Resumen Teórico. Funciones trigonométricas en la vida cotidiana
Aplicación en la vida diaria de funciones de trigonométricas
Física: permite resolver un montón de problemas de mecánica clásica, es
útil en el pasaje de coordenadas polares. La física se aplica a la vida
cotidiana, pero si querés ejemplos específicos, acá están: medir la altura
de un árbol en base a a su sombra.
Juegos: En la construcción de juegos para consolas o computadoras, todo
lo que se representa geométricamente en pantalla se hace utilizando mucha
trigonometría, para simular procesos naturales o físicos.
Juegos de Mesa: El pool tiene una gran aplicación de trigonometría. En
general en el choque de partículas, las direcciones y los ángulos de choque
son muy importantes para determinar el movimiento posterior.
Geografía: El cálculo de distancias en un mapa, donde estamos hablando de
paralelos y meridianos que no son ni mas ni menos que líneas en una
circunferencia nos puede ayudar el cálculo de su longitud.
Electricidad/Electrónica: Muchas señales de aparatos eléctricos, tienen
usan funciones trigonométricas para ser modeladas, las series de Fourier
permiten casi definir cualquier señal como suma ponderada de senos y
cosenos.
Construcción: Para el diseño de planos, calculo de resistencia de
materiales, tratamos con modelos geométricos, en los cuales las funciones
trigonométricas son de gran ayuda.
Aplicaciones CAD y Dibujo: las Curvas, Elipse, Círculos utilizan en su
formulación funciones trigonométricas.
Astronomía: Muy utilizada, para calcular orbitas de los planetas.
Aunque no seas un físico, astrónomo, o ingeniero, muchísimas cosas de las
que te rodean se modelan matemáticamente y la trigonometría es una de las
ramas de la matemática más utilizada porque tendemos a simplificar los
modelos matemáticos a casos de geométricos simples en los cuales se utiliza
la trigonometría para el cálculo de ciertas variables.
Fuente: http://clubensayos.com/Temas-Variados/Aplicasion-En-La-Vida-
Diaria/31919.html
Aplicaciones de las funciones reales
Generalmente se hace uso de las funciones reales, (aún cuando el ser
humano no se da cuenta), en el manejo de cifras numéricas en
correspondencia con otra, debido a que se está usando subconjuntos de los
números reales. Las funciones son de mucho valor y utilidad para resolver
problemas de la vida diaria, problemas de finanzas, de economía,
de estadística, de ingeniería, de medicina, de química y física,
de astronomía, de geología, y de cualquier área social donde haya que
relacionar variables.
Cuando se va al mercado o a cualquier centro comercial, siempre se
relaciona un conjunto de determinados objetos o productos alimenticios,
con elcosto en pesos para así saber cuánto podemos comprar; si lo llevamos
al plano, podemos escribir esta correspondencia en una ecuación de función
"x" como el precio y la cantidad de producto como "y".
Función Afín
Se puede aplicar en muchas situaciones, por ejemplo en economía (uso de
la oferta y la demanda) los ecónomos se basan en la linealidad de esta
función y las leyes de la oferta y la demanda son dos de las relaciones
fundamentales en cualquier análisis económico. Por ejemplo, si
un consumidor desea adquirir cualquier producto, este depende del precio
en que el artículo esté disponible. Una relación que especifique la
cantidad de un artículo determinado que los consumidores estén dispuestos a
comprar, a varios niveles de precios, se denomina ley de demanda. La ley
más simple es una relación del tipo P= mx + b, donde P es el precio por
unidad del artículo y m y b son constantes.
Muchas son las aplicaciones de la función lineal en el caso de la
medicina. Ciertas situaciones requieren del uso de ecuaciones lineales
para el entendimiento de ciertos fenómenos. Un ejemplo es el resultado del
experimento psicológico de Stenberg, sobre recuperación de información.
Esta dada por la formula y=mx+b donde m y b son números reales llamados
pendiente y ordenada al origen respectivamente. Su gráfica es una recta.
Dada la ecuación y=mx+b: Si m=0, entonces y=b. Es decir, se obtiene la
función constante, cuya gráfica es una recta paralela al eje x que pasa por
el punto (0,b).
Si b=0, entonces y=mx. Esta ecuación tiene por gráfica una recta que pasa
por el origen de coordenadas (0,0).
Función Cuadrática
El estudio de las funciones cuadráticas resulta de interés no sólo
en matemática sino también en física y en otras áreas del conocimiento como
por ejemplo: la trayectoria de una pelota lanzada al aire, la trayectoria
que describe un río al caer desde lo alto de una montaña, la forma que toma
una cuerda floja sobre la cual se desplaza un equilibrista, el recorrido
desde el origen, con respecto al tiempo transcurrido, cuando una partícula
es lanzada con una velocidad inicial.
Puede ser aplicada en la ingeniería civil, para resolver problemas
específicos tomando como punto de apoyo la ecuación de segundo grado, en la
construcción de puentes colgantes que se encuentran suspendidos en uno de
los cables amarrados a dos torres.
Los biólogos utilizan las funciones cuadráticas para estudiar los efectos
nutricionales de los organismos.
Existen fenómenos físicos que el hombre a través de la historia ha tratado
de explicarse. Muchos hombres de ciencias han utilizado como herramienta
principal para realizar sus cálculos la ecuación cuadrática. Como
ejemplo palpable, podemos mencionar que la altura S de una partícula
lanzada verticalmente hacia arriba desde el suelo está dada por S= V0t - ½
gt2, donde S es la altura, V0 es la velocidad inicial de la partícula, g es
la constante de gravedad y t es el tiempo.
La función cuadrática responde a la formula: y= a x2 + b x + c con a =/ 0.
Su gráfica es una curva llamada parábola cuyas características son:
Si a es mayor a 0 es cóncava y admite un mínimo. Si a es menor a 0 es
convexa y admite un máximo.
Vértice: Puntos de la curva donde la función alcanza el máximo o el
mínimo.
Eje de simetría: x = xv.
intersección con el eje y.
Intersecciones con el eje x: se obtiene resolviendo la ecuación de
segundo grado.
Función Logarítmica
La geología como ciencia requiere del planteamiento de ecuaciones
logarítmicas para el cálculo de la intensidad de un evento, tal como es el
caso de un sismo. La magnitud R de un terremoto está definida como R= Log
(A/A0) en la escala de Richter, donde A es la intensidad y A0 es una
constante. (A es la amplitud de un sismógrafo estándar, que está a 100
kilómetros del epicentro del terremoto).
Los astrónomos para determinar una magnitud estelar de una estrella o
planeta utilizan ciertos cálculos de carácter logarítmico. La ecuación
logarítmica les permite determinar la brillantez y la magnitud.
En la física la función logarítmica tiene muchas aplicaciones entre las
cuales se puede mencionar el cálculo del volumen "L" en decibeles de un
sólido, para el cual se emplea la siguiente ecuación L= 10 . Log (I/I0) ,
donde I es la intensidad del sonido (la energía cayendo en una unidad de
área por segundo), I0 es la intensidad de sonido más baja que
el oído humano puede oír (llamado umbral auditivo). Una conversación en
voz alta tiene un ruidode fondo de 65 decibeles.
El logaritmo en base b de un número a es igual a N, si la base b elevada a
N da como resultado a.
Logb a = N si bN = a
Notación logarítmica
Notación exponencial
Consecuencias de la definición de logaritmo
1. El logaritmo de 1, en cualquier base, es 0: logb 1 = 0, ya que b0 = 1
2. El logaritmo de un número igual a la base es 1: logb a = 1, ya que b1 =
a
3. El logaritmo de una potencia cuya base es igual a la base del logaritmo
es igual al exponente de la potencia: logb am = m, ya que bm = am
4. No existe el logaritmo en cualquier base de un número negativo o cero.
5. El logaritmo de un número N mayor que cero y menor que 1, estrictamente,
01.
6. El logaritmo de un número N mayor que cero y menor que 1, estrictamente,
0
7. El logaritmo de un número N>1 es positivo si la base es b>1.
8. El logaritmo de un número N>1 es negativo si la base es b<1.
Propiedades de los logaritmos
Logaritmo de un producto
El logaritmo de un producto de dos números es igual a la suma de los
logaritmos de cada uno de ellos.
logb(X · Y)= logb X + logb Y
Logaritmo de un cociente
El logaritmo de un cociente de dos números es igual al logaritmo del
numerador menos el logaritmo del denominador.
Logaritmo de una potencia
El logaritmo de una potencia es igual al exponente multiplicado por el
logaritmo de la base de la potencia
loga Xn = n loga X
Logaritmo de una raíz
El logaritmo de una raíz es igual al logaritmo del radicando dividido entre
el índice de la raíz.
Función Exponencial
Se aplica a la química y física. En algunos elementos radioactivos son de
tal naturaleza que su cantidad disminuye con respecto al tiempo, se cumple
la ley exponencial y se dice que el elemento decrece o decae. En la
química, el PH de una sustancia se define como : H = -Log (H+(, donde (H+(
es la concentración de iones de una sustancia expresada en moles por
litro. El PH del agua destilada es 7. Una sustancia con un PH menor que
7, se dice que es ácida, mientras que su PH es mayor que 7, se dice que es
base. Los ambientalistas miden constantemente el PH del agua de lluvia
debido al efecto dañino de la "lluvia ácida" que se origina por las
emisiones de dióxido de azufre de las fábricas y plantas eléctricas que
trabajan con carbón.
Otras de la aplicación de las funciones exponencial fue con el
descubrimiento del Polonio (elemento radioactivo) descubierto por Marie
Curie en 1 898 decae exponencialmente de acuerdo a la función: m = m0 e-
0,005t, donde m0 es la masa inicial del Polonio, m es la masa al cabo de un
tiempo y t es el tiempo en días.
El crecimiento poblacional (Demografía) de una región o población en años,
parece estar sobre una curva de característica exponencial que sugiere
elmodelo matemático dado por: N = N0 ekt, donde N0 es la población inicial,
t es el tiempo transcurrido en años y k es una constante. (En 1798, el
economista inglés Thomas Malthus observó que la relación N = N0 ekt era
válida para determinar el crecimiento de la población mundial y estableció,
además, que como la cantidad de alimentos crecía de manera lineal, el mundo
no podía resolver el problema del hambre. Esta lúgubre predicción ha
tenido un impacto tan importante en el pensamiento económico, que el modelo
exponencial de crecimiento poblacional se conoce con el nombre de modelo
Malthusiano)
En la medicina, muchos medicamentos son utilizados para el cuerpo humano,
de manera que la cantidad presente sigue una ley exponencial de
disminución.
En Matemática Financiera (Administración), para el cálculo de interés
compuesto se emplean las funciones exponenciales. Por ejemplo: supongamos
que se tiene cierta cantidad inicial de dinero P0 que se coloca a un
interés anual del i%. Al final del primer año se tendrá el capital inicial
más lo que se ha ganado de interés P0i, si este proceso se continúa por n
años, la expresión que se obtiene está dada por: P= P0 (1+i)n, donde P es
el capital final si los intereses se acumulan en un período de tiempo, P0
es el capital inicial, i es la tasa de interés (anual, mensual, diaria) y n
es el período de tiempo (año, meses, días, etc.).
Se llama función exponencial de base a, siendo a un número real positivo y
distinto de 1, a la función f(x) = expa x y se lee «exponencial en base a
de x».
Propiedades de la función exponencial y = ax
1a. Para x = 0, la función toma el valor 1: f(0) = a0 = 1
2a. Para x = 1, la función toma el valor a: f(1) = a1 = a
3a. La función es positiva para cualquier valor de x: f(x )>0.
Esto es debido a que la base de la potencia, a, es positiva, y cualquier
potencia de base positiva da como resultado un número positivo.
4a . Si la base de la potencia es mayor que 1, a>1, la función es
creciente.
5a. Si la base de la potencia es menor que 1, a<1, la función es
decreciente.
Ecuaciones Exponenciales
Las ecuaciones en las que la incógnita aparece como exponente son
ecuaciones exponenciales.
No hay ninguna fórmula general que indique cómo resolver cualquier ecuación
exponencial. Sólo la práctica ayuda a decidir, en cada caso, qué camino
tomar.
Para resolver estas ecuaciones hay que tener presente algunos resultados y
propiedades:
1. ax = ay ( x = y
Conviene, por tanto, siempre que sea posible, expresar los dos miembros de
la ecuación como potencias de la misma base.
Funciones Trigonométricas
Las funciones trigonométricas son valores sin unidades que dependen de la
magnitud de un ángulo. Se dice que un ángulo situado en un plano de
coordenadas rectangulares está en su posición normal si su vértice coincide
con el origen y su lado inicial coincide con la parte positiva del eje x.
En la figura 3, el punto P está situado en una línea recta que pasa por el
origen y que forma un ángulo q con la parte positiva del eje x. Las
coordenadas x e y pueden ser positivas o negativas según el cuadrante (I,
II, III, IV) en que se encuentre el punto P; x será cero si el punto P está
en el eje y o y será cero si P está en el eje x. La distancia r entre el
punto y el origen es siempre positiva e igual a ¶x2+ y2, aplicando el
teorema de Pitágoras.
Las seis funciones trigonométricas más utilizadas se definen de la
siguiente manera:
Como la x y la y son iguales si se añaden 2p radianes al ángulo —es decir,
si se añaden 360°— es evidente que sen (q + 2p) = sen q. Lo mismo ocurre
con las otras cinco funciones. Dadas sus respectivas definiciones, tres
funciones son las inversas de las otras tres, es decir,
Si el punto P, de la definición de función trigonométrica, se encuentra en
el eje y, la x es cero; por tanto, puesto que la división por cero no está
definida en el conjunto de los números reales, la tangente y la secante de
esos ángulos, como 90°, 270° y -270° no están definidas. Si el punto P está
en el eje x, la y es 0; en este caso, la cotangente y la cosecante de esos
ángulos, como 0°, 180° y -180° tampoco está definida. Todos los ángulos
tienen seno y coseno, pues r no puede ser igual a 0.
Como r es siempre mayor o igual que la x o la y, los valores del sen q y
cos q varían entre -1 y +1. La tg q y la cotg q son ilimitadas, y pueden
tener cualquier valor real. La sec q y la cosec q pueden ser mayor o igual
que +1 o menor o igual que -1.
Como se ha podido ver en los anteriores apartados, el valor de
las funciones trigonométricas no depende de la longitud de r, pues las
proporciones son sólo función del ángulo.
Si q es uno de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo (figura 4),
las definiciones de las funciones trigonométricas dadas más arriba se
pueden aplicar a q como se explica a continuación. Si el vértice A
estuviera situado en la intersección de los ejes x e y de la figura 3, si
AC descansara sobre la parte positiva del eje x y si B es el punto P de
manera que AB = AP = r, entonces el sen q = y/r = a/c, y así sucesivamente:
Los valores numéricos de las funciones trigonométricas de ciertos ángulos
se pueden obtener con facilidad. Por ejemplo, en un triángulo rectángulo
isósceles, se tiene que q = 45 ° y que b = a, y además se sabe, por el
Teorema de Pitágoras, que c2= b2+ a2. De aquí se deduce que c2= 2a2 o que c
= a¶2. Por tanto
Los valores numéricos de las funciones trigonométricas de un ángulo
cualquiera se pueden hallar de forma aproximada dibujando el ángulo en su
posición normal utilizando la regla, el compás y el transportador de
ángulos. Si se miden x, y y r es fácil calcular las proporciones deseadas.
En realidad, basta con calcular los valores del sen q y del cos q para unos
cuantos ángulos específicos, pues los valores de los demás ángulos y las
demás funciones se calculan utilizando las igualdades que se mencionan en
el siguiente apartado.
Las razones trigonométricas se pueden utilizar, fundamentalmente, para
resolver triángulos, así como para resolver diferentes situaciones
problemáticas en otras ciencias.
En Topografía se puede determinar la altura de un edificio, teniendo la
base y el ángulo. Por ejemplo, la torre de Pisa, fue construida sobre una
base de arena poco consistente; debido a ello ésta se aparta cada vez más
de su vertical. Originalmente tenía una altura de 54,6m, aproximadamente.
En 1990 un observador situado a 46 m del centro de la base de la torre,
determinó un ángulo de elevación de 54º a la punta de la torre, el
observador para determinar al desplazamiento (hundimiento en el suelo es
muy pequeño, comparado con la altura de la torre) aplicó la ley del seno
para determinar el ángulo de inclinación y la ley del coseno para
determinar el desplazamiento de la torre.
En Óptica, en las dispersiones en prisma o cuando un rayo de luz atraviesa
una placa de cierto material.
En la Aviación, si dos aviones parten de una base aérea a la misma
velocidad formando un ángulo y siguiendo en trayectorias rectas, se puede
determinar la distancia que se encuentran entre los mismos.
El capitán de un barco puede determinar el rumbo equivocado del barco,
siempre en línea recta, ordenando modificar el rumbo en grado para
dirigirse directamente al punto destino correcto.
Funciones Polinómicas
Expresión matemática formada por una suma de productos de números reales (o
más generalmente de números de cualquier anillo), por potencias enteras de
una variable generalmente representada por la letra x; es decir, un
polinomio es una expresión del tipo P(x) = a + bx + cx2 + dx3 + ex4..., en
la que la mayor potencia de la variable se la llama grado del polinomio.
Un polinomio se puede también interpretar como una función real de variable
real, en la que la x es una variable numérica de la función; así, por ej.,
P(x) = 3x + 2, sería la función que asigna al valor 1, P(1) + 3.1 +2 = 5,
etc. De esta manera (interpretando las x como variables numéricas) se
pueden generalizar las operaciones definidas en los números reales a
operaciones de polinomios, que quedan entonces definidas como:
Suma de polinomios: Se suman todos los términos aplicando axn + bxn = (a +
b)xn; así, por ej., (3x2 + 4x + 2) + (5x – 1) = 3x2 + (4 + 5) x + (2-1) =
3x2 + 9x + 1.
Producto de un número por un polinomio: Se multiplican todos los términos
por el número.
Resta de Polinomios: Para restar polinomios se multiplica el segundo por –1
y se suman.
Producto de Polinomios: Se multiplica cada uno de los términos de un
polinomio por todos los del otro [teniendo en cuenta que (axn) . (bxm) =
abxn+m], y se suman los resultantes
División de polinomios: generalmente es irrealizable (su resultado no es un
polinomio).
P. Booleano: expresión simbólica constituida por la aplicación repetida de
algunas operaciones sobre un retículo distributivo complementado.
P. Característico: Nombre que recibe, para una matriz A, el determinante de
A – xl, donde / es la matriz identidad. Es de gran importancia dado que
esta asociado a todas las matrices semejantes y es útil para reducirlas a
su forma canónica.
P. Formal: Sucesión indefinida de elementos de un anillo A en la que a
partir de un cierto lugar todos los términos son nulos. Sus términos se
numeran comenzando por el índice 0, existiendo por tanto un desfase de una
unidad entre el índice que caracteriza un término y su orden.
P. Homogéneo: Aquel cuyos sumandos son todos de igual grado respecto del
conjunto de las variables, por lo que un polinomios de estas
características constituye una función homogénea cuyo grado de homogeneidad
coincide con el grado mencionado.
P. Irreducible: Llamado también polinomio primo, es aquel P del anillo k
que no puede descomponerse en producto de polinomios de grado inferior
pertenecientes a k.
P. Nulo: Aquel cuyos coeficientes son todos nulos.
P. Primitivo: El que tiene sus coeficientes primos entre sí.
Conclusiones
Tras el estudio de las nombradas funciones matemáticas, podemos concluir en
que son muy importantes tanto para las matemáticas como para muchas otras
ciencias, en especial la física y la química.
El objetivo planteado en la introducción se cumplió, ya que se pudo
observar a lo largo del desarrollo los diferentes usos de las funciones en
la vida diaria y, al haber también estudiado las ecuaciones matemáticas,
nos queda un modelo que podemos aplicar frente acierta problemática.
Creemos que el resultado obtenido tras el trabajo de investigación fue
positivo, ya que se cumple la consiga en cuanto a la información teórica, y
creemos que también esta monografía nos será útil en la practica.
Bibliografía
Enciclopedia Microsoft Encarta 1999
Internet: www.altavista.com; www.yahoo.com.ar
Análisis matemático I, Notas de Teoría y práctica; 2da edición.
Enciclopedia Clarín, Tomo 20
Resumen
Teniendo como consigna la investigación de las funciones matemáticas,
comenzamos a interiorizarnos en el tema buscando la definición de la
palabra función. Luego, nos inclinamos sobre ciertas funciones matemáticas
específicas, tales como la función trigonométrica, cuadrática, logarítmica,
exponencial, afín y polinómica.
Para cada una de las funciones, reconocimos sus aplicaciones sobre otras
ciencias y además aprendimos los modelos de ecuaciones matemáticas, que nos
permiten resolver cualquier situación que se nos presente en la vida
diaria.
Obtuvimos un resultado muy positivo al finalizar la monografía, debido a
que incorporamos gran cantidad de nuevos conocimientos y también
descubrimos una nueva manera de enfrentar problemáticas en campos donde
creíamos que la matemática era inútil.
Desde el punto de vista personal, creemos que las funciones matemáticas han
facilitado la labor en muchas ciencias y son sumamente necesarias para
obtener resultados precisos para cada situación.
Fuente: http://www.monografias.com/trabajos7/mafu/mafu.shtml