APLICACIÓN DE LAS FUNCIONES EN LA VIDA COTIDIANA Una población de bacterias que se duplica cada 20 minutos; la población mundial que crece al 1.14% (unas 75 millones de personas por año); el valor de un coche que se deprecia 10% anual; un virus muy infeccioso como el SARS o la viruela (cada enfermo infecta a varios); un depósito en el banco que aumenta al 5% anual; una substancia radiactiva que se descompone (en este caso la cantidad presente disminuye exponencialmente) : todos ellos y muchos más son ejemplos de funciones exponenciales o procesos que pueden interpretarse como funciones exponenciales. Comparando una función exponencial (azul) y una función lineal (rojo) La función exponencial crece muy rápido para valores positivos de x. Si comparamos la función exponencial en azul, con una Función Lineal, en rojo, vemos que la exponencial crece mucho más rápido y deja a la lineal en valores muy por debajo: el mismo incremento de dos unidades en x, causa aumento de dos unidades en y para la función lineal en rojo, pero de seis unidades en y para la exponencial en azul.
Tiempo de Duplicación Una forma rápida de calcular el tiempo de duplicación (de un depósito bancario a interés compuesto, o de una población) en una función exponencial es aplicar la muy antigua Regla del 70, (o del 72, también llamada) que ya descubrió en la Edad Media el monje Luca Pacioli, el sabio que inventó la contabilidad: 70/r Si tenemos que la población mundial crece al r= 1,14 % anual , dividimos 70/1,14 = 61,40 años. La población mundial, actualmente, se duplica en algo más de 61 años. En 1963 el crecimiento de la población mundial era la escalofriante proporción de r = 2,20 % por año. Vemos si había diferencia en el tiempo de duplicación. 70/2,20 = 31,8 años Aplicación: Tiempo de Duplicación de la Población Uruguaya Según CIA factbook, Population growth rate: 0.486% (2008 est.) 70 dividido r 70/0,486 = 144 años
Aplicación: Tiempo de Duplicación de la Economía Mundial La economía mundial crece a razón de 3,7 % anual 70 dividido r 70/3,7= 19 años Aplicación: Entender noticias de la prensa cuando usan porcentajes El M3 (es una medida de la cantidad de dinero circulante) antes que el gobierno de EE.UU. dejara de publicar la cifra, M3 crecía entre el 18 y el 23 % anual. Es decir, la cantidad de dinero se duplicaba en unos tres años. 70/18 = 3,9 años 70/23 = 3,0 años El Poder Destructor de la Función Exponencial. y
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Si una población crece al 1% anual el tiempo de duplicación, aplicando la Regla del 70, es de 70 años. Si una población crece al 2% anual el tiempo de duplicación es de 35 años.
Si una población crece al 0,486 anual el tiempo de duplicación es de 144 años. y
La cantidad de dinero M3 crece en EE.UU. con un tiempo de duplicación de 3 años.
Es la asombrosa rapidez conque la función exponencial crece, insostenible en el mundo real, lo que causa tan sorprendentes y trágicos problemas en la población, en la economía, en los precios. Tomemos el caso de ese interés bancario de 5% anual, parece ínfimo. ¿En cuanto tiempo se duplica el capital por Interés Compuesto, si no retiramos intereses y se acumulan al principal? Aplicamos la rápida Regla del 70: 70/5 = 14 años ¿Y en el caso de una inflación tipo la real Argentina, si conseguimos un banco, financiera o industrial desesperado que nos pague 3 puntitos por arriba del 24 % que sería la inflación real? 70/27 = 2,59 años Ahora se entiende mejor porqué la inflación causa estos estragos. Función Exponencial y Precio del Petróleo Como se observa, en este año el precio del barril de petróleo sube en forma exponencial, esto es económicamente insostenible y las consecuencias serán graves.
En este año de 2008 el precio del barril de petróleo crece en promedio 6% mensual, una tasa destructiva, aplicamos la Regla del 70 Aplicación: Tiempo de Duplicación del Barril de Petróleo ¿Cuantos meses tarda en duplicarse el precio, si crece al 6 % mensual? 70/6 = 11,66 meses, o sea aproximadamente un año.
Gráfica incremento precio petróleo en los últimos años
Si nos fijamos en el corto intervalo de un año, Enero 2007 Enero 2008, el precio del barril se duplicó en un año. Eso es un crecimiento exponencial extraordinario. Límites Biológicos al Crecimiento Exponencial Las matemáticas son ciencias formales, la naturaleza es otra cosa. Incluso en la Economía gran parte de las cifras son irreales, solamente existen en ordenadores donde se trafican. Pero en el
mundo real el crecimiento exponencial rápidamente es detenido por procesos regulatorios. Ver por ejemplo esta gráfica de levaduras creciendo en un medio con zumo de uva [Dieter, 1962]. Tras alcanzar un máximo, el número de levaduras desciende porque empiezan a morir, envenenadas por el mismo alcohol que producen y de hambre porque agotan el azúcar. Los mamíferos igual que las levaduras. Un ejemplo clásico, los renos que se introdujeron en una isla, donde nunca hubo renos antes. Los líquenes, alimento de los renos, eran abundantes y espesos. En 1944 introdujeron 29 renos. En 1957 había ya 1.350 renos, por su reproducción. En 1963 llegaron a 6.000. El invierno siguiente perecieron, se habían comido todo. Los investigadores hallaron 41 hembras y un macho estéril.
Razón: Generalmente se hace uso de las funciones reales, (aún cuando el ser humano no se da cuenta), en el manejo de cifras numéricas en correspondencia con otra, debido a que se está usando subconjuntos de los números reales. Las funciones son de mucho valor y utilidad para resolver problemas de la vida diaria, problemas de finanzas, de economía, de estadística, de ingeniería, de medicina, de química y física, de astronomía, de geología, y de cualquier área social donde haya que relacionar variables.
