Fundamentos Físicos Fundamentos de la Informática Jose Antonio Ceballos Leva
1ºGrado en ingeniería Informática [UNED] 2011/2012
2
Índice Tema 1: Campo eléctrico I. Distribuciones discretas de carga ............................................................................... ............................................................... ................ 13 Carga eléctrica e léctrica ................................................................................................................. 14 Definición.......................................................................................................... ................................................. ................................................................................... .......................... 14 Cuantización de la carga........................................................................................................ carga............................................................ ............................................ 14 14 Conservación de la carga ...................................................................................................... ................................................. ..................................................... 14 Conductores y aislantes ...................................................................... ................................................................................................ .......................... 14 Definición.......................................................................................................... ................................................. ................................................................................... .......................... 14 Carga por inducción.......................................................................................................... ................................................. ............................................................... ...... 14 Ley de Coulomb ............................................................................................................... 15 Enunciado de la ley ................................................................................................. ........................................ ......................................................................... ................ 15 Fuerza ejercida por un sistema de cargas ...................................................... ...................................................................... ................ 15 El campo eléctrico................................................................................. ........................................................................................................... .......................... 16 Definición.......................................................................................................... ................................................. ................................................................................... .......................... 16 Campo creado por una carga puntual.................................................... .......................... 16 Movimiento de cargas puntuales en campos eléctricos ........................................... 16 Dipolos eléctricos e léctricos ........................................................................................................... 17 Definición.......................................................................................................... ................................................. ................................................................................... .......................... 17 Momento dipolar ..................................................................................................................... .................................................................................. ................................... 17 17 Energía potencial en un dipolo ......................................................... ........................................................................................... .................................. 17 Líneas del campo eléctrico .......................................................................................... 18 Definición.......................................................................................................... ................................................. ................................................................................... .......................... 18 Líneas de campo sobre una o dos carga puntual/es iguales ................................... 18 Reglas para la representación de líneas de campo eléctrico .................................. 18 18 Formulario ........................................................................................................................ 19 Tema 2: Campo eléctrico II. Distribuciones continuas de carga ............................................................................ .................................................................... ........ 21 Campo eléctrico en distribuciones continuas de carga ..................................... 22 Distribución continua de carga .......................................................................................... ..................................... ..................................................... 22 Eje de carga lineal finita .................................................................................................. ...... 22 Fuera del eje de una carga lineal finita ............................................................................ .................................................. .......................... 23 23 Carga lineal infinita ................................................................................................................. .............................................................................. ................................... 23 El eje de un anillo cargado.................................................................................... cargado........................... ......................................................................... ................ 23 El eje de un disco uniformemente cargado.................................................... ................ 24 24 Proximidad de un plano infinito de carga ...................................................................... 24 24 Ley de Gauss............................................................................. ...................................................................................................................... ......................................... 24 Flujo eléctrico ............................................................................................................ ................................................... ......................................................................... ................ 24 Cálculo del campo eléctrico mediante la ley de Gauss....................................... Gauss....................................... 25 Simetría plana ......................................................................................... .................................. 25 Simetría esférica........................................................ ................................................................................................................. ............................................................... ...... 25 Simetría cilíndrica ................................................................................................................... .............................................................. ..................................................... 25 Carga y campo eléctrico en la superficie de los conductores .......................... .......................... 26 Definición.......................................................................................................... ................................................. ................................................................................... .......................... 26 Formulario ........................................................................................................................ 27 Tema 3. Potencial eléctrico ....................................................... ................................................................................................................ ............................................................................................ ................................... 29 29 Diferencia de potencial ....................................................................... ................................................................................................. .......................... 30 Definición.......................................................................................................... ................................................. ................................................................................... .......................... 30 Propiedades ...................................................... ............................................................................................................... ......................................................................... ................ 30 30 Potencial debido a un sistema de cargas puntuales ........................................... 31 Potencial debido a una carga puntual .................................................... .......................... 31 Potencial debido a un grupo de cargas puntuales ...................................................... ................................................ ...... 31 Potencial debido a distribuciones continuas de carga ...................................... ...................................... 32 3
Potencial en el eje de un anillo cargado .......................................................................... 32 Potencial en el eje de un disco cargado ........................................................................... 32 Potencial debido a un plano infinito de carga .............................................................. 32 Potencial debido a una carga lineal infinita ................................................................... 32 Potencial debido a una corteza esférica .......................................................................... 33 Determinar el campo eléctrico a través del potencial ....................................... 34 Definición .................................................................................................................................... 34 Relación entre E y V ................................................................................................................ 34 Superficies equipotenciales ........................................................................................ 35 Definición .................................................................................................................................... 35 Formulario ........................................................................................................................ 36 Tema 4. Energía electroestática y capacidad................................................................................................................. 37 Energía potencial electroestática.............................................................................. 38 Definición .................................................................................................................................... 38 Capacidad .......................................................................................................................... 39 Definición .................................................................................................................................... 39 Almacenamiento de la energía eléctrica ................................................................ 40 Definición .................................................................................................................................... 40 Energía del campo electroestático .................................................................................... 40 Condensadores ................................................................................................................ 41 Condensadores de placas plano-paralelas..................................................................... 41 Condensadores cilíndricos ................................................................................................... 41 Asociación de condensadores ............................................................................................. 42 Dieléctricos ....................................................................................................................... 43 Definición .................................................................................................................................... 43 Energía almacenada en presencia de un dieléctrico .................................................. 43 Formulario ........................................................................................................................ 44 Tema 5: El campo magnético ............................................................................................................................................... 49 Fuerza ejercida por un campo magnético sobre una carga móvil ................. 50 Definición .................................................................................................................................... 50 Movimiento de una carga puntual en un campo magnético ................................... 50 Fuerza ejercida por un campo magnético sobre una corriente eléctrica ... 51 Definición .................................................................................................................................... 51 Fuerza magnética sobre un elemento de corriente .................................................... 51 Fuerza ejercida por un campo magnético sobre una espira............................ 52 Momento magnético ............................................................................................................... 52 Energía potencial de un dipolo eléctrico en un campo magnético ....................... 52 Líneas del campo magnético ....................................................................................... 53 Definición .................................................................................................................................... 53 Efecto Hall .......................................................................................................................... 53 Definición .................................................................................................................................... 53 Formulario ........................................................................................................................ 54 Tema 6: Fuentes del campo magnético............................................................................................................................ 55 Campo magnético creado por cargas puntuales en movimiento ................... 56 Definición .................................................................................................................................... 56 Campo eléctrico creado por corrientes eléctricas. Ley de Biot y Savart ..... 56 B debido a una espiral de corriente .................................................................................. 56 B debido a una corriente en un solenoide ...................................................................... 57 B debido a un conductor rectilíneo ................................................................................... 57 Fuerza magnética entre dos conductores rectilíneos paralelos ............................ 58 Ley de Gauss para el magnetismo ............................................................................. 58 Definición .................................................................................................................................... 58 4
Ley de Ampere ................................................................................................................. 59 Definición .................................................................................................................................... 59 Formulario ........................................................................................................................ 60 Tema 7: Inducción magnética .............................................................................................................................................. 61 Flujo magnético ............................................................................................................... 62 Definición .................................................................................................................................... 62 Ley de Faraday y la fuerza electromotriz ............................................................... 62 Definición .................................................................................................................................... 62 Medios estacionarios. Ley de Lenz .................................................................................... 62 Medios en movimiento. FEM en movimiento ............................................................... 63 Inductancia ....................................................................................................................... 64 Autoinducción ........................................................................................................................... 64 Inducción mutua ...................................................................................................................... 64 Energía magnética .......................................................................................................... 65 Definición .................................................................................................................................... 65 Formulario ........................................................................................................................ 66 Tema 8: Circuitos de Corriente Continua ........................................................................................................................ 71 Corrientes eléctricas y movimiento de cargas ..................................................... 72 Definición .................................................................................................................................... 72 Resistencias y ley de Ohm ............................................................................................ 73 Definición .................................................................................................................................... 73 Materiales óhmicos y no óhmicos ..................................................................................... 73 Resistividad................................................................................................................................ 73 La energía en los circuitos eléctricos ....................................................................... 74 Potencia disipada..................................................................................................................... 74 Potencia suministrada por una FEM ................................................................................ 74 Batería ideal ............................................................................................................................... 74 Combinaciones de resistencias .................................................................................. 75 Resistencias en serie............................................................................................................... 75 Resistencias en paralelo........................................................................................................ 75 Reglas de Kirchoff ........................................................................................................... 75 Definición .................................................................................................................................... 75 Circuitos RC ....................................................................................................................... 76 Descarga de un condensador .............................................................................................. 76 Carga de un condensador ..................................................................................................... 77 Conservación de la energía en la carga de un condensador ................................... 77 Circuitos RL ....................................................................................................................... 78 Definición .................................................................................................................................... 78 Formulario ........................................................................................................................ 79 Tema 9: Circuitos de Corriente Alterna ........................................................................................................................... 81 Corriente alterna en resistencias, bobinas y condensadores ......................... 82 Resistencias en corriente alterna ...................................................................................... 82 Inductores en corriente alterna ......................................................................................... 83 Condensadores en corriente alterna ................................................................................ 84 Circuitos LCR sin generador ........................................................................................ 85 Circuitos LC .............................................................................................. .................................. 85 Circuitos LCR ........................................................................................... .................................. 86 Análisis de circuitos en corriente alterna .............................................................. 87 Fasores ......................................................................................................................................... 87 Circuito LCR con generador en serie ................................................................................ 88 Resonancia ................................................................................................................................. 89 Tema 10: Introducción a los dispositivos electrónicos. Diodos ............................................................................. 95 5
Teoría de las bandas de los sólidos .......................................................................... 96 Átomos ......................................................................................................................................... 96 Estructuras cristalinas ..................................................................................................... ...... 96 Bandas de energía ................................................................................................................... 96 Conducción eléctrica en semiconductores ............................................................ 97 Definición .................................................................................................................................... 97 Conducción en semiconductores intrínsecos ............................................................... 97 Conducción en semiconductores extrínsecos ............................................................... 98 Mecanismos de transporte de cargas............................................................................... 98 Diodos. Polarización ...................................................................................................... 99 Definición diodo ............................................................................................. .......................... 99 Polarización directa ................................................................................................ ................ 99 Polarización inversa ............................................................................................................... 99 Diodos. Curva característica y modelos equivalentes ..................................... 100 Zonas de la curva característica del diodo .................................................................. 100 Modelos equivalentes.......................................................................................................... 101 Diodos en conmutación .............................................................................................. 102 Definición ................................................................................................................................. 102 Transición de cierre ............................................................................................................. 102 Transición de corte .............................................................................................................. 103 Tema 11: Transistores bipolares y MOSFET .................................................................... .......................................... 105 Transistores. Definición ............................................................................................. 106 Definición ................................................................................................................................. 106 Configuraciones..................................................................................................................... 106 Propiedades eléctricas ........................................................................................................ 106 Transistores. Función .................................................................................................. 107 Esquema de funcionamiento ............................................................................................ 107 Esquema eléctrico ................................................................................................................ 107 Transistores. Estados .................................................................................................. 108 El transistor en pequeña señal ........................................................................................ 108 El transistor en corte-saturación .................................................................................... 108 Transiciones entre estados de corte y saturación ................................................... 109 Transistores MOSFET. Propiedades .......................................................................110 Definición ................................................................................................................................. 110 Características........................................................................................................................ 110 Transistores MOSFET. Curva y modelo elemental ............................................ 111 Curva característica ............................................................................................................. 111 Modelo elemental ................................................................................................................. 111 Tema 12: Familias bipolares ............................................................................................................................................. 113 Características de las puertas Lógicas................................................................... 114 Características estáticas ..................................................................................................... 114 Margen de ruido .................................................................................................................... 114 Flexibilidad lógica ................................................................................................................. 114 Disipación de potencia........................................................................................................ 115 Velocidad de actuación ....................................................................................................... 115 Lógica resistencia-transistor .................................................................................... 116 Inversor .................................................................................................................................... 116 Puerta NOR .............................................................................................................................. 116 Puerta NAND .......................................................................................................................... 117 Lógica diodo-transistor .............................................................................................. 118 Parte lógica de una AND en DTL ..................................................................................... 118 Puerta NOR en DTL .............................................................................................................. 118 6
Puerta NAND en DTL ........................................................................................................ ... 119 Lógica transistor-transistor ...................................................................................... 120 Configuraciones..................................................................................................................... 120 Puertas NAND en TTL ......................................................................................................... 121 Tema 13: Amplificadores y Familias MOS ............................................................................................. ...................... 123 Amplificador diferencial ............................................................................................ 124 Definición y configuraciones ............................................................................................ 124 Ganancia en modo común ................................................................................................. 125 Ganancia en modo diferencial.......................................................................................... 125 Dispositivos en ECL ...................................................................................................... 126 Inversor ECL ........................................................................................................................... 126 Puerta NOR ECL ..................................................................................................................... 127 Dispositivos en NMOS .................................................................................................. 128 Inversor en NMOS................................................................................................................. 128 Puerta NAND en NMOS ....................................................................................................... 129 Puerta NOR en NMOS .......................................................................................................... 129 Dispositivos en CMOS .................................................................................................. 130 Inversor en CMOS ................................................................................................................. 130 Puerta NAND en CMOS ....................................................................................................... 131 Puerta NOR en CMOS........................................................................................................... 131 Tema 14: Dispositivos fotónicos ..................................................................................................................................... 137 Fuentes luminosas ........................................................................................................ 138 Líneas espectrales ................................................................................................................ 138 Espectros continuos............................................................................................................. 138 Propagación de la luz................................................................................................... 139 Principio de Huygens .......................................................................................................... 139 Principio de Fermat ............................................................................................................. 139 Reflexión y refracción ................................................................................................. 140 Introducción ........................................................................................................................... 140 Mecanismos físicos de la reflexión y la refracción ................................................... 140 Reflexión especular y difusa ............................................................................................. 140 Intensidad relativa de la luz reflejada y transmitida .............................................. 140 Reflexión interna total ..................................................................................................... ... 140 Polarización ....................................................................................................................141 Polarización por absorción ............................................................................................... 141 Polarización por reflexión ................................................................................................. 141 Polarización por birrefringencia..................................................................................... 141 Formulario ...................................................................................................................... 142
7
8
BLOQUE I. ELECTRICIDAD
9
10
Índice Tema 1: Campo eléctrico I. Distribuciones discretas de carga ............................................................................... 13 Carga eléctrica ................................................................................................................. 14 Definición .................................................................................................................................... 14 Cuantización de la carga........................................................................................................ 14 Conservación de la carga ...................................................................................................... 14 Conductores y aislantes ................................................................................................ 14 Definición .................................................................................................................................... 14 Carga por inducción ................................................................................................................ 14 Ley de Coulomb ............................................................................................................... 15 Enunciado de la ley ................................................................................................................. 15 Fuerza ejercida por un sistema de cargas ...................................................................... 15 El campo eléctrico........................................................................................................... 16 Definición .................................................................................................................................... 16 Campo creado por una carga puntual.............................................................................. 16 Movimiento de cargas puntuales en campos eléctricos ........................................... 16 Dipolos eléctricos ........................................................................................................... 17 Definición .................................................................................................................................... 17 Momento dipolar ..................................................................................................................... 17 Energía potencial en un dipolo ........................................................................................... 17 Líneas del campo eléctrico .......................................................................................... 18 Definición .................................................................................................................................... 18 Líneas de campo sobre una o dos carga puntual/es iguales ................................... 18 Reglas para la representación de líneas de campo eléctrico .................................. 18 Formulario ........................................................................................................................ 19 Tema 2: Campo eléctrico II. Distribuciones continuas de carga ............................................................................ 21 Campo eléctrico en distribuciones continuas de carga ..................................... 22 Distribución continua de carga .......................................................................................... 22 Eje de carga lineal finita .................................................................................................. ...... 22 Fuera del eje de una carga lineal finita ............................................................................ 23 Carga lineal infinita ................................................................................................................. 23 El eje de un anillo cargado.................................................................................................... 23 El eje de un disco uniformemente cargado .................................................................... 24 Proximidad de un plano infinito de carga ...................................................................... 24 Ley de Gauss...................................................................................................................... 24 Flujo eléctrico ............................................................................................................................ 24 Cálculo del campo eléctrico mediante la ley de Gauss....................................... 25 Simetría plana ......................................................................................... .................................. 25 Simetría esférica....................................................................................................................... 25 Simetría cilíndrica ................................................................................................................... 25 Carga y campo eléctrico en la superficie de los conductores .......................... 26 Definición .................................................................................................................................... 26 Formulario ........................................................................................................................ 27 Tema 3. Potencial eléctrico ................................................................................................................................................... 29 Diferencia de potencial ................................................................................................. 30 Definición .................................................................................................................................... 30 Propiedades ............................................................................................................................... 30 Potencial debido a un sistema de cargas puntuales ........................................... 31 Potencial debido a una carga puntual .............................................................................. 31 Potencial debido a un grupo de cargas puntuales ...................................................... 31 Potencial debido a distribuciones continuas de carga ...................................... 32 11
Potencial en el eje de un anillo cargado .......................................................................... 32 Potencial en el eje de un disco cargado ........................................................................... 32 Potencial debido a un plano infinito de carga .............................................................. 32 Potencial debido a una carga lineal infinita ................................................................... 32 Potencial debido a una corteza esférica .......................................................................... 33 Determinar el campo eléctrico a través del potencial ....................................... 34 Definición .................................................................................................................................... 34 Relación entre E y V ................................................................................................................ 34 Superficies equipotenciales ........................................................................................ 35 Definición .................................................................................................................................... 35 Formulario ........................................................................................................................ 36 Tema 4. Energía electroestática y capacidad................................................................................................................. 37 Energía potencial electroestática.............................................................................. 38 Definición .................................................................................................................................... 38 Capacidad .......................................................................................................................... 39 Definición .................................................................................................................................... 39 Almacenamiento de la energía eléctrica ................................................................ 40 Definición .................................................................................................................................... 40 Energía del campo electroestático .................................................................................... 40 Condensadores ................................................................................................................ 41 Condensadores de placas plano-paralelas..................................................................... 41 Condensadores cilíndricos ................................................................................................... 41 Asociación de condensadores ............................................................................................. 42 Dieléctricos ....................................................................................................................... 43 Definición .................................................................................................................................... 43 Energía almacenada en presencia de un dieléctrico .................................................. 43 Formulario ........................................................................................................................ 44
12
Tema 1: Campo eléctrico I. Distribuciones discretas de carga
1. Carga eléctrica 2. Conductores y aislantes 3. Ley de Coulomb 4. Campo eléctrico 5. Dipolos eléctricos 6. Líneas del campo eléctrico 7. Formulario
13
Carga eléctrica Definición La materia está formada por átomos que son eléctricamente neutros ya que poseen igual cantidad de protones y electrones. La carga de protones y electrones es igual en cantidad y contraria en carga, debido a esto la igualdad entre protones y electrones provoca la neutralidad eléctrica. Cuantización de la carga
Todas las cargas se presentan en cantidades enteras de la unidad fundamental de la carga “e”. Así pues
cualquier carga puede escribirse la manera
Siendo N un número entero.
Conservación de la carga La ley de la conservación de la carga eléctrica describe como la carga solo se transfiere entre cuerpos y aunque en ocasiones se crean o destruyen cargas, es la misma cantidad de positiva y negativa por lo que la carga del universo nunca varía. La carga se mide en el SI m ediante Culombios “C”, el cual se define en función del Amperio (A), siendo la cantidad de carga que fluye a través de un cable durante un segundo siendo la intensidad de corriente de un Amperio.
Conductores y aislantes Definición Los materiales se distribuyen en 2 grupos conductores y aislantes, los materiales conductores son aquellos con mayor cantidad de cargas libres o iones que son átomos con carga positiva o negativa y que posibilitan la conducción de la corriente eléctrica. Por otro lado los aislantes son aquellos con pocos átomos no neutrales y que por lo tanto dificultan la conducción eléctrica. Carga por inducción La carga por inducción consiste en la transferencia de cargas entre cuerpos neutros, quedando cuerpos polarizados que son por definición conductores con cargas opuestas separadas.
14
Ley de Coulomb Enunciado de la ley La fuerza ejercida por una carga puntual sobre otra está dirigida a lo largo de la línea que las une. La fuerza varia inversamente con el cuadrado de la distancia que las separa y directamente con las cargas de estas y la contante de Coulomb. Siendo la constante de Coulomb :
Siendo la distancia entre las 2 cargas la diferencia entre los vectores que señalan la posición de cada una: Quedando así descrita matemáticamente:
Fuerza ejercida por un sistema de cargas En un sistema de cargas cada una de ellas ejerce una fuerza sobre cada una de las demás. Quedando la fuerza definida por la suma vectorial de las fuerzas individuales ejercidas sobre dicha carga por las restantes cargas del sistema. Para que un sistema de cargas permanezca estacionario deben existir otras fuerza que provoquen que la suma de las fuerzas resultante sea cero.
15
El campo eléctrico Definición Una partícula crea un campo eléctrico en todo el espacio y es este campo el que ejerce la fuerza sobre una partícula concreta. Los cambios ejercidos sobre el campo se propagan a la velocidad de la luz, lo que implica que un cambio en la posición de la partícula tardaría c/r en ser efectivo sobre el campo. El campo eléctrico se define mediante la fuerza eléctrica dividida por la partícula sobre la que se ejerce el campo.
Así pues el campo es un vector que describe la condición en el espacio creada por el sistema de cargas puntuales, así pues la Fuerza ejercida sobre una carga puntual queda definida por:
Campo creado por una carga puntual El campo eléctrico debido a una sola carga puede calcularse partiendo de la ley de Coulomb situando una pequeña carga testigo en algún punto de la carga. Siendo la fuerza que actúa sobre el punto testigo de:
̂ ̂
Siendo el campo eléctrico en el punto P debido a la carga q:
Movimiento de cargas puntuales en campos eléctricos Cuando una partícula con carga q se coloca en un campo eléctrico E, experimenta una Fuerza definida por qE. Si la fuerza eléctrica es la única significativa entonces se puede aplicar:
∑
16
Dipolos eléctricos Definición Consiste en un sistema formado por dos cargas iguales de signos s ignos contrarios y separados por una pequeñas distancia. Su intensidad y orientación se describen mediante el momento dipolar eléctrico. Momento dipolar El momento dipolar es el vector que apunta desde la carga negativa hacia la positiva y cuyo modulo es igual a la carga absoluta |q| por el vector que apunta desde la carga negativa hacia la positiva.
Energía potencial en un dipolo Cuando un dipolo se encuentra en un campo eléctrico externo este tiende a alinearse con la dirección del campo de tal modo que se tiende a situar el momento dipolar en la dirección del campo eléctrico. Siendo el par de fuerzas:
Cuando el dipolo gira en un ángulo, el campo eléctrico realiza un trabajo, igualando este trabajo con la disminución de la energía potencial y posteriormente posteriormente integrando obtenemos: (trabajo realizado) (disminución de energía)
17
Líneas del campo eléctrico Definición Las líneas del campo eléctrico son representaciones de las líneas de fuerza ejercidas sobre una carga testigo positiva. Líneas de campo sobre una o dos carga puntual/es iguales En una carga positiva las líneas de campo actúan de forma radal alejándose de la carga c arga que las provoca, mientras que si es una carga negativa las líneas de campo seguirían siendo radiales a la carga pero hacia esta. A medida que las líneas de campo se alejan se van separando pues la intensidad de la fuerza disminuye con la distancia. Para dos cargas positivas iguales separadas por una distancia pequeña, las cargas se inician de manera radial puesto que cuanto mas cerca se encuentra de la una de las cargas y mas lejos de la otra la lejana ejerce menos fuerza sobre la líneas de campo, según se van alejando las líneas de las cargas que las producen estas tiendas a cambiar su dirección alejándose de la segunda. s egunda. A larga distancia los efectos van desapareciendo y tienden a funcionar como dos cargas puntuales independientes. independientes.
Reglas para la representación de líneas de campo eléctrico 1. Las líneas de campo empiezan en las cargas positivas (o en el infinito) y terminan en las cargas negativas ( o en el infinito). 2. Las líneas de campo se dibujan uniformemente uniformemente espaciadas. 3. El número de líneas que entran en una carga negativa o abandonan una carga positiva son proporcionales al módulo de la carga. 4. La densidad de líneas es proporcional proporcional al módulo del campo en ese punto. 5. A grandes distancias de un sistema de cargas, las líneas de campo se comportan como si fuera una carga puntual con la carga neta del sistema. 6. Dos líneas de campo nunca pueden cortarse.
18
Formulario Ley de Coulomb
Campo Eléctrico
Movimiento en campos eléctricos
Momento Dipolar
Par de Fuerzas
Energía potencial en dipolos
19
20
Tema 2: Campo eléctrico II. Distribuciones continuas de carga
1. Campo eléctrico en distribuciones continuas de carga 2. Ley de Gauss 3. Cálculo del campo eléctrico mediante la ley de Gauss 4. Carga y campo en la superficie de los conductores 5. Formulario
21
Campo eléctrico en distribuciones continuas de carga Distribución continua de carga
̂
Para el cálculo del campo ejercido por una carga continua utilizamos la ley de coulomb:
Siendo “r” la distancia de la carga al punto de observación, “dq” la carga a lo largo de la carga y “r” el
vector que apunta de la carga al punto de observación. Para solucionar la ecuación integramos el campo a lo largo del volumen de la distribución continua de carga:
Eje de carga lineal finita Para una carga distribuida a lo largo del eje x desde “a” hasta “b” y siendo la densidad de carga
(siendo Q la carga y L la longitud). Se calcula la carga sobre un punto a lo largo del eje de la carga pero fuera de esta en la posición “c”.
La carga a lo largo de la distribución es de “dq” y su posición “dx” por lo que , la distancia del punto de referencia es igual a r- x, siendo “r” la distancia al inicio de la distribución y “x” varía según “dx” por l o
que recorre todas las distancias respecto de la distribución.
| |
Por lo que aplicando la ley de Coulomb:
integrando a lo largo de la distribución de carga:
siendo:
:
De lo cual se deduce que en largas distancias las distribuciones continuas de carga actúan de la misma maneras que las distribuciones discretas de carga.
22
Fuera del eje de una carga lineal finita Si nos encontramos con una carga igual a la anterior pero con el punto de observación fuera de su eje, provocará que el campo en el punto de observación tenga componentes en los 2 ejes.
Para calcular el campo generado sobre el eje y:
Mediante un cambio trigonométrico:
Mientras que en el eje x:
Carga lineal infinita Para el cálculo de una carga lineal infinitas utilizamos las mismas fórmulas que para una carga lineal finita fuera del eje pero sabiendo que:
Con lo que nos quedaría:
El eje de un anillo cargado Debido a la forma del anillo solo se producirá carga sobre su eje puesto que el resto de componentes se anulan a lo largo del anillo. Conociendo este dato hallamos el campo sobre el eje del anillo solamente. Para ello calculamos la componente producida por un punto del anillo y su homónimo (anulando las fuerzas sobre cualquier componente diferente del mismo eje del anillo):
Por lo que el campo debido al anillo completo sería:
23
El eje de un disco uniformemente cargado Consideramos al disco como una serie de carga anilladas concéntricas siendo el eje del anillo el eje x. Consideramos un anillo de radio a y de anchura da, con lo que tendría:
√ Por lo que el campo producido por el anillo quedaría definido como:
Hallamos el campo total integrando entre 0 y R (Siendo R el radio del ultimo anillo del disco):
Se hace un cambio de variable para la integración, :
Si nos encontramos cerca del disco se comporta parecido a un plano infinito y cuando nos alejamos como una carga puntual Proximidad de un plano infinito de carga
El campo de un plano infinito se puede obtener a partir de la ecuación básica de las cargas continuas haciendo que el cociente tienda a infinito:
Ley de Gauss Flujo eléctrico
∮
Por definición el flujo eléctrico es el número de líneas de campo que atraviesan una superficie cerrada, las unidades del flujo eléctrico son . Matemáticamente se define como: En caso de que la superficie sea curva, se integra el flujo a lo largo de toda el área, quedando definido matemáticamente como: El flujo total o neto a través de la superficie cerrada es positivo o negativo dependiendo de que E sea predominante hacia dentro o hacia fuera de la superficie.
24
Cálculo del campo eléctrico mediante la ley de Gauss Simetría plana
∫
Se empieza a partir de la siguiente igualdad:
Se calculan el flujo en el plano y la carga que contiene: (Al ser E y dA paralelos, y tener 2 caras) Conocidos ambos se calcula el campo: Simetría esférica
Nos basamos en la misma igualdad que la simetría plana, por lo que calculamos el flujo y la carga para empezar:
La carga depende de si nos encontramos encontramos dentro o fuera de la esfera; si el radio de la gaussiana es inferior: Mientras que si la esfera de gauss está fuera de la original se utiliza la carga interior i nterior sin modificar. Para esferas de gauss menores(r
Mientras que si la esfera de gauss es mayor(r=R):
Sin embargo si se trata de un cascarón de esfera cargado solo tendría carga en la superficie por lo que dentro de la esfera la carga sería 0. A lo largo de la corteza el campo es discontinuo. Simetría cilíndrica Principalmente se usa para el cálculo de distribuciones de carga lineal infinita, para el cálculo de estas suponemos un cilindro formado formado por 3 partes la superficie lateral y las 2 bases. Calculamos el flujo en cada una de estas:
El campo sería:
25
Carga y campo eléctrico en la superficie de los lo s conductores Definición Todo conductor posee todo todo su carga en la superficie ya que en caso de que un campo eléctrico actuase en el interior se produciría una fuerza que daría lugar a una corriente eléctrica, de manera que si no existe nada que mantenga esta corriente, la carga se redistribuye de manera que se crea un c ampo eléctrico que anula cualquier campo externo dentro del conductor, encontrándose encontrándose entonces el conductor en un estado de equilibrio electroestático. electroestático. Así que el campo eléctrico dentro de un conductor debe ser “0”. Este hecho se demuestra mediante la ley de Gauss, puesto que considerando una superficie gaussiana completamente dentro del conductor sin importar su geometría. Como el campo eléctrico es “0” en todos los
puntos de este, también lo será en todos los puntos de la gaussiana, provocando que la carga dentro de esta sea nula, puesto que toda la carga de este incide sobre su superficie. En la superficie el campo eléctrico debe de ser perpendicular a la superficie, puesto que si existiera una componente tangencial del campo, la carga libre del conductor, sería acelerada tangencialmente a la superficie hasta anular esta componente. Puesto que es discontinuo en cualquier superficie en la cantidad y cero dentro del conductor, el campo en el exterior del conductor queda definido como:
26
Formulario Carga lineal Finita
Carga Lineal Infinita
Eje de un anillo cargado
Eje de un disco cargado
Plano Infinito de carga
Ley de Gauss
∮ Simetría plana
Simetría cilíndrica
Simetría esférica
27
28
Tema 3. Potencial eléctrico
1. Diferencia de potencial 2. Potencial debido a un sistema de cargas puntuales 3. Potencial debido a distribuciones continuas de carga 4. Determinar el campo eléctrico a través del potencial 5. Superficies equipotenciales 6. Formulario
29
Diferencia de potencial Definición La diferencia de potencial se define como la variación de energía potencial por unidad de carga, la cual se origina por el desplazamiento de una carga en un campo eléctrico. Quedando definida mediante:
Quedando definida la variación de potencial como el valor negativo del trabajo por unidad de carga realizado por el campo eléctrico sobre una carga testigo que se desplaza del punto a al b. Al igual que cualquiera de los componentes del campo eléctrico es una función de la posición pero al contrario que el campo eléctrico, es una función escalar. Su relación con la energía potencial es: Propiedades
Continuidad: el campo eléctrico presenta una discontinuidad en un punto donde existe una densidad de carga superficial. En cambio. La función potencial es continua en todos los puntos del espacio, excepto en aquellos en los que el campo eléctrico es infinito(puntos donde existe una carga puntual o una línea de carga). Unidades: Como el potencial es la energía potencial electroestática por unidad de carga, la unidad para el potencial y la diferencia de potencial es el julio por culombio, llamado Voltio(V). Como la energía potencial tienen características del potencial y de la carga la unidad que lo describe es el electrón-Voltio eV siendo:
Potencial y líneas del campo eléctrico: eléctrico: Si situamos una carga testigo positiva positiva en el seno de un campo eléctrico y la dejamos en libertad, se acelerará en la dirección del campo a lo largo de la línea de campo. Así la energía cinética aumenta mientras que la energía potencial disminuye, debido a esto las cargas se mueven en el sentido en que disminuye el potencial.
30
Potencial debido a un sistema de cargas puntuales Potencial debido a una carga puntual
̂ ̂ ̂
El potencial eléctrico de una carga puede calcularse a través de su campo: Para el desplazamiento infinitesimal reemplazamos dl por dr, pues
.
Integrando desde un punto arbitrario hasta un punto de referencia:
Donde reemplazamos el puntos aleatorio por el origen de coordenadas y utilizamos como punto de referencia el infinito i nfinito quedándonos:
Este potencial se conoce como el potencial de Coulomb y es positivo positiv o o negativo dependiendo del signo de la carga. Potencial debido a un grupo de cargas puntuales La energía de una carga testigo situada a una distancia r de la carga puntual q es(Es decir, la energía creada por un sistema de dos cargas puntuales): puntuales):
El potencial en un punto debido a varias cargas se define como el sumatorio de los potenciales de las cargas que actúan sobre el punto por separado:
31
Potencial debido a distribuciones continuas de carga Potencial en el eje de un anillo cargado
√
Siendo dq un elemento de carga del anillo su radio r y la distancia del punto de observación al centro del anillo x, lo cual implica que la distancia del anillo es , tenemos que el potencial sería:
Potencial en el eje de un disco cargado
Para conocer el potencial necesitamos los siguientes datos:
A partir de los datos proporcionados llegamos a la siguiente fórmula:
Integrando desde r=0 hasta r=R:
Se hace un cambio de variable para la integración, :
Potencial debido a un plano infinito de carga Para distribuciones de carga que se extienden hasta el infinito se debe elegir un V=0 en algún punto finito. Para calcular el potencial partimos del campo y calculamos según su definición:
Integrando resulta: Donde
es el potencial en x=0
Potencial debido a una carga lineal infinita Al igual que en el plano infinito no podemos usar la notación clásica sino que debemos partir del cálculo del campo y aplicar la definición de potencial situando situando el potencial de referencia en un punto que no sea el infinito. Aplicamos la simetría cilíndrica para el cálculo del campo obteniendo:
32
Potencial debido a una corteza esférica Aún siendo la una corteza esférica una distribución finita, debido a que el campo eléctrico mediante la ley de gauss se obtiene fácilmente, calcularemos a partir de la definición de potencial:
̂ ̂
El cambio de potencial fuera de la corteza viene dado por:
Para calcular el potencia dentro de la esfera sumamos el potencial producido en el exterior de esta y el producido en el interior tomando el punto de referencia en cualquier punto en el interior de la carcasa:
Un error frecuente es pensar que como el campo eléctrico en el interior de la carcasa es 0 también el potencial será 0 cuando realmente significa que al no haber campo el potencial no va a variar dentro de la esfera.
33
Determinar el campo eléctrico a través del potencial Definición Si el potencial es conocido puede utilizarse para hallar el campo eléctrico, siendo la variación de potencial:
En caso de que el dl sea perpendicular al campo, dV=0 ya que el potencial no varía. Mientras que la variación mas grande del potencial se produce cuando dl está dirigido a lo largo del campo. El campo eléctrico es opuesto al gradiente del potencial. En caso de que el potencial dependa solo de la dirección x, el campo en y o z se considerará nulo por lo que la ecuación quedaría:
̂
Mientras que si nos encontramos con una carga esférica el campo será radial por lo que su variación será a lo largo de r: De lo que se deduce que conociendo el potencial o el campo se puede llegar a la otra magnitud, pero que se debe conocer el potencial en una región, no solo en un punto para poder llegar al campo. Relación entre E y V En general la función del potencial vienen dada en función de las direcciones rectangulares y la manera de hallar el campo es mediante las derivadas parciales:
34
Superficies equipotenciales Definición Puesto que en el interior de los conductores no existe campo eléctrico, la variación de potencial de un punto a otro en el interior del interior es cero, lo que implica que el potencial es el mismo en todo el conductor, lo que implica que este ocupa un volumen equipotencial y es una superficie equipotencial. Como el potencial es constante, el cambio que experimenta una carga durante un desplazamiento dl paralelo a la superficie es cero, puesto que es cero para cualquier dl paralelo a la superficie, pues E es perpendicular a todos los dl paralelos a la superficie. Puesto que la única manera de que esto ocurra es que E sea perpendicular a la superficie misma. Por lo tanto cualquier línea de campo que atraviese una superficie equipotencial deberá ser perpendicular a esta, por lo que como , las líneas del campo eléctrico que surgen de la superficie deben ser perpendiculares a la superficie.
En general, dos conductores que estén separados en el espacio no estarán al mismo potencial, puesto que la diferencia de potencial depende de sus formas geométricas, de su separación y de la carga neta en cada conductor, de manera que cuando se ponen en contacto dos conductores la carga se distribuye por sí misma, de modo que en equilibrio electroestático el campo eléctrico es cero en el interior de conductores. En este caso los dos conductores que están en contacto se consideran un solo conductor compartiendo una superficie equipotencial. Lo que implica que si juntamos dos conductores esféricos, uno cargado y otro sin carga, ambos compartirán la carga hasta llegar ambos a la misma diferencia de potencial, en caso de que los conductores sean idénticos la carga se distribuirá a la mitad y en caso de que se separen cada uno se irá con la mitad de la carga original.
35
Formulario Definición de Potencial
Potencial debido a cargas puntuales
Potencial debido a un anillo cargado
√
Potencial debido a un disco cargado
Potencial debido a un plano infinito
Potencial debido a una carga lineal infinita
Potencial debido a una corteza esférica
Relación entre E-V
36
Tema 4. Energía electroestática y capacidad
1. Energía potencial electroestática 2. Capacidad 3. Almacenamiento de la energía eléctrica 4. Condensadores 5. Dieléctricos 6. Formulario
37
Energía potencial electroestática Definición La energía potencial electroestática de un sistema de cargas puntuales es el trabajo necesario para transportar las cargas desde una distancia infinita hasta sus posiciones finales. En el caso de un sistema formado por 3 cargas puntuales, la energía potencial electroestática se define partiendo de la definición de trabajo y de energía:
A partir de los datos conocidos:
Para distribuciones de carga continua como un conductor esférico de radio R, cuando contiene una carga q, partimos al igual que antes del potencial y de la definición de energía:
En el caso de encontrarnos con una serie de conductores la carga total será:
38
Capacidad Definición La cantidad de carga que se puede almacenar en un conductor es proporcional a la carga que contiene y depende del tamaño de este, ya que a mayor tamaño mayor cantidad de carga puede almacenar. Así pues el cociente entre la carga (Q) y el potencial (V) es igual a la capacidad del conductor. Esta magnitud mide la capacidad de almacenar carga para una determinada variación de potencial. Como el potencial es siempre proporcional a la carga, esta relación no depende de la carga o el potencial sino solo del tamaño o forma del conductor. Así pues en un conductor esférico:
*La unidad de medida es el culombio por voltio y se denomina faradio, como el faradio es una unidad relativamente grande, se utilizan frecuentemente los submúltiplos,
39
Almacenamiento de la energía eléctrica Definición Cuando un condensador se carga, se transfieren electrones del conductor cargado positivamente al que lo está negativamente. El conductor cargado positivamente tiene un déficit de electrones igual al superávit del que lo está cargando negativamente. La energía potencial electroestática almacenada en el condensador procederá del trabajo necesario para colocar las diferentes cargas en cada una de las placas. Por lo que cuando se transfiere una cantidad de carga del conductor negativo con potencial 0 al conductor positivo a un potencial V la energía potencial del condensador se incrementa en:
Integrando a lo largo de todos los incrementos:
Por lo que la relación entre energía potencial electroestática y capacidad se puede hacer de diversas maneras:
Energía del campo electroestático En el proceso de carga de un condensador se crea un campo eléctrico entre las placas. El trabajo necesario para cargar el condensador puede considerarse como el requerido para crear el campo eléctrico, es decir, que la energía almacenada reside en el campo eléctrico y por ello se llama energía del campo electroestático. Considerando un condensador de placas plano-paralelas es posible relacionar la energía almacenada en el condensador con el campo eléctrico existente entre las placas, así podemos llegar a partir del potencial:
Siendo la densidad de energía por unidad de volumen igual a:
40
Condensadores Condensadores de placas plano-paralelas Está formado por dos placas conductoras separadas y aisladas una de otra por una lamina de plástico. Siendo A el área de cada placa y d la distancia entre ellas. Situamos una carga +Q y –Q en cada placa provocando que se atraigan entre sí, como las placas están muy próximas, el campo sería el mismo que entre dos planos infinitos de cargas iguales y opuestas, por lo que cada carga aporta un campo de . Resultando así un campo total de:
Como el campo que existe entre las placas es uniforme, la diferencia de potencial entre las placas es igual al campo multiplica por la separación: Por lo que la capacidad sería, por definición: Condensadores cilíndricos
Está formado por un pequeño alambre interior de radio concéntrica con el anterior.
y una corteza cilíndrica mayor de radio
Situamos una carga +Q y –Q en cada cilindro, debido su geometría se comportan como una simetría cilíndrica, por lo que el campo es igual a:
Por lo que aplicando la definición de potencial:
Finalmente aplicamos la definición de capacidad:
41
Asociación de condensadores Una combinación de condensadores en un circuito puede reemplazarse por un solo condensador para el cálculo de la diferencia de potencial pues almacena la misma cantidad de carga, a este condensador se le denomina condensador equivalente. Cuando los condensadores se conectan en paralelo, todos tienen el mismo potencial, y la carga equivalente, por lo que:
Por lo que la capacidad equivalente se halla mediante la definición de capacidad:
Cuando los condensadores se conectan en serie, los potenciales son diferentes en cada condensador, mientras que la carga es constante en todos los condensadores, por lo que:
Por la definición de capacidad, la capacidad equivalente sería:
Lo cual implica que según se aumentan los condensadores en serie la carga total disminuye pues se necesita mas diferencial de potencial para conseguir la misma carga.
42
Dieléctricos Definición Un dieléctrico es un material no conductor como sería el vidrio o la cerámica, cuando el espacio entre los 2 conductores de un condensador se llena con un dieléctrico su capacidad aumenta pues el campo entre ambos se debilita disminuyendo el potencial lo cual aumenta su capacidad. Siendo
el campo en el campo del condensador sin el dieléctrico, el campo en el dieléctrico sería:
Lo que provoca que el potencial entre las placas de un dieléctrico sea:
Originando una capacidad gracias al dieléctrico de:
Siendo
la permitividad del dieléctrico
Así pues, los dieléctricos no solo incrementan la capacidad del condensador, sino que además proporcionan un medio para separar las placas conductoras paralelas e incrementan la diferencia de potencial a la que ocurre la ruptura dieléctrica, permitiendo alcanzar mayores diferencias de potencial.
Energía almacenada en presencia de un dieléctrico
La energía almacenada en un condensador de placas paralelas con dieléctrico es:
Si expresamos la capacidad en función del área y la separación de las placas, y la diferencia del voltaje en función del campo eléctrico y la separación de las placas:
Al ser (A d) el volumen entre las placas que contienen el dieléctrico, la energía por unidad de volumen será:
43
Formulario Energía potencial
Asociación de condensadores en serie
Capacidad
Asociación de condensadores en paralelo
Energía eléctrica
Campo en un dieléctrico
Densidad de energía
Potencial en un dieléctrico
Condensadores de placas plano-paralelas
Capacidad en un dieléctrico
Condensadores cilíndricos
Energía en un dieléctrico
44
BLOQUE II. MAGNETISMO
45
46
Índice Tema 5: El campo magnético ............................................................................................................................................... 49 Fuerza ejercida por un campo magnético sobre una carga móvil ................. 50 Definición .................................................................................................................................... 50 Movimiento de una carga puntual en un campo magnético ................................... 50 Fuerza ejercida por un campo magnético sobre una corriente eléctrica ... 51 Definición .................................................................................................................................... 51 Fuerza magnética sobre un elemento de corriente .................................................... 51 Fuerza ejercida por un campo magnético sobre una espira............................ 52 Momento magnético ............................................................................................................... 52 Energía potencial de un dipolo eléctrico en un campo magnético ....................... 52 Líneas del campo magnético ....................................................................................... 53 Definición .................................................................................................................................... 53 Efecto Hall .......................................................................................................................... 53 Definición .................................................................................................................................... 53 Formulario ........................................................................................................................ 54 Tema 6: Fuentes del campo magnético............................................................................................................................ 55 Campo magnético creado por cargas puntuales en movimiento ................... 56 Definición .................................................................................................................................... 56 Campo eléctrico creado por corrientes eléctricas. Ley de Biot y Savart ..... 56 B debido a una espiral de corriente .................................................................................. 56 B debido a una corriente en un solenoide ...................................................................... 57 B debido a un conductor rectilíneo ................................................................................... 57 Fuerza magnética entre dos conductores rectilíneos paralelos ............................ 58 Ley de Gauss para el magnetismo ............................................................................. 58 Definición .................................................................................................................................... 58 Ley de Ampere ................................................................................................................. 59 Definición .................................................................................................................................... 59 Formulario ........................................................................................................................ 60 Tema 7: Inducción magnética .............................................................................................................................................. 61 Flujo magnético ............................................................................................................... 62 Definición .................................................................................................................................... 62 Ley de Faraday y la fuerza electromotriz ............................................................... 62 Definición .................................................................................................................................... 62 Medios estacionarios. Ley de Lenz .................................................................................... 62 Medios en movimiento. FEM en movimiento ............................................................... 63 Inductancia ....................................................................................................................... 64 Autoinducción ........................................................................................................................... 64 Inducción mutua ...................................................................................................................... 64 Energía magnética .......................................................................................................... 65 Definición .................................................................................................................................... 65 Formulario ........................................................................................................................ 66
47
48
Tema 5: El campo magnético
1. Fuerza ejercida por un campo magnético sobre una carga móvil 2. Fuerza ejercida por un campo magnético sobre una corriente eléctrica 3. Fuerza ejercida por un campo magnético sobre una espira 4. Líneas del campo magnético 5. Efecto Hall 6. Formulario
49
Fuerza ejercida por un campo magnético sobre una carga móvil Definición Cuando una carga q con velocidad v se desplaza por un campo magnético B, aparece lo que se define como fuerza magnética, está fuerza es perpendicular a la velocidad de la carga y el campo magnético y proporcional a estos y a la carga de la partícula. Quedando definido como:
La unidad en el SI del campo magnético es el Tesla (T). Una carga de un culombio que se mueve con una velocidad de un metro por segundo, perpendicular a un campo magnético de un tesla, experimenta una fuerza de un Newton.
Al ser el Tesla una unidad muy grande se suele usar G (gauss), el cual se relaciona con el tesla mediante:
Movimiento de una carga puntual en un campo magnético La fuerza magnética que actúa sobre una partícula cargada que se mueve a través de un campo magnético es siempre perpendicular a la velocidad de la partícula. Por lo tanto, la fuerza magnética modifica la dirección de la velocidad pero no el módulo. Lo que implica que los campos magnéticos no realizan trabajo ya que no modifican la energía cinética. Partiendo de lo conocido:
Por lo que el periodo del movimiento circular, denominado periodo de ciclotrón, es el tiempo que tarda en dar una vuelta al circuito:
La frecuencia del movimiento, denominada frecuencia de ciclotrón sería:
Así pues, se observa que el periodo, frecuencia y velocidad angular dependen de la masa, velocidad, carga y campo magnético pero nunca del radio.
50
Fuerza ejercida por un campo magnético sobre una corriente eléctrica Definición Cuando en el interior de un campo magnético circula una corriente, existe una fuerza que se ejerce sobre el conductor que es simplemente la suma de las fuerzas magnéticas sobre las partícula cargadas. La fuerza sobre cada carga sería:
El número de cargas en el interior del segmento es el numero n de las que hay por unidad de volumen, multiplicado por el volumen total, A(Volumen del corte transversal) y L (longitud): Partiendo de la definición de intensidad eléctrica, la fuerza se puede escribir como: *Partiendo de un cable recto y finito Fuerza magnética sobre un elemento de corriente Cuando generalizamos a cualquier elemento de corriente sin tener en cuenta su forma, por lo que sustituimos la longitud conocida por una pequeña parte de cualquier corriente dl, por lo que la ecuación quedaría:
51
Fuerza ejercida por un campo magnético sobre una espira Momento magnético Una espira portadora de corriente no experimenta fuerza neta cuando se encuentra en un campo magnético uniforme, pero el par de fuerzas que actúan sobre ella provocan que gire. La orientación de la espira puede describirse convenientemente mediante un vector unitario que es perpendicular a la espira.
Como la fuerza neta sobre la espira es cero, las fuerzas son iguales y con un módulo igual a: Como estas fuerzas forman un par, el momento es el mismo en cualquier punto de la espira, por lo que se puede calcular en el punto mas conveniente, por lo que la magnitud sería: Este momento tiende a girar la espira de modo que el eje de la espira tenga la misma dirección que el campo magnético en el que se encuentra. El momento de la espira puede escribirse mediante su momento dipolar magnético o momento magnético:
Con lo que el momento de la espira quedaría:
Comparando la ecuación del momento magnético y de un dipolo en un campo eléctrico resulta que actúan del mismo modo una espira de corriente en un campo magnético y un dipolo en un campo eléctrico. Energía potencial de un dipolo eléctrico en un campo magnético Cuando un momento actúa sobre un determinado cuerpo y este gira un determinado ángulo, se genera un trabajo que queda definido como:
Como el ángulo tiende a disminuir hasta conseguir poner el cuerpo perpendicular al campo magnético, haciendo el trabajo igual a la disminución de energía potencial: Si elegimos la energía potencial de modo que sea 0 cuando potencial del dipolo es:
52
, resulta que
y la energía
Líneas del campo magnético Definición Del mismo modo que el campo E puede representarse mediante líneas de campo, también el campo magnético B puede ser representado. En ambos casos la dirección y el sentido del campo vienen indicados por la dirección y sentido de las líneas de campo y el módulo del campo por la intensidad de las líneas, sin embargo existen 2 grandes diferencias: 1. Las líneas del campo eléctrico poseen la dirección de la fuerza eléctrica actuando sobre una carga positiva, mientras que las líneas de campo magnético son perpendiculares a la fuerza del campo magnético sobre una carga móvil. 2. Las líneas del campo eléctrico comienzan en las cargas positivas y acaban en las negativas o en el infinito, mientras que las líneas del campo magnético son cerradas.
Efecto Hall Definición Puesto que cuando las cargas se mueven en un campo magnético experimentan una fuerza perpendicular a su movimiento, de manera que cuando estas se desplazan por un alambre son impulsadas hacia un lado de este. Debido a esto se produce una separación de carga en el alambre denominada efecto Hall. Este fenómeno nos permite determinar el signo de la carga en un portador y el número de portadores n por unidad de volumen del conductor, además de proporcionar un método adecuado para medir campos magnéticos. Poniendo como ejemplo dos cintas conductoras diferentes cada una transportando una corriente hacia la derecha pues tienen el polo positivo a su izquierda y el negativo a la derecha. Ambas se encuentran en un campo magnético perpendicular al papel, si suponemos que las cargas conductores son positivas, se mueven hacia la derecha y puesto que la fuerza magnética se define como , la fuerza se dirige hacia arriba separando las cargas y poniendo las positivas arriba y las negativas abajo y puesto que el potencial siempre va hacia los potenciales decreciente si medimos la diferencia de potencial podremos conocer el tipo de cargas que ejercen la conducción. En el caso de la segunda cinta las cargas conductores son negativas y puesto que la corriente va hacia la derecha estas se mueven hacia la izquierda y como carga y dirección se invierten, las cargas conductoras siguen yendo arriba a causa del campo magnético, por lo que cuando midamos el potencial podremos saber también el tipo de cargas que ejercen la conducción, siendo esto especialmente útil cuando trabajos como semiconductores, puesto que la conducción la pueden ejercer carga y huecos .La diferencia de potencial entre las partes superior e inferior se denomina voltaje Hall y calcularse a través de la velocidad de movimiento por la ecuación:
*Siendo el voltaje Hall, el campo eléctrico debido a la separación de cargas y w la anchura de la cinta. El voltaje Hall también nos proporciona un método para medir campos magnéticos si reajustamos la ecuación de la siguiente manera:
53
Formulario Fuerza de un campo magnético sobre una carga móvil
| |
Movimiento de una carga en un campo magnético
Fuerza magnética sobre una corriente eléctrica
Fuerza magnética sobre un elemento de una corriente eléctrica
Momento magnético de la espira
Momento de la espira
Energía potencial de un dipolo en un campo magnético
Voltaje Hall
54
Tema 6: Fuentes del campo magnético
1. Campo magnético creado por cargas puntuales en movimiento 2. Campo eléctrico creado por corrientes eléctricas. Ley de Biot y Savart 3. Ley de Gauss para el magnetismo 4. Ley de Ampere 5. Formulario
55
Campo magnético creado por cargas puntuales en movimiento Definición Cuando una carga puntual q se mueve con velocidad v, se produce un campo magnético B en el espacio dado por:
̂
Donde es un vector unitario que apunta desde la carga q hasta el punto de referencia y permeabilidad en el espacio libre, de valor
es la constante de
Campo eléctrico creado por corrientes eléctricas. Ley de Biot y Savart B debido a una espiral de corriente
̂ ̂ ∫ √ √ √ ∫ √
Una espira está formada por una serie de con un radio R y un vector apuntando hacia el centro de la misma. Por lo que el campo magnético en el centro de la espira vienen dado por:
El ángulo que forman por lo que , así pues, el campo magnético total se consigue integrando sobre todos los elementos de corriente de la espira:
Para hallar el campo a lo largo del eje de la espira cambiaría la distancia y el vector por:
A grandes distancias de la espira x es mucho mayor que R de modo que
Pero por la definición de momento de la espira
:
56
, por lo que:
B debido a una corriente en un solenoide Un solenoide es un alambre enrollado en forma de hélice con espiras muy próximas entre sí. Se usa para producir un campo magnético intenso y uniforme en la región rodeada por sus espiras. El campo magnético de un solenoide es el de una serie de espiras idénticas situadas unas junto a otras.
| | √ ( )
Consideramos un solenoide de longitud L formado por N vueltas de espira que transporta una intensidad I. Tomamos el eje del solenoide como eje x. Si tomamos como número de vueltas por longitud, se dan n dx vueltas de alambre transportando cada una I. Por lo tanto la equivalencia con una espira sería , por lo que reemplazando I en la ecuación de la espira por obtenemos:
Cuando un solenoide es largo, es decir cuando su longitud es mucho mayor que su radio. En el interior y lejos de los extremos del solenoide el campo sería:
B debido a un conductor rectilíneo Para el cálculo del campo producido por un conductor rectilíneo debemos tener en cuenta la evolución del ángulo respecto del punto de observación del vector unitario, Para ello partimos del campo generado por una carga con velocidad, sustituyendo la carga y velocidad por la intensidad y el vector unitario por con lo que quedaría:
Para sumar los campos elementales debemos buscar la manera de relacionar expresamos r y x en función del ángulo:
Sustituyendo en la ecuación inicial:
. Para ello
En caso de que fuera un conductor muy largo el ángulo inicial y final tenderían a -90º y 90º, por lo que la ecuación que obtendríamos sería:
*donde R es la distancia perpendicular al conductor
57
Fuerza magnética entre dos conductores rectilíneos paralelos Para hallar esta fuerza necesitamos de la ecuación que define el campo creado por un conductor rectilíneo y el efecto de un campo magnético sobre un conductor rectilíneo. Entonces partimos de la ecuación de fuerza magnética sobre un conductor rectilíneo y sustituimos en el campo B por el campo generado por la otra línea de carga:
Aplicando fuerza por unidad de longitud:
Ley de Gauss para el magnetismo Definición Las líneas del campo magnético difieren del eléctrico en que son líneas cerradas mientras que las del campo eléctrico van de una carga a otra. El equivalente de una carga eléctrica es un polo magnético, como los que existen en los extremos de un imán. Las líneas de campo divergen del polo norte y convergen el polo sur, mientras que dentro del imán las líneas lo atraviesan de sur a norte. De modo que si un extremo de una barra magnética está incluido en una superficie gaussiana las líneas de campo que dejan la superficie es igual a las que entran, por lo que el flujo neto es cero.
∮
Siendo la componente de B normal a la superficie cerrada en el elemento de área dA. Siendo la definición del flujo magnético análoga a la del flujo eléctrico sustituyendo E por B. Siendo la afirmación matemática de que no existen mono polos magnéticos y siendo la unidad básica del magnetismo el dipolo magnético. Por esto las líneas cuando se alejan de los extremos son idénticas a las presentes en los campos eléctricos pero entre los polos magnéticos son contrarias.
58
Ley de Ampere Definición La ley de Ampere Relaciona la integral de la componente tangencial alrededor de una curva cerrada con una corriente que atraviesa la superficie limitada por aquella curva, lo cual permite obtener la expresión del campo magnético en casos de gran simetría:
Donde I es la corriente que penetra la superficie limitada por la curva y el sentido viene dado por la dirección de la corriente. La ley de Ampere se cumple para cualquier curva siempre que las corrientes sean estacionarias y continuas. La integral se denomina circulación del campo B a lo largo de la curva C y la aplicación más simple de la determinación del campo magnético creado por un conductor infinitamente largo y rectilíneo portador de corriente. Como la dirección del campo magnético de cada elemento de corriente es tangente a la circunferencia, tiene la misma dirección que dl, siendo el módulo constante en todo punto de la circunferencia:
Para el cálculo del campo producido por un toroide (formado por espiras de conductor enrolladas alrededor de una figura en forma de donut), tenemos N vueltas del conductor, cada una con una corriente I, con lo que aplicamos la ley de Ampere. Para ello determinamos la integral de línea alrededor de una circunferencia de radio r centrada en el centro del toroide, por simetría B es tangente a este círculo y constante en módulo en todos los puntos del círculo:
Siendo a y b los radios interior y exterior del toroide, la corriente total a través de la superficie limitada por el circulo de radio r entre a y b y con una , obtenemos:
Si r es menor que a o mayor que b, la corriente total es cero. Aunque el campo magnético en un toroide no es uniforme ya que decrece con r si el radio de las espiras es mucho menor que el radio del toroide la variación desde es pequeña y B es aproximadamente uniforme al igual que el solenoide.
59
Formulario Campo magnético creado por varias cargas puntuales en movimiento
̂
Campo magnético creado por una espiral de corriente
Campo magnético creado por un solenoide
Campo magnético debido a un conductor rectilíneo
Fuerza magnética entre dos conductores rectilíneos paralelos
Ley de Gauss para el magnetismo
∮ Ley de Ampere
Campo magnético creado por un toroide
60
Tema 7: Inducción magnética
1. Flujo magnético 2. Ley de Faraday y la fuerza electromotriz 3. Inductancia 4. Energía magnética 5. Formulario
61
Flujo magnético Definición El flujo magnético a través de una superficie se calcula de forma análoga al flujo eléctrico. Siendo dA un elemento de área sobre la superficie, el vector unitario, normal a la superficie dentro de un campo magnético:
∫ ∫
Si nos encontramos una bobina con varias vueltas último, la unidad del flujo magnético es el weber (Wb):
, donde N, es el número de vueltas. Por
Ley de Faraday y la fuerza electromotriz Definición La ley de Faraday demuestra que si el flujo magnético a través de un área rodeada por un circuito varía por algún medio, se induce una fem que es igual en módulo a la variación por unidad de tiempo del flujo que atraviesa el circuito. El flujo magnético a través de una superficie encerrada puede variarse de muchas maneras, aumentando o disminuyendo la corriente que produce el campo magnético, acercar o alejar unos imanes, girar el circuito en un campo magnético o desplazarlo a una zona con un campo magnético fijo pero no uniforme; lo cual producirá:
Este resultado es conocido como la ley de Faraday, el signo negativo concierne al sentido de la fem inducida. Considerando una sola espira, el flujo a través de ella varía porque aumenta la intensidad del campo magnético, de modo que induce una fem. Como la fem es el trabajo realizado por unidad de carga, deben existir cargas móviles que realicen el trabajo sobre ella (la fem). Ni las fuerzas magnéticas realizan trabajo ni las fuerza eléctricas uniformes, pues su circulación dentro de una superficie cerrada siempre es cero. Sin embargo, el campo eléctrico resultante de un flujo magnético variable no es conservativo. Siendo la circulación alrededor de C, productora de una fem igual a la variación en el tiempo de l flujo magnético a través de la superficie:
*fem inducida en un circuito estacionario en un campo magnético variable
Medios estacionarios. Ley de Lenz La ley de Lenz especifica que la fem y la corriente inducidas poseen una dirección y sentido tal que tienden a oponerse a la variación que se produce. Un ejemplo sería: Una barra magnética que se mueve acercándose a una espira de corriente, induciendo una fem y una corriente eléctrica. La ley establece que la fem que se produce debe oponerse al movimiento del imán, por lo que la corriente eléctrica producida debe generar un campo que repela a la barra magnética, funcionando la espira como un imán. Suponiendo que la corriente en la espira, al acercarse el imán a la espira produciría una aceleración constante de la corriente, lo cual volvería a generar fuerza en el imán y a volver a acelerar la corriente en la espira. Si esto fuera así aplicando una pequeña fuerza al imán conseguiríamos una aceleración constante de la corriente en la espira sin aportación energética, lo cual violaría el principio de conservación de la energía. Por lo que la ley de Lenz se puede enunciar como:
62
Cuando se produce una variación en el flujo magnético que atraviesa una superficie, el campo magnético debido a la corriente inducida genera un flujo magnético sobre la misma superficie que se opone a la variación. Otro ejemplo sería: Cuando nos encontramos con dos circuitos cercanos, con un interruptor apagado en uno de ellos, existe un flujo magnético en la superficie que los conecta. Cuando el interruptor se conecta no se consigue que la intensidad del circuito se máxima inmediatamente sino que tarda un breve tiempo en llegar al máximo, durante este tiempo el flujo está variando, ya que un incremento en la corriente implica un i ncremento en el campo del primer circuito al cual responde el segundo con una fem inducida que se opone. Cuando la corriente llega al máximo valor el flujo se estabiliza y la fem desaparece, en caso de desconectar el interruptor se produciría un nuevo cambio en el flujo que produciría una fem mientras la corriente llega a su valor final. Medios en movimiento. FEM en movimiento Una fem de movimiento es toda aquella inducida por el movimiento de un conductor en un campo magnético. Un ejemplo sería: Una varilla conductora que se desplaza perpendicular a dos conductores conectados mediante una resistencia. Considerando el flujo a través de la superficie formada por los dos conductores, la resistencia y la varilla que se desplaza, cuando la varilla se mueve modifica el tamaño de la superficie, lo que provoca un cambio en el flujo, lo cual provoca una fem. Esta variación se podría definir como:
Otro ejemplo sería: Un portador de carga positiva en una barra conductora que se mueve con velocidad constante a través de un campo magnético uniforme dirigido hacia el papel. Como el portador se mueve horizontalmente con la barra, actúa sobre él una fuerza magnética con su componente hacia arriba de módulo . Debido a esta fuerza, los portadores de carga de la barra se mueve hacia arriba, lo que da lugar a una carga positiva en la parte superior y negativa en la parte inferior. Los portadores continúan moviéndose hasta que el campo eléctrico producido por las cargas separadas ejerce una fuerza de módulo sobre las cargas separadas que equilibra la fuerza magnética. Por lo tanto en el equilibrio el módulo del campo en la barra sería:
La dirección y el sentido del campo eléctrico son paralelos a la barra y están dirigidos hacia abajo, con lo que la diferencia de potencial a través de la barra es la variación del campo eléctrico a lo largo de ella: Siendo el potencial mayor en la parte alta de la barra. Esto es, cuando no hay corriente atravesando la varilla, la diferencia de potencial entre los extremos de la varilla es igual a la fem en movimiento, pero cuando hay corriente a través de la varilla, la diferencia de potencial es:
La ecuación general de la fem en movimiento sería:
63
Inductancia Autoinducción El flujo magnético que atraviesa un circuito puede relacionarse con la corriente en el mismo y con las corrientes que circulan por los circuitos próximos. Considerando una bobina por la que circula una corriente, esta produce un campo magnético que varía de un punto a otro pero que siempre es proporcional a la corriente, por lo que el flujo también los es:
siendo L la constante de autoinducción de la bobina. Esta solo depende de la geometría de la bobina como se puede comprobar con un solenoide:
Cuando al intensidad de un circuito varía, el flujo magnético también se varía con lo que se produce una fem. Como la autoinducción es constante, la variación está relacionada con la intensidad:
La diferencia de potencial entre los extremos de un inductor queda definida por:
Inducción mutua Cuando 2 o mas circuitos están próximos, el flujo magnético que atraviesa uno de ellos no depende únicamente de la corriente en ese circuito, sino que también depende de la corriente circulando por los circuitos cercanos. Siendo responsables del flujo sobre una de las superficies los campos magnéticos de cada circuito por sus respectivas intensidades de corriente, por lo tanto se podría expresar como:
Donde M es la inductancia mutua de los dos circuitos, esta depende de la disposición geométrica entre ambos. Por ejemplo se puede calcular la inductancia mutua entre dos solenoides concéntricos de espiras apretadas. Siendo el campo magnético debido a la corriente del solenoide interno:
Por lo que el flujo que atraviesa el solenoide externo debido al campo generado por el interno sería: *La superficie se calcula sobre la r del solenoide pequeño, ya que fuera de ella el campo no existe.
Siendo la inductancia mutua igual a:
64
Energía magnética Definición Un inductor almacena energía magnética del mismo modo que un condensador la almacena de tipo de eléctrico de manera que un circuito formado por una resistencia, un inductor, una fuente y un conmutador en serie, de modo que el interruptor esté inicialmente abierto, cuando este cierre aparece una corriente en el circuito, que provoca una caída de potencial –IR a través de la resistencia y -L en el inductor, que aplicando malla de Kirchoff sería:
Puesto que el miembro de la izquierda de la ecuación coincide con la potencia suministrada y puesto que el término representa la potencia disipada por la resistencia el último término representa la energía que por unidad de tiempo disipa el inductor, por lo que:
Ecuación que mediante integración utilizando como límite temporal desde ero hasta el infinito y como límite de la corriente desde el principio hasta la corriente final:
En el proceso de producir una corriente en un inductor, se crea un campo magnético en el i nterior de la bobina, de manera que la energía almacenada se encuentra en el campo creado y en el caso de un solenoide largo, el campo magnético viene relacionado con la corriente y el número de vueltas mediante:
*Donde A es el área transversal y l la longitud.
Por lo que sustituyendo los valores de estas variables en la ecuación anterior podemos obtener:
Puesto que Al es el volumen de espacio dentro del solenoide, la energía por unidad de volumen o densidad de energía magnética sería:
*Esta ecuación solo es aplicable a un solenoide largo.
65
Formulario Flujo magnético
∫ Fuerza electromotriz estática
Fuerza electromotriz en movimiento
Constante de inducción de la bobina
FEM generada por una bobina
Diferencia de potencial en una bobina
Inductancia mutua
Energía en un inductor
Densidad de energía en un inductor
66
BLOQUE III. CIRCUITOS
67
68
Índice Tema 8: Circuitos de Corriente Continua ........................................................................................................................ 71 Corrientes eléctricas y movimiento de cargas ..................................................... 72 Definición .................................................................................................................................... 72 Resistencias y ley de Ohm ............................................................................................ 73 Definición .................................................................................................................................... 73 Materiales óhmicos y no óhmicos ..................................................................................... 73 Resistividad................................................................................................................................ 73 La energía en los circuitos eléctricos ....................................................................... 74 Potencia disipada..................................................................................................................... 74 Potencia suministrada por una FEM ................................................................................ 74 Batería ideal ............................................................................................................................... 74 Combinaciones de resistencias .................................................................................. 75 Resistencias en serie............................................................................................................... 75 Resistencias en paralelo........................................................................................................ 75 Reglas de Kirchoff ........................................................................................................... 75 Definición .................................................................................................................................... 75 Circuitos RC ....................................................................................................................... 76 Descarga de un condensador .............................................................................................. 76 Carga de un condensador ..................................................................................................... 77 Conservación de la energía en la carga de un condensador ................................... 77 Circuitos RL ....................................................................................................................... 78 Definición .................................................................................................................................... 78 Formulario ........................................................................................................................ 79 Tema 9: Circuitos de Corriente Alterna ........................................................................................................................... 81 Corriente alterna en resistencias, bobinas y condensadores ......................... 82 Resistencias en corriente alterna ...................................................................................... 82 Inductores en corriente alterna ......................................................................................... 83 Condensadores en corriente alterna ................................................................................ 84 Circuitos LCR sin generador ........................................................................................ 85 Circuitos LC .............................................................................................. .................................. 85 Circuitos LCR ........................................................................................... .................................. 86 Análisis de circuitos en corriente alterna .............................................................. 87 Fasores ......................................................................................................................................... 87 Circuito LCR con generador en serie ................................................................................ 88 Resonancia ................................................................................................................................. 89
69
70
Tema 8: Circuitos de Corriente Continua
1. Corrientes eléctricas y movimiento de cargas 2. Resistencias y ley de Ohm 3. La energía en los circuitos eléctricos 4. Combinaciones de resistencias 5. Reglas de Kirchoff 6. Circuitos RC 7. Circuitos RL 8. Formulario
71
Corrientes eléctricas y movimiento de cargas Definición La corriente eléctrica se define como el flujo de cargas eléctricas que por unidad de tiempo atraviesan un área transversal:
El movimiento real de los electrones es muy complicado, si en el cable no existe ningún campo eléctrico estos se mueven con direcciones aleatorias y velocidades grandes, además los electrones chocan con los i ones reticulares del cable. Como la orientación es al azar la velocidad media es cero. Cuando se aplica un campo eléctrico los electrones libres experimentan una aceleración debido a la fuerza y adquieren una velocidad en sentido opuesto al campo. Sin embargo la energía cinética que adquieren es disipada por los choques con los iones del cable, siendo el resultado neto de esta aceleración y disipación de energía adquieren una velocidad media, llamad velocidad de desplazamiento. Consideramos una corriente en un cable conductor de sección transversal A, siendo n el número de partículas libres portadoras de carga por unidad de volumen o densidad numérica de los portadores de carga. Finalmente suponemos que cada partícula lleva una carga q y una velocidad media . Por lo que en cada variación de tiempo todas las partículas contenidas en , pasan por el área A. Por lo que la carga total sería:
72
Resistencias y ley de Ohm Definición
La corriente en un conductor vienen impulsada por un campo eléctrico dentro del conductor que ejerce una fuerza sobre las cargas libres. Como E posee la dirección y sentido de la fuerza que actúa sobre una carga positiva, ésta es la dirección de la corriente. Como el campo eléctrico siempre va dirigido en la dirección de los potenciales decrecientes, la corriente como flujo de cargas positivas se mueve en la dirección en que el potencial decrece. Suponiendo que el campo es constante, la diferencia de potencial V sería:
Donde el cociente entre la caída de potencial y la intensidad de la corriente se llama resistencia del segmento:
Materiales óhmicos y no óhmicos Para algunos materiales, como es el caso de los metales, la resistencia no depende de la caída de voltaje o intensidad, ya que es constante, a estos materiales se les denomina óhmicos. La caída de potencial a través de una porción de conductor es proporcional a la corriente:
En los materiales no óhmicos la resistencia depende de la corriente, de modo que V no es proporcional a la corriente, ya que a diferencia de los materiales óhmicos la relación es no lineal. Siendo la ley de Ohm no una relación fundamental como la ley de Newton sino la descripción empírica de una propiedad compartida por muchos materiales. Resistividad La resistividad es por definición la constante de proporcionalidad entre su resistencia y su temperatura. La resistividad de cualquier metal depende de la temperatura, en las tablas suele darse la resistividad a 20cº y a su vez el coeficiente de temperatura de la resistividad se define por:
73
La energía en los circuitos eléctricos Potencia disipada Cuando s establece un campo eléctrico en un conductor se incrementa la energía cinética debido al trabajo realizado por el campo sobre los electrones libres. Sin embargo, pronto se alcanza un estado estacionario pues esta energía adicional se convierte en temperatura en el conductor, por las colisiones entre electrones y los iones reticulares del conductor. El mecanismo por el que el incremento de temperatura interna del conductor da lugar a un incremento de su temperatura se denomina efecto Joule. Considerando un conductor de longitud L y área transversal A que transporta una corriente estacionaria. La carga libre en el segmento sería Q y durante una variación de tiempo sufre un pequeño desplazamiento lo cual implica una variación de carga y por lo tanto una variación en la energía potencial:
La variación temporal de la perdida de energía sería:
*P=Potencia disipada
También se puede expresar como:
Potencia suministrada por una FEM Con la finalidad de mantener una corriente estacionaria en un conductor necesitamos disponer de un suministro de energía eléctrica: El aparato con la finalidad de suministrar energía eléctrica es la fuente o fuente de fem, algunos ejemplos son una batería o pila(energía química a eléctrica) o un generador(energía mecánica a eléctrica). Dentro de las fuentes fem, la carga fluye de la región con menos potencial a otra de mayor potencial; de modo que aumenta su energía potencial, así pues cuando una variación de carga fluye a través de la fuente ve aumentada su energía potencial en relación con la fuente. En consecuencia, la carga fluye a través de la resistencia donde esta energía potencial se disipa como energía térmica. El ritmo con que la fem proporciona energía se conoce como potencia suministrada:
Batería ideal Una batería ideal es una fuente de fem que mantiene una diferencia de potencial constante entre sus dos terminales, independientemente del flujo de carga que exista entre ellos. La diferencia de potencial es igual en valor absoluto a la fem de la batería. Esto se denomina tensión en los bornes y no es simplemente igual al valor de la fem de la batería. En el caso de una batería real, si la resistencia se viera modificada, y se midiera la tensión en los bornes, resulta que esta decrece ligeramente a la vez que se incrementa la intensidad, lo cual indica que es como si existiera una pequeña resistencia dentro de la fuente. Así pues, una batería real se puede considerar una batería ideal con una pequeña resistencia interna. Modificándose sus ecuaciones:
De aquí obtenemos la intensidad:
74
Combinaciones de resistencias Resistencias en serie Cuando dos o más resistencias se encuentran conectadas en serie, por todas ellas atraviesa la misma corriente. La caída de potencial a través de cada una de ellas es igual a la resistencia por su intensidad, así pues la caída de potencial a lo largo de dos resistencias en serie sería:
Por lo que la resistencia equivalente que representa la misma caída de potencial cuando circula a través de ella una corriente sería:
Resistencias en paralelo Cuando dos resistencias se conectan en paralelo reciben la misma diferencia de potencial, pero la intensidad de corriente se divide entre las dos resistencias. Siendo la intensidad de corriente que circula por cada rama proporcional a la caída de potencial y a la resistencia existente en la rama a considerar:
Así la resistencia equivalente de una combinación de resistencias en paralelo se define como aquella resistencia para la cual la corriente total produce la caída de potencial total:
De lo que se obtiene:
Reglas de Kirchoff Definición Existen dos reglas llamadas, reglas de Kirchoff que se aplican a cualquier circuito con mas de una fem: 1- La suma algebraica de las variaciones de potencial a lo largo de cualquier malla del circuito debe ser igual a cero. 2- En un nudo de un circuito donde puede dividirse la corriente, la suma de las corrientes que entran y salen del punto debe ser igual.
75
Circuitos RC Descarga de un condensador En un circuito con un condensador cargado y una resistencia cerramos el interruptor lo cual cierra el circuito y provoca una diferencia de potencial a los dos lados de la resistencia, que obliga a pasar una cantidad de corriente. Siendo la corriente inicial:
El paso del flujo eléctrico desde el condensador hasta la resistencia provoca un descenso de la carga en el condensador, siendo la intensidad igual a la disminución de carga en el tiempo:
Aplicando la primera regla de Kirchoff la suma de los potenciales debe ser “cero” asique con una caída
provocada por la resistencia de IR y un aumento provocado por el condensador de
por lo que:
Como tanto I como Q son variables que varían en el tiempo según la ecuación descrita podemos aplicar:
Integrando en ambos lados a lo largo de la carga en la izquierda y del tiempo en la derecha:
Donde la llamada constante de tiempo, la cual define el tiempo durante el que la carga disminuye hasta de su valor original:
La intensidad puede obtenerse la integración de su ecuación de carga por tiempo:
76
Carga de un condensador En un circuito con un condensador inicialmente descargado, una fuente de fem y una resistencia con el interruptor abierto inicialmente, se abre este lo que provoca que la corriente comience a circular por la resistencia y a depositarse en el condensador. Se aplica la primera regla de Kirchoff por la que la suma del
potencial incrementado por la fuente y la caída provocada por la resistencia y el condensador debe ser “cero”:
Analizando la ecuación vemos que en el momento inicial la carga en el condensador es “cero” por lo que
la intensidad sería , la carga entonces crece hasta alcanzar su valor final, disminuyendo la corriente hasta que esta lleg a a “cero”. Por lo que:
Finalmente sustituimos I en la ecuación inicial obteniendo:
Integrando a lo largo del tiempo y de la carga del condensador:
De lo que obtenemos:
Finalmente obtenemos la intensidad mediante su ecuación inicial sustituyendo Q ahora que es conocida:
Por último sustituimos la intensidad inicial:
Conservación de la energía en la carga de un condensador Durante el proceso de carga fluye una cantidad energía de la batería al condensador de realizando un trabajo de:
* +
,
Siendo la energía almacenada en el condensador la mitad del trabajo realizado:
Mientras que la otra mitad de la energía se pierde por energía térmica mediante el efecto de Joule a través de la batería: Integrando:
77
Circuitos RL Definición UN circuito que contenga una resistencia y un inductor se denomina RL y como a temperatura ambiente todos los circuitos contienen resistencia y autoinducción, el análisis se aplica a todo el circuito. Puesto que el circuito está formado por una fuente cc, una resistencia y un inductor si aplicamos mallas de Kirchoff obtenemos:
||
Justo antes de encender el interruptor la corriente es nula, de modo que IR es cero y el componente del inductor se puede igualar a la corriente del generador, obteniendo la ecuación:
Mientras que cuando crece la intensidad también lo hace la componente de la resistencia, mientras que la componente del inductor disminuye. Hay que tener en cuenta que la intensidad no puede alcanzar un valor finito como lo haría sin el inductor, puesto que cuando la inductancia L no es despreciable, su variación de intensidad en el tiempo es finita y por lo tanto esta corriente es continua en el tiempo. Tras un tiempo corto la corriente consigue alcanzar un valor positivo y su variación se define como:
Puesto que la corriente es aun creciente, pero su ritmo va decreciendo, el valor final puede obtenerse haciendo que la relación entre intensidad y tiempo sea igual a cero, de manera que el valor final de corriente sería:
Finalmente y basándose en la ecuación que describe la carga de un condensador podemos encontrar la ecuación que define la evolución temporal de la intensidad, la cual se obtiene separando las variables e integrando de la siguiente forma:
78
Formulario Definición de intensidad
Resistividad
Potencia disipada
Combinación de resistencias serie | paralelo
Descarga de en condensador
Carga de un condensador
Circuito con un inductor
79
80
Tema 9: Circuitos de Corriente Alterna
1. Corriente alterna en resistencias 2. Corriente alterna en condensadores y bobinas 3. Circuitos LCR sin generador 4. Análisis de circuitos en corriente alterna 5. Formulario
81
Corriente alterna en resistencias, bobinas y condensadores Resistencias en corriente alterna En un circuito simple de ca con un generador ideal y una resistencia, la caída de tensión a través de la resistencia es igual a la fem del generador, por lo que en caso de una corriente sinusoidal:
Como la constante es arbitraria nos conviene elegirle el valor
, por lo que:
Aplicando la ley de Ohm podemos obtener el valor de la corriente:
De lo que podemos obtener la potencia disipada en la resistencia a lo largo del tiempo. Teniendo de valor instantáneo:
Mientras que el valor de la potencia media sería:
Como el valor medio del sería:
en uno o más periodos es
, por lo que la potencia disipada media
La mayoría de amperímetros y voltímetros de ca están diseñados para medir valores eficaces de la corriente o de la tensión en lugar de los valores máximos. Su valor es la raíz cuadrada del valor cuadrático medio respectivo. Así el valor eficaz es:
√ √ { √ √ }
Para una corriente sinusoidal, el valor medio es:
Así se demuestra que cualquier valor de una variable que varía sinusoidalmente es igual al valor máximo de esa magnitud dividido por . Sustituyendo en la ecuación de la potencia disipada corriente máxima por eficaz obtenemos:
El valor eficaz de la corriente es igual al valor de la corriente continua constante que produciría el mismo calentamiento Joule que la corriente alterna:
82
La corriente eficaz está relacionada con la caída de potencial eficaz de la misma manera que la corriente máxima esta relaciona con la caída máxima, por lo que:
Inductores en corriente alterna
Partiendo de un circuito con un generador de corriente alterna y una bobina en serie, podemos decir que cuando la corriente crece en el inductor se crea en éste una fuerza contra-electromotriz de valor:
Normalmente esta fem es mucho mayor que la caída de potencial debida a IR por lo que esta es despreciada. Como la caída de potencial es igual a la fuerza electromotriz podemos obtener: Lo cual podemos sustituir en la ecuación anterior:
Integramos a ambos lados de la ecuación:
Siendo C la valor de entrada de corriente continua y con un valor de cero nos queda:
Debido a la relación la corriente con el seno y del voltaje con el coseno podemos determinar que la corriente se encuentra desfasada en 90º respecto del voltaje, lo cual se explica físicamente pues la intensidad es provocada por el cambio en el flujo lo cual es provocado por el voltaje, asique este es el que induce la aparición de la corriente después de él. Yendo siempre la corriente un cuarto de ciclo por detrás del potencial.
√ √
La relación entre corriente y tensión de máxima a eficaz puede expresarse manera sencilla puesto que, tomamos el valor de reactancia o impedancia inductiva como: Y puesto que
y
obtenemos:
Finalmente la potencia instantánea en la bobina sería:
Siendo la potencia media nula puesto que la relación trigonométrica existente es la mitad del tiempo por encima de cero y la otra mitad con los mismos valores negativos.
83
Condensadores en corriente alterna Partiendo de un circuito con un condensador y un generador de corriente alterna en serie, la caída de voltaje a través del condensador queda definida en la siguiente ecuación:
Donde Q es la carga de la placa positiva, en este circuito la caída de potencial es igual a la fem producida por el generador, por lo que sería: Sustituimos en la ecuación anterior para obtener la carga: Donde la corriente queda definida por:
De forma similar al inductor la corriente en el condensador se encuentra desfasada respecto de la caída de potencial en el condensador en 90º:
Finalmente definimos la reactancia o impedancia capacitiva como la relación entre en ángulo del generador y la capacidad del condensador midiéndose en ohmios y dependiendo pues de la frecuencia.
Así se nos permite establecer la relación entre los valores eficaces de la corriente y la caída de potencial:
84
Circuitos LCR sin generador Circuitos LC Un circuito LC consiste en un condensador y una bobina. Teniendo en cuenta que se inicia con un interruptor abierto y una carga inicial en el condensador, cuando cerramos el interruptor se inicia la circulación de corriente del condensador a la bobina creando una intensidad de:
Por lo que aplicando las leyes de kirchoff a la malla obtenemos:
Sustituyendo la intensidad en la ecuación anterior y multiplicando ambos miembros por -1:
Dividiendo cada miembro por L y reordenando obtenemos:
Mediante analogía con la ecuación del muelle con masa, donde A sería la amplitud y la constante de fase, podemos obtener:
√
Tomando como valores iniciales , por lo que nos quedaría:
entonces la constante de fase es nula y
En nuestro circuito al igual que en el muelle con masa afecta dos energías la eléctrica y la magnética. Siendo la energía eléctrica almacenada en el condensador:
√
Mientras que la energía magnética sería:
Por lo que la energía total almacenada sería:
85
Circuitos LCR Añadiendo una resistencia al circuito anterior obtenemos un circuito LCR, que mediante las leyes de kirchoff obtenemos:
Que mediante la sustitución de la corriente expresada como variación de carga por tiempo, en la primera ecuación nos permite obtener:
Al ser esta ecuación análoga al oscilador armónico amortiguado podemos obtener:
Debido a la analogía con el oscilador con amortiguador podemos comprender, que la carga y la corriente oscilan con una frecuencia definida mientras que estas oscilaciones se van amortiguando debido al efecto de la resistencia, lo cual se pueden ver mediante el análisis energético de la ecuación. La energía magnética viene dada por:
Representando esta ecuación a la energía eléctrica que se convierte en magnética debido al inductor, mientras que la ecuación representa la energía disipada en forma de calor por la resistencia y finalmente la ecuación:
Esta ecuación representa la variación en el tiempo de la energía potencial eléctrica en el condensador, la cual puede ser positiva o negativa. En este circuito la suma de energía eléctrica y magnética no es constante debido a la energía que se disipa de forma continuada en la resistencia.
86
Análisis de circuitos en corriente alterna Fasores En circuitos que contienen un generador ca ideal y dos o más elementos conectados en serie, la suma de las diferencias de las diferencias de potencial entre todos los elementos es igual a la fem del generador en lo cual coinciden con los circuitos de cc. Sin embargo en un circuito ca las caídas de tensión entre los extremos de cada componente no tienen por qué estar en fase, por lo que la suma de los valores eficaces no tienen por qué coincidir con el valor eficaz del generador. Con vectores de dos dimensiones denominados fasores se pueden representar las relaciones de fase entre la corriente y la diferencia de potencial a través de resistencias, condensadores e inductores. Quedando representados vectores que representan el potencial de un componente mediante su módulo ( ) en el caso de una resistencia y su ángulo.
Siendo el valor instantáneo de la caída de tensión igual a la componente x del vector del potencial que gira en sentido anti horario con una frecuencia angular “w” , mientras que el valor de I puede expresarse mediante la componente x de su ecuación. En caso de conectar varios componentes en un circuito en serie sus tensiones se suman y la corriente se mantiene mientras que si su conexión es en paralelo sus corrientes se suman mientras que su potencial se mantiene.
Los fasores se emplean del siguiente modo, se expresa cualquier tensión o corriente mediante una fórmula que a su vez se consideran como la componente x de estos fasores, por lo que en lugar se sumarse algebraicamente se suman vectorialmente mediante las componentes x de cada fasor.
87
Circuito LCR con generador en serie
Partiendo de un circuito con un generador de corriente ca sinusoidal, una resistencia, un condensador y un inductor, sabemos que la caída de potencial aplicada por el generador al circuito es , por lo que la aplicación de las leyes de Kirchoff sobre la malla nos dan:
Mediante la sustitución de la intensidad por su ecuación de variación de carga en el tiempo:
Nos encontramos con una ecuación análoga a la oscilación forzada de una masa en un muelle. En éste caso la corriente consta de dos partes una transitoria que depende de las condiciones iniciales y una parte estacionaria que es independiente de estas condiciones. Puesto que la corriente transitoria disminuye exponencialmente con el tiempo y es finalmente despreciable nos concentramos en la corriente estacionaria:
Donde el ángulo de fase viene dado por la ecuación:
Por lo que podemos expresar la intensidad máxima mediante la impedancia del circuito LCR en serie:
También se puede obtener la ecuación de la corriente mediante el uso de fasores. Conociendo que el valor de la componente x en los fasores de cada componente es igual al valor instantáneo de la caída de tensión, podemos expresar la caída de potencial proporcionada por la fuente mediante el uso de estos:
Lo cual mediante la aplicación de los módulos de los fasores obtenemos:
Pero sustituyendo por sus fasores:
88
Resonancia
Puesto que cuando son iguales, la reactancia total es cero, la reactancia tiene su valor mínimo como Z igual a R e tiene su valor máximo, además el ángulo de fase de la corriente es cero, lo que implica que esta se encuentra en fase con el generador. Siendo el valor de frecuencia que hace iguales a los valores de igual a:
√
Cuando la frecuencia aplicada es igual a la frecuencia natural, se dice que el circuito está en resonancia, por lo que a esta frecuencia se la denomina frecuencia de resonancia. Puesto que ni las bobinas ni los condensadores consumen energía, la potencia media suministrada a un circuito LCR solo depende de la potencia que disipa la resistencia, con lo que sabiendo que la potencia instantánea suministrada a la resistencia es:
[ ]
Al valor de se le denomina factor de potencia del circuito LCR, puesto que en resonancia el ángulo vale cero, el factor de potencia vale 1, aunque la potencia también puede expresarse en función de la frecuencia angular mediante la ecuación de la corriente eficaz:
Finalmente utilizando esta forma de la impedancia al cuadrado podemos fijar la potencia media en función de la frecuencia del generador mediante:
Para definir la cantidad de energía que hay en el sistema junto a la perdida a lo largo del tiempo se utiliza el factor Q, el cual podemos aplicar por su similitud de funcionamiento de los circuitos LCR con los osciladores mecánicos de manera que identificamos el valor de L con el de la masa y el valor de R con la constate de amortiguamiento que nos permite obtener las siguiente ecuación:
89
90
BLOQUE IV. ELECTRÓNICA
91
92
Índice Tema 10: Introducción a los dispositivos electrónicos. Diodos ............................................................................. 95 Teoría de las bandas de los sólidos .......................................................................... 96 Átomos ......................................................................................................................................... 96 Estructuras cristalinas ..................................................................................................... ...... 96 Bandas de energía ................................................................................................................... 96 Conducción eléctrica en semiconductores ............................................................ 97 Definición .................................................................................................................................... 97 Conducción en semiconductores intrínsecos ............................................................... 97 Conducción en semiconductores extrínsecos ............................................................... 98 Mecanismos de transporte de cargas............................................................................... 98 Diodos. Polarización ...................................................................................................... 99 Definición diodo ............................................................................................. .......................... 99 Polarización directa ................................................................................................ ................ 99 Polarización inversa ............................................................................................................... 99 Diodos. Curva característica y modelos equivalentes ..................................... 100 Zonas de la curva característica del diodo .................................................................. 100 Modelos equivalentes.......................................................................................................... 101 Diodos en conmutación .............................................................................................. 102 Definición ................................................................................................................................. 102 Transición de cierre ............................................................................................................. 102 Transición de corte .............................................................................................................. 103 Tema 11: Transistores bipolares y MOSFET .................................................................... .......................................... 105 Transistores. Definición ............................................................................................. 106 Definición ................................................................................................................................. 106 Configuraciones..................................................................................................................... 106 Propiedades eléctricas ........................................................................................................ 106 Transistores. Función .................................................................................................. 107 Esquema de funcionamiento ............................................................................................ 107 Esquema eléctrico ................................................................................................................ 107 Transistores. Estados .................................................................................................. 108 El transistor en pequeña señal ........................................................................................ 108 El transistor en corte-saturación .................................................................................... 108 Transiciones entre estados de corte y saturación ................................................... 109 Transistores MOSFET. Propiedades .......................................................................110 Definición ................................................................................................................................. 110 Características........................................................................................................................ 110 Transistores MOSFET. Curva y modelo elemental ............................................ 111 Curva característica ............................................................................................................. 111 Modelo elemental ................................................................................................................. 111 Tema 12: Familias bipolares ............................................................................................................................................. 113 Características de las puertas Lógicas................................................................... 114 Características estáticas ..................................................................................................... 114 Margen de ruido .................................................................................................................... 114 Flexibilidad lógica ................................................................................................................. 114 Disipación de potencia........................................................................................................ 115 Velocidad de actuación ....................................................................................................... 115 Lógica resistencia-transistor .................................................................................... 116 Inversor .................................................................................................................................... 116 Puerta NOR .............................................................................................................................. 116 Puerta NAND .......................................................................................................................... 117 93
Lógica diodo-transistor .............................................................................................. 118 Parte lógica de una AND en DTL ..................................................................................... 118 Puerta NOR en DTL .............................................................................................................. 118 Puerta NAND en DTL ........................................................................................................ ... 119 Lógica transistor-transistor ...................................................................................... 120 Configuraciones..................................................................................................................... 120 Puertas NAND en TTL ......................................................................................................... 121 Tema 13: Amplificadores y Familias MOS ............................................................................................. ...................... 123 Amplificador diferencial ............................................................................................ 124 Definición y configuraciones ............................................................................................ 124 Ganancia en modo común ................................................................................................. 125 Ganancia en modo diferencial.......................................................................................... 125 Dispositivos en ECL ...................................................................................................... 126 Inversor ECL ........................................................................................................................... 126 Puerta NOR ECL ..................................................................................................................... 127 Dispositivos en NMOS .................................................................................................. 128 Inversor en NMOS................................................................................................................. 128 Puerta NAND en NMOS ....................................................................................................... 129 Puerta NOR en NMOS .......................................................................................................... 129 Dispositivos en CMOS .................................................................................................. 130 Inversor en CMOS ................................................................................................................. 130 Puerta NAND en CMOS ....................................................................................................... 131 Puerta NOR en CMOS........................................................................................................... 131
94
Tema 10: Introducción a los dispositivos electrónicos. Diodos
1. Teoría de las bandas de los sólidos 2. Conducción eléctrica en semiconductores 3. Diodos. Polarización 4. Diodos. Curva característica 5. Diodos en conmutación 6. Formulario
95
Teoría de las bandas de los sólidos Átomos En un átomo los electrones se encuentran organizados en capas, y cada una de estas se clasifica por la cantidad de energía que la mantiene ligada al átomo, por lo que esta es mayor en las capas cercanas al núcleo. Éste hecho nos lleva a clasificar los electrones por el nivel energético, estando estos niveles energéticos muy distantes unos de otros. Estructuras cristalinas La mayor parte de los sólidos en la naturaleza son de origen cristalino, los cuales están formados por retículos elementales o celdillas de unidad las cuales se repiten una y otra vez en una estructura periódica o red cristalina. Dentro de ésta red las partícula ocupan posiciones definidas y sus movimientos se limitan a vibraciones en torno a los vértices de la red dónde se hallan situadas. Todas las características de los sólidos como dureza, resistencia a la deformación, capacidad de conducir corriente y demás se encuentran ligadas a las fuerzas de enlace que unen las partículas elementales. Esta estructura hace que el modelo del átomo aislado con niveles de energía perfectamente diferenciables no sea viable. En un cristal la proximidad entre los átomos provoca que los niveles de energía mas externos de estos se vea se vean afectados, como consecuencia cuando dos átomos se acercan la energía de las capas exteriores se desdobla en dos niveles ligeramente diferentes que corresponden al sistema formado por los dos átomos. Por lo que aplicado al cristal completo formado por mucha cantidad de átomos provoca la aparición de bandas de energía formada por niveles haciendo referencia a cada zona de energía. Estas bandas pueden estar muy separadas o incluso superpuestas. Bandas de energía Las bandas representan los valores de energía que pueden tener los electrones del material. Se denomina banda prohibida al espacio entre dos bandas, indicando los estados de energía que los electrones del material no pueden tener. El ancho de estas bandas varía según el material y la estructura cristalina, fundamentalmente de la orientación de los átomos en el espacio y su distancia. En los valores mas bajos de energía se encuentran los niveles correspondientes a los electrones internos de cada átomo que no se ven afectados por los demás componentes del cristal y en orden creciente encontramos los siguientes noveles de energía: -
Banda de valencia: llena de electrones ligados a los enlaces de los átomos del cristal. Estos electrones se denominan de valencia. Banda prohibida: corresponde a los valores de energía que no pueden tener los electrones. A menor distancia entre estos en la estructura menor será el ancho de la banda. Banda de conducción: es donde se encuentran los electrones libres que no pertenecen a ningún átomo en particular y que pueden moverse de forma libre por la red en caso de existir un campo eléctrico.
Este modelo implica que los únicos electrones que pueden conducir la corriente eléctrica son los de la banda de conducción. Cuando un electrón de valencia recibe energía suficiente pasa de la banda de valencia a la de conducción. Esta energía debe ser igual o mayor que el ancho de la banda de prohibición. De esta manera podemos organizar los materiales en conductores cuando no existe banda de prohibición, semiconductores cuando esta es muy pequeña y aislantes cuando esta es grande.
96
Conducción eléctrica en semiconductores Definición Los semiconductores presentan una banda prohibida muy estrecha, que les permite actuar como aislantes o como conductores. Esto depende de la temperatura del material pues cuando esta frio la banda prohibida se hace demasiado ancha y no permite la salida de electrones de valencia a conducción, sin embargo cuando este se calienta los enlaces covalentes se rompen lo cual permite a los electrones de valencia saltar la banda prohibida. El proceso por el que un átomo pasa de la banda de valencia a conducción se denomina generación y a lo contrario recombinación. Cuando un electrón pasa a la banda de conducción deja un hueco, lo cual da lugar a la aparición de un electrón-hueco. Este hueco puede ser ocupado por otro electrón que también dejaría un hueco, por lo que se puede decir que los huecos se mueven por la estructura. A determinadas temperaturas la velocidad de creación y recombinación se igualan de modo que la concentración global de electrones y huecos es la misma, siendo “n” la concentración de electrones y “p” la concentración de huecos, cumpliéndose: *Siendo
la concentración intrínseca del semiconductor.
Conducción en semiconductores intrínsecos Los semiconductores intrínsecos son aquellos que son puros, siendo el número de electrones igual al número de huecos. Debido a los cambios térmicos se pueden producir generaciones o recombinaciones pero siempre se mantiene la constante de electrón-hueco. El elemento semiconductor mas utilizado es el silicio el cual tiene una estructura tridimensional con celdas formadas por formas de tetraedro con un átomo en cada vértice. Los átomos del silicio tienen 14 electrones cuatro de los cuales son de valencia, por lo que el núcleo iónico tiene una carga de +4. La fuerza de enlace entre los átomos es debida a que cada electrón de valencia es compartido por cada uno de sus vecinos más próximos formando enlaces covalentes. Por lo que aun existiendo la disponibilidad de cuatro electrones pocos de ellos se encuentran disponibles a bajas temperaturas, mientras que cuando esta sube los enlaces covalentes se rompen permitiendo la conductividad. SI un semiconductor intrínseco es sometido a un campo eléctrico, aparecen dos corrientes eléctricas. Por un lado la debida al movimiento de electrones libres en un sentido contrario al campo y por otro lado la debida al movimiento de los huecos provocados por los electrones en la banda de valencia que tienden a saltar a los huecos disponibles. Este corriente se produce en la misma dirección y sentido que el campo aplicado pero con una velocidad y magnitud muy inferior a la existente en la banda de conducción. Debido a que los mecanismos por los que se mueven electrones y huecos son diferentes, la movilidad de los portadores es distinta Aunque los sentidos de las corrientes son contrarias al tener cargas de signo contrario ambas corrientes tienen finalmente el mismo sentido. Así que la corriente total sería:
[] [] ⃗
Aplicando la definición de intensidad como variación de carga en el tiempo:
Aplicando la geometría del conductor y aplicando la velocidad de huecos y electrones:
Como la movilidad depende del material, finalmente la densidad de corriente quedaría: Por lo que la conductividad sería:
97
Conducción en semiconductores extrínsecos Un semiconductor extrínseco consiste en la adición de una pequeña cantidad de impurezas a un semiconductor puro con el objetivo de aumentar el número de portadores, estos forman un semiconductor dopado. El aumento de portadores viene a causa de la aparición de niveles de energía permitidos en la banda de prohibición, lo que aumenta su conductividad. Si la impureza introducida es de cinco electrones de valencia al entrar en la red cada átomo tiene un electrón de más que pasa a la banda de conducción como un portador negativo. A este tipo de impurezas se las denomina donadoras o impurezas de tipo “N”, y al semiconductor formado semiconductor tipo N. Con la introducción de estas impurezas aparecen niveles de energía permitida en la banda prohibida que facilitan el paso a la banda de conducción del exceso de electrones introducidos con la impureza. Si la impureza introducida es de tres electrones al entrar en la red cristalina a cada átomo de impurezas le falta un electrón, quedando un hueco en el enlace covalente. Este hueco se comporta como un portador de carga positiva, llamando a esta impureza receptora o tipo “P” y al semiconductor dopado con ella semiconductor tipo P. Con la introducción de estas impurezas aparecen niveles de energía en la banda prohibida muy próximas a la banda de valencia facilitando el paso de electrones a la banda de conducción y generando huecos en el proceso. La introducción de impurezas modifica la concentración de portadores respecto de los materiales intrínsecos. De cualquier modo en condiciones de equilibrio térmico se verifica la ley de acción de masas que define la relación entre portadores positivos, negativos y la cantidad de portadores totales como:
El material extrínseco se clasifica según sus portadores mayoritarios, por lo que en la generación de portadores interviene la generación intrínseca que es minoritaria y depende del material y la temperatura y la generación extrínseca dependiente de la concentración de las impurezas.
Puesto que las impurezas están ionizadas a temperatura ambiente, producirán una densidad de iones positivos o negativos dependiendo del tipo de semiconductor extrínseco . Para mantener el material eléctricamente neutro la concentración de cargas totales positivas y negativas debe ser igual. Por lo que considerando un material tipo N en el que , el número de electrones es mucho mayor que el número de huecos, de lo que se deduce:
De lo que se deduce que en un material tipo N la concentración de electrones libres es aproximadamente igual a la densidad de átomos donadores. De lo que se puede obtener la concentración de huecos mediante:
La conductividad en conductores extrínsecos se calcula partiendo de la ecuación de los intrínsecos y sustituyendo según toque los huecos o electrones por su ecuación:
Mecanismos de transporte de cargas
En los semiconductores encontramos dos tipos de corriente, una regida por la ley de Ohm y denominada corriente de conducción y otra debida a las diferencias de concentración en el seno del material y denominada corriente de difusión. La densidad de corriente de difusión se calcula a partir del campo aplicado al material y la conductividad de este, mientras que la de difusión se calcula mediante las variaciones de concentración de los portadores siendo estas:
98
Diodos. Polarización Definición diodo Un diodo consiste en un semiconductor dopado con impurezas de tipos opuestas a cada lado lo cual provoca una unión PN. En esta unión se produce una corriente de difusión de electrones de la zona N a la P, lo cual provoca la aparición de una densidad de corriente. Esta densidad de corriente provoca la aparición de una zona denominada de transición que se va ensanchando a medida que avanza el proceso de difusión, sin embargo la concentración de iones positivos y negativos a los lados de la unión crea un campo eléctrico que actúa sobre los electrones libres de la zona N contrarrestando la corriente de difusión. Este campo eléctrico sería lo equivalente a decir que existe una diferencia de potencial entre las dos zonas que resume el comportamiento estático de una unión PN y dónde se explica la aparición de 3 zonas. Cuando el diodo no recibe ninguna diferencia de potencial externa se denomina como no polarizado, dado que los electrones fluyen de la zona N a la P, denominándose a los extremos P ánodo y al extremo N cátodo. Las características del dispositivo producen que este conduzca en un sentido y no en el contrario. Cuando a éste se le aplica una diferencia de potencial externa se dice que se encuentra polarizado, en caso de que el campo externo y la barrera de potencial tengan el mismo sentido la zona de transición crece, en cambio si estos tienen sentidos opuestos ésta decrece y se dice que el diodo se encuentra polarizado inversamente. Polarización directa Cuando conectamos el ánodo de un diodo al extremo positivo de una batería y el cátodo al negativo, decimos que éste se encuentra en polarización directa, lo cual estrecha la zona de transición debido a que la batería provoca la liberación de electrones de la zona N a la unión y la conexión del cátodo provoca el direccionamiento de huecos a la zona de transición. Lo cual provoca que el diodo conduzca. Cuando la diferencia de potencial suministrada es mayor que la diferencia de potencial de la carga espacial, es decir supera la tensión umbral del diodo, los electrones libres de la zona N adquieren energía para saltar a los huecos de la zona P, lo cual provoca que el electrón paso a la zona de valencia en la zona P, y que este sea atraído posteriormente por la batería, lo cual genera una corriente eléctrica constante. Polarización inversa En el caso de conectar la batería al revés que en el caso anterior lo que sucede es un aumento de la zona de transición y la tensión en dicha zona hasta que se alcanza el valor de tensión de la batería. Esto se debe a que el polo positivo de la batería atrae a los electrones libres de la zona N los cuales salen hacia el conductor, lo cual provoca que los enlaces pentavalentes al verse desprendidos de su electrón pasen de ser neutro a ser iones positivos, mientras que el polo negativo cede electrones a la zona P que van cubriendo los huecos convirtiendo a los átomos trivalentes neutros en iones negativos. Bajo esta situación el diodo no debería de conducir pero debido a la temperatura aparece lo que se conoce como corriente inversa de saturación, además de otra pequeña corriente en la superficie del diodo debido a que los átomos de silicio no están rodeados de suficientes átomos para realizar los cuatro enlaces covalentes necesarios para su estabilidad.
99
Diodos. Curva característica y modelos equivalentes Zonas de la curva característica del diodo Los componentes de la curva característica de un diodo son los siguientes:
- Tensión umbral, de codo o de partida( : La tensión umbral de polarización directa coincide con la tensión de transición del diodo no polarizado. Al polarizar directamente, la barrera de potencial inicial se va reduciendo, incrementando la corriente. Sin embargo cuando es una tensión externa la que supera la tensión umbral la barrera de potencial desaparece, de forma que pequeños incrementos de potencial producen grandes variaciones de corriente.
-Corriente máxima( ): Es la intensidad máxima soportada por el diodo sin fundirse por el efecto Joule.
-Corriente inversa de saturación( ): Es la pequeña corriente que aparece al polarizar inversamente el diodo por la formación de pares electrónhueco debido al aumento de temperatura, duplicándose con el aumento de cada 10º. -Corriente superficial de fugas: Es la pequeña corriente que circula por la superficie del diodo, esta corriente es proporcional a la tensión aplicada al diodo.
*Tensión de ruptura ( : Es la tensión inversa máxima que el diodo puede soportar antes de darse el efecto de avalancha. Teóricamente, al polarizar inversamente el diodo este conduce la corriente inversa de saturación; en realidad a partir de un determinado valor de la tensión la ruptura se debe al efecto avalancha, mientras que en los diodos Zéner la ruptura se puede deber a otros efectos: -Efecto avalancha (diodos poco dopados): Cuando en polarización inversa la corriente inversa es elevada los electrones se aceleran incrementando su energía cinética pudiendo provocar que salten a la banda de conducción, los electrones liberados a su vez se aceleran por el efecto de la tensión, chocando con más electrones y provocando una avalancha de electrones que provoca una corriente grande. Este fenómeno ocurre con valores de tensión superiores a 6V. -Efecto Zéner (diodos muy dopados): Cuanto más dopado es el material mas estrecha es la zona de transición. Puesto que el campo eléctrico se expresa como cociente de la tensión y la distancia, un diodo muy dopado, la distancia es pequeña, el campo eléctrico será grande, lo que puede provocar que el propio campo pueda arrancar electrones de valencia incrementando la corriente. Este efecto ocurre en tensiones inferiores de 4V. Para tensiones de entre 4 y 6V pueden darse ambos efectos
100
Modelos equivalentes EL modelo matemático empleado para la aproximación del comportamiento de un diodo es el de Shockley. Esta ecuación relaciona la intensidad de corriente y la diferencia de potencial:
* I es la intensidad que atraviesa el diodo. * es la diferencia de tensión entre sus extremos. * es la corriente de saturación. * q es la carga del electrón. * T es la temperatura absoluta de la unión. * k es la constante de Boltzmann. * n es el coeficiente de emisión, el cual varía según el material tomando valores de 1 para el germanio y 2 para el silicio. Con el objetivo de evitar el uso de exponenciales se emplean modelos más sencillos, que modelan el funcionamiento del diodo por tramos rectos, a estos modelos se los denomina modelos de continua, cuyo el objetivo es marcar si un dispositivo concreto está o no conduciendo.
1. Cuando V < ; es decir, que el diodo no conduce, el circuito equivalente sería un circuito abierto. 2. Cuando V > ; es decir el diodo conduce, el circuito equivalente puede elegirse entre varías posibilidades dependiendo del circuito: a- Si las tensiones son muy superiores a la tensión umbral podemos considerar que la caída de potencial en el diodo es despreciable pudiendo sustituir por un cortocircuito. b- Si las tensiones en el circuito son del mismo orden que la tensión umbral y las intensidades muy pequeñas podemos sustituir por una fuente de tensión con el valor , la polarización de la fuente dese ser la misma que la tensión aplicada. c- Si las tensiones del circuito son del mismo orden que la tensión umbral y las intensidades no son muy pequeñas, podemos sustituir el diodo por una fuente de tensión con valor mas una resistencia en serie.
101
Diodos en conmutación Definición
La electrónica digital se basa en que solo se pueden tener 2 valores asociados a los estados lógicos, y . En este caso el diodo opera entre corte (polarización inversa) y activa (polarización directa) y nos interesa diferenciar estos estados y sus transiciones, lo que implica estudiar la respuesta de la unión ante cambios de tensión ya que estos procesos limitarán la de velocidad de conmutación en el circuito digital. Estos retardos se deben esencialmente a la necesidad de extraer la carga almacenada en la unión. En polarización directa esta carga se almacena como exceso de portadores en las regiones P y N. En polarización inversa la carga se almacena en la zona de transición. Por eso se estudia solo lo que pasa con la carga. Transición de cierre Suponemos un circuito con un diodo en serie con una resistencia al que aplicamos una tensión suficiente para polarizarlo directamente. Vemos como se modifican las concentraciones en el intervalo hasta que se estabiliza la situación, momento en que la tensión entre los extremos del diodo es constante. Al aplicar una tensión de polarización directa suficientemente mayor que la tensión umbral, la caída en la resistencia de polarización marca la corriente que atraviesa el diodo:
Esto produce un cambio en el valor de la pendiente de concentración de portadores en la frontera de la zona de transición que deja de ser “0”. Este camb io en el valor de la pendiente es muy rápido ya que basta con inyectar unos pocos portadores para que la nueva corriente vaya aumentando la carga almacenada, aumentando la curva del exceso de concentración hasta que se alcanza el estado estacionario.
102
Transición de corte Partiendo de la situación anterior en la que el diodo se encuentra polarizado directamente y con una tensión estacionaria, vamos a realizar la conmutación mediante el cambio de la tensión externa en magnitud y signo con objetivo de polarizar el diodo inversamente. Así estudiamos el comportamiento transitorio hasta que vuelve a alcanzar el estado estacionario en polarización inversa, ya que de este modo conoceremos el tiempo que tarda en realizarse una conmutación completa, parámetro que definirá la frecuencia máxima a la que pueden funcionar los circuitos electrónicos a partir de uniones P-N.
*(a) situación estacionaria en directa. (b) Situación transitoria tras el cambio de tensión. Lo primero que cambia es la magnitud y el signo de la corriente, pues para ello basta con cambiar la pendiente de la concentración, hecho que ocurre con sólo mover unos cuantos electrones. Al invertir la corriente cambia la pendiente, pero el diodo sigue en polarización directa pues la corriente inversa se gasta en compensar el exceso de carga y la tensión no cambia de signo hasta que no pasa por V(0). La disminución de la carga es proporcional a la integral entre del exceso, , se debe a la extracción y recombinación.
Tras la inversión los huecos almacenados son insuficientes para mantener la pendiente por lo que no se puede mantener el ritmo de extracción pudiendo ocurrir dos cosas: 1- En caso de estar alimentando por un generador, se producirá la tensión inversa hasta introducir al diodo en zona de ruptura. 2- En caso de que sea superior a la tensión de ruptura y el generador no sea ideal, la corriente inversa cae hasta el valor de saturación.
El tiempo que tarda en invertirse la tensión después de haberse invertido la corriente se conoce como tiempo de retardo por almacenamiento, y lógicamente cuanto mayor sea la corriente inversa y menor el tiempo de vida de los portadores, disminuirá el tiempo de retardo. Siendo el tiempo retardo el tiempo necesario para eliminar toda la carga almacenada.
103
104
Tema 11: Transistores bipolares y MOSFET
1. Transistores. Definición 2. Transistor. Función 3. Transistor. Estados 4. Transistores MOSFET
105
Transistores. Definición Definición Un transistor bipolar es un dispositivo de tres terminales (base, emisor y colector) constituido por dos uniones PN muy cercanas entre sí. Hay dos tipos de transistores los NPN y PNP, donde las uniones de ambos tipos se encuentras invertidas. El comportamiento de ambos es equivalente y las propiedades son iguales pero con corrientes y tensiones invertidas. Su funcionamiento consiste en conseguir transferir un mismo nivel de corriente desde una impedancia baja (unión base-emisor) a una alta (unión base-colector), con la evidente n de tensión y potencia. A estos dispositivos se los denomina bipolares porque la conducción se lleva a cabo en las dos bandas en contraposición a los diodos, que son dispositivos unipolares y deben su conducción a un tipo de portador mayoritario. Configuraciones En función de la polarización en la que se encuentren cada una de sus uniones PN, existen cuatro configuraciones posibles: corte, saturación, activa directa y activa inversa, los dos últimos empleados en la electrónica analógica. Unión Emisor-Base Polarización Directa Polarización Directa Polarización inversa Polarización inversa
Unión Base-Colector Polarización Directa Polarización inversa Polarización Directa Polarización inversa
Modo de funcionamiento Saturación Activa Directa Activa Inversa Corte
Propiedades eléctricas
La unión del emisor se encuentra polarizada directamente con lo que inyecta huecos en la base, . La otra componente de la corriente del emisor, representa a los huecos que se pierden en la frontera de la zona de transición con el objetivo de recombinarse con los electrones que inyecta la base en el emisor, dando:
Los portadores que se inyectan en la base la atraviesan sin recombinarse y llegan a la corriente de huecos del colector, . Sin embargo algunos de esos portadores se pierden durante el tránsito por la zona neutra de la base, dando lugar a una pequeña corriente, . La otra componente de la corriente del colector es la propia de una unión PN en polarización inversa, por tanto:
Finalmente la corriente en la base posee tres componentes, inyección en el emisor, , extracción del colector, y el aporte de electrones al recombinarse en la zona neutra, , de lo que se obtiene: Por la ley de la conservación de carga tenemos que:
106
Transistores. Función Esquema de funcionamiento El comportamiento de los transistores bipolares consiste en un dispositivo de 3 terminales en un circuito dividido en dos bucles, uno llamado lazo de control y el otro lazo controlado, los cuales mantienen una conexión de referencia, que fija la tensión entre ambos y por la que no circula corriente. La finalidad de este circuito es controlar un circuito de gran potencia mediante otro externo de menor. Debido a sus tres conexiones este dispositivo se utiliza en 3 configuraciones dependiendo de cual sea el terminal común.
Esquema eléctrico Primero analizamos el comportamiento de la configuración con emisor común. Para ello estudiamos el punto de funcionamiento del dispositivo y después analizamos el comportamiento ante pequeños cambios en la señal de entrada y ante grandes cambios.
Vemos en la figura el dispositivo de 3 terminales descompuesto en dos dispositivos de dos terminales, el dispositivo del lazo de control es equivalente a un diodo mientras que el controlado no tiene un dispositivo equivalente. Dependiendo del punto de funcionamiento el comportamiento del dispositivo controlado varía , pudiéndose representar mediante combinaciones de componentes simples. Otra opción es utilizar la representación gráfica de su curva característica I=f(V) y resolver el sistema de ecuaciones de forma gráfica, método en el que la idea es buscar el punto de inserción de las dos curvas que representan gráficamente las dos ecuaciones que describen el punto de funcionamiento del circuito analizado por caminos distintos.
Como se ve en la figura el lazo de entrada determina la corriente de base del transistor, la cual fija la curva que relaciona la corriente con la tensión en el lazo de salida, por otro lado la corriente también puede ser calculada a través de la resistencia y el generador E, dando lugar a una recta de pendiente , denominada recta de carga:
107
Transistores. Estados El transistor en pequeña señal Tomando como ejemplo un circuito en el que el transistor trabaja en pequeña señal y cuya señal encarga de excitar la unión B-E o lazo de control consiste en un generador de continua en serie con una señal de pequeña amplitud y variable en el tiempo. La función de este generador consiste en polarizar la unión-E del transistor en el punto de funcionamiento adecuado, siendo el generador la fuente de información que se desea amplificar con el objetivo de atacar la impedancia .
Esto provoca que el punto de funcionamiento oscile alrededor del punto Q, provocando que pequeñas variaciones en la fuente de continua provoquen variaciones en la corriente , lo que provoca una cambio en la curva característica del dispositivo y finalmente en la zona de actividad de este. La in tersección de la curva característica correspondiente con la recta de carga proporciona el punto de funcionamiento del dispositivo en cada instante, mientras que la variación en la entrada sea pequeña, el punto de funcionamiento no saldrá de la zona activa y el comportamiento será casi lineal. El transistor en corte-saturación En caso de que la excitación de la entrada sea muy grande o muy pequeña, la unión B-E queda polarizada en zona de saturación y corte. Esto provoca que el punto de funcionamiento sale de la zona activa dirigiéndose a los extremos de la curva característica. Este tipo de funcionamiento es empleado en la electrónica digital ya que se comporta como un interruptor en saturación a 0 y corte a 1.
Para conocer el estado en este tipo de circuitos se analiza la curva característica que determina el punto de funcionamiento del transistor: - Para el estado de corte la tensión de entrada no debe ser muy superior a la tensión umbral del diodo, lo que hace que sea despreciable y el transistor no conduzca y la tensión venga fijado por el resto de la malla de salida (E y ). - Para el estado de saturación la tensión de entrada debe ser superior a la tensión de polarización directa del diodo ( ), lo que provoca que la corriente sea grande y por tanto el transistor conduzca con una controlada por la recta de carga y quede fijada a 0,2V.
108
Transiciones entre estados de corte y saturación En los circuitos digitales se utilizan principalmente los estados de corte y saturación con lo que pasamos a analizar el tiempo de transición entre estos puesto que el potencial de entrada puede variar instantáneamente mientras que la corriente necesita mas tiempo, ya que depende del flujo de cargas negativas o electrones y por lo tanto debe esperar a la modificación de las zonas de transición y las concentraciones de las zonas neutras. En la transición de corte a saturación tenemos: -
-
o tiempo de retardo: es el tiempo que transcurre desde que t=0 hasta que se inicia la respuesta a la entrada. Durante este tiempo se inyectan cargas al dispositivo, pero estas no salen de él pues se usan para reducir las zonas de transición y acumular efectivos en las zonas neutras.
o tiempo de subida: es el tiempo desde que debido a la variación en la entrada empieza a crecer la corriente hasta que =0,9 . Durante este tiempo las cargas acumuladas aumentan la pendiente de la concentración de minoritarios y con ello la componente debida a la corriente de difusión. En la transición de saturación a corte:
-
-
o tiempo de almacenamiento: Desde que comienza la excitación de paso al corte hasta que inicia la disminución de . Durante este tiempo no se modifica la pendiente de la concentración de portadores por lo que la corriente se mantiene.
o tiempo de caída: es el tiempo que transcurre desde el final de la fase anterior hasta que . Al continuarse extrayendo portadores, comienza a modificarse la pendiente de la concentración de portadores y con ello la componente de la corriente de salida dependiente de la corriente de difusión.
109
Transistores MOSFET. Propiedades Definición Al igual que los transistores bipolares se trata de dispositivos con 3 terminales en los que uno de ellos se encuentra aislado del semiconductor mediante una capa de Óxido de Silicio. Su funcionamiento se basa en el control de la conductividad de un canal superficial que conecta los terminales del drenador (D) y de la fuente (S) mediante el campo eléctrico creado por el potencial del terminal de puerta (G). SU funcionamiento es similar al de un condensador pues la polarización de una placa provoca conductora induce carga en el interior del semiconductor. Los potenciales de drenador y puerta van referidos al de la fuente, es decir que,
, sin embargo cuando el potencial de la fuente (S) está a tierra los otros potenciales
se simplifican.
En la superficie de un semiconductor aparece una barrera de potencial asociada a cierta distribución de carga espacial móvil, la cual se puede deber a un campo externo o por el contacto con un material de distinto potencial o por último, por la pérdida de periodicidad que se produce en los extremos de la red cristalina provocando nuevos estados eléctricos permitidos debido a los cambios en las bandas de valencia. Estos estados superficiales pueden tener una energía próxima a la banda de valencia o a la de conducció n.
Características Suponiendo que inicialmente el potencial en la superficie es nulo y aplicamos una tensión de polarización externa, podemos provocar tres situaciones: 1. Acumulación o realce. La placa conductora se polariza positivamente con respecto al semiconductor provocando una concentración de electrones mayor en la superficie que en el interior del semiconductor lo cual permite aumentar la conductividad de este. 2. Deplexión o vaciamiento. La placa conductora se polariza negativamente con respecto al conductor induciéndole cargas positivas que se recombinan con los electrones de la superficie permitiendo aumentar la concentración de electrones en el interior y a su vez reduciendo se conductividad. 3. Inversión. Cuando la polarización negativa es aún más intensa que en el caso anterior, apareciendo un exceso de carga positiva provocando que aún siendo el material de tipo N (electrones mayoritarios) se comporte como uno de tipo P (huecos mayoritarios). Al existir un canal con portadores entre el drenador y la fuente, cuando aplicamos una tensión entre ambos se provoca un campo eléctrico que a su vez provoca un movimiento de los portadores lo que conlleva la aparición de una intensidad que es la magnitud que buscamos controlar mediante la tensión que aplicamos entre la fuente y la puerta. Lo que provoca que esta intensidad dependa tanto de la tensión entre fuente y drenador como entre fuente y puerta. Estos transistores son especialmente útiles debido a la sencillez de su estructura física, su alta impedancia de entrada, bajo consumo y facilidad de aislamiento, lo cual permite una alta densidad de empaquetamiento para el desarrollo a gran escala como sería microprocesadores y memorias.
110
Transistores MOSFET. Curva y modelo elemental Curva característica Una vez estudiado el funcionamiento del transistor de campo pasamos al estudio de su curva de funcionamiento, la cual obtenemos para los distintos valores de la tensión proporcionada por la puerta. Cuando aplicamos una tensión constante y suficientemente grande como para crear el canal de inversión, la corriente en el canal será función de , tensión que se obtiene integrando la densidad de corriente a través de una sección transversal del canal, con valor:
* +
El cambio entre las distintas regiones de funcionamiento se produce de la siguiente manera. Al aplicar un potencial en el terminal de puerta mayor que el umbral se crea el canal de inversión que permite la conexión entre drenador y fuente. Mediante la aplicación de un potencial positivo respecto de la fuente y pequeño en el terminal drenador, aparece una corriente de drenador proporcional a la tensión del drenador con una tensión de puerta constante, entrando entonces en la región tríodo en la que el canal se comporta como una resistencia cuyo valor se controla mediante la tensión de la puerta, matemáticamente quedaría definido como:
[ ]
En caso de aumentar , pero conservando su valor por debajo de , actúa la corrección cuadrática y entramos en la zona tríodo, para la que no podemos usar la aproximación si no la fórmula completa, existiendo para cada tensión de y de una tensión de saturación que marca el límite de la zona. Si seguimos aumentando el valor de hasta el valor de saturación, comienza la región de saturación. A partir de este punto posteriores incrementos dejan constante la corriente del drenador, que se mantiene en el valor máximo de la región anterior. Modelo elemental Aunque hemos trabajado con transistores MOS de canal N en modo realce existen 4 tipos de transistores MOS, teniendo canal N con modo realce y vaciamiento y canal P con los dos modos antes mencionados. Las distintas zonas de trabajo de un transistor NMOS de realce son las siguientes, teniendo en cuenta que en caso de ser un transistor PMOS funciona igual pero con polaridades y sentidos de corrientes opuestas. Zona de corte: Cuando la tensión de puerta no supera el valor de la tensión umbral, con lo que no se produce el canal de inversión entre drenador y fuente, por lo que el transistor no conduce.
Zona óhmica: Cuando aplicamos a la puerta una tensión superior a la tensión umbral y constante y aumentamos la tensión del drenador vemos que la corriente sube de forma proporcional a esta, cumpliéndose:
Zona de saturación: Cuando aumentamos la tensión de drenador hasta alcanzar la tensión de conducción, el transistor pasa a la zona de saturación, es decir, que la tensión de la puerta es superior a la tensión umbral y que la tensión del drenador es superior a la tensión de contracción, con lo que el transistor se comporta como un cortocircuito y la corriente depende del resto del circuito
111
112
Tema 12: Familias bipolares
1. Características de las puertas Lógicas 2. Lógica resistencia-transistor 3. Lógica diodo-transistor 4. Lógica transistor-transistor
113
Características de las puertas Lógicas Características estáticas Entre las características estáticas encontramos las de transferencia y las de entrada y salida: 1. Características de transferencia: Representan la relación entre la tensión de entrada y de salida, siendo necesario especificar el número de entradas conectadas a alta y baja como el número de circuitos conectados a la salida. La forma de calcular la curva de transferencia consiste en suponer que la puerta sobre la que medimos encuentra conectada su entrada y su salida a puertas de la misma familia. 2. Características de entrada y salida: Representan las tensiones de entrada o salida en función de las corrientes suministradas o absorbidas por la entrada o salida, las cuales se miden conectando puertas similares a la de prueba para tener en cuenta los efectos de la carga. Margen de ruido El ruido se entiende como cualquier señal no deseada en un circuito electrónico, su origen puede ser de tipo externo o interno. Son de origen externo los debidos a la alimentación, disparadores y demás señales de medida (como los trics), siendo de tipo interno los generados por impedancias parásitas o las espigas de corriente causadas por la conmutación de los propios circuitos lógicos.
El margen de ruido consiste en el grado de inmunidad del circuito lógico ante las señales no deseadas, siendo los valores correspondientes a los límites de ruido para V(0) y V(1), quedando definidos por las funciones: Siendo los valores mínimo del estado V(1) y la tensión mínima de entrada necesaria para el estado V(1), mientras que son los valores máximos que puede adquirir V(0) y la tensión máxima de entrada para el estado V(0). Por lo que cualquier señal que esté por debajo del valor del límite no alterará el estado de la puerta. Flexibilidad lógica Es una medida de capacidad, versatilidad o variedad de uso de una familia lógica, siendo la forma de valorarla mediante las siguientes características: 1. Cableado lógico: Es la capacidad de realizar una función lógica a partir de la conexión externa sin la necesidad de emplear una puerta adicional. 2. Salidas complementarias: Consiste en la disponibilidad de la salida en estado natural y complementado. 3. Fan-out: Consiste en el número de circuitos de similares características que puede suministrar la puerta en cuestión. 4. Fan-in: Consiste en el número de entradas que puede admitir sin producir una salida indeterminada o incorrecta. 5. Compatibilidad familiar: Consiste en la capacidad de interconexión con las puertas de una misma familia o de otras.
114
Disipación de potencia Como se observa en la figura son las ondas de tensión y corriente en un circuito de puerta lógica, en el que se observa que la disipación total de la potencia de la puerta es debido tanto a disipación estática como dinámica. Como se observa ni la intensidad ni la tensión son nunca nulos en ninguno de los estados por lo que siempre existe disipación interna y externa y la puerta consume energía en cualquiera de sus estados. Mientras que la disipación dinámica tampoco es nula ya que en los momentos de transición entre estados ni tensión ni corriente son nunca nulas.
Velocidad de actuación La velocidad a la que puede trabajar una puerta depende del tiempo necesario para que una señal llegue desde la entrada hasta la salida y del tiempo de transición entre estados. En la figura se muestran las ondas de entrada y salida de un inversor. Los tiempos de subida y bajada miden los tiempos de transición entre estados lógicos, ambos términos se definen por el tiempo transcurrido durante la variación de tensión desde el 10 al 90% de la diferencia V(1) y V(0). Los tiempos de subida y bajada tienen también importancia debido a que los flancos de subida o bajada suelen ser utilizados como medio de excitación. Por otro lado el tiempo de retardo se define como la media de los retardos de subida y bajada del impulso correspondiente a la tensión de entrada. Finalmente el retardo de propagación es la diferencia entre los momentos en que las tensiones de entrada y salida se encuentran al 50% de su valor.
115
Lógica resistencia-transistor Inversor En la figura observamos que el inversor RTL está formado por un transistor y 2 resistencias. Según el gráfico cuando la tensión de entrada es menor o igual a la de corte, el transistor se encuentra en estado de corte y despreciando la corriente , la tensión de salida será la de la fuente. Sin embargo cuando la tensión de entrada es superior a la tensión umbral, la pequeña corriente del colector que se forma hace decrecer la tensión de salida por lo que:
Por lo que se demuestra que la tensión de salida decrece cuando aumenta la tensión de entrada, lo cual provoca que cuando la señal de entrada aumenta la tensión de salida decrece hasta saturarse provocando que . Mediante los puntos en que la pendiente vale -1 podemos definir los límites de ruido. Una vez representamos la característica de transferencia mediante 3 segmentos rectos podemos observar mediante los puntos de inflexión que .
Puerta NOR En la figura se muestra una puerta NOR de 3 entradas en tecnología RTL, con un transistor para cada entrada y con los colectores unidos y apoyados a la fuente de alimentación a través de la resistencia de la fuente. Para comprobar su funcionamiento debemos chequear las dos posibles situaciones, es decir cuando todas las entradas son cero, lo cual debe generar una salida positiva y en caso de que cualquier entrada sea uno generar salida negativa. 1. Con todas las entradas a cero: Los transistores se encontrarían en corte, es decir c on por lo que la tensión de salida tiende a ser igual a la tensión de alimentación. En caso de querer conocer el valor de la tensión de salida en el estado de alta deberíamos conocer el número de puertas que se conectan a la salida de esta, ya que cuantas mas se conectan menor será el valor de la impedancia en paralelo y mayor la corriente , lo cual hará que sea mayor la caída en la resistencia de la fuente. El límite se establece al evitar que se confunda el estado de alta.
2. Alguna de las entradas a nivel lógico uno: Cuando al menos una de las entradas está en alta el transistor de esa entrada tiene en su base una tensión suficiente para poner el transistor en saturación y fijando la tensión de salida a V(0).
116
Puerta NAND La figura muestra el circuito correspondiente a una puerta NAND de dos entradas en tecnología RTL, formada por 2 transistores de manera que el colector del primero está unido a la resistencia de la fuente mientras que su emisor al colector del segundo y el emisor del segundo a tierra. Para comprobar su funcionamiento debemos chequear las 2 situaciones posibles, es decir; cuando todas las entradas se encuentran en alta cuya salida será a baja y cuando cualquier entrada está a baja con lo que la salida estará a alta: 1. Con todas las entradas a nivel lógico “1”: Cuando las dos entradas se encuentra en alta, ambos transistores conducen, por lo que están saturados y la tensión colector-emisor de ambos es cero, resultando que la tensión de salida sea cero también.
2. Alguna de las entradas está a nivel lógico “0”: En este caso la entrada conectada a baja implica que si se resistencia es suficientemente pequeña, la intensidad de base correspondiente es baja y dicho transistor estará en corte, por lo que la corriente del colector será cero. Todos los transistores que estén por encima de éste no conducirán y los que estén debajo cuando su entrada esté en alta conducirán su unión base-emisor a tierra. Como la corriente del colector es cero, la caída de tensión en la resistencia de la fuente es nula resultando que la tensión de salida es igual a la de la fuente resultando que esta sea igual a la tensión de la fuente.
117
Lógica diodo-transistor Parte lógica de una AND en DTL En la figura se muestra una puerta AND en DTL, formado por dos diodos, una resistencia y la fuente. El problema de esta puerta es que el nivel de tensión que requiere para ver un nivel alto pues 4V los interpreta como lógico bajo y la diferencia entre el estado bajo y alto es pequeño por lo que su inmunidad al ruido también es baja. Analizamos sus dos posibilidades: 1. Alguna de las entradas a nivel lógico bajo: Cuando cualquiera de las entradas se encuentra a nivel bajo, el diodo conectada a esa entrada está bien polarizado colocando una salida a un nivel de tensión de 0,9V resultando de la suma de la tensión de entrada ( y los 0,7 que aparecen en el diodo en conducción, es decir, que la salida está a un nivel lógico de cero. La otra entrada no afectaría ya que si el diodo está conduciendo llegarían 0,9V que serían insuficientes.
2. Todas las entradas a nivel lógico alto: En este caso ningún diodo puede conducir ya que no existe posibilidad de que su ánodo esté por encima de 5,7 (resultado de la suma del valor de entrada en alta y la caída de tensión de un diodo en conducción), lo que implica que no hay circulación por la resistencia y de ello se deduce se encuentra a 5V, o nivel lógico alto.
Puerta NOR en DTL En la figura se muestra una puerta NOR en DTL formada por 4 diodos, un transistor y 3 resistencias para 2 entradas. Analizamos los 2 estados: 1. Todas las entradas a nivel lógico bajo: Para que el transistor conduzca es necesario que a los diodos 3 y 4 llegue suficiente tensión para que conduzcan y que todavía quede corriente para que el transistor pase a conducir, así la tensión necesaria será de:
Como los diodos 1 y 2 no conducen, ya que sus entradas están en baja el punto P queda conectado a tierra a través de la resistencia, con lo que la tensión es insuficiente para polarizar el transistor en activa y la tensión de salida será igual a la fuente. Por lo tanto estado lógico alto. 2. Alguna entrada a nivel lógico alto: El diodo asociado con nivel lógico uno conducirá por lo que en el punto P tendremos una tensión de:
Donde es la tensión en conducción del diodo en alta. Esta tensión es suficiente para conducir a los diodos 3 y 4 y al transistor, provocando que la tensión de salida sea a baja.
118
Puerta NAND en DTL En la figura se muestra una puerta NAND en DTL que está basada en el diseño de la AND pero que incluye un par de diodos a la salida y un transistor con el objetivo de restaurar el nivel de tensión perdido por los diodos y mejorando las características de la salida. Analizamos las salidas: 1. Alguna de las entradas a nivel lógico bajo: El diodo asociado conducirá y por tanto en el punto P tendremos una tensión de:
donde es la tensión del diodo en conducción. Para que el transistor conduzca es necesario que en el punto P haya suficiente tensión para hacer conducir a los diodos 3 y 4 y al transistor pase a zona activa. lo que la tensión necesaria será de: Como tenemos 0,9V la tensión no es suficiente y el transistor no conduce con lo que la salida será igual a la fuente. 2. Todas las entradas a nivel lógico alto: Al no conducir los diodos de las entradas permiten que conduzcan los diodos 3 y 4, y dado que en el punto P habrá una tensión igual a la de la fuente menos la caída de tensión en la resistencia, permitirá conducir al transistor y provocará que la salida lógica sea baja.
119
Lógica transistor-transistor Configuraciones Por resistencia de colector: La resistencia de polarización va integrada en el propio circuito, esta configuración presenta el problema de que cuando el transistor conduzca existe una disipación de potencia en la resistencia provocando un calentamiento que hay que disipar y que por lo tanto impide un alta nivel de integración.
Tótem-Pole: Mediante el transistor 2 se consigue que cuando el transistor 4 conduce el transistor 3 esté abierto. De esta manera, se consigue tener una salida alta pero con la ventaja de que aunque la corriente pasa por el transistor 4 como su tensión de caída es casi nula, su disipación de potencia es también cercana a cero y la potencia disipada por la resistencia 4 es también baja debido a su baja resistencia. En la otra posición es el transistor 2 el que consigue que el transistor 3 conduzca y por lo tanto el 4 funcione como un circuito abierto, provocando que la intensidad en este último sea nula y por lo tanto la potencia disipada también. Como el transistor 3 conduce su tensión colector-emisor es casi nula y por lo tanto su potencia disipada también. Puesto que en ambos caso la potencia disipada es baja permite una alto nivel de integración.
Colector abierto: La configuración es igual a la de resistencia colector con la diferencia de que la resistencia está externa. Se usan para el gobierno de cargas que precisan unas tensiones o corrientes superiores a las de la familia. También permiten la realización de puertas AND al unir en paralelo salidas.
Triestado: Esta configuración es similar a la tótem-pole pero añadiendo un quinto transistor que es gobernado por una función de inhibición de forma que permite hacer que el primer transistor conduzca y provocando el corte del segundo y tercero al mismo tiempo que el cuarto por el nuevo transistor.
120
Puertas NAND en TTL En la figura se muestra una puerta NAND en TTL cuyo funcionamiento es análogo a su correspondiente en DTL, sustituyendo los diodos de entrada por un transistor multiemisor, cuya unión de colector sustituye a los diodos de umbral. Además incorpora una etapa de salida en configuración tótem-pole que actúa como una fuente de intensidad aumentando el fan-out y la velocidad de transmisión. Las ventajas del transistor multiemisor es que presenta un camino de baja impedancia para extraer la carga del segundo transistor hacia tierra cuando este pasa de saturación a corte, aumentando la velocidad de conmutación haciendo de la familia TTL la de saturación más rápida. En TTL se sustituye la resistencia del colector por un transistor el cual forma un par activo (transistores 3 y 4). En la base del transistor 3 se añade una resistencia para retirar la carga cuando este pasa de saturación a corte, mientras que el transistor 4 actúa como un seguidor de emisor, generando una baja impedancia de salida. Finalmente el diodo evita que el transistor 4 conduzca cuando el transistor 3 se encuentra en saturación ofreciendo una resistencia de colector alta. Analizamos su funcionamiento en cada caso: 1. Todas las entradas a nivel lógico alto: Cuando las dos entradas están en alta, los diodos base-emisor del transistor multiemisor están en corte, con lo que la tensión base tiende a la de la fuente, por otro lado para que la unión base-colector esté polarizada y los transistores 2 y 3 conduzcan se necesitarían 2,1V para activar los 3 transistores, por lo que los transistores 2 y 3 se encuentran en saturación y aparece en la salida siendo realmente la tensión en la base del transistor 1 igual a , lo cual provocará que el transistor 4 gracias al diodo permanezca en corte, ya que en caso contrario la tensión en su base sería de la cual es suficiente para que conduzca pues necesitaría , además que éste disminuye el consumo en el circuito.
2. Alguna entrada a nivel lógico bajo: Si al menos una de las entradas está en baja tendremos una tensión en base-emisor de , como está tensión no es suficiente para activar los transistores 2 y 3 estos permanecen en corte, provocando la saturación del transistor 4 y permitiendo que la tensión se salida se acerque a la de la fuente.
121
122
Tema 13: Amplificadores y Familias MOS
1. Amplificador diferencial 2. Dispositivos en ECL 3. Dispositivos en NMOS 4. Dispositivos en CMOS
123
Amplificador diferencial Definición y configuraciones Es la configuración de transistor más importante empleada en circuitos integrados, en estos la salida es proporcional a la diferencia entre sus dos entradas. En la figura se muestra la configuración básica formada por dos transistores idénticos y con dos resistencias de colectores también iguales además de dos entradas y salidas. Dada la simetría del circuito, al tomar la salida entre los dos colectores se elimina la parte común y se obtiene la diferencia. Por esto se definen la parte común y la parte diferencial en función de las entradas como:
Si aplicamos el principio de superposición cuando solo tenemos activa la primera entrada obtenemos: Análogamente cuando solo tenemos presente la segunda salida:
Por consiguiente cuando se encuentren ambas entradas activas y tomamos la salida entre los dos colectores obtenemos: Pero como el circuito es simétrico, se cumple que
y
, resultando:
Lo cual implica que la señal de salida es proporcional a la diferencia de las entradas con un coeficiente de proporcionalidad igual a la ganancia diferencial.
124
Ganancia en modo común Como por la resistencia de tierra, común a ambos emisores pasa una corriente de suministran corriente. A nivel matemático esta ecuación es igual a:
, ya que ambos le
Lo cual nos permite simplificar el circuito tal como se muestra en la figura para calcular la ganancia común. Para ello realizamos las siguientes aproximaciones: La intensidad de colector es igual a la de emisor (2V) y despreciamos la caída de tensión de la unión base-emisor(0,6V). Lo cual nos permite enunciar:
Lo que nos deja un valor muy bajo debido a que la resistencia del colector es pequeña en comparación con el doble de la resistencia de tierra. Además se diseña haciendo la resistencia de tierra muy grande mediante un generador de corriente. Ganancia en modo diferencial
También se puede simplificar el cálculo debido a que las tensiones de los transistores cumplen , de manera que la corriente en sus terminal de base son iguales en magnitud y contrarios en signo, ocurriendo lo mismo con los emisores. Debido a esto la tensión en la resistencia de tierra es nula lo cual permite eliminar a esta del circuito. En el circuito simplificado que obtenemos es donde calculamos la ganancia en modo diferencial repitiendo las aproximaciones antes mencionadas y determinando la resistencia interna del emisor como muy pequeña:
El valor de la ganancia diferencial es muy grande debido a que la resistencia del colector es mucho mayor que la interna del transistor, además es el gran valor de la ganancia diferencial el causante de la alta velocidad de conmutación en esta familia lógica.
(a)modo común (b) y (c) modo diferencial
125
Dispositivos en ECL Inversor ECL
Como vemos el circuito tienes dos módulos bien diferenciados: un amplificador operacional y sus dos seguidores de emisor que ofrecen a la salida . En este circuito cualquiera de las fuentes puede llevarse a tierra pero tiene que cumplirse . La mayor inmunidad al ruido se consigue con conectada a tierra, aunque de todas maneras el margen de ruido siempre será bajo pues tienen muy poca diferencia entre los niveles lógicos.
El principio de funcionamiento de estos circuitos consiste en introducir por la base del transistor 1 la tensión de entrada y por la del transistor 2 una tensión fija de referencia que define el modo común. Lo que quiere decir que en caso de que la entrada sea igual a ambas entradas son iguales y la salida diferencial es cero. Este nivel de continua se encuentra entre los dos valores lógicos de tal manera que al conmutar la entrada se atraviesa el valor de referencia y con toda la ganancia del modo diferencial el circuito conmuta dando lugar a la función del inversor.
La señal entre los colectores de los transistores 1 y 2 depende de las variaciones de potencial en la base del transistor 1, ya que la tensión en la base del segundo transistor está fijada. Hay que tener en cuenta que en este circuito los transistores 1 y 2 nunca pasan de corte a saturación pues siempre están trabajando en zona activa y por lo tanto conduciendo aún con distintos valores en la salida del colector que son los que provocan la variación en la salida lo cual se traslada a la base de los transistores de seguimiento. Pasamos a analizar el comportamiento del inversor: 1.
2.
̅
es baja y menor que la tensión de referencia: En este caso el transistor 1 está cortado con lo que la señal en el colector es igual a y la salida del terminal es igual a la cual es un valor alto. Mientras en la salida negada debido a que el transistor 2 está conduciendo lo cual permite que conduzca el transistor 3 y provoca que el valor de esta salida sea de .
es alta: Ahora el transistor 1 conduce y la tensión del emisor será por lo que el transistor 2 se corta, siendo la situación actual simétrica a la anterior, siendo la señal en la tensión de colector de un transistor en activa por lo que la salida queda en baja tras pasar por el seguidor de emisor, mientras la salida en es y después de pasar por el seguidor de emisor la salida negada queda en alta.
126
Puerta NOR ECL Para conseguir la función, tal y como se muestra en la figura, se conectan al igual que se haría en el inversor ECL pero en paralelo uno por entrada. Siendo los terminales A, B y C las entradas de la puerta en ECL y consistiendo su modo de funcionamiento en:
1. Todas las entradas a nivel lógico bajo: Entonces todos los transistores se encontrarán cortados lo que hará que el transistor de referencia se encuentre activo. Esto implica que en el nivel lógico es alto y por lo tanto la salida de la puerta también lo es. Mientras en la salida negada obtenemos la función OR. 2. Alguna entrada a nivel lógico alto: El transistor de entrada correspondiente a la señal en alta conducirá cortando al transistor de referencia, provocando una situación contraria a la anterior, con lo que a llegará una señal lógica baja y la salida NOR se encontrará igualmente a nivel lógico bajo. Por otro lado la salida de la función OR se encontrará en alta.
127
Dispositivos en NMOS Inversor en NMOS El inversor de esta familia que se muestra en la figura el que la cual aparecen dos transistores de canal N con sustrato común y trabajando en modo realce, siendo su estructura análoga a la existente en tecnología RTL pero sustituyendo el transistor bipolar por uno MOS y la resistencia de carga por otro transistor operando en zona de tríodo o saturación y con sustrato a tierra.
En primer lugar, el transistor de carga, cuando varían las tensiones entre puerta (G) y sustrato (S), provoca que el transistor en modo realce empiece a conducir cuando su tensión de puerta (G) supera un valor umbral, y lo hace sobre la curva característica correspondiente a , pasando primero por las zonas lineal y cuadrática(región tríodo) y entrando después en saturación. A partir de ese momento la tensión permanece constante, sin embargo cuando se une la puerta con el drenador provocamos que , con lo que el transistor no conduce hasta que no alcance el valor umbral. Por lo que el transistor 1 está permanentemente en conducción en zona de corriente constante debido a la polarización que fuerza que el drenador y la puerta estén al mismo potencial y funcionando como carga para el transistor 2.
Por otro lado, el transistor impulsor no tiene ninguna limitación ya que su terminal de fuente no está unido al drenador, por tanto su punto de trabajo puede estar en cualquier posición sobre sus curvas características. Cuando , el transistor 2 estará en corte puesto que su tensión de puerta no supera la tensión umbral, presentando una alta impedancia y no dejando pasar corriente:
Cuando la tensión de entrada supera el valor umbral, el transistor 2 empieza a conducir en su zona lineal de manera que a medida que aumenta aumenta también la corriente del drenador. Al seguir aumentando el transistor 2 conduce en región tríodo con mayor valor de corriente de drenador y con mayor caída de tensión en el transistor 1 con lo que disminuye la tensión de salida, según la expresión: En todo momento está saturado el transistor 1 pero cada vez con un mayor valor de corriente en su drenador. Este proceso continua hasta que la tensión de entrada se acerca a la de la fuente. El momento en que no alcanza el valor umbral, el transistor 1 pasará a corte ofreciendo una alta impedancia en la que cae la tensión de la fuente, de forma que la tensión de salida es prácticamente cero. Este valor bajo de la tensión de salida coincide con la conducción del segundo transistor en su valor más alto de corriente.
Lo que hace que este circuito sea notablemente más sencillo que su equivalente en tecnología TTL aun manteniendo un consumo permanente de potencia, este es menor dado que con el transistor 2 cortado n hay conducción entre fuente y tierra y el consumo de potencia se produce cuando la salida está en bajo y en las conmutaciones.
128
Puerta NAND en NMOS En la figura se muestra el esquema de una puerta NAND en NMOS la cual consta de 3 transistores NMOS en serie, dos de ellos cumpliendo la función de impulsores y el tercero actuando como carga activa. El esquema es parecido al existente en RTL pero sustituyendo la resistencia por un transistor. Al estar los dos impulsores en serie solo cuando ambas entradas se encuentran en alta, existe conducción entra la fuente y tierra con lo que la salida estaría en baja. En cambio, cuando alguna de las entrada esté en baja, el transistor NMOS correspondiente estará en corte al no tener en su puerta tensión suficiente, provocando que no exista circulación de corriente entre drenador y surtidor, provocando que no haya caída de tensión en el transistor superior y la tensión de salida sea igual a la fuente, o lo que es lo mismo, nivel lógico alto.
Puerta NOR en NMOS En la figura se muestra el esquema de una puerta NOR en NMOS la cual consta de tres transistores NMOS, dos de ellos en paralelo haciendo la función de impulsores y el tercero actuando de carga activa. El esquema es parecido al existente en RTL pero sustituyendo la resistencia por un transistor. Al estar los dos impulsores en paralelo bastará con que uno tenga la entrada en alta para que entre en conducción y la tensión en su drenador sea la correspondiente en baja. Sin embargo cuando ambas entradas están en baja los transistores impulsores no conducen, no hay corriente en el transistor de carga y la tensión de salida coincide con la tensión de la fuente.
129
Dispositivos en CMOS Inversor en CMOS Los circuitos CMOS combinan transistores PMOS y NMOS. La figura muestra el circuito inversor en CMOS, este tiene conectados dos MOSFET en serie de modo que el dispositivo de canal P tiene su fuente conectada a fuente mientras el dispositivo de canal N tiene su fuente conectada a tierra. Las puertas ambos dispositivos se interconectan con una entrada común mientras que los drenadores se conectan con la salida común. De modo que este inversor combina la rápida conmutación asociada a un MOS en conducción con un bajo consumo al estar siempre uno de los transistores sin conducir. El funcionamiento del inversor CMOS es como un conmutador de manera que para tensiones de puertasustrato menores de la tensión umbral no conduce y cuando se supera este valor el MOS conduce comportándose como una resistencia de valor . Por lo que cuando la entrada es cercana al valor de fuente el transistor NMOS conduce y el PMOS se queda como un circuito abierto, por lo que la señal que llega a la salida es tierra. Por el contrario cuando la entrada es baja, el transistor NMOS se encuentra en corte mientras el PMOS conduce por lo que la tensión que llega a salida es la de la fuente
En la siguiente figura se muestra un inversor CMOS de 3 estados en donde se puede observar como el inversor convencional se le han añadido dos nuevos transistores uno de canal P en serie con el de carga y uno de canal N en serie con el impulsor. Además, se incluye una entrada más para el control de la inhibición de forma que cuando la señal de control se encuentra en baja los dos nuevos transistores no conducen y la salida queda aislada, sin embargo cuando la señal de control se encuentra en alta, los dos nuevos transistores conducen con una impedancia muy baja de manera que funciona como un inversor común.
130
Puerta NAND en CMOS Como se muestra en la figura la puerta NAND en CMOS se forma introduciendo transistores de canal P en paralelo y transistores de canal N en serie al inversor básico. El circuito funciona de manera que un estado bajo en cualquiera de las entradas hace conducir a los transistores de canal P y corta a los transistores de canal N, provocando que con una sola entrada baja el transistor N no conduzca mientras que el P entra en saturación o zona tríodo con lo que la salida queda en alta. Por el contrario, si todas las entradas están en alta, lo transistores de canal N conducirán, mientras los transistores de canal P estarán cortados provocando una salida baja.
Puerta NOR en CMOS Como se muestra en la figura la puerta NOR en CMOS se forma introduciendo transistores de canal P en serie y transistores de canal N en paralelo al inversor básico. Con esta configuración bastaría que cualquiera de las entradas estuviera en alta para que el transistor de canal P correspondiente no conduzca mientras el transistor de tipo N está en saturación, con lo que la salida estará en baja. Por el contrario, mientras ambas entradas están en baja, los dos transistores de canal P estarán en conducción, mientras que los de canal N se encuentran cortados, resultando que la salida se encuentre en valor alto.
131
132
BLOQUE V. LUMÍNICA
133
134
Índice Tema 14: Dispositivos fotónicos ..................................................................................................................................... 137 Fuentes luminosas ........................................................................................................ 138 Líneas espectrales ................................................................................................................ 138 Espectros continuos............................................................................................................. 138 Propagación de la luz................................................................................................... 139 Principio de Huygens .......................................................................................................... 139 Principio de Fermat ............................................................................................................. 139 Reflexión y refracción ................................................................................................. 140 Introducción ........................................................................................................................... 140 Mecanismos físicos de la reflexión y la refracción ................................................... 140 Reflexión especular y difusa ............................................................................................. 140 Intensidad relativa de la luz reflejada y transmitida .............................................. 140 Reflexión interna total ..................................................................................................... ... 140 Polarización ....................................................................................................................141 Polarización por absorción ............................................................................................... 141 Polarización por reflexión ................................................................................................. 141 Polarización por birrefringencia..................................................................................... 141 Formulario ...................................................................................................................... 142
135
136
Tema 14: Dispositivos fotónicos
1. Fuentes luminosas 2. Propagación de la luz 3. Reflexión y refracción 4. Polarización 5. Formulario
137
Fuentes luminosas Líneas espectrales Las fuentes más comunes de luz visible son las transiciones de los electrones externos que tienen lugar en los átomos, pues normalmente un átomo se encuentra con sus electrones en sus niveles energéticos permitidos más bajos. Los electrones de baja energía se encuentran más cercanos al núcleo, mientras que el electrón o los dos electrones de estados energéticos más altos, más lejos del núcleo son más fácilmente excitables para ocupar los estados energéticos vacantes más elevados. Estos electrones externos son los responsables de los cambios energéticos del átomo que se producen en la emisión o absorción de luz. Cuando un átomo choca con otro o con un electrón libre, o cuando absorbe energía electromagnética, los electrones externos pueden excitarse a estados energéticos más elevados. Después de aproximadamente , los electrones externos verifican transiciones a estados energéticos más bajos con la emisión de un fotón. Este proceso, llamado emisión espontánea, es aleatorio; puesto que los fotones emitidos por dos átomos diferentes no tienen entre sí ninguna correlación, por lo que la luz emitida no es coherente. De acuerdo con el principio de conservación de la energía, la energía del fotón emitido es la diferencia entre las energías de los estados final e inicial, estando la frecuencia de la onda relacionada con la energía por la ecuación de Einstein, por lo que la longitud de onda emitida sería:
Las energías de los fotones correspondientes a las longitudes de onda más corta (400nm) y más larga (700nm) del espectro visible son: Debido a que los niveles energéticos de los átomos forman una serie discreta, los espectros de luz procedentes de átomos aislados o gases a baja presión constan de una serie de líneas discretas y definidas que son características del elemento, estando estas ensanchadas por los desplazamientos Doppler debidos al movimiento relativo del átomo respecto al observador y por las colisiones con otros átomos, aunque si la densidad es suficientemente baja, las líneas del espectro son estrechas y bien separadas. Espectros continuos Cuando los átomos están próximos entre sí e interaccionan fuertemente, los niveles energéticos individuales se dispersan apareciendo bandas de energía continuas con diferentes niveles. Cuando estas bandas se solapan se genera un espectro continuo de energías posibles con un espectro de emisión continua. En un material incandescente los electrones se aceleran aleatoriamente por las colisiones obteniendo como resultado un espectro amplio de radiación térmica. La radiación emitida por un cuerpo a temperaturas por debajo de 600º está en la zona de infrarrojos, mientras que cuando se calienta entre 600º y 700º la energía radiada corresponde al espectro visible con un color rojo oscuro el cual se va haciendo más brillante cuanto más se caliente para llegar por último al color blanco. La longitud de onda para la cual la potencia es un máximo varía de forma inversamente proporcional con la temperatura, resultado que se conoce de la ley de Wien.
138
Propagación de la luz Principio de Huygens
Este principio permite definir el lugar geométrico de los puntos con fase constante. Así pues si el radio de la fuente de las ondas es r, su radio en el instante es , siendo c la velocidad de la onda. Esto podría cambiar en caso de que la onda pasase a lo largo de diferentes medios, momento en que sería mucho más difícil y se utilizaría el principio de Huygens que explica como cada punto de un frente de onda primario sirve como foco de ondas esféricas secundarias que avanzan con una velocidad y frecuencia igual a las de la onda primaria, mientras que el frente de la onda primario al cabo de un tiempo es la envolvente de estas ondas elementales. Este principio fue posteriormente modificado por Augustin Fresnel, de modo que se calculaba el nuevo frente de onda a partir del frente de onda primitivo mediante la superposición de las ondas elementales considerando sus amplitudes y fases relativas, para que posteriormente Kirchoff demostrara que este principio era una consecuencia de la ecuación de ondas y proveyéndole una base matemática firme. Principio de Fermat EL principio de Fermat explica que la trayectoria seguida por la luz para pasar de un punto a otro es aquella para la cual el tiempo de recorrido es mínimo.
139
Reflexión y refracción Introducción La reflexión y refracción son leyes que se aplican a las ondas de luz, pero para su comprensión han de entenderse antes algunos conceptos como el índice de refracción. El índice de refracción se define como la relación entre la velocidad de la luz en el vacío y en un medio determinado, pues cualquier medio ofrece una cierta resistencia, provocando que la velocidad por este sea menor.
Cuando la luz incide sobre una superficie que es límite entre dos medios, parte de la energía luminosa se refleja y parte entra en el segundo medio, provocando que cuando la luz incidente no es perpendicular a la superficie, provoca que la refleja no siga el mismo ángulo, denominándose a este cambio de dirección refracción. Puesto que el ángulo de refracción de salida depende del de incidencia y de la velocidad relativa o índice de refracción, los ángulos y velocidades vienen relacionados mediante:
*A esta relación se la denomina ley de Snell o de la refracción.
Mecanismos físicos de la reflexión y la refracción El mecanismo físico de la reflexión de la luz consiste en que cuando la luz que se transmite por un medio llega a otro con un índice de refracción mayor, los átomos de este absorben luz y la irradian con la misma frecuencia en todas las direcciones, provocando que las onda irradiadas hacia atrás interfieran de manera constructiva en un ángulo igual al de incidencia, produciendo así la onda reflejada. La onda transmitida es el resultado de la interferencia entre la onda incidente y la onda producida por la absorción del medio, puesto que cuando la luz incide sobre un material con mayor índice de refracción existirá un retraso de fase entre las ondas, lo cual implica que la posición de la cresta de la onda transmitida está retardada respecto a la emitida, provocando que una cresta de la onda no llegue tan lejos en el medio como la incidente e implicando que la velocidad de la onda transmitida es menor a la de la incidente. Como la frecuencia de la luz no varía, pero la velocidad si lo hace, la longitud de onda de la luz transmitida es diferente pues esta se define como la relación entre frecuencia y velocidad de lo que obtenemos:
Reflexión especular y difusa
⁄
La reflexión sobre una superficie suave y lisa se denomina reflexión especular, difiriendo de la reflexión difusa en que esta produce reflexiones aleatorias que no divergen de ningún punto y por lo tanto no permiten formar una imagen. Intensidad relativa de la luz reflejada y transmitida La fracción de energía luminosa reflejada en una superficie límite, como en una interfase aire-agua, depende de una forma compleja del ángulo de incidencia, de la orientación del vector campo eléctrico asociado a la onda y de los índices de refracción, siendo para el caso especial de incidencia perpendicular:
Reflexión interna total
Todos los rayos no perpendiculares se desvían alejándose de la normal y al ir aumentando el ángulo de incidencia el de refracción crece hasta alcanzar el ángulo de incidencia crítico, para el cual el ángulo de refracción es 90º, de manera que aquellos ángulos mayores no provocan un rayo reflectado, pues la energía se refleja al completo, siendo la ecuación que define este ángulo:
140
Polarización Polarización por absorción Considerando un haz de luz no polarizada que se propaga por z e incide sobre una película polarizada con su eje de transmisión en el eje x, tras lo que incide sobre una segunda película polarizada, cuyo eje de transmisión forma un ángulo con el eje x. Si E es la amplitud del campo eléctrico del haz que incide sobre esta segunda película, la componente paralela al eje de transmisión será mientras que el perpendicular será , con lo que la película absorbe y transmite de modo que la amplitud del campo transmitido será este y el campo estará polarizada linealmente en la dirección del eje de transmisión. Puesto que la intensidad de la luz es proporcional al módulo de la amplitud del campo eléctrico las intensidades de la luz transmitida respecto de la recibida será:
Como tenemos un rayo de luz no polarizada sobre una lámina polarizadora, la dirección del campo eléctrico varía en los distintos lugares de la lámina y en cada lugar varía con el tiempo, pero como en cada lugar el ángulo promedio entre el campo eléctrico y el eje de transmisión es de 45º, poder entender que el rayo transmitido será , con lo que si situamos a lo largo de un haz de luz no polarizada dos elementos polarizadores perpendiculares conseguiremos que no pase nada de luz a través de ellos.
Polarización por reflexión Cuando la luz no polarizada se refleja en una superficie plana entre dos medios transparentes, la luz reflejada está parcialmente polarizada, dependiendo del ángulo de incidencia y de los índices de refracción la cantidad de polarización será diferente. Para cierto ángulo de incidencia la luz reflejada se encuentra completamente polarizada, provocando que cuando el ángulo de incidencia y de polarización coinciden, los rayos reflejado y refractado son perpendiculares entre sí. El campo eléctrico de la luz incidente puede descomponerse en dos componentes, una paralela y otra perpendicular al plano de incidencia, estando la luz reflejada completamente polarizada con su vector del campo eléctrico perpendicular al plano de incidencia, de manera que se puede establecer una relación entre el ángulo de polarización y los índices de refracción mediante la ley de Snell:
Aunque la luz reflejada está completamente polarizada cuando el ángulo de incidencia es , la luz transmitida está solo parcialmente polarizada debido a que solo se refleja una pequeña fracción de la luz incidente, de manera que si la propia luz incidente está polarizada con su vector del campo eléctrico contenido en el plano de incidencia, no existe ninguna ningún luz reflejada cuando el ángulo de incidencia es . Polarización por birrefringencia La birrefringencia o doble refracción es un fenómeno complicado que se presenta en la calcita y otros cristales no cúbicos y en algunos plásticos como el celofán. Este fenómeno ocurre debido a que mientras en la mayoría de los materiales la velocidad en todas direcciones es la misma, mientras que estos materiales la velocidad depende del plano de polarización y de su dirección de propagación, de manera que cuando un rayo incide sobre este tipo de material, puede separarse en dos rayos diferentes denominados rayo ordinario y extraordinario, los cuales están polarizados en direcciones mutuamente perpendiculares y se propagan con diferentes velocidades. Dependiendo de la orientación relativa del material y de la luz incidente, los rayos pueden propagarse también en direcciones diferentes.
141
