PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DELPERÚ INGENIERÍA MECÁNICA
ELEMENTOS DE MÁQUINAS 2
FRENOS Y EMBRAGUES
KURT F. PAULSEN MOSCOSO
2009-2
________________ USO INTERNO
FRENOS Y EMBRAGUES FRENOS La función de los frenos es detener o reducir la velocidad de un eje que está girando y que por lo general está trasmitiendo torque. Hay distintos tipos de frenos, por ejemplo, frenos de zapata, de faja, de disco y cónicos. Los frenos de zapata y de faja pueden ser simples o autoenergizantes. Estos últimos requieren una fuerza externa de frenado menor que los simples. Se denominan autobloqueantes, aquellos frenos autoenergizantes que siempre están frenados, y permiten el giro al aplicársele la fuerza exterior. Los frenos de zapata pueden ser de zapata corta y de zapata larga. En el primer tipo la zapata es pequeña comparada con el perímetro (o radio) del tambor o cilindro de frenado. En el segundo tipo, la zapata está en contacto con el tambor por lo menos 90º. EMBRAGUES La función de los embragues es trasmitir giro y torque de un eje motriz a otro concéntrico con el primero. El “embragado” se produce por fricción entre dos discos o conos. En el caso de discos, se pueden disponer varios en serie para aumentar la capacidad de frenado. En el caso del cono, el ángulo de conicidad influye en la magnitud del torque a trasmitir por fricción. SOBRE ESTE DOCUMENTO En las siguientes páginas se incluyen las figuras empleadas en clase para las deducciones de las expresiones para calcular del torque de frenado por fricción (M tf ), la fuerza de frenado (F) y la presión (p) sobre el material de freno. También las correspondientes a embragues. Además se describe el proceso de la función de embrague y de frenado y se calcula el trabajo de embragado (frenado) y la pérdida por calor debido a la fricción. CÁLCULOS Y PROPIEDADES DE LOS MATERIALES PARA FRENOS Y EMBRAGUES. En este curso nos interesa determinar el torque (M tf ) que se puede frenar o trasmitir por fricción, la fuerza (F) exterior necesaria para conseguirlo y la presión (p máx) que se produce en el material de fricción. A continuación se presenta el análisis para algunos tipos de frenos y embragues. El cálculo por resistencia o deformación de los elementos componentes se hace aplicando conocimientos de Resistencia de Materiales y por recomendaciones de normas o de usuarios experimentados. Además de verificar la presión, algunos autores recomiendan verificar también el valor del pv máximo, donde p es la presión entre zapata y elemento de fricción y v es la velocidad relativa entre el tambor y el elemento de fricción. En el anexo encontrarán las propiedades de algunos materiales para frenos o embragues y algunas de sus propiedades, tales como coeficiente de fricción ( µ), presión admisible (pAdm), el producto pv admisible ((pv)Adm) y la temperatura máxima admisible (tadm)que puede alcanzar por efecto de la fricción. FRENOS DE ZAPATA CORTA Aplicando la fuerza exterior F, la zapata presiona contra el cilindro y se produce una fuerza de fricción en sentido contrario al movimiento, con el fin de detener el tambor. Como se ha mencionado pueden ser simples, autoenergizantes ; y en este caso pueden ser autobloqueantes. Apreciar en la figura que, la fuerza de fricción origina un momento que tiende a girar la palanca., el momento originado por la fuerza de fricción puede ser del mismo sentido que el momento originado por la fuerza F o de sentido contrario. Si son del mismo sentido, se puede entender como que la fuerza de fricción colabora con esta fuerza; esto es autoenergizante. Si el giro del tambor es de sentido contrario, los momentos son opuestos.
En dicha figura ¿en qué sentido debe girar el tambor para que sea autoenergizante? Según sea la relación entre las dimensiones y el coeficiente de fricción, la fuerza necesaria para el frenado podría resultar negativa. Esto significa que la fuerza F será en sentido contrario a la mostrada. Significa esto que se debe aplicar la fuerza para permitir que el eje gire y no para que frene. Mientras no se aplique la fuerza, el eje permanecerá detenido. Se desea conocer el valor del torque máximo que se podría frenar, la fuerza exterior necesaria para trasmitir un determinado torque y verificar que la presión tenga un valor razonable. a b Palanca
F Zapata d
Tambor
Freno de zapata corta – Simple Haciendo equilibrio de momentos en el extremo pivoteado o articulación.
∑ M 0
=
−a
F
+
b F N
+
cF f
=
0
Reemplazando la fuerza normal en función de la fuerza de fricción, se obtiene: F f
a
=
b + c µ
⋅
F
El momento torsor por fricción que se puede aplicar es: M t f
=
F f
⋅
d
2
Este momento debe ser mayor al momento torsor que se desea frenar; M t f
≥
C s ⋅ M t
Para ello se requiere una fuerza exterior de frenado F: b 2 C s + c µ M F ≥ a ⋅ d
t
F Ff FN
Ff
FN
Freno de zapata corta – Autoenergizante F
En forma similar al caso anterior;
∑ M 0 F f
b µ
+
−
F f
=
⋅
b ⋅ F N
+
c ⋅ F f
=
0
Ff
FN
FN
F
d
2
b µ
≥
⋅
c
2 c s F
F
a
=
M t f
−a
=
M t
−c
a ⋅ d
Si se compara con la fuerza necesaria en el freno de zapata corta simple, observamos que en este caso es menor. De ahí que se denomine autoenergizante. Matemáticamente el numerador de la última expresión puede ser menor, igual o mayor que cero: - Mayor que cero: significa que se requiere una fuerza exterior para frenar - Menor que cero, significa que se requiere una fuerza de sentido contrario, para que el freno deje de frenar. Es decir que está frenado en forma permanente y se requiere una fuerza exterior para que el eje pueda girar. Este caso recibe el nombre de autobloqueante. - Igual a cero: es un caso difícil de obtener físicamente. En función de las dimensiones reales y del coeficiente fricción será autoenergizante o autobloqueante. Pero sí la fuerza exterior en ambos casos será pequeña y cercana a cero. Tanto en el freno de zapata corta simple como en el autoenergizante el material de fricción debe soportar la presión máxima; en este caso es uniforme en toda la superficie en contacto. Si la fuerza normal entre el tambor y la zapata es FN y la superficie en contacto tiene un área A p
=
F N A
≤ p Adm
FRENOS DE ZAPATA LARGA - Freno de zapata larga exterior. En la figura se puede observar que la fuerza de fricción tiende a hacer girar la palanca curva en sentido horario; es decir en sentido contrario al momento originado por la fuerza F. Por tanto lo denominados freno de zapata larga simple. Nos podemos imaginar fácilmente que si la rueda gira en sentido contrario, la fuerza de fricción tendería a hacer girar la palanca en sentido antihorario; es decir la zapata se acercaría al tambor, frenándolo. Este freno se denomina autoenergizante; pudiendo en algún caso ser autobloqueante.
En el siguiente análisis se plantea el equilibrio de la palanca (curva) en la cual está el material de fricción, constituyéndose en zapata. El objetivo es determinar el torque de fricción que se puede frenar y la magnitud de la fuerza exterior necesaria.
d M 0
c ⋅ F − a (ϕ ) ⋅ dF N − b (ϕ ) ⋅ dF f
=
Integrando se obtiene el momento total en el punto de pivote o articulación. El valor de este momento será nulo, ya que la palanca está en equilibrio. M 0
=
c F −
ϕ 2
∫
ϕ 1
∫
a (ϕ ) ⋅ dF N −
ϕ 2
ϕ 1
b (ϕ ) ⋅ dF f
En esta expresión se observan tres efectos; el de la fuerza F, el de la fuerza normal F N y el de la fuerza de fricción Ff . El término de la fuerza normal se desarrolla de la siguiente manera. ϕ 2
∫
a (ϕ ) ⋅ dF N
ϕ 1
=
h ⋅ r ⋅ t ⋅
∫
ϕ 2
ϕ 1
p sen ϕ d ϕ
La presión a lo largo de la zapata no es uniforme, sino directamente proporcional al seno del ángulo mostrado. El valor máximo ocurrirá para un ángulo de 90º (= φM) , pero si el ángulo máximo (φ2) es menor a este valor; la presión máxima ocurrirá en el ángulo máximo φM p
=
ϕ 2
∫
ϕ 2
p max sen ϕ M
sen ϕ
⋅
a (ϕ ) ⋅ dF N
=
=
h ⋅ r ⋅ t ⋅ p max sen ϕ M
∫
h ⋅ r ⋅ t ⋅ p max
4 sen ϕ M
ϕ 2
ϕ 2
2
sen ϕ d ϕ =
h ⋅ r ⋅ t ⋅ p max sen ϕ M
[2 (ϕ 2 − ϕ 1 ) − (sen 2 ϕ 2 − sen 2 ϕ 1 )]
El término de la fuerza de fricción es: ϕ 2
∫
ϕ 1
b (ϕ ) ⋅ dF f
=
h ⋅ r ⋅ t ⋅ p max µ sen ϕ M
ϕ 2
∫
ϕ 2
cos ϕ sen ϕ d ϕ
ϕ 2
ϕ sen 2 ϕ ⋅ 2 − 4 ϕ 1 =
M ( N )
h ⋅ r ⋅ t ⋅ p max ⋅ µ
=
4 sen ϕ M
(cos 2 ϕ 1 − cos 2 ϕ 2 )
=
M ( f )
Por tanto, la fuerza exterior necesaria para frenar está dada por F
=
M ( n ) + M ( f ) c
Donde M(N) y M(f) son los momentos sobre el punto de pivote producidos por las fuerzas normales y fuerzas de fricción, respectivamente. Es claro que la presión máxima no debe ser mayor a la presión admisible del material de la zapata. Se deduce que el momento torsor que se puede aplicar por fricción está dado por: d M t f
M t f
=
=
r ⋅ dF f
=
r µ p r t d ϕ
2 D µ ⋅ t ⋅ p max
4 sen ϕ M =
2 D µ ⋅ t ⋅ p max
4 sen ϕ M
ϕ 2
∫
ϕ 1
sen ϕ d ϕ
(cos ϕ 1 − cos ϕ 2 )
Y debido a incertidumbres existentes éste debe ser mayor al torque que se desea frenar; M t f
≥
C s ⋅ M t
En forma semejante a los casos donde el material está sometido a presión, es necesario limitar ésta con la presión admisible del material. pmax
≤ p Adm
Freno de zapata larga interior Obsérvese que el de la figura, dado el sentido de giro, es autoenergizante. Si la zapata se dispone en el lado opuesto o se hace girar el eje en sentido contrario, se tendría un freno simple.
El
análisis de la fuerza exterior necesaria para el frenado es similar a los casos anteriores. d M 0
−c⋅
=
M 0
=
M ( N )
=
−c⋅ ϕ 2
∫
ϕ 1
=
ϕ 1
=
F
=
a (ϕ ) ⋅
M ( N )
+
p max sen ϕ M
4 sen ϕ M
ϕ 2
∫
F
h ⋅ r ⋅ t ⋅ p max
=
M ( f )
F + a (ϕ ) ⋅ dF N + b (ϕ ) ⋅ dF f
b (ϕ ) ⋅ µ
= =
0 h ⋅ r ⋅ t ⋅ p max sen ϕ M
ϕ 2
∫
ϕ 1
2 sen ϕ d ϕ
[2 (ϕ 2 − ϕ 1 ) − (sen 2 ϕ 2 − sen 2 ϕ 1 )]
sen ϕ M
h ⋅ r ⋅ t ⋅ p max ⋅ µ
M ( N )
M ( f )
sen ϕ ⋅ r d ϕ
p max
4 sen ϕ M
−
sen ϕ ⋅ r d ϕ =
h ⋅ r ⋅ t ⋅ p max µ sen ϕ M
ϕ 2
∫
ϕ 1
cos ϕ sen ϕ d ϕ
(cos 2 ϕ 1 − cos 2 ϕ 2 )
− M ( f )
c
Obsérvemos que esta fuerza es menor que la necesaria en el freno simple; es decir es autoenergizante. Y si M(f) fuera mayor a M(N), además de autoenergizante, sería autobloqueante. La capacidad de frenado se ha deducido en el caso de freno de zapata larga simple.
FRENOS DE FAJA El freno de faja o cinta consiste de un cilindro, polea o tambor sobre la cual actúa la presión de la faja; debido a ésta se produce la fuerza de fricción opuesta al sentido de giro, reduciendo la velocidad del eje sobre el cual está la polea o tambor. No debemos perder de vista que la fuerza exterior para frenar debe ser la menor posible. Para ello se eligen las dimensiones adecuadas, claro está de acuerdo a la disponibilidad de espacio y material. Además, siempre con el fin de tener la fuerza de fricción lo más pequeña posible, se debe pensar en sujetar el extremo de la faja con mayor tensión (T 1) en un lugar que no se oponga a la fuerza de frenado F. En el caso de freno de cinta simple, se debería preferir que sobre la palanca o accionamiento sólo actúe la fuerza T2. Mientras que en el caso de freno de faja diferencial, debemos tener en cuenta que la tensión T1 la podemos poner a favor de la fuerza F. Por tanto según la disposición de los extremos de la faja o de acuerdo al sentido de giro del tambor, el freno de faja diferencial puede ser autoenergizante e incluso autobloqueante.
Freno de faja simple
En las fajas, se puede deducir fácilmente que T 1 T 2
=
µ ϕ
e
Y por equilibrio de la rueda o polea. T 1 − T 2
=
2 M t f D
De donde haciendo los reemplazos necesarios
2 M t f
µ ϕ
T 1
=
T 2
=
e
⋅
(1 − e µ ϕ ) 1
(1 − e µ ϕ )
D
2 M t f
⋅
D
Y como la palanca está en equilibrio, el momento total en el punto de pivote es nulo;
∑ M 0 = b ⋅ T 2 − a F = 0 La fuerza exterior necesaria para frenar es F =
b
T 2
a
=
1
(1 − e ) µ ϕ
⋅
2b a D
M t f
Y como se ha establecido en casos anteriores, la capacidad de frenado debe ser mayor al torque que desea frenar. M t f
≥
c s ⋅ M t
La presión entre la faja y el tambor se deduce que está dada por T/ (L.r) donde T es la tensión de la faja, L el ancho de ésta y r el radio de la polea. Dado que el ancho y el radio son magnitudes constantes, la presión máxima dependerá de la tensión; es decir:
pmáx = T1 / (L.r) y se debe cumplir que: pmáx ≤ pAdm Debemos tener en cuenta que la cinta o faja puede ser plana, como en el análisis anterior o en v o trapezoidal si se requiera tener mayor coeficiente de fricción (coeficiente de fricción efectivo).
Freno de faja diferencial Obsérvese en la figura que la tensión T 1 produce sobre la palanca un momento en el mismo sentido que la fuerza exterior F; es decir colabora con ésta. Por tanto se requerirá una fuerza exterior menor que la necesaria en el freno simple. Esto significa que se trata de un freno autoenergizante, el cual en determinadas condiciones podrá ser autobloqueante. El análisis de equilibrio de la palanca conduce a:
∑ M 0 = b ⋅ T 2 − c ⋅ T 1 − a F = 0 a F =
2 M t f (1 − e µ ϕ ) ⋅ D
(b − c e µ ϕ )
2 (b − c e µ ϕ ) F = M t f (1 − e µ ϕ ) ⋅ D ⋅ a M t f
≥
c s ⋅ M t
El numerador de la expresión para calcular la fuerza exterior F tiene un operador matemático de resta o diferencia, motivo por el cual se denomina “diferencial”.
FRENO DE DISCO En la figura se muestra un freno de disco “teórico” pues la pastilla de freno es un arco, siendo generalmente rectangulares. Para este último caso se pueden hacer las aproximaciones correspondientes.
Presión uniforme (constante) p
F N
=
dA = r dr d α
A
A
∫0 ∫
=
2
r 2
Q
r dr d α
=
r 1
A p
≤
=
µ p
≤
2 − r 1
2
r 1
Q
p Adm
3
Q
∫ ∫0 r dr d α r 1
p
2
r 2
Q
p Adm
r 2
M t f
=
r 22
r
2
=
µ p Q
r 2
3 − r 1
3
EMBRAGUE DE DISCO
Con un embrague podemos satisfacer la necesidad de trasmitir giro y torque de un eje motriz a otro concéntrico con el primero Un embrague de disco puede estar compuesto de un par de discos o de mayor cantidad de estos; este último denominado de discos múltiples. En el de dos discos hay un par de superficies en contacto, mientras que en el de discos múltiples hay z pares de superficies en contacto, donde el valor de z es el número total de discos menos uno.
Embrague de disco múltiple Tiene dos juegos de discos. Los discos 1 deslizan axialmente sobre el interior del cilindro conectado al eje motriz y a la vez trasmiten el torque correspondiente. Los discos 2 deslizan sobre el eje movido y trasmiten torque a éste.
1 2
1 2
1 2
1 2
2
F/2
n2
n1
En la figura el embrague tiene ocho pares de superficie en contacto, es decir trasmite ocho veces el torque que trasmitiría un embrague simple.
F/2
Embrague de disco Para la deducción de la expresión para el momento torsor que se puede trasmitir por fricción, es necesario establecer si la presión es uniforme o constante para cualquier radio r o si el desgaste es el constante.
r 1
dr
r r 2
Debido a la acción de la fuerza F, los discos entran en contacto haciendo que los discos 2 aumenten su velocidad de giro hasta que coincida con la del eje motriz. d M t f
r d F f
=
r µ p d A
=
=
r µ p 2π r d r
r 2
M t f
2π µ ∫ p r 2 d r
=
r 1
Presión uniforme (constante)
p
F N
=
A
=
F N
π (r 22 r 2
M t f
=
2 − r 1
2 π µ p ∫ r d r r 1
2
)
≤
p Adm 3
=
2 π µ p
r 2
3 − r 1
3
=
3 3 r 2 − r 1 2 µ F 3 N r 22 − r 12
F
Desgaste uniforme (constante)
δ
k p N
=
k p w r
=
δ 1
=
k w p1 r 1
δ 2
δ 1
=
δ 2
p1 r 1
p1
=
p max
p
δ
=
=
2 π µ ∫
=
p max r 1 r
2 π µ p max r 1
=
r 2
M t f
p r
=
∫
=
=
r 2
2
r d r
=
2 π µ p max r 1 ∫ r d r r 1
r 22
2 − r 1
2
r 2
p d A
r 1
F N
=
p Adm
r 1
F N
p 2 r 2
=
k w p r
=
r r 2
M t f
δ
k w p 2 r 2
=
p max r 1
=
M t f
k w p r
=
=
∫
r 2
2 π r p d r
=
r 1
∫ 2 π r r 1
p max r 1 r
d r
2 π µ p max r 1 (r 2 − r 1 )
2 π µ
F N
2 π r 1 (r 2 − r 1 )
r 1
r 22
2 − r 1
2
=
µ F N
r 2
+ r 1
2
Embrague cónico n / s e d r
p
dr
2
r
r
1 r
r d
dFN dF = dFN sen
ENERGÍA TRASMITIDA Y PÉRDIDA POR CALOR EN UN EMBRAGUE DE DISCO En la siguiente figura se muestra A continuación se muestra un grafico de un par de discos en contacto que cumplen la función de embrague. Se muestran también dos gráficos de velocidad de giro de cada uno de los ejes en función del tiempo. (1)
r.p.m.
(2)
n2
n1
r.p.m. n1
n
n1
n n2
n2
Función: embrague
t1
t2
tiempo
t1
t2
tiempo
Función embrague El proceso de embrague se inicia en el tiempo t1 y finaliza en el tiempo t2; es decir toma un tiempo te (= t2 – t1). Durante este tiempo los discos resbalan entre sí. El eje 2 (movido) aumenta su velocidad desde 0 hasta n (rpm), mientras que el eje 1 (motriz) disminuye ligeramente su velocidad. Finalizado el tiempo te los dos ejes giran a la misma velocidad en forma conjunta. Aproximadamente se puede asumir que el eje 1 no disminuye su velocidad, tal como se muestra en el gráfico de la derecha. Durante el tiempo te el motor entrega una energía E1 a través del eje 1. Mientras que el eje 2 recibe una energía E2. Las cuales se pueden calcular aproximadamente, de la siguiente manera. E1 = ∫ Mt dφ1 = ∫Mt ω1 dt = Mt ω te E2 = ∫ Mt dφ2 = ∫Mt ω2 dt = 0,5 Mt ω te En las expresiones anteriores, φ1 y φ2 son los ángulos que giran los ejes 1 y 2 durante el tiempo t e. La velocidad angular ω1 del eje 1 es constante mientras que la velocidad angular ω2 del eje 2 aumenta desde un valor nulo hasta alcanzar la del eje 1. La energía recibida es menor que la entregada, esto confirma que hay pérdida de energía por calor debido al rozamiento. Calor = E1 - E2 = 0,5 Mt ω te
ENERGÍA TRASMITIDA Y PÉRDIDA POR CALOR EN UN FRENO DE DISCO En la figura se muestra un freno como dos discos uno que gira y el otro fijo. El fijo puede entenderse como una zapata o una pastilla de disco. (1)
n1
r.p.m.
(2)
n2 = 0
n
n1
Función: freno
t1
t2
tiempo
Función freno El eje está girando a rpm en el momento que se le aplica el freno. Su velocidad de giro disminuye, por tanto la energía perdida en forma de calor por calor será igual a Calor = E1 = 0,5 Mt ω te
Calor generado El calor generado, tanto en el embrague como en el freno, debe ser conducido a la masa metálica (disco de embrague, disco de freno, cilindro o tambor de freno según corresponda). Luego deberá ser evacuado al aire, con el fin de reducir la temperatura y que se pueda repetir el ciclo. El calor conducido a una masa m con una diferencia de temperatura ∆T se calcula con la conocida expresión Calor = m c ∆T Donde ∆T es la diferencia de temperatura T f – T i. Siendo Tf la temperatura de la masa metálica al finalizar el rozamiento y T i la temperatura inicial. El término c es el coeficiente de conductividad térmica. La temperatura Tf no debe ser superior a la temperatura admisible T adm del material de fricción involucrado.
ANEXO Coeficiente de fricción, temperatura y presión admisibles Coeficiente de fricción Material Hierro fundido sobre hierro fundido Metal sinterizado sobre hierro fundido Metal sinterizado sobre acero endurecido Madera sobre acero o hierro fundido Cuero sobre acero o hierro fundido Grafito sobre acero (Se debe cumplir que
En húmedo 0,05
En seco 0,15 a 0,20
Temperatura admisible °C 320
Presión admisible
0,05 a 0,1
0,1 a 0,4
540
1000
0,05 a 0,1
0,1 a 0,3
540
2100
0,16
0,2 a 0,35
150
400 a 620
0,12
0,3 a 0,5
100
50 a 100
0,05 a 0,1
0,25
370 a 540
2100
kPa 1000 a 1750
pmáx ≤ pAdm y tmáx ≤ tAdm)
Producto (pv) admisible pv Adm p (N/mm2) - v (m/s) 1,92
Condición de trabajo
Aplicaciones intermitentes de carga, períodos de reposo relativamente largos y mala disipación de calor Aplicación continua de carga y mala disipación del calor 0,98 Aplicación continua de carga y Buena disipación del calor (baño de aceite – 2,91 ventilación forzada) Se recomienda que se cumpla (pv)máx ≤ (pv)Adm