FUNDAMENTO TEÓRICO DE VELOCIDAD Y ACELERACIÓN Velocidad instantánea La velocidad instantánea permite conocer la velocidad de un móvil que se desplaza sobre una trayectoria cuando el intervalo de tiempo es infnitamente pequeño, siendo entonces el espacio recorrido también muy pequeño, representando un punto de la trayectoria. La velocidad instantánea es siempre tangente a la trayectoria.
En orma vectorial, la velocidad es la derivada del vector posición respecto al tiempo
donde es un vector !vector de módulo unidad" de dirección tangente a la trayectoria del cuerpo en cuestión y es el vector posición, ya que en el l#mite los dierenciales de espacio recorrido y posición coinciden. $or e%emplo, para encontrar la velocidad instantánea de un móvil en un punto cualquiera & de su trayectoria, vasta medir velocidades medias alrededor de este punto. 's# por e%emplo, la fgura inerior muestra la trayectoria seguida por el móvil de ' (acia ). Las distancias '&, ' *&, '+&, '&, &)*, &)+, &), &), se toman como base para encontrar las velocidades medias alrededor del punto &.
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&ada instante, o sea en cada punto de la trayectoria, queda defnido un vector velocidad que, en general, cambia tanto en módulo como en dirección al pasar de un punto a otro de la trayectoria. La dirección de la velocidad cambiará debido a que la velocidad es tangente a la trayectoria y ésta, por lo general, no es rectil#nea. En la fgura se representan los vectores velocidad correspondientes a los instantes t y t -t , cuando la part#cula pasa por los puntos $ y /, respectivamente.
El cambio vectorial en la velocidad de la part#cula durante ese intervalo de tiempo está indicado por v, en el triángulo vectorial al pie de la fgura. 0e defne la aceleración edia de la part#cula, en el intervalo de tiempo t , como el cociente
/ue es un vector paralelo a v y dependerá de la duración del intervalo de tiempo t considerado. La aceleración instantánea se la defne como el l#mite al que tiende el cociente incremental v1t cuando t 234 esto es la derivada del vector velocidad con respecto al tiempo
$uesto que la velocidad instantánea v a su vez es la derivada del vector posición r respecto al tiempo, la aceleración es la derivada segunda de la posición con respecto del tiempo
5e igual orma se puede defnir la velocidad a partir de la aceleración mediante integración
$ara encontrar la aceleración del móvil !volante" a lo largo del plano inclinado se grafcan las velocidades instantáneas en dierentes puntos de su trayectoria en unción del tiempo. La pendiente de dic(o gráfco nos dará la aceleración. $ara el eecto se utilizará un procedimiento que nos permita encontrar las velocidades instantáneas rápidamente a partir de las velocidades medias. &onsideremos el movimiento uniormemente acelerado de un móvil que partiendo de 3 reposo pasa por ' y ), como se ve en la siguiente fgura.
tA ! " t# ! $%&"' s VA ! " V# ! (&%) c*s 5onde 9' : 9) son las velocidades en ' y )#respectivamente y t ' A 3 : t) los tiempos que demora ene6llegar 78cm a ' y ), entre ' y ).
e es la distancia
0e sabe que V B
2
2
2
2
=V A + 2 ae→V B − V A =2 ae
;actorizando
( V + V ) ( V −V ) =2 ae (1 ) B
A
B
A
$or otra parte se conoce que en movimiento uniormemente acelerado la velocidad instantánea en un punto intermedio de ') es V i =
V B + V A 2
( 2)
5onde 9i es la velocidad instantánea en el tiempo t i
=
t B
+ t
A
2
Luego reemplazando
( −V )= ae ( 3 )
V i V B
A
( 2 ) en (1 ) se obtiene
$or otra parte la velocidad fnal !en el punto )" V B
=V + a ( t −t ) ( 4 ) A
B
A
e t B−t A
/ue corresponde al valor de la velocidad media entre los puntos ' y ).
