J
-j
ôy ôz
= i (Ô2
ôz ôy _
ô2q> )
+ ... =
O,
(1-49)
o que confirma o enunciado original. Em notação de operadores,
v x
V
=
O.
O divergente de qualquer rotacional é também zero. Isto se verifica diretamente em coor-
Desenvolvimentos Adicionais
31
denadas retangulares, escrevendo-se (l-50) ou
v .V x
F
=
V x V . F
=
O.
Outra possível operação de segunda ordem consiste em tomar o rotacionô,l do rotacional de um campo vetoria\. Deixou-se como exercício a demonstração de que em coordenadas retangulares, V x (V x F) = V(V . F) - V2F, (l-51) onde o laplaciano de um vetor é o vetor cujas componentes retangulares são os laplacianos das componentes retangulares do vetor original. Em qualquer sistema de coordenadas que não seja o retangular, define-se o laplaciano de um vetor pela Eq. (l.51). Outra maneira pela qual os operadores diferenciais vetoriais se podem desdobrar consiste na sua aplicação a vários produtos de dois vetores e escalares. Existem seis possíveis combinações de operadores diferenciais e produtos; estão listadas na Tabela l-I. Estas identidades podem ser facilmente verificadas em coordenadas retangulares, o que é suficiente para assegurar sua validade em qualquer sistema de coordenadas. Uma derivada de um produto de mais de duas funções, ou uma derivada maior do que a derivada de segunda ordem de uma função, pode ser calculada por aplicações repetidas das identidades da Tabela 1-1, o que se constitui num processo exaustivo. As fórmulas podem ser rácilmente recordadas a partir das regras da álgebra vetorial e da diferenciação ordinária; a única ambigüidade poderia estar em (1-1-6) onde ocorre F ,V (não V o F). Tabela l-I Identidades Vetoriais Diferenciais V· Vip::: V'VxF=O
(l-I-I)
V2ip
x Vip::: O V X (V >( F) = V(V . F) - V2F V(cpifi) = (Vip)ifi + IfJVifi V(F' G) == (F . V)G + F x (V x G) + (G . V)F + G x (V x F) V ' (IfJF) = (Vq;) . F + IfJV. F V· (F x G)::: (V x F) . G - (V x G)' F V x (cpF) = (Vip) x F + lfJV x F V x (F x G) = (V' G)F - (V' F)G + (G· V)F - (F· V)G V
(1-1-2) (l-1-3)
(1-1-4) (1-1-5) (1-1-6) P--1-7) (l -1-8) (1-1-9) (1-1-10)
Alguns tipos particulares de funções surgem tantas vezes na teoria eletromagnética que vale a pena anotar agora suas várias derivadas. Para a função F = r, V' V
r = 3,
x r
=
O,
G' Vr = G, V2r
= O.
(l-52)
/
32
Análise Vetarial
Para uma função que depende somente da distância r = ou
ep(r)
F(r):
V
Para uma função que depende do argumento A
Irl = y'x2 + y2 + Z2,
= ~~ r dr
(1-53)
r, onde A é um vetar constante,
o
d ep(A .
r)
ou
F(A . r): V
Para uma função que depende do argumento gem constan te
=
V
-i~
V
R -
onde R = Xi
+ Yj + Zk.
=A
d(A .
(1-54)
r)
R = r - r', onde r' é tratado como uma ori-
VR;
.~
ax + J ar +
(l-55)
k~
az'
Se ao invés disso, r for tratado como constante,
V
=
-V'
(l-56)
onde V,
. a =1-
ax'
. a + k -. a +Jai ez'
Existem várias possibilidades para a extensão do teorema do divergente e do teorema de Stokes. A mais interessante é o teorema de Green, que é r
.v
(lj;VZep
-
q>Vzlj;)
dv
i
=.
(lj;Vep -
s
q>Vlj;) . n
da.
(l-57)
Este teorema provém da aplicação do teorema do divergente ao vetor
F
= Ij;Vq>
-
epVIj;.
Usando este F no teorema do divergente, obtemos
LV
. [Ij;Vq> -
epVIj;]
dv ,;
t
(lj;Vep -
epVlj;)
• n
da.
(l-58)
Usando a identidade (Tabela 1-1) para o divergente de um escalar vezes um vetar, temos
(l-59) Combinando as Eqs. (l-58) e (1-59), obtém-se o teorema de Green. Alguns outros teoremas de integrais estão listados na Tabela 1-2. Isto conclui nossa breve exposição de análise vetaria\. Por concisão, as provas de muitos resultados foram deixadas como exercícios. Nenhuma tentativa foi feita para alcançar um alto grau de rigor; baseou-se o procedimento num critério unicamente utilitarista. O necessário foi desenvolvido; tudo mais, omitido.
Problemas
33
Tabela 1-2 Teoremas Integrais Vetoriais .,s"
fs
n x Vcp da
.rv Vcp dv .rv
t
(V . G
v
x
= .{ c
= JI s cpn
F dv = •f s
(1-2-1)
cp di
n x
(1-2-2)
da
(1-2-3)
F da
+ G . V)F dv = L F(G . n)
(1-2-4)
da
1-9 RESUMO Três espécies diversas de diferenciação de vetares podem ser expressas pejo operador diferencial vetorial deI, V, ou seja, gradiente, divergente e rotacional: V
. oqJ - oqJ qJ=I-+J-+ ox oy
V . F
= aF" ax
VxF=
+
aFy ay
-OZ'
k oqJ
aF,
+
az '
J
k
-o
-a
.0 -
ox
oy
oz
Fx
F},
Fz
DeI é um operador linear. Suas aplicações repetidas ou suas aplicações a produtos de funções produzem fórmulas que podem ser deduzidas em coordenadas retangulares mas independentes do sistema de coordenadas, Estas podem ser recordadas por meio das regras da álgebra vetorial e da diferenciação ordinária. As derivadas de algumas funções especiais merecem ser decoradas. Os teoremas integrais mais importantes relativos às derivadas são:
t b
VqJ . dI
=
qJ Ib.'
r V x F·
n da
= JTe ,F·
dI,
v·
F dv
= Jls
n da.
Os
Jv
F'
(Teorema de Stokes) (Teorema do divergente)
que podemos considerar generalizações do teorema fundamental PROBLEMAS l-I
Os vetores que vão desde a origem até os pontos A, B, C, D, são A
= i + j + k,
B
= 2i + 3j,
= 3i + Sj D = k - j. C
2k.
do cálculo.
34
Análise Vetorial
Demonstre que as linhas AS e CD são paralelas e encontre a razão entre seus comprimentos. 1-2 Demonstre que os seguintes vetares são perpendiculares: A
= i + 4j + 3k,
B
= 4i + 2j
A
= 2i
B
= i-
C
= 3i
- 4k.
1-3 Demonstre que os vetares
.'
j + k,
-
3j - 5k,
- 4j - 4k
formam os lados de um triângulo reto. 1-4 Elevando ao quadrado ambos os lados da equação
A=B-C e interpretando
geometricamente
o resultado, prove a "lei dos co-senos".
1-5 Demonstre que A
= i cos
B
= i cos
CI.
t3
+j
sen
0:,
+j
sen
t3
são vetores unitários no plano xy e formam ângulos a, lar, obtenha a fórmula cos (a - (3).
13
com o eixo x. Por meio de um produto esca-
1-6 Se A for um vetor constante e r for o vetor que vai desde a origem até o ponto (x,y, z), demonstre que
(r-A)'A=O será a equação de um plano. 1·7 Com A e r definidos como no Problema 1-6, demonstre que
(r-A)'r=O é a equação de uma esfera. 1-8 Usando o produto escalar, encontre o co-seno do ângulo entre a diagonal principal de um cubo e uma das arestas do cubo. 1-9 Demonstre a lei dos senos para um triângulo, usando o vetor produto vetoria] com A + C = B. 1·10 Se A, B, C forem vetores que vão desde a origem até os pontos A, (A x B)
+ (B
x C)
+ (C
8, C, demonstre
que
x A)
será perpendicular ao plano A8C. 1-11 Verifique que a Eq. (1-15) é uma solução da Eq. (1-14) por substituição Eq. (1-14) implica que C seja perpendicular a A.) 1·12 Demonstre que A, B e C não serão linearmente independentes se A· B x C Serão os vetares A
= O.
= j + 3k,
direta. (Observe que a
Problemas
B
= i-
35
2k,
C=i+j+k lineannente independentes? 1-13 Demonstre que o vetor unitário normal à superfície .p(r) = constante é n
= Vrp/IVrpl.
Encontre n para o elipsóide
= ax2 + by2 + cz2.
rp
1-14 Encontre o gradiente de .p em coordenadas cilíndricas, sabendo que ds = dr ar + r de ae + dz k. Deve-se observar que r e e têm aqui significados diferentes dos que apresentam nas Eqs. (1-21) e (1-22). Em coordenadas esféricas, r é o módu)o do raio vetor a partir da origem e e é o ângulo polar. Em coordenadas cilíndricas, r é a distância perpendicular a partir do eixo do cilindro e e é o ângulo azimutal em relação a este eixo. 1-15 A partir da definição do divergente, obtenha uma expressão para V • F'em coordenadas cilíndricas. 1-16 Encontre o divergente do vetor
+
i(x2
yz)
+ j(y2 + :x) +
k(Z2
+
xy).
Encontre também o rotacional. 1-17 V X F será necessariamente perpendicular a F para toda função vetarial F? Justifique sua respos-
ta.
1-18 Prove que, para duas funções escalares quaisquer,.p e V2(rpljJ)
>jJ,
= rpV21jJ + IjJV2rp + 2Vrp • VIjJ.
1-19 Se r for o vetar que vai desde a origem ao pon to (x, y, z), demonstre as fórmulas V' r
= 3;
V x r
= O;
-.(U . V)r
=
u.
(Nota: u é qualquer vetor.) 1-20 Se A for um vetar constante, demonstre que V(A .
r) =
A.
1-21 Demonstre as identidades (1-1-7) e (1-1-9) da Tabela l-L 1-22 Se r for o módulo do vetor que vai desde a origem até o ponto (x, y, z) e ter) for uma função arbitrária de r, prove que V f(r)
=~ d.f r dr'
}-23 Prove que V . F(r)
= ~. r dF dr'
1-24 Prove que
se!'=A -r. 1-25 Verifique a Eq. (1-51) em coordenadas retangulares, onde do com a definição do texto.
V2
F nestas coordenadas está de acor-
1-26 Demonstre as identidades (1-2-2) e (1-2-4) da Tabela 1-2. (Sugestão: Use o teorema do divergente e uma ou mais identidades da Tabela l-L)
CAPÍTULO 2 ELETROSTÁTICA 2-1 CARGA ELÉTRICA A primeira observação da eletrificação de objetos por atrito perdeu-se na antiguidade; todavia, é experiência comum que ao se esfregar um pente de ebonite com um pedaço de lã, a ebonite adquire a capacidade de levantar pequenos pedaços de papel. Como resultado do ato de esfregar os dois objetos (estritamente falando, como conseqüência de pôIos em contato), ambos, a ebonite e a lã, adquirem uma nova propriedade; estão carregados. Esta experiência serve para introduzir o conceito de carga. No entanto, a própria carga não é criad'a durante este processo; a carga total, ou a soma das cargas nos dois corpos, é ainda a mesma que antes da eletrificação. À luz da física moderna, sabemos que partículas microscópicas carregadas, especificamente elétrons, são transferidas da lã para a ebonite, deixando a lã positivamente carregada e o pente de ebonite negativamente carregado. A carga é uma propriedade fundamental e característica das partículas elementares que constituem a matéria. Com efeito, toda matéria é composta de prótons, nêutrons e elétrons, e duas destas partículas possuem cargas. Porém, conquanto em uma escala microscópica a matéria seja composta por grande número de partículas carregadas, as potentes forças elétricas associadas a estas partículas estão muito bem ocultas a uma observação macroscópica. A razão é que existem duas espécies de carga, a positiva e a negativa, e um pedaço ordinário de matéria contém quantidades aproximadamente iguais de cada espécie. Do ponto de vista macroscópico, a carga refere-se à carga líquida, ou excesso de carga. Quando dizemos que um objeto está carregado, queremos dizer que ele tem um excesso de cargas, um excesso de elétrons (negativo) ou um excesso de prótons (positivo). Neste e nos capítulos seguintes, a carga será usualmente indicada pelo símbolo q. Pela observação experimental sabemos que a carga não pode ser criada, nem destruída. A carga total de um sistema isolado não pode variar. Do ponto de vista macroscópico, as cargas podem ser reagrupadas e combinadas de modos diferentes; todavia, podemos estabelecer que a carga liquida é conservada num sistema isolado. 2-2 LEI DE COULOMB No final do século dezoito, as técnicas da ciência experimental alcançaram tal sofisticação que permitiram fossem realizadas observações rigorosas das forças entre cargas elétricas. Os resultados destas observações, que foram extremamente polêmicos na época, 36
Lei de Coulomb
37
podem ser resumidos em três afirmativas: (a) Existem duas e somente duas espécies de carga elétrica, hoje conhecidas como positiva e negativa. (b) Duas cargas puntuais exercem, entre si, forças que atuam ao longo da linha que as une e que são inversamente proporcionais ao quadrado da distância entre elas. (c) Estas forças são também proporcionais ao produto das cargas; são repulsivas para cargas de mesmo sinal e atrativas para cargas de sinais opostos. As duas últimas afirmativas, com a primeira como preâmbulo, são conhecidas como lei de Coulomb em homenagem a Charles Augustin de Coulomb (1736-1806), que foi um dos principais estudantes de eletricidade do século dezoito. A lei de Coulomb para cargas puntuais pode ser concisamente formulada segundo a notação vetarial do Capítulo 1 como (2-1 )
r12=r1-r2· onde FI é a força sobre a carga q I, rl2 é o vetor que vai de q2 a ql , '12 é o módulo de rl2 e C é uma constante de proporcionalidade sobre a qual se falará mais tarde. Na Eq. (2-1) foi formado um veto r unitário na direção e sentido de f12 ao dividir-se r12 por seu módu10, um artifício que será usado freqüentemente. Para achar a força que atua sobre q2, é necessário apenas mudar os índices 1 para 2 e os índices 2 para 1. Entender esta notação é importante, uma vez que em trabalhos futuros proporcionará uma técnica para seguir o rastro das variáveis do campo e da fonte. A lei de Coulomb aplica-se a cargas puntuais. No sentido macroscópico, uma "carga puntual" é aquela cujas dimensões espaciais são muito pequenas em comparação a qualquer outro comprimento pertinente ao problema em consideração; usaremos o termo "carga puntual" neste sentido. Até onde sabemos, a lei de Coulomb também se aplica às interações de partículas elementares, como prótons e elétrons. A Eq. (2-1) aplica-se à repulsão eletrostática entre núcleos a distâncias maiores que 10-14 metros, aproximadamente; para distâncias menores, as forças nucleares, intensas, mas de curto alcance, dominam o quadro. A Eq. (2-1) é uma lei experimental; contudo, existem evidências, tanto teóricas como experimentais, que indicam que a lei do inverso dos quadrados é exata, isto é, que o expoente de '12 é exatamente 2. Por meio de uma experiência indireta, * foi demonstrado que o expoente de '12 não pode diferir de 2 por mais do que uma parte em 1015. A constante C na Eq. (2-1) requer algum comentário, uma vez que determina o sistema de unidades. As unidades de força e distância são provavelmente as pertencentes a um dos sistemas usados na mecânica; o procedimento mais direto aqui seria fazer C = 1 e escolher a unidade de carga de forma a que a Eq. (2-1) concorde com a experiência. Este é o procedimento adotado no sistema gaussiano de unidades. Outros procedimentos são também possíveis e podem apresentar certas vantagens; por exemplo, a unidade de carga pode ser especificada antecipadamente. Em 1901, Giorgi demonstrou que todas as unidades elétricas comuns, como o ampere, o volt, o ohm, o henry etc., podem-se combinar com um dos sistemas mecânicos (o MKS ou sistema metro - quilograma - segundo) para formar um sistema de unidades para todos os problemas elétricos e magnéticos. Uma vanc""
*
E. R. Williarns, J. E. Faller e H. A. Hill,Phys. Rev. Letters, voI. 26, p. 721 (1971). Experiências semelhantes foram realizadas anteriormente. Maxwell estabeleceu o expoente 2 com menos de uma parte em 20.000.
38
Eletrostática
tagem deste sistema é que os resultados dos cálculos que envolvem circuitos elétricos estão nas unidades elétricas que são usadas no laboratório; usaremos o sistema de unidades MKS racionalizado ou sistema de Giorgi no presente volume, na forma conhecida como SI (Sistema Internacional). Uma vez que neste sistema, q é medido em coulombs (C), r em metros e F em newtons (N), é claro que C deve ter as dimensões de newton metro2 por coulomb2. O valor da unidade de carga, o coulomb, é estabelecido por meio de experiências magnéticas; isto requer que C = 8,9874 X 109 N • m2 /C2 • Fazemos a substituição aparentemente complicada, C = I /41T€0, no intuito de simplificar alguma das outras equações. A constante €o ocorrerá repetidamente, ela é conhecida como a permissividade do espaço livre e é numericamente igual a 8,854 x 10-12 C2/N • m2• No Apêndice I, as definições do coulomb, do ampere, da permeabilidade e da permissividade do espaço livre estão relacionadas umas às outras e à velocidade da luz de maneira lógica; como uma formulação lógica destas definições requer um conhecimento dos fenômenos magnéticos e da propagação da onda eletromagnética, não é apropriado fazê-Ias agora. No Apêndice II expõe-se o sistema gaussiano de unidades. Até o Capítulo 4, todas as fórmulas podem ser colocadas em unidades gaussianas simplesmente substituindo EO por 1/41T. Se estiverem presentes mais do que duas cargas puntuais, as forças mútuas serão determinadas pela aplicação repetida da Eq. (2-1). Particularmente, se for considerado um sistema de N cargas, a força na carga de índice será dada por
i
v
Fi
= qi j"'iL:
r
1,
4qj 7Uo Tij
(2-2)
onde a soma à direita se estende sobre todas as cargas, exceto à de índice i. Este é justamente o princípio da superposição de forças, que diz que a força total que atua sobre um corpo é a soma vetorial das forças individuais que atuam sobre ele. Uma simples extensão da idéia de N cargas puntuais interagentes consiste na interação de uma carga puntual com uma distribuição contínua de cargas. Escolhemos deliberadamente esta configuração para evitar certas dificuldades que poderiam ser encontradas quando a interação de duas distribuições contínuas de carga fosse considerada. Antes de prosseguirmos, devemos examinar o significado de uma distribuição contínua de carga. Sabe-se agora que a carga elétrica é encontrada sob a forma de múltiplos de uma carga básica: a carga do elétron. Em outras palavras, se qualquer carga fosse examinada minuciosamente, sua magnitude seria um múltiplo inteiro do valor da carga eletrônica. Para os fins da física macroscópica, o fato de a carga ser discreta não causa dificuldades, simplesmente porque a carga eletrônic,a tem um valor igual a 1,6019 x 10-19 C, que é extremamente pequeno. A pequenez da unidade básica significa que as cargas macroscópicas são compostas invariavelmente por um número muito grande de cargas eletrônicas; isto, por outro lado, significa que numa distribuição macroscópica de carga, qualquer elemento de volume contém um grande número de elétrons. Pode-se então descrever uma distribuição de cargas em termos de uma função densidade de carga, definida como o limite da carga por unidade de volume quando o volume se torna infinitesimal. Entretanto, deve haver cuidado quando se aplica este tipo de descrição a problemas atômicos, uma vez que, nestes casos, somente um pequeno número de elétrons estando envolvido, o processo de aplicação do limite não teria sentido. Deixando de lado estes casos atômicos, podemos proceder como se um segmento de carga pudesse ser subdividido indefinidamente e descrever a distribuição de cargas por meio de funções puntuais:
Campo Elétrico
39
uma densidade de carga volumétrica definida por
I'Im-11qV'
p=
.'.•.-0
(2·3)
11
e uma densidade de carga superficial definida por (J
=
lim
11q,
(2-4)
t>S-O 115
Do que foi dito a respeito de q, é evidente que p e a são densidades de cq.rga líquida ou de excesso de carga. Vale a pena mencionar que em materiais sólidos típicos mesmo uma densidade de carga p muito grande envolverá uma variação da densidade local de elétrons de aproximadamente uma parte apenas em 109. Se a carga estiver distribuída num volume V com uma densidade p e, na superfície S que limita V com uma densidade a, a força exerci da por esta distribuição de cargas sobre uma carga puntual q, locll.lízada em r, será obtida por meio da Eq. (2-2) pela substituição de qj por Pj dv; (ou por aj daD, aplicando-se o limite: Fq
=
q
•
-4 1Ho'V I
I
r - r' r-r ' '13
p(r')
dv'
q r r - r' + -4 1tCo,s I r-r ,/3
(2-5) o-(r') da',
A variável r' é usada para localizar um ponto no interior da distribuição de carga, isto é, faz o papel do ponto fonte rj na Eq. (2-2). Pode parecer, à primeira vista, que se o ponto r estiver no interior da distribuição de cargas, a primeira integral da Eq.(2·5) divergirá. Este não é o caso; a região de integração na vizinhança de r contribui com uma quantidade desprezível e a integral é bem-comportada (veja o Problema 2-5). Está claro que a força sobre q, como é dada pela Eq. (2-5), é proporcional a q; o mesmo é válido na Eq. (2-2). Esta observação leva-nos a introduzir um vetar campo que é independente de q, ou seja, a força por unidade de carga. Este vetor campo, conhecido como campo elétrico, será estudado pormenorizadamente na seção seguinte. 2-3 CAMPO ELÉTRICO O campo elétrico num ponto é definido como o limite da seguinte razão: a força sobre uma carga teste, colocada no ponto, pela carga da carga teste; sendo que o limite tomado para o valor da carga teste tende a zero. O símbolo que se costuma empregar para o campo elétrico é E. Em notação vetorial. a defmição de E torna-se E
=
lim
Fq,
q-O
q
(2-6)
O limite está incluído na definição de E para assegurar que a carga teste não afete a distri· buição de cargas produzidas por E. Se, por exemplo, uma carga positiva for distribuída pela superfície de um condutor (um condutor é um material em que a carga se pode mover livremente), ao trazer-se uma carga teste para a vizinhança deste, a carga sobre o condutor se redistribuirá. Se o campo elétrico for calculado, usando-se a razão entre a força e a carga para uma carga teste finita, o campo obtido será aquele devido à carga redistribuída, ao invés daquele devido à distribuição de carga original. No caso especial em que uma das cargas da distribuição de carga pode ser usada como uma carga teste, o uso do limite é desnecessário. Neste caso, o campo elétrico na posição da carga teste será aquele produzi· do por todo o restante da distribuição de carga; não haverá, naturalmente, redistribuição de cargas uma vez que a própria distribuição de carga se obtém sob a influência de toda a
40
Eletrostática
distribuição de cargas, inclusive a carga que está sendo usada como carga teste. Em alguns outros casos, principalmente naqueles em que a distribuição de cargas é espedficada, a força será proporcionà1 ao valor da carga. Também nestes casos, o uso do limite é desnecessário; entretanto, se existir qualquer dúvida, será sempre melhor aplicar o limite. As Eqs. (2-2) e (2-5) proporcionam um meio rápido para se obter uma expressão para o campo elétrico devido a uma já dada distribuição de cargas. Suponhamos que a distribuição de cargas consista de N cargas puntuais ql, q2, ... , qN, localizadas nos pontos rI, r2, ... , rN, respectivamente, e uma distribuição volumétrica de cargas especificada pela densidade de carga p(r') no volume Ve uma distribuição superficial caracterizada pela densidade de carga superficial a(r') sobre a superfície S. Se uma carga teste q estiver localizada no ponto r, ela experimentará uma força F dada por q
F = 41t(o -
r-r. q' r - r' Ir - ril'3 + -41!(o'v I Ir - r ' 13 p(r') dv'
N
L
qi
i=1
+ 41!(o _q
(
'S
I
r - r' 13
r - r'
O'(r')
(2-7)
da',
Ia}
Figura 2·1 Mapeamento de um campo elétrico com o auxIlio de linhas de força.
Potencial Eletrostático
41
por causa de uma dada distribuição de carga. O campo elétrico em r é o limite da razão entre esta força e a carga teste q. Como a razão é independente de q, o campo elétrico em r é exatamente
I E(r)
,~.
= 4~11:(0i=1 L I
qi
-
+ -4 7[(0 -
.I,S
1
r-rr-r;
I'
+ 4--1Uo'V
'13
I
I
r-r r-r
'13 p(r') dv'
r - r' r - r 13 a(r') da'. -,'--,
(2-8)
A Eq. (2-8) é bastante geral; em muitos casos, um ou mais termos ,não serão necessários. A quantidade que acabamos de defmir, o campo elétrico, pode ser calculada em cada ponto do espaço na vizinhança de um sistema de cargas ou de uma distribuição de cargas. Então E =E(r) é uma função vetorial puntual, ou um campo vetaria!. Este campo tem muitas propriedades matemáticas interessantes, que exporemos nas seções seguintes e no próximo capítulo. Como um auxIlio para visualizar a estrutura do campo elétrico associado com uma distribuição particular de carga, Michel Faraday (1791-1867) introduziu o conceito de linhas de força. Uma linha de força é uma linha (ou curva) imaginária traçada de tal forma que sua direção e sentido em qualquer ponto sejam os do campo elétrico naquele ponto. Consideremos, por exemplo, a estrutura do campo elétrico associado a uma só carga puntual positiva q I. As linhas de força são linhas radiais que se dirigem para fora de q 1 _ De forma semelhante, as linhas de força associadas a uma carga puntual negativa isolada são também linhas radiais mas, neste caso, o sentido é para dentro (isto é, em direção à carga negativa). Estes dois exemplos são extremamente simples, contudo, ilustram uma propriedade importante das linhas de campo; as linhas de força terminam nas fontes do campo elétrico, isto é, sobre as cargas que produzem o campo elétrico. A Fig. 2-1 ilustra dois campos elétricos simples que foram traçados com o auxI1io de linhas de força. 2-4 POTENCIAL ELETROSTÁTlCO Observou-se no Capítulo I que se o rotacional de um vetar se anular, o vetar poderá ser expresso como o gradiente de um escalar. O campo elétrico dado pela Eq. (2-8) satisfaz este critério. Para verificar isto, observamos que a aplicação do rotacional na Eq. (2-8) implica diferenciação com re~eito a r. Esta variável aparece na equação somente em funções da forma (r - r')j Ir - r'l e, portanto, será suficiente demonstrar que funções desta forma têm rotacional nulo. Usando a fórmula do rotacional do produto (vetor vezes escalar), da Tabela 1-1, obtemos
V
r-r x -,---;-13= Ir-r1 r - r'
'13 V
x (r - r,[) +
V
Ir-r1] '13 x [r - r]. ,
(2-9)
De um cálculo direto (veja o Problema 1-19) resulta V
e (veja o Problema 1-22) em
x (r - r') =
I V
I
0,
(2-10)
r - r'
r - r' = 13
3
I
r - r'
15
.
(2-11)
42
Eletrostática
Estes resultados, juntamente com a observação de que o produto vetorial de um vetor com um vetor paralelo é nu~o, são suficientes para demonstrar que
r - r'
V
x.
r - r ,11 = O.
(2-12)
Uma vez que cada contribuição da Eq. (2-8) para o campo elétrico é deste tipo, demonstramos que o rotacional do campo elétrico é zero. A Eq. (2-12) indica que existe uma função escalar cujo gradiente é o campo elétrico, falta achar tal função. Isto é, sabemos agora que existe uma função que satisfaz
E(r) = - Vep(r),
(2-13)
temos, porém, que encontrar ainda a forma da função I.{J. Deve-se observar que é convencional a inclusão do sinal negativo na Eq. (2-13) e a denominação de para o potencial eletrostático. e fácil encontrar-se o potencial eletrostático devido a uma carga puntual q 1; é exatamente I.{J
(2-14) como se pode verificar de modo rápido por diferenciação direta. Com esta indicação, é fácil adivinhar que o potencial que dá o campo elétrico da Eq. (2-8) é
= _1_
t _q_i _ +
41Uo i=l
Ir - ri
+ ~_1_ f
I
O'(r')
41tEo - s I r - r' I
_1_
r _p_(_r')_ de'
Ir - r'l
41tEo'v
da'
(2-15)
'
que também se verificaria facilmente por diferenciação direta. Pode parecer que as Eqs. (2-14) e (2-15) foram obtidas de maneira um pouco arbitrária; entretanto, como tudo que se requer de I.{J é que satisfaça a Eq. (2-13), e como isto foi verificado diretamente, não importa a maneira pela qual se obteve I.{J. O potencial eletrostático I.{J pode ser obtido diretamente assim que se admita sua existência. Como sabemos que existe, podemos escrever I.{J
(
~ref
E(r')'
dr'
=- (
Vep' dr',
(2-16)
Wref
onde ref representa um ponto de referência em que
I.{J
seja nulo. Da definição do gradien-
. te, Vep . dr'
= dep.
(2-17)
Ao se substituir a Eq. (2-17) na Eq. (2-16), esta se converte na integral de um diferencial perfeito, facilmente resolvida. O resultado é - ( Wref
Vep' dr'
=
-ep(r)
= (
E(r')'
dr',
(2-18)
"'ref
que é realmente o inverso da Eq. (2-13). Se o campo elétrico devido a uma carga puntual
Condutores e Isolantes
43
for usado na Eq. (2-18) e o ponto de referência ou limite inferior da integral for considerado como infinito, o potencial sendo nulo aí, o resultado será q (2-19) ço(r) =
4--' 7[( o
r
que, naturalmente, é apenas um caso especial da Eq. (2-14), ou seja, o caso onde rI é zero. Tal derivação pode ser ampliada para obter a Eq. (2-15); entretanto, o procedimento é demasiado enfadonho para que o incluamos aqui. Outro aspecto interessante e útil do potencial eletrostático é sua intima relação com a energia potencial associada à força eletrostática conservativa. A energia potencial associada a uma força conservativa arbitrária é U(r)
= -
fr • ref
F(r')'
dr',
(2-20)
onde U(r) é a energia potencial em r relativa ao ponto de referência em que a energia potencial é arbitrariamente considerada zero. Uma vez que no caso eletrostático F = qE, segue-se que se o mesmo ponto de referência for escolhido para o potencial eletrostático e para a energia potencial, então o potencial eletrostático será somente a energia potencial por unidade de carga. Esta idéia é algumas vezes usada para introduzir o potencial eletrostático; sentimos, entretanto, que a introdução em termos da Eq. (2-13) realça a importância do potencial eletrostático na determinação do campo elétrico. Não existe, naturalmente, nenhuma dúvida sobre a equivalência dos dois métodos. Pode-se compreender a utilidade do potencial eletrostático no cálculo dos campos elétricos, comparando as Eqs. (2-8) e (2-15). A Eq. (2-8) é uma equação vetorial; para obter o campo elétrico a partir dela, é necessário resolver três somas ou três integrais para cada termo. Na melhor das hipóteses, é um procedimento tedioso; em alguns casos, é quase impossível resolver as integrais. A Eq. (2-15), por outro lado, é uma equação escalar e envolve somente uma soma ou integral por termo. Além disso, os denominadores que aparecem nesta equação são todos da forma r - r' o que simplifica as integrais, em comparação com as da Eq. (2-8). Tal simplificação é algumas vezes suficiente para estabelecer a diferença entre a resolução e não resolução das integrais. Pode-se objetar que após resolver as integrais da Eq. (2-15) será ainda necessário diferenciar o resultado; pode-se rejeitar prontamente tal objeção, observando-se que a diferenciação pode ser sempre realizada, se a derivada existir, e é realmente muito mais fácil que a integração. Observar-se-á, no Capítulo 3, que o potencial eletrostático é até mais importante nos problemas em que a distribuição de carga não é especificada mas deve, ao contrário, ser determinada durante a resolução do problema. No sistema MKS, a unidade de energia é o newton-metro ou joule. A unidade de potencial é joule/coulomb, unidade que ocorre tão freqüentemente que lhee-dado um nome especial, volt (V). A unidade do campo elétrico é o newton/coulomb ou volt/metro. I
I"
2-5 CONDUTORES E ISOLANTES Quanto ao comportamento eletrostático, os materiais podem ser divididos em duas categorias: condutores de eletricidade e isolantes (dielétricos). Os condutores são substâncias, como os metais, que contêm um grande número de portadores de carga essencialmente livres. Estes portadores de carga (elétrons, na maioria dos casos) estão livres para vaguear por todo o material condutor; respondem a campos elétricos quase infinitesimais e continuam a se mover enquanto estão sob a ação de um campo. Tais portadores livres
44
Eletrostática
conduzirão a corrente elétrica quando um campo elétrico estacionário for mantido no condutor por uma fonte ext,erna de energia. Dielétricos são substâncias em que todas as partículas carregadas estão, ao contrário, ligadas fortemente às moléculas constituintes. As partículas carregadas podem mudar ligeiramente suas posições em resposta a um campo elétrico, porém não se afastam da vizinhança de suas moléculas. Rigorosamente falando, esta definição aplica-se a um dielétrico ideal, que não apresenta nenhuma condutividade em presença de um campo elétrico externamente mantido. Os dielétricos físicos reais apresentam uma débil condutividade, num dielétrico típico, porém, a condutividade é 1020 vezes menor do que num bom condutor. Como 1020 é um tremendo fator, em geral é suficiente dizer que os dielétricos são não condutores. Certos materiais (semicondutores, eletrólitos) têm propriedades elétricas intermediárias entre as dos condutores e as dos dielétricos. No que diz respeito ao seu comportamento num campo elétrico estático, estes materiais comportam-se como condutores. Entretanto, suas respostas transitórias são algo mais lentas, isto é, tais materiais necessitam de mais tempo para alcançar o equilíbrio em um campo estático. Neste e nos quatro capítulos seguintes, trataremos de materiais em campos eletrostáticos. A polarização dielétrica, apesar de ser um fenômeno basicamente simples, produz alguns efeitos um pouco complicados; conseqüentemente, adiaremos seu estudo até o Capítulo 4. Os condutores, por outro lado, podem ser estudados muito facilmente segundo os conceitos já expostos. Como a carga pode mover-se livremente num condutor, mesmo sob a influência de campos elétricos muito pequenos, os portadores de carga (elétrons ou íons) movem-se até encontrarem posições em que não experimentam nenhuma força líquida. Quando atingem o repouso, o interior do condutor deve ser uma região desprovida de campo elétrico; isto deve ser assim porque a população de portadores de carga no interior não se esgota de nenhuma forma e, se um campo persistir, os portadores continuarão a se mover. Assim, sob condições estáticas, o campo elétrico em um condutor se anula. Além disso, como E = O num condutor, o potencial é o mesmo em todos os pontos do material condutor. Em outras palavras, em condições estáticas, cada condutor forma uma região eqüipotencial no espaço. 2-6 LEI DE GAUSS Existe uma relação importante entre a integral da componente normal do campo elétrico sobre uma superfície fechada e a carga total encerrada pela superfície. Esta relação, conhecida como lei de Gauss, será agora investigada mais pormenorizadamente. O campo elétrico num ponto r devido a uma carga puntual q localizada na origem é
r
q E(r)
= 4nfo
(2-21 )
r3'
Figura 2-2 Superfície fechada imaginária S que encerra urna carga puntual na origem.
Lei de Gauss
45
Considere-se a integral de superfície da componente normal deste campo elétrico sobre uma supe,rfície fechada (como a mostrada na Fig. 2-2) que encerre a origem e, conseqüentemente, a carga q; esta integral é simplesmente
i E' -
'S
n da
=
q f r' n da. -47Uo·S t -3r
(2-22)
A quantidade (rIr) . n da é a projeção de da sobre um plano perpendicular a r. Esta área projetada dividida por r2 é o ângulo sólido subtendido por da, que é expresso por dn. Pela Fig. 2-3, evidencia-se que o ângulo sólido subtendido por da é o mesmo que o ângulo sólido subtendido por da', um elemento de área superficial da esfera S' cujo centro está na origem e cujo raio é r'. É então possível escrever
jJ sr.-3r' n da
= 'fI s· -'3r'·r n da' = 471:,
Figura 2·3 Construção da superfície esférica S', como um auxílio para a avaliação do ângulo sólido subtendido por da.
demonstrando-se
que
f.S E·
n da
=-q
471:[0
= -q
471:
(o
(2-23)
no caso especial acima descrito. Se q estiver fora de S, é claro, a partir da Fig. 2-4, que S poderá ser dividido em duas áreas SI e S2, subtendendo cada uma o mesmo ângulo sólido em relação à carga q. Para S2, no entanto, o sentido da normal se dirige para q enquanto que para SI se afasta de q. Por esta razão, as contribuições de SI e,S2 para a integral de superfície são iguais e opostas, e a integral total se anula. Se, então, a superfície encerrar uma carga puntual q, a integral de superfície da componente normal do campo elétrico será q/€o, enquanto que se q estiver fora da superfície, a integral de superfície será zero. O enunciado precedente aplica-se a qualquer superfície fechada, até mesmo às chamadas reentrantes. Um estudo da Fig. 2-5 é suficiente para se verificar que é realmente o que acontece. q
Figura 2-4 A superfície fechada S pode ser dividida em duas superfícies, SI e S2' cada uma subtendendo o mesmo ângulo sólido em q.
46
Eletrostática
Se várias cargas puntuais Ql, Qz, ... , qN estiverem encerradas pela superfície S, então o campo elétrico total, será dado pelo primeiro termo da Eq. (2-8). Cada carga subtena Eq. (2-23) toma-se de um ângulo sólido completo (41T); conseqüentemente, -
1
N
L qi' i= 1
f E· n da = -to .s
(a)
(2-24)
(b)
Figura 2-5 Elemento de ângulo sólido cortando a superfície S mais do que uma vez.
Este resultado pode ser imediatamente generalizado ao caso de uma distribuição contínua de cargas, caracterizada por uma densidade de carga. Se cada elemento de carga pdv for considerado como uma carga puntual, contribuirá com pdV/Eo para a integral de superfície da componente normal do campo elétrico, contanto que esteja no interior da superfície sobre a qual integramos. A integral da superfície total será então a soma de todas as contribuições desta forma devidas à carga no interior da superfície. Assim, se S for uma superfície fechada que limita o volume V,
f s E·
=~ to
n da
r p dv. 'V
(2-25)
As Eqs. (2-24) e (2-25) são conhecidas como leis de Gauss. O termo à esquerda, a integral da componente normal do campo elétrico sobre a superfície S, é algumas vezes denominado fluxo do campo elétrico através de S. A lei de Gauss pode ser ainda expressa de outra forma, usando-se o teorema do divergente. O teorema do divergente, Eq. (1-37), estabelece que f F· n da 'S
= ·v" V' F dt'o
Se este teorema for aplicado à integral de superfície da componente normal de E, dará
f S E· que, quando substituída
n da "" 'v " V' E dv.
(2-26)
na Eq. (2-25), dará . I V· E dv
.v
l-
= -fo
I
.v
p
dt·.
(2-27)
A Eq. (2-27) deve ser válida para todos os volumes, isto é, para qualquer escolha do volume V. Isso só será verdadeiro, se os integrandos que aparecerem à esquerda e à direita na equação forem iguais. Então, a validade da Eq. (2-27) para qualquer escolha de V implica
Aplicação da Lei de Gauss
47
1
v . E = -(o p.
(2-28)
Este resultado pode ser considerado como a forma diferencial da lei de Gauss. 2-7 APLICAÇÃO DA LEI DE GAUSS A Eq. (2-28) ou, mais apropriadamente, uma forma modificada desta equação, que se deduzirá no Capítulo 4, é uma das equações diferenciais básicas da eletricidade e do magnetismo. Desse ponto de vista ela é, naturalmente, importante; mas, a lei de Gauss também tem utilidade prática. Esta aplicação da lei baseia-se principalmente na possibilidade de proporcionar uma forma bastante fácil para o cálculo dos campos elétricos em situações suficientemente simétricas. Em outras palavras, em certas situações altamente simétricas, de considerável interesse físico, o campo elétrico pode ser calculado através do uso da lei de Gauss ao invés de o ser por meio das integrais dadas anteriormente, ou através dos procedimentos do Capítulo 3. Quando se puder fazer isto, economiza-se esforço. Para que a lei de Gauss seja útil no cálculo do campo elétrico, deve ser possível escolher uma superfície fechada de forma a que o campo elétrico tenha uma componente normal que seja nula ou tenha um único valor fixo em cada ponto da superfície. Como exemplo, consideremos uma longa linha de carga de densidade de carga :\ por unidade de comprimento, como ilustrado na Fig. 2·6. A simetria da situação indica claramente que o campo elétrico é radial e independente tanto da posição ao longo do fio, como da posição angular em relação ao fio. Estas observações levam-nos a escolher a superfície mostrada na Fig. 2-6. É de fácil solução a integral da componente normal do campo elétrico para esta superfície. As extremidades circulares não contribuem, uma vez que o campo elétrico é paralelo a elas. A superfície cilíndrica contribui com 2wlEr pois E é radial e independe da posição da superfície cilíndrica. A lei de Gauss toma então a forma
;J
2nrlEr
=-.(o
(2-29)
Parte de uma longa linha de carga
E
Figura 2-6 Superfície cilíndrica para ser usada com a lei de Gauss, para encontrar o campo elétrico produzido por uma longa linha de carga.
Explicitando Er na Eq. (2-29). obtemos
I. Er
= 2;;(0
r .
(2-30)
48
Eletrostática
Poder-se-á avaliar melhor a economia de esforço consegui da com o uso da lei de Gauss na solução do Problema 2-4, qtle envolve a aplicação direta da Eq. (2-8). Outro resultado importante da lei de Gauss consiste na verificação de que a carga (carga líquida) de' um condutor carregado se localiza em sua superfície externa. Vimos na Seção 2-5 que o campo elétrico no interior de um condutor se anula. Podemos construir uma superfície gaussiana em qualquer parte no interior do condutor; pela lei de Gauss, a carga líquida que cada uma dessas superfícies encerra é nula. Finalmente, construímos a superfície gaussiana S da Fig. 2-7; novamente, a carga líquida encerrada é nula. O único lugar em que a carga pode estar, sem entrar em contradição com a lei de Gauss, é na superfície do condutor. Uma vez que não há carga no interior, parte do material poderia ser removido sem que nada se alterasse. Dessa forma, a carga de uma casca condutora deve localizar-se inteiramente na superfície externa.
Figura 2·7 Superfície gaussiana 5 construída no interior de um condutor carregado.
Figura 2·8 Aplicação da lei de Gauss à superfície fechada 5, em forma de caixa de pllulas, que intersecciona a superfície de um condutor carregado.
O campo elétrico na região imediatamente externa a um condutor carregado deve ser normal à superfície do condutor. Isto ocorre porque a superfície é uma eqüipotencial, e E = - V.p. Suponhamos que a carga de um condutor seja dada pela função densidade superficial a. Se a lei de Gauss for aplicada à pequena superfície S, em forma de caixa de pílulas, da Fig. 2-8,.então
onde /).S é a área de uma das bases da caixa de pJ1ulas. Portanto, o campo elétrico na re· gião imediatamente externa a um condutor será (2-31 )
Dipolo Elétrioo
2-8 DIPOLO
49
ELÉTRICO
Duas cargas iguais e opostas, separadas por uma pequena distância, formam um dipolo elétrico. O campo elétrico e a distribuição de potencial produzidos por esta configuração de carga podem ser investigados com o auxI1io das fórmulas das Seções 2-3 e 2-4. Suponhamos que uma carga -q esteja localizada no ponto r' e que uma carga q esteja 10' calizada em r' + I, como está ilustrado na Fig. 2-9; então, o campo elétrico num ponto arbitrário r pode ser encontrado pela aplicação direta da Eq. (2-8). O campo elétrico em ré (2-32) E(r) = _q_ I_r~.=_~_- 1 47r(o
llr - r' -Ir
Figura 2-9 Geometria envolvida no cálculo do campo elétrico E (r) devido a duas cargas puntuais.
Este é o campo elétrico correto para qualquer valor de·q e qualquer valor da separação I; contudo, ele não é de fácil interpretação. O que desejamos é o campo do dipolo, e no dipolo a separação 1 é pequena em comparação com r - r'; portanto, podemos desenvolver a Eq. (2-32), conservando apenas o primeiro termo que não se anular. Uma vez que este procedimento é de utilidade geral, será considerado pormenorizadamente. A principal dificuldade ao efetuar-se esta expansão é causada pelo denominador do primeiro termo da Eq. (2-32). O recíproco deste denominador pode ser expresso como Ir - r' -
11-3
= [(r - r')2 - 2(r - r') . 1+ pr3.2 = 1 r - r'
1-
3
r' 12 [ 1 - 2(rI r -_ r') . 1
+
I
r _P] r'
12 - 3
2
É fácil expandi-lo, nesta forma, por meio do teorema binomial, conservando-se termos lineares em l. O resultado desta expansão é J
I
r - r' - ,,-
3
= I r - r'
1-
3 11
+
3(r - r') . I 1 r _ r' 12
somente
I
+.
00/,
(2-33)
onde termos envolvendo [2 foram omitidos. Substituindo a Eq. (2-33) na Eq. (2-32) e nova· mente conservando apenas termos lineares em I, obtemos _ q p(r E(r) - -47rfo - \ 1r -
r') . 1
r'15
_' (r
_ r)
1 I
r - r'13 +
... \
/.
(2-34)
A Eq. (2-34) dá a parte do campo elétrico devida a um dipolo elétrico finito, que é proporcional à separação das cargas. Há outras contribuições proporcionais ao quadrado, ao
50
Eletrostática
cubo e às potências mais elevadas da separação. Se, entretanto, a separação for pequena, estas potências mais elevadas contribuem muito pouco. No limite quando I tende a zero, todos os termos se anulam, a nao ser que a carga se torne infinita. No limite quando I tende a zero, ainda que q se torne infinito, de tal forma que q I permaneça constante, todos os termos desaparecem com exceção do termo linear em I. Neste limite é formado um dipala puntual. Um clipolo puntual não tem carga líquida, não tem extensão no espaço.e é completamente <;anH.:terizado por seu momento de dipolo, que é o limite de ql quando I tende a zero. üsamos o símbolo p para representar o momento de dipolo elétrico e escrevemos
p= ql.
(2-35)
A Eq. (2-34) pode ser escrita, em termos do momento de dipolo, como __ 1_ E(r)
- 4n:(o
~~(r-:-r') . 1
1
r _ r'
p
_' (r
15
_ r)
p \ 1r - r' 13/"
(2-36)
A distribuição de potencial produzida por um dipolo puntual também é importante e poder-se-ia encontrá-Ia através da procura de uma função com gradiente igual ao lado di· todavia, mais fácil aplicar a Eq. (2-15) à distribuição de cargas que reito da Eq. (2-36). se constitui de duas cargas puntuais separadas por uma distância pequena. Usando a notação da Eq. (2-32), a distribuição de potencial será dada por .
t,
(2-37) Expandindo-se o primeiro termo de maneira idêntica à usada para o primeiro termo da Eq. (2-32) e conservando-se apenas o termo linear em I, a Eq. (2-37) pode ser colocada na forma cp{r)
= _!L ~ 4mo
Ir
r') . I -=-~~p.
(2-38)
Esta equação é válida para a mesma aproximação que a Eq. (2-34), quer dizer, termos proporcionais a [2 e a potências mais elevadas de I são desprezados. A Eq. (2-38) é exata para um dipolo puntual p; entretanto, é melhor expressá-Ia como 1 cp(r)
= 4mo
p' (r - r') Ir _ r'13
(2-39)
A Eq. (2-39) dá o potencial tp(r) produzido por um di pala elétrico; a partir deste potencial pode-se determinar o campo elétrico [Eq. (2-36)]. Também é interessante averiguar a respeito da energia potencial de um dipolo elétrico que é colocado num campo elétrico externo. No caso de duas cargas, -q em r e q em r + I, em um campo elétrico descrito pela função potencial tpext(r), a energia potencial é simplesmente (2-40) Se I for pequeno comparado com r, tpext(r + l) poderá ser expandido numa série de potências em I e somente os primeiros dois termos se conservarão. A expansão dá (2-41 )
Expansão MultipoJar dos Campos Elétricos
51
onde o valor do gradiente no ponto r deve ser usado. Se esta expansão for usada na Eq.
(2-40), o resultaqo será U
= ql'
\
(2-42)
Tomando o limite de um dipolo puntual, temos simplesmente U(r)
=
P'
(2-43)
\
que é, naturalmente, exata. Como o campo elétrico é o negativo do gradiente do potencial eletrostático, uma forma alternativa da Eq. (2-43) é
= ~p .
U(r)
(2-44)
Eex,(r).
Esta, então, é a energia potencial de um dipolo p em um campo elétrico externo Eext, onde Eext (r) é calculado na posição do dipolo. É importante observar que dois potenciais foram expostos nesta seção. Nas Eqs. (2-37), (2-38) e (2-39), consideramos o potencial eletrostático produzido por um dipolo elétrico. Nas Eqs. (2-40) até (2-43), consideramos o dipolo corno situado em um campo elétrico existente, descrito por urna função potenciall;?ext (r). Este campo elétrico é devido a cargas que não são as compreendidas pelo dipolo; realmente, o campo do dipolo deve ser excluído para evitar um resultado infinito. Este enunciado poderia levar-nos a questões bastante complicadas relativas a forças e energias intrínsecas que não poderíamos explicar aqui; contudo, deve-se observar que a energia potencial resultante da interação de um dipolo elétrico com seu próprio campo provém de forças exercidas sobre o dipolo por ele próprio. Estas forças, conhecidas na dinâmica corno forças internas, não afetam o movimento do dipolo como um todo. Dentro de nosso objetivo não há necessidade de maiores considerações sobre o assunto. 2-9 EXPANSAo MULTIPOLAR DOS CAMPOS ELÉTRICOS É evidente que a partir da defrnição anterior de momentos de dipolo, certos aspectos da distribuição de potencial produzida por urna distribuição específica de carga podem ser convenientemente expressos em termos de seus momentos de dipolo elétrico. Para fazer isto é necessário, naturalmente, definir o momento de dipolo elétrico de uma distribuição de carga arbitrária. Ao invés de fazer uma definição não razoáveL iremos considerar uma certa expansão do potencial eletrostático resultante de uma distribuição de carga arbitrária. Para reduzir o número de coordenadas de posição, consideraremos uma distribuição de cargas na vizinhança da origem do sistema de coordenadas. A restrição se· guinte será que a distribuição de cargas pode ser totalmente encerrada por uma esfera de raio a que é pequeno comparado com a distância até o ponto de observação. Um ponto arbitrário nO interior da distribuição de carga será designado por r', a densidade de carga neste ponto será designada por p(r') e o ponto de observação por r (veja a Fig. 2-10). O potencial em r será dado por
=-
1
41H0'\
. I
p(r') r- r
,
de.
,'-, I
(2-45)
I
onde dv' é usado para designar um elemento de volume na distribuição de carga e V representa o volume total ocupado pela distribuição de carga. Em vista da restriçãó feita anteriormente para pontos de observação que estão afastados da origem. a quantidade Ir - r'I-1 pode ser expandida numa série de potências ascendentes de r'lr. O resultado
52
Eletrostática
desta expansão
(2-46)
Ponto de observação Figura 2-10 A carga está localizada no volume V com densidade de carga p (r '). O campo elétrico deve ser calculado no ponto r.
onde apenas os três primeiros tennos estão indicados explicitamente. Deve·se observar que apesar de (r'/r)2 ser desprezível, comparado com 2r' , r/r 2 , não se pode eliminá-Io do primeiro par de colchetes porque é da mesma ordem que o termo dominante no segun· do par de colchetes. Substituindo·se a Eq. (2-46) na Eq. (2-45) e omitindo-se termos que envolvem o cubo e potências mais elevadas de r', obtemos
cp(r)=-I 41tEo I -.v /1r 1
+-r . r' r3
+-2 --
1 [3(r.r5 r')2
-- r3
r'2]
+...p(r')dv'.
(2-47)
}
Uma vez que r não envolve a variável de integração r', toda a dependência tirada da integral; obtemos então
de r pode ser
(2-48) onde Xi, Xj são componentes alj é definido como segue:
cartesianos de r; e X/, _ o·· lJ
=
10.
IL
xi são componentes cartesianos de r' e
i = j\
i = jl'
Ê fácil interpretar a Eq. (2-48). A primeira integral da equação é evidentemente a carga total e o primeiro .tenno é o potencial resultante se a carga total se concentrasse na origem. A segunda integral é assaz semelhante ao momento de dipolo definido na Seção 2-8 e, por conseguinte, denominado momento de dipolo da distribuição de carga. Como defi· nição, isto representa uma generalização da definição dada para duas cargas puntuais iguais e opostas; é fácil demonstrar. todavia, que ambas as definições apresentam o mesmo resultado para duas cargas puntuais iguais e opostas. O segundo termo da Eq. (2-48) seria o potencial que resultaria se um dipolo puntual idêntico ao momento de dipolo da distribuição de cargas estivesse localizado na origem do sistema de coordenadas. Ê interessante observar que o momento de dipolo de uma distribuição de cargas seria independente da
Função Delta de Dirac
53
ori?em do sistema de coordenadas se a carga total fosse nula. Para verificar isso, consideremos um novo sistema de coordenadas com origem em R no sistema primitivo. Repfesentando por r' um' ponto em relação ao sistema primitivo e cp por r", o mesmo ponto em relação ao sistema novo temos
r' = r" +
o mome'~,'
R.
(2-49)
de dipolo em relação ao sistema primitivo será p
OL Qé;])"nSua
= í
'1"1'
r'p(r')
dr'
= í (r" + R)p(r')
dt·'
=
i
•V
r"p dr'
+ RQ.
(2-50)
o enunciado anterior.
(: terceiro termo da Eq. (2-48) pode ser expresso por 3
3
1
y
y
)''-- "L..,-~Q 5
i=
I
j=
I'"
r
(2-51)
..
Lr
onde
'1'
(3XiXj-Uijr. '.'
s;
'2) pr(')d"
t.
(2-52)
Há nove componentes de Qu correspondendo a i, j iguais aI, 2, 3. Destas nove componentes, seis são iguais, aos pares, deixando seis componentes distintas. Este conjunto de quantidades forma o tensor momento de quadrupolo* e representa uma extensão do conceito de momento de dipolo. Há, naturalmente, momentos de ordem mais elevada que são gerados ao se conservar termos de ordem maior na expansão da Eq. (2-48). Estes múlti· pIos de ordem mais elevada são importantes na física nuclear porém não serão considerados neste livro. Os multipolos eléL(;os são usados, como a Eq. (2-48) indica, para calcular aproximadamente o campo elétrico de uma distribuição de carga. Há, contudo, muitos outros usos, todos incluídos no sistema de calcular aproximadamente uma distribuição de carga estendida real, por meio de cargas puntuais, dipolos puntuais, etc. Estes cálculos aproximados lOrnam pC1~síve!.muitas vezes, resolver problemas extremamente difíceis. 2-10 FUNÇÃO DELTA DE DIRAC Nas expre~sões ger31~ de campo elétrico e de potencial, Eqs. (2-8) e (2-15), distinguimos cargas puntuais e distribuições contínuas de carga. Para economia de notação, ou por alguma outra razão, poderia ser útil estarmos aptos a expressar cargas puntuais como um caso particular de uma função densidade de carga geral p(r). A função delta de Dirac o (r) pode servir a este propósito e é, além disso, um recurso matemático valioso em muitos cáJcu;"s. Expressamos p(r)
onde 6(r)
=
q6(r),
=O
(carga puntual)
(2-53)
para r ~ O.
v· lensores são uma generalização dos vetares e uma exposição elementar será apresentada no * ApêndIce I.
54
Eletrostática
I 6(r') dv'
=
(2-54)
1.
Evidentemente isto fornece uma expressão matemática à idéia física de uma carga puntual em r =0: a densidade de carga integrada é q, porém toda a carga está localizada exatamente na origem. A função delta é obviamente uma função matemática altamente singular pois mesmo podendo ser nula em toda a parte, exceto num único ponto, ainda tem uma integral diferente de zero.* Não obstante, é um objeto matemático legítimo, que não conduzirá a nenhuma dificuldade se tivermos cautela e não a tentarmos diferenciar como uma função contínua, por exemplo. Pode ser feita uma variação na função para representar uma densidade superficial de carga a(r), isto é, uma distribuição de carga que se anula em toda a parte exceto numa superfície determinada. Com estas extensões, uma só integral sobre p (r) é suficien te nas Eqs. (2-8) e (2-15). Para esta aplicação, observamos que I F(r')<)(r')
dv'
= F(O),
(2-55)
onde F é qualquer escalar ou função vetorial, uma vez que o integrando em r' = O. Além disso, I F(r')<)(r'
Desta forma, se p(r') = q/> (r' (f)(r)
ro)
-
dv'
= F(ro)·
se anula exceto (2-56)
ra,
= ~l~
4nto'
f qi6(r' -_r~~ dv' I r - r' I
= ~l~ ~~qi_ 4mo
I r - r;\
para uma carga puntual qi em ri' Outras propriedades da função delta podem ser obtidas como conseqüência da lei de Gauss na forma diferen,cial, 1 V' E = - p. (2-28) to
Para uma carga puntual q em r = O, usando a Eq. (2-21)
r
V.-q
47rEo r3
1
o q6(r), = -;--
ou
r V.3 r
_
= 4nc)(r).
(2-57)
E, como
(2-58) As Eqs. (2-57) e (2-58) são de importância
tal que vale a pena fazer uma derivação direta.
* A integral de Riemann de uma função dessas será nula se de fato existir. porém a integução pode ser temanejada por meio da integral mais generalizada de Lebesgue. Outras propriedack:s da fun.;ão delta serão apresentadas no Apêndice IV.
Resumo
Uma diferenciação ongem:
55
imediata mostra que o divergente é nulo em toda a parte, exceto na r3 = y (~ r3 ). r + ~ r3 y . r y. ~
3
r
3
= - -r4 -r . r + -r3 = O.
r
=1=
O.
Para r = O, teremos _00 + 00, que é indeterminado. O teorema do divergente, entretanto, aplicado a uma pequena esfera de raiO R em torno da origem, dá
. r . r' n 1· da = 2 j da = 4n. ,'V Y'"3r dl"= .~s '-3 r R .s Uma vez que a integral de volume é 4n, não importando quão pequeno seja o raio R, o in· tegrando pode ser representado como 4mS (r), em concordância com a Eq. (2-57). Em ou· tras palavras, a função delta permite que o teorema do divergente seja aplicado a r/r3, mesmo numa região que contenha a singularidade na origem. A função delta será extre· mamente útil sempre que uma integral do divergente de r/r3 ou do laplaciano de l/r for encontrada. 2-11 RESUMO A eletrostática é baseada na lei de Coulomb assim enunciada, para uma carga puntual ql na origem, e uma carga puntual q em r, a força eletrostática aplicada sobre q será
..
F = _1~ 4nlo
e
qql ~ r2 r'
onde Eo = 8,854 X 1O-12C2/N o m2 em unidades MKS e EO = I/41T em unidades gaussianas. É conveniente tratar q como uma carga teste e abstrata para, a partir dela, definir o campo elétrico E correspondente à força elétrica Fe, Fe O campo eletrostático
= qE.
em r devido à carga fonte ql situada em rI
E(r)
= _1_
q~ ~.
4nlo r- r
O rotacional e o divergente de E são ambos de importância
r Y
=Oé
x"3r
r Y . 3r
fundamental.
= O. = 41l:<5(r),
onde a função delta de Dirac é definida por
b(r)=O, r b(r) dt,
.' ..
~tfnçãÔ
=
r=l=O.
1.
delt41féh1a seguinte pr.oPriectade, para qualquer função
•.'~~~.
I
F(r)<5(r
-
rol
d,
~
F(ro).
F
56
Eletrostática
Desta forma, para uma carga puntual V
x
=
E
V . E
O.
=~ q 1 6(r). fO
1. A lei de Coulomb pode ser generalizada para sistemas de muitas cargas fonte ou pa· ra uma distribuição contínua de densidade de carga p(r) definida de tal forma que o elemento de carga em um elemento de volume dv é
= p(r)
dq Para uma carga puntual qi em
= q;6(r
p(r)
Como as forças e os campos são aditivos,
1· E(r) Como V é um operador linear,
dv.
ri, - r,).
r-r'
1rfo' I -, r -~'13 r = ~4~ V x E
=
p(r')
dLJ.
O, 1
V· E = - p(r). to
Estas são as equações diferenciais básicas que devem ser satisfeitas localmente em cada ponto por todos os campos eletrostáticos. (De fato, a equação do divergente é satisfeita até mesmo por campos dependentes do tempo e é uma das quatro equações fundamentais de Maxwell.) 2. A lei de Gauss provém da equação do divergente, através da integração de ambos os lados sobre um volume V arbitrário e da aplicação do teorema do divergente: . 1 I E· n da = - Q, 'S fo onde Q
=
i"
p(r) dv
'1'
é a carga total no interior de V limitada por S. Isto tem utilidade prática no cálculo de E em algumas situações especiais onde se pode argumentar, sobre bases usuais, que E deve ser constante em módulo, direção e sentido, relativamente a alguma superfície escolhida S. Isto também demonstra que a carga num condutor se deve localizar sobre sua superfí· cie extema. 3. A existência de uma função potencial eletrostática cional, de modo que
E
=
-VqJ.
Para um dado campo E, cp(r)
= ~ ( E . dI. ~ro
Para uma distribuição de carga específica,
.p(r) provém da equação do rota-
Problemas
qJ(r)= ._~
41[(0'
f
p(r'),
Ir
- r I
57
de'.
Isto é mais fácil de resolver que a integral de E. O potencial escalar <.pestá relacionado com a energia potencial U da força eletrostática conservativa através de U
= qqJ.
4. A alguma distância da região onde as cargas fonte p estão localizadas. a expansão multipolar de <.pé útil:
qJ(r)=-
- +
[ºr
41t(0 1
onde p
i
= 'V
r'p(r')
- + ....
Pr3.
r
]
dl/
é o momento de dipolo da distribuição de carga. Normalmente, lo na expansão é o mais impor~ante; consideraremos
o primeiro termo não nu-
somente os dois primeiros termos.
PROBLEMAS ~2-1 Duas partículas, cada uma de massa m e com carga q, estão suspensas de um ponto comum, por cordas de comprimento I. Determine o ângulo e que cada corda forma com a vertical. 2-2 Duas pequenas esferas condutoras, idênticas, possuem cargas de 2,0 X 10-9 C e -0,5 X 10-9 C, respectivamente. Quando estiverem separadas por 4 cm, qual será a força entre elas? Se forem postas em contato e então separadas por 4 cm, qual será a força entre elas? 2-3 -Cargas puntuais de 3 X 10-9 C estão situadas em três vértices de um quadrado de 15 cm de lado. Determine o módulo, a direção e o sentido do campo elétrico no vértice vago do quadrado .. 2·4 É dada uma linha de carga infinitamente longa, com densidade uniforme de carga À por unidade de comprimento. Por integração direta, determine o campo elétrico a uma distância r da linha. 2-5 (a) Um disco circular, de raio R, tem uma densidade superficial uniforme de carga a. Determine o campo elétrico em um ponto ~obre o eixo do disco a uma distância z do plano do disco. (b) Um cilindro circular reto, de raio R e altura L, está orientado ao longo do eixo z. Possui uma densidade volumétrica não uniforme de carga dada por p (z) = Po + I3z em relação a uma origem no centro do cilindro. Determine a força sobre uma carga puntual q situada no centro do cilindro. 2-6 Uma casca esférica fina, condutora, de raio R, está uniformemente carregada com uma carga total Q. Por integração direta, encontre o potencial em um ponto arbitrário (a) no interior da casca, (b) fora da casca.
t
q, estão situadas na origem e no ponto (a, O, O), respectiva2·7 Duas cargas puntiformes, -q e + mente. Em que ponto, ao longo do eixo x, o campo elétrico se anula? Faça, no plan@ x, y, um gráfico da superfície eqüipotencial que passa através do ponto acima referido. É este ponto um verdadeiro mínimo de potencial? 2·8 Demonstre que a superfície eqüipotencial
é de forma esférica.
02-9 É dado um cilindro circular reto, de raio R e comprimento L, contendo uma densidade de carga uniforme p. Calcule o potencial eletrostático num ponto sobre o eixo do cilindro porém externo à dis-
tribuição. 2-10 É dada uma região do espaço na qual o campo elétrico é dirigido paralelamente ao eixo x em to-
,
58
Eletrostática
dos os pontos. Demonstre que o campo elétrico é independente das coordenadas y e z nesta região. Se não houver carga nesta região, demonstre que o campo será também independente de x. 2-11' Considerando-se que a resistência elétrica do ar (isto é, o campo elétrico acima do qual o ar se . torna condutor) seja 3 X 10· Vim, (a) qual o potencial mais alto possível de um condutor esférico isolado de 10 cm de raio? (b) Qual seria o raio de um condutor esférico que pudesse manter 1 coulomb de carga? Um objeto condutor tem uma cavidade oca em seu interior. Se uma carga puntua! q for introduzida na cavidade, demonstre que a carga -q será induzida na superfície da cavidade. (Use a lei de Gauss.) 2-12
2-13 O campo elétrico na atmosfera da superfície da Terra é de aproximadamente 200 Vim, dirigido 'para baixo. A 1400 m acima da superfície da Terra, o campo elétrico na atmosfera é de somente 20 Vim, novamente dirigido para baixo. Qual é a densidade média de carga na atmosfera abaixo de 1400 m? Esta consiste predominantemente de íons positims ou negarims? 2-14 Duas placas condutoras paralelas, intinitas. estão separadas por urna distância d. Se as placas possuírem densidades uniformes de carga a e -a, respectivamente. em suas superfícies internas, obtenha uma expressão para o campo elétrico entre as placas. Demonstre que o campo elétrico nas regiões externas às placas é nulo. [Duas placas condutoras paralelas, carregadas. de área finita, produzem essencialmente o mesmo campo elétrico na região contida entre elas como foi determinado anteriormente, contanto que as dimensões das placas sejam grandes em comparação com a separação d; tal arranjo é denominado capaciror (veja o Capítulo 6).]
Uma distribuição esférica de carga tem uma densidade de carga volumétrica que é função apenas de r, a distância desde o centro da distribuição. Em outras palavras, p = p (r). Se p (r) for assim, determine o campo elétrico como função c!'e r. Integre o resultado para obter uma expressão para o potencial eletrostático
b)
p
=
p
= O parar>
Po
(isto é, constante) para O.;;
r';;
R;
R.
Uma barra circular infinitamente longa, de raio R, contém uma densidade de carga uniforme p. Use a lei de Gauss para encontrar o campo elétrico para r::> R e r < R. 2-16
2-17 Calcule o rotaciona! e o divergente de rira. Que densidade de carga p (r) produziria um campo
E=-!!--~') 47Uo r"
Qual o potencial deste campo? no campo de Coulomb não seja exatamente 3. porém a = 3 - li, onde 1. Calcule a integra! de V • E sobre um volume esférico de raio R centrado na carga q.
2-18 Suponha que o expoente
li
«
2-19 O potencial de Coulomb atenuado pela presença dos demais elétrons
qJ=--q e-";' --r 471:(0
ocorre comumente num meio condutor. Calcule o campo elétrico e a densidade de carga correspondentes. 2-20 Usando a Eq. (2-39) para o potencial produzido por um dipolo p, faça um gráfico das superfícies eqüipotenciais em um plano contendo o dipolo. Por conveniência, o dipoIo pode ser localizado na orj, gemo Use os resultados obtidos para traçar algumas linhas de força. Compare o resultado com a Fig. 2-1. (a) Demonstre que a força que atua num dipolo p colocado em um campo elétrico externo Eext é p • ~ Eext. (b) Demonstre que o torque atuante num di pala neste campo é
2-21
Problemas
t=r
x [p . VEe>,]
+
59
p x E.",
onde r é a distância vetarial desde o ponto em relação ao qual o torque será medido até o dipolo. A quantidade p X Eext, que é independente do ponto em relação ao qual o torque será calculado, é denominada par de giro que atua no dipolo. 2-22 Três cargas estão dispostas em forma linear. A carga - 2q está situada na origem e duas cargas, cada uma de +q, estão situadas em (O, O, l) e (O, O, -l), respectivamente. Encontre uma expressão relativamente simples para o potencial .,:>(r)que seja válida para distâncias Iri ~ I. Faça um gráfico das superfícies eq üipotenciais no plano x, z. 2-23 Qual o tensor momento de quadrupolo da distribuição de carga discutida no problema 2-22? 2-24 Usando as funções delta para a distribuição de carga de cargas puntuais, demonstre que o momento de dipolo de um par de cargas puntuais p = ql provém da definição geral
p=
i
r'p(r') dr'.
2-25 Suponha que uma molécula seja representada por uma carga -2q /2' com I/li = 1/21 = I.
na origem e cargas +q em /1 e
a) Encontre o momento de dipolo da molécula. b) Para H2 O, I = 0,958 X 10-10 m e o ângulo entre contre a carga efetiva q.
/1
e
/2
é e=
1050•
Se p = 6,14 X 10-30 C • m, en-
2-26 Obtenha o campo elétrico de um dipolo puntua1 através do cálculo do gradiente de 1
cp
p' r
= --- ~ 4mo
r3
.
-
CAPÍTULO 3
SOLUÇAO pE PROBLEMAS ELETROSTA TICOS A solução de um problema eletrostático é imediata no caso em que a distribuição de carga está especificada em todos os pontos pois então, como temos visto, o potencial e o campo elétrico são dados diretamente como integrais sobre esta distribuição de carga: 1 qJ(r)=4~ 7Uo'
.
dq'
I -I r -",- r
E(r) = _1 _ r (r - r') ,d(I' 41Uo' Ir - r I
(3-1 )
(3-2)
No entanto, muitos dos problemas encontrados na prática não são deste tipo. Se a distribuição de carga não for especificada de antemão, poderá ser necessário determinar pn'meiro o campo elétrico, antes de se calcular a distribuição de carga. Por exemplo, um problema eletrostático pode envolver vários condutores, onde são dados o potencial ou a carga total de cada condutor, mas a distribuição de carga superficial não é, em geral, conhecida e não poderá ser obtida até o problema estar completamente resolvido. Nosso objetivo, neste capítulo, é desenvolver um procedimento alternativo para os problemas eletrostáticos e para realizar isto, derivamos em primeiro lugar a equação diferencial básica que deve ser satisfeita pelo potencial tp. Por enquanto não examinaremos problemas que envolvam corpos dielétricos; problemas deste tipo serão resolvidos no Capítulo 4. 3-1 EQUAÇÃO DE POISSON Todas as relações básicas de que necessitaremos foram desenvolvidas no capítulo anterior. Primeiro, temos a forma diferencial da lei de Gauss,
V' E = Além disso, num campo puramente diente do potencial tp:
1
-
10
p.
eletrostático,
E= -VqJ. 60
(3-3)
E pode ser expresso como menos o gra-
(3-4)
Equação de Laplace
Combinando
61
(3-3) e (3-4), obtemos
v . Vep =
p
(3-5a)
(o
É conveniente imaginar o divergente do gradiente como um só operador diferencial, V . V ou V2 • A última notação é preferida e o operador é denominado de laplaciano: Vo-ep
p = - -(o
(3-5b)
É evidente que o laplaciano é um operador diferencial escalar e a Eq. (3-5b) é uma equação diferencial. Esta é a equação de Poisson. O operador V2 envolve diferenciação relativa a mais de uma variável; como conseqüência, a equação de Poisson é uma equação diferencial parcial que poderá ser resolvida uma vez conhecida a dependência funcional de p(x, y, z) e as condições de contorno apropriadas. O operador V2, assim como o V, V' e Vx, não têm referência com nenhum sistema particular de coordenadas. Para resolver um problema específico, devemos escrever V2 em termos de x, y, z ou r, e, ljJ ou etc. A escolha do sistema particular de coordenadas é arbitrária mas uma simplificação substancial do problema é usualmente encontrada através da escolha de um sistema compatível com a simetria do problema eletrostático. A forma tomada por V2r.p nos vários sistemas de coordenadas é facilmente encontrada, tomando primeiramente o gradiente de r.p e então operando com V ',usando expressões específicas do Capítulo 1: Coordenadas retangulares:
(3-6) Coordenadas esféricas: V
ep == 2
-
I êr o ( r2
r
2 oep) ar
+ ----
-
I () o(} o (. r2 sen
sen e -
oep) ae
+
I r2 sen2
e
-
(3-7)
02 ep . acjJ2
Coordenadas cilíndricas: (3-8) O leitor deverá consultar as referências no fim deste capítulo para obter a forma do laplaciano em outros sistemas de coordenadas mais complicadas. Deve-se atentar que r e e têm significados diferentes nas Eqs. (3-7) e (3-8); em coordenadas esféricas, r é o módu10 do raio vetor desde a origem e (J é o ângulo polar. Em coordenadas cilíndricas, r é â distância perpendicular desde o eixo do cilindro e e é o ângulo azimutal em relação a este eIXO,
3-2 EQUAÇÃO DE LAPLACE Numa certa classe de problemas eletrostáticos que envolvem condutores, toda a carga é encontrada na superfície dos condutores ou na forma de cargas puntuais fixas. Nestes casos, p é nulo na maioria dos pontos no espaço e, onde a densidade de carga se anula, a equação de Poisson reduz-se à forma mais simples.
62
Solução de Problemas Eletrostáticos
(3-9) que é a equação de Laplace. Suponhamos que temos um conjunto de N condutores (dos quais um ou mais podem ser cargas puntuais) mantidos nos potenciais Ipr, \P!r, ... , IpN' Nosso problema é achar o potencial em todos os pontos do espaço externo aos condutores. Isto pode ser conseguido, encontrando uma solução para a equação de Laplace que se reduza a Ipr, IpIl, ooo, IpN nas superfícies dos condutores apropriados. Pode-se demonstrar que esta solução da equação de Laplace é única, isto é, não há outra solução da equação de Laplace que satisfaç.a as mesmas condições de contorno. Uma prova desta afirmação será dada a seguir. A solução da equação de Laplace, que encontramos desta maneira, não se aplica ao interior dos condutores porque os condutores possuem carga superficial e isto implica uma descontinuidade do gradiente de Ip através da superfície (veja a Seção 2-7). No entanto, já vimos que o interior de cada condutor é uma região de potencial constante, assim, a solução do nosso problema está completa. Descreveremos com algum detalhe dois métodos para a solução da equação de Laplace: o primeiro é um método para compor uma solução geral para a Eq. (3-9) a partir de soluções particulares, em um sistema de coordenadas ditado pela simetria do problema; o segundo é o método das imagens. Além disso, encontraremos uma solução completamente geral do problema, em duas dimensões. Todavia, antes de considerar estes procedimentos específicos, provaremos algumas propriedades importantes da solução da equação de Laplaceo Teorema I Se
,
forem todos soluções da equação de Laplace, então
(3-10) onde os C saõ constantes arbitrárias, será também uma solução.
A prova disto provém imediatamente V2CfJ
do fato de
+
+ V2CnCfJn
= C j V2CfJj + C 2 V2CfJ2 + =0.
+ Cn V2CfJn
=
V2CjCfJj
+ V2C2CfJ2
Através do uso do Teorema I podemos superpor duas ou mais soluções da equação de Laplace, de forma a que a solução resultante satisfaça um dado conjunto de condições de contorno. Exemplos serão dados nas seções seguintes. Teoremall (Teorema da unicidade.) Duas soluções da equaçaõ de Laplace que satisfazem as mesmas condições de contorno diferem, quando muito, por uma constante aditiva.
Para provar·este
teorema, consideramos a região fechada Vo, exterior às superfícies do problema e limitada exteriormente por uma superfície S, sendo esta última uma superfície no infinito ou uma superfície real que envolve Vo. Suponhamos que Ipj e 1p2 são duas soluções da equação de Laplace em Vo que, além disso, possuem as mesmas condições de contorno em S, Sr, Su, o .. ,SN' Estas condições de contorno podem ser especificadas, fixando valores de cada Ip ou olp!on nas superfícies limitadoras. Definimos uma nova função
Soluções da Equação de Laplace em Coordenadas Esféricas
63
gente ao vetar
v .
(
=
I
'Vo
n da
'S+S,+",SN
= O. pois a segunda integral se anula. O divergente pode ser expandido de acordo com a Eq. (1-1-7) da Tabela l-I para dar V • (
=
+
(V
Mas, \72
dt,
= O.
Agora (V1»2 deve ser positivo ou nulo em cada ponto de Yo e como sua integral é nula, é evidente que (V
INDEPENDENTE Se l{J for uma função de uma só variável, a equação de Laplace irá reduzir-se a uma equação diferencial ordinária. Consideremos o caso em que l{J seja l{J (x), uma função da única coordenada retangular x. Então d2
dx q>2=
e
O
q>(x)
=
+b
ax
(3-11)
é a solução geral, onde a e b são constantes escolhidas para ajustar as condições de contorno. Este é o resultado já encontrado no capítulo anterior para o potencial entre duas placas condutaras carregadas, com orientação nonnal ao eixo x. A situação não é mais complicada em outros sistemas de coordenadas em que l{J é uma função de uma só variável. Em coordenadas esféricas, onde l{J é igual a l{J (r), a equação de Laplace e sua solução geral se tornam a
dr (r2 dq» dr ~r2 ~
=
O'
q>(r)
=-- r
+ b.
(3-12)
A solução geral da equação de Laplace em coordenadas cilíndricas, para uma função que é independente de 8 e z, isto é, para l{J(r), é deixada como um exercício para o leitor. 3-4 SOLUÇÕES DA EQUAÇÃO DE LAPLACE EM COORDENADAS ESFÉRICAS. HARMÔNICOS ZONAIS Voltemos nossa atenção agora às soluções da equação de Laplace onde l{J é uma função de mais de uma variável. Muitos problemas de nosso interesse tratam de condutores em forma de esferas ou cilindros e, então, são necessárias soluções da equação de Laplace em coordenadas esféricas ou cilíndricas. Abordaremos, em primeiro lugar, o problema
64
Solução de Problemas Eletrostáticos
esférico mas achamos conveniente limitar a exposição a casos em que <.pé independente do ângulo azimutal
+--,2 sen 1
O ao a (
senO-
ao ) cep
=0.
(3-13)
Esta equação diferencial parcial será resolvida por uma técnica conhecida como separação na Eq. (3-13), dando
de variáveis. Uma solução da forma <.pCr,e) ==Z(r)P(O) é substituída
dr ~r2 P(O) ~
(,2
dr dZ)
sen + ,2Z(r)
o de de ~ (sen e dP)
= o.
(3-14)
Observemos que as derivadas parciais foram substituídas por derivadas totais, visto que Z e P são ambos funções de uma variável apenas. Dividindo por <.p(" e) e multiplicando por r2, transformamos a Eq. (3-14) em Z ~dr (r2 dZ) dr ~
= __P
sen dO (sen O dP). dO 1__(J ~
()
(3-15)
Direção polar
Figura 3-1 Localização do ponto P em termos das coordenadas esféricas r, e,
O lado esquerdo desta equação é função apenas de r e o lado direito é uma função de (); o único modo pelo qual uma função de r se pode igualar a uma função de e, para todos os valores de r e e, consiste em tornar ambas as funções constantes. Em conseqüência, igualase cada lado da Eq. (3-15) a k, onde k é a "constante de separação". Nem todos os valores de k proporcionam soluções que são aceitáveis em bases físicas. Consideremos primeiro a equação em e: sen1 o dO dO d ( sen O dP)
+ kP = O.
(3-16)
Esta é a equação de Legendre e as únicas soluções fisicamente aceitáveis definidas em todo o intervalo de e, de O a 1T, correspondem a k == n(n + I), onde n é um inteiro positivo.
Soluções da Equação de Laplace em Coordenadas Esféricas
65
A solução para um n particular será representada por Pn(8). Soluções da Eq. (3-16) para outros valores de fc. não se comportam bem na vizinhança de 8 = O ou 8 = 1f radianos, tornando-se infinitas ou até mesmo indefinidas para estes valores de 8.* Estas soluções não se podem ajustar às condições de contorno físicas e, em conseqüência, devem ser desprezadas. ** As soluções aceitáveis, Pn(8), são polinômios em cos 8, e geralmente denominadas polinômios de Legendre. As quatro primeiras funções de Legendre são dadas na Tabela 3-1. É evidente através da Eq. (3-16) que osPn podem ser multiplicados por uma constante arbitrária. Retomamos,
agora, à equação radial r2_ dr dr d ( dZ)
=n(n+1)Z,
(3-17)
Tabela 3-1 Polinômios de Legendre para n = O, 1,2 e 3 11
Pn(8)
O
1
1
cos 8
2 3
·!(3cos28-1) -!-(5 cos3 8 -
3 cos
8)
onde usamos a forma explícita de k, que deu soluções aceitáveis em 8. A análise da Eq. (3-17) mostra que as duas soluções independentes são e Soluções da equação de Laplace são obtidas pelo produto
(3-18)
onde Pn(8) é um dos polinômios listados na Tabela 3-1 e n é um inteiro positivo ou zero.
* A exp'osição aqui foi bastante abreviada. O leitor interessado deve consultar mais textos matemáticos para um tratamento detalhado da equação de Legendre. Veja, por exemplo, os livros relacionados no final deste capítulo. A equação de Legendre é usualmente escrita numa forma diferente, pela substituição dex =cos e, e suas soluções são então representadas porPn(x) ouPn(cos e). ** Esta afirmativa necessita de uma observação. Em alguns problemas eletrostáticos, as regiões em torno de e = O e e = 11 podem ser naturalmente excluídas, por exemplo, por superfícies cênicas condutoras; nessas condições, poderiam ser usadas soluções da Eq. (3-16) com outros valores de k. Problemas deste tipo não serão examinados aqui.
66
Solução de Problemas Eletrostáticos
Os harmônicos zonais formam um conjunto completo de funções, isto é, uma solução geral da equação de Laplace pode ser construída como uma superposição destas soluções, de acordo com o Teorema t, sempre que o problema físico apresente simetria azimutal' Já conhecemos bem vários harmônicos zonais: uma das soluções para n = 0, mais precisamente, ..p = constante, é uma solução trivial da equação de Laplace, válida em qualquer sistema de coordenadas; o harmônico zonal r-I é o potencial de uma carga puntual e r-2 cos e é o potencial de um dipolo. 3-5 ÉSFERA CONDUTORA EM UM CAMPO ELÉTRICO UNIFOR,\1.E Ilustraremos a utilidade dos harmônicos zonais em problemas eletrostáticos que possuem simetria esférica, resolvendo o problema de uma esfera condutora não carregada colocada num campo elétrico inicialmente uniforme Eo. As linhas de um campo elétrico uniforme são paralelas, mas a presença do condutor altera o campo de tal forma que as linhas de campo se chocam perpendicularmente com a superfície do condutor, que é uma superfície eqüipotencial. Se tomarmos a direção do campo elétrico inicialmente uniforme como a direção polar (direção z) e se fizermos a origem de nosso sistema de coordenadas coincidir com o centro da esfera, então, da simetria do problema, veremos que o potencial será independente do ângulo azimutal cp e poderá ser expresso como uma soma de harmônicos zonais. O condutor esférico, de raio a, é uma superfície eqüipotencial: representaremos seu potencial por 'Po. Nosso problema é encontrar uma solução para a equação de Laplace, na região externa à esfera, que se reduza a 'Po na própria esfera e que tenha a forma limitadora correta para grandes distâncias de separação. A solução pode ser escrita formalmente como cp(r, O)
= AI + C1r-1 +
+ tA3r2(3
cos2
cos 8
A2r
0-
+
cos 8
C2 r-2
+ tC3r-3(3
1)
cos2
0-
1)
+ ...,
(3-19)
onde os A e os C são constantes arbitrárias. Para r grande, o campo elétrico será apenas levemente distorcido de sua forma inicial e o potencial será o apropriado a um campo elétrico uniforme. [E(r, O)]r-oo = Eo = Eok, [cp(r, 8)]r_00
=
-Eoz
+ constante,
- Eo r cos 8
+ constante.
(3-20)
Com conseqüência, para fazer as Eqs. (3-19) e (3-20) concordarem para r grande,A2 = -Eo; além disso, os A, de A3 em diante, devem ser igualados a zero. O termo Clr-I produz um campo radial que, como se poderia esperar, é compatível somente com um condutor esférico conduzindo a carga totallívre. Como nosso problema trata de um condutor descarregado, a constante CI deve ser igualada a zero. Na superfície da esfera, 'P = 'Po e o potencial deve tornar-se independente do ângulo e. Os dois termos que envolvem cos e podem cancelar-se mas os termos com maiores potências inversas de r não podem ser cancelados entre si porque contêm funções diferentes de Legendre. A úni· ca possibilidade é fazer todos os Ci com i ;;;> 3 iguais a zero. A Eq. (3-19) torna-se agora O)
=
AI - Eor cos 0+
cp(a, O)
=
CPo.
cp(r,
Como as duas expressões devem ser iguais em
cos
C2r-2
O.
para
r 2: a,
(3.21) r
= a,
A I
=
'Po
e C2 = Eoa3
.
Harmônicos Cilíndricos
67
Podemos calcular, da expressão final do potencial, não somente o campo elétrico em todos os pontos do espaço (veja a Fig. 3-2) mas também a densidade superficial de carga na esfera condutora: Er
= - -;;cr = Eo oep
(
1+2
3a3) r
cos e, para
EH
=
oe _!r oep
= _ Eo (1 _
a(e)
=
r3' a3)
=
foErlr=a
r ~ a,
(3-22)
sen e 3foEo
cos
e.
(3-23)
Figura 3-2 Linhas de fluxo elétrico no caso de uma esfera condutora colocada num campo elétrico uniforme.
A carga total da esfera, Q
= a2
sen e de,
(' a(e)2n '0
é obviamente nula, o que concorda com nossa suposição inicial. 3-6 HARMONICOS CILÍNDRICOS A equação de Laplace em coordenadas cilíndricas pode também ser resolvjda pelo método da separação de variáveis. Aqui, será de novo conveniente resolver somente uma classe restrita de problemas, ou seja, aqueles em que o potencial é independente da coordenada z. Estas soluções são apropriadas para certos problemas que envolvem condutores longos, retos e cilíndricos, ou fios, mas não para os que tratam de segmentos cilíndricos curtos. Se o potencial for independente de z, a equação de Laplace irá tornar-se, em coordenadas cilíndricas,
c (.r 1 cr -;: A substituição de
lp
a;
oep )
+ r21
(12 oe2ep
= O.
(3-24)
= Y(r)S(8) reduz a equação a Yr dr r dr d (dY)
=-
S 1 de2 d2S
= k,
(3-25)
68
Solução de Problemas Eletrostáticos
onde k faz novamente o papel de uma constante de separação. A equação em e é particularmente simples; ela tem as ,soluções cos k1l2 e e sen k1l2 e. Mas, se estas soluções tiverem sentido físico, cada uma deverá ser uma função univalente de e; então
cos
k12(e
sen
k1!2(e
+ 2n) = cos k1i2e, + 2n) = sen k1 2a.
Ou, colo~ando de forma diferente, após e ter percorrido todo o intervalo de O a 211',a função deveria unir-se suavemente a seu valor em e = O. Isto pode ocorrer somente se k = n2. sendo n um inteiro. Podemos, mais adiante, necessitar que n seja positivo (ou zero) sem perder nenhuma destas soluções. Retomando agora à equação em r, podemos verificar facilmente que Y(r) é rn ou r-n; a não ser que n = O quando Y(r) = ln r ou Y(r) = constante. Portanto, as soluções necessárias para a equação de Laplace, os chamados harmônicos dlíndn'cos, são
1,
ln r,
fi cos ne, fi sen ne,
r-n cos na, r-n sen na.
Estas funções formam um conjunto completo para as variáveis r e e, em coordenadas cilíndricas, e o potencial tp(r, e) pode ser desenvolvido como uma superposição de harmônicos cilíndricos, em concordância com o Teorema I. *3-7 EQUAÇÃO DE LAPLACE EM COORDENADAS RETANGULARES Em coordenadas retangulares, as variáveis podem ser separadas por meio da substituição com a qual a equação de Laplace se reduz a
1 1 ----+----d2fl
fl(X)
dx2
f2(Y)'
d2f2
1 -----
d2f3
dy2 -
f3(Z)
dz2
(3-26a) .
O lado esquerdo desta equação é uma função de x e y e o lado direito é uma função única de z; portanto,ambos os lados devem ser iguais à mesma constante, k. Esta será a primeira constante de separação. As duas equações obtidas da Eq. (3-26a) são d2f3 dz2
+ kf3 = O, (3-26b)
--=k--1 d2f2
f2 dy2
1 d2fl fi
dx2 .
A última equação foi escrita de modo qu~ as variáveis x e y estivessem separadas; cada .Ia. do desta equação é agora igualado a -m (a segunda constante de separação). Então, (3-26c)
*
As seções com asterisco podem ser omitidas sem perda de continuidade.
Equação de Laplace em duas Dimensões
d2f! dx2 _ (k
+ m ).f~ = o.
69
(3-26d)
As Eqs. (3-26b), (3-26c) e (3-26d) são facilmente resolvidas. Uma das soluções típicas para .p(x,y, z) é (3-27) As outras sete soluções independentes para um par de constantes de separação (k, m) são obtidas através de uma ou mais das seguintes substituições: +(k + m)!/2 x por -(k + m)l!2 x, sen m!/2 y por cos m!/2 y e sen k1/2 z por cos kl!2 z. Até agora não havia restrições para k ou m, mas as condições de contorno do problema usualmente restringem k (ou m) a um conjunto discreto de valores positivos ou negativos. Vale a pena ainda observar que são as condições de contorno que realmente selecionam as soluções pertinentes a uma equação diferencial parcial; a função cp(x, y, z)
=LL p
cos py cos qz
Apqe-(p!+q2)12X
q
para x e y flXOS, é justamente a expansão da série de Fourier para uma função par arbitrária de z. As soluções individuais, Eq. (3-27), não representam particularmente potenciais simples e não trataremos de correlacioná-Ias com situações físicas. O caso em que ambas as constantes de separação são nulas é o mais interessante; portanto, dedicaremos nossa atenção a este caso. É evidente, através da Eq. (3-26d), que!! (x) =a!x, ou!! (x) =constante, é uma solução; obtemos, da Eq. (3-26c),f2 (y) etc. Então, cp(x, Y, z)
=
A!xyz
+ A5X
+ A2xy + A3yz + A4xz + A6y + A7Z + As,
(3-28a)
onde os A são constantes arbitrárias. Esta solução pode ser aplicada ao caso em que três planos condutores se interseccionam perpendicularmente. Se estes planos forem os pIanos coordenados xy, yz e zx, e estiverem todos no mesmo potencial, então (3-28b)
É deixado como exercício ao leitor, a determinação da densidade de carga superficial nos planos coordenados que seja compatível com a Eq. (3-28b). *3-8 EQUAÇÃO DE LAPLACE EM DUAS DIMENSÕES. SOLUÇÃO GERAL Se o potencial for uma função de apenas duas coordenadas retangulares, a equação de Laplace será escrita a2cp
-
ex2
a2cp
+-
cy2
= O.
(3-29a)
É possível obter a solução geral desta equação por meio de uma transformação para um novo conjunto de variáveis independentes; no entanto, deve-se ressaltar que esta transformação conduz a uma simplificação da equação original somente no caso bidimensional. Seja ç = x + iy, 1] = x - lY,
70
Solução de Problemas Eletrostáticos
onde
i=
FI
é o número imaginário unitário. Em termos destas relações,
e 2
V
c2({J ({J
=4
cç cYJ
(3-29b)
= o.
É evidente que a solução geral da Eq. (3-29b) é ({J
=
+
F[(Ç)
=
F2(YJ)
+ iy) + F2(X
F[(x
(3-30)
- iy),
onde F[ e F2 são funções arbitrárias. As funções FI e F2 são, em geral, quantidades complexas, mas duas funções reais podem ser construídas da seguinte forma. Primeiro, faz-se F2 (x - iy) = FI (x - iy) isto é, faz-se com que as duas funções F[ e F2 tenham a mesma dependência junto a seus argumentos, então ({J[
=
FI(x
+
iy)
+ FI(x
- iy)
=
2 Re [F[(x
+ iy)],
onde Re representa a parte real de. Além disso, a segunda função real do potencial é ({J2
=
-i[FI(x
+ iy)
-
FI(x
= 21m
- iy)]
[FI(x
+
iy)],
onde 1m representa a parte imaginária de. Portanto, as partes real e imaginária de qualquer função complexaF(x + iy) são ambas soluções da equação de Laplace. As soluções encontradas desta maneira não estão restritas a nenhum sistema particular de coordenadas. Por exemplo, os harmônicos cilíndricos da Seção 3-7 são obtidos das funções complexas* (x + iy)n =rne inO e 1n(x + iy) = 1nr + i8. Por outro lado, quando se toma necessário resolver um problema bidimensional particular, não há um procedimento padrão para achar a função complexa apropriada. Este método gera tantas soluções que não é possível enumerá-Ias todas e rejeitar as que não concordam com as condições de contorno do problema. Em casos simples, as funções necessárias podem ser encontradas por tentativa; em outros casos, o método do ajustamento (que excede o alcance deste livro) pode ser útil. 3-9 IMAGENS ELETROSTÁTlCAS Para um dado conjunto de condições de contorno, a solução da equação de Laplace é única, de modo que se alguém obtiver uma soluçãO (;?(x, y,z) por qualquer meio e se este (;? satisfizer todas as condições de contorno, ter-se-á encontrado então uma solução completa do problema. O método das imagens é um procedimento para alcançar este resultado sem resolver especificamente uma equação diferencial. Não se aplica universalmente a todos os tipos de problemas eletrostáticos mas abrange muitos problemas que nos interessam, de modo que vale a pena expor o método aqui. Suponhamos que o potencial possa ser escrito da seguinte maneira: 1
((J(r)
* sen
As coordenadas O.
=
qJ[(r)
+
41'CEo
. a(r') da' -Is
1__
, I'
(3-31)
cilíndricas e retangulares estão relacionadas na forma usual: x = r cos o, y = r
Imagens Eletrostáticas
71
onde 'Pl é uma função especificada ou facilmente calculável e onde a integral representa a contribuição a,o potencial da carga superficial de todos os condutores que aparecem no problema. A função a não é conhecida. Pode ocorrer, e esta é a essência do método da carga-imagem, que o último termo da Eq. (3-31) possa ser substituído por um potencial 'P2 que seria resultante a uma distribuição de carga especificada. Isto é possível enquanto as superfícies de todos os condutores coincidirem com as superfícies eqüipotenciais da combinação 'Pl + 'P2 . As cargas especificadas que produzem 'P2 são denominadas cargasimagem. Naturalmente, elas não existem na realidade. Sua localização aparente é no interior dos vários condutores e o potencial 'P = 'Pl + 'P2 é uma solução do problema válida somente na região exterior. Como exemplo deste método, resolveremos o problema de uma carga puntual q situada próxima de um plano condutor de extensão infinita. Para formular o problema matematicamente, faremos o plano condutor coincidir com o plano yz e situaremos a carga puntual no eixo x em x = d (veja a Fig. 3-3a). O potencial ajusta-se ao indicado pela Eq. (3-31) com q
=
q
=
47Uorl
41tcoJ(x
-.
_ d)2
+ y2 + z
(3-32)
Consideremos agora um problema diferente: o das duas cargas puntuais (q e -q), separadas por uma distância 2d, como é mostrado na Fig. 3-3(b). O potencial destas duas cargas,
q = 41tt:or1
-q-.-
(3-33)
41tEor2
não somente satisfaz a equação de laplace em todos os pontos exteriores às cargas, como também se reduz a uma constante (mais precisamente, zero) no plano que bissecciona perpendicularmente o segmento que une as duas cargas. Portanto, a Eq. (3-33) satisfaz as condições de contorno do problema original. Porque as soluções da equação da Laplace são únicas, a Eq. (3-33) é o potencial correto em todo o semi-espaço exterior ao plano condutor. A carga -q que dá origem ao potencial
q
=-
41ttOr2
q
=-
41ttoJ(x
+ d)2+
y2
+ Z2'
. (3-34)
é denominada imagem da carga puntual q. Naturalmente, a imagem não existe na realidade e a Eq. (3-32) não dá corretamente o potencial no interior ou à esquerda do plano condutor na Fig. 3-3(a). Pode-se obter o campo elétrico E na região exterior, como o gradiente negativo dà Eq. (3-33). Como a superfície do plano condutor representa uma interface urtindo duas soluções da equação de laplace, mais precisamente, 'P = O e a Eq. (3-33), a descontinuida. de no campo elétrico é ajustada através de uma densidade de carga superficial a no plano: O"(y,
z) =
EoExlx=o
= - _ . _,
qd
,
,,''',
(3-35)
As linhas de força e superfícies eqüipotenciais correspondentes ao problema original estão ilustradas na Fig. 3-3( c). São as mesmas linhas de força e superfícies eqüipotenciais correspondentes ao problema das duas cargas puntuais ilustrado na Fig. 3-3(b) excetuando-se que, no último caso, as linhas de fluxo continuariam dentro da metade esquerda do plano.
72
Solução de Problemas Eletrostáticos
(x, y, z)
j
I
í I I I
"
(x,y,~)
-q
q
:
q
I I I
d-I
r-d-f--d----1 I , ,,,,•I'-, (h) ,I , • ---
,
(n)
,
"'
"'
I
\
i{fu--_,
I
\'-
,
\
'-
, \
,,
I
I
I
I
,I
~' (r) Figura 3-3 Problema de uma carga puntual e um plano condutor resolvido pelo método da carga-imagem: (a) problema original, (b) localização da carga-imagem, (c) linhas de força (tracejadas) e superfícies eqüipotenciais (cheias).
É evidente, através da figura, que todas as linhas de fluxo elétrico, que normalmente convergiriam para a carga-imagem, são interceptadas pelo plano na Fig. 3-3(c). Como conseqüência, a carga total no plano é igual àquela da carga-imagem, Este mesmo resultado poderia ser obtido matematicamente integrando a Eq. (3-35) sobre toda a superfície (veja o Problema 3-14).' É evidente que a carga puntual q exerce uma força atrativa sobre o plano, porque a carga superficial induzida é de sinal oposto. Pela lei de Newton da ação e reação, esta força é igual, em módulo, à força exercida pelo plano sobre q. Como a carga puntual não experimenta nenhuma força devida a seu próprio campo,
-q.
F que é justamente
=
-qVcp2,
a força exercida pela carga-imagem sobre ela.
(3-36)
CargaPuntual e Esfera Condutora
73
Um outro problema, que se pode resolver simplesmente em função das imagens, é o da determinação do campo elétrico de uma carga puntual q na vizinhança de uma interseção em ângulo reto formada por dois planos condutores [veja a Fig. 3-4(a)]. As posições das cargas-imagem necessárias estão ilustradas na Fig. 3-4(b). Vê-se imediatamente que os dois planos tracejados, nesta figura, são superfícies de potencial zero, devido aos potenciais combinados de q e das três cargas-imagem. I I I I
-q-
• q
I I
------+---I
___
I
I I
q•
(a)
I I I I
--
• -q
(1)\
Figura 3-4 Carga puntual em uma esquina que forma ângulo reto.
3-10 CARGA PUNTUAL E ESFERA CONDUTORA A principal dificuldade ao se resolver um problema por meio da técnica das imagens consiste em achar um grupo de cargas-imagem que, juntamen te com as cargas originalmente especificadas, produza superfícies eqüipotenciais nos condutores. O problema é direto somente nos casos em que a geometria é simples. É o caso de uma carga puntual q na vizinhança de uma esfera condutora; é necessária uma única carga para tomar a esfera uma superfície de potencial zero. Uma carga-imagem adicional seria necessária para mudar o potencial da esfera para algum outro valor constante. Determinaremos, em primeiro lugar, o módulo e a localização da imagem q' que, juntamente com a carga puntual q, produz um potencial nulo em todos os pontos da esfera. A geometria da situação é ilustrada na Fig. 3-5. A carga puntual q está a urna distância d do centro da esfera e o raio da esfera é a. É evidente, pela simetria do problema, que a carga-imagem q' estará situada sobre a linha que passa através de q e do centro da esfera. P(r,
8,
<1»
q
--·---d--------
Figura 3-5 Carga puntual q na vizinhança de uma esfera condutora; q' é a carga-imagem.
Os resultados desejados são mais facilmente obtidos em termos de coordenadas esféricas, com a origem das coordenadas no centro da esfera. Seja o eixo polar a reta que
74
Solução de Problemas Eletrostáticos
une q à origem. A distância b e o módulo de q' serão determinados em função das grandezas especificadas: q, d, a. O p~tencial, num ponto P arbitrário, devido a q e q', é dado por cp (r,
e, cP) = -- q
+-q'
4nl:o r 1
4m:o r 2
(3-37)
1 = 4nl:o
[qJr2
+ d2
- 2rd cos e
+ ,/r2 + b2
q' ~ 2rb cos e 1 J"
Na superfÍcie da esfera, r = a e l()(a, (},
+ b2 -
2ab cos e
=d
+ a2
'\j/d2
- 2ad cos e.
Como conseqüência, (3-38) e, além disso, (3-39) Estas equações servem para especificar a localização e o módulo da primeira carga-imagem. Uma segunda carga-imagem q" pode ser colocada no centro da esfera sem destruir a natureza eqüipotencial da superfície esférica. O módulo de q" é arbitrário; pode ser ajustado de modo a satisfazer as condições de contorno do problema. Assim, uma solução completa do problema carga puntual - esfera condutora foi obtida; o potencial em todos os pontos exteriores à esfera é cp(r,
e,
cP)
=-
4nl:o 1
l-
+- +- .
r1 q
r q"]
r2 q'
O potencial do próprio condutor esférico é q" cp(a,
e,
cP)
= 41[(0 a
.
(3-41)
'
e a densidade superficial de carga na esfera é O"(e, cP)
=
-to
---::;-'
cr r =a ccpl
.
(3-42)
Todas as linhas de força que normalmente convergiriam para as cargas-imagem são interceptadas pela esfera; em conseqüência, a carga total da esfera, Q, é igual à soma das cargas-imagem:
º = q' + q".
(3-43)
Pode-se confirmar este resultado através da integração direta da Eq. (3-42). Casos especiais de interesse são a esfera conectada à terra: l()(a) = 0, q" = O; e o condutor esférico não carregado: q" = -q'.
Cargas lipeares e Imagens lineares
75
3-11 CARGAS LINEARES E IMAGENS LINEARES Até agora, nossa técnica de imagens limitou-se a problemas que envolvem cargas puntuais e, em conseqüência, imagens puntuais. Nesta seção, consideraremos vários problemas que podem ser resolvidos em termos de cargas-imagem lineares. Consideremos duas linhas de carga, paralelas, infinitamente longas, com cargas À e -À por unidade de comprimento, respectivamente, como ilustra a Fig. 3-6. O potencial em qualquer ponto é dado por
= ---
;,
27[(0
= ---
[ ln rI - ln r2]
).
27[(o
ln -r I
(3-44)
r2
onde rI e r2 são as distâncias perpendiculares do ponto até as duas linhas de carga. Obtêm-se as eqüipotenciais, igualando a Eq. (3-44) a uma constante, um procedimento que equivale a fazer
(3-45) -f;onde
M é constante. Portanto, as eqüipotenciais podem ser especificadas pela Eq. (3-45). A eqüipotencial correspondente a M = 1 é o plano localizado a meia distância entre
as duas linhas de carga, ilustrada como superfície eqüipotencial I na Fig. 3-6. O potencial do plano é nulo. Portanto, o problema de uma longa linha de carga orientada paralelamente a um plano condutor foi efetivamente resolvido. O potencial do meio-espaço é dado corretamente pela Eq. (3-44). Suponhamos que a linha de carga mostrada no lado direito da figura seja a carga especificada, que está a uma distância d do plano condutor. Então, a linha de carga no lado esquerdo da figura fará o papel de imagem. Novamente a carga total no plano será igual àquela da carga-imagem. I I
I II I I I
í
"
I I I
-À
.' Superfície ': eqüipotencial \
-lI
I I II
:_ ~uperfície : eqüipotencial
11
\
-,
" --- "
/
/
I
....
I
Figura 3-6 Mostram-se duas linhas de carga, paralelas e infinitamente longas (de cargas À e -À por unidade de comprimento) que cortam o plano do papel.
Consideremos agora superfícies eqüipotenciais
correspondentes
a outros valores de em coordenadas retangulares. Por conveniência, escolhemos a origem do sistema de coordenadas na linha de carga positiva e fazemos esta carga coincidir com o eixo z; a segunda linha de carga está localizada em x = -2d,y = O. Agora
M. A forma geral da superfície pode ser encontrada, expressando-se
rI er2
76
Solução de Problemas Eletrostáticos
e
d = (x
+ 2df + /,
de modo que a Eq. (3-45) se torna, após uma pequena manipulação, 2
x
2
+y
-
4M2xd _ 4M2d2 1 _ l"fI - 1 _ 1\1. 2
(3-46) .
Esta é a equação de um cilindro circular que se estende paralelamente ao eixo z. Se M for menor' que um, o cilindro circundará a linha de carga positiva como o faz a superfície eqüipotencial II da figura. O eixo do cilindro passará pelo ponto 2M2d
x=
1- M2'
y
= O;
(3-47)
e o raio do cilindro será (3-48) Estamos agora em condições de resolver vários problemas interessantes que envolvem condutores cilíndricos mas exporemos apenas um deste tipo. Consideremos o problema de um condutor cilíndrico longo na vizinhança de um plano condutor e orientado paralelamente a este. O cilindro tem uma carga À por unidade de comprimento. A Fig. 3-6 pode servir para ilustrar o problema, com os dois condutores coincidindo com as superfícies tracejadas, Neste caso ambas as linhas de carga são imagens e ? potencial na região que circunda o cilindro e à direita do plano é dado pela Eq. (3-44). E evidente que a carga induzida no plano é igual a - À por distância unitária na direção z. 3-12 SISTEMA DE CONDUTORES. COEFICIENTES DE POTENCIAL Nas seções anteriores, apresentamos vários métodos importantes para obter soluções da equação de Laplace. Embora de aplicação geral, a adoção destes métodos, por considerações de ordem prática, se limita a problemas em que os condutores possuem formas mais simples. Quando suas formas forem complicadas, uma solução matemática completa estará fora de questão; contudo, pode-se chegar a certas conclusões a respeito do sistema, justamente porque o potencial satisfaz a equação de Laplace. Provaremos aqui que, de fato, existe uma relação entre o potencial de um dos condutores e as cargas dos vários condutores do sistema. Os coeficientes desta relação, os chamados coeficientes de potencial, são apenas funções da geometria e, apesar de nem sempre serem calculáveis analiticamente, podem ser determinados numericamente ou diretamente por meio de experiências. Suponhamos que haja N condutores com geometria estável. Consideremos todos os condutores não carregados, exceto o condutor j, que possui carga Qjo, A solução apropriada da equação' de Laplace no espaço exterior aos condutores será dada pelo símbolo .pU)(x,y, z) e o potencial de cada um dos condutores será indicado por .pP\ .py), ... , de índice j para ÀQjo, A função À seja constante; o raciocínio seguinte mostrará que as novas condições de contorno serão satisfeitas por esta função. O potencial em todos os pontos do espaço será multiplicado por À; então, todas as derivadas (e em particular o gradiente) do potencial serão multiplicadas por À. Em virtude de a = toE", segue-se que todas as densidades de carga serão multiplicadas por À. A carga do con-
.pY), ...
, .pif)·
Mudemos
agora a carga do condutor
À.pU>(x,y, z) satisfará a equação de Laplace, desde que
Soluções da Equação de Poisson
dutor de índice j será, então, dos.
ÀQjO
e todos os outros condutores permanecerão
77
descarrega-
Uma solução da equação de Laplace que se ajuste a um conjunto particular de condições de contorno é única; por esta razão, encontramos a solução correta, À..pU>(x, y, z), do nosso problema modificado. A conclusão interessante a que chegamos após esta exposição é que o potencial de cada condutor é proporcional à carga Qj do condutor j, isto é,
=
Pu Qj.
(i
= 1,2 •...• N).
(3-49)
é uma constante que depende somente da geometria. Pode-se aplicar o mesmo argumento ao caso em que o condutor k é carregado, Qk = VQkO e todos os outros condutores estão descarregados. Aqui, a solução apropriada da equação de Laplace é V..p(k)(X,y, z). onde <.p(k) será a solução para v = 1. É evidente então que (3-50) onde
Pij
será uma solução apropriada no caso de estarem ambos os condutores carregados. Apelamos novamente à unicidade de uma solução para um dado conjunto de condições de cont0fno. A Eq. (3-50) será, então, a solução neste caso, e o potencial de cada condutor pode ser escrito como (i
= 1.2 .... , N).
Este resultado pode ser generalizado imediatamente todos os N condutores estejam carregados:
=
I
PijQj'
estendendo-o
(3-51 ) ao caso em que
(3-52)
j~ 1
Esta é a relação linear entre o potencial e a carga que buscávamos; os coeficientes Pij são denominados coeficientes de potencial. No Capítulo 6 mostraremos que a ordenação destes coeficientes é simétrica, isto é, que PU = Pjj· 3-13. SOLUÇÕES DA EQUAÇÃO DE POlSSON Nas seções anteriores, tratamos exclusivamente da equação de Laplace e sua solução. A equação de Laplace é aplicável aos problemas em que toda a carga se situa nas superfícies dos condutores ou se concentra em forma de cargas puntuais ou lineares. (Veremos no próximo capítulo que se a região entre os condutores estiver preenchida com um ou mais meios dielétricos simples, a equação de Laplace ainda será válida nestes meios.) Consideremos agora um problema eletrostático em que parte da carga (a carga prescrita) é dada por p(x,y, z), uma função conhecida. e o restante da carga (a carga induzida) se situa nas superfícies dos condutores. Este problema requer a solução da equação de Poisson. Pode-se escrever a solução geral deste problema como uma integral do tipo da Eq. (3-1) sobre a carga prescrita, mais uma solução geral da equação de Laplace. A solução da equação de Laplace deve, entretanto, ser escolhida de forma a que o potencial inteiro satisfaça todas as condições de contorno. Quando toda a carga for prescrita. isto é, quando dq = p(x,y, z)dv for conhecido em todos os pontos do espaço, a Eq. (3-1) representará a solução completa da equação de Poisson e esta integral poderá ser efetuada (anal~tica ou numericamente). Existe um caso, no entanto, em que a solução da equação de Poisson pode ser obtida mais direta-
78
Solução de Problemas Eletrostáticos
mente do que por meio da solução formal da Eq. (3-1); isto ocorre quando ambos p e
-
r
-
r2 dr d ( 2 d
= --to1
p(r).
Supor~mos que a carga total esteja limitada, isto é, que a carga não se ou que a densidade de carga diminua de forma suficientemente rápida A Eq. (3-53) pode então ser integrada diretamente, admitindo-se que dada, e que as duas constantes de integração possam ser determinadas: de Gauss para o campo elétrico, para algum raio; (2) a partir de que
(3-53) estenda ao infinito para grandes raios. a função p(r) seja (1) a partir da Lei O quando r ~ 00.
3-14 RESUMO
As equações diferenciais vetoriais fundamentais, de primeira ordem, do campo elétrico, V X E = O e V ' E = p/Eo, podem ser combinadas numa só equação diferencial escalar de segunda ordem, a equação de Poisson V2
= -~,
to onde E = -V4'. Se p(r) for uma dada função numa região V, a equação de Poisson terá a solução particular
= 41tto.v 1 r
p(r') Ir -
r' I dv',
como se pode ver, operando no lado direito desta expressão com V2 no interior da integral. Pode-se acrescentar a esta solução particular qualquer solução da equação homogênea correspondente, a equação de Laplace V2
=
O.
A solução apropriada da equação de Laplace deve satisfazer as condições dadas de contorno nos limites de V. Se
2. Se p = O em toda parte no interior de V, a solução completa será a solução da equação de Laplace que é contínua no interior de Ve satisfaz as condições impostas nos limites de V. Estas condições serão
Problemas
79
imagem, mais as cargas reais no interior de V satisfaçam as condições de contorno para nos limites dados de V. O teorema da unicidade assegura que o campo no interior de V é o correto. A técnica pode ser aplicada apenas a poucas situações, em que a simetria é adequada; O exemplo mais simples é o de urna carga puntual defronte de um plano condutor. <.p
5. Quando todas as cargas se situam em superfícies condutoras, a equação de Laplace requer que os potenciais dos condutores sejam funções lineares das cargas destes: C{Ji
=
L PuQj·
REFERÊNCIAS
Os seguintes trabalhos são recomendados para (1) uma exposição mais completa da equação de Legendre, (2) a forma geral da equação de Laplace em coordenadas ortogonais curvilíneas e (3) uma exposição mais completa da solução da equação de Laplace: Mathematical Physics por E. Butkov (Reading, Mass: Addison-Wesley, 1968). Electromagnetic
Theory por J. A. Stratton (New York: McGraw-Hill, 1941)
Oassical Electricity and Magnetism, Addison-Wesley,1962).
Segunda Edição, por W. Panofsky e M. Phillips (Reading, Mass:
PROBLEMAS • 3-1 Duas cascas condutoras esféricas de raios r a e rb estão dispostas concentricamente e carregadas de tal forma que possuem potenciais
1
cp(O)
-
= 4nR2
J cp da,
onde R é o raio da esfera. [Sugestão: Seja ljJ = l/r na Eq. (l-57).J Demonstre que não tem nenhum máximo ou mínimo no interior de Vo.
conseqüentement~,
~3·5 Expanda a função
em série de Taylor até o termo em u' . Observe que os coeficientes são os quatro primeiros polinômios de Legendre Pn (x). Na realidade, F(u) é uma função geradora para todos os polinômios de Legendre: F(u)
= n=OL
Pn(x)un.
3-6 Demonstre que metade dos harmônicos zonais são gerados através da derivação sucessiva de r-I em relação à coordenada retangular z (z = r cos e). 3·7 Obtenha \l21p em coordenadas cilíndricas, Eq. (3-8), a partir da forma retangular, Eq. (3-6), por substituição direta: x = r cos e, y = r sen (). ,13-8 Determine o potencial de um quadrupolo axial: cargas puntuais q, - 2q, q situadas sobre o eixo z, a
80
Solução de Problemas Eletrostáticos
distâncias I, O, -I da origem. Determine o potencial apenas para distâncias r ~ potencial é proporcional a um dos parmônicos zonais.
I e demonstre
que este
/ }3-9 Suponha que um dipolo puntual esteja localizado no centro de uma casca esférica condutora conectada à terra. Determine o potencial no interior da casca. (Sugestão: Use harmônicos zonais que sejam regulares na origem para satisfazer as condições de contorno na casca.) 3-10 Demonstre que, para uma esfera condutora não carregada, situada num campo elétrico inicialmente uniforme, o potencial devido à esfera é o de um dipolo puntual e determine o momento de dipolo induzido. 3-11 Uma esfera condutora de raio a, possuindo uma carga total Q, está situada num campo elétrico inicialmente uniforme, Eo. Determine o potencial em todos os pontos exteriores à esfera. 3-12 Um condutor cilíndrico longo, de raio a, que não possui carga líquida se situa num campo elétrico inicialmente uniforme Eo . A direção de Eo é perpendicular ao eixo do cilindro. Determine o potencial em pontos exteriores ao cilindro e determine também a densidade de carga na superfície cilíndrica. *3-13 Demonstre que 1m A [(x + iy)]lI'2 == Arlf.l sen +e satisfaz a equação de Laplace mas que o campo elétrico derivado desta função tem uma descontinuidade em e == O. (Observe que r e e são coordenadas cilíndricas neste caso.) A função pode ser usada para descrever o potencial na extremidade de um pIano condutor carregado. O plano condutor coincide com o plano xz mas apenas para valores positivos de x. Determine a densidade de carga no plano. Faça um esquema mostrando várias superfícies eqüipotenciais e várias linhas de força. 3-14 Uma carga puntual q se localiza a uma distância d de um plano condutor de extensão infinita, conectado à terra. Obtenha a carga total induzi da no plano por integração direta da densidade superficial de carga. 3-15 Duas cargas puntuais, q\ e q" localizam-se próximas a um plano condutor, conectado à terra, de extensão infinita. Determine as cargas-imagem necessárias para fazer com que o plano seja uma superfície de potencial constante. A partir do resultado obtido, poderia você prever a distribuição dé cargasimagem necessária a um corpo de forma arbitrária, com densidade de carga p, situado ptôximo a um plano condutor de extensão infinita? 3-16 Dois planos condutores, conectados à terra, interseccionam-se formando um ângulo de 60°, e uma carga puntual q se situa entre eles. Determine as posições das cargas-imagem que originarão o campo elétrico entre os planos. 3-17 Uma carga puntual está localizada entre dois planos condutores paralelos, conectados à terra, e separados por uma distância d. Determine a localização das infinitas cargas-imagem. Expresse a força que atua sobre a carga q por meio de uma série infinita. 3-18 Determine a força entre uma carga puntual q e uma esfera condutora não carregada de raio a. A carga puntual se localiza a uma distância r do centro da esfera, onde r > a. Encontre uma expressão aproximada válida para r ~ a. 3-19 Demonstre que o problema de uma esfera condutora não carregada num campo elétrico Eo inicialmente uniforme pode ser resolvido por meio das imagens. (Sugesta-o: Um campo elétrico uniforme na vizinhança da origem pode ser aproximado pelo campo de duas cargas puntuais Q e -Q situadas sobre o eixo z em z ~ - L e z == + L, respectivamente. O campo vai tornando-se mais uniforme à medida que L --+ ~. Ê evidente que Q/2rreoL' == Eo.) 3-20 Urna carga puntual q está localizada a uma distância r do centro de uma casca esférica condutora, no interior desta. O raio interno da casca é a. Demonstre que se pode solucionar este problema por meio da técnica das imagens e determine a densidade de carga a induzida na superfície interna da camada. (O potencial da casca esférica não pode ser especificado completamente em termos de q e sua
*
Os problemas indicados por asteriscos são mais difíceis.
Problemas
81
imagem porque cargas exteriores fixas podem também contribuir. Todavia, estas cargas exteriores adicionarão apenas um termo constante ao potenciai.) Determine a carga total indul.ida na superfície interna da camada (a) mediante argumentos físicos e (b) mediante a integração de o sobre a superfície. 3·21 Um longo cilindro condutor, que possui uma do paralelamente a um plano condutor de extensão a uma distância Xo do plano e o raio do cilindro é constante M (que determina o potencial do cilindro)
carga À por unidade de comprimento, está orientainfinita, conectado à terra. O eixo do cilindro está a. Localize a imagem linear e determine também a em função de a e xo'
3-22 Uma distribuição esférica de cargas é caracterizada por uma densidade de carga P constante para R. Para raios maiores que R, a densidade de carga é nula. Determine o potenc:ial
r ~
3·23 Um dipolo p está orientado perpendicularmente a um plano condutor infinito e a urna distância d deste. O plano está concetado à terra (isto é, com potencial zero). Calcule a força exercida pelo dipo10 sobre o plano. contém uma carga + Q numa altitude h 1 e. diretamente abaixo desta, uma carga numa altitude h2 • Encontre uma expressão para o campo elétrico vertical Ev na superfície da Terra a uma distância d da tempestade. Faça um gráfico para h 1 = 5000 m, h2 = 3000 m e Q = 15 C, mostrando corno Ev varia, de d = O até d = 20 lem.
-1Il3-24 Uma tempestade
-Q
3-25 Suponha que .p(x, y, z) satisfaça a equação de Laplace. Demonstre que o aproximadamente igual à média de seus valores nos seis pontos circundantes (x (x, y, Z + d). [Sugestão: Calcule a expansão em série de Taylor de
valor de .p em (x,y, z) é + d, y, z), (x, y + d, z),/ . z) até o termo em d3 e'; Programas de computá-
CAPÍTULO 4 CAMPO ELETROSTÁTICO EM MEIOS DIELÉTRICOS Até agora ignoramos problemas que envolvem meios dielétricos e tratamos de casos em que o campo elétrico é produzido exclusivamente por cargas em distribuição específica ou por cargas livres sobre a superfície de condutores. Desejamos remediar agora esta situação e considerar o caso mais geral. Um material dielétrico ideal é o que não tem cargas livres. Contudo, todos os meios materiais se compõem de moléculas, que, por sua vez, se constituem de entidades carregadas (núcleos atômicos e elétrons); as moléculas do dielétrico são certamente afetadas pela presença de um campo elétrico. O campo elétrico produz uma força que se deve exercer sobre cada partícula carregada, sendo partículas positivas empurradas no sentido do campo e partículas negativas no sentido inverso, de forma a que as partes positivas e negativas de cada molécula sejam deslocadas de suas posições de equilíbrio em sentidos opostos. Estes deslocamentos são, todavia, limitados (na maioria dos casos a frações muito pequenas de um diâmetro molecular) por intensas forças restauradoras formadas pela mudança da configuração de carga na molécula. O termo "carga ligada", em contraste com a expressão "carga livre" de um condutor, serve para enfatizar que estas cargas moleculares não estão livres para se movimentarem demasiadamente ou para serem extraídas do material dielétrico. O efeito total, do ponto de vista macroscópico, é mais facilmente visualizado como um deslocamento no dielétrico de toda a carga positiva em relação à carga negativa. Diz-se então que o dielétrico estápolan·zado. Um dielétrico polarizado, mesmo eletricamente neutro, produz em média um campo elétrico, tanto em pontos exteriores, como no interior do dielétrico. Como resultado, defrontamo-nos com o que parece ser uma situação complexa: a polarização do dielétrico depende do campo elétrico total do meio, porém uma parte do campo elétrico é produzida pelo próprio dielétrico. Além disso, o campo elétrico distante do dielétrico pode modificar a distribuição de cargas livres nos corpos condutores e isto, por sua vez, alterará o campo elétrico dentro do dielétrico. O objetivo principal deste capítulo consiste em desenvolver métodos gerais para lidar com esta situação curiosa. 4-1 POLARIZAÇÃO Consideremos um pequeno elemento de volume ~v de um meio dielétrico que, como um todo, seja eletricamente neutro. Se o meio for polarizado, realizar-se-á uma separa82
Polarização
ção das cargas positivas e negativas e o elemento de volume se caracterizará mento de dipolo elétrico ~P
=
f
~ Al'
r dq.
De acordo com a Seção 2-9, esta quantidade determina o llv em pontos distantes (isto é, a grandes distâncias de llv sões do elemento de volume). Uma vez que IIp depende do tamanho do elemento trabalhar com P, o momento de dipolo elétrico por unidade
p=
83
por um mo-
(4-1 ) campo elétrico produzido por em comparação com as dimende volume, é.mais conveniente de volume:
~P ~v .
(4-2)
Estritamente falando, P deve ser definido como o limite desta quantidade, quando llv se torna muito pequeno do ponto de vista macroscópico. Desta forma, P torna-se uma função puntual, P(x, y, z). P é usualmente denominado polarização elétrica, ou simplesmente polarização, do meio. Suas dimensões são carga por unidade de área, em unidades MKS, C/m2•
É evidente que P(x,y, z) é uma quantidade vetorial que, em cada elemento de volume, tem o sentido de IIp. Este, por sua vez, tem o sentido do deslocamento da carga positiva em relação à carga negativa (veja a Fig. 4-1).
Figura 4·1 Um pedaço de material dielétrico polarizado. Cada elemento de volume é representado como um dipolo t.p.
Embora se suponha llv muito pequeno, do ponto de vista macroscópico,contém ainda muitas moléculas. Convém falar, às vezes, sobre o momento de dipolo elétrico de uma só molécula, isto é, Pm
= .f molécula r dq,
(4-3)
pois uma molécula é uma das pequenas entidades eletricamente neutras que constituem o material dielétrico. É evidente através da Eq. (4-1) que o momento de dipolo associado com llv é dado por IIp = L Pm, onde o somatório se estende sobre todas as moléculas no interior do elemento llv. Conseqüentemente 1
P=AtiV L m Pm' Esta exposição será desenvolvida mais adiante, no Capítulo 5.
(4-4)
84
Campo Eletrostático
em Meios Dielétricos
Ainda que a Fig. 4-1 represente cada elemento de volume do dielétrico polarizado como um pequeno dipolo, deve ser mais instrutivo visualizar o dielétrico em termos de suas moléculas e imaginar que cada dipolo da Fig. 4-1 representa uma só molécula. 4-2 CAMPO EXTERNO A UM MEIO DlELÉTRICO Consideremos agora um pedaço finito de material dielétrico que esteja polarizado, isto é, seja caracterizado em cada ponto r' por uma polarização, P(r'). A polarização dá origem a um campo elétrico e nosso problema é calcular este campo em um ponto r que está forã do corpo dielétrico (veja a Fig. 4-2). Como no Capítulo 2, achamos mais conveniente calcular primeiro o potencial .p(r) e obter o campo elétrico como menos o gradiente de .p. (x, y, z)
Figura 4-2 O campo elétrico em (x, y, z) pode ser calculado pela soma das contribuições devidas aos vários elementos de volume tl.v' em Vo' A superfície correspondente a Vo é representada por So'
Cada elemento de volume Ãv' do meio dielétrico é caracterizado por um momento de dipolo Ãp = P Ãv' e como a distância entre (x,y, z) e Ãv' é grande comparada c.om as dimensões de ÃV', esta quantidade (o momento de dipolo) determina completamente a contribuição dos Ãv' ao potencial:
= _Ll_P_" _(r_-_r_') = _P(_r'~) _"(_r_-_r_')_Ll_v'
Ll
4nto r - r' 1
4nto r - r'
13
I
(4-5)
13
Aqui r - r' é o vetor, dirigido para fora de Ãv', cujo módulo é dado por
Ir - r'l
= J(x
- x')2
+
(y - y')2
+ (z -
Obtém-se o potencial total no ponto r, somando-se as contribuições dielétrico:
=1_
r
4nl:o . Vo
P(r') " (r - r') dv' r - r'
I
13
Z')2,
(4-6)
de todas as partes do
(4-7)
Este resultado está correto e .p poderá ser obtido diretamente mediante a Eq. (4-7) se a forma funcional de P for conhecida. Será vantajoso, contudo, expressarmos a Eq. (4-7) de uma forma algo diferente através de uma transformação matemática simples. Se Ir - r'l for dada pela Eq. (4-6), teremos
r - r' V' Cr ~ r' I) = + r - r' 13' I
(4-8)
Campo Externo a um Meio Dielétrico
85
como se pode ver pela aplicação direta do operador gradiente em coordenadas cartesianas. O operador V: envolve derivadas relativas às coordenadas representadas com linha. Em certas circunstâncias, será conveniente efetuar uma operação gradiente em relação às coordenadas sem linha; isto será indicado da forma usual por V. Evidentemente, V' operando sobre uma função de Ir - r'l é igual a - V operando sobre a mesma função. Necessitaremos do operador y mais tarde, para obter o campo elétrico em um ponto r. Todavia, ao resolver a integral da Eq. (4-7) sobre o volume do dielétrico, Vo, o ponto r se mantém fixo; em conseqüência, pode-se transformar o integrando da Eq. (4-7) por meio da Eq. (4-8):
P Ir. (r - -:r I:') A Eq. (4-9) pode ser posteriormente da Tabela 1-1:
= P . y' ( I r
transformada
V' . (fF)
=f
V' . F
~ r'
(4-9)
I ).
por meio da identidade vetorial (1-1-7)
+F
. V'f,
(4-10)
onde f é qualquer função puntual escalar e F uma função puntual vetorial arbitrária. Aqui, novamente, a linha indica a diferenciação com relação às coordenadas linha. Fazendo f = (1/1 r - r'l) e F = P, o integrando, a Eq. (4-9), torna-se
P . (r - r') = Y',( I~-=--ir Finalmente,
Ir
-P)r' I
-
Ir
-1 r' I V , . P.
(4-11 )
o potencial, Eq. (4-7), pode ser expresso por
1
cp(r)=-i 4n(o
. 50
p. n da' -~, Ir - r I
1· (- y' . P) +-1 -~-,r- r
dt"
4n(o . Vo
I
(4-12)
I
onde a integral de volume de V' . (P/Ir - r'l) foi substituída por uma integral de superfície, através da aplicação do teorema do divergente, e n é, naturalmente, a normal dirigida para fora do elemento de superfície da' (para fora significa para fora do dielétrico). As quantidades P • n e - V . P que aparecem nas integrais da Eq. (4-12) são duas funções escalares obtidas a partir da polarização P. É conveniente atribuir símbolos especiais a estas quantidades e, como elas têm as dimensões de carga por unidades de área e carga por unidade de volume, respectivamente, escrevemos (4-13) e (4-14) e denominamos op e PP densidades de carga polarizada. A densidade superficial de carga de polarização é dada pela componente da polarização normal à superfície e a densidade volumétrica de carga de polarização é uma medida da não uniformidade da polarização no interior do material.
86
Campo Eletrostático em Meios Dielétricos
o potencial
resultante do material dielétrico, q>
r =-() ~ [it 4n,,0
_
---
r - r'
I (J p da' I
·50
1
r
- 4nto,
Ir
dq'p
- r' I
+
- Vo
Irppdv' - r' [ 1 ,
(4-15)
'
é agora expresso de tal forma que se torna evidente que ele provém de uma distribuição de carga. Em outras palavras, o material dielétrico foi substituído por uma distribuição apropriada de carga de polarização. Ainda que se tenha obtido a Eq.( 4-15) mediante uma transformação matemática, deve ser possível entender Op e PP com bases puramente físicas. É óbvio, pela Fig. 4-1, que existe uma densidade de carga superficial Gp, de onde se conclui que esta carga é constituída pelas extremidades de dipolos de mesma orientação. Desta forma, uma densidade de carga é criada em cada superfície que não seja paralela ao vetor polarização. Retomando agora a PP, esperamos que ppD.v' represente o excesso de carga, ou a carga [(quida, do elemento de volume .6.v'. Pode-se compreender que este seja realmente o caso, da seguinte maneira: definamos duas densidades de carga p+ e p- como representando a carga total positiva e a carga total negativa por unidade de volume, respectivamente. Isto é, p+ representa todos os núcleos atômicos na unidade de volume do dielétrico e, de forma semelhante, P- abrange todos os elétrons. No estado não polarizado, cada elemento de volume do dielétrico é eletricamente neutro; portanto y "), z
Po+('x,
+ Po-("x,
y, z ')
= O,
(4-16)
onde o índice zero representa as densidades na configuração não polarizada. Admitiremos que, em conseqüência da polarização, a carga positiva será deslocada de <5+(x,y, z) e a carga negativa de 8-(x,y, z). A carga positiva que atravessa um elemento de área da' será p~8+ • nda', e, então, o aumento de carga positiva pelo elemento de volume .6.v' durante o processo de polarização será
- f p; Õ + !J.5
,
onde .6.S é a superfície que limita .6.v'. De maneira semelhante, negativa aumenta a carga (diminui a carga negativa) em 11v' de f
't1S
(4-17)
n da', o deslocamento
( - P;- ) õ - . n da.
da carga
(4-18)
o aumento total de carga pelo elemento de volume D.v' é a soma das Eqs. (4-17) e (4-18); e, como uma conseqüência da Eq. (4-16), pode ser expressa por
-f .p;(õ+ -!J.S
-
õ-)·
n da'
=
-v·
[P;(õ+ - õ-)] llv'.
(4-19)
Porém 8+ - 8 - é somente o deslocamento relativo das densidades de carga positiva e negativa; portanto, p~ (c/ - <5-) é equivalente ao que chamamos de polarização P. Assim, PpD.v' é a carga líquida num elemento de volume do dielétrico polarizado. À primeira vista, pode parecer bastante estranho que, tendo iniciado com elementos de volume de JT".3.terialdielétrico, eletricamente neutros, finalizemos com elementos de yo-
Campo Elétrico no Interior de um Dielétrico
87
lume que possuem uma carga líquida. De acordo com nosso ponto de vista inicial, o dielétrico é constit,uído por dipolos elementares np e era essencial que cada np fosse elebcamente neutro para que a Eq. (4-5) desse corretamente o potencial. Descobrimos agora que, enquanto V . P não se anula, os elementos individuais de volume parecem estar carregados. A origem deste aparente paradoxo é encontrada na transformação matemática da Eq. (4-11); a contribuição de cada elemento de volume é transformada em um termo de volume diferente e em um termo de superfície. A carga total no volume e na superfície do elemento é ainda nula; porém, quando reunimos vários elementos de volume para formar um pedaço macroscópico de material dielétrico, descobrimos que as contribuições para o potencial das várias "superfícies internas" se cancelam. Restam-nos elementos de volume efetivamente carregados e uma contribuição de superfície por parte dos limites reais do corpo dielétrico. A carga de polarização total de um corpo dielétrico, Qp
=
I (. vo
V' . P) dv'
+ .{So p.
n da'.
(4-20)
deve ser igual a zero, pois era nossa premissa que o dielétrico, como um todo, é eletricamente neutro. Este resultado toma-se evidente através da Eq. (4-20), que claramente se anula em conseqüência do teorema do divergente. Temos agora duas expressões distintas para o potencial eletrostático lO(r) devido a uma amostra de dielétrico polarizado, a saber: as Eqs. (4-7) e (4-15). Ambas estão corretas, veremos, porém, que a última expressão será mais conveniente na maioria dos casos. O campo elétrico E pode ser obtido subtraindo-se o gradiente da Eq. (4-15). Como 'fi é uma função das coordenadas (x,y, z), o gradiente apropriado é-V. As coordenadas sem linha aparecem apenas na função l/Ir - r 'I. Em conseqüência, observando que V (l/Ir r 'I) = - V' (I/Ir - r'l) e usando a Eq. (4-8). obteremos 4n€o [i'So ?p(rir-ri Ir-ri r'?:v'J. E(r) = _1_ - r'! ~a' + 'Vo i pp(~:-
(4-21)
4-3 CAMPO ELÉTRICO NO INTERIOR DE UM DIELÉTRICO Antes de podermos escrever uma expressão para o campo elétrico no interior de um meio polarizado, é necessário definir este campo elétrico precisamente. O qué nos interessa é, naturalmente, o campo elétrico macroscópico, isto é, o campo elétrico médio em uma pequena região do dielétrico que. não obstante, contém um grande número de moléculas. Um enfoque alternativo e. talvez, preferível consiste em definir o campo elétrico diretamente em termos de uma experiência macroscópica: o campo elétrico (macroscópico) é a força por unidade de carga sobre uma carga teste imersa no dielétrico, no limite onde a carga teste é tão pequena que não afeta, por si mesma, a distribuição de carga. Esta carga teste deverá ser dimensionalmente pequena do ponto de vista macroscópico (o que denominaremos carga "puntual"), porém deverá ser grande comparada com o tamanho de uma molécula. Ainda que o enunciado anterior corresponda à definição do campo elétrico macroscópico E. é difícil usar esta definição para obter diretamente uma expressão para o campo, uma vez que teríamos que calcular a força sobre um corpo carregado, de grande tamanho, e então tomar o limite quando o tamanho do objeto diminui. Como conseqüência, achamos conveniente usar uma outra propriedade do campo elétrico para ajudar-nos a obter a expressão analítica que procuramos e, desta forma, obtermos E em termos de cargas
88
~
Campo Eletrostático
em Meios Dielétricos
que denominamos E concorda realmente com a "definição de força" fundamental. O campo do elétrico deve ter as mesmas propriedades que básicas que enpolarização meio. num Mais dielétrico adiante, na Seção 4-10, demonstraremos a quantidade contramos aplicadas a E no vácuo; em particular, E é um campo conservativo e, em conseqüência, derivável de um potencial escalar. Desta forma
VxE=O ou, de forma equivalente,
Apliquemos a última equação ao percurso ABCD ilustrado na Fig. 4-3, onde o segmento AB se situa em uma cavidade em forma de agulha talhada no dielétrico e o segmento CD se situa no próprio dielétrico. Como podemos tornar os segmentos AD e BC arbitrariamente pequenos, a integral de linha reduz-se a Ev .
I-
Ed .
I=
O
ou, de forma equivalente, Ev!
=
EdP
(4-22)
onde os índices v e d se referem ao vácuo e ao dielétrico, respectivamente, e o índice t representa a componente tangencial. A Eq. (4-22) é válida independentemente da orientação da cavidade em forma de agulha. Se a "agulha" for orientada na direção de E, Edt =Ed; além disso, por simetria, o campo na cavidade se orienta na direção da agulha, isto é, Eut = Eu. Somos então levados a uma importanteconclusão.* O campo elétrico em um dielétrico será igual ao campo elétrico no interior de uma cavidade em forma de agulha do dielétrico, sempre que o eixo da cavidade for orientado paralelamente à direção do campo elétrico.
Figura 4-3 O percurso ABCD se situa parcialmente na cavidade em forma de agulha e parcialmente no dielétrico. Em um dielétrico isotrópico (veja a Seção 4-5) a polarização P tem o sentido de E', de modo que, para a orientação da agulha conforme ilustrado, ap = O nas paredes cilíndricas. Em um dielétrico anisotrópico, ap não é necessariamente nulo, seu valor, porém, não afeta a componente longitudinal do campo elétrico na cavidade.
* Este enunciado 4-5). O argumento da zada: o campo elétrico terior da cavidade em lelamente à direção do
é absolutamente verdadeiro simetria falha para dielétricos em um dielétrico será igual à forma de agulha do dielétrico campo elétrico no dielétrico.
apenas para>dielétricos isotrópicos (veja a Seção anisotrópicos e nossa conclusão deve ser generalicomponente longitudinal do campo elétrico no insempre que o eixo da cavidade for orientado para-
Lei de Gauss em um Dielétrico
89
Evidentemente, o problema de se calcular o campo elétrico no interior de um dielétrico se reduz ao cálculo do campo elétrico no interior de uma cavidade em forma de agulha no diel'étrico. Mas, o campo elétrico na cavidade é um campo externo e, como conseqüência, pode-se determiná-Ia por meio dos resultados da Seção 4-2. Como na Seção 4-2, admitiremos aqui que a polarização do dielétrico seja uma certa função P(x',y', z') e calcularemos o potencial e o campo elétrico provenientes desta polarização. Tomando o ponto r do campo no centro da cavidade e usando a Eq. (4-15), obtemos para o potencial
r ) -_ - 1
cp (
,4n:co'vo-h
----pp(x',
i,
Ir-r'l z')
dr'
+-
1 r 4n:co'so+s'
-----~ O"p(X', y';
fr-r'lz')
da'
(4-23)
onde Vo - VI é o volume do dielétrico, excluída a "agulha", So é a superfície exterior do dielétrico e S' =SI + S2 + Se são as superfícies da agulha. Contudo, vemos pela Fig. 4-3 que Up = O sobre a superfície cilíndrica Se da agulha; além disso, podemos fazer a agulha arbitrariamente fina de modo que as superfícies SI e S2 tenham áreas desprezíveis. Assim, somente as superfícies exteriores do dielétrico contribuem e a integral de superfície da Eq. (4-23) torna-se idêntica, quanto à forma, à integral de superfície da Eq. (4-15). A integral de volume da Eq. (4-23) exclui a cavidade; todavia, a contribuição da cavidade a esta integral é desprezível, como se pode ver facilmente. A densidadé de carga Pp é limitada; a quantidade dv' /1r - r'l não diverge no ponto do campo (isto é, quando r' = r) porque o volume de um ponto é um zero de ordem mais elevada que o lim Ir - r'l; e, finalmente, podemos tornar o volume VI da agulha arbitrariamente pequeno, adelgaçando a sua cavidade. Assim, não é necessário excluir o volume VI e a Eq. (4-23) torna-se semelhante, quanto à forma. à Eq. (4-15). Em outras palavras, a Eq. (4-15) dá o potencial IO(r) independentemente do ponto r estar localizado dentro ou fora do dielétrico. O campo elétrico E(r) pode ser calculado subtraindo-se o gradiente da Eq. (4-23). Porém, isto difere da Eq. (4-21) apenas por uma quantidade desprezível. Desta forma, a Eq. (4-21) dá a contribuição do meio ao campo eléTrico em r, independentemente de r estar denTro ou fora do meio. Os cálculos indicados nas Eqs. (4-15) e (4-21) são diretos nos casos em que P(x, y, z) é uma funçãO conhecida da posição. (Alguns exemplos desse tipo são encontrados entre os problemas que estão no final deste capítulo). Na maioria dos casos. entretanto, a polarização origina-se como resposta a um campo elétrico que é imposto sobre o meio dielétrico [isto é, P(x',y', z') é uma função do campo elétrico macroscópico total E(x',y', z')], e nessas condições a situação é muito mais complicada. Primeiramente, é necessário conhecer a forma funcional de P(E); porém, na maioria dos casos podemos conhecê-Ia experimentalmente e, em conseqüência, não consiste em uma fonte de dificuldades. A compilação real provém do fato de que P depende do campo elétrico total, incluindo a contribuição do próprio dielétrico; é esta contribuição que desejamos determinar. Deste modo, não podemos determinar P porque não conhecemos E, e vice-versa. É evidente que se faz necessária uma interpretação diferente do problema e isto será realizado nas seções seguintes. 4-4 LEI DE GAUSS EM UM DlELÉTRICO.
DESLOCAMENTO ELÉTRICO
Deduzimos, no Capítulo 2, uma importante relação entre o fluxo elétrico e a carga, ou seja, a lei de Gauss, que estabelece ser o fluxo elétrico através de uma superfície arbi-
90
Campo Eletrostático
em Meios Dielétricos
trária fechada proporcional à carga total encerrada pela superfície. Ao aplicarmos a lei de Gauss a uma região que contém cargas imersas em um dielétrico, devemos ter cuidado para incluir todas as cargas na superfície gaussiana, tanto a carga de polarização, como a carga imersa no dielétrico. A superfície tracejada S, na Fig. 4-4, é uma superfície imaginária fechada localizada no interior do meio dielétrico. Introduzimos uma certa quantidade de carga, Q, no volume limitado por S e admitimos que esta carga existe nas superfícies dos três condutores em quantidades q 1, q2 e q3 . Pela lei de Gauss, .
1
tE' •S
= (o ~
n da
(Q
+ Qp),
(4-24)
Figura 4-4 Construção de uma superfície gaussiana S num meio dielétrico.
onde Q é a carga líquida imersa, isto é, Q
= ql + q2 + q3'
e Qp é a carga de polarização líquida: Qp=
r
'SI +S2
+S3
p.
n da
+ 'Vr (-V' P) dv.
(4-25a)
Aqui, V é o volume do dielétrico encerrado por S. Não há contornos do material dielétrico em S, de forma que a integral de superfície da Eq. (4-25a) não contém nenhuma contribuição de S. Se transformarmos a integral de volume da Eq. (4-25a) em uma integral de superfície por meio do teorema do divergente, deveremos atentar para incluir contribuições de todas as superfícies que limitam V, ou seja, S, SI, S2 e S3' E evidente que as três últimas contribuições cancelarão o primeiro termo da Eq. (4-25a), de maneira que Qp Combinando
= -
f -S
p.
n da.
(4-25b)
este resultado com a Eq. (4-24), obtemos
f S (toE + P)·
n da
= Q.
(4-26)
A Eq. (4-26) estabelece que o fluxo do vetor fo E + P através de uma superfície fechada é igual à carga líquida que introduzimos no volume encerrado pela superfície. Esta quantidade vetorial é de importância suficiente para merecer um nome e um símbolo especial.
Lei de Gauss em um Dielétrioo
Definimos, portanto, um novo vetar de campo macroscópico,
91
D, o deslocamento elétrico:
0= (oE + P,
(4-27)
que, evidentemente, tem as meSmas unidades qu'e P, carga por unidade de área. * Em termos de D, a Eq. (4-26) toma-se 1
•S
resultado plesmente, superfície distribuída
D'
n da
= Q.
(4-28)
usualmente conhecido como lei de Gauss para o deslocamento elétrico ou, simlei de Gauss. A Eq. (4-28) aplica-se a uma região do espaço limitado por uma fechada S; se a aplicarmos a uma pequena região em que a carga encerrada está segundo uma densidade de carga p, a lei de Gauss tornar-se-á
f D·
•5
n da
=p
L1 V.
Dividindo esta equação por b. V e tomando o limite, obtemos
V' D=p,
(4-29)
um resultado, às vezes, chamado de forma diferencial da lei de Gauss. A vantagem de expressar as formas integral e diferencial da lei de Gauss, Eqs. (4-28) e (4-29), em termos de vetar D consiste no fato de que apenas a carga Q, ou a densidade de carga p, que introduzimos no meio dielétrico aparece explicitamente. É isto que daqui em diante chamaremos simplesmente de carga (ou densidade de carga). Quando for necessário distingui-Ia da carga de polarização Qp do meio, ou da carga total Q + Qp, a carga Q será denominada carga externa. Por "externa" não entendemos que a carga esteja necessariamente fora dos contornos físicos da peça de material; entendemos que ela está adicionada às cargas que formam a constituição atômica do material neutro. ** Como em muitos problemas as cargas externas são dadas, é uma vantagem que o campo eletrostático total em cada ponto do meio dielétrico seja expresso como a soma de duas partes,
E(x, y.
1
z)
= - D(x, y, (o
1
z) -
c P(x, y, (o
z).
(4-30)
* D, em unidades gaussianas, é definido como D = E + 4rrP; D, E e P têm todos a mesma unidade de carga por unidade de área. No vácuo, D = E.
**
A carga externa é muitas vezes denominada carga "livre" e a carga de polarização é às vezes usada como sinônimo de carga ligada. Esta confusão não causa maior dificuldade na e1etrostática, porque a carga externa de um condutor é livre (isto é. livre para se deslocar por toda a parte) e a carga de polarização em um dielétrico está presa. Todavia, a carga externa num dielétrico não é livre, se fosse, iria deslocar-se rapidamente para a superfície e escaparia. Além disso, muitos meios condutores contêm, além das cargas livres que determinam o comportamento elctrostático de um objeto condutor, algumas cargas presas, que em outras circunstâncias contribuiriam para a polarização (Capítulo 7). Com campos que dependem do tempo (Capítulo 19) é muito importante não confundir a distinção existente entre cargas externas e cargas de polarização com a que se faz. entre cargas livres e cargas presas. Deste modo, neste contexto usaremos exclusivamente o termo carga extenza.
92
Campo Eletrostático em Meios Dielétricos
onde o primeiro termo, (1/Eo)D, está relacionado com a densidade de carga externa através de seu divergente e o segundo termo, (-1/Eo)P, é proporcional à polarização do meio. No vácuo, o campo elétricà é dado inteiramente pelo primeiro termo da Eq. (4-30). 4-5 SUSCEPTIBILIDADE ELÉTRICA E CONSTANTE DIELÉTRICA Na introdução deste capítulo estabelecemos que a polarização de um meio dielétrico ocorre em resposta ao campo elétrico no meio. O grau de polarização depende não somente .do campo elétrico mas também das propriedades das moléculas que constituem o material dielétrico. Do ponto de vista macroscópico, o comportamento do material é completamente especificado por uma relação determinada experimentalmente, denominada equação constitutiva, P = P(E), onde E é o campo elétrico macroscópico. Trata-se de uma relação puntual e se E variar de ponto a ponto no material, P variará igualmente. Para a maioria dos materiais, P anula-se quando E se anula. Uma vez que este é o comportamento usual, limitaremos nossa exposição, aqui, a materiais desse tipo. (Dielétricos com polarização permanente serão discutidos brevemente na Seção 5-4). Além disso, se o material for isotrópico, a polarização terá o mesmo sentido do campo elétrico que a produz. Estes resultados são resumidos pela equação constitutiva (4-31)
P = X(E)E,
onde a quantidade escalar X(E) é chamada de susceptibilidade elétrica do material. Grande parte dos materiais são eletricamente isotrópicos; esta categoria inclui fluidos, sólidos policristalinos e amorfos e alguns cristais. Um tratamen to das propriedades elétricas de materiais anisotrópicos foge ao alcance deste texto. Combinando a Eq. (4-31) com a Eq. (4-27), obtemos uma expressão para D em meios isotrópicos:
D= f(E)
onde E(E) é a pennissividade dade.
(4-32)
E(E)E,
= (o + X(E),
do material. É evidente que
(4-33) E, Eo
e X têm todos a mesma uni-
Ainda que tenhamos sido cuidadosos ao expressar X e E na forma X(E) e E(E), achou·se por meio de experiências que X e € são freqüentemente independentes do campo elétrico, exceto talvez para campos muito intensos. Em outras palavras, X e € são constantes características do material. Materiais desse tipo serão chamados dielétricos lineares e obedecem às relações
P = XE. D = fE.
(4-31a) (4-32a)
o comportamento dielétrico de um material está agora completamen te especificado, ou pela permissividade E ou pela susceptibilidade X. É mais conveniente, no entanto, trabalhar com uma quantidade adimensional K definida por ( = K(o·
(4-34)
em que K é denominado coeficiente dielétrico ou simplesmente constante dielétrica. Mediante a Eq. (4-33) é evidente que
Carga Puntual em um Fluido Dielétrico
K
=.!..- = 1 + (o
93
(4-35)
X .
(o
As constantes dielétricas de alguns materiais comumente encontrados estão listados na Tabela 4-1. Exceto em alguns exemplos, em que a polarização P do material está especificada, os problemas deste livro tratam de dielétricos lineares. Se o campo elétrico em um dielétrico se tornar muito intenso, começará a puxar elétrons completamente para fora das moléculas e o material tornar-se-á condutor. O cam· po elétrico máximo que um dielétrico pode suportar sem se romper é conhecido como rigidez dielétrica. As resistências dielétricas, Emá.x. de algumas substâncias são também dadas na Tabela 4-1. Tabela 4-1 Propriedades dos Materiais Dielétricos* (Constante dielétrica K e rigidez dielétrica Emf>x) K
Material Oxido de alumínio Vidro** Náilon Polietileno
4,5 5-10 3,5 2,3 4,3
Quartzo (Si02) Cloreto de sódio Enxofre Madeira** Álcool, eu1ico (0° C) Benzeno (0° C) Água (destilada, O°C) Água (destilada, 20°e) Ar O atm) Ar 000 atm) CO2 O atm)
*
Dados do Handbook ofChemistry
6 X 10· 9 X 10· 19 X 10' 18 X 10·
6,1 4,0
2,5-8,0 28,4 2,3 87,8 80,1 1,00059 1,0548 1,000985 and Physics, 58~ edição, CRC Press, Inc., Cleveland, Ohio.
** Em materiais como vidro e madeira, a composição química varia e, corno conseqüência. o intervalo das constantes dielétricas. Não se deve deduzir que o material seja não-linear.
4-6 CARGA PUNTUAL EM UM FLUIDO DIELÉTRICO Um dos problemas mais simples envolvendo die1étrico, que poderíamos propor, é O de uma carga puntual q em um meio isotrópico homogêneo de extensão infinita. Admitiremos o meio dielétrico como linear e caracterizado por uma constante dielétrica K. Embora o problema seja bastante simples, mostrar-se-á bastante instrutivo. Se a carga puntual q se situasse no vácuo, O campo elétrico seria um campo radial puro. Porém, como E, De P são paralelos uns aos outros em cada ponto, a natureza radial do campo não é alterada pela presença do meio. Além disso, da simetria do problema, E, D e P podem depender apenas da distância da carga puntual, e não de alguma coordenada angular. Apliquemos a lei de Gauss, Eq. (4-28), a uma superfície esférica de raio r que se situa concentricamente em relação a q. Por conveniência, q se localizará na origem. Então 4nr2D
=q
94
Campo Eletrostático em Meios Dielétricos
e
D=q
4nr2
'
ou
q
D=--3 4nr
r.
(4-36)
O campo elétri.co e a polarização podem agora ser avaliados com muita facilidade: q
= 4nKfo
r,
(4-37)
(K - l)q p=--. -r. 4nKr3
(4-38)
E
r
3
Desta forma, o campo elétrico é menor pelo fator K do que seria se o meio não estivesse presente. Neste ponto, seria instrutivo examinar o problema mais minuciosamente e tentar compreender por que o dielétrico enfraqueceu o campo elétrico. O campo elétrico tem sua origem em toda a carga, de polarização e externa. A carga externa é apenas a carga puntual q. A carga de polarização, entretanto, é formada por duas contribuições, uma densidade volumétrica PP = -. V • P' e uma densidade superficial up = P • fi sobre a superfície do dielétrico em contato com a carga puntual. Usando a Eq. (4-38) descobrimos que O, de forma que não há densidade volumétrica de carga de polariV . P se anula para r zação neste caso., Nossa carga puntual q é um ponto no sentido macroscópico. Supondo que seja grande em uma escala molecular, poderemos associá-Ia a um raio b que, eventualmente, faremos tender a zero. A carga superficial total de polarização será então dada por =1=
Qp
= b~O lim
4nb2(p
.
=
n)r=b
(K - l)~ K
(4-39)
-E
Figura 4-5 Diagrama esquemático mostrando a orientação das moléculas polarizadas num meio dielétrico circundando uma "carga puntual" q.
A carga total, 1 Qp
+q=K
q,
(4-40)
Condições de Contorno sobre os Vetares de Campo
95
aparece como uma carga puntual. do ponto de vista macroscópico, e está agora claro por que o campo elétrico é um fator K menor do que seria se o meio não estivesse presente. Um diagrama esquemático da carga puntual q em um meio dielétrico está ilustrado na Fig. 4-5. 4-7 CONDIÇÕES DE CONTORNO SOBRE OS VETORES DE CAMPO Antes de podermos resolver problemas mais complicados, devemos saber como os vetares de campo E e D variam ao passarem por uma interface entre dois meios. Os dois meios podem ser dois dielétricos com diferentes propriedades ou um' dielétrico e um condutor. O vácuo pode ser considerado como um dielétrico com permissividade to. Consideremos dois meios, 1 e 2, em contato, como está ilustrado na Fig. 4-6, Admitiremos que há uma densidade superficial de carga externa, a, que pode variar de ponto a ponto sobre a interface. Construamos a pequena superfície S, em forma de caixa de pl1uIas, que interseccione a interface e encerre uma área f:S da interface e cuja altura seja desprezivelmente pequena em comparação com o diâmetro das bases. A carga encerrada por
Sé
a
tJ.S
+ ·Hp1 + Pl)
x volume,
todavia o volume da caixa de pl1ulas é desprezivelmente pequeno, de forma a que o últi· mo termo possa ser desprezado. Aplicando a lei de Gauss a S, encontramos D2 • "2 tJ.S
+ D1
• "1 tJ.S
=
(J
tJ.S,
ou
(4-4la)
Figura 4-6 As condições de contorno sobre os vetares de campo na interface entre dois meios podem ser obtidas pela aplicação da lei de Gauss a S e integrando E • di sobre o percurso A BCDA .
Uma vez que "2 pode servir como normal à interface,
(4-41b Desta forma. a descontinuidade na componente de D é dada pela densidade superficial di carga externa sobre a interface. Ou, em outra colocaçãó: se não houver carga sobre a inter face entre os dois meios, a componente normal de D será contínua.
96
Campo Eletrostático em MeiosDielétricos
Uma vez que se pode obter o campo eletrostático E subtraindo·se o gradiente de um potencial, a integral de linha de E • dI em torno de qualquer percurso fechado se anula. Apliquemos este resultado 'ao percurso retangular ABCD da Fig. 4-6. Considerando-se, neste percurso, os comprimentos AB e CD iguais a DJ e os segmentos AD e BC desprezivelmente pequenos, teremos como solução
ou (E2 - Ed . Como conseqüência,
111
= O.
(4-42a)
o resultado desejado será (4-42b)
isto é, a componente tangencial do campo elétrico é contínua através de uma interface. Obtivemos os resultados anteriores para dois meios dielétricos arbitrários, porém é interessante ver o que as equações iriam prever se um dos meios fosse um condutor. Como não há força molecular restauradora atuando sobre as cargas livres de um condutor, poderia parecer que teríamos X = 00 para um condutor na Eq. (4.31) e € = 00 conforme a Eq. (4-33). Se o meio 1 for considerado como condutor, concluiremos que EI = O sejam quais forem os valores (finitos) de PI e DI, como já tínhamos deduzido, por meio de raciocínio diferente, no Capítulo 2. Uma vez que El se anula, a Eq. (4-42b) torna-se
(4-43) O deslocamento DI não é determinado, todavia, por estas considerações; se, para a finalidade que temos em vista, o considerarmos arbitrariamente como sendo nulo, a Eq. (4-41) toma-se (4-44) onde a representa então a carga superficial total do condutor mas não inclui a carga superficial de polarização do dielétrico. Um procedimento alternativo consiste em resolver o problema do dielétrico fazendo, então, KI ir ao infinito. (Veja os Problemas 4-12 e 4-14.) Desta forma, a representa a carga de polarização do condutor (mais qualquer carga externa do condutor). Fisicamente, o resultado é o mesmo. Observemos que o campo no dielétrico é sempre perpendicular à superfície do condutor, de acordo com a Eq. (4-43). b evidente que, segundo um critério puramente físico, o potencial deve ser contínuo através de uma interface. Isto ocorre porque a diferença de potencial, !::.'f!, entre dois pontos muito próximos é - E • !::.I, onde !::.lé a separação dos dois pontos, e, pelo que se disse antes, não há razão para esperar que E se torne infinito numa interface. Realmente, a continuidade do potencial é uma condição de contorno, não independente, porém, das que já deduzimos. Ela equivale, em muitos casos, à Eq. (4-42b). A partir da exposição anterior e das seções precedentes, pode-se concluir que o deslocamento elétrico D está intimamente relacionado com a carga externa. Gostaríamos de provar agora uma importante propriedade de O, a saber: o fluxo de O é contínuo em regiões que não contêm cargas externas. Para fazer isso, recorremos novamente à lei de Gauss. Fixemos nossa atenção em uma região do espaço e construamos linhas de deslocamento, que são linhas imaginárias traçadas de tal forma que o sentido de uma linha em '-P
Problemas de Valores de Contorno que Envolvem Dielétricos
97
qualquer ponto seja o sentido de D daquele ponto. Imaginemos, em seguida, um tubo de deslocamento, um volume limitado nos lados pelas linhas de D mas não cortado por elas (veja a Fig. 4-7). O tubo é limitado nas suas extremidades pelas superfícies SI e S2' Aplicando a lei de Gauss, obtemos I • 52
D'
n da - I • 51
D'
n' da
= Q.
(4-45)
Se não houver cargas externas na região, Q ::: O, e a mesma quantidade de fluxo que entrar no tubo por SI sairá por S2' Quando houver cargas externas presentes, estas determinarão a descontinuidade no fluxo de deslocamento; assim, as linhas de deslocamento terminam nas cargas externas. As linhas de força, por outro lado, terminam nas cargas externas ou nas cargas de polarização.
Figura 4-7 Tu'
-lé fluxo de deslocamento.
4-8 PROBLEMAS DE VALORES DE CONTORNO QUE ENVOLVEM DlELÉTRICOS A equação fundamental desenvolvida neste capítulo é V· D=p,
(4-46)
onde p é a densidade de carga externa. Se os dielétricos com que tratamos forem lineares, isotrópicos e homogêneos, D :::EE, onde E é uma constante característica do material; podemos então escrever 1
V· E = -f p. Mas
O
campo eletrostático
E deriva-se a partir de um potencial escalar
E
=
(4-47)
isto é,
-Vcp;
de modo que V
2 cp
= -- 1( p.
(4-48)
Desta forma, o potencial no dielétrico satisfaz a equação de Poisson; a única diferença entre a Eq. (4-48) e a equação correspondente para o potencial no vácuo é que E substitui Eo (e p significa densidade de carga externa ao invés de densidade de carga total). Na maioria dos casos de nosso interesse, o dielétrico não contém cargas distribuídas
98
Campo Eletrostático em MeiosDielétricos
em seu volume, isto é, p = O dentro do material dielétrico. A carga existe nas superfícies dos condutores ou se concentra em forma de cargas puntuais que poderiam, estamos certos, estar imersas no dielétrico. Nestas circunstâncias, o potencial satisfaz a equação de Laplace em todo o dielétrico:
(4-49) Em alguns problemas, pode haver uma densidade superficial de carga, a, na superfície de um corpo di elétrico ou na superfície de separação de dois materiais dielétricos, isto, porém, não altera a situação e a Eq. (4-49) ainda se aplica enquanto p = O. Um problema eletrostático que envolve dielétricos lineares, isotrópicos e homogêneos reduz-se, portanto, a encontrar soluções da equação de Laplace em cada meio e combinar as soluções dos vários meios mediante as condições de contorno da seção anterior. Muitos problemas podem ser resolvidos por este método. Apresentaremos um exemplo aqui e exemplos adicionais serão encontrados no final do capítulo. 4-9 ESFERA DlELÉTRICA EM UM CAMPO ELÉTRICO UNIFORi\lE Gostaríamos de determinar como as linhas de força são modificadas quando uma esfera dielétrica de raio a é colocada numa região do espaço que contém um campo elétrico Eo, inicialmente uniforme. Admitiremos que o dielétrico seja linear, isotrópico e homogêneo e caracterizado pela constante dielétrica K. Além disso, que não possua cargas. Pode-se considerar a origem do nosso sistema de coordenadas como colocada no centro da esfera e a direção de Eo como orientada na direção polar (direção z); o potencial pode então ser expresso como a soma de harmônicos zonais. Do mesmo modo que na Seção 3-5, todas as condições de contorno podem ser satisfeitas por meio dos harmônicos de menor ordem; escrevemos, então (4-50) para a região de vácuo (1) fora da esfera e (4-51 ) para a região do dielétrico (2). As constantes A 1 ,A2, CI e C2 são desconhecidas e devem ser determinadas pelas condições de contorno. O harmônico r-I não é necessário, uma vez que sua presença implica uma carga líquida na esfera. Um termo constante pode ser adicionado às Eqs. (4-50) e (4-51) mas, como a mesma constante é necessária em ambas as equações, podemos, sem excluir a generalização, considerá-Ia como nula. O campo elétrico, longe da esfera, conservará seu caráter uniforme e 'PI 4- - Eor cos 8. Como conseqüência, AI = -Eo. Além disso, a não ser que C2 = O, o potencial e o campo elétrico associado se tornarão infinitos no centro da esfera e isto determinará a existência de um dipolo puntual no centro, isto é, um dipolo cujo momento não é proporcional a Ll V. Certamente não é o caso. Como já expusemos na Seção 4-3, o potencial e o campo macroscópico não se tomam infinitos num dielétrico desprovido de cargas livres. Como conseqüência, C2 = O, e as constantes remanescentes, A2 e C1, poderão ser obtidas por meio das condições de contorno da Seção 4-7. A continuidade do potencial através da interface entre o dielétrico e o vácuo requer que
Força Atuante sobre uma Carga Puntuallnversa
num Dielétrico
99
Como a componente normal de D na interface é Dr = -E(ai{!jar), a continuidade (não há carga n~ superfície do dielétrico) requer que Dlr = D2r em r =a, ou Eo
+ 2Cla-3
= -KA2·
de Dr (4-53)
A continuidade de Et em r = a é equivalente à Eq. (4-52). Combinando as Eqs. (4-52) e (4-53), obtemos 3Eo A---2K+2
(4-54)
CI _ _ (K -
(4-55)
e l)a3E o
Desta forma, o problema foi resolvido. O potencial é dado pelas Eqs. (4-50) e (4-51) e as constantes AI, C1, A2 e C2 são todas conhecidas. As componentes de E e D podem ser obtidas em qualquer ponto (r, e, por diferenciação . .e evidente, conforme a Eq. (4.54) e porque Cz = O, que o campo elétrico no interior da esfera tem o sentido de Eo e é dado por
(4-56) As linhas de deslocamento
(a)
e as linhas de força estão ilustradas na Fig. 4-8.
(b)
Figura 4·8 Um campo elétrico uniforme é distorcido pela presença de urna esfera dieJétrica: (a) linhas de deslocamento elétrico, (b) linhas do campo elétrico.
*4-10 FORÇA ATUANTE SOBRE UMA CARGA PUNTUAL IMERSA NUM DIELÉTRICO Estamos agora em condições de determinar a força que atua sobre um pequeno condutor esférico carregado, imerso num dielétrico linear e isotrópico. No limite, em que o condutor é desprezivelmente pequeno do ponto de vista macroscópico, este cálculo dá a força atuante sobre uma carga puntual.
100
Campo Eletrostático em Meios Dielétricos
o campo elétrico e a densidade de carga superficial em um ponto representJ1l\'o da superfície do condutor são obtidos pelo processo de valores de contorno exposto na seção precedente, e a força F pode então ser obtida a partir da integral sobre a superfície: F = .t s E'(J
da.
(4-57)
Aqui E' representa o campo elétrico no elemento superficial da menos a parte do campo produzida pelo próprio elemento. Em outras palavras,
E'
=E-
Es,
(4-58)
onde Es é o campo elétrico produzido pelo elemento superficial de carga, ada. É importante que Es não seja incluído no campo E', porque a quantidade Esada representa a interação do elemento de carga ada com seu próprio campo; esta auto-interação não produz evidentemente nenhuma força líquida sobre o elemento, mas dá origem a uma tensão superficial (4-59) devida à repulsão mútua dos elétrons (ou do excesso de íons positivos) na camada superficial. Esta tensão é equilibrada por intensas forças de coesão no material que constitui o elemento. Deve-se assinalar que. ao calcularmos forças que atuam sobre objetos carregados nos Capítulos 2 e 3, subtraímos implicitamen te O campo próprio Es; desta forma, ao calcularmos a força sobre uma carga puntual, o campo produzido pela carga puntual não estava incluído. Uma exposição adicional das forças sobre objetos carregados será efetuada na Seção 6-8. Pode parecer que o campo próprio do elemento superficial carregado ada seja desprezível porque o elemento é de tamanho infinitesimal. Entretanto, isto não acontece. O elemento, estamos certos, é pequeno do ponto de vista macroscópico, todavia nunca atinge realmente o limite. Em um ponto situado logo acima de sua superfície, o elemento parece ser um plano infinito, isto é, o elemento subtende um ângulo 21T; conseqüentemente, (J
Es
= -2f
n,
(4-60)
onde n é uma normal ao elemento e E é a permissividade do dielétrico em contato com ele. Desta forma, a tensão .Fs é proporcional a a2 e é sempre uma tensão, independentemente do sinal a.
É nosso propósito calcular aqui a força que atua sobre um condutor. Usando as condições de contorno da Seção 4-7, o campo elétrico total no condutor é dado por E
(J
= ~ n. f
(4-61)
Combinando as Eqs. (4-58), (4-60) e (4-61), obtemos
E' = tE, e a força sobre o condutor torna-se F
=
t .I's
E(J da.
(4-57a)
Fixemos agora nossa atenção sobre um pequeno condutor esférico imerso num die-
Resumo
101
létrico de extensão infinita. A carga total no condutor é Q; seu raio é a. Como eventualmente tomaremos o limite em que a se torne muito pequeno e como as variações no campo elétrico (se ele existir) estão em uma escala macroscópica, é suficiente considerar o caso em que o campo elétrico é inicialmente uniforme na vizinhança do condutor. Representemos este campo uniforme pelo símbolo Eo. O quadro é semelhante ao do problema de valores de contorno que resolvemos na Seção 3-5, excetuando-se que aqui a esfera condutora está imersa num dielétrico de pem1issividade E e, além disso, possui uma carga liquida Q. Por analogia com a Seção 3-5, determinemos facilmente: o potencial, cp(r,
= CPo
O)
Q
Eoa3
-
Eo
r cos () + .n_,_ -- ...; r- cos () + 4n(r
(4-62)
o campo elétrico, Er
= Eo(1 + 2a3ír3)
Ee
= -
cos () + Qi4na2, (4-63)
Eo{1
-
sen
a3 ír3)
O;
e a densidade superficial de carga na superfície da esfera, (4-64) Pode-se agora determinar a força a partir da Eq. (4-57a). Por simetria, a única componente da força que não se anula é a que tem a direção 8 = O, isto é, a direção z: F=
=! '0(' (Er)r=a
cos
(}CJ((})2na2
sen e de
(4-65a)
= EoQ. ou
F
= QEo.
(4-65b)
Este resultado não varia quando tomamos o limite para a pequeno. Desta forma, o campo elétrico no dielétrico, Eo, concorda com a definição fundamental, a saber: a força sobre uma pequena carga teste Q dividida pelo módu]o de Q. 4-11 RESUMO O comportamento eletrostático de um meio dielétrico é totalmente pelo seu momento dipolar por unidade de volume ou polarização,
P = dp
dv'
Isto gera a densidade de carga de polarização (CJp
= n • P),
dando origem ao potencial
4mo cp(r)=_l_.
. Ir [rpp(r/)~vl
r
I
.' I r - r I +{
caracterizado
102
o campo
Campo Eletrostático
em Meios Dielétricos
E total devido às cargas externas mais a carga de polarização satisfaz a equação 1
= -Eo
V •E
+ pp).
(p
É conveniente definir o campo vetorial como
o = coE + P de tal forma que
V' D=p tendo, como fontes, apenas as cargas externas. A equação do rotacional
VxE=O é invariável porque não contém a densidade de carga. Para resolver as equações para os campos, a equação constitutiva
P = P(E) também deve ser conhecida para o material particular. Portanto, ções, sujeitas às condições de contorno D2n E2!
são suficientes para determinar
DIn
= (J,
El!
=
-
as quatro últimas equa-
O,
E e D dentro e fora dos dielétricos.
1. A forma integral da lei de Gauss torna-se
= Q,
Js D· n da
onde Q inclui somente a carga externa localizada no interior da superfície S. A equação do rotacional permite ainda a definição do potencial por
E= -Vcp. 2. Muitos materiais dielétricos são lineares, com susceptibilidade constante,
P=XE. Esta equação constitutiva combinada com a definição de D dá
0=
EE,
onde E
=
Eo
+ x.
A constante dielétrica E
K=-
(o
se situa entre 1 e 100 em dielétricos mais comuns; em todos os dielétricos K;?: 1 (X;?: O). No vácuo, K = 1 (X = O). O comportamento eletrostático de um condutor pode ser obtido deixando-se K tornar-se infinito.
3. Em um meio linear
1
V'E=-p (
Problemas
103
e p
( As técnicas matemáticas para resolver as equações de Laplace e Poisson são semelhantes às propostas no Capítulo 3, com as condições de contorno apropriadas à interface de um dielétrico,
Kl
JCPl
Jn
e (equivalente aE2t = Elt)·
PROBLEMAS 4-1 Uma fina barra de dielétrico de seção reta A estende-se ao longo do eixo x de x = O a x = L. A polarização da barra dá-se ao longo de seu comprimento e é dada por Px = ax' + b. Encontre a densidade volumétrica da carga de polarização e a carga superficial de polariz.ação em cada extremidade. trs.,fxplicita11lf;]Jte~qyea carga total de polarização se anula neste caso ..
Q<::n.()TIS-
4-2 Um cubo de dielétrico de lado L tem uma polarização radial dada por P = Ar, onde A é uma constante e r = ix + jy + kz. A origem do sistema de coordenadas se situa no centro do cubo. Encontre todas as densidades de carga de polarização e demonstre explicitamente que a carga total de polarização se anula. -1>4-3 Uma barra
de dielétrico
com a forma
de um cilindro
circular
~4-4
Demonstre
a seguinte relação de dielétrico
op, para uma amostra
entre a polarização, P, e as densidades de volume Ve superfície S.
'" P
·V
dte
Aqui, r = i.x + iv + kz é o vetor posição V • (XP) de acordo com a Eq. (4-10)]. 4-5
Dois blocos
sem i-infinitos
= ·Vr
PpI
a partir
de dielétricos
dL'
+
r
·S
CJpl'
de qualquer
são colocados
L e raio R se
reto de comprimento
polariza na direção de seu comprimento. Se a polarização for uniforme e de módulo po elétrico resultante desta polarização num ponto sobre o eixo da barra.
P, calcule
de carga de polarização
o cam-
Pp e
da.
origem
fixa.
quase em contato,
[Sugestão: Desenvolva
de forma
a que exista
uma estreita fenda de separação constante entre eles. A polarização P é constante através de todo material dielétrico e forma um ângulo 'Y com a normal aos planos que limitam a fenda, Determine campo elétrico na fenda. 4-6
Um longo
cilindro
condutor
de raio a, possuindo
so num meio dielétrico de permissividade r > a do eixo do cilindro. ')11.-7
Dois meios
dielétricos
com constantes
carga
À
por unidade
constante
E. Encontre
dielétricos
K,
e
K,
de comprimento,
o campo
estão separados
elétrico
o o
está imer-
a uma distância
por uma interface
pla-
na. Não há carga externa sobre a interface. Encontre uma relação entre os ângulos 8 j e 8" em que estes sejam os ângulos formados por uma linha arbitrária de deslocamento com a normal à interface: e I no meio 1,8, no meio 2. '~4'8 Um cabo coaxial de seção reta circular tem um raio externo a que é circundado por um revestimento externo b. Segue-se outro revestimento de dielétrico entre uma diferença de potencial 'Po for estabelecida dutores; calcule a polarização em cada ponto dos dois 1J4-9
Dois meios dielétricos
com constantes
dielétrico composto. O condutor interno tem um de dielétrico de constante dielétrica KI e de raio de constante dielétrica K, e raio externo c. Se os condutores, calcule a polarização entre os conmeios dielétricos.
de permissividade
Ej e E, estão
separados
por uma interface
104
Campo E1etrostático em Meios Dielétricos
plana. Não há carga externa na interface. Uma carga puntual q está imersa no meio caracterizado por El' a uma distância d da interface. Por conveniência. podemos considerar o plano yz, que passa através
da origem. como sendo a interface e localizar q sobre o eixo x em x = -do Se r
= v'(t + d)2 + y2 + :2.
e
r'
= v(x -dJ2+.·y2 +':2.
será facilmente demonstrado que (l/41TE,)[q!r) + (q'jr')] satisfaz a equação de Laplace em todos os pontos do meio 1, exceto na posição de q. Aléip disso, q"j41TE,r satisfaz a equação de Laplace no meio 2. Demonstre que todas as condições de cont~rno podem ser satisfeitas por estes potenciais e, ao fazê-
10, determine q' e q". (Recorra à Fig. 4-9.)
!
~
Figura 4-9 Um longo cilindro dielétrico de raio a e constante dielétrica K é colocado num campo elétrico uniforme Eo. O eixo do cilindro está orientado perpendicularmente à direção de Eo' O cilindro não contém carga externa. Determine o campo elétrico em pontos dentro e fora do cilindro.
'"'1>4_10
~'4-11 Um dipolo puntual p é colocado no centro de uma esfera die!étrica sólida de raio a e constante dielétrica K. Encontre o campo elétrico em pontos dentro e fora da esfera. (Sugestão: Fora temos um . campo dipolar; dentro, necessitamos acrescentar outro termo ao campo dipolar a fim de expressá-Ia.) 4-12 Demonstre que se K tender ao infinito na solução de uma esfera dielétrica em um campo inicialmente uniforme. obtido na Seção 4-9, o resultado será igual ao da esfera condutora obtido na Seção 3-5. 4-13 Uma chapa plana, de material com constante dielétrica K, , é limitada em ambos os lados por um material de constante dielétrica K, . O campo elétrico no meio 2, E, , é dado como sendo uniforme e perpendicular aos contornos. Encontre o campo EI, a polarização PI e a carga de polarização no meio 1. 4-14 Demonstre que se K, tender ao infinito no Problema 4-13, o resultado concordará fisicamente com a Eq. (4-44). "4-15 Duas pIac:!s condutoras paralelas acham-se separadas pela distância d e mantidas a uma diferença de potencial t:.;p. Uma chapa de dielétrico, de constante dielétrica K e de espessura uniforme t < d, é inserida entre as chapas. Determine os vetares campo E e D no dielétrico e também no vácuo entre o dielétrico e uma placa. Despreze os efeitos das extremidades em virtude das dimensões tInitas das placas. 4-16 Duas placas condutoras paralelas encontram-se separadas pela distância d e mantidas a uma diferença de potencial t),..p. Uma chapa dielétrica, de constante dielétrica K e de espessura uniforme d, é in-
Problemas
105
serida entre as placas; todavia. a chapa não preenche completamente o volume entre as placas. Encontre o campo elétrico (a) no dielétrico e (b) na região de vácuo entre as placas. Encontre a densidade de carga o na parte da placa (c) em contato com o dielétrico e (d) em contato com o vácuo. (e) Encontre op na superfície da chapa dielétrica. ~-17 Uma esfera condutora de raio R flutua, submersa pela metade, num meio dielétrico líquido de permissividade é1 . A região acima do líquido é um gás de permissividade E,. A carga total da esfera é Q. Encontre Um campo elétrico radial de inverso do quadrado que satisfaça todas as condições de contorno e determine as densidades de cargas livre, ligada e total em todos os pontos da superfície da esfera. Formule um raciocínio para demonstrar que este campo eléuico é o verdadeiro. Um campo elétrico uniforme Eo é formado num meio de constante dielétrica K. Demonstre que o campo no interior de uma cavidade esférica no meio é
'lt4_18
E=-2K3KEo+ 1 Uma esfera dielétrica de raio R tem uma polarização permanente P, uniforme em módulo, direção e sentido. A esfera polarizada dá origem a um campo elétrico. Determine o campo tanto dentro corno fora da esfera. Dentro da esfera, o campo elétrico, que está no sentido oposto ao da polari7.ação, é chamado campo despolarizante. (Sugestão: Corno ~ • P 'se anula em todos os pontos, o potencial eletrostático satisfaz a equação de Laplace tanto dentro como fora da esfera. Não suponha que o dielétrico seja caracterizado por uma constante dielétrica.)
"\4-19
4-20 Demonstramos no texto que a polarização P = p ~ av ~ Õ'). Use esta relação para a esfera uniformemente polarizada do Problema 4-19, para determinar diretamente o campo dipolar externo.
CAPÍTULO 5 TEORIA MICROSCÓPICA DIELÉTRICOS
DOS
No capítulo anterior, estudamos os aspectos macroscópicos da polarização dielétrica e demonstramos como em muitos casos se podia considerar a polarização através da introdução de uma constante dielétrica. Desta maneira, computar-se-ia o campo elétrico diretamente a partir de uma suposição da distribuição de carga externa. Apesar de várias vezes se fazerem referências às moléculas do dielétrico, várias vezes, no Capítulo 4, um tratamento microscópico do material não foi levado a cabo detalhamente ~ o quadro geral apresentado o foi certamente do ponto de vista macroscópico. Gostaríamos de examinar agora a natureza molecular do dielétrico e ver como o campo elétrico responsável pela polarização da molécula se relaciona com o campo elétrico macroscópico. Além disso, baseando-nos num modelo molecular simples, é possível compreendermos o comportamento linear característico de um grande grupo de materiais dielétricos. 5-1 CAMPO MOLECULAR
EM UM DlELÉTRICO
O campo elétrico responsável pela polarização de uma molécula do dielétrico é denominado campo molecular, Em. Este é o campo elétrico em uma posição molecular no dielétrico; é produzido por todas as fontes externas e por todas as moléculas polarizadas do dielétrico com a exceção de uma molécula no ponto considerado. É evidente que Em não necessita ser o mesmo que O campo elétrico macroscópico porque, como se expôs na Seção 4-3, esta última quantidade se relaciona com a força atuante sobre uma carga teste que é grande em comparação com as dimensões moleculares. O campo molecular pode ser calculado da seguinte maneira. Talhemos um pequeno pedaço do dielétrico, deixando uma cavidade esférica circundando o ponto em que o campo molecular deve ser computado. O dielétrico que restar será tratado como um contínuo, isto é, considerado do ponto de vista macroscópico. Coloquemos agora o dielétrico de volta na cavidade, molécula por molécula, exceto a molécula no centro da cavidade onde desejamos computar o campo elétrico. As moléculas que foram recolocadas serão tratadas não como um contínuo, mas como dipolos individuais. O procedimento que esboçamos só se poderá justificar se o resultado do cálculo for independente das dimensões da cavidade; veremos que, em certas condições, é o que acontece. Vamos supor que a amostra delgada de dielétrico se polarizou ao ser colocada no campo elétrico uniforme entre duas placas paralelas carregadas com cargas opostas, como é ilustrado na Fig. 5-l(a). Admitir-se-á que a polarização seja uniforme numa escala mal()fi
Campo Molecular em um Dielétrico
107
croscópica (isto é, V • P = O), e P seja paralelo ao campo que o produz. A parte do dielétrico fora da cavidade pode ser substituída por um sistema de cargas de polarização como é ilustrado na Fig. 5-1(b); por essa razão, o campo elétrico no centro da cavidade pode ser expresso como (5-1) Aqui Ex é o campo elétrico primário resultante das placas paralelas carregadas, e Ed, o campo despolarizante resultante da carga de polarização nas superfícies externas do dielétrico, Es é devido à carga de polarização na superfície da cavidade S e E' é devido a todos os dipolos no interior de S. Embora não estejamos considerando a forma explícita de Ex, é evidente que se as dimensões forem grandes, comparadas com sua separação, Ex = (1fEo)o, onde o é a densidade superficial de carga. O campo de despolarização é também produzido por dois planos paralelos de carga, desta vez com densidade op. Como op = Pn =±P, 1 Ed
= --
(o
P.
(5-2)
Notemos o campo elétrico macroscópico dentro do dielétrico sem o índice, isto é, E. Uma vez que a componente normal do deslocamento elétrico D é contínua através da interface vácuo-dielétrico e como D = EoEx no vácuo, logo fora da chapa dielétrica,
+
+ -
+!+ +1--
E3-
+
•
+ +E3 +- + + (oEx =++ (oE + P. + -
(h)
(5-3)
~
+!+ + +
+,+
+ +
+ Figura 5-1 Substituição do dielétrico fora da "cavidade" por um sistema de cargas de polarização.
Combinando as Eqs. (5-1), (5-2) e (5-3), obtemos Em = E
+ Es + E',
(5-4)
que é uma equação relacionando o campo molecular com o campo elétrico macroscópico
108
Teoria Microscópica dos Dielétricos
no material dielétrico. Este resultado é bastante geral e não está restrito à geometria da Fig. 5-1; todavia, a dedução anterior é instrutiva e será útil aO assunto exposto na Seção
5-4.
O campo Es provém da densidade de carga de polarização, ap = Pn, sobre a superfície S. Usando coordenadas esféricas e tomando a direção polar ao longo da direção de P, como na Fig. 5-2, obtemos dEs
= (- p cos O) 4m o r3- r da,
(5-5)
onde r é o vetor que vai da superfície ao centro da esfera. Pela simetria, é claro que apenas a componente de dEs ao longo da direção de P contribuirá para a integral da Eq. (5-5) sobre a superfície completa, como da = r2 sen e de d1J, 1 Es
,2n:
= ~4~ P Rfo'O
=--1
I
, rr
I cos2 '0
dcj>
()
sen e
dO
P.
(5-6)
3(0
Finalmente, chegamos ao último termo da Eq. (5-4) que é resultado dos dipolos elétricos no interior de S. Há muitos casos importantes em que este termo se anula. Se houver muitos dipolos na cavidade, se estiverem orientados paralelamente mas distribuídos ao acaso, quanto à posição, e se não houver correlações entre as posições dos dipolos, E' = O. Esta é a situação que pode prevalecer em um gás ou em um líquido. De maneira semelhante, se os dipolos na cavidade estiverem localizados nas posições atômicas regulares de um cristal cúbico,* novamente E' = O. Nesta seqüência, o leitor deve recorrer ao Problema 5-2. No caso geral, E' não é nulo e se o material contiver diversas espécies de moléculas, E' poderá diferir nas várias posições moleculares. É este termo que dá lugar ao comportamento elétrico anisotrópico da calcita. por exemplo. Não é nosso propósito, contudo, desenvolver uma teoria de materiais anisotrópicos; por conseguinte. restringiremos a exposição à ampla classe de materiais em que E' = O. Assim, a Eq. (5-4) se reduz a 1
E =E+-P m
3(0'
(5-7)
p
Figura 5-2 Cálculo da contribuição da cavidade para Em.
*
Os cristais de maior simetria pertencem ao sistema cúbico.
da superfície
Dipolos Induzidos
109
É interessante observar que este resultado poderia ser obtido diretamente pelo método anterior se a cavidade esférica fosse criada ao se remover apenas uma molécula. Porém, nessas condições, a cavidade seria tão pequena que não se justificaria a substituição do resto do dielétrico por um sistema de cargas de polarização. O momento de dipolo de uma molécula por unidade de campo polarizante é chamado sua polarizabilidade, 0:. Em outras palavras, (5-8) Se houver N moléculas por unidade de volume, a polarização P = NPm e 'combinando este resultado com as Eqs. (5-7) e (5-8), obtemos
P =
NJ.
(E
+ 3~o P ).
Esta equação pode ser expressa em termos da constante -l)EoE. Desta maneira, a Eq. (5-9) se torna 3( o (K - 1) J.
=
li (K+2)'
(5-9) dielétrica, K, como P = (K -
(5-10)
que é conhecida como equação de Clausius-Mossotti. É evidente que a Eq. (5-10) define uma propriedade molecular, quer dizer, a polarizabilidade, em termos de quantidades que podem ser determinadas em uma base macroscópica.
5-2 DIPOLOS INDUZIDOS. UM MODELO SIMPLES As moléculas de um dielétrico podem ser classificadas como polares ou não polares. Uma molécula polar é a que possui um momento de dipolo permanente. mesmo na ausência de um campo polarizante Em. Na próxima seção estudaremos a resposta de um dielétrico polar a um campo elétrico externo, mas aqui trataremos de um problema algo mais simples que envolve moléculas não polares em que os "centros de gravidade" das distribuições de carga positivas e negativas geralmente coincidem. Moléculas simétricas como o H2' o N2 e 0.02, ou moléculas monoatômicas como o He, Ne e o Ar situam-se nesta categoria. A aplicação de um campo elétrico produz um deslocamento relativo das cargas positivas e negativas nas moléculas não polares e os dipolos moleculares assim criados são denominados dipolos induzidos. O tipo mais simples de molécula que pode ser visualizado é o formado por um só átomo neutro. É possível construir um modelo clássico simples para o átomo e, partindo deste modelo, derivar uma expressão para o momento de dipolo induzido e, por conseguinte, para sua polarizabilidade. Embora o modelo tenha sido projetado especificamente para tratar de moléculas monoatômicas, podemos usá-Io para moléculas di atômicas simétricas, aplicando-o separadamente.a cada um dos átomos da molécula para obtermos as polarizabilidades atômicas. A polarizabilidade molecular será, então, a soma destas, ou o dobro da polarizabilidade atômica. Um átomo se compõe de um pequeno núcleo positivamente carregado, rodeado por elétrons orbitais em estado de movimento contínuo. Como os elétrons percorrem suas órbitas em tempo sumamente certo. da ordem de 10-15 segundos, é evidente que no átomo "estático" equivalente, toda a carga eletrônica está espalhada sobre suas órbitas. A mecânica quântica diz-nos que embora este quadro esteja essencialmente correto, é um tanto
110
Teoria Microscópicados Dielétricos
elementar; os elétrons não estão realmente localizados em órbitas mas possuem uma probabilidade finita de estarem situados em qualquer parte do átomo. Assim, a resposta do átomo a um campo eletrostático ou a campos elétricos que variam lentamente pode ser tratada, considerando-se o elétron como distribuído sobre sua órbita no átomo, estendendo-se cada órbita sobre uma parte substancial do volume atômico. Em resumo, um modelo clássico simples do átomo de acordo com este quadro, consiste em uma carga puntual positiva (o núcleo) rodeado por uma nuvem esfericamente simétrica de carga negativa em que a densidade é essencialmente uniforme até o raio atômico Ro e nula em raios maiores. Estamos agora em condições de computar a polarizabilidade deste "átomo". Ao núcleo associaremos a carga Ze, em que e é o valor absoluto da carga eletrônica e Z é o número atômico. Como o átomo é eletricamente neutro, a carga total na nuvem eletrônica será -Ze. Se o átomo for colocado em um campo polarizante Em' O núcleo será deslocado, relativamente ao centro da nuvem de carga, por uma distância que chamaremos de x. O deslocamento será no sentido de Em. Suporemos que a nuvem de carga se mova rigidamente durante este deslocamento, isto é, não haverá distorção da nuvem pelo campo polarizante. O deslocamento x pode ser determinado por meio do equihbrio de forças que atuam no núcleo; a força ZeEm atua no sentido do campo, enquanto uma força eletrostática entre o núcleo e a nuvem de carga tende a restaurar a configuração inicial. Pela lei de Gauss, a carga negativa que atrai o núcleo é a parte da nuvem no interior da esfera de raio x e, se a densidade eletrônica na nuvem for uniforme, a carga será Zex3 /RÕ. Como conseqüência, (5-11) ou (5-12) Como o dipolo atômico criado neste processo é Pm = Zex, a última equação pode ser comparada com a Eq. (5-8), resultando, (5-13) O modelo atômico descrito pode ser testado pela comparação dos resultados obtidos a partir dele com os resultados derivados de outras fontes. Por exemplo, a Eq. (5-13) pode ser combinada com a equação de Clausius-Mossotti, Eq. (5-10), para eliminar 0'; a equação resultante prediz o raio atômico Ro em termos de quantidades determinadas experimentalmente. O Ro obtido desta forma concorda razoavelmente bem com os resultados de outras experiências nos casos em que o modelo é particularmente adequado;Ro é da ordem de 1 angstrom, isto é, 10-10 m. (Veja o Problema 5-1.) A polarizabilidade deduzida na Eq. (5-13)'é constante, independente do campo polarizante. Portanto, a Eq. (5-13) conduz a um valor constante de K e o dielétrico, assim descrito, é linear. *5-3 MOLÉCULAS POLARES. FÓR.t\fULA DE LANGEVIN-DEBYE Como mencionamos na seção precedente, uma molécula polar tem um momento de dipolo permanente. Uma molécula polar se constitui pelo menos de duas espécies de átomos; durante a formação da molécula, alguns elétrons podem ser completa ou parcialmen-
Moléculas Polares. Fórmula de Langevin-Debye
111
te transferidos de uma espécie atômica à outra, sendo o arranjo eletrônico resultante tal que os centros das cargas positivas e negativas não coincidem na molécula. Na ausência do campo elétrico, uma peça macroscópica do dielétrico polar não se polariza uma vez que os dipolos individuais estão aleatoriamente orientados, como ilustra a Fig. 5-3. A polarização foi definida como 1
P=A. L Pm,
(5-14)
tiL'
onde o somatório se estende sobre todas as moléculas do elemento Quando os Pm estão orientados aleatoriamente, a soma se anula.
de volume de flv.
Figura 5-3 Uma distribu'ição dipolos permanentes.
aleatória
dos
Se o di elétrico polar estiver sujeito a um campo elétrico, os dipolos individuais experimentarão torques que tenderão a alinhá-Ios com o campo. Se o campo for suficientemente intenso, os dipolos poderão ser completamente alinhados e a polarização alcança o valor de saturação
(5-15) onde N é o número de moléculas por unidade de volume. Este efeito de orientação ocorre além dos efeitos dipolares induzidos que geralmente estão também presentes. Desprezaremos, no momento, a contribuição dipolar induzida, seu feito, porém, será considerado posteriormente. Nas intensidades de campo normalmente encontradas, a polarização de um dielétrico polar está geralmente longe de seu valor de saturação e, se a temperatura da amostra é aumentada, a polarização toma-se ainda menor. A ausência de um alinhamento dipolar completo se deve à energia térmica das moléculas, que tende a produzir orientações dipolares aleatórias. O momento de dipolo efetivo médio por molécula pode ser calculado por meio de um princípio da mecânica estatística que estabelece que a probabilidade de se encontrar uma energia molecular particular E, a uma temperatura T, é proporcional a e-EkT
(5-16)
onde k é a constante de Boltzmann e T é a temperatura absoluta. Uma exposição completa dos fundamentos deste princípio não será feita aqui; o leitor que estiver familiarizado com a distribuição de velocidades de Maxwell em um gás perfeito já encontrou o princípio. De acordo com a lei da distribuição de Maxwell, a probabilidade de uma velocidade molecular v é proporcional a e-mv2/2kt. No gás perfeito de Mawell, porém, as moléculas possuem apenas energia cinética, +mv2; no caso geral, E, na Eq. (5-16), devem incluir
112
Teoria Microscópica dos Dielétricos
ambas; a energia cinética Ek e a energia potencial U; tornando-se o fator:
e -E.kT e -L"kT . A energia potencial de um dipolo permanente
u= -
Po • Em
= -
(5-17) em um campo elétrico Em é
Po
Po Em
cos
e.
(5-18)
onde e é o ângulo entre Po e o campo elétrico. Urna vez que as energias cinéticas moleculares não dependem do campo elétrico, podemos desprezar completamente a distribuição de velocidades no cálculo seguinte. O momento de dipolo efetivo de uma molécula dipolar é sua componente ao longo da direção do campo, isto é, Po cos (j. Usando o princípio anterior, o valor médio desta quantidade é
cos
J Po cos ee + poEm cos IHT dQ unf."_ "nc"H ,,-,..
e) = --r
(5-19)
onde dn é um elemento de ângulo sólido que pode ser substituído por 27T sen (j de e os limites de e são o e 7T. Como Po, Em e kT são constantes na integração, as integrais podem ser prontamente efetuadas. É conveniente definir (5-20)
pos..
Y=,á A Eq. (5-19) fornece então:
cos
e) = Po [coth
Y -
t],
(5-21)
que é conhecida como fórmula de Langevin. Um gráfico desta função é dado na Fig. 5-4.
r,o :-
'I = poE",/kJ' f'igura 5-4 Gráfico da função de Langevin. O valor assintótico quando y - - ê um.
PolarizaçãoPermanente. Ferroe1etricidade
113
Pode ser visto na figura que a Eq. (5-21) produz realmente um efeito de saturação para campos de grande intensidade. Para pequenos valores de y. contudo, a curva é linear e é esta região linear que é importante em temperaturas ordinárias. O momento de dipolo Po da maioria dos materiais polares é tal que y ~ 1 para um intervalo completo de intensidades de campo, mesmo para as que se aproximam da rigidez dielétrica do material, enquanto a temperatura estiver acima de 250 K. Assim. um material dielétrico que contém moléculas polares é, em geral, linear. Como é a região linear da Eq. (5-21) que é importante, é apropriado expandir coth y em uma série de potências e conservar somente os termos principais (veja o Problema 5-4). O primeiro termo cancela o último termo na Eq. (5-21), com o resultado
O termo
(Po
P = N(po
cos
p2 E
e) ~
(Po cos
tpoY
= ~----"'.
(5-22a)
3kT
cos e> é o momento de dipolo efetivo médio; portanto, a polarização é e tem o sentido de Em. Por conseguinte, a Eq. (5-22a) pode ser escrita na
e>
forma p~
1
P=
N
3kT
(5-22b)
Em·
Comparando-se esta equação com a Eq. (5-8), é evidente que a polarizabilidade o momento de dipolo molecular por unidade de campo polarizante) é P6 (J.=---.
o: (isto é,
(5-23)
3kT
Este resultado foi obtido, desprezando-se os momentos de dipolo induzidos e representa o que poderíamos denominar polarizabilidade orienracional. Efeitos dipolaresinduzidos, como os considerados na seção anterior, dão origem ao que podemos chamar de polarizabilidade de deformação, ao. No caso geral, então, a polarizabilidade molecular total será p2 'Y.
=
0::0
+ 3koT'
(5-24)
expressão conhecida como equação de Langevin-Debye e de grande importância pretação de estruturas moleculares.
na inter-
*5-4 POLARIZAÇÃO PERMANENTE. FERROELETRICIDADE Vimos na Seção 5-1 que o campo molecular Em é O responsável pela polarização das moléculas individuais. A relação entre Em e o campo elétrico macroscópico E foi dada na Eq. (5-7). Em muitos casos, a polarização é proporcional a E, de forma a que Em se anule quando E tender a zero. Porém, em certas condições, a Eq. (5-7) é também compatível com uma polarização permanente (ou espontânea). Quando E é igualado a zero, 1 Em
= -3io Po.
ou, verbalmente, se uma polarização Po existir, criará um campo elétrico tenderá a· polarizar a molécula. Não há dúvida de que existe um campo se este campo der origem a uma polarização diferente de Po, então a autocompatível. Por isso, se N for o número de moléculas por unidade mos
(5-25) na molécula, polarizante, solução não de volume,
que mas, será tere-
114
Teoria Microscópica dos Dielétricos
(5-26) que será satisfeita quando Po
=O
ou Nrx 1. 3Eo
(5-27)
Desta forma, a condição para uma polarização permanente é a determinada pela Eq. (5-27).* Para a maioria dos materiais Nex/3Eo é menor que um e resulta em um comportamento dielétrico ordinário. Em alguns sólidos cristalinos, todavia, a condição da Eq. (5-27) é encontrada. Estes materiais são denominados ferroelétn'cos porque suas propriedades elétricas são análogas às propriedades magnéticas dos materiais ferromagnéticos. a exemplo mais conhecido de material ferroelétrico é o titanato de bário, BaTia3, que exibe um momento de dipolo espontâneo a temperaturas inferiores a 120°C. Esta temperatura é chamada de ponto Curie do material. a estado polarizado de um material ferroelétrico é relativamente estável e pode persistir por longos períodos de tempo. Esta afirmação pode surpreender-nos até certo ponto porque uma amostra está sujeita a seu próprio campo despolarizante e, dependendo da geometria da amostra, o campo despolarizante pode ser bastante grande. a campo despolarizante é maior 'para uma amostra que tem a forma de uma chapa plana, polarizada numa direção normal a suas faces. Como vimos na Seção 5·1, se as dimensões da chapa plana forem grandes comparadas com a espessura da chapa,
1
Ed
= - - P.
(5-28)
Eo
Realmente, a alta estabilidade de um ferroelétrico polarizado é devida ao ato de não haver campo despolarizante na amostra, mesmo no caso em que a forma geométrica seja a da chapa. A amostra se polariza ao ser colocada entre placas condutoras paralelas em que subseqüentemente se aplica uma grande diferença de potenciaL Neste processo, a carga livre das placas será neutralizada, em uma grande proporção, pela carga da polarização superficial como ocorre também durante a polarização de um dielétrico convencional. Se as placas paralelas forem agora trazidas a um mesmo potencial, através de um curto -circuito entre elas, o estado polarizado do ferroelétrico será ainda energeticamente favorável, assim a carga livre pennanece em seu lugar, neutralizando ainda a carga de polarização. A situação é um tanto semelhante à mostrada na Fig. 5-5; a carga livre é mantida no lugar pela carga de polarização superficial. a campo macroscópico no interior do ferroelétrico é nulo; além disso, o campo elétrico externo é nulo e é difícil distinguir entre a amostra polarizada e um material dielétrico convencional não polarizado. * Estritamente falando, a Eq. (5-27) foi deduzida para materiais que são compostos por uma única espécie de molécula e para os quais o termo E' da Seção 5-1 se anula. Numa teoria quantitativa aplicável ao caso geral, a Eq. (5-27) é substituída por um conjunto de equações simultâneas. Estas complicações não são necessárias para uma compreensão fundamental da origem da ferroeletricídade e, conseqüentemente, não serão expostas.
Polarização Permanente. Ferroeletricidade
115
Se uma grande diferença de potencial de sinal oposto for agora aplicada às placas que circundaJTl o ferroelétrico polarizado, a amostra mudará sua polarização e cargas livres de sinal oposto fluirão para as placas, a partir do circuito externo, em quantidade suficiente não apenas para neutralizar a carga livre que já estava aí, mas também para neutralizar a nova carga de polarização. Dessa forma, urna chapa ferroelétrica entre duas placas paralelas pode servir como o elemento básico de um dispositivo de memória; é capaz de armae sua polarização persistirá na ausência de um campo elétrico externo. O núzenar ± ou mero ± ou pode ser lido ao aplicar-se uma diferença de potencial através da amostra. Se o campo aplicado estiver no sentido da polarização original, nenhuma carga passará através do circuito externo; se a diferença de potencial for oposta à polarização original, urna carga fluirá através do circuito externo conforme a mudança de sentido da polarização do ferroelétrico. =+=
=+=
+ +
+ + + + + + +
Carga superfi ciaI livre
+ + +
+ +
Figura 5-5 Pedaço polarizado de material ferroelétrico.
Um [erroelétrico polarizado é estável frente a um campo elétrico invertido, contanto que este campo elétrico não seja grande demais. A Fig. 5-6 mostra a curva de polarização completa versus o campo elétrico; é evidente que para campos pequenos existem dois valores de P para cada valor de E. Urna curva corno esta da Fig. 5-6 é denominada curva de histerese. Histerese significa "voltar atrás" e é evidente que o vetor polarização atrasa o vetor campo elétrico. Os pontos a e b são as configurações estáveis para E = O e representam as polarizações ± e respectivamente. O ponto c é o campo elétrico que deve ser excedido para inverter a polarização. =+=,
p
c
o
E
Figura 5-6 Curva de histerese ferro elétrica.
para uma amostra
116
Teoria
MicroscDpica
dos Dielétricos
5-5 RESUMO A polarização macroscópica P de um material dielétrico isotrópico depende do momento de dipolo molecular (ou de sua componente) Pm' que se origina no campo elétrico local da molécula - o campo molecular Em:
Geralmente Pm é proporcional
a Em com boa aproximação, Pm
=
'l.Em·
O campo molecular depende do campo E aplicado e também da sua própria polarização (isto é, dos campos dipolares de todas as outras moléculas). Nos casos mais simples
=E
Em
1 +-3 to
P.
No caso geral, Em pode ser eliminado destas equações, dando
=
P
com a susceptibilidade
XE
constante N'l.
x=
1--
N'Y. 3fo
Porém, se as moléculas forem bastante polarizáveis (Na> 3Eo), uma outra solução é possível com E == O; P =F O (isto é, o material pode ser espontaneamente polarizado em um campo aplicado zero, como em um ferroelétrico). 1. Todas as moléculas exibem um momento de dipolo induzido em um campo elétrico, em virtude da deformação da distribuição de carga eletrônica. Um modelo linear simples leva a uma polarizabilidade atômica constante proporcional ao volume atômico, 'Y.
=
41UoR6·
2. Moléculas polares. que possuem um momento de dipolo permanente Po, exibem uma polarizabilidade de orientação adicional que é descrita pela função de Langevin deduzida através da mecânica estatística. Em uma temperatura T elevada, esta contribuição é também linear. com 2
Po 'l.
= 3kT'
3. Alguns materiais, por exemplo, titanato de bário, exibem ferroeletricidade. PROBLEMAS 5-1 Use a equação de Clausius-Mossotti para determinar a polarizabilidade dos átomos nas molécula" de ar: N" O,. (Observe que somente a média ponderada das polarizabilidades para o nitrogênio e o oxigênio pode ser obtida a partir da Eq. (S-10U Combine este resultado com a teoria da Seção 5-2 para determinar o raio médio do átomo numa molécula de ar. 5-2 A Fig. 5-7 mostra uma rede cúbica simples de moléculas. que têm todas o mesmo momento de dipolo Pm (em módulo. direção e sentido). Fixemos nossa atenção numa molécula particular que chamaremos j. É evidente que j tem seis vizinhos mais próximos a uma distância a, doze vizinhos mais próximos seguintes
a uma distância
Via. etc.
Encontre
o campo
elétrico
em j devido
aos seis Pm elas molé-
Problemas
117
cuJas vizinhas mais próximas, para uma orientação arbitrária de Pm' (Suponha que as linhas que unem j aos seus vizinhos mais próximos definem os eixos x, y e z. Para simplificar, considere Pm no plano x:, formando um ângulo e com o eixo x.)
5-3 Usando
o resultado
do Problema
Figura 5·7
Parte
moléculas,
cada uma com momento
5-1 para a polariz.abilidade
deslocamento relativo do núcleo de niuogênio Em = 3 X 106 V/mo Compare este deslocamento
de um arranjo
atómica
cúbico
simples
de
de dipoJo Pm'
do nitrogênio,
compute
o
e da nuvem de elétrons em uma intensidade de campo com o raio do átomo encontrado no Problema 5-l.
5-4 Usando as bem conhecidas expansões em série de eY, desdobre coth y e obtenha partir da Eq. (5·21). Dê um passo mais e obtenha outro termo da série da Eq. (5-22a). 5-5 A água é uma molécula polar para a qual a equação de C'Jau,ius-\lossotti, não é aplicável. Suponha. todavia, sua validade e determine Po para a molécula
a Eq. (5-22a)
rigorosamente de água.
falando,
a
CAPÍTULO 6 ENERGIA ELETROST Á TICA Muitos problemas de mecânica serão facilmente simplificados se empregarmos critérios fornecidos pelo estudo da energia. Por conseguinte, quando o comportamento mecânico de um sistema elétrico for abordado, pode ser vantajoso o uso de métodos de energia. Em geral, a energia de um sistema de cargas, assim como a de qualquer outro sistema mecânico, pode ser dividida em suas contribuições potencial e cinética. Em condições estáticas, contudo, toda a energia do sistema de cargas existe em forma de energia potencial e estamos particularmente interessados na energia potencial que provém da interação elétrica das cargas, chamada energia eletrostática. Na Seção 2-4, mostramos que a energia eletrostática U de uma carga puntual está intimamente relacionada com o potencial eletrostático
,8 Trabalho
=
I
'A
,8 F· di
=q
I
'A
E· di
,B
= -q
I 'A
V(f)' di
= -q(f)8 -
(f).1)·
(6·1 )
Aqui, suporemos a força F como sendo somente a força elétrica qE em cada ponto ao lon·· go do percurso. Nessas condições, a partícula carregada seria acelerada. Se ela não acelerasse, a força elétrica deveria ser contrabalançada em cada ponto por uma força igual e oposta, aplicada por algum outro agente, de forma que o trabalho total fosse nulo e a energia cinética não variasse. O trabalho realizado por esta outra força é (6-2) que é igual ao aumento da energia eletrostática da carga no percurso A --+ B. Podemos fazer considerações semelhantes em relação a sistemas de carga mais com· plicados; de fato, a energia eletrostática de uma distribuição de carga arbitrária pode ser calculada como o trabalho necessário para reunir esta distribuição de carga, em oposição à interação das cargas de Coulomb, sem lhe atribuir outras formas de energia. 118
Energia Potencial de um Grupo de Cargas Puntuaís
119
6-1 ENERGIA POTENCIAL DE UM GRUPO DE CARGAS PUNTUAIS Entendemos, por energia eletrostática de um grupo de m cargas puntuais, a energia potencial do sistema relativa ao estado em que as cargas puntuais estão infinitamente separadas umas das outras. Esta energia pode ser obtida muito facilmente, calculando-se o trabalho para reunir as cargas, de acordo com a Eq. (6-2), trazendo-as uma de cada vez. A primeira carga ql pode ser colocada em sua posição sem nenhum trabalho, W1 =O;para colocar a segunda, q2 , é necessário W2onde '21 = Ir2 -
r11.
q2ql
411:lo'21
Para a terceira carga, q3, teremos: tt3 - q3 IX!
-
l~~ 411:(Or31
+ 411:lo'32 q2
.
]
O trabalho necessário para trazer a quarta carga, a quinta carga ete. pode ser expresso de fom1a semelhante. A energia eletrostática total do sistema de m cargas é a soma dos W, ou seja, U
= j
L= 1 m
W J
Abreviemos este resultado para U como m
U
=
= L m j
I-
(6-3)
qjqk
= 1 (j-l k ~ 1 411:lo' jk )
j-l
L L I1jk' j= 1 k= 1
Agora, se arranjarmos os Wjk em forma de matriz, observando que Wjj = 0, será evidente que U poderá também ser expresso como m 1 m U = - L L I1jk' (l1jj = O).
Wjk
=
Wkj
e fazendo
2j=lk=1
Isto é, um fator + aparece neste tipo de soma, que é mais simétrica, para que a interação entre cada par de cargas não seja contada duas vezes. Assim, uma forma alternativa e mais conveniente da Eq. (6-3) é
(6-4) onde a linha na segunda soma significa que o termo k = j está excluído. A Eq. (6-4) pode ser expressa de uma forma algo diferente, observando-se que o valor final do potencial ..p, na carga puntual de ordem j, por causa das outras cargas do sistemaé (6-5) Assim, a energia eletrostática
do sistema é
(6-6) Se as cargas puntuais tivessem sido reunidas num meio dielétrico linear de extensão infinita, ao invés de o serem no vácuo, a permissividade E substituiria Eo nas Eqs. (6-4) e (6-5),
120
Energia Elctrostática
porém a Eq. (6-6) permaneceria a mesma. Na seção seguinte, mostraremos que esta última equação tem uma validade bastante geral. Ela é aplicável a um grupo de cargas puntuais localizado em mais de um meio dielétrico; ela também se aplica a condutores de dimensões finitas. Para a validade da Eq. (6-6) faz-se uma única restrição a saber: que todos os dielétricos do sistema elétrico sejam lineares. 6-2 ENERGIA
ELETROSTÂTICA
DE UMA DISTRIBUiÇÃO
DE CARGA
Nesta seção, calcularemos a energia eletrostática de uma distribuição de carga arbitrária com densidade volumétrica p e densidade superficial a. Algumas das cargas podem residir nas superfícies dos condutores; na realidade, suporemos, explicitamente. que existem condutores no sistema. Além disso, admitiremos que os dielétricos do sistema sejam lineares; tal restrição é necessária para que o trabalho realizado quando se traz o sistema ao seu estado carregado final seja independen te da maneira pela qual este estado final seja alcançado. Suponhamos que se reúna uma distribuição de carga, constituída de incrementos de carga oq trazidos desde um potencial de referência
= ep'(x.
(6-7)
y . .:) rSq.
O incremento de carga oq pode ser somado a um elemento de volume localizado em (x,y, z), assim que oq = op ~v, ou oq pode ser somado a um elemento de superfície no ponto em questão. onde oq = oa ~a. Obtém-se a energia eletrostática total da distribuição de carga reunida. somando-se as contribuições da forma da Eq. (6-7). Como o trabalho necessário para reunir as cargas é independente da ordem em que isto se faz, podemos escolher um processo particular de agrupamento para o qual a soma dos o W seja convenientemente calculada. Este procedimento consiste em trazer todas as partes do sistema unidas aos seus valores finais de carga, isto é, em qualquer estágio do processo de carga, todas as densidades de carga estarão na mesma fração de seus valores finais. Chamemos esta fração de 0:. Se os valores finais das densidades de carga forem dados pelas funções p(x.y, z) e a(x,y, z), as densidades de carga em um estágio arbitrário serão o:p(x, y, z) e o:a(x, y, z). Além disso, os incrementos nestas densidades são o p = p (x, y, z)oo: e oa=a(x,y,z)oO'. A energia eletrostática geral, obtida através da soma da Eq. (6-7),é .1 • 1 . U
= I
'o
ba'
'v
p(x, y, .:)ep'(a;
x,
y, .:) dv
+ '0I
ba I O'(x, y, .:)
·s
x,
y, .:) da.
Mas, como todas as cargas estão na mesma fração, 0'. de seus valores finais. o potencial = o:
u = ~ 'Vr
p(r)
de
+ t 'S"
O'(r)ep(r)
da.
(6-8)
resultado desejado para a energia de uma distribuição de carga. É importante observar que o volume de integração V deve ser suficientemente grande para incluir toda a densidade de carga do problema e que o potencial
Energia Eletrostática de uma Distribuição de Carga
121
quando então V pode ser considerado como abrangendo todo o espaço. Se todo o espaço estiver preenchido com um só meio dielétrico, exceto para certos condutores, o potencial será dado por ip(r)
=
_1
r
41U
.
dr')
v Ir
+ _1
f (J(~) d~' . 47!( . S I r - r I
d~"
- r
I
(6-9)
Se vários dielétricos estiverem presentes, as próprias condições de contorno serão satisfeitas, por exemplo, ao adicionarmos soluções convenientes da equação de Laplace à Eq. (6-9). As Eqs. (6-8) e (6-9) generalizam as Eqs. (6-6) e (6-5), válidas paríl cargas puntuais. A última equação pode ser novan1ente obtida como um caso especial ao fazermos:
I m
p(r)
=
qj
r)
(j(r -
j= 1 m
=
p(r')
k
I' =1
qk t5(r'
-
rk)'
onde não nos devemos esquecer de desprezar o termo k = j. Quando p for uma distribuição contínua, a anulação do denominador da Eq. (6-9) não fará a integral divergir e assim será desnecessário excluir o ponto r' = r. Foi estipulado que os condutores estariam presentes no sistema. Embora a Eq. (6-8) cubra este caso bastante bem, é conveniente separar, explicitamente, a contribuição dos condutores. A última integral envolve, em parte, integrações destes condutores; uma vez que um condutor é uma região eqüipotencial, cada uma destas integrais pode ser efetuada, como
i
ú
f ~ condutor
=
!Qj
onde Qj é a carga do condutor de índice j. Em conseqüência, U
=i
r
'V
p
(6-10)
j
+ ~ 'S'r
a
a Eq. (6-8) torna-se
I
+t j
Qj
(6-11 )
em que o último somatório inclui todos os condutores e a integral de superfície está restrita às superfícies não condutoras. Como vimos no Capítulo 3. em muitos problemas de interesse prático, toda a carga reside nas superfícies dos condutores. Nestas circunstâncias, a Eq. (6-11) reduz-se a
u =t
I j
Qj
( 6-12)
Teremos ocasião de desenvolver esta equação numa seção posterior deste capítulo. Por ora, gostaríamos de comparar a Eq. (6-12) com a Eq. (6-6), que foi obtida para um agrupamento de cargas puntuais. Parece, à primeira vista, que as duas equações são idênticas; contudo, existe um importante diferença. A Eq. (6-12) foi deduzida, partindo de condutores macroscópicos descarregados, que foram gradualmente carregados por meio da introdução de incrementos de carga; desta forma, a energia descrita pela Eq. (6-12) inclui ambos, a energia de interação entre diferentes condutores e as auto -energias da carga em cada condutor individual. Se houver apenas um único condutor, sua autoenergia U = + Ql'Pl será devida à energia de interação das cargas reunidas no condutor. Ao se derivar a Eq. (6-6), todavia, cada carga puntual foi introduzida como uma unidade;
122
Energia Eletrostática
em conseqüência, a energia para reunir a carga puntual, a partir de incrementos de carga menores, a chamada auto-energia da carga puntual, não está incluída. Uma tentativa para calculá-Ia daria um resultado infinito se a carga fosse um ponto matemático; ela, porém, não está incluída na formulação da lei de Coulomb sobre a força entre cargas puntuais e não a levaremos em consideração agora. Para ver se a Eq. (6-12) dá o mesmo resultado no limite em que os condutores se tomam muito pequenos, ao se aproximarem de cargas "puntuais", o potencial do condutor de índice j pode ser expresso como a soma de dois termos, (6-13) onde <{)jl é a contribuição para o potencial devido à carga do próprio condutor j e contribuição das cargas dos outros condutores. Assim, a Eq. (6-12) se toma U
i
= L j
Qj({Jjl
+
t Lj
Qj({Jj2'
<{)j2
é a
( 6-14)
O primeiro termo desta equação representa as várias auto -energias dos condutores. Cada auto-energia, -} Qj<{)jl, depende do meio ambiente do condutor (uma vez que a distribuição de carga em cada condutor se ajusta a seu meio ambiente); além disso, o único potencial fisicamente significativo associado ao condutor j é o potencial total
=v· O
em todas as regiões do dielétrico, e
Densidade de Energia de um Campo Eletrostático
nas superfícies do condutor.*
Como conseqüência,
u = -! ·vr
<{J
123
a Eq. (6-8) se torna
v . D dv + -! 'Sr
<{JD'
n
(6-15)
da.
A integral de volume refere-se aqui à região onde V • D é diferente de zero que é a região externa aos condutores. A integral de superfície situa-se sobre os condutores. O integrando da primeira integral da Eq. (6-15) pode ser transformado por meio de uma identidade vetorial que tivemos ocasião de usar várias vezes, a Eq. (1-1-7) da Tabela 1-1: <{J V
. D
=V
.
<{JD -
D .
V<{J.
Das duas integrais de volume que resultam desta transformação, a primeira pode ser convertida numa integral de superfície através do uso do teorema do divergente. Finalmente, sabendo que E = -V.tp, podemos escrever a Eq. (6-15) como
u = t 'S+S' r
<{JD •
n'
+t
da
r
•v
D· E
dv
+t
r
'S
<{JD'
n
da.
(6-16)
Esta equação pode ser consideravelmente simplificada. A superfície S + S' sobre a qual se deve resolver a primeira integral da Eq. (6-16) constitui toda a superfície que encerra o volume V. Ela se compõe, em parte, de S (as superfícies de todos os condutores do sistema), e também de S' (uma superfície que limita nosso sistema com o exterior e que podemos imaginar localizada no infinito). Em ambos os casos, a normal n' é dirigidaparajora do volume V. Na última integral, a normal n está dirigida para fora do condutor, portanto, para dentro de V. Dessa forma, as duas integrais de superfície sobre S se cancelam. Resta mostrar que a integral sobre S' se anula. Se nossa distribuição de carga, que é arbitrária porém limitada, ·tiver uma carga líquida, então, a grandes distâncias do sistema de cargas, o potencial diminuirá inversamente com a distância, isto é, com r-I. D diminuirá com r-2 • A área de uma superfície fechada que passa através de um ponto a uma distância r é proporcional a r2 . Por conseguinte, o valor da integral sobre S', que limita nosso sistema à distância r, será proporcional a r-I e, quando S' se deslocar até o infinito, sua contribuição se anulará. Se a distribuição de cargas tiver uma carga líquida nula, o potencial. a grandes distâncias, atuará como algum multipolo e diminuirá mais rapidamente que r-I. Novamente a contribuição de S' se anula. Dessa forma, temos, para a energia eletrostática,
u=
-!
r
'V
D· E dt:.
(6-17)
onde a integração se situa sobre o volume do sistema externo aos condutores, isto é, sobre os vários dielétricos do sistema. A integração pode, naturalmente, ser estendida para incluir todo o espaço, desde que o campo elétrico E seja igual a zero no interior de um condutor. Se esta formulação for aplicada a campos que são produzidos em parte por cargas puntuais, será essencial subtrair suas "auto-energias" explicitamente. (Veja o Problema 6-7.) Onde está localizada a energia eletrostática
do sistema elétrico? Esta é uma questão
* Examinamos aqui a primeira alternativa entre os pontos de vista relativos a um condutor e descritos na Seção 4-7.
124
Energia Eletrostática
cujo significado preciso é difícil de entender; não obstante, é conveniente imaginar a energia armazenada no campo elétrico. A Eq. (6-17) mostra que tal procedimento não é, ao menos, desarrazoado e, além disso, prescreve que a energia esteja distribuída com uma densidade + D • E por unidade de volume. Como conseqüência, somos levados ao conceito de densidade de energia em um campo eletrostático: u
= 10· E.
(6-1Sa)
Como a Eq. (6-17) foi deduzida com base em dielétricos lineares, cada dielétrico é caracterizado por uma constante de permissividade E. Além disso, nos capítulos precedentes a exposição foi limitada aos dielétricos isotrópicos. Assim, a Eq. (6-1S) é equivalente à relação: u
= hE2
_ 1 D2 2~·
(6-18b)
6-4 ENERGIA DE UM SISTEMA DE CONDUTORES CARREGADOS. COEFICIENTES DE POTENCIAL Mostramos na Seção 3-12, que existe uma relação linear entre os potenciais e as cargas de um conjunto de condutores. De fato, num sistema composto de N condutores, o potencial de um deles é dado por .v ({>j
= L j =
I
(3-51)
PijQj'
A dedução da Eq. (3-51) foi feita para N condutores no vácuo; todavia, é evidente que esta dedução também é válida quando dielétricos estiverem presentes no sistema, desde que estes dielétricos sejam lineares e desprovidos de carga externa. O coeficiente Pij é o potencial do condutor de índice i devido a uma carga unitária no condutor j. Estes coeficientes são geralmente chamados de coeficientes de potencial. Na Seção 6-2 foi desenvolvida uma expressão para a energia eletrostática de um conjunto de N condutores carregados, ou seja, a Eq. (6-12). Combinando este resultado com a Eq. (3-51), obtemos .v
i= I Dessa forma, a energia é uma função Vários enunciados podem ser tantes: (1) Pij = Pji, (2) todos os Pij ro destes enunciados provém da Eq.
dU
v j=
(6-19)
I
quadrática das cargas dos vários condutores. feitos sobre os coeficientes Pij, sendo os mais imporsão positivos e (3) Pu - Pu ;;. O para todo j. O primei(6-19), que expressa U como U(Q I ... QN), assim
= (~U) ~ CQI
dQI
+ ... + (~U) ~. cQ"
dQ".
(6.20) Este incremento da energia eletrostática pode ser também calculado diretamente a partir da Eq. (6-2). Trazendo dQI de um reservatório de potencial zero, obtemos
Coeficientes de Capacitância e lndução
125
\' dU
= dW = ({JI
dQl
= I.
[JljQj
dQI'
(6-21 )
j=1
As Eqs. (6-20) e (6-21) devem ser equivalentes para todos os valores possíveis de Qj, o que resulta em
ou (6-22)
o segundo enunciado anterior, a saber, o potencial produzido por uma carga líquida positiva é positivo, é quase óbvio mas difícil de provar de forma rigorosa. Que o terceiro enunciado é verdadeiro pode-se ver a partir do seguinte argumento: suponhamos que o tenha uma carga positiva Qj, estando todos os outros condutores descarregacondutor dos. Como o condutor j U i) está descarregado, número líquido de linhas de deslocamentos que deixam o condutor é nulo. Distinguimos dois casos: (a) não há linhas de des. locamento deixando o condutor j, ou incidindo sobre ele, donde concluímos que con· dutor está numa região eqüipotencial, isto é, está protegido por outro condutor. Por exemplo, poderia estar localizado dentro do condutor e seu potencial seria 'Pio Nesta cir· cunstância, Pij ='- Pii' Se o condutor j estiver no interior do condutor k, então Pik ='- Pij; imediatamente voltamos nossa atenção ao condutor k. (b) As linhas de fluxo de deslocamento que deixam o condutor j são equilibradas, em número, pelas linhas que incidem sobre ele. A origem do fluxo de deslocamento é a carga de i; como conseqüência, deve ser possível traçar uma linha de fluxo que incida sobre j, voltando (talvez através de outros condutores) a i. Dessa forma, i estaria num potencial mais alto quej:
i
*
°
°
i
(Qi é positivo) ou
(6-23) Devemos, contudo, colocar o sinal de igualdade para incluir o caso (a). A utilidade dos coeficientes Pu pode ser ilustrada por meio de um exemplo simples. Problema: encontrar o potencial de um condutor esférico descarregado na presença de uma carga puntual q a uma distância r do centro da esfera, onde r> R e R é o raio do condutor esférico. Admitimos a carga puntual e a esfera como um sistema de dois condutores e utilizamos a igualdade P12 ='- P21 . Se a esfera estiver carregada (Q) e o "ponto" descarregado, o potencial do "ponto" será Q/47rEor; assim
1
P 12
Evidentemente, quando o "ponto" desta última é q /4rrEor.
= PZl = --~ . 47[fo r
tem carga q e a esfera está descarregada, o potencial
6-5 COEFICIENTES DE CAPACITÂNCIA E INDUÇÃO A Eq. (3-51), deduzida no Capítulo 3 e exposta novamente na Seção 6-4, é um conjunto de N equações lineares que dão os potenciais dos condutores em termos de suas car-
126
Energia Eletrostática
gas. Este conjunto de equações pode ser resolvido para os Qj, dando N
Qi
= L
Cij
j=l
(6-24)
onde cii se denomina coeficiente de capacitância e Cu (i i= j) é um coeficiente de indução. A solução real da Eq. (3-51), expressando-se cada c em termos do Pu, pode ser obtida pela inversão da matriz, usando-se, por exemplo, determinantes. As propriedades dos c provêm das propriedades dos p, já expostas. Desta forma: (1) Cjj = Cjj, (2) Cu '> O, (3) os coeficientes de indução são negativos ou nulos. (Veja o Problema 6-10.) A Eq. (6-24) pode ser combinada com a Eq. (6-12) para dar uma expressão alternativa para a energia eletrostática de um sistema de N condutores: .V
U
=
:v
1 i=I 1 j=L1
Cij
(6-25)
6-6 CAPACITORES Dois condutores que podem armazenar cargas iguais e opostas (±Q), com uma dife· rença de potencial entre eles independente do fato de outros condutores do sistema estarem carregados, formam o que se chama de capacitor. Esta independência de outras cargas implica que um dos condutores do par está protegido pelo outro; em outras palavras, a contribuição para o potencial de cada condutor do par, dada pelas outras cargas, deve ser a mesma. Esta situação está ilustrada na Fig. 6·1, onde os condutores 1 e 2 formam um dispositivo deste ·tipo. Em geral, se dois condutores, 1 e 2, constituírem um capacitor, poderemos escrever ({Jl = Pll Q + pu( -Q) + ({Jx, (6-26) ([J2 = P12 Q + P22( - Q) + ([Jx, onde ± Q são as cargas armazenadas e
o-!
Figura 6-1 Os condutores 1 e 2 formam um capacitar. Aqui, P" = p •• já que, pela Lei de Gauss, quando 1 e 2 estiverem descarregados, deverão estar no mesmo potencial, independentemente da carga em 3. De modo semelhante, PIO = p,..
Capacitares
127
A Eq. (6-27) pode ser escrita como Q
= C !J.cp,
(6-28)
onde C = (Pu + P22 - 2PI2)-1 é chamado de capacitância do capacitar. Evidentemente, C é a carga armazenada por unidade de diferença de potencial; no sistema MKS, C é medido em C/V, ou farads (1 F == 1 C/V). Usando os resultados das seções anteriores deste capítulo, a energia de um capacitar carregado poderá ser expressa por U=1C(!J.cp)2=1Qt-,CP=~
2 Q2. C
(6-29)
Se os dois condutores que formam o capacitar tiverem formas geométricas simples, a capacitância poderá ser obtida analiticamente. Assim, por exemplo, é fácil calcular a capacitância de duas placas paralelas, dois cilindros coaxiais, duas esferas concêntricas, ou a de um cilindro e um plano. A capacitância de um capacitar de placas paralelas (Fig. 6-2) será deduzida aqui; outros casos simples serão propostos nos exercícios no fim do capítulo.
Figura 6-2 Campo elétrico entre placas paralelas com cargas opostas, de área finita.
Exceto pelo campo deformado nas bordas das placas paralelas, o campo elétrico entre estas é uniforme. Um capacitar de placas paralelas ideal é aquele no qual a separação d das placas é muito pequena comparada com as dimensões da placa; dessa forma, pode-se desprezar o campo deformado, no caso ideal. Se a região entre as placas for preenchida com dielétrico de permissividade E, o campo elétrico entre as placas será 1 Q E=-(J=(
onde A é a área de uma placa. A diferença de potencial
C--Q --(A -- Acp
(6-29)
(A'
-
d
!::"..p
= Ed. Por conseguinte (6-30)
é a capacitância desse capacitar. Quando um capacitor é representado como parte de um circuito elétrico, é geralmente indicado pelo símbolo Dois ou mais capacitares podem ser unidos, conectan-
-jf- .
128
Energia Eletrostática
do um dos condutores do primeiro capacitar a um condutor do segundo etc. Podemos unir dois capacitares por conexão em paralelo (Fig. 6-3a) ou por conexão em série (Fig. 6-3b). Após a união dos capacitores, é em geral conveniente falarmos sobre a capacitância equivalente da combinação. No caso da conexão em paralelo, a mesma voltagem /':,ep que aparece em cada capacitor também aparece na combinação; em conseqüência, a capacitância equivalente é dada por
C --
Qtotal --
--
C 1 + C 2'
(6-31a)
ó'({J
-
"
--. ~
I
c'T
Cj
(Il)
Figura 6-3 Conexão de dois capacitares (a) em paralelo e (b) em série.
Se dois capacitores descarregados forem conectados em série e em seguida carregados, a conservação da carga requererá que cada capacitor adquira a mesma carga. Dessa forma, a capacitância equivalente C da combinação se relaciona com C1 e C2 pela expressão
111
-= C
C1
+--. C2
(6-3Ib)
6·7 FORÇAS E TORQUES Até agora, neste capítulo, desenvolvemos vários procedimentos alternativos para calcular a energia eletrostática de um sistema de cargas. Mostraremos agora como a força que atua sobre um dos objetos do sistema de cargas pode ser calculada a partir do conhecimento de sua energia eletrostática. Suponhamos que estamos lidando com um sistema isolado composto por várias partes (condutores, cargas puntuais, dielétricos) e desejamos que uma dessas partes efetue um pequeno deslocamento dr sob a influência das forças elétricas F que atuam sobre ela. O trabalho realizado pela força elétrica sobre o sistema, nestas circunstâncias. é
dW= F· dr
= Fx
dx
+
Fy
dy
+ F=
d::.
(6-32)
Como se trata de um sistema isolado, este trabalho é realizado às custas da energia eletrostática U; em outras palavras, de acordo com a Eq. (6-1),
dW= Combinando
as Eqs. (6-32) e (6-33), temos
-dU.
(6-33)
Forças e Torques
129
e Fx
=
eu ox
(6-34)
com expressões semelhantes para Fy e Fz. Isto é, neste casoF é uma força conservativa e
F=-VU.
Se o objeto em questão for obrigado a se deslocar de forma a que gire em tomo de um eixo, aEq. (6-32) pode ser substituída por dW
=
t·
dO,
(6-35)
onde 7 é o torque elétrico e de é o deslocamento angular. Expressando 7 e de em termos de suas componentes (71, 72, 73), (de I , de2 , de3) e combina.'1do as Eqs. (6-33) e (6-35), obtemos (6-36) etc. Dessa forma, nosso objetivo foi alcançado:
Fx=
TI
=
-(~~L,
-(~~t
(6-34a)
(6-36a)
onde o índice Q foi mantido para indicar que o sistema está isolado e, portanto, sua carga permanece constante durante o deslocamento dr ou de. Para explorar este método, é necessário expressar U na forma analítica e dar a dependência específica de U em relação à coordenada x ou e I. Um exemplo que mostra a utilidade do método será apresentado brevemente. As Eqs. (6.34a) e (6.36a) não incluem, todavia, todos os casos de interesse porque, como foi mencionado em suas deduções, elas se limitam a sistemas isolados em que a carga do sistema permanece constante. Em outra classe importante de problemas, toda a carga se localiza nas superfícies dos condutores e estes se mantêm a potenciais fixos por meio de fontes externas de energia (por exemplo, por meio de baterias). Aqui, novamente, podemos deixar que uma das partes do sistema se desloque sob a influência de forças elétri· cas que atuam sobre ela; o trabalho realizado (desta vez pelo sistema e pelas baterias) estará ainda relacionado à força pela Eq. (6-32). Porém, o trabalho toma-se, neste caso, dW
= dlv" - dU,
(6-37)
onde dWb é o trabalho fornecido pelas baterias. Antes que possamos prosseguir para obter uma expressão que relacione U com a força sobre alguma parte do sistema para este caso, será necessário eliminar dWb da Eq. (6-37). A energia eletrostática U de um sistema de condutores carregados foi dada anteriormente, na Eq. (6-12). Se, agora, parte do sistema for ,deslocado e, simultaneamente, os po-
130
Energia Eletrostática
tenciais de todos os condutores permanecerem fIxos, obteremos (6-38)
du=}ICfJjdQj'
j
Além disso, o trabalho fornecido pelas baterias, dWb, é o trabalho necessário para mover cada um dos incrementos de carga dQj desde o potencial zero até o potencial do condutor apropriado; através da Eq. (6-2), isto é,
=
d~
I
CfJjdQj'
(6-39)
2 dU.
(6-40)
j
Assim d~
=
Usando esta equação para eliminar dWb da Eq. (6-37) e combinando Eq. (6-32), obtemos dU
=
Fx dx
+ Fy
dy
o resultado com a
+ F .• dz
ou Fx
=
(~~t
(6-41 )
Aqui, o índice 'fi é usado para indicar o fato de que todos os potenciais se mantêm constantes durante o deslocamento virtual dr. De forma semelhante, podemos deduzir (6-42) Como exemplo do método da energia, consideremos o seguinte problema. Um capacitor de placas paralelas, cuja separação entre placas é d, tem a região entre suas placas preenchida por um bloco de dielétrico sólido de permissividade 13. As dimensões de cada placa são: comprimento I, espessura w. As placas são mantidas a uma diferença de potencial constante ~'fi. Se o bloco dielétrico for retirado ao longo da dimensão I até que apenas o comprimento x permaneça entre as placas (veja a Fig. 6-4), calcule a força que tende a recolocar o bloco de volta ao seu lugar. Solução. A energia do sistema pode ser calculada por qualquer dos vários métodos. Dessa forma, por exemplo, como E = ~'fi!d é o mesmo em toda parte entre as placas, usamos
i
u = t 'V
1--x·1
tE2 dv,
+
;fJ(;f!'5;)~;C~$~~~~,:J' l-~~I I
Figura 6-4 Chapa dielétrica parcialmente retiBda dentre duas placas carregadas.
Força Atuante sobre uma Distribuição de Carga
131
onde a região de integração necessita incluir somente as partes do espaço onde E prezando os efeitos de deformação nas bordas do capacitar, encontramos
*' O. Des-
V
= te
d
d
+ tI:o (f..q>
dwx
( f..q> )2
)2 dw(I - x).
A força pode ser calculada a partir da Eq. (6-41): Fx
= t(1:
- I:o)w
(f..:f = 1(K
-
l)coE2A.
no sentido de x crescente. O caso em que as placas estão isoladas (carga constante Q) é tratado nos Problemas 6-19 e 6-24. *6-8 FORÇA ATUANTE SOBRE UMA DISTRIBUIÇÃO DE CARGA Este capítulo não estaria completo sem uma breve exposição do cálculo da força elétrica a partir de princípios fundamentais, isto é, por integração direta, embora este procedimento tenha sido exposto detalhadamente, até certo ponto, em um capítulo anterior (veja a Seção 4-10). O importame é recordar que, quando calcularmos a força sobre um elemento de carga dq, o campo elétrico produzido por este elemento, Ep deverá ser subtraído do campo elétrico total: dF
= (E
- Es) dq.
(6-43)
Assim, por exemplo, quando calculamos a força que atua sobre uma carga puntual, o campo elétrico infinito produzido pela própria carga puntual deve ser excluído do campo elétrico efetivo atuando no ponto. O efeito de uma distribuição de carga estendida interagindo com seu próprio campo elétrico é tal que produz tensões internas na carga, porém estas nunca podem se combinar de maneira que tendam a produzir um deslocamento rígido da carga. A força sobre um objeto que contém a carga superficial a(x, y, z) é obtida pela combinação das Eqs. (4-57) e (4-58): F
= .{5
(E - E.)o- da,
(6-44)
onde a integral é tomada sobre toda a superfície do objeto. O campo Es é dado pela Eq.
(4-60):
=-n. o-
E s
21:
(6-45)
Se o objeto for um condutor, existirá uma relação simples entre o campo elétrico total na superfície, E, e Es. Dessa forma, a força que atua sobre um condutor, como já foi visto na Seção 4-10, é p
F =f -
n da.
F=
(6-46a) ~f(6-46b) aE da,
132
Energia Eletrostática
Determinemos, fInalmente, a força sobre uma distribuição de carga volumétrica. A força sobre um elemento de carga p dv é dF
= (E -
Es)p
dv.
(6-47)
Porém, o campo Es produzido pelo elemento de volume dv é proporcional ao volume dividido pelo quadrado de alguma dimensão apropriada do elemento, e esta razão aproximase de zero no limite, quando dv -+ O. Dessa forma Es é uma fração desprezível de E e podemos escrever
F = ·Vo r
(6-48)
pE dv
para a força atuante sobre a carga contida no volume
Vo.
*6-9 INTERPRETAÇÃO TERMODINÂMICA DA ENERGIA ELETROSTÂTICA A energia eletrostática de um sistema de condutores carregados e dielétricos foi obtida através de uma variedade de formas; em particular temos
u = t 'Vr
D· E dv,
(6-17)
onde a integração se estende sobre todos os dielétricos (incluindo-se o vácuo). A questão que surge naturalmente é se U pode ser interpretado termodinamicamente, isto é, se faz parte da energia interna do sistema. Para responder a esta pergunta, devemos voltar à dedução de U, onde demonstramos que U era o trabalho feito sobre o sistema ao trazê-Io à sua condição carregada. Dessa forma, U é realmente um termo de trabalho e o problema em mãos é determinar em que condições um incremento de trabalho pode ser identificado com uma propriedade termodinâmica do sistema. Da primeira lei da termodinâmica (que expressa a conservação da energia), para um processo reversível dE
= TdS +dW,
(6-49)
onde dE representa a variação na energia interna do sistema, dS representa a variação na entropia, dW é o trabalho realizado sobre o sistema e T é a temperatura absoluta. A quantidade T dS, naturalmente, é o calor acrescentado ao sistema durante o processo. É evidente que o incremento de trabalho dW só pode ser identificado com a variação da energia interna dE num processo adiabático, isto é, num processo no qual dS = O. Porém. a temperatura do sistema variará, em geral. durante um processo adiabático e os coefIcientes dielétricos, que são funções da temperatura, também variarão. Recordemos que a Eq. (6-17) foi deduzida a partir da Eq. (6-8) e esta última equação foi obtida na suposição de que vários coeficientes dielétricos permaneciam constantes durante o processo de carga. Dessa forma, dW = dU não se aplica a um processo adiabático. Conseqüentemente, devemos restringir nosso interesse aos processos isotérmicos e aí não é possível identifIcar dW com dE. A quantidade termodinâmica do sistema denominada energia livre de Helrnholtz é defInida por F = E - TS. Diferenciando e combinando o resultado com a Eq. (6-49), temse
Resumo
dF
= dE
133
- T dS - S dT (6-50)
= -SdT+dW.
Esta é exatamente a equação de que necessitamos. Em um processo isotérmico, dF é igual a dW e dW é igual a dU; assim, podemos dizer que a energia eletrostática é a energia livre do sistema eletrostático: dU = dF. Esta energia representa o trabalho máximo que pode ser extraído posteriormente de um campo eletrostático. Em um sistema mantido a temperatura constante, a energia livre desempenha o mesmo papel que a energia potencial em um sistema mecânico (isto é, um sistema que independe da temperatura).
6-10 RESUMO A energia potencial eletrostática de um sistema de cargas puntuais é calculada como o trabalho que deverá ser feito, por um agente externo, contra as forças de Coulomb entre as cargas para reunir a configuração dada. É expressa como sendo
u = t L qj
'Pj,
o potencial na posição de qj devido a todas as outras cargas, é ",
qk. 411:Eo
Tjk
com o termo k = j excluído. Para uma distribuição de carga geral, a energia eletrostática, contanto que todos os dielétricos presentes sejam lineares, torna-se U
=t
r
P
onde o potencial r.p é produzido por uma densidade de carga externa p na presença do meio dielétrico. (p pode incluir cargas concentradas numa distribuição superficial ou cargas puntuais.) A integração por partes transforma a energia dos dielétricos lineares em uma integral
u = J u dv, sobre a densidade de energia do campo elétrico, 1 V2
u Quando esta formulação vem ser subtraídas.
= tE . D = !EE2 = ~. 2 E
é aplicada a cargas puntuais, suas infinitas "auto -energias" de·
1. Quando toda a carga é uma distribuição superficial sobre condutores, cujas superfícies são eqüipotenciais, a energia eletrostática toma-se U
=
!L
Então, os coeficientes nas funções lineares são
e nas funções inversas
Qj
134
Energia Eletrostática
satisfazem as condições
(Além disso, Pii ;;;.PU> O e
Cii
> O;;;' cu.)
2. No caso especial quando dois condutores
formam um capacitar,
com Q
= C
f..q;.
Para um capacitor de placas paralelas, tA
C=d' 3. A força elétrica que atua sobre uma parte de um sistema isolado, com carga constante em cada condutor, é o gradiente negativo da energia eletrostática,
= --
F x
(eU) ex
Q'
Se o sistema não estiver isolado, mas, ao invés, o potencial de cada condutor do constante por um agente externo (bateria), a força será dada por Fx= PROBLEMAS
for manti-
+(%~t •
6-1 Um elétron rápido (energia cinética = 3,0 X 10-17 J) p~netra em uma região do espaço que contém um campo elétrico uniforme E = 100 V1m. O campo é paralelo ao movimento do elétron e num sentido tal que o desacelera. Que distância percorrerá o elétron antes de parar? (Carga do elétron = 1,6 X 1O-19C.)
6-2 São dadas uma casca dielétrica esférica (raio interno a, raio externo b, constante dielétrica K) e uma carga puntual q, separadas por uma distância infinita. A carga puntual é, agora, colocada no centro da casca dielétrica. Determine a variação da energia do sistema. 6-3 Um dipolo ql é posicionado perpendicularmente a um plano condutor, de forma a que a carga - q esteja a uma distância d e a carga + q a urna distância d + I. Calcule a energia eletrostática do sistema de cargas. (Sugestaõ : Considere que a energia do sistema se compõe das cargas verdadeiras mais as cargasimagem no vácuo, onde as cargas-imagem são escolhidas para dar o campo E correto em frente ao plano.) 6-4 Dada uma casca esférica de carga, de raio R, com densidade de carga superficial uniforme ao, determine a auto-en.ergia da distribuição de duas maneiras: (a) por integração direta da Eq. (6-8) e (b) f E • D dv. por integração sobre o campo
+
6-5 Dada uma distribuição de carga esférica, de raio R, com densidade de carga uniforme Po, determine a auto-energia da distribuição de duas maneiras: (a) por integração direta da Eq. (6-8) e (b) por integração sobre o campo f E • D" dv.
+
6-6 Suponha que um elétron seja uma partícula esférica, uniformemente carregada, de raio R. Suponha, além disso, que a energia de repouso, me2 (onde m é a massa do elétron e e é a velocidade da luz), seja de origem eletrostática e dada pelo resultado do Problema 6-5. Substituindo a carga e a massa do elétron pelos valores numéricos apropriados, determine seu "raio clássico" R.
Problemas
135
6-7 Duas cargas puntuais q I e q, estão separadas por uma distância d. Se os seus campos respectivos em um ponto r forem E, e E, .
(a) Demonstre que as integrais de E; e E~ sobre todo o espaço são divergentes. Esta é a "auto-energia" infinita que deve ser subtraída da energia U. (b) Construa uma integral para a contribuição de 2EI • E; para U e demonstre que ela não é divergente. 6-8 (a) Qual a capacidade de um capacitor que pode armazenar 1000 J a 1000 V? (b) Supondo que o capacitar tenha placas paralelas separadas por 10- 5 m e preenchidas com um material de constante dielétrica 2, qual a área necessária das placas? 6-9 Um e1etróforo consiste numa placa circular plana de cera e numa placa semelhante de metal com um isolante manejável. À placa de cera quando friccionada com peliça é dada uma carga Q. A placa de metal é depositada sobre a placa de cera e conectada temporariamente à terra, de forma a adquirir uma carga ~Q. A placa de metal é finalmente removida de cima da placa de cera, retendo sua carga -Q. Sue a separação inicial das duas placas seja 10'5 m. ponha que o raiadas placas seja de 10 em, Q = 0,3 Encontre a diferença de potencial entre as placas e a energia armazenada quando a separação for (a) }.I.
d=10-5
e
me(b)d=0,02m.
6-10 Um sistema de condutores se constitui de dois condutores apenas. Encontre os coeficientes de capacidade e indução, explicitamente, em tcrmos de coeficientes de potencial PU' 6·11 Dois condutores esféricos estão localizados no vácuo. O condutor 1, de raio R, está conectado à terra (isto é, com potencial zero). O condutor 2 é tão pequeno que pode ser tratado corno uma carga puntual. Tem uma carga q e está localizado a uma distância d da esfera conectada à terra. Qual a carga induzida na esfera? (Use o conceito do coeficiente de potencial.) 6-12 É dado um sistema de dois objetos condutores em um meio dielétrico linear. O condutor 1 está descarregado e o condutor 2 está conectado à terra. Prove que o condutor 1 também está com o potencial da terra. 6-13 Um capacitor de placas paralelas é feito com um dielétrico composto. Uma folha de dielétrico de permissividade €, ' espessura d" é colocada na parte superior de uma segunda folha di elétrica (permissividade €2' espessura d,). A combinação é colocada entre placas condutoras paralelas que estão separadas pela distância di + d2 • Qual é a capacitância por unidade de área de placa do capacitor? 6-14 Um longo cilindro condutor de raio a está orientado paralelamente a e a uma distância h de um plano condutor infinito. Demonstre que a capacitância do sistema, por unidade de comprimento do cilindro, é dada por (Ver a Seção 3-11.) 6-15 Dois capac·itores de ar, idênticos, são conectados em série e a combinação é mantida a uma diferença de potencial constante de 50 V. Se uma folha de dielétrico, de constante dielétrica 10 e espessura igual a um décimo da separação de ar entre as placas, for introduzida em um dos capacitores, calcule a voltagem neste capacitor. 6-16 A capacitância de um eJetroscópio de folhas de ouro não é completamente constante porque as folhas se aproximam do invólucro à medida que !l
C
= a + b(~cp)2
Como você determinaria as constantes a e b para um instrumento cópio quando está carregado? É a energia totalmente elétrica?
particular? Qual a energia do eletros-
6-17 Duas cascas condutoras esféricas, concêntricas, de raios ri e r2 são mantidas a potenciais V'l e V'~, respectivamente. A região entre as cascas está preenchida por um meio dielétrico. Demonstre, por cálculo direto, que a energia armazenada no dielétrico é igual a C(V'I - V'2)' /2 e, a partir disso, determine C, a capacitância do sistema.
136
Energia
Eletrostática
6-18 Dois condutores cilíndricos coaxiais, de aproximadamente mesmo raio, estão separados par uma distância d na dimensão radia1. Os cilindros são introduzidos normalmente num líquido dielétrico de susceptibilidade X e densidade de massa r. Os cílíndros são mantidos a uma diferença de potencial D.<{J. A que altura h se eleva o dielétrico entre os condutores" (Despreze a tensão superficia1.) 6-19 Um capacitor de placas paralelas tem a região entre suas placas preenchida por uma chapa dielédas placas são: largura w, comprimento I e separação entrica de constante dielétrica K. As dimensões enquanto está conectado a uma diferença de potencial (D.
Resolva
d e constante dielétrica K preenche a região entre as placas de da placa é A. Calcule a força eletrostá tica que atua sobre uma o dielétrico o dielétrico
está em contato direto com a placa e (b) supondo e a placa. As placas são mantidas a uma diferença
o exemplo da Fig. 6-4 com a energia eletrostática na forma U= -tC(é.
onde
C
=
C(x) é a capacitância
6-24 Suponha que a energia eletrostática de um sistema seja U", -} Q D.;p, com Q'" C D.<{J.Façamos C", C(x) depender de algum parâmetro geométrico x que especifiq ue a posição de urna parte do sistema. Demonstre que a força exercida sobre essa parte, para um valor particul:u de Q e D.cp, é a mesma conforme a Eq. (6-34a) para Q constante do que conforme a Eq. (6-41) para D.;p constante. 6-25 Resolva o exemplo da Fig. 6-4 se a espessura da chapa dielétrica, ração entre as placas d. (Sugestão: Neste caso, de acardo com o resultado vés de E que é praticamente o mesmo em toda a parte, entre as placas.)
t, for
muito menor que a sepado Problema 4-15, é D ao in-
CAPÍTULO 7 CORRENTE ELÉTRICA Até aqui, tratamos de cargas em repouso; desejamos considerar agora cargas em movimento uniforme. Isto implica tratarmos com condutores de eletricidade porque, por definição, um condutor é um material em que os condutores de carga estão livres para se moverem sob a ação de campos elétricos estacionários. (Veja a Seção 2-5.) A definição precedente inclui não apenas os condutores convencionais, como metais e ligas, mas também semicondutores, eletrólitos, gases ionizados, dielétricos imperfeitos e mesmo vácuo na vizinhança de um cátodo emissor termoiônico. Em muitos condutores, os portadores de carga são elétrons; em outros casos, a carga pode ser conduzida por íons positivos ou negativos. A carga em movimento constitui uma corrente e o processo por meio do qual a carga é transportada é chamado de condução. Para sermos mais precisos: a corrente,!, é defi· nida como a razão segundo a qual a carga é transportada através de uma dada superfície em um sistema condutor (por exemplo, através de uma dada seção reta de um fio elétri· co). Assim (7-1) onde Q = Q(t) é a carga líquida transportada em um tempo t. A unidade de corrente no sistema MKS é o ampere (A), assim chamado em homenagem ao físico francês André Marie Ampere. Evidentemente, 1 ampere
= 1 coulomb
segundo
7-1 NATUREZA DA CORRENTE Num metal, a corrente é totalmente conduzi da pejos elétrons, enquanto os íons positivos pesados estão fixos em posições regulares na estrutura cristalina (Fig. 7-1). Somente os elétrons atômicos de valência (os mais externos) estão livres para participar do processo de condução; os outros elétrons estão fortemente ligados aos seus íons. Em condições de estado estacionário, os elétrons podem ser introduzidos no metal em um ponto e removidos em outro, produzindo uma corrente, porém o metal como um todo é eletrostaticamente neutro. As intensas forças eletrostáticas não deixam que o excesso de elétrons 117
138
Corrente Elétrica
se acumule em nenhum ponto do metal. Similarmente, uma deficiência de elétrons é corrigida por forças eletrostáticas de sinal oposto. Veremos mais tarde que o excesso de cargas se dissipa com extrema rapidez num condutor. Assim, observamos que é possível estudar a corrente elétrica sem levar em conta efeitos eletrostáticos detalhados, associados com os portadores de carga.
Figura 7-1 Diagrama esquemático do movimento de elétrons de condução num metal.
Num eletrólito, a corrente é conduzi da tanto pelos íons positivos como pelos negativos, embora a condução por um tipo de íon geralmente predomine porque alguns íons se movem mais rapidamente que outros. É importante observar que Íons positivos e negativos se deslocando em sentidos opostos (Fig. 7-2) contribuem para manter a corrente no mesmo sentido. Essa afirmação se evidencia através da Eq. (7-1), uma vez que a carga lí· quida transportada mediante uma dada superfície depende tanto do sinal do condutor de carga, como do sentido em que se move. Assim, na Fig. 7-2, ambos os grupos de condutores, positivos e negativos, produzem correntes para a direita; por convenção, o sentido em que se movem os portadores positivos (ou, de forma equivalente, o sentido oposto àquele em que se movem os portadores negativos é tornado corno o sentido da corrente. Em geral, uma corrente elétrica surge como resposta a um campo elétrico. Se um campo elétrico for estabelecido num condutor, fará com que os portadores de carga positiva se movam no sentido geral do campo e os condutores negativos num sentido oposto ao do campo; em conseqüência, todas as correntes produzidas no processo têm o mesmo sentido que o campo.
I
•.
...8
0-----
.. 8 ®----
--;
Ç)
I I
8 Figura 7-2 Corrente produzida pelo movimento de ambos os portadores de carga, positiva e negativa.
Densidadede Corrente. Equação da Continuidade
139
Numa descarga de gás, a corrente é conduzida tanto pelos íons positivos como pelos elétrons, porém, como os elétrons se movem muito mais que os íons pesados, praticamente toda a corrente é conduzi da pelos elétrons. A condução em gases é algo complicada, porque as populações eletrônícas e iônicas variam grandemente com as condições experimentais (elas são determinadas primeiramente pela pressão do gás e pela queda de potencial através do gás). Em certas condições, ocorre o cascateamento, processo pelo qual alguns íons, que estão inicialmente presentes, se aceleram e ocasionam colisões inelásticas com átomos neutros, produzindo desse modo íons e elétrons adicionais. Os íons adicionais podem também dar lugar a colisões ionizadoras, resultando disso o qescimento enorme da densidade de portadores. Nas Figs. 7-1 e 7-2, representamos os portadores de carga divididos em grupos, cada um tendo um movimento comum, denominado nwvimento de deslocamento do grupo. A representação foi grandemente simplificada, todavia. Cada grupo de portadores de carga representa efetivamente um conjunto de partículas em equilíbrio térmico com seu meio ambiente e, assim, cada partícula possui um movimento térmico bem como um movimento de deslocamento. Entretanto, o movimento térmico, embora possa ser grande, é também aleatório e, em conseqüência, dá lugar a um transporte de carga não organizado. O movimento de deslocamento, por outro lado, não é aleatório. Ao considerar o processo da condução, é, pois, admissível esquecer o movimento aleatório, que afinal nada acrescenta, e usar a representação simples encontrada nas Figs. 7-1 e 7-2. Para outros processos de transporte, contudo, como a condução em um gradiente térmico (que dá lugar ao efeito termoelétrico), é necessário levar em conta detalhadamente o movimento térmico, para compreender completamente o fenômeno. As correntes que descrevemos até agora, nesta seção, são conhecidas como correntes de condução. Estas correntes representam o movimento de deslocamento dos portadores de carga num meio neutro; o meio como um todo pode estar, e geralmente está, em repouso. Líquidos e gases podem também experimentar movimento hidrodinâmico e, se o meio tiver uma densidade de carga, o movimento hidrodinâmico produzirá correntes. Estas correntes, provenientes do transporte de massa num meio carregado chamam-se correntes de convecção. As correntes de convecção são importantes no estudo da eletricidade atmosférica; realmente, as correntes de convecção ascendentes, nas tempestades, são suficientes para manter o gradiente de potencial normal da atmosfera acima da Terra. O movimento das partículas carregadas no vácuo (como os elétrons num diodo de vácuo) também constitui uma corrente de convecção. Um aspecto característico da corrente de convecção é que ela não é eletrostaticamente neutra e sua carga eletrostática deve ser geralmente levada em conta. No restante deste capítulo, trataremos exclusivamente das correntes de condução.
7-2 DENSIDADE DE CORRENTE. EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE Consideraremos agora um meio condutor que tem somente um tipo de portador de carga, de carga q. O número destes condutores por unidade de volume será representado por N. De acordo com a seção anterior, ignoraremos seu movimento térmico aleatório e associaremos a mesma velocidade de deslocamento v a cada portador. Estamos agora em condições de calcular a corrente através de um elemento de área da, como é ilustrado na Fig. 7-3. Durante o tempo St cada portador percorre uma distância v St; é evidente, pela figura, que a carga aQ que atravessa da durante o tempo at é q vezes a soma de todos os portadores de carga no volume v • n St da, onde n é um vetor unitário normal à área da.
140
Corrente Elétrica
v
81
+
/'~~I~ +
~~~~
~~A/ +
; I
o da
~(+
--o .
V
81---'
Figura 7-3 Deslocamento dos portadores de carga através do plano da no tempo M.
Pela Eq. (7-1), a corrente dI
=
qNv
<5Q
•
<5t
n
<5t da
<5t
= Nqv
. n da. Se mais de um tipo de portador de carga estiver presente, haverá uma contribuição ma da Eq. (7-2) para cada tipo de portador. Em geral,
dI
(7-2) da for-
(7-3)
=
[~NiqiVi]'
n da
é a corrente através da área da. A soma incide sobre os diferentes tipos de portadores. A quantidade entre colchetes é um vetar que tem dimensões de corrente por unidade de área; esta quantidade é denominada densidade de corrente e é representada pelo símbolo J: (7-4) A densidade de corrente pode ser definida em cada ponto de um meio condutor e é, por esta razão, uma função vetorial puntual. É uma quantidade útil, que entra diretamente nas equações diferenciais fundamen tais da teoria eletromagnética. A unidade de J no sistema MKS é o ampere por metro2 (A/m2). A Eq. (7-3) pode ser escrita como dI
= J . n da,
e a corrente através da superfície S, uma área superficial de forma arbitrária e de dimensões macroscópicas, é dada pela integral I
=
i J.
'S
n da.
(7-5)
A densidade de corrente J e a densidade de carga p não são quantidades independentes; estão relacionadas, em cada ponto, por uma equação diferencial, a chamada equação da continuidade. Esta relação tem sua origem no fato de a carga não poder ser criada, nem destruída; a equação é deduzida mais facilmente, aplicando-se a Eq. (7-5) a uma superfície fechada arbitrária S. A corrente elétrica que penetra em Ve o volume encerrado por S
Lei de Ohm. Condutividade
são dados por I
= - .f s J.
TI
=-
da
f
'V
V·
J
141
(7-6)
dv,
sendo a última integral obtida por meio do uso do teorema do divergente. O sinal negativo na Eq. (7-6) ocorre porque TI é a normal para fora e desejamos considerar positivo quando o fluxo líquido de carga é do exterior de V para seu interior. Porém, pela Eq. (7-1), I é igual à taxa com que a carga é transportada para dentro de V:
I
1=-dQ = -d dt
f ·v
dt
p
dv.
(7-7a)
Como estamos tratando de um volume fixo V, a derivada em relação ao tempo opera somente sobre a função p. Contudo, p é uma função da posição, bem como do tempo, de forma a que a derivada temporal se torne a derivada parcial em relação ao tempo quando colocada dentro da integral. Como conseqüência f T op dv. 1= ·v ut
(7-7b)
As Eqs. (7-6) e (7-7b) podem ser agora equacionadas: 'V ot f (Op
+ V-
J)dV
= O.
(7-8)
Porém V é completamente arbitrário e a única maneira da Eq. (7-8) ser válida para um segmento de volume arbitrário do meio consiste na anulação do integrando em cada ponto. Portanto, a equação da continuidade será:
~ + V . J = O.
(7-9)
7-3 LEI DE OHM. CONDUTIVIDADE
Vê-se, experimentalmente, que a densidade de corrente J num metal, à temperatura constante, é linearmente proporcional ao campo elétrico (lei de Ohm). Assim
J=
gE.
(7-10)
A constante de proporcionalidade g é denominada condutividade. A Eq. (7-10) tem uma validade aproximada para um grande número de materiais condutores comuns; no caso geral, todavia, a Eq. (7 -10) deve ser substituída por
J = g(E)E, onde g(E) é uma função do campo da são chamados meios lineares ou dielétricos, nos interessaremos mais O recíproco da condutividade
elétrico. Os materiais para os quais a Eq. (7-10) é válimeios ôhmicos. Aqui novamente, como no estudo dos pelo caso linear. é a resistividade TI; dessa forma* 1 1]=-. (7-11) g
* Os símbolos comuns para resistividade e condutividade são p e a, respectivamente, porém para evitar a possibilidade de confusão com a densidade de carga volumétrica p e a densidade de carga superficial a, usaremos os símbolos 17 e g.
142
Corrente Elétrica
A unidade de 1/ no sistema MKS é o volt-metro por ampere, ou simplesmente ohm-metro, onde o ohm (D.) é definido por 1 ohm
= _1
volt 1 ampere
.
A unidade da condutividade g é D.-1 m -1, escrito às vezes como rnho!metro. Na Tabela 7·1 são dadas as resistividades de vários materiais. Evidencia-se, nesta tabela, que todos os materiais conduzem a eletricidade até certo ponto, mas que os materiais denominados isolantes (dielétricos) são condutores muito mais pobres que os metais, por um fator enorme (mais do que 1023). A distinção entre um condutor e um isolante será discutida de forma mais quantitativa na Seção 7-7. Tabela 7-1 Resistividade 1/ e Coeficiente de Temperatura Materiais Comuns a 20°C*
'1,nm
Material Alumínio
2,65
X
10-8
Cobre Ouro Ferro
1,67
X
10-8
2,35
X
10-8
9,71 X 6,84 X 1,59 X 95,8 X 5,51 X 49,0 X 100,0 X
10-8
Níquel Prata Mercúrio Tungstênio Constantan (Cu 60, Ni 40) Nicromo Germânio (puro) Germânio (5 x 1O-Q %As) Grafite Solução (saturada) de NaCl Óxido de alumínio Vidro Iodo Quartzo (Si02) Enxofre Madeira ..
da Resistência a de Alguns
10-8 10-8 10-8 10-8 10-8 10-8
0,46
0,011 1,4 x 10-5 0,044 1
-0,005
x 1014
1010
_
1,3
1 2 108
0,0043 0,0068 0,004 0,0065 0,0069 0,0041 0,0009 0,0045 0,0000 0,0004 -0,048
_
1014 X
107
X
1013
X
1015
1011
Dados do Handbook o!ChemislTY and Physics, 58~ edição. CRC Press, rne., Oeveland, Ohio.
Consideremos uma amostra condutora que obedece à lei de Ohm, na forma de um fio reto de seção reta uniforme cujas extremidades são mantidas a uma diferença de potencial constante D.
~ r
Correntes Estacionárias em MeiosContínuos
143
de condutividade g. Nestas condições, existirá um campo elétrico no fio, relacionado com através da relação
/::"
11({J
i
= E . dI.
(7-12a)
É claro que não pode haver componente, em estado estacionário do campo elétrico, perpendicu]ar ao eixo do fio já que, pela Eq. (7-10), isto produziria uma carga contínua da superfície do fio. Dessa forma, o campo elétrico é puramente ]ongitudinal. Além disso, por causa da geometria, o campo elétrico deve ser o mesmo em todos os pontos ao longo do fio. Por conseguinte, a Eq. (7-12a) se reduz a 11({J
= El,
(7-12b)
ol)de 1 é o comprimento do fio. Porém, um campo elétrico implica uma corrente de densidade} = gE. A corrente através de qualquer seção reta do fio é I=f
(7-13)
J'nda=JA,
'A
onde A é a área da seção reta do fio. Combinando (7 -12b), obtemos
a Eq. (7-13) com as Eqs. (7-10) e
gA 1=-
1
(7 -14)
11({J.
I
que proporciona uma relação linear entre e !1
(7-15)
que é a forma familiar da lei de Ohm (R é medido, evidentemente, em ohms). Na próxima seção demonstraremos que a Eq. (7-10) implica a Eq. (7-15), independentemente da forma do condutor. A Eq. (7-15) pode ser considerada como uma definição da resistência de um objeto, ou dispositivo, pelo qual está passando uma corrente constante. No caso geral, R dependerá do valor desta corrente. Todavia, como já se mencionou, estamos interessados principalmente em materiais lineares e, nestes, R é independente da corrente. O trabalho realizado pelo campo quando uma carga dQ se move através da diferença de potencial /::"1{) é dW = dQ /::"
=
I 11({J
=
I2R
=
(11({J)2IR,
onde as duas últimas formas são obtidas pela combinação cia é dissipada através do aquecimento loule do material.
com a lei de Ohm. Esta potên-
7-4 CORRENTES ESTACIONÁRIAS EM MEIOS CONTÍNUOS Há uma analogia muito estreita entre um sistema eletrostático de condutores e die]étricos, por um lado, e um sistema que conduz uma corrente estacionária, por outro. Esta analogia é o assunto da presente seção. Consideremos um meio condutor homogêneo, ôhmico, sob condições de condução em estado estacionário. Como estamos lidando especificamente com o estado estacionário, a densidade local de carga p(x,y, z) está em seu valor de equilíbrio e op/ot = O para cada ponto do meio. Como conseqüência, a equação da continuidade (Eq. 7-9) se reduz a
144
Corrente Elétrica
v . J = 0,
(correntes estacionárias)
(7-16)
Usando a lei de Ohm em combinação com a Eq. (7-16), obtemos V . gE que, para um meio homogêneo,
se reduz a V·
Porém, como
V
= 0,
E
=
O.
x E = O em um campo estático, E é derivável de um potencial escalar:
E=-Vep. A combinação das duas últimas equações dá (7-17) que é a equação de Laplace. Vemos, portanto, que um problema de condução em estado estacionário pode ser resolvido da mesma forma que os problemas eletrostáticos. Resolve-se a equação de Laplace por uma das técnicas expostas no Capítulo 3, sendo a solução apropriada determinada, como sempre, pelas condições de contorno. Condições de contorno suficientes para resolver o problema são as que especificam íp ou J em cada ponto da superfície do meio condutor. Especificar J na superfície é equivalente a especificar E, uma vez que os dois vetares estão relacionados pela lei de Ohm. Uma vez que a solução apropriada da solução de Laplace foi encontrada, E (e, em conseqüência, J) pode ser determinado em cada ponto no interior do meio,a partir da operação gradiente. Sob condições de condução em estado estacionário, a corrente que atravessa uma área interfacial entre dois meios condutores pode ser computada de duas formas: em termos da densidade de corrente no meio 1, ou em termos da densidade de corrente no meio 2. Como estes dois procedimentos devem proporcionar o mesmo resultado, a componente normal de J deve ser contínua através da interface. J 1n
= J Zn,
(7-10a)
ou
(7-18b) Esta equação é o análogo da equação para a continuidade létricas em problemas eletrostáticos. Como o campo é estático em cada meio, f
E . dI =
de Dn através das interfaces die-
°
em um percurso fechado que liga ambos os meios e E1,
= Ez,
(7-19)
pela dedução da Seção 4-7. Esta equação evidentemente é a mesma para ambos os tipos de problemas (eletrostáticos e de condução estacionária). Um exemplo das idéias apresentadas acima é o "tanque eletrolítico" ilustrado na Fig. 7-4. Aí, vários condutores metálicos, que estão conectados a fontes de potencial externas, são colocados num meio condutor líquido (idealmente de extensão infinita) de
Correntes Estacionárias em Meios Contínuos
145
condutividade moderada (como uma solução salina). Uma vez que a condutividade da solução salina é muito menor que a de um metal (veja a Tabela 7 -1), o campo elétrico no metal (para a mesma densidade de corrente) será muito menor que o da solução. A razão entre os campos é tão pequena que E do metal pode ser desprezado e cada condutor me· tálico pode ser considerado como um volume -eqüipotencial. Pode-se usar uma pequena sonda condutera, como é mostrado na Fig. 7-4, para explorar o potencial na solução e, desta forma, fazer um gráfico das superfícies eqüipotenciais. Uma possível vantagem deste procedimento experimental é proporcionar uma solução numérica da equação de Laplace que, no caso de formas geométricas complicadas, poderia ser mais dif.ícil de determinar teoricamente. A solução encontrada não se limita ao problema da condução, mas se aplica igualmente bem ao problema eletrostático equivalente em que os mesmos condutores metálicos estão circundados por um meio dielétrico (Fig. 7-5).
+
Figura 7-4 Tanque eletrolítico bidimensional. Os três condutores metálicos são mantidos nos potenciais '1'1 ' '1'2 e '1'3' onde por conveniência se supõe que 'fj > '1'2 > '1'3' O símbolo representa um resistor cuja resistência pode ser variada e G é um galvanômetro. Os fios são considerados de resistência desprezível. Se os resistores R 1 e R2 forem ajustados de maneira que nenhuma corrente passe por G, teremos 'l'sonda = 'l'c e a mesma corrente /' passará por RI e R2• Nestas circunstâncias,
Como um segundo exemplo da relação entre condução e eletrostática, consideremos dois condutores metálicos num meio ôhmico homogêneo, infinito, de condutividade g moderada. Se os condutores metálicos forem mantidos em potenciais 'f!1 e 'f!2 , a corrente entre eles será
I
146
Corrente Elétrica
onde R é a resistência do meio. * Esta corrente pode ser expressa em termos de densidade de corrente J no meio:
1= fs
J . n da,
onde S é qualquer superfície fechada que circunda completamente um dos condutores (exceto por um fio metálico isolado que leva a corrente ao condutor de forma a manter seu potencial constante). Porém
J = gE. Combinando
as últimas três equações, obtemos
R
(01 -
({J2
= gJ[ s E·
n
(7-20)
da.
Se o campo elétrico idêntico for produzido por cargas eletrostáticas tores metálicos em um meio dielétrico, pela lei de Gauss
.
sobre os dois condu-
1 (7-21)
J~. s E· n da = -t Q, Dielétrico
Figura 7-5 Problema eletrostático equivalente ao problema da condução da figura anterior. Visto que; Fig. 7-4 representou a condução bidimensional, o problema eletrostático é também bidimensional e cada condutor é um cilindro infinitamente longo.
onde Q é a carga do condutor metálico circundado pela superfície S e E é a permissividade do meio. Nestas circunstâncias, os dois condutores formam um capacitar. (7-22) A intercalação
das Eqs. (7-21) e (7-22) na Eq. (7-20) dá
RC=:
(7-23)
9
que é uma relação entre a resistência do meio e a capacitância do problema eletrostátíco equivalen te.
* Como I é análogo a n no problema eletrostático, constante de proporcionalidade. Veja a Eq. (7-22).
I é proporcional a
t!.'f)
e l/R é definido como
Passagem para o Equil1brio Elestrostático
147
Esta relação é na verdade mais do que uma analogia entre os meios condutor e dielétrico; ela também se aplica a qualquer meio isolado com condutividade g e constante E. Como não existe o dielétrico ideal, todo dielétrico real tem um g que não se anula, não importa quão pequeno seja. No outro extremo, mesmo um bom condutor tem seu próprio E, seja qual for. * Dessa forma, um capacitar tem uma resistência de fuga e um resistor tem uma pequena capacitância associada; em cada caso R e C estão relacionados por meio da Eq. (7-23) (aproximadamente, uma vez que o meio não é infinito). 7-5 PASSAGEM PARA O EQUILÍBRIO ELETROSTÁTlCO Mostramos, no Capítulo 2, que o excesso de carga sobre um condutor se localiza em sua superfície. Esta é naturalmente a situação de equihbrio. A passagem para o equilíbrio não foi estudada, mas foi afirmado que para bons condutores (metálicos) a obtenção do equilJbrio é extremamente rápida. Quanto mais pobre o condutor, mais lenta é a passagem para o equilíbrio eletrostático; de fato, se a condutividade do material for extremamente baixa, podem ser necessários anos, ou mais ainda, para que o equihbrio eletrostático seja obtido. Consideremos um meio isotrópico, homogêneo, caracterizado pela condutividade g e permissividade E, que tem uma densidade de carga volumétrica prescrita Po(x,y, z). Se este sistema condutor for subitamente isolado dos campos elétricos aplicados, tenderá para a situação de equilíbrio onde não há excesso de carga no interior do sistema. De acordo com a equação da continuidade, ap
(7-9)
ai + V' J = O. que, com o auxI1io da lei de Ohm, se toma ap
+ gV
at Todavia, V • E está relacionado que
. E
=
(7-24)
com as fontes do campo; de fato, V • E = p/E, de forma ap ar
+ º(
p
= O.
A solução desta equação diferencial parcial é, para p(x,
O.
y, z, t)
= Po(x,
E
y,
(7-25)
e g constante, como segue z)e-gr!"
(7-26)
e vê-se que se chega ao estado de equilIbrio exponencialmente. É evidente, através da Eq. (7-26), que a quantidade E/g tem as dimensões de tempo; ela é denominada constante de tempo, ou tempo de relaxação, te' de meio:
(
= - = 01.
t c
9
(7-27)
* A maneira pela qual se poderia medir a constante dielétrica de um condutor razoavelmente bom não é evidente, isto porém se tornará claro no Capítulo 13. A escala de tempo, dentro da qual uma medida "estática" teria de ser feita, será vista na seção seguinte. O valor E = ~ sugerido no Capítulo 4 somente é aplicável na ausência de corrente; com uma corrente estacionária, somente as cargas ligadas contribuem para E; as cargas livres não.
148
Corrente Elétrica
A constante de tempo é uma medida para determinar quão rapidamente o meio condutor atinge o equilfbrio eletrostático; mais precisamente, é o tempo necessário para a carga, numa região específica, decrescer para l/e de seu valor original. Um material alcançará sua distribuição de carga de equilíbrio, numa aplicação específica, quando sua constante de tempo for muito menor que o tempo característico necessário para realizar a medida pertinente. Em algumas aplicações, é suficiente uma constante de tempo de menos de 0,1 segundo, para assegurar o comportamento tipo condutor; como a maioria das permissividades não metálicas* se situam dentro do intervalo to a 10€0, isto requer um material com resistividade menor que 109 ou 1010 n • m. Em aplicações de alta freqüência, são necessárias uma constante de tempo menor e uma resistividade correspondente menor, para o verdadeiro comportamento tipo condutor; de fato,
1 te ~
f
7'
onde é a freqüência mais elevada que intervém na experiência. oposta se aplica ao comportamento tipo dielétrico.
A condição exatamente
7-6 REDES DE RESISTÊNCIAS E LEIS DE KIRCHHOFF Até agora, expusemos a condução principalmente do ponto de vista do transporte de carga num meio condutor e analisamos o problema em termos de equações diferenciais que se devem aplicar a cada ponto. Nestes casos, a quantidade importante a ser determinada é a densidade de corrente, J. Porém, em muitos problemas de interesse prático, os portadores de carga elétrica se limitam a seguir um percurso de alta condução, denominado circuito, e, então, as quantidades de interesse serão as correntes em cada parte do circuito. Nesta seção, limitaremos a exposição a circuitos que conduzem correntes estacionárias, isto é, a circuitos de corrente contz'nua. Um circuito pode se constituir de várias ramificações diferentes; de fato, poderíamos definir um circuito como uma r~ de percursos condutores, podendo cada um conter voltagens aplicadas. O problema central da análise de circuitos é o seguinte: dadas a resistência e a voltagem aplicada em cada elemento de circuito, encontrar a corrente em cada um destes elementos. No Capítulo 2 mostramos que a integral da componente tangencial de um campo eletrostático ao redor de qualquer percurso se anula; isto é, fE
. di
=O
(7-28)
para um campo eletrostático. Para um material ôhmico, J = gE. No caso geral, isto é modificado para J = g(E) E, porém g(E) é sempre uma quantidade positiva. Segue-se, dessa forma, que uma força puramente eletrostática não pode fazer com que uma corrente circule no mesmo sentido em tomo de um circuito inteiro. Ou, em outras palavras, uma corrente estacionária não pode ser mantida exclusivamente por meio de forças eletrostáticas. Uma partícula carregada q pode, contudo, experimentar outras forças (mecânicas, "químicas" etc.) além da força eletrostática macroscópica, de forma a que, em parte do circuito, as cargas se movam em sentido oposto ao de E. Nas seções anteriores, deixamos de lado a
* Não podemos aplicar esta relação a um metal, pois não conhecemos o valor próprio de E a ser usado; na realidade, te '" 1" '" ID-14 S, onde T é o tempo de colisão que será discutido na Seção 7-7. Como se verá, para tempos menores que T a suposição que J = gE não é válida.
Redes de Resistências e Leis de Kirchhoff
1491,
_.---'r--
questão relativa à causa da corrente elétrica, supondo que dois pontos de um objeto condutor eram mantidos a uma diferença de potencial constante b.tp por meio de fontes de energia externas. É ainda suficiente aos nossos propósitos aqui admitir a existência destas voltagens aplicadas,* porém faremos uma rápida digressão para explicar a maneira pela qual elas podem ser realmente produzidas. No laboratório, uma voltagem estacionária é geralmente produzida por uma bateria ou por uma fonte eletrônica (que retifica e estabiliza a linha de voltagem) porém poderia ser produzida por vários processos como, por exemplo, por um gerador de Van de GraafL Este último é, conceitualmente, o caso mais simples para uma análise. No gerador de Van de Graaff, cargas são literalmente depositadas numa correia portadora, em um terminal, e conduzidas forçosamente a um outro local de energia potencial mais alta, em outro terminal, onde são retiradas da correia. Na operação do estado estacionário, f E o dI::,:: O em torno de qualquer percurso fechado; a integral, por exemplo, é negativa ao longo da correia e de igual valor positivo ao longo de um percurso externo entre os terminais. Uma corrente externa estacionária poderá fluir através de uma resistência conectada entre os terminais se a correia se mover com suficiente rapidez; a energia de entrada é simplesmente a energia mecânica necessária para movimentar a correia que transporta cargas em sentido oposto ao do campo elétrico. A maneira pela qual se opera uma bateria é semelhante (com a ressalva de que as "forças" que trabalham numa bateria dependem da mecânica quântica da eletroquímica) e f E • dI = O em torno de qualquer percurso fechado, mesmo que passe através do eletrólito da bateria. O importante para a finalidade da análise dos circuitos, todavia, é simplesmente que f E • di = O em torno de um percurso fechado que contenha os terminais da fonte de voltagem - um segmento do percurso através da rede de resistências e outro diretamente através dos terminais, mas externo à fonte. A teoria do circuito elétrico se propõe a desenvolver um procedimento para analisar o primeiro segmento, através da rede de resistências; não precisamos analisar a causa (mecânica, química ou seja qual for) da diferença de voltagem entre os terminais da fonte de energia, mas simplesmente nos referirmos a ela como uma voltagem aplicada, 1 '. Uma fonte ideal forneceria uma voltagem aplicada 10 independente da corrente retirada da fonte; a voltagem terminal de uma fonte real, porém, depende da corrente, '/=1(1). A suposição mais simples e geralmente aplicada é a que considera a dependência como linear:
O coeficiente RI é denominado resistência interna e '10 é chamado voltagem de circuito aberto (ou fem, na maioria dos outros livros). Antes de continuarmos com o problema geral da rede, vamos rever as conexões elementares de resistores em série e em paralelo. A resistência definida na Seção 7-3 é uma propriedade do objeto material considerado e depende tanto da natureza do material que compõe o objeto, como de sua geometria. (A resistividade, por outro lado, depende apenas da natureza do material condutor). Um objeto condutor, de formato conveniente,
A voltagem aplicada é geralmente chamada de força eletromotriz (oufem) em outros livros, em* bora voltagem aplicada seja o termo usado no laboratório para esta diferença de potencial. O termo histórico fem e seu próprio conceito são um tanto confusos e desnecessários, de forma que não serão usados aqui. Reservamos o termo fem para um conceito algo diferente que introduziremos mais tarde (Capítulo 11).
150
Corrente Elétrica
caracterizado principalmente por sua resistência, é denominado resistor; e, geralmente, é representado pelo símbolo J\j\/\r . Os resistores podem ser conectados para formar uma rede de resistências; as formas segundo as quais dois resistores podem ser combinados estão ilustradas na Fig. 7-6. A parte (a) mostra uma conexão em série; nesta, a mesma corrente / passa através de ambos os resistores. Aplicando a Eq. (7-15) a cada resistor e observando que a diferença de potencial* V = VI + V2, encontramos que V
Portanto,
= R 1 I + R 2 I = (R 1 + R 2)1.
a resistência equivalente da combinação é R
= RI + R2
(conexão em série).
(7-29)
Na conexão em paralelo (Fig. 7-6b), a diferença de potencial através de cada resisto r é a mesma e a corren te através da combinação é / = /1 + /2' Aplicando a Eq. (7 -15), encontramos
Rl
---o/'V\/VV'
.~
H2
I
v-(a)
Figura 7-6 Conexão de dois resistores Ca)em série e (b) em paralelo.
e a resistência equivalente R da combinação é obtida por 1 1 1
R = RI + R~ (combinação em paralelo).
(7-30)
A resistência equivalente de uma rede mais complicada, como a da Fig. 7·7, pode ser determinada através da combinação de resistoTes em pares, de acordo com as Eqs. (7-29) ou (7-30), repetindo-se, então, o processo até que reste apenas uma resistência equivalente. Este procedimento não é possível para todas as redes; entretanto, todas as redes com dois terminais podem ser reduzidas a uma resistência equivalente por meio do procedimento do parágrafo anterior. Qualquer problema de rede pode ser resolvido de uma forma sistemática por meio
* Nesta seção, usaremos o símbolo Vao invés de a notação mais comum, de circuitos elétricos.
ô<{J
para a diferença de potencial, de acordo com
Redes de Resistências e Leis de Kirchhoff
151
de duas regras conhecidas como leis de KirchhofL * Antes de enunciar estas leis, definiremos dois termos. Um nó é um ponto do circuito onde três ou mais condutores estão unidos, como os pontos a, b, c ou d na Fig. 7-8. Uma malha é qualquer percurso condutor fechado da rede. Podemos, agora, estabelecer as leis de KirchhofL 1. A soma algébrica das correntes que fluem para um nó é nula, isto é, (I) 11.A soma algébrica da dIferença de voltagem em tomo de qualquer malha da rede isto é,
é
nula,
(lI)
1 ---
'1'1
Figura 7-7 Rede de resistores.
- R3 13
vvv~
12
R4 Ú
14
t > Rz
a
d
Figura 7-8 Circuito típico que requer a aplicação das leis de Kirchhoff. O símbolo --=J p:- é usado para designar uma voltagem aplicada. Num problema de circuitos típicos, os e os R são especificados e as correntes devem ser encontradas. Duas das seis equações para as correntes no circuito ao lado são -1, + I, + "I
1, =Oe'/~ =l.R.
-
+IsRs +I,R,.
A primeira lei é apenas uma afirmação formal de que a carga não se acumula num nó do circuito como resultado da corrente estacionária. É um novo enunciado da equação da continuidade na forma das Eqs. (7-6) e (7-7) e, como tal, equivalente a V'
*
J=
O.
(correntes estacionárias)
Em homenagem a Gustav Robert Kirchhoff (1824-1887).
(7-16)
152
Corrente Elétrica
A segunda
lei é simplesmente
um novo enunciado
de
(campos Para aplicar
as leis de Kirchhoff,
precisamos
relembrar
(7-28)
estáticos) a lei de Ohm:
A queda de potencial numa resistência Rj é (7 -15)
(resistor) onde se admite que o potencial mais alto esteja na extremidade penetra na resistência. Essa é a forma integral de
J = gE. Finalmente,
relacionamos
as voltagens
esta com a Eq. (7-15),
suposta
(7-10)
(meio linear)
aplicadas
~ = - 1 j. Combinando
em que a corrente
podemos
(voltagem
aplicada)
reescrever
a lei de KirchhofflI
coma
(lIa) Se as resistências intemas das fontes forem consideradas, poderão ser transferidas para o lado direito de (lIa). Antes de aplicar as leis de Kirchhoff a um problema específico, é necessário que suponhamos sentidos para as correntes em cada um dos nós. Estes sentidos devem estar indicados no diagrama do circuito. A formulação das Eqs. (I) e (lIa) é dessa forma levada a cabo com base nos sentidos supostos. Se a solução numérica dessas equações der um valor negativo para uma corrente particular, o sentido correto dessa corrente será oposto ao considerado. No problema ilustrado na Fig. 7-8, há seis correntes desconhecidas; são dee 16, tendo-se dado um sentido para cada um. signadas pelos símbolos 11,12,13,14,15 Pode-se aplicar a lei de Kirchhoff I a cada nó do circuito, as equações assim obtidas, porém, não são todas independentes. A regra geral é que se houver n nós, somente n - 1 deles produzirão equações independentes. No problema mostrado na Fig. 7-8, há seis correntes desconhecidas; a solução requer três equações de nós e três equações de malhas. As somas em (I) e (lIa) são somas algébricas. Em (I), a corrente será considerada positiva se seu suposto sentido apontar na direção do nó em questão, ou será tomada com o sinal negativo se seu suposto sentido apontar para longe da junção. Ao se aplicar as equações das malhas, algum sentido (horário ou anti-horário) deve ser tomado como sentido percorrido. Uma voltagem aplicada será tomada com sinal positivo se a voltagem (por si própria) produzir uma corrente positiva no sentido percorrido; um termo IR será tomado com sinal positivo se a corrente através do resistor em questão estiver no sentido percorrido na malha'.
7-7 TEORIA MICROSCÓPICA DA CONDUÇÃO Com base num modelo microscópico simples de um condutor, é possível não só compreender o comportamento linear enunciado como lei de Ohm, mas também algumas outras características experimentais da condução. Consideremos uma partícula livre do meio, com carga q e massa m. Sob a influência da força elétrica local, qE, sua velocidade de deslocamento aumentará de acordo com m dv/dt = qE. Se a partícula carregada estiver
Teoria Microscópicada Condução
153
no vácuo, ela continuará a se acelerar. Num meio material, em que passa uma corrente estacionária, a velocidade de deslocamento será, contudo, constante e, por conseguinte, a força total sobre a partícula deve ser nula. Uma outra força, devida ao meio, deve atuar além da força elétrica. A suposição mais simples possível é a de que esta força de retardamento seja proporcional à velocidade, de forma a que a equação de movimento se expresse como: dv m dt Pode-se ver isto imediatamente
=
= O; assim.
quando dvJdt
v=-q
G
E
(7-32)
será a soluç.ão de estado estacionário para a velocidade de deslocamento. examinar, todavia, a solução completa da Eq. (7 -31); que é v(t)
(7 -31)
qE - Gv.
i
= G E(l
_
É interessante
(7-33)
e-GlIm)
se fizermos a condição iniciál v(O) = O. Isto mostra que a velocidade local de deslocamento atinge seu valor estacionário exponencialmente, como e-tl7 , onde o tempo de relaxação T é m r (7-34) G
=-.
Eliminando G das Eqs. (7-32) e (7-34), encontramos tado estacionário como sendo
a velocidade de deslocamento
qr v=-E. m
do es-
(7-35)
Combinando esta igualdade com a Eq. (7-4) para um tipo único de portador de carga, obtemos a densidade de corrente Nq2r
J = Nqv=--m E,
(7-36)
proporcional ao campo, de acordo com a lei de Ohm. A comparação com a Eq. (7-10) dá a condutividade (7-37) ou, se houver vários tipos de portadores de carga,
No caso de um codutor eletrônico razoavelmente bom, como um semicondutor ou um metal (porém não um eletrólito), podemos interpretar T fisicamente como o tempo médio entre colisões de um elétron de condução. Neste material, o elétron se acelera por um curto período, após o qual realiza uma colisão com um dos átomos do material. Como
154
Corrente Elétrica
resultado desta colisão, o elétron é atirado numa direção aleatória, de forma a que o efeito médio de uma colisão seja reduzir a velocidade de deslocamento do elétron novamente a zero. Se o tempo médio de colisão for T, e a velocidade líquida média for v, os elétrons perderão o momento mv após cada intervalo de tempo T. No estado estacionário, a taxa de perda de momento mv/r é igualada à taxa de ganho de momento qE e o resultado é idêntico à Eq. (7-35). O tempo médio T está relacionado ao livre percurso médio do elétron por (7-38) onde VT é a velocidade térmica dos elétrons. É importante realçar que l'T é muito maior* que a velocidade de deslocamento v (não obstante ser aleatória quanto à direção). Em muitos metais, VT é da ordem de 106 m/s (quase independente da temperatura) e, em um semicondutor, é aproximadamente uma ordem de magnitude menor, à temperatura ambiente; por outro lado, a velocidade de deslocamento média v não é maior que 1O-2m/s aproximadamente em metais normais. Em metais e semicondutores, o livre percurso médio é tipicamente de algumas centenas de angstrons (10-8m) à temperatura ambiente, de modo que T "'" 10-14 s nos metais; nos semicondutores, T pode ser uma ordem de magnitude maior. Em ambos os casos, como T é também o tempo para o surgimento ou decaimento de uma corrente ôhmica, isto é praticamente instantâneo após a aplicação ou remoção do campo em resistores feitos destes materiais. ** Observamos que, num metal, o tempo de relaxação para o decaimento da corrente T, o tempo de colisão e a constante de tempo para a dissipação do excesso da densidade de carga te são todos iguais, apesar de serem conceitualmente diferentes. *** É evidente~ através da Tabela 7-1, que o grupo de materiais com a maior condutividade elétrica é o dos metais. Estes materiais têm condutividade elevada porque contêm uma grande densidade de portadores de carga, da ordem de um por cada átomo do metal, e porque a velocidade de deslocamento por unidade de campo elétrico é alta. Nos metais, tratamos com um tipo apenas de portador de carga, o elétron. Como conseqüência, as equações de condução são sim pIes neste caso:
g
J = -Nev.
(7-39)
= Ne(l".E) = Ne2r.m.
(7-40)
onde e é o valor absoluto da carga eletrônica. A velocidade de deslocamento do elétron por unidade de campo elétrico (v/E) é chamada de mobilidade do elétron. Urna grande mobilidade implica um longo tempo de colisão T ou, equivalentemente, um longo livre percurso médio. Para obter algum sentido para o livre percurso médio dos elétrons num metal, temos de recorrer à dinâmica das colisões de elétrons. Sabemos que o condutor
* E.
É somente por esse motivo que
T
pode ser considerado independente
do campo de ateleração
** Na escala macroscópica das distâncias, a limitação é o tempo mais longo req uerido para a propagação do campo à velocidade da luz - por exemplo, 10-10 s sobre urna distância de 3 em no vácuo.
*** Num metal pobre, o tempo de colisão pode não ter sentido ou te pode ser inf'ersamente proporcional a T, de acordo com as Eqs. (7-27) e (7-37).
Teoria Microscópicada Condução
155
apenas em média é eletrostaticamente neutro, que há grandes variações de potencial em distâncias da ordem de um angstron e que uma partícula carregada, como um elétron, deve colidir ou se espalhar pelas variações de potencial. Mas sabemos, também, que a natureza ondulatória do elétron tem um papel importante no seu movimento em uma escala atômica. Uma solução para o problema das colisões dos elétrons que use conceitos de mecânica ondulatória foge aos objetivos deste trabalho; enunciaremos unicamente seu resultado. Num cristal perfeito com um potencial periódico Mdimensional, uma onda eletrônica não realiza nenhuma colisão; $eu tempo de colisão T é infinito. Dessa forma, a condutividade finita dos metais provém de imperfeições da estrutura periódica perfeita. Estas imperfeições são de dois tipos: (1) impurezas e imperfeições geométricas (como fronteiras de grãos em materiais policristalinos) e (2) imperfeições termicamente induzidas, provenientes do movimento térmico dos átomos na estrutura. Ambos os tipos muitas vezes contribuem independentemente para a resistividade (regr,,! de Matthiessen) de modo que (7 -41) onde T é a temperatura absoluta. Em metais muito puros, a contribuição dominante para a resistividade em temperaturas ordinárias é o espalhamento das ondas eletrônicas por átomos termicamente deslocados. Dessa forma, 1/ == 1/2 (T). A seção reta de espalhamento de um átomo deslocado é proporcional ao quadrado de sua amplitude de vibração (x2), em outras palavras, à sua energia potencial máxima. Supondo-se que forças elásticas restauradoras operem sobre os átomos deslocados, (Energia potencial) max .
==
(Energia cinética) . . max
cr.
kT,
de modo que (7-42) ou, em outras palavras, a resistividade de um metal puro é proporcional à temperatura absoluta. O coeficiente de temperatura da resistência, (1/1/) dri/dT, de um metal muito puro é, portanto,
1 1 a--~dT ~ T' drJ
-
(7.43)
rJ
o que concorda, aproximadamente, com as anotações para os metais da Tabela 7-1. Estritamente falando, o argumento precedente só é válido para temperaturas acima da temperatura de Debye do metal (temperatura acima da qual todos os modos de vibração atômica são excitados). A temperaturas pouco abaixo da temperatura de Debye, 1) cai abaixo da relação linear prevista pela Eq. (7-42). A temperaturas muito baixas, a cotribuição de 1/1 não pode ser desprezada. A adição de pequenas quantidades de uma impureza solúvel sempre aumenta a resistividade. Uma liga, que pode ser considerada como um metal impuro, sempre tem uma resistividade maior do que a do metal constituinte de menor resistividade (Fig. 7-9). O coeficiente de temperatura (\' de uma liga é obviamente menor do que o de um metal puro, justamente porque sua resistividade é maior, não obstante têm-se desenvolvido certas ligas que possuem coeficientes de temperatura extremamente pequenos.
156
~
o
o tl
·s
Corrente Elétrica
30
20----
ell
o
Xi
100
Figura 7-9 Resistividade
Percentagem atômica
quel, em função
das ligas de cobre-nÍ-
da composição,
a 20°C.
7-8 RESUMO As aplicações tecnológicas mais importantes da eletricidade estão sujeitas a correntes de cargas em movimento, que são também de importância fundamental para o magnetismo, como veremos no próximo capítulo. Definida localmente num ponto do espaço, a densidade de corrente é
Como
a densidade
de carga é
esta pode anular-se ainda que aquela não o faça. O caso (condução, como vecção) é o considerado aqui. A corrente total através de uma superfície Sé
= 'S r J.
I
e
oposta
à con-
n da.
dQ
1= dto A conservação
da carga é expressa
localmente V·
J
pela equação
+-ct = cp
da continuidade
O.
(Consideramos, por enquanto, principalmente correntes estacionárias, para as quais V • J = 0, bem como aJ(at = O.) A corrente de condução em um meio é dada por uma equação constitutíva, que, no caso linear mais simples, define a condutívidade g:
J= 1. A forma
integral
da equação
gE.
linear constitutiva
v=
IR:
é a lei de Ohm
Problemas
157
a resistência de um condutor reto de seção reta uniforme é R 2. Num meio condutor equação de Laplace,
contínuo
= ligA.
com correntes
estacionárias,
o potencial
obedece à
As condições de contorno sobre E são as mesmas que num meio dielétrico e as condições de contorno sobre J são semelhantes às existentes sobre D. Como conse~üência, para dois condutores imersos num meio infinito,
(
RC
= -. 9
(unidades do sistema MKS)
3. Se a densidade de carga volumétrica num meio condutor ela se anulará segundo uma constante de tempo
não for zero, inicialmente,
( te
= -. g
(unidades do sistema MKS)
Em metais, este tempo é da ordem de 10-14 s; em condutores de muitos meses. 4. Em circuitos elétricos, as equações estáticas V duas leis de Kirchhoff
L Ij = O L Yj = O
o
mais pobres, ele pode ser até
J'= O e V x E = O transformam-se nas
numa junção, ao redor de uma malha.
Para fornecer a potência dissipada nos resistores por correntes estacionárias, certas voltagens devem ser aplicadas através de determinados dispositivos, como, por exemplo, baterias, cuja operação não se pode descrever dentro da estrutura da eletrostática. Dessa forma, com a lei de Ohm, é evidente a soluÇão completa do problema de circuitos. 5. A teoria microscópica da condução ôhmica depende da existência de uma força de retardamento linear que atua sobre as cargas livres do meio, além das forças elétricas aceleradoras. Expressa em termos de um tempo de relaxação, isto dá
Nq2, g=--. m o tempo T é a constante de tempo para o estabelecimento local de uma corrente ôhmica após a aplicação do campo; na prática, T é pequeno (10-14 S para os metais). Em bons condutores eletrônicos (metais, semicondutores), T é interpretado como o tempo médio entre colisões. Nestes casos, ele depende do livre percurso médio eletrônico, de acordo com onde Vr é a velocidade térmica aleatória (não é a velocidade deslocamento
líquida).
PROBLEMAS 7-1 A taxa máxima de corrente de um fio de cobre de área reta de 2 mm' é de 20 A. (a) Qual a densidade de corrente que corresponde em A/m'? (b) Supondo que cada átomo de cobre contribui com um elétron de condução, calcule a velocidade de deslocamento eletrônica correspondente a essa densidade
158
Corrente Elétrica
de corrente. (Número de Avogadro: No = 6,02 X 10'3 átomos por mal; peso atômico do cobre: 63,5; densidade do cobre: 8,92 gjcm3.) (c) Use a condutividade observada para calcular o tempo médio de colisão para um elétron no cobre. 7-2 A condutividade da água do mar ~ de aproximadamente 4,3 (nm)-I . Encontre a densidade de corrente num recipiente de 1 em de c0ÍTIprimento, com seção reta de 1 cm' de área, quando 3 V forem aplicados. Calcule a velocidade média de deslocameIlto, supondo que a concentração de íons é de 2 por cento.
\,7·3 Duas placas paralelas de met
= 'vI
rp
dt"
onde r é o vetor posição a partir de uma origem fixa. Prove que .
I
'v
d
J dv = dt-
p.
(Sugestão: Prove primeiro a identidade i' J dv ·v·s
= f rJ'
n da -
'vi' rV'
J
dv,
e observe que J se anula sobre a superfície S.) 7-5 Um meio condutor está em um campo uniforme Eo' Uma cavidade esférica de raio a é formada no meio. (a) Encontre o potencial dentro e fora da cavidade. (b) Encontre a carga superficial que aparece sobre a cavidade. (c) Faça um esboço das linhas do campo. 7-6 Um capacitor de placas paralelas é preenchido com um material de constante dielétrica K e condutividade g. Ele está carregado com uma carga inicial Q. (a) Demonstre que a carga deixa as placas corno uma função exponencial do tempo. (b) Demonstre que a produção total de calor por efeito Joule é igual à energia eletrostática armazenada inicialmente. (c) Qual'será a constante de tempo para a descarga se o material for óxido de silício? (Veja as Tabelas 4-1 e 7-1.) 7-7 Duas longas cascas cilíndricas metálicas (raios ri e r" com r, > ri) estão dispostas coaxialmente. As placas são mantidas a uma diferença de potencial A.p. (a) A região entre as cascas é preenchida com um meio de condutividade g. Use a lei de Ohm, J = gE, para calcular a corrente elétrica entre comprimentos unitários das cascas. (b) Se a região entre as cascas for preenchida com um mcio não condutor de permissividade €, a capacidade do sistema poderá ser calculada a partir da definição C = Q/ /:1'1'. Demonstre explicitamente para esta geometria que o produto da resistência por unidade de comprimento pela capacidade por unidade de comprimento = €jg. 7-8 A resistência' às fugas de um cabo isolante de borracha é medida da seguinte maneira: um comprimento I do cabo isolado é imerso numa solução de água e sal, uma diferença de potencial é aplicada entre o cabo condutor e a solução, e a corrente resultante no cabo é medida. Num caso particular, 3 111 de cabo estão imersos na solução; com 200 volts entre o cabo condutor e a solução, a corrente medida é de 2 X 10-· A. A espessura do isolamento é igual ao raio do condutor central. Qual a resistividadedo isolamento? 7-9 Um longo fio de cobre de raio a é esticado paralelamente a uma placa infinita de cobre e a uma distância h desta. A região que está acima da placa e circundando o fio é preenchida com um meio de condutividade g. Demonstre que a resistência elétrica entre os dois eletrodos de cobre, por unidade de
Problemas
159
comprimento do fio, é dada por R
=-
1
cosh-1-
h a
2119
1".7-10 Uma esfera isotrópica, homogênea, de condutividade g está sujeita a um potencial
passa pelo centro da esfera. Determine a densidade de corrente J em todos os pontos, no interior da esfera. 7-11 Dois eletrodos cilíndricos de cobre, de raio a, estão orientados normalmente para um disco de silício de espessura s e estão separados axialmente pela distância b. Os eletrodos' estão imersos no disco até a profundidade s; em outras palavras, atravessam completamente o disco. As dimensões laterais do disco são grandes comparadas com b e podem ser consideradas infinitas. Tomando a condutividade do silício como g, encontre a corrente entre os eletrodos quando sua diferença de potencial for li
* 7-12 Uma placa quadrada de cobre, de comprimento 20a, espessura se condutividade
g está sujeifa a uma diferença de potencial: duas extremidades opostas da placa são mantidas a potenciais 'Po e -'Po' respectivamente. (a) Qual a resistência elétrica da placa? (b) Um pequeno orifício de raio a é feito no centro da placa. Determine a variação fracional aproximada da resistência. (Sugestão: Encontre a distribuição do potencial na placa com o auxI1io dos harmônicos cilíndricos co-seno e. Infelizmente, esta distribuição não é muito correta porque as duas extremidades opostas do quadrado não são eqüipotenciais exatos. Obtém-se uma solução aproximada ao tomar o potencial médio das duas extremidades igual a ±
7-13 Calcule a razão entre a potência dissipada e a área superficial nos condutores descritos (a) no Problema 7-1 e (b) no Problema 7-2. 7-14 Dados três resistores de 1 .11,2 .11e 3 .11,encontre as dezesseis resistências diferentes que se podem formar com estes resistores.
7-15 Uma lâmpada de 0,4 watts é projetada para operar com 2 volts entre seus. terminais. Umaresistência R é colocada em paralelo com a lâmpada e a combinação é colocada em série com um resistor de 3 ohms e uma bateria de 3 volts (resistência interna: ohm). Qual deveria ser o valor de R se a lâmpada operasse na voltagem projetada?
+
*7-16 Uma linha de resistência, de resistência total nR, (a terra é o potencial de referência). A linha é sustentada resistência de modo que a resistência da linha entre os cada poste, é {3R. Se 'Pm for o potencial da linha no pólo ({Jm+l -
(2
está conectada entre o potencial 'Po e a terra por n - 1 postes situados a intervalos de igual postes seja R. A resistência de fuga à terra, de de índice m, demostre que
+ P-1)({Jm + ({Jm-l = O.
7-17 Duas baterias com voltagens, em circuito aberto, 1; e 1', e com resistências internas R, e R" respectivamente, são conectadas em paralelo uma com a outra e com a resistência de carga R. (a) Encontre a corrente através da carga. (b) Se a resistência de carga variar e as outras quantidades permanecerem fixas, qual deverá ser o valor de R para que dissipe a máxima potência?
i~
7-18 Um grupo de n pilhas idênticas de voltagem em circuito aberto e resistência interna RI é usado para fornecer corrente a um resistor de carga R. Demonstre que se n pilhas forem conectadas em série umas com as outras e com R, então 1= n 1~ I(R + nR I), enquanto que se as pilhas forem conectadas em paralelo e a combinação posta em série com R, então I = 1 ~ I(R + RIln). 7-19' Seis resistores idênticos (R) são unidos para formar um hexâgono. Mais seis resistores (todos novamente com a mesma resistência R) são conectados entre os seis vértices e o centro do hexágono. (a) Qual a resistência equivalente entre os vértices opostos? (b) E entre os vértices adjacentes? 7-20 Seis resistores constituem os lados de um tetraedro. Cinco dos resistores são idênticos (R), o sexto é R" Uma diferença de potencial é aplicada num dos resistores que unem R, . Demonstre que a produção de calor por efeito Jou1e em R, é máxima quando R, = (3/5)R.
160
Corrente Elétrica
7·21 Um circuito de ponte de Wheatstone é obtido a partir do circuito da Fig. 7-8, fazendo 1"2 = O e substituindo R2 por um galvanômetro Rg. Também faremos R, = O. A condição de equilíbrio da ponte (nenhuma corrente passa através do galvanômetro 1 é obtida quando R3 R. = R. R, . Assim, uma resistência desconhecida. por exemplo R. , pode ser determinada em termos de resistências conhecidas: R. = R.R, /R3 no equil1brio. (al Encontre a corrente através do galvanômetro quando a ponte não está em equilíbrio. (b) Suponha que a ponte pode ser equilibrada pela variação de R •. A sensibilidade da ponte é definida por S = CR. (aI, /aR.), onde C é a deflexão do galvanômetro por unidade de corrente e o índice zero significa que a derivada deve ser calculada no equilíbrio. Demonstre que
S= RJ
+
R .•
+
Rs
+
R6
+
C'1~ Rg(l
+
Rs/R6)(1
+
R4R3)'
* 7-22 A ponte de Wheatstone do problema precedente está quase equilibrada. Seja R, /R) = e R. / R. = (1 - el, onde e <{ 1. Se a resistência Rg for desprezível, demonstre que 12 /1, = o
O<
*7-23 Uma resistência de aproximadamente 10 ohms deve ser medida no circuito da ponte de Wheatstone do Problema 7 -21. Dispõe-se de uma grande seleção de resistências padrão. A potência máxima permitida na ponte é de 5 W. Se Rg = 100 D e o galvanômetro vai detetar um sinal de exatamente 4 X 10,9 A, qual será a maior precisão que se poderá obter ao medir o resistor desconhecido? Suponha que os resistores padrão são exatos e não limitam a precisão. *7-24 Um meio condutor,
linear, é conectado em n pontos a eletrodos com potenciais fixos: '1'" '1'2'
Demonstre que a produção de calor por efeito loule no meio é dada por 2:,7=1 a corrente que entra no meio através do eletrodo i. •••
,
onde
li é
--_-......-_--"""'-----~~========-~ ..•
CAPÍTULO 8 CAMPO MAGNÉTICO DE CORRENTES ESTACIONÁRIAS o segundo tipo de campo que entra no estudo da eletricidade e magnetismo é, naturalmente, o campo magnético. Estes campos ou, mais exatamente, os efeitos destes campos são conhecidos desde épocas muito antigas, quando foram observados, pela primeira vez, os efeitos da magnetita (Fe304)' um ímã permanente que- se encontra em forma natural. A descoberta das propriedades de orientação norte-sul desse material teve uma profunda influência na navegação e exploração primitivas. Exceto por esta aplicação, contudo, o magnetismo foi pouco usado e era um fenômeno ainda pouco conhecido até o princípio do século dezenove, quando Oersted descobriu que uma corrente elétrica produzia um campo magnético. Este trabalho, juntamente com os trabalhos posteriores de Gauss, Henry, Faraday, e outros, projetou o campo magnético como associado ao campo elétrico. O trabalho teórico de Maxwell e outros (veja os Capítulos 11 e 16) mostrou que esta associação é real e que os campos elétrico e magnético estão inextricavelmente entrelaçados. Os esforços de homens que se dedicaram a esse gênero de experiências tiveram como conseqüência o desenvolvimento da maquinaria elétrica, dos equipamentos de comunicação e dos computadores responsáveis pelos fenômenos magnéticos que desempenham papel tão importante em nossa vida diária. Neste capítulo, daremos as definições básicas do magnetismo, estudaremos a produção de campos magnéticos por correntes estacionárias e estabeleceremos alguns fundamentos importantes para desenvolvimentos futuros. 8-1 DEFINIÇÃO DE INDUÇÃO MAGNÉTICA No Capítulo 2, a força de Coulomb sobre uma carga q localizada em r, devido à carga q 1 na origem, era dada por
F = _1_ e
qql ~
47U_o r2
r
(8-1 )
Nesta exposição estava implícita a condição de que as duas cargas estivessem em repouso. Se as cargas estivessem em movimento uniforme, com velocidades v e Vj , respectivamente, haveria uma força magnética adicional F m exercida por q 1 sobre q, (8-2)
1';1
162
Campo Magnético de Correntes Estacionárias
o
número 110/471 tem o mesmo papel aqui que 1/471Eo tem na eletrostática, a saber, é a constante necessária para fazer uma lei experimental compatível com um conjunto de unidades. No sistema MKS, por definição ILo
4n
= 1O-7N' s2jC2
exatamente, e isto leva à definição original do coulomb. (Veja a Seção 8-3.) Como no caso da força eletrostática, convém resumir as propriedades da "carga teste" definindo um campo magnético; nesse caso, não somente a carga teste q deve ser fatorada mas também sua velocidade v: Fm
= qv x
(8-3)
B,
onde a indução magnética B é
r
fLo q 1 B=--V1 4n r2
(8-4)
x-o
r
Se estiver presente mais de uma fonte de cargas em movimento, as forças e os campos magnéticos serão aditivos. Algum tipo de processo de limitação deve ser incluído também na definição de B, para assegurar que a carga teste não afeta as fontes de B. A unidade da indução magnética no sistema MKS, de acordo com a Eq. (8-3) é o newton-segundo por coulomb-metro, denominado tesla (T). Se tanto um campo elétrico como um campo magnético estiverem presentes, a força total sobre as cargas em movimento será Fe 7- Fm,
F
= q(E + v
(8·5)
x B),
conhecida como força de Lorentz. A força magnética en tre duas cargas é mais complicada que a força elétrica por causa da dependência da velocidade e dos produtos vetoriais. Em primeiro lugar, as semelhanças consistem no fato de que o módulo de ambas as forças depende do produto das cargas e do inverso do quadrado de sua separação (além de uma constante dimensional). A direção da força magnética, todavia, não se situa ao longo da linha que une as partículas (isto é, não é uma força central), a não ser que v seja perpendicular a r; a força está sempre no plano definido por r e v1 . Mais importante, a força é sempre perpendicular a v; a partir da Eq. (8-3), v o Fm = O para qualquer campo B, assim, uma força magnética nunca realiza trabalho sobre uma part ícula carregada. Uma comparação adicional entre F m e F e será facilitada se multiplicarmos o numerador e o denominador da Eq. (8-2) por Eo. A comparação do resultado com a Eq. (8-1) mostra que Eol1o deve ter a di~o do inverso do quadrado da velocidade. Escrevemos 1
fofLo
= 2' c
(8-6)
onde c tem a dimensão da velocidade, de forma que 4TCfo qq1 r2 c x Fm = _1.... ~
Usando o valor definido de
110
e o valor experimental
c = 2,9979
X
108
c x r~).
(:".1.
de
m/s,
Eo,
encontra-se que
Definição de lndução Magnética
163
que é numericamente igual à velocidade experimental da luz. * No Capítulo 16, veremos que esta coincidência numérica não é acidental, será, porém, uma conseqüência necessária se a luz for uma onda eletromagnética. Não é necessário examinar aqui o significado da relação, mas simplesmente usar o fato experimental. Isto quer dizer que para um dado par de partículas,
Isto é, se as velocidades das partículas forem pequenas comparadas à velocidade da luz, a interação magnética será muito menor que a interação elétrica. De fato, as Eqs. (8-1), (8-2) e (8-4) são apenas aproximações de primeira ordem das expressões relativísticas cor· retas que serão deduzidas no Capítulo 21 e somente se aplicam quando VI ~ c. Devemos observar que os campos produzidos pela carga em movimento uniforme q I estão relacionados por B _ VI E c c
--
x-
(Esta relação vale para velocidades arbitrariamente grandes, mesmo que E e B se modifiquem quando VI for comparável a c.) Finalmente, observa-se que a força magnética não de· pende apenas da velocidade relativa das duas cargas, mas é diferente num sistema de coordenadas em movimento, ** e que não se muda simplesmente o sinal quando os índices das partículas são permutados. Contudo esses aspectos não nos preocuparão agora, uma vez que eles· se cancelam nas aplicações que serão feitas neste e nos próximos capítulos. Como F m ~ Fe, pode parecer à primeira vista que a força magnética poderia ser sempre desprezada em comparação com a força elétrica, porém existem sistemas de partículas onde isto não é assim. De fato, numa corrente de condução, onde estão presentes cargas positivas e negativas em igual densidade, o campo elétrico macroscópico é zero, porém o campo magnético das cargas em movimento não o é. É o que se verifica em eletroímãs, motores, transformadores e outras situações em que forças magnéticas têm importância prática muito grande. Iniciaremos, por conseguinte, com o estudo das interações magnéticas entre correntes de condução. Na próxima seção, discutiremos a força que atua sobre uma corrente de condução num campo magnético e, na Seção 8-3, discutiremos a produção de um campo magnético por uma corrente de condução dada.
* A Eq. (8-{)) deve valer em qualquer sistema de unidades consistente. Em unidades gaussianas, em que Eo = 1/411 por definição, Ilo /411 = l/c' é um valor experimental. Uma diferença maior entre os dois sistemas de unidades se deve ao fato de que em unidades gaussianas os dois c são separados com os dois v, de modo que se define e Esta tem a vantagem de B ser dimensionalmente explicitamente).
v
Fm=q-xB. c
o mesmo que E (e de forma relativística v/c aparecer
** Em particular, ela se anula num sistema de coordenadas que se movimenta com velocidade v. Esta dependência do sistema de coordenadas contradiz a suposição da mecânica clássica de que as forças são as mesmas em todos os sistemas de coordenadas inerciais. Nossa primeira advertência consiste na alumação de que a teoria da relatividade é necessária para ajustar o eletromagnetismo.
164
Campo Magnético de Correntes Estacionárias
8-2 FORÇAS ATUANTES SOBRE CONDUTORES EM QUE CIRCULAM CORRENTES Pode-se encontrar uma expressão para a força que atua sobre um elemento dI de um condutor de corrente, a partir da força de Lorentz (Eq. 8-5). Se dI for um elemento do condutor com o sentido considerado como o da corrente I, que ele conduz, dI será paralelo à velocidade v dos portadores de carga dentro do condutor. Se houver N portadores de carga por unidade de volume no condutor, a força sobre o elemento dI será
= NA
dF
I dI I qv
x B,
(8-7)
onde A é a área da seção reta do condutor e q é a carga por portador de carga. Se várias espécies de portadores de carga estiverem envolvidas, uma soma deverá ser incluída na Eq. (8-7); todavia, o resultado final, Eq. (8-8), não variará. Como v e dI são paralelos, uma forma alternativa da Eq. (8-7) é dF
contudo, NqlvlA expressão
é justamente
=
N q I v I A dI x B;
a corrente para uma só espécie de portador.
dF
=
I
dI x B
(8-7) Por isso, a
(8-8)
é escrita para a força exercida sobre um elemento infinitesimal de um condutor de corrente. A Eq. (8-8) pode ser integrada para dar a força sobre um circuito completo (ou fechado). Se o circuito em questão for representado pelo contorno C, en tão F
= ·C f I
di x B.
(8-9)
Enquanto B depender da posição, a única simplificação que se pode fazer na Eq. (8-9) é da integral. Se, contudo, B for uniforme, isto é, independente da posição, ela poretirar de igualmente ser removida da integral, dando
I
I· F
=
IJ c
I
I di
Ix
B.
A integral remanescente é de fácil resolução. Como ela é a soma de vetores infinitesimais que formam um circuito completo, deve ser nula. Assim, F
= ·cf
I di x B
=O
(B uniforme).
(8-10)
Uma outra quantidade interessante é o torque sobre um circuito completo. Como o torque é o momento da força, o torque infinitesimal dr. é dado por dr.
o torque
= r x
dF
= Ir x
(dI x B).
(8-11)
sobre um circuito completo é r.
= I 'cf
r x (di x B).
(8-12)
Mais uma vez, a não ser que B seja uniforme, nenhuma simplificação se poderá fazer; todavia, se ele for uniforme, pode-se realizar uma expansão direta, escrevendo-se (8-13)
Forças Atuantes sobre Condutores em que Circulam Correntes
A partir
destas componentes,
encontram-se
[r x (di x B)L
=
[r x (di x B)l.
= :::dyB:
[r x (di x B)]:
=
prontamente
y dxB}
- y dyBx
as componentes - ::: d:::Bx
- ::: d:::B} - x dxBj'
x d:::Bx - x dxB:
- y dyB:
165
de r x (dI x B)
+ :::dxB:, +x
dyBx,
+y
d:B)"
(8-14)
Como se supõe B independente de r (campo uniforme), podemos tirar as componentes de B das integrais que aparecem na expansão da Eq. (8-12). As integrações espaciais que devem ser efetuadas são de duas formas gerais: (8-15a) (8-15b) ~-ç dç ~.~ d1].
onde ~ representa qualquer coordenada e 7) representa qualquer coordenada diferente de ~. A primeira das equações é trivial porque representa a integral de algum limite inferior ~1, até algum limite superior ~, de ~ mais a integral de ~2 até ~1 de ~ d~. Uma vez que a troca dos limites introduz um sinal negativo, o resultado será zero, o que elimina seis termos da Eq. (8-14). Integrais da forma (8-15b) envolvem apenas duas variáveis, 7), portanto não fará diferença se a integral. for tomada ao longo da curva C real ou ao longo 7), como é ilustrado na Fig. 8·1. Usando a projeção sobre de sua projeção sobre o plano o plano 7), é fácil ver o que a Eq. (8-15b) representa. Na Fig. 8-2, o plano 7) é mostrado juntamente com a área infinitesimal ~ dT!. A integral pode ser escrita como
dt
t
t
t
t
b
{ ç d1] = f ••
a
r
•a
(1(1]) d1]
+ .Ib
Ç2(1]) d1].
(8-16)
c b
i I 1
I II 1
/
/
/,
I 1
l
r-- --.--I
I
r
--1----, I
I r
~
I
Figura 8-1 Projeção da curva C sobre o plano ç,
1].
Figura 8-2 Solução da integral f ~ d1].
Isto, naturalmente, dá a área compreendida pela curva projetada e que, na figura, é positiva. Se ~ e 7) aparecerem em ordem cíclica para um sistema de coordenadas dextrógiro, en· tão o sentido segundo o qual o contorno segue dará uma normal no sentido positivo de ~.
166
Campo Magnético de Correntes Estacionárias
Assim, podemos escrever (8-17)
t
TI, ç como permutação com tegrais, obtemos 'x
cíclica de x,y, z. Usando este resultado para resolver as in-
= I j c [r x
com expressões semelhantes claramen te na expressão
(di
=
x B)]x
I(AyBz
-
.4zBy),
(8-18)
para as componentes y e z. As três expressões resumem-se
t = IA
x B,
(8-19)
onde A é o vetor cujas componentes são as áreas compreendidas pelas projeções da curva C sobre os planos xy, yz e zx. * A quantidade de A aparece muito freqüentemente na teoria magnética e é chamada de momento magnético do circuito. O símbolo m será usado para o momento magnético.
I
li=
IA,
(8-20)
com A definido acima. B fácil mostrar, por meio da técnica usada acima, que a integral de r x dI ao longo de um percurso fechado dá duas vezes a área encerrada pela curva. Assim
t fc r
x di
= A.
(8-21 )
Isto pode ser usado para obter 1
.
li = II·cI
r x di
(8-22)
como uma expressão alternativa para o momento magnético. Se, em vez de estar confinada em fios, a corrente existir num meio, a identificação I dl-+
será apropriada,
como se mostrou anteriormente. dm
J
dv
(8-23)
Escrevemos então
= tr x J dv,
(8-24)
que será útil ao estudarmos as propriedades magnéticas da matéria. 8-3 LEI DE BIOT E SA VART Em 1820; algumas semanas após Oersted anunciar sua descoberta de que as correntes produzem efeitos magnéticos, Ampere apresentou os resultados de uma série de experiências que podem ser generalizadas e expressas na linguagem matemática moderna como (8-25)
* Observe que não se impôs nenhuma restrição às curvas planas sobre C e que esta definição de A torna desnecessária q ualq uer restrição.
Lei de Biot e Savart
167
Esta expressão formidável pode ser entendida com a ajuda da Fig. 8-3. A força F2 é a força exercida sobre o circuito 2 devido à influência do circuito 1, os dI e os r são explicados pela figura. Por definição, Po
4n
=
10-7
NjA2
em unidades do sistema MKS, e a Eq. (8-25) serve como uma definição primária do ampere, em termos da qual se define o coulomb. A Eq. (8-25) parece, superficialmente, violar a terceira lei de Newton por causa da falta de simetria; contudo, por meio do uso de alguns dos teoremas de análise vetorial, pode-se mostrar que ela, na realidade, é simétrica, isto é, F2 = -F). (Veja o Problema 8-4.) evidente, pela Eq. (8-9), que a Eq. (8-25) implica
t
B(r2)= 4n'l Po Id' dll x (r2 -,:1). Ir2-r1
(8-26)
Figura 8-3 Interação magnética de dois circuitos de corrente.
Esta equação é uma generalização da lei de Biot e Savart, * cujo nome se usará tanto para a Eq. (8-26) como para a forma diferencial
= Po
dB(r2)
4n
11
di) x (r2
Ir2-r)1
-
rd
(8-27)
A Eq. (8-27) será uma conseqüência imediata da Eq. (8-4) aplicada a um condutor, se usarmos o mesmo argumento que nos levou à Eq. (8-7). Como um último ponto, as Eqs. (8-26) e (8-27) tomam as formas B(
r2
)_Po -
4n:·v
I'
J(r))
x (r2 - rdd' I r2-r1 13
(8-28) 1'1
* Mencionaremos, de passagem, que tem havido alguma controvérsia com respeito ao nome das diversas leis. Não queremos entrar nesta controvérsia mas recomendamos ao leitor interessado consultar o excelente trabalho de E. T. Whittaker, Hislory of the Theories of Aelher and Electricity, Vol. I, Philosophical Library, New York, 1951.
168
Campo Magnético de Correntes Estacionárias
e (8-29) para uma distribuição contínua de corrente descrita pela densidade de corrente J(r). É uma observação experimental que todos os campos de indução magnética podem ser descritos em termos de uma distribuição de corrente. Isto é, B sempre tem a forma da Eq. (8-28), com algum l(rl)' Disto resulta que não há pólos magnéticos isolados e que V'
(8-30)
B= O.
A Eq. (8-30) é verdadeira para qualquer B da forma das Eqs. (8-28) ou (8-26), como se pode verificar matematicamente: tomamos o divergente da Eq. (8-28). Usando V o (F x x G) = - F . V x G + G . V x F temos ,
I'
110
= -- 471:
V2 • B(r2)
'
v J(r1)'
r2 -
V2 X
Todavia, (r2 - r1)/lr2 - r113 é o gradiente de -1/lr2 cional de qualquer gradiente é nulo, segue-se que
rI
r 2 -r-13 I -1-
dl'1
- r1l em relação a r2' Como o rota-
8-4 APLICAÇÕES ELEMENTARES DA LEI DE 810T E SAVART A classe de problemas à qual se pode aplicar a Eq. (8-28) [ou a Eq. (8-26)] é limitada principalmen te pela dificuldade experimentada ao efetuar as integrações. Nesta seção, consideraremos algumas das situações mais tranqüilas; em seções posteriores estudaremos outras técnicas para a obtenção de B. Como primeiro exemplo, examinaremos o campo magnético devido a um longo fio reto. Imagine-se que o fio se situa ao longo do eixo x, desde menos infinito até mais infinito, e que conduz uma corrente /. O campo será calculado num ponto típico r2 sobre o eixo y. A geometria está mais bem explicada na Fig. 8-4. A indução magnética é simplesmente (8-31 )
Como r2 - ri está no plano xy, (8-32) Além disso, a
-x = tan (rr -
D)
= - tan
(8'-33)
O
e Ir2
-
r11
=a cosec
Usando estas relações para transformar
(7T -
(8-34)
8) =a cosec 8.
a Eq. (8-31) numa integral em 8 de
O
até
7T,
dá
Aplicações Elementares da Lei de Biot e Saw.rt
B(r2)
= ~ Ik 4n fl
-I sen o .°
O dO
1,"
= _0_ k(-cos
fi)
fl4noI
/"°
= _0_ k. fl2noI
169
(8-35)
lI'
iXir,·-rll
/1,:
Fio
7 I
li
---
T.-T.
!
- -'
----
----
-
-
/
lj.
,
--
.r
:'
.I
1
-'-"--
-+
Figura 8-4 Campo m3.gnético no ponto P devido a um longo fio reto.
Para que se generalize este resultado, só é necessário notar que o problema exibe uma simetria óbvia com respeito ao eixo x. Dessa forma, concluímos que as linhas de B são circunferências em todos os pontos, com o condutor no centro. Isto está em completa concordância com o resultado elementar que dá o sentido de B pela regra da mão direita. Como um segundo circuito simples, consideraremos uma espira circular. O campo magnético produzido por tal circuito num ponto arbitrário é muito difícil de calcular; todavia, se somente forem considerados pontos sobre o eixo de simetria, a expressão de B será relativamente simples. Neste exemplo, empregaremos um tratamento vetorial completo para demonstrar a técnica. A Fig. 8-5 ilustra a geometria e as coordenadas que serão usadas. O campo será calculado no ponto r2 sobre o eixo z; a espira circular está no plano xy. A indução magnética é dada pela Eq. (8-26) em que, de acordo com a Fig. 8-5, são usadas as seguintes expressões:
r2 Ir2
Substituindo
-
di
= o d{1( -j
sen
ri
= - io cos
O -
- r11
=
(02
fi
+ j cos
jo sen fi
O).
+ k.:, . (8-36)
+ .:2)12.
estas na Eq. (8-26) temos _) _ r2" Q.:o cos () + j.:o senO B( •. - floI 4 n '0 (.: 2 + o 0,",0
+ k02)
de.
(8-37)
A integral dos primeiros dois termos é nula, assim flo I
B(2)
que, evidentemente,
=
2
02 (22
+ 02)3'2 k,
se situa ao longo do eixo z.
(8-38)
170
Campo
Magnético
de Correntes
Estacionárias
lj
Figura 8-5 Campo lar .
. 1'
Uma configuração de se compõe de duas bobinas uma distância escolhida de bre o eixo a meia distância ção magnética no ponto P é __ S:e,,) -
axial de uma espira circu-
corrente freqüentemente usada é a bobina de Helrnholtz, que circulares de mesmo raio, com um eixo comum, separadas por tal modo que a segunda derivada de B se anula num ponto soentre as bobinas. A Fig. 8-6 ilustra esta configuração. A indu-
N tio I a2 '"'I
I \(.:2
1
+ a2)3/2 + [(26
1
\
~ .:)2
+ a2FI'
(8-39)
obtida através da aplicação da Eq. (8-38) a cada uma das bobinas. O fator N é incluído para o caso em que cada bobina contenha N espiras. A derivada primeira de Bz em relação azé
3 2 (z2
2.:
+ a2 )512
3 -
2(.:-26)
\
2 [(26 - .:)2+a2F/21"
(8-40)
:26
-- Y espiras
Figura 8-6 Helmholtz.
Campo
axial
de uma bobina
de
Aplicação Elementar da Lei de Biot e Savart
171
Em z = b esta derivada se anula. A derivada segunda em relação a z é d2B: _
d:2
-
-
I
I
3J1oNla2
\(:2
2
+ a2)52
I
+ [(2b
- 2
(:2
S
+ a2p'2
Z)2
-
2:2
S
- 2 [(2h
+ a2)712
2(: - 2b )2 - :)2 + a2r/2
I /'
Em z = b esta se reduz a
dz2 :=b d2B:1
que se anulará se a2
-
2 = _ 3J1oNla2
4b2
1Ih2
+ a2
- (b2 5b2++a2f2 b~=-a2
- Sb'21 I'
(8-41)
= O. Assim, a escolha apropriada de b é 2b
=a,
(8-42)
isto é, a separação das bobinas será igual ao raio. Com essa separação, a indução magnética no ponto médio será
(8-43) As bobinas de Helmholtz possuem um papel importante na investigação científica, em que são freqüentemente usadas para produzir um campo magnético relativamente uniforme em pequena região de espaço. Consideremos o campo magnético num ponto sobre o eixo, próximo a meia distância entre as bobinas. O campo Bz(z) pode ser expandido numa série de Taylor em torno do ponto z = +a: B;(z)
=
BJla) 1
+
(z - Ia) ~ 1 ?8-1 o: z = ta
+ ...
Como as primeiras três derivadas se anulam,
=
B:(z)
B:(!a)
+ i4(:
Se a quarta derivada for calculada explicitamente, B.(z)
=
B.(a/2)
0-4'L. :=ta 248-1
- !at
(I -
+ ...
Bz(z) poderá ser escrito corno: ~~~
(Z
-a a/2
r).
(8-44)
Dessa forma, na região onde I z - a/21 é menor que aI IO, Bz (z) difere de B z (aI2) em menos do que uma parte e meia em dez mil. O tesla é uma unidade bastante grande para medir a maioria dos campos nos laboratórios; como conseqüência, usa-se comumente, para B, a unidade gauss do sistema gaussiano* de unidades: um gauss é igual a 10--4 tesla. Damos, como referência, 32nN
B.•
1
= -3-10' 5/2a
,
I em ampere,
a em em,
Bem gauss,
para a indução no ponto médio da bobina de Helmholtz. Evidentemente, mero de espiras em cada uma das bobinas. *
Este sistema ~e unidades acha-se exposto no Apêndice 11.
(8-43a)
N é ainda o nú·
172
Campo Magnético de Correntes Estacionárias
Um outro dispositivo ao qual se pode aplicar a Eq. (8-38) é o solenóide. Um solenóide pode ser descrito como N espiras uniformemente enroladas em uma forma cilíndrica de raio a e comprimento L. Essa configuração é ilustrada na Fig. 8-7. A indução magnética no ponto Zo é encontrada ao se dividir o comprimento L em elementosdz, como mostrado, aplicando a Eq. (8-38) a cada elemento e somando os resultados. Observando que o elemento dz contém N dz/L espiras, encontramos que (8-45) dz
I·LI
_a~C-~~la-=_ z Zo ------------I
I~--
/P
--I
Figura 8-7 Campo um solenóide.
--L---- ..
-
A mudança de variável B
(z :
) o
z - Zo
= ---
/102L N I
magnético
axial de
= a tan 8 leva a '0, '"02
cos e de _ -_
/10 L N I
------------
_[sen 132 -2
sen e 1 ] '
(8-46)
onde 81 = -tan -1 (zo Ia) e 8z = tan -1 (L - zo)la. O fato de aparecerem dois senos ao invés de apenas um, como na fórmula elementar, representa as correções das extremidades. Para ajudar a compreender a aproximação que usualmente se faz, ou seja, Bz = J.1oNI/L, é conveniente introduzir os ângulos ai e az (ambos positivos) mostrados na Fig. 8-7. Em termos destes ângulos, a Eq. (8-46) torna-se B: ( Zo )
=
L- --2-. + NI
flo
[COS
CXl
cos
.CX2]
(8-47)
Se o solenóide for longo, comparado com seu raio, e Zo não estiver demasiadamente próximo de zero ou L, ai e O'z serão ambos pequenos ângulos e poderão ser aproximados por a a (8-48) ~1 ~ -=- ; :12 ~ ----.:-. -o L - -o Mantendo os termos quadráticos nas expansões de cos 0'1 ecos 0'2, obtemos _
Bj-o)
~
/10
NI
=- L
J
11 -
a2
a2
\
4-2 ~o - 4 ( L __ -o )2/'
(8-49)
Concluímos, disto, que se Zo = LI2 e L/a = 10, resultará um erro de 2 por cento ao desprezar os termos quadráticos. 8-5 LEI CIRCUIT AL DE AMPERE . Para campos de indução magnética dados pelas Eqs. (8-26) ou (8-28) e devidos a correntes estacionárias, isto é, a correntes que satisfazem
Lei Circuital de Ampere
173
"" . J = O.
(8-50)
pode-se deduzir uma equação muito importante para o rotacional de B. Isto se faz calculando simplesmente o rotacional da Eq. (8-28). O rotacional envolve uma diferenciação em relação a f2 e, conseqüentemente, opera apenas sobre o fator (f2 - fl)/lf2 - f113:
V2 x B(f2)
4rr·v r = -)10
[ J(fJ)
(
""2'
I
r2 f 2 - rifi) 13
-
_
J(fl)'
V2
A derivada pode ser agora mudada para diferenciação em relação tivo) no segundo termo, por causa da simetria entre f2 e fi'
V2 x B(r2) O primeiro é integrado trar através
= -l/o
'I'r
471:
I
J(rj}4n
c5(r2 - ri) - J(fj)'
Vj
I
f2 f 2 - fi fi] 13 dl'l' _
a ri (com um sinal nega.
I
fjr I -- r2 f 2 13 ]
dz·l·
termo é expresso em temlOS da função delta de Dirac, como na Eq. (2-57); ele imediatamente dando Po J(r2). O segundo termo anula-se como se pode mosde uma integração por partes:
'" 1 '(J
I
XI-X2 fl-f2
13
)- -
I
·"I-X2 rj-f2
13
",.J I
+ J. \
J
-.\2
--.:"1 I rl-r2
13
x e, de forma semelhante, para as outras componentes. O termo \ - J para a componente anula-se devido à condição da Eq. (8-50) e pode-se converter a integral de volume do lado esquerdo numa integral de superfície usando o teorema do divergente; esta se anula se a superfície for escolhida fora de uma região onde J não se anule. (O mesmo resultado é conseqüência direta da identidade 1-2-4 da Tabela 1-2.) Assim, o resultado final é (8-51) que será -denominada forma diferencial da lei de Ampere. Isto será modificado no Capítulo 9, de forma a que se tome mais útil quando materiais magnéticos estiverem presentes; todayja, a Eq. (8-51) é válida enquanto J for a corrente total e \ . J = O. Pode-se usar o teorema de Stokes para transformar a Eq. (8-51) em uma forma integral, às vezes muito útil. Esta aplicação do teorema de Stokes é expressa como r
'S
I
v x B . n da = " B' dI.
(1-45)
a Eq. (8-51) para V x B, obtemos
Usando
JJc
B·
dI
=
J.n
Po 'Sr
(8-52)
da.
que simplesmente diz que a integral de linha de B em torno igual a Po vezes a corrente total através do percurso fechado.
de um percurso
fechado
é
t
instrutivo verificar a Eq. (8-52) para um caso simples. O fio longo, reto proporciona um exemplo particularmente bom. Neste caso, B a uma distância r do condutor é A dado por B(r) = po1/21fr e é tangencial a um círculo de raio r com centro no condutor. Fig. 8-8 ilustra a geometria. A corrente é dirigida para cima e C é descrito no sentido antihorário. Da figura, B . Com IB I como
dado acima,
dI
= I B I1 dI I cos
X
= I B I,. de.
(8-53)
174
Campo Magnético de Correntes Estacionárias
.•
f B· ·c
2n
dI
=,
'0
f.1
J
_0_
r dO
211:r
=
f.1o J,
(8-54)
que representa um caso especial da Eq. (8-52).
I ,-, , ,
' , , , ,
Figura 8-8 Verificação da lei circuital de Ampêre para uma forma geométrica longa e reta.
I'
~i~.j !i
A lei circuital de Ampere, como é chamada a Eq. (8-52), é em muitas formas paralela à lei de Gauss na eletrostática. Queremos dizer com isso que podemos usá-Ia para a obtenção do campo magnético devido a certa distribuição de corrente de grande simetria, sem necessidade de calcular as integrais complicadas que apareceram na lei de Biot. Como exemplo, consideremos um cabo coaxial constituído de um pequeno condutor central de raio a e um cabo coaxial cilíndrico externo de raio b, como é mostrado na Fig. 8-9. Suponhamos que os dois condutores conduzam correntes totais iguais de magnitude J em senti· dos opostos, cujo centro se dirija para fora do papel. É claro, da simetria do problema, que B deve ser tangente, em toda parte, a um círculo centrado no condutor e traçado pelo ponto em que B seja considerado. Além disso, B não pode depender do ângulo azímutal. As curvas adequadas para que se aplique a Eq. (8-52) são círculos centrados no condutor central. Para um destes círculos, de raio r,
J B . dI =
2nr B,
(8-55)
Figura 8-9 Seção reta de um cabo coaxial.
Potencial Vetaria] Magnético
175
que deve ser igual a /10 vezes a corrente total através da espira. Dessa forma, 2nrB=/1oI,
a
2nrB=O:'
b
Pode-se obter este resultado, aparentemente com bastante dificuldade.
(8-56)
trivial, por meio da integração da lei de Biot
8-6 POTENCIAL VETORIAL MAGNÉTICO O cálculo dos campos elétricos foi bastante simplificado com a introdução do po· tencial eletrostático. A possibilidade de fazer esta simplificação resultou da anulação do rotacional do campo elétrico. O rotacional da indução magnética não se anula; todavia, seu divergente sim. Como o divergente de qualquer rotacional é igual a zero, é razoável supor que a indução magnética possa ser expressa por B
= V x A.
(8-57)
A única condição que se impõe a A é que V x
B = V x V x A = /1oJ.
(8-58)
Usando a identidade (8-59) e especificando que VoA = O, obtemos
=-
V2A
Integrando cada componente guia, temos
/1oJ·
(8-60)
retangular e usando a solução da equação de Poisson como
(8-61) As integrais desta expressão são muito mais fáceis de calcular do que as integrais da lei de Biot; contudo, também são mais complicadas do que as usadas para a obtenção do potencial eletrostático. Uma alternativa para se obter a Eq. (8-61) consiste na transformação (8-28) na forma da Eq. (8-57). Isto se faz observando que r2
-
I rZ-r]
r]
1 13 =
- Vz
I rZ-r]
I '
onde V 2 indica que a derivação se realiza em relação a \ x
(epF)
= epV
I X
\
1
1r 2-':"'-;-]1 J(rdl
f2.
x F - F x
que vale para qualquer vetar F e qualquer escalar
V2
direta da Eq.
lfJ,
A identidade vetorial
Vep,
(8-63)
dá
\
= -J(r1)
(8-62)
x
V2
(8-64)
176
Campo
Magnético
de Correntes
Estacionárias
uma vez que J(rJ não depende de r2' Combinando estes resultados na Eq. (8-28), temos
(8-65) Pode-se formar o rotacional fora da integral, o que deixa a Eq. (8-65) exatamente Eq. (8-57). Assim,
igual
à
(8-61 ) resulta também desse procedimento, Para evitar uma falsa impressão, isto é, que O potencial vetorial seja tão útil quanto o potencial eletrostático no cálculo de campo simples, deve-se observar que não há essencialmente casos em que A possa ser calculado numa forma fechada simples (embora isto se possa sempre fazer numericamente para distribuições de correntes limitadas). O longo fio reto dá um resultado infinito para A quando se usa a Eq. (8-61). * A espira circular envolve integrais elípticas e assim por diante. Deve-se notar, também, que o cálculo do potencial vetorial num só ponto não é útil porque a indução magnética é obtida por derivação. A principal utilidade do potencial vetorial é em aproximações como as que serão expostas na próxima seção e em problemas que tratam de radiação eletromagnética (veja os Capítulos 16 e 20). 8-7 CAMPO MAGNÉTICO DE UM CIRCUITO DISTANTE O potencial vetorial magnético devido a um circuito pequeno, a grandes dist:incias, pode ser calculado com relativa facilidade. Podemos aplicar a expressão do potencial vetorial, Eq. (8-61), a circuitos de corrente fazendo a substituição: J dv ....•. / dr. Dessa for;na A(r2)
=~110 J.. \' - dr'..1 ~. 411:
.
(8-66)
Ir2-r11
Em circuitos cujas dimensões são pequenas comparadas com aproximado. Para fazê-Io, escrevemos, como na Eq. (2-46), Ir2 e expandimos
-
em potências de
I
r2
-
rll-l
= (d + ri
ri /1'2,
obtendo
rI
-
l-I
-. 1'2 Ir
-
2rl'
I + rl'r2ri --7~
r2 ,
o denominador
r2fl'2
pode ser
(8-67)
(8-68)
+ .. ·1
Existe efetivamente um potencial vetorial finito para um longo fio reto: A = - (1"0 If2rr) ln r k * em coordenadas cilíndricas para um fio sobre o eixo z conduzindo uma corrente k, Isto se pode verificar pelo cálculo direto de V X A. (Veja o Apêndice m.)
I
Campo Magnético de um CiIcuito Distante
177
para primeira ordem em'l 1'2' Usando isto na Eq. (8-66), obtemos Po
J
11
.
= -4rr \-1'2' j
A(r2)
1
I
.
+ --:3 12, j
drl
dr1(rl
•
r2)
(8-69)
+ "'1'
A primeira integral anula-se; o segundo integrando é um termo da expansão (8-70) Para eliminar o primeiro termo da direita na Eq. (8-70), escrevemos o diferencial de rI (r2 • rI) para uma pequena variação em rI como (8-71 ) que é, naturalmente, obtemos
exata. De acordo com as Eqs. (8-70) e (8-71) e dividindo por dois, (8-72)
Como o último termo é um diferencial exato, não contribui Eq. (8-69). Segue-se, dessa forma, que
A(r2)=-
4rr Po
-2·
[I
para a segunda integral da
(8-73)
x"3"
r) xdrl \'
f
1'22
J
A Eq. (8-22) define a quantidade entre colchetes como sendo o momento magnético, ro, do circuito. Como conseqüência,
= 4rr /10
A(r2)
m x r2 1'23
(8-74)
.
Nesta dedução, supôs-se que todos'1 ~'2; portanto, a Eq. (8-74) não é válida numa origem arbitrária, mas apenas numa origem próxima do circuito. Pode-se determinar a indução magnética tomando-se o rotacional da Eq. (8-74). Isto se consegue facilmente através de identidades vetoriais. Primeiro, B(r,)
-
=
= -Po
V x A(r2)
4rr
V x
= -
4rr Po
[
(
m x "3 r2 /"2
(m . V) ri f2
O primeiro termo erytre colchetes pode ser transformado, In~ ~
--:3
2 (f2) (".'2 12
)
= -3 ~ m) 1'2
3mx.\:2
+ mV
. -
ri r2]
"
(8-75)
observando-se que -:s :
r2 12
(8-76)
por conseguinte (m . V)
r2 _ •3_-12
m3
3(m ----- . r 2')r
d
/"2
(8-77)
O segundo termo envolve apenas o cálculo de
f, 3 =- ri ri
V . ~
3r, f2 • --
d
=
Q.
(8-78)
178
Campo Magnético de Correntes Estacionárias
Finalmente,
B(rz)
= 4n Po
r2 [_ ~
+ 3(m
rz '5r2)r2]
(di pala magnético)
(8-79)
A Eq. (8-79) mostra que o campo magnético de um circuito distante não depende da sua forma geométrica, porém somente de seu momento magnético m. A comparação com a Eq. (2-36) mostra que a Eq. (8-79) é da mesma forma que a do campo elétrico devido a m é denomium dipolo elétrico, o que explica o nome de dipolo magnético. Geralmente, nado momento de dipolo magnético do circuito.
\ 8-8
POTENCIAL
ESCALAR
MAGNÉTICO
A Eq. (8-51) indica que o rotacional da indução magnética é nulo onde quer que a densidade de corrente seja zero. Quando for o caso, pode-se expressar a indução magnética, nestas regiões, como o gradiente de um potencial escalar:
B= -PoVcp* Contudo,
o divergente
de B também
(8-80)
é igual a zero, o que significa
v .B = -
110 VZcp*
=
O.
que
(8-81 )
Assim '1'*, que é chamado de potencial escalar magnético, satisfaz a equação de Laplace. Grande parte do trabalho na eletrostática pode ser diretamente aproveitado e usado para todavia, deve-se ter cuidado ao aplicá-lo às condições de calcular '1'* em várias situações; contorno. (Veja o Problema 8-25.) A expressão para o potencial escalar de um dipolo magnético é particularmente útil. Se observarmos que a Eq. (8-79) pode ser escrita como B(rz) então
= - 110 V --3-
(m4n:r. rz) 2
,
(8-82)
estará claro que (8-83)
para um dipolo magnético m. Um circuito grande C pode ser dividido em muitos circuitos pequenos por meio de uma malha, como é ilustrado na Fig. 8-10. Se cada pequena espira formada pela malha conduzir à mesma corrente que era originalmente conduzida pelo circuito C, então, em conseqüência do cancelamento das correntes no ramo comum das espiras adjacentes, o efeito líquido será o mesmo que se a carga 'circular somente no circuito C. Para qualquer uma das pequenas espiras, o momento magnético pode ser escrito como
dm =Inda,
(8-84)
uma vez que cada uma das espiras é suficientemente pequena para ser considerada como plana. Usando esta expressão na Eq. (8-83) e integrando-a sobre a superfície limitada por C, obtemos
(8-85)
Fluxo Magnético
p
Figura 8-} O Um circuito de corrente macroscópico construído por dipolos magnéticos elementares.
Nesta equação, r2 deve ser interpretado como o vetar que vai desde da até o ponto P, isto é, -r, cOmo é ilustrado na Fig. 8-10. Fazendo a substituição r2 = -r, tem-se como resultado
= _~4n:
cp*(P)
r
r' n,da
(8-86)
. sr·
A quantidade r ' n da é justamente r vezes a projeção de da sobre um plano perpendicular a r. Assim, r 'TI da/r3 é o ângulo sólido subtendido por da em P. A Eq. (8-86) pode, então, ser expressa como
=
cp*(P)
Jº
(8-87)
4n: •
n é o ângulo
sólido subtendido pela curva C no ponto P. escalar magnético pode ser usado no cálculo do campo magnético devido a circuitos de corrente ou a camadas magnéticas duplas (camadas de dipolo). Este procedimento é ocasionalmente útil ao tratarmos de problemas de circuitos; todavia, seu uso principal é no tratamento de materiais magnéticos ..
onde
O potencial
8-9 FLUXO
MAGNÉTICO
A quantidade <1>
=
r
-s
B·
n da
(8-88)
conhecida como fluxo magnético é medida em webers (Wb).* É análoga ao fluxo elétrico, discutido anteriormente, porém é de muito maior importância. O fluxo através de uma superfície fechada é nulo, como se pode ver ao calcular Ji's B·
n da
= .rv
V'
B dv
=
O.
(8-89)
Disto também se conclui que o fluxo através de um circuito é independente da superfície particular usada para calculá-lo. Utilizaremos estes resultados no Capítulo 11, quando expusermos a indução eletromagnética. *
Assim, (j tesla é igual ao weber/m2
,
usado antigamente como unidade de B no sistema MKS.
180
Campo Magnético de Correntes Estacionárias
8-10 RESUMO A magnetostática baseia-se na adição de uma força magnética a uma força de cou10mb quando as cargas estão em movimento. No sistema MKS de unidades, a força de Lorentz sobre uma carga teste q~com velocidade y é F
o
=
+v
q(E
x B).
campo magnético de uma carga fonte q 1 deslocando-se uniformemente
com velocidade
Ylé
B--~Vj
x-Ec
c
onde E é o campo elétrico produzido por c
=
qj e ~ 3 x 108 m/s
l/)(oflo
é a velocidade da luz. (Em unidades gaussianas, B é substituído por B/c nestas fórmulas.) Aplicam-se os resultados a correntes de condução, escrevendo-se N q dv v
=J
= I
dv
dI,
onde Nq = p, pv = J para as espécies de partículas carregadas em movimento.
1. A força sobre um elemento de fio dI num campo magnético B é dF
o torque
=I
dI x B.
sobre um circuito é, para um campo B constante,
t=m
x B,
onde (unidades do sistema MKS) m
= tI 'Cf r
x dI
magnético do circuito. A integral + fc r x dI é o vetar cujas componentes são as áreas encerradas pelas projeções da curva C sobre os planos coordenados.
é o momento
2. O campo magnético produzido por um elemento de corrente dB(r)
=
flo
4n
I
r- r
di' é
r').
dl'--><-lr,I
J
13
.
onde flo/4rr = 10-7 N/A2 em unidades do sistema MKS; o campo de um circuito completo é calculado pela integração deste ao longo do circuito. Para uma distribuição geral de corrente J(r') como fonte, temos a equação:
B(r)=
flo r
4n . v
J(r') xJr,~ r') dr'. I
r- r
I
Derivando-a, vemos que não existem monopolos magnéticos: V' B= O. V x B
=
floJ
para uma distribuição de correntes estacionárias com V'
J=
O.
Problemas
181
Estas são as equações diferenciais básicas que devem ser satisfeitas localmente em cada ponto por todos os campos magnetostáticos. (A equação do divergente é satisfeita também pelos campos que dependem do tempo e é a segunda das quatro equações fundamentais de Maxwell.) 3. A lei de Ampere provém da equação do rotacional ao integrar uma superfície S arbitrária e aplicar O teorema de Stokes: j .c
onde
B·
=
dI
os lados
sobre
I,
110
í J.
1=
ambos
n da
'S
é a corrente total através de S limitado por C. Isto traz vantagens práticas no cálculo de B, em algumas situações especiais de al ta simetria, onde pode ser visto que B é constante em módulo, direção e sentido, relativamente a alguma curva C adequada. 4. A existência forma que
da função
potencial
vetoria!
de corrente
da região
A(r) (Não existe o termo 6. Nas regiões B = O), assim,
da equação
do divergente,
de
específica,
A(r) = 5. A uma grande distância multipolar de A dá
provém
= V x A.
B Para uma distribuição
A(r)
110
J(r'),
(
4n:.1'
Ir
- r
I
onde se localizam
=
m x r
fio
dr', as correntes
fonte
J, a expansão
+ ...
4n:r3
do monopolo.)
onde J = O, pode-se
definir
um potencial
B= Esta, bem como o potencial
eletrostático,
fiO
porém as diferentes condições de contorno ções. A solução dipolar é a mesma, cp*(r)
tp*(r) (uma vez que V x
'\cp*
satisfaz v2cp*
escalar
a equação
de Laplace
= O.
podem
originar
diferentes
conjuntos
de solu-
m' r
= 4~'
PROBLEMAS 18-1 Uma partícula carregada, de massa m e carga q, desloca-se num campo de indução magnética uniforme Bo' Demonstre que o movimento mais geral da partícula descreve uma hélice cuja seção reta é um círculo de raio R = mVi/qB. (Aqui Vi é a componente da velocidade da partícula perpendicular a Bo .)
~8-2 O hamiltoniano
de uma partícula
carregada
deslocando-se
num campo
de indução
magnética
uni-
182
Campo Magnético de Correntes Estacionárias
forme, Bo, que é paralela ao eixo z, é dado por )'(
. _ -
1
_m )-
p
2
-
qBo (
m -2-
xpy
-
YPx)
BÕ.2 2 m (x + Y ). + q2 -8--
Demonstre que as equações de movimento que podem ser derivadas do.j(concordam do Problema 8-1.
com o resultado
8-3 Um próton de velocidade 107 mls é lançado em ângulo reto com um campo de indução magnética uniforme de 0,1 T. (a) De quanto a trajetória da partícula se desvia de urna linha reta depois de percorrida uma distância de 1 em? (b) Quanto tempo leva o próton para percorrer um arco de 90°? \. 8-4 Demonstre que a lei da força, Eq. (8-25), pode ser transformada em
Fz que é evidentemente
Porr /1 = - 4~
f' [ /2 .I.Z . r
diz'
dll
fz - fi n • I fz-fl
simétrico, pois F, = -F I'
8-5 Suponha que um solenóide muito longo conduza uma corrente (supercondutora) de 10 A e tenha 1000 espiras por em. Encontre a força radial por unidade de comprimento,!, em uma espira do enrolamento. Demonstre que a tensão no fio T é = Ia, onde a é o raio do solenóide.
r
8-6 Demonstre que a força entre fios paralelos conduzindo correntes I, e I" ambas de mesmo sentido, é de atração. Se os dois fios paralelos forem muito longos e estiverem separados por urna distância a, encontre a força magnética no segmento dI, do fio 2. ••.8-7 Dado um circuito de corrente na forma de um hexágono regular de lado a, se o circuito conduzir a corrente I, encontre a indução magnética no centro do hexágono. 8-8 É dado um pedaço delgado de metal, de largura w e muito comprido. A corrente existente ao longo de seu comprimento é I. Encontre a indução magnética no plano de urna peça de metal a urna distância b da extremidade mais próxima .. 8-9 Um grande número N de espiras delgadas muito próximas urnas das outras é enrolado, numa só camada, na superfície de uma esfera de madeira de raio a, sendo os planos das espiras perpendiculares ao eixo da esfera e cobrindo completamente sua superfície. Se a corrente no enrolamento for I, determine o cam po magnético no cen ([O da esfera. 8-10 Um solenóide de 15 em de comprimento é enrolado em duas camadas. Cada camada contém 100 espiras; a primeira camada tem 2 em de raio e a segunda, 2,05 em. Se o enrolamento conduzir urna corrente de 3 A, encontre a indução magnética em vários pontos ao longo do eixo do solenóide. Faça um gráfico da indução magnética axial em função da distância, desde o centro até uma das extremidades do solenóide. 8-11 Um solenóide de seção reta quadrada (isto é, um solenóide no qual as espiras são, individualmente, da forma de um quadrado) possui N espiras por unidade de comprimento e conduz uma corrente I. A dimensão da seção reta é a. Se o solenóide for muito comprido, encontre a indução magnética axial em seu centro. 8-12 A indução magnética num ponto sobre o eixo (eixo z) de urna espira circular que conduz urna corrente é dada. pela Eq. (8-381. Tendo 'em vista que V • B'= O, obtenha uma expressão aproximada para Br (componente radial do campo magnético) que seja válida para pontos muito próximos do eixo.
I
8-13 A componente vertical da indução magnética entre as faces polares de um acelerador de partículas é dada por Bz = Bz (r, z), onde r = (x' + y')1I2 é a distância do eixo das faces polares. (a) Se IBzl for urna função decrescente de r, demonstre que as linhas de intensidade magnética se encurvarn para fora, corno é mostrado na Fig. 8-11, independentemente de o pólo superior ser um pólo norte ou sul. (Sugestão: Considere 'V X B = O e Br = O no plano mediano.) (b) Se as linhas de B se encurvarem como na figura, demonstre que as partículas aceleradas que se afastarem do plano mediano experimen tarão urna força que tenderá a traz.ê-Ias de volta ao mediano, independentemente de estarem carregadas positiva ou negativamente.
Problemas
Figura
*8-14
É evidente,
através
mo campo de indução
da Eq. (8-30),
magnética
que apenas
fisicamente
=
B com g(x,y, o produzirá, ··8·15
(a) Verifique
que B satisfaz
não magnético,
a equação
vetorial
(b) encontre
de Laplace:
g, em que existem
de condutividade
vetoriais
se habilita
co-
que
(r r) x '\'g(x, y, :).
z) arbitrário, é um campo magnético adequado; se g for uma solução da equação de Laplace.
Demonstre
trópico,
8-11
uma certa classe de campos
realizável.
183
a densidade
de corrente
'V'2B = O em um meio
correntes
J que
homogêneo,
iso-
estacionárias.
8-16 Usando a lei circuital de Ampere, encontre a indução magnética a uma distância, do centro de um fio comprido que conduz uma corrente I. Faça isso para' > R e, < R, onde R é o raio do fio. Demonstre explicitamente que a indução magnética se anula sobre o eixo do fio .. ' 8-17
Um condutor
é paralelo
de raio b, contém
cilíndrico,
ao eixo do cond utar
uma cavidade
e está a uma distância
cilíndrica
s deste, a
de raio a; o eixo da cavidade - a. O condutor
cond uz uma
densidade de corrente uniforme J. Encontre o campo B na cavidade, sobre o diâmetro que coincide com um diâmetro do condutor. (Sugestão: Trate uma distribuição de corrente equivalente com densimais -J na cavidade.) dade J em toda a extensão da cavidade e condutor, 8·18 Suponha que, num solenóide muito comprido (infinito), o campo seja inteiramente orientado na direção z, tanto dentro como fora do solenóide. (a) Use a lei de Ampere para mostrar que o campo é uniforme dentro e fora do so]enóide. Dessa forma, se B for nulo a uma distância infinita do eixo, será nulo em toda Demonstre
parte
fora do solenóide.
que o resultado
concorda
(b) Use a lei de Ampere com a Eq. (8-47)
para encontrar
B dentro
do sólenóide.
no limite a/L -+ O.
8·19 Um lOróide é enrolado uniformemente, como é mostrado na Fig. 11-2. Tem 1\: espiras que conduzem uma corrente I. O raio interno do toróide éa, o externo é b. Encontre a indução magnética em vários pontos no interior do enrolamento toroidal. Encontre a razão b/a que permitirá que B não varie no anel por mais de 25%. '8-20 Demonstre que o potencial vetorial magnético para dois fios compridos, conduzcm à mesma corrente,!, em sentidos opostos é dado por
A = -ln onde"
e"
são as distâncias
É dado o seguinte fina casca cilíndrica
conduzem
correntes
do ponto
do campo
e paralelos,
(r2) r)
até os fios e n é um vetor unitário
paralelo
aos fios.
conjunto de condutores: um fio reto, infinitamente longo, circundado por de metal (de raio b), disposta coaxiaJmente com O fio. ás dois condutores
iguais porém
opostas,
I. Encontre
o potencial
vctarial
magnético
do sistema.
8-22 (:1) Dem6nstre que tc A • dI = <1>, onde <1>é o fluxo magnético através da superfície limitada circuito C. (b) Use este resultado e os do Problema 8-18 para encontrar A a uma distância' (r>
a) e dentro
(r
< a)
que
.- n.
poI 2rr
""'8-21 uma
retos
de um solenóide
----_....o..-
muito
comprido.
(c) Verifique
pelo fora
se \ X A = B.
~
•
184
8-23 onde
Campo
Magnético
de Correntes
Estacionárias
da Eq. (8-61), que V • A = O. (b) Demonstre que A + \71/1, um potencial vetarial do mesmo campo B, como A. (c) De-
(a) Demonstre, pela derivação direta é uma função arbitrária, é também
1/1
monstre, através de uma escolha vergen te desej ado .
adequada
de
1/1,
que o potencial
vetorial
de B pode
ter qualquer
di-
•
8-24 Demonstre que AI = -Byi, Á, = Bxj, Ao = - tr X B são todos possíveis potenciais vetoriais do campo uniforme B = Bk. Para quais deles v • A'= O? Demonstre que AI - A, é o gradiente de uma função, V1/1 . •• 8-25 Demonstre que o campo vável de um potencial escalar
B externo
a um fio reto, comprido,
rp*
J
= -
27f
que conduz
uma corrente
J, é deri-
11
em coordenadas cilíndricas, e que \{!* satisfaz a equação de Laplace. Por que este \{!* não é um dos harmônicos cilíndricos (como seria no caso do porencial eletrostático de uma linha de carga)? 8-26 O ângulo de inclinação magnética é definido como o ângulo reto entre a direção da indução magnética e o plano tangente à superfície da Terra. Deduza uma expressão para o ângulo de inclinação em função
da latitude
geomagnética,
supondo
* 8-27
(a) Demonstre que o potencial circular, de raio a, é dado por
que a indução
escalar magnético rp*
= 1111 -
(b) Expanda
esta fórmula
de acordo
-
I
seja um campo num ponto
~~=I " a2
com o teorema
+
dipolar.
sobre o eixo (eixo z) de uma espira
::21
binomial,
para obter uma expressão
em série váli-
da para z < a. (c) O potencial escalar magnético, \{!*, deveria satisfazer a equação de Laplace; além disso, por simetria, \{!* = \{!* (r, O), onde r é a distância do centro da espira até o ponto do campo e O é o ângulo entre r e o.eixo z. Demonstre, usando os harmônicos zonais, Eq. (3-18), que se pode construir urna solução para \{!*, que se reduz ao potencial obtido em (b) sobre o eixo de simetria. (d) Use \{!* obtido em (c) para encontrar Br e BO em pontos que não estão sobre o eixo de simetria da espira. *8-28
Uma esfera de raio a, que conduz
uma densidade
superficial
de carga a (unida
rigidamente),
gira
em torno de um eixo que passa pelo seu centro. com velocidade angular constante, w. Demonstre que o campo magnético num ponto externo é um campo dipolar e encontre o momento de dipolo equivalente. 8-29
Dois dipolos,
ffil
torno do seu centro. entre r e ml e r e m"
e ffi"
estão
no mesmo
plano;
ml
Demonstre que no equilíbrio, tan respectivamente (r é o deslocamento
O
está fixo, porém
I =
-2
m, está livre para girar em
tan O, ' onde O, vetorial entre m, em,)
e .
O,
são os ângulos
CAPÍTULO 9 PROPRIEDADES MAGNÉTICAS DA MATÉRIA Expusemos, no Capítulo 8, técnicas para encontrar o campo de indução magnética resultante de uma distribuição especifica de correntes. Assim, por exemplo, se estivermos lidando com um circuito que consiste numa espira fechada, pela qual passa uma corrente, poderemos calcular o campo magnético na região de vácuo que circunda o fio da espira com o auxIlio da lei de Biot. Preenchamos agora a região que circunda o fio com um meio material. Será a indução magnética alterada pela presença da matéria? A resposta será afirmativa. Toda a matéria se compõe, fundamentalmente, de átomos e cada átomo se constitui de elétrons em movimento. Cada um destes circuitos de elétrons está cónfinado a um só átomo. A tais circuitos denominaremos correntes atômicas. Parece, dessa forma, que temos duas espécies de corrente: (1) uma corrente convencional, que consiste no transporte de carga, isto é, no movimento de elétrons livres ou de íons carregados e (2) correntes atômicas, que são correntes circulatórias puras e não transportam cargas. Contudo, ambas as espécies de corrente podem produzir campos magnéticos. 9-1 MAGNETlZAÇÃO Cada corrente atômica é um pequeno circuito fechado de dimensões atômicas e pode, portanto, ser apropriadamente descrito como um dipolo magnético. Realmente, o momento de dipolo é a quantidade que interessa aqui, uma vez que o campo de indução magnética distante devido a um só átomo, é completamente determinado pela especificação do seu momento de dipolo magnético, m. Seja mi o momento magnético do átomo de índice i. Definiremos agora uma quantidade vetorial macroséópica, a magnetização M, pelo mesmo método usado para definir a polarização no Capítulo 4. Somaremos, vetorialmente, todos os momentos de dipolo num pequeno elemento de volume 1:.v e, então, dividiremos o resultado por 1:.v; a quantidade resultante,
M=
lim ~
6v-0
Llv
Lm i "
(9-1 )
é denominada momento de dipolo magnético por unidade de volume, ou simplesmente, magnetização. O processo para achar o limite da Eq. (9-1) é nosso procedimento macros185
186
Propriedades Magnéticas da Matéria
cópico usual; faz-se t:.v muito pequeno, do ponto de vista macroscópico, porém não tão pequeno que não possa conter um número estaticamente grande de átomos. A quantidade M torna-se então uma função vetorial puntual. No estado desmagnetizado, a soma L mi dará zero como resultado da orientação aleatória dos IDi, porém em presença de um campo de excitação externo, M geralmente depende desse campo. Trataremos da dependência específica de M sobre B na Seção 9-6. No momento, admitiremos que M(x, y, z) seja uma função conhecida e calcularemos a contribuição do material magnetizado para o campo magnético a partir das equações desenvolvidas na Seção 8-7. A função vetorial M proporciona-nos uma descrição macroscópica das correntes atômicas no interior da matéria. Especificamente, M mede o número de circuitos de corrente atômica por unidade de volume multiplicado pelo momento magnético efetivo ou médio de cada circuito. Do ponto de vista puramente macroscópico, todos os efeitos magnéticos devidos à matéria podem ser adequadamente descritos em termos de M ou por suas derivadas. Uma destas derivadas, V x M, vem a ser a densidade de corrente de transporte equivalente, que produziria o mesmo campo magnético que o próprio M; ela é denominada densidade de corrente de magnetização, JM. Antes de deduzirmos esta importante relação que une JM e M, vejamos um modelo simplificado de matéria magnetizada como se este se constituísse de correntes atômicas em circuitos fechados, circulando no mesmo sentido, lado a lado (Fig. 9-1). Se a magnetização for uniforme, as correntes nas várias espiras tenderão a cancelar-se umas à~outras e não haverá corrente líquida efetiva no interior do material. Se a magnetização não for uniforme, o cancelamento não será completo. Como exemplo de magnetização uniforme, consideremos a mudança abrupta na magnetização' mostrada na Fig. 9-2; se dirigirmos nossa atenção para a região entre as linhas tracejadas, será evidente que há mais carga se deslocando para baixo do que para cima. Chamaremos isto de corrente de magnetização. Assim, ainda que não haja transporte de carga, haverá um movimento efetivo de carga para baixo e esta "corrente" poderá produzir um campo magnético.
Figura 9-1 Esquema simplificado de material magnético formado por correntes atômicas em circuitos fechados que circulam no mesmo sentido.
Falta-nos deduzir a relação entre JM e M. Consideremos dois pequenos elementos de volume numa peça de material magnético, tendo cada elemento um volume t:.x t:.y t:"z e se localizando próximo ao outro na direção do eixo y (Fig. 9-3). Se a magnetização no primeiro elemento de volume for M(x,y, z), a magnetização no segundo elemento será
àM M(x, y, z)
+ ay
~y
+ termos
de ordem mais alta.
187 abrupta na magnetização.
Magnetização Figura 9·2 Exemplo
(',o~o 0000 :o o o0,0 cb 0°60 ~lfl/
CD
i
de
mudança
i
CD
A componente x do momento magnético do primeiro elemento, Mx 6.x 6.y.6.z, pode ser escrita em termos de uma corrente circulante,I~: (9-2) De maneira semelhante, a componente x do momento magnético do segundo elemento, desprezando os termos de ordem mais elevada que se anulam no limite onde cada elemento de volume se torna muito pequeno, é
(Mx
+ a~x ôy )ôx Ôy ôz = 1; ôy ôz.
(9-3)
k
#
.Ux
.I/x
•.]
+ -ay t,y
Figura 9·3 Substituição de elementos de volume de material magnetizado por correntes circulantes I~ e I~.
A corrente líquida para cima, na região entre os dois elementos de volume é
1, c -
1" c
=
8Mx -ay
A ~
Ll.-\.
A
uy.
(9-4)
188
Propriedades Magnéticas da Matéria
Consideremos, a seguir, dois elementos de volume adjacentes ao longo do eixo x e concentremos nossa atenção na componente y da magnetização em cada célula. Na região entre as duas células, a corrente líquida para cima devida às correntes circulantes que definem os momentos magnéticos é oMy
(Ic)cima
=
ox
Lix
(9-5)
dy.
Estas são as únicas correntes circulantes de uma célula particular que dão origem a uma corrente líquida na direção z. Esta corrente líquida, que provém da magnetização não uniforme, é denominada corrente de magnetização. Não é uma corrente de transporte mas deriva, como vimos, de correntes circulatórias, isto é, de correntes atômicas no material. A área efetiva para cada uma das correntes nas Eqso (9-4) e (9-5) é !lx !ly. Dessa forma (9 -6a) ou JM
=V
x M.
(9-6b)
A densidade de corrente de magnetização é o rotacional da magnetização. 9-2 CAMPO MAGNÉTICO PRODUZIDO POR MATERIAL MAGNETIZADO De acordo com a Eq. (9-1), cada elemento de volume, !lu', de material magnetizado se caracteriza por um momento magnético
dm = M(x', y', z') dv'.
(9-7)
Usando os resultados da Seção 8-7, podemos expressar a contribuição ao campo magnético no ponto (x,y, z) de cada !lm (ou, de modo equivalente, de cada !lu'). O campo magnético é então obtido como uma integral sobre todo o volume do material, Vo oEsse procedimento é indicado esquematicamente na Figo 9-40
00 OO Ponto O O O O O O
°
r_
~Q
rIO O O .do campoO
f0
'"' O O
O-CMO
O O
O
Figura 9-4 Contribuição à indução magnética de uma disuibuição de material magnetiz.ado.
Campo Magnético Produzido por Material Magnetizado
Ao invés de calcular B diretamente, achamos mais conveniente tencial vetorial A e, após, obter B, por meio da operação rotacional. ção 8-7, o potencial vetorial em (x,y, z) é dado por
A( -
x, y,
Z
) - Po r -
4
= Po 4n Por meio das identidades de ser transformada em
vetoriais
A(x, y, z)
trabalhar com o poDe acordo com a Se-
y', z') x (r - r') d .'
M(x',
n . vo
189
I'r - r
v
13
y', z') x V' [ r -1 r ,] dv'.
r M(x', 'Vo
(1-1-9) e (1-2-3) das Tabelas
= Pon·vor V'I r-rx M'I -4
dv
,
Po r
+ -4 n·so
1-1 e 1-2, esta integral
M x n -,
(9-8)
r-r
. ,
po-
(9-9)
,
da,
onde 50 é a superfície de Vo. Usando a Eq. (9-6b) e definindo uma densidade de corrente jM, (isto é, uma corrente de magnetização por unidade de de magnetização superficial, comprimento que flui na camada superficial) por meio da relação jM
podemos
escrever
=Mx
(9-10)
n,
a Eq. (9-9) como Po f Vo .A(r) = 4:n:
JM(r') Ir -
r'dv' I
+ 4n Po .rSo IjM r - da' r' I
(9-11)
.
Poderíamos ter-nos aventurado a antecipar a expressão final, Eq. (9-11). Não obstante, é compensador ver que ela proveio da matemática de uma forma natural. Assim, o potencial vetorial produzido por uma distribuição de correntes atômicas no interior da matéria tem a mesma forma que o produzido por uma distribuiçãO de corrente de transporte verdadeira. Devemos assinalar que a Eq. (9-10) é a expressão apropriada para a densidade de corrente superficial que é compatível com JM ::: V' x M. Deve-se introduzir jM sempre que M variar abruptamente, como poderia ocorrer na interface de dois meios; porém, se imaginarmos a região de descontinuidade em M estendendo-se sobre a distância .ó. poderemos demonstrar que jM está contido no termo JM .ó.~.(Ou, se a região for muito delgada, jM poderá ser representada por uma função delta superficial.) Embora a Eq. (9-11) esteja correta e de tal forma que complementa com exatidão os resultados do Capítulo 8, apresenta algumas dificuldades práticas quando se chega ao ponto de calcular B a partir de uma distribuição de magnetização específica. Primeiramente, temos de efetuar a operação V x M e, em seguida, requer-se uma outra operação rotacional para a obtenção deB, a partir do campo A. Certamente é preferívellidar com quantidades escalares, se possível, e o gradiente de um campo escalar (como o encontrado na eletrostática) é mais fácil de calcular que o rotacional de um campo elétrico. Por essa razão, voltaremos à Eq. (9-8) e tentaremos outro procedimento. Estamos interessaformalmente, o rotaciodos, apesar de tudo, em B, não em A, de modo que tomaremos, nal:
t
B(r)
onde os operadores
=V
x A
= 4:n: Po
• Vo
diferenciais
r
V x
do rotacional
r _- rT [ M x I(r r') atuam
(9-12)
1 dt·,'
sobre as coordenadas
sem linha.
190
Propriedades Magnéticas da Matéria
Como o leitor deve ter previsto, nosso passo seguinte é transformar o integrando da Eq. (9-12). Para isso, recorremos às identidades vetoriais da Tabela l-I. De acordo com (1-1-10), , V x (F x G)
==
+ (G
(V . G)F - (V . F)G
. V)F - (F'
V)G.
Fazendo F = M e G = (r - r')/Ir - r'13 e observando que as derivações se relacionam às coordenadas sem linha, vemos que a identidade se reduz a V x [(r M x I r _- rT r') ] = M V' [ Ir(r _- r'r')13] uma vez que V • M(x',y', z') = O etc. Assim
=
B(r)
-
(M . V)
I (r
,", - r')
(9-13)
+ BII(r),
~(r)
(9-14)
onde
~(r)
= 4n 110
~Vo "
M V'
[
Ir(r _-:- r'/3 r')]
~I(r) = -4~-n: 'Vo r (M' V) Consideremos, mos
(9-14a)
dv,,
?r -- rr'), dv'.
(9-14b)
em primeiro lugar, a integral mais simples, 131, Usando a Eq. (2-57), obte~(r) =
=
r
110
4n: • vo
M(r')4n: b(r - r') dv' (9-15)
(r).
110M
Em seguida, consideremos a integral Brr. O integrando pode ser transformado uma segunda identidade (1-1-6), que vem a ser
V [(r M·
~-;r - r') ] = (M . V)
I (r r _-
+M
r'r')13
por meio de
x V x [ I (r r _- r'r')13 ] .
(9-16)
O último termo da Eq. (9-16) contém
,I'
V x [(rr _- r'r')13 ] = - V x V -, - 1 I
que se anula identicamente.
Em conseqüência 1n:
~1(r)=-f1oV-4
f vo M(r)''
(r - r') dv',
Ir - r
,
13
que pode ser expressa como a Eq. (8-80), (9-17) A quantidade
•
= 4-n: •Ivo M(r')'
Somando as duas contribuições,
(r - r') Ir -
r . " dv'.
Eqs. (9-15) e (9-17), encontramos
(9-18) para o campo de
Potencial Escalar Ma"lYJléticoe Densidade de Pólo Magnético
191
indução magnética:
= -
B(r)
J10
V
+ J1oM(r).
(9-19)
Dessa forma, a indução magnética resultante de uma distribuição magnetizada da matéria pode ser expressa como a soma de dois termoS: o gradiente de um campo escalar mais um termo proporcional à magnetização local. Num ponto externo, isto é, no vácuo, M é igual a zero e a indução magnética é então justamente o gradiente de um campo escalar que é a integral dos campos dos dipolos distantes, dados pela Eq. (8-83). 9-3 POTENCIAL ESCALAR MAGNÉTICO E DENSIDADE DE PÓLO MAGNÉTICO A expressão do potencial escalar magnético, Eq. (9-18), é semelhante, na forma, à do potencial eletrostático proveniente do material dielétrico polarizado. Aqui, novamente, se sugere a transformação matemática: 1 M I r. -(r r- 13r') '
= M . V' I r _ r'
I
M = V'·
Ir
1
- r' I
Ir
- r' I V' . M,
(9-20)
de forma que a Eq. (9-18) se torna
'
(9-21)
onde 50 é a superfície da região Vo· Por analogia com a Seção 4-2, convém definir duas quantidades escalares: PM(r')
==
V'· M(r'),
-
(9-22)
chamada de dellSidade do pólo magnético, e O"M(r')
==
M(r') .
n,
(9-23)
densidade superficial da intensidade do pólo magnético. Estas quantidades são bastante úteis, ainda que um tanto artificiais; fazem, na teoria do magnetismo, o mesmo papel que PP e ap fazem na teoria do dielétrico. As unidades de PM e aM são A/m2 e A/m, respectivamente. Consideremos, por exemplo, uma barra uniformemente magnetizada. Como a magnetização é uniforme, PM = O. As únicas densidades superficiais que não se anulam são as das superfícies que têm uma componente normal da magnetização, que são chamadas pólos do ímã. Este é um exemplo algo idealizado, embora não muito diferente da barra magnetizada comum de laboratório, familiar ao leitor. (Na prática, os pólos do ímã exercem uma influência desmagnetizante que destrói a uniformidade de M e dessa forma estende cada pólo sobre uma região um pouco maior que a superfície.) A intensidade total do pólo de cada ímã é nula. Este enunciado provém diretamente do teorema do divergente:
f Yo ( -
V . M) dv
+ f$0
M·
n
da
=
O.
192
Propriedades Magnéticas da Matéria
Completaremos
agora a dedução que iniciamos anteriormente.
cp
*
_ 1 (r) - 4-rr
e B(x,y,z) é obtido como mais o termo 110 M:
B(r)
J rr Vo PM = /lo 4--
-110
J'
Vo
A Eq. (9-18) torna-se
dv' da' r -_-;-1 r r _ r 'I' -IPM + 4-1,rr .I50 I(JM
(9-18a)
vezes o gradiente, em relação às coordenadas sem linha,
/lo r n . so + -4
(r - r') , I r _ r '13 dv
(JM
(r - r') , I r - r '13 da
Esta equação representa a contribuição do material magnetizado em tica em (x,y, z).
+ /loM(r). Vo
(9-19a)
à indução magné-
9-4 FONTES DE CAMPO MAGNÉTICO. INTENSIDADE MAGNÉTICA Nas seções anteriores, vimos como o material magnetizado produz um campo elétrico. Além disso, O Capítulo 8 tratou dos efeitos magnéticos das correntes convencionais. No caso geral, ambos os tipos de fontes magnéticas estão presentes: as correntes convencionais ou de transporte, que podem ser medidas no laboratório, e as correntes atômicas que se situam no interior da matéria. É importante compreender que, em certas condições, a mesma peça de matéria pode produzir um campo magnético tanto porque está magnetizado, como porque conduz uma corrente de transporte de portadores de carga. Assim, por exemplo, um de nossos melhores materiais magnéticos, o ferro, pode conduzir urna corren te de transporte por meio de seus elétrons livres, porém os íons de ferro fixos no cristal contêm correntes atômicas, que podem ser orientadas para produzir uma forte rnagnetização. Em geral, a expressão do campo magnético pode ser escrita como /l
B(r)
= 4rr ~
• I "v
J
x (r - r') dv' - /lo Vcp*(r)
I r - r '13
+ /loM(r),
(9-24)
onde
cpr=*( )
1 r 4rr. v
PM dv' 1
r - r'l
+-4n .
1 r s
da' r - r'
.
O"M I
(9-25)
I
O volume V estende-se sobre todas as regiões que conduzem correntes e sobre toda a matéria; a superfície 5 inclui todas as superfícies e interfaces entre meios diferentes. A densidade de corrente J inclui apenas correntes convencionais da variedade de transporte de carga, enquanto que o efeito das correntes atômicas é encontrado no vetor de magnetização M (e no potencial <,0*). Com a Eq. (9-24) poderemos determinar B se M e J forem especificados em todos os pontos. Na maioria dos problemas, contudo, J é especificado, porém M(x',y', z') depende de B(x',y', z'), de modo que, mesmo que se conheça a forma funcional de M(B), a Eq. (9-24) proporcionará, no melhor dos casos, urna equação integral para B. Para contornar esta dificuldade, introduzimos um vetor magnético auxiliar, a intensidade magnética H, definida por 1
H=-B-M. /lo
Combinando
as Eqs. (9-24) e (9-26), obtemos
(9-26)
Equações de Campo
1
H(r)
•
J
= -41t·vI
X
I
193
(r - r')
r-r
'13
dv' - Vcp*(r).
(9-27)
Parece que não ganhamos nada com esta manobra, pois H ainda depende de M, através de e 0M; entretanto, na próxima seção, demonstraremos como H está relacionado à densidade de corrente convencional, J, por meio de uma equação diferencial. A situação é semelhante ao caso eletrostático, onde o vetar auxiliar D se relaciona com a densidade de carga prescrita através de seu divergente. O vetor campo H tem um papel importante na teoria magnética, especialmente em problemas que tratam de ímãs permanentes e que serão propostos em 'seções posteriores do capítulo. As unidades de H são as mesmas de M, ou seja, A/m.
PM
9-5 EQUAÇÕES DE CAMPO As equações básicas que descrevem os efeitos magnéticos das corren tes foram expressas, no Capítulo 8, na forma diferencial: V . B
= 0,
V x B
= J1oJ.
Gostaríamos de ver agora como estas equações se modificam quando o campo magnético B inclui uma contribuição de material magnetizado. O leitor recordará que a equação do divergente (V • B = O) sugeria que B poderia ser escrito como o rotacional de uma função vetorial A. Porém, este resultado não se limita aos campos magnéticos produzidos por correntes convencionais. O campo produzido pela matéria magnetizada é derivável de correntes atômicas; de fato, este procedimento foi usado na Seção 9·2. Dessa forma, B pode ser sempre escrito como V x A e a equação do divergente sempre dá V' B=O.
(9-28)
A "equação do rotacional" é a forma diferencial da lei circuital de Ampere. Devemos ter cuidado, aqui, em incluir todos os tipos de correntes que possam produzir um campo magnético. Em conseqüência, no caso geral, esta equação é adequadamente expressa como (9-29) onde J é a densidade da corrente de transporte e JM é a densidade da corrente de magnetização. A Eq. (9-6b) pode ser combinada com a Eq. (9-29), dando V x
(;0
B - M)
= J,
que, de acordo com a Eq. (9-26), é equivalente à expressão: V x H
= J.
(9-30)
Por conseguinte, o vetor magnético H se relaciona com a densidade de corrente de transporte através de seu rotacional. Isto também ocorre ao tomarmos o rotacional da Eq. (9-27). As Eqs. (9-28) e (9-30) são as equações fundamentais do campo magnético, que, juntamente com as condições de contorno apropriadas e uma relação experimental entre B e H, são suficientes para resolver problemas magnéticos. Em alguns casos, é preferível
194
Propriedades Magnéticas da Matéria
usar uma formulação integral da teoria. Com o auxIlio do teorema de Stokes, a Eq. (9-30) pode ser transformada em
. fs V x H . n da =}c H' di
= Js J . n
da,
ou
f c H ·dl =
I.
(9-31)
Em outras palavras, a integral de linha da componente tangencial da intensidade magnética em torno de um percurso fechado, C, é igual a toda a corrente de transporte que passa pela área limitada pela curva C. Em virtude do teorema do divergente, a Eq. (9-28) é equivalente a
f s B·
n da
(9-32)
= O.
O fluxo magnético através de qualquer superfície fechada é igual a zero. 9-6 SUSCEPTIBILIDADE E PERMEABILIDADE MAGNÉTICAS. HISTERESE Para resolyer problemas de teoria magnética, é essencial haver uma relação entre B e H ou, de forma equivalente, uma relação entre M e um dos vetares do campo magnético. Estas relações dependem da natureza do material magnético e são usualmen te obtidas por meio de experiências. Existe, em uma extensa classe de materiais, uma relação aproximadamente linear entre Me H. Se o material for isotrópico, bem como linear*, (9-33) onde a quantidade escalar adimensional Xm é denominada susceptibilidade magnética. Se Xm for positivo, o material se chamará paramagnético e a indução magnética se reforçará pela presença do material. Se Xm for negativo, o material será diamagnético e a indução magnética se enfraquecerá pela presença do material. Embora Xm seja uma função da temperatura, e algumas vezes varie muito drasticamente com esta, é geralmente correto dizer que Xm para materiais paramagnéticos e diamagnéticos é bastante pequeno; isto é, I Xm I ~ 1 (para materiais paramagnéticos As susceptibilidades
*
e diamagnéticos).
(9-34)
de alguns materiais comuns são dadas na Tabela 9-1.
Se o material for anisotrópico,
porém linear, a Eq. (9-33) será substituída pelas relações tenso-
riais Mx
=
Xm.11 Hx
+ Xm,I2
Hy
etC. Nestas circunstâncias, M não tem necessariamente aos meios anisotrópicos, neste livro.
+ Xm.13
H,
o mesmo sentido que H, Restringir-nos-emos
Susceptibilidade
e Penneabilidade Magnéticas. Histerese
195
Na maioria dos manuais e das tabelas de dados físicos, Xm não está listado direta· mente, porém é dado como a susceptibilidade de massa, Xm ,massa, ou a susceptibilidade molar, Xm. molar' Estas são definidas por Xm
= Xm.mass
d,
(9-35)
d Xm
= Xm.molar A'
(9-36)
onde d é a densidade de massa do material e A é o peso molecular. Como M e H possuem ambos as dimensões do momento magnético por unidade de volume, é evidente que Xm,massaH e Xm,molarH dão o momento magnético por unidade de massa e o momento magnético por mal, respectivamente. Por conveniência, a susceptibilidade está também listada na Tabela 9-1. Tabela 9-1 Susceptibilidade Magnética de Alguns Materiais Paramagnéticos e Diamagnéticos à Temperatura Ambiente* Material
Xm,massa, m3/kg
Xm
Alumínio Bismuto Cobre Diamante Cloreto de Gadolíneo (GdCI3) Ouro Magnésio Mercúrio Prata Sódio Titânio Tungstênio Dióxido de carbono (1 atm) Hidrogênio (1 atm) Nitrogênio (1 atm) Oxigênio (1 atm)
2,1
-16,4
-0,98 -2,2 -603,0
X 10-5 x 10-5 X
10-5
x 10-5
10-5 -3,5 X 10-5 1,2 X 10-5 -2,8 X 10-5 -2,4 x 10-5 0,84 X 10-5 18,0 X 10-5 7,6 X 10-5 -1,19 X 10-8 -0,22 X 10-8 -0,67 X 10-8 193,5 X 10-8 X
0,77
-1,68 -0,11 -0,62 133,3 -0,18 0,68 -0,21 -0,23 0,87
4,01 0,40 -0,60
-2,48 -0,54 135,4
X
10-8
X
10-8
X
10-8
X X
X
10-8
10-8 10-8
X
10-8
X
10-8
X
10-8 10-8 10-8
X
10-8
X
10-8
X
10-8
X
10-8 10-8
X X
X
* Dados obtidos do Handbook of Chemistry and Physics, Ohio. Praticamente
58l!- edição, CRC Press, lnc., Oeveland, todas as fontes de dados dão as susceptibilidades magnéticas em unidades gaussia-
nas, - (CGS))' o índice -superior 1 for (1) usado para indicar a constante no sistema gaussiano, teremos 4 1TXm (I se 4 1T X 10-3 Xm e Xm, massa Xm, massa·
Uma relação linear entre M e H implica também uma relação linear entre B e H:
B = !lH, onde a permeabilidade,
J1,
(9-37)
é obtida a partir da combinação das Eqs. (9-26) e (9-33), (9-38)
196
Propriedades Magnéticas da Matéria
A quantidade adimensional 11
Km
= 110 - = 1 + Xm
(9-39)
é algumas vezes listada em tabela ao invés de Xm' Esta quantidade, Km' é denominadapermeabilidade relativa. Para os materiais paramagnéticos e diamagnéticos da Tabela 9-1, é evidente que K", está muito próximo da unidade. Os ferromagnéticos formam uma outra classe de material magnético. Um material destes caracteriza-se por uma possível magnetização permanente e pelo fato de sua presença usualmente ter um profundo efeito na indução magnética. Materiais ferromagnéticos não são lineares, de modo que as Eqs. (9-33) e (9-37) com X e 11 constantes não se aplicam*- a eles. Tem sido conveniente, contudo, usar a Eq. (9-37) como a equação de definição de 11, isto é, com 11 = I1(H), porém o leitor deverá ter cuidado pois essa prática pode criar dificuldades em certas situações. Se 11 de um material ferromagnético for definido pela Eq. (9-37), então, dependendo do valor de H, 11 passa por todo um intervalo de valores, do infinito até zero, e pode ser positivo ou negativo. A melhor sugestão que podemos apresentar é a de que se examine separadamente cada problema que envolve o ferromagnetismo, e que se tente determinar qual região do diagrama B-H é importante para o problema em particular, fazendo-se aproximações apropriadas para esta região. Tabela 9-2 Propriedades dos Materiais Ferromagnéticos
à Temperatura
Ambiente**
56 159 6.000 50.000 150.000 19 8.000 103 49 xx x=: 2.500 5,6 1,2 5,5 1,6 x103 51 850 7,0 105 5.500 105 50 Co, Fe MnFe204 55 0,49 1,60245 Ni 52 0,97 Fe, 36 Co, 4 Ni W NiFe204 5Composição, Cu, 0,75 Cr Hs, A/m 2,40 0,32 96Fe,3Si 2,02 Ms Km, magnetização máximo 110M" 1,25 TAl, de 14 saturação, % 0,61 2,15 Hs magnética necessária 1,79= intensidade Hc, A/m para a saturação, Hc = coercividade, Br = remanência.
Vur Material
Certas espécies de ferro, conhecidas como ferro doce, podem, contudo, ser tratadas como apro* ximadamente lineares.
** Dados do American Institute of Physics Handbook,
3'!-
edição, McGraw-Hill, New York, 1972 .
•
Susceptibilidade e Penneabilidade Magnéticas. Histerese
197
Consideremos, em primeiro lugar, uma amostra não magnetizada de material ferromagnético. Se a intensidade magnética. inicialmente nula, for aumentada monotonicamente, a relação B-H descreverá uma curva parecida com a mostrada na Fig. 9-5. Esta é evidente que os f.1 tomados da curva de a chamada curva de magnetização do material. magnetização, usando a expressão f.1 =BjH, serão sempre de mesmo sinal (positivo), porém apresentarão um espectro de valores bastante grande. A permeabilidade máxima ocorrerá no "joelho" da curva; em alguns materiais esta permeabilidade máxima é maior do que 105)10; em outros, é muito menor. A razão do joelho da curva é a magnetização M que atinge um valor máximo no material e
t
B
= f.1o(H + M)
continua a aumentar para H muito grande, somente por causa do termo f.10 H. O valor máximo de M é denominado magnetização de saturação do material. (Veja a Tabela 9-2.)
B
1,6 ~ 1 2~
"
I'
, If- I 0,8
I
-15000
'
l'0r:::Q'
"
: I
. ~ ::t J 3000 4()(l0 o
", ",
1'/1'0
-,
I
0'6~- I I o') -r
-16000
\ /"
1,41
000 ----=-=11000 -12
"'"
'-G'
ó~
~
O:
U
:
200
400
600 -----
800
I
_
]000
'O
H, .-\jm
Figura 9-5 Curva de magnetização ferro comercial (recozido).
e permeabilidade
relativa do
Consideremos, a seguir, uma amostra ferromagnética magnetizada pelo procedimento anterior. Se a intensidade magnética, H, for diminuída, a relação B- H não retomará pela curva da Fig. 9-5 mas, em vez disso, se deslocará ao longo da nova curva da Fig. 9-6 até o ponto r. A magnetização, uma vez estabeleci da, não desaparecerá com a remoção de H; na realidade, ela tomará uma intensidade magnética invertida para reduzir a magnetização a zero. Se H continuar a aumentar no sentido inverso, M (e, em conseqüência, B) se estabelecerá no sentido inverso e a Fig. 9-6 começará a apresentar certa simetria. Finalmente, quando H aumentar mais uma vez, a operação seguirá a curva inferior da Fig. 9-6. Dessa forma, a curva B-H para H crescente difere de modo radical daquela para H decrescente. Este fenômeno é denominado histerese, da palavra grega que significa "vir atrás"; a magnetização literalmente retarda o campo de excitação. A curva da Fig. 9-6 é chamada de curva de histerese do material. O valor de B no ponto r é conhecido como retentividade ou remanência; o módulo de H no ponto c é denominado força coerciva ou coercividade do material. É evidente, pela Fig. 9-6, que o va-
198
Propriedades Magnéticas da Matéria
H
Figura 9-6 Curva de histerese típica de um material ferromagnético.
lar de }1, defmido pela Eq. (9-37), é negativo no segundo e quarto quadrantes do diagrama. A forma da curva de histerese depende não só da natureza do material ferromagnético (Fig. 9-7) mas também do valor máximo de H ao qual o material está submetido (Fig. 9-8). Contudo, uma vez que Hmáx seja suficiente para produzir a saturação no material, a curva de histerese não mudará sua forma com o aumento de Hmá;-{. (Veja a Tabela 9-2.) A histerese é relativamente pequena no caso do ferro doce.
I ,
Aço-
I'I'II
tungstênio recozido ~
1'1
I ,
(6';'W)
I ,_
, :
II
Ferro comercial (recozido)
I ,
I ,
I II
-10 -5
I I
5
10
I
I I I I I ,
I
I 1
/v
' , --- ~-"
"I
Figura 9-7 Comparação das curvas de histerese de vários materiais. (Observe que lJoH está representado no eixo das ~bscissas ao invés de apenas H. 1-10 = 4rr X 10-7 T • m/A.) Dados de R. M. Bozorth, Ferromagnetism, Van Nostrand, N. Y., 1951.
Condições de Contorno sobre os Vetares de Campo
199
H
Figura 9-8 Curva de histerese principal e várias curvas de histerese secundárias de um material típico.
Em certas aplicações, é conveniente conhecer a permeabilidade efetiva de um material num pequeno campo H alternativo, superposto sobre um grande campo constante. Assim, se /::"B for a variação do campo magnético, produzida por uma variação /::"H da intensidade magnética, a permeabilidade incremental J1in será definida por f..B
J1in
= f..H'
(9-40)
e será aproximadamente igual à inclinação da curva de histerese que passar pelo ponto em questão. Materiais ferromagnéticos são usados (1) para aumentar o fluxo magnético de um circuito de corrente ou (2) para servirem como fontes do campo magnético (ímãs permanentes). Para ser usado como um ímã permanente, o material é primeiramente magnetizado até a saturação ao ser colocado num campo magnético intenso (isto é, quando colocado entre os pólos de um eletroímã ou num solenóide sujeito a uma grande corrente momentânea). Todavia, quando o ímã permanente for retirado do campo externo, estará sujeito, em geral, a um campo desmagnetizante; isto será exposto em detalhes nas Seções 9-8 e 9-11. Assim, o segundo quadrante do diagrama da curva de histerese é a parte importante da relação B-H para um material de ímã permanente (Fig. 9-9). 9-7 CONDIÇÕES DE CONTORNO SOBRE OS VETORES DE CAMPO Antes de podermos resolver problemas magnéticos, mesmo os mais simples, devemos saber como os vetores de campo B e H variam ao passarem uma interface entre dois meios. A interface considerada pode se situar entre dois meios com diferentes propriedades magnéticas ou entre um meio material e o vácuo. Consideremos dois meios, 1 e 2, em contato, como é ilustrado na Fig. 9-10. Construamos a pequena superfície S em forma de caixa de pI1ulas, que intersecciona a interface, sendo a altura da caixa de pI1ulas desprezivelmente pequena em comparação com o
200
Propriedades Magnéticas da Matéria
1,0
Oxido sintetizado (óxido de ferro e cobalto)
0,5
o
-O,OX-0,07 -ll,06 -0,05 -0,0.1, -0,03 -0,02 -O,l)! I"OH,
O
T
Figura 9-9 Curvas de histerese de materiais de ímãs permanentes. está representado no eixo das abscissas ao invés (Observe que de·apenas H.) J.1.oH
diâmetro da base. Aplicando a integral de fluxo, Eq. (9-32), à superfície S, encontramos B2 . "2 ó.S
+ B[
. "[ ó.S
= O,
onde "2 e "[ são as normais dirigidas para fora das superfícies superior e inferiorda caixa de pílulas. Como n2 = -"[ e como cada uma destas normais pode servir como normal à interface, (9-41 a)
/
"
B_Io
Figura 9-10 As condições de contorno sobre os vetores de campo na interface entre dois meios podem ser obtidas através da aplicação da lei de Gauss a S e da integração de H • di ao longo do percurso ABCDA.
Condições de Contorno sobre os Vetores de Campo
201
ou (9-41b) Assim, a componente normal de B é contínua através de uma interface. Uma condição de contorno sobre o campo H pode ser obtida pela aplicação da lei circuital de Ampere, Eq. (9-31), ao percurso retangular ABCD da Fig. 9-10. Neste percurso, consideram-se os comprimentos AB e CD iguais a !lI e supõem-se os segmentos AD e BC desprezivelmente pequenos. A corrente através do retângulo será desprezível a não ser que haja uma corrente superficial verdadeira. Por conseguinte ou (9-42a) onde j é a densidade de corrente superficial (corrente de transporte por unidade de comprimento na camada superficial) e 10 é um vetor unitário no sentido de !lI. Dessa forma, a componente tangencial da intensidade magnética é contínua através de uma interface a não ser que haja uma corrente superficial verdadeira. Finalmente, tomando o produto vetorial da Eq. (9-42a) com n2, pode-se escrever a equação como (9-42b) Esta forma convirá para a determinação de j, se H2 e Hl forem conhecidos. Antes de terminar esta seção, provaremos outra importante propriedade da indução magnética B, a saber: a continuidade de seu fluxo em todos os pontos. Concentremos nossa atenção sobre uma região do espaço e construamos linhas de campo magnético, linhas imaginárias traça das de tal forma que o sentido de uma linha em qualquer ponto seja o sentido de B neste ponto. Imaginemos, em seguida, um tubo de fluxo, um volume limitado nos lados por linhas de B mas não cortado por elas (Fig. 9-11). O tubo possui, como extremidades, as superfícies 51 e 52' Aplicando o teorema do divergente, obtemos r -v
V' B dv = o
=
r
'S2
B-n
da -
r
• S1
B· n'
da
(9-43)
Figura 9-11 Um tubo de indução magnética.
202
Propriedades Magnéticas da Matéria
Dessa forma, entra no tubo, através de SI, o mesmo fluxo magnético que o deixa através de S2' As linhas de fluxo nunca podem terminar, devem, porém, eventualmente voltar a seus pontos iniciais, formando espiras fechadas. Os enunciados anteriores aplicam-se, evidentemente, ao campo B; talvez valha a pena observar que eles não se aplicam ao campo H, uma vez que V • H = - V • M que não é nulo em todos os pontos. Assim, a partir do teorema do divergente aplicado a um tubo de intensidade magnética, encontramos
" H·
• S2
H·
n da - r
• S1
n' da =
r •
v
PM
du.
(9-44)
A descontinuidade do fluxo de intensidade magnética é determinada pela intensidade total do pólo magnético interceptado pelo tubo de fluxo, 9-8 PROBLEMAS MAGNÉTICOS
DE VALORES
DE CONTORNO
QUE ENVOLVEM
MATERIAIS
Como B e H obedecem a condições de contorno semelhantes àquelas para D e E, os problemas de meios lineares ou de magnetização específica são semelhantes aos problemas de dielétricos expostos no Capítulo 4. Trataremos, nesta seção, de uma classe particular de problemas, tais como o cálculo de campos magnéticos no interior do material magnético em que não exista corrente de transporte. Isto é formalmente idêntico ao dielétrico sem densidade de carga externa. Quando J = 0, as equações magnéticas fundamentais, Eqs. (9-28) e (9-30), se reduzem a V'B=O, V
x
H
(9-28)
= O.
(9-45)
A Eq. (9-45) implica que H pode ser obtido como o gradiente de um campo escalar. Isto não nos surpreende pois, de acordo com a equação da fonte, Eq. (9-27), a contribuição do material magnético a H já é expressa nesta forma, e na Seção 8-8 mostramos que o campo (efetivamente, a prova aí apresentada deve ser generalizada para o campo H) produzido por correntes de transporte pode ser deduzido dessa forma quando a densidade de corrente local é nula. Segundo a Eq. (9-45), escrevemos H onde
<{!*
= -V
(9-46)
é agora o potencial escalar magnético resultante de todas as fontes.
Existem dois tipos de materiais magnéticos para os quais o cálculo do campo magnético se reduz a um simples problema de valores de contorno: (1) material magnético linear ou aproximadamente linear para o qual B = f1H e (2) um pedaço umformemente magnetizado de material para o qual V • M = O. Em ambos os casos, a Eq. (9-28) reduz-se a
V' H=O.
(9-47)
Combinando este resultado com a Eq. (9-46), obtemos V2
___ ..
=
(9-48)
O,
~ ••• -.~
.~-
-
.u
Problt::mas de Valores de Contorno que Envolvem Materiais Magnéticos
203
que é a equação de Laplace. Dessa forma, o problema magnético reduz-se a encontrar uma solução para a equação de Laplace que satisfaça as condições de contorno. Podemos, então, calcular H como menos o gradiente do potencial magnético e obter B a partir de B
ou
= J1H
B=
J1o(H
+ M),
a que for mais apropriada. Dois problemas magnéticos servem para ilustrar a utilidade do método que acabamos de descrever; exercícios adicionais deste tipo serão encontrados nos problemas no final do capítulo. Nosso primeiro exemplo trata de uma esfera de material magnético linear, de raio a e permeabilidade J1, situada numa região do espaço que contém um campo magnético inicialmente uniforme, Bo. Queremos determinar a alteração do campo magnético modificado pela presença da esfera e, em particular, determinar o campo magnético na própria esfera. O problema é análogo ao caso de uma esfera dielétrica em um campo elétrico uniforme, que foi resolvido na Seção 4-9. Assim, escolhendo a origem de nosso sistema de coordenadas como o centro da esfera e a direção de Bo como a direção polar (direção z), podemos expressar o potencial como uma soma de harmônicos zonais. Novamente, todas as condições de contorno podem ser satisfeitas por meio dos harmônicos de cos 8: (9-49) na região do vácuo (1), fora da esfera, e
e)
=
A2r
cos e
+ C2r-2
cos e
(9-50)
na região do material magnético (2). As constantes AI, A2 , C1 e C2 devem ser determinadas a partir das condições de contorno. A grandes distâncias da esfera, o campo magnético retém seu caráter uniforme: Em conseqüência, AI =-(Bo/J1o). Como lp~ e seu B=Bok e lpi -+ -(Bo/J10)rcos8. campo magnético associado não podem se tomar infinitos em qualquer ponto, o coeficiente C2 deve ser feito igual a zero. Tendo aplicado as condições de contorno em r = 00 e r = O, voltamos, a seguir, nossa atenção à interface, em r = a: H10
=
H20,
ou
-
-
J10 (BO)
sen e
B o cos e + Resolvendo simultaneamente
+3 a Cl
sen e
= A2
Cl -3 a
cos e
= -
2J10
sen e,
J1A2
estas duas equações, obtemos
cos e.
(9-51 )
(9-52)
204
Propriedades Magnéticas da Matéria
e
conseqüentemente
os campos magnéticos dentro e fora da esfera são dados por (9-53)
e (9-54)
o
segundo problema que desejamos resolver trata de um ímã permanente. Gostaríamos de deterq1inar o campo magnético produzido por uma esfera uniformemente magnetizada, de magnetização M e raio a, quando não houver outros campos magnéticos presentes. Tomando a magnetização ao longo do eixo z e a origem de nosso sistema de coordenadas no centro da esfera, podemos expandir o potencial em harmônicos zonais: 00
L
q>!(r,e)=
(9-55)
Cl.nr-(n+llPn(e)
n=O
para a região de vácuo (1) fora da esfera e 00
(9-56) n=O
para a região do ímã permanente (2). Excluímos aqui, de propósito, da expansão da Eq. (9-55), os harmônicos com potências positivas de r, pois se tornariam muito altos a grandes distâncias, e deixamos de lado as potências negativas de r na Eq. (9-56), pois se tornariam infinitas na origem. Das condições de contorno em r =a: H1e
=
H2e,
obtemos d
00
n~o
(Cl.na-rn+1l-A2.nan)a-l
(9-57)
dePn(e)=o
e 00
J1.oC 1.0a-2
+ J1.o L n=1
Pn(e)[c
l.n(n
+
l)a-(n+
2)
+ A2.nna"-1]
-
J1.o
M cos
e
= O.(9-58)
Como cada Pn(6) é uma função distinta de 6, nenhum deles pode ser construído a partir de uma combinação linear de outros Pn- Portanto, para que as Eqs. (9-57) e (9-58) sejam válidas, cada um dos.termos contendo um Pn ou um dPn/d6 deve anular-se individualmente. Dos termos n = O, dPo
de
e
=
O,
Problemas de Valores de Contorno que Envolvem Materiais Magnéticos
Por conseguinte, Cl o = O e A2 o é indetenninado. Porém A2 tencial; pode ser igu;Uado a zer~ sem afetar H ou B.. Dos termos n = 1,
o
205
é o termo constante do po-
e
2Cu
a-3
+ Az.l
que podem ser resolvidos simultaneamente,
-
M
= O,
dando
eu
= tMa3
Az.l
= tM.
e
Para todos os n ~ 2, os únicos Cl•n e A2.n compatíveis com as duas equações são Cl•n = O =0. Introduzindo estes resultados novamente nas Eqs. (9-55) e (9-56), obtemos
eA2•n
(9-59) e
cpi(r, e)
= tMr cos
e.
(9-60)
A intensidade magnética H pode ser calculada a partir da operação gradiente, com o resultado (9-61) (9-62)
Figura 9-12 Um enrolamento
toroidal.
Dessa forma, o campo eXterno da esfera uniformemente magnetizada é um campo dipolar, proveniente do momento de dipolo -}-1Ta3M. A intensidade magnética dentro da esfera
206
Propriedades Magnéticas da Matéria
é um campo desmagnetizante, resultado que concorda com o campo E dentro de um dielétrico uniformemente polarizado. Vemos, portanto, que a esfera magnetizada está sujeita a seu próprio campo desmagnetizante. O fator + = (1/47T)(47T/3),na Eq. (9-62), depende explicitamente da geometria esférica; a quantidade 47T/3é conhecida como o fator de desmagnetização de uma esfera. Os fatores de desmagnetização para outras formas geométricas foram calculados e tabelados. * O campo magnético externo B1 é exatamente J10 vezes a Eq. (9-61). A indução magnética na esfera é (9-63)
9-9 CIRCUITOS DE CORRENTE QUE CONT~M MEIOS MAGNÉTICOS No Capítulo 8, tratamos de campos magnéticos produzidos por circuitos de corrente no vácuo. Um dos exemplos considerados nos problemas (Problema 8-19) foi o de um toróide uniformemente enrolado, com N voltas, que conduz uma corrente I (Fig. 9-12). Resolvamos novamente o problema do toróide, desta vez, porém, com a região do interior do enrolamento preenchida com um material ferromagnético, que suporemos homogêneo, .•• isotrópico e originalmente não magnetizado. O vetor de campo que se obtém mais facil· mente'é a intensidade magnética, uma vez que este se relaciona à corrente no enrolamento por meio da lei circuital de Ampere, Eq. (9-31). Se aplicarmos a Eq. (9-31) a um percurso circular coaxial com a cavidade do toróide, como O percurso tracejado mostrado na figura, os argumentos de simetria nos indicarão que H é o mesmo em todos os pontos do percurso: H,l = N/, ou
H =N/ ,
Aqui, o índice representa a componente total do percurso. Da Eq. (9-26), B,
l'
(9-64)
tangencial ao percurso e I = 27Tr é o comprimento f10
N/
= -- 1
+ f1oM,.
(9-65)
Dessa forma, o campo magnético difere daquele proposto no caso do vácuo pelo termo aditivo J1oMt. Apenas a componente tangencial de B (e de H) é obtida pelo procedimento anterior; não obstante, esta é a única componente cuja presença esperávamos. De acordo com a Eq. (9-27) há çlois tipos de fontes para a intensidade magnética: correntes de transporte e material magnetizado. É fácil mostrar que a corrente no enrolamento toroidal produz apenas um campo tangencial. O enrolamento é equivalente a N espiras circulares de corrente; se combinarmos as espiras aos pares (Fig. 9-13), é evidente que cada par de espiras produzirá um campo tangencial no ponto em questão.
,.. Veja, por exemplo, o American Institute af Physics Handbaok, 3a edição (New York: McGrawHill, 1972), p. 5-247.
Circuitos de Corrente que Contêm Meios Magnét1cxis'20J
Figura 9-13 Natureza axial do campo em um enrolamento toroidal, mostrada ao combinar, aos pares, o campo magnético das espiras de corrente.
A segunda fonte de H, o próprio material magnetizado, pode proporcionar possivelmente uma contribuição por meio das densidades de pólo: PM = - V "M e 0M = M . n. Como o material ferromagnético do toróide é isotrópico, M terá o mesmo sentido que H. Porém M se originou em resposta a correntes nos enrolamentos toroidais e, portanto, este campo é tangencial. Assim, esperamos somente um Mt e podemos abandonar o índice t. De acordo com isto, não há superfícies na amostra toroidal que sejam normais a M e, por conseqüência, nenhum 0M surgiu. Finalmente, PM deve ser igual a zero; não obstante M possa ser uma função de r (a distância desde o eixo do toróide), o termo aMjar não contribui para V • M. O resultado interessante é que, neste caso, o material magnetizado não· oferece nenhuma contribuição para H, e a Eq. (9-65) fornece todo o campo magnético. Um outro problema, algo mais complicado que o precedente, é o do enrolamento toroidal de N espiras que circundam uma amostra ferromagnética em que se fez um corte estreito, preenchido com ar, de largura d (Fig. 9-14). Não faremos distinção entre uma fenda preenchida com ar e uma com vácuo, uma vez que é evidente, pela Tabela 9-1, que a permeabilidade do ar difere apenas levemente de J10' Neste problema, a lei circuital de Ampêre não é suficiente para determinar H porque os argumentos de simetria não podem ser invocados para afirmar que H é o mesmo em todos os pontos de um percurso circular. Dessa forma, primeiramente iremos à equação da fonte, Eq. (9-27). Observamos novamente que há duas contribuições para a intensidade magnética; uma, das correntes de transporte, e outra, da magnetização. Como o enrolamento toroidal é idêntico ao do problema precedente, a contribuição das correntes de transporte para H deve ser a mesma que antes. Representando esta contribuição por meio do índice 1, podemos escrever (9-66)
-IdI-
Figura 9-14 EnroJamento toroidal em torno de um anel de material magnético com uma fenda preenchida com ar.
208
Propriedades Magnéticas da Matéria
Nosso problema é, então, calcular Hz, ou o termo V
2
= M (na fenda)
H
2
=O
(9-67)
(em outra parte)
Todavia, este resultado não concorda com a lei circuital de Ampere, pois JH
di
=
f (H1 + H2)
di
=
NI
+ Md
=1=.
NI
a não ser que d seja desprezivelmente pequeno. Para uma estreita fenda de ar, porém, não desprezivelmente pequena, uma aproximação mais precisa será H2
= M (1
-1)
(na fentra)
d
H2 = - M
(9-68)
I
(no material), que não somente satisfaz a lei circuital de Ampere, mas também proporciona a continuidade da component~ normal de B através das faces polares. Combinando as Eqs. (9-66) e (9-68), e substituindo o resultado na Eq. (9-26): B
=
110(H
+ M),
encontramos
B = -1110 N I + 110M
(d)1 -
I
tanto na fenda como no material magnético. Para resolver completamente
(9-69) o problema, te-
rnos de conhecer apenas a relação
Para o "ferro doce",
Xm
pode ser considerado constante.
*9-10 CIRCUITOS MAGNÊTlCOS As linhas de fluxo magnético, corno vimos, formam espiras fechadas. Se todo o fluxo magnético (ou substancialmente todo) associado a urna distribuição particular de correntes estiver confinado a um percurso bem definido, poderemos falar em circuito magnético. Dessa forma, os exemplos expostos na Seção 9-9 eram circuitos magnéticos, pois o fluxo magnético estava confinado à região dentro do enrolamento toroidal. No primeiro exemplo, o .circuito se constituiu de um material apenas; um anel ferromagnético; no segundo caso, todavia, encontramos um circuito em série composto de dois materiais: um material ferromagnético e uma fenda de ar. Consideremos um circuito em série mais comum, formado de diversos materiais circundados por um enrolamento toroidal de N espiras, conduzindo uma corrente J, como
Grcuitos Magnéticos
209
o mostrado na Fig. 9·15. Da aplicação da lei circuital de Ampere a um percurso que ompanha o circuito (percurso tracejado, na figura), obtemos:
{Hdl=NI. expressar H em cada ponto, ao longo do percurso, em termos do fluxo magnético q:,; usando B = J1H e q:, = BA, onde A é a área da seção reta do circuito no pono considerado, encontramos É conveniente
• cD
1
di
J1A
=
NI
.
N espiras
Percurso
Figura 9-15 Um circuito magnético.
Corno estamos tratando de um circuito magnético, esperamos que q:, seja essencialmente constante em todos os pontos do circuito; por conseguinte, podemos tirar q:, da integral: (9-70) Esta é a equação básica do circuito magnético, que nos permitirá obter o fluxo q:,em termos dos parâmetros do circuito. A Eq. (9-70) recorda-nos urna equação semelhante de um circuito de corrente em série: IR = "r. Por analogia, definimos urna força magnetomotriz (frum): fmn =NI,
(9-71)
e a relutância ~, fJf= {di.
.
(9-72)
J1A
Usando estas definições, podemos reescrever a Eq. (9-70) corno fmm
cD
=-
fJf
(9-70a)
Se o circuito for constituído por vários pedaços homogêneos, cada um de seção reta uniforme, a relutância poderá ser aproximadamente: (9-72a)
210
Propriedades Magnéticas da Matéria
Em conseqüência, a relutância total do circuito em série será a soma das relutâncias -dos elementos individuais. A analogia entre os circuitos de corrente e os circuitos magnéticos é ainda mais estreita do que se indicou, uma vez que a resistência de um circuito de corrente é dada por
R= J~ ~gA' que difere da Eq. (9-72) somente pela substituição de J1 por g. Por causa dessa analogia, é evidente que as combinações de relutâncias em série e em paralelo podem ser feitas da mesma maneira que as combinações de resistências em série e em paralelo. O conceito de circuito magnético é de uso mais geral quando aplicado a circuitos que contêm materiais ferromagnéticos, porém é justamente nestes materiais que experimentamos certa dificuldade. Num material ferromagnético, J.l = J1(H) e não conheceremos H no material até que o problema do circuito esteja completamente resolvido e
esplIas Figura 9-16 Este circuito magnético será equivalente ao circuito magnético da Fig. 9-15 se as permeabilidades de A, B e C forem grandes. Se os materiais B e C forem ferromagnéticos, dois circuitos não serão mais equivalentes porque
mas A representar uma fenda de ar, ~s existirá alguma perda de fluxo nas ex-
Circuitos Magnéticos que Contêm frnãs Permanentes
211
tremidades do solenóide na Fig. 9-16. A quantidade de fluxo que escapa do circuito depende da razão entre a relutância do circuito magnético e o percurso de fuga. Quando o corte A for pequeno, comparado ao comprimento do solenóide, O fluxo de fuga será pequeno e poderá ser desprezado em cálculos aproximados. A relutância do percurso de fuga foi determinada para muitas geometrias comuns e é apresentada em vários livros clássicos de referência. * O conceito de circuito é seguramente uma aproximação mais imperfeita no caso magnético do que no caso elétrico porque (1) a razão entre a relutância do circuito e a relutância de fuga não é tão pequena como a razão corresponden te das resistências no caso elétrico; e (2) as dimensões laterais do circuito magnético não são geralmente desprezíveis em comparação com seu comprimento; todavia, o conceito de circuito magnético provou ser extremamente útil. *9-11 CIRCUITOS MAGNÉTICOS QUE CONTÊM ÍMÃs PERMANENTES O conceito de circuito magnético é útil também quando aplicado a circuitos de ímãs permanentes, isto é, a circuitos de fluxo nos quais
ou a
b
fa H di = - f b (P-M) H di.
(9-73)
Ao escrever a Eq. (9-73), admitimos explicitamente que o material P-M esteja entre os pontos b e a da trajetória do fluxo, aO passo que de a até b a trajetória do fluxo não enontra material P·M. O uso de B = f.1H e
a
a
IlA = - f b (P·M)
-
H di.
(9-74a)
O fluxo magnético
do direito da Eq. (9-74) pode ser escrito -Hm 1m, onde H m é a intensidade magnética média do ímã e 1m é O comprimento do ímã. Assim (9-74b) é a equação que relaciona as quantidades desconhecidas Bm e Hm. Esta equação pode ser ;esolvida simultaneamente com a curva de histerese do ímã para dar tanto Bm como Hm. Como exemplo de um circuito P-M, consideremos o circuito composto por um ímã, ma fenda de ar e ferro doce (Fig. 9-17). b importante compreender que o ferro doce não é um material P-M; sua histerese é realmente desprezível em comparação com a do ímã e
Veja, por exemplo, 5. A. Nasar e L. E. Unnewehr. Elecrromechanics and Rotating Electric Machines (New York: Wiley, 1978); e F. N. Bradley, Materiais for Magnetic Functions (New York: Hayden Book Co., 1971), p. 162.
212
Propriedades
/li =B;/Hi
Magnéticas
da Matéria
é uma quantidade positiva. A relutância'~ab I &00
Ferro doce
a
=
é dada por
I
~I-
/liAj
+ -g-,
(9-75)
/loAg
Figura 9-17 Circuito com ímã permanente. Para o circuito mostrado, o ímã tem um campo desmagnetizante que atua sobre ele; o campo desmagnetizante pode ser reduzido aumentando-se o comprimento do material P-M, com a colocação, por exemplo, de ímãs adicionais nos braços laterais do circuito.
b
i
onde os índices e g se referem ao ferro doce e à fenda de ar, respectivamente. Se a fenda de ar não for estreita demais, a Eq. (9-75) poderá, geralmente, ser aproximada para Jloo
Ig
~-J10
Ag ,
que, combinada com a Eq. (9-74b), dará ImAg
Bm
=
-TAm )10 Hm,
(9-76)
9
uma relação linear entre B m e H m' O gráfico desta equação, juntamente com a curva de histerese do ímã, é dado na Fig. 9-18. A interseção das duas curvas fornece o ponto de operação do ímã. O problema está agora essencialmente resolvido: com o conhecimento de Bm' o fluxo
=
1~.J.g IJ.OH",
Ig:l",
L\
\ \
Relação para
H-H
P-:\I ~
\
Figura 9-18 Linha desmagnetizante magnético. (O índice m representa }J.oH m está representado vés de Hm. a inclinação
justamente um número
de um circuito um ímã.) Como
no eixo das abscissas ao inda linha desmagnetizante é
-UmAg/lgAm},
em
outras
palavras.
puro.
Há, contudo, dois pontos que merecem menção. O primeiro consiste em saber o que usar como área efetiva, Ag, da fenda. E como uma primeira aproximação, tomamos Ag igual à área da face do pólo do ferro doce e, se a fenda de ar não for larga demais, esta aproximação será adequada. Não entraremos numa discussão minuciosa deste ponto, mas, em lugar disso, indicaremos aos leitores interessados as referências apresentadas na seção anterior. O segundo é o problema do fluxo de fuga, tão importante nos circuitos P-M co-
Resumo
213
::10 em outros tipos de circuitos magnéticos. Nos problemas apresentados
neste livro, con:udo, faremos geralmente a suposição de que o fluxo de perdas pode ser desprezado. Finalmente, observamos que Hm, como foi determinado na Fig. 9-18, é negativo, :sto é, a intensidade magnética do ímã é um efeito desmagnetizante. Este é um resultado geral; quando o fluxo magnético tiver sua origem num ímã permanente, o próprio ímã es:ará sujeito a um campo desmagnetizante.
9-12 RESUMO Vimos, no Capítulo 4, que a resposta de um meio (dielétrico) a .um campo E foi uma densidade de carga de polarização PP = -V o P{op = n o P), onde P = XE; no Capítuo 7, um meio (condutor) respondeu a um campo E com uma densidade de corrente de ransporte J =gE. Vimos agora que um meio (magnético) responde a um campo B com ma outra espécie de densidade de corrente, a corrente de magnetização atômica, JIo1
= V xM
UM
= -n x M),
onde M = dm/dv é o momento magnético por unidade de volume do material. O vetar poencial resultante da magnetização é
=
A (r)
r
110
4rr.
J\1(r') Ir
d["
- r' I
O campo total B devido a correntes de transporte estacionárias mais correntes de magnetização satisfaz a equação: V x B Observe que de maneira idêntica amo
=
+ J M)'
110(J
V· JM = O. É conveniente
definir o campo vetarial
1 H=-B-M 110
'
e tal forma que V x H = J, tendo como fontes apenas as correntes de transporte -ionais. Para um meio particular, a equação constitutiva
conven-
= J.m(H)H
M
eve ser conhecida. Combinada com a definição de H, isto dá
B = I1(H)H, onde
11
= 110 (1
+ Xm)· Esta relação, juntamente com as equações diferenciais V· B=O,
VxH=J determina B e H, sujeitos às condições de contorno: B2n
-
BIn
=
H2r
-
H1r
=j
O, x
n2.
1. A maior parte dos materiais é diamagnética (Xm < O) ou paramagnética (Xm > O); em ada caso, IXm I ~ 1. Os materiais magnéticos de importância prática são ferromagnéticos. Para estes, IXm I pode ser maior do que JOOO, porém B = B(H) não é linear e nem mesmo de valor único (msterese).
214
Propriedades Magnéticas da Matéria
2_ Em problemas sem correntes de transporte, usar o potencial escalar: H Como V
o
B' = O, V
o
uma vez que V x H = O, é conveniente
= -Vcp*.
H = - V . M e assim
satisfaz a equação de Poisson
<.p*
Uma solução é cp*(r)
onde
PM
= - V M, uM = o
= 4n ~
J'
vo
r - r'dv' I
PM(r') I
+~ 4n
f O'M(r') da' '50 I r - r' 1
'
fi • M. (Isto será útil se M for uma função dada.)
3. Em tais problemas, com meios lineares ou com M uniforme, V • H = O e <.p* satisfaz a equação de Laplace. Estes problemas são idênticos aos problemas eletrostáticos corresponden tes, sem densidade de carga externa. 4. Com correntes de transporte,
a integral de V x H = J é a lei de Ampere
fH . dI = I. S. A solução para H divide-se em duas partes: uma devida às correntes de transporte outra devida aos materiais magnéticos: H(r)
e
=~.4n f J(r') r x-X,r r') dv' - Vcp*(r). 13
I
[A avaliação do segundo termo depende do conhecimento
de M(H).]
6. Na presença de materiais ferromagnéticos com fJ. grande, pode ser uma aproximação útil a suposição de que todo o fluxo
N 1=
onde a relutância I .Ji'
= fJ.A
pode ser calculada para cada elemento do circuito magnético.
PROBLEMAS 9·1 Um ímã permanente tem a forma de um cilindro reto, circular, de comprimento L. Se a magneti,.ação M for uniforme e tiver a direção do eixo do cilindro, encontre as densidades de corrente de magnetização, JM e jM. Compare a distribuição de corrente com a de um so]enóide. 9-2 Encontre a distribuição de correntes de magnetização correspondentes a uma esfera uniformemente magnetizada com magnetização M. De acordo com a Eq. (9-63), a indução magnética B é uniforme no interior desta esfera. Pode-se usar esta informação para des<:nhar um enrolamento para corrente que produzirá um campo magnético uniforme numa região esférica do espaço? 9-3 (a) O momento magnético de um corpo macroscópico é definido por fvM dv. Demonstre a relação .r v M dv = •rv rpM dv + •f S rO'I{ da, onde S é a superfície que limita V. (Sugestaã: Consulte o problema semelhante que envolve P, no Capí-
tulo 4.) (b) Um ímã permanente,
com a forma de uma esfera de raio R, tem magnetização uniforme,
,J>
Problemas
215
em direção do eixo polar. Determine o momento magnético do ímã a partir tanto do lado direito 'omo do lado esquerdo da equação da parte (a).
.-10,
9-4 (a) É dado um ímã com magnetização específica: M (x,)", z). Cada elemento de volume dv pode er tratado com um pequeno dipolo magnético, M dv. Se o ímã for colocado num campo magnético .r:Üforme, Bo, encontre o torque sobre o ímã em termos de seu momento magnético (definido no Pro;;lema 9-3). (b) Um ímã com a forma dc um cilindro circular reto, de comprimento L e seção retaA, esc3 uniformemente magnetizado, em paralelo com o eixo do cilindro, com magnetização Mo. O ímã é ;:oloeado num campo magnético uniforme Bo. Encontre o torque sobre o ímã em termos de suas dens:dades polares. ·5 Um elipsóide, com eixos principais de comprimento 20, 20 e 2b é uniformemente magnetizado nu~a direção paralela ao eixo 2b. A magnetização do elipsóide é Mo· Encontre as densidades polares ;;]J.gnéticas para esta geometria. 9-6 É dada uma casca esférica, de raio interno RI e raio externo R" que está uniformemente magne;iz..ada na direção do eixo z. A magnetização na casca é Mo = Mo k. Encontre o potcncial escalar .p* em ;:'Ontos sobre o eixo z, tanto dentro como fora da casca. 9·7 Um ímã pcrmanente, com a forma de um cilindro circular reto, de comprimento L e raio R, está orientado de maneira que seu eixo de simetria coincida com o eixo z. A origem de sistcma de coorde":J.das está no centro do ímã. Se o cilindro tiver magnetização axial uniforme M. (a) determine 'f!* (z) em pontos sobre o eixo de simetria, tanto dentro como fora do ímã e (b) use os resultados da parte (a) ?ara encontrar a indução magnética B z em pontos sobre o eixo de simetria, tanto dentro como fora do ímã. 9-8 Uma esfera de material magnético, de raio R, é colocada na origem do sistema de coordenadas. A :r.:'ignetização é dada por M = (ax' + b)i, onde a e b são constantes. Determine todas as densidades po;ares e correntes de magnetiz.ação. ·9 Um anel de ferro recozido, de comprimento médio de 15 em, é enrolado com uma bobina toroidal de 100 espiras. Determine a indução magnética no anel quando a corrente no enrolamento for (a) 0.1 A, (b) 0,2 A e (c) 1,0 A. 9-10 Um anel de ferro doce, com urna fenda de ar de 1,0 cm está enrolado de forma toroida! como é ~ostrado na Fig. 9-14. O comprimento médio do anel de ferro é de 20 em, sua seção reta tem 4 em' e 5"Ja permeabilidade, que se supõe constante, é de 3000 O enrolamento de 200 espiras conduz.. uma orrente de ] O A. Enconue B e H dentro do anel de fcrro e na fenda de ar. IJ-o.
9-11 Um cilindro longo. de raio a e permeabilidade IJ-, é colocado num campo magnético uniforme, Bo, de forma a que o eixo do cilindro forme ângulos retos com Bo. Calcule a indução maf:nética no in:erior do cilindro. Faça um esboço semiquantitativo mostrando as linhas de indução típicas através do cilindro. (Suponha, desde o início, que 'f!* pode ser completamente especificado cm termos dos harmôaicos cilíndricos de cos e. Esta suposição é justificada, uma vez que todas as condições de contorno ;><>demser satisfeitas em termos dos harmônicos de cos e.)
I
9·12 Um longo fio de cobre e um longo fio de fcrro, retos, conduzem, cada um, a mesma corrente :1um campo B uniforme, Bo _ Demonstre que a força sobre o fio de ferro é quase duas vezes a força so. re o fio de cobre. (Sugestão: Use o resultado do Problema 9-11.)
I
está em um eletroduto de ferro cilíndrico. O eletroduto tem 9·13 Um fio conduz.indo uma corrente raios interno e externo, a e b-, susceptibilidade X constante, e é c03-xial com o fio. Encontre a densidae de corrente de magnetização e a corrente de magnetização total. Dois meios magnéticos estão separados por uma imerface plana. Demonstre que os ângulos entre normal ao contorno e os campos B em ambos os lados satisfazem
9-14
112
tan 81
= 111
tan 82,
9-15 Um fio reto, que conduz uma corrente I, é paralelo a um plano infinito, a uma distância d do
216
Propriedades
Magnéticas
da Matéria
plano. O fio está no ar e o meio, a grande distância dos limites do plano, tem permeabilidade constanuma corrente imagem que dê o campo B correto no ar se (a) I-' = ~ e (b) I-' = O. (O caso te, J.L Encontre (a) aproxima-se de um material ferromagnético e o (b) descreve um supercondutor.]
* 9-16
Calcule o fator desmagnetizante de um cilindro longo que está magnetizado nos ângulos retos com o eixo do cilindro. A magnetização é uniforme.
*9-17
Uma
longa
casca cilíndrica
(raio
b, raio interno
externo
a e permeabilidade
permanentemente
relativa
Km) está
Bo' (a) Demonstre que a inorientada normalmente para um campo de indução magnética uniforme, dução magnética Bi na região de vácuo dentro da casca é paralela a Bo. (b) Demonstre que o fator de blindagem magnética hm é dado por
h
==
m
9-18
Um circuito
magnético
Bo
B,
=
1
+
{Km -
4K m
1)2
que tem a forma
~1~\;;~i)jI'lal!l é enrolado com 100 espiras que conduzem uma corrente de 1 A. O enrolamento está localizado na extremidade esquerda do circuito. A altura do circuito é de 10 em, seu comprimento é de 20 em, a seção as reta de cada lado é de 6 em' e sua permeabilidade, suposta constante, é de 50001-'0' Desprezando perdas, calcule circuito. 9-19
o t1uxo magnético
Um circuito,
com a forma
mento, um percurso ímã é de 4 em' em meabilidade- relativa magnetizados: óxido nético são alteradas parte
através mostrada
central
na Fig. 9-17,
e também
através
da extremidade
tem um ímã permanente
no ferro doce de 16 em e uma fenda de ar de 0,8 média, ao passo que a área da seção reta efetiva da do ferro é 5000. (a) Calcule a densidade do ±luxo sintetizado e aço-Co, 35%. Despreze as perdas. (b) para 0,8 de um só modo: a fenda de ar é diminuída
direita
do
de 8 em de compri-
em. A seção reta do ferro e do fenda de ar é de 3 em'. A permagnético para dois materiais As dimensões do circuito magmm. Repita o cálculo feito na
(a).
9-20 Encontre a indução magnética teriais mostrados na Fig. 9-9. 9-21
da parte
Um circuito
magnético,
em uma esfera uniformemente
cuja forma
é mostrada
magnetizadá
na Fig. 9-17, tem
para cada um dos ma-
um ímã de Alnico V de 10 em
de comprimento, uma trajetória de 16 em no ferro doce e uma fenda de ar de lcm. Está também enrolado com 800 voltas-ampere de fio (em um sentido que auxilia o f1uxo produzido pelo ímã). Encontre a densidade do ±luxo magnético na fenda de ar. (Despreze as perdas, tome Km = 5000 para o ferro doce e suponha
que as seções retas do ímã, do ferro doce e da fenda
de ar sejam as mesmas.)
CAPÍTULO 10 TEORIA MICROSCÓPICA DO MAGNETISMO * No capítulo anterior, estávamos interessados nos aspectos macroscópicos da magnetização. As propriedades magnéticas da matéria foram introduzi das explicitamente através da função M e isto foi relacionado à indução magnética por meio de parâmetros determinados experimentalmente. Consideraremos agora a matéria do ponto de vista microscópico (isto é, como um agrupamento de átomos ou moléculas) e veremos como as moléculas individuais respondem a um campo magnético imposto. Se este procedimento fosse levado a cabo completamente, finalizaríamos com expressões teóricas para a susceptibilidade e com relações E-H para todos os tipos de materiais. Tal procedimento, na verdade, foge aos objetivos deste livro; contudo, podemos demonstrar simplesmente como os vários ti· pos de comportamento magnético se sucedem e, além disso, deduzir eXpressões que em certos casos prevêem a ordem de grandeza correta para a susceptibilidade. Urna exposição mais completa dos tópicos aqui apresentados encontra-se em livros de física do estado sólido.** Na formulação macroscópica, lidamos com dois vetores de campo, B e H, que relacionamos através da equação B = 110 (H + M). Do ponto de vista microscópico, a distinção entre B e H desaparece, em grande parte, porque lidamos com um agrupamento de moléculas (isto é, com um agrupamento de dipolos magnéticos ou grupos dipolares) no vácuo. Estamos interessados no campo magnético próximo de uma molécula no vácuo ou na posição de uma molécula quando deslocada do sistema. Dessa forma, Bm = 110 Hm. Aqui, o índice m significa microscópico, mas, nas seções seguintes deste capítulo, o símbolo Bm (e Hm) representará um valor particular do campo microscópico, ou seja, o campo na posição de uma molécula. É costume, quando se estuda o campo microscópico no interior da matéria, relacionar Hm com o campo H macroscópico, em lugar de Bm com o campo B, porque tanto H como Hm podem ser escritos simplesmente em termos de integrais sobre as distribuições de corrente e de dipolo. Fará muito pouca diferença, todavia, se calcularmos Hm ou Bm, uma vez que diferem um do outro apenas pelo fator de escala Mo. * **
Este capítulo pode ser orrútido sem perda de continuidade.
Veja, por exemplo, C. Kittel, Introduction 1976), Capítulos 14 eIS.
to Solid State Physics, 5~ edição (New York: Wiley,
217
218
Teoria Microscópica do Magnetismo
10-1 CAMPO MOLECULAR NO INTERIOR DA MATÉRIA O campo magnético que é eficiente em sua interação com as correntes atômicas num átomo ou numa molécula se denomina campo molecular Bm = MoHm. Em alguns livros chama-se campo local. Este é o campo magnético em uma posição molecular (ou atômica) do material; é produzido por todas as fontes externas e por todos dipolos moleculares do material com exceção da molécula (ou átomo) no ponto em consideração. É evidente que Bm não necessita ser o mesmo que o campo de indução magnética macroscópico, uma vez que esta última quantidade se relaciona com a força sobre um elemento de corrente cujas dimensões são grandes em comparação com as dimensões moleculares. O campo molecular pode ser calculado por um procedimento semelhante ao da Seção 5-1 para o campo elétrico molecular em um dielétrico. Consideremos um objeto material de forma arbitrária que, por conveniência, suporemos estar uniformemente magnetizado, com magnetização M. Destaquemos um pequeno pedaço do objeto, deixando urna cavidade esférica em redor do ponto em que o campo molecular for calculado. O material que sobrar deve ser considerado como um contínuo, isto é, do ponto de vista macroscópico. Em seguida, coloquemos o material de volta na cavidade, molécula por molécula, exceto a molécula do centro da cavidade, onde queremos calcular o campo molecular. As moléculas que acabaram de ser recolocadas devem ser consideradas, não corno um contínuo, mas corno dipolos individuais ou grupos dipolares. O campo macroscópico H, intensidade magnética da amostra, pode ser expresso, de acordo com a Eq. (9-27), corno
H = ~ I- J x (r - r') 4n •. r - r I
'
13
d " u
~ I' p.\f(r + 4n ' r 1
-
r
r'2 d,' '
13
v
~ I' + 4n . s
(}M(r I
r') d '
-
r - r
'
13
a,
onde as integrais se estendem sobre todas as fontes: J, PM e 0M' O campo molecular Hm pode ser expresso de maneira semelhante, exceto que agora há contribuições adicionais da superfície da cavidade e dos dipolos individuais da cavidade. A integral de PM (r - r')/ Ir - r'13 sobre o volume da cavidade não precisa ser excluída especificamente, urna vez que PM = - V • M = O na amostra uniformemente magnetizada. Assim (10-1) onde H é a intensidade magnética macroscópica da amostra, Hs é a contribuição da densidade de pólo superficial 0M = Mn sobre a superfície da cavidade e H' é a contribuição dos diversos dipolos do interior da cavidade. Da dedução correspondente na Seção 5-1, vê-se que Hs é ( 10-2)
Além disso, a contribuição
dipolar,
I
ri H' = 4n ~ i [3(miri~ri)ri _ ":i],
(10-3)
onde fi é a distância do dipolo de índice i até o centro da cavidade, é da mesma forma que o termo de dipolo elétrico correspondente E' da Seção 5-1. Assim, se limitarmos nosso interesse à classe bastante grande de materiais para a qual a Eq. (10-3) se anula, a Eq. (10-1) se reduzirá a (10-4)
Origensdo Diamagnetisrno
219
e (10-5) As Eqs. (10-4) e (10-5) dão o campo molecular em termos da intensidade magnética macroscópica e da magnetização da amostra. Para a maioria dos materiais diamagnéticos e paramagnéticos, o termo + M = + Xm H é desprezivelmente pequeno mas, para materiais ferromagnéticos, a correção é bastante importante. 10-2 ORIGEM DO DIAMAGNETlSMO Para calcular a susceptibilidade diamagnética de um agrupamento de átomos, devemos conhecer algo sobre o movimento eletrônico no próprio átomo. Suporemos que cada elétron circula em tomo do núcleo atômico em algum tipo de órbita e, para simplificar, escolheremos uma órbita circular, de raio R, em um plano que forma ângulos retos com um campo magnético aplicado. A mecânica quântica diz-nos que, apesar desta descIição estar quase correta, os elétrons não circulam em órbitas bem definidas. Para a resolução adequada do problema, temos de resolver a equação de Schrodinger para um elétron atômico em um campo magnético; todavia, nosso cálculo "clássico", bastante elementar, dará a ordem de grandeza correta para a susceptibilidade diamagnética. Antes do campo de indução magnética ser aplicado, o elétron está em equillbrio em sua órbita:
( 10-6) onde Fq é a força elétrica que mantém o elétron no seu átomo, Wo é a freqüência angular do elétron em sua órbita e me é a massa do elétron. A aplicação de um campo magnético exerce uma força adicional -eu x Bm sobre o elétron; supondo que o el~tron permanece na mesma órbita, obtemos
que, quando combinada com a Eq. (10-6), fornece ±ewBm
= mAw - wo)(w + wo)·
(10-7)
A quantidade ~w = w - Wo é a variação na freqüência angular do elétron. Dessa forma, o elétron acelera ou diminui a velocidade em sua órbita, dependendo da forma geométrica detalhada (isto é, do sentido de v x Bm em relação a Fq) porém, em qualquer caso, a variação no momento magnético orbital será em sentido oposto ao campo aplicado. Esta afirmação pode ser facilmente verificada pelo leitor. Mesmo para os maiores campos que podem ser obtidos no laboratório (-100 T), ~w é pequeno comparado com wo, de forma que a Eq. (10-7) pode sempre ser aproximada para (10-8) A quantidade (e/2me)Bm é conhecida como freqüência de Larmor. Até agora, simplesmente admitimos que o elétron permanece na mesma órbita. Usamos esta suposição juntamente com o equihbrio de forças para deduzir a Eq. (10-8). Para o elétron permanecer em sua órbita, a variação em sua energia cinética, como se determinou pela lei da indução de Faraday, deve ser compatível com a Eq. (10-8). Quando o cam-
220
Teoria Microscópica do Magnetismo
po magnético é ligado, ocorre uma variação no fluxo, através da órbita, dada por rrR 2 6.B m • Este fluxo passa por 6.n espiras eletrônicas, onde 6.n é o número de revoluções feitas pelo elétron durante o tempo em que o campo varia. O fluxo variável produz uma fem de acordo com a lei de Faraday:
g
= nR
2
-dBm
L1n
dt
A energia dada ao elétron neste processo é cinética: 1
2meR
Porém, 6.Bm é justamente wo)/4rr. Dessa forma
2 (2
11,e,
2)
W
dt
L1B . m
(10-9)
que aparece como uma variação na energia
= enR
- Wo
-dn
= nR 2
2
dn dt L1Bm·
(10-10)
o valor final do campo Bm e o valor médio de dn/dt = (w L1w
=-
e
+
B
2me
m'
que concorda com a Eq. (10-8). Assim, a suposição de uma órbita constante não leva a uma contradição entre a Eq. (10-9) e a equação da força. O diamagnetismo é o resultado da lei de Lenz operando numa escala atômica. Após a aplicação de um campo magnético, as correntes eletrônicas em cada átomo são modificadas de tal maneira que tendem a enfraquecer o efeito deste campo. A variação da velocidade angular prevista pela Eq. (10-8) produz uma variação no momento magnéti'co dada por e , e L1m
= - - nR - 2n
2me
4me
m
(10-11)
e2 ---
B
R2f.1oHm·
Para encontrar a magnetização, este resultado deve ser somado a todos os elétrons de um volume unitário. Para uma substância contendo N moléculas por unidade de volume, todas da mesma espécie molecular,
M
=
Ne211
"R2 4 merO H mL." i
(10-12)
onde a soma compreende os elétrons de uma molécula. Para materiais diamagnéticos, Hm difere muito pouco de H, de forma que a susceptibilidade diamagnética (10-13a)
Este resultado foi obtido, supondo-se que todos os elétrons circulem em planos perpendiculares ao campo Hm. Quando a órbita for inclinada, de forma a que uma normal à órbita forme um ângulo 131com o campo, apenas a componente de Hm ao longo desta normal (Hm cos ei) será eficiente para alterar a velocidade angular do elétron. Além disso, a componente de t.m paralela ao campo é menor pelo fator cos ei. Como conseqüência, uma melhor aproximação à susceptibilidade diamagnética é
Origem do Paramagnetismo
Xm , _-
~---Ne2J1o
4me
~ L j
Ri 2
cos
2 ej•
221
(10-13b)
O diamagnetismo está presumivelmente presente em todos os tipos de matéria, porém tal efeito é freqüentemente mascarado por um comportamento paramagnético ou ferromagnético mais imenso que pode ocorrer simultaneamente no material. O diamagnetismo é particularmente intenso em materiais que se constituem inteiramente de átomos ou íons com "camadas eletrônicas fechadas", pois nesses casos todas as contribuições paramagnéticas se cancelam.
10-3
ORIGEM DO PARAMAGNETISMO
Pode-se descrever o movimento orbital de cada elétron em um átomo ou molécula em termos de um momento magnético; isto provém diretamente da Eq. (8-22). Além disso, sabe-se que o elétron tem uma propriedade intrínseca denominada spin e um momento magnético intrínseco associado com esta carga de spin. Cada molécula, então, tem um momento magnético mj que é a soma vetorial dos momentos orbital e de spin provenientes dos diversos elétrons da molécula. Em resumo, o paramagnetismo resulta da tendência destes momentos moleculares alinharem-se com o campo magnético aplicado, exatamente como o circuito de corrente da Eq. (8-19) tende a se alinhar com o campo. A situação, contudo, não é tão clara como a de um circuito de corrente. Existem, de fato, duas complicações: (1) na presença de um campo magnético, os movimentos eletrônicos são quantizados de modo que cada momento orbital e de spin tem apenas um conjunto discreto de orientações relativas ao sentido do campo. Além disso, dois elétrons da molécula não podem ocupar o mesmo estado quântico, de forma que, se houver elétrons suficientes por molécula para preencher as "camadas eletrônicas", então, todas as orientações possíveis deverão ser usadas e m; será nulo. Evidentemente, o paramagnetismo só poderá ocorrer quando mj = O. (2) O movimento eletrônico no interior de um átomo que dá origem a mi, também produz um momentum angular com respeito ao núcleo atômico; realmente, mi está linearmente relacionado a este momentum angular. Nestas condições, o torque magnético não alinha o momento dipolar mi diretamente com o campo mas provoca um movimento de precessão daquele, em tomQ do campo, com inclinação constante.* Os átomos (ou moléculas) de nosso sistema material estão em contato térmico entre si. Num gás ou líquido, os átomos continuamente colidem uns com os outros; num sólido, os átomos experimentam uma oscilação térmica. Nestas condições, os diversos mi podem trocar a energia magnética com a energia térmica de seu meio ambiente e fazer transições de um estado precessional a outro, de inclinação diferente. A energia térmica do sistema tenta atuar de forma a produzir uma orientação completamente aleatória dos mi, porém orientações ao longo ou próximas da direção do campo possuem uma energia magnética menor e são portanto favorecidas. A situação é bastante semelhante à das moléculas polares num campo elétrico, de que já tratamos na Seção 5-3. Para um material composto totalmente por uma espécie molecular, onde cada molécula possui um momento magnético mo, a orientação fracional é dada, aproximadamen-
* Uma exposição da precessão de mi num campo magnético uniforme é apresentada em muitos livros. Veja, por exemplo, H. Goldstein, Classical Mechanics (Reading, Mass.: Addison-Wesley, 1950), pp.176-7.
222
Teoria Microscópica do Magnetismo
te, pela função da Langevin, Eq. (5-21), com moJ.1oHm
=
Y
(10-14)
kT
A magnetização é dada por
IMI =
Nmo [coth Y
-l],
00-15a)
onde N é o número de moléculas por unidade de volume. Exceto para temperaturas próxi. mas do zero absoluto, a função de Langevin pode ser dada aproximadamente pelo primeiro termo de sua série de potências: Nm2
M que fornece a susceptibilidade
= __ o J.1oH 3kT
m'
(1O-15b)
paramagnética Nm6J.10 Xm
=
3kT
(10-16)
De acordo com a teoria atômica, mo está no intervalo de alguns magnetons de Bohr (1 magneton de Bohr=eh/47Tme, onde h é a constante de Planck). As Eqs. (10-16) e (l0-13b) explicam a ordem de grandeza dos Xm na Tabela 9-1. Podemos resumir brevemente os resultados desta seção da seguinte maneira: Para apresentar um comportamento paramagnético, os átomos (ou moléculas) de um sistema devem ter moméntos magnéticos permanentes que devem tender a orientar-se no campo aplicado. Os diversos momentos moleculares estão desacoplados, isto é, eles precessionam em tomo do campo magnético individualmente (não em unissonância), são capazes, porém, de trocar energia por causa do contato térmico com seu meio ambiente. Exceto a temperaturas próximas do zero absoluto e para grandes campos simultâneos, a magnetização está bastante abaixo do valor de saturação que seria obtido se todos os momentos de dipolo estivessem alinhados. 10-4 TEORIA DO FERROMAGNETISMO Em materiais ferromagnéticos, os momentos magnéticos atômicos (ou moleculares) estão quase alinhados, mesmo na ausência de um campo aplicado. A causa desse alinhamento é o campo molecular Hm que, de acordo com a Eq. (10-4), não se anula quando H = O, a não ser que M se anule simultaneamente. Uma magnetização M dá origem a um campo molecular, mas a não ser que este campo molecular produza a mesma magnetização M que se presume existir no material, a solução é inconsistente. Nosso problema é determinar em que conjunto de circunstâncias pode a magnetização se manter através de um campo molecular. Demonstrar-se-á que é necessário generalizar a Eq. (10-4) até certo grau. Para o campo molecular, escreveremos Hm = H + 1M, que, para H = O, se reduz a (10-4a) De acordo com a teoria simples da Seção 10-1, I = +. Se os termos da Eq. (10-3) não somarem zero, I poderá ser diferente de +; todavia, esperamos que I seja desta ordem de grandeza.
Teoria do Ferromagnetisrno
223
Restrinjamos nossa atenção a um material composto inteiramente de uma espécie atômica, cada átomo tendo momento magnético mo. Existem N átomos por unidade de volume. Se os momentos atômicos estiverem quase alinhados, M deverá ser uma fração importante de Nmo; para fins de exatidão, contudo, digamos que
M> 0,7Nmo.
(10-17)
De acordo com a Eq. (10-15), isto implica que [cothy - Ojy)] do pela Eq. 00-14)] > 3. Assim
y=
mofloHm .~
> 0,7,
ouy [que é defini-
> 3,
que, quando combinada com as Eqs. (10-4a) e (10-17), dá 07
,
yNJ1om§
kT
>.
3
(10-18)
Esta (aproximadamente) é a condição para a ocorrência do ferromagnetismo. Afirmamos, na seção anterior; que a teoria atômica prevê que mo está no intervalo de alguns magnetons de BohI. Baseada nisso, a Eq. (10-18) requer um / de aproximadamente 103, que é algumas ordens de grandeza maior do que se pode explicar na dedução apresentada na Seção 10-1. Pareceria, então, que a origem do ferromagnetismo é consideravelmente mais complexa que a situação correspondente nos ferroelétricos (exposta na Seção 5-40). Em 1907, Pierre Weiss* formulou sua teoria do ferromagnetismo. Weiss apreciou o papel essencial desempenhado pelo campo molecular; ele não pôde explicar o grande valor de /, aceitou-o porém como um fato e prosseguiu no desenvolvimento de sua teoria a partir deste ponto. Descobriu-se que as previsões de sua teoria concordam bastante com as experiências. Por esta razão, o campo molecular da Eq. O 0-4) é freqüentemente chamado de campo molecular de Weiss. Coube a Heisenberg,** uns vinte anos mais tarde, explicar a origem do grande valor de /. Heisenberg mostrou, em primeiro lugar, que somente os momentos magnéticos de spin contribuem para o campo molecular e, em segundo, que o campo é produzido basicamente por forças eletrostáticas. Ele demonstrou, com fundamento na mecânica quântica, que, quando os spins dos átomos vizinhos mudam de alinhamento paralelo para alinhamento antiparalelo, deve ocorrer uma variação simultânea na distribuição da carga eletrônica nos átomos. A variação na distribuição de carga altera a energia eletrostática do sistema e, em certos casos, favorece o alinhamento paralelo (isto é, o ferromagnetismo). Uma energia dependente do spin, isto é, uma energia que depende da configuração de spin do sistema, pode ser vista em termos da força (ou torque) que se produz em um dos átomos quando a configuração é alterada. O campo equivalente toma-se proporcional a M, mas com um coeficiente que depende detalhadamente da distribuição de carga no átomo em consideração.
* **
P. Weiss,Journal de Physique, voi. 6, p. 667 (1907). W. Heisenberg, Zeitschrift für Physik, voi. 49, p. 619 (1928).
224
Teoria Microscópica do Magnetismo
A teoria de Weiss-Heisenberg pode ser usada para prever a maneira segundo a qual a magnetização de uma substância ferromagnética varia com a temperatura. É evidente que a teoria descreve o ferromagnetismo como o caso limite do paramagnetismo em um campo magnético extremamente grande, este campo, porém, é proveniente da própria magnetização. Combinando a Eq. (1O-4a) com as Eqs. (10-14) e (10-15), obtemos
M
= Nmo
lcoth
Y -
~J,
(10-19)
e kTy M=--.
Yl1omo
(10-20)
A magnetização espontânea, isto é, a magnetização num campo externo nulo, a uma certa temperatura, é obtida a partir da solução simultânea das Eqs. (10-19) e (10-20). Isto é conseguido facilmente através de um procedimento gráfico: Representamos 111 versus y para ambas as Eqs. (10-19) e (10-20), como é ilustrado na Fig. 10-1. A interseção das duas curvas dá uma magnetização M(T) compatível com ambas as equações. À medida que a temperatura aumenta, a curva linear, Eq. (10-20), toma-se mais inclinada, porém a Eq. (10-19) não varia. Dessa forma, o ponto de interseção desloca-se para a esquerda na figura e um valor menor é obtido para a magnetização espontânea. Finalmente, atinge-se uma temperatura em que a Eq. (10-20) se toma tangente à Eq. (10-19) na origem; nesta e em temperaturas maiores, a magnetização espontânea é nula. Esta temperatura é a temperatura de Curie, Te, aCima da qual a magnetização espontânea se anula e produz um comportamento paramagnético comum.
()
2
3 !f
Figura 10·1 Determinação da magnetização espontânea /l-l(T) com o auxIlio da função de Langevin.
Um gráfico de M(T) versus temperatura, obtido de acordo com o procedimento pre· cedente, aparece na Fig. 10-2. Ele concorda aproximadamente* com valores da magnetização espontânea de um material ferromagnético determinados experimentalmente.
*
Minuciosas correções quânticas na teoria aqui apresentada fazem com que a curva teórica tenha uma boa concordância com a experiência.
Domínios Ferromagnéticos
225
1,0 '"
~. 0,8 . , 0,2 ~-. 0,60 ':: 04;-
()
'--------~---~-
()
0,2
0.4
0,6
-----0,8
1,0
'i/Te Figura 10-2 Magnetização de um material ferromagnético como função da temperatura. Te é a temperatura Curie. (A curva mostrada foi calculada com o auxílio da função clássica de Langevin; as correções quanto-mecânicas alteram um pouco a forma da curva, fazendo com que concorde com os resultados experimentais.)
10-5 DOMÍNIOS FERROMAGNÉTICOS De acordo com a seção precedente, uma amostra ferromagnética pode ser magnetizada quase até a saturação (independentemente de sua história anterior) a temperaturas abaixo da temperatura Curie. Este enunciado parece ser contrário ao que se observa. Sabemos, por exemplo, que um pedaço de ferro pode existir numa condição magnetizada ou desmagnetizada. A resposta a este aparente paradoxo é que um material ferromagnético se divide em dominios; cada domínio está totalmente magnetizado, de acordo com os resultados da seção precedente, porém os diversos domínios podem-se orientar aleatoriamente (Fig. 10-3) e assim apresentarem um aspecto desmagnetizado, do ponto de vista macroscópico. A presença dos domínios foi postulada por Weiss, em 1907.
Figura 10-3 Estruturas de domínios ferromagnéticos: (a) cristal simples, (b) amostra policristalina. As setas representam a direção e o sentido da magnetização.
Ao passar de um domínio a outro, adjacente, o vetor do momento atômico mo gira, gradualmente, de sua direção original até a sua nova direção no curso de aproximadamente 100 átomos (Fig. 10-4). Esta região entre os dois domínios é chamada parede do domínio. Pode parecer que um momento de spin atômico na região da parede esteja sujeito a um campo molecular ligeiramente menor que o de um momento de spin atômico dentro do próprio domínio. Esta observação por si mesma poderia favorecer uma única configuração de domínio. Por outro lado, uma amostra consistindo num único domínio deveria manter um grande campo magnético, enquanto outra amostra de multidomínios teria uma "energia magnética" menor associada com sua estrutura de campo. Dessa forma, a estrutura de multidomínios seria, em geral, energeticamente favorecida.
226
Teoria Microscópica do Magnetismo
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Figura 10-4 Estrutura da região de transição, ou "parede Bloch" entre os domínios num material ferromagnético.
de
Os aspectos macroscópicos da magnetização em materiais ferromagnéticos relacionam-se com as variações na configuração do domínio. O aumento na magnetização, resultante da ação de um campo magnético aplicado, ocorre por dois processos independentes: através de um aumento no volume dos domínios que estão favoravelmente orientados em relação ao campo, às custas dos domínios que estão desfavoravelmente orientados (movimento da parede do domínio), ou através da rotação da magnetização do domínio em direção ao sentido do campo. Os dois processos estão esquematicamente representados na Fig. 10-5.
(a)
(b)
(e)
Figura 10-5 Magnetização de um material ferromagnético: (a) desmagnetizado, (b) magnetização pelo movimento da parede do domínio, (c) magnetização por rotação do domínio.
A magnetização, em campos mento da parede do domínio. Em mento da parede é até certo ponto intensos, a magnetização prossegue
aplicados fracos, geralmente varia por meio do movimateriais puros, que consistem numa só fase, o movireversível na região do campo fraco. Em campos mais por um movimento de parede irreversível e, finalmen-
Fenites
227
te, por rotação do domínio; nestas circunstâncias, a substância permanece magnetizada quando o campo magnético externo é removido. O estudo experimental dos domínios se tomou possível graças a uma técnica desenvolvida pela primeira vez por F. H. Bitter.* Um pó magnético finamente dividido é espalhado sobre a superfície da amostra e as partículas de pó, que se reúnem nos limites dos domínios, podem ser vistas através de um microscópio. Por meio desta técnica, demonstrou-se a possibilidade de se observar o movimento da parede do domínio sob a ação de um campo magnético aplicado. O tamanho dos domínios varia amplamente, dependendo do tipo de material, sua história anterior etc.; valores típicos situam-se no. intervalo entre 10-6 e 10-2 cm3 • 10-6 FERRITES Segundo a teoria do ferromagnetismo de Heisenberg, há uma variação na energia eletrostática associada com a mudança do alinhamento do spin, de paralelo para antiparaleIo, dos átomos vizinhos. Se esta variação de energia favorecer o alinhamento paralelo e for, ao mesmo tempo, de magnitude suficiente, o material constituído por estes átomos será ferromagnético. Se a variação de energia favorecer o alinhamento antiparalelo, será ainda possível obter uma estrutura de spin ordenada, com os spins, porém, se alternando de átomo a átomo, à medida que o cristal é atravessado. Uma estrutura de spin ordenada com momento magnético líquido nulo é chamada de antiferromagnética (Fig. 10-6b). A estrutura de spin ordenada, mais geral, contém ambas as componentes "spin para cima" e "spin para baixo" porém há um momento magnético líquido não nulo num desses sentidos; tal material é denominado ferrimagnético ou, simplesmente, ferrite. Os ferrites mais simples, de interesse magnético, são óxidos representados pela fórmula química MOFe2 03, onde M é um íon metálico divalente como Co, Ni, Mn, Cu, Mg, Zn, Cd ou ferro divalente. Estes ferrites cristalizam-se 'numa estrutura cristalina bastante complicada conhecida como estrutura spinel. O exemplo clássico de um ferrite é a magnetita mineral (Fe3 04), que se conhece desde épocas antigas.
t t t t t t t t t
(a)
t i t i t
(b)
t t t t
t
f
t t t
t t t t
(el
Figura 10-6 Representação esquemática de spins atômicos em estruturas de spin ordenadas: (a) ferromagnéticas, (b) antiferromagnéticas, (c) ferrimagnéticas.
* F. H. Bitter, Physical Review, vaI. 41, p. 507 (1932). Uma exposição breve da técnica pode ser encontrada em B. D. Cullity, lntroduction to Magnetic MateriaIs (Reading, Mass.: Addison-Wesley, 1972), p. 293.
228
Teoria Microscópica do Magnetismo
Os ferrites têm considerável importância técnica porque, além de sua magnetização por saturação relativamente grande, são maus condutores de eletricidade. Dessa fonna, podem ser usados em aplicações de alta freqüência em que as perdas por correntes de Foucault em materiais condutores causam sérios problemas. Resistividades típicas de ferrites situam-se no intervalo entre 1 e 1004 Q o m, ao passo que a resistividade elétrica do ferro é de aproximadamente 10-7 Q • m. 10-7 RESUMO A magnetização macroscópica AI de um material resulta do momento de dipolo magnético molecular (ou de suas componentes), que se originam em resposta ao campo local na molécula - o campo molecular H m' O campo molecular depende do campo aplicado H e também da própria magnetização. Esta última contribuição, que faz frente aos campos magnéticos dipolares de todas as outras moléculas para dar
Hm= H +tM por analogia com o caso dielétrico, é desprezivelmente pequena na maioria dos materiais lineares por causa do pequeno valor da susceptibilidade magnética em
M = XmH. Não obstante, a magnetização espontânea ocorre em materiais ferromagnéticos porque a contribuição da magnetização para o campo molecular efetivo tem um coeficiente muito . 1 maIor que 3' 1. Todas as moléculas exibem um momento de dipolo magnético induzido em um campo magnético em virtude da deformação da distribuição da corrente eletrônica. A resposta é sempre no sentido de enfraquecer o campo aplicado - isto é, a contribuição (diamagnética) à susceptibilidade é sempre negativa. Urna aproximação linear leva à susceptibilidade diamagnética constante,
N 2 Xm=-~LRf.
4me
2. As sentam ção de Exceto
i
moléculas que possuem um momento de dipolo magnético permanente mo apreuma resposta orientacional adicional. Isto é expresso, aproximadamente, pela funLangevin, da mesma maneira que para as moléculas polares em um campo elétrico. ao aproximar-se do zero absoluto. a susceptibilidade paramagnética resultante é Nm6J1o
Xm=3JZT' 3. Para compreender o ferromagnetismo,
admite-se que
Hm = H
+ I'M,
I~
onde +. (Esta contribuição provém da energia quanto-mecânica que depende da orientação relativa dos momentos magnéticos de spin; ela sorna-se à energia magnética mo • H e pode, por conseguinte, ser expressa em tennos de um campo magnético efetivo, ainda que seja de origem eletrostática.) Assim, esta equação e a equação de Langevin admitem urna solução com H = O, AI *- O, enquanto T estiver abaixo da temperatura Curie. 4. Mesmo abaixo da temperatura Curie, um pedaço macroscópico de material ferromagnético pode não apresentar momento magnético líqUido por causa de sua estrutura de domínios.
Problemas
229
PROBLEMAS 10-1 um magneton de Bohr é definido como o momento magnético de um elétron que circula na clássica "órbita de Bohr'" do átomo de hidrogênio. Esta órbita é circular e tem exatamente um comprimento de onda de Broglie. para a qual a atração coulombiana proporciona a aceleração centrípeta. Dede monstre que I magneton de Bohr = eh /4rrme, onde me é a massa do elétron e h é a constante Planck. 10-2 O magneton de Bohr é uma unidade natural para medir o momento magnético de um átomo. Calcule o momento magnético por átomo, em unidades de magneton de Bohr, do fcrro. do níquel e do cobalto, sob condições de magnctização por saturação. Use os dados da Tabela 9-2. 10-3 Calcule a intensidade relativa da intcração entre dois dipolos magnéticos típicos. comparada com a interação entre dois dipolos elétricos típicos. Para ser explícito: calcule o tarque exercido sobre um dipolo, pelo outro. quando estiverem orientados perpendicularmente um ao outro a uma distância de um &ngstron; considere cada dipolo magnético = 1 magneton de Bohr, cada dipolo elétrico = e X 0,1 angstrons. Este cálculo mostra a intcração elétrica na matéria.
que a interação
magnética
básica é várias ordens
de grandeza
menor
que
10-4 Calcule a susceptibilidade diamagnética do neon a temperatura e pressão padrões (O°C, 1 atm), supondo que apenas os oito elétrons exteriores de cada átomo contribuem e que seu raio médio é R = 4,0 X 10-9 cm.· 10-5
A magnetização
de um material
ferromagnético
cai essencialmente
a zero na temperatura
de Cu-
rie. Na Fig. 10-1, a temperatura de Curie é representada pela linha reta que tangencia a função de LangeYin na origem. Utilize o valor experimental da temperatura de Curie para o ferro a fim de determinar
I para 10-6
este metal. A razão giromagnética
to magnético
e o momento
de uma distribuição angular.
Calcule
de corrente
é definida
a razão "riromagnética
como a razão entre o momen-
de uma esfera de massa M e carga Q
que está girando com velocidade angular w em torno de um eixo que passa pelo seu centro, supondo que a massa está distribuída uniformemente em toda a esfera e a carga está distribuída uniformemente sobre a superfície da esfera.
CAPÍTULO 11 INDUÇAO " ELETROMAGNETICA A indução de uma força eletromotriz através da variação do fluxo magnético foi observada, pela primeira vez, por Faraday e Henry no início do século dezenove. A partir de suas experiências pioneiras, foram criados modernos geradores, transformadores etc. Este capítulo trata primeiramente da formulação matemática da lei da indução eletromagnética e de seu aproveitamento em casos simples. A equação que caracterizava a eletrostática era
v
x E
= O,
fE
. di
=
ou, na forma de integral, O.
Estas equações provêm diretamente da lei de Coulomb e não são invalidadas pela força magnética devida a uma corrente estacionária. Todavia, não se aplicam a campos mais gerais que dependam do tempo. São estes casos que passaremos a considerar agora. Definimos aforça eletromotriz, oufem, em tomo de um circuito por
f E . di
·c
= 6.
(11-1)
Com campos E e B estáticos, esta fem era sempre nula. Examinaremos agora casos em que ela não seja nula. Como o campo E não pode ser definido a partir da lei de Coulomb, é válido perguntar o que o define. Ele é definido de forma a que a força de Lorentz
F = q(E + v x B) seja sempre a força eletromagnética
sobre uma carga de prova q.
11-1 INDUÇÃO ELETROMAGNÉTICA OS resultados de um grande número de experiências podem ser resumidos por meio
da associação de uma fem
(j=
deI>
dI
(11-2)
a uma variação de fluxo magnético num circuito. Este resultado, que é conhecido como a lei da ind ução eletromagnética de F araday, é independente da maneira segundo a qual o 710
lndução Eletromagnética
231
fluxo varia - o valor de B em vários pontos no interior do circuito pode ser variado de qualquer forma. extremamente importante compreender que a Eq. (11-2) representa uma lei experimental independente - não pode ser deduzida de outras leis experimentais e certamente não é como às vezes se afirma uma conseqüência da conservação da energia, aplicada ao equiHbrio de energia das correntes em campos magnéticos. Como, por definição,
f
6'={-c
(11-1)
E'dl
e
=
r
'S
(11-3)
n da,
B·
a Eq. (11-2) pode ser escrita 4'C
E . dI = - -dtd fs B . n da.
(11-4 )
Se o circuito for um circuito estacionário rígido, a derivada temporal poderá ser tomada dentro da integral, onde se tomará uma derivada temporal parcial. Além disso, pode-se usar o teorema de Stokes para transformar a integral de linha de E numa integral de superfície de V x E. O resultado dessas transformações é r V x E . n da
.s
=-
r -' aB 'S at
n da.
(11-5)
Se isto for verdadeiro para todas as superfícies fixas S, segue-se que
VxE=-- aB
at'
(11-6)
que é a forma diferencial da lei de Faraday. Esta é a generalização de V x E:::: O exigida, que se aplica aos campos estáticos. (Meios em movimento e outras sutilezas requerem um tratamento mais cuidadoso, além do alcance deste texto.) O sinal negativo na lei de Faraday indica, como se pode facilmente demonstrar, que o sentido da fem induzida é tal que se opõe à variação que a produziu. Dessa forma, se tentarmos aumentar o fluxo que passa por um circuito, a fem induzida tenderá a produzir correntes num sentido tal que diminua o fluxo. Se tentarmos introduzir um pólo de um ímã numa bobina, as correntes produzidas pela fem induzida formarão um campo magnético que tenderá a repelir o pólo do Ímã. Todos esses fenômenos estão incluídos na lei de Lenz, que pode ser enunciada como segue: No caso de uma variação em um sistema magnético, sucede algo que tende a se opor à variação.
A utilidade da lei de Lenz não deve ser subestimada. Representa, em muitos casos, o caminho mais rápido para se obter esta informação a respeito de reações eletromagnéticas. Ainda que outros métodos estejam disponíveis, ela oferece uma comprovação valiosa. Para obter alguma compreensão da lei de Faraday, pode ser útil atentar para um exemplo que é geralmente apresentado como um exemplo da lei mas que se pode analisar completamente segundo a teoria eletrostática desenvolvida nos capítulos precedentes. Suponhamos que um fio metálico reto, de comprimento 1, se mova numa direção perpendicular ao seu comprimento, com velocidade v. Admitamos que haja um campo magnético B perpendicular ao plano em que o fio se move, como é mostrado na Fig. 11-1. As car-
232
Indução Eletromagnética
gas livres no fio experimentam
a força de Lorentz
F
= q(E + v
x B),
(11-7)
i~~ÀB ~
~
---
d
ll-I
Figura Voltagem produzida por um fio que se move em-um campo magnético.
que conduz as cargas positivas e negativas a extremidades opostas do fio por causa do termo qv x B. No estado estacionário, quando as cargas livres não se estão deslocando em relação ao fio, a força total sobre uma carga deve ser igual a zero; isto é, a força magnética deve ser contrabalançada, em cada ponto do fio, por uma força elétrica igual e oposta devida à separação de cargas,
E= vB.
(11-8)
Se o campo E for uniforme, então E será constante tencial entre as extremidades será
ao longo do fio e a diferença de po-
b
!1qy
=-
r Ou
E·
dI
= El.
( 11-9)
Se chamarmos esta diferença de potencial de '1-, obteremos, combinando as Eqs. (11-8) e (11-9),
r=
Biv.
(11-10)
Neste exemplo, o campo E é independente do tempo e, assim, V x E = O e fE . dI = O como na eletrostática. A integral fE • dI é independente do percurso; especialmente, se imaginarmos um circuito abcda estendendo-se para fora do campo magnético, Y será também a diferença de potencial ao longo do percurso bcda. De fato, se bc e da forem unidos por fios condutores perfeitos, será a voltagem entre os terminais c e d fora do campo magnético. O segundo membro da Eq. (11-10) pode ser expresso de outra forma, pela observação de que o fluxo
'r
'1"=
d
dt '
(11-11)
Indução Eletromagnética
233
que tem exatamente a forma da lei de Faraday, Eq. (11-2); exceto que -não é urna fem no sentido definido pela Eq. (11-1), porque fE • dI = O de acordo com cada percurso fechado neste problema. A Eq. (11 -10) pode ser generalizada, quando expressa em notação vetorial. Se v for arbitrariamente orientada em relação a I então apenas a componente de v que for perpendicular a I contribuirá para Assim, será proporcional a I x v. Para B arbitrário, apenas a componente perpendicular ao plano de I e v contribuirá para Corno I x v é perpendicular ao plano I, v, 'f 'pode ser escrito corno "I
"I
-.
"I
-
"I~
(11-12) A voltagem na Eq. (11-12) é, às vezes, chamada de fem gerada pelo movimento. Analisemos o mesmo problema tomando por referência o fio - isto é, imaginemos que estamos num sistema de coordenadas que se move com o fio, de forma a que, neste sistema, o fio esteja em repouso e o ímã se movendo para a esquerda, na Fig. 11·1, com velocidade v. Pode-se acreditar efetivamente que, ao nos movermos com o fio, observaremos, ainda, a mesma separação de cargas e a mesma diferença de potencial entre as extremidades que havia antes. A explicação é, todavia, completamente diferente; neste sistema de coordenadas, não pode haver força magnética, uma vez que o fio está em repouso. Por outro lado, o campo magnético não é mais constante no tempo ~ ele varia, em qualquer ponto, de B até aproximadamente zero, quando a extremidade do ímã, em movimento, passa por aquele ponto. Veremos que a equação modificada do rotacional de E, Eq. (11-6), é suficiente para dar o mesmo resultado"f 'para a diferença de potencial também neste sistema de coordenadas. No estado estacionário, a força sobre uma carga livre dentro do fio deve ainda ser nula, F
=
qE
= O,
porém não há força magnética pois v = O. Assim, a força elétrica deve-se anular dentro do fio, (11-13) Existe ainda um campo El resultante da separação de cargas, que é o mesmo do caso anterior; este campo é cancelado, dentro do fio, por um campo E2 associado ao campo magnético variante,
Se considerarmos novamente a curva fechada abcda, a
b
g=
f E .
dI
= fa E·
=
O
+
dI
+ fb E·
dI
"f/.
o primeiro termo à direita é zero porque E se anula dentro do fio e a segunda integral ao longo do percurso bala é o que denominamos "I-no caso anterior. Assim, disto e da Eq. (11-2), encontramos novamente que (11-11) to
rotacional de E generalizado, Eq. (11-6), que associado à força de Lorentz, Eq. (11-7),
234
Indução Eletromagnética
dá O mesmo resultado, Eq. (11-11), em cada sistema inercial de coordenadas. A Eq. (11-6) é portanto geralmente válida. * Como o resultado integral, Eq. (11-11), vale em ambos os sistemas de coordenadas, não será ilógico se referir a ele, em ambos os casos, como a lei de Faraday, ainda que, estritamente falando, exista uma fem, corno definida pela Eq. (11-1), somente no segundo caso. Em algumas situações, pode não ser imediatamente óbvio reconhecer o circuito que deveria ser usado para calcular
to".
Este exemplo possui algum interesse adicional corno um protótipo de geradores elétricos práticos. Se urna resistência for conectada aos terminais c e d, uma corrente I fluirá através do circuito.** No caso, uma força mecânica aplicada ao fio (ou ao ímã, no segundo caso) seria necessária para manter uma velocidade constante v, de forma a que a soma da força aplicada e da força magnética BIl sobre o fio fosse igual a zero. A potência de entrada da força mecânica aplicada compensa a dissipação de potência P R no resistor. Enquanto a voltagem terminal entre c e d for mantida, não fará diferença se o fio ou o ímã se moverem no gerador (geralmente o fio se move). Em ambos os casos, p E ,di == O em torno de qualquer percurso que não envolva o campo magnético do gerador (em particular, qualquer percurso confinado no laboratório). Em nossos dois exemplos, a equação generalizada
VxE=--
oB ot
(11-6)
aplica-se a ambos; acontece que aR/ar == O no sistema de coordenadas do ímã e, dessa forma, uma análise eletrostática é possível. Seria errado concluir, todavia, que se pode encontrar sempre um sistema de coordenadas onde aR/ar se anula. Um terceiro exemplo, baseado na Fig. 11-1, ilustrará este ponto. Suponha que nem o fio, nem o ímã, estão se movendo; suponha, porém, que o ímã é um e1etroímã, cujo campo pode ser aumentado ou diminuído, em magnitude, por meio do aumento ou diminuição da corrente em seus enrolamentos. Não há agora sistema de coordenadas em que aR/ar se anule. No entanto, a Eq. (11-6) ainda se aplica e a lei de Faraday, Eq. (11-2), dá fem em torno de qualquer circuito (por exemplo, abcda). Esta é a situação em transformadores e outros dispositivos práticos, destituídos de partes que se movem mecanicamente, e de que trataremos no restante deste capítulo. 11-2 AUTO-INDUTÂNCIA Nesta seção, estudaremos a relação entre o fluxo e a corrente associada a um circuito isolado e aproveitaremos para introduzir o parâmetro prático de um circuito: a auto* Partindo de outro ponto de vista, verificaremos no Capítulo 22 que o campo E, = vB que justifica as Eqs. (11-8) e 01-13) provém, no sistema de coordenadas em movimento, da transformação relativística de Lorentz dos campos E e B. Isto substitui a força magnética que se anula no sistema "em movimen to".
** Isto naturalmente poderia não ser um gerador de corrente contínua prático por causa da extensão fínita do ímã, mas, se o fio se mover para frente e para trás, gerar-se-á uma corrente alternada. (Veja o Problema 11-5.)
Auto-Indutância
235
indutância. O fluxo magnético que atravessa um circuito isolado depende da geometria do circuito e, de acordo com a Eq. (8-26), é linearmente dependente da corrente no circuito. Assim, para um circuito estacionário rígido, as únicas variações de fluxo resultam de variações de corrente. Isto é, deI> 'dt
deI> dI -
dI
(11-14)
dt'
que é válida ainda que a Eq. (8-26) não o seja; a única condição consiste em que cl> dependa apenas da corrente. Se, contudo, a Eq. (8-26) for válida ou, mais ge~almente, se
L
= -dI
(11-15)
Quando for essencial distinguir esta relação de cl>/I, dcl>/dI é denominado indutância incremental; a menos que seja especificado de outra forma, é mais seguro associar a palavra indutância com a Eq. (11-15). Segue-se pelas Eqs. (11-14), (11-15) e (11-2) que a expressão para a fem induzida, dI
ú=-Ldt,
(11-16)
é uma equação de importância prática considerável. Como ilustração do uso da Eq. (11- 15) para o cálculo da indutância, calcularemos a auto-indutância de uma bobina tomidal, conforme a representação da Fig. 11-2. A Eq. (11-15) aplica-se a um circuito completo, isto é, não apenas à bobina toroidal da Fig. 11-2, mas também ao circuito externo conectado aos terminais 1 e 2. Usando condutores torcidos ou um cabo coaxial, que não produzem essencialmente campo magnético externo, pode-se remover a porção produtora de campo do circuito externo, até uma distância suficientemente grande, de modo que não contribua para o fluxo no toróide. Se isto for feito e se, por fem, se entender a voltagem entre os terminais 1 e 2, então a Eq. (11-15) poderá ser usada para obter a indutância da bobina toroidal. Conforme a lei circuital de Ampere, a indução magnética no interior da bobina toroidal é J1
B
NI
= -°-1-
onde N é o número de espiras, l, o comprimento
(11-17) médio e I, a corrente no enrolamento.
2
Figura 11-2 Enrolamento toroidal.
r 236
Indução Eletromagnética
[As Eqs. (11-17) e (11-18) levam em conta a aproximação de desprezar a variação da indução magnética na área da seção reta. Os detalhes desta aproximação serão considerados no Problema 11-8.] O fluxo que atravessa cada espira é, então, <1>
_
J10NI
I
1 -
(11-18)
A
'
e o fluxo total que atravessa as N espiras é J1oN2A
(11-19)
I
<1>=
I.
A indutância é então simplesmente d<1>
(11-20)
L= dI
A unidade de indutância no sistema MKS é o henry (fI) que, segundo a Eq. (11-16), é igual a um volt-segundo/ampere uma vez que a unidade da fem é o volt. A Eq. (11-20) indica que as dimensões de 110, que foram dadas anteriormente como weber/ampêre . metro ou tesla • metro/ampere, podem ser dadas, de forma alternativa, como henry/metro.
,
I
11-3 INDUTÂNClA MÚTUA
Na seção anterior, consideramos apenas os circuitos isolados, conceituando-os como todo o fluxo que atravessando um circuito fosse devido à própria corrente do circuito. Esta restrição poderá ser omitida se supusermos que existem n circuitos, de índices 1, 2, oo o O fluxo que atravessa um destes circuitos, digamos, o de índice i, pode ser expresso como n <1>(
=
<1>1 l
+ <1>2( + .. + <1>..H + ... + <1>In = ~"
I)'
<1>.
0
j=
(11-21)
1
Isto é, pode ser escrito como a soma dos fluxos resultantes de cada um dos n circuitos, sendo
g _ ~ d<1>j __ j -
dt
-
id<1>~ \ dt
+ ... + d<1>jj + ... + d<1>jn\ __ dt
dt
/-
f
j= 1
d<1>ij dt .
(11-22)
Se cada um dos circuitos for um circuito estacionário rígido, as únicas variações nos serão as que provêm das variações das correntes. Assim, d<1>jj dt
= d<1>jj d/j dIj
(11-23)
dt
Os coeficientes dwij/dlj serão constantes, independentes da corrente, se a Eqo (8-26) for apropriada. Se eles não forem constantes, poderão depender da corrente por causa da não linearidade dos meios magnéticos associados à configuração do circuito. Em qualquer caso, d<1>ij
Míj=
i+j
(11-24)
d/j'
i
e o circuito jo Ver-se-á mais tarde é definido como a indutância mútua entre o circuito que Mij = Mji e, em conseqüência, não existe possibilidade de ambigüidade nos índices.
Fórmula de Neumann
237
Naturalmente, dipij/dli é apenas a auto-indutância do circuito de índice i, para o qual se escreve Li ou Mij. As unidades da indutância mútua são as mesmas que as da auto-indutância, ou seja, henry. Como exemplo de cálculo de indutância mútua, consideremos a representação da Fig. 11-2 com um segundo enrolamento toroidal de N2 espiras adicionado. Para esta situação, uma corrente 11no primeiro enrolamento produz urna indução magnética
B=
J10
N 1 I1
e, como conseqüência, fluxos <1>11
=
J10
NiI AI
1
e
Segue-se destes fluxos que (I 1-25) corno antes, e (I 1-26) Invertendo o procedimento
e considerando uma corrente 12, obtemos
L _ 2 -
(I 1-27)
J1oNªA I
'
e
(I 1-28) demonstrando assim que, neste caso, M12 =M21• Além disso, as Eqs. (I 1-25), (I 1-26) e (I 1-27) podem ser combinadas para dar (I 1-29) A Eq. (I 1-29) representa um limite que é imposto sobre a indutância mútua entre dois circuitos, ou seja, ela é sempre menor ou igual à raiz quadrada do produto das auto-indutâncias dos dois circuitos. Em vista deste limite, freqüentemente se introduz um coeficiente de acoplamento k, definido por (I 1-30) 11-4 FÓRMULA DE NEUMANN Para dois circuitos estacionários rígidos num meio linear (vácuo, no momento) a indutância mútua é exatamente
238
Indução Eletromagnética
<1>21
M21=~'
(11-31)
11
Isto é válido simplesmente porque
--
~<1>21 11
-_
4n ~r52 V 2
-JJ.o
X
It"
\I
CI
I r 2 dl1 - r 1 I fI. n
da2'
(11-34)
Usando o teorema de Stokes para transformar a integral de superfície, obtemos (11-35) que é conhecida como fórmula de Neumann para a indutância mútua. A simetria a que aludimos anteriormente se evidencia na Eq. (11-35). A fórmula de Neumann aplica-se igualmente à auto-indutância, e nesse caso é escrita como
L = 4n JJ.o -CI f
i
JCi
d11•
dl'1
(11-36)
Deve-se tomar cuidado ao aplicar a Eq. (11-36) em virtude da singularidade em T1 := r{; todavia, se esta precaução for tomada, a Eq. (11-36) será útil, às vezes. As Eqs. (11-35) e (11-36) são geralmente de difícil aplicabilidade para o cálculo da indutância, exceto para circuitos em que a geometria seja simples. No entanto, a Eq. (11-35), em particular, é muito importante no estudo de forças e torques exercidos por um circuito sobre outro. Esta aplicação será aproveitada no Capítulo 12. 11-5 INDUTÂNCIA EM SÉRIE E EM PARALELO As indutâncias são freqüentemente conectadas em série e em paralelo e, como acontece em relação aos resistores e capacitores, é importante conhecerem-se os resultados de tais conexões. Poderíamos proceder a uma dedução baseada simplesmente em 8, = - L (dI/dt) e obter fórmulas ,para a indutância efetiva de duas indutâncias em série ou em paralelo; contudo, fazer isso implicaria ignorar o fato prático de que um indutor sempre tem certa resistência interna. Uma indutância perfeita é muito mais difícil de se conseguir, na prática, do que uma capacitância perfeita ou uma resistência perfeita. Por esta razão, as combinações em série e em paralelo desta seção envolverão sempre resistências, bem como indutâncias. Para dois indutores em série, o circuito da Fig. 11-3 é adequado. Ao somar as quedas de potencial ao longo do circuito, é importante observar que M pode ser positivo ou negativo (mudando o sentido segundo o qual se descreve C1 ou C2, inverte-se o sinal de
Indutância em Série e em Paralelo
M na Eq. (11-35). Lembrando
239
isto, a soma das quedas de potencial no circuito da Fig.
11-3 é
ou dI V
= R 1I + I
LI dt
dI
+M
dI
+
dt
Rz I
+
Lz dt
dI
+M
dt'
(11-37)
dI . di
V--
nu
Figura 11-3 Conexão em série de dois indutores.
Isto é equivalente a dI V
=
(RI
+
Rz)I
+
(LI
+
+
Lz
2M)
dt'
(11-38)
o circuito assemelha-se, dessa forma, a um resistor, de resistência RI + R2, em série com uma indutância, LI + L2 + 2M. A magnitude da indutância é LI + L2 + 21MI para acoplamento positivo (isto é, para fluxos devidos a 11 e 12 no mesmo sentido em cada bobina), e LI + L2 - 21MI para acoplamento negativo. Uma descrição alternativa da indutância mútua é -l~k~L
(11-39)
A indutância efetiva do circuito em série é então Lerr
= LI + 2kJ
LI Lz
+ Lz·
(11-40)
Se k puder variar, uma indutância variável poderá ser construída. (Nos primeiros tempos do rádio, esta era uma maneira popular de sintonizar circuitos ressonantes; veja o Capítu-
lo 13.) A conexão em paralelo, mostrada na Fig. 11-4, não é tão simples como o circuito em série. De fato, o circuito representado não se comporta como um simples circuito L-R em série. Dessa forma, não é possível dizer que a indutância efetiva e a resistência efetiva são certas funções de LI, L2' RI e R2. Se, todavia, RI e R2 forem desprezíveis, então dI1
V= LI V
=
L 2
dI z
dt
+ M dt
dI2
+ M dI1
dt
dt
.
(11-41)
Se primeiramente d11/dt e depois d12/dt forem eliminados das Eqs. (11-41), resultarão
240
Indução Eletromagnética
V(L2 -
M)
= (L!L2
_ M2)
dI!,
V(L
M)
= (L 1 L 2
_ M2)
dI2
dt
(11-42)
----
1
-
..--- r ---------
dt .
Figura 11-4 Conexão indutores.
paralela de dois
Somando estas equações, ter-se-á
v = Ll
L2
Ll + L2
-
M2 dI 2M dt·
(11-43)
Assim, a indutância efetiva de dois indutores em paralelo será L1L2 Lerr
onde, novamente, nectados.
= Ll + L2
M2
_
2M'
(11-44)
o sinal de M dependerá da forma segundo a qual os indutores estão co-
o uso mais importante das indutâncias é nos circuitos de corrente alternada. Para um circuito operando numa só freqüência, pode-se obter um circuito em série equivalente para a Fig. 11-4; contudo, tanto a resistência equivalente como a indutãncia equivalente dependem da freqüência. Esta dependência da freqüência é a raiz da dificuldade anteriormente encontrada. 11-6 RESUMO Neste capítulo, avançamos mais um passo além do campo estático, em direção ao chamado caso da variação lenta. A nova generalização das equações de campo é
VxE=--. aB at Esta é a terceira das quatro equações de Maxwell que sempre se aplica, juntamente duas equações do divergente e a força de Lorentz F
= q (E + v
com as
x B).
(Neste ponto do nosso desenvolvimento das equações fundamentais de eletricidade e magnetismo, temos três das quatro equações de Maxwell na forma final. Somente a equação do rotacional de H ainda necessita ser generalizada.) A equação é conhecida como a forma
Problemas
241
diferencial da lei de Faraday; na forma integral
ó=
_de})
dt '
onde a fem, 8, em tomo de um circuito fixo C é definida por
ó =f·C E' di. (Pode acontecer que, em certos problemas, seja encontrado um sistema de coordenadas em movimento, no qual aB/at = 0, e o problema possa ser analisado eletrostaticamente, porém isto não ocorre necessariamente.) 1. A maneira mais fácil de determinar a polaridade consiste em fazê-Io por meio da lei de Lenz. 2. A "fem por movimento"
de um fio reto que se move em um campo magnético é
'r = B' I x 3. A auto-indutância
correta de uma voltagem induzida
v.
de um circuito fixo (ou elemento de circuito) é definida como de})
L= dI' assim,
ú = -L dI dtO
Para um toróide (ou solenóide longo),
L é facilmente encontrado como sendo L
= flON2 I
A
4. A indutância mútua de dois circuitos é definida como
Segue-se que
e Ikls;1.
5. Indutâncias puras, conectadas em série ou em paralelo, somam-se segundo as mesmas fórmulas que as resistências, supondo que sua indutância mútua e sua resistência inerente possam ser desprezadas.
PROBLEMAS 11-1 Um condutor metálico que tem a forma de um segmento de fio de comprimento I se move num campo magnético B com velocidade v. A partir de uma fl'f1exão atenta sobre a força de Lorentz que atua sobre os elétrons do fio, demonstre que as extremidades do fio possuem uma diferença de potencial B • 1 'X v.
242
Indução Eletromagnética
11-2 Uma barra metálica de um metro de comprimento gira em torno de um eixo, que passa por uma das extremidades e é perpendicular à barra, com uma velocidade angular de 12 rad/s. O plano de rotação da barra é perpendicular a um campo magnético uniforme de 0,3 T. Qual a fem induzida por movimento entre as extremiddades da barra? 11-3 Num acelerador betatron, um íon de carga q e massa m move-se numa órbita circular a uma distância R do eixo de simetria da máquina. O campo magnético tem simetria cilíndrica, isto é, a componente z é Bz =o B(r) no plano da órbita, onde r é a distância a partir do eixo de simetria. Demonstre que a velocidade do íon é v =o qB (R)Rlm. Se o campo magnético for aumentado vagarosamente, demonstre que a fem induzida em torno da órbita do íon é tal que o acelera. Demonstre que a variação radial do campo B dentro da órbita deve satisfazer a seguinte condição para que o íon permaneça em sua órbita: a média espacial do aumento de B (r) (média tomada sobre a área compreendida pela órbita) deve ser igual ao dobro do aumento de B(R) durante o mesmo intervalo de tempo.
11-4 O gerador homopolar de Faraday consiste num disco metálico que gira num campo magnético uniforme perpendicular ao plano do disco. Demonstre que a diferença de potencial produzida entre o centro do disco e sua periferia é 1'""[
f.
11-6 Um cilindro dielétrico. de permi"ividade E. gira em torno de;eu..eUo.:xlll:!l. Se existir um campo magnético uniforme B, paralelo ao ei~o do cilindro_ ~= ção induzida no dielétrico.
~0Cidade angular w. .•.:::.3..l-ga de polariza-
11-7 Dois circuitos 'acoplados, A e B, estão situados como é IIlOSlI'3do _ F~ 11-5. l'-.e a lei de Lenz para determinar o sentido da corrente induzida no resistor ab q'" W a bai:!Ii::Iu. B for uazida para mais perto da bobinaA, (b) a resistênciadeR for diminuída, (c)a~.s_~ B
A
a
b
11-8 Uma bobina de 100 espiras, de seção reta dIalll:,.é das as espiras estejam aproximadamente no mesmo ••••.• gira em torno de um de seus diâmetros a 900 roL.•••••. ~ drática média da fem induzida na bobina par m~~"'p8Ik campo magnético da Terra na posição da bobina?
- -
~>''''"'-
_
-
••••••
'.'[11'"'"
11-9 Um disco circular gira em torno de seu eixo com - •. -- - •••• de um metal com condutividade g e de espessura t. O ~_m:Jf
de um ímã que produz umaBcampo magnético uniforme=-.-"'1_ distância média,r do e~o; é perpendicul~ ~o ~iSCO_ ça uma suposlçao razoavel respeito da reslstencla do _" '
-
.-
~ :,:mna a que to-
~~
i
3 em. A bobina
a raiz quamnduir sobre o
w::n:k."3l.
__ O .lis:c é constituído . ':i:lIDe li faces polares
a1, a uma (Fa_,_~_ " :__ -••••.• ' ~a, ...x:r::. .)o disco. ~:mZ! _'t,;;;;••• ~~;~':
Problemas
243
11-10 Uma bobina toroidal, de N espiras, como a mostrada na Fig. 11-2, é enrolada sobre uma forma não magnética. Se o raio médio da bobina for b e o raio da se ão reta da forma for a, demonstre que a auto-indutância da bobina será dada por L ="{.lo N' (b b' - a'). 11-1I Um circuito se constitui de duas cascas cilíndricas coaxiais de raios R I e R. (R. > RI) e de comprimento comum L, conectadas por placas de extremidades planas. A carga flui por uma casca e regressa pela outra. Qual é a auto-indutância deste circuito? 11-12 A bobina toroidal do Problema 11-10 tem 150 espiras, indutância da bobina, em henrys?
b
= 4 em e
a
= 1,5 em. Qual
é a auto-
11-13 Duas pequenas espiras circulares de fio (de raios a e b) estão no mesmo plano, afastadas por uma distância r. Qual será a indutância mútua entre as espiras se a distância r for suficientemente grande, de forma a que se possa usar a aproximação do dipolo? 11-14 Duas espiras circulares de corrente com eixos paralelos estão localizadas a uma distância r uma da outra, que é suficientemente grande, de modo que se possa usar a aproximação do dipolo. Demonstre como se deve colocar uma das espiras relativamente à outra, de forma a que sua indutância mútua seja igual a zero. 11-15 São dados dois circuitos: um fio reto muito comprido e um retângulo de dimensões h e d. O retângulo está num plano que passa pelo fio, sendo os lados de comprimento h paralelos ao fio e estando a distâncias r e r + d deste. Calcule a indutância mútua entre os dois circuitos. 11-16 São dados dois circuitos: um fio reto muito comprido e um círculo de raio a. O círculo está num plano que passa pelo fio, com seu centro a uma distância r. Calcule a indutância mútua entre os dois circuitos. 1I-17 Uma linha de transmissão se compõe de dois fios muito longos de raio a, separados por uma distância d. Calcule a auto-indutância por unidade de comprimento, supondo d > a, de modo que o fluxo dentro dos próprios fios possa ser ignorado. 11-18 São dadas duas espiras circulares de fio, coaxiais, de raios a e b, separadas pela distância axial x. Utilizando a fórmula de Neumann, demonstre que a indutância mútua das espiras é
onde
e K (k) e E (k) são integrais elípticas completas definidas por A
K(k)
n/2
= '0 I
d
(I - k2 sen 2
'
e • ~:2 E(k)
= '0 I
(1 -
k2 sen2
d
1I-19 Considere novamente o problema anterior. Expandindo l/Ir, - r] I na fórmula de Neumann segundo o teorema binomial, integre termo por termo para obter
M =,.0 na2b2 /I
onde h' = x' + (a + b)' . 11-20 Dois circuitos com indutâncias L I e L, e resistências RI e R, estão localizados prox]mos um do outro. Se a indutância mútua entre os circuitos for M, demonstre que a quantidade de carga
244
Indução Eletromagnética
Q = 1 'M IR 1 R1 circulará por um deles se uma voltagem aplicada com o outro.
1 'for
subitamente conectada em série
11-21 É dado um meio condutor não magnético, de condutividade g, que está sujeito a um campo magnético dependente do tempo, B(r, t). Iniciando com a forma diferencial da lei de Faraday, Eq. (11-6), e supondo que não há acumulação de carga (isto é, V • J = O), demonstre que a densidade de corrente de Foucault induzida no meio satisfaz a equação diferencial V2J =g"o (aJ/ar). Demonstre que E e B satisfazem a mesma equação. 11-22 Demonstre que a fem num circuito fixo C é dada por d'
-- dt.ctA'
onde A é o potencial do vetor.
dI '
11-23 Suponha que a corrente num solenóide muito comprido esteja aumentando linearmente com o tempo, assim que as/at = K. Encontre o campo E dentro e fora do solenóide. 11-24 O campo E induzido por B = aB/at pode ser expresso explicitamente E(r)
=~ r 47!,
(r - r') x!1(r')
Ir-r'13
corno
dv'.
Verifique que V X E = -as/at e V • E'= 0, derivando dentro da integral. Demonstre que o gradiente de qualquer solução da equação de Laplace pode ser adicionado a E. 11-25 Um "campo livre de forças" é tal que J X B = O. Demonstre que um campo desses satisfaz a equação
onde a é urna constante. (Sugestão: No campo livre de forças V X B é paralelo a B.) Demonstre que J satisfaz a mesma equação. Use o resultado do Problema 11-21 para encontrar a dependência temporal da densidade de corrente e dos campos.
CAPÍTULO 12 ENERGIA MAGNÉTICA Estabelecer um campo magnético requer gasto de energia, o que é conseqüência direta da lei da indução de Faraday. Se uma fonte de voltagem 'i "for aplicada a um circuito, então, em geral, a corrente que passa por ele pode ser expressa pela equação (12-1) onde 8, é a fem induzi da e R é a resistência do circuito de corrente. O trabalho realizado por "'I. ao deslocar o incremento de carga dq = dt pelo circuito é
I
1~dq='i"/dt=
=/
dCl>
-1ff/dt+/2Rdt
+ /2R
(12-2) dt,
cuja última forma é obtida com o auxl1io da lei de Faraday, Eq. (11-2). O termo P R dt representa a conversão irreversível de energia elétrica em calor efetuada pelo circuito; este termo, porém, absorve toda a entrada de trabalho apenas em casos em que a variação do fluxo é nula. O termo adicional, I d
i
dTt~
=/
dCl>,
(12-3)
onde o índice b indica que este é o trabalho efetuado por fontes externas de energia elétrica (ou seja, por baterias). O incremento de trabalho, Eq. (12-3), pode ser positivo ou negativo. Será positivo quando a variação de fluxo d
246
Energia Magnética
12-1 ENERGIA MAGNÉTICA DE CIRCUITOS ACOPLADOS Deduziremos, nesta seção, uma expressão para a energia magnética de um sistema de circuitos de corrente que interagem. Se houver n circuitos, então, de acordo com a Eq. (12-3), o trabalho elétrico feito contra as fem induzidas será dado por
=
d~
L
i= 1
(12-4)
li dj.
Pode-se, perfeitamente, generalizar esta expressão; é válida, independentemente do modo pelo qual os incrementos de fluxo dCPi são produzidos. Estamos particularmente interessados, todavia, no caso em que os dCPi são produzidos por variações de corrente nos próprios n circuitos. Em tais circunstâncias, as variações de fluxo correlacionam-se diretamente com variações nessas corren tes: n
di
d..
=.L J=1
d/
J
n
dlj
= J=1 .L Mij
dlj.
(12-5)
Se os circuitos forem rígidos e estacionários, nenhum trabalho mecânico se associará às variações de fluxo dCPi e dWb será igual à variação da energia magnética, dU, do sistema. Observe-se que aqui nos limitamos ao estudo dos circuitos estacionários, de forma a que se possa calcular a energia magnética como um termo de trabalho. Mais adiante, deixaremos os diversos circuitos se moverem relativamente uns aos outros, mas, então, não seremos capazes de identificar dU com dWb. Obtém-se a energia magnética U de um sistema de n circuitos estacionários rígidos, integrando a Eq. (12-4) desde a situação de fluxo nulo (correspondendo a todos li = O) até o conjunto final de valores de fluxo. Num grupo de circuitos rz'gidos que contêm ou que se localizam em meios magnéticos lineares, os CPi estão linearmente relacionados às correntes nos circuitos e a energia magnética é independente da maneira pela qual estas correntes são trazidas ao seu conjunto final de valores. Como esta situação é de grande importância, nos ateremos, aqui, a tratar do circuito rígido, caso linear. Em virtude de ser a energia final independente da ordem segundo a qual as correntes são variadas, podemos escolher um esquema particular para o qual se calcule facilmente W. Neste esquema todas as correntes (e, em conseqüência, todos os fluxos) são levadas a seus valores finais em concordância, isto é, em qualquer instante de tempo, todas as correntes (e todos os fluxos) estarão na mesma fração de seus valores finais. Chamemos esta fração de a. Se aos valores finais das correntes forem dados os símbolos
então, em qualquer estágio, dá
lí
=
ali;
altm disso,
_1
f d~
•
= '0I
n da
= -t i=1 L:
dCPi
n
=
A integração da Eq. (12-4)
CPida.
.•1
L I; i = i=L1 lii '0I i= 1
:x
d:x
lii'
A energia magnética é, então, n
v = 1 i=L:1 li
i
(circuitos rígidos, meios lineares)
(12-6)
Densidade de Energia no Campo Magnético
247
Com o auxIlio da Eq. (12-5), que pode ser integrada diretamente no caso de um sistema linear de circuito rígido, a energia magnética pode ser expressa da seguinte forma: U=-21"
i- L MIl· l)
"
i=
1
j=
I
J
1
= ~LI li + ~Lz1~ + ... + t1-"l; + M121112 + M131113 + ... + Mln111n + M231213
+ ... + Mn-l.n1n-11n
(12-7)
(circuitos rígidos, meios lineares) Usamos, aqui, os resultados e a notação das Seções 11-3 e 11-4:Mij Para dois circuitos acoplados, a última equação reduz-se a
= Mji;Mii
= Li'
onde, para simplificar, escrevemos M em lugar de M12. O termo MIllz pode ser positivo ou negativo, mas a energia magnética total U deve ser positiva (ou nula) para qualquer par de valores de corrente: 11 e Iz. Representando a razão de correntes 11 /Iz por x, obtemos L'
= ~l~(LI
Xz
+ 2Mx + Lz)
2: O.
O valor de x que torna U mínimo (ou máximo) é encontrado e igualar o resultado a zero:
ao derivar U em relação a x
x=
(12-9)
A segunda derivada de U em relação a x é positiva, o que demonstra que a Eq. (12-9) é a condição para um mínimo. A energia magnética U ~ O para qualquer x: em particular, o valor mínimo de U(definido por x = -M/Ld é maior ou igual a zero. Assim,
ou LIL2
um resultado que foi determinado, mas não demonstrado, Para um único circuito, <1>
na Seção 11-3.
= U, I
L'
(12-10)
2: M2,
2
1
<1>2
= ~1<1> ~ = -zU = 2 -L .
(12-11)
12-2 DENSIDADE DE ENERGIA NO CAMPO MAGNÉTICO A Eq. (12-7) dá a energia magnética de um sistema de correntes em termos dos parâmetros do circuito: correntes e indutâncias. Formulação particularmente útil porque tais parâmetros são passíveis de medidas experimentais diretas. Por outro lado, uma formulação alternativa da energia magnética em termos de vetares campo B e H desperta considerável interesse porque proporciona uma descrição em que a energia é armazenada
248
Energia
Ma,,"11ética
no próprio campo magnético. Esta déscrição pode ser ampliada, corno se fará no Capítulo 16, para mostrar corno a energia se move através do campo eletromagnético em processos não estacionários. Consideremos um grupo de circuitos rígidos que conduzem correntes, dos quais nenhum se estende ao infinito, imersos num meio com propriedades magnéticas lineares. A energia desse sistema é dada pela Eq. (12-6). Nesta exposição, é conveniente supor que cada circuito se constitui de urna única espira apenas; então, o fluxo
=
B·
I'
n da
= t( A·
"Si
onde A é o potencial vetoriallocal.
di p
.. Cj
Substituindo
u = 1L i
este resultado na Eq. (12-6), obtém-se
I' IA' •.
(12-12)
c.
(12-13a)
dli•
de generalizar um pouco m::':, .l Eq. (12-13a). Suponhamos que não tenhade correme defi=:':os por nos mas que, ao contrário, cada "circuito" seja fedudo -1e:::ro do meio (suposto condutor) que compreende uma linha de .:orr,~!rr:e_ .:\ Eq. (12-13a) pode ser bastante aproximada desta situação atraes..~~ je um grande número de circuitos adjacentes (Ci), da substituição de J :ir e_ finalmente, pela substituição de
Gostaríamos mos circuitos um percurso densi':3de de
-.6 ;a I; -=1;
--
r
por
·V
Como conseqüência,
u = 1 -vr J. Esta última equação pode ser transformada V x H = J, e a identidade vetorial (1-1-8): V . (A x H)
=H
A dv.
(12-13b)
ainda mais, usando a equação do campo,
. V x A -
A . V x H,
portanto
u = 1 'Vr
H'
V x A dv -
1'S, A
x H . n da,
(12-14)
onde S é a superfície que limita o volume V. Como, por suposição, nenhum dos "circuitos" de corrente se estende até o infinito, é conveniente deslocar a superfície S para uma distância muito grande, de forma a que todas as partes desta superfície estejam longe das correntes. Naturalmente, o volume do sistema deve aumentar de modo correspondente. Agora, H cai pelo menos tão rapidamente corno l/r2, onde r é a distância entre a origem próxima do meio da distribuição de corrente e um ponto característico sobre a superfície S; A cai pelo menos tão depressa como l/r e a área da superfície é proporcional a r2 . Dessa forma, a contribuição da integral de superfície da Eq. (12-14) cai tão rapidamente como l/r ou mais depressa e, se S se deslocar até o infinito, esta contribuição será nula. Eliminando a integral de superfície na Eq. (12-14) e estendendo o termo do volume para abranger todo o espaço, obtemos
Forças e largues sobre Circuitos Rígidos
U
=1
249
(I2-15)
'V
uma vez que B = V x A. Este resultado é completamente análogo à expressão da energia eletrostática, Eq. (6·17). A Eq. (12-15) restringe-se aos sistemas que contêm meios magnéticos lineares, como foi deduzido pela Eq. (I2-6). Através de raciocínio semelhante ao da Seção 6-3, chegamos ao conceito de densidade de energia num campo magnético: u
= 1H .
(I2-16a)
B,
que, no caso de materiais magnéticos isotrópicos e lineares, se reduz a u
= 1pH2 = 1-2-B2 P
(I2-16b)
12-3 FORÇAS E TORQUES SOBRE CIRCUITOS RÍGIDOS Até agora, desenvolvemos várias expressões alternativas para a energia magnética de um sistema de circuitos de corrente. Estas expressões são dadas pelas Eqs. (12-6), (I 2-7) e (I2-15). Mostraremos, agora, como a força, ou o torque. sobre uma componente de um sistema desses podem ser calculados a partir do conhecimento da energia magnética. Suponhamos que permitimos, a uma das partes do sistema, fazer um deslocamento rígido dr sob a influência das forças magnéticas que atuam sobre ele, permanecendo cons· tantes todas as correntes. O trabalho mecânico realizado pela força F, atuando sobre o sistema, é dW
= F· dr,
como na Eq. (6-32). O trabalho, nestas circunstâncias, na Eq. (6-37): dW
= dJtj,
- dU,
(I2-17) contém duas contribuições,
como (12-18)
onde dU é a variação da energia magnética do sistema e dWb é o trabalho realizado por fontes de energia externas contra as fem induzidas para manter as correntes constantes. Antes de prosseguir com uma expressão que relacione U e a força exercida sobre uma parte do sistema, será necessário eliminar dWb da Eq. (I 2-18). Isto é realizado facilmente no caso de um sistema de circuitbs rígidos em meios magnéticos lineares. Se, todavia, a geometria do sistema for alterada, todas as COrrentes permanecerão inalteradas, então, de acordo com a Eq. (12-6),
Mas, através da Eq. (12-4),
Dessa forma dW~
=
2 dU.
(12-19) Utilizando esta equação para eliminar dWb da Eq. (12-18) e combinando o resultado com
250
Energia Magnética
a Eq. (12-17), obtemos dU
ou
= F . dr,
F=VU, (12-20) A força sobre o circuito é o gradiente da energia magnética quando
te.
I se mantém
constan-
Se o circuito em consideração for forçado a mover-se de tal forma que gire em tor· no de um eixo, a Eq. (12-17) poderá ser substituída por dW
= t . de = ti
onde T é o torque magnético condições,
dei
+ tz
dez
+ t3
de3,
sobre o circuito e d8 é um deslocamento
angular. Nestas
(12-21) e assim por diante. Os resultados, Eqs. (12-20) e (12-21), são análogos, para correntes constantes, ao caso e1etrostátíco do potencial constante, em que era necessário trabalho da bateria para manter os potenciais constantes. Em alguns outros casos interessantes, os fluxos através dos circuitos podem ser tratados como constantes. Então, segundo a Eq. (12-4), dWb = O, e assim se pode considerar o sistema como isolado. * Em conseqüência,
F . dr = dW = -dU, Fx
=
-(~~L,
(12-22)
-(~~L·
(12-23)
Como no caso e1etrostático, para usar o método da energia é necessário expressar Una forma anal ítica, isto é, deve ser dada a dependência específica de U com relação às coordenadas variáveis (x,y, z, 81,82 ou 83). Quando isto é feito, contudo, o método da energia se torna uma técnica poderosa para calcular forças e torques. Ilustraremos o método, examinando dois exemplos. Exercícios adicionais desse tipo serão encontrados nos problemas no fim do capítulo. Como primeiro exemplo, calculemos a força entre dois circuitos rígidos percorridos por correntes constantes. A energia magnética é dada pela Eq. (12-8) e a força que atua sobre o circuito 2 é Fz=VzU=IIIzVzM,
* Num circuito normal, a bateria deve ainda fornecer a potência de dissipação [' R, porém estamos desprezando isto. Se os fios fossem supercondutores (R = O), o sistema poderia estar realmente isolado.
Forças e Torques sobre Orcuitos Rígidos
251
onde a indutância mútua M deve ser escrita de forma a que exiba sua dependência em relação a r2. A fórmula de Neumann, Eq. (11-35), demonstra explicitamente esta dependência de modo que podemos escrever J1
F2
1
.,
= 4n -.Cl 1112
~ 1. 'C!'C,
(dI! . d12)V2
i
J10'
= -- 4n 1112 'C! ti ·c,
(dI!'
d12)
-1----1 r2-r1 (r2
-
-lu r2 ---
rd
(12-24)
rI-13'
uma expressão que, evidentemente, apresenta a simetria própria, isto é, F2 = -FI' Todavia, já temos uma expressão para a força entre dois circuitos, Eq. (8-25), que parece não concordar com a fórmula que acabamos de deduzir. Na realidade, as duas expressões são equivalentes, como facilmente se pode verificar. Vamos expandir o produto triplo no integrando da Eq. (8-25): dl2
x [dll
x (r2 -
=
rI)]
dl![dI2
• (r2
-
rd]
-
(r2 -
rd(dl!
. dI2).
A integral que contém o último termo da direita é idêntica à Eq. (12-24); a que contém o primeiro termo pode ser escrita dl2
(r 2
•
-
Ir2-r113
r!)
( 12-25)
Agora, d12 o (r2 - ri) é Irz - rll vezes a projeção de dIz sobre o vetor r2 - ri . Representemos Ir2 - rll por 'ZI ; então, a projeção de dIz é exatamente drZl' A integral sobre Cz pode ser efetuada para um dl1 :
t
J
2
'C2
d~3J. r21 __
'21 2..laa
'
sendo os limites superior e inferior idênticos por causa do circuito completo. Dessa forma, a Eq. (12-25) se anula e a Eq. (12-24) é equivalente à Eq. (8-25). Consideremos, como segundo exemplo, um solenóide longo de N espiras e comprimento I, percorrido por uma corrente constante I. Uma barra de ferro, de permeabilidade constante J1 e área de seção reta A, é introduzida ao longo do eixo do solenóide. Se a barra for retirada (Fig. 12-1 a) de modo que apenas metade de seu comprimento permaneça no solenóide, calcule, aproximadamente, a força que tende a puxá-Ia de volta ao seu lugar original. Solução. A estrutura de campo magnético associada a este problema será complicada se forem incluídos os efeitos das extremidades; felizmente, todavia, não precisamos calcular toda a energia magnética do sistema mas simplesmente a diferença de energia entre as duas representações mostradas na Fig. 12-1(a) e (b). A estrutura do campo é relativamente uniforme longe das extremidades da barra e do solenóide. A diferença essencial entre as configurações (a) e (b) consiste em um comprimento Llx da extremidade direita da barra (fora da região do campo) que é efetivamente transferido para a região de campo uniforme dentro do solenóide, num lugar além da influência desmagnetizante do pólo do ímã. Assim, H é quase longitudinal na região Llx e, como a componente tangencial de H é contínua no limite cilíndrico da barra, usamos U ='11-
J1H2
dt·,
252
Energia Magnética
B.arrade ferro doce
•••••••••••••••••••••••••••••••••
I
••••••••••••••••••••••••••••••••• ~l'o---
-'>..0----1
I-
(a)
•••••••••••••••••••••••••••••••••
•••••••••••••••••••••••••••••••••
b
Figun 12-1 Força sobre uma barra de ferro doce introduzida num solenóide (pelo método da energia).
onde H é constante dentro e fora da barra porque U(Xo
+ .1X)
::::: U(Xo)
+ 1r
'04
I é constante. (11 -
llo)H2
Conseqüentemente,
dv
~x
e, através da Eq. (12-20), (12-26) no sentido de Xo crescente. Um exemplo em que é constante *12-4
é encontrado no Problema 12-7.
PERDAS POR HISTERESE
Nas seções precedentes, limitamos nossa exposição a sistemas magnéticos reversíveis e, na maioria dos casos, a sistemas lineares. Diremos agora algo a respeito das variações de energia nos sistemas que contêm material de ímã permanente, isto é, sistemas em que a histerese tem um papel proeminente. Consideremos um circuito elétrico, em forma de uma bobina com um enrolamento muito apertado, de N espiras, que circunda um pedaço de material ferromagnético (Fig. 12-2). Se a bobina for conectada a uma fonte externa de energia elétrica, o trabalho realizado contra a fem induzida na bobina será dado pela Eq. (12-3). Todavia, na Eq. (12-3), a variação do fluxo d é a variação total do fluxo através do circuito; para a finalidade que temos em vista, será conveniente representar a variação
Perdas por Histerese
do fluxo através de uma única espira da bobina pelo símbolo que o mesmo fluxo passa através de cada espira, 61-1-';'
=
NI
deI>.
253
Dessa forma, supondo (12-3a)
b<1>.
Figura 12·2 Amostra ferromagnética um circuito magnético.
que forma parte de
Suponhamos que a amostra ferromagnética forme parte de um circuito magnético. Então, NI pode ser substituído pela p H o dI, em tomo de um percurso típico de fluxo, e a Eq. (12.3a) toma·se* bvt;,
= .. f b<1>H • dI =
fA
bBH
• dI,
onde A é a seção reta do circuito magnético apropriada ao intervalo de comprimento dI. Como dI é sempre tangente à trajetória do fluxo, pode-se escrever a equação anterior como bvt;,
= •f A
bB .
H di = 'Vr
bB·
H dt:,
(12-27)
onde V é o volume do circuito magnético, isto é, a região do espaço em que o campo magnético é diferente de zero. Se o material ferromagnético no sistema apresentar comportamento magnético reversível, a Eq. (12-27) poderá ser integrada desde B = O até seu valor final, para dar a energia magnética do sistema. No material linear, a energia assim obtida é idêntica à expressa pela Eq. (12-15). Porém, a Eq. (12-27) é muito mais geral que esta; ela prevê, corretamente, o trabalho realizado sobre o sistema magnético mesmo nos casos em que ocorre histe' rese. De acordo com a Eq. (12-27), uma variação da estrutura do campo magnético resulta numa entrada de trabalho dWb
=H .
(12-28)
dB
A análise aqui apresentada pode ser colocada de uma forma um pouco mais rigorosa, substituin* do-se o circuito magnético por um grande número de trajetórias de fluxo magnético de vários comprimentos (circuitos magnéticos em paralelo). A Eq. (l2-3a) torna-se então 8vvi,
=
NI
I J
8$j
=
Ir J
• J
8$jH
. dIj,
onde 8 épj é a variação de fluxo associada com uma dessas trajetórias. O resultado final, Eq. (12-27), é invariável.
254
Energia Magnética
associada a cada unidade de volume de material magnético (ou vácuo) no sistema. De particular interesse é o caso em que o material está submetido a ciclos, como ocorre quando a bobina que circunda a amostra está sujeita à ação de uma corrente alternada. Num ciclo, a intensidade magnética H (em um ponto típico da amostra) começa em zero, cresce até um máximo, Hmáx, decresce até -Hmáx e então retoma a zero. A indução magnética E apresenta uma variação semelhante, mas, para um ferromagnético típico, se atrasa em relação a H, descrevendo assim uma curva de histerese (Fig. 12-3). A entrada de trabalho (por unidade de volume), necessária para levar a indução magnética desde o ponto a até o ponto b na curva de histerese, b (Wb)ab
=
r
-a
H dB,
B
H
Figura 12-3 Trabalho realizado por unidade de volume em um material ferromagnético submetido a um ciclo.
d
é justamente
a área entre o segmento de histerese ab e o eixo E; é positiva porque tanto
H, como dE, são positivos. A contribuição (wbhc é também a área entre o segmento de histerese apropriado (bc) e o eixo E, contudo, deve ser tomada negativamente, pois H e dB são de sinais opostos. Raciocínio semelhante pode ser feito em relação a (Wb)cd e (Wb)da' Dessa forma, ao submeter o material uma vez ao ciclo da histerese, o trabalho necessário por unidade de volume é Wb
= iH dB,
(12-29)
que é a área compreendida pela curva de histerese. No final de um ciclo completo, o estado magnético do material é o mesmo que era no início do ciclo; conseqüentemente, a "energia magnética" do material é a mesma. É, então, evidente que a Eq. (12-29) representa uma perda de energia. Esta perda aparece como calor e provém das variações irreversíveis na estrutura de domínios do material. A perda de histerese é um fator importante em circuitos sujeitos à ação da corrente alternada. A Eq. (12-29) representa a perda de energia por unidade de volume por ciclo; assim, a perda de energia por unidade de tempo é diretamente proporcional à freqüência da corrente alternada.
Resumo
255
Segundo a Eq. (12-28), o trabalho nece~~ári() para variar a indução magnética numa unidade de volume do material é dWb
= H . dB =
+ 110H
110H dH
. dM.
(12-28a)
Às vezes, é conveniente considerar o termo l10H dH (trabalho realizado no vácuo) como efetuado, esteja o material presente ou não. Deste ponto de vista, então, o termo l10H • dM é o trabalho específico feito sobre o material. Este é o procedimento geralmente adotado nos estudos de termodinâmica; ele forma a base para a exposição de processos tais como o "esfriamento magnético". Como a integral de H dH se anula num ciclo completo, a Eq. (12-29) é equivalente a
=
Wb
A partir de d(MH) = H dM
+ M dH,
110
fH
(12-29a)
dM.
que também se pode escrever como
M dH.
Wb = -l1of
(12-29b)
12-5 RESUMO O trabalho realizado por um agente externo, por exemplo, uma bateria, ao alterar o campo magnético de uni sistema de circuitos de corrente é d~
=
I
i= 1
]id$i
(exclusivo do trabalho que supre a perda do calor de Joule dos circuitos resistivos). A energia potencial magnetostática de um sistema de circuitos de corrente e de meios magnéticos lineares é n
u= onde
i= 1
].$.P 1
n <1> 1
Para uma distribuição
~ ~
-21
contínua
= ~ L M 1)..]·]0 j=
1
de corrente em meios lineares, a energia magnética toma-
se
u =! f J . A
dv,
onde o potencial vetorial A é produzido pela densidade de corrente J. A integração por partes transforma a energia em materiais magnéticos lineares numa integral, U
=
f u dv,
sobre a densidade de energia do campo magnético, 1 U
=
"2H
1
. B = WH
1. Num circuito único, com
$ = LI. ,
1
2
1 B2
= 2 ----;;.
256
Energia Magnética
2. A força magnética sobre parte de um sistema isolado, com fluxo constante através de cada circuito, é o gradiente negativo da energia magnetostática,
Se o sistema não estiver isolado, mas a corrente em cada circuito for mantida constante por um agente externo (bateria), a força será dada por Fx
= +(au). GX
[
3. Na presença de material não linear. incluindo a histerese, d~~
Num ~iclo co:::p:~w de um 1oO ..~
=
=
H'
procoso
cíeliro,
tH dB
= 110 jH
dB.
dM
=
-110
fM dR.
PItOBLEYAS
t
12-1 dado um circuito de corrente (não necessariamente rígido) num campo magnético prescrito. A força magn";ti,a em wda elemento de circuito di é dada por I di X B. Se o circuito puder mover-se sob as influências das forças magnéticas, de modo que um elemento ar se desloque e, ao mesmo tempo, a corrente se mantenha constante, demonstre, por cálculo direto, que o trabalho mecânico feito pela onde ó <1>é o fluxo adicional que atravessa o circuito. força éli 1+' = [ Ó <1>,
I
12-2 e dado um conjunto de circuitos de corrente interagentes em um meio magnético linear. Todos os circuitos, com exceção do circuito I, se mantêm estacionários, permitindo-se, porém, ao circuito I que se mova rigidamente. As correntes são mantidas constantes por meio de baterias. Demonstre, a partir da combinação das Eqs. (12-4), (12-6) e (12-8), que o trabalho mecânico realizado pelo circuito em movimento é dW = li d
12-3 Considere dois circuitos de corrente interagentes, caracterizados pelas indutâncias =M'l =!3IfI1I'!/' e L2 =!3~, onde!3 e s são constantes. Trata-se de um sistema magnético porém não linear. Calcule a energia magnética do sistema em termos das correntes finais II isto de duas maneiras: primeiro, trazendo as correntes a seus valores finais, em concordância; mantendo 1,'= O enquanto I; é levado a seu valor final, variando então, I;. MI,
LI = !3If, reversível e I, . Faça segundo,
12-4 Um circuito em forma de uma espira circular de fio, de raio b, é colocado no centro de uma espira maior de raio a, b ..:; a. Fixa-se o pequeno circuito de maneira que esteja livre para girar em torno de um de seus diâmetros, estando este diâmetro localizado no plano de um circuito maior. Os circuitos conduzem, respectivamente, as correntes estacionárias Ib e Ia' Se o ângulo entre as normais aos dois circuitos for f), calcule O torque sobre o circuito móvel. Qual será o sentido deste torque, quando Ib e Ia circularem no mesmo sentido?
em forma de U, de comprimento I, separação de pólos d e permeabilidade /1-, tem seção quadrada de área A. É enrolado com N espiras de fio, conduzindo uma corrente I. Calcule a força com a qual o ímã sustenta, entre seus pólos, uma barra do mesmo material, de mesma seção reta.
•. 12-5 Um eletroímâ
12-6 Um ímã permanente, com magnetização constante, e um circuito mam um sistema isolado. Permite-se que o circuito se mova em relação circuito mantida constante. O trabalho mecânico realizado pelo circuito que conclusão se pode chegar a respeito da variação da energia magnética
conectado a uma bateria, forao ímã, sendo a corrente do é dado no Problema 12-1. A deste sistema?
12-7 O campo de indução magnética entre os pólos de um eletroímã é relativamente
I
uniforme e man-
Problemas
257
tém-se no valor constante Bo. Uma fina chapa paramagnética, que se restringe ao movimento vertical, é colocada no campo como é mostrado na Fig. 12-4. A susceptibilidade da chapa é Xm e a área de sua seção reta é A. (a) Calcule a força exercida sobre a chapa. (b) Obtenha um valor numérico para a força se o material da chapa for o titânio, A = 1em 2 e B o = 0,25 T.
Figura 12-4 Chapa paramagnétíca introduzi da entre as faces polares de um ímã.
*12-8 A partir do resultado do Problema 12-1, a força sobre um circuito de corrente em um campo magnético prescrito é dada por F = V 4>. Se o circuito for muito pequeno, o campo magnético B deverá ser tratado como constante sobre a superfície limitada pelo circuito; além disso, o próprio circuito pode ser caracterizado por seu momento de dipolo magnético m. Demonstre que a força sobre o dipo10 será
I
F
=
(m . V)B.
quando o campo magnético prescrito não tiver fontes (isto é, J,
JM
= O) na posição do dipolo.
12·9 Um circuito rígido, constituído de uma só espira de fio, está localizado num campo de indução magnética radial, inverso do quadrado, B = Kr/73 • Demonstre que a força sobre o circuito é F = KIVn, onde é o ângulo sólido que o circuito subtende no centro do campo e é a corrente no circuito.
I
n
12-10 O centro de um circuito circular plano, de raio R e que consiste em uma espira, está sobre o eixo x, a uma distância x da origem. O circuito conduz a corrente e sua normal positiva apOnta no sentido -x. Encontre a força exerci da sobre o circuito por um campo de indução radial que diverge da origem, B = Kr/73 •
I
12-11 Considere um solenóide muito comprido, de N/I espiras por unidade de comprimento e raio R, tal que o campo em seujnterior seja aproximadamente uniforme e o campo em seu exterior seja nulo. Encontre a partir da energia magnética a força radial sobre uma espira do eruolamento, por unidade de comprimento da circunferência. (a) Suponha que a corrente se mantenha constante por meio de uma bateria. (b) Repita, supondo que o fluxo permaneça constante e que o sistema esteja isolado (com enrolamentos supercondutores).
I
12-12 Resolva o exemplo da Fig. 12-1 com a energia magnética na forma U = -4- LI' , onde L = L (xo) é a indutância do solenóide correspondente a uma inserção de Xo da barra de ferro. Suponha que o diâmetro da barra seja quase tão grande quanto o do solenóide e que ambos sejam tão compridos que os efeitos das extremidades se tornem desprezíveis. 12-13 Encontre, para o toróide do Problema 11-10, a força radial que se exerce sobre a bobina se ela conduzir uma corrente I. A força tende a expandir a bobina ou a aniquilá-Ia? 12-14 Encontre a força entre o fio reto e o circuito retangular do Problema 11-15 se as correntes foremII
eI2•
258
Energia Magnética
12-15 Dois circuitos supercondutores isolados conduzem certas correntes quando colocados de forma a que sua indutância mútua seja nula. Agora, deslocam-se de modo que sua indutância mútua seja M. Se os circuitos forem idênticos e tiverem as mesmas correntes iniciais 10, encontre as correntes finais
I
+
Demonstre que JvH • B'dv = 0, onde V é todo o espaço, se os campos forem produzidos exclusivamente por ímãs (isto é, não há correntes de transporte). Será a energia magnética nula? 12-16
12-17 Avalie as áreas compreenuidas pelas duas curvas de histerese mostradas na Fig. 9-7 e calcule a perda de potência por unidade de volume devida à histerese nesses materiais operando a 60 Hz. 12-18 O núcleo da armadura de um gerador é feito de ferro, cuja curva de histerese média em condições de operação tem uma área de 2000 joules/m3 • O núcleo é de forma cilíndrica, com um comprimento de 0,4 m e um diâmetro de 0,15 m. Se ele girar a 1800 rot./min, calcule a taxa segundo a qual se produz calor no núcleo. 12-19 Um circuito de corrente, num campo magnético prescrito, desloca-se magnéticas. O trabalho mecânico realizado pelo circuito é dado no Problema o circuito seja um circuito atômico e que a corrente atômica seja mantida princípios quânticos gerais (observe que estamos desprezando uma pequena causa do diamagnetismo). Qual a variação da energia magnética do circuito? ma é a base para a energia dipolar magnética no cálculo da Seção 10-3.
sob a influência de forças 12-1. Suponha agora que constante por causa dos variação na corrente, por O resultado deste proble-
CAPÍTULO 13 CORRENTES QUE VARIAM LENTAMENTE 13-1 INTRODUÇÃO A idéia de circuito elétrico foi introduzida no Capítulo 7 e foi feita uma análise das correntes nestes circuitos quando excitadas por voltagens constantes aplicadas. Tais idéias serão agora desenvolvidas para incluir não só voltagens que variam lentamente como também correntes resultantes que variam lentamente. Para compreender adequadamente o que significa "variar lentamente", deve-se usar as equações de Maxwel1;* contudo, as idéias gerais podem ser compreendidas sem que se recorra aos detalhes dessas equações. Para variações senoidais da voltagem em circuitos que contêm elementos lineares, base para a teoria elementar do circuito, o comportamento de um circuito caracteriza-se por uma freqüência w. ** Uma onda eletromagnética desta freqüência, no espaço livre, tem um comprimento de onda À. = 2rrcjw, onde c é a velocidade da luz. A principal restrição a se impor para que a corrente no circuito possa ser chamada de variação lenta é a de que o circuito não deverá irradiar uma quantidade apreciável de potência. Esta restrição pode ser satisfeita, fazendo com que a dimensão linear máxima do sistema, L, seja muito menor que o comprimento de onda no espaço livre associado à freqüência impulsora, isto é,
L ~ 2nc w
2nc ou
w~L'
(13-1)
Se esta condição for satisfeita, então, para todo elemento dI do circuito que conduzir uma corrente haverá, a uma distância muito menor que um comprimento de onda, um
I
.• As equações de Maxwell serão tratadas detalhadamente no Capítulo 16. Para os que estiverem particularmente interessados, vale a pena correlacionar o material apresentado no Capítulo 16 com o apresentado aqui. Neste contexto, "variar lentamente" significa simplesmente que estam os desprezando a corrente de deslocamento aDlat que será exposta nas Seções 16-1 e 16-2, de modo que V X H = J, como se supôs até aqui . .•.• A quantidade w é 2rr vezes a freqüência e é, às vezes, chamada de freqüência angular. O uso de w ao invés de 2rrf é grandemente vantajoso em muitos ramos da física. Em partícular, na atual exposição, elimina uma multidão de 2rr das equações dos circuitos.
259
260
Correntes que Variam Lentamente
elemento -dI correspondente, conduzindo a mesma corrente. Isto assegura claramente o cancelamento dos campos produzidos por estes elementos a distâncias da ordem de alguns comprimentos de onda, em todas as direções e, dessa forma, mostra que os campos associados ao circuito estão confinados à vizinhança do circuito. Para ver que restrições práticas são impostas pela Eq. (13-1), L - À./1O tem sido usado como uma dimensão máxima de circuito ao construir a Tabela 13-1. As freqüências escolhidas são: uma freqüência de linha de transmissão de energia elétrica, uma radiofreqüência baixa (b~da de radiodifusão AM), uma radiofreqüência alta (FM e TV) e uma freqüência de microondas. É claro que, para as três primeiras freqüências, circuitos ordinários satisfazem o critério; todavia, para a última, o circuito deve ser construído num cubo de aproximadamente 0,25 cm de lado, o que limita sua aplicabilidade a circuitos integrados. Deve-se observar, também, que a 100 MHz, o comprimento de onda e as dimensões do circuito são dimensões de laboratório e, em conseqüência, deve-se ter cuidado ao aplicar a teoria ordinária de circuitos a esta e a freqüências maiores. No restante deste capítulo, suporemos que o critério da variação lenta seja satisfeito, sem maiores comentários explícitos.
30 55376 xxXrad/s 106 Tabela 13-1 300 3 (300 milhas) L,m 0,3 0,003 w, 106 0,03 6,28 1010 108 X À.,m 105 f,Hz
13-2 COMPORTAMENTO TRANSITÓRIO E DE ESTADO ESTACIONÁRIO Se conectarmos, subitamente, uma rede de elementos passivos a uma fonte ou fontes de voltagem, surgem correntes. Independentemente da natureza das voltagens aplicadas, a variação inicial das correntes, com o tempo, é-não periódica. Se, contudo, as voltagens variarem periodicamente com o tempo,* então, um longo tempo após a aplicação das voltagens, se verá que as correntes também variarão periodicamente com o tempo. (Na realidade, elas se tornarão estritamente periódicas apenas após um tempo infinito; todavia, se desejarmos qualquer aproximação à periodicidade, esta pode ser obtida aguardando-se um tempo suficientemente longo.) É conveniente expor o comportamento dos circuitos em duas fases, de acordo com o mais importante: o comportamento periódico ou o não periódico. O comportamento periódico é considerado o comportamento de estado estacionário, enquanto o não periódico é conhecido como comportamento transiente. Ambos os aspectos são regidos pelas mesmas equações básicas íntegro-diferenciais; contudo, as técnicas elementares usadas na solução são radicalmente diferentes nos dois casos. A análise aqui apresentada se restringirá à análise transitória elementar (primeiramente, excitação por voltagens constantes) e à análise do estado estacionário para excitações senoidais.
" Urna voltagem constante pode ser entendida corno um caso especial de voltagem periódica, na qual o período é infinito ou a freqüência é nula.
Leis de Kirchhoff
261
Para maiores detalhes, o leitor deve consultar os livros clássicos de Guillemin e de Bode,* e outras obras mais recentes de engenharia. **
13-3 LEIS DE KIRCHHOFF As leis de Kirchhoff foram introduzidas, no Capítulo 7, para circuitos de corrente contínua (c.c); e agora devem ser generalizadas para incluir correntes que variam lentamente. A primeira generalização consiste em observar que não apenas resistores mas também capacitares e indutores devem ser incluídos como elementos de circuito. Cada elemento desses tem uma diferença de potencial entre seus terminais, que deve se incluída na lei das malhas de Kirchhoff. O nome "queda IR" já não é apropriado para todas elas, por conseguinte será adotado o termo contravoltagem para especificar a diferença de potencial entre os terminais de um elemento passivo. A outra generalização consiste em observar que ambas as leis de Kirchhoff devem ser aplicadas em cada instante de tempo, isto é, devem ser aplicadas aos valores instantâneos das correntes, voltagens aplicadas e contravoltagens. Pode-se enunciar agora as leis: L A soma algébrica das correntes instantâneas que fluem através de um nó é igual a zero. 11. A soma algébrica das voltagens instantâneas aplicadas em uma malha fechada é igual à soma algébrica das contra~'oltagens instantâneas na malha.
O significado da primeira lei é claro: se as correntes dirigidas para um nó forem chamadas de positivas, então aquelas dirigidas em sentido oposto serão chamadas negativas e a lei diz que a corrente que entra no nó também sai dele. Basicamente, a segunda lei representa a integral do campo elétrico sobre a malha; todavia, é necessário estabelecer a convenção de sinal. A convenção de sinal, a que aderiremos, é mais bem explicada em termos de uma única malha simples, como está ilustrado na Fig. 13-1. Nesta figura, uma voltagem aplicada'! (t) está ligada em série a uma resistência R, uma indutância L e uma capacitância C. Uma seta designada como I(t) foi traçada para indicar o sentido positivo assumido (arbitrariamente) para a corrente. Todos os sinais se referem fundamentalmente a este sentido. A voltagem '1 .(t) será positiva se procurar fazer com que a corrente se mova no sentido assumido, isto é, se o terminal superior da Fig. 13-1 for positivo em relação ao terminal inferior. A contravoltagem resistiva é justamente IR, como nos circuitos c.c. Se dljdt for positivo, uma fem será induzida na indutância que tenderá a produzir uma corrente no sentido oposto ao assumido para I, isto é, O terminal superior de L deverá ser positivo em relação ao terminal inferior. Como este é o mesmo sentido que IR em relação ao sentido de I, a contravoltagem é justamente L (dljdt). *** A contravoltagem capacitiva depende da carga do capacitor, que tanto pode ser positiva, como negativa, isto é, se estamos conside-
* E. A. Guillemin, Communication Networks (2 vols.) (New York: Wiley, 1931 e 1935); e H. W. Bode, Network Analysis and Feedback Amplifier Design (Princeton, N. J.: D. Van Nostrand, 1945), (Huntington, N. Y. Krieger, 1975, reimpressão da edição de 1945).
** Por exemplo, N. Balabanian e T. Bickart, Electrical Network Theory (New York: Wiley, 1969); e J. B. Murdoch, Network Theory (New York: McGraw-Hill, 1970). *** Vale a pena observar que a fem induzida é notada -L (dI/dO; contudo, sendo urna fem, poderia normalmente ser expressa do outro lado da equação das contravoltagens. Dessa forma nenhuma contradição é introduzida ao se escrever +L (dI/dt) para a contravoltagem.
262
rando
Correntes que Variam Lentamente
O
condutor superior ou o inferior. Esta dificuldade é resolvida ao escrevermos .r Q
=
I I(t) dt,
(13-2)
Oro
Figura 13-1 Circuito em série de elementos de circuito.
onde to é escolhido de modo que Q(to) seja nulo. Com esta escolha de Q, um Q positivo torna o terminal superior do capacitar positivo e, dessa forma, produz a contravoltagem capacitiva +Q/C. A lei da voltagem de Kirchhoff, para o circuito da Fig. 13·1, é dI l·r
r(t) = RI + L -dt + -C "0I I dt,
(13-3)
que é típico das equações integro diferenciais da teoria de circuitos. 13-4 COMPORTAMENTO TRANSITÓRIO ELEMENTAR O único comportamento transitório a ser considerado aqui é o associado à súbita aplicação de uma voltagem constante ra uma rede de resistores, capacitores e indutores, sendo o primeiro exemplo o circuito simples RL, mostrado na Fig. 13·2. Neste circuito, a Eq. (13-3) torna-se dI
'r= RI + L
dt
(13-4)
R
L Figura 13-2 Resposta transitória de um circuito RL. Diagramado circuito.
Comportamento
Transitório Elementar
263
após o fechamento da chave S. A solução, antes de se fechar a chave, é trivial, sendo exatamente 1=0. A Eq. (13-4) é uma equação diferencial linear de primeira ordem com coe· ficientes constantes e, em conseqüência, pode ser sempre resolvida com uma constante arbitrária na solução. A solução é ( 13-5) sendo K a constante arbitrária. Como o circuito contém uma indutância que impede uma variação abrupta na corrente, esta, logo depois de fechada a chave, deve ser igual à corrente logo antes de a chave ter sido fechada, isto é, zero. Se a chave for fechada em t = to, isto requer que
(13-6) ou
(13-7) A solução completa seria, então, !(t)
= ;~ [1 -
(13-8)
e-RU-rOl/L],
que está representada graficamente na Fig. 13-3. Pode-se chegar a várias conclusões úteis, facilmente obtidas, a partir da Eq. (13-8) e da Fig. 13-3. Primeiro, L/R tem a dimensão do tempo e é denominado constante de tempo. Como l/e"", 0,368, a constante de tempo é o tempo necessário para que a corrente alcance 0,632 vezes seu valor final, 'IR. Em cinco constantes de tempo, a corrente atinge 0,993 vezes seu valor final, que é convenientemente recordado como 99 por cento. A inclinação inicial dI/dt é justamente a corrente final "I/R dividida por uma constante de tempo L/R, isto é, uma inclinação tal que se a corrente continuasse a crescer nesta razão, atingiria seu valor final em uma constante de tempo. A utilidade destes fatos consiste em nos permitir calcular, através do simples traçado de uma curva exponencial padrão, a função exponencial envolvida num problema transitório simples até uma precisão de poucos por cento. Muitos outros aspectos de um circuito resistência-indutância podem ser explorados e um tratamento semelhante pode ser aplicado a circuitos resistência-capacitância. Vários dos problemas propostos no final deste capítulo destinam-se a conseguir esse objetivo. "I
o
Tempo
Figura 13-3 Resposta circuito RL.
transitória
de um
264
Correntes que Variam Lentamente
o segundo exemplo a ser considerado é um circuito RLC em série que é subitamente conectado a uma voltagem constante 1. Um circuito desses é mostrado na Fig. 13-4. A equação apropriada, após a chave ser fechada, é
l·r
dI
1 '= RI
+L
(ti
+C n
I I(t) 'ro
dt,
(13-9)
onde, novamente, to é um instante em que a carga do capacitar é nula. Para simplificar, admitiremos que o capacitar está inicialmen te descarregado e que a chave S está fechada em to = O. A Eq. (13-9) pode não ser familiar; contudo, derivando-a uma vez, em relação ao tempo, ela se torna (13-10) que é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes {equação do oscilador ham1ônico). A técnica para resolver estas equações é bastante conhecida e. no caso considerado di !dt = O, a solução é *
I = {Aeiw"l + Be - iw"t\e J
- Rtj2L '
(13-11)
onde
enquanto nem L, nem C forem nulos. Se qualquer um dos dois se anular, aparecerá uma indeterminação na Eq. (13-11); todavia, a Eq. (13-10) pode ainda ser resolvida para L = O; de fato, a solução é mais simples que a Eq. (13-11). Além disso, o caso C=O corresponde ao caso sem interesse de um circuito aberto, Para completar a exposição deste ponto, se C = 00, o que corresponde a fazer um curto circuito no capacitar, a Eq. (13-11) se reduzirá à Eq. (13-5), agora com duas constantes arbitrárias a serem obtidas através do ajuste das condições de contorno. Isto, naturalmente, reflete o fato de que todo o conhecimento de 'Í 'foi perdido ao passar da Eq. (13-9) para a Eq. (13-10). Retomemos agora à solução, Eq. (13-11), onde falta calcular as constantes A e B.
1
:j -l *
::r- (' Aqui
i é o número
Figura 13-4 Resposta Diagrama do circuito.
imaginário unitário, isto é,
i
==
R,
transitória
de um circuito RLC.
Comportamento
Transitório Elementar
265
Para que a corrente seja real, B deve ser o complexo conjugado de A. Como a chave é fechada em t = O, a corrente deve ser nula em t = O, o que significa que as duas exponcnciais imaginárias se devem combinar para dar uma função seno. Estas observações levam a I(r)
=
De- Rt2L
(13-12)
sen wnr,
onde D é uma simples constante real a ser calculada. Este cálculo é efetuado se que Q e são ambos nulos em t = O e, como conseqüência. que
I
-= L dr dII
Usando
esta condição
.
observando-
(13-13)
r=O
inicial, obtemos
(13-14)
A solução
está agora completa.
A corrente
oscila com a freqüência
natural
com uma amplitude que, todavia, decresce com o tempo e é dada por De-Rt/lL. Este comportamento é mostrado na Fig. 13-5. Se o tempo to de fechar a chave não for O, será necessário substituir apenas t por t - to.
-
O
Figura 13-5 Resposta de um circuito RLC.
Isto completa a análise transitória O restante deste capítulo será dedicado estado estacionário, isto é, muito depois as transitórias sejam desprezíveis.
transitória
elementar que nos propusemos a apresentar aqui. a circuitos excitados por voltagens senoidais no que a excitação foi aplicada, a fim de garantir que
266
Correntes que Variam Lentamente
13-5 COMPORTAMENTO SÉRIE SIMPLES
Estudaremos
DE ESTADO
ESTACIONÂRIO
agora o comportamento
DE UM CIRCUITO
EM
do circuito da Fig. 13-1, com a seguinte exci-
tação:
=
,,'(t)
'1 ~
cos wt,
(13-15)
onde w é uma freqüência dada, não necessariamente igual a wn' Isto poderia ser simplesmente escrito no lugar de 1 (t) na Eq. (13-1) ou na Eq. (13-10) e a equação resultante ser assim resolvida; todavia, um procedimento mais proveitoso consiste em notar que '1~ cos wt é a parte real de 'f ;) eiwt, Se uma voltagem comple:\:.!, fictícia, 1 ~ + i i ; for aplicada ao circuito, é mais provável que a corrente resultante também seja complexa, II + iI2 (supõe-se aqui que i ;, i;, II e 12 são todos reais), Introduzindo estas quantidades fictícias na Eq. (13-10), obtemos di; dt
+
= (L
.d'1; 1-dt
~:t~l + R ~:/
+ 2 )+
i (
L
~f} + R
qJ;
+
t ).
(13-16)
A única maneira de satisfazer esta equação consiste em igualar as partes reais da esquerda e da direita e também as partes imaginárias da esquerda e da direita. Dessa forma, II satisfaz a Eq. (13-10) com d'f /dt à esquerda e 12 satisfaz a Eq. (13-10) com d 'I i /dt à esquerda. Isto significa que, se'/ (t) for a parte real de alguma função complexa, será suficiente resolver a Eq. (13-10) com a função complexa para i (t) e então obter a corrente física, tomando a parte real da solução complexa. Na excitação '/ ~ cos wt, é apropriado usar i ~eiwt e tomar a parte real da solução como a corrente física. Em alguns casos, é preferível usar.ei(wt+
i
iwi
oe'wc "
=
[,-w~L
=
[
+ iwR + C1 1 Ioe'wc..
(13-17)
A divisão por iw altera isto para
.
'1 ;e'WC
R
+
iwL
+ ~. lú) C IJ
(13-18) Ioe'w" .
que está na forma (13-19) com
Z = R + iwL +-.
1
iwC'
( 13-20a)
ou
Z = R
+
i (
wL - ~~ ).
(13-20b)
Conexão de Impedâncias em Série e em Paralelo
A impedância Z do parte imaginária ou wL, e em reatância que a corrente não sar a impedância na
267
circuito se constitui de duas partes: a parte real ou resistência (R) e a reatância (X). A reatância divide-se ainda em reatância indutiva, X L = capacitiva, X c = -1 jwc. O fato da impedância ser complexa significa está em fase com a voltagem aplicada. Às vezes é conveniente expresforma polar: (13-21)
com (13-22) e
(13-23) Usando esta forma para a impedância. podemos expressar a corrente complexa como (13-24a) e a corrente física como 'f o
TzT cos
(13-24b) (wr
e).
-
Se e for maior que zero, a corrente atingirá uma fase específica depois da voltagem e dizse que se atrasa em relação à voltagem. No caso oposto, a corrente adianta-se à voltagem. Completamos, assim, formalmente, o estudo do circuito simples em série. apesar de mais tarde examinarmos a solução com cuidado, para melhorar nossa compreensão do ponto de vista da física. 13-6 CONEXÃO DE IMPEDÂNCIAS EM SÉRIE E EM PARALELO Se duas impedâncias forem conectadas em série, a mesma corrente fluirá através delas. As voltagens* das duas impedâncias são VI = Z II e V2 = Z21. A voltagem da combinação é V) + V2 = (Z) + Z2)1. claro, então, que a conexão de impcdâncias em série adiciona as impedâncias, isto é,
t
( con exão em série)
(13-25)
Dessa forma, a Eq. (13-20a) é a soma da impedância de uma resistência R,
uma indutância
L, Z2
e uma capacitância C,
=
iwL,
I Z3=iZuC'
Nesta e nas seções remanescentes do capítulo. usaremos o símbolo V no lugar de * rença de potencial de um elemento ou grupo de elementos.
!::.'f'
para a dife-
268
Correntes que Variam Lentamente
todas em série. É importante observar que as impedâncias se somam como números complexos.SeZI =RI +iXI eZ2 =R2 +iX2,então (13-26) Na forma polar,
= [(R[ +
121
e- - arctan
R2)2
+
(XI
+ X2)2]1!2,
..Xl+X2 ---. RI
(13-27)
+ R2
Observemos que a magnitude de Z não é a soma das magnitudes de Z I e Z2' Se as impedâncias forem conectadas em paralelo, a mesma voltagem aparecerá através de cada uma e as correntes serão dadas por [I = V/Z 1, [2 == V/Z2 etc. A corrente total será
/ = /[ +
v + Z~ V + ... = + ... = Z;
/2
1 + ... ) , 2 + Z;
V (1 I
de onde é claro que 1
_1.
Z
2[
+
122
+ ...
(13-28)
(conexão paralela)
Aqui, também, a adição é a adição de números complexos. As Eqs. (13-25) e (13-28) proporcionam a base para a resolução de problemas que envolvem mais configurações complexas com uma só voltagem aplicada. Como exemplo, consideraremos agora o circuito da Fig. 13-6. A impedância consiste num resistor em série com a combinação paralela de um capacitor e de um indutor. Isto se expressa por
2 =
RI
+
(13-29)
1 _o
R2
+
+ ..__
iwL
1/iwC
Altemativamen te,
+ iwL + T+icvC(R2 + R2
2=
RI
(13-30) iwL)
ou
2-
+ (R2 .- + iwL)[(1 ··-
R [
--
w2 LC) - iwR2 C] o •.•...•
(1-w2LC)2+w2R~C2
o
;/ ;> I''I )-
Gl
('
Figura 13-6 Circuito c.a. típico.
(13-31)
Potência e Fatores de Potência
A única manipulação real e imaginária
Z = RI + Tendo encontrado tudo deste circuito nância. 13-7
POTÊNCIA
distinta
que vale a pena fazer neste instante
Rz (1-=wzLCYi-+-~zRTc2
das partes
. wL(l - wZLC) - wR~C I (T-=-~ZLC)i+- wTR~Cz'
(13-32)
a corrente, separando Z no interior de 1~eiwt. O esmais tarde, em conexão com os fenômenos de resso-
Z, determinamos terá continuidade
E FATORES
+
é a separação
269
DE POTÊNCIA
A potência dada a um resistor pode ser determinada multiplicando-se a voltagem através do resistor pela corrente que passa pelo resistor. Contudo, no caso mais geral, como em relação à impedância mostrada na Fig. 13-7, um procedimento mais sutil toma-se necessário. Se V(t) e I(t) forem a voltagem e a corrente complexas, como é mostrado, a potência instantânea será P(t)
= Re
I(t)
Re
V(t).
(13-33)
A potência média é uma quantidade mais importante, com a média tomada sobre um período completo ou um tempo muito grande (muitos períodos). Se as fases forem escolhidas de forma que Vo seja real e, como é usual, Z = IZlei8, então deve-se imediatamente demonstrar (Problema 13-11) que
?=
Re
z
~
nll \
.
I(i)
Re
V(t)=1IIoIIV01
I
cos ().
(13-34)
Figura 13-7 Medida de potência.
O fator um meio na Eq. (13-34) significa que a média de sen2 wt ou cos2 wt é um meio. O outro fator interessante é co-seno e, que considera o fato de que a corrente e a voltagem não estão em fase. O co-seno e é freqüentemente denominado fator de potência de um circuito de corrente alternada (c.a.). Na Seção 17-3 mostrar-se-á que
(13-35) onde I~ é o conjugado complexo de uma só vez, à Eq. (13-34).
de 10' Esta forma
Como comentário final, mencionaremos corrente são muitas vezes definidos por
é convenientemente
que os valores efetivos
recordada
e leva,
da voltagem
e da
(13-36)
o valor
destas definições consiste em mostrar que uma dada Vef, aplicada a uma resistência, dissipa a mesma potência que uma voltagem constante de mesma magnitude. A espe-
270
Correntes que Variam Lentamente
cificação de valores eficazes é muito comum, por exemplo, linhas de 115 volts c.a. são linhas de 115 volts efetivos. 13-8 RESSONÂNCIA A Eq. (13-22) mostra que um circuito LRC em série, simples, tem uma impedância dependente da freqüência que é mínima em w2 = W6 = l/Le. Nesta freqüência, a impedância é somente R, o ângulo de fase é igual a zero e a corrente é um máximo de amplitude 'fo/R. Este é um fenômeno de ressonância muito parecido ao observado nos osciladores mecânicos amortecidos. Se a corrente for representada graficamente como uma função da freqüência, obter-se-á uma curva com a forma mostrada na Fig. 13-8. Diversas curvas são mostradas; todas se baseiam nos mesmos valores de L e C, porém a resistência em série varia de curva para curva. Está claro que as curvas são mais estreitas para valores pequenos em série, do que para valores grandes da resistência. A corrente cai a ..;2/2 vezes seu valor máximo numa freqüência onde a magnitude da impedância é ..;2 vezes R, ou onde (13-37)
1
Figura 13-8 Curvas de ressonância para um circuito RLC em série.
()
Para respostas de pico relativamente pronunciadas, isto vale para valores de w não muito afastados de wo. Escrevemos então w = Wo + D.w e obtemos I woL Usando w6 = I/Le e (1
+ I1wL
+ !::.w/wo)-l
1 + J_.' I1w/wo - Wo __1C- __ __
j
= R.
(13-38)
~ I - !::.w/wo, obtemos 2111w
I
L
I1w
I
=
R
ou 21
R
(13-39)
woL A quantidade Q
= woL/R
Wo
ou Q
=
ir~~
(13-40)
Ressonância
271
caracteriza a agudeza da curva de ressonância e é conhecida como o fator de qualidade, Q, do circuito. * Para fins práticos, Q pode ser considerado como uma propriedade, apenas, do indutor, uma vez que a maioria das inevitáveis resistências em série está associada ao fio com que o indutor é enrolado. Todavia, um tratamento mais apurado mostra que as perdas do capacitor também devem ser incluídas no cálculo de Q. As curvas da Fig. 13-8 estão indicadas pelos valores apropriados de Q. À medida que se varia a freqüência excitadora, varia não apenas o valor mas também a fase da corrente. Esta variação é mostrada na Fig. 13-9 para os mesmos valores de Q usados na Fig. 13-8. Abaixo da ressonância, o ângulo de fase da função impedância é negativo; por conseguinte. a fase da corrente é positiva e esta se adianta à voltagem. Acima da ressonância, ocorre o contrário e a corrente se atrasa em relação à voltagem. B interessante notar que os circuitos ressonantes de radiofreqüência usuais, encontrados nos equipamentos de comunicação, são circuitos ressonantes em série, apesar de sua aparência de circuitos em paralelo. No caso mais simples, isto se deve ao fato de ser a potência excitadora indutivamente acoplada a L e, dessa forma, aparecer como uma fem em série com L.
~ ....
e
()=;?
v1-
I
,'--
I .--"" e;/'2~':=------
,'/
1,.1
O!
ú:Figura 13-9 Ângulo de face da impedância em um circuito RLC em série típico.
A ressonância não se restringe a circuitos em série como os que acabamos de expor; circuitos paralelos podem também exibir características de ressonância. O circuito da Fig. 13-6 exibe tal ressonância. Definir a freqüência de ressonância de um circuito resSonante em paralelo não é tão simples como num circuito em série. Algumas das possibilidades são: (1) Wo = 1/VLC, (2) a freqüência em que a impedância [dada pela Eq. (13-31)] é um máximo ou (3) a freqüência em que o fator de potência é unitário. Cada uma dessas três escolhas dá uma freqüência diferente; contudo, em circuitos de Q elevado, elas são praticamente as mesmas. A primeira escolha é, com certeza, a mais útil na prática, porque faz com que muitos resultados de ressonância em série sejam diretamente aplicáveis ao caso da ressonância em paralelo. Um resultado muito interessante é obtido ao usar-se a Eq. (13-31) para calcular Z, comRl =0 e Wo = 1/VLC. O resultado é
Z=WL---l o R
(13-41)
[woL '1 ' Num circuito de Q elevado, i pode ser desprezado, do que resulta que a impedância na ressonância é Q vezes a reatância indutiva na ressonância.
Este Q nada tem a ver com a carga.
272
Correntes que Variam Lentamente
o
assunto dos circuitos de ressonância pode prosseguir extensamente; todavia, 10 aqui seria improcedente. Alguns dos problemas prolongam esta seção e detalhes compreensíveis são dados em outra parte. *
*13-9
INDUTÂNCIAS
MÚTUAS
fazêmais
c.a.
EM CIRCUITOS
A solução de problemas de circuitos c.a. que envolvem indutâncias mútuas apresenta uma dificuldade menor quando especificamos o sinal correto da indutância mútua. Esta dificuldade pode ser prontamente resolvida, observando-se que o sinal a ser associado à indutância mútua depende do sentido tomado para a corrente nos dois circuitos envolvidos e da maneira pela qual os enrolamentos estão conectados. A representação Mij será usada para a indutância mútua pura entre os dois circuitos. 2, resultante de uma correnNo Capítulo 11 mostramos que a fem no enrolamento te variável no enrolamento 1, é dada em magnitude por
62=M21 Para correntes
senoidais
temos,
usando
a notação
62
dI1
(13-42)
--
dt
complexa,
= iwAJ 21 I I o eiW1
(13.43)
ou
(13-44) Daqui por diante, o símbolo M21 será tomado como uma quantidade positiva e o sinal de &2 será demonstrado explicitamente; em outras palavras, M21 será substituído por +M21 na Eq. (13-44), sendo M21 uma quantidade positiva. Para demonstrar a técnica de especificar sinais, consideremos agora o circuito ilustrado na Fig. 13-10, em que duas impedâncias ZI e Z2 são combinadas com uma indutânmútua é incia mútua e conectadas a uma voltagem aplicada 'I (t) = 'I oeiwt. A indutância dicada por llII2 e é tomada como sendo um número positivo. Os pontos pretos da figura indicam as extremidades dos dois enrolamentos que são simultaneamente positivas; isto é, se o enrolamento inferior for excitado por uma corrente senoidal que toma o terminal da esquerda positivo num instante ti, a voltagem induzi da no enrolamento superior tomará positivo o terminal esquerdo do enrolamento superior em ti· A equação do ramo superior, de acordo com a lei de Kirchhoff, será (13-45) O sinal positivo tagem é
é usado
no ramo superior
para a indutância
mútua
que tem o mesmo
sentido
iwM onde, em razão da simetria,
*
12
II
se escreveu
+ Z 2 12 +
um /2 positivo fornece uma volde uma queda/IR. A segunda equação
porque
iwL2 12
= 'I',
(13-46)
llJI2 = 1M2 I .
K. Henney. Radio Engineering Handbook, Quinta Edição (New York: McGraw-Hill, 1959).
"I Indutâncias Mútuas em Circuitos c.a.
273
Figura 13-10 Circuito com indutância mútua.
A especificação do sinal se baseia nas mesmas conclusões anteriores e se pode verificar observando-se que M12 deverá aparecer na equação do ramo um com o mesmo sinal que M21 na equação do ramo dois. As Eqs. (13-45) e (13-46) podem ser resolvidas simultaneamente por técnicas padrão, dando
1 = I
Combinando
j
Z2 + iwL2 - iwM 12 ---~-. --~-.~.. -(ZI + iwLd(Z2 + iwL2) + w2Mi2
as duas correntes para obter a corrente total
. '
II + 12, ternos
+ iwL1 + Z2 + iwL2 - 2iwM 12 1 = 1 + 1 = 1-- -- -..- -------I 2 (ZI + iwLI)(Z2 + iwL2) + w2Mi2 . .ZI
(13-47)
(13.48)
O coeficiente de'!· no lado direito é o recíproco da impedância apresentada ao gerador ou a impedância líquida entre os pontos a e b. É óbvio que se MI2 for nulo, a impedância será a combinação em paralelo das impedâncias dos dois ramos. Na conexão mostrada, conforme M12 cresce, também cresce a impedância. O circuito obtido ao mudar a polaridade de um enrolamento da indutância mútua é mostrado na Fig. 13-11. Observemos que a única diferença consiste no deslocamento do ponto preto que foi levado da extremidade esquerda do enrolamento superior para a ex~
Figura 13-11 Circuito da Fig. 13-10 com o sinal da indutância mútua invertido.
274
Correntes que Variam Lentamente
tremidade direita. O resultado é uma mudança no sinal do termo (13-46), dando
MI2
nas Eqs. (13-45) e
e
(13-49) - iwM 121 1
+
(Z2
+ iwLz)1 z =1'.1
As correntes são facilmente encontradas e combinadas para obter a impedância:
Z = (ZI~i~Ld(Z2± ab
ZI
+
iwLI
iw~~~W2Miz
+ Z2 + iwL2 + 2iwM
12'
(13-50)
que é a mesma do caso anterior quando a indutância mútua é igual a zero. A relação entre para MI2 finito, e ZaIJ, para M12 == O depende do parâmetro de uma forma bastante complicada. Estabeleceremos aqui apenas que Zab pode ser maior ou menor que o Zab para 1'1112 == O. O circuito básico do dispositivo de indutâncía mútua mais comum, o transformador, é mostrado na Fig. 13-12. RI e Rz são as resistências dos enrolamentos primário (exe M é a indutância citado r) e secundário (excitado), LI e L2 são suas auto-indutâncias, mútua (positiva) entre eles. Z L é a impedância da carga conectada ao enrolamento secundário e'J (t) == 'I óeiwt é a voltagem através do enrolamento primário. Se as correntes 11eiwt e 12 e i.: w 2 t forem supostas como estando nos sentidos indicados, a lei da voltagem de Kirchhoff requererá que as equações Zab'
'tó
= IIRI + iwLI/I +
iwM/2,
e
(13-51)
sejam satisfeitas. As soluções destas equações são 1 I -
(RI
+
ZL iwLI)(ZL
+ R2 + iwLz ... + R2 + iwL2) + wZM2
' 'Yo.
e
(13-52)
~
JI
Figura 13-12 Transformador.
Equações de Malhas e de Nós
Estas equações relativamente da Fig. 13-12.
complicadas
representam
275
uma solução exata para o circuito
Para muitos fins, é muito mais conveniente pensar em termos de um transformador ideal, isto é, um para o qual as relações
a
(13-53)
são satisfeitas e onde a constante a independe da freqüência, VL é a voltagem através de ZL e todas as outras quantidades são mostradas na Fig. 13-12. Multiplicando as Eqs. (13-53) uma pela outra, mostra-se que estas relações exigem que a fonte de potência j~11 seja toda ela entregue à carga, VL12; em outras palavras, não há perdas no transformador. A condição que deve ser satisfeita para assegurar a segunda dessas relações é
+ Rz + iwLz
ZL
---iwM -=a,
(13-54)
que será satisfeita se wLz ~ IZL + R21. Podem ser encontradas condições semelhantes que garantirãü que VL /1 Ô = a. * As condições são complicadas e não são fáceis de satisfazer; todavia, existem transformadores práticos que delas se aproximam segundo intervalos de freqüência relativamente amplos. Para estes dispositivos,
12 --
--
11
]/ L --- a10'
a
e
i~ _
11
VL
_ ZL
-;2] 2
aZ
(13-55) •
A última dessas relações mostra que o transformador atua também como um transformador de impedância, com razão de transformação a-2 • Deixa-se como exercício demonstrar que, para um acoplamento muito estreito dos dois enrolamentos, a =Nz jN1, isto é, a razão das espiras. *13-10 EQUAÇÕES DE MALHAS E DE NOS Circuitos c.a. mais complexos podem ser estudados de duas maneiras: uma, baseada na lei da voltagem de Kirchhoff e conhecida como análise das malhas, e outra, baseada na lei da corrente de Kirchhoff e conhecida como análise dos nós. Cada método tem suas vantagens e desvantagens. Como a escolha do método conveniente pode simplificar grandemente alguns problemas, examinaremos os dois métodos nesta seção. O primeiro passo na aplicação da análise das malhas consiste na especificação das mesmas. Isto se consegue supondo correntes em circuitos fechados tais que pelo menos uma corrente percorra cada elemento. Com esta escolha de correntes, a lei I de Kirchhoff é automaticamente satisfeita. Por exemplo, na Fig. 13-13 são mostradas três malhas, indicadas por 11,12 e 13' Esta não é, naturalmente, a única escolha possível; várias outras são possíveis e úteis. Se a lei da voltagem II de Kirchhoff for aplicada a cada uma dessas ma*
Os detalhes são dados em Guillemin, loco cit., Capítulo VIII.
276
Correntes que Variam Lentamente
lhas, obteremos
II(Z3+Z4)
-IIZ4 -IIZ3
+I1(ZI+Zl+Z4) -I1Z1
=0,
-I3Z1 +I3(Zl+Z3+ZS)
(13-56)
=0.
Observe que o sinal negativo surge porque na malha um, por exemplo, I']. flui através de Z4 em sentido oposto ao de 11. As Eqs. (13-56) podem ser mais facilmente resolvidas por técnicas matriciais, de que resultam expressões para o conjunto de correntes de malha do circuito. É útil observar que as equações de malha podem ser escritas como
I n
j=
I
Zijlj
= 'I; (i = 1,2, ... ,
n)
(13-57)
(5endo n = 3 no circuito anterior). Nesta notação, Zij = Zji, que é uma verificação útil nas equações de malha.
Figura 13-13 Ilustração
malhas em circuitos c.a.
do uso da análise das
Como segundo exemplo, considere o circuito da Fig. 13·14. As equações apropriadas para este circuito são expressas como II(ZI+Zl)+ I1Z2 ='1i, (13-58) + I2(Zl + Z3) = i~. I\Zl
Figura 13-14 Outro uso das equações de malha.
Equações de Malhas e de Nós
i;
277
e devam estar em fase; geralmente, eles não estarão, porém Não há razão para que = ;oleiwt, 'I; = 11 ;olei(wt+ç/». Todavia, é muito importante serão expressos por especificar as fases corretamente e isto se realiza mais convenient~mente pelo exame das do sentido em relação às correntes de malha esfases relativas em t = O pela determinação pecificadas. Também é importante observar que caso todos os geradores não tenham a mesma freqüência, a técnica inteira falha (mais apropriadamente, o problema reduz-se à superposição de dois problemas independentes, cada um envolvendo um gerador e uma freqüência). Antes de continuar a exposição das equações dos nós alternativas, convém explicar os geradores de voltagem e de corrente. Nas seções anteriores, foram dados problemas de circuitos em termos de fontes puras de voltagem aplicada. Estes dispositivos idealizados não podem, naturalmente, ser construídos; os dispositivos práticos sempre possuem uma certa impedância interna. Assim, um gerador prático consiste numa fonte de voltagem, 'I (t), em série com uma impedância ZJ, que é a impedância interna. Tal gerador é mostraa uma carga ZL' Diversas observações podem ser feitas. Prido na Fig. 13-15, conectado
i ~ li
"I
~
meiro, para máxima transferência de potência à carga externa, Z L = Z J; isto é, ZI e Z L deverão ter partes resistivas iguais e partes reativas iguais em magnitude, porém opostas quanto ao sinal. Sua comprovação é deixada como exercício. Segundo, um gerador de voltagem é equivalente a um gerador de corrente que fornece uma correnteJ(t) ='1 (t)!ZJ desviada pela resistência interna. A equivalência para o circuito da Fig. 13-15 é mostrada tal equivalência. se observarmos que um gerador ideal na Fig. 13-16. Será fácil demonstrar de corrente fornece a corrente J(t) a qualquer carga conectada a seus terminais. A equivalência significa, além disso, que, em qualquer problema de circuito, pode-se considerar os geradores como geradores de voltagem ou de corrente, segundo a conveniência da situação.
~ I I
z/
j
I
1 I
I I
ZL
Figura 13·15 Gerador prático conectado a uma carga Z L-
As equações dos nós de um circuito resultam da aplicação da lei da corrente I de Kirchhoff a cada um dos nós, onde um nó é um ponto em que se unem três ou mais elementos. Este procedimento satisfaz, automaticamente, a lei da voltagem II de KÜchhot1. Como um exemplo simples da aplicação das equações dos nós, consideremos o circuito da das equações dos nós, se requer que a soma algébrica das corFig. 13-17. Para a obtenção rentes em cada nó seja igual a zero. Os nodos estão numerados, iniciando-se em zero com o nó cujo potencial é o de referência do circuito. Se o potencial no nÓ O for tomado como zero, então no nó 1
(13-59)
278
Correntes que Variam Lentamente
o Figura 13-17 llustração do método da análise dos nós em circuitos c.a.
Figura 13-16 "Gerador de corrente" que equivale ao gerador de voltagem da Fig.
13-15.
onde VI e
V2
são os potenciais dos nós 1 e 2, respectivamente. 0=
VI
V2 -
_.-
No nó 2,
+ -V2 + -.Vz 23 24
22
(13-60)
Antes de prosseguir, faremos a observação de que uma quantidade que fosse a recíproca de uma impedância seria de grande utilidade. Esta quantidade é a admitância, simbolizada por Y. Y = l/Z. Admitâncias em paralelo somam-se, enquanto que admitâncias em série se combinam pela soma dos recíprocos. Em termos de admitâncias, as Eqs. (13-59) e (13-60) tomam-se Y"(t)
= (YI +
0= -
Y2)VI
Y2 VI
+
-
(Y2
Y2 V2,
+
Y3
+
(13-61) Y4)V2,
que são algo mais convenientes. A solução simultânea destas equações dá as voltagens dos nós, VI e V2. Consideraremos mais um exemplo do uso das equações dos nós; ou seja, para o circuito ilustrado na Fig. 13-18. As equações dos nós são simplesmente escritas na forma Y"I
=
0= Y2 =
YI VI
+
Y2(V2 Y6 V3
+
YZ(VI Vd
+
YS(V3 -
Y3
V2)
+
Y4(Vt
V2
+
YS(V2 -
V3),
V2)
+
Y4(V3 -
VI)'
-
V3),
(13-62)
Figura 13-18 Outro circuito ilustrando a análise dos nós.
Resumo
279
Estas equações podem ser resolvidas por técnicas padrão para obter as voltagens nos nós. O fato de se obterem voltagens, ao invés de correntes, quando as equações são resolvidas, é a maior vantagem, particularmente em circuitos de comunicação.
*13-11 1MPEDÂNClAS DE PONTO DE EXCITAÇÃO E DE TRANSFERÊNCIA Apresentaremos agora definições simples da impedância de ponto de excitação e de transferência de uma rede de quatro terminais. Definições estas apresentadas porque aparecem na literatura técnica e são às vezes um sério tropeço para os não iniciados. Consideremos um circuito de quatro terminais e chamemos os terminais 1 e 2 de entrada, e os 3 e 4 de saíçla. Se um gerador de voltagem '/ "e impedância interna ZI for conectado entre os terminais 1 e 2, e uma impedância ZL entre os terminais 3 e 4, como aparece na Fig. 13-19, existirá uma corrente em ZI e uma corrente L em Z L' A impedâneia do ponto de excitação, ZD, é
h
I
(13-63) e a impedância de transferência
é
(13-64) Deve-se observar que ZD e ZT dependem ambos de ZI e Z L' bem como da estrutura interna do circuito. Um tratamento breve como o acima descrito não faz jus ao estudo da teoria de circuitos; convém que se consultem livros clássicos como o de Guillemin, ou como a multidão de trabalhos mais recentes, para os detalhes deste assunto complexo.
4
Circuito
I
I
ZL
Figura 13-19 Circuito de quatro terminais.
13-12 RESUMO Como nos circuitos c.e., a análise de circuitos que conduzem correntes que variam lentamente depende das leis da voltagem e da corrente de Kirchhoff, aplicadas aqui a cada instante de tempo. A corrente e a voltagem de uma resistência linear são instantaneamente relacionadas pela lei de Ohm
280
Correntes que Variam Lentamente
As leis análogas
para uma indutância
linear e uma capacitância
v'=L-L
linear são
dI
dt'
1 Vc = onde I=dQ/dt. leis de Kirchhoff
C Q,
Num circuito de uma só malha, resultam na equação diferencial d2Q
L -.dt2
+R
dQ -dt
contendo 1
+ -C
Q
=
uma voltagem
'1-( t)
aplicada
'f,
-(t), as
.
(para um circuito mais complicado, o resultado é um sistema destas equações diferenciais lineares de segunda ordem.) A solução geral é a superposição de uma solução particular (solução do estado estacionário) mais a soluçãO geral da equação homogênea correspon(t) = O (solução transitória). As constantes arbitrárias nesta última dente, obtida ao fazer são escolhidas como as que satisfazem as condições iniciais impostas.
i
1. A solução transitória é exponencial em t; se o expoente for complexo, a parte imaginária representará, fisicamente, uma oscilação de Q e I. A parte real representa um comportamento decadente (transitório), com um tempo de decaimento que é pequeno para R grande. Na maioria dos circuitos práticos, o tempo de de caimento é tipicamente uma fração de um segundo. 2. O comportamento de estado estacionário é exposto apenas no caso de uma voltagem aplicada senoidal (c.a.). (Voltagem constante é o caso especial de freqüência zero; uma de· pendência de tempo arbitrária poderia ser representada como uma síntese de Fourier.) Se na forma complexa a voltagem aplicada -nt) = i''O cos wt for representada
i-= i~eiwt, a corrente
de estado
estacionário
terá a mesma
freqüência
w,
I=IoeiW'.
A impedância
Quando
complexa
Z for expresso
Z é definida
na forma
por
polar,
Z O módulo
IZI dará
a amplitude
e e dará a fase relativa
uma vez que
I = iwQ.
à voltagem
=
IZlei8,
da corrente,
aplicada.
A lei de Ohm e suas extensões
ZR
= R.
ZL
= iwL
dão
Problemas
281
3. A análise do comportamento de estado estacionário de um circuito c.a. linear é exatamente um paralelo à dos circuitos c.e., com a impedâneia complexa servindo como uma generalização da resistência c.C. 4. A dissipação instantânea tem o valor médio temporal
de potência
é P(t) = Re l(t) Re V(t). Num circuito
c.a., esta
o fator de potência, cos e, é 1 para uma resistência pura e O para uma indutância pura ou capacitor. A voltagem e corrente "efetivas" são 1V01/0 e IIo Ii Uma expressão equivalente para potência média temporal c.a. é
0.
p = ~ Re (I*V). 5. Como Wo
=
função da freqüência, um circuito em série exibe uma ressonância próximo de onde IZI é um mínimo e 1101 é um máximo. A agudeza da ressonância é da-
1/vLC,
da por
Q
=
(D~
_ (Do
2111w I -
-R-
L
Um circuito em paralelo também tem uma ressonância IZI é um máximo e 110\ é um mínimo. 6. Um transformador transformador rio é o inverso
é o elemento
mais comum
próxima
do circuito
de Wo
= 1/ yrc,
de indutância
ideal é aquele em que a razão entre a corrente do secundário da razão entre a voltagem do secundário e a do primário.
mútua.
onde Um
e a do primá-
PROBLEMAS
n
13·1 Uma indutância de 2H e uma resistência de 3 estão conectadas em série com uma bateria de 5 V e uma chave. Determine a corrente e a ta.xa de variação da corrente (dI/dt) no circuito, após se fe· char a chave nos seguintes tempos: (a) 0,3 s, (b) 1 s e (c) 4 s. 13-2 Por um circuito que consiste numa indutância Lo ' numa resistência Ro e numa bateria '10' passa IRo. Uma chave do circuito é aberta no instante t = O, criando um ar· uma corrente estacionária = co através da chave. Se a resistência do arco for dada por k/I, onde a constante k < 'I o. determine a corrente através do arco como uma função do tempo. Qual é o valor estacionário final da corrente que passa pelo arco?
I i~
13·3 Um capacitor C, um resistor R e uma bateria "/; estão conectados em série com uma chave. A chave é fechada no instante t = O. Obtenha a equação diferencial que governa a carga Q no capacitar. Determine Q em função do tempo. 13·4 Um capacitar C, com carga Qo, é subitamente conectado em série com uma resistência R e uma indutância L. Determine a corrente em função do tempo. Demonstre que existem três tipos diferentes de solução, dependendo de R2 - 4 L/C ser menor, igual ou maior que zero. A primeira destas condia segunda, de criticamel1te amortizada, e a terceira. de sobreamorti· ções é chanlada de subamortizada, zada.
13·5 Um capacitor real, C, tem uma resistência de fuga, R, em paralelo; é coneetado, em série, com uma indutância ideal, L. Calcule 12 I: encontre os valores aproximados em altas e baixas fre{jüências e na ressonância, admitindo que R seja grande. Trace o gráfico de 12 I versus w. 13·6 Repita o Problema 5 para o capacitar em paralelo com o indutor perfeito.
282
Correntes que Variam Lentamente
13-7 O circuito da Fig. 13-1 tem um capacitor adicional, C', em paralelo com toda a combinação R = 100 n, L = 1 H, C = 10011F e C' = 1011 F. Faça um gráfico da impedância IZ I versus freqüência a partir de zero até f= 104 Hz.
RLC.
13-8 A combinação em série de uma resistência R e uma indutância L é colocada em paralelo com a combinação em série da resistência R e do capacitar C. Demonstre que se R' = L/C, a impedância será independente da freq üência.
n
13-9 Um resistor de fio enrolado tem uma resistência c.c. de 90,00 e uma indutância de 811 H. Qual O ângulo de fase da impedância a 1000 Hz? Um capacitar é colocado em paralelo com o resistor para reduzir a zero o ângulo de fase, a 1000 Hz, sem variar apreciavelmente a resistência. Em que intervalo de freqüência será o ângulo de fase menor do que era antes da adição do capacitor? é
13-10 (a) um capacitar C em paralelo com uma resistência R tem uma impedância 2. Suponha que um capacitar C' em série com uma resistência R' tenha a mesma impedância Z; encontre os valores necessários de C' e R' em termos de R e C para um dado w. (b) O fator de dissipação é definido como D = wR·C'. Demonstre que D = l(wRC e que a fase da corrente é e = arctan (-l(D). 13-11 Prove a Eq. (13-34) para a dissipação de potência, tomada em média sobre o tempo, num circuito que conduz urna corrente c.a. l(t) =loeÍwt, com V(t) = Z l(t). 13·12 Um gerador c.a., com impedância interna 2/> é conectado em série com uma impedância de carga variável, Z L. Prove que a potência máxima é transferida para a carga quando Z L = Z j. 13·13 Dado o circuito da Fig. 13-6, com L = 4 mH, C = 21lF, R 1 = 25 n, R, = 40 n, encontre o seguinte conjunto de freqüências: (a) onde w = l(y'LC, (b) onde a impedância é máxima e (c) onde a corrente que passa par R 1 está em fase com a voltagem do gerador. 13·14 Demonstre que o fatar de qualidade Q, definido no texto, pode ser expresso corno 271 vezes a energia máxima armaz.enada no circuito, dividido pela energia dissipada em um ciclo. Este enunciado é, às vezes, usado como definição de Q e é independente dos parâmetros específicos do circuito. 13·15 Uma rede divisora de freqüência para um conjunto de alta fidelidade deve ser desenhada de forma que dois alto-falantes (cada um de resistência R) estejam conectados ao estágio de saída de um amplificador. Um alto-falante deve receber predominantemente altas freqüências, o outro, predominantemente baixas freqüências. A rede é mostrada na Fig.13-20. Os dois capacitores são de capacidade C cada um e os dois indutores são de indutância L, cada. (a) Encontre a relação enue L e C para um dado R de forma que a rede apresente uma carga puramente resistiva (=R) ao amplificador em todas as freqüências. (b) A freqüência de transição Wc é definida como a freqüência na qual cada alto-falante recebe metade da potência liberada pelo amplificador. Para R e Wc dados, determine L e C. -F
--
Do amplificador
Figura 13-20 13-16 Um capacitar de 111F é carregado primeiro a 100V, conectando-o a uma bateria; em seguida é desconectado e, imediatamente, descarregado através do enrolamento de 300 espiras de um anel toroida!. O toróide tem um raio médio de 20 em, uma área de seção reta de 4 em 2 e uma lacuna de ar de
Problemas
283
2 mm (veja a Fig. 9-15). Desprezando as perdas do cobre. a histerese e o efeito das bordas, calcule o campo magnético máximo subseqüentemente produzido na lacuna de ar. Considere a permeabilidade relativa do toróide igual a 5000. 13-17 Uma diferença de potencial de 1 V a uma freqüência f = 106 /rr Hz é aplicada ao circuito da Fig. 13-21. A indutância mútua das bobinas é tal que elas estão em oposição. Encontre a corrente no ramo superior. ].}.I)I)I) !:!
Figura 13-21 13-18 Um transformador de potência de 60 Hz (razão de espiras 2: 1) tem uma indutâneia primária de 100 H e uma resistência e.c. de 20 n. O coeficiente de acoplamento entre o primário e o secundário se situa próximo da unidade. Se ] 000 V forem colocados através do primário, calcule a corrente no emolamento do primário (a) quando o secundário é um circuito aberto e (b) quando uma resisrência de carga de 20 está no circuito secundário.
n
* 13-19 Três capacitares idênticos e três indutores idênticos são conectados como mostra a Fig. 13-22. Encontre as fre<:]üências de ressonância do sistema. (Sugestão: U se a análise das malhas, supondo uma corrente de freqüência w e âemonstre que as três equações obtidas são compatíveis apenas com determinados w.)
Figura 13-22 13-20 No circuito mosuado na Fig. 13-14,2, = 2 + 5 i, 2, = 8 -i, 2; = 4 + 3 i. Os geradores de voltagem estão em fase uns com os outros: "I~ = 10 V,i' ~ = 2 V. Derermine 1, e 12,
j
13-21 No circuito mostrado na Fig. 13-17, .f(t) = 1 e iwt e 2. é substitu ido por um gerador de corTente e iwt. Os dois geradores de corrente estão em fase um com o outro. Z, e 2; são capacitares de reatâncias de 40 e 60 n, respectivamente. 2, é uma resistência pura de 20 n. j 1 = 5 A • .f2 = 25 A. Determine as voltagens dos nós em 1 e 2. relativamente ao ponto O.
j,
*
CAPÍTULO 14
,;
FISICA DO PLASMA Gases altamente ionizados são bons condutores de eletricidade. As partículas carregadas desses gases interagem com o campo eletromagnético local; além disso, o movimento organizado desses portadores de carga (correntes, flutuações na densidade de carga) podem produzir campos elétricos e magnéticos. Quando sujeitos a um campo elétrico estático, os portadores de carga do gás se redistribuem rapidamente de maneira a que a maior parte do gás se retenha fora do campo. Langmuir** deu o nome de plasma às regiões do gás relativamente livres do campo, onde as cargas espaciais positivas e negativas se equilibram aproximadamente, ao passo que deu o nome de bainhas às regiões de carga espacial ou de campo intenso nos contornos do plasma. Podemos dizer, de forma equivalente: um gás ionizado que tem um número suficien temente grande de partículas carregadas para blindar a si mesmo, eletrostaticamen te, numa distância pequena comparada com outros comprimentos de interesse físico, é um plasma. Uma definição algo mais precisa, em função da distância de blindagem, será dada na Seção 14-1. O interesse inicial em plasmas estava em conexão com a eletrônica gasosa (descargas elétricas através de gases, arcos, chamas); o interesse mais recente se dirige a problemas de astrofísica teórica e ao problema de frear o íon em reatores termonucleares (fusão). Uma exposição mais completa pode ser encontrada em livros de física do pIasma.*** A área geral de estudo que abrange a interação de gases ionizados com campos eletromagnéticos que dependem do tempo é denominada dinâmica do plasma. Em muitos dos problemas desta área. e estes são os mais importantes e interessantes, é impossível tratar um plasma adequadamente em termos de uma formulação puramente macroscópica. Ao invés disso. é necessário usar o que se conhece convencionalmente como teoria cinética. Os movimentos dos íons e elétrons individuais devem ser estudados; suas colisões com outras partículas devem ser avaliadas através da solução da equação de transporte de Boltzmann. Portanto, existe uma formulação rigorosa para problemas de plasma, porém * ** ***
Pode-se omitir este capítulo sem perda de continuidade. 1. Langmuir, Physical Review, vaI. 33, p. 954 (1929).
Veja, por exemplo. T. J. M. Boyd e J. J. Sandenon. Plasma Dynamics (New York: Barnes and Noble, 1969); e F. F. O1en, !ntroduction to Plasma Physics (New York: Plenum Press, 1974).
284
Neutralidade
Elétrica em um Plasma
285
sua solução é, em geral, extremamente difícil, exceto em situações onde é lícito desprezar alguns dos termos da equação de Boltzmann. Há, todavia, três formulações apropriadas que proporcionam considerável conhecimento a respeito do que acontece dentro do plasma. O primeiro destes métodos é a teoria do equilzorio, que se baseia na premissa de que colisões entre partículas carregadas são suficientes para manter a bem conhecida distribuição de velocidade de Maxwell-Boltzmann para partículas no corpo do plasma:
N(v) j
dr X) dr. dL_ = N Oj . (-. 2nkT my_
)3'2
e-m!,,2!2kT
dtOx dt".)
dr z'
onde Nei é o número de partículas do tipo j por unidade de volume no plasma, Lx (etc.) são as componentes da velocidade, mp é a massa das partículas do tipo j e T é a temperatura absoluta. As propriedades cinética e de transporte podem então ser calculadas em termos desta distribuição de velocidade. de O segundo método aproximado é a teon'a da órbita, que trata do movimento partículas carregadas (íons e elétrons) em campos elétrico e magnético prescritos. Estes campos podem ser funções tanto da posição como do tempo. A teoria da órbita é uma boa aproximação ao movimento da partícula num plasma quando as colisões entre as partículas não desempenham um papel dominante, isto é, quando o livre percurso médio para colisões é grande em comparação com as dimensões características da órbita. Nestas condições, o efeito das colisões pode ser tratado como uma perturbação, e o problema principal concentra-se em tornar o campo eletromagnético "prescrito" autoconsistente; em outras palavras, o campo prescrito deve ser a soma do campo externo e do campo produzido pelas partículas em órbita. O terceiro tratamento aproximado é a fom1Ulação h idromagn ética . Aqui, usam-se as equações do eletromagnetismo clássico (equações de Maxwell) juntamente com as equações clássicas do movimento do fluido. Evidentemente, o tratamento hidromagnético é apenas uma descrição macroscópica do plasma; toma-se uma boa aproximação quando o livre percurso médio para as colisões é muito pequeno comparado com distâncias de interesse físico no sistema de plasma. A representação hidromagnética forma um bom ponto de partida para a exposição do movimento de partículas no plasma, isto é, das oscilações de plasma. O enfoque rigoroso que a teoria cinética dá aos problemas do plasma foge ao alcance deste livro. Por outro lado. muitas propriedades importantes dos plasmas podem ser expostas em termoS das aproximações anteriormente descritas. Para simplificar, suporemos que o plasma consiste em elétrons (carga, -e) e íons positivos carregados individualmente (carga, +e); átomos neutros podem estar presentes, porém ignoraremos complicações como colisões ionizantes e recombinações de elétrons e íons. Encontraremos, na Seção 14-1 e, novamente, na Seção 14-8, um plasma sob condições estacionárias ou de estado estacionário, para o qual a teoria do equihbrio está bem ajustada. Nas Seções 14-2 e 14-3, por outro lado, nos interessaremos mais pelo movimento da partícula individual e aqui a teoria da órbita se aplica. Finalmente, nas Seções 14-4 a 14-7 trataremos de alguns aspectos dinâmicos do plasma e faremos isto dentro da estrutura hidromagnética. 14-1
NEUTRALIDADE
ELÉTRICA
EM UM PLASMA
Uma das propriedades mais importantes cer eletricamente neutro, isto é, sua tendência
de um plasma é sua tendência de permanea equilibrar a carga espacial positiva e nega-
286
Física do Plasma
tiva em cada elemento de volume macroscópico. Um ligeiro desequilíbrio nas densidades de carga espacial dá lugar a intensas forças eletrostáticas que atuam, sempre que possível, no sentido de restaurar a neutralidade. Por outro lado, se um plasma for deliberadamente submetido a um campo elétrico externo, as densidades de carga espacial ajustar-se-ão de . maneira que a maior parte do plasma esteja protegida em relação ao campo. Consideremos um exemplo bastante simples. Suponha que uma carga esférica +Q é introduzida num plasma, submetendo desta forma o plasma a um campo elétrico. Realmente, a carga +Q será gradualmente neutralizada porque recebe continuamente partículas carregadas do plasma; no entanto, se o objeto carregado for fisicamente muito pequeno, isto levará um período de tempo apreciável. Entretanto, os elétrons sentem que é energeticamente favorável se aproximar da carga, enquanto que os íons positivos tendem a se afastar. Em condições de equilrorio (veja a Seção 5-3), a probabilidade de encontrar ao uma partícula carregada numa região particular de energia potencial U é proporcional fator de Boltzmann, exp( - U/kT). Assim, a densidade de elétrons, Ne, é dada por
Ne
= No
exp (e
(14-1)
onde '1" é o potencial local, '1'0 é o potencial de referência (potencial do plasma), T é a de Boltzmann. No é a densidade eletrôtemperatura absoluta do plasma e k é a constante nica nas regiões onde 'I' = '1'0 • Se No for também a densidade de íons positivos em regiões de potencial <.Po, a densidade de íons positivos Ni será dada por
Ni
O potencial
<.pé obtido
;:2 1 drd
(2r
= No exp
(
por meio da solução
~ir d
-
--kT
-e
da equação
- ~~ 1 (Nie - Nee) .
(14-2)
=
--1:0 2Noe
de Poisson:
senh
--kY- .
e (
(14-3a)
Esta equação diferencial é não linear e, conseqüentemente, deve ser integrada numericamente. Por outro lado, uma solução aproximada para a Eq. (14-3a), que é rigorosa a altas temperaturas, é adequada a nossos propósitos. Se kT > e
~ dr _~ r2 cuja solução
(r2 ~
=
21~O~2 EokT
(
(14-3b)
é
Aqui, r é a distância é dada por
a partir
=
da carga esférica
exp (-~)'.h
+Q
(14-4)
e h, a distância de blindagem de Debye,
(14-5) Dessa forma, a redistribuição de elétrons e íons no gás é tal que blinda completamente Q numa distância de alguns h. Um gás ionizado será denominado plasma se o comprimento de Debye, h, for pequeno comparado com outras dimensões físicas de interesse. Isto nem sequer será uma
(
órbitas das Partículas e Movimento de Deslocamento em um Plasma
restrição enquanto trons ou íons/m3,
14-2 ÓRBITAS PLASMA
O
287
a ionização do gás for apreciável: para T'" 2000 K e No '" 1018 elécomprimento de Debye será 2.2 x 10--<>m.
DAS PARTÍCULAS
E MOVIMENTO
DE DESLOCAMENTO
EM UM
A órbita de uma partícula carregada q, movendo-se num campo elétrico e magnético prescrito, pode ser calculada diretamente através da equação de força:
F=
q(E
+y
x B).
(14-6)
Veremos que é conveniente começar com configurações de campo relativamente simples e então generalizar para campos que variam lentamente no espaço. Um campo elétrico constante aplicado a um plasma não tem especial interesse porque o plasma se ajusta através do desenvolvimen to de uma fina película de carga espacial, que retém fora do campo o corpo principal do plasma. Por outro lado, num campo magnético constante as partículas giram em torno das linhas de campo sem alterar a distribuição da carga espacial. Caso 1 Campo Magnético Uniforme. E'" O. Este é o mesmo movimento que o descrito no Problema 8-1 mas, porque forma a base de movimentos orbitais mais complicados em plasmas, será exposto aqui com maior detalhe. Deve-se ressaltar, contudo, que o Caso 1 é aplicável a muitas outras situações além dos plasmas, ou seja, é fundamental na operação dos aceleradores de partículas, como o cíclotron e o betatron. A força de Lorentz forma sempre ângulos retos com a velocidade v da partícula regada; como coseqüência, sua energia cinética permanece constante.
car-
( 14-7) onde mp é a massa da partícula. É conveniente decompor a velocidade vem duas componentes: VII, paralelo a B e V1, no plano perpendicular a B. Como VII não é afetado pelo 1 2 tam b'em permanece constante. Segue-se que campo, K 11'" TmpvlI K.l
= 1mpd =
K -
K
é também uma constante do movimento. A força de Lorentz proporciona uma aceleração centrípeta.
(14-8)
Assim,
m r~
= --~~
qr.LB
eR (o raio da órbita) é dado por R
=
I11Pt'~
qB
.
(14-9)
o raio R é chamado freqüentemente de raio de Lannor da partícula. O movimento completo da partícula carregada é descrito como o giro da partícula numa órbita (a órbita de Larmor) sobreposta ao movimento uniforme do centro da órbita. ou centro guia, ao longo de uma linha de campo magnético. O movimento helicoidal resultante é mostrado na Fig. 14-1.
288
Física do Plasma
Figura 14-1 Movimento da partícula num campo magnético uniforme.
o campo magnético atua de forma a confinar o plasma, curvando as partículas segundo órbitas circulares. Naturalmente, nenhum confinamento é observado na direção do campo. Para íons e elétrons de mesma energia cinética K l, os elétrons giram em órbitas muito menores, sendo a razão dos dois raios de Larmor igual à raiz quadrada da razão das massas. Uma quantidade interessante, que teremos ocasião de usar mais tarde, é o momento magnético da partícula girante. Por definição, o momento magnético m é dado por
m = corrente x área qL""-,,' nR 2
2nR
=-Kl
(14-10)
B
O exame da Fig. 14-1 mostra que m é diretamente portanto, um momento diamagnético.
oposto ao campo magnético,
sendo,
Caso 2 Campos Elétricos e Magnéticos Uniformes. E 1 B. Se um campo elétrico e um campo magnético forem aplicados simultaneamente a um plasma e E for perpendicular a B, não haverá tendência a produzir uma bainha; realmente, veremos que cargas espaciais positivas e negativas se deslocam juntas no mesmo sentido. Por conveniência, escreveremos a velocidade v da partícula como v
=
ud
+ Vi;
(14-11)
então, a Eq. (14-6) será escrita como
F=
q(E
+ Ud
x B
+-
Vi
x B).
(14-12)
Uma escolha particular de Ud faz com que os dois primeiros termos à direita desta equação se cancelem um ao outro:
ExB Ud
= -
i2
.
(14-13)
A força resultante, qv' x B, é justamente a que foi estudada no Caso 1. O movimento total da partícula é, portanto, formado por três termos: (a) velocidade constante v1í paralela a B, (b) giro em relaç3:o às linhas do campo magnético, com freqüência angular v~/R =qB/mp e (c) uma velocidade de deslocamento constante Ud =E/B fOilllando ângulos retos tanto com E como com B. Alguns exemplos desse movimento são mostrados na Fig. 14-2. A velocidade Ud definida pela Eq. (14-13) é denominada velocidade de deslocamento do plasma ou velocidade de deslocamento elétn'co. É importante observar que Ud não depende da carga, da massa ou da velocidade da partícula; dessa forma, todos os componentes do plasma se deslocam juntos, ainda que seus giros individuais sejam muito diferentes.
Orbitas das Partículas e Movimento de Deslocamento em um Plasma
289
Figura 14-2 Campos elétrico e magnético perpendiculares. Movimento da partícula num plano perpendicular ao campo magnético. A figura mostra íons de cargas opostas com diferentes momentos iniciais.
A dedução da Eq. (14-13) foi obtida de uma forma não relativista; se tanto ud como v tenderem a c (velocidade da luz), a Eq. (14-11) deverá ser substituída por uma expressão consistente com uma transformação de Lorentz. Por outro lado, daí resulta que a Eq. (14-13) é sempre correta* para a velocidade de deslocamento enquanto lEI < c IB I. Se IE I > c IB I, o campo magnético não poderá evitar que a partícula se desloque no sentido de E. no Tempo, porém Dependente do Espaço. E = O. carregada se desloque num campo magnético quase estejam convergindo lentamente no espaço. O movicomo uma perturbação da órbita helicoidal da Fig.
Caso 3 Campo Magnético Constante Suponhamos que uma partícula uniforme, em que as linhas de campo mento da partícula pode ser tratado 14-1.
O movimento será parecido àquele ilustrado na Fig. 14·3; o leitor pode verificar facilmente que há uma força que tende a empurrar a partícula para a região de campo magnético mais fraco. Para especificar precisamente o problema, admitir-se-á que a linha de fluxo que passa pelo centro guia coincida com o eixo z e que o campo magnético tenha simetria azimutal em relação ao eixo z. Considerando a componente z da Eq. (14·6), obtemos dtO
Fz
=
mp
dtZ
=
(14-14)
qveBrlr=R'
Porém V . B = O ou, para este caso. 1 a
oBz
~ -"'" (rB r ) r or
..., + ~oz = O.
Como as linhas de campo convergem lentamente, sobre a seção reta orbital, o que dá
aBz/az
pode ser considerado constante
(14-15)
* A maneira mais simples de tratar o caso onde IE I é menor porém não tão pequeno comparado com c IB I, é efetuar uma transformação de Lorentz, transformando tanto a velocidade da partícula quanto os campos. A velocidade do sistema em movimento é dada por ud [Eq. (14-13)] e a força no sistema em movimento é dada por F' = q("
x B)
(C2
c2 uJ )1/2 .
290
Física do Plasma
Figura 14-3
Além disso, tém-se
Ve
é análogo ao
Vl
do Caso 1. Fazendo estas substituições na Eq. (14-14), ob-
dV11 --
m P
dt
1 RaBo = -}.q v az 1-
àBo
= -m --a;'
(14-16)
sendo a última forma obtida através do uso da Eq. (14-10). A energia cinética total, K, da partícula não se altera no campo magnético, uma vez que a força de Lorentz, que é sempre perpendicular à velocidade, não realiza trabalho. K1, definido na Eq. (14-8), não é constante aqui, tampouco KII, porém podemos escrever
d
(14-17)
- dt (mBJ, provindo, a última forma, da Eq. (14-10). Por outro lado, podemos multiplicar (14-16) por VII = az/at, obtendo
a Eq.
dBo
-m dt-'
(14-18)
onde d/dt representa a derivada temporal tomada ao longo do percurso dinâmico. Comparando as Eqs. (14-17) e (14-18), vemos que o momento magnético m é uma constante de movimento. Deve-se ressaltar, no entanto, que este é um resultado aproximado que vale apenas enquanto Bz variar lentamente. Se B variar substancialmente em distâncias da ordem de R, as aproximações usadas na derivação da Eq. (14-18) não serão válidas.
Espelhos Magnéticos
291
De interesse adicional é o fato de que a partícula está restrita a mover-se na superfície de um tubo de fluxo. Isto ocorre porque o fluxo magnético através da órbita é
(14-19) e m é constante. O movimento da partícula está ilustrado esquematicamente
na Fig. 14-4.
B
Figura 14-14 A partícula gira numa hélice mais cerrada e com maior rapidez até que seja refletida.
A componente z (componente paralela) da força, Eq. (14-16), está sempre num sentido tal que acelera as partículas para a parte mais fraca do campo. Partículas girantes que se aproximam de regiões de campo magnético mais intenso são, dessa forma, retardadas, isto é, Vi! diminui. Por outro lado, a conservação da energia requer que, simultaneamente, o movimento orbital 1'1 seja acelerado. Se a convergência do campo magnético for suficiente, a partícula girará segundo uma espiral helicoidal cada vez mais cerrada, até que seja finalmente refletida no campo mais fraco. 14-3
ESPELHOS
MAGNÉTICOS
resultados da seção precedente mostram que um campo magnético que converge lentamente pode, em princípio, confinar um plasma. As partículas curvam-se em órbitas circulares, perpendicularmente à direção principal do campo; ao longo da direção principal do campo, as partículas são retardadas e finalmente refletidas pelas linhas de campo convergentes. Tal configuração de campo é chamada de espelho magnético. Pelo menos dois espelhos devem ser usados em qualquer sistema de confinamento; um sistema desse tipo é mostrado na Fig. 14-5. OS
Todavia, nem todas as partículas podem ser ccnfinadas pelo sistema do espelho. Não se pode fazer com que as linhas de campo convirjam num ponto; assim, há um grande campo magnético Bm' não infinito, no espelho. Se a partícula possuir demasiada "energia cinética axial", não regressará pelo campo do espelho e poderá escapar. Como o momento magnético é uma constante do mOvimento, encontramos, de acordo com a Eq. (14-10), que
~o~ = Ku Bo
Bl.l
Aqui, o índice O se refere à região central da Fig. 14-5 e o índice 1 ao ponto de reflexão.
292
Física do Plasma
Emolamentos para corrente
B
Comprimento
ao longo do cilindro
Figura 14-5 Sistema de espelho magnético.
No ponto de reflexão, contudo, Ki =K. Além disso, K, a energiacinética total, é uma constante do movimento. Para que a partícula se reflita, o campo do espelho Bm deve ser maior que B 1; isto é,
ou (l4-20a)
Se a velocidade inicial Uo formar um ângulo 60 com sentido do campo, então cos 60 e VOi = Uo sen 80, A Eq. (14-20a) reduz-se então a
Uo
11
=
Uo
Bo
sen
2
80
> -, Bm
(14-20b)
conforme o critério para a reflexão. Por exemplo, se o campo do espelho for cem vezes mais intenso que Bo, partículas com velocidades que formam um ângulo menor que 6° com o sentido do campo escaparão do sistema. As colisões entre partículas na região central do sistema de espelhos tendem a produzir uma distribuição isotrópica de velocidades. Dessa forma, o resultado líquido das colisões consiste no fato de que as partículas se espalham continuamente numa região do espaço de velocidade tal que podem escapar do sistema. Como conseqüência das colisões, as partículas podem também "difundir-se" perpendicularmente ao sentido do campo e,dessa forma, escapar eventualmente.
Equações Hidromagnéticas
293
14-4 EQUAÇÕES HIDROMAGNÉTICAS OS movimentos coletivos das partículas num plasma, como o "efeito pinch" e as oscilações de plasma, são mais bem manejados na formulação hidromagnética. De acordo com esta descrição, o plasma é considerado como um fluido clássico que obedece às equações convencionais da hidrodinâmica. O fluido, contudo, é um condutor elétrico e, dessa forma, deve-se considerar explicitamente as forças eletromagnéticas. A força em uma unidade de volume do plasma pode ser expressa como F,
=J
(14-21)
x B - Vp,
onde J é a densidade de corrente e p é a pressão do fluido. Outras forças, como a força gravitacional e a viscosa, podem também ser incluídas porém serão desprezadas aqui, para efeito de simplificação. Por causa da neutralidade elétrica aproximada do plasma, o termo pE não precisa ser incluído junto com outros termos de força da Eq. (14-21). Os desvios da neutralidade devem ser considerados, naturalmente, na equação de Poisson porém são geralmente ignorados nas equações dinâmicas. O equillbrio do momentum requer que
( -dt = ( -at +
(v • V)v
[av
dv
=J
]
x B - Vp,
(14-22)
que é a equação do movimento, ou equação de Euler, do fluido. Aqui r é a densidade de massa do plasma e v é a velocidade do fluido. Em problemas em que o movimento hidrodinâmico não é particularmente grande, o termo contendo (v . V)v pode ser geralmente desprezado. * É, às vezes, conveniente interpretar o termo J x B da Eq. (14-21) como resultando, em parte, da "pressão magnética". Isto pode ser feito com o auxI1io da lei circuital de Ampere, Eq. (9-29), que adaptada ao caso do plasma é V x B
=
(14-23)
J.loJ,
e da identidade vetorial B x V x B
=
V(~B2)
-
(B . V)B.
(14-24)
Assim,
J x B = --
1
B x V x B
J.lo
= -
V -( 2/.10 B2)
A quantidade B2/2J.lo que é, naturalmente, papel de uma pressão magnética, Pm :
+-
1 /.10
(B . V)B.
(14-25)
a densidade de energia magnética, faz então o
(14-26)
Embora não possa ser desprezado em problemas de fluxo estacionário em que o termo av/ar se * anula explicitamente.
294
Física do Plasma
Deve-se ressaltar, todavia, que -VPm dá, na maioria dos casos, somente parte da força magnética; a força restante provém do termo (l/Po)(B • V)B. Quando J = O, os dois termos da direita da Eq. (14-25) se cancelam. Como um exemplo da utilidade do conceito de pressão magnética, considere um campo magnético unidirecional. A equação V o H = O garante que B não varia ao longo da direção do campo. Como variações espaciais podem ocorrer apenas em direções perpendiculares a B, segue-se que (B • V)B = O neste caso. A Eq. (14-21) reduz-se, por conseguin-
te, a
e a condição de equilfbrio estático de cada elemento de volume é P
+ Pm = constante.
Em outras palavras, neste exemplo a soma da pressão de fluido com a pressão magnética deve ser independente do espaço. Além da Eq. (14-22) e das equações macroscópicas que governam a eletricidade e o magnetismo,* necessitamos de duas relações adicionais para completar a formulação hidromagnética. Estas são: (1) a equação da con tinuidade para o fluido de plasma:
~~+ V((v) = O, ot
(14-27)
e (2) uma equação que relacione J com as quantidades de campo. Esta última relação é simplesmente uma forma generalizada da lei de Ohm que, sob certas condições, pode ser escrita como
J = g(E + v
x B)
(14-28a)
Aqui, v x B é o "campo elétrico gerado pelo movimento", proveniente do movimento hidrodinâmico do plasma em um campo magnético, e g é a condutividade do plasma. Uma aproximação freqüentemente feita é a da condutividade infinita. A vantagem desta aproximação consiste em permitir uma simplificação substancial das equações hidro-. magnéticas, que apresentam, dessa forma, uma imagem muito mais clara dos processos físicos que ocorrem no plasma. Em alguns problemas, particularmente nos astro físicos, a aproximação é bastante boa. No caso da condutividade infinita, a lei de Ohm reduz-se a 9 -> 00, (14-28b) E
+v
x B
=
O.
A condutividade infinita (ou, para fins práticos, a alta condutividade) tem importante conseqüência, ou seja, o congelamento do fluxo magnético dentro do plasma. Se a Eq. (14-28b) for combinada com a forma diferencial da lei da indução de Faraday, obteremos
~~ = at
V x (v x B).
(14-29)
* As equações de Ma.xwell são resumidas na Seção 16-2. O leitor observará que a Eq. (16-10), a lei circuital de Ampere original, foi modificada através da inclusão da corrente de deslocamento, aDiar. Na realidade, a corrente de deslocamento não desempenha um papel importante na maioria dos fenômenos hidromagnéticos.
I
Efeito Pinch
295
A componente normal desta equação, integrada sobre uma superfície fixa 5, dá d
••
-
I B· n da dt 'S
= I V x (v x B) . n da, 'S
ou
-deI> =t.• c v x B . di =t.I c B' dt
(di x v),
(14-30)
onde C é um contorno fixo no espaço através do qual o plasma se move como conseqüência do movimento hidrodinâmico. Vemos, pela Fig. 14-6, que Pc di x v pode ser considerado como o acréscimo de área, por unidade de tempo, da superfície que é limitada por C e que Pc B • di x v é o fluxo magnético associado a esta área aumentada. A Eq. (14-30) estabelece simplesmente que a variação de fluxo, por unidade de tempo, através do contorno C é exatamente a que calcularíamos geometricamente tendo por base a dedução de que todas as linhas de fluxo se movem junto com o fluido. Concluímos, portanto, que as linhas de indução magnética estão "congeladas" no interior do material perfeitamente condutor.
c Figura 14-6
14-5 EFEITO PINCH A tendência de uma descarga de corrente intensa através de um plasma a se comprimir lateralmente é conhecida como o "efeito pinch". O mecanismo básico que causa o pinch é a interação de uma corrente com seu próprio campo magnético ou, de maneira equivalente, a atração entre filamentos de corrente paralelos. O efeito pinch foi previsto, primeiramente, por Bennett e, mais tarde, independentemente, por Tonks. * Uma descrição um tanto diferente do pinch, mostrando sua instabilidade inerente, foi feita por Rosenbluth. ** Consideremos uma descarga de corrente, de simetria cilíndrica, através do plasma. Conforme a lei circuital de Ampere, a indução magnética a uma distância r do eixo da descarga é dada por B(r)
*
=
110
r
(
'0
J(r')r'
dr'.
(14-31)
W. Bennett, Physical Review, voI. 45, p. 890 (1934); L. Tonks, Physical Review, vol. 56, p. 369
(1939).
** M. Rosenbluth, "Dynamics of a Pinched Gas", de Magnetohydrodynamics, Landshoff (Stanford University Press, 1957).
editado por Rolf
296
Física do Plasma
Disto, segue-se que
aB -~~
ar
(
'0
r
1 --
B(r)
r
1(r')r'
+ 1101(r)
dr'
(14-32)
+ 1101(r).
A força magnética por unidade de volume é F"
= Jx B=
(14-33)
-1(r)B(r)an
onde ar é um vetor unitário na direção r. Eliminando 1(r) das Eqs. (14-32) e (14-33) temse 1 êB F=--B~--B "
110
1
ar
2
110 r
(14-34)
Esta força pode ser convertida numa pressão equivalente, Peq, escrevendo-se Fv = -aPeq/
ar, e então integrando: 1 Peq
=~-
1 .r
2110
B2
+ 110 -
B2
I -- dr, 'o r
(14-35)
Estamos particularmente interessados na pressão sobre os contornos laterais da descarga. Seguindo Rosenbluth, nos limitaremos ao exame do caso da alta condutividade, em que as linhas de campo magnético não podem penetrar apreciavelmente no fluido condutor. * Aqui, a integral da Eq. (14-35) não contém contribuição da região de descarga. No limite da descarga, r = R, e a pressão é exatamente a que tínhamos denominado pressão mag-
nética, Pm: 1 Pm
= 2110 B2(R).
(14-36)
É evidente, através da Eq. (14-35), que a pressão magnética é uniforme na região externa mas nula ou muito pequena no interior da descarga. Dessa forma, pode-se compreender o efeito pinch como proveniente de uma formação repentina de pressão magnética na região externa à descarga. O pinch da descarga resulta na compressão do plasma. Se o pinch puder contrair-se de uma maneira estável, continuará até que a pressão magnética na região externa seja igual à pressão do fluido na descarga. Tratemos o plasma como um gás perfeito, cuja preso são de fluido P = NkT. Então, no raio final R da descarga, 1 1 _. B2(R) = _1"'0. 12 = NkT 2110 2 4n2 R2 ' /J
onde
1é a corrente
da descarga. Esta expressão pode ser resolvida para' a corrente:
[2 =
2 (~~)
-1 nR2NkT
= 2 (~~) -1 AoNokT, A não penetração das linhas de campo provém dos resultados da seção precedente e do fato de * que tanto a corrente como o campo magnético são inicialmente muito pequenos na descarga.
Sistemas de Confinamento
Magnético
297
uma vez que a conservação das partículas requer que AoNo = rrR2N. Aqui,Ao é a seção reta inicial da descarga, No é sua densidade inicial de partículas, f-lo/4rr:= 10-7 T • m/A e a constante de Boltzmann, k:= I ,38 X 10-23 J/K. Para alcançar a temperatura de 108K necessária a um reator termonuclear (fusão), com Ao :=0,04 m2 e No := 1021 partículas/m3, precisa-se de uma corrente de pinch de um milhão de amperes aproximadamente. É fácil de ver que o pinch é um fenômeno inerentemente instável. A pressão magnética nos limites da descarga depende de seu raio bem como de sua minuciosa forma geométrica. Pequenas perturbações crescerão se as variações de pressão resultantes forem tais que elevem estas perturbações. A Fig. 14-7 mostra que pequenas ondulações sobre a superfície que limita a descarga, bem como dobras, se situam nesta categoria, produzindo as chamadas instabilidades de ondulação e de dobras do plasma pinch.
Raio maior, pressão magnética menor
Maior pressão magnética
-J
Maior pressão magnética
Ia)
Figura 14-7 Instabilidades no plasma pinch: (a) instabilidade de ondulação, (b) instabilidade de dobras.
14-6 SISTEMAS DE CONFINAMENTO MAGNÉTICO PARA FUSÃO TERMONUCLEARCONTROLADA Grande parte do atual interesse pela física do plasma é motivada pela nossa necessidade de desenvolver fontes alternativas de energia e pela possibilidade de usar um plasma termonuclear de deutério e trítio como fonte de energia. Tanto o efeito pinch, exposto na seção precedente, como o conceito do espelho magnético (Seção 14-3) são usados em sistemas experimentais de reatores de fusão na tentativa de confinar magneticamente o plasma termonuclear. Apesar do efeito pinch ser inerentemente instável, sua estabilidade pode ser melhorada por meio do fornecimento de componentes adicionais ao campo magnético e da otimização de parâmetros projetados. Uma quantidade importante no projeto dos sistemas do reator de fusão é a razão entre a pressão cinética p =NkT e a pressão total (cinética mais magnética Pm). Esta razão é dada pelo símbolo 13: NkT - ------(14-37) [B2/2f-lo + NkT]'
298
Física do Plasma
onde N é a soma das densidades de íons e de elétrons no plasma. Os reatores de fusão são geralmente caracterizados pelo seu valor 13. Um 13 baixo refere-se a valores menores que 0,01 e, para um 13 alto, os valores estão entre 0,1 e 1,0. O plasma é deutério ou deutériotrítio, com a temperatura excedendo 108K; sua densidade está no intervalo de 1019m-3 a 1022m-3• O confinamento não precisa ser absoluto, porém deve ser por um período T suficientemente longo, de modo que mais energia seja produzida na reação termo nuclear do que a consumida, ao se estabelecerem as condições do plasma. Acredita-se que o confinamento seja adequado, quando é encontrada a condição de Lawson: Ni r
>
1010
fi - 3 S
para T
>
108 K,
(14-38)
onde Ni é a densidade de íons no plasma. A área de investigação mais ativa relacionada com o confinamento envolve uma classe de reatores projetados para confinar plasmas toroidais, ou em forma de rosca. Dentro dessa classe, os tokamaks demonstram ser bastante promissores. O nome provém de uma série de experiências de Tokamak realizadas no L V. Kurchatov lnstitute of Atomic Energy em Moscou, porém agora é aplicado a uma classe genérica de reatores experimentais caracterizados por um pinch dlfuso, toroidal. O tokamak é um dispositivo de 13 baixo a moderado; o campo magnético do plasma tem uma componente poloidal, * em conseqüência da corrente que flui no plasma em resposta a um campo elétrico toroidal, e uma componente tomidal produzida pelas bobinas externas, de forma a que o campo resultante descreva curvas helicoidais, em forma de rosca no interior do plasma. Existem vários dispositivos tokamak em operação por todo o mundo; uma das maiores máquinas dos EUA é o Princeton Large Toros (pL T), que opera com uma corrente máxima de plasma de 1,6 x 106 amperes. Exemplos de dispositivos experimentais com alto {3 são o reator de fusão teta-pinch e o reator de espelho magnético. A concepção teta-pinch usa um plasma de forma toróidal, mas de densidade substancialmente maior do que a de um tokamak. O espelho magnético não é um sistema de confinamento autêntico em que o plasma se afasta das extremidades; todavia, ele pode amplificar a potência de um feixe injetado. O espelho magnético é um dispositivo de alto 13, porém usa um plasma de densidade menor que o reator tetapinch. Para uma exposição mais detalhada dos sistemas dos reatores de fusão experimentais, o leitor deverá recorrer a uma das seguintes publicações: "Fusion Reactor Systems" p. 7 (1975).
por F. L. Ribe, no Reviews of Modem Physics, voI. 47,
"The Tokamak Approach in Fusion Research" por B. Coppi e American, voI. 227, n'? 1 (julho, 1972). "The Prospects of Fusion Power" por W. C. Gough e B. American, voI. 224, nÇ 2 (fev., 1971).
J. Rem, na Scientific
J. Eastland, na Scientific
"Fusion Energy in Context: Its Fitness for the Long Term" por J. P. Holdren, na Science, voI. 200, p. 168 (abril, 1978). * Se o plasma toroidal for cortado (por exemplo, na fenda man:ada com d na Fig. 9-14) e endireitado corno um cilindro, a componente poloidal tornar-se-á a componente azimutal e a componente torcidal tornar-se-á a componente axial.
Oscilações e Movimento Ondulatório do Plasma
14-7
OSCILAÇÕES
E MOVIMENTO
ONDULATÓRIO
299
DO PLASMA
Uma das propriedades interessantes de um plasma é sua capacidade de manter oscilações e de propagar ondas. Vários tipos de comportamento oscilatório são possíveis e, por causa do caráter não linear das equações hidrodinâmicas, estas oscilações podem ser bastante complexas. Achamos conveniente nos concentrarmos em alguns casos um pouco mais simples que, não obstante, foram objeto de experiências controladas. Caso 1 Oscilações Eletrostáticas do Plasma-Elétron. As oscilações eletrostáticas em um plasma foram expostas primeiramente por Tonks e Langmuir. * Na realidade, há dois tipos possíveis de oscilações eletrostáticas: oscilações de alta freqüência, que são demasiado rápidas para que os íons pesados as acompanhem, e oscilações dos íons, que são tão lentas que os elétrons se distribuem sempre em tomo dos íons de uma forma estatística. Exporemos apenas o primeiro caso, as chamadas oscilações eletrônicas. Fixemos a atenção numa região de plasma que contém uma densidade uniforme de íons positivos, N. Não há íons negativos. No início, os elétrons também têm densidade na direuniforme N, porém vamos supor que cada elétron se desloque numa distância ção x, que é independente das coordenadas y e z e é nula nos contornos do plasma. O deslocamento dos elétrons perturba o plasma neutro, produzindo uma carga em cada elemento de volume .6.x .6.y .6.z:
t
bp
L1x L1y L1z
= -Ne =
[ç - (ç
L1y L1z
.
L1x)]
êé
Ne
L1x L1V L1z
+ ;;
~: .
cx
O deslocamento dos elétrons produz um campo elétrico E(x, t) que, em virtude da simetria do problema, está na direção x. Assim V . E
=
1
bp,
n_
(o
ou
êE -=-
êx
1 (o
êé Ne ~ êx'
que, quando integrada, dá E
= Ne (. ( y
o
(14-39)
Aqui, a constante de integração foi feita igual a zero, uma vez que a formação de bainhas blindará o plasma de um campo elétrico uniforme. A força em cada elétron é -eE que, segundo a Eq. (14-39), é proporcional ao deslocamento ~. Vê-se que é também uma força restauradora. Dessa forma, cada elétron oscila em tomo de sua posição original com movimento harmônico simples. A equação de movimento para cada elétron é
(14-40) *
L. Tonks e L Langmuir,Ph)'sical
Review, vaI. 33, p. 195 (1929).
:::
300
Física do Plasma
A "freqüência
de plasma",[p
= wp/2rr, é definida, por conseguinte, como wp
(14-41)
= (!ye~)1 2, meEO
onde me é a massa do elétron. Como exemplo numérico, uma densidade de partículas N = 1018 elétrons/m3•
temos
Ip = 9,0
X
109
S-1
para
Caso 2 Ondas Hidromagnéticas ou de Alfvén As ondas hidromagnéticas representam uma verdadeira propagação de ondas num meio condutor sujeito a um campo magnético constante. Este comportamento, previsto primeiramente por Alfvén * em 1942 concorda com a formulação hidromagnética do plasma exposta na Seção 14-4. Antes de continuar com as equações diferenciais, examinemos os processos físicos no plasma de um ponto de vista tão elementar quanto possível. Consideremos um plasma infinito sujeito a um campo magnético uniforme, constante, Bo, que é dirigido ao longo do eixo z. Se a um segmento do plasma, a seção retangular ABCD da Fig. 14-8, que se estende paralelamente ao eixo y, for dada uma velocidade v, dirigida paralelamente ao eixo y positivo, então os portadores de carga (íons e elétrons) experimentarão forças qJv x Bo) que tendem a separar os portadores positivos e negativos. O segmento ABCD converte-se, dessa forma, num lugar de fem por movimento, tendendo sua extremidade direita a carregar-se positivamente e a esquerda, negativamente. Porém, como estamos lidando com um meio condutor, o plasma externo a ABCD completa o circuito elétrico. Algumas linhas de corrente são mostradas na figura. z
Figura 14-8 O segmento, ABCD, do plasma move-se no sentido positivo de y. As correntes que são geradas estão representadas esq uematicarnente.
A corrente induzida interage agora com o campo magnético Bo. É fácil verificar que a densidade de força J x Bo, no segmento ABCD, é tal que se opõe a seu movimento, enquanto a força sobre as partes externas do plasma é tal que o acelera na direção positiva de y. Eventualmente, ABCD terá diminuída sua velocidade, e seu movimento se transferi*
H. Alfvén, Cosmical Electrodynamics ção, 1963).
(New York: Oxford University Press, 1950; segunda edi-
Oscilações e Movimento Ondulatório do Plasma
301
rá a segmentos vizinhos do plasma. O mecanismo está ainda operando, contudo, e todo o processo se repete, propagando, dessa forma, a perturbação para mais além, no sen tido
+z. Retomemos agora às equações diferenciais. Seja B = Bo + Bj• onde Bo é o campo uniforme, constante, paralelo ao eixo z. e Bl é o campo magnético formado pelas correntes induzidas. lJsando os resultados dos parágrafos precedentes como orientação, procuraremos o tipo mais simples de movimento ondu]atório, caracterizado por L'y, Ex, J x e B 1 y, onde as demais componentes se anulam. Da lei circuital de Ampere, ~B C ~x -- Cz
= /loJx'
(14-42)
e a equação de Euler do fluido, Eq. (14-22), dá as duas relações (14-43a)
vêr~=_JxBo,
\, êr
e (14-43b) As Eqs. (14-43) podem ser combinadas com a Eq. (14-42). dando eL'~_ ~ /lo(· ar
(14.44)
eB1y
êz
e ep GZ
1_
2/l0
~(!3L) (14-45)
Cz
A lei de Ohm generalizada pode ser escrita como 1
Ex=-v"Bo+-Jx "
g
(14-46)
Finalmente,
a lei de Faraday dá ~IJ~
= _?!-.x
(14-47)
cZ
at
Se vy for eliminado dentre as Eqs. (14-44) e (14-46) e Ex for elbninado dentre a equação resultante e a Eq. (14-47), obtemos, supondo que ~ seja constante, ~2B
B2 ~2B
c
n2.v c_l]"_ ~ 2
~ 2ly _-
ct
/lo~
cz
1
~3B
e_ + 9/l0 cz ~2
1>: ~
ct
,
(
14 _ 48 )
que é a equação que rege a propagação das ondas de Alfvén. Se a condutividade g do plasma fosse infinita. a Eq. (14-48) se tornaria idêntica à equação de onda cuja solução será exposta nas Seções 16-4 e 16·5. Nestas circunstâncias, a -Eq. (14-48) descreve uma onda plana, não amortizada, movendo-se paralelamente ao
302
Física do Plasma
eixo z com velocidade de fase Bo vp
= v' -F=~. J.10~
(14-49)
Como exemplo numérico, considere Bo = 0,01 T, ~ = 1O-Skg/m3 = 1O-8g/cm3; en= 2800 m/s. A fim de verificar o que resulta para a condutividade finita, tentamos uma solução para a Eq. (14-48) da forma tão,
up
B1y
= b1
+
exp [ca
iwt].
Esta solução será satisfatória sempre que ':J.2=~ v; com
up
_w2 (14-50)
u
+
iw/gp.o '
como foi definido na Eq. (14-49), Para amortecimento rx -:::::± ( L- w vp
+ 2gPoL"p - W2) j'
pequeno, (14-51)
Assim, a solução da Eq. (14-48) é uma onda plana amortizada que se propaga no sentido +z. A distância o na qual a amplitude da onda se reduz a l(e de seu valor original é 2gB6 (2v3'2 Po ~
w
2'
(14-52)
14-8 USO DE SONDAS EM MEDIDAS DE PLASMA Um plasma se constitui de elétrons, íons, e talvez de átomos neutros. Os elétrons ganham energia tanto dos campos elétricos nos contornos do plasma, quanto das colisões ionizan tes em que são produzidos, e as velocidades dos elétrons tomam-se aleatórias por causa das colisões com íons. Dessa forma, podemos falar de uma temperatura do elétron, Te. Na realidade, em plasmas criados no laboratório (arcos, descargas elétricas), viu-se que os elétrons tinham uma distribuição de velocidades de Maxwell-Boltazmann, o que significa, naturalmente, que podem ser caracterizados por uma temperatura. As temperaturas dos elétrons em plasmas de arcos típicos variam desde milhares até 50.000 K. A exposição precedente também se aplica, até certo grau, aos íons pesados; todavia, os íons não possuem, necessariamen te, as mesmas temperaturas que os elétrons. Se existir uma diferença substancial entre as energias cinéticas médias dos íons e dos elétrons, serão necessários vários milhares de colisões por partícula para igualar a diferença de energia, e isto pode requerer um tempo maior do que a vida média de um íon no sistema. Quan tidades in teressan tes para serem determinadas são as temperaturas das partículas, as densidades das partículas e as densidades de corrente aleatórias no plasma. Langmuir e Mott-Smith* mostraram que se pode usar um pequeno eletrodo de metal, ou "sonda", introduzido no plasma, para determinar experimentalmente algumas dessas quantida-
e H. Mott-Smith, General Electric Rel·iew, vol. 27, p. 449 (1924), Physical Review, * r. LaI1e.<7ffiuir vaI. 28, p. 727 (1926). Para urna exposição mais recente de sondas elétricas, veja F. F. Chen, op. cit., ou Capítulo 4 de Plasma Diagnostic Techniques, editado por R. H. Huddlestone e S. L. Leonard (New York: Academic Press, 1965).
Uso de Sondas em Medidas de Plasma
303
des, por meio da aplicação de vários potenciais e da medida das respectivas correntes coletadas. Um eletrodo, que não está no potencial do plasma, é envolvido por uma bainha que blinda o plasma dos campos perturbadores causados pelo eletrodo. A bainha é, na maioria dos casos, bastante delgada e se a sonda se conservar negativa, nula ou ligeiramente positiva em relação ao potencial do plasma, perturbará escassamente a massa do plasma. A relação corrente-voltagem para uma sonda típica é mostrada na Fig. 14-9. Quando esta estiver no potencial do plasma, recolherá tanto as correntes de elétrons aleatórios, como as correntes de íons aleatórios. Porém, a corrente de elétrons aleatórios é de tal forma maior que a corrente de íons, que a primeira domina; a razão disto é que os elétrons têm velocidades médias muito maiores do que os íons. À medida que a sonda se torna negativa, repele elétrons, e a corrente de elétrons diminui; no ponto '-Pp, potencial flutuante, a corrente líquida na sonda é nula; finalmente, se a sonda se tornar suficientemente negativa, apenas a densidade de corrente iônica será recolhida. Se a sonda se tornar ligeiramente positiva em relação ao plasma, os íons se repelirão e a densidade de corrente eletrônica Je será recolhida. Se tornarmos a sonda ainda mais positiva, começará a atuar como um ânodo secundário e o comportamento corrente-voltagem se tomará complicado, dependendo em detalhe da natureza do plasma. Consideremos um plasma que se constitui de íons positivos (ligeiramente carregados) e elétrons. A densidade de íons é igual à densidade de elétrons, na região neutra;
(14-53)
Potencial
da sonda
Figura 14-9 Corrente-voltagem característica de uma sonda introduzi da em um plasma.
Se a distribuição de elétrons se caracterizar pela temperatura cinética, a densidade de corrente eletrônica aleatória será
Te então, segundo a teoria
304
Física do Plasma
Je=±Noef'=lYoe
n
e
( 2nme kT
,
(14-54)
)1/2
onde li é a velocidade térmica média dos elétrons. Esta é a corrente eletrônica recolhida por unidade de área da sonda na região 'P = 'Po até 'P = 'PB . Se a sonda se tornar negativa, a densidade de corrente de elétrons diminuirá, porque apenas uma fração dos elétrons terá energia suficiente para penetrar a barreira de potencial: J~
= Je
exp
( e qJ ukTe-
qJo - )
1 = ~Neev
exp
_
(' e --kT" qJ - qJo ) ,
para
qJ::::; qJo·
(14-55)
A densidade de corrente de íons, por outro lado, é constante na região de potencial negativo, ou seja, Ji. A corrente total da sonda é pois Jp=Jeexp e vê-se que a temperatura
(
qJ ekT,,'
qJo)
-Ji,
do elétron é Te= ~
l
;iqJ d
In (Jp+
IJ,I)
J -
1
(14-56)
A densidade de partículas No pode ser determinada a partir da Eq. (14-54), usando o valor experimental de Jp correspondente à região do platô à direita de 'Po na figura. Deve-se observar que a Eq. (14-56) e a forma da característica Jp - 'P são independentes do valor absoluto de y; dessa forma, o potencial da sonda pode ser medido em relação a qualquer potencial fixo (por exemplo, um potencial de eletrodo) no plasma. As características da sonda estão bem compreendidas, mas, antes dos dados obtidos por meio de medidas de sonda serem interpretados claramente, é necessário que se satisfaçam certas condições, a saber: (1) a sonda deve ser pequena em comparação com os livres percursos dos elétrons e íons, (2) a bainha deve ser pequena comparada com as dimensões da sonda, (3) a ionização na bainha deve ser desprezível, (4) a emissão secundária a partir da sonda deve ser desprezada e (5) não deve haver oscilações de plasma. Além dessas exigências, admite-se tacitamente que não haja campo magnético presente; o uso das sondas em plasmas que contêm campos magnéticos foi estudado por Bohm, Burhop e Massey.* Finalizemos esta seção com uma exposição sobre a bainha que circunda a sonda negativamente carregada. A equação que governa o potencial 'P na região da bainha é a equação de Poisson: (14-57) onde Ni e Ne são as densidades locais de Íons e elétrons. Um gráfico aproximado de 'P versus a distância desde a sonda é dado na Fig. 14-10. É conveniente fazer a substituição y = - V, onde V é uma quantidade positiva e, como a espessura da bainha é pequena com-
* Capítulo 2 de Characteristics af Electrical Discharges in Magnetic Fields, editado por A. Guthrie e R. K. Wakerlíng (New York: '\lcGraw-Hill, 1949). Veja também o Capítulo 4 de Huddlestone e Leonard, ap. cito
~ Uso de Sondas em Medidas de Plasma
parada às dimensões da sonda, podemos usar uma versão unidimensional "d-x2
(I -- \ I)
da Eq. (14-57):
1
d2V
.
305
= -(o
e(Ni
-
(14-58)
Ne)·
Ts
!
rPlasma
I I 1
Região de transição Figura 14-10 Gráfico do potencial tância da sonda.
-l'fl
Os elétrons são distribuídos na bainha de uma forma aproximadamente
=
Ne
No exp f-
versus
estatística:
V,o )] ,
e(VkTe-
dis-
(14-59)
onde No é a densidade eletrônica para o potencial de plasma - Vo. A densidade de íons se relaciona com a corrente iônica, li, de acordo com
1= l
!\eL I
l
= Nel
T.
----
mi f2ev
(14-60a)
•
No plasma, fora da bainha, a corrente iônica será dada por li
= NoeL'io = Noe
--,
(14-60b)
m" I J2evo
sempre que o potencial de plasma, - Vo, for medido em relação ao ponto em que os íons positivos são formados. Assim,
= No ~ rv; li'
Ni
(14-61)
Substituindo
as Eqs. (14-59) e (14-61) na Eq. (14-58) obtemos a chamada equação do
plasma-bainha
:
-dx2 d2V
= -(o 1 Noe
f
--kT'-- Vo)] .
Voli2 V -1/2 - exp -e(V
A última equação pode ser multiplicada por (dVjdx)dx -- 21 (dV)2 dx
- -
_ (o 1
+-
No e 2 Vo V "[
1/2
1/2
e kT"
(14-62)
e
= dV e integrada para se obter
exp -.----e(V kT"- Vo)]
sendo a constante C determinada pela condição que dVjdx isto é, onde V = Vo. Dessa forma, 1 C = -No[2eVo + kTel (o
+
(14-63)
C,
= O na extremidade da bainha, (14-64)
I
306
Física do Plasma
Em todos os pontos da bainha, (dVjdx)2 2 O; o exame da Eq. (14-63) mostra que esta condição será satisfeita somente se (14-65) relação assinalada pela primeira vez por Bohm. * Em outras palavras, para que se forme uma bainha estável, os íons que alcançam a bainha a partir do plasma devem possuir uma energia cinética de pelo menos metade de kTe. Como bainhas estáveis sempre se formam nestas circunstâncias, a Eq. (14-65) determina efetivamente Vo; na realidade, a desigualdade na Eq. (14-65) pode, usualmente, ser substituída por um sinal de igualdade. A espessura da bainha pode ser encontrada pela integração da Eq, (14-63); fazemos isto apenas para sondas muito negativas, para as quais Ne pode ser desprezado. Aqui
(~:r~
4N:oevo
=2
[(
~r2- 1]
ff-~~ e
to
1
J. Vl/2
~
4N
o
eVl/2V1/2
o
to
(14-66)
,
que, quando integrada, dá (14-67)
14-9 RESUMO Gases altamente ionizados são bons condutores elétricos; um plasma é uma região de gás altamente ionizado em que o campo elétrico estático e a densidade de carga líquida são quase nulas. Os três procedimentos diferentes para a análise do comportamento do plasma são a teoria cinética do equihbrio, a teoria da órbita e a teoria hidromagnética macroscópica. 1. A teoria do equihbrio, baseada no fator de Boltzmann estatístico, mostra que a carga externa Q localizada num plasma é blindada por este numa distância denominada compn'mento de Debye. Isto é, o potencial de Coulomb não blindado, Q/47rEor, é substituído por Q -'Ih . e ,
onde o comprimento
= 4ntor
de Debye-h é
h=
fokT 2Noe2
•
2, A teoria da órbita baseia-se nos movimentos da partícula sob a ação da força
F em um campo magnético uniforme, *
= q(E + v
uma partícula
x B). de massa mp desloca-se livremente ao
Veja o Capítulo 3 do livro editado por Guthrie e Wakerling, op.
cito
..
Promemas
307
longo da linha de campo e gira em torno dela; a órbita é uma espiral com o raio de Larmor R =~pt:.l
qB . A partícula livre tem um momento diarnagnético. Se o campo não for uniforme, a partícula girará segundo uma espiral mais comprimida, enquanto penetrar num campo mais interno juntamente com linhas de campo convergentes; ao mesmo tempo, seu movimento axial diminuirá e será finalmente invertido. O resultado será um espelho magnético. 3. O procedimento de de volume
hidromagnético
está baseado na lei da força macroscópica por unida-
F,,=JxB-Vp, onde p é a pressão do fluido. Às vezes, o primeiro termo pode ser aproximado a -VPm, onde a "pressão magnética" é igual à densidade de energia, B2
Pm
= 2-' Uo
O efeito pinch magnético pode ser tratado como uma compressão do plasma pela pressão magnética fora dele. 4. O procedimento macroscópico também conduz a ondas de plasma. As ondas "eletrostáticas" são oscilações com uma freqüência, para elétrons, de
.J~ fN?
wp= para comprimentos infinitos de onda. As ondas de "Alfvén" propagam-se, num campo magnético uniforme Bo, com uma velocidade de fase
=---Bo
t: p
~'
PROBLEMAS 14-1 A condição para que a teoria da órbita seja uma boa aproximação ao movimento de um elétron num plasma é que .,. ~ 2rrme/Be, onde l' é o tempo médio de colisão (veja o Capítulo 7) e 2rrme/Be é o período do ciclotron no campo magnético B. Demonstre que este enunciado equivale a 1) .:;:; 1)H, onde 1)H == B/No e é a resistividade de Hall. 14-2 Ê dado um problema hidromagnético de fluxo estacionário no qual v, J e B são mutuamente ortogonais. Suponha que v está na direção x e que v, J e B sejam [unções de x apenas, Suponha também que a seção reta do canal (perpendicular a x) seja independente de x, Demonstre que
v
onde
Vo
=
Vo -
2~ovo' --;:~ l2Bo
r J dx
+ /10
(r. J dx)2],
é a velocidade quando t = to' B = Bo'
14-3 Deduza a Eq. (l4-65) examinando a Eq. (14-63) em relação à vizinhança de V'"
Vo •
14-4 A característica corrente-voltagem é medida para uma sonda que é introduzida num plasma de um tubo de descarga de corrente, A sonda tem uma área de 0,05 cm2 • Todas as voltagens se relacionam
..•
308
Física do Plasma
-7,5 -20,4 -20,5 35,0 -2,7 33,0 a um potencial de referência fIxo: I,mA I,mA -0,096 34,0 +0,041 +0,033 -0,011 -0,98 29,0 -0,34 31,0 'Pp,V 'Pp, V
Determine a temperatura sonda.
do elétron no plasma, a densidade de elétrons e o potencial flutuante
da
·14·5 Uma esfera homogênea de raio
a e condutividade elétrica a' move-se com velocidade -v o num fluido incompressível, não viscoso, de condutividade a na presença de um campo magnético uniforme Bo. A velocidade Vo é paralela a Bo. Calcule a perda de Joule resultante das correntes induzidas no sistema e, igualando-a à taxa em que a energia mecânica é dissipada pela esfera (FI vo), calcule a força de arrasto FI . Suponha que haja t1uxo de potencial no fluido: no sistema de coordenadas em que a esfera está em repouso, a velocidade do t1uido é dada por v
= Vo + ia3
V(vo • r/r3),
em relação a uma origem no centro da esfera. [Para uma exposição deste problema e de outros relacionados, veja J. R. Reitz e L. L. Foldy, Jaurnal af Fluid Mechanics, vol. 11, p. 133 (1961).]
CAPÍTULO 15 PROPRIEDADES ELETROMAGNÉTICAS DOS SUPERCONDUTORES 15-1 HISTÓRIA DA SUPERCONDUTIVIDADE A supercondutividade foi reconhecida pela primeira vez em 1911 por H. Kammerlingh Onnes, em Leiden. Ele observou que ao se esfriar uma amostra de mercúrio, sua resistência desaparece de forma abrupta e aparentemente por completo a 4,2 K. Numa experiência mais sensível que usava uma corrente persistente induzida em uma espira de fio supercondutor, Onnes avaliou que a resistência do estado supercondutor era de, no máximo, 10-12 vezes a resistência do estado normal. Mais recentemente, no Massachusetts Institute of Technology, descobriu-se que uma corrente induzida de várias centenas de amperes num anel de chumbo supercondutor não apresentava variação na intensidade da corrente por um período de, pelo menos, um ano; já é forte evidência de que a resistência no estado supercondutor é realmente nula. As primeiras experiências descortinaram todo um campo de esforços para caracterizar o novo efeito. Descobriu-se que mais de 20 elementos e centenas de ligas e compostos intermetálicos são supercondutores com temperatmas de transição que variam desde valores substancialmente menores que 1 K (por exemplo, 0,12 K para o háfnio) até aproximadamente 20 K (por exemplo, 23 K para o composto Nb 3 Ge). A temperatura de transição, ou crítica, é aquela em que se verifica a transição do estado normal ao estado supercondutor e é característica do material particular considerado. A temperatura crítica depende, até certo ponto, tanto da pureza química, como da perfeição metalúrgica da amostra testada. Na verdade, a não homogeneidade da pureza e deformações da amostra, geralmente, tendem a ampliar o intervalo da temperatura de transição entre o estado normal e o supercondutor; uma amostra pura, bem recozida, pode ter um intervalo de temperatura de transição tão pequeno como 0,001 K. Se um campo magnético suficientemente intenso for aplicado paralelamente a um fio supercondutor, observar-se-á que a amostra se tornará normal. O módulo do campo que causa a transição depende tanto do material como da temperatura e é denominado campo crítico. Se um campo for aplicado em alguma outra direção, a amostra começará a se tomar normal quando o campo real alcançar o campo crítico em qualquer ponto da superfície. O gráfico campo-temperatura que pode ser feito tem essencialmente a mesma importância termodinâmica que o diagrama pressão -temperatura de transições comuns de fase, e a própria curva pode ser considerada como o limite de fase entre o estado termodinâmico normal e o supercondutor. A forma da curva é, em geral, parabólica e dada com 309
310
Propriedades Eletromagnéticas
dos Supercondutores
boa aproximação pela equação
onde Hc é o campo crítico, T é a temperatura absoluta (ou Kelvin) de observação, Tc e as características da amostra (temperatura crítica para campo nulo e campo crítico para temperatura absoluta nula). Além de ampliarem a transição, as não homogeneidades podem também exercer um efeito marcante sobre Ho, às vezes aumentando-o por ordens de magnitude. Estes efeitos são de maior importância em aplicações com campos magnéticos intensos. Na história primitiva da supercondutividade, a aplicação das equações de Maxwell a um condutor perfeito levou à conclusão de que a taxa de variação com o tempo da indução magnética, no interior do supercondutor devia ser nula. Assim, dependendo do resfriamento da amostra abaixo da temperatura de transição, na presença ou na ausência de um campo magnético aplicado, o fluxo magnético pode ser desviado ou excluído. Esta idéia estava tão firmemente arraigada que não foi senão em 1933 (22 anos após a descoberta da supercondutividade) que W. Meissner e R. Ochsenfeld a testaram pela primeira vez experimentalmente. Os resultados de suas experiências provaram que a hipótese era falsa e que, em todos os casos, independentemente da amostra ser esfriada dentro ou fora de um campo magnético, a indução magnética de um supercondutor é nula. Este efeito é denominado exclusão de fluxo ou, mais comumente, efeito Meissner. Um enunciado na essência equivalente consiste em afirmar que um supercondutor se comporta como se tivesse permeabilidade nula ou uma susceptibilidade diamagnética perfeita. Tal asserção torna fácil compreender que a forma da amostra terá importantes efeitos, que serão simples apenas quando o espécime tiver a forma de um longo cilindro cujo eixo for paralelo ao campo magnético aplicado. A principal importância do efeito Meissner é o fato de demonstrar que um supercondutor se caracteriza por propriedades eletromagnéticas mais complexas do que a simples condutividade infinita. Uma explicação satisfatória da supercondutividade deve esclarecer este efeito de uma forma natural. Ho representam
Do ponto de vista teórico, muito se tem conseguido, começando com a aplicação da termodinâmica à transição realizada por W. H. Keesom em 1924. Como conseqüência, em 1934 surgiu uma explicação fenomenológica da transição de segunda ordem e de outras propriedades baseada num modelo de dois fluidos desenvolvido por C. J. Gorter e H. B. G. Casimir. A esta se seguiu a teoria fenomenológica das propriedades eletrodinâmicas dos supercondutores de F. e H. London (1935), em que as equações de M~'(well foram aumentadas por duas equações adicionais para explicar o efeito Meissner. Neste capítulo, interessar-nos-emos principalmente pelas equações de London. De 1935 até a descoberta do efeito do isótopo, em 1950,* foi realizado pouco trabalho crítico teórico. Contudo, em 1950, H. Frolich desenvolveu uma teoria baseada na interação de elétrons com átomos vibrantes da rede cristalina, que explicava o efeito do isótopo mas falhava ao prever outras propriedades do estado supercondutor. Mais recentemente (em 1957), J. Bardeen, L. N .
., Experiências com supercondutores elementares de composições isotópicas variadas demonstram que T,/V['12 '" constante, sendo M a massa isotópica. O primeiro trabalho experimental foi realizado por E. Maxwell e por C. A. Reynolds e colaboradores. O efeito é agora conhecido como efeito do isótopo e é um indício de que as interações entre os elétrons supercondutores e os núcleos dos íons da re· de cristalina desempenham papel importante na supercondutividade.
CondutividadePerfeita e DiamagnetisrnoPerfeito de Supercondutores
311
Cooper e J. R. Schrieffer desenvolveram uma teoria microscópica ou quanto-mecânica da supercondutividade que tem tido bastante sucesso. Esta teoria (teoria BCS) explica de uma forma natural a transição de fase de segunda ordem, o efeito Meissner e outras propriedades termodinâmicas e eletromagnéticas dos supercondutores. Como resultado de seu trabalho, Bardeen, Cooper e Schrieffer foram premiados com o Prêmio Nobel de Física, em 1972. De acordo com a teoria BCS, a supercondutividade manifesta-se como uma transição de fase proveniente do emparelJwmento dos elétrons. Este emparelhamento resulta da interação de elétrons com vibrações da rede no material. De alguma forma, a supercondutividade é análoga a uma condensação de pares ligados do elétron de Bose-Einstein; ambos os efeitos (a supercondutividade e a condensação de Bose-Einstein) são essencialmente quanto-mecânicos e não têm interpretação clássica simples. A teoria BCS parece ser capaz de pressupor, pelo menos qualitativamente, todos os resultados fenomenológicos relacionados com a supercondutividade. Aplicações tecnológicas da supercondutividade necessitam de um material que permaneça supercondutor em campos magnéticos intensos e, por isto, deve-se usar um supercondutor do tipo 11. Trata-se de uma forma mais complicada de supercondutividade onde, acima de certo valor do campo magnético chamado Hcl , o fluxo magnético começa a penetrar no material, mesmo que este permaneça supercondutor, até que seja alcançado um campo magnético mais intenso (o campo crítico superior, Hcz), O material do tipo II não exibe um efeito Meissner perfeito, nem obedece quantitativamente às equações de London; contudo, a supercondutividade do tipo II é explicada pela teoria BCS. Hcz é bastante grande em alguns materiais; no Nb3Sn, por exemplo, /loHc2 é"maior do que 10 tesla a 4,2 K. Neste capítulo, nos preocuparemos somente com o tipo mais simples de supercondutividade (denominado tipo J). O assunto da supercondutividade desenvolveu-se dentro de um campo de estudos muito rico. Não obstante, as duas teorias fenomenológicas complementares - a teoria de dois fluidos de Casimir-Gorter e a teoria de London - juntas, são adequadas à consideração de muitos problemas que envolvem supercondutores. A teoria de Casimir-Gorter lida, principalmente, com questões termodinãmicas e é, em conseqüência, apenas de interesse periférico aqui. A teoria de London é, todavia, na maior parte, uma ampliação das equações de Maxwell com o propósito de construir uma teoria eletromagnética que seja capaz de tratar de situações envolvendo supercondutores. O restante desse capítulo diz respeito ao desenvolvimento da teoria de London e à sua aplicação a algumas situações simples. Este capítulo tenta fornecer uma base para o exame de problemas eletromagnéticos macroscópicos que envolvam supercondutores, em vez de explorar as teorias microscópicas contemporâneas da supercondutividade. 15-2 CONDUTNIDADE SUPERCONDUTORES
PERFEITA E DlAMAGNETISMO PERFEITO DE
Observamos, na seção anterior, que os supercondutores exibem duas propriedades únicas. Possuem essencialmente condutividade infinita como o revelam as experiências originais de Onnes e as extensões subseqüentes; também excluem completamente o fluxo magnético como o demonstrou a experiência de Meissner-Ochsenfeld \enquanto o campo magnético na superfície do supercondutor em nenhum lugar exceder o campo crítico). Estas propriedades são independentes no sentido de que uma não implica outra mas, naturalmente, ambas devem emergir das teorias microscópicas satisfatórias da supercondutividade e assim o fazem. Para uma compreensão mais clara do que se entende por indepen-
312
Propriedades Eletromagnéticasdos Supercondutores
dência destas duas propriedades, podemos citar o exemplo, agora clássico, de um condutor perfeito em um campo magnético. Consideremos uma esfera cuja condutividade pode ser variada desde um valor finito até o infinito de alguma forma. Por exemplo, podemos variar a condutividade de um supercondutor, alterando sua temperatura. Quando a condutividade for infinita, o campo elétrico será zero em toda parte no interior do supercondutor e, conseqüentemente, seu rotacional e aB/at serão também nulos. Dessa forma, se a esfera for esfriada (adquire uma condutividade perfeita) num campo uniforme Bo, a densidade de fluxo na esfera permanecerá sendo Bo até que a condutividade perfeita seja destruída. Por outro lado, se a esfera for esfriada num campo zero, a densidade de fluxo permanecerá nula até que a condutividade perfeita seja destruída apesar de, por exemplo, se situar num campo externo inicialmente uniforme. Assim, a condutividade perfeita não implica a exclusão de fluxo e, conseqüentemente, B == O é um postulado que se deve introduzir separadamente. De maneira semelhante, B = O não implica condutividade perfeita, pois um material com susceptibilidade Xm = -1 teria sempre B = O, e isto não restringiria a condutividade possível do material. Neste capítulo, interessar-nos-emos principalmente pelos aspectos magnéticos da supercondutividade (posteriormente exporemos a condutividade infinita que, contudo, não desempenhará um papel importante nos problemas aqui considerados) e desenvolveremos formalismos que lhe sejam apropriados. O primeiro procedimento, que representa o menor desvio do que já foi feito (veja o Capítulo 9), é dizer que, dentro de um supercondutor B = J.l.o (H + M] = O e nos limites entre os supercondutores e outros meios, a componente tangencial de H e a componente normal de B são contínuas. Este procedimento considera o supercondutor como um material magnético com susceptibilidade Xm = -1, isto é, um meio que exibe diamagnetismo perfeito. Na superfície do supercondutor, correntes de magnetização fluem com densidade superficial (A/m) JM = n x (Mext - Min], sendo n a normal traçada para fora da superfície (observemos que Mext é geralmente nulo); no interior do supercondutor, correntes de magnetização volumétrica fluem com densidade JM = V x M (veja o Capítulo 9, em particular a Seção 9-1). Uma descrição alternativa faz B = H = M = O no interior do supercondutor e invoca uma corrente superficial real J8 = n x Hext (uma vez que se supõe Hin igual a zero). Nesta descrição não há correntes de qualquer tipo fluindo no interior do supercondutor. Estas duas descrições de um supercondutor são tão surpreendentemente distintas que é pertinente perguntar como estão relacionadas. O enunciado usual é que são equivalentes quando adequadamente interpretados. Contudo, parece apropriado considerar a questão com maiores detalhes. Observamos primeiro que existem duas diferenças entre as correntes de transporte reais e as correntes de magnetização. A primeira delas consiste no fato de que as correntes de transporte são fontes de H enquanto que tanto as correntes de transporte como as de magnetização são fontes de B. Como B é a quantidade de campo magnético acessível, enquanto que H foi introduzido principalmente para haver uma quantidade de campo magnético determinada pelas correntes de transporte, esta primeira distinção entre os dois tipos de corrente é claramente conveniente, porém algo artificial. A segunda distinção se baseia no fato de que as correntes de transporte em materiais normais são dissipativas (isto é, dão lugar ao aquecimento de joule) enquanto que as correntes de magnetização não o são. Nos supercondutores, porém. mesmo esta distinção desaparece. Além disso, como se pode mostrar que a magnetização dos supercondutores não é devida aos spins (e, conseqüentemente, está associada aos movimentos orbitais dos portadores de carga), as duas descrições parecem ser eqUIvalentes. Um enunciado sucinto, alternativo, con-
Exemplos Envolvendo Exclusão de Fluxo Perfeito
313
siste em afinnar que como só B é mensurável, podemos escolher M e H segundo regras relativamente arbitrárias, enquanto dividimos J e J M correspondentemente e observamos que eles não podem ser distinguidos em um supercondutor. Na maior parte do que tratará, a descrição H, M ° será conveniente, porque será uma extensão natural daquilo que já tratamos anterionnente em relação aos materiais normais e porque essa fonnulação conduzirá a problemas de valores de contorno de uma natureza mais convencional. Na próxima seção, contudo, dois problemas serão examinados, cada um em ambas as formulações, para esclarecer a equivalência.
*
15-3 EXEMPLOS ENVOLVENDO EXCLUSÃO DE FLUXO PERFEITO Para reforçar as idéias apresentadas na seção precedente, consideraremos dois exemplos elementares: uma esfera supercondutora num campo assintoticamente uniforme e um cilindro supercondutor, infinitamente longo, pelo qual passa uma corrente. Ambas as formulações da Seção 15-2 serão usadas para mostrar explicitamente que são equivalentes nestes casos. Considere primeiro uma esfera supercondutora, de raio a, colocada num campo externo unifonne, Bo k. Nesta formulação, que trata o supercondutor como um material magnético, o problema de valor de contorno adquire a fonna No exterior:
B
--* Bok
quando,
-->
00,
V· B =0, V x H
= O,
(15-1)
B = floH. No interior:
B=O, V
x
H
H= -M, =
O,
(15-2)
V· M=O. Para,:=
a: Br é
contínuo, (15-3)
He é contínuo.
A única equação não usual é V • M :=O que é estabelecida tomando-se por base a não existência de pólos magnéticos no interior da esfera supercondutora. Com estas equações, podem ser introduzidos dois potenciais escalares magnéticos, í(J 1no exterior e í(J no interior. Ambos satisfazem a equação de Laplace e, conseqüentemente, pode-se encontrar o campo H, tomando-se o negativo do gradiente. Utilizando coordenadas esféricas e considerando explicitamente a primeira equação. Eq. (15-1), temos oc B cpj = -~ , cos e + cr,-(r+ l)PAcos e). (15-4)
i
I
flo
r=o
Desta
I OC
Br
= Bo
cos e
+ Po r=o
(f
+
l)cr,-(r+
21PAcos
e)
(no exterior),
(15-5)
Como B é nulo na região interna e Br é contínuo através de,:= a, todo Cio exceto c1, deve ser nulo e Cl :=- Boa3 /2/10' Isto, então, resolve completamente o problema para' > a
314
Propriedades Eletromagnéticas
dos Supercondutores
sem recorrer à condição de contorno da componente tangencial de H; os únicos fatores que intervieram foram B = O na região interna e a continuidade da componente normal de B em r = a. No interior da esfera, o potencial 'Pi deve ser regular em r = O e, para cumprir as condições de contorno, pode conter apenas PI (cos 8). Assim,
-i-
No exterior:
No interior:
H = ~ Bo k'
B=O;
Emr=a: jM
2
= -:23
J1.o
'
M
=
3 Bo k.
-2
(15-6)
J1.0
~o sen () a'P' 110
A segunda formulação é idêntica na região externa mas toma a forma B = H = M = O na região interna. Existe também uma corrente de transporte real js = n X Hext = - + (Bo/P-o) sen e a.., na superfície. Esta descrição pode ser resumida como segue: a3
No exterior:
B = lloH = Bok - Bo 3r COS() ar
No interior:
B
=H=
Emr =a:
J.
=-
s
M = O.
Bo sen () a 3 ---
2
110
a3
- iBo
3r sen () ao. (15-7)
'P'
A relação entre as duas descrições talvez agora esteja clara. Na região externa, ambas são iguais, como deveriam ser. Caso contrário, poder-se-ia inventar uma experiência simples para selecionar a descrição correta. Na região interna, ambas as descrições dão B = O mas H e M são finitos num caso e iguais a zero no outro. Nem H, nem M, contudo, são experimentalmente observáveis e, como conseqüência, esta distinção não é importante. Nos dois casos existem correntes de superfície idênticas; em um, todavia, ela é considerada uma corrente de transporte, enquanto que no outro é denominada corrente de magnetização. O nome que se dá à corrente é importante apenas no que se relaciona com H e M dentro do supercondutor. Por exemplo, quando calculamos o momento magnético da esfera supercondutora, podemos usar jM ou M, mas não ambos; contudo, um js real sempre contribui para o momento magnético. Um segundo exemplo que, além disso, ilustra a indistinção entre as correntes de transporte e as de magnetização é o caso de um cilindro supercondutor infinitamente longo que conduz uma corrente. Antes de considerar este problema em detalhes, todavia, devemos observar que no interior de um supercondutor perfeito a soma de J e JM é sempre nula. Isto provém de B = O, o que implica V x B = O e dessa forma, V x H + V x M = tal argumento não pode ser usado e J + JM = O. Numa superfície de descontinuidade, uma corrente superficial total, finita, js + jM poderá existir. Contudo, o argumento demonstra claramente que a corrente total sempre será uma corrente superficial.
Exemplos Envolvendo Exclusão de Fluxo Perfeito
315
Retomando agora ao fio, que admitiremos como tendo raio a e conduzindo uma corrente 10 (no sentido positivo de z), vemos, conforme a lei de Ampere, que fora do fio, (coordenadas cilíndricas). Se a primeira descrição, M, H =I- O na B = Jio H = Ú1oI/21TT)ae região interna, for usada, deveremos fazer algumas ponderações com respeito à densidade de corrente no fio e, por causa da suposta continuidade da componente tangencial de H, tais ponderações não devem envolver correntes de superfície. A possibilidade mais Então, na região interna, simples é da densidade uniforme: J = (Io/rra2)k. Ia
r
H =-2n
a2
ao
e
10
r
M = - 2n ---a2
A densidade de corrente de magnetização é JM = -(Io/rra2)k densidade de corrente de magnetização superficial
= + ar
JM .
X
e há, na superfície,
uma
2;~ 10 k,
=
( 2na 10 ae )
ao.
que é justamente suficiente para conduzir a corrente total 10' A descrição alternativa simplesmente considera B = H = M = O na região interior e, dessa forma, requer que a corrente se localize inteiramente na superfície com densidade de corrente superficial real js = (Io/2rra )k. Estas duas descrições estão resumidas na Tabela 15-1. A não ser que se encontre um método para separar correntes de transporte de correntes de magnetização em supercondutores ou uma maneira de medir diretamente H ou M no interior de um supercondutor, as descrições serão equivalentes. Tabela 15-1 Fio Supercondutor
que Conduz Corrente
Formulação 1 (Supercondutor como material magnético com Xm = -1)
M = -H
=f=0
No exterior: No interior:
Formulação 2 (Exclusão de fluxo por correntes de transporte superficiais) M=H=O B
=
lioH
=
B=O
M = _Jar
2~~2
30
J=O
Emr =a:
j'l = (J o 12nQ)k js
=O
J.~f =
O
=
O
j\l
h=
(Jo21Ia)k
lioIa 3 27[r
fi
316
Propriedades Eletromagnéticas dos Supercondutorcs
Nos dois problemas que acabamos de considerar, a formulação simplificada apresenta aparente vantagem. Contudo, em problemas mais complicados. particularmente nos que envolvem grandes fatores desmagnetizantes, é vantajosa a formulação da magnetização distribuída. Qualquer método que se use dará resultados equivalentes. porém não se pode misturá-Ios num mesmo problema. 15-4
EQUAÇÕES
DE LONDON
Na seçao precedente, tratamos da exclusão de fluxo baseados numa representação altamente idealizada de um supercondutor. Esta representação reproduz muitas das características observadas na supercondutividade; falha, porém, ao explicar adequadamente alguns dos detalhes facilmente observáveis. Uma teoria mais sofisticada pode ser desenvolvida, partindo do conceito de condutividade perfeita e fazendo uma modificação adequada para incluir o efeito Meissner. Num condutor perfeito (não num supercondutor) os portadores de carga não experimentarão forças retardadoras; como conseqüência, em um campo elétrico E, eles se moverão de acordo com ( 15-8) onde mp é a massa do portador de carga e v é sua aceleração. Porém, se v for a velocidade média dos portadores de carga e houver n destes por unidade de volume, a densidade de corrente será J = nqv. Uma alternativa para a Eq. (15-8) seria, então,
onde
j =dJjdt.
j = (nq2;mp)E,
(15-9)
Tomando o rotacional desta equação e usando V
X
E = -aBjat,
temos (15-10)
Supondo que os campos variem lentamente* V x V x
Supondo que B = obtemos
fJ.o
e usando V x H = J para eliminar j, temos
H=
-(nq2jmp)B.
H e usando a definição do laplaciano
(15-11)
de um vetor (com V • B = O), (15-12)
o significado desta equação pode ser mais bem compreendido, se considerarmos um condutor perfeito semi-infinito, limitado pelo plano z = O estendendo-se no sentido positivo de z. Supondo que na superfície Ey = Éz = O, Ex = Exo e que B xO não depende de x ou y. A equação que determina Bx é então J2 Éx
-J-'T .:
110 nq2
.
= _n mp -.-Bx,
(15-13)
que tem como solução geral Éx
=
Ae-v/lonq2,mpz
+
BeJ/lonq2!mpz.
* Esta consideraç:io fará com que seja negligenciada a corrente de deslocamento, tratamos nas Seções 16-1 e 16-2.
aDiar.
de que
Equações de London
317
A solução que cresce exponencialmente pode ser rejeitada por não ter qualquer interpretação física e A pode ser escolhido para dar Bx corretamente em z = O; então (15-14) É fácil de verificar que (mp I l1onq2 )1/2 tem as dimensões de comprimento e que, para q e a um elétron e n correspondente a um elétron por átomo, este comprimento é de aproximadamente 1O-8m. A Eq. (15-12) indica entao que, no interior do condutor perfeito, a derivada temporal de B tende a zero e::,ponencialmente com a distância da superfície. Assim, no interior do condutor perfeito, B é muito pequeno exceto numa 0na camada superficial. Este é um aperfeiçoamento razoável da conclusão anterior de que B = O em toda parte no interior de um condutor perfeito. O desenvolvimento que acabamos de esboçar demonstra novamente que a condutividade perfeita não leva à exclusão de fluxo. Todavia, indica como a exclusão de fluxo pode ser incorporada numa teoria. Se a Eq. (15-12) descrevesse o comportamento de B ao invés do de B. entao o próprio B decresceria exponencialmente desde seu valor na superfície até zero no interior de um supercondutor. Esta foi a motivação para o desenvolvimento de uma teoria sobre o comportamento eletromagnético dos supercondutore~. por F. e H. London.* mp apropriados
Nesta teoria foi considerado que a corrente total poderia se dividir em uma supercorrente Js, uma corrente dissipativa J diss e uma corrente de deslocamento J desl: (15-15) As correntes dissipativa e de deslocamento são regidas pelas equações Jdiss = gE e Jdesl. = aD/at. Resta relacionar Js com o campo eletromagnético. Isto se pode fazer, partindo-se da Eq. (15-15), das equações de Maxwell e da equação constitutiva de London [semelhante, na forma, à Eq. (15-10) mas que envolve B e J ao invés de suas derivadas]. Se este procedimento for cuidadosamente seguido, pode-se demonstrar que para freqüências menores que 1011 Hz, aproximadamente, ambas, Jdiss e Jdesl, serão desprezíveis comparadas com Js. Gostaríamos de adotar tal resultado, ou seja, Jdi.ss ~ O e Jdesl ~ O, sem discutir pormenorizadamente. Nossa suposição é razoável pelo menos no que conceme a problemas de corrente estacionária do tipo considerado. A corrente remanescente, Js, inclui tanto a corrente de transporte, como a de magnetizaçao e, conseqüentemente, da equação de Maxwell. Eq. (8-51), (15-16) Para obter uma equação que abrangesse as variáveis do campo magnético ao invés de suas derivadas, London postulou que (15-17)
j
Esta equação difere da Eq. (15 -1O) pelo fato de envolver J s e B em lugar do e B. Portanto, conduzirá a uma equação análoga à Eq. (15-12) para os campos, ao invés de o fazer para suas derivadas. Além disso, foi introduzi da uma profundidade de penetração fenomenológica, À, como um parâmetro específico, característico do material supercondutor (110 *
F. London e H. London, Proc. R o)'. Soc., vol. A149, p. 71 (1935).
318
Propriedades Eletromagnéticas
dos Supercondutores
entra para fazer com que a dimensão de À seja a de um comprimento). A Eq. (15-17) levará ao efeito Meissner, para incluir a condutividade infinita, porém, devemos supor, separadamente, que (15-18) Esta última equação não desempenhará, contudo, um papel adicional nos problemas aqui estudados. As Eqs. (15-16) e (15-17) podem ser combinadas dando
v x V x B = -(l/,F)B.
(15-19)
Como V • B = O, esta pode ser escrita como V2B
= (1/,l2)B.
Pode-se resolver a Eq. (15-20) no caso de uma chapa semi-infinita, exatamente a Eq. (15-13). A solução
(15-20) como o foi (15-21)
indica agora que B, ao invés de B, decai exponencialmente à medida que penetra na chapa. Esta é a generalização desejada de B = O no interior de um supercondutor. A profundidade de penetração À foi introduzida aqui como um parâmetro fenomenológico; entretanto, têm-se elaborado várias teorias que procuram determinar sua magnitude. Estamos mais interessados na determinação experimental de À. Um procedimento óbvio seria construir':li solenóide com um núcleo supercondutor. A indutância do solenóide seria muito pequena se o supercondutor fosse perfeito e preenchesse completamente o volume encerrado pelo solenóide. Se, por outro lado, existisse uma profundidade de penetração finita, a indutância seria algo maior. Se a profundidade de penetração fosse uma fração significativa do raio do solenóide, poder-se-ia determiná-Ia através de medidas da indutância. A possibilidade desta determinação depende da razão entre o volume em que O campo penetra e o volume total da amostra. Do que resultaria À ser tipicamente de alguns milionésimos de centímetro e, conseqüentemente, a experiência simples acima proposta não produziria resultados significativos. Dificuldade que pode, entretanto, ser contornada, usando-se uma amostra com uma grande razão superfície-volume. As primeiras experiências desse tipo que tiveram êxito, feitas com um colóide de mercúrio, foram realizadas por D. Shoenberg, em 1939. Tais experiências demonstraram, conclusivamente, que o campo magnético penetrava nas pequenas esferas de mercúrio supercondutoras e que a profundidade de penetração dependia da temperatura. As experiências originais de Shoenberg, que foram ampliadas e suplementadas, demonstraram que o conceito da profundidade de penetração era válido e importante. As Eqs. (15-15), (15-17) e (15-18), juntamente com as quatro equações de Maxwell, são muitas vezes chamadas, coletivamente, de equações de jl1axwell-London e são muito úteis no tratamento de problemas eletromagnéticos que envolvem supercondutores. Como se evidencia da exposição precedente, o conceito da exclusão de fluxo perfeito é uma idealização. Em lugar disso, o fluxo magnético penetra numa fina camada na superfície do supercondutor e, de acordo com a teoria de London, decresce exponencialmente para o interior. A densidade de corrente superficial,jM (ou, conforme o caso,js) é também uma idealização. Aqui novamente, a densidade de supercorrente J8 se distribui sobre uma fina camada superficial e decresce exponencialmente para o interior. Dessa
Exemplos Envolvendo as Equações de London
319
forma, não existe jM na teoria de London mas apenas uma densidade de supercorrente total J8. Na próxima seção, os dois problemas anteriormente considerados serão resolvidos, mediante as equações de Maxwell-London. *15-5 EXEMPLOS ENVOLVENDO AS EQUAÇÕES DE LONDON Para melhor compreender as equações de Maxweil-London, utilizá-Ias-emos para obter soluções mais precisas dos problemas considerados na Seção 15-3. O primeiro problema é o de uma esfera supercondutora de raio a num campo externo que, a grandes distâncias, é uniforme e igual aBok. As equações satisfeitas pelos campos são No exterior: No interior:
v . B = 0, V2B
=
V x H = 0,
(1/),2}B,
V . B
B = PoR
=
0,
(15-22)
onde À., a profundidade de penetração, é considerada um parâmetro fenomenológico. condições de contorno que devem ser satisfeitas são
Emr==:
B=Bok,
Em r = a:
Br e Be são contínuos.
As
(15-23)
A única destas condições de contorno que necessita de um comentário adicional é a continuidade de Be em r =a. Isto resulta da suposição, em concordância com a exposição no final da seção precedente, de que as supercorrentes (tanto de transporte como de magnetização) nunca são infinitas, isto é, não há densidades de corrente superficial jM ou js. Neste caso, as componentes tangenciais tanto de H'como de M são contínuas e, por conseguinte, a componente tangencial de B também é contínua. A solução das equações para o campo fora da esfera não apresenta dificuldades. Pode-se introduzir um potencial escalar magnético que satisfaz a equação de Laplace, exatamente como se fez na Seção 15-3, e se obter uma solução geral. Na região interna, contudo, deve-se resolver a equação V2 B = O/À. 2 )B. Se o laplaciano de um vetor pudesse ser obtido, em coordenadas esféricas, simplesmente tomando o laplaciano de cada uma de suas coordenadas, as soluções desta equação seriam facilmente encontradas. Todavia, não é o caso; ao contrário, deve-se calcular o rotacional do rotacional do vetor. Como resultado, mesmo neste problema simples, as componentes r e 8 de V2B=O/À.2)B envolvem ambos, Br e Be. Tal complexidade é relativamente bem conhecida e técnicas extensivas têm sido desenvolvidas para resolver a equação vetorial de Helmholtz. * O desenvolvimento e a aplicação desses métodos estão, entretanto, fora dos objetivos deste trabalho. Conseqüentemente, os resultados da Seção 15-3 serão usados para fazer uma conjetura (Ansatz) sobre a forma da solução. A solução final resultante serájustificada porque satisfaz as equações e as condições de contorno e porque estas equações e condições de contorno têm uma solução única. A unicidade pode, naturalmente, ser provada; porém, aqui, será apenas suposta. Viu-se, na Seção 15-3, que apenas o termo P1 (cos 8) de
* Consulte Morse e Feshbach, Methods of Theoretical Physics (New York: McGraw-Hill, 1953), Capítulo 13.
320
Propriedades EletramagnéIicas
dos Supercondutores
Maxwell-London e que B(r, e)
= Bok -
r
b (~
[cos e
ar
+ 1sen
(15-24 )
e ao] (região externa)
Esta equação é muito semelhante à primeira das equações (1S-7); a única diferença é que Bo foi substituído por b na parte do campo devida à magnetização da esfera. Determinar-se-á o valor de b pelo ajuste das condições de contorno. A Seção IS-3 proporciona pouco, por meio de indícios, no que se relaciona com o interior da esfera; contudo, a partir da forma de M aí encontrada e do fato de Br depender de e, por meio dos cos e, ao passo que Be depende de e, por meio do sen e, na Eq. (15-24), poder-se-ia supor, razoavelmen te, que: Br B9
= u(r) = v(r)
cos e
(na região interna)
(1S-2Sa)
sen e
(na região interna)
(15-25b)
As duas funções u(r) e ver) devem ser determinadas de forma a que V'2B = (1/).,2)B e de forma a que sejam satisfeitas as condições de contorno em r = a. Estas condições de contamo são
Expandindo equações
u(a)
= Bo
v(a)
= -
V X V X B e utilizando
- b,
(15-26a)
Bo - b/2.
(15-26b)
as formas supostas, Eqs. (15-25), encontramos
as
(15-27a) e
(1S-27b) para u e v. Derivando a Eq. (15-27a) em relação a r e subtraindo da Eq. (lS-27b), mos
v = -u -!n/. Usando este resultado para eliminar
L'
obte-
(1S-28)
e dv/dr da Eq. (15-na),
obtemos uma equação para
u:
du
J2u r2 d~i
t
+ 4r
(Ir
r2
=
1,2 u.
(15-29)
I
Introduzindo através de ~ = ru e mudando a variáve independen te para p = r/i?\, chegamos à equação das funções de Bessel esféricas, de primeira ordem [Eq. (17-84) com l = I]. Usando a solução j 1 (r/i?\) da Tabela 17-2 (p. 364) obtemos u(r)
= c(),/r)3[senh
(r/I.) -
(r/I.) cosh (r/),)]
como a solução que é regular na origem. Encontramos,
(1S-30)
pelas Eqs. (15-28) e (15-29), que
Exemplos Envolvendo as Equações de London
Isto completa a solução formal, excetuando-se para determinar b e c, que são:
o uso das Eqs. (1S-26), (1S-30) e (1S-31),
c
= - 3Bo (}) senh (}).
b
= Bo [1 + 3
(j r
321
(15-32)
- 3 (j) coth
U ) ].
(1S-33)
Poderíamos esperar que, para valores muito pequenos de À/a, os campos não seriam multo diferentes dos encontrados na Seção IS-3 para a esfera supercondutora perfeita. Podemos verificar que isso ocorre, usando o fato de que coth x tende exponencialmente à unidade para valores grandes de x. Assim, Á
b~Bo (O,
À
Á
1-3- a +3-a22 + ... ) ,
.~~1 a'•
(1S-34)
e a primeira correção para o campo fora da esfera é de ordem À/a. O segundo exemplo da solução das equações de London é o longo fio que conduz uma corrente. O raio do fio será tomado como sendo a, a profundidade de penetração como À e a corrente externa (real) total como 10' Fora do fio, H é dado pela lei de Ampere e B = MoH. Portanto, Be
=
floHe
=
10 .. flo _1fr (no extenor)
?
(15-35)
Na região interna, B satisfaz 2
1
VB=-:.zB. I. Por simetria, B tem apenas uma componente (lS -36) torna-se r2 ~2 dr d2
Be
+r
dr Be -
-d
(1S-36)
e que depende somente de r. Então, a Eq.
(r21
+ ),-0-2 )
Be
=
O.
(15-37)
que é justamente a equação de Bessen para índice um e argumento ir/À. A solução que não é infinita na origem é (15-38) Determina-se o coeficiente A igualando Be no interior com Be no exterior, em r = a. O resultado é Be
floIo = --
-l1(ir/),) ---.-
2na l1(ia/À)
. ') (no mtenor
( 15-39)
Como II (ir/À) = i11 (r/À), onde 11é uma função de Bessel modificada, a Eq. (15-39) pode ser expressa em termos das funções-padrão tabeladas. Do resultado, podemos calcular os outros campos e a distribuição de corrente e demonstrar que o C31ÚpO e a densidade de
322
Propriedades Eletromagnéticas
dos Supercondutores
corrente total decaem exponencialmente com a distância da superfície do fio. Os detalhes, entretanto, são deixados como exercícios. Esta exposição das propriedades eletromagnéticas dos supercondutores foi necessariamente fragmentada. Em particular, foram ignorados problemas que envolvem campos dependentes do tempo e a teoria microscópica da supercondutividade. Muitos destes estão expostos em livros recentes de supercondutividade. * Dois dos primeiros livros que suplementam este capítulo são os de F. London** e D. Shoenberg.*** 15-6 RESUMO Os supercondutores constituem uma classe razoavelmente grande de materiais que possuem uma transição de fase para o estado supercondutor a baixas temperaturas, usualmente abaixo de 20 K, aproximadamente. A transição depende do campo magnético, bem como da temperatura, Com o material retomando ao estado normal em campos maiores que o campo crítico Hc. Idealmente, Hc
= Ho[1
-
(T/T.YJ.
O comportamento macroscópico elétrico e magnético no estado supercondutor é descrito de forma mais simples pelas equações constitutivas J == gE e M == Xm H com os valores extremos dos parâmetros materiais, g
= O,
Xm
=
-I
(fi
= O),
representando a condutividade perfeita e o diamagnetismo perfeito. Este último necessita que a densidade de fluxo B e a densidade de corrente J sejam nulos dentro de um supercondutor e que quaisquer correntes supercondutoras sejam correntes superficiais. Uma descrição mais apurada é expressa pelas equações de London, que substituem as equações diferenciais pelas equações constitutivas lineares
fio V
fio
J. = (I~ )2 E,
x
J = - (l
r
B.
Estas, junto com as equações de Maxwell no vácuo, prevêem que a densidade de fluxo e a densidade de corrente decaem exponencialmente a partir da superfície de um supercondutor, com profundidade de penetração À, ao invés de cair descontinuamente até zero. 1. A formulação simples, com Xm == -1, f.J. = O, é mais conveniente para problemas em que um supercondutor está localizado em um campo magnético. Os resultados são os mes-
* Veja, por exemplo, A. C. Rose-Innes e E. H. Rhoderíck,Introduction to Superconductil,ity, Segunda Edição (New York: Pergamon, 1977); eM. Tinkham, [ntroduction to Superconductivity (New York: McGraw-Hill, 1975). Veja também Superconductivity in Science and Technology, M. H. Cohen editor (Chicago: University of Chicago Press, 1968). **
F. London, Superfluids. The Macroscopic Theory of Superconductivity, Wiley, 1950; New York: Dover Publications, 1961).
*** 1965).
D. Shoenberg,
Superconductivity,
Segunda
Ediç3:o (London:
Cambridge
VoI. I (New York: University
Press,
Problemas
323
mos que os obtidos por meio das técnicas do Capítulo 9, pela simples substituição 11
de
= O.
2. Uma formulação alternativa, que pode ser mais conveniente para problemas em que o supercondutor conduz uma corrente externa, supõe que no interior do condutor Xm = O, 11 = 110' A condição B = O é encontrada com H = O = M no interior e as condições de contorno são satisfeitas, supondo-se correntes de transporte superficiais supercondutoras convenientes. As duas formulações são equivalentes porém a escolha de uma ou outra deve ser mantida num problema dado.
PROBLEMAS 15-1 Considere um cilindro supercondutor circular, infinitamente longo, de raio a, em um campo magnético transversal. O campo é uniforme e de módulo Bo a grandes distâncias do cilindro. Calcule os campos dentro e fora do cilindro e a densidade de corrente dentro do cilindro e na sua superfície. Suponha que as propriedades supercondutoras são representadas pelo diamagnetismo perfeito e pela condutividade perfeita. Compare as duas formulações equivalentes. 15-2 Considere uma chapa supercondutora infinita, de espessura d, limitada pelos planos z = O e z = d. Fora da chapa, o campo magnético é uniforme e paralelo às superfícies, Bx = Bo' Encontre o campo e a densidade de corrente na chapa, usando as equações de London e a profundidade de penetração fenomenológica, "-. 15-3 Faça os cálculos do Problema 15-1, usando as equações de London e a profundidade ção fenomenológica, À..
de penetra-
15-4 Complete o estudo dos campos produzidos por um fio infinitamente longo, que conduz uma corrente, usando as equações de London e partindo dos resultados desenvolvidos nas Eqs. (15-35) a (15-39). (a) Calcule J no interior do cilindro. (b) Explique o de caimento exponencial de B na região próxima à superfície do cilindro. 15-5 Considere uma esfera supercondutora, de raio a, em um campo magnético que, a grandes distâncias da esfera, é uniforme e de módulo Bo' Baseado na formulação da Seção 15-5, forneça o seguinte: (a) Uma expansão de V X v X B e, a partir desta, as equações satisfeitas pelas componentes de B no interior da esfera. (b) Uma verificação da Eq. (15-27). (c) Uma análise quantitativa do decaimento exponencial de B na região próxima à superfície da esfera.
CAPÍTULO 16 EQUAÇOES DE MAXWELL 16-1
GENERALIZAÇÃO
DA LEI DE AMPERE.
CORRENTE
DE DESLOCAMENTO
Vimos, no Capítulo 9, que o campo magnético devido a uma distribuição de corrente satisfaz a lei circuital de Ampere, fH . dI
= JS J . n da.
(16-1)
Examinaremos agora esta lei, mostraremos que falha, às vezes, e encontraremos uma generalização sempre válida. Considere o circuito mostrado na Fig. -16-1, que se compõe de um pequeno capacitar de placas paralelas sendo carregado por uma corrente constante J (não precisamos nos preocupar com a causa da corrente). Se a lei de Ampere for aplicada ao contorno C e à superfície SI' encontraremos
f C. H·
dI
= f SI
J.
n.
da
= I.
(16-2)
Placas do capacitar
Contorno C
Figura 16-1 Contorno C e duas superfícies, SI e S~ ' para testar a lei circuital de Ampere.
324
Generalização da Lei de Ampere
Se, por outro lado, a lei de Ampere nulo em todos os pontos de 52 e
for aplicada
= '5, r J. n
{ H . dI .c
C e à superfície
ao contorno
da
325
52,J será
= O.
(16-3)
As Eqs. (16-2) e (16-3) contradizem uma à outra e, portanto, não podem estar ambas corretas. Se imaginarmos que C está a uma grande distância do capacitar, é claro que a situação não será essencialmente diferente dos casos clássicos da lei de Ampere considerados no Capítulo 8. Dessa forma, somos levados a pensar que a Eq. (16-2) está correta, uma vez que não é dependente da nova característica, ou seja, do capacitor. A Eq. (16-3), por outro lado, requer a consideração do capacitor em sua dedução. Pareceria, então, que a Eq. (16-3) requer modificação. Como estas equações provêm da integração da Eq. (9-30),
v x H = J, esta também exige modificação. Pode-se fazer a modificação dão resultados diferentes porque do matematicamente, f '5,
J.
(16-4)
apropriada, observando-se que as Eqs. (16-2) e (16-3) as integrais dos lados direitos são diferentes. Expressan:
n2 da -
r
'51
J.
nl da i= O.
( 16-5)
5 I e 52 formam, ra fora e ta como
TIl
juntos, uma superfície fechada (unem-se em C); todavia, se dirige para dentro. Se este fato for considerado, a Eq. (16-5)
I• SI
J . ·n da
't Expressa
-d= I
se dirige papode ser escri·
TI2
O.
(16-6)
+S2
a corrente de transporte líquida através da superfície fechada 51 + a carga está se empilhando na placa do condensador encerrado pe· A conservação da carga requer, de acordo com as Eqs. (7-6) e (7-7),
fisicamente,
52 não se anula porque Ia superfície.
(16-7) porque, no interior do volume V encerrado por 51 + 52, a densidade de carga p varia com o tempo na placa do condensador. Na forma diferencial, a Eq. (16-7) é expressa pela equação da continuidade,
v . mos
É evidente
J+~ =
com a Eq. (16-4):
agora o que está errado
v .V x
0.(16-8)
li
=
O
=
V •
Tomando
seu divergente,
te-
J,
uma vez que o divergente de um rotacional é identicamente nulo. Assim, a relação V • J = O, como sugere a Eq. (16-4), é inconsistente com a conservação da carga na presente situação e dessa forma alguma coisa deve ser adicionada ao lado direito da Eq. (16-4) que daria apjat
na Eq. (16-8). Compreende-se
o que isto poderia
significar
por meio da relação
de p
326
Equações de Maxwell
com o deslocamento
elétrico:
V' O =p. Introduzindo
(16-9)
p da Eq. (16-9) na Eq. (16-8), obtemos
v . J + Ot ,,- v . o =
V·
a
J + -~ = O. at
(ao)
Se ao/at for adicionado à Eq. (16-4), seu divergente dará corretamente a Eq. (16-8). [Naturalmente, até o Capítulo 11, supúnhamos que os campos eram independentes do tempo e, assim, a própria Eq. (16-4) era aplicável. Nos Capítulos 11 aIS, admitimos os campos como "variando lentamente", tendo em vista que ao/at foi desprezado em comparação com J.] A inclusão de ao/at expressa a lei de Ampere generalizada:
v x
H = J + a~ ar
(16-10)
A introdução do segundo termo à direita, que é conhecido como a corrente de deslocamento, representa uma das maiores contribuições de Maxwell para a teoria eletromagnética.
16-2 EQUAÇÕES DE MAXWELL E SUAS BASES EMPÍRICAS A Eq. (16-10) pertence ao conjunto de equações conhecido como equações de Maxwell. Todo o conjunto se compõe da Eq. (16-10) mais três equações com que já estamos familiarizados, ou seja:
ao VxH=J+-~-,ar aB
VxE=
ar '
V· 0= V·
B
(16-10)
=
(11-6) (16-11)
p,
(4-29) (16-12)
O.
(8-30) (16-13)
Cada uma delas representa uma generalização de certas observações experimentais: a Eq. (16-10) representa uma extensão da lei de Ampere; a Eq. (16-11) é a forma diferencial da lei de Faraday da indução eletromagnética; a Eq. (16-12) expressa a lei de Gauss, que por sua vez proveio da lei de Coulomb; a Eq. (16-13) geralmente representa o fato de que pólos magnéticos individuais nunca foram observados. Está claro que as equações de Maxwell represen tam expressões matemáticas de certos resultados experimentais. Sob este ponto de vista, é evidente que elas não podem ser provadas; contudo, a aplicabilidade a qualquer situação pode ser verificada. Como resultado de extenso trabalho experimental, sabemos agora que as equações de Maxwell se aplicam a todas as situações macroscópicas e são usadas, do mesmo modo que a conservação do momentum, como princípios-guia. São as equações fundamentais dos campos eletro-
Energia Eletromagnética
327
magnéticos produzidos pelas densidades de carga-fonte e de corrente, p e J. Se os corpos materiais estiverem presentes, devem~sé, para usar as equações de Maxwell, conhecer também as equaçoes constitutivas aplicáveis - tanto experimentalmente, como por uma teoria microscópica do tipo particular de matéria: D = D(E) e H = H(B). A densidade de corrente J num material inclui uma contribuição dada por uma terceira equação constitutiva, J = J(E), que deve, da mesma forma, ser conhecida experimental ou teoricamente. AcopIado à equação da força, F = q(E + v x B)', que descreve a ação dos campos sobre partículas carregadas, este conjunto de leis fornece a descrição clássica completa das partículas que interagem eletromagneticamente. Acabamos de ver que a corrente de deslocamento introduzida na seção precedente, é necessária paia que haja conservação de carga e que, quando incluída nas ~quações de Maxwell, estas já resultam na equação da continuidade, de forma que a última não necessita ser adicionada ao conjunto de equações fundamentais. As equações de Maxwell possuem, além disso, duas conseqüências interessantes, que desenvolveremos nas seções seguintes. Veremos que também dependem de maneira decisiva da corrente de deslocamento.
16-3 ENERGIA ELETROMAGNÉTICA No Capítulo 6 mostramos que a quantidade
UE
= i 'Vr E·
o dv
(16,14)
pode ser identifica da com a energia potencial eletrostática do sistema de cargas que produzem o campo elétrico. Este foi deduzido, através do cálculo do trabalho realizado ao se estabelecer o campo. De maneira semelhante UM
= ~ 'Vr H' B dv
(16-iS)
foi identificado, no Capítulo 12, com a energia armazenada no campo magnético. A questão da aplicabilidade destas expressões a situações não estáticas surge agora. Se for tomado o produto escalar da Eq. (16-10) com E, e a equação resultante for subtraída do produto escalar da Eq. (16-11) com H, a equação resultante será
H' V x E - E· V x H = -H,
aB
-
ao
- E· ~
ar
- E'
J.
(16-16)
ar
O lado esquerdo da expressão pode ser convertido num divergente, usando-se a identidade
v . (F x G) = G . V x F - F - V x G para obter
aB
V . (E x H) = - H . -ar
ao - E . ~ar
- E . J.
(16-17)
Se o meio ao qual a Eq. (16-17) estiver aplicada for linear e não dispersivo, isto é, se D for
328
Equações
de Mall:well
proporcional a E e B for proporcional a H, * as derivadas temporais da direita poderão ser expressas como ao
a
a
= E . - fE = .lf -
E .-
ar
ar
ar
2
a
= - .lE .
E2
ar
2
o
e
aB
a
a
a
H . -ar = H . ar - !lH = .l!l 2 ar
H2
= -.lH . B. ar
2
Usando esta relação, a Eq. (16-17) tomará a forma a
v . (E
x H)
= -
'
(16-18)
o + B . H) - J . E.
-!(E .
ar
o primeiro termo à direita é a derivada temporal da soma das densidades de energia elétrica e magnética; o segundo termo é em muitos casos, em particular se J == g E, exatamente o negativo da taxa de aquecimento joule por unidade de volume. Integrando sobre um volume fixo V limitado pela superfície S, obtemos r "V
*
V' (E x H)
Um meio
será linear
= -~dr
dv
f y -!(E' 0+
e não dispersivo
B . H)
se B = I1H e D = EE, sendo
J.
r .y
dv -
E
dv.
e E quantidades
11
(16-19)
independen-
tes das variáveis de campo e que não dependem explicitamente do tempo. Urna notável exceção à linearidade ocorre no caso do ferro magnetismo, em que a relação entre a indução magnética e a intensidade magnética depende não somente da intensidade magnética mas também da história passada da amostra. Deve-se, contudo,
E·
observar
que a anisotropia
ôD _ I !!.. (E' ôe - 2 ae
No caso de meios anisotrópicos,
sozinha e
D)
a relação
não invalida
H·
as expressões
=~ ~ (H' B). 2 oe
àB ar
entre E e D pode ser escrita
como
3
'\' L
D= I
') I 0,a _oe
Um argumento
simples
versity termo,
Press, 1938, temos
Se
for um conjunto
[Eij]
baseado
(E'
que
de constantes
1 3 -
o ce
II
= 21 i~lj~1 3
na conservação
p. 277) mostra
)
Vê-se, dessa forma,
D)
Eij
que a anisotropia
=
3
I
= ;=1
3 Ei
sozinha
(ij
( Ei
da energia Eji.
Usando
-a) ôE e
+ àE _,,_' ue E}
).
Crystal Physics, Carnbridge
(Wooster, este resultado
para
substituir
de E e de t, então
independentes 3
(E' D)
(··E· I) r
j= 1
Conseq üen temente
I 3
0,. oe j=l
I
3D
3
(;jEj
não restringe
= ;=1
E; --;;-' ot
a derivação.
3D
= E· -:;-. oe
i ej
Uni-
no último
Energia Eletromagnética
329
Aplicando o teorema ôo divergente no lado esquerdo, obtemos
.{ s E x H . n
= - ~dt
da
t(E' D + B . H)
r 'V
dto - 'V r
J. E dv .
Reescrevendo esta equação:
-I
•
'V
J.
E
dr
= ~t -d
(
L
·V
t(E'
+ B . H)
D
dt:
+ 1'S. E
x H . n da,
(16-20)
toma-se claro que o termo J o E é composto de duas partes: a taxa de variação da energia eletromagnética armazenada em Ve uma integral de superfície. O lado esquerdo da Eq. (16-20) é a potência transferida ao campo eletromagnético através do movimento da carga livre no volume V. Se não existirem fontes de fem em V, o lado esquerdo da Eq. (16-20) será negativo e igual a menos a produção de calor de joule por unidade de tempo. Em certas circunstâncias, contudo, o lado esquerdo da Eq. (16-20) pode ser positivo. Suponhamos que uma partícula carregada q se desloque com velocidade constante v sob a influência combinada de forças mecânicas, elétricas e magnéticas; a taxa segundo a qual a força mecânica realiza trabalho sobre a part ícula é
Fm
• V
= -
+v
q(E
x
B) .
v
= -
qE . v.
Porém, de acordo com a Eq. (7-4), a densidade de corrente é definida por
J
I
=' ~
Nq.v.· l l I'
assim, a taxa segundo a qual trabalho mecânico é realizado (por unidade de volume) é
i
NiF
=-
m • Vi
E . J,
e esta densidade de potência é transferida ao campo eletromagnético. Como a integral de superfície na Eq. (16-20) envolve apenas os campos elétrico e magnético, é possível interpretar este termo como a taxa de energia que flui através da superfície. Assim, a Eq. (16-20) expressa a conservação da energia num volume fixo V. Retomemos à equação diferencial correspondente, Eq. (16-18), que expressa a conservação da energia local, num ponto. Se fizermos as abreviações
S = E x H, u
= t(E
(16-21)
+ B . H),
(16-22)
+ -ot = - J.. . E.
(]6-23)
.D
a Eq. (16-18) implicará que, em qualquer ponto, ou
V .S
Não há dúvida de que J . E é o trabalho realizado pelo campo local sobre partículas carregadas, por unidade de volume. Anteriormente, u foi interpretado como a densidade de energia dos campos elétrico e magnético. Se V • S = O, a Eq. (16-23) expressará, por conseguinte, a conservação da energia local: A taxa de variação da energia do campo iguala a dissipação de potência por unidade de volume em cada ponto. Se, por outro lado, V • S O, porém J . E = O (como, por exemplo, num meio não condutor), teremos
*
ou
V'
que tem, exatamente,
S
a forma matemática
+ -= ot
O.
da equação da continuidade
(16-24) para a carga, Eq.
330
Equações de Maxwell
(16-8), com a exceção de que a densidade de energia u está no lugar da densidade de carga da energia, V • S deverá representar o divergente de uma densidade de corrente de energia ou, em outras palavras, o divergente de uma taxa de fluxo de energia, por unidade de área. Usualmente, trata-se o próprio S'; E x H, conhecido como o vetar de Poynting, como o fluxo de energia local por unidadé de tempo, por unidade de área.* Usaremos esta interpretação de u e S, ainda que reconheçàmos que as equações de Maxwell requeiram diretamente apenas as interpretações de sua derivada temporal e de seu divergente, respectivamente. Seja como for, apenas os últimos são, em geral, fisicamente mensuráveis. De qualquer forma, a Eq. (16-23) expressa a conservação de energiá localmente, assim como o faz a Eq. (16-20) na forma integral. p. Se a Eq. (16-24) ainda descrever a conservação
16-4 EQUAÇÃO DE ONDA Uma das conseqüências mais importantes das equações de Maxwell são as equações da propagação das ondas eietromagnéticas num meio linear. A equação da onda para H é deduzida, tomando-se o ràtacional da Eq. (16-10):
..
ao
VxVxH=VxJ+Vx-~.
at
Fazendo D = €E e J = gE é supondo que g e € sejam constantes, obtemos ..
a
.
V x V x H = gV x E + (. - V x E . . at A ordem da derivação em relaçãb ao tempo e ao espaço poderá ser invertida se E for uma função que sêeomporta suficientemente bem, como supomos ser o caso. A Eq. (16-11) pode ser usada agora para eliminar V x E, dando V x V x H
onde se utilizou g = /lH, sendo
/l
aH
= -
g/l ~ .. ar
a2H -
(/l --
at2
"
(16-25)
uma constante. A identidade vetaria! V x V x = V V . - V2
(16-26)
é agora aplicada para se obter (16-27) Como
/l
é uma constante,
1
V'
H
= ~V
. B
=
O;
11
conseqüentemente, o primeiro termo do lado esquerdo da Eq. (16-27) se anula. A equação de onda final é (16-28)
o vetar E satisfaz a mesma equação de onda, como se vê facilmente ao tomar primeiro o rotaciona! da Eq. (16-11): * Há uma prolongada controvérsia sobre este ponto. Para consulta à obra mais recente, veja W. H. Furry,Am. J. Phys., vol. 37, p. 621 (1969).
Equação de Onda
àB
VxVxE=-Vx-
at .
Usando a Eq. (16-10) para eliminar o campo magnético constantes, obtém-se
e considerando
àE
Vx Vx E= -
gl1
2
a2E (11 --
ot2
-
g,
J.l
e
E
como
a2E
ar -
(11 ot2
Aplicando a identidade vetorial da Eq. (16-26) e restringindo meio de carga livre de forma que V· D = O, dá V E -
331
oE
gl1 --
at
=
O.
.
a aplicação da equação a um
(16-29)
As equações de onda deduzidas regem o campo eletromagnético num meio linear, homogêneo, no qual a densidade de carga é nula quer o meio seja condutor ou não condutor. Contudo, não é suficiente que estas equações sejam satisfeitas; as equações de Maxwell também devem ser satisfeitas. É claro que as Eqs. (16-28) e (16-29) são uma conseqüência necessária da equação de Maxwell, porém a recíproca não é verdadeira. Ao resolver as equações de onda, deve-se tomar especial cuidado para obter as soluções das equações de Maxwell. Um método que funciona muito bem para ondas monocromáticas consiste em obter uma solução para E. O rotacional de E dá, então, a derivada temporal de B que, no caso das ondas monocromáticas, está relacionada de forma suficientemente simples com B, de modo que B pode ser facilmente encontrado. As ondas mono·cromáticas podem ser descritas como ondas caracterizadas por uma única freqüência. Os métodos de análise de variável complexa proporcionam uma maneira conveniente de tratar estas ondas. Considere-se a dependência temporal do campo (para major precisão tomaremos o vetor E) como sendo e -iw t, de forma que E(r,
t)
=
E(r)e-iwt.
(16-30)
Deve ser lembrado que se obtém o campo elétrico-físico ao se tomar a parte real * da Eq. (16-30); além disso, E(r) é, em geral, complexo, de forma a que o campo elétrico real seja proporcional a cos (wt + rp) onde rp é a fase de E(r). Substituindo a Eq. (16-30) na Eq. (16-29) obtemos
(16-31) para a equação que rege a variação espacial do campo elétrico (o fator comum e -iwt pode, naturalmente, ser cancelado). O próximo passo será resolver a Eq. (16-31) em vários casos especiais de interesse para determinar a variação espacial do campo eletromagnético. Isto será tratado no capítulo seguinte; aqui, consideraremos meramente alguns dos casos mais simples possíveis.
* Como expusemos no Capítulo 13, passa-se da descrição matemática conveniente, em termos das variáveis complexas, às quantidades físicas, tomando a parte real ou a imaginária da quantidade complexa. A escolha da parte real ou imaginária é bastante arbitrária. As duas escolhas diferem apenas por um desvio de fase de 11/2; todavia, deve-se faz.er sempre a mesma escolha num dado problema. Neste e nos próximos capítulos, a parte real das quantidades complexas representará as quantidades físicas, a não ser que se indique outra coisa explicitamente.
332
Equações
de !vl3Xwell
Suponhamos, primeiro, que o "meio" seja o espaço vazio, de forma que g = O, t = to, f.1. = f.1.0· Além disso, admitamos que E(r) varie apenas em uma dimensão, digamos a direção z, e seja independente de x e y. Então, a Eq. (16-31) toma-se (16-32) onde escrevemos
como foi sugerido no Capítulo 8 por razões dimensionais; c tem as dimensões de velocidade. Tal equação (equação de Helmholtz) é matematicamente a mesma que a do oscilador harmônico e tem as soluções
onde Eo é um vetor constante, desde que K
Introduzindo
= w/c.
(16-33)
este E(r) na Eq. (16-30), obtemos a solução completa E(r, t)
=
(16-34)
Eoe-i(wt+KZ)
ou, tomando a parte real, E(r, t)
= Eo cos
(wt
=+=
KZ).
(16-35a)
z/c).
(r6-35b)
Com a Eq. (16-33), uma forma equivalente é E(r, t)
= Eo cos
w(t
=+=
que representa uma onda senoidal propagando-se para a direita ou para a esquerda na direção Z (dependendo de que o sinal utilizado seja negativo ou positivo). A velocidade de propagação da onda é c. Se a luz for uma forma de radiação eletromagnética, as equações de Maxwell predirão que c = I/VEof.1.o =2,9979 x 108m/s é a velocidade da luz no vácuo. Ainda que este resultado seja o que antecipamos, quando Maxwell pela primeira vez o anunciou, foi considerado um grande triunfo de sua teoria pois até aquela época a natureza eletromagnética da luz não passava de especulação. A forma da Eq. (16-35a) mostra que a freqüência da onda é f= W/211 e que o comprimento de onda é À = 211/k. Assim, a Eq. (16-33) é o resultado habitual para uma onda, À{=c. Em um dielétrico não magnético, não condutor, ainda temos g = O, f.1. = f.1.o porém agora t = KEo· A derivação precedente conduzir-se-á da mesma forma, do começo ao fim, exceto que agora a Eq. (16-33) se torna K
$,
=
fi
w/c.
(16-33a)
Definindo n = vemos que os resultados são os mesmos que os verificados no vácuo, exceção feita para a velocidade de propagação da onda que é agora c/n ao invés de c. A quantidade n é denominada indice de refração do meio dielétrico; para o vácuo, n = 1. Isto explica os efeitos de refração em materiais transparentes, como se verá mais adiante. Se o meio for condutor,g>O, o terceiro termo na Eq. (16-31) deverá ser retido.
Condições de Contorno
333
o resultado será simplesmente uma onda amortecida, como vereQ.uando g for pequeno, mos no próximo capítulo. Por g pequeno, entendemos que o terceiro termo da Eq. (16-3]) é pequeno comparado com o segundo termo, que leva à solução de onda, ou wgf.1 ~ W2(f.1, g ~ w(. g ~ Wf, podemos desprezar o segundo ao caso unidimensional, obtemos
No outro extremo, quando Novamente, restringindo-nos
d2E(z)
------ + d2z
Poderemos palavras,
tomar
o coeficiente
que a freqüência
.
lwgflE
de E real se admitirmos
seja imaginária.
Então,
/( =
termo
da Eq. (16-31).
= O. que
a = iw
seja real ou, em outras
se
figf.1,
a dependência espacial, E(r), da solução é exatamente a mesma que antes. está no fato de que a dependência temporal da Eq. (16-30) se toma
E(i-.
t)
=
A diferença
E(r)e-".
Isto é, o campo decai exponencialmente com o tempo, ao invés de oscilar de uma maneira ondulatória. A transição entre o decaimento e o comportamento ondulatório ocorre quando
onde te é o tempo de relaxação do material, que foi exposto no Capítulo 7. (Repetimos que será necessário cuidado quando esta condição for aplicada a um metal, uma vez que g/f é, ele próprio, fortemente dependente de w.) Finalmente, retomando à derivação daEq. (16-3]), de volta às equações de Maxwell, da Eq. (16-29) provém da corrente de deslonotamos que o segundo termo, ou a2 Ejat2 camento aDjat da Eq. (16-10), enquanto que O terceiro termo, ou aEjat, da Eq. (16-29)' provém da corrente de transporte, J, da Eq. (16-]0). Assim, a existência perfeita da propagação da onda eletromagnética está sujeita à introdução de Maxwell da corrente de deslocamento.
Sem ela, somente
poderia
ocorrer
o decaimento
exp?nencial
dos campos.
16-5
CONDIÇÕES DE CONTORNO As condições de contorno que devem ser satisfeitas pelos campos elétrico e magnético numa interface entre dois meios são deduzidas das equações de MaxwelL exatamente como no caso estático. A condição de contorno mais direta e universal aplica-se à indução magnética B, que satisfaz a equação de Maxwell V'
B
=
O.
(16-36)
Numa interface entre dois meios pode-se construir uma superfície em forma de caixa de pJlulas como é ilustrado na Fig. 16-2. Pode-se aplicar o teorema do divergente ao divergente de B sobre o volume encerrado por esta superfície, para obter
f 5 B· n da = f 51 B· nj da +
r B· '51
n2 da
+ f 53 B·
n3 da
= O.
(16-37)
334
Equações de Maxwell
Se B for limitado, deixar que h tenda a zero fará com que o último termo se anule e que SI tenda a S2 , geometricamente. Tendo em con ta os sentidos opostos de n1 e n2, concluise rapidamente que (16-38) exatamente
como no caso estático.
Figura 16-2 Uma superfície, em forma de caixa de pílulas. na interface entre dois meios. pode ser usada para obter as condições de contorno dos vetares de campo.
A componente tangencial do campo elétrico pode ser tratada de uma forma igualmente simples. A equação básica é novamente uma das equações de Maxwell V x E
aB
+ --- = ae
o.
(16-39)
A integração desta equação sobre a superfície limitada por uma espira retangular como a mostrada na Fig. 16-3, dá
fs
V x E .
li da = - -sI. aB -' li d,a, ae
(16-40)
e, aplicando o teorema de Stokes ao lado esquerdo da equação, obtém-se
. aB
lEu
-IE2t
+
h1E1n
+
h2E2n
- h1E'ln
- h2E~n
=
(16-41) -I'S ----;;--' li da. oe
Se a espira for agora encolhida, fazendo-se h1 e h2 tender a zero, os quatro últimos termos à esquerda anular-se-ão, bem como o lado direito, com a condição de que aB/at seja limitado. A equação resultante contém I como um fator com~m; suprimindo-o, temos (16-42) Dessa forma, a componente tangencial de E deve ser contínua através da interface. A condição de contorno da componente normal do deslocamento elétrico é mais complexa; todavia, também ela é deduzida de uma das equações de Maxwell. A solução adequada neste caso é
V' D =
p,
(16-43)
Condições de Contorno
335
-I
Figura 16-3 A trajetória retangular, mostrada na interface entre dois meios, pode ser usada para obter condições de contorno dos vetares de campo.
Se construirmos e integrarmos
um volume
em forma
a Eq. (16-43) sobre este volume, r
'Y
Aplicando
de caixa de pllulas,
o teorema
do divergente
V' D
dü
como é ilustrado
na Fig. 16-2,
obteremos
=
r p dv.
-Y
h tender
e fazendo
a zero, encontramos
(16-44) onde
a é a densidade
de carga superficial
introduz alguma complexidade que a carga deve ser conservada,
na interface.
nesta condição isto é, que
O fato de a, em geral, não ser nulo
de contorno;
entretanto,
a observação
de
(16-45) toma
possível
certas simplificações. Se integram10s a caixa de pllulas da mesma
(16-43) e encolhermos
esta equação como fizemos forma, obteremos
com a Eq.
(!(J
J
- J ln
2n
= _Hcc·
(16-46)
Se somente for considerada a radiação monocromática, a densidade de carga superficial deverá variar como e-iwt; por conseguinte, o lado direito da Eq. (16-46) poderá ser escrito como iwa. O uso das relações constitutivas D ==fE, J ==gE coloca as Eqs. (16-44) e (16-46) na forma .
(16-47) glE1n Diversos
casos de interesse
prático
- g2E2n
podem
= iwa.
ser observados.
(I
= (3.
gl
g2
(16-48) Se a for zero, então,
que pode estar correta para materiais apropriadamente escolhidos ou, alternativamente, se são infinitas não é de grande gl = g2 = 0, ou 00. O caso em que ambas as condutividades interesse; todavia, o caso em que as condutividades se anulam se verifica no limite entre dois bons dielétricos, aproximadamente. Se a não for nulo, o que é talvez o caso mais comum, poderá ser eliminado das Eqs. (16-47) e (16-48). O resultado desta eliminação será
({I+i~)Eln-({2+i~)E2n=O.
(16-49)
336
Equações de MaxweU
Um último caso interessante ocorre quando uma condutividade, digamos g2, é infinita. Neste caso, E2n deve anular-se e Eln deve ser igual a a/EI' para que as Eqs. (16-48) e (16-47) sejam satisfeitas. A última condição de contorno é a imposta sobre a componente tangencial da intensidade magnética H. Esta condição de contorno é obtida através da integração da equação de Maxwell ciD (16-50) V x H = -- + J at sobre a área compreendida por uma espira como aquela ilustrada na Fig. 16-3. Se isto for feito e a espira for encolhida como antes, a condição de contorno resultante será (16-51 ) onde i1 é a componente da densidade de corrente superficial perpendicular à direção da componente de H que está sendo confrontada. A idéia de uma densidade de corrente superficial é bastante análoga à de uma densidade de carga superficial - representa uma corrente finita numa camada infinitesimal. A densidade de corrente superficial é nula, a não ser que a condutividade seja infinita; em conseqüência, para condutividade finita,
=
Hlt
(16-52)
HZt·
Isto é, a não ser que o meio tenha condutividade infinita, a componente tangencial de H será contínua. Se a condutividade do meio 2 for infinita, então, como já mostramos, E2n = O. Pode-se obter um resultado mais geral, considerando-se a equação de Maxwell, Eq. (16-50), aplicada ao meio 2: (16-53) Usando as relações constitutivas tém-se
e supondo que
E2
nria
com o tempo como e-iwt,
ob-
1
Ez
= --.--gz
-
V
X
Hz.
ZúHz
(16-54)
Se fizermos a suposição razoável de que Hz é não só limitado, como também derivável, a Eq. (16-54) implicará que E2 seja nulo em um meio de condutividade infinita. Com as mesmas suposições que foram feitas acima, 1
Hz
= ~.~-
V
X
Ez,
(16-55)
lWf.1.z
e a anulação de E2 implica também a anulação de Hz. Se H2 se anular, a condição de contorno sobre a componente tangencial de H em uma interface na qual um meio tiver uma condutividade infinita será (16-56) As condições de contorno foram agora obtidas; para consulta, elas estão listadas na Tabela 16-1 parag=O,g==egarbitrário.
Equação de Onda com Fontes
337
Tabela 16-1 Condições de Contorno 9
Ez, = D2n B2" B1n Bln BZn =DI" DZn =Dn Hz, Hl' H1,=Ú O BZn O Hz, O Bn H, El' = E2' EI' Ez, Dln =E, ÚO ((l+i~)Eln HI' = H2'
16-6 EQUAÇÃO DE ONDA COM FONTES Nas seções anteriores, mostramos que as equações de Maxwell prevêem a propagação de ondas eletromagnéticas através de um meio linear e também que os campos se devem confrontar em uma interface entre dois meios diferentes, de acordo com as condições de contorno apropriadas. Supusemos que a densidade de carga p fosse zero, no meio, e que apenas a densidade de corrente J proviesse da resposta passiva de um meio ôhmico ao campo elétrico da onda. Não averiguamos como estas ondas foram produzidas, mas descobrimos que são fundamentalmente campos produzidos por cargas-fonte distantes que sofrem movimento acelerado. " O problema agora é considerar distribuições prescritas de carga e de corrente, p(r, t) e J(r, t), e encontrar os campos por eles produzidos. Há diversas maneiras de proceder com o problema, sendo que o mais proveitoso é o procedimento do potencial, que é desenvolvido de forma análoga aos procedimentos usados na eletrostática e magnetostática. Como a indução magnética tem divergente nulo, pode ser sempre representada como o rotacional de um potencial vetorial, isto é, B
= V x A.
(16-57)
Usando esta expressão para B na Eq. (16-11), obtém-se V x E
a
+-
at
V x A
=
O.
Supondo-se continuidade suficiente dos campos para trocar as diferenciações espacial, pode-se escrever
. V x [E
at = O. + O.,A]
(16-58) temporal e
(16-59)
O vetar E + aAjat terá, dessa forma, rotacional nulo e poderá ser expresso como o gradiente de um escalar:
cA
E= -Vrp-ai'
(16-60)
As Eqs. (16-57) e (16-60) dão os campos elétrico e magnético em termos de um potencial vetorial A e um potencial escalar <{J. Estes potenciais satisfazem as equações de onda, que são bastante semelhantes àquelas satisfeitas pelos campos. A equação de onda para A é deduzida substituindo-se as expressões dadas nas Eqs. (16-57) e (16- 60) para B e E, na
338
Equações de Max-well
Eq. (16-10) com o resultado
+ (-:;-
- V x V x A
11 1
Escrevendo
V V·
- \12
para
V
-\l2A
x
V
dt à
+ --;;;-= J.
Vcp
at àA]
[
x e multiplicando
+ (J1
02 -
A
11
dá ocp
+V
ot2
por
(16-61)
V·
+ (I1V, ot- = J1J.
A
(16-62)
Até agora somente foi especificado o rotacional de A; a escolha do divergente de A é ainda arbitrária. Está claro, conforme a Eq. (16-62), que impondo a chamada condição de Lorentz, V . A
+
ocp (11 -
ot
=
(16-63)
O,
leva a uma cosiderável simplificação. Se esta condição for satisfeita, A satisfará a equação de onda e2A \12 A -
(J1 --
àt2
= -
I1J.
(16-64)
Além disso, substituindo a Eq. (16-60) na Eq. (16-62), obtém-se
- ( [V . Vcp
+V
• ~
]
=
p.
(16-65)
Trocando a ordem do divergente e da derivada temporal que operam sobre A e usando a condição de Lorentz [Eq. (16-63)], temos \12m 'I'
(fi
à2cp -
,... ot2
=
1 --
(
(16-66)
p.
Assim, pela imposição da condição de Lorentz, ambos os potenciais, escalar e vetoria], são forçados a satisfazer as equações de onda não homogêneas de formas semelhantes. O pmblema de achar a solução geral da equação de onda escalar não homogênea é análogo ao de encontrar a solução geral da equação de Poisson. Neste último caso, recordaremos que a solução geral consiste numa solução particular da equação não homogênea mais uma solução geral da equação homogênea. A inclusão das soluções da equação homogênea proporciona os meios para satisfazer as condições de contorno arbitrárias apropriadas, enquanto que a solução particular assegura que a função total satisfaz a equação não homogênea. Exatamente as mesmas considerações se aplicam à equação de onda não homogênea - a solução geral consiste numa solução particular mais uma solução geral da equação homogênea. Os métodos para encontrar certas soluções da equação homogênea serão tratados no Capítulo 17. Estes métodos podem ser estendidos e suplementados para oferecer soluções, aproximadamente, para qualquer problema solúvel. Métodos aproximados são utilizáveis em problemas que não podem ser resolvidos em termos de funções conhecidas. Falta, então, encontrar a solução particular necessária da equação não homogênea. A equação de onda escalar não homogênea [Eq. (16-66)] se reduz, no caso estático õtp/õt = 0, à equação de Poisson, uma solução particular que conhecemos da Eq. (3-1) (para o vácuo). cp(r)
=147[(0 fv I rp(r') - r' I
dtO
,
(16-67)
Equação de Onda com Fontes
339
A equação de onda vetorial, Eq. (16-64), tem uma solução análoga no caso estático (vácuo), dada pela Eq. (8-61). Infelizmente, não obtemos soluções para o caso dependente do tempo, introduzindo simplesmente p(r', r) e J(r', r) nas soluções estáticas, por razões que ainda veremos. Reescrevamos a Eq. (16-66) para o vácuo, usando 1/..JEi;. = cjn, com o índice de refração n = 1: p
(16-68) esta equação pode ser resolvida mais rapidamente, encontrando-se a solução para uma carga puntual e, após, somando-se todos os elementos de carga pD. L' na distribuição de carga apropriada. A localização mais conveniente para a carga puntual é na origem de coordenadas. Dessa forma, a equação (16-69) deve ser satisfeita em qualquer parte com exceção volume D.v, circundando a origem,
I
. .tu
dr
V"qJ [?
, '2 C'1?2n qJ
da origem,
enquanto
que num pequeno
= - - q(t) (o 1
]
(16-70)
deve ser satisfeita. Admite-se que a função q{t) representa uma suposta carga pumual de magnitude q, localizada na origem, no tempo t, apenas como um artifício matemático para resolver a equação, sem qualquer suposição sobre o local em que uma carga conservada real estaria num instante anterior ou estará num instante posterior. (Ela não representa não é o potencial uma carga puntual em movimento físico e a solução resultante para correto para uma carga puntual em movimento. Esta última é mais complicada e será trade carga que a dependência tada no Capítulo 21.) É evidente da simetria da distribuição espacial de deve ser apenas sobre r. Com este indício, pode-se fazer uma tentativa para resolver a Eq. (16- 69). Como não depende nem do ângulo azimutal, nem da colatitude, a Eq. (16-69) se toma <.p
<.p
<.p
(16-71) Agora,
fazendo qJ(r, t)
a Eq. (16-71)
converte-se
=
!-f0 r '
(16-72)
em (16-73)
Esta equação é a equação de onda unidimensional r - cr ou r + ct. Para verificar isto, seja
que é satisfeita
por qualquer
u =r - ct e sejaf(u)
qualquer
função de u que possa ser derivada
duas vezes; então
função
de
340
Equações de Maxwell
af cr
d1f eu du1 2~
df du'
= df
~~ du cr
-
d1f du-}
(16-74)
e af Ct
df eu du Ct
-c dfdu- ,
(16-75)
Substituindo os resultados das Eqs. (16-74) e (16-75) na Eq. (16-73), verifica-se que qualquer função de (r - ct) que seja derivável duas vezes será uma solução da Eq. (16-73). Um cálculo semelhante constatará que uma função de (r + ct) será uma solução. Assim, I.
= I(r
+
- cr)
y(r
+
(16-76)
o)
é uma solução bastan te arbitrária da Eq. (16-73 ). Veremos que g(r + ct) não ocorrerá em nossas aplicações da equação de onda. Por esta razão, será suprimido e apenas o primeiro termo da Eq. (16-76) será considerado, uma vez que tal procedimento simplifica as equações seguintes e não causa omissões particulares. Deve-se observar que I(r - ct) representa uma onda se afastando da carga-fonte q na origem, enquanro que g(r + ct) representa uma onda se aproximando da carga-fonte desde o infinito. Conservaremos a primeira e suprimiremos a última pelo mesmo motivo que conservaríamos uma solução de onda plana que se propagasse para a direita, se estivéssemos à direita da fonte, e eliminaríamos a que se propagasse para a esquerda. Uma solução esfericamente simétrica da Eq. (16-69), qJ
= Dr -r
(16-77)
cr)
é agora possível; além disso, essa solução contém uma função arbitrária que pode ser escolhida, de forma que a Eq. (16-70) seja também satisfeita. Obtém-se a escolha adequada através da observação de que para uma carga estática o potencial compatível com as Eqs. (16-69) e (16-70) é q qJ
As funções
das Eqs. (16-77)
e (16-78) I(r
podem _
(16-78)
= 47uor
cll
ser combinadas,
= q(r
das Eqs. (16-69)
e (16-70) qJ
(16-79)
- r c) . -+71:(
A solução
escolhendo
o
é, então, ( r, r )~q(r-rc)
(16-80)
.
471:(0 r
Com este resultado,
descobrimos
facilmente 1
qJ(r, r)
= -..
471:(0
onde t' = t - Ir - r'ljc é denominado escalar retardado.
que a Eq. ([6-66) .
p(r'.
I ---,. v Ir -
t')
r I
é satisfeita
por
, dt'.
tempo retardado;
(16-81) como
A solução da Eq. (16-64) pode ser encontrada eXJramente da mesma tores A e J são primeiramente decompostos em componentes retangulares.
o potencial forma. Os veAs três equa-
Equação de Onda com Fontes
ções resultantes
são bastante
análogas 2
V A Cada uma dessas equações do, por exemplo,
pode
- -
são então
]
c2
x
=
combinadas
A(r,
ê2 Ax --. cr2
ser resolvida
AAr, I) Estas componentes
à Eq. (16- 66), sendo a equação
em x, por exemplo, (16-82)
X'
exatamente
como
flo f J x~~~') dl·'. 47! '1' I r - r I
o foi a Eq. (16-66),
dan-
(16-83)
para dar
flo f
t)
= - fl o J
341
= -47!·v
'-'I
J(r', r')
r- r
,
(16-84)
dI',
que é o potencial vetorial retardado. A interpretação física dos potenciais retardados é interessante. As Eqs. (] 6-8]) e (16-84) indicam que num dado ponto r e num dado instante t os potenciais são determinados pela carga e peja corrente que existiam em outros pontos do espaço r' em instantes, t' anteriores. O tempo adequado para cada ponto -fonte é anterior a t por uma quantidade igual ao tempo necessário para ir desde a fonte até o ponto r do campo com velocidade c. Se, por exemplo. um elemento de carga localizado na origem das coordenadas for repentinamente alterado, o efeito desta alteração não será sentido a uma distância r, senão após como uma decorrido um tempo r/c. O efeito da alteração propaga-se aproximadamente frente de onda esférica. (A situação real é mais complicada para uma carga puntual porque a densidade de carga e a densidade de corrente estão intimamente relacionadas por meio de V • J + ap/at = O.) Tendo achado os potenciais escalar e vetorial, encontramos os campos pela aplicação do gradiente a
A'=A...LlÇ,
q/
=
(16-85)
ôt '
estes darão exatamente os mesmos campos E e B quando substituídos nas Eqs. (16-57) e (16-60), seja qual for a função ~ usada, que é completamente arbitrária. Esta mudança para potenciais novos. mas fisicamente equivalentes. é denominada transjonnação de paagora, A' e
t
2 C ç V ( - (fl ..-. ot2 "'2 -
= -
V· A (
.
+ (fl
o
-
01 ) '"
,
como condição para que A', 'P' satisfaçam a condição de Lorentz. Assim, se os potenciais originais satisfizerem a condição de Lorentz, os potenciais novos também o farão, contanto que ~ satisfaça a equação de onda escalar homogênea. Se o potencial original A satisfiainda encontrar novos potenciais que o fazer a condição de Lorentz e
342
Equações de Maxwell
rão, através da escolha de ~ como uma solução da equação de onda escalar não homogênea com C<{J
V' A + EJ.1-~ cr
como termo -fonte. Acabamos de ver como encontrar tal solução. Uma escolha de potenciais que satisfazem a condição de Lorentz é chamada de sistema de Lorenrz. Outras escolhas de sistemas (isto é, outras escolhas de VoA) são úteis em outras circunstâncias. Com o desenvolvimento dos potenciais retardados, o trabalho básico sobre a radiação está completo. Resta aplicar esta matéria à solução de problemas práticos. Este é o objetivo dos próximos cinco capítulos. 16-7 RESUMO Este capítulo contém os fundamentos de toda a teoria eletromagnética clássica. As equações de Maxwell são as equações diferenciais que determinam (juntamente com as condições de contorno para uma situação particular) os campos produzidos pelas fontes de carga e de corrente:
= 0,
V· B
V' D = oD
oB
V x E
+ -;;= O[
Os campos E e B são operacionalmente
V x H - -
0,
p,
= J.
Ot
definidos pela força de Lorentz
F
= q(E + v
x B),
e os campos D e H estão relacionados a eles através das equações constitutivas D = D(E), H = H(B). As equações de Maxwell têm as seguintes conseqüências importantes:
do meio,
1. A carga elétrica é conservada, de acordo com a equação da continuidade V .
J+
op ar
=
o.
2. A energia é conservada, de acordo com eu
V .S
+ -::; -= - J . at
E,
onde a densidade de energia do campo é (em um meio linear) u
= 1(E . D + B . H)
e o fluxo de energia por unidade de área é o vetor de Poynting
S=ExH. 3. A propagação da onda eletromagnética no vácuo, igual à velocidade da luz.
pode ocorrer com a velocidade c = l/~
4. As condições de contorno sobre os campos são determinadas numa interface entre meios diferentes. As componentes tangenciais de E e H são contínuas e as mais importantes.
Pro blemas
343
5. Os campos E e B são deriváveis das funções potenciais: B
= V x A,
E
= - '\
oA f.{J
-
-.:;-
ar
•
6. Os potenciais satisfarão as equações de onda não homogêneas --
I (
p,
- pJ, se a condição de Lorentz V . A
Of.{J
= -
(J.!. -.:;-
cr
for imposta. Estes potenciais determinarão a geração de ondas eletromagnéticas por distribuições de carga prescritas e de correntes. Soluções particulares (no vácuo) são
f.{J(r,
t)
A(r, r)
=1
47[(0'
f
p~', Ir
= po
f ~',
=
J~~ c
4n.
t')
,
- r' I
dr;,
r')
,
Ir _~
dl/,
onde r'
é o tempo retardado.
r -
Daí se chamarem potenciais retardados.
PROBLEMAS 16-1 Um capacitor de placas paralelas, com placas em forma de discos circulares, tem a região entre duas placas preenchida por um dielétrico de permitividade €. O dieléuico é imperfeito, possuindo uma condutividade g. A capacidade do capacitor é C. O capacitor é carregado até uma diferença de potencial 6<{) e isolado. (a) Encontre a carga sobre o capacitor como função do tempo. (b) Encontre a corrente de deslocamento no dielétrico. (c) Encontre o campo magnétiCO no dielétrico. 16-2 O Q de um meio dielétrico é definido como a razão entre a densidade da corrente de deslocamento e a densidade da corrente de condução. Numa propagação de onda monocromática, este reduz-se a Q = W€/g. Determine Q para o quartzo e para o enxofre, nas seguintes freqüências:f= I; 106 ; 10· Hz. 16-3 Duas placas circulares, de raio a, separadas por uma distância d. formam um capacitor ideal: Suponha que ó dielétrico é um isolante perfeito com campo D uniforme (isto é, despreze o efeito do campo nas extremidades das placas). O capacitor está sendo carregado por uma corrente constante. (a) Encontre o campo H num ponto P sobre a superfície cilíndrica do dielétrico. (b) Encontre o módu]0, a direção e o sentido do vetar de Poynting S em P. (c) Integre S • n 'sobre a superfície cilíndrica do dielétrico e demonstre que o resultado é igual à taxa de variação, com o tempo, da energia eletrostática armazenada.
I
16-4 Um fio metálico reto, de condutividade g e área da seção reta A, conduz uma corrente estacionária I. Determine o módulo, a direção e o sentido do vetar de Poynting na superfície do fio. Integre a
344
Equações de Maxwell
componente
normal do vetor de Poynting sobre a superfície do fio para um segmento de comprimento
L e compare seu resultado com o calor de joule produzido neste segmento. 16-5 Suponha que existe, numa certa região, um campo eletrostático e um campo magnetostático. Demonstre que embora o vetor de Poynting possa ser não nulo, a integral de superfície de S • n 'se anula sobre uma superfície fechada arbitrária no interior da região. 16-6 Ê dada a equação de onda unidimensional a2E az2
(;2 E
= (j.J.
(;e2"
onde E é o módulo do vetor campo elétrico. Suponha que E tem uma direção constante, ou seja, a direção y. Introduzindo a mudança de variáveis, ç = t + ~z,
'1=e-~z, demonstre que a equação de onda assume uma forma que é facilmente integrada. Integre a equação para obter
onde E, e E, são funções arbitrárias. 16-7 Ê dada a onda eletromagnética E
= iEo
cos w(~
z - t)
+ jEo
sen w(~
z - t),
onde E o é uma constante. Encontre o campo magnético B correspondente
e o vetar de Poynting.
* 16-8 Partindo de uma expressão para a força por unidade de volume sobre uma região do espaço livre que contém cargas e correntes:
e usando as equações de Maxwell e a identidade vetoria] da Eq. (14-24), demonstre que
a Fv
= -
+ -
(A quantidade
EO
1
(o ae " (E x B)
+ (oE
1
V . E - 2- (o V
1
(E2)
+ (o(E
. V)E
I
B V . B - V (82) + - (B . V)B. Po 2j.J.o Po E X B é chamada, às vezes, de densidade de momentum do campo eletromagnético.)
16-9 É dada uma onda plana caracterizada por um Ex, By propagando-se no sentido positivo de z, E
= iEo
sin 2,7r (z - ce). A.
Demonstre que é possível tomar o potencial escalar que satisfaça a condição de Lorentz.
=
° e encontre
um potencial vetorial A possível,
16-10 Demonstre que no espaço livre com p = O, J = O, as equações de Maxwell são obtidas corretamente a partir de uma só função vetorial A que satisfaz I
V· A O sistema no qual V • A'=
° é chamado
=
0,
a2A
V2A - c"2 '7T ot
=
O.
de siseema de Coulomb.
16-11 Demonstre que um sistema conveniente pode ser encolhido em um meio condutor linear de forma que A e
Problemas
te, a partir de uma única função
vetorial Z (vetor de Hertz),
345
onde Z satisfaz. a equação
p e
E
=,
x, x Z
dada.
função
vetorial
Demonstre
p,
(o
16-13 É dado um meio no qual p=O, função
1
-
J=O,
que as equações
E=Eo,
Y, onde Y satisfaz. a equação
"
\7-'1:
porém
onde
de Maxwel1 são obtidas,
-
I ê2y
-,
-:;--,
-
c- cr-
M(x,y,z,t)
a magnetização corretamente,
é uma
a partir de uma única
Po\1
e onde B
16-14 Demonstre
=
que as equações
vre de cargas, podem
ser satisfeitas,
V x V x
y,
E
= _,
x êY êl'
de Maxwell para um meio isotrópieo, tomando
homogêneo,
.••e
1.EB = parte real de V V x V V x (Fa), et de -, V x (Fa), de (P (Ir 2. v x (Fa), ou eê
onde a é um vetor unitário
constante
e F satisfaz a equação
de onda escalar.
não condutor,
li-
CAPÍTULO 17 ""
PROPAGAÇAO ...DE ONDAS ELETRO MAGNETICAS As equações de Maxwell têm algumas soluções especiais que descrevem as ondas eletromagnéticas, como vimos ao derivar a equação da onda das equações de Maxwell. Examinaremos agora estas soluções detalhadamente, a começar pela consideração da propagação de ondas através de um meio linear, que idealizaremos como sendo infinito quanto à extensão. Deixaremos, para capítulos posteriores, o estudo das causas da geração das ondas e veremos, em primeiro lugar, como elas penetram no meio. Os resultados são aplicáveis a ondas de rádio, microondas, radiação térmica, luz, raios X etc. (apesar de efeitos de mecânica quântica também serem importantes em freqüências mais elevadas). 17-1 ONDAS PLANAS MONOCROMÁTICAS
EM MEIOS NÃO CONDUTORES As soluções da Eq. (16-31) mais facilmente tratadas são aquelas conhecidas como soluções da onda plana. Uma onda plana é definida como uma onda cuja fase é a mesma, num dado instante, em todos os pontos em cada plano perpendicular a alguma direção especificada. Se, por exemplo, a direção especificada for a direção z, E deverá ter a mesma fase em todos os pontos que tiverem o mesmo valor z, isto é, em todos os pontos de um plano paralelo ao plano xy. Dessa forma, a solução (16-34), que já foi estudada, é uma solução de onda plana, uma vez que (wt - KZ) é uma constante para tez dados, não importando os valores de x e y. Ondas planas propagando-se na direção z são adequadas para problemas em que a escolha da direção z é arbitrária: todavia, em muitos problemas é escolhido um sistema de eixos por outras razões, por exemplo, por causa das condições de contorno. Aí, é necessário construir ondas planas com direções de propagação arbitrárias. Suponhamos que se elabore uma solução de onda plana, com direção de propagação u, onde u é um vetar unitário. Então, a variável z do expoente deve ser substituída por u • r, projeção de r na direção de u. Dessa forma, uma onda plana com direção de propagação u,é descrita por . -i(wr-,I(u'r) e . Definimos um vetar, denominado
vetar de propagação, como K
=
KU
e escrevemos a dependência exponencial do espaço e do tempo da onda plana como e-i(wt-
346
".
r)
Ondas Planas Monocromáticas
em Meios Não Condutores
347
li •
r = z como no caso especial; porém, em toSe u = k, vetor unitário na direção z, então dos os casos o com primen to de on da À = 21f I K. A velocidade de propagação de uma onda monocromática plana é precisamente a velocidade com a qual se movem planos de fase constante. Fase constante significa, naturalmente, que K • r -
Se K • r for escrito (17-1) tomar-se-á
onde
K~,
K
WI
é o módulo
em relação
ao tempo,
t"p
o resultado
= dt
da Eq. (16-33a), t"p
=
wl
=
de r na direção K, a Eq.
(constante)
obtemos de;,
onde usamos
(17-1)
(constante)
de K e ~ é a projeção
KÇ, -
Derivando
=
C
=
K
c
K
n
(17-2)
= nwlc. No espaço livre
= 2,9979 x 10 8 m I s .
1 ----==-=
.J
W
Para obter, agora. as soluções detalhadas da onda plana para E e B, poderíamos voltar à Eq. (16-31), porém é efetivamente melhor retomar às próprias equações de Maxwell. Não há carga prescrita ou distribuições de corrente no meio e a condutividade g = O, assim as equações são
v·
D=O,
(17-3)
V· B=O,
(17-4)
v x E = _êB
(17-5)
v x H = cD
(17-6)
ai '
at .
Já conhecemos, através de nosso estudo anterior da equação pacial e temporal esperadas numa onda plana; assim, iremos forma E(r, t)
= Êe-ilwr-K'r)
da onda, as dependências essupor que os campos têm a
(17-7)
etc.,
onde "f é uma amplitude vetorial constante, complexa, da onda plana e iremos substituir as soluções supostas nas equações de Max.welL Eqs. (17-3) a (17 -6). Esta substituição imporá condições que as constantes supostas K, Ê etc. terão de satisfazer para que as funções de onda planas sejam realmente soluções das equações de Maxwell. Derivando uma função da forma Êe -iw t em relação a t, vemos que o operador a/at é
a
ar para
uma
função
desta
forma
particular.
= -iw Da mesma
maneira,
encontrar-se-á
(Problema
348
Propagaç:i:o de Ondas Eletromagnéticas
17-1) que, para urna função da forma Êe-il< • r, V
=
O
operador V é
iK.
Assim, as equações de Maxwell tornam-se ondas planas (após se cancelar i e a exponencial) K' Ô=O, (17 -8) K' B=O, K X K
(17 -9)
Ê = wB,
(17-10)
-wÔ.
x H=
(17-11)
Se supusermos que o meio é linear, as equações constitutivas
serão
Ô = tÊ, _ 1-
(17-12)
H=-B.
(17-13)
J1
Suporemos também que o meio é homogêneo e isotrópico, de forma que E e J1 são escalares constantes. Todas as nossas aplicações serão em meios não magnéticos;* assim, para simplificar, admitiremos que J1 = 110' Recordando que E = KEo e EoJ1o = 1/c2 , obtemos as equações de Maxwell na forma KK'
Ê=
(17-14)
O,
1(' B=O, K X
Ê = wB, -
K X
(17-15)
W
B= -2c
(17-16) A
(17-17)
KE.
Se considerarmos W urna freqüência dada e K um material dado constante, deveremos procurar satisfazer este conjunto de equações vetoriais algébricas através de escolhas adequadas de K, Ê e B. Primeiro, se supusermos que K =1=O, veremos que K' Ê = O; invariavelmente, I( B= O. Isto é, ambos, E e B devem ser perpendiculares a K. Tal onda é denominada transversal. (O caso K = O é realmente possível e não trivial, porém adiaremos seu estudo.) Além disso, corno B é proporcional a K x Ê, E e B são também perpendiculares um ao outro. Os vetores K, E, B (nesta ordem) formam um conjunto ortogonal dextrogiro. O módulo relativo de Ê e B é também determinado pela Eq. (17-16), Ê = (K/W)Ê. Finalmente, encontramos o módulo de K, tornando o produto vetorial de I( com a Eq. (17-16) e usando K x B da Eq. (17-17): o
K
x
(I(
x Ê)
= Wl(
x B
=-
K(W/C)2Ê.
Com a identidade vetorial
Os únicos meios para os quais /J difere apreciavelmente de /Jo em baixas freqüências são os fer* romagnéticos, que n:i:o são de qualquer modo lineares. Para freqüências óticas, p ~ Po para todos os materiais. Não consideramos a ressonância paramagnética. observável nas freqüências de raio e microondas em circunstâncias especiais.
Ondas Planas Monocromáticas em Meios Não Condutores
como K • Ê =
O
para a onda transversal,
-K(w/c?Ê ou
= _"lÊ,
fi
,,=
w/c.
(17-18)
Esta relação, denominada relação de dispersão transversal, determina o módulo de onda K em termos dos w e K supostos. Recapitulando: uma onda transversal monocromática plana, propagando-se do de u positivo, é descrita por
E(r,
t)
= Êe-i(WI-"'r),
B(r,
t)
= Be-i(wr-"'r),
de K é determinado,
w, pelo índice
nwjc,
A amplitude
de refração
do
(17-20)
como
n=JK. Então,
no senti-
(17-19)
para uma dada freqüência
"= onde n é definido
arbitrários.
Ê =0.
u·
do vetor
(17-7)
onde K = KU. O sentido de li e a freqüência w são completamente Ê é arbitrária, com a ressalva de que deve ser perpendicular a u:
O módulo material:
349
B está completamente
determinado _
(17-21)
em módulo, n
B=-uxE. c
direção
e sentido:
(17-22)
Observemos que no vácuo (n = 1), cÊ = Ê em unidade MKS. * A velocidade de fase da one da é c/n. Com estes resultados é possível estudar alguns problemas óticos importantes extremameme interessantes, mas que serão deixados para o próximo capítulo. A pesar das soluções de onda plana serem apenas uma classe restrita de soluções das equações de Maxwell, são muito importantes uma vez que formam a base de uma classe muito maior de soluções. Como as equações são lineares, uma combinação linear de soluções (superposição de ondas planas) é também uma solução. Dessa forma, podemos formar outras soluções tomando as somas de ondas planas. (17-23) onde cada coeficiente Ê depende de K í e wí- Esta superposição de ondas planas tem a forma de uma série de Fourier (complexa) e, portanto, poderia representar qualquer solução que fosse periódica - não necessariamente senoidal. Cada termo da série teria de satisfazer as condições das Eqs. (17-14) a (17-17) separadamente. Para uma solução ainda que
* Em unidades gaussianas, de acordo com o exposto no Capítulo 8, substituímos B por B/c, de forma que B = E. Isto é. os campos E e B têm módulos iguais para uma onda plana no vácuo.
350
Propagação de Ondas Eletromagnéticas
não periódica, a soma da Eq. (17-23) pode ser convertida numa integral - a integral de Fourier - sendo ~(K, w) uma função contínua de K e w. A função ~(K, w) é chamada de transformada de Fourier de E(r, t). Neste caso, também teríamos de considerar a possibilidade de n depender de K bem como de w,
=
11
11(/(,
w).
Este efeito, conhecido como dispersão, será exposto no Capítulo 19. 17-2
POLARIZAÇÃO
Há mais a dizer sobre as amplitudes vetoriais complexas ~ e B. De fato, ainda não afirmamos explicitamente o que entendemos por vetar complexo. Dois significados óbvios sugerem o que realmente são: uma quantidade complexa cujas partes real e imaginária são vetores reais, ~
==
Er
+ iEi;
ou um vetor cujas componentes (em relação a vetores-base reais) são escalares complexos, E = ÊpP + Ê/; + Êuu. Usaremos o acento circunflexo para quantidades complexas, quando for necessário distingui-Ias; na segunda forma, p, s, u constituem um conjunto dextrogiro de vetares unitários ortogonais reais. Ao escrever a primeira forma em termos de componentes e a segunda em termos de partes real e imaginária, vê-se facilmente que as duas formulações são equivalentes, contanto que Dentro de nossos objetivos, a segunda forma é mais conveniente. Tomamos u como sendo o sentido de propagação da onda plana, de modo que Êu == O de acordo com o resultado u • Ê == O da Eq. (17-19), porém Êp e Ês são arbitrários, (17-24)
o vetar unitário p pode ser considerado em qualquer direção perpendicular a u; no próximo capítulo faremos uma escolha especial que explicará a notação particular aqui introduzida. É também mais conveniente expressar as componentes do que em termos de partes real e imaginária. Sejam ÊP
=
complexas na forma polar
E P el<1>p •
(17-25)
Então, por exemplo,
isto é,
1>8
é a fase da componente
do campo E na direção s. Não há restrição a fazer r/>p
uma vez que lha,
1>5
==
-
O, isto simplesmente
r/>s
=
r/>.
r/>s
= 0,
dita certa escolha da origem de
t. Com
esta esco-
Polarização
351
ou a parte real é E(r, r)
o campo
=
E é decomposto
Epp cos (wr - K • r - 4;)
em componentes
+
EsS cos (wr -
K •
r).
(17-26)
em duas direções, com amplitudes reais Ep e
E., que podem ter quaisquer valores. Além disso, as duas componentes podem estar oscilando fora de fase por
=
(Epp
+
Ess)
cos wt.
O campo E decresce alternadamente de YEp2 +E2,• através de zero, até - yE2D + E2S e re· toma ao valor original, apontando sempre ao longo do sentid0cleBpp + E.s. Este caso é denominado polarização linear* e é ilustrado na Fig. 17-1. Se Ep = ou Es = 0, teremos também polarização linear; então
°
E(O,
t)
= (-
Epp
+
EsS)
cos wt,
Figura 17-1 Traçado da ponta da seta do vetar E num dado ponto do espaço como função do tempo. O sentido de propagação u está dirigido para nós. Os traços para cp = O e 1f estão linearmente polarizados. O traço para cp = 1f/2 está eliptieamente polarizado, dextrogiro; para cp = -1r/2 (levogiro) ele gira no sentido oposto.
temos novamente polarização linear, como é mostrado na Fig. 17-1. Para E(O, t)
= Epp
sen wt
+ EsS
q;
= n/2,
cos wt.
A seta do vetar E traça um percurso elíptico em sentido horário como é mostrado. Este
* O uso aqui do termo "polarização" nada tem a ver com aquele introduzido no Capítulo 4. Infelizmente, a mesma palavra é usada por convenção, mas, em geral, não causa confusão pois um termo se aplica a uma onda e o outro. a um meio.
352
Propagação de Ondas Eletromagnéticas
caso é chamado de polarização ehptica à direita. * Para
= ~ li c
X Ê.
(17-22)
Tomando o produto escalar desta equação com Ê, e permutando tramos
o ponto e a cruz, encon-
Em geral, a anulação do produto escalar de dois vetores complexos não signific:l41le suas partes reais sejam perpendiculares mas, neste caso, o são. Da Eq. (17-26), esérevendo E(O, t) = E, temos para a parte real E
=
Epp
cos (wt -
ep)
+ E"s
wt.
(17-27)
cos wt].
(17-28)
COS
Da parte real de B(O, t) = B = Be-iwt com a Eq. (17-22), B
=
(n/c)[E?
cos (wt -
ep) -
Esp
Como o produto escalar das Eqs. (17 -28) e (17-27) é nulo, os vetores E e B reais são perpendiculares em cada instante. Também Re Ê = E(O, O), Re B = B(O, O), de forma que as partes reais de Ê e B são perpendiculares. O traçado da seta do vetar B é igual à Fig. 17-1 girada de 90° no sentido anti-horário. Como os eixos p e s foram escolhidos arbitrariamente no plano perpendicular a li, qualquer outra escolha poderia ser feita. Uma nova escolha giraria os eixos coordenados na Fig. 17-1 e introduziria novos valores de Ep, Es e
= 1(E . D + B .
H),
(17-29)
* ~ bastante inconveniente o fato de não se aplicar aqui a "regra da mão direita", porém esta é a convenção.
Densidade e Fluxos de Energia
S=E
H
X
353
(17.30)
para a densidade de energia e fluxo de energia por unidade de área, contudo, são não lineares nos campos. Portanto, nestas expressões, é essencial tomar as partes reais dos cam· pos antes de multiplicá-Ias entre si. [Veja o Problema (17·6).] Podemos calcular novamente valores representativos em r = O, uma vez que a origem é arbitrária. Elevando as Eqs .. (17 -27) e (17 -28) ao quadrado, obtemos
+ E;
E2
=
B2
= (n/c)2E2 = El1oE2.
(wt -
E~ cos2
cp)
cos2 wt,
(17 -31) (17-32)
Como D = fE, B = J.LoH, vemos que os campos elétrico e magnético proporcionam buições iguais à densidade de energia
contri-
B'H=D'E, (17-33) U=EE
2
=110 ~ E.2 1 (n)2
Além disso, E X H = EHu, de forma que o vetor de Poyntíng se dirige no sentido da propagação, com módulo
s=~ ~ e.
(17-34)
c
110
As expressões para a densidade de energia e fluxo de energia por unidade de área assumiram formas especialmente simples para ondas planas. Além disso, as duas expressões podem ser combinadas para dar um resultado interessante, que é independente do valor particular do campo E:
c
S = - u.
(17-35)
n
Se expressarmos a velocidade de fase da onda plana por um vetar, no sentido da propagação, de módulo c
=~,
v
n
P
então
S = uVP' Esta equação é análoga à relação J =pv, que define a densidade de corrente elétrica de convecção. Esta analogia reforça a interpretação de S como uma densidade de corrente energética, isto é, uma densidade de energia u que é transportada com a velocidade de fase vp da onda plana. A dependência temporal de U e S é dada por E2 , a partir da Eq. (17-31), e depende da polarização da onda. Para polarização circular (q; = ±1f/2) E2
= E2P
sen2
wt
+ E2P
é constante no tempo, para polarização linear
(cp
cos2
= O, 1T)
wt
= E2P
354
Propagação de Ondas Eletromagnéticas
=
E2
+ E;)
(E;
cos2
wt
varia entre zero e um máximo no dobro da freqüência da onda. Naturalmente, E2 será sempre positivo. A dependência temporal em altas freqüências não é, todavia, mensurável Como a média tempoe assim o que é de maior interesse é a média temporal de ral sobre um período de cos2 (wt - r/J)é --}, para qualquer polarização
&.
E2
= !(E; + E;).
(17-36)
Este e resultados semelhantes podem ser obtidos mais rapidamente usando um teorema que foi introduzido no Capítulo 13 mas não foi provado; daremos agora a prova. Se t==toeiwt e g == goeiwt, onde to e go podem depender de outras variáveis mas não do tempo, temos RefRe
=! Ref*g·
9
(17-37)
A barra indica a média sobre o tempo. Para provar esta relação, seja to = u Então
+ iv e go = ~ +
i17.
Re
f Re 9 = (u COS úJt -
v sen úJt)(ç cos úJt -
'1 sen úJt),
(17-38)
enquanto
= uç + v'1.
Re f*g
(17 -39)
As integrais seguintes são facilmente verificadas:
1
J
lim -T Jo sen2 úJt dt T-oo
= ~,
1 .T lim - I cos2 úJt dt T-oo T 'o
= !,
1J lim -, T-oo T"o
sen úJt cos úJt dt
=
O.
Por meio destas integrais, é fácil ver que a média temporal da Eq. (17 -38) é Re
f Re
9
=
-!-(uç
+ V'1)-
(17-40)
A comparação das Eqs. (17-40) e (17-39) prova o teorema da Eq. (17-37), o qual se aplica ao produto de duas quantidades complexas quaisquer que dependam harmonicamente de t, com a mesma freqüência, mas que não possuam necessariamente a mesma fase. Se as quantidades forem vetores, o produto poderá ser tanto escalar, como vetorial. É fácil verificar que a expressão (17-36) é imediatamente obtida ao se introduzir o E complexo da Eq. (17-26) em E2
=
!
Re (E* . E).
17-4 ONDAS PLANAS MONO CROMÁTICAS EM MEIOS CONDUTORES Podemos obter, em um meio condutor, soluções da onda plana que são bastante semelhantes, na forma, às da Seção 17-1, apesar de fisicamente apresentarem comportamentos significativamente mais complicados. Suporemos ainda que não haja carga prescrita,
I Ondas Planas Monocromáticas em Meios Condutores
I
I
355
nem distribuições de corrente, porém agora pode haver uma densidade de corrente induzida em resposta ao campo E da onda, J = gE. Nosso ponto de partida é o mesmo que para um meio não condutor, com a única exceção que, ao invés da Eq. (17-6), temos
aD
= at ;;- + gE.
V x H
I
Fazendo as mesmas suposições e substituições de antes, chegamos a
KxH=-wÍ>-igÊ ao invés da Eq. (17-11). Ainda, como anteriormente, K XB _
isto se toma
= -2 w ( K + c
i (oWg ..)_E.
Agora, para reduzir o caso presente ao anterior, até onde for possível, vamos definir uma constante dielétrica complexa K- = K
+/-. g (oW'
(17-41)
assim, a Eq. (17-17) toma-se K X
Então, se novamente supusermos que X resultará em K
_ B
w
= -.,c-
cF
•• K E.
O e K' Ê
= ~K
w/c
=
= O, a relação de dispersão transversal
nw/c,
(17-42)
onde definimos um (ndice de refração complexo, n, por n1
= lê.
(17-43)
Para satisfazer a Eq. (17-42) temos de supor que K, ou w, seja uma quantidade complexa em um meio condutor. No último capítulo, discutimos brevemente o caso de um w complexo. As soluções que serão de maior interesse nos capítulos seguintes resultam da suposição de que w é real e K é complexo, devendo ser escrito como K. Estas soluções provarão ser oscilantes no tempo (não amortecidas); porém atenuadas no espaço. Todos os resultados da Seção 17-1 serão válidos, formalmente, se K, n, K e u forem substituídos por X, n, K e li. A única questão que se proporia seria a seguinte: o que eles significam fisicamente? Para interpretar as soluções com o vetor de propagação complexo K, é útil expressá-Ia como (17-44) (em contraste com a representação adotada para a amplitude vetorial complexa Ê). Introduzindo o complexo K na solução (17 -7), encontramos
I i I
E(r, t)
= (Êe-
"'. r)e-i(wt-"'.
rI,
B(r, t) = (Be- Ki' r)e-i(wt- "'. rl. Esta é uma onda plana propagando-se no sentido Kn com comprimento de onda 11.=21f!Kr; porém, ao invés de ter uma amplitude constante, decresce em amplitude, mais rapidamen-
356
Propagação de Ondas Eletromagnéticas
te no sentido Ki' As superfícies de fase constante são planos perpendiculares à direção de propagação Kr' Existem também superfícies de amplitude constante que são planos perpendiculares a K i. O escalar K a ser usado na relação de dispersão R = nw/c é
',_~'
/( - V K
_ !~::..-/(,2 + _lK, )'
K - V /(r
.-
Ki•
Escrevemos ir
= n + ik,
(17-45)
onde n e k são chamados de constantes óticas, para investigar a velocidade de fase e o comprimento de atenuação da onda. Vamos supor, de início, que Kr e Ki tenham o mesmo sentido. (Esta é uma suposição restritiva, que falha ao ser aplicada a alguns casos importantes que serao expostos no próximo capítulo, mas que também pode ser aplicável, notadamente no caso da onda que penetra no meio condutor com incidência normal a um contorno plano.) Podemos então escrever
onde u é o vetar unitário real no sentido comum de Kr e Ki' Uma vez que ções
li é real,
as equa-
ainda significam que a onda tem seus vetares E e B perpendiculares à direção de propagação de u. A Eq. (17-22) torna-se, todavia,
,n ' = - u x E.
B
(17-46)
c
O complexo ri significa que E e B não estão em fase um com o outro. Significa também que os vetares E e B reais não são perpendiculares um ao outro, exceto na polarização linear (Problema 17-9). Em termos do índice de refração complexo n
=
n
+
ik,
temos /(j
=
kw/c.
(17-47)
Fazendo u . r = ~, obtemos para o campo E neste caso especial E(r.
t)
= (Êe-kwS!C)e-iwU-nS!C).
A onda propaga-se com velocidade de fase c/n e constante de atenuação kw/c. Tal quantidade determina quão rapidamente a amplitude do campo oscilante decai com a distância. Seu recíproco 6
= c;kw,
(17-48)
denominado profundidade de atenuação, mede a distância na qual o campo cai até l/e de. seu valor num ponto dado (quer dizer, numa superfície onde a onda penetra no meio):Para um meio não condutor (k = O) esta distância era infinita. Como o comprimento de onda no meio é À = 2rrc/nw (= l/rz vezes o comprimento de onda no vácuo, na mesma fie: qüência), podemos expressar a profundidade de atenuação
Ondas Planas Monocromáticas
b=n I:.
em Meios Condutores
A 217
357
(17-49)
Num material onde k é comparável, em magnitude, a n, a "onda" decai de aproximadamente um comprimento de onda; porém, se k <{ n, como em um di elétrico imperfeito com uma condutividade pequena, a onda se propagará por muitos comprimentos de onda sem perdas apreciáveis. Neste caso, o material é transparente. Quando Kr e Ki tiverem direções diferentes, o vetar unitário li deverá ser considerado complexo. Nesse caso, os campos reais E e B não precisam ser perpendiculares a Kr (nem a Ki), apesar de a onda ser ainda denominada "transversal" se fê O, li • Ê = 0= li • B. O comprimento de onda e a atenuação ainda dependerão das constantes n e k do material, mas de uma forma muito mais complicada do que a Eq. (17-47). As relações de polarização e energia podem ser generalizadas, com o devido cuidado, para quantidades complexas. Contudo, não temos necessidade desses resultados gerais. Como a propagação de onda é determinada pelas constantes óticas n e k, é importante investigar sua relação com as quantidades K e g, por meio das quais as propriedades do material foram originalmente exploradas. As definições -=F
Í1
= + il:..
(17-45)
11
9
K=K+i
(17-41)
estão relacionadas por
(17-43) Esta relação parece ser enganosamente simples; quando é expressa em termos das quanti. dades reais n, k e K,g, se toma razoavelmente complicada. Escrevemos*
onde
K, = K, Elevando (n obtemos
(17-50)
+ ik) ao quadrado e equacionando as partes real e imaginária na Eq. (17-43),
Ki
=
(17-51)
211k.
Estas equações podem ser resolvidas para n e k: 11
I:.
\I I
i
= ~~! 2 = )1[_ K r+"i
+-Kt], /K2 r+
Kl],.
(17-52)
Escolhemos raízes quadradas positivas de forma a que arnbosn e k sejam sempre reais e positivos, como exigido por suas definições. Cumpre observar que K i =g/Eo W é inerentemente
Notações mais comuns são k = Kl + iKz ou k = K' + iK'; porém desejamos reservar os índices * numéricos e as linhas para outros fins no próximo capítulo.
J
358
Propagação de Ondas Eletromagnéticas
positivo, uma vez queg é positivo: a dissipação de energia J •E =gE2 num meio positivo deve ser positiva; Ki representa sempre uma perda de energia. Por outro lado, Kr = K poderiam ser, e realmente são, positivos ou negativos. Em meios não condutores e em campos estáticos, é positivo e maior que 1, porém em campos altemantes nos metais pode ser menor que 1, zero ou negativo. Exemplos específicos podem ser encontrados no Capítulo 19; por enquanto, simplesmente consideraremos K e g como dados, reconhecendo que, em qualquer material, eles podem depender da freqüência w. As equações acima são exatas, porém complicadas; conseqüentemente, convém examinar certas aproximações. Freqüentemente, uma ou outra das aproximações seguintes é válida.
1. Ki~
IKrl,Kr>O(W~~):
n~JK;, 2.
Ki ~ I Kr I,
Kr
~
!
= Kj2n ~ n.
(17-53)
f ):
k~vI-K" 3.
k
n
= Kj2k
~ k.
(17-54)
Ki ~ I Kr I, (w ~ I~I): n~k~vlKj2.
(17-55)
Por exemplo, (1) aplica.se a um bom iS(jtante a freqüências bastante baixas, essencialmente c.c. (exatamente c.c. para um isolante perfeito com g = O) e dá n = ..JK como em um meio não condutor. A aproximação (2) aplica-se a metais na parte superior do infravermelho do espectro de freqüências, enquanto que (3) se aplica a metais nas freqüências de microondas e menores. A freqüência divisora entre os últimos dois casos é w"'" l/T, onde T é o tempo de colisão para os elétrons livres. Em metais puros a temperatura ambiente l/r = 1014 S-l . O caso (3) aplica-se geralmente onde a profundidade de atenuação é importante ém problemas elétricos. A Eq. (17-49) mostra que a "onda" é muito intensamente atenuada em termos de comprimento de onda. Em termos de distância absoluta, a Eq. (17-48) torna-se, neste caso (17-56) Quando w se aproxima de zero, o se toma infinito, concordando com nosso resultado anterior, isto é, que o campo E e a densidade de corrente são uniformes num condutor (não num supercondutor*) para c.c. e também essencialmente para corrente de 60 Hz. Em freqüências mais elevadas, ó toma-se, contudo, bastante pequeno dentro do intervalo de validade da Eq. (17-56).
* A profundidade Capítulo 15.
de atenuação não tem relação com a profundidade
de penetração discutida
Ondas Esféricas
359
A prata fina, por exemplo, tem uma condutividade g=3x107S/m*
em freqüências de microondas. Numa freqüência de 1010Hz, que é uma região de microondas comum, a profundidade de atenuação é (j
= I
2 ~~~._-~.~~
(211'
x 101°)(3 x
107)(411'
x 10-7)
= 9,2 x
10 -5 em.
.
Dessa forma, em freqüências de microondas, a profundidade de atenuação na prata é muito pequena e, conseqüentemente, espera-se que seja desprezível a diferença no desempenho entre um componente de prata pura e um componente de latão prateado. Isto é realmente o que ocorre e se utiliza a técnica de galvanoplastia pára reduzir o custo dos com· ponentes de alta qualidade do guia de ondas . . Como um segundo exemplo, calcularemos agora a freqüência na qual a profundidade de atenuação na água do mar seja de um metro. Para a água do mar, f..l = f..lo e g """4,3 Sim. A expressão para a freqüência correspondente a uma profundidade de atenuação S, dada, é 2 ___ 2 _ 1 _ 3,70 X 105 _ 1 W=-~"'4,3 x 411' x 10-7 (j2 S - --[/-s , g}1o (j2 de que resulta
f=
58,6
X
103 Hz,
ou uma freqüência de 60 kHz para uma profundidade de atenuação de um metro. Se uni submarino for equipado com um receptor muito sensível e se for usado um transmissor muito potente, será possível a comunicação com um submarino submerso. Todavia, deverá ser usada uma radiofreqüência muito baixa e mesmo assim ocorrerá uma atenuação de sinal extremamente rigorosa. A cinco profundidades de atenuação (5 m no caso calculado acima) permanece apenas 1% do campo elétrico inicial e apenas 0,01% da potência incidente.
k
O caso anômalo = O, que até agora tínhamos excluído, possibilita a existência de uma onda longitudinal, como oposta a uma onda transversal (Problema 17-14). Nesta onda VoE '* O (ainda que V o D = O), de forma qUe a densidade de carga de polarização não se anula como no caso da onda transversal; somente uma densidade de carga pode originar um campo longitudinal. Estas ondas são de alguma importância em plasmas; a oscilação discutida na Seção 14-6 é um exemplo.
* 17-5 ONDAS ESFÉRICAS Como exemplo de um problema ondulatório mais difícil, onde de fato não é fácil encontrar as ondas elementares, consideraremos a equação de onda em coordenadas esféricas. A equação de onda para o campo elétrico no vácuo é V2E - -
1
iJ2E
c2 at2
= O.
(17-57)
* Um siemens (S) é o recíproco de um ohm, é uma unidade de condutância ou do recíproco da resistência (veja o Capítulo 7). O siemens era denominado antigamente de mho.
360
Propagação de Ondas Eletromagnéticas
Para ondas monocromáticas,
a equação para a porção espacial toma-se V2E(r)
+
(~r
E(r)
=
(17-58)
O.
A dificuldade em utilizar coordenadas esféricas surge porque gostaríamos de expressar o vetor E(r) nos termos das componentes radial, azimutal e meridional, cada uma expressa como função do raio, do azimute e da colatitude. Se isto for feito, não será suficiente usar a expressão do laplaciano em coordenadas esféricas na Eq. (17-58); pelo contrário, é necessário definir o laplaciano de um vetar por (17-59)
o divergente de E é ainda nulo; entretanto, a componente radial de V x V x E envolve não apenas a componente radial de E, mas também suas componentes azimutal e meridional. As componentes e e 1> são, de forma semelhante, complicadas e o resultado final são três equações diferenciais parciais simultâneas que envolvem as três componentes de E. A separação que ocorre na equação vetorial de Laplace em coordenadas retangulares não ocorre em coordenadas esféricas, ela é realmente peculiar às coordenadas retangulares. Deve-se assinalar, contudo, que podem ser usadas componentes retangulares de E que, neste caso, deveriam ser escritas: Ex(t, e, 1», Ey(r, e, 1», EzCr, e, 1». Um procedimento simples evita a dificuldade exposta acima. Consideremos a equação escalar de Helmholtz: (17-60) cujas soluções são, como veremos brevemente, facilmente encontradas. Suponhamos que 1/; é qualquer uma das soluções, então E = r x V 1/; satisfaz a equação vetorial de Helmholtz, Eq. (17-58), - V x V x E
+
VV . E
+
(~r = E
O.
(17-61)
Para verificar isto, observe a identidade E
= r x VIj; = - V x (rlj;),
(17-62)
que provém da identidade vetorial V x (Fip)
=
ipV x F -
F x Vip
(17-63)
e V
x r=
O.
(17-64)
Como o divergente de qualquer rotacional é nulo, é necessário considerar apenas o termo rotacional do rotacional na Eq. (17-61). O rotacional de E pode ser encontrado, usando a identidade vetorial V x (F x G)
= F V . G - G V . F + (G . V)F - (F . V)G
(17-65)
para obter
v x (r x VIj;) =
rV21j; - VIj;V . r
+
(VIj; . V)r - (r . V)VIj;.
(17-66)
Ondas Esféricas
361
Como mostramos no Problema 1-13, (A • V) r = A para qualquer vetar A; além disso, o divergente de r é três (3). O primeiro termo da Eq. (17-66) pode ser reduzido através do uso de l/J que satisfaz a equação escalar de Helmholtz, permanecendo, dessa forma, apenas o último termo como uma possível causa de complicações. A identidade vetarial
V(F . G) = (F . V)G
+ (G . V)F + F
x " x G
+G
x V x F,
(17-67)
com F = r e G = V l/J , dá V(r'
Vlj;)
= (r . V)Vlj; + (Vlj; . V)r.
(17-68)
Os dois últimos termos da Eq. (17-67) anulam-se porque o rotacional de qualquer gradiente é igual a zero, como o é o rotacional de r. O uso destas relações na Eq. (17-66) leva a
V x (r x Vlj;)
=-
c (W)2
+ Vlj; -
rlj; - 3"lj;
V(r . Vlj;)
+ Vlj;.
(17-69)
Finalmente, tomando o rotacional da Eq. (17-69), obtemos V x V x (r x Vlj;)
= - (;
r"
x rlj;
=
(~r
r x Vlj;,
(17-70)
que é justamente a equação vetorial de Helmholtz. Não se fez uso explícito do sistema de coordenadas esféricas; entretanto, como r é normal a uma superfície de raio constante, em coordenadas esféricas, poderia esperar-se a solução r x "lj; como particularmente útil neste sistema. Ela de fato não o é muito em outros sistemas de coordenadas. Tendo achado que r x Vlj; é uma solução da equação vetorial de Helmholtz, sendo l/J uma solução da equação escalar de Helmholtz, torna-se pertinente encontrar quantas soluções podem ser usadas para construir ondas eletromagnéticas. O procedimento é muito simples. A variação espacial do campo elétrico é tomada como sendo
E = r x Vlj;.
(17-62)
o campo magnético deve ser escolhido de forma a que, juntamente com E, satisfaça as equações de Maxwell. Com esse propósito, expressamos a Eq. (17-5) como V x E
= iwB,
(17-71)
onde se supôs a dependência temporal média e-iwt. A Eq. (17-69) fornece o rotacional de E explicitamente ou, numa forma abreviada, B
=-
1
i -w V x
(r x
"lj;).
(17-72)
Como o divergente de qualquer rotacional é nulo, a Eq. (17-4) está satisfeita. É óbvio que a Eq. (17-6) é satisfeita, em virtude de E e B serem ambos soluções da equação de onda, que por sua vez representa uma combinação das Eqs. (17-5) e (I7-6). A solUÇãOrepresentada pelas Eqs. (17-62) e (17-72) não é a mais geral que se pode derivar de um dado l/J' Obtém-se uma outra solução fazendo B
,
1
= c r x Vlj;
e obtendo o campo elétrico por meio da Eq. (17-6),
(17-73)
362
Propagação de Ondas Eletromagnéticas
lC
= -W v
E'
x (r x Vl~).
(17-74)
As considerações acima detalhadas mostram que E', B' formam uma solução das equações de Maxwell, assim como E, B o fazem. As soluções diferem pelo fato de E em qualquer ponto ser tangente a uma superfície esférica que passa pelo ponto e tem o centro na origem de coordenadas; por outro lado, B' tem a mesma propriedade. Estes fatos levam à solução E, B que, às vezes, é chamada de transversal elétrica (TE), e E', B' chamada de transversal magnética (TM), onde transversal significa perpendicular à direção radial. Nos parágrafos precedentes, o problema que consiste em resolver a equação vetorial de Helrnholtz foi reduzido ao que consiste em resolver a equação escalar de Helmholtz. Em coordenadas esféricas, isto se realiza pela técnica da separação de variáveis já familiar por causa dos problemas de potencial (Capítulo 3). A equação escalar de Helrnholtz é, em coordenadas esféricas, (17-75)
t/1
Substituindo
I
2
esta suposta forma de d
,dR
- sen e - r- -~
R
dr
dr
I sene·
+ 8
1/1
d de
=
R(r)e(e)
(17-76)
na Eq. (17-75) e dividindo por senO
de de
-
+
I
d2
<1>
d4>2
+ K2r-
,
1/1,
sen2
obtemos
=o
()
'
(17-77)
após multiplicar por ,.2 sen2 8. O terceiro termo depende apenas de e este é o único termo que depende de Em conseqüência, este termo deve ser uma constante, escolhida como sendo _m2 • Em outras palavras,
<1>.
+ m2<1> = O
d2~", d4>2
(17-78)
m'
onde o índice m serve para indicar que depende de m. Reescrevendo a Eq. (17-77) utilizando a Eq. (17-78), temos 1 d
2 dR --r-+Kr+
R dr
d
1
2'
e
dr
de
m2
- sen e -- - - __ sen e de de sen2 o n
=o
.
(17-79)
Os dois primeiros termos dependem apenas de r, enquanto que os dois últimos dependem apenas de 8. Dessa forma, a soma dos dois últimos deve ser uma constante, que é escolhida como -1(1 + 1). A soma dos dois primeiros termos deve, naturalmente, ser l(l + 1). Por conseguinte, daí resultam duas equações: --~. sene _lm+ sen1 e de de d de
[
l(l+
1)- --sen2
m2 e ]
el
m
=0
(17-80)
e
-r d dr
-2 dR1 dr
[
1(l+I)-Kr
2 2] R1= O
.
(17-81)
As soluções da Eq. (17-78) são bem conhecidas. (17-82)
Ondas Esféricas
[
363
Ás soluções da Eq. (17-80) são menos conhecidas, porém algumas já foram encontradas no Capítulo 3, onde foram vistas soluções para m = O. Estas soluções* são os polinômios de Legendre PI(cos e). As soluções da Eq. (17-80) para m ~l arbitrário são conhecidas como polinômios de Legendre associados e podem ser definidos por dm
= (1 -
PT(u)
u2)m!2
(17-83)
dum PI(U),
com u =cos e. Está claro que I1(u) =PI(u), polinômio ordinário de Legendre. Para m ""'O, as funções estão dadas na Tabela 17-1. Finalmente, devemos considerar a Eq. (17-81). A mudança de variável de r para ~ = I<.r é facilmente efetuada, a equação resultante é (17-84) Tabela 17-1 Polinômios de Legendre Associados,
P'l(u), onde u = cos e Designação
Função 1
Po(u) PI(U) PJ(u) P2(u) P1(u)
[
= cos 8 (1 - U2)1!2 = sene 1(3u2 1) = -.l:(3 cos 2e + 3u(1 - U2)1!2 = ~ sen28 U
-
3(1 -
P~(u)
'W -
pHu)
3u)
-
U2)1!2(5u2
15u(1 -
P~(u)
A substituição RI =
=}(1 - cos 28)
1(5u3
PHu)
I
u2)
P3(U)
15(1 ~-112
1)
-
1)
u2)
U2)3!2
ZI transforma esta equação em
ç2 ~ç~1 + ç q~1 -
[(l
+ 1)2
-
ç2]ZI
= O.
(17-85)
muito familiar aos físicos matemáticos, e conhecida como equação de Bessel. As suas soluções são também bem conhecidas e foram extensivamente investigadas e tabeladas. As soluções comuns são representadas por J1+1I2 (I<.r) e N1+ 112(I<.r) e conhecidas respectivamente como função de Bessel e função de Neumann, de ordem I + +. Para fins de equação de onda, é extremamente conveniente definir as funções esféricas de Bessel como (17-86) e a partir destas, por sua vez, obter 1 h(2)
* No Capítulo 3, estas funções estão escritas como gendre são polinômios em cos e, é mais comum escrever tulo bem como nos que se seguirem.
1
J.1( Kr
) -
lnl • ( Kr ) .
(17 -87)
Como, entretanto, os polinômios de Le(cos e); seguiremos esta notação neste capí-
p/(e). PI
-
364
Propagação de Ondas Eletromag;',éticas
As funções jz(K.r), nz(i
-i",
'1+ 1
h,(2)()Kr
~~--~,
I
e Kr
e, dessa forma, levam a ondas esféricas que entram e que saem. Tabela 17-2 Funções Esféricas de Bessel e de Neumann Função
Tipo
(1/ p) sen
jo(p)
p
cos
- (l/p)
no(p)
p
- {i/p)eip
hS'l(p)
(i/p)e-iP
hb2l(p)
sen
(1/p2)
j,(P)
(l/p) cos p cos p
p -
-(l/p)senp
n,(p)
- (1/p2)
+ i/p)
-(l/p)eiP(l
hl/l(p)
- (1/ p
Wl(p)
~ l3
h(p)
p3
-
)e -
1 - i/ p
ip(
sen
p -
-] p2 sen p (i/p)e'P
-(i/p)e-'P
cos
-
P11
) P
p2 3
. (
P ~1
l p3 ~ -
-
1
. (
Uma forma geral para
cos
P
+ 3i -- p23) P 1 -
>.j;
-
3i P
-
p2 3)
pode ser expressa como (17-88)
Calculam-se os campos vetoriais correspondentes mediante as Eqs. (17-62) e (17-72) para as ondas TE, e através das Eqs. (17-73) e (17-74) para as ondas TM. A escolha mais simples, de interesse, de >.j; é >.j;1O, que é justamente
=
1);10
O gradiente de V I); 1o
>.j;
cos e.
(17-89)
i ]
r
é
10
= ar e
I e'". I + r.:r
r.:r
lxr
'.
- r.:ro [ir :2
-
ler2i'3
A porção espacial do campo elétrico é
cos ]
{J -
ao e
l1(r
.
,
[1r.:r-
(17-90)
Resumo
E
=r x
'Vlj;lO
"r + ,,- r ] sene, [li
= -a.,Eoe'H ,.
72
365
(J
7-91)
onde Eo foi introduzido para tomar a equação dimensionalmente correta. Ás superfícies de fase constante, "r = constante, são esferas. (Entretanto, as superfícies de amplitude constante não o são.) A dependência espacial da indução magnética é dada por 1
B=-i-vxE
w
_
.
-
1-
w1
Eo e
lKr
.
-l--Eoe w1
f
I
2 r n:rli]
.
lf\:T
.
rir
+ -
'"
2 3
n: r
"rli]2-
-
cos 8ar
-;3 "7
senOaR·
(17-92)
Como se verá mais tarde, estes são justamente os campos (TE) produzidos por um dipolo magnético irradiante. É interessante observar que apenas as porções de E e B são proporcionais a l/r contribuem para a radiação resultante. Todos os outros termos dão lugar, no veto r de Poynting, a termos que decaem mais rapidamente que 1/r2 e conseqüentemente possuem integrais sobre superfícies esféricas que se anulam à medida que tais superfícies esféricas tendem ao infinito. As soluções da onda esférica são utilizadas no estudo da radiação por fontes acop1adas, que será tratada no Capítulo 20 de outro ponto de vista. 17-6 RESUMO As soluções de onda transversal das equações de Maxwell são expressas de forma mais simples em termos das ondas planas, E( r. te, ) ~ E- - i(cJt - " . r) B(r. l) = Be-il
366
Propagação de Ondas Eletromagnéticas
2. Num meio dielétrico linear (não condutor, não magnético), os resultados acima ainda serão todos válidos se c for substituído por c/n, estando o índice de refração n relacionado à constante dielétrica K por n
(Num meio magnérico linear, n 3. Num meio condutor dielétrica
=
,/K.
.JKKm, mas esta generalização tem pouca aplicação.)
='
todos os resultados de mesma forma serão válidos se a constante K
=
+
K
=
ig/cow
Kr
+
iK,
for usada no lugar de K. Isto tem por conseqüência que o índice de refração fi
=
n
+
ik
e o vetor propagação
serão também complexos. A onda é atenuada: E(r. t)
No caso mais simples, Kr (1) são mais complicadas.
='
nw(c,
=
(Êe-Ki·')e-i(wt-""'l.
Ki =' KW(C;
porém, em geral, todas as relações físicas em
4. Em geral
A relação entre as constantes óticas reais e as constantes dielétricas reais é Kr
= 1)2
-
k2•
Ki
= 2nk.
e estas podem ser invertidas explicitamente. O resultado é complicado, a não ser que certos casos extremos sejam aplicados, como OCorre em geral. S. Em condutores,
o comprimento
de atenuação n S
À-
= c/wk = k 2n'
também chamado de profundidade de atenuação, é importante. Para condutores, no mínimo moderadamente bons, abaixo do intervalo de freqüências infravermelhas, pode-se esperar que
seja válido, de forma que
Aqui, g pode ser tomado como a condutividade
c.c.
6. Com exceção das ondas planas, o conjunto mais interessante de soluções da onda vetorial transversal é o das ondas esféricas. Elas são muito mais complicadas, porém aplicáveis em problemas de radiação.
Problemas
367
PROBLEMAS 17-1 Demonstre que se F(r) = Aei•· r, onde A é constante
V· F = iK' F,
= iK
V x F
F.
X
17-2 Demonstre que para uma onda plana no vácuo
liE =
-J ~-(~
=
377 0..
Esta resistência é denominada impedância do espaço livre. 17-3 Duas ondas planas possuem os mesmos w, K e amplitude E, mas polarização circular oposta (isto é, esquerda e direita). Demonstre que a superposiç.ão das duas ondas é linearmente polarizada. com amplitude 2E. 17-4 Desenhe uma figura semelhante à Fig. 17 -1 para E s = 2E p, com rp= 30° e com rp= 60° . 17-5 A Terra recebe em torno de 1300 W/m' de energia radiante do Sol. Supondo que a energia esteja na forma de uma onda mono cromática plano-polarizada e supondo incidência normal, calcule o módulo dos vetores campo elétrico e campo magnético da luz do Sol. 17-6 Suponha que A e B são vctores complexos. Calcule Re A • Re B e compare com Re (A • B). Demostre que A • B'= O não implica Re A • Re B = O. 17-7 Considere duas ondas planas no vácuo, com os mesmos w, K e sentido de polarização p, porém com amplitudes e fases diferentes. EI ,O e Ez ,rp. Calcule o vetor de Poynting temporal médio, S, da superposição das duas ondas. Observe o efeito de interferência devido à diferença de fase 1>,que não poderia ocorrer se as duas ondas tivessem direções de polarização perpendiculares. 17-8 Considere uma onda estacionária no vácuo que é a superposição de duas ondas planas de mesma freqüência, amplitude e polarização linear, porém com K oposto. Calcule o vetor de Poynting Ser, t) das ondas superpostas. (Observe que a origem não é arbitrária.) Que éS? 17-9 Para uma onda plana em um meio condutor
n
B=-uxE. C
Suponha que E é elipticamente polariz.ado, com Ê = EpcirPp + Ess. Prove que em cada instante de tempo k
Re E - Re B
= -- c
EpEs
sen
17-10 Em metais na região infravermelha do espectro, ocorre que Ki = - Kr numa freqüência w = g/ "" 1014 çl. Calcule as constantes óticas n e k neste caso, em termos de Ki.
(-E)
17-11 Num dielétrico que se torna absorvente em altas freqüências, ou num semicondutor, ocorre que Ki = Kr. Calcule n e k neste caso, em termos de Kr. Encontre ó /"1-., razão entre o comprimento de atenuação e o comprimento de onda.
17-12 Demonstre que num meio quase transparente de Índice de refração n, o comprimento nuação ó está relacionado com a condutividade g por 2n
de ate-
fJ=--~
g~/(o' onde ~
= 377
n.
17-13 Um vetor de Poynting proporcional a E' decai como e...az, onde a = 2/fi é denominado coeficiente de absorção. A perda de potência é freqüentemente expressa em decibéis por metTO (dB/m), sendo um àecibel definido como dez vezes o logaritmo comum da razão entre o fluxo de energia por unidade de área inicial e o final.
368
Propagação de Ondas Eletromagnéticas
a) Demonstre que perda de potência
=o
4,34 a dB/m
b) Partindo do resultado do problema 17-12, calcule a condutividade (ótica, não c,c.) que um meio de comunicação por ondas luminosas deve possuir para ter uma perda menor que ldB/km, supondo um índice de refração n = 1,5. 17-14 Suponha
a constante dielétrica K = O. Demonstre que as equações de Maxwell, sem carga externa ou densidades de corrente, possuem uma solução longitudinal na qual H = O e K X E = O, porém K • E *' O, Demonstre que existe uma densidade de carga de polarização Pp = iK.EoE, (A equação K(K., w) = O é chamada de relaça-ode dispersa-o longitudinal.)
CAPÍTULO 18 """
ONDAS EM REGIOES DE
CONTORNO As soluções das equações de Maxwell encontradas nos capítulos precedentes serão agora usadas para resolver problemas de interesse prático. Duas classes gerais de problemas serão consideradas: problemas de valores de contorno e problemas de radiação por distribuições de carga-corrente prescritas. Na primeira classe, soluções da equação de onda homogênea são combinadas de forma a que satisfaçam as condições de contorno apropriadas. Na segunda classe, são necessárias soluções da equação de onda não homogênea com fontes especificadas e as condições de contorno são completamente ignoradas, exceto pela insistência em ondas que saem e que os campos decaiam com l/r a grandes distâncias. A primeira classe de problemas constitui o objetivo deste capítulo. 18-1 REFLEXÃO E REFRAÇÃO NOS LIMITES DE DOIS MEIOS NÃO CONDUTORES. INCIDÊNCIA NORMAL As ondas eletromagnéticas que se propagam em materiais geralmente neles penetram através do limite entre o material e um outro meio, talvez ar ou vácuo. O exame des· te problema necessita da aplicação das condições de contorno deduzi das no Capítulo 16. Começaremos com o caso mais simples: urna onda plana incidindo normalmente numa interface dielétrica plana. A experiência nos diz que a onda incidente será acompanhada por uma onda refletida e transmitida; veremos que as condições de contorno poderão ser satisfeitas somente se elas estiverem presentes. Cada uma das três ondas é obrigada a satisfazer as relações entre K, E e B desenvolvidas na Seção 17-1. A situação é descrita na Fig. 18-1. Nesta figura, E1, H1 descrevem a onda incidente que se propaga no sentido mais z; Eí, Hí descrevem a onda refletida que se propaga no sentido menos z e E2 , H2 descrevem a onda transmitida. A interface é considerada corno coincidindo com o plano xy em z = O, com o meio 1 à esquerda e o meio 2 à direita. Supomos, primeiramente, que os campos elétricos estejam linearmente polarizados na direção x, e os descrevemos por:
EI =
iElxCi(Kl=-ü.>t),
E'I -
_iE'lxC-i(Kl=+ü.>t),
E2
=
iE
(18-1 )
2x CilKF - (or),
369
JI
370
Ondas em Regiões de Contorno
I
Figura 18-1 Reflexão dência normal.
e transmissão
com inci-
onde
w Através da Eq. (17-22)
w
e
c -
B
=
1(2 -
/1
/12
(18-2)
c
-
u x E.
C
onde, neste caso, U = k para as ondas incidente e transmitida eu = -k para a onda refletida; os campos magnéticos associados com os campos elétricos da Eq. (18-1) são dados por cRI
= jlll
cB'[
=
j/1[ E'txe-i1t.:1:+C)t).
cR2
=
j/12
Elx"i(t.:1:-c"t!.
Elxei("2:-
(18-3)
,,)t).
Seguramente, as ondas refletida e transmitida deverão ter a mesma freqüência w que a onda incidente se as condições de contorno em z = O forem satisfeitas para todos os t. Como as componentes normais dos campos se anulam, apenas as condições de contorno sobre as componentes tangenciais necessitam ser consideradas. O campo E deve ser contínuo nos limites, de forma que da Eq. (18-1) para z = O
(18-4) O campo mos:
H deve ser contínuo também e, em meios não magnéticos
(111
= 112 =
110)
te-
(18-5) As Eqs. (18-4) e (18-5) podem ser resolvidas simultaneamente em termos da amplitude dadaE1x da onda incidente:
para as amplitudes de Eíx
eE2x
As razões entre as amplitudes refletida e transmitida e a amplitude incidente são totalmente determinadas pelos índices de refração dos dois meios. Estas amplitudes, por sua vez, determinam as amplitudes dos campos magnéticos por meio da Eq. (18-3). Como apenas as razões foram determinadas, é conveniente introduzir uma notação
Reflexão e Refração nos limites de dois MeiosNão Condutores
371
especial para eles, Elx E Ix =rI2'
E2x
(18-6)
E Ix =112;
e t12 são chamados de coeficientes de Fresnel respectivamente para a reflexão e transmissão, para incidência normal. Os índices indicam que a onda é incidente desde o meio 1 até o meio 2. Assim, a solução é dada por
712
rI
2
=
n2 -
--.
nl
t 12
112+nl
2nl
=
-.-
(18-7)
111+112
O que geralmente se mede não são os campos E refletido e transmitido, porém os fluxos médios de energia, por unidade de área, o refletido e o transmitido. Estes são dados pelo vetar de Poynting e são denominados intensidades das ondas. De acordo com as Eqs. (17-34) e (17-36), em cada meio -
S
=--1 2
n /lo
2
c
(E
2
+ Es)·
(18-8)
P
Aqui, escolhemos Ep = E,;;, E. = O. Definimos a reflectáncia Rn e a transmitáncia Tn para incidência normal pelas razões das intensidades S'1
S2
s; = Rn,
SI =~.
(18-9)
Então, das Eqs. (18-8) e (18-6) 112
~=--t12'
2
(18-10)
n1
Com os coeficientes de Fresnel dados pela Eq. (18-7), a reflectância e a transmitância Eq. (18.10) satisfazem Rn
+ Tn = 1
da
(18-11)
para qualquer par de meios não-condutores. Esta é uma expressão da conservação da energia na interface. Até agora, consideramos apenas a radiação linearmente polarizada. Se a onda inci· dente for elipticamente polarizada, deveremos considerar as componentes perpendiculares Êy = Ê. em cada meio, além das componentes x. Elas também satisfarão equações como a Eq. (18-6), com os mesmos coeficientes de Fresnel. As três componentesy estão em fase umas com as outras, apesar de estarem fora de fase com as três componentes x. Conforme a Eq. (18-8) vemos que as intensidades associadas às componentes x (P) e y (s) se adicio· nam simplesmente, (18-12) não importando a diferença de fase entre as componentes p e s, isto é, independentemente do grau de polarização elíptica. Dessa forma, as Eqs. (18-9) a (18-11) valem, separadamente, para cada componente da polarização e também para as intensidades totais. Numa interface típica de ar-vidro, onde n2 = 1,5 e 111 = 1, os coeficientes de reflexão e transmissão são Rn = 0,04
e
Tn = 0,96.
..
372
Ondas em Regiões de Contorno
Assim, como era esperado pela Eq. (18-11), toda a energia incidente é refletida ou transmitida - não há lugar para armazenar energia na interface. Um outro fato interessante é obtido ao se examinar a Eq. (18.6); ou seja, se n2 for maior que nl , a primeira razão será positiva. Trata-se, precisamente, do enunciado familiar da ótica, a saber: ocorre uma variação de fase de 7f radianos numa reflexão por um meio "mais denso" mas não ocorre variação de fase numa reflexão por meio "menos denso". Como um segundo exemplo, na água n2 = 1,33 para a luz visível, de modo que Rn = 0,02. Contudo, abaixo de w"'" 1011 S-1 , K2 = 81. Para freqüências de rádio, a água pura comporta-se como um não condutor (Caso 1 na Seção 17-4) e assim n2 = ~ = 9. Rn = 0,64. Para a água do mar, melhor condutor, ção 18-4.
a reflectância é ainda maior, como veremos na Se-
18-2 REFLEX1\.O E REFRAÇÃO NOS LIMITES DE DOIS MEIOS NÃO CONDUTORES. INCIDÊNCIA OBLÍQUA Caso mais geral do que o exposto na seção precedente é o da reflexão de ondas planas que incidem obliquamente numa interface dielétrica plana. A consideração deste caso conduz a três leis óticas bem conhecidas: a lei de Snell, a lei da reflexão e alei de Brewster, que rege a polarização por reflexão. K'I,e K2 foA situação será descrita pela Fig. 18-2, se os vetares de propagaçãoK1, rem coplanares e se localizarem no plano xz e os vetares de campo elétrico, EI , Ei e E2' também se localizarem neste plano.* Os campos elétricos das ondas incidente, refletida e transmitida são dados por
E'1
Ê'IP
ei(KI'
.
r-
wtl
(18-13)
Figura 18-2 Reflexão e refração-incidência oblíqua. O plano xz é o plano de incidência. Os vetares H" H; e H. dirigem-se para fora do papel.
* Provar-se-á que os vetares de propagação são sempre coplanares. O vetar campo elétrico mais geral pode ser decomposto numa componente no plano xz (plano de incidência) e numa componente perpendicular a este plano. A reflexão e a transmissão destas duas componentes são regidas por leis diferentes. Esta escolha é feita para obter a lei de Brewster .
:
--
Reflexão e Refração nos Limites de dois Meios Não Condutores
373
onde Êlp =ÊlpPl' Êjp =Êíppí, Ê2p =Ê2pP2. Os vetares propagação são K1 =KIUl etc., e a normal unitária à interface é n = k. O plano definido por K 1 e n é denominado plano de incidência e sua normal está na direção de K 1 X n. A componente p da polarização foi escolillda de modo a ser paralela ao plano de incidência (p de "paralelo "). Em geral, existe também uma componente s (não representada na Fig. 18-2) da amplitude de cada onda, ÊIs = Ê1ssj, Êis = Êissí, Ê2s = Ê2sS2. Para cada uma das três ondas, s = U x P e P = s x u, de modo que (18-14) As componentes s são perpendiculares ao plano de incidência (s de "senkrecht", a palavra alemã para perpendicular). É claro, pelas Eqs. (18-13), que na incidência oblíqua não apenas as ondas refletida e transmitida devem ter a mesma freqüência que a onda incidente, mas também as fases devem ser iguais em todos os pontos da interface: "'1 • r
= "j . r =
K2 • r
na interface
(18-15)
Esta condição tem três conseqüências interessantes, que agora deduziremos algebricamente. Necessitamos de uma expressão algébrica, partindo do fato da Eq. (I 8.15) valer apenas na interface z = O ou n • r = O. Consideremos a identidade vetarial n x (n x r)
= (n . r)n - r.
= O, r = - n x (n x r).
Em todos os pontos da interface, n
o
r
e assim substituímos esta na Eq. (18-15).
"1' r = -K1 . n x (n x r) = -("1 X n)' (n x r) e de maneira semelhante procedemos para os outros membros da Eq. (18-15). Como r é um vetar arbitrário na interface, a Eq. (18-15) poderá valer se, e somente se, (18-16) Isto implica, primeiramente, que "'1 se localiza no plano de incidência, uma vez que a normal ao plano definido por "'1 e n é paralela à normal ao plano de incidência; do mesmo modo, "2 está no plano de incidência. Isto é, n, "b K'I' e K1 são todos coplanares. A Eq. (18-14) está justificada, e s = j é a normal unitária do plano de incidência. Agora, o ângulo de incidência e 1 é dado por
e também por (18-17) Portanto !
j
K1 X
n
I
=
K 1
sen e l'
374
Ondas em Regiões de Comamo
e a Eq. (18-16) implica que
o módulo K í da onda refletida é igual a K 1 da onda incidente pois elas se propagam com a mesma freqüência no mesmo meio. Portanto, (18-18) o ângulo de reflexão é igual ao ângulo de incidência. Em conseqüência das relações de dispersão da Eq. (18-2), a segunda igualdade acima dá (18-19) que é a lei de Snell. Observemos que nenhuma dessas três conseqüências depende das condições de contorno para os campos elétrico e magnético deduzidas das equações de Maxwell. As duas primeiras devem valer para qualquer tipo de onda; a terceira, a lei de Snell, depende da relação de dispersão particular das ondas. Para derivar os coeficientes de Fresnel que darão as razões das amplitudes do campo para incidência oblíqua, necessitamos das condições de contorno sobre as componentes tangenciais dos campos. (As condições sobre as componentes normais, por sua vez, são satisfeitas automaticamente.) Para expressar a componente tangencia1 da amplitude do campo E na forma vetorial, consideremos a identidade vetaria! n x (n x Ê)
= (n
. Ê)n - Ê,
ou
Ê
= (n . Ê)n
-
TI X
(n x Ê).
Como (n ' Ê)n é justamente a componente normal de Ê, o termo remanescente deve ser a componente tangencial, -n X (n X Ê), para qualquer vetar Ê. Então, a condição de contorno sobre o campo E toma-se (18-20) após cancelar as exponenciais [por causa da Eq. (18-15)] e IlX. Como estamos supondo um meio não magnético, a continuidade do campo B tangencial é também requerida, (18-21) As equações do rotacional de Maxwell relacionam Ê e B um com o outro em cada meio. Com as reiações de dispersão, Eq. (18-2), tomam a forma da Eq. (17.22): •
n
•
B=-uxE
(18-22)
c
ou sua equivalente
•
E=Se, por exemplo, substituirmos n1n
c n
•
uxB.
(18-23)
a Eq. (18-22) na Eq. (18-21), esta se toma
x (u1 x
ÊI
+ U'I x
Ê'd =
n2"
x (u2 x
Ê2).
(18-24)
Reflexão e Refração nos Limites de dois Meios Não Condutores
375
As Eqs. (18-20) e (18-24) são um par de equações vetoriais, que devem ser resolvidas para Êí e E2 em termos de ÊI . Podemos expandir os produtos vetoriais triplos:
=
n x (uI x ÊI)
(n . ÊduI
-
(n' udÊI
e, de maneira semelhante, para os outros. Para a componente O, tal expressão se simplifica consideravelmente n x (uI x ÊI,)
=-
s, ÊIs, para a qual n • ÊIs =
cos 81 ÊIS,
pois n • DI = COS 81 segundo a Eq. (18-17). Assim, para a componente toma-se
e, como 8 í
s, a Eq. (18-24)
=8I , (18.25)
Tornando o produto velOrial da Eq. (18-29) com n obtém-se
para a componente
s (18-26)
Esta simplificação não Ocorre para a componente p e assim somos obrigados a considerar as duas componentes da polarização separadamente. A substituição da Eq. (18-23) na Eq. (18-20) dará uma simplificação correspondente para o caso p polarizado, 1. polarização s. As Eqs. (18-25) e (18-26) são resolvidas simultaneamente cil. Obtemos
de maneira fá(18-27)
onde r
12s -
tI
=
2 S
/11
....
~1
cos el cai-e 1n+ 2111
n
/12 COS 82
. __
cos 81 --
/11 COS
ej
(18-28)
n_
112 COS 82 •
+ n2
(18-29)
m_
cos 82
2. polarização p. Quando os vetares E se situam todos no plano de incidência, a Eq. (18-22) mostra que todos os vetares B correspondentes se situam ao longo da direção s. A escolha dos vetares E na Fig. 18-2 foi feita de modo que todos os vetores B correspondentes apontem no sentido +j. Substituímos agora a Eq. (18-23) na Eq. (18-20). Como n o Bis = O = n • B Ís = n • B2s' o resultado simplificado é 1
~
-. cos ej(Bls /11
-
~ B'ls)
1
= -112 cos
82B2s'
(18·30)
Além disso, a Eq. (18-21) simplifica-se para (18-31) Podemos escrever a solUÇão das Eqs. (I 8-30) e (18-31) como (18-32)
j
376
Ondas em Regiões de Contorno
onde nz cos 81
r1?p
-
-
n1 COS 8z
= nz -------------, cos 81 + n1
COS
8z
(18-33)
2nl cos 81
tIZp=----------nz cos 81 +
n1
-- . cos 8z
(18-34)
Escrevemos a Eq. (18-22) desta maneira, de forma a que, quando calcularmos os módulos dos vetores E a partir da Eq. (18-23), obtenhamos (18-35) Com estes coeficientes de Fresnel, temos agora uma solução completa do problema de valores de contorno, uma vez que uma onda incidente de polarização arbitrária pode ser decomposta em componentes p e s. Deve-se enfatizar que os termos polarização p e s sempre se referem à direção do vetor E. * Para incidência normal, (]1 = O e segundo a lei de Snell, também (]2 = O. Assim, as Eqs. (18-33) a (18-35) reduzem-se às Eqs. (18-6) e (18-7) para incidência normal. A Eq. (18-29) torna-se idêntica à Eq. (18-34) porém, conforme a Eq. (18-28), encontramos que r12s = -r12p na incidência normal. O plano de incidência é indefinido na incidência normal e, assim, o resultado físico deve ser independente da polarização. A diferença resulta apenas porque E1p e Eíp apontam em sentidos opostos na Fig. 18-2 quando 81 tende a zero, enquanto que Eis e Eís apontam no mesmo sentido. Para polarização s, os coeficientes de Fresnel são relações entre os vetares E, Eq. (18-27); para polarização p, são relações apenas entre os módulos destes, Eq. (18-35), uma vez que todos os vetores E apontam em direções diferentes na incidência oblíqua. Usando a lei de Snell, podemos escrever
e com isso expressar os coeficientes de Fresnel inteiramente em termos dos parâmetros do material e do ângulo de incidência dado, e 1 . As relações entre as intensidades podem ser novamente obtidas a partir dos coeficientes de Fresnel, tratando cada direção de polarização separadamente. Definimos a reflectância e a transmitância como a componente dos respectivos vetares de Poynting, tomados em média sobre o tempo, normal à interface, em relação à componente normal do vetor de Poynting incidente, ** n 1, n2
(18-36)
* Em livros de ótica mais antigos, ocorre o termo "plano de polarização", definido como o plano que contém o vetar B e o vetar propagação. Evitaremos totalmente este termo.
**
No meio 1, S = (EI + E;) X (RI + H;). É possível demonstrar que n . (E
1 X
H'I
+
E'I x H
num meio não condutor (o único caso que consideraremos), significativo separar os vetares de Poynting.
d=O de modo que n • S = n • (~ + S;); é pois
377
Ângulo de Brewster. Ângulo Crítico
=--n
R
. S'lP
n'
P
n . Tp
S]P
=n
Slp
(18-37)
. SI-P
Em termos dos coeficientes de Fresnel, temos* ?
Rs
= ri ls'
=
112 COS
TP _ _
111 COS
T,
li)
/1]
a1
c~~iF) ti ls, a1
cos e I
1
(18-38)
(18-39)
tl1p'
As identidades Rs
+
T,
=
(18-40)
1,
valem no caso da incidência oblíqua num não condutor. Para alcançar determinados objetivos, é mais conveniente Fresnel na seguinte forma: sen rlZs
=
(az -
~~~(e~-+ eJ'
_ tan -
tl1p
=
(81
t~~e~+
-
(18-41)
az
=-----s sen (a1 + a))
rlZp
,
(18-42)
8z) 8z)'
._2_c()~_a~se~~1_ ._ sen (aI + az) cos (a) - aJ'
Vê-se facilmente que estas são equivalentes nométricas e a lei de Snel1.
de
81)
2 cos ai sen
t)Z
ter os coeficientes
(18-43)
(18-44)
às formas acima, usando as identidades trigo-
18-3 ÂNGULO DE BREWSTER. ÂNGULO CRÍTICO Consideraremos em seguida a dependência de R e T com o ângulo de incidência no caso de dois meios não condutores, usando os coeficientes de Fresnel derivados na seção precedente. Em cada caso, T = 1 - R, de forma que discutiremos apenas R. Já examinamos o caso da incidência normal e 1 = o: não importa a polarização e R toma-se maior à medida que a razão 112/111 vai diferindo da unidade. Para incidência razante, e 1 = rr/2, cos e 1 = o e Rs = 1 = Rp, como se pode ver mais facilmente por meio das Eqs. (18-28) e (18-33). Próximo à incidência razante, a reflectância é grande; esta elevada reflectância é a razão pela qual um lago calmo se assemelha a um espelho. Para ângulos de incidência intermediários, há dois ângulos particularmente interessantes.
* Definições alternativas da reflectância e transmitância são feitas ocasionalmente, como razões dos módu]os dos vetares de Poynting ao invés da razão das componentes normais. Isto não causa diferença em R, porém remove o fator (cos e z Icos e ,) de T.
1
378
Ondas em Regiões de Contorno
Pode existir um caso de reflectância nula? As Eqs. (18-41) e (18-43) mostram que pode. Se 81 = 82, então tan (81 - (2) = 0= sen (82 - (1) e não há onda refletida. Infelizmente, isto só poderá ocorrer se nl = n2, isto é, se os dois meios forem oticamente indistinguíveis. Se. por outro lado, 81 + 82 = 1T/2, então tan (81 + (2) será infinita e a amplitude da onda refletida p polarizada será novamente nula. Neste caso, os meios são oticamente distinguíveis. Como a polarização s, E, perpendicular ao plano de incidência, é parcialmente refletida, a luz não polarizada, que incide segundo um ângulo que satisfaz 81 + 82 = 1T /2, será polarizada por reflexão. A lei de Snell, nl
porporciona obtemos
um meio de determinar
sen81
=n2
sen82,
o valor de 81. Usando 82 = 1T/2
-
81 na lei de SnelI,
ou
tan
n2
8B
= -.
(18-45)
n1
A quantidade ()B é conhecida como ângulo de Brewster; a relação entre este e os índices de refração, como são dados na Eq. (18-45), é conhecida como lei de Brewster. A polarização no ângulo de Brewster consiste em urna maneira prática de produzir radiação polarizada, apesar de não ser a mais comum. Na Fig. 18-3, estão representados graficamente os valores de Rs e Rp para todos os valores de 8 I, com n 1 = 1, n2 = l,5 corno na interface de
1
R
o ,,/2
Figura 18-3 Reflectância para a polarização s e p numa ínterface de ar-vidro. O ângulo de Brewster é e B = 56°.
Ângulo de Brewster. Ângulo Crítico
379
ar-vidro. O ângulo de Brewster é 8B = 56° neste caso. A reflectância geralmente menor para a luz p polarizada explica a utilidade dos óculos de sol Polaróide. Como a maioria das superfícies refletoras que se encontram ao ar livre são horizontais, o plano de incidência da maior parte da luz refletida que atinge nossos olhos é vertical. Supondo que nossa cabeça esteja geralmente levantada, as lentes polarizantes são orientadas de forma a passar luz com o vetor E no plano vertical e a eliminar a outra componente s mais intensamente refletida. Há outro caso, além da incidência razante, em que R. =Rp = 1. Vemos, conforme as Eqs. (18-28) e (18-33), que a reflexão perfeita ocorre para 82 =7[/2, bem como para 81 == 7[/2. O ângulo de incidência para o qual 82 = 7[/2 é denominado ângulo cr(tico, 8) = 8 c' Da lei de Snell sen 8c
n2
= -,
n)
(18-46)
O ângulo crítico será um ângulo real somente se n2 < n) , porém para qualquer par de materiais transparentes isto se aplicará para a incidência em um ou outro lado de sua interface. Pelas Eqs. (18-45) e (18-46)
Como a tan 8 não é restrita quanto ao valor, sempre existirá um ângulo de Brewster real; além disso, como tan 8 > sen 8, 8B <8c. O caso de uma interface de vidro-ar com n) = 1,5 e n2 = I está representado graficamente na Fig. 18-4. Na incidência a partir do lado do vidro, 8B == 34° e 8c == 42°. Para ângulos de incidência maiores que o ângulo crítico, 8) > 8c, a lei de Snell dá
1/1
= 1.5
1/2
==
1
R
,,/2
Figura 18-4 Refiectância para a polarização s e p numa interface de vidroar. O ângulo de Brewster é e B == 34° e o ângulo crítico é e c == 42° .
380
Ondas em Regiões de Contorno
Como sen 8c = /12//11, isto requer sen 82>
1.
(18-47)
Não existe este ângulo real, porém tal complicação não é séria e será resolvida na próxima seção. O resultado é que Rs =Rp = 1 para todos 81 ~ 8c. Esta reflexão perfeita é denominada reflexão intema total, e é facilmente observada ao olharmos num prisma de vidro ou num aquário, ou ao olharmos para cima quando nadarmos sob a água. Ela tem uma aplicação prática muito importante no guia de luz, uma fina fibra de vidro através da qual um feixe de luz é transmitido, como um guia de ondas para microondas. (Veja o Problema 18-4.) Nossos exemplos, nesta seção, envolveram freqüências no intervalo da luz visível e materiais transparentes para os quais /1 = yX. Para materiais não polares as mesmas relações valem para todas as freqüências mais baixas (mas não no ultravioleta e intervalos de freqüência maiores). Elas não valem, a freqüências mais baixas, para todos os materiais polares oticamente transparentes formados por moléculas polares (por exemplo, água) ou íons (por exemplo, sal de cozinha) uma vez que K depende da freqüência. 18-4 COEFICIENTES COMPLEXOS DE FRESNEL. REFLEXÃO POR UM PLANO CONDUTOR A complicação que surgiu na última seção para ângulos de incidência maiores que o ângulo crítico, ou seja, sen 82 > 1, nos leva a considerar os coeficientes complexos de Fresnel. Como cos 6 = vIl - sen2 6, um valor real do sen 8 maior que 1 implica um valor puramente imaginário dos cos 8, de modo que cos ê2 seja imaginário nos coeficientes de Fresnel e os coeficientes sejam complexos. Também seriam complexos se o meio 2 fosse condutor, pois neste caso 112 seria complexo. A lei de Snel /lI
sen
81
= ti2
sen
ê2
mostra que então o sen ê2 também teria de ser complexo. Devemos, portanto, examinar se nossa dedução na Seção 18-2 vale para ângulos e índices _de refração complexos. Não há maneira de esboçar a Fig. 18-2 com um ângulo complexo 62 e assim teremos de ser cuidadosos a respeito do significado geométrico de nossas conclusões. A dedução, contudo, não recorreu à geometria da figura. Ela foi completamente algébrica e como todas as relações vetoriais algébricas se aplicam tanto às quantidades complexas, como às reais, os resultados estão formalmente corretos. Interessar-nos-emos somente pelos casos em que um dos dois meios é transparente, que admitiremos agora -:omo sendo o meio 1. Dessa forma, a Eq. (18-16) torna-se K1xn=K2xn,
(18-48)
de modo q':le o plano de incidência tenha uma nomlal unitária real j e o vetar propagaç:io complexo 1\:2 não tenha componente na direção j: K2
•
j = O.
(18-49)
Esta é uma suposição restritiva, mas que é válida em casos práticos. O ângulo complexo rJ2 é definido algebricamente por (18-50)
Coeficientes Complexos de Fresnel
381
Então, a lei de Snell torna-se (18-51) onde (18-52) Todas as manipulações algébricas com as condições de contorno sobre os campos E e B são válidas e assim os coeficientes complexos c!.e Fresnel são ainda dados pelas Eqs. (18-28), (18-29), (18-33) e (18-34), com fi2 e cos e 2 complexos. Se estas forem expressas na forma polar,
e utilizadas nas Eqs. (18-27) e (18-35), (18-53)
E, refletido e transmitido, estão com a fase alterada em relação ao campo E incidente. As reflectâncias reais para a intensidade definidas pelas Eqs. (18-36) e (18-37) tornam-se é evidente que os campos
Rs=
Rp=
Ir12sI2,
(18-54)
Ir12p12,
uma vez que as fases não têm efeito sobre os vetares de Poynting dados pela Eq. (18-8). Um grande cuidado é necessário para obter as transmitâncias corretas a partir das quantidades complexas, embora não as utilizemos, pois, na maioria dos casos, não são mensuráveis no meio condutor. Em lugar de R + T = 1, as identidades -
rl2 -2
+
r12
--
t12t21
-
= -r21,
(18-55)
=
(18-56)
1
serão úteis quando um meio for condutor. Tais equações são válidas para ambas as polari-'j zações s e p. Para incidência normal do ar sobre um meio condutor com n 1 = 1, fl2 = n + ik, a reflectância é (18-57) Como toda a energia transmitida será eventualmente infinito, definimos a absorvância como
absorvida num meio condutor
semi-
A = 1 -R.
(18-58)
= ----~
(18-59)
Para incidência normal A n
(n
+ 1)2+-p·
A absorvância será pequena (alta reflectância) se n <'( 1, ou k;?> 1 (caso 3 na Seção 17-4, com Ki = gjEo W;?> 1),
n
"'=
n;?>
1, ou
k;?>
1. Quando
382
Ondas em Regiões de Contorno
2
A ~ -- "'" 1 n=k'" . Neste caso k
==
..jKd2
(18-60)
= ..jg!2êo w, de maneira que (18-61)
An ~2.)2foW/g
é chamada de relação de Hagen-Rubens; ela é válida para condutores moderadamente bons na região das microondas, e abaixo desta, e para metais, dentro do infravermelho, sendo g a condutividade c.c. Com os mesmos valores usados no cálculo da profundidade de atenuação a partir da Eq. (17-56), encontramos para a prata, a f= 1010 S-1 (comprimento de onda de 3 cm), An
= 2.)2(8,854
Rn
= 0,9996.
Para a água do mar, af=
X
1O-12)(2n x 1010)/3 x 107
= 3,9
X 10-4,
6 x 104 S-I, An Rn
= 25 X 10-4, = 0,9975.
Esta elevada reflectância também evidencia o problema da comunicação com submarinos. A absorvância é pequena nestes casos porque a profundidade de atenuação é relativamente pequena. Das Eqs. (17 -48) e (18-60) <5
An
= 4n
21 '
/'
onde /...1 é o comprimento de onda no ar. No intervalo de freqüência da luz visível, para a prata, n == 0,05; k == 3. A Eq. (18-60) não é válida para estes valores, porém a Eq. (18-59) dá Rn == 0,98. Valores metálicos mais típicos são talvez os do níquel, n == 2, k == 3; estes dão Rn == 0,56. Estes metais ainda parecem bastante brilhantes, uma vez que os olhos se assemelham a um detetor logarítmico. Os valores correspondentes para a prata e o píquel estão representados graficamente como função do ângulo de incidência na Fig. 18-i., Não existe ângulo de Brewster onde Rp se anula, porém Rp ainda tem um mínimo e é sempre menor que Rs. Ainda ocorre alguma polarização por reflexão. As Eqs. (18-53) mostram. que Êís e Êíp possuem uma diferença de fase relativa ('(5 - ('(p' Dessa forma, mesmo se a onda incidente for linearmente polarizada, a onda refletida poderá tornar-se elipticamente polarizada na incidência oblíqua. A onda transmitida é importante em problemas como os que serão considerados na próxima seção, mesmo se não puderem ser observados diretamente. Suas amplitude e fase são dadas por tl25 e i12P' e seu vetar de propagação pelo K2 que satisfaz as Eqs. (18-48) a (18-52). Este último definirá os planos de fase constan te e a velocidade de fase, bem como os planos de amplitude constante e a constante de atenuacão. Estes resultados são obtidos pela comparação das duas expressões equivalentes para K2': (18-62) K
(Nesta exposição, eliminaremos
= K sen êi + K cos
êk.
(18-63)
o índice 2.) A segunda forma é justificada pela restrição
Coeficientes Complexos de Fresnel
da Eq. (18-49). A mesma restrição significa que K, X
Ki
n=
Kl
=
O.
X fi
K
x
fi
383
é real e, da Eq. (18-62), (18-64)
X n,
(18-65)
H
Figura 18-5 Reflectância para a polariza-
ção s e p numa interface de ar-metal. Va-
o
lores representativos para luz visível são n""O,05, k""3 (prata) e n""2, k""3 (níquel).
rr/2
A Eq. (18-65) mostra que
K;
é paralelo a sen 0
Kr
TI
= k, e a Eq. (18-64) é
=
Kl
sen
(18-66)
81,
e
<
onde é o ângulo real entre Kr e ll. (Veja a Fig. 18-6.) Este se poderia chamar de ângulo ,. real de refração, uma vez que é o ângulo entre os planos de fase constante e a superfície de separação. Os planos de amplitude constante, por outro lado, são paralelos à superfície de separação, de modo que a onda é atenuada mais rapidamente dentro do condutor. Podemos reescrever a Eq. (18-62) K = Kr sen G + Kr COS G k + iKik
i
= Kj Comparando estas componentes
G + iK.)k. com as da Eq. (18-63), vemos que K1
Kr
8ji +
sen
cos
= + iK I =
sen 81
e
(Kr COS
K
senê,
K
cos
(18-67)
ê.
(18-68)
A primeira é novamente a lei de Snell, mas a segunda, juntamente com a Eq. (18-66), dá a relação entre Kr, Ki, e n, k, e 1 que procurávamos. Façamos a abreviação
e
K
J
cos e~ = -w (p C
+ lq.)
,
384
Ondas em Regiões de Contorno
i-- Planos de amplitude !
constante
Figura 18-6 Refração num condutor. Os planos de fase constante são perpendiculares à direção de propagação e fazem um ângulo El com a interface, porém os planos de amplitude constante são paralelos à interface.
de modo que
ii cos ê = Então, de acordo com a Eq. (18-68),
cos
Kr
p
+ iq.
(18-69)
e = (w/c)p
e, com a Eq. (18-66), (18-70)
W
Ki
= -C
q.
(18-71)
'.
Resta encontrar apenas os valores de p e q, o que se obtém imediatamente ao elevar a Eq. (18-69) ao quadrado: p2 _ q2 + 2ipq = ii2(l - sen2 ê) = (11 + ik)2 - I1I sen2 ()! ni sen2 8[ + 2ink, onde usamos novamente a lei de Snell, fz sen ri = n[ sen e! . Em termos da constante dielétrica K = ri2 ,
=
112
-
J.:l -
Igualando as partes real e imaginária, obtemos Kr -
K
I
sen2 ai Ki
= p2 =
-
q2,
2pq,
equações que são quase iguais às Eqs. (17 -51) para n e k. As soluções
CoeficientesComplexos de Fresnel
p
= Á[(Kr
q
= j-H -(Kr - KI sen2
- KI sen2 8d
+ ~-KI
sen2 81)2+
+ J(Kr -
81)
K1
sen2
81)2
K7],
385
(18-72)
+ Kn,
são iguais às da Eq. (17-52) para n e k, com a exceção de que Kr é substituído por (KrKI sen2 81), Dessa forma, p e q são, em regra, versões generalizadas de n e k, que dependem do ângulo de incidência e I' Quando 8 I = O, temos que p = n e q = k. O comprimento de atenuação é dado diretamente ser escrita
por q, de acordo com a Eq. (18-71). A Eq. (18-70) pode
Kr
=N
Cl!.
c
,
(18-73)
sen281'
(18-74)
que define um índice de refração real N(8 1)' N
= JP2+
ni
e dá a velocidade de fase como c/No Partindo da Eq. (18-66), vemos que N satisfaz uma versão real da lei de Snell,
e= n N cos e = p. N sen
I
sen 81;
(18-75) (18-76)
e
Qualquer destas equações pode ser usada para ~ncontrar o ângulo real. Apesar .de N não ser a parte real de n, nem ser a parte real de 8, N cos é a parte real de fi cos e. Com is· to, temos a solução completa para o caso complexo. Os resultados são qma generalização razoavelmente simples do caso real e a aplicação a qualquer problema particular faz-se di· retamente. As Eqs. (18.72) são, entretanto, tão complicadas que, em geral, pouco mais se pode dizer a respeito da propagação num meio condutor com incidência oblíqua, exceto em casos extremos. Por exemplo, quando Ki é muito grande, o caso que leva à fórmula de Hagen-Rubens é
e
e
De acordo com a Eq. (18-74) N}> 1 e com a Eq. (18-75) 8=:=0. A direção de propagação quase não é desviada dentro do meio para qualquer ângulo de incidência, apesar da atenuação ser bastante forte; a velocidade e o comprimento de onda são bastante reduzidos. A profundidade de atenuação que foi definida para a incidência normal vale aproximadamente para qualquer ângulo de incidência. Retomando caso da daquele reflexãoproblema. interna total, completar também ao a solução Aqui podemo;J!Plicar n2 = yK27, K2i =osO;resultados porém, cospara ê2 > 8c. (Restauramos agora o índice 2.)
é imaginário quando 81
= Jl ê 2 = iJ (sen e ti sen eY -
cos ê2 cos
= J~n28;
1,
(n1/n2)2
sen281,
(18-77)
386
Ondas em Regiões de Comomo
pois sen 8e
= nZ/n1'
Combinando as Eqs. (18-77) e (18-69), encontramos
= inzJ'(8eri~/senOJz
nz cos êz
- 1=
P
+ iq,
de modo que p
= O,
(18-78)
[O mesmo resultado é dado pela Eq. (18-72).] Com a Eq. (18-78), o coeficiente de Fresnel para a reflexão s polarizada, Eq. (18-28), toma-se _ n1 COS 01 - iq
= -"-----"-;- ..
r1Zs
n1
COS
01
+ Iq
O numerador
que
7128
é o conjugado complexo do denominador tem a forma z*
para qualquer e 1 > ec, de modo
z
r12s -
Portanto Rs
=
1-
r12s
IZ
=
= 1.
r1Zsr12s -*
Do mesmo modo, é evidente, conforme a Eq. (18-33) que R p = 1 para todo e 1 > ec' Não calculamos T no caso complexo, porém a conservação da energia requer T = O quando R = 1. Por outro lado, os coeficientes de transmissão de Fresnel t12 não são nulos; há campos E e B que não se anulam no meio 2. Este aparente paradoxo é resolvido mais facilmente encontrando-se K2. Com p = O na Eq. (18-74), (18-79) O índice de refração real, N, do meio 2 varia entre n2 e n 1 quando B 1 cresce desde ec até rr/2,
(18-80) Da Eq. (18-76), comp =O,N=I= O cos
e = O,
(18-81)
para qualquer ângulo de incidência B1 ~ Bc. Isto é, K2r é sempre paralelo à interface e, como conseqüência, não há fluxo de energia perpendicular à interface no meio 2. Já sabemos que K2i é perpendicular à interface. Há atenuação da amplitude da onda nesta direção, segundo a Eq. (18-71), uma vez que q =1= O. O comprimento de atenuação é o = 1/K.zi>
c
C
b
1
= wq = ;;z-~)(se~e1/sen
de acordo com as Eqs. (18-71) e (18-78). Substituindo zindo o comprimento de onda "2 /2n = c/Nw, obtemos _
o
=-
-
2nJ1="
8e)Z
n2
).z
--
_u
._u
(sen Oe/se;;-OJz'
por
--1'
(18-82)
N da Eq. (18-79) e introdu-
Reflexão e Transmissão por uma Camada Delgada
387
o comprimento de atenuação tende ao infinito à medida que 81 se aproxima de 8c (mas então, naturalmente, nossa suposição de uma geometria semi-infinita idealizada torna-se irreal). Quando 81 se aproxima de 1T/2, ó se aproxima de Àz/21T cos 8c' que para o vidro-ar é Àz/4,68. Dessa forma, o procedimento para 81 > 8c é urna extensão razoável do procedimento para 81 :::;: 8c: à medida que 81 aumenta até 8c, R e 8z aumentam; em 8c, R = 1 e 8z = 1T/2. Quando 81 aumenta além de 8c, R permanece igual a 1 e o ângulo real de refração permanece igual a 1T/2, mas a penetração infinita no meio 2 é gradualmente reduzida a uma fração de comprimento de onda. Ao mesmo tempo, a velocidade de fase e o comprimento de onda no meio 2 diminuem a partir dos valores característicos do meio 2 até os característicos do meio 1. Dois outros aspectos interessantes merecem atenção: a onda incidente, linearmente polarizada, se toma elipticamente polarizada na reflexão, por c:.ausados 'IZ8 e '12p complexos (porém diferentes), e a onda não transversal no meio 2 Ezp tem uma componente longitudinal.
e
18-5 REFLEXÃO E TRANSMISSÃO POR UMA CAMADA DELGADA Corno um problema de valores de contorno mais realístico e mais complicado, consideraremos agora duas superfícies de descontinuidade, planas infinitas e paralelas. Isto representa uma placa de material limitada em ambos os lados por meios semi-infinitos, que podem ter propriedades diferentes um do outro. À esquerda do plano z = O, suporemos o meio 1; à direita do plano z = d, o meio 3; entre eles, o meio 2. Uma aplicação direta das condições de contorno a cada um dos dois planos de descontinuidade, modeladas de acordo com os cálculos da Seção 18-2, oferece soluções para os campos E e B em cada uma das três regiões. (Veja o Problema 18-11.) Um procedimento alternativo, que leva à mesma resposta, está baseado nos resultados já obtidos na Seção 18-2, e este procedimento é mais informativo em certos aspectos. A idéia consiste em considerar urna onda incidente no meio 1, que é parcialmente refletida e parcialmente transmitida na primeira interface; a onda transmitida é parcialmente refletida e parcialmente transmHida na segunda interface; esta onda refletida volta à primeira interface, onde é parcialmente refletida e parcialmente transDÚtida, e assim por diante. Como os coeficientes de Fresnel, que já deduzimos, dão as frações refletidas e transmitidas em cada interface, precisamos apenas somar todas as diferentes contribuições à onda resultante, refletida de volta ao meio 1 e à onda resultante, transmitida para o meio 3. Apesar deste procedimento soar corno infinito, é na verdade razoavelmente simples. O único problema novo, encontrado antes da adição das ondas, consiste na exigência de que se somem as diferentes amplitudes com suas próprias diferenças de fase.* Em cada instante que uma onda fizer outra atravessar a camada, a fase varia por causa da variação de K2 • r no expoente. A situação é ilustrada na Fig. 18-7. Dois raios incidentes, perpendiculares à frente de ondas plana no meio 1, atingem a superfície anterior do meio 2. Um deles é parcialmente refletido em X; o outro é parcialmente refratado em O, parcialmente refletido pela superfície posterior, em Z, e parcialmente refratado em X para
*
Supomos que a camada seja. na verdade, suficientemente fina e polida de modo que as diferenças de fase coerentes entre todas as múltiplas ondas sejam significativas. Uma das vantagens do presente procedimento é que se tal suposição não for válida e as diferenças de fase forem mais ou menos aleatórias, o procedimento da soma a ser desenvolvido é ainda aplicável, contanto que seja aplicado às intensidades da onda ao invés de às amplitudes.
388
Ondas em Regiões de Contorno
x
x
Figura 18·7 O raio que penetra no meio 2 em O é refletido pela superfície posterior e reemerge para combinar-se com o raio que é refletido em X.
reemergir no meio 1 e combinar-se com o primeiro raio. Como a fase é a mesma nos dois pontos da frente de ondas O e O', devemos calcular a diferença de fase entre os dois percursos O'X e OZX. Este cálculo não é muito difícil quando o meio 2 é um condutor e, as-
e
sim, faremos com que seja o ângulo de refração, o ângulo real encontrado ção; para um não condutor = 82• A diferença de fase é
e
13
Decompomos
= 2K2
onde
Agora
1\:1 •
[2 em componentes f2
é perpendicular
• f2 -
a 1\:1 = K I lil . Então
= xi + dk,
fi'
na última
se-
Reflexão e Transmissãopor uma Camada Delgada
de acordo com a lei de Snell e _ f3
=
K2 •
k
= K2 cos
2dK2
COS
82
ê2
389
de forma que w _
,
= 2d
-
e
fi2 COS 82-
(18-83)
De acordo com a Eq. (18-69)
f3
w =
+ iq).
2d -- (p
e
(I 8-84)
~um meio não condutor p = n2 cos 82 e q = O para todos os ângulos de incidência. Num meio condutor, com incidêncja normal, p = n e q = k. A parte real de ~ dá o desvio de fase real e a parte imaginária de ~ dá a atenuação resultante de uma ida e volta através da pIaca. Para somar todas as contribuições ao coeficiente de reflexão da amplitude resultante t, usamos os coeficientes de Fresnel para cada interface juntamente com o desvio de fase ~. Os coeficientes de FresneJ são diferentes para a polarização se p, porém suprimiremos os índices s e p, no momento, lembrando que as duas polarizações devem ser tratadas separadamente. Vemos, pela Fig. 18-8, que:
, = '12 + i12'23
+ il2'23
i21 eifJ
= '12 + il2r23i2leifJ[1
'21 '23 i21 e2if!
+ r21r23eiP +
+ ...
(r2Ir23eitJ)2
+ .. -).
Como 1
1+ z
+ Z2 + ... = T _
z'
Usando as identidades das Eqs. (18-55) e (18-56), obtemos _
r 12
r=--
+ r 23 eiíJ
1+
r12r23e
.-:-Tp-
(18-85)
Um cálculo semelhante fornece a amplitude resultante transmitida para o meio 3:
i i e(l/2)itJ i = __ 1.2_E-_.o 1 + r12r23eJ{i
.
(18-86)
Observe que os numeradores dão o efeito da superfície anterior e posterior, cada uma atuando sozinha, e o denominador explica todas as reflexões múltiplas efetivas. Uma vez que admitimos os meios 1 e 3 como não condutores, podemos calcular a intensidade resultante da reflectância e da transmitância: n3
T=-nl
R=rr*,
cos 83 --tt*.
COS 81
Estes são diferentes para polarizações se p. Para uma chapa não condutora R
+ T=
1,
(18-87)
390
Ondas em Regiões de Contorno
l r~:3l1~e
'1"i;:l
Figura 18-8 Reflexões e transmissões múltiplas de um raio incidente, de amplitude unitária. Cada amplitude é especificada pelos coeficientes de Fresnel e pelo retardamento de fase (3.
porém, para um condutor
R+T+A=l,
(18-88)
uma vez que a energia pode ser absorvida no condutor por aquecimento Joule. Para um condutor, as Eqs. (18-87) tomam-se extremamente complicadas quando expressas em termos de n e k, mesmo à incidência normal. Elas são, contudo, importantes porque medidas de R e T em finos filmes de metal fornecem um método para determinar experimentalmente as constantes óticas. Cálculos por computador são necessários para resolver as equações de n e k em termos dos valores experimentais de R e T. A transmitância T é proporcional a fi * e i i * é proporcional a e(1/2)iile-(1/2)iti*
= e(1/2)i(ti-il*) = e - 2d(wiclQ.
À incidência normal, q = k, de forma que T contém o fator
Reflexão e Transmissão por wna Camada Delgada
onde o do que
= c/kw é a profundidade
de atenuação. Se o meio 1 for o ar, w/c
391
= 211/"1' de mo-
Em metais (k :::;2) e luz visível (;\1 :::;5000 Â), d deve ser menor do que 1000 Â, aproximadamente, para a transmissão apreciável de luz. Quando este fator exponencial for pequeno, o denominador nas Eqs. (18-85) e (18-86) será aproximadamente 1. Em não condutores, q = O (exceto na reflexão interna total), de forma que não há atenuação motivada por este fator, porém as equações ainda antecipam alguns efeitos interessantes. Para {3e todos os coeficientes reais de Fresnel, R -
~i~±!~0 +
- 1 + ri2ri3
~co~f
?Cl~2~r23 2r12r23
cos
f3'
(18-89) .
..\ incidência normal,
Suponhamos que o meio 1 seja ar com nj = 1, o meio 3, vidro com n3 = 1,5 e o meio 2, uma fina camada de material com nz = 1,3. Então 0,0221 + 0,0186 R=-------, 1,0001 + 0,0186
cos {3 cos {3
{3= 4nflz (d/;\I) = (16,3 (d/;\j). Dessa forma, R varia entre 0,040 e 0,004, com os máximos* em múltiplos inteiros de {3= 2, ou d/;\j múltiplos inteiros Qe 0,39, como é mostrado na Figura 18-9. O aspecto mais interessante deste resultado ~ expresso por R que pode ser menor que rfz = 0,017, reflectânCÍa apenas da face anteriçH; este tipo de efeito pode ocorrer somente por caUsa da interferência destrutiva. A variação de R é entre riJ = 0,040, valor sem qualquer camada de revestimento, e algo menos que rª3 = 0,005, valor somente da face posterior. Na realidade, o valor mínimo de R poderá tornar-se igual a zero se puder ser encontrado um material tal que n2 = ~. (Problema 18-10.) Tira-se partido deste efeito na produção de lentes não refletoras. Ás lentes de câmeras são freqüentemente reeobertas para possuírem reflectância quase nula próximo do centro do espectro visível: a condição para um mínimo não se aplica, no entanto, às extremidades vermelha e azul do espectro e assim as lentes têm uma aparência púrpura quanlio vistas através de sua luz refletida. As cores também dependem do ângulo de visão pois, Para incidência oblíqua, {3= 411nz cos 6z(dj)....d. Se nz for maior que n1 e n3, R variará entre um mínimo de rr3 e um máximo que é maior que TIz e r~3' O comprimento de onda, em que ocorre um mínimo ou um máximo, depende da espessura d da camada; se esta variar de ponto a ponto sobre o filme, assim o farão os comprimentos de onda predominantemente refletidos. Tal variação explica as cores das bolhas de sabão e dos filmes de óleo que flutuam na água.
Observe que as posições dos extremos da Eq. (18-89) são exatamente * em cálculos elementares que levam em consideração apenas á uas reflexões.
as mesmas encontradas
392
Ondas em Regiões de Contorno
/tI I
a ,04
R
=
1
"3 ~ 1,5
1
I
o2l
O
'
I
r _ u
r--
"--
a,5
Figura 18-9 Efeito de interferência na retlectância de uma interface de ar-vidro recoberta com uma espessura d de material com nz '" 1,3.
1,0
Outro efeito interessante ocorrerá em camadas não condutoras se nz for menor que à reflexão interna total quando houver somente uma interface. Poderíamos supor primeiramente que se toda a energia fosse refletida, a presença de uma segunda interface não faria diferença. Suposição errada, entretanto; o campo sempre penetra uma profundidade média 5 no meio 2. Uma segunda interface estragaria a ref1ectância perfeita e haveria uma onda transmitida com T = 1 -~. Este efeito é denominado reflexão total fnlstrada. Apesar de n I, n2 e n3 serem reais, 1]2 será complexo quando I] ] > I]c, tomando os coeficientes de Fresnel complexos. Encontramos para a polarização s .
nl. E o caso que leva
rl2
= ~_c()s
(}I -
nl cos (}I
+
~q,
(18-90)
lq
onde q
=
f12.J(Sen-EF;7senOJ2
-
T
(18-91 )
= \./0~-;~~-(}Y-=-n1 de acordo com a Eq. (18-78) (para ambas as polarizações), com sen e c = n2!n do '12 na forma polar, f12 = If12leiQ:, encontramos que If121 = 1. Assim
onde tan
Y.
l'
Escreven-
=-1m (Tl2) --Re (1-12)
- 2n1 -(f11
COS 81 2
cos (}d
q
- q
2'
(18-92)
Propagação entre Placas Condularas Paralelas
393
simplificando, que o meio 3 é o mesmo Pelo mesmo argumento, 1'231 = 1. Admitiremos, que o meio 1 (por exemplo, um segundo prisma de vidro. com uma camada de ar entre os dois). Então '23 = '21 e como '21 = -'12 identicamente, (18-93) Conforme
a Eq. (18-84)
~ j3
=
w 2d
C
(p
+ iq),
e encontramos, na Eq. (18-78), que p = O, de forma ginário. Por conseguinte, escrevemos
que ~ = i2dq(w/c)
é puramente
d
"= uma vez que q(w/c) mos
2dq(w/c)
= 1/8 da Eq. (18-82).
=
ima-
(18-94)
2 ~'
Substituindo
agora estas na Eq. (18-85),
obte-
Finalmente
T
=
1-
R = --- 2(1---- cos - 20:)e-' 1 + e - 2,' - 2e -, cos _u
__
-
(18-95)
--
•
20:
Observemos que para nj e n2 dados, o: depende apenas do ângulo de incidência 81 ; ele va· ria de O a 7f enquanto que 81 aumenta de 8c até 11/2. O expoente 'Y depende da espessura d (bem como de 81 através de 8). Se 'Ynão for muito pequeno, T~2(1
(18-96)
- cos 20:)e-1dÔ.
Notemos que o é proporcional a À, de forma servada com microondas numa escala maior.
a que a reflexão
total
frustrada
possa ser ob-
18-6 PROPAGAÇÃO ENTRE PLACAS CONDUTORAS PARALELAS Ondas dirigidas são outro problema de que se pode tratar através da consideração da interface entre uma onda incidente e uma onda refletida ou, alternativamente, partindo-se de um novo problema de valores de contorno que satisfaz, simultaneamente, as condições em múltiplos contornos. Iniciamos, novamente, com o primeiro procedimento. Estamos agora interessados na onda que se propaga num meio dielétrico, digamos ar. limitado por superfícies condutoras. Guias de onda para microondas são uma aplicação deste problema. Para simplificar, idealizamos a condutividade do metal como sendo infinita. O g infinito significa Ki infinito para o metal, o que significa fl2 infinito nas Eqs. (18-28) e . (18-33). Dessa forma, '12s = -1, '12p = + 1, para a reflexão num plano perfeitamentt1 Rn = 0.9995 condutor, com qualquer ângulo de incidência. Efetivamente, encontramos para a prata com um comprimento de onda de 3 em, de modo que a aproximação poderá ser útil. Além disso, o meio dielétrico considerado será o vácuo.
394
Ondas em Regiõesde Contorno
Como uma preliminar ao estudo dos guias de onda, consideraremos agora a propagação de ondas eletromagnéticas na região entre duas placas paralelas, perfeitamente condutaras. A região em que a propagação da onda será tratada é a que mostra a Fig. IS·10. Como as direções x e z são fisicamente indistinguíveis, nenhuma generalidade se perderá se considerarmos apenas ondas com vetares de onda no plano yz - especialmen te, as que formam um ângulo e com o eixo y no plano de incidência. Estas ondas atingirão a superfície condutora perfeita em y ==a e serão refletidas como ondas cujos vetares de propagação formam o ângulo e com o eixo y negativo. Essas ondas quando refletidas uma segunda vez, pela superfície em y == 0, se tomam ondas do primeiro tipo novamente. Dessa forma, vê-se que a propagação entre dois planos condutores paralelos pode ser descrita em termos dos fatores exponenciais cos 8+ zsen8)-
ei[K(Y
(18-97)
wlj
e eí[K(-
Y
cos e + zsen8) - wl] .
z
y
Figura 18-10 Propagação da onda entre dois planos paralelos, condutores perfeitos.
x
Para tais ondas, há duas polarizações possíveis, que podem ser expressas, dizendo-se, para a s polarizada, que E é paralelo ao eixo x e para a p polarizada, que H é paralelo ao eixo x. Estas são conhecidas respectivamente como as ondas TE, transversal elétrica, e TM, transversal magnética, na terminologia do guia de ondas. Somente consideraremos aqui as ondas TE. O tratamento das ondas TM será deixado como um exercício. O campo elétrico na região entre os dois planos condutores no caso TE é dado por
E
= i{E1ei[K(ycos8+=sen81-wI!
+ E'lei[K(-ycos8+zsen8l-w11}.
(18-98)
Este campo elétrico deve anular-se em y = 0, pois Et se anula nos limites de um condutor perfeito. Condição evidentemente satisfeita para todo z, e todo t, se E 1 == - Eí == E, como é dado por 's = -1. Então E é dado por E
= iE(eiKYCOSe
Além disso, E deve anular-se em y ção
==
-
a para todo z e todo
Ka cos
Assim, para uma freqüência dada w,
K
(18-99)
e-iKYCOse)é(KZsene-wl).
e
= nn.
t. Esta
exigência impõe a condi(18-100)
= w/c e o ângulo que as ondas formam com o eixo
Propagação entre PlacasCondutoras Paralelas
395
Y são fixados pela Eq. (18-100). Com este ângulo fixo, a velocidade aparente na direção zé t:p = c/sen e, que é sempre maior que a velocidade da luz no espaço livre. Esta aparente contradição da teoria especial da relatividade será exposta com mais detalhes posteriormente. É convenien~ expressar a variação do campo elétrico nas direções y e z em termos de comprimentos de onda, como segue:
2n
) = -~--u
/(
(18-101)
sen e
na direção z e
,1c=_2~K cos e na direção y _ Em termos destes comprimentos
,10
cos e
(18-102)
de onda, o campo elétrico, Eq. (18-98), é* (18-103)
ao passo que a Eq. (18-100) toma a forma a
n
-
Segue-se imediatamente
(18-104)
2
)'c
pelas Eqs. (18-101) e (18-102) que 111
- +-,12 = -.,12
,12 9
c
(18-105)
o
Se o valor Àe = 20, correspondente a n = 1 na Eq. (18-104), for considerado, então, enquanto Ào crescer, isto é, enquanto w decrescer, se alcançará um ponto onde l/À~ deverá ser negativo para satisfazer a Eq. (18-105). Neste caso, o coeficiente de z na Eq_ (18-103) será imaginário e a exponencial, ao invés de oscilar em z, tornar-se-á uma exponencial decrescente. Em outras palavras: se Ào > 20, a onda eletromagnética será amortecida exponencialmente em z, ao invés de se propagar. Se n for tomado como sendo 2, en- . tão Àc = 20/2 = a e o comprimento de onda mais longo que se propagará será a_ A razão para o índice c não é evidente; significa "corte". O comprimento de onda de corte é o comprimento de onda mais longo que se pode propagar em um modo dado (valor de n). A velocidade vp' encontrada anteriormente, sempre excede a velocidade da luz e, realmente, toma-se infinita quando o comprimento de onda no espaço livre se iguala a Àe, isto é, quando e = O. Esta velocidade é a velocidade de fase, que significa a velocidade de um ponto de fase constante sobre a onda. Sem nos alongarmos sobre os aspectos relativísticos da questão, isto representa uma aparente contradição do postulado que afirma que nenhum sinal se pode propagar com uma velocidade maior do que a velocidade da luz. A solução desta aparente dificuldade baseia-se no fato de que a energia se propaga pelo guia com uma velocidade menor que a da luz, ou seja, com a assim chamada velocidade de grupo. Sinais se transmitem com a velocidade de grupo; e não com a velocidade de fase. Para determinar a velocidade da energia de propagação, calcularemos a densidade de energia. Esta densidade de energia multiplicada pela velocidade de grupo fornece o fluxo *
Eo foi escrito em lugar de 2iE.
396
Ondas em Regiões de Contorno
de energia, ou o vetor de Poynting. Assim, dividindo o vetor de Poynting pela densidade de energia, obtém-se a velocidade de propagação da energia. Este resultado é uma generalização da Eq. (17-35). A indução magnética no guia é facilmente obtida de àB (18-106) V x E = ---. ôt Usando a Eq. (18-103) mente B(r, t)
= jEo
para E e supondo que B(r, t) = B(r)e-iwt,
2~ sen ~~X wÀg
+ ikEo .3.~.cos
ei[(2.:=I; .• J-wtj
Ac
2~X
WAg
encontramos
ei[(2rrz!.' .• 1-wtJ.
rapida(18-107)
Ac
A densidade de energia é
= -i(E
u
. D
+B
(18-108)
. H),
ao passo que o vetar de Poynting é
S=ExH.
(18-109)
A notação complexa foi usada para E e B, com a suposição implícita de que a parte real de cada expressão deve ser considerada. Ao se calcular u e S, as partes reais deveriam ser tomadas e multiplicadas uma pela outra. Contudo, como as quantidades a serem usadas no cálculo da velocidade de grupo são as médias temporais das Eqs. (18-108) e (18-109), a Eq. (17-37) pode ser utilizada para evitar que se tomem as partes reais. A densidade de energia, tomada em média em relação ao tempo, é ü
=±
Re [E* . D
+
1
J.1o
EóEo
*
[to EóEo
sen2(~rl')
('~.~,)2 sen2 (2~~) WAg Ac
+ - . EoEo J.1o 1
+ B*' H] = ± Re
(18-110)
cos- ,'" . Ac 1 (21'CV)]
-, WAc (21'C)2
A integral na direção y, através do guia, substitui
efetivamente
cada sen 2 (21TY /Àc) e
cos2(21TY/Àc) por a/2. Assim,
I• a '0
üdy=±EóE02'
= ±E~Eo A média temporal da componente 5=
= ~ Re
J.10 W a [ tO+-'-2 1 4n:2
12
( "-g 1
(18-111)
to a.
z do vetor de Poynting é E;Hy (18-112)
-
2
_1. -_
Re
'2IE*
oEo
Eo sen
[*
.21'C -JlOWÀg
", Ac (21'CY)
-. Eo --;- sen --;-1
J.1o
sen2 (2nv) .---Àc'
WAg 21'C
Ac (21'CY)J
Propagação entre Placas Condutoras Paralelas
Integrando esta expressão de y = O até y = a, obtemos primento unitário na direção x) que percorre o guia: .a _
1
,_
*
J10 WJ'g
A velocidade de propagação da energia é o quociente (18-111). Dessa Íorma 2n L'
9
= ---
io /10
a potência média total (por com-
2n
I S=d)-4EOEo.-a,
'0
397
(18-113)
da Eq. (18-113) dividida pela Eq.
(18·114)
•
WJ'g
Observamos. através da Eq. (18-101), que À.g é maior que À.oe, em conseqüência, wÀ.g/2rr é maior que c, o que torna evidente que vg é menor que c.
"
Este ponto move-se - na direção z com velocidade vp > c ",
"-
' " "~,".. ..,"" , ,,..
'
, ,. , -,
"}X'" . e"
,
-.--
fi
~
()
,
,,~ "
"-
"-
Frentes de onda
"-
"
fi
Figura 18-11 Movimento detalhado das frentes de onda durante a propagação de ondas entre planos condutores.
= a
Nossa compreensão da diferença entre a velocidade de grupo, vg, e a velocidade de fase, vp, pode ser aprofundada observando que, conforme a Eq. (18.101), Àg = À.o/sen e. Usando este resultado na Eq. (18-114), encontramos 1'g
= c sen e,
vp
= sen e'
(18-115)
e já tínhamos visto que c
(18-116)
De imediato, é evidente que v9 vp
= c2
,
(18-117)
que é, em geral, verdadeiro na propagação em um g~ia de ondas. (Observe que a Eq. (18-117) não se aplica, necessariamente, a outros tipos de propagação de ondas, em parti. cular, não se aplica a ondas planas em meios não dispersivos não limitados, onde as velocidades de fase e de grupo são idênticas.) Recordando que e é o ângulo entre a direção de propagação de uma das ondas componentes e o eixo y, lOma-se mais simples representar a Fig. (18-11), que mostra uma seção no plano yz, da região entre os planos condutores. A
398
Ondas em Regiões de Contorno
interseção de uma frente de ondas com o eixo z se move com a velocidade vp ::::c/sen e; entretanto, a componente de c ao longo do eixo z é c sen e ::::vg• Muitos resultados obtidos para o simples guia de ondas de placas paralelas permane· cem em casos mais complexos. Especialmente, o guia de onda retangular comum tem propriedades bastante semelhantes. Na próxima seção, serão considerados muitos aspectos gerais de outros guias de ondas, com referência particular aos guias retangulares. 18-7 GUIA DE ONDAS Mostramos, na Seção 16-4, que E e H satisfazem ambos a equação de onda no espa· ço livre, isto é, a2E 'Ç2E -
EoJio
Para ondas monocromáticas, tornam-se
= 0,
~
ot
(18-118)
isto é, ondas da forma E(r,
t)::::
E(r) . e -iwt, as equações
(18-119) Além dessas equações de onda, devem ser satisfeitas as equações de Maxwell. No caso transversal elétrico (TE) propagando na direção z, Ez ::::O; além disso, ondas que se propagam na direção z possuem as cinco quantidades de campo restantes proporcionais a ei21TZ()..g. As equações do rotacional de Maxwell neste caso são
cEy _--=-
aE x·
ex - -§y- -
lJiowH~
Ex
v x
H
+ iEowE =
(a)
= 0, = + l!:.o5ll;.g 2n H Y'
(b)
(18-120)
O:
(a)
2ni
êH.
-,Hx - ;;----Ág uX +
=
O.
aHy _ ~Il.x.=
O.
êx
iEo
wE,
(b)
(18-121)
(c)
cy
:f evidente que (a) da Eq. (18-121) e (b) da Eq. (18-120) implicam ~cy H. z
=
(21ti ..1.g
_ i ~o Jio2n w2 Àg ) H Y'
(18-122)
Guia de Ondas
399
e, por isso, Hy poderá ser achado se Hz for desconhecido. De maneira semelhante, de (c) da Eq. (18-120) e (b) da Eq. (18-121),Hxpode ser obtido a partir de Hz. Finalmente,Ex e Ey estão relacionados simplesmente com Hy e Hx por (b) e (c) da Eq. (18-120). Assim, se Hz for obtido, todas as outras quantidades de campo poderão ser encontradas por derivação. O próprio Hz deve satisfazer a Eq. (18-118); por conseguinte, conhecendo a depenescrevemos dência de z de ei21rZ/Àg, ?_2H=ex2
Resta determinar Eq. (18-123).
+ 22.Hz 2y2 +
(W2 c2
_
4~ ;.:
)H_ •
= O.
(18-123)
apenas as condições de contorno a serem impostas sobre as soluções da
z
Figura 18-12 Propagação da onda no interior de um cilindro condutor.
Se considerarmos um guia cilíndrico geral com paredes condutoras perfeitas, como mostrado na Fig. 18-12, as condições de contorno apropriadas exigem que a componente tangencia1 de E e a componente normal de B se anulem em S. A componente tangencial de H e a componente normal de D são arbitrárias. A imposição dessas condições dá origem à uma relação conectando Àg, W e as dimensões do guia, exatamente como a Eq. (18·105) faz no caso do plano paralelo. Para compreender melhor o procedimento, consiàeremos o guia de ondas retangular mostrado na Fig. 18-13. A Eq. (18-123) pode ser separada pelo método usual da separa-
Pi I
,
, , I I
, I ,
-y
~
-bm.J/ Figura 18-13 Guia de ondas retangular.
400
Ondas em Regiões de Contorno
ção de variáveis. A solução geral consiste numa soma de termos da forma Hz(x,
y, z)
=
(A cos
+C
KxX
+B
COS KyY
sen K,X cos
KyY
cos
+D
sen
KxX
sen
KxX
KyY
sin
(18-124)
Kyy)e21riZ!;.g,
com (18-125) A partir deste Hz, obtemos E x: Ex
= _ flo 2n WAg,
:1[1
( )Â.g .
-i
~llo2nW 2_~g1
_,~ ) - I àH ày
.
(18-126)
A derivada parcial muda todo cos KyY num sen KyY, e vice-versa. Entretanto, como Ex deve se anular em Y = O e em Y = b, somente termos envolvendo sen KyY podem sobrar em Ex e estes termos devem ter Ky = mr/b. Dessa forma. somente termos em cos KyY sobram na Eq. (18-124). Um argumento semelhante mostra que apenas os termos em cos KxX podem sobrar e que estes devem ter Kx = mrr/a. As soluções de Hz permitidas, isto é, aquelas que fornecem componentes tangenciais de E que se anulam no contorno, têm a forma
=
H Z
A
cos
mnx nnv, - cos - r1r'·"·'.
'_,o
a
b
(18-127)
Cada par possível de valores de m e n denomina-se modo. A notação TEmn é usada para modos da forma da Eq. (18-127); TE significa transversal elétrica, nem indicam o número de meias ondas nas dimensões mais curtas (n) e mais largas (m). Retomando ago ra à Eq. (18-125) e usando K x = mrr /a e K y = nrr /b, obtemos (18-128) o que mostra claramente que, para Ào fixo, o comprimento de onda do guia e, conseqüentemente, a velocidade do guia, ug = cÀo/Àg, dependem do modo. Vemos também que existem comprimentos de onda máximos para a propagação de vários modos. Evidentemente, se Ào for suficientemente grande, (2rr/Ào)2 será menor que (mr/b)2 + (mrr/a)2. Neste caso, o lado direito da Eq. (18-128) torna-se negativo e conseqüentemente o valor de Àg será imaginário. Isto conduz antes a uma atenuação do que a uma propagação. Os guias de ondas retangulares são, por extensão, utilizados na transmissão da potência de microondas. É comum escolher um tamanho do guia de ondas tal que somente o modo TElo se propague no guia, na freqüência desejada. As dimensões internas comuns de um guia de onda são: 1,01 cm x 2,28 em. O com primen to de onda máximo que se propagará no modo TEla é obtido, fazendo m == 1, n == O, a == 2,28 em e b == 1,01 em na Eq. (18-128). O resultado: Ào, má.x = 4,57 cm é obtido, fazndo Àg= 00; comprimentos de onda maiores não se propagarão, porém comprimentos de onda menores o farão. O modo com o menor comprimento de onda de corte seguinte é TEll ou TE2o, dependendo das dimensões do guia. Se b < ai yf3 o comprimento de onda de corte do TEzo será maior que o do TEll' O cálculo do comprimento de onda do TE20 é muito simples; é justamente metade do comprimento de onda de corte do TEla, ou 2,28cm. As imperfeições nos guias de ondas fabricados e as elevadas perdas próximas do comprimento de onda de cOfte do TElo tomam necessário restringir a banda TE 10 dos guias de ondas comerciais aos limites práticos de 2,42 a 4,35 em.
Ressonadores de Cavidade
401
18-8 RESSONADORES DE CAVIDADE Outro tipo de dispositivo intimamente relacionado com os guias de ondas e de considerável importância prática é o ressonador de cavidade. Os ressonadores de cavidade exibem as propriedades típicas dos circuitos ressonantes quanto à forma com que armazenam energia em campos elétricos e magnéticos oscilantes; além disso, ressonadores de cavidade práticos dissipam uma fração da energia armazenada em cada ciclo de oscilação. Todavia, com respeito a este último, os ressonadores de cavidade são geralmente superiores aos circuitos LC convencionais por um fator de vinte, aproximadamente, isto é, a fração de energia armazenada dissipada por ciclo num ressonador de cavidade fica em torno de l/20 da fração dissipada por ciclo num circuito Le. Uma vantagem adicional consiste no fato de que ressonadores de cavidade de tamanho prático possuem freqüências ressonantes que variam acima de algumas centenas de megahertz - justamente a região onde é quase impossível construir circuitos LC ordinários. O ressonador de cavidade mais simples é um paralelepípedo retangular com paredes perfeitamente condutores. Nesta cavidade, as condições de contorno apropriadas consistem na anulação da componente tangencial de E e da componente normal de B nos contornos. A componente tangencial de H e a componente normal de D são arbitrárias. Os campos elétrico e magnético devem satisfazer as equações de onda (18-118); dessa forma, E x deve satisfazer (18-129) Se a cavidade consistir na região limitada pelos seis planos x = 0, x = a;y = 0, y = b; z = 0, = d, então Ex deverá ter a forma
Z
(18-130) com "y = mn/b e "z = nn/d, para que Ex z = d. Além disso, Ex sozinho não pode ser te, pois voE deve se anular para satisfazer a situação é semelhante e as soluções tomam
com Ky e equação
Kz
Ey
= E2
Ez
=
sen
KxX
E3 sen
KxX
como na Eq. (18-130) e
"x
se anule em y = O, em z = 0, em y = b e em solução, a não ser que fI (x) seja uma constanuma das equações de Maxwell. Para Ey e Ez as formas
f (Y ) sen 2
sen
Ky.v
KzZ
13(z)
e
-
iror
,
(18-131)
e-iror,
= ln/a. Se o divergente de E deve anular-se, a
(18-132) deverá ser satisfeita. Isto se realizará se fI = cos KxEI
li. xX,[2
= cos "yy,
+ KyE2 + KzE3 =
f3
= cos
0,
que é justamente a condição para que K seja perpendicular a E. Retomando onda. é evidente que as freqüências ressonantes da cavidade são dadas por
li. zz
e (18-133)
à equação da
~~~~'-------------402
Ondas em Regiõesde Contorno
2
2
2
~+~+~-~=~
W
2
(18-134)
C
ou (18-135) Uma cavidade típica construída a partir de um guia de ondas cujas dimensões são 1,01 em x 2,28 em, é caracterizada por I = 1, m = O, n = 2 (a chamada cavidade TE102). Sua freqüência ressonante é evidentemente determinada pela dimensão z, d. Muitos outros aspectos do problema do ressonador de cavidade retangular podem ser tratados em detalhe; alguns deles são deixados como exercícios. Outras modalidades de ressonadores de cavidade podem ser construídas; contudo, somente o cilindro circular reto e o paralelep ípedo retangular são facilmente fabricados e acessíveis a um tratamento matemático exato. O tratamento do cilindro circular reto envolve funções mais complicadas que os senos e co-senos, especificamente, as funções de Bessel. Para satisfazer as condições de contorno, deve-se encontrar os zeros dessas funções. Da mesma maneira os zeros dos senos entrarão no problema retangular. Ao invés de entrar na exposição elaborada que resultaria, sugerimos ao leitor interessado que consulte Technique af Microwave Measurements por C. G. Montgomery (New York: McGraw-Hill, 1947) p. 297 e seguintes, onde é feito um estudo breve, mas muito útil, sobre o ressona· dor de cavidade cilíndrico .. 18-9 RESUMO Problemas práticos de propagação de ondas geralmente envolvem limites entre A~ meios diferentes, onde a constante dielétrica complexa K varia descontinuamente. condições, num limite plano único, são expressas pela lei de Snell e pelos coeficientes de Fresnel, que dependem de fz = .JK e do ângulo de incidência. Os problemas que tratarr de limites planos múltiplos podem ser resolvidos pela superposição das soluções de um li mite único e apresentam efeitos de interferência. Meios não condutores constituem urr caso especial de meios condutores em que as partes imaginárias de lê e fi se anulam. 1. As condições de contorno sobre as amplitudes não podem ser satisfeitas, a não'ser qU( a freqüência da onda seja a mesma em cada lado do limite e a fase, igual em todos os pon tos do limite. Em conseqüência, os vetares de propagação das ondas incidente, refletida ( transmitida são todos coplanares com a normal ao limite. e o ângulo de reflexão é igua ao ângulo de incidênciJ, e í = e 1 . A relação de dispersão dá a lei de Snell n1 senel
=n2 sene2·
2. A continuidade das componentes tangenciais dos campos E e H é expressa pelos coefi cientes de Fresnel, as razões entre as amplitudes refletida e transmitida do campo E e ; amplitude incidente. Estas diferem para a polarização se p (vetar E respectivamente per pendicular e paralelo ao plano de incidência). Para a reflexão cos (}l = nl----~~~-
rlz
nz
cos
(}z
+ nz
cos
(}z '
cos 81 - nl - nz ----~--------
COS
82
n1 cos (}I
S
r I
Z
P -
nz
cos 8 I
+ nI
~n
cos 8 z
.
Resumo
403
3. As intensidades refletida e transmitida são calculadas em termos dos coeficientes Fresnel a partir da componente normal dos vetores de Poynting. A reflectância é R
Em meios não condutores,
a transmitância
de
= r12rj2' é
T= 1 -R, e no meio condutor 2, a absorvância é
A=
1 -
R,
como resultado da conservação da energia. Estas equações aplicam-se a não condutores e para incidência normal. Elas prevêem a polarização por reflexão no ângulo de Brewster, a reflexão interna total no ângulo crítico e a fórmula de Hagen-Rubens para a reflectância de radiofreqüência de um condutor. 4. Para incidência oblíqua num condutor, a propagação e a atenuação são descritas por =Nw/c, Ki = qw/c, com os planos de fase constante formando um ângulo com a superfície de separação e os planos de amplitude constante paralelos à superfície de separação.
e
Kr
= n 1 sen e 1/ N .
sen 8
As quantidades p e q são generalizações de n e k relacionadas com (Kr - K 1 sen2 81) e exatamente como n e k com 81 = O. Elas também explicam a reflexão total para ângulos maiores que o ângulo crítico.
Ki
5. Para duas interfaces relativa como
planas e paralelas, a superposição fornece a amplitude
refletida
onde f3
= 2d-
é o desvio de fase (e a atenuação) líqUida será
úJ
c
n2
cos
82
= 2d
úJ - (p
c
+ iq)
em uma ida e volta através da camada. A reflectância
= rr*. R = T + A. R
1-
onde A = O, se a camada for não condutora. Através de {3, R apresenta efeitos de interferência que dependem de (d/À1). Com condução ou reflexão total frustrada,
T_ se d? o, onde o é o comprimento
e-2d!~,
de atenuação.
6. Ondas dirigidas propagar-se-ão sem atenuação (supondo-se contornos perfeitamente condutores) se o comprimento de onda no vácuo, 11.0 = 21TC/W, for menor que um comprimento de onda de corte Àc, que depende das dimensões do guia.
404
Ondas em Regiões de Contorno
onde Àg é o comprimento ção da energia) é vg, onde
de onda da onda dirigida. A velocidade de grupo (da propagaVgVp=c1
Para um guia retangular no modo TEmn,
onde
a> b. Geralmente, restringe-se Ào de forma que apenas
TElO se pode propagar.
7. Em ondas planas que são atenuadas ou dirigidas (e também em ondas esféricas), a amplitude não é constante sobre uma superfície de fase constante. Estas ondas são denominadas não homogêneas. O vetar de Poynting é mais complicado do que para uma onda plana homogênea que se propaga num meio dielétrico.
PROBLEMAS 18-1 Calcule o coeficiente de reflexão de Fresnel para uma onda s polarizada que incide, do ar, sobre um dielétríco segundo o ângulo de Brewster, 61 = e B' Encontre a reflectância se n = 1,5. 18-2 Uma onda p polarizada incide do ar, sobre uma superfície dielétrica, segundo uma incidência próxima da rasante, 6, = -48. Encontre a inclinação da curva R p (6,) quando 8 tende a zero, em termos da constante dielétrica K. 1T
-
18-3 Uma onda p polarizada incide, de um meio transparente de constante dielétrica K, sobre uma superfície de separação de ar, segundo um ângulo ligeiramente menor que o ângulo crítico, 6, = 6 c - li. Aproxime Rp como uma função de 8 quando I) tender a zero e demonstre que a inclinação da CUIva Rp (6,) é infinita em 6 C' 18-4 Suponha que uma fibra ótica tem um índice de refração n = 1,55. Calcule o maior ângulo entre o eixo da fibra e um raio de luz que se propagará ao longo da fibra, se a fibra for circundada pelo ar. Calcule o ângulo, se a fibra for circundada por um meio de índice 1,53. 18-5 Uma onda de luz, com polarização p no ar, é refletida por uma superfície metálica. Calcule Rp supondo que cos 6, ~ 1, como freqüentemente ocorre. Encontre o valor de 6, para o qual Rp é um mínimo. Determine este e 1 e o correspondente Rp se n = 1, k = 6 (apropriado para o alumínio). 18-6 Uma onda plana incide normalmente, partindo do ar, sobre a superfície plana de um metal. Suponha que a freqüência está no intervalo onde n ~ k ;;:. 1. A partir do coeficiente de transmissão de Fresnel, encontre IE1I', logo no interior da superfície metálica. Calcule a dissipação de energia por unidade de volume próximo da superfície e avalie-a se a amplitude incidente for E, = 10 V/cm e a freqüência for f = 10'0 Hz. 18-7 Uma onda, no ar, incide obliquamente sobre uma superfície condutora segundo um ângulo 8" no intervalo de freqüência onde a relação de Hagen-Rubens é válida. Mostre que a Eq. (18-60) é substituída por As
= ~os C111
2 Ap
=k
cos a,
18-8 Uma onda, no ar, é retletida, segundo a incidência normal, por uma superfíCie condutora. Partin-
Problemas
do de r 12s. demonstre que o desvio de fase do vetor E é ti. s
Verifique se este resultado tende ao:. =
1f
=
tan
405
2k
-I --- - --n2 + k2 _
para condutividade infinita.
18-9 Suponha que uma onda de rádio de w = 107 çl é refletida pela superfície da Terra segundo a incidência normal. Calcule o desvio de fase na ref1exão, partindo do resultado do Problema 18-8 e supondo que K = 9, g = 10-4 (.í2m)-1 neste terreno. 18·10 Um meio dielétrico de índice de refração n3 tem sobreposta urna película de índice n, : urna e, onda, que parte do meio di elétrico n1 , incide sobre ele. Demonstre que, 12 ='23' para n2 = ~ dessa forma, R = O para cos {3= -1, para incidência normal. 18·11 Um feixe de luz monocromática (freqüência w), no ar, incide normalmente sobre um filme dielétrico de índice de refração n. A espessura do filme é d. Calcule os coeficientes de reflexão e transmissão como funç<3es de d e n, que satisfazem as condições de contorno em ambas as faces. Suponha que haja ondas se propagando para a direita e para a esquerda dentro do filme, E2 e E;, além das ondas incidente, E, ,refletida, E; ,e transmitida, E3' 18·12 Considere a equação matricial
(~:) = (Cm)(~:::), onde
(Cm)
=_ J_1 tm,m+
(
rm.m+eil1'2lpm 1 e-i(l/2)!Jm
e - 1(1 ei(l!2)pm) /2)fJm r m.m+l
.
a) Verifique se os resultados para uma interface única entre dois dielétricos são dados por
com (31= O. b) Verifique se os resultados para duas interfaces são dados por
com {32= 2d2 (wfc)n2 cos 6,. Convém estender este procedimento das separadas por superfícies planas.
a um sistema de múltiplas cama-
18·13 Uma superfície metálica tem sobreposta uma película dielétrica. Calcule a reflectância R resultante, supondo que o metal seja um condutor perfeito (g = =). 18-14 A radiação incide normalmente sobre um filme metálico, não sustentado no ar. Suponha que o filme é suficientem'ente espesso para que as reflexões múltiplas possam ser desprezadas. Calcule a transmitância T em termos de n e k do metal. 18-15 Considere uma placa dielétrica que seja espessa demais para que os múltiplos feixes refletidos interfiram coerentemente. Some todas as intensidades para encontrar a ref1ectância líquida em termos das reflectâncias R 12 e R23 das interfaces individuais. Particularize o resultado para o caso de meios idênticos em cada lado da placa. 18-16 Encontre a densidade de carga superficial e a corrente por unidade de largura na superfície de um condutor perfeito sobre o qual incidem ondas eletromagnéticas planas, quando o vetor elétrico é (1) perpendicular ao plano de incidência e (2) paralelo ao plano de incidência. 18-17 Determine E e B para ondas TM propagando-se tamente condutoras, em y = O e em y =a.
no plano yz entre duas placas paralelas, perfei-
406
Ondas em Regiões de Contorno
18-18 Considere uma onda TM num guia de ondas retangular (Hz = O) propagando-se no sentido z com comprimento de onda ?cg. Demonstre que E."
=A
mnx sen
a
nnv,· sen --b'
"
e-n'Z""
satisfaz a equação de onda, Eq. (18-123), e as condições de contorno. Qual é a freqüência de corte do modo TMl1 ? Por que não existe o modo TM,O? 18-19 Determine os valores limites da largura a de um guia de ondas de seção reta quadrada que transmitirá uma onda de comprimento" no modo TElo' porém não nos modos TE'I ou TMl1• 18-20 Expresse os campos E e H para o modo TElol de uma cavidade cúbica de lado a. Descreva a natureza das distribuições de campo em todo o cubo.
CAPÍTULO 19 DISPERSÃO ÓTICA NOS MATERIAIS A maneira pela qual uma onda eletromagnética se propaga num meio material linear é totalmente determinada pelas constantes óticas n e k, que dependem somente da constante dielétrica K e da condutividade g do material. Até agora, consideramos como dados os valores destes últimos parâmetros. Fizemos, porém, observações de que os seus valores poderiam depender (na realidade, sempre dependem) da freqüência da onda, variando largamente no intervalo entre c.c. e raios X. Para adotar um critério na aplicação dos resultados da teoria da radiação eletromagnética, devemos saber alguma coisa dos princípios que estão por trás dessa variação, denominada dispersão. Apresentaremos agora um modelo microscópico dos materiais que pressupõem este comportamento. É uma extensão para c.a. dos modelos brevemente estudados nos Capítulos 5 e 7 em c.c. Conhecida como teoria de Drude-Lorentz, baseia-se no tratamento das partículas carregadas, que constituem o material, como osciladores harmônicos clássicos ou como partículas livres. 19-1 MODELO DO OSCILADOR HARMONICO DE DRUDE-LORENTZ Toda matéria comum é composta por elétrons negativos e núcleos positivos. Se dentro dos nossos objetivos, alguns dos elétrons (mais ou menos que Z, a carga nuclear) puderem ser considerados como fortemente ligados ao núcleo e movendo-se com ele, a entidade composta será um íon carregado. Os elétrons, ou os íons, serão tratados como osciladores harmônicos - isto é, partículas presas a uma posição de equilíbrio por uma força restauradora linear. Para generalizar, torná-Ios-emos osciladores harmônicos amortecidos, incluindo uma força de amortecimento linear proporcional à velocidade. Quando uma onda eletromagnética está presente, o oscilador é impelido pelo campo elétrico da onda. * A resposta do meio é obtida somando-se os movimentos das partículas; como as forças supostas são lineares, os K e g que resultam do modelo serão constantes (isto é, independentes de E, apesar de dependerem da freqüência). Aplicado aos elétrons, o modelo descreve os elétrons presos nos átomos, porém elétrons livres podem ser incluídos como um caso especial, simplesmente tornando a constante da força restauradora do oscilador igual a zero.
* A força de Lorentz é F = q (E + v XB), mas para uma onda B = (n!c)E. A força magnética é menor por n (v/c) e será desprezada. Em qualquer caso, a força magnética não realiza trabalho sobre a partícula, uma vez que é perpendicular a v. 407
408
DispersJo Ótica nos Materiais
A equação
clássica do movimento* d2x rn - 2
dt
para o oscilador dx
+G
+
-dt
Cx
amortecido
unidimensional
é (19-1 )
= eEm'
ou (19-2) e Em é o "campo molecular" exposto no onde e e m são a carga e a massa da partícula Capítulo 5. A constante de amortecimento 'Y = Gim tem as dimensoes da freqüência. A freqüência natural do oscilador não amortecido é Wo e está relacionada à constante da da força foi expressa, no Capítulo 5, para elétrons força, C, por mw5 = C. A constante presos das camadas externas, em termos do "raio" do átomo, Ro. No caso estático, x é independente de t, de forma que a Eq. (19-2) se torna idêntica à Eq. (5-12), com e2
w6 Para elétrons com
livres, colocamos
Wo
=-
--3'
(19-3)
4n:EornRO
= O na Eq. (19-2),
que se torna
idêntica
à Eq. (7-31),
"= r
(19-4)
onde T é o tempo médio entre colisões. Valores apropriados de Wo e 'Y para outros casos serão discutidos mais tarde. Para incluir as interaçoes mútuas entre as partículas, suporedo campo E da onda E de acordo com mos o campo impulsor, Em' dependente v
Em
=E +-
p,
(19-5)
Eo
onde P é a polarização
do meio. Mostramos
na Eq. (5-7) que para um dielétrico
isotrópi-
+.
Para um metal, lJ = O. Não é nosso propósito principal lidar aqui com co, não polar, lJ = O difíciL problema da correção do campo local próprio e, dessa forma, o deixaremos. exatamente como lJ e tentaremos eliminá-Ia de nossa demonstração no que se segue. Suporecomo E, senoidalmente da posição e do tempo ou, em forma mos que Em e P dependem, complexa,
Em nossas aplicaçoes, o comprimento ·de onda À = da região em que a partícula se desloca. Por exemplo, a luz visível, À == 5000 Â. Assim, a variação espacial partícula; em outras palavras, podemos supor que K
e o campo
=0,
será muito maior que o tamanho na Eq. (19-3), Ro é 1 ou 2 Â e. para de Em é desprezível nas posições da
211/K
(19-6)
é uniforme,
(19-7) * A mecânica quântica poderia ser·, naturalmente, usada para elétrons. A solução clássica é útil por ser igual à solução quàntica com uma conveniente reinterpretação da freqüência natural Wo'
Modelo do Oscilador Harmônico de Drude-Lorentz
409
Com a Eq. (19-7), as soluções de estado estacionário da Eq. (19-2) são obtidas pelo procedimento bem conhecido da substituição
= xe-iwt
x(t)
e da determinação da amplitude desconhecida.x freqüência w dada. O resultado é
x_ = --.-
(19-8)
de forma que a equação é satisfeita para a
eEm/m
w5 - w2
'-.
-
( 19-9 )
iyw
A amplitude do movimento da partícula é proporcional ao campo impulsor Em e, corno uma função da freqüência impulsora, é especialmente grande para w = Wo (ressonância). Na ausência de amortecimento, a amplitude de ressonância seria infinita e, assim, um modelo real ístico requer algum amortecimento. * No problema do oscilado r mecânico (e também no problema do circuito LRC, que é matematicamente igual) geralmente se expressa o resultado complexo na forma polar para mostrar a amplitude e a fase reais, porém aqui deixaremos isto, por ora. A conexão entre o deslocamento mecânico x das partículas carregadas microscópicas que constituem o material e a resposta elétrica macroscópica do meio é obtida pelo cálculo da densidade de polarização P. O momento de dipolo devido à carga e deslocada é ex (supondo que a carga neutralizante - e permaneça em repouso). Então
P=Nex,
(19-10)
onde N é o número de cargas por unidade de volume. Agora, supõe-se que o campo aplicado, E, (da onda) e a resposta P sejam proporcionais,
P=xE, onde
{= K
{o
(19-11)
+ x,
= 1 + X/{o.
(19-12)
Conforme as Eqs. (19-9) a (19-11)
e as Eqs. (19-5) e (19-11)
Dessa forma, X
1
+ vX/t:o
Ne2/m
~r=wi-"'"iyw
Pela Eq. (19-12)
* Uma solução de estado estacionário também nunca seria atingida sem amortecimento, que a solução uansiente nunca se extinguiria compktarnente.
uma vez
410
Dispersão Otica nos Materiais
de modo que a constante dielétrica adimensional é dada por K -
I + v(K
I
Ne2/Eom
-~-i)
w6-=-
iy~
w2 =-
É conveniente fazer a abreviação (19-13) em termos da qual
-----K -
1
W2 ~
1+v(K-1)
w6 -
w2
-
(19-14)
iyw
Esta fornece a relação procurada entre a constante dielétrica macroscópica K e as propriedades microscópicas das partículas carregadas que constituem o meio. Dois aspectos importantes deste resultado podem ser observados: primeiro,K é complexo; segundo, depende da freqüência. Dessa forma, o modelo mais simples que poderíamos ter erigido automaticamente implica um meio dispersivo, condutor. Antes de expor as conseqüências do modelo, sugeriríamos uma simples generalização, que estendesse sua aplicabilidade ao maior número de materiais reais. Raramente todas as partículas carregadas de um material têm as mesmas propriedades. Por exemplo, podem dividir-se em elétrons e íons, ou em elétrons em diferentes órbitas internas e externas de um átomo, e assim por diante. Se houver Nj partículas de carga ej, massa mj, freqüência de ressonância natural WOj e freqüência de amortecimento li então, seguindo a mesma dedução acima, obteremos K - 1 w2 ~-----= L. " pl (19-15) i WÓi - w2 - Í}'iW 1 + v(K - 1) uo
__
Se todas as partículas tiverem as mesmas carga e massa (por exemplo, se todos forem elétrons em órbitas diferentes), poder-se-á escrever:
K-1
1+-v (K---.
i;
2
1) =
Wp
WÓj
~
-
w2
-
iYiW
onde fi = NdN é a fração de osciladores do tipo i. Como 'LNi = N,
Li; =
(19-17)
1.
deste resultado, 1; é dertominado intensidade do osciLimitaremos nossa exposição aos casos que não dependem das sutilezas da correção do campo local, v. Se o campo local de Lorentz, v = +, for aplicável, a Eq. (19-16) se tomará [Na interpretação
quanto-mecânica
lador e a Eq. (19-17) é chamada de regra da soma f]
-K-112L= 3W K +2
----------.-. p
WÓi
-
i;
w2
(19-18) -
iYiW
Como w;, é proporcional a N, temos uma generalização da equação de Clausius-Massotti. e fácil resolver as Eqs. (19-15) ou (19-18) para K e, tendo em vista outros objetivos, o resultado é útil, embora não elucide a dependência de K quanto à freqüência, que é o principal objetivo deste capítulo. Todavia, se v = O, a Eq. (19-15) se simplificará:
Modelodo Oscilador Harmônico de Drude-Lorentz
I _..
-1 =
K
2
(19-19)
~Pf_~.
w2 -
W6i -
411
i",'iW
Esta também válida, para qualquer v, em freqüências onde K não é muito diferente de l. Além disso, em freqüências onde um dos picos de ressonância da Eq. (19-15) domina todos os outros, podemos desconsiderar v: (K -
1)(w6 - w2
= [1 +
iyw)
-
v(K
-
l)]w~,
de modo que W2
K ~ 1 =----
..... -"-----.
(w6 -
VW~)
w2
-
-
(19-20) iyw
Isto é igual ao pico de ressonância único com correção de campo local nula e freqüência de ressonância efetiva Y w5 - vw~. Portanto estaremos aptos a limitar nossa exposição detalhada da dependência de K quanto à freqüência, ao pico de ressonância simples 2
K_ - 1 =
-- -----.--, wp
w6 - w2
-
(
19-21 )
1}'W
e ainda seremos capazes de aplicar os resultados a muitos problemas práticos. Escrita em termos das partes real e imaginária, a Eq. (19-21) é (D;(w6 - w2)
K ,
= 1 +-----------(w6 - (2)2
+
(19-22)
(j'W)2'
w2yw Kj
= (wr=--wz)Jp-+ (},~)2.
(19-23)
Estas quantidades poderiam então ser substituídas nas Eqs. (17-52), n
= A[K:+
.fi; + Kf].
,+v' /K2+K2] "
k=Jl[-K2
(19-24)
para haver expressões explícitas para a dispersão de n e k como função da freqüência. Os resultados seriam, entretanto, complicados demais para revelar quaisquer aspectos gerais da dispersão. Nas seções seguintes, examinaremos vários casos de interesse prático em que se podem fazer suposições simplificadoras. Antes de proceder a esta exemplificação, comentaremos também o outro aspecto significativo do resultado da Eq. (19-21), a saber, - que k é complexo. Embora o modelo tenha sido erigido para cargas ligadas, o K complexo resultante é característico de um meio condutor. Existe um g::: Kjfo w não nulo, sem a introdução intencional de uma densidade de corrente de condução,]. Além disso, com Wo ::: O para cargas livres, existe ainda um Kr :::K característico de um meio dielétríco. O modelo incorpora, automaticamente, ambas as partes, real e imaginária, de k, correspondentes tanto à corrente de deslocamento, aDlat, como à corrente de condução, J, na equação do rotacional de H de Maxwell. Em nosso modelo, poderíamos ter calculado ,
J
= Ne
dx
dt
= -iwNex
ao invés de p::: Nex, e a partir desta, obtido uma expressão para a condutividade g. Acha-
412
Dispersão Ótica nos Materiais
ríamos, eviden temen te, que J
=
=de-iwP
dP
'
9
(19-25)
= -\(1)/'.
Temos de calcular P ou J, porém não ambos, pois são expressões equivalentes resultantes de o deslocamento da partícula ter uma componente em fase com o campo E e uma componente 90° fora de fase, ou resultante de a velocidade da partícula ter uma componente fora de fase e uma componente em fase. Em campos estáticos. cargas ligadas possuem deslocamentos proporcionais ao campo (em fase) e cargas livres possuem velocidades proporcionais (em fase): porém, em freq üências elevadas, ambas as cargas, ligadas e livres, podem ter, cada uma, componentes do deslocamento e da velocidade em fase e fora de fase. Toda a exposição que se segue poderia, ao contrário, ser formulada em termos da condutividade complexa, segundo a Eq. (19-25) e, em certos contextos, este procedimento é mais comum. As relações para a constante dielétrica complexa são 9 = - Íl ° w( K - I), (19-26) y, = (owKj_ 9j = -(ow(K, - 1). Como se esperava, gr = g é a condutividade létrica real. 19-2 ABSORÇÃO
NA RESSONÂNCIA
real efetiva e gi se relaciona com constante die-
POR CARGAS
LIGADAS
Em nosso primeiro exemplo, consideraremos a aplicação das Eqs. (19-22) a (19-24) às cargas ligadas, isto é, aos materiais que são não condutores para c.c. Para calcular o valor esperado dos parâmetros das Eqs. (19-22) e (19-23) para os elétrons de valência, faremos Ro = 2 A na Eq. (19-3):
=
W o
'
=56xl015S-1
4rr(8.854 x 10- n6 12)(0,91 x 10- 3°)(2 X 10-10)3' ~-----x 10-19)2-----------
.
Esta freqüência de ressonância eletrônica corresponde' a um comprimento de onda no ar de 3350 Â (335 mm), que está na região ultravioleta logo depois do espectro visível. Um Ro maior ou menor daria um comprimento de onda de ressonância mais longo ou mais curto. Combinando a Eq. (19-3) com a Eq. (19-13), que define wp, encontramos 2 Wp
,=
Wõ
3
4rrRoN
=
3NVa,
(19-27)
onde Va é o volume do nosso "átomo". Assim, se os átomos estiverem bem aglomerados, como quando forem condensados num líquido ou num sólido,
,
w~ :;: 1. Wõ
(19-28)
Quando estiverem agregados menos densamente, como num gás (ou numa solução), a razão será correspondentemente menor, pois N será menor. porém. geralmente, Wo não é fortemente afetado pelo estado de agregação. A razão é também muito menor que I para os elétrons da camada interna, mais intensamente ligados, que têm órbitas menores. Valores razoáveis da freqüência de amortecimento 'Y são de avaliação mais difícil. Para obter
Absorção na Ressonância por Cargas Ligadas
413
uma compreensão adicional do significado desta, retomemos à equação do movimento, Eq. (19-2), e consideremos o caso do oscilador livre com Em = O. A solução desta equação é também bastante conhecida:
x =
•
xoe-::l
(19-29)
2e-iw(l'l,
onde Wo,
= " /-Wo2
será quase igual a Wo. se 'Yfor pequeno. energia de oscilação, que é proporcional Dessa forma. podemos escrever
.-') )2 - --( __ /.-
A amplitude da oscilação decai segundo e--yt!2 e a ao quadrado da amplitude, decai segundo e-'Yt.
(19-30)
í
í
onde é o tempo de decaimento médio da energia do oscilador. O significado de na equação não é o mesmo que na Eq. (19-4) para os elétrons livres. porém é análogo: em amé o tempo médio de perda de energia ~ energia do oscilador harmônico libos os casos. vre ou energia de vôo livre, respectivamente. A partJ'cula oscilante necessariamente irradiará energia eletromagnética. às custas de sua energia de oscilação: no próximo capítulo será demonstrado que a taxa de radiação corresponde a uma taxa de dccaimento
í
(19-31)
,
onde
2.81
10-15
X
m
(19-32)
e Ào = 27TC/WO é o comprimento de onda no vácuo correspondente a wo: Re é o raio clássico do elétron. (Veja o Problema 6-6*) Mesmo para raios X 0.'-0 ~ 1 Â = 10-10 m) o amortecimento devido a este mecanismo é extremamente pequeno em relação à freqüência de ressonância. Usualmente. há modos adicionais de decaimento por causa de interações com outras partículas (colisões). que tornam a freqüência de amortecimento enormemente que
maior
que a razão
partícula
única
devida ~.
à radiação.
Entretanto,
ainda
supomos
~
Wo
nas aplicações desta seção. Como se admitiu que 'Y fosse pequeno, uma primcira aproximação formativa. ainda que não física. A Eq. (19-22), com = O, é
com 'Y = O é in-
"f
( 19-33) como é ilustrado
*
A distribuição
na Fig. 19-1. A Eq. (19-23) de carga num elétron
com
"f
não é fisicamente
= O dá
Kj
= O em todas as frcqüências,
observável.
de forma que a Eq. (] 9-32) é
uma definição mais conveniente do que a da distribuição de carga uniforme.
414
Dispersão Otica nos Materiais
exceto
W
= Wo, onde é indefinido. Porém, a Eq. (19-23) em geral dá úJ2 1 Ki =--" - para W = Wo, úJ o •• I
(19-34)
de modo que Ki, no pico de ressonância, é proporcional a IIr e tende ao infinito no limite quando tende a zero. Este limite pode ser expresso como uma função da freqüência, pela função delta de Dirac, que foi anteriormente usada para representar uma distribuição de carga puntual como função da posição.
r
2
Ki
o coeficiente
=.- .:,õ úJ p úJo
JT.
'(
.:..
úJ -
úJo
)
(19-35)
.
rr/2 é escolhido de forma que a integral sobre w, .00
I "O
úJ2
K dúJ I
=
7r
_P -
úJo
2'
Ki
()
-1 Figura 19-1 Constantes dielétricas como função
da freqüência
extremamente em
para uma intensa
e
estreita linha de absorção
Wo.
r
é O limite correto para -+ O, como mostraremos mais tarde. Como Ki é proporcional a g, que especifica a dissipação de energia por unidade de volume no material, a aproximação a Ki(w) representa o caso de uma linha de absorção infinitamente estreita em w = Wo, como é também indicado na Fig. 19-1. O aspecto mais interessante da figura é que Kr tem valores significativamente diferentes de 1 (no vácuo) em freqüências muito distantes de wo, a única freqüência para a qual Ki difere de O (no vácuo). O efeito da absorção de energia na região ótica se manifesta na constante dielétrica K (porém não na condutividade g) para todas as freqüências, mesmo c.c. Para w = O (19-36)
Absorção na Ressonância por Cargas ligadas
,415
que pode diferir apreciavelmente de J, de acordo com a Eq. (19-28). O valor K = 5,5 para o diamante, por exemplo, é compreensível embora o diamante seja um não condutor a freqüências inferiores ao ultravioleta. Reciprocamente, um não condutor poderá ter K diferente de ] somente se conduzir (absorver) em alguma outra região de freqüência; um meio no qual g( w) = O para todas as freqüências terá, necessariamente, também K (w) = 1, isto é, será idêntico ao vácuo, como veremos adiante. Por outro lado, em freqüências muito acima da freqüência de absorção, K tende a um em todos os casos. As constantes óticas n e k são obtidas, neste caso, usando as aproximações das Eqs. (19-33) e (J 9-35) na Eq. (19-24). Exceto em w = WO, Ki = O, e assim se aplicam as aproximações das Eqs. (17-53) e (17-54). Da Eq. (19-33), Kr =0 para w = YW6 desta freqüência e abaixo de Wo, Kr é positivo. Nestas regiões k
n= VfJ( H'r'
=
O.
+ w;;
acima
(19-37)
Na região intermediária, Kr é negativo, de forma que n
,
=
O,
k
= _./- K..
(19-38)
Estas funções são mostradas na Fig. 19-2. A freqüências abaixo de WQ e acima de Y w6 + w;, o material é transparente (k = O). Abaixo da ressonância, n é maior do que ] e aumenta com o aumento da freqüência (comprimento de onda menor). Este é o comportamento da "dispersão normal" de um prisma de vidro na região visível, que apresenta uma refração maior para o azul do que para o vermelho e é típico de todos os materiais transparentes. Acima da absorção de ressonância, n aumenta com a freqüência, porém é menor do que 1, também uma característica de todos os materiais na região dos raios X. Imediatamente acima da ressonância, a onda se atenua (k> O) porém, não por causa da absorção (exceto, exatamente em wo, onde Ki i= O). A onda se atenua por causa da reflexão perfeita na superfície em cujo meio ela penetra
(n-1)2+k2 R--~----(n+1?+k2'
o
Figura 19-2 Constantes óticas corno função da freqüência, derivadas das constantes dielétricas da Fig. 19-1.
416
Dispersão
6tica
nos ~lateriais
que, para fi = 0, dá R = I. Apesar do vidro ter uma reflectância de apenas R = 0,101 cm na região visível, na região ultravioleta seria altameIlte refletor. Para examinar o comportamento detalhado na vizinhança de wo, suponhamos que 'Y> 0, porém ainda que o ~ wo. Próximo de Wo (isto é, no intervalo Wo ± várias vezes 'Y), a aprox.imação w6
-
w2
=
(wo
+ w)(Ú)o
-
w)~2wo((!)0
-
w)
é válida e as constantes dielétricas. Eqs. (19-22) e (19-23) simplificam-se: (19-39)
(19-40) A função Kj tem a forma chamada linha lorentziana, ilustrada na Fig. 19-3. que também mostra (Kr - I). Estas funções possuem propriedades especialmente simples: Ki é par em relação a (wo - w) e (Kr - I) é ímpar. É fácil demonstrar que a largura de Kj na metade do máximo é e que os extremos de (Kr - 1) ocorrem nos mesmos pontos. A integral de Kj sobre todas as freqüências pode ser realizada com o resultado (w~/wo)(7T/2),justificando, assim, o coeficiente da Eq. (19-35). Como a largura do pico é e a altura é proporcional a 1ft, a área sob a curva é independente de "t. O valor máximo do Ki na ressonância. 2 1
I
I
lv[
= -Wj;.... - Wp -- - Wo , WoY
W6
Y
pode ser bastante grande. Para um gás, à pressão atmosférica, (Wp/WO)2 "" 10-3, porém (woh) "" 105• de modo que M pode ser maior que 100. Este valor dá uma condutividade g = to wKj na ressonância, que é comparável à condutividade c.c. de um metal.
.lI
--r.
"'o « 1
.lI
--I
()
Figura 19-3 Constantes dieIétricas para uma linha estreita em wo' IA origem da freq üência está bem :i eo;q ucrd:J..) P:ua uma linha fraca com Jf <{ l, n - 1 e k
.lI :2
-u \ -'lI ' -'1 , -, ----------------~
~
U ~/
I
são exatamente a metade Kj. respectivamente.
de (Kr - l) e
A bsorção na
Ressonância por Cargasligadas
417
A forma das curvas n e k associadas às constantes dielétricas lorentzianas depende muito das dimensões de M. Se }.J for grande, Kj ?> I em Wo; como Kr = 1 em wo, a aproximação n ~ k ~
JKd2
será válida em Wo. A forma das curvas, ilustradas na Fig. 19-4, é um pouco diferente da forma lorentziana. :t uma representação mais realística do comportamento próximo de Wo do que o representado na Fig. 19-2. No outro extremo, quando M ~ 1, Kj ~ 1 em toda parte. Como IKr - 11 < Kj próximo do máximo, IKr - 11 ~ I, ou Kr == I. Neste caso
n~
.fKr,
k
= Kd2n.
Como Kr difere de 1 por pequena quantidade, dar n -
a raiz quadrada pode ser expandida para
1 ~ 1{K, - 1),
(19-41)
v;u2
Figura 19-4 Constantes óticas para uma linha intensa e estreita dcduz.idasdas constantes dielétricas da Fig. 19-3 com M 100. (A origem da freqüência está bem à esquer==
da.)
o
A forma das curvas (n - 1) e k é exatamente igual à forma lorentziana das curvas (Kr 1) e Kj, respectivamente. Esta aproximação pode valer, por exemplo, para uma solução um pouco diluída ou para um gás a uma pressão razoavelmente baixa. Longe da linha de ressonância, quando IWo - wl ?> 1', l' pode ser simplesmente desprezado nos denominadores das Eqs. (19-22) e (19-23), que então se simplificam, dando 2
Wp
Kr -
- ----2 -,
1 - W6 _ W
(19-42)
Nesta aproximação, Kj ~ IKr!' e muito além na região das baixas freqüências, Kr
> O. As
418
Dispersão Ótica nos Materiais
Eqs. (19-41) aplicam-se, assim
n -
1~~
(~~r [1- (~rrl
~~(~~ r [1+ (~r]· Em termos de comprimento
de onda,
n-l~
~
(~r [1 + (~r]·
(19-43)
Esta é conhecida como a relação de Cauchy; é fórmula útil para ajustar o índice de refração de um material transparente. Se 'Y não for tão pequeno, nenhuma das relações simyles precedentes será válida quantitativamente, porém o comportamento qualitativo de K e fi será ainda semelhante. O caso wp/wo = 1, 'Y/wo = -} está representado graficamente na Fig. 19-5. A parte imaginária tem um pico com o máximo próximo de Wo. Na região deste pico, a parte real sempre tem uma região de inclinação negativa, denominada região ·de dispersão anômala. À medida que a freqüência aumenta desde zero, há sucessivas regiões de transparência, ab· sorção, alta reflectância a transparência, exatamente como na aproximação da função delta mais simples. Nos materiais reais existem sempre muitos picos de absorção eletrônica na região ultravioleta, porventura se estendendo na região visível, e nos sólidos, podem ser largos e se sobrepondo intensamente.
o
Figura 19-5 Constantes óticas para urna banda de absorção intensa, em Wo •
larga, moderadamente
Se as partículas carregadas, vibrantes, forem íons pesados ao invés de elétrons, a freqüência de ressonância Wo será algumas centenas de vezes maior. A constante da força restauradora linear é aproximadamente a mesma, uma vez que também provém da força de Coulomb, porém a massa do íon será 4 ou 5 ordens de magnitude maior do que a mas-
Teoria do Elétron Uvre de Drude
419
sa do elétron. A freqüência wp é também proporcionalmente menor, pois é inversamente proporcional à raiz quadrada da massa. Por exemplo, num cristal iônico
I
l
Wp
~
L~
1,
Wo
O,l.
Wo
o pico de absorção é semelhante ao pico de absorção eletrônico, porém está localizado na região do infravermelho ao invés de se situar na região visível ou ultravioleta. Os correspondentes Kr ou n não contribuem em altas freqüências, mas o fazem em baixas freqüências. Dessa forma, para o sal de cozinha, a constante dielétrica é de aproximadamente 6, na região visível. Esta última é devida em comparação com 2 (= 1,52), aproximadamente, à absorção eletrônica na região do ultravioleta, a primeira inclui o efeito da absorção iônica na região do infravermelho. 19-3 TEORIA DO ELÉTRON LIVRE DE DRUDE Em alguns estados importantes da matéria, principalmente em metais e plasmas, os elétrons pertencentes às órbitas atômicas externas não são localizados (ligados), mas estão livres a fim de contribuir para a condução c.c. Em altas freqüências, este comportamento é modificado pelos efeitos inerciais; no entanto, será explicado pelo nosso modelo microscópico se a força restauradora suposta para esses elétrons for feita igual a zero. Então, com Wo = 0, a Eq. (19-21) simplifica-se, dando K - 1
=
W2p
Tabela 19-1 Algumas Densidades de Partículas,N, Típicas em Plasmas Eletrônicos Densidade (m-3) Metal Semicondutor (dopado) Semicondutor (puro) Experiência de fusão Ionosfera Espaço interplanetário
(19-44)
-~(~-+iy)· e Freqüências de Plasma, wp,
Freqüência de plasma (S-I)
1028
1016
102-4
101-4
1020
1012
1020
1012
1011 107
105
107
As partes real e imaginária são (19-45)
(19-46) No contexto da livre partícula, (19-13)
I
420
Dispersão
Ótica nos Materiais
chama-se freqüência de plasnza* e é idêntica à definida no Capítulo 14. Agora, os intervalos de freqüência em que ocorrem aspectos interessantes da dispersão serão determinados por wp' Alguns valores típicos estão relacionados na Tabela 19·1 e vão desde a região das freqüências de rádio até a região do ultravioleta. Como observamos anteriormente, a constante de amortecimento 'Yé o recíproco do tempo de colisão. 1
(19-4)
y=!
O tempo r é também a constante de tempo para o decaimento de uma corrente sem campo impulsor, como se pode ver, fazendo Wo = O e Em = O na Eq. (19-2): dx/dt = v, dv
dt
(19-47)
= Vo e - ir = Vo e - ",
v
Para metais à temperatura
+ yv = 0,
'Y "" 101~s-I,
ambiente,
de modo que
r ~ 1. wp Relação que geralmente vale para materiais eletrônicos semicondutores, plasmas gasosos. A Eq. (19-44) adquire uma forma mais simples quando mos de condutividade complexa g, usando a Eq. (19-26) e 'Y = l/r:
bem como para expressa em ter-
9 = ~JL~ 1- lwr--, onde
(19-48)
Ne2r
go
= fow2r = ---m p
k,
é a condutividade c.c. Não obstante, lidaremos com uma vez que o objetivo é encontrar as constantes óticas n e k a partir dele. Quando 'Y é pequeno, consideramos novamente o caso 'Y = O em primeiro lugar:
w2 Kr
= 1 - ---1, w
(19-49)
2 Ki
= wp ~"2 n
'( w.)
O
As Figs. 19-1 e 19·2 ainda representarão este comportamento, se a origem de w for toabaixo de Wo foi eliminada e a freqüência onde mada em Wo = O. A região transparente Kr = O é wp' Entre w = O e w = wp, o material é perfeitamente refletor (n = O) e acima de wp, ele é transparente (k = O). A transição entre alta refiectância e transparência, em wp, explica o conhecido fato de a ionosfera refletir ondas de rádio na banda AM de radiodifu-
S
são (f= w/2rr 1,5 x 106 S-1), mas ser transparente para ondas FM e de TV (f;::;;: 108s-1). Em outro intervalo de freqüência, o metal de sódio é altamente retletor na região visível porém é transparente para comprimentos de onda ultravioleta menores que Àp = 2100 Â (210 nm) correspondente a sua freqüência de plasma. Exatamente na freqüência de plasma, n = O e k = O; as cargas movem-se todas para frente e para trás em fase (comprimento
*
A freqüência
de plasma
é geralmente
expressa
em unidades
gaussianas.
nas quais wp
= .J4rrNe2/m.
Teoria do Elétron Livre de Drude
421
de onda infinito) sem atenuação. Este movimento constitui a oscilação do plasma livre e;cposta no Capítulo 14. É um exemplo de onda longitudinal* que pode ocorrer quando K = O. Apesar da aproximação sem amortecimento explicar efeitos interessantes próximos da freqüência de plasma, é uma simplificação para freqüências mais baixas, onde prevê condutividade infinita e constante dielétrica infinita para c.c. Em particular, ela não segue a fórmula de Hagen-Rubens, nem sua profundidade de atenuação associada. Para melhorar a aproximação da função delta, é necessário voltar às Eqs. (19-45) e (19-46). Suporemos que o amortecimento é pequeno, 'Y~ wp, de forma que haverá três intervalos de freqüência a considerar. 1. w ~ y:
(19-50)
(19-51) A constante dielétrica real Kr é uma constante quando W tende a zero, porém
g=
<-owKi
negativa (grande);
2 <-oWp
=~-y
m
é constante
neste intervalo e é igual à condutividade Eq. (17-55) dá
Ki
tende ao infinito
= 90
C.C., go.
Como K;!IKrl
= 'Y/w ~ 1, a
~~1.
n ~
= fi;;;;
k ~ ~Kj2
(19-52)
que fornece a fórmula de Hagen-Rubens para a absorvância a baixas freqüências, - ~ k = 2 A~
e a profundidade
J
go úJ ' 2(0
de atenuação
(19-53)
(19-54)
* Como o comprimento de onda é infinito e a velocidade de propagação é nula, não terá sentido dizer se ela é longitudinal ou transversal neste caso. Calculamos K(K, w) somente para K = O, no entanto - conforme Eq. (19-6). Um cálculo mais sofisticado, incluindo os efeitos da pressão, demonstrará a existência de ondas de plasma longitudinais em comprimento de onda finito, K O.
*
422
Dispersão Ótica nos Materiais
Como K;!IKrl = r/w ~ 1,
k~ vCVK - -~p W , .l"-r
_ Ki n - 2k
-
-
(19-55)
YWp
'"
= 2w2'
Nesta região, k/n = 2w/r ~ 1, de modo que a absorvância, Eq. (18-59) é 4n 2,,/ 2 A - - - ---- = ---
= k2 =
wp
wp'
(às vezes denominada fórmula de Mott-Zener), e a profundidade
o
c
c
kw
úJp
=~ =-
=
de atenuação é
Àp/2n,
onde Àp é o comprimento de onda no vácuo, correspondente à freqüência de plasma. Em metais, estes resultados aplicam-se à região do infravermelho. Como wp T é grande, A = 1 - R é apenas de uns poucos por cento; a profundidade de atenuação é muito pequena e independe da freqüência.
(19-56)
Kr ~ 1, 2
Ki~
(19-57)
Wp/ 3 .
w
n===-Vfirrr7K===-l
K
,
W2.!
k=---'-~~ 2n - 2w3'
(19-58)
Aqui, o material é quase transparente. Em metais, todavia,com exceção dos metais alcalinos, o início desta transparência é obscurecido pela absorção de ressonância de elétrons ligados pertencentes a órbitas internas. Esta absorção adicional, exposta na última seção, também aumenta os valores de Ki e n da maioria dos metais na região visível, reduzindo a reflectância e explicando as cores características do cobre e do ouro. Os resultados da teoria do elétron livre para n e k estão representados graficamente numa escala log-log na Fig. 19-6. Os valores parâmetros escolhidos são wp = 9 X 1015 çl ,r = 3,6 x 1013 s-l, que são adequados ao metal sódio à temperatura ambiente, para o qual a teoria do elétron livre está bem de acordo com a experiência. As regiões das três linhas retas da figura são representações gráficas das Eqs. (19-52), (19-55) e (19-58). Os pontos intermediários em w = r e w = wp são facilmente calculados a partir das Eqs. (19-45) e (19-46), pois Ki = - Kr e Ki ~ Kr, respectivamente. A região bem acima de r concorda com a aproximação da função delta (r =0), com algum arredondamento em wp' Exemplos com.r,.? wp são menos comuns, e seu tratamento é deixado como exercício. Todos os resultados desta seção aplicam-se também quando as partículas carregadas são íons pesados ao invés de elétrons. Como se supôs o meio eletricamente neutro, íons positivos devem sempre estar presentes com uma densidade numérica média N igual a dos elétrons. Nos metais, os íons positivos não se movem livremente, mas nos plasmas gasosos
Relaxação Die1étriça. Condução Eletrolítica
423
o fazem e seu movimento é muitas vezes importante. A freqüência de plasma wp é inversamente proporcional à raiz quadrada da massa da partícula m e, dessa forma, a freqüência do plasma de íons é cerca de duas ordens de magnitude menor do que a freqüência do plasma de elétrons dada na Tabela 19-1, por exemplo.
2 I I I
o
n
------tI
-2 Figura 19-6 Gráfico log-log das constantes óticas das cargas livres versus freqüência, com -r/wp = 0,004. Aproximações de expansões em potências são válidas sobre a maior parte do intervalo de freqüência.
log _
* 19-4 RELAXAÇÃO DIELÉTRICA. CONDUÇÃO ELETROLÍTICA A absorção na ressonância elétrica não ocorre usualmente em materiais a freqüências menores que os picos dos íons pesados na região do infravermelho (embora ocorram em estruturas feitas pelo homem, naturalmente). Existe, contudo, um outro tipo de mecanismo de absorção, conhecido como perda dielétrica, que pode ocorrer a freqüências menores (mas não maiores). Ela é muitas vezes importante como um mecanismo de perda em freqüências de microondas e inferióres, e sua dispersão simultânea da constante dielétrica real explica, por exemplo, a diferença entre a çonstante dielétrica estática da água, 81, e o valor ótico de aproximadamente 1,8 (= 1,33:1). Este efeito é uma extensão para c.a. do segundo tipo de polarização estática, expol\W no Capítulo 5 ~ ou seja, a polarização orientacional de dipolos permanentes. Esteca,so também se pode basear no modelo descrito pela Eq_ (19-1), embora com alguma alteração a respeito da interpretação física das quantidades envolvidas. Surge quando as forças restauradoras e de amortecimento são importantes, mas efeitos inerciais (aceleração) podem ser desprezados. Neste caso, a equação do movimento toma-se dx
Git + Cx = eEm'
i I
(19-59)
424
Dispersão Ótica nos Materiais
ou dx
+ WOX2 =
I' dt
/
eErn m.
A solução adequada é obtida pela Eq. (19-21), desprezando w2
,
w; K~ - 1 = ------. w6 -
il'w
Todos os parâmetros nesta solução contêm m; a solução, entretanto, não depende de m pois O termo inercial foi desprezado ao obtê-Ia. É melhor reescrever a solução como _ K-l=--C-
Ne2/Eo
iGw'
onde m foi inteiramente eliminado. A partir da Eq. (19-59), com Em = O, equilíbrio é expresso por
=
x Por conseguinte,
onde
T
O
retorno ao
xoe-CtIG•
escrevemos
neste contexto é denominado
C
1
G
r
(19-60)
tempo de relaxação.
* Nesses termos
~ . Ko - 1 K-l=--· 1- iw!'
(19-61)
onde Ne2
Ko -
1 = -.
(19-62)
to C
Evidentemente, Ko é o valor estático de K, para w = O; é igual ao valor estático para a absorção de ressonância, exceto que C tem um significado diferente. Isto pode ser obtido mediante os cálculos do Capítulo 5: X
Ko
-
1
N
P6
= -to = -to ----, 3kB T
onde kB é a constante de Boltzmann. Se fizermos o momento de dipolo permanente Po
=
ea,
onde a é a separação efetiva das cargas ±e, teremos Ko Numericamente
1=
Ne2a2
-----.
(19-63)
3tokB T
isto pode ser, no máximo, da ordem de 102 à temperatura
ambiente.
* Observemos que nestes processos l/r i= "(. Usamos r regularmente para exprimir a constante de tempo para o retorno ao equilíbrio, indiferentemente de sua relação com r ou com as quantidades físicas estabelecidas.
Relaxação Dielétrica. Condução Eletrolítica
Comparando
425
a Eq. (19-63) com a Eq. (19-62), demonstra-se que C
=
~kEJ
a2
T
(19-64)
devida mais à energia térmica kB T do que à energia po-
A força restauradora é, portanto, tencial elástica mecânica. *
A novidade nesta exposição é o tempo de relaxação, 7, que determina o comportamento c.a. Seu valor pode ser avaliado mais facilmente para certos materiais polares sólidos em que os dipolos consistem de pares móveis de íons positivos e negativos de carga e, separados por uma distância a. Os íons têm certas posições de equilíbrio fixas no sólido, porém podem realizar saltos para outras posições vizinhas permitidas. Por meio destes saltos, o dipolo pode girar até se alinhar com um campo aplicado ou retomar a uma orientação aleatória quando o campo é removido. O tempo T é, portanto, o tempo médio para um salto. Isto é dado por
~= I -1 ,
'o
e-
So] o ('l'd)
M!jkBT
(19-65)
O fator l/To é aproximadamente a freqüência vibracional do íon em torno de sua posição de equihbrio e exp(-ÁUjkBT) é o fator estatístico de Boltzmann. Um salto é tentado com cada vibração, porém apenas uma fração tem sucesso, dependendo da energia flU necessária para empurrar o íon através da barreira até a posição de equil1brio vizinha. A freqüência 1/70 = Wo é a freqüência vibracional iônica considerada anteriormente, Wo ::::: 1013 S-l. A barreira de energia, flU, deve ser apreciável para que este modelo seja totalmente válido, pois a existência de posições de equillbrio, entre as quais os saltos ocorrem, depende das barreiras, Dessa forma,
,
1 _ :;S 1011
ç 1,
e I/T será muito menor que isto a temperaturas muito abaixo da temperatura de fusão. O cálculo de T é mais difícil para líquidos. O tempo de relaxação de Debye é dado por 1 ,
kB T - ----~
" (liqUido)
4n1"/R6'
(19-66)
onde 17 é a viscosidade (não a resistividade elétrica) e Ro é o raio da molécula. Isto concor· da razoavelmente com valores experimentais de 17 e prevê uma freqüência na região das microondas para a maioria dos líquidos polares à temperatura ambiente, uma vez que os dipolos num líquido giram mais livremente do que num sólido. A viscosidade depende da temperatura, porém a Eq. (19-66) ainda depende menos intensamente da temperatura do que a Eq. (19-65). A dependência da Eq. (19-61) em relação à freqüência pode-se ver ao separá-Ia em partes real e imaginária, resultando disto as equações de Debye, K
K,-1
o
- 1 _
=1 +(WT)2'
(19-67)
* A força restauradora é uma "força termodinâmica" generalizada, não uma força mecânica. O que diminui após uma força aplicada ser removida (com tempo de relaxação r) não é a energia mas, ao contrário. a entropia,
426
Dispersão Ótica nos Materiais
Ki
(19-68)
= (Ko-=-l)wr 1 + (wr)2
representadas graficamente na Fig. 19-7, que mostra um pico de absorção em Kj, com máximo em w = l/r e altura de + (Ko - 1), e Kr caindo de Ko até 1 com o ponto de meio em w = l/T. A dispersão de Kr tem uma forma caracteristicamente diferente daquela da absorção de ressonância. A forma das curvas é bastante semelhante à da oscilação fortemente amortecida. Para freqüências muito abaixo ou muito acima de l/r,Kj <{Kr(Kr> O), de modo que n = VK;, k =Kd2n. Como exemplo; estes resultados podem ser aplicados à água fresca na qual a condutividade c.c. pode ser desprezada; a reflectância é dada pela Eq. (18-57). Nas medidas elétricas em amostras dimensionadas para laboratório, os resultados são geralmente expressos em termos do ângulo de perda e:
tan e
K
(Ko -
l)wr
= -= --_U_Uz' K. Ko + (wr)
(19-69)
A razão física para este tipo de dependência com a freqüência é que acima de l/r a relaxação não pode acompanhar o campo aplicado. A condução eletrolítica é um fenômeno que, apesar de envolver condução c.c. por cargas "livres", se origina num mecanismo que está intimamente relacionado à relaxação dielétrica. Os portadores de carga são íons móveis que se movimentam (em sólidos) através de saltos ou (em líquidos) por meio de um mecanismo relacionado à viscosidade. Os efeitos inerciais são novamente desprezíveis e a massa do íon não está diretamente envolvida. A diferença da relaxação dielétrica consiste no fato de que pares positivo-negativo de íons nã,:Osão inseparáveis porém os íons positivos ou negativos são livres para migrar individualmente, contribuindo para uma corrente de transporte. A condutividade c.c. é de novo. mais facilmente calculada para um eletrólito sólido; o resultado é Ne2a2
90
= --, kB
Tr
(sólido)
(19-70)
Ko ~ 1
o
l/T
w
Figura 19-7 Constantes dielétricas como funções da freqüência para a relaxação de Debye.
Relaxação Dielétrica. Condução Eletrolítica
427
onde T é o tempo de salto médio, talvez diferente daquele para a reorientação dipolar mas ainda dado por uma equação como a Eq. (19-65), sendo a a distância de um salto. Num eletrólito líquido, o resultado envolve a viscosidade 1]. A fórmula de Einstein-Stokes Nez
90
= --,
6nIJRo
(líquido)
(19-71)
é aplicável a soluções diluídas. Em eletrólitos líquidos, go pode ser da ordem de102 (Dm) -I e também para uma classe especial de materiais sólidos denominados condutores superwnicos. Na maioria dos materiais iônicos sólidos, go é menor que 1 (Dm)-I, geralmente bem menor à temperatura ambiente. A condutividade c.a. é obtida mais diretamente pela Eq. (19-48) g_
= ------. -, 1 - golwr
( 19-48 )
tendo-se determinado í na Eq. (19-47), como o tempo de relaxação para a condução (ou o tempo de partida para a condução de estado estacionário), que neste caso é o tempo de salto num eletrólito sólido. A Eq. (19-48) deve ser, necessariamente, o resultado de uma teoria linear, indiferentemente da intepretação microscópica dos parâmetros. Como a Eq. (19-48) tem exatamente a mesma forma funcional que a Eq. (19- 61), as partes real e imaginária da condutividade terão a mesma forma das curvas mostradas na Fig. 19-7. Para encontrar as constantes óticas, a Eq. (19-48) pode ser convertida, por meio da Eq. (19-26), em
-golfo ----
K.-1=i-jJfoW
w(wr
+ i)'
(19-72)
cujas partes real e imaginária são
K, - 1 = -=--rÇ{0/~ 1+
=_
K. I
A contribuição
w[l
(19-73)
(w-r)Z'
golfo +- (wr)2]'
(19-74)
da Eq. (19-73) à constante dielétrica estática é K" - 1 =
que, para um eletrólito sólido, é Ko - 1 =
Néa2
----o
fokB
T
Apesar de ter a mesma forma que a Eq. (19-63) para a relaxação dielétrica (porém de sinal oposto), os valores de N podem diferir grandemente nos dois casos. Na água pura, toda molécula está envolvida na relaxação dielétrica, porém somente algumas partes por milhão contribuem para a condução. A condução eletrolítica e a relaxação dielétrica ocorrem freqüentemente juntas no mesmo material. As duas contribuições para o ângulo de perda podem ser separadas pelas diferentes dependências de Ki com a freqüência, em casos simples. Nas soluções aquosas, todavia, o quadro é complicado pela correção do campo local (não a de Lorentz) e pelas interações microscópicas entre os íons e os dipolos.
1
428
Dispersão Ótica nos Materiais
19-5 RELAÇÕES DE KRAMERS-KRONIG Em todos os exemplos até agora examinados, um pico de absorção em Ki tem, associado a si, uma dispersão de Kn com uma forma mais ou menos característica. Uma soma de vários picos teria uma curva de dispersão composta correspondente. Mostraremos agora que existe uma relação geral entre Kr e Ki tal que, seja qual for o mecanismo de absorção, se Ki(W) for conhecido em todas as freqüências então Kr(w) será determinado unicamente, em cada freqüência, por uma certa integral definida sobre Ki. Em particular, se K;(w) = 0, então Kr(w) = 1 em todas as freqüências. Esta relação tem considerável utilidade teórica e prática, pois se Ki(w) puder ser calculado ou medido, de alguma forma, não será necessário calcular ou medir K r separadamente; mas poderá ser determinado da relação de Kramers-Kronig. A relação geral pode ser encontrada, supondo-se que qualquer absorção arbitrária como função de w possa ser representada como a soma de uma distribuição contínua de linhas de absorção de oscilador harmônico muito próximas. A integral sobre a freqüência das Eqs. (19-35) ou (19-40) é (19-75)
que denominamos Ki(wo) .6.wo, contribuição total dos osciladores de freqüência natural Wo no pequeno intervalo .6.wo para o Ki global. Se wi, for expresso em termos de K;(wo) .6.wo,
Quando isto é colocado na Eq. (19-33) para Kn a equação resultante
2
L1(K , -
1)
Wo
= - Wo ---2 7r
W
2' K(w o ) L1wo
representa a contribuição a Kn para um dado w, em virtude dos osciladores no intervalo .6.wo em tomo de Wo. A soma de todas as contribuições dos diferentes Wo para Kr' neste w, é obtida mudando .6.wo num diferencial dwo (e, incidentalmente, designando a variável de integração como w', ao invés de wo): K,(w) -
1
= ~ i'" w'Ki(w') dw' 7r '0
W'2 -
w2-
(19-76)
Esta é a relação de Kramers-Kronig, que foi usada, pela primeira vez, em 1926, para descobrir o índice de refração para os raios X a partir da absorção medida. Mais recentemente, tem sido largamente aplicada em outras regiões espectrais. Como indicação mais simples do poder de relaxação, a introdução da função delta K;, a Eq. (19-35), na Eq. (19-76) imediatamente dá o Kr associado da Eq. (19-33). Exceto em outros exemplos, um pouco artificiais, entretanto, a integração não pode ser realizada analiticamente e deve ser executada numericamente. Um problema na integração é a singularidade em w' = w. Este não é sério - as contribuições negativas para w' < w cancelam as positivas para w' > w - porém o problema deve ser reconhecido. Como um segundo exemplo, que ilustrará este e outros problemas encontrados na aplicação da integral de Kramers-Kronig, consideremos a aproximação a baixas freqüências para partículas
Relações de Kramers-Kronig
429
livres,* Eq. (19-51),
Isto dá uma integral fácil na Eq. (19-76), 2
K - 1=
w2•cr
-- ~
r
I
1!: .,. '0
----
dw' .-
W'2 -
(19-77)
w2'
e também conhecemos o resultado esperado, a partir da Eq. (19-50). Para efetuar a singularidade, escrevamos**
Então w-o
w+w
1
f
- 2w
'0
ln I
~ ln 2U)-~ b
2w
w - --;;;' I' J ow-o
- 2w w ~+ w' 1 ln I, W
1 2w+b - ln
11'"w + J
---nu
2w
b
(19-78) (19-79)
Somando estas integrais, obtém-se -
OC
dw'
.
1
I ---;2--2 = o-o 11m.o w - w 2w
•
2w ln -----
+b
2w - b
=
O.
(19-80)
Dessa forma, o resultado da Eq. (19-77) é Kr
= 1.
(19-81)
Este resultado contém alguns aspectos instrutivos. Primeiro, a singularidade no integrando não toma a integral infinita. (De fato, ela é nula, mas isto é uma peculiaridade deste caso especial.) É evidente que a peculiaridade não causará confusão enquanto Kj for contínuo em w. Segundo, o resultado da Eq. (19-81) para Kr é uma constante, porém a constante discorda da constante - (Wph)2 requeri da pela Eq. (19-50). Esta discrepância salienta que Kj(w) deve ser conhecido no intervalo de freqüência inteiro, de O a 00, para obter-se o resultado correto da Eq. (19-76). Neste exemplo, a Eq. (19-51) está correta para freqüências bem abaixo de /, mas errada para freqüências mais altas. O valor verdadeiro de Kr a baixas freqüências provém deste comportamento, a freqüências mais altas, de Ki• A integral sempre dá o valor correto de Kr quando w tende ao infinito, ou seja, Kr = 1, como se pode ver diretamente na Eq. (19.76). Assim, se Kr for constante, deve dar a constante 1. Ao usar a integral com dados experimentais, é necessário fazer alguma extrapo1ação razoável acima e abaixo do intervalo de freqüência em que as medidas foram realizadas, mesmo para encontrar K, somente dentro desse intervalo. Uma causa de erro mais óbvia seria a omissão do pico de absorção desconhecido acima do intervalo de medida.
* Estritamente falando. a teoria não é aplicável ao K de um condutor de elétrons livres, por causa da singularidade em Kj (w) para w = O. A Eq. (19-76~, todavia, ainda é válida; veja o Problema 19-16.
**
Esta equação é denominada a parte principal de Cauch:r da integral.
430
Dispersão Ótica nos Materiais
A integral da Eq. (19-76) pode ser transformada de várias maneiras. Como a integral da Eq. (19-80) é nula, qualquer de suas constantes múltiplas pode ser subtraída da Eq. vezes esta integral dá (19-76) sem afetar o resultado. Subtraindo (2/1T)wKj(w)
=~
K (w) _ 1
,
n
[w'~LaJ'L= wK;(w)] do/ W'1 - w1
l_x
-o
Esta forma é útil para integrações numéricas porque tem um integrando não singular: o numerador se anula no mesmo ponto que o denominador. Uma integração por partes da Eq. (19-76) resulta em 1
I'ro
n.o
K,(w)-l=-
dKi(w') dw '
1 - w ln-Iwm,z--zl
d ' w.
que dá uma idéia qualitativa do comportamento que se espera de Kr. O peso do integrando é muito maior em freqüências próximas de w por causa do segundo fator, de forma que a magnitude de Kr é fortemente afetada pela inclinação de Kj em freqüências próximas. Esta espécie de relação pode ser vista em todos os exemplos particulares abordados nas seções anteriores. Apesar da relação de Kramers-Kronig' ter sido derivada do modelo do oscilado r harmônico do meio, o único aspecto do modelo de que realmente depende é da sua linearidade. Como o oscilado r harmônico é o protótipo de sistemas lineares, não é surpreendente que o resultado geral provenha dele, porém uma derivação independente do modelo exibe alguns outros aspectos interessantes. Uma dedução rigorosa, que utiliza tal procedimento, é baseada na teoria da integração complexa* e não será tentada, porém as idéias básicas são razoavelmente simples. Por causa de sua generalidade, resultados semelhantes podem também ser obtidos para outras funções resposta complexas, como o coeficiente de reflexão de Fresnel, a inwedância c.a. complexa (para a qual a teoria foi primeiro plenamente desenvolvida **) e mesmo para sistemas da física nuclear e da partícula elementar. Estas relações são também denominadas relações de dispersão. Além da linearidade, a outra supo· sição básica que se faz é a de que a resposta do sistema seja causal. Isto é, a resposta não se antecipará à força aplicada mas ocorrerá somente após a força ter sido aplicada. Para expressar a Iinearidade e a causalidade, escrevemos a polarização P em termos do campo aplicado E como .X
= '0 I
P(t)
dt'f(t')E(t
-
t'),
(19-82)
onde t(t') é real. Isto é, P no instante presente (t) é proporcional às contribuições de E agora e no passado (t - t', com t' 2: O) mas não no futuro (t' < O). Expressemos, agora, P e E como uma superposição de ondas planas (isto é, tomemos as transformadas de Fourier), para introduzir a susceptibilidade: .ro
E(t)
=
dwÊ(w) exp (-iwt),
I
-ro
~x P(t)
=
I
'-
dwx.(w)Ê(w)
exp (-iwt).
(()
Veja, por exemplo, L. Landau e E. Lifshitz, Electrodynamics * Mass: Addison-Wesley, 1960), Seções 58·62.
**
Veja o livro de Bode citado no Capítulo 13.
of Continuous },fedia (Reading,
Relações de Kramers-Kronig
Introduzindo mos que
a primeira destas equações na Eq. (I9-82) e comparando-a X(w)
= ('
Xr(w)
= '0 I
Xi(W)
= '0 r
'0
ou
dtj(t')
exp
(iwt'),
dtj(t')
COS
wt',
dtj(t')
sen
wt'.
431
com a segunda, ve-
_00
00
Assim, )(,. e Xi não são independentes porque estão relacionados unicamente af({'). Para obter tal relação, devemos resolver uma destas equações para f(t'), o que se pode fazer usando o teorema de Fourier, por exemplo,
=
f(t')
Substituindb
(2/n)
( '0
senw't'.
dW'jjw')
(19-83)
esta equação na integral para )(,., podemos efetuar a integração sobre
t',
00
Xr(w)
=
fo
(2/n)
dW'W'Xi(W')/(W'2
-
(19-84)
(2).
De maneira semelhante, 00
Xi(W)
=
-(2w/n)
dW'Xr(w')/(w'2
f 'o
-
(2).
(19-85)
A primeira dessas equações é idêntica à Eq. (19-76) e a segunda é complementar a esta. Podemos usar as Eqs. (19-82) e (I 9-83) para calcular um exemplo elementar da resposta de um meio dispersivo a um campo aplicado não senoidal. Uma vez mais, consideremos o caso de um meio com um único pico de absorção muito estreito. Seja Xi(W')
=
iS(ü/ - wo),
(nwoXo/2)
de modo que )(,.(0) = Xo. Então, da Eq. (19-83), a função resposta deste meio é f(l') = XoWo sen wot'. Suponhamos agora que um campo elétrico função degrau é aplicado (localmente), t < O, E(t) = O,
= Eo· Com este E, a Eq. (19-82) toma-se P(t)
e com
O
> O.
, = Eo
f(t') calculado P(t)
t
= XoEo(1
r dtj(t'),
'o
-
cos
wot).
Após a súbita aplicação do campo elétrico Eo, o meio "move-se em círculos" na freqüência de absorção (ressonância) Wo. Se o amortecimento não for nulo, as oscilações de P poderão eventualmente ser amortecidas até XoEo como no campo c.c. Vemos que não há uma proporcionalidade simples entre P(t) e E(t) e sua razão (que depende do tempo) não é uma propriedade material, realçando novamente que as constantes materiais são razões entre as transformadas de Fourier.
432
Dispersão Otica nos Materiais
19-6 RESUMO A constante dielétrica complexa de um material é calculada como uma função da freqüência do campo elétrico, tratando-se os elétrons e os íons como oscila:dores harmônicos amortecidos clássicos ou como partículas livres. O resultado é 2
_ K-l =------wp w6 -
onde
Wo é
w2 -
iyw'
a freqüência natural, 'Yé a freqüência de amortecimento
e
= ~~ {Fi?
wp
(freqüência de plasma para as partículas livres). Com basenisso, os casos típicos de dependência, quanto à freqüência da constante dielétrica real e da condutividade, podem ser catalogados, dependendo de que as forças inerciais, de amortecimento ou restauradores possam ser desprezadas. Se os efeitos do campo local puderem ser ignorados, as respostas dielétricas de diferentes grupos de partículas serão aditivas. A dependência quanto à freqüência das constantes óticas n e k depende daquela das constantes dielétricas e também das magnitudes relativas das partes real e imaginária. As partes real e imaginária não são independentes uma da outra, estão relacionadas pelas relações de Kramers-Kronig. 1. A absorção na ressonância ocorre quando dominam forças inerciais e restauradoras. A constante dielétrica, para amortecimento pequeno, tem a simples forma lorentziana. Se Ki for pequeno, as constantes óticas terão a mesma forma. Em qualquer caso, ocorre a "dispersão anômala" na região do pico de absorção. Os picos estão na região visível ou ultravioleta para elétrons e na região do infravermelho para íons. 2. A teoria do elétron livre de Drude ocorre ao fazer-se a força restauradora (wo) igual a zero. A profundidade de atenuação e a absorvância (fórmula de Hagen-Rubens) a baixas freqüências, junto com a condutividade c.c., resultam de w ~ "t. Para w ~ "t, wp, as partículas livres fornecem uma contribuição muito pequena para a condução ou absorção. Se 'Y~ wp, haverá uma região de freqüência intermediária (no infravemlelho, no caso de metais) de baixa absorvância (alta reflectância), A onde
T
=
2/wp!'
é a freqüência de colisão, e de pequena profundidade b
de atenuação,
= Âp/27T.,
onde Àp é o comprimento de onda do plasma. A freqüência de plasma está na região do ultravioleta no caso de metais e, em freqüências muito mais baixas, no caso de outros plasmas comuns de elétrons. 3. Os efeitos inerciais são desprezíveis na condução eletrolítica e na relaxação dielétrica. A primeira tem a mesma dependência, quanto à freqüência, que a condução da partícula livre, apesar dos mecanismos de mobilidade e de decaimento temporal serem diferentes. A última depende da freqüência "fortemente amortecida" sem região de "dispersão normal". O mecanismo é o da polarizabilidade orientacional dos dipolos permanentes. 4. A relação de Kramers-Kronig K (w) _ r
1
=~ " 7r '0
cn
f1!~~i((1)ldúJ~ W'2 - w2
Problemas
433
entre as partes real e imaginária da função resposta dielétrica depende apenas da Jinearidade do meio (e da causalidade). Esta relação, ou variações dela, possuem aplicações úteis em todos os sistemas lineares.
PROBLEMAS 19-1 A densidade e o índice de refração do benzeno líquido a 20°C são, respectivamente,
de 0,879 e 1,50 (para" = 589 mm). Partindo da equação de Clausius-Mossotti, calcule o índice de refração do vapor de benzeno a 20°C, onde a pressão de vapor é de 0,1 atmosferas; calcule-o também no ponto de ebulição, 80°C. gfcm'
19·2 Prove que a largura da curva lorentziana, curva é
Eq. (19-40), a meio máximo
é"y
e que a área sob a
19-3 O índice de refração do diamante para" = 5893 A é 2,417; tome a constante dielétrica estática como sendo 5,50. Ajuste estes dados ao modelo simples que tem uma única função absorção ó em "o' com a finalidade de determinar "o' 19-4 Use a fórmula de Cauchy para avaliar o índice de refração do gás hidrogênio em condições normais para comprimentos de onda de 4000 e 7000 A. Suponha que "o = 1216 A (a linha Q de Lyman).
19-5 Os picos de absorção experimentais possuem, às vezes, uma forma que está mais próxima de uma curva gaussiana do que de uma lorentziana. Represente graficamente uma gaussiana e uma lorentziana, com mesmas alturas de pico e mesmas larguras de meio máximo, no mesmo gráfico, de forma a mostrar a diferença entre elas. 19-6 A função dielétrica para íons ligados oscilando com amortecimento
desprezível pode ser escrita
w2
K(w)=Kro+~
WT-
W
"
onde wT é a freqüência de ressonância das vibrações transversais de comprimento de onda longo dos íons e K~ aproxima a contribuição dos movimentos eletrônicos que ressoam em freqüências muito mais elevadas que wT' Observe que K(w) ...•~ para W = wT' Se K(w) O para W = wL, de forma que podem ocorrer oscilações longitudinais de comprimento de onda longo de freqüência wL, demonstre ==
que
WL _
2
Ko
Wf -
/(00'
onde Ko = K (O) é a constante dielétrica c.c. Esta é denominada relação de Lyddane-Saehs-Teller. 19-7 Suponha que uma solução diluída se constitua de N osciladores atômicos por unidade de volume dissolvidos num meio transparente de índice de refração noo. Supondo que Ki
N
= --2e
no<>
'Ia.
Esta relação (conhecida como equação de Smakula ou equação de Chako) é freqüentemente ra aéhar N a partir da altura'" e largura da absorção ótica medidas.
usada pa-
'"Y
19-8 Considere um meio que contém partículas livres, com tempo de colisão 'T e condutividade c.c. Calcule as partes real e imaginária da condutividade para a freqüência W = l/T. Qual a constante dielétrica real, K?
go'
19-9 Num plasma de elétrons livres, com w=wp.
'"Yfwp
= 10-2, calcule os valores aproximados
de n e k para
434
Dispersão Otica nos Materiais
19-10 Suponha que na função dielétrica de um plasma de elétrons livres com amortecimento desprezível, a contribuição dos elétrons ligados das órbitas internas, que ressoam em uma freqüência mais elevada, possa ser aproximada por K ~: 2
wp
K(w)=K"'-w2' Encontre a freqüência das oscilações longitudinais. Na prata, o valor calculado a partir da densidade de elétrons (valência) livres é wp = 13,8 X 1015 çl , ao passo que oscilações longitudinais de plasma são observadas em w = 5,8 X 1015 çl. Qual é K",,? 19-11 Num plasma de elétrons livres, as ondas longitudinais de plasma ocorrem na freqüência w = Ne 2 lô. m, onde m é a massa do elétron. Se os íons positivos, de massa 114, também se puderem mover livremente, demonstre que as ondas longitudinais ocorrem para w = Ne2 lô.}.l, onde}.l '" mM/(M + m) é a massa reduzida, supondo que as contribuições para K sejam aditivas. 19-12 Discuta o comportamento dielétrico das partículas livres no caso 'Y> wp' Isto é, encontre expressões aproximadas para K e fi nas diversas regiões de freqüência. Será que a relação de HagenRubens é válida e, se for, em que intervalo de freqüência? 19-13 O ângulo de perda dielétrica de um dielétrico polar tem um máximo como função da freqüência. Calcule a freqüência em que ocorre o máximo e encontre Kr e Kj nesta freqüência se Ko jl> 1. 19-14 Use as relações de Kramers-Kronig para provar as seguintes fórmulas (denominadas regras da soma) para a condutividade real g e a susceptibilidade x: • '"
I "O
7t
X(w') dw'
= 2- W-:JO lim
g(w')
= -2 W-'I) lirnW2X(w) = -2-' m
.'"
I
"'0
19-15
(w' -
g(w)
7tNe2
7t
dw'
= 0,
Suponha que um meio seja caracterizado por um pico de absorção único Xi(W') = +1TW.X.Ó Encontre a resposta P(t) a um campo E pulsado,
w.).
E(t) 19-16 Considerando l(t) ções de dispersão
ao invés de P(t), demonstre que a condutividade 2
,00 w'gj(w')
= 7t- 'oI ~;'fn W
g,(w)
= Wo ~.o b(t).
dw'
- W
2-'
gi(W)
= -~7t W
['" '0
complexa obedece às rela-
g,(w')3W' W'2 - w2 .
Estas equações valem para um condutor assim como para um isolante, urna vez que iHw} não tem singularidade em w = O. a} Usando a relação g =
-iwx,
compare estas relações de dispersão com as Eqs. (19-84) e (19-85),
b) Derive as "regras da soma" •
7[
I '0
X(w')
dw'
= -2-
g(O),
g(w') dw'
= 27[
Ne2
--;;
Observe que elas estão de acordo com as derivadas no Problema 19-14 para um isolante (g(0) = O),
l
CAPÍTULO 20
-
EMISSAO DE RADIAÇAO Um ponto de partida conveniente para o estudo da geração de ondas eletromagnéticas são os potenciais vetoriais que satisfazem a equação de onda não homogênea com fontes. Neste capítulo, consideraremos diversas fontes de radiação idealizadas bem como sistemas mais complicados. São feitas aproximações que limitam a validade das soluções a campos produzidos por cargas que se movimentam vagarosamente (não relativísticas), isto é, aquelas com velocidade v pequena comparada à velocidade da luz, v ~ c. Não obstante, os resultados se aplicam tanto à emissão de ondas de rádio por antenas como à emissão de luz por átomos. Iniciaremos com o exemplo mais simples da antena e, então, desenvolveremos um procedimento mais geral. 20-1 RADIAÇÃO DE UM DIPOLO OSCILANTE Um exemplo de radiação simples de uma distribuição de carga-corrente que depende do tempo é proporcionado pelo cálculo da radiação de um dipolo elétrico oscilante. Supor-se-á o dipolo como constituído de esferas localizadas em z = ± 1/2, conectadas por um fio de capacidade desprezível, como é ilustrado na Fig. 20-1. A carga da esfera superior é q e a da esfera inferior é -q. A conservação da carga requer que a corrente no fio que as une seja dada por
I=+q,
(20-1)
I
onde é positivo no sentido positivo de z. Deve-se observar que a condição de capacidade desprezível do fio e sua concomitante corrente uniforme poderá ser satisfeita apenas se o comprimento 1 do dipolo for pequeno em comparação com o comportamento de onda da radiação (veja a exposição no início do Capítulo 13). z
1/2
~!J 1/') /~
Figura 20-1 Dipolo elétrico oscilante.
435
436
Emissão de Radiação
o potencial vetorial devido à distribuição se situa, no vácuo, a partir da Eq. (16-84), AAr, t)
=
('2
f-Lo
4n: . -1/2
de corrente especificada pela Eq. (20-1)
I(Z',-L=_Lr =-_:'k Ir
-
z
kI
Esta expressão, bastante complicada, poderá ser rapidamente a quantidade Ir - kz'l. É evidente que
l/c)
d~.
(20-2)
simplificada se examinarmos
(20-3) Se I for pequeno comparado com r, isto é, se considerarmos o campo apenas a grandes distâncias do dipolo, o lado direito da Eq. (20-2) poderá ser expandido na forma Ir
-
kz' I
=r-
z'
cos e,
(20-4)
onde e é o ângulo entre r e o eixo z. A quantidade da Eq. (20-4) está contida duas vezes na expressão de A. No denominador, z' cos 8 poderá ser simplesmente desprezado se r for suficientemente grande. No termo de retardação, todavia, z' cos e poderá ser desprezado somente se z' cos 8/c for desprezível comparado com o tempo durante o qual a corrente varia significativamente, por exemplo, comparando-o com o período de correntes que variam harmonicamente. Como z' cos 8 < 1/2, isto significa que z' cos e/c poderá ser desprezado no termpo de retardação somente se I
2 ~ cT
=
(20-5) À..
Dessa forma, se o dipolo for pequeno comparado com um comprimento de onda, e o ponto de observação estiver distante do dipolo, em comparação com I, então A será dado por
AAr, t)
= -4n: -r II f-Lo
1
(
t - c-- . r)
(20-6)
O potencial escalar 'fi pode ser encontrado, aplicando-se a condição de Lorentz ou usandose a expressão adequada para o potencial retardado. Ambos os métodos dão o mesmo resultado final; entretanto, como o potencial elétrico devido a um dipolo é a diferença entre dois termos grandes, deve-se tomar muito cuidado ao aproximar o potencial retardado. Uma vez que esta dificuldade é eliminada no cálculo da condição de Lorentz, o potencial escalar será obtido, resolvendo-se
v . A + ~ ocp = O,
(20-7)
c ot
com A sendo dado pela Eq. (20-6). Assim, ocp ct
=-
I C 1 I (t - ~ r) 4~E~ a~~
= 4n:to _I
r3 [3-
I
(t -~)c
r2c I' + ~-
(t - c~)],
(20-8)
onde l' representa a derivada de J com respeito a seu argumento. Esta equação é prontamente integrada, observando-se que J = +q' e, portanto, que
Radiação de um Dipolo Oscilante
r2 4mo ~ = --~
t)
+ IJt-=c r/c)].
r [9Jt_-=-!lC)
437
(20-9)
Tendo obtido os potenciais escalar e vetarial, precisamos apenas, agora, derivá-Ias para obter o campo eletromagnético. Antes de fazê-Ia, é conveniente particularizar a distribuição de carga-corrente a uma que varie harmonicamente com o tempo. A escolha particular
q (t - ~)
I = 10
=
qo cos w (.t - ~}
n = - wqo sen w
sen w (t -
(t -
n
(20-10)
será feita. Decompondo A em comp<;mentes esféricas, obtemos Ar
=- -
Ao
= - -4n - r 110101
110 101 4n r
cos
O
sen
sen w t - - , (r) . c O
(20-11)
sen w t - - ,
c
(r)
A4>=O,
e toma-se óbvio que apenas a componente 1 a
B 4>
= -r ar -
4J
de B é diferente de zero. Esta componente
é
1 aAr (rAo) - - r ao
= -- -
4n 110 10r I
sen
B
-
c (w.
cos w t - (
cr )
+-
r1
sen w t - -
(r
c)]
.
(20-12)
O cálculo do campo elétrico é algo mais complexo, uma vez que não apenas A mas também ..p está envolvido. O resultado, ao efetuar as derivadas, é Er=
a
--~-,~
ar 1
--
aAr
at
ôt
wr3 lIo sen B [(_1
= --._--1
E
r sen e
wr3'- r/c)) _ cos w(t
ôAo
a
r ao
=
2lIo4n[0 cos B [senw(t r2c- r/c)
_~)rc2
cos w (t -~) C
- r2c -~ senw
-- ---oA =0.
(t -
c ~)1,
ô
ocjJ
(20-13)
at
É interessante calcular a taxa com a qual o dipolo irradia energia. Faz-se isto, integrando a componente normal do vetar de Poynting sobre uma esfera de raio R. Assim, ~S'nda=.
•
1 R2 110'0
f"
EeB4>2nsenBdB.
As Eqs. (20-12) e (20-13) tornam possível determinar
completamente
(20-14)
a integral que apa-
438
Emissão de Radiação
rece na Eq. (20-14); todavia, talvez seja mais instrutivo calcular apenas a porção que não se anula quando R -+ 00. Obtém-se isto selecionando o termo proporcional a l/r em Ef) e Eq,. O resultado é
ts . n da =
..
Esta é a potência instantânea do cos2 é um meio) é
(20-15)
(Io W -3w2 6n,-0 c COS-, W ( .t - -cr) .
-p--
irradiada; a potência média irradiada (uma vez que a média _
p Uma forma mais convencional !VEoJ1o. O resultado é
[2w2
16
= --
(20-16)
_U.
6ntoc3
2
da Eq. (20-16) é obtida ao introduzir
fi = --
À.
= 21TC/W e c = 1/
!fi
J10 ~ ~ • (20-17) 3 toÁ (1)2 2 2n 12 Uma resistência R conduzindo uma corrente 10 cos wt dissipa energia a uma taxa média P=R!Õ/2. Comparando esta relação com a Eq. (20-17), vemos que é razoável definir a resistência de radiação de um dipolo por
Rr
= 2n 3,j
Rr
= 789
fi; ~o (.~)2 À
'
(20-18)
ou
Ur
ohms, (espaço livre).
Num meio material, J10 e EO são substituídos por J1 e E, e À. = 2rr/wyEij.. Poderíamos ser tentados a usar a Eq. (20-18) para descrever a radiação de uma antena de rádio. Infelizmente, várias falhas impedem a obtenção de bons resultados desta maneira. As principais falhas são: (1) o efeito da proximidade da Terra é desprezado; (2) comumente, as antenas não estão capacitivamente carregadas nas extremidades; (3) as antenas muito raramente são curtas em comparação com o comprimento de onda que elas irradiam. A remoção das duas últimas falhas será discutida na próxima seção; contudo, a discussão a respeito do efeito de perturbação da Terra está além do alcance deste texto. 20-2 RADL<\ÇÃO DE UMA ANTENA DE MEIA ONDA A restrição a comprimentos pequenos comparados a um comprimento de onda pode ser removida, em alguns casos, por meios relativamente simples. Em particular, um fio cujo comprimento é, exatamente, de meio comprimento de onda pode ser dividido em elementos infinitesimais, a cada um dos quais pode ser aplicado o método da seção precedente. Suponhamos que o fio se situe ao longo do eixo z, de -À/4 a +À/4, e que conduza uma corrente
1(z', t)
= 10 sen
wt cos (2~Z').
(20-19)
Esta equação anula-se nas extremidades do fio. A não uniformidade da corrente requer uma densidade de carga variável, que é maior nas extremidades do fio. Um i:lemento dz' em z' contribui, no vácuo, com
Radiação de uma Antena de Meia Onda
=
dEo
----2
10
W
47tLo sen Rc (J
cos w t - cos -,dz' A (R) c. (27tZ')
439
(20-20)
para Ee. Aqui R é a distância de dz' ao ponto de observação e termos de ordem 1/R2 foram desprezados. Da mesma maneira, dB~
=-47t --Rc J1.0 10w
sen
(J
cos w
t - (R) e
cos
--
 (27tZ')
dz'.
(20-21)
O problema de calcular Ee e Brt> se reduz a determinar K
= '-"/2 r· ,,/2
-R1
cos w (R) t - -e
(20-22)
cos u du,
onde u = 21[z'//I.. Como antes, R =7 - z' cos e e, em conseqüência, z' cos e pode tomar-se desprezível através de uma escolha de 7 suficientemente grande. Muito cuidado é necessá· rio, entretanto, no argumento do co-seno e K é expresso como K
= -r1 '-,,/2 r ,,/2
cos
r
w
(
t - e7)
+u
cos ecos
u du.
J
pode-se desdobrar o co-seno, que dá K
= -r1 cos w --
71
t - - r cos (u cos e) cos u du (r) C '-,,/2 ,,/2
sen w
sen (u cos e) cos u du. t - - r (7) e '-,,/2 ,,/2
A segunda integral anula-se e a primeira pode ser determinada, como exponenciais ou usando tabelas típicas. O resultado é 7 cos w K =~ Uma vez determinado K, encontramos
Eo
= -.~ 27t(0 7e cos
B~
=
(t _~)C
sen 2 (Jcos ~o~J(n:/2)
w (t _~)e
e cosJ0/~t~~s_ sen e 10 cos w (t _ ~)
os co-senos
(20-23) (J] .
~~J(7t/2) sen ecos
2n:r t!:.o
expressando
e]
e] .
(20-24)
O vetor de Poynting médio, integrado, é
f5
= ~47t ~ r;;; ~
16 'o r" ~OS2 [(n/;) sen ecose] sen e de.
(20-25)
A integral remanescente somente poderá ser determinada como uma série infinita, mas simplesmente assinalaremos que o resultado, para uma antena de meia onda, é -
lÕ
p = 73,1 -
2
ohms (no espaço livre)
(20-26)
440
Emissão de Radiação
Podemos aplicar este método a problemas mais complicados; cos se tomam bastante difíceis.
todavia, os detalhes técni-
20-3 RADIAÇÃO DE UM GRUPO DE CARGAS EM MOVIMENTO Nesta seção, deduziremos uma expressão para a potência irradiada por um grupo de cargas móveis ou, equivalentemente, por uma distribuição de carga-corrente. O movimento de carga é arbitrário, feitas as seguintes restrições: durante o tempo que a radiação necessita para se propagar da vizinhança das cargas até o ponto de observação, podemos imaginar que todas as cargas e correntes da distribuição estão contidas num volume Vi cujas dimensões são pequenas em comparação com a distância fonte-observador (veja a Fig. 20-2). Além disso, as dimensões de Vi são pequenas comparadas aos comprimentos de onda dominantes da radiação emitida. As restrições acima também resultam que, comparadas à velocidade da luz, as cargas se movem devagar. Supõe-se que as cargas se estejam movendo no vácuo. Como um primeiro passo em direção à solução do problema, devemos calcular os potenciais eletromagnéticos. Estes são justamente os potenciais retardados, que foram estudados na Seção 16-6. A origem de coordenadas, O, é considerada no interior do volume Vi e a posição de um elemento de carga é representada por r' (veja a Fig. 20-2). O ponto de campo P está à distância r da origem. Por conveniência, é introduzida a distância auxiliar R, que representa a posição do ponto de campo em relação a um elemento de carga. Evidentemente,
r' + R =r.
(20-27)
p
Figura 20-2 Cargas que se movem arbitrariamente, contidas num volume V,. Os campos serão calculadosem P.
Comor~r'
R = Ir - r' I
o potencial
escalar retardado
<.p
~ r' . r ~r-r
(20-28)
no ponto de campo P toma agora a forma
(20-29) p(r',
t-
r/c
r-
+ r' . r/er) (r'· r)/r
dv'
Radiação de um Grupo de Cargas em Movimento
441
Usando o Teorema Binomial (20-30) e a expansão em série de Taylor,
r' r -c + --')'cr = p ( ri, t r
p ( r', t -
r' r op + --Icr -"I at
r - -c )
r',I-r/c
+ ... ,
(20-31 )
obtemos
cp(r, t)
= __ 1_ 'VI r 4n(or
p
(ri, t
+ 4nfor _13 r' fVI' r'p (ri, t
- ~)dlJl C
- ~)dVI c
(20-32)
+ --1-2c r . -dt dr 4n(or
'VI
rIp ('Ir,
t - -r)dl v C
+ termos
de ordem maior
A primeira integral, na Eq. (20-32) é a carga total Q da distribuição. É uma constante, independente do tempo. A segunda integral (e também a terceira) é o momento de dipolo elétrico p da distribuição, especificado no instante (t - r/c). Os termos de maior ordem caem segundo uma potência maior de r'/r e dependem de um maior momento de multipo. 10 da distribuição. Por causa das restrições impostas no início desta seção, estes termos não contribuem apreciavelmente (veja abaixo) para o campo eletromagnético distante da distribuição de carga. Dessa forma,
cp(r, t)
= _1_ 41tfo trg r + r • p(tr3-
+ ~_'.pUcr2-
r/c)
(20-33) r/c)],
com p == dp/dt. Como resultado da expansão em série de Taylor, somente um tempo re, tardado aparece nos termos explicitamente mantidos. O potencial vetorial retardado A no ponto de campo é dado por
A(r, t) =
r 41t .v,
J..Lo
J(~t
-
r/c
+ ri,
r - (ri,
=~ r J (r', t - C) 4nr 'v, c
dv'
r/a)
r)/r
+ termos
dv'
(20-34) da ordem maior.
Os termos de ordem maior não precisam ser escritos explicitamente pois dependem novamente de um maior momento de multipolo da distribuição. Em outras palavras, a Eq. (20-34) já é compatível com a Eq. (20-32). A partir dos resultados do Problema 7-2, pode-se escrever esta última equação como A(r, t)
= .,. 4nr J..Lo
(20.35)
P t - -
cr) .
(
Também se poderia ter obtido o potencial escalar, Eq. (20-33), através da Eq. (20-35) e da condição de Lorentz. Os campos elétrico e magnético podem ser obtidos das relações usuais E
= _ õA
ai -
B Vcp,
=V
x A.
442
Emissão de Radiação
Restringiremos nosso interesse, aqui, aos campos de zona de radiação, isto é, às contribuições para E e B que caem com r-I, pois estas contribuições são suficientes para determinar a potência irradiada pela distribuição de carga. O cálculo de aA/at é direto; para obter V.,o, observamos que, como p é uma função de (t - r/c), a 1 - P == - - p. (20-36) ar c Dessa forma,
= ~J1}2 4nr p (t
E(r, t)
+ termos
+ __ 4nEo 1 _ ~~(t c2r3-r/c)--
_ ~) c
que caem mais rapidamente que O/r)
r (20-37)
Para calcular B(r, t), devemos tomar o rotacional da Eq. (20-35): V x
n] = V ~
p + ~V x 1 r . 1r
[~p (t -
x
P
=---xp+--xr2 r rr r
I r2
o
r
-
1
x p- -
cr
ap
ar
r - x p. r
A última fase se processa através do uso da Eq. (20-36). O primeiro termo do rotacional pode ser desprezado, uma vez que cai mais rapidamente que r-I;
= -4-Jlo ncr
V x A(r, t)
2
Os campos de zona de radiação são, portanto, B(r, t ) =
E(r,
t)
r x p (r)t - c- . dados por
Jlo_2 r x - 4ncr
= 4nEo1_c2
(20-38)
(20-39)
p,
[(r. p)rr3°---
(20-40) r2p]
1
= 4nfoc2r3
r x (r x p)
c
=-r
r x B(r,
t),
onde p é especificado como o tempo retardado. É evidente que E e B são perpendiculares entre si e são ambos perpendiculares a r. Este resultado poderia ter sido antecipado pela Eq. 07-22), uma vez que r/r = K/K = u. Assim, será suficiente calcular apenas A quando se procurar somente o campo de radiação (r ~ À). O vetor de Poynting S = O/Jlo )(E x B) tem o sentido de r e é dado por
c C 2 S = --- B x (r x B) = -- rB Jlor
Jlor
(20-41)
Radiação de um Grupo de Cargas em Movimento
443
ou 1
S = ------
16n2(oc3r5
Se o eixo z for tomado
na direção
de
--
r(r x p)2 .
p,
S=
p2 sen 2 ()
.--
r
-.
(20-42)
r
16n2(oc3r2
A potência máxima é irradiada a 90° com p. A potência total irradiada é obtida integrando-se o vetor de Poynting sobre uma superfície fechada que circunda a distribuição de carga. Uma escolha adequada para esta superfície é uma esfera, com centro na distribuição de carga e com um raio suficientemente grande de modo que todas as partes de sua superfície estejam na zona de radiação. Então PR
=
= 's{ S . n da
_~W dt
. sen2
p2
I ---r3
= -_.--
16n2(oc3•
de onde se obtém,
prontamente,
o importante dW
= - -
P
dt
R
e
r r . - r2 sen e de dA, r '+',
resultado
=-
1 2
p2
- -
(20-43)
4n(0 3 c3
para a potência irradiada por um grupo de cargas que se move vagarosamente em comparação à velocidade da luz. A Eq. (20-43) é uma expressão para a potência irradiada por cargas que se movem arbitrariamente, em termos de seus momentos de dipolo elétrico p. A expressão anteriormente deduzida para a radiação de um dipolo oscilante, Eq. (20-16), é um exemplo especial da Eq. (20-43); naquele caso, p = (lIo/w) cos w(t - r/c). Agora, poderia acontecer que, devido a uma simetria particular do sistema, o momento de dipolo se anulasse ou fosse independente do tempo. Neste caso, a potência irradiada não seria necessariamente nula, porém mais termos teriam de ser retidos nas expansões de <{JeA [Eqs. (20-32) e (20-34)] para realizar o cálculo. Realmente, acharíamos que a potência irradiada depende de algum momento de multipolo maior do sistema. neste caso. As diversas radiações de multipolo tomam-se progressivamente menos intensas à medida que se aumenta a ordem do multipolo; por exemplo, a radiação do quadrupolo é aproximadamente menor, por um fator (a/ÀY, que a radiação de dipolo, onde a é a dimensão do sistema e À é o comprimento de onda da radiação emitida. Dessa forma, se p não se anular no sistema em consideração, a Eq. (20-43) dará a contribuição principal à potência irradiada. As Eqs. (20-39), (20-40) e (20-43) podem também ser aplicadas à radiação de uma única carga q acelerada. O momento de dipolo da carga é qr', onde r' é medido a partir de uma origem arbitrária. Então
p onde v é a velocidade
= qf' = qv,
da carga. Esta independe p
onde v é a aceleração
da carga. Substituindo
da origem.
Finalmente
= qv, este resultado
na Eq. (20-43),
obtemos
444
Emissão de Radiação
P
-
--
R -
dW q2 2 .•.2 - - - -dt - 41Tto 3 c3
(20-44)
para a potência irradiada por uma carga acelerada que se move vagarosamente.
*20-4
CAMPOS EM ZONAS PRÓXIMAS E INTER.\IEDIÁRIAS Apenas termos proporcionais a l/r, nos campos, contribuem para a energia irradiada, porém potências maiores de l/r dominam na região próxima às cargas irradiantes. Estes campos são de interesse na comparação com o caso estático e também em problemas práticos que ocorrem na vizinhança imediata de antenas. Nesta seção, calcularemos os campos E e B completos de um dipolo elétrico puntual. Para fazer isso, iniciaremos com os potenciais dipolares, Eqs. (20-33) e (20-35), e reteremos, nas derivações, os termos que foram rejeitados na seção precedente. A contribuição para E, de - dA/dt, é parte do campo de radiação e já foi calculada. Aplicando a identidade vetorial (1-1-6) à Eq. (20-33), com Q =0, encontramos
-Vcp
-1 =-41Tto
--
. Vp
[rcr2
+-r3 r
+~ cr2 r
x (V x p)
x (V x p)
+p . V
+ -r3 . Vp
-cr2 r
r
+p
. V -
r3 r
]
,
com os termos arranjados em ordem crescente das potências de l/r. Os dois primeiros termos, quando adicionados a - 3A/3t, dão o campo de radiação da Eq. (20-40), r p r~ _ p] = 41Tto c2r r~ x (.~ r. x p), El = 41Tto -~ c2r ~1 [~. _1_ ~1
(20-40)
que varia com l/r e depende de p. O último termo, quando expandido, cam{XJ dipolar estático da Eq. (2-36)
E3
41T(o = _1_
r3 [3 ~ r . P ~ r - p] ~
r3 [~ r x = 41Téo _1 ~
(~r x p)
+2
é justamente
r~ . p r' ~J
o
(2-36)
que varia com 1/r3 e depende de p. O dipo1o p estará variando com o tempo neste caso, naturalmente, porém a dependência espacial de E3 é instantaneamente a de um campo dipolar estático. O terceiro, o quarto e o quinto termos (que são semelhantes, quanto à forma, aos primeiro, segundo e último termos) levam ao campo de transição ou ao campo de indução, E2
= 41TEo ---1 cr2 ~1
que varia com
1/r2
1 -cr21 [rr- x (r-r x p ) [3 rr-' p- rr- - p-1 = -41TEo e depende de p. O campo E total é, então, E = El
+ 2 r-.r
P r-r 1 ,
(20-45)
+ E2 + E3 ;
P e suas derivadas serão avaliadas no tempo retardado, t' =t - r/c. O campo B é obtido, tomando-se o rotaciona1 da Eq. (20-35). Se retivermos o tempo desprezado na dedução da Eq. (20-39), veremos, através das Eqs. (20-45), que
r
B
= cr -
X
(E1
. + E2).
Campos em Zonas Próximas e Intermediárias
445
Dessa forma, B abrange um campo de indução e de radiação, porém não existe campo B "estático" . É evidente, conforme a segunda expressão dada acima para El Z 3, que todos os três campos possuem uma componente transversal, perpendicular a r 'nb plano definido por r e p. O campo de radiação é puramente transversal, porém Ez e E3 possuem, além disso, uma componente longitudinal no sentido de r. Se escolhermos coürdenadas esféricas com o eixo polar na direção de p, as componentes transversais serão Ee e serão proporcionais ao sen e; as componentes longitudinais serão Er e serão proporcionais ao cos e. O campo B possui apenas uma componente cp (TM). Vamos particularizar o caso de um dipolo na direção k, com uma magnitude que oscila senoidalmente: p(t) = pke-iwt. Então p(t') onde
I<
= pke-i(wt-Kr),
é a constante de propagação da onda na zona de radiação, /\:= w/c.
Introduzindo este p(t') nas Eqs. (20-40), nentes de E =E1 + Ez + E3
(2-36) e (20-45),
_
.
Ee - ,p/\:3 41t~~ sen
Er
= 4-~E;; PK3 2
encontramos para as compo-
e [1-
cos
Kr
-
I (/\:r)2 1
-t(Wl-K'}
+ (/\:r)3 1]'
e
e [ - I, {,(r)2 1 + (Kr1)3 ] e - i(wt -
,
Kr) .
O campo de radiação ou o campo estático dominam quando I
Figura 20-3 Linhas de campo elétrico produzidas por um dipolo elétrico oscilante.
446
Emissão de Radiação
20-5 AMORTECIMENTO DE RADIAÇÃO. SEÇÃO TRANSVERSAL DE THOMSON A potência irradiada, calculada na Seção 20-3, é perdida pelo sistema de cargas e, numa situação de estado estacionário, deve ser fornecida por alguma outra fonte. Numa antena, a fonte é o transmissor e a perda é expressa pela resistência de radiação. Para um elétron num meio material, através do qual uma onda está se propagando, a fonte de potência é o campo E da onda e a perda é expressa pela freqüência de amortecimento. Desejamos relacionar agora a freqüência de amortecimento usada no último capítulo com a perda de energia devida à radiação por uma partícula carregada, como é dado na Eq.
(20-44),
2
e2
P - ---
ÍJ2
--3 e3'
411:'-:0
(20-44)
A perda de potência resultante da força Fé P= -Fv. Igualando esta à perda de radiação da Eq. (20-44), teremos, para a força de amortecimento 2
e2
ÍJ2
F= --- ----3
linear suposta na Eq. (19-1) foi F = - Gu, de modo que a fre-
A força de amortecimento qüência de amortecimento,
I = Gim, é
y=Para uma carga oscilante,
(20-46) v .
e3
411:'-:0
u
=
Vo
2 3
i/
e2
----411:'-:0
me3 v2'
sen wt, e
... ,=
2
wt ---e2w2---- cos2 --------
{
3
411:'-:ome3
A dificuldade deste resultado é que num ciclo de movimento harmônico. muito pequeno em um ciclo e, como
sen2
wt'
I não é uma constante,
porém varia de zero a infinito Não obstante, o efeito médio do amortecimento é P = m,lli o: G2 e
a freqüência efetiva de amortecimento "11-
(-
é tomada como sendo* 2 e2w2_
3
--
Em termos do "raio clássico do elétron", Re = e2/47TEome2
4n
y
(20-47)
41l:éo me3 .
= 2,81 x 10-15 m,
Re
w-3 T'
(20-48)
Como I = ~w é a largura de um pico de absorção estreito e como ~wlw = SA./Ã, LlAo
= 411: 3
Re
= 1,16 x 10 -4 Â .
Este último passo do argumento é certamente um tanto imperfeito. O problema não é motivado * por uma falha da mecinica clássica, pois um cálculo da mecânica quântica dá o mesmo resultado. O problema de uma incorporação correta da força de reação de radiação, Eq. (20-46), na teoria dinâmica foi discutido várias vezes desde que a Eq. (20-47) foi apresentada por Lorentz, em 1909. É um problema fundamental, mas do qual não podemos tratar aqui.
Amortecimento
de Radiação. Seção Transversal de Thomson
447
Esta largura de linha natural é mais estreita que a vista comumente no espectro de absorção, mesmo em gases a baixa pressão, porque há outros mecanismos de amortecimento que são usualmente maiores que o amortecimento de radiação. Este é, contudo, um limite menor no possível amortecimento. Outra conseqüência imediata da Eq. (20-44) mais comumente observada é a seção transversal de Thomson para o espalhamento de raios X. As freqüências de raios X (energias de fótons) são grandes comparadas com as freqüências de ressonância (energias de ligação) da maioria dos elétrons na matéria. Estes podem ser tratados como elétrons livres acelerados pelo campo E dos raios X,
= eE.
mio
de modo que
= '-
P
(20-49)
1
2
e4
3
m2c3
_ --- -- E2
41Uo
é a potência total irradiada por um elétron. A seção transversal de espalhamento de Thomson, ar, é definida como P dividido pelo vetar de Poynting incidente (potência por unidade de área) 1 (20-50) 50 = --~ E2; Poc
dessa forma, 2 (JT
1
8n
e4
= 3'- -4 nco '2: m - i'4c =
'3-
2
Re,
(20-51)
onde Re é o raio clássico do elétron. O pequeno tamanho desta seção transversal em com· paração com o tamanho de um átomo é a razão pela qual os raios X penetram no mesmo. A dependência angular da radiação espalhada é dada pela seção transversal diferencial, definida pela Eq. (20-42) dP
= -,
da
50
T
onde
= 5 da =
dP
Sr2
dO.
é a potência espalhada (isto é, reirradiada) dentro do elemento de ângulo sólido dO.
= sen
e de
dcjJ.
Como S da Eq. (20-42), a seção transversal diferencial é daT = R 2 sen 2 e. --dO.
(20-52)
e
Aqui, e é o ângulo entre o sentido de observação e o vetor E da onda incidente (perpendicular à sua direção de propagação). Se os raios X incidentes forem não polarizados (caso usual), uma expressão mais útil será a média da última equação tomada sobre todas as direções de polarização. O resultado (Problema 20-10) é cJ!2 dO.
= R2 e
~
cos~!!. 2
'
(20-53)
448
Emissão de Radiação
onde (3 é o ângulo entre o sentido de observação e o sentido da propagação incidente. Esta seção transversal é mensurável no efeito Compton, que é o espalhamento incoerente* de raios X em freqüências altas demais para a absorção de ressonância. Esta fórmula clássica não vale mais a freqüências muito altas; a energia de fóton (hw) deve ser muito menor que a energia de repouso do elétron mcl , ou À ;p. 0,02 Â. A seção transversal de Thomson, Eq. (20-51), também provirá da teoria do Capítulo 19, se investigarmos a atenuação do vetor de Poynting incidente ao invés do módulo do espalhado. Da Eq. (20-50), 50
1
, E~
= --
1
2
= --
J.1oc
Eoe-
onde
kw
é a "profundidade de atenuação". Aqui (;/2 desempenha dio dos fótons incidentes. Como o livre percurso médio ro de elétrons por unidade de volume,
Agora,
quando
:Iã,
c
b
(JT
2
J.1oc
2
2kw
= Nb
Nc
o papel de um livre percurso méé igual a l/Na, onde N é o núme-
(20-54)
n "'" 1, k ~ 1, como para os raios X, w2"
k = tKi
= 2~j.
Este é o resultado de alta freqüência para os elétrons gados quando w;p. Wo. Usando w~ = Ne2 /Eom, À = 2rrcjw, temos
livres e vale também para elétrons da Eq. (20-48)
r = (41T/3)(Re/À)w
li· e
e da Eq. (20-54) 8:rr
(JT
= -3
R2
e'
(20-51)
r,
que dá a seção transversal de Thomson, é a freqüência A freqüência de amortecimento de amortecimento da radiação. Nestas freqüências elevadas (w 2:. 1019 S-I), ela domina a freqüência de colisão l/r. Este procedimento, que consiste em considerar a propagação da radiação incidente, não dá naturalmente a dependência angular da radiação espalhada,
Eq. (20-52). 20-6 RESUMO Os campos produzidos pela carga dependente do tempo e por distribuições de corrente são calculados a partir das soluções integrais de A e I{i. (Seria suficiente considerar a ele pela condição de Lorentz.) Para encontrar apenas A, uma vez que 'fi está relacionado
*
O espalhamento incoerente é oposto ao espalhamento coerente (com as mesmas seções transver·· sais individuais) que dá a difração de raios X em cristais, em condições especiais de comprimento de onda e ângulo de incidência (lei de Bragg).
Resumo
449
soluções válidas a grandes distâncias r ~ a, onde a é o tamanho da região em que se localizam as fontes de corrente, o integrando é expandido através da expansão multipolar. O termo dipolo elétrico aqui considerado é o mais importante, a não ser que ele se anule, quando então termos de ordem maior seriam considerados. A integral, mais além, será simplificada para um dipolo puntual, a ~ À, pois todos os elementos da corrente fonte estão aproximadamente em fase. (Esta condição implica t' ~ c.) O resultado é A(r,
onde
t)
p(t)
=~ 4nr
=J
p(t
J(r',
r/c)
-
t)dv'.
A partir disso, com um J prescrito, encontra-se B, E e S. É particularmente los no campo de radiação em r ~ À. Então
fácil encontrá-
r
E = -c - x B r
e
S = -C B 2 -,r J.Lo
r
exatamente como para uma onda plana. (Não é necessário obter
1pO.)
1. O vetar de Poynting no campo de radiação de um dipolo puntual é
e r S=~-----p2 sen2
16n2coc3r2
r'
Integrando sobre toda a esfera, obtém-se a potência total irradiada como sendo
p=--1
2
-
jj2
4nco 3 c3'
2. A radiação de uma antena linear curta (dipolo elétrico) é dada por (1) com pU) = (lIo/w) cos wt. Em termos da resistência de radiaçãoRr,
p = -!Rrl~, Rr
= 789
(f r
ohms
no espaço livre. 3. A radiação de uma antena mais longa pode ser encontrada integrando-se os resultados de uma antena curta, supondo que v ~ c, o que é sempre verdadeiro para uma antena de rádio. Para uma antena de meia-Dnda,
4. Para uma carga puntual que se desloca vagarosamente, li = qv,
450
Emissão de Radiação
5. Para um elétron oscilante, isto leva à freqüência de amortecimento 41C Re y
= -3 --
da radiação
(V
À.
e à seção transversal de Thomson para um elétron livre 2
81C
=:3 Re,
(JT
onde
R = -- 1 e
é
O
e2 --= 2 81 x 10 _
4nEo me2
15
m
.
"raio clássico do elétron".
PROBLEMAS 20-1 Suponha que uma distribuição de carga esfericamente simétrica esteja oscilando simplesmente na direção radial, de forma que permaneça esfericamente simétrica em cada instante. Prove que nenhuma radiação é emitida. 20-2 (a) Determine a densidade de potência média irradiada no vácuo por um dipolo oscilante como função dos ângulos e e 1>.(b) Calcule a potência total irradiada por um dipolo de 3 m de comprimento numa freqüência de 500 kHz se a corrente no dipolo for de 2 A (valor efetivo). (c) Qual a resistência de radiação do oscilador dipolar na parte (b)? 20-3 Uma espira circular de fio, conduzindo a corrente 1=10 cos wt constitui um dipolo magnético oscilante. Determine os campos de radiação E e B para este oscilador e a potência total irradiada. 20-4 Como fontes de radiação eletromagnética, determine a eficiência relativa de um dipolo elétrico de 2m de comprimento comparada com um dipolo magnético de mesmo diâmetro e uma freqüência de lMHz. 20-5 (a) Calcule a corrente máxima de uma antena de meia-{)nda que irradia 1kW. (b) Qual o campo E correspondente à densidade de potência média a uma distância de 10 km da antena. Ignore os efeitos da Terra. 20-6
Verifique se A e
nas Eqs. (20-35) e (20-33) satisfazem a condição de Lorentz.
20-7 Uma medida de direcionamento da intensidade máxima de uma antena é a potência por estereorfádiano numa direção em que esta é um máximo, dividido por 1/(4rr) vezes a potência total irradiada. Calcule o direcionamento da intensidade máxima de um dipolo elétrico oscilante. 20-8 Suponha que um dipolo elétrico p gire com uma velocidade angular constante w em torno de um eixo perpendicular ao momento de dipolo. Encontre o campo de radiação e o vetor de Poynting. (Sugestão: Considere o dipolo girante como a superposição de dois dipolos qUe variam senoidalmente e que formam ângulos retos um com O outro.) 20-9 O modelo clássico do átomo de hidrogênio possui o elétron girando numa órbita circular de raio r e energia cinética 1
Ek
=-
e2
--.
2 4mo r
(a) Calcule a fração de energia irradiada por revolução, PT/Ek, nica quântica prescreve que no nível de índice n vIl
c-n13'iDetermine PT/Ek para n = 2.
onde T é o período orbital. (b) A mecâ-
Problemas
451
20--10 Um feixe de raios X não polarizado, de intensidade 10, íncide na matéria que contém elétrons livres. Considerando apenas um elétron e usando as expressões da Seção 20-3, demonstre que a intensidade do feixe espalhado é dada por
Is
(1 + cosz = 10 -2----
{3) R;
,2'
onde {3 é o ângulo entre OP e o feixe de raios X original. O ponto O é a posição do elétron e P é o ponto onde o feixe espalhado será medido. 20--11 Raios X de comprimento de onda de 0,2 A são atenuados no alumínio principalmente pelo espalhamento Compton. Calcule o coeficiente de absorção'" = 2/0 a partir da seção transversal de Thomsono Existem 6,06 X 1028 átomos de AI/m'.
CAPÍTULO 21 ELETRODINÂNIICA o
campo produzido por uma carga puntual que se desloca rapidamente pode ser calculado a partir dos potenciais retardados. Existem, todavia, certas dificuldades associadas a este cálculo que se relacionam com o retardamento e significam que a atual distribuição de carga (no espaço) deve ser extrapolada, voltando ao tempo retardado adequado. Este procedimento seria essencialmente trivial se não se ressalvasse que porções diferentes da distribuição de carga requerem tempos retardados diferentes. Embora se pudesse esperar que este efeito desaparecesse no caso de cargas puntuais, isto realmente não ocorre. Os potenciais vetorial e escalar adequados a uma carga puntual em movimento são os potenciais de Lienard-Wiechert, que deduziremos a seguir. 21-1 POTENCIAIS
DE LIENARD-WIECHERT
Os potenciais de Lienard-Wiechert são, como dissemos acima, os potenciais escalar e vetorial produzidos por uma carga puntual em movimento. Poder-se-ia pensar que q (47fEoR, com R sendo a distância retardada apropriada, daria o potencial escalar devido a uma carga puntual em movimento. Não é, contudo, o que acontece, como se pode mostrar de várias formas. Um dos procedimentos mais instrutivos consiste em considerar um volume em movimento, carregando consigo uma distribuição de carga fixa, por exemplo, um volume esférico carregado uniformemente, que se move através do espaço ao longo de uma trajetória prescrita. O campo devido a uma carga puntual é o limite do campo devido a esta distribuição. tomado adequadamente. é dado, no O potencial escalar devido a uma distribuição de carga em movimento ponto ~ e no tempo t, pelo potencial retardado*
•
1·
p (r', t') I ---;4mo' r
=-
I; - I
, dv.
(21.1)
A causa da dificuldade é agora evidente; ou seja, t' não é fixo e, em conseq üência, o volume de integração, isto é, o volume no qual p é diferente de zero, não pode ser prontamente especificado. Para contornar esta dificuldade, pode-se escolher algum tempo fixo, t" e
*
452
Em todo o cap ítulo somente será considerado o espaço livre.
Potenciais de üenard-Wiechert
453
transformar a integração sobre r' para uma integração sobre rI . A escolha mais conveniente para t) é o tempo retardado para algum ponto no interior da distribuição de carga. Se no instante ti, o volume carregado estiver se movendo com uma velocidade v(tl), as relações importantes serão
= p(r I' r d,
p(r', t')
= r'
rI
- v(t')(t' - tI) -1V(t')(t'
(21-2) - t 1)2
+ ... ,
(21-3)
onde v é a derivada temporal de v. É importante entender que t' não é constante na Eq. (21-3), porém depende de r'. O problema restante é o de relacionar dv' a dVI, que é, naturalmente, realizado por meio do de terminante jacobiano. A relação é o(xl, dVI
a(xI ,YI ,zl)/a(x',y',z'),
onde ojacobiano, ax' à(x', y', z')-êx'
<}2]1'zd _ , ot'
àx' CYI OXI -vAr
ax,=l-v"ax'
GZ1
."
zd
, (21-4)
é dado por
--
oz' az' êz' ai GZI aZI êX1 cy' êXI cY! CYI oy'
-
YI'
u x, y, z dv, =-.;(~u; ~,__-;-)
+ ... ,
-rdax-'
at'
(21-5)
As derivadas são (21-6) e aXI -a--: y
, at'
=-
v" uY ;;-;
." -
v)t
at' -
tI )::1--; uy
+ ... ,
onde v; é vAt'), a componente x da velocidade no tempo retardado do t' está relacionado à posição retardada simplesmente por
t'
l'. O tempo
= r _ I r' -_il . c
retarda-
(21-7)
'
e, como conseqüência, ar'
c
(21-8)
onde n' é um vetar unitário no sentido r' -~. jacobiano, usando as Eqs. (21-6) e (21-8), dá
Uma expansão direta, embora tediosa, do
ox'-
a(xI,- Yl,~d uX,y,z ::1 (
,
,
')
= 1 + l~_· n' + y' . ~'(t' -rI) C
c
+ ...
(21-9) ,
onde os termos de maior ordem envolvem a segunda e as maiores derivadas de v'. A Eq. (21-9) pode ser usada na Eq. (21-1) para obter-se o potencial escalar. Entre-
454
Eletrodinâmica
tanto, como o interesse principal está em pequenos volumes carregados (cargas puntuais), convém observar que se y' • n' üd ~
c
td
- (t' -
~
2 c ~ 1,
onde d mede o tamanho da distribuição de carga, este termo poderá, certamente, ser desprezado no caso limite da carga puntual. Critérios semelhantes existem para os termos que envolvem derivadas de ordens maiores; contudo, não precisamos considerá-Ios. Finalmente, então,
= -- 1
.
p(rl, ti),- - --'"~dVI " ---I~ - r I 1 + v • n Ic
4TCfo'
.
(21-10)
Novamente, se d ~ I~- r'l, então I~- r'l poderá ser substituído por R ti' distância do ponto interior (anteriormente escolhido) ao ponto de observação no tempo ti. Dessa forma *
=
_1 Rc1(1 ----\-+ v
,-
f p(rl' ti) . n/c) •
41ti:o
dVI
(21-11)
ou, como a integral se situa agora sobre um volume bem definido, 1
= 4nco
q R,",(l
que é o potencial escalar de Lienard-Wiechert. do A(ç t) ,
Estas expressões são freqüentemente
/10
=- -
4n Rc,(1
+~-~iâ~)'
(21-12)
O vetor potencial é encontrado como senqv'
-------.
+ v'
(21-13)
. n'/c)
escritas como
= 4~(~ rR(I++
'-~7~L/ (21-14)
A(~, O que significa simplesmente nosso tI'
t)
v . 4n r-R(1 + = ~Qq - ~-
n/c) c--l
rei
'
que as quan tidades entre colchetes devem ser avaliadas em
21-2 CAMPO DE UMA CARGA PUNTUAL EM MOVIMENTO UNIFORME A aplicação mais direta dos potenciais de Lienard-Wiechert é o cálculo do campo de uma carga puntual que se move numa linha reta com velocidade constante. A geometria dessa situação é ilustrada na Figo 21-1. O campo no ponto P será calculado no instante t, em que a carga estará em x. A posição retardada x' e o tempo retardado t' serão determinados por (21-15) *
Observemos que v'
.n' = v(t
,) • n(tl) para a aproximação
envolvida na Eq. (21-11).
Campo de wna Carga Puntual em Movimento Uniforme
455
p
b
n'/x'('
Figura 21-1 Diagrama Para o cálculo do campo elétrico de uma carga puntual em movimento.
o potencial
escalar será dado por q
t)
q>(P ,
1
= ---------------41Uo R'[l + (v .
(21-16)
n'/c)]
É evidente, pelo diagrama, que v • n' -R' ~ x~_- x' R'---= c R' c
- v(xo
----- ------
x')
(21-17)
c
Mesmo após a Eq. (21-17) ser substituída na Eq. (21-16), aparece uma multidão de variáveis na expressão de f.{J. Ao calcular o campo elétrico, tomando O gradiente de '-P etc., estas variáveis teriam de ser derivadas muito cuidadosamente e tornariam o cálculo bastante enfadonho. Ao invés de seguir este procedimento, é preferível eliminar as variáveis indesejáveis em e obter uma expressão que envolva apenas as coordenadas de P, o tempo presente te parâmetros que descrevam a trajetória da partícula carregada. Como a carga se move de x' a Xo no tempo to - t', é evidente que f.{J
(21-18) Se esta equação for resolvida para t,
=--c2t
t', o
- v2to
resultado será
± ylV2C2(to nu
-
--
c2 _
=tyz --
+ b2(C2
_m
v2
=-v2)
(21 _19) .
O sinal menos deve ser usado nesta equação para assegurar qU\l t' é retardado em relação a t. Para verificar isto, somente é necessário observar que em t = to = O, t' = ± Vb2 (c2 - v2 )/(c2 - v2) e, em conseqüência, apenas o sinal negativo fornece um tempo anterior. Tendo encontrado t', obtemos Xo - x' de Xo - x'
=
v(to -
t')
c2 _ v2 = V (tO(c~-=-V2) ~_~~±_v2to ~~~~c2~~-=-tF
enquanto R' é demonstrado
R' = c
+~~(C2 - _~/)),
(21-20)
t1?~~b2(C2__ v2)).
(21-21)
como
c2 v2 (!~~2 - v~L=-_~~t_~ v2to 2-_J~~2~~o _
As Eqs. (21-20) e (21-21) podem ser usadas para avaliar o denominador
que aparece na
456
Eletrodinâmica
Eq. (21-16). Este denominador
torna-se R*
v(xo = R I - ... ---- -
x')-
c
através do uso da Eq. (21-17) e, subseqüentemente,
(21-22)
torna-se
(21-23) por meio das Eqs. (21-20) e (21-21). O potencial escalar é q q>(P, t)
enquanto
1
= 4nE~p{tO""=-t)2+
(21-24) -;0",-.- no ,u;-~~,
o potencial vetaria! é v
l10Q
= -4n- Jv2(t~----i)i-+-b2(1-=--;2;~2)
A(P, t)
(21-25)
É importante
compreender que as Eqs. (21-24) e (21-25) contêm apenas a posição e o tempo do ponto de observação e os parâmetros (v, to) que descrevem a trajetória da partícula carregada. Para tornar este enunciado mais concreto e colocar os potenciais numa forma mais adequada para o cálculo dos campos, o sistema de coordenadas deve ser fixado com mais cuidado. Como a partícula se desloca ao longo do eixo x e como este é um eixo de simetria para o problema, somente é necessário especificar a origem sobre o eixo x, convenientemente, admitindo-se x = O como a posição da carga em t = O. Então x = vt e, em particular, Xo = uto. Se o ponto P for especificado pelas coordenadas cartesianas 7], r,
t
e Empregando
(21-26)
estes resultados na Eq. (21-25) e fazendo ~ = t)
q>(ç,
,
q
= --
4nto
-.--
(t 7], D, obtemos
1 nu
__
J(ç -
•
ut)2
• __
------.-
+ (,,2 + (2)(1
•.••
-
----
(21-27)
V2/C2)
e
Deve-se recordar que estas equações se aplicarão apenas se v estiver ao longo do eixo x; outras direções exigem modificações das fórmulas. O importante a respeito das Eqs. (21-27) é que se apresentam numa forma ideal para o cálculo dos campos. Assim,
Campo de uma Carga Puntual Acelerada
457
aA
E(1; t)
,
= ---at -
Vçep
)).oq v(ç - vt) - ------ v ----~-----
4n
R*3
L
+ 47tfo R*13 [(ç Observando que v = vi, (21-28) na forma
Eo)).o
=
vt)i
+ 1](1 -
v2jc2)j
+ ((1 -
(21-28)
v2jc2)k].
1/c2 e ~ - vt =xo - x tomam
possível reescrever a Eq.
2 2 R ( *3 1 - v jc ),
(21-29)
E(1;, t)
q = -4-nfo
-R-
onde R é um vetor que vai desde a posição da carga no tempo R*
= R'
R'·
- ----
t até o ponto
Pe
v
c
A indução magnética pode ser encontrada através do cálculo de B = V x A; todavia, um procedimento mais simples consiste em observar que
(21.30) e, em conseqüência,
que B
=
)).ofo V X (vep)
=
-)).ofoV
X Vep.
(21-31)
Como v está ao longo do eixo x, somente as componentes y e z de V'P são importantes no produto vetorial. Estas componentes são justamente os valores negativos das componentes y e z de E. Desta maneira, encontramos 1
B=zvxE, c
(21-32)
que completa o cálculo dos campos. É interessante observar que apesar da fonte do campo ser a posição retardada, as linhas de E se dirigem para longe da posição instantânea da carga. As linhas de B são círculos com centros na trajetória da carga. O campo E não é esfericamente simétrico como no caso estático, porém é mais intenso na direção perpendicular à velocidade. (Veja o Problema 21-1.) Tendo obtido os vetares de campo, estamos em condições de calcular outras quantidades eletromagnéticas; todavia, ao invés de prosseguirmos examinando essas possibilidades, sugerimos ao leitor que consulte obras mais adiantadas* que tratem extensamente de tais problemas. 21-3 CAMPO DE UMA CARGA PUNTUAL ACELERADA Se admitirmos uma carga puntual acelerada, certas simplificações que aparecem no caso da velocidade constante não serão mais possíveis. A principal dificuldade aqui resulta Por exemplo: Panofsky e PhiJIips, Gassical Electricity and Magnetism, Segunda Edição (Rea* ding, Mass: Addison-Wesley, 1962).
458
qJ
=
Eletrodinâmica
diretamente de que os potenciais de Lienard-Wiechert não podem mais ser expressos em termos da posição presente da carga; ao invés disso, a posição e o tempo retardados aparecem explicitamente. Os potenciais (21-33) 47rt:o R( +v~/C) rel ---- ~----q [ A = 4;t:o [R(I ;f:2• n/~ Lt
I
I
]
ainda estão corretos; entretanto, ao derivá-Ios para obter os campos, deve-se observar que derivadas relativas à posição do ponto de campo têm que ser tomadas em um tempo de observação constante, e derivadas relativas ao tempo de observação, em pontos de campos fixos. Uma vez que o tempo retardado aparece explicitamente nos potenciais, deve-se ter cuidado ao obter as derivadas corretas. Para ~lucidar o problema da derivação, verificamos que os potenciais são funções do do tempo de observação t, da posiÇãO retardada r' da carga e do tempo ponto de <4mpo retard~d,o (. A trajetória da partícula é especificada ao dar-se r' como uma função de t', de fOfnla ~ q4i3 a dependência em r' possa ser removida. Além disso, a condição de retardamento .
t
(21.34 ) proporciona uma única relação entre as variáveis restantes. Dessa forma, é evidente que apesar dos potenciais dependerem superficialmente de oito variáveis, apenas quatro destas são realmente independentes. Ao calcular os campos E e B, é necessário derivar os potenciais relativos a cada 11, r e t, mantendo os outros três fixos; por exemplo, A deve ser derivado em relação a t, mantendo-se 11 e S- constantes. Como é t' que aparece explicitamerite nos potenciais, o cálculo destas derivadas causa alguma dificuldade. Para não perder de vista as variáveis que se mantêm constantes durante várias diferenciações, a seguinte notação será adotada: Uma derivada parcial em que se mantêm constantes todas as outras variáveis, dependentes ou independentes, será designada pelo símbolo da derivada parcial usual. Se nem todas as outras variáveis se mantiverem constantes, então as que o forem, serão indicadas por índices. Assim, a derivada de A que é necessária para calcular E é (aA/at)~, enquanto que as de
t
t
(21-35) e (21-36) A condição de retardamento, Eq. (21-34), juntamente com a equação que especifica a trajetória, x' = x'(t'), é equivalente a uma equação da forma f(~, t, t') Esta relação implica que (ot/ot')t (21-35) e (21-36), dá
=
= l/(or lot)t
O.
que, quando
combinada
com as Eqs.
Campo de uma Carga Puntual Acelerada
.-~-..--; -(CA) cr ~(ar') ar ~. ct ~ = (CA)'
459
(21-37)
Ao calcular as derivadas temporais ~os potenciais, é justamente esta equação a necessária para obter os campos elétrico e magnético. As outras derivadas são todas da forma (a
ar" (a~)' = c [1 _ •••..
ar (ar')
~ constante)
for tomada, resul-
(21-40)
,]
lo,
Nesta equação, r' = ix' + jy' + kz' e R' = ~ - r'. Como r' depende explicitamente de t', a derivada da esquerda é facilmente alterada, dando
apenas
(21-41) onde y' tem-se
= ar'jat' é a velocidade da carga no tempo retardado t'. Resolvendo para (at'/at), ------
(ar' ar ) ç
R'
R'----
..
R' - R' - y'jc
(21-42)
R*
Um cálculo semelhante, em que a Eq. (21-39) é derivada em relação a ~ para tantes, dá (ç - x') (R' -
(77,
L t) cons(21-43)
R' • v'jc)e'
Calculando as outras duas componentes e escrevendo o resultado como uma equação velorial, obtemos R'je (V çt'),
= - R-;~ R' .
R~ v"/C
(21-44)
= -R*e
Çüm estas derivadas à mão, o campo elétrico devido a uma carga puntual acelerada é;.' pronta,me, me calculado a partir dos potenciais de Lienard-Wiechert. Dessa forma ,:1".\;' . .
E(~, r)
= -(Vç
L
= - (Vç
çr'), - (~~ )
J~~ L
(21-45)
460
Eletrodinâmica
As derivadas dos potenciais que aparecem nesta equação se encontram facilmente:
(21-46) (21-47) (21-48)
(21-49)
Um cálculo semelhante dá
(21-50)
Estes resultados podem ser usados para explicar muitos fenômenos tão importantes como o amortecimento de radiação e o Bremsstrahlung clássico. A maioria destes cálculos se encontra prontamente em vários trabalhos de eletrodinâmica e, com exceção de um exemplo, serão omitidos aqui com o objetivo de abreviar. 21-4 CAMPOS DE RADIAÇÃO PARA PEQUENAS VELOClDADES O resultado do cálculo dos campos a partir dos potenciais de uma carga puntual que se move arbi trariamen te, que foi realizado na última seção, pode ser reescrito como
E(1;, t)
= 4nfo -~q R*J ---1 + ~21 R'
1(' \ R
x
[(
- R'V')( ---c
R' - R'V') -~
1-,c-
(21-51)
V'2)
X
v' ] /'\
R' x E B(1;, t)
= ~R;c-'
(21-52)
Observamos, através da Eq. (21-52), que o campo B de uma carga puntual no vácuo é sempre perpendicular ao campo E nos mesmos ponto e tempo, e é também perpendicular ã linha que conecta o ponto de campo com a posição retardada da partícula, R'. Os campos contêm dois termos, o segundo proporcional à aceleração y' e o primeiro, independente dela. Ambos os termos dependem de v'lc. Para movimento uniforme (v' = O), o primeiro termo da Eq. (21-51) dá o resultado anterior, Eq. (21-29), pois R' Ic = t - t'. Mes-
Campos de Radiação para Pequenas Velocidades
461
mo para movimento não uniforme, a alta velocidade, o primeiro termo não contribui para a radiação da carga, porque sua magnitude cai com a distáncia. como I/R'2. Vimos, anteriormente, que os campos devem cair como l/R' para contribuir para o vetar de Poynting a grandes distâncias: o segundo termo, o termo dependente da aceleração, decresce como l/R'. Vemos que esta parte do campo E é, da mesma maneira, perpendicular a R'; no campo de radiação E, B e R' são mutuamente perpendiculares a S = (1/ !1oc)P (R' /R'). Para simplificar, consideraremos aqui apenas o caso de uma carga movendo-se vagarosamente. Se a velocidade da carga for pequena comparada com a velocidade da luz, isto é, se v'/c «:; I, as aproximações R'v'
R'--::::R' e
e R'
R*=R'--~-
• v,
::::R'
e
serão feitas nas Eqs. (21-51) e (21-52). Se, além disso, somente o campo de radiação, isto é, a parte do campo proporcional a l/R', for considerado, as Eqs. (21-51) e (21-52) se tornarão
E(ç,
t)
= _lL ~~(~ 4rr[0
R'3e2-
(21-53)
x v')
e B(I;, t)
R' x [R' x (R' x v')] q = -.~ R'4 e3 4rr[0
q
= -~~ ~.~ __ 4m:o
m
-
••
- •••• --
v' x R'
-.-
e2
---- ~
(21-54)
R'2e .
Destes vetores de campo, vê-se que o vetor de Poynting é
S= E x H =
L
1_ [R' x (R' x v')] x [v' x R']
R,sc3
16rr2[6!1oc2
(21-55) '
que, através do uso de identidades vetoriais, se reduz a S
R'(R' x
q2
= - ..-
~H_
16rr2[oe3
\:')2
--
(21-56)
R's
A potência total irradiada é obtida integrando-se este vetor de Poynting sobre uma superfí· cie fechada que circunda a carga. Uma escolha conveniente para esta superfície é uma esfera centrada na posição retardada da carga. Se, além disso, o eixo z for escolhido na direção de v', dW S . n da dt
i
'S
q2
= .---16rr2[oe3.
i
R'2v'2 n
..
----.-
sen2 e
R's
--
,
R'
- R'z sen e de dA., R . R' 'f/
(21-57)
da qual se obtém, prontamente, dW dt
q2
2 V'2
4rrfo :3 C3
(21-58)
462
Eletrodinâmica
para a potência irradiada por uma carga acelerada que se movimenta vagarosamente, em concordância com nosso resultado anterior, Eq. (20-44). Isto completa nosso breve estudo a respeito de cargas em movimento. Foram apresentadas as idéias básicas e foram dadas, em detalhe, algumas aplicações elementares. Para detalhes de outros cálculos, devem ser consultados vários trabalhos publicados e, particulannente: Classical Electricity and Magnetism, Segunda Edição, por W. K. H. Panofsky e M. Phillips (Reading, Mass.: Addison-Wesley, 1962); The Classical Theory of Fields, SeD_ Landau e E. M. Lifshitz (Reading, Mass.: Addison-Wesley, 1962) gunda Edição, por e Classical Electrodynamics, Segunda Edição, podo D. Jackson (New York: Wiley, 1975).
L
21-5 RESUMO Os potenciais escalar e vetorial de uma carga puntual que se desloca rapidamente são obtidos a partir das soluções integrais dos potenciais retardados. Os resultados no ponto P e tempo t são q
1
= 4nf~ R*'
A(P,
= c--2
v'
t)
onde R*
= R' - R' . v'/c,
R' é o vetor que vai desde a posição da partícula de carga q no tempo retardado, ti = t R'/~, até o ponto de campo, P, e v' é a velocidade da partícula no tempo retardado. Os campos são obtidos a partir dos potenciais, derivando-os corretamente:
E(P, t)
R* = 41tfo -q- ~13
B(P, t)
= R'
11(R' -
R'v'/c)(l -
V'2/C2)
+ c~i R' x [(R' -
c x v']}, R' ~)
x E(P, t)/R'c.
1. O campo E de uma carga puntual que se desloca uniformemente (v = O) é simétrico em relação ao plano perpendicular a v através da posição presente da carga em t; é mais intenso na direção perpendicular a v do que na direção ao longo de v. Ele sempre está dirigido para longe da posição presente da carga. 2. Apenas os termos da aceleração contribuem para a radiação. No campo de radiação, R', E e B são mutuamente perpendiculares. Para v'/c ~ 1, o resultado é igual ao deduzido no Capítulo 20.
PROBLEMAS 21-1 (a) Demonstre que
Problemas
463
para uma carga em movimento uniforme com velocidade v, onde R é o vetor que vai desde a posição presente da carga até o ponto de campo e R • v Rv cos e. (b) Faça um gráfico polar de lEI como função de e para um R fixo, supondo que v/c= 0,8. ==
21-2 Utiliz.e o resultado do Problema 21-1 (a) para encontrar o campo B de urna carga dq que se move uniformemente com velocidade v. Fazendo v dq = I dx, onde I é a corrente num longo fio reto, integre dE sobre o comprimento do fio. Observe que o resultado concorda com aquele obtido da lei de Ampere, mesmo para v/c'" 1. 21-3 Suponha que a aceleração de uma partícula rápida esteja no mesmo sentido que sua velocidade. Demonstre que a radiação é nula ao longo da direção de movimento.
•
CAPÍ1'ULO 22 TEORIA ESPECIAL DA RELATIVIDADE Como expusemos nos Capítulos 2 e 8, a interação entre grupos de carga (ou corren· tes) é usualmente descrita separando-se o fenômeno em duas partes: (1) o estabelecimen· to de um campo eletromagnético pela fonte; (2) a interação de um segundo grupo de caro gas (e/ou correntes) com o campo. O campo pode, ele próprio, ser comprovado por um observador, usando cargas teste e correntes. Esta decomposição da interação não é única; na realidade, a natureza detalhada do campo eletromagnético depende do estado de movi· mento do observador. Consideremos, por exemplo, dois observadores, A e B. O observador A está em repouso em relação ao grupo de cargas fixas e vê somente um campo elétrico associado a elas. O observador B está em movimento relativamente a A; o observador B, em virtude de tal situação, vê um grupo de cargas em movimento e, em conseqüência, vê um campo magnético tão bem quanto um campo elétrico. Estarão ambos os observadores qualificados para usar as equações de Maxwell a fim de descrever suas observações físicas? E, se assim for, como um observador transformará os campos elétrico e magnético de um sistema de referência, para dar as componentes do campo num segundo sistema de referência que se move relativamente ao primeiro? Estas são questões a que tentaremos responder neste capítulo. 22-1 FÍSICA ANTES DE 1900 As idéias básicas de Maxwell sobre o campo eletromagnético foram publicadas pela primeira vez em 1862. Nos quarenta anos seguintes, a estrutura matemática das leis da ele· tricidade e do magnetismo foi gradualmente desenvolvida (particularmente por H. A. Lorentz) e muitas conseqüências da teoria foram observadas experimentalmente. Não obstante, havia um certo número de problemas que preocupava os físicos teóricos, particular' mente aqueles relacionados com a estrutura matemática das leis físicas. Todas as experiências anteriores, envolvendo o movimento ondulatório, indicavam que era necessário um meio para a propagação das ondas. Explicamos, no Capítulo 16, que as equações de Maxwell no espaço livre eram compatíveis com uma equação de onda, e que de fato conduziam a ela. Nessa equação as ondas se propagam com velocidade c = 1/ V€ollo. Conseqüentemente. era natural supor que algum tipo de meio etério se espalhasse por todo o espaço (incluindo o vácuo) para a propagação de ondas eletromagné464
Física Antes de 1900
465
ticas. O próprio Maxwell sentiu a necessidade deste meio e denominou-o éter. Porém, a existência de um meio criou um problema porque introduziu um sistema de referência preferencial, ou seja, aquele em que o meio está em repouso. Era sabido que as leis do movimento de Newton não eram afetadas por uma transformação galileana, isto é, por uma transformação de coordenadas entre dois sistemas de referência (sistemas de coordenadas) em movimento relativo. Por exemplo, seja L um sistema de coordenadas em repouso e L', um sistema que se move na direção x com velocidade uniforme u (veja a Fig. 22-1). A relação entre as coordenadas e os tempos nos dois sistemas é dada por (uma transformação galíleana)
x' = x - ut, As leis fundamentais
y'
= y,
z'
= z,
t'
= t.
(22-1 )
de Newton do movimento são de mesma forma em
L e L'. Realmen-
te, é impossível determinar a velocidade absoluta de qualquer sistema de referência por experiências mecânicas. O que sucede às equações de Maxwell sob uma transformação galileana? Não estamos em condições de responder a esta questão porque ainda não sabemos como os campos se transformam, porém podemos deixar a questão de lado e analisarmos a equação de onda escalar (que é homogênea e contém apenas uma componente do campo). No espaço livre, a2cp
--
a2cp
a2cp
ay2
az2
+--~ + ~
ax2
onde
<{!
representa uma das componentes
a -at
a2cp = -1 ~ c2
(22-2)
8t2 '
do campo. Se substituirmos
ax' a = --at ax' --
at' a at at'
+- -
+ ...
nas Eqs. (22-2), usando a Eq. (22-1) para determinar ax'lat ete., veremos que a equação de onda transformada não é mais da mesma forma da Eq. (22-2). Este é somente um enunciado matemático do que sabemos ser verdadeiro para as ondas mecânicas, isto é, que O movimento ondulatório se propaga com uma velocidade fixa relativa ao meio estacionário. Porém, num sistema de referência que se move em relação ao meio, a propagação da onda torna-se mais complicada.
y
t I
~I
,
z
I
/_m
,
n_
u
Figura 22-1 Dois sistemas coordenados que se movem, um em relação ao outro (na direção x), com veloci-dade uniforme u.
466
Teoria Especial da Relatividade
Qual seria, nesse caso, a situação relativa às leis da eletricidade e do magnetismo? Algumas possibilidades foram propostas antes de o problema ser elucidado por Lorentz e Poincaré e, particularmente, por Einstein, em 1905. Enunciadas brevemente, estas possibilidades são 1. As equações de Maxwell não são adequadas para explicar os fenômenos eletromagnéticos. 2. Existe um sistema de referência preferencial, o do éter estacionário. Maxwell precisam de modificações em outros sistemas de referência.
As equações de
3. As equações de Maxwell têm a mesma forma em todos os sistemas de referência que estão se movendo com velocidade uniforme uns em relação aos outros. A transformação galileana não é adequada para relacionar sistemas de referência diferentes, quando campos eletromagnéticos estão envolvidos. Como sabemos, a terceira posssibilidade aqui apresentada é a correta e é, de fato, um enunciado parcial do prinez'pio da relatividade. Os pressupostos das equações de Maxwell foram verificados experimentalmente, pelo menos em nossO meio ambiente terrestre, e as tentativas de medir um sistema de éter absoluto não tiveram sucesso. Não há uma experiência única que liquide a "hipótese do éter" e nos force a aceitar a relatividade, porém os resultados combinados de um grande número de experiências não são compatíveis com nenhuma outra possibilidade. Três experiências fundamentais são* 1. A aberração da luz das estrelas (o pequeno desvio na posição aparente de estrelas distantes em direção ao movimento orbital da Terra). 2. Medidas da velocidade da luz em fluidos que se movem (Fizeau, 1859). 3. A experiência de Michelson-Morley (1888). A experiência de Michelson-Morley tentou medir a velocidade da Terra em relação a um sistema absoluto (em que as ondas luminosas se propagam com velocidade c). Os resultados da experiência indicam que ou não há sistema preferencial ou a Terra está sempre no sistema de referência preferenciaL Esta experiência, por si própria, pareceria negar a hipóte~ do sistema absoluto do éter, uma vez que a Terra está variando continuamente sua velocidade em seu movimento em torno do Sol. Contudo, seria possível que a Terra permanecesse no sistema preferencial se arrastasse o éter consigo, isto é, um objeto celeste volumoso, como a Terra, poderia talvez arrastar o éter consigo em seu movimento. Por outro lado, as primeiras duas experiências citadas não são compatíveis com um "arrastamemo do éter". A partir de medidas feitas durante um ano, viu-se que a posição aparente de uma estrela descreveu uma pequena trajetória elíptica sobre a esfera celestial, sendo o desvio angular da posiÇão da ordem de v/c, onde v é a velocidade orbital da Terra. Esta aberração da luz da estrela presumivelmente não existiria se o éter fosse arrastado pela Terra. As experiências com fluidos em movimento poderão se tornar compatíveis com uma hipótese de arrastamento do éter somente se supusermos (bastante artificialmente) que objetos menos volumosos que a Terra tenham apenas um sucesso parcial ao arrastar o éter consigo.
*
O leitor que desejar se aprofundar no histórico desta matéria, deve consultar: R. S. Shankland, "Michelson-~orley Experiment", Am. J. Phys., vol. 32, p. 16 (1964); A. Einstein e colaboradores, The Principie of Relativity (New York: Dodd, Mead, 1923); E. T. Whittaker, History of the Theon"es of Aether and Electricity, Vol. II (New York: Philosophical Library, 1951).
Transformação de Lorentz e Postulados da Relatividade Especial de Einstein
467
22-2 TRANSFORMAÇÃO DE LORENTZ E POSTULADOS DA RELATIVIDADE ESPECIAL DE EINSTEIN Em 1904, H. A. Lorentz descobriu uma transformação curiosa e extraordinária que deixa inalterada a forma das equações de Maxwell, contanto que as componentes do campo sejam convenientemente alteradas. Consideremos, novamente, dois sistemas de coordenadas L e L' que estão se movendo, um em relação ao outro, na direção x, com velocidade uniforme \L (Veja a Fig. 22-1.) Ao invés da transformação ga1ileana, suporemos agora (uma transformação de Lorentz) x'
=
1
fi -
-~~=
n'_'
y'
= y,
z'
==
t'
(x - ut),
u2/C2
z,
= .J1=-=-~~i7c2(t
-
2 x ).
(22-3)
Novamente, deixaremos de lado a questão de como se transformam os campos elétrico e magnético e analisaremos a equação de onda, Eq. (22-2). Substituamos o ex' e er' o
-=--- -
ex
a al'
eez
ex ex'
al"
+--
ex er"
a
ay a)'" ez' e oz
ez"
a
ax' a
o( c
at
at ax'
at ar'
- --- + ..--
na equação de onda, usando as Eqs. (22-3) para determinar as derivadas parciais (ax' /ax) etc. Por exemplo, u cx' 1 ax'
a~= :j(=~272'
at
-
-.)1':'-'
Se fizermos as substituições indicadas, combinarmos comuns em cada lado da equação, obteremos a2({J -.- + --+ a2({J -- = --1 j}2({J ~
a2({J OX'2
j}y'2
ÔZ,2
U2/C2'
termos e cancelarmos fatores
(22-4)
c2 Ô(2 .
Como esta equação é homogênea em .p, é razoável esperar que possamos substituir .p por .p' (seu valor no sistema de coordenadas linha) na Eq. (22-4) sem alterar a igualdade. Assim, a forma da equação de onda é invariante frente a uma transformação de Lorentz. Apesar da transformação de Lorentz proporcionar uma base para o desenvolvimento da relatividade especial, as conseqüências transcendentes da relatividade não foram descobertas por Lorentz, que neste tempo ainda acreditava na hipótese do éter e tentou ajustar, arduamente, sua transformação, recentemente descoberta, ao quadro do éter do ele-
468
Teoria Especial da Relatividade
tromagnetismo. O desenvolvimento da relatividade especial, como agora a conhecemos, foi deixado para H. Poincaré e A. Einstein. No início de 1899, e novamente em 1900 e em 1904, Poincaré sugeriu que o resultado experimental de Michelson e Morley (isto é, sua falha na observação de um sistema de éter absoluto) era uma manifestação de um princípio geral: que o movimento absoluto não podia ser detectado por qualquer espécie de experiências de laboratório e isto implicava que as leis da natureza deveriam ser as mesmas que as verificadas para dois observadores em movimento uniforme relativamente um ao outro. Ele denominou isto de Princ(pio da Relatividade. Poincaré também concluiu que um novo tipo de dinâmica teria de ser desenvolvida e que seria caracterizada, entre outras coisas, pela regra de que nenhuma ve· locidade poderia exceder a velocidade da luz. Em 1905, Einstein publicou sua Electrodynamics o[ Moving Bodies, em que desenvolveu a teoria especial da relatividade, a partir de dois postulados básicos: (1) o princípio da relatividade e (2) a constância da velocidade da luz. Einstein deduziu a maneira segundo a qual várias quantidades físicas teriam de se transformar ao passar de um sistema de referência a outro e demonstrou como as leis de Newton sobre a mecânica teriam de ser modificadas. Os postulados de Einstein são 1) As leis da natureza são as mesmas em todos os sistemas de coordenadas que se movem com movimento uniforme relativamente um ao outro. 2) A velocidade da luz no espaço vazio é a mesma em todos os sistemas de referência e é independente do movimento do corpo emissor.
Consideremos novamente dois sistemas de coordenadas L e L', que se movem relativamente um ao outro na direção x com velocidade uniforme u (veja a Fig. 22-1). Nos instantes t = O e t' = O, as origens dos dois sistemas coincidem e, naquele instante, uma fonte de luz situada na origem comum emite um pulso de luz. Um observador no sistema sem linha, com detetores apropriados a várias distâncias da origem, vê o sinal de luz propagarse como uma frente de onda esférica. As coordenadas de um ponto (x,y, z) da frente de onda satisfazem (22-5) enquanto que para um ponto (Xl ,Yl, Zl) adiantado em relação à frente de onda (no mesmo tempo t), (22-6) xi + yi + zi - c2t2 > o, e para um ponto
(X2 ,Y2,
Z2)
atrás desta, x~
+ y~ + z~
-
c2t2
< O.
(22-7)
Um observador no sistema de coordenadas linha também vê o sinal de luz propagar-se para fora. De acordo com os dois postulados de Einstein, o observador vê uma frente de onda que se propaga com velocidade c. Dessa forma, as Eqs. (22-5), (22-6) e (22-7) também são válidas nas coordenadas linha. Como as coordenadas linha e sem linha estão presumivelmente relacionadas por uma transformação linear, somos conduzidos ao resultado*
•
Não excluímos a possibilidade de x2
+
y2
+
Z2 _
c2tZ
=
K(U)(X'2
+
y'2
+
z'z _
C2(2)
onde K(u) é uma constante de proporcional idade que depende de u. Tal mudança de escala, todavia. pode ser excluída, considerando-se a transformação inversa de forma que K(u) == 1.
Transformação de Lorentz e Postulados da RelatividadeEspecialde Einstein
x2
+ y2 + z2
_
c2t2
= X'2 + y'2 + z'2
-
(AX)2
+ (AJY +
(Azf - C2(At)2
(22-8)
C2(2
onde (x,y, z, t) é um ponto arbitrário do espaço-tempo e (x',y', z', da no sistema linha. Poderíamos ter escrito, equivalentemente,
= (Ax'f + (Ay')2 + (Az')2
469
t') é sua transforma- c2(At'f
(22-9)
para a relação entre um intervalo arbitrário do espaço-tempo em L e o intervalo correspondente em L'. Tendo encontrado uma quantidade que é invariante frente a uma mudança de sistema de referência, procuraremos agora uma transformação que deixe a "quantidade invariante" sem modificação. A transformação de Lorentz é justamente esta transformação; a quantidade
não se modifica sob a transformação de Lorentz, Eq. (22-3), como pode ser verificado por substituição direta. Dessa forma, a aplicação dos dois postulados de Einstein leva diretamente à transformação de Lorentz. Se a transformação de Lorentz for adequada para transformar coordena~as de um sistema de referência a outro, então a transformação galileana, mais intuitiva, não poderá estar correta. A transformação galileana nunca é exatamente correta, porém se constitui numa aproximação válida no limite, quando todas as velocidades são pequenas em comparação com a velocidade da luz. A mecânica newtoniana também deve ser modificada, uma vez que as leis corretas do movimento devem transformar-se adequadamente sob uma transformação de Lorentz, não sob uma transformação galileana. Nas próximas seções, estudaremos a transformação relativística com mais detalhes e obteremos as leis de transformação para outras quantidades físicas. Antes de prosseguir, entretanto, nos deteremos para expor três cunseqüências simples da transformação de Lorentz: (1) a modificação do conceito de simultaneidade, (2) a contração de Lorentz e (3) a dilatação do tempo. Dois eventos ocorrerão simultaneamente se acontecerem no mesmo instante. Como os eventos podem ocorrer em posições espaciais bastante separadas, este enunciado requer que tenhamos uma maneira de sincronizar relógios de forma a que cada evento possa ser cronometrado separadamente. Suponhamos agora que dois eventos nas posições XI e Xl no sistema L ocorram simultaneamente, isto é, os instantes tI e t 2 em que os dois eventos ocorrem são os mesmos. Segundo, porém, a transformação de Lorentz, Eq. (22-3), os tempos no sistema L' não são os mesmos: "
(u/c2)
:jf=~
ti - t2 = (U~)2 [X2 - XI]. (22.10) Dessa forma, devemos modificar nosso conceito intuitivo de simultaneidade: se dois eventos ocorrerem simultaneamente em um sistema de referência, não serão necessariamente simultâneos em outro. Aceitando a transformação de Lorentz, teremos de abandonar, necessariamente, o conceito de "tempo universal". Um exemplo simples tornará, talvez, este ponto mais plausível. Suponhamos que o observador A esteja viajando numa nave espacial com velocidade u relativamente a um observador B que esteja na Terra. O observador A deseja realizar uma experiência que envolva a detecção simultânea de um sinal de luz em duas posições diferentes e, assim, coloca um detetor na parte dianteira da nave espacial, outro próximo da parte traseira e mede,
470
Teoria Especial da Relatividade
cuidadosamente, a distância entre os dois detetores. O observador A coloca então uma fonte de luz a meia distância entre os dois detetores. Como o sinal d.e luz se propaga em ondas esféricas desde a fonte, os dois detetores de A na realidade detectarão o sinal simultaneamente. Porém, o que ocorre com o observador B? No sistema da Terra, B novamente vê o sinal de luz propagar-se, desde a fonte, em ondas esféricas, mas o detetor na extremidade dianteira da nave espacial está-se afastando da frente de onda em expansão, enquanto que o detetor da parte traseira está-se aproximando dela. Dessa forma, a detecção não é simultânea no sistema B. A aparente contração de um objeto em movimento na direção de seu movimento é chamada de contração de Lorentz. Numa medida de comprimento, o comprimento do ob· jeto a ser medido é comparado com uma escala padrão. Isto não oferecerá problema se o objeto e a escala estiverem em repouso, um em relação ao outro. Suponhamos, entretanto, que um observador no sistema 1: deseje medir o comprimento de um objeto em movimento (um objeto em repouso no sistema 1:'). Como o objeto está em movimento relativamente ao observador e à escala, é importante comparar as duas extremidades do objeto com a escala ao mesmo tempo; isto é, se a posição x 1 for determinada no instante ti e X2, no instante t2, então ti deverá ser igual a t2 para que a medida do comprimento tenha sentido. Porém, de acordo com a transformação de Lorentz, Eq. (22-3),
(22-11) com ~=u/c. Agora, ['=xí -X2 pode ser considerado como o comprimento "verdadeira" do objeto (seu comprimento medido por um observador em repouso, em relação a si próprio). Seu comprimento aparente (o comprimento visto por um observador no sistema 1:)
l=l'~2 parece contraído.
(22-12)
É fácil verificar que as dimensões transversais, aquelas nas direções y e
z, não são afetadas pelo movimento.
A dilatação do tempo, o aparente retardamento de eventos temporais associados com um objeto em movimento, pode ser mais bem obtida a partir da Eq. (22-9). Esta equação pode ser escrita
(~;rJ=
(dt')2
[C2 -
(~~r- (j~':r- (~;:rJ· (22-13)
Seja 1:' o sistenw de repouso do objeto, isto é, o sistema em que o objeto está em repouso. Então, (velocidade)~ = (dx'/dt') =0 etc., e
=
U
2
A Eq. (22-13) torna-se
~
dt [(dx)2
+ --
dt (dy)2
+--
dt (dZ.)2J
.
Geometria do Espaço-Tempo
~t =_u
471
~(
.-
~T- /32' aparente & (o intervalo
(22-14)
Dessa forma, o intervalo de tempo medido por um observador no sistema L) parece ter-se alargado além do intervalo de tempo intrÍ11seco !:"t'. Uma outra maneira de interpretar a Eq. (22-14) consiste em dizer que os relógios parecem atrasar-se quando estão em movimento em relação a um observador. 22-3 GEOMETRIA DO ESPAÇO-TEMPO A transformação de Lorentz da seção precedente é uma transformação linear que conecta o espaço das coordenadas e do tempo, em um sistema de referência, às quantidades correspondentes num segundo sistema que está em movimento uniforme relativamente ao primeiro. Parece, dessa forma, que estamos aptos a construir uma geometria quadrimensional em que as coordenadas do espaço e o tempo apresentam as mesmas condições, com a transformação de Lorentz atuando como uma espécie de operação geométrica neste espaço de quatro dimensões. Observamos, agora, que uma certa função quadrática das coordenadas e do tempo, ou seja,
é uma invariante, isto é, tem o mesmo valor em todos os sistemas de referência. Isto nos recorda que o comprimento de um vetar, especificamente o comprimento I do vetar posição, com
é invariante frente a rotações do eixo de coordenadas no espaço ordinário (tridimensionaI). (Veja o Apêndice 1.) Ao tratar de estender este formalismo para quatro dimensões e considerar x2 + y2 + Z2 _ c2 t2 como o quadrado de um "comprimento" no espaço -tempo, incorremos no problema óbvio de que a quarta componente, ct, entra na expressão com um sinal negativo. Isto significa que o espaço-tempo é basicamente um espaço não euclidiano quadrimensional. Podemos contornar várias dificuldades que daí resultam, definindo as quatro "coordenadas" como X4
=ict,
(22-15)
i
onde é o número imaginário unitário. Este espaço quadrimensional (introduzido por H. Minkowski) não é, estritamente falando. euc1idiano porque envolve uma coordenada imaginária. Muitas de suas propriedades podem, contudo, ser derivadas, pois o tratam como um espaço euc1idiano. Este procedimento será usado aqui. A quantidade
é invariante frente a certas transformações. Estas transformações (que incluem, naturalmente, as transformações de Lorentz) têm muitas propriedades das rotações ou transformações ortogonais mas, como elas poderiam ter componentes imaginárias, são propriamente denominadas transfomzações ortogonais complexas. Todavia, para a continuação
472
Teoria Especial da Relatividade
do nosso estudo, tal distinção não terá conseqüências importantes e a transformação de Lorentz no espaço de Minkowski será tratada como uma transformação ortogonal. * A quantidade definida por (xl, Xl, X3, X4) é um vetar quadrimensional. Teremos ocasião de definir outros vetares de quatro componentes [isto é, quantidades cujas componentes se transformam como (Xl, Xl, X3, X4) sob uma transformação de Lorentz]. Os vetores quadrimensionais são denominados quadrivetores ou valores universais, para distingui-Ias dos vetares tridimensionais ordinários. A quantidade que permanece invariável frente a uma transformação de Lorentz é chamada de escalar do universo. Um ponto no espaço -tempo é denominado pon to do universo e a trajetória de uma partícula no espaçotempo é chamada de linha do universo. 22-4 TRANSFORMAÇÃO DE LORENTZ COMO UMA TRANSFORMAÇÃO ORTOGONAL Os resultados do formalismo das transformações ortogonais aplicado a vetares tridimensionais ordinários (que será desenvolvido no Apêndice I) podem ser aplicados diretamente ao espaço-tempo quadrimensional pela adição da quarta componente, X4 = ict. Todos os somatórios agora irão de 1 a 4. É costume usar índices gregos para descrever quantidades quadrimensionais e reservar índices latinos para as entidades tridimensionais. Assim, Fi representa a componente de índice de um vetar tridimensional ordinário, mas T",v representa a componente de índice J.l., l' de um tensor quadrimensional. A transfonnação de Lorentz, Eq. (22-3), para transformar o sistema sem linha no sistema linha da Fig. 22-1, pode ser escrita como
i
,
1
if3
X~
= Jl"- 132 Xl + O . X2 + O . X3 + Jl-=--P2.'(4' = O . Xl + X2 + O . X3 + O . X4'
X3
=
Xl
O . Xl
+O
. Xl
+ X3 + O
. X4,
* Por causa do uso comum de espaços abstratos na física contemporânea, é conveniente indicar a fonte da dificuldade em usar o termo "euclidiano" para descrever o espaço de Minkowski e o termo "ortogonais" para descrever as transformações de Lorentz. Isto resulta de que tanto euclidiano como ortogol1al representam idéias que foram desenvolvidas para lidar com variáveis reais. Se tentarmos generalizar, admitindo coordenadas complexas, a generalização mais frutífera do comprimento de um vetar será
onde x7 é o conjunto complexo de
Xi'
As transformações
que deixam este comprimento
invariante
são as transformações unitárias, caracteri2'.adas na notação do Apêndice I por Lia ijai;. = 5jk' A transformação de Lorentz não cai nesta classificação e requer, conseqüentemente, um desenvolvimento completamente separado. mas paralelo, para seu completo esclarecimento. Há uma diferença crucial entre o espaço de Minkowski e um espaço unitário ou ortogonal: nestes dois últimos espaços, o comprimento de qualquer componente de um vetor é menor ou igual ao comprimento do próprio vetor, enquanto o "comprimento" de uma componente de um quadrivetor no espaço de Minkowski não é tão restrito. De maneira semelhante, nas transformações unitárias e ortogonai s. as magnitudes de todos os coeficientes são menores ou iguais à unidade, isto. porém, não é verdade para as transformações de Lorentz. Estes pontos são importantes mas, explicações mais extensas aqui. nos levariam demasiado longe neste campo.
Transformação de Lorentz como uma Transformação Ortogonal
onde {3== ujc. A matriz desta transformação
473
é
1
.
{3
O
O
I )1 _{32
O
1
O
O
O
O
.}1={37-
A=
(22-17)
O
1
-i
O
fJ
~
~O
Podemos verificar facilmente que a Eq. (22-17) é uma transformação ortogonal, * isto é, que suas componentes satisfazem a Eq. (1-6) no Apêndice I. A matriz A é particularmente simples (tem somente seis termos diferentes de zero) neste caso, porque a transformação de Lorentz relaciona dois sistemas que estão em movimento relativo ao longo de um dos eixos coordenados (por exemplo, o eixo x). Dessa forma, x e t são transformados em x' e t' porém as direções y e z permanecem inalteradas. No caso geral, quando a direção do movimento re lativo não se verificar ao longo da coordenada x, a transformação será mais complicada, as componentes matriciais, porém, ainda satisfarão as relações ortogonais. Como as direções coordenadas podem ser geralmente escolhidas de modo a se ajustarem a um problema particular, nos restringiremos neste livro a transformações de Lorentz do tipo da Eq. (22-17), ou equivalentemente, a transformações que relacionam os sistemas de coordenadas da Fig. 22-1. A transformação de Lorentz, Eq. (22- 16), pode ser interpretada como uma rotação no plano X1X4. Se for o caso, o ângulo de rotação e será determinado a partir de X'1
= XI
COS
e
+ X4
sen e
ou
tan e =
ifJ
= i(ujc).
(22-18)
Dessa forma, o ângulo de rotação não é um ângulo real. ** Matematicamente, a transformação de Lorentz atua como uma rotação em nosso espaço quadrimensional ortogonal, mas uma rotação de um ângulo imaginário. A transformação de Lorentz inversa, isto é, a transformação que nos leva do sistema linha ao sistema sem linha, é dada pela matriz transposta à da Eq. (22-17):
*
Utiliz.amos o termo "ortogonaJ" me a exposição da Seção 22-3.
**
ao invés do termo mais exato "ortogonal complexo", confor-
Isto reflete a não limitação da transformação
anteriormente
aludida.
I
Teoria Especialda Relatividade
474
---~~2
i ~~~--
O
O O
O
1
O 1
O 1 O(22-19) . -l~--f3
1 ~ - {J2 vil
I
O
22-5 FORMA COVARIANTE DAS EQUAÇÕES ELETROMAGNÉTICAS As equações fundamentais da teoria eletromagnética, as equações de Maxwell, que estudamos no Capítulo 16, estão expressas em termos das derivadas temporais e espaciais dos campos E e B. No sistema tridimensional usual, o tempo participa das equações como um escalar, as três derivadas espaciais, porém, entram em certas combinações simétricas (divergente ou rotacional). Podemos mostrar a simetria mais diretamente, expressando a equação do divergente (por exemplo, a lei de Gauss) como (22-20)
e a equação do rotacional (por exemplo, a lei de Ampere) como (22-21)
Esta equação representa, na realidade, três equações (as três componentes da equação vetorial do rotaciona!) com i, j, k representando uma permutação cíclica de x, y, z. Nas seções anteriores, todavia, observamos que a transformação de Lorentz mistura as coordenadas espaciais e o tempo e poderia ser considerada como uma rotação no espaço X\X2X3X4. Dessa forma, Xl' X2, X3 e X4 entrariam nas equações de Maxwell numa forma simétrica. Seríamos capazes de expressar, de fato, as equações de Maxwell em termos de rotacionais e divergentes quadrimensionais. Uma formulação das equações da eletricidade e do magnetismo que trata as coordenadas espaciais e o tempo de uma mesma forma é denominada formulação co vprian te. Devemos continuar com certo cuidado, entretanto, porque uma quantidade vetorial em três dimensões não se torna necessariamente parte de um vetor quadrimensional. Partimos da equação da continuidade:
V'
(~P
J+~ = O. ct
(22-22)
Como lx, ly e lz não são independentes da densidade de carga p, estas quatro quantidades formam um quadrivetor natural. De fato, se definirmos a densidade de corrente do quadrivetor, :3v, por meio de suas componentes (:31, 32, :33, 34 = icp), poderemos escrever a equação da continuidade na forma covariante:
Fonna Covariante das Equações Eletromagnéticas
475
\' 33" = 0, ~..;" cx" onde o somatório será entendido como indo de
jJ
(22-23)
= 1a
jJ
= 4; ou, equivalentemente,
0·3=0,
(22-23a)
onde O • representa um divergente quadrimensional. Agora, o potencial vetorial A e o potencial escalar não homogêneas
V
ê2cp
c2
ct2
cp ----
satisfazem as equações de onda
(22-24)
I
2
'.fi
= -
-
(o'
P
Como J e p são as componentes de um quadrivetor, a Eq. (22-24) deve representar as quatro componentes de uma equação de quadrivetor e A e 'P devem também combinar-se para formar um quadrivetor. Se definirmos o quadripotencial ou potencial do universo ~I por meio de suas componentes, ~ll = AI' 912 = A Z, '213 = A 3, '214 = i'P/C, as Eqs. (22-24) poderão ser escritas como Á.
I a/
a2~I,
\.'
Xv
=
2 'H
= -
(22-25)
-J!03;,.
Também poderão ser expressas como
o
(22-25a)
J!03,
onde 02 == V2 - (1 /c2) a2 /at2 é o operador laplaciano quadrimensional d'alembertiano. A condição de Lorentz, Eq. (16-63), tomará a forma
I
~'ll~ =
"cx"
ou
ou operador
°'
o . 'H = o.
(22-26)
Estamos agora em condições de examinar as componentes do campo eletromagnético, que se podem obter das equações tridimensionais usuais B
=V
x A,
(16-57) (16-60)
Porém A e i'.fi/c formam um quadrivetor, de forma que esta última equação pode ser escrita (na forma de suas componentes) como . 1 I -
c
E
1
13'111
13'214
ÔX4
OXl
= --- - ---
ete.
Dessa forma, B e iE/c juntos formam o rotacional quadrimensional
(22-27) de 'H. 'A / operação
TO-
476
Teoria Especial da Relatividade
tacional aplicada a um vetor, realmente produz um tensor anti-simétrico. * Isto é evidente a partir da forma da Eq. (22-27) pois é claro que deve ser gerada uma quantidade de dois índices. Definimos o tensor campo eletromagnético F por meio da expressão (22-28)
Aqui F 11
=
F 22
F 33
=
F 44
=
FI4
= -F41 = -iEI/c,
F24
=
-F42
= -iE2/c,
= =
-F43
= -iE3/C, = B3,
F34
F12 F23= F31
c
=
-F11
O,
-F32=B1,
=
-F13
= B2·
--iE1 -iE2 -iE3
ciEzmatricial, iE3 -B1 BI -Na forma-B1 C
cC
B3 O O
Bz
O
(22-29)
Suponhamos que tomemos forma, Eq. (22-28), obtemos "F
agora o divergente do tensor campo. Por causa da sua "
c'J{
L ~-~"= ~- L ox,. -;; - L "OX"
*
OXI'''
02',){1'
--:;,2
ox"
(22-30)
Um tensor anti-simétrico tem, em três dimensões, três componentes independentes, Tu, T23' que se transformam, frente a rotações espaciais, como as componenres de um vetor. Foi, por isso, satisfatório tratar o rotacional de um vetor como um vetor. Observemos que. para um tensor anti-simétrico, TlI = O, Tll = - T12 etc. Em quatro dimensões, um tensor anti-simétrico tem seis componentes independentes e o caráter tensorial da quantidade não pode ser simplificado. T31
Lei de Transformação para o Campo Eletromagnético
477
Em vista das Eqs. (22-25) e (22-26), esta toma-se
=
cFl1v"L -..;
,
CX,.
110311
(22-31)
ou
o . F = !~o~·
(22-31a)
que é uma equação de quadrivetor representando uma formulação covariante de duas das equações de Maxwell, ou seja, ~ o E = p/EO e V x B = floJ + (1/c2 )aE/at. Além disso, temos a identidade (22-32) onde J.1, v e '" são todos diferentes e representam quaisquer dos três índices 1, 2, 3 e 4. A Eq. (22-32) provém imediatamente da forma de Fl'lJ [Eq. (22-28)]. Podemos verificar facilmente que a Eq. (22-32) representa as outras duas equações de Maxwell. A maioria dos livros adiantados de teoria eletromagnética relativística alcança certa compactação de notação introduzindo o que é conhecido como a convenção do somatório. Neste formalismo, todos os sinais de somatório são suprimidos porém a soma é sugerida por meio de um índice repetido. Assim, por exemplo, a equação da continuidade se torna
?~-"=0, ox,.
e a equação de onda para o potencial torna-se ê2~H ~.
,11 ~
CX, ôXv
=-
110 311,
Outras equações podem ser escritas por analogia. Não utilizaremos explicitamente a convenção do somatório neste livro, mas o introduzimos principalmente como um auxílio para leituras posteriores. 22-6 LEI DE TRANSFORMAÇÃO PARA O CAMPO ELETROMAGNÉTICO Como o campo eletromagnético é uma quantidade tensorial na formulação quadrimensional, suas componentes irão transformar-se como as de um tensor de segunda ordem frente a uma transformação de Lorentz: F~v
= L L G",G,{J'{J' ,
Esta é justamente
(22-33)
{J
a Eq. (1-16) do Apêndice I, reescrita para incluir o fato de que (ã){3v =
av(3·
Consideramos novamente o sistema linha como sendo o que está se movendo com velocidade u na direção x, relativamente ao sistema sem linha. A transformação de Lorentz é dada pela Eq. (22-17). Assim, B~
=
FZ3
=
L L Q2:zQ3{JF,{J ,
{J
(22-34)
~
478
Teoria Especial da Relatividade
e
B~ =
=L L
F~l
.
,
a3,a1pF,p
p
1
_
p
= ~'T=-~p2F31 + I Jl~fj2
F34
(22-35)
= ~/1'-~-f32
[By
+ (f3jc)EJ
De maneira semelhante, encontramos
= --- .lc.~
K
-
vlT=-
c [B - (Rjc)E
p2
o
(22-36)
J y
fJ
-
No que se relaciona ao campo elétrico, E~ = iCr14
=
LL
ic
2
alA~pF2P
p
(22-37) Finalmente,
verificamos que 1
E~
= ~/l~C/F
[Ey - cPBJ,
(22-38)
+ cf3By].
(22-39)
1 E~
= ~ry
-p2
[E:
Assim, as componentes de E e B na direção do movimento permanecem inalteradas, porém as componentes transversais são modificadas. Os resultados acima podem ser resumidos pelas seguintes equações tridimensionais: E'
= E ,
B': = B.,
E', ~
= .. ,-.2~_[E + u x Vi 1 _ p2
BJ'
~
B~ = v!1~f32 [Bl -
c~U
'
x E],
onde e 1 significam as componentes paralela e perpendicular à velocidade mação de Lorentz. A transformação inversa é obviamente dada por 11
(22-40)
li da transfor-
1
E"
= E'I!' ,
Bi = B',
E,
'-
=
--;-.c.--~-= [E', - u x B'Jv: 1 - p2 ~ ,
B - v
i~ 132
[B~ + c; u x E'}'
(22-41)
Campo de uma CargaPuntual em Movimento Uniforme
Isto completa nossa exposição da lei de transformação para as componentes eletromagnético. Estes resultados serão usados na próxima seção. 22-7 CAMPO DE UMA CARGA PUNTUAL
EM MOVIMENTO
479
do campo
UNIFORME
Para demonstrar a utilidade da transformação de Lorentz, calcularemos os campos elétrico e magnético de uma carga puntual em movimento uniforme. Suponhamos que a carga puntual q se esteja movendo com a velocidade u ao longo do eixo x. A geometria está ilustrada na Fig. 22-2. Construamos um segundo sistema de coordenadas (o sistema linha) que esteja se movendo junto com a carga; por conveniência, faremos a origem desse sistema, O', coincidir com a própria carga. No sistema linha, a carga está em repouso. Por conseguinte, no ponto de campo P, B'
= 0, (22-42)
,1' (ponto de campo) I I
i i !
I I I
.
I
----_._-~-~ -----
O
I
q {)I
~;-
U
.-- -------.-
eixo x
1./
Figura 22-2 Sistema de coordenadas para a determinação dos campos E e B de uma carga em movimento uniforme. A linha qP é o vetor fontecampo (I' no sistema linha; R é o sistema laboratório). Aqui x é a coordenada no sistema laboratório e x' é a coordenada no sistema linha. Os campos no sistema laboratório podem ser obtidos através do uso da Eq. (22-41). Dessa forma, , qx' (22-43) Ex = Eli = Ex = 4~~(;')3' onde
I =: 1/Y1=7fi.
Agora, através da Eq. (22-3),
x' =
i'(X -
ut),
y'
=
z'
y,
= z,
onde t é o tempo transcorrido (no sistema laboratório) a partir do momento duas origens coincidem. O vetar r' é, portanto, dado pelas componentes:
r' = {í'(x
- ut), y, z}.
em que as
(22-44)
É conveniente definir a quantidade R * por i'R*
=
{r(x - ut),
y,
z}.
(22-45)
480
Teoria Especial da Relatividade
Assim, a Eq. (22-43) torna-se
L
= __
E
41tfo
x
~x __ut) r,3(.R*)3-' (22-46)
ou (22-46a) onde R é definido por R
= {x -
Uf,
y,
z}.
(22-47)
o campo elétrico está dirigido radialmente para fora da posição instantânea da carga puntual, porém, em contraste com o caso estático, não é mais esfericamente simétrico. Realmente, no caso de uma carga que se move rapidamente, o campo se concentra intensamente no plano perpendicular a seu movimento. O campo magnético é dado por 1
B_
= i' c2.
1
U
x E'
= i' c2.
U
x E~
(22-48)
_ 1 - (2 U X E1-
ou 1
B=-zUxE. c
(22-48a)
As linhas de campo magnético são círculos com centros na trajetória da carga.
22-8 RESUMO Experimentalmente, chega-se à conclusão de que a radiação eletromagnética se propaga com a velocidade c constante no vácuo, em todo sistema de coordenadas que se movimenta uniformemente. Dessa forma, a equação de onda deve ser invariável ante uma transformação para um sistema de coordenadas em movimento uniforme. Este resultado é efetuado pela transformação de coordenadas de Lorentz, que deixa a forma quadrática (x2 + y2 + Z2 _ c2 t2) invariável. A transformação é expressa convenientemente em termos da geometria de um espaço complexo de Minkowski (não euclidiano), quadrimensional no qual ict é a quarta coordenada. A transformação de Lorentz (e também uma rotação espacial ordinária) é representada por uma matriz ortogonal complexa, que opera sobre um quadrivetor, ou vetor universal. A transformação de Lorentz para um sistema
482
Teoria Especial da Relatividade
Em três dimensões, E~
=
B'.L
= I'
,'(E.L
+u
(, B.L -
x B);
C2 1 U
x E ).
3. O campo de uma carga puntual que se move uniformemente transformação do sistema de repouso da carga.
é facilmente obtido pela
PROBLEMAS Transforme a equação de onda para o sistema de coordenadas linha usando a transformação galileana. Eq. (22-1). Demonstre que
22-}
rp
= F{x
-
(c - u)t)
+ G{x + (c + u)t),
onde F e G são funções arbitrárias de seus argumentos, é uma solução da equação transformada. 22-2 Utilizando duas transformações de Lorentz consecutivas, primeiro para o sistema 1;', em movimento com velocidade u em relação ao sistema L, e então para o sistema L" que se move com velocidade u' em relação a ~', prove o teorema da adição relativística para velocidades: u
"
u + u' = ----
I+
uu'/c2'
22-3 Dados os campos elétrico e magnético uniformes, E e B, encontre a transformação de Lorentz que tornará E e B paralelos um ao outro. (Sugestaõ: Escolha a velocidade u do sistema I;' segundo uma direção perpendicular a ambos, E e B, e determine o módulo de u/(1 + íJ') em termos de E', B' e E XB.) 22-4 A Eq. (2-30) dá o campo elétrico de um longo fio reto que contém À unidades de carga por unidade de comprimento. Faça uma transformação de Lorentz para um sistema que se move com velocidade u numa direção paralela ao fio. Calcule o campo B no novo sistema e compare com o campo B de um fio condutor de corrente, Eq. (8-35). Existe um campo E no sistema em movimento? Qual a diferença física entre um fio carregado que se move na direção de seu comprimento e um fio condutor de corrente? 22-5 Demonstre que o produto escalar E • B' é invariável frente a uma transformação monstre a mesma coisa para E' - c' B' .
de Lorent-z. De-
22-6 Determine o vetor de Poynting para a carga puntual, que se move uniformemente demonstre que a potência total irradiada é nula.
(Seção 22-7) e
~
APENDICE I TRANSFORMAÇÕES DE COORDENADAS, VETORES E TENSORES Para alcançar uma compactação da notação, usaremos Xl, X2, X3 para as coordenadas cartesianas X, y, z. Uma transformação de coordenadas será linear se as novas coordenadas puderem ser expressas como uma combinação linear das antigas coordenadas. Assim, X'I
= allxl
x~
=
a2lxI
+ al2x2 + Q13X3' + a22x2 + a23x3,
x~
=
Q31XI
+ Q32X2 + Q33X3
(1-1)
ou
x~ 1
será uma transformação
="Lj a··x· 1)
(I -1 a)
)
linear. Sabe-se que o somatório
vai de j
= 1 a j = 3. Além disso,
i
pode ter qualquer dos valores 1, 2 ou 3. O conjunto de coeficientes {aij} descreve a transformação. Consideremos, por exemplo, a transformação de coordenadas descrita por x'
= x cos
y'
= - x sen = z.
z'
e
+y e
sen e,
+y
(1-2)
cos e,
Esta transformação linear descreve uma rotação em relação ao eixo z através do ângulo e, na qual os eixos X e y são transformados nos eixos x' e y', respectivamente. Isto está ilustrado na Fig. I-L O comprimento do vetor posição, 1 = VX2 riante frente à transformação pois é evidente de (1-2) que
+ y2 + Z2,
permanece inva-
(1-3) A Eq. (1-2) é um exemplo de uma transformação ortogonal em três dimensões, sendo uma 483
484
Apêndice I
transformação ortogonal a que é real e deixa o comprimento de um vetor invariável. As propriedades das transformações ortogonais serão estudadas com mais detalhe nos parágrafos seguintes. Uma transformação será ortogonal se deixar o comprimento do vetor deslocamento (ou, de maneira equivalente, se deixar LX:) invariável. Suporemos que (I-Ia) seja uma transformação ortogonal; então
I i
I xr
=
(X;)2
(1-4)
k
y yl
\ \
\
1(0,
\ (O,
y)
\ /~.rl
\
!fI)'
/~
\
\ (x. O)
Figura I-I Rotação do sistema de coordenadas em duas dimensões. A linha cheia é a projeção do veto r I sobre o plano xy.
Porém (Xy
=LL j
aijaikXjXk
k
e (1-5) As Eqs. (1-4) e (1-5) concordarão
somente se a quantidade
"
* kk,. )j . =
_/0,
I,
LI aijaik -
\1
Esta equação pode ser escrita mais compactamente
introduzindo
(1-6)
o delta de Kronecker
Ojk.
~ aijaik
=
6jk'
(I-6a)
A Eq. (I-6a) é a condição que deve ser imposta para tomar a transformação {aij} artogoVerificamos facilmente que a rotação, Eq. (1-2), satisfaz este critério. A transformação da Eq. (1-1) pode ser escrita simbolicamente como
na/o
X' onde X' é o vetor posição com componentes ção com componentes originais (x 1, X2 ,X3) fato, A é a matriz dos coeficientes {aii}:
= AX,
(1-7)
transformadas (xí , xí, X3), X é o vetar posie A é considerado um operador matricial. De
Transformaçõesde Coordenadas, Vetores e Tensores
A
= [aia2JQ22 Q31J
485
(I-8) Q23 Q33
Q32 Q12
a13]
.
Se dispusermos os vetores X' e X como matrizes coluna, poderemos escrever a Eq. (I-7) como (I-7a) A transformação da Eq. (I-I) provém desta equação através das leis usuais da multiplica· ção matricial. Assim, a matriz A, dada pela Eq. (I.8), e a Eq. (I-Ia) são maneiras equivalentes de descrever a transformação coordenada. O inverso de uma transformação deve levar-nos novamente de volta ao conjunto original de coordenadas. Dessa forma, se {bij} for a transformação inversa de{ aij}, então
xj
= L bjix;,
(1-9)
Combinando esta com a Eq. (I-Ia), encontramos Xj
=L k
I i
bjjQikXk'
que será uma identidade se
L. " b··Q·k=<5·k )1 I i
) •
(1-10)
A Eq. (I-IO) é a condição imposta para que B seja a transformação inversa de A. Se, além disso, A for uma transformação ortogonal, a Eq. (I-6a) será válida. A comparação das Eqs. (I-6a) e (I-Ia) mostra que se a matriz B for construída de modo que (I-I 1) B ainda descreverá a transformação inversa. De acordo com a Eq. (I-lI), a matriz B é construída a partir de A pela permutação de suas linhas e colunas. A nova matriz é denominada a transposta de A e lhe é atribuído o símbolo Ã. Assim, o inverso de uma transformação orrogonal é a transposta da transformação original. Definimos, no Capítulo 1, uma função vetorial como uma quantidade que possui módulo, direção e sentido em cada ponto do espaço. Uma definição alternativa é: Um vetor é uma qwmtidade cujas componemes se transformam sob uma transformação onogonal como as componentes do velor posição.
Assim, se F for qualquer função vetorial, sua transformada transformação ortogonal A, será
F' = AF.
F', resultante de uma (1-12)
Funções escalares de posição, como o comprimento de um vetor ou o produto escalar de dois vetores, não são alteradas por uma transformação ortogonal, são inmriantes. Além dos escalares e dos vetores, há outras quantidades mais complicadas. Uma destas, cujas propriedades de transformação necessitamos, é o tensor de segunda ordem ou simplesmente tensor. Um tensor é uma quantidade com componentes de dois índices; assim, uma componente do tensor T é Tij, onde e j podem tomar os valores 1, 2 e 3. Ex·
i
486
Apêndice I
poremos para o leitor o tensor momento de quadrupolo, Qij (pág. 53), o tensor dielétrico para meios anisotrópicos (parte inferior da pág. 328) e o tensor de campo quadrimensional FJ.LlJ (Capítulo 22). Um exemplo familiar da mecânica é o tensor momento de inércia. Uma relação linear entre duas quantidades vetoriais pode ser expressa em termos de um tensor de segunda ordem. Dessa forma, o momentum angular L de um corpo rígido pode relacionar-se com sua velocidade angular w por meio do tensor momento de inércia Eij
I:
L=
1m
ou
~ =L j
o próprio
/ijWj'
tensor pode ser expresso na forma matricial:
1= Suponhamos relação tensorial
/21 /31 [/11
/22 /32 /12
/23 . /33 /13]
que dois vetores F e X estejam linearmente
F= TX.
relacionados por meio da (1-13)
Agora, se for efetuada uma transformação ortogonal, A, X será convertido em X' e F em F'. Estaremos aptos a expressar a Eq. (1-13) no sistema transformado como
F'= T'X', onde T' é a transformada
de T. Mas
F' l
= '\' L a·F J = L.. '\' '\' L a·· TkXk j
=L
j
m =L
onde (ã)km
=- amk'
0-14)
I}
1)
j
II
)
k
aij 1jk(ãhmX~
m
k
[I I J
k
aij 1Jk(à)km] X;"
(1-15)
Para as Eqs. (1-14) e (1-15) serem compatíveis, T;m
=
II j
aij 1}k(à)km'
(1-16)
k
Esta equação expressa a lei de transformaç:io de um tensor de segunda ordem sob uma transformação ortogonal. A Eq. (1-16) também expressa a regra para multiplicar três matrizes entre si para encontrar a componente i, m da matriz resultante. Dessa forma, se a Eq. (1-16) for escrita simbolicamente como (1-16a) Determinemos finalmente a lei de transformação para o operador diferencial vetorial, V. Consideremos a componente de índice do gradiente de uma função escalar inva-
i
Transformações de Coordenadas, Vetores e Tensores
487
riante .p; imaginamos .p como uma função das coordenadas Xj, que são por sua vez funções da nova coordenada x;. Usando a regra de cadeia da derivação parcial, encontramos
Através da Eq. (I-9), ccp
e da Eq. (I-lI),
-~-; = L bji
ccp -.;-.
CXi
CXj
para uma transformação
j
(I-I 7)
ortogonal
c
ê
OXi
-;;~. cXj
.:;----; = L Qij j
Assim, as componentes de V transformam-se a uma transformação ortogonal. *
(1-18)
como as do vetor posição, Eq. (I-I a), frente
* Sob uma transformação mais geral, quantidades que se transformam por meio da Eq. (l-17) devem ser distinguidas das que se transformam por meio da Eq. (l-Ia). São denominadas I'etores cavoriantes e vetares contravariantes, respectivamente, porém não necessitamos dessa distinção.
~
APENDICE 11
SISTEMAS DE UNIDADES Usamos neste livro o sistema de unidades MKS racionalizado de carga. Este sistema tem a vantagem de incluir as unidades elétricas práticas da diferença de potencial (volt), da corrente (ampere), da resistência (ohm) etc. Em conseqüência, o sistema ganhou rapidamente a preferência dos engenheiros elétricos e é agora padrão internacional. Em outras áreas, notadamente na física atômica, de estado sólido, do plasma e nuclear, um outro sistema, conhecido como sistema gallssiano, tornou-se popular. A maioria dos outros sistemas gradualmente caiu em desuso e, conseqüentemente, apenas o sistema gaussiano será aqui exposto em detalhe. No sistema MKS de unidades, o surgimento dos números €o e /10 na formulação da lei de Coulomb e da lei de Biot. respectivamente, causa aparente dificuldade. Esta consiste simplesmente no fato de que a lei de Coulomb, F2
= 4nlo I q 1 q(12 , '12
(11-1)
não pode ser usada para definir o coulomb, a não ser que €o seja conhecido. Por outro lado, não se pode usá-Ia para definir €o, a não ser que o coulomb seja definido anteriormente. Um ponto técnico para o qual devemos atentar é o seguinte: sendo 1:0 um número determinado experimentalmente, o uso da Eq. (lI-I) para definir o coulomb resultaria num coulomb que mudaria cada vez que €o fosse redeterminado. Dessa forma, é evidente que a Eq. (lI-I) deveria ser usada para definir €o, sendo o coulomb definido de outro modo. Esta dificuldade não ocorre no caso magnético porque consideramos /10 = 41T X 10-7 T • m/A, por definição. Como resultado, a expressão
F I
/10
lI'
(11-2)
2n r
para a força por unidade de comprimento entre dois fios paralelos, condutores te, pode ser usada para definir o ampere, ou seja:
de corren-
Um ampere é a corrente estacionária que, quando presente em cada um de dois longos condutores paralelos separados por uma distância de um metro. dá origem a uma força por metro de comprimento, entre eles, numericamente igual a 2 X 10-7 N/m.
488
Sistemas de Unidades
489
Naturalmente, qualquer outra geometria poderia ser usada e resultaria numa definição igualmente ambígua (e, de fato, numericamente idêntica) do ampere. Tendo, portanto, definido o ampere, o coulomb é definido como a carga transportada por uma corrente estacionária de um ampere que flui durante um segundo. Isto, por outro lado, torna possível usar a Eq. (lI-I) para definir Eo. Não há, portanto, um problema real, mas apenas um artificial proveniente do desejo de tratar o caso matematicamente mais simples da eletrostática antes de apresentar a interação magnética de correntes. Pensa-se, às vezes, que este problema não ocorreria, se o sistema gaussiano CGS de unidades fosse usado. Isto é verdadeiro somente no sentido do coeficiente da lei de Cou10mb ser escolhido como sendo I dina cm2 /ues2 , que carrega o ônus de concordar com experiências sobre as interações magnéticas. Isto significa que a velocidade da luz apárece na expressão da força entre condutores que conduzem correntes. Como no tratamento usual a quantidade convenientemente definida ocorre primeiro. este problema é evidentemente menos difícil no sistema gaussiano do que no sistema MKS. O sistema gaussiano é a combinação de dois sistemas primitivos: o sistema eletrostático, ues, e o sistema eletromagnético, uem. O sistema eletrostático resulta da expressão da lei de Coulomb na forma (II-3)
e da definição de ues da carga como a carga que, quando colocada a um centímetro de distância de uma carga igual, experimenta uma força de um dina. É óbvio que a ues da carga é muito menor que o coulomb (na realidade, I coulomb = 3 x 109 ues). O sistema eletromagnético é conseqüência de se escrever a lei de Biot, Eq. (8-25), sem o fator fJ.o/4rr e da definição de abampere como a corrente que, caso esteja presente num longo fio reto, dá origem a uma força de I dina/cm quando o fio é colocado a uma distância de ] em de um condutor paralelo que conduz a mesma corrente. De lfJ.o/4rrl = 10-7 e 1 newton = 105 dinas, encontra-se que] abampere = 10 amperes. Qualquer dos dois pontos de partida indicados poderia ser usado para iniciar o desenvolvimento de um sistema completo de unidades. Historicamente, contudo, a ues foi usada principalmente para problemas eletrostáticos e a uem para problemas eletromagnéticos. Nesse caso, era natural que se desenvolvesse um sistema hlbrido, usando ues para quantidades elétricas e uem para quantidades magnéticas. O sistema que se desenvolveu dessa maneira é conhecido como sistema gaussiano. O principal ponto de contato da ues e da uem no sistema gaussiano consiste na densidade de corrente, onde Jues
Juem =
c'
No sistema gaussiano, usamos Jues e indicamos explicitamente equações magnéticas. Assim, a lei de Biot tem a forma
(II-4)
a velocidade da luz nas
(II-5) com
I em ues/s.
490
Apêndice II
Em unidades gaussianas, as equações de Maxwell são I ôB
V x E
+ c -~ = ct
0,
V . 0= 4np,
v x H _ I êD = ~nJ c at
c
V' B=O.
(II-6)
Os campos derivam-se dos potenciais escalar e vetoria! por meio de
I cA
e
B=VxA
E
= -
VlfJ -
~8t '
(II-7)
e a força de Lorentz é (II-8) De B estão relacionados com E e H por
o = E + 4nP
e
B
= H + 4n:\t,
(II-9)
onde P é o momento de dipolo elétrico (p = ql) por unidade de volume e M é o momen to de dipolo magnético (m = I A n/c) por unidade de volume. Estas equações são substancialmente suficientes para definir o sistema gaussiano de unidades. Além disso, a densidade de energia é I U = (E' O + B . H) 8n e o vetor de Poynting é S Por conveniência, unidades MKS.
c
= - E x H. 4n
a Tabela lI-I dá as relações numéricas entre unidades gaussianas e
Algumas vantagens do sistema gaussiano, que explicam seu uso continuado na literatura física, é que O fator 41TEo não aparece em todas as equações de física atômica onde o potencial de Coulomb faz o papel central e que a velocidade v sempre participa da forma adimensional v/c prescrita pela transformação de Lorentz. Na relatividade, é natural que E e B tenham as mesmas unidJdes pois suas componentes são simplesmente elementos diferentes do tensor campo. Não há razão para os D e H auxiliares terem outras unidades. É uma conveniência que, nos meios materiais. a permissividade e a susceptibilidade sejam adimensionais e estejam relacionadas por f
Como as quantidades
=
I + 4nle
magnéticas correspondentes, jJ.
=
1
+ 4nXm.
Sistemas de Unidades
Tabela
491
11-1
Quantidade Capacitância Carga Condutividade Corrente Deslocamento elétrico Campo elétrico Energia Força Indutância Fluxo magnético Indução magnética Intensidade magnética Potencial Resistência
Unidades gaussianas *
Símbolo C
9
X
1011
=lF
9xl09s-1 109 uesjs (= 10-1 abamp) 1211 x 10s dina/ues
=IC = 1 (n . mrl =lA = 1 C/m2 = 1 Vim
em (ues/statvolt) 3xl09ues
Q
g
I
3
X
D
t t
E
U F
L
R
x I O~ dina/ues 107 e~ 105 dina
=IJ
x 10-11 S2 jero 108 maxwell
= 1 Wb
=IN =IH
1O~ gauss
x 10-3 oersted (gauss) 1/300 erg/ues (statvolt) x 10-11 s/cm(statvolt 's/ues)
411
t
Unidades MKS
* O fator 3 (9:= 3') nas conversões provém da velocidade da luz, c dão, use 2,9979 ao invés de 3.
==
=IT = 1 A/m =lV
=ln
3 X 10"m/s. Para maior exati-
APÊND ICE 111
OPERADORES VETORIAIS
DIFERENCIAIS
1. Coordenadas retangulares . oep
=I-
Vep
ox
• oep ---
+J
oep
+k
ôy
Cz'
2. Coordenadas cilíndricas
1 a
=
V . F V x F
r or ~- (rFr)
= ar
- -- -
ao (Ir àF:
1 oFo
ôF:
+
r, -ôo
+ cz ~ ,
--
az ÔFo')
+
ao
-::;oz (aFr
-
-~cr aF=)
+k
~- rFo - - -- .
r1 (àcr (
ae CFr)
)
3. Coordenadas esféricas 1 oep
oep Vep
= ar
-::;-Or
+
ao
1 a
V·F=-
492
-
r2 ar
r ~eL
1
+ a.p 1
(r2F)+ r
cep
r-- sen e-::;A,' C'f'
a
r sen e De
1 (F
sene}+c/> o
r sen e
êF ê
,
Operadores DiferenciaisVetoriais
v x F=
ar-
r sen 1 e
+ aB
r
~
[
[eae
493
(F sen e) - -:;;4>
sen1 e_ ~Fr ccp _
ccp eFB'J
Cr ~(r-:~)]+ a ~r
ar ~ _ ~F NJ' [~(rF .. r]
o laplaciano de uma quantidade escalar, V2\{J, é dado na pág.61 coordenados. As identidades vetoriais encontram-se na pág. 31.
para os três sistemas
--
-
APENDICE IV
EUNÇAO DELTA DE DlRAC A função delta é definida, em uma dimensão, por
ó(x) = O para.'(
*O (IV-I)
+70
6(x) dx
=
1.
Isto pode ser compreendido, de uma forma elementar, como o limite de uma função contínua ordinária. Por exemplo, a função gaussiana 1
V
I
e
_ x2
(2
7t E
tem um pico em x =0, que é tanto maior e mais estreito quanto menor for gral de _00 a +00 for 1 para qualquer valor de E. Assim, podemos definir 6(x)
= lim _1
fiE
l~O
t, e sua
inte-
(IV-2)
e-x2/l2•
Uma outra representação útil é ..
E
ó(x)
=
11m l~O
sen 2 ...
7t
-'i x
X/E
(IV-3)
Como um terceiro exemplo, podemos usar a função lorentziana, introduzida no Capítulo 19: 1
E
6(x)
= limO (~
7t
-2-,+ X
E2'
(IV-4)
Uma aplicação importante da função delta envolve o teorema de Fourier. Se uma funçãof(x) for expressa por uma integral de Fourier, +70
f(x)
494
= I
-x
g(k
)eikX
dx,
Função Delta de Dirac
o teOrema dá a transformada
de Fourier
I .
+ oc
g(k)
Paraf(x)
=
/)(x),
495
= ~n J .I-
encontramosg(k)
.
dx.
f(X)e-'kx
oc
= Ij2rr (veja abaixo), de forma que
I .
b(x)
= --
+
oc
.
I
2n . -
(IV -5)
dk.
e'kx oc
Assim, a transformada de Fourier da função delta é uma função constante, Tomando a parte real da Eq. (IV-S), obtém-se
e vice-versa.
I -
T oc
b(x)
= :T-n .I-
oc.
cos
As Eqs. (IV-S) e (IV-6) podem ser consideradas delta. O teorema do valor médio do cálculo dá
kx
como outras representações
+a r
(IV-6)
dk.
da função
+a
F(x)f(x)
dx ~ F(O) '"
·-a
f(x)
dx,
de forma que f(x) -+ /) (x) r F(x)
b(x)
dx
=
F(O).
(IV-7)
Em todas as equações acima, pode-se substituir a variável x por (x - xo); em particular (IV-8) Em qualquer equação envolvendo a função delta, o domínio de integração pode ser reduzido a qualquer intervalo que contenha o ponto onde o argumento da função delta se anula. Uma extensão para três dimensões pode ser realizada, escrevendo-se b(r)
No Capítulo 2, encontramos
dr =
b(x)
b(y)
=
\72 (~~).
b(z)
dx dy dz.
(IV-9)
que b(r)
(IV-I O)
~
APENDICE V ELETRIZAÇÃO ESTÁTICA o ramo mais antigo de nosso assunto - eletricidade e magnetismo - é o da eletrização por contato, isto é, a geração de altos potenciais ao se colocar em contato dois materiais diferentes e, em seguida, separá-Ios. Este fenômeno interessante é geralmente posto de lado um tanto bruscamente após uma breve exposição de algumas experiências clássicas que servem para introduzir os conceitos de carga e de separação de carga. Um estudo completo do fenômeno foge aos objetivos deste trabalho, uma vez que implicaria digressões sobre termodinâmica e sobre a teoria quântica da matéria; não obstante, faremos algumas observações sobre o assunto. Quando dois materiais diferentes são colocados em contato, procuram estabelecer vários tipos de equilíbrio. Um destes é o equilíbrio térmico; assim, o calor flui do material mais quente para o mais frio numa tentativa de tornar suas temperaturas iguais. Um outro tipo, e de importância direta para nosso estudo, diz respeito a uma tentativa de igualar os potenciais eletroquz'micos das duas substâncias. O potencial eletroquímico é um potencial termodinâmico que rege o fluxo de partículas carregadas (elétrons) de uma substância a outra. Dessa forma, elétrons fluem do material com o potencial eletroquímico inicialmente maior para o material de potencial menor, até que os potenciais se igualem. As diferenças de potencial e eletroquímico entre duas substâncias são tipicamente da ordem de alguns décimos de um elétron-volt, isto é, logo após o contato, cada elétron se deslocará de uma substância à outra, sob a ação de "forças químicas", como se estivesse sujeito a uma diferença de voltagem de alguns décimos de volt. (A diferença de potencial eletroquímico entre dois metais é igual à diferença de suas funções trabalho. lncidentalmente, dois metais diferentes podem ser eletrizados da forma usual, contanto que estejam sustentados por suportes isolantes de forma a que não se descarreguem durante o processo.) A transferência de carga, porém, cria realmente uma diferença de voltagem eletrostática. Assim, quando dois materiais diferentes são postos em contato, uma carga suficiente é transferida de um ao outro para estabelecer uma diferença de voltagem de (tipicamente) alguns décimos de volt. Uma diferença de voltagem desta ordem de magnitude produzida por forças químicas talvez não seja surpreendente. Qual seria, então, a origem das altas voltagens (104 a 105 volts) realmente observadas em experiências de eletrização estática? Estas ocorrem no
496
Eletrização Estática
497
processo de separar os dois materiais e a energia necessária para criar estes potenciais é fomecida pelo experimentador ou pela máquina que separa os materiais. Agora, como vimos, ao pôr em contato dois materiais diferentes, ocorre uma trans· ferência de carga. Os dois materiais podem ser considerados como as "placas" de um capacitar. Separar os materiais é análogo a separar as placas de um capacitor de carga constante Q. Da definição básica de capacitância C, Q
= c(6..p),
vemos que a diferença de voltagem 6...p aumenta à medida que a capacitância do sistema diminui. Como aproximação, podemos considerar os materiais eletrizados corno formando as placas de um capacitor de placas paralelas. Esta talvez não seja uma aproximação muito má enquanto a separação entre as placas for pequena. Neste caso (Capítulo 6) a ca· pacitância é inversamente proporcional à separação. Dessa forma, ao separar os materiais desde uma separação da ordem de 10 unidades de gngstron até uma separação de um milímetro, podemos esperar um aumento da diferença de potencial por um fator de 106• A voltagem final obtida neste processo depende da forma geométrica detalhada do material. Esta, por exemplo, determina a capacitância do sistema. Além disso, a aspereza da superfície determina quão próximo os materiais podem ser trazidos (em média) e, por conseguinte, sua separação inicial; determina também a uniformidade do espalhamento de carga sobre suas superfícies. Concentrações de carga em pronunciadas irregularidades de superfície dão origem a intensos campos elétricos que podem exceder a rigidez dielétrica do ar durante o processo de separação. Dessa forma, pode-se originar uma faísca, ocasionando uma descarga parcial dos corpos eletrizados.
r-
RESPOSTAS DOS PROBLEMAS ;# IMPARES CAPÍTULO 1
1-1. (A - B) x (C - D)= 0,1:3 1-3. A . B = 0, A + B = C 1-7. O ângulo entre R e R - A, que é de 90°, pode ser inscrito num semicírculo, sendo A o diâmetro. À medida que R variar, os diversos semicírculos descreverão a superfície de uma esfera.
1-13. n
= (axi + byj + c.:k)/Ja2x2 1 a
= -r ar .-
1-15. V . F
1 ôFe
(rF ) r
+c!.?
+b2y2 cF=
+ -r --ae + az
1-17. Não CAPÍTULO 2 2-1. tan3 8/(1 + tan2 8) = q2 16TCto mg [l 2-3. E = 2296 Vim (ao longo da diagonal) 2-5.
E
(a)
""' (b) ..... -E
= (O'/2Eo)(1 =
:IJ.:2 + R2)
(i - ~~-)4 + R2 + RZ
({3/2Eo) [L :2 L
flai(fi -
2~7. x
=
2-9.
= (p.4Eo)
qJ
-
[(Z
1), ponto de sela
+ -!L){(': +
_ (z - ~L){(z - ~L)2
+
498
RZ
log
J=
log (L2R)1
iL)2
+
+
R2]1 2 - 2::L
RZ:12
+ -!L +,/(z+~LY--+- R~\l + R21
\z - -!L..,+ ~(= -1L)2
+ 2R-z ;'--i..1)j
Respostas dos Problemas fmpares
2-11.
(a) 300.000 V, (b) 4,730 km
2-13. 1,1 x 10 -12 Clm 3, positivo - ~r) para r:-::; R 2-15. (a)
=---q
- + -:;" e rir 1) -ri;.
= q[3(r)
-
4]!(0 (1r
Â
(a ~
2)
2
14ni.2rJe-r!;.
2-21. Considere o dipolo como duas cargas puntuais iguais porém opostamente das, separadas por uma pequena distância. 2-23. QII = Q22 = - 2q12; Q33 = 4q12; as demais componentes são nulas. 2-25. (a) p = qll + q12' P = 2ql cos el2 (b) q = 5,26 X 10-20 C =0,328 e CAPÍTULO 3
3-1. Entre: para
3-9.
r>
cp(r, e)
rb:
=
r-e) ( -3r3 ' r :-::; 1
p 1 (cos r
P 4n(0
a
a
)
r cos e + Q147!fo r na superfície superior. 3-15. A imagem especular da distribuição de carga com p substituído por -p.
3-11.
3-13.
a
- (l = -(o
3-17.
F
= ~
- a3 r3)Eo
A/2rl
2
rlu2 1
-16]!(~d2 q2
+ n~1 oc
(1(~-+--~)2 -
u _(o 1 -- 1-u )2 -.2 161uod - 2 [1 q2
= (xola) + J(X-olaj2 3p2j32]!(0 d4• atração,
3-21. M 3-23.
-
+
(/1
_-~p 1)
1 - 2u ] ,
1, imagem em xo(M2
1
onde u -
= xld
1)!(M2
+
1)
CAPÍTULO 4
4-1.
499
pp
= -2ax:
P 4-3. E= = :ú-;;
Qp
(nas extremidades)
= A(aU + b), -bA
rlJ'(!L~":::-z)2c+IP 1L - z 1L + z + J(~in+ z)2:.tR2
1
fora da barra.
carrega-
500
Respostas dos Problemas fmpares
4-5. E
=
(lifo)P
cos {'
4-7. ~an(\ tan
4-9. 4-11.
q'
iJ z
= [((i
+ (z)]q;
-
(Z)/((i
3
p
cos e
41tto
,Z
q"
= 2(Zq/((i + (z)
= --- - -- -- -
({12
= 4;~f~ [c~sze + ~.: ~ I3 ' cos
+2
K
Kz 4-13.
Ei
4-15_
D
= =
,';?a
-,
'Soa e],
-
Ki-1
i
K-- Ez, Pi K(o
u
=
_dH
Ki
-
L\
KzfoEz,
api
=
±Pi
1)t]
4-17. E = Q/2n(fi + (z),2 4-19. Dentro: E= -P/3fo Fora:
2R3p
= - -.
E
cos ()
3(0,3
r
R3p Eo
=-
3
3tO'
sen ()
CAPÍTULO 5
5-1. ~ = 9,7 X lO-.l-1 C . mZ(V; 5-3. 2,6 x 10- i6 m 5-5. 2,94 x 10- .'0 C . m
Ro
= 0,96
X lO-IO
m
CAPÍTULO 6 6--1. 18,75 em
6--3. U= -
41t{o 2qz
- - - -
[1I
2d 1+ I
+ -- + ---4d 1
6--5. 41tRs P5 /lSfo
6--9. (a) L\cp = 10,79 V, U = 1,618,11 (b) L\
6--17. C
'i
= 41tt/(.!. _.!.) 'z
4(d 1] + I)
(uma vez que E ==0 atras do plano). .
Respostas dos Problemas fmpares
6-19.
(a) Kl(t1<1')o/(l + (K (b)(K-I)Q2d/2(ow(l+(K-I)x]l
6-21. 6-25.
[4 mg'2n(o(K - 1)]1 2 Fx = !(1 - L'K)(o E2 A
I)x)
CAPÍTUW7
7-1. (a) r = 0,739 x 10-3 mls (b) 7-7, -'
= 2,5 x 10-
T
- a) +
::;:: <1'1gdd
.
g2a
(J=
(gl(2
- g2(1)(
7-5. (a)
+ gl(d
-
<1'2)
-.--
- a)
<1'1
I 3 cos = - Eor cos e - "lEoa --r 2 e f ora,
<1'2
=
7-7. [::;:: 2rrg
7-11. [ ::;::ngs 7-13.
14 S
-~Eor
t1<1'/ln
cos e dentro. (b) (r2ird
t1lp/cosh -
(a) 675 W/m2,
(J
= -1KEo cos e
1 (h/2a)
(b) 645 W/m2
7-15.200 7-17 . (a) [ ::;::( i ~R I (b) RI R2/(RI 7-19.
R 2 )1 (R
R
+ R 2 R + R I R 2)
(R4RS - R3Ró) '/;/[D + R~(R3 + R4)(Rs + Ró)], onde D = R3 R4RS + R4RS Ró + Rs RóR3 + RóR3R4
Uma parte em 4 x 106
8
CAPÍTULO
8-3. (a) 0,0048 em (b) 1,64 x lO -
8-5.
1
(a) 4R/5 (b) (11'20)R
7-21. (a) 7-23.
+ i; + R2)
f::;::
8-7. B
7
s
!Po ~ [2 = 6,28 N/m
=
8-9. Po [N
fi
Po [ma
/4a
8-11. Po N[ ~ = r~ ~ 8-13. (a ) aRr c= cr 8-15. V x V x B ::;::Po V x
J =O
501
502
Respostas dos Problemas fmpares
8-21.
= 1J10 J 5 = J10 IV I/2nr, b/a = 4/3 A= = (J1o l'2n) In (r/b) entre os condutores,
8-23.
(b) V x (A
+ VtjJ) = V
x A
(c) V ' (A
+ VtjJ) = f =
V2tjJ,
8- 17, B 8-19. B
1 tjJ
.
f
= - 4n. . I -R
8-25.
cp*
8-27.
(d) Br
= (J1oI/2a)
[cos () - 4~2 3r2 (5 cos3 () -
BR
= (J1oI/2a)
[ - sen e
dr
não tem só um valor.
+ 4:2 32'
3 cos ()) +
(S cos2 0-
1) sen e
... ] + ... 1
CAPÍTULO 9
9-1.
JM
=
V
x
M
h, = M
=o = M nas superfícies cilíndricas,
x n; I\1 9-3. (b) (4/3)nR3Mo
9-5.
(J1f PM
9-7.
= =
MOX/[X2
(a)
= O nos lados.
+ ;:;2)]12
O
(b) B=
9-9,
+ (b4/a4)(y2
jM
1L -;)r+uiP z = 1JloM [Jfr[--
0,25 T
(b) 0,95 T (c) 1,52 T
9-11. Bi = 9
-
13
.
/(
1+
J M = O·,Iw = 2na Xl 1M
9-15. 9-19.
2(jl/jlO)Bo
(
jllllo)
f'" t )' super 1Clem erna ,
= xI(dentro),l\f
JM
- Xl ( rf' . ) = -i~b supe lCle externa,
= - xl (fora). ()1 = O. I paralelo; (b) ()1 = 90°, I antiparalelo.
(a) (a) Óxido sinterizado
- 0,4 T Aço - Co, 35% - 0,22 T (b) Óxido sinterÍzado ~ 0,53 T Aço - Co, 35% - 0,96 T
9-21. 0,64 T
CAPÍTULO 10
10-3. 3,69 x 10-4 10-5. ~. = 976
Respostas dos Problemas fmpares
CAPÍTULO II 11-5.
"r =
"I
cos wt, 'I~
~
= 2nfN AB = 12,56 V
11-7. (a) De b para a. (b) De b para a. (c) De a para b. 11-9. 1B2a2r2wgt 11-11. (/1oU2n) ln (R2'Rd 11-13. /10 na2b2i4r3 11-15. M = (/10 h/2n) ln (1 + d/r) 11-17. (/10 ín:) In (d/a) 11-23. E = Kr/2 dentro, E = Ka2j2r fora. 11-25. Seja V x B = ~B. J = Joe-I%2;g~0l1 CAPÍTULO 12
[L1n + 2M12/1/2
12-3. U=-~s+_ N2/2A/1%
12-5---~
. /10(l
+ df
12-7. (a) F
=
+ Xm)
B6xmAI2/10(1
(b) 1,76 x 10-4 N N
12-11. (a)
e
(b)
1/10-I
12
L 12-15. 1=10 12-17. 12-19.
L:+PM
Ferro comercial: 0,018 WJcm3 Aço-tungstênio: 0,395 W/cm3 -d(m' B)
CAPÍTULO 13 13-1. (a) 1 = 0,605 A, dI/dt = 1,59 Ais (b) 1 = 1,295 A. dI/dt = 0,558 AIs (c) 1 = 1,663 A, dl/dt =0,0062 Ais
13-3. Q
= Ci
~[1 -
e-riRe]
+
L2/D
503
504
Respostas dos Problemas fmpares
fR2( i=-- ~2
13-5.
=~
121
1+
u
LC)l+-r~LF (wRC)2
= IvLC:
121;:;:: L/RCparaw Rex - wCR(wL
13-7.
2 = ..
- hvC) ex-,
n
onde
ex
;
12/
121
;:;::wLparaw->:::fJ.
+ i[wCR2 + w-'C"R2 -
= 1 + w2C L - C
= Rparaw = O;
+ (wL
- l/wC)a] __
,
C
13-9. (a) 3,2 x 10-2 graus (b) zero a 1,8 MHz 13-13. (a) = 1,78 X 103 Hz (b) f= 1,78 x 103 Hz (c) = 0,796 X 103 Hz 13-15. (a) L/C = 2R2 (b) L = ,,/2 Riú)c; C =
f
f
1/,,/2 Rwc
13-17. 0,0713 -0,0034 i mA 13-19. 1/.J 3LC 13-21. VI = -100 - 700i V V2 = 150 - 750i V CAPÍTULO 14
14-5. FI = (2/5)na\1B51'0 CAPÍTULO 15
15-1. B =
cos
Boi - Bo(a/r)2(a,
e
+ a9
sen e) fora.
= H = O dentro. js = -2Bol1~ I sen O k B = Boi - b(alr)2(a, cos O + ao sen O) fora. B = c[a, (J./r)I I(r/;.) cos O - ae/'I(r/À) sen O] dentro, B
15-3.
h
sendo a função modificada de Bessel de primeira espécie e Ií sua derivada primeira.
b
= Bo
c
=
v(r)
-
()../a)I
·'1'I (ai),")
+
A. (A.í • Ia )1 t ( ai ")
2Bo/[I'I(a/À)
15-5. Para r u(r)
[/'I (aO,)
=a-
+
(À/a)I t(a/À)]
6sendob
= 3Bop./a)e-o/Á = - (3/2)Bo e-olÁ
CAPÍTULO 16
16-1. (a) Q
= C(tI
(b) -(g/t)C(tI
(c) Zero
I (ai).)]
~ a
e
À.
~a.
Respostas dos Problemas ímpares
16-3. (a) H = -!Q cD'ct = I 2nQ (b) S = -!QE cD Ct. de fora para dentro. (c) nQ2 dE cD,h 16-7. B = S 16-9. A
senw('\,/~= -
-iEo,/(f.1
+ jEov0
t)
cos
w(y!(f.1=
= k -J{(2 P Eo
=
cos [2n(= - ct)/).]
-i().Eo'2nc)
16-11. V . A
G
=-
(f.1"
-
aI
f.1g
CAPÍTULO 17 17-5. E
= 700 V 'fi;
17-7. S=
x
10-'- 6
T, raiz quadrática média.
1 }E1+E2+_EI2COS,/, 1(2 2 ?
-, E~=
1
= 2,33
B
E
d-.)
Cf.1o
C/i o
17-11. /1 = 1,099-!K,. k =0,455A; 17-13. (b) 9 = 0,92 X 10-6 (Omt
(jji.
= 0,384
1
CAPÍTULO 18 1 -
18-1.
ri
/12
=2 1 +
25
11
18-3. Rp ~ 1 ~ 4K 18-5
.
R ~
p-
cos 18-9. 18-13.
Kj
1'23
(11
cos
(11 COS
81
=
=
; para n = 1,5, R. = 14,8
J.JK-l ; 215
8 1
01
1)2
+
1)2
,-
+ k2
cos2
+ k2
cos2 81
, ...
+ e; 81 = 80Y,
1;....(/12 ..
1,13; /1~3, k~0,188; R = 1
= ±1,
8
ri.
~
Rp =
= 2,70
72
-
I)
505
506
Respostas dos Problemas fmpares
CAPÍTULO 19 19-1. n,. - 1 = 1,63 x 1O-~; 1,36 19-3. Ào = 1560 Â
19-7. 19-9. 19-13. 19-15.
k~Ki.21lL':X n;;;::/.;;;;::0.071 O)
P
=
= y!Jt;;rr; Kr = Xo Eo sen 0)0
10-3
X
2kwo/c
~ t
I. Ki ~y!Jt;;
CAPÍTULO 20
_0-3. ,
Bo A,· sen O cos _ tio4n10 . c-r 0)2 E.p
= -
3 sen
10 Ao c 0)2r 411:(
O
cos
t - c) (r
O)
O)
t -
(r)
c
,
onde A é a área da espira circular. P
=
o 16 A 2 - c3 0)4
611: ~
cos 2
O)
t-
(r)
(a) 5,23 A: (b) 2,45 x 10- 2 Vim 20-7. j 20-9. (a) 8rc3(l'iC)3; (b) 4,07 x 10-7 20-11. 52,1 m - I 20-5.
CAPÍTULO 22
C
ÍNDICE ANALÍTICO Absorção, coeficiente de, 367, 451 iônica,419 Absorvância, 381 Admitância,278 Alfvén, ondas de, 300 Amortecimento, crítico, 281 freqüência de, 413 Ampere (A), 137, 166 Ampere, lei de, 172, 193,324,326 Amplitude constante, plano de, 384 Angular, freqüência, 259 Ângulo, crítico, 379 de incidência, 372, 373, 374 de inclinação, 184 de perda, 426 de reflexão, 372, 374 de refração, 372,384 Anisotrópicos, materiais, 92, 108, 194, 328 Anômala, dispersão, 418 Antiferromagnético, 227 Atenuação, constante de, 356, 386 profundidade de, 356, 358, 385, 421 Atômica(s) correntes, 185 polarizabilidade, 109 Átomo, raio do, 408, 412 Bainhas, 284 Bateria, 149 Bessel, função de, 363 Betatron, 241
Biot-Savart, lei de, 166 Bohr, magneton, 222, 229 Boltzmann, fator de, 113,286,425 Brewster, ângulo de, 378, 382 Campo, de dipolo magnético, 178 de zona de radiação, 442, 444 escalar, 15 local, 106,218,408 local de Lorentz, 410 microscópico, 217 molecular, 106,218,408 molecular de Weiss, 223 vetorial, 15 Campo de uma carga puntual em movimento uniforme, 454, 479 Campo elétrico, 39 da Terra, 58 macroscópico, 87,107 macroscópico total, 89 no interior de um dielétrico, 87 Campo eletrostático, 44, 82 Campo magnético, crítico, 309 de corren tes estacionárias, 161 de um circuito distante, 176 linhas de, 201 macroscópico, 218 Capacitância, coeficiente de, 125 Capacitor(es), 58,126.325 conexão de, em paralelo, 128 conexão de, em série, 128 de placas paralelas, 127 Carga, 36 conservação da, 128, 325 507
508
índice Analítico
densidade de, 39 de polarização, 85, 91 elétrica, 36 em movimento uniforme, 454, 479 externa, 91 imagem, 73 linear, 75 livre,43,82, 91, 114,411,426 presa, 82, 91, 411, 412 puntual, 37,87,93,99,339,452 teste, 87,162 Cartesianas, coordenadas, 16,28 Cascateamento, 139 Cauchy, parte principal de, 429 relação de, 418 Causalidade, 430 Cavidade, campo de, 88,105,108,218 em forma de agulha, 88 ressonador de, 401 Circuito(s) a.c., 268-278 acoplados indutivamente, 237,246 C.c., 148,261 constante de tempo do, 263 em série, 150,208,262 magnético, 208 C1ausius-Mossotti, equação de, 109, 116, 410 Coaxial, cabo, 103, 174 Coercividade, 197 Coerência, 387,448 Colisão, tempo de, 154 Comportamento, de estado estacionário, 260, 266 não periódico, 260 periódico,260 transiente, 260, 262 Comprimento de onda, 259 de corte, 395, 400 Compton, efeito, 448 Condução, 137 corrente de, 139 metálica, 137, 138, 154 Condutividade, 141,411 complexa, 412, 420 tabela de, 142
Condutor(a) esfera, 66, 73, 80, 99,104 iônico, 427 meio, 137,143, 144,332,35'4,411 superiônico,427 Condutores, 43,137,284 Conexão de, capacitares em paralelo, 128 capacitores em série, 128 indutores em paralelo, 238 indutores em série, 238 resistores em paralelo, 150 resistores em série, 150 Conservação, da carga, 128,325 da energia, 328-329 Constante die1étrica complexa, 355,410 Continuidade, equação da, 140,327 Contorno, condições de, 62, 95, 144,199, 333 Contravoltagem, 261,262 Coordenadas, cilíndricas, 35, 61, 67, 492 curvilíneas, 29, 79 esUricas,22,25,61,63,492 sistema de, 16 Corrente, alternante, 266-280 atômica, 185 de condução, 139 de convecção, 139 de deslocamento, 259,326,327,333 de Foucault, 242, 244 de magnetização, 186 densidade de, 139 de transporte, 185, 193 efetiva, 269 elétrica, 137 estacionária, 143 gerador de, 277 imagem, 216 que varia lentamente, 259 superficial, 189,201,336 Coulomb, lei de, 36,161,230,326 potencial atenuado de, 58 sistema de, 344 Coulomb (C), 38,162,167,488
fndice Analítico
Covariante, vetor,487 Cmie, ponto de, ferroelétrico, temperatura de, 224
114
Debye, distância de blindagem de, 286 equações de, 425 temperatura de, 155 tempo de relaxação de, 425 Decibel,367 Delta, de Kronecker, 484 função, 53, 173, 189,414,494 Derivada direcional, 19 Deslocamento, corrente de, 259,326, 327, 333 elétrico, 91,294 linhas de, 96 movimento de, 139 Desmagnetização, efeito de, 213 fator de, 206 Despolarizante, campo, 114 Diamagnético, 194 Diamagnetismo, lei de Faraday no, 219 origem do, 219 Dielétrica, constante, 92, 355 esfera, 98 perda, 423 rigidez, 93 tabela de constante, 93 tabela de rigidez, 93 Dielétrico, campo elétrico no interior do, 87 meio, 82, 411 polarização do, 82, 83 Dipolo, campo de, 178 elétrico, 49, 449 elétrico num campo externo, 50, 58 induzido, 109 magnético irradiante, 365 momento de, 50, 52, 83, 178,441, 450
509
potencial de, 50 puntual,50 Dirac, função delta de, 53, 173, 414, 494 Dispersão, 407 anômala, 418 normal, 415 relação de, 349, 368,428 relação de, transversal, 349 Dissipação, fator de, 282 Divergente, 24, 28, 30 teorema do, 26,54 Domínios, ferromagnéticos, 226 parede dos, 226 Drude-Lorentz, teoria de, 407,419 Einstein, postulados de, 467 Einstein-Stokes, fórmula de, 427 Elétrico(a), campo, 39 carga, 36 deslocamento, 91 dipolo,49 fluxo, 46 momento de dipolo, 50, 52, 83,441 susceptibilidade, 92 Eletrodinâmica,452 Eletróforo, 135 Eletrolítico, tanque, 144 Eletrólito,44, 138,426 Eletromagnético(a), energia, 327 indução, 230 onda, 330, 346 tensor de campo, 476 Elétron, raio do, 413, 446 Eletrostática( o), campo, 39 densidade de energia, 122 energia, 118 energia, termodinâmica, 132 equihbrio, 147 imagem, 70 potencial, 41 , Energia, auto-, 121, 134 conservação da, 328, 329
.:..;.",..
510
fndice Analítico
densidade de, 122,249,329,353 eletromagnética, 327 eletrostática, 118 fluxo de, 353, 395-396 livre de Helmholtz, 132 magnética, 246 métodos de, 129 potencial, 43, 118 Equação, da continuidade, 140,329 da onda, 330 da onda com fontes, 337 de Euler, 293 de Helmholtz, 319,332,360,361 de Laplace, 61, 79, 98, 144,203 de Laplace em coordenadas esféricas, 63 de Legendre, 64, 79 de Poisson, 60, 77,97,338 de Poisson para um plasma, 286, 304 de Smakula, 433 do plasma-bainha, 305 Equações, constitutivas, 92,141,322 de Debye, 425 de Maxwell, 326, 490 Equihbrio, teoria do, 285 Eqilipotencial, superfície, 20, 71 Escalar, 15,485 campo, 15 equação, de Helrnholtz, 360 potencial, 337 potencial, magnético, 178, 191 potencial, retardado, 340 produto, 17 produto, triplo, 18 Esfera, condutora,66, 73,80,99,104 dielétrica, 98 supercondutora, 313, 319 uniformemente magnetizada, 204 Espaço-tempo, intervalo, 469, 471 Espalhamento, de raios X, 447-448 de Thomson, 447 incoerente, 448 Estática, eletrificação, 496 tter, 465 Euler, equação de, 293
Farad (F), 127 Faraday, lei de, 231,233,326 lei de, no diamagnetismo, 219, 220 Fase, plano de, constante, 384 variação de, na reflexão, 372 velocidade de, 347,395 fem, 149,230,233,261 gerada pelo movimento, 233 Ferrites, 227 Ferro doce, 196,211 Ferroelétrico, 114 Ferromagnético(s),196 F erromagnetismo, teoria do, 222 Fibra ótica, 380,404 Fio supercondutor, 315, 321 Fluxo, elétrico, 46 exclusão de, 310, 313 magnético, 179 perda de, 211 Força(s), 37, 99, 128, 148, 161-163, 249, 287 campo livre de, 244 de Lorentz, 162,230 eletromotriz (fem), 149,230,233,261 linhas de, 40 magnética, 161,233,249 magnetomotiva,209 mecãnicas, 148 sobre uma distribuição de carga, 131 Formulação, hidromagnética, 285, 293,300 Foucault, corrente de, 242, 244 Fourier, transformada de, 350,431,495 Freqüência, 259 angular, 259 de amortecimento, 413 de Larmor, 219 de plasma, 300, 419. 420 de ressonância, circuito paralelo, 271 natural, 265 rede divisora de, 282 Fresnel, coeficientes complexos de, 381
fndice Analítico
coeficientes de, 371,376,377 Função, de Bessel, 363 de Neumann, 363 geradora, 79 Fusão, reator de, 297 Gás, descarga de, 139 Gauss (G), 171 Gauss, lei de, 44, 46,89,326 Gerador, 234, 277 de corrente ideal, 277 de Van de Graaff, 149 de voltagem, 277 de voltagem ideal, 277 homopolar,242 Giromagnética, razão, 229 Gradiente, 19,28 Green, teorema de, 32 Grupo, velocidade de, 395 Guia, de luz, 380, 403 de ondas, 397 Hagen-Rubens, relação de, 382,421 Harmônico(s), cilíndricos, 67 oscilador, 407 zonais,65 Helmholtz, bobina de, 170 energia livre de, 132 equação de, 319, 332, 360, 361 Henry (H), 236 Hertz, vetor de, 345 Hidromagnética, formulação, 285, 300 Histerese, curva de, 115, 197 perda por, 252 ímã, permanente, 204, 211 pólos do, 191 Imagem, carga, 71 corrente, 216 eletrostática,70
293,
511
linear, 75 Impedância, 267 de ponto de excitação, 279 de transferência, 279 do espaço livre, 367 em paralel0,_ 267 em série, 267 forma polar da, 268 Imperfeições, 155 termicamente induzidas, 155 Impurezas, 155 Incidência, ângulo de, 372 plano de, 373 índice de refração, 332, 349 complexo, 355 Indução, 161,230 campo de, 444 coeficiente de, 125 eletromagnética, 230 magnética, 161, 162 Indutância, auto·, 234 em paralelo, 238 em série, 238 incremental,235 mútua, 236 mútua em circuitos c.a., 272 Integral, de linha, 22 de superfície, 23 de volume, 24 Intensidade, da onda, 371 do oscilador, 410 magnética, 192 Interferência, 391 Iônica, absorção, 419 Isolante(s),43 tabela de resistividade de, 142 Joule, aquecimento,
328
Kirclilloff, leis de, 151,261 Kramers-Kronig, relações de, 428, 430-432 Kronecker, delta de, 484
512
Cndice Analítico
Langevin-Debye, fórmula de, 110 Langevin, fórmula de, 112,222 Laplace, equação de, 63, 79, 98,144,203 Laplaciano, 30, 31,55,61 Larmor, freqüência de, 219 raio de, 287 Lawson, condição de, 298 Legendre equação de, 64, 79 polinõmios de, 65,79,363 Lei, de Ampere, 172, 193,324,326 de Biot-Savart, 166 de Coulomb, 36,161,230,326 de Gauss, 44, 90, 326 de Lenz, 220, 231 de Newton, terceira, 167 de Ohm, 141 de Snell, 374, 381 dos co-senos, 34 dos senos, 34 Lenz, lei de, 220, 231 Lienard-Wiechert, potenciais de, 452 Ligas, 155 Linha, largura natural de, 447 Linhas, de campo magnético, 201 de deslocamento, 97 de força, 40 de indução, 201 London, teoria de, 310, 316, 319 Longitudinal, relação de dispersão, 368 Lorentz, campo local de, 410 condição de, 338,341 contração de, 470 força de, 162,230 sistema de, 342 transformação de, 467,472,479 Lorentziana, forma da linha, 416 Luz, guia de, 380, 404 velocidade da, 163,332,395 Lyddane-Sachs-Teller, relação de, 433 Magnético(a) campo de dipolo, 178
circuito, 208 densidade de energia, 249 densidade de pólo, 191 energia, 246 espelho, 291 fluxo, 179 força, 161,233,249 intensidade, 192 momento, 166,177,288 momento de dipolo, 178 potencial escalar, 178, 191 potencial vetorial, 175, 189,337 pressão, 293 susceptibilidade, 194 torque,250 Magnetita, 161, 227 Magnetização, 185 corrente de, 188 curva de, 197 de saturação, 197 espontânea, 224 Material uniformemente magnetizado, 202 Matéria, propriedades magnéticas da, 185 Malha(s), 151 análise das, 275 Magnetizado(a), esfera uniformemente, 204 material uniformemente, 202 Matriz transposta, 485 Matthiessen, regra de, 155 Maxwell, equações de, 326, 490 Maxwell-Boltzmann, distribuição de, 111, 285 Médio(a), livre percurso, 154 potência, 269 Meio(s), constante de tempo do, 148, 154 dielétrico, 43, 82, 411 fator Q do, 343 linear, 92,110,152,407 não condutores, 346 transparente, 357,415,418 Meissner, efeito, 310 Mho, 142,359 Michelson-Morley, experiência de, 468 Mobilidade, 154
índice Analítico
Molécula, não polar, 109 polar, 109,110,380,423 Momento, de dipolo elétrico, 50, 52, 83,441,450 de dipolo magnético, 178 de quadrupolo, tensor, 53 magnético, 166, 177,288 magnético intrínseco, 221 Mott-Zener, fórmula de, 422 Movimento da partícula nos campos elétrico e magnético, 287 Multipolar, expansão, 51 Mútua, indutância, 236 indutância, em circuitos c_a., 272 Neumann, fórmula de, 237 função de, 363 Newton, terceira lei de, 167 Nós(s),151 análise dos, 275
r
Oersted (Oe), 491 Ohm (n), 142 Ohm, lei de, 141 Onda(s) de Alfvén, 300 elétrica transversal, 362, 365, 394,398, 400 eletromagnética, 330, 346 eletromagnética transversal, 348, 357 equação da, 330 esféricas, 341, 359 guia de, 397 intensidade da, 371 longitudinal, 359, 368, 421 magnética transversal, 362, 394 monocromática,331 plana, 346,384 polarização da, 350 velocidade de fase da, 347, 395 velocidade de grupo da, 396 Operador( es) d'Alembertiano,475 deI, 28 diferenciais vetoriais, 492
Orbita, teoria da, 285, 287 OrtogonaI, complexo, 472 transformação, 472, 483 Oscilador, harmônico, 407 intensidade do, 410 Otica(s), constantes, 356 fibra, 404 Paramagnético(a), 194 ressonância, 348 susceptibilidade, 222 Paramagnetismo, origem do, 221 Penetração, profundidade de, 319 Permeabilidade, 195 incremental, 199 relativa, 196 Permissividade,92 do espaço livre (€o), 38 Pinch, efeito, 293,295 Plasma, 284 dinâmica de, 284 equação de Poisson para o, 286,304 freqüência de, 300,419 velocidade de deslocamento do, 288 Plasma-bainha, equação do, 305 Plasma-elétron, oscilações do, 299 Poisson, equação de, 60, 77,97,338 Polarizabilidade, 109, 113 atômica, 109 de deformação, 113 orientacional, 113 Polarização, carga de, 85,91 circular, 352 da onda, 351 de dielétrico, 82, 83 de saturação, 111 elíptica,352 linear, 351 p,373 s,373 Pólo(s) de um ímã, 191 magnéticos isolados, 168 PoloidaI, 298
513
514
CndiceAnalítico
Potência, 143,269 densidade de, 329, 358 fator de, 269 média, 269 Potencial, 41, 175,178,191,337 coeficientes de, 76, 124 de Coulomb atenuado, 58 eletroquímico, 496 eletrostático,41 energia, 43, 118 escalar, 338 escalar magnético, 178, 191 escalar retardado, 340 vetorial, 175, 189,337 vetorial magnético, 175, 189 vetorial retardado, 341 Poyting, vetor de, 330, 353, 376, 396, 442 Pressão magnética, 293 Produto, escalar triplo, 18 vetorial triplo, 18 Propagação, entre placas condutor as paralelas, 393 veto ria!, 346 Q, fator, 271,282 fator, do meio, 343 Quadrivetores, 472 Quantidades complexas, 380
Reflexão, 369 interna total, 380, 385, 392 total frustrada, 392 Refração, 369 índice de, 332, 349, 355 Regra(s), da mão direita, 17,23,352 da soma, 434 da somaf, 410 de Matthiessen, 155 Relatividade, 163,464,466 princípio da, 466 teoria especial da, 464 Relaxação, tempo de, 147, 153,424 Relutância, 209 Remanência, 197 Resistência, 142 coeficiente de temperatura da, 155 da radiação, 438 interna, 150 Resistividade, 141 Resistor,149 Ressonância, 270 freqüência de, circuito paralelo, 271 paramagnética, 348 Retentividade, 197 Revestimento não refletor, 391 Rotação, 484 Rotacional, 26,31
331, 352, 354,
Radiação, amortecimento de, 413, 446 campo de, para velocidades pequenas, 460 campo de zona de, 442, 444 de cargas em movimento, 440 de uma antena de meia onda, 438 de uma carga puntual acelerada, 457 de um dipolo oscilante, 435 resistência de, 438 Raios X, espalhamento de, 447-448 Reatância,267 indutiva,267 Reatância capacitiva, 267 Rede divisora de freqüência, 282 Reflectância, 371, 376, 382, 389
Semicondutores, 44 Siemens (S), 359 Simultaneidade, 469 Sistema, 342,344 de Lorentz, 342 em repouso, 470 transformação de, 342 Smakula, equação de, 433 Snell, lei de, 374, 380 Solenóide, 172, 183 Somatório, convenção do, 477 Sondas, 302 Spin,221 estrutura de, 227 Stokes, teorema de, 28 Supercondutividade,309 Supercondutor(a), do tipo I e lI, 311
---------- ~
--~
-- ~-
-----
---
-----"'-
Índice Analítico
esfera, 313, 319 fio,314,315,321 Superficial, corrent(', 189,201,336 densidade de carga, 38, 98 tensão, 100 Susceptibilidade, de massa, 195 de massa, tabela, 195 elétrica, 92 magnética, 194 molar, 195 paramagnética, 222
'1-
Tabela(s), das propriedades magnéticas da matéria, 195, 196 de condições de contorno, 337 de condutividade, 142 de freqüências de plasma, 419 de identidades vetoriais, 31, 33 de resistividade, 142 de susceptibilidade de massa, 195 de susceptibilidade magnética, 195 de unidades, 491 de unidades gaussianas, 491 dos coeficientes de temperatura da resistência, 142 Tempo, constante de, do circuito, 263 constante de, do meio, 147, 154 de colisão, 153 de relaxação, 147, 153,424 de relaxação de Debye, 425 dilatação do, 470 retardado,340 Tensão superficial, 100 Tensor, 15,53,485 de campo eletromagnético, 476 de segunda ordem, 485 momento de quadrupolo, 53 Termodinâmica, energia eletrostática da, 132 primeira lei da, 132 Terra, campo elétrico da, 58 Tesla (T), 162,179 Thomson, espalhamento de, 447 Tokamak,298
515
Toroidal, 235, 298 Toróide, 183,206 Torque, 128, 164,250 magnético, 250 Transformação, de Lorentz, 467, 472 de Lorentz para o campo eletromagnético,479 de sistema, 342 galileana, 467 lei de, para o campo eletromagnético, 479 leis de, para vetares e tensores, 485, 486 linear, 483 ortogonal, 472, 483 Transformador, 274 ideal, 275 Transmitância, 371,376,389 Transversal, onda elétrica, 362, 367, 396, 398,400 onda eletromagnética, 348, 357 onda magnética, 362, 396 Unicidade, teorema da, 62, 78 Unidade(s), 37, 488 gaussianas, 37,91, 163, 171, 195,349, 488 imaginária, 70 MKS, 37,489 SI, 38 Universo, ponto do, 472 Valores de contorno, problemas de, 67-76, 97-101,202,369 Van de Graaff, gerador de, 149 Variáveis, separação de, 64 Velocidade, da luz, 163,395 de deslocamento do plasma, 288 de fase, 347,395 de grupo, 395 térmiCa, 154 Vetor, 15,485 complexo, 350 componentes do, 16 covariante, 487 de Hertz, 345 de Poynting, 330, 353, 376, 396, 442
1
516
f'ndice Anal ítico
Vetorial(is), campo, 15 equação, de Hçlrnholtz, 319,361 identidade, tabela, 31, 33 operadores diferenciais, 492 potencial, magnético, 175,337 potencial, retardado, 341 produto, 17 produto, triplo, 18 propagação, 346 soma, 16 Volt (V), 43
Voltagem, aplicada, 148, 261 de circuito aberto, 149 efetiva, 269 "'gerador de, 278 ,-- --Volumétrica, densidade de carga, 39
Weber (Wb), 179 por metro quadrado, 179 Weiss, campo molecularde, 224 Wheatstone, ponte de, 160
Impressão e Acabamento . Círculo do Livro S.A. Av. Ermano Marchetti, 283· Lapa Caixa Postal 1413 Fones: 62-4034 - 864·8366 São Paulo - Brasil Filmes fornecidos pelo editor
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