integral y diferencial de la ley de Gauss, ecuaciones (4-28) y (4-29), en términos del vector D, consiste en que sólo aparece explícit am ente la carga Q o la densidad de carga p contenida en el m edio diel éctri co. D e aquí en adel ante, ll am aremos a la car ga Q (o p) sim plemente carga (o densidad de carga). Cu ando se a necesario dist inguirla de la carga de polarización Q p del medio o total Q + Qp, la carga Q se ll am ará carga externa. de la carga Po r “ externa” no quere mos decir que esté necesariamente fuera del límite físico del material, sino que se añade a l as cargas que forman la const it ución atóm ica del m ateri al neutral. * Ya que en m uchos probl em as la carga ext erna es conocida, es una ventaja que el campo electrost áti co tot al en cad a punto del med io diel éctri co se exp rese com o la sum a de dos partes,

E ( x , y , z ) = — D ( X , y , z) ¿0

2 P(jf, y, €0

z)

(4-30)

donde el pri m er tér mino, ( l/ e 0)D, se r elaci ona con la densidad de carga externa me diante su divergencia, y el s egundo tér m ino, ( - l / e 0)P, es propo rcional a la polari za ci ón del medio. En el vací o, el camp o eléctr ico está dado com plet am ente po r el pr imer término d

e la ecuación (4-30).

* La carga externa se ll ama con m ucha frecuencia carga "li bre", y la carga de polarización se usa algunas veces com o sinónimo de carga l igada. En electrostáti ca, esta confusión no ca usa problem a alguno, ya que la carga extern a en un conductor es libre (es decir, li bre para m overse en los alrededores) y la carga de po la riza ci ón es tá l igad a. Si n em ba rg o, l a ca rg a e xt er na en un di el éc trico n o es lib re ; si l o f ue ra , se m ov er ía rápidamen te hacia la superficie y escaparí a. Po r lo demás, la m ayoría de los medios condu ctores contie nen, adem ás de las cargas libres que determinan el comp ortamiento electrostáti co de un cond uctor, algu nas cargas ligadas, que en otras circunstancias contribuyen a la polarización (Cap. 7). Con campos dependientes del tiempo (Cap. 19), es muy importante no con fundir la diferencia entre carga externa y carg a de polarización con la diferencia entre cargas libres y cargas ligada s. P or tanto, usaremos exc lusi externa en este contexto. vamente el término carga

4.5 Susceptibil

idad eléctri ca y constante

dieléctri ca

10 9

SUS CEP TI BILI DA D ELÉCTRICA Y C O N S T A N T E D IE L É C T R IC A En la introducción de este capítulo se estableció que la polarización de un medio diel éctri co o curre com o respuesta al cam po eléctri co en el m edio. El grad o de po lari  zación depend e no sólo del campo eléct ri co, si no tam bién de las propiedades de la s m oléculas que forman el m ateri al diel éctri co. D esde el punto de vist a m acroscóp ico, el com portam iento del m ateri al est á com pletamen te especif icado po r una r elación, que se determina de forma experi m ent al , ll am ada ecuación constitutiva , P = P(E), donde ico. Esta expresión es una relación pun tual , y si E es el campo eléct rico macroscóp E varía de un pu nto a otr o en el materi al, entonces P variará igualmente. Para la m ayo ría de los ma teri ales, P se anula cuando E se anula, lo cual es el com porta m ient o m ás com ún. En consecuenci a, li mitar em os n uestr a explicaci ón ahora a material es de este t ipo. (Los dieléct ricos con u na po lari zación p erm anen te se estu diarán brevem ente en la sección 5.4. ) Adem ás, si el m ateri al es isótropo, la polari za ción debe rá t ener el mismo sentido que el cam po eléctri co qu e la provoca.

Est os resultados se resum

en en la ecuación

constit uti va

P = X (E)E donde la cant

idad escal ar /( £ ) se l lama

(4-31)

su sc e p tib ilid a d e lé c tric a del m ateri al.

Gran v ariedad de m aterial es son eléctri cam ente isótr opo s; esta categ oría incluye flui dos, sóli dos policri stal inos, sóli dos am orfos y algun os crist ales. Un trat am iento de la s p ro p ie d a d e s e lé c tr ic a s d e lo s m a te r ia le s a n is ó tr o p o s e s tá m á s a llá d e l a lc a n - c c d e e s te texto.

Al com binar l as ecuaciones (4-31) y (4-27) D en medios isótropos:

, obtenem

os una expres

ión para

D = e(E) E

(4-32)

e( E) = €,¡ + X (E )

(4-33)

donde e(E) es la p e r m itiv id a d del m ater ia l. Es e vident e que e , la s m ismas unidades.

y £ ti enen

A unque hemos tenido el cuidado de expresar X Y e en l a f orm a ;£( £) y e(E), X Y e son a ftxenudo independientes del campo cxperimentalmente se encuentra que eléct ri co, excepto q uizá para cam pos m uy inte nsos.

11 0

4 El cam po elec tr ostá ti co en m edi os die léc tr icos

En otras pal abras, £ y e son a menudo co ri al. Materiales de este ti po se ll am arán relaciones

nstantes caracterí sti cas del m ate y obedecen la s dieléctricos lineales

P = *E

(4- 3 la)

D = €E

(4-32a)

El com portam iento eléctri co de un m ater ial qued a ahora especifi cado com pletamente, ya sea por la perm iti vidad c o po r l a susceptibi li dad % . S in embargo, es m ás conve niente t rabajar con una canti dad ad imen sional K defini da com o e = K eo

(4-34)

K se llama co efici ente dieléct ción (4-33) es evidente que

rico, o sim

plem ente

constante

dieléct rica. D e la ecua

= f K= 1 + 7

(4 -3 5 )

Las constan tes dieléctri cas para algunos materi ales que se encuentran no rma lmen te se dan en la tabla 4.1. Excepto p ara algunos ejemplos en los que se especifica la polarización P del m aterial , los problem as de este libro se refi eren a dieléctricos lineales. Si el cam po eléctri co en un d iel éctri co se hace m uy int enso, em pezará a sacar elec trones de la s m oléculas y e l m ater ial se converti rá en conduct or. El m áximo ca m po eléc trico que un dieléctrico puede soportar sin perforarse se llama rigidez dieléctrica m bién se da E máx de algunas sustancias ta

4. 6

~

CARG A PUNTUAL

rigidez dieléctrica. en la tabla 4. 1.

La

EN UN FLUI DO DI ELÉCT RI CO

U no de lo s problemas m ás senci ll os que po dríamos considerar en el que interviene un dieléctrico es el de una carga puntual q en un medio isótropo homogéneo de extensión infinita. El medio dieléctrico se supondrá lineal y se caracterizará por una constante dieléctrica K . Au nque este problema es bastante senci llo, ver em os q ue es instr ucti vo.

EJEMP LO 4.1 Cam po elé ctr ico de una carga p untual en un fluido dieléctrico

Sea u na carga puntual igen en un fluido dieléctri q colocada en el or tante dieléctr ica K . Encuentre el cam po E en el fluido,

co con cons-

Solución: Si la carga puntual q estuvie ra en el vacío, el camp o eléctri co seria un camp o radi al puro. Pero ya que E, D y P son paralelos entre sí en cada punto, la natural eza radi al del cam po no cam bia por la presenci a del m edio. Ad em ás, de la simetría del problema, E, D y P p u e d e n d e p e n d e r s ó lo d e la d is ta n c ia a p a r tir

4.6 Carga pu ntual en un flui do dieléctr ico

111

TABLA 4. 1 Propiedades de materiales dieléctricos Constante dieléctrica K

Material Oxido de Aluminio

6 x 10 *

4. 5

V idrio* N y lo n P o lie tile n o C u a rz o( S i0 2) Cloruro de sodi o Azufre Madera* A lc o h o l etílic o (0°C) B e n c e n o(0°C) A g u a (destilada , 0°C) A g u a (destilada , 20°C ) A ire(1atm ) Aire (100 atm) C 0 2 (1 a tm)

Rigidez dieléctrica £ mlx (V/m )

5 -1 0 3.5 2.3 4.3

9x10* 19 x W 18 x106

6.1 4 .0 2.5-8.0 28.4 2.3 87.8 80.1 1 .00059 1.0548 1.000985

3x106

* Para m ateri ales como vidrio y madera, la composición quími ca varía; de ahí el intervalo de constantes dieléctricas. N o debe deducirse que el material es no lineal . F u ente : Datos tomados de H a n dbo ok o f C h em is tr y a n d P h y sic s , 58a ed., Cleveland, Ohio, CRC Press, Inc., 1978.

de la carga puntual y no de alguna coordenada angular. Apliquemos la ley de Ga uss, ecuación (4-28), a un a superfi cie esférica de radio r que se localice con céntri cam ente con respecto a q . Entonces 4 J tr 2D = q

D =

D =¿

4jtr

r

,4 -3 6 )

El campo eléctrico y la polarización pueden calcularse ahora con bastante facilidad:

E "

¡

<

«

7>

112

4 E l cam po electrost

ático en m edios dieléct

Por tanto, e medio.

ricos

l cam po eléctrico e

s m enor en un factor

K de lo que sería si no

hubiera

A estas altur as, convendrá m irar e l problem a con m ás detall e y tratar de v er por qué el dieléctr ico ha deb il it ado el cam po eléctr ico. El cam po eléctr ico es srcinad o por carga,bargo, la lade polarización terna es sólo launcarga puntual carga de polary la externa. izaci ónLasecarga f ormexa de dos contribuciones: a densidad qtoda . Sinlaem volumétrica p p = -V • P, y u na densi dad sup erfi cial Gp = P • n sobre la sup erfici e del dieléctr ico en contacto con la carga punt ual. Em pleando la ecuación (4-38) vem os que V • P se anula para olumétri ca de carga d e r ¿ 0, de m odo que no hay densidad v p o la riz a c ió n e n e s te ca so . N u e s tra c a rg a p u n tu a l q es un punto en el sentido m acroscópico. Si s upon em os que es grande, tom ando com o base una escala m olecular , podem os asignarle un radio rga total superf ici al de polarizaci ón b que, p osteri orm ente, se hará tender a cero. La ca está dada entonces por Qh =

L a carga total

lím 4;rfc(P b—o

• n )f _„ = -

(K -

1 )q — 1

K

(4 -3 9 )

,

1 Q p + <7 = ^<7

(4-40 )

aparece com o una carga puntual desde el punto de vista m acroscópico, y aho ra se ve claro por qué el campo eléctri co es m eno r en un factor K de l o qu e sería si no hubiera medio. Un diagrama esquemático de la carga puntual q en un m edio dieléctri co sc ilustra en la figura 4.5

4. 7

~

CONDI CI ONES E N LA FRON TER A PARA LOS VECTO RES DE CAMPO Antes de que podamos resolver probl em as más com pli cados, debemo s saber cómo varían los vect ores de cam po E y D al pasar por una zona interf acial entr e dos m edios. Los m edios pueden se r dos dieléctr icos con d ifer entes propiedades, o un dieléctri co y un conduct or. El vacío puede considerars e com o un dieléct rico de permitividad e 0. C onside rem os dos m edios en contacto, 1 y 2, com o se i lustra en la figura 4. 6. Supo ndrem os que hay una densidad sup erfi cial de carga externa, c r, que pu ede variar de un pu nto a otro en la zona inter faci al. Con struyam os ahora una pequ eña superficie un área AS de S en form a de caja de pasti ll as, que c orta a la zona interf acial y encierra dicha zona, siendo la altura de la caj a de pastil las despreciablemen te pequeñ a com pa rada con el diám etro de las bas es. La carga ence rrada por S es

4.7 Condiciones

en la front era para los vector es de cam po

113

FIGURA 4.5 Diagrama esquemát ico que m uestra la orienta ción de las moléculas p o la ri z a d a s en un m edi o dieléctrico que rodea una “carga pu ntua l ” q.

E

o A S + Í(Pi

+ P 2) x vol umen

p e r o el v o lu m e n d e la c a ja d e p a s ti ll a s e s d e s p r e c ia b le m e n te p e q u e ñ o , d e m o d o q u e el últ imo térm ino puede despreciarse. A pli cando la ley de Ga uss a 5, vem os que D 2 ■n2 A S + D , • Ü!

( D2 - D ,)- n 2 = Puesto qu

e n 2 puede se rvir como

D 2n - D in = o

AS = o AS

a

(4-4la) la norm al a la zona interfaci

al, (4-4Ib)

A sí pue s, la di sconti nuidad en la com ponente normal de D está dada por la densidad superficial de la carga e xterna sobre la zo na interfac ial. O, dicho de otra forma, si no hay carga en la zo na i nterf acial entr e dos m edios, la com pone nte normal de D es continua.

FIGURA 4.6 Las condiciones en la frontera para los vectores de campo en la zona interfacial entre dos medios pueden obtenerse aplicando la ley de Gauss a 5 e int egr and o E ■ d i a lo largo de la trayectoria A B C DA.

11 4

4 El cam po elect rostát ico en m edios diel éctr icos

D ebido a que el cam po electrost áti co E p u e d e o b te n e rs e co rn o m e n o s el g ra d ie n te de un po tencial, la i ntegral de línea de E • cft alrededor de cualqu ier t rayectoria cerra da se anula. A pliquem os este resultado a la tr ayectoria rectangular A B C D de la figura 4.6. Sob re esta t rayectoria, las l ong itudinales A B y C D se considerar án iguales a A l y los s egm entos AD y B C se supondrán despreciablem ente pequeñ os. Po r consiguiente,

E 2 -Al + E i *(—Al) = 0

(E2 - E ,) -A l = 0

(4 -4 2 a )

En consecuencia, el resultado deseado es

E 2i = E u

(4-42b)

Por tanto, la componente tangencial del campo eléctrico es continua al atravesar una zona interfacial. Los resultados anteri ores se han obtenido para dos m edios dieléctri cos arbitra rios, pero vale la pena ver lo que predicen las ecuaciones pa ra el caso en el que uno de los medios fuera un conduc tor . Co m o no hay un a f uerza m olecular recuperado ra sobr e las cargas li bres de un conductor, parece ría que para un cond ucto r se tendrí a y e dio 1 se % = o© en la ecuación (4-31), = °° según la ecuación (4-33). Si el me considera conduct or, entonces concluimo s que E t = 0 cualesqu iera que sean los valo res (finitos) de P, y D,, com o ya hem os deducido p or diferentes razonam ientos en el capítul o 2. Com o E , se anula, la ecuación (4-42b) resulta ser = 0

E 2í

(4- 43)

Si n em bargo, el desplazamiento D j no queda determ inado por estas consider Si para nuestros propósitos lo fijáramos arbitrariamente en cero, la ecuación (4-41b) se con vertiría e n D^ =

o

aciones.

(4-44)

dond e (7 represen ta la densidad de carga superficial total sobre el condu ctor, pero no incluye la carga superfici al de polarización en el dieléctri co. Un enfoq ue a lternativo es resolver el problema del diel éctri co y luego con siderar que K { tiende hacia infinito (véanse los problem as 4.12 y 4. 14). Enton ces
4.8 Problem as con valores en la frontera

en lo s que int ervienen

dieléctr icos

115

FIGURA 4.7 D

Tubo de fl ujo de desplazamiento.

es una condición en la frontera, pero no independiente de las ya deducidas. En la m ayoría de los casos es equivalente a la ecuación (4-42b) . D e este análi sis y de los desarroll ados en anteri ores secciones se pued e con cluir que el desp lazamiento eléctri co D está ínti m am ente relacionado con la carga exte rna. D es N o s g u s ta ría d e m o s tra r a h o r a u n a p ro p ie d a d im p o rta n te d e D : que el ílujo de continuo en regiones que n o contienen cargas exter nas. P ara hacer esto, recurr iremos nueva m ente a l a l ey de Gau ss. Enfoquem os nuestra at ención en un a regi ón del espaci o y construyamos líneas de desplazamiento , qu e son líneas im aginarias trazadas d e ta l m anera que la di rección de un a de ell as en c ualquier pun to es la di rección de D en dicho punt o. A conti nuación im aginem os un tubo de desplazam iento, un volumen li m it ado en sus lad os por las lí neas d eD , pero q ue no es cortado po r ést as (véase la Fi g. 4.7). El tubo está li m it ado en sus extrem os po r las superficies y S2. Al a plicar la le y de Gauss, obtenemos (4-45)

Q = 0 y la m isma cantidad de fluj Si no hay ca rga externa en la región, entonces o que entra al tubo por 5, sal e por C uand o está presente la carga externa, ésta determina la disco ntinuidad en el fl ujo de desplazam iento. Po r tanto, l as l íneas de d esp lazam ien to terminan en la s cargas exter nas. Las lí neas de fuerza, po r otra parte, t erm inan e n las cargas ex ternas o en las cargas de polarizaci ón.

4 .8

PROBLEMA S CON VALORES EN LA FRONTERA EN LOS QUE INTERVIENEN D I ELÉC TRICOS L a ecuación

fundam ental qu e se ha estudiado en est V•D = p

e capítulo es (4-46)

116

4 El cam po electrost

áti co en m edios dieléct

ri cos

donde p es la densidad de carga externa. Si l os dieléct ricos con los que estam os traba ja n d o so n li n e a le s , is ó tr o p o s y h o m o g é n e o s , e n to n c e s D = e E , s ie n d o e una constant caracterís ti ca de l ma teri al, y po dem os escribir V •E = ^ p Pero el cam

po elec trostático E p

e

(4 -4 7) ued e dedu cirse de un po

tencial esc

alar < p, es decir,

E = -V(p de m odo que

V 2q> = - ^ P

(4-48)

Por tanto, el potencial en el dieléctrico satisface la ecuación de Poisson. La única diferencia entre la ecuación (4-48) y la ecuación co rrespon diente pa ra el potencial en el vacío consiste en que e reem plaza a e 0 (y p signif ica densi dad de carga externa e n luga r de densidad de carga tot al) . En la m ayo ría de los casos d e inter és, el diel éctri co no con ti ene ca rgas distri bui das en todo su v olum en, es deci r, p = 0 den tro del ma teri al diel éctri co. L a carga está sobre las superfi cies de l os conductores o se con centra en forma de cargas pun tual es que pu eden, p or ciert o, estar dentro del dieléct rico. En e stas cir cunstancias, el poten cial sat isface la ecuación d e L aplace en to do el diel éctr ico: V 2
= 0

( 4“49)

En algunos proble m as pu ede hab er una densidad superf ici al de carga, a , so bre la su p e r fic ie d e u n c u e rp o d ie lé c tr ic o o e n la z o n a in te rfa c ia l e n tr e d o s m a te r ia le s d ie lé c tr i cos. pero esto no alt era l a sit uación y la ecuac ión (4-49) sigue si endo apli cable m ient ras

P =0-

Un pro blem a el ectrostático en el qu e intervienen dieléctricos li nea les, i sótrop os y hom ogéneo s se reduce, por tant o, a hallar la s soluciones de la ecuación de L aplace en cad a m edio y r elacionar las soluciones en l os diversos m edios con las condicione s en la fr ontera de l a sección ant eri or. Hay m ucho s problem as que pue den reso lverse con este método; un ejemplo se expondrá aquí y otros adicionales se hallarán entre los p ro b le m a s d e l f in a l d e l c a p ít u lo .

Z EJEMPL O 4. 2 Esfera dieléctrica en un campo eléctrico uniforme

N o s g u s ta r ía d e te r m in a r c ó m o s e m o d if ic a n la s lín e a s d e f u e r z a c u a n d o u n a e s f e  ra dieléctrica de radio a se coloca en una región del espacio que contiene un campo eléctrico inicialmente uni forme, E 0. Sup ongam os qu e el diel éctri co es lineal , isótr opo y hom ogén eo, y qu e se caracteriza por la constante dieléctr ica K . A demás, no ti ene carga. El srcen de nuestr o sist em a de co ordenadas puede tomarse en el centro de la esfera y la di rección de E0 com o la dirección polar (dirección

z) .

4.8 Problem as con valores en la frontera

en los que intervi enen dieléct ricos

11 7

Solución: El pot enci al puede expres arse entonces como un a suma de los armónicos esfér icos. Igual que en la secc ión 3.5, todas las condiciones en la frontera pueden sati sfacerse po r medio de los dos armón icos de m eno r orden, y escr ibi m os (p\(r, 6)

= A ¡ r eos 6 4- C j ~ 2 co&O

(4-50)

p a r a la r e g ió n e n el v a c ío ( 1) e n el e x te r io r d e la e s f e ra , y

A 2r eos 0 + C 2r~ 2 eos 6

0) =

(4-51)

p a r a la r e g ió n d e l d ie lé c tr ic o (2 ). L a s c o n s ta n te s A ]9 A v C , y C2 no se cono cen y deben determ inarse a part ir de las con diciones en la front era. No es necesario el armónico r ~ \ pu esto que su presenc ia i m plica una carga ne ta en la esfera. Puede sumarse un término constante a las ecuaciones (4-50) y (4-51), pero como se necesit a l a misma constant e en ambas ecuaci ones, podem os, si n pérdida de ge nerali dad, considerarla cero. Lejos de la esfera, el campo eléctrico conservará su carácter uniforme y o sea: — E {)a - f C }a~2 = A 2a

(4-52)

Puesto que la compo nente normal de D en la zon a i nterfaci al es D r = - e (d (p /d r ), la continuidad de D r (no hay carga sobre la superficie del diel éctri co) requ iere que D lr = D 2r e n r = a, o sea :

E „ + 2 C,a~3

= -KA2

(4'53)

L a conti nuidad de E t e n r - a es equ ivalente a la ecuación (4-52). Al com binar l as ecuaciones (4-52) y (4-53), obtenem os =

2

^

}

_

(4_54)

K + 2

= ( K - l)a3£„

K + 2 A sí pues, se ha resuelto el problema. El po tencial está dado po r (4-50) o (4-51), y las const antes A,, C r A 2 y C2 son todas conoci das. Las com ponen tes de E y D p u e d e n o b te n e r s e e n c u a lq u ie r p u n to (r , 0, ) po r derivaci ón. E s evidente, de la

11 8

4 El cam po electrost áti co en m edios diel éctri cos

FIGURA 4.8 Campo eléctrico uniforme distorsionado por la p re se n c ia d e u n a e sf e ra dieléctrica: a) líneas de desplazamiento eléctrico, b) lín eas de l ca m p o eléctrico.

ecuación (4-54) y de qu e C2 = 0, que el cam el senti do d e E () y está dado p or

Es =*

T 2E "

l-as l íneas de desp

* 4. 9

'

po eléctrico dentro de la esfera ti

lazam iento y las lí

ene

(4'56)

neas de fuerza se ilustran en la figura 4.8.

FUERZA SOBR E UNA CAR GA PUNTUAL SU M ERG I DA EN UN DI ELÉCTRICO Estamos ahora en condici ones de d eter m inar l a fuerza sobre un pequeño conductor esférico carg ado su m ergido en un dieléctrico lineal i sótropo. En el l ímite par a el c ual el conductor es despreciabl em ente pequeño desde el punto de vist a m acroscóp ico, est e cálculo da la fuerza sob re una carga puntual. El cam po eléctr ico y la densidad d e carga superfici al en un pu nto representati vo de la superfici e del conduc tor se obtendrán por el pr ocedim iento del valor en la fron-tera de la sección anterior y la fuerza F p u e d e e n to n c e s o b te n e rs e a p a r tir d e la in te g ra l sobre la superfici e:

E = j*E 'od a Aqu í E' represen ta e l camp o eléctri co en el elemento de sup erfici e del cam po produ cida por el propio el em ento. En otras palabras, E = E -

Es

(4-57)

d a , m enos la part (4-58)

donde E ves el cam po eléctri co produ cido por el elem ento sup erfici al de car ga, oda. E s impo rtant e que E vno se incluya en e l cam po E ', porqu e la canti dad E vcx d a representa la i nteracción del elem ento de carga o d a con su p r o p io campo. Esta

e

4.9 Fue rza sobre una carga puntual

sum ergida en un dieléct rico

119

FIGURA 4.9 Cam po propio de un eleme nto superfi cial cargado.

E. ^

autoint cracci ón no produc e evidentemente fuer za neta sobre el elem ento, pero da o gen a un esfuerzo o tensión superf ici al que se debe a la r epulsión m utua de los

SFs = o E s

ri

(4-59)

electrones (o del exceso de iones positivos) en la capa superficial. Este esfuerzo se com pensa con intensas fuerzas de cohesión en el m ater ial del que está com puesto el elemento. D eberá señalarse que cuando calculamo s las fuerzas sobre los objet os car gados en los capí tulo 2 y 3, i m plí cit am ente rest amo s el cam po propio E , Por tant o, cuando calculamos la fuerza sobre una carga puntual, e l cam po prod ucido p o r la carga p u n tu a l n o fu e in c lu id o . U n e s tu d io m á s d e ta lla d o d e la s fu e r z a s s o b re lo s o b je to s cargados se considerará en la sección 6 .8. Puede pa recer que el cam po propio del elemen to de superfici e cargado o d a es despreciable porque el el em ento es de m agnit ud infi nit esimal. Si n em bargo, este cam  p o e s fin ito . S in d u d a a lg u n a , e l e le m e n to e s p e q u e ñ o d e s d e e l p u n to d e v is ta m acroscópico, pero nunca se ll ega al lí mite. En un p unto directamente sob re su super fi cie, el eleme nto aparece como una secci ón de un p lano (Fi g. 4.9) . El cam po E es p e r p e n d ic u la r al e le m e n to p e r o tie n e s e n tid o o p u e s to e n c a d a u n o d e lo s la d o s . E l campo tot al dentro del el em ento es ce ro. En consecuencia, E ' — 0E i =

(dentro del con ductor)

(4-60)

Esta ecuación nos proporciona una relaci ón entre E 'y E ns ob re la superficie tant o, entre E ' y el cam po eléct ri co m acroscópico E en la superf ici e: E'= = E - E , = 1

(4- 61)

e

La fuerza sobre el conductor se convierte e

y, por

n

F = ^jE o d a Fijemos aho ra nuestra atenci ón en un pequeñ un dieléctri co d e extensión infinita. La ca rga total e s a. Ya que al f inal toma rem os el lí m ite en el qu e variaci ones del cam po eléctri co (si exi sten) son a un ciente considerar el caso en el qu e el cam po eléctri vecindad del conductor. Representemos este cam

(4-57a) o condu ctor esférico sumergido en sob re el con du ctor és Q y su radio a se hace muy pequeño, y com o la s a escala m acroscóp ica, será sufi co es ini cial m ente u niforme en la po u niforme con el símb olo E 0. La

120

4 El cam po electrostáti

co en m edios diel éctri cos

descripción es semejante al problema con valor en la frontera que resolvimos en la secci ón 3. 5, excepto que aq uí la esfera cond uctora se sum erge (o está i nm ersa) en un dieléctr ico de perm it ivi dad (= y adem ás ti ene un a carga neta Q. Por ana logía c on la sección 3.5 determ inam os fácil m ente lo siguient e. El po tencial ,

E (í ^ cp(r , 6 ) = (p0 — E ()r eos 6 H— -f~¿- c os 0

r)

(4-62)

El cam po eléct ri co,

E r = £ 0(1 + -E„{1 -

£„ = La densidad

2a V

de ca rga superfici

a(9)

)e o s

0

+ Q/Aner2 (4-63)

a3 /r3 ) sen 6 al sobre la superfici

= e E r\ r=a = 3e£ 0 eos

e de la esfera,

6 + QIAna1

(4-64)

La fuerza pu ede ah ora determinarse a p arti r de la ecuación (4-57 a). Por sim única com ponen te disti nta de cero de la fuerza es la que tiene la dirección decir, en la dirección z:

Fz = 1 í

( E r)r =a eos 9o(6)2na2

sen 9 d 6 = E0Q

etrí a, la 6=0, es

(4-65a)

2 Jn

F = QE0

(4- 65b )

Este result ado no varia c uando tom am os el l ímite pa ra a pequeño. Por t anto, el campo eléctrico en el dieléctrico E () con cue rda con la definición fund am ental, es decir, l a Q d ivi dida por la magnitud de Q. fuer za sobr e una p equeña carga de prueba

4. 10

~

MÉTODO DE I MÁ GENES PAR A PROB LEMAS QUE INTERVIENEN DIELÉCTRICOS

EN LO S

. El m étodo de imágenes est udiado en el capít ulo anterior pue de gene rali zarse para obtener l as soluciones de la ecuaci ón de Laplace pa ra los casos en los que hay dos o m ás m edios di el éct ri cos en el pr oble ma. Recordem os qu e cuando em pleamos la t écni ca de la carga i m agen, el potencial en una región del espacio se visuali za com o si fuera p ro d u c id o p o r c a rg a s “ p u n tu a le s ” y c o n d u c to re s c a rg a d o s e n la re g ió n , a s í c o m o p o r cargas i m agen fi cti cias fuera de la región. Las cargas i m agen parecen localizar se dentro de uno o más cond uctores . La ún ica dif erencia cuan do tenemos uno o m ás d iel éctri cos presentes es que la s cargas imagen fi cti cias pueden tam bién estar local izadas den tro de uno de los ot ros diel éctri cos (no en el que el potenci al está siendo cal culado), y las condiciones en la fron tera en ca da z on a interfacial diel éctr ico-di eléct ri co deb en satisfacerse.

4.10 M étodo de i m ágene s para problem

EJEMPLO 4.3 Campo de una carga puntual cerc ana a una zona i nter  fa cia l dieléct rico-di eléct rico

as en los que intervienen dieléct

12 1

ricos

C onsidere dos m edios diel éctri cos con perm it ividades constantes, ey . que están separadas por una zona int erfaci al plana. N o hay carg a externa sobre la zon a inter faci al. Un a carga puntual q está i nm ersa en el medio caract eri zado p or e ! a una dist ancia d de la zon a i nterf acial (Fi g. 4.10). El problem a propue sto es : ¿Cu áles son los cam pos eléctr icos en l os m edios 1 y 2?

Solución conveniencia, toma elr eleje pl anox eyz, por el srcel en com o la zo: Ponar interf acial y podem sit uar qossobre n xque= pas -d. Sia utilizamos p r o b le m a d e s c rito e n la s e c c ió n 3 .9 c o m o g u ía , p o d e m o s e s p e r a r q u e el p o te n  ci al en cada medio pued a expresars e com o la sum a del potencial de la car ga p u n tu a l q y el de una carga imagen. Adem ás, suponemo s que la carga i magen está local izada a la m isma d istanc iad de la zona int erfacial , com o lo está la carga p u n tu a l o rig in a l. S ea r = v(x

+ d f

Entonces en el med


i

+

+ r

r' =

V(*

-

d f +y 2+ z2

io 1,

\ q ,q '

(4-66)

Ane

En o tr as palabras, la carga i

m agen

q ' se locali

za en el m edio 2 en la po sici ón (d ,

0 , 0). Pa ra el

potenc ial (p2 en el med io 2, l a carga imagen deb e estar sit uada en el q , am bas en la posición (-d , 0, 0). medio 1, tal como lo está la carga srcinal Llamaremos q " a la s u m a de las cargas. En tonces, en el m edio 2,
4 7te2r

(4-67)

122

4 El cam po electrostát

ico en m edios dieléctri

cos

Las cantidades q ' y q " pueden obtenerse de l as cond ici ones en la frontera en la E zon a int erfacial . Ca lculamos D )n = y cal cul amos D ln = D 2n d e acuerdo con la ecuación (4-4 Ib): 0 q - q')d

q" d

[d2 + y 2 + z 2)312 A conti nuación calcul acuerdo

( 4'6 8 )

amo s E ly = - d f p j d y |x=0 y lueg o ca lcula m os E ]y = E 2y d e

con la ecuación ( q + q ’)y

e \ d 2 + y2

+[d.y2 2 + 22 P

(4. 42b): _

+ z 2f 2

q"y

e 2[ d 2 + y2 +

z 2]312

(4‘69)

N o s e o b ti e n e n a d a n u e v o d e la c o n tin u id a d d e (p en la zon a inter facial . R esol viendo las ecuaciones (4-68) y (4-69) para q ' y q ' \ obte nemo s

q' =

— *2 qq,, ; 6 . + €2

--------------

„ 2e2 q"q = =-----------— q € \ + e2

La ecuación d e Laplace se sat is face en amb os m edios la frontera tamb ién se sati sfacen. L a soluci ón es úni ca.

4 . 11

I

(4-70) y las condici ones en

RESUM EN E l com portam iento electr ostáti co dé un m edio diel éctri co está caracteri zado com ple tamente por su mom ento di polar po r unida d de v olumen o p o la ri za c ió n : Ap =lí m — A t;

P E ste procedi

m ient o gen era la

pp = -V • P ,

densidad de ca (Op =

rga d e polari zación

n • P)

y nos d a el pote ncial vt

El cam po total

1

[ f

(7P(r') d a ' 1 p p ( * ' ) d v ' , í°Á*)da

E debido a las cargas externas m

V • E = 2 (p +

ás la carga de po

lari zación

Pp)

«o Es co nven iente defini

r el cam po vectori al,

D = e0E + P de tal form a que

V *D = p

desp lazam iento el éctr ico,

sati sface

4. 11 Resum

con sólo las cargas externas como

fuentes.

123

en

La ecu ación rotacional

V x E = 0 no cam bia, ya que no conti ene la densidad de carga. C de los campo s, l a ecuación constit utiva

on el fi n de resolver l

as ecuaciones

P = P(E) debe también conocerse para el material particular. Entonces, las últimas cuatro ecuaciones, su jet as a las condici ones en la fron tera

A>„ - Dl n - a

y

E y D en el interior

son su fici entes para determinar • L a form a integral

E 2i - E u = 0 y ex terior de los diel éctricos.

ley de G auss se conv iert e en

de la

donde Q incluye sólo la carga externa localizada en el i nterior de la sup erfici e S . (Con secuentem ente, jus to afuera de la superfi cie de un con duc tor sum ergido en un medio dieléctrico, =
E = -Vtp • L a m ayo ría de l os m ateri ales di eléctr icos son li neales, con un a constante:

susceptibilidad

P = *E Esta ecuación

constit utiva, com binada con la defini

ción de

D, da

D = 6E donde * = *o +

X

L a con stante dieléctri

ca

vale entre 1 y 100 para la may oría de l os dieléctr icos más co m unes; pa ra t odo s los dieléctricos K > 1 (£ > 0 ). Para el vacío K = 1 (j= 0 ). E l com portamient o el ect rost át ico de un conductor puede obtenerse haci endo K infinita. • En un m edio li neal

V -E = ^ p

y

V2

Las técnicas matemáticas para resolver las ecuaciones de Poisson y de Laplace son sem ejant es a las del capítul o 3, con la s condiciones en la frontera apropiadas zo na interfacial entre dieléctri cos,

en la

x

Teoría microscópica de los dieléctricos

En el capítul o an teri or consideramo s los aspect os m acroscópicos de la polari zación dieléctrica. Se demostró cómo, en muchos casos, la polarización puede tenerse en cuen ta m ediante la i ntr oducción d e una con stante dieléct rica. D e esta f orm a, el cam  p o e lé c tric o p o d ría c a lc u la rs e d ire c ta m e n te a p a r tir d e la c o n s id e r a c ió n d e la d is tr i b u c ió n d e c a rg a e x te rn a. A u n q u e s e h iz o re f e re n c ia a la s m o lé c u la s d e l d ie lé c tr ic o varias veces en el capít ulo 4, no se ll evó a cabo detall adam ente un trat am iento m i croscópico del m ater ial y el pano ram a general se presentó realmen te desde el punto de vista macroscópico. En este capítulo examinaremos la naturaleza molecular del dieléct ri co y verem os de qué m anera e l cam po eléctri co responsab le de la polari za ción de la molécula se relaciona con el campo eléctrico macroscópico. Además, b a s á n d o s e e n un m o d e lo m o le c u la r s e n c il lo , e s p o s ib le e n te n d e r el c o m p o rta m ie n to lineal característico de una gran cantidad de materiales dieléctricos.

CAM PO M OLECULAR

EN U N DI ELÉCTRI

El ca m po eléctri co responsab le de la polari llama campo molecular, E m.

E l campo molecular

es el campo eléctri

zación de

CO una m olécula del dieléctri

co en una posición m

co se

olecular del

dieléctrico; es producido por todas las fuentes externas y por todas las moléculas polarizadas del dieléctrico con excepción de la molécula en el p u n to e n c o n s id e r a c ió n .

E m no es necesariamente el mismo que el campo eléctrico Es evidente que m acroscópico porque, com o se expuso en la sección 4.3, est a últ ima can ti dad se

128

5 Teoría m icr oscópica

de los diel éct ri cos

FIGURA 5.1

—

+

Sustitución del dieléctrico exterior a la “cavidad” por un sistema de cargas de p o la ri z ac ió n .

" H X r1 +

- f OC -

(—4-

-hX

r

+ 'X—

+ )(—

X—

4 ^)£

+}C

—

-

+ X —

4o

+

—

+

"O +

+0

+

40

+

T

4-

+

4 - ^ +

j

1 +

(—

_| T>^

+

C4—- T T — j

1

—

-

+

í

4 - X

C— - Q ( — 4X

+X— C-

+

C-

-fc

+

X

4 X - 40C— 4 4 4 -x- + 0 -R

- 4 - " ) ( l—

X 4 V

- 4 - 0C — -

—

/

Q

\

-

• \ £

+ 3

/ -

—

+

—

+

—

+

—

+

—

+

—

+

—

+

—

+

-J + 0

+

40

p lr

t

+

+

_L

©

+

I

í

- p-

\>

+ (

—

-------

-fc)

+

(a )

+

(b )

rel aciona con la t uerza sobre una carga de prueba que es grande com parada con las dimensiones moleculares. El cam po m olecular pue de calcularse en la sigui ente forma. P rimero elimine m os una porción peque ña de dieléct ri co, dejando una cavidad esférica que rodee el p u n to e n el q u e v a a c a lc u la r s e el c a m p o m o le c u la r . E l d ie lé c tr ic o q u e q u e d a se considerará com o un c ontinuo, es deci r, desde el punto de vista m acroscóp ico. Vol  vem os a poner ahora la porci ón de diel éctr ico en la cavi dad, m olécula a m olécul a, excepto la molécula del centro de la cavidad donde deseamos calcular el campo molecul ar. Las m olécul as q ue acabam os de volver a colocar no deben tr atars e com o un continuo, sino como dipolos individuales. El procedimiento que se ha utilizado p u e d e ju s tif ic a r s e s ó lo si el r e s u lt a d o d e l c á lc u lo e s in d e p e n d ie n te d e l ta m a ñ o d e la cavidad, lo que, como veremos, es precisamente el caso en ciertas condiciones. Supo ngam os qu e una mu estra delgada de dieléctri co se ha polarizado al col ocarla en el campo eléctrico uniforme entre dos placas paralelas que están opuestamente cargadas, com o se il ustra en la figura 5.1 (a) . Se s upo nd rá que la po larización es unifor m e a escala macroscópica (es to es, V ■P = 0), y que P es paralel o al cam po que lo produce. La parte del dieléctrico exterior a la cavidad puede sustituirse por un sist em a de cargas de po lari zación, com o se ve en la figura 5.1 (b), por lo cual el cam po eléctri co en el centr o de la cavidad pu ede expresa rse como

E m = E c + E tí + E , +

E

(5-1)

Aquí, es el cam po eléctri co prim ario deb ido a las placas para lelas carga das; E< ; es el cam po de spolarizante debido a la carga de polari zación en las supe rfi cies exterio res del dieléctrico; E v se debe a la carga de polarización sobre la superficie de la cavidad S y E ' se deb e a todos lo s dipolos que están en el interi or de S . Aunque no esta m os con sider ando la f orm a explíc it a de Ex, es evidente que si la s dimen siones de

5. 1 Cam po m olecul ar en un diel éctr ico

12 9

las pl acas son grandes comparadas con su separaci ón, E c= ( l/ e ())a, siendo a la densi dad de carga superfici al. El cam po d espolari zante tamb ién se produce p or dos planos p a r a le lo s d e c a rg a, e s ta v e z c o n d e n s id a d o p . Pu est o que a p = P n= ± P,

Expresaremos el cam po elé ctr ico macroscópico en el dieléctri co sin subíndice, esto es, E. Como la componente normal del desplazamiento eléctrico D es continua al atravesar la zona inter faci al entr e el vacío y el diel éctri co, y co m o D = e oE, en el vacío que queda exactam ente en el ext erior de la plancha diel éctr ica, E = Ex + Ed

(5-3)

Al combinar las ecuaciones (5-1), (5-2) y (5-3), se tiene Em = E + E5

+ E'

(5-4)

Esta ecuación relaci ona el cam po m olecular con el camp o eléctr ico m acroscó pico en el material dieléctrico. El resultado es bastante general y no está restringido a la cavidad esférica y a la geo m etrí a de l os el ectrodos planos de la fi gura 5. 1. Sin em bar go, la deri vación anterior es inst ructiva y será úti l para el prob lem a que se e xp ond rá en la sección 5. 4. El cam po E vproviene de u na densidad de carga de polari zación, a,, = Pt¡, sob re l a superficie esférica S . U ti li zando co ordenad as esféri cas y tom ando la dirección po lar a lo largo de la di recci ón de P, com o en la figura 5. 2, obtenem os (5-5) siendo r el ve ctor qu e va de la superficie al centro de la esfera. D e la si m etría, es evidente que sól o la comp onente de d E s en la dirección de P contribuir á a la integral de la ecuación (5-5) sobre l a superficie com plet a. Co m o d a = r1 sen Q dO d
FIGURA 5. 2 Cálculo de la contribución de la sup erficie de la “cavidad" a E .

130

5 T eoría micro

scóp ica de l os dieléctri

cos

Finalmente, llegamos al último término de la ecuación (5-4), el que se debe a los dipo los eléctricos en el interior de es para los cual es S . H ay m uchos casos important este término se anula. Si hay muchos dipolos en la cavidad, si están orientados p a r a le la m e n te p e r o d is tr ib u id o s al a z a r e n s u p o s ic ió n y si n o h a y c o r re la c io n e s entre las posiciones de los di polos, entonces E ' = 0. * É sta es la sit uación que pu ede p re v a le c e r, p o r e je m p lo , en u n g a s o e n u n lí q u id o . D e m a n e r a s im il a r, s i lo s d ip o lo s en la cavidad están situados en las posiciones at óm icas regulares de un cristal cúb i co, entonces nuevamente E ' = 0. En relación con esto, el lector debe consultar el p r o b le m a 5.2 . En el caso general, ipos d e m olé E ' no es cero, y si e l m ater ial contiene varios t culas E ' p u e d e c a m b ia r e n d ife r e n te s p o s ic io n e s m o le c u la re s . E s to e s lo q u e d a o r i gen al com portamiento eléctri co anisótropo de la calcit a, por ejemplo. N o obstante, nuestro propósito no es desarrollar una teoría para m ateri ales anisótropos; por tan to, li m itar em os el análi sis a l os m ateri ales de m ayor abundancia en los cuales E ' = 0. Así, la ecuación (5-4) se reduce a

Em = E + — P

(5-7)

Es interesant e observar que este result ado podría obtenerse directamen te por el mé to do anterior s i la cavidad esférica fuera generada al quitar sólo una m olécula. Pero en estas condiciones la cavidad seria tan pequ eña que la sustitución del resto del dieléctri co p o r u n s is te m a d e c a rg a s d e p o la riz a c ió n n o p o d ría j u s tif ic a rs e . El momento dipolar de una molécula es proporcional al campo eléctrico (cam p o p o la riz a n te ) q u e a c tú a s o b r e ell a. L a r azón del m om ento dipolar de una m olécula al cam po polarizante llama p o la r iz a b ilid a d m o le c u la r , a . E n ot ras palab ras,f pm = * E m

(5- 8)

Si hay N moléculas por unidad de volum en, entonces la polari zación nando este resultado con las ecua ciones (5-7) y (5-8), obtenem os

P>

se

Na(* +

P = N p m. Com

¿p)

(5-9)

Esta ecuación puede expresarse en función de la constante dieléctrica,

K %ya que

P = ^E =( K - l)c0E.

* V éase W. Panofsky y M. Philips, Addison-Wesley,

t

Clasical Elecir icity and M agnetism, 2da

ed. Reading, Massachusetts,

1962, Cap. 2.

El concepto de polarizabil en la sección 5.3.

bi 

idad puede utilizar se también para describir moléculas polares, como veremos

5.2 D ipolos inducidos:

D e este mod

o, la ecuación (5-9) se convierte e

que se c onoce com

o ecuación de C

un m odelo sencill o

131

n

lausius- M ossotti .

Es evidente que la ecuación (5-10) define una propiedad molecular, que es la p o la riz a b ili d a d m o le c u la r, e n té r m in o s d e c a n ti d a d e s q u e p u e d e n d e te r m in a rs e s o b re b a s e s m a c r o s c ó p ic a s .

DIPOLOS I

NDUC I DOS: UN M

ODE LO SENCILLO

Las m oléculas de un dieléct rico pueden cl asifi carse en polar es y no polares. U na molé cul ap olare s aquella que tiene un m om ento dipolar perm anente, aun en au sencia de un ca m po polarizante E wj. En la siguien te sección se e studiará la respu esta de un dieléct rico polar a un cam po eléctri co externo. A qu í t ratar em os el problem a algo más senc il lo en el qu e i nterviene n mo lécul as no polares y en el qu e los “centros de grav e dad ” de las dist ribuciones de carga positi vas y negativas coinciden n orm almente. Las m oléculas simétri cas, tal es com o H 2, N 2 u 0 2, o las mo léculas m ono atóm icas, t ales com o He, Ne y Ar, se encuentran dentro de esta categorí a. La aplicaci ón d e un cam po eléctri co prov oca un desp lazam iento r elati vo de la s cargas posit ivas y neg ati vas en m oléculas no polares, y los dipolos m oleculares así formados se llaman dipolos inducidos . El tipo más sencillo de molécula que puede imag inarse es el form ado p or un solo átomo. Es pos ible construir un m ode lo cl ásico sencil lo para el átomo y de este m odelo obtener una expresión para el mo m ento dipolar inducido y, en consecu encia, para su polariza bilidad. Au nqu e fue d is eñado específi cam ente para trat ar moléculas m onoa tómicas, el m odelo p uede util izarse para m oléculas diat óm icas simétri cas, aplicándolo por separado a cada uno de los átomos de la molécu la para ob tener l as polarizabil idadcs atóm icas. L a polarizabili dad m olecular es en tonces la sum a de éstas, o el doble de la po lari zabili dad atómica. Un átom o está formad o por un núcleo ext remadam ente pequeño c argado po sit i vamente, rodeado por electrones orbitales que están en un estado de movimiento conti nuo. C om o los elect rones recorren sus órbit as en u n ti em po sum am ente cort o, del orden de líh 15 segund os, es evidente que en el átom o “es táti co” equ ivalente cada carga electrónica está “reparti da” sob re s u ó rbit a. La m ecán ica cuán ti ca nos dice que, aunq ue este pan oram a e s esencialmen te corr ecto, es algo ingenuo ; los el ectrone s no se localizan realmente en órbitas, sino que tienen una probabilidad finita de estar sit uados en cu alquier part e del át om o. A sí pues, la respuesta del átom o a un cam po elect rost áti co o a cam pos eléct ri cos que varían lentamente pu ede en focarse conside rand o q ue el el ectrón está distr ibuido sob re su órbita en el át om o y qu e cad a órbi ta está extendida sobre una parte considerable del volumen atómico. En resumen, un

5 T eoría m icroscópica de

los diel éctr icos

m odelo clás ico senci ll o del átom o com pati ble con esto es una carga po sit iva puntual (el núcleo) rodeada po r una nube esféri cam ente sim étrica de carga neg ativa en la c ual la densidad es esencialmente uniforme hasta el radio atómico R 0 y cero a radios mayores. Estamos ahora en posición de calcular la polarizabilidad de este “átomo”. Se asignará la carga la carga electrónica y Z el Z e a l núcleo, siendo e el valor absoluto de núm ero atómico. Co m o el átom o es eléct ricame nte neutro, l a carga t otal de la nube electrónica es el núcleo se -Ze. Si el átomo se coloca en un campo polarizante desplazará arem os respecto al centro de la nube de carga una distancia que llam x . Este desplazam iento se dará en la dirección de E ffl. Sup ondrem os que la nub e de carga se m ueve rígidam ente durante este desplazamiento, es deci r, no hay d ist orsión de la nube p o r e l c a m p o p o la riz a n te . E l d e s p la z a m ie n to a : p u e d e d e te r m in a rs e a p a r tir d e l e q u ili b rio d e fu e rz a s s o b r e e l n ú c le o : la fu e rz a Z e E m actúa en la dirección del campo, m ien tras que u na fuerza electrostát ica entre el núcleo y la nube d e carga tiende a restaurar la configuración inicia l. Por la ley de G auss, la carga negativa que atrae al núcleo es la p a r te d e la n u b e d e n tr o d e la e s f e r a d e r a d io * , y si la d e n s id a d e le c tró n ic a e n l a n u b e es uniforme, en tonces esta carga es Z e x V R * . En consecuencia,

Em ,

47T60* O

Z e x = 4 n € 0R l E m

(5-12)

Co m o el dipolo at óm ico formado en este proceso e p u e d e c o m p a ra rs e c o n (5 -8 ), d e d o n d e or = 4 tz €0 R I

s pm =

Z e x , la última ecuación (5-13)

El m odelo at óm ico que acaba de descri birse pued e probarse com parando los re sultados obtenidos a partir de él con los resul tados deduc idos de o tras fuent es. Por ejemp lo, la ecuación (5-13) puede com binarse con la ecuación de Clausius-M ossotti (Ec. 5-10) para el im inar a . L a ecuaci ón result ante predice el radio atómico R 0 en términos de cantidades determ inadas experimentalm ente. La/?0 obten ida de este m odo concu erda razonablemen te bien con los resultados de otros experim entos en aquellos casos para los cuales el m odelo es parti cularm ente adecuado. /? 0 es del orden d e m ag nitud de 1 angstrom , es decir, 10“m m (vé ase el prob lem a 5. 1). L a polarizabi li dad d educida en la ecuaci ón (5-13) es una constante, i ndepe ndien te del cam po polari zante. En con secuencia, la ecuación (5-13) nos c ondu ce a un valor constante de li neal. K y el dieléctri co a sí descrito es

MOLÉCULAS POLARES: LA FÓRMU LA DE LANGEVIN-

DEBYE

C om o se m encionó en la secci ón anter ior , una m olécul a polar t iene un m om ento dipolar perm anente. Una m olécula polar está f orm ada por al meno s dos especies

5. 3 M olé cul as polar es: la fórmula de L

angevin-Deby

e

13 3

FIGURA 5.3 Distribución aleatoria de dipolos permanentes.

disti ntas de átomos. D urante la formación de moléculas, algunos de los electrones pueden transf erir se com pleta o parcial m ente de u na especie atóm ica a otr a; la disposición electró nica resultante es tal que los centros de carga positivos y negativos no coinciden en la m olécula. En ausencia de un cam po eléct rico, una porción m acroscópica del diel éctri co p o la r no e s tá p o la ri z ad a , y a q u e lo s d ip o lo s in d iv id u a le s e stán o rie n ta d o s al az ar, c o m o en la figura 5. 3. L a polari zación se ha defini do com o

P =

(5- 14)

donde la suma se efect úa sobre todas l as m olécul as del elemento de volum en A v . Cuando los pm se orientan al azar, la sum a se anula. Si el diel éctri co polar se som ete a un cam po eléctrico, los dipolos individuales experim entan m om entos de rotaci ón que tienden a al inearl os con el cam po. Si el cam  p o e s s u fic ie n te m e n te in te n s o , lo s d ip o lo s p u e d e n a lin e a rs e p o r c o m p le to y la p o la riz a  ción alcanz a el valor de satur ación P =NPm

(5-15)

donde N es e l núm ero de moléculas por unidad de volum en. Este efecto de orient ación se sum a a los efectos dipolar es inducidos, que g eneralm ente tamb ién están presentes . Por el momento despreciaremos la contribución dipolar inducida, pero su efecto se tendrá en cuenta m ás adela nte. A las i ntensidades de cam po que se encuentran norm alm ente, l a polari zación de un dieléctri co po lar generalmente está lejos de su v alor de saturaci ón y, si l a tem pera tura de la muestra se eleva, l a polar ización se vuelve aún menor. La falta de un a ali nea ción dipolar completa se debe a la energía térmica de las moléculas, que tiende a p ro d u c ir o r ie n ta c io n e s a le a to ria s d e lo s d ip o lo s . E l m o m e n to d ip o la r e f e c tiv o p r o m e  dio por m olécula puede calculars e m ediante un principio de m ecánica estadísti ca que establece que a la temperatura enco ntrar una energía m ole-cul ar T la probabilidad de factor de B olt zmann E determinad a es proporcional al e ~FJ kT

(5-16)

siendo k la constante de Boltzmann y T la tem peratura absolut a. No se hará aquí una exposición com pleta de la base de este principi o; el lector fam ili arizado con la distri b u c ió n d e v e lo c id a d e s d e M a x w e ll e n un g a s p e r fe c to y a lo h a v is to a n te rio rm e n te .

134

5 Teo ría m icroscópica

de los diel éctr icos

Según la ley de di str ibución de M axw ell , la probab il idad de u na ve loci dad m olecular v e s proporcional a e~mv l2kT. Pero en el gas perfect o d e M axw ell , la s m oléculas t ienen sólo en ergía cinéti ca, j r n i '2 . En el caso gene ral, E en la ecuación (5-16) d ebe inclui r tant o la energía cinética E k como la energía potencial U , y el factor se con vierte en (5-17)

e -E k/ k T e -U/kT

L a energía potencial de un

dipolo perm

anente /?0 en un cam po e léctr ico E mes

U = - Po • E m = - p 0E m eo s 6

(5-18)

siendo S el áng ulo entre p0 y el campo eléct ri co. C om o las energías ci néticas m oleculares no dependen d el camp o eléctr ico, podem os desp reciar por com pleto la dist ribución de veloci dades en el sigui ente cál culo. El mo m ento dipo lar efectivo de un dipolo molecular es su c om pone nte en la dir ección del cam po, es deci r, p 0 eos 9. Em pleando la r elac ión de B oltzmann , resulta que el valor promedio de esta canti dad es J p o e o s 0 e +Pn£"’CO5 0/kT d Q

(pocos 6 ) =

I g+PoEm COS d/ k T d Q

donde

dC l es un elemento de ángulo sólido que puede sustituirse por 2

(5-19)

K sen 0 d 9 y

don de los lí m it es de 9 son 0 y n . Como p 0, E m y k T son constantes de integración, la integral es pued en efectuarse direct am ente. Con viene definir y =

y

(5- 20)

kT

L a ecuación (5-19) da e

s

ntonces


(5-21)

que se conoce como fó r m u la d e L a n g e v in . L a curva que p resenta est a función se muestra en la figu ra 5. 4. Puede v erse en la figura que la ecuación (5-21) da realm ente un efecto de sa tura ción para campos de gran intensidad. Sin embargo, para pequeños valores de y , la gráfica es l ineal, y esta r egión lineal es i m portante a t em pera turas ordinarias. El m o mento dipolar molecular p 0 de la m ayo ría de los m ateri ales polares es tal que y « 1 para un int erval o com plet o de int ensidades de campo, aun para aquel las que s e aproxim an al valor de la ri gidez dieléctri ca del m ateri al, mientras la tem peratura esté p o r e n c im a d e 2 5 0 K , a p ro x im a d a m e n te . A s í p u e s , un m a te r ia l d ie lé c tr ic o q u e c o n tie  ne m oléculas polares en general es lineal. C om o la regi ón lineal de la ecuación (5-21) es la imp ortant e, es apropiado desarrollar coth y en seri e de potencias y conservar sólo l os primeros términos (véase

5. 3 M oléc ulas polar

es: l a fórm ula de L angevin-Deb

135

ye

FIGURA 5.4 Gráfica de la función de Langevin. El valor asintótico cuando y —» ** es lino.

el problem a 5. 4). El pri m er término cancela el últ result ado de que (Po

C

OS

0 ) *

^p

0y

N

(5-22a) ivo prom edio; por tanto, la po lari za Em . En con secuen cia, la ecuación

(5-22b)

= - á_ F

3

kT m

Co m parando e sta ecuación con (5-8), es evidente que la po lari zabilidad m om ento dipol ar mo lec ular por unidad de cam po polari zante) es

cc = Este resul

(5-21), con el

=

El término (p 0c o s 0) es el m om ento dipolar efect ción P = N ( p 0 eos 6) y ti ene la dirección de (5-22a) puede escribi rse en la form a ip

imo de la ecuación

a (es dec ir, el

Po_

(5-23)

3k T

tado se h

a deducido despreci

ando los mom entos dipolar

es inducidos y

re

p re s e n ta lo q u e p o d ría m o s lla m a r p o la riz a b ili d a d p o r o rie n ta c ió n . Lo s efectos dipolar induci dos, tal es com o los considerados e n la sección anteri or, dan srcen a lo que p o d ría lla m a rs e p o la r iz a b il id a d p o r d e fo r m a c ió n , a Q. Entonces, en el caso general, la p o la riz a b ili d a d m o le c u la r to ta l es ar = or0 +

_Po_ 3k T

es

(5-24)

5 Teo rí a m icroscópica

de los diel éctr icos

Esta expres ión se c onoce co m o ecuación de Lang evin-Debye en la inter pretación de estruct uras m olecul ares.

POLAR I ZACIÓN PERMAN

y t iene gran im

ENTE: F ERRO ELECTRICI

portancia

DAD

Se vio en la secci ón 5.1 que el cam po m olecular E m es el responsab le de polarizar l as m oléculas indi viduales. La rel ación entre Em y el cam po eléct rico mac roscóp ico E se dio enmo la ecuación (5-7). En la mcuand ayo ría casos, l a polarización es propo rcional E, de do que Em se anula o Edetilos ende a cero. Pe ro en ciertas condiciones, la a ecuación (5-7) también es com pati ble con un a polari zaci ón perm anente (o espontá nea). Cu ando E se iguala a cer o, (5-25) o, en o tras palabras, s i existe un a polari zación P 0, ésta cr eará en la m olécula un campo eléctri co q ue tiende a polari zarla. Con toda seg uridad existe un cam po p olari zante; p e r o s i e s te c a m p o d a o rig e n a u n a p o la r iz a c ió n d is tin ta d e P0, entonces la solución no es au tocon sistente. Po r tanto, si N es el número d e moléculas por uni dad d e volumen,

Na

a— P Emm = —a P „“ u0 = -N• — 3 €0 E ste resultado

(5-26)

u

se sat isf ace cuando

o bien cuando

Po r c onsigui ente, la condi ci ón para que se dé u na polar izaci ón perm anente es la ecua ción (5-27).* Para la mayoría de los materiales, N a / 3 e 0 es m enor que uno, y aparece el comportamiento dieléctrico ordinario. Sin embargo, en algunos sólidos cristalinos fe r r o e lé c tr ic o s porque se cum ple la cond ici ón (5-27). Dichos m ateri ales se lla m an sus propiedades eléctri cas son an álogas a l as prop iedades m agnéticas de los m ateria les ferromag néticos. El ej em plo más c ono cido de un m ateri al ferroeléctr ico es el ti tanat o de bario , BaTiOv

que presenta un m

om ento dipolar

espontáneo

a temperat

uras

* Hablando estrictamente, la ecuaci ón (5-27) se ha deducido para m ateriales compuestos p or un solo ti po de moléculas y para los cuales el término E ' de la sección 5.1 se anula. En una teoría cuantitativa aplicable al caso general, la ecuación (5-27) se sustituye por un sistema de ecuaciones simultáneas. Tales complicaciones no son necesarias para una comprensión fundamental del srcen de la ferroelectricidad y, en consecuencia, no se analizarán aquí.

5.4 Polarización

perm anen te: ferroelectr

icidad

137

inferi ores a !20°C. Esta t em peratura se ll ama p u n to d e C u rie del material. El estado polari zado de un m ater ial ferr oeléctr ico es relati vam ente estable y pued e p e r s i s t i r d u r a n te la r g o s p e r io d o s d e tie m p o . E s to p u e d e s o r p r e n d e r n o s h a s  ta ci erto punt o, porque una m uestra polar izada est á sujet a a su p ropio cam po des p o la r iz a n te y, d e p e n d ie n d o d e la f o r m a g e o m é tr ic a d e l a m u e s tr a , e s te c a m p o despolarizante puede ser bastante grande. El campo despolarizante es mayor para una m uestra que t iene la for m a de una lám ina plana polari zada en la di rección norm al a sus caras. Com o se vio en la sección 5.1, si la s dim ensione s de la cara de la l ám ina son grandes comparadas con su espesor, entonces

En reali dad, la alt a est abili dad de un ferroeléctri co polarizado se debe al hecho de que n o hay campo despolarizante sobre la muestra, aun para el caso en el que la forma geom étri ca sea la de la l ámina. L a mu estra se polariza colocán dola entre placas con  ductoras paralelas a las que p osteri orm ente se aplica un a gran diferen cia de potencial . En est e proceso la carga libre de la s placas se neutrali zará en g ran p arte por la carga de p o la r iz a c ió n s u p e rfic ia l, c o m o s u c e d e ta m b ié n d u ra n te la p o la r iz a c ió n d e u n d ie lé c tr ic o com ún. Si la s placas paralel as se pon en ah ora al mism o po tencial , en c ortocir cuito, el estado polarizado del ferroeléctrico es todavía energéticamente favorable, de modo que la carga li bre perm ane ce en su luga r , neutrali zando todav ía l a carga de polariza ción. La situaci ón es algo parecida a la mo strada en la figura 5.5, en la que la carga libre es mantenida en su lugar por la carga de polarización superficial. El campo m acroscópico d entro del fer roeléctri co es cero. A dem ás, el cam po eléctrico externo es cero y es difí cil disti ngu ir l a m uestra polarizada de la de un m ateri al dieléctri co co m ún no polarizado. Si se apli ca ah ora una gran d if erencia de potenc ial de si gno con tr ario a las p la c a s q u e r o d e a n el f e r r o e lé c tr ic o p o la r iz a d o , l a m u e s tr a c a m b ia r á s u p o la r iz a c ió n y las cargas libres de signo opuesto fluirán a las placas desde el circuito externo en cantidad suficiente para ne utrali zar n o sólo la carga libre que ya está all í, si no también

138

5 Teoría microscó

pica de los

dieléct ri cos

FIGURA 5.6 Curva d e histéresi s para una muestra ferroeléctrica.

E

la nuev a carga de p olari zación. Po r tant o, un a lám ina ferroeléctr ica entre dos p lacas p a r a le la s p u e d e s e r v ir c o m o e le m e n to b á s ic o d e u n d is p o s it iv o p a r a m e m o r ia . É s te es capaz de alm acenar cargas sobre l as pl acas que rodean el ferroeléct rico com o + o + y su polarizaci ón persiste en ausen cia de un cam po eléctr ico ext erno. El “num ero” ± o + pued e leerse a l aplicar un a dif erencia de potencial a t ravés de la m uestra. Si el campo aplicado está en la dir ección de la polari zación srcinal , no p asará n ingun a carga a tr avés del circuit o externo: si la diferencia de potencial es op uesta a la polari zación srci nal, fl uirá una ca rga po r el cir cuit o ex terno al cam biar de sentido la polari zación de l ferroeléctr ico. Un ferroel éctri co p olari zado es estable frente a un cam po eléctri co con senti do inverso siempre y cuan do este cam po eléctri co no sea dem asiado grande. La figura 5.6 m uestra l a curva com pleta de polarización en función del camp o eléctri co. Es evidente qu e para camp os bajos hay dos v alores de P para cada valor de E . Una curva t al como cu tya de hist éresi s. H ist éresis signifi ca “que darse atrás” y la de la figura 5.6 se llama es evidente que el vec tor de polarizaci ón se retrasa con respecto al vec tor del cam po eléct ri co. Lo s pun tos b y a son la s configuraciones estables en E = 0; represen tan las p o la r iz a c io n e s ± y + , re s p e c tiv a m e n te . E l p u n to c es el cam po eléct ri co q ue hay que supe rar p ara inve rti r la po lar izaci ón.

5 .5

-~

R E S U ME N La polari zación macroscópica P de un m ate ri al diel éct ri co isótropo depend e del m o m ento dipolar m olecular ( o de su com ponen te efect iva) pw, que ap arece en respuesta al cam po eléctrico local en la

m olécula, el

cam po m ol ecul ar E m\

P = NPm G eneralmen

te, p^ es proporci

onal a Em en una buen

a aproxi m ación,

Problemas

139

donde a es la polarizabilidad molecular. El campo m olecul ar depende del c ampo apli cado E y también de la m isma polarización (es deci r, del cam po dipolar de todas las otr as m oléculas). En los casos m ás sencil los

Em = E + -L p 3
En el caso m ás general ,

pued e eli m inarse de estas ecuaciones

para dar

P = *E con la constante de susce

X=

ptibil idad

Na l _ —

3e0 Pero si las moléculas son muy polarizables ( N a > 3 e ()), es posible otra solución E = 0, P * 0 (es de cir , el materi al puede ser polarizado espontáneam ente en un cam apli cado cero, com o ocurre en un ferroeléct ric o).

con po

• Todas l as mo lécul as presentan un m om ento dipol ar induci do en un cam po eléc trico a causa de la deformación de la distribución de carga electrónica. Un modelo lineal sencillo conduce a una constante de polarizabilidad atómica proporcional al volumen atómico, a n = 4 jren/ ?n

• Las mo lécul aspolares , que ti enen un m om ento dipolar perm anen te p (y presentan polarizabilidad por orientación además una que se describe m ediante la función de Langevin deducida por la mecánica estadística. A una temperatura elevada T , esta contribución tamb ién es l ineal con

3k T • La ecuación de Langevin-Debye p o r d e f o rm a c ió n . • U nos cuantos m ferroelectricidad.

PROBLEMAS

5.1

ateri ales,

com bina la polarizabil

idad po r orient ación y

por ej em plo e l t it ana to de bari

o, presentan

(a) U til ice l a ecuación de Clausius-Mossolti para d etermina r la polarizabilidad de los átom os en las moléculas de aire: N2 , Q,. (Observe que sólo puede obtenerse d e la ecuación 5-10 el pro m ed io pon der ad o de las po la rizab ili dades par a e l nitr ógen o y el oxíg eno.) (b ) C om bin e este resultado con la teoría de la sección 5.2 para determinar el radio promedio del átomo de la mo lécula de aire. 5.2 La figura 5. 7 m uestr a una red cúbi ca simple de moléculas, t odas las cuales tienen el mismo momento dipolar (en dirección y magnitud) . Fi jemos nuestra atención en una mo lécula particular, digam os la j . Es evidente que la j ti ene seis primeros vecinos a un a distancia

CAPÍTULO 0

Energía electrostática

M uchos problemas de mecánica se simpli fi can enorm em ente gr acias a consideraci o nes de energí a. En consecu encia, cuando debe estudiarse el com portam iento m ecánico de un sist em a eléct ri co, puede ser ventaj oso usar m étodos de energía. En general, l a energía de un sistema de cargas, com o la de cualquier ot ro sistem a m ecánico, puede dividirse en sus con tri buc iones potencial y cinética. Sin em bargo , en condicione s está ti cas la energía tot al del sis tema de cargas existe com o en ergía potencial, y en este capítulo tendremos un interés particular en la energía potencial que surge de la interacción e ntre l as cargas, la l lama da energ ía electrostát ica. En la secci ón 2.4 se m ostró que la energía elect rostát ica U de una carga puntual está estr echam ente relaci onada con el potencial electrost áti co (p en la posición d e la carga pun tual. D e hecho, si q es la mag nit ud de d eterminada ca rga puntual, entonces el A tr abajo reali zado po r la f uerza sobre la carga cuando ésta se muev e desd e la posición a la posición B es

( 6 - 1) A

A quí se considera que la fuerza

F es solam ente la f uerza eléctri

ca

q E en cada pun

to a

lo largo de la trayectoria. En estas condicion es, la partícu la cargada se aceleraría. Si no se acel era, la fuerza eléct rica debe estar equil ibrada en cad a punto po r u na fuerza de la misma magnitud y de sentido contrario, aplicada mediante algún otro, agente, de tal m odo que el tr abaj o total es cero y la energía cinética no cam bia. El trabajo efect uado p o r e s ta otra fuerza es W = q{cpB -


(6-2 )

142

6 En ergía

electr ostáti ca

Este resultado es igual al i ncrem ento produ cido en la en ergía electrostáti ca de la carga a lo lar go de la trayectori a A — » B . Con si deraci ones semejant es pueden aplicar se a sis temas d e cargas más com ple jo s . D e h e c h o , la e n e r g ía e le c tro s tá tic a d e u n a d is trib u c ió n a r b itr a r ia d e c a r g a p u e d e calcularse como el trabajo necesario pa ra reunir dicha distr ibución de carga en contra de la inter acción de C oulom b de las cargas si n con siderar ot ras formas de energía. Este cálculo y algunas de sus con secuen cias son la ma teri a de este capítul o.

6 .1

~

ENERG I A POTEN CI AL DE UN GRUPO DE CARGAS PUNTUALES Po r energía el ectrostát ica de un grupo m de carga s puntuales entenderemos la energí a p o te n c ia l d e u n s is te m a e n re la c ió n c o n el e s ta d o e n q u e to d a s la s c a r g a s p u n tu a le s están i nfinit am ente separadas unas de otras. E sta energía pu ede ob tenerse m uy fácil m ente calcul ando el t rabajo para reun ir las car gas de acuerdo co n la ecuación (6-2) , trayendo una sol a a la vez. La primera carg a pue de ser colocada sin trabajo alguno, W ] = 0. Pa ra coloca r la segunda, q v se requiere w, =

qiq' 47re0r2i

do nd e r2 1 = lr2 - r {\. P ara la tercera carga, w3 = 9 3\ t ^ —

L4rre0r3i

qy

Í2_l

+

4jr6or32J

E l trabajo necesario para traer la cuarta c arga, la quinta carga, etc., pu ede ex presarse de form a semejante. L a energía el ectrostát ica tot al del sist em a de m cargas es la suma de los W \ es decir, u

=hi

w

=

SÍI

’ M*=>4

Abreviaremos esta expresión de m

-M

l ~)

(6-3)

U como

/— 1

U = 2 2 ^ 7=1 k = 1 Si ahora ordenamos Wjk en forma de m at ri z, t eniendo en cuenta que niendo W j= 0, e s evidente que podem os esc ri bir U t ambién com o

t '= iX 2

^

7=1 k =1

(wíj

=

0)

WJk= Wkj y po

6.2 En ergía elect

rostáti ca de u na distri buc ión de carg

143

as

El factor { de esta suma, que resulta ser más simétrica, aparece debido a que la interacción entre cada par de cargas no debe considerarse dos veces. De este modo, una form a alt ernativa i nás conv eniente de la ecuación (6-3) es

2L -¡ =1 1 k = 1 4 H Jie J l € rd rj k

don de la prim a de la segunda sum específicamente.

^ ator ia signifi ca que el término

k = j se excluye

La ecuación (6-4) puede escribirse en forma diferente si notamos que el valor final del potencial (p para la y -ési m a carga pun tual debido a ot ras cargas del está dado por

m

4

^

^

sist em a

n

* ~k

(6-5)

Po r ta nto, la energía electr

ostáti ca del sist em a es

m

^'=2

(6-6)

'L q i< pi 7 =1

Si las cargas pu ntua les se reunieran en un m edio d ieléctr ico li neal de exten sión infi  nit a, en luga r del vací o, en tonces la perm it ividad e sustituiría a eQen las ecuaciones (6-4) y (6-5), pero la ecuación (6-6) pe rm an ece ría inalt erada. En la siguien te sección se m ostrar á que e sta últ ima ecuación ti ene una validez de carácter general. Se puede apli car a un grupo de cargas puntual es q ue se encuentran en m ás de u n m edio diel éc tr ico e incluso se apli ca a co ndu ctores d e tamaño fi nit o. L a única restr icci ón p ara la validez de la ecu ación (6-6) es q ue todo s los dieléct ricos en el sis tema eléctri co d eben ser lineales.

ENER GÍ A ELECTRO STÁTI CA DE UNA DI STRIBUCIÓN DE CARG

AS

En esta secci ón calcularem os la ener gía elect rostáti ca de una distri bución de cargas arbitr aria con densidad de volum en p y densidad de superfi cie o . Parte de l a carga p u e d e e s ta r lo c a liz a d a s o b re la s s u p e r fic ie s d e c o n d u c to r e s . D e h e c h o , s e c o n s id e r a r á explícitamente que hay conductores en el sistema. Además, se considerará que los dieléct ricos en el sist em a son lineales. E sta restri cción es nece saria para que el t rabajo efectuado al traer el sist em a a su estado de carg a fi nal sea indep endiente de la form a en que se alcance dicho estado fi nal . Supongam os qu e reuni m os la dist ri bución de carga trayendo incrementos de car g a S q desde un potenci al de referencia (pA = 0. Si la distr ibución d e carg a está parcial m ente form ada y el potencial en un punto particular del si stema es (p\x , y , z), enton ces, de la ecuación (6-2), el tr abajo nece sario para colocar S q en e ste pun to es

144

6 En ergía

electr ostáti ca

óW

= (p' ( xf y

, z )Ó q

(6-7)

El incremento de carga 5q puede añadirse a un elemento de volumen localizado en ( x , y, z), de tal forma que 8q = Sp Av ., o 5q puede añadirse a un elemento de superficie en el punto en cuestión, en este caso 5q = 5 o Aa . La energía electrostática total de la distribución de carga reunida se obtiene sumando las contribuciones que tienen la forma de la ecuación (6-7). Dado qu e el trabajo necesario para reunir las cargas es independiente del orden en el cual se realice esta acción, podemos escoger un procedimiento particular para reunirías en el que la suma de los 5W se calcule convenientemente. Este procedi miento es aquel en el que todas las partes del sistema son traídas a su estado final de carga al mismo tiempo, es decir que en cualquier etapa del proceso, todas las densida des de carga están a la misma fracción de sus valores finales. Llamaremos a esta fracción a. Si los valores finales de la s densidades de ca rga están dados por las fun ciones p(x, y , z) y o[x, y , z), entonces las densidades de carga en una etapa arbitraria son ap(x, y, z) y oa(x , y, z ). Además, los incrementos de estas densidade s son 8p = p(x, y, z) d a y d a = o(x, y, z) da . L a energía electrost ática tot al, que se obtiene suman do la ecuación (6-7), es u

=

p ( x , y , z )c p '(a -, x , y , z ) d v

Pero como todas las cargas están a la misma fracción, a, de sus valores finales, el potencial (p\a ; x, y, z) = atp(x, y, z), don de (p es el va lor final de l potencial en (x, y, z). Si sustituimos esta expresi ón, encontramos que la integración sobre a es directa y da

U

=

2) V

dV + 2

dü

J 5^

( 6 -8 )

Esta ecuación da el resultado deseado para la energía de una distri bución de carga. Es impor tante hace r notar que el volumen de integración V7 debe ser lo suficientemente grande como para incluir toda la densidad de carga en el problema, y qu e el potencial (p es sólo el debido a la propia densidad de carga p (y tí). G eneralmente las densidades de carga se anulan fuera de alguna región limit ada, en cuyo cas o puede considerarse que V abarc a todo conductores, el espacio. Sielelpotencial espac io total llena excepto en ciertos está se dado porcon un solo me dio dieléctrico f p ( r ')d v '

”(r) =¿ ív |r - r'|

J _ 4ne

í o(r') d a ' Js |r - r'|

I

(6-9)

6.2 En ergía electrostáti

ca de una distr ibución

de carga s

14 5

Si se presentan varios diel éctri cos, deben cum plir se l as cond ici ones apropiadas e n la front era, po r ej em plo sum ando soluciones adecuadas de la ecuación d e L aplace a la ecuación (6-9). Las ecuaciones (6-8) y (6-9) son generalizaciones de las ecuaciones (6-6) y (6-5) para cargas puntuales. Estas últi m as ecuaciones pu eden recu perarse com o caso esp ecial s i P(r)

=

2 <7/<5(r -

ry)

/-I

m P(r' ) = ^ 2 '
r k)

don de la prima en la segunda suinatori a indica que el término k = j no debe ser con si derado cuando se ti ene un a doble suma. C uando p es un a dist ri bución continua, la anulación del deno m inador en la ecuación (6-9) no cau sa que la i ntegral diverja, de t al form a que no es necesari o excluir el punto r ' = r. Se establ eció que hay conduc tores presentes en el si stema. Au n cuan do la ecuaci ón (6-8) cubre este caso bastante bi en, es conv eniente sepa rar explí citam ente la contribu ción d e los conductores. L a últi m a i ntegral incluye, en parte, integraciones so bre las superficies de estos conductores. Puesto que un con du ctores una región equipotencial, cada una de estas integraciones pue de reali zarse:

u conductor j

donde

Q . es la carga sobre el

°

(6-10)

¿

y-és imo conductor.

La ecuación (6-8) para la energía electr ostáti ca de u na distribución d g a , que incluye con ductores, se con vierte e n

=

+

e car

®,
(6

donde la ú lt ima sum a se efectúa sobre todos los conductores y superficie se restri nge a superfici es no conductoras.

la int egral de

u

\ \ v p
\ l s, ocpda + \

^

M)

Com o vimos en el capítulo 3 , en mu chos problem as de inter és prácti co toda s las cargas p e r m a n e c e n e n la s u p e rf ic ie d e lo s c o n d u c to re s . E n e s ta s c ir c u n s ta n c ia s , la e c u a c ió n (6-11) se reduce a

v = i

i

Qi
( 6 - 12)

Tendrem os ocasión d e desarrollar esta ecuación en u na sección p osterior de este capít ulo. Po r ahora, nos gustaría com parar la ecuación (6-12) con la ecuación (6-6), que fue ded ucida para una agrupaci ón de cargas puntual es. A pri m era vista parece qu e las dos ecu aciones son idénti cas. Si n em bargo, hay un a diferencia i m portante. La ecuación

6 En ergía

electr ostáti ca

(6-12) se obtuvo a part ir de co nductores macroscópicos descar gados q ue fueron car gados g radualm ente t rayend o increm entos de carga. D e esta form a, la energ ía descrita p o r l a e c u a c ió n (6 -1 2 ) in c lu y e ta n to la in te ra c c ió n e n e r g é tic a e n tr e lo s d if e r e n te s c o n  ductores com o la energ ía prop ia de l a carga para cad a cond uctor indivi dual. Si sólo hay un co nductor, su energía propia U = \ Q xx se debe a la i nteracción en ergética de la agrupación de cargas en el conductor. Si n em bargo, para la derivación de la ecua ción (6-6) cada carga puntual se t rabajó como una unidad. De aquí que n o esté inclui da la energía para traer l a carga pun tual a partir de i ncrem entos m ás p e q u e ñ o s de carga, la ll am ada energía prop ia de la carg a puntual. U n intent o de calcularla daría un resu lt ado infi nit o si la carga fuera un pu nto en el sentido ma temático, pero no está incluida en la formu laci ón de la l ey de C oulom b de la f uerza entre las cargas pun tuales y no debe considerarse ahora. Para mo str ar que l a ecuación (6-12) propo rciona el m ismo resu lt a do en el lí m it e cuando los conductor es ll egan a ser muy pequeños, aproxim ándose a cargas “puntuales” , el potenci al del y-ési m o cond uctor puede exp resarse com o la sum a de dos términos

% = V fi +
(6-13)

donde cp.[ es la contribución al potencial debida a la carga sobre el mism o con duc tor y , y (p.2 es la contr ibución d e la carga sobre otros cond uctores. Así, l a ecua ción (6-12) se con vierte e n

U = 2 X QjVji + 5 2

QjVji

(6-14)

El prim er tér m ino de esta ecuación rep resenta l as diferentes energías pro pias de los condu ctores. Cada en ergía propia , \ Q . j.,, d e p e n d e d e lo s a lre d e d o re s d el c o n d u c to r (ya que la distribución de carga en cada conductor se ajusta a su medio ambiente). Ad em ás, el único potencial físi cam ente signif icat ivo y asociado al con du ctor j es el p o te n c ia l to ta l (p.. De este modo, la descomposición de la ecuación (6-14) n o tiene m uch o sentido en general. Si n em bargo, si los cond uctores son tan pequeñ os que pu e den tratarse com o cargas pun tuales desde el pun to de vist a m acroscóp ico, l a redistr ibución de la carga en el “punto” no es im portante y cada ene rgía pro pia puede considera rse independient e de su entorno. Adem ás, ya que p or potencial de la carga p u n tu a l y e n te n d e m o s (pj r la segunda sum a de la ecuación (6-14) representa l a energí a necesari a para colocar en una posi ción det erminada un grupo de conductores muy p e q u e ñ o s p r e v ia m e n te c a rg a d o s , l o qu e es eq uivalente a la ecuac ión (6-6).

DENSIDAD DE EN ERGÍ A DE UN CAMPO ELECTROSTÁTI

CO

En la secci ón preced ente se desarroll ó u na exp resión para la energía electrostáti ca de una distri bución arbitrari a de carga. Esta ex presión, ecuación (6-8), contiene u na inte gración explícit a sobre la d ist ribución de carga. Sin em bargo, es po sible ex presar la

6. 3 D ensidad de energía de un

cam po electrost

áti co

14 7

energía electrost ática del sistema de forma difer ente, una form a alternati va frecuente m ente más úti l. Por medio de transformaciones m atemáticas (integración por part es), conve rti m os la ecuaci ón (6-8) en una integral que contiene los cam pos v ectorial es E y D del sist em a. Co nsideremo s nueva m ente una distr ibución de carga arbitrar ia caracteri zada por la s densidades p y cr . Por conveniencia, se conside rará que el sistema de cargas está li m it ado, es decir , que es posible construir una superficie cerrada S ' de dim ensiones fini tas que en cierre toda la carga. Por otra parte, t odas las densidades su perficial es de carga cr se considerarán situada s en las superficies de los condu enunciado n o es una rest ricci ón en absoluto, ya que la densidad d

ctores. E ste últ imo e carga superfi cial

sobre un a zona interf acial entre dos dieléctri cos pu ede extende rse li geram ente y en  tonces considerarse com o un a densi dad v olum étri ca p. Las den sidades p y cr están relaci onada s con el desplazam iento eléct ric o: p = V •D en todas las regione

s del dieléctrico, y

a = D• n sobre las superfici

es del conductor. De

í/ = ^ í

2 Jv

aquí que

la ecuación

(p V ■D d v + - í
(6-8) se convierte en

da

(6-15)

A quí, la int egral de volum en se refiere a la región en la que V • D es diferente de cero, y ésta es la región externa a los conductor es. L a integral de superficie se efectúa sobre los conductores. El integrando de la prim era int egral de la ecuación (6-15) pu ede transformarse m ediante un a identi dad vectorial que ya hem os tenido ocasión de usa r varias veces, la ecu ación (1.1.7) de la tabla 1.1:

(p V • D = V •
U =-í

2 Js+ S'

cp D • n ' da + \

í D •E 2 Jy

d v + \ í
(6-16)

Esta ecuaci ón puede simplif icar se consider ablemente. La superfi cie 5 + 5 ' sobre l a cual se calcula la prim era int egral de la ecuación (6-16) es la superfici e total que limita el volumen tores del V. Ésta se com pone de 5 (las superficies de t odos los conduc

6 En ergía

electr ostáti ca

sist em a) y de S ' (una superfi cie que li m it a nuestr o sistema exteriormente y que po de m os sup oner que se locali za en el i nfini to) . En am bos caso s, l a norm al n ' está dir igida hacia afuera del volumen V. En la última integral, la normal n está dirigida hacia afuera del cond uctor y , en consecu encia, hacia el interior de V. D e este modo , la s dos S se cancelan. Sólo queda demostrar que la integral integrales de superficie sobre sobre S ' se anula. Si nuestra distribución de carga, que es arbitraria pero limitada, contiene una carga neta, entonces a grandes distancias del sistema de carga el potencial decae inversame nte con la dist ancia, es de ci r, como r _l. D d ecae com o r~2. E l área de una r2. E n superficie cerrada que pa sa por un pun to a una distancia r es proporcional a consecuen cia, el valor de la integral sobre S \ que li m it a nuestro sistem a a la distancia r, es propor ci onal a r 1y , cuando S ' se traslada al i nfinit o, su contribución se anula. Si la dist ri bución de c arga tiene una carga n eta cero, entonces el potencial a gra n des dist ancias actúa como algún m ult ipolo y decae m á s rápi dam ente que r_ i. N ueva mente, puede verse que la contribución de S ' se anul a. A sí pues, para la energía electr ostáti ca tenemos

C/ = l f D ‘Edv

(6-17)

2 Jv

donde la i ntegr ación se reali za sob re el volumen del sist em a exterior a los condu cto res, es deci r, sobre los diversos dieléctri cos del sist em a. P or supuesto, la integración p u e d e e x te n d e rs e p a r a in c lu ir to d o el e s p a c io , y a q u e e l c a m p o e lé c tr ic o E e s ig u a l a cero en el interi or de un conductor. Si s e aplica esta f orm ulación a cam po s que están p ro d u c id o s en p a r te p o r c a rg a s p u n tu a le s , e s n e c e s a r io r e s ta r e x p líc it a m e n te s u s “ e n e r gías propias’ ’ infinit as. (V éase el pro blem a 6-7. ) ¿D ónde está local iz ada la energía el ectrostática del sist em a eléctr ico? E sta es una pregu nta cuy o signifi cado preciso es dif íci l de averi guar; no obstante, es conve nient e imaginar que la energí a está al m acenada en el cam po eléct ri co. L a ecuación (6-17) m uestra que d icho procedimiento no es del todo ir razonable y , adem ás, pres cri be que la energía puede distri buirse co n una den sidad y D • E po r u nidad de volumen.

Esto nos conduce al concepto de electrostático: D E

u = \

densidad de energía

en un campo

( 6 - 18a)

Ya que la ecuación (6-17) se ded ujo co n base en dieléct ricos li neales, cad a diel éctri co está caracteri zado p or una perm it ivi dad con stante € . Ad em ás, el análi sis de los cap ít u los anteriores se ha lim itado a di eléctricos isótropos. P or t anto, la ecuació n (6-18 a) es equivalente a

6.4 Energ

ía de un sist em a de cond uctores cargados: coeficient

ENERG I A DE U N SI STEMA DE CONDU COE FI CI ENTES DE POTEN CI AL

149

es d e potencial

CTORES

CARGAD

OS:

En la s ección 3 .12 se mo str ó q ue existe una rel ación li neal entre los po tenciales y las cargas de un conjunt o de conduct ores. De hecho, e n u n sist em a for m ado p or N con ductores, el potencial de uno d e ell os está dado p or


(3-52)

La d eri vación de la ecuación (3-52) se l levó a cabo para N con ductores en el vací o. Sin embargo, está claro que esta derivación también es válida cuando se presentan dieléctr icos en el si st em a, siempre y cuand o estos dieléctricos sean lineales y estén despro vist os d e carga externa. El coe fici ente p.. es el po tencial del i-é si m o condu ctor debido a una un idad de carga sobre el conductor j . E stos coeficientes se ll am an gen e ralmente coeficientes de potencial. En la sección 6.2 se desarrol ló un a expresión pa ra la energía electrostát ica de un conjunto de N condu ctores cargados, es deci r, la ecuación (6-12). C om binand o este resultado con la ecuación (3-52), obt enem os ^ = í£

£

;= 1 j= 1

P .iQ .Q j

A sí pues, la ener gí a es una función tores.

(6-19) cuad rát ica de las cargas

en los d iversos cond

uc

Se pueden e stablecer tr es enunciados ge nerales acerca de los coeficientes p ..: { 1) P¡j = Pjr (2) todas las p l son p ositi vas, y (3) p„ > p.. para toda j . El prime ro de estos enunc iados se ob ti ene a part ir de la ecuaci ón (6-19), que exp resa U como U (2 , ... QN). Po r tant o,

Si solamente se

varía

d u = ilP

dQ., entonces

) 'd Q '

=

\ ¿j=l

+ p

M

d<¿ '

(6'20)

Este increm ento en la energía electr ostáti ca también pu ede ca lculars e directam ente de la ecuación (6-2). Trayen do d Q { de sde una región a potencial cero, obtenem os

dU = dW

p^Q , dQ , i=1 Las ecu aciones (6-20) y (6-21) deben ser equivalentes para todos los valores d e Q., lo que im plica que Hpy

Pj \ -

=
(6-21) po sibles

+ Pn) = Pv Pn

( 6-22 )

150

6 En ergía

elect rostát ica

Para dem ostr ar el segundo y ter cer enunci ados, considere m os que todos los potencia le s se m iden desde una región a potencial c ero. Ad em ás, supong am os que el con duc  tor i ti ene una carga pos it iva Q i y que t odo s l os dem ás conduc tores est án descargados. Ya que el or igen del fluj o de desp lazam iento es la carg a sobre i, es posible segui r cada i- é sim o conductor, tal lí nea de desplazam iento que sale del vez vía otros condu ctores, hasta dicha regi ón. D e este modo, q>{ >0, y p u > 0. D e forma sem ej ant e, a m enos que ely-ésimo cond uctor esté cub ierto por uno d e los otr os con ductores, todas las l íneas de desplazamiento que invadan j pued en trazar se de regreso hasta e l z-é si mo cond uctor y todas la s lí neas qu e sal en del y-ési m o cond uctor pued p o te n c ia l c e ro . P o r ta n to ,

en trazarse has

ta la región

a

Pu > Pu > 0 Sólo qu eda considerar e l caso de un condu ctor que e stá com plet am ente cubier to por otro conductor. Supongam os qu e el y-ési m o conductor, el que está descarga do, se en cue ntra tot alme nte dentr o de la cáscara cond uctora que en cierra el z -é simo conductor. E l campo eléct rico en l a región interi or es obv iamen te c ero: en consecu encia, los po tenciales de l os dos conductores son l os m ismos, y P. = P . Este anális is pru éb alo s enunciados (2) y (3) que pueden com binars e en

Pu a Pü >

0

L a util idad de los

____________ EJ EM PL O 6.1 Uso del coefi ciente de poten cial para calcular el potencial electrostático

(6-23) coeficient

es p.. puede ilustrarse mediante un ejem

plo senci ll o.

El problema es encontrar el potencial de un conductor esférico descargado p re s e n c ia d e u n a c a r g a p u n tu a l q a una distancia r del centro de la esfera, siendo r > P, y R el radio del cond uctor esfér ico.

en

Solución: L a carga punt ual y la esf era s e consideran como un sist em a de dos condu ctores, y se util iza l a igualdad p ]2 = p2 y Si la e sfe ra est á car gada ( 0 y el “punto’ ' está d escargado, entonces el potenci al del “punto” es q l4 K € Qr, Po r tant o,

p ,2 = P2i = Eviden temen te, cuand o el "punto” ti ene una carga gada, el potencial de esta últi m a es q/4ne^r.

6. 5

~

COEFI CI ENTES

q y la esfera está descar

DE CAPACI DAD E I NDUCCI ÓN

L a ecuación (3-52), deducida en el capí tul o 3 y analizada nuev am ente en la secc ión 6. 4, es un sist em a de A ecuaciones li neales que nos d a los potenci ales de los conduc tores e n función de sus cargas. Este sist em a de ecuacione s pued e resolverse para las Q . de t al form a que

151

6. 6 C ondensadores

FIGU RA 6. 1

o '

Los conductores 1 y 2 forman un condensador. Aquí P,3 = p 2y ya que, po r la ley de Gauss , cuando 1 y 2 están descargados deben estar al mismo potencial,

o3

independientemente de la carga sobre 3. Análogamente, p l4 = p2A.

N Q, =

2

(6 -2 4 ) ;= i

donde c.¿ se llama coefici ente de capac idad y c.. (i * j) es un coeficiente de inducci ón. L a solución a la ecuación (3-52) , expresando cad a una de la s c en térm inos de la s p u e d e lle v a rse a c a b o m e d ia n te la in v e rs ió n d e m a tr ic e s. Las propiedades de la s c se deducen de aquell as de la s p, que ya se han an ali zado. A sí pues, (1) c.j = Cj.\ (2) cü > 0; (3) los coeficientes de inducción son n egativo s o cero. (Vé ase el problema 6.10.) La ecuación (6-24) puede comb inarse con la ecuación (6-12) para dar una expre sión alter nativa de la energía electrost ática de un sist em a de N conductores:

u

=

2 2

í

(6-25)

c,j
«■ «i y -i

6. 6

I

Z

CONDE NSAD ORES En esta secci ón analizar em os un disposi electrostática, llamado condensador.

ti vo im portante

para almacen

ar energía

Dos conductor es que puede n almacenar ca rgas iguales y opuestas ( ± 0 , con una diferencia de potencial entre sí que es independiente de que los dem ás conductores del si stem a tengan carga o no, for m an lo qu e se ll am a u n condensador.

152

6 En ergía

electr ostáti ca

E sta independencia de otr as car gas* imp li ca que uno de los conductores del par que form a el condensad or está cubiert o por el otro. En otras palabras, el potencial aportado a cada uno de l os cond uctores del par po r otr as car gas debe ser el m ismo. D icha situa ción se ilustra en la figura 6. 1, en la que los condu ctores 1 y 2 forma n u n dispositivo de este t ipo. En general, si dos conductores, 1 y 2, form an un condensador, podem os escribir


+ 7>x


(px es el potencial

(6‘26)

com ún a portado por

os que

q>2 = ( Pn + P 22- 2 p n ) Q

A

(6-27)

D e esta forma, la diferencia de p otencial entre los conductores de un cond ensador es p ro p o r c io n a l a la c a rg a a lm a c e n a d a Q . (Ev identeme nte, la carga tot al alm acenad a e s cero, per o, por convenio, el valor absolut o de la carga sobre uno de los dos co ndu cto res se llama carga del condensador.)

La ecua ción (6-27) puede escribir

se como

Q = Cbcp donde

C = (pn +

(6-28)

p 22 - 2p 12)_1 se lla m a capacidad

del condensador.

Evidentem ente, C es la carga alm acenada po r unidad de diferencia de potencial. En el si st em a m ks, C se mide en coul om bs por vol t, o far ads ( 1 F = 1 C/V). D e la ecuación (6-12) con la ecuación (6-28), la energía de un cond ensad or cargado puede expresarse como

u

= 1Q

A
= 1 C(Acp )2 = 1

(6-29)

Si los dos conductores que forman el condensador tienen formas geométricas sencillas, l a capacidad p uede obtenerse analíti cam ente. Así , por ejem plo, es fáci l cal cular la capacidad de dos placas paralelas, dos cilindros coaxiales, dos esferas concén tri cas, o la de un cilindro y un pl ano. La cap acidad de un co nde nsado r de placas p a r a le la s (F ig . 6 .2 ) s e d e d u c ir á a q u í; o tro s c a s o s s e n c illo s s e h a n d e ja d o p a r a lo s e je r  cicios al final del capítul o.

* Lo que hemos descrito es un condensador idea l. En la prácti ca, los condensadores son afectados hasta cierto pu nto por las cargas en sus alre dedores.

6. 6 C ondensadores

15 3

FIGURA 6.2 Cam po eléctri co entre p la cas p ara le la s d e ár ea finita cargadas opuestamente.

----------------

FIGURA 6.3 Conexión de condensadores (a) en pa ra le lo y (b ) e n se ri e.

------

C, L'1'1 c2

(b )

(n)

Con ex cepción del campo deform ado en el borde de las placas paral elas, el cam  p o e lé c tric o e n tr e e ll a s e s u n if o rm e . U n c o n d e n s a d o r id e a l d e p la c a s p a ra le la s e s a q u e l que ti ene una separación d muy p equeña entr e las plac as com parada con la s dimensio nes de las m ismas. De esta forma, el cam po deform ado pu ede despreciarse en el caso idea l. Si la región entre l as placas se ll ena con un dieléct rico de perm it ívidad ^ e n to n  ces el cam po eléct ri co en tre l as placas es e

- í „ - a €

don de A es el área de una p

Á ^ “

V - E - d

laca. La diferencia

r _ _Q C

- .

€Á

. d

de p otencial

A

(p = E d . P or tant o,

~

J

cí '

J /

. I (6 -3 0 )

es la capacidad d e este condensador. C uand o un cond ensad or se considera parte de un circuito el éct ri co,' generalm ente se representa con el sí m bolo -\e. D os o m ás condensador es pueden unir se conect ando uno de los conductor es del pr imer condensad or a un con ductor del se gundo . Las m aneras posibles en las qu e se puede n unir dos condensad ores son por conexión en

6 Energía

electr ostáti ca

p a ra le lo (F ig . 6 .3 a ) o p o r c o n e x ió n e n s e rie (F ig . 6 .3 b ). D e s p u é s d e q u e s e h a n u n id o los condensadores , generalmente es conveniente hablar de la capacidad de la com bi nación. En el caso de la conexión en paralelo, el mismo voltaje A (p que aparece a tr avés de cada condensador apare ce ta m bién a través de la com binaci ón. En con se cuencia, la capacidad equivalente está dada por /n _

Q

G tot al

C~

^ ~

A

,

1

Q 2

^ +A^

.

/1

+~C C í'

<6 -3 1a )

Si dos cond ensadores descargados se conectan en serie y posteriorm ente se cargan, l a conservación de la car ga requiere que cada conde nsador adqu iera l a mism a ca rga. D e esta f orm a, la capacidad equivalente C de la combinación se relaciona con C { y C2 m ediante la expres ión 1

A cp

C

Q

FUERZAS Y MO

A< J_p 2+=J_

A< p, +

Q

( 631 b) C,

MENTO S DE ROTACI

C

ÓN

H asta ahora, en este capítulo hem os d esarrol lado varios procedim ientos alternat ivos p a r a c a lc u la r la e n e rg ía e le c tr o s tá tic a d e u n s is te m a d e c a rg a s . M o s tra re m o s a h o r a cóm o la f uerza sobre uno d e los el em entos del si stem a de cargas pued e calcularse a p a r tir d e l c o n o c im ie n to d e la e n e rg ía e le c tro s tá tic a . Supongam os que tene m os un sist em a aisl ado form ado por vari as part es (conduc tores, cargas puntuales, dieléctricos) y permitimos que una de estas partes haga un p e q u e ñ o d e s p la z a m ie n to , d r , debido a la infl uencia de l as fuerzas eléct ricas F que actúan sobre ell a. En estas cir cunstancias, el trabajo reali zado p or la fuerz a eléctri ca sobre el sist em a es

dW =

F •di

= Fx d x + Fy d y + Fz d z

D ebido a que el sistema está aislado, el t rabajo se hac U . En otras palabras, de acuerdo con la ecuación (6-1),

e a costa de la en

dW = - d ü C om binando

(6-32) ergía electr

ostáti ca

(6-33)

la s ecuaciones (6-32)

y (6-33) se obti

ene

- d U = Fx d x + F y d y + Fz d z y

dU ~dx con expresi ones semejantes conser vat iva y F = - Vt/.

<6-34’ para F

y F . Esto e s, en es te caso

F es una f uerza

6.7 Fuerz as y m om entos de rot

155

ación

Si el elemento con siderado está restri ngido a m ove rse de tal form a que g ire al re dedor d e un ej e, entonce s la ecuaci ón (6- 32) puede ser r eem plazada por = x d• ¿W6

(6- 35)

don de T es el mom ento de rotación eléct rico y dQ es el diferencial del desplazam iento angular. Al esc ribir T y dQ en función de sus com ponen tes t 2, t 3) y (dQv d 6v d03 ), y al com binar l as ecuaciones (6-33) y (6-35) obtenemo s

SU = - dd1 y así sucesi vam ente. De esta form a hemo s alcanzado nu .

Tl'

(6-36)

estro obj eti vo:

dU\

\deJQ

(6-36a)

donde el subíndice Q se ha añadido para indicar que el sistema está aislado y, en consecuen cia, su carga t otal perm anec e constante durante e l desplazam iento d r o dd . Para aprovech ar est e m étodo, es necesario expresar U de form a analít ica y cono cer la depend encia específ ica de U con res pect o a la coo rdena das o 6 V M ás adelante se dará un ejemplo que m uestra l a uti li dad de l método. Si n em bargo, las ecuaciones (6-34a) y (6-36a) no cub ren todos los casos de inte rés ya que, com o se m encionó en su ded ucción, se l imitan a sist em as aisl ados en los que la carga del si stem a perm anec e constante. En otro ti po imp ortante de problemas, todas las cargas se encuentran en las superfici es de los con ductores y se m antienen a p o te n c ia le s fij o s p o r m e d io d e fu e n te s d e e n e r g ía e x te r n a s (e s d e c ir , p o r m e d io d e b a te ría s ). A q u í n u e v a m e n te p o d e m o s p e r m itir q u e u n a d e la s p a r te s d e l s is te m a se m uev a bajo la infl uenc ia de las fuerzas eléctri cas qu e actúan so bre ella y el trabaj o reali zado (esta vez po r el si stem a y las baterí as) estará aún relacionad o con la f uerza p o r la e c u a c ió n (6 -3 2 ). E n e s te c a s o , e l tr a b a jo s e c o n v ie r te en

d W = dWb - dU

(6-37)

donde d W b es el trabajo suministrado por las baterías. Antes de que procedamos a encontrar una expresi ón p ara U y la fuerza sobre alguna parte del si stem a para este caso, será necesario eli m inar d W . de la ecuación (6- 37). L a energía electrostáti ca U de un sis tema de conduc tor es cargados y a se ha dado en la ecuación (6-12) . Si ahora parte del si stema se desplaza m ientras el potenc ial de todos los condu ctores perm anece fi jo ,

d U = i X Vi dQ j i

(6-38)

156

6 En ergía

electrost áti ca

FIGURA 6.4 Bloque de dieléctrico sacado parcialmente de entre dos placas cargadas.

A dem ás, el t rabajo propo rcionado po r l as baterías, dWb, es el necesari o para m over cada uno de l os incrementos de carga d Q . desde el p otencial cero has ta el potenc ial de l con duc tor apropiado. Po r la ecuación (6-2) este trabajo es

Po r tant o,

d w b = 2
(6-39)

dW b = 2 dU

(6-40)

Al usar est a ecuación para eli m inar d W b de la ecuación (6-37) y tado con la ecuación (6-32), obtenem os

i

dU = F x dx

f-

al com binar el resul

+ Fy d y + Fz d z

= ( f ) ,

<6- 4 1 '

(p se usa para indicar el Aquí el subíndice hech o de q ue los potenciales se m antie nen con stantes durante el desplazam iento vi rtual d r . D e m anera sem ejant e, podemos derivar -

(au\

r' "

\9éJ9

Pa ra i lustrar el mé todo d e l a energía, considerem

___________

EJEMPLO 6.2

Fuerza recup eradora sobr e un bloque dieléctri co parcial  mente sacado de un condensador

(6'42)

os el siguiente ejemplo.

Un conden sador de placas paralel as separadas una d ist ancia d ti ene la región e . Las entre las placas llena de un bloq ue de sólido dieléctri co d e perm it ividad w de ancho. L as placas se dimen siones de cada una de las placas son : / de la rgo y m anti enen a una diferencia de potencial constant e A
6.8 Resumen

1 57

L a energía del s ist em a pued e calcularse po r varios m étodos. A sí, por Solución. eje m plo, ya que E = D jíd es igual en todas partes entre las placas, pod em os usar

U = ^2í Jye£ 2 dv dond e la región de integraci ón deb e incluir sólo aquellas partes del espacio en las que E 10. D espreciando los efect os de deform ación en el borde del cond ensador, encontramos

La fuerza pued e calcularse a partir

de la ecuación

=\( K ~ en la direcci

ón en que se increm

enta

(6-41) :

E2 wd

x.

El caso en el que las placas están aisladas (carga constante p ro b le m a s 6 .1 9 y 6 .2 4 .

Q ) se trata en los

RESUMEN L a energía potencial electrostática de un sist em a de cargas puntuales se calcula c om o el t rabajo que tendría que hacer un agente externo en co ntra de l as fuerzas de C oulom b entre la s cargas para reunirí as en la configuración dad a. Esto se ex presa com o

U = 2X donde

(pjyel poten cial en la posición de la carga = V %

*

q . debido a todas las

otras cargas, es

S i — 4 n e nrik

con el término k = j excluido. Para una distribución general de carga, la energía electrostát ica, siempre y cuand o todos los dieléct ricos presentes sean lineales, se con vierte en v

= \ f P
dond e el potencial terna p en presencia d e (p e s el produci do po r l a densidad de carga ex un m edio dieléct rico (p pued e incluir la carga conce ntrada en una distri bución super fici al o en cargas puntuales). La integr ación po r part es transform a la ene rgía que está en dieléctricos lineales en un a int egral,

6 E nerg ía electrost áti ca

de la densidad de energía

C uand o esta fórm debe restarse.

del cam po eléct ri co,

ula se aplica a car

• C uand o t oda la carga es superficies son equipotenciales, l

gas pun tuales, la “energía propia”

un a dist ri bución superfi cial sobre condu ctores, a energía electrost áti ca se ex presa com o

Se en cuen tra ent onces que los coeficient

=

X

infi nita de ésta

es en la s funcione

s

cuyas

s lineal es

PnQ¡

y en la s funciones inversas

Q¡

= X

c¡ < P j

sati sfacen la s condiciones

P ü = P jñ >

(Además, p.. • En el caso

p¡>

c ¡j = ca 0 y c.. > 0 >

c...)

especia l en el que dos conduct

ores for m an un

condensador,

U = i2QA< p con

Q = C A

conde nsador de placas

paralel as,

• La fuerza eléctr ica sobre una pa rte de un sistema cad a condu ctor, es m enos el gradiente de la energía elect

aisl ado, con ca rostát ica,

Si el si stema n o está aisl ado, pero el potencial de cada co ndu ctor se man te por u n agen te externo (baterí a), la f uerz a está dada por

rga con stante e n

ti ene con stan

CAPÍTULO 7

Corriente eléctrica

H asta ahora hem os trat ado con cargas en reposo; aho ra deseamo s con siderar cargas en m ovim iento unif orm e. Esto im plica estudiar cond uctores de elect rici dad, ya que, por definición, un condu ctor es un m ater ial en e l que los portadores de carga son libr es de m overse bajo cam pos eléctri cos estacionari os (véase la Sec. 2.5). La definición an te rior incluye no sólo los cond uctores convencionales, tales com o m etales y aleaci ones, sino tam bién los sem iconductores, el ectróli tos, gases ionizados, dieléctri cos imp erfec tos y aun el vacío en las proxim idades de un cátodo em isor termo iónico. En m uchos cond uctores, los portadores d e carga son electrones; en otros casos, la carga pue de ser con duc ida por i ones po siti vos o negativos. La carga en m ovimiento consti tuye una corriente y el proce so po r el cual la carga se transporta se l lam a conducción. P ara ser precisos, la corriente / se define com o la velocidad a la que se transporta l a carga a tr avés de una superfici e dad a en un sistema condu ctor (por ejemplo, a tr avés de un a secci ón tr ansversa l determinada de un alam b re ). D e e s te m o d o ,

/ =f

(7-1,

donde Q = Q(t) es la carga neta transportada en el tiem po t. L a unidad de co rriente en el si stema m ks es el am pere (A), ll am ado así en h onor del fí sic o francés A ndré M ari e Ampére. Evidentemente, . coulom b 1 amper e — 1 -------------segundo

7 .1 N atur ale za de la cor ri ente

163

FIGURA 7.1 Diagrama esquemático del mo vimiento de los electrones en un metal.

/ V

3

/

© '© © '© 7 .1

"

NATURALEZA

DE LA COR RI ENTE

En un m etal la corri ente es tr ansportada com pletamente p or elect rones, m ientras que los iones p ositivos pesado s están fij os en po sicion es regu lares de la estr uctura cristalina (Fi g. 7.1). Só lo l os electrones atóm icos de valen cia ( los más ex teriores) tie nen li bertad para parti cipar en el proceso de conducción. Lo s otros electrones están li gados fuertemente a sus iones. En condiciones de estad o estacionari o, los electrones p u e d e n in tro d u c irs e e n e l m eta l p o r u n p u n to y e x tr a e rs e p o r o tro , p r o d u c ié n d o s e u na corriente, pero el metal com o un t odo es electrostát icam ente n eutro. Fu erzas electr ostáti cas intensas i m piden que un exceso de electrones se acum ule en cualquier p u n to d e l m e ta l. D e fo r m a s e m e ja n te , u n a d e f ic ie n c ia d e e le c tro n e s e s c o r r e g id a p o r fuerzas el ectrost áti cas de signo contrar io. V eremos posteriorm ente q ue el exceso de carga se disipa con extremada rapidez en un conductor. Observemos, pues, que es p o s ib le e s t u d i a r e l t e m a d e l a c o r r ie n te e l é c tr ic a s in te n e r e n c u e n ta lo s e f e c to s electr ostáti cos detallados qu e estén asociados con los portadores de carga. En un electról it o, la corri ente es condu cida tanto por iones positivos com o por iones negati vos, au nque, debido a que algunos ione s se m ueven m ás rápidamen te que otros, la conducción por un ti po de ion predom ina generalm ente. Es im portante hacer notar que iones positivos y n egativos que viajan en sentidos tri opuestos (Fig. 7.2) con b u y e n a p ro d u c ir c o r rie n te e n e l mismo senti do. La b ase de este hecho se evidencia a p a r tir d e la e c u a c ió n (7 -1 ), y a q u e la c a rg a n e ta tra n s p o r ta d a a tra v é s d e u n a s u p e rfic ie dada d epende tanto del si gno del portador de carga com o del sentido en el que se esté m oviendo . A sí pues, en la figura 7. 2, tant o los grupos de p ortadores positivos com o los negativos producen co rri entes hacia la der echa. Po r convenio, el sentido en que se m ueve el portador positi vo (o, de man era equivalent e, el sentido opuesto a aquel en que se mueve el portador negativo) se toma como la dirección o s e n tid o de la co rriente. En general, una corriente eléctrica se srcina como respuesta a un campo eléctr ico. Si se

establece un cam

po eléctrico en un condu

ctor, dicho cam

po causa que

164

7 C orriente eléctri

ca

FIGURA 7.2

i

Corriente producida por el mo vimiento de portadores de carga negativos y p o sit iv o s.

e

O

©

e ©

© ©

e

los portadores de carga positiva se muevan en el sentido general del campo y los p o rta d o r e s n e g a tiv o s e n e l s e n tid o o p u e s to a l d el c a m p o . E n c o n s e c u e n c ia , to d a s la s corrientes produc idas en el proceso tienen la m isma dirección que el cam po. En u na descarga en un gas, la corri ente es tr ansportada tanto po r elect rones com o p o r io n e s p o s itiv o s , p e ro c o m o lo s e le c tro n e s tie n e n m a y o r m o v ilid a d q u e lo s io n e s p e s a d o s , p rá c tic a m e n te to d a la c o r rie n te e s tra n s p o rta d a p o r e le c tro n e s . L a c o n d u c  ción en gases es algo más complicada porque las poblaciones electrónica y iónica varían enorm em ente con las condicione s experim entales (est án determ inadas princi p a lm e n te p o r la p re s ió n d e l g a s y l a c a íd a d e p o te n c ia l a tra v é s d e l g a s). E n c ie rta s cond iciones se ori ginan cascadas , proceso en el que los pocos iones que están p resen tes inicialmente se aceleran y ocasionan colisiones inelásticas con átomos neutros, p r o d u c ie n d o a s í io n e s y e le c tro n e s a d ic io n a le s . L o s io n e s a d ic io n a le s ta m b ié n p u e d e n da r lugar a colisiones ionizadoras, con el resultado de que la densidad d e portadores crece enormem ent e. En las fi guras 7 .1 y 7.2 hemos represent ado los portadores de carga dividi éndolos en grupos, cada uno de los cuales ti ene un m ovim iento comú n llamado mo vimiento d e deriva del grupo. Sin em bargo, la figura se ha sim plifi cado sobrem anera. C ada grupo de portadores de carga representa realmente un conjunto de partículas en equilibrio tér m ico con su m edio am bie nte , de m anera que cada partí cula t iene un m ovimiento tér m ico así com o un m ovimiento de der iva . Pero el m ovimiento tér m ico, aunque pue de ser grande, t am bién es aleatorio y , en con secuencia, no da lug ar a un transporte de carga organiza do. P or otra par te, el m ovim iento de deriva no es aleat orio. Po r consi guiente, a l considerar estos procesos de condu cción es adm isi ble olvidar el mo vim ien to aleatorio, que no con tribuye a la corriente total, y u tili zar la repres entac ión sencilla de la s figuras 7. 1 y 7.2. N o obstante, para otros procesos de transpo rte, tal es com o la condu cción en un gradien te t érmico (que d a lugar al efecto term oeléctri co), es necesa ri o tener en cuenta el m ovimient o tér m ico en form a detal lada para entender com plet a m ente el fe nómeno. Las corrientes que hem os descrito hasta ahora en esta sección se llaman co rrien tes de conducción. E stas corrient es de conducción represent an el mov imiento de de riva de los portadores de car ga en un m edio estar y neutro , que co m o un todo, puede

7.2 Densidad

de corri ente: ecuación de con

tinuidad

165

FIGURA 7.3 M ovimient o de deri va de p o rta d o res d e carg a a través del plano d a en un tiempo St.

v • n 5í

generalmen te es tá en reposo. Los lí quidos y lo s gases pueden adem ás experim entar un m ovim iento hidrodinámico y, si el medio tiene una densi dad de carga, este m ovim ien to hidrodinám ico producirá corrient es. Tales corr ientes, que provienen del transporte m asi vo de un m edi o cargado , se l laman corrientes de convección. L as corrientes de convección son impo rtant es en relaci ón co n la elect rici dad atm osférica. D e hecho , la s corri entes de convección ascendentes en las tormentas son sufici entes para m antener el gradi ente de potencial normal de la at m ósfera po r encim a de laTierra. El m ovim ien to de partículas cargadas en el vacío (t ales com o electrone s en un diod o al vacío) constituye también una corrient e de conve cción. Un a caracterí stica i m portante de la corrie nte de convección es qu e n o es electrost áti cam ente neutra y su carga electrostát ica p o r lo g e n e ra l d e b e to m a rs e e n c u e n ta . En el r esto de este capítulo trat aremos exclusivamen te con corrientes de conducción.

7 .2

=

=

=

=

=

D E NS I DA D D E C OR R I E N T E : E C U A C I ÓN D E CO NT I NU I DA D En esta secci ón considerarem os pri m ero un m edio cond uctor que tiene sólo un ti po de p o rta d o r d e c a rg a , c u y a c a rg a e s q . El núm ero de es tos portadores por unidad d e volu men se representará con N . De acuerdo con la sección anterior, despreciaremos su m ovimiento tér m ico ale at ori o y asignare m os la m isma v eloci dad de desplazam ient o o deriva v a cada portador. Estamos ahora en p osición de calcular la corri ente que pasa p o r u n e le m e n to d e á re a d a tal com o el il ustra do en la figura 7.3. Durante el tiem po 8t , cad a portador recorre una distancia v 8t. Es eviden te, a partir de la figura, que la carga 8t e s q veces la suma d e todos los portadores S Q que atravi esa d a durante el intervalo de carga en el volume n v • n 8t da, donde n es un vector unitari o pe rpendicular al área a corri ente que pasa a través de d a . D e la ecuación (7-1), l d a es:

166

7 Corriente eléctrica

.. ÓQ qN vn ótda d i = — = ---------ót di

= N q \ • n da

(7-2)

Si hay presente más de u na clase de portadores de carga, habrá una contribución de la forma (7-2) para cada tipo de porta dor. En general, la corr iente que pasa p or el área

di =

d a es (7-3)

n da

A qu í la sumatoria se efectúa sobre

lo s dist intos ti pos d e portadores

.

La cantidad entre corchetes es un vector que tiene di m ensiones de corri ente p o r u n id a d d e á re a ; e s ta c a n ti d a d s e ll a m a densidad de corri ente y está dada p o r e l sím b o lo J : (7-4)

L a densidad de corri ente puede defini rse en cada punto de un m edio condu ctor y es , p o r ta n to , u n a fu n c ió n v e c to ria l p u n tu a l. E s u n a c a n ti d a d ú ti l, u n a c a n ti d a d q u e e n tr a direct am ente en las ecuaciones di ferenciales fundam entales de la teorí a electroma gné ti ca. L a u nidad m ks de J es el ampe re/metro2 (A/m2 ). La ecuación (7-3) puede esc ribi r se en la forma

di = J

• n da

y la corriente que pasa a tr avés d e la superfici e arbit rari a y de tamaño m acroscópico, está dada po

/ = j J • n da

S , que es un área superfici r la i ntegr al

al de form

a

(7-5)

La densi dad de corri ente J y la densi dad de carga p no son canti dades indepen dientes, sino que están rel acionadas en cad a pun to po r una ecuación diferencial, l a llamada ecuación de continuidad. Esta rel ación ti ene su srcen en el hec ho de q ue la carga no pu ede crearse ni dest ruir se. La ecuación se dedu ce con m ayor facili dad a pli cando la ecuaci ón (7-5) a una superfici e S arbitraria cerrada. L a corriente eléctr ica que en tra en V> el volumen encerrado p or 5, está dad a por

I = -j>J'nda

= - j V' J d v

(7-6)

%

En esta ecu ación, la últi m a integral se obtiene utili zan do el t eore m a de la di vergen cia. El signo menos aparece porque n es la normal hac ia af uera y deseam os con siderar I p o s it iv a c u a n d o e l flu jo n e to d e c a r g a v a d e l e x te r io r d e V hac ia su interi or. Pero de la ecuación (7-1), I es igual a l a razón con q ue la carga se transporta al interi or d e V :

7. 3 Ley de Ohm : conductivi

dQ

r

167

dad

d f

Com o est amos conside rando un v olumen fij o V, la derivada con respecto al tiempo ope ra sól o sobre la f unción p. Sin em bargo, p es función tant o de la posición com o del tiempo, de modo que la derivada con respecto al tiempo se convierte en derivada p a r c ia l c o n re s p e c to al ti e m p o c u a n d o p a s a al in te rio r d e la in te g ra l. E n c o n s e c u e n c ia , =

( ÍE

L

st dv

Las ecuaciones (7-6) y (7-7b)

Kf

(7-7b) pued en ah ora i gualarse

+ T • J) ‘i ' , -

o

,7 - 8 >

Pero V es com pletamente arbit rari o y la única f orm a en que la ecuaci ón (7-8) sea váli da pa ra un el emento d e volum en a rbit rari o del m edio es que el i ntegran do se anule en ca da punto, l o q ue con duce al si guiente r esult ado.

La ecu ación de

continuidad es

:

dp ^ + V -J = 0

(7 - 9 )

LEY DE OHM : CO NDU CTIVI DA D Experimen tal m cnte se encuentr a qu e en un m eta l a temp erat ura constante l de corriente J es linealmen te proporcional al cam po eléct ri co.

Po r t anto, la ecuación c

a densidad

on stit utiva es

J = £E

(7- 10 )

La constante de proporcionalidad g se denomina conductividad. L a e cua ción (7-10), que se ll am a ley de Ohm, es una muy buena aproximación para un gran núm ero de m ateri ales conductores c om unes.

Sin em bargo, en el caso gen

J = g (E ) E

eral , la ecuación (7-10) de

be su sti tuir se por

168

7 C orriente eléctri

ca

donde g (E ) es función del cam po eléctr ico. Los m ater ial es pa ra los que (7-10) es válida se ll am an m edios lineales is ótropos o m edios óhmicos m ente, com o con los di eléct ri cos, nos interesará principalmente el caso lineal El recíproco de la conducti vidad se ll am a resistividad 77;* así,

la ecuaci ón . Aq uí nueva  .

1

71 La unidad de

(7-11)

8 r¡ en el si st em a mks es volt met

ro/ ampere o sim

plem ente o hm /metro,

TAB LA 7. 1 Resistividad r¡ y coeficiente de temperatura de la resistencia cc de algunos materiales a 20 °C.

Material

i), Q m

2.65 x 10-» 1 .610-* x7 2 1.3x(H 5 9.71 1CH x 6.84 x 1( H 1. 59 x 1(H 9 5 .8 x 10-8 5. 51 x 10-8 4 9 .0 x 1( H 1 0 0 .0 x 10 -8 0 .4 6 0.011 1.4 x 10-5 0.044 1 x 10 14 0 0 —ó --j

Aluminio C o b re O ro H ie r ro N íq u e l Plata Mercurio Tungsteno C o n s ta n tá n (C u 6 0 ,N i4 0 ) N ic ro m o G e r m a n io(p u ro ) G e r m a n io (5x 10“^%A s ) Grafito Soluci ón sat urada de N aCl Ox ido de alumini o Vidrio lo d o C u a r z o( S i 0 2) A z u fre M a d e ra

Fu ente : Datos tomados del

0.0043 0 .0 0 3 9 0 .0 0 4 0 .0 0 6 5 0.0069 0.0041 0 .0 0 0 9 0 .0 0 00.0045 0 0 .0 0 0 4 - 0 .0 4 8

-0.005

107 x1.3 x11 0 14 21x0 15 10® 1-0 “

H andbook o f C hem is tr y an d Phy sics , 58a. ed., Cleveland, Ohio, CRC Press

Inc., 1978.

* Lo s símbo los comunes para la

resisti vidad y la conductividad son p

evitar la posible confusión con la densidad utili zaremos

los símbolos

r¡ y g.

volum étrica de carga

y

o, respectivamente, pero para

p y la densidad de carga supe

rficial < 7,

7. 3 Ley de

FIGURA 7.4

Ohm : conductivi

169

dad

V>=

Geometría de un segmen to de alambre recto.

dond e el ohm

(£2) se define com

1 ohm

=

o

1 vo lt 1 am pere

L a unidad de conduc tivi dad g es ib 1 n r 1, o S/m. Un Siemens (S) es e l recíproco del ohm. (A un Siemens antes se le decía mho.) En la tabla 7. 1 se dan las resi stivi dades de algunos m aterial es com unes. E s evi dente de esta tabla que todos los m ateri ales cond ucen la electrici dad hasta cierto gra do» pero que los m ateri ales que hem os llamad o aislantes (diel éctricos) son cond uctores m ucho peo res que los m etal es en un factor enorm e (t an grande co m o 10 23). La dife rencia entre un cond uctor y un aislante se anali zará de form a m ás cua ntitat iva en la sección 7.7. Co nsider em os una m uestr a co nduct ora » que obed ece la l ey de O hm , en form a de un alam bre rect o de sección unifor m e, cuyos extremos se m anti enen a un a diferenci a de potencial constante A (p. (V éase l a Fi g. 7.4. ) Se supone q ue el alamb re es hom ogé neo y que está caract eri zado p or una co nductivi dad co nstante g . En estas condicio

(p por la

nes, existirá un campo eléctrico en el alambre que está relacionado con A ecuación

A

(7-12a)

Es evident e que no puede haber com ponente de estado est acionar io del cam po elé ctr i co pe rpendicu lar a l ej e del alamb re, ya qu e por la ecuación (7-10 ) est o prod uciría que la superfi cie del alambre se cargara continuam ente. Po r tanto, el camp o e léctri co es p u ra m e n te lo n g itu d in a l. Adem ás, debido a la forma geom étr ica , el campo eléct ri co debe ser el mism o en todos los puntos del alambre. Por consiguiente, l a ecuación (7 -12a) s e reduce a

El

A< p =

(7-12b)

dond e / es la longit ud del alambre. Pero un cam densidad J = g E . L a com ente que pasa por una s J n - L

siendo A el área con (7-10) y (7

po eléctrico i ección del a

m plica una corriente de lambre es

da = JA

(7-13)

A

de la sección tr ansversal del alambre. C -12b ), obtenem os

om binando

la ecuación (7-13)

170

7 Co rri ente elé ctr ica

I = Y

A< p

(7-1 4)

que proporciona u na relaci ón li neal entre I y A (p. L a canti dad 1/gA se ll am a resistencia del alambre y se representará con el sím R . U ti li zand o R , pod em os escribir de nuev o la ecuación (7-14): A cp = R I

bolo (7-15)

que es la forma familiar de la ley de Ohm (R se mide evi dentemen te e n ohm s). La ecuación (7-15) pu ede co nsiderarse com o un a defini ción de la r esistencia de un objet o o dispositi vo p or el que pasa una corriente constant e. En el caso gen eral, R dependerá del valor de est a corri ente. Si n em bargo, com o ya menc ionam os, nos int eresan princi p a lm e n te lo s m a te r ia le s li n e a le s , ll a m a d o s m a te r ia le s ó h m ic o s , y e n é s to s R es inde p e n d ie n te d e la c o rrie n te . El trabaj o reali zado po r el c am po cuand o u na carga d Q se m ueve a t ravés de una diferen cia de p otenc ial A< pe s d\V=dQ A
P = I A< p = I 2R = ( A
7. 4

Z

COR RI ENTES

ESTACI ONARIAS

EN MED I OS CO NTI NUO S

Hay una an alogía mu y estrecha entre un sistema electrostát ico de dieléct ricos l imitado p o r s u p e rfic ie s e q u ip o te n c ia le s , p o r u n a p a r te , y u n s is te m a q u e c o n d u c e u n a c o r rie n te estaci onaria, por otr a. E sta analogía es el tem a de la presente secci ón. Con si deremo s un m edio conductor óhmico (li neal ), hom ogéneo, en condici ones de conducción en estado estacionario. Puesto que estamos tratando específicamente con el estado estacionari o, la de nsidad de carga local p ( x , y , z ) está en su valor de equilibrio, y dp/dt = 0 p ara cada punto del medio. En co nsecuen cia, l a ecuación de continuidad (Ec. 7-9) se r educe a V -J = 0

(cor ri ente s est acionar ias )

U ti li zando la le y de O hm en com binaci ón con (7- 16) obtenemos V •g E = 0 que para un m

edio hom ogéneo se reduce a

V -E=0 Pero ya que V x escalar:

E = 0 para un c

am po est áti co, E puede derivarse de un potencial

E = -V(p La com binación de las

dos últ imas ecuac

iones da

(7- 16)

7.4 Corrientes est

acionarias en m

1 71

edios continuos

V > = 0

(7 -1 7 )

que es la ecuación de L aplac e. Po r tant o, vem os que un problema de condu cción en estado estaci onario puede resolver se de la m isma forma que los pr oblemas electrost áti cos. La ecuación de Laplace se resuelve con un a de las t écnicas ana lizadas en el capítulo 3, y la solución e stá deter m inada, com o siempre, por las condiciones en la front era. Las co ndiciones en la fron tera que son suficie

ntes para resolver e

l problem

a son aqu ellas que especifican ya sea

cificar J en la superf ici e (p o J en ca da pu nto de la superfi cie del m edio conductor. Espe es equivalente a espe cificar E, ya que los dos vectores est án relacionad os po r la ley de Ohm . U na vez que se ha hallado la sol ución aprop iada de la ecuación de L aplac e, p u e d e d e te r m in a r s e E (y e n c o n s e c u e n c ia J ) e n c a d a p u n to d e n tro d e l m e d io a p a r tir de la operación gradiente. En la condu cción en estado estaci onario, la corr iente que atraviesa un área de la zon a int erfac ial entre dos m edios conductores puede calcularse en dos formas: en fun ción de la densidad de corriente en el m edio 1 o e n función de la densidad d e corrient e en el m edio 2. Com o los dos procedim ientos deben co ndu cir al m ismo resultado, l a com ponen te normal de J debe ser continua al atr avesar la zona int erfaci al:

= hn

FIGURA 7.5 Cuba electrolítica b id im en sio n al. L o s tres conductores m etáli cos se mantienen a los p o te n ci ale s (pr 2y

(py El símbolo y fo -denota un resistor cuyo valor p u ed e vari ars e y G es un galvanómetro. La resistencia de los alambres se considera despreciable. Si los resistores R ] y R 2 se ajustan de tal modo que no p ase c o rr ie n te a tr a v é s de C . e n to n ce s ^ =
/'/?, = í>, + ¡ R:.

=

p , - (
(7-18a)

172

7 Co rri ente eléct rica

o

g l E l n = g 2^ 2n Esta ecuación es análoga a la ecuación de continuidad de interfacial es entre dieléctricos en pro blem as electrost Puest o que el cam po es est áti co en cada m edio,

(7-18b)

D n al atravesar las zonas áticos.

E • d i = 0 p a r a u n a tr a y e c to r ia c e rra d a q u e lig a a m b o s m e d io s , y

E u = E 2i

(7-19)

p o r la d e riv a c ió n d e la s e c c ió n 4 .7 . E s ta e c u a c ió n es e v id e n te m e n te la m is m a p a r a am bos tipos de problemas (el ectrost áti cos y de condu cción estacionaria) . Un ejemplo de las ideas anteriores se muestra en la “cuba electrolítica” de la figura 7 .5. Aqu í, vari os elect rodos m etál icos, que se conectan a fuentes externas de p o tenci al, se colocan en un m edio cond uctor lí quido (idealmente de extensión infinit a) de conductividad moderada (tal como una solución salina). Como la conductividad de la solución salina es mucho m enor que la de un m eta l (véase la tabla 7. 1), el cam po eléctri co mucho men or que en la soluci ón. La en el m etal ( para la mism a densidad de co rri ente) es razón entre cam pos es tan pequeña que E en el metal puede despreciarse y es posible considerar que cada electrodo m etál ico es una su perfici e equipotencial . Pu ede uti li zarse un a peq ueñ a sonda, co m o se ve en la figura 7.5, para explorar e l potenci al en la solu ción, y de esta forma hacer un esq uem a de las superfi cies equipot encial es. U na posible uti li dad de este experim ento es la de proporcion ar una solución num érica para la ecua ción de L aplace que, en caso d e que la forma g eom étri ca sea comp li cada, puede s er dif íci l de determinar anal ít icamente. La soluci ón enco ntrada no se lim ita al prob lem a de condu cción, si no que se aplica i gualm ente al problema electrostát ico equ ivalente e n el

FIGURA 7.6 Problema electrostático equivalente al problema de conducción de la figura anterior. Como la figura 7.5 representa una conducción bidimensional, el problema electrostático también es bidimensional, y cada conductor es un cilindro de longitud infinita.

7.4 Corrientes est

acionarias en m

173

edios continuos

que los mismos electrodos metálicos están rodeados por un medio dieléctrico (Fig. 7.6) . El método de la “cuba elect rolít ica” se uti li zó am pliam ente en el pasado para resolver problema s el ectrostát icos con formas geom étri cas com plicadas, pero actual m ente est os problem as se suelen resolver con un com putador. Co m o un segu ndo ej em plo de la relación entre conducción y electrost ática, con  sideremos dos electrodos metálicos en un medio infinito óhmico homogéneo, de conducti vidad m oderada g . S i los el ectr odos m etáli cos se m antienen a los potenciales (p, y (py la corriente I entre ellos es

j =
sta corriente puede exp

resars e

/ = (j> J • n d a donde S es cualquier superf ici e cerrada que rodea com dos (excep to por un alamb re de m etal aisl ado que co p a r a m a n te n e rlo a p o te n c ia l c o n s ta n te ). P e ro

pletam ente uno de los electro nduce la corriente al elect rodo

3 = gE C om binando las t

res úl ti m as ecuaciones,

W i — ( p 2 g £ CE • n — - -----=

obtenem os

da

(7_20)

Si el mism o cam po eléctr ico se produjera por cargas el ectrostát icas sobre los dos elec trodos metálicos en un m edio dieléctrico , entonce s, por la ley de G auss,

i

E n da = - Q

S

7.2 i)

(

^

donde Q es la carga sobre el electr odo m etál ico r odead o p or la superficie S y e es la p e r m itiv id a d d e l m e d io . E n e s ta s c irc u n s ta n c ia s , lo s d o s e l e c t r o d o s f o r m a r á n un condensador:

Q = C(

( 1 -22)

tp2)

Al su stit uir l as ecuaciones (7-21) y (7-22) en

(7-20), obtenem os

RC = — g

(7-23)

Este resultado rel aciona la r esist encia entre dos conduc tores en un m débil y la capacidad del prob lem a electrost áti co equivalente. * Ya que / es el equivalente a

Q en el problem a electrostático. / es proporcional a A

la constante de proporcionalidad. Véase la ecuación (7-22).

edio conduc

tor

tpy 1 IR se define como

174

7 Co rri ente elé ctr ic a

De hecho, esta r elaci ón es m ás que un a analogía entre m edios dieléctr icos y con  g y ductores. También es válida para cualquier medio que tenga conductividad p e r m it iv id a d e . Ya q u e n o e x is te u n d ie lé c tr ic o id ea l, to d o d ie lé c tr ic o re a l ti e n e u n a g disti nta de cero, aunque sea muy p equeña. P or otr o lado, incluso un buen c ond uctor ti ene su propio valor de e , po r pequeñ o que sea. De aqu í que un con densa dor t enga una resist encia de fuga y que una resist encia tenga una pe que ña capacidad asociada, y en cada caso R y C del disposi ti vo están relacionados po r la ecuación (7-23) (aprox i m adam ente, ya que el medio no es inf ini to) .

7. 5

~

APRO XI MA CION AL EQUIL I BRI O ELECTR

OSTATICO

En el capítulo 2 se demostró que el exceso de carga reside sobre la superficie de un condu ctor. Es ta sit uación es el estado de equilibrio. La aprox imac ión al equilibrio no se est udió en el capítulo 2, per o se estableció que p ara buenos condu ctores (m etál icos) el equili brio se al canza m uy rápidam ente. Cuanto m enos c ond uctor sea el materi al, m ás lenta será la aproximación al equili brio elect rostát ico. De h echo, si la conductividad del materi al es extremadam ente baja, pued e tardar años o aun m ás en alcanza r el equi librio electrostático. Consideremos un m edio isót ropo hom ogéneo, caract eriza do po r una condu cti vidad g y perm it ivi dad e , as í com o po r una densidad de carga vo lum étri ca p0 (x, y, z) . Si est e sist em a condu ctor se aís la r epentinam ente de los cam pos e léctr icos aplicados, t enderá hacia la si tuaci ón de eq uil ibri o en la que no hay ex ceso de carga en el interior del sist em a. Segii n la ecua ción de con ti nuidad,

dp = °

-ft +

que, con ayu

(7-9>

da de la l ey de O hm , se expresa como

dp • E =4- 0g V dt

(7- 24)

Pero V • E se rel aciona con la s f uente s de l ca mpo. D e hecho , V • E = p /e , de m odo que

|

+f p - 0

La solución a esta ecuación diferencial parcial para

p ( x , y , z , t ) = p 0(x, y, z)e~*"'

(7-25) g y € constantes es (7-26)

y se ve que el estado de eq uili brio se alcanza expon cncial m ente. De la ecuaci ón (7-26) es evidente que la c antidad e l g ti ene dim ensiones de p o ; s e le lla m a constante de ti em po o tiemp o de relaj ación tc del m edio:

ti em

(7-27)

'•

=

r eri

7.6 Redes de resist

encias y leyes de K

175

irchhoff

L a constante de ti em po m ide l a velocidad a la que el medio se aprox im a al equi li brio elect rostát ico. M ás precisamente, es el t iempo que h a de transcu rrir pa ra que la carga en una regi ón determinada dis m inuya a H e de su v alor ori ginal . Un m ater ia l mostrará s u comp ort am ient o com o condu ctor en un cam po parti cu lar apli cado si su constante de tiempo es mu cho m eno r que el ti em po qu e caracteriza un cam bio en el cam po aplicado. Para algunas aplicaci ones, u na constante de tiempo m enor que 0. 1 segun dos es sufi ciente, y com o la m ayo ría de las perm it ividades no m etáli cas* caen en un intervalo de e () a 1 0 e(), se requiere un m aterial de resisti vidad m eno r de 10 9 o ÍO10£2 • m. Pa ra aplicacione s de alta frecuen cia se ne ces ita una con s tante de t iemp o m eno r y, por consiguiente, un a resi sti vidad m eno r para que h aya real m ente un com portamient o com o conduct or. De hecho, la ec uaci ón es

donde f es la frecuencia más a lta que inter viene en el experim ento. Ex actam ente la cond ici ón op uesta se aplica para e l com portam iento com o dieléct rico.

REDES

DE RESI STENCIAS Y LEY

H asta aquí hem os ana li zado la conducción tr ansport e de carga en un m edi o conductor

ES DE KIRCHHOFF principal m ente desde el pun to de vista del , y hem os enfocado el proble m a en términos

de las ecuaciones dif erenciales que deben aplicarse en cad a punto. La cantidad im por tante por determ inar en estos casos es la densidad de corriente J. Pero en m uchos p ro b le m a s d e in te ré s p rá c ti c o lo s p o rta d o r e s d e c a r g a e s tá n re s tr in g id o s a s e g u ir u n a trayectoria de baja resistencia, llamada circuito , y entonces la s can ti dade s de interés son las corrientes en cada parte del ci rcuit o. En esta secci ón limitarem os nu estro aná lisis a circuitos por los que circulan corrientes estacionarias (constantes), es decir, circuit os de corriente directa . Un circuito pu ede estar form ado po r varias ramas; de hecho, es posible definir un circuito como una malla de varios caminos de conduc ción, cad a uno de las cuales pued e co ntener voltaj es aplicados o fuen tes de v olt aje. El p r o b le m a c e n tr a l p a r a el a n á li s is d e c ir c u it o s e s: conocidas la resistenciay la fuen te de voltaje en cada ra ma de l cir cuit o, enco ntrar la corrien te en cad a una de e stas ram as . En el capí tul o 2 se dem ostró que la i ntegral de la com pon ente tangenc ial de un cam po electr ostát ico alrededor de cu alquier t rayectoria cerrada se anula. Es deci r, para un c am po electrost áti co, (7-28)

* No podemos aplicar la ecuaci hecho,

ón (7-27) a un metal, ya que no se conoce el valor apropiado de

® r « 1 0 "14 s, donde r e s el tiempo de colisión que se discutirá

pa ra tie m po s más co rto s qu e T no es vá lid o co ns id er ar qu e .J = g E .

en la sección 7.7. Com

e ; de o se verá,

176

7 Cerni ent e eléct ri ca

Para un m at eri al óhmico, J = g E . En general, en el caso isótropo esta expresión se m odi fi ca a J = g (E ) E, pero g (E ) es siempre una canti dad po si ti va, de tal mo do q ue la ecuación (7-28) implica que J ■ (ñ = 0. En consecuencia, se tiene que una fuerza p u ra m e n te e le c tro s tá ti c a n o p u e d e h a c e r q u e u n a c o r rie n te c ir c u le e n e l m is m o s e n ti d o alrededor de un circuit o com plet o. O , dicho de otra mane ra, un a corriente constante no p u e d e s e r m a n te n id a s o la m e n te p o r fu e rz a s e le c tr o s tá ti c a s . S in e m b a r g o , u n a p a r tí c u la cargada q puede experim entar otras f uerzas (m ecánicas, “quím icas”, etc. ) adem ás de la fuerza electrostát ica macroscó pica, de tal m odo que, en pa rte del circuit o, la carga se m ueve en d irecci ón opu esta a E. En las secci ones an teri ores hem os dejado de lado la cuestión de la causa de la corri ente el éctri ca supon iendo que dos pun tos en un objet o condu ctor se m antení an a una difer encia de potencial constant e A (p por medio de fuen tes exter nas d e energía. Hasta aquí , todavía es suficiente pa ra nuestros propó sit os su p o n e r q u e e x is te n ta le s fu e n te s d e v o lt a je, * pero harem os un a breve pau sa para anal izar cóm o de hech o se pueden prod uci r. En el laborator io, un volt aje constante es generalme nte producido po r una batería o po r una fuente electrónica de ali m entación (la cual rectif ica y su aviza la señal de voltaje), pero podría producirse por una variedad de otros medios; por ejemplo, un gene rador de Van de Graaff. Este últi m o es conc eptualm ente el caso más sencill o de anal iza r. En el generador de Van de G raaff las cargas se dep ositan li teral m ente en un extrem o de u na cinta m óvil y se transport an a ot ro punto de ene rgía potencial s u p e r io r sit uado en el otro extremo , don de se quit an de la cint a. En un a operación d e es tado estacionario, E * d i = 0 a lo largo de cualquier trayectoria cerrada. P or ejem plo, l a integral es negativa a lo lar go d e la cinta e igualmen te positiva a lo l argo de una trayec toria exterior entre los extremos de la ci nta. Puede haber un flujo de c orriente constan te externa a tr avés de una resist encia conectada entre los extremos. L a po tencia aport ada simplemente es la pot encia mecánica n ecesari a para m over la cinta que transporta l as cargas en dirección o puesta a l cam po eléctri co. La o peración de u na ba terí a es simil ar (excepto que las “fuerzas” que intervienen en una batería dependen de la mecánica cuá ntica de la electroqu ímica ), y E • d \ = 0 a lrededor de cualqu ier trayectoria cerra  da, aun cu ando pase a través del el ectról it o de la bat erí a. S in embargo , lo que im porta p a r a el a n á li s is d e c ir c u it o s e s s im p le m e n te q u e E ■ d i = 0 alr ededor de un a trayect o ria cerrada que conteng a las terminales de la fuente de voltaj e, pasand o parte de la trayectori a a través de la red de resistencias y la otra parte directam ente a través d e las terminales, pero p o r fu e r a de la fuente. El objeto de la teoría de circu itos eléctricos es desarro ll ar un proced imiento p ara an ali zar la parte qu e atraviesa la red de resis tencias; no nece sit arem os an alizar la cau sa (mecánica, quím ica o l a que sea) de la diferen cia de p o te n c ia l e n tr e la s te rm in a le s d e la fu e n te d e a lim e n ta c ió n , s in o s im p le m e n te re f e rir  nos a ésta com o un voltaj e aplicado, Y . U na fuente idea l proporcionaría un volt aje V 0

* En otros textos, el voltaje aplicado por una fuente se llama generalmente aunque voltaje aplicado

es el término que se usa en el laboratori

fu e r z a el ec tr om otriz (o fe m ), o para esta diferencia de potencial. El

término histórico fem y su concepto mismo son bastante confusos e innecesarios y, por tanto, no se emplearán aquí. Reservaremos el adelante (Cap. 11).

término tem

para un concepto un poco diferente

que estudiaremos más

7.6 Redes de resist

FIGURA 7.7 Conexión de dos resistores (a) en serie y (b) en p a ra le lo .

*i

encias y leyes de K

irchhoff

177

*2

W \A

A/sA-

V\

(a)

(b )

que se ría independ ient e de la corriente propo rcionada por la fuente, pero el vo lt aje en Y = Y(/). La terminales de una fuente real depende en cierto grado de la corriente suposición m ás sen cill a que se aplica por lo general es que la depe nde ncia es li neal : y =r

0-

R ji

El coe fici ente R¡ se ll am a resistencia interna y Y Q se ll am a voltaje en circuit o abierto (o fem e n la m ayo ría de los otros te xtos ). Antes de entrar en el problema general de las redes, veremos primero las co nexione s elem entales en serie y en p aralel o de los resi stores. La resistencia de finida en la sección 7. 3 es u na propiedad d el objet o m ateri al en cons ideración y depe nde tant o de la naturaleza del m ater ial que com pon e el objet o com o de la form a que éste tiene. (En cam bio, l a resi sti vidad d epen de sólo de la naturaleza del m ateri al condu ctor. ) Un objeto cond uctor de forma ade cuad a que se carac teri za pri ncipalmente por su res ist en cia reci be el nom bre de resistor y se representa generalm ente con el símb olo -w\ n. Lo s resist ores pueden conectarse para forma r una red de resist encias y las formas en que dos resistores pueden co m binarse se il ustr an en la fi gura 7.7. La figura 7.7a m uestra en serie en la que la m isma intensidad de corriente I pasa por ambos una conexión resist ores. A pli cando la ecuación (7-15) a cad a resist or y ob servando q ue la d ifer encia de po tencial * V = Vl + Vv encontramos que

V = « ,/ + Por tanto, la resi

R 2I = (/?, +

stencia equivalente de la com

R = R i 4-(conexión R2 En la conexión en paralelo resistor es la misma, y la corri

en serie)

R 2) I binación es (7-29)

(Fig. 7.7b), la diferencia de potencial a través de cada ente tot al que pasa po r la com binación es / = /, +

Ap li cando la ecuación (7-15), vemos que

* En esta sección usaremos el símbolo

V en lugar de A

notación más común de circuitos el éctric os.

178

7 Co rri ente elé ctr ic a

FIGURA 7.8 Red de resistores.

y la resist encia eq uivalent e R de la com binación se obtiene de 1 _ 1 + X

1 (comb inaci ón en paralelo)

(7-30)

La resis tencia equival ente de un a red m ás com plicada, com o la de la figura 7.8, puede determ inarse c om binand o los r esis tor es po r pares, de acuerdo co n las ecuaciones (7-29) o (7-30), y repitiendo luego el procedimiento hasta que quede sólo una resistencia equivalente. Au nque este procedimiento no es aplicable a todas las redes, toda red que tenga dos term inal es puede ser reducida a una resist encia equivalente por el proce di m iento que se describe en el s iguiente párraf o. Cu alqui er probl em a de redes puede resolvers e de una form a sist em áti ca por m e dio de dos reglas llamadas leyes de Kirchhoff. * An tes de enun ciar estas leyes, defini  remos dos términos. Un nodo es un punto del circui to dond e concurren tr es o más a, b, c o d de la f igura 7. 9. U na malla es cualquier conductores, tal como el punto trayectori a cond uctora cerrada en la red .

Podem os enun ciar ahora l as leyes de

Kirchhoff :

I.

L a s u m a a lg e b r a ic a d e la s c o r rie n te s q u e c irc u la n h a c ia u n n o d o es cero; es decir ,

II.

L a su m a a lg e b r a ic a d e la s d ife r e n c ia s d e v o lta je e n c u a lq u ie r m a lla de la red es cero; es decir ,

= o

= 0

2 1¡

(i)

X vt

(II)

L a prime ra l ey es sól o un enun ciado form al del hech o de que la carga no se acum ula en ningún nodo del cir cuito com o resultado de la corriente constan te. Es un a r eform ulación

* Llamadas así en hon or de Gustav

Robert K irchhoff (1 824- 1887 ).

7.6 Redes de resist

encias y leyes de Kirch

179

ho ff

FIGURA 7.9 Circuito típico que requiere la aplicación de las leyes de Kirchhoff. El símbolo se em plea p a r a re p re se n ta r un a fuente de voltaj e. E n un p ro b le m a tí p ic o de circuitos, se espec ifi can las T y las R , y hay que calcular las co rrientes . Dos de las seis ecuaciones para las corrientes del circuito mostrado son: - l] + I3 + I5 = 0 y V , - I6 R0 + ISRS

+ /\ R V

a + — r * 2 *5 --------n/ v V ---------- ---------vA/V^

--------

h +

W \A

*1

de la ecuación de c equivalente a

ontinuidad en la form

V 'J = 0

(7-6) y (7-7), l

o que es

(co rr ient es est aci onar ia s)

L a segunda ley es simplem =E 0* d \

a de las ecuaciones

ente una reaf

(7- 16)

ir m aci ón de

(campo s estát icos)

(7-28)

Pa ra aplicar l as leyes de K irchhoff necesitamos rec orda r la l ey d e Ohm : L a c a íd a d e p o te n c ia l en u n a re siste n c ia R . es i (resist or) V¡ = Ij R j

(7-15)

don de se considera que el potenci al m ás alt o está en el extr em o por do nde se supone que entra la corri ente en la resi stenci a. L a ecua ción (7-15) es una forma equivalent e de J = gE

(med io li neal)

(7-10)

Fina lme nte i dentifi carem os los voltaj es apli cados

Vj = — Y j Co m binando ést como

(voltaje

aplicado)

a y la ecuación (7-15) podemos

2 ^ = 1 l,R¡

reescr ibi r l a segund a ley de K

ir chhoff

(na)

180

7 C orriente eléctr

ica

Si deben tene rse en cu enta las resistencias internas de la fuente, pueden transferirse al segundo miembro de (lia). A ntes de aplicar las le yes de K irchhoff a un prob lem a específico, es necesari o considerar lo s sentidos para las corr ientes en cada un o de los r am ales. Estos sentidos debe rán indica rse e n el esqu em a del ci rcuito. La form ulación de las ecua ciones (I) y (Ha) se lleva a cabo entonces tomando com o base los sent idos asignados. Si la solu ción num érica de est as ecuaciones da un valor negativo para una corriente parti cular , el sentido correcto de esa corriente es el contrari o al supuesto. En el prob lem a il ustra do en la figur a 7.9 hay sei s corri entes desconocidas. Éstas se designan con los símb o los /,, 1V I y / 4, 15 e ¡( \ a cada u na se l e ha asignado un sentido. La primera ley de K irchhoff p uede aplicarse a cada nodo del circuito, pero la s ecuaciones a sí obtenidas no son todas independ ientes. La regla general es que si hay n nodos, sólo lem a de la n - 1 de éstos producirán ecuaciones independientes. En el prob figura 7.9 hay seis corrientes desconocidas. La solución requiere tres ecuaciones de nodos y tres ecuaci ones de mallas. Las sumas en (I) y (lia) son sumas algebraicas. En (I) la corriente se considera p o s itiv a si s u s e n tid o s u p u e s to e s h a c ia e l n o d o e n c u e s tió n , o n e g a tiv a s i s e le ha asignad o un sentido tal que se aleja de la unión. Al a plicar la s ecuac iones d e malla, algún sentido (ya sea el de las agujas del rel oj o el contrari o) debe tom arse com o el sentido del recor rido. U na fuente de voltaj e se tom a con signo positi vo si el volta je (por sí m ismo) produce u na corr iente positi va en el sentido del recorr ido. U n term ino vo si la corri ente a través de c ada resist or en cuestión va IR se toma con el signo positi en la direcci ón d e recorrido de la m al la.

___________

EJEM PLO 7.1

C om ente en una re d de resi stenc ias con dos fuente s de voltaje

C onsidere la red de resist encias que se m uestr a en la fi gura 7.10. L os resi stor es El problem a es R { , R 3 y R 5, así com o los volt ajes Y , y Y 2, están especificados. enc ontrar las corrientes en los resist ores. odo sem ejante a la figura Solución: L a fi gura 7.10 se ha dibujado y señalado de m 7.9. M arcare las las corr ientes consideradas I {, /3 , e /5 qu e pasan por los r esist ores de tal modo que estén de acuerdo con la s de la fi gura 7.9. A plicando las leyes de K irchhoff encontram os que: /3 + /5 - A = 0

Vi = /,« , +

i 5r

5

V 2 = /3 R 3 - I s R s Utili zaremos la prim era de e stas ecuaciones para el im inar resolveremos cada una de las ecuaciones restantes para Despejando /,, obtenemos , _ Vj+fTi

7? de la últi m a. Luego, I 5 y las igualaremo s.

7. 7 Teoría m icr oscópica

de la conducción

181

FIGURA 7.10 Red de resistencias para el ejemplo 7.1.

do nd e

7 .7

~

/ = 1+

TEORÍ A MI CROSCÓP Co n base en un

R 3/ R 5 .

I CA DE LA CONDU CCI ÓN

modelo microscópico

de un con

ductor es posible entender e

l compo r

tamiento lineal expresado com o la l ey de O hm, así com o otras caracterí sti cas exp eri qy m ental es de la conducci ón. C onsidere m os u na part ícula l ibre del medio, con carga masa m . Bajo la infl uencia d e la fue rza eléctri ca local, qE> su velocidad de d eriv a aum entar á de acuerdo con m dsf dt - qE. Si l a partícula cargada se enc ontrara en el vacío, continuaría acel erándose. Sin em bargo, en un m edio material po r el qu e pasa una co rri ente constante, la velocidad d e deriva es constante y, por tanto, la fuerza tot al sobre la partícul a deb e ser cer o. O tra f uerza, debida al medio, debe ac tuar adem ás de la fuerza eléct ri ca. La suposición m ás sen cil la posible es que es ta fuerza de eq uili brio sea p r o p o r c io n a l a la v e lo c id a d , d e m o d o q u e la e c u a c ió n d e l m o v im ie n to e s Gv

dt

= qE —

(7 -3 1)

Puede vers e inmediatamente que, cuando

dsldt = 0,

(7-32)

^ E E sta ecuación es la soluci ón en estado estacionario para la velocidad d em bargo, es inter esante exam inar la solución com pleta de la ecuación v( í ) = §E (1 -

e~c "m )

e deriva. Sin (7- 31): (7-33)

182

7 C orriente eléctr

ica

si s e tom a la condición inici al v(0) = 0. Esta ecuación dem uestra que la velocidad de deri va se aproxima expo nencial m cnte a su valor est aciona ri o, com o e~tíx, donde el tiempo de rel ajaci ón T es

m * = Q

^

Eliminando G de las ecuaciones (7-32) y (7-34) encontramos que la velocidad de deriva en estado estaci onario es

yd = — m

E

(7- 35)

C om binando ésta con la ecuación (7-4) para m os la densidad de corrient e E

J = N qyd =

un solo ti po de portador de carga, obtene

N q 2t m

que es proporcional a l cam po de acuerdo con la l ecuación (7-10), t enem os la conductividad s .

^

(7- 36) ey de Ohm . C om parand o ésta con la

(7.37,

m

o, en el caso d e qu e haya varios tipos de portadores d

e carga,

Ato?*.m, Para un condu ctor electr ónico razonablem ente bueno, t al com o un sem iconductor o un metal ( pero no un el ectr ólit o), podem os interpretar tfísic am en te com o el tiempo En tales m ateri ales el el ectrón se m edio entre coli siones de un electrón de conducción. acelera p or un periodo corto, después del cual sufre una col isi ón con uno d e los átomos del material. Como resultado de esta colisión el electrón se desvía en una dirección aleatoria, de m odo qu e el efecto prom edio de una col isi ón reduce la velocidad de deri va del e lect rón a cero ot ra vez. Si e l tie mp o medio entre colision es es r y la velocid ad m edia neta es v, entonces el elect rón pierde la cant idad de m ovim iento m v d despué s de cada tiempo t. En estado estacionario, el valor de la razón de momento perdido m v j res igual a la razón de m om ento ganado q E y el resultado e s idéntico a la ecua ción (7-35). El tiempo m edio r se re laci ona con el recorrido libre m edio del electr ón m ediante / = v Tr

(7-38)

donde vT es la velocidad térmica de l os el ectrones. Es im portante recalcar que vTes m ucho m ás gr ande* que la vel ocida d de deriva vd (aunque su sentido e s aleat orio) . Para la may oría de los m etal es, vTts del orden de 106 m/s (casi independiente de la temperatura), y para un sem iconductor es de cerca de un or den de m agnitud m ás

* Sólo po r este hecho, r puede considerarse independiente del campo ac elerador E.

7.7 Teorí a m icr oscópica de

la condu cción

183

p e q u e ñ o a te m p e r a tu ra a m b ie n te . P o r o tr a p a rte , la v e lo c id a d m e d ia d e d e r iv a v(¡no es superior a 10~2 m/s en m etal es norm ales. En los metales y sem iconduc tores, el recorri do lib re medio es típi camente del or den de ÍO 8 m a temperatura ambiente, de modo que t ~ 10 -14 s en los metales . En l os semicond uctores, r pued e ser de un orden de m agnit ud m ás gr ande. En uno u otr o caso , r e s ta m bié n el t iempo en que se inici a o deca e una corriente óhm ica. De est e modo , la corriente cam bia prácticame nte de form a i nstantánea después de qu e el campo se apli ca, o quita, en resistores hechos con estos material es. Hacem os no tar que en un m etal el ti em po d e rel ajación r pa ra e l decaimiento de la corriente, el tiempo de colisión y la constante de tiempo tc para disipar el exceso de densidad de carga, resultan ser los mism os aun que son co ncep  tualmen te diferent es*. Es ev idente, de la tabl a 7.1, que el grup o de m ateri ales de m ayo r conductivi dad eléctrica es el de los metales. Estos materiales tienen una alta conductividad porque contienen un a gran densi dad de po rt adores de carga, del orden de uno p or cada átomo del metal, y porque su velocidad de d eriva por unidad de cam po eléctrico es alt a. En los m etales sólo consideramo s un tipo de portador de carga, el el ectr ón. E n con secu en cia, l as ecuaciones de cond ucción son m ás sencill as en este caso: j = - N e\ d

(7-39)

g = N e ( v / E ) = N e 2r / m donde e es el valor absoluto de la carga elect tr ón por unidad de cam po eléctri co (vJE)

(7-40) rónica. La velocidad d e deriva del elec se llama movilidad del electr ón. U na gran

m ovili dadio imgrande. pli caPara un tener ti em un po de coli sión o, l libre o qu medio e es equivalente, unelectrones recorrido de li bre med a idea delr largo recorrido de los un metal, tendrem os que co nsiderar la di nám ica de la s colisi ones d e los elect rones. Sabemos que el conductor es electrostáticamente neutro sólo en promedio, que hay grandes variaci ones en el potencial en dist ancias del orden de un angstrom , y que una p a r tíc u la c a r g a d a , c o m o u n e le c tr ó n , d e b e r á c h o c a r o d is p e rs a rs e p o r v a ria c io n e s d e p o te n c ia l. P e r o ta m b ié n s a b e m o s q u e la n a tu ra le z a o n d u la to r ia d el e le c tr ó n d e s e m p e  ña un papel important e en su m ovimient o a la escala at óm ica . U na soluci ón d el proble m a de l as coli siones de lo s elect rones em pleando concep tos de me cánica on dulatoria está fuera del contexto de este li bro. Simp lemen te enunciarem os el result ado: E n un cristal perfecto con un poten cial periód ico tridimen sional, una onda electrónica no choca : su tiemp o de colisión X es infinit o. Así pues, la conductividad finita de los m etal es proviene de las im perfecciones en la est ructura perfectam ente periódica. Estas impe rfecciones son de dos tipos: ( 1) i m purezas e imp erfecciones geom étri cas (t al es como fronteras granulares en materiales policristalinos), y (2) imperfecciones térmicamente inducidas que provienen del movimiento térmico de los átomos en la estructura. Ambos tipos contribuyen independientemente a la resistividad (regla de M att hiessen), de m odo que

* En un conductor malo, puede ser que el t

iempo de colisi ón no tenga significado o

mente proporcional a r d e acuerdo con las ecuaci ones (7-27) y (7- 37).

tc puede ser inversamen-

184

7 C orriente eléctr

ica

+ *7a(r )V = Vi

(7- 41)

T es la tem peratura absol uta. En m etal es m uy puros, la contribución dom inante a la resi sti vidad a temp eraturas ordinarias es la dispersión de las ondas electrónicas por los átomos desplazados térmicam ente. Así, r] ~ t\ 2(T). La sección ef icaz de di spersi ón de un átomo desplaza do es propo rcional al cuadrado de su am pli tud de vibración (x2), en o tr as palabras, a su ene rgía potencial máxima. S upo niendo que las fuerzas elást icas recuperad oras actúan donde

sob re l os átomo s desplaza dos, (En ergía p otenc ial)m áx = (En ergía c in é tic a )^ <*= k T de m odo q ue

1)

^ =

1)2

«

(r2)_1

aX 2 «

T

o, expresado e n palabras, l a resist ividad de un m etal pu ro es propo ratura absoluta. El coeficiente de temperatura de la resistencia, (1 m etal muy puro es, por ta nto, 1 dr\

rjdT

1 f

(7-42) rcional a la temp e h]) drjfdT, p ara un

(7-43)

que con cuerda aprox imada m ente con los val ores para los m etal es de la t abla 7. 1. H a b la n d o e s tric ta m e n te , el a rg u m e n to a n te r io r e s v á li d o s ó lo p a r a te m p e r a tu r a s s u p e r io  res a la t em peratura de D ebye d el metal (la temperatur a po r encima de la cual s e excit an todo s los mod os de v ibraci ón atóm ica). A temp eraturas algo m eno res que la de Debye, r\ decae por debajo de la relación lineal predicha por la ecuación (7-42). A temp eraturas muy bajas, la contri bución d e r¡¡ no p uede despreciarse . La adici ón de pequeñas canti dades de una imp ureza sol uble siempre au m enta l a resi sti vidad. U na aleaci ón, que pued e considerarse com o un m etal i m puro, t iene siem  p r e m a y o r re s is tiv id a d q u e la d e l m e ta l b a s e d e m e n o r re s is tiv id a d (F ig . 7 .1 1 ).

FIGU RA 7.1 1 Resistividad de aleaciones de cobre-níquel en función de la comp osici ón a 20°C.

o £ O 2 o

<—

_G

Porciento atómico

1 85

7. 8 Resum en

El coeficiente de temp eratura a de una ale ación es evidentemente m enor que el de un metal puro, precisamente porque su resistividad es mayor, pero se han encontrado algunas al eaciones con coeficientes de temp eratura ext rem adam ente pequeños.

RESUMEN Los p rinci pales usos tecnológicos de la el ectri cidad dep ende n de las corrientes causa das por cargas en movimiento; éstas son importantes también para el magnetismo, com o verem os en el próx imo cap ít ulo. Se define la en un punto densidad de corriente locali zado del espacio com o

J= X

N ‘4 ív ¡

Puesto q ue la densidad de carga es

N#,

P =X

esta últ ima p uede h acerse cero, aunqu una sup erfici e S e s

e no así la corr ient e. La c orriente tota

l a través de

da

=jj.»

dt L a conservación de carga se

expresa localmente con la

ecuaci ón de continuidad

do V J + — 1= 0 dt (De m om ento, consi derar emos pri ncipal m ente com entes est acionar ias , pa ra las cua les V *J = 0, a sí com o <9j/9 1 = 0. ) La corri ente de conducción en un medio está dad a po r un a ecuación constit uti va, qu e en el caso li neal más sencil lo define la conductividad g : J = gE que es la

ley de Ohm .

• La resistencia R

de un cond

uctor recto y de sección tr

ansve rsal uniforme es

= UgA

• En un medio cond uctor continuo con corri ce la ecuación de L aplace,

V2«p = o

entes estacionarias

el potencial

sati sfa

186

7 C orriente eléctri

ca

Las condiciones en la frontera que se aplican a E son las mismas que en un medio dieléctrico, y aquellas que se aplican a J son semejantes a las que se aplican a D. Co nsecuen temente, entre dos condu ctores inm ersos en un m edio infi nit o,

R C = — (unidades

8

mks)

• Si l a densidad de carga volumétrica cero, desaparece con una constante de tie

tc = —

8

(unidades

en un m edio condu m po

ctor no es i nicial m ente

mks)

Pa ra me tales, este t iem po es del orde m uchos meses .

n de 10 *14s; par a ma los con du ctores pu ed e se r de

• Para ci rcui tos el éct ri cos, las ecuaci ones est át icas V - J = 0 y V x E = 0s e convi er ten en las leyes d e K ir chhoff : ^

lj = 0

^

y .= o

en un nodo

en una m all a

(I)

(II )

Pa ra propo rcionar la potencia disipada en los resist

ores p or la corriente estaci

onaria,

debenonpapliued carse volt birse ajes por positi com ica. o bater cuyalaop ción e d escri dentr m oedio del de co disntexto de lavos elect(tal es rostát Luego,ías), con l ey era de Ohm , la resolución com pleta del problem a e s direct a. • L a t eoría m icr oscópica de la conducción óhm ic a depende de la exist encia de una fuerza li neal retardadora que a ctúa s obre la s cargas l ibres en el med io, adem ás de la fuerza eléctri ca aceler adora. Exp resada en tér m inos de un t, tiempo de relajación resulta N q 2r 8 = -------m El ti em po r es la constant e de tiemp o para el establ ecimiento local de u na corriente óhm ica después d e la apl icaci ón del cam po; en casos prácticos r e s brev e ( 10~1 4 s para m etal es). Par a bueno s cond uctores el ectrónicos ( m etal es, sem icondu ctores) rs e inter  p r e ta c o m o e l ti e m p o m e d io e n tr e c o lis io n e s . E n e s to s c a s o s , d e p e n d e d e l recorrido li bre m edio elect rónico de a cuerdo con r = l/vT donde

PROBLEMAS —-

vT es la veloci dad térm ica al eatoria ( no la veloci dad de d eriva neta).

7.1 La máxima corri ente que pasa por un alambre de cobre que tiene un área de sección tr ansve rs al de 2 m m 2 es d e 2 0 A. (a ) ¿C uá l es la den si dad de co rr ie nte corr esp ondie nte en A /m 2? (b) Suponiendo que cada átomo de cobre contribuye con un electrón de conducción, calcule la velocidad de deriva electrónica que corresponde a esta densidad de corriente. (Número de

El campo magnético de corrientes estacionarias

El segun do ti po de cam po que interviene en el estudio de la electri cidad y del m ag netismo es el cam po m agnéti co. Tale s cam pos, o m ejor di cho, los efectos de tales campos, se han conocido desde épocas muy antiguas, cuando se observaron por p r im e ra v e z lo s e f e c to s d e la m a g n e ti ta ( F e 30 4), e l im á n p e r m a n e n te q u e s e e n c u e n  tra en forma natural. El descubrimiento de la propiedad que presenta este material de poder indicar el norte y el sur tuvo una profunda influencia en la navegación y exploración primitivas. Sin embargo, excepto por esta aplicación, el magnetismo fue muy poco utilizado y sus fenómenos se entendieron aun menos; esto duraría hasta princi pios del si glo xix, cuan do O erst ed d escu brió que u na corriente eléctr ica p r o d u c ía u n c a m p o m a g n é tic o . E s te tr a b a jo , ju n to c o n la o b r a p o s te r io r d e G a u s s , Henry, Faraday y otros, ll evó al cam po m agnéti co a una sit uación p rom inente como socio del campo e léct rico. E l t rabajo teórico de Max w ell y otros (véan se los capítu los 11 y 16) ha dem ostrado qu e esta asociación es real y que los cam pos eléctricos y magnéticos están inextricablemente entrelazados. Los esfuerzos de gente práctica han dado com o resul tado el desarr oll o de m aquinaria el éct ri ca, equipos d e com uni caciones y computadores que dependen de fenómenos magnéticos y que desempe ñan un papel muy importante en nuestra vida diaria. En este capítulo se darán las definici one s básicas del m agnetism o, se estudiará l a producción de l os cam pos m ag néti cos p or corr ient es estaci onarias , y se m encionarán algunos f undam entos impor tant es para tr abajos que se desarroll arán posteri orm ente.

DEFINI CIÓN DE LA I

ND UCC I ÓN M AG NÉTICA

En el capít ulo 2 se vio que la fuerza de Coulomb sobre una carga debida a una carga que s e encuent ra en el ori gen está dada por

q local izada en r

191

8. 1 D efi nici ón d e la i nducc ión m agnética

ü

1 M \t 4 JT€() r r

don de se consideró imp

( 8 - 1) v '

lí cit am ente que las

dos cargas estaban en

repos o.

Si l as cargas se m oviera n con velocidades constantes v y v p respectivamen f u e r z a m a g n é tic a Fm ejercid a sob re q por q v te, existiría además una F m = 4Mo l X - rj \ n qq v x (v,

(8 -2 )

A quí e l número /í0 /4tt ti ene el mismo papel que 1 / 4 tuvo e n elec tr ost át ica; es dec ir, es la constant e necesari a para hace r que la l ey experim ental sea com patible con un conjunto de unidades. En unidades m ks, p o r d e fin ic ió n ,

^ = 1(T 7 N • s2 /C 2 4 jt exactam ente, y esta condición nos cond uce a la definici ón prim aria de coulomb. (Véase la Sec . 8.3.) D el m ismo m odo qu e en el caso de la fuerza el ectrostát ica, es conveniente valernos de las propiedades de una “carga de prueba” para definir un campo m agnéti co. En este caso, no solamente la car ga de prueb a q , sino también su velocidad v, debe n aparecer com o fact ores: x B, donde la

Fm = q v

(8 -3)

inducc ión m agnética

B es

B =

<8-41

Si hay presentes vari as carga móviles , las f uerzas y cam pos m agnéticos debe n sum ar se . Del m ismo m odo, alguna clase de proceso de p aso al límit e debe incluir se también en la definici ón de B (com o se hizo cuando se definió el cam po eléctrico) para asegu rar que la carga de prueba no afecte a l as fuentes de B . La unidad de inducción m agné tica en el sist em a m ks según la ecuación (83) es el newton-seg und o por coulom b-m etro, llamado tesla (T).

Si se encuentran presentes un campo eléctrico y un campo magnético, la fuerza total sobre u

na ca rga m óvil es F^ + F m,

F + = v qx( EB) que se conoce

(8- 5)

com o fu e r z a d e L o r e n tz .

L a fuerza m agné ti ca entr e dos cargas es más c om pleja que la fuerza eléctr debido a l a depen dencia con respect o a l a velocidad y los productos cruz. Primero,

ica,

19 2

8 El camp o m agnético de corrientes est

acionari as

las semejanzas en tre ell as son que am bas fuerzas depen den del produ cto de las cargas y del i nverso del cuadrado de su separación (adem ás de una con stante dim ensional). Sin em bargo, la dirección de la fuerza m agn ética no es a l o largo de la l ínea que une las part ículas (es deci r, no es una fue rza central) , a me nos que v sea perp end icular a r . La fuerza está si em pre cont enida en el pl ano defini do po r r y v r M ás i m portante aún , la fuerza es si em pre perp end icular a v; de la ecuación (8-3), v• = 0 para cualquier campo B, de modo que una fuerza magn éti ca nunca efectúa t rabaj o sobre un a partí  cula cargada. Una com paraci ón más estr ict a entr e Fm y F ,pu ed e verse si m ult ipli ca m os eltado numconerador y el denom de laque ecuaci ón debe (8-2) por e Q. Comparando el resul la ecuación (8- 1) inador se observa tener dimensiones del in verso de una velocidad al cuadrado. Escribir em os €ojUo = ^

(8 -6 )

don de c tie ne las dimensiones d

47TÉO r U sando el valor definido c = 2.9979 x

e una veloci dad, a sí que

\c

e de

r/

y el valor experime

ntal de e 0 se encu entra que

10 8 m /s

que resulta ser exactamente el valor numérico que se obtiene experimentalmente p a r a l a v e lo c id a d d e la lu z * . E n e l c a p ít u lo 16 v e re m o s q u e e s ta c o in c id e n c ia n u m é  rica no es accidental , sino que es un a consec uencia necesaria si l a luz es un a onda elect rom agnética. No n ecesit am os a qu í profun dizar en el signifi cado de la r elaci ón, sino simplem ente usar e l hecho experimen tal . Esto signifi ca que para un pa r de par tículas dadas

I sl < Íü í Fe ce Es decir , si l as veloci dades d e las partí culas son peq ueñas com paradas con la veloci dad de la luz, la interacción magnética es mucho más pequeña que la interacción eléctrica. De hecho, las ecuaciones (8-1), (8-2) y (8-4) son solamente una pri m era aprox imación a las expresiones r elat ivis tas correct as que serán deduc idas en el

* La ecuación ( 8 -6 ) debe ser válida para cualquier sistema de unidades consistente. En unidades gaussianas, don de e u= V*k por definición, /¿,/47r= 1 /c 2 es un valor experimental. Una diferencia mis problemática entre los dos sistemas de unidades es que en las uni dades gaussianas las dos c se separan con las dos de modo que esc define

B = V

i x

t

y

>t ^

Esta definición ti ene la ventaja de que d e aparec e explícitamente) .

xB

B es dimensional mente igual que

E (y que la forma relativist a

v,

8.2 Fuerzas sobre cond

193

uctores por los que circula corriente

capít ulo 21, y son vál idas sól o para t> ,« c. Pod em os observar que lo s campos produ cidos por una carga onados por q x con m ovimient o u nif orme están relaci

c

c

(Esta rel ación es válida para v eloci dades arbitrar iamen te grandes, aun cuando E yB lleguen a mo difi carse, cuand o v ] sea com parable ac.) Por últ imo, vale la pena m encio nar que la fuerza m agnéti ca no depende únicamente de la velocidad relativa de las dos cargas, sino que result a ser dis ti nta para un sist em a de coorde nadas en m ovimiento;* y no cam bia simp leme nte de si gno cuand o se intercam bian los signos de las part ícul as. N o n e c e s it a m o s tr a ta r e s to s c o n c e p to s p o r a h o r a , y a q u e s e c a n c e la n e n la s a p lic a c io  nes que se han de h acer en este capítulo y en los siguientes . D ebido a que si empre Fm « F , a pr imera vi st a pare cerí a que la fuer za magnética p u e d e d e s p r e c ia r s e e n c o m p a ra c ió n c o n l a e lé c tric a , p e ro h a y s is te m a s d e p a r tíc u la s e n los que esto no sucede. En particul ar, en una corriente de con ducción d on de las cargas p o s itiv a s y n e g a tiv a s e s tá n p re s e n te s c o n ig u a le s d e n s id a d e s , e l c a m p o e lé c tr ic o m acroscópico es cero, pero el cam po m agnético de las cargas mó viles no. Éste es el caso d e los elect roimanes, m otores , transformadores y otras sit uaciones don de las fuer zas magnéticas tienen gran importancia práctica. Por este motivo, comenzaremos con el estudio de inter acciones m agnéti cas entre corr ientes de conducción. E n la próxim a secci ón anali zaremos la f uerza sobre una cor ri ente de condu cción en un campo m ag nético exist ente y en la sección 83 se estudiará la produ cción de un ca m po m agnético p o r u n a c o r rie n te d e c o n d u c c ió n d ad a .

FUERZAS SOBRE CONDUCTORES POR LOS QUE C I RCU LA CORRIENTE A p artir de la fuerz a de L orentz (Ec. 8.5) puede hallarse una exp resión para la fuerza sobre un elemento d \ de un conductor de corriente. Si d\ es un elemen to de l condu c tor cuyo senti do se considera en la m isma dirección que el de la corriente / que pasa p o r é l, e n to n c e s d \ es paralelo a la velocidad de de riva v de los portadores de carga en el conductor. Si hay N portadores de carga por unidad de volum en en el conductor, la fuerza sobre el elem ento di es d F = N A \dl\ q v

x B

donde A es el área de la sección tr ansversal del cond de carga. Si inter vienen varias clas es de portadores

(8-7) uctor y q es la carga por portador de carga, entonces deb e incluirse

* En partic ular , se anula en un sistema de coordenadas que se m ueve con v. Esta dependen cia respect o al sistema de coordenadas contradic e la suposición de la mecánica clásica de que las fuerzas son las mismas en todo s los sistemas incrciales de coordena das. Ésta es nuestra primera eviden cia de que es ne cesaria la teoría de la relati vidad para explicar el electr omagnetismo.

194

8 El cam po m agnético de corri

entes estacionari

as

una su m atoria e n la ecuación (8- 7). Sin em bargo, el resultado final , ecuación (8- 8), n o varí a. Co m o v y d \ son paralelos, una form a alter nativa de la ecuación (8-7) es

d¥ =

N q |v| A d \

X B

(8-7)

N o o b s ta n te , N q Ivl A es sólo la i ntensidad de corriente dor. Por tanto, la expresión

para u na sola especie d

e po rta

x B

dF = ¡di

(8-8)

se usa para escribir la fuerza sobre un elem ento infini tesi m al de u n con ductor de carga.* L a ecuación (8-8) puede integrars e para que d é la f uerza sobre un circuito com p le to (o c e rra d o ). S i el c irc u ito e n c u e s tió n s e r e p re s e n ta c o n el c o n to rn o C,

-¿



Id \ x B

(8-9)

M ientr as B de pend a de la posición, la ún ica si m plifi cación que pu ede h acerse en la ecuación (8-9) es sacar el factor la i ntegral . S in emb argo, si B es I que está dentro de uniforme, es deci r, i ndepen diente de la posici ón, entonces tam bién pu ede sacarse de l signo de integraci ón para dar

- 4

x B

H

L a integral que queda es fáci l de calcular . Puesto que es la sum infi nit esimales q ue form an un circuito cerrado, debe ser cero. Así ,

F=
a de vectores

( B uniforme)

= 0

(8-10)

Otra cantidad interesante es el momento de rotación o torque sobre un circuito cerr ado. Com o el mom ento de rot aci ón es el mom ento de la f uerza, e l m om ento de rotación infinitesimal d x está dado por dx

= r x

El m om ento de rotaci

t =

lj> r

d¥ =

x (d \ x B)

Ir

(8-11)

ón sob re un ci rcuit o cerrado es x ( d i x B)

U na vez m ás, a m enos que B em bargo, si es uniforme, pue

d \ x B = i (dyBz

(8-12)

sea unif orm e, no puede hacerse otra s de lograrse un desarrollo directo al escri

-

dzBy)

+ j (dzBx

-

dxBz)

im plif icación. Si bir

+ k ( dxBy -

n

dyBt)

(8-13)

* Los experimentos srcinale s que permitieron comprender las fuerzas magnéticas se llevar circuitos conductores de corriente. Estos experimentos producen las ecuaciones (8-8) y (8-9).

on a cabo con

8.2 Fuerzas sobre conduc

195

tores por los que circula corriente

A pa rtir de est as com ponentes, las compo

nentes de

r x (di x B ) resultan ser

[r x ( d i x B)], = y d x B y - y d y B x — z d z B x + z d x B B)Jy = z dyBz

[r x (d i x

[r x ( d i x B ) ] z Com o se supus

o que

=

x dzB x

B es independiente de

- z dz By -

-

(8-14) X

dxBy

+ x dyB

x d xB z — y d yB z + y d zB r (campo uniforme), l

as com ponentes de

B

p u e d e n s a c a r s e d e las in te g ra le s q u e a p a re c e n e n el d e s a r r o llo d e la e c u a c ió n (8 - 12). Las integraci ones espaciales que deben efectuarse son de dos form as general es: (8-15a)

£dr)

(8-15b)

dond e £ representa cual quier coordenada y enad a disti nta r¡ representa cualquier coord de £ L a prim era de ést as es tr ivial porque rep resenta la integral desde algún límite inferior has ta otro sup erior £2 de £ d¿ j, m ás la integral desd e t;2has ta de £ d£. C om o el i ntercamb io de los l ímites i ntroduce un signo m enos, el result ado es cero, l o que elim ina sei s términos de las ecuaciones (8- 14). Las integrales de la form a (8 -15b ) contienen sólo dos variables, § y rj; por tanto, no importa si la integral se toma alrededor de la curva real C o alrededor de s u proyección sobre el pl ano 77, com o se m uestra en l a fi gura 8.1. Al util izar l a proyección en el plano £ r¡ es fácil ver lo que represen ta la ecuación (8-15b). En la figura 8-2, el plano r¡ se m uestra con el área infini tesi m al £ drj. L a i ntegral puede escribirse como

j> £ d r i = j

FIGURA 8.1 Proyección de la curva C sobre el plano 77.

§i (» j ) d»j + |

§2 (V )dr l

(8-16)

196

8 El cam po m agnético de corrient

es estacionari

as

FIGURA 8.2 Cálculo de la integral

tfdn.

Esta ecuación da sólo el área encerrada por la curva proyectada, y en la figura es p o s itiv a . S i £ y 7] aparecen en orden cícli co para un sistema co ordenad o a derechas o dextrógiro, entonces el sentido en que tiene que recorrerse el contorno dará una normal en el sentido positi vo de £. Por t anto, podem os escribir

tdr,=A(

(8-17)

co n £ 7], £ com o permutación cí las integrales, se tiene r , = /

cli ca de* , y, z - U tili zan do es te resultado para calcu

lar

[r x (di x B)]x = l {Ay Bz - A z By )

con exp resiones sem ejantes para m en claramente en

la s com ponentes

(8-18)

y y z . Las tres expresiones se resu

T = ¡A x B

(8-19)

dond e A es el vector cuyas com ponen tes son la s áreas encerr adas por las proyecciones de la curva C en los planos y z , z x y x y .* La canti dad /A apar ece m uy frecuentemen en la teorí a m agnética y s e llama del circuito. El símb mo mento dipolar magnético m se uti li zará para el m om ento dipolar magnéti co:

m = /A

te olo

(8-20)

con A defini do com o en el texto que sigue a la ecuación (8. 19). E s fácil dem ostrar, por la técnica anterior, que la integral de r x d \ alrededor de una trayector ia cerrada da dos v eces el área encerrada po r la curva. Entonces, J | 2 Je

r X ¿I = A

* Observe que no se ha impuesto a innecesaria cualquier restricción.

(8-21)

C la r estr icci ón de curva plana y que esta definici

ón de A hace

197

8. 3 L ey de B iot y Savart

Esta exp resión puede

uti li zarse para obtener

(8_22)

m = \ I$ ct x d x

com o u na expresión alternati

Si en lugar de estar confinada en alam

mo mento dipolar magnético.

va para el

bres, y la corri

ente está en un

m edio, entonces

la identificación

ld es adecuada, com

\^J

dv

(8-23)

o se indicó

anteri orm ente. Podem

os escribir

entonces

dm = J r x J dv que es úti l para estudiar l

8 .3

(8-24)

as propiedades m

agnéticas de la m

ate ri a.

L E YD EB I O TYS A V A R T En 1820, al gunas sem anas después de que Oersted anunc iase s u descubrim iento de que las corrientes producen efectos magnéticos, Ampére presentó los resultados de una seri e de experimentos qu e pued en generalizarse y expresa rse en l engu aje m ate m áti co m oderno como

d\2 x [di, x (r2 - r,)] lr2 - r,|3

(8-25)

Esta expresión de aspect o asom broso puede entend erse con ayud a de la figura 8. 3. La fue rza F 2 es la fuerza ejercida sob re el circuito 2 d ebid o a la influenc ia del circuito 1; los d i y los r se explican en la figura. Por definición,

FIGURA 8.3 Interacción magnética entre dos circuitos de corriente.

0

8 E l cam po m agn ético de corri

entes est acionari as

^ = 1 0 ~ 7N / A 2 4 31 en un idades mks, y l a ecuación (8-25) si rve com o un a definición primaria del am pere en térm inos del cual está definido e l coulomb . La ecuac ión (8-25) apa rentem ente viola la tercera l ey de N ew ton, debido a la falt a de simetrí a. Sin em bargo, utili zand o algunos de los teoremas del an áli sis vect orial , pued e de m ostrarse que es realm ente simétric a, esto es, F2 = -F ,. (V éase el problema 8. 4. )

D e l a ecua ción (8-9) es aparent

B W -

e que la ecuación (8-25) im

- V

pli ca

’1

<8-26)

E sta ecuación es u na generalizaci ón d e la le y de B iot y Savart* cuyo nom b r e se u ti li z a r á ta n to p a r a la e c u a c ió n ( 8 - 2 6 ) c o m o p a ra la f o r m a d if e re n c ia l u n I\ d h d B ^

I» =

B r 4^r

X r |r2

-

(r2 - r.) rj|

(8'

2 7 )

L a ecuación (8-27) es un a consecue ncia i nm ediata de la ecuación (8-4) al apli carla a un conductor , si se usa el mismo argum ento que cond ujo a la ecuación (8-7). Por últ imo, las ecuacionnes (8-26) y (8-27) tom an las formas

J(r,) V Vu2 x

íb(¡2)

= B ,K rO 4 Jt

(r 2 _ .. ri).,

X ^-rO

^

( g _28)

(S_

29

)

|r2 - r

p a r a u n a d is trib u c ió n c o n tin u a d e c o rr ie n te d e s c rita p o r la d e n s id a d d e c o r r ie n te J ( r ) . U na observaci ón experi m ental es que todos los camp os de inducción m agnéti ca p u e d e n d e s c rib ir s e e n fu n c ió n d e u n a d is tr ib u c ió n d e c o rrie n te . E s d e c ir , B tie n e s ie m  p r e la f o r m a d e la e c u a c ió n (8 -2 8 ), c o n a lg u n a J ( r ,) . E s ta o b s e r v a c ió n im p lic a q u e V •B = 0

(8_ 3°)

lo que a su vez imp li ca qu e no hay polos m agnéticos aisl ados. La ecu ación (8-30) es váli da para cual quier B d e la forma (8-28) u (8-26) , com o pued e v eri fi carse ma temá ti cam ente: t om arem os la divergencia de l -F * V x G + G* Vx Fs e tie n e

a ecuación (8-28).

U ti li zand o V *(F x G ) =

* M encionaremo s de paso que se h an producido algunas controversias s obre los nombres de varias l eyes. N o so tr o s n o d ese a m o s e n tr ar e n ta le s co n tr o v ers ia s, p e ro e l l e c to r in te re sa d o p u e d e a c u d ir a la ex cele n te historia de E. T. Whittaker. H is to ry o f th e T heo ri es o f A e th e r a n d E le c tr ic it y , vol. 1, Philosophical Library, Nueva York, 1951.

8.4 A plicaci ones elem entales

Sin embargo, (r2 - r,)/lr2 - r,l3 es el gradiente de — a que el rotacional de un gradiente es cero, se deduce que

de la ley de B iot y Savart

l/lr2 - r,l con respecto a

19 9

r2. Y debido

V2 • B (r 2) = 0

8. 4

—

Z

APL I CAC I ONES EL EM EN T AL ES DE LA LEY DE BI OT Y SAVAR T El tipo de problem as a los que se pued e aplicar la ecuación (8-28) o la ecuación (8-26) está limitado principalme nte por las difi cultades qu e se presentan al efectu ar las inte graciones. A lgunas de las si tuaciones que sí se pueden m anejar se consideran en esta secci ón. E n tes secci ones siguient es se considerar án otras técni cas para o btener B.

Z

_ EJEMP LO 8.1 El campo magnético de un alambre largo y recto port ador de corr ie nte

Imaginem os que el alambre está sobre e l eje m enos infini  x extendi éndose desde to hasta inf init o y que cond uce una corriente de int ensidad /. El cam po se calcu lará en un punto típico r 2 sobre el eje y . L a d isposi ción geom étr ica se expli ca m ejor con

1a figura 8.4.

Solución:

D e 1a ley de B iot-Savart, 1

dx i

a inducc ión m agn ética es

x (r2 - r,) (8-31)

\*2 ~ r,| 3

r 2 - r, está en el plano

Como

> x (*z -

ri) =

1* 2

xy> -

r>l

- = tan

X

(8-32)

6k

sen

Además,

( jz - 6)

= -t an

0

(8-33)

|r2 — rj| = a esc (7i - 6) = a esc 6 U til izando estas relaci ones para co b re 0 desde 0 hasta K , se obtien e

R fr 2) ^ = -— ^ B(r

71(2

[n sen

(8-34)

nve rti r la ecuaci ón (8-31) en un

fíQdd Afí =^ -—\r( k ( —eosa\ 671) =^ - — k i 4jra

«

2na

a integral so

(8-35)

200

8 El cam po m agnético de com

entes estaci

onari as

FIGURA 8.4 Cam po magnético en un p u n to P debido a un alamb re recto y largo.

Para utilizar este resultado con mayor generalidad, sólo es necesario obser var que el problema muestra una evidente simetría con respecto al eje x. Por tanto, con cluimos que las líneas de B son circunferencias en todo punto, con el conductor como centro. Esto está completamente de acuerdo con el resultado elemental que da la dirección y el sentido de B según la regla de la mano derecha.

EJEMPLO 8.2 Cam po m agnét ico axial de una espira circular de alambre conductor de corriente

Consideremos una espira circular de alam bre por el que circula una co rrien te/. El campo magnético producido por este circuito en un punto arbitrario es muy d ifí cil de calcular; sin embargo, si sólo se consideran p untos sob re el eje de simetría, la expresión de B es relativamente sencilla. En este ejemplo se utilizará un trata miento vectorial completo para demostrar la t écnica. La figura 8.5 ilustra la dis posición geométrica y las coordenadas que deben utilizarse. El campo se ha de calcular en el punto r 2 sobre el eje z\ la espira circular está en el plano xy.

Solución: La inducción magnética está dada por la ecuación (8-26) en la que, la figura 8.5, se deben utilizar las siguientes expresiones: d\ = a d 6 (—i sen 6 + j eos 6) r2

— r i = —i a eos 6 — ya sen 8 + kz

de

(8-36)

z 2) m Sustituyendo éstas en la ecuación (8-26) se tiene |r2 - r,| = (a2 +

’2rí(iza eos 9 + jz a sen 6 + ka2) (z2 + a2)3'2

de

(8-37)

La integral de los dos primeros términos es cero, de modo que B(z) =

a 2\3/2 2 (z + a2)

|U0/

(8-38)

8.4 A pli caciones elem

ental es de la ley de B

iot y S avart

201

FIGURA 8.5 Cam po axial de una espira circular de alambre.

que, por supuesto, está completamente a lo largo del eje z Una configuración de corriente frecuentemente utilizada es la bobina de Helmholtz, que en doselegida bobinasdecirculares radio, con un ejede común, separadas por consiste una distancia tal mododel quemismo la segunda derivada B se anula en un punto del eje que esté a la mitad de la separación entre las bobinas.

EJEMPLO 8.3 Cam po axi al de una bo bin a d e H el m holtz

FIGURA 8.6 Cam po axial de una bo bin a d e H elm holtz.

La figura 8.6 ilustra la configu ración de una bobina de Helmholtz. Nos gustaría determinar el campo magnético en un punto en el eje de la bobina.

Solución: La inducción magnética en el punto P es

8 El camp o m agnético de corrientes

BAz)

estaci onarias

1 =

(z2 +

1

+

' [( 26 -

a 2) 3'2

z )2

(8-39)

+ a2]3'2

que se obtiene al aplicar la ecuación (8-38) a cada una de las dos bobinas. El factor N se incluye para tener en cuenta la situación de qu e cada bobina conti ene N vueltas . La prime ra derivada de B con respecto a z es dB z

2z

fi o N ía2

2(z

dz

2 ( -2 zb)

+ a )

[(26 -

2

z)

2lS/2

+ a2 ]

(8-40)

En z = b, esta derivada se anula . La segunda derivada con respecto a z es 2z:

1

d 2B, dz2

(z 2

+

[(26 -

z f

+ a 2)5 '2

2 (z 2

+ a2) 7'2

5 2( z - 2 6 )2 2 [(26 - z ) 2 + a 2]7'2

+ a2]5'2

En z = 6 esta derivada se reduce a 3nn N Ia2 [b 2 + a2

#B> dz2

- 562 + 6 2 +

a2

- 56'

(ib 2 + a 2) 112

z= b

(8-41)

que se anula si á 2- 4 b 2 = 0. Por tanto, la elecci ón adecuada para b es (8-42)

2b = a

Esto es, la distancia entre las bobina s deberá s er igual al radi o. Con esta separa  ción, la inducción magnética en el punto medio es fio N I 8

(8-43)

-3/2

Las bobinas de Helmholtz desempeñan un papel importante en la investigación científica, en la que se utilizan frecuentemente para producir un c ampo magnéti co relativamente uniforme sobre una pequeña región del espacio. Consideremos el campo magnético en un pun to del eje cercano al punto medio entre las bobi nas. El campo B (z) puede desarrollarse en una serie de Taylor alrededor del punto z = \a : B z(z) = BAl a) + (z - & )

3B,

+

dz

Como las tres primeras derivadas se anulan,

B 2(z) = B ¿ i a ) + ¿(z -

hay

9 4B dz

,

= \ü

Si la cuarta derivada se calcula explícitamente, B (z) puede escribirse como

8.4 A plicaci ones elemen tal es de la le y de Biot y Savart

203

FIGURA 8.7 (a) Solenoide; (b) campo mag nético axia l de un solenoide. (a) dz

\A

(b)

Por tanto, para la regi ón en la que I z - a / 21 es m en or q ue ¿2/ 10, B 7(z ) se desvía de B z(a /2 ) en m enos de una y m edia die zmilé si m as. El tesl a es una unidad b astante grande para m edir cam pos en el laboratori o, y po r el lo generalm ente se util iza l a unidad g a u s s para B del sist em a gaussiano* de unidades: u n gaus s es igual a 10-4 tesla. Com o referen cia damo s

32n N I = g.v2fl Y' q

en

ümPeres'

a

en cm >

® en

g a u s s (8-43a)

p a r a la in d u c c ió n e n el p u n to m e d io d e la b o b in a d e H e lm h o ltz . P o r s u p u e s to q u e ero de vueltas en cada un a de las dos bobinas.

N sigue siendo el núm

__________

EJEMPLO 8.4

Cam po axial de un sol eno id e

O tro disposi ti vo al que se pu ede aplicar l a ecuación (8-38) es el solenoide. Un solenoide puede descri birse com o N vuel tas uniforme m ente enrolladas en una forma c ili ndrica de radio a y longitud L. Dicha configuración se muestra en la figura 8 .7(a) .

Solución : La inducción m agné tica en el punto en elementos d z, com o el que se muestra en la

it ud L figura 8.7(b) . apli cand o la ecua ción (8-38) a cada eleme nto y sum ando los result ados. Si observam os que el elemento d z contiene N d z!L vuelt as, encontram os que

Este sistema de unidades se presenta en el Apéndice III.

z{]se halla dividiendo la long

204

8 El cam po m agnético de corri

entes estaci

onarias

fi 0N I a 2 CL

dz [(Zo - z f

z - ZQ = a cot cr, condu ce a

El cam bio de v ari able,

B t ( z o)

=

(8-45)

+ a 2]*2

u N I rJT-a' ~2^ ~ senada

J

PoN I

[

c o s ( jt

-

o-,)

+ eos

a 2\

(8_46)

2L Los ángulos (8-46) se con

a, y (ambos vierte e n

<

7d 2 ) se m uestr an en la f igura 8.7(b)

eos a , + eos

a2

. L a ecuación

(8-47)

Si el sol enoide es largo comp arado con su radi o y z 0 no está demasiado próximo ni a cero ni a L , enton ces tant o a x com o son ángul os pequeños y pueden aproxi  m arse mediant e

a' * M anteniendo los tér nemos _ , *.<*)-

r h

m inos cuadráti

0 8-4 8 >

<

cos en los desarrol

Vi

t h N IÍ . a 2 1 " S i

a2

los de eos a

, y eo s c^, obte

] <8 - 4 9 »

D e esto concl uimo s que si z 0 = U 2 y L ia = 10, resu lta un e rror del ciar los tér m inos cuad ráti cos y usar sólo la fórm ula elemental .

2 % al despre

La fó rmu la general para B (Ec. 8-26) es siempre una exp resión corr ecta para el campo m agn ético de un circu ito de c orriente, pero es difícil utili zarla en el caso general e n el que la geom etrí a es complej a.

8. 5

~

LEY DE CI RCUI TOS DE AMPÉRE Para cam pos de inducción m agnética dados por la (8-28) que se de ben a com entes estaci onarias, es V •J = 0 ,

ecuación (8-26) o po decir, a corrientes que

r la ecuación sat isf acen (8-50)

p u e d e d e d u c ir s e u n a e c u a c ió n m u y im p o rta n te p a r a el ro ta c io n a l d e B s im p le m e n te calculando el rotaci onal de la ecuación (8-28). El rotacional imp li ca un a derivaci ón con respect o a r 2 y, en con secuencia, ope ra sólo sobre el factor (r2 - r,)/lr2 - r j 3:

8. 5 L ey de circui

tos de Am

205

pére

L a derivada puede cam biarse ahora a una derivada con respecto a i*j ( con un m enos) en el segundo término, debido a la si m etrí a entre r2 y r {:

V 2 x B(r 2) = ^

[ [j(r, )4 ;r <5(r2 - r. ) - J(r,)

* ~ * 3] *vx

• V,

El primer ténnino se expresa en términos de la función delta de Dirac, como en la ecuación (2-57); su i ntegración nos da /i 0J ( r 2). Se puede dem ostrar m un a integraci ón por partes que el segun do térm ino se anul a:

'

l**i -

til >

*i -l r2| -

• J +J

-

signo

ediant e

|r, - r2 |

p a r a la c o m p o n e n te x , y similarmente para las otras componentes. El término con V • J se anula por la suposi ción (8-50) , y la integr al de vo lumen del prim er miem bro p u e d e c o n v e rtirs e e n u n a in te g ra l d e s u p e rfic ie m e d ia n te e l te o r e m a d e la d iv e rg e n c ia ; esta int egral se anula si la superfi cie elegida se encu entra fuera de una región li m itada don de J no se anul a. (El mism o resultado se deduce de la i dentidad 1.2. 4 de la ta bla 1.2.)pére, De este Am es modo el resultado final, que se llama

fo r m a d ife r e n c ia l de la ley de

V x B (r2 ) = ji„J(r2 )

(8- 51)

En el capítulo 9 esta ecuaci ón se m odifi cará para que sea m ás útil cuando se presenten m ateri ales m agnéticos; sin embargo, la ecuación (8-51) es válida todavía mientras J sea la co rri ente total y V • J = 0. Se puede usa r el teorem a de Stokes para transf orm ar l a ecuación (8-51 ) en una form a int egral que a veces es muy útil. E sta apli cación del teorema d e Stokes se ex pre sa como

í.s

V x B - n d a = < t> B - d \ Je

U ti li zando la ecuación (8-51)

B-dl =/u „J

J -n

para V x B se tiene la

(1-45)

ley de circuitos de

Am pére

da

E sta ecuación sim plem ente dice que la inte gral de lí nea de B una trayectoria cerrada es igual a ¿¿0 veces la intensidad de corriente total que p asa a través de la trayectoria cerrada.

(8-52) alrededo

r de

Es conveniente verificar la ecuación (8-52) para un caso sencillo. El alambre lar go recto proporciona un ejem plo particul arm ente bueno. E n este caso, B, a un d is tancia r del conductor, est á dado por B (r ) = uJflJCr v es tangencial a la cir cun ferencia

206

8 El cam po m agnéti co de com

entes est aci onari as

FIGURA 8.8 Verifi cación de la L ey de circui tos de Am pére para la f orma geom étri ca de un alamb re recto y largo.

Es conveniente verificar la ecuación (8-52) para un caso sencillo. El alambre largo recto prop orciona un ejem plo part icular m ente bueno. En este caso , B, a un dis tancia r del conduct or, está dado p or B (r ) = /i J H i t r y es tang encial a la circunferen cia de radio r con centro en el conductor. La figura 8.8 m uestra la disposición geo m étri ca. L a corri ente se diri ge hacia arriba y C se desc ribe en el sentido contrario al de las agu jas del reloj . D e la fi gura, B

d i = |B| \d\\ eos * = |B| r

d6

(8-53)

C on IB I com o se dio antes,
= pal

(8-54)

que rep resenta un caso espe cial de l a ecuación (8- 52). L a l ey de cir cuit os de Am pére es en m uchas formas p aralel a a la l ey d e Gauss en electr ostáti ca. Con esto se quiere decir que puede usarse par a obtener el camp o m ag nético debido a u na determ inada dist ri bución d e corriente de gran sim etrí a, sin tener qu e calcular l as com plicadas integral es que ap arecen en la ley de Biot. A co nti nuación veremos un ej emplo.

EJEMPLO 8.5 Cam po magnéti co de un cabl e coax ial conductor

Consideremos un cable coaxial que consist e en un pequeñ o con ductor cent ral de rad io a y un cable condu ctor exterior ci li ndrico coax ial de rad io b , com o se muestra en l a f igura 8. 9. Sup onga m os qu e los dos conduc tores transportan corri entes total es iguales de intensi dad /, pero d e sentido con trar io, con el eje dirigi do hacia afuera de l papel. Lo que se desea es deter m inar el campo m agnéti co en pu ntos fuera y dentro del cable.

8.6 El potencial vector ma

207

gnético

FIGURA 8.9 Sección transversal de un cable coaxial.

Solución : D e la simetría del pr oblema, está claro qu e B debe ser t ang ente en todo p u n to a la c ir c u n fe r e n c ia c e n tr a d a e n e l c o n d u c to r c e n tr a l y tr a z a d a p o r e l p u n to en el que se desea calcular B. Ad em ás, B no puede dep end er del ángulo azi mu tal . La s curvas apropiadas que deben usarse para ap li car la ecuaci ón (8-52) son cir cunferencias centradas en el condu ctor cent ral . Para cad a circunferencia de ra dio r

B • d \ = 2jzrB que deb e ser igual

2jirB 2nrB

a / ¿0 veces la co

= ¡x{)¡ } = 0,

(8-55) rrient e total que p

asa a través del

cír culo. Así,

a < r < b (8-56)

b < r

E ste resul tado aparentem ente tr ivi al sólo pued e obtenerse, con dificultad con derable, m ediante la i ntegración d e la ley de Biot.

8.6

I

Z

U —- * ’

EL POTENCI

AL VECT OR MAGNÉTI

si

CO

El cálculo de los cam pos eléctr icos se si m pli ficó m uch o con la introducción del poten cial elect rostát ico. La posibili dad de ha cer es ta simplifi cación resu lt ó d e la a nulación _ d e l r o ta c io n a l d el c a m p o e lé c tr ic o . E l ro ta c io n a l d e la in d u c c ió n m a g n é tic a n o s e an u la, pero su divergencia sí. 0 V Co m o la divergencia de cualquier r otacional es cero, e que la inducci ón m agnéti ca puede ex presar se com o

s razona ble suponer

B = V x A El camp o vectori al A se l lama

(8- 57 )

p o te n c ia l v e c to r m a g n é tic o .

208

8 El campo m

agnéti co de com

entes est aci onari as

L a única otra condi

ci ón que se impon

e a A es que

-3

fx j

V x B= V x V x A =

(8-58)

U ti li zand o la identi dad V x V x A = VV-A

— V 2Á

(8 ‘ 5 9 )

y espe cifi cand o que V *A = 0, se t iene

1

V2A = -/io Integrando cada Poisson

(8-60)

com ponente rectangul

ar y u ti li zando la soluci ón de la ecu ación de

com o guía, se ti ene

A ( r 2 ) = S i i í r^

í L~ '

¿JlX

7 í d i' 1

^

- - ^4-

7

(8-

Las integrales que intervienen en esta expresión son mucho más fáciles de calcular que las de la ley de Biot, pero son más complicadas que las que se emplean para ob ten er el potencial electrostát ico. U na form a alt ernati va de obtener la e cuación (8-61) es po r tr ansformación ta de l a ecuación (8-28) a la forma de la ecuación (8-57) . Esto se hace observando 73 =

fo

rI

:

1*2 - *ll'

1 1*2 -

r 2. La identi dad vectori al

Vcp

V x (< p F ) = < p V x F - F x alquier vector F

direc que

(8-62)

*ll

don de V 2 indica qu e la derivación es con respecto a

qu e es válida para cu

6i)

(8-63)

y cualqu ier esca lar < p, nos da

V2 X {

1 , , J( r, )l = J Ur, - r,

J( r,) X

*2

7— ^—

(8-64)

|r 2 - r.

p u e s to q u e J ( r , ) n o d e p e n d e d e r 2. C o m b in a n d o e s to s r e s u lt a d o s e n la e c u a c ió n ( 8 - 2 8 ) se tiene

B(r2) = 7 ^ í J(ti A n

iv

=r 1 f

4

71)vx

)x

|r2 - r , | J( r, )

|r2 - rj |

~ dv ,

[ J(ri)

4n J v

x V 2- — - —

|r2 — r,

(8-65)

El rotacional pued e sacarse fuera de la i ntegral , lo qu e deja la ecua ción (8-6 5) exa cta m ente de la form a de la ecuación (8-57). Po r t anto, de est e enfoqu e resulta t am bién

A

(rz)

= 4 jz

JVl |r 2\ T-

^r,|7 \ d v '

dv

(8'61)

Para no dar la fal sa impresión de q ue el potencial vector es tan útil com o el poten cial electrost áti co al calcular camp os sencill os, debe o bservarse qu e esen cialmen te no hay casos en los que A pu eda calcul arse en una form a cerr ada s e n c illa (aun cuando

8.7 El campo m

agnético de un circuit

209

o distante

p u d ie r a r e a liz a r s e n u m é ric a m e n te p a r a d is tr ib u c io n e s lim it a d a s d e c o r r ie n te ) . E l a la m  b r e la rg o y r e c to d a u n r e s u lta d o in f in ito p a r a A c u a n d o s e u t ili z a la e c u a c ió n (8-61).* El cálculo para la espira circular contiene int egrales elí pticas, y así sucesi vam ente. D ebe ob servarse t am bién q ue el cál culo del potencial vector en un sol o p u n to n o e s ú ti l, p o rq u e la in d u c c ió n m a g n é tic a s e o b tie n e p o r d if e r e n c ia c ió n . E l p r in c ip a l u s o d e l p o te n c ia l v e c to r e s tá e n a p r o x im a c io n e s ta le s c o m o la s q u e s e a n a  li zan en la siguiente secci ón y en prob lem as en los qu e int erviene la radiación e lectro m agn ética (véan se los Cap s. 16 y 20) .

8 .7

EL CA MP O M AGN ÉTI CO DE UN CI

RC UITO DI STANTE

El potencial vector m agnético debido a un p equeñ o circuito a grandes distancias (Fi g. 8.10) pued e calcular se con relati va facil idad. La ex presión para el potencial vec tor de la ecuación (8-61) pue de aplicarse a circuit os de co rrient e h aciendo la su sti tución J dv —» I d r . A sí , ( 8 - 66 )

Para circui tos cuyas dimensiones son pequeñas com paradas con r 2, el denom inador se p u e d e a p ro x im a r. P a r a e ll o e s c rib ir e m o s , c o m o e n la e c u a c ió n (2 -4 6 ), (8-67)

( 8 - 68 )

FIGURA 8.10 Campo magnético en r2 debido a un circuito dist ante. r t se exti ende sobre el circuito. (El srcen de r , y r 2está dentro o cerca del circuito.) dr

* Existe un potencial vector finito para un alambre largo y recto, en coordenada s cilindricas A = - (jj q¡/ 2 k) ln rk para un alambre situado en el eje z por el que circula una corriente /k. Este resultad o puede verificarse directamente calculando V x A. (Véase el Apéndice IV.)

210

8 El cam po m agné ti co d e corri entes estaci

onarias

p a r a e l p r im e r o rd e n e n rjr2. U ti li zand o esto en la ecuación

A (F*) =

f

L a prim era i ntegral se anul

(r, x

r,( r2 ■r,) para

+ “ ’}

a; el segun do integrando

m er término a la derech

un cam bio pequeño de

d[r\(r 2 • *i)] = que es exacta. Sum

ene

(8'6 9)

es un término

del desarrol

lo

x r 2 = - r x(r 2 • d r,) + d r^ r, • r2)

di¡)

Pa ra eliminar el pri

+ ¡fr ¡á ri(r' ‘

d *'

(8-66) se ti

a de la ecuación

(8-70), la

diferencial de

se escri be como

dwx(r 2 • w{)

«iCf e • * , ) . +

ando las ecuaciones (8-70) y (

dr,(r, • r2) = |(r , x

(8- 70)

d

r,) x r 2

(8-71)

8-71) y dividiendo po +

|

r dos se t iene

d [ •r,(r r, )]2

Co m o el últ imo térm ino es un diferenci al exacto, no con de la ecuación (8-69). Así, se desp rende que

(8-72)

tri buy e a la segun

da int egral

=

(8-73)

La ecuación (8-22) defi ne la cant idad entre corchet nético, m, d el cir cuit o. En consecuen cia,

es com o el m om ento dipolar mag

jU0 m x r 2 En esta deduc ción se ha supuesto que todas las r {« rr P no es v áli da pa ra un o ri gen arbit rari o, sino sólo pa ra un srcen L a inducci ón m agnéti ca puede deter m inar se tomando ción (8-74) . Esto se logra fácilmen te util izando identi dades

B(r2) = V

x A(r2) =

or tant o, la ecuación (8-74) cercano al circui to. el rot acional de la ecua vectori ales. Pri m ero,

x (m x (8-75)

-£ El primer término entre corchet

h

es puede

-^

+ - T i

tr ansformarse observando

= - r \ - 3 m - X* ? 2

que

(S-761

Po r tant o,

r2 m

(m • V) -s >2

=3

^2

3( m • r

-- ^

2 )r 2

r2

El segun do término im plica sólo el cálculo de

(8-77)

8.8 El potencial esca

V -^ = 3 f2 '2

r 2- § = 0

21 1

lar m agné ti co

( r2 * 0 )

(8 . 7 8 )

r2

Finalmente,

m

3 (m 'r2 )r2" |

— 5 H-----------5------- (dipo

B<* > - £

L a ecuación (8-79) demuestra que el campo m

lo m ag né ti co )

(8 -7 9 )

agnéti co de un circui to dis tante no de

p e n d e d e s u fo r m a g e o m é tr ic a d e ta ll a d a , s in o s ó lo d e s u m o m e n to m a g n é tic o m . A l com parar con la ec uaci ón (2-36) s e ve que la ecuación (8-79) es de la m isma forma que el campo eléctrico debido a un dipolo eléctrico, lo cual explica el nombre de campo dipolar m agnéti co.

EL POTENCI

AL ESCALAR

MAG NETI CO

L a ecuación (8-51) indica que el rotaci onal de la inducción m que la densidad d e corriente sea cer o.

agn éti ca es cero siem

Po r tant o, la i nducción m agn éti ca en di chas regiones pu el gradiente de un potencial escal ar:

ede escribirse como

B = - f x {)V
Sin embargo

pre

(8-80)

p o te n c ia l e s c a la r m a g n é tic o .

, la divergenc

V —Bju0 V= V

ia de B también

es cero, l o qu e signifi ca que

= 0

(8 -8 1)

Po r t anto, 9 * sat isf ace la ecuación de L aplace, Gran p arte del trabajo de electrost áti ca p u e d e a d o p ta rs e d ire c ta m e n te y e m p le a r s e p a r a c a lc u la r (p* en varias situacione s. Si n em bargo, deb e t enerse cuidado al apli car las condiciones en la frontera. Ad em ás, 9 * de un circuit o con co rri ente no es una función de valor único. Un ejemp lo sencillo se ve en el problem a 8.25 . L a expresión para el potencial escal ar de u n d ipolo m agnéti co es parti cularmente úti l. Si se ob serva que la ecuación (8-79) pu ede escribir se com o

B

<

r

j

=

í8-82>

entonce s es evidente que \ m