Fundamentos de La Teoría Electromagnética, 4ta Edición - John R. Reitz

U  = qcp qcp • A cierta distancia de la región región dond e se localizan localizan las cargas fuente p, es útil el desarrollo multipolar d e cp:


Q p ■r  + 47161, 7 + V

donde

P = í t'p(t')dV 

 Jv es el elem ento dipolar de la distribución distribución de carga. Por lo general, el prim er término que no se anule en el desarrollo desarrollo es el más im portante; nosotros sólo considerarem os los dos  pri  p ri m e ro s té rm in o s.

PR OBLEM A S =

I

2.1 Dos partículas, partículas, cada una de masa m y cargas q  y 2q  respectivamente, están suspendidas  por  po r cuerd cu erd as de longit lon gitud ud l  a  a partir de un punto en común. Encuentre el ángulo 6 que forma cada una de las cuerdas con la vertica vertical. l. 2.2 Dos pequeñas esferas esferas conductoras idénticas idénticas tienen cargas de 2.0 x 10 9 C y - 0.4 x 10 9 C. respectivam ente, (a) Cuando se colocan a 4 cm una de otra, ¿cuál es la fuer/.a entre ellas? (b) Si se ponen en contacto y luego se separan 4 cm, ¿cuál será la fuerza entre ellas? 2.3 Se sitúan cargas puntuales de 4 x 10 10 -9 C en cad a uno de los tres tres vértices de un cuadrado de lado igual a 15 cm. Encuentre la magnitud, la dirección y el sentido del campo eléctrico en el vértice vacante del cuadrado. 2.4 Una carga lineal infinitamente larga tiene una densida d de carga uniform e A por unidad de de longitud. Por integración directa, encuentre el campo eléctrico a una distancia r  de r  de la línea. 2.5 (a) Un Un disco circular de radio radio  R   R   tiene una densidad densidad de carga carga superficial uniforme uniforme a Calcule el campo eléctrico en un punto sobre el eje del disco a una distancia z distancia  z del  del plano de dicho disco, (b) Un cilindro circu lar recto de radio R radio  R y  y altura L altura  L se  se orienta a lo largo del eje z. eje  z.

CAPÍTULO 0

Resolución de problemas electrostáticos L a fesolución de un p roblema electrostático electrostático es directa para el caso en el que la distri  bu  b u c ió n d e c a rg a e s té e s p e c if ic a d a en to d o p u n to , p u e st o q u e , c o m o h e m o s v is to , el  po  p o te n ci a l y e l c a m p o el é c tr ic o e st án d a d o s d ir e c ta m e n te c o m o in te g ra le s s o b re e st a distribución distribución de carga: carga: (3-1)

(3-2) Sin embargo, muchos de los problem as encontrados en la práctica no son de este tipo. tipo. Si la distri distribución bución d e carga no se espec ifica de antemano, pu ede se r necesario determi nar el campo eléctrico eléctrico  p r im e r o , para posteriormente posteriormente po der calcular la distribución distribución de carga. Po r ejemplo, en un problema electrostático electrostático puede n intervenir varios conducto res, conociéndo se ya sea el potencial o la carga carga total total de cad a conductor, pero, en gen e ral, la distribución distribución de la carga superficial superficial no será cono cida y debe ob tenerse como  pa  p a rt e d e la re so lu c ió n d el p ro b le m a.  N u e s tr o p ro p ó si to en e s te c a p ítu ít u lo e s c re a r un e n fo q u e a lt e rn a tiv ti v o d e lo s p ro b le  mas electrostáticos, y para lograr esto deduciremos primero la ecuación diferencial fundamental que debe satisfacer el potencial (p.  Por ahora no tendremos en cuenta  pro  p ro b le m a s en lo s q u e in te rv ie n e n c u e tp o s d ie lé c tr ic o s ; lo s p ro b le m a s d e e s te ti p o se resolverán en el capítulo 4.

3.1

ECUA CIÓN DE POISSON POISSON Todas las relaciones básicas que necesitaremos aquí se desarrollaron en el capítulo anterior. anterior. Primero, tenemos la forma diferencial de la ley de G auss:

57

3.1 Ecuación de Poisson

v • E = L  p  

(3-3)

€ 

Además, en un campo puramente electrostático, E puede expresarse como menos el gradiente del potencial
(3-4)

Com binando (3-3) y (3-4), (3-4), obtenemos

v

‘ V ( p

=

 _ í ¡

(3-5a) (3- 5a)

Como observamos en el capitulo 1, es conveniente considerar la divergencia del gradiente com o un so lo operad or diferencial, diferencial, V • V o V2, V2, llamado laplaciano.

El laplaciano es un o perador diferencial diferencial escalar y la ecuación (3 -5b) es una ecuación diferencial diferencial conocida com o ecuación de Poisson'. ^ 2
(3 -5 b )

El operador V2 implica la derivación con respecto a más de una variable. En conse cuencia, la ecuación de Poisson es una ecuación en d erivadas parciales que parciales  que puede resolverse una vez que se conoce la dependencia funcional de r{ x , y,  y , z ) y las condi ciones adecuadas en la frontera. El o perador V2, V2, así como el V. V* V* y V x , no hacen referencia a ningú n sistema de coordenad as particular particular.. Para resolver un problem a determ inado, debe mo s exp resar V2 en función de x* de  x* y,  y,  z o  z  o d e r, 0, 0, o de algún otro sistema coordenado. L a elección del sistema particular de coordenadas es arbitrari arbitraria, a, pero se logrará una extraordinaria sim   pli  p li fi c a c ió n d el p ro b le m a si s i se s e e lig li g e u n s is te m a c o m p a ti b le co n la s im e tr ía d e l p ro b le m a electrostáti electrostático. co. La forma que tom a V2
d 2(p d 2(p 2(p

d 2w

v * m  a ? + #

+ &

( 3 - 6 )

Coordenadas esféricas: sen ,

v> -

1 d ( 7 d
'

1  +

d  /

d(p\

( s c n e J ¡ l)

d 2cp 2cp

1 +

S

ñ

í

* Para la forma del laplaciano en otros sistemas coordenados más complic ados, el lector puede ver las referencias al final de este capítulo. capítulo.

3 Res olución d e problemas e lectrostát lectrostáticos icos

Coordenadas cilindricas: 1 d  / dcp\ ~r~dr  V ~ 3r 3r )

+ +

1 d 2q>

d 2q>

?

~dz

+ J d  2 +

(3-8 (3-8))

Deberá observarse que r  y r  y G tienen  tienen distintos significados significados en (3-7) y (3-8). En co orde  nadas esféricas, re s la mag nitud del radio vector desde el origen y 6 es el áng ulo polar. En coordenadas cilindricas, cilindricas, r es la distancia perpendicu lar al eje del cilindro cilindro y 0  es el ángulo azimutal con respecto a este eje. eje.

ECUACIÓN DE LAPLACE En cierto tipo tipo de problem as electrostáticos electrostáticos en los que intervienen co nductores, toda la carga se encuen tra ya sea sobre la superficie superficie de los conduc tores o en form a de cargas  pu  p u n tu a le s fija fi ja s. E n e st o s c a so s, p e s c e ro en la m a y o rí a d e lo s p u n to s d e l e sp a c io .

D onde se anula la densidad de carga, la ecuación de P oisson se reduce a la form a más sen cilla cilla V > = 0

(3 - 9 )

que es la ecuación de L aplace. aplace. Supon gamo s que tenemos tenemos un conjunto de  N  conductores  N  conductores que se mantienen a los  p o te n c ia le s
3.2 Ecuación de Laplace

59

T e o r e m a   /. Si (pv (pv . . . , nq>n 

(3-10)

d o n d e l as a s C  s o n c o n s t a n t e s a r b i t r a r i a s , ta ta m b i é n e s u n a s o l u c i ó n .

L a d e m o s t ra r a c i ó n d e e s t e t e o r e m a e s i n m e d i a t a a p a r t ir ir d e l h e c h o d e q u e V 2

, + C 2 V2

T e o r e m a I I : T e o r e m a d e u n i c id i d a d . D .  D o s s o l u c io io n e s d e l a e c u a c i ó n d e L a p l a c e q u e s a t i s fa fa c e n l a s m i s m a s c o n d i c i o n e s e n l a f r o n t e r a d if i f i e re re n a l o s u m o e n u n a c o n s t a n t e a d i ti ti v a .

P a r a d e m o s tr t r a r e s te te t e o r e m a c o n s id i d e r e m o s u n a r e g i ó n c e r ra r a d a V Qe x t e r i o r a l a s s u p e r  f i c i e s S v S w  . . . , 5 N d e l o s d i v e r s o s c o n d u c t o r e s d e l p r o b l e m a y l im im i ta t a d a e n e l e x t e r io io r  p o r u n a s u p e r f ic ie S , S , s ie ie n d o e s t a ú l t im im a u n a s u p e r f i c i e e n e l i n f in in i to to o u n a s u p e r f i c i e f í s ic ic a r e a l q u e e n c i e r r a VQ. VQ. S u p o n g a m o s q u e (p{ y (p{ y
| V • (V0 (V0)) ¿u = í  J Vu

< P V < P - n d a = 0

Js + s t + - + s N 

y a q u e l a s e g u n d a i n te t e g r a l s e a n u la la . L a d i v e r g e n c i a p u e d e d e s a r r o l la la r s e s e g ú n l a e c u a  c i ó n ( 1 . 1 .7 .7 ) d e l a t a b l a 1.1 p a r a q u e d é :

V • (

  + (Vd>) (Vd>)22

P e r o V 2# s e a n u l a e n t o d o s l o s p u n t o s d e V0 V0, d e m o d o q u e e l te te o r e m a d e l a d i v e r g e n c i a se reduce en este caso a

f  JVn  JVn

(V
60

3 R e s o l u c i ó n d e p r o b l e m a s e l e c tr o s tá t ic o s

Ahora ( V 0 )2 debe ser positivo o cero en cada punto de V 0   y, puesto que su integral es cero, es evidente que (V # )2 = 0 es la única posibilidad. El teorema queda así esencialm ente demostrado. Una funció n cuy o gradiente es cero en todos los puntos no puede cambiar; por tanto, en todos los puntos de V Q, 0 tiene el mism o v alor que el que tiene en las superficies lim itadoras. Si las condiciones en la fro ntera se han dad o al espe cificar
3 .3

Z

E C U A C I O N D E L A P LA C E C O N U N A V A R IA B L E I N D E P E N D IE N T E Si (p es función de una sola variable, la ecuación de L aplace se redu ce a una ecuación diferencial ordinaria. Considérese el caso en que (p  e s (p{x),   es decir, una función de una sola coo rdenada r ectangu lar x .   Entonces L f = 0

y

< p (x ) =

a x + b   

(3-U)

es la solución gene ral, donde a y b  so n constantes elegidas de tal m odo qu e se cumplan las condiciones d e la frontera. Éste es el resultado qu e se encontró en el cap ítulo ante rior para el potencial entre dos placas co nductoras cargadas con orientación norm al al eje.*. La situación no es más com plicada en otros sistemas c oordenados en los que
Ir2-?- 

=0,

< p (r) =

- -

+

b   

(3-12)

La solución general de la ecuación de Laplace en coordenadas cilindricas para una función indepen diente de G  y z,  es decir, para
3 .4

-

Z

S O L U C I O N E S A L A E C U A C IÓ N D E L A P L A C E E N C O O R D E N A D A S E S F É R IC A S : A R M Ó N I C O S E S F É R IC O S Dirigimos ahora nuestra atención a las soluciones de la ecuación de La place en las que (p  es fu nción de más de una variable. Mu ch os de los problemas que nos interesan tratan de condu ctores en form a de esferas o cilindros y, por tanto, se necesitan so lu ciones d e la ecuación d e Laplace y a se a en coordenadas esféricas o cilindricas. Pri m ero ab ordaremos el problem a esférico, pero veremos que conviene l i m i t a r e l a n á l is is  

3.4 So luciones a la ecuación de Lap lace en coorde nadas esféricas

61

FIGURA 3.1 Localización del punto P  en función de las coordenadas esféricas r, 6,
► Dirección polar 

a los casos en que (p  es indepen diente del ángulo azimutal
1 3 / ? dcp\

‘ I T r

(r T “) +

d r\

dr /

1

dep,

3 /'

— r r l s e n 9  — ) = 0 r   s e n 6 3 9  \ 30

_

_.

(3-1 3)

Esta ecuación d iferencial parcial se resolverá por un a técnica conoc ida com o s e p a r a    c i ó n d e v a r i a b le s . Una solución de la forma (p(r , 9 )  = Z (r)P(0) se sustituye en la ecua ción (3-13), lo que prod uce 1 d (  2 d Z \ - 2 P ( e ) -   r2— rL ' dr \ d r)

+

Z (r)

I

d P\  

r2sen$ dd \

d 9 ) 

2

d

~ , J se n 0 — ) = 0

O bserve que las derivadas parciales han sido sustituidas po r derivadas totales, puesto q u e Z y P   son funcio nes d e un a sola variable. D ividiend o po r
dr1

1

d

  -------------------

(

dP\ 

(s en 0—

Psen0 dd \

d d  /

„ (3-15)

El lado izquierdo de esta ecuación es función únicam ente de r  y el lado derech o es función de 9 . La única form a en que una función de r  puede ser igual a un a función de 0p ara todos los valores de r y 9  es que ambas funciones sean constantes. En conse cuencia, igualaremos cada miem bro de la ecuación (3-15) a k> siendo k   la “constante de separación”.  N o to dos lo s valo re s d e k   proporcionan necesariamente soluciones aceptables con bases físicas. Co nsidere primero la ecuación para 0, conocida com o e c u a c i ó n d e   Legendre:

62

3 R e s o l u c ió n d e p r o b l e m a s e l ec t ro s tá ti c o s

TABLA 3.1 Polinomios de Legendre  pa ra n = 0. 1, 2 y 3.

Pn(9) 

0 1 2 3

i eo s 0 i( 3 eos 20 — 1) K 5 eos3 9  - 3 e os 0 )

1 d  ( s e n e ^ ) + k P  = 0 s e n 8 d d \ dd 

( 3 -1 6 )

L a s ú n i c a s s o l u c i o n e s f ís i c a m e n t e a c e p t a b l e s q u e e s t á n d e f i n i d a s e n e l i n t e r v a l o d e 9 , q u e v a d e s d e 0 h a s t a ( n ) c o r re s p o n d e n a k  = n (n   + 1 ), s i e n d o n   u n e n t e r o p o s i ti v o . L a s o l u c ió n p a r a u n a n  e n p a r t ic u l a r s e r e p r e s e n t a r á c o n  Pn( 0 ). L a s s o l u c io n e s d e l a e c u a  c i ó n ( 3 - 1 6 ) p a r a o t ro s v a l o r e s d e k  n o s e c o m p o r t a n b i e n e n l a v e c i n d a d d e 6 = 0 o 9 = / r r a d i a n e s , v o l v i é n d o s e i n f in i t a s o i n c l u s o i n d e f i n id a s p a r a e s o s v a l o r e s d e 9.* E s t a s s o l u c i o n e s n o p u e d e n s a t i s fa c e r c o n d i c i o n e s f ís i c a s e n l a f r o n t e r a y , p o r t a n t o , d e b e n d e s c a r t a rs e , t L a s s o l u c i o n e s a c e p t a b l e s , P n( 0 ) , s o n p o l i n o m i o s e n e o s 9  y g e n e r a l m e n t e s e d e  n o m i n a n  p o lin o m io s d e L e g e n d re . L a s p r im e r a s c u a tr o f u n c io n e s d e L e g e n d r e s e d a n e n l a t a b l a 3 .1 . E s e v i d e n t e d e l a e c u a c i ó n ( 3 - 1 6 ) q u e l o s  P n p u e d e n m u l ti p li c a rs e p o r c u a l q u i e r c o n s t a n t e a r b i tr a r i a . Volvamos ah ora a la ecuación radial d l 2d Z \

(3-17,

d o n d e h e m o s e m p l e a d o l a f o r m a e x p l íc i ta d e k  q u e d i o s o l u c io n e s d e 9  a c e p t a b l e s . L a i n s p e c c i ó n d e l a e c u a c i ó n (3 - 1 7 ) m u e s t r a q u e d o s s o l u c io n e s i n d e p e n d i e n t e s so n Z n  = r " 

y

Z n  = r - (n + l)

L a s s o lu c i o n e s d e l a e c u a c ió n d e L a p l a c e s e o b t ie n e n m e d i a n te e l p r o d u c t o (pn(ry 6 ) =  Z n(r)P n(B ), d o n d e d e b e t e n e r se e s p e c ia l c u i d a d o p a r a q u e Z y P  c o r re s p o n d a n a l m i s m o v a l o r d e n . E s t o e s i m p r e s c in d i b le , p u e s t o q u e a m b o s m i e m b r o s d e l a e c u a c i ó n ( 3 - 1 5 ) s o n i g u a l e s a l a m i s m a c o n s t a n te , e s d e c i r , n ( n   + 1).

* La exposición ha sido demasiado breve. El lector que se interese en el tema deberá consultar más textos de matemáticas para un tratamiento detallado de la ecuación de Legendre. Véanse, por ejemplo, los libros indicados al final de este capítulo. La ecuación de Legendre se expr esa generalmente en una forma distin ta. sustituyendo x  = eos 6 , y sus soluciones se representan entonces con  Pn(x) o f*n(cos G). t Este enunciado requiere algunas limitaciones. En algunos problemas electrostáticos, las regiones alrede dor de 9 = 0 y 8 = 7Tpueden excluirse naturalmente, por ejemp lo, por superficies cónicas conductoras. En estas condiciones podrían también utilizarse las soluciones de la ecuación (3-16) con otros valores de k  Los problemas de este tipo no se considerarán aquí.

3 .5 E s f e r a c o n d u c t o r a e n u n c a m p o e l é c tr ic o u n i f o r m e

63

Hem os resuelto a sí la ecuación de Laplace en coordenadas esféricas, obteniendo así las soluciones conocidas com o a r m ó n i c o s e s f é r ic o s  :
o

q>„

= r - < n + l )P n( 6 )   

(3-18)

d o n d e P n( 8 )    es uno de los polinom ios de la tabla 3.1 y n  es un entero po sitivo o cero. Los armónicos esféricos forman un conjunto de funciones adecuado para la solución de la ecuación de Lap lace con fronteras esféricas y sim etría azimutal. Estas solucio nes pueden com binarse de acuerdo con el Teorema I. Varios de los armón icos de zona ya nos son bien con ocidos: una de las soluciones para n =  0, es decir, (p =  constan te, es un a solución trivial de la ecuación de Laplace, válida en cualqu ier sistem a de coo rde nadas; el armón ico esférico r - ]   es el poten cial de un a carga puntual, y r~ 2  eos 6  es el  p ote n cia l de un dip olo .

E S F ER A C O N D U C T O R A E N U N C A M P O E L É C T R IC O U N IF O R M E Ilustraremos la utilidad d e los armó nicos de zo na para problem as electrostáticos que tienen sim etría esférica resolviendo el problem a de una esfera cond uctora descarga da colocada en un campo eléctrico i n i c ia l m e n t e    uniforme , E Q. Las líneas d e u n cam po eléctrico uniforme son paralelas, pero la prese ncia del cond uctor altera el cam po d e tal m anera que las líneas de éste chocan perpendicularmente con la superficie del co nduc tor, que es una superficie equipotencial. Si tomam os la dirección del cam po eléctrico inicialmente uniforme como la dirección polar (dirección z ) y si fijam os el origen de nuestro sistema de coordenadas de m odo que coincida con el centro de la esfera, en tonces de la sim etría del problema se ve que el potencial será independiente del ángulo azimutal
+ A 2r  e o s 9  + C 2r ~ 2  e  o s 6 

+ % A 3 r 2 ( 3   eo s2 6   — 1) + { C 3r ~ \ 3    eo s2 6 —   1 ) + • * * (3-19) donde las A   y las C  son con stantes arbitrarias. Pa ra r   grande, el campo eléctrico se distorsionará sólo ligeramente con respecto a su forma inicial y el potencial será el apropiado para un campo eléctrico uniforme.

[E (r, 0 ) ] _ = E 0 = E0k  [cp(r,

= - E 0z   + constante = - £ 0r c o s 9   + constante

(3-20)

64

3 R e s o l u c i ó n d e p r o b l e m a s e l e c t r o s tá t ic o s

En consecuenci a, para que concuerden las ecuaciones ( 3-19) y (3-20) para r  grande, A 2 = - E q. A demás, todas las A  desd e A3 en ad elante deben igualarse a cero.   El término C {r l  produce un campo radial que, com o podría esperarse, es com pa tible sólo con un con ductor esférico que tiene una carga total neta. Como nuestro  p ro b le m a tra ta de un c o n d u c to r d esc a rg ad o , la c o n s ta n te C , d e b e ig u a la rs e a c e ro . En la superficie de la esfera, (p = (p0, y el potencial de be se r indepe ndiente del án gulo ©. Los dos térm inos en que interviene eos ©pueden eliminarse en tre sí, pero los térm inos con potencias inversas de r, mayores, no pu ed en el iminarse entre sí debido a qu e con tienen funciones de Legend re d i f e r e n t e s .  L a única posibilidad es igualar todas las C a cero cuando i >  3. La ecuación (3-19) se convierte ahora en q ) ( r , 6 )  = < p{ a. 9 )  

=

A, -

E 0r 

e o s 6  + C 2r ~ 2 e o s © ,

para

r 

>

a 

(3-21)

(p0 

Ya que las dos expre siones deben ser iguales en r  = a , A  1= (pQ  y C2 = E Qa 3. De la última expresión para el po tencial, podemos calcular no sólo el campo eléctrico en todos los puntos del espacio (véase la Fig. 3.2), sino tam bién la densidad supe rficial de carga sobre la esfera conductora:

 p a ra

ct(©) =

€ 0 E r \r = a   = ?>€ q E 0   e o s

r 

>

a 

©

La carga total sobre la esfera,

es evidentem ente cero, lo que concu erda con nue stra suposición inicial.

P 

FIGURA 3.2 Líneas de flujo eléctrico  pa ra el ca so de un a esfera conductora colocada en un campo eléctrico uniforme.

r.

9

(3-22)

(3-23)

3 . 6 S o l u c i o n e s a l a e c u a c i ó n d e L a p l a c e e n c o o r d e n a d a s c i li n d r i c a s

65

S O L U C I O N E S A L A E C U A C IÓ N D E L A P LA C E E N C O O R D E N A D A S C IL IN D R I C A S : A R M Ó N I C O S C I L ÍN D R I C O S La ecuación de Laplace en coordenadas cilindricas puede resolverse también por el m étodo de separación de variables. Aquí nuevamente conviene resolver sólo un tipo restringido de problem as, es decir, aquellos en los cuales el potencial es indep endiente de la coordenada z.  Estas soluciones son apropiadas para ciertos prob lem as en los que interviene un con ductor cilindrico o alamb re recto y largo, pero n o  para aqu ellos que tratan de un segm ento cilindrico corto. Si el potencial es independiente de z,   la ecuación de Laplace en coordenadas cilindricas se conv ierte en

(3-24) A l sustituir

cp  = Y ( r ) S ( 6 ) ,

la ecuación se reduce a

, (3-25)

d o n d e k  nuevamente desemp eña el papel de una constante de separación. L a ecuación  p a ra 0 e s p art ic u la rm en te se ncil la ; tiene p o r solu cio n es eo s k m 0  y sen k m 0.  Pero para que estas soluciones tengan sentido físico, cada una deb e ser una función univalente de 0; por lo que co s k

ia ( 6  

+

sen k

xa (Q  

+

2 t í )   =

eos

=sen

2  j z  )

k m e  k V26  

O, dicho de o tra forma, una vez qu e 0 ha recorrido todo el intervalo desde 0 hasta 2 n y  la función debe unirse s u a v e m e n t e   a su valor en 0 = 0. Esto puede su cede r sólo si k =   n2, siendo n   un entero. Podemos, además, pedir que n   sea positivo (o cero) sin  p erd er nin guna d e esta s so lu cio nes. Volviendo a la ecuación de r, podem os verificar fácilmente qu e Y ( r )  es r" o r n\ a m e n o s q u e n  = 0 c u a n d o Y (r ) = ln r  o Y ( r ) = constante. En co nsecue ncia, las solucio nes buscadas de la ecuación de Laplace, que se denom inan a r m ó n i c o s c i li n d r i c o s , son 1

ln

r 

r n   e o s n 0

r

n e   o s n d 

r n  s e n  / 2

r  

' ' s e n n 6 

0

Estas funciones form an un conjunto comp leto para las variables r, 0 en coordenadas cilindricas, y el potencial
3 R e s o l u c i ó n d e p r o b l e m a s e l e c tr o s t á ti c o s

ECUACION DE LAPLACE EN COORDENAD AS RECTANGULARES En coordenadas rectangulares, las variables pueden separarse hac iendo la sustitución < p (x , y , z ) = f { x ) f 2( y ) h { z )  

 p o r lo q u e la e c u a c ió n d e L a p la c e se re d u c e a 1

d 2/ ,

/,(*)

d x 2 

1

d 2f 2  

+  f 2( y

) d y 2  

1 /,(z)

d %  d z 2  

(3‘26a)

El lado izquierdo de esta ecuación es un a función de x  e y , y el derecho es función de z  únicamente; en consecuencia, am bos m iembros deben igualarse a l a misma con stan te, k. Esta co nstante es la prim era constante d e separación. L as dos ecuaciones obteni das a partir de (3-26a) son d 2U  d ?

O

= 0   

+ k^

h

=

k

_

h d y 2

(3-26b)

I f í i

 f

d x 2 

Esta última ecuación se ha expresado de tal form a que las variables x  e y e s té n se p a r a  das. Cada miem bro de esta ecuación se iguala ahora a - m   (seg unda constante de sepa ración). Por tanto, d 2U 

^

+

m f 2  =

0

“

(k + m ) f   =

( 3 -2 6 c )

0

( 3- 26 d )

Las ecuaciones (3-26b), (3-26c) y (3-26d) se resuelven fácilmente. U na de las solucio nes típicas para ( f ( x ,  y, z )  e s cp(xt y, z ) 

=

A e ~ { k ^ m)V2x eos  

m 1/2y eo s

k l,2z  

(3-27)

Las o tras siete soluciones independ ientes para un pa r de cons tantes de separa ción (A:, m )   se obtienen haciendo una o más de las siguientes sustituciones: + ( k  + m ) m x   por - ( k + m ) ir2x  , sen m l/2y po r eo s m ]r2y  y sen k m z  p o r e o s k m z -   Ha sta ahora no ha habido restricción sobre k   ni sobre m ,  pero las condiciones en la frontera del problem a r estringen generalmente k  (o m )  a u n conjunto discreto de valores positivos o ne gativos. Vale la pen a observa r que las condiciones en la frontera son las que realmente imperan en la selección de las s o l u c i o n e s p e r t in e n t e s    para una ecuación d iferencial parcial. Para r e y fijos, la siguiente función es justam ente el d e s a r r o ll o e n s e ri e d e F o u r i e r    para una función par arbitraria de z:

* Las secciones con asterisco pueden ser omitidas sin perder continuidad.

3 . 8 E c u a c i ó n d e L a p l a c e e n d o s d i m e n s i o n e s : s o l u c ió n g e n e r a l

< p (x , y , z )  

2 A p qe

= 2  P

67

i-p2* q ' ) ' nx c o s p y    e o s q z 

9

Las soluciones individuales en la ecuación (3-27) no representan potenc iales que correspond en a situaciones físicas sencillas. Sin em bargo, el caso en el que ambas constantes de separación son cero corresponde a una situación física de interés; por tanto, dirigiremos nu estra atención a este caso. De la ecuación (3-26d), es evidente q u e / , ( * ) = a xx %o  sea, / , ( x )  = constante, es una solución; de la ecuación (3-26c) obte n e m o s  f 2(y ),  etc. Así, q )(x , y ,

+

z ) = A ,xyz 

+ A sx   + A by 

A 2x y  

+

A nz 

+

+

A 3 y z   + A 4x z  

A  h  

(3-28a)

donde las A  son c onstantes arbitrarias. Esta solución pue de ap licarse al caso en el que tres planos condu ctores se cortan perpend icularmente. Si estos planos son los planos coordenados x y , y z   y z x , y todos están al mism o potencial, entonces z )   = A , x y z  

< p (x , y ,

+

A „ 

(3-28b)

Se deja com o ejercicio para el lector determinar la densidad de carga superficial sob re los planos coordenado s que es compa tible con la ecuación (3-28b).

E C U A C IO N D E L A P L A C E E N D O S D I M E N S I O N E S : S O L U C IÓ N G E N E R A L Si el potencial es una función de do s coo rdenad as rectangulares únicam ente, la ecu a ción de Laplace puede expresarse como d 2(p  s ?

d*(p + a ? = ° 

(3-29“»

Es posible ob tener una solución general de esta ecuación po r m edio de una transfor mación a un nuevo con junto de variables independientes. Sin em bargo, debe rá resaltarse que dicha transformación conduce a una simplificación de la ecuación original sola m ente en el caso bidimensional. Sea | =

x 

+

iy ,

rj = x -

iy  

d o n d e i  = V -T es el número ima ginario unidad. En términos de estas relaciones,

a2 d x 

a2

^ d2 + 2 — — 3§

d2

d2

d y 2  

<9§2

+ 2

drj

+

d2 d$ dr)

d 2(P  v * = 4 ^a rf id z r/ = 0

d2  dr\  3 2  d r)  

?

<3 -29 b)

68

3 R e s o l u c i ó n d e p r o b l e m a s e l e c t ro s t á ti c o s

Es evidente que la solución general a la ecuación (3-29b) es

iy ) 

(3-30)

d o n d e  F { y F  2  s o n f u n c i o n e s a r b i t r a r i a s q u e s o n a d e c u a d a m e n t e * c o n t i n u a s y d i f e r e n c i a b l e s . L a s f u n c i o n e s  F { y  F 2  s o n c a n t i d a d e s c o m p l e j a s e n g e n e r a l , p e r o s e  p u e d e n c o n s tr u ir d o s fu n c io n e s r e a le s d e la s ig u ie n te fo rm a . S u p o n g a m o s p rim e ro q ue  F 2(x - iy) =  F f x  - iy),  e s d e c i r , q u e l as d o s f u n c i o n e s  F { y  F 2  d e p e n d e n d e l m i s m o argumento. Entonces, >)] d o n d e R e s i g n if ic a p a r te r e a l d e . P o r o t ro l a d o , l a s e g u n d a f u n c i ó n r e a l d e l p o t e n c i a l es
- i [ F ¡ ( x + i y ) -   F , ( * -   / >-)] = 2 I m [ F ,( .c + />-)]

d o n d e I m s i g n i f ic a p a r te im a g in a r ia d e . P o r t a n to , l a s p a r t e s r e a l e i m a g i n a r i a d e c u a l  q u i e r f u n c ió n c o m p l e j a  F (x + iy ) s o n s o l u c i o n e s d e l a e c u a c i ó n d e L a p l a c e . L a s s o l u c i o n e s h a l l a d a s d e e s ta f o r m a n o s e r e s tr i n g e n a u n s i s t e m a d e c o o r d e n a  d a s p a r ti c u la r . P o r e je m p l o , l o s a r m ó n i c o s c i l i n d r ic o s d e l a s e c c ió n 3 . 7 s e o b t ie n e n d e l as f u n c i o n e s c o m p l e j a s f ( x  + iy)n = r*eind, y In ( x + i y )   = l n r  + iO. P o r o t ra p a r te , c u a n d o e s n e c e s a r i o r e s o l v e r u n p r o b l e m a b i d i m e n s i o n a l p a r ti c u la r , n o h a y u n p r o c e  dimiento establecido para hallar la función compleja adecuada. Este método genera t a n t as s o l u c i o n e s q u e n o e s p o s i b l e e n u m e r a r la s y h a y q u e d e j a r f u e r a l a s q u e n o s a t is  f a g a n l a s c o n d i c i o n e s e n l a f r o n t e r a d e l p r o b l e m a . E n c a s o s s e n c i l lo s , l a s f u n c i o n e s n e c e s a r i a s p u e d e n h a l la r s e p o r e n s a y o y e r ro r ; e n o t r o s c a s o s , e l m é t o d o d e r e p r e s e n  t a c ió n c o n f o r m e  ( q u e e s t á m á s a l l á d e l a l c a n c e d e e s t e t e x t o ) p u e d e s e r ú t il .

%

3 .9

~

—

IM Á G E N E S E L E C T R O S T Á T IC A S Para un conjunto dado de condiciones en la frontera, la solución de la ecuación de L a p l a c e e s ú n i c a , d e m o d o q u e s i o b t e n e m o s u n a s o l u c i ó n (p(x, y ,  z )  p o r c u a l q u i e r m e d i o y s i e s t a (p s a ti s f a c e t o d a s l a s c o n d i c i o n e s e n l a f r o n t e r a , e n t o n c e s s e h a e n c o n  t r a d o u n a s o l u c i ó n c o m p l e t a d el p r o b l e m a . E l m é t o d o d e i m á g e n e s  e s u n p r o c e d i m i e n  t o p a r a l o g r a r e s t e r e s u lt a d o s i n r e s o l v e r e s p e c í f ic a m e n t e u n a e c u a c i ó n d i f e r e n c i a l. N o s e a p l i c a u n i v e r sa l m e n t e a to d o s l o s ti p o s d e p r o b l e m a s e l e c t r o s tá t ic o s , p e r o u n n ú m e  r o s u f i c ie n t e d e p r o b l e m a s d e i n t e ré s c a e n d e n t r o d e e s t a c a t e g o r ía , d e m o d o q u e v a l e l a p e n a e x p o n e r a q u í el m é t o d o . Supo ngam os que el potencial puede expresarse en la siguiente forma: / \ ^

/v

1 + 4

f a ( r / ) d a> ^ , 0 ^  

(3-31)

* La función F  debe ser "analítica” en el dominio (*, y) de interés. Véa se el Apéndic e VII, ecuación (VII-3). t Las coordenadas cilindricas y rectangulares se relacionan en la forma usual:  x = r  eos 6 , y = r   sen 0.

69

3.9 Imágenes electrostáticas

d o n d e
~ EJEMPLO 3.1 Carga puntual cerca de un plano conductor 

T o m a r e m o s a h o r a a l g u n o s e j e m p l o s e s p e c í f ic o s p a r a d e m o s t r a r l a s v e n t a j a s de l m é t o d o d e l a c a r g a i m a g e n . S e d e s t a c a r á q u e l a s o l u c i ó n d e e s t o s e j e m p l o s s e r ía m u y d i f í c i l s i t u v i é r a m o s q u e u t i li z a r o t r o s m é t o d o s a n a l í ti c o s . C o n s i d e r a r e m o s  p rim e ro e l p r o b le m a d e u n a c a r g a p u n tu a l q c o l o c a d a c e r c a d e u n p l a n o c o n d u c  t o r d e e x te n s i ó n i n f in i ta . P a r a f o r m u l a r e l p r o b l e m a m a t e m á t ic a m e n t e , c o n s i d e r e  m o s e l p l a n o c o n d u c t o r d e t al f o r m a q u e c o i n c i d a c o n e l p l a n o  y z , y su p o n g a m o s q u e l a c a r g a p u n t u a l e s t á s o b r e e l e j e  x  e n e l p u n t o  x = d  ( v é a s e l a F i g . 3 . 3 a ) . E l  p o te n c ia l s e a ju s ta a lo in d ic a d o e n la e c u a c ió n ( 3 - 3 1), c o n
4 jT 6 0r ,

4 j r 6 0 V ( ^ — d )  + y 2  + z :

(3-32)

S o l u c i ó n : C o n s i d e r e u n p r o b l e m a d i fe r e n t e , e l d e d o s c a r g a s p u n t u a l e s (q y - q ) s e p a r a d a s p o r u n a d i s ta n c i a 2d , c o m o e n l a f i g u r a 3 . 3 ( b ) . E l p o t e n c i a l d e e s t a s d o s cargas, cp(x, y , z )  =

4/r e„r,

<7 4jre„r2

(3-33)

n o s ó l o s a ti s fa c e l a e c u a c i ó n d e L a p l a c e e n t o d o s l o s p u n t o s e x t e r i o r e s a l a s c a r  g a s , s in o q u e t a m b i é n s e r e d u c e a u n a c o n s t a n t e ( e s d e c ir , c e r o ) s o b r e e l p l a n o q u e  b is e c a p e r p e n d ic u la rm e n te el s e g m e n to q u e u n e la s d o s c a r g a s . A s í p u e s , la e c u a  c i ó n ( 3 - 3 3 ) s a t i s f a c e la s c o n d i c i o n e s e n l a f r o n t e r a d e l p r o b l e m a o r i g in a l . D e b i d o a q u e l a s s o l u c i o n e s d e l a e c u a c i ó n d e L a p l a c e s o n ú n i c a s , la e c u a c i ó n ( 3 - 3 3 ) e s e l  p o te n c ia l c o r r e c to e n to d o e l s e m ie s p a c io d e l la d o d e r e c h o d e l p la n o c o n d u c to r. L a c a rg a - q d a o r i g e n a l p o t e n c ia l :
4zce0r2

4 n e 0\/(x  + d ) 2  + y 2  + z 2 

(3-34)

E s t a c a r g a s e l la m a i m a g e n d e la c a r g a p u n t u a l q . N a t u r a lm e n t e , la i m a g e n n o e x i s t e e n r e a li d a d , y l a e c u a c i ó n ( 3 - 3 2 ) n o d a  c o r r e c t a m e n t e e l p o t e n c i a l e n e l i n t e ri o r n i a l a iz q u i e r d a d e l p l a n o c o n d u c t o r d e l a f i g u r a 3 .3 ( a ) .

70

3 R e s o l u c i ó n d e p r o b l e m a s e l e c t r o st á ti c o s

FIGURA 3.3 Problema de una carga  p u n tu al y d e un p la n o conductor resuelto m ediante el método de la carga imagen: (a)  p ro b le m a o ri g in a l; (b ) situación de la carga imag en; (c) líneas de fuerza (líneas punteadas) y superficies equipotenciales (líneas continuas).

(x, y , *)

(x, y, z)

(a)

E l c a m p o e l é c t r i c o E e n l a r e g ió n d e l a d e r e c h a d e l p l a n o c o n d u c t o r p u e d e o b t e n e r s e c o m o m e n o s e l g r a d i e n t e d e l a e c u a c i ó n ( 3 - 3 3 ). Y a q u e l a s u p e r f ic i e d e l p l a n o c o n d u c  tor representa una zona interfacial que relaciona dos soluciones de la ecuación de L a p l a c e , a s a b e r ,

°(y, z) “

-

~

2 j[ ( d 2

+  z i y a  

(3-35)

3 . 9 I m á g e n e s e l e c t ro s t á t ic a s

71

L a s l ín e a s d e f u e r z a y la s s u p e r f i c ie s e q u i p o t e n c i a le s c o r r e s p o n d i e n t e s a l p r o b l e m a o r i g i n a l s e il u s t ra n e n l a f i g u r a 3 . 3 ( c ) . É s t a s s o n l a s m i s m a s l ín e a s d e f u e r z a y s u p e r f i  c i e s e q u i p o t e n c i a le s q u e c o r r e sp o n d e n a l p r o b l e m a d e d o s c a r g a s p u n t u a l e s d e l a f ig u  r a 3 . 3 ( b ) , e x c e p t o q u e e n e s t e ú l ti m o c a s o l a s l ín e a s d e f l u jo c o n t in u a r í a n d e n t r o d e l a  p a r te iz q u ie rd a d e l s e m ip la n o . D e la f ig u r a e s e v id e n te q u e t o d a s  la s l ín e a s d e f lu j o eléctrico que normalmente convergen en la carga imagen son interceptadas por el  p la n o e n la f ig u r a 3 .3 (c ). E n c o n s e c u e n c ia , la c a rg a to ta l s o b re e l p la n o e s ig u a l a la d e l a c a r g a i m a g e n - q . E s t e m i s m o r e s u l ta d o p u e d e o b t e n e r s e m a t e m á t ic a m e n t e in t e g r a n  d o l a e c u a c i ó n ( 3 - 3 5 ) s o b r e to d a l a s u p e r f ic i e ( v é a s e e l p r o b l e m a 3 . 1 4 ). E s e v i d e n t e q u e l a c a r g a p u n t u a l q   e j e rc e u n a f u e r z a a t r a c t i v a s o b r e e l p l a n o , d e b i d o a q u e l a c a r g a s u p e r f ic i a l in d u c i d a e s d e s i g n o c o n t r a ri o . P o r l a l e y d e N e w t o n d e l a a c c i ó n y l a re a c c i ó n , e s t a f u e r z a e s i g u a l e n m a g n i t u d a l a f u e r z a e j e r c i d a s o b r e q  p o r el p la n o . P u e s to q u e l a c a rg a p u n tu a l n o e x p e rim e n ta n in g u n a fu e r z a d e b id a a su  p ro p io c a m p o , F =

- q Vcp 2 

(3-36)

q u e e s e x a c t a m e n t e l a fu e r z a e j e r c i d a s o b r e e l la p o r la c a r g a i m a g e n .

~

EJEM PLO 3.2 Carga puntual cerca de un a esquina que forma un ángulo recto

O t r o p r o b l e m a q u e p u e d e r e s o l v e r se s e n c i l la m e n t e e n t é rm i n o s d e i m á g e n e s e s e l de determinar el campo eléctrico de una carga puntual q   en la vecindad de la i n te r s e c c i ó n d e d o s p l a n o s c o n d u c t o r e s e n á n g u l o r e c t o ( v é a s e l a F ig . 3 . 4 a ). S o l u c i ó n : L a s p o s i c io n e s d e l a s c a r g a s i m a g e n n e c e s a r i a s s e m u e s t r a n e n l a f ig u  r a 3 . 4 ( b ) . S e v e d e i n m e d i a t o q u e l o s d o s p l a n o s , i lu s t r a d o s c o n l ín e a s p u n t e a d a s e n l a f ig u r a , s o n s u p e r f ic i e s d e p o t e n c i a l c e r o d e b i d o a l o s p o t e n c i a l e s c o m b i n a  d o s d e q  y l a s tr e s c a r g a s i m a g e n .

L a d i f i c u l ta d p r i n c i p a l a l re s o l v e r u n p r o b l e m a p o r e l m é t o d o d e l a c a r g a i m a g e n e s e l d e e n c o n t r a r u n g r u p o d e c a r g a s i m a g e n q u e p r o d u z c a s u p e r f i c ie s e q u i p o t e n c i a le s e n l o s c o n d u c t o r e s . E l p r o b l e m a e s d i re c t o s ó l o p a r a c a s o s e n l o s q u e l a g e o m e t r ía e s s e n c i l l a . T a l e s e l c a s o d e l s ig u i e n t e e je m p l o .

FIGURA 3.4 Carga puntual en una esquina que forma un ángulo recto.

• Q

• Q

72

3 R e s o l u c i ó n d e p r o b l e m a s e l e c t r o s tá t ic o s

FIGURA 3.5 Carga puntual q  en la vecindad de una esfera conductora; q '   es la carga imagen.

 _

_

EJ EM PL O 3.3

C a r g a p u n t u a l y e s f er a conductora

C o n s i d e r em o s e l p r o b l e m a p l a n t e a d o p o r u n a c a r g a q  e n l a v e c i n d a d d e u n a e s f e r a c o n d u c t o r a ; s e r e q u i e r e u n a c a r g a im a g e n s e n c i l la p a r a h a c e r q u e l a e s f e r a s e a u n a s u p e r f ic i e d e  p o te n c ia l ce ro .  S e n e c e s i t a u n a c a r g a i m a g e n a d i c i o n a l p a r a c a m b i a r e l p o t e n c ia l d e l a e s f e r a a a l g ú n o t r o v a l o r c o n s t an t e . S o l u c i ó n : D e t e rm i n a r e m o s p r i m e r o l a m a g n i t u d y la p o s i c i ó n d e l a i m a g e n q '  q u e , j u n t o c o n l a c a r g a p u n t u a l q, p r o d u c e u n p o t e n c ia l c e r o e n t o d o s l o s p u n t o s d e l a e s f e ra . L a g e o m e t r í a d e l a s i tu a c i ó n s e i l u s t r a e n l a f i g u r a 3 . 5 . L a c a r g a  p u n tu a l q  e s t á a u n a d i s ta n c i a d  d e l c e n t r o d e l a e s f e ra y e l r a d i o d e l a e s f e r a e s a. E s e v i d e n t e d e l a s i m e t r í a d e l p ro b l e m a q u e l a c a r g a i m a g e n q '   e s t a r á e n l a r e c ta q u e p a s a p o r q  y p o r e l c e n t r o d e l a e s fe r a . L o s r e s u l ta d o s d e s e a d o s s e o b t ie n e n c o n m a y o r f a c i li d a d u t i l iz a n d o c o o r d e  n a d a s e s f é r i c a s , c o n e l o r i g e n d e c o o r d e n a d a s e n e l c e n t r o d e l a e s f e r a . S e a el e j e  p o la r l a re c ta q u e u n e q  c o n e l o r i g e n . L a d i s t a n c i a b  y l a m a g n i t u d d e q '  s e h a n d e d e t e r m i n a r e n f u n c i ó n d e l as c a n t i d a d e s e s p e c i f i c a d a s q , d , a . E l p o t e n c i a l e n u n  p u n to a r b itra rio  P  d e b i d o a q  y q ‘  e s tá d a d o p o r   c p ( r , 9 , < p )   = — 3  —

4 J ie nr ,

=

+

- 3 .   -----

4 n e a r2 

 _

- L [  X  ■ 4 n e a L\ J r 2 + d  2 - 2 r d  e o s Q \Jr 2 + b 2 - 2 r b  e o s 6 (3-37)

E n l a s u p e r f ic i e d e l a e s f e ra , r - a y (p(a, 0, (p)  = 0 p a r a to d a 0  y (p.  P e r o d e l a e x p r e s i ó n ( 3 - 3 7 ) .
3 . 9 I m á g e n e s e l e c t r o s t á ti c a s

a 2 , b = ~  

73

(3-38)

y, además, 9' =

( 3- 39 )

E s t a s e c u a c i o n e s s o n ú t il e s p a r a d e t e r m i n a r l a p o s i c i ó n y l a m a g n i t u d d e l a p r i m e  ra carga imagen. U na segunda carga imagen q " pu ede co locarse en el centro de la e sfera sin d e s t r u i r la n a t u r a l e z a e q u i p o t e n c i a l d e l a s u p e r f ic i e e s f é r ic a . L a m a g n i t u d d e q " e s a r b i tr a r ia ; p u e d e a j u s t a r s e d e m o d o q u e e s t é d e a c u e r d o c o n l a s c o n d i c i o n e s e n l a f ro n t e r a d e l p r o b l em a . C o n e s to h e m o s e n c o n t ra d o u n a s o l u c ió n c o m p l e t a p a r a e l p r o b l e m a d e la e s f e r a c o n d u c t o r a c o n u n a c a r g a p u n t u a l ; e l p o t e n c i a l e n t o d o s l o s p u n t o s e x t e r io r e s a l a e s f e r a e s
1 4 n e 0 ■r,

r 2

r  .

(3-40)

E l p o t e n c i a l p r o p i o d e l c o n d u c t o r e s f é r ic o e s

^

<3 - 4 »

y l a d e n s i d a d d e c a r g a s u p e r f ic i a l s o b r e l a e s f e r a e s

0 (  6 , (p) =

dr

r=a

( 3 -4 2 )

T o d a s l a s lí n e a s d e f u e r z a q u e n o r m a l m e n t e c o n v e r g e n s o b r e l a s c a r g a s s o n i n t e r  c e p t a d a s p o r l a e s f e r a . P o r t a n to , la c a r g a t o t a l s o b r e l a e s f e r a , Q,   e s i g u a l a l a s u m a d e l a s c a r g a s im a g e n : Q = q '   + q "  

(3-43)

E s t e r e s u l t a d o p u e d e v e r i f ic a r s e p o r i n t e g r a c i ó n d i r e c t a d e l a e c u a c i ó n ( 3 - 4 2 ) . C a s o s e s p e c i a le s d e i n t e ré s s o n l a e s f e r a p u e s ta a ti e r r a : (p{a) = 0 , q " =  0; y e l c o n d u c t o r e s f ér i co d e s c a r g a d o: q "  = - q \

FIGURA 3.6 Dos líneas de carga infinitamente largas y  paralelas (d e carga X   y - X  por unidad de longitud) se muestran  perp endicu lar es al pla no del papel.

3 R e s o l u c i ó n d e p r o b l e m a s e l e c t ro s t á ti c o s

L IN E A S D E C A R G A Y L IN E A S IM A G E N H a s t a a h o r a, n u e s t r a té c n i c a d e im á g e n e s s e h a l i m i ta d o a p r o b l e m a s e n l o s q u e i n t e r  v i e n e n c a r g a s p u n t u a l e s y , e n c o n s e c u e n c i a , im á g e n e s p u n t u a l e s. E n e s t a s e c c i ó n c o n  sideraremos varios problemas que pueden resolverse por medio de cargas imagen l i n e a le s . C o n s i d e r e m o s d o s l í n e a s d e c a r g a i n f i n i ta m e n t e l a rg a s y p a r a l e l a s , c o n c a r g a s A y - A p o r u n i d a d d e l o n g i t u d , r e s p e c t iv a m e n t e , ta l c o m o s e m u e s t r a e n l a f i g u r a 3 . 6. El potencial en cua lquier punto está dado p or 

=

o-44»

d o n d e r x y r2 s o n l a s d i st a n c ia s p e r p e n d i c u l a re s d e s d e e l p u n t o h a s t a l a s d o s l í n e a s d e c a r g a . L o s e q u i p o t e n c i a le s s e o b t ie n e n i g u a l a n d o l a e c u a c ió n ( 3 - 4 4 ) a u n a c o n s t a n te ,  p ro c e d im ie n to q u e e s e q u iv a le n te a e x ig ir q ue -

=

 M   

(3-45)

s i e n d o  M   u n a c o n s t a n t e . P o r t a n to , l o s e q u i p o t e n c i a l e s p u e d e n d e t e r m i n a r s e c o n l a e c u a c i ó n ( 3 -4 5 ) . E l e q u i p o t e n c i a l q u e c o r r e s p o n d e a  M =  1 e s e l p l a n o s i t u a d o a l a m i t a d d e l a distancia que hay entre las dos líneas de carga e identificado como la superficie equipotencial 1 en la figura 3.6. El potencial del plano es cero. En consecuencia, el  p ro b le m a d e u n a lín e a d e c a rg a la rg a o r ie n ta d a p a r a le la m e n te a un p la n o c o n d u c to r se h a r e s u e l t o e fi c a z m e n t e . E l p o t e n c i a l e n l a m i ta d d e l e s p a c i o e s t á d a d o c o r r e c ta m e n t e  p o r la e c u a c ió n (3 -4 4 ). S u p o n g a m o s q u e la lín e a d e c a rg a m o s tr a d a e n la p a r te d e r e c h a d e l a f i g u r a e s l a c a r g a e s p e c if i c a d a ,q u e está au n a d i s t a n c i a d  del p la n o c o n d u c to r. E n t o n c e s l a l í n e a d e c a r g a d e ll a d o i z q u i e r d o d e l a f i g u r a d e s e m p e ñ a e l p a p e l d e u n a i m a g e n . N u e v a m e n t e , l a c a r g a t o ta l s o b r e e l p l a n o e s i g u a l a l a d e l a c a r g a i m a g e n . C o n s i d e r e m o s a c o n t in u a c i ó n s u p e r f i c i e s e q u i p o t e n c i a l e s q u e c o r r e s p o n d e n a o t r o s v a l o r e s d e  M .  L a f o r m a g e n e r a l d e l a s u p e r f ic i e p u e d e h a l l a r s e e x p r e s a n d o r , y r 2 e n c o o r d e n a d a s re c t a n g u l a r e s . P o r c o m o d i d a d , e le g i m o s e l o r i g e n d e l s i s te m a c o o r d e n a d o e n l a l í n e a d e c a r g a p o s i ti v a , y h a c e m o s q u e e s t a c a r g a c o i n c i d a c o n e l e j e z ; l a se g u n d a l í n e a d e c a r g a e s t á c o lo c a d a e n  x  = - 2 d , y  = 0 . A h o r a  x = - 2 d , y = 0 .

rí = *2 + y 2 r\ = (x + 2 d f + y2 de modo que la ecuación (3-45) se convierte, después de alguna manipulación algebraica, en

3 .1 1 S i s t e m a s d e c o n d u c t o r e s y c o e f i c i e n t e s d e p o t e n c i a l

75

É s t a e s l a e c u a c ió n d e u n c i li n d r o c i r c u l a r q u e s e e x t i e n d e p a r a l e l o a l e j e  z . S i  M   e s m e n o r q u e u n o , e l c il in d r o r o d e a l a l ín e a d e c a r g a p o s i t iv a c o m o l o h a c e l a s u p e r f i c ie e q u i p o t e n c i a l I I d e l a f i g u ra . E l e j e d e l c i l in d r o p a s a p o r e l p u n t o 2 M ¿d    X  =

- M 

> = 0

0-47)

y e l r a d i o d e l c i l in d r o e s 2 M d   R ‘ = í 173 1 -  M 

~ EJEMPLO 3.4 Cilindro conductor cargado con orientación  p a r a le la a un plano conductor 

(3-4 8)

E s t a m o s a h o r a e n p o s i c i ó n d e r e s o l v e r v a r io s p r o b l e m a s i n t e r e s a n t e s e n lo s q u e i n t e rv i e n e n c o n d u c t o r e s c i li n d r ic o s , p e r o s ó l o s e e x p o n d r á u n o d e e s t e ti p o . C o n  sideremos el problema de un conductor cilindrico largo en la vecindad de un  p la n o c o n d u c to r y o rie n ta d o p a r a le la m e n te a é s te . E l c ilin d ro tie n e c a rg a A p o r u n i d a d d e l o n g i tu d . L a f i g u r a 3 . 6 p u e d e s e r v i r p a r a i l u s t r a r e l p r o b l e m a ; l o s d o s c o n d u c t o r e s c o i n c i d e n c o n l as s u p e r f i c i e s p u n t e a d a s . S o l u c i ó n ;  A m b a s l í n e a s d e c a r g a s o n i m á g e n e s e n e s t e c a s o , y e l p o t e n c ia l e n l a re g i ó n q u e r o d e a a l c i li n d r o y q u e e s t á a l a d e r e c h a d e l p l a n o e s t á d a d o p o r la e c u a c i ó n ( 3 - 4 4 ) . E s e v i d e n t e q u e l a c a r g a i n d u c i d a s o b r e e l p l a n o e s i g u a l a - X   p o r u n id a d d e d is ta n c ia e n la d ir e c c ió n  z-

3.11

Z

S IS T E M A D E C O N D U C T O R E S Y C O E F IC IE N T E S D E P O T E N C IA L E n l as s e c c io n e s a n t e r io r e s s e h a n a n a l i z a d o v a r i o s m é t o d o s i m p o r t a n te s p a r a o b t e n e r soluciones de la ecuación de Laplace. A unq ue son de c arácter general, po r considera c i o n e s p r á c t i c a s e s to s m é t o d o s s e l im i ta n a p r o b l e m a s e n l o s q u e l o s c o n d u c t o r e s t i e  nen formas más bien sencillas. Cuando sus formas son complicadas, una solución matemática completa en forma analítica queda descartada. Sin embargo, se puede n s a c a r a l g u n a s c o n c l u s i o n e s c o n r e s p e c t o a l s i s te m a s i m p l e m e n t e p o r q u e e l p o t e n c i a l s a ti sf a c e l a e c u a c ió n d e L a p la c e . D e h e c h o , d e m o s t ra r e m o s a q u í q u e e x i s te u n a r e l a  c i ó n l i n e a l e n t r e e l p o t e n c i a l d e u n o d e l o s c o n d u c t o r e s y l a s c a r g a s d e l o s d iv e r s o s c o n d u c t o r e s d e l s i s te m a . L o s c o e f i c ie n t e s e n e s t a r e la c i ó n , lo s l la m a d o s c o e f i c i e n t e s d e p o t e n c ia l ,  s o n f u n c i o n e s s ó l o d e l a g e o m e t r ía ( e s p e c í f ic a m e n t e , n o d e p e n d e n n i d e l as c a r g a s n i d e l o s p o t e n c i a l e s ) y, a u n q u e n o s i e m p r e s e p u e d a n c a l c u l a r a n a l ít ic a m e n  t e , p u e d e n d e t e r m i n a r s e n u m é r ic a m e n t e o a p a r ti r d e e x p e r i m e n t o s . S u p o n g a m o s q u e h a y  N   c o n d u c t o re s e n u n a g e o m e t rí a f ij a. C o n s i d e r e m o s q u e t o d o s l o s c o n d u c t o r e s e s t á n d e s c a r g a d o s e x c e p t o e l j ,  q u e ti e n e c a r g a QjX).  L a s o l u c ió n adecuada de la ecuación de Laplace en el espacio exterior a los conductores estará

El campo electrostático en medios dieléctricos H a s t a a h o r a h e m o s i g n o r a d o p r o b l e m a s e n l o s q u e i n t e r v ie n e n m e d i o s d i e l é c tr i c o s y h e m o s t r a ta d o c a s o s e n l o s q u e e l c a m p o e l é c t r i c o e s p r o d u c i d o e x c l u s i v a m e n t e p o r c a r g a s e n u n a d i s tr i b u c i ó n d e t e r m i n a d a o p o r c a r g a s l ib r e s s o b r e l a s u p e r f i c ie d e l o s c o n d u c t o r e s . E n e s t e c a p í t u l o t r a ta r e m o s d e r e m e d i a r e s ta s i t u a c ió n c o n s i d e r a n d o e l caso más general. U n m a t e r i a l d i e l é c t r i c o i d e a l   e s a q u e l q u e n o t ie n e c a r g a s l i b r e s . S i n e m b a r g o , t o d o s l o s m e d i o s m a t e r i a l e s s e c o m p o n e n d e m o l é c u l a s ; é s t a s a su v e z s e c o m p o n e n d e e n t i d a d e s c a r g a d a s ( n ú c l e o s a t ó m i c o s y e l e c t r o n e s ) y l a s m o l é c u l a s d e lo s d i e l é c t r ic o s s o n , d e h e c h o , a f e c t a d a s p o r l a p r e s e n c i a d e u n c a m p o e l é c t r i c o . E l c a m   p o e lé c tric o p ro d u c e u n a fu e rz a q u e s e e je r c e s o b r e c a d a p a r tíc u la c a rg a d a , e m p u ja n  d o l a s p a r t í c u l a s p o s i t iv a s e n l a d i r e c c ió n d e l c a m p o y l a s n e g a t i v a s e n s e n t id o o p ue s to , d e m o d o q u e l a s p a rt e s p o s i t iv a s y n e g a t iv a s d e c a d a m o l é c u l a s e d e s p l a z a n d e s u s p o s i c i o  nes de equilibrio en sentidos opuestos. Sin embargo, estos desplazamientos están l i m i t a d o s ( en l a m a y o r í a d e l o s c a s o s , a f r a c c io n e s m u y p e q u e ñ a s d e u n d i á m e t r o m o l e c u l a r ) p o r i n te n s a s f u e r z a s r e c u p e r a d o r a s q u e s e f o rm a n a l c a m b i a r la c o n f i g u r a  c i ó n d e la s c a rg a s d e l a m o l é c u l a . E l t é rm i n o “ c a r g a li g a d a ” , e n c o n t r a s t e c o n e l d e “ c a r g a l i b r e ” d e u n c o n d u c t o r , se u s a a v e c e s p a r a p o n e r é n f a s i s e n e l h e c h o d e q u e tales cargas moleculares no son libres para moverse muy lejos o ser extraídas del material dieléctrico. El efecto total, desde el punto de vista macroscópico, e s más f á c il d e v i s u a l iz a r c o m o u n d e s p l a z a m i e n t o d e t o d a l a c a r g a p o s i t i v a e n e l d i e lé c t r ic o c o n r e s p e c t o a l a c a r g a n e g a t iv a . S e d i c e e n t o n c e s q u e e l d i e l é c t r ic o e s t á p o l a r i z a d o . U n d i e l é c t ri c o  p o l a r iz a d o , a u n c u a n d o s e a e l é c t r i c a m e n t e n e u t r o e n p r o m e d i o ,  p ro d u c e in d u d a b le m e n te u n c a m p o e lé c tr ic o e n lo s p u n to s e x te r io r e s c in te rio re s d el d i e l é c tr ic o . C o m o r e s u l ta d o , n o s v e m o s e n u n a s i t u a c i ó n q u e p a r e c e s e r a l g o embarazosa: la polarización del dieléctrico depende del campo eléctrico total en el medio, pero una parte del campo eléctrico es producida por el dieléctrico mismo. A d e m á s , e l c am p o e l é c t r ic o d i s ta n t e d e l d i e l é c tr ic o p u e d e m o d i f i c a r la d i s t r i  b u c ió n d e c a r g a lib r e s o b r e lo s c u e r p o s c o n d u c to r e s y e s to , a s u v e z , p r o d u c ir á

98

4 E l c a m p o e l e c t ro s t á t i c o e n m e d i o s d ie l é c tr i c o s

m o d i f i c a c i o n e s e n e l c a m p o e l é c t r i c o en el dieléctrico.  E l p r o p ó s i t o p r i n c i p a l d e e s  t e c a p í t u l o e s d e s a r r o l l a r m é t o d o s g e n e r a l e s p a r a m a n e j a r e s t a c u r i o s a s i tu a c i ó n .

4.1

P O L A R IZ A C IÓ N E n e s t a s e c c i ó n c o n s id e r a r e m o s u n p e q u e ñ o e l e m e n t o d e v o l u m e n A v   d e u n m e d i o d i e l é c t ri c o q u e , c o m o u n t o d o , e s e l é c t r ic a m e n t e n e u tr o . S i e l m e d i o e s t á p o l a r i z a d o , e n t o n c e s s e h a p r o d u c i d o u n a s e p a r a c ió n d e c a r g a s p o s i ti v a s y n e g a t i v a s y e l e l e m e n t o d e v o l u m e n s e c a r a c t e r iz a p o r u n m o m e n t o d ip o l a r e l é c t ri c o

(4-1) S e g ú n l a s e c c i ó n 2 . 9 , e s t a c a n t i d a d d e t e r m i n a e l c a m p o e l é c t r i c o p r o d u c i d o p o r  A v e n p u n t o s d i s ta n t e s ( e s d e c ir , a d i s ta n c i a s g r a n d e s c o m p a r a d a s c o n l a s d i m e n s i o n e s d e l e l e m e n t o d e v o lu m e n ) .

C o m o Ap d e p e n d e d e l t a m a ñ o d e l e le m e n t o d e v o l u m e n , e s m á s c o n v e n i e n  t e t r a b a ja r c o n P , e l m o m e n t o d i p o l a r e l é c t r ic o p o r u n i d a d d e v o l u m e n . P g e n e r a l m e n t e s e l l a m a  p o la r iz a c ió n e lé c tr ic a o s i m p l e m e n t e  p o la r iz a c ió n del medio.

H a b l a n d o e s tr i c ta m e n t e , P d e b e d e f i n i r s e c o m o e l l í m i t e d e e s t a c a n ti d a d a m e d i d a q ue  A v s e h a c e m u y p e q u e ñ o d e s d e e l p u n t o d e v i s ta m a c r o s c ó p i c o . D e e s t a fo r m a , P s e c o n v i e r t e e n u n a f u n c i ó n p u n t u a l P ( * ,  y , z)-

L a s d i m e n s i o n e s d e P s o n c a r g a p o r u n i d a d d e á r e a ; e n u n i d a d e s m k s , C / m 2. E s e v i d e n te q u e  P (x, y ,  z ) e s u n a c a n t id a d v e c to r ia l q u e , e n c a d a e l e m e n t o d e v o l u  men, tiene la dirección de Ap. Esta cantidad, a su vez, tiene la dirección del despla zam iento de la carga positiva con respecto a la carga negativa (véase la Fig. 4.1). A u n c u a n d o  A v s t  c o n s i d e r e m u y p e q u e ñ o d e s d e el p u n t o d e v i s t a m a c r o s c ó p i c o , c o n t i e n e m u c h a s m o l é c u la s . P u e s to q u e u n a m o l é c u l a e s u n a d e la s p e q u e ñ a s e n t i d a  d e s e l é c t r ic a m e n t e n e u t r a s q u e f o r m a n e l m a t e r ia l d i e l é c t ri c o , a v e c e s c o n v i e n e h a b l a r d e l m o m e n t o d i p o l a r e l é c t r ic o  p /;¡ d e u n a s o l a m o l é c u l a ; e s t o e s .

r dq molécula

(4-3)

4 . 2 C a m p o f u e r a d e u n m e d i o d i e l é c tr i c o

99

FIGURA 4.1 Porción de m aterial dieléctrico polarizado. C a d a e l e m e n t o d e v o lu m e n se representa como un dipolo Ap.

E s e v i d e n te d e l a e c u a c i ó n ( 4 - I ) q u e e l m o m e n t o d i p o l a r a s o c ia d o c o n A ; ; e s t á d a d o  p o r A p = X p w, d o n d e la s u m a in c lu y e to d a s la s m o lé c u la s c o n te n id a s e n el e le m e n to  A v .  E n c o n s e c u e n c i a , r = ¿

2

p„

( « ,

E s t e e n f o q u e s e d e s a r r o l l a r á c o n m á s d e t a l le e n e l c a p i tu l o 5 . A u n q u e la f i g u r a 4 . 1 r e p r e se n t e c a d a e le m e n t o d e v o l u m e n d e l d i e l é c tr ic o p o l a  r i z a d o c o m o u n p e q u e ñ o d i p o l o , p u e d e s e r m á s i n s t r u c ti v o v i s u a l i z a r e l d i e lé c t r ic o e n t é rm i n o s d e s u s m o l é c u l a s e i m a g i n a r q u e c a d a d i p o l o d e l a fi g u r a 4 .1 r e p r e s e n t a una sola molécula.

4 .2

=

C A M P O F U E R A D E U N M E D IO D IE L É C TR IC O Consideremos una porción finita de material dieléctrico polarizado, es decir, que e s t á c a r a c te r i z a d a e n c a d a p u n t o r ' p o r u n a p o l a r iz a c i ó n P ( r ' ) . L a p o l a r i z a c i ó n d a o r i g e n a u n c a m p o e l é c tr i c o , y n u e s t ro p r o b l e m a e s c a l c u l a r e s t e c a m p o e n u n p u n t o r q u e e s t á f u e r a d e la m a s a d e l d i e lé c t r ic o ( v é a s e l a F i g . 4 . 2 ) . C o m o e n e l c a p í tu l o 2 , e n c o n t r a r e m o s m á s c o n v e n i e n t e c a l c u l a r p r i m e r o e l p o t e n c i a l < p(r) y l u e g o o b t e n e r el c a m p o e l é c tr i c o c o m o m e n o s el g r a d i e n t e d e (p.

FIGURA 4.2 El campo eléctrico en (x. y. z)  se pu ede calcular sumando las contribuciones debidas a los diversos elementos de volumen  A l-'  en l7,,. La s up er fic ie de V,, se denota con S 0.

V, z)

10 0

4 E l c a m p o e l e c t r o s t á ti c o e n m e d i o s d i e lé c t r ic o s

C a d a e le m e n t o d e v o l u m e n A i / d e l m e d i o d i e lé c t ri c o s e c a r a c t e r iz a p o r u n m o  m e n t o d i p o l a r A = P A v f   y , c o m o l a d i s t a n c i a e n t r e ( *, y,  z )  y A t / e s g r a n d e c o m p a r a d a c o n l a s d im e n s i o n e s d e A i /, e st e m o m e n t o d i p o la r d e t e rm i n a c o m p l e ta m e n t e l a c o n t r i  b u c ió n d e la s c a rg a s e n A i / al p o te n c ia l: a

-

A p - ( r - r ')

P ( r ') • ( r — r ')  A v ' 

4jre0 | r - r ' | 3

4jr«r0 | r - r ' | 3

A q u í , r - r ' es e l v e c to r , d ir i g id o h a c i a a f u e r a d e A i / , c u y a m a g n i t u d e s t á d a d a p o r   |r — r '| =

V(*

-  x ' f  + ( y -  y ' ) 2 + ( z -

z ’) 2

(4 -6 )

El potencial total en el punto r se obtiene sumando las contribuciones de todas las  p a r te s d e l d ie lé c tr ic o :

1 f P(^ ') ^(r -^ ’)d^/ 4 n e J Vll  


|r -

r '|3

( 4- 7)

E s t e r e s u lt a d o e s c o r r e c t o , y (p p u e d e c a l c u l a r s e d i r e c ta m e n t e a p a r t i r d e l a e c u a c i ó n ( 4 - 7 ) s i s e c o n o c e l a f o r m a f u n c i o n a l d e P. S i n e m b a r g o , n o s i n t e r e s a e x p r e s a r l a ecuación (4-7) en una forma diferente por medio de una transformación matemática sencilla. S i I r - r 'l e s t á d a d o p o r l a e c u a c i ó n ( 4 - 6 ) , e n t o n c e s 1

\

,r - r ' | /

r - r' |r - r ' | 3

(4 -8 )

como puede verse por la aplicación directa del operador gradiente en coordenadas c a r te s i a n a s . E l o p e r a d o r V ' c o n t i e n e d e r i v a d a s c o n r e s p e c t o a l a s c o o r d e n a d a s p r i m a s . E n c i e r ta s c i rc u n s t a n c i a s , e s c o n v e n i e n t e e f e c t u a r u n o p e r a d o r g r a d i e n t e c o n r e s p e c t o a la s c o o r d e n a d a s n o p r i m a s ; e s t o s e i n d i c a r á en l a f o r m a u s u a l c o n V . E v i d e n t e m e n t e . V ' o p e r a n d o s o b r e u n a f u n c ió n d e I r - r 'l e s ig u a l a - V o p e r a n d o s o b r e la m i s m a f u n c ió n . N e c e s i t a re m o s e l o p e r a d o r V m á s a d e l a n t e p a r a o b t e n e r e l c a m p o e l é c t ri c o e n u n p u n t o r . S i n e m b a r g o , a l r e s o l v e r l a in t e g r a l ( 4 - 7 ) s o b r e e l v o l u m e n d i e l é c t r ic o VQi el punto r se mantiene fijo. Por tanto, el integrando de (4-7) puede transf ormarse m e d i a n t e l a e c u a c i ó n ( 4 - 8 ):

p (r- o Ir - r   L a e c u a c i ó n ( 4 - 9 ) p u e d e t r a n s fo r m a r s e a ú n m á s m e d i a n t e l a id e n t i d a d v e c t o r i a l ( 1 .1 . 7 ) d e l a t a b l a 1 . 1:

V ' . ( / F ) =  f V    ■F + F • V

' f  

(4-10)

d o n d e / e s c u a l q u i e r f u n c i ó n p u n t u a l e s c a l a r y F e s u n a f u n c i ó n p u n t u a l v e c to r ia l a r b i tr a r ia . A q u í , n u e v a m e n t e , l a p r im a i n d ic a d e r i v a c i ó n c o n r e s p e c t o a la s c o o r d e n a  d a s p r im a s . S i / = ( 1 / lr - r 'l) y F = P, e l i n t e g r a n d o , o s e a , l a e c u a c i ó n ( 4 - 9 ) , s e c o n v i e r te e n

101

4 . 2 C a m p o f u e r a d e u n m e d i o d i e lé c t ri c o

Ir - r'l3 F i n a l m e n t e , el p o t e n c i a l, ( E c . 4 - 7 ) , p u e d e e x p r e s a r s e c o m o

1

r

¿ P-nda' 

4 ^ ()t

|r - r ' |

1

 f

( - V ' - P ) d v ' 

4jre „ J„#

|r - r ' |

(4' 12)

d o n d e l a i n t e g r a l d e v o l u m e n d e V ' ■ ( P / l r - r ' l) h a s i d o s u s t i tu i d a p o r u n a i n t e g r a l d e s u p e r f i c i e a p l ic a n d o e l te o r e m a d e l a d iv e r g e n c i a , y n e s l a n o r m a l h a c i a a f u e r a d e l e l e m e n t o d e s u p e r f i c ie d a '  ( h a c i a a f u e r a s i g n i f ic a f u e r a d e l d i e lé c t r ic o ) .

L a s c a n t i d a d e s P ■n y -V • P q u e a p a r e c e n e n l a s i n t e g r a l e s d e l a e c u a c i ó n ( 4 - 1 2 ) s o n d o s f u n c i o n e s e s c a l a r e s o b t e n i d a s a p a r t i r d e l a p o l a r i z a c i ó n P. E s c o n v e n i e n t e a s i g n a r a e s t a s c a n ti d a d e s s í m b o l o s e s p e c i a le s . C o m o t ie n e n l a s d i m e n s i o n e s d e c a r g a p o r u n id a d d e á r e a y c a r g a p o r u n i d a d d e v o l u m e n , r e s p e c t i v a m e n t e , e s c ri b ir e m o s

Op = P • n = P„

(4-13)

y P p

=

 —V • P

(4-14)

L l a m a re m o s a o p y  p p d e n s id a d e s d e c a r g a d e p o la r iz a c ió n .

L a d e n s i d a d s u p e r f ic i a l d e c a r g a d e p o l a ri z a c ió n e s t á d a d a p o r l a c o m p o n e n t e d e p o l a  r i z a c ió n n o r m a l a l a s u p e r f ic i e , y l a d e n s i d a d d e c a r g a v o l u m é t r ic a d e l a p o l a r i z a c i ó n e s u n a m e d i d a d e l a n o u n i f o r m i d a d d e l a p o l a r iz a c i ó n d e n t r o d e l m a t e r ia l . El potenc ial debido al m aterial dieléctrico „(r).

-

L

[

{

^

4 j r c o L j 5b| r - r ' |

+  f  L |r - r '| J

dq'P 

4*6, J | r - r ' l

(4‘ 15)

s e e x p r e s a a h o r a d e ta l m a n e r a q u e e s e v i d e n t e q u e p r o v i e n e d e u n a d i s t r ib u c i ó n d e c a r g a . E n o t r a s p a l a b r a s , e l m a t er ia l d i e lé c t r ic o s e h a s u s t it u i d o p o r u n a d i s tr i b u c i ó n a d e c u a d a d e c a r g a s d e p o l a ri z a c ió n . A u n q u e l a e c u a c ió n ( 4 - 1 5 ) s e h a o b t e n id o p o r m e d i o d e u n a t ra n s f o r m a c i ó n m a  t e m á t i c a , d e b e r í a s e r p o s i b l e e n t e n d e r Gp y p p c o n a r g u m e n t o s p u r a m e n t e f ís i c o s . Q u e e x i s te u n a d e n s i d a d d e c a r g a s u p e r f i c ia l (Jp e s e v i d e n t e d e l a f i g u r a 4 . 1 , e n l a q u e s e v e q u e e s t a c a r g a s e f o r m a a p a r t i r d e l o s e x t re m o s d e d i p o l o s c o n i g u a l o r i e n ta c i ó n . D e este modo, se crea una densidad de carga en cada superficie que no sea paralela a l v e c t o r d e p o l a r iz a c i ó n . V o l v ie n d o a h o r a a p p , e s d e e s p e r a r q u e  p p A v '  r e p r e s e n t e el e x c e s o d e c a r g a o l a c a r g a n e t a  d e l el e m e n t o d e v o l u m e n  A v \  P u e d e v e r s e q u e é s  te es realmente el caso de la siguiente manera: definamos dos densidades de carga

10 2

4 E l c a m p o e l e c t ro s t á t ic o e n m e d i o s d i e lé c t ri c o s

 p *  y  p~  c o m o r e p r e s e n t a n t e s d e l a c a r g a to t a l p o s i t i v a y d e l a c a r g a t o t a l n e g a t iv a p o r u n i d a d d e v o l u m e n , r e s p e c t iv a m e n t e . E s t o e s ,  p +  r e p r e s e n t a to d o s l o s n ú c l e o s a t ó m i  c o s p o r u n i d a d d e v o l u m e n d e l d i e l é c t r ic o y , d e f o r m a s i m i la r , p " r e p r e s e n t a t o d o s l o s e l e c t ro n e s . E n e l e s ta d o n o p o l a r i z a d o , c a d a e l e m e n t o d e v o l u m e n d e l d i e l é c t r ic o e s e l é c t r ic a m e n t e n e u t r o . P o r t a n to ,  p » C * \  y 'y z ' ) +  p ó ( x ' , y ' , z ' ) = o

( 4 -1 6 )

d o n d e e l s u b í n d i c e c e r o r e p r e s e n t a l a s d e n s i d a d e s e n l a c o n f i g u r a c i ó n n o p o l a r iz a d a . S u p o n g a m o s q u e , c o m o c o n s e c u e n c i a d e l a p o l a r i z a c i ó n , la c a r g a p o s i t i v a e s d e s p l a  zada un 8 * (jt, y,  z )   y la negativa un 8~(x, y,  z).  L a c a r g a p o s i t i v a q u e a t r a v i e s a u n e l e m e n t o d e á r ea d a ' es p*8* • n d a ' . P o r t a n t o l a  g a n a n c ia d e c a r g a p o s it iv a  d e l e l e  m e n t o d e v o l u m e n A z / d u r a n t e e l p r o c e s o d e p o l a r i z a c ió n e s - i P ¡t 6 + - n d a '    J  a s 

(4-17)

d o n d e  A S  e s l a su p e r f i c i e q u e l i m i t a A z /. A n á l o g a m e n t e , el d e s p l a z a m i e n t o d e l a c a r g a n e g a t i v a a u m e n t a la c a r g a ( d i s m i n u y e l a c a r g a n e g a t i v a ) e n A z / e n 6 ( - p ñ ) S ~ ■n d a    J  a s 

(4-18)

L a g a n a n c i a t o t a l e n l a c a r g a d e l e l e m e n t o d e v o l u m e n A z / e s l a s u m a d e l a s e c u a c io n e s ( 4 - 1 7 ) y ( 4 - 1 8 ) y, c o m o c o n s e c u e n c i a d e ( 4 - 1 6 ), p u e d e e x p r e s a r s e e n l a f o r m a -
p (t ( 6 + -

b ~ ) - n d a '   = - V - [ p (T ( 6 + - 8 " )] A i /

(4 - l 9)

 J  a s 

P e r o 8 * - 8 “ e s s ó lo e l d e s p l az a m i e n to r e l a t iv o d e l as d e n s i d a d e s d e c a r g a p o s i t i v a y n e g a t i v a y, p o r t a n t o , p ¿ (8 * - 8 " ) e s e q u i v a l e n t e a l o q u e h e m o s l l a m a d o p o l a r i z a c i ó n P . A s í p u e s ,  p p A v '  e s l a c a rg a n e t a e n u n e le m e n t o d e v o l u m e n d e l d i e l é c t r i  c o p o l a r iz a d o . A p r im e r a v i s ta p u e d e p a r e c e r b a st a n te e x t r a ñ o q u e , h a b i e n d o e m p e z a d o c o n e l e m e n t o s d e v o l u m e n e l é c t r ic a m e n t e n e u t r o s d e m a t e ri a l d i e l é c tr i c o , fi n a l i c e m o s c o n e l e m e n t o s d e v o l u m e n q u e t i en e n u n a c a r g a n e t a . S e g ú n n u e s t ro p u n t o d e v i s t a o r i g i  n a l , e l d i e l é c t ri c o s e c o m p o n e d e d i p o l o s e l e m e n t a l e s A p , y e r a e s e n c i a l q u e c a d a A p f u e r a e l é c tr i c a m e n t e n e u t r o p a r a q u e l a e c u a c i ó n ( 4 - 5 ) d i e r a e l p o t e n c i a l c o r r e c t a m e n  t e. A h o r a v e m o s q u e m i e n t ra s V • P n o s e a n u le , l os e le m e n t o s d e v o l u m e n i n d i v i d u a  les parecen estar cargados. El origen de esta aparente paradoja se encuentra en la t r a n s fo r m a c i ó n m a t e m á t i c a (4 - 1 1 ). L a c o n t ri b u c i ó n d e c a d a e l e m e n t o d e v o l u m e n s e t r a n s f o r m a e n u n t é r m i n o d e v o l u m e n d i f e r e n t e y e n u n t é r m i n o d e s u p e r f i c ie . L a c a r g a t o ta l d el v o l u m e n y d e l a s u p e r f i c i e d e l e l em e n t o e s a ú n c e ro , p e r o c u a n d o r e u n i m o s v a r i o s e le m e n t o s d e v o l u m e n p a r a f o rm a r u n a p i e z a m a c r o s c ó p i c a d e m a t er ia l d i e l é c t ri c o , e n c o n t r a m o s q u e l a s c o n t r ib u c i o n e s a l p o t e n c i a l d e l a s d i v e r s a s “ s u p e r f i  c i e s i n t e rn a s ” se e li m i n a n . N o s q u e d a n e f e c t i v a m e n t e e l e m e n t o s d e v o l u m e n c a r g a d o s y u n a c o n t r i b u c i ó n s u p e r f i c i a l d e l a f r o n t e r a r e a l d e l c u e r p o d i e l é c t r ic o .

4 . 3 E l c a m p o e l é c t ri c o d e n t r o d e u n d i e l é c t ri c o

10 3

La carga de polarización total de un cuerpo dieléctrico,

Qp =

f ( - V ' - P  ) d v '  + ¿ P  J ya JSa

nda

(4-20)

d e b e s e r i g u a l a c e r o , y a q u e n u e s t r a p r e m i s a f u e q u e e l d i e l é c t r ic o , c o m o u n t o d o , e r a e l é c t r ic a m e n t e n e u t r o . E s t e re s u l t a d o e s e v i d e n t e d e l a f o r m a d e l a e c u a c i ó n ( 4 - 2 0 ) , q u e c l a r a m e n t e s e a n u l a c o m o c o n s e c u e n c i a d e l t e o re m a d e l a d i v e rg e n c i a . T e n e m o s a h o r a d o s e x p r e s i o n e s d i s t i n ta s p a r a e l p o t e n c i a l e l e c t r o s t á t i c o < p(r) g e  nerado por una muestra de dieléctrico polarizado, es decir, las ecuaciones (4-7) y ( 4 -1 5 ) . A m b a s s o n c o r re c t a s , p e ro v e r e m o s q u e l a ú l t im a e x p r e s i ó n e s l a m á s c o n v e  n i e n te e n l a m a y o r ía d e l o s c a so s . E l c a m p o e l é c tr ic o E p u e d e o b t e n e r se c o m o m e n o s e l g r a d i e n t e d e l a e c u a c i ó n ( 4 - 1 5 ). C o m o cp e s u n a f u n c i ó n d e l as c o o r d e n a d a s ( x , y , z ), e l g r a d ie n t e a d e c u a d o e s - V . L a s c o o r d e n a d a s n o p r i m a s a p a r e c e n s ó l o e n l a f u n c ió n l / l r - r ' l . E n c o n s e cu e n c i a , o b s e r v a n d o q u e V ( l / l r - r ' l ) = —V '(1 / I r —r 1) y e m p l e a n d o l a e c u a c ió n ( 4 -8 ) , o b t e n e m o s

E(r) = z M f

4 * e 0 U *, ° r |r^ —- r^ | d a ' + í P r Ir^ —- ^ d v -

(4-21)

E L C A M P O E L É C T R I C O D E N T R O D E U N D IE L É C T R IC O Antes de que podamos escribir una expresión para el campo eléctrico dentro de un m e d i o p o l a r iz a d o , e s n e c e s a r i o d e f i n i r e s t e c a m p o e l é c t r i c o c o n p r e c i s ió n . L o q u e n o s i n t e r e s a e s e l c a m p o e l é c tr i c o m a c r o s c ó p i c o , e s d e c i r, e l c a m p o e l é c t r i c o p r o m e d i o e n una pequeña región del dieléctrico que, sin embargo, contiene un gran número de m o l é c u l as . U n e n f o q u e a l te r n a t iv o , y t a l v e z p r e f e r i b l e , es d e f i n i r e l c a m p o e l é c t ri c o directamente en términos de un experim ento macroscópico.

E l c a m p o e l é c tr i c o (m a c r o s c ó p i c o ) e s l a f u e r z a p o r u n i d a d d e c a r g a s o b r e una carga de prueba sumergida en el dieléctrico, en el límite en el que la c a r g a d e p r u e b a e s t a n p e q u e ñ a q u e n o a f e c t a , p o r s í m i s m a , l a d i s tr i b u c i ó n de carga.

Esta carga de prueba debe ser dimensionalmentc pequeña desde el punto de vista m a c r o s có p i c o ( lo q u e l l a m a r e m o s c a r g a “ p u n ü m r )> p e r o s e r á g ra n d e c o m p a r a d a c o n el tamaño de u na molécula. A u n q u e e l e n u n c i a d o a n t e r i o r e s l a d e f in i c i ó n f u n d a m e n t a l d e l c a m p o e l é c t r ic o m a c r o s c ó p ic o E , e s d i f íc i l e m p l e a r e s t a d e f i n ic i ó n d i r e c t a m e n t e p a r a o b t e n e r u n a e x p r e s i ó n p a r a e l c a m p o , p u e s t o q u e t e n d r í a m o s q u e c a l c u l a r la f u e r z a s o b r e u n c u e r p o c a r g a d o d e g r a n t a m a ñ o y l u e g o i r al l ím i t e a m e d i d a q u e d i s m i n u y a e l t a m a ñ o d e l o b j e t o . E n c o n s e c u e n c i a , v e m o s q u e c o n v i e n e e m p l e a r o tr a p r o p i e d a d d e l c a m p o e l é c  t ri c o p a r a a y u d a r n o s a o b t e n e r la e x p r e s ió n a n a l ít ic a q u e e s t a m o s b u s c a n d o .

10 4

4 E l c a m p o e l e c t ro s t á t ic o e n m e d i o s d i e l é c tr i c o s

FIGURA 4.3 L a t r a y e c to r i a  A D C D   está c o n t e n i d a p a r c i a lm e n t e e n la cavidad en forma de aguja y parcialmente en el dieléctrico. En un dieléctrico isótropo (véase la Sec. 4.5 ) la polarización P tiene la dirección de E. de modo que, para la orientación mostrada de la aguja, o r = 0  sobre las  p a re d es ci li n d ri cas. E n un dieléctrico anisótropo. a r  no es necesariamente cero,  p er o su v alo r n o in fl u y e en la componente longitudinal del campo eléctrico en la cavidad.

 B

 A

i

5

\ r  r ' 

 D --► e

D e e s t a f o rm a , o b t e n d r e m o s E e n f u n c i ó n d e l a s c a rg a s d e p o l a r i z a c i ó n d e l m e d i o . P o s t e r io r m e n t e , e n l a s e c c i ó n 4 . 9 , s e d e m o s t r a r á q u e l a c a n t i d a d q u e h e m o s l l a m a d o E c o n c u e r d a r e a l m e n t e c o n la f u n d a m e n t a l “ d e f i n i c ió n d e f u e r z a ” . E l c a m p o e l e c t ro s t á t ic o e n u n d i e l é c tr i c o d e b e t e n e r la s m i s m a s p r o p i e d a d e s b á  sicas que encontramos válidas para E en el vacío; en particular, E es un campo c o n s e r v a t i v o y , e n c o n s e c u e n c i a , p u e d e d e r i v a r s e d e u n p o t e n c i a l e sc a l a r . A s í p u e s ,

V   x E = 0 o, en forma equivalente, E • d \ = 0 A p l i q u e m o s e s t a ú l ti m a e c u a c i ó n a l a t r a y e c t o r ia  A B C D   m o s t r a d a e n l a fi g u r a 4 . 3 , en l a q u e e l s e g m e n t o  A B  e s t á e n u n a c a v i d a d c o n f o r m a d e a g u j a s a c a d a d e l d i e lé c t r ic o , y e l s e g m e n t o C D   e s t á d e n t r o d e l d i e l é c t r i c o m i s m o . C o m o l o s s e g m e n t o s  A D y B C   p u e d e n h a c e rs e a r b itra ria m e n te p e q u e ñ o s , la in te g ra l d e lín e a s e re d u c e a Eu •1 — E j •I = 0 o, en forma equivalente, =  E d,  

(4-22)

d o n d e l o s su b í n d i c e s v y d   se r e f i e r e n , r e s p e c t i v a m e n t e , a l v a c í o y a l d i e l é c t r i c o , y e l s u b í n d i c e i  i n d i c a l a c o m p o n e n t e t a n g e n c i a l . L a e c u a c i ó n ( 4 - 2 2 ) es v á l i d a i n d e p e n d i e n t e m e n t e d e l a o r ie n t a c i ó n d e l a c a v i d a d e n f o r m a d e a g u j a . S i l a “ a g u j a ” s e o r i e n t a h a c i a l a d i r e c c i ó n d e E , e n t o n c e s  E é - E(¡.

105

4.3 El campo eléctrico dentro de un dieléctrico

A d e m á s , p o r s i m e t r ía , e l c a m p o d e n t r o d e l a c a v i d a d e s p a r a l e l o a l a d i r e c c i ó n d e l a a g u j a , e s t o e s ,  E  s =  E  , E s to n o s c o n d u c e a l a s i g u ie n t e c o n c l u s ió n i m p o r t a n t e * ;

E l campo eléctrico en un dieléctrico e s i g u a l a l c a m p o e l é c t r i c o d e n t r o d e u n a c a v i d a d e n f o r m a d e a g u j a c o n t e n i d a e n e l d ie l é c t ri c o , c o n e l e j e d e l a c a v i d a d o r ie n t a d o p a r a l e l a m e n t e a l a d i re c c i ó n d e l c a m p o e l éc t ri c o .

E v i d e n t e m e n t e , e l p r o b l e m a d e c a l c u l a r e l c a m p o e l é c tr i c o d e n t r o d e u n d i e l é c tr ic o s e re d u c e a c a l c u l a r e l c a m p o e l é c t r ic o e n e l i n te r i o r d e u n a c a v i d a d e n f o r m a d e a g u j a e n e l d i e lé c t r ic o . P e r o e l c a m p o e l é c t r ic o e n d i c h a c a v i d a d e s u n c a m p o e x t e r n o y , e n c o n s e c u e n c i a , p u e d e c a l c u l a r s e m e d i a n t e l o s re s u l t a d o s d e l a s e c c i ó n 4 . 2 . C o m o e n l a sección 4.2, supondremos ahora que la polarización del dieléctrico es una función d a d a P(*',  y \ z ') y c a l c u l a re m o s e l p o t e n c ia l y e l c a m p o e l é c t r i c o q u e s e o r i g i n a n d e e s t a p o l a ri z a c ió n . T o m a n d o e l p u n t o r d e l c a m p o e n e l c e n t r o d e l a c a v i d a d y e m p l e a n  do la ecuación (4-15), obtenem os para el potencial


í

1

p p ( x ' , y ', z ') d v '  

4jre0 Jy0-v¡ +

1

 f

4;r«r0 Sn+S' 

o P( x ' , y ' , z ’ ) d a '  |T — r |

(4-23)

d o n d e V{) -  V , e s e l v o l u m e n d e l d i e l é c t ri c o e x c l u y e n d o l a “ a g u j a ” , 5 0 e s l a s u p e r f i c ie e x t e r i o r d e l d i e l é c t r ic o , y S f = S ] + S 2 + S c  s o n l a s s u p e r f ic i e s d e l a a g u j a . P e r o d e l a f i g u r a 4 .3 s e v e q u e Gp = 0 s o b r e l a s u p e r f i c i e c i li n d r i c a S c d e l a a g u j a . A d e m á s , la a g u j a p u e d e h a c e r s e a r b i t ra r i a m e n t e d e l g a d a , d e m o d o q u e l a s s u p e r f i c ie s 5 , y S 2 t e n g a n u n á r e a d e s p r e c i a b le . A s í p u e s , s ó l o l a s s u p e r f i c ie s e x t e r io r e s d e l d i e l é c tr i c o contribuyen y la integral de superficie de la ecuación (4-23) se vuelve idéntica en f o r m a a l a in t e g r a l d e s u p e r f i c ie d e l a e c u a c i ó n ( 4 - 1 5 ) . L a i n t e g r a l d e v o l u m e n d e l a e c u a c i ó n ( 4 - 2 3 ) e x c l u y e l a c a v id a d . S i n e m b a r g o , l a c o n t r ib u c i ó n d e l a c a v i d a d a e s t a i n t e g r a l e s d e s p r e c i a b le , c o m o p u e d e v e r s e f á c i lm e n t e . L a d e n s i d a d d e c a r g a o p  e s t á l i m i t a d a ; l a c a n t i d a d dv'iIr - r ' l n o d i v e r g e e n e l p u n t o d e l c a m p o ( e s d e c i r , c u a n d o r  ' = r)  p o r q u e e l v o lu m e n e n el p u n to e s u n c e ro d e o rd e n m á s a lt o q u e e l lím lr - r ' l ; y f i n a l m e n t e e l v o l u m e n V , d e l a a g u j a p u e d e h a c e r s e a r b i t ra r i a m e n t e p e q u e ñ o h a c i e n  d o m á s f in a l a c a v i d a d . A s í p u e s , n o n e c e s i t a m o s e x c l u i r el v o l u m e n V ] y l a e c u a c i ó n (4-23) se vuelve semejante en la forma a la ecuación (4-15). En otras palabras, la e c u a c i ó n ( 4 - 1 5 ) d a e l p o t e n c i a l cp(f) i n d e p e n d i e n t e m e n t e d e q u e e l p u n t o r s e l o c a l i c e d e n t r o o f u e r a d e l d i e lé c t ri c o .

* Este enunciado es estrictamente válido sólo para los dieléctricos isótropos (véase la Sec. 4.5). Para dieléctricos anisótropos. este argumento no es aplicable y nuestra conclusión debe generalizarse: el campo eléctrico dentro de un dieléctrico es igual a la componente longitudinal del campo eléctrico dentro de una cavidad en forma de aguja en el dieléctrico, siempre y cuando el eje de la cavidad esté orientado paralelamente a la dirección del campo eléctrico en el dieléctrico.

10 6

4 E l c a m p o e l e c t ro s t á t ic o e n m e d i o s d i e l é c tr i c o s

E l c a m p o e l é c tr i c o E ( r )  p u e d e c a lc u la rs e c o m o m e n o s el g ra d ie n te d e la e c u a c ió n ( 4 - 2 3 ). P e r o e s t e c a m p o d i f i er e d e l a e c u a c ió n ( 4 - 2 1 ) s ó l o e n u n a c a n t i d a d d e s p r e c i a   b le . A s í p u e s , l a e c u a c ió n ( 4 - 2 1 ) d a l a c o n t r ib u c i ó n d e l m e d i o a l c a m p o e l é c t r i c o e n r, i n d e p e n d i e n t e m e n t e d e s i r e s t á d e n t ro o f u e r a d e l m e d io . Los cálculos indicados en las ecuaciones (4-15) y (4-21) son directos para los c a s o s e n q u e P(x,  y , z ) e s u n a f u n c i ó n d e p o s i c ió n c o n o c i d a . ( A l g u n o s e j e m p l o s d e e s t e tipo se encuentran entre los problemas del final de este capítulo.) Sin embargo, en la m a y o r í a d e l o s c a s o s l a p o l a r i z a c i ó n s e o r ig i n a c o m o r e s p u e s t a a u n c a m p o e l é c t r ic o q u e s e h a i m p u e s t o s o b r e e l m e d i o d i e l é c tr i c o , e s t o e s , P(*',  y \ z 0 e s u n a f u n c i ó n d e l c a m p o e l é c t r ic o m a c r o s c ó p i c o t o t a l E ( x ' , y \ z O y , e n e s t a s c o n d i c i o n e s , l a s it u a c i ó n e s m u c h o m á s c o m p l i c ad a . P r i m e r o , s i b i e n es n e c e s a r i o c o n o c e r l a f o r m a fu n c i o n a l d e P ( E ) , e s t a f o r m a s e c o n o c e e x p c r i m e n t a lm e n t c e n l a m a y o r í a d e l o s c a s o s y , p o r t a n t o , n o c a u s a d i f i c u lt a d . L a c o m p l i c a c i ó n re a l s e d e b e a q u e P d e p e n d e d e l c a m p o e l é c t r ic o t o t a l , i n c l u y e n d o l a c o n t ri b u c i ó n d e l d i e l é c tr i c o m i s m o , y e s t a c o n t r i b u c i ó n e s l a q u e d e s e a m o s e v a l u a r . A s í p u e s , n o p o d e m o s d e t e r m i n a r P  p o rq u e n o c o n o c e m o s E , y viceversa. E s e v i d e n t e q u e s e n e c e s i ta u n e n f o q u e d i s t in t o d e l p r o b l e m a y é s t e s e p r o p o r c i o  nará en las siguientes secciones.

4 .4

—

L E Y D E G A U S S E N U N D IE L É C T R IC O : E L D E S P L A Z A M IE N T O E L É C T R IC O E n el capítulo 2 dedujim os una relación im portan te entre el flujo eléctrico y la carga, e s d e c i r, l a l ey d e G a u s s . E s t a l ey e s t a b l e c e q u e e l f l u jo e l é c t r ic o q u e p a s a a t r a v é s d e u n a s u p e r f ic i e c e r r a d a a r b i t ra r i a e s p r o p o r c i o n a l a l a c a rg a t o ta l e n c e r r a d a p o r l a s u p e r  ficie. Al aplicar la ley de Gauss a una región que contiene cargas inmersas en un d i e l é c tr i c o , d e b e m o s t e n e r c u i d a d o e n i n c l u i r t o d a s l a s c ar g a s d e n t r o d e l a s u p e r f ic i e g a u s s i a n a , t a n to l a c a r g a d e p o l a r iz a c i ó n c o m o l a c a r g a q u e e s t á i n m e r s a . E n l a f i g u r a 4 . 4 , l a s u p e r f i c i e p u n t e a d a S   e s u n a s u p e r f i c i e c e r r a d a i m a g i n a r i a c o l o c a d a d e n t r o d e u n m e d i o d i e l é c tr i c o . C o n s i d e r e m o s c i e rt a c a n t id a d d e c a r g a Q y

FIGURA 4.4 Construcción de una superficie gaussiana S  en un medio dieléctrico.

4 . 4 L e y d e G a u s s e n u n d i e lé c t r ic o : e l d e s p l a z a m i e n t o e l é c t r i c o

10 7

c o n t e n i d a e n e l v o l u m e n l im i t a d o p o r S , y s u p o n g a m o s q u e e s t a c a r g a s e e n c u e n t r a e n la s superficies de los tres conduc tores en las cantidad es q r q v  y q v  P o r la l e y d e G a u s s , (4-24) d o n d e Q  e s l a c a r g a l i b r e n e t a ,

Q =

+
y Q p e s l a c a r g a d e p o l a r i z a c i ó n n e ta :

5 ] + S 2 +S $ Si+Sz+Sj

Jy

(4-25a)

A q u í V  e s e l v o l u m e n d e l d i e l é c t ri c o e n c e r r a d o p o r S .  N o h a y f r o n t e r a d e l m a t e r i a l d i e l é c tr i c o e n S , d e m o d o q u e l a in t e g r a l d e s u p e r f ic i e e n l a e c u a c i ó n ( 4 - 2 5 a ) n o c o n  t i e n e u n a c o n t r ib u c i ó n d e S. S i t ra n s f o r m a m o s l a i n te g r a l d e v o l u m e n d e ( 4 - 2 5 a ) e n u n a in t e g r a l d e s u p e r f ic i e  p o r m e d io d e l te o r e m a d e la d iv e rg e n c ia , d e b e m o s te n e r c u id a d o e n in c lu ir la s c o n tr i  b u c io n e s d e to d a s la s s u p e r fic ie s q u e li m it a n V , es d ecir. S, S p S v y S v  E s e v i d e n t e q u e l a s t re s ú l ti m a s c o n t r ib u c i o n e s c a n c e l a r á n e l p r im e r t é rm i n o d e l a e c u a c i ó n ( 4 - 2 5 a ) , d e modo que (4-25b) A l c o m b i n a r e s t e r e s u l ta d o c o n ( 4 - 2 4 ) , o b t e n e m o s (4-26) L a e c u a c i ó n ( 4 - 2 6 ) e s t a b le c e q u e e l f lu j o d e l v e c t o r e QE + P , q u e p a s a p o r u n a s u p e r  f ic i e c e rr a d a , e s i g u a l a la c a r g a n e t a i n m e r s a e n e l v o l u m e n e n c e r r a d o p o r l a s u p e r f i c ie . E s t a c a n t i d a d v e c t o r i a l e s lo s u f i c i e n te m e n t e im p o r t a n t e c o m o p a r a m e r e c e r u n n o m b r e y u n s í m b o l o e s p e ci a l.

P o r t a n to , d e f i n ir e m o s u n n u e v o c a m p o v e c t o r ia l m a c r o s c ó p i c o , D , e l d e s   p la z a m ie n to e l é c tr ic o :

D = €0E  + P

(4-27)

e l c u a l e v id e n t e m e n t e ti e n e la s m i s m a s u n i d a d e s q u e P , c a r g a p o r u n i d a d d e área.* E n f u n c i ó n d e D , l a e c u a c i ó n ( 4 - 2 6 ) s e c o n v i e r t e en 5

(4-28)

En unidades gaussianas. D se define com o D = E + 4;rP; D, E y P tienen las mismas unidades de carga por unidad de área, y en el vacío D = E.

108

4 E l c a m p o e l e c t r o s t á t ic o e n m e d i o s d i e lé c t r ic o s

E s t e r e s u lt a d o s e c o n o c e g e n e r a l m e n t e c o m o l e y d e G a u s s  p a r a e l d e s p l a z a m i e n t o e l é c tr ic o o , s im p l e m e n t e , l e y d e G a u s s .

La ecua ción (4-28) es aplicable a una región del espacio limitada po r cualquier s u p e r f ic i e c e r r a d a 5 ; si l a a p l ic a m o s a u n a p e q u e ñ a r e g i ó n e n l a q u e t o d a l a c a r g a e n c e r r a d a e s t á d is t ri b u id a c o m o u n a d e n s i d a d d e c a r g a p , e n t o n c e s la l e y d e G a u s s s e c o n v i e r t e en D • n da = p A V  A l d i v i d ir e s t a e c u a c i ó n e n t r e  A V y  t o m a r e l l ím i t e , o b te n e m o s V •D = p

( 4 -2 9 )

E s t e r e s u l t a d o s e l la m a a v e c e s f o r m a d i f e r e n c i a l d e l a le y d e G a u s s . La ventaja de expresar las formas integral y diferencial de la ley de Gauss, ecuaciones (4-28) y (4-29), en términos del vector D, consiste en que sólo aparece e x p l í c i ta m e n t e l a c a r g a Q  o l a d e n s i d a d d e c a r g a p c o n t e n i d a e n e l m e d i o d i e lé c t r ic o . D e a q u í e n a d e la n t e , l la m a r e m o s a l a c a rg a Q  ( o p ) s i m p l e m e n t e c a r g a ( o d e n s i d a d d e c a r g a ) . C u a n d o s e a n e c e s a r i o d i s ti n g u i r l a d e l a c a r g a d e p o l a r i z a c i ó n Q p d e l m e d i o o d e l a c a r g a t o t a l Q + Q p , l a c a r g a Q  s e l la m a r á c a r g a e x t e r n a . P o r “e x t e r n a ” n o q u e r e  mos decir que esté necesariamente fuera del límite físico del material, sino qu e se a ñ a d e a la s c a r g a s q u e f o r m a n l a c o n s ti tu c i ó n a t ó m i c a d e l m a t e r ia l n e u t r a l .* Y a q u e e n m u c h o s p r o b le m a s l a c a r g a e x te r n a e s c o n o c i d a , e s u n a v e n t a j a q u e e l c a m p o e l e c t r o s tá t ic o t o ta l e n c a d a p u n t o d e l m e d i o d i e lé c t r ic o s e e x p r e s e c o m o l a s u m a d e dos partes,  E ( x , y , z ) = — D ( X ,   y , z ) - 2 P ( j f , y ,  z )   €0 ¿0

(4-30)

d o n d e e l p r im e r t é rm i n o , ( l / e 0) D , s e re l a c io n a c o n l a d e n s i d a d d e c a r g a e x t e r n a m e  d i a n t e s u d i v e r g e n c i a , y e l se g u n d o t é rm i n o , ( - l / e 0) P , e s p r o p o r c i o n a l a l a p o l a r iz a  c ió n d e l m e d i o . E n e l v a c ío , e l c a m p o e l é c t ri c o e s t á d a d o c o m p l e ta m e n t e p o r e l p ri m e r término d e la ecuación (4-30).

* La carga externa se llama con m ucha frecuencia carga "libre", y la carga de polarización se usa algunas veces com o sinónimo de carga ligada. En electrostática, esta confusión no ca usa problem a alguno, ya que la carga extern a en un conductor es libre (es decir, libre para m overse en los alrededores) y la carga de  po la riza ci ón es tá l igad a. Si n em ba rg o, l a ca rg a e xt er na en un di el éc trico n o es lib re ; si l o f ue ra , se m ov er ía rápidamen te hacia la superficie y escaparía. Po r lo demás, la m ayoría de los medios condu ctores contie nen, adem ás de las cargas libres que determinan el comp ortamiento electrostático de un cond uctor, algu nas cargas ligadas, que en otras circunstancias contribuyen a la polarización (Cap. 7). Con campos dependientes del tiempo (Cap. 19), es muy importante no con fundir la diferencia entre carga externa y carg a de polarización con la diferencia entre cargas libres y cargas ligadas. P or tanto, usaremos exc lusi vamente el término carga externa en este contexto.

4 . 5 S u s c e p t i b i li d a d e l é c t r ic a y c o n s t a n t e d i e l é c t r ic a

10 9

S U S C E P T IB I L ID A D E L É C T R I C A  Y C O N S T A N T E D IE L É C T R IC A En la introducción de este capítulo se estableció que la polarización de un medio d i e lé c t r ic o o c u r r e c o m o r e s p u e s t a a l c a m p o e l é c t r ic o e n e l m e d i o . E l g r a d o d e p o l a r i z a c i ó n d e p e n d e n o s ó l o d e l c a m p o e l é c tr ic o , s in o t a m b i é n d e l a s p r o p i e d a d e s d e l as m o l é c u l a s q u e f o r m a n e l m a t e r ia l d i e lé c t r ic o . D e s d e e l p u n t o d e v i s ta m a c r o s c ó p i c o , e l c o m p o r t a m i e n t o d e l m a t e r ia l e s tá c o m p l e t a m e n t e e s p e c i fi c a d o p o r u n a re l a c i ó n , q u e s e d e t e r m i n a d e f o r m a e x p e r im e n ta l, l la m a d a e c u a c i ó n c o n s t i t u t i v a, P = P ( E ) , d o n d e E e s e l c a m p o e l é c tr i c o m a c r o s c ó p i c o . E s t a e x p r e s i ó n e s u n a r e l a c i ó n p u n t u a l, y s i E v a r í a d e u n p u n t o a o t ro e n e l m a t e r ia l , e n t o n c e s P v a r i a r á i g u a l m e n t e . P a r a l a m a y o r í a d e l o s m a t e r ia l e s , P s e a n u l a c u a n d o E s e a n u l a , l o c u a l e s e l c o m p o r t am i e n to m á s c o m ú n . E n c o n s e c u e n c ia , l im i t a re m o s n u e s t ra e x p l i c a c ió n a h o r a a m a t e r i a le s d e e s t e ti p o . ( L o s d i e l é c tr i c o s c o n u n a p o l a r iz a c i ó n p e r m a n e n t e s e e s t u  d i a r á n b r e v e m e n t e e n l a s e c c i ó n 5 . 4 .) A d e m á s , s i e l m a t e r ia l e s i s ó t r o p o , l a p o l a r iz a  c i ó n d e b e r á te n e r e l m i s m o s e n t i d o q u e e l c a m p o e l é c t r ic o q u e l a p r o v o c a .

E s to s r e s u l t a d o s s e r e s u m e n e n l a e c u a c i ó n c o n s t i tu t iv a P =  X ( E ) E

(4-31)

d o n d e l a c a n ti d a d e s c a la r / ( £ ) s e ll a m a  su s c e p tib ilid a d e lé c tric a del m aterial.

G r a n v a r i e d a d d e m a t e r i a le s s o n e l é c t r ic a m e n t e i s ó t ro p o s ; e s t a c a t e g o r í a i n c l u y e f l u i  d o s , s ó l id o s p o l i c r is t a li n o s , s ó l id o s a m o r f o s y a l g u n o s c r i s ta l e s . U n t r a ta m i e n t o d e l as  p ro p ie d a d e s e lé c tr ic a s d e lo s m a te r ia le s a n is ó tr o p o s e s tá m á s a llá d e l a lc a n - c c d e e s te texto.

A l c o m b i n a r la s e c u a c i o n e s ( 4 - 3 1 ) y ( 4 - 2 7 ), o b t e n e m o s u n a e x p r e s i ó n p a r a D en medios isótropos: D = e(E) E

(4-32)

e ( E ) = €,¡ + X ( E )  

(4-33)

d o n d e e ( E )  e s l a p e r m itiv i d a d d e l m a t e ri al . E s ev i d e n te q u e e , l as m i s m a s u n i d a d e s .

y £ t ie n e n

A u n q u e h e m o s t e n i d o e l c u i d a d o d e e x p r e s a r X Y  e e n la fo r m a ; £ (£ ) y e ( E ) , c x p e r i m e n t a l m e n t e s e e n c u e n t r a q u e  X Y e   s o n a ftxenudo  i n d e p e n d i e n t e s d e l c a m p o e l é c tr ic o , e x c e p t o q u i z á p a r a c a m p o s m u y i n t en s o s .

11 0

4 E l c a m p o e l e ct ro s t át ic o e n m e d io s d i el é ct ri c o s

E n o t r a s p a la b r a s , £ y e s o n a m e n u d o c o n s t a n t e s c a r a c t e r ís t ic a s d e l m a t e  r ia l . M a t e r i a l e s d e e s t e t ip o s e l la m a r á n d i e l é c t r i c o s l i n e a l e s  y o b e d e c e n l as relaciones P = *E

(4 -3 la )

 D = € E  

(4-32a)

E l c o m p o r t a m i e n t o e l é c t r ic o d e u n m a t e ri a l q u e d a a h o r a e s p e c i f ic a d o c o m p l e t a m e n t e , y a s e a p o r l a p e r m i t iv i d a d c o p o r la s u s c e p t i b il id a d %. Si n e m b a r g o , e s m á s c o n v e  n i e n t e tr a b a j a r c o n u n a c a n t id a d a d i m e n s i o n a l  K  d e f i n id a c o m o e =  K e o

(4-34)

 K   s e l l a m a c o e f i c ie n t e d i e l é c tr i c o , o s i m p l e m e n t e c o n s t a n t e d i e l é c tr i c a .  D e l a e c u a  ción (4-33) es evidente que  K  = f

= 1 + 7

(4 -3 5 )

Las constan tes dieléctricas para algunos m a t e r ia l e s q u e s e e n c u e n t r a n n o r m a l m e n t e s e dan en la tabla 4.1. Excepto p ara algunos ejemplos en los que se especifica la polarización P del m aterial, los problem as de este libro se refieren a dieléctricos lineales. S i e l c a m p o e l é c t r ic o e n u n d i e lé c t r ic o s e h a c e m u y i n te n s o , e m p e z a r á a s a c a r e l e c  t r o n e s d e l as m o l é c u l a s y el m a t e ri a l s e c o n v e r t ir á e n c o n d u c to r . E l m á x i m o c a m p o e l é c  trico que un dieléctrico puede soportar sin perforarse se llama rigidez dieléctrica. L a rigidez dieléctrica  E máx d e a l g u n a s s u s t a n c i a s t am b i é n s e d a e n l a t a b l a 4 .1 .

4 .6

~

C A R G A P U N T U A L E N U N F L U ID O D IE L É C TR IC O U n o d e l os p r o b l e m a s m á s s e n c il lo s q u e p o d r í a m o s c o n s i d e r a r e n e l q u e i n t e r v i e n e u n dieléctrico es el de una carga puntual q   e n u n m e d i o i s ó t r o p o h o m o g é n e o d e e x t e n s i ó n infinita. El medio dieléctrico se supondrá lineal y se caracterizará por una constante dieléctrica  K . A u n q u e e s t e p r o b l e m a e s b a s t a n t e s e n c il l o , v e re m o s q u e e s i n s t ru c t iv o .

EJEMP LO 4.1 C a m p o e l éc t ri c o d e u n a carga p untual en un fluido dieléctrico

S e a u n a c a r g a p u n t u a l q  c o l o c a d a e n e l o ri g e n e n u n f l u i d o d i e l é c t r ic o c o n c o n s t a n t e d i e l é c t ri c a  K . E n c u e n t r e e l c a m p o E en el fluido,

S o l u c i ó n :  Si la carga puntual q   e s t u v i er a e n e l v a c í o , e l c a m p o e l é c t r ic o s e r i a u n c a m p o r a d ia l p u r o . P e r o y a q u e E , D y P s o n p a r a l e l o s e n t r e s í e n c a d a p u n t o , l a n a t u r a le z a r a d ia l d e l c a m p o n o c a m b i a p o r l a p r e s e n c ia d e l m e d i o . A d e m á s , d e l a s i m e t r í a d e l p r o b l e m a , E , D y P  p u e d e n d e p e n d e r s ó lo d e la d is ta n c ia a p a r tir 

4 . 6 C a r g a p u n t u a l e n u n f l u id o d i e l é c t ri c o

111

TABLA 4.1 Propiedades de materiales dieléctricos Constante dieléctrica  K 

Material Oxido de Aluminio V idrio*  N y lo n P o lie tile n o C u a rz o ( S i0 2) Cloruro de sodio Azufre Madera* A lc o h o l etílic o (0°C) B e n c e n o (0°C) A g u a (destilada , 0°C) A g u a (destilada , 20°C ) A ire (1 atm ) Aire (100 atm) C 0 2 (1 atm)

4. 5 5 -1 0 3.5 2.3 4.3

Rigidez dieléctrica £ mlx (V/m )

6 x 10 * 9x10* 19 x W 18 x 106

6.1 4 .0 2.5-8.0 28.4 2.3 87.8 80.1 1 .00059 1.0548 1.000985

3x106

* Para m ateriales como vidrio y madera, la composición quími ca varía; de ahí el intervalo de constantes dieléctricas. N o debe deducirse que el material es no lineal.  F u ente : Datos tomados de  H a n dbo ok o f C h em is tr y a n d P h y sic s , 58a ed., Cleveland, Ohio, CRC Press, Inc., 1978.

de la carga puntual y no de alguna coordenada angular. Apliquemos la ley de G a u s s , e c u a c i ó n ( 4 - 2 8 ) , a u n a s u p e r f ic i e e s f é r i c a d e r a d i o r  q u e s e l o c a l i c e c o n  c é n t r ic a m e n t e c o n r e s p e c t o a q .  E n t o n c e s 4 J tr 2D = q

 D =

4jtr 

D = ¿

r

,4 -3 6 )

El campo eléctrico y la polarización pueden calcularse ahora con bastante facilidad:

E "

¡

<

«

7>

112

4 E l c a m p o e l e c t r o s tá t i c o e n m e d i o s d i e l é c tr i c o s

P o r t a n t o , el c a m p o e l é c t r i c o es m e n o r e n u n f a c t o r  K  d e l o q u e s e r í a s i n o h u b i e r a medio. A e s t a s a l t u ra s , c o n v e n d r á m i r a r el p r o b l e m a c o n m á s d e t a l le y t r a t a r d e v e r p o r q u é e l d i e l é c t ri c o h a d e b i li ta d o e l c a m p o e l é c t ri c o . E l c a m p o e l é c t ri c o e s o r i g i n a d o p o r toda la carga, la de polarización y la externa. La carga ex terna es sólo la carga puntual q .  S i n e m b a r g o , l a c a r g a d e p o l a ri z a c ió n s e fo r m a d e d o s c o n t r i b u c i o n e s : u n a d e n s i d a d v o l u m é t r i c a  p p = - V • P , y u n a d e n s id a d s u p e r f ic i a l Gp = P • n s o b r e l a s u p e r f i c ie d e l d i e l é c t ri c o e n c o n t a c t o c o n l a c a r g a p u n tu a l . E m p l e a n d o l a e c u a c i ó n ( 4 - 3 8 ) v e m o s q u e V • P s e a n u l a p a r a r ¿   0 , d e m o d o q u e n o h a y d e n s i d a d v o l u m é t r ic a d e c a r g a de  p o la riz a c ió n e n e s te ca so .  N u e s tra c a rg a p u n tu a l q   e s u n p u n t o e n e l s e n t i d o m a c r o s c ó p i c o . S i su p o n e m o s q u e e s g r a n d e , t o m a n d o c o m o b a s e u n a e s c a l a m o l e c u l a r, p o d e m o s a s i g n a r l e u n r a d i o

b  q u e , p o s t e r io r m e n t e , s e h a r á t e n d e r a c e r o . L a c a r g a t o t a l s u p e r fi c ia l d e p o l a r i z a c ió n está dada entonces por  Qh =

lím 4;rfc (P b—o

• n )f _„ = -

( K  -

1 ) q — 1  K 

(4 -3 9 )

L a c a r g a t o t a l, 1

Q p + <7 = ^<7

(4-40 )

aparece com o una carga puntual desde el punto de vista m acroscópico, y aho ra se ve c l a r o p o r q u é e l c a m p o e l é c t r ic o e s m e n o r e n u n f a c t o r  K  d e lo q u e s e r í a s i n o h u b i e r a m e d i o . U n d i a g r a m a e s q u e m á t i c o d e l a c a r g a p u n t u a l q   e n u n m e d i o d i e l é c t r ic o s c ilustra en la figura 4.5

4 .7

~

C O N D IC IO N E S E N L A F R O N T E R A PARA LOS VECTO RES DE CAMPO A n t e s d e q u e p o d a m o s r e s o l v e r p r o b le m a s m á s c o m p l ic a d o s , d e b e m o s s a b e r c ó m o v a r í a n l o s v e c to r e s d e c a m p o E y D a l p a s a r p o r u n a z o n a i n t e r fa c i a l e n t re d o s m e d i o s . L o s m e d i o s p u e d e n s e r d o s d i e l é c t ri c o s c o n d i f e re n t e s p r o p i e d a d e s , o u n d i e l é c t r ic o y u n c o n d u c to r . E l v a c í o p u e d e c o n s i d e r a r se c o m o u n d i e l é c tr i c o d e p e r m i t i v i d a d e 0. C o n s i d e r e m o s d o s m e d i o s e n c o n t a c t o , 1 y 2 , c o m o s e il u s t r a e n l a f i g u r a 4 .6 . S u p o n d r e m o s q u e h a y u n a d e n s i d a d s u p e r f ic i a l d e c a r g a e x t e r n a , cr, q u e p u e d e v a r i a r d e u n p u n t o a o t r o e n l a z o n a i n t e rf a c ia l . C o n s t r u y a m o s a h o r a u n a p e q u e ñ a s u p e r f i c i e S  e n f o r m a d e c a j a d e p a s t il la s , q u e c o r t a a l a z o n a i n t e r fa c i a l y e n c i e r r a u n á r e a A S d e d i c h a z o n a , s i e n d o l a a l t u r a d e l a c a ja d e p a s t i ll a s d e s p r e c i a b l e m e n t e p e q u e ñ a c o m p a  r a d a c o n e l d i á m e t r o d e l a s b a se s . L a c a r g a e n c e r r a d a p o r S  es

4 . 7 C o n d i c i o n e s e n l a f r o n te r a p a r a l o s v e c t o re s d e c a m p o

113

FIGURA 4.5 D i a g r a m a e s q u e m á ti c o que m uestra la orientación de las moléculas  p o la ri z a d a s en un m edi o dieléctrico que rodea una “c a r g a p u n t u a l ”  q.

E

o A S  + Í ( P i + P 2) x v o l u m e n  p e r o el v o lu m e n d e la c a ja d e p a s ti ll a s e s d e s p r e c ia b le m e n te p e q u e ñ o , d e m o d o q u e el ú l ti m o t é r m i n o p u e d e d e s p r e c i a r s e . A p l ic a n d o l a l e y d e G a u s s a 5 , v e m o s q u e D 2 ■ n 2 A S + D , • Ü!  A S = o A S 

(D 2 - D , ) - n 2 = a  

(4-4la)

P u e s t o q u e n 2 p u e d e s e r v i r c o m o l a n o r m a l a l a z o n a i n t e r f a c ia l ,  D 2n -

D in = o  

(4-4Ib)

A s í p u es , l a d is c o n t in u i d a d e n l a c o m p o n e n t e n o r m a l d e D e s t á d a d a p o r l a d e n s i d a d superficial de la carga e xterna sobre la zo na interfac ial.O , d i c h o d e o t r a f o r m a , s i n o h a y c a r g a e n l a z o n a in t e r fa c i a l e n t re d o s m e d i o s , l a c o m p o n e n t e n o r m a l d e D es continua.

FIGURA 4.6 Las condiciones en la frontera para los vectores de campo en la zona interfacial entre dos medios pueden obtenerse aplicando la ley de Gauss a 5 e i n te g ra n do E ■ d i a lo largo de la trayectoria  A B C D A.

114

4 E l c a m p o e l e c tr o s t á ti c o e n m e d i o s d i e lé c t ri c o s

D e b i d o a q u e e l c a m p o e l e c t r o s tá t ic o E  p u e d e o b te n e rs e co rn o m e n o s el g ra d ie n te d e u n p o t e n c i a l , l a in t e g r a l d e l í n e a d e E • cft   a l r e d e d o r d e c u a l q u i e r tr a y e c t o r i a c e r r a  d a s e a n u l a . A p l i q u e m o s e s t e r e s u l t a d o a l a t ra y e c t o r i a r e c t a n g u l a r A B C D  d e l a f i g u r a 4 . 6 . S o b r e e s t a tr a y e c t o r i a , l a s lo n g i t u d i n a l e s  A B  y C D  s e c o n s i d e r a rá n i g u a l e s a  A l  y l o s se g m e n t o s A D y  B C  s e s u p o n d r á n d e s p r e c i a b l e m e n t e p e q u e ñ o s . P o r c o n s i g u i e n t e ,

E 2 -Al + E i *(—Al) = 0

(E2 -

E ,) -A l = 0

(4 -4 2 a )

En consecuencia, el resultado deseado es  E 2 i  = E  u  

(4-42b)

Por tanto, la componente tangencial del campo eléctrico es continua al atravesar una zona interfacial. L o s r e s u l t a d o s a n t e r io r e s s e h a n o b t e n i d o p a r a d o s m e d i o s d i e l é c t r ic o s a r b i t r a  rios, pero vale la pena ver lo que predicen las ecuaciones pa ra el caso en el que uno de l o s m e d i o s f u e r a u n c o n d u ct o r. C o m o n o h a y u n a fu e r z a m o l e c u l a r r e c u p e r a d o r a s o b re l a s c a r g a s l ib r e s d e u n c o n d u c t o r , p a r e c e r í a q u e p a r a u n c o n d u c t o r s e t e n d r ía % = o© e n l a e c u a c i ó n ( 4 - 3 1 ) , y e = °°   s e g ú n l a e c u a c i ó n ( 4 - 3 3 ) . S i e l m e d i o 1 s e c o n s i d e r a c o n d u c to r , e n t o n c e s c o n c l u i m o s q u e E t = 0 c u a l e s q u i e r a q u e s e a n l o s v a l o  res (finitos) de P, y D,, c o m o y a h e m o s d e d u c i d o p o r d i f e r e n t e s r a z o n a m i e n t o s e n e l c a p í t u lo 2 . C o m o E , s e a n u l a , l a e c u a c i ó n ( 4 - 4 2 b ) r e s u l t a s e r    E 2 í  = 0

( 4 -4 3 )

S in e m b a r g o , e l d e s p l a z a m i e n t o D j n o q u e d a d e t e r m i n a d o p o r e s t a s c o n s i d e ra c i o n e s . Si para nuestros propósitos lo fijáramos arbitrariamente en cero, la ecuación (4-41b) s e c o n v e r t i r í a en D^ = o

(4-44)

d o n d e (7 r e p r e s e n t a l a d e n s i d a d d e c a r g a s u p e r f i c i a l t o t a l   s o b r e e l c o n d u c t o r , p e r o n o i n c l u y e l a c a r g a s u p e r f i c ia l d e p o l a r i z a c i ó n e n e l d i e l é c t r ic o . U n e n f o q u e a l t e r n a t i v o e s r e s o l v e r e l p r o b l e m a d e l d i e lé c t r ic o y l u e g o c o n s i d e r a r q u e  K { t i e n d e h a c i a i n f i n i t o ( v é a n s e l o s p r o b l e m a s 4 . 1 2 y 4 .1 4 ) . E n t o n c e s < r r e p r e s e n ta l a c a r g a d e p o l a r i z a c i ó n d e l c o n d u c t o r ( m á s c u a l q u i e r c a r g a e x t e r n a s o b r e e l c o n d u c t o r ) . F í s ic a m e n t e , el r e s u l t a d o e s e l m i s m o . L a e c u a c i ó n ( 4 - 4 4 ) t a m b i é n s e d e d u c e d e l a e c u a c i ó n (4 - 2 8 ) c o n e l m i s  mo argumento que condujo a la ecuación (2-31) (véase la Fig. 2.10). Observe que el campo en el dieléctrico es siempre perpendicular a la superficie del conductor, de acuerdo con la ecuac ión (4-43). Basándose en argumentos puramente físicos, se hace evidente que el potencial (p d e b e s e r c o n t i n u o a l a t r a v e s a r u n a z o n a i n t e rf a c i a l. E s t o s e d e b e a q u e l a d i f e r e n c i a de potencial, A
4 . 8 P r o b l e m a s c o n v a l o r e s e n l a f r o n t e r a e n l os q u e i n te r v i e n e n d i e l é c t ri c o s

115

FIGURA 4.7 D

T u b o d e f lu j o d e desplazamiento.

es una condición en la frontera, pero no independiente de las ya deducidas. En la m a y o r í a d e l o s c a s o s e s e q u i v a l e n t e a l a e c u a c i ó n ( 4 - 4 2 b ). D e e s t e a n á l is i s y d e l o s d e s a r r o l la d o s e n a n t e r io r e s s e c c i o n e s s e p u e d e c o n c l u i r q u e e l d e s p l a z a m i e n t o e l é c t r ic o D e s t á í n t im a m e n t e r e l a c i o n a d o c o n l a c a r g a e x t er n a .  N o s g u s ta ría d e m o s tra r a h o r a u n a p ro p ie d a d im p o rta n te d e D : q u e e l í l u j o d e D es c o n t i n u o e n r e g i o n e s q u e n o c o n t i e n e n c a r g a s e x t e rn a s . P a r a h a c e r e s t o , r e c u r ri r e m o s n u e v a m e n t e a la le y d e G a u s s . E n f o q u e m o s n u e s t r a a te n c i ó n e n u n a r e g ió n d e l e s p a c io y c o n s t r u y a m o s l í n e a s d e d e s p l a z a m i e n t o, q u e s o n l í n e a s i m a g i n a r i a s t r a z a d a s d e t al m a n e r a q u e la d ir e c c i ó n d e u n a d e e l la s e n c u a l q u i e r p u n t o e s l a d ir e c c i ó n d e D en d i c h o p u n to . A c o n t in u a c i ó n i m a g i n e m o s u n t u b o d e d e s p l a z a m i e n t o , u n v o l u m e n l im i ta d o e n s u s l a do s p o r l a s l ín e a s d e D , p e r o q u e n o e s c o r t a d o p o r é s ta s ( v é a s e l a F ig . 4 . 7 ) . E l t u b o e s t á l im i ta d o e n s u s e x t r e m o s p o r l a s s u p e r f i c i e s y S2. A l a p l i c a r l a l ey de Gauss, obtenemos (4-45) S i n o h a y c a r g a e x t e r n a e n l a r e g i ó n , e n t o n c e s Q  = 0 y l a m i s m a c a n t i d a d d e f l u jo q u e e n t r a a l t u b o p o r 5 , s a le p o r C uand o está presente la carga externa, ésta determina l a d i s c o n t i n u i d a d e n e l f lu j o d e d e s p l a z a m i e n t o . P o r t a n t o , la s lí n e a s d e d e s p l a z a m i e n  t o t e r m i n a n e n l as c a r g a s e x t e rn a s . L a s l ín e a s d e f u e r z a , p o r o t r a p a r t e , te r m i n a n e n l a s c a r g a s e x t e r n a s o e n l a s c a r g a s d e p o l a r i z a c ió n .

4 .8

PROBLEMA S CON VALORES EN LA FRONTERA E N L O S Q U E I N T E R V I E N E N D IE L É C T R I C O S L a e c u a c i ó n f u n d a m e n t a l q u e s e h a e s t u d i a d o e n e s te c a p í t u l o e s V •D = p

(4-46)

116

4 E l c a m p o e l e c t r o s tá t ic o e n m e d i o s d i e l é c tr ic o s

d o n d e  p  e s l a d e n s i d a d d e c a r g a e x t e r n a . S i lo s d i e l é c tr i c o s c o n l o s q u e e s t a m o s t r a b a   ja n d o so n li n e a le s , is ó tr o p o s y h o m o g é n e o s , e n to n c e s D = e E , s ie n d o e u n a c o n s t a n te c a r a c t e r í st ic a d e l m a t e r ia l , y p o d e m o s e s c r i b i r   V •E = ^ p

( 4- 47 )

P e r o e l c a m p o e l e c t r o s t á t i c o E p u e d e d e d u c i r s e d e u n p o t e n c i a l e s c a l a r = - ^ P    

(4-48)

Por tanto, el potencial en el dieléctrico satisface la ecuación de Poisson. La única diferencia entre la ecuación (4-48) y la ecuación co rrespon diente pa ra el potencial en e l v a c í o c o n s i s t e e n q u e e  r e e m p l a z a a e 0 ( y p s i g n i fi c a d e n s id a d d e c a r g a e x t e r n a en l u g a r d e d e n s i d a d d e c a r g a t o ta l ). E n l a m a y o r í a d e l o s c a s o s d e i n t e ré s , e l d i e lé c t r ic o n o c o n t ie n e c a r g a s d i s t r ib u i  d a s e n t o d o s u v o l u m e n , e s d e c ir , p = 0 d e n t r o d e l m a t e r ia l d i e lé c t r ic o . L a c a r g a e s t á s o b r e l a s s u p e r f ic i e s d e lo s c o n d u c t o r e s o s e c o n c e n t r a e n f o r m a d e c a r g a s p u n t u a le s q u e p u e d e n , p o r c i e r to , e s t a r d e n t r o d e l d i e l é c tr i c o . E n e s t a s c i rc u n s t a n c i a s , e l p o t e n  c i a l s a ti s f a c e l a e c u a c i ó n d e L a p l a c e e n t o d o e l d i e lé c t ri c o : V 2

0

(4 “ 4 9 )

E n a l g u n o s p r o b l em a s p u e d e h a b e r u n a d e n s i d a d s u p e r fi c ia l d e c a r g a , a ,  s o b r e l a s u   p e r fic ie d e u n c u e rp o d ie lé c tr ic o o e n la z o n a in te rfa c ia l e n tr e d o s m a te r ia le s d ie lé c tr i c o s . p e r o e s t o n o a l te r a la s i tu a c i ó n y l a e c u a c i ó n ( 4 - 4 9 ) s i g u e s ie n d o a p l ic a b l e m i e n tr a s

 P = 0 -

U n p r o b l e m a e le c t r o s t á t i c o e n e l q u e i n t e r v i e n e n d i e l é c t r i c o s l in e a l e s , is ó t r o p o s y h o m o g é n e o s s e r e d u c e , p o r t a n to , a h a l l a r l as s o l u c i o n e s d e l a e c u a c i ó n d e L a p l a c e e n c a d a m e d i o y re l a c i o n a r l a s s o l u c i o n e s e n lo s d i v e r s o s m e d i o s c o n l a s c o n d i c i o n e s e n l a f ro n t e r a d e la s e c c i ó n a n te r io r . H a y m u c h o s p r o b l e m a s q u e p u e d e n r e s o l v e r s e c o n este método; un ejemplo se expondrá aquí y otros adicionales se hallarán entre los  p ro b le m a s d e l f in a l d e l c a p ít u lo .

Z

EJEMPLO 4.2

Esfera dieléctrica en un campo eléctrico uniforme

 N o s g u s ta r ía d e te r m in a r c ó m o s e m o d if ic a n la s lín e a s d e f u e r z a c u a n d o u n a e s f e  ra dieléctrica de radio a   se coloca en una región del espacio que contiene u n c a m p o e l é c t r i c o i n i c i a l m e n t e  u n if o r m e , E 0. S u p o n g a m o s q u e e l d i e lé c t r ic o e s l i n e a l, i s ó t ro p o y h o m o g é n e o , y q u e s e c a r a c t e r i z a p o r l a c o n s t a n t e d i e l é c t ri c a  K . A d e m á s , n o t ie n e c a r g a . E l o r i g e n d e n u e s t ro s i s te m a d e c o o r d e n a d a s p u e d e t o m a r s e e n e l c e n t r o d e l a e s f e r a y l a d ir e c c i ó n d e E 0 c o m o l a d i r e c c i ó n p o l a r ( d i r e c c i ó n z ).

4 . 8 P r o b l e m a s c o n v a l o r e s e n l a f r o n t e r a e n l o s q u e i n t e r v ie n e n d i e l é c tr i c o s

11 7

S o l u c i ó n : E l p o te n c ia l p u e d e e x p r e sa r s e e n t o n c e s c o m o u n a s u m a d e l o s a r m ó n i c o s e s f é ri c o s . I g u a l q u e e n l a s e c ci ó n 3 . 5 , t o d a s l a s c o n d i c i o n e s e n l a f r o n t e r a p u e d e n s a t is f a c e r s e p o r m e d i o d e l o s d o s a r m ó n i c o s d e m e n o r o r d e n , y e s c ri b im o s ( p \ ( r , 6 ) =  A ¡ r  e o s 6  4- C j ~ 2 co&O 

(4-50)

 p a r a la r e g ió n e n el v a c ío ( 1) e n el e x te r io r d e la e s f e ra , y 0 ) =  A 2r   e o s 0 + C 2r ~ 2 e o s 6  

(4-51)

 p a r a la r e g ió n d e l d ie lé c tr ic o (2 ). L a s c o n s ta n te s  A ]9 A v   C , y C 2 n o s e c o n o c e n y d e b e n d e t e r m i n a r s e a p a r ti r d e l a s c o n d i c i o n e s e n l a f r o n te r a . N o e s n e c e s a r i o e l a r m ó n i c o r ~ \ p u e s t o q u e s u p r e s e n c i a im p l i c a u n a c a r g a n e t a e n l a e s f e r a . P u e d e sumarse un término constante a las ecuaciones (4-50) y (4-51), pero como se n e c e s i ta la m i s m a c o n s t a n te e n a m b a s e c u a c io n e s , p o d e m o s , s in p é r d i d a d e g e  n e r a l id a d , c o n s i d e r a r l a c e r o . Lejos de la esfera, el campo eléctrico conservará su carácter uniforme y   o sea:  — E {)a - f C }a ~ 2 = A 2a  

(4-52)

P u e s t o q u e l a c o m p o n e n t e n o r m a ld e D e n l a z o n a in t e r f a c ia l e s D r = - e ( d ( p /d r ), l a c o n t i n u i d a d d e  D r   ( n o h a y c a r g a s o b r e l a s u p e r f i c i e d e l d i e lé c t r ic o ) r e q u i e r e q u e  D lr  =  D 2r  e n r  = a , o s e a:  E „ + 2 C , a ~ 3 = - K A 2 

(4'53)

L a c o n t in u i d a d d e  E t  e n r - a  e s e q u i v a l e n t e a l a e c u a c i ó n ( 4 - 5 2 ) . A l c o m b i n a r la s e c u a c i o n e s ( 4 - 5 2 ) y ( 4 - 5 3 ) , o b t e n e m o s =

2

^

}

_

 

( 4 _ 5 4 )

K + 2

= ( K  - l)a3£„

 K  + 2 A sí pues, se ha resuelto el problema. El po tencial está dado po r (4-50) o (4-51), y l a s c o n s ta n t e s A , , C r  A 2 y C2 s o n t o d a s c o n o c id a s . L a s c o m p o n e n t e s d e E y D  p u e d e n o b te n e r s e e n c u a lq u ie r p u n to (r , 0, ) p o r d e r i v a c ió n . E s e v i d e n t e , d e l a

11 8

4 E l c a m p o e l e c t r o s tá t ic o e n m e d i o s d i e lé c t r ic o s

FIGURA 4.8 Campo eléctrico uniforme distorsionado por la  p re se n c ia d e u n a e sf e ra dieléctrica: a) líneas de desplazamiento eléctrico,  b) lín eas de l ca m p o eléctrico.

e c u a c i ó n ( 4 - 5 4 ) y d e q u e C 2 = 0 , q u e e l c a m p o e l é c t r i c o d e n t r o d e l a e s f e r a t ie n e e l s e n t id o d e E () y e s t á d a d o p o r  

Es = * T 2 E"

( 4 ' 5 6 )

l - a s lí n e a s d e d e s p l a z a m i e n t o y l a s l ín e a s d e f u e r z a s e i l u s t r a n e n l a f i g u r a 4 . 8 .

*4 .9

'

FUERZA SOBR E UNA CAR GA PUNTUAL S U M E R G ID A E N U N D IE L É C T R I C O E s t a m o s a h o r a e n c o n d i c io n e s d e d e t e rm i n a r la f u e r z a s o b r e u n p e q u e ñ o c o n d u c t o r e s f é r i c o c a r g a d o s u m e r g i d o e n u n d i e l é c t r i c o l i n e a l is ó t r o p o . E n e l lí m i t e p a r a e l cu a l e l c o n d u c t o r e s d e s p r e c i a b le m e n t e p e q u e ñ o d e s d e e l p u n t o d e v i s ta m a c r o s c ó p i c o , e s te cálculo da la fuerza sob re una carga puntual. E l c a m p o e l é c t ri c o y l a d e n s i d a d d e c a r g a s u p e r f i c ia l e n u n p u n t o r e p r e s e n t a t iv o d e l a s u p e r f i c ie d e l c o n d u c t o r s e o b t e n d r á n p o r e l p ro c e d i m i e n t o d e l v a l o r e n l a f r o n - t e r a d e l a s e c c i ó n a n t e r i o r y l a f u e r z a F  p u e d e e n to n c e s o b te n e rs e a p a r tir d e la in te g ra l s o b r e l a s u p e r f i c ie :  E = j * E ' o d a  

(4-57)

A q u í E ' r e p r e s e n t a el c a m p o e l é c t r ic o e n e l e l e m e n t o d e s u p e r f i c ie d a ,  m e n o s l a p a r te d e l c a m p o p r o d u c i d a p o r e l p r o p i o e le m e n t o . E n o t r a s p a l a b r a s , E

= E -  E s 

(4-58)

d o n d e E v e s e l c a m p o e l é c t r ic o p r o d u c i d o p o r e l e l e m e n t o s u p e r f i c ia l d e c a r  ga, o d a .   E s i m p o r t a n te q u e E v n o s e i n c l u y a e n el c a m p o E ' , p o r q u e l a c a n t id a d E vcx d a   r e p r e s e n t a l a in t e r a c c i ó n d e l e l e m e n t o d e c a r g a o d a   c o n s u  p r o p io   c a m p o . E s t a

4 . 9 F u e r z a s o b r e u n a c a r g a p u n t u a l s u m e r g i d a e n u n d i e l é c tr i c o

119

FIGURA 4.9 Cam po propio de un eleme nto superficial cargado.

E. ^

a u t o i n tc r a c c ió n n o p r o d u c e e v i d e n t e m e n t e f u e rz a n e t a s o b r e e l e l e m e n t o , p e r o d a o r i  g e n a u n e s f u e r z o o t e n s i ó n s u p e r fi c ia l q u e s e d e b e a l a re p u l s i ó n m u t u a d e lo s SFs = o E s 

(4-59)

electrones (o del exceso de iones positivos) en la capa superficial. Este esfuerzo se c o m p e n s a c o n i n t e n s a s f u e r z a s d e c o h e s i ó n e n e l m a t e ri a l d e l q u e e s t á c o m p u e s t o e l e l e m e n t o . D e b e r á s e ñ a l a r s e q u e c u a n d o c a l c u l a m o s l a s f u e r z a s s o b r e l o s o b j e to s c a r  g a d o s e n l o s c a p ít u l o 2 y 3 , im p l íc i ta m e n t e r e s ta m o s e l c a m p o p r o p i o E , P o r t a n to , c u a n d o c a l c u l a m o s l a f u e r z a s o b r e u n a c a r g a p u n t u a l , el c a m p o p r o d u c i d o p o r  l a c a r g a  p u n tu a l n o fu e in c lu id o . U n e s tu d io m á s d e ta lla d o d e la s fu e r z a s s o b re lo s o b je to s cargados se considerará en la sección 6 .8. P u e d e p a r e c e r q u e e l c a m p o p r o p i o d e l e l e m e n t o d e s u p e r f i c ie c a r g a d o o d a e s d e s p r e c i a b l e p o r q u e e l e le m e n t o e s d e m a g n i tu d i n f in i te s i m a l . S in e m b a r g o , e s t e c a m   p o e s fin ito . S in d u d a a lg u n a , e l e le m e n to e s p e q u e ñ o d e s d e e l p u n to d e v is ta m a c r o s c ó p i c o , p e r o n u n c a s e l le g a a l l ím i t e . E n u n p u n t o d i r e c t a m e n t e s o b r e s u s u p e r  f ic i e , e l e l e m e n t o a p a r e c e c o m o u n a s e c c ió n d e u n p l a n o ( F ig . 4 . 9 ). E l c a m p o E e s  p e r p e n d ic u la r al e le m e n to p e r o tie n e s e n tid o o p u e s to e n c a d a u n o d e lo s la d o s . E l c a m p o t o ta l d e n t r o d e l e le m e n t o e s c er o . E n c o n s e c u e n c i a , E ' —  E i = 0

(dentro del con ductor)

(4-60)

E s t a e c u a c i ó n n o s p r o p o r c i o n a u n a r e l a c ió n e n t r e E ' y E n s o b r e l a s u p e r f i c i e y, p o r t a n to , e n t r e E ' y e l c a m p o e l é c tr ic o m a c r o s c ó p i c o E e n l a s u p e r fi c ie : E' = E - E ,

= 1

e

=

( 4 -6 1 )

L a f u e r z a s o b r e e l c o n d u c t o r s e c o n v i e r t e en  F = ^ j E o d a  

(4-57a)

F i j e m o s a h o r a n u e s t r a a t e n c ió n e n u n p e q u e ñ o c o n d u c t o r e s f é r i c o s u m e r g i d o e n u n d i e l é c t r ic o d e e x t e n s i ó n i n f i n i t a . L a c a r g a t o t a l s o b r e e l c o n d u c t o r é s Q y su radio e s a.  Y a q u e a l fi n a l t o m a r e m o s e l l ím i t e e n e l q u e a  s e h a c e m u y p e q u e ñ o , y c o m o l as v a r i a c io n e s d e l c a m p o e l é c t r ic o ( s i e x is t e n ) s o n a u n a e s c a l a m a c r o s c ó p i c a , s e r á s u f i  c i e n t e c o n s i d e r a r e l c a s o e n e l q u e e l c a m p o e l é c t r ic o e s i n ic i a lm e n t e u n i f o r m e e n l a v e c i n d a d d e l c o n d u c t o r . R e p r e s e n t e m o s e s t e c a m p o u n i f o r m e c o n e l s í m b o l o E 0. L a

120

4 E l c a m p o e l e c t r o s t á t ic o e n m e d i o s d i e lé c t r ic o s

descripción es semejante al problema con valor en la frontera que resolvimos en la s e c c ió n 3 .5 , e x c e p t o q u e a q u í l a e s f e r a c o n d u c t o r a s e s u m e r g e ( o e s t á in m e r s a ) e n u n d i e l é c t ri c o d e p e r m i ti v id a d (= y a d e m á s t ie n e u n a c a r g a n e t a Q . P o r a n a l o g í a co n l a s e c c i ó n 3 . 5 d e t e r m i n a m o s f á c i lm e n t e l o s i g u i e n te . E l p o t e n c i a l,  í  ^   E (  cp(r , 6 ) = (p0 — E ()r   e o s 6   H— ~¿- c o s 0 - f

r)

(4-62)

E l c a m p o e l é c tr ic o ,  E r   = £ 0(1 +

2a V

£„ = -E„{1 -

) eos

0

+ Q/Aner2 (4-63)

a 3/ r 3) s e n 6 

L a d e n s i d a d d e c a r g a s u p e r f i c ia l s o b r e l a s u p e r f i c ie d e l a e s f e r a , a ( 9 ) = e E r \r=a = 3 e £ 0 e o s 6 + Q I A n a 1 

(4-64)

L a f u e r z a p u e d e a h o r a d e t e r m i n a r s e a p a r t ir d e l a e c u a c i ó n ( 4 - 5 7 a ) . P o r s i m e t r ía , l a ú n i c a c o m p o n e n t e d i s t in t a d e c e r o d e l a f u e r z a e s l a q u e t i e n e l a d i r e c c i ó n 6 = 0 , es d e c i r , e n l a d i r e c c i ó n  z:

 Fz  = 1 í ( E r ) r=a  e o s 9 o ( 6 ) 2 n a 2 s e n 9 2 Jn

d 6

= E0Q  

F = QE0

(4-65a)

(4 -6 5 b)

E s t e r e s u l ta d o n o v a r i a cu a n d o t o m a m o s e l lí m i t e p a r a a  p e q u e ñ o . P o r ta n t o , e l c a m p o e l é c t r i c o e n e l d i e l é c t r i c o E () c o n c u e r d a c o n l a d e f i n i c i ó n f u n d a m e n t a l , e s d e c i r , la f u e rz a s o b re u n a p e q u e ñ a c a r g a d e p r u e b a Q  d i v id i d a p o r l a m a g n i t u d d e Q.

4 .1 0

~

M É T O D O D E IM Á G E N E S P A RA P R O B L E M A S E N L OS QUE INTERVIENEN DIELÉCTRICOS . E l m é t o d o d e i m á g e n e s e s tu d i a d o e n e l c a p í tu l o a n t e r i o r p u e d e g e n e r a l iz a r s e p a r a o b t e n e r la s s o l u c i o n e s d e l a e c u a c ió n d e L a p l a c e p a r a l o s c a s o s e n l o s q u e h a y d o s o m á s m e d i o s d ie lé c tr ic o s e n e l p ro b l em a . R e c o r d e m o s q u e c u a n d o e m p l e a m o s l a té c n i  c a d e l a c a r g a im a g e n , e l p o t e n c i a l e n u n a r e g i ó n d e l e s p a c i o s e v i s u a l iz a c o m o s i f u e r a  p ro d u c id o p o r c a rg a s “ p u n tu a le s ” y c o n d u c to re s c a rg a d o s e n la re g ió n , a s í c o m o p o r c a r g a s im a g e n f ic t ic i a s f u e r a d e l a r e g i ó n . L a s c a r g a s im a g e n p a r e c e n l o c a l i z a rs e d e n t r o   d e u n o o m á s c o n d u c t o r e s. L a ú n i c a d i fe r e n c i a c u a n d o t e n e m o s u n o o m á s d i e lé c t r ic o s p r e s e n t e s e s q u e l as c a r g a s i m a g e n f ic t ic i a s p u e d e n t a m b i é n e s t a r l o c a li z a d a s d e n t r o d e u n o d e l o s o tr o s d i e lé c t r ic o s ( n o e n e l q u e e l p o t e n c ia l e s t á s i e n d o c a lc u l a d o ) , y l a s c o n d i c i o n e s e n l a f r o n t e r a e n c a d a z o n a i n t e r f a c i a l d i e lé c t ri c o - d ie l é c tr ic o d e b e n s a t i s f a c e r s e .

4 . 1 0 M é t o d o d e im á g e n e s p a r a p r o b l e m a s e n l o s q u e i n t e r v i e n e n d i e l é c tr i c o s

EJEMPLO 4 . 3 Campo de una carga puntual c e r ca n a a u n a z o n a in t e r  fa cia l dieléctrico-dieléctrico

121

C o n s i d e r e d o s m e d i o s d i e lé c t r ic o s c o n p e r m i ti v i d a d e s c o n s t a n t e s , e . y que e s t á n s e p a r a d a s p o r u n a z o n a i n te r f a c ia l p l a n a . N o h a y c a r g a e x t e r n a s o b r e l a z o n a i n t e rf a c ia l . U n a c a r g a p u n t u a l q  e s t á in m e r s a e n e l m e d i o c a r a c te r iz a d o p o r e ! a u n a d i s ta n c i a d d e l a z o n a in t e r fa c i a l ( F ig . 4 . 1 0 ) . E l p r o b l e m a p r o p u e s t o e s: ¿ C u á l e s s o n l o s c a m p o s e l é c t ri c o s e n lo s m e d i o s 1 y 2 ? S o l u c i ó n : P o r c o n v e n i e n c i a , p o d e m o s t o m a r e l p la n o  yz, q u e p a sa p o r e l o r i g e n c o m o l a z o n a i n t e r fa c i a l y s i tu a r q s o b r e e l e j e  x e n  x   = - d . S i u t i l i z a m o s e l  p r o b le m a d e s c rito e n la s e c c ió n 3 .9 c o m o g u ía , p o d e m o s e s p e r a r q u e el p o te n  c ia l e n c a d a m e d i o p u e d a e x p r e s a r se c o m o l a s u m a d e l p o t e n c i a l d e l a c a rg a  p u n tu a l q y   e l d e u n a c a r g a i m a g e n . A d e m á s , s u p o n e m o s q u e l a c a r g a im a g e n e s t á l o c a li z a d a a l a m i s m a d i s t a n c i a d d e l a z o n a i n te r f a c i a l, c o m o l o e s t á l a c a r g a  p u n tu a l o rig in a l. S ea r = v(x + d f +

+ r 

r '  =

V(*

-

d f + y2 + z2

E n t o n c e s e n e l m e d i o 1,
i

\q , q '  

 A n e

(4-66)

E n o t ra s p a l a b r a s , l a c a r g a im a g e n q '   s e l o c a l iz a e n e l m e d i o 2 e n l a p o s i c ió n ( d,

0 , 0). P a r a e l p o t e n c i a l (p2 e n e l m e d i o 2 , la c a r g a i m a g e n d e b e e s t a r s i tu a d a e n e l m e d i o 1 , t a l c o m o l o e s t á l a c a r g a o r i g i n a l q ,  a m b a s e n l a p o s i c i ó n ( - d , 0 , 0 ) . L l a m a r e m o s q "  a la  s u m a   d e l a s c a r g a s . E n t o n c e s , e n e l m e d i o 2 ,
4 7te2r 

(4-67)

122

4 E l c a m p o e l e c t r o s t á ti c o e n m e d i o s d i e l é c t r ic o s

L a s c a n t i d a d e s q '  y q "  p u e d e n o b t e n e r s e d e la s c o n d i c io n e s e n l a f r o n t e r a e n l a E  z o n a i n te r f a c i a l. C a l c u l a m o s D )n = y c a lc u la m o s D l n=  D 2n d e acuerdo con la ecuación (4-4 Ib): 0q - q ' ) d

q "d  

[d2 + y 2 + z 2)312

[d 2 + .y2 + 2 2P

(4 ' 68)

A c o n t in u a c i ó n c a l c u la m o s  E ly = - d f p j d y |x=0 y lueg o ca lcula m os  E ]y = E 2y d e a c u e r d o c o n l a e c u a c i ó n ( 4 .4 2 b ) : ( q + q ’) y

q"y

_

e \ d 2 + y 2 +  z 2f 2

e 2[ d 2  + y 2 +  z 2]312 

(4‘69)

 N o s e o b ti e n e n a d a n u e v o d e la c o n tin u id a d d e (p e n l a z o n a i n t e rf a c i a l. R e s o l  v i e n d o l a s e c u a c i o n e s ( 4 - 6 8 ) y ( 4 - 6 9 ) p a r a q '  y q ' \   o b t en e m o s q' =

 — *2 q, ; 6 . + €2

--------------

„ 2e2 q  " =  = -----------— q  € \ + e2

(4-70)

L a e c u a c i ó n d e L a p l a c e s e s a ti sf a c e e n a m b o s m e d i o s y l a s c o n d i c io n e s e n l a f r o n t e r a t a m b i é n s e s a t is f a c e n . L a s o l u c ió n e s ú n ic a .

4.1 1

I

RESUM EN E l c o m p o r t a m i e n t o e l e c t ro s t á t ic o d é u n m e d i o d i e lé c t r ic o e s t á c a r a c t e r iz a d o c o m p l e  t a m e n t e p o r s u m o m e n t o d ip o l a r p o r u n i d ad d e v o l u m e n o  p o la ri za c ió n :

P

Ap = l ím —   A t;

E s t e p r o c e d im i e n to g e n e r a l a d e n s i d a d d e c a r g a d e p o l a r iz a c i ó n

 p p = - V • P ,

( O p

=

n • P)

y n o s d a e l p o t en c i a l t  v

1

Á * ) ddaa '  1 [ f  p p ( * ' ) d v '  , í ° (7P(r')

E l c a m p o t o t a l E  d e b i d o a l a s c a r g a s e x t e r n a s m á s l a c a r g a d e p o l a r iz a c i ó n s a t is f a c e

V • E = 2 ( p + P p )  «o E s c o n v e n i e n t e d e f i n ir e l c a m p o v e c t o r ia l , desp lazam iento eléctrico,

D = e0E + P de tal form a que V  * D = p

4 .1 1 R e s u m e n

123

con sólo las cargas externas como fuentes. La ecu ación rotacional

V x E = 0 n o c a m b i a , y a q u e n o c o n t ie n e l a d e n s i d a d d e c a r g a . C o n e l f in d e r e s o l v e r la s e c u a c i o n e s d e l o s c a m p o s , la ecuación constitutiva

P = P(E) debe también conocerse para el material particular. Entonces, las últimas cuatro e c u a c i o n e s , s u j e ta s a l a s condiciones en la fron tera

A>„ - D ln - a

y

 E 2i - E u = 0

s o n s u f i c ie n t e s p a r a d e t e r m i n a r E y D e n e l i n t e r i o r y e x t e r i o r d e l o s d i e lé c t r i c o s . • L a f o r m a i n t e g r a l d e l a le y d e G a u s s s e c o n v i e r te e n

d o n d e Q  i n c l u y e s ó l o l a c a r g a e x t e r n a  l o c a l i z a d a e n e l in t e r i o r d e l a s u p e r f i c ie S . ( C o n  s e c u e n t e m e n t e , j u s t o a f u e r a d e l a s u p e r f ic i e d e u n c o n d u c t o r s u m e r g i d o e n u n m e d i o dieléctrico, =
E = -Vtp • L a m a y o r í a d e lo s m a t e r ia l e s d ie l é c t ri c o s s o n l in e a l e s , c o n u n a s u s c e p t i b i l i d a d x constante: P = *E E s t a ecuación constitutiva, c o m b i n a d a c o n l a d e f i n ic i ó n d e D , d a

D = 6E donde * = *o +  X  L a con stante dieléctrica

v a l e e n t r e 1 y 1 0 0 p a r a l a m a y o r í a d e lo s d i e l é c t ri c o s m á s c o m u n e s ; p a r a to d o s l o s d i e l é c t r i c o s K >  1 ( £ > 0 ) . P a r a e l v a c í o K =  1 ( j = 0 ) . E l c o m p o r t a m i e n to e le c tr o s tá ti c o d e u n c o n d u c t o r p u e d e o b t e n e r s e h a c ie n d o  K  infinita. •

E n u n m e d i o l in e a l

V -E = ^ p

y

V2

Las técnicas matemáticas para resolver las ecuaciones de Poisson y de Laplace son s e m e j a n te s a l a s d e l c a p í t u lo 3 , c o n l as c o n d i c i o n e s e n l a f r o n t e r a a p r o p i a d a s e n l a z o n a i n t e r f a c i a l e n t r e d i e l é c t r ic o s ,

Teoría microscópica de los dieléctricos

E n e l c a p í t u lo a n t e r io r c o n s i d e r a m o s l o s a s p e c to s m a c r o s c ó p i c o s d e l a p o l a r iz a c i ó n dieléctrica. Se demostró cómo, en muchos casos, la polarización puede tenerse en c u e n t a m e d i a n t e l a in t ro d u c c i ó n d e u n a c o n s t a n t e d i e l é c tr i c a . D e e s t a fo r m a , e l c a m   p o e lé c tric o p o d ría c a lc u la rs e d ire c ta m e n te a p a r tir d e la c o n s id e r a c ió n d e la d is tr i  b u c ió n d e c a rg a e x te rn a. A u n q u e s e h iz o re f e re n c ia a la s m o lé c u la s d e l d ie lé c tr ic o v a r i a s v e c e s e n e l c a p í tu l o 4 , n o s e l le v ó a c a b o d e t a l la d a m e n t e u n t r a ta m i e n t o m i  c r o s c ó p i c o d e l m a t e ri a l y e l p a n o r a m a g e n e r a l s e p r e s e n t ó r e a l m e n t e d e s d e e l p u n t o de vista macroscópico. En este capítulo examinaremos la naturaleza molecular de l d i e l é c tr ic o y v e r e m o s d e q u é m a n e r a el c a m p o e l é c t r ic o r e s p o n s a b l e d e l a p o l a r iz a  ción de la molécula se relaciona con el campo eléctrico macroscópico. Además,  b a s á n d o s e e n un m o d e lo m o le c u la r s e n c il lo , e s p o s ib le e n te n d e r el c o m p o rta m ie n to lineal característico de una gran cantidad de materiales dieléctricos.

C A M P O M O L E C U L A R E N UN D IE L É C T R IC O E l c a m p o e l é c t r ic o r e s p o n s a b l e d e l a p o l a r iz a c i ó n d e u n a m o l é c u l a d e l d i e l é c t r ic o s e l l a m a c a m p o m o l e c u l a r ,  E m.

E l c a m p o m o l e c u l a r   e s e l c a m p o e l é c t r ic o e n u n a p o s i c i ó n m o l e c u l a r d e l dieléctrico; es producido por todas las fuentes externas y por todas las moléculas polarizadas del dieléctrico con excepción  de la molécula en el  p u n to e n c o n s id e r a c ió n .

Es evidente que E m no es necesariamente el mismo que el campo eléctrico m a c r o s c ó p i c o p o r q u e , c o m o s e e x p u s o e n l a s e c c i ó n 4 . 3 , e s ta ú l ti m a c a n t id a d s e

128

5 T e o r í a m i c ro s c ó p i c a d e l o s d i e lé c tr ic o s

FIGURA 5.1

—

+

Sustitución del dieléctrico exterior a la “cavidad” por un sistema de cargas de  p o la ri z ac ió n .

" H X r1 +

-fO C -

(— 

-hX r

4 -X —

4 ^)£ -

+ 'X —   

+ ) ( —

+}C —

+

—

+

"O

+ X —

4o

+

+ 0

+

40

+

T

4-

+

4 - ^   ------- — +

 j

1 +

(—

_ |T > ^

C—   j

+

I

+

C— - Q (—

í

4+

C -

+

X

1

4 X -

4 X 4

+ X — 

X

C -  í

-p -

-R X

-4-")(l—

+

-

\ £

+ 3

/ -

—

+

4-J

—

+

—

+

+ 0

—

+

—

+

  -fc) —

+

—

+

—

+

+ 0 -

4 0

 p l r 

- f c t

\ •

+

-4 -0 C—

4 V

Q

©  

40C—

4 - x -

+

/ (

—

+ \> -

4 -T T —

+

_L

(a )

+ —

+

(b )

r e la c i o n a c o n la tu e r z a s o b r e u n a c a r g a d e p r u e b a q u e e s g r a n d e c o m p a r a d a c o n la s dimensiones moleculares. E l c a m p o m o l e c u l a r p u e d e c a l c u l a r s e e n l a s i g u ie n t e f o r m a . P r i m e r o e l i m i n e  m o s u n a p o r c i ó n p e q u e ñ a d e d i e l é c tr ic o , d e j a n d o u n a c a v i d a d e s f é r i c a q u e r o d e e e l  p u n to e n el q u e v a a c a lc u la r s e el c a m p o m o le c u la r . E l d ie lé c tr ic o q u e q u e d a se c o n s i d e r a r á c o m o u n c o n t i n u o , e s d e c ir , d e s d e e l p u n t o d e v i s t a m a c r o s c ó p i c o . V o l v e m o s a p o n e r a h o r a l a p o r c ió n d e d i e lé c t ri c o e n l a c a v id a d , m o l é c u l a a m o l é c u la , excepto la molécula del centro de la cavidad donde deseamos calcular el campo m o l e c u la r . L a s m o l é c u la s q u e a c a b a m o s d e v o l v e r a c o l o c a r n o d e b e n t ra t a r se c o m o un continuo, sino como dipolos individuales. El procedimiento que se ha utilizado  p u e d e ju s tif ic a r s e s ó lo si el r e s u lt a d o d e l c á lc u lo e s in d e p e n d ie n te d e l ta m a ñ o d e la cavidad, lo que, como veremos, es precisamente el caso en ciertas condiciones. S u p o n g a m o s q u e u n a m u e s t r a d e l g a d a d e d i e l é c t r ic o s e h a p o l a r i z a d o a l c o lo c a r l a en el campo eléctrico uniforme entre dos placas paralelas que están opuestamente c a r g a d a s , c o m o s e i lu s t r a e n l a f i g u r a 5 . 1 ( a ). S e s u p o n d r á q u e l a p o l a r i z a c i ó n e s u n i f o rm e a e s c a l a m a c r o s c ó p i c a ( e st o e s , V ■P = 0 ) , y q u e P e s p a r a l e lo a l c a m p o q u e lo produce. La parte del dieléctrico exterior a la cavidad puede sustituirse por un s i s te m a d e c a r g a s d e p o l a r iz a c i ó n , c o m o s e v e e n l a f i g u r a 5 . 1 ( b ) , p o r l o c u a l e l c a m p o e l é c t r ic o e n e l c e n t ro d e l a c a v i d a d p u e d e e x p r e s a r s e c o m o  E m = E c +  E tí   + E , + E

(5-1)

Aquí, e s e l c a m p o e l é c t r ic o p r i m a r i o d e b i d o a l a s p l a c a s p a r a l e l a s c a r g a d a s ; E <; e s e l c a m p o d e s p o l a r i z a n t e d e b i d o a l a c a r g a d e p o l a r iz a c i ó n e n l a s s u p e r f ic i e s e x t e r i o  res del dieléctrico; E v s e d e b e a l a c a r g a d e p o l a r i z a c i ó n s o b r e l a s u p e r f i c i e d e l a c a v i d a d S  y E ' s e d e b e a t o d o s l os d i p o l o s q u e e s t á n e n e l i n t e r io r d e S .  A u n q u e n o e s t am o s c o n s i d e ra n d o l a fo r m a e x p l í ci ta d e Ex, e s e v i d e n t e q u e s i l as d i m e n s i o n e s d e

5 .1 C a m p o m o l e c u la r e n u n d i e lé c t ri c o

12 9

la s p la c a s s o n g r a n d e s c o m p a r a d a s c o n s u s e p a r a c ió n , E c = ( l / e ()) a , s i e n d o a l a d e n s i  d a d d e c a r g a s u p e r f i c ia l . E l c a m p o d e s p o l a r iz a n t e t a m b i é n s e p r o d u c e p o r d o s p l a n o s  p a r a le lo s d e c a rg a, e s ta v e z c o n d e n s id a d o p . P u e s to q u e a p =  P n = ± P ,

E x p r e s a r e m o s e l c a m p o e l éc t ri c o m a c r o s c ó p i c o e n e l d i e l é c t r ic o   s i n s u b í n d i c e , esto es, E. Como la componente normal del desplazamiento eléctrico D es continua a l a t r a v e s a r l a z o n a i n t e rf a c ia l e n t re e l v a c í o y e l d i e lé c t r ic o , y c o m o D = e oE , e n e l v a c í o q u e q u e d a e x a c t a m e n t e e n e l e x te r i o r d e l a p l a n c h a d i e lé c t ri c a , E =  E x +  E d 

(5-3)

Al combinar las ecuaciones (5-1), (5-2) y (5-3), se tiene Em = E + E5 + E'

(5-4)

E s t a e c u a c i ó n r e l a c io n a e l c a m p o m o l e c u l a r c o n e l c a m p o e l é c t ri c o m a c r o s c ó p i c o e n el material dieléctrico. El resultado es bastante general y no está restrin gido a la c a v i d a d e s f é r i c a y a l a g e o m e t r ía d e lo s e le c t r o d o s p l a n o s d e l a f ig u r a 5 .1 . S i n e m b a r  g o , l a d e r iv a c i ó n a n t e r i o r e s i n s tr u c t i v a y s e r á ú t il p a r a e l p r o b l e m a q u e s e e x p o n d r á e n l a s e c c i ó n 5 .4 . E l c a m p o E vp r o v i e n e d e u n a d e n s i d a d d e c a r g a d e p o l a r iz a c i ó n , a,, =  Pt¡, s o b r e la s u p e r f i c i e e s f é r i c a S . U t il iz a n d o c o o r d e n a d a s e s f é r ic a s y t o m a n d o l a d i r e c c i ó n p o l a r a l o l a r g o d e l a d ir e c c ió n d e P , c o m o e n l a f i g u r a 5 .2 , o b t e n e m o s (5-5) s i e n d o r e l v e c t o r q u e v a d e l a s u p e r f i c i e a l c e n t r o d e l a e s f e r a . D e l a s im e t r í a , e s e v i d e n t e q u e s ó lo l a c o m p o n e n t e d e d E s e n l a d i r e c c i ó n d e P c o n t r i b u i rá a l a i n t e g r a l d e l a e c u a c i ó n ( 5 - 5 ) s o b r e la s u p e r f i c i e c o m p l e ta . C o m o d a = r1  s e n Q d O d
F I G U R A 5 .2 Cálculo de la contribución de la sup erficie de la “cavidad" a E .

130

5 T e o r í a m i c r o s c ó p i c a d e lo s d i e l é c t r ic o s

Finalmente, llegamos al último término de la ecuación (5-4), el que se debe a los d i p o l o s e l é c t r i c o s e n e l i n t e r i o r d e S . H a y m u c h o s c a s o s i m p o r t a n te s p a r a l o s c u a le s este término se anula. Si hay muchos dipolos en la cavidad, si están orientados  p a r a le la m e n te p e r o d is tr ib u id o s al a z a r e n s u p o s ic ió n y si n o h a y c o r re la c io n e s e n t r e l a s p o s i c i o n e s d e l o s d ip o l o s , e n t o n c e s E ' = 0 .* É s t a e s l a s i tu a c i ó n q u e p u e d e  p re v a le c e r, p o r e je m p lo , en u n g a s o e n u n lí q u id o . D e m a n e r a s im il a r, s i lo s d ip o lo s e n l a c a v i d a d e s t á n s i t u a d o s e n l a s p o s i c i o n e s a tó m i c a s r e g u l a r e s d e u n c r i s t a l c ú b i  co, entonces nuevamente E ' = 0. En relación con esto, el lector debe consultar el  p r o b le m a 5.2 . E n e l c a s o g e n e r a l , E ' n o e s c e r o , y s i el m a t e ri a l c o n t i e n e v a r i o s ti p o s d e m o l é  c u l a s E '  p u e d e c a m b ia r e n d ife r e n te s p o s ic io n e s m o le c u la re s . E s to e s lo q u e d a o r i g e n a l c o m p o r t a m i e n t o e l é c t r ic o a n i s ó t r o p o d e l a c a l c i ta , p o r e j e m p l o . N o o b s t a n t e , n u e s t r o p r o p ó s i t o n o e s d e s a r r o l l a r u n a t e o r í a p a r a m a t e r ia l e s a n i s ó t r o p o s ; p o r t a nt o , l im i t a re m o s e l a n á l is i s a lo s m a t e r ia l e s d e m a y o r a b u n d a n c i a e n l o s c u a l e s E ' = 0. Así, la ecuación (5-4) se reduce a

Em = E + — P

(5-7)

E s i n t e r e s a n te o b s e r v a r q u e e s t e r e s u l ta d o p o d r í a o b t e n e r s e d i r e c t a m e n t e p o r e l m é t o  d o a n t e r i o r si l a c a v i d a d e s f é r i c a f u e r a g e n e r a d a a l q u i t a r s ó l o u n a m o l é c u l a . P e r o e n e s t a s c o n d i c i o n e s l a c a v i d a d s e r i a t a n p e q u e ñ a q u e l a s u s t i t u c i ó n d e l r e s t o d e l d i e l é c t r ic o  p o r u n s is te m a d e c a rg a s d e p o la riz a c ió n n o p o d ría j u s tif ic a rs e . El momento dipolar de una molécula es proporcional al campo eléctrico (cam  p o p o la riz a n te ) q u e a c tú a s o b r e ell a.

L a ra z ó n d e l m o m e n t o d i p o l a r d e u n a m o l é c u l a a l c a m p o p o l a r i z a n t e s e l l a m a  p o la r iz a b ilid a d m o le c u la r , a .  E n o tr a s p a l a b r a s , f    p m = * E m

( 5 -8 )

S i h a y N  m o l é c u l a s p o r u n i d a d d e v o l u m e n , e n t o n c e s l a p o l a r iz a c i ó n nando este resultado con las ecua ciones (5-7) y (5-8), obtenem os

P>

 N a ( * +

¿p)

P =  N p m. C o m b i (5-9)

E s t a e c u a c i ó n p u e d e e x p r e s a r s e e n f u n c i ó n d e l a c o n s t a n t e d i e l é c t r i c a ,  K %y a q u e

P = ^E = ( K -  l)c0E.

* V éase W. Panofsky y M. Philips, Clasical Eleciricity and M agnetism, 2da  ed. Reading, Massachusetts, Addison-Wesley, 1962, Cap. 2.

t

El concepto de polarizabilidad puede utilizarse también para describir moléculas polares, como veremos en la sección 5.3.

5 . 2 D i p o l o s i n d u c i d o s : u n m o d e l o s e n c i l lo

131

D e e s t e m o d o , l a e c u a c i ó n ( 5 - 9 ) s e c o n v i e r t e en

q u e s e co n o c e c o m o e c u a c i ó n d e C l a u s i u s -M o s s o t t i.

Es evidente que la ecuación (5-10) define una propiedad molecular, que es la  p o la riz a b ili d a d m o le c u la r, e n té r m in o s d e c a n ti d a d e s q u e p u e d e n d e te r m in a rs e s o b re  b a s e s m a c r o s c ó p ic a s .

D I P O L O S IN D U C ID O S : U N M O D E L O S E N C I L L O L a s m o l é c u l a s d e u n d i e l é c tr i c o p u e d e n c la s i f ic a r s e e n p o l a re s y n o p o l a r e s . U n a m o l éc u la p o l a r e s  a q u e l l a q u e t i e n e u n m o m e n t o d i p o l a r p e r m a n e n t e , a u n e n a u s e n c i a d e u n c a m p o p o l a r i z a n t e E wj. E n l a s i g u i e n t e s e c c i ó n s e e s t u d i a r á l a r e s p u e s t a d e u n d i e l é c tr i c o p o l a r a u n c a m p o e l é c t r ic o e x t e r n o . A q u í tr a t a re m o s e l p r o b l e m a a l g o m á s s e n c i ll o e n e l q u e in t e r v i e n e n m o l é c u la s n o p o l a r e s y e n e l q u e l o s “ c e n t r o s d e g r a v e  d a d ” d e l a s d i s tr i b u c i o n e s d e c a r g a p o s i t iv a s y n e g a t i v a s c o i n c i d e n n o r m a l m e n t e . L a s m o l é c u l a s s i m é t r ic a s , t a le s c o m o H 2, N 2 u 0 2, o l a s m o l é c u l a s m o n o a t ó m i c a s , ta l e s c o m o H e , N e y A r , s e e n c u e n t r a n d e n t r o d e e s t a c a t e g o r ía . L a a p l i c a c ió n d e u n c a m p o e l é c t r ic o p r o v o c a u n d e s p l a z a m i e n t o re l a t iv o d e l as c a r g a s p o s i ti v a s y n e g a t iv a s e n m o l é c u l a s n o p o l a r e s , y l o s d i p o l o s m o l e c u l a r e s a s í f o r m a d o s s e l l a m a n d i p o l o s i n d u c i d o s. E l t i p o m á s s e n c i l l o d e m o l é c u l a q u e p u e d e i m a g i n a r s e e s e l f o r m a d o p o r u n s o l o á t o m o . E s p o s i b l e c o n s t r u i r u n m o d e l o c lá s i c o s e n c i ll o p a r a e l á t o m o y d e e s t e m o d e l o o b t e n e r u n a e x p r e s i ó n p a r a e l m o m e n t o d i p o l a r i n d u c i d o y, e n c o n s e c u e n c i a , p a r a s u p o l a r i z ab i l i d a d . A u n q u e f u e d i se ñ a d o e s p e c í f ic a m e n t e p a r a t r a ta r m o l é c u l a s m o n o a t ó m i c a s , e l m o d e l o p u e d e u t i li z a r s e p a r a m o l é c u l a s d i a tó m i c a s s i m é t r ic a s , a p l i c á n d o l o p o r s e p a r a d o a c a d a u n o d e l o s á t o m o s d e l a m o l é c u l a p a r a o b t e n e r la s p o l a r i z a b i li d a d c s a t ó m i c a s . L a p o l a r i z a b i l id a d m o l e c u l a r e s e n t o n c e s l a s u m a d e é s t a s , o e l d o b l e d e l a p o l a r iz a b i l id a d a t ó m i c a . U n á t o m o e s t á f o r m a d o p o r u n n ú c l e o e x tr e m a d a m e n t e p e q u e ñ o c a r g a d o p o s i ti  vamente, rodeado por electrones orbitales que están en un estado de movimiento c o n t in u o . C o m o l o s e l e c tr o n e s r e c o r r e n s u s ó r b i ta s e n u n t ie m p o s u m a m e n t e c o r to , d e l o r d e n d e l í h 15 s e g u n d o s , e s e v i d e n t e q u e e n e l á t o m o “ e s t á t ic o ” e q u i v a l e n t e c a d a c a r g a e l e c t r ó n i c a e s t á “ r e p a r t id a ” s o b r e su ó r b i ta . L a m e c á n i c a c u á n t ic a n o s d i c e q u e , a u n q u e e s t e p a n o r a m a es e s e n c i a l m e n t e c o r re c t o , e s a l g o i n g e n u o ; l o s e le c t r o n e s n o se localizan realmente en órbitas, sino que tienen una probabilidad finita de estar s i tu a d o s e n c u a l q u i e r p a r te d e l á to m o . A s í p u e s , l a r e s p u e s t a d e l á t o m o a u n c a m p o e l e c tr o s tá t ic o o a c a m p o s e l é c tr ic o s q u e v a r í a n l e n t a m e n t e p u e d e e n f o c a r s e c o n s i d e  r a n d o q u e e l e le c t r ó n e s t á d i s t ri b u i d o s o b r e s u ó r b i t a e n e l á to m o y q u e c a d a ó r b it a está extendida sobre una parte considerable del volumen atómico. En resumen, un

5 T e o r í a m i c r o s c ó p i c a d e l o s d i e lé c t ri c o s

m o d e l o c l á si c o s e n c il lo d e l á t o m o c o m p a t ib l e c o n e s t o e s u n a c a r g a p o s i ti v a p u n t u a l ( e l n ú c l e o ) r o d e a d a p o r u n a n u b e e s f é r ic a m e n t e s i m é t r i c a d e c a r g a n e g a t i v a e n l a cu a l l a d e n s i d a d e s e s e n c i a l m e n t e u n i f o r m e h a s t a e l r a d i o a t ó m i c o  R 0 y c e r o a r a d i o s mayores. Estamos ahora en posición de calcular la polarizabilidad de este “átomo”. Se a s i g n a r á l a c a r g a  Z e   al n ú c l e o , s i e n d o e  e l v a l o r a b s o l u t o d e l a c a r g a e l e c t r ó n i c a y Z e l n ú m e r o a t ó m i c o . C o m o e l á t o m o e s e l é c tr i c a m e n t e n e u t r o , la c a r g a to t a l d e l a n u b e electrónica es - Z e .  Si el átomo se coloca en un campo polarizante el núcleo se d e s p l a z a r á r e s p e c t o  a l c e n t r o d e l a n u b e d e c a r g a u n a d i s t a n c i a q u e l l a m a r e m o s x .  E s t e

Em ,

d e s p l a z a m i e n t o s e d a r á e n l a d i r e c c i ó n d e E ffl. S u p o n d r e m o s q u e l a n u b e d e c a r g a s e m u e v e r í g i d a m e n t e d u r a n t e e s t e d e s p l a z a m i e n t o , e s d e c ir , n o h a y d i s to r s i ó n d e l a n u b e  p o r e l c a m p o p o la riz a n te . E l d e s p la z a m ie n to  a :  p u e d e d e te r m in a rs e a p a r tir d e l e q u ili  b rio d e fu e rz a s s o b r e e l n ú c le o : la fu e rz a  Z e E m a c t ú a e n l a d i r e c c i ó n d e l c a m p o , m i e n  t r a s q u e u n a f u e r z a e l e c t r o s t á ti c a e n t r e e l n ú c l e o y l a n u b e d e c a r g a t i e n d e a r e s t a u r a r l a c o n f i g u r a c i ó n i n i c i al . P o r l a l e y d e G a u s s , l a c a r g a n e g a t i v a q u e a t r a e a l n ú c l e o e s l a  p a r te d e la n u b e d e n tr o d e la e s f e r a d e r a d io * , y si la d e n s id a d e le c tró n ic a e n l a n u b e es u n i f o r m e , e n t o n c e s e s t a c a r g a e s  Z e x V R * .  E n c o n s e c u e n c i a ,

47T60* O  Z e x = 4 n €  0 R l E m 

(5-12)

C o m o e l d i p o l o a tó m i c o f o r m a d o e n e s t e p r o c e s o es p m =  Z e x , l a ú l t i m a e c u a c i ó n  p u e d e c o m p a ra rs e c o n (5 -8 ), d e d o n d e or = 4 tz € 0R I  

(5-13)

E l m o d e l o a tó m i c o q u e a c a b a d e d e s c r ib i r s e p u e d e p r o b a r s e c o m p a r a n d o l o s r e  s u l t a d o s o b t e n i d o s a p a r t i r d e é l c o n l o s r e s u lt a d o s d e d u c i d o s d e o t r a s f u e n te s . P o r ejemp lo, la ecuación (5-13) puede com binarse con la ecuación de Clausius-M ossotti ( E c . 5 - 1 0 ) p a r a e li m i n a r a . L a e c u a c ió n r e s u l ta n t e p r e d i c e e l r a d i o a t ó m i c o  R 0 en términos de cantidades determ inadas experimentalm ente. La/?0 obten ida de este m odo concu erda razonablemen te bien con los resultados de otros experim entos en aquellos c a s o s p a r a l o s c u a l e s e l m o d e l o e s p a r t ic u l a r m e n t e a d e c u a d o . / ?0 e s d e l o r d e n d e m a g  n i t u d d e 1 a n g s t r o m , e s d e c i r , 1 0 “ m m ( v é a s e e l p r o b l e m a 5 .1 ) . L a p o l a r i z a b il id a d d e d u c i d a e n l a e c u a c ió n ( 5 - 1 3 ) e s u n a c o n s t a n t e , in d e p e n d i e n  t e d e l c a m p o p o l a r iz a n t e . E n c o n s e c u e n c i a , l a e c u a c i ó n ( 5 - 1 3 ) n o s c o n d u c e a u n v a l o r c o n s t a n t e d e  K  y e l d i e l é c t r ic o a s í d e s c r i t o e s l in e a l .

MOLÉCULAS POLARES: L A F Ó R M U L A D E L A N G E V I N -D E B Y E C o m o s e m e n c i o n ó e n l a s e c c ió n a n t e ri o r, u n a m o l é c u la p o l a r ti e n e u n m o m e n t o d i p o l a r p e r m a n e n t e . U n a m o l é c u l a p o l a r e s t á fo r m a d a p o r a l m e n o s d o s e s p e c i e s

5 .3 M o l éc u la s p o l a re s : l a f ó r m u l a d e L a n g e v i n - D e b y e

13 3

FIGURA 5.3 Distribución aleatoria de dipolos permanentes.

d i s t in t a s d e á t o m o s . D u r a n t e l a f o r m a c i ó n d e m o l é c u l a s , a l g u n o s d e l o s e l e c t r o n e s p u e d e n t r a n s fe r i rs e c o m p l e t a o p a r c i a lm e n t e d e u n a e s p e c i e a t ó m i c a a o t ra ; l a d i s p o s i c i ó n e l e c t r ó  nica resultante es tal que los centros de carga positivos y negativos no coinciden en la m o l é c u l a . E n a u s e n c i a d e u n c a m p o e l é c tr i c o , u n a p o r c i ó n m a c r o s c ó p i c a d e l d i e lé c t r ic o  p o la r no e s tá p o la ri z ad a , y a q u e lo s d ip o lo s in d iv id u a le s e stán o rie n ta d o s al az ar, c o m o en l a f i g u r a 5 .3 . L a p o l a r iz a c i ó n s e h a d e f i n id o c o m o

P =

(5-14)

d o n d e l a s u m a s e e f e c tú a s o b r e t o d a s la s m o l é c u la s d e l e l e m e n t o d e v o l u m e n  A v .  C u a n d o l o s  pm s e o r i e n t a n a l a z a r , l a s u m a s e a n u l a . S i e l d i e lé c t r ic o p o l a r s e s o m e t e a u n c a m p o e l é c t r i c o , l o s d i p o l o s i n d i v i d u a l e s e x p e r i m e n t a n m o m e n t o s d e r o t a c ió n q u e t i e n d e n a a li n e a r lo s c o n e l c a m p o . S i e l c a m   p o e s s u fic ie n te m e n te in te n s o , lo s d ip o lo s p u e d e n a lin e a rs e p o r c o m p le to y la p o la riz a  c i ó n a l c a n z a e l v a l o r d e s a t u ra c i ó n P = N P m 

(5-15)

d o n d e  N  e s el n ú m e r o d e m o l é c u l a s p o r u n i d a d d e v o l u m e n . E s t e e f e c t o d e o r i e n ta c i ó n s e s u m a a l o s e f e c t o s d i p o l a re s i n d u c i d o s , q u e g e n e r a l m e n t e t a m b i é n e s t á n p r e s e n t e s. Por el momento despreciaremos la contribución dipolar inducida, pero su efecto se t e n d r á e n c u e n t a m á s a d e l an t e . A l a s in t e n s i d a d e s d e c a m p o q u e s e e n c u e n t r a n n o r m a l m e n t e , la p o l a r iz a c i ó n d e u n d i e l é c t r ic o p o l a r g e n e r a l m e n t e e s t á l e j o s d e s u v a l o r d e s a t u r a c ió n y, s i la t e m p e r a  t u r a d e l a m u e s t r a s e e l e v a , la p o l a ri z a c i ó n s e v u e l v e a ú n m e n o r . L a f a l t a d e u n a a l in e a  ción dipolar completa se debe a la energía térmica de las moléculas, que tiende a  p ro d u c ir o r ie n ta c io n e s a le a to ria s d e lo s d ip o lo s . E l m o m e n to d ip o la r e f e c tiv o p r o m e  d i o p o r m o l é c u l a p u e d e c a l c u l a r se m e d i a n t e u n p r i n c i p i o d e m e c á n i c a e s t a d í s t ic a q u e e s t a b l e c e q u e a l a t e m p e r a t u r a T  l a p r o b a b i l i d a d d e e n c o n t r a r u n a e n e r g í a m o l e - c u la r  E  d e t e r m i n a d a e s p r o p o r c i o n a l a l f a c t o r d e B o l tz m a n n e ~ F Jk T  

(5-16)

s i e n d o k  l a c o n s t a n t e d e B o l t z m a n n y T  l a t e m p e r a t u r a a b s o l u ta . N o s e h a r á a q u í u n a e x p o s i c i ó n c o m p l e t a d e l a b a s e d e e s t e p r i n c i p io ; e l l e c t o r f a m i l ia r i z a d o c o n l a d i s t r i   b u c ió n d e v e lo c id a d e s d e M a x w e ll e n un g a s p e r fe c to y a lo h a v is to a n te rio rm e n te .

134

5 T e o r í a m i c r o s c ó p i c a d e l o s d i e lé c t ri c o s

S e g ú n l a l e y d e d is t ri b u c i ó n d e M a x w e l l, l a p r o b a b i li d a d d e u n a v e l o c id a d m o l e c u l a r v e s   proporcional a e~mv l2kT. P e r o e n e l g a s p e r f e c to d e M a x w e l l, l as m o l é c u l a s ti e n e n s ó l o e n e r g í a c i n é t ic a ,  j r n i '2 . E n e l c a s o g e n e r a l ,  E  e n l a e c u a c i ó n ( 5 - 1 6 ) d e b e i n c l u ir t a n to l a e n e r g í a c i n é t i c a  E k   c o m o l a e n e r g í a p o t e n c i a l U , y e l f a c t o r s e c o n v i e r t e e n (5-17)

e - E k/ k T e - U / k T  

L a e n e r g í a p o t e n c i a l d e u n d i p o l o p e r m a n e n t e /?0 e n u n c a m p o e l é c t ri c o E m e s U = - Po •

E m = - p 0 E m eo s 6  

(5-18)

s i e n d o S e l á n g u l o e n t r e p 0 y e l c a m p o e l é c tr ic o . C o m o l a s e n e r g í a s c in é t i c a s m o l e c u l a r e s n o d e p e n d e n d e l c a m p o e l é c t ri c o , p o d e m o s d e s p r e c i a r p o r c o m p l e t o l a d i s tr i b u c i ó n d e v e l o c id a d e s e n e l s i g u ie n t e c á lc u l o . E l m o m e n t o d i p o l a r e f e c t i v o  d e u n d i p o l o m o l e c u l a r e s s u c o m p o n e n t e e n l a d i re c c i ó n d e l c a m p o , e s d e c ir , p 0 e o s 9. E m p l e a n d o l a re l a ci ó n d e B o l t z m a n n , r e s u l t a q u e e l v a l o r p r o m e d i o d e e s t a c a n t id a d e s J p o e o s 0 e +Pn£"’CO5 0/kT d Q 

(pocos 6 ) =

I  g+ PoEm COS d/ k T d Q  

(5-19)

d o n d e dC l   e s u n e l e m e n t o d e á n g u l o s ó l i d o q u e p u e d e s u s t i t u i r s e p o r 2 K  sen 0 d 9  y d o n d e l o s l ím i te s d e 9 s o n 0 y n .  C o m o  p 0, E m y k T  s o n c o n s t a n t e s d e i n t e g r a c i ó n , l as i n t e g r a le s p u e d e n e f e c t u a r s e d i r e c ta m e n t e . C o n v i e n e d e f i n i r   y =

 y

k T 

( 5 -2 0 )

L a e c u a c i ó n ( 5 - 1 9 ) d a en t o n c e s
(5-21)

q u e s e c o n o c e c o m o fó r m u l a d e L a n g e v in . L a c u r v a q u e p r e s e n t a e s ta f u n c i ó n s e m u e s t r a e n l a f i g u r a 5 .4 . Puede v erse en la figura que la ecuación (5-21) da realm ente un efecto de sa tura c i ó n p a r a c a m p o s d e g r a n i n t e n s i d a d . S i n e m b a r g o , p a r a p e q u e ñ o s v a l o r e s d e  y , la g r á f i c a e s li n e a l , y e s t a re g i ó n l i n e a l e s im p o r t a n t e a te m p e r a t u r a s o r d i n a r i a s . E l m o  m e n t o d i p o l a r m o l e c u l a r  p 0 d e l a m a y o r í a d e l o s m a t e r ia l e s p o l a r e s e s t a l q u e  y  « 1 p a r a u n i n te r v a lo c o m p l e to d e i n te n s i d a d e s d e c a m p o , a u n p a r a a q u e ll a s q u e se a p r o x i m a n a l v a l o r d e l a r ig i d e z d i e l é c t r ic a d e l m a t e r ia l , m i e n t r a s l a t e m p e r a t u r a e s t é  p o r e n c im a d e 2 5 0 K , a p ro x im a d a m e n te . A s í p u e s , un m a te r ia l d ie lé c tr ic o q u e c o n tie  n e m o l é c u l a s p o l a r e s e n g e n e r a l e s lineal. C o m o l a r e g ió n l i n e a l d e l a e c u a c i ó n ( 5 - 2 1 ) e s l a i m p o r t a n te , e s a p r o p i a d o d e s a r r o l l a r c o t h y  e n s e r ie d e p o t e n c i a s y c o n s e r v a r s ó l o lo s p r i m e r o s t é r m i n o s ( v é a s e

5 .3 M o l é cu l a s p o l a re s : la f ó r m u l a d e L a n g e v i n - D e b y e

135

FIGURA 5.4 Gráfica de la función de Langevin. El valor asintótico cuando  y  —» ** es lino.

e l p r o b l e m a 5 .4 ) . E l p r im e r t é r m i n o c a n c e l a e l ú l ti m o d e l a e c u a c i ó n ( 5 - 2 1 ) , c o n e l r e s u l ta d o d e q u e (Po

  C O S 0 )

*

^ p 0y

=

(5-22a)

E l t é r m i n o ( p 0c o s 0) e s e l m o m e n t o d i p o l a r e f e c ti v o p r o m e d i o ; p o r t a n t o , l a p o l a r iz a  c i ó n  P  =  N ( p 0 e o s 6 )  y t ie n e l a d i r e c c i ó n d e E m. E n c o n s e c u e n c i a , l a e c u a c i ó n ( 5 - 2 2 a ) p u e d e e s c r i b ir s e e n l a f o r m a i p

N

= -á _F

3

kT m

(5-22b)

C o m p a r a n d o e s t a e c u a c i ó n c o n ( 5 - 8 ) , e s e v i d e n t e q u e l a p o l a r iz a b i l i d a d a (es dec ir, el m o m e n t o d i p o la r m o l e cu l a r p o r u n i d a d d e c a m p o p o l a r iz a n t e ) e s cc =

 Po_ 

(5-23)

3 k T 

E s t e r e s u lt a d o s e h a d e d u c i d o d e s p r e c ia n d o lo s m o m e n t o s d i p o l a re s i n d u c i d o s y r e   p re s e n ta lo q u e p o d ría m o s lla m a r p o la riz a b ili d a d p o r o rie n ta c ió n . L o s e f e c t o s d i p o l a re s i n d u c id o s , t a le s c o m o l o s c o n s i d e r a d o s e n l a s e c c i ó n a n t e r io r , d a n o r i g e n a l o q u e  p o d ría lla m a rs e p o la r iz a b il id a d  p o r d e fo r m a c ió n , a Q.  E n t o n c e s , e n e l c a s o g e n e r a l , l a  p o la riz a b ili d a d m o le c u la r to ta l es ar = or0 +

 _Po_  3 k T 

(5-24)

5 T e o r ía m i c r o s c ó p i c a d e l o s d i e lé c t ri c o s

E s t a e x p r e si ó n s e co n o c e c o m o e c u a c i ó n d e L a n g e v i n - D e b y e  y ti e n e g r a n i m p o r t a n c i a e n l a i n t e rp r e t a c i ó n d e e s t r u c tu r a s m o l e c u la r e s .

P O L A R IZ A C I Ó N P E R M A N E N T E : FE R R O E L E C T R I C ID A D S e v i o e n l a s e c c ió n 5 . 1 q u e e l c a m p o m o l e c u l a r E m e s e l r e s p o n s a b l e d e p o l a r i z a r la s m o l é c u l a s i n d iv i d u a l e s . L a r e la c i ó n e n t r e E m y e l c a m p o e l é c tr i c o m a c r o s c ó p i c o E s e d i o e n l a e c u a c i ó n ( 5 - 7 ) . E n l a m a y o r í a d e l o s c a s o s , la p o l a r i z a c i ó n e s p r o p o r c i o n a l a E , d e m o d o q u e  Em s e a n u l a c u a n d o E t ie n d e a c e r o . P e r o e n c i e r t a s c o n d i c i o n e s , l a e c u a c i ó n ( 5 - 7 ) t a m b i é n e s c o m p a t ib l e c o n u n a p o l a r iz a c ió n p e r m a n e n t e ( o e s p o n t á  n e a ) . C u a n d o E s e i g u a l a a c e ro , (5-25) o , e n o t r a s p a l a b r a s , si e x i s t e u n a p o l a r iz a c i ó n P 0, é s t a c re a r á e n l a m o l é c u l a u n c a m p o e l é c t r ic o q u e t i e n d e a p o l a r iz a r l a . C o n t o d a s e g u r i d a d e x i s t e u n c a m p o p o l a r iz a n t e ;  p e r o s i e s te c a m p o d a o rig e n a u n a p o la r iz a c ió n d is tin ta d e P0, e n t o n c e s l a s o l u c i ó n n o e s a u t o c o n s i s t e n t e . P o r t a n t o , s i N  e s e l n ú m e r o d e m o l é c u l a s p o r u n id a d d e v o l u m e n ,

 N a

a E— m P P- „u m = — “ u0 =  N - •— a 3 €0

(5-26)

E s t e r e s u l t a d o s e s a ti s fa c e c u a n d o

o bien cuando

P o r co n s i g u ie n t e , l a c o n d ic ió n p a r a q u e s e d é u n a p o l a ri z a c ió n p e r m a n e n t e e s l a e c u a  ción (5-27).* P a r a l a m a y o r í a d e l o s m a t e r i a l e s ,  N a / 3 e 0 e s m e n o r q u e u n o , y a p a r e c e e l comportamiento dieléctrico ordinario. Sin embargo, en algunos sólidos cristal inos s e c u m p l e l a c o n d i c ió n ( 5 - 2 7 ) . D i c h o s m a t e r ia l e s s e l l am a n  fe r r o e lé c t r ic o s  p o r q u e s u s p r o p i e d a d e s e l é c t r ic a s s o n a n á l o g a s a la s p r o p i e d a d e s m a g n é t i c a s d e l o s m a t e r i a  l e s f e r r o m a g n é t i c o s . E l e je m p l o m á s c o n o c i d o d e u n m a t e r ia l f e r r o e l é c t ri c o e s e l t it a n a to d e b a r i o, B a T i O v q u e p r e s e n t a u n m o m e n t o d i p o l a r e s p o n t á n e o a t e m p e r a tu r a s

* Hablando estrictamente, la ecuación (5-27) se ha deducido para m ateriales compuestos p or un solo tipo de moléculas y para los cuales el término E ' de la sección 5.1 se anula. En una teoría cuantitativa aplicable al caso general, la ecuación (5-27) se sustituye por un sistema de ecuaciones simultáneas. Tales complicaciones no son necesarias para una comprensión fundamental del origen de l a ferroelectricidad y, en consecuencia, no se analizarán aquí.

5 . 4 P o l a r i z a c i ó n p e r m a n e n t e : f e r r o e l e c t ri c i d a d

137

i n f e r io r e s a ! 2 0 ° C . E s t a te m p e r a t u r a s e l la m a  p u n to d e C u r ie   d e l m a t e r i a l . E l e s t a d o p o l a r iz a d o d e u n m a t e ri a l f e r ro e l é c t ri c o e s r e l a t iv a m e n t e e s t a b l e y p u e d e  p e r s i s t i r d u r a n te la r g o s p e r io d o s d e tie m p o . E s to p u e d e s o r p r e n d e r n o s h a s  t a c ie r t o p u n to , p o r q u e u n a m u e s t r a p o l a ri z a d a e s tá s u j e ta a s u p r o p i o c a m p o d e s   p o la r iz a n te y, d e p e n d ie n d o d e la f o r m a g e o m é tr ic a d e l a m u e s tr a , e s te c a m p o despolarizante puede ser bastante grande. El campo despolarizante es mayor para u n a m u e s t r a q u e ti e n e l a f o rm a d e u n a l á m i n a p l a n a p o l a r iz a d a e n l a d ir e c c i ó n n o r m a l a s u s c a r a s . C o m o s e v i o e n l a s e c c i ó n 5 . 1 , s i l as d i m e n s i o n e s d e l a c a r a d e l a lá m i n a son grandes comparadas con su espesor, entonces

E n r e a l id a d , l a a l ta e s ta b i l id a d d e u n f e r r o e l é c t r ic o p o l a r i z a d o s e d e b e a l h e c h o d e q u e no  hay campo despolarizante sobre la muestra, aun para el caso en el que la forma g e o m é t r ic a s e a l a d e l a lá m i n a . L a m u e s t r a s e p o l a r i z a c o l o c á n d o l a e n t r e p l a c a s c o n  d u c t o r a s p a r a l e l a s a l a s q u e p o s t e r io r m e n t e s e a p l i c a u n a g r a n d i f e r e n c i a d e p o t e n c i a l. E n e s te p r o c e s o l a c a r g a libre d e l as p l a c a s s e n e u t r a l iz a r á e n g r a n p a r t e p o r l a c a r g a d e  p o la r iz a c ió n s u p e rfic ia l, c o m o s u c e d e ta m b ié n d u ra n te la p o la r iz a c ió n d e u n d ie lé c tr ic o c o m ú n . S i l as p l a c a s p a r a l e la s s e p o n e n a h o r a a l m i s m o p o t e n c i a l, e n c o r t o c i rc u i t o , e l estado polarizado del ferroeléctrico es todavía energéticamente favorable, de mod o q u e l a c a r g a l ib r e p e r m a n e c e e n s u l u g a r ,  n e u t r a l iz a n d o t o d a v í a la c a r g a d e p o l a r i z a  c i ó n . L a s i t u a c ió n e s a l g o p a r e c i d a a l a m o s t r a d a e n l a f i g u r a 5 . 5 , e n l a q u e l a c a r g a libre  e s m a n t e n i d a e n s u l u g a r p o r l a c a r g a d e p o l a r i z a c i ó n s u p e r f i c i a l . E l c a m p o m a c r o s c ó p i c o d e n t r o d e l f e rr o e l é c t r ic o e s c e r o . A d e m á s , e l c a m p o e l é c t r i c o e x t e r n o e s c e r o y e s d i f íc i l d i s t in g u i r la m u e s t r a p o l a r i z a d a d e l a d e u n m a t e r ia l d i e l é c t r ic o c o m ú n no polarizado. S i s e a p l ic a a h o r a u n a g r a n d i fe r e n c i a d e p o t e n c i a l d e s ig n o c o n t ra r i o a l a s  p la c a s q u e r o d e a n el f e r r o e lé c tr ic o p o la r iz a d o , l a m u e s tr a c a m b ia r á s u p o la r iz a c ió n y las cargas libres de signo opuesto fluirán a las placas desde el circuito externo en c a n t i d a d s u f i c i e n t e p a r a n e u t r a l iz a r n o s ó l o l a c a r g a l i b r e q u e y a e s t á a l lí , s in o t a m b i é n

138

5 T e o r í a m i c r o s c ó p i c a d e l o s d i e l é c tr ic o s

FIGURA 5.6 C u r v a d e h i s t é r e s is p a r a una muestra ferroeléctrica.

 E 

l a n u e v a c a r g a d e p o l a r iz a c i ó n . P o r t a n to , u n a l á m i n a f e r r o e l é c t ri c a e n t r e d o s p l a c a s  p a r a le la s p u e d e s e r v ir c o m o e le m e n to b á s ic o d e u n d is p o s it iv o p a r a m e m o r ia . É s te es c a p a z d e a l m a c e n a r c a r g a s s o b r e la s p la c a s q u e r o d e a n e l f e r r o e l é c tr i c o c o m o + o + y s u p o l a r i z a c ió n p e r s i s t e e n a u s e n c i a d e u n c a m p o e l é c t ri c o e x te r n o . E l “ n u m e r o ” ± o + p u e d e l e e r s e al a p l i c a r u n a d i fe r e n c i a d e p o t e n c i a l a tr a v é s d e l a m u e s t r a . S i e l c a m p o a p l i c a d o e s t á e n l a d i re c c i ó n d e l a p o l a r iz a c i ó n o r i g i n a l, n o p a s a r á n i n g u n a c a r g a a t ra v é s d e l c i r c u i to e x t e r n o : s i l a d i f e r e n c i a d e p o t e n c i a l e s o p u e s t a a l a p o l a r iz a c i ó n o r i g in a l , f lu i r á u n a c a r g a p o r e l c i rc u i to e x t e r n o a l c a m b i a r d e s e n t i d o l a p o l a r iz a c i ó n d e l f e r r o e l é c t ri c o . U n f e r r o e lé c t r ic o p o l a r iz a d o e s e s t a b l e f r e n t e a u n c a m p o e l é c t r ic o c o n s e n t id o i n v e r s o s i e m p r e y c u a n d o e s t e c a m p o e l é c t r ic o n o s e a d e m a s i a d o g r a n d e . L a f i g u r a 5 . 6 m u e s t r a la c u r v a c o m p l e t a d e p o l a r i z a c i ó n e n f u n c i ó n d e l c a m p o e l é c t r ic o . E s e v i d e n t e q u e p a r a c a m p o s b a j o s h a y d o s v a l o r e s d e  P  p a r a c a d a v a l o r d e  E . U n a c u r v a ta l c o m o l a d e l a f i g u r a 5 . 6 s e l l a m a c u t y a d e h i s té r e s is . H i s té r e s i s s i g n i f ic a “ q u e d a r s e a t r á s ” y e s e v i d e n t e q u e e l v e c t o r d e p o l a r i z a c ió n s e r e t r a s a c o n r e s p e c t o a l v e c t o r d e l c a m p o e l é c tr ic o . L o s p u n t o s b y a  s o n l as c o n f i g u r a c i o n e s e s t a b l e s e n  E  = 0 ; r e p r e s e n t a n l a s  p o la r iz a c io n e s ± y + , re s p e c tiv a m e n te . E l p u n to c  e s e l c a m p o e l é c tr ic o q u e h a y q u e s u p e r a r p a r a i n v e r t ir l a p o l a ri z a c ió n .

5 .5

-~

R E S U M EN L a p o l a r iz a c i ó n m a c r o s c ó p i c a P d e u n m a t er ia l d i e lé c tr ic o i s ó t r o p o d e p e n d e d e l m o  m e n t o d i p o l a r m o l e c u l a r (o d e s u c o m p o n e n t e e f e c ti v a ) p w, q u e a p a r e c e e n r e s p u e s t a a l c a m p o e l é c t r i c o l o c a l e n l a m o l é c u l a , e l c a m p o m o le c u la r  E m\

P = NPm G e n e r a l m e n t e , p ^ e s p r o p o r c io n a l a E m e n u n a b u e n a a p r o x im a c i ó n ,

Problemas

139

d o n d e a   es la p o l a r i z a b i l i d a d m o l e c u l a r . E l c a m p o m o l e c u la r d e p e n d e d e l ca m p o a p l ic a d o E y t a m b i é n d e l a m i s m a p o l a r i z a c i ó n ( e s d e c ir , d e l c a m p o d i p o l a r d e t o d a s l a s o t ra s m o l é c u l a s ) . E n l o s c a s o s m á s s e n c i ll o s

Em = E + -L p 3
E n e l c a s o m á s g e n e r a l,

p u e d e e l im i n a r s e d e e s t a s e c u a c i o n e s p a r a d a r  

P = *E c o n l a c o n s t a n t e d e s u s c e p t i b i li d a d

 X=

Na l  _  — 

3 e0 P e r o s i l a s m o l é c u l a s s o n m u y p o l a r i z a b l e s ( N a >   3 e ()) , e s p o s i b l e o t r a s o l u c i ó n c o n E = 0 , P * 0 ( e s d ec i r, e l m a t e r ia l p u e d e s e r p o l a r i z a d o e s p o n t á n e a m e n t e e n u n c a m p o a p l ic a d o c e r o , c o m o o c u r r e e n u n f e r r o e l é c tr i co ) . • T o d a s la s m o l é c u la s p r e s e n t a n u n m o m e n t o d i p o la r i n d u c id o e n u n c a m p o e l é c  trico a causa de la deformación de la distribución de carga electrónica. Un modelo lineal sencillo conduce a una constante de polarizabilidad atómica proporcional al volumen atómico, a n = 4 j r e n /?n

• L a s m o l é c u la s p o l a r e s , q u e t ie n e n u n m o m e n t o d i p o l a r p e r m a n e n t e p (y  p r e s e n t a n además una polarizabilidad por orientación que se describe m ediante la función de L a n g e v i n d e d u c i d a p o r l a m e c á n i c a e s t a d í s t i c a . A u n a t e m p e r a t u r a e l e v a d a T ,  e s t a c o n t r i b u c i ó n t a m b i é n e s li n e a l c o n

3 k T  • L a e c u a c i ó n d e L a n g e v i n - D e b y e c o m b i n a l a p o l a r i z a b i li d a d p o r o r i e n ta c i ó n y  p o r d e f o rm a c ió n . • U n o s c u a n t o s m a t e r ia l e s , p o r e je m p l o el ti ta n a t o d e b a r io , p r e s e n t a n ferroelectricidad.

PROBLEMAS

5.1

(a) U tilice la ecuación de Clausius-Mossolti para d etermina r la polarizabilidad de los átom os en las moléculas de aire: N2, Q,. (Observe que sólo puede obtenerse d e la ecuación 5-10 el  pro m ed io pon der ad o de las po la rizab ili dades par a e l nitr ógen o y el oxíg eno.) (b ) C om bin e este resultado con la teoría de la sección 5.2 para determinar el radio promedio del átomo de la mo lécula de aire. 5.2 La figura 5.7 m uestra una red cúbica simple de moléculas, todas las cuales tienen el mismo momento dipolar (en dirección y magnitud). Fijemos nuestra atención en una mo lécula particular, digam os la j . Es evidente que la j  tiene seis primeros vecinos a un a distancia

CAPÍTULO 0

Energía electrostática

M u c h o s p r o b l e m a s d e m e c á n i c a s e s i m p l if ic a n e n o r m e m e n t e g ra c i a s a c o n s i d e r a c io  n e s d e e n e r g ía . E n c o n s e c u e n c i a , c u a n d o d e b e e s t u d i a r s e e l c o m p o r t a m i e n t o m e c á n i c o d e u n s i s te m a e l é c tr ic o , p u e d e s e r v e n t a jo s o u s a r m é t o d o s d e e n e r g í a . E n g e n e r a l , la e n e r g í a d e u n s i s t e m a d e c a r g a s , c o m o l a d e c u a l q u i e r o tr o s i s t e m a m e c á n i c o , p u e d e d i v i d i r s e e n s u s c o n t r ib u c i o n e s p o t e n c i a l y c i n é t i c a . S i n e m b a r g o , e n c o n d i c i o n e s e s t á  t ic a s l a e n e r g í a t o ta l d e l s i st e m a d e c a r g a s e x i s t e c o m o e n e r g í a p o t e n c i a l , y e n e s t e capítulo tendremos un interés particular en la energía potencial que surge de la i n t e r a c c i ó n e n t r e la s c a r g a s , l a ll a m a d a e n e r g í a e l e c t r o s t á ti c a . E n l a s e c c ió n 2 . 4 s e m o s t r ó q u e l a e n e r g í a e l e c tr o s t á ti c a U  d e u n a c a r g a p u n t u a l e s t á e s t re c h a m e n t e r e l a c io n a d a c o n e l p o t e n c i a l e l e c t r o s tá t ic o (p e n l a p o s i c i ó n d e l a c a r g a p u n t u a l . D e h e c h o , s i q  e s l a m a g n i tu d d e d e t e r m i n a d a c a r g a p u n t u a l , e n t o n c e s e l t ra b a j o r e a l iz a d o p o r l a fu e r z a s o b r e l a c a r g a c u a n d o é s t a s e m u e v e d e s d e l a p o s i c i ó n A a l a p o s i c i ó n  B  e s

( 6 - 1)  A

A q u í s e c o n s i d e r a q u e l a f u e r z a F e s s o l a m e n t e l a fu e r z a e l é c t r ic a q E  e n c a d a p u n t o a lo largo de la trayectoria. En estas condicion es, la partícu la cargada se aceleraría. Si no s e a c e le r a , l a f u e r z a e l é c tr i c a d e b e e s t a r e q u i li b r a d a e n c a d a p u n t o p o r u n a f u e r z a d e l a misma magnitud y de sentido contrario, aplicada mediante algún otro, agente, de tal m o d o q u e e l t ra b a jo t o t a l  e s c e r o y l a e n e r g í a c i n é t i c a n o c a m b i a . E l t r a b a j o e f e c tu a d o  p o r e s ta o t r a  f u e r z a e s W = q{cpB -


(6-2 )

142

6 E n e r g í a e l e c t ro s t á t ic a

E s t e r e s u l t a d o e s i g u a l a l in c r e m e n t o p r o d u c i d o e n l a e n e r g í a e l e c t r o s t á t ic a d e l a c a r g a a l o l a rg o d e l a t r a y e c t o r ia A —» B . C o n s id e r a c io n e s s e m e j a n te s p u e d e n a p l i c a rs e a s i st e m a s d e c a r g a s m á s c o m p l e   jo s . D e h e c h o , la e n e r g ía e le c tro s tá tic a d e u n a d is trib u c ió n a r b itr a r ia d e c a r g a p u e d e c a l c u l a r s e c o m o e l t r a b a j o n e c e s a r i o p a r a r e u n i r d i c h a d i s t ri b u c i ó n d e c a r g a e n c o n t r a d e l a i n t e ra c c i ó n d e C o u l o m b d e l a s c a r g a s s in c o n s i d e r a r o tr a s f o r m a s d e e n e r g í a . E s t e c á l c u l o y a l g u n a s d e s u s c o n s e c u e n c i a s s o n l a m a t e r ia d e e s t e c a p í t u lo .

6.1

~

E N E R G IA P O T E N C IA L D E U N G R U P O DE CARGAS PUNTUALES P o r e n e r g í a e le c t r o s t á ti c a d e u n g r u p o m  d e c a r g as p u n t u a l e s e n t e n d e r e m o s l a e n e r g ía  p o te n c ia l d e u n s is te m a e n re la c ió n c o n el e s ta d o e n q u e to d a s la s c a r g a s p u n tu a le s e s t á n in f i n i ta m e n t e s e p a r a d a s u n a s d e o t r a s . E s t a e n e r g í a p u e d e o b t e n e r s e m u y f á c i l  m e n t e c a l c u la n d o e l tr a b a j o p a r a r e u n i r l a s c a rg a s d e a c u e r d o c o n l a e c u a c i ó n ( 6 - 2 ), t r a y e n d o u n a s o la a l a v e z . L a p r i m e r a c a r g a pue de ser colocada sin trabajo alguno, W ]  = 0 . P a r a c o l o c a r l a s e g u n d a , q v  s e r e q u i e r e w, =

qiq'  47re0r2i

do nd e r21 = lr2 - r {\. P a r a l a t e r c e r a c a r g a , q y Í 2 _ l

w 3 = 9 3\ t  ^ —  + L4rre0r3i

4jr6or32J

E l t r a b a j o n e c e s a r i o p a r a t r a e r l a c u a r t a ca r g a , l a q u i n t a c a r g a , e t c . , p u e d e e x p r e s a r s e d e f o r m a s e m e j a n t e . L a e n e r g í a e le c t r o s t á ti c a t o ta l d e l s i s te m a d e m  c a r g a s e s l a s u m a d e l o s W \ es decir, u

=hi

w

’

=

 S ÍI M*=>4

-M

l ~)

(6-3)

A b r e v i a r e m o s e s t a e x p r e s i ó n d e U  c o m o  m

/— 1

U = 2 2 ^ 7=1 k = 1 S i a h o r a o r d e n a m o s Wjk  e n f o r m a d e m a tr iz , te n i e n d o e n c u e n t a q u e WJk= Wkj y p o  n i e n d o W j=  0 , es e v i d e n t e q u e p o d e m o s e s c r ib i r U  ta m b i é n c o m o

t' = i X

2

^

7 = 1 k  =1

(wíj =

0)

143

6 . 2 E n e r g í a e l e c tr o s t á t ic a d e u n a d i s t r ib u c i ó n d e c a r g a s

El factor { de esta suma, que resulta ser más simétrica, aparece debido a que la interacción entre cada par de cargas no debe considerarse dos veces. De este modo, u n a f o r m a a l te r n a t i v a in á s c o n v e n i e n t e d e l a e c u a c i ó n ( 6 - 3 ) e s

4 JJ il e€ d rjr  k  2 -¡ = 1 1  L k = 1  H

^

^

d o n d e l a p r i m a d e l a s e g u n d a s u m a t o ri a s i g n i f ic a q u e e l t é r m i n o k = j   s e e x c l u y e específicamente. La ecuación (6-4) puede escribirse en forma diferente si notamos que el valor f i n a l d e l p o t e n c i a l (p p a r a l a y - é s im a c a r g a p u n t u a l d e b i d o a o tr a s c a r g a s d e l s i s te m a está dado por  m

* ~k

n

4

^

(6-5)

P o r t an t o , l a e n e r g í a e l e c t ro s t á t ic a d e l s i s te m a e s m

^ ' = 2 ' L q i
(6-6)

7 =1

S i l a s c a r g a s p u n t u a l e s s e r e u n i e r a n e n u n m e d i o d i e l é c t ri c o l in e a l d e e x t e n s i ó n i n f i n i ta , e n l u g a r d e l v a c ío , e n t o n c e s l a p e r m i ti v i d a d e   s u s t i t u i r í a a e Q e n l a s e c u a c i o n e s ( 6 - 4 ) y ( 6 - 5 ) , p e r o l a e c u a c i ó n ( 6 - 6 ) p e r m a n e c e r í a i n a l te r a d a . E n l a s i g u i e n t e s e c c i ó n s e m o s t r a rá q u e e s t a ú l ti m a e c u a c i ó n t ie n e u n a v a l i d e z d e c a r á c t e r g e n e r a l . S e p u e d e a p l ic a r a u n g r u p o d e c a r g a s p u n t u a le s q u e s e e n c u e n t r a n e n m á s d e u n m e d i o d i e lé c  t ri c o e i n c l u s o s e a p l ic a a c o n d u c t o r e s d e t a m a ñ o f in i to . L a ú n i c a r e s t ri c c ió n p a r a l a v a l i d e z d e l a e c u a c i ó n ( 6 - 6 ) e s q u e t o d o s l o s d i e l é c tr i c o s e n e l s i st e m a e l é c t r ic o d e b e n ser lineales.

E N E R G ÍA E L E C T R O S T Á T IC A D E U N A D IS T R I B U C I Ó N D E C A R G A S E n e s t a s e c c ió n c a l c u l a r e m o s l a e n e rg í a e l e c tr o s t á t ic a d e u n a d i s t r ib u c i ó n d e c a r g a s a r b i t ra r i a c o n d e n s i d a d d e v o l u m e n p y d e n s i d a d d e s u p e r f ic i e o . P a r t e d e la c a r g a  p u e d e e s ta r lo c a liz a d a s o b re la s s u p e r fic ie s d e c o n d u c to r e s . D e h e c h o , s e c o n s id e r a r á explícitamente que hay conductores en el sistema. Además, se considerará que los d i e l é c tr i c o s e n e l s i s te m a s o n l i n e a l e s . E s t a r e s t r ic c i ó n e s n e c e s a r i a p a r a q u e e l tr a b a j o e f e c t u a d o a l t r a e r e l s i s te m a a s u e s t a d o d e c a r g a f in a l s e a i n d e p e n d i e n t e d e l a f o r m a e n q u e s e a l c a n c e d i c h o e s t a d o f in a l. S u p o n g a m o s q u e r e u n im o s l a d i s tr ib u c i ó n d e c a r g a t r a y e n d o i n c r e m e n t o s d e c a r  g a S q  d e s d e u n p o t e n c ia l d e r e f e r e n c i a (pA = 0 . S i l a d i s t ri b u c i ó n d e c a r g a e s t á p a r c i a l  m e n t e f o r m a d a y e l p o t e n c i a l e n u n p u n t o p a r t i c u l a r d e l s is t e m a e s ( p \ x , y , z ) , e n t o n c e s , d e l a e c u a c i ó n ( 6 - 2 ) , e l t ra b a j o n e c e s a r i o p a r a c o l o c a r S q  e n e s t e p u n t o e s

144

6 E n e r g í a e l e c t ro s t á t ic a

óW

=

( p ' ( x f y  , z ) Ó q  

(6-7)

El incremento de carga 5q puede añadirse a un elemento de volumen localizado en ( x, y, z), de tal forma que 8q = Sp Av., o 5q puede añadirse a un elemento de superficie en el punto en cuestión, en este caso 5 q = 5 o Aa . La energía electrostática total de la distribución de carga reunida se obtiene sumando las contribuciones que tienen la forma de la ecuación (6-7). Dado que el trabajo necesario para reunir las cargas es independiente del orden en el cual se realice esta acción, podemos escoger un procedimiento particular para reunirías en el que la suma de los 5W   se calcule convenientemente. Este procedi miento es aquel en el que todas las partes del sistema son traídas a su estado final de carga al mismo tiempo, es decir que en cualquier etapa del proceso, todas las densida des de carga están a la misma fracción de sus valores finales. Llamaremos a esta fracción a. Si los valores finales de las densidades de carga están dados por las fun ciones p(x, y , z) y o[x, y , z), entonces las densidades de carga en una etapa arbitraria son ap(x, y, z) y oa(x , y, z). Además, los incrementos de estas densidade s son 8p =  p(x, y, z) d a y d a = o(x, y, z) da . L a energía electrostática total, que se obtiene suman do la ecuación (6-7), es u 

=

 p ( x , y , z ) c p ' ( a - , x , y , z ) d v 

Pero como todas las cargas están a la misma fracción, a,  de sus valores finales, el  potencial (p\a; x, y, z) = atp(x, y, z), donde (pes el valor final del potencial en (x, y, z). Si sustituimos esta expresión, encontramos que la integración sobre a es directa y da

U 

=

2 )V

d V + 2  J5 ^

dü

( 6 -8 )

Esta ecuación da el resultado deseado para la energía de una distribución de carga. Es importante hacer notar que el volumen de integración V7 debe ser lo suficientemente grande como para incluir toda la densidad de carga en el problema, y que el potencial (p es sólo el debido a la propia densidad de carga p (y tí). Generalmente las densidades de carga se anulan fuera de alguna región limitada, en cuyo caso puede considerarse que V abarca todo el espacio. Si el espacio total se llena con un solo medio dieléctrico excepto en ciertos conductores, el potencial está dado por  f  p ( r ' ) d v '

”(r)=¿ ív

|r - r ' |

o ( r ' ) d a '  4 n e  Js |r - r'|

J _

í 

I

(6-9)

6 . 2 E n e r g í a e l e c t r o s t á t ic a d e u n a d i s t ri b u c i ó n d e c a r g a s

14 5

S i s e p r e s e n t a n v a r i o s d i e lé c t r ic o s , d e b e n c u m p l i rs e la s c o n d i c io n e s a p r o p i a d a s e n l a f r o n te r a , p o r e je m p l o s u m a n d o s o l u c i o n e s a d e c u a d a s d e l a e c u a c i ó n d e L a p l a c e a la ecuación (6-9). Las ecuaciones (6-8) y (6-9) son generalizaciones de las ecuaciones ( 6 - 6 ) y ( 6 - 5 ) p a r a c a r g a s p u n t u a l e s . E s t a s ú l t im a s e c u a c i o n e s p u e d e n r e c u p e r a r s e c o m o c a s o e s p e c i a l si P(r) =

2 <7/ <5(r

/-I m

- ry)

P ( r ') = ^ 2 '
u c o n d u c t o r j

°

(6-10)

¿

d o n d e Q . e s l a c a r g a s o b r e e l y - é si m o c o n d u c t o r .

L a e c u a c i ó n ( 6 - 8 ) p a r a l a e n e r g í a e l e c t ro s t á t ic a d e u n a d i s t r i b u c i ó n d e c a r   g a , q u e i n c l u y e c o n d u c t o r e s , s e c o n v i e r t e en

u

=

\ \ v p
+

\ l s, o cpd a + \ ^

® ,
(6

M)

d o n d e l a ú l ti m a s u m a s e e f e c t ú a s o b r e t o d o s l o s c o n d u c t o r e s y l a i n te g r a l d e s u p e r f i c i e s e r e s t r in g e a s u p e r f i c ie s n o c o n d u c t o r a s . C o m o v i m o s e n e l c a p í t u l o 3, e n m u c h o s p r o b l e m a s d e i n t e ré s p r á c t ic o t o d a s l a s c a r g a s  p e r m a n e c e n e n la s u p e rf ic ie d e lo s c o n d u c to re s . E n e s ta s c ir c u n s ta n c ia s , la e c u a c ió n (6-11) se reduce a

( 6 - 12) Qi
v = i 

6 E n e r g í a e l e c t ro s t á t ic a

( 6 - 1 2 ) s e o b t u v o a p a r ti r d e c o n d u c t o r e s m a c r o s c ó p i c o s d e s c a rg a d o s q u e f u e r o n c a r  g a d o s g r a d u a l m e n t e tr a y e n d o i n c r e m e n t o s d e c a r g a . D e e s t a f o r m a , l a e n e r g í a d e s c r i t a  p o r l a e c u a c ió n (6 -1 2 ) in c lu y e ta n to la in te ra c c ió n e n e r g é tic a e n tr e lo s d if e r e n te s c o n  d u c t o r e s c o m o l a e n e r g í a p r o p i a d e la c a r g a p a r a c a d a c o n d u c t o r i n d i v id u a l . S i s ó l o h a y u n c o n d u c t o r , s u e n e r g í a p r o p i a U  = \ Q xx s e d e b e a l a in t e r a c c i ó n e n e r g é t i c a d e l a a g r u p a c i ó n d e c a r g a s e n e l c o n d u c t o r . S in e m b a r g o , p a r a l a d e r i v a c i ó n d e l a e c u a  c i ó n ( 6 - 6 ) c a d a c a r g a p u n t u a l s e tr a b a j ó c o m o u n a u n i d a d . D e a q u í q u e n o e s t é i n c l u id a l a e n e r g í a p a r a t r a e r la c a r g a p u n t u a l a p a r t i r d e in c r e m e n t o s m á s p e q u e ñ o s  d e c a r g a , l a l la m a d a e n e r g í a p r o p i a d e l a c a r g a p u n t u a l . U n i n t e n to d e c a l c u l a r l a d a r í a u n r e s u l ta d o i n f in i to s i l a c a r g a f u e r a u n p u n t o e n e l s e n t i d o m a t e m á t i c o , p e r o n o e s t á i n c l u i d a e n l a f o r m u l a c ió n d e l a le y d e C o u l o m b d e l a fu e r z a e n t r e l a s c a r g a s p u n t u a l e s y n o d e b e c o n s i d e r a r s e a h o r a . P a r a m o s t ra r q u e la e c u a c i ó n ( 6 - 1 2 ) p r o p o r c i o n a e l m i s m o r e s u l ta  d o e n e l l ím i te c u a n d o lo s c o n d u c t o re s l le g a n a s e r m u y p e q u e ñ o s , a p r o x i m á n d o s e a c a r g a s “ p u n t u a l e s ” , e l p o t e n c ia l d e l y - é s im o c o n d u c t o r p u e d e e x p r e s a r s e c o m o l a s u m a de dos términos % = V fi +
(6-13)

d o n d e cp.[ e s l a c o n t r i b u c i ó n a l p o t e n c i a l d e b i d a a l a c a r g a s o b r e e l m i s m o c o n d u c t o r y, y (p.2 e s l a c o n t ri b u c i ó n d e l a c a r g a s o b r e o t r o s c o n d u c t o r e s . A s í , la e c u a c i ó n ( 6 - 1 2 ) s e c o n v i e r t e en U = 2 X QjVji + 5 2

Q j V j i 

(6-14)

E l p r i m e r t é rm i n o d e e s t a e c u a c i ó n r e p r e s e n t a la s d i f e r e n t e s e n e r g í a s p r o p i a s d e l o s c o n d u c t o r e s . C a d a e n e r g í a p r o p i a, \ Q . j.,, d e p e n d e d e lo s a lre d e d o re s d el c o n d u c to r (ya que la distribución de carga en cada conductor se ajusta a su medio ambiente). A d e m á s , e l ú n i c o p o t e n c i a l f í s ic a m e n t e s i g n i fi c a ti v o y a s o c i a d o a l c o n d u c t o r  j  es el  p o te n c ia l to ta l (p..  D e e s t e m o d o , l a d e s c o m p o s i c i ó n d e l a e c u a c i ó n ( 6 - 1 4 ) n o   t i e n e m u c h o s e n t i d o e n g e n e r a l . S in e m b a r g o , s i l o s c o n d u c t o r e s s o n t a n p e q u e ñ o s q u e p u e  d e n t r a t a r s e c o m o c a r g a s p u n t u a l e s d e s d e e l p u n t o d e v i s ta m a c r o s c ó p i c o , la r e d i s t ri b u c i ó n d e l a c a r g a e n e l “ p u n t o ” n o e s i m p o r t a n t e y c a d a e n e r g í a p r o p i a p u e d e c o n s i d e r ar s e i n d e p e n d i e n te d e s u e n t o r n o . A d e m á s , y a q u e p o r p o t e n c i a l d e l a c a r g a  p u n tu a l y e n te n d e m o s (pj r  l a s e g u n d a s u m a d e l a e c u a c i ó n ( 6 - 1 4 ) r e p r e s e n t a la e n e r g ía n e c e s a r ia p a r a c o l o c a r e n u n a p o s ic i ó n d e te r m i n a d a u n g r u p o d e c o n d u c t o r e s m u y  p e q u e ñ o s p r e v ia m e n te c a r g a d o s, lo q u e e s e q u i v a l e n t e a l a e c u a c i ó n ( 6 - 6 ) .

D E N S I D A D D E E N E R G ÍA D E U N C A M P O E L E C T R O S T Á T IC O E n l a s e c c ió n p r e c e d e n t e s e d e s a r r o l ló u n a e x p r e s i ó n p a r a l a e n e r g í a e l e c t r o s t á t ic a d e u n a d i s t r ib u c i ó n a r b i t r a r ia d e c a r g a . E s t a e x p r e s i ó n , e c u a c i ó n ( 6 - 8 ) , c o n t i e n e u n a i n t e  g r a c i ó n e x p l í c i ta s o b r e l a d i s tr i b u c i ó n d e c a r g a . S i n e m b a r g o , e s p o s i b l e e x p r e s a r l a

14 7

6 .3 D e n s i d a d d e e n e r g í a d e u n c a m p o e l e c t r o s tá t ic o

e n e r g í a e l e c t r o s tá t i c a d e l s i s t e m a d e f o r m a d i f e re n t e , u n a f o r m a a l t e r n a t iv a f r e c u e n t e  m e n t e m á s ú t il . P o r m e d i o d e t r a n s f o r m a c i o n e s m a t e m á t i c a s ( i n t e g r a c i ó n p o r p a r te s ) , c o n v e r t im o s l a e c u a c ió n ( 6 - 8 ) e n u n a i n t e g r a l q u e c o n t i e n e l o s c a m p o s v e c t o r i a le s E y D d e l s i s te m a . C o n s i d e r e m o s n u e v a m e n t e u n a d i s t ri b u c i ó n d e c a r g a a r b i t r a ri a c a r a c t e r iz a d a p o r l as d e n s i d a d e s p y c r. P o r c o n v e n i e n c i a , s e c o n s i d e r a r á q u e e l s i s t e m a d e c a r g a s e s t á l im i ta d o , e s d e c i r, q u e e s p o s i b l e c o n s t r u i r u n a s u p e r f i c i e c e r r a d a S ' d e d i m e n s i o n e s f i n it a s q u e e n c i e r r e t o d a l a c a r g a . P o r o t r a p a r t e , to d a s l a s d e n s i d a d e s s u p e r f i c i a le s d e c a r g a c r s e c o n s i d e r a r á n s i t u a d a s e n l a s s u p e r f i c i e s d e l o s c o n d u c t o r e s . E s t e ú l ti m o e n u n c i a d o n o e s u n a r e s tr i c c ió n e n a b s o l u t o , y a q u e l a d e n s i d a d d e c a r g a s u p e r f ic i a l s o b r e u n a z o n a i n t e r fa c i a l e n t r e d o s d i e l é c t r ic o s p u e d e e x t e n d e r s e l ig e r a m e n t e y e n  t o n c e s c o n s i d e r a r s e c o m o u n a d e n s id a d v o l u m é t r ic a p . L a s d e n s i d a d e s p y c r e s t á n r e l a c io n a d a s c o n e l d e s p l a z a m i e n t o e l é c tr i co :  p = V • D en todas las regione s del dieléctrico, y

a = D •n s o b r e l a s s u p e r f i c ie s d e l c o n d u c t o r . D e a q u í q u e l a e c u a c i ó n ( 6 - 8 ) s e c o n v i e r t e e n

í / = ^ í (p V  ■D d v + - í
(6-15)

A q u í , l a i n te g r a l d e v o l u m e n s e r e f i e r e a l a r e g i ó n e n l a q u e V • D e s d i f e r e n t e d e c e r o , y é s t a e s l a r e g i ó n e x t e r n a a l o s c o n d u c t o re s . L a i n t e g r a l d e s u p e r f i c i e s e e f e c t ú a s o b r e los conductores. E l i n t e g r a n d o d e l a p r i m e r a i n te g r a l d e l a e c u a c i ó n ( 6 - 1 5 ) p u e d e t r a n s f o r m a r s e m e d i a n t e u n a i d e n t id a d v e c t o r i a l q u e y a h e m o s t e n i d o o c a s i ó n d e u s a r v a r i a s v e c e s , l a ecu ación (1.1.7) de la tabla 1.1:

(p V   • D = V •
U   = - í cp D • n ' d a + \ í   D • E d v + \ í
(6-16)

E s t a e c u a c ió n p u e d e s i m p l i fi c a rs e c o n s i d e ra b l e m e n t e . L a s u p e r f ic i e 5 + 5 ' s o b r e la c u a l s e c a l c u l a l a p r i m e r a i n te g r a l d e l a e c u a c i ó n ( 6 - 1 6 ) e s l a s u p e r f i c ie t o t a l q u e l i m i t a e l v o l u m e n V.   É s t a s e c o m p o n e d e 5 ( l a s s u p e r f i c i e s d e to d o s l o s c o n d u c t o r e s d e l

6 E n e r g í a e l e c t ro s t á t ic a

s i s te m a ) y d e S '  ( u n a s u p e r f ic i e q u e l im i ta n u e s t ro s i s t e m a e x t e r i o r m e n t e y q u e p o d e  m o s s u p o n e r q u e s e l o c a l iz a e n e l in f i n it o ). E n a m b o s c a s o s , la n o r m a l n ' e s t á d i ri g i d a h a c i a a f u e r a   d e l v o l u m e n V.  E n l a ú l t i m a i n t e g r a l , l a n o r m a l n e s t á d i r i g i d a h a c i a a f u e r a d e l c o n d u c t o r y, e n c o n s e c u e n c i a , h a c i a e l i n t e r i o r d e V . D e e s t e m o d o , l as d o s i n t e g r a l e s d e s u p e r f i c i e s o b r e S   s e c a n c e l a n . S ó l o q u e d a d e m o s t r a r q u e l a i n t e g r a l s o b r e S ' s e a n u l a . Si nuestra distribución de carga, que es arbitraria pero limitada, contiene una carga neta, entonces a grandes distancias del sistema de carga el potencial decae i n v e r s a m e n t e c o n l a d i s ta n c i a , e s d ec ir , c o m o r _ l . D d e c a e c o m o r~2.  E l á r e a d e u n a s u p e r f i c i e c e r r a d a q u e p a s a p o r u n p u n t o a u n a d i s t a n c i a r e s p r o p o r c i o n a l a r2. E n c o n s e c u e n c i a , e l v a l o r d e l a i n t e g r a l s o b r e S \  q u e l im i ta n u e s t r o s i s t e m a a l a d i s t a n c i a r , e s p r o p o rc io n a l a r 1 y, c u a n d o S '  s e t r a s l a d a a l in f i n i to , s u c o n t r i b u c i ó n s e a n u l a . S i l a d i s tr ib u c i ó n d e c a r g a t i e n e u n a c a r g a n e t a c e r o , e n t o n c e s e l p o t e n c i a l a g r a n  d e s d i s ta n c i a s a c t ú a c o m o a l g ú n m u l ti p o l o y d e c a e m á s  r á p id a m e n t e q u e r _ i . N u e v a  m e n t e , p u e d e v e r s e q u e l a c o n t r i b u c i ó n d e S '  s e a n u la . A s í p u e s , p a r a l a e n e r g í a e l e c t ro s t á t ic a t e n e m o s

C/ = l f D ‘ E d v 2  Jv

(6-17)

d o n d e l a in t e g ra c i ó n s e r e a l iz a s o b r e e l v o l u m e n d e l s i s te m a e x t e r i o r a l o s c o n d u c t o  r e s , e s d e c ir , s o b r e l o s d i v e r s o s d i e l é c t r ic o s d e l s i s te m a . P o r s u p u e s t o , l a i n t e g r a c i ó n  p u e d e e x te n d e rs e p a r a in c lu ir to d o el e s p a c io , y a q u e e l c a m p o e lé c tr ic o E e s ig u a l a c e r o e n e l i n t e r io r d e u n c o n d u c t o r . S i se a p l i c a e s t a fo r m u l a c i ó n a c a m p o s q u e e s t á n  p ro d u c id o s en p a r te p o r c a rg a s p u n tu a le s , e s n e c e s a r io r e s ta r e x p líc it a m e n te s u s “ e n e r g í a s p r o p i a s ’’ i n f i n i ta s . ( V é a s e e l p r o b l e m a 6 - 7 .) ¿ D ó n d e e s t á l o c a li za d a l a e n e r g í a e le c t r o s t á t i c a d e l s i s te m a e l é c t ri c o ? E s t a e s u n a p r e g u n t a c u y o s i g n i f ic a d o p r e c i s o e s d i fí c il d e a v e r ig u a r ; n o o b s t a n t e , e s c o n v e  n i e n te i m a g i n a r q u e l a e n e r g ía e s t á a lm a c e n a d a e n e l c a m p o e l é c tr ic o . L a e c u a c i ó n ( 6 - 1 7 ) m u e s t r a q u e d i c h o p r o c e d i m i e n t o n o e s d e l t o d o i rr a z o n a b l e y, a d e m á s , p r e s  c r ib e q u e l a e n e r g í a p u e d e d i s t r ib u i r s e c o n u n a d e n s i d a d y D • E p o r u n i d a d d e volumen.

Esto nos conduce al concepto de densidad de energía  en un campo electrostático: u = \D E

( 6 - 18a)

Y a q u e l a e c u a c i ó n ( 6 - 1 7 ) s e d e d u j o c o n b a s e e n d i e l é c tr i c o s l in e a l e s , c a d a d i e lé c t r ic o e s t á c a r a c t e r iz a d o p o r u n a p e r m i ti v id a d c o n s t a n t e € .  A d e m á s , e l a n á l is i s d e l o s c a p í tu  l o s a n t e r i o r e s s e h a l i m i t a d o a d ie l é c t r i c o s i s ó t r o p o s . P o r ta n t o , l a e c u a c i ó n ( 6 - 1 8 a ) e s equivalente a

149

6 . 4 E n e r g í a d e u n s i s te m a d e c o n d u c t o r e s c a r g a d o s : c o e f i c i e n te s d e p o t e n c i a l

E N E R G IA D E U N S IS T E M A D E C O N D U C T O R E S C A R G A D O S : C O E F IC IE N T E S D E P O T E N C IA L E n l a se c c i ó n 3 . 1 2 s e m o s t ró q u e e x i s t e u n a r e la c i ó n l in e a l e n t r e l o s p o t e n c i a l e s y l a s c a r g a s d e u n c o n j u n to d e c o n d u c to r e s . D e h e c h o , en u n s i s te m a f o rm a d o p o r  N  c o n  d u c t o r e s , e l p o t e n c i a l d e u n o d e e l lo s e s t á d a d o p o r  
(3-52)

L a d e r iv a c i ó n d e l a e c u a c i ó n ( 3 - 5 2 ) s e ll e v ó a c a b o p a r a N c o n d u c t o r e s e n e l v a c ío . S i n embargo, está claro que esta derivacióntambién esválida cuandose presentan d i e l é c t ri c o s e n e l s is te m a , s i e m p r e y c u a n d o e s t o s d i e l é c t r i c o s s e a n l i n e a l e s y e s t é n d e s p r o v i s to s d e c a r g a e x t e r n a . E l c o e f i c ie n t e  p.. e s e l p o t e n c i a l d e l i- é s im o c o n d u c t o r d e b i d o a u n a u n i d a d d e c a r g a s o b r e e l c o n d u c t o r  j .  E s t o s c o e f i c i e n t e s s e l la m a n g e n e  ralmente coeficientes de potencial. E n l a s e c c i ó n 6 . 2 s e d e s a r r o ll ó u n a e x p r e s i ó n p a r a l a e n e r g í a e l e c t r o s t á ti c a d e u n c o n j u n t o d e  N  c o n d u c t o r e s c a r g a d o s , e s d e c ir , l a e c u a c i ó n ( 6 - 1 2 ) . C o m b i n a n d o e s t e r e s u l t a d o c o n l a e c u a c i ó n ( 3 - 5 2 ) , o b te n e m o s ^ = í £

£  P .iQ .Q j  

(6-19)

; = 1  j =  1

A s í p u e s , l a e n e rg ía e s u n a f u n c i ó n c u a d r á ti c a d e l a s c a r g a s e n lo s d i v e r s o s c o n d u c  tores. S e p u e d e n e s t a b l e c e r t re s e n u n c i a d o s g e n e r a l e s a c e r c a d e l o s c o e f i c i e n t e s  p ..: { 1)  P¡j=  Pj r   ( 2 ) t o d a s l a s  pl s o n p o s i t iv a s , y ( 3 )  p„ > p.. p a r a t o d a  j .   E l p r i m e r o d e e s t o s e n u n c i a d o s s e o b t ie n e a p a r ti r d e l a e c u a c ió n ( 6 - 1 9 ) , q u e e x p r e s a U  c o m o U  ( 2 , . .. QN). P o r t a n to ,

S i s o l a m e n t e s e v a r í a d Q . , e n t o n c e s

du = i l P

') d Q '  

=

\ j=l  ¿

+  p

M

d<¿ '  

(6'20)

E s t e i n c r e m e n t o e n l a e n e r g í a e l e c t ro s t á t ic a t a m b i é n p u e d e c a l c u l a r se d i r e c t a m e n t e d e l a e c u a c i ó n ( 6 - 2 ) . T r a y e n d o d Q {   d e s d e u n a r e g i ó n a p o t e n c i a l c e r o , o b t e n e m o s d U = d W    =
(6-21)

Las ecu aciones (6-20) y (6-21) deben ser equivalentes para todos los valores po sibles d e Q., l o q u e i m p l i c a q u e H p y 

Pj \ -

+ P n ) = P v  Pn

( 6-22 )

150

6 E n e r g í a e l e c tr o s t á ti c a

P a r a d e m o s t ra r e l s e g u n d o y t e rc e r e n u n c ia d o s , c o n s i d e r em o s q u e to d o s l o s p o t e n c i a  l es s e m i d e n d e s d e u n a r e g i ó n a p o t e n c i a l ce r o . A d e m á s , s u p o n g a m o s q u e e l c o n d u c  t o r i t ie n e u n a c a r g a p o s i ti v a Q i y q u e to d o s lo s d e m á s c o n d u c t o r e s e s tá n d e s c a r g a d o s . Y a q u e e l o ri g e n d e l f l u jo d e d e s p l a z a m i e n t o e s l a c a r g a s o b r e i, e s p o s i b l e s e g u ir c a d a l ín e a d e d e s p l a z a m i e n t o q u e s a l e d e l i- és i m o c o n d u c t o r , t a l v e z v í a o t r o s c o n d u c t o r e s , h a s t a d i c h a r e g ió n . D e e s t e m o d o , q>{ > 0, y p u > 0 . D e f o r m a s e m e ja n te , a m e n o s q u e e l y - é s i m o c o n d u c t o r e s t é c u b i e r t o p o r u n o d e l o s o t ro s c o n d u c t o r e s , t o d a s l a s lí n e a s d e d e s p l a z a m i e n t o q u e i n v a d a n  j p u e d e n t r a z a rs e d e r e g r e s o h a s t a el z - és im o c o n d u c t o r y t o d a s l as l ín e a s q u e s a le n d e l y - é s im o c o n d u c t o r p u e d e n t r a z a r s e h a s t a l a r e g i ó n a  p o te n c ia l c e ro . P o r ta n to ,  P u > P u > 0 S ó l o q u e d a c o n s i d e r a r el c a s o d e u n c o n d u c t o r q u e e s t á c o m p l e ta m e n t e c u b i e rt o p o r o t r o c o n d u c t o r . S u p o n g a m o s q u e e l y - é s im o c o n d u c t o r , e l q u e e s t á d e s c a r g a d o , s e e n  c u e n t r a t o ta l m e n t e d e n t ro d e l a c á s c a r a c o n d u c t o r a q u e e n c i e r r a e l z- és i m o c o n d u c t o r . E l c a m p o e l é c tr i c o e n la r e g i ó n i n t e r io r e s o b v i a m e n t e ce r o : e n c o n s e c u e n c i a , l o s p o  t e n c i a l e s d e lo s d o s c o n d u c t o r e s s o n lo s m i s m o s , y P . = P . E s t e a n á l i si s p r u é b a l o s e n u n c i a d o s ( 2 ) y ( 3 ) q u e p u e d e n c o m b i n a r se e n  P u a  P ü > 0

(6-23)

L a u t i li d a d d e l o s c o e f i c i e n te s  p.. p u e d e i l u s t r a r s e m e d i a n t e u n e j e m p l o s e n c il lo .

 ____________ EJ EM PL O6.1 Uso del coeficiente de poten cial para calcular el potencial electrostático

El problema es encontrar el potencial de un conductor esférico descargado en  p re s e n c ia d e u n a c a r g a p u n tu a l q  a u n a d i s t a n c i a r d e l c e n t r o d e l a e s f e r a , s i e n d o r  > P , y  R  e l r a d i o d e l c o n d u c t o r e s f é ri c o . S o l u c i ó n : L a c a r g a p u n tu a l y l a e s fe r a se c o n s i d e r a n c o m o u n s i s te m a d e d o s c o n d u c t o r e s , y s e u t i li z a la i g u a l d a d  p ]2 =  p2 y S i l a es f er a e s tá c a rg a d a ( 0 y e l “ p u n t o ’' e s t á d e s c a r g a d o , e n t o n c e s e l p o t e n c ia l d e l “ p u n t o ” e s q l4 K € Qr, P o r t a n to ,

 p ,2 = P2i =

E v i d e n t e m e n t e , c u a n d o e l " p u n t o ” t ie n e u n a c a r g a q y l a e s f e r a e s t á d e s c a r  g a d a , e l p o t e n c i a l d e e s t a ú l t im a e s q / 4 n e ^ r .

6 .5

~

C O E F IC IE N T E S D E C A P A C ID A D E IN D U C C IÓ N L a e c u a c i ó n ( 3 - 5 2 ) , d e d u c i d a e n e l c a p ít u lo 3 y a n a l i z a d a n u e v a m e n t e e n l a s e c ci ó n 6 .4 , e s u n s i s te m a d e A e c u a c i o n e s l in e a l e s q u e n o s d a l o s p o t e n c ia l e s d e l o s c o n d u c  t o r e s en f u n c i ó n d e s u s c a r g a s . E s t e s i s te m a d e e c u a c i o n e s p u e d e r e s o l v e r s e p a r a l a s Q . d e ta l f o r m a q u e

151

6 .6 C o n d e n s a d o r e s

FIGU RA 6.1

o '

Los conductores 1 y 2 forman un condensador. Aquí P,3 =  p 2y  ya que,  po r la ley de Gauss , cuando 1 y 2 están descargados deben estar al mismo potencial, independientemente de la carga sobre 3. Análogamente,  p l4 =  p2A.

o3  N  Q, = 2 ;= i

(6 -2 4 )

d o n d e c.¿ s e l l a m a c o e f i c ie n t e d e c a p a c i d a d   y c.. ( i * j )  e s u n c o e f i c i e n t e d e i n d u c c ió n . L a s o l u c i ó n a l a e c u a c i ó n ( 3 - 5 2 ), e x p r e s a n d o c a d a u n a d e l as c   e n t é r m i n o s d e l as  p u e d e lle v a rse a c a b o m e d ia n te la in v e rs ió n d e m a tr ic e s. L a s p r o p i e d a d e s d e l as c  s e d e d u c e n d e a q u e l la s d e l as p , q u e y a s e h a n a n a l iz a d o . A s í p u e s , ( 1 ) c.j = Cj.\  (2) cü > 0 ; ( 3 ) l o s c o e f i c i e n t e s d e i n d u c c i ó n s o n n e g a t i v o s o c e r o . (Vé ase el problema 6.10.) La ecuación (6-24) puede comb inarse con la ecuación (6-12) para dar una expre s i ó n a l t e rn a t i v a d e l a e n e r g í a e l e c t r o s tá t i c a d e u n s i s te m a d e N c o n d u c t o r e s :

u

=

2 2 

í

c,j
(6-25)

« ■« i y - i

6 .6

I

Z

C O N D EN S A DO R E S E n e s t a s e c c ió n a n a l i z a re m o s u n d i s p o s it iv o i m p o r t a n t e p a r a a l m a c e n a r e n e r g í a electrostática, llamado condensador.

D o s c o n d u c t o re s q u e p u e d en a l m a c e n a r c ar g a s i g u a l e s y o p u e s t a s ( ± 0 , con una diferencia de potencial entre sí que es independiente de que los d e m á s c o n d u c t o r e s d e l s is t e m a t e n g a n c a r g a o n o , f o rm a n l o q u e s e l la m a un condensador.

152

6 E n e r g í a e l e c t ro s t á t ic a

E s t a i n d e p e n d e n c i a d e o t ra s c a rg a s * i m p l ic a q u e u n o d e l o s c o n d u c t o r e s d e l p a r q u e f o r m a e l c o n d e n s a d o r e s t á c u b i e r to p o r e l o t r o . E n o t r a s p a l a b r a s , e l p o t e n c i a l a p o r t a d o a c a d a u n o  d e lo s c o n d u c t o r e s d e l p a r p o r o t ra s c a rg a s d e b e s e r e l m i s m o . D i c h a s i t u a  c i ó n s e i l u s t r a e n l a f i g u r a 6 .1 , e n l a q u e l o s c o n d u c t o r e s 1 y 2 f o r m a n u n d i s p o s i t i v o d e e s t e ti p o . E n g e n e r a l , s i d o s c o n d u c t o r e s , 1 y 2 , f o r m a n u n c o n d e n s a d o r , p o d e m o s escribir 


+

7>x
(6‘26)

d o n d e + Q  es la carg a en 1 , - Q e s l a c a r g a e n 2 y (px e s e l p o t e n c i a l c o m ú n a p o r t a d o p o r otras cargas. S i l a s e c u a c i o n e s ( 6 - 2 6 ) s e re s t a n , e n c o n t r a m o s q u e A

q>2 =   ( P n +  P  22- 2 p n ) Q  

(6-27)

D e e s t a f o r m a , l a d i f e r e n c i a d e p o t e n c i a l e n t r e l o sc o n d u c t o r e s d e u n c o n d e n s a d o r e s  p ro p o r c io n a l a la c a rg a a lm a c e n a d a Q .   ( E v i d e n t e m e n t e , l a c a r g a t o ta l a l m a c e n a d a es c e r o , p e ro , p o r c o n v e n i o , e l v a l o r a b s o l u to d e l a c a r g a s o b r e u n o d e l o s d o s c o n d u c t o  res se llama carga  del condensador.)

L a e c u a c i ó n ( 6 - 2 7 ) p u e d e e s c r i b i rs e c o m o

Q = Cbcp 

(6-28)

d o n d e C  = ( p n +  p 22 - 2p 12)_1 se lla m a c a p a c i d a d   d e l c o n d e n s a d o r .

Evidentem ente, C es la carga alm acenada po r unidad de diferencia de potencial. En el s is te m a m k s , C s e m i d e e n c o u lo m b s p o r v o lt , o f a ra d s (1 F = 1 C / V ) . D e la ecuación (6-12) con la ecuación (6-28), la energía de un cond ensad or cargado puede expresarse como

u

= 1Q

A
= 1 C ( A c p )2 = 1

(6-29)

Si los dos conductores que forman el condensador tienen formas geométricas s e n c i l l a s , la c a p a c i d a d p u e d e o b t e n e r s e a n a l í t ic a m e n t e . A s í, p o r e j e m p l o , e s f á c il c a l  cular la capacidad de dos placas paralelas, dos cilindros coaxiales, dos esferas c o n c é n t r ic a s , o l a d e u n c i l i n d r o y u n p la n o . L a c a p a c i d a d d e u n c o n d e n s a d o r d e p l a c a s  p a r a le la s (F ig . 6 .2 ) s e d e d u c ir á a q u í; o tro s c a s o s s e n c illo s s e h a n d e ja d o p a r a lo s e je r  c i c i o s a l f i n a l d e l c a p í t u lo .

* Lo que hemos descrito es un condensador ideal. En la práctica, los condensadores son afectados hasta cierto pu nto por las cargas en sus alrededores.

6 .6 C o n d e n s a d o r e s

15 3

FIGURA 6.2 Cam po eléctrico entre  p la cas p ara le la s d e ár ea finita cargadas opuestamente.

----------------   ------

FIGURA 6.3 Conexión de condensadores (a) en  pa ra le lo y (b ) e n se ri e.

C, L'1'1 c2

(b )

(n)

C o n e x c e p c i ó n d e l c a m p o d e f o r m a d o e n e l b o r d e d e l a s p l a c a s p a r a le l a s , e l c a m   p o e lé c tric o e n tr e e ll a s e s u n if o rm e . U n c o n d e n s a d o r id e a l d e p la c a s p a ra le la s e s a q u e l q u e t ie n e u n a s e p a r a c i ó n d  m u y p e q u e ñ a e n t re l a s p l a ca s c o m p a r a d a c o n l as d i m e n s i o  nes de las m ismas. De esta forma, el cam po deform ado pu ede despreciarse en el caso i d e al . S i l a r e g i ó n e n t r e la s p l a c a s s e l le n a c o n u n d i e l é c tr i c o d e p e r m i tí v i d a d ^ e n t o n  c e s e l c a m p o e l é c tr ic o e n t r e la s p l a c a s e s  e 

-  í  „ - a €

€Á

-

.

V -

E - d

d o n d e A e s e l á r e a d e u n a p l a c a . L a d i f e r e n c i a d e p o t e n c i a l A (p =  E d . P o r t a n to , r C

_

Q

_

Á ^ “

. d

'

cí ~

J

J /

. I (6 -3 0 )

es la capacidad d e este condensador. C u a n d o u n c o n d e n s a d o r s e c o n s i d e r a p a r t e d e u n c i r c u i t o e lé c tr ic o , ' g e n e r a l m e n t e s e r e p r e s e n t a c o n e l s ím b o l o - \ e . D o s o m á s c o n d e n s a d o re s p u e d e n u n i rs e c o n e c ta n d o u n o d e l o s c o n d u c t o re s d e l p ri m e r c o n d e n s a d o r a u n c o n d u c t o r d e l s eg u n d o . L a s m aneras posibles en las qu e se puede n unir dos condensad ores son por conexión en

6 E n e r g í a e l e c t ro s t á t ic a

 p a ra le lo (F ig . 6 .3 a ) o p o r c o n e x ió n e n s e rie (F ig . 6 .3 b ). D e s p u é s d e q u e s e h a n u n id o l o s c o n d e n s a d o r e s, g e n e r a l m e n t e e s c o n v e n i e n t e h a b l a r d e l a c a p a c i d a d d e l a c o m b i  n a c i ó n . E n e l c a s o d e l a c o n e x i ó n e n p a r a l e l o , e l m i s m o v o l t a j e A (p  q u e a p a r e c e a t ra v é s d e c a d a c o n d e n s a d o r a p a r ec e t am b i é n a t r a v é s d e l a c o m b i n a c ió n . E n c o n s e  cuencia, la capacidad equivalente está dada por  /n _

G t o ta l

C ~

^ ~

Q

A

^

,

1

Q 2

.

/1

+ A ^ ~ C ' +  C í

< 6- 31 a)

S i d o s c o n d e n s a d o r e s d e s c a r g a d o s s e c o n e c t a n e n s e r i e y p o s t e r i o r m e n t e s e c a r g a n , la c o n s e r v a c i ó n d e l a c a rg a  r e q u i e r e q u e c a d a c o n d e n s a d o r a d q u i e r a la m i s m a c ar g a . D e e s t a fo r m a , l a c a p a c i d a d e q u i v a l e n t e C d e l a c o m b i n a c i ó n s e r e l a c i o n a c o n C {   y C2 m e d i a n t e l a e x p r e si ó n 1

A < p , +  A< p 2 = J _ + J _

A cp 

C

Q

Q

C,

(6 3 1b )

C 

F U E R Z A S Y M O M E N T O S D E R O T A C IÓ N H a s t a a h o r a , e n e s t e c a p í t u l o h e m o s d e s a r r o ll a d o v a r i o s p r o c e d i m i e n t o s a l t e r n a ti v o s  p a r a c a lc u la r la e n e rg ía e le c tr o s tá tic a d e u n s is te m a d e c a rg a s . M o s tra re m o s a h o r a c ó m o l a fu e r z a s o b r e u n o d e l o s e le m e n t o s d e l s is t e m a d e c a r g a s p u e d e c a l c u l a r s e a  p a r tir d e l c o n o c im ie n to d e la e n e rg ía e le c tro s tá tic a . S u p o n g a m o s q u e t e n em o s u n s i s te m a a i s la d o f o r m a d o p o r v a r ia s p a r te s ( c o n d u c  tores, cargas puntuales, dieléctricos) y permitimos que una de estas partes haga un  p e q u e ñ o d e s p la z a m ie n to , d r ,  d e b i d o a l a i n f lu e n c i a d e la s f u e r z a s e l é c tr i c a s F q u e a c t ú a n s o b r e e l la . E n e s t a s c i rc u n s t a n c i a s , e l t r a b a j o r e a l iz a d o p o r l a f u e r z a e l é c t r ic a s o b r e e l s i s te m a e s d W  =

F

• d i =  Fx d x +  Fy d y +  Fz d z  

(6-32)

D e b i d o a q u e e l s i s t e m a e s t á a i s l a d o , e l tr a b a j o s e h a c e a c o s t a d e l a e n e r g í a e l e c t ro s t á t ic a U .  E n o t r a s p a l a b r a s , d e a c u e r d o c o n l a e c u a c i ó n ( 6 - 1 ) , d W  = - d ü  

(6-33)

C o m b i n a n d o l as e c u a c i o n e s ( 6 - 3 2 ) y ( 6 - 3 3 ) s e o b t ie n e - d U  =  Fx d x +  F y d y +  Fz d z y

d U  ~dx   c o n e x p r e s io n e s s e m e j a n t e s p a r a F c o n s e rv a ti v a y F = - V t / .

<6-34’ y F . E s t o es , e n e st e c a s o F e s u n a fu e r z a

6 . 7 F u e r za s y m o m e n t o s d e r o ta c i ó n

155

S i e l e l e m e n t o c o n s i d e r a d o e s t á r e s t r in g i d o a m o v e r s e d e t a l f o r m a q u e g i r e a lr e  d e d o r d e u n e je , e n t o n c es l a e c u a c ió n ( 6 -3 2 ) p u e d e s e r re e m p l a z a d a p o r   d W  = x • ¿ 6

( 6 -3 5 )

d o n d e T e s e l m o m e n t o d e r o t a c i ó n e l é c tr i c o y dQ  e s e l d i f e r e n c i a l d e l d e s p l a z a m i e n t o a n g u l a r . A l e s c r i b i r T y dQ e n f u n c i ó n d e s u s c o m p o n e n t e s t 2, t 3) y ( d Q v d 6   v d 0 3) , y a l c o m b i n a r la s e c u a c i o n e s ( 6 - 3 3 ) y ( 6 - 3 5 ) o b t e n e m o s S U  = - d d  1 

(6-36)

y a s í s u c e s iv a m e n t e . D e e s t a f o r m a h e m o s a l c a n z a d o n u e s t r o o b je t iv o : .

Tl'

dU\

\ d e J Q 

(6-36a)

donde el subíndice Q   se ha añadido para indicar que el sistema está aislado y, en c o n s e c u e n c i a , s u c a r g a to t a l p e r m a n e c e c o n s t a n t e d u r a n t e el d e s p l a z a m i e n t o d r o dd . P a r a a p r o v e c h a r e s te m é t o d o , e s n e c e s a r i o e x p r e s a r U  d e f o r m a a n a l í ti c a y c o n o c e r l a d e p e n d e n c i a e s p e c í fi c a d e U  c o n r e sp e c to a l a c o o r d e n a d a s o 6 V  M á s a d e l a n t e s e d a r á u n e j e m p l o q u e m u e s t r a la u t il id a d d e l m é t o d o . S in e m b a r g o , l a s e c u a c i o n e s ( 6 - 3 4 a ) y ( 6 - 3 6 a ) n o c u b r e n t o d o s l o s c a s o s d e i n t e  r é s y a q u e , c o m o s e m e n c i o n ó e n s u d e d u c c i ó n , s e li m i t a n a s i s te m a s a i s la d o s e n l o s q u e l a c a r g a d e l s is t e m a p e r m a n e c e c o n s t a n t e . E n o t r o t ip o i m p o r t a n t e d e p r o b l e m a s , t o d a s l a s c a r g a s s e e n c u e n t r a n e n l a s s u p e r f i c ie s d e l o s c o n d u c t o r e s y s e m a n t i e n e n a  p o te n c ia le s fij o s p o r m e d io d e fu e n te s d e e n e r g ía e x te r n a s (e s d e c ir , p o r m e d io d e  b a te ría s ). A q u í n u e v a m e n te p o d e m o s p e r m itir q u e u n a d e la s p a r te s d e l s is te m a se m u e v a b a j o l a i n f lu e n c i a d e l a s f u e r z a s e l é c t r ic a s q u e a c t ú a n s o b r e e l l a y e l t r a b a jo r e a l iz a d o ( e s t a v e z p o r e l s is t e m a y l a s b a t e r ía s ) e s t a r á a ú n r e l a c i o n a d o c o n l a fu e r z a  p o r la e c u a c ió n (6 -3 2 ). E n e s te c a s o , e l tr a b a jo s e c o n v ie r te en d W  = d W b -

dU 

(6-37)

d o n d e d W b  e s e l t r a b a j o s u m i n i s t r a d o p o r l a s b a t e r í a s . A n t e s d e q u e p r o c e d a m o s a e n c o n t r a r u n a e x p r e s ió n p a r a U  y l a f u e r z a s o b r e a l g u n a p a r t e d e l s is t e m a p a r a e s t e c a s o , s e r á n e c e s a r i o e l im i n a r d W . d e l a e c u a c i ó n ( 6 -3 7 ) . L a e n e r g í a e l e c t r o s t á t ic a U  d e u n s i st e m a d e c o n d u c t o re s c a r g a d o s y a s e h a d a d o e n l a e c u a c i ó n ( 6 - 1 2 ). S i a h o r a p a r t e d e l s is t e m a s e d e s p l a z a m i e n t r a s e l p o t e n c i a l d e t o d o s l o s c o n d u c t o r e s p e r m a n e c e f ij o, d U = i X Vi dQ j i

(6-38)

156

6 E n e r g í a e l e c t r o s tá t ic a

FIGURA 6.4 Bloque de dieléctrico sacado parcialmente de entre dos placas cargadas.

A d e m á s , e l tr a b a j o p r o p o r c i o n a d o p o r la s b a t e r í a s , d W b ,  e s e l n e c e s a r io p a r a m o v e r c a d a u n o d e lo s i n c r e m e n t o s d e c a r g a d Q . d e s d e e l p o t e n c i a l c e r o h a s t a e l p o t e n c i a l d el con duc tor apropiado. Po r la ecuación (6-2) este trabajo es

P o r t a n to ,

i

d w b = 2
(6-39)

d W b = 2 d U   

(6-40)

A l u s a r e s ta e c u a c i ó n p a r a e l im i n a r d W b d e l a e c u a c i ó n ( 6 - 3 7 ) y a l c o m b i n a r e l r e s u l  tado con la ecuación (6-32), obtenem os d U = Fx d x +  Fy d y +  Fz d z

 f -

= ( f ) ,

<6-41'

A q u í e l s u b í n d i c e (p s e u s a p a r a i n d i c a r e l h e c h o d e q u e l o s p o t e n c i a l e s s e m a n t i e  n e n c o n s t a n t e s d u r a n t e e l d e s p l a z a m i e n t o v ir t u a l d r .  D e m a n e r a s e m e j a n te , p o d e m o s derivar  -

( a u \  

r' "

\ 9 é J 9

(6'42)

P a r a il u s t r a r e l m é t o d o d e la e n e r g í a , c o n s i d e r e m o s e l s i g u i e n t e e j e m p l o .

EJEMPLO 6.2 Fuerza recup eradora sobre un bloque dieléctrico parcial mente sacado de un condensador

 ___________ 

U n c o n d e n s a d o r d e p l a c a s p a r a l e la s s e p a r a d a s u n a d i s ta n c i a d   t ie n e l a r e g i ó n e n t r e l a s p l a c a s l l e n a d e u n b l o q u e d e s ó l i d o d i e l é c t r ic o d e p e r m i ti v i d a d e . L a s d i m e n s i o n e s d e c a d a u n a d e l a s p l a c a s s o n: / d e l ar g o y w  d e a n c h o . L a s p l a c a s s e m a n t ie n e n a u n a d i f e r e n c i a d e p o t e n c i a l c o n s t a n te A
6.8 Resumen

157

Solución.

L a e n e r g í a d e l si s te m a p u e d e c a l c u l a r s e p o r v a r i o s m é t o d o s . A s í , p o r e j em p l o , y a q u e  E  =  D j íd  e s i g u a l e n t o d a s p a r t e s e n t r e l a s p l a c a s , p o d e m o s u s a r  

U=

^ í e£ 2 2 Jy 

dv

d o n d e l a r e g i ó n d e i n t e g r a c ió n d e b e i n c l u i r s ó l o a q u e l l a s p a r t e s d e l e s p a c i o e n l a s q u e  E  1 0 . D e s p r e c i a n d o l o s e f e c to s d e d e f o r m a c i ó n e n e l b o r d e d e l c o n d e n s a d o r , encontramos

L a f u e r z a p u e d e c a l c u l a r s e a p a r t i r d e l a e c u a c i ó n ( 6 - 4 1 ):

= \( K ~

E 2w d  

e n l a d i r e c c ió n e n q u e s e i n c r e m e n t a  x. El caso en el que las placas están aisladas (carga constante Q ) se trata en los  p ro b le m a s 6 .1 9 y 6 .2 4 .

RESUMEN L a energía potencial electrostática d e u n s i s te m a d e c a r g a s p u n t u a l e s s e c a l c u l a co m o e l tr a b a j o q u e t e n d r í a q u e h a c e r u n a g e n t e e x t e r n o e n c o n t r a d e la s f u e r z a s d e C o u l o m b e n t r e l as c a r g a s p a r a r e u n i r ía s e n l a c o n f i g u r a c i ó n d a d a . E s t o s e e x p r e s a c o m o U  = 2 X d o n d e (pjy  e l p o t e n c i a l e n l a p o s i c i ó n d e l a c a r g a q . d e b i d o a t o d a s l a s o t r a s  c a r g a s , e s = V %

* 

S i —  4 n e nrik  

c o n e l t é r m i n o k  =  j   e x c l u i d o . P a r a u n a d i s t r i b u c i ó n g e n e r a l d e c a r g a , l a e n e r g í a e l e c t r o s t á ti c a , s i e m p r e y c u a n d o t o d o s l o s d i e l é c tr i c o s p r e s e n t e s s e a n l i n e a l e s , s e c o n  vierte en v

=

\ f  P < P d v

d o n d e e l p o t e n c i a l (p es e l p r o d u c id o p o r la d e n s i d a d d e c a r g a e x t e r n a p e n p r e s e n c i a de u n m e d i o d i e l é c tr i c o ( p p u e d e i n c l u i r l a c a r g a c o n c e n t r a d a e n u n a d i s t r ib u c i ó n s u p e r  f i c ia l o e n c a r g a s p u n t u a l e s ) . L a i n t e g ra c i ó n p o r p a r te s t r a n s f o r m a l a e n e r g í a q u e e s t á e n d i e l é c t r i c o s l i n e a l e s e n u n a i n te g r a l ,

6 E n e r g í a e l e c t r o s tá t ic a

d e l a densidad de energía d e l c a m p o e l é c tr ic o ,

C u a n d o e s t a f ó r m u l a s e a p l i c a a c a rg a s p u n t u a l e s , l a “ e n e r g í a p r o p i a ” i n f in i t a d e é s t as debe restarse. • C u a n d o to d a l a c a r g a e s u n a d i s tr ib u c i ó n s u p e r f ic i a l s o b r e c o n d u c t o r e s , c u y a s s u p e r f i c i e s s o n e q u i p o t e n c i a l e s , la e n e r g í a e l e c t r o s tá t ic a s e e x p r e s a c o m o

S e e n c u e n t r a e n to n c e s q u e l o s c o e f i c i e n te s e n l as f u n c i o n e s l i n e a le s

=

X

PnQ¡

y e n l as f u n c i o n e s i n v e r s a s

Q¡

= X

c¡¡
s a t is f a c e n l as c o n d i c i o n e s  P ü =  P jñ

c ¡j = ca

( A d e m á s , p . . >  p¡> 0 y c.. > 0 > c...) • E n e l c a s o e s p e c i al e n e l q u e d o s c o n d u c to r e s f o rm a n u n c o n d e n s a d o r ,

U = i2QA

Q = C  A

• L a fuerza eléctrica s o b r e u n a p a r t e d e u n s i s t e m a a i s la d o , c o n c a r g a c o n s t a n t e en c a d a c o n d u c t o r , e s m e n o s e l g r a d i e n t e d e l a e n e r g í a e l e c tr o s t á ti c a ,

S i e l s is t e m a n o e s t á a i s la d o , p e r o e l p o t e n c i a l d e c a d a c o n d u c t o r s e m a n t ie n e c o n s t a n  t e p o r u n a g e n t e e x t e r n o ( b a t e r ía ) , l a fu e r z a e s t á d a d a p o r  

CAPÍTULO 7

Corriente eléctrica

H a s t a a h o r a h e m o s t r a ta d o c o n c a r g a s e n r e p o s o ; a h o r a d e s e a m o s c o n s i d e r a r c a r g a s e n m o v i m i e n t o u n i fo r m e . E s t o i m p l i c a e s t u d i a r c o n d u c t o r e s d e e l e c tr i c id a d , y a q u e , p o r d e f i n i c i ó n , u n c o n d u c t o r e s u n m a t e ri a l e n el q u e l o s p o r t a d o r e s d e c a r g a s o n l i b re s d e m o v e r s e b a j o c a m p o s e l é c t r ic o s e s t a c i o n a r io s ( v é a s e l a S e c . 2 . 5 ) . L a d e f i n i c i ó n a n t e  r i o r i n c l u y e n o s ó l o l o s c o n d u c t o r e s c o n v e n c i o n a l e s , t a l e s c o m o m e t a l e s y a l e a c io n e s , s i n o t a m b i é n l o s s e m i c o n d u c t o r e s , e le c t r ó l it o s , g a s e s i o n i z a d o s , d i e l é c t r ic o s i m p e r f e c  tos y aun el vacío en las proxim idades de un cátodo em isor termo iónico. En m uchos cond uctores, los portadores d e carga son electrones; en otros casos, la carga pue de ser c o n d u c i d a p o r io n e s p o s i t iv o s o n e g a t i v o s . L a c a r g a e n m o v i m i e n t o c o n s t it u y e u n a c o r r i e n t e  y e l p r o c e s o p o r e l c u a l l a c a r g a s e t r a n s p o r t a s e ll a m a c o n d u c c i ó n .   P a r a s e r p r e c i s o s , l a c o r r i e n t e / s e d e f i n e c o m o l a v e l o c i d a d a l a q u e s e t r a n s p o r t a la c a r g a a t ra v é s d e u n a s u p e r f i c ie d a d a e n u n s i s t e m a c o n d u c t o r ( p o r e j e m p l o , a t ra v é s d e u n a s e c c ió n t ra n s v e r s al d e t e r m i n a d a d e u n a l a m   b re ). D e e s te m o d o ,

/ = f

(7-1,

d o n d e Q = Q ( t )  e s l a c a r g a n e t a t r a n s p o r t a d a e n e l t i e m p o t.  L a u n i d a d d e c o r r i e n t e e n e l s is t e m a m k s e s e l a m p e r e ( A ) , l la m a d o a s í e n h o n o r d e l f ís i co f r a n c é s A n d r é M a r ie Ampére. Evidentemente, . coulom b 1 a m p e re — 1   -------------segundo

7 . 1 N a t u ra l ez a d e l a c o rr ie n t e

163

FIGURA 7.1 Diagrama esquemático del mo vimiento de los electrones en un metal.

/

V 3

/

 © ' © © ' ©  7.1

"

N A T U R A L E Z A D E L A C O R R IE N T E E n u n m e t a l l a c o r r ie n t e e s t ra n s p o r t a d a c o m p l e t a m e n t e p o r e l e c tr o n e s , m i e n t r a s q u e l o s i o n e s p o s i t i v o s p e s a d o s e s t á n f i jo s e n p o s i c i o n e s r e g u l a r e s d e l a e s t ru c t u r a c r i s t a l i n a ( F ig . 7 . 1 ) . S ó l o lo s e l e c t r o n e s a t ó m i c o s d e v a l e n c i a (l o s m á s e x t e r i o r e s ) t i e  n e n l ib e r t a d p a r a p a r t ic i p a r e n e l p r o c e s o d e c o n d u c c i ó n . L o s o t r o s e l e c t r o n e s e s t á n l ig a d o s f u e r t e m e n t e a s u s i o n e s . E n c o n d i c i o n e s d e e s t a d o e s t a c i o n a r io , l o s e l e c t r o n e s  p u e d e n in tro d u c irs e e n e l m eta l p o r u n p u n to y e x tr a e rs e p o r o tro , p r o d u c ié n d o s e u na c o r r i e n t e , p e r o e l m e t a l c o m o u n to d o e s e l e c t r o s t á ti c a m e n t e n e u t r o . F u e r z a s e l e c t ro s t á t ic a s i n t e n s a s im p i d e n q u e u n e x c e s o d e e l e c t r o n e s s e a c u m u l e e n c u a l q u i e r  p u n to d e l m e ta l. D e fo r m a s e m e ja n te , u n a d e f ic ie n c ia d e e le c tro n e s e s c o r r e g id a p o r f u e r z a s e le c t r o s tá t ic a s d e s i g n o c o n t r a ri o . V e r e m o s p o s t e r i o r m e n t e q u e e l e x c e s o d e carga se disipa con extremada rapidez en un conductor. Observemos, pues, que es  p o s ib le e s t u d i a r e l t e m a d e l a c o r r ie n te e l é c tr ic a s in te n e r e n c u e n ta lo s e f e c to s e l e c t ro s t á t ic o s d e t a l l a d o s q u e e s t é n a s o c i a d o s c o n l o s p o r t a d o r e s d e c a r g a . E n u n e l e c t r ó li to , l a c o r r ie n t e e s c o n d u c i d a t a n t o p o r i o n e s p o s i t i v o s c o m o p o r i o n e s n e g a t iv o s , a un q u e , d e b i d o a q u e a l g u n o s i o n es s e m u e v e n m á s r á p i d a m e n t e q u e o t r o s , l a c o n d u c c i ó n p o r u n t ip o d e i o n p r e d o m i n a g e n e r a l m e n t e . E s i m p o r t a n t e h a c e r n o t a r q u e i o n e s p o s i t i v o s y n e g a t i v o s q u e v i a j a n e n s e n t i d o s o p u e s t o s  ( F i g . 7 . 2 ) c o n t r i   b u y e n a p ro d u c ir c o r rie n te e n e l m i s m o   s e n t id o . L a b a s e d e e s t e h e c h o s e e v i d e n c i a a  p a r tir d e la e c u a c ió n (7 -1 ), y a q u e la c a rg a n e ta tra n s p o r ta d a a tra v é s d e u n a s u p e rfic ie d a d a d e p e n d e t a n t o d e l s ig n o d e l p o r t a d o r d e c a r g a c o m o d e l s e n t i d o e n e l q u e s e e s t é m o v i e n d o . A s í p u e s , e n l a f i g u r a 7 .2 , t a n to l o s g r u p o s d e p o r t a d o r e s p o s i t i v o s c o m o l o s n e g a t i v o s p r o d u c e n c o r r ie n t e s h a c i a l a d e re c h a . P o r c o n v e n i o , e l s e n t i d o e n q u e s e m u e v e e l p o r t a d o r p o s i t iv o ( o , d e m a n e r a e q u i v a l e n te , e l s e n t i d o o p u e s t o a a q u e l e n q u e s e m u e v e e l p o r t a d o r n e g a t i v o ) s e t o m a c o m o l a d i r e c c i ó n o  s e n tid o   d e l a c o  rriente. En general, una corriente eléctrica se origina como respuesta a un campo e l é c t ri c o . S i s e e s t a b l e c e u n c a m p o e l é c t r i c o e n u n c o n d u c t o r , d i c h o c a m p o c a u s a q u e

164

7 C o r r i e n t e e l é c t r ic a

FIGURA 7.2

i

Corriente producida por el mo vimiento de portadores de carga negativos y  p o sit iv o s.

e 

O

©

e ©

 © 

e

 © 

los portadores de carga positiva se muevan en el sentido general del campo y los  p o rta d o r e s n e g a tiv o s e n e l s e n tid o o p u e s to a l d el c a m p o . E n c o n s e c u e n c ia , to d a s la s corrientes produc idas en el proceso tienen la m isma dirección que el cam po. E n u n a d e s c a r g a e n u n g a s , l a c o r r ie n t e e s t ra n s p o r t a d a t a n t o p o r e l e c tr o n e s c o m o  p o r io n e s p o s itiv o s , p e ro c o m o lo s e le c tro n e s tie n e n m a y o r m o v ilid a d q u e lo s io n e s  p e s a d o s , p rá c tic a m e n te to d a la c o r rie n te e s tra n s p o rta d a p o r e le c tro n e s . L a c o n d u c  ción en gases es algo más complicada porque las poblaciones electrónica y iónica v a r í a n e n o r m e m e n t e c o n l a s c o n d i c i o n e s e x p e r i m e n t a l e s ( e s tá n d e t e r m i n a d a s p r i n c i   p a lm e n te p o r la p re s ió n d e l g a s y l a c a íd a d e p o te n c ia l a tra v é s d e l g a s). E n c ie rta s c o n d i c i o n e s s e o r ig i n a n c a s c a d a s , p r o c e s o e n e l q u e l o s p o c o s i o n e s q u e e s t á n p r e s e n  tes inicialmente se aceleran y ocasionan colisiones inelásticas con átomos neutros,  p r o d u c ie n d o a s í io n e s y e le c tro n e s a d ic io n a le s . L o s io n e s a d ic io n a le s ta m b ié n p u e d e n da r lugar a colisiones ionizadoras, con el resultado de que la densidad d e portadores c r e c e e n o r m e m e n te . E n l a s f ig u r a s 7 . 1 y 7 . 2 h e m o s r e p r e s e n ta d o l o s p o r t a d o r e s d e c a r g a d i v i d ié n d o l o s e n g r u p o s , c a d a u n o d e l o s c u a l e s t ie n e u n m o v i m i e n t o c o m ú n l l a m a d o m o v i m i e n t o de d e r i v a  d e l g r u p o . S i n e m b a r g o , l a f i g u r a s e h a s i m p l i f ic a d o s o b r e m a n e r a . C a d a g r u p o de portadores de carga representa realmente un conjunto de partículas en equilibrio t é rm i c o c o n s u m e d i o a m b i en t e, d e m a n e r a q u e c a d a p a r t íc u l a ti e n e u n m o v i m i e n t o t é rm i c o a s í c o m o u n m o v i m i e n t o d e d e ri v a. P e r o e l m o v i m i e n t o t é rm i c o , a u n q u e p u e  d e s e r g r a n d e , ta m b i é n e s a l e a t o r i o y, e n c o n s e c u e n c i a , n o d a l u g a r a u n t r a n s p o r t e d e c a r g a o r g a n i z ad o . P o r o t r a p a rt e , e l m o v i m i e n t o d e d e r i v a n o e s a l e a to r i o . P o r c o n s i  g u i e n t e , al c o n s i d e r a r e s t o s p r o c e s o s d e c o n d u c c i ó n e s a d m i s ib l e o l v i d a r e l m o v i m i e n  t o a l e a t o r i o , q u e n o c o n t r i b u y e a l a c o r r i e n t e t o t a l , y u t i l iz a r l a r e p r e s e n t a c i ó n s e n c i l l a d e l as f i g u r a s 7 .1 y 7 . 2 . N o o b s t a n t e , p a r a o t r o s p r o c e s o s d e t r a n s p o r t e , t a le s c o m o l a c o n d u c c i ó n e n u n g r a d i e n t e té r m i c o ( q u e d a l u g a r a l e f e c t o t e r m o e l é c t r ic o ) , e s n e c e s a  r io t e n e r e n c u e n t a e l m o v i m i e n to t é rm i c o e n f o r m a d e t a ll a d a p a r a e n t e n d e r c o m p l e ta  m e n t e e l f en ó m e n o . Las corrientes que hem os descrito hasta ahora en esta sección se llaman co rrien t e s d e c o n d u c c i ó n . E s t a s c o r r i e n te s d e c o n d u c c i ó n  r e p r e s e n ta n e l m o v i m i e n t o d e d e  r i v a d e l o s p o r t a d o r e s d e c a rg a e n u n m e d i o n e u t r o , q u e c o m o u n t o d o , p u e d e e s t a r y

7 . 2 D e n s i d a d d e c o r r ie n t e : e c u a c i ó n d e c o n t i n u i d a d

165

FIGURA 7.3 M o v i m i e n to d e d e r iv a d e  p o rta d o res d e carg a a través del plano d a   en un tiempo St.

v • n 5í

g e n e r a l m e n t e e st á e n r e p o s o . L o s l íq u i d o s y l os g a s e s p u e d e n a d e m á s e x p e r i m e n t a r u n m o v i m i e n t o h i d r o d i n á m i c o y , s i e l m e d i o t i e n e u n a d e n s id a d d e c a r g a , e s t e m o v i m i e n  t o h i d r o d i n á m i c o p r o d u c i r á c o r r i e n te s . T a l e s c o r ri e n t e s , q u e p r o v i e n e n d e l t r a n s p o r t e m a s iv o d e u n m e d io c a r g a d o , s e ll a m a n c o r r i e n t e s d e c o n v e c c i ó n .   L a s c o r r i e n t e s d e c o n v e c c i ó n s o n i m p o r t a n te s e n r e l a c ió n c o n l a e l e c tr i c id a d a t m o s f é r i c a . D e h e c h o , l as c o r r ie n t e s d e c o n v e c c i ó n a s c e n d e n t e s e n l a s t o r m e n t a s s o n s u f i c ie n t e s p a r a m a n t e n e r e l g r a d ie n t e d e p o t e n c i a l n o r m a l d e l a a tm ó s f e r a p o r e n c i m a d e l a T i e r r a . E l m o v i m i e n  t o d e p a r t í c u l a s c a r g a d a s e n e l v a c í o ( ta l e s c o m o e l e c t r o n e s e n u n d i o d o a l v a c í o ) c o n s t i t u y e t a m b i é n u n a c o r r i e n te d e c o n v e c c i ó n . U n a c a r a c t e r ís t i c a im p o r t a n t e d e l a c o r r i en t e d e c o n v e c c i ó n e s q u e n o e s e l e c t r o s tá t ic a m e n t e n e u t r a y s u c a r g a e l e c t r o s t á ti c a  p o r lo g e n e ra l d e b e to m a rs e e n c u e n ta . E n e l re s t o d e e s t e c a p í t u l o t r a ta r e m o s e x c l u s i v a m e n t e c o n c o r r i e n t e s d e c o n d u c c i ó n .

7 .2

=

=

=

=

=

D E N S ID A D D E C O R R IE N T E : E C U A C IÓ N D E C O N TIN U ID A D E n e s t a s e c c ió n c o n s i d e r a r e m o s p r im e r o u n m e d i o c o n d u c t o r q u e t i e n e s ó l o u n t ip o d e  p o rta d o r d e c a rg a , c u y a c a rg a e s q . E l n ú m e r o d e e st o s p o r t a d o r e s p o r u n i d a d d e v o l u  m e n s e r e p r e s e n t a r á c o n  N .  D e a c u e r d o c o n l a s e c c i ó n a n t e r i o r , d e s p r e c i a r e m o s s u m o v i m i e n t o t é rm i c o a l ea to r io y a s i g n a r em o s l a m i s m a v e l o c id a d d e d e s p l a z a m i e n to o d e r i v a v a c a d a p o r t a d o r . E s t a m o s a h o r a e n p o s i c i ó n d e c a l c u l a r l a c o r r ie n t e q u e p a s a  p o r u n e le m e n to d e á re a d a  t a l c o m o e l i lu s t r ad o e n l a f i g u r a 7 . 3 . D u r a n t e e l t i e m p o 8t , c a d a p o r t a d o r r e c o r r e u n a d i s t a n c i a v 8t. E s e v i d e n t e , a p a r t i r d e l a f i g u r a , q u e l a c a r g a S Q  q u e a t r a v ie s a d a  d u r a n t e e l i n t e r v a l o 8t  e s q  v e c e s l a s u m a d e t o d o s l o s p o r t a d o r e s d e c a r g a e n e l v o l u m e n v • n 8t d a ,  d o n d e n e s u n v e c t o r u n i t a r io p e r p e n d i c u l a r a l á r e a d a . D e l a e c u a c i ó n ( 7 - 1 ) , la c o r r ie n t e q u e p a s a a t r a v é s d e d a es:

16 6

7 Corriente eléctrica

.. ÓQ qN vn ótda d i = — =   ---------=  N q \ • n d a ót di

(7-2)

Si hay presente más de u na clase de portadores de carga, habrá una contribución de la f o r m a ( 7 - 2 ) p a r a c a d a t i p o d e p o r t ad o r . E n g e n e r a l , l a c o r ri e n t e q u e p a s a p o r e l á r e a d a  es

di =

(7-3)

n da

A q u í l a s u m a t o r i a s e e f e c t ú a s o b r e l os d i s ti n t o s t ip o s d e p o r t a d o r e s.

L a c a n t i d a d e n t r e c o r c h e t e s e s u n v e c t o r q u e t i e n e d im e n s i o n e s d e c o r r ie n t e  p o r u n id a d d e á re a ; e s ta c a n ti d a d s e ll a m a d e n s i d a d d e c o r r ie n t e y e s t á d a d a  p o r e l sím b o lo J : (7-4)

L a d e n s i d a d d e c o r r ie n t e p u e d e d e f i n ir s e e n c a d a p u n t o d e u n m e d i o c o n d u c t o r y e s,  p o r ta n to , u n a fu n c ió n v e c to ria l p u n tu a l. E s u n a c a n ti d a d ú ti l, u n a c a n ti d a d q u e e n tr a d i r e c ta m e n t e e n l a s e c u a c i o n e s d if e r e n c i a l e s f u n d a m e n t a l e s d e l a t e o r ía e l e c t r o m a g n é  t ic a . L a u n i d a d m k s d e J e s e l a m p e r e / m e t r o 2 ( A / m 2) . L a e c u a c i ó n ( 7 - 3 ) p u e d e e s c r i b ir  se en la forma

d i = J  • n da y l a c o r r i e n t e q u e p a s a a t ra v é s d e l a s u p e r f i c ie S , q u e e s u n á r e a s u p e r f i c ia l d e f o r m a a r b i tr a r ia y d e t a m a ñ o m a c r o s c ó p i c o , e s t á d a d a p o r l a in t e g ra l

/ =  j J  • n da

(7-5)

L a d e n s id a d d e c o r r ie n t e J y l a d e n s id a d d e c a r g a p n o s o n c a n t id a d e s i n d e p e n  d i e n t e s , s i n o q u e e s t á n r e la c i o n a d a s e n c a d a p u n t o p o r u n a e c u a c i ó n d i f e r e n c i a l , la l l a m a d a e c u a c i ó n d e c o n t i n u i d a d . E s t a r e la c i ó n t ie n e s u o r i g e n e n e l h e c h o d e q u e l a c a r g a n o p u e d e c r e a r s e n i d e s tr u i rs e . L a e c u a c i ó n s e d e d u c e c o n m a y o r f a c i l id a d a p l i  c a n d o l a e c u a c ió n ( 7 - 5 ) a u n a s u p e r f i c ie S   arbitraria c e r r a d a .  L a c o r r i e n t e e l é c t ri c a q u e e n t r a e n V> e l v o l u m e n e n c e r r a d o p o r 5 , e s t á d a d a p o r  

 I  = - j > J ' n d a = - j

V 'J d v

(7-6)

%

E n e s t a e c u a c i ó n , l a ú l t im a in t e g r a l s e o b t i e n e u t i l iz a n d o e l te o r e m a d e l a d iv e r g e n c i a . E l s i g n o m e n o s a p a r e c e p o r q u e n e s l a n o r m a l h a c i a a fu e r a y d e s e a m o s c o n s i d e r a r  I   p o s it iv a c u a n d o e l flu jo n e to d e c a r g a v a d e l e x te r io r d e V  h a c i a s u i n t e r io r .P e r o d e la e c u a c i ó n ( 7 - 1 ) , I   e s i g u a l a la r a z ó n c o n q u e l a c a r g a s e t r a n s p o r t a a li n t e r io r d e V :

167

7 .3 L e y d e O h m : c o n d u c t i v id a d

dQ

r

d  f 

C o m o e s ta m o s c o n s i d er a n d o u n v o l u m e n f i jo V,  l a d e r i v a d a c o n r e s p e c t o a l t i e m p o o p e r a s ó lo s o b r e l a fu n c i ó n p . S i n e m b a r g o , p e s f u n c i ó n t a n to d e l a p o s i c i ó n c o m o d e l tiempo, de modo que la derivada con respecto al tiempo se convierte en derivada  p a r c ia l c o n re s p e c to al ti e m p o c u a n d o p a s a al in te rio r d e la in te g ra l. E n c o n s e c u e n c ia , =

( Í E 

 L

s t 

dv 

(7-7b)

L a s e c u a c i o n e s ( 7 - 6 ) y ( 7 - 7 b ) p u e d e n a h o r a ig u a l a r s e

K f 

+ T • J ) ‘i ' , -

o

,7 - 8 >

P e r o V  e s c o m p l e t a m e n t e a r b i tr a r io y l a ú n i c a fo r m a e n q u e l a e c u a c ió n ( 7 - 8 ) s e a v á l id a p a r a u n e le m e n t o d e v o l u m e n a r b i tr a r io d e l m e d i o e s q u e e l in t e g r a n d o s e a n u l e e n c a d a p u n t o , lo q u e c o n d u c e a l s ig u i e n t e re s u l ta d o .

L a e c u a c i ó n d e c o n t i n u i d a d e s: dp ^ + V -J = 0

(7 - 9 )

L E Y D E O H M : C O N D U C T I V ID A D E x p e r i m e n t a lm c n t e s e e n c u e n t ra q u e e n u n m e t al a t e m p e r a tu r a c o n s t a n t e la d e n s i d a d d e c o r r i e n t e J e s l i n e a l m e n t e p r o p o r c i o n a l a l c a m p o e l é c tr ic o .

P o r ta n t o , l a e c u a c i ó n c o n s t i tu t i v a e s J = £E

(7 -1 0)

L a c o n s t a n t e d e p r o p o r c i o n a l i d a d  g   s e d e n o m i n a c o n d u c t i v i d a d .  L a ec u a  c i ó n ( 7 - 1 0 ) , q u e s e l la m a l e y d e O h m , e s u n a m u y b u e n a a p r o x i m a c i ó n p a r a u n g r a n n ú m e r o d e m a t e r ia l e s c o n d u c t o r e s co m u n e s .

S i n e m b a r g o , e n e l c a s o g e n e r a l, l a e c u a c i ó n ( 7 - 1 0 ) d e b e s u s t it u i rs e p o r

J =  g ( E ) E

168

7 C o r r i e n t e e l é c t r ic a

d o n d e  g ( E ) e s f u n c i ó n d e l c a m p o e l é c t ri c o . L o s m a t e ri a le s p a r a l o s q u e l a e c u a c ió n ( 7 - 1 0 ) e s v á l i d a s e l la m a n m e d i o s l i n e a l e s i só t r o p o s o m e d i o s ó h m i c o s. A q u í n u e v a m e n t e , c o m o c o n l o s d ie l é c tr ic o s , n o s i n t e r e s a r á p r i n c i p a l m e n t e e l c a s o l i n e a l. E l r e c í p r o c o d e l a c o n d u c t iv i d a d s e l la m a r e s i s t i v i d a d   77;* así, 1

71

(7-11)

8

L a u n i d a d d e r¡ e n e l s is te m a m k s e s v o l t m e tr o /a m p e r e o s i m p l e m e n t e o h m / m e t r o ,

TAB LA 7.1 Resistividad r¡ y coeficiente de temperatura de la resistencia cc de algunos materiales a 20 °C.

Material

Aluminio C o b re O ro H ie r ro  N íq u e l Plata Mercurio Tungsteno C o n s ta n tá n (C u 6 0 , N i 4 0 )  N ic ro m o G e r m a n io (p u ro ) G e r m a n io (5 x 10“^% A s ) Grafito S o l u c ió n s a tu r a d a d e N a C l O x i d o d e a l u m i n io Vidrio lo d o C u a r z o ( S i 0 2) A z u fre M a d e ra

i), Q  m

2.65 1 .6 7 2 .3 5 9.71 6.84 1 .5 9 9 5 .8 5 .5 1 4 9 .0 1 0 0 .0

x 10-» x 10-* x 1 (H x 1CH x 1 (H x 1(H x 10-8 x 10-8 x 1( H x 10 -8 0 .4 6 0.011 1.4 x 10-5 0.044 1 x 10 14  0   0  —  ó   j   --

1.3 x 1x 2x 10® -

0.0043 0 .0 0 3 9 0 .0 0 4 0 .0 0 6 5 0.0069 0.0041 0 .0 0 0 9 0.0045 0 .0 0 0 0 0 .0 0 0 4 - 0 .0 4 8

-0.005

107 1 0 14 1 0 15 10“

 Fu en te :  Datos tomados del  H a n db oo k o f C hem is tr y a n d Phy si cs ,  58a. ed., Cleveland, Ohio, CRC Press Inc., 1978.

* Lo s símbo los comunes para la resistividad y la conductividad son p y o ,  respectivamente, pero para evitar la posible confusión con la densidad volum étrica de carga p y la densidad de carga supe rficial <7, utilizaremos los símbolos r¡ y g.

7 .3 L e y d e O h m : c o n d u c t i v id a d

FIGURA 7.4

169

V>=

Geometría de un segmento de alambre recto.

d o n d e e l o h m (£2 ) s e d e f i n e c o m o 1 ohm =

1 vo lt 1 am pere

L a unidad de conduc tividad  g  e s i b 1 n r 1, o S / m . U n Siemens ( S ) es e l recíproco del ohm. (A un Siemens antes se l e d e c í a mho.) E n l a t a b l a 7 .1 s e d a n l a s r e s is t i v id a d e s d e a l g u n o s m a t e r i a le s c o m u n e s . E s e v i  d e n t e d e e s t a t a b l a q u e t o d o s l o s m a t e r ia l e s c o n d u c e n l a e l e c t r i c id a d h a s t a c i e r t o g r a  do» p e r o q u e l o s m a t e r ia l e s q u e h e m o s l l a m a d o a i s l a n t e s ( d i e lé c t r i c o s ) s o n c o n d u c t o r e s m u c h o p e o r e s q u e l o s m e t a le s e n u n f a c t o r e n o r m e ( ta n g r a n d e c o m o 1 023). L a d i f e  r e n c i a e n t r e u n c o n d u c t o r y u n a i s l a n t e s e a n a l iz a r á d e f o r m a m á s c u a n t i t a ti v a e n l a sección 7.7. C o n s i d e re m o s u n a m u e s t ra c on d u c to r a» q u e o b e d e c e l a le y d e O h m , e n f o r m a d e u n a l a m b r e r e c to d e s e c c i ó n u n i f o rm e , c u y o s e x t r e m o s s e m a n t ie n e n a u n a d i f e r e n c ia d e p o t e n c i a l c o n s t a n t e A (p. ( V é a s e la F ig . 7 . 4 .) S e s u p o n e q u e e l a l a m b r e e s h o m o g é  n e o y q u e e s t á c a r a c te r iz a d o p o r u n a c o n d u c t i v id a d c o n s t a n t e  g .   E n e s t a s c o n d i c i o  n e s , e x i s t i r á u n c a m p o e l é c t r i c o e n e l a l a m b r e q u e e s t á r e l a c i o n a d o c o n A (p  p o r l a ecuación

 A< p = f  E 1 d l  

(7-12a)

E s e v i d e n te q u e n o p u e d e h a b e r c o m p o n e n t e d e e s t a d o e s ta c i o n a ri o d e l c a m p o e l éc t ri  c o p e r p e n d i c u l a r al e je d e l a l a m b r e , y a q u e p o r l a e c u a c i ó n ( 7 - 1 0 ) e s to p r o d u c i r í a q u e l a s u p e r f ic i e d e l a l a m b r e s e c a r g a r a c o n t i n u a m e n t e . P o r t a n t o , e l c a m p o e l é c t r ic o e s  p u ra m e n te lo n g itu d in a l. A d e m á s , d e b i d o a l a f o r m a g e o m é t ri c a, e l c a m p o e l é c tr ic o d e b e s e r e l m i s m o e n t o d o s l o s p u n t o s d e l a l a m b r e . P o r c o n s i g u i e n t e , la e c u a c i ó n ( 7 - 1 2 a ) se r e d u c e a A

(7-12b)

d o n d e / e s l a l o n g i tu d d e l a l a m b r e . P e r o u n c a m p o e l é c t r i c o im p l i c a u n a c o r r i e n t e d e d e n s i d a d J =  g E .  L a c o m e n t e q u e p a s a p o r u n a se c c i ó n d e l al a m b r e e s J n

da = JA  

(7-13)

- L  A

s i e n d o A e l á r e a d e l a s e c c i ó n t ra n s v e r s a l d e l a l a m b r e . C o m b i n a n d o l a e c u a c i ó n ( 7 - 1 3 ) c o n ( 7 - 1 0 ) y ( 7 - 1 2 b) , o b t e n e m o s

170

7 C o r r ie n t e e l éc t ri c a

 I = Y  A
(7-1 4)

q u e p r o p o r c i o n a u n a r e l a c ió n l in e a l e n t r e I  y A (p. L a c a n t id a d 1/gA s e l la m a r e s i s t e n c i a d e l a l a m b r e y s e r e p r e s e n t a r á c o n e l s í m b o l o  R .  U t il iz a n d o  R , p o d e m o s e s c r i b i r d e n u e v o l a e c u a c i ó n ( 7 - 1 4 ) : A cp = R I  

(7-15)

q u e e s l a f o r m a f a m i l i a r d e l a l e y d e O h m (R   s e m i d e e v id e n t e m e n t e en o h m s ) . L a e c u a c i ó n ( 7 - 1 5 ) p u e d e c o n s i d e r a r s e c o m o u n a d e f i n ic i ó n d e l a re s i s t e n c i a d e u n o b j e to o d i s p o s i t iv o p o r e l q u e p a s a u n a c o r r i e n t e c o n s t a n te . E n e l c a s o g e n e r a l , R  d e p e n d e r á d e l v a l o r d e e s ta c o r r ie n t e . S in e m b a r g o , c o m o y a m e n c i o n a m o s , n o s i n te r e s a n p r i n c i   p a lm e n te lo s m a te r ia le s li n e a le s , ll a m a d o s m a te r ia le s ó h m ic o s , y e n é s to s  R   e s i n d e   p e n d ie n te d e la c o rrie n te . E l t r a b a jo r e a l iz a d o p o r e l ca m p o c u a n d o u n a c a r g a d Q  s e m u e v e a tr a v é s d e u n a d i f e r e n c i a d e p o t e n c i a l A

7 .4

Z

C O R R IE N T E S E S T A C IO N A R I A S E N M E D IO S C O N T IN U O S H a y u n a a n a l o g í a m u y e s t r e c h a e n t r e u n s i s t e m a e l e c t r o s t á ti c o d e d i e l é c tr i c o s li m i t a d o  p o r s u p e rfic ie s e q u ip o te n c ia le s , p o r u n a p a r te , y u n s is te m a q u e c o n d u c e u n a c o r rie n te e s t a c io n a r i a , p o r o t ra . E s t a a n a l o g í a e s e l t e m a d e l a p r e s e n t e s e c c ió n . C o n s id e r e m o s u n m e d i o c o n d u c t o r ó h m i c o ( l in e a l) , h o m o g é n e o , e n c o n d i c io n e s de conducción en estado estacionario. Puesto que estamos tratando específicamente c o n e l e s t a d o e s t a c i o n a r io , l a d e n s i d a d d e c a r g a l o c a l  p ( x ,  y , z ) e s t á e n s u v a l o r d e equilibrio, y d p / d t  = 0 p a r a c a d a p u n t o d e l m e d i o . E n c o n s e c u e n c i a , la e c u a c i ó n d e c o n t i n u i d a d ( E c . 7 - 9 ) s e re d u c e a V -J = 0

( c o rr ie n t es e s ta c i o n a ri a s)

( 7 -1 6 )

U t il iz a n d o la l ey d e O h m e n c o m b i n a c ió n c o n ( 7 -1 6 ) o b t e n e m o s V •gE = 0 que para un m edio hom ogéneo se reduce a V -E = 0 P e r o y a q u e V x E = 0 p a r a u n ca m p o e s tá t ic o , E p u e d e d e r i v a r s e d e u n p o t e n c i a l escalar: E = -V(p L a c o m b i n a c i ó n d e l a s d o s ú l ti m a s e c u a c i o n e s d a

7 . 4 C o r r i e n t e s e s ta c i o n a r i a s e n m e d i o s c o n t i n u o s

V > = 0

171

(7 -1 7 )

q u e e s l a e c u a c i ó n d e L a p l a ce . P o r t a n to , v e m o s q u e u n p r o b l e m a d e c o n d u c c i ó n e n e s t a d o e s t a c io n a r i o p u e d e r e s o l v e rs e d e l a m i s m a f o r m a q u e l o s p ro b l e m a s e l e c t r o s tá t ic o s . L a e c u a c i ó n d e L a p l a c e s e r e s u e l v e c o n u n a d e l a s té c n i c a s a n a l i z a d a s e n e l c a p í t u l o 3 , y l a s o l u c i ó n e s t á d e t e r  m i n a d a , c o m o s i e m p r e , p o r l a s c o n d i c i o n e s e n l a f r o n te r a . L a s c o n d i c i o n e s e n l a f r o n  t e r a q u e s o n s u f i c i en t e s p a r a r e s o l v e r el p r o b l e m a s o n a q u e l l a s q u e e s p e c i f i c a n y a s e a (p o J e n c a d a p u n t o d e l a s u p e r f ic i e d e l m e d i o c o n d u c t o r . E s p e c i f i c a r J e n l a s u p e r fi c ie e s e q u i v a l e n t e a e s p e c i f i c a r E , y a q u e l o s d o s v e c t o r e s e s tá n r e l a c i o n a d o s p o r l a l e y d e O h m . U n a v e z q u e s e h a h a l l a d o l a s o lu c i ó n a p r o p i a d a d e l a e c u a c i ó n d e L a p l a ce ,  p u e d e d e te r m in a r s e E (y e n c o n s e c u e n c ia J ) e n c a d a p u n to d e n tro d e l m e d io a p a r tir de la operación gradiente. E n l a c o n d u c c i ó n e n e s t a d o e s t a c io n a r i o , l a c o r ri e n t e q u e a t r a v i e s a u n á r e a d e la z o n a i n te r f a ci a l e n t r e d o s m e d i o s c o n d u c t o r e s p u e d e c a l c u l a r s e e n d o s f o r m a s : e n f u n  c i ó n d e l a d e n s i d a d d e c o r r i e n t e e n e l m e d i o 1 o en f u n c i ó n d e l a d e n s i d a d d e c o r r i e n te e n e l m e d i o 2 . C o m o l o s d o s p r o c e d i m i e n t o s d e b e n c o n d u c i r a l m i s m o r e s u l t a d o , la c o m p o n e n t e n o r m a l d e J d e b e s e r c o n t i n u a a l a t ra v e s a r l a z o n a i n te r f a c ia l : = hn 

FIGURA 7.5 Cuba electrolítica  b id im en sio n al. L o s tres c o n d u c t o r e s m e t á l ic o s s e mantienen a los  p o te n ci ale s (pr  2 y (py   E l s í m b o l o  y fo - d e n o t a un resistor cuyo valor  p u ed e vari ars e y G  es un galvanómetro. La resistencia de los alambres se considera despreciable. Si los resistores  R ] y R 2 se ajustan de tal modo que no  p ase c o rr ie n te a tr a v é s de C .  en to n ce s ^ =
/'/?, = í>, + ¡ R:.

=

 p , - (
(7-18a)

172

7 C o r r ie n t e e l é c tr i c a

o  g l E l n = g 2^  2n 

(7-18b)

E s t a e c u a c i ó n e s a n á l o g a a l a e c u a c i ó n d e c o n t i n u i d a d d e  D n  a l a t r a v e s a r l a s z o n a s i n t e r f a c i a le s e n t r e d i e l é c t r i c o s e n p r o b l e m a s e l e c t r o s tá t i c o s . P u e s to q u e e l c a m p o e s e s tá t ic o e n c a d a m e d i o , E • d i = 0  p a r a u n a tr a y e c to r ia c e rra d a q u e lig a a m b o s m e d io s , y  E u =  E 2 i  

(7-19)

 p o r la d e riv a c ió n d e la s e c c ió n 4 .7 . E s ta e c u a c ió n es e v id e n te m e n te la m is m a p a r a a m b o s t i p o s d e p r o b l e m a s ( e le c t r o s tá t ic o s y d e c o n d u c c i ó n e s t a c i o n a r i a ). Un ejemplo de las ideas anteriores se muestra en la “cuba electrolítica” de l a f i g u r a 7 . 5 . A q u í , v a r io s e l e c tr o d o s m e t á li c o s , q u e s e c o n e c t a n a f u e n t e s e x t e r n a s d e p o  t e n c ia l , s e c o l o c a n e n u n m e d i o c o n d u c t o r l íq u i d o ( i d e a l m e n t e d e e x t e n s i ó n i n f i n i ta ) d e conductividad moderada (tal como una solución salina). Como la conductividad de la solución salina es m u c h o  m e n o r q u e l a d e u n m e t al ( v é a s e l a t a b l a 7 .1 ) , e l c a m p o e l é c t r ic o e n e l m e t a l (p a r a l a m i s m a d e n s i d a d d e c o r r ie n t e ) e s m u c h o m e n o r q u e e n l a s o l u c ió n . L a razón entre cam pos es tan pequeña que E en el metal puede despreciarse y es posible c o n s i d e r a r q u e c a d a e l e c t r o d o m e t á li c o e s u n a s u p e r f i c ie e q u i p o t e n c i a l. P u e d e u t il iz a r s e u n a p e q u e ñ a s o n d a , c o m o s e v e e n l a f i g u r a 7 . 5 , p a r a e x p l o r a r el p o t e n c ia l e n l a s o l u  c i ó n , y d e e s t a f o r m a h a c e r u n e s q u e m a d e l a s s u p e r f ic i e s e q u i p o te n c i a le s . U n a p o s i b l e u t il id a d d e e s t e e x p e r i m e n t o e s l a d e p r o p o r c i o n a r u n a s o l u c i ó n n u m é r i c a p a r a l a e c u a  c i ó n d e L a p l a c e q u e , e n c a s o d e q u e l a f o r m a g e o m é t r ic a s e a c o m p l ic a d a , p u e d e se r d i fí c il d e d e t e r m i n a r a n a lí ti c a m e n t e . L a s o l u c ió n e n c o n t r a d a n o s e l i m i t a a l p r o b l e m a d e c o n d u c c i ó n , s in o q u e s e a p l i c a ig u a l m e n t e a l p r o b l e m a e l e c t r o s t á ti c o e q u i v a l e n t e en e l

FIGURA 7.6 Problema electrostático equivalente al problema de conducción de la figura anterior. Como la figura 7.5 representa una conducción bidimensional, el problema electrostático también es bidimensional,  y  cada conductor es un cilindro de longitud infinita.

7 . 4 C o r r i e n t e s e s ta c i o n a r i a s e n m e d i o s c o n t i n u o s

173

que los mismos electrodos metálicos están rodeados por un medio dieléctrico (Fi g. 7 . 6 ). E l m é t o d o d e l a “ c u b a e l e c tr o l í ti c a ” s e u t il iz ó a m p l i a m e n t e e n e l p a s a d o p a r a r e s o l v e r p r o b l e m a s e le c t r o s t á ti c o s c o n f o r m a s g e o m é t r ic a s c o m p l i c a d a s , p e r o a c t u a l  m e n t e e s to s p r o b l e m a s s e s u e l e n r e s o l v e r c o n u n c o m p u t a d o r . C o m o u n s e g u n d o e je m p l o d e l a r e l a c i ó n e n t r e c o n d u c c i ó n y e l e c t r o s tá t i c a , c o n  sideremos dos electrodos metálicos en un medio infinito óhmico homogéneo, de c o n d u c t iv i d a d m o d e r a d a  g .  S i l o s e le c t ro d o s m e t á l ic o s s e m a n t i e n e n a l o s p o t e n c i a l e s (p, y (py  l a c o r r i e n t e  I  e n t r e e l l o s e s

 j =   J • n d a d o n d e S   e s c u a l q u i e r s u p e r fi c ie c e r r a d a q u e r o d e a c o m p l e t a m e n t e u n o d e l o s e l e c t r o  d o s ( e x c e p t o p o r u n a l a m b r e d e m e t a l a i s la d o q u e c o n d u c e l a c o r r i e n t e a l e l e c tr o d o  p a r a m a n te n e rlo a p o te n c ia l c o n s ta n te ). P e ro

3 = gE  C o m b i n a n d o l a s tr e s ú lt im a s e c u a c i o n e s , o b t e n e m o s W  i — (p 2

C 

 — -   ----- =  g  £ E • n d a  

(7_20)

S i e l m i s m o c a m p o e l é c t ri c o s e p r o d u j e r a p o r c a r g a s e le c t r o s t á ti c a s s o b r e l o s d o s e l e c  t r o d o s m e t á l i c o s e n u n m e d i o d i e l é c t r i c o, e n t o n c e s , p o r l a l e y d e G a u s s ,

i 

E n da = - Q  

S

(7 . 2 i )

^

d o n d e Q  e s l a c a r g a s o b r e e l e l e c t ro d o m e t á li c o ro d e a d o p o r l a s u p e r f i c i e S  y e e s l a  p e r m itiv id a d d e l m e d io . E n e s ta s c irc u n s ta n c ia s , lo s d o s e l e c t r o d o s f o r m a r á n un condensador:

Q   = C (< p, -

tp2)

( 1 - 2 2 )

A l s u s t i tu i r la s e c u a c i o n e s ( 7 - 2 1 ) y ( 7 - 2 2 ) e n ( 7 - 2 0 ) , o b t e n e m o s

 R C = —   g  

(7-23)

E s t e r e s u l t a d o r e la c i o n a l a re s i s te n c i a e n t r e d o s c o n d u c t o r e s e n u n m e d i o c o n d u c t o r d é b i l y l a c a p a c i d a d d e l p r o b l e m a e l e c t r o s tá t ic o e q u i v a l e n t e . * Ya que / es el equivalente a Q  en el problem a electrostático. / es proporcional a A tpy 1 IR  se define como la constante de proporcionalidad. Véase la ecuación (7-22).

174

7 C o r r ie n t e e l éc t ri ca

D e h e c h o , e s t a re l a c ió n e s m á s q u e u n a a n a l o g í a e n t r e m e d i o s d i e l é c t ri c o s y c o n  d u c t o r e s . T a m b i é n e s v á l i d a p a r a c u a l q u i e r m e d i o q u e t e n g a c o n d u c t i v i d a d  g  y  p e r m it iv id a d e . Ya q u e n o e x is te u n d ie lé c tr ic o id ea l, to d o d ie lé c tr ic o re a l ti e n e u n a  g  d i s t in t a d e c e r o , a u n q u e s e a m u y p e q u e ñ a . P o r o t ro l a d o , i n c l u s o u n b u e n c o n d u c t o r t ie n e s u p r o p i o v a l o r d e e , p o r p e q u e ñ o q u e s e a . D e a q u í q u e u n c o n d e n s a d o r te n g a u n a r e s i s te n c i a d e f u g a y q u e u n a r e s i s te n c i a t e n g a u n a p e q u e ñ a c a p a c i d a d a s o c i a d a , y e n c a d a c a s o  R y C  d e l d i s p o s it iv o e s t á n r e l a c i o n a d o s p o r l a e c u a c i ó n ( 7 - 2 3 ) ( a p r o x i  m a d a m e n t e , y a q u e e l m e d i o n o e s i n fi n it o ).

7 .5

~

A P R O X IM A C I O N A L E Q U I LIB R IO E L E C T R O S T A T I C O En el capítulo 2 se demostró que el exceso de carga reside sobre la superficie de un c o n d u c t o r . E s t a s i tu a c i ó n e s e l e s t a d o d e e q u i l i b r i o . L a a p r o x i m a c i ó n a l e q u i l i b r i o n o s e e s tu d i ó e n e l c a p í t u l o 2 , p e ro s e e s t a b l e c i ó q u e p a r a b u e n o s c o n d u c t o r e s ( m e t á li c o s ) e l e q u i l ib r i o s e a lc a n z a m u y r á p i d a m e n t e . C u a n t o m e n o s c o n d u c t o r s e a e l m a t e r ia l , m á s l e n t a s e r á l a a p r o x i m a c i ó n a l e q u i l ib r i o e l e c tr o s t á ti c o . D e h e c h o , s i l a c o n d u c t i v i d a d d e l m a t e r ia l e s e x t r e m a d a m e n t e b a j a , p u e d e t a r d a r a ñ o s o a u n m á s e n a l c a n z a r e l e q u i  librio electrostático. C o n s i d e r e m o s u n m e d i o i s ó tr o p o h o m o g é n e o , c a r a c te r i z ad o p o r u n a c o n d u c t iv i d a d  g  y p e r m i ti v id a d e , a s í c o m o p o r u n a d e n s i d a d d e c a r g a v o l u m é t r ic a p 0( x , y , z ). S i e s te s i s te m a c o n d u c t o r s e a í sl a re p e n t i n a m e n t e d e l o s c a m p o s e l é c t ri c o s a p l i c a d o s , te n d e r á h a c i a l a s it u a c ió n d e e q u i li b r io e n l a q u e n o h a y e x c e s o d e c a r g a e n e l i n t e r i o r d e l s i s te m a . S e g i in l a e c u a c i ó n d e c o n t in u i d a d , dp

-ft +

= °

(7 - 9 >

q u e , c o n a y u d a d e l a le y d e O h m , s e e x p r e s a c o m o dp d t 

4-  g V  • E = 0

( 7 -2 4 )

P e r o V • E s e r e la c i o n a c o n l as fu e n t es d el c am p o . D e h e c h o, V • E = p / e , d e m o d o q u e

|

+ f p - 0

(7-25)

L a s o l u c i ó n a e s t a e c u a c i ó n d i f e r e n c i a l p a r c i a l p a r a g y €   c o n s t a n t e s e s  p ( x , y , z , t ) = p  0( x ,

y,z)e~*"'

(7-26)

y s e v e q u e e l e s t a d o d e e q u i l ib r i o s e a l c a n z a e x p o n c n c i a lm e n t e . D e l a e c u a c ió n ( 7 - 2 6 ) e s e v i d e n t e q u e l a ca n t i d a d e l g  t ie n e d i m e n s i o n e s d e t ie m   p o ; s e le lla m a c o n s t a n t e d e t ie m p o  o t i e m p o d e r e l a ja c i ó n tc d e l m e d i o : (7-27) ' • =

r er i

7 . 6 R e d e s d e r e s i s te n c i a s y l e y e s d e K i r c h h o f f

175

L a c o n s t a n t e d e t ie m p o m i d e la v e l o c i d a d a l a q u e e l m e d i o s e a p r o x i m a a l e q u il ib r i o e l e c tr o s t á ti c o . M á s p r e c i s a m e n t e , e s e l ti e m p o q u e h a d e t r a n s c u r r i r p a r a q u e l a c a r g a e n u n a r e g ió n d e t e r m i n a d a d i sm i n u y a a  H e  d e s u v a l o r o r ig i n a l. U n m a t e ri al m o s t r a r á su c o m p o r ta m i e n to c o m o c o n d u c t o r e n u n c a m p o p a r t ic u  l a r a p l ic a d o s i s u c o n s t a n t e d e t i e m p o e s m u c h o m e n o r q u e e l t ie m p o q u e c a r a c t e r i z a u n c a m b i o e n e l c a m p o a p l i c a d o . P a r a a l g u n a s a p l i c a c io n e s , u n a c o n s t a n t e d e t i e m p o m e n o r q u e 0 .1 s e g u n d o s e s s u f ic i e n t e , y c o m o l a m a y o r í a d e l a s p e r m i ti v i d a d e s n o m e t á l ic a s * c a e n e n u n i n t e r v a l o d e e () a 1 0 e (), s e r e q u i e r e u n m a t e r i a l d e r e s i s t iv i d a d m e n o r d e 1 09 o Í O 10 £ 2 • m . P a r a a p l i c a c i o n e s d e a l t a f r e c u e n c i a s e n e c e s i t a u n a c o n s  t a n t e d e ti e m p o m e n o r y , p o r c o n s i g u i e n t e , u n a r e s is t iv i d a d m e n o r p a r a q u e h a y a r e a l  m e n t e u n c o m p o r t a m i e n to c o m o c o n d u c to r . D e h e c h o , l a e cu a c ió n e s

d o n d e  f    e s l a f r e c u e n c i a m á s a l t a q u e i n t e rv i e n e e n e l e x p e r i m e n t o . E x a c t a m e n t e l a c o n d i c ió n o p u e s t a s e a p l i c a p a r a el c o m p o r t a m i e n t o c o m o d i e l é c tr i c o .

R E D E S D E R E S IS T E N C I A S Y L E YE S D E K I R C H H O F F H a s t a a q u í h e m o s a n a l iz a d o l a c o n d u c c i ó n p r i n c i p a lm e n t e d e s d e e l p u n t o d e v i s t a d e l t ra n s p o r te d e c a r g a e n u n m e d io c o n d u c t o r, y h e m o s e n f o c a d o e l p r o b l em a e n t é r m i n o s d e l a s e c u a c i o n e s d i fe r e n c i a l e s q u e d e b e n a p l i c a r s e e n c a d a p u n t o . L a c a n t i d a d i m p o r  tante por determ inar en estos casos es la densidad de corriente J. Pero en m uchos  p ro b le m a s d e in te ré s p rá c ti c o lo s p o rta d o r e s d e c a r g a e s tá n re s tr in g id o s a s e g u ir u n a t r a y e c t o r i a d e b a j a r e s i s t e n c i a , l l a m a d a c i r c u i t o , y e n t o n c e s l as c a n t id a d e s d e i n t e r é s s o n l a s c o r r i e n t e s e n c a d a p a r t e d e l c ir c u i to . E n e s t a s e c c ió n l i m i t a r e m o s n u e s t r o a n á  lisis a circuitos por los que circulan corrientes estacionarias (constantes), es d ecir, c i r c u i to s d e c o r r i e n t e d i r e c t a. U n c i r c u i t o p u e d e e s t a r f o r m a d o p o r v a r i a s r a m a s ; d e hecho, es posible definir un circuito como una malla de varios caminos de conduc c i ó n , c a d a u n o d e l a s c u a l e s p u e d e c o n t e n e r v o l t a je s a p l i c a d o s o f u e n t e s d e v o l ta j e . E l  p r o b le m a c e n tr a l p a r a el a n á li s is d e c ir c u it o s e s: c o n o c i d a s l a r e s i s t e n c i a y l a f u e n t e d e v o l t a j e e n c a d a r a m a d e l c i rc u i to , e n c o n t r a r l a c o r r i e n t e e n c a d a u n a d e e s t a s r a m a s. E n e l c a p ít u lo 2 s e d e m o s t r ó q u e l a in t e g r a l d e l a c o m p o n e n t e t a n g e n c i a l d e u n c a m p o e l e c t ro s t á ti c o a l r e d e d o r d e c u a l q u i e r tr a y e c t o r i a c e r r a d a s e a n u l a . E s d e c ir , p a r a u n c a m p o e l e c t r o s tá t ic o , (7-28)

* No podemos aplicar la ecuación (7-27) a un metal, ya que no se conoce el valor apropiado de e ; de hecho,

® r « 10 "14 s, donde r e s el tiempo de colisión que se discutirá en la sección 7.7. Com o se verá,

 pa ra tie m po s más co rto s qu e T no es vá lid o co ns id er ar qu e .J = g E .

176

7 C e r n ie n te e l é c tr ic a

P a r a u n m a te r ia l ó h m i c o , J =  g E .  E n g e n e r a l , e n e l c a s o i s ó t r o p o e s t a e x p r e s i ó n s e m o d if ic a a J =  g ( E ) E , p e r o  g ( E ) e s s i e m p r e u n a c a n t id a d p o s it iv a , d e t a l m o d o q u e l a e c u a c i ó n ( 7 - 2 8 ) i m p l i c a q u e J ■ (ñ =  0 . E n c o n s e c u e n c i a , s e t i e n e q u e u n a f u e r z a  p u ra m e n te e le c tro s tá ti c a n o p u e d e h a c e r q u e u n a c o r rie n te c ir c u le e n e l m is m o s e n ti d o a l r e d e d o r d e u n c i r c u i to c o m p l e to . O , d i c h o d e o t r a m a n e r a , u n a c o r r i e n t e c o n s t a n t e n o  p u e d e s e r m a n te n id a s o la m e n te p o r fu e rz a s e le c tr o s tá ti c a s . S in e m b a r g o , u n a p a r tí c u la c a r g a d a q   p u e d e e x p e r i m e n t a r o t r a s fu e r z a s ( m e c á n i c a s , “ q u í m i c a s ” , e t c .) a d e m á s d e l a f u e r z a e l e c t r o s t á ti c a m a c r o s c ó p i c a , d e t a l m o d o q u e , e n p a r t e d e l c i r c u i to , l a c a r g a s e m u e v e e n d i r e c c ió n o p u e s t a a E . E n l a s s e c c io n e s a n t e r io r e s h e m o s d e j a d o d e l a d o l a c u e s t i ó n d e l a c a u s a d e l a c o r r ie n t e e lé c t r ic a s u p o n i e n d o q u e d o s p u n t o s e n u n o b j e to c o n d u c t o r s e m a n t e n ía n a u n a d i f e re n c i a d e p o t e n c i a l c o n s t a n te A (p  p o r m e d i o d e f u e n  t e s e x t e rn a s d e e n e r g í a . H a s t a a q u í, t o d a v í a e s s u f i c i e n t e p a r a n u e s t r o s p r o p ó s i to s s u   p o n e r q u e e x is te n ta le s f u e n t e s d e v o lt a je, * p e r o h a r e m o s u n a b r e v e p a u s a p a r a a n a li z a r c ó m o d e h e c h o s e p u e d e n p r o du c ir . E n e l l a b o r a t o ri o , u n v o l ta j e c o n s t a n t e e s g e n e r a l m e n t e p r o d u c i d o p o r u n a b a t e r í a o p o r u n a f u e n t e e l e c t r ó n i c a d e a l im e n t a c i ó n ( l a c u a l r e c t i fi c a y s u a v i z a l a s e ñ a l d e voltaje), pero podría producirse por una variedad de otros medios; por ejemplo, u n g e n e r a d o r d e V a n d e G r a a f f . E s t e ú l t im o e s c o n c e p t u a l m e n t e e l c a s o m á s s e n c i l lo d e a n a li z ar . E n e l g e n e r a d o r d e V a n d e G r a a f f l a s c a r g a s s e d e p o s i t a n l it e r a lm e n t e e n u n e x t r e m o d e u n a c i n t a m ó v i l y s e t r a n s p o r ta n a o tr o p u n t o d e e n e r g í a p o t e n c i a l s u p e r io r  s i tu a d o e n e l o t r o e x t r e m o , d o n d e s e q u i ta n d e l a c i n ta . E n u n a o p e r a c i ó n d e e st a d o e s t a c i o n a r i o , E * d i  = 0 a l o l a r g o d e c u a l q u i e r t r a y e c t o r i a c e r r a d a . P o r e j e m p l o , la i n t e g r a l e s n e g a t i v a a l o l a rg o d e l a c i n t a e i g u a l m e n t e p o s i t i v a a l o la r g o d e u n a t r a y e c  t o r i a e x t e r i o r e n t r e l o s e x t r e m o s d e l a c in t a . P u e d e h a b e r u n f l u j o d e c o r r i e n t e c o n s t a n  t e e x t e r n a a t ra v é s d e u n a r e s i s te n c i a c o n e c t a d a e n t r e l o s e x t r e m o s . L a p o t e n c i a a p o r ta d a s i m p l e m e n t e e s l a p o te n c i a m e c á n i c a n e c e s a r ia p a r a m o v e r l a c i n t a q u e t r a n s p o r t a la s c a r g a s e n d i r e c c i ó n o p u e s t a al c a m p o e l é c t r ic o . L a o p e r a c i ó n d e u n a b a t e r ía e s s i m i la r (excepto que las “fuerzas” que intervienen en una batería dependen de la mecánica c u á n t i c a d e l a e l e c t r o q u í m i c a ) , y E • d \  = 0 a l r e d e d o r d e c u a l q u i e r t r a y e c t o r i a c e r r a  d a , a u n c u a n d o p a s e a t r a v é s d e l e le c t r ó li to d e l a b a te r ía . S i n e m b a r g o , l o q u e i m p o r t a  p a r a el a n á li s is d e c ir c u it o s e s s im p le m e n te q u e E ■ d i = 0 a l re d e d o r d e u n a t r a y e c to  r i a c e r r a d a q u e c o n t e n g a l a s t e r m i n a l e s  d e l a f u e n t e d e v o l t a je , p a s a n d o p a r t e d e l a t r a y e c t o r ia a t r a v é s d e l a r e d d e r e s i s t e n c i a s y l a o t r a p a r t e d i r e c t a m e n t e a t r a v é s d e l a s t e r m i n a l e s , p e r o p o r f u e r a  d e l a f u e n t e . E l o b j e t o d e l a t e o r í a d e c i r c u i t o s e l é c t r i c o s e s d e s a r r o l la r u n p r o c e d i m i e n t o p a r a a n a l iz a r l a p a r t e q u e a t r a v i e s a l a r e d d e r e s i st e n c i a s ; n o n e c e s i ta r e m o s a n a l i z a r l a c a u s a ( m e c á n i c a , q u í m i c a o la q u e s e a ) d e l a d i f e r e n c i a d e  p o te n c ia l e n tr e la s te rm in a le s d e la fu e n te d e a lim e n ta c ió n , s in o s im p le m e n te re f e rir  n o s a é s t a c o m o u n v o l t a je a p l i c a d o , Y .  U n a f u e n t e i d e al p r o p o r c i o n a r í a u n v o l ta j e V 0

* En otros textos, el voltaje aplicado por una fuente se llama generalmente  fu e r z a el ec tr om otr iz (o fe m ), aunque voltaje aplicado es el término que se usa en el laboratorio para esta diferencia de potencial. El término histórico fem y su concepto mismo son bastante confusos e innecesarios y, por tanto, no se emplearán aquí. Reservaremos el término tem para un concepto un poco diferente que estudiaremos más adelante (Cap. 11).

7 . 6 R e d e s d e r e s i s te n c i a s y l e y e s d e K i r c h h o f f

FIGURA 7.7 Conexión de dos resistores (a) en serie y (b) en  p a ra le lo .

*i

177

*2

W \A

A/sA-

V\

(a)

(b )

q u e s e r í a i n d e p e n d i e n te d e l a c o r r i e n t e p r o p o r c i o n a d a p o r l a f u e n t e , p e r o e l v o l ta j e e n t e r m i n a l e s d e u n a f u e n t e r e a l d e p e n d e e n c i e r t o g r a d o d e l a c o r r i e n t e Y    = Y ( / ) . L a s u p o s i c i ó n m á s s e n c i l la q u e s e a p l i c a p o r l o g e n e r a l e s q u e l a d e p e n d e n c i a e s l in e a l: y 

  = r 0 -  R j i

E l c o e f i c ie n t e  R¡ s e l la m a r e s i s t e n c i a i n t e r n a  y Y Qs e l la m a v o l t a j e e n c i r c u i to a b i e r t o ( o f e m e n l a m a y o r í a d e l o s o t r o s t ex t o s) . Antes de entrar en el problema general de las redes, veremos primero las co n e x i o n e s e l e m e n t a l e s e n s e r i e y e n p a r a l e lo d e l o s r e s is t o r e s . L a r e s i s t e n c i a d e f i n i d a e n l a s e c c i ó n 7 .3 e s u n a p r o p i e d a d d e l o b j e to m a t e r ia l e n c o n s i d e r a c i ó n y d e p e n d e t a n to d e l a n a t u r a l e z a d e l m a t e ri a l q u e c o m p o n e e l o b j e to c o m o d e l a f o r m a q u e é s t e t i e n e . ( E n c a m b i o , la r e s is t iv i d a d d e p e n d e s ó l o d e l a n a t u r a l e z a d e l m a t e r ia l c o n d u c t o r .) U n o b j e t o c o n d u c t o r d e f o r m a a d e c u a d a q u e s e c a r a c t e r iz a p r in c i p a l m e n t e p o r s u r e si s te n  c i a r e c ib e e l n o m b r e d e resistor y s e r e p r e s e n t a g e n e r a l m e n t e c o n e l s í m b o l o - w \n . L o s r e s i s to r e s p u e d e n c o n e c t a r s e p a r a f o r m a r u n a r e d d e r e s i s te n c i a s y l a s f o r m a s e n q u e d o s r e s i s t o r e s p u e d e n c o m b i n a r s e s e i lu s t ra n e n l a f ig u r a 7 . 7 . L a f i g u r a 7 . 7 a m u e s t r a u n a c o n e x i ó n e n s e r i e   e n l a q u e l a m i s m a i n t e n s i d a d d e c o r r i e n t e  I   p a s a p o r a m b o s r e s i s to r e s . A p l ic a n d o l a e c u a c i ó n ( 7 - 1 5 ) a c a d a r e s i s to r y o b s e r v a n d o q u e l a d i f e re n c i a d e p o t e n c i a l* V = V l  + Vv   e n c o n t r a m o s q u e V =   « , / +  R 2I   = ( / ? , +  R 2) I  P o r t a n t o , l a r e s is t e n c i a e q u i v a l e n t e d e l a c o m b i n a c i ó n e s  R = R i 4-  R 2

(conexión en serie)

(7-29)

En la conexión en paralelo  (Fig. 7.7b), la diferencia de potencial a través de cada r e s i s t o r e s l a m i s m a , y l a c o r r ie n t e t o ta l q u e p a s a p o r l a c o m b i n a c i ó n e s / = / , + A p l ic a n d o l a e c u a c i ó n ( 7 - 1 5 ) , v e m o s q u e

* En esta sección usaremos el símbolo V  en lugar de A
178

7 C o r r ie n t e e l éc t ri ca

FIGURA 7.8 Red de resistores.

y l a r e s i s te n c i a e q u i v a l e n te  R  d e l a c o m b i n a c i ó n s e o b t i e n e d e 1 _

1  X  +

1 ( c o m b i n a c ió n e n p a r a l e l o )

(7-30)

L a r e s i st e n c i a e q u i v a le n t e d e u n a r e d m á s c o m p l i c a d a , c o m o l a d e l a f i g u r a 7 . 8 , p u e d e d e t e r m i n a r s e c o m b i n a n d o l o s re s i st o re s p o r p a r e s , d e a c u e r d o c o n l a s e c u a c i o n e s ( 7 - 2 9 ) o (7-30), y repitiendo luego el procedimiento hasta que quede sólo una resistencia equivalente. Au nque este procedimiento no es aplicable a todas las redes, toda red que t e n g a d o s t e r m i n a le s p u e d e s e r r e d u c i d a a u n a r e s i s te n c i a e q u i v a l e n t e p o r e l p r o c e d i  m i e n t o q u e s e d e s c r i b e e n e l si g u i e n t e p á r r a fo . C u a l q u ie r p r o b le m a d e r e d e s p u e d e r e s o l v e r se d e u n a f o r m a s i s te m á t ic a p o r m e  d i o d e d o s r e g l a s l l a m a d a s l e y e s d e K i r c h h o f f .* A n t e s d e e n u n c i a r e s t a s l e y e s , d e f i n i r e m o s d o s t é r m i n o s . U n n o d o e s u n p u n t o d e l c i r c u it o d o n d e c o n c u r r e n t re s o m á s c o n d u c t o r e s , t a l c o m o e l p u n t o a, b, c  o d  d e l a fi g u r a 7 .9 . U n a m a l l a   e s c u a l q u i e r t r a y e c t o r ia c o n d u c t o r a c e r r a d a e n l a r e d.

P o d e m o s e n u n c i a r a h o r a la s l e y e s d e K i r c h h o f f: I.

 L a s u m a a lg e b r a ic a d e la s c o r r ie n te s q u e c ir c u la n h a c ia u n n o d o es cero; es decir,

2 1¡ = o

(i)

I I .  L a s u m a a lg e b r a ic a d e la s d ife r e n c ia s d e v o lta je e n c u a l q u i e r m a lla de la red es cero; es decir,

X vt  = 0

(II)

L a p r i m e r a le y e s s ó lo u n e n u n c i a d o f o r m a l d e l h e c h o d e q u e l a c a r g a n o s e a c u m u l a e n n i n g ú n n o d o d e l c i rc u i t o c o m o r e s u l t a d o d e l a c o r r i e n t e c o n s t a n t e . E s u n a re f o r m u l a c i ó n

* Llamadas así en hon or de Gustav Robert K irchhoff (1824-1887).

7 . 6 R e d e s d e r e s i s te n c i a s y l e y e s d e K i r c h h o f f

179

FIGURA 7.9 Circuito típico que requiere la aplicación de las leyes de Kirchhoff. El símbolo se em plea  p a r a re p re se n ta r un a fuente de voltaje. E n un  p ro b le m a tí p ic o de circuitos, se espec ifican la s T y l a s  R ,  y hay que calcular las co rrientes. Dos de las seis ecuaciones para las corrientes del circuito mostrado son: - l] + I3+ I5= 0 y V , - I 6R 0 + I S R S + / \ R V  

a +  —

r * 2

*5 --------  n/ v V   ----------   --------- v A / V ^ -------h +

W \A

*1

d e l a e c u a c i ó n d e c o n t i n u i d a d e n l a f o r m a d e l a s e c u a c i o n e s ( 7 - 6 ) y ( 7 - 7 ) , lo q u e e s equivalente a V 'J = 0

( c or rie n te s e s ta c io n a ri as )

( 7 -1 6 )

L a s e g u n d a l e y e s s i m p l e m e n t e u n a r e a fi rm a c ió n d e

E *d\ = 0

( c a m p o s e s t á ti c o s )

(7-28)

P a r a a p l i c a r la s l e y e s d e K i r c h h o f f n e c e s i t a m o s r e c o r d a r l a le y d e O h m :  L a c a íd a d e p o te n c ia l en u n a r e s is te n c ia R . es i V¡ =  I  j  R j 

( r e s i s to r )

(7-15)

d o n d e s e c o n s i d e r a q u e e l p o t e n c ia l m á s a l to e s t á e n e l e x t re m o p o r d o n d e s e s u p o n e q u e e n t r a l a c o r r ie n t e e n l a r e s is t e n c ia . L a e c u ac i ó n ( 7 - 1 5 ) e s u n a f o r m a e q u i v a l e n te d e J = gE

( m e d i o l in e a l )

(7-10)

F i n a l m e n t e id e n t i f ic a r e m o s l o s v o l t a je s a p l ic a d o s Vj =  — Y j

(voltaje aplicado)

C o m b i n a n d o é s ta y l a e c u a c i ó n ( 7 - 1 5 ) p o d e m o s r e e s c ri b ir la s e g u n d a l e y d e K i rc h h o f f   como

2 ^

= 1 l,R¡ 

(na)

180

7 C o r r i e n t e e l é c t ri c a

Si deben tene rse en cu enta las resistencias internas de la fuente, pueden transferirse al segundo miembro de (lia). A n t e s d e a p l i c a r l a s l ey e s d e K i r c h h o f f a u n p r o b l e m a e s p e c í f i c o , e s n e c e s a r io c o n s i d e r a r l os s e n t i d o s p a r a l a s c o r ri e n t e s e n c a d a u n o d e l o s ra m a l e s . E s t o s s e n t i d o s d e b e r á n i n d i c a r s e en e l e s q u e m a d e l c ir c u i t o . L a f o r m u l a c i ó n d e l a s e c u a c i o n e s ( I ) y ( H a ) s e l l e v a a c a b o e n t o n c e s t o m a n d o c o m o b a s e l o s s e n ti d o s a s i g n a d o s . S i l a s o l u  c i ó n n u m é r i c a d e e s ta s e c u a c i o n e s d a u n v a l o r n e g a t i v o p a r a u n a c o r r i e n t e p a r t ic u l a r, e l s e n t i d o c o r r e c t o d e e s a c o r r i e n t e e s e l c o n t r a r io a l s u p u e s t o . E n e l p r o b l e m a i lu s t r a  d o e n l a f i g u ra 7 . 9 h a y s e is c o r r ie n t e s d e s c o n o c i d a s . É s t a s s e d e s i g n a n c o n l o s s í m b o  l o s / , , 1V I y  / 4, 15 e ¡( \  a c a d a u n a s e le h a a s i g n a d o u n s e n t i d o . L a p r i m e r a l e y d e K i r c h h o f f pu e d e a p l i c a r s e a c a d a n o d o d e l c i r c u i t o , p e r o l as ecuaciones a sí obtenidas no son todas independ ientes. La regla general es que si hay n n o d o s , s ó l o n -  1 d e é s t o s p r o d u c i r á n e c u a c i o n e s i n d e p e n d i e n t e s . E n e l p r o b l e m a d e la figura 7.9 hay seis corrientes desconocidas. La solución requiere tres ecuaciones de n o d o s y t r e s e c u a c io n e s d e m a l l a s . Las sumas en (I) y (lia) son sumas algebraicas. En (I) la corriente se considera  p o s itiv a si s u s e n tid o s u p u e s to e s h a c ia e l n o d o e n c u e s tió n , o n e g a tiv a s i s e le ha a s i g n a d o u n s e n t i d o t a l q u e s e a l e j a d e l a u n i ó n . A l a p l i c a r l as e c u a c i o n e s d e m a l l a , a l g ú n s e n t i d o ( y a s e a e l d e l a s a g u j a s d e l r e lo j o e l c o n t r a r io ) d e b e t o m a r s e c o m o e l s e n t i d o d e l r e c o rr i d o . U n a f u e n t e d e v o l t a je s e t o m a c o n s i g n o p o s i t iv o s i e l v o l t aj e ( p o r s í m i s m o ) p r o d u c e u n a c o r ri e n t e p o s i t iv a e n e l s e n t i d o d e l r e c o r ri d o . U n t e r m i n o  IR  s e t o m a c o n e l s i g n o p o s i t iv o s i l a c o r r ie n t e a t r a v é s d e c a d a r e s i s to r e n c u e s t i ó n v a e n l a d i r e c c ió n d e r e c o r r i d o d e l a m a ll a .

C o n s i d e r e l a r e d d e r e s i s te n c i a s q u e s e m u e s t ra e n l a f ig u r a 7.10. L o s r e s is t o re s C o m e n t e e n u n a r ed d e  R { , R 3 y  R 5 , a s í c o m o l o s v o l ta j e s Y , y Y 2, e s t á n e s p e c i f i c a d o s . E l p r o b l e m a e s r e s is t e n ci a s c o n d o s f u e n t es d e e n c o n t r a r l a s c o r r i e n t e s e n l o s r e s i s to r e s . voltaje

 ___________ 

EJEM PLO 7.1

S o l u c i ó n :  L a f ig u r a 7 . 1 0 s e h a d i b u j a d o y s e ñ a l a d o d e m o d o s e m e j a n t e a l a f i g u r a 7.9. M a r c a r e l a s l a s c o r ri e n t e s c o n s i d e r a d a s  I { , / 3 , e / 5 q u e p a s a n p o r l o s re s i s to r e s d e t a l m o d o q u e e s t é n d e a c u e r d o c o n l as d e l a f ig u r a 7 . 9 . A p l i c a n d o l a s l e y e s d e K irchhoff encontram os que: / 3 + /5 -

A = 0

Vi = / , « , +  i 5 r 5 V 2  = / 3R 3 -  I s R s U t i l iz a r e m o s l a p r i m e r a d e e s t a s e c u a c i o n e s p a r a e l i m i n a r 7? d e l a ú l t im a . L u e g o , r e s o l v e r e m o s c a d a u n a d e l a s e c u a c i o n e s r e s t a n t e s p a r a  I 5 y l a s i g u a l a r e m o s . Despejando /,, obtenemos  , _  V j + f T i

7 .7 T e o r í a m i c ro s c ó p i c a d e l a c o n d u c c i ó n

181

FIGURA 7.10 Red de resistencias para el ejemplo 7.1.

/ = 1 +  R  3 / R 5 .

d on de

7 . 7 

~

T E O R ÍA M IC R O S C Ó P IC A D E L A C O N D U C C IÓ N C o n b a s e e n u n m o d e l o m i c r o s c ó p i c o d e u n c o n d u c t o r e s p o s i b l e e n t e n d e r el c o m p o r  t a m i e n t o l i n e a l e x p r e s a d o c o m o l a le y d e O h m , a s í c o m o o t r a s c a r a c t e r ís t ic a s e x p e r i  m e n t a le s d e l a c o n d u c c ió n . C o n s i d e r em o s u n a p a r tí c u l a li b r e d e l m e d i o , c o n c a r g a q  y m a s a m . B a j o l a i n f lu e n c i a d e l a f u e r z a e l é c t r ic a l o c a l , qE> su v e l o c i d a d d e d e r i va a u m e n t a rá d e a c u e r d o c o n m d s f d t - q E . S i la p a r t í c u l a c a r g a d a s e e n c o n t r a r a e n e l v a c í o , c o n t i n u a r í a a c e le r á n d o s e . S i n e m b a r g o , e n u n m e d i o m a t e r i a l p o r e l q u e p a s a u n a c o r r ie n t e c o n s t a n t e , l a v e l o c i d a d d e d e r i v a e s c o n s t a n t e y , p o r t a n t o , l a f u e r z a t o ta l s o b r e l a p a r t í c u la d e b e s e r c e ro . O t r a fu e r z a , d e b i d a a l m e d i o , d e b e a c t u a r a d e m á s d e l a f u e r z a e l é c tr ic a . L a s u p o s i c i ó n m á s s e n c i ll a p o s i b l e e s q u e e s t a f u e r z a d e e q u i l ib r i o s e a  p r o p o r c io n a l a la v e lo c id a d , d e m o d o q u e la e c u a c ió n d e l m o v im ie n to e s

d t 

= q E —  G v

( 7- 31 )

P u e d e v e r se i n m e d i a t a m e n t e q u e , c u a n d o d s l d t  = 0,

^ E

(7-32)

E s t a e c u a c i ó n e s l a s o l u c ió n e n e s t a d o e s t a c i o n a r i o p a r a l a v e l o c i d a d d e d e r i v a . S i n e m b a r g o , e s i n t e re s a n t e e x a m i n a r l a s o l u c i ó n c o m p l e t a d e l a e c u a c i ó n ( 7 -3 1 ) : v (í ) = § E ( 1 -

e ~ c " m)  

(7-33)

182

7 C o r r i e n t e e l é c t ri c a

s i se t o m a l a c o n d i c i ó n i n i c ia l v ( 0 ) = 0 . E s t a e c u a c i ó n d e m u e s t r a q u e l a v e l o c i d a d d e d e r iv a s e a p r o x i m a e x p o n e n c i a lm c n t e a s u v a l o r e s ta c i o n ar io , c o m o e~tíx,  d o n d e e l t i e m p o d e r e la j a c ió n T   es m * = Q

^ 

Eliminando G   de las ecuaciones (7-32) y (7-34) encontramos que la velocidad de d e r i v a e n e s t a d o e s t a c io n a r i o e s  y d = —  E m

( 7 -3 5 )

C o m b i n a n d o é s t a c o n l a e c u a c i ó n ( 7 - 4 ) p a r a u n s o l o t ip o d e p o r t a d o r d e c a r g a , o b t e n e  m o s l a d e n s i d a d d e c o r r i e n te J =  N q y d =

 N q 2 t  m

E

( 7 -3 6 )

q u e e s p r o p o r c i o n a l al c a m p o d e a c u e r d o c o n l a le y d e O h m . C o m p a r a n d o é s t a c o n l a e c u a c i ó n ( 7 - 1 0 ) , te n e m o s l a c o n d u c t i v i d a d s .

^ 

 

m

(7.37,

o, en el caso d e qu e haya varios tipos de portadores d e carga, Ato?*.m, P a r a u n c o n d u c t o r e l e c t ró n i c o r a z o n a b l e m e n t e b u e n o , ta l c o m o u n s e m i c o n d u c t o r o u n m e t a l (p e r o n o u n e le c t ró l i to ) , p o d e m o s i n t e r p r e t a r t f í s i c a m e n t e c o m o e l t i e m p o m e d i o e n t r e c o l is i o n e s  d e u n e l e c t r ó n d e c o n d u c c i ó n . E n t a l e s m a t e r ia l e s e l e le c t r ó n s e a c e l e r a p o r u n p e r i o d o c o r t o , d e s p u é s d e l c u a l s u f r e u n a c o li s ió n c o n u n o d e l o s á t o m o s del material. Como resultado de esta colisión el electrón se desvía en una direcci ón a l e a t o r i a , d e m o d o q u e e l e f e c t o p r o m e d i o d e u n a c o li s ió n r e d u c e l a v e l o c i d a d d e d e r iv a d e l el e c tr ó n a c e r o o tr a v e z . S i el t i em p o m e d i o e n t r e c o l i s i o n e s e s r y l a v e l o c i d a d m e d i a n e t a e s v,  e n t o n c e s e l e l e c tr ó n p i e r d e l a c a n ti d a d d e m o v i m i e n t o m v d d e s p u é s d e c a d a tiempo t. En estado estacionario, el valor de la razón de momento perdido m v j r e s i g u a l a l a r a z ó n d e m o m e n t o g a n a d o q E  y e l r e s u l t a d o e s i d é n t i c o a l a e c u a c i ó n ( 7 - 3 5 ) . E l t i e m p o m e d i o r s e r el a c io n a c o n e l r e c o r r i d o l i b r e m e d i o  d e l e l e c t ró n m e d i a n t e / = v T r  

(7-38)

d o n d e vT   e s l a v e l o c i d a d t é r m i c a d e lo s e le c t r o n e s . E s i m p o r t a n t e r e c a l c a r q u e vTes m u c h o m á s g ra n d e * q u e l a v e lo c i d ad d e d e r i v a vd   ( a u n q u e s u s e n t i d o e s a l e a to r i o ). P a r a l a m a y o r í a d e l o s m e t a le s , v T t s   d e l o r d e n d e 1 0 6 m / s ( c a s i i n d e p e n d i e n t e d e l a t e m p e r a t u r a ) , y p a r a u n s e m i c o n d u c t o r e s d e c e r c a d e u n o rd e n d e m a g n i t u d m á s

* Sólo po r este hecho, r puede considerarse independiente del campo ac elerador  E.

7 . 7 T e o r ía m i c ro s c ó p i c a d e l a c o n d u c c i ó n

183

 p e q u e ñ o a te m p e r a tu ra a m b ie n te . P o r o tr a p a rte , la v e lo c id a d m e d ia d e d e r iv a v(¡ n o e s s u p e r i o r a 10~2 m / s e n m e t a le s n o r m a l e s . E n l o s m e t a l e s y s e m i c o n d u c t o r e s , e l r e c o r r i  d o l i br e m e d i o e s t í p ic a m e n t e d e l o rd e n d e Í O 8 m a t e m p e r a t u r a a m b i e n t e , d e m o d o q u e t ~ 1 0-14 s e n l o s m e t a l e s. E n lo s s e m i c o n d u c t o r e s , r p u e d e s e r d e u n o r d e n d e m a g n i tu d m á s g ra n d e . E n u n o u o t ro c a s o, r e s t am b i én e l ti e m p o e n q u e s e i n i c ia o d e c a e u n a c o r r i e n t e ó h m i c a . D e e s te m o d o , l a c o r r i e n t e c a m b i a p r á c t i c a m e n t e d e f o r m a in s t a n t á n e a d e s p u é s d e q u e e l c a m p o s e a p l ic a , o q u i t a , e n r e s i s t o r e s h e c h o s c o n e s t o s m a t e r i a le s . H a c e m o s n o t a r q u e e n u n m e t a l e l t ie m p o d e r e la j a c i ó n r p a r a el d e c a i m i e n t o d e l a c o r r i e n t e , e l t i e m p o d e c o l i s i ó n y l a c o n s t a n t e d e t i e m p o tc  p a r a disipar el exceso de densidad de carga, resultan ser los mism os aun que son co ncep  t u a l m e n t e d i f e r e n te s * . E s e v i d e n t e , d e l a t a b la 7 . 1 , q u e e l g r u p o d e m a t e r ia l e s d e m a y o r c o n d u c t i v id a d e l é c t r i c a e s e l d e l o s m e t a l e s .  E s t o s m a t e r i a l e s t i e n e n u n a a l t a c o n d u c t i v i d a d p o r q u e c o n t i e n e n u n a g r a n d e n s id a d d e p o r ta d o r e s d e c a r g a , d e l o r d e n d e u n o p o r c a d a á t o m o d e l m e t a l , y p o r q u e s u v e l o c i d a d d e d e r i v a p o r u n i d a d d e c a m p o e l é c t r i c o e s a l ta . E n l o s m e t a l e s s ó l o c o n s i d e r a m o s u n t i p o d e p o r t a d o r d e c a r g a , e l e le c t ró n . E n c o n s e c u e n  c i a , la s e c u a c i o n e s d e c o n d u c c i ó n s o n m á s s e n c i l la s e n e s t e c a s o :  j = - N e \ d   

(7-39)

 g = N e ( v / E ) = N e 2r / m  

(7-40)

d o n d e e e s e l v a l o r a b s o l u t o d e l a c a r g a e l e c tr ó n i c a . L a v e l o c i d a d d e d e r i v a d e l e l e c  t ró n p o r u n i d a d d e c a m p o e l é c t r ic o ( v J E )   s e l l a m a m o v i l i d a d   d e l e l e c t ró n . U n a g r a n m o v i l id a d i m p l ic a u n t ie m p o d e c o l is i ó n r l a r g o o , lo q u e e s e q u i v a l e n t e , u n r e c o r r i d o l ib r e m e d i o g r a n d e . P a r a t e n e r u n a i d e a d e l r e c o r r i d o l i b r e m e d i o d e l o s e l e c t r o n e s d e u n m e t a l , t e n d r e m o s q u e c o n s i d e r a r l a d in á m i c a d e l as c o l i s io n e s d e l o s e l e c tr o n e s . Sabemos que el conductor es electrostáticamente neutro sólo en promedio, que hay g r a n d e s v a r i a c io n e s e n e l p o t e n c i a l e n d i s ta n c i a s d e l o r d e n d e u n a n g s t r o m , y q u e u n a  p a r tíc u la c a r g a d a , c o m o u n e le c tr ó n , d e b e r á c h o c a r o d is p e rs a rs e p o r v a ria c io n e s d e  p o te n c ia l. P e r o ta m b ié n s a b e m o s q u e la n a tu ra le z a o n d u la to r ia d el e le c tr ó n d e s e m p e  ñ a u n p a p e l i m p o r t a n te e n s u m o v i m i e n to a l a e s c a l a a tó m i c a. U n a s o l u c ió n d e l p r o b l e  m a d e la s c o l is i o n e s d e l os e l e c tr o n e s e m p l e a n d o c o n c e p t o s d e m e c á n i c a o n d u l a t o r i a e s t á f u e r a d e l c o n t e x t o d e e s t e l ib r o . S i m p l e m e n t e e n u n c i a r e m o s e l r e s u l ta d o :  E n un cristal perfecto con un poten cial periód ico tridimen sional, una onda electrónica no c h o c a : s u t i e m p o d e c o l i s i ó n X e s i n f i n i to .  A s í p u e s , l a c o n d u c t i v i d a d f i n i t a d e l o s m e t a le s p r o v i e n e d e l a s i m p e r f e c c i o n e s e n l a e s tr u c t u r a p e r f e c t a m e n t e p e r i ó d i c a . E s t a s i m p e r f e c c i o n e s s o n d e d o s t i p o s : (1 ) im p u r e z a s e i m p e r f e c c i o n e s g e o m é t r ic a s ( ta le s como fronteras granulares en materiales policristalinos), y (2) imperfecciones térmicamente inducidas que provienen del movimiento térmico de los átomos en la estructura. Ambos tipos contribuyen independientemente a la resistividad (regla d e M a t th i e s s e n ) , d e m o d o q u e

* En un conductor malo, puede ser que el tiempo de colisión no tenga significado o tc puede ser inversamenmente proporcional a r d e acuerdo con las ecuaciones (7-27) y (7-37).

184

7 C o r r i e n t e e l é c t ri c a

V = Vi + * 7 a ( r)

( 7 -4 1 )

d o n d e T  e s l a t e m p e r a t u r a a b s o lu t a . E n m e t a le s m u y p u r o s , l a c o n t r i b u c i ó n d o m i n a n t e a l a r e s is t iv i d a d a t e m p e r a t u r a s ordinarias es la dispersión de las ondas electrónicas por los átomos desplazados t é r m i c a m e n t e . A s í , r] ~ t \ 2(T). L a s e c c i ó n e fi c a z d e d is p e r s ió n d e u n á t o m o d e s p l a z ad o e s p r o p o r c i o n a l a l c u a d r a d o d e s u a m p l it u d d e v i b r a c i ó n (x 2) , e n o t ra s p a l a b r a s , a s u e n e r g í a p o t e n c i a l m á x i m a . S u p o n i e n d o q u e l a s f u e r z a s e l á s ti c a s r e c u p e r a d o r a s a c t ú a n s o b r e lo s á t o m o s d e s p l a z ad o s , ( E n e r g í a p o t e n c i a l ) máx = ( E n e r g í a c i n é t i c a ) ^ <*= k T  d e m o d o qu e

 1 )

^ =

 1)2

«

(r2)_1

a X 2 «

T   

(7-42)

o , e x p r e s a d o e n p a l a b r a s , la r e s i s ti v i d a d d e u n m e t a l p u r o e s p r o p o r c i o n a l a l a t e m p e  r a t u r a a b s o l u t a . E l c o e f i c i e n t e d e t e m p e r a t u r a d e la r e s i s t e n c i a , ( 1 h ] ) d r j f d T , p a r a u n m e t a l m u y p u r o e s , p o r t an t o , 1 dr\ rjdT 

1  f   

(7-43)

q u e c o n c u e r d a a p r o x i m a d a m e n t e c o n l o s v a lo r e s p a r a l o s m e t a le s d e l a ta b l a 7 .1 . H a   b la n d o e s tric ta m e n te , el a rg u m e n to a n te r io r e s v á li d o s ó lo p a r a te m p e r a tu r a s s u p e r io  r e s a l a te m p e r a t u r a d e D e b y e d e l m e t a l ( l at e m p e r a t u ra p o r e n c i m a d e l a c u a l se e x c i ta n t o d o s l o s m o d o s d e v i b r a c ió n a t ó m i c a ) . A t e m p e r a t u r a s a l g o m e n o r e s q u e l a d e D e b y e , r\  d e c a e p o r d e b a j o d e l a r e l a c i ó n l i n e a l p r e d i c h a p o r l a e c u a c i ó n ( 7 - 4 2 ) . A t e m p e r a t u r a s m u y b a j a s , l a c o n t r ib u c i ó n d e r¡¡  n o p u e d e d e s p r e c i a r s e. L a a d i c ió n d e p e q u e ñ a s c a n t id a d e s d e u n a i m p u r e z a s o lu b l e s i e m p r e a u m e n t a la r e s is t iv i d a d . U n a a l e a c ió n , q u e p u e d e c o n s i d e r a r s e c o m o u n m e t a l im p u r o , ti e n e s i e m   p r e m a y o r re s is tiv id a d q u e la d e l m e ta l b a s e d e m e n o r re s is tiv id a d (F ig . 7 .1 1 ).

FIGU RA 7.11 Resistividad de aleaciones de cobre-níquel en función d e l a c o m p o s i c ió n a 2 0 ° C .

o £  _G O 2 o <—

Porciento atómico

7 .8 R e s u m e n

1 85

E l c o e f i c i e n t e d e t e m p e r a t u r a a d e u n a a l ea c i ó n e s e v i d e n t e m e n t e m e n o r q u e e l d e u n metal puro, precisamente porque su resistividad es mayor, pero se han encontrado a l g u n a s a le a c i o n e s c o n c o e f i c i e n t e s d e t e m p e r a t u r a e x tr e m a d a m e n t e p e q u e ñ o s .

RESUMEN L o s p r i n c ip a l e s u s o s t e c n o l ó g i c o s d e l a e le c t r ic i d a d d e p e n d e n d e l a s c o r r i e n t e s c a u s a  das por cargas en movimiento; éstas son importantes también para el magnetismo , c o m o v e r e m o s e n e l p r ó x i m o c a p í tu l o . S e d e f i n e l a d e n s i d a d d e c o r r i e n t e e n u n p u n t o l o c a l iz a d o d e l e s p a c i o c o m o

J = X

 N ‘ 4 í v ¡

Puesto q ue la densidad de carga es P = X  N # , e s t a ú l ti m a p u e d e h a c e r s e c e r o , a u n q u e n o a s í l a c o r ri e n te . L a c o r r i e n t e t o t al a t r a v é s d e u n a s u p e r f i c ie S  e s = j j . » da

d t  L a c o n s e r v a c i ó n d e c a r g a s e e x p r e s a l o c a l m e n t e c o n l a e c u a c ió n d e c o n t i n u i d a d do V J + —1 = 0 d t  ( D e m o m e n t o , c o n s id e r a re m o s p r in c i p a lm e n t e c o m e n t e s e s ta c i o n a ri a s, p a r a l a s c u a  l e s V *J = 0, a sí com o <9j/9 1 = 0 .) L a c o r r ie n t e d e c o n d u c c i ó n e n u n m e d i o e s t á d a d a p o r u n a e c u a c i ó n c o n s t i tu t iv a , q u e e n e l c a s o l in e a l m á s s e n c i ll o d e f i n e l a conductividad  g : J = gE q u e e s l a le y d e O h m . •

L a resistencia d e u n c o n d u c t o r r e c t o y d e s e c c i ó n t ra n s v e r s a l u n i f o r m e e s

= U g A  • E n u n m e d i o c o n d u c t o r c o n t i n u o c o n c o r r ie n t e s e s t a c i o n a r i a s e l p o t e n c i a l s a t is f a  ce la ecuación de L aplace, R 

V2«p = o

186

7 C o r r i e n t e e l é c t r ic a

Las condiciones en la frontera que se aplican a E son las mismas que en un medio dieléctrico, y aquellas que se aplican a J son semejantes a las que se aplican a D. C o n s e c u e n t e m e n t e , e n t r e d o s c o n d u c t o r e s i n m e r s o s e n u n m e d i o i n f in i to ,  R C = — 

8 

(unidades mks)

• S i la d e n s i d a d d e c a r g a v o l u m é t r i c a e n u n m e d i o c o n d u c t o r n o e s in i c i a lm e n t e c e r o , d e s a p a r e c e c o n u n a c o n s t a n t e d e t i em p o tc = — 

8

(unidades mks)

P a r a m e t a l e s , e s t e ti e m p o e s d e l o r d e n d e 1 0 *14 s ; p a r a m a l o s c o n d u c t o r e s p u e d e s e r d e m u c h o s m e s e s. • P a r a c ir c u it o s e lé c tr ic o s , la s e c u a c io n e s e s tá tic a s V - J = 0 y V x E = 0 s e c o n v ie r  t e n e n l a s l e y e s d e K i rc h h o f f: ^

lj = 0

^  y . = o

en un nodo

e n u n a m a l la

(I )

(I I)

P a r a p r o p o r c i o n a r l a p o t e n c i a d i s i p a d a e n l o s r e s i s to r e s p o r l a c o r r i e n t e e s t a c io n a r i a , d e b e n a p l ic a r s e v o l ta j e s p o r m e d i o d e d i sp o s i t iv o s ( t a le s c o m o b a t e rí a s ) , c u y a o p e r a  c i ó n n o p u e d e d e s c r ib i r s e d e n t ro d e l c o n t e x t o d e l a e l e c tr o s t á ti c a . L u e g o , c o n l a le y d e O h m , l a r e s o l u c i ó n c o m p l e t a d e l p r o b l e m a es d i r e c ta . • L a te o r í a m i c ro s c ó p i c a d e l a c o n d u c c i ó n ó h m i ca d e p e n d e d e l a e x i s te n c i a d e u n a f u e r z a l in e a l r e t a r d a d o r a q u e a c t ú a so b r e l as c a r g a s li b r e s e n e l m e d i o , a d e m á s d e l a f u e r z a e l é c t r ic a a c e l e ra d o r a . E x p r e s a d a e n t é rm i n o s d e u n t i e m p o d e r e l a j a c i ó n t , resulta  N q 2r  8 =   -------m E l t ie m p o r e s l a c o n s t a n te d e t i e m p o p a r a e l e s t a b le c i m i e n t o l o c a l d e u n a c o r r i e n t e ó h m i c a d e s p u é s d e l a a p li c a c ió n d e l c a m p o ; e n c a s o s p r á c t i c o s r e s b r e v e ( 1 0 ~ 14 s p a r a m e t a le s ) . P a ra b u e n o s c o n d u c t o r e s e le c t r ó n i c o s (m e t a le s , s e m i c o n d u c t o r e s ) r s e i n t e r  p r e ta c o m o e l ti e m p o m e d io e n tr e c o lis io n e s . E n e s to s c a s o s , d e p e n d e d e l r e c o r r i d o l ib r e m e d i o e l e c tr ó n i c o d e a c u e r d o c o n r = l/vT  d o n d e vT   e s l a v e l o c id a d t é r m i c a a le a t o r i a (n o l a v e l o c id a d d e d e r i v a n e t a ) .

PROBLEMAS  — -

7.1 La máxima corriente que pasa por un alambre de cobre que tiene un área de sección transve rs al de 2 m m 2 es d e 2 0 A. (a ) ¿C uá l es la den si dad de co rr ie nte corr esp ondie nte en A /m 2? (b) Suponiendo que cada átomo de cobre contribuye con un electrón de conducción, calcule la velocidad de deriva electrónica que corresponde a esta densidad de corriente. (Número de

El campo magnético de corrientes estacionarias

E l s e g u n d o t ip o d e c a m p o q u e i n t e r v i e n e e n e l e s t u d i o d e l a e l e c t r ic i d a d y d e l m a g  n e t i s m o e s e l c a m p o m a g n é t ic o . T a l es c a m p o s , o m e j o r d ic h o , l o s e f e c t o s d e t a l e s campos, se han conocido desde épocas muy antiguas, cuando se observaron por  p r im e ra v e z lo s e f e c to s d e la m a g n e ti ta ( F e 30 4), e l im á n p e r m a n e n te q u e s e e n c u e n  tra en forma natural. El descubrimiento de la propiedad que presenta este mater ial de poder indicar el norte y el sur tuvo una profunda influencia en la navegación y exploración primitivas. Sin embargo, excepto por esta aplicación, el magnetismo fue muy poco utilizado y sus fenómenos se entendieron aun menos; esto duraría h a s t a p r i n c ip i o s d e l s ig l o x i x , c u a n d o O e r s te d d e s c u b r i ó q u e u n a c o r r i e n t e e l é c t ri c a  p r o d u c ía u n c a m p o m a g n é tic o . E s te tr a b a jo , ju n to c o n la o b r a p o s te r io r d e G a u s s , H e n r y , F a r a d a y y o t r o s , l le v ó a l c a m p o m a g n é t ic o a u n a s i tu a c i ó n p r o m i n e n t e c o m o s o c i o d e l c a m p o e l é c tr i c o . El tr a b a j o t e ó r i c o d e M a x w e l l y o t r o s ( v é a n s e l o s c a p í t u  l o s 11 y 1 6 ) h a d e m o s t r a d o q u e e s t a a s o c i a c i ó n e s r e a l y q u e l o s c a m p o s e l é c t r i c o s y magnéticos están inextricablemente entrelazados. Los esfuerzos de gente práctica h a n d a d o c o m o r e s u lt a d o e l d e s a r ro l lo d e m a q u i n a r i a e lé c tr ic a , e q u i p o s d e c o m u n i  caciones y computadores que dependen de fenómenos magnéticos y que desempe ñan un papel muy importante en nuestra vida diaria. En este capítulo se darán las d e f i n i c io n e s b á s i c a s d e l m a g n e t i s m o , s e e s t u d i a r á la p r o d u c c i ó n d e lo s c a m p o s m a g  n é t ic o s p o r c o r ri e n te s e s t a c io n a r i a s, y s e m e n c i o n a r á n a l g u n o s fu n d a m e n t o s i m p o r  t a n te s p a r a t ra b a j o s q u e s e d e s a r r o l la r á n p o s t e r io r m e n t e .

D E F I N IC I Ó N D E L A IN D U C C IÓ N M A G N É T I C A E n e l c a p í tu l o 2   s e v i o q u e l a f u e r z a d e C o u l o m b s o b r e u n a c a r g a q   l o c a li z a d a e n r debida a una carga q u e se e n c u e n tr a e n e l o r ig e n e s t á d a d a p o r  

191

8 .1 D e f in i c ió n d e l a in d u c c i ó n m a g n é t i c a

ü

1  M \ t  4 JT€() r r 

( 8 - 1) v '

d o n d e s e c o n s i d e r ó i m p l íc i ta m e n t e q u e l a s d o s c a r g a s e s t a b a n e n r e p o so .

S i la s c a r g a s s e m o v i e r an c o n v e l o c i d a d e s c o n s t a n t e s v y v p r e s p e c t i v a m e n  t e , e x i s t i r í a a d e m á s u n a f u e r z a m a g n é tic a  F m e j e r c i d a s o b r e q  p o r q v Fm =

Mo qq 4n

l  r\ v x (v, X - j

( 8- 2)

A q u í el n ú m e r o / í 0/ 4 t t t ie n e e l m i s m o p a p e l q u e 1 / 4 t u v o en e l e ct ro s tá tic a ; e s d e cir , e s l a c o n s t a n te n e c e s a r ia p a r a h a c e r q u e l a le y e x p e r i m e n t a l s e a c o m p a t i b l e c o n u n c o n j u n t o d e u n i d a d e s . E n u n i d a d e s m k s , p o r d e fin ic ió n , ^    = 1 ( T 7 N • s 2/ C 2 4 jt e x a c t a m e n t e , y e s t a c o n d i c i ó n n o s c o n d u c e a l a d e f i n i c ió n p r i m a r i a d e c o u l o m b . ( V é a s e l a S e c. 8 . 3 . ) D e l m i s m o m o d o q u e e n e l c a s o d e l a f u e r z a e le c t r o s t á ti c a , e s conveniente valernos de las propiedades de una “carga de prueba” para definir un c a m p o   m a g n é t ic o . E n e s t e c a s o , n o s o l a m e n t e l a c a rg a d e p r u e b a q , s i n o t a m b i é n s u v e l o c i d a d v, d e b e n a p a r e c e r c o m o f a c to r e s : Fm = q v x B,

( 8- 3 )

d o n d e l a i n d u c ci ó n m a g n é t i c a B es

 B =  

<8-41

S i h a y p r e s e n t e s v a r ia s c a r g a m ó v i l e s, l a s fu e r z a s y c a m p o s m a g n é t i c o s d e b e n s u m a r  s e. D e l m i s m o m o d o , a l g u n a c l a s e d e p r o c e s o d e p a s o a l l í m i te d e b e i n c l u i rs e t a m b i é n e n l a d e f i n i c ió n d e B ( c o m o s e h i z o c u a n d o s e d e f i n i ó e l c a m p o e l é c t r i c o ) p a r a a s e g u  r a r q u e l a c a r g a d e p r u e b a n o a f e c t e a la s f u e n t e s d e B. L a u n i d a d d e i n d u c c i ó n m a g n é  t i c a e n e l s i s te m a m k s s e g ú n l a e c u a c i ó n ( 8 -3 ) e s e l n e w t o n - s e g u n d o p o r c o u l o m b - m e t r o , l l a m a d o t e s l a  (T).

Si se encuentran presentes un campo eléctrico y un campo magnético, la f u e r z a t o t a l s o b r e u n a c a r g a m ó v i l e s F ^ + F m, F = q ( E  + v x B )

(8 -5 )

q u e s e c o n o c e c o m o f u e r z a d e L o r e n tz. L a f u e r z a m a g n é t ic a e n t re d o s c a r g a s e s m á s c o m p l e j a q u e la f u e r z a e l é c t ri c a , d e b i d o a la d e p e n d e n c i a c o n r e s p e c to a la v e l o c i d a d y l o s p r o d u c t o s c r u z . P r i m e r o ,

19 2

8 E l c a m p o m a g n é t i c o d e c o r r i e n t e s e s ta c i o n a r ia s

l a s s e m e j a n z a s e n t r e e l la s s o n q u e a m b a s f u e r z a s d e p e n d e n d e l p r o d u c t o d e l a s c a r g a s y d e l in v e r s o d e l c u a d r a d o d e s u s e p a r a c i ó n ( a d e m á s d e u n a c o n s t a n t e d i m e n s i o n a l ) . S i n e m b a r g o , l a d i r e c c i ó n d e l a f u e r z a m a g n é t i c a n o e s a lo l a r g o d e l a lí n e a q u e u n e l a s p a r tí c u l a s ( e s d e c ir , n o e s u n a f u e r z a c e n t r a l ), a m e n o s q u e v s e a p e r p e n d i c u l a r a r. L a f u e r z a e s t á s ie m p r e c o n te n i d a e n e l p la n o d e f i n id o p o r r y v r M á s im p o r t a n t e a ú n, l a f u e r z a e s s ie m p r e p e r p e n d i c u l a r a v ; d e l a e c u a c i ó n ( 8 - 3 ) , v • = 0 para cualquier  c a m p o B , d e m o d o q u e u n a f u e r z a m a g n é t ic a n u n c a e f e c t ú a tr a b a jo s o b r e u n a p a r t í c u l a c a r g a d a . U n a c o m p a r a c ió n m á s e s t ri c ta e n t re F m y F , p u e d e v e r s e s i m u l ti p l ic a  m o s e l n u m e r a d o r y e l d e n o m i n a d o r d e la e c u a c ió n ( 8 - 2 ) p o r e Q.  C o m p a r a n d o e l r e s u lt a d o c o n l a e c u a c i ó n ( 8 -1 ) s e o b s e r v a q u e debe tener dimensiones del in v e r s o d e u n a v e l o c i d a d a l c u a d r a d o . E s c r i b i re m o s  €ojUo = ^

(8 -6 )

d o n d e c t i en e l a s d i m e n s i o n e s d e u n a v e l o c id a d , a s í q u e

47TÉO r

e

U sando el valor definido de

\c

r /

y el valor experime ntal de e 0 se encu entra que

c = 2 . 9 9 7 9 x 1 08 m / s que resulta ser exactamente el valor numérico que se obtiene experimentalmente  p a r a l a v e lo c id a d d e la lu z * . E n e l c a p ít u lo 16 v e re m o s q u e e s ta c o in c id e n c ia n u m é  r i c a n o e s a c c i d e n t a l, s i n o q u e e s u n a c o n s e c u e n c i a n e c e s a r i a s i la l u z e s u n a o n d a e l e c tr o m a g n é t i c a . N o n e c e s i ta m o s a q u í p r o f u n d i z a r e n e l s i g n i f ic a d o d e l a re l a c ió n , s i n o s i m p l e m e n t e u s a r el h e c h o e x p e r i m e n t a l. E s t o s i g n i f ic a q u e p a r a u n p a r d e p a r  tículas dadas  I sl  < Í ü í  Fe ce E s d e c i r, s i la s v e l o c id a d e s d e l a s p a r t íc u l a s s o n p e q u e ñ a s c o m p a r a d a s c o n l a v e l o c i  dad de la luz, la interacción magnética es mucho más pequeña que la interacción eléctrica. De hecho, las ecuaciones (8-1), (8-2) y (8-4) son solamente una pri m e r a a p r o x i m a c i ó n a l a s e x p r e s i o n e s re l a ti v i st a s c o r r e c ta s q u e s e r á n d e d u c i d a s e n el

* La ecuación ( 8 -6 ) debe ser válida para cualquier sistema de unidades consistente. En unidades gaussianas, d o nd e e u = V* k  por definición, /¿,/47r= 1 /c 2 es un valor experimental. Una diferencia mis problemática entre los dos sistemas de unidades es que en las unidades gaussianas las dos c  se separan con las dos v, de modo que esc define

 B = V

i x

t

 y  

t>

^

xB

Esta definición tiene la ventaja de que B es dimensional mente igual que E (y que la forma relativista d e  aparec e explícitamente).

8.2 Fuerzas sobre cond uctores por los que circula corriente

193

c a p í tu l o 2 1 , y s o n v á li d a s s ó lo p a r a t > , « c.  P o d e m o s o b s e r v a r q u e l os c a m p o s p r o d u  c i d o s p o r u n a c a r g a q x c o n m o v i m i e n to u n i fo r m e e s t á n r e l a c io n a d o s p o r  

c

c

( E s t a r e la c i ó n e s v á l i d a p a r a v e l o c id a d e s a r b i t r a ri a m e n t e g r a n d e s , a u n c u a n d o E y B l l e g u e n a m o d i f ic a r s e , c u a n d o v ] s e a c o m p a r a b l e a c . ) P o r ú l ti m o , v a l e l a p e n a m e n c i o  n a r q u e l a f u e r z a m a g n é t ic a n o d e p e n d e ú n i c a m e n t e d e l a v e l o c i d a d relativa  d e l a s d o s c a r g a s , s i n o q u e r e s u l ta s e r d i st in t a p a r a u n s i s te m a d e c o o r d e n a d a s e n m o v i m i e n t o ; * y n o c a m b i a s i m p l e m e n t e d e s ig n o c u a n d o s e i n t e r c a m b i a n l o s s i g n o s d e l a s p a r tí c u la s .  N o n e c e s it a m o s tr a ta r e s to s c o n c e p to s p o r a h o r a , y a q u e s e c a n c e la n e n la s a p lic a c io  n e s q u e s e h a n d e h a c e r e n e s t e c a p í t u l o y e n l o s s i g u i e n t e s. D e b i d o a q u e  Fm « F , a p ri m e r a v is ta p a r ec e r ía q u e l a f u e rz a m a g n é t i c a s ie m p r e  p u e d e d e s p r e c ia r s e e n c o m p a ra c ió n c o n l a e lé c tric a , p e ro h a y s is te m a s d e p a r tíc u la s e n l o s q u e e s t o n o s u c e d e . E n p a r t i c u la r , e n u n a c o r r i e n t e d e c o n d u c c i ó n d o n d e l a s c a r g a s  p o s itiv a s y n e g a tiv a s e s tá n p re s e n te s c o n ig u a le s d e n s id a d e s , e l c a m p o e lé c tr ic o m acroscópico es cero, pero el cam po m agnético de las cargas mó viles no. Éste es el c a s o d e l o s e l e c tr o i m a n e s , m o t o r e s, t r a n s f o r m a d o r e s y o t r a s s i tu a c i o n e s d o n d e l a s f u e rz a s magnéticas tienen gran importancia práctica. Por este motivo, comenzaremos con el e s t u d i o d e i n t e ra c c i o n e s m a g n é t ic a s e n t r e c o r ri e n t e s d e c o n d u c c i ó n . E n l a p r ó x i m a s e c c ió n a n a l iz a r e m o s l a fu e r z a s o b r e u n a c o rr ie n t e d e c o n d u c c i ó n e n u n c a m p o m a g  n é t i c o e x i s te n t e y e n l a s e c c i ó n 8 -3 s e e s t u d i a r á l a p r o d u c c i ó n d e u n c a m p o m a g n é t i c o  p o r u n a c o r rie n te d e c o n d u c c ió n d ad a .

FUERZAS SOBRE CONDUCTORES P O R L O S Q U E C IR C U L A C O R R I E N T E A p a r t i r d e l a f u e r za d e L o r e n t z ( E c . 8 . 5 ) p u e d e h a l l a r s e u n a e x p r e s i ó n p a r a l a f u e r z a s o b r e u n e l e m e n t o d \   d e u n c o n d u c t o r d e c o r r i e n t e . S i d\   e s u n e l e m e n t o d el c o n d u c  t o r c u y o s e n t id o s e c o n s i d e r a e n l a m i s m a d i r e c c i ó n q u e e l d e l a c o r r i e n t e / q u e p a s a  p o r é l, e n to n c e s d \  e s p a r a l e l o a l a v e l o c i d a d d e d e r i v a v d e l o s p o r t a d o r e s d e c a r g a e n e l c o n d u c t o r . S i h a y  N  p o r t a d o r e s d e c a r g a p o r u n i d a d d e v o l u m e n e n e l c o n d u c t o r , l a f u e r z a s o b r e e l e l e m e n t o di es d F 

=  N A \ d l \ q v x B

(8-7)

d o n d e  A  e s e l á r e a d e l a s e c c i ó n t ra n s v e r s a l d e l c o n d u c t o r y q  e s l a c a r g a p o r p o r t a d o r d e c a r g a . S i i n t e rv i e n e n v a r i a s c l a se s d e p o r t a d o r e s d e c a r g a , e n t o n c e s d e b e i n c l u i r s e

* En particular, se anula en un sistema de coordenadas que se m ueve con v. Esta dependen cia respecto al sistema de coordenadas contradice la suposición de la mecánica clásica de que las fuerzas son las mismas en todo s los sistemas incrciales de coordena das. Ésta es nuestra primera eviden cia de que es ne cesaria la teoría de la relatividad para explicar el electromagnetismo.

194

8 E l c a m p o m a g n é t i c o d e c o r r ie n t e s e s t a c i o n a r ia s

u n a s u m a t o r i a en l a e c u a c i ó n ( 8 -7 ) .S i n e m b a r g o , e l r e s u l t a d o f i n a l,e c u a c i ó n ( 8 - 8 ) , no v a r ía . C o m o v y d \   s o n p a r a l e l o s , u n a f o r m a a l t e rn a t i v a d e l a e c u a c i ó n ( 8 - 7 ) e s

d ¥  =  N q |v|  A d \

X B

(8-7)

 N o o b s ta n te ,  N q Ivl A e s s ó l o l a in t e n s i d a d d e c o r r i e n t e p a r a u n a s o l a e s p e c i e d e p o r t a  dor. Por tanto, la expresión

dF = ¡di x B

(8-8)

s e u s a p a r a e s c r i b i r l a f u e r z a s o b r e u n e l e m e n t o i n f i n it e s im a l d e u n c o n d u c t o r d e c a r g a . * L a e c u a c i ó n ( 8 - 8 ) p u e d e i n t e g r a r se p a r a q u e d é l a fu e r z a s o b r e u n c i r c u i t o c o m   p le to (o c e rra d o ). S i el c irc u ito e n c u e s tió n s e r e p re s e n ta c o n el c o n to rn o C,

-¿

 I d \ x B

(8-9)

M i e n t ra s B d e p e n d a d e l a p o s i c i ó n , l a ú n i c a s im p l i f ic a c i ó n q u e p u e d e h a c e r s e e n l a e c u a c i ó n ( 8 - 9 ) e s s a c a r e l f a c t o r  I  q u e e s t á d e n t r o d e l a in t e g r a l. S i n e m b a r g o , s i B e s u n i f o r m e , e s d e c ir , in d e p e n d i e n t e d e l a p o s i c ió n , e n t o n c e s t a m b i é n p u e d e s a c a r s e d el s i g n o d e i n t e g r a c ió n p a r a d a r  

- 4

H

x B

L a i n t e g r a l q u e q u e d a e s f á c il d e c a l c u l a r. P u e s t o q u e e s l a s u m a d e v e c t o r e s i n f in i te s i m a l e s q u e f o r m a n u n c i r c u i t o c e r r a d o , d e b e s e r c e r o . A s í,

F=
(B uniforme)

(8-10)

Otra cantidad interesante es el momento de rotación o torque sobre un circuito c e r ra d o . C o m o e l m o m e n t o d e r o ta c ió n e s e l m o m e n t o d e l a fu e r z a , el m o m e n t o d e r o t a c i ó n i n f i n i t e s i m a l d x  e s t á d a d o p o r   d x 

= r x

d ¥ = Ir   x

(d \  x

B)

(8-11)

E l m o m e n t o d e r o t a c ió n s o b r e u n c ir c u i to c e r r a d o e s

t =

lj> r

x ( d i  x B)

(8-12)

U n a v e z m á s , a m e n o s q u e B s e a u n i fo r m e , n o p u e d e h a c e r s e o t r a si m p l i fi c a c i ó n . S in e m b a r g o , si e s u n i f o r m e , p u e d e l o g r a r s e u n d e s a r r o l l o d i r e c t o a l e s c r ib i r  

d \ x B = i( d y B z   - d z B y )   + j ( d z B x -

dxBz) +

k ( d x B y -

dyBt) 

(8-13)

* Los experimentos originales que permitieron comprender las fuerzas magnéticas se llevaron a cabo con circuitos conductores de corriente. Estos experimentos producen las ecuaciones (8-8) y (8-9).

8.2 Fuerzas sobre conduc tores por los que circula corriente

195

A p a r t i r d e e s ta s c o m p o n e n t e s , l a s c o m p o n e n t e s d e r x ( d i x B ) r e s u l t a n s e r  

[r x ( d i x B)], =  y d x B y -  y d y B x — z d z B x + z d x B [ r x ( d i x B)Jy = z d y B z - z d zB y -

[r x ( d i x  B ) ] z

=

 x d z B x

-

(8-14)  X

d x B y +  x d y B

 x d x B z — y d y B z +  y d z B

C o m o s e s u p u so q u e B e s i n d e p e n d i e n t e d e r ( c a m p o u n i f o r m e ) , la s c o m p o n e n t e s d e B  p u e d e n s a c a r s e d e las in te g ra le s q u e a p a re c e n e n el d e s a r r o llo d e la e c u a c ió n (8 - 12). L a s i n t e g r a c io n e s e s p a c i a l e s q u e d e b e n e f e c t u a r s e s o n d e d o s f o r m a s g e n e r a le s : (8-15a)

£dr)

(8-15b)

d o n d e £ r e p r e s e n t a c u a lq u i e r c o o r d e n a d a y r¡ r e p r e s e n t a c u a l q u i e r c o o r d e n a d a d i s t in t a d e £ L a p r i m e r a d e é s ta s e s t ri v i a l p o r q u e r e p r e s e n t a l a i n t e g r a l d e s d e a l g ú n l í m i t e inferior h a s t a o t r o s u p e r i o r £ 2 d e £ d ¿j , m á s l a i n t e g r a l d e s d e t  ;2 h a s t a de £ d£. C o m o e l in t e r c a m b i o d e l o s lí m i t e s in t r o d u c e u n s i g n o m e n o s , e l r e s u l ta d o e s c e r o , lo q u e e l i m i n a s e is t é r m i n o s d e l a s e c u a c i o n e s ( 8 -1 4 ) . L a s i n t e g r a l e s d e l a f o r m a ( 8 - 1 5 b) contienen sólo dos variables, § y rj; por tanto, no importa si la integral se toma a l r e d e d o r d e l a c u r v a r e a l C  o a l r e d e d o r d e su p r o y e c c i ó n s o b r e e l p la n o 77, c o m o s e m u e s t r a e n la f ig u r a 8 . 1 . A l u t i li z a r la p r o y e c c i ó n e n e l p l a n o £ r¡  e s f á c i l v e r l o que represen ta la ecuación (8-15b). En la figura 8-2, el plano r¡ s e m u e s t r a c o n el á r e a i n f i n it e s im a l £ drj. L a in t e g r a l p u e d e e s c r i b i r s e c o m o

 j > £ d r i =  j 

FIGURA 8.1 Proyección de la curva C sobre el plano 77.

§ i( » j ) d » j + |

§ 2 ( V ) d rl  

(8-16)

196

8 E l c a m p o m a g n é t i c o d e c o r r i e n te s e s t a c i o n a r ia s

FIGURA 8.2 Cálculo de la integral

tfdn.

Esta ecuación da sólo el área encerrada por la curva proyectada, y en la figura es  p o s itiv a . S i £ y 7 ] a p a r e c e n e n o r d e n c í c l ic o p a r a u n s i s t e m a c o o r d e n a d o a d e r e c h a s o dextrógiro, entonces el sentido en que tiene que recorrerse el contorno dará una n o r m a l e n e l s e n t i d o p o s i t iv o d e £ . P o r ta n t o , p o d e m o s e s c r i b i r   < f > t d r , = A (   

(8-17)

c on £ 7 ], £ c o m o p e r m u t a c i ó n c íc l ic a d e * , y , z - U t i l iz a n d o e s t e r e s u l t a d o p a r a c a l c u l a r las integrales, se tiene r , = /

[r x ( d i x B)]x = l { A y B z - A z B y ) 

(8-18)

c o n e x p r e s i o n e s s e m e j a n t e s p a r a l as c o m p o n e n t e s  y  y  z . L a s t r e s e x p r e s i o n e s s e r e s u  m en claramente en

T = ¡ A  x B

(8-19)

d o n d e A e s e l v e c t o r c u y a s c o m p o n e n t e s s o n l as á r e a s e n c e r ra d a s p o r l a s p r o y e c c i o n e s d e l a c u r v a C e n l o s p l a n o s  y z , z x  y  x y .* L a c a n t id a d / A a p a re c e m u y f r e c u e n t e m e n t e e n l a t e o r ía m a g n é t i c a y se l l a m a m o m e n t o d i p o l a r m a g n é t i c o   d e l c i r c u i t o . E l s í m b o l o m s e u t il iz a r á p a r a e l m o m e n t o d i p o l a r m a g n é t ic o :

m = /A

(8-20)

c o n A d e f i n id o c o m o e n e l t e x t o q u e s i g u e a l a e c u a c i ó n ( 8 .1 9 ) . E s f á c i l d e m o s t r a r , p o r l a t é c n i c a a n t e r i o r , q u e l a i n t e g r a l d e r x d \  a l r e d e d o r d e u n a t r a y e c t o ri a c e r r a d a d a d o s v e c e s e l á r e a e n c e r r a d a p o r l a c u r v a . E n t o n c e s , J | 2  Je

r X ¿I = A

(8-21)

* Observe que no se ha impuesto a C la restricción de curva plana y que esta definición de A hace innecesaria cualquier restricción.

197

8 .3 L e y d e B i o t y S a v a r t

E s t a e x p r e s i ó n p u e d e u t il iz a r s e p a r a o b t e n e r  

(8_22)

m = \ I $c t x d x  

c o m o u n a e x p r e s i ó n a l t e r n a t iv a p a r a e l m o m e n t o d i p o l a r m a g n é t i c o .

S i e n l u g a r d e e s t a r c o n f i n a d a e n a l a m b r e s , y l a c o r r ie n t e e s t á e n u n m e d i o , e n t o n c e s la identificación l d \ ^ Jdv 

(8-23)

e s a d e c u a d a , c o m o s e i n d i c ó a n t e r io r m e n t e . P o d e m o s e s c r i b i r e n t o n c e s

dm  = Jr x J dv 

(8-24)

q u e e s ú t il p a r a e s t u d i a r la s p r o p i e d a d e s m a g n é t i c a s d e l a m a t er ia .

8 .3

L E Y D E B IO T Y S A V A R T E n 18 2 0 , a lg u n a s s e m a n a s d e s p u é s d e q u e O e r s t e d a n u n c i a s e su d e s c u b r i m i e n t o d e que las corrientes producen efectos magnéticos, Ampére presentó los resultados de u n a s e r ie d e e x p e r i m e n t o s q u e p u e d e n g e n e r a l i z a r s e y e x p r e s a r s e e n le n g u a j e m a t e  m á t ic o m o d e r n o c o m o

d\2 x [di, x (r2 - r,)] lr 2 -

r,|3

(8-25)

E s t a e x p r e s i ó n d e a s p e c to a s o m b r o s o p u e d e e n t e n d e r s e c o n a y u d a d e l a f i g u r a 8 .3 . L a f u e r z a F 2 e s l a f u e r z a e j e r c i d a s o b r e e l c i r c u i t o 2 d e b i d o a l a i n f l u e n c i a d e l c i r c u i t o 1; l o s d i  y los

FIGURA 8.3 Interacción magnética entre dos circuitos de corriente.

0

r se explican en la figura. Por definición,

8 E l c a m p o m a g n é t i c o d e c o r r ie n t e s e s ta c i o n a r ia s

^ = 10~7 N /A 2 4 31 e n u n i d a d e s m k s , y la e c u a c i ó n ( 8 - 2 5 ) s ir v e c o m o u n a d e f i n i c i ó n p r i m a r i a d e l a m p e r e e n t é r m i n o s d e l c u a l e s t á d e f i n i d o el c o u l o m b . L a e c u a c i ó n ( 8 - 2 5 ) a p a r e n t e m e n t e v i o l a l a t e r c e r a le y d e N e w t o n , d e b i d o a l a f a l ta d e s i m e t r ía . S i n e m b a r g o , u t i l iz a n d o a l g u n o s d e l o s t e o r e m a s d e l a n á l is i s v e c to r i a l, p u e d e d e m o s t r a r s e q u e e s r e a l m e n t e s i m é t r i ca , e s t o e s , F 2 = - F , . ( V é a s e e l p r o b l e m a 8 .4 .)

D e la e c u a c i ó n ( 8 - 9 ) e s a p a r e n te q u e l a e c u a c i ó n ( 8 - 2 5 ) i m p l ic a

B W

-

- V

’1

<8-26)

E s t a e c u a c i ó n e s u n a g e n e r a l i z a c ió n d e l a l ey d e B i o t y S a v a r t *   c u y o n o m   b r e se u ti li z a r á ta n to p a r a la e c u a c ió n ( 8 - 2 6 ) c o m o p a ra la f o r m a d if e re n c ia l u n  I \ d h d B ^ 

=

4^r

 B r

(r2 - r.) r  |r2 rj| I » X

-

( 8 ' 2 7 )

L a e c u a c i ó n ( 8 - 2 7 ) e s u n a c o n s e c u e n c i a in m e d i a t a d e l a e c u a c i ó n ( 8 - 4 ) a l a p l ic a r l a a u n c o n d u c t o r, s i s e u s a e l m i s m o a r g u m e n t o q u e c o n d u j o a l a e c u a c i ó n ( 8 - 7 ) . P o r ú l ti m o , l a s e c u a c i o n n e s ( 8 - 2 6 ) y ( 8 - 2 7 ) t o m a n l a s f o r m a s

J(r,) Vu

x

(V r 22_

r i ) ,. . .

íb(¡2) = B , K r O X ^ - r O ^ 4 Jt 

( g _ 2 8 )

( S _ 2 9 )

|r2 - r 

 p a r a u n a d is trib u c ió n c o n tin u a d e c o rr ie n te d e s c rita p o r la d e n s id a d d e c o r r ie n te J ( r ) . U n a o b s e r v a c ió n e x p e r im e n t a l e s q u e t o d o s l o s c a m p o s d e i n d u c c i ó n m a g n é t ic a  p u e d e n d e s c rib ir s e e n fu n c ió n d e u n a d is tr ib u c ió n d e c o rrie n te . E s d e c ir , B tie n e s ie m   p r e la f o r m a d e la e c u a c ió n (8 -2 8 ), c o n a lg u n a J ( r ,) . E s ta o b s e r v a c ió n im p lic a q u e V •B = 0

( 8 _3 ° )

l o q u e a s u v e z i m p l ic a q u e n o h a y p o l o s m a g n é t i c o s a i s la d o s . L a e c u a c i ó n ( 8 - 3 0 ) e s v á l id a p a r a c u a lq u i e r B d e l a f o r m a ( 8 - 2 8 ) u ( 8 - 2 6 ), c o m o p u e d e v e r if ic a r s e m a t e m á  t ic a m e n t e : to m a r e m o s l a d i v e r g e n c i a d e la e c u a c i ó n ( 8 - 2 8 ) . U t il iz a n d o V * ( F x G ) = - F * V x G + G * V x F s e tie n e

* M encionaremo s de paso que se han producido algunas controversias sobre los nombres de varias leyes.  N oso tr os n o d ese a m o s e ntr ar e n ta le s contr ov ers ia s, p e ro e l l e c to r in te re sa d o p u e d e a c u d ir a la ex cele n te historia de E. T. Whittaker.  H is to ry o f th e T heo ri es o f A e th e r a n d E le c tr ic it y ,  vol. 1, Philosophical Library, Nueva York, 1951.

8 . 4 A p l i c a c io n e s e l e m e n t a l e s d e l a l e y d e B i o t y S a v a r t

S i n e m b a r g o , (r2 - r,)/lr2 - r,l3 e s e l g r a d i e n t e d e —l/lr2   - r,l c o n r e s p e c t o a a que el rotacional de un gradiente es cero, se deduce que

19 9

r2. Y d e b i d o

V2 • B (r 2) = 0

8 .4

—

Z

A P L IC A C IO N E S E LE M E N T A LE S D E L A L E Y D E B IO T Y S A V A RT El tipo de problem as a los que se pued e aplicar la ecuación (8-28) o la ecuación (8-26) e s t á l i m i t a d o p r i n c i p a l m e n t e p o r l a s d i f ic u l t a d e s q u e s e p r e s e n t a n a l e f e c t u a r l a s i n t e  g r a c i o n e s . A l g u n a s d e l a s s it u a c i o n e s q u e s í s e p u e d e n m a n e j a r s e c o n s i d e r a n e n e s t a s e c c ió n . E n t e s s e c c io n e s s i g u i e n te s s e c o n s i d e r a rá n o t r a s t é c n ic a s p a r a o b t e n e r B.

Z

_ EJEM PLO 8.1 El campo magnético de un alambre largo y recto  port ador de corrie nte

I m a g i n e m o s q u e e l a l a m b r e e s t á s o b r e el e j e x  e x t e n d ié n d o s e d e s d e m e n o s i n f i n i t o h a s t a i n fi n i to y q u e c o n d u c e u n a c o r r i e n t e d e i n te n s i d a d / . E l c a m p o s e c a l c u  lará en un punto típico m e j o r c o n 1a f i g u r a 8 . 4 .

r 2 s o b r e e l e j e  y .   L a d i s p o s ic i ó n g e o m é t ri c a s e e x p l ic a

S o l u c i ó n :   D e 1a l e y d e B i o t - S a v a r t , 1a i n d u c c i ó n m a g n é t i c a e s

dx i x ( r 2 - r , )

(8-31)

\*2 ~   r ,| 3 Como

r 2 - r, e s t á e n e l p l a n o  xy>

> x (*z - ri) =

1* 2

-

r>l

(8-32)

6 k

sen

Además,

- = tan (  jz  -

 X 

6)   = - ta n 0

(8-33)

|r2 — rj| = a esc (7i - 6) = a  esc 6 

(8-34)

U t i li z a n d o e s t a s r e l a c io n e s p a r a c o n v e r t ir l a e c u a c ió n ( 8 - 3 1 ) e n u n a i n t e g r a l s o   b re 0 d e s d e 0 h a s t a  K , se obtien e

R B f( rr2)^ = -^—

71(2 

[n sen

fí Afí = ^-— \r( 1 -^ —   ki   k (—e  o s a6 \)   7= Qdd 4jra

«

2na

(8-35)

200

8 E l c a m p o m a g n é t i c o d e c o m e n t e s e s t a c io n a r ia s

FIGURA 8.4 Cam po magnético en un  p u n to  P   debido a un alamb re recto y largo.

Para utilizar este resultado con mayor generalidad, sólo es necesario observar que el problema muestra una evidente simetría con respecto al eje x. Por tanto, con cluimos que las líneas de B son circunferencias en todo punto, con el conductor como centro. Esto está completamente de acuerdo con el resultado elemental que da la dirección y el sentido de B según la regla de la mano derecha.

EJEMPLO 8.2 Cam po m agnético axial de una espira circular de alambre conductor de corriente

Consideremos una espira circular de alambre por el que circula una corriente/. El campo magnético producido por este circuito en un punto arbitrario es muy d ifí cil de calcular; sin embargo, si sólo se consideran puntos sobre el eje de simetría, la expresión de B es relativamente sencilla. En este ejemplo se utilizará un trata miento vectorial completo para demostrar la técnica. La figura 8.5 ilustra la dis  posición geométrica y las coordenadas que deben utilizarse. El campo se ha de calcular en el punto r 2 sobre el eje  z\ la espira circular está en el plano xy. Solución: La inducción magnética está dada por la ecuación (8-26) en la que, de la figura 8.5, se deben utilizar las siguientes expresiones: d\ = a d 6 (—i sen 6 + j eos 6) r 2  — r i

= —i a eos 6 — ya sen 8 + kz

(8-36)

|r2 - r,| = (a2 +  z 2) m

Sustituyendo éstas en la ecuación (8-26) se tiene ’2rí  (iza eos 9 + jz a sen 6  + ka2) de (z2 + a2)3'2

(8-37)

La integral de los dos primeros términos es cero, de modo que B(z) =

a 2\3/2 2 (z + a2)

|U0/

(8-38)

8 . 4 A p l ic a c i o n e s e l e m e n t a le s d e l a l e y d e B i o t y S a v a r t

201

FIGURA 8.5 Cam po axial de una espira circular de alambre.

que, por supuesto, está completamente a lo largo del eje zUna configuración de corriente frecuentemente utilizada es la bobina de Helmholtz, que consiste en dos bobinas circulares del mismo radio, con un eje común, separadas  por una distancia elegida de tal modo que la segunda derivada de B se anula en un  punto del eje que esté a la mitad de la separación entre las bobinas.

EJEMPLO 8.3 Cam po axial de una  bobin a de H elm holtz

FIGURA 8.6 Cam po axial de una  bo bin a d e H elm holtz.

La figura 8.6 ilustra la configuración de una bobina de Helmholtz. Nos gustaría determinar el campo magnético en un punto en el eje de la bobina. Solución: La inducción magnética en el punto P  es

8 E l c a m p o m a g n é t i c o d e c o r r i e n t e s e s t a c io n a r i a s

1

BAz) =

1

+

( z 2 + a 2) 3'2   ' [ (2 6 -

z )2

(8-39)

+ a2]3'2 

que se obtiene al aplicar la ecuación (8-38) a cada una de las dos bobinas. El factor N se incluye para tener en cuenta la situación de qu e cada bobina contiene  N  vueltas. La primera derivada de B con respecto a z es dB z

2z

f io N í a 2  

2(z +

d z 

2(z -

-

2  [(26

a )

2b)

z)

+

  2lS/2

a 2]  

(8-40)

En z = b, esta derivada se anula. La segunda derivada con respecto a z es 2z:

d 2B ,

1

d z 2

( z 2  + a 2) 5' 2

+

[(26 -

z f 

2 ( z 2   + a2) 7'2 

5 2(z - 26 )2 2 [(26 - z ) 2   + a 2]7'2

+ a2]5'2 

En z = 6 esta derivada se reduce a 3 n nN I a 2 [ b 2 + a 2   -

#B>

562 + 6 2 +

a 2  -

56'

(ib 2  + a 2) 112 

d z 2   z = b

que se anula si á 2-

4 b 2 = 0 .

(8-41)

Por tanto, la elección adecuada para b es (8-42)

2 b = a 

Esto es, la distancia entre las bobinas deberá ser igual al radio. Con esta separa ción, la inducción magnética en el punto medio es fio N I  8

(8-43)

-3/2

Las bobinas de Helmholtz desempeñan un papel importante en la investigación científica, en la que se utilizan frecuentemente para producir un campo magnéti co relativamente uniforme sobre una pequeña región del espacio. Consideremos el campo magnético en un punto del eje cercano al punto medio entre las bobi nas. El campo  B (z)  puede desarrollarse en una serie de Taylor alrededor del  punto z = \a : B z(z) = BAl a) + (z - & )

3B,

+

dz

Como las tres primeras derivadas se anulan,  B 2(z) =  B ¿ i a ) + ¿ ( z - hay

9 4B dz

,

= \ü

Si la cuarta derivada se calcula explícitamente, B (z) puede escribirse como

8 . 4 A p l i c a c io n e s e l e m e n t a le s d e l a l ey d e B i o t y S a v a r t

203

FIGURA 8.7 (a) Solenoide; (b) campo m a g n é t i c o a x i al d e u n solenoide. (a) dz

\A

(b)

P o r t a n t o , p a r a l a r e g ió n e n l a q u e I z - a / 21 es m en or q ue ¿2/ 10,  B 7(z )  s e d e s v í a d e  B z(a /2 )  e n m e n o s d e u n a y m e d i a d i ez m i l és im a s . E l t e s la e s u n a u n i d a d b a s t a n t e g r a n d e p a r a m e d i r c a m p o s e n e l l a b o r a t o r io , y p o r e ll o g e n e r a l m e n t e s e u t i li z a la u n i d a d  g a u s s  p a r a  B  d e l s i s te m a g a u s s i a n o * d e u n i d a d e s : u n g a u s s e s i g u a l a 10-4 t e s l a . C o m o r e f e r e n c i a d a m o s

3 2 n N I  =   g.v2fl Y q '

en ümPeres'

a en cm >

® e n  g a u s s   ( 8 - 4 3 a )

 p a r a la in d u c c ió n e n el p u n to m e d io d e la b o b in a d e H e lm h o ltz . P o r s u p u e s to q u e  N  s i g u e s i e n d o e l n ú m e r o d e v u e l t a s e n c a d a u n a d e l a s d o s b o b i n a s .

 __________ 

EJEMPLO 8.4

C a m p o a x i a l d e u n s o le n oi de

O t r o d i s p o s it iv o a l q u e s e p u e d e a p l i c a r la e c u a c i ó n ( 8 - 3 8 ) e s e l s o l e n o i d e . U n s o l e n o i d e p u e d e d e s c r ib i r s e c o m o  N   v u e lt a s u n i f o r m e m e n t e e n r o l l a d a s e n u n a f o r m a c i l in d r i c a d e r a d i o a   y l o n g i t u d L . D i c h a c o n f i g u r a c i ó n s e m u e s t r a e n l a f i g u r a 8 . 7 ( a ).

S o l u c i ó n : L a i n d u c c i ó n m a g n é t i c a e n e l p u n t o  z {] s e h a l l a d i v i d i e n d o l a l o n g i tu d  L e n e l e m e n t o s d z,   c o m o e l q u e s e m u e s t r a e n l a f i g u r a 8 . 7 ( b ). a p l ic a n d o l a e c u a  c i ó n ( 8 - 3 8 ) a c a d a e l e m e n t o y s u m a n d o l o s r e s u l ta d o s . S i o b s e r v a m o s q u e e l e l e m e n t o d z  c o n t i e n e  N d z !L  v u e l ta s , e n c o n t r a m o s q u e

Este sistema de unidades se presenta en el Apéndice III.

204

8 E l c a m p o m a g n é t i c o d e c o r r ie n t e s e s t a c io n a r i a s

 fi 0N I a 2 CL

dz [(Zo -

z f    + a 2] * 2

(8-45)

E l c a m b i o d e v a r ia b l e , z - ZQ= a  c o t cr, c o n d u c e a

 B t ( z o)

=

u N I   rJT-a' ~2^ ~  s e n a d a

J

 P o N I  [ 2 L

c o s ( jt

-

o - , ) + e o s a 2\ 

(8_46)

Los ángulos a , y ( a m b o s < 7d 2 ) s e m u e s t ra n e n l a fi g u r a 8 . 7 ( b ). L a e c u a c i ó n ( 8 - 4 6 ) s e c o n v i e r t e en

eos a , + eos

a 2 

(8-47)

S i e l s o le n o i d e e s l a r g o c o m p a r a d o c o n s u r a d io y  z 0 n o e s t á d e m a s i a d o p r ó x i m o n i a c e r o n i a L , e n t o n c e s t a n to a x c o m o s o n á n g u lo s p e q u e ñ o s y p u e d e n a p r o x i m a r s e m e d i a n te

a' *

r h

0 

<8-4 8 >

M a n t e n i e n d o l o s t é rm i n o s c u a d r á t ic o s e n l o s d e s a r r o ll o s d e e o s a , y e o s c ^ , o b t e  nemos

Vi

 _ , th N I Í. a 2 *.<*)1 " S i

a2

] <8 - 4 9 »

D e e s t o c o n c lu i m o s q u e s i  z 0 = U 2 y  L ia  = 1 0 , r e s u l t a u n e r r o r d e l 2 %  a l d e s p r e  c i a r l o s t é rm i n o s c u a d r á t ic o s y u s a r s ó l o l a f ó r m u l a e l e m e n t a l. L a f ó r m u l a g e n e r a l p a r a B ( E c . 8 - 2 6 ) e s s i e m p r e u n a e x p r e s i ó n c o r re c t a p a r a e l c a m p o m a g n é t i c o d e u n c i r c u i t o d e c o r r i e n t e , p e r o e s d i f í c i l u t i l iz a r l a e n e l c a s o g e n e r a l e n e l q u e l a g e o m e t r ía e s c o m p l e ja .

8 .5

~

L E Y D E C IR C U IT O S D E A M P É R E Para cam pos de inducción m agnética dados por la ecuación (8-26) o po r la ecuación ( 8 - 2 8 ) q u e s e d e b e n a c o m e n t e s e s t a c io n a r i a s , e s d e c i r , a c o r r i e n t e s q u e s a ti s fa c e n V •J = 0,

(8-50)

 p u e d e d e d u c ir s e u n a e c u a c ió n m u y im p o rta n te p a r a el ro ta c io n a l d e B s im p le m e n te c a l c u l a n d o e l r o t a c io n a l d e l a e c u a c i ó n ( 8 - 2 8 ) . E l r o t a c i o n a l i m p l ic a u n a d e r i v a c ió n c o n r e s p e c to a r 2 y , e n c o n s e c u e n c i a , o p e r a s ó l o s o b r e e l f a c t o r (r2 - r,)/lr2- r j 3:

20 5

8 .5 L e y d e c i r c u it o s d e A m p é r e

L a d e r i v a d a p u e d e c a m b i a r s e a h o r a a u n a d e r i v a d a c o n r e s p e c t o a i*j (c o n u n s i g n o m e n o s ) e n e l s e g u n d o t é r m i n o , d e b i d o a l a s im e t r ía e n t r e r 2 y r {: V 2 x B ( r 2) = ^

[

r .) - J ( r , ) • V , * ~ * 3] * v x

[ j ( r ,) 4 ; r <5(r2 -

El primer ténnino se expresa en términos de la función delta de Dirac, como en la e c u a c i ó n ( 2 - 5 7 ) ; s u in t e g r a c i ó n n o s d a / i0J ( r 2) . S e p u e d e d e m o s t r a r m e d i a n te u n a i n t e g r a c ió n p o r p a r t e s q u e e l s e g u n d o t é r m i n o s e a n u la :

'

l**i - t i l > 

l*i - r 2 |-

• J

+

J

-

|r, -

r 2|

 p a r a la c o m p o n e n te  x ,  y s i m i l a r m e n t e p a r a l a s o t r a s c o m p o n e n t e s . E l t é r m i n o c o n V • J s e a n u l a p o r l a s u p o s ic i ó n ( 8 - 5 0 ), y l a i n t e g ra l d e v o l u m e n d e l p r i m e r m i e m b r o  p u e d e c o n v e rtirs e e n u n a in te g ra l d e s u p e rfic ie m e d ia n te e l te o r e m a d e la d iv e rg e n c ia ; e s t a i n te g r a l s e a n u l a s i l a s u p e r f ic i e e l e g i d a s e e n c u e n t r a f u e r a d e u n a r e g i ó n l im i t a d a d o n d e J n o s e a n u la . ( E l m i s m o r e s u l t a d o s e d e d u c e d e l a id e n t i d a d 1 . 2 .4 d e l a t ab l a 1 . 2 . ) D e e s t e m o d o e l r e s u l t a d o f i n a l , q u e s e l l a m a  f o r m a d ife r e n c ia l   d e l a l e y d e Am pére, es V x B ( r 2) = j i „ J ( r 2)

( 8 -5 1 )

E n e l c a p í t u l o 9 e s t a e c u a c ió n s e m o d i f ic a r á p a r a q u e s e a m á s ú t i l c u a n d o s e p r e s e n t e n m a t e r ia l e s m a g n é t i c o s ; s i n e m b a r g o , l a e c u a c i ó n ( 8 - 5 1 ) e s v á l i d a t o d a v í a m i e n t r a s J s e a l a c o r r ie n t e t o t a l   y V • J = 0 . S e p u e d e u s a r e l t e o r e m a d e S t o k e s p a r a t r a n s fo r m a r la e c u a c i ó n ( 8 - 5 1 ) e n u n a f o r m a i n te g r a l q u e a v e c e s e s m u y ú t i l . E s t a a p l ic a c i ó n d e l t e o r e m a d e S t o k e s s e e x p r e  sa como

í. s

V x B - n d a = < t> B -d \  Je

(1-45)

U t il iz a n d o l a e c u a c i ó n ( 8 - 5 1 ) p a r a V x B s e t i e n e l a l e y d e c i r c u i t o s d e A m p é r e

B-dl = /u „J 

J - n da

(8-52)

E s t a e c u a c i ó n s i m p l e m e n t e d i c e q u e l a i n t eg r a l d e l ín e a d e B a l r e d e d o r d e una trayectoria cerrada es igual a ¿¿0 veces la intensidad de corriente total que p asa a través de la trayectoria cerrada.

Es conveniente verificar la ecuación (8-52) para un caso sencillo. El alambre l a rg o r e c t o p r o p o r c i o n a u n e j e m p l o p a r t i c u la r m e n t e b u e n o . E n e s t e c a s o , B , a u n d i s  t a n c i a r d e l c o n d u c t o r , e s tá d a d o p o r  B (r ) = u J f l J C r   v e s t a n g e n c i a l a l a c i rc u n f e r e n c i a

206

8 E l c a m p o m a g n é t ic o d e c o m e n t e s e s ta c io n a r ia s

FIGURA 8.8 Verificación de la L ey de c i r c u it o s d e A m p é r e p a r a l a fo r m a g e o m é t r ic a d e u n alamb re recto y largo.

Es conveniente verificar la ecuación (8-52) para un caso sencillo. El alambre l a r g o r e c t o p r o p o r c i o n a u n e j e m p l o p a r ti c u l a rm e n t e b u e n o . E n e s t e c a s o , B , a u n d i s  t a n c i a r  d e l c o n d u c to r , e s t á d a d o p o r B ( r ) =  / i J H i t r y e s t a n g e n c i a l a l a c i r c u n f e r e n c i a d e r a d i o r  c o n c e n t r o e n e l c o n d u c t o r . L a f i g u r a 8 . 8 m u e s t r a l a d i s p o s i c i ó n g e o m é t r ic a . L a c o r r ie n t e s e d i r ig e h a c i a a r r i b a y C s e d e s c r i b e e n e l s e n t i d o c o n t r a r i o a l d e l a s a g u j a s d e l r e l o j. D e l a f ig u r a , B

d i =   | B | \d\\ e o s * = |B | r d  6  

(8-53)

C o n I BI c o m o s e d i o a n t e s ,
^ - r d d   =  p a l   2 n r 

(8-54)

q u e r e p r e s e n t a u n c a s o e s p e c i a l d e la e c u a c i ó n ( 8 -5 2 ) . L a le y d e c i rc u i to s d e A m p é r e e s e n m u c h a s f o r m a s p a r a l e la a l a le y d e G a u s s e n e l e c t ro s t á t ic a . C o n e s t o s e q u i e r e d e c i r q u e p u e d e u s a r s e p a r a o b t e n e r e l c a m p o m a g  n é t i c o d e b i d o a u n a d e t e r m i n a d a d i s tr ib u c i ó n d e c o r r i e n t e d e g r a n s i m e t r ía , s i n t e n e r q u e c a l c u l a r la s c o m p l i c a d a s i n t e g r a le s q u e a p a r e c e n e n l a l e y d e B i o t . A c o n t in u a c i ó n v e r e m o s u n e je m p l o .

EJEMPLO 8.5 C a m p o m a g n é t ic o d e u n c a b le c o a xia l c o n d u c t o r

C o n s i d e r e m o s u n c a b l e c o a x i a l q u e c o n s i s te e n u n p e q u e ñ o c o n d u c t o r c e n tr a l d e r a d i o a  y u n c a b l e c o n d u c t o r e x t e r i o r c il in d r i c o c o a x i a l d e r a d i o b , c o m o s e m u e s t r a e n la fi g u r a 8 .9 . S u p o n g a m o s q u e l o s d o s c o n d u c t o r e s t r a n s p o r t a n c o r r ie n t e s t o t a le s i g u a l e s d e i n t e n s id a d / , p e r o d e s e n t i d o c o n t r a ri o , c o n e l e j e d i r i g id o h a c i a a f u e r a d el p a p e l . L o q u e s e d e s e a e s d e t e rm i n a r e l c a m p o m a g n é t ic o e n p u n t o s fuera y dentro del cable.

207

8.6 El potencial vector ma gnético

FIGURA 8.9 Sección transversal de un cable coaxial.

S o l u c i ó n : D e l a s i m e t r í a d e l p ro b l e m a , e s t á c l a r o q u e B d e b e s e r ta n g e n t e e n t o d o  p u n to a la c ir c u n fe r e n c ia c e n tr a d a e n e l c o n d u c to r c e n tr a l y tr a z a d a p o r e l p u n to e n e l q u e s e d e s e a c a l c u l a r B . A d e m á s , B n o p u e d e d e p e n d e r d e l á n g u l o a z im u t a l. L a s c u r v a s a p r o p i a d a s q u e d e b e n u s a r s e p a r a a p l ic a r l a e c u a c ió n ( 8 - 5 2 ) s o n c i r  c u n f e r e n c i a s c e n t r a d a s e n e l c o n d u c t o r c e n tr a l. P a r a c a d a c i r c u n f e r e n c i a d e r a  d i o r 

B • d \ = 2jzrB  

(8-55)

q u e d e b e s e r i g u a l a /¿0 v e c e s l a c o r r i e n te t o t a l q u e p a s a a t r a v é s d e l c í rc u l o . A s í , 2 j i r B = ¡x{)¡ } 2nrB  = 0 ,

a < r < b b < r 

(8-56)

E s t e r e s u lt a d o a p a r e n t e m e n t e t ri v ia l s ó l o p u e d e o b t e n e r s e , c o n d i f i c u l t a d c o n s i  d e r a b l e , m e d i a n t e l a in t e g r a c i ó n d e l a l e y d e B i o t .

8.6

I

 — - * ’

Z

U 

E L P O T E N C IA L V E C T O R M A G N É T IC O E l c á l c u l o d e l o s c a m p o s e l é c t ri c o s s e s im p l if i c ó m u c h o c o n l a i n t r o d u c c i ó n d e l p o t e n  c i a l e l e c tr o s t á ti c o . L a p o s i b i l id a d d e h a c e r e s t a s i m p l i f ic a c i ó n r e s u l tó d e l a a n u l a c i ó n  _ d e l r o ta c io n a l d el c a m p o e lé c tr ic o . E l ro ta c io n a l d e la in d u c c ió n m a g n é tic a n o s e an u l a , p e r o s u d i v e r g e n c i a s í. 0 V C o m o l a d i v e r g e n c i a d e c u a l q u i e r ro t a c i o n a l e s c e r o , es r a z o n a b l e s u p o n e r q u e l a i n d u c c ió n m a g n é t ic a p u e d e e x p r e s a rs e c o m o

B = V x A E l c a m p o v e c t o r ia l A s e ll a m a p o t e n c i a l v e c to r m a g n é tic o .

(8 -5 7)

208

8 E l c a m p o m a g n é t ic o d e c o m e n t e s e s ta c io n a r ia s

L a ú n i c a o t r a c o n d ic ió n q u e s e i m p o n e a A e s q u e V x B

-3  

=  f x j

= V x V x A

(8-58)

U t il iz a n d o l a i d e n t id a d V x V x A

= V V - A — V 2Á

(8 ‘ 5 9 )

y e s p e c i f ic a n d o q u e V *A = 0 , s e ti e n e V2A = -/io 1 

(8-60)

I n t e g r a n d o c a d a c o m p o n e n t e r e c t a n g u la r y u t il iz a n d o l a s o l u c ió n d e l a e c u a c i ó n d e P o i s s o n c o m o g u í a , s e t ie n e

¿JlX

A (r2) = S i i í r ^ 7 í di' 1

^

- -

^4-

í  L~ '

7

( 8 - 6 i )

Las integrales que intervienen en esta expresión son mucho más fáciles de calcular que las de la ley de Biot, pero son más complicadas que las que se emplean para o b t e n e r e l p o t e n c i a l e l e c t r o s t á ti c o . U n a f o r m a a l te r n a t iv a d e o b t e n e r l a ec u a c i ó n ( 8 - 6 1 ) e s p o r t ra n s f o r m a c i ó n d i r e c  t a d e la e c u a c i ó n ( 8 - 2 8 ) a l a f o r m a d e l a e c u a c i ó n ( 8 - 5 7 ). E s t o s e h a c e o b s e r v a n d o q u e  fo 1*2 -

rI 73 = *ll'

1 1*2 -

*ll

:

(8-62)

d o n d e V 2 i n d i c a q u e l a d e r i v a c i ó n e s c o n r e s p e c t o a r 2. L a i d e n t id a d v e c t o r ia l V x (< p F ) = < p V x F - F x

Vcp  

(8-63)

q u e e s v á l i d a p a r a c u a l q u i e r v e c t o r F y c u a l q u i e r e s c a l a r
1 , , J( r, )l = U r , - r, J

J( r,) X * 2

 7| — ^—  r2 - r .

(8-64)

 p u e s to q u e J ( r , ) n o d e p e n d e d e r 2. C o m b in a n d o e s to s r e s u lt a d o s e n la e c u a c ió n ( 8 - 2 8 ) se tiene

B(r2) = 7 ^ í J ( t i ) x  A n

iv

= r 1 f

4

71)v

x

|r2 - r, | J ( r ,) ~ d v ,  

| r 2 - r j|

[ J ( r i ) x V 2 -— - —   d v |r2 — r, 4 n  J v (8-65)

E l r o t a c i o n a l p u e d e s a c a r s e f u e r a d e l a in t e g r a l, l o q u e d e j a l a e c u a c i ó n ( 8 - 6 5 ) e x a c t a  m e n t e d e l a f o r m a d e l a e c u a c i ó n ( 8 - 5 7 ) . P o r ta n t o , d e e s te e n f o q u e r e s u l t a ta m b i é n

A

( r z )

 JVl|r2\ T-

= 4 jz

^r,|7 \ d v '  

( 8 ' 6 1 )

P a r a n o d a r l a f a ls a i m p r e s i ó n d e q u e e l p o t e n c i a l v e c t o r e s t a n ú t i l c o m o e l p o t e n  c i a l e l e c t r o s tá t ic o a l c a l c u l a r c a m p o s s e n c i l lo s , d e b e o b s e r v a r s e q u e e s e n c i a l m e n t e n o h a y c a s o s e n l o s q u e A p u e d a c a l c u la r s e e n u n a f o r m a c e r ra d a  s e n c illa   ( a u n c u a n d o

8 . 7 E l c a m p o m a g n é t i c o d e u n c i r c u i to d i s t a n t e

209

 p u d ie r a r e a liz a r s e n u m é ric a m e n te p a r a d is tr ib u c io n e s lim it a d a s d e c o r r ie n te ) . E l a la m   b r e la rg o y r e c to d a u n r e s u lta d o in f in ito p a r a A c u a n d o s e u t ili z a la e c u a c ió n ( 8 - 6 1 ) . * E l c á l c u l o p a r a l a e s p i r a c i r c u l a r c o n t i e n e i n te g r a l e s e l íp t i c a s , y a s í s u c e s i  v a m e n t e . D e b e o b s e r v a r s e ta m b i é n q u e e l c á lc u l o d e l p o t e n c i a l v e c t o r e n u n s o lo  p u n to n o e s ú ti l, p o rq u e la in d u c c ió n m a g n é tic a s e o b tie n e p o r d if e r e n c ia c ió n . E l  p r in c ip a l u s o d e l p o te n c ia l v e c to r e s tá e n a p r o x im a c io n e s ta le s c o m o la s q u e s e a n a  l iz a n e n l a s i g u i e n t e s e c c ió n y e n p r o b l e m a s e n l o s q u e i n te r v i e n e l a r a d i a c i ó n e l e c t r o  m a g n é t i c a ( v é a n s e l o s C a p s . 1 6 y 2 0 ).

8 .7

E L C A M P O M A G N É T IC O D E U N C IR C U I T O D IS T A N T E E l p o t e n c i a l v e c t o r m a g n é t i c o d e b i d o a u n p e q u e ñ o c i r c u i t o a g r a n d e s d i s t a n c i a s ( F ig . 8 . 1 0 ) p u e d e c a l c u l a rs e c o n r e l a t iv a f a c i li d a d . L a e x p r e s i ó n p a r a e l p o t e n c i a l v e c t o r d e l a e c u a c i ó n ( 8 - 6 1 ) p u e d e a p l i c a r s e a c i r c u i to s d e c o r r i e n te h a c i e n d o l a s u s t it u c i ó n J d v  —» I d r . A s í, ( 8 - 66 )

P a r a c i r c u it o s c u y a s d i m e n s i o n e s s o n p e q u e ñ a s c o m p a r a d a s c o n r 2, e l d e n o m i n a d o r s e  p u e d e a p ro x im a r. P a r a e ll o e s c rib ir e m o s , c o m o e n la e c u a c ió n (2 -4 6 ), (8-67)

( 8 - 68 )

FIGURA 8.10 Campo magnético en r2 debido a un circuito distante. r t se extiende sobre el circuito. (El origen de r , y r 2 está dentro o cerca del circuito.) d r 

* Existe un potencial vector finito para un alambre largo y recto, en coordenadas cilindricas A = -  jj  (  q¡/  2 k  ) ln rk para un alambre situado en el eje  z por el que circula una corriente /k. Este resultado puede verificarse directamente calculando V x A. (Véase el Apéndice IV.)

210

8 E l c a m p o m a g n é t ic o d e c o r r ie n t e s e s t a c io n a r i a s

 p a r a e l p r im e r o rd e n e n r j r 2 . U t il iz a n d o e s t o e n l a e c u a c i ó n ( 8 - 6 6 ) s e t ie n e

A (F*) =

 f

d * ' 

+

r¡

¡f á ri(r' ‘

+ “ ’}

(8'69)

L a p r i m e r a in t e g r a l s e a n u la ; e l s e g u n d o i n t e g r a n d o e s u n t é r m i n o d e l d e s a r r o ll o

(r, x

di¡)

x r 2 = - r x(r 2  • d r,) + d r^ r, • r2)

(8-70)

P a r a e l i m i n a r e l p r im e r t é r m i n o a l a d e r e c h a d e l a e c u a c i ó n ( 8 - 7 0 ) , l a d i f e r e n c i a l d e r , ( r 2 ■r , ) p a r a u n c a m b i o p e q u e ñ o d e s e e s c r ib e c o m o d [ r \ ( r  2  • * i ) ] = «iC fe • * , ) . + dwx(r 2 • w{)  

(8-71)

q u e e s e x a c t a . S u m a n d o l a s e c u a c i o n e s ( 8 - 7 0 ) y (8 - 7 1 ) y d i v i d i e n d o p o r d o s s e ti e n e

dr,(r, • r2) = |(r , x

d  r,)

x r 2

+

|

d [  r,(r 2

• r, )]

(8-72)

C o m o e l ú l ti m o t é r m i n o e s u n d i f e r e n c ia l e x a c t o , n o c o n t r ib u y e a l a s e g u n d a i n te g r a l de la ecuación (8-69). Así, se desp rende que

= 

( 8 - 7 3 )

L a e c u a c i ó n ( 8 - 2 2 ) d e f in e l a c a n ti d a d e n t r e c o r c h e te s c o m o e l m o m e n t o d i p o l a r m a g  n é t i c o , m , d e l c i rc u i to . E n c o n s e c u e n c i a ,  jU0 m x r 2

E n e s t a d e d u c c i ó n s e h a s u p u e s t o q u e t o d a s l a s r { « rr   P o r t a n to , l a e c u a c i ó n ( 8 - 7 4 ) n o e s v á l id a p a r a u n o r ig e n a r b i tr a r io , s i n o s ó l o p a r a u n o r i g e n c e r c a n o a l c i r c u it o . L a i n d u c c ió n m a g n é t ic a p u e d e d e t e rm i n a rs e t o m a n d o e l r o ta c i o n a l d e l a e c u a  c i ó n ( 8 - 7 4 ). E s t o s e l o g r a f á c i l m e n t e u t i li z a n d o i d e n t id a d e s v e c t o r ia l e s . P r im e r o ,

B(r2) = V x A(r2) =

x (m x (8-75)

-

£

h

-

^

+ - T i

E l p r i m e r t é r m i n o e n t r e c o r c h e te s p u e d e t ra n s f o r m a r s e o b s e r v a n d o q u e

=

- r \ - 3 m - X* ? 2

m

3( m • r 2 )r 2

(S-761

P o r t a n to ,

r 2

(m • V) -s >2

=3

^2

-- ^

r2

El segun do término im plica sólo el cálculo de

(8-77)

21 1

8 . 8 E l p o t e n c i a l e s c a l a r m a g n é t ic o

V -^ = 3 f2 '2

r2 - §

= 0

( r2 * 0 )

(8 . 7 8 )

r2

Finalmente,

m

B < *> - £

3 (m 'r2)r2"|

 — 5 H----------- 5-------

( d i p o l o m a g n é t ic o )

(8 -7 9 )

L a e c u a c i ó n ( 8 - 7 9 ) d e m u e s t r a q u e e l c a m p o m a g n é t ic o d e u n c i r c u it o d i st a n t e n o d e   p e n d e d e s u fo r m a g e o m é tr ic a d e ta ll a d a , s in o s ó lo d e s u m o m e n to m a g n é tic o m . A l c o m p a r a r c o n l a e cu a c ió n ( 2 - 3 6 ) se v e q u e l a e c u a c i ó n ( 8 - 7 9 ) e s d e l a m i s m a f o r m a que el campo eléctrico debido a un dipolo eléctrico, lo cual explica el nombre de c a m p o d i p o l a r m a g n é t ic o .

E L P O T E N C IA L E S C A L A R M A G N E T IC O L a e c u a c i ó n ( 8 - 5 1 ) i n d i c a q u e e l r o t a c io n a l d e l a i n d u c c i ó n m a g n é t ic a e s c e r o s i e m p r e q u e l a d e n s i d a d d e c o r r i e n t e s e a c e ro .

P o r t a n to , l a in d u c c i ó n m a g n é t ic a e n d ic h a s r e g i o n e s p u e d e e s c r i b i r s e c o m o e l g r a d i e n t e d e u n p o t e n c i a l e s c a la r :

B = - f x {)V
(8-80)

9 * s e l l a m a p o te n c ia l e s c a la r m a g n é tic o .

S i n e m b a r g o , l a d i v e r g e n c i a d e B t a m b i é n e s c e r o , lo q u e s i g n i f ic a q u e V B

= — ju0 V V

= 0

( 8- 81 )

P o r ta n t o , 9 * s a ti s fa c e l a e c u a c i ó n d e L a p l a c e , G r a n p a r t e d e l t r a b a j o d e e l e c t r o s tá t ic a  p u e d e a d o p ta rs e d ire c ta m e n te y e m p le a r s e p a r a c a lc u la r (p*  e n v a r i a s s i t u a c i o n e s . S in e m b a r g o , d e b e te n e r s e c u i d a d o a l a p l ic a r l a s c o n d i c i o n e s e n l a f r o n t e r a . A d e m á s , 9 * d e u n c i r c u i to c o n c o r r ie n t e n o e s u n a f u n c i ó n d e v a l o r ú n i c o . U n e j e m p l o s e n c i l l o s e v e e n e l p r o b l e m a 8 . 2 5. L a e x p r e s i ó n p a r a e l p o t e n c i a l e s c a la r d e u n d i p o l o m a g n é t ic o e s p a r t ic u l a r m e n t e ú t il . S i s e o b s e r v a q u e l a e c u a c i ó n ( 8 - 7 9 ) p u e d e e s c r i b i rs e c o m o

B

<

r

j

=

í8-82>

entonce s es evidente que \ m
r2

,8 -8 3 ,

 p a r a un d ip o lo m a g n é ti c o m . O b s e r v e l a s e m e ja n z a e n tr e la e c u a c ió n (8 - 8 3 ) y e l p o te n  cial de un dipo lo eléctrico (Ec. 2-39).

212

8 E l c a m p o m a g n é t ic o d e c o r r i e n t e s e s ta c i o n a r ia s

U n c i r c u it o g r a n d e C p u e d e d i v id i rs e e n m u c h o s c i r c u it o s p e q u e ñ o s p o r m e d i o d e u n a r e t íc u l a , c o m o s e m u e s t r a en l a f ig u r a 8 - 1 1 . S i c a d a c i rc u i t o p e q u e ñ o f o r m a d o p o r l a r e t í c u l a tr a n s p o r t a l a m i s m a i n te n s i d a d d e c o r r i e n te q u e o r i g i n a l m e n t e t r a n s p o r t a b a e l c ir c u i to C , e n t o n c e s , d e b i d o a l a c a n c e l a c ió n d e l a s c o m e n t e s e n l o s l a d o s c o m u n e s d e l o s c ir c u i to s a d y a c e n t e s , e l e fe c t o n e t o e s e l m i s m o q u e e l q u e s e p r o d u c i r í a s i la c a r g a s ó l o c ir c u l a r a e n e l c i rc u i t o C . P a r a c u a l q u i e r a d e l a s m a l la s p e q u e ñ a s , e l m o  m e n t o m a g n é t ic o p u e d e e x p r e s a rs e c o m o d m =  I n d a  

(8-84)

y a q u e c a d a u n a d e l a s v u e lta s e s s u f i c ie n t e m e n t e p e q u e ñ a c o m o p a r a c o n s i d e r ar s e  p la n a . A q u í n e s e l v e c t o r n o r m a l u n i ta r i o a l p e q u e ñ o c i r c u it o d a . U t il iz a n d o e s t a e x   p r e s ió n e n la e c u a c ió n (8 -8 3 ) e in te g ra n d o s o b re la s u p e r f ic ie a c o ta d a p o r c  s e t i e n e

1

*ín\

[ * 2 - 1* da

r , P ) = 4 n l  —

<8 - 8 5 )

E n e s t a e c u a c i ó n , r 2 d e b e i n te r p r et a rs e c o m o e l v e c t o r q u e v a d e s d e d a h a s t a e l p u n to  P , e s t o e s , - r e n l a fi g u r a 8 . 1 1 . H a c i e n d o e l c a m b i o r 2 = - r s e t ie n e c o m o r e s u l ta d o  I = 

f r-n d a (*-86)

L a c a n t id a d r * n d a  e s e x a c ta m e n t e r  v e c e s l a p r o y e c c i ó n d e d a   s o b r e u n p l a n o p e r   p e n d ic u la r a r. A s í , r • n d a / r 3  e s e l á n g u l o s ó l i d o s u b t e n d i d o p o r d a  e n  P . L a e c u a c ió n ( 8 - 8 6 ) p u e d e e n t o n c e s e s c r ib i rs e c o m o . ,

_ v


 I Q

( 8- 87 )

d o n d e  D. e s e l á n g u l o só l id o s u b t e n d i d o p o r la c u r v a C e n e l p u n t o  P . El potencial escalar magnético puede usarse para calcular el campo magnético d e b i d o y a s e a a c ir c u i to s q u e c o n d u c e n c o m e n t e o a c a p a s d o b l e s m a g n é t ic a s ( c a p as d e d i p o l o s ) . E n o c a s i o n e s e s t e p r o c e d i m i e n t o e s ú t il a l t r a t a r p r o b l e m a s d e c i r c u i to s ; s i n e m b a r g o , s e u s a p r i n c i p a l m e n t e c o n l o s m a t e r ia l e s m a g n é t i c o s .

FIGU RA 8.11 Circuito de corriente macroscópico construido a  p a rt ir d e dip olo s magnéticos elementales.

213

8 .9 F l u jo m a g n é t i c o

F L U J O M A G N É T IC O L a c a n t id a d 0 =

I B • n da   Js

(8-88)

s e c o n o c e c o m o f l u j o m a g n é tic o  y s e m i d e e n w e b e r s ( W b ) . * E s a n á l o g o a l f l u jo e l é c t r ic o a n a l i z a d o a n t e r io r m e n t e , p e r o s u i m p o r t a n c i a e s m u c h o m a y o r .

E l f l u jo q u e p a s a a t r a v é s d e u n a s u p e r f ic i e c e r r a d a e s c e r o , c o m o s e p u e d e v e r a l calcular 

 j) B - n d a = j V • B d v = 0

(8-89)

D e e s t o t a m b i é n s e d e s p r e n d e q u e e l f lu j o q u e a t r a v i e s a u n c i r c u i to e s i n d e p e n d i e n t e d e l a s u p e r f i c i e p a r ti c u l a r u s a d a p a r a c a l c u l a r d i c h o f l u jo . E s t o s r e s u l ta d o s s e u t il iz a  r á n e n e l c a p í tu l o 11, c u a n d o s e e s t u d i e l a i n d u c c i ó n e l e c t r o m a g n é t i c a .

RESUMEN L a m a g n e t o s t á ti c a s e b a s a e n l a s u m a d e u n a f u e rz a m a g n é t i c a a l a f u e r z a d e C o u l o m b c u a n d o l a s c a r g a s e s tá n e n m o v i m i e n t o . E n u n i d a d e s m k s , la f u e r z a d e L o r e n t z s o b r e u n a c a r g a d e p r u e b a q  c o n v e l o c i d a d v e s F = q ( E   + v x B ) E l c a m p o m a g n é t ic o d e u n a ca r g a q x q u e s e m u e v e c o n v e l o ci d a d u n i fo r m e v , e s

c

c

d o n d e E e s e l c a m p o e l é c tr ic o p r o d u c i d o p o r q { y c =   1 / V e 0/ /0 -

3 x 108 m / s

e s l a v e l o c i d a d d e l a lu z . ( E n u n i d a d e s g a u s s i a n a s , h a y q u e s u s t it u i r B  e n e s t a s fó r m u  l a s p o r  B le .)  L o s r e s u l ta d o s s e a p l ic a n a la s c o r r i e n t e s d e c o n d u c c i ó n e s c r i b i e n d o  N q d v v = J d v = I d i d o n d e  N q  = p , p v = J p a r a l o s ti p o s d e p a r t íc u l a s c a rg a d a s q u e e s t é n e n m o v i m i en t o .

* De aq uí que un tesla sea igual a un webe r/m2, que fue lo que se utilizó anteriormente com o la unidad mks de B.

214

8 E l c a m p o m a g n é t i c o d e c o r r i e n t e s e s t a c io n a r i a s

•

L a fuerza s o b r e u n e l e m e n t o d e a l a m b r e d 1 e n u n c a m p o m a g n é t i c o B e s d¥ = I d\ x B

E l m o m e n t o d e ro t a c ió n s o b r e u n c ir c u i to e n u n c a m p o u n i f o r m e  B es r = m x B •

El m o m e n t o d i p o l a r m a g n é ti c o d e l c i r c u i t o e s

L a in te g ra l y $ c r  x d  1 e s e l v e c t o r c u y a s c o m p o n e n t e s s o n l a s á r e a s e n c e r r a d a s p o r l a  p ro y e c c ió n d e la c u r v a C s o b re lo s p la n o s c o o rd e n a d o s . •

El c a m p o m a g n é ti co  p ro d u c id o p o r u n e le m e n to d e c o r r ie n te /

di'  es

d o n d e n j 4 n =  1 0 ~7 N / A 2 e n u n i d a d e s m k s . E l c a m p o d e b i d o a u n c i r c u i t o c o m p l e t o s e c a l c u l a i n t e g r a n d o e s t o a l o l a r g o d e l c i rc u i to . P a r a u n a d i s tr ib u c i ó n g e n e r a l d e c o  r r i e n t e J ( r ' ) c o m o f u e n t e , s e t ie n e

D i f e r e n c i a n d o e s t a e c u a c i ó n , e n c o n t ra m o s q u e n o h a y m o n o p o l o s m a g n é t i c o s : V -B = 0 Además V xB

= /iJ

 p a r a u n a d is tr ib u c ió n d e c o r rie n te e s ta c io n a r ia c o n V -J = 0 É s t a s s o n l a s ecuaciones diferenciales básicas q u e d e b e n s e r s a t is f e c h a s e n c a d a p u n  t o p o r to d o s l o s c a m p o s m a g n e t o s t á ti c o s . ( L a e c u a c ió n d e d i v e r g e n c i a p a r a B e s s a t i s  f e c h a a u n p o r c a m p o s v a r ia b l e s c o n e l t ie m p o y e s l a s e g u n d a d e l a s c u a t r o e c u a c i o n e s fundamentales de Maxwell.) • La ley de Ampére s e o b t i e n e d e l a e c u a c i ó n d e l r o t a c i o n a l a l i n t e g r a r a m b o s m i e m b r o s s o b r e u n a s u p e r f ic i e a r b i tr a r ia S  y a p l i c a r el t e o r e m a d e S t o k e s :

c donde

 I  =

J • n da

e s l a c o r r i e n t e t o ta l q u e p a s a a t ra v é s d e S  l i m i t a d a p o r C . E s t a e c u a c i ó n t i e n e u t il id a d  p r á c tic a p a r a c a lc u la r B  e n a l g u n a s s i tu a c i o n e s e s p e c i a l e s c o n g r a n s i m e t r í a , e n l a s q u e  p u e d e v e rs e q u e B e s c o n s t a n t e e n m a g n i t u d y d i r e c c ió n c o n r e s p e c t o a a l g u n a c u r v a a d e c u a d a C.

Problemas

215

• L a e x i s te n c i a d e u n a f u n c i ó n p o t e n c i a l v e c t o r A ( r ) ta l q u e

B = V

A

x

s e d e d u c e d e l a e c u a c i ó n d e l a d i v e rg e n c i a . P a r a u n a d i s tr i b u c i ó n d e c o r r i e n t e d ad a , J(r'), Mo f

J(« ")

4 j z  J v  r — r  •

A g r a n d e s d is t a n c i a s d e l a r e g i ó n d o n d e s e e n c u e n t r a n la s c o r r ie n t e s f u e n t e J , e l d e s a r r o l lo m u l t ip o l a r d e A d a A (r) —

/¿o m x r  3 h ** • 4 / r r 

( N o h a y t ér m i n o m o n o p o la r.)

• E n re g i o n e s d o n d e J = 0 , s e p u e d e d e f i n i r u n  p o te n c ia l e s c a la r m a g n é ti c o (p*( r) ( y a q u e V x B = 0 ) , ta l q u e

B = -/i0V(p* A l i g u a l q u e e l p o t e n c i a l e l e c t r o s t á t ic o , (p* s a t is f a c e l a e c u a c i ó n d e L a p l a c e V V

= o

 p e r o la s d if e r e n te s c o n d ic io n e s e n l a fr o n te ra p u e d e n p ro p o r c io n a r d if e r e n te s c o n ju n  t o s d e s o l u c i o n e s . L a s o l u c i ó n d i p o l a r e s l a m i s m a q u e e n e l c a s o e l e c tr o s t á ti c o : #^ \

”

W

m r = 4 ^

8.1 Una partícula cargada de masa m y carga q se mueve en un cam po uniforme de inducción magn ética B0> Dem uestre que el movimiento más gene ral de la partícula describe un a hélice, cuya sección transversal es una circunferencia de radio R = m v J q B . (Aquí v± es la compon ente de la v elocidad d e la partícula que es perp endicular a B(J.) 8.2 El ham iltoniano para una partícula cargada que se mueve en un campo uniforme de induc ción m agné tica, B(1, que es paralelo al eje  z , está dado por 

* - L

-  y p - ]

pt -

Dem uestre que las ecuaciones del m ovimiento que pueden deducirse de  f f l son compa tibles con los resultados del problem a 8. 1. 8.3 Un protón cuya velocidad es de 107 m/s se lanza perpendicularme nte a un camp o uniforme de inducción magnética de 0.15 T. (a) ¿Cuánto se desvía la trayectoria de la partícula de una línea recta después de que ha recorrido una distancia de 1 cm? (b) ¿Cuánto tarda el protón en recorrer un arco de 90o? 8.4 Dem uestre que la ley de fuerza de la ecuac ión (8-25) pued e transformarse en F2=

4.*

i d i , ■d i,

Ji { { h

IL

|r2 - r,r 

que es claramente simétrica en el sentido de que F2 = - F (.

Propiedades magnéticas de la materia

E n e l c a p í t u lo 8 a n a l i z a m o s t é c n i c a s p a r a h a l l a r e l c a m p o d e i n d u c c i ó n m a g n é t i c a d e b i d o a u n a d i s tr ib u c i ó n e s p e c í f i c a   d e c o r r ie n t e s. A s í p o r e j e m p l o , s i e s t a m o s c o n  s i d e r a n d o u n c i rc u i to c e r r a d o c o n s t i tu i d o p o r u n a l a m b r e p o r e l q u e c i r c u l a u n a c o  rriente, el campo magnético en la región de vacío que rodea al alambre puede calcularse con la ayuda de la ley de Biot. Ahora llenemos la región que rodea al a l a m b r e c o n u n m e d i o m a t e r i a l. ¿ S e a l t e r a r á l a i n d u c c i ó n m a g n é t ic a p o r l a p r e s e n c i a d e e s t a m a t e r ia ? L a r e s p u e s t a e s “ s í ” . E n e s t e c a p í t u l o a n a l i z a r e m o s l a i n f l u e n c i a d e l a m a t e r ia e n e l c a m p o m a g n é t ic o . T o d a m a t e r ia c o n s i s t e f u n d a m e n t a l m e n t e e n á t o m o s , y c a d a á t o m o c o n t ie n e e l e c t r o n e s e n m o v i m i e n t o . E s t o s c ir c u it o s e l e c tr ó n i c o s , c a d a u n o d e l o s c u a l e s e s t á c o n f i n a d o a u n s o l o á t o m o , s o n l o s q u e l l a m a r e m o s c o r r i e n t e s a t ó m i c a s .  P o r t a n t o ,  p a re c e q u e te n e m o s d o s c la s e s d e c o m e n te : ( 1) u n a c o r rie n te n o rm a l, q u e c o n s is te en t r a n s p o r t e d e c a rg a , e s to e s , e l m o v i m i e n t o d e e l e c tr o n e s l i b r e s o d e i o n e s c a r g a d o s , y (2) corrientes atóm icas, que son corrientes puras qu e circulan sin dar origen a transporte de carga. Sin embargo, ambas clases de corrientes pueden producir c a m p o s m a g n é tic o s .

MAGNETIZACIÓN Cada corriente atómica es un minúsculo circuito cerrado de dimensiones atómicas, d e t a l m o d o q u e e s r a zo n a b l e q u e e l c a m p o m a g n é t ic o “ d i s ta n t e ” d e u n á t o m o p u e d a describirse apropiadamente como el de un dipolo magnético. De hecho, una amplia g a m a d e e s t u d i o s e x p e r i m e n t a l e s , a s í c o m o l a fo r m u l a c i ó n d e l a m e c á n i c a c u á n t i c a , q u e e s n u e s t ro m é t o d o m á s e x a c t o p a r a e l c á lc u l o d e fe n ó m e n o s a t ó m i c o s , n o s d i c en q u e l a p a r t e d o m i n a n t e d el c a m p o d e i n d u c c i ó n m a g n é t i c a d is t a n t e d e b i d o a u n s o l o á t o m o s e d e t e rm i n a e sp e c i fi ca n d o s u m o m e n t o d i p o l a r m a g n é t ic o , m .

22 0

9 P r o p i e d a d e s m a g n é t i c a s d e l a m a t er ia

S e a m ( e l m o m e n t o m a g n é t i c o d e l i - é s i m o á t o m o . D e f i n ir e m o s a h o r a u n a c a n t i d a d v e c t o r i a l m a c r o s c ó p i c a , l a m a g n e t i z a c i ó n  M , u t i l i z a n d o e l m i s m o m é t o d o q u e s e e m p l e ó p a r a d e f i n i r l a p o l a r i z a c i ó n e n e l c a p í tu l o 4 .

S u m e m o s v e c t o r i a lm e n t e to d o s l o s m o m e n t o s d i p o l a r e s d e u n p e q u e ñ o e l e  m e n t o d e v o l u m e n  A v , y l u e g o d i v i d a m o s e l re s u l t a d o e n t r e A v t   l a c a n t i d a d resultante,

M =

l ím ~ 2 m i Av—o A l/ ¡

(9 -1 )

s e l la m a m o m e n t o d i p o l a r m a g n é ti c o p o r u n i d a d d e v o l u m e n , o s im p l e m e n  te m a g n e t i z a c i ó n .

E l p r o c e d i m i e n t o p a r a h a l l a r e l lí m i t e en l a e c u a c i ó n ( 9 - 1 ) e s n u e s t r o p r o c e d i m i e n t o u s u a l d e t o m a r l o s l í m i t e s m a c r o s c ó p i c o s , e s t o e s ,  A v  se h a c e m u y p e q u e ñ o d e s d e e l  p u n to d e v is ta m a c ro s c ó p ic o , p e r o n o ta n p e q u e ñ o c o m o p a r a q u e n o c o n te n g a un n ú m e r o e s ta d í s ti c a m e n t e g r a n d e d e á to m o s . L a c a n t id a d M s e v u e l v e e n t o n c e s u n a f u n c i ó n v e c t o r ia l p u n t u a l. E n e l e s t a d o d e s m a g n e t i z a d o , l a su m a X m . d a r á c e r o c o m o r e s u l ta d o d e l a o r i e n ta c i ó n a l e a t o r i a d e l o s m . , p e ro e n p r e s e n c i a d e u n c a m p o e x t e rn o e x c it a n te , M d e p e n d e r á g e n e r al m e n t e d e e s t e c a m p o . L a d e p e n d e n c i a e s p e c í fi c a d e M c o n r e s p e c t o a B s e c o n s i d e r a r á e n l a s e c c ió n 9 .6 . P o r e l m o m e n t o , s u p o n d r e m o s q u e  M ( x , y ,  z ) e s u n a f u n c ió n c o n o c i d a y c a l c u l a  r e m o s l a c o n t r ib u c i ó n d e l m a t e ri a l m a g n e t i z a d o a l c a m p o m a g n é t i c o a p a r t i r d e l as e c u a c i o n e s d e s a r r o l l a d a s e n l a s e c c i ó n 8 .7 . L a f u n c ió n v e c to r ia l M n o s p ro p o r c i o n a u n a d e s c r i p c ió n m a c r o s c ó p i c a d e l as c o  rrientes atómicas en el interior de la materia. Específicamen te, M m ide el núm ero de c i rc u i to s d e c o r r ie n te a tó m i c a p o r u n i d ad d e v o l u m e n m u l t ip l ic a d o p o r e l m o m e n t o m a g  nético efectivo o promedio de cada circuito. Desde el punto de vista puramente m a c r o s c ó p i c o , t o d o s lo s e f e c t o s m a g n é t i c o s d e b i d o s a l a m a t e r ia p u e d e n d e s c r ib i r s e a d e c u a d a m e n t e e n f u n c i ó n d e M , o p o r s u s d e ri v ad a s . U n a d e e s ta s d e r i v ad a s , V x M . e s l a d e n s i d a d d e c o r r i e n t e d e t r a n s p o r te e q u i v a le n t e q u e g e n e r a r í a e l m i s m o c a m p o m a g  n é t ic o q u e e l p r o p io M ; é s t a s e l la m a d e n s i d a d  de c o r r i e n te d e m a g n e t i z a c i ó n, $ M. A n t e s d e d e d u c i r e s t a i m p o r t a n t e re l a c i ó n q u e 1i g a JA/ c o n M , v e a m o s u n m o d e l o sim p l if ic a d o

FIGURA 9.1 E s q u e m a s i m p l i fi c a d o d e un material magnético consistente en espiras de corriente atómicas que circulan en el mism o sentido.

9 .1 M a g n e t iz a c i ó n

22 1

FIGURA 9.2 Ejemplo de cambio brusco en la magnetización.

o

O

o

d e m a t e r ia m a g n e t iz a d a c o m o s i é s ta c o n s i s ti e s e e n e s p i ra s d e c o r r i e n t e a t ó m i c a s q u e c i r c u l a n e n e l m i s m o s e n t id o , u n a j u n t o a o t r a ( F i g . 9 .1 ) . S i l a m a g n e t i z a c i ó n e s u n i ío r m e , l as c o r r i e n t e s e n l a s d i s t in t a s e s p i r a s t i e n d e n a e l im i n a r s e e n t r e s í, y n o h a y c o r r i e n te n e t a e f e c t i v a e n e l in t e r io r d e l m a t e r ia l . S i l a m a g n e t iz a c i ó n n o e s u n i f o r m e , la c a n c e  l ac ió n n o s e r á c o m p l e ta . C o m o e j e m p l o d e m a g n e t iz a c ió n n o u n i f o rm e , c o n s i d e r e m o s e l c a m b i o b r u s c o e n l a m a g n e t i z a c i ó n m o s t ra d o e n l a f i g u r a 9 .2 . S i c e n t r a m o s n u e s t r a a t e n c ió n e n l a r e g i ó n e n t r e l as l í n e a s p u n t e a d a s , e s e v i d e n t e q u e h a y m á s c a r g a q u e s e m u e v e h a c i a a b a j o q u e l a q u e s e m u e v e h a c i a a rr ib a . P o r t a n to , a u n c u a n d o n o h a y a t r a n s p o r t e d e c a r g a , l o c a l m e n t e h a y u n m o v i m i e n t o e f e c t iv o d e c a r g a h a c i a a b a j o , y e s t a “ c o r r ie n t e ” p u e d e p r o d u c i r un c a m p o m a g n é t ic o . E s t a c o r r ie n t e s e d e n o m i n a c o r r i e n t e de magnetización.  N o s q u e d a d e d u c ir la r e la c ió n e n tr e y M . C o n s id e re m o s d o s p e q u e ñ o s e le m e n to s d e v o l u m e n e n u n a m u e s t ra d e m a t er ia l m a g n é t ic o , c a d a e l e m e n t o d e v o lu m e n A x  Ay Az, y colocado s uno al lado del otro en la dirección del eje y (Fig. 9.3). Si la magnetización del prim er elemento de volumen es M (a; y, z ), entonces la m agnetización del segundo elemento es

FIGURA 9.3 ustitución de elementos e v o l u m e n d e m a t er ia l agnetizado por  :orrientes circulantes de ntensidades / ' e /"

222

9 P r o p i e d a d e s m a g n é t ic a s d e l a m a t e r i a

M ( * , y , z )  + ^

A y + té rm i n os d e o rd en s u pe r io r  

L a c o m p o n e n t e x d e l m o m e n t o m a g n é ti co d e l p r i m e r e l e m e n t o ,  M x A x A y A z,   p u e d e e s c r i b i r s e e n f u n c i ó n d e u n a i n t en s i d a d d e c o r r i e n t e c i r c u l a n t e ,  I 'c : M x A x  A y A z

= í'c A y A z  

(9-2)

A n á lo g a m e n t e , l a c o m p o n e n t e  x  d e l m o m e n t o m a g n é t i c o d e l s e g u n d o e le m e n t o , d e s   p re c ia n d o lo s té rm in o s d e o rd e n s u p e r io r q u e s e a n u la n e n el lím ite d o n d e c a d a e le  m e n t o d e v o lu m e n s e v u e l v e m u y p e q u e ñ o , e s

 M x +

A y ) A x A y A z = / ;' A y A z

(9 . 3)

L a c o r r ie n t e n e t a h a c i a a r ri b a e n l a r e g i ó n i n t e rm e d i a d e l o s d o s e le m e n t o s d e volumen es  I'c -

I'c = - ^ 

A* A y

( 9- 4)

C o n s i d e r e m o s a c o n t i n u a c i ó n d o s e le m e n t o s d e v o l u m e n a d y a c e n t e s s o b r e el e je  x   y c e n t re m o s n u e s t ra a te n c i ó n e n l a c o m p o n e n t e y d e l a m a g n e t i z a c i ó n e n c a d a c e l d a . E n l a r e g i ó n i n t e r m e d i a e n t r e l a s d o s c e l d a s , la i n t e n s i d a d d e c o r r i e n t e n e t a h a c i a a r r ib a c a u s a d a p o r la s c o r r ie n t e s c ir c u l a n t e s q u e d e f i n e n l o s m o m e n t o s m a g  néticos es

U c ) arriba = ^

d x 

A* Ay

( 9 -5 )

É s t a s s o n l a s ú n i c a s c o r r ie n t e s c i r c u l a n t e s d e u n a c e l d a d e t e r m i n a d a q u e d a n l u g a r a u n a c o r r i e n t e n e t a e n l a d i r e c c i ó n  z.   E s t a c o r r i e n t e n e ta , q u e p r o v i e n e d e u n a m a g n e t i z a c i ó n n o u n i f o r m e , e s la c o r r ie n t e d e m a g n e t i z a c i ó n . N o e s u n a c o r r i e n t e d e t r a n s p o r t e , s i n o q u e s e o b t i e n e , c o m o h e m o s v i s to , d e c o r r i e n t e s c i r c u l a n t e s , e s d e c ir , d e c o r r i e n t e s a t ó m i c a s e n e l m a t e r ia l . E l á r e a e f e c t i v a p a r a c a d a u n a d e l as c o r r i e n t e s e n l a s e c u a c i o n e s ( 9 - 4 ) y ( 9 - 5 ) e s  A x A y .  P o r t a n to ,

3My

{ m)z

 

3MX  ( 9 ‘ 6 a )

o

Jw = V x M

(9 -6 b )

L a d e n s i d a d d e c o r r i e n te d e m a g n e t i z a c ió n  es el rotacional de la mag netizació n.

9 . 2 E l c a m p o m a g n é t ic o p r o d u c i d o p o r u n m a t e r ia l m a g n e t iz a d o

9 .2

~

223

E L C A M P O M A G N E T IC O P R O D U C ID O P O R U N M A T E R I A L M A G N E T IZ A D O S e g ú n l a e c u a c i ó n ( 9 - 1 ) , c a d a e l e m e n t o d e v o lu m e n A i / d e m a t e r ia m a g n e t i z a d a s e c a r a c te r iz a p o r u n m o m e n t o m a g n é t i c o A m =  M ( x ' , y ' , z ' ) A i /

(9 -7 )

U t il iz a n d o l os r e s u l ta d o s d e l a s e c c i ó n 8 . 7 , p o d e m o s e x p r e s a r la c o n t r i b u c i ó n a l c a m p o m a g n é t ic o e n e l p u n t o (x, y, z)   d e c a d a A m ( o , d e m a n e r a e q u i v a l e n te , d e c a d a A i/ ). E l c a m p o m a g n é t i c o s e o b t ie n e e n t o n c e s c o m o u n a i n t e g r a l s o b r e to d o e l v o l u m e n d e l m a t e r ia l , V0. E s t e p r o c e d i m i e n t o s e i n d i c a e s q u e m á t ic a m e n t e e n la f i g u r a 9 . 4. E n l u g a r d e c a l c u l a r d i r e c ta m e n t e B, v e m o s q u e e s c o n v e n i e n t e t r a b a j a r c o n e l  p o te n c ia l v e c to r A , y o b te n e r B a c o n t in u a c i ó n p o r m e d i o d e l a o p e r a c i ó n r o t a c i o n a l. S e g ú n l a s e c c ió n 8 .7 , e l p o t e n c i a l v e c t o r e n (x, y, z)  e s t á d a d o p o r  

 L

A ( * ’ -v ’ z ) = = ^

¡T ^ F

^

M ( x \ y \ z 9)  X V '-

4 n Jv¡t 

|r

1

. . -dv' 

(9 -8 )

r 

Por medio de las identidades vectoriales (1.19) y (1.2.3) de las tablas 1.1 y 1.2, esta i n te g r a l p u e d e t ra n s f o r m a r s e e n u0 f

V' x M

, ,

/ i 0  f 

M x n

+ s l ¡ T T F ¡ * '

FIGURA 9.4 Contribución a la inducción magnética de una distribución de material magnetizado.

<9 -9 >

224

9 P r o p i e d a d e s m a g n é t ic i c a s d e l a m a t e r ia ia

d o n d e S 0 e s l a s u p e r f i c i e d e VQ. U t il il iz iz a n d o l a e c u a c ió i ó n ( 9 - 6 b ) y d e f i n ie ie n d o u n a d e n s i  d a d d e c o m e n t e d e m a g n e t i z a c ió ió n s u p e r f i c ia ia l }M  l }M  (  ( e s d e c ir ir , u n a c o r r i e n t e d e m a g n e t i z a c i ó n  p o r u n id a d d e lo n g it u d q u e f lu y e e n u n a c a p a s u p e r f ic ia l) p o r l a r e la c ió n Jm = M x n

 _

(9 -1 0 )

 p o d e m o s e s c r i b ir l a e c u a c i ó n ( 9 - 9 ) c o m o n „ f   f   J , w ( r ' ) d v ' 

M o f Í aí d a '

A('> = 4v '  k  L 1r ^ 7r'lr + 4irl ^ Ir —

<•»»

P o d r í a m o s h a b e r n o s a v e n t u r a d o a p r e d e c i r l a e x p r e s i ó n f i n a l ( E c . 9 -1 -1 1 ) . S i n e m b a r g o , es agradable ver que ha surgido del cálculo matemático de una manera natural. Por t a n to to , e l p o t e n c ia ia l v e c t o r p r o d u c i d o p o r u n a d i s tr t r ib ib u c i ó n d e c o r r i e n t e s a t ó m i c a s e n e l i n t e ri r i o r d e l a m a t e r i a ti ti e n e l a m i s m a f o r m a q u e e l p r o d u c i d o p o r u n a d i s t r ib ib u c i ó n d e c o r r i e n t e s v e r d a d e r a s d e t ra r a n s p o r t e . D e b e r e m o s s e ñ a l a r q u e la la e c u a c i ó n ( 9 - 1 0 ) e s l a e x p r e s i ó n a d e c u a d a p a r a l a d e n s i d a d d e c o r r i e n t e s u p e r f i c ia ia l q u e e s c o n s i s  t e n te te c o n = V' x M. d e b e i n tr tr o d u c ir i r s e s ie i e m p r e q u e M ca ca m b i e b r u s c a m e n t e , c o m o p o d r í a s u c e d e r e n l a z o n a i n te te r f a c i a l e n t r e d o s m e d i o s , p e r o s i i m a g i n a m o s q u e l a r e g i ó n d e d i s c o n t in i n u i d a d d e M s e e x t ie i e n d e s o b r e l a d i s ta ta n c i a A £ , e n t o n c e s p u e d e d e m o s t ra r a r s e q u e j e j M  e  e s tá t á c o n t e n i d a e n e l t é r m i n o  J M  A £ . (O (O , s i la la re re g i ó n e s m u y d e l g a  da, p o d r í a r e p r e s e n t a r s e c o n u n a f u n c i ó n d e l t a s u p e r f i c ia ia l .) .) A u n q u e l a e c u a c i ó n ( 9 - 11 1 1 ) e s c o r r e c ta t a y d e t a l fo fo r m a q u e s e i n t e g r a d e m a n e r a s e n c i l la la c o n l o s r e s u l t a d o s d e l c a p í t u l o 8 , p r e s e n t a a lg l g u n a s d i f i c u l ta ta d e s p r á c t i c a s a l a h o r a d e c a l c u l a r B a p a r t ir i r d e u n a d i s tr t r ib i b u c i ó n e s p e c í f ic ic a d e m a g n e t i z a c i ó n . P r i m e r o , h a y q u e e f e c t u a r l a o p e r a c ió ió n V x M y , s e g u n d o , e s n e c e s a r i o o t ra ra o p e r a c i ó n d e rotacional para obtener B a partir del campo A. Ciertamente, es preferible trab ajar con cantidades escalares si es posible, y el gradiente de un campo escalar (como h e m o s v i s t o e n e l e c tr t r o s t á t ic ic a ) e s m á s fá f á c i l d e c a l c u l a r q u e e l ro ro t a c i o n a l d e u n c a m p o v e c t o r i a l . P o r e s ta t a r a z ó n , v o l v e r e m o s a la l a e c u a c i ó n ( 9 - 8 ) y t ra ra t a r e m o s d e u t i l iz iz a r o t r o e n f o q u e . D e s p u é s d e t o d o , n o s i n t e re r e s a B y n o A , d e m o d o q u e t o m a r e m o s e l ro ro t a c i o n a l formalmente:

B(r) = V x A = M

 j y u

V 

x Ím x

|r — r | J

d v '   '  

(9-12)

dond e los los operadores operadores diferenciales diferenciales del rotacional actúan sobre las coo rden ada s sin prim as. C o m o p u e d e h a b e r a n t ic ic i p a d o y a e l le le c to t o r , n u e s t ro ro s i g u i e n t e o b j e t i v o e s t r a n s f o r  mar el integrando de la ecuación (9-12). Para ello, consultaremos las identidades v e c t o r i a le le s d e l a t a b l a 1 .1 .1 . S e g ú n ( 1 . 1 . 1 0 ) ,

V x (F x G) = (V • G)F - (V • F)G + (G • V ) F  - (F • V)G H a c i e n d o F = M ( r ' ) y G = ( r - r ^ / l r - r ' l3 l 3, y o b s e r v a n d o q u e l a s d e r iv iv a c i o n e s s o n c o n r e s p e c t o a l a s c o o r d e n a d a s s i n p r im i m a , v e m o s q u e l a i d e n t id id a d s e r e d u c e a V x [m x —

r )

r - r 'l' l 3

= MV

( r - r ') ') r'l3

(M • ? )

_ rfi

( 9 -1 -1 33))

9 . 2 E l c a m p o m a g n é t i c o p r o d u c i d o p o r u n m a t e ri ri a l m a g n e t i z a d o

22 5

y a q u e V • M ( x ', y \ z r) =  0 , e t c . P o r t a n to to , (9-14)

B(r) = B,(r) + Bn(r) donde

( r - r ')') r - f|

L

d v ' 

( r - r ') ') B n ( r ) = _ S J ) Vo ( M ‘ V ) |Irr — — ír  

(9-14a)

dv

(9-14b)

C o n s i d e r e m o s p r i m e r o l a i n te te g r a l m á s s e n c i l la la B r U s a n d o l a e c u a c i ó n ( 2 - 5 7 ) o b t e n e m o s

B , (r (r ) =

í M ( r ')') 4 * 6 ( r - r ' ) d v '  =  p „ M ( r )

 JVn 4JT  JVn

( 9 _15)

Consideremos a continuación la integral Bir El integrando puede transformarse por m e d i o d e u n a s e g u n d a i d e n t id i d a d ( 1 . 1. 1. 6 ), ), q u e s e c o n v i e r te te e n

(r - O .

M

+ M x V  x

(r - O

(9-16)

. r - r  >|3

E l ú l t im im o t e r m i n o d e ( 9 - 1 6 ) c o n t i e n e

q u e s e a n u l a i d é n ti ti c a m e n t e . E n c o n s e c u e n c i a , dv' que pu ede escribirse com o en la ecuación (8-80),

B u(r) = -MoV
(9-1 (9-17) 7)

L a c a n t id id a d (p*( r ) e s u n c a m p o e s c a la la r , e l p o t e n c i a l e s c a l a r m a g n é t ic ic o d e b i d o a l m a t e  rial magnético:

(9-18) S u m a n d o l a s d o s c o n t r ib i b u c i o n e s , ( 9 -1 - 1 5 ) y ( 9 - 1 7 ) , e n c o n tr tr a m o s p a r a e l c a m p o d e i n  d u c c i ó n m a g n é t ic ic a : c p * (  r) + i¿ 0 M ( r ) B ( r ) = - n n X cp

(9-19)

9 P r o p i e d a d e s m a g n é t i c a s d e la l a m a t e ri ri a

P o r t a n t o , l a i n d u c c i ó n m a g n é t ic i c a d e b i d a a u n a d i s tr tr i b u c i ó n m a g n e t iz i z a d a d e m a t e r ia ia  p u e d e e x p r e s a r s e c o m o la s u m a d e d o s t é r m in o s : e l g r a d ie n t e d e u n c a m p o e s c a la r , m á s u n t é r m i n o p r o p o r c i o n a l a l a m a g n e t iz i z a c i ó n l o c a l . E n u n p u n t o e x t e r n o , e s d e c ir ir , e n e l v a c í o , M e s c e r o , y e n t o n c e s la l a in in d u c c i ó n m a g n é t ic ic a e s e x a c t a m e n t e e l g r a d i e n t e d e u n c a m p o e s c a l a r q u e e s l a i n te t e g r a l d e l o s c a m p o s d i p o l a r e s d i s t a n te t e s d a d o s p o r la la e c u a c i ó n ( 8 - 8 3 ). ).

P O T E N C IA I A L E S C A L A R M A G N E T IC IC O Y D E N S I D A D D E P O L O S M A G N É T IC IC O S L a expresión del potenc ial escalar m agnético, ecuación (9-18), es de form a parecida a l a d e l p o t e n c i a l e l e c tr tr o s t á ti ti c o q u e p r o v i e n e d e u n m a t e r ia ia l d i e l é c t r ic ic o p o l a r iz iz a d o . A q u í n u e v a m e n t e s e s u g i e r e l a t r a n s f o r m a c i ó n m a t e m á t ic ic a :

= v ' '

¡ r V

¡ t V

'

’M

de m odo que la ecuación (9-18) se convierte en

1 f M -nda'

1

 f  V #

M , ,

d o n d e S 0 e s l a s u p e r f i c ie ie d e l a r e g i ó n V Q.

P o r a n a l o g í a c o n l a s e c c i ó n 4 . 2 , e s c o n v e n i e n t e d e f i n i r d o s c a n t id id a d e s escalares: P m (O

« - V ' • M(r')

(9-22)

i d a d d e p o l o s m a g n é t ic i c o s, s, y l l a m a d a d e n s id o M { r ' ) s M ( r ' ) • n

(9-23)

l a d e n s i d a d s u p e r f i c ia i a l d e l a i n t e n s id i d a d d e p o l o s m a g n é t i co co s .

E s t a s c a n t i d a d e s s o n m u y ú t i le le s a u n q u e a l g o a r t if if i c ia ia l e s . D e s e m p e ñ a n e l m i s m o p a p e l e n l a t e o r í a d e l m a g n e t is is m o q u e  p p  y <7 <7P e n l a t e o r í a d e d i e l é c t r i c o s . L a s u n i d a d e s d e  p M  y a M  s  s o n A / m 2 y A / m , r e s p e c t i v a m e n t e . C o n s i d e r e m o s , p o r e je j e m p l o , u n i m á n e n f o r m a d e b a r r a m a g n e t i za za d o u n i f o r m e  m e n t e . C o m o l a m a g n e t i z a ci c i ó n e s u n i fo f o r m e ,  p M =  0 . L a s ú n i c a s d e n s i d a d e s s u p e r f i c i a  l es e s q u e n o s e a n u l a n e s tá tá n s o b r e l a s s u p e r f ic i c i e s q u e t ie ie n e n u n a c o m p o n e n t e n o r m a l d e m a g n e t i z a c i ó n y é s ta ta s s e l la la m a n  p o l o s   d e l im i m á n . E s t e e s u n e j e m p l o a l g o i d e a li li z a d o ,  p e r o n o d e m a s i a d o d is ti n to d e l im á n e n f o r m a d e b a r r a q u e s e u s a e n e l l a b o r a t o r i o y q u e e s f a m i l i a r a l l e c t o r . ( E n l a p r á c t i c a , l o s p o lo s d e u n i m á n e j e r c e n u n a i n f l u e n c i a d e s m a g n e t iz iz a n t e q u e d e s t r u y e la l a u n i f o rm rm i d a d d e M y e x t i e n d e c a d a p o l o s o b r e u n a r e g i ó n a l g o m a y o r q u e l a m e r a s u p e r f ic ic i e .) .)

9 . 4 F u e n t e s d e l c a m p o m a g n é t ic ic o : i n te te n s i d a d m a g n é t i c a

22 7

L a i n te te n s i d a d t o t a l d e p o l o s d e c a d a i m á n e s c e r o . E s t e p r i n c i p i o s e d e d u c e d i r e c  t a m e n t e d e l t e o r e m a d e l a d i v e rg rg e n c i a :

í ( - V • M)

d v  

'Vn

+ f M •n

d a 

= 0

-'So

C o m p l e ta ta r e m o s a h o r a la l a d e d u c c ió ió n q u e e m p e z a m o s a n te te s . L a e c u a c i ó n ( 9 - 1 8 ) s e c o n v i e r te te e n

1 f v

-

t A

 p M d v ' 

. , v  ^

v   \  \

,

1

 f

o M d a ‘ 

,9-18a>

+

y B(x,  y ;  z )   s e o b t i e n e c o m o - f i Q p Q p o r e l g r a d ie n t e c o n r e s p e c to a l a s c o o r d e n a d a s n o  p r i m a s , m á s e l t é r m in o /¿0M :

E s t a e c u a c i ó n r e p r e s e n t a l a c o n t ri r i b u c i ó n d e l m a t e r ia ia l m a g n e t i z a d o e n VQa VQa l a i n d u c c i ó n m a g n é t i c a e n ( x, x,  y, z) .

F U E N T E S D E L C A M P O M A G N É T IC IC O : I N T E N S I D A D M A G N É T IC IC A E n l as a s s e c c i o n e s a n t e r io io r e s h e m o s v i s to to c ó m o e l m a t e r ia i a l m a g n e t iz iz a d o p r o d u c e u n c a m p o m a g n é t i c o . A d e m á s , e n e l c a p í tu t u l o 8 s e t ra ra t a r o n l o s e f e c t o s m a g n é t i c o s d e l as as corrientes convencionales. En el caso general, ambos tipos de fuentes magnéticas e s t á n p r e s e n t e s : l as as c o r r i e n t e s c o n v e n c i o n a l e s ( o c o r r ie ie n t e s d e t r a n s p o r t e o v e r d a d e  r a s ) , q u e p u e d e n m e d i r s e e n e l l a b o r a t o r io io , y l a s c o r r i e n t e s a t ó m i c a s i n t e r i o r e s a l a m a t e ri r i a . E s i m p o r t a n t e d a rs r s e c u e n t a d e q u e , e n c i e r ta ta s c o n d i c i o n e s , l a m i s m a m u e s t r a d e m a t e r ia ia p u e d e p r o d u c i r u n c a m p o m a g n é t ic ic o t a n t o p o r q u e e s t á m a g n e t i z a d a c o m o  p o r q u e p a s a p o r e l l a u n a c o r r ie n t e v e r d a d e r a d e p o r t a d o r e s d e c a r g a . A s í, p o r e j e m   p lo , u n o d e n u e s tr o s m e j o r e s m a t e r ia le s m a g n é t i c o s , e l h i e r r o , p u e d e c o n d u c i r u n a c o r r i e n t e v e r d a d e r a p o r m e d i o d e s u s e l e c t r o n e s l ib ib r e s , p e r o l o s i o n e s d e h i e r r o f ij ij o s en el cristal contienen corrientes atómicas que pueden orientarse para producir un a m a g n e t i z a c i ó n i n te te n s a . E n g e n e r a l, l, la la e x p r e s ió ió n d e l c a m p o m a g n é t i c o p u e d e e s c r i b i rs rs e c o m o

B ( r ) = 4í rn Jí y  J r|r — ^ r - |‘ 0 ^ d v '   " /i " V

( 9 -2 -2 4 )

donde 1

^    r

f

Pudv' 

4 j t J i , | r - r '|' |

1

f Qm  da ' 

4 j r J5 | r - r ' |

(9-25)

9 P r o p i e d a d e s m a g n é t i c a s d e la l a m a t e r ia ia

E l v o l u m e n V   V   se se e x t i e n d e s o b r e t o d a s l a s re r e g i o n e s q u e t r a n s p o r ta ta n c o r r i e n t e y s o b r e t o d a l a m a t e r ia ia . L a s u p e r f i c i e S   S   i n c l u y e t o d a s l a s s u p e r f i c i e s y l a s z o n a s i n t e r f a c i a l e s e n t r e l o s d i s t in i n t o s m e d i o s . L a d e n s i d a d d e c o r r i e n t e J i n c l u y e s ó l o l a s c o r r ie ie n t e s c o n  v e n c i o n a l e s d e l t i p o d e t r an a n s p o r t e d e c a r g a , m i e n t ra ra s q u e e l e f e c t o d e l a s c o r r i e n te te s a t ó m i c a s s e e n c u e n t r a e n e l v e c t o r d e m a g n e t i z a c i ó n M ( y p o t e n c i a l
P a r a a y u d a r a v e n c e r e s t a d if i f i c u lt lt a d , i n t ro ro d u c i m o s u n v e c t o r m a g n é t i c o a u x i  liar, la i n te t e n s i d a d m a g n é t i ca c a  H , d e f in i n i d a c om om o H = - B - M Mo

(9 -2 6 )

C o m b i n a n d o l a s e c u ac a c i o n e s ( 9 -2 - 2 4 ) y ( 9 - 2 6 ) o b t en en e m o s

H (r (r ) = ¿

\v 

|r

" V
( 9 ' 2 7 )

P a r e c e q u e n o h e m o s g a n a d o n a d a c o n e s t a o p e r ac ac i ó n , p o r q u e H d e p e n d e t o d a v í a d e M a t ra r a v é s d e  p M  y  y Om.\ p Om.\ p e r o e n l a s i g u i e n t e s e c c ió i ó n d e m o s t r a r e m o s c ó m o s e r e l a c io io n a H c on la densidad de corriente convencional J , m ediante una ecuación diferencial. La s i tu t u a c i ó n e s s e m e j a n t e a l c a s o e l ec e c t r o s t á ti ti c o , e n e l q u e e l v e c t o r a u x i l i a r D s e r e l a c i o n a c o n l a d e n s i d a d d e c a r g a a t ra r a v é s d e s u d iv iv e r g e n c ia ia . E l c a m p o v e c t o r ia ia l H d e s e m p e ñ a u n i m p o r t a n t e p a p e l en e n l a te te o r í a m a g n é t i c a ,  p a r ti c u l a r m e n t e e n p r o b l e m a s e n l o s q u e i n t e r v i e n e n i m a n e s p e r m a n e n t e s . E s t o s s e t r a ta ta r á n e n l a s s e c c i o n e s p o s t e r io i o r e s d e e s t e c a p í tu tu l o . L a s u n i d a d e s d e H s o n l a s m i s  m a s q u e l a s d e M , e s d e c i r, r, A / m .

L A S E C U A C IO N E S D E C A M P O E n e l c a p í tu tu l o 8 , l a s e c u a c i o n e s b á s i c a s q u e d e s c r i b e n l o s e f e c t o s m a g n é t i c o s d e l a s c o r r i e n t e s s e e x p r e s a r o n e n f o r m a d i f er e r e n c ia ia l : V • B = 0,

V x B

= /¿ o J

 N o s g u s t a r í a v e r a h o r a c ó m o s e m o d i f i c a n e s t a s e c u a c i o n e s c u a n d o e l c a m p o m a g n é  t ic i c o B i n c l u y e l a c o n t r i b u c i ó n d e u n m a t e ri ri a l m a g n e t i z a d o . D i j im im o s e n l a s e c c i ó n 8 . 3 q u e l a e c u a c i ó n d e l a d i v e r g e n c i a ( V • B = 0 ) e s v á l id id a  p a r a to d o s l o s c a m p o s m a g n é t i c o s q u e s o n p r o d u c i d o s p o r u n a d i s t r i b u c i ó n d e c o r r i e n  t e. e . E s t e r e s u l ta t a d o n o s e l im im i t a a l o s c a m p o s p r o d u c i d o s p o r c o r r i e n t e s c o n v e n c i o n a l e s .

229

9 . 5 L a s e c u a c io io n e s d e c a m p o

V i m o s e n l a s e c c ió i ó n 9 . 2 q u e l o s c a m p o s m a g n é t ic ic o s p r o d u c i d o s p o r m a t e r ia ia m a g n e t i i z a d a p u e d e n e x p r e s a r s e c o m o e l r o t a c i o n a l d e u n v e c t o r ( A ) y , p o r l o ta ta n t o , V * B = 0 s e s a t is i s f a c e a u to t o m á t ic ic a m e n t e . E s u n h e c h o e x p e r i m e n t a l q u e V ■B = 0

(9-28)

 p a r a to d o s lo s c a m p o s d e in d u c c i ó n m a g n é ti c a . P o r l o ta n t o , B s ie m p r e e s o r ig in a d o  p o r u n a d is tr i b u c i ó n d e c o m e n t e y n o h a y e v i d e n c i a d e p o l o s m a g n é t i c o s a is la d o s . La “ecuación del rotacional” es la forma diferencial de la ley de circuitos de A m p e r e . A q u í d e b e m o s t e n e r c u i d a d o e n i n c lu l u i r to t o d o s l o s t ip ip o s d e c o r r i e n t e q u e p u e  d a n p r o d u c i r u n c a m p o m a g n é t i c o . E n c o n s e c u e n c i a , e n e l c a s o g e n e r a l, l, e s t a e c u a c ió ió n se expresa adecuadamente como V x B = | U o ( J + J  m  )  )  

(9-29)

d o n d e J e s l a d e n s i d a d d e c o r r i e n te t e v e r d a d e r a y  J M   e s l a d e n s i d a d d e c o r r i e n t e d e m a g n e t i z a c i ó n . L a e c u a c ió i ó n ( 9 -6 -6 b ) p u e d e c o m b i n a r s e c o n l a e cu c u a c ió ió n ( 9 - 2 9 ) p a r a d a r   V x (— B - m ) = I \Ho > q u e , s e g ú n ( 9 - 2 6 ) , e s e q u i v a l e n t e a l a s ig ig u i e n t e e x p r e s i ó n :

V X H = J

( 99 - 30 30 )

E s t o e s , e l v e c t o r m a g n é t i c o a u x i l ia ia r H e s t á r e l a c i o n a d o c o n l a d e n s i d a d d e c o r r i e n t e d e t r a n s p o r t e a e  a tr t r a v é s d e s u r o ta ta c i o n a l . E s t o s e d e d u c e t a m b i é n a l o b t e n e r el e l r o ta ta c i o n a l d e l a e c u a c i ó n ( 9 - 2 7 ) . L a s e c u a c i o n e s ( 9 - 2 8 ) y ( 9 - 3 0 ) s o n l a s e c u a c io io n e s f u n d a m e n t a le le s d e l c a m p o m a g n é t ic i c o c u a n d o h a y m a t e ri ri a  p r e s e n te . E s ta s e c u a c io n e s , j u n t o c o n la s c o n d i c io n e s e n l a f r o n te r a a d e c u a  d a s y u n a r e l a c ió ió n e x p e r i m e n t a l e n t re re B y H , s o n s u f i c i e n te te s p a r a r e s o l v e r  p r o b l e m a s m a g n é ti c o s .

E n a l g u n o s c a s o s e s p r e f e r i b le l e u t i li li z a r u n a f o r m u l a c i ó n i n t e g r a l d e la la t e o r ía ía . C o n a y u  d a d e l t e o r e m a d e S t o k e s , l a e c u a c i ó n ( 9 - 3 0 ) p u e d e c o n v e r ti ti r s e e n  j v

x H ‘ U da = j > H - d l = j j - n da

o B • n d a = 0

( 9 -3 -3 1 )

E n o t r a s p a l a b r a s , l a i n te te g r a l d e l ín í n e a d e l a c o m p o n e n t e t a n g e n c i a l d e l a i n t e n s id id a d m a g n é t i c a a lr l r e d e d o r d e u n a t r a y e c t o ri r i a c e r ra r a d a C e s i g u al a l a t o d a l a c o rr r r ie ie n t e d e t r a n s   p o r te q u e a tr a v i e s a e l á r e a l i m i t a d a p o r l a c u r v a C.

230

9 P r o p i e d a d e s m a g n é t i c a s d e l a m a t e ri a

D e b i d o a l te o r e m a d e l a d i v e rg e n c i a , l a e c u a c i ó n ( 9 - 2 8 ) e s e q u i v a l e n t e a (j> B • n d a = 0

( 9- 32 )

E l f lu j o m a g n é t i c o q u e p a s a p o r c u a l q u i e r s u p e r f i c ie c e r r a d a e s c e ro .

9 .6

~

Z

S U S C E P T IB IL ID A D Y P E R M E A B IL ID A D M A G N É T I C A S E H IS T É R E S IS P a r a r e s o l v e r p r o b l e m a s e n l a t e o r ía m a g n é t i c a e s e s e n c i a l t e n e r u n a r e l a c ió n e n t r e B y H o , a n á lo g a m e n t e , u n a r e l a c ió n e n t r e M y u n o d e l o s v e c t o r es d e l c a m p o m a g n é t ic o . E s t a s r e l a c i o n e s d e p e n d e n d e l a n a t u r a l e z a d e l m a t e ri a l m a g n é t i c o y s e o b t i e n e n g e n e  r a l m e n t e a p a r t i r d e e x p e r im e n t o s.

En una extensa clase de materiales existe una relación aproximadamente l in e a l e n t r e M y H . S i e l m a t e r i a l e s i s ó t r o p o y t a m b i é n l in e al ,* M =  X m H  

(9-33)

d o n d e l a c a n t i d a d e s c a l a r a d i m e n s i o n a l x m se llama suscepti bil id a d m a g n é ti c a .

S i  X m e s p o s i t iv a , e l m a t e r i a l s e ll a m a  p a r a m a g n é ü c o   y l a i n d u c c i ó n m a g n é t i c a s e r e f u e r z a c o n l a p r e s e n c i a de l m a t e r ia l . S i X,„ e s n e g a t i v a , e l m a t e r i a l e s d i a m a g n é t i c o  y l a i n d u c c i ó n m a g n é t i c a s e d e b i l it a c o n l a p r e s e n c i a d el m a t e r ia l . A u n q u e  X m  tina f u n c ió n d e l a t e m p e r a t u r a y a v e c e s v a r í a m u y d r á s t ic a m e n t e c o n e l l a , g e n e r a l m e n t e  p u e d e d e c ir s e q u e , p a r a m a te ria le s p a ra m a g n é tic o s y d ia m a g n é tic o s ,  x m  e s b a s t a n t e  p e q u e ñ a ; e s d ecir , I Xm I «

1

( p a ra m a t er ia l es p a r a m a g n é t i c o s y d i a m a g n é t i co s )

( 9 -3 4 )

L a s s u s c e p t ib i l id a d e s d e a l g u n o s m a t e r ia l e s c o m u n e s s e d a n e n l a ta b l a 9 . 1 . E n l a m a y o r ía d e lo s m a n u a l es y ta b l as d e d a to s f í s i c o s , ^ n o se d a d i re c ta m e n t e, s i n o q u e s e d a c o m o l a  s u s c e p tib ilid a d d e m a s a , £ mmasa, 0 Ia  s u s c e p tib ilid a d m o la r ,

Amolar' ÉstaS Se ÓCñntn  C0m0  Xm

Xm .

^  

(9"35)

d   Xm = X m . m o l a r “7

(9-36)

masa

* Si el material es anisótropo pero lineal, la ecuació n (9-33) se sustituye por las relaciones tensoriales  M x =

+  X m . i 2 H y  +  X m . l i H ,

etc. En estas circunstancias, M no tiene necesariamente el mismo sentido que H. Nos lim itaremo s en este texto a los medios isótropos.

9 . 6 S u s c e p t i b i li d a d y p e r m e a b i l id a d m a g n é t ic a s e h i s t é r e s is

23 1

TAB LA 9.1 Susceptibilidad magnética de algunos materiales  p ara m a g n é ti c o s y diamagnéticos a t e m p e r a t u r a a m b i e n te .

Material

 xm

Aluminio Bismuto Cobre Diamante Cloruro d e gad olinio (GdC l3) O ro Magnesio Mercurio Plata Sodio Titanio Tungsteno Bióxido de carbono (1 atm) Hidrógeno (1 atm)  N it ró g e n o (1 at m ) Oxígeno (1 atm)

2.1 x 10 ~5 - 1 6 .4 x 10 "5 - 0 . 9 8 x 10 -2 .2 X 10’5 603.0 X 10 "5 - 3 .5 x 10 5 1.2 x 10 5 - 2 . 8 x 1 0-5 - 2 .4 x 10"s 0.84 x 10 ' 5 18.0 x 10 ~5 7.6 x 10 '5 - 1 .1 9 x 10-® - 0.22  x 10 -* -0.6 7 x 10'* 193.5 x 10-*

(m3/ks) 0.77 x 10-* - 1 .6 8x 10 "* -0.1 1 x 10_s - 0 . 6 2 x l o -8 13 3.3 x10-* - 0.18  x 10 '* 0.68 x lO '8 -0.2 1 x 10-* -0 .2 3 x 10-* 0.87 x lO -8 4.01 x lO'* 0.40 x 10-* -0 .6 0 x 10 -* - 2 .4 8 x 10"* -0 .5 4 X 10"* 135.4 x 10"*

 F ue nt e:  Datos obtenidos del  H a n db oo k o f C hem is tr y a n d P h ys ic s, 70a. cd., Boca Ratón, Florida, CRC Press, Inc., 1990. Prácticamente todas las fuentes de datos dan susceptibilidades magnéticas en unidades gaussianas (cgs); si se usa el supraíndice (I) para indicar la constante en el sistema gaussiano, entonces %m = 4*2<" y ^ , maia = 4 ;rx

d o n d e d   e s l a d e n s i d a d d e m a s a d e l m a t e r ia l y  A   e s e l p e s o m o l ec u l a r. C o m o M y H t ie n e n d i m e n s io n e s d e m o m e n t o m a g n é t ic o p o r u n i d a d d e v o l u m e n , e s e v i d e n t e q u e ^w.masa ^ V  A m ola r ^ ^ a n m o m ^ n to m a g n é t ic o p o r u n i d a d d e m a s a y e l m o m e n t o m a g n é t ic o p o r m o l , r e s p e c ti v a m e n t e . P o r c o m o d i d a d , l a s u s c e p t ib i li d a d d e m a s a t a m   b ié n s e d a e n la ta b la 9 .1 .

U n a re l ac ió n l i ne a l e n t r e M y H i m p l i c a ta m b i é n u n a r e la c i ó n l in e a l e n t r e B y H :

B = /¿H

(9-37)

d o n d e l a  p e r m e a b ili d a d pL s e o b t i e n e d e l a c o m b i n a c i ó n d e la s e c u a c i o n e s ( 9 - 2 6 ) y ( 9 -3 3 ) :  y   = ju0( l +  Xr »)  

(9-38)

L a c a n t id a d a d i m e n s io n a l (X 

 K m  = — = 1 +  Xm 

(9-39)

s e t a b u la a v e c e s e n l u g a r d e y . E s t a c a n ti d ad ,  K  . se llam a p e r m e a b ilid a d re la ti va.

232

9 P r o p ie d a d e s m a g n é t i c a s d e la m a t er ia

P a r a l o s m a t e r ia l e s p a r a m a g n é t i c o s y d ia m a g n é t i c o s d e l a t a b l a 9 .1 , e s e v i d e n t e q u e Á ^ es muy próx ima a la unidad. L o s fe r r o m a g n é tic o s fo r m a n o t r a c l a s e d e m a t e ri a l m a g n é t i c o . D i c h o m a t e r ia l s e c a r a c te r iz a p o r u n a p o s i b le m a g n e t iz a c ió n p e r m a n e n t e y p o r e l h e c h o d e q u e s u p r e  s e n c i a ti e n e g e n e r a lm e n t e u n e f e c t o m u y s i g n i f i c a ti v o s o b r e l a i n d u c c i ó n m a g n é t ic a . L o s m a t e r ia l e s f e rr o m a g n é t i c o s n o  s o n l i n e a le s , d e m o d o q u e l a s e c u a c i o n e s ( 9 - 3 3 ) y ( 9- 3 7) c o n £ y  f i  c o n s t a n t e s n o s e  a p l ic a n . * H a s i d o c o n v e n i e n t e , s in e m b a r g o , u t il iz a r l a e c u a c i ó n ( 9 - 3 7 ) c o m o l a e c u a c i ó n q u e d e f i n e a ¡i , e s d e c i r , c o n \x = / i( H ) , p e r o d e b e a d v e r t i r s e a l l e c to r q u e e s t a p r á c t ic a p u e d e c o n d u c i r a c i e r ta s d i f ic u l t a d e s e n a l g u n a s s i tu a c i o n e s . S i l a / i d e u n m a t e r ia l f e r r o m a g n é t i c o s e d e f i n e m e d i a n t e l a e c u a c i ó n ( 93 7 ) , e n to n c e s , d e p e n d i e n d o d e l v a l o r d e H , / i p a s a p o r t o d o u n i n t e r v a l o d e v a l o r e s desde infinito hasta cero y puede ser positivo o negativo. La mejor sugerencia que  p u e d e d a r s e e s q u e s e c o n s id e re c a d a p r o b le m a d e fe rr o m a g n e ti s m o p o r s e p a ra d o , q u e s e t ra t e d e d e t e r m i n a r q u é re g i ó n d e l d i a g r a m a d e B y H e s i m p o r t a n t e p a r a e l p ro b l e  ma en particular, y que se hagan cálculos de aproximación apropiados para esta re g i ó n . L a s p r o p i e d a d e s m a g n é t i c a s d e a l g u n o s m a t e r ia l e s f e r r o m a g n é t ic o s s e l is t a n en l a t a b l a 9 . 2 . ( E s t a s c a n t i d a d e s i d e n t i f i c a d a s p o r  M s , H c ,  e t c . , s e r á n d e f i n i d a s e n l o s siguientes párrafos.) P r im e r o , c o n s i d e r e m o s u n a m u e s t r a d e s m a g n e t i z a d a d e m a t e ri a l f e r r o m a g n é t i  c o . S i la in t e n s i d a d m a g n é t ic a , i n i c i a l m e n t e c e ro , s e a u m e n t a m o n o t ó n i c a m e n t e , e n t o n c e s l a r e la c i ó n B - H d e s c r i b ir á u n a c u r v a p a r e c i d a a l a d e l a f i g u r a 9 .5 , q u e e s la c u r v a d e m a g n e t i za c i ó n  d e l m a t e r i a l . E s e v i d e n t e q u e l a s / i t o m a d a s d e l a c u r v a d e m a g n e t i z a c i ó n , u t i li z a n d o l a e x p r e si ó n  p =  B IH ,  t i e n e n s ie m p r e e l m i s m o s i g n o ( p o s i ti v o ) , p e r o m u e s t r a n u n e s p e c t ro d e v a l o r e s b a s t a n t e g r a n d e . L a p e r m e a   b ilid a d m á x im a o c u r re e n el “ c o d o ’’ d e la c u r v a ; e n a lg u n o s m a te r ia le s e s ta p e r m e a b i l id a d m á x i m a l le g a a 1 0 5/ / 0, p e r o e n o t r o s e s m u c h o m e n o r . L a r a z ó n d e q u e s e p r e  s e nte e l c o d o e n l a c u r v a e s q u e l a m a g n e t iz a c i ó n M s e a p r o x i m a a u n v a l o r máximo en el material, y

B = jU0(H + M) c o n t in ú a a u m e n t a n d o p a r a v a lo r e s m u y g r a n d e s d e H s ó l o p o r e l té r m i n o ¿/0H . E l v a l o r m á x i m o d e M s e l la m a m a g n e t iz a c i ó n d e s a t u r a c i ó n   d e l m a t e r ia l ( v é a s e l a tabla 9.2). C o n s i d e re m o s a c o n t in u a c i ó n u n a m u e s tr a f e rr o m a g n é t i c a m a g n e t i z a d a p o r e l  p r o c e d im ie n to a n te rio r. S i la in te n s id a d m a g n é tic a H s e re d u c e , la re la c ió n B - H n o r e g r e s a d e s c e n d i e n d o p o r l a c u r v a d e l a fi g u r a 9 . 5 , si no q u e a h o r a s e m u e v e s o b r e la n u e v a c u r v a d e la f i g u r a 9 .6 h a s t a e l p u n t o r.  L a m a g n e t i z a c i ó n , u n a v e z e s t a b l e c id a , n o d e s a p a r e c e c o n l a e li m i n a c i ó n d e H ; d e h e c h o , s e r e q u i e r e u n a i n te n s i d a d m a g n é  t i c a in v e r t id a p a r a r e d u c i r la m a g n e t i z a c i ó n a c e r o . S i H c o n t i n ú a a u m e n t a n d o e n e l s e n t i d o c o n t r a r io , e n t o n c e s M ( y e n c o n s e c u e n c i a B ) s e e s t a b l e c e r á e n e l s e n t id o c o n t r a r i o , y l a f i g u r a 9 . 6 e m p i e z a a m o s t r a r c i e r ta s i m e t rí a .

* Sin embargo, cierto (ipo de hierro, llamado hierro dulce, puede tratarse como aproximadamente lineal.

9 . 6 S u s c e p t i b il id a d y p e r m e a b i l id a d m a g n é t i c a s e h i s t é r e s i s

TABLA 9.2 Propiedades de algunos materiales ferromagnéticos a temperatura ambiente

Material

Composición ( % )

Elementos Hierro (recocido) Cobalto  N íq uel

 iq M s   (T)

2.15 1 .7 9 0.61

Aleaciones y compuestos 9 6 F e , 4 Si 55 Fe , 45 Ni 5 C u, 2 Cr, 77 N i, 16 Fe 50 Co, 50 Fe Permendur  Ferrita de manganeso M n F e 20 4  N i F e 20 4 Ferrita de níquel

A ln ic o V Platino-cobalto Samario-cobalto  N eo d im io -h ie rro

1 . 6 x 10 5

 K n¡  ( m á x i m a )

5,500

7 .0 X 105 5.5 x 10s  H c  ( A / m )

Hierro-silicio Permalloy Mumetal

A ce ro a l cobalto

 H J   ( A / m )

23 3

5 2 F e , 36 C o , 4 W , 6 Cr, 0.8 C 51 F e , 8 A l , 14 N i, 24 C o, 3 Cu 77 Pt, 23 Co Sm Co 13 N d, 81 F e, 6 B

1.97 1.60 0.75 2.45 0.49 0.32

56 5 .6 1 .2 15 9

 B r  ( T ) 0.97

19 x 103

1.25

52 x 103

0 .6 0.84 0.80

3 . 4 x 1 05 6 .7 x 1 0 s 1.2 x 10a

8,000 50,000 100,000 5,000 2,500 2,500

 No ra : M s  = magnetización de saturación,  H =   intensidad magnética requerida para la saturación,  H c =  coercitividad,  Br = remanencia.  Fue nt e: Datos tomados del  A m er ic an ¡n sti tu te ofPhy sics Handbook,  3a. ed., McGraw-Hill, Nueva York, 1972, y del  H and book o f C he m istr y a n d Phys ic s,  70a. ed., Boca Ratón, FL, CRC Press, Inc., 1990. Los datos del Nd-Fe-B se tomaron de J. J Croat et al.,  Jo urn al o f Ap p li ed P h ys ic s  55, 2079, 1985.

FIGURA 9.5 C u r v a d e m a g n e t iz a c i ó n y permeabilidad relativa del hierro comercial (recocido)

 H  (A/m)

234

9 P r o p i e d a d e s m a g n é t i c a s d e l a m a t er ia

Finalmente, cuando H aum enta de nuevo, el punto d e operación sigue la curva inferior de l a f ig u ra 9 .6 . P o r t an to , l a c u rv a B - H p a r a H c r e c i e n t e e s c o m p l e t a m e n t e d i s t in t a d e l a d e H decreciente. E ste fenómeno se llam a histéresis, de la palabra griega histems,  que significa “ q u e d a r d e t rá s ” ; l a m a g n e t iz a c i ó n l i te r a l m e n t e q u e d a d e t r á s d e l c a m p o e x c i ta n t e . L a c u r v a d e l a f i g u r a 9 . 6 s e l l a m a c u r v a d e h i s t é r e s is d e l m a t e r i a l . E l v a l o r d e B e n e l p u n t o r  s e l l a m a r e t e n t i v i d a d   o r e m a n e n c i a; l a m a g n i tu d d e H e n e l p u n t o c  s e l la m a  f u e r z a c o e r c itiv a o c o e r c i t i v i d a d   d e l m a t e r ia l . D e l a f i g u r a 9 . 6 s e d e d u c e q u e e l v a lo r d e  f i ,  d e f i n i d o p o r la e c u a c i ó n ( 9 - 3 7 ) , e s n e g a t i v o e n e l s e g u n d o y c u a r t o c u a d r a n t e s d e l d i a g r a m a . L a f o r m a d e l a c u r v a d e h i s té r e s is n o s ó l o d e p e n d e d e l a n a t u r a l e z a d e l m a t e r ia l fe r r o m a g n é t ic o ( F i g . 9 .7 ) , s in o t a m b i é n d e l v a l o r m á x i m o d e H a l cu a l e s t á s o m e t i d o e l m a t e r i a l ( F i g . 9 .8 ) . S i n e m b a r g o , u n a v e z q u e H máx e s s u f i c i e n t e p a r a  p r o d u c ir l a s a tu ra c ió n e n el m a te r ia l, la c u r v a d e h is té re s is n o c a m b ia s u f o r m a al a u m e n t a r H máx. P a r a e l h i e r r o d u l c e , l a h i s t é r e s i s e s r e l a t i v a m e n t e p e q u e ñ a . Para ciertas aplicaciones es deseable conocer la permeabilidad efectiva de un m a t e r ia l e n u n p e q u e ñ o c a m p o  H  a l t e rn a n t e s u p e r p u e s t o s o b r e u n g r a n c a m p o c o n s  tante. Por tanto, si A B  e s e l c a m b i o e n e l c a m p o m a g n é t ic o p r o d u c i d o p o r u n c a m b i o A H  e n l a i n t e n s id a d m a g n é t i c a , l a  p e r m e a b ilid a d in c r e m e n ta l /iin se d efine com o

-

si

y e s a p r o x i m a d a m e n t e i g u a l a la p e n d i e n t e d e l a c u r v a d e h i s té r e s i s q u e p a s a p o r e l  p u n to e n c u e s ti ó n . L o s m a t e r ia l e s f e r ro m a g n é t i c o s s e u s a n ( 1 ) p a r a a u m e n t a r e l f lu j o m a g n é t i c o d e u n c i rc u i t o d e c o r r i e n te o (2 ) c o m o f u e n t e s d e l c a m p o m a g n é t i c o ( im a n e s p e r m a n e n  t e s) . C u a n d o s e u t i li z a c o m o u n i m á n p e r m a n e n t e , el m a t e ri a l s e m a g n e t i z a p r i m e r o h a s t a l a sa t u r a c ió n c o l o c á n d o l o e n u n c a m p o m a g n é t i c o i n t e n s o ( e s d ec i r, p o n i é n d o l o e n t r e lo s p o l o s d e u n e l e c tr o i m á n o e n u n s o l e n o i d e p o r e l q u e c i r c u l a m o m e n t á n e a  m e n t e u n a g r a n c o r r ie n t e) . S i n e m b a r g o , c u a n d o e l im á n p e r m a n e n t e s e q u i t a d e l c a m   p o e x te rn o , e s ta r á s u je to e n g e n e ra l a u n c a m p o d e s m a g n e ti z a n te ; e s to s e e x p o n d r á c o n d e t a l le e n l a s s e c c io n e s 9 . 8 y 9 . 1 1 . P o r e s t a r a z ó n , e l s e g u n d o c u a d r a n t e d e l d i a g r a  m a d e l a c u r v a d e h i s t é r e s is e s l a p a r t e i m p o r t a n te d e l a r e l a c ió n B - H p a r a u n m a t e r ia l m a g n é t ic o p e r m a n e n t e ( F ig . 9 .9 ) .

9 . 6 S u s c e p t i b il id a d y p e r m e a b i l id a d m a g n é t ic a s e h i s té r e s i s

FIGURA 9.7 Comparación de las curvas de histéresis de varios materiales. (Observe cjue el eje de abscisa corresponde a ¿i0H   en lugar de sólo  H . /¿0 = 4 t t x   IO-’ T - m / A . ) Datos de R. M . Bozorth, F e r r o m a g n e t i s m , Van Nostrand, Nueva Yok, 1951.

FIGURA 9.8

 B

Curva de histéresis principal y varias más secundarias para un material típico.

 H 

235

236

9 P r o p i e d a d e s m a g n é t i c a s d e l a m a t er ia

FIGUR A 9.9 Curvas de histéresis de materiales que son imanes  p erm a n e n te s. (O b serv e que el eje de abscisa c o r r e s p o n d e a ¡i0H . en lugar de sólo  H .)

 f i f i   (tesla)

9 .7

~

C O N D IC IO N E S E N L A F R O N T E R A SOBR E LOS VECTORES DE CAMPO A n t e s d e q u e p o d a m o s r e s o l v e r p r o b l e m a s m a g n é t i c o s , a u n lo s m á s s e n c i ll o s , d e b e m o s s a b e r c ó m o c a m b i a n l o s v e c to r e s d e c a m p o B y H a l p a s a r p o r u n a z o n a i n t e r fa c i a l e n t r e d o s m e d i o s . L a z o n a i n t e r fa c i a l q u e s e v a a c o n s i d e r a r p u e d e e s t a r e n tr e d o s m e d i o s c o n d i fe r e n t e s p r o p i e d a d e s m a g n é t ic a s o e n t r e u n m e d i o m ateria l y el vacío. Consideremos dos medios, 1 y 2, en contacto, como se indica en la figura 9.10. C o n s t r u y a m o s l a p e q u e ñ a c a j a d e s u p e r f i c i e S   q u e c o r t a l a z o n a i n t e rf a c i a l, s i e n d o la a l t u r a d e l a c a j a d e s p r e c ia b l e m e n t e p e q u e ñ a e n c o m p a r a c i ó n c o n e l d i á m e t r o d e l a s b a s e s . A p l ic a n d o l a i n te g r a l d e f l u jo , e c u a c i ó n ( 9 - 3 2 ) , a l a s u p e r f i c i e S , e n c o n t r a m o s q u e

B 2 • n2 A5 + B! ■n, A S  = 0 d o n d e n 2 y n , s o n l o s v e c t o r e s n o r m a l e s d ir ig i d o s h a c i a a f u e r a d e la s s u p e r f i c i e s s u p e  r i o r e i n f e r io r d e l a ca ja . Y a q u e n 2 = - n p y c o m o c a d a u n a d e e s ta s n o r m a l e s p u e d e s e r v i r c o m o n o r m a l a l a z o n a i n te r f a c ia l (B 2 -

B0-n2= 0

( 9 - 4 la )

b 1m

(9-4 Ib)

o b

2„ -

=

o

9 . 7 C o n d i c io n e s e n l a f r o n t e r a s o b r e l o s v e c t o r e s d e c a m p o

237

FIGURA 9.10 Las condiciones en la frontera sobre los vectores de campo en una zona interfacial entre dos m e d i o s p u e d e n o b t e n er s e aplicando la ley de Gauss a S , e i n te g r a nd o H ■ di alrededor de la trayectoria  A B C D A .

P o r ta n t o , la c o m p o n e n t e n o r m a l d e B e s c o n t i n u a a t ra v é s d e u n a z o n a i n te r f a c ia l . U n a c o n d i c i ó n e n l a fr o n t e r a ( c o n d ic i ó n d e c o n t o r n o ) d e l c a m p o H p u e d e o b t e n e r s e a l ic a n d o l a le y d e c i r c u i t o s d e A m p e r e , e c u a c i ó n ( 9 - 3 1 ) , a l a t r a y e c t o r ia r e c t a n g u l a r  A B C D   d e l a f i g u r a 9 . 1 0 . E n e s t a t r a y e c t o r i a , l a s l o n g i tu d e s  A B y C D s e c o n s i d e r a rá n i g u a l e s a  A l  y l o s s e g m e n t o s  A D  y  B C  se s u p o n d r á n d e s p r e c ia b l e m e n t e p e q u e ñ o s . L a c o r r ie n t e q u e p a s a a t r a v é s d el r e c tá n g u l o e s d e s p r e c i a b le a m e n o s q u e h a y a u n a c o  rriente superficial verdadera. Por tanto, ( H 2 - H O ■lo - j • ( n 2 x 10) = j x n 2 • lo o (H2 -

H 0 , = j x n2

( 9 -4 2a )

d o n d e j e s l a d e n s i d a d d e c o r r ie n t e  s u p e r fic ia l   ( c o r r ie n t e d e t r a n s p o r t e v e r d a d e r a p o r u n i d a d d e l o n g i tu d e n l a c a p a s u p e r f i c ia l ) y 1Q e s u n v e c t o r u n i t a r io e n l a d i r e c c i ó n d e A l. P o r t a n t o , l a c o m p o n e n t e t a n g e n c i a l d e l a in t e n s i d a d m a g n é t ic a e s c o n t i n u a a l a t r a  v e s a r l a z o n a i n t e r fa c i a l, a m e n o s q u e h a y a u n a c o r r i e n te s u p e r f i c i a l v e r d a d e r a . F i n a l  m e n t e , m u l t i p l i c a n d o v e c t o r i a l m e n t e l a e c u a c i ó n ( 9 - 4 2 a ) p o r n2, l a e c u a c i ó n p u e d e escribirse com o n2 x (H 2 -

H ,) = j

(9 -4 2b )

E s t a f o rm a e s c o n v e n ie n t e p a r a d e t e rm i n a r j s i s e c o n o c e n H 2 y H r   Antes de terminar esta sección demostraremos otra propiedad importante de la i n d u c c ió n m a g n é t i c a B , a s a b e r , q u e s u f lu j o e s c o n t i n u o e n t o d o p u n t o . C e n t r e m o s n u e s t r a a te n c i ó n e n u n a r e g i ó n d e l e s p a c i o y c o n s t r u y a m o s l ín e a s d e c a m p o m a g n é t i  c o , q u e s o n l ín e a s i m a g i n a r ia s t r a z a d a s d e ta l m a n e r a q u e l a d i r e c c i ó n d e u n a l í n e a e n c u a l q u i e r p u n t o s e a l a d i r e c c ió n y e l s e n ti d o d e B e n d i c h o p u n t o . A c o n t i n u a c i ó n i m a g i n e m o s u n t u b o d e f lu j o , u n v o l u m e n a c o t a d o e n s u s l a d o s p o r lí n e a s d e B , p e r o q u e n o l o c o r t a n ( F i g . 9 . 1 1 ) . E l t u b o e s t á l im i ta d o e n l o s e x t r e m o s p o r l a s s u p e r f i c i e s S {   y S r   A p l i c a n d o e l te o r e m a d e l a d iv e r g e n c i a , o b t e n e m o s

238

9 P r o p i e d a d e s m a g n é t i c a s d e la m a t e ri a

FIGURA 9.11 Tubo de inducción magnética.

I

V ■B d v = 0

v

B • n da Si 

B • n'd a ■'5,

= 0 ( S 2) - < P (S ,) ( 9 -4 3 ) A s í , e l m i s m o f l u jo m a g n é t i c o q u e e n t r a e n e l tu b o p o r la s u p e r f ic i e 5 , s a l e p o r S r   L a s l ín e a s d e f l u j o n u n c a p u e d e n t e r m i n a r , y f i n a lm e n t e d e b e n l le g a r a s u p u n t o i n ic i a l, f o r m a n d o c u r v a s c e rr a d a s . L o s e n u n c i a d o s a n t e r io r e s s e a p li c a n , p o r s u p u e s t o , al c a m p o B ; ta l v e z c o n v e n g a i n d ic a r q u e n o s e a p li ca n a l c a m p o H , y a q u e V • H = - V *M , q u e n o e s i g u a l a c e r o e n t o d o s l o s p u n t o s . A s í , d e l t e o r e m a d e l a d i v e r g e n c i a a p l i c a d o a u n t u b o d e i n te n s i d a d magnética, vemos que

H • n d a —  H • n ' da = pM dv  (9-44)  Js7  ■'5 , -V L a d i s c o n t i n u i d a d d e l f lu j o d e i n t e n s i d a d m a g n é t i c a e s tá d e t e r m i n a d a p o r l a i n te n s i d a d t o t a l d e p o l o s m a g n é t i c o s e x i s t e n t e d e n t ó d e l t u b o d e f l u jo .

9 .8

~

P R O B L E M A S D E V A L OR E S E N L A F R O N T E R A EN L O S Q U E IN T E R V IE N E N M A T E R I A L ES M A G N É T I C O S C o m o B y H o b e d e c e n c o n d i c io n e s d e f r o n te r a s e m e ja n t e s a la s d e D y E , lo s p r o b l e  m a s d e m e d i o s l in e a l e s o d e m a g n e t i z a c i ó n e s p e c í f ic a s o n s e m e j a n t e s a l o s p r o b l e m a s d e d i e l é c t ri c o s q u e s e e s tu d i a r o n e n e l c a p í tu l o 4 . E n e s t a s e c c i ó n t r a t a r e m o s u n t ip o  p a rtic u la r d e p r o b le m a s , a sa b e r, e l c á lc u lo d e c a m p o s m a g n é ti c o s e n m a te r ia le s m a g  n é t i c o s e n l o s q u e n o e x i s t e c o r r ie n t e d e t r a n s p o r t e . E s t o e s f o r m a l m e n t e i d é n t i c o a l d i e l é c tr i c o c o n d e n s i d a d d e c a r g a e x t e r n a ig u a l a c e ro . C u a n d o J = 0 , la s e c u a c i o n e s m a g n é t i c a s f u n d a m e n t a le s ( 9 - 2 8 ) y ( 9 - 3 0 ) s e r e d u c e n a

V •B = 0

(9-28)

V x H = 0

(9-45)

9 . 8 P r o b l e m a s d e v a l o r e s e n l a fr o n t e r a e n l o s q u e i n t e r v ie n e n m a t e r ia l e s m a g n é t i c o s

239

L a e c u a c ió n ( 9 - 4 5 ) i m p l i c a q u e H p u e d e o b t e n e r s e c o m o el g r a d i e n t e d e u n ca m p o e s c a la r . E s t o n o d e b e s o r p r e n d e r n o s p o r q u e , s e g ú n l a e c u a c i ó n b a s e ( 9 - 2 7 ) , l a c o n t r i  b u c ió n a H d e l m a t er ia l m a g n é t ic o y a s e h a e x p r e s a d o d e e s t a f o r m a , y e n l a s e c c ió n 8.8 demostramos que el campo (en realidad la demostración presentada allí debe g e n e r a l iz a r s e a l c a m p o H ) p r o d u c i d o p o r c o r r i e n t e s d e t ra n s p o r t e p u e d e t a m b i é n d e  d u c i r s e c u a n d o l a d e n s i d a d d e c o m e n t e lo c a l e sc e r o . D e a c u e r d o c o n l a e c u a c i ó n ( 9 - 4 5 ) , e s c r ib i m o s H = -V
(9 -4 6 )

d o n d e
( 9 - 4 7)

C o m b i n a n d o e s t e r e su l ta d o c o n l a e c u a c i ó n ( 9 - 4 6 ) , o b te n e m o s V2
(9-48)

q u e e s l a e c u a c i ó n d e L a p l a c e . P o r t a n to , e l p r o b l e m a m a g n é t i c o s e r e d u c e a e n c o n t r a r u n a s o l u c i ó n d e l a e c u a c i ó n d e L a p l a c e q u e s a t is f a g a l a s c o n d i c i o n e s e n l a f r o n t e r a . H  p u e d e c a lc u la r s e e n to n c e s c o m o m e n o s el g ra d ie n te d e l p o te n c ia l m a g n é tic o , y B p u e  d e o b t e n e r se d e B = /í H o B = /i„ ( H + M ) s e g ú n l a e x p r e s ió n q u e s e a m á s a d e c u a d a . D o s p r o b l e m a s m a g n é t ic o s s i rv e n p a r a i lu s t r a r la u t il id a d d e l m é t o d o q u e s e a c a   b a d e d e s c rib ir ; e je rc ic io s a d ic io n a le s d e e s te tip o s e e n c o n tr a r á n e n tr e lo s p ro b le m a s al final del capítulo.

'

EJE MP LO 9.1

E s f e r a m a g n é t i ca m e n t e  p e r m e a b le en u n ca m p o magnético uniforme

C o n s i d e r e u n a e s f e r a d e m a t e ri a l m a g n é t ic o l i n e a l d e r a d i o a  y p e r m e a b i l i d a d // , c o l o c a d a e n u n a r e g ió n d e l e s p a c io q u e co n t ie n e u n c a m p o m a g n é t i c o i n i c i a l  m e n t e   u n i f o r m e , B0.  N o s g u s ta r ía d e te r m in a r c ó m o s e m o d if ic a e l c a m p o m a g n é  t ic o p o r la p r e s e n c i a d e l a e s f e r a y, e n p a r ti c u la r , d e t e r m i n a r e l c a m p o m a g n é t i c o e n l a e s f e ra m i sm a . S o l u c i ó n :  E l p r o b l e m a e s a n á l o g o a l c a s o d e la e s f e ra d i e lé c t ri c a e n u n c a m p o e l é c tr i c o u n i f o r m e q u e s e r e s o l v i ó e n l a s e c c i ó n 4 . 9 . A s í, e l i g i e n d o e l o r i g e n d e n u e s t ro s i s te m a d e c o o r d e n a d a s e n e l c e n t ro d e l a e s f e r a y l a d i r e c c i ó n d e

240

9 P r o p i e d a d e s m a g n é t i c a s d e l a m a t e r ia

B 0 c o m o l a d i r e c c i ó n p o l a r ( d ir e c c ió n  z ) , p o d e m o s e x p r e s a r e l p o t e n c i a l c o m o u n a s u m a d e a r m ó n i c o s e s fé r i c o s . D e n u e v o , t o d a s l a s c o n d i c i o n e s e n l a f r o n t e ra p u e d e n s a t i s fa c e r s e p o r m e d i o d e l o s a r m ó n i c o s d e e o s 6:

( p \ { r , 6 ) = A t r  e o s 6   + C , r 2 e o s 0

(9-49)

 p a r a la re g ió n d e v a c ío ( 1) fu e r a d e l a e s f e ra , y 9^2 (^, 0 ) = A 2r  e o s 6 4- C  2r  ~2 e o s 0

(9-50)

 p a ra l a re g ió n d e l m a te ria l m a g n é tic o (2 ). L a s c o n s ta n te s  A p A v   C , y C 2 d e b e n d e t e r m i n a r s e a p a r t i r d e l a s c o n d i c i o n e s e n l a f r o n t e ra . A g r a n d e s d i s ta n c i a s d e l a e sf e r a, e l c a m p o m a g n é t i c o c o n s e r v a s u c a r á c te r u n i fo r m e : B =  B Qk y - > - ( B 0 //i 0)r   eos 6 .  E n c o n s e c u e n c i a , A , = - (B 0 /f i 0). C o m o (p*y s u c a m p o m a g n é t ic o a s o c i a d o n o p u e d e n h a c e r s e i n f in i to s e n n i n g ú n  p u n to , e l c o e f ic ie n te C 2 d e b e ig u a la r s e a c e ro . H a b ie n d o a p lic a d o la s c o n d ic io  n e s e n l a f ro n t e r a p a r a r  = «> y r -  0 , v o l v e m o s n u e s t r a a t e n c ió n a l a z o n a i n te r fa c i al e n r  = a:

 H w =  H 2e,

B ]r  =  B ^

o (9-51)

Q  B 0  c o s 0 + 2 f i 0

c o s d = - \ l A 2  c o s 0

(9-52)

R e s o l v i e n d o e s t a s d o s e c u a c i o n e s s im u l t á n e a m e n t e s e ti e n e

 J3 B U  o ( /i 4- 2 ¿¿o) ’ y

d e d o n d e l o s c a m p o s m a g n é t i c o s e n e l i n t e r io r y e n e l e x t e r i o r d e l a e s f e r a e s tá n dados por  3£ok 

y

(9-53)

9 . 8 P r o b l e m a s d e v a l o re s e n l a fr o n t e r a e n l o s q u e i n t e r v ie n e n m a t e ri a le s m a g n é t ic o s

241

L a s l ín e a s d e i n d u c c i ó n m a g n é t ic a s e m u e s t r a n e n l a f ig u r a 9 . 1 2 . E l s e g u n d o e j e m p l o tr a t a d e u n i m á n p e r m a n e n t e .

I= ^ = EJEMPLO 9.2 Campo de una esfera unifor memente magnetizada

E l p ro b l e m a e s d e t e rm i n a r e l c a m p o m a g n é t ic o p r o d u c i d o p o r u n a e s f e r a m a g n e  t iz a d a u n i fo r m e m e n t e , d e m a g n e t iz a c ió n M y r a d i o a , c u a n d o n o e s t á n p r e s e n te s o t r o s c a m p o s m a g n é t ic o s . S o l u c i ó n ; T o m a n d o l a m a g n e t i z a c i ó n s o b r e e l e je  z  y e l o r ig e n d e n u e s t r o s i s te m a de coordenadas en el centro de la esfera, podemos desarrollar el potencial en a r m ó n i c o s e s f é r ic o s :
2 C i _ „ r - ( " + 1)P „ ( 0 ) n =0  p a r a la re g ió n d e v a c ío ( 1) f u e r a d e la e s fe ra , y

(9-55)

 x 


^ . n r nPn ( 0 )

(9-56)

 p a r a la r e g ió n d e l im á n p e r m a n e n te (2 ). E n el d e s a r ro llo (9 - 5 5 ) h e m o s e x c lu id o a  p ro p ó s ito lo s a rm ó n ic o s c o n p o te n c ia s p o s iti v a s d e r,  p u e s t o q u e é s t a s t e n d r ía n u n v a l o r m u y g r a n d e p a r a g r a n d e s d i s ta n c i a s , y h e m o s e x c l u i d o t a m b i é n l a s p o t e n  c i a s n e g a t iv a s d e r  e n l a e c u a c i ó n ( 9 - 5 6 ) , p u e s t o q u e s e r í a n i n f i n i t a s e n e l o r i g e n . D e l a s c o n d i c io n e s e n l a f r o n t e r a p a r a r  = a: 2 6 

 B \ r — & 2 r 

9 P r o p i e d a d e s m a g n é t ic a s d e l a m a te r ia

obtenemos ¿ ( C i . „ a " (" +1) -  A 2 ,n a n ) a - l ~ P „ { 6 ) = 0 *=o d t 1

X ( C i .« * ( n+ l ) ~ A  2  n a n ) P n { 6    ) = c o n s t a n te n =0

 H o C uo a 2 + n o 2

( 9 -5 7 )

( 9 - 5 7a )

P n ( e ) [ C u „ (n +   1 ) < j- < "+2> +  A 2 ,nn a n ~ l ]

n='

(9-58)  —  f i fiM  e o s 0 = 0

C o m o  P n(B ) s o n f u n c i o n e s o r t o g o n a l e s , c a d a t é r m i n o d e l a s e c u a c i o n e s ( 9 - 5 7 a ) y ( 9 - 5 8 ) d e b e a n u l a r s e i n d i v id u a l m e n t e . P a r a n = 0 Q .o tf 1 -  A  2 , o = c o n s t a n t e ,

2 = 0

P o r t a n t o , C {  0 = 0 y  A 20  e s u n a c o n s t a n t e a r b i tr a r ia q u e p u e d e i g u a l a r s e a 0 s i n a f e c ta r a H o B . D e lo s t é r m i n o s n - l , C j \d  3 —  A 2ii = 0 y

2 C u í i " 3 +  Á 2A  -

A# = 0

q u e p u e d e n r e s o l v e r s e s im u l t á n e a m e n t e p a r a d a r   Cu

= i A íf l3

y

 A 2,\   = iA f   Para todo n > 2, las únicas Cj

y A 2 n c o m p a t i b l e s c o n la s d o s e c u a c i o n e s s o n

C ,,„ = 0 y A 2,„ = 0 . P o n i e n d o e s t o s r e s u l t a d o s n u e v a m e n t e en l a s e c u a c i o n e s ( 9 - 5 5 ) y ( 9 -5 6 ) , obtenemos
(9-59)


( 9 -6 0 )

y

L a i n t e n s i d a d m a g n é t ic a H p u e d e c a l c u l a r s e d e l a o p e r a c i ó n g r a d i e n t e , c o n e l siguiente resultado:

9 . 9 C i r c u i to s d e c o r r ie n t e q u e c o n t i e n e n m e d i o s m a g n é t i c o s

243

FIGURA 9.13 Líneas de inducción m agnética para una esfera uniformemente magnetizada.

H x = 5A Í (a 3/ r 3) [2 a r c o s 0 + a 0 s e n 0 ]

(9 -6 1)

H 2 = -iA ík

(9-62)

P o r t a n to , e l c a m p o e x t e rn o d e l a e s f e r a u n if o r m e m e n t e m a g n e t iz a d a e s e x a c t a  m e n t e u n c a m p o d i p o la r q u e p r o v ie n e d e l m o m e n t o d i p o la r  j - 7 t a 3M . L a i n t e n s i  d a d m a g n é t ic a d e n t r o  d e l a e s f e ra e s u n c a m p o d e s m a g n e t iz a n t e , r e s u lt a d o q u e c o n c u e r d a c o n e l c a m p o  E  e n e l i n te r i o r d e u n d i e l é c t r ic o u n i f o r m e m e n t e p o l a r i  z a d o . P o r t a nt o , v e m o s q u e l a e sf e r a m a g n e t iz a d a e s t á s o m e t id a a s u p r o p i o c a m   p o d e s m a g n e tiz a n te . E l fa c to r j- = ( l / 4 ;r )( 47i /3 ) d e la e c u a c ió n (9 -6 2 ) d e p e n d e e x p l í c i t a m e n t e d e l a g e o m e t r í a e s f é r i c a . L a c a n t i d a d 4 7 1 / 3 s e l l a m a  f a c t o r d e d e s m a g n e t i z a c i ó n  d e u n a e s f e r a . L o s f a c t o r e s d e d e s m a g n e t i z a c i ó n p a r a o t r a s f o r m a s g e o m é t r ic a s h a n s i d o c a l c u l a d o s y t a b u la d o s . * E l c a m p o m a g n é t i c o e x t e r n o B , e s e x a c t a m e n t e /xQv e c e s l a e c u a c i ó n ( 9 - 6 1 ) . La indu cción m agnética en la esfera es

B2 =

ín o M k  

= § í i nM

(9-63)

L a s l í n e a s d e in d u c c i ó n m a g n é t i c a s e m u e s t r a n e n l a f ig u r a 9 . 1 3.

9 .9

_

CIRCUITOS DE CO RRIENTE QUE CO NTIENEN M E D I O S M A G N É T IC O S E n e l c a p í t u l o 8 e s t u d i a m o s l o s c a m p o s m a g n é t i c o s p r o d u c i d o s p o r c i r c u i to s d e c o r r i e n t e e n e l v a c ío .   U n o d e lo s e j e m p l o s c o n s i d e r a d o s e n l os p r o b l e m a s ( p ro b l e  m a 8 . 1 9 ) fu e e l d e u n d e v a n a d o u n i f o r m e t o r o i d a l c o n  N  v u e l ta s , q u e c o n d u c e u n a

Véase, por ejemplo,  A m er ic an In st it ute o fP h y sic s H and book, 3a. ed., N uev a York, M cGraw -Hill, 1972.  pá gs . 5-2 47.

244

9 P r o p i e d a d e s m a g n é t i c a s d e la m a t e ri a

FIGURA 9.14 Devanado toroidal.

c o r r i e n t e d e in t e n s i d a d / ( F i g. 9 . 1 4 ) . R e s o l v a m o s n u e v a m e n t e e l p r o b l e m a d e l to r o i d e ,  p e r o a h o r a c o n la r e g ió n in te r io r d e l d e v a n a d o lle n a d e u n m a te r ia l fc rr o m a g n é ti c o q u e s u p o n d r e m o s h o m o g é n e o , is ó t ro p o y o r ig i n a lm e n t e d e s m a g n e t i z a d o . E l c a m p o v e c t o r i a l q u e s e o b t i e n e m á s f á c i lm e n t e e s l a i n t e n s i d a d m a g n é t ic a , y a q u e e s t á r e l a  c i o n a d o c o n la in t e n s id a d d e c o r r ie n t e e n e l d e v a n a d o p o r m e d i o d e l a l e y d e c i rc u i to s de Am pére, ecuación (9-31). Si aplicamos la ecua ción (9-31) a una trayectoria circu lar que es coaxial con el hueco del toroide, tal como la trayectoria punteada en la f i g u r a , lo s a r g u m e n t o s d e s i m e t r í a n o s in d i c a n q u e H e s i g u a l en t o d o s l o s p u n t o s d e l a t ra y e c t o r i a ; H ' l 

ZJ

= N I 

N I

ü t  = —

(9 - 6 4 )

A q u í , el s u b í n d i c e r e p r e s e n t a l a c o m p o n e n t e t a n g e n c i a l a l a t ra y e c t o r i a , y / = 2 n r  es la l o n g i t u d to t a l d e l a t ra y e c t o r i a . D e l a e c u a c i ó n ( 9 - 2 6 ) ,  Po N ¡  B , = - y - + li 0 M t  

(9-65)

A s í , e l c a m p o m a g n é t i c o d i f i e r e d e l c a s o e n e l v a c í o e n e l t é r m i n o a d i t iv o p ()M ; . M e d i a n t e e l p r o c e d i m i e n t o a n t e r i o r s ó l o s e o b t i e n e l a c o m p o n e n t e ta n g e n c i a l d e B (y d e H); sin emb argo, ésta es la única com ponen te que espe ram os que esté presente. S e g ú n l a e c u a c ió n ( 9 - 2 7 ) , h a y d o s c la s e s d e f u e n t e s p a r a l a in t e n s i d a d m a g n é t i c a : l a s c o r r i e n t e s d e t r a n s p o r t e y e l m a t e r ia l m a g n e t i z a d o . E s f á c i l d e m o s t r a r q u e l a c o r r i e n t e e n e l d e v a n a d o t o r o i d a l p r o d u c e s ó l o u n c a m p o t an g e n c i a l. E s t e d e v a n a d o e s e q u i v a  lente a  N  e s p i r a s c i r c u la r e s d e c o m e n t e ; s i l a s c o m b i n a m o s p o r p a r e s ( F i g . 9 . 1 5 ) , e s e v i d e n te q u e c a d a p a r d e e s p ir a s p r o d u c e u n c a m p o t a n g e n c i a l e n e l p u n t o e n c u e s ti ó n . L a s e g u n d a f u e n te d e H , e l m a t e ri al m a g n e t i z a d o e n s í m i s m o , p u e d e p r o p o r c i o  n a r p o s ib l e m e n t e u n a c o n t r ib u c i ó n a tr a v é s d e la s d e n s i d a d e s d e p o l o s : p ^ = - V * M y c r VÍ = M * n . C o m o e l m a t e r ia l f e rr o m a g n é t ic o d e l t o r o i d e e s i s ó tr o p o , M t e n d r á e l m i sm o s e n t id o q u e H . P e r o M s e g e n e r ó c o m o r e s p u e s t a a la s c o r r i e n t e s e n el

9 . 9 C i r c u it o s d e c o r r i e n te q u e c o n t i e n e n m e d i o s m a g n é t i c o s

2 45

FIGURA 9.15  N a tu ra le z a axia l de l campo en un devanado toroidal, demostrada mediante la combinación de los campos magnéticos debidos a pares d e espiras de co rriente.

devanado toroidal y este campo es tangencial. Por tanto, es probable que haya una s o l a A/,, p o r l o q u e p o d e m o s e l i m i n a r e l s u b í n d i c e / . B a s á n d o n o s e n e s t o , n o h a y s u p e r  f i c ie s e n l a m u e s t r a to r o i d a l q u e s e a n p e r p e n d i c u l a r e s a M y , e n c o n s e c u e n c i a , n o h a y o M.  F i n a l m e n t e ,  p M   d e b e s e r i g u a l a c e r o ; a u n q u e  M  p u e d a s e r f u n c i ó n d e r  ( l a d i s t a n  c i a a l e j e d e l t o r o i d e ) , e l t é r m i n o d M f d r  n o c o n t r i b u y e a l a V • M . E l r e s u l t a d o d e i n t e r é s es q u e e l m a t e r ia l m a g n e t iz a d o n o c o n t r ib u y e a H e n e s t e c a s o y l a e c u a c i ó n ( 9 - 6 5 ) d a t o d o e l c a m p o m a g n é t i co . O t ro p r o b l e m a , a l g o m á s c o m p l i c a d o q u e e l a n t e ri o r, e s e l d e u n d e v a n a d o t o ro i d a l d e  N  v u e l ta s s o b r e u n a m u e s t r a fe r r o m a g n é t i c a e n l a q u e s e h a d e j a d o u n e n t r e h i e rr o l le n o d e a i re , d e a n c h u r a d   ( F i g . 9 . 1 6 ) . N o h a r e m o s d i s t i n c i ó n e n t r e u n e n t r e h i e r r o l le n o d e a i r e y u n o d e v a c ío , p u e s t o q u e e s e v i d e n t e d e l a ta b l a 9 .1 q u e l a p e r m e a b i l i  d a d d e l a i r e d i f ie r e s ó l o m u y l ig e r a m e n t e d e E n e s t e p r o b l e m a , l a l e y d e c i rc u i t o s d e A m p é r e n o e s s u f i c ie n t e p a r a d e t e r m i n a r H p o r q u e l o s a r g u m e n t o s d e s i m e t r ía n o  p u e d e n c o n s id e r a r s e p a r a d e c ir q u e H e s ig u a l e n to d o s lo s p u n to s d e u n a tr a y e c to ria c i rc u l a r. P o r t a n to , v a y a m o s p r i m e r o a l a e c u a c i ó n b a s e , (9 - 2 7 ) .  N u e v a m e n te , o b s e r v a m o s q u e h a y d o s c o n tr ib u c io n e s a la in te n s id a d m a g n é ti c a , una de las corrientes de transporte y otra de la magnetización. Como el devanado t o r o i d a l e s i d é n t ic o a l d e l p r o b l e m a a n t e ri o r , la c o n t r ib u c i ó n d e l a s c o r r i e n t e s d e t r a n s   p o r te a H d e b e s e r ig u a l q u e a n te s . R e p r e s e n ta n d o e s ta c o n trib u c ió n c o n el s u b ín d ic e 1, pod em os escribir  (9-66)

FIGURA 9.16 Devanado toroidal sobre un anillo de material magnético con un entrehierro lleno d e aire.

9 P r o p i e d a d e s m a g n é t i c a s d e l a m a t e ri a

 N u e s tr o p ro b le m a e s c a lc u la r  H  2  o e l t é r m i n o V < p * . P a r a c o n s e r v a r l a s e n c i l l e z d e l  p ro b le m a , c o n s id e ra re m o s v á lid a la s u p o s ic ió n d e q u e s e ti e n e u n a m a g n e ti z a c ió n u n i f o r m e t a n g e n c i a l  M  e n t o d o e l m a t e r i a l f e r r o m a g n é t i c o ; e s t o n o s p r o p o r c i o n a r á t o d a l a f í s i c a e s e n c i a l s in c o m p l i c a r e l á l g e b r a . E n t o n c e s , p M  e s i g u a l a c e r o , p e r o o w = ±  M  e n l a s c a r a s d e l o s p o l o s q u e li m i t a n c o n e l e n t r e h i e r r o l l e n o d e a i r e . L a s i tu a c i ó n n o s r e c u e r d a m u c h o l a d e l p r o b l e m a e le c t r o s tá t ic o e n e l q u e i n t e r v i e n e u n c o n d e n s a  d o r c a r g a d o d e p l a c a s p a r a l e la s . D e h e c h o , l a f o r m u l a c i ó n m a t e m á t i c a de l p o t e n c i a l e s i d é n t i c a e n l o s d o s c a s o s . S i e l e n t r e h i e r ro l le n o d e a i r e e s e x t r e m a d a m e n t e a n g o s t o , entonces, aproximadamente,  H 2 = M 

(en el entreh ierro)

 H  2 = O

( e n c u a l q u i e r o t r o s i t io )

(9-67)

S i n e m b a r g o , e s t e r e s u lt a d o n o e s c o m p a t i b le c o n l a l e y d e c i rc u i t o s d c A m p é r e , p u e s t o q u e  H d i =
1 “ y)

d   H  2  = — M -

(en

e n tr e h ie r ro )

(en el m aterial),

(9-68)

l o q u e n o s ó l o s a t is f a c e l a le y d e c ir c u i to s d e A m p é r e , s in o q u e t a m b i é n t i e n e e n c u e n t a la c o n t i n u i d a d d e l a c o m p o n e n t e n o r m a l d e B a t r a v é s d e l as c a r a s d e l o s p o l o s . Combinando las ecuaciones (9-66) y (9-68) y sustituyendo el resultado en la e c u a c i ó n ( 9 -2 6 ) ; B =  p 0( H   + M ) e n c o n t r am o s q u e B

=

( 9 . 6 9 )

t a n t o e n e l e n t r e h ie r r o c o m o e n e l m a t e r i a l m a g n é t i c o . P a r a r e s o lv e r c o m p l e ta m e n t e e l  p ro b le m a , s ó lo te n e m o s q u e c o n o c e r la re la c ió n  M = X m ( H ) H  P a r a el “ h ie r r o d u l c e ” , y p u e d e c o n s i d e r a r s e c o n s t a n te .

C IR C U IT O S M A G N É T IC O S C o m o h e m o s v i s to , l as l ín e a s d e f l u jo m a g n é t i c o f o r m a n c u r v a s c e r r a d a s . S i t o d o e l f lu jo m a g n é t i c o ( o p r á c t i c a m e n t e t o d o ) a s o c i a d o c o n u n a d e t e r m i n a d a d i s tr ib u c i ó n d e c o r r i e n t e s e s tá c o n f i n a d o a u n a t r a y e c t o r ia b a s t a n t e b i e n d e f i n id a , e n t o n c e s p o d e m o s

9 . 1 0 C i r c u i to s m a g n é t i c o s

FIGURA 9.17

^

247

 N  vueltas

Circuito magnético. Trayectoria

h a b l a r d e u n c i r c u it o m a g n é t i c o . P o r ta n t o , lo s e je m p l o s e x p u e s t o s e n l a s e c c ió n 9 .9 s o n c i rc u i t o s m a g n é t ic o s , p u e s t o q u e e l f lu j o m a g n é t ic o s e c o n f i n a a u n a r e g i ó n i n t e  r i o r al d e v a n a d o t o r o id a l . E n e l p r im e r e je m p l o , e l c i r c u i t o c o n s i s t i ó e n u n s o l o m a t e  r i a l, u n a n i ll o f e r ro m a g n é t ic o ; e n e l s e g u n d o c a s o , s in e m b a r g o , e n c o n t r a m o s u n c i r c u i t o c o n d o s m a t e r i a l e s e n s e r ie : u n m a t e r i a l f e r r o m a g n é t i c o y u n e n t r e h i e r r o l le n o d e a i re . C o n s i d e r e m o s u n c i rc u i t o e n s e ri e m á s g e n e r a l , co n v a r i o s m a t e r i a l e s r o d e a d o s  p o r u n d e v a n a d o to r o id a l d e  N  v u e l ta s q u e c o n d u c e u n a c o r r ie n t e d e i n t e n s i d a d / , como el de la figura 9.17. De la aplicación de la ley de circuitos de Ampére a una t r a y e c t o r i a q u e s i g u e e l c i r c u i t o ( la l ín e a p u n t e a d a d e l a f ig u r a ) , o b t e n e m o s  j i H d l   =  N I  C o n v i en e e x p r e s a r  H   e n c a d a p u n t o d e l a t r a y e c t o r i a e n f u n c i ó n d e l f l u j o m a g n é t ic o 0 ; e m p l e a n d o  B = ¡ i H y 0 = B A , d o n d e  A   e s e l á r e a d e l a s e c c i ó n t r a n s v e r s a l d e l c i r c u i to e n e l p u n t o e n c o n s i d e r a c i ó n , v e m o s q u e ° d l  = m  f i A ^ C o m o e s t a m o s e s t u d ia n d o u n c i rc u i to m a g n é t ic o , e s p e r a m o s q u e <í>sea e s e n c ia l m e n  t e c o n s t a n t e e n to d o s l o s p u n t o s d e l c i r c u i to ; e n c o n s e c u e n c i a , p o d e m o s s a c a r 0  f u e r a de la integral: f di

\i

f 

= w

■■■

1

( 9 ' 7 0 )

É s t a e s l a e c u a c i ó n b á s i c a d e l c i r c u it o m a g n é t i c o q u e n o s p e r m i te o b t e n e r e l fl u j o 0  en función de los parámetros del circuito. L a e c u a c i ó n ( 9 - 7 0 ) n o s r e c u e r d a u n a e c u a c i ó n s e m e j a n t e p a r a un c i r c u i t o d e c o  rriente en se rie:  I R = Y . P o r a n a lo g í a , d e f i n i m o s u n a f u e r z a m a g n e t o m o t r iz ( f m m ) : (9-71)

(9-72)

248

9 P r o p i e d a d e s m a g n é t ic a s d e l a m a te r ia

U t il iz a n d o e s t a s d e f in i c i o n e s , p o d e m o s v o l v e r a e s c r i b i r la e c u a c i ó n ( 9 - 7 0 ) c o m o (9-70a) S i e l c i r c u i to e s t á f o r m a d o p o r v a r i a s p a r t e s h o m o g é n e a s , c a d a u n a d e s e c c i ó n t r a n s  v e r s a l u n i fo r m e , la r e l u c t a n c i a p u e d e c a l c u l a r s e a p r o x i m a d a m e n t e m e d i a n t e

i vA i

i

(9-72a)

E n c o n s e c u e n c i a , l a r e lu c t a n c i a t o ta l d e l c i r c u i to e n s e r i e e s l a s u m a d e l a s r e l u c t a n c i a s de los elementos individuales. La analogía entre los circuitos magnéticos y los de c o r r i e n t e e s a ú n m a y o r d e l o q u e s e h a i n d i c a d o , p u e s t o q u e l a r e s i s te n c i a d e u n c i r c u i  to de corriente está dad a por 

q u e d i f i e re d e l a e c u a c i ó n ( 9 - 7 2 ) s ó l o e n l a s u s t i tu c i ó n d e g  p o r fi . D e b i d o a e s t a a n a lo g í a , e s e v id e n t e q u e la s c o m b i n a c io n e s d e r e l u c ta n c i a s e n s e r i e y e n p a r a l e l o p u e d e n c o m b i  n a r s e d e l a m i s m a f o r m a q u e l a s c o m b i n a c i o n e s d e r e s i s te n c i a s e n s e r i e y e n p a r a l e lo . E l c o n c e p t o d e c i r c u it o m a g n é t i c o e s m á s ú t il c u a n d o s e a p l i c a a c ir c u i t o s q u e c o n t i e n e n m a t e r ia l e s f e rr o m a g n é t i c o s , p e r o p r e c is a m e n t e p a r a e s t o s m a t e r ia l e s s u r g e n a l g u n a s d i f ic u l ta d e s . P a r a u n m a t e r ia l f e r r o m a g n é t ic o , ¿z = y n o c o n o c e m o s H  en e l m a t e r ia l h a s t a q u e e l p r o b l e m a d e l c i rc u i t o e s t á c o m p l e t a m e n t e r e s u e l to y O  d e t e r  m i n a d o . S i n e m b a r g o , l a s it u a c i ó n n o e s i rr e m e d i a b l e ; d e h e c h o , e l p r o b l e m a p u e d e r e s o l v e r s e c o n b a s t a n t e f a c il id a d m e d i a n te u n p r o c e d i m i e n to i te r a ti v o : ( 1 ) C o m o p r i  m e r a a p ro x i m a c i ó n , p o d e m o s c o n s i d e r a r  H  = A7 //[olal, do n d e ¿lo[al es la lo n g itu d t o tal d e l c i r c u i to . ( 2 ) L a p e r m e a b i l i d a d d e c a d a m a t e r i a l d e l c i r c u i to s e o b t ie n e p a r a e s t e v a l o r d e H  a p a r ti r d e l a c u r v a d e m a g n e t i z a c ió n a d e c u a d a . ( 3 ) S e c a l c u l a l a r e lu c t a n c i a t o t a l d e l c i r c u i t o , y ( 4 ) e l f l u j o O se c alc ula de la e cu ac ión (9-7 0a ). (5) A p ar tir de <2>, s e h a ll a n l a s in t e n s i d a d e s m a g n é t ic a s e n l o s d i v e r s o s e l e m e n t o s y s e v u e l v e n a d e t e r  m i n a r la s p e r m e a b i l id a d e s . ( 6 ) E l p r o c e d i m i e n t o s e r e p i te a p a r t i r d e l a p a r ta d o ( 3) . G e n e r a l m e n t e , s o n s u f i c ie n t e s u n a o d o s i t e ra c i o n e s p a r a d e t e r m i n a r <£>c o n u n p o r c e n  t a je d e e r r o r m u y p e q u e ñ o . L a r e l u c t a n c i a 01. e s in v e r s a m e n t e p r o p o r c i o n a l a l a p e r m e a b i l i d a d  /!„  C o m o l a  p e r m e a b il id a d d e l m a te r ia l fe rro m a g n é ti c o p u e d e s e r 1 00 v e c e s //0, 103 /¿0 o in c lu s o 105 / i 0 e n a l g u n o s c a s o s , e s e v id e n t e q u e e l m a t e r ia l f e r r o m a g n é t i c o f o r m a u n a tr a y e c  t o r i a d e b a j a re l u c t a n c i a p a r a e l f lu j o m a g n é t i c o . S i el f l u jo m a g n é t ic o e n c u e n t r a d o s t r a y e c t o r ia s p a r a l e l a s , u n a d e a l t a r e l u c t a n c ia 0lh, y o t r a d e b a j a r e l u c t a n c i a Sftr   e n t o n  c e s l a m a y o r p a r te d e l f l u j o p a s a r á p o r l a tr a y e c t o r i a d e b a j a r e l u c t a n c i a y l a r e l u c t a n c ia e q u i v a le n t e d e l a c o m b i n a c ió n e s t á d a d a p o r 01 = 0lh 0l¡ f(S ñh + 01 ). O b s e r v a n d o a h o r a l a f i g u r a 9 . 1 8 , v e m o s q u e s i lo s m a t e r ia l e s  A , B ,  y C s o n f e r r o m a g n é t ic o s , l a m a y o r  p a r te d e l f lu jo s e g u ir á e l a n ill o f e r r o m a g n é ti c o , p o r q u e la tr a y e c to r ia p o r e l a ire e n tr e l o s e x t r e m o s d e l s o l e n o i d e t i e n e u n a r e lu c t a n c i a r e l a t iv a m e n t e a l t a. A s í , l o s c i r c u i to s m a g n é t ic o s d e l a s fi g u r a s 9 . 1 7 y 9 . 1 8 s o n e s e n c i a l m e n t e e q u i v a l e n t e s .

9 .1 1 C i r c u it o s m a g n é t ic o s q u e c o n t ie n e n i m a n e s p e r m a n e n t e s

249

FIGURA 9.18 Este circuito magnético es equivalente al de la figura 9.17 si las permeabilidades de  A , B t   y C son grandes. vueltas

S i l o s m a t e r i a l e s  B   y C s o n f e r ro m a g n é t ic o s , p e r o  A   r e p r e s e n t a u n e n t r e h i e r r o l le n o d e a i r e , l o s c ir c u i to s n o s o n e q u i v a l e n te s p o r q u e h a y u n a  f u g a   d e f l u j o e n l o s e x t r e m o s d e l s o l e n o i d e d e l a f i g u r a 9 .1 8 . L a c a n t id a d d e f lu j o q u e s a l e d e l c i r c u i to d e p e n d e d e l a r a z ó n d e l a r e lu c t a n c i a d e l c ir c u i t o m a g n é t i c o a l a t r a y e c t o r i a d e f u g a . C u a n d o e l e n t r e h i e r ro l le n o d e a i r e A e s p e q u e ñ o c o m p a r a d o c o n l a lo n g i tu d d e l s o l e  n o i d e , e l f l u jo d e f u g a e s p e q u e ñ o y e n c á l c u l o s a p r o x i m a d o s p u e d e d e s p r e c i a r s e . L a r e lu c t a n c ia d e l a t r a y e c t o r ia d e f u g a s e h a d e te r m i n a d o p a r a m u c h a s f o r m a s g e o m é t ri c a s c o m u n e s y s e p u e d e e n c o n t r a r e n v a r i o s m a n u a l e s d e c o n s u l ta c o n v e n c i o n a l e s . * E l c o n c e p t o d e c ir c u i to e s s e g u r a m e n t e u n a a p r o x i m a c i ó n m á s b u r d a e n e l c a s o m a g n é t i  c o q u e e n e l e l é c tr i co , p o r q u e ( 1 ) l a r a z ó n e n t r e l a r e l u c t a n c i a d e l c i rc u i t o y l a r e l u c t a n c i a d e f u g a n o e s t a n p e q u e ñ a c o m o l a r a z ó n e n t r e l a s r e s is t e n c i a s c o r r e s p o n d i e n t e s d e l c a s o e l é c t r ic o , y ( 2 ) l a s d i m e n s i o n e s l a te r a l e s d e l c ir c u i t o m a g n é t i c o n o s o n g e n e r a l  m e n t e d e s p r e c i a b l e s e n c o m p a r a c i ó n c o n s u l o n g it u d . S in e m b a r g o , s e h a p r o b a d o q u e e l c o n c e p t o d e c i r c u i to m a g n é t i c o e s e x t re m a d a m e n t e ú t il.

*9 .11

-

C IR C U I T O S M A G N É T IC O S Q U E C O N T IE N E N IM A N E S P E R M A N E N T E S E l c o n c e p t o d e c i r c u i to m a g n é t i c o e s ú t il t a m b i é n c u a n d o s e a p l i c a a c ir c u i t o s c o n i m a n e s p e r m a n e n t e s , e s d e c ir , a c ir c u i to s d e f l u j o e n l o s q u e 0 t i e n e s u o r i g e n e n u n m a t er ia l p e r m a n e n t e m e n t e m a g n e t iz a d o . V e re m o s q u e e s c o n v e n i e n t e u s a r l a a b r e v ia  t u r a 1 -P p a r a el i m á n p e r m a n e n t e . D e b i d o a l a re l a c i ó n c o m p l i c a d a  B - H  e n e l m a t e r ia l I -P , e l p r o c e d i m i e n t o d e s c r i t o e n l a s e c c i ó n a n t e r i o r n o e s a d e c u a d o p a r a e l p r o b l e m a q u e t e n e m o s a h o r a . P o r e st o , v o l v e r e m o s n u e v a m e n t e a l a le y d e c ir c u i to s d e A m p é r e , a p l i c a d a a h o r a a l a tr a y e c t o r i a d e f l u j o d e l c i r c u i t o I - P :

* Véase, por ejemp lo, S. A. Nasa r y L. E. Unnc wehr.  Ele ct ro m ec ha nic s a n d R ota ti n g E le ct ri c M ac hi ne s.  Nu eva York. Wi ley. 197 8, y F. N. Br ad lcy ,  M ate ri al s f o r M ag net ic F unct io ns,  Nueva York, Hayden Book Co.t 1971, pág. 162.

250

9 P r o p i e d a d e s m a g n é t ic a s d e l a m a t er ia

 H d l  = 0

b

 H d l   = - |

 H d l 

(9-73)

*(■ - n A l e s c r i b i r la e c u a c i ó n ( 9 - 7 3 ) s u p o n e m o s e x p l í c it a m e n t e q u e e l m a t e r ia l I - P e s t á e n t r e l o s p u n t o s b y a  d e l a tr a y e c t o r i a d e l f lu j o , m i e n t ra s q u e d e a  a b  l a t r a y e c t o r i a d e l f l u j o n o e n c u e n t r a m a t e r i a l I - P . E l u s o d e  B = ¡ iH  y 0 = B A e n e l p r i m e r m i e m b r o d e la ecuación (9-73) da — <*> H — a 

=- -- f  

 H d l  

(9-74a)

-'fc(i-p)

E l f l u j o m a g n é t i c o 0   es c o n t in u o e n t o d o e l c ir c u i to , d e m o d o q u e 0 = B nA m, d o n d e  B m e s e l c a m p o m a g n é t i c o e n e l i m á n p e r m a n e n t e y  A m  e s e l á r e a d e l a s e c  c i ó n t ra n s v e r s a l . E l l a d o d e r e c h o d e la e c u a c i ó n ( 9 - 7 4 ) p u e d e e s c r i b i r s e c o m o - H J m,  d o n d e t f ^ e s la i n te n s i d a d m a g n é t ic a p r o m e d i o d e l im á n y ln¡ e s s u l o n g i t u d . P o r t a n to ,  B mA m3 tab = - H J m 

(9-74b)

e s l a e c u a c i ó n q u e r e l a c i o n a la s c a n t id a d e s d e s c o n o c i d a s  B m y  H m. E s ta e c u a c i ó n p u e  d e r e s o l v e r s e s i m u l t á n e a m e n t e co n l a c u r v a d e h i s t ér e s is d e l i m á n p a r a d a r t a n to  B m c o m o  H m. Como ejemplo de un circuito I-P, consideremos el circuito compuesto por un i m á n , u n e n t r e h ie r r o l l e n o d e a i r e y h i e r ro d u l c e ( F i g . 9 . 19 ) . E s i m p o r t a n t e d a r s e c u e n  t a d e q u e e l h i e rr o d u l c e n o  e s u n m a t e r ia l I- P ; s u h i s t é r e s is e s r e a l m e n t e d e s p r e c i a b l e c o m p a r a d a c o n l a d e l im á n , y  fi . =  B .J H . e s u n a c a n t id a d p o s i ti v a . L a r e l u c t a n c i a S/l(¡h está dada por 

FIGURA 9.19 Circuito de imán  p erm an en te . P a ra est e circuito, sobre el imán actúa un campo desmagnetizante  b asta n te gra n d e ; est e último puede reducirse aumentando la longitud del material I-P (por ejemplo, colocando imanes adicionales en los brazos laterales del circuito).

Hierro dulce

9 .1 1 C i rc u i to s m a g n é t ic o s q u e c o n t ie n e n i m a n e s p e r m a n e n t e s

^

■ ¡ s e + ¡¿ q

251

l 9 - 7 5 )

d o n d e l o s s u b í n d ic e s i y g   s e r e f i e r e n a l h i e r r o d u l c e y a l e n t r e h i e r r o l l e n o d e a i r e , r e s p e c t iv a m e n t e . S i e l e n t r e h i e r ro l l e n o d e a i r e n o e s d e m a s i a d o a n g o s t o , l a e c u a c ió n ( 9 - 7 5 ) p u e d e , e n g e n e r a l, c a lc u l a r s e a p r o x i m a d a m e n t e m e d i a n t e

91obK =

Á  P-nA K 

q u e , c u a n d o s e c o m b i n a c o n (9 - 7 4 b ) , n o s d a  L A  L A u n a r e l a c i ó n l i n e a l e n t r e  B m y  H m.  L a r e p r e s e n t a c i ó n g r á f i c a d e e s t a e c u a c i ó n ,  j u n t o c o n la c u r v a d e h is té r e s is d e l im á n , s e m u e s tr a n e n l a f i g u r a 9 .2 0 . E l p u n to d e c o r t e d e la s d o s c u r v a s d a e l p u n t o d e o p e r a c i ó n d e l im á n . E l p r o b l e m a e s t á a h o r a c a s i r e s u e l t o : c o n o c i e n d o  B m se d e t e r m i n a n f á c i l m e n t e e l f lu j o 0 y l a d e n s i  dad de flujo fí,. S i n e m b a r g o , h a y d o s p u n t o s q u e m e r e c e n a t e n c i ó n . E l p r im e r o e s : ¿ q u é s e u t i li z a  p a r a el á r e a e f e c tiv a  A^   d e l e n tr e h ie r ro ? C o m o u n a p r im e r a a p r o x i m a c i ó n , p o d e m o s con siderar i g u a l a l á r e a d e l a c a r a d e l p o l o d e l h i e r r o d u lc e , y s i e l e n t r e h i e r r o ll e n o d e a i r e n o e s d e m a s i a d o g r a n d e , e s ta a p r o x i m a c i ó n e s a d e c u a d a . N o e n t r a r e m o s e n u n a n á l is i s d e t a l la d o d e e s t e p u n t o , p e r o i n d ic a r e m o s a l le c t o r i n t e r e s a d o q u e c o n s u l te l as r e f e r e n c i a s c i ta d a s e n l a s e c c i ó n a n t e r io r . E n s e g u n d o l u g a r, e l p r o b l e m a d e l f l u j o d e f u g a e s t a n i m p o r t a n t e e n l o s c ir c u i to s I - P c o m o e n o t r o s ti p o s d e c i r c u it o s m a g n é t ic o s .  N o o b s ta n te , p a r a lo s p ro b le m a s q u e s e p re s e n ta n e n e s te lib r o , s u p o n d re m o s g e n e ra l m e n t e q u e e l f l u jo d e f u g a p u e d e d e s p r e c ia r s e . F i n a l m e n t e , o b s e r v a m o s q u e / / m, t a l c o m o s e m e n c i o n ó e n l a fi g u r a 9 . 2 0 , e s n e g a  t iv o ; e s t o e s , la i n t en s i d a d m a g n é t i c a d e l im á n e s u n e f e c t o d e s m a g n e t i z a n t e .  E s t e e s u n r e s u l ta d o g e n e r a l . C u a n d o e l fl u jo m a g n é t i c o t ie n e s u o r ig e n e n u n i m á n p e r m a  n e n t e , e n t o n c e s e l im á n m i s m o e s t á s o m e t id o a u n c a m p o d e s m a g n e t i z a n te .

FIGURA 9.20 L í n e a d e s m a g n e t i z a n te  p a ra u n cir c u it o magnético. (El subíndice m  s i g n i f ic a i m á n . ) C o m o se construye la grá fica de en lugar de la  p en d ie n te d e la re cta desmagnetizante es exactamente en otras palabras, un número puro.

Bm =

 IgAnx  H ,

252

9.12

9 P r o p i e d a d e s m a g n é t i c a s d e l a m a t e r ia

--------

"

Z

R E SU M E N E n e l c a p ít u lo 4 s e ñ a l a m o s q u e l a r e s p u e s t a d e u n m e d i o ( d i e lé c t ri c o ) a u n c a m p o  E  e r a u n a d e n s i d a d d e c a r g a d e p o l a r iz a c i ó n  p p  = - V ■ P (
JM = V x M

( j M = - n x M)

d o nd e M = A m / A v e s e l m o m e n t o m a g n é t i co p o r u n i d a d d e v o l u m e n d e l m a t e r ia l . E l  p o te n c ia l v e c to r d e b id o a la m a g n e ti z a c ió n es = t i

í 

 JtJ

4

|r —r |

E l c a m p o t o t a l B c a u s a d o p o r l a c o r r i e n t e d e t ra n s p o r t e e s t a c i o n a r i a m á s  l a c o r r i e n t e d e m a g n e t iz a c i ó n s a t is f a c e

V x B = /x0(J + J M). O bserve que V •

= 0 . E s c o n v e n i e n t e d e f i n i r e l c a m p o v e c to r i a l

H = — B  - M Mo

d e m o d o q u e V x H = J , c o n s o l am e n t e l a s c o r r ie n t e s d e t ra n s p o r te c o n v e n c i o n a l es c o m o f u e n t e s. P a r a u n m e d i o d a d o , d e b e c o n o c e r s e l a s u s c e p t ib i li d a d m a g n é t i c a en l a e c u a c i ó n c o n s t it u ti v a .

M = XmiH) H C o m b i n a d a c o n l a d e f i n ic ió n d e H , s e t ie n e

B =  f i(H ) H d o n d e ¡ i = /iQ[ l +  XmW ] -  E s t a r e la c i ó n , j u n t o c o n l as e c u a c i o n e s d i f e r e n c i a le s

V • B = 0,

V x H = J

d e t e r m i n a lo s c a m p o s B y H , s u j e to s a l a s c o n d i c i o n e s e n l a f r o n te r a

B 2n _ B ln = 0 ,

H 2, — H j , = j x n 2

• L a m a y o r í a d e lo s m a t e r ia l e s s o n d i a m a g n é t i c o s (X m  < 0 ) o p a r a m a g n é t i c o s (X m > 0 ) ; e n c u a l q u i e r a d e l o s c a s o s , \%m\ « 1. L o s m a t e r ia l e s m a g n é t i c o s d e i m p o r t a n  c i a p r á c t i c a s o n f e r r o m a g n é t i c o s . P a r a e s t o s ,  x I j  pu ede ser may or que 1000, pero B = B (H ) n o e s l in e a l y n o t i e n e v a l o r ú n i c o ( h i s té r e s i s ) . • D e b i d o a q u e V x H = 0 , e n l os p r o b l e m a s e n t r a n s p o r t e e s c o n v e n i e n t e u s a r e l p o t e n c i a l e s c a la r ,

H = -V
lo s q u e n o h a y c o m e n t e s d e

Problemas

253

C o m o V * B = 0, V • H = - V • M ,
= V M

U n a s o l u c ió n e s

_ _ L f  P M (r ').d v '  ,

4;rV„ |r — r'| d o n d e  p M = - V • M ,

 f  g M ( f' ) ¿ g ' 4 ^ 14 |r - r'|

= n • M . (Esta solución es útil si M es un a función dada.)

♦ E n l o s p r o b l e m a s c o n m e d i o s li n e a l e s o q u e t ie n e n M u n i f o r m e , V ■ H = 0 y (p* s a t i s f a c e l a e c u a c i ó n d e L a p l a c e . E s t o s p r o b l e m a s s o n id é n t i c o s a l o s c o r r e s p o n d i e n  t es p r o b l e m a s e l e c tr o s t á ti c o s s i n d e n s i d a d d e c a r g a e x t e r n a .

•

L a l e y d e A m p é r e r e l a c i o n a e l c a m p o H c o n l a c o r r ie n t e d e t r a n s p o r te :

• L a s o l u c ió n p a r a H s e d i v i d e e n u n a p a r t e d e b i d a a l a c o r r i e n t e d e t r a n s p o r t e y o t r a d e b i d a a l o s m a t e r ia l e s m a g n é t i c o s :

1_ f J ( r ' ) x ( r - r ') \n ) 

| r - r f  

dv ' -

  V
(El cálculo del segund o término depende d el conocim iento de M(H).) • E n p r e s e n c i a d e m a t e r ia l e s f e r r o m a g n é t ic o s c o n ¡ i g r a n d e , u n a a p r o x i m a c i ó n ú t i l p u e d e s e r c o n s i d e r a r q u e t o d o e l fl u j o <2> e s tá c o n f i n a d o e n u n v o l u m e n c o n o  cido. Entonces  N I =

donde la reluctancia

s e p u e d e c a l c u la r p a r a c a d a e l e m e n t o d e l c i r c u i t o m a g n é t i c o .

9.1 Un imán permanente tiene la forma de un cilindro recto de longitud L. Si la magnetización M es uniforme y tiene la dirección del eje del cilindro, encuentre las densidades d e co m ente de magnetización JM  y  j M. Compare la distribución de la co rriente con la de un solenoide. 9.2 (a) Ha lle la distribución de corrientes de mag netización corresp ondien tes a un a esfera uniformemente magnetizada con magnetización M. Según la ecuación (9-63), la inducción mag nética B es uniforme en el interior de dicha esfera, (b) ¿Puede usar esta inform ación par a diseñar un devan ado por el que pase una corriente que produzca un campo magnético uniforme en una región esférica del espacio? 9.3 (a) El momento magnético de un cuerpo macroscópico se define como Jy M d a  Dem uestre la relación

‘CAPÍTULO

10 Teoría microscópica del magnetismo

E n e l c a p í t u l o a n t e ri o r n o s o c u p a m o s d e l o s a s p e c to s m a c r o s c ó p i c o s d e l a m a g  n e t i za c i ó n . L a s p r o p i e d a d e s m a g n é t i c a s d e l a m a t e r ia s e i n t r o d u j e r o n e x p l í c i ta m e n t e a t ra v é s d e l a f u n c i ó n M , l a c u a l s e r e la c i o n ó c o n l a i n d u c c ió n m a g n é t i c a p o r m e d i o d e  p a r á m e tro s d e te r m in a d o s e x p e rim e n ta lm e n te . E n e s te c a p ítu lo c o n s id e r a re m o s la m a  t e ri a d e s d e e l p u n t o d e v i s ta m i c r o s c ó p i c o ( e s d e c i r, c o m o u n a a g r u p a c i ó n d e á t o m o s o m o l é cu l a s) y v e r e m o s c ó m o r e s p o n d e n la s m o l é cu l a s i n d iv i d u a le s a u n c a m p o m a g n é  t i c o i m p u e s t o . S i e s t e p r o c e d i m i e n t o s e r e a l iz a r a e n l a f o r m a m á s c o m p l e t a p o s ib l e , f i n a l iz a r í a m o s c o n e x p r e s i o n e s t e ó r ic a s p a r a l a s u s c e p t i b il id a d y c o n r e l a c i o n e s  B - H   p a r a to d o s lo s tip o s d e m a te ria le s . C ie rta m e n te , ta l p ro c e d im ie n to q u e d a m á s a llá d el a l c a n c e d e e s t e li b r o ; s i n e m b a r g o , p o d e m o s d e m o s t r a r c o n f a c il id a d c ó m o s e o r i g in a n l o s d i v e r s o s t ip o s d e c o m p o r t a m i e n t o m a g n é t i c o , y a d e m á s d e d u c i r e x p r e s i o n e s q u e  p re d ig a n el o rd e n d e m a g n itu d c o rr e c to d e la s u s c e p tib ilid a d e n a lg u n o s c a s o s . U n a n á li s is m u c h o m á s c o m p l e to y d e t a ll a d o d e l o s t em a s p r e s e n t a d o s a q u í p o d r á e n c o n  t r a rs e e n l i b r o s d e f ís i c a d e l e s t a d o s ó l i d o . t E n l a f o r m u l a c i ó n m a c r o s c ó p i c a d e l c a p í tu l o 9 t r a ta m o s d o s c a m p o s v e c t o r i a l e s, B y H , q u e r e l a c i o n a m o s m e d i a n t e la e c u a c i ó n B = ¿u0( H + M ) . D e s d e e l p u n t o d e v i s ta m i c r o s c ó p i c o , l a d is t in c i ó n e n t r e B y H d e s a p a r e c e e n g r a n p a r t e p o r q u e c o n s i d e r a m o s una agrupación de moléculas (es decir, una agrupación de dipolos magnéticos o de g r u p o s d i p o l a r e s ) e n e l v a c ío . N o s i n t e r e sa e l c a m p o m a g n é t i c o c e r c a d e u n a m o l é c u l a en el vacío o en la posición de una molécula cuando ésta se quita del sistema. Por t a n t o , B ^ = / ¿ 0H m. A q u í e l s u b í n d i c e m   i n d i c a “ m i c r o s c ó p i c o ” , p e r o e n l a s s i g u i e n t e s

* Este capítulo puede omitirse sin pérdida de continuidad. t Véase, por ejemplo, C. Kittel,  In tr od uc tion to S o li d S ta te P hys ic s, 6a. ed., Nueva York, Wiley, 1986, caps. 14 y 15.

258

1 0 T e o r ía m i c ro s c ó p i c a d e l m a g n e ti sm o

s e c c i o n e s d e e s t e c a p í tu l o e l s í m b o l o B w (y H m) r e p r e s e n t a r á u n v a l o r p a r t i c u l a r d e l c a m p o m i c r o s c ó p i c o , e s d e c ir , e l c a m p o e n l a p o s i c i ó n d e u n a m o l é c u la . C u a n d o s e e s t u d i a e l c a m p o m i c ro s c ó p i c o d e n t r o d e l a m a t e r ia , s e s u e le r e l a c i o  na r c o n e l c a m p o H m a c r o s c ó p i c o , e n lu g a r d e B m c o n e l c a m p o B , p o r q u e t a n to H c o m o H m p u e d e n e s c r i b i rs e s e n c i l la m e n t e e n f u n c i ó n d e l a s i n t e g r a le s s o b r e l a s d o s d i s tr ib u c i o n e s d e c o r r ie n t e y d e d i p o l o s. S i n e m b a r g o , im p o r t a m u y p o c o q u e s e c a l c u  l e H m o B m, p u e s t o q u e d i f i e r e n u n o d e o t r o s ó l o e n u n f a c t o r d e e s c a l a  f i Q.

10.1

CAMPOM O L E C U L A R D E N T R O DELA MATERIA E l c a m p o m a g n é t i c o q u e e s e f e c t iv o e n l a i n t e r a c c ió n c o n l as c o r r i e n t e s a tó m i c a s d e u n á to m o o u n a m o l é c u la s e l la m a c a m p o m o l e c u la r  B m = H m. E n a l g u n o s t e x t o s se l l a m a c a m p o l o c a l ,  y e s e l c a m p o m a g n é t ic o e n u n a p o s i c ió n m o l e c u l a r ( o a tó m i c a) d e l m a t e r i a l. E s t e c a m p o e s p r o d u c i d o p o r to d a s l a s f u e n t e s e x t e r n a s y p o r to d o s l o s d i p o l o s m o l e c u l a re s d e l m a t e ri a l c o n e x c e p c i ó n   d e l a m o l é c u l a ( o d e l á t o m o ) e n e l  p u n to q u e s e e s tá c o n s id e ra n d o . E s e v id e n te q u e B m n o ti e n e q u e s e r ig u a l al c a m p o d e i n d u c c i ó n m a g n é t ic a m a c r o s c ó p i c o , p u e s t o q u e e s t a ú l ti m a c a n t i d a d s e r e l a c i o n a c o n l a f u e r z a s o b r e u n e l e m e n t o d e c o r ri en t e c u y a s d i m e n s i o n e s s o n g r a n d e s c o m p a r a d a s c o n l a s d i m e n s i o n e s m o l e c u l a r e s. E l c a m p o m o l e c u l a r p u e d e c a l c u l a r se p o r u n p r o c e d i m i e n to s e m e j a n te a l d e l a sección 5.1 para el campo eléctrico molecular en un dieléctrico. Consideremos un o b j e to m a t e ri a l d e f o r m a a r b i tr a ri a, q u e p o r c o n v e n i e n c i a s u p o n e m o s q u e e s t á m a g n e  t iz a d o u n i fo r m e m e n t e c o n m a g n e t iz a c ió n M . S a q u e m o s u n a p e q u e ñ a m u e s t ra d e l o b   je to , d e ja n d o u n a c a v id a d e s f é r ic a a lr e d e d o r d e l p u n to e n el q u e s e v a a c a lc u la r el c a m p o m o l e c u l a r (v é a s e l a f i g u r a 1 0 .1 ) . E l m a t e r i a l q u e q u e d a d e b e c o n s i d e r a r s e c o m o un continuo, esto es, desde el pun to de vista macroscó pico. A co ntinuación, volvem os a poner el material en la cavidad, molécula por molécula, excepto la molécula del c e n t ro d e l a c a v id a d , d o n d e q u e r e m o s c a l c u l a r el c a m p o m o l e cu l ar . L a s m o l é c u la s q u e s e h a n v u e l t o a p o n e r e n s u lu g a r d e b e n c o n s i d e r a r s e n o c o m o u n c o n t i n u o , s i n o c o m o d i p o l o s i n d i v i d u a l e s o c o m o g r u p o s d i p o la r e s .

FIGURA 10.1 C á l c u l o d e l a c o n t r ib u c i ó n d e l a s u p e r f i c ie d e l a “ c a v i d a d ” a H w,. + y r e p r e s e n ta n l a c a r g a m a g n é t i c a ( e s d e c i r, l o s  p o lo s q u e s e d ir ig e n a N y S).

1 0.1 C a m p o m o l e c u l a r d e n t ro d e l a m a t e r ia

25 9

E l ca m p o m a c r o s c ó p i c o  H , l a i n te n s i d ad m a g n é t ic a d e l a m u e s t r a, p u e d e e x p r e  s a r s e , se g ú n l a e c u a c i ó n ( 9 - 2 7 ) , co m o H = 2 _ f ü

4J

+ ±

ü

+ J_ L

|r-r'|-’

j aJ . L

4 j t  J s 

+ 4* J

(r - r ' ) . -

|r - r ' |3ÚV 

^ l da.

|r —r |

d o n d e l a s i n t e g r a l e s s e e x t ie n d e n s o b r e t o d a s l a s f u e n te s : J ,  p M  y CM. E l c a m p o m o l e c u l a r H , wp u e d e e x p r e s a r s e d e f o r m a se m e j a n te , e x c e p t o q u e a h o r a h a y c o n t r i b u c i o n e s a d i  c i o n a l e s d e l a s u p e r f i c ie d e l a c a v i d a d y d e l o s d i p o l o s i n d i v i d u a l e s d e n t r o d e é s t a . L a i n t e g r a l d e  p M( r - r ^ / l r - r ' l 3 s o b re e l v o l u m e n d e l a c a v i d a d n o n e c e s it a e x c lu i rs e e s p e c í f i c a m e n t e , p u e s t o q u e  p M   = - V • M = 0 e n l a m u e s t ra u n i fo r m e m e n te m a g n e t i z a d a . P o r ta n t o , H m = H + H* + H '

(1 0-1 )

d o n d e H e s ' l a i n te n s i d a d m a g n é t ic a m a c r o s c ó p i c a d e l a m u e s t ra , es la contribu c i ó n d e l a d e n s i d a d d e p o l o s s u p e r f i c i a l o M = M n  s o b r e l a s u p e r f i c i e d e l a c a v i d a d ( v é a s e l a f ig u r a 1 0. 1) y H ' e s l a c o n t r i b u c i ó n d e l o s d i s t i n t o s d i p o l o s d e l i n t e r i o r d e la cavidad. D e la deducción correspondiente en la sección 5.1, sc ve que H es H , = 3M

(1 0-2 )

A d e m á s , l a c o n tr i b u c i ó n d e l o s d i p o l o s e n l a c a v id a d

 _

1 v P í r n , ■r,) r,

"

-----------

m ,] T fi 

110-3}

d o n d e r . e s l a d i s ta n c i a d e l í - é s i m o d i p o l o a l c e n t ro d e l a c a v i d a d y t i e n e l a m i s m a f o r m a q u e e l t é rm i n o d i p o l a r e l é c t r ic o c o r r e s p o n d i e n t e E ' e n l a s e c c i ó n 5 . 1 .

P o r t a n t o , s i r e s t r i n g i m o s n u e s t r o i n t e r é s a l a c l a s e b a s ta n te a b u n d a n t e d e m a t e r ia l e s p a r a lo s c u a l e s s e a n u l a l a e c u a c i ó n ( 1 0 - 3 ) , l a e c u a c i ó n ( 1 0 - 1 ) d e l c a m p o m o l e c u la r s e r e d u c e a H m = H + }M

(1 0-4 )

Bm = MoH m

(10-5)

y

Las ecuaciones (10-4) y (10-5) dan el campo molecular en función de la intensidad magnética macroscópica y la magnetización de la muestra. Para la mayoría de los

260

10 Teoría microscóp ica del m agnetismo

m a te r ia le s dia m a g n étic o s y pa ra m a g né tic o s, e l té rm i n o j M = j ^ ffH e s d e sp r e  c i a b le m e n t e p e q u e ñ o , p e r o p a ra m a t e r i a le s f e r r o m a g n é t ic o s l a c o r r e c c i ó n e s m u y importante.

1 0.2

Z

O R I G E N D E L D IA M A G N E T IS M O P a r a c a l c u l a r l a s u s c e p ti b il id a d d i a m a g n é t i c a d e u n c o n j u n t o d e á t o m o s d e b e m o s s a   b e r a lg o a c e rc a d e l m o v im ie n to e le c tró n ic o e n el á to m o m is m o . S u p o n d re m o s q u e c a d a e le c t r ó n c i r c u l a a l re d e d o r d e l n ú c l e o a t ó m i c o e n a l g u n a c l a s e d e ó r b i ta y , p o r c o n v e n i e n c ia , e l e g ir e m o s u n a ó r b i t a c i rc u l a r d e r a d i o  R  e n u n p l a n o p e r p e n d i c u l a r a l c a m p o m a g n é t i c o a p l ic a d o . L a m e c á n i c a c u á n t ic a n o s d i c e q u e , a u n c u a n d o e s t a fo r m a d e r a z o n a m i e n t o e s a p r o x i m a d a m e n t e c o r r e c ta , l o s e l e c t ro n e s n o c i rc u l a n e n ó r b i ta s  b ie n d e f in id a s . P a ra re s o lv e r a d e c u a d a m e n te el p r o b le m a , te n d ría m o s q u e re s o lv e r la e c u a c i ó n d e S c h r o e d i n g e r p a r a u n e le c t r ó n a t ó m i c o e n u n c a m p o m a g n é t i c o ; si n e m   b a rg o , n u e s tr o c á lc u lo “c lá s ic o ” u n ta n to in g e n u o d a el o rd e n d e m a g n itu d c o rre c to  p a r a la s u s c e p ti b il id a d d ia m a g n é ti c a . Antes de que se aplique el campo de inducción magnética, el electrón está en e q u i l ib r i o e n s u ó r b i t a :  Fq = m ec o lR , 

(10-6)

d o n d e F e s la f u e r z a e lé c t r ic a q u e m a n t ie n e a l e le c t r ó n e n s u á to m o , (ú,  e s la f re c u e n  c i a a n g u l a r d e l e le c t r ó n e n s u ó r b i ta y m e e s l a m a s a d e l e l e c tr ó n . A l a p l i c a r u n c a m p o m a g n é t i c o s e e j e r c e u n a f u e r z a a d i c io n a l - e \  x B m s o b r e e l e l e c t r ó n ; s u p o n i e n d o q u e e l e l e c tr ó n p e r m a n e c e e n l a m i s m a ó r b i t a , se e n c u e n t r a q u e  Fq ± e c o R B m = m r (o 2R q u e , c u a n d o s e c o m b i n a c o n l a e c u a c i ó n ( 1 0 - 6 ), d a ±eo>Bm = m , ( o i -

w „ ) ( w + a>0)

( 10 -7 )

L a c a n t id a d A ( 0 = ( ú - co{) e s e l c a m b i o e n l a f r e c u e n c i a a n g u l a r d e l e l e c t ró n . D e a q u í q u e e l e l e c tr ó n s e a c e l e r a o b i e n d i s m i n u y e s u v e l o c i d a d e n s u ó r b i t a , d e p e n d i e n d o d e l a f o r m a g e o m é t r i c a d e t a l l a d a ( e s d e c i r , d e l s e n t id o d e v x B ^ c o n r e s p e c t o a F
(10-8)

L a c a n t id a d ( e / 2 m f ) B m s e U a m a f r e c u e n c i a d e L a r m o r . H a s t a e s t e p u n t o h e m o s s u p u e s t o s im p l e m e n t e q u e e l e le c t r ó n p e r m a n e c e e n l a m i s m a ó r b i t a . H e m o s u t il iz a d o e s t a s u p o s i c i ó n j u n t o c o n e l e q u i l i b r io d e f u e r z a s p a r a

10.2 Origen del diamagnetismo

261

d e d u c i r la e c u a c i ó n ( 1 0 - 8 ) . P a r a q u e e l e l e c t ró n p e r m a n e z c a e n s u ó r b i ta , e l c a m b i o e n s u e n e r g í a c i n é t ic a , c o m o s e d e t e r m i n ó p o r l a l e y d e i n d u c c i ó n d e F a r a d a y , d e b e s e r c o n s i s t e n te c o n l a e c u a c i ó n ( 1 0 - 8 ). * C u a n d o s e c o m i e n z a a g e n e r a r e l c a m p o m a g n é  t i c o , h a y u n c a m b i o e n e l f l u j o a t r a v é s d e l a ó r b it a d a d o p o r k R 2 A B n¡,  E s t e f l u j o a t r a v i e s a l a s An  e s p i r a s o r b i t a l e s e l e c t r ó n i c a s , d o n d e An  e s e l n ú m e r o d e r e v o l u c i o n e s r e a l i z a d a s p o r e l e l e c tr ó n d u r a n t e el t i e m p o e n q u e e l c a m p o c a m b i a . E l f l u jo v a r ia b l e  p ro d u c e u n a fe m d e a c u e rd o c o n l a le y d e F a ra d a y :

dB m . dt

D2 dn

% =  J tR 2 —  —r 2 A A n =  jnt RR 22 -—A- B m 

di 

(i0-9)

L a e n e r g í a d a d a a l e le c t r ó n e n e s t e p r o c e s o e s C ic y e s to a p a r e c e c o m o u n c a m b i o e n l a e n e r g í a c i n é t ic a :

\m - m eeR\a>2 R \ ( o 2 - iiúl)  ú l ) = ercR  e r c R 2 — A B m  ¿ at 

( 1 0- 1 0)

P e r o A B m e s s ó l o e l v a l o r f i n al d e l c a m p o  Bn¡y y e l v a l o r p r o m e d i o d e d n /d t = (co + coQ)/  4 n . Así,

A có = —  B m 2m e d e a c u e r d o c o n l a e c u a c i ó n ( 1 0 - 8 ) . P o r t a n to , l a s u p o s i c ió n d e u n a ó r b i t a c o n s t a n t e n o c o n d u c e a u n a c o n t r a d i c c i ó n e n t r e ( 1 0 - 9 ) y l a e c u a c i ó n d e l a s f u e rz a s . E l d i a m a g n e t i s m o e s e l r e s u l ta d o d e l a l e y d e L e n z o p e r a n d o a e s c a l a a tó m i c a . B a j o l a in f l u e n c i a d e u n c a m p o m a g n é t i c o , l a s c o r r i e n t e s e l e c t ró n i c a s e n c a d a á t o m o s e m o d i f i c a n d e t a l m o d o q u e t i e n d e n a d e b i l i ta r el e f e c t o d e e s t e c a m p o . El cambio en la velocidad angular predicho por la ecuación (10-8) produce un c a m b i o e n e l m o m e n t o m a g n é t ic o d a d o p o r  

P a r a h a l l a r l a m a g n e t i z a c ió n , e s t e r e s u l ta d o d e b e s u m a r s e s o b r e t o d o s l o s e l e c t r o n e s e n u n a u n i d a d d e v o lu m e n . P a r a u n a s u s t an c i a q u e c o n t i e n e / / m o l é c u l a s p o r u n i d a d d e v o l u m e n , t o d a s d e l a m i s m a e s p e c i e m o l e c u l ar , M =

4m e

( 10- 12)

donde  la suma se efectúa sobre los electrones de una molécula. Para materiales d i a m a g n é t i c o s , H d i f ie r e m u y p o c o d e H , d e m o d o q u e l a s u s c e p t ib i l id a d d i a m a g n é t i c a

* La ley de inducción de Faraday y la ley de Lenz se tratan en el capítulo 11, sección 11.1.

262

10 T e o r ía m i c ro s c ó p i c a d e l m a g n e t is m o

 x „ = -

^

4m eW 

i 

 

, l ü - 1 3 a’

E s t e r e s u l t a d o s e h a o b t e n i d o s u p o n i e n d o q u e to d o s l o s e l e c t ro n e s c i r c u l a n e n p l a n o s  p e r p e n d ic u la r e s a l c a m p o  R m. C u a n d o l a ó r b i ta s e in c l in a , d e m o d o q u e u n a n o r m a l a l a ó r b i t a f o r m a u n á n g u l o 0. c o n e l c a m p o , s ó l o l a c o m p o n e n t e d e H m a lo l a r g o d e e s t a n o r m a l (H m e o s & ) e s e f e c t i v a p a r a a l t e r a r l a v e l o c id a d a n g u l a r d e l e l e c t ró n . A d e m á s , l a c o m p o n e n t e d e A m p a r a l e la a l c a m p o e s m e n o r p o r e l f a c t o r e o s & . P o r ta n t o , u n a m e j o r a p r o x i m a c i ó n a l a s u s c e p t ib i l id a d d i a m a g n é t ic a e s

4m e

2

« ÍW

8 ,-

( 1 0 - 13b)

E l d i a m a g n e t i s m o p r o b a b l e m e n t e e s t á p r e s e n t e e n t o d o t ip o d e m a t e r ia , p e r o s u e f e c t o e s f r e c u e n t e m e n t e e n m a s c a r a d o p o r un c o m p o r t a m i e n t o p a r a m a g n é t ic o o f e r r o m a g n é t ic o m á s in t e n s o q u e p u e d e t e n e r l u g a r s i m u l tá n e a m e n t e e n e l m a t e ri a l. E l d i a m a g n e t i s m o e s p a r ti c u l a r m e n t e n o t a b le e n lo s m a t e r ia l e s q u e c o n s i s t e n e n t e r a m e n  te de átomos o iones con ‘‘capas electrónicas cerradas”, ya que, en estos casos, todas l as c o n t ri b u c i o n e s p a r a m a g n é t i c a s s e c a n c e la n .

10.3

~

ORIGEN DEL PARAMAGNETISMO E l m o v i m i e n t o o r b i ta l d e c a d a e l e c t ró n e n u n á t o m o o m o l é c u l a p u e d e e s c r i b i r s e en f u n c i ó n d e u n m o m e n t o m a g n é t i c o ; e s to s e d e d u c e d ir e c ta m e n t e d e l a e c u a c ió n ( 8 - 2 2 ) . A d e m á s , s e s a b e q u e e l e l e c t r ó n t i e n e u n a p r o p i e d a d i n t r í n s e c a l l a m a d a e s p í n ,  y u n m o m e n t o m a g n é t ic o i n tr ín s e c o a s o c i a d o a e s t a c a r g a c o n e s p í n . D e e s t e m o d o , c a d a m o l é c u l a t ie n e u n m o m e n t o m a g n é t ic o m . q u e e s l a s u m a v e c to r ia l d e l o s m o m e n t o s orbitales y de espín de los diversos electrones de la molécula. En resumen, el  p a r a m a g n e ti s m o r e s u lta d e la te n d e n c ia d e e s to s m o m e n to s m o le c u la re s a a li n e a rs e c o n e l c a m p o a p l ic a d o , a l i g u al q u e e l c i r c u it o d e c o r r i e n t e d e l a e c u a c i ó n ( 8 - 1 9 ) t ie n d e a alinearse con el campo. S i n e m b a r g o , l a s it u a c i ó n n o e s t a n c l a r a c o m o l a d e u n c i r c u i t o d e c o r r i e n t e . D e h e c h o , h a y d o s c o m p l ic a c io n e s : ( 1) e n p r e s e n c i a d e u n c a m p o m a g n é t i c o , lo s m o v i  mientos electrónicos están cuantizados de tal modo que cada momento orbital y de e s p í n t ie n e s ó l o u n c o n j u n t o d i s c r e t o d e o r i e n t a c i o n e s r e l a t iv a s a l s e n t i d o d e l c a m   p o . A d e m á s , d o s e le c tr o n e s d e la m o lé c u la n o p u e d e n o c u p a r e l m is m o e s ta d o c u á n t ic o , d e m o d o q u e s i h a y s u f ic i e n t e s e l e c t ro n e s p o r m o l é c u l a p a r a l l e n a r la s “capas electrónicas”, entonces deben utilizarse todas las posibles orientaciones y m . es c e r o . E s t á c l a r o q u e e l p a r a m a g n e t is m o p u e d e t e n e r lu g a r s ó l o c u a n d o m . * 0 . ( 2 ) E l m o v i m i e n t o e l e c tr ó n i c o d e n tr o d e u n á t o m o q u e d a o r i g e n a m . t a m b i é n p r o  d u c e u n m o m e n to a n g u l a r c o n r e s p e c to a l n ú c le o a t ó m i c o ; d e h e c h o , m ¿ e s tá l in e a l m e n t e r e l a c io n a d o c o n e s t e m o m e n t o a n g u l a r. E n e s t a s c o n d i c i o n e s , el m o  m e n t o d e r o t a c ió n m a g n é t ic o n o a l i n e a d ir e c t a m e n t e e l m o m e n t o d i p o l a r m . c o n e l c a m p o , s in o q u e o r i g in a u n m o v i m i e n t o d e p r e c e s ió n c o n r e s p e c t o a l c a m p o c o n u n a

1 0 .3 O r i g e n d e l p a r a m a g n e t is m o

263

i n c l in a c i ó n c o n s t a n t e .* L o s á t o m o s ( o la s m o l é c u l a s ) e n n u e s t ro s i s t e m a m a t e r ia l e s  t á n e n c o n t a c t o t é r m i c o e n t r e s í. E n u n g a s o e n u n l íq u i d o , l o s á t o m o s e s t á n s u f r ie n d o c o n t i n u a m e n t e c o l is i o n e s u n o s c o n o t ro s ; e n u n s ó l id o , l o s á t o m o s e s t á n e x p e r i m e n  t a n d o u n a o s c i l a c ió n t é r m i c a . E n e s t a s c o n d i c i o n e s , lo s d i v e r s o s m / p u e d e n i n t e r c a m b i a r l a e n e r g í a m a g n é t ic a c o n l a e n e r g í a t é r m i c a d e s u m e d i o a m b i e n t e y h a c e r t r a n s ic i o n e s d e u n e s t a d o d e p r e c e s ió n a o t ro c o n o t r a in c l i n a c ió n d i s t in t a . L a e n e r g í a té r m i c a d e l s i s t e m a t i e n d e a p r o d u c i r u n a o r i e n t a c i ó n c o m p l e t a m e n t e a l e a t o r i a d e m.,  p e r o la s o r i e n t a c io n e s a l o la r g o d e l a d ir e c c ió n d e l c a m p o o c e r c a n a s a e l l a ti e n e n u n a m e n o r e n e r g í a m a g n é t i c a y, p o r t a n to , s o n f a v o r e c i d a s . L a s i tu a c i ó n e s b a s t a n t e s e m e j a n t e a l a d e l a s m o l é c u l a s p o l a r e s d e u n c a m p o e l é c tr ic o q u e s e a n a l iz ó e n l a s e c c i ó n 5 .3 . P a r a u n m a t e ri a l c o m p u e s t o t o t a lm e n t e p o r u n a e s p e c i e m o l e c u la r , e n e l q u e c a d a m o l é c u l a ti e n e u n m o m e n t o m a g n é t i c o ra 0, la o r i e n t a c ió n f r a c c i o n a r i a e s t á d a d a d e f o r m a a p r o x i m a d a p o r l a f u n c i ó n d e L a n g e v i n , e c u a c ió n ( 5 -2 1 ) , c o n  y =

( 10 - 14 )

L a m a g n e t iz a c ió n e s t á d a d a p o r  

|M| = Mrto^cothy —-j

(10-15a)

d o n d e  N  e s e l n ú m e r o d e m o l é c u l a s p o r u n id a d d e v o l u m e n . E x c e p t o p a r a t e m p e r a tu  ras cercanas al cero absoluto, la función de Langevin puede aproximarse al primer t é r m i n o d e s u s e r i e d e p o t e n c i a s:

M = í3rk FT  ^ H '"

( l° - 5Ib)

q u e d a l a s u s c e p t ib i l id a d p a r a m a g n é t i c a  N m l f i 0

 Xm= 3lcT 

(10-16)

S e g ú n l a t e o r í a a tó m i c a , m {) e s t á e n e l in t e r v a lo d e u n o s c u a n t o s m a g n e t o n e s d e B o h r (1 m a g n e t ó n d e B o h r = ehf4rcme,  d o n d e h   e s l a c o n s t a n t e d e P l a n c k ) . L a s e c u a c i o n e s ( 1 0 - 1 6 ) y ( 1 0 - 1 3 b ) e x p l ic a n e l o r d e n d e m a g n i t u d d e l a s x m d e l a t a b l a 9 . 1 . Podemos resumir brevemente los resultados de esta sección como sigue: Para  p o d e r p r e s e n ta r u n c o m p o rta m ie n to p a r a m a g n é ti c o , lo s á to m o s (o la s m o lé c u la s ) d e l s i s te m a d e b e n t e n e r m o m e n t o s m a g n é t i c o s p e r m a n e n t e s , y é s to s t ie n d e n a o r i e n ta r s e en el campo aplicado. Los diversos momentos moleculares se- desacoplan, esto es,  p rc c c s a n a lr e d e d o r d e l c a m p o m a g n é ti c o in d iv id u a lm e n te ( n o al u n ís o n o ) , p e r o p u e  d e n i n t e rc a m b i a r e n e r g í a d e b i d o a l c o n t a c t o t é r m i c o c o n s u m e d i o a m b i e n t e . E x c e p t o

* En divers os textos se puede encontrar un análisis de la precesión de mj. en un cam po m agné tico uniform e. Véase, por ejemplo, H. Goldstein, Classical Mechanics,  Reading, Massachussets, Addison-Wesley, 1950, págs.176-177.

264

10 Teoría m icroscópica del ma gnetismo

a temperaturas cercanas al cero absoluto y para grandes campos simultáneos, la magnetización es mucho menor que el valor de saturación que se obtendría cuando t o d o s l o s m o m e n t o s d i p o l a re s e s t u v i e ra n a li n e ad o s .

10.4

-

TEORIA DEL FERROMAGNETISMO En materiales ferromagnéticos, los momentos atómicos (o moleculares) están ca si a l in e a d o s , a u n e n a u s e n c i a d e u n c a m p o a p l ic a d o . L a c a u s a d e e s t a a li n e a c i ó n e s e l c a m p o m o l e c u la r H mq u e , s eg ú n l a e c u a c i ó n ( 1 0 - 4 ) , n o s e a n u l a c u a n d o H = 0 a m e n o s q u e M s e a n u l e s im u l tá n e a m e n t e . U n a m a g n e t iz a c ió n M d a l u g a r a u n c a m p o m o l e cu  l a r , p e r o a m e n o s q u e e s t e c a m p o m o l e c u l a r  p r o d u z c a   l a m i s m a m a g n e t iz a c ió n M q u e s e s u p o n e q u e e x i s te e n e l m a t e r ia l , l a so l u c i ó n e s i n c o n s i s te n t e . N u e s t r o p r o b l e  m a c o n s i s t e e n d e t e r m i n a r e n q u é c i rc u n s t a n c i a s s e p u e d e m a n t e n e r l a m a g n e t i z a c ió n  p o r s í m is m a p o r m e d io d el c a m p o m o le cu la r. S e d e m o s t r a rá q u e e s n e c e s a r i o g e n e r a l iz a r l a e c u a c i ó n ( 1 0 - 4 ) h a s t a c i e r to g r a d o . P a r a e l c a m p o m o l e c u la r , e s c r i b ir e m o s H m= H + y M , q ue , p a r a H = 0 , s e r e d u c i rá a

H m = yM

( 1 0- 4a )

S e g ú n l a s e n c i l l a t e o r í a d e la S e c c ió n 1 0 . 1 , y = j . S i l o s t é rm i n o s d e l a e c u a c i ó n ( 1 0 - 3 ) n o s u m a n c e ro , y p u e d e d i f e ri r d e \  ; s in e m b a r g o , e s p r o b a b l e q u e y s e a d e e s t e o r d e n d e m a g n i tu d . L i m i te m o s n u e s t r a a te n c i ó n a u n m a t e ri a l co m p u e s t o t o t a lm e n t e p o r u n a e s p e c i e a t ó m i c a ; c a d a á t o m o t ie n e u n m o m e n t o m a g n é t i c o m Q. H a y  N  á to m o s p o r u n i d a d d e v o l u m e n . P a r a q u e l o s m o m e n t o s a tó m i c o s e s té n c a s i a l in e a d o s ,  M  d e b e s e r u n a f r a c  c i ó n i m p o r t a n te d e  N m 0:  n o o b s t a n t e , c o n e l f in d e c o n c r e t a r , d i g a m o s q u e  M > O J N m  0 

(10-17)

S e g ú n l a e c u a c ió n ( 1 0 - 1 5 ) , e s to i m p l i c a q u e [ c o th  y - ( 1/ y) ] > 0 . 7 o  y   [ q u e s e d e f i n e m e d i a n t e l a e c u a c i ó n ( 1 0 - 1 4 ) ] > 3 . P o r t an t o , = m0n0Hm

 y

k T 

q u e , c u a n d o s e c o m b i n a c o n l a s e c u a c io n e s ( 1 0 - 4 a ) y ( 1 0 - 1 7 ) , d a „ Y ^P o m o _ . 0 7 k T  > 3

( 1 0 -1 8 )

Este resultado es (aproximadamente) la condición para que tenga lugar el ferromagnetismo. E n l a s e c c i ó n a n t e r io r s e d i j o q u e l a t eo r ía a t ó m i c a p r e d i c e q u e m {)  e s t á e n u n i n t e rv a l o d e u n o s p o c o s m a g n e t o n e s d e B o h r . C o n e s t o c o m o b a s e , l a e c u a c i ó n ( 1 0 - 1 8 ) r e q u i e r e u n a y d e a p r o x i m a d a m e n t e 1 03, l o c u a l e s m u c h o s ó r d e n e s d e m a g n i t u d m a  y o r q u e l o q u e p u e d e j u s t i fi c a r l a d e d u c c i ó n p r e s e n t a d a e n l a s e c c i ó n 1 0 .1 . P a r e c e r í a e n t o n c e s q u e e l o r i g e n d e l f e r r o m a g n e t i sm o e s c o n s i d e r a b l e m e n t e m á s c o m p l e j o q u e l a s i tu a c i ó n c o r r e s p o n d i e n t e e n l o s f e r ro e l é c t r ic o s ( a n a l iz a d a e n l a s e c c i ó n 5 .4 ) .

1 0 .4 T e o r í a d e l f e r ro m a g n e t is m o

265

E n 1 9 0 7 , P ie r r e W e is s * f o r m u l ó s u t e o r ía d e l f e rr o m a g n e t i sm o . W e i ss s e d i o c u e n  ta del papel esencial que desempeña el campo molecular. No pudo explicar el gran v a l o r d e y, p e r o l o a c e p t ó c o m o u n h e c h o y s ig u i ó d e s a r r o l l a n d o s u t e o r í a a p a r t i r d e e s e p u n t o . S e e n c o n t ró q u e l as p r e d i c c i o n e s d e s u t e o r í a c o n c o r d a b a n b a s t a n t e b ie n c o n l os e x p e r i m e n t o s . P o r e s t a ra z ó n , a l c a m p o m o l e c u l a r d e l a e c u a c i ó n ( 1 0 - 4 a ) s e l e l la m a a m e n u d o c a m p o m o l e c u l a r d e W e i ss . Quedó para Heisenberg,t unos veinte años más tarde, el explicar el origen del g r a n v a l o r d e y. H e i s e n b e r g d e m o s t r ó , p r i m e r o , q u e s ó l o l o s m o m e n t o s m a g n é t i c o s d e e s p í n c o n t r ib u y e n a l c a m p o m o l e c u l a r y , e n s e g u n d o l u g ar , q u e e l c a m p o e s p r o d u c i d o  b á s ic a m e n te p o r fu e rz a s e le c tr o s tá tic a s . T o m a n d o c o m o b a s e la m e c á n ic a c u á n ti c a , d e m o s t ró q u e c u a n d o l o s e s p in e s d e á to m o s v e c in o s c a m b i a n d e u n a l in e a m i e n to p a r a  l e l o a o t r o a n t i p a ra l e lo , t ie n e q u e h a b e r u n c a m b i o s i m u l tá n e o e n l a d i s tr i b u c ió n d e c a r g a e l e c t ró n i c a e n l o s á to m o s .$ E l c a m b i o e n l a d is t r ib u c i ó n d e c a r g a a l t e r a l a e n e r  g í a e l e c t r o s t á t i c a d e l s i s t e m a y, e n a lg u n o s c a s o s , f a v o r e c e l a a l in e a c i ó n p a r a l e l a ( e s t o e s , e l fe r r o m a g n e t i s m o ) . U n a e n e r g í a d e p e n d i e n te d e l e s p í n , o s e a , u n a e n e r g í a q u e d e p e n d e d e l a c o n f i g u r a c ió n d e l e s p ín d e l s i s te m a , p u e d e c o n s i d e r a r s e e n t é r m i n o s d e l a fu e r z a ( o m o m e n t o d e r o ta c ió n ) q u e s e p r o d u c e s o b r e u n o d e l o s á t o m o s c u a n d o s e a l t e r a l a c o n f i g u r a c i ó n . E l c a m p o e q u i v a l e n t e r e s u l ta s e r p r o p o r c i o n a l a M , p e r o c o n u n c o e f i c i e n t e q u e d e p e n d e e n d e t a ll e d e l a d i s tr i b u c ió n d e c a r g a e n e l á t o m o e n c o n  sideración. L a t e o r ía d e W e i ss - H e i s e n b e r g p u e d e u t il iz a r s e p a r a p r e d e c i r la f o r m a e n q u e l a m a g n e t i z a c i ó n d e u n f e r r o i m á n c a m b i a c o n l a te m p e r a t u r a . E s e v i d e n t e q u e l a t e o rí a describe el ferromagnetismo como el caso límite del paramagnetismo en un campo m a g n é t ic o e x t r e m a d a m e n t e g r a n d e , p e r o e s te c a m p o p r o v i e n e d e l a p r o p i a m a g n e t i z a c ió n . C o m b i n a n d o l a e c u a c i ó n ( 1 0 - 4 a ) c o n ( 1 0 - 1 4 ) y ( 1 0 - 1 5 ) s e ti e n e  M  = M n o ^ c o t h y -

,,

 M  =

kTy

— YHomo

(1 0-1 9)

( 1 0 -2 0 )

L a m a g n e t iz a c ió n e s p o n t á n e a, e s d e c ir , l a m a g n e t i z a c ió n e n u n c a m p o e x t e r n o c e r o ,  p a r a u n a te m p e ra tu ra d a d a , s e o b ti e n e a p a r ti r d e la s o lu c ió n s im u lt á n e a d e la s e c u a c io n e s ( 1 0 - 1 9 ) y ( 1 0 - 2 0 ) . E s t o s e h a c e f á c i lm e n t e m e d i a n t e u n p r o c e d i m i e n t o g r á f ic o : r e p r e  s e n t a d o g r á f ic a m e n t e  M   e n f u n c ió n d e y p a r a a m b a s  e c u a c i o n e s , ( 1 0 - 1 9 ) y ( 1 0 - 2 0 ) , c o m o s e i n d ic a e n l a f i g u r a 1 0 .2 . L a i n te r s e c c ió n d e l a s d o s c u r v a s d a u n a m a g n e t iz a c ió n  M ( T )  q u e e s c o n s i s t e n t e c o n a m b a s e c u a c io n e s . A m e d i d a q u e l a t e m p e r a t u r a a u m e n t a ,

* P. Weiss, Jo u rn a l d e Phy si qu e, vol. 6, pág. 667, 1907 t W. Heisenberg,  Zei ls ch ri ft fu r P hys ik ,  vol. 49, pág. 619, 1928. } Este camb io de distribución es una consecuencia del principio de exclusión de Pauli.

266

1 0 T e o r í a m i c ro s c ó p i c a d e l m a g n e t is m o

FIGURA 10-2 Determinación de la m a g n e t i z a c ió n e s p o n tá n e a  M (T ) c o n a y u d a d e l a f u n c i ó n d e L a n g e v i n.

l a c u r v a l in e a l , e c u a c i ó n ( 1 0 - 2 0 ) , a u m e n t a s u p e n d i e n t e , p e r o l a e c u a c i ó n ( 1 0 - 1 9 ) n o c a m b i a . P o r t a n t o , e l p u n t o d e i n t e r s e c c i ó n s e m u e v e h a c i a l a iz q u i e r d a e n l a f i g u r a , y s e o b t ie n e u n v a l o r m e n o r p a r a l a m a g n e t iz a c ió n e s p o n t á n e a . F i n a lm e n t e , s e a l c a n z a u n a t e m p e r a t u r a p a r a l a c u a l la e c u a c i ó n ( 1 0 - 2 0 ) e s t a n g e n t e a ( 1 0 - 1 9 ) e n e l o r i g e n ; a e s t a te m p e r a t u r a , y a o tr a s m a y o r e s , la m a g n e t i z a c ió n e s p o n t á n e a e s c e ro . E s t a t e m p e  r a t u r a e s l a t e m p e r a t u r a d e C u r i e, Tc ,p o r e n c i m a d e l a c u a l l a m a g n e t i z a c i ó n e s p o n t á  n e a s e a n u l a y t ie n e l u g a r e l c o m p o r t a m i e n t o p a r a m a g n é t ic o o r d i n a r io . U n a g r á f i c a d e  M ( T )  e n f u n c i ó n d e l a t e m p e r a t u r a , o b t e n i d a s e g ú n e l p r o c e d i  m i e n t o a n t e r io r , s e m u e s t r a e n l a f i g u r a 1 0 .3 . E s t o s v a l o r e s c o n c u e r d a n a p r o x i m a d a  m e n t e c o n l o s v a lo r e s d e l a m a g n e t i z a c ió n e s p o n t á n e a d e te r m i n a d o s e x p e r i m e n t a lm e n t e  p a r a u n m a te r ia l fe rro m a g n é ti c o .

10.5

~

DOMINIOS FERROMAGNETICOS S e g ú n l a s e c c i ó n a n te r io r , u n a m u e s t r a f e r r o m a g n é t i c a d e b e r á m a g n e t iz a r s e c a s i h a s t a l a s a tu r a c i ó n ( i n d e p e n d i e n t e m e n t e d e s u h i s t o r ia a n t e r io r ) a t e m p e r a t u r a s p o r d e b a j o

FIGUR A 10.3 M a g n e t i z ac i ó n d e u n material ferromagnético en función de la temperatura. Tc se llama temp eratura de C u r i e . ( L a c u r v a m o s t ra d a se ha calculado con ayuda de la función clásica de Langevin; las correcciones d e l a m e c á n i c a c u á n t ic a c a m b i a n u n p o c o l a f o rm a de la curva, haciendo que concuerde con los datos experimentales.)

10 .5 D o m i n io s f e r r o m a g n é t ic o s

26 7

FIGURA 10.4 Estructuras de dominios ferromagnéticos: (a) cristal sencillo, (b) m uestra policristalina. Las flechas representan la dirección de magnetización.

(a)

(b)

d e l a t e m p e r a tu r a d e C u r i e . E s t o p a r e c e c o n t r a d e c ir l a o b s e r v a c ió n . P o r e j e m p l o , s a b e  m o s q u e u n a m u e s t r a d e h i e r ro p u e d e e x i s ti r en e s t a d o m a g n e t iz a d o o d e s m a g n e t iz a d o . L a r e s p u e s ta a e s t a a p a r e n te p a r a d o j a e s q u e u n m a t e r ia l f e r r o m a g n é t ic o s e d i v i d e e n d o m i n i o s ; c a d a d o m i n io e s t á t o ta l m e n t e m a g n e t iz a d o s e g ú n l o s r e s u l ta d o s d e l a s e c  c i ó n a n t e ri o r, p e r o l o s d i v e r s o s d o m i n io s p u e d e n o r i e n t a r s e a l a z a r ( F i g . 1 0 . 4 ) y , p o r t a n to , p r e s e n t a r u n a s p e c t o d e s m a g n e t iz a d o d e s d e e l p u n t o d e v i s ta m a c r o s c ó p i c o . E l  p r im e r o q u e p o s tu ló l a p r e s e n c ia d e d o m in io s f u e W e is s, e n 190 7. A l p a s a r d e u n d o m i n io a o t r o a d y a c e n t e , el v e c t o r d e l m o m e n t o a t ó m i c o , m 0, g i r a g r a d u a l m e n t e d e s d e s u d i r e c c i ó n o r i g i n a l a o t r a n u e v a e n e l c u r s o d e u n o s 1 00 á t o m o s ( F i g . 1 0 . 5 ). E s t a r e g i ó n e n t r e l o s d o s d o m i n i o s s e ll a m a  p a r e d d e l d o m in io . P o d r í a p a r e c e r q u e u n m o m e n t o d e e s p í n a tó m i co e n l a re g i ó n d e l a p a r e d e s t á s u j e to a u n c a m p o m o l e cu l ar lig e r a m e n t e m e n o r q u e e l d e u n m o m e n to d e e s p í n a t ó m i c o d e n  t ro d e l p r o p i o d o m i n io . E s t a o b s e r v a c ió n f a v o r e c e r í a p o r s í m i s m a u n a s o l a c o n f ig u r a  c i ó n d e d o m i n io . P o r o t r a p a r te , u n a m u e s t r a q u e c o n s i s te e n u n s o l o d o m i n io d e b e m a n t e n e r u n g ra n c a m p o m a g n é t ic o e x te r n o , m i e n t ra s q u e u n a m u e s t r a d e d o m i n io s m ú l ti p le s t ie n e u n a m e n o r “ e n e r g í a m a g n é t ic a ” a s o c i a d a c o n s u e s t r u c t u ra d e c a m p o . P o r t a n t o , l a e s tr u c t u r a d e d o m i n io s m ú l ti p l e s e s , p o r lo g e n e r a l , e n e r g é t ic a m e n t e f a  vorecida. L o s a s p e c t o s m a c r o s c ó p i c o s d e l a m a g n e t iz a c i ó n e n l o s m a t e ri a le s f e r r o m a g n é  t ic o s s e r e l a c io n a n c o n l o s c a m b i o s e n l a c o n f i g u r a c ió n d e l d o m i n io . E l a u m e n t o e n l a

FIGURA 10.5 Estructura de la región de transición, o “ pared de Bloch”, entre los dominios de un m aterial ferromagnético.

268

1 0 T e o r ía m i c ro s c ó p i c a d e l m a g n e t is m o

magnetización resultante de la acción de un campo magnético aplicado es produ cido por dos procesos independientes: por un aumento en el volumen de domi nios que están orientados favorablemente en relación con el campo, a costa de los d o m i n io s q u e s e o r i e n ta n d e s f a v o r a b l e m e n t e ( m o v i m i e n to d e l a p a r e d d e l d o m i n io ) , o  p o r l a r o ta c ió n d e la m a g n e tiz a c ió n d e l d o m in io h a c ia la d ir e c c ió n d e l c a m p o . L o s d o s  p ro c e s o s s e m u e s tr a n e s q u e m á tic a m e n te e n la f ig u r a 1 0 .6 . E n c a m p o s a p l i ca d o s d é b il es , l a m a g n e t iz a c i ó n c a m b i a g e n e r a l m e n t e p o r m e d io d e l m o v i m i e n t o d e l a p a r e d d e l d o m i n io . E n l o s m a t e r ia l e s p u r o s q u e c o n s i s te n e n u n a s o l a f a s e , e l m o v i m i e n t o d e la p a r e d e s r e v e r s ib l e , e n g r a n m e d i d a , p a r a c a m p o s d é b i  le s . E n c a m p o s m á s i n te n s o s , l a m a g n e t i za c i ó n t ie n e l u g a r p o r u n m o v i m i e n t o d e l a  p a r e d irre v e rs ib le , y f in a lm e n te p o r r o ta c ió n d e d o m in io s . E n e s ta s c irc u n s ta n c ia s , l a s u s ta n c i a p e r m a n e c e m a g n e t iz a d a c u a n d o s e s u p r im e e l c a m p o m a g n é t i c o e x te r n o . E l e s t u d io e x p e r im e n t a l d e d o m i n io s s e h i z o p o s i b l e g r a c ia s a u n a t é c n ic a d e s a  r r o l la d a p o r p r i m e r a v e z p o r F . H . B i tt er .* U n p o l v o m a g n é t ic o f i n a m e n t e d i v i d id o s e e s p o l v o r e a s o b r e l a s u p e r f i c i e d e l a m u e s t r a , y la s p a r t íc u l a s d e l p o l v o , q u e s e r e ú n e n s o b r e la s f r o n te r a s d e l d o m i n io , p u e d e n v e r s e c o n u n m i c ro s c o p i o . P o r m e d i o d e e s t a t é c n ic a s e h a h e c h o p o s i b l e in c l u s o o b s e r v a r el m o v i m i e n to d e l a p a r e d d e l d o m i n io  b a jo la a c c ió n d e u n c a m p o m a g n é ti c o a p li c a d o . E l ta m a ñ o d e lo s d o m in io s v a r ía a m p l i a m e n t e , d e p e n d i e n d o d e l t ip o d e m a t e r ia l , s u h i s to r i a p r e v i a , e t c . L o s v a l o r e s típicos es tán e n el interv alo d e 10-* ha sta 10~2 cm 3.

* F. H. Bitter,  P hys ic al R ev ie w, vol. 41, pág. 507, 1932. P ara un breve an álisis de la técnica, véase B. D. Jiles,  M agn et is m and M agn et ic M at er ia ls ,  Londres: Chapman and Hall, pág. 114, 1991.

FIGURA 10.6 M a g n e t i za c i ó n d e u n material ferromagnético: (a) desmagnetizado, (b) magnetización por el m o v i m i e n t o d e l a p a r ed del dom inio, (c) magnetización por la rotación de dominios.

1 0 .7 R e s u m e n

269

FIGURA 10.7 (a)

Representación esquemática de los espines atómicos en estructuras ordenadas de espín: (a) ferromagnética, (b) antiferromagnética, (c) fcrrimagnética.

(b)

(c)

10. 6

Z

FERRITAS Según la teoría del feiTomagnetismo de Heisenberg, hay un cambio en la energía electrostática relacionado con el cambio de alineación del espín, de paralela a a n t i p a r a le l a , e n l o s á to m o s v e c i n o s . S i e s t e c a m b i o d e e n e r g í a f a v o r e c e l a a l i n e a c ió n  p a r a le la y a l m is m o tie m p o e s d e s u fic ie n te m a g n it u d , e l m a te r ia l fo r m a d o p o r e s to s á t o m o s e s f e r ro m a g n é t i c o . S i e l c a m b i o d e e n e r g í a f a v o r e c e l a a l in e a c i ó n a n t i p a r a le l a , t o d a v í a e s p o s i b l e o b t e n e r u n a e s t r u c tu r a d e e s p í n o r d e n a d a , p e r o c o n e s p i n e s q u e a l te r n a n d e u n á t o m o a o t r o a m e d i d a q u e s e r e c o r r e e l c ri s ta l . U n a e s t ru c t u r a d e e s p ín o r d e n a d a c o n m o m e n t o m a g n é ti c o n e to c e r o s e l la m a a n t i f e r r o i m á n ( F ig . 1 0 .7 b ). L a e s t r u c tu r a d e e s p ín o r d e n a d a m á s g e n e r a l c o n t ie n e c o m   p o n e n te s ta n to d e “ e s p ín h a c ia a rrib a ” c o m o d e “ e s p ín h a c ia a b a jo ” , p e r o tie n e u n m o m e n t o m a g n é t i c o n e t o d i s t in t o d e c e r o e n u n o d e e s t o s s e n t id o s . D i c h o m a t e r ia l s e l l a m a fe r r o im á n  o s i m p l e m e n t e / e r r i t a . L a s f e r ri ta s m á s s e n c i ll a s d e i n t e r é s m a g n é t ic o s o n l o s ó x i d o s r e p re s e n ta d o s p o r l a f ó r m u l a q u í m i c a M 0 F e 20 3, d o n d e M e s u n i o n m e t á li c o d i v a l e n t e , t a l c o m o C o , N i , M n , C u , M g , Z n , C d , o h i e r r o d i v a le n t e . E s t a s f e r ri ta s s e c r i s t a li z a n e n u n a e s t r u c t u r a c r i s ta l in a b a s t a n t e c o m p l i c a d a l l a m a d a e s t r u c  t u r a e s p i n e la . E l e j e m p l o c l á s ic o d e u n a f e r r i t a e s l a m a g n e t it a m i n e r a l ( F e 30 4) , q u e s e c o n o c e d e s d e é p o c a s a n t ig u a s . L a s f e r r i ta s s o n d e c o n s i d e r a b l e i m p o r t a n c i a t é c n i c a p o r q u e , a d e m á s d e s u m a g n e t i z a c ió n d e s a tu r a c i ó n r e la t iv a m e n t e g r a n d e , s o n m a l o s c o n d u c t o r e s d e e l e c t r i  cidad. Por tanto, pueden usarse para aplicaciones de alta frecuencia en las que las  p é rd id a s p o r c o rr ie n te s p a rá s ita s e n m a te r ia le s c o n d u c to r e s o r ig in a n p r o b le m a s s e rio s . L a s r e s i s t i v i d a d e s t í p i c a s d e l a s f e r r i t a s e s t á n e n e l i n t e r v a l o d e 1 a \0 AQ   • m; en c o m p a r a c i ó n , l a r e s i s t iv i d a d e l é c t r i c a d e l h i e r r o e s a p r o x i m a d a m e n t e 1 0"7 Q • m .

10.7

~

RESU ME N L a m a g n e t i z a c i ó n m a c r o s c ó p i c a  M  d e u n m a t e ri a l m a g n é t i c o r e s u l t a d e l m o m e n t o dipolar mag nético (o su com ponen te), que apa rece en respuesta al cam po local en la m o l é c u l a , e l c a m p o m o l e c u l ar  H m. E l c a m p o m o l e cu l a r d e p e n d e d e l c a m p o a p li ca d o

270

10 Teoría m icroscópica del m agnetismo

 H  y t a m b i é n d e l a m a g n e ti z a c ió n m i sm a . L a ú l t im a c o n t r ib u c i ó n , q u e e s u n a c o n s e  c u e n c i a d el c a m p o m a g n é t ic o d i p o l a r d e to d a s l a s o t r a s m o l é c u l a s , n o s d a  H „ = H  + W  q u e a l i g u a l q u e e n e l c a s o d i e lé c tr ic o , e s d e s p r e ci a b le m e n t e p e q u e ñ a p a r a l a m a y o r í a d e l o s m a t e r i a le s l in e a l e s d e b i d o a l a i n s i g n i f ic a n c i a d e l a s u s c e p t ib i l id a d m a g n é t i c a e n  M = Xm H  S i n e m b a r g o , l a m a g n e t iz a c i ó n e s p o n t á n e a o c u r r e e n m a t e r ia l e s f e r r o m a g n é t ic o s p o r  q u e l a c o n t r ib u c i ó n d e l a m a g n e t i z a c ió n a l c a m p o m o l e c u l a r e f e c ti v o t ie n e u n c o e f i  c ie n t e m u c h o m a y o r q u e y . • E n p r e s e n c i a d e u n c a m p o m a g n é t ic o , to d a s la s m o l é c u la s p r e s e n t a n u n m o m e n t o d i p o l a r m a g n é t i c o i n d u c i d o d e b i d o a l a d e f o r m a c i ó n   d e l a d is t r ib u c i ó n d e c o r r i e n t e e l e c tr ó n i c a . L a r e s p u e s t a e s s ie m p r e d e t a l f o r m a q u e d e b i l it a e l c a m p o a p l ic a d o ; e s t o e s , l a c o n t r ib u c i ó n ( d i a m a g n é t i c a ) a l a s u s c e p t ib i li d a d e s s i e m p r e n e g a t iv a . U n a a p r o x i  m a c i ó n l in e a l n o s c o n d u c e a l a c o n s t a n t e d e s u s c e p t i b i l i d a d d i a m a g n é t i c a ,

• L a s m o l é c u la s q u e t ie n e n u n m o m e n t o d i p o l a r m a g n é t ic o p e r m a n e n t e m Qm u e s  t ra n a d e m á s u n a r e s p u e s t a p o r o r i e n ta c i ó n . É s t a s e d e s c r ib e d e f o r m a a p r o x i m a d a c o n l a fu n c i ó n d e L a n g e v i n , a l i g u a l q u e p a r a m o l é c u l a s p o l a r e s e n u n c a m p o e l é c tr ic o . E x c e p t o e n l a p r o x i m i d a d d e l c e r o a b s o l u t o , la s u s c e p t ib i li d a d p a r a m a g n é t ic a r e s u l  tante es  Xm = •

 N m l f i o 3 k T 

Para com prender el ferromagnetismo, se supone que  H m =  H  +  y M 

c o n y » y . ( E st a c o n t ri b u c ió n p r o v i e n e d e u n a e n e r g í a m e c á n i c a c u á n t ic a q u e d e p e n d e d e l a o r i e n ta c i ó n r e la t i v a d e lo s m o m e n t o s m a g n é t i c o s d e e s p í n ; s e s u m a a la e n e r g í a m a g n é t ic a m 0 ■ H y p u e d e p o r ta n t o e x p r e sa r s e e n t é r m i n o s d e u n c a m p o m a g n é t ic o e f e c t iv o , a u n c u a n d o s u o r i g e n s e a e l e c t r o s t á ti c o . ) E n t o n c e s , e s t a e c u a c i ó n y l a e c u a c i ó n d e L a n g e v i n a d m i te n u n a s o lu c i ó n c o n  H  = 0 ,  M   ^ 0 , m i e n tr a s T  e s t é p o r d e b a j o d e l a t e m p e r a t u r a d e C u r i e. • A u n p o r d e b a j o d e l a te m p e r a tu r a d e C u r i e , u n a m u e s t ra m a c r o s c ó p i c a d e m a t e  r ia l f e r ro m a g n é t ic o p u e d e n o m o s t ra r m o m e n t o m a g n é t ic o n e t o d e b i d o a s u e s t r u c t u  r a d e d o m i n io s .

PROBLEMAS

10.1 Un m agnetón de Bohr se define como el momento m agnético de un electrón que circula en la “órbita de B ohr’’ clásica del átomo de hidrógeno. Ésta es una órbita circular de exa ctamente una longitud de onda de de B roglie, para la cual la atracción de Coulomb proporciona la

CAPÍTULO

11 Inducción electromagnética

L a i n d u c c i ó n d e u n a f u e r z a e le c t ro m o t ri z a l c a m b i a r e l fl u jo m a g n é t ic o f u e o b s e r v a d a  p o r p r im e r a v e z p o r F a ra d a y y H e n r y a p r in c ip io s d e l s ig lo x ix . A p a r ti r d e s u s e x p e r i m e n t o s i n i c ia l e s e n e s t a te o r í a s e h a n c r e a d o l o s g e n e r a d o r e s m o d e r n o s , lo s t r a n s f o r  m a d o r e s , e t c. E s t e c a p í t u l o tr a t a p r im o r d i a l m e n t e d e l a f o r m u l a c i ó n m a t e m á t i c a d e l a l e y d e l a in d u c c i ó n e l e c tr o m a g n é t i c a , y s u a p r o v e c h a m i e n t o e n c a s o s s e n c i ll o s . L a e c u a c i ó n q u e c a r a c t e r iz ó a l a e l e c t ro s t á t ic a f u e :

V x E = 0 o , e n f o r m a d e i n t e g ra l ,

 j> E • d i = 0 Estas ecuaciones se obtienen directamente de la ley de Coulomb y no son afectadas  p o r la fu e r z a m a g n é tic a d e b id a a u n a c o r r ie n te e s ta c io n a r ia . S in e m b a r g o , n o s o n v á li  d a s p a r a lo s c a m p o s m á s g e n e r a l e s q u e s o n d e p e n d i e n t e s d e l ti e m p o , y e s t o s c a s o s s o n l o s q u e v a m o s a c o n s i d e r a r a h or a.

11.1

INDUCC IÓN ELEC TRO MAG NÉTICA P r i m e r o i n t r o d u c i r e m o s e l c o n c e p t o d e f u e r z a e le c t r o m o t r i z .

D e f i n ir e m o s l a f u e r z a e le c tr o m o tr iz, o f e m , a l re d e d o r d e u n c i r c u i to c o m o E-dl=% 

(11-1)

1 1 . 1 I n du c c ió n e le c tr o m a g n é t ic a

273

C o n l o s c a m p o s  E  y  B   e s t á t i c o s , e s t a f e m s i e m p r e f u e c e r o . A h o r a v e r e m o s e l c a s o d o n d e n o e s n u la . C o m o a h o r a e l c a m p o  E   n o p u e d e d e f i n i r s e a p a r t i r d e l a l e y d e C o u l o m b , e s v á l id o p r e g u n t a r n o s c ó m o s e d e f i n e . S e d e f i n e d e f o r m a t a l q u e l a f u e r z a d e L o r e n tz F = í (E + v x B) e s  s ie m p r e l a fu e r z a e l ec t ro m a g n é t ic a q u e a c t ú a s o b r e u n a c a r g a d e p r u e b a q.

Los resultados de un gran número de los experimentos realizados pueden r e s u m i rs e a s o c ia n d o u n a f e m i n d u c id a

d t 

( 11 - 2 )

c o n u n c a m b i o e n e l f lu j o m a g n é t i c o q u e a t r a v i e s a p o r u n c i rc u i to . S e e n  c u e n t r a q u e e s t e re s u l ta d o , c o n o c i d o c o m o l e y d e F a r a d a y d e l a i n d u c c ió n e l e c t r o m a g n é t i c a , e s in d e p e n d i e n t e d e l a f o r m a e n q u e c a m b i a e l f lu j o ; e l v a l o r d e B e n d i s ti n to s p u n t o s i n t e ri o r e s d e l c ir c u i to p u e d e c a m b i a r d e m u  chas maneras.

E s m u y i m p o r ta n t e d a r s e c u e n t a d e q u e l a e c u a c ió n ( 1 1 - 2) r e p r e s e n ta u n a l e y e x p e r i m e n t a l in d e p e n d i e n te . N o p u e d e d e d u c i r se d e o t r a s l e y e s e x p e r i m e n t a l e s y , e f e c t iv a  m ente, no es, com o se dice a veces, una consecuen cia de la conservac ión de la energía a p l i c a d a a l e q u i l ib r i o e n e r g é t ic o d e c o r r ie n t e s e n c a m p o s m a g n é t ic o s . Y a q u e p o r d e f in i c ió n £ = < j > E -c ¿ l

( 11 -1 )

y

<2> =

í B • n da  Js

(11-3)

l a e c u a c i ó n ( 1 1- 2 ) p u e d e e s c r i b i r s e c o m o < | > E - d I = —- ^ Í B - n d a d i J5 Je

( 1 1 -4 )

S i e l c i r c u i to e s r í g i d o y e s t a c io n a r i o , l a d e r i v a d a d e l t ie m p o p u e d e t o m a r s e d e n t r o d e l a in t e g r a l, d o n d e s e c o n v i e r t e e n u n a d e r i v a d a p a r c i a l d e l ti e m p o . A d e m á s s e p u e d e u s a r e l t e o r e m a d e S t o k e s p a r a t r a n s f o r m a r la i n te g r a l d e l í n e a d e E e n l a i n t e g r a l d e s u p e r f i c i e V x E . E l r e s u l ta d o d e e s t a s tr a n s f o r m a c i o n e s e s

274

11 I n d u c c i ó n e l e c t r o m a g n é t i c a

S i l a L e y d e F a r a d a y e n l a f o r m a d e l a e c u a c ió i ó n ( 1 1 -5 - 5 ) e s v á l id id a p a r a t o d a s l a s s u p e r f i c i e s f ij ij a s S , s e d e d u c e q u e „ „ V x E =

3B

( 11 1 1 -6 -6 )

E s t e r e s u l t a d o e s l a f a f o r m a d i f e r e n c i a l d e l a L e y d e F a r a d a y .

É s t a e s l a g e n e r a l iz iz a c i ó n r e q u e r i d a d e V x E = 0 , q u e e r a v á l id i d a p a r a c a m p o s e s t á t ic ic o s . ( L o s m e d i o s e n m o v i m i e n t o y o t r a s s u t il i l e z a s r e q u i e r e n u n t ra ra t a m i e n t o m á s c u i d a d o s o , q u e e s t á m á s a l l á d e l a l c a n c e d e e s t e t e x t o .) .) E l s ig ig n o n e g a t iv iv o e n l a l e y d e F a r a d a y i n d i c a , c o m o p u e d e d e m o s t r a r s e f á c i lm lm e n  te, que el sentido de la fem inducida es tal que tiende a oponerse al cambio qu e la  p r o d u c e . A s í , s i in te n ta m o s a u m e n t a r e l f lu jo q u e a tr a v i e s a u n c i r c u it o , l a f e m i n d u c i  d a t i e n d e a c r e a r c o r r ie ie n t e s d e s e n t i d o t a l q u e d i s m i n u y a e l f l u jo jo . S i i n t e n t a m o s i n t r o  d u c i r u n p o l o d e u n i m á n e n u n a b o b i n a , la la s c o r r ie i e n t e s o r i g i n a d a s p o r la la f e m i n d u c i d a f o r m a n u n c a m p o m a g n é t i c o q u e t ie ie n d e a r e p e l e r e l p o l o . T o d o s e s t o s f e n ó m e n o s e s t á n c o m p r e n d i d o s e n l a s i g u i e n t e le le y. y.

 L e y d e L e n z . E n c a s o d e q u e h a y a u n c a m b i o e n u n s i s te te m a m a g n é t i c o , s u c e  d e a l g o q u e t ie ie n d e a o p o n e r s e a l c a m b i o .

L a u t i li li d a d d e l a l e y d e L e n z n o d e b e m e n o s p r e c i a r s e . E n m u c h o s c a s o s r e p r e s e n t a la la f o r m a m á s r á p id i d a d e o b t e n e r i n f o r m a c i ó n s o b r e r e a c c i o n e s e l e c t r o m a g n é t ic ic a s . A u n s i s e d i s p o n e d e o t ro r o s m é t o d o s , p e r m i te te u n a v a l i o s a c o m p r o b a c i ó n . P a r a h a c e r s e u n a i d e a d e l a l e y d e F a r a d a y , p u e d e s e r ú t ilil t o m a r u n e j e m p l o q u e ,  p o r l o g e n e r a l, s e c o n s id e r a c o m o u n c a s o p a r t i c u la r d e l a le y p e r o q u e  p u e d e  a n a l i z a r  s e c o m p l e t a m e n t e s e g ú n l a te te o r í a e l e c t ro ro s t á t ic ic a d e s a r r o l l a d a e n l o s c a p í t u lo lo s a n t e r i o  r e s . S u p o n g a m o s q u e u n a l a m b r e m e t á li li c o r e c to to d e l o n g i t u d l  s  s e m u e v e e n u n a d i r ec ec c i ó n  p e r p e n d ic u la r a s u l o n g it u d c o n u n a v e lo c id a d v . S u p o n g a m o s ta m b i é n q u e e x is t e u n campo magnético B perpendicular al plano en el cual se mueve el alambre, como m u e s t r a l a fi fi g u r a 1 1 .1 .1 . L a s c a r g a s l i b r e s d e l a l a m b r e e x p e r i m e n t a r á n l a f u e r z a d e L o r e n t z F = (¡(E + v x B )

(8 -5 )

(1 1 -7 )

q u e l l e v a l a s c a r g a s p o s i ti ti v a s y n e g a t i v a s a l o s e x t r e m o s o p u e s t o s d e l a l a m b r e , d e b i d o a l t é r m i n o q \   x B . E n e l e s t a d o e s t a c io io n a r i o , c u a n d o l a s c a r g a s l i b r e s n o s e m u e v e n con respecto al alambre, la fuerza total sobre un a carga es igual a cero; es d ecir, la f u e r z a m a g n é t ic ic a d e b e e s t a r e q u il il ib ib r a d a e n c a d a p u n t o d e l a l a m b r e p o r u n a f u e r z a e l é c t r ic ic a o p u e s t a d e i g u a l m a g n i t u d g e n e r a d a p o r l a s e p a r a c ió i ó n d e l a s c a r g a s, s,  E  = v B

( 11- 8)

11.1 Inducción electromagnética

275

F I G U R A 1 1 .1 .1 Voltaje Voltaje producido por el m o v i m i e n to to d e u n a l am am b r e en un campo magnético.

/ Y 

S i e l ca c a m p o  B  e s u n i fo fo r m e , e n t o n c e s E  s  E  e s c o n s t a n t e a l o l a r g o d e l a l a m b r e y l a d i f e r e n  c i a d e p o t e n c i a l e n t r e lo lo s e x t r e m o s e s •f e

A