Econometría Intermedia Apuntes de Clases
José Miguel Benavente H.1
21 de septiembre de 2011
1 Escuela de Negocios. Universidad Adolfo Ibanez. e-mail :
[email protected]. Notas basadas en Benavente (2010). Todos los errores son responsabilidad del autor.
Capítulo 1 Introducción al Curso 1.1.
Resumen
1. Conceptos y Metodología en Economet ría 2. Una Nota de Precaución
1.1.1.
Referencias
D.F. Hendry Dynamic Econometrics (1995) Capítulo 1. J. Kmenta Elements of Econometrics (1986) Parte 1. P. Kennedy A Guide to Econometrics (1997) Capítulo 1. C. Mukherjee, H. White, M. Wuyts Econometrics and Data Analysis for Developimng Countries (1998). Dos artículos útiles: C.L. Gilbert "Professor Hendry ťs Methodology". Oxford Bulletin of Economics and Statistics (1986, Vol 48). D.N. McCloskey y S.T.Ziliak "The Standard Error of Regresions". Journal of Economic Literature (Vol 34, Marzo 1996)
1.2. 1.2.1.
Conceptos y Metodología en Econometría Objetivos
La econometría está relacionada con la medición de relaciones económicas mediante el uso de métodos y técnicas de estimación de la inferencia estadística clási1
ca. POr su lado, la economía matemática está relacionada con la formalización de la teoría económica sin preocuparse de los problemas estadísticos asociados a la inferencia a partir de los datos. La econometría pretende principalmente cerrar la brecha que existe entre la teoría económica y los sistemas económicos reales los que son pueden ser representados por datos.
1.2.2.
Uso de la Econometría
Generalmente la econometría tiene tres propósitos relacionados: 1. Cuantificación: Aplicación de métodos para cuantificar relaciones con interés económico. En otras palabras, se espera obtener de los datos aquellos valores de los parámetros del modelo teórico, el que creemos representa la teoría económica subyacente y que ha generado los datos observados. Por ejemplo, si consideramos una función de demanda lineal que tiene la siguiente forma: Qt = α 0 + α1 Pt + α2 Yt + µt (1.1) la estimación está relacionada con el proceso de derivación de los valores de α0 , α1 y α2 . Esto es un proceso intrísicamente mecánico. Existen numerosos métodos para atacar este problema y la capacidad actual de los computadores hacen de esta una tarea sencilla. 2. Inferencia: Habiendo obtenido los estimadores de α0 , α1 y α2 querremos saber ahora si estos estimadores son una buena aproximación de la verdad, es decir, la “verdadera” aunque no observable relación inheren te (condicional) entre Q, P e Y. Este aspecto de la econometría hace un uso intensivo de la teoría clásica de inferencia estadística. 3. Predicción y Simulación: Suponga que una teoría dada es apoyada por la información existente (i.e. los datos), podríamos desear predecir el comportamiento de la economía ahora sobre una muestra diferente. Esta podría ser la conducta de un grupo diferente de agentes económicos o para los mismos agentes pero sobre un período distinto. No obstante, la aplicación mas común es la predicción de conductas futuras. Una Nota de Precaución : Teoría y datos están íntimamente ligados ; los hechos no existen en el vacío, estos son distinguidos e interpretados por la teoría. Los "hechos"en este caso son representados por los datos que podemos recolectar. La manera en que los recolectamos, cómo medimos el fenómeno económico inevitablemente está condicionado o guiado por la teoría, aquella que utilizamos para especificar los modelos economét ricos.
2
Esto produce una gran tensión dentro de la econometría dado que uno de los objetivos es el uso de modelos econométricos y los datos para evaluar teoría rivales como si los datos fueran independientes de la teoría. La pregunta que continuamente los investigadores se hacen es: ¿cuál es el rol que tiene los datos en el proceso de la comprensión económica?, ¿cómo podemos mantener el balance entre ser fieles a la a la teoría y usar datos para “calibrar” el modelo teórico, por una parte, y por la otra, mantenerse agnóstico acerca de la teoría y usar los datos para refinar (o incluso definir) nuestra visión teórica del mundo?. Está tensión está en el centro del debate metodológico en esta rama científica y aún no ha sido resuelto.
1.2.3.
Una Metodología Econométrica
La metodología adoptada en este curso comienza con los trabajos pioneros de Dennis Sargan en 1960 la que se ha hecho mas popular con los trabajos contemporáneos de David Hendry y sus colegas. Esta metodología es probablemente aquella que domina la econometría en Inglaterra y Europa y es comúnmente referida como el “LSE Approach”. Estas notas brevemente discutirán los principales elementos y conceptos asociados a esta metodología . Para un mayor detalle de ésta, se puede revisar el Capítulo 1 de Hendry (1995). Esta metodología no ha estado exenta de críticas, particularmente en USA, donde generalmente (y erróneamente, según mi percepción) ha sido caricaturizada como mostrando demasiado “agnosticismo” teórico. Background. Los primeros años de la econometría (entre los 30s y los 50s) estuvieron concentrados principalmente en asuntos relacionados con la obtención de los estimadores, lo que , antes de la llegada de los computadores personales, era una tarea monumental. De tal forma, la metodología econométrica de ese entonces trabajaba bajo el supuesto que el modelo a estimar era conocido y además era el correcto. La pobre performance de estos modelos sumado al hecho de la fragilidad de los estimadores econométricos y las inferencias obtenidas de ellos, representó un desafío significativo a la econometría y proveyó un estímulo para la re-examinación de la metodología econométrica. Ya a los comienzos de los 70s se observa un creciente cuestionamiento acerca de la metodología utilizada en la econometría. La filosofía subyacente a los acercamientos contemporáneos de la econometría comienzan por revisar los cuestionamientos acerca de la “computación” al notar que, en general, la estimación del modelo es fácil, pero que la especificación y evaluación del modelo es difícil. De esta manera, la econometría es mas bien un proceso de descubrimiento mas que uno de estimación y el debate econométrico consiste en el desarrollo de un proceso eficiente de descubrimiento, diseño y eval3
uación. Para formalizar un poco mas esta metodología distinguiremos cuatro niveles de información disponible al investigador (Hendry, 1995, Capítulo 1) Nivel A Teoría de Probabilidades en la cual la estructura del proceso generador de datos (DGP) subyacente (normalmente estocástico) es conocido con certeza y la verosimilitud (o probabilidad) de todos los posibles eventos puede ser deducida directamente de la teoría. Nivel B Teoría de Estimación donde la forma general del DGP es conocida pero su calibración (i.e. valores de los parámetros) es desconocida. Aquí, la verosimilitud de todos los posibles eventos puede ser sólo inferida a partir de las observaciones empíricas (datos) con la ayuda de la teoría desarrollada en el Nivel A. Nivel C Teoría de Modelamiento donde la estructura del DGP es desconocida. La única estrategia que se puede seguir aquí es hipotetizar características alternativas del DGP (referidas como modelos) y desarrollar métodos para determinar aquel modelo mas proclive de haber generado los datos observados. Nivel D Teoría de Predicción donde ni el DGP ni la realización"de los datos son observados. La teoría de predicción se preocupa de la evaluación de modelos rivales derivados en el Nivel C. Basados en esta caracterización, esta metodología consiste en cinco pasos interrelacionados. Estos son los siguientes: 1. condicionamiento y marginalización del DGP 2. estimación de modelos no restrictivos y “sobreparametrizados” 3. simplificación del modelo sobreparametrizado 4. testeo e identificación de modelos “congruentes” 5. anidamiento de modelos rivales Modelamiento econométrico es, de esta forma, un proceso iterativo de marginalización y condicionamiento progresivo del conjunto de datos para definir el modelo, y el testeo y validación de las restricciones de marginalización y condicionamiento asumidas. El proceso de detiene sólo cuando el investigador ha identificado lo que comúnmente se denomina un modelo congruente. Un modelo congruente es aquel que puede ser interpretado en términos de relaciones económicas derivadas de la teoría 4
(consistencia teórica) y que también describe las características de los datos en forma estadísticamente robusta (admisible por los datos). Este approach es referido normalmente como un modelamiento del tipo general-a-específico (general-tospecific). 1. El Proceso Generador de Datos (DGP) y modelos condicionales . Esta metodología está basada en la noción de que los datos económicos son generados por un proceso extremadamente amplio y complejo (i.e. la estructura de la economía y las interacciones de los agentes con esta estructura) el que no es o no puede ser comprendido completamente. A este proceso complejo lo denominaremos como Proceso Generador de Datos (DGP). En general, la tarea del econometrista es la de caracterizar las principales propiedades de este DGP a través de la construcción de modelos que sean consistentes con la teoría y estadísticamente válidos. El conjunto de datos en economía consiste, típicamente, en una muestra de observaciones relativamente pequeña de un gran número de variables. De esta forma, para que sea manejable, el análisis debe concentrarse en un subconjunto de estas variables. El DGP puede ser pensado como la distribución de probabilidades conjunta de un vector de variables V y un conjunto de parámetros Θ los que describen las relaciones (aun desconocidas) entre las variables. Podemos describir el DGP para V (para el período t = 1 ....T) como:
Vt = DV (Vt |Θ, V0 ) = ΠTt=1 DV (Vt |Θ, Vt−1 )
(1.2)
Sin embargo, supongamos que estamos sóloejemplo en un aspecto específico del funcionamiento general de lainteresados economía, por en la conducta de consumo del sector privado. Podremos definir un vector de parámetros de interés específico como λ1 (escogido dada su relevancia teórica en el problema analizado por el investigador). Por ejemplo, λ1 podría incluir la propensión marginal a consumir. El modelo ha ser estimado, que contiene sólo los parámetros de interés λ1 , que son un subconjunto de Θ, es obtenido mediante un proceso de factorización de la distribución conjunta. Cabe señalar que para cualquier par de variables aleatorias m y n, su distribución de probabilidades conjunta D(m,n) puede ser factorizada como:
D(m, n) = D (m|n)D(n)
D(n|m)D(m)
(1.3)
Volviendo al caso discutido en (2), supongamos que V t = { Xt , yt , wt } donde w es el conjunto de variables no relevantes para el problema y donde X = ( y , z ) es el conjunto de variables relevantes. Entonces el DGP puede ser 5
factorizado en sus procesos condicionales y marginales para cada t.
DV (Vt |Vt−1 , Θ) = DX |W (Xt |wt , Vt−1 , φ1 )DW (wt |Vt−1 , φ2 )
(1.4)
donde Θ = {φ1 , φ2 }. Una vez que el investigador a reducido el alcance del problema al marginalizar la variables “ruidosas”, w, de esta manera, factorizaciones posteriores se deben realizar para llegar a la especificación preferida.
DX (yt , zt |Xt−1 , φ) = Dy|z (yt |zt , Xt−1 , λ1 )Dz (zt |Xt−1 , λ2 )
(1.5)
La ecuación (5), donde φ = {λ1 , λ2 } expresa la variable de interés modelada (i.e. independiente), y, sólo en términos de la variables explicativas , z, su historia y los parámetros de interés. Todos los modelos econométricos son esencialmente modelos condicionales de la forma especificada en (5) obtenidos mediante este proceso de factorización del DGP ya sea en forma explícita o, como suele ocurrir comúnmente, de forma implícita. La forma específica del modelo dependerá de los supuestos impuestos sobre la forma de la función de distribución conjunta (el DGP). La marginalización de las variables w (i.e. la validez de exclusión de estas variables) requiere que los parámetros de interés, λ1 , sean una función solamente de φ1 y además que φ1 y φ2 sean libres de variación. Este proceso reduce el tamaño del problema y permite al investigador enfrentarse a un problema manejable. Similarmente, la validez de la versión final del modelo condicional requiere que la relación entre las variables y y z, pueda ser descrita sola y completamente en términos de λ1 sin tener que saber los parámetros del proceso marginal de z .Estos aspectos, conocidos como exogeneidad, serán discutidos mas adelante en el curso. 2. Estimación. Esto será discutido en la tercera semana 3. Simplificación. Claramente, los procesos de marginalización y condicionamiento no son únicos. Estos dependerán del problema que se analice y de la elección por parte del investigador acerca de la descomposición progresiva del DGP hacia el modelo de condicional final. Ello, obviamente levanta la pregunta acerca la arbitrariedad del proceso de modelamiento. La respuesta a esta pregunta es no, dado que cualquier arbitrariedad es controlada de tres formas diferentes. La primera, es obviamente la teoría económica: econometría es una herramienta para informar o probar una teoría. No importa cuan “buena” pueda ser nuestra representación estadística, siempre estaremos forzados a evaluar los modelos en términos de teoría económica. Teoría y evidencia no son sustitutos. El segundo control viene en.... 6
4. Testeo Diagnóstico. En el cual la validez estadística del condicionamiento está sujeta a un testeo riguroso. La falla en los tests implementados entrega evidencia acerca de la invalidez de las condiciones de exogeneidad asumidas. Estos aspectos serán analizados entre la quinta y séptima semana de clases. Un modelo “congruente” es aquel que : a) es interpretable en términos de los parámetros estructurales de interés; b) coherente con los datos ; c) donde exista estabilidad en los parámetros de tal forma que el modelo puede ser generalizable para muestras alternativas. Si los modelos resultantes no son congruentes (los cuales suele ser la regla al comienzo de la investigación) el proceso de reducción general-a-específico, al considerar el condicionamiento, el proceso de simplificación, la especificación dinámica, etc deberán ser repetidos. La búsqueda de modelos congruentes es, como se mencionó, un proceso iterativo. 5. Abarcamiento (Encompassing). Como resultado de los pasos (i) a (iv) habremos desarrollado modelos que son congruentes. Pero cómo los podemos comparar? El propósito del abarcamiento es la de proveer formalmente una manera de contrastar un modelo con otro para explicar los datos que se observan. Esencialmente si tenemos dos modelos compitiendo (i.e. dos especificaciones que persiguen describir la evolución de una variable en particular) deberemos hacer la siguiente pregunta : creyendo en el Modelo 1, podemos explicar a lo menos todo lo que el Modelo 2 puede explicar?. De ser así, podemos decir que el Modelo 1 abarca al Modelo 2. El concepto de abarcamiento parsimonioso captura la noción de que un modelo simple abarca a uno mas general. Resulta claro que un modelo que tiene muchos regresores es intuitivamente menos “poderoso” que aquel que puede “explicar” lo mismo en base a una especificación mas simple. En el límite, un modelo que describe todo, explica nada !!!! Recapitulando : modelamiento econométrico es un proceso iterativo donde las primeras tres reglas de oro son “Test, Test and Test” (Hendry, 1995).
1.3.
Una nota de precaución
Para finalizar estas notas llegamos a lo que probablemente sea la lección mas importante en econometría, la que puede ser resumida p or la siguiente frase: “... una diferencia puede ser importante sin que necesariamente sea significante, y una diferencia puede ser significante sin que sea necesariamente importante ...” . McCloskey y Ziliak (1996) resaltan lo que ellos denominan la “hipótesis alarmante” 7
de que “ordinariamente en economía, la significancia estadística se considera como similar a la significancia económica”. Consideremos el siguiente ejemplo derivado de la teoría de tasas de cambio, en forma particular, la condición de paridad de poder de compra (PPP):
P P P : P = α + β (EP ∗ ) +
(1.6)
donde H 0 : β = 1. Suponga que derivamos una estimación puntual de 0.95 para β . Bajo que condiciones podemos rechazar / no rechazar la hipótesis nula?. La respuesta es simple ya que disponemos de metodologías estandarizadas para construir intervalos de confianza. Sin embargo, que significa decir que β = 0.95 no es diferente de la unidad si T = 100 pero lo contrario si T = 1000?. Es realmente diferente de la unidad? Pruebas de significancia tratan solamente con errores muestrales (i.e. la precisión de una estimación) pero altas o bajas significancias estadísticas no necesariamente determinan cuan importante es la variable. Un valor de β = 0.95 puede ser “suficientemente cercano” para un economista que investiga, por ejemplo, índices de estándar de vida entre países. Es claramente diferente de uno para un trader en los mercados internacionales de divisas.
8
Capítulo 2 Revisión de las Bases de la Econometría y elEstadísticas Modelo de Regresión Clásico 2.1.
Resumen
1. Estimación: Conceptos Básicos 2. Benchmark: Modelo de Regresión Clásico 3. Apéndice: Algunas Distribuc iones Utiles
2.1.1.
Referencias
Gujarati: Parte 1 Kmenta: Capítulos 4-7 Greene: Capítulos 3 y 4 Kennedy: Capítulo 2 Mukherjee:Capítulo 2
2.2.
Introducción
En esta y la clase siguiente nos preocuparemos de revisar dos importantes actividades de la econometría:
9
Estimación: el uso de información muestral para obtener estimadores de parámetros poblacionales (basados en supuestos sobre la DGP-Nivel B). Inferencia: el uso de la teoría de probabilidades y distribuciones con el fin de inferir los verdaderos valores de los parámetros en función en los momentos estimados para la población ( Nivel A). Estos dos componentes serán revisados a la luz del modelo clásico de regresión lineal, piedra angular en la econometría moderna.
2.3.
Estimación
Dejaremos para la siguiente clase métodos específicos de estimación donde examinaremos el método de Máxima Verosimilitud así como el ya conocido método de Mínimos Cuadrados o el mas novedoso método de los Momentos. Por ahora nos concentraremos en las propiedades deseables de un estimador general. Definición 1 : Un estimador es un estadístico de la muestra el que entrega información acerca de la población. Supongamos que el parámetro de interés es Θ (el que puede ser la media, varianza, ˆ . Cada skewness u otro momento mayor), nos referiremos al estimador como Θ observación individual se denomina como una estimación de dicho estimador. 1. Propiedades estimador en muestras finitas . El primerpara conjunto de propiedadesdel están relacionadas con la calidad del estimador una muestra en particular de tamaño fijo: a ) Sesgo. Un estimador será insesgado si el valor esperado del estimador ˆ ) = Θ. De esta manes igual al "verdadero"valor poblacional. Así, E (Θ era, el sesgo de un estimador viene dado por: ˆ) Sesgo = [E (Θ
− Θ]
b) Eficiencia. Un estimador es eficiente si es insesgado y su varianza es menor que cualquier otro estimador insesgado. Lo anterior sugiere que a pesar de que podremos comparar la eficiencia relativa entre estimadores, no podemos realizar ninguna aseveración definitiva acerca de un estimador ya que pudiera existir uno aún no descubierto, el 10
que pudiera tener una varianza menor. Afortunadamente existe un teorema, el teorema de la Cota Mínima de Cramer Rao, el que nos permite determinar la cota mínima a la cual cualquier estimador insesgado puede alcanzar dado que podemos especificar la forma funcional de la distribución poblacional . Una medida de la calidad de un estimador, la que combina ambas propiedades es el Error Cuadrado Medio . Este puede ser definido como : ˆ ) = E (Θ ˆ EC M (Θ
− Θ)2 = E [Θˆ − E (Θ)]2 + [E (Θˆ ) − Θ]2
El cual es la suma de la varianza del estimador mas el cuadrado del sesgo. 2. Propiedades límites y asintóticas . Generalmente estamos interesados en la naturaleza del estimador a medida que la muestra crece en tamaño. Ello debido a dos razones fundamentales: Primero, en la mayoría de los casos no podremos decir nada preciso acerca de las propiedades de un estimador cuando la muestra es pequeña pero sí podremos derivar resultados (aproximados) acerca del estimador a medida que la muestra crece. Segundo, a menudo encontramos que necesitamos trabajar con estadísticos (principalmente pruebas estadísticas) las que no son independientes del tamaño de la muestra. De ser así, necesitamos saber la manera en que el estimador se comportará a medida que la muestra cambia, generalmente cuando ésta crece. Convergencia en Probabilidad Una variable aleatoria x converge en probabilidad si: l´ım x = plimx = x ∗
n→∞
donde x ∗ es un valor arbitrario dado, el que se lee “el valor límite en probabilidad es x estrella”. La probabilidad en el límite puede ser reescrita como sigue: l´ım P r(x∗ x x∗ + ) = 1 n→∞
− ≤ ≤
El Teorema de Slutsky Si g(x) es una función continua de x entonces:
plim g (x) = g (plim(X )) 11
El límite de la función es la función en el límite. Notar que esta no es una propiedad general de las funciones (p.e. Desigualdad de Jensen) 1 . El teorema de Slutsky aplicado a vectores (matrices) aleatorias como también a escalares aleatorios es como sigue. Si plim W n = Ω, entonces, plim W n−1 = Ω−1 . Convergencia en Distribución y Distribuciones Límites La distribución límite de una variable aleatoria x se denotará por F(x). Diremos que la variable aleatoria xn converge en distribución a x, denotado d
xn
−→ x. La como y varianza media límite y límite la varianza son simplemente la media de la distribución F(x). límite Existen dos resultados que son necesario destacar: (ver Grenne cap. 4) Si x n
d
−→ x y plimy
Si x n
n
= c entonces x n yn
d
−→ cx
d
d
−→ x y g(x) es cóncava entonces g (x ) −→ g(x) n
Finalmente, en general se da el caso que la distribución límite F(x) de un variable aleatoria es un punto (a menudo el cero). Hay muy poca información en este punto y, en consecuencia, estaremos interesados en estudiar las propiedades de la variable aleatoria antes de que colapse en esta singularidad. Ello puede lograrse mediante el uso de una transformación estabilizadora. Por ejemplo, podremos encontrar un estadístico que tenga la siguiente propiedad: plimθˆ = θ el cual es un punto. Sin embargo, podemos definir una transformación de tal manera que: d z = h (θˆ) f (z )
−→
donde f(z) es una función límite bien definida. Lo anterior, nos permite introducir nuestra siguiente propiedad para un estimador: 3. Consistencia. Un estimador es consistente si su probabilidad límite ( o en el límite) es igual al verdadero parámetro poblacional. En otras palabras:
plim(θˆ) = θ Distribución Asintótica. 1
La desigualdad de Jensen sugiere que, en general, E[g(x)] cuando g(x) es una función convexa, E[g(x)] g[E(x)].
≥
12
=
g[E(x)]. Mas específicamente,
Distribuciones límites son de poco uso directo cuando estamos preocupados por las propiedades de los estimadores derivadas a partir de muestras finitas de observaciones. En tales circunstancias haremos uso de aproximaciones a la verdadera (pero desconocida o no computable) distribución mediante el análisis de la distribución del estadístico a medida en que el tamaño de la muestra tiende a infinito. a xn f (x, n)
−→
4. Sesgo Asintótico. Un estimador se dice que es asintóticamente insesgado si: θ) ım E (ˆ nl´ →∞
=θ
Si un estimador es insesgado es automáticamente asintóticamente insesgado también, pero lo contrario no es necesariamente cierto.
2.4.
Uso de la Teoría de Distribuciones: Distribución Muestral de la Media Muestral
Imagine que obtiene una muestra aleatoria de n observaciones provenientes de una población y que calcula un estadístico, por ejemplo, la media muestral. Si obtenemos otra muestra podríamos, obviamente, obtener otro valor para este estadístico. De esta forma , la media muestral es, efectivamente, una variable aleatoria. Estamos interesados aquí en derivar la distribución muestral de esta media muestral en los casos en que la variable puede tomar cualquier valor y además puede provenir de cualquier tipo de distribución. Teorema 1 Si x 1 ,..,x n son una muestra aleatoria y sabiendo que estas variales son idéntica e independientemente distribuidas cada una teniendo la misma media µ y varianza σ 2 , entonces cualquiera que sea la forma de la distribución de X , la distribución ¯ tendrá una media igual a la media poblacional muestral de la variable aleatoria X 2 µ pero con una varianza igual a σn . Demostración. Definiremos la media muestral como: ¯ = 1 X n
n
i=1
13
Xi
donde X1 ,..,X n son n variables obtenidas de la misma muestra. Se asume que Xi son i.i.d. Dado que n es constante, se tiene que : ¯) = E 1 E (X n
n
i=1
Xi
⇒ E (X¯ ) = n1 E
n
Xi
i=1
sabemos que en el caso de una función lineal, el valor esperado de una suma es igual a la suma de los valores esperados. Dado que la media de cada Xi es µ, entonces:
E (X ¯ ) = 1 [E (X1 ) + ... + E (Xn )] = 1 [µ + ... + µ] = nµ n n n así, la media de la distribución muestral es igual a la media poblacional. POr otra parte, la varianza de la media muestral es: 2 ¯ σX ¯ = V ar (X ) = V ar
1 n
n
Xi
n
=
i=1
1 V ar[ Xi ] n2 i=1
dado que las variables son independientes, sus covarianzas son cero, entonces, V ar[ Xi ] = V ar(Xi ).
En resumen: si X
2 σX ¯ =
1 σ2 [V ar(X1 ) + ... + V ar(Xn )] = 2 n n
∼ (µ, σ2) entonces X¯ ∼ (µ,
σ2
n
).
Teorema 2: Teorema del Límite Central Si X1 ,...,X n es una muestra aleatoria de cualquier distribución de probabilidades con media finita µ y varianza finita σ 2 , entonces:
√n(X¯ − µ) −→ N (0, σ2) d
la que dice que la distribución límite de la media muestral es una Normal. Existen variadas representaciones de esta última expresión. Por ejemplo, si estandarizamos la variable aleatoria, la distribución límite viene dada por:
√n(X¯ − µ) σ
d
−→ N (0, 1)
Si cada variable aleatoria tienen una media en común µ pero con varianzas diferentes σi2 , entonces la distribución límite viene dada por:
√n(X¯ − µ) −→ N (0, σ¯2) d
14
Finalmente, el teorema central del límite también se puede aplicar en un contexto multivariado: Teorema 3: Lindberg-Levy TCL Si X 1 ,...,X n es una muestra aleatoria obtenida a partir de cualquier distribución de probabilidades multivariada con un vector de medias finito µy una matriz de covarianzas Q finita positiva y definida, entonces:
√n(X¯ − textbfmu ) −→ N (0, Q) d
el que dice que la distribución límite de la media muestral es una Normal (multivariada). Los teoremas central del límite nos entregan una indicación acerca de las propiedades de la distribución límite de la media muestral. Existe un último teorema fundamental: Teorema 4: Distribución Asintótica de la Media Muestral Si se tiene que : ¯ µ) d n(X N (0, 1)
√
σ
Entonces, asintóticamente:
−→
¯ X El que se denota: ¯ X
− −→
∼N a
µ,
σ2
N µ,
n
σ2
n
El que dice que la media de una variable aleatoria X es asintóticamente (i.e en muestras muy grandes) normalmente distribuído con media µ (media poblacional) 2 y una varianza σn (la que tiende a cero a medida que la muestra crece infinitamente). El teorema central del límite es una piedra angular en la econometría pues nos permite basar nuestras inferencias acerca de las propiedades de la muestra bajo el supuesto que su distribución puede ser aproximada por una Normal independientemente de la distribución de la población. Ya que la gran mayoría de los estimadores que se usan en econometría están basados en el TLC, observarán estas expresiones asintóticas a menudo.
15
2.5.
El Modelo Clásico de Regresión Lineal
Comenzaremos con el modelo simple de regresión lineal bivariado el cual puede ser derivado como una esperanza condicionada de una distribución normal bivariada (ver ayudantía ). Yi = α + β Xi + i (2.1) donde Y es la variable dependiente y X es la variable independiente, α y β son los parámetros de la regresión y es un término de error estocástico. Los subindices se refieren a las observaciones muestrales i los que pueden ser referidas al tiempo, a un individuo o una firma. El modelo de regresión es estocástico en el sentido de que para cada valor de Xi existe toda una distribución de probabilidades para Yi . La forma de la distribución de Y i es determinada por la forma de la distribución de . El modelo de regresión lineal clásico (CLR) asume un conjunto de premisas acerca de la forma de (1) y del término de error, haciendo de éste el modelo de regresión de referencia (benchmark). Cabe señalar que raramente en la práctica la realidad se ajusta a un CLR, pero la comprensión de su estructura e implicaciones, entrega un punto de partida para la mayoría de la econometría. Supuestos del Modelo Clásico de Regresión Lineal A1. El error, i , se distribuye normal. Normalidad. A2. El valor esperado del término de error, es cero, E (i ) = 0. Media Cero. A3. La varianza del error es constante, V ar(i ) = σ 2 . Homoscedasticidad. A4. La covarianza del error es cero, C ov (i , j )) = 0 . No Autocorrelación. A5. La variable independiente X es no estocástica. X No estocástica Los supuestos A1 al A4 tomados en su conjunto implican que el término de error i está idéntica e independientemente distribuido: i
∼ n.i.i.d(0, σ2)
Notar que si E (i ) = 0 entonces se sigue que V ar(i ) = E (2i ) y que C ov(i , j ) = E (i j ) (demostrar ). Una característica central de estos cuatro primeros supuestos consiste en que el error es una secuencia de eventos independientes e individualmente insignificantes. El término de error no contiene información sistemática sobre Y . El último supuesto necesita un poco mas de explicación. El que la variable X sea no estocástica, significa que tiene valores fijos en repetidas muestras de tal 16
manera de que para cualquier muestra de tamaño n : 1 n
n
i=1
( Xi
− X¯ )2 = 0
y su límite, a medida que n tiende a infinito es finito. Ello implica de que (i) los valores de X en la muestra no puede ser iguales y que no pueden aumentar o decrecer sin límite a medida de que la muestra crece. De ser así, entonces su varianza no podría ser definida ( £por qué? ). El supuesto de regresores no estocásticos significa que su valor es, ya sea controlado totalmente (el diseño experimental) o completamente predecible (en el sentido probabilístico). La principal implicancia de todo esto es que E (i Xj ) = Xj E (i ) = 0 para todo i, j. En otras palabras, el producto entre el regresor X y el término de error es cero. Estos no están relacionados de ninguna manera.
17
Capítulo 3 Estimación estadísticas y teoría sobre pruebas 3.1.
Resumen
1. Estimación de los parám etros en el modelo CLR Máxima Verosimilitud (MLE) Mínimos Cuadrados Ordinarios (OLS) - caso especial Métodos de los Momentos - estimador consistente 2. Inferencia en el CLR 3. Marco General sobre Pruebas Estadíst icas
3.1.1.
Referencias
Gujarati. Parte 1 Kmenta. Capítulo 6 Greene. Capítulos 4 y 5
3.2.
Estimación del mod elo Clásico de Reg resión Lineal (CLR)
Como se derivó en la Clase 2, el CLR puede ser expresado como:
Yi = α + β Xi + i 18
(3.1)
Como principal objetivo deseamos estimar y realizar inferencias acerca de la (desconocida) relación entre X e Y (i.e., los parámetros de la distribución condicional (Y|X). Los primeros dos momentos de la distribución son:
E (Yi ) = E (α + β Xi + i ) = α + β Xi
(3.2)
para la media y:
V ar(Yi ) = E (Yi
− E (Y ))2 = E [(α + β X + ) − (α + β X )] = E (2) = σ 2 i
i
i
i
i
(3.3)
para la varianza. La media de Yi puede ser interpretada como la línea de regresión poblacional y la varianza describe la dispersión de Yi alrededor de esta línea de regresión. Dados los supuestos sobre los errores en el CLR, existen sólo tres parámetros de interés : los parámetros que describen la media condicional de Y - en este caso α y β - y los parámetros del término de error. Dado, que por definición, n.i.i.d(0, σ 2 ) el único parámetros desconocido es σ 2 . De esta forma, deseamos estimar estos tres parámetros a partir de la información muestral. Examinaremos sólo dos métodos de estimación en detalle : máxima verosimilitud (MLE) y mínimos cuadrados ordinarios (OLS). El tercer método de estimación, el método de los momentos (MM), será revisado breve mente p ero lo veremos mas en detalle al final del curso.
∼
3.2.1.
Estimación I : Máxima Verosimilitud
Este método está basado en la simple idea, ya introducida en la Clase 1, en que podemos pensar las relaciones económicas en términos de un proceso de generación de datos. Así, un modelo puede ser pensado como una representación de las principales característricas de este DGP como una distribución conjunta (condicional) del DGP. Nuestro objetivo en la estimación será la de usar muestras generadas aleatoriamente a partir de esta (desconocida) DGP de modo de cuantificar estas distribuciones conjuntas basadas en el mínimo número de supuestos posibles acerca de la estructura de este DGP. La forma más general de estimación puede ser encontrada en el método de Máxima Verosimilitud. Para entender este método es bueno conocer el concepto de función de verosimilitud. Definición 1: Función de Verosimilitud. La función de verosimilitud se define como la distribución de probabilidad conjunta de la muestra. La densidad de cada observación es f (Xi ; θ ), donde i = 1 ...... n . 19
Si las observaciones son independientes, entonces la distribución de probabilidad conjunta de las n observaciones es:
f (Xi , X2 ,...,X n ; θ) = f (X1 ; θ ) · f (X2 ; θ) · · · f (Xn ; θ ) La que puede ser simplificada como:
f (Xi , X2 ,...,X n ; θ) = Πni=1 f (Xi ; θ) Esta distribución de probabilidad conjunta asume que los parámetros son conocidos y que los datos son variables aleatorias. Suponga que notamos que para una muestra dada, los valores x1 son conocidos y los parámetros desconocidos. La distribución conjunta dada la muestra puede ser expresada en términos de los parámetros desconocidos dado los datos, de la siguiente forma: n
Πi=1 f (Xi ; θ )
= L(θ|X1 , X2 ,...,X n )
(3.4)
La función L(θ |X ) se conoce como la función de verosimilitud. Notar que estamos expresando la verosimilitud en términos de los parámetros (desconocidos) condicional en los datos (conocidos). Esto es la esencia de la estimación. Con esta definición de función de verosimilitud en la mano, el método de estimación de los parámetros de la distribución de probabilidades es una tarea sencilla. Definición 2: Estimación por Máxima Verosimilitud Si una variable aleatoria X tiene una distribución de probabilidades f(X) caracterizada por los parámetros θ = {θ1 , θ2 ,..., θk } y observamos una muestra
X1 , X2 , ...Xn , entonces los estimadores máximo verosímil de θ1 , θ2 ,..., θk son aquellos valores de los parámetros que podrían generar la muestra observada con una mayor probabilidad o frecuencia. En la función de verosimilitud, los valores de X son fijos - ellos son los que se observa en la muestra. El método de ML consiste simplemente en escoger los valores de los parámetros que maximizan su valor. En otras palabras, el investigador se pregunta “que valores de los parámetros para esta (clase de ) distribución puede ser la mas probable de haber generado esta muestra de datos?” Ejemplo La muestra de observaciones X 1 , X2 ,...,X 10 pudo haber sido creada por cualquier distribución de probabilidades dado que el rango se extiende desde a+ . Sin embargo, la probabilidad de que X1 , X2 ,...,X 10 haya sido generada por la distribución A o la distribución C es muy baja. Por otra parte, la probabilidad
−∞
∞
de que las observaciones hayan sido generadas por la distribución B es muy alta. 20
Decimos que B es la distribución de máxima verosimilitud (aquella mas probable) para esta muestra de datos y que los parámetros estimados (de los momentos ) de B son los estimadores máximo verosímiles. A
B
C
X1 X2
i-n f i n it o
X10 X3
X4
X 5 X6 X 7 X8 X9
+ i n f i n it o
Este es un problema de optimización simple que requiere que el investigador escoja θ1 , θ2 ,..., θk , de tal modo que: ∂L ∂L ∂L = = ···= =0 ∂θ 1 ∂θ 2 ∂θ k
(3.5)
Estas condiciones de primer orden aseguran un máximo (o mínimo) para la función de verosimilitud. Notar que el vínculo natural entre el método de ML y la discusión metodológica al comienzo del curso respecto a que la econometría es un proceso de desarrollo de modelos que son coherentes con los datos. Estimación ML del Modelo de Regresión Clásico Bivariado En el caso del CRL bivariado tenemos una muestra de n observaciones de Y. Para poder implementar los métodos de MLE debemos hacer uso del siguiente teorema. Teorema de Cambio de Variable Si X tiene un densidad de probabilidades f(X) y si Z es una función de X (de tal manera que existe un mapeo uno a uno desde X a Z), la densidad de probabilidades de Z viene dada por:
f (Z ) = donde
dX dZ
dX dX f (X ), =0 dZ dZ
es el valor absoluto de la derivada de X con respecto a Z.
Este teorema es particularmente útil en el contexto del CLR donde no conocemos directamente la distribución de Y pero sí sabemos algo de la distribución de como también sabemos que existe una relación uno a uno de i a yi . De esta manera, podemos escribir:
d i f (yi ) = dyi f (i )
21
(3.6)
Dado que i = y i α β Xi entonces la derivada de y con respecto a es igual a uno y , en consecuencia f (yi ) = f (i ). Por otra parte, sabemos que la forma funcional general de una distribución Normal con media µ y desviación estándar σ es: (X µ)2 1 f (X |µ, σ ) = e− 2σ2 (3.7) 2πσ Con esto y el teorema de cambio de variables podemos inferir que, bajo los supuestos del CLR, los valores de Y están normalmente distribuidos y son independientes. De esta manera, podemos escribir la función de verosimilitud como sigue: L = f (y1 ) · f (y2 ) · · · f (yn ) (3.8)
− −
−
√
Dado que es mas fácil trabajar con expresiones aditivas, y dado que la función logaritmo es monótona , entonces la expresión en (8) es equivalente a la siguiente expresión: n
log (L) =
logf (yi )
(3.9)
i=1
Por otra parte, dado que cada y i es normalmente distribuido con media α + β Xi y varianza σ 2 entonces podemos expresar cada f (yi ) (en logaritmos) como:
− 12 log(2πσ 2) − 12
logf (yi ) =
−− yi
α β Xi σ
2
(3.10)
y sumando sobre toda la muestra tenemos: n
log (L) =
− n2 log (2π) − n2 logσ2 − 21σ2
(yi
i=1
− α − β X )2 i
(3.11)
el cual es la función de verosimilitud en logaritmos para el modelo clásico de regresión. A partir de aquí es sólo necesario diferenciar la función, igualar las derivadas a cero y resolver los estimadores de ML de los parámetros. Las condiciones de primer orden son: ∂ log (L) = ∂α ∂ log (L) = ∂β ∂ log (L) 2
∂σ
−
−
1 2σˆ2
n
=
−
2σˆ2
n
1 2σˆ2
− αˆ − βˆX )(−1) = 0
(3.12)
2(yi
− αˆ − βˆX )(−X ) = 0
(3.13)
1
n
2(yi
i=1
i
n
i=1
+
i
(yi
2σˆ4 i=1
22
α ˆ
− −
i
βˆXi )2 = 0
(3.14)
Resolviendo estas tres condiciones de primer orden encontramos los estimadores máximo verosímil de los parámetros para el caso de una distribución normal conjunta. Específicamente, de (12) y (13) podemos obtener: n
n
yi = n αˆ + βˆ
i=1
n
Xi
(3.15)
i=1
n
n
− − − − − Xi + βˆ
Xi yi = αˆ
i=1
i=1
Xi2
(3.16)
i=1
Multiplicando (16) por n y sustituyendo α ˆ n de (15) tenemos: ¯ ˆ L = n( Xi yi ) ( Xi )( yi ) = (Xi X )(yi y¯) βM ¯ )2 n( Xi2 ) ( Xi )2 ( Xi X y de (15) tenemos:
αM ˆL =
1 n
n
ˆL yi + βM
i=1
1 n
−
(3.17)
n
Xi = y¯
ˆ LX ¯ βM
(3.18)
i=n
Como veremos mas abajo, estos son precisamente los mismos estimadores que los obtenidos por OLS para el CLR. Finalmente, de (14) podemos derivar una expresión para el estimador MLE de la varianza. Notando que (yi α ˆ βˆXi )2 = (i )2 entonces multiplicando (14) por ˆ 4 2σ tenemos: n n 1 nσˆ2 + (ˆ)2 = 0 σˆ2 = (ˆ i 2 ) (3.19)
− −
i=1 n i=1 el que dice que la estimación MLE de la varianza es igual a la varianza muestral. Notar que la varianza estimada por el método ML será asintóticamente insesgada pero será sesgada para muestras pequeñas dado que la varianza muestral es de hecho un estimador sesgado de la verdadera varianza poblacional (el estimador insesgado de la varianza es:
−
σˆ2 =
⇒
n
− 1
n
2
(ˆ i )2
(3.20)
i=1
(ver Kmenta Capítulos 5 y 6). Los métodos de ML tienen un amplio uso en la econometría. En particular, este método no está restringido por la necesidad de que el modelo tenga que ser lineal en los parámetros. Sólo requiere que podamos derivar una expresión (de forma cerrada) para la función de verosimilitud. Como discutiremos en una clases mas adelante, los métodos de MLE pueden manejar eficientemente funciones de verosimilitud altamente no lineales. 23
3.2.2.
Estimación II : Mínimos Cuadrados Ordinarios
La estimación por OLS ( o MCO) - la mas popular de las técnicas de estimación - es un caso especial de la estimación por ML cuando el modelo es lineal en los parámetros . El principio subyacente en la estimación OLS está relacionado con la selección de aquellos parámetros de la distribución (desconocida), específicamente α y β , los parámetros de la media en un modelo de regresión lineal con el fin de minimizar la suma de las desviaciones cuadradas de los datos observados de y i con respecto a su media E (yi ). Formalmente, lo que se desea es minimizar: n n m´ın S = α,β
[yi
i=1
− E (y )]2 = i
− α − β X )2
(3.21)
− α − β X )(−1) = 0
(3.22)
− α − β X )(−X ) = 0
(3.23)
(yi
i=1
i
Las condiciones de primer orden vienen dadas por: n
∂S = ∂α
∂ (yi
i=1
i
∂α
n
i=1
∂ (yi
2(yi
i=1
y también por: ∂S = ∂β
n
− α − β X )2 =
− α − β X )2 = i
∂β
i
n
2(yi
i=1
i
i
las que son exactamente iguales a las condiciones de primer orden de los estimadores ML. No obstante, esto no es un resultado general : es una característica del CLR. Mas tarde veremos casos donde los estimadores OLS no son los mismos que aquellos MLE. ¯ Y¯ ) y el proceso La línea de regresión muestral y i = α ˆ + βˆXi pasa por el punto (X, de derivar los estimadores de la línea de regresión son usualmente referidos como regresionar Y sobre X. Notar una vez estimado α y β es un ejercicio trivial estimar la varianza del CLR el cual puede ser derivado simplemente de (14) al insertar los valores de α y β . Dado que dos grados de libertad se han "gastado"en la estimación de α y β , la formula para el estimador de la varianza viene dada por: σˆ2 = V ar(ˆ i ) =
n
− 1
n
2
i=1
(yi
− αˆ − βˆX )2 = n −1 2 i
n
ˆi 2
(3.24)
i=1
el cual es un estimador insesgado para el caso de un CLR bivariado (ver demostración en Kmenta pp 228-229). Propiedades del estimador OLS para el caso del CLR En la Clase 2 discutimos un conjunto de propiedades deseables para los estimadores. En esta sección mostraremos que el estimador OLS para el caso de 24
un CLR tiene este conjunto de propiedades. Particularmente demostraremos que este estimador es MELI ( o BLUE en inglés). Por “mejor” entenderemos aquel que tiene la mínima varianza y por lineal el que requiere que el estimador sea una función lineal de la muestra de observaciones.(ver notas adjuntas)
3.2.3.
Estimación III : Método de lo s Momentos
Los dos métodos anteriores son relativamente intuitivos y fáciles de aplicar. También ambos son BLUE para el caso de modelos comunes. Sin embargo, estas propiedades son específicas en el sentido que requieren supuestos específicos acerca de la función de verosimilitud (p.ej. que N (0, σ 2 )) . En ciertas circunstancias encontraremos que estas restricciones son demasiado severas.
∼
Una tercera forma de estimación está basada en el método de los momentos. Este método es el menos restrictivo de los ya vistos pero con el costo de que a pesar de ser consistente no siempre es eficiente. Sin embargo, bajo ciertas circunstancias, es “lo mejor que podemos hacer”. Una aplicación práctica de este enfoque es el denominado Método General de los Momentos (GMM) . Algunas aplicaciones donde este estimador es muy útil son las siguientes: Modelos donde existe autocorelación/ heteroscedasticidad en el término de error Modelos autoregresivos con datos de panel Modelos con selección de muestras Estos modelos los revisaremos en la segunda mitad del curso. Mientras tanto, una introducción a nivel intuitivo. Primero, algo de notación. En general, nos referiremos al k-ésimo momento de una variable aleatoria como:
mk =
1 n
y a su k-ésimo momento central como:
mk =
1 n
n
Xik
(Xi
− X¯ )
i=1
n
i=1
k
Suponga que deseamos estimar los parámetros de la distribución de una variable aleatoria y podemos describir su valor esperado como:
E (yi ) = µ 25
(3.25)
La pregunta que surge naturalmente es cómo estimamos µ. De la ecuación anterior podemos construir una “condición de momento”:
E (yi
− µ) = 0
(3.26)
la cual tiene su contraparte muestral como sigue: 1 n
n
(yi
i=1
− µˆ
mm )
(3.27)
=0
Así, µmm ˆ es aquel valor que satisface la ecuación (27) es el estimador por momentos de µ . Considere ahora el caso de CLR/OLS. Podemos imponer una condición de momentos, por ejemplo que E (Xi i ) = 0. El equivalente muestral es: 1 n
n
i=1
Xi i =
1 n
n
Xi (yi
i=1
− X βˆ
i mm )
=0
(3.28)
El estimador de β es nuevamente aquel que satisface la condición de momento. Notar que este es simplemente el estimador OLS, el cual también es un estimador de momentos. Todos los demás estimadores (GLS, MLE) son también métodos de estimaciones de momentos. Notar, no obstante, que no hemos dicho nada acerca de la distribución del término de error o que el modelo es lineal. Una característica de los(independientes) momentos es quededeben existir (i.e. a lo menos el mismo general númerodel demétodo condiciones momentos ecuaciones) como el número de parámetros desconocidos a estimar. Suponga que tenemos mas ecuaciones de momentos que el número de parámetros a estimar. Si es ese el caso requeriremos un método que combine eficientemente las condiciones de momentos. Este es el llamado Estimador General de Momentos (estimador GMM) que los discutiremos en detalle mas adelante.
3.3.
Inferencia Estadística y Pruebas de Hipótesis para los Parámetros en el CLR
1. Dado que α y β son combinaciones lineales de variables normales independientes y i , sabemos que entonces están normalmente distribuidos. 2. Dado que los estimadores son insesgados, entonces la media del estimad or es igual al verdadero valor del parámetro. 26
3. De la derivación de las propiedades BLUE de los estimadores, conocemos la varianza de α y β . Además sabemos que: α ˆ
∼N βˆ
∼ ¯2 1 X + n x2i
α, σ 2
N β,
(3.29)
σ2
(3.30)
x2i
Características de la Varianza de α y β 2
1. La varianza aumenta con σ . Mientras mayor la varianza de Y, dado los valores de X, la estimación de los parámetros es menos precisa. 2. La varianza de α y β decrece con aumentos en la variación de X. En otra palabras, mientras mayor variación exista en “el lado derecho” ceteris paribus mas precisa será la estimación de los parámetros α y β . En el límite, si todos los valores de X toman el mismo valor, la varianza será infinita. 3. La covarianza entre α y β , la cual mide la relación entre los errores muestrales de los dos estimadores, viene dada por la siguiente expresión:
Cov(ˆ α, βˆ) = E (ˆ α
¯ (βˆ − β )2 = −X ¯ − α)(βˆ − β ) = −XE
σ2
x2i
(3.31)
Un resultado clave de la relación anterior es el hecho que si la media de X es positiva, entonces los errores muestrales de α y β están correlacionados negativamente. Intervalos de confianza para α y β : una aplicación de la distribución t-student De lo anterior, sabemos que: βˆ
ˆ
∼ N [β , σ2 ] ⇒ β σ− β ∼ N (0, 1) β
(3.32)
β
lo que dice simplemente que el estimador de β se distribuye normal, lo que implica que puede ser expresado como una normal estándar. Pero ello asume que la varianza de β es conocida....pero esto no es así y necesita en consecuencia ser estimada. Procederemos de la siguiente forma: Primero, podemos construir el siguiente estadístico (con una distribución para la varianza conocida): ( Yi
− αˆ − βˆX )2 = (n − 2)S 2 = (n − 2)S 2/( i
σ2
σ2
σ 2 /(
27
Xi2 )
Xi2 )
=
(n
− 2)S 2ˆ β
σβ2
∼ χ2
n− 2
(3.33)
Ahora, dividiendo (32) por la raíz de (33) obtenemos una expresión la cual genera una expresión para la distancia en que el valor estimado para β se desvía de su verdadero valor. Esta expresión tienen una distribución bien definida, conocida como t-student, la que puede ser usada para calcular intervalos de confianza para el estimador. (βˆ β )/σβˆ βˆ β = tn−2 (3.34) Sβˆ (n 2)S 2 /(n 2)σ 2
−
−
−
βˆ
− ∼
βˆ
donde S denota la desviación estándar estimada para β . Esta el regla también De se aplica para la elconstrucción un intervalo para intercepto. esta manera, intervalo dedeconfianza para de βconfianza puede ser escrito de la siguiente manera: βˆ
≤ β ≤ βˆ + t 2 2S ˆ (3.35) donde α es el nivel de significancia del test y (1 − α) es el “nivel de confianza” del −t
n−2,α/2 Sβˆ
n− ,α/
β
test.
Intervalo de Confianza para la Varianza del Modelo Ya vimos que: (n
− 2)S 2 ∼ χ2
(3.36)
n−2
σ2
y de esta forma un intervalo de confianza puede ser construido a partir de la distribución Chi-cuadrado notando que existen en este caso v = n 2 grados de libertad.
−
3.4.
Medición del Grado de Ajuste en un Modelo
Revisaremos en detalle el aspecto del grado general de ajuste de un modelo econométrico en las próximas clases, no obstante, aquí revisaremos dos componentes : el coeficiente de determinación, R 2 y el análisis de variación (ANOVA).
28
(Xi,Yi)
Yi error
recta ajustada (Yi - media de Y) media de Y
predicción
media de Y
Xi
media de X
Del gráfico podemos observar que para una observación en particular Y i = Yˆi + i y (Yi Y¯ ) = (Yˆi Y¯ ) + i .
−
−
Si sumamos sobre el cuadrado de esta expresión para todas las observaciones (el elevar al cuadrado considera en forma análoga tanto los errores positivos como los negativos), tendremos que: n
n
(Yi
i=1
− Y¯ )2 =
n
([Yˆi Y¯ ] + i )2 =
i=1
−
n
(Yˆi
i=1
− Y¯ )2 +
n
2i + 2
i=1
(Yˆi Y¯ )i (3.37)
−
i=1
Ahora bien, dado que el tercer término puede ser expresado como: n
i=1
n
(Yˆi
− Y¯ ) = i
entonces:
n
¯ (ˆ α + βˆ X
i=1
i
n
n
ˆ i + β
i=1
Xi i
i=1
n
(Yi
i=1
− Y¯ )2 =
n
− −
− Y¯ ) = αˆ
Y¯
i = 0 (3.38)
i=1
n
(Yˆi
Y¯ )2 +
i=1
2i
(3.39)
i=1
el que sugiere que la Suma de Cuadrados Totales (TSS) es la suma de los Suma de los Cuadrados Explicados (ESS) mas la Suma de los Cuadrados de los Residuos (RSS). Finalmente, notar que: n
ES S =
n
(Yi i=1
n
ˆ Xi (ˆ α+β
− Y¯ )2 =
− Y¯ )2 =
i=1
[(Y¯ i=1
29
− βˆX¯ ) + βˆX − Y¯ ]2 i
(3.40)
n
ES S =
n
[βˆ(Xi
i=1
− X¯ )]2 = βˆ2
x2i
(3.41)
i=1
De esta derivación, fácilmente se puede obtener una expresión para el coeficiente de determinación: ES S β 2 ni=1 x2i R2 = = (3.42) n 2 T SS i=1 yi
donde 0 R2 1. ANOVA y el uso del estadístico F para la evaluación de Modelos El problema con el R2 es que es una estadístico descriptivo el que no tiene una distribución bien definida. Podemos testear la hipótesis de no existencia de relación alguna entre X e Y mas formalmente de la siguiente manera:
≤
≤
n
E (ES S ) = E (βˆ2
n
x2i ) = E [(βˆ
i=1
− β ) + β ]2
n
x2i = σ 2 + β 2
i=1
x2i
(3.43)
i=1
Bajo la nula Ho: β = 0, entonces E (ESS) = σ 2 . También sabemos que E [RSS/ (n 2)] = E (S 2 ) = σ 2 .
−
Si la nula es correcta entonces el ratio que n tienda a infinito.
ESS/ 1 RSS/ (n−2)
convergerá a la unidad a medida
Podremos decir algo acerca de la distribución de esta razón o ratio? Notemos que: ES S βˆ2 ni=1 x2i βˆ2 = = χ21 σ2
σ2
σβ2ˆ
∼
La que se distribuye Chi-cuadrado con un grado de libertad dado que
(3.44) βˆ2 σ2ˆ
es el
β
cuadrado de una distribución normal estándar. También sabemos que ESS/ σ 2 = (n 2)S 2 /σ 2 tiene una distribución Chi-cuadrado con ( n-2 ) grados de libertad. De esta manera, la razón entre RSS y ESS ajustado por los grados de libertad tiene una distribución F con la siguiente estructura:
−
RSS/ 1 ESS/ (n 2)
− ∼ F1
,n−2
(3.45)
De esta manera podemos llevar a cabo inferencias acerca del grado de ajuste del modelo. Esto puede ser resumido en una tabla ANOVA. La forma F del test es muy importante en econometría y forma la base de la mayoría de las pruebas estadísticas dado que suficientemente flexible para manejar un numero ilimitado de restricciones sobre el modelo ( o en modelos con mas de una 30
variable explicativa). En el ejemplo anterior, existía una sola restricción hipotética: β = 0. Generalmente, podemos considerar cualquier forma de restricción, por ejemplo denotada por r y estimar el modelo bajo esta restricción o conjunto de restricciones. Lo que haremos después es comparar este modelo restringido con aquel sin ninguna restricción. El estadístico general que nos permite realizar esta prueba viene dado por la siguiente expresión: (ES SR ES SU )/r ES SU /(n k )
−
3.5.
−
∼F
r,n−k
(3.46)
Teoría sobre Pruebas Econométricas
Todas las formas de pruebas o testeo que se verán en el resto del curso pueden ser pensadas como una aplicación especial del siguiente marco de máxima verosimilitud. La curva L( θ) representa los valores de la función de verosimilitud como una función de todos los posibles valores del vector de parámetros. El valor máximo verosímil asociado a los parámetros es (por definición) aquellos asociados con el máximo valor de la curva L( θ ), denotado θM L . Todo test puede ser pensado como una restricción sobre los valores de los parámetros. Las pruebas significan simplemente examinar si al imponer la restricción ( θR ) implica una “significativa pérdida de verosimilitud” relativa al valor del parámetro bajo la situación “no restrictiva” θM L . Del diagrama es claro que puede ser medido de tres forma diferentes.
31
L(theta)
L(theta ML) L(theta R)
C(theta)
LM
Wald
theta theta R ML
theta
Prueba de la Razón de Verosimilitud (LR test) Esta es la forma mas directa de realizar una prueba sobre un valor restringido de uno ( o un conjunto) de parámetro (s) , el que simplemente mide la distancia entre L( θM L ) y L( θR ). La razón de verosimilitud se define como: L(θˆR ) λ= L(θMˆ L ) LR = 2log (λ) (3.47) χ2R
−
−→
Prueba del Multiplicador de Lagrange (LM test) Considere la derivada de la función de verosimilitud dL(θ)/dθ. Esta es referida como la función score y mide la pendiente de la función de verosimilitud. Esta función debería tener un valor de cero en el valor de los parámetros máximo verosímil y no cero en todo el resto de posible valores de los parámetros. La prueba de Multiplicador de Lagrange es simplemente es la medida de la función score al valor del parámetro restringido. Definiendo el valor de la función score a los valores de los parámetros restringidos como:
T (θR ) =
∂ L(θR ) ∂θ
Podemos entonces definir el test LM como:
LM = T (θ ) I (θR )−1 T (θR ) 32
−→ χ2
R
(3.48)
donde I (θ ) es la covarianza de θ evaluada a los valores restringidos de los parámetros. Prueba de Wald. Esta prueba es similar a la prueba LM y explota la característica de continuidad de la función de verosimilitud. Supongamos que existe una función C(θ ) continua, monotónica en θ y definida de tal manera de que tenga un valor igual a cero para los valores restringidos de los parámetros. Esta función tendrá un valor distinto de cero para cualquier otro valor de los parámetros incluidos aquellos máximo verosímiles sin restricción. Entonces el test de Wald se define de la siguiente manera: W = C (θM L ) [V (R(θM L ))]−1 C (θM L ) χ2R (3.49)
→
Donde V (R(θM L )) es una estimación consistente de la covarianza de θ evaluada en los valores máximo verosímiles sin restringir. Notar que: 1. Estos tres test son asintóticamente equivalentes pero presentan diferencias en sus propiedades en muestras pequeñas. 2. Existen circunstancias en que la construcción de uno de estos test puede resultar ser mas fácil comparado con los demás y ello motive su preferencia en los casos prácticos. 3. Todas las pruebas que veremos mas adelan te están basados en alguno de estos tres tests.
33
Capítulo 4 Forma Especificación del ModeloFuncional, y Multicolinealidad Habiendo establecido el modelo de regresión clásica como el paradigma con propiedades estadísticas bien definidas bajo supuestos rigurosos sobre la ecuación de error ahora procederemos a considerar problemas econométricos que tiene este modelo canónico o de referencia al aplicarlo a problemas econométricos prácticos. Las clases 5 a 8 considerarán las implicaciones para la estimación de parámetros e inferencia cuando los supuestos estadísticos son violados o quebrados por los modelos implementados. En esta clase consideraremos problemas asociados a la especificación funcional de los modelos econométricos concentrándonos en aquellos casos donde el investigador tienen supuestos teóricos de antemano que guían su investigación pero donde existe conocimiento incompleto acerca de la forma y la verdadera especificación del DGP y donde el conjunto de datos puede ser altamente colineal.
4.1.
Resumen
1. Modelos Lineales versus no-lineales 2. Inclusión/Omisión de Variables Relevantes 3. Multicolinealidad 4. Apéndice: Mínimos Cuadrado s No-Lineales
4.1.1.
Referencias
Gujarati. Secciones 6.2, 8.9 y 10
34
Kmenta. Secciones 11, 10.3 Greene. Secciones 8.3, 9.2 y 11 Davidson y Mackinnon. Capítulo 2
4.2.
Modelos Lineales versus No lineales
Como su nombre lo sugiere, el modelo de regresión lineal clásico asume que el modelo (así como también los estimadores) son lineales. En muchas aplicaciones económicas nuestra modelos teóricos no son lineales en los parámetros. De esta manera, podemos distinguir dos tipos de modelos, aquellos modelos intrinsicamente lineales y aquellos modelos intrinsicamente no lineales. Un modelo intrinsicamente lineal es aquel que puede ser lineal o no lineal en sus variables pero es lineal ( o se puede hacer lineal) con respecto a sus parámetros. Como resultado, estos modelos pueden ser convertidos en lineales. Modelos intrinsicamente no lineales son aquellos que son no solo no lineales en sus parámetros sino también en las variables. Modelos Intriniscamente Lineales 1. Modelos polinomiales 2
3
k
Yi = β 0 + β1 Xi + β2 Xi + β3 Xi + · · · + βk Xi + i (4.1) redefiniendo las variables como Z1 = X ; Z2 = X 2 ,...,Z k = X k podemos reescribir el modelo de la siguiente manera: Yi = β 0 + β1 Z1i + β2 Z2i + β3 Z3i + · · · + βk Zki + i
(1 )
y asumiendo que existen mas de K + 1 observaciones, podemos estimar (1’) como un CLR y los parámetros βi tendrán las propiedades deseables asumiendo que i (el error) es bien comportado. 2. Modelos con Términ os de Interacción. Suponga que el cambio en el valor esperado de Y en respuesta a cambios en X2 es una función de X3 . Por ejemplo, podemos pensar en Y como ganancias, X2 como el nivel de educación y X 3 como la edad. Entonces:
E (Yi ) = f (X2i , X3i ) 35
donde:
∂ E (Yi ) = g (X3i ) ∂ X2i
y:
∂ E (Yi ) = h (X2i ) ∂ X3i
Esto puede ser manejado usando una variable de interacción no lineal:
Yi = β 0 + β1 X2i + β2 X3i + β3 X2i X3i + i
(4.2)
se sigue de este modelo que: ∂ E (Yi ) = β 1 + β 3 X3i ∂ X2i
y:
∂ E (Yi ) = β 2 + β 3 X2i ∂ X3i
La ecuación (2) es no lineal pero puede ser redefinida como lineal si Z = X2i X3i . Notar que al contestar la pregunta “cuál es la consecuencia de un cambio en Y como resultado de un cambio en X2 ?” puede ser sólo respondida al escoger explícitamente un valor de X3 (a menudo en su media a en un valor interesante en particular). 3. El modelo Multiplic ativo o Modelo Log-Lineal β1
β2
βk
Y = α X1 X2 · · · Xk e (4.3) Las elasticidades de Y con respecto a X i son simplemente los β i . El ejemplo mas típico de esta forma funcional es la función de utilidad/producción Cobb-Douglas. Si tomamos logaritmos de (3) tenemos que: log (Y ) = log (α) + β1 log (X1 ) + β2 log (X2 ) +
(4.4)
Redefiniendo log(Xi ) como Z i el modelo entonces, se reduce a:
Y ∗ = A + β1 Z1 + β2 Z2 +
(4.5)
donde: Y ∗ = log (Y ) y A = log (α). Por otra parte, si N (0, σ 2 ) entonces e se distribuye lognormal. Entonces, si estamos interesados en estimar una función de producción tipo Cobb-Douglas como en (4) al estimar una versión log-lineal, estamos asumiendo que la distribución de los resultados para un conjunto de insumos dados es log-normal !! .
∼
36
4. Modelos lineales Semi-log. Dos formas de modelos semi-log existen:
log (Y ) = α + β X +
(4.6)
Y = α + β log (X ) +
(4.7)
Notar que la semi-elasticidad de Y con respecto a X es β (X ) en la ecuación (6) y β (1/Y ) para la ecuación (7). A diferencia del modelo log-lineal, la semi-elasticidad no es constante. 5. Modelo Recíproco. donde la elasticidad es :
Y = α + β (1/X ) +
(4.8)
β − XY
(4.9)
Todos estos resultados se resumen en la siguiente tabla. Cuadro 1: Forma funcional y elasticidad Variable dependiente Lineal Log Log Lineal
Variable independiente Lineal Log Lineal Log
Elasticidad β (X/Y) evaluada en la media β β (X) evaluada en la media β (1/Y) evaluada en la media
Como se observa de la tabla anterior, en una especificación de logs para todas la variables, el coeficiente β mide la elasticidad (i.e. el porcentaje de cambio en Y dado un cambio de un uno por ciento en X ). Si la variable X es una variable dummie, el coeficiente es sesgado ( la variable dummie entrega la mediana estimada en vez de la media de la distribución) (ver Kennedy (1981) American Economic Review para una discusión sobre este punto). Modelos Intrinsicamente No Lineales Existe un conjunto adicional de modelos no lineales que discutiremos a continuación. Modelos Multiplicativos con errores aditivos Modelos intrínsicamente no lineales son aquellos que no pueden ser transformados en un modelo lineal en los parámetros. El modelo mas común y básico en esta clase son aquellos en que el término de error en (3) es aditivo.
Y = α Xiβ1 X2β2 + ε
(4.10)
Este modelo no puede ser convertido simplemente a una forma log-lineal dado que: log (A + B ) = log (A) + log (B )
37
Esto significa que no podemos utilizar el método de OLS para estimar (10). No obstante podemos utilizar un método de estimación no lineal como los Mínimos Cuadrados No-Lineales (NLS) o nuestro ya conocido MLE. Una discusión del NLS se presenta en el apéndice, mientras que aquí nos concentraremos en el MLE: Dado que la función de verosimilitud en logaritmo de (10) puede ser escrita como :
log (L) =
− n2 log (2π) − n2 log (σ2) − 2σ1 2
n
(Yi i=1
β1
− αX1
X2β2 )2
(4.11)
es claro que esta puede ser resuelta para los cuatro parámetros del problema, a saber α , β 1 , β 2 y σ 2 . Dado que (11) es no lineal, la solución puede ser sólo derivada al usar un algoritmo maximizador lo que no trae problemas computacionales de magnitud. Funciones de Producción tipo CES y la Expansión de Taylor Las funciones de producción tipo CES son ampliamente utilizadas en economía. Tiene la siguiente forma:
Q = A [δ K −ρ + (1
− δ )L
ν −ρ − ρ
]
eε
(4.12)
donde A es un parámetro “tecnológico”, δ es una parámetro de distribución, es un parámetro que mide la sustitución entre K y L con σ = (1/(1 + ρ )) es la elasticidad de sustitución y ν es un parámetro que mide los retornos a escala de la producción. Tomando logaritmos de (12) tenemos que:
log (Q) = log (A)
− νρ log[δK
−ρ
+ (1
− δ)L
−ρ
]+ε
(4.13)
el cual sigue siendo no lineal pero puede ser estimado (asumiendo que K y L son no-estocásticos o si son estocásticos, son independientes de ε ) usando métodos de ML para estimar A, δ , ρ, ν , σ 2 . A menudo, sin embargo, podemos hacer nuestra tarea mas fácil aún al aproximar (13) usando una expansión de Taylor de segundo orden de Q alrededor del valor de ρ = 0. Esto queda como sigue:
log (Q) = log (A)+νδ log (K )+ν (1 δ )log (L)
−
− 12 ρνδ (1−δ)[log (K )−log (L)]2+ε
(4.14) Esta ecuación es ahora intrínsicamente lineal la cual puede ser re escrita como sigue:
log (Q) = β 0 + β1 log (K ) + β2 log (L) + β3 [log (K ) 38
− log (L)]2 + ε
(4.15)
donde:
A = e β0 ,
δ=
β1
(β1 + β 2 )
,
ν = (β1 + β 2 )
y: ρ=
− 2β4(ββ11β+2 β2)
La ecuación (15) puede ser generalizada un paso mas al expandir el componente cuadrático y dar finalmente lo siguiente:
log (Q) = β 0 +β1 log (K )+β2 log (L)+β3 log (K )2 +β4 log (L)2 +β5 log (K )log (L)+ε (4.16) el cual es también es intrínsicamente lineal y es conocida como Función de Utilidad / Producción logarítmica Trascendental (Translog). Otro caso de modelos no lineales son los modelos de variable dependiente limitada los que serán discutido en detalle mas adelante durante el curso. Pruebas de Linealidad El objetivo de estas pruebas es determninar aquella forma funcional que mejor describa los datos disponibles. En particular revisaremos dos pruebas acerca de la forma funcioonal. 1. Prueba de Mackinnon, White y Davidson (PE Test) : prueba específica en contra de alternativas log-lineal. Suponga que sabemos que X e Y están relacionados pero desconocemos si la relación es lineal o del tipo log-lineal. Podremos utilizar los datos para escoger la forma funcional apropiada?. La respuesta es si, si empleamos una versión general de las pruebas “no anidadas” propuesta por Mackinnon et al (Journal of Econometrics, 1983). Comenzaremos por los dos modelos alternativos:
H0 : Y = α + β X + 1
(4.17)
HA : log (Y ) = γ + δ log (X ) + 2
(4.18)
los que pueden ser definidos en términos de un error compuesto de la siguiente manera : (1
− Λ)(Y − α − β X ) + Λ(log(Y ) − γ − δlog (X )) =
(4.19)
donde es el término de error compuesto. Bajo la hipótesis nula, Λ = 0 mientras que bajo la alternativa Λ = 1. El problema básico que enfrentamos es que (19) es no lineal en los parámetros y puede ser difícil de estimar. Estos 39
autores proponen la siguiente aproximación. Reescribiendo (19) tenemos que:
Y
− α − β X = Λ(γ + δ log(X ) − log (Y )) + Λ(Y − α − β X ) +
(4.20)
Ahora, si notamos que Y = Yˆ + ˆ1 y log (Y ) = log (Yˆ )+ ˆ2 podemos sustituir Yˆ y ˆ de (17) y log(Yˆ ), ˆ2 de (18) para reescribir (20) como sigue:
Y = α + β + Λ[log (Yˆ )
− log(Yˆ )] + µ
(4.21)
donde µ es un término de error compuesto. La ecuación (21) nos permite usar un test de t-student simple para ver la significancia del parámetro Λ. Bajo la nula concluimos que no existe información en la diferencia entre la predicción en el modelo log-lineal y el modelo lineal. Si rechazamos la nula concluiremos entonces que el modelo lineal no caracteriza adecuadamente el DGP. Sin embargo, no podemos necesariamente concluir lo inverso (i.e. que la verdadera forma funcional es log-lineal). De esta manera, deberemos repetir la prueba bajo la posibilidad inversa donde Λ bajo HA donde ahora estimamos : ˆ log (Y ) = γ + δ log (X ) + Λ[Yˆ e(logY ) ] + v (21 )
−
Si no rechazamos la nula podremos concluir que la especificación log-lineal es la correcta. Si rechazamos la nula bajo ambas formas de la prueba podremos concluir que ninguna de las dos formas sugeridas está sustentada por los datos. 2. Transformación de Box-Cox : Un método general para examinar no linealidad. La prueba anterior es altamente específica ya que sólo prueba un modelo lineal contra la alternativa de ser no lineal. Sin embargo, puede resultar de mucha utilidad definir una base mas general para testear la linealidad de una forma funcional. Esto puede ser realizado al utilizar una Transformación de Box-Cox la cual especifica un modelo de regresión entre Y y X de la siguiente forma:
− Yiλ
λ
1
=α +β
− Xiµ 1 µ
+ εi
(4.22)
Esta es una forma muy general, pero todas las formas particulares discutidas anteriormente pueden ser derivadas de (22) dependiendo de los valores de λ y µ.
40
a ) Caso en que λ = µ = 0 Pareciera como si las expresiones en Y y X fueran cero bajo esta restricción, pero al usar la regla de L’Hopital tenemos que: l´ım
λ→0
− Yiλ
λ
1
= l´ım
d(Yiλ
− 1)/dλ 1
λ→0
= l´ım Yiλ log (Yi ) = log (Yi ) λ →0
Lo que significa que (22) colapsa en el modelo log-lineal:
log (Y ) = α + β log (X ) +
(4.23)
b) Caso donde λ = µ = 1 En este caso (22) colapsa en la siguiente expresión: (Yi donde α
∗
∗
− 1) = λ + β (X − 1) + ⇒ Y = α + β X + (4.24) = α − β + 1. El cual es el modelo de regresión lineal simple. i
i
i
Debería ser claro ahora la forma en que opera este procedimiento. Por extensión tenemos que: λ = 1 y µ = 0 genera un modelo semi logarítmico: Y = α + β log (X ) + λ = 0 y µ = 1 genera un modelo semi logarítmico: log (Y ) = α + β X + λ = 1 y µ = 1 genera un modelo recíproco. Cómo podemos determinar los valores de λ y µ? La respuesta es simplemente estimar estos parámetros junto con los demás parámetros del modelo en (22) mediante el uso de MLE y testear el valor de los parámetros
−
utilizando del tipo14). LM discutidas anteriormente (ver Davidson y Maclinnon,pruebas 1993 capítulo
4.3.
Inclusión de Variables Irrelevantes / Omisión de Variables Relevantes
Asumiendo que tenemos entre manos la forma funcional correcta, entonces cuales serán las consecuencias para la estimación de los parámetros del modelo el hecho de dejar fuera variables relevantes o incluir en el modelo variables irrelevantes?. En la terminología desarrollada en la Clase 1, queremos considerar las implicaciones de un la invalidez en el condicionamiento del GDP. Omisión de Variables Relevantes Suponga que la regresión poblacional verdadera es la siguiente :
Yi = β 1 + β2 Xi2 + β3 Xi3 + i 41
(4.25)
pero nosotros estimamos el siguiente modelo:
Yi = β 1 + β2 Xi2 + ∗i
(4.26)
El Valor Esperado de β2 . Si (26) fuera correcto, entonces los estimadores de β1 y β2 serían insesgados y eficientes. Ahora consideremos que el modelo (26) es el incorrecto y que el correcto es (25). De (26) podemos estimar β2 (y también β1 ) como:
E (βˆ2 ) = E Dado que sabemos de (25) que : (Yi
− X¯2)(Y − Y¯ ) =1 (X 2 − X ¯2 )2
n i=1 (Xi2
n i
i
i
(4.27)
− Y¯ ) = β 2(X 2 − X¯ ) + β3(X 3 − X¯ ) + ( − ¯) i
i
i
(4.28)
Entonces por sustitución, tenemos que :
E (βˆ2 ) = β 2 + β3 d32 con:
d32 =
−
(4.29)
n X¯2 )(Xi3 i=1 (Xi2 n X¯2 )2 i=1 (Xi2
− X¯3)
−
el cual sugiere que si el segundo término β3 d32 es cero, entonces el estimador obtenido en (26) sería insesgado. El mismo método se puede aplicar para el estimador del intercepto β1 . Así :
E (βˆ1 ) = E (Y¯ con:
− βˆ2X¯2) = β 1 + β3d31
(4.30)
d31 = X¯3 + d32 X¯2
Notar que las expresiones d31 y d32 son, de hecho, los coeficientes mínimo cuadráticos en la regresión de X i3 (la variable omitida) sobre la variable incluida X i2 .
Xi3 = d 31 + d32 Xi2 + µi
(4.31)
La varianza de β2 . (ver Kmenta p444) La verdadera varianza de β2 viene dada por la fórmula estándar:
V ar(βˆ2 ) = E (βˆ2
σ2
− β2 ) = 42
n i=1 (Xi2
− X¯2)2
(4.32)
Sin embargo, dado el modelo incorrecto, la verdadera ecuación para la varianza es estimada incorrectamente. Específicamente, a partir del modelo incorrecto la varianza de β2 es:
s2βˆ2
=
s2 n i=1 (Xi2
−
= X¯2 )2
[(Yi
− Y¯ ) − βˆ2(X 2 − X¯2)]2/(n − 2) (X 2 − X¯2 )2
i
(4.33)
i
No obstante, sabemos que la verdadera varianza s2 debería ser estimada como sigue: 1 2 ∗2 ∗2
s = (n 3)(myy β2 my2 β3 my3 ) (4.34) ¯ )(Y donde mxy = X Y¯ ) y donde hemos usado para denotar los verdaderos estimadores de los parámetros en (25). Sustituyendo los verdaderos valores de ( Yi Y¯ ) a partir de (28) y rearreglando, podemos obtener la siguiente expresión :
n i=1 (X
−
−
−
−
−
∗
−
s2βˆ2 =
m22 V ar(βˆ2 ) + β32 m33 2m22 V ar(βˆ2 ) + (n (n 2)m22
− −
− 1)σ2 = V ar(βˆ2) +
β32 m33
(n
− 2)m22
(4.35) Donde mij es la suma de las desviaciones al cuadrado sobre la media. La ecuación (35) indica que la varianza de los parámetros estimados del modelo con variable omitida es también sesgado hacia arriba (dado que el segundo término es siempre positivo) y de nuevo, depende de la importancia relativa de la variable omitida. Implicaciones: 1. Dado que β3 es no cero el valor esperado de los parámetros estimados a partir del modelo incorrecto no son iguales a los verdaderos parámetros poblacionales. Si variables relevantes son omitidas de la regresión, los estimadores de todos los parámetros derivados a partir del modelo restringido estarán sesgados ( a menos que d 32 = 0). 2. Si d32 no desaparece a medida que el tamaño de la muestra aumenta, el estimador de β2 será también inconsistente. 3. Por extensión, la varianza estimada para β2 a partir del modelo restringido también será un estimador sesgado e inconsistente de la verdadera varianza de β2 . 4. Si β3 y d32 tienen el mismo signo, entonces el sesgo es positivo. De otra forma será negativo. La siguiente tabla resumen todos los casos posibles. 43
Cuadro 2: Sesgo β3
+ + -
d32 + +
sesgo + + -
5. Aún si la variable omitida no está correlacionada con las variables explicativas incluidas encontraremos que el estimador de β2 será insesgado y consistente, pero su varianza será sesgada hacia arriba y así subestimaremos la significancia de las variables incluidas. Inclusión de Variables Irrelevantes Si volvemos a las ecuaciones (25) y (26) pero esta vez asumiendo que (26) es el verdadero modelo pero que estimamos un modelo “sobreparametrizado”. Bajo este caso tenemos que: 1. Los estimadores de β1 y β2 son ambos insesgados y consistentes . 2. La varianza del error σ 2 es insesgada. 3. Los valores estimados para los parámetros serán, eso sí, ineficientes. En otras palabras, la varianza de los parámetros cuando son obtenidas a partir de modelos sobreparametrizados serán mayores que aquellos resultantes del modelo verdadero. Este último resultado es demostrable en forma sencilla. Si hemos estimado directamente el verdadero modelo (el que denotaremos por ) y enseguida realizamos la estimación con el modelo sobreparametrizado (el que denotaremos por ) tenemos lo siguiente :
∧
V ar(βˆ2 ) =
σ2 n i=1 (Xi2
−
∗ ¯ i2 )2 y Va r (β2 ) = X
∗
σ2 n i=1 (Xi2
− X¯ 2)2(1 − r232 )
(4.36)
i
2 Dado que 0 r23 1 se sigue que la varianza del modelo sobreparametrizado es mayor que aquella del modelo verdadero. La implicancia de estos es que los parámetros estimados a partir del modelo sobreparametrizado serán estimados con menor precisión.
≤
≤
De esta manera existen dos tipos de problemas al decidir sobre la especificación correcta del modelo. La primera sugiere que la omisión de variables relevantes traerá como consecuencia sesgos en la estimación de los parámetros de la variables incluidas en el modelo. Sin embargo, al compensar la posible fuente de sesgo 44
al incluir todas las variables posibles (incluso algunas irrelevantes) tiene la consecuencia de incrementar la varianza de los estimadores de los parámetros. Esto lleva a una estrategia de modelamiento general-a-específica partiendo de un modelos insesgado pero ineficiente para converger en uno (aun insesgado) con mayor grado de precisión. Detección de Variable Omitida Ya hemos discutido las clases de pruebas estadísticas necesarias para evaluar si una variable deberá ser incluida o no. Esto es simplemente la aplicación de un test F para el caso de restricciones impuestas. En el ejemplo anterior, la ecuación (25) representa el modelo sin restricción mientras que el modelo en (26) representa el modelo restringido bajo la restricción que β3 = 0. Un valor significativo para el estadístico F implica que se rechaza la hipótesis nula a favor de la alternativa en que al mantener la restricción se incurrirá en un sesgo por omisión de variable en la estimación de los otros parámetros de modelo. Aceptar la nula y manteniendo X3 en el modelo, no sesgará los estimadores de los coeficientes, pero reducirá la eficiencia de los estimadores.
4.4.
Multicolinealidad
Suponga que hemos escogido la forma funcional “correcta” y también el conjunto “correcto” de variables, ahora veremos lo que puede suceder si las variables escogidas son colineales. Aunque no lo hemoscorrelacionados visto formalmente, CLR(ya asume que los regresores X no están perfectamente entreelellos sea en un sentido bivariado o en una combinación lineal). Para ilustrar este punto, consider e el siguiente modelo:
Y = β 1 + β2 X2 + β3 X3 +
(4.37)
A partir de la estimación de los coeficientes de (33) por OLS sabemos que:
V ar(βk ) =
(1
−
2 ) rjk
σ2 n i=1 (Xik
− X¯
k
)2
=
σ2
(1
− r2 )S jk
(4.38)
kk
donde, para e caso de dos variables independientes (I.e. k = 2), r12 es la coeficiente de correlación entre X1 y X2 , y Skk es la suma de las desviaciones al cuadrado para la variable X k .
45
2 Si la colinealidad entre X 1 y X 2 es perfecta, entonces r 12 = 1 y la varianza de βk es infinita. De esta manera, el modelo no puede ser interpretable dado que una varianza infinita significa que no podemos rechazar ninguna hipótesis acerca del verdadero valor de β k . Este es un problema en la especificación del modelo . 2 Si tenemos colinealidad alta, pero no perfecta (tal que r12 < 1), el modelo de regresión mantiene todas las propiedades asumidas (i.e. los estimadores serán BLUE) pero existirán serios problemas de inferencia. Esto se puede observar a 2 partir de (34) dado que r12 Será un valor alto y en consecuencia, la varianza estimada de los parámetros del modelo será también alta y entonces la precisión en la estimación de los parámetros se verá reducida ( a pesar de seguir siendo BLUE). Esto es un problema de la muestra de datos .
Síntomas de la Multicolinealidad 1. Pequeños cambios en la muestra producirán grandes cambios en los estimadores de los parámetros 2. Los coeficientes pueden tener grandes errores estándar (i.e. valores t pequeños) a pesar que la significancia conjunta de todos ellos sea alta (i.e. ajuste por R2 ). 3. Los coeficientes muchas veces tiene n el “signo incorrecto” o son de una magnitud poco plausible. Pero, porqué sucede esto ? Es útil pensar el modelo en términos de notación matricial Y = X β + donde existen k regresores. El k-ésimo elemento diagonal de la matriz inversa ( X X )−1 puede ser escrito como : (xk M2 xk )−1 = [xk xk
−1
− x X2(X2X2) k
X2 xk ]−1
(4.39)
donde M 2 es la matriz de residuos de la regresión de los x k sobre todos los demás regresores en el modelo, X 2 . La ecuación (39) puede ser entonces reescrita de la siguiente manera: (xk M2 xk )−1 =
1 [Skk (1
− R2 )]
(4.40)
k
donde Rk2 es simplemente el R2 de la regresión de los xk sobre todas las demás variables independientes en el modelo. Se desprende claramente que: σ2
V
ar(βk )
= (1 46
− R2 ) S k
kk
(4.41)
Es, en consecuencia, fácil observar que si agregamos una variable al modelo la que es altamente colineal con xk , entones esto puede : 1. Dejar el valor de S kk sin alterar. 2. No alterar σ 2 (ya que si xk y la nueva variable están altamente correlacionadas y entonces x k ella misma ha explicado ya bastante de la variación en Y que la nueva variable se supone debería explicar). 3. Aumente el valor de R k2 . En de βk (V ar(βk )) aumentará. Una varianza mas alta paraconsecuencia, el estimador la devarianza βk es consistente con los tres síntomas descritos anteriormente. Identificación de la Fuente de Colinealidad El método mas simple para identificar la fuente de multi-colinealidad son las simples correlaciones entre las variables independientes ρXi Xj =
Cov(Xi , Xj ) σXi σXj
Una forma alternativa es seguir con el análisis descrito en la sección anterior y examinar el valor de R k2 para cada una de las variables independientes. Algunas Soluciones Posibles 1. Eliminar la variable problemática. Esto puede resolv er el problema de multicolinealidad pero puede generar el sesgo por omisión de variable. 2. Transformar el modelo. Esta es a menudo, la solución en modelos de serie de tiempo. Por ejemplo, considere el siguiente modelo:
Y = α + βX + γZ + e Donde X e Z son altamente colineales. Podría darse el caso que mientras X y Z son colineales, ∆X y ∆Z tengan una baja colinealidad. De ser así, los parámetros β y γ pueden ser estimados a partir del siguiente modelo: ∆Y
= β ∆X + γ ∆Z + e
3. Adoptar métodos de estimación alternativos. Existen dos formas alternativas de estimación que son frecuentemente utilizados en estos casos. El primero es la Regresión de Ridge el cual produce estimadores, aunque sesgados pero con menor varianza. 47
El estimador de Ridge es el siguiente :
br = [X X + rD ]−1 X y Donde r es un escalar de valor pequeño y D es la diagonal principal de Debería ser claro que br está sesgado dado que:
X X .
E (br ) = E (X X + rD )−1 X X β = β
Pero la varianza del estimador de Ridge es :
V ar(br ) = σ 2 (X X + rD )−1 X X (X X + rD )−1 La cual es menor que la varianza del estimador OLS ante la presencia de multicolinealidad. La elección de r dependerá si el estimador de Ridge tendrá un Error Cuadrático Medio (MSE)menore que el de OLS. La segunda forma de corregir este problema es el análisis de componentes principales. Este método parte de la observación que dentro de la matriz X X , de existir una colinealidad sustancial, entonces existen pocas fuentes de variabilidad en el vector de variables independientes. El análisis de componentes principales busca extraer a partir de la matriz de X una pequeña cantidad de combinaciones lineales de las variables, de tal manera de dar cuenta de toda o la mayor parte de la variación de X. Si el subconjunto puede ser identificado pueden sustituir al la matriz de X en la explicación de Y.
48
Capítulo 5 Violaciones de los Supuestos Modelo de Regresión Clásicodel En la Clase 3 (y próxima ayudantía) desarrollamos el Modelo de Regresión Clásico basado en el Teorema de Gauss-Markov. Como se mencionó, la derivación de las propiedades de los estimadores mínimo cuadráticos descansan en unos supuestos claves relacionados con la estructura del término de error. En particular, asumimos que los términos de error eran independientes e idénticamente distribuidos Normal. En la Clase 4 examinamos aspectos relacionados con el modelamiento tales como especificación incorrecta y forma funcional, concentrándonos en los casos de omisión de variables relevantes. En las tres clases siguientes analizaremos las consecuencias de violar los supuestos relacionados con la estructura del término de error en el modelo de regresión, los que dividiremos en la siguiente forma : 1. Normalidad [ Clase 5 ] 2. Homoscedasticidad [ Clase 6 ] 3. Independencia (cero autocorre lación) [ Clase 7 ] 4. Regresores No Estocásticos [ Clase 8 ] Nota : Desde un punto de vista de la exposición de los temas, trataremos estas violaciones como separables analíticamente y, en consecuencia, testearemos cada una de ellas independientemente de otras (posibles) violaciones. Se asume, entonces, que la distribución de las pruebas estadísticas son condicionales en el supuesto de que la nula es que el modelo es CLR. Esto típicamente no es el caso en problemas de la vida real donde generalmente los problemas con los supuestos están presentes al mismo tiempo. 49
Parte I No-Normalidad
5.1.
Resumen
1. Las consecuencias de que e
∼ N.i.i.d para la estimación e inferencias
2. Cómo detectar violaciones al supuesto de normalida d 3. Soluciones al problema 4. Apéndice: Análisis de normalida d basado en series ordenadas
5.1.1.
Referencias
Kmenta Capítulo 8 Greene Capítulo 10 Mukherjee et al. Capítulos 3 y 4
5.2.
No Normalidad
El supuesto enOLS el término error es(el una piedra de angular en el resultado de quede losnormalidad estimadores fueran de eficientes teorema cota mínima de Cramer-Rao). También es necesario para construir intervalos de confianza correctos para los estimadores de parámetros. Sin el supuesto de normalidad en el término de error, los estadísticos mas utilizados como t, F y chi-cuadrado no tienen estas distribuciones y en consecuencia, no pueden ser utilizados para realizar inferencias.
5.2.1.
Consecuencias y Aplicaciones
La no normalidad en el término de error acarrea las siguientes consecuencias (ver Greene Capítulo 10.5 para una discusión detallada sobre éste punto) : Si la varianza del término de error es finita, entonces : 1. El estimador OLS es insesgado y consiste nte.
50
2. Gracias al Teorema del Límite Central, a pesar de que el error no esté distribuido normal, los estimadores del parámetros si lo estarán en muestras grandes. De esta manera, la distribución normal de los estimadores lineales puede ser utilizada para inferencia. Pero..... 3. El estimador OLS puede que no sea eficiente o asintóticamente eficiente. En otras palabras, el estimador OLS no será ya BLUE. Es esta tercera implicancia la que debería llamarnos la atención. Si los errores no están distribuidos entonces existen otros estimadores, a parte de los OLS, normalmente que nos puedan entregar con una estimación eficiente de los parámetros del modelo ?. Examinaremos tres de estos estimadores, la desviación absoluta mínima (MAD) , su colega cercano, el estimador robusto y el estimador por regresión cuantil. Pero antes, debemos analizar la forma de determinar si el término de error, es efectivamente normal.
5.2.2.
Detección
En el Apéndice de estas notas se discuten métodos para la identificación y el análisis de no normalidad usando herramientas estadísticas basadas en series ordenadas. Estos métodos son sólo aplicables si los datos no tiene un orden natural como sería en el caso de datos de serie de tiempo. Si estos tiene un orden natural, estaremos un poco mas restringidos en cuanto a los métodos de detección que podremos implementar. La distribución normal se puede describir completamente por sus dos primeros momentos ya que todos sus momentos centrales superiores son cero. Específicamente, esta distribución es simétrica, lo que implica que el tercer momento (skewness) es cero y mesokurtica, es decir que el cuarto momento es exactamente igual a 3. En consecuencia, si la variable x se distribuye normal, se debería cumplir que: Media : E (X ) = µ Primer momento Varianza : E (X µ)2 = σ 2 Segundo momento E (ε3 ) = E (X µ)3 Tercer momento (simetría) E (ε4 ) = E (X µ)4 Cuarto momento (kurtosis)
− −
−
La medida estándar de simetría de cualquier distribución es el coeficiente de skewness el cual se define de la siguiente manera:
b1
E (ε3 ) = (σ 2 )3/2 51
(5.1)
Por otra parte, la medida estándar de kurtosis, la cual es una medida de la anchura de las colas de la distribución, tiene la siguiente fórmula :
b2 =
E (ε4 ) (σ 2 )2
(5.2)
Como se dijo, el valor de kurtosis para una distribución normal es igual a 3. Sabiendo esto, las pruebas estándares para normalidad están relacionadas con el cálculo de la skewness y kurtosis de la muestra que tenemos y comparar el skewness con cero y el kurtosis con 3. Este último se conoce como el exceso de kurtosis , el cual es simplemente medido por (b2 3). Excesos positivos de kurtosis se denominan plytokurtosis (colas anchas) e implica que (b2 3) > 0. Mientras que excesos negativos de kurtosis se denominan como leptokurtosis (i.e. colas angostas).
−
−
La prueba mas común para normalidad es la denominada Prueba de Jarque y Bera el cual combina estas dos medidas, de la siguiente manera :
JB = n
b1 ( b2 3)2 + 6 24
−
∼
2 χ(2)
(5.3)
donde n es el tamaño de la muestra. El test de JB es del tipo Wald (dado que bajo la nula, la “distancia” JB es cero) y tiene una distribución Chi-cuadrado con dos grados de libertad (uno para la restricción sobre la skewness nula y otra para la restricción sobre exceso de kurtosis).
5.2.3.
Soluciones para la estimación con errores No normales
Por lo anteriormente dicho, en el caso de la estimación por OLS (no así en MLE) no deberíamos preocuparnos en demasía acerca de la violación del supuesto de normalidad en los errores por lo menos en muestras grandes, ya que los estimadores serán insesgados y consistentes. Pero si queremos correctamente caracterizar la distribución, tendríamos que realizar tareas adicionales. Algunos ejemplos
El estimador de Desviaciones Absolutas Mínimas (MAD) Suponga que el error tiene un exceso de kurtosis positivo, teniendo “colas anchas”. En el caso del estimador OLS, éste dará demasiado peso en las colas de la 52
distribución. En otras palabras, este estimador le da demasiado peso a los eventos que ocurren con baja probabilidad. Ello debido a que el OLS está basado en la suma de las desviaciones al cuadrado de la regresión. Es por ello que este estimador es ineficiente bajo situaciones de no normalidad. Un estimador alternativo es el estimador MAD el que minimiza la suma de las desviaciones absolutas sobre la línea de regresión. Así, el estimador OLS es definido como : n m´ın S =
(Yi
β
− X β )2
(5.4)
i=1
(donde la constante está absorbida) mientras el estimador MAD tiene la siguiente forma : n m´ın S ∗ = β
|Yi
i=1
− Xβ|
(5.5)
El estimador MAD es mas eficiente en casos donde la desviación de la normalidad consiste en que la distribución resultante tiene colas mas anchas, esto es, exceso de kurtosis positivo. El estimador MAD es asintóticamente insesgado y normalmente distribuido (por el TLC) y tiene una varianza asintótica menor en presencia de exceso de kurtosis. Nota : si el término de error es de hecho normal, el estimador MAD será, aunque consistente, ineficiente con respecto al OLS (por el teorema de Gauss-Markov). Estimadores Robustos Si el estimador OLS funciona bien en los casos de normalidad pero ineficientemente en casos de exceso de kurtosis, se ha propuesto el diseño de un estimador el que entregue diferentes métodos de estimación dependiendo de la estructura del término de error. Esta es la noción de estimador robusto. Este tipo de estimador puede ser descrito de la siguiente forma : n
m´ın µ = β
Θ(Y
i=1
− Xβ)
(5.6)
donde la función Θ es escogida de tal forma de satisfacer las propiedades anteriores. Un ejemplo, es el estimador de Huber el cual está relacionado con una función la cual estima una regresión por OLS para desviaciones de la media que son menores que un umbral dado de antemano y una estimación por MAD para aquellas desviaciones que sobrepasan este valor pre asignado. A medida que este umbral tiende a infinito, el estimador de Huber tiende al OLS y si este valor tiende a cero, el estimador de Huber tiende al MAD. 53
Regresión Cuantil El estimador MAD es un caso espacial de un estimador mas general denominado regresión cuantil (quantile regression) el cual es particularmente útil en el análisis de datos de encuestas donde hay presencia de hetersocedasticidad. Este estimador lo discutiremos en la siguiente clase.
5.3.
Modelos de Regresión ante la presencia de datos Outliers, Leverage o Influyente
El estimador de Huber presenta a lo menos dos problemas. Primero es suseptible de una elección arbitraria del valor de umbral pre asignado para determinar los valores que serán considerados como outliers. La segunda razón es que ataca el problema de los ouliers en términos “estadísticos” mas que en términos “económicos”. Quizá los outliers pueden ser muy importantes y en consecuencia su ponderación no debería ser arbitrariamente “disminuida”. Quizá deberían ser modeladas mediante el uso de variables mudas (o dummies). En un análisis univariado, los outliers son la únicas observaciones “problema”. En un modelo de regresión, también queremos identificar las observaciones “problema” las que pueden tener un peso sobredimensionado sobre la esperanza condicional de la variable dependiente (i.e. la línea de regresión). Teniendo esto en consideración es bueno hacer una pausa y definir de mejor manera tres conceptos que nos pueden ayudar en el análisis del problema con los datos en un modelo de regresión : Outlier : un dato que presenta un residuo significativamente mayor al restos de los datos. Es decir, la distancia vertical desde la esperanza condicional media. Leverage : un dato tendrá leverage si es extremo en la dirección de X. La característica importante del leverage es que podría influenciar la posición de la línea de regresión. Influyente: un dato influyente es aquel que su eliminación de la muestra podría alterar significativamente la posición de los estimadores de la esperanza condicional de la variable dependiente. Dado que el estimador OLS no es una medida resistente de la esperanza condicional de una variable, es importante entender las consecuencias de los problemas 54
que pueden presentar los datos. Veamos algunas medidas de ouliers, leverage e influencia.
5.3.1.
Medida basadas en la media de Outliers, Leverage e Influencia
Comenzaremos con una medida del leverage para la observación i . Esta puede ser definida como : ¯ )2 1 (Xi X i n h = n+ ¯ )2 X i=1 (Xi
−−
La cual es creciente respecto a la desviación de X i de la media de X. La medida hi varía desde 1/n, cuando X i es igual a la media hasta 1 situación en la cual el outlier domina tanto el proceso que termina por opacar a todas las demás observaciones. Huber sugiere que el leverage comienza a ser un problema si m´ax(hi ) > 0 ,2 Para identificar un outlier podríamos ordenar los residuos por sus errores estándar en el modelo ( εi /S ). Sin embargo, si existe un outlier este incrementará s y en consecuencia, la desviación de ε de S se verá reducida. Para salvar este problema podemos utilizar un residuo “studientizado” el cual se define de la siguiente manera : εˆi ti = t1 S (i) (1 hi )
−
∼
Donde hi es igual como se definió anteriormente y S(i) es la ecuación para el error estándar al borrar la observación i-ésima. Finalmente, para medir la influencia podemos usar el estadístico DF se define de la siguiente manera :
DF βji =
β el cual
bj bj (i) Se (bj )(i)
−
Donde βj (i) denota la estimación j con la i-ésima observación eliminada de la muestra y lo mismo para el coeficiente del error estándar. Claramente, si la iésima observación tiene una influencia, entonces el DF β se desviará de cero. Este estadístico no tiene una distribución bien definida pero trabajos estadísticos sugieren que si DF β > 2 entonces se presume que la observación es influyente.
55
5.4.
Apéndice Identificación de No normalidad mediante el uso de Estadísticas de series ordenadas
El análisis basado en orden puede ser sólo posible si los datos pueden ser re ordenados, por ejemplo en términos creciente de acuerdo al tamaño. Esto es posible en el caso de datos de corte transversal pero no así en series de tiempo. En estos casos podemos utilizar medidas “resistentes” como la mediana. Calculando la Mediana (Md) Ordenar los datos ( Y1 ,...,Y n ) por tamaño y seleccionar la observación del medio. Si el número de datos es par, promediar las dos observaciones del medio.
Yn/2 + Yn/2+1 2
Calculando el Cuantil Mayor y el Cuantil Menor (QU , Ql ) Repita el mismo ejercicio para cada una de las mitades de la distribución anterior. Los tres valores (QU ,Md,Q l ) dividen la distribución en cuatro partes iguales. El Rango Intercuartil (IQR) Este se define como (QU Ql ) y en consecuencia, contiene el 50 % del medio de la distribución.
−
Outliers Outliers como vimos, pueden afectar aquellas estadísticas que están basadas en la media pero no así necesariamente en aquellos estadísticos mas resistentes. Existen variadas formas de definir un outliers, pero en general podemos clasificarlas como sigue : Y0 es un outlier si : Y 0 < Ql 1,5IQR o bien Y0 > QU + 1,5IQR Y0 es un outlier extremo si : Y 0 < Ql 3,0IQR o bien Y0 > QU + 3,0IQR
−
−
Analizando skewness and kurtosis mediante el uso de estadísticas basadas en series ordenadas. Skewness positivo: Media > Mediana Skewness negativo: Media < Mediana Notar sin embargo, que los outliers pueden generar skewness y de esta forma es mas útil emplear medidas resistentes"tales como el Coeficiente de Skewness de Bowley:
bS = (QU + Ql
− 2M d)/IQR
56
con 1 bS 1. Tanto el IQR como la desviación estándar miden el grado de tendencia central en una distribución. Si una variable está normalmente distribuida entonces el IQR = 1,35σ .
− ≤ ≤
Usando esta relación podemos comparar el estadístico :
Sp = IQR/ 1,35 con s (la desviación estándar de la serie). Pueden ocurrir entonces, tres posibilidades : Sp < S Distribución mas ancha que las colas normales Sp S Distribución normal Sp > S Distribución mas angosta que colas normales
≈
Formas de remover el skewness mediante la utilización de transformaciones de potencias Potencia Transformación 3 Y3 2 Y2 1 Y 0 log(Y ) -1 Y −1
−
Efecto sobre skewness Reduce skewness negativos extremos Reduce skewness negativo Deja los datos inalterados Reduce el skewness positivo Reduce skewness positivos extremos
57
Capítulo 6 Violaciones de los supuestos modelo de regresión clásico del 6.1.
Resumen Errores no esféricos y el Modelo de Regresion Generalizado Heterocedasticidad-Consecuencias Heterocedasticidad-Detección Heterocedasticidad-Soluciones
6.1.1.
Referencias
Gujarati Capítulo 11 Kmenta Capítulo 8-2 Grenne Capítulos 14
6.2.
Errores No Esf éricos y el Modelo de Regresión Generalizado
Antes de introducir el tema de la Heterocedasticidad, es conveniente desarrollar la noción de Modelo de Regresion Generalizado para la muestra
y = xβ +
E [ ] = 0
E [] = Ω
⇒ ∼ N (0, Ω) 58
(6.1)
donde Ω es una matriz cuadrada n n positiva definida referida normalmente como la matriz de varianza covarianza. El modelo de regresión clásico asume que las distribuciones son esféricas. Esto implica que E [] = 0 y:
×
E [ ] = σ 2 I =
σ2
0 2
0
σ
0 0
0 0
... ...
0 0 .. .
... . . . σ2
= σ2
... 0 ... 0 .. 0 ... ... . 0 0 ... 1 1 0
0 1
(6.2)
Bajo este supuesto acerca de la forma de la ecuación de los residuos, el teorema de Gauss-Markov muestra que el estimador OLS son BLUE, consistentes y distribuidos asintóticamente normales (CAN). Cuando Ω = σ 2 I los errores del modelo general se dice que son no esféricos. Las dos dimensiones que nos concentraremos en esta y las siguientes clases son el de la Heterocedasticidad donde:
Ω
=
σ12
... 0 0 σ22 0 . . . .. 0 ... ... . 0 ... ... σn2 0
(6.3)
donde la varianza no es constante sobre toda la muestra ( i.e.σi2 = σ 2 1 ).
∀
El segundo caso de interes es de la autocorrelación donde: 1 ρ1 . . . ρn−1 ρ1 1 . . . ρn−2 2 Ω=σ .. .. .. .. . . . .
ρn−1 ρn−2 . . .
1
(6.4)
donde, a pesar de que la varianza es constante para cada valor de i la covarianza entre observaciones secesivas no es cero. Si la verdadera forma de Ω es conocida, entonces el estimador minimo cuadrático generalizado (GLS) es el estimador insesgado, lineal de minima varianza. Recuerdo del OLS con notacion matrical considere el modelo de regresión clásico y = xβ + donde N (0, Ω) y Ω = σ 2 I . El estimador OLS de los coeficientes de este modelo vienen dado por la siguiente expresion: β = (X X )−1 X Y
∼
59
Sabemos que este estimador es insesgado:
E (β ) = E (X X )−1 (X (xβ + )) = β + E (X X )−1 X = β Y que la matriz de varianza-covarianzas viene dado por:
E ((β
− β )(β − β ) ) = E (X X )
−1
X X (X X )−1 = σ 2 (X X )−1
El modelo GLS se deriva a partir de una estructura arbitraria de Ω como sigue. La única restricción que requerimos es que Ω sea positiva definida lo que implica que existe ina matriz diagonal P de tal manera que:
P P = Ω−1 Si pre multiplicamos (1) por P tenemos lo siguiente:
P Y = P Xβ + P
(6.5)
Esta transformación asegura que (5) satisface todos los supuestos del modelo clásico. En particular, el estimador GLS viene dado por: βGLS = [(P X ) (P X )]−1 (P X ) (P Y )
(6.6)
el cual, notando que P P = Ω−1 se simplifica como:
βGLS = (X P P X )−1 (X P P Y ) βGLS = (X Ω−1 X )−1 X Ω−1 Y
(6.7)
Ahora es un asunto trivial demostrar que este estimador GLS es insesgado:
E (βGLS ) = E [(P X ) (P X )]−1 P X [P X β + P ] = β + E (X Ω−1 X )−1 (X Ω−1 ) = β
(6.8)
y que su matriz de varianza-covarianza es aquella de varianza mínima:
E (βGLS
− β )(β
GLS
− β)
= E (X Ω−1 X )−1 X Ω−1 Ω−1 X (X Ω−1 X )−1 = (X Ω−1 X )−1 60
(6.9)
el cual es el valor BLUE para la matriz de varianza- covarianzas para cualquier matriz de varioanza-covarianza arbitraria. GLS Factible Si el verdadero valor o estructura de Ω es conocida (como suele suceder en la practica), debemos entonces estimarla. Tipicamente podemos estimar la matriz de varianza-covarianzas como una funcion de un pequeño conjunto de parametros Ω = Ω(θ ) Con el fin de hacer el GLS factible, nesecitamos de que Ω = Ω(θ ) y en consecuencia, el Estimador GLS Factible (o admisible) viene dado por: βGLS = (X Ω−1 X )−1 X Ω 1Y
−
(6.10)
el cual es insesgado, consistente y asintóticamente eficiente, a pesar de no ser eficiente en muestras finitas.
6.3.
Heterocedasticidad
El modelo de regresión clásico asume que:
V ar(2i ) = σ 2
∀
i
Dado que la medida de i es cero, esto implica que E (2i ) = σ 2 para todos los i. Violaciones de este supuesto se denominan Heterocedasticidad, y es un problema muy recurrente en datos de corte transversal (cross-section data).
6.3.1.
Consecuencias
En lo que sigue ilustraremos las consecuencias de la Heterocedasticidad de un modelo simple bivariado donde asumiremos que todos los demas supuestos del modelo de regresión clásico siguen siendo válidos.
Yi = α + β Xi + i
(6.11)
Sesgo Si el termino de error en la regresión es Heterocedástico tenemos que:
E (2i ) = σ i2
(6.12)
El estimador mínimo cuadrático de β viene dado por: n y =1 xi Yi n x2 i=1 i
β=
=β+ 61
n i=1 xi i n x2 i=1 i
(6.13)
El valor esperado de este estimador es entonces:
E (β ) = β + E [
n i=1 xi i n 2 ] i=1 xi
=β+
=β
n y =1 xi n 2 E (i ) i=1 xi
(6.14)
Resultado 1.El estimador mínimo cuadrático para β ( α también) son insesgados aún en presencia de Heterocedasticidad en término de error. BLUE Podemos transformar la ecuacion de Heterocedasticidad (10) en una homoscedástica al dividir la regresión por σi para obtener la siguiente estructura:
Yi σi
= α(
1 σi
) + β(
Xi σi
)+(
i ) σi
(6.15)
la cual puede ser re escrita como:
Yi∗ = α wi∗ + β Xi∗ + ∗i ∗
(6.16) 2
∗
Se sigue que E (i ) = E (i )/σi = 0 ; V ar(i ) = V ar(i )/σ = 1 el cual es ahora constante (i.e homoscedastico). La ecuación (16) ahora satisface todas las propiedades del modelo de regresión clásico. Si definimos wi = 1/σi2 entonces podemos definir los estimadores BLUE como: n X )(Yi Y ) i=1 wi (Xi (6.17) β= y α=Y βX n X )2 i=1 wi (Xi donde:
− − − − ∧ X=
n i=1 (wi Xi ) n i=1 wi
Y =
n i=1 (wi Yi ) n i=1 wi
En el caso de la regresión heteroscedastica, esta formula entrega los estimadores BLUE. En consecuencia, el estimador OLS no puede ser BLUE dado que bajo la estimacion OLS, w i = 1 en vez de 1 /σi2 . Resultado 2. El estimador OLS es una regresión heteroscedastica no es BLUE. Dado que los estimadores son lineales e insesgados, se sigue que los estimadores OLS son ineficientes. Los estimadores BLUE para el caso de las regresiones heteroscedasticas son aquellos presentados en la ecuación (16) los que se conocen como estimadores mínimos cuadráticos ponderados (WLS). Algo de intuición OLS, por definicion entrega cada error al cuadrado una misma ponderacion (lo cual es correcto en un mundo homoscedastico). Si existe heteroscedasticidad, el estimador OLS entre u otorga "demasiado"peso a los errores grandes. [Sabemos de lo anterior que el peso verdadero que deberá otorgársele a cada error es 1 /wi y a medida de que σi2 aumenta de valor 1 /wi deberia disminuir. Pero OLS entrega 62
a todos los errores el mismo peso]. Para corregir por este problema deberiamos darle mayor importancia a los errores menores. El estimador WLS usa informacion muestral para definir estos pesos. Propiedades Asintóticas Para probar de que los estimadores son consistentes frente al problema de la heteroscedasticidad, necesitamos solo que chequear que la varianza del OLS desaparece a medida de que la muestra crece. La varianza del estimador OLS se define como sigue:
V ar(β ) = E (β Dado que E (2i ) = σ i2
n i=1 n
− β )2 = E (
Xi i 2 ) X2
i=1
(6.18)
i
∧ E ( ) = 0 entonces (15) puede ser re escrito como: i j
V ar(β ) =
(
n 2 2 i=1 Xi σ i n 2 i=1 Xi )
(6.19)
Ahora cuando σ12 = σ 2 el cual es el de homoscedasticidad, este no es el caso. No obstante, podemos definir las varianzas no constantes como σi2 = θi + σ 2 donde σ 2 = Σσi2 /n de tal modo que Σθi = 0 entonces:
V ar(β ) =
=
Xi2 (σ 2 + θi ) = ( Xi2)2
σ 2 /n
Xi2/n
+
σ2
Xi2
+
Xi2θ i ( Xi2 )2
Xi2θ i /n)(1/n) ( Xi2 /n)2
(
(6.20)
Si tomamos el límite de (20) notamos que el límite de Xi2 /n es finito y que el numerador de ambos componentes de (20) desaparecen. De esta forma, la varianza del estimador OLS converge efectivamente a cero. Sin embargo, debe estar claro que la varianza del estimador es, para todo tamaño de muestra, mayor que la verdadera varianza y en consecuencia, es asintóticamente ineficiente (ver Kmenta 273-275 para prueba detallada en sobre este punto). Resultado 3. El estimador OLS es consistente, pero es asintóticamente ineficiente. Inferencia ba jo Heterocedasticidad: La varianza del estimador OLS. En presencia de Heterocedasticidad, el estimador OLS es insesgado, consistente pero ineficiente (y asintóticamente ineficiente). Si queremos realizar inferencias en base a los estimadores necesitamos adémas que la varianza de los estimadores sea tambien insesgadas. La varianza del estimador mínimo cuadrático viene dada por la siguiente expresion: S2 2
Sβ =
Xi2
63
(6.21)
Usando la notación anterior podemos re escribir el valor esperado de (21) como sigue: S2 σ2 Xi2θ i )= (6.22) E (Sβ2 ) = E ( 2 2 Xi Xi (n 2)( Xi2 )2
− − − − − − −
Sabemos de (20), sin embargo, que la "verdadera"varianza de
V ar(β ) =
(
Xi2σi2 Xi2)2
=
σ
2
Xi2
+
(
β viene dada por:
Xi2θi Xi2 )2
(6.23)
Estas dos expresiones son claramente diferentes. De hecho, el sesgo (de la varianza estimada) puede ser calculada como sigue:
E (Sβ2 )
V ar(β ) =
(u
Xi2θi 2)( Xi2 )2
Xi2θi (u = ( Xi2 )2 (u
1)
2)(
Xi2θi Xi2 )2
(6.24)
La ecuación (24) muestra que el sesgo en la varianza estimada dependerá del valor de Xi2θ i /n el cual es la varianza entre Xi2 y los terminos de varianza individuales. Si esta covarianza es positiva entonces tendremos un sesgo negativo, ya que E (Sβ2 ) < V ar (β ). Esto significa que los errores estándar en los coeficientes estimados por OLS en la presencia de heteroscedasticidad serán muy pequeños, implicando que el modelo presenta una precisión mayor de la que realmente tiene. Resultado 4. La varianza estimada para los estimadores OLS está sesgada. Si los errores heteroscedasticos están positivamente correlacionados con las variables entonces el sesgo será hacia abajo implicando un falso sentido de precisión en el modelo.
6.3.2.
Deteccion de la Heteroscedasticidad
De la discusión anterior debería resultar claro que con el fin de probar que la varianza del término de error es constante requeriremos que la hipótesis nula sea: 2 Ho : σ 12 = σ 22 = .......σm (m
≤ n)
Existe una variada gama de tests, cada uno con diferentes fortalezas dependiendo de las circuntancias. Test de Goldfeld-Quandt Esta prueba puede ser usada solamente con datos de corte transversal. La intuición detras de esta prueba es si pudiéramos ordenar todos los datos en orden creciente dependiendo de la varianza de sus errores asociados y escogiéramos sub 64
muestras de diferentes partes de esta muestra, entonces las varianzas al interior de cada submuestras debería ser diferente solamente en fluctuaciones bajo la nula. Sin embargo, si la muestra es heteroscedastica entonces las varianzas entre submuestras deberian ser significativamente diferentes. El test de GQ se define de la siguiente manera:
GQ = donde
S12 = S22 =
n1 i=1 (Yi
S22 S12
α1
∼F
β 1 Xi )
− − − − − ∀ −
n1 +p+n2 i=n1 +p (Yi
n2
α1
n1
2
(6.25)
n2 −2,n1 −2
β1 Xi )2
2
2
∀i = 1, .....n1
n1 + p + 1.....n1 + p + n2
(6.26)
Notar que las sumas individuales de los cuadrados se distribuyen en Chi-cuadrado y en consecuencia la razon entre dos Chi-cuadrados independientes se distribuye F. Notar tambien que las sub muestras son realizaciones independientes de la muestra completa. Algunos aspectos importantes: 1. p es un conjunto arbitrario de los datos y puede ser escogi dos por el investigador. Evidencia experimental sugiere que el 15 por ciento del medio de la muestra debe ser desechado. 2. La prueba de GQ tiene ge neralmente, bajo p oder. Prueba de Breush-Pagan La prueba de BP es una aplicacion directa de la clase de test de Multiplicadores de Lagrange introducidas en la clase 4. Aplicando la logica del LM test, si la hipótesis nula (la restrictiva) es valida entonces la derivada de L no será significativamente diferente de cero. La hipótesis nula es probada en contra de la hipótesis alternativa mas general:
HA : σ i2 = g [γ0 + γ1 z1i + γ2 z2i + ....γp zpi ]
i = 1, 2,...k
donde g es una función continua y donde las variables Z son no estocásticas, típicamente las variables explicaivas del modelo.
65
Para calcular la prueba de BP el investigador deberá estimar la siguiente regresión auxiliar usando mínimos cuadrados: 2i = γ 0 + γ1 z1i + γ2 z2i + ....γγ zpi + vi σ2
(6.27)
donde i son los residuos de la regresión mínimo cuadráti ca de Y sobre X y donde además u epsilon2i σ2 = n i=1
Si definimos ESS BP como la suma de cuadrados explicada de la regresión auxiliar entonces si la nula es válida ES SBP será pequeña y en consecuencia: ES SBP BP = X[2p] (6.28) 2 Debería ser claro que si la regresión auxiliar explica la evolución de 2i (lo que implica que los residuos no son constantes) entonces ESS será alta y BP no se distribuirá como chi-cuadrado y en consecuencia rechazaremos la hipótesis nula de homocedasticidad. Prueba de White La prueba de White es conceptualmente similar a la prueba de BP (y es la prueba principal ofrecida en la mayoría de los softwares). La prueba de White define la hipótesis nula igual que el resto de las pruebas y donde la alternativa es:
∼
HA : 2i = δ 0 + δ1 X1i + δ2 X2i + ....δp Xi Xj + ui
∀
i, j
donde las variables Xi son aquellas del modelo srcinal de Y regresionado sobre X . Notar que la prueba de White incluye los X individualmente, el cuadrado de cada Xi , y el producto conjunto de todas las variables X i Xj entre sí. Habiendo hecho la regresión de White, que bajo la nula:
nRw2
∼ X[2 ] p
(6.29)
donde n es el numero de observaciones y Rw2 es la medida estandar R 2 de ajuste aplicado a la regresion auxiliar. Algunos aspectos importantes: 1. La regresión auxiliar no sólo entre ga una prueba para la existencia de heteroscedasticidad sino que también una base para descubrir la forma de la heteroscedasticidad y en consecuencia, permite ayudar en el proceso del diseño del modelo final. 2. Tanto el test de BP como el de White pueden ser imple mentados usando la metodología general-a-específico al comenzar con una especificación auxiliar muy general y en seguida borrar los regresores irrelevantes. Esto significa que el ultimo test resultante será insesgado, consistente y eficiente. 66
6.3.3.
Soluciones para la Heteroscedasticidad
Hemos concluido que la heteroscedasticidad presenta problemas en la eficiencia de la estimación mínimo cuadrática pero mas seriamente, induce sesgo en la varianza del estimador. Inferencia entonces es un elemento que está afectado ante este problema. £Qué soluciones podemos implementar? Hemos visto que los Mínimos Cuadrado Ponderados (WLS) son BLUE dado que escalamos todas las variables por la ecuación conocida del error estándar. Sin embargo, WLS como se ha presentado, asume que el verdadero valor de σi para todos los i, es conocido. En general esto no es conocido. Es necesario, en consecuencia, estimar el valor σi a partir de la muestra de datos disponible. Nota: Nunca será p osible estimar un mo delo heteroscedastico completo dado que el numero de parametros desconocidos (para una muestra de n observaciones) es igual a n + k 1. Todas las soluciones factibles para la heteroscedasticidad tiene un costo de términos de eficiencia relativa a la situación en que toda la informacion puede ser utilizada.
−
Heteroscedasticididad Multiplicativa La heteroscedasticidad multiplicativa se refiere a aquella forma de heteroscedasticidad que tiene la siguiente estructura: σi2 = σ 2 ziδ
(6.30)
la cual es una función de dos parámetros. Típicamente asumiremos que
δ toma
valores pequeños, por ejemplo 1 o 2. Obviamente el caso en que δ = 0 es aquel de homoscedasticidad. En este caso, el modelo completo queda expresado de la siguiente manera:
Yi = α + β Xi + i i = N (0, σi2 ) σi2 = σ 2 Ziδ (σ > 0 ,
(6.31)
Z > 0)
Esto reduce el número de parámetros del modelo a ser estimados lo que lo hace un estimador factible. En el caso especial en que δ = 2 y Zi = Xi , el modelo se reduce a: σi2 = σ 2 Xi2 (6.32) La ecuación de regresión se hace homoscedástica al dividir el modelo por Xi lo que resulta en la siguiente especificación: 1 Yi i ( Xi ) = α ( Xi ) + β + ( Xi ) (6.33) 67
La ecuación (31) es ahora un modelo de regresión clásico. Heteroscedasticidad Aditiva Suponga que permitimos que la heteroscedasticidad tenga una forma mas general, como la que sigue: σi2 = a + bXi + cXi2
(6.34)
Podemos encontrar los valore de a, b y c al estimar la siguiente ecuación por OLS: 2i = a + bXi + cXi2 + vi
(6.35)
los 2i
donde son los residuos cuadrados de la regresion srcinal (pero heteroscedastica) entre Y y X y en consecuencia, vi = 2i σi2 . Esto nos entrega la "primera ronda"de estimación de a,b y c.
−
σi2 = a + bXi + cXi2
(6.36)
Estos estimadores no son, sin embargo, eficientes dado que vi son heteroscedasticos. En consecuencia, nesecitamos re estimar a,b y c al ajustar (35) por los estimadores consistentes pero ineficientes de σi2 . (
2i 1 Xi X2 ) = a ( 2 ) + b( 2 ) + c( 2i ) + vi∗ σi2 σ1 σi σi
(6.37)
Estos estimadores revisados"son asintóticamente eficientes y son denotados por un tilde ( ) y de esta manera podemos definir la "segunda ronda"en la estimación de σi2 = a + bXi + cXi2 (6.38)
∼
el cual puede ser luego aplicado a la regresión heteroscedástica. (
Yi σi
) = α(
1
σi
) + β(
Xi σi
) + ∗i
(6.39)
la que asintóticamente eficiente y consistente.
Heteroscedasticidad en la Variable Dependiente Finalmente, la heteroscedasticidad puede depender de la variable endógena, con estructura como la siguiente: σi2 = σ 2 [E (Yi )]2 = σ 2 (α + β Xi )2
68
(6.40)
Podemos aplicar una versión modificada del WLS al estimar el siguiente modelo: (
Yi 1 Xi ) = α ( ) + β ( ) + ∗i Yi Yi Yi
(6.41)
En todos los casos anteriores, dado que σi2 no es conocido y debe por tanto ser estimado, existe una pérdida en la eficiencia en los estimadores. Estos estimadores todos tienen propiedades asintóticamente deseables y a pesar de que estos estimadores son insesgados en muestras pequeñas, estamos menos seguros acerca de la pérdida de eficiencia en tamaños de muestras pequeños.
6.3.4.
Errores Estándares Heteroscedasticos Consistentes
Con el fin de solucionar los problemas asociados son el sesgo en la varianza de los estimadores en presencia de Heteroscedasticidad, podemos calcular los errores estándar Heteroscedasticos consistentes de la siguiente manera:
V ar(β )HCSE =
(
n 2 2 i=1 Xi i n 2 2 i=1 Xi )
(6.42)
donde el estimador OLS de la varianza σ 2 es reemplazado por la expresión Xi22i . White encuentra que este estimador de la varianza del OLS es consistente.
6.3.5.
Regresión Cuantil
Una forma conveniente para analizar datos intrínsicamente Heteroscedasticos (donde la Heteroscedasticidad es en sí misma una caracteristica interesante del DGP) es la regresión cuantil. Para entender este procedimiento recordemos el caso de Heteroscedasticidad estándar donde el percentil de la distribución puede ser representado por lineas paralelas y la línea de regresión pasa a través del 50mo. Percentil. A
i-n f i n i t o
B
X1 X2 X 3
X4
C
X 5 X6 X 7 X8 X9 X10
+i nfi ni t o
Si la regresión es heteroscedastica las lineas de percentiles no serán paralelas y si la heteroscedasticidad está relacionada con el valor de X entonces las líneas de percentil divergirán (o convergerán) a medida que nos alejemos de la medida del 69
valor de X. (Xi,Yi)
Yi error
recta ajustada (Yi - media de Y) media de Y
media de Y
predicción
Xi
media de X
En este caso, en vez de ajustar una línea (i.e. estimar una regresión) utilizando todos los datos, podemos ajustar línes a percentiles diferentes. La regresión cuantil puede ser usada para detectar heteroscedasticidad. Si la relación es de hecho homoscedás tica entonces las p endientes de las regresiones cuantiles deberían ser las mismas. Sin embargo, ante la presencia de heteroscedasticidad entonces la regresión cuantil nos permite explorar la distribución condicional con mas detalle. Podemos analizar el comportamiento de los diferentes componentes de la muestra. Por ejemplo, la relación entre consumo e ingreso para aquellos grupos de bajo ingresoUn (10mo deeste la muestra) y los grupos de altos ingresosen (90mo percentil). buenpercentil ejemplo de tipo de ejercicios se puede encontrar Angus Deaton "The Analysis of Houshold Surveys"World Bank (1997) pp 81-85. Formalmente, la definición del regresión cuantil es como sigue:
Qq = m´ın (1 β
− q)
(yi
y ≤x β
− x β) + q i
(yi
y>x β
− x β) i
(6.43)
el cual es igual a: n
Qq =
− [q
f (y
i=1
≤ x β )] − (y − x β ) i
i
i
(6.44)
donde q denota el cuantil de interés y la función f (z ) toma el valor de 1 si z es verdarero, y un valor de 0 si z es falso. Este método es discutido extensivamente en los manuales STATA. Ver la función qreg y las diferencias que allí se citan. 70
Capítulo 7 Violaciones de los Supuestos Modelo de Regresión Clásico.del Parte III : Autocorrelación 7.1.
Resumen
1. Consecuencias del supuesto de independencia 2. Autocorrelación - Detección 3. Autocorrelación - Soluciones
7.1.1.
Referencias
Gujarati Capítulo 12 J. Kmenta Capítulo 8 Grenne Capítulo 15
7.2.
Errores No Esféricos (continuación)
Volvamos al Modelo de Regresión Generalizado
Y = Xβ +
(7.1)
E [] = 0 E [ ] = Ω donde Ω es una matriz cuadrada nxn positiva definida. El caso de autocorrelación aparece cuando : 71
E [ ] = Ω =
σ2 cov (1 2 ) · · · · · · cov (1 n ) σ2 ··· ···
.. . .. .
···
cov(2 1 ) 1 σ2
cov(2 1 ) cov(2 n ) .. ··· ··· . .. .. . · ·· . ··· ··· σ2
ρ1 ρ2
.. .
ρn−1
.. . ···
. . . ρn−1 . 1 ... .. . . .. ... 1 ... . .. .. .. . . ... . ... ... .. . 1 ρ1
=
(7.2)
ρ2
La forma de la autocorrelación será determinada por el número de elementos no cero fuera de la diagonal en la matriz. En el caso de autocorrelación de primer orden (la cual domina la literatura) la matriz de varianza-covarianzas tiene la siguiente forma : 1 ρ1 0 . . . 0 .. ρ1 1 ... .. . . . 2 Ω=σ (7.3) 0 . . . 1 . . . .. .. .. .. .. . . . ... .
0 .. . .. . .. .
1
Como ya se había mencionado en la clase anterior, si la verdadera forma de Ω es conocida, entonces el estimador de Mínimos Cuadrados Generallizados (GLS) es aquel de estimador lineal insesgado de mínima varianza y tiene la siguiente forma : βGLS = (X Ω−1 X )−1 X Ω−1 y (7.4)
Si el verdadero valor de Ω es desconocido será necesario estimarlo en función de un reducido conjunto de parámetros Ω = Ω(θ ) . Con el fin de hacer GLS un estimador factible requeriremos que Ω = Ω(θ ) , y en consecuencia, el estimador GLS factible será el siguiente :
βFGLS = (X Ω−1 X )−1 X Ω−1 y
(7.5)
el cual es insesgado, consistente y asintóticamente eficiente, no obstante, no eficiente en muestras finitas. Una vez mas, está falta de eficiencia proviene del hecho que no podemos utilizar toda la información disponible para estimar Ω.
72
7.3.
Proceso Autocorrelacionado y Autoregresivo: algunas definiciones
En general, estamos acostumbrados a describir la evolución de variables en términos de su relación sistemática con otras variables. No obstante, también es instructivo examinar la evolución de las variables en términos de sus propios valores pasados. Una representación como un proceso Autoregresivo de Primer Orden AR(1) de una serie puede ser expresado como : t = ρ t−1 + µt
(7.6)
donde µ N (0, σ 2 ) . El proceso mas general de orden p de una serie puede ser representado p or la siguiente expresión [AR(p)] :
∼
t = ρ 1 t−1 + ρ 2 t−2 + ........ + ρ p t−p + µt
(7.7)
la cual representa a t en función de valores pasados de ella misma. Existe también la representación en términos de promedios móviles donde MA(1) es la mas conocida la cual tiene la siguiente estructura : = µ − θµ 1 (7.8) ∼ N (0, σ2). Por extensión, el proceso de medias móviles mas t
donde, de nuevo, µ
t
t−
general, denotado como MA(q) tiene la siguiente estructura : t = µ t θ1 µt−1 ....... θq µt−q
−
−
(7.9)
−
En los análisis de series de tiempo nos referiremos a los términos de error como innovaciones con el fin de reflejar el hecho de que la única información nueva que entra al proceso está contenida en los shocks estocásticos µt que ocurren en cada período. Un modelo general que engloba ambas especificaciones es el modelo de Media Moviles y Autoregresivo (Auto Regressive Moving Average) denotados como modelos ARMA (p,q) el cual tiene la siguiente estructura : t = ρ 1 t−1 + ρ2 t−2 + ........ + ρ p t−p + µt
Notar la convención de que en un modelo 73
− θ1µ 1 − ....... − θ µ t−
q t− q
(7.10)
ARMA (p, q ) existen p términos de
autoregresión y q términos de promedio móvil. Una característica importante de estos procesos de series de tiempo es que bajo ciertas circunstancias, especialmente cuando |ρ| < 1 ellos pueden ser también vistos tanto como una regresión sobre valores rezagados con un error aditivo (caso AR) o bien como la agregación de la historia de errores pasados (el caso MA). Esto es una propiedad muy importante y de amplio uso. Para ver esto podemos re escribir el proceso AR(1) por sustituciones repetidas como : t = ρt−1 + µt t = ρ(ρt−1 + µt−1 ) + µt t = ρ2 t−2 + ρµt + µt
.. . . = .. t = ρs t−s + ρs−1 µt−s+1 + .........ρµt−1 + µt donde si s
(7.11)
s
→ ∞ implica que ρ → 0 y en consecuencia :
∞
t =
ρs µt−s
(7.12)
s=0
En otras palabras, el proceso autoregresivo de primer orden puede ser expresado como un proceso infinito de medias móviles. Ello expresa la evolución de t en términos de la historia de "innovaciones". La evolución de t claramente depende de la historia de las innovaciones y en consecuencia, del valor de ρ . Si el valor de este parámetro ρ es menor que la unidad entonces para potencias superiores progresivas (i.e. rezagos mayores) el efecto de las innovaciones se disipa. Nos referiremos a este caso como una serie de corta memoria . Sin embargo, si el valor de ρ es alto entonces innovaciones pasadas tienen un peso cada vez mayor para determinar el valor actual de t . Nos referiremos a estas series como aquellas de larga memoria. En el límite cuando podemos expresar el AR(1) como : t = t−1 + µt (7.13) o, utilizando (12), como :
∞
t =
µt−i
(7.14)
i=0
de tal manera que shocks antiguos tiene un peso igual a los mas nuevos en la determinación del valor actual de t . Una serie de este tipo se conoce como paseo 74
aleatorio o random walk . Debería quedar claro que la distinción entre series de memoria corta o larga está directamente relacionado con el valor de ρ en el proceso AR. Esta es la principal distinción entre una serie estacionaria de una no estacionaria , conceptos que discutiremos en un par de clases. Siguiendo esta discusión, podemos caracterizar el proceso autoregresivo de primer orden como :
yt = α + β xt + t
(7.15)
donde t = ρ t−1 + µt
y
E (µt , µs ) = 0;
E (µt , t−1 ) = 0;
con µ
t
POr otra parte, la varianza viene dada por :
∼ N (0, σ2 ) µ
var (t ) = var (µt ) + ρ 2 var (µt−1 ) + ρ4 var (µt−2 ) + ......... + ρ2n var (µt−n ) var (t ) =
σµ2
(1
− ρ2 )
la cual, notando que (1 + ρ2 + ρ4 ...) es una serie convergente cuando ρ < 1, define la verdadera varianza del proceso AR(1) como : 2
σ2 =
σµ (1 ρ2 )
−
(7.16)
Finalmente, respecto a la covarianzas, sabemos que :
cov (t , t−1 ) = E (µt + ρµt−1 + ....)(µt−1 + ρµt−1 + ...) = ρσµ2 + ρ 3 σµ2 + ρ5 σµ2 = ρσ 2 Se sigue entonces dado que :
cov(t , t−1 ) = ρσ 2 Entonces se tiene que : ρ=
cov (t , t−1 ) 2
σ
cov(t , t−1 )
=
var (t ) var (t−1 )
75
(7.17)
7.4.
Estimación Minimo Cuadrática y Errores Autocorrelacionados
En seguida derivaremos las propiedades del los estimadores mínimo cuadráticos ante la presencia de autocorelación. Una vez mas es mas simple trabajar con un proceso AR(1) en los errores.
7.4.1.
Sesgo y Consistencia
Considereno el modelo definio (15). Dado quepara no hemos violado elβsupuesto de regresores estocásticos, la en formula del OLS el parámetro será:
β=
y, en consecuencia,
T t=1 xt yt T 2 t=1 xt
T t=1 xt t T 2 t=1 xt
=β +
(7.18)
T t=1 xt E (t ) T 2 t=1 xt
E (β ) = β +
Resultado 1 : La estimación OLS ante la presencia de errores autocorrelacionados se mantiene insesgada. Resultado 2: Dado que los estimadores OLS son insesgados para todos tipo de tamaño de muestra finita, sabemos que el estimador será consistente.
7.4.2.
Eficiencia
Para examinar la pregunta acerca de la eficiencia primero debemos transformar el modelo AR(1) en una forma que tenga un error independiente. Ello lo haremos al multiplicar la regresión por el coeficiente de autocorrelación, luego rezagando la regresión en un período y finalmente restando la expresión resultante de la ecuación srcinal. Esta transformación se denomina Cochrane Orcutt.
yt
− ρy
− ρ) + β (x − ρx 1) + − 1 (7.19) − 1 = µ podemos re escribir la ecuación como : (7.20) 1 = α (1 − ρ) + β (x − ρx 1 ) + µ
= α (1
t−1
Pero dado que sabemos que t
yt
− ρy
t−
t
t−
t−
t
t−
t
t
t−
t
donde tenemos una ecuación con errores no correlacionados,pero estimada a partir de menos datos. Notar de (20) que si conocemos ρ podemos estimar inmediatamente β por : T ∗ ρx∗t−1 )(yt yt−1 ) t=1 (xt T (x∗ t=1 t
−
β=
76
− ρx 1−)2 ∗ t−
(7.21)
donde x∗t = (xt xt−1 ) y x∗t−1 = (xt−1 xt−1 ). El punto central acerca de este estimador es que es función de ρ . Dado que el estimador OLS no es función de este parámetro, podemos deducir fácilmente que este último, ante la presencia de autocorrelación no es eficiente.
−
−
Resultado 3 : Ante la presencia de autocorrelación, el estimador OLS para α y β no es eficiente. Ello surge dado que el verdadero estimador es una función de la autocorrelación. La intuición detrás de este resultado es simple. Para cada observación en la muestra el coeficiente de autocorrelación entrega información sobre la observación siguiente (en un sentido dinámico). Esta información puede ser explotada (y es de hecho explotada por un estimador eficiente). Dado que el estimador OLS ignora esta información importante, entonces no puede ser eficiente al compararlos con otros que si la consideren. Resultado 4: El estimador OLS es asintóticamente ineficiente. En otras palabras la pérdida de eficiencia en muestras finitas no desaparece a medida que el tamaño de la muestra crece, dado que ρ no desaparece a medida que la muestra es mayor. (ver la prueba de esto en Kmenta pp 307-308).
7.4.3.
La varianza del estimador OLS
La "verdadera"varianza del estimador OLS ante la presencia de autocorrelación es la siguiente :
V ar(β ) = E (β
T t=1 xt t T t=1 x2 t
β )2 = E
2
(7.22)
− − −
Expandiendo esta expresión (y notando que t = ρ t−1 + µt ) tenemos la siguiente expresión : σ2
V ar(β ) =
T t=1
x2t
+2
T
σ2
(
T t=1
x2t )2
T
xt xt−1 + ρ2
ρ
t=2
xt xt−2 + .....
(7.23)
t=3
Finalmente, dado que sabemos que la varianza calculada del estimador OLS es:
E (Sβ2 ) =
σ2
T t=1
x2t
Entonces podemos derivar una expresión para el sesgo de la varianza del estimador OLS como sigue :
s=
σ2
T t=1
x2t
V ar(β ) =
(
2σ 2 ρ T 2 2 t=1 xt )
T
T
xt xt−1 + ρ2
t=2
xt xt−2 + .....
t=3
(7.24)
77
Resultado 5 : Cuando ρ > 0 y existe una correlación positiva entre los X s en la muestra el sesgo es negativo. En este caso subestimamos la verdadera varianza y en consecuencia sobreestimamos la precisión de los estimadores. Resumen Las consecuencias para la estimación bajo OLS ante la presencia de autocorrelaciónn en los errores son las mismas que en la situación de heteroscedasticidad. Es, de hecho, un resultado general de tener errores no esféricos : el estimador OLS es insesgado y consistente pero son ineficientes y asintóticamente ineficientes. Mas aún, la varianza del estimador es sesgada y puede inducir precisión espurea en los parámetros estimados. La solución para el problema de la autocorrelación es similar para aquella en que se desea utilizar el estimador FGLS el que incorpora una estimación del componente no esférico del término de error.
7.5.
Pruebas de Autocorrelación
Existen tres pruebas conocidas para autocorrelación. La primera es del tipo LM asintótico atribuido a Engle, el segundo de carácter no-paramétrico denominado Box Pierce Q Test y el tercero el test de Durbin-Watson. En todos ellos la hipótesis nula es la misma : H0 : ρ = 0 Y la alternativa
H0 : ρ = 0
Como ya vimos en el caso de heteroscedasticidad, las pruebas requieren que una forma específica de la hipótesis alternativa deba ser especificada
7.5.1.
La Prueba General del Multiplicador de Lagr ange para Autocorrelación de Orden P
Esta prueba çlásica"de autocorrelación está basada en la teoría de máxima verosimilitud y es la versión equivalente de la prueba de White en heteroscedasticidad. Para ello construimos la siguiente regresión auxiliar : t = α 1 t−1 + α 2 t−2 + ...... + αp t−p + µt
donde la nula :
H0 : α 1 = α 2 = ..... = α p = 0 78
(7.25)
La prueba LM se calcula al regresionar los residuos de la ecuación srcinal sobre sus propios valores rezagados hasta un orden p (con p < n). El estadístico derivado del R2 de la regresión auxiliar se distribuye chi-cuadrado bajo la nula de la siguiente forma :
LM = nR 2
∼ χ2
n−p+1
(7.26)
A modo de recapitulación, si no existe una correlación de orden p en los errores entonces el R2 de la regresión auxiliar será bajo (i.e. no habrá perdida de verosimilitud significativa al imponer la restricción bajo la hipótesis nula), y el estadístico LM tendrá una distribución chi-cuadrado. Esta es una prueba general de autocorrelación y puede ser usada como una prueba diagnóstica también. Su uso se recomienda pues se puede estudiar la presencia de autocorrelación de cualquier orden.
7.5.2.
La prueba de Box-Pierce Q (o de Portmanteau)
Esta es una prueba no-paramétrica ( en el sentido de que no debemos calcular ningún parámetro de la regresión auxiliar). La prueba Q se define al construir el conjunto de correlaciones muestrales ( para cada orden de la autocorrelación, k = 1, 2....m )
rk =
T t=k+1 t t−k ; n 2 t=1 t
k = 1, ....m
∼
(7.27)
Al construir el estadístico Q la podemos encontrar que también una distribución chi-cuadrado bajo nula ( autocorrelación de ordeneste m) tiene : m
rk2
Q=n
χ2m
(7.28)
k =1
7.5.3.
La prueba de Durbin-Watson para Autoc orrelación de Primer Orden
El archiconocido test de DW para autocorrelación involucra la construcción de un estadístico y la posterior comparación de la distribución actual de ese estadístico con aquella que se calcula a partir de la hipótesis nula. La clave de este test es que no tiene una distribución estándar. Durbin y Watson han calculado está distribución. El estadístico viene dado por : T t=2 (t
d=
t−1 )2
T 2 t=1 t
− 79
(7.29)
Podemos expandir esta expresión de la siguiente manera :
d=
− T t=2 T t=1
2t 2t
+
T 2 t=2 t−1 T 2 t=1 t
2
T t=2 t t−1 T 2 t=1 t
Si tomamos el límite de esta última expresión podemos notar que los dos primeros términos tienden a la unidad y el tercer término es simplemente 2ρ. En consecuencia, plimd = 2(1 ρ)
−
Bajo la nula, a medida que rho tiende a cero, el valor de d tiende a dos. En muestras finitas, sin embargo, el DW tiene una distribución compleja la cual se ilustra en la siguiente figura.
80
El estadístico DW entrega los valores, dependientes de la muestra, dl y dr los cuales se ilustran en el gráfico. Descripción de las Zonas A : Autocorrelación posistiva B : Area inconclusa C : Inexsitencia de autocorrelación D : Area inconclusa E : Autocorrelación negativa Así, la regla de decisión es la siguiente: Si d < Ll rechazar Ho a favor de autocorrelación positiva. Si d > 4
−L
l
Si Lu < d < 4 Si Ll
7.5.4.
≤d≤L
rechazar Ho a favor de autocorrelación negativa.
−L u
u
o4
no rechazar Ho.
−L ≤d≤4−L u
l
resultado inconcluso.
La prueba h de Durbin
Suponga que el modelo autoregresivo tiene la siguiente forma :
yt = α + β xt + γ yt−1 + t
(7.30)
y donde t = ρ t−1 + µt
En este caso la prueba de DW (d) no es aplicable pero sí una variante de esta denominada la prueba h la cual ajusta la prueba d ante la presencia de variable dependiente rezagada. El test h de Durbin tiene la siguiente estructura :
h = (1
−
d ) 2
n
1
− nS2 ∼ N (0, 1) γ
donde n es el número de observaciones y Sγ2 es la varianza estimada. Notar que la distribución de este estadístico es una Normal.
Resumen La pruebas anteriores todas tienen propiedades asintóticas bien definidas. Sin embargo, sus propiedades en muestras pequeñas o finitas no son tan buenas. En particular, la prueba de DW tiene relativamente bajo poder mientras que la prueba de LM puede ser ineficiente en muestras pequeñas. No obstante, en general la prueba del tipo LM es preferible dado que el DW es una prueba sólo aplicable a situaciones en que los errores tiene una autocorelación de primer orden. 81
7.6.
Soluciones para la Autocorrelación
Como en el caso de la heteroscedasticidad, lo que hacemos en presencia de autocorrelación depende de cuánto sabemos acerca de la estructura del proceso que la genera. En ambos casos utilizaremos una forma del estimador minimo cuadrado generalizado (GLS).
βGLS = (X Ω−1 X )−1 X Ω−1 y
Como siempre, si el verdadero valor de
Ω
es desconocido, será necesario entonces
estimarlo de tal manera de aplicar en consecuencia el estimador (FGLS) el que tiene la siguiente forma
GLS factible
βFGLS = (X Ω−1 X )−1 X Ω−1 y
el cual es insesgado, consistente y asintóticamente eficiente, aunque no eficiente en muestras finitas. Lo anterior dado que existe una p érdida de información ante la necesidad de estimar la matriz de varianzas-covarianzas. La forma mas común de FGLS para el caso de autocorrelación son los estimadores mínimo cuadrático autoregresico iterativos donde el mas conocido entre ellos es el Método de Cochrane Orcutt .
7.6.1.
Método de Cochrane Orcutt
Suponga que el término error está autocorrelacionado (de primer orden) entonces podremos estimar consistentemente la correlación de la siguiente manera :
ρ=
T t=1 t t−1 T 2 t t−1
con este estimador en la mano podemos usarlo para construir la transformación de Cochrane Orcutt ya vista : (yt
− ρy
t−1 )
= α (1
− ρ) + β (x − x
t
t−1 )
+ µ∗t
donde ahora, por definición, µ ∗ está distribuido independientemente. De esta forma, podremos entonces estimar consistentemente (pero no eficientemente) α , β y σµ2 de (37) ∗
Nota Importante : El método de Cochrane Orcutt es usualmente implementado iterativamente. Suponga que después de esta estimación en dos etapas resulta 82
que µ∗t es autocorrelacionado (lo que puede ser testeado). Es posible entonces repetir el proceso CO al re estimar el parámetro de autocorrelación de (36) de la secuencia de errores de (37). Y de esta manera usarlo para estimar una versión mejorada de (37). Si los valores de α y β no cambian entre cada iteración entonces estaremos seguros de que la regresión tiene un error independiente. Este es un proceso estándar de convergencia y los estimadores de α y β de la iteración final se considerarán los mejores estimadores FGLS.
7.6.2.
Problemas con el método de Cochrane Orcutt / Minimos Cuadrados Autoregresivos
A pesar de su extendido uso en econometría aplicada, el método de CO tiene un problema serio. Considere el modelo autoregresivo siguiente :
yt = α + β xt + t donde : t = ρ t−1 + µt
con µ t
∼
N (0, σµ2 ),
E (µt , µs ) = 0,
E (µt , ) = 0
Suponga que estimamos el modelo utilizando el método de CO el que tiene la siguiente forma : yt∗ = α∗ + β x∗t + µ∗t
− − − − −
donde µ∗t es un término de error independiente y y t∗ , x ∗t son las transformaciones de Cochrane Orcutt de Y y X según la ecuación (37). Sin embargo, si recordamos de que : µt t = (1 ρL)
donde L es el operador rezago, entonces podremos re escribir (38) de la siguiente manera : (1 ρL)yt = α∗ + β (1 ρL)xt + µ∗ o bien
yt
ρyt−1 = α∗ + β xt
β ρxt−1 + µ∗t
El aspecto clave acerca de esta relación dinámica es que impone la restricción de que la relación (autoregresiva) condicional entre y t y y t−1 es idéntica a la relación (autoregresiva) condicional entre xt y xt−1 y esa relación está definida por la relación autoregresiva entre t y t−1 . Esto es conocido como la restricción de factor común. Debería ser obvio que esta es una restricción muy fuerte. Pero debería también 83
quedar claro que es una condición que puede ser testeable. Para ver esto último mas en detalle podemos re escribir el modelo en (40) en forma mas general de la siguiente manera :
− δ L) x + µ y testear directamente la restricción de que : (1 − γ ) = (1 − δ ) = (1 − ρ) Para (1
− γ )y
t
= α + β (1
t
t
implementar esta prueba debemos estimar la siguiente regresión :
yt = α 0 + α1 + β1 yt−1 + β0 xt + β1 xt−1 + µt y testear directamente la restricción de que α1 = β1 /β0 . Si y sólo si la restricción se mantiene, entonces la transformación de Cochrane Orcutt es válida. Mas aún, si la restricción es válida entonces la estimación mediante CO será una estimación eficiente. La prueba de Restricción de Factor Común COMFAC es una prueba de Wald donde la hipótesis nula asume que la restricción de factor común es válida. Esta prueba tiene una distribución chi-cuadrado bajo la nula donde los grados de libertad vienen determinados por el orden del factor de polinomio. En el ejemplo anterior, el polinomio de rezago tiene un orden igual a 1.
−
7.6.3.
Estrategia de Modelamiento para Mínimos Cuadrados Autoregresivos
1. Estime el modelo dinámico de la forma definida en (43) usando OLS. 2. Aplique la prueba de COMFAC al modelo. 3. Si la restricción de factor común no es rechazada entonces re estime el modelo (sin los valores rezagados de Y y X ) usando ALS. En otras palabras, estime la ecuación (39). 4. Si la restricción no es aceptada (i.e. Ho es rechaz ada) usted deberí a pensar un poco acerca de la causa de la autocorrelación en el término de error. Nota: el procedimiento COMFAC / ALS se aplica para cualquier tipo de orden de polinomio rezagado y orden de autocorrelación. De esta manera, en un modelo de dos rezagos sobre Y y X deberíamos testear por un factor polinomial común de segundo orden. Si la restricción es aceptada, el término de error en (39) debería ser de la forma µt = t ρ1 t−1 ρ2 t−2 . El cual es un proceso AR(2) como el siguiente: t = ρ 1 t−1 ρ2 t−2 + µt
−
con µ t
−
−
∼ 84
N (0, σ 2 ) µ
Capítulo 8 Regresores Estocásticos, Exogeneidad y Estimación por Variables Instrumentales 8.1.
Resumen
1. Violación del supuesto de regresor es no estocásticos 2. Una extensión : concepto de exogeneidad 3. Una solución : estimación por variables instrumentales
8.1.1.
Referencias
Kmenta Capítulo 8, Capítulo 9.1, 13.4 Hendry Capítulo 5 Gujarati Secciones 13.6 y 16.9 Grenne Secciones 9.5 y 20.4 Kennedy Secciones 9.2
8.2.
Introducción
El último supuesto del modelo de regresión lineal clásico asume que las variables independientes en el modelo son no estocásticas, es decir que tienen valores
85
fijos en muestras repetidas y las que satisfacen la condición de que : 1 n
n
(xi
i=1
− x)
es igual a un valor finito y no cero para cualquier tamaño de muestra. En la práctica, con datos reales, estos dos últimos requerimientos no son particularmente interesantes. El primero no puede ser evaluado dado que rara vez tenemos muestras repetidas mientras que el segundo simplemente requiere que los Xs no sean todos iguales. Nota : generalmente asumimos que una ( y sólo una) de las Xs toma el mismo valor a través de la muestra. Este es el caso de la constante. El requerimiento clave en términos prácticos es la condición de que las variables X puedan ser tratadas como si fueran no estocásticas lo que requiere simplemente que se cumpla lo siguiente :
E (i , xj ) = x j E (i ) = 0;
8.3.
∀
i, j
(8.1)
Consecuencias de la Violación del Sup uesto de Regresores no Estocásticos
Vamos a separar este problema en tres casos diferentes : Caso 1 : x t es estocástica pero es independiente de t Considere el siguiente modelo :
yt = α + β xt + t
(8.2)
donde ahora asumiremos que x t es estocástica pero independiente de t . El estimador mínimo cuadrado ordinario de β es el siguiente :
T t=1 xt t T 2 t=1 xt
β=β+
(8.3)
y el valor esperado viene dado por :
T
E (β ) = β +
E( t=1
86
xt T t=1
x2t
)E (t )
(8.4)
Notar que dado que ahora x t es estocástica, no es posible sacar esta variable fuera del valor esperado como una constante. Sin embargo, dado que asumimos independencia entre xt e sabemos que E (xt t ) = E (xt )E (t ) Dado que E (t ) = 0 entonces el valor esperado del estimador es el verdadero valor del parámetro (i.e. es insesgado). Notar también que el estimador de β ya no es una función lineal (pues ya no podemos expresar este estimador como k i yt ). Estrictamente ya no es BLUE. Sin embargo, esto no representa un problema en este caso ya que el estimador mínimo cuadrático mantiene aún todas sus propiedades del modelo de regresión clásico. Veamos todo esto. Considere la densidad conjunta de x t e t como :
f (x1 .....xT , 1 .....T )
(8.5)
entonces su verosimilitud en logaritmos viene dada por :
logL = logf (x1 .....xT ) + logL (1 ....T )
(8.6)
el cual es igual a :
logL = logf (x1 .....xT ) =
−T log (2Πσ2) −
T
1 2σ 2
2
t=1
(yt
− α − β x )2
(8.7)
t
Ahora, si la distribución de x t es independiente de t ( y en consecuencia α y β ) entonces maximizar la función de verosimilitud con respecto a α, β y σ 2 no será influenciado por la verosimilitud de x t . En consecuencia, aun si x t es estocástico, el estimador tendrá todas las propiedades del estimador mínimo cuadrado ordinario. Esto puede ser probado al sacar la derivada parcial de (7) con respecto a los parámetros del modelo de regresión. Finalmente, podemos mostrar que la varianza del estimador mínimo cuadrático es :
V ar(β ) = E
T t=1 xi i T 2 t=1 xi
2
=E
(
T 2 2 t=1 xi t T 2 2 t=1 xt )
V ar(β ) = σ 2 E
+ 2E
1
T t=1
2
xt
87
T t=1 xt xj t j ( Tt=1 x2t )2
(8.8)
Dado que xt y t son independientes entonces la covarianza entre ellos será cero, y T 2 al cancelar el término t=1 xt del numerador y denominador nos quedamos con la formula conocida para la varianza del estimador.
El resultado anterior también se aplica para el valor esperado y la varianza del termino de intercepto. Resultado 1 . Si x t es una variable estocástica pero independiente de t entonces todas las propiedades del modelo de regresión clásico y el estimador mínimo cuadrático se mantienen inalteradas. Caso 2 : xt es estocástica, no es independiente pero está no correlacionada contemporáneamente. En este caso no asumimos que xt y t son independientes pero mantenemos el supuesto que :
Cov(x1 , 1 ) = Cov(x2 , 2 ) = ...... = Cov (xT , T ) = 0
(8.9)
Para ilustrar este caso, considere un modelo autoregresivo, es decir uno con variable dependiente rezagada.
yt = α + β yt−1 + t
(8.10)
En este caso asumimos que la variable xt es yt−1 . Si asumimos que |β | < 1 entonces podemos sustituir reiteradamente para el valor rezagado de yt y llegar a una expresión como la siguiente :
yt = α (1 + β + β 2 + .... + β t−1 ) + β t y0 + t + β t−1 + β 2 t−2 + .... + β t−1 1 (8.11) A medida que t se hace mayor, llegando hasta infinito, entonces la expresión converge a :
yt =
α
(1
− β) +
t
+ βt−1 + β 2 t−2 + ...... + β t−1 1
(8.12)
Como vimos en la clase pasada, esto es un modelo de media móvil con rezago infinito el cual fue derivado de un modelo autoregresivo finito. Notar que el supuesto de que Cov(xt , t ) = 0 implica que cov (yt−1 , t ) = 0 dado que de (11) yt−1 es una función de y0 , 0 , 1 ,..... t−1 pero no de t . Considere el estimador mínimo cuadrático de β . T t=1
β=β+
88
yt−1 t yt2−2
T t=1
(8.13)
Dado que yt−1 está definido como :
yt−1 = y t−1
− T1 (y0 + y1 + ..... + y + ..... + y
T −1 )
t
(8.14)
podemos notar que es una función de y t , el cual, por definición, no es independiente de t . De esta manera, y t−1 y t ya no son independientes. En forma similar t , no es independiente de y t2−1 . Consecuentemente no podemos separar al tomar el valor esperado en (13). En consecuencia, no podemos decir que si el estimador OLS es insesgado. Sin embargo, podemos tomar la probabilidad en el límite para
plimβ = β +
T t=2 yt−1 t /T T 2 t=2 yt−1 /T
plim plim
=β
β como:
(8.15)
El numerador de esta expresión es un estimador consistente de la covarianza poblacional entre yt−1 y t la cual es cero mientras que el denominador es un estimador consistente de la varianza poblacional de yt−1 . En consecuencia, el segundo termino desaparece y así β es un estimador consistente.
Resultado 2 Si la variable explicativa no es independiente del error pero no está contenporaneamente correlacionada, entonces el estimador OLS puede estar sesgado pero es consistente y todas las propiedades del modelo de regresión clásico estimados por mínimos cuadrados se mantienen asintóticamente. La principal implicancia de este resultado es que modelos dinámicos producen estimadores los que a pesar de ser consistentes tienen propiedades indeseables en muestras finitas. No es posible calcular, exante, el signo o la magnitud de estos efectos en muestras finitas. Caso 3 Si Xt es estocástica, pero no es independiente y está correlacionada contemporánemanete con el termino de error. Aquí, si xt y t covarían entonces el estimador OLS de β viene dado por :
E (β ) = β + E
T t=1 xt t T 2 t=1 xt
=β
(8.16)
Así, el estimador es sesgado para muestras finitas. Mas aún, dado que la covarianza poblacional entre xt y t no es cero ( por definición) entonces se sigue que : plim Tt=2 xt t /T plimβ = β + =β (8.17) T plim t=2 x2t /T 89
Resultado 3 Cuando la covarianza entre x t y t no es cero entonces el estimador OLS no es insesgado ni consistente. Asi la estimación uniecuacional por OLS no es válida. En este caso, las implicaciones para el modelamiento son que para obtener una estimación consistente y eficiente ante este problema, se requiere de un estimador alternativo. Los dos métodos de estimación más comunes son la Estimación por Variables Instrumentales (vea sección 4 de estas notas) y Estimación por Sistemas de Ecuaciones (tales como Mínimos Cuadrados en Dos Etapas, MC en Tres Etapas, Maxima Verosimilitud con Información Completa FIML). Estos últimos estimadores serán revisados mas adelante.
8.4.
Exogeneidad
Antes de repasar las formas de estimación de loscasos revisados anteriormente, en esta sección consideraremos la importancia de este supuesto de la exogeneidad para el modelamiento econométrico. Recodemos de la primera clase que podemos considerar un sistema económico, referido como DGP, como una distribución conjunta multivariada compleja denotada como D (zt |Zt−1 , Λ) . Si pensamos en el vector Z consistiendo en dos variable (digamos yt y z t ) podemos factorizar en términos de sus componentes: las distribuciones marginal y condicional, de la siguiente manera : Λ
λ
λ
D(zt |Zt−1 , ) = D (yt |Xt , Zt−1 ; 1 )D(xt |Zt−1 ; 2 ) (8.18) donde D (yt |Xt , Zt−1 ; λ1 ) es la distribución condicional de y t , dado X t y un conjunto de parámetros λ1 y D(xt |Zt−1 ; λ2 ) es la distribución marginal de xt y con Λ = (λ1 , λ2 ). Todos los modelos econométricos son modelos condicionales del tipo de (18). El aspecto de exogeneidad simplemente concierne a la pregunta de si la simplificación en el proceso de modelamiento logrado mediante la marginalización de la variables no modeladas es válido. Específicamente, la esencia de la exogeneidad radica en que si existe alguna pérdida de información cuando se explica y t por x t sin necesariamente explicar xt al mismo tiempo. Si ocurre una pérdida de información, entonces es inválido definir un modelo que condiciona en X t ; y así x t no es exógeno para los parámetros λ1 . En (18) notamos que el requerimiento acerca de que no exista pérdida de información al estimar el modelo condicional es equivalente a decir que no existe relación 90
sistemática entre el error estocástico del modelo condicion al y los parámetros del mismo modelo. En las tres últimas clases hemos examinado casos en los cuales el término de eror contiene "información.acerca de la evolución de y t . Cuando la fuente de esta "información"surge de la covarianza entre x t y t nos referiremos a esta situación como violación de la exogeneidad . Dependiendo del tipo de análisis condicional que ha sido llevado a cabo, pueden existir tres tipos de exogeneidad.
8.4.1.
Exogeneidad Débil
Si la especificación de la distribución marginal D(xt ) es irrelevante para la especificación de los parámetros del modelo condicional, entonces se dice que xt es debilmente exógena (o exógena debil) para la estimación de los parámetros λ . Definición. xt es debilmente exógena para los parámetros si yt |xt es función solamente de λ1 y donde λ1 y λ2 son libres de variación. Exogeneidad débil es una condición necesaria para la estimación válida y eficiente de los valores desconocidos de los parámetros en el modelo condicional. Exogeneidad débil es entonces una condición necesaria para la econometría de ecuaciones simples o modelos uniecuacioinales, y la falla en establecer exogeneidad débil requiere que el investigador utilice otros métodos para la estimación ya sea por variables instrumentales o bien p or sistemas de ecuaciones simultaneas.
8.4.2.
Exogeneidad Fuerte y Causalidad de Granger.
Si xt es exogena débil y no es causada en el sentido de Granger por yt , entonces se dice que xt es fuertemente exógena (o exógena fuerte). No causalidad según Granger existe cuando la historia de yt no está determinada por x t . Definición. La no causalidad según Granger existe si y solo si :
D(xt |Xt−1 ; λ2 ) = D (Xt |Zt−1 ; λ2 ) Mientras la exogeneidad fuerte no es requerida para la inferencia de los parámetros en el modelo condicional, exogeneidad fuerte es una condición necesaria para predicción. La predicción de valores futuros de yt requiere el uso de valores futuros de xt . Si existe causalidad según Granger entonces los valores futuros de yt (i.e. aquellos que fueron predichos) tendrán un efecto de retroalimentación sobre las variables x t (i.e. aquellas que fueron usadas para para realizar la predicción). 91
8.4.3.
Superexogeneidad
Si los parámetros del modelo condicional son invariantes ante cualquier cambio en la distribución marginal de x t y si además xt es exógena débil para λ 1 ,entonces se dice que x t es super-exógena. Definición La superexogeneidad requiere que los parámetros estimados del modelo condicional sean independientes de las variaciones en el proceso marginal que produce xt , así: ∂λ 1 =0 ∂ D(xt |Xt−1 ; λ2 )
(8.19)
La ausencia de superexogeneidad en econometría es análogo a la Critica de Lucas, la que dice que cambios en los gobiernos o en el las políticas o en el régimen de control serán incorporadas en el proceso de formación de expectativas de los agentes los que no sólo alterarán su proceso marginal pero también la forma condicional de su conducta. Como resultado, estudios empíricos que consideren las respuestas en la conducta de los agentes ante cambios en la política económica como invariantes colapsarán y en consecuencia, simulación acerca del impacto de políticas serán erróneos, especialmente en el contexto cuando las simulaciones son realizadas condicionales en el supuesto de expectativas invariantes departe de los agentes económicos. En consecuencia, superexogeneidad es una condición necesaria para simulación de políticas . Considere, por ejemplo, un modelo donde la demanda por activos reales está condicionada por el nivel de precios. Suponga que los precios están determinados por el control que tiene el gobierno sobre la oferta monetaria, y bajo un cambio en las autoridades, la autoridad monetaria a cambiado su política (i.e. el nuevo gobierno instituye los regímenes de crédito del FMI) y en consecuencia la conducta de los agentes cambia como resultado de este cambio en el régimen político: Así, los precios en este modelo no son superexógenos para los parámetros del modelo condicional.
8.4.4.
Pruebas para Exogeneidad
A pesar de la simplicidad del concepto de exogeneidad, la prueba directa de las condiciones de exogeneidad no es tan fácil. Como debería ser claro, dada la naturaleza de la interrelación existente en la distribución conjunta descrita por el DGP, ninguna variable es perfectamente exógena, como tampoco es necesario que así sea en todas las circunstancias. Como es común en métodos estadísticos deseamos testear si existe una perdida significativa de información al marginalizar 92
con respecto a una variable en particular. La hipótesis alternativa es que existe una gran pérdida de información (verosimilitud) como consecuencia de la marginalización. Prueba para Exogeneidad Débil No existen test para probar directamente la exogeneidad débil como tal. No obstante una prueba sobre la validez del condicionamiento en el modelamiento seguido es una prueba indirecta acerca de la exogeneidad débil. Cualquier desviación del término de error de la normalidad, independiente, y distribución idéntica puede ser causado por una condicionamiento inválido y en consecuencia, una violación de la exogeneidad débil aunque ello puede ser también debido a la heteroscedasticidad o la autocorrelación. Sin embargo, una vez habiendo testeado por la presencia de autocorrelación o heteroscedasticidad, el indicador mas importante de la violación de exogeneidad débiles es la situación de parámetros no constantes . Estudiaremos en forma mas directa métodos de estimación recursiva que ayudarán a resolver este problema en una clases mas adelante. Pruebas para Exogeneidad Fuerte No obstante lo anterior, existen test bien establecidos para probar exogeneidad fuerte o también denominado Causalidad según Granger. La prueba de causalidad de Granger es una prueba F para la significancia de agregar la historia de y t a x t .
xt = β 1 yt−1 + β2 yt−2 + .... + βt−k + et
(8.20)
La hipótesis nula es H 0 : β 1 = β 2 = ..... = β k = 0. Este estadístico se distribuye F con K y T k 1 grados de libertad, donde k es el número de variables rezagadas que se incluye en la ecuación (20).
− −
Si la prueba de F es significativa, entonces la hipótesis nula se rechaza a favor de que yt çausa en el sentido de Granger. a xt y, en consecuencia, xt no es exógena fuerte con respecto a los parámetros del modelo condicional de yt sobre xt . Notar aquí que la causalidad según Granger es a menudo utilizada como una forma de determinar el sentido de la causalidad económica. Sin embargo, esta es una prueba débil de causalidad pues puede suceder que se llegue a la situación de que " yt causa a xt "pero también que " xt causa a yt "sugiriendo que yt y xt están co-determinadas. Esta es la propiedad que reside en la base de la noción de cointegración, aspecto que retomaremos en las siguientes clases.
93
8.5.
Estimación por Variables Instrumentales
El propósito de esta sección es la de examinar una solución ampliamente utilizada para el problema donde el supuesto de que cov (xt , t ) = 0 es violado.
8.5.1.
Una Solución para el Problema de Regresores Estocásticos : Variables Instrumentales
Utilizaremos notación matricial suponiendo que la matriz X contiene sólo una variable, ignorando por el momento la constante.
Y = Xβ +
(8.21)
Para llegar al estimador de β necesitamos pre multiplicar la ecuación por X para obtener : X Y = X X β + X (8.22) Asi, resolviendo para β tenemos : β = (X X )−1 X Y
−1
− (X X )
X
(8.23)
Bajo la condición de que X es la matriz nula, llegamos a la formula estándar de OLS. βOLS = (X X )−1 X Y (8.24) Sin embargo, si X no es cero el β OLS será sesgado (por un monto ( X X )−1 X ). Este es exactamente el problema donde los regresores del modelo son estocásticos (y no independientes). Suponga, sin embargo, que existe una variable la cual tiene las siguientes propiedades : (i) está correlacionada con X (la variable de interés) pero, (ii) no está correlacionada con , a lo menos asintóticamente Esta variable se puede denotar como un instrumento para X . Llamaremos a esta variable Z . Usando el método de la Estimación IV (por variables instrumentales) podemos simplemente pre multiplicar (21) no por X pero por Z , la variable instrumental para obtener :
Z Y = Z X β + Z
(8.25)
y resolviendo para β tenemos : β = (Z X )−1 Z Y
94
− (Z X )
−1
Z
(8.26)
En una manera análoga al OLS, definiremos el estimador IV como : βIV = (Z X )−1 Z Y
(8.27)
Notar que, estrictamente, la condición (ii) señala que solamente la covarianza asintótica entre Z y deberá ser cero (Cov (Z ) = 0 ). De esta forma, el estimador IV es sesgado dado que para muestras finitas puede ocurrir que:
E ((Z X )−1 Z ) = 0
No obstante, este estimador es consistente. Para ver esto tomemos el límite de la probabilidad de (27) :
plimβIV =
plim(1/n)[Z (X β + )] plim(1/n)[Z ] =β + =β plim(1/n)[Z X ] plim(1/n)[Z X ]
(8.28)
ello pues el segundo término es ahora cero. La varianza asintótica de βIV se define por :
asyvar [βIV ] = σ 2 [(Z X )−1 (Z Z )(X Z )−1 ]−1
(8.29)
Resultado 4 Cuando Cov (X, ) = 0 y el estimador OLS es sesgado e inconsistente, un estimador IV será consistente pero no eficiente.
Notar que si pensamos el modelo en (21) como una regresión múltiple donde el supuesto de Cov (X,no)necesitarán = 0 se mantiene para alguna de son las variables, entonces esos elementos de X instrumentos. Ellos sus propios instrumentos.
8.6.
Aplicación de la Estimación IV
La estimación IV parece ofrecer una opción atractiva en casos donde el supuesto de regresores no correlacionados con el error es violado. En consecuencia, este método surge como válido para un amplio espectro de problemas.
8.6.1.
"Error de Me dición variables
2
el modelo con errores en las
La mayoría de los datos son medidos con algún grado de error tanto en corte transversal como en series de tiempo. Por ejemplo :
95
(i) datos sobre consumo y ahorro son medidos típicamente como residuos de datos de ingreso nacional y en consecuencia, contiene errores en la medida de otros componentes. (ii) En datos sobre balanza de pagos, los flujos de capital son usualmente medidos parcialmente pero también incluye errores en la medidas de cuentas de comercio (las que son producto, por ejemplo, de declaraciones mal realizadas) . (iii) En datos de corte transversal, la gente a menudo reporta sólo parte de su ingreso (por miedo a impuestos adicionales) o bien pueden sistemáticamente sub o sobre reportar el consumo de ciertos bienes. (iv) En encuestas las firmas pueden sub reportar ganancias y sobre exagerara impuestos pagados respondiendo de manera de satisfacer al encuestador. Adicionalmente, ellos a menudo responderán en una forma que ellos piensen que puedan influir en reformas a la política económica en forma beneficiosa para ellos. Todos estos factores sugieren que el tema del error en la medida de variables es un aspecto muy común en los trabajos prácticos. Podemos formalizar esto en el siguiente modelo. Asumiremos que la "verdaderaelación viene dada por : Y ∗ = β X∗ + (8.30) pero donde X ∗ y Y ∗ son sólo observado con un error estocástico. De esta manera, observamos : Y = Y ∗ + ν con ν N (0, σν2 ) (8.31)
∼
y
X = X ∗ + µ con µ
∼ N (0, σ2 ) µ
(8.32)
Error de medición en la Variable Dependiente Suponga, primero, que sólo Y ∗ está medido con error. Así
Y = β X∗ + + ν
(8.33)
Y = β X ∗ + ∗
(8.34)
lo que implica que donde : ∗ = + ν
Dado que (por definición) X ∗ es no estocásticca y que : 96
E () = E (ν ) = 0 Cov(x∗i , i ) = 0 Cov(x∗i , νi ) = 0 Cov(i , νi ) = 0 entonces (34) es un modelo de regresión clásico y la estimación de β será insesgada. Sin embargo, la varianza del β estimado será mayor que el caso de inexistencia de error en la medición ya que :
V ar(β ) =
σ2
∗
n i=1
∗2
xi
=
donde x representa desviaciones de la media.
∗
(σ2 + σν2 ) n ∗2 i=1 xi
(8.35)
Resultado 5 Errores en la variable dependiente genera estimadores insesgados pero la varianza estimada es mayor que en el caso de inexistencia de error en la medición. Así, el estimador es ineficiente. Error en la medición de las Variables Independientes El resultado anterior no obstante no es aplicable cuando el error de medición está en la variable independiente. Ello puede ocurrir por alguna de las razones antes mencionadas o bien porque no hemos podidos utilizar la verdadera variable sino mas bien una proxy de ella. En este caso (que por simplicidad asumiremos que la variable dependiente está correctamente medida) el modelo puede ser escrito como :
Y = βX∗ + Y = βX + ( donde ω = [
− β µ) = β X + ω
(8.36) (8.37)
− β µ]
La principal característica de este modelo es que a pesar de que tiene media cero, varianza constante, serialmente independiente y no correlacionado con , el termino de error compuesto no es independiente de X . Para ver esto, asumiendo de que E (ω ) = 0 , podemos examinar la covarianza entre X y ω
Cov(ω, X ) = E [ω E (ω )][X = E [( β X )µ] = E [ β µ2 ]
− −
=
βσ µ2
−−
97
− E (X )] (8.38)
Así, dado que la covarianza entre ω y X es no cero, el modelo ya no es del tipo clásico y el estimador OLS de β será sesgado. Mas aún, los estimadores serán inconsistentes dado que se mantendrán sesgados a pesar de que el tamaño de la muestra aumente indefinidamente. Para ver esto calcularemos la probabilidad en el límite para β :
β=
n i=1 yi xi n 2 i=1 xi
=
β
n i=1
x∗i 2 + β ni=1 x∗i i + β ni=1 x∗i µi + n n n ∗2 ∗ 2 i=1 xi + 2 i=1 xi µi + i=1 µi
n i=1 i µi
(8.39)
Dividiendo por el tamaño de la muestra y tomando la probabilidad en el límite encontramos que :
plimβ =
(1/n)[β
n i=1
x∗i 2 + β ni=1 x∗i i + β ni=1 x∗i µi + (1/n)[ ni=1 x∗i 2 + 2 ni=1 x∗i µi + ni=1 µ2i ]
n i=1 i µi ]
(8.40)
y por tanto
plimβ =
β
1+
2 σµ 2 σx
Dado que hemos supuesto de que a medida de que n tiende a infinito, no existe correlación entre los términos de error y µ y entre y µ y el verdadero valor de X , es decir X ∗ . Si σµ2 > 0 entonces β es inconsistente y el sesgo es hacia abajo. Resultado 6 Errores en la variable independiente genera estimadores sesgados e inconsistentes. El sesgo es negativo. Notar que el problema de error en la medición de variables es simplemente un caso especial de variable omitida dado que podemos pensar sobre la ecuación (37) simplemente como : Y = β X + θµ + (8.41) y en consecuencia, para usar un estimador OLS sin tomar en cuenta la variable omitida,µ , esto llevará a estimadores sesgados para las variables incluidas , X donde : Cov(X, µ) E (β ) = β + θ (8.42) V ar(X )
8.6.2.
Variables Proxy
La estimación por IV está también cercanamente relacionado con el caso donde necesitamos encontrar variables apropiadas para aproximar para nociones teóricas que no tienen su contraparte empírica. Como ejemplo, si deseamos explicar las
98
ganancias (W) por educación (E) donde no medimos educación directamente sino aproximadamente por los años de colegio (S). Así :
W = α + βE +
(8.43)
Sin embargo, suponga que la relación entre educación y escolaridad puede ser descrita como sigue : E =S+µ (8.44) así, la ecuación estimada será :
W = α + βS + υ donde υ = [
(8.45)
− β µ]
El aspecto importante de este modelo es que a pesar de que µ tenga media cero, varianza constante, serialmente independiente y no correlacionado con el error compuesto υ , este error no es independiente de S . Para ver esto, asumiendo de que E (υ ) = 0 podemos examinar la covarianza entre υ y S :
Cov(υ , S ) = = = =
E [υ E (υ )][S E [ β µ]( µ) E (β µ2 )
− −
−
− E (S )] (8.46)
βσ µ2
Así, dado que la covarianza entre υ y S es no cero, el modelo ya no es del tipo clásico y enestimación consecuencia el estimador dela βeducación será sesgado. entonces en nuestra sobre el efecto de sobreEs lasapropiado, ganancias usar una estimación por IV de la ecuación (45). Deberiamos en consecuencia, escoger un buen instrumento para S . Nota : Una variabla proxy ( S ) no es un instrumento ( y vice versa).
8.6.3.
Estimación por IV para modelos AR con errores autoregresivos
Un caso especial importante donde la estimación por IV puede ser utilizada es en series de tiempo cuando un modelo contiene errores autoregresivos.
yt = β xt + γ yt−1 + t donde = ρ t−1 + νt
99
(8.47)
Estos modelos entregan estimadores sesgados e inconsistentes dado que y t−1 está estocásticamente relacionada con el término de error ya que : Cov(yt−1 , t−1 ) = 0 La estimación IV puede entregar estimadores que aunque sesgados son consistentes. En este caso particular, existe una elección obvia de instrumento: el valor rezagado del regresor exógeno (i.e. no estocástico) en el modelo, xt−1 .
Es claro ya que xt y yt están relacionados, y entonces xt−1 e yt−1 también lo estarán, satisfaciendo de esta forma parte de los requerimientos para ser un instrumento. Mas aún, en este caso, no estará corelaccionado con el término de error actual ya que xt−1 es exógena. Así, esta variable aparece como un instrumento válido.
8.6.4.
Los Parámetros de un Sistema de Ecuaciones Simultáneas
Quizá esta es el área donde comúnmente aparecen violaciones a la exogeneidad. Considere el siguiente sistema de oferta y demanda con equilibrio :
q d = α1 p + α 2 y + d q S = β1 p + s qd = qs = q
(8.48)
Se asume que :
E (dt ) = E (st ) = 0 2
dt E E((2st )) E (st , dt ) E (st , yt )
σ2 d = = σs2 = 0 = E (dt , yt ) = 0
(8.49)
resolviendo el sistema para p y q usando la condición de equilibrio, se llega a que: α2 y (d + α1 ) (β1
− ) − α1 ) α2 y β1 − α1 q = β1 + (β1 − α1 ) (β1 − α1 ) p=
(β1
s
−
d
s
(8.50) (8.51)
Ahora suponga que deseamos estimar los parámetros de la función de demanda (48). Uno de los requerimientos del modelo de regresión clásico es que los regresores de la ecuación no estén correlacionados con el término de error. En el caso de la ecuación de demanda (48) esto significa que :
Cov (p, d ) = 0 100
No obstante, notar de que :
Cov (p, d ) = E [p Cov (p, d ) = Cov (p, d ) =
− E (p)][ − E ( )] α2 y ( − ) + − α2 y (β1 − α1 ) (β1 − α1 ) (β1 − α1 ) d
d
d
s
σd2
(β1
d
(8.52)
− α1 )
lo que claramente viola el supuesto de que la covarianza de los regresores con el término de error sea cero. Así la estimación por OLS entregará estimadores sesgados para los parámetros de p en la ecuación estructural con el fin de estimar la elasticidad precio de la demanda a partir de una ecuación de q regresionada sobre p y y . Mas aún, el estimador OLS es también inconsistente de tal manera que el problema no puede ser solucionado al aumentar el tamaño de la muestra. Intuitivamente, el sesgo en la ecuación simultánea surge pues ambos, p y q son variables estocásticas determinadas conjuntamente. Dado que estas variables endógenas están todas correlacionadas, no es posible identificar el único efecto de p sobre q en (48) dado que p el mismo, es una función de q y de los mismos términos de error estocásticos. Es claro que a pesar de que podemos estimar este modelo, nuestro método debe tener en cuenta está dependencia conjunta de la variables endógenas entre ellas y sobre los errores estocásticos comunes.
8.7.
Una Prueba de Correlación entre los Regresores y el Término de Error : Test de Hausman
¿ Como podemos saber si existe un problema de simultaneidad ? . Jerry Hausman ("Specification Test in Econometrics", Econometrica, Noviembre 1976) sugiere una prueba especialmente diseñada para el caso de errores en la medición de las variables. No obstante, esta prueba es una general para los casos donde deseamos probar sobre la covarianza estocástica entre el término de error y el (los) regresor (res). La prueba asume que:
H0 no existe el problema de regresores estocásticos HA existe un problema significativo de regresores estocásticos. Bajo la nula tanto βOLS como βIV son insesgados y consistentes, pero el estimador OLS es eficiente (y BLUE en el caso del modelo lineal) mientras que el estimador
IV es ineficiente (ver (29)). Bajo la hipótesis alternativa, sólo 101
βIV es consistente.
Así, resulta relativamente simple construir una prueba en torno a este hecho. En consecuencia, deseamos probar la nula de que :
−
H = plim[βOLS
(8.53)
βIV ] = 0
Dada la inconsistencia de βOLS ante la presencia del problema de regresión estocástica, entonces H no será cero. Un valor significativo de H generará el rechazo de la nula. Para calcular este estadístico, la varianzautilizamos asintótica de ambos estimadores, el caso de IVpara simplemente βOLS ynecesitamos βIV . Para expresiones (29) el cual denotaremos V1 , mientras que para el caso del OLS definiremos :V0 = σ 2 (X X )−1 como la formula estándar para la varianza del estimador OLS. En consecuencia, el estadístico se define como sigue :
−
W = [βOLS
βIV ] [V1
− V0 ]
−1
−
[βOLS
βIV ]
∼ χ2
k
(8.54)
donde W es una prueba del tipo Wald la que se distribuye chi-cuadrado con k grados de libertad donde k es el número de parámetros que han sido estimados. Notar de que para realizar esta prueba necesitamos ambos estimadores, el OLS y el IV.
8.8.
Aplicaciones y Aspectos asociados a la estimación por Variables Instrumentales (IV)
Identificando Instrumentos Validos La identificación de Instrumentos válidos es bastante difícil. Comúnmente para encontrar un instrumento el que esté no correlacionado con el error, el investigador deberá escoger variables cuya correlación con la variable de interés X, es baja. Aunque estas variables seguirán siendo un instrumento válido, no serán muy eficientes. Ello puede verse en (29) el que muestra que mientras Z’X decrece, la varianza asintótica del estimador IV crecerá. Ante la ausencia de buenos instrumentos, los investigadores pueden seguir prefiriendo estimar usando OLS en vez de IV pues aunque sesgado e inconsistente, puede tener menores errores cuadráticos medios. Sobreidentificación Si hay menos instrumentos que variables explicativas endógenas entonces el modelo está sub-identificado (i.e. el estimador IV no existe). Si existe el mismo número de instrumentos que las variables problema, el modelo está identificado exactamente. Si hay mas instrumentos que los necesarios, el modelo está 102
sobre-identificado. Esta última situación es muy atractiva. Sobre identificación entregará generalmente un mayor grado de precisión en los estimadores pero también entrega la oportunidad de llevar adelante pruebas sobre la validez de los instrumentos. Multiples Instrumentos Si Z es un instrumento válido y W también es un instrumento válido entonces una combinación lineal entre Z y W también será un instrumento válido. Dado que, a partir de (29) la varianza del estimador IV es menor mientras mayor es el grado de correlación entre el instrumento y la variable que se está instrumentando, entonces debería resultar claro de que deberíamos elegir aquella combinación lineal que tenga la mas alta correlación con X. Este instrumento es simplemente el valor ajustado de X regresionado sobre Z y W
V = β1 Z + β2 W
(8.55)
donde V tiene la propiedad de toda variable instrumental : no está correlacionada con ya que Z y W no lo están y está correlacionada con X (por el modelo de regresión). Esta forma de estimación se conoce como Estimación por Variable Instrumental Generalizada (GIVE : Generalized Instrumental Variable Estimation). Notar que si X es un vector de variables pero sólo se necesita instrumentalizar una de las variables en X la regresión GIVE en (55) puede también incluir las otras variables en X como instrumentos. Pruebas de Sobre-identificación Suponga que tenemos Z (n xde k’)proyección instrumentos donde X es una matriz (n x k) con k’>k. Si definimos la matriz como :
Pz = Z (Z Z )−1 Z Entonces el estimador IV es :
βIV
= (X Z (Z Z )−1 Z X )−1 X Z (Z Z )−1 Z Y
βIV
= (X PZ X )−1 X Pz Y
(8.56)
y, bajo los supuestos estándar, se tiene que:
V ar(βIV ) = (X Pz X )−1 (X Pz DPz X )(X Pz X )
(8.57)
donde D = σ 2 I si los residuos son homoscedasticos. Cuando k > k la validez de los instrumentos está avalada al calcular una prueba de sobre identificación (OID). El método básico (Davidson y McKinnon pp 232) implica regresionar los residuos 103
IV (es decir los residuos 2SLS de la segunda etapa) sobre la matriz de instrumentos. El estadístico T R2 (donde T es el tamaño de la muestra) tiene una distribución chi-cuadrado con k k grados de libertad bajo la nula de que los instrumentos sólo afectan la variable dependiente a través de su rol en la predicción los regresores (endógenos).
−
Si la nula es rechazada ello implica que los instrumentos juegan un rol directo sobre Y , en vez de simplemente a través de su rol de predecir X y en consecuencia, deberían ser regresores en el modelo en vez de ser tratados simplemente como instrumentos.
104
Capítulo 9 Sistemas de Ecuaciones: Endogeneidad y Modelos de Sistemas de Ecuaciones 9.1.
Resumen
1. Introducción a los Sistemas de Ecuacio nes 2. El Problema de la Identificación 3. Sistemas Especiales: Modelo de Regresión Aparentemente no Relacionadas (SUR) Sistemas Recursivos 4. Estimación Métodos de Estimación con Información Limitada (ILS y 2SLS) Métodos de Estimación con Información Completa (3SLS y FIML)
9.1.1.
Referencias
Kmenta Capítulo 13 Bernt Capítulo 10 Gujarati Capítulo 17 Grenne Capítulo 20
105
9.2.
Introducción
Hasta el momento nos hemos concentrado en ecuaciones individuales sobre la conducta económica. En la practica, sin embargo, muchos fenómenos económicos se describen utilizando modelos los que consisten en ecuaciones simultáneas. Ello pues dado el hecho de la violación del supuesto de exogeneidad débil, no podemos realizar una descripción acerca de la evolución de las variables de interés en el vector z mediante el uso de modelos uniecuacionales sin la pérdida de información. Considere el vector z = y,x , w donde w es un vector de variables exógenas fuerte. Como ya hemos visto, si x es un vector de variable débilmente exógeno, podemos entonces expresar la distribución conjunta como :
D(zt |zt−1 ; θ) = D (yt |xt , wt , zt−1 ; λ1 )D(xt |wt , zt−1 ; λ2 ) y estimar el vector de parámetros λ 1 de manera eficiente utilizando un estimador uniecuacional. Sin embargo, si y y x son conjuntamente determinados (i.e. endógenas) entonces la factorización de la distribución conjunta será la siguiente :
D(zt |zt−1 ; θ ) = D (yt |xt , wt , zt−1 ; λ1 )D(xt |wt , yt , zt−1 ; λ2 ) En la clase anterior vimos que podríamos controlar por la endogeneidad de xt mediante el uso del estimador por Variables Instrumentales (IV). Pero en variadas circunstancias necesitaremos usar nuestro modelo para entender la estructura inherente de la relación conjunta entre y y x (i.e. estaremos interesados en los dos vectores de estimadores λ1 y λ2 ). En consecuencia, necesitaremos métodos de estimación para el vector completo de parámetros el que considere la simultaneidad entre x e y . En la literatura econométrica tipicamente denominamos a estos modelos como sistemas. En estas notas de clases entregaremos una introducción a los aspectos econométricos asociados con la estimación de sistemas. Los aspectos que veremos son aplicables tanto sistemas pequeños ( p.ej. un sistema con sólo dos ecuaciones) como también a grandes sistemas macro-econométricos que son aplicados p or los gobiernos para predecir variables macro relevantes los que superan largamente las cien ecuaciones.
106
9.3.
Introducción a los Sistemas de Ecuaciones
El sistema de ecuaciones mas general puede ser descrito de la siguiente forma genérica : β11 yt1 + β 21 yt2 + ........ + β m1 ytm + γ 11 xt1 + ..... + γ k1 xtk = t1 β12 yt1 + β 22 yt2 + ........ + β m2 ytm + γ 12 xt1 + ..... + γ k2 xtk = t2
.. . = β1m yt1 + β21 yt2 + ........ + β tm ytm + γ 1m xt1 + ..... + γ km xtk =
.. .
(9.1)
tm
En este sistema hay M ecuaciones y M variables endógenas (y1t .....ytm ). Existen además K variables exógenas (xt1 ...xtk ). Una de las variables y en cada ecuación es denominada como la variable dependiente de esa ecuacion y en consecuencia el beta que lo acompaña βij puede ser igualado a 1.
By t + Γxt = t
(9.2)
donde la dimensión de y es (M x1), la de B es (M xM ), la de Γ es (M xK ), la de x es (Kx1) y la de t es (M x1). La ecuación (2) es normalmente denotada como la forma estructural del sistema y es la forma (estocástica) que corresponde al modelo económico teórico inherente en él. En general, nuestro interés estará centrado sobre la forma estructural y el vector de parámetros Γ y β . La segunda forma bajo la cual el sistema en (1) puede ser expresado es referida como la forma reducida la cual expresa la variables endógenas del modelo solamente en función de las variables exógenas−1y el término de error. La forma reducida se deriva al premultiplicar (2) por B y al rearreglar obtenemos :
yt = yt =
−B
Πxt
−1
Γxt
+ B − 1 t
+ υt
(9.3)
La parámetros de la forma reducida corresponden a multiplicadores asociados con el modelo. En otras palabras, ellos miden las consecuencias últimas en la variables endógenas del modelo de una perturbación en las variables exógenas del modelo, una vez que todos los efectos simultáneos de feed back entre las variables han operado en el sistema. Si asumimos que E (t ) = 0 y que además E (t t ) = Σ la cual es la matriz estructural de varianzas-covarianzas se sigue que si υt = B −1 t :
E (υt ) = E (B −1 )E (t ) = 0 E (υt υt )
= B −1 ΣB −1 = Ω 107
(9.4)
la cual es la matriz de varianzas-covarianzas de la forma reducida del sistema en (1). En la práctica, sistemas de ecuaciones simultáneas son estimados en su forma reducida (sin restricción) definida en (3). Ello levanta al menos dos preguntas importantes para el investigador : 1. ¿Cuáles estimadores son válidos para estimar un sistema con una estructura como la definida en (3) ? 2. Habiendo estimado los parámetros forma reducida modelo, (i.e. ecuación (3)), ¿es posible recuperarde loslaparámetros de lasdel ecuaciones en ella modelo estructural ?. Ello típicamente generará definir restricciones"sobre las ecuaciones del modelo reducido.
9.4.
El Problema de Identificación
Primero describiremos las formas de contestar la segunda de las preguntas descritas en el párrafo anterior donde el problema radica en encontrar los parámetros de la forma estructural a partir de aquellos estimados en la forma reducida, dejando para mas adelante el tema propio de la estimación de los mismos. Este aspecto se conoce como el problema de la identificación. Es importante notar que la identificación no es un problema estadístico sin que uno matemático y tiene que ver con la especificación del modelo aunque existen algunas soluciones estadísticas para este problema. Existen a lo menos tres situaciones que podemos encontrar con respecto al sistema que estamos estimando. Una ecuación puede estar : 1. No Identificada (o sub identificada) 2. Exactamente Identificada ( o completamente identificada) 3. Sobre Identificada Por analogía con el concepto en matemáticas, un sistema de ecuaciones simultáneas sólo puede ser resuelto si dichas ecuaciones están completamente determinadas. La identificación es el problema análogo en estadística. Es importante notar que el concepto de identificación se aplica ecuación por ecuación y así se puede encontrar el caso de que una ecuación esté completamente identificada y que otras ecuaciones del mismo sistema no lo estén. 108
9.4.1.
Cuatro Ejemplos
Caso A : Sub Identificaión Considere el siguiente modelo estructural
qd = α 0 + α1 p + d qs = β 0 + β1 p + s
(9.5)
donde q y p son variables endógenas. La forma reducida de este sistema (asumiendo que expost q s = q p = q ) puede ser escrito de la siguiente forma :
p = π 0 + υt q = π 1 + ωt donde π0 =
(β0 −α0 ) , (α1 −β1 )
υt =
(s −d ) , (α1 −β1 )
π1 =
(α1 β0 −α0 β1 ) (α1 −β1 )
(9.6)
y
ωt =
(α1 s −β1 d ) (α1 −β1 )
Existen cuatro coeficientes estructurales (α0 , α1 , β0 , β1 ) pero sólo dos coeficientes de la forma reducida ( π0 , π1 ). Así no existe suficiente información en la forma reducida para recobrar los parámetros del sistema estructural. Se necesita de información adicional para distinguir los movimientos en la curva de demanda de aquellos en la curva de oferta. Caso B :Identificación Exacta en la Función de Oferta Considere el siguiente sistema donde y denota ingreso :
q d = α0 + α 1 p + α 2 y + d qs = β0 + β1 p + s
(9.7)
La forma reducida de este sistema puede ser escrita de la siguiente manera :
p = π 0 + π 1 y + υt q = π 2 + π3 y + ωt donde π0 = υt =
(β0 −α0 ) (α1 −β1 ) ,
(s −d ) (α1 −β1 ) ,
π1 =
y ωt =
α2
(α1 −β1 ) ,
π2 =
(α1 β0 −α0 β1 ) (α1 −β1 ) ,
(9.8) π3 =
α2 β1 (α1 −β1 ) ,
(α1 t −β1 d ) (α1 −β1 )
Las ecuaciones estructurales en (7) tienen 5 coeficientes estructurales (α0 , α1 , α2 , β0 , β1 ) pero sólo cuatro coeficientes existen el la forma reducida ( π0 , π1 , π2 , π3 ). Sin embargo, es posible identificar exactamente la función de oferta dado que podemos obtener a partir de los coeficientes de la forma reducida lo siguiente : β0 = π 2 β1 π0 β1 = ππ31
− 109
Caso C : Identificación Exacta de las Funciones de Oferta y Demanda Llevando el argumento un paso mas allá podemos notar que un sistema de la forma :
qd = α0 + α1 p + α2 y + d qs = β0 + β1 p + β2 pt−1 + s
(9.9)
tiene una forma reducida de la siguiente forma :
p = π 0 + π1 y + π2 pt−1 + υ t q = π 3 + π4 y + π5 pt−1 + ωt
(9.10)
Donde ahora existen 6 coeficientes estructurales y 6 coeficientes reducidos. Ahora ambas ecuaciones pueden ser identificadas (demostrarlo) Caso D : Sobre Identificación Finalmente, si el sistema fuese :
qd = α0 + α1 p + α2 y + α3 R + d qs = β0 + β1 p + β2 pt−1 + s
(9.11)
entonces la forma reducida de este sistema tendría la siguiente forma :
p =π +π y+π p +π R+υ o 1 2 t−1 3 t q = π 4 + π5 y + π6 pt−1 + π7 R + ωt
(9.12)
En este caso, tenemos 7 coeficientes estructurales y 8 coeficientes reducidos. Existe "demasiada"información para identificar únicamente ambas ecuaciones del modelo. Como veremos mas adelante esto no representa un terrible problema.
9.4.2.
Formalizando el Problema de la Identificación
Es relativamente sencillo pero tedioso determinar el tipo de identificación en sistemas simples donde existen sólo dos ecuaciones, como el que hemos visto. No obstante, podemos formalizar el proceso de identificación para sistemas de ecuaciones de cualquier dimensión. Existen dos condiciones para identificación, la condición de orden , la cual es una condición necesaria, y la condición de rango, la cual es una condición suficiente. La razón de porqué no sólo tratamos la condición de rango es que es generalmente fácil chequear la condición de orden pero es mas tedioso chequear la de rango). 110
Para un sistema cualquiera podemos asumir : M: número de variables endógenas en el sistema m: número de variables endógenas en la ecuación K: número de variables pre-determinadas (exógenas y endógenas rezagadas) en el sistema. k: número de variables pre-determinadas (exógenas y endógenas rezagadas) en la ecuación. Definición 1 : La Condición de Orden En un modelo de M ecuaciones simultáneas, para que cada ecuación pueda ser individualmente identificada se debe cumplir que el número de variables predeterminadas excluidas de la ecuación debe ser mayor o igual que el número de variables endógenas incluidas en la ecuación, menos 1. Así, una ecuación está identificada si K - k >= m - 1 Si encontramos que K - k
m - 1 la ecuación está sobre identificada. Podemos aplicar esta definición para el ejemplo anterior de demanda y oferta de mercado donde M = 2. Caso A : K = 0 Función de Demanda : m-1=1 y K-k=0 Sub identificado Función Oferta : m-1=1 y K-k=0 Sub identificado Caso B K = 1 Función de Demanda : m-1=1 y K-k=0 Sub identificado Función Oferta : m-1=1 y K-k=1 Identificado Exacta Caso C K = 2 Función de Demanda : m-1=1 y K-k=1 Identificado Exacta Función Oferta : m-1=1 y K-k=1 Identificado Exacta Caso D K = 3 Función de Demanda : m-1=1 y K-k=1 Identificado Exacta 111
Función Oferta : m-1=1 y K-k=2 Sobre identificado Así en un sistema con sólo dos variables endógenas, una ecuación estará identificada si dicha ecuación excluye una o mas variables las cuales están presentes en otra parte en el modelo. La condición de orden es, no obstante, una condición necesaria pero puede que no sea suficiente. Lo anterior pues las variables predeterminadas excluidas de la ecuación en análisis pero presente en otra aparte del sistema puede que no sea independiente . Una forma de chequear esto es mediante el uso de la condición de rango. Definición 2. La Condición de Rango En un modelo que tiene M ecuaciones con M variables endógenas, una ecuación estará identificada si y solo si la matriz construida a partir de los coeficientes de las variables (endógenas y pre- determinadas) excluidas de esa ecuación en particular pero incluida en otras ecuaciones del modelo, tiene rango M - 1. En sistemas simples es usualmente mas facil si esta condición de rango es satisfecha. Cuando el sistema es complejo la cosa es mas difícil. El rango de la matriz puede ser chequeado al calcular el orden de su determinante. El siguiente método es una forma para comprobar fácilmente las condiciones de rango y orden en un sistema de ecuaciones. Ejemplo
y1t β10 β12 y2t β13 y3t γ11 x1t y2t β20 β23 y3t γ21 x1t γ22 x2t y3t β30 β31 y3t γ31 x1t γ x2t yt4 β40 β41 y1t β42 y2t γ43 x3t
−− −− − − − −
−− − −
−− − −
= µ 1t = υ 2t = υ 3t = υ 4t
(9.13) (9.14) (9.15) (9.16)
No es tan obvio al solo mirar el sistema si las cada una de las ecuaciones están identificadas o nó. Veamos la condición de orden. Notar que M=4 y K=3. Ecuación (K-k) (m-1) Identificación (orden) (13) 2 2 Exacta (14) 1 1 Exacta (15) 1 1 Exacta (16) 2 2 Exacta De acuerdo a la condición de orden, todas las ecuaciones están exactamente identificadas. No obstante, si examinamos la condición de rango los resultados serán 112
un poco diferentes. Para facilitar el análisis es conveniente escribir el sistema bajo esta otra forma. Ecuación (13) (14) (15) (16)
1
y1
y2
y3
y4 x1 0 γ11 0 γ21 0 γ31 0 0
−β10 1 −β12 −β13 −β20 0 1 −β23 −β30 −β31 0 1 −β40 −β41 −β42 0 1
− − −
x2 0
−γ22 −γ32
x3 0 0 0
−γ43
Consideremos la primera ecuación (13). Esta ecuación excluye y 4 , x2 yx3 . De esta manera deberemos calcular el determinante a partir de los coeficientes de esta variables en las demás ecuaciones. La matriz de coeficientes es la siguiente :
A=
0 0 1
−γ22 −γ32 0
0 0
−γ43
(9.17)
El determinante de esta matriz es cero lo que implica que la ecuación (13) no está identificada. El rango de la matriz de coeficientes excluidos determina el número de variables independientes excluidas de la ecuación en cuestión pero incluidas en el resto del sistema. Debería quedar claro cómo esto está relacionado con la condición de orden. Las condiciones de orden determinan el número de variables explicativas excluidas de la ecuación mientras que la condición de rango determina si estas son variables independientes. Continuando con el chequeo de la condición de rango podemos notar que (14) y (15) también fallan el la prueba de rango (pruébelo usted mismo) pero (16) tiene rango completo. Así, (16) excluye y3 , x1 y x3 y en consecuencia, la matriz de coeficientes de variables excluidas correspondiente es :
A=
− −
β13 β23
1
−γ11 0 −γ12 −γ22 −γ31 −γ32
(9.18)
La cual tiene rango 3 que es igual a M-1. Entonces (16) está exactamente identificada.
9.4.3.
Qué hacer si las Ecuaciones No están Identificadas
Suponga que una ecuación no está identificada. Qué deberíamos hacer ?. Existe una variada gama de posibilidades las que son a menudo utilizadas. La principales son las siguientes : 113
1. Ignorar el problema y concentrarse sólo en la estimación de la forma reducida. Esto puede ser satisfactoria pero dependerá de las circunstancia de la investigación 2. El uso de identidades. En algunos modelos, definiciones de variables o condiciones de equilibrio impliquen que todos los coeficientes en una ecuación en particular son conocidos. 3. Exclusión de Variables (la forma mas común de proceder). La omisión de variables de una ecuación es equivalente a poner ceros en las matrices b . En el ejemplo anterior, podemos pensar que las diferencia entre las funciones de oferta entre el caso D y el caso C es que en C es simplemente la anterior con una exclusión de cero para la variable R en la función de demanda. Esta restricción significa que la función de oferta es identificada en C pero no en D. En la práctica, muchos sistemas parten desde una forma reducida sobre-identificada (la cual ocurre cuando todas las "posibles"variables son incluidas en todas las ecuaciones del sistema) y entonces el proceso de identificación está relacionado con el hallazgo y justificación de restricciones a los parámetros los que identifiquen las ecuaciones del modelo. 4. Restricciones Lineales. Esto es equivalente al caso de exclusión de variables pero impone en este caso restricciones entre ecuaciones. Por ejemplo, en modelos de función de producción es a menudo imposible distinguir los efectos de la tecnología de aquellos efectos derivados de los retornos a la escala. Una solución adoptada es imponer retornos constantes a la escala en la función de producción para poder así identificar los efectos de la tecnología.
9.4.4.
La prueba de la Validez de la Restricciones de Identificación
Es claro de que pueden existir una gran variedad de restricciones que pueden ser empleadas para identificar un modelo. La elección acerca de la restricción para la identificación impuesta sobre la forma reducida es arbitraria pero generalmente basada en aspectos teóricos (o por la desesperación!). Sin embargo, las consecuencias ( en un sentido estadístico ) al imponer una condición en particular pueden ser testeadas usando una prueba de Razón de Verosimilitud (LR test). La intuición detrás de esta prueba es que la estimación mínimo cuadrática de la forma reducida maximiza la verosimilitud de la función multivariada. Al imponer restricciones (para la identificación) sobre el modelo se reduce esta verosimilitud, la cual puede ser pensada como una reducción en la información contenida en el 114
modelo. Un estadístico de LR puede ser utilizado para medir si las restricciones impuestas para la identificación reducen significativamente la verosimilitud de los parámetros de la forma estructural .
LR =
−2(log Lr − log Lu) ∼ χ[2 ] k
donde Lr es la verosimilitud del modelo con las restricciones de identificación impuestas y K es el número de restricciones impuestas sobre el modelo.
9.5.
Estimación por el Método de Ecuaciones Aparentemente No Relacionadas (SURE)
Considere el siguiente sistema el cual es una versión mas restringida de aquel presentado en (1) yt1 + γ11 xt1 + .......γk1 xtk = t1
yt2 + γ12 xt1 + .......γk2 xtk = t2 . .
(9.19)
. ytm + γ1m xt1 + .......γkm xtk = tm donde los valores del vector X varía a través de los m miembros. El aspecto clave de este sistema es que pareciera que fuese un conjunto apilado de modelos de regresión clásicos dado que en cada ecuación y es una función sólo de variables exógenas. Sin embargo, podemos estimar (19) utilizando OLS sólo bajo la condición de que no exista covarianzas entre ecuaciones en la estructura de error del sistema. En otras palabras, asumimos que :
E ( ) = Σ =
σ11 σ12 ... ... σ21 .. . .. . ...
.. . .. .
.. . .. .
σm1 ...
σ11 0 0 0 0 0 σ22 0 0
0 .. . 0
.. . .. .
.. . .. .
0 .. .. 0 . 0 . .. .. .. .. . . . . σmm 00 0 115
.. . .. .
σ1m σ2m
.. . .. .
σmm
= σ i2 I
=
(9.20)
No obstante, si existe una restricción entre ecuaciones entonces la estimación OLS del sistema no es aplicable y debemos utilizar un FGLS. El estimador FGLS que se utiliza en este caso se denomina Estimador de Ecuaciones Aparentemente NO Relacionadas (SURE).
βsure = [X Σ−1 X ]−1 X Σ−1 y
(9.21)
donde, como siempre, el FGLS requiere de una estimación de Σ (denotada por el tilde ). Existe una variedad de métodos para hacer esto donde la mayoría de ellos está basado en una estimación en dos etapas. En la primera etapa cada ecuación se estima individualmente y se guardan los residuos. Cada elemento de la matriz de varianzas-covarianzas es estimado en consecuencia a partir de los residuos de la siguiente forma :
∼
σmn = S mn =
1 (e en ) T m
[Ver Greene, Cap. 17 para mas detalles]
9.6.
Sistemas Recursivos
Tal como lo dijimos en la clase anterior, la estimación por OLS de un sistema entrega estimadores sesgados e inconsistentes debido a la covarianza existente entre los errores del sistema y los regresores no es cero. No obstante, existe una particular forma en un sistema donde no existe tal problema, el cual se denomina sistema recursivo (o triangular). Considere el siguiente sistema :
y1t = β 10 y2t = β 20 + β21 y1t
+ γ11 x1t + γ12 x2t + u1t + γ21 x1t + γ22 x2t + n2t
y3t = β 30 + β31 y1t + β32 y2t + γ31 x1t + γ32 x2t + u3t
(9.22) (9.23) (9.24)
Asumiremos lo siguiente :
Cov(u1t , u2t ) = Cov(u1t , u3t ) = Cov(u2t , u3t ) = 0 Dado que (22) contiene sólo variables exógenas las cuales no están correlacionadas con el término de error, el modelo está acorde con uno de regresión clásico y puede ser estimado por OLS. Ahora bien, dado que (23) solo contiene a y1t y x variables, entonces también puede ser estimado por OLS si y solo sí C ov(y1t , u2t ) = 0 . Esto es de hecho verdadero ya yit que está correlacionado con u1t pero ( por 116
definición)u1t no está correlacionado con u2t . Así, podemos decir que y1t está pre-determinado con respecto a y 2t . En este caso, podemos también utilizar OLS. La misma lógica se aplica a (24) pues podemos mostrar que y1t , y2t ambos están pre-determinados con respecto a y3t . El sistema recursivo es un sistema pero no uno simultáneo dado que ya que no existen relaciones contemporáneas entre las variables endógenas ya que y1 determina a y2 pero y 2 no retroalimenta a y 1 .
9.7.
Estimación
Una vez estudiado el tema de la identificación procederemos ahora al tema de la estimación de un sistema de ecuaciones. Existen dos grandes formas de estimar el sistema. La primera incluye la estimación de cada ecuación en forma separada. Esta forma se conoce como Estimación con Información Limitada. La forma alternativa sugiere la estimación de todas las ecuaciones del sistema en forma simultánea, la que se conoce como Estimación con Información Completa. Debería resultar claro que en general deberíamos tratar de estimar el sistema con métodos con información completa , aunque en la práctica es difícil llevar a cabo esta tarea por las siguiente razones : (i) muchos modelos son extremadamente grandes. Por ejem plo, el modelo del Banco Central Inglés (UK Treasury Model) tiene alrededor de 300 ecuaciones, así la estimación del sistema es un poco compleja tanto del punto de vista estadístico como tambiéncompleto del computacional. (ii) A menudo el foco de atención sólo est á en un subconjunto de ecuaciones y así es mas fácil re estimar sólo este sub conjunto. (iii) Si una de las ecu aciones está mal espe cificada, el uso de métod os con información limitada no permite que este error se propague al resto de las estimaciones. Por el contrario, si se utilizan métodos con información completa, un error de especificación en una ecuación se propagará a todo el sistema.
9.7.1.
Métodos de Estimación con Información Limitada (ILS y 2SLS)
Mínimos Cuadrados Indirectos (ILS)
117
Este método sólo se puede aplicar a modelos que están exactamente identificados. El método de ILS es muy simple y sigue la discusión del problema de la identificación. Si una ecuación está exactamente identificada entonces podemos encontrar los estimadores de la forma reducida los que son insesgados y luego consistentes. A partir de ellos po dremos obtener los parámetros estructurales los que serán, sin embargo, segados pero consistenmtes. El procedimiento es como sigue : (i) Obtenga las ecuaciones de la forma reducida del modelo donde cada ecuación para las variables endógenas son función solamente de las variables exógenas. (ii) Estime las ecua ciones de la forma reducida por OLS en forma individual. Dado que todas las variables independientes de la forma reducida son exógenas, por definición plimcov (X, u) = 0, y así el estimador por ILS entregará estimadores consistentes de los coeficientes de la forma reducida (asumiendo que otros problemas de especificación están ausentes). (iii) Dado que las ecuacion es están exactamente identificadas, los coeficientes estructurales pueden ser recuperados directamente de los coeficientes de la forma reducida. Considere el siguiente sistema de mercado :
Qt = α0 + α1 Pt + α2 Xt + u1t Demanda Qt = β0 + β1 Pt + u2t Oferta
(9.25) (9.26)
Note que M = 2 y K = 1. En este caso la función de oferta está completamente identificada y la de demanda esta sub identificada ( pruébelo usted mismo!!). Paso 1 Las ecuaciones de la forma reducida son las siguientes :
donde : Π0
=
Π1
β0
(α1 =
Pt =
Π0
+ Π 1 Xt + ω t
(9.27)
Qt =
Π2
+ Π3 Xt + vt
(9.28)
− α0 − β1 ) −α2
(α1
Π2
=
Π3
β1 )
−
(α1 β0 (α1 =
− α0β1) − β1)
−α2β1
(α1
β1 )
− 118
(9.29)
A partir de estos coeficientes podemos derivar los coeficientes de la función de oferta donde : Π3 β0 = Π2 β1 Π0 β1 =
−
Π1
No obstante, no es posible derivar valores únicos para α0 , α1 , α2 Paso 2 A partir de (27) y (28) los parámetros de la forma reducida pueden ser estimados como sigue :
Xt Pt Xt2
Π1
=
lo que implica
−→
−
−→ Π0 = P − Π1X
(9.30)
Xt Qt lo que implica (9.31) Π2 = Q Π3 X Xt2 Estos coeficientes son consistentes los que pueden ser utilizados para derivar estimadores consistentes de los coeficientes estructurales (sólo de la función de oferta). Π3
=
Es importante notar que a pesar de que los estimadores ILS son consistentes ellos son sesgados. Veamos esto para el caso de β1 . De (30) y (31) después de un poco de algebra tenemos que :
− − ⇒ − β1 =
Π3 Π1
=
Qt Xt Pt Xt
(9.32)
Podemos sustituir de (27) y (28)
Pt =
Π1 Xt
+ ( ωt
Qt =
ω)
Π 3 Xt
+ ( vt
− v)
y sustituyendo estas expresiones en (33) tenemos que :
β1 =
Π3
Π1
Xt2 + Xt2 +
( vt
(ωt
v ) Xt ω ) Xt
β=
Π3
+
(vt
Π1
+
(ωt
− v)X / − ω)X /
el cual es consistente pero sesgado (dado que X es estocástica).
t
t
Xt2 Xt2
(9.33)
Mínimos Cuadrados en Dos Etapas (2SLS) Si las ecuaciones del sistema están sobre identificadas (recuerden que esto puede ser bastante posible), ILS no puede ser usado dado que no existirá un único método para derivar las ecuaciones estructurales. Obviamente OLS no puede ser utilizado pues los estimadores serán inconsistentes. Un estimador alternativo es 119
el estimador mínimo cuadrático en dos etapas (2SLS) el cual es una versión de el Estimador por Variables Instrumentales. Considere el siguiente sistema :
y1t = β10 y2t = β20
+ β 12 y2t + γ11 x1t + γ12 x2t + u1t + β 21 y1t + u2t
(9.34) (9.35)
Utilizando los métodos de identificación podemos notar que la primera ecuación está sub-identificada y que la segunda ecuación está sobre-identificada. Consideremos la segunda ecuación. No podemos utilizar aquí ni ILS ni tampoco OLS dado que la variables y1t es estocástica (i.e. la covarianza entre y1t y u2t no es cero). Este es exactamente el problema que la estimación por IV trata de solucionar. En el caso de un sistema la solución del problema, i.e. la elección de los instrumentos, es bastante directa : escoger simplemente las variables exógenas y pre determinadas en el sistema. Así : Paso 1 Para superar el problema de la correlación entre y1t y u2t regresionamos y1t sobre todas las variables exógenas y pre determinadas del sistema. Así corremos la siguiente regresión : (9.36) y1t = Π0 + Π1 x1t + Π2 x2t + et Esto produce :
y1t =
Π0
+ Π1 x1t + Π2 x2t
(9.37)
A partir de (36) y (37) tenemos que :
y1t = y1t + et
(9.38)
el cual expresa el regresor endógeno en (35) como la suma de dos términos. El primero como una combinación lineal de dos regresores exógenos no estocásticos ( x1t , x2t ) y el segundo un término de error. Así, la regresión en (36) ha "limpiado"y1t de su componente estocástico. Paso 2 Ahora podemos sustituir el lado derecho de (38) en la ecuación srcinal, sobre identificada (35) de tal manera que tenemos lo siguiente :
y2t = β 20 + β21 (y1t + et ) + u2t = β 20 + β21 y1t + ( β21 et + u2t )
120
(9.39)
= β 20 + β21 y1t + e∗t
Así entonces, aunque y1t está correlacionada con u2t , su instrumento y1t está asintóticamente no correlacionado con el término de error e∗t . Una estimación mínimo cuadrática de (39) entregará estimadores sesgados pero consistentes de β20 y β21 . Note que el estimador OLS aplicado directamente a la forma reducida entrega también valores sesgados pero inconsistentes.
Algunos Aspectos del Estimador 2SLS La principal característica del estimador 2SLS es que entrega estimadores estructurales consistentes de una manera directa (lineal) y de fácil aplicación pues al ser ecuación-por-ecuación se puede trabajar en sistemas con un gran número de ecuaciones (sobre identificadas). Eso sí presenta ciertos problemas. Primero, a pesar de ser consistentes, los estimadores 2SLS son sesgados en muestras finitas y en consecuencia, inferencia realizada a partir de ellos para sistemas con pequeñas muestras puede ser problemático. Segundo, dado que los coeficientes de la forma estructural son estimados directamente usando 2SLS, los errores estándar de las ecuaciones estructurales son obtenidos de la misma forma. Sin embargo, debe notarse que :
e∗t = (β21 et + u2t ) y en consecuencia,
V ar(e∗t ) = V ar(u2t )
Específicamente, a menos de que Cov(β21 , et ) sea cero, entonces la varianza del error en el estimador por dos etapas será V ar(e∗t ) > V ar (u2t ) . Y así, la varianza del estimador 2SLS es consistente pero asintóticamente ineficiente.
9.7.2.
Método de Estimación con Información Competa (3SLS y FIML)
Hasta el momento, la estimación ecuación-por-ecuación con información limitada produce estimadores consistentes pero asintóticamente ineficientes. La ineficiencia surge en parte por el hecho de que los métodos con información limitada ignoran la correlación de los errores entre las ecuaciones. Consideraremos dos tipos de estimadores - los que se denominan estimadores con Información Completa los que utilizan toda la información del sistema al mismo tiempo. La principal consecuencia de ello es la obtención de varianzas asintóticas menores y con ello, estimaciones mas eficientes de los parámetros estructurales. No obstante, como se mencionó, con una de las ecuaciones que esté mal especificada, toda la estimación estará mal especificada utilizando estos métodos. Así, existe claramente 121
un trade-off entre los estimadores con información competa y aquellos con información limitada. La estimación con información completa es significativamente mas compleja. Describiremos cada método en forma general, no obstante un análisis en detalle puede ser encontrado en el capítulo 20 del Greene . Mínimos Cuadrados en Tres Etapas (3SLS) El método de 3SLS es la contraparte sistémica del 2SLS. Consiste en aumentar el método de ecuación-por-ecuación del 2SLS al calcular los vínculos entre los errores en cada ecuación y en seguida utilizar estos errores calculados para re -estimar el sistema como un todo. El método consiste en los siguientes pasos : 1. Calcular el estimador 2SLS para las ecuacione s identificadas en forma individual. 2. Usar los estimadores 2SLS para estimar los errores de las ecuaciones estructurales y luego utilizar estos errores para estimar la matriz de varianzacovarianza de todos los errores de cada ecuación estructural. La matriz de varianza-covarianza representa los errores entre ecuaciones (cruzados) del sistema. La matriz de varianza-covarianza se calcula a partir de los errores estimados para cada ecuación en forma separada utilizando las formulas de calculo estándar. 3. Re estime las ecuaciones çombinadasçomo un sistema único donde el sistema consiste en todas las ecuaciones identificadas y la matriz de varianza covarianzas estimadas en la etapa anterior. Esta tercera etapa se realiza utilizando la edstimación por mínimos cuadrados generalizados factibles. La estimación por 3SLS producirá estimado res mas eficientes de lkos parámetros del modelo estructural pues emplea información sobre los errores cruzados entre ecuaciones del sistema. Notar de que si no existen errores cruzados entre las ecuaciones entonces la matriz de varianzas-covarianzas no tendrá elementos no cero fuera de la diagonal y será equivalente a estimar el sistema utilizando el 2SLS. Estimación por Máxima Verosimilitud con Información Completa (Full Information Maximum Likelihood -FIML) Finalmente, hemos llegado a un método de estimación el cual es no lineal pero entrega estimadores consistentes y asintóticamente eficientes. El método se basa 122
en la aplicación usual del principio de máxima verosimilitud para todas las ecuaciones estocásticas del sistema en forma simultánea. De esta manera, si tenemos un sistema descrito de la siguiente forma:
By t + Γxt = µ t
(9.40)
el cual tiene una matriz de varianza-covarianza igual a :
Φ
= E (µt µt )
El logaritmo de la función de verosimilitud para las T observaciones de cional en los valores de x t viene dado por :
logL =
−M T log (2π) − M log|Π| + Tlog |B| − 1 2
2
2
y t condi-
T
[(By t
t=1
−1
− Γx ) Φ t
(By t
− Γx )] t
el cual puede ser resuelto para los parámetros B ,Γ,Φ .
9.8.
Ecuaciones Simultáneas y Mo delos de Vectores Autoregresivos (VAR)
En modelos macroeconometricos basados en series de tiempo existe una forma reducida de sistemas de ecuaciones dinámicos muy utilizados en la literatura reciente. Ellos son los denominados Vectores Autoregresivos (VAR). Estos son particularmente útiles cuando el acento no está puesto sobre la estimación del sistema estructural sino mas bien sobre la respuesta última que puede tener el vector de variables endógenas ante "shocks. al sistema. Estos "shocks"pueden representar cambios en el valor de las variables exógenas (tales como variables de política) como también innovaciones o cambios en el valor del término de error. Examinaremos este tipo particular de sistemas al final del curso.
123
Capítulo 10 Introducción a Datos Cualitativos en Microeconometría 10.1.
Resumen
1. Datos Cualitativos en Economía : el uso de Variables Mudas (Dummy) 2. El Modelo Probabi lístico Lineal 3. Modelos Bivariados : Logit y Probit
10.1.1.
Referencias
Kmenta Capítulo 11 Gujarati Capítulos 15 y 16 Grenne Capítulo 19 Maddala Limited Dependent and Qualitative
10.2.
Introducción
Muchos fenómenos económicos están relacionados con variables que son discretas o cualitativas las cuales podemos contar pero no medir. Estas son comúnmente referidas como variables binarias. Consideremos los siguientes ejemplos : Diferencias por género : Masculino vs Femenino Diferencias por región / país : América Latina vs Africa 124
Efectos por características : Tiene grado universitario o nó Cambio de régimen : Tipo de cambio fijo vs variable Participación fuerza de trabajo : empleado vs desempleado Este tipo de variables tienen un uso extendido en econometría y pueden tener implicaciones importantes para el modelamiento y estimación. Si estas variables cualitativas son tratadas como variables independientes en un modelo econométrico, en general no existen problemas fundamentales con ello. Sin embargo, si la variables tenemos utilización delclases marco de análisisdependiente del modelo es dediscreta regresión clásico.que Endescartar esta y laslados siguientes examinaremos las implicaciones econométricas del modelamiento con variables discretas.
10.2.1.
Recapitulación sobre Variables Discretas Independientes
Podemos representar características binarias mediante el uso de variables dummy D i donde :
Di =
1 si la característica está presente , 0 si no lo está .
La magnitud de los valores (0,1) no es importante. Lo que importa es que sólo existen dos valores posibles. En esta sección entregaremos una descripción intuitiva acerca del uso de variables dummies como variables independientes. Considere la pregunta acerca de la determinación de las ganancias promedio de un grupo de economistas jóvenes, y i , la cual estimaremos solamente en términos del sector donde ellos trabajan. Imagine que existen sólo dos tipos posibles de trabajo para estos economistas : academia (A) o en el sector financiero (F). Podríamos pensar en estimar un modelo como el siguiente :
yi = a A DA + aF DF + ei
(10.1)
Si el individuo es un académico, el modelo se reduciría a :
yi = aA + ei
(10.2)
dado que D A = 1 y D F = 0. Por otra parte, se tiene que :
yi = aF + ei 125
(10.3)
para un economista que trabaja en el mercado financiero. Notar que este modelo no tiene constantes. Al incluir una constante en el modelo tendríamos una situación de perfecta colinealidad dado que la constante tiene un valor de 1 y sabemos que j Dj = 1. Asi es preferibles especificar la ecuación (1) de la siguiente forma : yi = b + aF DF + ei (10.4)
En este caso, el coeficiente b medirá las ganancias estimadas para la categoría faltante, en este caso los académicos. Este sector se utiliza como marco de referencia y permite la interpretación ( y testeo) de los efectos de otra profesión sobre las ganancias relativas al caso canónico ( o benchmark). Esta es una importante característica de todos las aplicaciones con variables dummy. Si existen G categorías (sectores productivos, género, etc) las que pueden ser cubiertas y representadas mediante el uso de variable dummy, la regresión debería contener G 1 variables mudas. Así, en el caso de las ganancias, las ganancias estimadas para los economistas en el sector financiero será de b + aF . Es claro que la especificación en (4) permite la prueba acerca de si a F = 0 ya sea en forma separada o bien conjuntamente al utilizar una prueba de t student o F de Fisher (si existen multiples variables dummy).
−
Suponga que estamos interesados en saber si existe un sesgo por género dentro de los economistas. Una posibilidad sería estimar el modelo :
yi = b + aF DF + aM DM + ei
(10.5)
donde D M es una variable dummy la que toma un valor de 1 si la economista es mujer y 0 si no lo es. Así, las ganancias de una mujer economista que trabaja en el sector financiero será igual a b + aF + aM . Notar que en esta especificación, se asume que las diferencias en ganancias entre un hombre y una mujer economista es una función aditiva del sector y género, i.e. ser una economista del sector financiero y ser mujer. Esta especificación también asume que las diferencias por género es constante entre todos los tipos de trabajo. Una forma mas completa de especificar este modelo sería la siguiente :
yi = b + aF DF + aM DM + ag DF DM + ei
(10.6)
donde el sector base es ahora las ganancias promedio de un economista hombre. Así permitiríamos que el sesgo por género pueda ser distinto entre diferentes trabajos de tal forma que estimar el efecto de ser una economista mujer que trabaja en el sector financiero ( comparado con por ejemplo, una economista académica mujer). Esta especificación con variables dummy se conoce como variables mudas de interacción. 126
10.3.
Combinando Variables Binarias Qualitativas con Variables Cuantitativas
En general, no todos los regresores en un modelo son del tipo cualitativo. En este sencillo ejemplo podemos pensar que las ganancias también están determinadas por la experiencia ( E ). Así el modelo podría que dar de la siguiente forma : yi = b + aF DF + cE + ei (10.7) donde ahora b son las ganancias de un economista académico sin ninguna experiencia mientras que el valor de aF mide la diferencia (constante) de ganancias entre los que trabajan como académico y aquellos que lo hacen en el sector financiero condicional en un cierto nivel dado de experiencia. Si dibujáramos esta función tendríamos simplemente diferentes interceptos donde la pendiente de la función de ganancias es c. De nuevo, si creemos que la experiencia recompensa de diferente manera entre sectores deberemos definir las variables dummy de tal forma de que cada sector tenga un intercepto diferente y una pendiente diferente.
yi = b + aF DF + cE + dEC (DF E ) + ei
(10.8)
Así, las ganancias para un economista académico son :
yi = b + cE + ei
(10.9)
y para aquellos que trabajan en el sector financiero :
yi = b + aF + (c + dEC )E + ei
(10.10)
Una pregunta que surge naturalmente es : porqué no modelar los sectores ( A y F) con regresiones separadas ? La respuesta depende en parte de la varianza del término de error entre los diferentes grupos. Si E (i |D = 1) = σ 2 = E (i |D = 0) Entonces es más eficiente juntar todos los datos. Si las varianzas no son las mismas agrupar los datos generará un estimador de ambas variazas sub grupales las que estarán sesgadas. Adicionalmente, si las varianzas son iguales entonces : (i) la ecuación (8) ofrece una forma para testear restricciones sobre los parámetros y (ii) si la restricción es válida entonces los parámetros resultantes de la regresión restringida serán mas eficientes.
10.3.1.
Regresión por Partes y la Función Spline
Suponga que tenemos una hipótesis en que los ingresos crecen con la edad (denotada por t ) donde la edad tiene un efecto creciente a medida que se avejentan 127
y después desaparece. Podemos pensar esto de la siguiente manera :
yi = β 1 + β2 t + i si t < 30 yi = β 3 + β4 t + i si 30 t < 50 yi = β 5 + β6 t + i si t 50 Las edades de 30 y 50 años son referidas como los puntos ( o junturas) de la función spline. Estas hipótesis pueden ser estimadas mediante el siguiente modelo :
yi = b1 + b2 t + g1 D1 + g2 (D1 t) + g3 D2 + g4 (D2 t) + ei
(10.11)
donde D 1 = 1 si t t1 = 30 y D 2 = 1 si t t2 = 50. Coma ya habíamos mencionado, podemos simplemente estimar estos tres sub modelos separadamente sobre cada una de sus sub muestras. Una forma alternativa de hacerlo es estimar la función spline la cual es una regresión restringida la cual fuerza que la los segmentos de recta estén unidos en las junturas. Para que esto ocurra se requiere que :
b1 + b2 t1 = (b1 + g1 ) + (b2 + g2 )t1 y
b1 + g1 + ( b2 + g2 )t2 = b 1 + g1 + g3 + ( b2 + g2 + g4 )t2 Reareglando los términos llegamos a las restricciones que g 1 = Así, el modelo restringido queda como sigue :
yi = b 1 + b2 t + g2 (t
− t1) + g4(t − t2) + e
i
−g2t1, g3 = −g4t2. (10.12)
el cual finalmente puede ser simplificado a :
yi = b i + b2 x1 + b3 x2 + b4 x3 + ei
(10.13)
donde x1 = t, x2 = t 30 si t 30 y x3 t 50 si t 50 o cero en otro caso. Podemos probar la hipótesis de función spline al estudiar la significancia de b 3 y b4 en la ecuación (13).
−
≥
−
128
≥
y
nudos
30
50
Edad
Finalmente, otras aplicaciones de variables dummy en econometría son para eliminar observaciones outliers donde se agrega una variable dummy asociada a aquella ( o aquellas) observaciones outliers estimándose de esta forma los parámetros para todas las observaciones excepto aquella que ha sido considerada como outlier. Una aplicación similar se utiliza en el contexto de series de tiempo cuando se desea estudiar el efecto estacional de algunas variables. Para ello se construyen variables dummy estacionales para controlar por los efectos propios asociados al período del año que se está estudiando. Por ejemplo dummy por trimestre (ver Sven Hylleberg "Modelling Seasonability", Oxford University Press, 1992).
10.4.
Variable Dependiente Discreta I : El Modelo de Probabilidad Lineal
Discutimos anteriormente que las cosas cambian bastante una vez que consideramos variables dependientes discretas. Consideremos los siguientes ejemplos : (i) Qué determina que una persona escoja migrar a otra ciudad ? (ii) Qué determina el tipo de asistencia médica (privada o pública) que una persona busca ? (iii) Qué determina que una firma adopte una nueva tecnología ? Estas preguntas tienen una estructura en común. Agentes (individuos, hogares, firmas, etc) hacen elecciones discretas dentro de un rango de alternativas (tanto elecciones bivariadas o multivariadas) y creemos que estas pueden ser modeladas
129
como función de (i) factores de mercado tales como precios, ingresos etc, (ii) características de los agentes como edad, género, educación, etc y (iii) factores del entorno como ubicación geográfica, nivel de infraestructura local, etc. Resulta obvio que esta es una especificación muy general y que la teoría nos puede ayudar a tener un modelo mas específico. El punto clave, a lo menos desde el punto de vista del econometrista, es que la variable dependiente es de tipo discreta. El mo delo más sencillo sobre elección discre ta es el modelo de probabilidad lineal (LPM) yi = α + β xi + i (10.14) donde yi = 1 si la acción (o característica ) es observada para el agente i ( por ejemplo que la firma invirtió) y y i = 0 si no es así. x i puede ser pensado como un vector de variables explicativas independientes (las que pueden ser continuas y/o discretas) donde, por conveniencia, asumiremos que estas son o bien no estocásticas o de serlo, que no están correlacionadas con el término de error. También asumiremos que i N (0σ 2 ).
∼
La ecuación (14) parece idéntica al modelo de regresión clásico y puede ser estimado aparentemente por OLS. No obstante tiene marcadas diferencias con este último las que pueden ser resumidas en cuatro resultados principales. En primer lugar, recordar que la esperanza de cualquier variable w viene dada por E (w) = i wi = µ . Dado que en el LPM, la variable y sólo puede tomar dos valores: cero y uno, podemos escribir el valor esperado de esta variable como
sigue :
E (yi ) = 1f (1) + 0f (0)
(10.15)
= f (1) donde f (1) es la probabilidad de que un individuo con características la tecnología. De la ecuación (14) también sabemos que :
E (yi ) = α + β xi
xi adopte (10.16)
el cual puede ser interpretado como una medida de la proporción de individuos con ciertas características los que han decidido adoptar la tecnología. Sabemos que por definición, 0 f (1) 1 lo que significa :
≤
≤
0
≤ α + βx ≤ 1 i
(10.17)
Finalmente, recordando que de (14) podemos expresar el error como : i = y i
− α − βx
i
130
(10.18)
y, dado que por definición y puede tomar sólo dos valores: cero o uno, entonces para cualquier valor de las características x, el término de error i puede sólo tomar dos valores : (10.19) i = 1 α β xi
− −
o bien i =
−α − β x
(10.20)
i
Resultado 1. La distribución de i no es normal, mas aun tiene una distribución discreta. Esto se puede observar en la siguiente tabla la cual entrega todos los valores posibles de i en su distribución. Valores de i Distribucion de i α β xi fi 1 α βi 1 fi Total 1
− − − −
−
El problema de no-normalidad significa que los estimadores puntuales por OLS son insesgados pero que la inferencia para muestr as p equeñas no puede estar sustentada en distribuciones basadas en la Normal, como lo son la distribución t , F , o bien χ2 . Por definición, sabemos que E (i ) = 0 y en consecuencia :
E (i ) = ( α
− − β x )f + (1 − α − β x )(1 − f ) = 0 i
(10.21)
i
lo que implica que f i = 1 α β xi . Podemos utilizar este último resultado para calcular la varianza del término de error como :
E (2i )
− − = (−α − β x )2 (1 − α − β x ) + (1 − α − β x )2 (α + β x ) E (2 ) = (α + β x )(1 − α − β x ) = E (y )(1 − E (y )) i
i
i
i
i
i
i
i
i
(10.22) (10.23)
Resultado 2. La varianza del LPM es heteroscedastica ya que la varianza de es una función de y i .
i
El problema de heteroscedasticidad es simple de resolver en este caso dado que conocemos la forma de la heteroscedasticidad a partir de (23). Como sabemos, la heteroscedasticidad no sesga los estimadores pero existe una pérdida de eficiencia. Sin embargo, podemos calcular un estimador consistente de la ecuación de la varianza como : σ 2 = yi (1 yi ) (10.24)
−
donde yi es el estimador mínimo cuadrado (heteroscedastico) de y . Podemos utilizar este resultado para escalar las variables dependientes e independientes del
131
LPM y re estimar el modelo para usando un estimador WLS (similar al proceso para solucionar heteroscedasticidad visto anteriormente). Resultado 3. El LPM puede generar predicciones sin sentido. La estimación por LPM entrega valores de α, β . Lo anterior quiere decir que para ciertos valores de xi , el valor de yi puede exceder uno o ser menor que cero. Pero la teoría restringe el valor de y a estar dentro del intervalo [0, 1]. No es posible excluir aquellas observaciones de x para las cuales los valores de y pueden caer fuera del rango [0 , 1] dado que este rango es dependiente de parámetros desconocidos (ver Figura).
y
yi=alfa+beta·xi
1
0 (1-alfa)/beta
-alfa/beta
x
Resultado 4. Los coeficientes del LPM no son constantes. Los valores de α, β dependerán de los valores de X. Por ejemplo: Si x i α α/β tanto el intercepto como la pendiente son cero. Si α/β < xi < (1 α)/β el intercepto es igual a α y la pendiente a β . Si x i (1 α)/β el intercepto es igual a uno y la pendiente cero. Si la muestra incluye valores de xi fuera del rango [0, 1] entonces OLS entregará estimadores sesgados e inconsistentes. Por las razones dadas en el resultado 3, no es posible truncar la muestra de tal forma de estimar sólo sobre el rango cerrado [0, 1] dado que el rango es una función de los parámetros no observados los que deberán ser estimados en primer lugar (ver Figura anterior).
−
≤− − ≥ −
−
132
10.5.
Variable Dependiente Discreta II : Modelos Probit y Logit
10.5.1.
Forma Funcional
Ya hemos discutidos tres problemas que tiene el Modelo Probabilístico Lineal LPM, a saber, (i) parámetros no constantes, (ii) errores no normales y (iii) el modelo puede producir predicciones sin sentido ya que no existe ningún mecanismo que acote el valor de y al rango [0 , 1]. Con respecto a este último punto sería deseable encont rar una especificación que tenga las siguientes propiedades : (i) Con respecto a su valor esperado :
E (yi ) = P r (yi = 1)
mientras α + β xi
→1
→∞
y por su parte que :
E (yi ) = P r (yi = 1)
mientras α + β xi
→0
→ −∞
En otras palabras la forma funcional es asintótica a P r = 1 y P r = 0, a pesar de que ninguno de los ejes es alcanzado, permaneciendo el modelo en forma estocástica. (ii) La especificación es continua y suave (de tal manera que no existan quiebres "falsos"en el modelo tal como ocure con el LPM) Una especificación que entrega estas propiedades son curvas con una forma de como la siguiente : E(yi) 1 E(yi)=F(alfa+beta·xi)
0 -infinito
+infinito
133
S
De esta manera nuestro objetivo será especificar una forma funcional para la expresión de la derecha del modelo :
E (yi ) = F (α + β xi )
(10.25)
la cual exhibe estas características. Cualquier distribución de probabilidades continua que sea definida sobre la línea de los reales tendrá estas propiedades. Sin embargo, existen dos formas funcionales comunes que tiene estas propiedades deseables (forma de S ) y las cuales son relativamente fácil de manipular. Debido a ello gozan de una gran popularidad entre los economistas. Estas son la curva logística la cual resulta en el modelo logístico y la distribución normal estándar acumulada la que resulta en el modelo probit. El Modelo Logit En este caso, el valor esperado de yi se define de la siguiente manera :
E (yi ) =
1 1+
e(−α−β xi )
=
e(α+β xi ) 1 + e(α+β xi )
(10.26)
Dado que E (yi ) es la probabilidad de suceso (i.e. de que yi = 1) entonces 1 E (yi ) es la probabilidad de fracaso o falla. La razón entre estas dos probabilidades se conoce como la razón de posibilidades odds ratio y con una pequeña manipulación algebraica de (31) podemos notar que esta razón de posibilidades puede ser expresada como : E (yi ) (α+β xi )
−
1 E (yi ) = e (10.27) y de esta forma el logaritmo de la razón de posibilidades ( log odds ratio) como :
−
log[
E (yi )
1
− E (y ) ] = α + β x
(10.28)
i
i
De esta manera, para un modelo logit el logaritmo de la razón de posibilidades es una función lineal simple de los parámetros. El Modelo Probit El vaslor esperado en este caso vien e dado por la siguiente expresión :
E (yi ) = Φ(α + β xi ) =
(α+β xi )
φ(z )dz
(10.29)
−∞
donde : z = α + β xi y φ(z ) y es la función de densidad normal estándar de z . Obviamente, Φ() es la función de densidad normal acumulada. En ambos modelos podemos notar de que E (yi ) = P r (yi = 1). 134
10.5.2.
Algunos Aspectos Teóricos
Resulta natural preguntarse si estamos sacrificando aspectos teóricos con el fin de encontrar una especificación econométrica que sirva. Existen variadas formas mediante las cuales podemos ilustrar la relevancia del modelo para una amplia gama de relaciones de comportamiento. Variable Latente o Función Indice Podemos pensar en una elección discreta como el reflejo de un proceso continuo no observado. Por ejemplo, podemos pensar en agentes decidiendo si comprar una máquina relativamente cara (un notebook). Ellos usarán un proceso continuo de beneficio costo y comprarán el equipo si el beneficio neto es positivo. Así, podemos pensar en el beneficio neto de comprar el notebook viene dado por la siguiente expresión : y∗ = α + β x + (10.30) donde y ∗ es un variable "latente"no observada y x es un vector de variables explicativas (las que pueden depender de la alternativa escogida o de quien decide). Suponga que el individuo tiene una regla de decisión de tal forma de que comprará el activo si el valor presente neto es positivo y no si no lo es. Así :
y = 1 si y ∗ > 0 y = 0 si y ∗ 0
≤
(10.31) (10.32)
De tal forma, podemos re expresar esto como sigue :
P r(yi = 1) = = = =
P r(y ∗ > 0) P r(i > α β xi ) P r(i < α + β xi ) F (α + β xi )
− −
(10.33) (10.34) (10.35) (10.36) (10.37)
lo úlimo debido a la simetría de la función f , la cual es exactamente la definiciónn de una distribución acumulada. Un Ejemplo. Podemos ilustrar este caso usando una versión del modelo de migración/empleo de Harris-Todaro. Para un individuo i el ingreso esperado de permanecer en un área rural puede ser descrito de la siguiente forma :
yr∗ = β xr + r
(10.38)
y el ingreso esperado de una persona que se mudó a la ciudad es :
y ∗ u = γ xu + u 135
(10.39)
donde x es un vector de características que reflejan al individuo y las condiciones del mercado laboral en ambos situaciones. Sin embargo, existen costos asociados al traslado del sector rural a la ciudad los que pueden ser descritos como :
c∗ = α z + m
(10.40)
De esta forma, el beneficio neto de la migración es :
M ∗ = yu∗ yr∗ = δw + u
∗
− −c
= γ xn
− β x − αz + − − r
u
r
m
(10.41) (10.42) (10.43)
Si yr∗ , yu∗ y c∗ fueran observables, entonces M ∗ también lo sería y un modelo de regresión podría aplicarse directamente. Sin embargo, si (como generalmente ocurre) estas variables son latentes, el investigador sólo observa de que M = 1 o bien M = 0 donde M es la observación de que el individuo emigró a la ciudad o nó. En este caso, este modelo corresponde directamente a la forma de elección discreta.
10.5.3.
Estimación e Interpretación de los Coeficientes
Dado que los modelos que hemos estando viendo no son lineales, los parámetros del modelo Probit o Logit generalmente son estimados mediante ML. Cada observación es tratada como una realización de una distribución binomial donde la probabilidad de existo es: P (yi = 1) = F (α + β xi ) Si las observaciones son independientes entonces su distribución de probabilidades conjunta (o likelihood) viene dada por :
P r(Y1 = y 1 , Y2 = y 2 ,...Y n = y n ) =
(1
yi =0
− F (α + β x ))
i
F (α + β xi ) (10.44)
yi =1
notar que la variable aleatoria y puede tomar los valores 0 ó 1 y de esta forma (36) puede ser re escrita de la siguiente manera : n
L=
[F (α + β xi )]yi [1
i=1
− F (α + β x )]1
− yi
i
(10.45)
la cual es simplemente la verosimilitud para una muestra de n observaciones. Tomando logaritmo natural encontramos la forma de log-likelihood para un modelo de elección binaria : n
α
log L =
i i=1 [y
β
α
log F ( + xi ) + (1
− y ) log(1 − F (
136
i
β
+ xi ))]
(10.46)
.) L(.) ∂ F (.) Utilizando la regla de la cadena : ∂ log( = ∂ log Las condiciones de primer ∂β ∂ F (.) ∂β orden (mediante las cuales podemos obtener α, β ) vienen dadas como sigue :
∂ log L = ∂β
n
[
i=1
∂ log L = ∂α
yi fi (1 yi )fi + ]xi = 0 Fi (1 Fi )
n
i=1
[
yi fi Fi
− − (1 − y )f + ]=0 (1 − F ) i
(10.47)
i
(10.48)
i
(10.49) donde F i es la derivada parcial de F () con respecto a ( α + β xi ). Estas condiciones de primer orden son aplicables a toda distribución continua F () Para el caso de los dos modelos que estamos revisando, la derivación de las condiciones de primer orden son mas simples, veamos : Modelo Logit Para el modelo Logit, al sustituir la ecuación (31) en (44) para F (α + β xi ) y simplificando la expresión (usando la derivación del log odds ratio y notando de que log[1/(1 + ex )] = log(1 + ex ) el log-likelihood de la función puede re escribirse como : n
−
log L =
[yi (α + β xi )
i=1
− log(1 + e( +
α β xi )
(10.50)
)]
y las condiciones de primer orden serán : ∂ log L = ∂β
− −
∂ log L = ∂α
n
[yi
Fi ]xi = 0
(10.51)
i=1
n
[yi
Fi ] = 0
i=1
donde Fi es el valor de la distribución logística (31) evaluada en los valor máximos verosímiles para α, β . Modelo Probit Para el modelo Probit, el log-likelihood puede escribirse como : n
log L =
i=1
[yi log Φ(α + β xi ) + (1
− y ) log(1 − Φ(α + β x ))]
137
i
i
(10.52)
y las condiciones de primer orden son : ∂ log L = ∂β
n
[
yi φi
i=1
∂ log L = ∂α
Φi
n
i=1
[
+ (1
− y ) (1(−−φΦ) ) ]x i
=0
(10.53)
− y ) (1(−−φΦ) ) ] = 0
(10.54)
i
i
i
yi φi Φi
+ (1
i
i
i
donde φi = φ(α + β xi ) y Φi = Φ(α + β xi ). En ambos casos, las condiciones de primer orden están bien definidas (dado de que las distribuciones están bien definidas y laslas valores muestrales de parámetros x i son conocidos) y en consecuencia, pueden ser resueltas ecuaciones para los del modelo. La condiciones de primer orden son, no obstante, no lineales y así una forma de optimización no lineal debe ser aplicada para encontrar su solución. Interpretando los Resultados : Los Efectos Marginales Una vez que hemos encontrados los estimadores para los coeficientes (y los errores estándar) necesitamos interpretar dichos resultados. Es importante notar de que al contrario del modelo de probabilidad lineal, los parámetros del modelo (los betas)logit y probit no miden directamente los efectos marginales. Para apreciar esto podemos escribir el modelo en forma mas sencilla al absorber la constante en el vector x de la siguiente manera : E (yi ) = F (β xi ) y en consecuencia, el efecto marginal de un cambio unitario en x j es : ∂ E (yi ) ∂ xj
=
∂ F (β x) ∂ (β x)
β j = f (β xi )β j
(10.55)
Así el efecto marginal de un cambio en el valor de las variables explicativas depende del valor de la variable explicativa y en consecuencia se debe hacer explícito el valor de x para el cual el efecto marginal es calculado. Volviendo a los dos modelos que estamos analizando podemos observar que el efecto marginal viene determinado de la siguiente forma : (i) Logit. Aquí, por conveniencia definiremos E (yi ) = πi . DE esta manera, el efecto marginal viene dado por : ∂π i ∂π i = ∂ xj ∂ log πi (1
∂ log πi (1 ∂ xj
−π) = β π (1 − π ) j i
i
i
donde πi es la probabilidad de que ocurra el evento.
138
−π) i
(10.56) (10.57)
(ii) Probit. Los efectos marginales en este caso viene dados por la siguiente expresión: ∂ E (yi ) = φ (β x)βj (10.58) ∂ xj donde φ(β x) es la densidad normal estándar evaluada en β x. En general, se evalúa el efecto marginal en la media de los valores de los xi . Sin embargo, esto no es obligatorio pudiendo ser evaluadas las x para diferentes arqueotipos que sean interesantes de estudiar.
10.5.4.
Medidas del Grado de Ajuste
La medición el grado de ajuste en modelos de elección discreta es sorprendentemente dificultoso. No existe una analogía directa con el R 2 en modelos clásicos. Una medida a considerar es la verosimilitud evaluada en los estimadores ML del modelo log L(β ) . Esto puede ser utilizado para comparar entre diferentes especificaciones del modelo para una muestra dada. Una medida de referencia es el valor del likelihood cuando todos los coeficientes se han restringido a cero log(β = 0) . Este último es el likelihood incluyendo sólo una constante.
Es posible usar estos dos valores para construir una prueba de likelihood ratio LR de significancia conjunta de las variables xi :
LR =
−2[log L(0) − log L(β )] ∼ χ
s k
(10.59)
donde los grados de libertar k vienen determninado por el número de variables explicativas xi .
Una medida alternativa de ajuste viene dado por el índice de la razón de verosimitud log L(β ) LRI = 1 0 LRI 1 (10.60) log L(β = 0)
−
≤
≤
El LRI tiene la característica de que esta acotado por entre cero cuando todos los coeficientes son iguales a cero. Ello pues cuando todos los coeficientes son cero log L(β ) = log L(β = 0)y la razón entre ambos es en consecuencia uno. Mientras el poder explicativo del modelo aumenta, la función de verosimilitud tiende a la unidad (i.e. cuando Fi = 1 cuando yi = 1 y Fi = 0 cuando yi = 0). Dado que el logaritmo de uno es cero LRI tiende a uno. Una medida alternativa es la Tabla de Aciertos y Fallos la cuales una tabla simple de 2 x 2 la cual muestra la distribución de los valores actuales y predichos de 139
y.
Veamos un ejemplo : Predicha ( F ∗ = 0,5) y=1 y=0 Total Actual y=1 4 71 16 487 y=0 1 83 20 203 Total 654 36 690 Necesitamos determinar qué constituye una predicción de que y = 1. Usualmente definiremos el umbral por una regla como la siguiente :
∼
y = 1 si F = E (yi ) > F ∗ y=0
En otras palabras clasificamos el resultado de una estimación si su probabilidad es mayor que un medio. La mayoría de los investigadores definen F ∗ = 0, 5 lo que significa que si la probabilidad predicha de un éxito (dado los valores de x) es mayor que 0.5 entonces la tomamos como una predicción de éxito ( o que yi = 1). La lógica de esto es que predecimos un éxito si el modelo dice que 1 es mas probable que 0. Por su puesto, podemos definir una "predicción exitosaçon un umbral diferente, como 0,75 o 0,4. En la tabla anterior, hay 690 observaciones. El modelo predice correctamente 471 de un total de 487 ocurrencias de y = 1 y 20 de un total de 203 como y = 0. Des esta manera, la tasa agregada de aciertos exitosos es (471+20)/690 = 71,2. No obstante, esta es una forma muy débil de predicción del grado de ajuste del modelo. Comparando el modelo Logit con el Probit Hasta el momento hemos sugerido que tanto el Probit y Logit son alternativas válidas al LPM para modelar situaciones de elección discreta. Aun no hemos dicho nada acerca de cómo escogeremos entre los dos aunque en la práctica la mayoría de los investigadores reportan los resultados de los tres modelos. Ello es así, pues no existe una clara definición en la profesión acerca de cuál modelo es preferible (entre logit y probit obviamente pues sabemos de que el LPM tiene severos problemas). La siguiente figura ilustra las dos formas funcionale s no lineales para un conjunto de parámetros dado. Como se puede observar los dos curvas son muy similares en 140
el rango del medio pero la función logit tiene colas mas anchas - la logit se parece mas a una distribución t student acumulada. De esta forma, si la proporción de éxitos en la muestra está entre 0.3 y 0.7 los dos modelos entregan resultados simiE(yi)
1 logit
probit
0 -infinito
+infinito
lares. No obstante, los estimadores de β a partir de los dos modelos no son directamente comparables. Ello se produce dado que en el modelo probit se asume que σ 2 = 1 mientras que la varianza en el logit es π 2 /3 . Existe una correción para hacerlos comparables. Al multiplicar los coeficientes del logit por 0,625 se pueden hacer entonces comparables con los coeficientes del probit. En forma análoga, al multiplicar los parámetros de logit por 0,25 se obtoiene los parámetros del logit. En resumen : βlpm
≈ 0,25β ≈ 0, 4β l
p
(10.61)
Esta regla es válida para todos los coeficientes excepto la constante en el modelo LPM (recordar que en logit y probit la constante es absorvida en X), dando la siguiente regla : (10.62) αlpm 0, 25αl + 0 , 25 0,4αp + 0 , 25
≈
≈
141
Capítulo 11 Extensión delCualitativa Modelo para Variable Dependiente 11.1.
Resumen
1. Test de Especificac ión en Modelos de Elección Binaria 2. Datos Agrupados 3. Modelos para Elecc iones Múltiples
11.2.
Referencias
Greene Capítulo 19 Maddala Limited Dependent and Qualitative Variables in Econometrics (CUP, 1983) Capítulos 2, 6 y 7
11.3.
Pruebas de Especificación en Modelos de Elección Binaria
Dos de los mas problemáticos errores en la especificación en datos microeconométricos están relacionados con la heteroscedasticidad y variable omitida. Las consecuencias de ambos errores de especificación son mucho mas graves que en el caso de modelo de regresión lineal. Dado que los modelos Probit y Logit son no lineales en los parámetros estamos obligados a testear acerca de la ausencia de problemas de variable omitida y heteroscedasticidad mediante el uso de los métodos estándar de pruebas de hipótesis (LR, LM, Wald). Estos son derivados 142
en Davidson y MacKinnon (Journal of Econometrics, 1984) y los que también son presentados en Greene 19.4
11.3.1.
Variable Omitida
La hipótesis sobre variable omitida se prueba mediante el siguiente modelo :
H0 : y ∗ = β 1 x1 + e1
(11.1)
∗
HA : y = β 1 x1 + β2 x1 + e1
(11.2)
Esto puede ser fácilmente probado utilizando cualquiera de los tres tests. La prueba de Razón de Verosimilitud es el mas sencillo :
LR =
−2[log L − log L ] ∼ χ2[ ] r
u
(11.3)
k
donde k es el número de restricciones y donde r denota al modelo restringido (1) y u al no restringido (2). Por su parte, el test de Wald generalizado tiene la siguiente forma :
−
w = (Rβ
−
q) [R(V arAsint[β ])R ]− 1(Rβ
q)
∼ χ2
k
(11.4)
donde Rβ = q representa un conjunto de restricciones sobre el modelo general. Al implementar el test nos queda :
w = β2 V2−1 β2
∼ χ2[ ]
(11.5)
k
donde V es la matriz de covarianza estimada para el modelo evaluada en los 2 valores restringidos de los parámetros estimada como β2 .
Finalmente, la prueba del Multiplicador de Lagrange LM viene dada por la siguiente expresión: LM = g V g χ[2k] (11.6)
∼
donde g es la primera derivada de la función de verosimilitud evaluada bajo H 0 , V es la matriz de covarianza asintótica del modelo estimada bajo las mismas restricciones y k es el número de restricciones. Davidson y MacKinnon (1984) proponen la siguiente versión de este test LM : n
gi xi ) [
i=1
2
n
(
n
E [hi]xi xi ]−1 (
i=1
gi xi )
(11.7)
i=1
Fi donde hi = dd(βlog . El termino []−1 el cual es la matriz de covarianzas asintótica xi )2 estimada la que viene dada por el valor estimado del Hessiano (i.e. la matriz de segundas derivadas de la función del log-likelihood).
143
11.3.2.
Heteroscedasticidad
Considere el siguiente modelo Probit heteroscedastico :
y ∗ = β x + con V ar [] = [e(γ z ) ]2
(11.8)
∗
donde y es una variable latente no observada y z es un vector de variables, el cual tipicamente incluye varores de x . El log-likelihood para el modelo "ponderado"es : n β xi β xi logL = [yi logF ( γ zi ) + (1 yi )log [1 F ( γ zi )]] (11.9) e e
−
−
−
i=1
donde las condiciones de primer orden para este modelo vienen dadas por las siguientes expresiones: n
∂ log L = ∂β
y ∂ log L = ∂γ
[
i=1
n
[
i=1
fi (yi Fi (1
fi (yi Fi (1
−F) ( − F ) ] i
−γ zi )
xi = 0
(11.10)
zi (β xi ) = 0
(11.11)
i
−F) ( − F ) ] i
−γ zi )
i
Dado que es una función de verosimilitud difícil de maximizar, estimamos el modelo bajo la restricción de que γ = 0 y usamos un test de Multiplicador de Lagrange para probar la restricción. La prueba de LM viene dada por :
LM = g V g
∼ χ2[ ]
(11.12)
k
donde g es la primera derivada del likelihood evaluada en los valores restringidos de los coeficientes, en este caso γ = 0, V es la matriz de covarianzas asintótica estimada del modelo obtenida bajo la misma restricción y k es el número de restricciones. Notar que bajo la restricción de que γ = 0 , las condiciones de primer orden del modelo restringido son simplemente :
y ∂ log L = ∂γ
n
∂ log L = ∂β
i=1
n
[
i=1
[
fi (yi Fi (1
fi (yi Fi (1
−F) − F ) ]x i
i
=0
(11.13)
i
−F) − F ) ]z ( β x ) = 0 i
i
i
(11.14)
i
Resulta ser que se hace muy difícil estimar este modelo utilizando una especificación Logit (por la especificación de la función score) y de esta forma las pruebas de heteroscedasticidad son generalmente llevadas a cabo utilizando un Probit. 144
11.4.
Datos Agrupados
Hasta el momento hemos estado trabajando con datos sobre respuestas individuales donde cada observación en los datos relaciona la respuesta u acción de un individuo en particular con un vector de regresores. No obstante, generalmente deseamos utilizar datos agrupados donde observamos la proporción de respuestas positivas entre un grupo de individuos los que comparten un conjunto común de regresores. Por ejemplo, en las pruebas de fármacos, la proporción de personas responde a un fármaco controlando por sus características (regresores) comunes. O, en el caso de las elecciones, la proporción de personas que vota por un gobierno en particular dado un conjunto común de circunstancias. El trabajo con datos agrupados permite aminorar muchos de los problemas asociados con el LPM el cual a menudo es usado en estas circunstancias aunque una especificación Logit sigue siendo la especificación mas popular. Ver Greene 19.4.6
11.5.
Extensiones de los Modelos para Variable Dependiente Cualitativa
Hasta ahora nos habíamos concentrado sólo con variables binarias o dicotómicas. También existenm las llamadas variables categóricas, es decir, aquellas que no son continuas pero que pueden ser clasificadas en diferentes categorías. Generalmente son referidas como variables policotómicas. Existen tres casos de interés :
145
Caso
Ejemplo
No ordenadas Votación (PC, PS, PPD, DC, RN, UDI) Modo de Transporte (caminar, auto, bus) Ordenadas
y=1 si gasto es menor que $10 y=2 si gasto mayor que $10 menor que $100 y=3 si gasto mayor que $100 x=1 si impacto bajo x=2 si impacto moderado x=3 si impacto medio x=4 si impacto alto x=5 si impacto muy alto
Secuencial
11.5.1.
y=1 si persona no terminó el colegio y=2 si persona terminó colegio pero no universid. y=3 si perosona termino U. pero no post grado
Variables (policotómicas) No Ordenadas
El modelo mas utilizado para este tipo de casos es el Multinomial Logit el cual extiende la forma simple del modelo logit al permitir de que las probabilidades de elección dependan de las características de los individuos que deciden. Estamos aquí interesados en estimar la probabilidad de que el individuo i escoja la alternativa j . Asi definiremos Yij = 1 si el individuo i escoge la alternativa j; conj = 1, 2,,,J .De no ser así, entonces Y ij = 0. Definiremos, en consecuencia, E [yi j = 1] = πij como la probabilidad de que j el individuo i escoja la alternativa j notando de que j =1 πij = 1; esto es, el individuo debe escoger algo. Aquí, de nuevo X i es el vector de características individuales específicas del individuo i . El modelo multinomial logit se define como sigue : e(αj +βj xi ) E [yij = 1] = π ij = J (11.15) (αk +βk xi ) k=1 e
Es una práctica común normalizar estas probabilidades al definir α1 = β1 = 0 Esta normalización se conoce como la Normalización de Theil y permite una conveniente interpretación de los datos. Notando de que e 0 = 1 entonces se tiene : 1 E [yi1 ] = π i1 = (11.16) J α β 1 + k=2 e( k + k xi ) 146
y
e(α2+β2xi ) 1 + Jk=2 e(αk +βk xi )
E [yi2=2 ] = π i2 =
(11.17)
y así sucesivamente. Esta normalización nos permite expresar la probabilidad relativa de observar el resultado j = 2 con respecto a j = 1, de la siguiente manera : πi2 = e (α2 +β2 xi ) (11.18) πi1
Esto puede ser pensado como un "multinomial odds ratio". Explotando la conveniencia la función logistica podemos expresar el logaritmo del multinomial odds ratiode como : πi2 log( ) = α 2 + β2 xi (11.19) πi1
Las Características de la Alternativas En el modelo logit multinomial se asume de que las elecciones están determinadas solo por las características de los individuos que deciden. Las características de las alternativas en sí no afectarían las elecciones de los agentes. Un modelo que efectivamente incluye este último aspecto en la determinación de las decisiones se conoce como el modelo logit condicional de McFadden el cual puede escribirse como sigue : eγ zj E [yij = 1] = π ij = J γ z (11.20) j k=1 e
el cual relaciona la probabilidad de que un individuo i escoja la opción j con las características no sólo con las características del individuo i sino que también con las características de la opción j . De esta manera la forma general de este modelo es la siguiente : e(αj +βj xi +γ zj ) E [yij = 1] = π ij = J (α +β x +γ z ) (11.21) j k k i k=1 e
Efectos Marginales en un Modelo de Elección Policotómica El efecto marginal del multinomial logit son : ∂π j = π j [βl ∂ xl
J
−
πk βk ] = π j [βl
k=1
− β]
(11.22)
donde, como en el caso del modelo logit bivariado, π j es la probabilidad predicha de observar escoger la opción j evaluada en el valor promedio del vector de variables X . Notar que es posible que en un modelo multinomial logit el efecto marginal de un cambio unitario en la variable Xl no necesariamente tenga el mismo signo que el coeficiente βl . 147
El efecto marginal en el modelo logit condicional de McFadden son : ∂π j = π j (1 ∂ zj
− π )β ; j
∂π j = ∂ zk
−π π β
donde β es el vector de coeficientes estimados en (19).
j k
(11.23)
La Independencia de Alternativa Irrelevantes El modelo de logit multinomial enfrenta directamente el problema de la independiencia de alternativas irrelevantes. El MLM asume que la decisión entre dos alternativas cualesquiera (i.e. entre una alternativa y aquella base) es independiente de las alternativas restantes. Específicamente, se asume que el término de error en las ecuaciones de elección subyacentes son independientes entre sí. Esto hace al modelo mas fácil para la estimación pero quizá no sea una descripción válida de la realidad. Veamos un ejemplo para ilustrar este problema. Suponga que estamos estudiando la elección entre tres diferentes medios de transporte : auto, bus y una tercera opción. Considere primero que la tercera opción es el metro. En este caso, una utilidad relativa mas alta de viajar en auto relativo al bus no necesariamente implica que también sea mas preferible viajar en metro con respecto al bus. Suponga ahora que la tercer alternativa es una auto azul y que la primera alternativa es un auto rojo. El hecho de preferir (utilidad relativa mas alta) el auto rojo con respecto al bus puede implicar una utilidad mas alta también de viajar en auto azul con respecto al bus también. En otras palabras, la probabilidad de que el auto rojo sea preferible al bus aumenta las probabilidades de que el auto azul también sea preferible al bus. De esta manera los parámetros de las alternativas no son independientes entre sí. Este es un ejemplo trivial pero apunta a un problema esencial : en aquellas circunstancias donde las alternativas son sustitutos cercanos el multinomial logit puede entregar estimadores de coeficientes sesgados. Hausman y McFadden (Economterica 1984) proponen un test sobre consistencia de parámetros en el caso de diferentes alternativas de elección. El test está basado en la idea de todos los test de Hausman donde si la elección alternativa es irrelevante entonces al omitirla del modelo los estimadores serán consistentes y asintóticamente eficientes. Bajo estas circunstancias la inclusión de una alternativa irrelevante traerá como consecuencia estimadores consistentes pero ineficientes. Si la alternativa no es irrelevante, entonces su exclusión de ella resultará en estimadores inconsistentes. Así, si determinamos como s los estimadores basados en el subconjunto restringido de alternativas y f como el conjunto completo de 148
alternativas, entonces :
H0 : Elecciones alternativas son irrelevantes
βs es consistente y eficiente βf es consistente y ineficiente
H1 : Elecciones alternativas son relevantes
βs es inconsistente e ineficiente βf es consistente y eficiente
La prueba tiene la forma usual de las pruebas de Hausman :
R = (βs
Vf ]−1 (βs
β f ) [V s
βf )
χ[2k]
(11.24)
− la independencia − − variables ∼ irrelevantes uno Como solución al problema de de
podría estimar un modelo multinomial (no ordenado) probit o bien utilizar estimaciones semi yu no paramétricas. Sin embargo, estos aspectos están fuera del alcance de este curso.
11.5.2.
Variables Ordenadas
Los problemas con el probit multinomial con datos no ordenados desaparecen en gran medida cuandos las alternativas de elección tienen un orden pre definido. El modelo multinomial ordered probit (probit ordenado) está basado en la siguiente regresión subyacente con variable latente :
yi∗ = α + β xi + i ∗
donde yi es una variable no observada, i
(11.25)
∼ N (0, 1) y donde observamos la
siguiente alternativas de elección ordenadas : Yi = 1 si yi∗ < 0 Yi = 2 si 0 y i < A1 Yi = 3 si Ai y i A2 . . Yi si Aj −1 y i
≤ ∗ ≤ ∗≤ ≤ ∗
El umbral A j no puede ser observado pero puede ser estimado junto con α, β por máxima verosimilitud si asumimos una forma funcional del modelo. Obviamente el modelo probit multinomial asume de que la función tiene una distribución normal estándar. Al normalizar como lo hicimos en el caso de la multinomial logit, las probabilidades del modelo se derivan como sigue :
Prob (yi = 0) =
−α − β x )
Φ(
i
149
[obien = 1
− Φ(α + β x )] i
Prob (yi = 1) = Prob (yi
Φ(A1
− α − β x ) − Φ(−α + β x ) = 2) = Φ(A2 − α − β x ) − Φ(A1 − α + β x ) i
i
i
i
(11.26)
. . .
Prob (yi = 5) = 1
− Φ(A5 1 − α − β x ) i
−
Ver figura siguiente donde existen tres categorías y por ende un solo umbral
Prob (yi = 0) = 1
− Φ(−α − β x ) Prob (y = 1) = Φ(A1 − α − β x ) Prob (y = 2) = 1 − Φ(A1 − α − β x ) i
i
i
i
i
Efectos Marginales Los efectos marginales de cambios en los regresores vienen dados por las siguientes
150
expresiones : ∂ P r(Y = 0) ∂ xk ∂ P r(y = 1) ∂ xk ∂ P r(y = 2) ∂ xk
=
−φ(β x)β
k
= [φ( β x)
− φ(A1 − β )]β
= φ ( A1
−
− β x)β
k
(11.27)
k
Mientras (asumiendo de que los coeficientes β son positivos) un aumento en X reducirá la probabilidad de que y = 0 y aumentará la probabilidad de que y = 2 en forma inambigua. Las consecuencias sobre la probabilidad de que y = 1 es ambigua. Esto puede ser generalizable para cuando existen mas categorías. Solo el impacto sobre la primera y última categoría de un cambio en una variable X es conocida (en términos de su signo).
151
Capítulo 12 Variable Dependiente Limitada 12.1.
Resumen
1. Introducción a las Variables Dependientes Limitada 2. Revisión de Algunas Características de la Distribución Normal 3. Truncación 4. Censura 5. Sesgo de Selección y el Modelo Tob it 6. Problemas de Especificac ión en el Modelo Tobit
12.2.
Referencias
Greene Capítulo 20 Maddala Limited Dependent and Qualitative Variables in Econometrics (CUP, 1983) Capítulos 6 a 9
12.3.
Introducción
Existen variados casos donde, debido a la manera en que los datos son recolectados, tenemos información incompleta acerca de la conducta de ciertos elementos de la muestra. Si esta información faltante es sistemática entonces los modelos que ignoren este hecho, estarán cometiendo un problema de sesgo sistemático. En esta sección examinaremos algunos casos especiales de estos fenómenos. Estos son : 152
Truncamiento: cuando una muestra está sistemáticamente restringida a sólo una parte de la población. Por ejemplo, una muestra que sólo incluya observaciones de gente empleada, o gente sobre una cierta edad, etc. El que la truncamiento importe, obviamente dependerá de la pregunta que se quiera responder con la investigación. Censura: cuando la variable dependiente, pero no así las variables independientes, son observadas en un rango restringido de tal forma que todas las observaciones en la variable dependiente que estén por debajo de un cierto umbral o valor dado son tratadas como si estuvieran sobre el umbral o tomaran un valor igual al umbral. Sesgo de Selección (referido también como Truncamiento Incidental) : combina aspectos de ambos y ocurre cuando el proceso por el cual la muestra está truncada influencia los parámetros del modelo sobre la muestra restringida. Por ejemplo, suponga que estamos interesados en la determinación de los salarios de aquellas persona que emigraron. El problema está en que las potenciales ganancias de los inmigrantes tendrán que ver con el hecho que hayan decidido emigrar (i.e. con la probabilidad de pertenecer a la muestra). Esto es claramente una forma de truncamiento (i.e. la muestra sólo incluye a inmigrantes) pero en una donde los factores que determinan la truncamiento no son independientes del comportamiento de la variable dependiente al interior de la muestra truncada.
12.3.1.
Algunas Propiedades Importantes de la Distribución Normal
Recordemos la formula para una distribución Normal con media µ y varianza igual a σ 2 : (x µ) 1 f (x) = e− 2σ2 (12.1) 2πσ 2 para una normal estándar z = (x µ)/σ la cual tiene la siguiente función : −
√
−
φ( z ) =
√1sπ e
2
− z2
∼ N [0, 1]
(12.2)
donde φ(z ) se usa como notación para la distribución normal estándar y Φ(z ) para la función normal acumulada. Existen un conjunto de propiedades de la
153
normal estándar que serán de gran utilidad en las secciones que siguen.
A1 φ ( z ) = φ ( z ) phi(z ) A2 . dz = z φ(z ) 1 1 A3 f (x) = φ[(x µ)/σ ] = φ(z )
−
−
−
σ
A4
Φ(a)
= P r(z < a) =
a
σ
φ(z )dz
−∞
A5
Φ(
a) = 1
Φ(a)
− − entrega la propiedad de simetria, A
A1 con (2)
12.4.
2
= P r (z > a )
viene de (2) y A3 sale de comparar (1)
Truncamiento
El truncamiento ocurre cuando la muestra es restringida sólo a una parte de la población de tal manera que sólo observamos las variables X e Y dentro de ese rango restringido.
12.4.1.
Propiedades de la Distribución Truncada
La densidad de una variable aleatoria truncada viene dada por :
f (x|x > a ) =
f (x)
(12.3) P r(x > a) Esta definición asegura que la densidad truncada sume 1 sobre el rango restringido. Ver el gráfico siguiente:
154
Muchas de las aplicaciones que veremos en adelante utilizan la distribución normal truncada. Si X se distribuye normal con media µ y desviación estándar de σ entonces de A5 se obtiene que :
P r(x > a) = 1
− Φ[ (a −σ µ) ] = 1 − Φ(α)
(12.4)
donde α = ( a−σ µ ). De esta forma usando A3 tenemos que:
f (x)
f (x|x > a) = =
1 σ
φ(z )[1
− Φ(α)]
[1
(12.5)
− Φ(α)]
con z
=(
x
− µ) σ
De la figura anterior se puede notar que si la truncamiento es por debajo, la media de la distribución truncada es mayor que la srcinal y viceversa si la truncamiento 155
es por arriba. En forma similar, la varianza de la distribución truncada es menor que la srcinal. La media de una distribución truncada viene dada por :
E (x|truncamiento) = µ + σλ(α)
(12.6)
donde λ(α) = φ (α)/[1
− Φ(α)]
si el truncamiento es de la forma x > a , y λ(α) = φ(α)/Φ(α)
−
si el truncamiento es de la forma x < a . La función λ(α) se conoce como el Inverse Mills Ratio (o hazard rate). Es la razón entre la densidad de probabilidad normal evaluada en α y uno menos la función normal acumulada evaluada en el mismo valor, el cual puede ser interpretado como una medida sobre la probabilidad de observar α condicional en que α forma parte de la muestra truncada. En otras palabras mide el grado de ajuste que se requiere realizar para la media de la distribución sin truncar. La varianza de una distribución truncada viene dada por la siguiente expresión:
V ar(x|truncamiento) = σ 2 [1 donde
δ (α) =
λ( α ) [λ(α) α]
− δ(α)]
0 < δ (α) < 1
−
(12.7)
∀α
lo que implica que la varianza de una distribución truncada es siempre menor que la varianza de la distribución sin truncar. A menudo nos referimos al truncamiento en términos del grado de truncamiento el cual es simplemente la probabilidad de que X sea menor que a. A medida de que a aumenta, el grado de truncamiento aumenta dado que la probabilidad de que X sea menor que a (i.e. P r(x < a)) aumenta. Consecuentemente una mayor parte de la distribución ha sido descartada y en consecuencia la media de la distribución truncada también aumenta.
156
12.4.2.
La Regresión Truncada
Habiendo dicho algo sobre la estructura de las distribuciones truncadas p odemos ahora estimar modelos usando muestras truncadas. Suponga que empezamos con nuestro modelo genérico, utiliza ndo notación matricia l y absorbiendo la constante dentro de la matriz X (mediante una columna de unos) tenemos :
yi = β xi + i
i
∼ N (0, σ2)
(12.8)
Si nuestra muestra está truncada de alguna forma podemos utilizar los resultados anteriores para legar a la siguiente expresión :
E (yi |yi > a) = β xi + σλ i (αi )
αi = (
a
− βx ) i
σ
(12.9)
Notar que a es el punto de truncamiento (y αi el valor estandarizado) y no la constante del modelo, la cual se asume que está en X ). 157
Así, se tiene que :
E (yi |yi > a) = β xi + σ
φ[(a − β x )/σ ] − Φ[(a − β x )/σ] i
1
(12.10)
i
el cual muestra de que la media condicional de la distribución truncada en una función no lineal de x, β , σ y el punto de truncamiento a . De esta forma, a partir de (7) podemos obtener la varianza de la variable truncada mediante la siguiente expresión :
V ar[yi |yi > a] = σ 2 (1
− δ(α )) i
(12.11)
Interpretando los coeficientes Podemos expresar los efectos marginales de la ecuación (10) como sigue : ∂ E [yi ]yi > a] ∂ xj
= βj + σ (
∂λ i ∂α i )( ) ∂α i ∂ xj
= βj + σ (λ2i αi λi )( βj /σ ) = βj (1 λ2i + αi λi ) = βj (1 δ (αi ))
− −
−
−
El aspecto importante de este resultado es que dado que 0 < δ (α) < 1 para todo α , entonces con una distribución truncada el efecto marginal de un cambio en el valor de xj es menor que su correspondiente coeficiente. Es importante recalcar que si el interés de la investigación está centrado sobre realizar inferencias sobre la sub población entonces el parámetro relevante será βj (1 δ (α)) . Si nuestro interés fuera realizar inferencias sobre toda la muestra entonces βj sería el parámetro relevante. Ver
−
158
Estimación Suponga que corremos un modelo de mínimos cuadrados ordinarios de y sobre x pero utilizando una muestra truncada. Si el verdadero modelo viene dado por (8) entonces el modelo OLS tendría un problema de sesgo por variable omitida : el efecto del truncamiento λi . Mas aún, dado que el término de error en el modelo OLS está también truncado ( i.e. como función de α ) entonces a partir de (8) podemos ver de que el modelo tendrá un error heteroscedastico.
V ar(i ) = σ 2 (1
− λ2 + λ α ) i
i i
el cual es una función de xi (dado que αi es función de x i ).
159
(12.12)
La alternativa natural a la estimación por OLS es Máxima Verosimilitud. Mediante (5) la función de densidad de y i viene dada por: 1
f (yi |yi > a) =
φ((y − β x )/σ ) − Φ((a − β x )/σ) i
σ
1
i
(12.13)
i
El log-likelihood es la suma de los logaritmos de estas densidades log L =
− n2 (log(2π) + log σ2) − 2σ1 2
n
n
(yi i=1
− β x )2 −
log[1
i
i=1
− Φ( a −σβ x )] i
(12.14) Podemos entonces maximizar esta función con respecto al vector de parámetros β , σ 2 . Las condiciones de primer orden (la función Score del modelo) viene dada por : n ∂ log L (yi β xi ) λi = [ ]xi = 0 2
∂β
∂ log L = ∂σ 2
−
σ
i=1
n
− [
i=1
1 2σ 2
+
( yi
−σ
− β x )2 − α λ ] = 0 i
2σ 4
i i
2σ 2
(12.15)
(αi ) donde αi = (a−σβ xi ) y λi = [1−φΦ (αi )] . Estas pueden ser resueltas y asi entregar los estimadores ML para los parámetros β , σ 2 y el inverse mills ratio λ(α).
12.5.
Datos Censurados
Censura describe la situación donde a pesar de que observamos las variables independientes x sobre todo el rango de la muestra / población, observamos la variable y , la variable dependiente, solo en un subconjunto restringido de su distribución. Valores de y para ciertos rangos son todos reportados con un valor en particular. Algunos ejemplos pueden ayudar a entender esta situación : 1. Inversión. 2. Gasto de hogares en bienes durables. 3. Horas de trabajo (salario de reser va). Debería resultar claro que el sesgo que surge a partir de la restricción sobre el rango observable para y dependerá de la probabilidad de caer fuera del rango (i.e. por debajo del nivel de umbral). Ver figura. Dado que sabemos que eliminar las 160
observaciones en que la variable dependiente cae por debajo del umbral resultará en un problema de muestra truncada. Necesitamos en consecuencia algún método que nos permita trabajar con esta situación de censura en la muestra sin tener que eliminar información valiosa al reducir la muestra censurada a una truncada.
12.5.1.
Distribución Normal Censurada
La distribución relevante para modelos que utilizan datos censurados es similar que el caso cuando se utilizan datos truncados. Considere la variable donde :
y∗
∼ N (µ, σ2) y = a si y ≤ a
(12.16)
∗
y = y ∗ en otro caso Aquí, y ∗ es una variable (parcialmente) latente la cual es observable sólo para valores sobre el umbral. Muchas veces se encontrará que el umbral se define como cero, la cual es una normalización conveniente. La distribución total de una variable censurada puede ser pensada como una combinación de dos partes : la primera que corresponde a un componente discreto el cual toma todo el peso del componente censurado de la distribución en un solo punto; y la segunda, una componente continua para el rango de valores de Y para la cual existe una distribución (truncada).
161
De esta forma, se tiene que :
E (y ) = P r(y = a )E (y |y = a ) + P r(y > a )E (y |y > a) = P r(y ∗ a)a + P r (y ∗ > a )E (y |y > a) = Φ(α)a + [1 Φ(α)](µ + σλ (α))
≤
donde α =
a−µ
12.5.2.
El Modelo Tobit
σ
−
y λ(α) como se definió en (6).
Los modelos de regresión que están basados en los aspectos discutidos en la sección anterior se denominan modelos de regresión censurada (cuando el punto de censura puede cambiar a través de las observaciones) o el Modelo Tobit ( 162
cuando existe un punto de censura fijo). Por ahora nos concentraremos sólo en el modelo tobit (su nombre se refiere al "Tobit Probit Model"). Asumiremos, por conveniencia, que el punto de censura es normalizado a cero lo que nos permitirá especificar el modelo de la sigueiente manera :
yi∗ = β xi + i yi =
i
∼ N (0, σ2)
(12.17)
0 si yi∗ 0 yi∗ si yi∗ > 0
≤
∗
Esto es simplemente un modelo en términos de una variable latente, y la cual es parcialmente observada -específicamente cuando la variable latente es observada por encima del valor umbral. La media de una distribución censurada viene dada por (18) para el caso en que el umbral a = 0
E (yi ) = P r (yi = 0)E (yi |yi = 0) + P r (yi > 0) E (yi |yi > 0)
(12.18)
Con el punto de censura igualado en cero el primer término de la parte derecha de la expresión es igual a cero y, usando el resultado de la regresión truncada podemos re expresar los dos términos remanentes de (20) como sigue. Primero, a partir de la ecuación de regresión truncada (9) se tiene que :
E (yi |yi > 0) = β xi + σλ i donde :
(12.19)
φ( 0−σβ xi )
λi =
[1
− Φ( 0
λi =
− β xi
σ
)]
φ( βσxi ) βx Φ( σ i )
(12.20)
Segundo, con respecto a el término P r (yi > 0) podemos notar que :
P r(yi > 0) = P r(β xi + i > 0) Lo que implica que :
P r(yi > 0) = P r(i >
−β x ) = P r( < β x ) = Φ(β x /σ) i
i
i
i
(12.21)
De esta forma, combinando (21),(22)y (23) obtenemos lo siguiente :
E (yi ) = P r(yi∗ > 0) E (yi |yi > 0) 163
(12.22)
lo que implica que :
E (yi ) = Φ(β xi /σ )[β xi + σλ i ] donde, al igual que antes : λi =
12.5.3.
(12.23)
φ( βσxi ) βx
Φ( σ i )
Interpretando los Efectos Marginales en el Model o Tobit
La interpretación de los efectos marginales en el modelo Tobit dependerá de lo que estemos interesados en investigar. Podemos estar interesados en (i) la media de la distribución censurada o bien (ii) los coeficientes del modelo latente. Por ejemplo, suponga que tomammos el caso de los salarios reserva, la forma en que calculemos los efectos marginales dependerá si estamos interesados en estudiar la relación entre educación (llamemosla x j ) y las ganancias de mercado para aquellos que trabajan (la muestra censurada) o entre educación y ganacias (esperadas) de mercado para toda la oferta de trabajo (la distribución completa). Para el primer caso estaremos interesados en los efectos marginales calculados a partir del modelo de regresión censurado los cuales vienen dado por : ∂ E (yi |xi ) = β j Φ(β xi /σ ) ∂ xj
(12.24)
Note que, como se esperaba, los efectos marginales son funciones no lineales de y σ.
x
Para el segundo caso, los efectos marginales vienen dados simplemente por : ∂ E (yi∗ |xi ) = βj ∂ xj
(12.25)
Considere por un momento que pasaría si el valor de x j aumenta. Primero, afectará la media condicional del valor de yi∗ en la parte positiva de la distribución. El segundo efecto es que un aumento de xj aumentará la probabilidad de que la observación caiga en la parte positiva de la distribución. La siguiente figura ilustra la naturaleza del modelo Tobit.
164
12.5.4.
Estimación del Modelo Tobit
La estimación sobre toda la muestra de datos bajo OLS entrega estimadores inconsistentes y así los investigadores utilizan la forma de ML para realizar estimaciones consistentes de los parámetros. Para elmcaso del Tobit, la función de verosimilitud en logaritmo (log-likelihood) viene dada por : log L =
[ yi > 0
−
1
log(2π )+log( σ 2 ) +
(yi
− β x )2 ] + i
yi =0
2 165
Φ(β xi /σ )]
log[1
σ2
−
(12.26)
la cuales una mezcla de una función contínua para aquellas observaciones no censuradas ( la primera sumatoria) y una distribución discreta para las observaciones censuradas (el segundo término). Esta es una expresión compleja pero manejable ( la instrucción en STATA se denomina heckman), sin embargo la mayoría de los trabajos empírico s también reportan las estimaciones p or OLS con fines comparativos. Resultado (empírico) Parece ser que los estimadores OLS son menores en valor absoluto que aquellos estimados por MLE. Existe una regularidad empírica la cual sugiere que los estimadores MLE pueden ser aproximados al dividir los estimadores OLS por la proporción de observaciones que caen fuera del rango de censura. La estimación por OLS realizada solo sobre las observaciones censuradas entrega estimadores sesgados e inconsistentes. Existe un método de facil aplicación para estimar el modelo tobit mediante el uso OLS çorregido"propuesto por Heckman en 1979. Dado que generalmente este método es utilizado para el problema de Sesgo de Selección primero disctutiremos este problema en detalle y después nos abocaremos al procedimiento de Heckman.
12.6.
Sesgo de Selección y el Método de Heckman en dos Etapas
El sesgo de selección surge cuando los factores que causan la censura de la muestra están correlacionados con aquellos factores que determinan el valor esperado de la variable dependiente sobre la muestra truncada. Pensando en el caso de la participación femenina en el mercado del trabajo : el que una mujer participe en el mercado del trabajo es una función de las ganancias esperadas en el mercado ( y otros factores). Así, el examinar los determinantes de las ganancias en una muestra de mujeres que efectivamente trabajan no será representativo pues será una muestra de mujeres para las cuales la participación en el mercado del trabajo es en sí rentable o deseable.
12.6.1.
La Densidad Conjunta Truncada
Para examinar los aspectos asociados con el sesgo de selección, necesitamos definir las características de una densidad conjunta truncada de z e y . Si y y z se distribuyen normal conjunta estándar entonces :
y |z
∼ N [(µ
y
+ρ
σy (z σz
−µ ,
166
z
σy2 (1
− ρ2)]
donde ρ es el coeficiente de correlación. La densidad conjunta truncada de y y z :
f (y, z |z > a) = f (y, z )/P r(z > a ) Los momentos de esta distribución son :
E (y |z > a ) = µ y + ρσy λ(αz ) y
V ar(y |z > a) = σ y2 (1
− ρ2δ(α )) z
donde, como antes, µy y µz son(αlas medias de y y z , σy , σz las desviaciones z) estándar; αz = (a−σzµz ) ; λ (αz ) = 1−φΦ el IMR y con δ (αz ) = λ (αz )/(λ(αz ) αz ). (αz )
−
12.6.2.
La Estimación de Heckman en Dos Etapas
Heckman argumentaba de que el problema de sesgo de selección podía ser pensado como un problema de variable omitida donde la variable omitida era λi , la Razón Inversa de Mills (IMR) la cual, como notamos anteriormente, es una medida del grado de truncamiento de la muestra. Mas aún, dado que el punto de truncamiento es endógeno podemos también modelar la verosimilitud de que una observación aparecerá en la parte truncada de la muestra. Podemos ver por qué esto es así de la siguiente manera. Suponga que tenemos un modelo de regresión de la siguiente forma :
yi = β xi + i
(12.27)
el cual puede representar una relación entre ganancias ( y ) y un vectorde otras variables (x). Sin embargo, suponga de que observamos y i solo si z i = 1 donde :
zi
1 si yi > 0 0 en otro caso .
∗
y
zi∗ = γ Wi + ui
(12.28)
∗
donde z es una variable latente no observable. La ecuación (30) represeta un mecanismo de selección y la ecuación (29)puede ser re especificada como una regresión truncada condicional en que z i = 1.
E [yi |zi = 1] = β xi + ρσ λ(γ Wi )
(12.29)
La ecuación anterior no es lineal en los parámetros y en consecuencia, no puede ser estimado usando nuestro modelo lineal estándar. El estimador eficiente, en 167
este caso es uno de ML. Una alternativa conveniente (parcialmente lineal) es el procedimiento alternativo de Heckman en dos etapas. Este último entrega estimadores consistentes aunque no completamente eficientes y se implementa de la siguiente manera : Paso 1: Estime un modelo Probit para la regla de selección en (30) de tal forma de producir un estimador máximo verosímil de γ . Utilizando este valor calcule para cada observación de la muetra : φ(γ Wi ) λi = Φ(γ Wi )
(se asume que
γu = 1)
(12.30)
El vector de variables Wi contiene los determinantes de la participación (en el mercado laboral) y generalmente contiene variables que también están en x. Sin embargo, para poder identificar la segunda ecuación, el vector W debe contener a lo menos una variable que no esté en X . Paso 2: La ecuación de Heckman (deganacias en el mercado laboral ) corregida por el sesgo de selección es simplemente :
yi |zi > 0 = β xi + βλ λi + i
∗
(12.31)
donde βλ = ργ . El coeficiente sobre el IMR estimado puede ser interpretado como la covarianza entre i , ui ; en otras palabras la covarianza entre los errores el modelo de participación y el modelo de ganancias. Convenientemente, la prueba simple de t-student sobre la variable de sesgo de selección representa una prueba simple y directa de la pesencia del sesgo de selección en la muestra.
12.7.
Errores de Especificación en los Modelos Tobit
Puede existir el caso en que las consecuencias (marginales) de un factor o variable sobre la probabilidad de observar un resultado o fenómeno sea diferente de la consecuencia (marginal) de ese factor sobre el nivel de una variable o actividad. Un ejemplo puede ilustrar mejor este punto. Conductores jóvenes tienen mas probabilidad de tener un accidente de tránsito. De esta manera, la edad está negativamente correlacionada con la probabilidad de solicitar un reembolso a la aseguradora. Sin embargo, si los conductores jóvenes típicamente manejan autos mas viejos y menos costosos, entonces la edad (del conductor) está positivamente correlacionada con el valor del reembolso solicitado. Esto significa que la edad tendría diferentes signos en las dos partes del modelo Tobit. Pero como se puede 168
ver en la ecuación (26), existe sólo un coeficiente para el valor de cualquier variable explicativa en el caso del Tobit simple. Para testear si existe un problema de especificación (entre unTobit simple y aquel en dos etapas, denominado Tobit tipo II) deberemos especificar un modelo general de las dos etapas del Tobit de la siguiente forma : Modelo de Decisión : P r(yi∗ > 0) = Φ(γ xi )
zi = 1 si yi > 0
∗
Regresión parte no limitada : E [yi |zi ] = β xi + σλ i donde hemos permitido de que los coeficnites asociados a las variables puedan difereir no solo en su valor sino también en su signo. Podemos entones testear la restricción (del Tobit simple) de que γ = β usando una prueba de LR de la siguiente forma :
Lr =
−2[log L − (log L t
p
+ log Ltr )]
∼ χ2
k
donde Lt es la verosimilitud del Tobit; Lp la verosimilitid del Probit y verosimilitud de la regresión truncada.
12.7.1.
Ltr la
Heteroscedasticidad
Recordemos el modelo de regresión lineal hetroscedastico estándar
yi = β xi + i = f (xi ) + i
(12.32)
donde E (i ) = 0, E (2i ) = σ 2 g (zi ) Sabemos de que los estimadores de los parámetros de la regresión (ie la media condicional) son insesgados pero ineficientes. Esto tiene que ver con con la característica de de linealidad aditiva del modelo de tal forma que es posible separar los parámetros que determinan la expresión para la media condicionla (ie f (xi ) ) de aquellos que están detrás de la determinación de la precisión de dichos estimadores, g (zi ). Las cosas no son tan simples cuando tenemos heteroscedasticidad en un modelo de variable dependiante limitada : de hecho ante la presencia de heteroscedasticidad la estimación por MLE del modelo Tobit será sesgada e inconsistente. Ello puede observarse a partir de la función de verosimilitud : log L =
−
yi >0
1 ( yi β xi )2 [log 2π + log σ 2 + ]+ log[1 2 σ2 y =0
−
i
− Φ(β x /σ)] i
(12.33)
Puede resultar claro de que si la varianza del modelo es contante, entonces puede sacarse de la función Φ() en el segundo término de la función de verosimilitud. 169
12.7.2.
No Normalidad
Vimos anteriormente de que todos los resultados de inferencia a partir de muestras truncadas dependen crucialmente sobre la estructurade los errores en el modelo de variable latente. Típicamente cuando los errores no son normales entonces los estimadores de parámetros ( de los coeficientes, varianza y IMR) serán inconsistentes. Existe un trabajo importante durante los últimos años acerca de estimadores alternativos al Tobit cuando los errores del modelo latente no siguen una distribución normal. Existe dos formas de solución bien definidas (i) el estimador de Least Absolute Deviations (LAD) propuesto por Powell y los métodos semiparamétricos los que asumen otras distribuciones para los errores. Este es un tema complejo y avanzado el cual está cubierto relativamente bien en Amemiya (1985) . fvanced EconometricsÇapítulo 10 y en Pagan y Ullah "Non Parametric EconometricsÇapítulos 7 y 9. A
170
Capítulo 13 Modelos para Datos de Panel 13.1.
Resumen
1. Introducción a Datos de Panel y mo delos con heterogeneidad 2. Modelos de Efectos Fijos y Efectos Variables :Modelos de Una Componentes y Modelos de Dos Componentes 3. Efectos Fijos versus Efectos Variables : Prueba de Especificación de Hausman 4. Extensiones
13.2.
Referencias
Greenne, Capítulo 14 Hsiao, Analysis of Panel Data, Econometric Society Monograph Cambridge University Press (1986.) Baltagi, Econometric Analysis of Panel Data , John Wiley (1995).
13.3.
Introducción
Un conjunto de datos de panel o longitudinales es aquel que sigue individuos (firmas o paises) a través del tiempo y en consecuencia entrega múltiples observaciones para cada individuo. Así, datos de panel es la unión de datos en serie de tiempo y de corte transversal. El análisis de la de conductas utilizando datos de panel es una de las áreas más atractivas de la econometría. En esta y la siguiente clase daremos una introducción a este tema. 171
13.3.1.
¿ Porqué usar Datos de Panel ?
Mas observaciones Un panel contiene NT observaciones. Por convención, indexaremos la dimensión temporal como t = 1 · · · T y la dimensión transversal como n = 1 · · · N . Típicamente T es relativamente pequeño mientras N es relativamente mayor. Notar que incluso si T = 2 tendremos un panel que puede ser utilizado para realizar estimaciones. El aumento en el número de observaciones aumentará el número de grados de libertad, reducirá el grado de colinealidad muestral y aumentará la eficiencia de cualquier estimador que se obtenga. Discriminación entre hipótesis Al utilizar el componente de series de tiempo de los datos puede ser posible discriminar entre hipótesis aspecto que no es posible realizar al utilizar solo datso de corte transversal Ejemplo: Considere el efecto de la sindicalización sobre los salarios. Suponga que observaciones de corte transversal sugieren que firmas donde existen sindicatos, sus trabajadores tienen salarios mas altos. Esto es consistente con a lo menos dos hipótesis. Primero, que los sindicatos hacen aumentar los salarios por encima de la productividad marginal de la mano de obra. Segundo, que diferentes niveles de sindicalización reflejan factores diferentes al poder del sindicato, como ser la productividad de la mano de obra individual. Estas dos apreciaciones no pueden ser distinguibles en el caso de que sólo contáramos con datos de corte transversal. Sin embargo, si pudiéramos seguir a los trabajadores durante el tiempo entonces podríamos determinar si el salario de un trabajador con una habilidad constante sube o nó cuando pasa de no estar sindicalizado a estarlo. Controlando por heterogeneidad individual no observable Similar al caso anterior el que lo ilustraremos mediante un ejemplo. Suponga que estamos estudiando la utilización (consumo) de bienes públicos entre países e imagine que existe un factor que varía entre los países pero que no es fácilmente medible : uno de estos factores puede ser actitudes políticas con respecto a la provisión pública de servicios. Dado que en una política pro-estado (estado benefactor) es esperable que el consumo de bienes públicos aumente, en el caso de estados benefactores como Suecia, uno esperaría encontrar una diferencia significativa en la propensión al consumo de bienes públicos con respecto al promedio del resto de los países. En una regresión de corte transversal, podríamos manejar este problema al utilizar una variable dummy para Suecia. Esto, sin embargo, lo
172
que logra es sacar completamente a Suecia de la muestra lo que no es satisfactorio. Este no será el caso para datos de panel, como veremos en seguida. Considere el siguiente proceso de generación de datos (bivariado):
yit = α i + βi xit + uit i = 1....N t = 1, ....T
(13.1)
donde, en principio, tanto αi como βi pueden variar entre individuos. Suponga que agrupamos las NT observaciones y estimamos el modelo clásico de regresión (con α y β fijos) : yit = α + β xit + uit (13.2) Esta especificación ignora la heterogeneidad entre individuos. ¿ Cuáles son las implicancias de esto ? (i) Interceptos heterogeneos ( αi = α). Tanto los coeficientes de la pendiente como de los interceptos estarán sesgados al ser estimados por OLS y el sesgo no tendrá signo determinado. Datos de panel pueden ser útiles en este caso. Ver Figura.
(ii) Pendientes e interceptos heterogéneos (αi = α y βi = β ). Los estimadores OLS de las pendientes e interceptos serán sesgados y sin sentido. También
173
se sigue de que modelos estánda r de panel no pueden tampoco manejar este problema (ya que no tenemos suficientes grados de libertad). Ver Figura.
Controlando por variables omitidas (no observadas o mal medidas) Datos de panel permiten al investigador usar los elementos tanto dinámicos como de individualidad de los elementos de un set de datos para controlar por los efectos de variables faltantes o inobservables. Esta es una de las principales atracciones acerca del uso de datos de panel. Considere el siguiente modelo :
yit = α ∗ + β xit + γ zit + uit ,
µit
∼ N (0, σ2 ) u
(13.3)
Bajo los supuestos usuales, la estimación por OLS de (3) entregará estimadores insesgados y consistentes del vector de parámetros β y γ . Suponga, sin embargo, de que el vector de variables Z no es observable pero donde la matriz de covarianza entre X y Z no es cero. En este caso, los estimadores OLS de β estarán sesgados, dado que z it representaría el caso clásico de omisión de variable. Cuando tenemos datos de panel existen dos situaciones en las cuales podemos controlar (i.e. corregir) por este problema de omisión de variable. 174
(i) Caso donde zit = zi para todo t de tal forma de que las variables Z son constantes en el tiempo pero que sólo difieren entre individuos. Así, podemos tomar las primeras diferencias de (1) con respecto al tiempo para obtener : (yit
−y
it−1 )
= β (xit
−x
it−1 )
+ (µit
−µ
it−1 )
(13.4)
De esta manera lo que hicimos es "sacar"la variable-problema Z de tal manera que ahora se pueden obtener estimadores insesgados y consistentes de β . (ii) Caso donde zit = zt para todo i de tal manera de que las variables Z son ahora comunes para todos los individuos. De esta manera, podemos tomar la desviación de la observación de cada individuo sobre la media entre todos los individuos (en cada período), de la siguiente forma :
yit
−y
t
= β (xit
− x ) + (µ − µ ) t
it
t
(13.5)
donde yt = N1 N i=1 yit representa la media grupal (el valor promedio de la variable del grupo i = 1 · · · N en cada período t ) En ambos casos las transformaciones han "sacado"la variable-problema no observada (o mal medida) Z . Como consecuencia, la estimación por OLS de (4) o (5) entregará estimadores insesgados y consistentes de β los que no podrían haber sido obtenidos mediante series de corte transversal o en series de tiempo en forma aislada. Modelamiento de la Dinámica de Ajuste Datos de panel son particularmente útiles para el análisis de la duración de situaciones económicas como desempleo o pobreza. Dependiendo del largo del panel estos nos pueden dar luces sobre la velocidad de ajuste a shock exógenos. Aunque estos deben ser modelados con largos datos de panel mediante técnicas denominadas Datos de Panel Dinámicos (DPD), los que no veremos en estas clases.
13.3.2.
Algunos Problemas de los Datos de Panel
Costos de recolección de los datos Algunos datos de panel son terriblemente costosos en su recolección y requieren largos horizontes de investigación. Ellos presentan todos los problemas clásicos de recolección de datos como cobertura, no respuesta, selección endógena (i.e. truncamiento endógeno), etc. 175
Medición del Error Compuesto En aquellas situaciones en que medir el término de error es un problema, esto puede simplificarse o bien exacerbarse cuando se utilizan datos de panel. Suponga que tenemos un ingreso (variable X ) el cual es declarado en el tiempo t por el hogar i con cierto error :
x∗it = x it + it
(13.6)
donde it es una medida del error con media cero y varianza seccional igual a
ω.
∗
Si asumimos de que Cov(x, ) = 0 entonces V ar(xit ) = V ar(xit ) + ω . Ahora, si vamos a utilizar estos datos para eliminar algunos efectos no observables (como en la ecuación (4)) entonces tenemos lo siguiente : ∗
∆xit
= ∆xit + ∆it V ar(∆xit ) = V ar(∆xit ) + 2 ω 2 (1 ∗
− ρ)
(13.7)
donde ρ es la correlación entre el error de medición de dos períodos. Ello puede sugerir dos casos extremos: Caso (i) Errores Independientes del Tiempo (autocorr elación perfecta) Suponga de que un hogar comete el mismo error año tras año ( por ejemplo el hogar se equivocan en ingresar el valor de su casa). En este caso ρ tenderá a uno y en consecuencia : ∗
∆xit ∗
V ar(∆xit )
→ ∆x → V ar(∆x it
it )
(13.8)
De esta manera, datos de panel permiten que los errores de medición sean "eliminados"de los datos y así los parámetros de interés sean estimados sin sesgo. Caso (ii) Suponga que los errores de medic ión no están correlac ionados en el tiempo ( ρ = 0 ). En este caso, encontraremos de que al diferenciar la varianza en el error de medición será duplicada. Si la varianza del verdadero valor de X es relativamente baja (e.g. existe una persistencia en el tiempo en X ) entonces, al diferenciar los datos significará que la "señal"es absorbido por el ruido". En general, notar de que si ρ < 0 ,5 al diferenciar los datos tendrá un efecto desproporcionado sobre la varianza del error en la medición relativo a la varianza propia de la variable en sí.
176
Sesgo de Respuesta Sistemática y Reducción Sistemática El primer sesgo surge al tener que visitar en forma reiterada al mismo individuo y las respuestas pueden entonces ser endógenas; las personas tienden a exagerar. El segundo sesgo está relacionado con el hecho de que las los hogares o individuos entrevistados en el pasado pueden ya no serlo en el presente ya que o bien murieron, quebraron, dejaron de ser pobres, etc, lo que puede introducir un sesgo hacia atrás. Esto se puede corregir con los denominados pseudo-paneles, tópico que está fuera del alcance de este curso.
13.4.
Un Modelo Lineal General para Datos de Panel
El modelo básico de datos de panel combina series de tiempo con datos en corte transversal en un solo modelo el cual puede ser escrito de la siguiente forma : yit = α + Xit β + uit , i = 1....N, t = 1.....T (13.9) donde i denota las unidades en corte transversal y t el tiempo. Los diferentes modelos de datos de panel dependerán de los supuestos que se realicen sobre los errores no observados u it . Existen principalmente dos alternativas : El one-way error component model (modelo de error de componente en un solo sentido) el cual asume de que la estructura del error se define como sigue
uit = µ i + υ it ,
iid(0, σµ2 )
υit
(13.10)
∼que no son observables y denota efectos específicos al individuo
donde µi υit son los denominados efectos idiosincráticos. Los µi son invariantes en el tiempo y dan cuenta de cualquier tipo de efecto individual no incluido en la regresión. Un ejemplo estándar en ecuaciones de ganancia es la habilidad; en funciones de producción agrícola uno de estos efectos puede ser la calidad (no observada) del suelo; en macro paneles sobre crecimiento de países se pueden incluir normas culturales (e.g. con respecto al ahorro o riesgo). El two way error component model se asume de que la estructura del error se define de la siguiente manera :
uit = µ i + λt + υ it ,
υit
∼ iid(0, σ2 ) µ
(13.11)
donde, nuevamente, µi denota efectos individuales específicos no observables y donde λt denota efectos temporales no observables. Estos efectos se asumen que son comunes entre individuos pero que varían en el tiempo. Ejemplos incluirían variaciones en el clima o cambios en la política económica en general. 177
13.5.
El One Way Error Component Model
Podemos re escribir (9) en forma vectorial de la siguiente forma :
Y = α 1NT + X β + u = Z δ + u
(13.12)
donde las dimensiones de las matrices son Y = [N T 1], X = [NT K ], Z = [1N T X ] y δ = [α β ] en donde 1N T es un vector de unos de dimension N T . De esta forma (10) puede ser expresado como sigue:
×
u = Zµ µ + υ donde u = (u11 ,...u 1T , u21 ,...u 2T , ....uN 1 ,...u N T ) y Z µ = I N triz identidad y el producto Kronecker.
⊗
×
⊗1
NT ,
(13.13) con I N la ma-
De esta manera Zµ es la matriz de selección la que está compuesta de ceros y unos y que captura los efectos de µi . Usaremos estos resultados para calcular dos matrices adicionales. La primera es :
P = Z µ (Zµ Zµ )−1 Zµ la cual es la matriz de proyección sobre Z µ ; matriz que promedia las observaciones en el tiempo para cada individuo. La segunda matriz es :
Q = IN T
−P
la cual permite obtener las desviaciones sobre las medias individuales. De esta forma P u, tiene el típico elemento ui = Tt=1 uTit y la matriz Qu tiene este como elemento típico u it ui
−
Estas relaciones se usan extensivamente para derivar los modelos de datos de panel. Ahora consideraremos dos supuestos sobre los efectos individuales µ i .
13.5.1.
Modelo de Efectos Fijos
El modelo de efectos fijos asume que los efectos individuales µi son parámetros determinísticos los que deberán ser estimados. Este sería el caso si N representa la "población"tal como el conjunto de países o estados o firmas, y que nuestras inferencias es solamente relacionada sobre las N observaciones que se dispone. Así la inferencia es condicional sobre las N observaciones en particular : no estaremos utilizando los resultados para inferir aspectos relacionados a otro conjunto de países/firmas/individuos. 178
Al sustituir (13) en (12) tenemos que:
y = α 1N T + X β + Zµ µ + ν = Z δ + Zµ µ + ν
(13.14)
Podemos usar OLS sobre (14) para generar estimadores de α y el vector de β y µ al incluir (N 1) variables dummy para los efectos fijos no observados. Esta estimación generalmente se conoce con Estimador Minimo Cuadrático de Variables Dummy (LSDV). Cada uno de los coeficientes sobre µi miden la diferencia de los efectos individuales con respecto a un individuo base de comparación ( representado p or α).
−
Sin embargo, si N es grande con respecto a N T existirán demasiados parámetros a estimar ( α, β y los N 1 efectos individuales específicos) en (14). Comunmente, el interés del investigador estará en saber los valores de α, β y en consecuencia, desearemos simplemente controlar, y nó estimar, los efectos individuales los que, después de todo, son una amalgama de diferentes aspectos de la heterogeneidad.
−
La alternativa mas común para estimar esta situación es el estimador de efectos fijos. Primero, deberemos pre multiplicar el modelo (11) por la matriz de selección Q la cual calcula las desviaciones con respecto a la media grupal (de individuos). La observación representativa para el individuo i en el tiempo t es : (yit
− y ) = (α − α ) + (X − X )β + ( µ − µ ) + (v − v ) i
i
1 T
it
i
i
i
it
i
(13.15)
T t=1
donde y i = yit es la media del valor y para el individuo i sobre todo el período de observaciones (t = 1 · · · T ). Notar de que por definición de que el primer y tercer término dequeda la parte de (15) son: cero. En una notación vectorial mas conveniente de derecha la siguiente forma
Qy = QX β + Qν
(13.16)
donde hacemos uso del hecho de que Q Zµ = Q1NT = 0 dado que el promedio temporal del efecto invariante en el tiempo es simplemente el efecto en si mismo. De esta forma, podemos estimar como sigue :
−
βW = (X QX )−1 X Qy
donde
(13.17)
V ar(βW ) = σ ν2 (X QX )−1 = σ ν2 (X X )−1 y donde podemos recuperar el valor estimado de α como : αW = y
− Xβ
(13.18)
W
donde aquí, el promedio se calcula sobre todas las observaciones basados en la restricción de que N i=1 µi = 0 el cual es un supuesto estándar para las variables dummy.
179
Resultados Si (14) es el verdadero modelo, el estimador de efectos fijos es BLUE sólo mientras vit tenga las características Gausianas estándar. A medida de que T tiende a infinito, entonces el modelo es consistente para todos los parámetros del modelo. Sin embargo, si T es fijo y N tiende a infinito, entonces el estimador FE de β será consistente. El estimador FE de los efectos individuales (α + µ i ) no son consistentes dado que el número de parámetros aumenta a medida de que N aumenta. Pruebas de Efectos Fijos Podemos testear para la existencia de efectos fijos al usar un test F estándar donde la nula es que :
Ho = µ 1 = µ 2 = · · · µN −1 = 0
(13.19)
La suma de cuadrados de residuos restringidas viene dado por la suma de los cuadrados de los residuos del modelo OLS sobre los datos agrupados y el modelo sin restringir son la suma de los residuos al cuadrado del modelo de efectos fijos. La prueba es la siguiente :
FF E =
(rrss urss)/(n 1) urss/(nt n k )
−
− −
− ∼ F[
n−1,nt−n−k]
(13.20)
Generalmente nos referiremos a esta como la restricción de agrupamiento sobre la heterogeneidad no observable en el modelo.
13.5.2.
Modelo de Efectos Aleatorios
Suponga ahora que los efectos individuales no son deterministicos sino que cada uno de ellos son una variable aleatoria. Esto sería un supuesto mas razonable en el caso de que nuestros datos fuera una muestra genuina utilizada con el fin de realizar inferencias sobre la población como un todo. Estos efectos aleatorios no observables pueden ser pensados a nivel de individuos como habilidades mientras que a nivel de firma podemos pensar en términos de capacidad administrativa. Asumiremos de que µ i iid(0, σµ2 ) y que ambos, µ i , vit son independientes de X it para todo i y t. Ahora, siendo los efectos individuales aleatorios la varianza del término de error será : V ar(uit ) = σ µ2 + σν2 (13.21)
∼
El aspecto clave de esta varianza es que a pesar de ser homosedastica, tiene correlación serial al interior de cada unidad de corte transversal (dado que cada 180
"efecto individual"de cada persona persiste en el tiempo). En particular, sea :
Cov(uit , ujs ) = (µi + vit )(µj + vjs )
(13.22)
Así, si i = j y t = s entonces se tiene que la Cov(uit , ujs ) = σµ2 + σ v2 . POr otro lado, si i = j pero t = s entonces se tiene que la C ov (uit , ujs ) = σ µ2 y cero en otro caso. Por extensión, tenemos lo siguiente :
ρ = Corr (uit , ujs ) = 1
para i
= j;
t=s
2
ρ = Corr (uit , ujs ) =
(σµ2
σµ
+ σν2 )
para i
= j;
t=s
y cero en otro caso. Esto sugiere que ante la presencia de efectos aleatorios, la matriz de varianzaas covarianzas para el modelo de datos de panel no será del tipo "Gaussiano". Para proceder con la estimación necesitaremos analizar la estructura de esta matriz. Para examinar el estimador de efectos aleatorios necesitaremos introducir una nueva matriz de selección. Sea JT una matriz de unos de dimensión T de tal forma de que Zµ Z µ = I N JT .
⊗
De esta manera, a partir de (13) podemos calcular la matriz de varianza covarianza (la cual es ahora de N T NT )
×
Ω
= E (uu ) = Z µ E (µµ )Zµ + E (νν )
(13.23)
la cual se puede simplificar en la siguiente expresión : Ω
= (T σµ2 + σν2 )(IN
donde J T = J T /T , ET = (IT
⊗ J ) + σ 2(I ⊗ E ) = σ12P + σ 2 − J ) y σ12 = T σ2 + σ 2. T
ν
T
N
T
µ
(13.24)
ν
v
Con esta definición podemos entonces aplicar a (14) el estimador GLS estándar para derivar los estimadores de los coeficientes de α, β bajo el supuesto de efectos aleatorios: (13.25) δGLS = [X Ω−1 X ]−1 [X Ω−1 y ]
El único problema (y uno no trivial) es que Ω es de rango (NT N T ) y la inversión de esta matriz es extremadamente difícil. Un sinnúmero de trucos se han desarrollado para salvar esta traba.
×
181
La forma de resolución a este problema mas popular introduce los denominados estimadores Entre Grupos (BG) el cual regresiona un conjunto de observaciones consistentes en el promedio a través del tiempo para cada una de las N observaciones : y i. = α + X i. β + ui i = 1,...N (13.26) donde : 1 T
y i. =
T
yit
t=1
El estimador entre grupos puede ser derivado al aplicar la matriz modelo básico en (14) :
P a nuestro
P y = P α1N T + P X β + P (Zµ µ + ν )
(13.27)
el cual entrega el siguiente estimador :
βB = [X (P
−J
)X ]−1 [X (P
NT
−J
N T )y ]
(13.28)
Este estimador se denomina entre grupos pues ignora cualquier variación al interior del grupo ( o individuo) en el tiempo y utiliza, lo que efectivamente es un resumen de la información de corte transversal simple sobre la variación entre los grupos ( o individuos). Maddala (Econometrica, 1971) muestra de que el estimador GLS puede ser expresado como : (X QX )
βGLS = [
X (P +
σν2
J
−σ12
(X Qy)
)X ]− 1 [
NT
σν2
X (P +
J
−σ12
)y NT
(13.29)
]
Podemos simplificar la expresión anterior mediante la siguiente notación. Sea WXX = X QX , WXY = X Qy, BXX = X (P J N T )X , BXY = X (P J N T ) y 2 finalmente, φ2 = σσν2 .
−
−
1
Usando estas definiciones podemos reexpresar (29) como :
βGLS = [WXX + φ 2 BXX ]−1 [WXY + φ2 BXY ]
(13.30)
el cual es el estimador GLS de Maddala para el modelo de efectos aleatorios. −1 Finalmente, notar de (17) de que WXX WXY es simplemente el estimador al in−1 terior del grupo (o intra grupo, WG) y de (28) de que BXX BXY es el estimador entre grupos (BG) de tal forma que :
βGLS = ΘβW + (1
182
− Θ)β
B
(13.31)
con Θ = [WXX + φ2 BXX ]−1 WXX . El estimador GLS en (31) es un promedio ponderado entre los estimadores entre grupos e intra grupo. El parámetro clave en la ponderación es Θ. Pueden existir tres casos diferentes: (i) A medida de que T tienda a infinito, entonces φ 2 tenderá a cero, y por tanto Θ a la unidad. En este caso, el estimador GLS tenderá al estimador intra grupo o el estimador LSDV. (ii) Si φ2 tiende al infinito entonces Θ tenderá a cero y en consecuencia el estimador GLS convergerá al estimador entre grupos. (iii) Si σµ2 = 0 (i.e. los efectos individuales son determinísticos) entonces φ2 = 1 y así el estimador GLS tenderá al estimador OLS (el cual entrega igual ponderación a la variación intra grupo y inter grupos). Podemos pensar, en consecuencia, a los estimadores LSDV (FE) y el estimador OLS con los datos agrupados como casos especiales del estimador GLS donde el estimador LSDV trata a todos los efectos individuales como fijos y diferentes y donde el estimador OLS asume de que todos son fijos pero idénticos. El estimador GLS de efectos variables permite a los datos considerar una posición intermedia.
13.5.3.
Estimación Factible del estimador GLS
Como en todos los casos de estimadores GLS, necesitamos un procedimiento para estimar los componentes de la matriz de varianzas y covarianzas de tal manera de que la podamos utilizar para estimar los parámetros del GLS. Necesitamos, 2
2
en consecuencia, estimaciones de σµ y σν . La primera opción es usar una estimación máxima verosímil interativa. Bajo los supuestos de normalidad para σµ2 y νit podemos escribir la función de verosimilitud de la siguiente manera: log L(α, β , φ2 , σν2 ) =
constante
− N2T log σ2 + N2 log φ2 − 2σ1 2 u Σ
ν
−1
u (13.32)
ν
y maximizarla en la forma usual, utilizando los estimadores entre grupos como los valores iniciales de β . Alternativamente 1 , valores consistentes de σν2 pueden ser derivados a partir de los estimadores intra grupos ( ya que este estimador suprime los efectos entre grupos) y los estimadores de σµ2 pueden ser obtenidos a partir de los estimadores 1
ver la rutina existente en STATA
183
entre grupos ( ya que suprime el efecto intra grupo). Estos estimadores consistentes pueden ser sustituidos en el estimador GLS. Si el modelo de efectos aleatorios es correcto, entonces el estimdor GLS basado en las componentes verdaderas de varianzasa es BLUE. Todos los estimadores FGLS serán consistentes a medida de que N o T tiendan a infinito. Resumen El método de estimación a ser usado dependerá en si asumimos de que los efectos individuales sean fijos o aleatorios. Resulta ser de que los valores para los parámetros β pueden variar dramáticamente, en el caso mas común donde N es grande y T pequeño, entre estimadores intra o entre grupos. Cuando sólo existen pocas observaciones en el tiempo resulta mejor usar los elementos de corte transversal de los datos para estimar aquella parte de la relación que contenga variables que difieren entre un individuo al otro (el estimador entre grupos). Ello permite de que la parte de serie de tiempo de los datos sea usada en forma eficiente de tal manera de rescatar la parte común de dicha relación entre individuos.
13.5.4.
Problemas de Especificación
Hasta el momento se ha asumido de que los efectos individuales son o bien fijos (i.e. no estocásticos) o si estos eran aleatorios, la covarianza entre los efectos no observables y las variables xi es cero. Esto puede no ser muy realista. Por ejemplo, en una función de producción las capacidades administrativas no observables podrían estar correlacionadas con la elección de los insumos. Un resultado importante de Mundlak (Econometrica, 1978) sugiere que cuando los efectos µi son tratados como variables aleatorias pero la varianza entre estos y las variables xi no son cero, el estimador de efectos aleatorios GLS será segado e inconsistente. Dado que el estimador intra grupo "eliminaçompletamente el efecto de los µi , entonces el estimador de efectos fijo intra grupo es insesgado y consistente. Un corolario del resultado anterior es el siguiente. Por una parte, si Cov(ui , xi ) = 0 entonces βW es BLUE y por lo tanto βGLS = ∆βB + (1 ∆)βW estará sesgado. Por otra parte, si C ov (ui , xi ) = 0 enonces se tiene que βGLS = ∆βb + (1 ∆)βW es BLUE y asintóticamente eficiente.
−
−
El test de especificación de Hausman puede ser también utilizado en este caso. De no existir covarianza (i.,e. bajo la nula) entonces el estimador GLS será BLUE y asintóticamente eficiente; pero bajo la alternativa de que existe covarianza entre 184
los efectos y las variables x i , el estimador GLS será sesgado. En contraste, el estimador intra grupo (efecto fijo) será consistente y BLUE (pero nó asintóticamente eficiente) bajo la alternativa y consistente bajo la nula. La prueba de Hausman pregunta simplemente si existen diferencias significativas entre los estimadores GLS y intra grupo y viene denotado de la siguiente forma :
−
m = (βW
− −
βGLS ) V ar(βW
βGLS )−1 (βW
βGLS )
∼ χ2[ ] k
(13.33)
donde la hipótesis nula es que la covarianza es cero. Covarianza significativa entre los efectos µ i y las variables x i hará que el valor de m sea grande lo que rechazará el test y deberá estimarse, entonces, utilizando el estimador de efectos fijos intra grupo.
13.6.
El Two Way Error Component Model
Suponga de que el término de error tienen dos efectos sistemáticos no observables de la siguiente manera :
uit = µ i + λ t + νit
νit
∼ iid(0, σ2)
(13.34)
ν
Podemos re escribir esto en forma vectorial como :
u = Z µ µ + Zλ λ + ν donde Zµ fue anteriormente definido y Zλ = 1N
(13.35)
⊗I
T
es la matriz de variables
dummies temporales que capturan el efecto λt si estos son parámetros fijos.
13.6.1.
El Estimador de Efectos Fijos
Como fue definido anteriormente, si µ i y λt son determinísticos (y v it es independiente de los xit ) podemos utilizar el estimador LSDV el cual incluye N 1 variables dummy para cada efecto individual y T 1 variables dummy para los efectos temporales. Esto, sin embargo, consume una gran cantidad de grados de libertad los que pueden hacer inválida la estimación.
−
−
Podemos usar no obstante, una versión modificada del estimador intra grupo mediante una transformación que "saque"los efectos de µi y λt . Re definiendo la transformación Q tenemos :
Q = IN
IT
IN
JT
⊗ − ⊗ − 185
JN
IT + J N
⊗
JT
⊗
(13.36)
Esta transformación significa que el típico elemento del vector y viene dado por :
y = (yit
−y −y i.
.t
+ y)
(13.37)
donde el segundo término de la expresión a la derecha promedia a través del tiempo ( y en consecuencia saca el efecto temporal); el tercer término promedia entre individuos para el mismo período ( asi sacando el efecto individual); mientras que la última expresión promedia los efectos entre los individuos y entre los períodos de tiempo (recuperando la variación no explicada de los efectos individuales y temporales). Aplicando esta transformación al término de error tenemos el siguiente resultado importante : uit = (uit ui. u.t + u.. ) = (νit
− −
−ν −ν i.
.t
+ ν .. )
(13.38)
Podemos entonces estimar los parámetros de interés como :
β = (X QX )−1 X y
(13.39)
con la estimación del intercepto común como sigue :
−
α = y ..
β X ..
(13.40)
(ver Baltagi pp.28 para una derivación completa ) Prueba de Efectos Fijos Como en el caso del one way eror component model, podemos testear por la presencia de efectos fijos usando la prueba F estándar sobre la nula :
Ho = µ 1 = · · · µn−1 = λ 1 · · · λT −1 = 0
13.6.2.
(13.41)
Modelo de Efectos Aleatorios
Ahora suponga que ambos efectos individuales y temporales son no deterministicos, es decir podemos tratarlas como variables aleatorias estocásticas. Podemos asumir de que µi iid(0, σu2 ), λt iid(0σλ2 ) independiente entre cada uno de ellas y con νit , y que µi , λt , νit son independientes de xit para todo i y t. Ahora siendo los efectos fijos aleatorios, la varianza del término de error será :
∼
∼
V ar(uit ) = σ µ2 + σλ2 + σν2
(13.42)
El aspecto clave de esta varianza es que siendo de nuevo homoscedástica tendrá dos tipos de correlación serial : entre cada unidad de corte transversal (un "efecto fijo"individual que persiste en el tiempo) y uno a través del tiempo. Así :
Cov(uij , ujs ) = σ µ2
si 186
i = j,
t=s
Cov (uij , ujs ) = σ λ2
si
i = j,
t=s
El estimador de efectos aleatorios es de nuevo un estimador GLS y, como en el caso del modelo de one way eror component, podemos utilizar el estimador ponderado de Maddala en el cual tenemos dos estimadores "entre". Así existirá e tradicional estimador Intra Grupo (usando la ecuación (38)) derivado a partir de la aplicación del la matriz de selección Q 1 ; el estimador intergrupos individual el cual es derivado de la regresión: ( y i. y .. ) sobre ( xi. x.. ) utilizando la matriz de selección Q2 ; y el tercer estimador intergrupos temporal el cual se deriva de la regresión entre(y .t y .. ) sobre ( x.t x.. ) utilizando la matriz de selección Q3 .
− −
−
−
Definiendo W XX = X Q1 X ; BXX = X Q2 X ; C XX = X Q3 X , y en forma análoga 2 2 para WXY , BXY y CXY donde además se tiene que φ22 = σλv2 ; φ23 = σλv3 ; λ2 = T σµ2 +σν2 2 2 y λ3 = n σλ + σ v , Maddala (Econometrica, 1971) demuestra de que el estimador GLS puede ser expresado mediante un rearreglo de (29) como :
βGLS = [WXX + φ22 BXX + φ 23 CXX ]−1 [WXY + φ22 BXY + φ23 CXY ]
(13.43)
−1 el cual puede ser simplificado un paso más al notar de que W XX WXY es simple−1 mente el estimador intragrupo y que BXX BXY es el estimador integrupo indi−1 vidual y que CXX CXY es el estimador intergrupo temporal. Así, se tiene que la siguiente expresión : βGLS = Θ1 βW + Θ2 βB + Θ3 βC (13.44)
donde : Θ 1 Θ2
Θ3
2
2
−1
= [WXX + φ22 BXX + φ23 CXX ]−1 WXX = [WXX + φ2 BXX + φ3 CXX ] (φ22 BXX ) = [WXX + φ22 BXX + φ23 CXX ]−1 (φ23 CXX )
A partir de lo anterior, fFinalmente se tiene que : Si σµ2 = σ λ2 = 0 implica de que φ22 = φ 23 = 1 y así el estimador GLS tenderá al OLS. Si T y N tienden al infinito entonces esto implica de que φ22 , φ23 tiendan a cero y así el estimador GLS tienda al estimador intra grupo. Si φ 22 ( φ32 ) tienden a infinito entonces el estimador GLS tenderá al estimador intergrupo individual (intergrupo temporal).
187
13.7.
Extensiones
El modelo básico puede ser extendido en varias direcciones. Estas son discutidas en forma extensa en el Hsiao y en Baltagi y están fuera del alcance de este curso. Entre las mas interesantes se tiene : Tratar la Heteroscedasticidad y Correlación Serial en Datos de Panel. Modelos de Sistemas con Datos de Panel. Variables con variable Dependiente Discreta en datos de panel. Modelos de Datos de Panel Dinámicos.
188
Capítulo 14 Macroeconometría: Series de Tiempo. 14.1.
Introducción
Uno de los principales aspectos de la economía está vinculado con la relación entre variables en el tiempo como también en cualquier punto del tiempo. Por ejemplo, podríamos estar interesados no sólo en la relación entre el nivel de inversión y la tasa de interés hoy en día sino que también la manera de cómo la tasa de interés hoy afecta el nivel de inversión mañana. El análisis de relaciones intertemporales es central en nuestra comprensión de la conducta económica como la optimización inter temporal, aprendizaje, la conducta ante costos de ajuste, por nombrar algunos. También resulta ser un aspecto fundamental para formalizar las nociones de equilibrio en un sistema dinámico y los ajustes hacia dicho equilibrio. Desde un punto de vista estadístico, una consecuencia importante de la dependencia inter temporal de los fenómenos económicos es que las observaciones en series de tiempo en una muestra no son aleatorias dado que comparten un factor común en su generación, el tiempo. Ello a menudo merma la utilidad de métodos econométricos estándar y en consecuencia estamos forzados a buscar técnicas novedosas para poder solucionarlos. Durante las clases que restan formalizaremos el modelamiento de relaciones en series de tiempo. En esta primera clase nos concentraremos en la caracterización de las relaciones en series de tiempo mientras que en las siguientes examinaremos aspectos relacionados con el modelamiento de relaciones en series de tiempo.
189
14.2.
Resumen
1. Definiciones y terminología 2. Definición de Estaciona riedad 3. Características de serie estacionarias y no estacionarias 4. Orden de integración 5. Regresión espúrea y regresiones inconsistentes 6. Testeo del orden de integración : algunas pruebas estándar 7. Testeo del orden de integración : otras pruebas mas avanzadas
14.2.1.
Referencias
Enders Capítulos 1-4 Grenne Capítulo 15,18-19 Hamilton Capítulos1-3,15 Hendry Capítulos 2 y 4
14.3.
Definiciones y Terminología
Comenzaremos por recordar algunos conceptos básicos. Para ello considere la siguiente ecuación dinámica :
yt = a + b1 yt−1 + b2 yt−2 + ... + bp yt−p
(14.1)
Está ecuación describirá un trayectoria convergente o divergente para yt la que dependerá de las raíces de la ecuación característica. Las raíces, las que denominaresmos por z , se obtienen a partir de la solución la siguiente ecuación característica : c(z ) = 1 b1 z b2 z 2 ... bp z p = 0 (14.2)
−
−
− −
Si las raíces que resulten de resolver la ecuación anterior son mayores que la unidad en valor absoluto, entonces se dice que la ecuación e estable (i.e. convergente). El ejemplo mas sencillo es el proceso AR(1) donde la ecuación característica es :
c(z ) = 1
bz = 0
− 190
(14.3)
z = 1/b la cual es mayor que la unidad si
la que entrega una sola raíz igual a |b| < 1.
Considere ahora un proceso AR(2) particular, el que tiene las siguiente estructura:
yt = 0, 6yt−1 + 0 , 3yt−2 + ct La expresión en términos del polinomial rezagado es c(L) = 1 cuya ecuación característica es :
(14.4)
− 0, 6L − 0, 3L2
2
c(z ) = 1 0, 6z 0, 3z = 0 (14.5) Resolviendo para las raíces z , encontramos que éstas son iguales a 1.0816 y 3.0816 ambas mayores que uno en valor absoluto lo que significa que la serie es convergente.
−
−
Suponga que los valores de los parámetros b1 y b2 fueran 0.5 y 0.7 respectivamente, entonces las raíces serían 0.8903 y -1.6046. Ya que una de estas raíces es menor que uno en valor absoluto entonces la ecuación sería explosiva. En general, para procesos simples como AR(1) ó AR(2) la estacionariedad puede ser fácilmente inferida. Por ejemplo, en un proceso AR(1) simplemente se requerirá de que | b| < 1( ya que la raíz es z = 1/|b| ) mientras que para un proceso AR(2) se necesitará la condición de que
| b2 | < 1 ,
|b1 + b2 | < 1 ,
b2
− b1 < 1
para que la serie sea estacionaria. Para procesos mas complejos, no podemos decir tan fácilmente si la series será convergente o explosiva. Una característica importante de las series de tiempo es que puede también ser visto ya sea como una regresión sobre valores pasados con un término de error aditivo (el AR) o como la agregación de errores pasados (el MA). Para ver esto podemos re expresar el proceso AR(1) como :
yt = µ + γ yt−1 + t donde µ es la constante y t el término de error. Al aplicar el operador rezago L, la ecuación anterior puede ser escrita de la siguiente forma :
yt (1
− γ L) = µ +
(14.6)
t
de esta forma, al dividir la expresión anterior por (1 γ L) y notando de que si |γ | < 1 entonces 1 /(1 γ L) = (1 + γ + γ 2 + γ 3 ....γ i ). En consecuencia, el p‘roceso
−
−
191
AR(1) puede ser reexpresado de la siguiente forma :
yt =
n
µ (1
− γ)
+
γ i t−1
(14.7)
i=o
Esto último expresa la evolución de la variable y en términos de una constante y la historia de "innovaciones". 1 La evolución de y t claramente depende de la historia de innovaciones y en consecuencia, del valor de la secuencia de γ . Si el valor de γ es menor que la unidad entonces para progresivas potencias mas altas (i.e. rezagos mayores) el efecto de las innovaciones va desapareciendo. Nos referiremos a este tipo de casos como series con memoria corta. No obstante, si el valor de γ es alto, entonces innovaciones pasadas tendrán un mayor peso en la determinación del valor actual de yt . Nos referiremos a estos casos como series de memoria larga. En el límite cuando γ = 1 entonces (por conveniencia asumiendo de que µ = 0 ) podemos re expresar el proceso AR(1) como : yt = y t−1 + t (14.8) o, a partir de (8) como :
n
yt =
t−i
(14.9)
i=0
de tal manera de que shocks antiguos tienen una ponderación igual en la determinación del valor actual de yt . Una serie que cumple con estas características se conoce como un paseo aleatorio (random walk). Debería resultar evidente de que el cambio en el valor del paseo aleatorio es una serie con memoria corta : ∆yt
= t
(14.10)
Esta distinción entre series de memoria corta y series con memoria larga está directamente relacionado con el valor de γ en el proceso AR ( i.e. con la raíz). Esta es la principal distinción entre estacionariedad, no estacionariedad y orden de integración.
14.4.
Estacionariedad y No estacionariedad
Definición 1 Se dice que una serie es estacionaria si los momentos de la serie ( como la media 1
Notar que dado que γ es una constante, el operador rezago en el primer término desaparece.
192
y la varianza) son independientes del tiempo. No obstante, en la práctica nos concentraremos en los casos de estacionariedad débil, de segundo orden y covarianza. Definición 2 Se dice de que una serie es estacionaria en covarianza si :
E (yt ) = µ V ar(yt ) = γ 0 Cov(ys , yt ) = γ k
∀ ∀
t t
(14.11)
esto es, que el valor esperado de la serie no depende de t como así también su varianza. Por otra parte, γ k está en función de t s pero no de t o s en forma separada.
−
Un caso especial de estacionariedad es el proceso de donde : E (yt ) = 0
ruido blanco (white noise)
V ar(yt ) = σ 2
(14.12)
Cov(yt , ys ) = 0 Retornando ahora al proceso ARMA que habíamos discutido, se puede demostrar de que un proceso ARMA es estacionario si las raíces del polinomio de rezago AR : (1 γ1 L γ2 L2 .... γp Lp )
−
−
− −
caen fuera del círculo unitario. Esto ARMA es equivalente a decir que el polinomio invertible. Para ver esto, el proceso (p,q) puede serdeexpresado como : es
yt =
γi yt−i +
i
con θo = 1
θj t−j
(14.13)
j
el cual podemos re escribir como : γ (L)yt = θ (L)e
donde γ ( L) = 1
−
γi Li
y θ ( L) = 1 +
i
θj L j
(14.14)
j
los cuales son los polinomios en los componentes AR y MA respectivamente. Las raíces del polinomio AR son simplemente el (los) valor (es) de z i que resuelven la ecuación característica : γ
c(z ) = 1
−
i
193
iz
i
=0
(14.15)
y, si el valor absoluto de estas raíces son cada una de ellas en forma separada mayores que uno entonces se dice de que el polinomio es invertible y que el proceso ARMA es en consecuencia estacionario. De no cumplirse estas condiciones, entonces la serie es no estacionaria.
14.5.
Las Características de las Series Estacionarias y No Estacionarias
entonces concentrarnos en la formulación AR(1)de deun una serieResulta de tiempo la cualconveniente puede ser utilizada para describir las propiedades sinnúmero de series de interés para los econometristas. Veamos,
yt = α yt−1 + µt
y0
(14.16)
≡0
La serie será estacionaria si | α| < 1. Como se dijo, series estacionarias tienen una varianza finita, sufren de innovaciones transitorias en torno a la media y poseen una tendencia a volver a su valor medio. Por otra parte, como se vió, el valor de la media es independiente del tiempo. Una serie es no estacionaria si | α| 1 lo que implica de que tiene a lo menos una raíz unitaria. Series no estacionarias tienen una varianza que es asintóticamente infinita, la serie raramente cruza su valor medio ( en muestras finitas) y las innovaciones en la serie son permanentes.
≥
Un caso especial en la clase de series no estacionarias es aquel donde Este es el paseo aleatorio el cual puede ser expresado como :
yt = y t−1 + t
∆yt
α = 1
(14.17)
= t
Podemos resumir las principales diferencias entre las series estacionarios y no estacionarias en la siguiente tabla. CARACTERISTICAS ESTACIONARIA Valor de α |α| < 1 Promedio Serie Constante Varianza Finita = σ2 /(1 α2 ) Imnovaciones Transitorias Dibujo Retorna a su valor medio Orden de integracion I (0)
−
194
NO ESTACIONARIA |α| 1 Dependiente del tiempo Infinita(asintoticamente)=tσ2 Permanentes Se aleja de su valor medio I (1)o mayor
≥
14.6.
Orden de Integración
Resulta común hoy en día referirse a la estructura de una serie de tiempo en términos de su orden de integración el cual entrega una relación directa con la estacionariedad de una serie de tiempo. Definición 3 Se dice que una serie está integrada de orden d si tiene una representación estacionaria invertible ARMA (p,q) después de haber diferenciado la serie d veces la cual no es estacionaria después de haber diferenciado la serie d 1 veces. Este tipo de series se denota x t I (d) donde d es el orden de integración.
∼
Definición 4 Una serie integrada de orden sentación ARIMA (p, d, q ).
−
d puede ser descrita como teniendo una repre-
Por ejemplo, una serie estacionaria se denota como una serie I(0), un paseo aleatorio es I(1). Al diferenciar una serie I(1) se obtiene una serie que es I(0) o estacionaria mientras que una serie que es I(2) deberá ser diferenciada dos veces para que resulte ser estacionaria. No obstante, la diferenciación de una serie I(0) dará otra serie I(0). Muchos datos macroeconómicos en países en desarrollo son no estacionarios. En general, se encuentra de que ingreso real y consumo son series I(1), los precios a menudo I(2) lo que significa de que la inflación que es la primera diferencia de la serie de precios, es I(1). Por otra parte, tasas de interés nominales generalmente son I(0).
14.7.
Porqué importa tod o esto ? : regresión espúrea, regresiones inconsistentes y no estacionariedad
Porqué la no estacionariedad es un problema ? Fundamentalmente el problema radica en el hecho de que una serie no estacionaria, no tiene asintóticamente varianza finita, lo que implica de que muchos de los teoremas estándar de análisis asintóticos son inválidos ante esta situación. Pero lo anterior levanta la pregunta acerca de si se extiende este problema también para pequeñas muestras (sobre las que generalmente trabajamos). La respuesta
195
es si, y puede ser ilustrado con dos ejemplos. El primero de ellos es lo que se denomina regresión espúrea y el segundo ejemplo es el problema de la regresión inconsistente. El problema de la regresión espúrea (discutido por Yule en 1926) surge cuando series sin relación alguna aparecen como estando relacionadas debido al hecho de que comparten una tendencia temporal común. Este problema puede ser ilustrado mediante el siguiente ejemplo producido a partir de un generador de datos artificial. Suponga dos series x e y , para las que se sabe que son paseos aleatorios sin correlación alguna :
∼ iid(0, σ2 ) ν ∼ iid(0, σ 2 )
yt = y t−1 + µt
µt
xt = x t−1 + νt E ( µt , v s ) = 0
∀t, s;
(14.18)
µ
t
(14.19)
u
E (µt , µt−k ) = E (vt , vt−k ) = 0
∀k
(14.20)
Este modelo asegura de que x e y son paseos aleatorios (random walks) no correlacionados. Consecuentemente, esperaríamos de que el coeficiente β en el modelo de regresión : yt = β o + β1 xt + t (14.21) tienda a cero y el R2 también tienda a cero. Sin embargo esto no ocurre debido a la raíz unitaria presente en x y en y . Podemos ilustrar esto utilizando un experimento de Monte Carlo bajo el cual artificialmente generamos (20) y (21) y realizamos la regresión (23). Los resultados de dicha regresión se presentan en la siguiente tabla.
Ecuacion (21) Variable Dependiente : y t Estimación por OLS Muestra:1950(1)-1974(4) VARIABLE COEFICIENTE ERROR ESTANDAR VALOR t xt -0.4778 1.2964 -3.68 Constante 9.4917 0.4665 20.34
R2 = 0,1217 σ = 3,1429 F (1, 98) = 13 , 59(0,0004) DW = 0,128 196
Es importante notar de que este problema no está relacionado con la muestra, mas aún al aumentar el tamaño de la muestra la correlación espúrea empeora (existe mas correlación). Problemas similares estarán reflejados en el estadístico F el cual progresivamente rechaza la nula H 0 = β o = β 1 = 0. Sin embargo, una forma para detectar la presencia de correlación espúrea es mediante el uso de estadísticas de autocorrelación, en particular el DW. Si no existe ninguna relación entre las series entonces el DW tendería a converger a cero a medida de que la muestra tienda a infinito. Cuando exista una correlación genuina, entonces este estadístico tenderá a converger a un valor finito. Existe una buena regla de aproximación para detectar correlación espúrea y es al comparar el valor relativo entre R 2 y DW . Si R 2 > DW existirá una probabilidad creciente de que exista correlación espúrea. Por otra parte, el problema de la regresión inconsistente es un corolario directo del problema anterior. Considere la regresión de una serie estacionaria sobre una no estacionaria. Debido a que la serie no estacionaria tendrá una media dependiente del tiempo entonces el valor del coeficiente de la regresión no puede ser una constante. Considere la siguiente regresión :
yt = α 0 + β1 zt + t
(14.22)
donde y I (1), z I (0) . La siguiente tabla compara los valores de los coeficientes para la regresión sobre la muestra completa y también al particionar la muestra en dos grupos.
∼
∼
COEFICIENTE 1950-1960 1960-1974 1950-1974 7.21 9.35 8.35 αo β1 -0.62 -0.21 -0.34 Las grandes diferencias en los valores de los coeficientes sobre diferentes sub muestras es característico de una regresión inconsistente y es causada principalmente por el hecho de que la variable dependiente y la variable independiente tienen diferentes orden de integración. Claramente si se desea de que la inferencia sea válida y no dependiente del tiempo, entonces todas las variables en el modelo deberán tener el mismo orden de integración. Lo que nos queda, eso sí, es determinar la manera de cómo se realizan estas pruebas del orden de integración de una serie de tiempo.
197
14.8.
Pruebas para el Orden de Integración de una serie : Algunos tests estándar
Considere el siguiente DGP el cual tiene la siguiente forma :
yt = α yt−1 + µt
ut
∼ (0, σ2)
yo
(14.23)
≡0
La prueba del orden de integración de una serie es simplemente probar el valor del coeficiente α en la ecuación (23). Si este resulta ser menor que la unidad entonces la serie es estacionaria; si es igual o mayor que uno se dice entonces que y tiene (al menos) una raíz unitaria y es en consecuencia no estacionaria. Esto puede ser testeado al construir una prueba de t-student contra la nula de que H0 : α = 1. Sin embargo, cuando estamos testeando contra esta hipótesis nula la distribución límite de esta prueba no es una distribución t-student estándar. En la práctica la distribución es sesgada hacia la izquierda con la mayoría de su masa menor que cero y de esta forma rechazaremos la nula demasiado a menudo.
14.8.1.
La Prueba t de Dic key-Fuller para la pre sencia de raíz unitaria
Dickey y Fuller (1976) reescriben la prueba en una forma de prueba t de la siguiente manera : ∆yt = ρ yt−1 + t (14.24) donde ahora testeamos por la significancia de ρ contra la nula H : ρ = 0. Se 0 observa de que ρ = (α 1) asi que la nula H0 : α = 1 es equivalente a ρ = 0. El rechazo de la nula en favor de que ρ < 0 implica de que α < 1 lo que significa que la serie es estacionaria. Si la nula no puede ser rechazada entonces existe evidencia de a lo menos una raíz unitaria en la serie y t .
−
Suponga que no podemos rechazar la nula concluyendo de que la serie tiene una raíz unitaria. Sin embargo, es posible de que la serie tenga mas de una raíz unitaria. Con el fin de testear si la serie yt es exactamente I(1) en vez de I(2) o mayor la serie y t deberá ser diferenciada una vez para sacar la raiz unitaria. La prueba en (24) es aplicada ahora sobre ∆yt−1 y en vez que sobre yt−1 . El rechazo de la nula confirmaría de que lo que implica de que yt I (1), en otras palabras la serie contiene sólo una raíz unitaria. El proceso de diferenciación y prueba continua hasta que la nula (revisada) sea rechazada. El número de diferenciaciones sobre yt requeridas para llegar a una representación estacionaria es igual al orden de integración de la serie.
∼
198
Una aspecto importante de la prueba de DF es que es una prueba no- similar lo que significa que los valores críticos de la prueba son dependientes de la forma del modelo bajo la nula. En particular, se consideran tres forma alternativas de especificación : ∆yt
= ρ yt−1 + t = µ + ρyt−1 + t ∆yt = µ + β t + ρyt−1 + t ∆yt
H0 : paseo aleatorio H0 : paseo aleatorio con drift H0 : paseo aleatorio con drift y tendencia determinística
Esta clase de test para la existencia de raíces unitarias se denominan test de Dickey-Fuller. Notar de que los valores de t ρ que son menores que el valor crítico implican el rechazo de la nula de no estacionariedad. De esta forma con un tamaño de muestra de 25 y un modelo que incluya una constante, un valor de prueba de -3,5 representa el rechazo de la nula a un nivel de 5 por ciento (95 por ciento de confianza) implicando de que la series es estacionaria mientras de que un valor de -2,5 implica de que la nula no puede ser rechazada y que la serie es en consecuencia no estacionaria conteniendo al menos una raíz unitaria. Los valores críticos se entregan en la siguiente tabla.
199
14.8.2.
Prueba de Dickey-Fuller aumentado
Una de las deficiencias del test de DF es que necesariamente asume de que el DGP es un proceso AR(1) bajo la nula. De no ser así, entonces la autocorrelación en el término de error sesgará el test. Con el fin de salir al paso de este problema se puede utilizar la prueba t de Dickey-Fuller Aumentado. El ADF es idéntico al DF estándar pero se construye en el contexto de una regresión del siguiente tipo : j
∆yt
= ρ yt−1 +
γj ∆yt−j + ut
(14.25)
j =1
La selección del largo del rezago j debe asegurar de que el término de error se distribuye como ruido blanco. El criterio de Información de Akaike (o la prueba de Schwartz) puede considerarse para estimar el largo óptimo del rezago en (28).
14.8.3.
La Prueba F de Dickey-Fuller
La prueba t de DF se concentra sólo sobre el valor de ρ bajo la especificaciones alternativas del modelo bajo la nula (i.e. ecuaciones (25), (26) y (27)). Es posible también testear el orden de integración de una serie formalmente contra las nulas usando una prueba F . Para ello considere los siguientes tres modelos alternativos : Hipostesis Nula J ∆yt = j =1 γj ∆yt−j + µt J ∆yt = j =1 γj ∆yt−j + µt ∆
J
γ ∆
Hipotesis Alternativa Nombre Test J ∆yt = µ + ρyt−1 + γ ∆ y + µ Φ1 j t − j t j =1 J ∆yt = µ + δ t + ρyt−1 + Φ2 j =1 γj ∆yt−j + µt ∆
δ
ρ
J
γ∆
yt = µ + j =1 j yt−j + µt yt = µ + t + yt−1 + j =1 j yt−j + µt Estas pruebas son implementadas como pruebas F restringidas estándar de la forma : (rssr rssur )/T FDF (r, T k) (14.26) Φi = (rssur /(T k )) donde r es el número de restricciones.
−
−
∼
−
La hipótesis nulas relevantes son : = (µ, ρ) = (0 , 0) Random Walk with Drift = (µ, δ, ρ) = (0 , 0, 0) Random Walk sin Drift y sin Tendencia Φ3 = (µ, δ, ρ) = (µ, 0, 0) Random Walk con drift sin tend encia Φ1 Φ2
Sin embargo, la prueba no se distribuyen como F estándar. Los valores críticos al 1 y al 5 por ciento se entregan en la siguiente tabla.
200
Φ 3
14.9.
Pruebas Adicionales del Orden de Integración de una Serie.
La prueba ADF da cuenta de la potencial no normalidad del término de error en (23) al re especificar la regresión estimada. Una forma alternativa para probar la presencia de raíz unitaria en una serie es al çorregir"la prueba simple t de DF sin tener que agregar parámetros adicionales al modelo. Los mas conocidos son las pruebas de Phillips-Perron (PP); Kwiatowski, Phillips, Schmidt, Shin (KPSS) y la prueba de "Prueba de Razón de Varianzas"de Cochrane ( la cual no veremos).
14.9.1.
Prueba No Paramétrica de Phillips Perron
La prueba de ADF trata la potencial no normalidad del error en (23) al re especificar la ecuación de regresión estimada. Phillips y Perron (Biometrika, 1988) proponen solucionar este problema al ajustar la prueba t básica de DF el que considere la correlación serial y la hetroscedasticidad en los errores. Son conocida como una corrección "no paramétrica". El caso mas sencillo es el siguiente :
yt = α + ρyt−1 + ut
(14.27)
pero donde el verdadero proceso es descrito por la siguiente ecuación :
yt
−y
t−1
= µ t = ψ (L)et
(14.28)
donde ψ (L) es un polinomio estacionario y e t es Gaussiano. El método de PP se aplica de la siguiente forma :
201
Paso 1 : Estimar α y ρ en (30) por OLS estándar, asi como también el error estándar ρ de que se denota σp , y por OLS el error estándar de la regresión s . Paso 2: Se deben calcular estimadores consistentes de la varianza de la media poblacional (λ2 ) y de las covarianzas poblacionales (γj ) a partir del término de error en (30) mediante la siguiente fórmula : T
γj = T −1
µt µt−j
(14.29)
t=j +1
−
para el caso de la auto covarianzas, y :
q
λ2 = γ o + 2
[1
j> 1
j ]γ j (q + 1)
(14.30)
para el caso de la media, usando el estimador consistente de Newey-West para la varianza de la media muestral. Paso 3: Estas correcciones son utilizadas posteriormente para ajustar el estadístico t de DF obtenido por OLS de la siguiente forma :
Zt = (
γo
λ2
)1/2 t
1 2 2 − [ 2 (λ − γ )(T σ /s) ] o
λ
ρ
(14.31)
Este estadístico tiene ahora la misma distribución que el estadístico t de DF bajo el caso de que el modelo estimado no tenga drift (intercepto). Los valores críticos relevantes para el caso de que el modelo auma un drift y una tendencia temporal son los valores críticos DF correspondientes.
202
14.9.2.
La prueba de Kwiatowski, Phillips, Schmidt y Shin (KPSS)
Hasta el momento nos hemos concentrado en pruebas donde la nula es sobre la no estacionariedad en series de tiempo univariadas. Sin embargo, pruebas estándar de raíz unitaria tienen en general poco poder contra la nula de que la serie tiene una raíz unitaria. De esta manera, tendemos a concluir (incorrectamente) de que la mayoría de las series de tiempo macroeconómicas aparecen teniendo raíz unitaria. Kwiatowski et al (Journal of Econometrics, 1992) invierten la hipótesis nula considerando de que se debe rechazar a favor de que es no estacionaria. Su prueba es muy simple. Consideran una serie de tiempo la que consiste de tres partes fundamentales, una tendencia determinística, una paseo aleatorio y un componente estacionario
203
:
yt = α t + γt + t
∼ niid(0, σ2) t
(14.32)
∼ niid(0, σ2)
(14.33)
t
donde γt = γ t−1 + ν t
νt
ν
La hipótesis nula de estacionariedad es representada por la restricción de que la varianza del paseo aleatorio es cero.
Ho = σ ν2 = 0
(14.34)
Bajo la nula, el proceso es estrictamente estacionario en tendencia. Mas aún, al imponer la restricción de que α = 0 la prueba es especificada en contra de la nula de que el proceso es estacionario en niveles. En el caso de que la nula sea definida como estacionaria en tendencia, el estadístico de prueba es calculado direct amente de los residuos de la regresión de yt sobre una constante y una tendencia :
et = y t donde el estadístico es definido como :
− α − βt
(14.35)
T
ηT =
(s2t /σ2 )
(14.36)
t=1
donde s t es la suma acumulada de los residuos.
En el caso donde la nula es definida como estacionaria en niveles, los residuos et son derivados de la regresión de yt sobre una constante solamente. El estadístico de prueba es idéntico pero se denota como y µ . El estadístico de prueba tiene los siguientes valores críticos (obtenidos de Kwiatowski et al 1992, tabla 1).
204
Capítulo 15 Introducción a la Cointegración 15.1.
Introducción
En la clase anterior examinamos las características principales de datos en serie de tiempo y consideramos los problemas que están asociados con la regresión espúrea y el análisis de series que tienen diferentes orden de integración. En esta clase y la siguiente consideraremos la econometría de un caso especial de series integradas cuyas características dinámicas reflejan una relación sistemática (i.e. no espúrea) entre las variables. Este es el caso de la cointegración.
15.2.
Resumen
1. Marco general de la teoría de cointegración 2. Relaciones entre series integradas 3. La definición de cointegración : el caso bivariado 4. Pruebas de cointegración 5. Modelamiento de variables cointegradas : el modelo de correción de errores 6. Métodos para ecuaciones simples Estimación I : proceso en dos etapas de Engle-Granger Estimación I I: relaciones de cointegración de modelos dinámicos Estimación III : modelo de correción de errores en uniecuacional 7. Cointegración multivariada en modelos uniecuacionales
205
15.2.1.
Referencias
Este material es bastante mas complejo y no está bien cubierto en los textos clásicos. Aquí se entregan algunas referencias. Aspectos Básicos: R. Harris Using Cointegration Analysis in Econometric Modelling (Prentice Hall, 1995) A. Banerjee, J. Dolado, J. Galbraith and D.F. Hendry Cointegration, ErrorCorrection, and the Econometric Analysis of Non Stationary Data (Oxford University Press, 1993) R. Engle and C. Granger Long-Run Economics Relationships (Oxford University Press, 1989) Cointegración de sistemas Maddala y Kim Unit Roots, Cointegration and Structural Change (Cambridge University Press 1998) Johansen (1995) reimpreso en Engle y Granger (eds) Johansen Likelihood Based Inference in Cointegrated Vector Auto-Regresive Models (Oxford University Press, 1995)
15.3.
Marco General de la Teoría de Cointegración
El reciente énfasis en la literatura teorética sobre especificaciones dinámicas ha enfatizado a la cointegración como una la forma apropiada de modelar dinámicas macroeconómicas en series de tiempo. La teoría de cointegración tienen propiedades atractivas tanto económicas como estadísticas. A pesar de que el principio de la cointegración es bastante simple, sus implicancias son muy poderosas. Primero, desde un punto de vista económico, sabemos que existen pares de datos que tienden a moverse sistemáticamente parecidos en el tiempo ( por ejemplo, consumo e ingreso, inflación y tasas de interés nominal) a pesar de que en forma individual estas series son en su mayoría no estacionarias. La teoría económica entrega explicaciones sobre estas equilibrios regulares (funciones de consumo, el efecto Fisher, etc). La cointegración representa una caracterización estadística de tales relaciones de equilibrio. Segundo, los métodos de cointegración nos permiten capturar las relaciones de 206
equilibrio entre series no estacionarias (si es que dichas relaciones de equilibrio existen) dentro de un modelo estacionario (y en consecuencia, dentro de un marco çlásico"). Es de esta forma, un método que evita los problemas de regresión espúrea e inconsistente los que de otra forma ocurrirían en un modelo de regresión con variables no estacionarias. Tercero, a pesar de que la teoría económica tiene mucho que decir acerca de este equilibrio, generalmente no es muy claro al explicar variaciones de corto plazo con respecto a las relaciones de largo plazo. Sin embargo, es claro dado la naturaleza de las ciencias sociales que los datos que observamos de una economía representan constante desequilibrio - aunque asumimos de que se está moviendo hacia un equilibrio - y que en el corto plazo, existe considerable variación en la mayoría de los datos en series de tiempo (especialmente en aquellos para los cuales existe mucha frecuencia, p.ej precios de acciones). La cointegración entrega una herramienta para particionar o separar la evolución de una serie de tiempo en dos componentes (i.e. las características del equilibrio de largo plazo y la dinámica de los desequilibrios de corto plazo) mediante el uso de la relación entre cointegración y los denominados modelos de corrección de errores (o corrección de equilibrio). De esta forma esto permite la combinación de información de corto y largo plazo en el mismo modelo, y así se resuelve parte de los problemas y críticas asociadas con la pérdida de información que ocurre en los intentos simples para atacar la no estacionariedad de las series de tiempo al diferenciar las series ( como en los modelos con tasa de crecimiento). El que la contribución de la cointegración sea importante dependerá de la naturaleza de la series de tiempo macroeconomicas. Para la gran parte del período post guerra en las economías OECD los datos parecen (en forma general) estacionarios en cuyo caso las violaciones asociadas a la no estacionariedad no eran tan serias y así las preocupaciones que ataca la cointegración tampoco eran tan serias. Sin embargo, desde los comienzos de los 70s ha quedado en claro de que la mayoría de los datos macroeconómicos sean probablemente no estacionarios. Esto es particularmente cierto para los países en desarrollo. Será entonces claramente ineficiente simplemente ignorar series de datos no estacionarias en la estimación econométrica y de esta forma se hace necesario desarrollar técnicas las que capturen eficientemente la información de datos no estacionarios sin sacrificar la validez estadística del modelo.
207
15.4.
Relaciones entre Series Integradas
Podemos pensar en una regresión bivariada como una çombinación lineal"de dos variables. Por ejemplo, considere el modelo de regresión :
yt = α + β xt + t
(15.1)
Los residuos de esta ecuación viene dados por : t = y t
−y
t
= (yt
− α − βx )
(15.2)
t
y podemos denominar esta serie t como la combinación lineal de x e y . Por conveniencia, redefiniremos la combinación lineal como z t . Existe un conjunto de observaciones que podemos realizar con respecto al orden de integración de esta combinación lineal. La combinación lineal de una serie I(0) con otra series I(0) es también I(0). La combinación lineal de dos series I(1) es también I(1). No obstante, series con un orden superior de integración dominarán y así la combinación lineal de una serie I(1) con una I(0) entregará una serie I(1). En términos del análisis de regresión, la regresión de una serie I(0) con una I(1) (i.e. su combinación lineal) será no estacionaria y en consecuencia estadísticamente inconsistente. Podemos formalizar esta relación con la siguiente condición la que se desprende de la definición del orden de integración de una series vista en la clase pasada Condición 1: Series Integradas Si yt I (d) y xt I (c) donde d y c son ordenes de integración arbitrarios, entonces la combinación lineal de las dos series denominada zt = y t a bxt será integrada de orden I(Max(d,c)).
∼
15.5.
∼
− −
Definición de Cointegración : el caso Bivariado
Existe, sin embargo, una excepción a la regla general y este caso especial es el de la cointegración, en el cual la combinación lineal de dos series I(1) es I(0). Condición 2: Series Cointegradas Si y t I (d) y x t I (c) pero si z t = (yt α β xt ) I (d c) Entonces se dice de que las series xt e yt están cointegradas o cointegran. En general tratamos casos
∼
∼
− −
∼
−
de series I(1). Así, si la combinación lineal (i.e. los residuos de la regresión entre 208
y sobre x ) es I(0) entonces tenemos cointegración. La intuición informal de cointegración es bien sencilla. Si dos series no estacionarias se mueven juntas en el tiempo entonces la distancia que las separa entre ellas tendrá características estacionaras y sólo reflejará la naturaleza estocástica del desequilibrio de los datos. Mas específicamente, esperaremos que la media de zt sea cero y que la varianza sea constante e independiente del tiempo. Esto es exactamente lo que deberíamos esperar si dos series se mueven conjuntamente en una relación de equilibrio. Puesto simplemente : donde sea que x vaya en el tiempo, y siempre la va a seguir.
15.6.
Pruebas de Cointegración
La definición de cointegración sugiere inmediatamente la forma en que podemos testear por ella entre dos variables : si la regresión entre dos variables I(1) produce residuos que son estacionarios entonces ambas series cointegran. Pruebas de cointegración son análogos directos de la prueba de Dickey y Fuller y Sargan Bhargava Durbin Watson (SBDW) desarrolladas para el análisis de raíces unitarias en serie de tiempo simples con la excepción que ahora las pruebas son aplicadas a los residuos de la regresión de cointegración"de y sobre x (i.e. zt = y t a bxt ). Recordando de que si y y x son I(1) entonces los residuos de la regresión de estas series podrían ser también I(1), a menos de que las series estuvieran cointegradas. De esta forma, si los residuos se distribuyen I(1) acepta-
− −
mos la nula de nodecointegración pero si los residuos entonces se rechaza la nula y acepta que y y x cointegran. Dado queson el I(0) proceso de regresión, por definición, minimiza la variación de los residuos en torno a la media de cero, los residuos estimados serán sesgados hacia la estacionariedad. Los valore críticos de los estadísticos DF y SBDW usados para testear la cointegración deberán ser entonces mayores en valor absoluto que aquellos utilizados para testear el orden de integración de una serie univariada. Mas aún, dado de que la regresión crea un término de error con media cero la prueba de DF de la ecuación necesariamente asume de que no hay constante (drift). De esta forma, deseamos que en la prueba de cointegración testeamos si la serie zt - los residuos estimados de la regresión de cointegración se distribuyen I(1) o I(0). Esto es equivalente a probar si ρ 1 en la ecuación :
≥
zt = ρ zt−1 + t
Ho : ρ
1
≥ 209
Ha : ρ < 1
(15.3)
La prueba de Dickey-Fuller para cointegración se realiza al probar el valor de β = (ρ 1) en la regresión:
−
∆zt
= β zt−1 + t
Ho : β
Ha : β < 0
≥0
(15.4)
La prueba de Dickey-Fuller Aumentado es un test sobre β en la regresión : ∆zt
= β zt−1 +
γi ∆zt−i + t
i : 1....n
Ho : β
≥0
Ha : β < 0 (15.5)
La prueba de SBDW se realiza en forma similar la que se aplica sobre los residuos de la regresión de cointegración. La prueba tiene la siguiente forma :
−−
Q(z ) =
(zt zt−1 )2 (zt z )2
∼ SBDW
Ho : ρ
≥1
Ha : ρ < 1
(15.6)
Para la prueba SBDW valores mayores que el valor crítico reportado en las tablas representa el rechazo de la nula. Nota : si z t es ruido blanco, el SBDW tendrá un valor de 2. Los valores críticos para los estadísticos se presentan en la siguiente tabla. Notar de que la nula en todos estos test es de no cointegración (no estacionariedad en la serie de residuos de la regresión de cointegración).
210
15.7.
El Modelamiento de Rel aciones de Cointegración: Modelo de Corrección de Errores
El modelo de corrección de errores, el cual es una de los modelos mas poderosos, es aplicado muy a menudo en los últimos trabajos con series de tiempo. A pesar de que su popularidad surge del establecimiento del Teorema de Representación de Engle-Granger, es importante mostrar de que el modelo de corrección de errores puede ser derivado de una simple restricción sobre el coeficiente del modelo estándar de rezagos distribuido autoregresivo (ADL). Para ello, considere el siguiente modelo ADL(1,1) :
yt = α 0 + α1 yt−1 + β0 xt + β1 xt−1 + t
(15.7)
Podemos restar yt−1 de ambos lados de la ecuación y agregar y restar β0 xt−1 en la pare derecha de la ecuación. Al hacerlo, nos queda : ∆yt
= α 0 + ( α1
− 1)y
t−1
+ β 0 ∆xt + ( β1 + β 0 )xt−1 + t
(15.8)
el cual con un poco de álgebra toma la siguiente forma : ∆yt
= α 0 + β 0 ∆xt + ( α1
− 1)(y 1 − Kx
t−1 )
t−
(15.9)
+ t
donde K = (β0 + β 1 )/(1 α1 ). Notar que K es exactamente lo que surgiría si elegimos resolver la relación de largo plazo entre y y x en la ecuación (7). K entonces es la solución de largo plazo, o de equilibrio, en el modelo dinámico.
−
El modelo anterior captura tres componentes de la relación entre y y x , a saber: (i) El impacto de corto plazo de x sobre y a través de β0 (ii) El efecto de largo plazo, o de equilibri o, a través de K (iii) El feedback, o error de corrección del valor actual de y hacia el nivel de equilibrio (condicional en el valor de x y K) a través de ( α1 1) el cual es negativo si α1 < 1.
−
Considere ahora las propiedades estadísticas de este modelo. Si si además cointegran de tal manera de que :
zt = (y
− kx)
t
= (y
y y x son I(1) y
− kx) 1 ∼ I (0) t−
entonces podemos observar de que el modelo de corrección de errores es consistente ya que :
si yt
∼ I (1)
entonces 211
∆yt
∼ I (0)
si xt si y,x
∼ I (1)
entonces
∆xt
cointegran entonces
∼ I (0) z ∼ I (0)
(15.10)
Así, todos los términos en la ecuación (9) tienen el mismo orden de integración (y este orden es cero) y en consecuencia este modelo puede estimarse utilizando el marco clásico de regresión. El poder del ECM yace del hecho que combina una rica intuición económica en su forma funcional con las propiedades estadísticas deseables cuando los datos no son estacionarios (como la mayoría de los datos macro) sin perder ningún tipo de información valiosa de largo plazo contenida en la relación de equilibrio. Lo anterior ha sido formalizado al interior de la teoría de cointegración por lo que se denomina el teorema de representación de Engle-Granger Teorema 1 Si dos series cointegran entonces será mas eficiente representarlas mediante un modelo de corrección de errores. Mas aún, si las series cointegran y el modelo de corrección de errores es validado, entonces está abarcará cualquier otra especificación dinámica - como el mecanismo de ajuste parcial. Resulta útil notar dos elementos aquí (los que serán discutidos en detalle mas adelante). El primero es que en comparación con un modelo de ajuste parcial, el ECM no exhibirá el mismo nivel de multicolinealidad entre los regresores del modelo : mientras x t y yt−1 pueden ser altamente colineales, no es esperable que eso ocurra entre
∆xt
y ( yt−1
− Kx
t−1 ).
El segundo es que el ECM no sufre de distorsiones al estimar el rezago promedio como ocurre en el modelo de ajuste parcial cuando los datos no son estacionarios. El rezago promedio en el ECM se define como (1 β0 )/α, mientras que en el modelo PA es α1 /(1 α1 ) . Cuando α1 es cercano a la unidad entonces el rezago promedio en un modelo de PA tiende al infinito sugiriendo un ajuste mucho mas lento de lo que efectivamente ocurre en la realidad.
−
−
El modelo ECM no es nuevo habiendo existido como especificación dinámica por largos años (Sargan 1964 fue el primero en utilizarlo). El teorema de representación de Engle-Granger le ha entregado un poco mas de importancia a esta representación y hoy es una especificación estándar en cualquier modelo macroeconómico en de series de tiempo.
212
15.8.
La Estimación de Relaciones de Cointegración
A continuación se describen tres formas de estimar la relación de cointegración entre dos variables. 1. El Procedimiento en Dos Etapas de Engle-Granger Las ideas que subyacen la teoría de cointegración deben mucho al trabajo de Clive Granger y Rob Engle. Su ahora famoso trabajo (Çointegration and Error Correction : Representation, Estimation and Testing", Econometrica 1987) establece un proceso en dos etapas para modelar variables cointegradas. Sin embargo, existe un sinnúmero de problemas con respecto a esta forma - especialmente en muestras pequeñas - y será aquí explicado principalmente para ilustrar la esencia de la cointegración. En secciones posteriores veremos formas alternativas para estimar las relaciones de cointegración. Comenzaremos con el caso bivariado. Paso 1: Estimar la regresión estática de cointegración utilizando OLS
yt = α + β xt + t
(15.11)
y testear la presencia de cointegración. Si la cointegración es aceptada entonces (11) se dice que representa la relación de largo plazo entre y y x y el vector de parámetros ( α, β ) es referido como el vector de cointegración el que contiene las relaciones de largo plazo o las elasticidades de equilibrio de largo plazo. El vector de parámetros es único y super consistente (aspecto que discutiremos mas adelante). Paso 2: Calcular la combinación lineal (rezagada) a partir de (11) definida como : zt−1 = (yt−1 α β xt−1 ) (15.12)
− −
la cual es una representación estacionaria de la relación del equilibrio de largo plazo, o de cointegración, e incluya esta variable en el modelo de corrección de error estacionario de la forma siguiente :
A(L)∆yt = B (L)∆xt + czt−1 + ut
(15.13)
donde A(L) y B(L) son polinomios de rezago generales y c se conoce como el coeficiente de corrección de error ( o corrección de equilibrio). 2. Solución de Largo Plazo para Modelos Dinámicos
213
A pesar de su beneficio intuitivo existen problemas con el análisis de cointegración de Engle-Granger especialmente para investigadores que trabajan con muestra pequeñas. Ello pues el vector de cointegración estimado a partir de (11) es super consistente (en el sentido de que converge hacia el valor poblacional verdadero mas rápido de que si y y x fueran I(0)) el sesgo en muestras pequeñas puede ser muy significativo especialmente si t está autocorrelacionado. Un forma alternativa para atacar este problema de estimar el vector de cointegración es mediante el uso de la solución de largo plazo de la versión dinámica equivalente de (11)
A(L)yt = α + B (L)xt + t
(15.14)
donde el polinomio de rezago es definido lo suficientemente largo para asegurar de que t (0 , σ 2 ). La solución de largo plazo para esta ecuación se obtiene al definir cada valor de L en el polinomio de rezagos igual a 1 y luego resolviendo para los valores :
∼
α = α /[A(1)]
∗
y
K = [B (1)]/[A(1)]
(15.15)
donde A(1) = 0 y A(1) y B(1) son los polinomios A(L) y B(L) evaluados en t = 1 para todos los rezagos. El vector (α∗ , k) representa un estimador alternativo del vector de cointegración.
Evidencia por simulaciones de Monte Carlo indican que este es un estimador menos sesgados del verdadero vector de cointegración en muestras pequeñas que el de Engle-Granger.
Este vector puede ser utilizado para construir una combinación lineal (rezagada) definida como :
zt−1 = (yt−1
− α − Kx
214
∗
t−1 )
(15.16)
la cual es la representación estacionaria de una relación de cointegración. Esta puede ser posteriormente incluida en el modelo de corrección de errores (13) reemplazando a z t−1 . 3. El Modelo de Corrección de Errores Uniecuacional Suponga que hemos aceptado de que yt , xt están cointegrados. Podemos entonces escribir el modelo de corrección de errores de la siguiente forma : ∆yt
= α 0 + α1 ∆xt + α2 [yt−1
− α3 − α4x
t−1 ]
+ t
(15.17)
Este modelo es lineal en sus variables pero no en sus parámetros dado que la ecuación a estimar es : ∆yt
= α 0 + α1 ∆xt + α2 yt−1
− π1 − π2 x
t−1
+ t
(15.18)
donde π1 = α 2 α3 ,
π2 = α 2 α4
Sin embargo, existe un problema de identificación con este modelo. Sólo si imponemos la restricción de que o bien α0 = 0 , lo que implica de que no hay drift en la evolución de y t , o bien que α3 = 0, lo que implica de que no existe una constante en la relación de largo plazo, podremos recuperar los estimadores de la relación de largo plazo de la regresión de cointegración al dividir los parámetros estimados π1 , π2 por α2 . Notar de que estamos tomando ventaja de la normalización de la relación de largo plazo sobre yt−1 .
15.9.
Cointegración Multivariada
Hasta el momento nos hemos concentrado en el caso de un modelo de cointegración bivariado. Sin embargo, muchas relaciones de equilibrio son multivariadas. Por ejemplo, mientras que una función de demanda simple por importaciones del tipo Keynesiana sugiere que M = m (Y), una especificación neoclásica sugiere que dicha relación es del tipo M = m (y, RER). En otras palabras, es posible que para varias variables determinen conjuntamente la evolución del equilibrio de largo plazo de la variable dependiente. De esta manera resulta util extender el análisis de cointegración para incorporar el caso multivariado. No obstante, esta es una extensión no trivial dado que para un conjunto de n variables pueden existir hasta n 1 combinaciones lineales diferentes e independientes que determinen conjuntamente la evolución de un conjunto de variables
−
en el tiempo. En el caso del modelo bivariado, n = 2 y en consecuencia si existe 215
cointegración entonces la relación será única. Cuando n > 2 entonces pueden existir hasta n 1 vectores de cointegración entre las n variables. Si existen r vectores de cointegración linealmente independientes, donde r < n 1 entonces estos pueden ser representados por una matriz π la cual es referida como la matriz de cointegración. El rango de esta matriz π es r , denotado como el rango de cointegración.
−
−
A menudo encontramos que los investigadores asumen de que existe sólo un vector de cointegración multivariado entre las n variables. Este supuesto puede ser derivado de la teoría. Si este supuesto es válido, entonces la relación puede ser estimada, testeada y representada por un modelo de corrección de errores uniecuacional de forma similar al caso bivariado pero con mas variables. Discutiremos esto luego; no obstante, teniendo en cuenta de que pueden existir mas de un vector de cointegración que relacione a las variables, necesitamos en consecuencia un mecanismo que nos permita determinar el número de vectores de cointegración y la forma de modelarlos.
15.10.
Relaciones de Cointegración Multivariada Uniecuacional
El método en dos etapas de Granger-Engle, el método de ADL dinámico y el método de SEECM pueden ser generalizadios a partir del caso bivariado al multivariado en que el vector x t consiste en mas de un regresor I(1). Conceptualmente no tiene nada de nuevo esta generalización, aunque como veremos, los estadísticos de prueba tienen distribuciones diferentes. Ilustraremos este caso con el método de Granger-Engle pero ello puede ser igualmente aplicado para los otros métodos. El método se aplica como sigue : (i) Evalúe individialmente las variables de interés y y los n elemento de X respecto a su orden de integración. Pruebe las series en niveles y en diferencias contra la nula de no estacionariedad. (ii) Asumiendo de que todas las variables son I(1) [o están transformadas de I(2) a I(1)] regresione la siguiente ecuación estática : (1)
yt = α 0 + α Xt + t
donde (2)
α = (α1 , α2 ...αn )
216
Si α define el vector de cointegración entonces α será superconsistente i.e. convergerán mas rápido en T que el método de OLS. Notar de que es posible que ciertos elementos de α pueden ser cero. (iii) Pruebe la estaciona riedad de los residuos derivados de la regresión (1) utilizando el conjunto estádar de tests para cointegración (SBDW, DF, ADF). Estos tests tienen diferentes valores críticos dependiendo del número de variables incluidas n en el vector X en la modelo de regresión estático y también del tamaño de muestra utilizado. En la siguente tabla se presentan dichos valores a partir del caso bivariado ( n = 2) hasta n = 5.
No obstante, y como ya se adelantó, en el caso de regesiones multivariadas, el vector de cointegración no debe ser necesariamnente único dado que pueden existir otras combinaciones lineales de las variables en el vector α que determinen la evolución de las variables en el vector X . De este modo, necesitaremos alguna metodología para determinar el número de vectores de cointegración. Ello lo estudiaremos en un contexto de cointregación sistémica o de sistemas.
217
Capítulo 16 Cointegración Sistemica 16.1.
Introducción
Hasta el momento nos hemos concentrado en la estimación de modelos de corrección de errores uniecuacionales. El tema que queremos discutir en esta sección es acerca de la cointegración sistémica, es decir, aquella en que mas de dos variables pueden estar involucradas simultáneamente. Suponga que xt es un vector de n variables y que xt anteriormente discutido se tiene lo siguiente:
∼ I (1). De acuerdo a lo
1. Si existe sólo un vector de cointegración entonces los modelos de cointegración uniecuacionales, ya vistos como el Engle-Granger, pueden ser utilizados, siguientesolamente manera : que se deben agregar más variables a la ecuación de la Para n=1 tenemos : ∆yt
= α 0 + α1 ∆xt + α2 [yt−1
− α3 − α4 x
t−1 ]
+ t
con n=2 ∆yt
= α 0 + α11 ∆xt + α12 ∆zt + α2 [yt−1
− α3 − α4 x 1 − α5 z t−
t−1 ]
+ t
y así sucesivamente si existen mas variables exógenas pero con la condición de que exista solo un vector de cointegración entre las variables. 2. Si existen vectores de cointegarción multiples necesitamos de un método para la estimación por sistemas y el sistema es modelado como un Vector Error Correction Model (VECM ). Cabe señalar que la cointegarción de sistemas a su vez entrega un método para probar el número de vectores de cointegarción entre los elementos de x t 218
Consideremos un ejemplo de tipo macroeconómico. En un modelo de SolderSwan, el que relaciona el Tipo de cambio nominal ( e), con la Oferta de dinero nominal ( M s ) y un vector de elementos exógenos como la ayuda internacional y los salarios reales. De esta manera podemos tener que existe una función g que representa el equilibrio interno de la economía la cual asocia e con M s y los salarios reales ( pwn , pwt ) el cual puede generar un vector de cointegración. Por otra parte está el balance externo el que puede asociar las mismas variables anteriores mas la ayuda internacional (especialmente en un país menos desarrollado). Esta segunda ecuación puede generar otro vector de cointegración. De esta manera, la dinámica de e y M s dependerá de los desequilibrios con respecto a las condiciones de equilibrio. Formalmente, estas relaciones se pueden escribir de la siguiente manera : ∆et ∆H t
= γ 1 (∆e(L), ∆H (L), ..) + µ1 (CIV = γ 2 (∆e(L), ∆H (L),... ) + δ 1 (CIV
− BalInt ) − BalInt )
+ µ2 (CIV t−1 + δ 2 (CIV
t−1
donde L representa el operador rezago. Aquí se asume que xt (x1t , ......xnt )
− BalExt ) − BalExt )
+ υ1t + υ 2t t−1 t−1
∼ I (1) con x
t
=
Dado que xt es un vector de datos en series de tiempo, puede ser representado como un V AR no estacionario de la siguiente forma:
V AR{I (1)}
xt = π 1 xt−1 + ...... + πk xt−k + t
Este puede ser transformado como en el caso bivariado en un V EC M estacionario k−1
VECM
{I (0)}
∆xt
=
Γi ∆xt−i
+ π xt−k + t
i=1
−1 donde ki=1 Γi ∆xt−i es I (0) y π xt−k es I (0) si π contiene las relaciones de cointegración.
Por otra parte se tiene que Γi = (I π1 ... πi ) representa la dinámica de corto plazo y π = (I π1 π2 ...... πk ) es la matriz reducida de los parámetros de largo plazo, en donde:
− − − − − − − − π = αβ
219
Aquí, α es el vector de parámetros de corrección de errores (es decir el ajuste) y β es el vector de cointregación hasta n-1. Además π tiene rango reducido lo que podemos expresar por 0 r n 1
≤ ≤ −
esto nos entrega el número de vectores de cointegración.
16.2.
El Método de Johansen
método es comúnmente enyelJuselius caso de(1990) cointegración sistémica y estáEste descrito en Johansen (1985),utilizado Johansen y también en Banerjee et al (1993). Esta metodología entrega la forma de determinar el número de vectores de cointegración, su identificación y la forma de su inclusión en una estimación general. No obstante, la metodología es en si muy compleja y en las líneas que siguen se describe someramente su aplicación. Paso 1. Examinar la forma (rango) de Π aquella que contiene información acerca de la relación de largo plazo en niveles entre las variables. Claramente existen tres casos posibles : Caso 1 Si r = 0 es decir la matriz Π tiene rango cero entonces esta no contiene vectores de cointegración β . Lo anterior implica que todas las variables son individualmente I (1) y que no existe una relación de largo plazo entre ellas. La única forma entonces que el proceso puede ser modelado es como un VAR en primeras diferencias ∆xt sin relaciones de equilibrio de largo plazo. Caso 2 Si r = n es decir que la matriz Π tiene rango completo. Lo anterior significa que efectivamente todas las variables que componen el sistema son de hecho I (0) y en consecuencia, el modelo es estacionario en niveles. Caso 3 Si 0 < r n 1 tenemos una matriz de rango reducido donde existen vectores de cointegración entre las n variables del sistema.
≤ −
220
r
Paso 2 Una vez identificada la forma de la matriz general de VECM, de la siguiente manera: k
∆x1t
=
Π
se especifica el modelo
n
Γ1ij ∆xjt −1
+ α11 β1 xt−k + α12 β2 xt−k + ... + α1r βr + 1t
Γ2ij ∆xjt −1
+ α21 β1 xt−k + α22 β2 xt−k + ... + α2r βr + 2t
Γnij ∆xjt −1
+ αn1 β1 xt−k + αn2 β2 xt−k + ... + αnr βr + nt
i=0 j =1 k
∆x2t
=
. =.
n
i=0 j =1
. =. . =. k
∆xnt
=
n
i=0 j =1
con β1 ...βr vectores de cointegracíon y α1 .....αn vectores de feedback Paso 3 Elección del Número de vectores de cointegración. El numero de vectores de cointegración es determinado por el número de valores característicos(eigenvalues) significativos en le vector de variables no estacionarias.Esto determina el rango de π = αβ . El estadístico de máximo valor característico εr =
−Tlog (1 − λ ) r
r = 1.....n
en donde λr es el valor característico de x t . εr . Así, partiendo Para ello se deberá primero ordenar de mayor a menor los por el valor característico mayor, testear por el número de valores caracteristicos de la siguiente manera:
r
εrNula
Alternativa
1 2
ε1 ε2
H0 : r = 0 H0 : r = 2
. . . n εn
H0 : r = n
HA : r HA : r
≥1 ≥2
1 HA : r = n
− 221
El número de valores característicos significativos (es decir el número de vectores de cointegración) es determinado por la hipotesis nula más alta aceptada por los datos. Una vez que existen que existen r eigenvalues significativos, estos son usados para calcular los r vectores de cointegración. Así, si r = 2 mediante el método de Johansen tenemos que λ1 β1 con β11 x1t + .... + β 1n xnt I (0) y λ2 β con β21 x1t + .... + β 2n xnt I (0). Todas las otras combinaciones lineales de las variables x son I (1), es decir, no cointegran.
∼
→
∼
→
Ahora para el caso de los feedback vector tenemos:
Ecuación Primer Segundo CIV CIV ∆x1t
16.3.
∆x1t
α11 α12
α21 α22
. . . ∆xnt
α1n
α2n
Ejemplo de Oferta de Din ero, Ingreso, Inflación y Tasa de Interés
Considere el vector de variables Xt = (m,y, π , r) donde m es la cantidad de dinero (en logs), y es el ingreso real (en logs), π es la tasa de inflación y R es la tasa de interés. En este caso nos interesa saber la posibilidad de cointegración entre las variables de X . La siguiente tabla entre los valores característicos (eingelvalues) y sus estadísticas asociadas.
222
r 1 2 3 4
λt
0.4186 0.2662 0.0716 0.0038
-Tln(1-λt 5cv. -T Σln(1-λt ) 5cv. 45,01∗ 28.167 77,20∗ 53.347 25,70∗ 21.894 32.19 35.068 6.17 15.752 6.48 20.168 0.32 9.094 0.32 9.094
Fuente : Hendry y Mizon (1990). Leyendo la tabla desde la primera fila partimos con la nula de que la matriz de Π tiene rango cero ( H0 : r = 0) contra la alternativa de que r 1. Notamos que el valor del estadístico es mayor que el valor crítico rechazándose la nula de que no existen vectores de cointegración en favor de que existe a lo menos uno.
≥
Se sigue en forma análoga hasta que ya la hipótesis nula no puede ser rechazada determinándose en consecuencia el número de vectores de cointegración. En este caso, siguiendo el estadístico de valor crítico máximo, la tabla anterior sugiere que hay dos vectores. Si se usa, por otra parte, el estadístico de traza se sugiere que hay solo uno. Si bien los dos estadísticos generalmente apuntan al mismo resultado, en este caso se favorece el que denote mas vectores. 1 . Enseguida se determinan los β y α del VECM. Los resultados de la estimación de dichos valores para todos los valores críticos utilizando la metodología de Johansen se presentan en la siguiente tabla (normalizados sobre la diagonal).
Ecuación m 1 2 3 4
−p
r
π
1.00 5.94 0.001 1.00 -3.43 - 25.30 -0.48 -0.90
0.966 0.003 1.000 -0.005
y -0.648 -0.283 1 .140 1.000
Y los vectores de feedback α son los siguientes: 1 El resultado anterior denota que el segundo vector es estacionario con un 0.95)
223
ρ
cercano a 1 (i.e.
Ecuación m 1 2 3 4
−p
-0.102 0.025 -0.016 0.017
r
π
0.017 -0.540 -3.010 0.390
0.008 -0.001 -0.098 -0.002
y -0.013 -0.002 0 .089 -0.029
Dado que encontramos que sólo hay dos relaciones significativas entonces nos deberemos focalizar en las dos primeras filas de β en la tabla anterior y en las dos primeras columnas de α en la última tabla. En otras palabras, las dos últimas filas y columnas respectivamente pueden ser eliminadas sin pérdida de información relevante.
16.3.1.
Identificación e interpretación de los v ectores
Los vectores propios en β pueden ser interpretados como las soluciones de largo plazo entre las variables del modelo. Los vectores son automáticamente normalizados en la diagonal principal pero ello no es necesario dado que se pueden reacomodar los términos en forma de entenderlos mejor. De esta manera podemos interpretar el primer vector como la demanda de dinero de la forma : (m p) = 0,648y 5,94π 0,966r + trend Esta ecuación tiene un feedback aproximado de un 10 por ciento por período en la demanda de dinero y virtualemnte un efecto insignificante sobre las demás variables.
−
−
−
El segundo vector de cointegración puede ser interpretado como un proceso cuasi estacionario para la inflación el cual es influenciado por desviaciones del producto sobre la tendencia temporal (i.e. una relación del tipo Phillips). πt = 0,283(yt
− trend)
Sus efectos de feedback son un poco mas difíciles de interpretar ya que dado que r y π no cointegran existen un feedback significativo de la relación de inflación sobre la tasa de interés.
224
Así el V EC M queda expresado de la siguiente forma(asumiendo que el Var correspondiente es x t = π 1 xt−1 + µt ) ∆(m
− p)
t
∆π t
=
α1 + γ 11 ∆πt−1 + γ 12 ∆rt−1 + γ 13 ∆yt−1
=
−0,102[(m − p) − 0,648y
∆rt
=
t−1
− 0,283y 1 − cte12]
α2 + γ 21 ∆(m
0,025[(m
+ 5 ,94πt−1 + 0 ,9406rt−1
t
0,017[πt−1
− p)
t−1
+ γ22 ∆rt−1 + γ23 ∆yt−1
1 − 0,648y 1 + 5 ,94π 1 + 0 ,946r 1 − cte21 ] − p−),540[ π 1 − 0,283y 1 − cte22 ] + 2 t−
t−
t−
t−
t−
t−
t−
t−
α4 + γ 4 ∆πt−1 + γ 42 ∆(m
0,017[(m
t−1
t−
t−
t−
=
t−
t
α3 + γ31 ∆π 1 + γ 32 ∆(m − p) 1 + γ 33 ∆y −0,016[(m − p) 1 − 0,648y 1 + 5 ,94π 1 + 0,946r −3,010[π 1 − 0,283y 1 − cte32] + 3 t−
∆yt
− cte11]
t−
t−1
+ cte31 ]
t
− p) 1 + γ43∆r 1 − p) 1 − 0,648y 1 + 5,94π 1 + 0 ,946r 1 − cte41] 0,390[π 1 − 0,283y 1 − cte42 ] + 4 t−
t−
t−
t−
225
t−
t−
t−
t−
t
